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문제집/중등

2019년 천재교육 최강 TOT 수학 중 2 - 1 답지

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정답과 풀이 2-1중 I 유리수와 순환소수 .................................. 02 II 식의 계산 ................................................... 08 III 일차부등식 ................................................ 17 IV 연립방정식 ................................................ 24 V 일차함수 .................................................... 40 I 유리수와 순환소수 ⑤ aÖb= 는 유리수이므로 순환하지 않는 무한소수가 될 수 01 유리수와 순환소수 확인 1 답 ⑤ ;bA; ⑤ 없다. 확인 2 답 7 =0.H07H4이므로 순환마디의 숫자는 0, 7, 4의 3개이다. ;2ª7; 이때 50=3_16+2이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는 순 환마디의 2번째 숫자인 7이다. 확인 3 답 3 2Ü`_5 , 15 2_3_5Û` = , ;3!; ;2£8; ;9#; = , ;9@0$; = ;1¢5; = 3 2Û`_7 4 3_5 , 3 2Ü`_5 , 7 2_3Û` , 15 2_3_5Û` = 1 2_5 , 12 2Ý`_7 = 3 2Û`_7 따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 3 2Ü`_5 , 15 2_3_5Û` 이다. 2 답 ⑴ _ ⑵ _ ⑴ 0.H1+(-0.H1)= + - { ;9!; ;9!;} =0과 같이 무한소수와 무한소수 ⑻ 의 합이 정수인 경우도 있다. ⑵ 0.3_0.H3= _ = ;9#; ;1Á0; ;1£0; =0.1과 같이 유한소수와 순환소수 ⑻ 의 곱이 유한소수인 경우도 있다. 4-1 답 15 =0.8H3이므로 A=3 ;6%; A=3을 에 대입하면 A 198 = ;19#8; ;6Á6; =0.0H1H5 따라서 구하는 순환마디는 15이다. =0.H1이므로 순환마디의 숫자는 1의 1개이다. =0.H1H8이므로 순환마디의 숫자는 1, 8의 2개이다. =0.H23076H9이므로 순환마디의 숫자는 2, 3, 0, 7, 6, 9의 6개 확인 4 답 ⑴ 1000 ⑵ 10 ⑶ 990 ⑷ 1241 ⑸ :Á9ª9¢0Á: ∴ a+b+c=1+2+6=9 확인 5 답 ⑴ _ ⑵ _ ⑴ 무한소수 중 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다. ⑵ 유리수 중 순환소수는 유한소수로 나타낼 수 없다. =0.H28571H4이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되고, 순환마디의 숫자는 2, 8, 5, 7, 1, 4의 6개이다. 이때 2000=6_333+2이므로 소수점 아래 2000번째 자리의 숫 자는 순환마디의 두 번째 숫자인 8이다. STEP 1 억울하게 울리는 문제 pp. 008 ~ 009 1 ⑴ 유리수이다 ⑵ 유리수가 아니다 ⑶ 순환소수 ⑷ 기약분수 2 ⑴ _ ⑵ _ 4-1 15 5-1 8 6-1 4 3 ⑴ 순환소수 ⑵ 유리수 4-2 9 5-2 2 6-2 1 1 답 ⑴ 유리수이다 ⑵ 유리수가 아니다 ⑶ 순환소수 ⑷ 기약분수 ⑶ 무한소수 중 순환소수는 분수로 나타낼 수 있고, 순환하지 않는 무한소수는 분수로 나타낼 수 없다. =0.H38461H5이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되고, 순환마디의 숫자는 3, 8, 4, 6, 1, 5의 6개이다. 이때 20=6_3+2이므로 소수점 아래 20번째 자리의 숫자는 순 또 100=6_16+4이므로 소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 환마디의 두 번째 숫자인 8이다. ∴ a=8 순환마디의 4번째 숫자인 6이다. ∴ b=6 ∴ a-b=8-6=2 02 정답과 풀이 4-2 답 9 ;9!; ∴ a=1 ;1ª1; ∴ b=2 ;1£3; 이다. ∴ c=6 5-1 답 8 ;7@; ∴ a2000=8 5-2 답 2 ;1°3; =0.0H4H5이므로 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디가 시 작되고, 순환마디의 숫자는 4, 5의 2개이다. 이때 30-1=2_14+1이므로 소수점 아래 30번째 자리의 숫자 는 순환마디의 첫 번째 숫자인 4이다. 전략 성을 찾아본다. 03 답 ㉠, ㉢ 먼저 ;1£4;을 소수로 나타낸 후 순환마디를 구한다. 이때 순환마디가 소수 점 아래 몇 번째 자리부터 시작하는지 유의하여 xÁ, xª, x£, y, xÁ°의 규칙 =0.1H14285H7이므로 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디 가 시작되고, 순환마디의 숫자는 1, 4, 2, 8, 5, 7의 6개이다. 이때 50-1=6_8+1이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는 의 6번째 숫자인 8이다. ㉡ ∴  f(30)=8 순환마디의 첫 번째 숫자인 1이다. STEP 2 반드시 등수 올리는 문제 pp. 010 ~ 014 따라서 보기 중 옳은 것은 ㉠, ㉢이다. 6-1 답 4 ;2Á2; 6-2 답 1 ;3¢5; 01 225 04 9개 07 1 10 14개 13 13개 16 3 19 2 22 0.000H1 01 답 225 ;2ª1; =225 전략 ;2ª1; 02 답 61 ;1£4; 02 61 05 419 08 84 11 24개 14 ⑤ 17 0.H0H9, 0.H2H7 20 ;1»4; 23 24 03 ㉠, ㉢ 06 88 09 567 12 23, 56, 89 15 ㉢, ㉣, ㉥ 18 0.000H1 21 14, 19 =0.H09523H8이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되고, 순환마디의 숫자는 0, 9, 5, 2, 3, 8의 6개이다. 이때 50=6_8+2이므로 aÁ+aª+a£+y+a°¼ =8_(0+9+5+2+3+8)+0+9  를 소수로 나타낸 후 순환마디를 구한다. =0.2H14285H7이므로 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디 가 시작되고, 순환마디의 숫자는 1, 4, 2, 8, 5, 7의 6개이다. 이때 15-1=6_2+2이므로 xÁ+xª+x£+y+xÁ° =2+2_(1+4+2+8+5+7)+1+4 =61 =0.H57142H8이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 ;7$; 시작되고, 순환마디의 숫자는 5, 7, 1, 4, 2, 8의 6개이다. ㉠ 30=6_5이므로 소수점 아래 30번째 자리의 숫자는 순환마디 ㉡ 순환마디의 숫자의 개수가 6개이므로 ㉡  f(n)=f(n+6) ㉢ 순환마디의 숫자는 5, 7, 1, 4, 2, 8이므로  f(n)=1을 만족하는 자연수 n의 값은 3, 9, 15, y이다. ㉡ 즉 두 자리의 자연수 n은 15, 21, 27, y, 99의 15개이다. f(1)=f(6),  f(2)=f(7),  f(3)=f(8),  f(4)=f(9), y임을 의미한다. =2.H232H1이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디 가 시작되고, 순환마디의 숫자는 2, 3, 2, 1의 4개이다. =0.H85714H2이므로 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 ;7^; 시작되고, 순환마디의 숫자는 8, 5, 7, 1, 4, 2의 6개이다. 전략 f(n)=f(n+5)이면 04 답 9개 :ª9ª9£9Á9»: aÁ=a°=a»=y=2 aª=a¤=aÁ¼=y=3 a£=a¦=aÁÁ=y=2 a¢=a¥=aÁª=y=1 bÁ=b¦=bÁ£=y=8 bª=b¥=bÁ¢=y=5 b£=b»=bÁ°=y=7 b¢=bÁ¼=bÁ¤=y=1 b°=bÁÁ=bÁ¦=y=4 b¤=bÁª=bÁ¥=y=2 Ú n이 100 이하의 자연수일 때, aÇ=bÇ=2인 경우 Ú aÇ=2인 n의 값은 1, 3, 5, y, 99 Ú bÇ=2인 n의 값은 6, 12, 18, y, 96 Ú 따라서 aÇ=bÇ=2를 만족하는 n의 값은 없다. Û n이 100 이하의 자연수일 때, aÇ=bÇ=1인 경우 Ú aÇ=1인 n의 값은 4, 8, 12, y, 100 Ú bÇ=1인 n의 값은 4, 10, 16, y, 100 Ú 따라서 aÇ=bÇ=1을 만족하는 n의 값은 4, 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100의 9개이다. I. 유리수와 순환소수 03 Ú, Û에서 aÇ=bÇ을 만족하는 자연수 n의 값은 9개이다. 전략 먼저 두 분수 :ª9ª9£9Á9»:와 ;7^;을 소수로 나타낸 후 순환마디를 각각 구한다. 이때 aÇ과 bÇ의 규칙성을 찾아 aÇ=bÇ인 경우를 구해 본다. 두 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모의 소인수 중 2 또는 5 이외의 수를 동시에 약분할 수 있는 A의 값을 구한다. 전략 전략 05 답 419 06 답 88 11 2Ü`_5Û`_a 2Ü _11=88 ` 전략 07 답 1 = ;7#; ;2»1; ∴ 9★21=-1 = :Á8°: 15 2Ü` ∴ 15★8=1 = :Á6¤5»: :Á5£: ∴ 169★65=1 전략 08 답 84 = ;3!7%5^; ;1°2ª5; = = 52 5Ü` 52_2Ü ` 5Ü`_2Ü` = 416 10Ü` = 4160 10Ý` = 41600 10Þ` =y 따라서 a+n의 최솟값은 416+3=419 먼저 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모를 10의 거듭제곱 꼴로 나타낸다. 이 유한소수가 되려면 a는 2 또는 5를 소인수로 갖는 수이거나 11의 배수이면서 2 또는 5를 소인수로 갖는 수이다. 따라서 a의 값이 될 수 있는 가장 큰 두 자리의 자연수는 63_3Û =567 ` 전략 기약분수의 분모를 소인수분해하였을 때, 소인수가 2 또는 5뿐이면 유한 소수로 나타낼 수 있다. 10 답 14개 이므로 유한소수로 나타낼 수 없다. 이므로 유한소수로 나타낼 수 있다. 이므로 유한소수로 나타낼 수 있다. ∴ (9★21)+(15★8)+(169★65)=-1+1+1=1 먼저 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모를 소인수분해한다. 11 답 24개 09 답 567 조건 ㈏에서 A 630 = A 2_3Û`_5_7 배수이어야 한다. 조건 ㈐에서 A 630 2Û _A ` 3Û`_7 가 유한소수가 되려면 A는 3Û _7, 즉 63의 ` _40= 가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 A는 3Û _7_(자연수)Û ` 즉 조건 ㈏, ㈐를 만족하는 A는 63_(자연수)Û 의 꼴이어야 한다. ` 의 꼴이어야 한다. ` 따라서 가능한 A의 값은 A=63_1Û , 63_2Û , 63_3Û , y ` ` ` 이 중 조건 ㈎를 만족하는 A의 값은 먼저 조건 ㈏, ㈐를 만족하는 A의 값을 모두 구한다. Ú 분모의 소인수가 2만 있는 경우 Ú 2, 2Û , 2Ü , 2Ý , 2Þ , 2ß 의 6개 ` ` Û 분모의 소인수가 5만 있는 경우 ` ` ` Ú 5, 5Û 의 2개 ` Ü 분모의 소인수가 2와 5가 있는 경우 Ú 2_5, 2_5Û , 2Û _5, 2Û _5Û , 2Ü _5, 2Ý _5의 6개 ` ` ` ` ` ` Ú ~ Ü에서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 6+2+6=14(개) 전략 분모의 소인수가 2만 있는 경우, 분모의 소인수가 5만 있는 경우, 분모의 소인수가 2와 5가 있는 경우로 나누어 생각해 본다. É É ;3@0!; ;3Ó0; :Á3¼0¼: 에서 = ;3Ó0; x 2_3_5 가 유한소수가 되려면 x는 3의 배수이어야 한다. 이때 21ÉxÉ100을 만족하는 자연수 x의 값 중 3의 배수는 3_7=21, 3_8=24, 3_9=27, y, 3_33=99이므로 27개이 고 이 중에서 를 정수로 만드는 x의 값은 30, 60, 90의 3개이다. ;3Ó0; 27-3=24(개) 전략 는 3의 배수이어야 한다. 분모인 30을 소인수분해하면 2_3_5이므로 유한소수가 되려면 분자 _A가 유한소수가 되려면 A는 7의 배수 따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ;1Á1»4; _A= _A= ;6!; 1 2_3 _A가 유한소수가 되려면 A는 3의 즉 A는 3과 7의 공배수인 21의 배수이어야 한다. 따라서 구하는 가장 큰 두 자리의 자연수는 배수이어야 한다. 9 2Û`_5_7 _A= ;14(0; 이어야 한다. 21_4=84 04 정답과 풀이 12 답 23, 56, 89 165x-k=10에서 165x=k+10 ∴ x= k+10 165 = k+10 3_5_11 야 하므로 k+10=33, 66, 99, 132, y ∴ k=23, 56, 89, 122, y 이때 x가 유한소수가 되려면 k+10은 3_11, 즉 33의 배수이어 먼저 일차방정식의 해를 구한 후 해가 유한소수가 되도록 하는 k의 값을 Û a=5일 때, b= 337+5 3 =114 Ú ∴ b-a=114-5=109 Ü a=8일 때, b= 337+8 3 =115 Ú ∴ b-a=115-8=107 Ú ~ Ü에서 b-a의 값이 될 수 있는 것은 ㉢, ㉣, ㉥이다. 전략 16 답 3 0.Hx= 이므로 É0.Hx< 에서 ;9{; ;3!; ;7%; 따라서 구하는 두 자리의 자연수 k의 값은 23, 56, 89이다. 순환소수 0.3H4Ha를 분수로 나타낸 후 a와 b의 값을 각각 구한다. = , ;3!5$; ;7^; ;5@; = ;3#5); 이므로 구하는 분수를 라 하면 ;35; É < ;7%; ;9{; ;3!; ∴ É < ;6&3{; ;6$3%; ;6@3!; 이때 x는 한 자리의 자연수이므로 x의 값은 3, 4, 5, 6이다. 이를 만족하는 자연수 a의 값은 15, 16, 17, y, 29의 15개이다. 가 유한소수가 되려면 a의 값은 14x인 한 자리의 자연수이므로 x=1, y=4 또는 x=2, y=3 Ú 0.HyHx-0.HxHy= =0.H2H7 ;9@9&; Û x=2, y=3일 때 Ú 0.HyHx-0.HxHy=0.H3H2-0.H2H3= - ;9#9@; ;9@9#; Ú 0.HyHx-0.HxHy= =0.H0H9 ;9»9; Ú, Û에서 구하는 순환소수는 0.H0H9, 0.H2H7이다. 전략 10x+y 0.xy= 100 이므로 0.HxHy= 10x+y 99 , 0.HyHx= 10y+x 99 이다. 이때 0.HxHy를 xy 99 로 생각하지 않도록 주의한다. I. 유리수와 순환소수 05 15 답 ㉢, ㉣, ㉥ 0.3H4Ha= 340+a-3 990 이므로 337+a 990 = ;33B0; 즉 337+a=3b이므로 b= 337+a 3 b는 자연수이므로 337+a는 3의 배수이어야 한다. 이때 a는 한 자리의 자연수이므로 Ú a=2일 때, b= 337+2 3 =113 Ú ∴ b-a=113-2=111 18 답 0.000H1 21 답 14, 19  와 같이 분수의 분모나 분자가 분수로 되어 있는 분수를 번분수라 ∴ (1.9H8 ◎ 1.99) ◎ 0.001 =0.00H1 ◎ 0.001 <2, 3, 5, 7>=0.H2+0.0H3+0.00H5+0.000H7 <2, 3, 5, 7>= + + + ;9@; ;9£0; ;90%0; ;90¦00; <2, 3, 5, 7>= ;9@0#0%0&; <2, 3, 5, 7>=2357_ ;90Á00; <2, 3, 5, 7>=2357_0.000H1 ∴ A=0.000H1 전략 <2, 3, 5, 7>을 조건에 맞게 분수로 나타내어 본다. 19 답 2 2 1- =1- 2x x+1 = 1-x x+1 1+ ;[!; 0.H6H3= = ;9^9#; ;1¦1; 이므로 1-x x+1 = ;1¦1; 에서 7x+7=11-11x 18x=4 ∴ x= ;9@; 따라서 0. Ha= =0.H2이므로 a=2 ;9@; ;aB; 한다. 이때 번분수는 다음과 같이 계산한다. ➡ = Ö ;cD; ;aB; = ;cD; _ ;bA; = ad bc 특히 =1Ö =1_ ;aB; = ;bA;이다. ;bA; 전략 ;cD; ;cD; ;aB; 1 ;aB; 20 답 ;1»4; a=1+ + ;1£0; 2 10Û` + + + + +y 7 10Ü` 2 10Ý` 7 10Þ` 2 10ß` a=1.3H2H7= = :Á9£9Á0¢: ;5&5#; b= + ;1ª0; 2 10Û` + + + + +y 2 10Ý` 8 10Þ` 2 10ß` 8 10Ü` = a=0.2H2H8= ;9@9@0^; ;4!9!5#; 즉 a= , b= ;5&5#; ;4!9!5#; 이므로 a+b= + ;5&5#; ;4!9!5#; ;4&9&5); :Á9¢: = = ∴ = ;1»4; 전략 06 정답과 풀이 0.0Hb= , 0.Ha= , 0.00Hc= 이므로 ;9õ0; ;9A; ;90C0; (0.0Hb)Û =0.Ha_0.00Hc에서 ` 2` {;9õ0;} = _ ;9A; ;90C0; , bÛ ` 8100 = ac 8100 ∴ bÛ =ac ` 따라서 주어진 조건을 만족하는 세 자연수 a, b, c는 a=2, b=4, c=8 또는 a=4, b=6, c=9이므로 a+b+c의 값은 14 또는 19이다. 전략 순환소수를 분수로 나타낸 후 조건에 맞는 a, b, c의 값을 각각 구한다. 22 답 0.000H1 1.9H8=1.9888y이므로 1.9H8<1.99 ∴ 1.9H8 ◎ 1.99=1.99-1.9H8 ∴ 1.9H8◎1.99= - ;1!0(0(; :Á9¦0»: ∴ 1.9H8◎1.99= =0.00H1 ;90!0; 0.00H1=0.00111y이므로 0.00H1>0.001 ∴ 0.00H1 ◎ 0.001=0.00H1-0.001 ∴ 0.00H1◎0.001= - ;90!0; ;10Á00; ∴ 0.00H1◎0.001= =0.000H1 ;90Á00; =0.000H1 전략 •순환소수의 대소 관계 방법 1 순환소수를 풀어 써서 소수점 아래 첫 번째 자리의 숫자부터 차 례로 비교한다. 방법 2 순환소수를 분수로 나타내어 비교한다. 23 답 24 c_9999.H9-c=c_ 99999-9999 9 -c c_9999.H9-c=10000c-c=9999c c_9999.H9-c=9999_ b a_1111 =9_ ;aB; 이때 9_ 가 자연수이므로 a는 1이 아닌 9의 약수이다. ;aB; 한편 두 자연수 a, b는 서로소이므로 a=3일 때, b=2, 4, 5, 7, 8 a=9일 때, b=2, 4, 5, 7, 8 따라서 구하는 최댓값은 a=3, b=8일 때이므로 9_ =9_ =24 ;aB; ;3*; 전략 b a, b를 각각 순환소수로 나타낸 후 분수로 나타내어 본다. a_1111 는 기약분수이므로 a와 b는 서로소이다. STEP 3 전교 1등 확실하게 굳히는 문제 pp. 015 ~ 016 1 0.H8 4 5개 2 2 5 18 3 {:ª3£:, :°9¥:} 전략 이때 1234=4_308+2이므로 소수점 아래 1234번째 자리의 숫 자는 순환마디의 두 번째 숫자인 2이다. …… 30 % 1 답 0.H8 A 720 = A 2Ý`_3Û`_5 야 한다. 가 유한소수가 되려면 A는 3Û , 즉 9의 배수이어 ` aÇ의 값이 규칙적으로 반복되는 것을 이용한다. aÁ은 3의 일의 자리의 숫자이므로 3 aª는 3+3Û =12의 일의 자리의 숫자이므로 2 a£은 3+3Û ` a¢는 3+3Û ` +3Ü ` +3Ü ` ` ` =39의 일의 자리의 숫자이므로 9 +3Ý =120의 일의 자리의 숫자이므로 0 따라서 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 9이므로 x=9 한편 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디가 시작되는 순환소 수는 분수로 나타내었을 때, 분모에서 일의 자리의 숫자만 0이고 3 답 {:ª3£:, :°9¥:} 일의 자리를 제외한 나머지 자리의 숫자는 9이어야 한다. 점 P의 x좌표가 가까워지는 값은 즉 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수에 2 또는 5가 1개씩 1+6+6_ +6_ ;1Á0; {;1Á0;} +6_ {;1Á0;} +y ⑴ 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되는 순환소수 따라서 점 P가 가까워지는 점의 좌표는 , {:ª3£: :°9¥:} 이다. 만 있어야 한다. Ú 분모의 소인수에 2만 1개 있을 때 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Ü _5=40 Û 분모의 소인수에 5만 1개 있을 때 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Ý ` Ü 분모의 소인수에 2, 5가 각각 1개씩 있을 때 =16 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Ü =8 ` ` Ú ~ Ü에서 y=8 ∴ = ;9*; ;[}; =0.H8 전략 ⑴ ➡ 분모가 9, 99, 999, y의 꼴이다. ⑴ ➡ 분모의 소인수에 2와 5가 없다. ⑴ ➡ 분모가 90, 900, 990, y의 꼴이다. ⑴ ➡ 분모의 소인수에 2 또는 5가 있다. ⑵ 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되지 않는 순환소수 2 답 2 3의 일의 자리의 숫자는 3이므로 aÁ=3 3+3Û 의 일의 자리의 숫자는 2이므로 aª=2 3+3Û +3Ü 의 일의 자리의 숫자는 9이므로 a£=9 3+3Û +3Ü +3Ý 의 일의 자리의 숫자는 0이므로 a¢=0 3+3Û +3Ü +3Ý +3Þ 의 일의 자리의 숫자는 3이므로 a°=3 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ⋮ ∴ aÁ=a°=a»=y=3 ∴ aª=a¤=aÁ¼=y=2 ∴ a£=a¦=aÁÁ=y=9 ∴ a¢=a¥=aÁª=y=0 …… 40 % 즉 0.aÁaªa£yaÇy=0.32903290y=0.H329H0이므로 소수점 아 래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되고, 순환마디의 숫자는 3, 2, 9, 0의 4개이다. …… 30 % =7+0.6+0.06+0.006+y =7+0.666y=7.H6 = = :¤9»: :ª3£: 점 P의 y좌표가 가까워지는 값은 2` 2` 2+4+4_ +4_ ;1Á0; {;1Á0;} +4_ {;1Á0;} +y =6+0.4+0.04+0.004+y =6+0.444y=6.H4 3` 3` = :°9¥: 전략 점 P가 움직이는 규칙을 이용하여 점 P가 가까워지는 점의 x좌표와 y좌표를 각각 순환소수로 나타낸다. 주어진 조건에 의하여 A는 0.HabHc (a, b, c는 0 또는 한 자리의 자 즉 약분하기 전의 분모가 999이어야 하므로 기약분수의 분모로 가 능한 수는 999의 약수이다. 999=3Ü _37이므로 999의 약수는 1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999 이때 분모가 1이 될 수는 없고, 분모가 3, 9인 기약분수는 순환마 디의 숫자가 1개이므로 조건에 맞지 않다. 따라서 분모가 될 수 있는 수는 27, 37, 111, 333, 999의 5개이다. 4 답 5개 연수)의 꼴이다. 이다. 전략 ` ` 999=3Ü _37이므로 약수는 다음과 같다. 1 3 1 1_1=1 1_3=3 37 37_1=37 37_3=111 3Û ` =9 ` =333 1_3Û 37_3Û ` 3Ü ` =27 ` =999 ` 1_3Ü 37_3Ü I. 유리수와 순환소수 07 5 답 18 2.HabcHd+1.HcdaHb=2+0.HabcHd+1+0.HcdaHb 2.HabcHd+1.HcdaHb=3+0.HabcHd+0.HcdaHb 2.HabcHd+1.HcdaHb=(자연수) 이때 0<0.HabcHd<1, 0<0.HcdaHb<1이므로 0.HabcHd+0.HcdaHb=1이어야 한다. 1000a+100b+10c+d 9999 + 1000c+100d+10a+b 9999 =1 101(10a+b+10c+d) 9999 =1 10a+b+10c+d=99 ∴ 10(a+c)+(b+d)=99 a+c=9, b+d=9 ∴ a+b+c+d=9+9=18 전략 이때 a, b, c, d가 한 자리의 자연수이므로 0.HabcHd와 0.HcdaHb는 모두 1보다 작은 순환소수이고, 1보다 작은 두 순환 소수의 합이 자연수이므로 합은 1이어야 한다. II 식의 계산 01 단항식과 다항식의 계산 확인 1 답 ①, ④ _aÛ =a3+2=aÞ ` ① aÜ ` ② (3aÛ ③ (xÝ ` )Û bÜ ` )Û ` ` Öx¡ ` } ` x yÝ ` ④ { = 2` ⑤ x_(xÛ =3Û a2_2b3_2=9aÝ bß ` ` ` =x¡ ` ` x1_2 y4_2 = Öx¡ =1 ` xÛ y¡ ` ` =x_xß )Ü Ö(xÜ )Þ ` ` ` ` 따라서 옳은 것은 ①, ④이다. _ ` 1 x15 = 1 x¡ ` 확인 2 답 ⑴ 4a22b18 ⑵ - aÜ b ⑶ ;6!; ` 27 xÞ`yÛ`z13 ⑴ (-2aÜ bÛ )Û _(aÛ ` ` ` )Ü _(aÛ b)Þ bÜ ` ` ` ` _aß bá _a10bÞ ` ` ` bÝ =4aß ` ` =4a22b18 ` ⑵ { - aÛ b ` } ;2!; Ö aÜ bÛ =- ;4#; ` ` aß bÜ _ ` ` ;8!; 4 3aÜ`bÛ` 3` =- aÜ b ` ;6!; ⑶ (3xyÛ z)Ü Ö{(xyzÛ )Û }Ü Ö(xyzÛ )Û ` ` ` =27xÜ yß zÜ _ ` ` ` ` ` 1 xß`yß`z12 _ ` ` = 1 xÛ`yÛ`zÝ` 27 xÞ`yÛ`z13 확인 3 답 4x 7x-[6x-4y+{-x+3y-(2x-y)}] =7x-{6x-4y+(-x+3y-2x+y)} =7x-{6x-4y+(-3x+4y)} =7x-3x=4x 확인 4 답 8xy {3x+(x-2y)}_3y-(6xÜ y-9xÛ yÛ )Ö ` ` ` xÛ ` ;2#; 2 3xÛ` 2 3xÛ` } =(4x-2y)_3y-(6xÜ y-9xÛ yÛ )_ ` ` ` =12xy-6yÛ - 6xÜ y_ { ` -9xÛ yÛ _ ` ` ` ` ` =12xy-6yÛ -(4xy-6yÛ =12xy-6yÛ -4xy+6yÛ =8xy 2 3xÛ` ) ` ` 08 정답과 풀이 확인 5 답 12x-8y a-{b-3(a+b)}+2b =a-(b-3a-3b)+2b =a-(-3a-2b)+2b =a+3a+2b+2b =4a+4b =4(2x+y)+4(x-3y) =8x+4y+4x-12y =12x-8y STEP 1 억울하게 울리는 문제 pp. 020~022 1-1 ① 2-1 33 1-2 ③ 2-2 -1 3-2 3-1 4-2 1 xÜ`y 2 9xÛ` yzÝ` 4-1 -3 5-1 0 6-1 n이 홀수일 때, 0 / n이 짝수일 때, 2n+1-2n+2 6-2 n이 홀수일 때, 1 / n이 짝수일 때, -3 7-1 ③ 8-1 ② 9-1 ③ 7-2 ④ 8-2 ⑤ 9-2 ⑤ 5-2 6y 1-1 답 ① ① (x yÞ`)Þ`=x _5y25=x10y25이므로 _5=10 ∴ =2 ② -2_ x {;2!; =-2_ x _2=- ;4!; xß 이므로 ` ;2!; _2=6 ∴ =3 } 2` ③ {;2#; xÜ`y = ;4(; } xß`y _2= xß`y¡ 이므로 ` ;4(;  2` _2=8 ∴ =4 _3+1=10 ∴ =3 3` ⑤ ( -3x yÛ ` _4=28 )Ý ` =81x _4y¡ ` ∴ =7 =81x28y¡ 이므로 ` 따라서 안에 들어갈 수가 가장 작은 것은 ①이다. 1-2 답 ③ ① (aÛ b )Ü =aß ` ` _3=18 ` b _3=aß b18이므로 ` ∴ =6 Öa =a12- =a¡ 이므로 ` ② (aÜ )Ý ` ` 12- =8 ∴ =4 - ③ { bÛ ` aÜ` } =9 3` =- =- 이므로 bß ` aá` bß a ` ④ aÞ _aÝ Ö(a )Û ` ` ` 9- _2=1 ∴ =4 =a9- _2=a이므로 )Û ⑤ a Ö(aÛ ` -5=3 ` Öa=a -4-1=aÜ 이므로 ` ∴ =8 따라서 안에 들어갈 수가 가장 큰 것은 ③이다. 2-1 답 33 ` ` ` yÜ (4xÛ ` ` 즉 36xÜ ` yß (4xÛ yÜ )Û Ö(2xy)Û _9xyÛ =16xÝ yß _ )Û Ö(2xy)Û _9xyÛ =36xÜ yß =axº y`이므로 a=36, b=3, c=6 ` ` ∴ a+b-c=36+3-6=33 ` 1 4xÛ`yÛ` _9xyÛ ` ` ` ` ` axÜ yÞ Ö(-2xyº )Ý _8x`yÜ =axÜ yÞ _ 1 ` ` 16xÝ`y4b _8x`yÜ ` 2-2 답 -1 ` ` ` ` axÜ yÞ Ö(-2xyº )Ý _8x`yÜ = xc-1y8-4b ;2A; 즉 ;2A; xc-1y8-4b=-2xyÝ 이므로 ` =-2에서 a=-4 ;2A; c-1=1에서 c=2 8-4b=4에서 4b=4 ∴ b=1 ∴ a+b+c=-4+1+2=-1 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` (-3xÛ y)Û Ö _(xÛ z)Û =(xÛ yzÛ )Ü ` ` 에서 ` ` ` 3-1 답 9xÛ` yzÝ` ` 1 9xÝ yÛ _ ` ` ` ` ` ` 9x¡ yÛ zÛ _ 1 _xÝ zÛ =xß yÜ zß ` ` ` ` ` ` =xß yÜ zß ` ` = 4yÜ` 3x  에서 1 6xÛ`yÛ` 4yÜ` 3x = 3-2 답 xÜ`y 2 (-2xÛ yÜ )Û Ö _ ` ` ` 4xÝ yß _ ` ` 2xÛ`yÝ` 3 _ 1 1 _ = 1 6xÛ`yÛ` 4yÜ` 3x ∴ = ∴ = 2xÛ`yÝ` 3 2xÛ`yÝ` 3 Ö _ 4yÜ` 3x 3x 4yÜ` = xÜ`y 2 ④ 3x_ x yÞ ` 3 } { =3x_ x _3y15 27 = x _3+1y15 9 = x10y15 9 이므로 ∴ = 9x¡`yÛ`zÛ` xß`yÜ`zß` = 9xÛ` yzÝ` II. 식의 계산 09 4-1 답 -3 n이 홀수일 때, n+1은 짝수이므로 (-1)Ç`=-1, (-1)n+1=1 ∴ (-1)Ç`-(-1)n+1+(-1)Ç`_(-1)n+1 ∴ =-1-1+(-1)_1 ∴ =-2-1=-3 4-2 답 1 n이 짝수일 때, n+1은 홀수이므로 =1, (-1)n+1=-1 (-1)Ç ` ` ∴ (-1)Ç -(-1)n+1+(-1)Ç _(-1)n+1 ` ∴ =1-(-1)+1_(-1) ∴ =1+1-1=1 자연수 n에 대하여 2n+1은 홀수, 4n은 짝수이므로 (-1)2n+1+(-1)4n=-1+1=0 5-1 답 0 5-2 답 6y 자연수 n에 대하여 2n-1은 홀수, 2n+2는 짝수, 4n+1은 홀수 이므로 (-1)2n-1(3x-y)+(-1)2n+2(x+4y)-(-1)4n+1(2x+y) =-(3x-y)+(x+4y)-{-(2x+y)} =-3x+y+x+4y+2x+y =6y 6-1 답 n이 홀수일 때, 0 n이 짝수일 때, 2n+1-2n+2 Ú n이 홀수일 때, n+1은 짝수이므로 Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=2Ç`+2n+1-2n+1-2Ç` Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=0 Û n이 짝수일 때, n+1은 홀수이므로 Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=2Ç`-2n+1-2n+1+2Ç` Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=2_2Ç`-2_2n+1 Ú 2Ç`+(-2)n+1-2n+1+(-2)Ç`=2n+1-2n+2 6-2 답 n이 홀수일 때, 1 n이 짝수일 때, -3 Ú n이 홀수일 때, n+1은 짝수, 3n-1은 짝수, 2n은 짝수이므로 Ú (-1)n+1+(-1)3n-1-(-1)2n=1+1-1 Ú (-1)n+1+(-1)3n-1-(-1)2n=1 Û n이 짝수일 때, n+1은 홀수, 3n-1은 홀수, 2n은 짝수이므로 Ú (-1)n+1+(-1)3n-1-(-1)2n=-1+(-1)-1 Ú (-1)n+1+(-1)3n-1-(-1)2n=-3 10 정답과 풀이 7-1 답 ③ (3Û )à Ö81Ü Ö _243Û =314Ö(3Ý (3Û )à Ö81Ü Ö 8` _243Û =314_ (3Û )à Ö81Ü Ö _243Û =336=3_(3Þ (3Û )à Ö81Ü Ö _243Û =3Aà ` ` ` ` ` { { { { 27 3ß` } } 8` } } 8` 8` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` _(3Þ )Û ` ` ` ` { )Ü Ö 3Ü` 3ß` } 8` 1 312 _324_310 )à ` ` 7-2 답 ④ 2201+16100 4100 = 2_2200+(2Ý`)100 (2Û`)100 = = 2_2200+2400 2200 2_2200+(2200)Û` 2200 =2+2200 =a+2 8-1 답 ② 251-249=2_250- _250 ;2!; 251-249=2A- A ;2!; 251-249= A ;2#; 8-2 답 ⑤ 2_381+6_379=2_3_380+6_ _380 ;3!; 2_381+6_379=6_380+2_380 2_381+6_379=6A+2A 2_381+6_379=8A )=5x+2_2x+1+5x+2_3Å ` _5Û )=5Å _5Û _2Å _2+5Å ` ` ` )=50_(5_2)Å _3Å ` ` +25_(5_3)Å ` ` ` +25_15Å ` )=50_10Å ` )=50a+25b b=5x-2=5Å Ö5Û = ` ` 이므로 5Å =25b ` 5Å` 25 9-1 답 ③ 5x+2(2x+1+3Å 5x+2(2x+1+3Å 5x+2(2x+1+3Å 5x+2(2x+1+3Å 5x+2(2x+1+3Å ` ` ` ` ` 9-2 답 ⑤ ∴ 80Å ∴ 80Å _5)Å =(2Ý ` =24x_5Å ` ` _5Å ` ` ` _25b ∴ 80Å =(2Å )Ý ∴ 80Å ∴ 80Å =aÝ ` =25aÝ b ` ` ` ` ` ` STEP 2 반드시 등수 올리는 문제 pp. 023 ~ 027 01 12 02 3 04 622<533<277<444<366 06 2 07 9 09 6 10 36 13 xÜ 12 12 yÜ` ` 16 10 15 - a¡`bß` :£3ª: 18 xyÝ`장 20 ⑴ x+4 ⑵ 4xÛ 21 26 24 3aÛ 19 -4xÛ ` +2 ⑶ -xÛ ` 22 -4 +5ab-2bÛ 25 -3y+9 ` 50(c-a) 27 :¢9»: 100-c ` 26 b= ` 03 29 05 x=5, 24 08 ⑴ 1 ⑵ 12 11 8 14 375 17 ;8(; a +10x+4 -2x-1 ⑷ 3xÛ -2x+1 ` 23 xy+x+8y 28 - ;5&; 29 ;3$; 01 답 12 108Û ` 즉 2Ý =(2Û _3ß ` ` )Û _3Ü =2Ý _3ß ` ` ` =22x_3y이므로 ` ` 2x=4에서 x=2, y=6 ∴ 3x+y=3_2+6=12 전략 참고 108을 소인수분해하여 거듭제곱의 꼴로 나타낸다. 4a=16에서 a=4 4b=48에서 b=12 4c=36에서 c=9 전략 l, m, n이 자연수일 때, (aÂ`bµ``)Ç`=alnbmn ∴ a+b+c+d=4+12+9+4=29 04 답 6Û`2<533<277<444<366 277=(2à 444=(4Ý 622=(6Û )11=12811, 366=(3ß )11=25611, 533=(5Ü )11=3611이다. ` ` ` ` ` )11=72911, )11=12511, 이때 각 수의 지수가 같을 때에는 밑이 큰 수가 더 크므로 622<533<277<444<366 지수법칙을 이용하여 주어진 수들의 지수가 같아지도록 변형한다. 전략 참고 a>0, b>0이고 m, n은 자연수일 때 ① aµ >bµ  이면 a>b `` `` ② a>1일 때, aµ >aÇ` 이면 m>n ③ 0aÇ` 이면 m2=6(m-2)에서 x=26(m-2) ` ;]{; = ⑴ ∴ ⑴ < y>4=3m-6에서 ⑴ y=43m-6=(2Û ` 26(m-2)` 26(m-2) =1 )=4에서 x=(2kÛ ⑵ (2kÛ =3에서 ` ⑴ < y>(2k)=2에서 y=(2k)Û kÛ` ⑴ <;2Z;>  2 xz ` y ⑴ < xz y > k=12 ∴ A=12 kÛ` 2 } =16k¡ Ö4kÛ kß` 4 ⑴ _ = ;2Z; 3` =16k¡ { ` ` 전략 약속에 따라 x, y, z를 거듭제곱의 꼴로 나타낸다. )Ý =16k¡ ` =4kÛ ` ` kß` 8 = ∴ z= kß` 4 kß` 4 _ ` _ 1 4kÛ` =k12이므로 09 답 6 ` ` =(4_2Þ =4_2Þ ` =4_10Þ 전략 (2Þ +2Þ +2Þ +2Þ )(5Ý +5Ý +5Ý +5Ý +5Ý ) ` ` ` ` ` ` ` ) )_(5_5Ý ` _5Þ ` =4_(2_5)Þ ` ` =400000 ` 따라서 주어진 수는 6자리의 자연수이므로 n=6 aµ +aµ `` `` ( | +aµ +y+aµ `` { | 9 a개 `` =a_aµ =am+1 `` 12 정답과 풀이 참고 2Ç`_5Ç`=(2_5)Ç`=10Ç` 임을 이용하여 주어진 수를 a_10Ç` ( a, n은 자연 수)의 꼴로 나타낸다. 이때 ( a_10Ç` 의 자릿수)=( a의 자릿수)+n이다. 10 답 36 215_1520 4510 = 215_(3_5)20 (3Û`_5)10 215_320_520 320_510 = =215_510 _(2_5)10 ` =2Þ =32_1010 리의 숫자는 3이므로 b=3 ∴ ab=12_3=36 전략 낸다. 11 답 8 +218+227 2á ` 1+2á`+218 = 2á ` +218) (1+2á 1+2á`+218 =2á ` ` 이므로 5_ +218+227 2á ` 1+2á`+218 } { 100 =5_(2á )100=5_2900 ` =5_2_2899 =2899_10 2Ú =2, 2Û =4, 2Ü =8, 2Ý =16, 2Þ =32, y와 같이 2의 거듭제곱의 ` ` ` ` ` 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6의 4개의 숫자가 반복하여 나타난다. 이때 899=4_224+3이므로 2899의 일의 자리의 숫자는 8이다. 따라서 2899_10의 십의 자리의 숫자는 8이다. 2á +218+227 =2á _1+2á ` ` =2á (1+2á _2á ` ` +218) ` +2á _218 ` 전략 ` 참고 a_10 (a는 자연수)의 꼴로 나타내어진 자연수의 십의 자리의 숫자는 a의 일의 자리의 숫자와 같다. 12 답 12 xyÛ _ ` xÛ yÛ ` `} {;3@; Ö - { ;3!; xy } ` ;4!; = xyÛ _ ;4!; ` xÝ yÝ ` ` ;9$; - xÜ yÜ ` ;2Á7; { 2` Ö 3` `} = ` _ xyÛ 4 yÝ` 4xÝ ` 9 _ - { 27 xÜ`yÜ` } yÜ =-3xÛ ` =-3_2Û ` _(-1)Ü ` ` =-3_4_(-1)=12 [ 전략 •단항식의 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산 •① 괄호가 있으면 먼저 지수법칙을 이용하여 괄호를 푼다. •② 나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꾼다. •③ 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 계산한다. 13 답 xÜ yÜ ` ` :ª8¦: _ Ö - xy _(-3xyÛ )Û [{ ;2!; } ` `] 3` yÜ ` ` ` { { { = :ª8¦: _ Ö - xÜ ;8!; _9xÛ yÝ ` `} = :ª8¦: _ Ö - xÞ yà ;8(; `} = :ª8¦: _ _ - 8 9xÞ`yà` } = _ - 3 xÞ`yà` } 3 xÞ`yà` } { { 즉 _ - =- 에서 3 xÛ`yÝ` 3 xÞ`yà` } yà xÞ ` ` 3 } = - Ö - 3 xÛ`yÝ` } 3 xÛ`yÝ` } { { { { = - _ - A_☐ÖB=C ➡ A_☐_ =C ➡ ☐= 1 B BC A =xÜ yÜ ` ` 전략 14 답 375 (3abÜ )Ü Ö(abÞ )Û _ (3abÜ )Ü Ö(abÞ )Û _ a 3b } =27aÜ bá ` ` ÖaÛ b10_ ` 2` =27aÜ } bá _ ` ` 1 aÛ`b10 _ aÛ ` 9bÛ` aÛ ` 9bÛ` ` ` ` ` { { ` ` ` ` )Û _ (3abÜ )Ü Ö(abÞ ` ` ` ` { 한편 a=52x이므로 aÜ b=52y이므로 bÜ ` =(52y)Ü = 2` } 2` =(52x)Ü ` =56y ` 3aÜ bÜ` =56x ` = = 3aÜ bÜ` 3_56x 56y =3_56(x-y) (∵ a>b) =3_56_ ;2!; =3_5Ü ` =375 ` ` ` ` a 3b } ∴(3abÜ )Ü Ö(abÞ )Û _ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ∴(3abÜ )Ü Ö( abÞ )_ ∴(3abÜ )Ü Ö( abÞ )_ ∴(3abÜ )Ü Ö( abÞ )_ ∴(3abÜ )Ü Ö( abÞ )_ ` ` ` ` ` ` ` ` { { { { { 2` } } } } 2` 2` 2` 2` 대입하여 식의 값을 구한다. 15 답 - :£3ª: a¡ bß ` ` ) S(6_a_T(b))=S(6abÜ ` )Û S(6_a_T(b))=(6abÜ ` bß ` S(6_a_T(b))=36aÛ ` ` 전략 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a 대신 52x, b 대신 52y을 T(-2_T(a)_b)=T(-2aÜ b) T[-2_T[a]_b]=(-2aÜ T[-2_T[a]_b]=-8aá ` b)Ü ` ` bÜ ` ` T(3ab)=(3ab)Ü bÜ ` ∴ S(6_a_T(b))_T(-2_T(a)_b)ÖT(3ab) =27aÜ ` ` ∴ =36aÛ bß _(-8aá bÜ )Ö27aÜ ` ` ` ` ` ` ` ` bÜ ` ` 1 27aÜ`bÜ` ∴ =36aÛ bß _(-8aá bÜ )_ ∴ =- :£3ª:  a¡ bß ` ` 16 답 10 - { xÛ ` y } _ { a` =(-1)Œ`_ =(-1)Œ`_ =(-1)Œ`_ 즉 (-1)Œ`_ Ö 3` _ yÛ ` xº` } x2a yŒ` x2a yŒ` 9x2ay¡ ` x3b+8yŒ` 9x2ay¡ ` x3b+8yŒ` _ - { yß x3b Ö ` yß x3b _ ` xÝ ` 3y } 2` x¡ ` 9yÛ` 9yÛ `` x¡` =- 9yc+1 xà` …… ㉠ 이때 (-1)Œ`=-1이고 34이므로 m+n=11을 만족하는 순서쌍 (m, n)은 (6, 5), (8, 3), (10, 1)의 3개이다. …… 30 % …… 40 % 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 정리하였을 때, 우변이 양수이 므로 (-1)m+2n-2의 지수 m+2n-2는 짝수이어야 한다. 전략 2 답 -2 1 aÇ ` +bÇ =aÇ ` ` =aÇ +bÇ +bÇ =aÇ ` =-2 전략 ab=-1이고 n이 홀수이므로 aÇ bÇ =(ab)Ç =-1 ` ` ` aÇ + ` +bÇ + ` +aÇ bÇ + ` ` 1 bÇ aÇ ` ` +(-1)+ 1 -1 1 bÇ ` + + 1 1 bÇ aÇ ` +bÇ aÇ ` bÇ aÇ ` ` +bÇ -(aÇ ` + ` ` ` ` ` ` -2 )-2 지수가 홀수일 때, 음수의 거듭제곱은 음수이다. II. 식의 계산 15 3 답 9 (ab)1319=a1319b1319의 일의 자리의 숫자가 3이고, a1319의 일의 자 리의 숫자가 7이므로 b1319의 일의 자리의 숫자는 9이어야 한다. n=1, 2, 3, 4, 5, y일 때 2Ç 의 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6, 2, y 3Ç 의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1, 3, y ` 이때 1319=4_329+3이므로 b의 일의 자리의 숫자가 3일 때, b1319의 일의 자리의 숫자는 7이다. 4Ç 의 일의 자리의 숫자는 4, 6, 4, 6, 4, y 5Ç 의 일의 자리의 숫자는 5, 5, 5, 5, 5, y 6Ç 의 일의 자리의 숫자는 6, 6, 6, 6, 6, y 7Ç 의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1, 7, y ` 이때 1319=4_329+3이므로 b의 일의 자리의 숫자가 7일 때, b1319의 일의 자리의 숫자는 3이다. 8Ç 의 일의 자리의 숫자는 8, 4, 2, 6, 8, y 9Ç 의 일의 자리의 숫자는 9, 1, 9, 1, 9, y ` 이때 1319=2_659+1이므로 b의 일의 자리의 숫자가 9일 때, b1319의 일의 자리의 숫자는 9이다. 따라서 b1319의 일의 자리의 숫자가 9가 되는 b의 일의 자리의 숫자 ` ` ` ` ` 두 자연수 a, b에 대하여 ab의 일의 자리의 숫자는 ( a의 일의 자리의 숫자)_( b의 일의 자리의 숫자)의 일의 자리의 숫자와 는 9이다. 전략 같다. 4 답 ⑤ ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ⑤ 두 종이 A, B를 각각 2번 접었을 때 ⑤ (종이 A의 두께)=0.5_2Û = _2Û =2 (mm) ` ;2!; ⑤ (종이 B의 두께)=0.2_3Û`=1.8 (mm) ⑤ 두 종이 A, B를 각각 3번 접었을 때 ⑤ (종이 A의 두께)=0.5_2Ü = _2Ü =2Û =4 (mm) ` ;2!; ⑤ (종이 B의 두께)=0.2_3Ü`=5.4 (mm) ⑤ 두 종이 A, B를 각각 4번 접었을 때 ⑤ (종이 A의 두께)=0.5_2Ý = _2Ý =2Ü =8 (mm) ⑤ (종이 B의 두께)=0.2_3Ý`=16.2 (mm) ⑤ 즉 두 종이 A, B를 각각 3번 접었을 때부터 종이 B의 두께가 ` ;2!; ` 종이 A의 두께보다 두꺼워진다. 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 전략 종이를 접었을 때, 종이의 두께를 지수법칙을 이용하여 구해 본다. 5 답 ⑴ {;5@;} ⑵ 133 5` ⑴ 별의 각 등급 사이에는 2.5배, 즉 배의 밝기 차이가 나므로 ;2%; ⑴ 1등성의 밝기를 1이라 하면 2등성, 3등성, 4등성, 5등성, 6등성 ⑴ 의 밝기는 각각 , ;5@; {;5@;} {;5@;} {;5@;} {;5@;} , , , 이다. ⑵ 2등성인 별의 밝기는 2` 이고, 5등성인 별의 밝기는 3` 4` 5` 이므로 ;5@; 5Ý 2Ý ` ` 5Ü 2Ü ` ` ⑴ Ö ;5@; {;5@;} = _ ;5@; = = :Á;8@:%; ⑴ 따라서 m=8, n=125이므로 4` {;5@;} 4` 가장 밝게 보이는 별이 1등성, 가장 어둡게 보이는 별이 6등성임에 주의 전략 한다. 종이 A를 반으로 접을 때마다 종이 A의 두께는 2배가 된다. ⑴ m+n=8+125=133 종이 A를 1번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.5_2 mm ` 종이 A를 2번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.5_2_2=0.5_2Û (mm) `` 종이 A를 3번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.5_2Û`_2=0.5_2Ü (mm) `` 즉 종이 A를 n번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.5_2Ç mm `` 같은 방법으로 종이 B를 삼등분하여 접을 때마다 종이 B의 두께 6 답 ;2#7@; 는 3배가 되므로 종이 B를 n번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.2_3Ç mm `` ① 종이 A를 n번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.5_2Ç ② 종이 B를 n번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.2_3Ç mm `` mm `` ③ 종이 A를 6번 접었을 때, 종이 A의 두께는 ① 0.5_2ß = _2ß =2Þ =32 (mm) ` ;2!; ` ` ` ④ 종이 B를 7번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.2_3à mm `` ⑤ 두 종이 A, B를 각각 1번 접었을 때 ⑤ (종이 A의 두께)=0.5_2= _2=1 (mm) ⑤ (종이 B의 두께)=0.2_3=0.6 (mm) ` ;2!; ` 16 정답과 풀이 v= (RÛ -rÛ )에 r= , v=vÁ을 대입하면 vÁ= RÛ - ` { _ RÛ = ` ;9*; 2PRÛ 9gl ` v= (RÛ -rÛ , v=vª를 대입하면 ` R 3 = R 3 } ] 2`  )에 r= P 4gl R 2 ` vª= RÛ - ` { R 2 } = ] P 4gl _ RÛ = ` ;4#; 3PRÛ ` 16gl ` ` P 4gl P 4gl [ P 4gl P 4gl [ ∴ =vÁÖvª vÁ vª 2` ∴ = ∴ = 2PRÛ 9gl 2PRÛ 9gl ` Ö ` _ 3PRÛ ` 16gl 16gl 3PRÛ ` = ;2#7@; 주어진 식에 r= ;;3;R;, v=vÁ을 대입하고 r= ;;2;R;, v=vª를 대입하여 vÁ vª III 일차부등식 전략 의 값을 구한다. 7 답 :¢9¤: A=2x-0.H1_y=2x- y ;9!; B=0.H6_x+0.0H2_y B= x+ ;9^; ;9ª0; B= x+ ;3@; ;4Á5; y y (A◎B)◎(A★B)=(2A-3B)◎(A+4B) (A◎B)◎(A★B)=2(2A-3B)-3(A+4B) (A◎B)◎(A★B)=4A-6B-3A-12B (A◎B)◎(A★B)=A-18B (A◎B)◎(A★B)= 2x- { y ;9!; } -18 x+ ;4Á5; y } {;3@; (A◎B)◎(A★B)=2x- y-12x- ;9!; y ;5@; (A◎B)◎(A★B)=-10x- y ;4@5#; 따라서 a=-10, b=- 이므로 ;4@5#; ab=-10_ - = { ;4@5#;} :¢9¤: 전략 A, B에 알맞은 식을 대입한다. 8 답 b=100- 10000q p(100+a) (정가)=(원가)_{1+(이익률)} (정가)=p 1+ { ;10A0;} = p(100+a) 100 (할인가)=(정가)_{1-(할인율)} (할인가)= (할인가)= (할인가) 즉 q= _ 1- { ;10B0;} p(100+a) 100 p(100+a) 100 _ 100-b 100 p(100+a)(100-b) 10000 = p(100+a)(100-b) 10000 에서 ∴ b=100- 10000q p(100+a) 전략 ① (정가)=(원가)_{1+(이익률)} ② (할인가)=(정가)_{1-(할인율)} 10000q=p(100+a)(100-b), 100-b= 10000q p(100+a) 먼저 A, B에서 순환소수를 분수로 나타낸 후 주어진 식을 간단히 하여 01 일차부등식과 그 활용 확인 1 답 ①, ③ ① -0.8+1.5<0 (거짓) ② - +10¾7 (참) ;2!; ③ -3-0¾0 (거짓) ④ -1+8<12 (참) ⑤ 10+9>2 (참) 따라서 해가 아닌 것은 ①, ③이다. 확인 2 답 ④ - +3>- +3에서 - >- ∴ a-b ∴ -a> -b ;2%; ;2%; ⑤ a-2b ∴ -2a> -2b ;3!; ;3!; 따라서 옳은 것은 ④이다. 확인 3 답 ⑴ -4 ⑵ 4 ⑴ 0.2(x-5)<1+0.6x의 양변에 10을 곱하면 ⑴ 2(x-5)<10+6x ⑴ 2x-10<10+6x, -4x<20 ⑴ ∴ x>-5 -4이다. ⑵ 3- x-2 4 - 2x-1 2 <0의 양변에 4를 곱하면 ⑴ 12-(x-2)-2(2x-1)<0 ⑴ 12-x+2-4x+2<0, -5x<-16 ⑴ 따라서 일차부등식을 만족하는 x의 값 중 가장 작은 정수는 ⑴ 따라서 일차부등식을 만족하는 x의 값 중 가장 작은 정수는 4 ⑴ ∴ x> :Á5¤: 이다. 확인 4 답 6 km ` km를 올라갔다가 내려온다고 하면 x ` + ;3{; ;2{; É5 ∴ xÉ6 따라서 올라갈 수 있는 거리는 최대 6 km이다. ` III. 일차부등식 17 STEP 1 억울하게 울리는 문제 pp. 034 ~ 036 즉 ax¾-10에서 a>0이고 x¾- :Áa¼: 1 ⑴ _ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ _ ⑸ _ ⑹ ◯ ⑺ ◯ ⑻ ◯ 이유는 풀이 참조 2-1 x¾ ;a&; 3-1 2 4-1 -12Éa<-9 5-1 4 6-1 100 g ` 7-1 17명 2-2 x>-3 3-2 3 4-2 -120일 때, a>b이면 ac>bc ⑴ c=0일 때, a>b이면 ac=bc ⑴ c<0일 때, a>b이면 acb이지만 > ;a!; ;b!; ⑶ a=2, b=-3일 때, aÛ =4, bÛ =9이므로 ` ` ⑴ a>b이지만 aÛ b이지만 |a|<|b| ⑸ 01일 때, aÛ >a ⑹ c+0일 때, cÛ ` ⑴ a>b이면 acÛ ` >0이므로 >bcÛ ` ` ⑺ a<0ab ⑻ a<0이면 <0, b>0이면 >0 ;a!; ` ;b!; ⑴ 따라서 a<0-3 a>0이므로 -a<0 x>-3 3-1 답 2 18 정답과 풀이 따라서 - =-5이므로 a=2 :Áa¼: 3-2 답 3 4-ax¾-8에서 -ax¾-12 이때 부등식을 만족하는 x의 값 중 가장 큰 값이 4이므로 xÉ4 즉 -ax¾-12에서 -a<0이고 xÉ :Áaª: 2x+a<-x에서 3x<-a ∴ x<- ;3A; 이때 일차부등식을 만족하는 자연수 x의 개수가 3개이므로 오른쪽 그림 0 1 2 4 3 - a 3 2x+aÉ-x에서 3xÉ-a ∴ xÉ- ;3A; 이때 일차부등식을 만족하는 자연수 x의 개수가 3개이므로 오른쪽 그림 0 1 2 4 3 - a 3 따라서 =4이므로 a=3 :Áaª: 4-1 답 -12Éa<-9 에서 3<- É4, 9<-aÉ12 ;3A; ∴ -12Éa<-9 4-2 답 -125000_ _20 ∴ x>16 ;1¥0¼0; 따라서 17명 이상일 때, 단체 입장권을 사는 것이 유리하다. 7-2 답 26권 책을 x권 빌린다고 하면 1000x>5000+800x ∴ x>25 따라서 26권 이상 빌릴 때, 회원으로 가입하여 빌리는 것이 유리 하다. STEP 2 반드시 등수 올리는 문제 pp. 037 ~ 043 01 ⑤ 04 5a+5b 02 ①, ④ 05 ⑴ 5, 6 ⑵ 1, 2 06 -2, -1, 0 03 -45 07 x<- ;2!; 09 a>2일 때, x>-3 08 ;3!; a=2일 때, 해가 없다. a<2일 때, x<-3 10 a=4, b=1 11 -7 12 x< ;4#; 14 :Á2°: -1 16 19 ` g cm 19 시속 3.6 22 75 25 24 ` 28 2명 ` km 01 답 ⑤ ① ab ④ 2aÉb에서 2a-1Éb-1 ∴ -2(2a-1)¾-2(b-1) ⑤ 2a-2 3 > -3b-2 3 에서 2a-2>-3b-2 ④ 2a>-3b ∴ -2a<3b 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 전략 부등식의 성질을 이용하여 식을 변형한다. 02 답 ①, ④ a>b이고 2a-bÛ ① -aÛ ` ` ② 2a-b ` >5-bÛ ` ① 이때 b<0이므로 -b>0 ∴ -b>b ① 즉 -2a>-b>b이므로 -2a>b ③ b2b ④ b1 ∴ ;bA; ;aB; < ;bA; ;aB; ⑤ b0이면 bcac 따라서 옳은 것은 ①, ④이다. 03 답 -45 -4<-2xÉ6, -6<-2y<0 장 작은 정수는 -9이다. ∴ 5_(-9)=-45 전략 먼저 -2x, -2y의 범위를 구한다. 04 답 5a+5b a-bÉxÉa+b에서 3a-3bÉ3xÉ3a+3b …… ㉠ -a-bÉyÉ-a+b에서 2a-2bÉ-2yÉ2a+2b …… ㉡ ㉠, ㉡에서 5a-5bÉ3x-2yÉ5a+5b 따라서 3x-2y의 최댓값은 5a+5b이다. 전략 aÉxÉb, cÉyÉd일 때 ⑴ a+cÉx+yÉb+d ⑵ a-dÉx-yÉb-c 즉 -10<-2x-2y<6이므로 A의 값 중 가장 큰 정수는 5, 가 05 답 ⑴ 5, 6 ⑵ 1, 2 ⑴ 12일 때, x>-3 a=2일 때, 해가 없다. a<2일 때, x<-3 ⑴ 따라서 {b-a}가 나타낼 수 있는 정수는 1, 2이다. ax+3a>2x+6에서 ax-2x>6-3a 전략 먼저 a+b, b-a의 값의 범위를 구하고 약속에 맞는 정수를 구한다. (a-2)x>-3(a-2) Ú a-2>0, 즉 a>2일 때 06 답 -2, -1, 0 |x|É2를 만족하는 정수 x의 값은 -2, -1, 0, 1, 2이다. x-6<-2x-3에서 3x<3 따라서 x<1을 만족하는 정수 x의 값은 -2, -1, 0이다. ∴ x<1 전략 먼저 |x|É2를 만족하는 정수 x의 값을 구한다. Ú (a-2)x>-3(a-2)의 양변을 a-2로 나누면 Ú x>-3 Û a-2=0, 즉 a=2일 때 Ú 0_x>0이므로 해가 없다. Ü a-2<0, 즉 a<2일 때 Ú (a-2)x>-3(a-2)의 양변을 a-2로 나누면 Ú x<-3 전략 생각한다. 주어진 부등식을 간단히 하여 x의 계수가 양수, 0, 음수인 경우로 나누어 일차부등식 ax>1, 즉 -2x>1의 해는 x<- ;2!; -ax+5<-2x+a+8에서 (2-a)x0에서 ax>-6 이때 해가 x<3이므로 a<0 따라서 x<- 이므로 ;a^; - ;a^; =3 ∴ a=-2 전략 부등식 ax>b의 해가 ⑴ x>k이면 a>0이고 ;aB; =k ⑵ x0 ∴ a<2 따라서 x< 이므로 a+3 2-a a+3 2-a =2, a+3=2(2-a) a+3=4-2a, 3a=1 ∴ a= ;3!; 전략 20 정답과 풀이 10 답 a=4, b=1 5x-8¾2(x-1)에서 5x-8¾2x-2 3x¾6 ∴ x¾2 bx-6Éa(x-3)에서 bx-6Éax-3a ax-bx¾3a-6, (a-b)x¾3a-6 이때 두 일차부등식의 해가 서로 같으므로 a-b>0 따라서 a+2b=6을 만족하는 자연수 a, b의 값은 따라서 x¾ 이므로 3a-6 a-b 3a-6 a-b =2, 3a-6=2(a-b) 3a-6=2a-2b, a+2b=6 a=4, b=1 또는 a=2, b=2 그런데 a-b>0이어야 하므로 a=4, b=1 전략 미지수가 없는 부등식의 해를 먼저 구한다. 11 답 -7 Ú b=3일 때 Ú ax-b>2x에서 ax-3>2x Ú (a-2)x>3 Ú 이때 해가 x< 이므로 a-2<0 ;2!; 3 a-2 Ú 따라서 x< 이므로 Ú 3 a-2 ;2!; = , a-2=6 ∴ a=8 먼저 주어진 수직선을 보고 부등식의 해를 부등호를 사용하여 나타낸다. Ú 그런데 a-2>0이므로 조건을 만족하지 않는다. |b|=3이므로 b=3인 경우와 b=-3인 경우로 나누어 조건을 만족하 2 3 4 k 2 5 Û b=-3일 때 Ú ax-b>2x에서 ax+3>2x Ú (a-2)x>-3 Ú 이때 해가 x< 이므로 a-2<0 Ú 따라서 x< 이므로 ;2!; -3 a-2 Ú -3 a-2 ;2!; = , a-2=-6 ∴ a=-4 Ú, Û에서 a=-4, b=-3이므로 a+b=-4+(-3)=-7 전략 는 a의 값을 구한다. 12 답 x< ;4#; (2a+b)x-a-3b>0에서 (2a+b)x>a+3b 이때 해가 x< 이므로 2a+b<0 따라서 x< 이므로 ;3@; a+3b 2a+b a+3b 2a+b ;3@; = , 3(a+3b)=2(2a+b) 3a+9b=4a+2b ∴ a=7b a=7b를 2a+b<0에 대입하면 14b+b<0, 15b<0 ∴ b<0 a=7b를 (a-3b)x+2a-17b>0에 대입하면 (7b-3b)x+14b-17b>0 4bx-3b>0, 4bx>3b ∴ x<  (∵ b<0) ;4#; 전략 해가 x< ;3@;임을 이용하여 2a+b의 부호를 구한다. 13 답 x>-1 Ú a>0, b<0일 때 Ú 조건 ㈏, ㈐에서 c0일 때 Ú 조건 ㈏에서 c>0 Ú 그런데 조건 ㈐를 만족하지 않는다. Ú, Û에서 ccx-b에서 (a+b)x-cx>-b+c-a (a+b-c)x>-(a+b-c) 이때 c0 (a+b-c)x>-(a+b-c)의 양변을 a+b-c로 나누면 x> -(a+b-c) a+b-c ∴ x>-1 조건 ㈎에서 a>0, b<0 또는 a<0, b>0 전략 주어진 일차부등식을 간단히 하고 조건을 이용하여 x의 계수의 부호를 전략 구한다. 14 답 :Á2°: 3◎k에서 (x-1)-2(3x-2)+3>3-2k+3 -5x+6>6-2k, -5x>-2k ∴ x< k ;5@; 이때 이 부등식을 만족하는 정수 x의 최 댓값이 3이므로 오른쪽 그림에서 3< kÉ4, 15<2kÉ20 ;5@; ∴ :Á2°: 3{10x+(10-x)} ∴ x< ;1#8%; 이때 x는 1 이상 9 이하의 자연수이므로 x=1 따라서 처음 수는 19이다. 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합이 10이므로 십의 자리의 숫 자를 x로 놓으면 일의 자리의 숫자는 (10-x)이다. 17 답 62.5점 남학생 20명의 수학 성적의 평균을 x점이라 하면 30_75+20x 30+20 ¾70 ∴ x¾62.5 따라서 남학생 20명의 수학 성적의 평균은 62.5점 이상이어야 한 다. 전략 a명의 평균이 x점, b명의 평균이 y점일 때, (전체 평균)= ax+by a+b (점) III. 일차부등식 21 22 답 75 g ` 버린 소금물의 양을 x g이라 하면 ` 버린 양의 2배만큼, 즉 2x g만큼 5 %의 소금물을 섞으므로 ` ` (소금물의 양)=300-x+2x=x+300 (g) ` (소금의 양)= _300- _x+ _2x=30 (g) ;1Á0¼0; ;1Á0¼0; ;10%0; ` 이때 농도가 8 % 이하이므로 30É _(x+300) ∴ x¾75 ;10*0; 따라서 버린 소금물의 양은 최소 75 g이다. ` 23 답 38명 하면 1인당 입장료를 a원이라 하고 x명(20Éx<40)이 입장한다고 a_ ;1¥0°0; _x>a_ _40 ∴ x> ;1¥0¼0; :¤1¢7¼: 따라서 38명 이상이면 40명의 단체 입장권을 사는 것이 유리하다. 1인당 입장료를 a원, 단체 입장객 수를 x명이라 하고 x명이 15 % 할인 된 입장료와 40명이 20 % 할인된 입장료를 각각 구하여 비교한다. 24 답 40000 km ` 중고차 A, B의 1 L당 주행거리는 각각 10 km, 12 km이므로 ` ` 1 ` km를 주행할 때 필요한 휘발유의 양은 각각 L, ;1Á0;` ;1Á2;` L이다. 중고차를 구입한 후 x km를 탄다고 하면 ` ` 4000000+ _x_1500>5000000+ _x_1500 ;1Á2; ;1Á0; ∴ x>40000 따라서 주영이는 적어도 시속 3.6 km로 걸어야 한다. 전략 ` 18 답 ;1°7;, ;2¦3;, ;2»9; 구하는 기약분수를 (x, y는 서로소)라 하면 ;]{; 3x=y-2 yy ㉠ [ ;5@; y(c+d-a)+d에서 2a>2d ∴ a>d …… ㉠ 조건 ㈎에서 a=c+d-b를 조건 ㈏에 대입하면 (c+d-b)+c>b+d에서 2c>2b ∴ c>b 조건 ㈐에서 a는 양수이므로 cb, a>c ` ` 이고 a>b, a>c이므로 ` +a_cÛ +cÛ ) =a(bÛ ` +cÛ ` b, a>c이므로 ` +a_cÜ =a(bÜ +cÜ ` ` ` )=a_aÜ =aÝ ` ` bÝ ` ㉠ bÛ ` ㉠ 즉 bÞ +cÛ _cÜ ` +cÞ ` b, a>c이므로 ` _bÜ ` >bÞ ` +cÞ =aÛ ` +aÛ _cÜ +cÜ (bÜ ` ` ` 따라서 보기 중 옳은 것은 ㉠, ㉡이다. )=aÛ _aÜ =aÞ ` ` ` ` ` ` +cÝ ㉡ bÝ ` ㉠ b_bÜ =b_bÜ ` +c_cÜ ㉠ 즉 bÝ ㉢ bÞ ` +cÝ ` =bÛ ` ` +cÞ ` _bÜ ` 호스 A로 물을 x분 동안 채운다고 하면 호스 B로 최대한 (15-x) 3 답 5 분 동안 물을 채우므로 10x+20(15-x)¾180 ∴ xÉ12 따라서 호스 A로 물을 최대한 12분 동안 채울 수 있다. 호스 A로 물을 x분 동안 채운다고 하면 호스 B로 최대한 (15-x)분 동 x, y, z가 자연수이므로 x > ;]!; ;z!; ;[!; 이므로 < + + < ;z!; ;]!; ;[!; + ;[!; + ;[!; = ;[#; ;[!; ;[!; <1< ;[#; ;[!; ∴ 1 100(b-a) a-2b ⑴ a>b>0이면 ;a!; < ;b!; ⑵ a>1이면 0< <1 ;a!; …… 30 % …… 30 % …… 30 % …… 10 % III. 일차부등식 23 따라서 달걀 한 개당 20 % 이상의 이익을 붙여서 팔아야 한다. 확인 1 답 ㉢, ㉣, ㉥ ` 달걀 한 개의 원가를 a원이라 하고 달걀 한 개당 x %의 이익을 붙 ` (달걀 한 개의 판매 가격)=a+a_ x 100 =a { 1+ x 100 } (원) 1900a 1+ { x 100 } -2000a¾2000a_ ;1Á0¢0; 4 답 20 % ` 인다고 하면 ∴ x¾20 전략 원가가 a원인 물건에 x`%의 이익을 붙인 정가 ➡ a+a_ ;10{0; =a 1+ { ;10{0;} 원 한 창구에서 1분 동안 발매하는 표를 a장이라 하면 8분 이내에 x개 발매 창구에서 사람들이 모두 표를 사려면 5 답 2개 3_15_a=300+10_15 45a=450 ∴ a=10 x_8_10¾300+10_8 80x¾380 ∴ x¾ :Á4»: 2개 더 있어야 한다. 전략 먼저 한 창구에서 1분 동안 발매하는 표의 수를 구한다. 따라서 발매 창구가 5개 이상이어야 하므로 발매 창구는 적어도 6 답 x> 100(b-a) a-2b A 요금제를 사용할 때의 월 사용 요금은 { a+a_ ;10!0; _x 원 } B 요금제를 사용할 때의 월 사용 요금은 { b+b_ ;10@0; 원 _x } a+ ;10A0; _xb이어야 한다. 또 한 통화당 요금은 B 요금제가 더 비싸야 하므로 ;10A0; < ;1ª0õ0; ∴ a-2b<0 따라서 ㉠의 양변을 a-2b로 나누면 x> 100(b-a) a-2b 24 정답과 풀이 IV 연립방정식 01 연립방정식과 그 풀이 ㉠ 미지수 x, y가 분모에 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다. ㉡ xy항이 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다. ㉤ 2xÛ ` ㉤ -xÜ ` +x-y=2xÛ +11+xÜ ` 에서 ` +x-y-11=0 ㉤ 즉 -xÜ 항이 있으므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다. ` ㉥ xÛ +2x-5y+2=2xÛ -x+y-xÛ ` 에서 ` ` ㉤ 3x-6y+2=0 ㉤ 즉 미지수가 2개인 일차방정식이다. 따라서 미지수가 2개인 일차방정식인 것은 ㉢, ㉣, ㉥이다. 확인 2 답 x=2, y=1, z=4 ( [{ x+y=3 y+z=5 z+x=6 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ 9 ㉠+㉡+㉢ 을 하면 2x+2y+2z=14 x+y+z=7 yy ㉣ ㉣-㉠ 을 하면 z=4 ㉣-㉡ 을 하면 x=2 ㉣-㉢ 을 하면 y=1 확인 3 답 x=-2, y=3 ;4!; [ (3x+y)= y- ;2!; ;4(; 3x+y=2y-9 3y-(y-2x)=4+x 3y-y+2x=4+x ➡ [ ➡ [ 3x-y=-9 yy ㉠ x+2y=4 yy ㉡ ㉠_2+㉡을 하면 7x=-14 ∴ x=-2 ㉠에 x=-2를 대입하면 -6-y=-9 ∴ y=3 확인 4 답 ⑴ ㉡과 ㉢ ⑵ ㉠과 ㉣ ㉠ y=- x+2에서 x+2y=4 ;2!; ㉡ y=2x-1에서 2x-y=1 ㉢ -4x+2y+2=0에서 2x-y=1 ㉣ x+2y=2 ⑴ ㉡과 ㉢ 을 한 쌍으로 하는 연립방정식을 풀면 해가 무수히 많다. ⑴ x=2k, y=3k, z=4k에 k= 을 대입하면 ;1Á2; ⑵ ㉠과 ㉣ 을 한 쌍으로 하는 연립방정식을 풀면 해가 없다. ⑴ x= , y= , z= ;4!; ;3!; ;6!; ⑸ =X, =Y로 치환하면 ;[!; ;]!; 2X+3Y=10 X+4Y=20 ⑸ [ ∴ X=-4, Y=6 ⑸ 즉 =-4, =6이므로 x=- , y= ;[!; ;]!; ;4!; ;6!; x+ =4 yy ㉠ ;]@; xy+6y=3 yy ㉡ ⑹ [ ⑸ ㉠에서 x=4- ;]@; ⑸ ㉡에 x=4- 를 대입하면 ;]@; ⑸ { 4- ;]@;} y+6y=3, 4y-2+6y=3 ⑸ 10y=5 ∴ y= ;2!; ⑸ ㉡에 y= 을 대입하면 ;2!; ⑸ x+3=3 ∴ x=0 ;2!; 2-1 답 ;5*; 0.2x+0.7y=2.4 2x+7y=24 ➡ [ 4x+10y=25k [ ;5@; x+y= k ;2%; yy ㉠ yy ㉡ y의 값이 x의 값보다 3만큼 작으므로 y=x-3 yy ㉢ ㉠에 y=x-3을 대입하여 풀면 x=5 ㉢에 x=5를 대입하여 풀면 y=2 ㉡에 x=5, y=2를 대입하여 풀면 k= ;5*; 2-2 답 -2, -11 Ú x-y=3일 때 Ú [ 2x-y=7 x-y=3 을 풀면 x=4, y=1 Ú x+y+2a=1에 x=4, y=1을 대입하면 Ú 4+1+2a=1, 2a=-4 ∴ a=-2 Û y-x=3일 때 Ú [ 2x-y=7 y-x=3 을 풀면 x=10, y=13 Ú x+y+2a=1에 x=10, y=13을 대입하면 Ú 10+13+2a=1, 2a=-22 ∴ a=-11 따라서 가능한 상수 a의 값은 -2, -11이다. STEP 1 억울하게 울리는 문제 pp. 050~052 1 ⑴ x=18, y=5 ⑵ x=8, y=2 ⑶ x=1, y=-1, z=1 ⑷ x= ;6!;, y= ;4!;, z= ;3!; ⑸ x=- ;4!;, y= ;6!; ⑹ x=0, y= ;2!; 2-1 ;5*; 3-1 9 4-1 a=8, b=2 5-1 4 6-1 5 7-1 3 2-2 -2, -11 3-2 74 4-2 5 5-2 4개 6-2 -4 7-2 -2 1 답 ⑴ x=18, y=5 ⑵ x=8, y=2 ⑶ x=1, y=-1, z=1 ⑷ x= ;6!;, y= ;4!;, z= ;3!; ⑴ [ ⑴ ⑵ [ ⑴ ⑴ ( ⑶ [{ 9 ⑸ x=- ;4!;, y= ;6!; ⑹ x=0, y= ;2!; 0.2x-0.7y=0.1 x+2 4 - y-3 2 =4 ➡ [ 2x-7y=1 x+2-2(y-3)=16 ➡ [ 2x-7y=1 x-2y=8 ⑴ 위의 연립방정식을 풀면 x=18, y=5 0.H2x-0.H3y=1.H1 x-1 6 - y+1 3 = ;6!; x- y= ;9#; ;9@; :Á9¼: x-1-2(y+1)=1 2x-3y=10 ➡ [ ➡ [ x-2y=4 ⑴ 위의 연립방정식을 풀면 x=8, y=2 x-y+z=3 2x+y+z=2 x+2y+3z=2 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ yy ㉣ ⑴ ㉠+㉡ 을 하면 3x+2z=5 ⑴ ㉡_2-㉢ 을 하면 3x-z=2 yy ㉤ ⑴ ㉣-㉤ 을 하면 3z=3 ∴ z=1 ⑴ ㉤ 에 z=1을 대입하여 풀면 x=1 ⑴ ㉠ 에 x=1, z=1을 대입하여 풀면 y=-1 x : y : z=2 : 3 : 4 yy ㉠ 6x+4y-3z=1 yy ㉡ ⑷ [ ⑴ ㉠에서 x=2k, y=3k, z=4k(k+0)로 놓고 ㉡에 대입하면 ⑴ 6_2k+4_3k-3_4k=1 ⑴ 12k=1 ∴ k= ;1Á2; 3-1 답 9 x와 y의 값의 비가 2 : 1이므로 x : y   = 2 : 1, 즉 x=2y   IV. 연립방정식 25 x=2y를 주어진 연립방정식에 대입하면 5-2 답 4개 Ú 따라서 가능한 모든 상수 a의 값은 7, 67이므로 그 합은 ∴ a+b=1+4=5 의 해가 서로 같으므 연립방정식 x- y= ;2!; ;2%; [ ax+2y=-10 , 즉 [ 2x-y=5 ax+2y=-10 의 해가 2개 6y-y=a+1 [ 2y+2y=a-1 ➡ [ 5y=a+1 4y=a-1 ∴ y=2, a=9 따라서 구하는 a의 값은 9이다. 3-2 답 74 Ú x=2y일 때 x+y=9 Ú [ x=2y 를 풀면 x=6, y=3 Ú 3x-2y=5+a에 x=6, y=3을 대입하면 Ú 18-6=5+a ∴ a=7 Û x=-2y일 때 Ú [ x+y=9 x=-2y 를 풀면 x=18, y=-9 Ú 3x-2y=5+a에 x=18, y=-9를 대입하면 Ú 54+18=5+a ∴ a=67 Ú 7+67=74 4-1 답 a=8, b=2 두 연립방정식 [ 2x-3y=-1 x+2y=3 ax+3y=11 x+y=b , [ 로 연립방정식 [ 2x-3y=-1 x+2y=3 을 풀면 x=1, y=1 ax+3y=11에 x=1, y=1을 대입하면 a+3=11 ∴ a=8 x+y=b에 x=1, y=1을 대입하면 1+1=b ∴ b=2 4-2 답 5 두 연립방정식 [ 6x+y=8 4x+y=4 ax-by=16 bx-ay=14 , [ 의 해가 서로 같으 므로 연립방정식 [ 6x+y=8 4x+y=4 를 풀면 x=2, y=-4 ax-by=16에 x=2, y=-4를 대입하면 2a+4b=16 …… ㉠ bx-ay=14에 x=2, y=-4를 대입하면 2b+4a=14 …… ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=2, b=3 ∴ a+b=2+3=5 5-1 답 4 연립방정식 [ x+2y=5 2x+ay=4 의 해가 없으려면 = ;2!; ;a@; + ;4%; 이어야 하므로 a=4 26 정답과 풀이 두 일차방정식 2x+3y=3a, 6bx+9y=-18의 공통인 해가 없 으므로 연립방정식 [ 2x+3y=3a 6bx+9y=-18 의 해가 없다. 따라서 2 6b = ;9#; + 3a -18 이어야 하므로 a+-2, b=1 즉 m=-2, n=1이므로 일차방정식 2x+y=9를 만족하는 자 연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는 (1, 7), (2, 5), (3, 3), (4, 1)의 4개 이다. 6-1 답 5 연립방정식 [ ax+3y=2 2x+6y=b = = ;6#; ;b@; ;2A; 이어야 하므로 a=1, b=4 의 해가 무수히 많으려면 6-2 답 -4 이상이려면 = ;a@; -1 2 = 5 -10 참고 7-1 답 3 이어야 하므로 a=-4 연립방정식의 해가 2개 이상이다. ➡ 연립방정식의 해가 무수히 많다. 이외의 해를 가지려면 k 2-k = -3 1 이어야 하므로 -6+3k=k, 2k=6 ∴ k=3 7-2 답 -2 연립방정식 [ 으려면 = ;a@; -3 b = ;1°0; a=4, b=-6 이어야 하므로 ∴ a+b=4+(-6)=-2 연립방정식 kx-3y=0 [ 2x+y=kx , 즉 [ kx-3y=0 (2-k)x+y=0 이 x=0, y=0 = x-1 3 y+1 2 ax+by=10 , 즉 [ 2x-3y=5 ax+by=10 의 해가 무수히 많 STEP 2 반드시 등수 올리는 문제 pp. 053 ~ 058 03 답 2개 ① xy+y=8은 xy항이 있으므로 x, y에 대한 일차방정식이 아니 17x+13y=82를 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는 03 2개 06 ⑤ 02 15 05 2 08 4 : 9 01 ①, ⑤ 04 6 07 x=3, y=2 09 x=2, y=-4 또는 x=-1, y=-5 10 a=3, b=-2 13 2 15 -2 12 12 11 3 14 p=2, q=-2 16 a=3, b=-4, c=1, d=2 17 x= ;4!;, y= ;5!;, z=1 18 60 a-6>0 ∴ a>6 ㉣-㉢ 을 하면 y= 26-a 2 이때 y가 양수이므로 26-a 2 >0 26-a>0 ∴ a<26 19 답 -;4#; x-2y+z=0 yy ㉠ [ 3x+2y+z=0 yy ㉡ ㉠+㉡ 을 하면 4x+2z=0 ∴ z=-2x ㉠에 z=-2x를 대입하면 x-2y-2x=0 ∴ x=-2y 전략 x, z를 y에 대한 식으로 나타낸다. 20 답 24 x+y-z=0 yy ㉠ [ 3x+8y-6z=0 yy ㉡ 30 정답과 풀이 즉 z=-2x=-2_(-2y)=4y, 즉 z=4y ∴ y+z x + z+x y + x+y z = y+4y -2y + 4y-2y y + -2y+y 4y ∴ + + =- +2- =- ;4!; ;4#; ;2%; 따라서 x : y : z= z : z=2 : 3 : 5이므로 z : ;5#; ;5@; x=2k, y=3k, z=5k( k는 자연수)로 놓으면 x, y, z의 최소공배 수는 30k이다. 즉 30k=180이므로 k=6 따라서 x=12, y=18, z=30이므로 x-y+z=12-18+30=24 x : y   : z를 가장 간단한 자연수의 비로 나타낸다.   전략 21 답 16 (a+b) : (b+c) : (c+a)=3 : 4 : 5이므로 a+b=3k, b+c=4k, c+a=5k(k+0)로 놓고 위의 세 식을 변끼리 더하면 2(a+b+c)=12k ∴ a+b+c=6k 즉 a=2k, b=k, c=3k이고 a+b+c=24이므로 2k+k+3k=24, 6k=24 ∴ k=4 1 ç 5=1-5=-4, 3 ç (-2)=3+(-2)+1=2이므로 aÛ -bc=8Û -4_12=16 ` 전략 ` 여 나타낸다. 22 답 x=-1, y=3 x-y=1 ç 5 x-y=-4 [ x+y=3 ç (-2) x+y=2 ➡ [ ∴ x=-1, y=3 전략 먼저 1 ç 5, 3 ç (-2)의 값을 구한다. 23 답 x=-3, y=-2 Ú x>y일 때 Ú {x, y}=x, =y이므로 {x, y}=x-y-1 x=x-y-1 =x+y+2 y=x+y+2 ➡ [ Ú [ Ú ∴ x=-2, y=-1 해가 아니다. Û x=x이므로 Ú 그런데 xb이다. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=9, b=8 ∴ 3a-2b=3_9-2_8=11 전략 xC2=A, 3Cy=B로 놓고 A, B의 값을 구한 후 x, y의 값을 구한다. Ú ∴ x=8, y=20 {x, y}=x-y-1 y=x-y-1 =x+y+2 x=x+y+2 ➡ [ Ú [ Ú ∴ x=-3, y=-2 전략 x>y인 경우와 x0이므로 조건을 만족하지 않는다. Ý x<0, x+y<0일 때 |x|-x+y=4 -x-x+y=4 -2x+y=4 Ú [ ➡ [ |x+y|-y=8 -(x+y)-y=8 -x-2y=8 ➡ [ Ú x=- , y=- 이므로 :Á5¤: :Á5ª: Ú =xÖy=- ;]{; :Á5¤: Ö - { :Á5ª:} Ú =- ;]{; :Á5¤: _ - { ;1°2;}=;3$; Ú ~ Ý에서 의 값은 2, 이다. ;]{; ;3$; 전략 |A|= [ -A (A¾0) -A (A<0) 임을 이용한다. 4 답 0 a+2b+4c+5d=100 yy ㉠ 6a+4b+c-2d=100 a+3b+2c+5d=-100 ( \ [{ \ 9 ㉠+㉣ 을 하면 5(a+b)+7(c+d)=0 yy ㉤ 4a+3b+3c+2d=-100 yy ㉢ yy ㉣ yy ㉡ ㉡+㉢ 을 하면 7(a+b)+3(c+d)=0 yy ㉥ ㉤과 ㉥에서 a+b=0, c+d=0 ∴ a+b+c+d=0 IV. 연립방정식 31 천의 자리의 계산에서 a-1=b …… ㉠ 이때 a>b이므로 일의 자리의 계산에서 십의 자리에서 받아내림 전략 을 하면 (10+b)-a=a …… ㉡ 상수항끼리 더했을 때, 우변이 0이 되는 경우를 생각해 본다. yy ㉣ 조건 ㈏에서 0_a+1_b+(-2)_c=-5 연립방정식의 각 식에서 양변을 역수로 나타낸다. 를 이용하여 b와 c에 대한 연립방정식을 세운다. 5 답 13 주어진 연립방정식의 각 식에서 양변을 역수로 나타내면 xy x+y yz y+z zx z+x = ;3!; = ;5!; = ;4!; ( \ { \ 9 ( \ ➡ { \ 9 x+y xy y+z yz z+x zx =3 =5 =4 + ;]!; ;[!; + ;z!; ;]!; + ;z!; ;[!; ( \ ➡ { \ 9 =3 yy ㉠ =5 yy ㉡ =4 yy ㉢ ㉠+㉡+㉢ 을 하면 2 {;[!; + + ;]!; ;z!;} =12 ∴ + + ;]!; ;z!; ;[!; =6 ㉣-㉠ 을 하면 =3 ㉣-㉡ 을 하면 =1 ㉣-㉢ 을 하면 =2 ;z!; ;[!; ;]!; 3xy+2yz+zx xyz = + ;z#; ;[@; + ;]!; =9+2+2=13 ∴ ∴ 전략 6 답 x= ;1@0#;, y= :ª6£:, z= :ª2£: 1 x 1 y 1 z + + + 1 y+z 1 z+x 1 x+y = ;2!; = ;3!; = ;4!; ( \ ➡ { \ 9 ( \ { \ 9 x+y+z x(y+z) x+y+z y(z+x) x+y+z z(x+y) = ;2!; = ;3!; = ;4!; =2 yy ㉠ =3 yy ㉡ …… 20 % =4 yy ㉢ xy+zx x+y+z yz+xy x+y+z ( \ ➡ { \ zx+yz x+y+z 9 2(xy+yz+zx) x+y+z ㉠+㉡+㉢ 을 하면 =9 ∴ xy+yz+zx x+y+z ㉣-㉠ 을 하면 ㉣-㉡ 을 하면 ㉣-㉢ 을 하면 =;2(; yz x+y+z = ;2%; zx x+y+z = ;2#; xy x+y+z = ;2!; yy ㉣ yy ㉤ yy ㉥ yy ㉦ ㉤Ö㉥ 을 하면 = ;3%; ;[}; ∴ y= x ;3%; ∴ x= , y= , z= :ª2£: :ª6£: ;1@0#; …… 10 % 전략 연립방정식의 각 식을 통분하고 역수로 나타낸다. 7 답 -125 조건 ㈎에서 xÁ, xª, x£, y, xÇ 중에서 값이 0인 것의 개수를 a개, 값이 1인 것의 개수를 b개, 값이 -2인 것의 개수를 c개라 하면 ∴ b-2c=-5 …… ㉠ 조건 ㈐에서 0Û ` ∴ b+4c=19 _a+1Û _b+(-2)Û _c=19 ` ` …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=3, c=4 ∴ xÁÞ +xªÞ ` ∴ xÁÞ +xªÞ ` +y+xÇÞ +y+xÇÞ ` =0Þ _a+1Þ _3+(-2)Þ _4 ` ` ` =3-128=-125 ` ` ` 전략 조건 ㈎에서 xÁ, xª, x£, y, xÇ 중에서 값이 0인 것의 개수를 a개, 값이 1인 것의 개수를 b개, 값이 -2인 것의 개수를 c개로 놓고 조건 ㈏와 조건 ㈐ 8 답 ④ ①, ② 연속한 두 식을 변끼리 빼면 ④ xÁ=x¢=x¦=y ④ xª=x°=x¥=y ④ x£=x¤=x»=y ③ n이 3의 배수일 때, ④ xÁ=x¢=x¦=y=xn-2 ④ xª=x°=x¥=y=xn-1 ④ x£=x¤=x»=y=xÇ ④ n이 3의 배수일 때, xÁ=xª=x£인지는 알 수 없다. ⑤ n=10일 때, 연속한 모든 식을 변끼리 더하면 ④ 3(xÁ+xª+x£+y+xÁ¼)=90 ④ ∴ xÁ+xª+x£+y+xÁ¼=30 ④ 이때 xÁ+xª+x£=9, x¢+x°+x¤=9, x¦+x¥+x»=9이므로 ④ 9+9+9+xÁ¼=30 ∴ xÁ¼=3 ④ 마찬가지 방법으로 xÁ=xª=x£=y=xÁ¼=3 참고 연속한 두 식을 변끼리 빼면 xÁ=x¢=x¦=y=xn-2 xª=x°=x¥=y=xn-1 x£=x¤=x»=y=xÇ Ú n이 3의 배수가 아니면 xÁ=xª=x£=y=xÇ Û n=3k(k는 자연수)이면 ㉤Ö㉦ 을 하면 =5 ∴ z=5x ;[Z; …… 50 % 따라서 x : y : z=x : x : 5x=3 : 5 : 15이므로 ;3%; x=3k, y=5k, z=15k(k+0)로 놓고 ㉣에 대입하면 15kÛ +75kÛ +45kÛ 3k+5k+15k ` ` ` = ;2(; ∴ k= ;3@0#; xÁ=x¢=x¦=y=x3k-2=s xª=x°=x¥=y=x3k-1=t …… 20 % x£=x¤=x»=y=x3k=9-(s+t) 32 정답과 풀이 확인 2 답 효중: 분속 250 m, 경민: 분속 150 m ` ` ` ` 효중이의 속력을 분속 x m, 경민이의 속력을 분속 y m(x>y)라 02 연립방정식의 활용 확인 1 답 27, 4 큰 수를 x, 작은 수를 y라 하면 x+y=31 [ x=6y+3 ∴ x=27, y=4 따라서 구하는 두 수는 27, 4이다. 하면 20x-20y=2000 x-y=100 [ 5x+5y=2000 ➡ [ x+y=400 ∴ x=250, y=150 150 m이다. ` 확인 3 답 10시간 따라서 효중이의 속력은 분속 250 m, 경민이의 속력은 분속 ` 전체 일의 양을 1이라 하고, A, B 두 사람이 한 시간 동안 할 수 있 는 일의 양을 각각 x, y라 하면 6x+6y=1 [ 9x+4y=1 ∴ x= , y= ;1Á5; ;1Á0; 따라서 B가 혼자서 이 일을 끝마치려면 10시간이 걸린다. %의 소금물: 80 확인 4 답 8 ` g, 3 %의 소금물: 120 ` ` g ` 8 %의 소금물의 양을 x g, 3 %의 소금물의 양을 y g이라 하면 ` ` ` ` x+y=200 x+y=200 ➡ [ 8x+3y=1000 [ ;10*0; x+ y= ;10#0; ;10%0; _200 ∴ x=80, y=120 따라서 8 %의 소금물의 양은 80 g, 3 %의 소금물의 양은 120 ` ` g ` ` 이다. 확인 5 답 여학생: 330명, 남학생: 240명 x+y=600 [ x- ;1Á0¼0; ;1ª0¼0; y=-30 ∴ x=300, y=300 x+y=600 ➡ [ x-2y=-300 따라서 올해의 여학생 수는 300+ _300=330(명), ;1Á0¼0; 남학생 수는 300- _300=240(명)이다. ;1ª0¼0; 확인 6 답 12000원 A 제품의 원가를 x원, B 제품의 원가를 y원이라 하면 x+y=35000 x+y=35000 [ 0.2x+0.3y=9500 2x+3y=95000 ➡ [ ∴ x=10000, y=25000 따라서 A 제품의 정가는 10000+10000_ =12000(원) ;1ª0¼0; STEP 1 억울하게 울리는 문제 pp. 064 ~ 066 1-2 25 2-2 11세 4-2 20 km ` 1-1 84 2-1 13세 3-1 삼각형: 14개, 사각형: 9개 3-2 어른: 1000원, 어린이: 600원 4-1 2 ` km m 5-1 150 m, 길이: 100 ` 5-2 속력: 초속 5 ` 6-1 남학생: 380명, 여학생: 330명 6-2 남학생: 450명, 여학생: 675명 7-1 57 m g ` ` 7-2 5명 1-1 답 84 를 y라 하면 x+y=12 1-2 답 25 를 y라 하면 3x=y+1 처음 두 자리의 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자 x+y=12 x-y=4 ➡ [ [ 10y+x=10x+y-36 ∴ x=8, y=4 따라서 처음 수는 84이다. 처음 두 자리의 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자 [ 10y+x=2(10x+y)+2 19x-8y=-2 ➡ [ 3x-y=1 ∴ x=2, y=5 따라서 처음 수는 25이다. 현재 어머니의 나이를 x세, 아들의 나이를 y세라 하면 x-y=26 [ x+12=2(y+12)+1 ∴ x=39, y=13 x-y=26 x-2y=13 ➡ [ 따라서 현재 아들의 나이는 13세이다. 2-2 답 11세 올해 민수의 부모님의 나이의 합을 x세, 민수의 나이를 y세라 하면 x=8y x=8y [ x-10=13(y-5) x-13y=-55 ➡ [ ∴ x=88, y=11 따라서 올해 민수의 나이는 11세이다. IV. 연립방정식 33 작년의 여학생 수를 x명, 남학생 수를 y명이라 하면 2-1 답 13세 참고 합은 (x-10)세이다. 올해 민수의 부모님의 나이의 합을 x세라 하면 5년 전 부모님의 나이의 1.6 km=1600 m, 1분 10초=70초 참고 ` 참고 ` ` ` 5-2 답 속력: 초속 5 m, 길이: 100 m ` ` 기차의 속력을 초속 x y+1700=360x ` y+50=30x [ m, 기차의 길이를 y m라 하면 ` ∴ x=5, y=100 따라서 기차의 속력은 초속 5 m, 기차의 길이는 100 m이다. ` ` 1.7 km=1700 m, 6분=360초 6-1 답 남학생: 380명, 여학생: 330명 작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 x+y=700 [ - x+ ;10%0; ;1Á0¼0; y=10 ∴ x=400, y=300 x+y=700 ➡ [ x-2y=-200 따라서 올해의 남학생 수는 400- _400=380(명), ;10%0; 여학생 수는 300+ _300=330(명)이다. ;1Á0¼0; 6-2 답 남학생: 450명, 여학생: 675명 작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 ( [{ x+ ;1!0)0@; ;1»0ª0; y=1080 (x+y)=1080 ;1»0¤0; 9 ∴ x=450, y=675 51x+46y=54000 ➡ [ x+y=1125 따라서 작년의 남학생 수는 450명, 여학생 수는 675명이다. 7-1 답 57 g ` x+y=73 [ x+ y=5 ;8!; ;1Á9; ∴ x=57, y=16 합금에 섞여 있는 금의 무게를 x g, 구리의 무게를 y g이라 하면 ` ` x+y=73 ➡ [ 8x+19y=760 따라서 합금에 섞여 있는 금의 무게는 57 g이다. ` 물속에서 합금의 무게는 73-68=5 (g)만큼 덜 나간다. ` 7-2 답 5명 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 x+y=35 [ x+ y=7 ;3!; ;1Á0; ∴ x=20, y=15 x+y=35 ➡ [ 3x+10y=210 따라서 안경을 낀 여학생 수는 15_ =5(명)이다. ;3!; 만들 수 있는 삼각형의 개수를 x개, 사각형의 개수를 y개라 하면 3-1 답 삼각형: 14개, 사각형: 9개 3x+4y=78 x+y=23 [ ∴ x=14, y=9 따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 14개, 사각형의 개수는 9개 이다. 3-2 답 어른: 1000원, 어린이: 600원 어른 1명의 입장료를 x원, 어린이 1명의 입장료를 y원이라 하면 4x+10y=10000 2x+5y=5000 [ 5y=3x ➡ [ 5y=3x ∴ x=1000, y=600 따라서 어른 1명의 입장료는 1000원, 어린이 1명의 입장료는 600 원이다. 4-1 답 2 km ` x+y=3 [ + = ;4{; ;1Õ0; ∴ x=1, y=2 ;6@0&; 세희가 걸은 거리를 x km라 하면 km, 뛴 거리를 y ` x+y=3 ` ➡ [ 5x+2y=9 따라서 세희가 뛴 거리는 2 km이다. ` 참고 오전 8시에 집에서 출발하여 오전 8시 27분에 학교에 도착하였으므로 집 에서 학교까지 가는 데 걸린 시간은 27분, 즉 ;6@0&;시간이다. 세현이가 걸은 거리를 x km, 버스를 탄 거리를 y km라 하면 ` ➡ [ x+y=22 10x+y=40 ` 4-2 답 20 km ` x+y=22 [ + + Ô0; ;6{; ;6Õ ;6°0; ∴ x=2, y=20 = ;6$0%; 참고 오전 7시 35분에 집을 나서서 오전 8시 20분에 학교에 도착하였으므로 집에서 학교까지 가는 데 걸린 시간은 45분, 즉 ;6$0%;시간이다. 따라서 세현이가 버스를 탄 거리는 20 km이다. ` 참고 5-1 답 150 m ` 기차의 속력을 초속 x m, 기차의 길이를 y ` ` m라 하면 y+600=30x y+1600=70x [ ∴ x=25, y=150 따라서 기차의 길이는 150 m이다. ` 34 정답과 풀이 참고 03 답 이모: 48세, 조카: 32세 안경을 낀 학생 수는 반 전체 학생 수의 ;5!;이므로 35_ ;5!; =7(명)이다. 현재 이모의 나이를 x세, 조카의 나이를 y세라 하고 a년 전에 이 STEP 2 반드시 등수 올리는 문제 pp. 067 ~ 072 따라서 현재 이모의 나이는 48세, 조카의 나이는 32세이다. 02 475 01 5회 03 이모: 48세, 조카: 32세 05 편지지: 60장, 봉투: 40장 06 거리: 3 km, 예정 시간: 40분 ` km 08 :ª3¼:` 11 8 09 6시간 12 :¢7¥:시간 % 04 4개 07 24 km ` 10 1시간 12분 13 100 g ` ` ` % %, 소금물 B: 7 ` %, 소금물 B: 4 14 소금물 A: 2 ` 15 소금물 A: 19 16 3 : 17 18 315명 20 28800원 22 노새: 18자루, 당나귀: 12자루 23 금화 1개: 5마리, 은화 1개: 1마리 합금 B: 250 g, 17 합금 A: 200 ` 19 A 제품: 25개, B 제품: 20개 ` 21 18000원 ` g ` 미선이가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를 y회라 하면 지유가 이긴 횟 01 답 5회 수는 y회, 진 횟수는 x회이므로 3x-2y=2 3y-2x=7 [ ∴ x=4, y=5 따라서 지유가 이긴 횟수는 5회이다. 전략 ⑴ 계단을 올라가는 것을 +, 내려가는 것을 -로 생각한다. ⑵ 가위바위보를 하여 이기면 a계단 올라가고 지면 b계단 내려갈 때, 어떤 사람이 x회 이기고 y회 졌다면 위치의 변화는 (ax-by)계단이다. ⑶ A, B 두 사람이 가위바위보를 할 때, A가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를 y회라 하면 B가 이긴 횟수는 y회, 진 횟수는 x회이다. 이다. 전략 02 답 475 처음 세 자리의 자연수의 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자 를 y, 일의 자리의 숫자를 z라 하면 x+y+z=16 x+y+z=16 100z+10y+x=100x+10y+z+99 x-z=-1 ( ➡ [{ 9 3x-y-z=0 3x=y+z 9 ∴ x=4, y=7, z=5 따라서 처음 수는 475이다. ( [{ 전략 처음 세 자리의 자연수의 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자를 y, 일의 자리의 숫자를 z로 놓고 연립방정식을 세운다. 모의 나이가 현재 조카의 나이였다고 하면 x+y=80 x-a=y ( [{ x+y=80 x-y=a ( ➡ [{ x-2y=-a y-a= (x-a) ;2!; 9 ∴ x=48, y=32, a=16 9 현재와 몇 년 전의 이모와 조카의 나이에 대한 연립방정식을 세운다. 전략 04 답 4개 100원짜리 동전의 개수를 x개, 500원짜리 동전의 개수를 y개라 하면 500원짜리 동전을 사용하여 450원짜리 음료수를 뽑고 받은 거스름돈은 50원이므로 50원짜리 동전의 개수도 y개이다. x+y=15 x+y=15 [ 100x+50y=2_450+50 2x+y=19 ➡ [ 따라서 처음에 가지고 있던 100원짜리 동전의 개수는 4개이다. ∴ x=4, y=11 전략 받은 거스름돈과 100원짜리 동전을 모두 합하면 2_450+50=950(원)이다. 05 답 편지지: 60장, 봉투: 40장 편지지의 수를 x장, 봉투의 수를 y장이라 하면 x-y=20 x-y=20 [ x-3(y-20)=0 x-3y=-60 ➡ [ ∴ x=60, y=40 따라서 편지지 세트 속에 들어 있는 편지지는 60장, 봉투는 40장 예준이가 편지를 보낸 결과 편지지만 20장 남았으므로 예준이가 보낸 편 지의 수는 y통이고, 수희가 편지를 보낸 결과 봉투만 20장 남았으므로 수 희가 보낸 편지의 수는 (y-20)통이다. 06 답 거리: 3 ` km, 예정 시간: 40분 집에서 약속 장소까지의 거리를 x km, 가는 데 걸리는 예정 시간 ` 을 y분이라 하면 = - ;5{; ;6Õ0; ;6¢0; ( [{ 9 ∴ x=3, y=40 ;6Õ0; = + ;4{; ;6°0; 12x-y=-4 ➡ [ 15x-y=5 IV. 연립방정식 35 ` ` ` 07 답 24 km ` 속 y km라 하면 ` (x+y)=30 ;3%; ( [{ 9 ∴ x=15, y=3 (x-y)=30 ;2%; x+y=18 x-y=12 ➡ [ 력은 시속 3 km이다. ` 이때 관광 코스를 따라 내려오는 거리를 a km라 하면 a 15+3 + a 15-3 = :Á3¼: , 5a=120 ∴ a=24 따라서 24 km를 내려왔다가 돌아가면 된다. ` 전략 (강을 따라 내려올 때의 속력) =(정지한 물에서의 배의 속력)+(강물의 속력) (강을 거슬러 올라갈 때의 속력) =(정지한 물에서의 배의 속력)-(강물의 속력) 참고 1시간 40분=1 ;3@;시간= ;3%;시간 2시간 30분=2 ;2!;시간= ;2%;시간 3시간 20분=3 ;3!;시간= :Á3¼:시간 따라서 집에서 약속 장소까지의 거리는 3 km, 가는 데 걸리는 예 09 답 6시간 정 시간은 40분이다. 전략 예정 시간보다 일찍 도착한다는 것은 시간이 덜 걸린다는 뜻이고, 예정 시 간보다 늦게 도착한다는 것은 시간이 더 걸린다는 뜻이다. 전체 일의 양을 1이라 하고, A, B, C 세 사람이 한 시간 동안 할 수 정지한 물에서의 유람선의 속력을 시속 x km, 강물의 속력을 시 따라서 이 일을 B가 혼자서 할 때, 6시간이 걸린다. 따라서 정지한 물에서의 유람선의 속력은 시속 15 km, 강물의 속 ` 물통에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하고, 세 수도꼭지 A, B, C에서 한 시간 동안 나오는 물의 양을 각각 x, y, z라 하면 있는 일의 양을 각각 x, y, z라 하면 x+y+z=1 x+y+z=1 3z=1 ( [{ x+ (y+z)=1 9 ;2!; ;2#; ∴ x= , y= , z= ;6!; ;3!; ;2!; ( ➡ [{ 9 3z=1 x+3y+3z=2 참고 30분= ;2!;시간, 1시간 30분=1 ;2!;시간= ;2#;시간 10 답 1시간 12분 x+y+z=1 2(x+y)=1 (y+z)=1 ;2#; ( [{ 9 x+y+z=1 ( ➡ \ [{ \ 9 x+y= y+z= ;2!; ;3@; ∴ x= , y= , z= ;6!; ;2!; ;3!; 이때 두 수도꼭지 A, C를 함께 사용하여 물통에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 t시간이라 하면 t_ {;3!;+;2!;} ;6%; =1, t=1 ∴ t= ;5^; 따라서 두 수도꼭지 A, C를 함께 사용하여 물통에 물을 가득 채우 는 데 걸리는 시간은 시간, 즉 1시간 12분이다. ;5^; 11 답 8 전체 일의 양을 1이라 하면 지은이는 하루에 만큼, 준민이는 하 ;[!; 대호가 걸은 거리를 x km, 자전거를 탄 거리를 y ` ` km라 하면 x+y 16 + ;2!; 3x=8 3x=2y ➡ [ 08 답 :ª3¼: `km + ;4{; = ;4{; = ;1Õ6; x+2y 16 ( [{ 9 ∴ x= , y=4 ;3*; 따라서 학교와 도서관 사이의 거리는 +4= ;3*; :ª3¼:` (km) 루에 만큼 일을 하므로 ;]!; + = ;]!; ;[!; ;1ª5; + = ;]!; ;[!; ;1ª5; 3 {;[!; + + + =1 ;]@; ;[^; ;]!;} + =1 ;]%; ;[(; ( ➡ [{ 9 ( [{ 9 =X, =Y로 치환하면 ;[!; ;]!; X+Y= ;1ª5; 9X+5Y=1 [ ∴ X= , Y= ;1Á2; ;2Á0; 따라서 = , ;1Á2; ;]!; = ;[!; ;2Á0; 이므로 x=12, y=20 전략 ` 이다. 대호가 걸은 거리를 x km, 자전거를 탄 거리를 y km라 할 때, 대호가 ` ` x km를 걷는 동안 철수는 학교에서 도서관까지 갔다가 다시 대호가 걷는 곳까지 가므로 대호를 만날 때까지 철수가 움직인 거리는 (x+2y) ` km ∴ y-x=20-12=8 전략 만큼 일을 한다. ;]!; 전체 일의 양을 1이라 하면 지은이는 하루에 ;[!; 만큼, 준민이는 하루에 36 정답과 풀이 12 답 :¢7¥: 시간 Û Ú에서 얻은 소금물 B의 반을 소금물 A에 넣고 섞었을 때 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하고, 한 시간 동 Ú 소금물 A의 양은 200+ _600=500 (g) ;2!; ` 안 A 호스로 채우는 물의 양을 x, B 호스, C 호스로 빼내는 물의 Ú 소금물 A에 들어 있는 소금의 양은 따라서 B 호스와 C 호스로 물을 완전히 빼내는 데 걸리는 시간은 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1로 놓고 연립방정식을 세운 이다. 전략 양을 각각 y, z라 하면 6(x-y)=1 (x-z)=1 ( \ [{ \ 9 :Á3¤: :¢5¥: ( \ ➡ [{ \ 9 ∴ x= , y= , z= ;1Á2; ;1Á6; ;4!; x-y= ;6!; x-z= ;1£6; (x-y-z)=1 x-y-z= ;4°8; 1Ö {;1Á2;+;1Á6;} = :¢7¥: (시간) 전략 다. 13 답 100 g ` 4 %의 소금물의 양을 3x ` 더 넣은 물의 양은 2x ` ` g이므로 g, 6 ` 3x+y+2x=600 [ ;10$0; _3x+ _y= _600 ;10^0; 4.5 100 ∴ x=50, y=350 %의 소금물의 양을 y g이라 하면 ` 16 답 3 : 17 5x+y=600 2x+y=450 ➡ [ Ú ;10{0; _200+ 2x+4y 2 =3x+2y (g) ` Ú 또 소금물 B의 양은 _600=300 (g) ;2!; ` Ú 소금물 B에 들어 있는 소금의 양은 2x+4y 2 =x+2y (g) ` 이때 섞은 후 두 소금물 A, B의 농도를 식으로 나타내면 _100=13 ( [{ 3x+2y 500 x+2y 300 _100=9 9 ∴ x=19, y=4 3x+2y=65 x+2y=27 ➡ [ 따라서 처음 소금물 A의 농도는 19 %, 소금물 B의 농도는 4 % ` ` 섞은 후 두 소금물 A, B에 들어 있는 소금의 양을 각각 식으로 나타낸다. 소금물 A의 농도를 x %, 소금물 B의 농도를 y ` 금물 A, B에서 덜어 낸 소금물의 양을 각각 m ` g이라 하면 %라 하고, 두 소 x 100 x 100 { ( [{ 9 _m+ _m= _2m ;4!; _m+ + _m } x 100 _2m= ;5!; y 100 y 100 ` _4m 따라서 더 넣은 물의 양은 2_50=100 (g)이다. 전략 ` 의 양을 3x ` 4 %의 소금물의 양과 더 넣은 물의 양의 비가 3 : 2이므로 4 %의 소금물 g이라 하면 더 넣은 물의 양은 2x g이다. ` ` x+y=50 3x+y=80 ➡ [ ∴ x=15, y=35 14 답 소금물 A: 2 %, 소금물 B: 7 % ` ` 따라서 소금물 A의 농도는 15 %, 즉 ` = ;1Á0°0; ;2£0; 이므로 소금물 A 처음 소금물 A의 농도를 x %, 소금물 B의 농도를 y %라 하면 에 들어 있는 소금의 양과 물의 양의 비는 3 : 17이다. ( [{ ;10{0; _60+ ;10}0; ` _40=4 _40+ _60=5 ;10}0; ;10{0; 9 ∴ x=2, y=7 3x+2y=20 2x+3y=25 ➡ [ %, 소금물 B의 농도는 7 따라서 처음 소금물 A의 농도는 2 %이다. ` ` 전략 (소금물의 양)=(소금의 양)+(물의 양)이므로 소금의 양과 물의 양의 비가 1:3이면 소금의 양과 소금물의 양의 비는 1:4이다. 즉 (소금의 양)= _(소금물의 양)이다. ;4!; 물을 증발시켜도 소금의 양은 변하지 않음을 이용하여 연립방정식을 세 17 답 합금 A: 200 g, 합금 B: 250 g 전략 운다. 15 답 소금물 A: 19 %, 소금물 B: 4 % ` ` 처음 소금물 A의 농도를 x %, 소금물 B의 농도를 y %라 하면 ` Ú 소금물 A의 반을 소금물 B에 넣고 섞었을 때 Ú 소금물 B의 양은 200+400=600 ` Ú 소금물 B에 들어 있는 소금의 양은 (g) Ú ;10{0; _200+ ;10} }0; _400=2x+4y (g) ` ` ` g, 합금 B의 양을 y ` g이라 하면 ` 15x+8y=5000 5x+12y=4000 ➡ [ 필요한 합금 A의 양을 x x+ y= _450 ( [{ ;4#; ;4!; ;5@; ;5#; ;9%; ;9$; x+ y= _450 9 ∴ x=200, y=250 따라서 필요한 합금 A의 양은 200 g, 합금 B의 양은 250 g이다. ` ` 전략 구리의 양과 아연의 양에 대한 연립방정식을 세운다. IV. 연립방정식 37 ` ` ` 18 답 315명 농구를 선택한 학생 중 남학생 수는 150_ =90(명), ;5#; 여학생 수는 150_ =60(명)이다. ;5@; 2학년 남학생 수를 4x명, 여학생 수를 3x명이라 하고, 야구를 선 택한 남학생 수를 6y명, 여학생 수를 5y명이라 하면 ∴ x=18000, y=12000 따라서 A 제품의 원가는 18000원이다. 전략 ⑴ (정가)=(원가)+(이익) ⑵ (판매 가격)=(정가)-(할인 금액) ⑶ (이익)=(판매 가격)-(원가) 4x=90+6y 2x-3y=45 [ 3x=60+5y ➡ [ 3x-5y=60 ∴ x=45, y=15 22 답 노새: 18자루, 당나귀: 12자루 노새의 짐의 수를 x자루, 당나귀의 짐의 수를 y자루라 하면 따라서 2학년 전체 학생 수는 7x=7_45=315(명)이다. 전략 먼저 농구를 선택한 학생 중 남학생 수와 여학생 수를 구한다. x+2=2(y-2) x-2y=-6 ➡ [ x-y=6 [ x-3=y+3 ∴ x=18, y=12 따라서 노새의 짐은 18자루, 당나귀의 짐은 12자루이다. 노새가 당나귀에게서 a자루의 짐을 가져오면 당나귀의 짐은 a자루 줄어 전략 든다. 23 답 금화 1개: 5마리, 은화 1개: 1마리 금화 1개와 바꿀 수 있는 염소의 수를 x마리, 은화 1개와 바꿀 수 있는 염소의 수를 y마리라 하면 6x+5y=35 x+10y=15 [ ∴ x=5, y=1 수 있는 염소는 1마리이다. 전략 따라서 판매한 A 제품의 개수는 25개, B 제품의 개수는 20개이다. 따라서 금화 1개와 바꿀 수 있는 염소는 5마리, 은화 1개와 바꿀 할인하기 전 티셔츠의 판매 가격을 x원, 바지의 판매 가격을 y원 금화 1개와 바꿀 수 있는 염소의 수를 x마리, 은화 1개와 바꿀 수 있는 염 소의 수를 y마리로 놓고 연립방정식을 세운다. 19 답 A 제품: 25개, B 제품: 20개 판매한 A 제품의 개수를 x개, B 제품의 개수를 y개라 하면 x+y=45 [ ;1£0¼0; _1500_x+ _2000_y=31250 ;1°0¼0; x+y=45 ➡ [ 9x+20y=625 ∴ x=25, y=20 20 답 28800원 이라 하면 x+y=56000 [ x+ y=10200 ;1Á0°0; ;1ª0¼0; ∴ x=20000, y=36000 따라서 할인한 바지의 판매 가격은 36000-36000_ =28800(원) ;1ª0¼0; x+y=56000 ➡ [ 3x+4y=204000 21 답 18000원 A 제품의 원가를 x원, B 제품의 원가를 y원이라 하면 (A 제품의 판매 가격)=x_ _ = ;1!0#0); ;1»0¼0; ;1!0!0&; x(원) (A 제품의 이익)= ;1!0!0&; x-x= x(원) ;1Á0¦0; (B 제품의 판매 가격)=y_ _ = ;1!0@0); ;1»0¼0; ;1!0)0*; y(원) (B 제품의 이익)= ;1!0)0*; y-y= y(원) ;10*0; 즉 연립방정식을 세우면 x+y=30000 [ x+ ;1Á0¦0; ;10*0; y=4020 x+y=30000 ➡ [ 17x+8y=402000 38 정답과 풀이 STEP 3 전교 1등 확실하게 굳히는 문제 pp. 073 ~ 076 2 4장 5 550 9  분 3 8곡 6 6.71`g 1 55점 4 32 7 24 1 답 55점 50명 중 30명이 합격했으므로 불합격자는 20명이다. 합격자의 평균 점수를 x점, 불합격자의 평균 점수를 y점이라 하면 (50명의 평균 점수)= 30x+20y 50 = 3x+2y 5 (점) 합격자의 최저 합격 점수는 3x+2y 5 -2=x-20=2y-5이므로 -2=x-20 3x+2y 5 [ x-20=2y-5 ∴ x=75, y=30 x-y=45 x-2y=15 ➡ [ 따라서 합격자의 최저 합격 점수는 x-20=75-20=55(점) 합격자의 평균 점수를 x점, 불합격자의 평균 점수를 y점으로 놓고 합격 자의 최저 합격 점수를 식으로 나타낸다. 학생 A가 갖게 된 사탕의 개수가 14개이므로 p+ q+ r=14 …… ㉠ ;2!; ;3!; ;8#; 학생 B가 갖게 된 사탕의 개수가 12개이므로 p+ q+ r=12 …… ㉡ ;4!; ;3!; ;8#; 학생 C가 갖게 된 사탕의 개수가 10개이므로 p+ q+ r=10 …… ㉢ ;4!; ;3!; ;4!; ㉠, ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 p=8, q=12, r=16 ∴ p+2q=8+2_12=32 전략 A가 가진 카드 중 숫자 1이 적힌 카드를 x장, 숫자 2가 적힌 카드 각 단계별로 세 학생 A, B, C가 갖게 된 사탕의 개수를 p, q, r를 사용하 를 y장, 숫자 3이 적힌 카드를 z장이라 하면 B가 가진 카드 중 숫 여 나타낸다. 자 1이 적힌 카드는 (6-x)장, 숫자 2가 적힌 카드는 (5-y)장, 숫자 3이 적힌 카드는 (4-z)장이므로 x+y+z=9 x+2y+3z={(6-x)+2(5-y)+3(4-z)}+2 _(4-z)}-4 _(5-y)+3Û _(6-x)+2Û _z={1Û _y+3Û _x+2Û 1Û ` ` ` ` ` ` x+y+z=9 5 답 :°;;9%;:); 분 x+2y+3z=15 x+4y+9z=29 ∴ x=4, y=4, z=1 9 따라서 A가 가진 카드 중 숫자 2가 적힌 카드는 모두 4장이다. 3 km는 3000 m이고, 시속 9 km는 분속 150 ` 은수가 출발한 후 지용이와 3번째로 만날 때까지 은수가 걸은 시 ` ` ` m이다. 간을 x분, 지용이가 걸은 시간을 y분이라 하면 x=y+10 x-y=10 [ 120x+150y=5_3000 4x+5y=500 ➡ [ ∴ x= , y= 550 9 460 9 간은 분이다. 550 9 전략 A가 가진 카드 중 숫자 1이 적힌 카드를 x장, 숫자 2가 적힌 카드를 y장, 숫자 3이 적힌 카드를 z장으로 놓고 연립방정식을 세운다. 따라서 은수가 출발한 후 지용이와 3번째로 만나는 데 걸리는 시 처음 계획한 9분짜리 곡의 수를 x곡, 4분짜리 곡의 수를 y곡이라 9x+4y+20+(x+y-2)=128 2x+y=22 [ 4x+9y+15+(x+y-2)=113 x+2y=20 ➡ [ 따라서 처음 계획한 9분짜리 곡의 수는 8곡이다. 9분짜리 곡 x곡과 4분짜리 곡 y곡을 연주할 때, 곡과 곡 사이의 여유 시 간이 1분이므로 1부와 2부를 통틀어 총 여유 시간은 (x+y-2)분이다. 은수는 A 지점에서 출발하고 지용이는 B 은수 지용 지점에서 출발하여 마주 보고 걸으므로 A 두 사람이 처음으로 만날 때까지 걸은 거 3000`m 리의 합은 3000 m이다. ` 또 두 사람이 처음으로 만난 지점에서 두 지용 은수 번째 만날 때까지 걸은 거리의 합은 A 2_3000=6000 (m)이고, 두 사람이 3000`m 두 번째 만난 지점에서 3번째 만날 때까지 걸은 거리의 합도 2_3000=6000 (m)이다. ` 따라서 은수가 출발한 후 지용이와 3번째 만날 때까지 걸은 거리의 합은 B B 5_3000=15000 (m)이다. ` ` 전략 2 답 4장 ( \ [{ \ 9 ( ➡ [{ 전략 3 답 8곡 하면 ∴ x=8, y=6 전략 4 답 32 같다. 1단계 A p개 ;2!; 각 단계에서 세 학생 A, B, C가 갖게 된 사탕의 개수는 다음 표와 6 답 6.71 g ` B C 첫 번째 시행 후 각 컵에 들어 있는 소금의 양을 식으로 나타내면 p_ = ;2!; ;2!; ;4!; p(개) p_ = ;2!; ;2!; ;4!; p(개) 컵 A: ;1Á0¼0; _70+ _30=7+ ;10}0; y (g) ;1£0; ` 2단계 ;3@; q _;2!;=;3!; q(개) q개 ;3!; q ;3@; _;2!;=;3!; q(개) 컵 B: _70+ ;10{0; ;1Á0¼0; _30= x+3 (g) ;1¦0; ` 3단계 ;4#; r _;2!;=;8#;  r(개) r ;4#; _;2!;=;8#;  r(개) r개 ;4!;  컵 C: ;10}0; _70+ ;10{0; _30= x+ y (g) ;1¦0; ` ;1£0; IV. 연립방정식 39 이때 첫 번째 시행 후 세 컵 A, B, C의 소금물의 농도는 각각 7+ y %, ;1£0; }` { {;1¦0; x+3 %, }` {;1£0; x+ y %이므로 두 번 ;1¦0; }` 째 시행 후 컵 A, 컵 B에 들어 있는 소금의 양을 식으로 나타내면 V 일차함수 이므로 두 번째 시행 후 컵 C에 들어 있는 소금의 양은 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하나씩 정해지므로 함수 컵 A: _70+ _30=7.72 7+ y ;1£0; 100 x+ y ;1¦0; ;1£0; 100 컵 A: ∴ 3x+14y=94 …… ㉠ 컵 B: _70+ _30=8.57 x+3 ;1¦0; 100 7+ y ;1£0; 100 컵 A: ∴ 49x+9y=437 …… ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=8, y=5 따라서 첫 번째 시행 후 컵 B의 소금물의 농도는 _8+3=8.6 (%), ;1¦0; 컵 C의 소금물의 농도는 _8+ _5=5.9 (%) ;1£0; ;1¦0; _70+ _30=6.71 (g) 8.6 100 5.9 100 전략 첫 번째, 두 번째 시행 후 각 컵에 들어 있는 소금의 양을 식으로 나타내 어 본다. 이때 소금물의 양이 100 g이므로 소금의 양이 a g이면 소금물의 ` ` 농도는 a %이다. ` A 지점과 B 지점 사이의 거리를 x, B 지점과 C 지점 사이의 거리 …… 10 % yy ㉠ …… 20 % 지윤 a B A x 세준 y x+y 2 7 답 24 를 y라 하면 ㈎에서 x+ x+y 2 =a Ú ㈏에서 x+a=y C C 01 일차함수와 그래프 확인 1 답 ⑴ _ ⑵ _ ⑶ ◯ ⑴ x=2일 때, y=1, 2로 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 2개 이 상 정해지는 것이 있으므로 함수가 아니다. ⑵ x=2일 때, y=2, 4, 6, 8, y로 하나의 x의 값에 대하여 y의 값 이 2개 이상 정해지는 것이 있으므로 함수가 아니다. ⑶ x=1일 때, y=1 x=2일 때, y=2 x=3일 때, y=2 ⋮ 이다. 확인 2 답 ①, ⑤ ① y= x(x-3) 2 = xÛ - ;2!; ` ;2#; x ➡ 일차함수가 아니다. ② 1 : 3=y : x에서 3y=x ∴ y= x ;3!; ➡ 일차함수이다. ③ y=500-40x ➡ 일차함수이다. ④ y= _300에서 y=3x ➡ 일차함수이다. ;10{0; ⑤ y=pxÛ ➡ 일차함수가 아니다. ` 따라서 일차함수가 아닌 것은 ①, ⑤이다. 확인 3 답 - ;5@; - = ;5!; (y의 값의 증가량) -3-(-5) 이므로 (y의 값의 증가량)=- ;5@; 확인 4 답 ⑤ yy ㉡ …… 20 % 지윤 B A x 세준 Ú y y a 이때 지윤이와 세준이가 이동한 거리의 총합은 66이므로 ① -3=- _3+1이므로 점 (3, -3)을 지난다. ;3$; ② y=- x+1에 y=0을 대입하면 x= ;4#; y=- x+1에 x=0을 대입하면 y=1 ;3$; ;3$; ;3$; …… 20 % 따라서 x절편은 이고, y절편은 1이다. ;4#; …… 30 % ③ y=- x+1의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로 제 1, 2, 4 사분면을 지난다. A 지점과 B 지점 사이의 거리를 x, B 지점과 C 지점 사이의 거리를 y로 1 y O -3 3 x (x+y)+y=66 …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢ 을 연립하여 풀면 x=6, y=30, a=24 전략 놓고 그림으로 나타내어 본다. 40 정답과 풀이 ④ y=- x+1의 그래프는 y=- x-10의 그래프와 기울기 ;3$; ;3$; 가 같으므로 서로 평행하다. ⑤ x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소한다. ⑷ 일차함수 y=ax-b의 그래프가 제 1, 2, 4 사분면을 지나면 a<0, -b>0에서 b<0 따라서 일차함수 y=bx+a의 그래프 는 b<0, a<0이므로 오른쪽 그림과 같다. 즉 제 2, 3, 4 사분면을 지난다. y O x 이때 y=x+3의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그 3 답 ⑴ - ;aB;, b ⑵ 위, 아래 확인 5 답 -5 y=ax+3의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=a+3 ∴ a=1 래프의 식은 y=x+3+b 위 식이 y=cx-4와 일치하므로 c=1, 3+b=-4에서 b=-7 ∴ a+b+c=1+(-7)+1=-5 STEP 1 억울하게 울리는 문제 pp. 080 ~ 082 1 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯ 2 ⑴ ;2#; ⑵ 2, 4 ⑶ 있다 ⑷ 2, 3, 4 3 ⑴ - ;aB;, b ⑵ 위, 아래 4-1 a=-4b-15 5-1 -15 6-1 ㉠, ㉢ 7-1 ④ 8-1 ⑤ 4-2 6 5-2 98 6-2 ㉡, ㉢ 7-2 제 4 사분면 8-2 ④ ⑴ 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 기울기는 a, x절편은 - , ;aB; y절편은 b이다. ⑵ 일차함수 y=-ax+b의 그래프에서 a<0이면 -a>0이므 로 오른쪽 위로 향하는 직선이고, a>0이면 -a<0이므로 오 른쪽 아래로 향하는 직선이다. 4-1 답 a=-4b-15 세 점 (2, -3), (-2, a), (3, b)가 일직선 위에 있으므로 a-(-3) -2-2 b-(-3) 3-2 a+3 -4 =b+3 에서 = a+3=-4b-12 ∴ a=-4b-15 세 점 (1, 2), (5, k), (2, 3)이 일직선 위에 있으므로 4-2 답 6 k-2 5-1 = 3-2 2-1 에서 k-2 4 =1 k-2=4 ∴ k=6 1 답 ⑴ ◯ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ◯ 로 함수이다. ⑴ y=20x, 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하나씩 정해지므 5-1 답 -15 ⑵ x=2일 때, y=1, 3, 5, y로 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 2개 이상 정해지는 것이 있으므로 함수가 아니다. ⑶ x=160일 때, y=45, 48, 50, y으로 하나의 x의 값에 대하여 m=-6  f(2b)-f(3a) 3a-2b =6에서  f(2b)-f(3a) 2b-3a =-6 즉 일차함수 y=mx+n의 그래프의 기울기는 -6이므로 y의 값이 2개 이상 정해지는 것이 있으므로 함수가 아니다. y=-6x+n의 그래프가 점 (2, -3)을 지나므로 ⑷ _x_y=8에서 y= , 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값 ;2!; :Á[¤: 이 하나씩 정해지므로 함수이다. -3=-12+n ∴ n=9 ∴ m-n=-6-9=-15 5-2 답 98 2 답 ⑴ ;2#; ⑵ 2, 4 ⑶ 있다 ⑷ 2, 3, 4 ⑴ y=- x+1에 y=0을 대입하면 x= ;3@; ;2#; 따라서 y=- x+1의 그래프에서 x절편은 이다. ;3@; ;2#; y ⑵ 일차함수 y=ax+b에서 a<0이고 b=0이면 그래프는 오른쪽 그림과 같 으므로 제 2, 4 사분면을 지난다. O 일차함수 y=f(x)를 y=ax+b(a+0)라 하면  f(50)-f(1) 49 +  f(49)-f(2) 47 +y+  f(26)-f(25) 1 =  f(50)-f(1) 50-1 +  f(49)-f(2) 49-2 +y+  f(26)-f(25) 26-25 x =a+a+a+y+a ( | { | 9 25개 =25a 즉 25a=50에서 a=2 따라서  f(x)=2x+b이므로  f(50)-f(1)=2_50+b-(2_1+b)=98 V. 일차함수 41 6-1 답 ㉠, ㉢ ㉠ 직선 l은 오른쪽 위로 향하는 직선이므로 기울기는 양수이다. ㉡ 두 점 (1, 0), (0, 1)을 지나는 직선이 직선 m보다 y축에 가까 우므로 직선 m의 기울기의 절댓값은 1보다 작다. ㉢ 점 (1, 0)과 점 P(xÁ, yÁ)을 지나는 직선 n의 기울기는 y절편이 양수이므로 b>0 따라서 >0, >0이므로 y= x+ ;bA; ;b!; ;bA; ;b!; 의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 제 4 사분 면을 지나지 않는다. y O x ㉢ 점 (0, 1)과 점 Q(xª, yª)를 지나는 직선 m의 기울기는 8-1 답 ⑤ ㉢ 이때 두 직선 m, n은 모두 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로 a>0 기울기는 음수이고, 직선 n이 직선 m보다 y축에 가깝다. (y절편)=b+1<1 ∴ b<0 y=ax+b+1의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므로 ㉢ yÁ-0 xÁ-1 = yÁ xÁ-1 ㉢ yª-1 xª-0 = yª-1 xª ㉢ ∴ yÁ xÁ-1 < yª-1 xª 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다. 6-2 답 ㉡, ㉢ 선의 기울기보다 작으므로 ㉠ < ;cD; ;aB; 선의 기울기보다 작으므로 ㉠ < ;aB; b+d a+c 선의 기울기보다 작으므로 ㉠ b+d a+c < ;cD; 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다. 7-1 답 ④ 두 점 A, P를 지나는 직선의 기울기는 두 점 P, C를 지나는 직선의 기울기는 두 점 A, C를 지나는 직선의 기울기는 ;aB; ;cD; b+d a+c ㉠ 두 점 A, P를 지나는 직선의 기울기가 두 점 P, C를 지나는 직 ㉡ 두 점 A, P를 지나는 직선의 기울기가 두 점 A, C를 지나는 직 ㉢ 두 점 A, C를 지나는 직선의 기울기가 두 점 P, C를 지나는 직 -a>0 ∴ a<0 y절편이 양수이므로 b>0 따라서 -b<0, a<0이므로 y=-bx+a의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y O x y=-ax+b+1의 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로 점 (-1, 0)을 지나므로 0=-a+b+1 ∴ a-b-1=0 x=2일 때, y>0이므로 2a+b+1>0 ∴ 2a+b>-1 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 8-2 답 ④ -a<0 ∴ a>0 (y절편)=b+1=1 ∴ b=0 점 (1, 0)을 지나므로 0=-a+b+1 ∴ a-b-1=0 x=-1일 때, y>0이므로 a+b+1>0 따라서 옳은 것은 ④이다. 참고 그래프가 두 점 (0, 1), (1, 0)을 지나므로 -a= =-1 ∴ a=1 0-1 1-0 03 -2 06 -4 09 ㉠, ㉡ 12 12 15 7 04 ;3!; 07 ;3$; 10 -3ÉkÉ0 13 -8, 0 16 15 05 :Á2Á: 08 ⑤ 11 ;3!; 14 -7 17 :Á3¤: 01 답 ㉡, ㉣, ㉤, ㉥ y=-ax+b의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므로 01 ㉡, ㉣, ㉤, ㉥ 02 4 STEP 2 반드시 등수 올리는 문제 pp. 083 ~ 086 y=-ax+b의 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로 ㉠ x=2일 때, 2보다 작은 소수는 없다. 즉 하나의 x의 값에 대하 여 y의 값이 없는 경우가 있으므로 함수가 아니다. 7-2 답 제4사분면 -a<0 ∴ a>0 42 정답과 풀이 ㉡ 하나의 자연수 x에 대하여 그 모든 약수의 합 y의 값은 하나로 정해지므로 함수이다. ㉢ x=1일 때 y=-1, 1이다. 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값 이 2개 정해지는 경우가 있으므로 함수가 아니다. 05 답 :Á2Á: 3x+2 x-1 =1에서 3x+2=x-1 ㉣ 1분은 60초이므로 y=60x, 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값 2x=-3 ∴ x=- ;2#; 이 하나씩 정해지므로 함수이다. ㉤ y=6xÛ , 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하나씩 정해지므 ` 로 함수이다. ㉥ y= _200=2x, 즉 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 하 ;10{0; 따라서 f { 3x+2 x-1 } =-3x+1에 x=- 을 대입하면 ;2#; f(1)=-3_ - +1= { ;2#;} :Á2Á: 전략 3x+2 x-1 =1일 때의 x의 값을 구한다. x의 값이 하나 정해질 때, y의 값이 정해지지 않거나 y의 값이 2개 이상 06 답 -4 나씩 정해지므로 함수이다. 따라서 함수인 것은 ㉡, ㉣, ㉤, ㉥이다. 전략 정해지면 함수가 아니다. 02 답 4 35=4_8+3이므로 f(35)=3 36=4_9이므로 f(36)=0 37=4_9+1이므로 f(37)=1 ∴ f(35)+f(36)+f(37)=3+0+1=4 전략 x를 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2, 3 중 하나이다. 03 답 -2 f(2)=6에서 2a+2-2+a=6 3a=6 ∴ a=2 f(x)=ax+2-x+a에 a=2를 대입하면 f(x)=2x+2-x+2=x+4 f(0)=4, f(k)=k+4이므로 f(0)=2f(k)에서 4=2(k+4), 4=2k+8 -2k=4 ∴ k=-2 전략 먼저 f(2)=6임을 이용하여 a의 값을 구한다. 04 답 ;3!; f(x)=- x에서 f(1)=-f(a+b)이므로 ;3!; - = ;3!; ;3!; (a+b) ∴ a+b=-1 ∴ f(a)+f(b)=- a- b ;3!; ;3!; =- (a+b) ;3!; ;3!; =- _(-1)= ;3!;  f(x)=ax+b의 그래프의 기울기가 최소가 되려면  f(-2)=6,  f(3)=-4이어야 한다. 즉 6=-2a+b, -4=3a+b를 연립하여 풀면 기울기가 최소가 되려면 오른쪽 아래로 향하는 직선이어야 한다. 점 B의 좌표를 (p, 0)이라 하면 A(p, ap+3), C(p, bp+3) a=-2, b=2 ∴ ab=-2_2=-4 전략 07 답 ;3$; 이때 ACÓ=OBÓ이므로 ;4#; {ap+3-(bp+3)}=p ;4#; ;4#; (a-b)p=p 이때 p>0이므로 (a-b)=1 ;4#; ∴ a-b= ;3$; 전략 08 답 ⑤ y= x+ ;aB; ;cB; 점 A가 제 1 사분면 위의 점이므로 점 A의 x좌표는 양수이다. 의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므로 >0 ;aB; y절편이 양수이므로 >0 ;cB; 즉 a, b, c의 부호는 모두 같으므로 - <0, >0 ;bA; ;aC; 따라서 y=- x+ 의 그래프는 오른쪽 y ;bA; ;aC; 그림과 같다. ⑤ a와 c의 부호가 같으므로 a의 절댓값과 c ⑤ 의 절댓값이 같으면 y절편은 =1이다. O x ;aC; V. 일차함수 43 전략 일차함수 y=- x+ ;bA; ;aC;의 그래프를 그려 본다. y=ax-1의 그래프가 두 점 A, B를 각각 지날 때, a의 값을 구한다. 전략 12 답 12 ㉠ 두 일차함수의 그래프는 모두 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, A(3, 4), D(-1, -3)을 지날 때 y=cx+d의 그래프가 y=ax+b의 그래프보다 y축에 더 가 a의 값이 최대가 되므로 Ú y=ax+b의 그래프가 두 점 09 답 ㉠, ㉡ 까우므로 ㉡ c0 ㉡ c+d<0 ㉡ y=ax+b의 그래프에서 x=1일 때, y>0이므로 ㉢ y=cx+d의 그래프에서 x=1일 때, y<0이므로 A B 3 x y 4 2 -2 -1 O C -3 D Ú a= -3-4 -1-3 = ;4&; Û y=ax+b의 그래프가 두 점 B(3, 2), C(-2, -3)을 지날 때 a의 값이 최소가 되므로 Ú a= -3-2 -2-3 =1 ㉣ y=ax+b의 그래프의 x절편은 - , y=cx+d의 그래프의 ;aB; Ú, Û에서 M= , m=1이므로 ㉡ x절편은 - 이고 - >- 이므로 ;cD; ;aB; ;cD; < ;cD; ;aB; 4M+5m=4_ +5_1=12 ;4&; ;4&; 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다. 전략 전략 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타낸 후 a의 값이 최대가 될 때와 최소 두 일차함수의 그래프의 기울기, 함숫값, x절편을 비교해 본다. 가 될 때를 각각 구한다. 10 답 -3ÉkÉ0 Ú y=2x+k의 그래프가 점 A(1, 2) 를 지날 때 Ú 2=2+k ∴ k=0 y 3 2 O B A Û y=2x+k의 그래프가 점 B(3, 3) 1 3 x 을 지날 때 Ú 3=6+k ∴ k=-3 Ú, Û에서 -3ÉkÉ0 전략 y=2x+k의 그래프가 두 점 A, B를 각각 지날 때, k의 값을 구한다. 11 답 ;3!; Ú y=ax-1의 그래프가 점 A(3, 4) Ú 를 지날 때 Ú 4=3a-1 ∴ a= Û y=ax-1의 그래프가 점 B(5, 0) y 4 O A 3 -1 B 5 x ;3%; ;5!; 을 지날 때 Ú 0=5a-1 ∴ a= Ú, Û에서 ÉaÉ ;5!; ;3%; 따라서 M= , m= 이므로 Mm= ;3%; ;5!; _ = ;5!; ;3%; ;3!; 44 정답과 풀이 13 답 -8, 0 두 일차함수의 그래프가 평행하므로 a=2 y=2x-6에 y=0을 대입하면 0=2x-6, 2x=6 ∴ x=3 즉 y=2x-6의 그래프의 x절편은 3이고 ABÓ=2이므로 y=2x+b의 그래프의 x절편은 1 또는 5이다. Ú y=2x+b의 그래프가 점 (1, 0)을 지날 때 Ú 0=2+b ∴ b=-2 Ú ∴ a+b=2+(-2)=0 Û y=2x+b의 그래프가 점 (5, 0)을 지날 때 Ú 0=10+b ∴ b=-10 Ú ∴ a+b=2+(-10)=-8 Ú, Û에서 a+b의 값은 -8, 0이다. 두 일차함수의 그래프가 평행하면 기울기는 같고, y절편은 다르다. 전략 14 답 -7 y=ax+3-a에서 (x-1)a+3-y=0 즉 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 점 P(1, 3)을 지난다. 이때 일차함수 y=bx+c의 그래프가 일차함수 y=-2x-1의 그래프와 평행하므로 b=-2 y=-2x+c에 x=1, y=3을 대입하면 3=-2+c ∴ c=5 ∴ b-c=-2-5=-7 전략 y=ax+3-a에서 (x-1)a+3-y=0 이 식이 a의 값에 관계없이 성립하려면 x-1=0, 3-y=0이어야 한다. 두 일차함수의 그래프는 점 (k, 4)에서 만나므로 17 답 :Á3¤: ∴ k=-1 4=ak+b, 4=-bk-a 위의 두 식을 변끼리 빼면 0=(a+b)k+(a+b) 세 점 A(-3, 2), B(-4, a), C(-1, b)가 일직선 위에 있으므 즉 두 일차함수의 그래프는 점 (-1, 4)에서 만난다. 또 세 점 A, B, C를 지나는 직선이 일차함수  f(x)=mx+n의 ;2!; 그래프와 일치하므로  f(x)=mx+n에 점 A(-3, 2)의 좌표를 일차함수 y=mx+n의 그래프가 두 점 (-3, 2), (1, -4)를 지 15 답 7 로 a-2 -4-(-3) = b-2 -1-(-3) 2a-4=-b+2 ∴ 2a+b=6 대입하면 -3m+n=2 …… ㉠  f(1)=-4이므로 m+n=-4 …… ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 m=- , n=- ;2#; ;2%; ∴ 2a+b+m-n=6+ {-;2#;}-{-;2%;}= 7 다른 풀이 나므로 m= -4-2 1-(-3) =- ;2#; y=- x+n에 x=1, y=-4를 대입하면 ;2#; -4=- +n ∴ n=- ;2#; ;2%; 16 답 15 y=-x+20에 y=0을 대입하면 0=-x+20, x=20 ∴ A(20, 0) y=-x+20에 x=0을 대입하면 y=20 ∴ B(0, 20) 점 P의 x좌표를 p라 하면 P(p, -p+20) △OPB= _20_p=10p △OQP= _p_(-p+20)= p(-p+20) ;2!; 이때 △OPB=4△OQP이므로 ;2!; ;2!; ;2!; 10p=4_ p(-p+20) 10p=2p(-p+20) 이때 p>0이므로 양변을 2p로 나누면 5=-p+20 ∴ p=15 따라서 점 P의 x좌표는 15이다. 전략 y=ax+b의 그래프의 y절편은 b, y=-bx-a의 그래프의 y절 편은 -a이고 두 일차함수의 그래프와 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 4이므로 _{b-(-a)}_1=4 ∴ a+b=8 …… ㉠ 또 일차함수 y=ax+b의 그래프가 점 (-1, 4)를 지나므로 4=-a+b ∴ a-b=-4 …… ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=2, b=6 따라서 y=2x+6의 그래프의 x절 y=-6x-2 y=2x+6 y 편은 -3, y=-6x-2의 그래프의 x절편은 - 이므로 두 일차함수 ;3!; 의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부 분의 넓이는 _ - [ ;3!; ;2!; -(-3) _4= ] :Á3¤: 전략 6 4 - 1 3 -2 -3 -1 O x 먼저 k의 값을 구한 후 두 일차함수의 그래프와 y축으로 둘러싸인 부분 의 넓이가 4임을 이용하여 a, b의 값을 각각 구한다. STEP 3 전교 1등 확실하게 굳히는 문제 pp. 087 ~ 089 2 10 1 3 4 l-㉡, m-㉢, n-㉠ 3 (6, 0) 5 a=4, b=-6 6 - ;3!; 7 - ;2£5; 1 답 3 ㉠ f(3x)=f(x)에서 f(135)=f(3_45)=f(45) f(45)=f(3_15)=f(15) f(15)=f(3_5)=f(5) ∴ f(135)=f(5) ㉡ f(2x-1)=x에서 2x-1=5이면 2x=6 ∴ x=3, 즉 f(5)=3 ㉠, ㉡에서 f(135)=f(5)=3 전략 을 안다. V. 일차함수 45 점 P의 x좌표를 p로 놓고 △OPB, △OQP의 넓이를 p를 사용하여 나 타낸다. 135=3_45, 45=3_15, 15=3_5임을 이용하여 f(135)=f(5)임  f(m)+m=f(n)+n에서  f(m)-f(n)=n-m y=x+3에 y=0을 대입하면 따라서 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기가 -1이므로 2 답 10 ∴  f(n)-f(m) n-m =-1  f(x)=-x+b라 하면  f(-2)+f(2)=12에서 (2+b)+(-2+b)=12, 2b=12 ∴ b=6 따라서 f(x)=-x+6이므로  f(-4)=-(-4)+6=10 전략 (기울기)= (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 임을 이용한다. y=ax+b y=x+3 P -3 A O p x y p+3 B 3 C b 5 답 a=4, b=-6 0=x+3, x=-3 ∴ A(-3, 0) y=x+3에 x=0을 대입하면 y=3 ∴ B(0, 3) y=ax+b에 x=0을 대입하면 y=b ∴ C(0, b) 점 P의 x좌표를 p라 하면 P(p, p+3) △PAO= _3_(p+3)= (p+3) ;2#; ;2!; ;2!; △AOB= _3_3= ;2(; 이때 △PAO=2△AOB이므로 (p+3)=2_ , p+3=6 ;2(; ;2#; ∴ p=3, 즉 P(3, 6) 3 답 (6, 0) B(a, 0), C(b, 0)이라 하면 A a,  { a , D(b, -b+14) } ;3@; 이때 사각형 ABCD는 정사각형이므로 ABÓ=BCÓ에서 a=b-a ∴ 5a-3b=0 …… ㉠ 또 ABÓ=CDÓ에서 ;3@; ;3@; 전략 나타낸다. a=-b+14 ∴ 2a+3b=42 …… ㉡ 전략 ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=6, b=10 따라서 점 B의 좌표는 (6, 0)이다. …… 50 % …… 20 % B(a, 0), C(b, 0)으로 놓고 두 점 A, D의 좌표를 a, b를 사용하여 각각 …… 30 % △PBC= _(3-b)_3= (3-b) ;2!; ;2#; △PBC=3△AOB에서 (3-b)=3_ , 3-b=9 ∴ b=-6 ;2#; ;2(; 즉 y=ax-6의 그래프가 점 P(3, 6)을 지나므로 6=3a-6, 3a=12 ∴ a=4 점 P의 x좌표를 p로 놓고 △PAO, △AOB, △PBC의 넓이를 구한다. 4 답 l-㉡, m-㉢, n-㉠ ㉡과 ㉢의 그래프의 기울기는 같은 부호이고, ㉠의 그래프의 기울 기는 ㉡, ㉢의 그래프의 기울기와 다른 부호이다. 이때 직선 m, l의 그래프는 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 직선 n의 그래프는 오른쪽 위로 향하는 직선이므로 ㉠의 그래프는 직선 즉 ㉠ y=-ax+ 의 그래프는 오른쪽 위로 향하는 직선이고 y ;b#; 절편이 양수이므로 -a>0, >0 ∴ a<0, b>0 n이다. ;b#; ;a!; 직선 l이다. 다. 전략 46 정답과 풀이 y B C 4 C 2 O y=- +4x4 3 D y=ax+2 A p 3 x 6 답 - ;3!; y=- x+4에 y=0을 대입하면 ;3$; ;3$; ;3$; 0=- x+4, x=4 ;3$; ∴ x=3, 즉 A(3, 0) y=- x+4에 x=0을 대입하면 y=4 ∴ B(0, 4) y=ax+2에 x=0을 대입하면 y=2 ∴ C(0, 2) △OAB= _3_4=6 ;2!; △BCD= _2_p=p ;2!; △BCD= _△OAB에서 1 1+2 p= _6=2 ;3!; 따라서 <0이고 a-b<0이므로 ㉡ y= +a-b의 그래프는 점 D의 x좌표를 p라 하면 ;a{; 또 2a<0이고 b>0이므로 ㉢ y=2ax+b의 그래프는 직선 m이 △BCD의 넓이와 사각형 COAD의 넓이의 비가 1 : 2이므로 주어진 그래프의 기울기와 y절편의 부호를 알아본다. ;3$; ;3$; y=- x+4에 x=2를 대입하면 y=- _2+4= ;3$; ∴ D 2,  { ;3$;} y=ax+2에 x=2, y= 를 대입하면 ;3$; =2a+2, 2a=- ∴ a=- ;3@; ;3!; ;3$; 전략 점 D의 x좌표를 p로 놓고 △BCD의 넓이와 사각형 COAD의 넓이의 비가 1 : 2임을 이용하여 p의 값을 구한다. ㉠ y= x ;2#; 7 답 - ;2£5; 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 EDÓ에 내린 수선의 발을 F라 하면 F(3, 2) (사각형 ABFE의 넓이) =△ABF+△AFE = _5_2+ _1_2=6 ;2!; ;2!; A y 4 2 3 E F P D O 1 3 x B C -2 -1 (사각형 BCDF의 넓이)= _(5+4)_2=9 ;2!; (오각형 ABCDE의 넓이) =(사각형 ABFE의 넓이)+(사각형 BCDF의 넓이) 이때 점 B를 지나면서 오각형 ABCDE의 넓이를 이등분하는 직 =6+9=15 선은 FDÓ와 만난다. 이 직선이 FDÓ와 만나는 점을 P(3, a)라 하면 △BPF= _5_(2-a)= (2-a) ;2%; ;2!; (사각형 BCDP의 넓이) =(사각형 BCDF의 넓이)-△BPF =9- (2-a) ;2%; =4+ a ;2%; (사각형 BCDP의 넓이)= _(오각형 ABCDE의 넓이)에서 ;2!; 따라서 두 점 B(-2, 2), P 3, 을 지나는 직선의 기울기는 { ;5&;} 4+ a= _15, ;2%; ;2!; a= ;2&; ;2%; ∴ a= , 즉 P 3, ;5&; { ;5&;} -2 ;5&; 3-(-2) 전략 =- Ö5=- ;5#; ;2£5; 02 일차함수와 일차방정식 확인 1 답 ㉠ : y= x+3 ㉡ : y= x ㉢ : y=- x+3 ;2#; ;2#; ;4#; ㉠ x절편이 -4, y절편이 3인 직선이므로 ㉠ y= x+3 ;4#; ㉡ 원점과 점 (2, 3)을 지나는 직선이므로 ㉢ x절편이 2, y절편이 3인 직선이므로 ㉠ y=- x+3 ;2#; 3분마다 15 L씩 물이 흘러나오므로 1분마다 5 L씩 물이 흘러나 ` 확인 2 답 y=200-5x ` 온다. ∴ y=200-5x 확인 3 답 ㉠, ㉣ 3x-y-6=0에서 y=3x-6 y=3x-6의 그래프의 x절편은 2, y절편 은 -6이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ㉡ x절편과 y절편의 합은 ㉡ 2+(-6)=-4 ㉢ 기울기가 서로 다르므로 일차함수 y=-3x+1의 그래프와 평행하지 않다. 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣이다. 3x-y-6=0 2 x y O -6 확인 4 답 -1 두 일차방정식의 그래프의 교점의 x좌표가 2이므로 x+2y=4에 x=2를 대입하면 2+2y=4, 2y=2 ∴ y=1 즉 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표가 (2, 1)이므로 ax+y=-1에 x=2, y=1을 대입하면 2a+1=-1, 2a=-2 ∴ a=-1 두 직선의 교점이 2개 이상이려면 두 직선이 일치해야 하므로 확인 5 답 1 3-k 2k-5 = 2 -3 ∴ k=1 V. 일차함수 47 점 B에서 EDÓ에 내린 수선의 발을 F라 하고 오각형 ABCDE의 넓이를 사각형 ABFE의 넓이와 사각형 BCDF의 넓이로 나누어 구한다. -3(3-k)=2(2k-5), -9+3k=4k-10 STEP 1 억울하게 울리는 문제 pp. 092 ~ 094 2-2 답 ;2!; 1-2 5 2-2 ;2!; 3-2 10 4-2 - ;4#; 5-2 ;2!; 6-2 5 7-2 -3 8-2 36 1-1 16 2-1 1 3-1 1, -1 4-1 ;3@; 5-1 32 6-1 - ;5$; 7-1 6 8-1 12 1-1 답 16 2x-y+2=0에서 y=2x+2 x-2=0에서 x=2 y+2=0에서 y=-2 두 직선 2x-y+2=0, x-2=0의 교점의 좌표는 (2, 6), 두 직 선 2x-y+2=0, y+2=0의 교점의 좌표는 (-2, -2)이다. 따라서 세 직선으로 둘러싸인 도형은 x-2=0 오른쪽 그림과 같으므로 그 넓이는 2x-y+2=0 _4_8=16 ;2!; -2 2 x y+2=0 1-2 답 5 연립방정식 [ x-y=4 3x+2y=2 정식의 그래프의 교점의 좌표는 (2, -2)이다. 따라서 두 일차방정식의 그래프와 y축 으로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 x-y=4 2 4 x 같으므로 그 넓이는 _5_2=5 ;2!; y 6 O -2 y 1 O -2 -4 ax-3+y=0에서 y=-ax+3 두 직선 ax-3+y=0, x=-3의 교점의 좌표는 (-3, 3a+3), 두 직선 ax-3+y=0, x=1의 교점의 좌표는 (1, -a+3)이다. 따라서 세 직선과 x축으로 둘 x=-3 y x=1 3a+3 3 -a+3 -3 O 1 ax-3+y=0 x 러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같고 넓이가 14이므로 _{3a+3+(-a+3)}_4 ;2!; =14 ∴ a= ;2!; 3-1 답 1, -1 x+2=0에서 x=-2 y-3k=0에서 y=3k Ú k>0일 때 Ú 네 직선으로 둘러싸인 도형은 오 x+2=0 y x=4 른쪽 그림과 같고 넓이가 18이 Ú 네 직선으로 둘러싸인 도형은 x+2=0 y x=4 오른쪽 그림과 같고 넓이가 18 6k 3k y=6k y-3k=0 -2 O 4 x -2 O 3k 6k 4 x y-3k=0 y=6k 므로 6_3k=18 Ú ∴ k=1 Û k<0일 때 이므로 6_(-3k)=18 Ú ∴ k=-1 1, -1이다. 3-2 답 10 x+1=0에서 x=-1 y-3=0에서 y=3 를 풀면 x=2, y=-2이므로 두 일차방 Ú, Û에서 구하는 상수 k의 값은 3x+2y=2 Ú m<-1일 때 2y+4=0에서 2y=-4 ∴ y=-2 Ú 네 직선으로 둘러싸인 도형은 오 x=m x+1=0 y 른쪽 그림과 같고 넓이가 10이므 로 (-1-m)_5=10 Ú ∴ m=-3 Û m>-1일 때 Ú 네 직선으로 둘러싸인 도형은 오 른쪽 그림과 같고 넓이가 10이므 3 y-3=0 m -1 O -2 x 2y+4=0 x+1=0 x=m y 3 y-3=0 -3 O 2 로 (m+1)_5=10 -1 O m x Ú ∴ m=1 -2 2y+4=0 2-1 답 1 x+3=0에서 x=-3 y+k=0에서 y=-k 5_4k=20 ∴ k=1 48 정답과 풀이 2x-4=0에서 2x=4 ∴ x=2 네 직선으로 둘러싸인 도형은 오른 x+3=0 2x-4=0 쪽 그림과 같고 넓이가 20이므로 y 3k -k y=3k x y+k=0 Ú, Û에서 구하는 상수 m의 값은 -3, 1이므로 5-1 답 32 a=1, b=-3 ∴ aÛ +bÛ =1Û +(-3)Û =10 ` ` ` ` 4-1 답 ;3@; 2x+3y-12=0에서 y=- x+4 ;3@; y=- x+4의 그래프의 x절편은 6, ;3@; y절편은 4이므로 A(6, 0), B(0, 4) ∴ △OAB= _6_4=12 ;2!; y 4 B O y=ax C A 6 2x+3y-12=0 x y=- x+4의 그래프와 직선 y=ax의 교점의 좌표를 C(p, q) ;3@; 라 하면 △OAC= _6_q=3q ;2!; 이때 △OAC= ;2!;△OAB이므로 3q= _12 ∴ q=2 ;2!; ;3@; ;3@; y=- x+4에 x=p, y=2를 대입하면 2=- p+4 ∴ p=3 따라서 y=ax에 x=3, y=2를 대입하면 2=3a ∴ a= ;3@; 4-2 답 - ;4#; 3x-4y-24=0에서 y= x-6 ;4#; y= x-6의 그래프의 x절편은 8, ;4#; y절편은 -6이므로 A(8, 0), B(0, -6) ∴ △OBA= _8_6=24 ;2!; y O 3x-4y-24=0 8 A x C -6 B y=ax y= x-6의 그래프와 직선 y=ax의 교점의 좌표를 C(p, q)라 ;4#; 하면 △OBC= _6_p=3p ;2!; 이때 △OBC= ;2!;△OBA이므로 3p= _24 ∴ p=4 ;2!; ;4#; q=3-6=-3 y= x-6에 x=4, y=q를 대입하면 x-y+4=0에서 y=x+4 x-y+4=0 y=x+4의 그래프의 x절편은 -4, y절편은 4이므로 A(-4, 0), B(0, 4) ∴ △AOB= _4_4=8 ;2!; x+y-k=0에서 y=-x+k y C B k 4 D -4 OA x x+y-k=0 y=-x+k의 그래프의 y절편은 k이므로 C(0, k) 두 일차방정식 x-y+4=0, x+y-k=0의 그래프의 교점의 좌 표는 D k-4 2 , { k+4 2 } ∴ △CBD= _(k-4)_ ;2!; k-4 2 = (k-4)Û` 4 이때 △AOB=△CBD이므로 8= (k-4)Û` 4 ∴ (k-4)Û =32 ` 5-2 답 ;2!; ax-y+b=0에서 y=ax+b y=ax+b의 그래프의 x절편은 - ;aB; , y절편은 b이므로 A - { ;aB; } , 0 , B(0, b) ∴ △AOB= _ ;2!; ;aB; _b= bÛ` 2a y y=2x ax-y+b=0 b B C b - a A O x y=ax+b의 그래프와 직선 y=2x의 교점의 좌표는 C { b 2-a , 2b 2-a } ∴ △CBO= _b_ ;2!; b 2-a = bÛ` 2(2-a) 이때 △AOB : △CBO=3 : 1이므로 =2bÛ ` ` (2-a) △AOB=3△CBO에서 bÛ` 2a bÛ` 2(2-a) =3_ , 6abÛ 이때 b>0이므로 6a=2(2-a), 8a=4 ∴ a= ;2!; 6-1 답 - ;5$; 연립방정식 [ x-y+3=0 3x+y+5=0 을 풀면 x=-2, y=1 따라서 2ax-4y-a=0에 x=-2, y=1을 대입하면 V. 일차함수 49 따라서 y=ax에 x=4, y=-3을 대입하면 -4a-4-a=0, -5a=4 -3=4a ∴ a=- ;4#; ∴ a=- ;5$; 6-2 답 5 연립방정식 [ 3x+4y=7 3x-2y=1 을 풀면 x=1, y=1 따라서 ax-2y=3에 x=1, y=1을 대입하면 a-2=3 ∴ a=5 7-1 답 6 Ú 두 직선 ㉠, ㉢이 평행할 때 Ú 1= ;2A; ∴ a=2 Û 두 직선 ㉡, ㉢이 평행할 때 Ú -3= ;2A; ∴ a=-6 Ü 세 직선 ㉠, ㉡, ㉢이 한 점에서 만날 때 Ú ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x= , y=- ;4!; ;4#; 세 직선의 기울기가 각각 다르므로 세 직선이 한 점에서 만날 때 Ú ㉢에 x= , y=- 을 대입하면 ;4!; ;4#; 삼각형을 이루지 않는다. 연립방정식 [ x-y=0 x+y-4=0 을 풀면 x=2, y=2 Ú - = + , ;8A; ;4!; ;8A; ;4#; a=- ;4#; ∴ a=-3 따라서 10x-7y-a=0에 x=2, y=2를 대입하면 Ú ~ Ü에서 구하는 모든 상수 a의 값의 곱은 20-14-a=0 ∴ a=6 2_(-6)_(-3)=36 7-2 답 -3 세 일차방정식의 그래프의 기울기가 각각 다르므로 세 일차방정 식의 그래프가 한 점에서 만날 때 삼각형을 이루지 않는다. 연립방정식 [ 2x-3y=-12 2x+y=12 를 풀면 x=3, y=6 따라서 x-y=a에 x=3, y=6을 대입하면 3-6=a ∴ a=-3 8-1 답 12 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선 중 두 직선이 평 행하거나 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다. x+y=3에서 y=-x+3 4x-y=2에서 y=4x-2 …… ㉠ …… ㉡ ax-y=-5에서 y=ax+5 …… ㉢ Ú 두 직선 ㉠, ㉢이 평행할 때, a=-1 Û 두 직선 ㉡, ㉢이 평행할 때, a=4 Ü 세 직선 ㉠, ㉡, ㉢이 한 점에서 만날 때 Ú ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=1, y=2 Ú ㉢에 x=1, y=2를 대입하면 Ú 2=a+5 ∴ a=-3 Ú ~ Ü에서 구하는 모든 상수 a의 값의 곱은 -1_4_(-3)=12 8-2 답 36 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선 중 두 직선이 평 행하거나 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다. x-y=1에서 y=x-1 3x+y=0에서 y=-3x …… ㉠ …… ㉡ 4ax-8y+a=0에서 y= x+ …… ㉢ ;2A; ;8A; 의 식은 ⑤이다. 전략 의 식을 구한다. 50 정답과 풀이 STEP 2 반드시 등수 올리는 문제 pp. 095 ~ 100 03 y=4x-8 06 ①, ⑤ 09 오후 2시 30분 02 y=3x-7 05 (5, 0) 08 22.5ùC 11 a=5, (-2, 1) 13 3 16 -21, 15 14 2 17 ;3$; 19 y=- x+ ;3$; 20 ;2!; ;3*; 22 y= x ;9&; 23 :¤3Á: p 01 ⑤ 04 16 07 116곡 10 ② 12 (-3, -3) 15 ⑤ 18 30 21 ;3@; 24 ;2%; 01 답 ⑤ 두 점 (-1, 10), (2, -2)를 지나는 직선의 기울기는 =-4 -2-10 2-(-1) 즉 y=-4x+b로 놓고 x=-1, y=10을 대입하면 10=4+b ∴ b=6 따라서 y=-4x+6의 그래프의 y절편은 6이므로 직선 y=-4x+6과 y축 위에서 만나는 그래프를 나타내는 일차함수 두 점 (-1, 10), (2, -2)를 지나는 직선의 기울기를 구한 후 일차함수 두 점 ( -k, 6k-5), (-2k+2, 3k+1)을 지나는 직선의 기울 y=ax+2에 x=3, y=4를 대입하면 02 답 y=3x-7 기는 3k+1-(6k-5) -2k+2-(-k) 즉 y=3x+b로 놓고 x=3, y=2를 대입하면 -3(k-2) -(k-2) =3 = 2=9+b ∴ b=-7 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=3x-7 전략 두 직선이 평행하면 기울기가 같다. 03 답 y=4x-8 + =1에 y=0을 대입하면 ;2{; ;3}; =1 ∴ x=2, 즉 P(2, 0) ;2{; - =2에 x=0을 대입하면 ;3{; ;4}; - ;4}; =2 ∴ y=-8, 즉 Q(0, -8) -8-0 0-2 =4 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=4x-8 전략 먼저 두 점 P, Q의 좌표를 구한다. 04 답 16 f(1+3h)-f(1-h)=-8h이므로 f(1+3h)-f(1-h) 1+3h-(1-h) = -8h 4h =-2 05 답 (5, 0) 4=3a+2, 3a=2 ∴ a= ;3@; 즉 y= x+2에 x=k, y=8을 대입하면 ;3@; 8= k+2, k=6 ∴ k=9 ;3@; ;3@; 점 A(3, 4)와 x축에 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(3, -4) 이때 APÓ=A'PÓ이고 APÓ+PBÓ=A'PÓ+PBÓ¾A'BÓ이므로 APÓ+PBÓ의 길이가 최소가 되게 하려 면 오른쪽 그림과 같이 점 P가 A'BÓ 위 두 점 A'(3, -4), B(9, 8)을 지나는 B y 8 4 A O 3 P 9 x -4 A' 즉 y=2x+b로 놓고 x=3, y=-4를 대입하면 -4=6+b ∴ b=-10 따라서 y=2x-10의 그래프의 x절편은 5이므로 점 P의 좌표는 에 있어야 한다. 직선의 기울기는 8-(-4) 9-3 =2 (5, 0)이다. 전략 06 답 ①, ⑤ ` = ;6*; ;3$;` y=20- x ;3$; 두 점 P(2, 0), Q(0, -8)을 지나는 직선의 기울기는 점 A와 x축에 대칭인 점의 좌표를 구한다. ① 양초에 불을 붙인 지 6분 후에 양초의 길이가 20 cm에서 12 cm로 줄어들었으므로 6분 동안 8 ` cm가 탔다. 즉 1분에 ` (cm)가 탔으므로 x와 y 사이의 관계식은 따라서 y는 x에 대한 일차함수이다. ② y=20- x의 그래프를 그리면 오른쪽 y 20 그림과 같으므로 그래프는 오른쪽 아래로 즉 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기는 -2이다. 향하는 선분이다. 또 y=f(x)의 그래프가 y= x+8의 그래프와 y축 위에서 만나 ;4!; ③ y=20- x에 y=0을 대입하면 O 15 x 므로 y절편은 8이다. ∴  f(x)=-2x+8 으므로 그 넓이는 _4_8=16 ;2!; 전략 따라서  f(x)=-2x+8의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같 y 8 따라서 양초가 모두 탈 때까지 걸리는 시간은 15분이다. ④ y=20- x에 x=12를 대입하면 O 4 x y=-2x+8 따라서 양초에 불을 붙인 지 12분 후에 남은 양초의 길이는 f(1+3h)-f(1-h)=-8h임을 이용하여 일차함수 y=f(x)의 그 래프의 기울기를 구한다. ⑤ 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 ;3$; ;3$; ;3$; ;3$; ;3$; 0=20- x ∴ x=15 y=20- _12=4 4 cm이다. ` _15_20=150 ;2!; V. 일차함수 51 따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다. 이때 이 그래프가 y축에 수직이고, 제 3 사분면과 제 4 사분면을 동 양초에 불을 붙이고 6분 동안 8 cm가 탔으므로 1분에 ;6*; ` = ;3$;` (cm)가 =0, <0 ∴ a=0, b<0 ;bA; ;b!; 시에 지나므로 전략 y축에 수직인 직선의 방정식은 y=q (q+0)의 꼴이다. 07 답 116곡 한 달 동안 내려받은 음악 파일의 수를 x곡, 요금을 y원이라 하면 y=6000+500(x-100)=500x-44000 y=500x-44000에 y=14000을 대입하면 14000=500x-44000 ∴ x=116 따라서 한 달 동안 내려받은 음악 파일은 116곡이다. 3x+y+a=0에 x=k, y=2k+5를 대입하면 한 달 동안 내려받은 음악 파일의 수를 x곡이라 할 때, 한 곡당 내려받는 x-2y+a-1=0에 x=k, y=2k+5를 대입하면 요금이 500원인 음악 파일의 수는 (x-100)곡이다. k-2(2k+5)+a-1=0 ∴ -3k+a=11 yy ㉡ 11 답 a=5, (-2, 1) 표를 (k, 2k+5)라 하자. 두 일차방정식의 교점이 직선 y=2x+5 위에 있으므로 교점의 좌 3k+(2k+5)+a=0 ∴ 5k+a=-5 yy ㉠ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 k=-2, a=5 따라서 두 일차방정식의 교점의 좌표는 (-2, 1)이다. 전략 기온이 5 ¾씩 올라갈 때마다 소리의 속력은 초속 3 m씩 늘어나 두 일차방정식의 교점이 직선 y=2x+5 위에 있으므로 교점의 좌표를 므로 기온이 x ¾일 때 소리의 속력을 초속 y m라 하면 (k, 2k+5)라 하고, 이 교점의 좌표를 두 일차방정식에 대입한다. 전략 탔다. 전략 08 답 22.5 ¾ y=331+ x ;5#; 4134 m 떨어진 곳에서 번개가 친 지 12초 후에 천둥소리가 들렸 다면 소리의 속력은 초속 m이므로 :¢;1!2#:$;  344.5 344.5=331+ x, x=13.5 ∴ x=22.5 ;5#; ;5#; 따라서 기온은 22.5 ¾이다. 전략 주어진 표를 보고 기온이 x ¾일 때 소리의 속력을 초속 y m로 놓고 x, ` ` y 사이의 관계식을 세운다. 09 답 오후 2시 30분 처음 주사약의 양은 3_60+450=630 (mL)이므로 주사를 x분 동안 맞았을 때 남아 있는 주사약의 양을 y mL라 하면 ` y=630-3x y=630-3x에 y=0을 대입하면 0=630-3x ∴ x=210 두 점 A(-5, 0), C(-1, -6)을 지나는 직선의 기울기는 12 답 (-3, -3) -6-0 -1-(-5) =- ;2#; 즉 y=- x+b로 놓고 x=-5, y=0을 대입하면 ;2#; 0= :Á2°: +b ∴ b=- , 즉 y=- x- ;2#; :Á2°: :Á2°: …… ㉠ 두 점 B(-5, -5), O(0, 0)을 지나는 직선의 기울기는 0-(-5) 0-(-5) 즉 y=x+b'으로 놓고 x=0, y=0을 대입하면 =1 0=0+b' ∴ b'=0, 즉 y=x …… ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=-3, y=-3 따라서 두 대각선 AC, BO의 교점의 좌표는 (-3, -3)이다. 즉 주사를 다 맞는 데 걸리는 시간은 210분, 즉 3시간 30분이다. 따라서 주사를 다 맞은 시각이 오후 6시이므로 주사를 맞기 시작 13 답 3 한 시각은 (오후 6시)-(3시간 30분)=(오후 2시 30분) mx-y+10=0에서 y=mx+10 전략 먼저 처음 주사약의 양을 구한다. 10 답 ② ax-by+1=0에서 y= x+ ;bA; ;b!; 52 정답과 풀이 13x+11y=248에 y=mx+10을 대입하면 13x+11(mx+10)=248 13x+11mx+110=248, (13+11m)x=138 ∴ x= 138 13+11m 이때 138=2_3_23이므로 x가 자연수가 되려면 13+11m=1, 2, 3, 6, 23, 46, 69, 138 ∴ m=- , -1, - ;1!1@; , - , ;1¦1; ;1!1); ;1!1); , 3, , ;1%1^; :Á1ª1°: 따라서 구하는 자연수 m의 값은 3이다. 따라서 구하는 b의 값은 -21, 15이다. 전략 두 직선의 교점이 없다. ➡ 두 직선이 서로 평행하다. 두 식을 연립하여 x를 m에 대한 식으로 나타낸 후 교점의 x좌표가 자연 m=3일 때 x= 138 13+11m = 138 13+33 =3 y=3x+10에 x=3을 대입하면 y=3_3+10=19 두 직선 ax+2y-8=0, x=2의 교점의 좌표는 (2, -a+4)이 고, 두 직선 ax+2y-8=0, x=4의 교점의 좌표는 (4, -2a+4) 전략 참고 수임을 이용한다. 14 답 2 x+3y-5=0 연립방정식 [ = ;a!; 3 -6 = ax-6y-b=0 -5 -b ∴ a=-2, b=-10 의 해가 무수히 많으므로 따라서 두 직선 -2x-y-10=0, kx+y-2=0이 서로 평행하 므로 -2 k = -1 1 + -10 -2 ∴ k=2 전략 연립방정식의 해가 무수히 많다. ➡ 두 일차방정식의 그래프가 일치한다. 15 답 ⑤ 연립방정식 [ ax+2y-4=0 x-4y-b=0 의 해가 무수히 많으므로 = ;1A; 2 -4 = -4 -b ∴ a=- , b=-8 ;2!; ∴ y=- x-8 ;2!; ⑤ x-2y+10=0에서 y= x+5 ;2!; ⑤ 즉 기울기가 다르므로 평행하지 않다. 16 답 -21, 15 두 직선 2x-y-3=0, ax-y+b=0의 교점이 없으므로 = ;a@; -1 -1 + -3 b ∴ a=2, b+-3 2x-y-3=0에 y=0을 대입하면 2x-3=0, 2x=3 ∴ x= , 즉 P ;2#; , 0 } {;2#; ax-y+b=0, 즉 2x-y+b=0에 y=0을 대입하면 2x+b=0, 2x=-b ∴ x=- , 즉 Q ;2B; {-;2B; , 0 } 이때 PQÓ=9이므로 - - =9 또는 - ;2B; ;2#; ;2#; {-;2B;} =9 - - =9에서 b+3=-18 ∴ b=-21 ;2B; ;2#; - ;2#; {-;2B;} =9에서 3+b=18 ∴ b=15 17 답 ;3$; 이다. ;2!; =4 전략 18 답 30 3-5 5-3 =-1 따라서 세 직선과 x축으로 둘러 y x=2 x=4 싸인 도형의 넓이가 4이므로 _{-a+4+(-2a+4)}_2 -a+4 -2a+4 O 2 4 ax+2y-8=0 x -3a+8=4, 3a=4 ∴ a= ;3$; 두 직선 ax+2y-8=0, x=2의 교점의 좌표와 두 직선 ax+2y-8=0, x=4의 교점의 좌표를 구한다. 두 점 A(3, 5), B(5, 3)을 지나는 직선의 기울기는 즉 y=-x+b로 놓고 x=3, y=5를 대입하면 5=-3+b ∴ b=8 따라서 직선 y=-x+8이 x축과 만나는 점 C의 좌표는 (8, 0)이 를 풀면 x=2, y=6 사각형 OCPH는 오른쪽 그림과 같으 y=3x 다. y=-x+8 연립방정식 [ y=3x ∴ P(2, 6), H(0, 6) 므로 그 넓이는 ;2!;_(2+8)_6=30 H y 6 5 3 O P A B 32 C 5 8 y=-x+8 x 전략 점 C, P, H의 좌표를 구한 후 좌표평면 위에 나타낸다. 19 답 y=- x+ ;3$; ;3*; 4x-y+8=0에 y=0을 대입하면 4x+8=0, 4x=-8 ∴ x=-2, 즉 A(-2, 0) x+y-3=0에 y=0을 대입하면 x-3=0 ∴ x=3, 즉 B(3, 0) V. 일차함수 53 연립방정식 [ 4x-y+8=0 x+y-3=0 을 풀면 x=-1, y=4, 즉 P(-1, 4) ∴ △PAB= _5_4=10 ;2!; 오른쪽 그림과 같이 구하는 직선이 x축과 만나는 점을 C(c, 0)이라 하면 △PAC= _{c-(-2)}_4 ;2!; △PAC=2(c+2) 이때 △PAC= ;2!;△PAB이므로 2(c+2)= _10, 2c+4=5 ;2!; 2c=1 ∴ c= ;2!; 21 답 ;3@; E(3, 3a+2), F(6, 6a+2)이므로 BEÓ=(3a+2)-2=3a, FCÓ=(6a+2)-2=6a y 4x-y+8=0 ∴ (사각형 EBCF의 넓이)= _(3a+6a)_3= a :ª2¦: 이때 (사각형 EBCF의 넓이)= _(사각형 ABCD의 넓이)이 ;2!; ;8#; 므로 P 4 C B 3 A -2 -1 O x x+y-3=0 a= _(3_8), a=9 ∴ a= :ª2¦: ;8#; :ª2¦: ;3@; 전략 (사각형 AEFD의 넓이) : (사각형 EBCF의 넓이)=5 : 3이므로 (사각형 EBCF의 넓이)= _(사각형 ABCD의 넓이) ;8#; 두 점 P(-1, 4), C , 0 을 지나는 직선의 기울기는 {;2!; } 0-4 -(-1) ;2!; =- ;3*; 즉 y=- x+b로 놓고 x=-1, y=4를 대입하면 ;3*; 22 답 y= x ;9&; 4= +b ∴ b= ;3*; ;3$; 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=- x+ ;3*; ;3$; 먼저 점 P를 지나면서 △PAB의 넓이를 이등분하는 직선이 x축과 만나 는 점의 좌표를 구한다. 전략 20 답 ;2!; 오른쪽 그림과 같이 네 직선 x=2, x=4, y=-2, y=5의 교점 y 5 x=2 x=4 D A 을 각각 A, B, C, D라 하면 (사각형 ABCD의 넓이) =2_7=14 y=5 y=ax x 4a 2a O F E 2 4 C 일차함수 y=ax의 그래프가 사각 -2 B y=-2 형 ABCD의 넓이를 이등분할 때, y=ax의 그래프가 ABÓ, CDÓ와 만나는 점을 각각 E, F라 하면 참고 E(2, 2a), F(4, 4a) (사각형 AEFD의 넓이)= _{(5-2a)+(5-4a)}_2 ;2!; (사각형 AEFD의 넓이)=-6a+10 이때 (사각형 AEFD의 넓이)= _(사각형 ABCD의 넓이)이 ;2!; -6a+10=;2!;_14, -6a=-3 ∴ a=;2!; y=ax의 그래프와 직선 x=2, x=4와 만나는 점을 각각 E, F라 하고 두 점 E, F의 좌표를 각각 구한다. 므로 전략 54 정답과 풀이 점 C에서 x축에 내린 수선의 발을 P라 하면 P(3, 0) (사각형 EOPD의 넓이)=3_3=9 (사각형 CPAB의 넓이)=2_1=2 ∴ (주어진 도형의 넓이) y 3 1 E O l B A 5 x D Q C 3 P ∴ =(사각형 EOPD의 넓이)+(사각형 CPAB의 넓이) ∴ =9+2=11 직선 l을 y=ax라 하고, 직선 l은 CDÓ 위의 점을 지나므로 직선 l이 CDÓ와 만나는 점을 Q라 하면 Q(3, 3a) (사각형 EOQD의 넓이)= _{3+(3-3a)}_3= ;2!; 18-9a 2 이때 직선 l이 주어진 도형의 넓이를 이등분하므로 18-9a 2 _11, 18-9a=11 = ;2!; 9a=7 ∴ a =;9&; 따라서 구하는 직선 l의 방정식은 y= x ;9&; 직선 l이 CDÓ 위의 점을 지나는 이유 Ú 직선 l이 점 D를 지날 때 Ú △EOD= _3_3= < ;2(; :Á2Á: ;2!; Ú 따라서 직선 l은 EDÓ 위의 점을 지나 지 않는다. Û 직선 l이 점 C를 지날 때 Ú (사각형 COAB의 넓이) Ú = _(5+2)_1= < ;2&; :Á2Á: ;2!; Ú 따라서 직선 l은 ABÓ, BCÓ 위의 점을 지나지 않는다. y 3 1 y 3 1 O E O E D l C 3 D C 3 B A 5 x l x B A 5 23 답 :¤3Á: p 편은 1이다. 연립방정식 [ x=1, y=3 y=-x+4의 그래프의 x절편은 4, y절 편은 4이고 y=2x+1의 그래프의 y절 4 y 3 1 y=-x+4 y=2x+1 을 풀면 O 1 4 x y=-x+4 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (1, 3)이다. 네 직선 y=-x+4, y=2x+1, x=0, y=0으로 둘러싸인 도형을 y축을 축으로 하여 1회전시킬 때 만들어지는 입체도형 은 오른쪽 그림과 같으므로 1 2 1 1 4 (부피)= _(p_4Û )_4- ` ;3!; _(p_1Û )_1- ` ;3!; _(p_1Û )_2 ` ;3!; 밑면인 원의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 (부피)= p :¤3Á: 전략 V= prÛ`h ;3!; 24 답 ;2%; 서로 다른 세 직선으로 좌표평면이 4개의 부분으로 나누어지므로 세 직선이 모두 평행해야 한다. ax+y+1=0에서 y=-ax-1 x+by+3=0에서 y=- x- ;b!; ;b#; 2x+y+5=0에서 y=-2x-5 따라서 -a=- =-2이므로 a=2, b= ;b!; ;2!; ∴ a+b=2+ = ;2!; ;2%; 전략 서로 다른 세 직선에 의하여 좌표평면이 4개 y 의 부분으로 나누어지는 경우에는 세 직선이 서로 평행하다. ① ② ③ ④ O x 1 답 ⑴ y=4x-30 ⑵ :Á2°: ⑶ - ;3*; y=2x+1 ⑴ 두 점 C(6, 4), M(5, 0)을 지나는 직선의 기울기는 ⑴ 0-4 5-6 =4 ⑴ 이므로 두 점 B, N을 지나는 직선의 기울기도 4이다. ⑴ 즉 y=4x+b로 놓고 x=9, y=6을 대입하면 ⑴ 6=36+b ∴ b=-30 ⑴ 따라서 두 점 B, N을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은 y=4x-30 …… 40 % ⑵ y=4x-30에 y=0을 대입하면 ⑴ 0=4x-30, 4x=30 ∴ x= :Á2°: ⑴ ∴ N {:Á2°: , 0 } …… 30 % ⑶ 두 점 C(6, 4), N , 0 을 지나는 직선의 기울기는 {:Á2°: } =-4Ö =- ;2#; ;3*; …… 30 % 직선 CM과 두 점 B, N을 지나는 직선이 평행하므로 △CMN=△CMB 0-4 ⑴ -6 :Á2°: 전략 2 답 ㉠, ㉢ ㉠ 직선 l이 y축에 평행하려면 x=p(p+0)의 꼴이어야 하므로 ㉠ k+1=0 ∴ k=-1 ㉡ (2-k)x+(k+1)y+k+2=0에서 ㉠ 이때 =1을 만족하는 k의 값은 존재하지 않는다. ㉠ y= k-2 k+1 x- k+2 k+1 k-2 k+1 ㉢ (2-k)x+(k+1)y+k+2=0에서 ㉠ (2x+y+2)+k(-x+y+1)=0 ㉠ 이때 2x+y+2=0, -x+y+1=0이어야 하므로 두 식을 연 립하여 풀면 ㉠ x=- , y=- ;3!; ;3$; ㉠ 따라서 직선의 방정식 (2-k)x+(k+1)y+k+2=0이 k의 ㉠ 값에 관계없이 항상 지나는 점의 좌표는 { - ;3!; , - ;3$;} 이므로 ㉠ 제 3 사분면 위에 있다. 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다. ㉡에서 기울기가 1이 되려면 =1이어야 한다. k-2 k+1 이때 k-2=k+1을 만족하는 k의 값은 없다. ㉢에서 k의 값에 관계없이 식이 성립해야 하므로 0+0_k=0의 꼴로 나 타낸다. V. 일차함수 55 STEP 3 전교 1등 확실하게 굳히는 문제 pp. 101 ~ 103 전략 1 ⑴ y=4x-30 ⑵ :Á2°: ⑶ - 3 5 5 11 6 ⑴ 물통 A: 3 L, 물통 B: 2 L ⑵ 9초 후, 30 L ;3*; 4 -1