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문제집/중등

2019년 천재교육 최고수준 수학 중 2 - 1 답지

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정답과 풀이 중학 수학 2•1 I II III IV V 유리수와 순환소수 식의 계산 일차부등식 연립일차방정식 함수 2 9 20 29 45 I. 유리수와 순환소수 1. 유리수와 순환소수 이때 소수점 아래 두 번째 자리의 숫자는 8이므로 xª=8 9=6_1+3에서 소수점 아래 9번째 자리의 숫자는 순환마 디의 3번째 숫자이므로 x»=4 16=6_2+4에서 소수점 아래 16번째 자리의 숫자는 순환 마디의 4번째 숫자이므로 xÁ¤=6 ∴ xª+x»+xÁ¤=8+4+6=18 최고 수준 입문하기 P 7 - P 10 05 Action 주어진 분수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수가 01 ④ 05 3개 09 12 13 2개 17 1.8H3 21 0.8H3 02 ⑤ 06 35 10 ③ 03 10 04 18 07 ;3!5$;, ;3@5!; 08 1 12 38 11 5개 14 10개 15 ⑤ 19 1.08H3 ';; 18 ;;Á9£9» 22 x=5.H6H3 23 9 16 ② 20 38 24 ②, ⑤ 01 Action 순환소수를 간단히 나타낼 때, 첫 번째 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어 나타낸다. ① 0.444y=0.H4 ② 0.162162162y=0.H16H2` ③ 3.283283283y=3.H28H3 ⑤ 30.303030y=30.H3H0 02 Action 분자를 분모로 나누어 소수로 나타낸다. ① =2.333y=2.H3이므로 순환마디는 3 =0.58333y=0.58H3이므로 순환마디는 3 =0.1333y=0.1H3이므로 순환마디는 3 =1.4333y=1.4H3이므로 순환마디는 3 ;3&; ② ;1¦2; ③ ;1ª5; ④ ;3$0#; ⑤ ;4%5^; 03 Action 순환마디의 숫자의 개수를 세어 본다. =0.370370y=0.H37H0에서 순환마디의 숫자의 개수는 ;2!7); 3개이므로 a=3 50=3_16+2에서 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는 순 환마디의 2번째 숫자이므로 b=7 ∴ a+b=3+7=10 …… 40% …… 40% …… 20% 04 Action ;1°3;를 소수로 나타낸 후 순환마디를 구한다. =0.384615384615y=0.H38461H5이므로 순환마디의 ;1°3; 숫자의 개수는 6개이다. 2 | 정답과 풀이 2 또는 5뿐인 것을 찾는다. ㉠ 7 2_3_5 ㉡ ㉢ ㉣ 3 2_5 ㉤ ㉥ 3 2Û` 1 2Û` 1 7 1 3_5 따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ㉡, ㉣, ㉤의 3개이다. Lecture 유한소수로 나타낼 수 있는 유리수 ❶ 주어진 분수를 기약분수로 나타낸다. ❷ 분모를 소인수분해한다. ❸ 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있다. 06 Action 기약분수의 분모를 소인수분해하였을 때, 소인수 2와 5의 지 수가 같아지도록 분모, 분자에 2 또는 5의 거듭제곱을 곱한다. 4 125 = = 4 5Ü` 4_2Ü` 5Ü`_2Ü` = 32 10Ü` 이때 n의 값이 커지면 a의 값도 커지므로 a+n의 값은 a=32, n=3일 때 가장 작다. 따라서 a+n의 최솟값은 32+3=35 07 Action 구하는 분수를 ;35;로 놓고 a의 조건을 찾는다. a 35 35=5_7이므로 구하는 분수를 라 할 때, a 35 가 유한소 수는 14, 21이다. 따라서 구하는 분수는 , ;3!5$; ;3@5!; 이다. 08 Action 분수를 기약분수로 나타내었을 때 2 또는 5 ➡ 유한소수로 나타낼 수 있다. 2 또는 5 이외의 소인수 ➡ 유한소수로 나타낼 수 없다. = = 이므로 유한소수로 나타낼 수 있다. 분모의 소인수가 7 56 1 8 [ 1 2Ü` ∴ 7◇56=-1 15 108 = = 5 36 5 2Û`_3Û` ∴ 15◇108=1 이므로 유한소수로 나타낼 수 없다. =1.2444y=1.2H4이므로 순환마디는 4 수로 나타내어지려면 a는 7의 배수이어야 한다. 따라서 순환마디가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. 이때 = , ;3!5); ;5$; ;7@; = ;3@5*; 이므로 10과 28 사이에 있는 7의 배 정답과 풀이' 36 200 = = 9 50 9 2_5Û` ∴ 36◇200=-1 이므로 유한소수로 나타낼 수 있다. Û a=28일 때, 2Û`_7 2Ü`_5_7 = = 1 10 ;b!;    ∴ b=10 ∴ (7◇56)+(15◇108)-(36◇200) =-1+1-(-1) Ú, Û에 의하여 a=28, b=10이므로 =1 a+b=28+10=38 09 Action ;1ª8Á0;을 기약분수로 나타낸 후 분모를 소인수분해하여 2 또 는 5 이외의 소인수를 찾는다. 21 180 = = 7 60 7 2Û`_3_5 21 180 이므로 _A가 유한소수가 되 려면 A는 3의 배수이어야 한다. 따라서 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 두 자리의 자연수는 12이다. 10 Action 먼저 ;5$0@; 를 기약분수로 나타낸 후 보기의 각 수를 대입해 본다. 13 Action 30 2Û`_5_x 을 기약분수로 나타내었을 때, 분모에 2 또는 5 이외의 소인수가 있으면 순환소수로 나타낼 수 있다. 30 2Û`_5_x = 3 2_x 이 순환소수가 되려면 기약분수로 나타 내었을 때 분모에 2 또는 5 이외의 소인수가 있어야 한다. 이때 x는 10 이하의 자연수이므로 x=3, 6, 7, 9 x=3일 때, x=6일 때, 3 2_3 3 2_6 = ;2!; = 1 22 따라서 x의 값은 7, 9의 2개이다. 42 50_x = 21 25_x = 3_7 5Û`_x 나타낼 수 없다. ③ x=18일 때, 3_7 2_3Û`_5Û` = 7 2_3_5Û` 이므로 유한소수로 14 Action 기약분수의 분모를 소인수분해하였을 때, 소인수 중에 2 또는 5 이외의 수가 있는지 확인한다. 14개의 점에 대응하는 유리수는 1 15 , 2 15 , 3 15 , y, 이다. 14 15 이때 15=3_5이므로 순환소수로 나타내어지려면 분자가 따라서 순환소수로 나타낼 수 있는 수는 1 15 , 2 15 , 4 15 , 5 15 , 7 15 , 8 15 , 10 15 , 11 15 , 13 15 , 14 15 의 10개이다. 15 Action 소수점 아래 첫째 자리부터 똑같이 순환마디가 시작되도록 등식의 양변에 10의 거듭제곱을 곱한다. 11 Action 두 분수의 분모를 소인수분해하여 A의 값이 될 수 있는 조건 3의 배수가 아니어야 한다. 을 알아본다. 7 170 _A= 7 2_5_17 의 배수이어야 한다. 또, 3 220 _A= 3 2Û`_5_11 11의 배수이어야 한다. 즉 A는 17과 11의 공배수이다. _A가 유한소수가 되려면 A는 17 _A가 유한소수가 되려면 A는 …… 20% …… 20% …… 20% …… 40% 이때 17과 11의 최소공배수는 17_11=187이므로 세 자리 의 자연수 A는 187, 374, 561, 748, 935의 5개이다. 1000x=5128.888… - 100x= 512.888… >³ 900x=4616 16 Action 순환소수를 분수로 나타내는 공식을 이용한다. 12 Action ;28A0;가 유한소수가 되도록 하는 a의 값을 구한 후 b의 값을 구한다. a 280 = a 2Ü`_5_7 야 한다. 가 유한소수가 되려면 a는 7의 배수이어 이때 20n) ( 1 (m=n) { 1 an-m (m_[-2_aÜ`_b]Ö(5ab)Ü` =(10abÜ`)Û`_(-2aÜ`b)Ü`Ö125aÜ`bÜ` =100aÛ`bß`_(-8aá`bÜ`)_ 1 125a3b3 =- a¡`bß` :£5ª: 07 Action 덧셈식을 곱셈식으로 바꾼 후 a_10n의 꼴로 나타낸다. (63+63+63+63)2_(58+58)Ö(152+152+152) =(4_63)2_(2_58)Ö(3_152) ={22_(2_3)3}2_(2_58)Ö{3_(3_5)2} =(25_33)2_(2_58)Ö(33_52) =211_36_58_ 1 33_52 =211_33_56=25_26_33_56 =25_33_(2_5)6 =25_33_106 =864_106 따라서 주어진 수는 9자리의 자연수이므로 m=9 또, 이 수의 최고 자리의 숫자는 8이므로 n=8 …… 20% ∴ m+n=9+8=17 …… 50% …… 20% …… 10% 11 Action 직사각형 ABCD의 세로의 길이가 정사각형 DCEF의 한 변의 길이이다. 3xy2_DCÙ ò=24x3y5이므로 DCÙ 24x3y5 3xy2 =8x2y3 ∴ (정사각형 DCEF의 넓이) =(8x2y3)2=64x4y6 ò= 12 Action (쇠공의 부피)=(원기둥의 밑넓이)_(높아진 물의 높이)이 다. 높아진 물의 높이를 h라 하면 높아진 물의 높이만큼의 원기 둥의 부피는 쇠공의 부피와 같으므로 p_(2a)2_h= p_ a } {;2#; ;3$; , 4pa2h= pa3 ;2(; 3 ∴ h= pa3Ö4pa2= pa3_ ;2(; ;2(; 1 4pa2 = a ;8(; 따라서 높아진 물의 높이는 a이다. ;8(; 08 Action AÖC = = ;cA; ;bA; _ ;cB;임을 이용한다. A B B C =(-2x2)3=-8x6 =(3x3)2=9x6 ∴ AÖC= = _ A C A B B C =-8xß`_9x6=-72x12 2 { - a _ x3 y } 09 Action 지수법칙을 이용하여 좌변을 간단히 한 후 우변과 비교한다. x2 2y } 4y2 x4 { y4 x2b _ 이때 (좌변)=(우변)이므로 (-1)a=-1이고, y2 xb } { x3a ya _ =(-1)a_ yy ㉠ Ö - 2 1y이므로 L[2xÖ2y]=L[2x-y]=x-y L[2x]-L[2y]=x-y ∴ L[2xÖ2y]=L[2x]-L[2y] ㉢ L[(2x)y]=L[2xy]=xy (L[2x])y=xy ∴ L[(2x)y]+(L[2x])y ㉣ L[A] =3이므로 A=23=8 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다. 03 Action 2x+1-2x=2x임을 이용한다. 자연수 x에 대하여 2x+1-2x=2x(2-1)=2x ∴ 22019-(1+2+22+23+…+22016+22017+22018) =22019-22018-22017-…-23-22-2-1 =(22019-22018)-22017-…-23-22-2-1 =22018-22017-…-23-22-2-1 =(22018-22017)-…-23-22-2-1 =22017-22016-…-23-22-2-1 … =2-1 =1 다. 04 Action b1013을 10으로 나눈 나머지는 b1013의 일의 자리의 숫자와 같 (ab)1013을 10으로 나눈 나머지가 3이므로 (ab)1013의 일의 자리의 숫자는 3이다. 이때 (ab)1013=a1013b1013이고 a1013의 일의 자리의 숫자가 7 이므로 b1013의 일의 자리의 숫자는 9이어야 한다. n=1, 2, 3, 4, 5, y일 때 b=2이면 2n의 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6, 2, y 즉 21013의 일의 자리의 숫자가 9인 경우는 없다. b=3이면 3n의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1, 3, y 이때 1013=4_253+1이므로 31013의 일의 자리의 숫자는 3이다. b=4이면 4n의 일의 자리의 숫자는 4, 6, 4, 6, 4, y 즉 41013의 일의 자리의 숫자가 9인 경우는 없다. b=5이면 5n의 일의 자리의 숫자는 5, 5, 5, 5, 5, y 즉 51013의 일의 자리의 숫자가 9인 경우는 없다. b=6이면 6n의 일의 자리의 숫자는 6, 6, 6, 6, 6, y 즉 61013의 일의 자리의 숫자가 9인 경우는 없다. b=7이면 7n의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1, 7, y 이때 1013=4_253+1이므로 71013의 일의 자리의 숫자는 7이다. b=8이면 8n의 일의 자리의 숫자는 8, 4, 2, 6, 8, y 즉 81013의 일의 자리의 숫자가 9인 경우는 없다. b=9이면 9n의 일의 자리의 숫자는 9, 1, 9, 1, 9, y 이때 1013=2_506+1이므로 91013의 일의 자리의 숫자는 9이다. 따라서 b=9일 때, 조건을 만족시키고 같은 방법으로 b=19, 29, 39, y일 때, 조건을 만족시킨다. 그러므로 b를 10으로 나눈 나머지는 9이다. Lecture 두 자연수의 곱의 일의 자리의 숫자 두 자연수 a, b에 대하여 ab의 일의 자리의 숫자는 (a의 일의 자리의 숫자)_(b의 일의 자리의 숫자)의 일의 자리의 숫 자와 같다. 05 Action 비례식을 이용하여 x, y, z를 한 문자의 식으로 나타낸다. 2 xyz2 } {;6!; Ö - { x } ;2!; 2 yz3Ö x2 3 = x2y2z4Ö x2yz3Ö ;4!; x2 3 = x2y2z4_ 4 x2yz3 _ 3 x2 1 36 1 36 = yz 3x2 이때 x :  y x=2k, y=3k, z=4k (k는 자연수)라 하고 ㉠에 대입하면  : z=2 :  3  : 4이므로 …… ㉠ yz 3x2 = 3k_4k 3_(2k)2 = 12k2 12k2 =1 06 Action AÖB=C에서 A=C_B임을 이용한다. Ö12xÜ`yÞ`= 3xyà` 에서 3xyà` = _12xÜ`yÞ` ( )2=3xy7_12x3y5=36x4y12 즉 (AxByC)2=A2x2By2C=36x4y12이므로 A2=36, 2B=4, 2C=12 따라서 A=6(∵ A>0), B=2, C=6이므로 A+B+C=6+2+6=14 Ⅱ. 식의 계산 | 13 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 2. 다항식의 계산 최고 수준 입문하기 01 -2 05 4x-3y 08 7x2-12x+11 03 -3 02 ;4&; 06 7x-6y+5 07 -x2-10x+7 04 12 09 7xÛ`-5x 10 -22 11 16x2y4+4x- x2y 12 6a3b3-4ab2 ;3!; 14 8xy 18 -11 13 7 17 -18 21 h= -r S 2pr 24 -3 15 6x-4y 16 9a+5b-3 19 8x-9y 20 -8y+11 22 4 23 ;7*; 01 Action 분배법칙을 이용하여 먼저 괄호를 푼다. (7a-2b-6)-3(-2a+3b-5) =7a-2b-6+6a-9b+15 =13a-11b+9 따라서 b의 계수는 -11, 상수항은 9이므로 구하는 합은 -11+9=-2 04 Action 좌변을 간단히 하여 우변과 비교한다. (좌변) =-2axÛ`-6x+2+xÛ`+bx+5 P 31 - P 34 =(-2a+1)xÛ`+(-6+b)x+7 따라서 -2a+1=3, -6+b=0, 7=c이므로 a=-1, b=6, c=7 ∴ a+b+c=-1+6+7=12 05 Action (소괄호) → {중괄호} → [대괄호]의 순서로 괄호를 푼다. 7x-[6x-y+{-x+3y-(2x-y)}] =7x-{6x-y+(-x+3y-2x+y)} =7x-{6x-y+(-3x+4y)} =7x-(3x+3y) =7x-3x-3y =4x-3y 06 Action A-☐=B에서 ☐=A-B임을 이용한다. 5x-3y+4-A=-2x+3y-1에서 A =(5x-3y+4)-(-2x+3y-1) =5x-3y+4+2x-3y+1 =7x-6y+5 02 Action 주어진 식을 동류항끼리 모아서 간단히 한다. - { ;3@; x+ ;2!; y+ ;3!;} - {;6!; x+ ;4%; y- ;2#;} =- x+ y+ - x- y+ ;3@; ;2!; ;3!; ;6!; ;4%; ;2#; =- x- y+ :Á6Á: ;4#; ;6%; …… 50% 따라서 a=- , b=- , c= 이므로 …… 30% ;6%; ;4#; :Á6Á: a-b+c=- - - { ;6%; ;4#;} + :Á6Á: = ;4&; …… 20% 07 Action 두 다항식 A, B를 각각 구한 후 A+B를 계산한다. A+(-2xÛ`+6x)=-xÛ`+x+4에서 A =(-xÛ`+x+4)-(-2xÛ`+6x) =-xÛ`+x+4+2xÛ`-6x =xÛ`-5x+4 B =(xÛ`-5x+4)-(3xÛ`+1) =xÛ`-5x+4-3xÛ`-1 =-2xÛ`-5x+3 ∴ A+B =(xÛ`-5x+4)+(-2xÛ`-5x+3) =-xÛ`-10x+7 08 Action 잘못 계산한 식에서 어떤 식을 구한 후 바르게 계산한다. 어떤 식을 A라 하면 03 Action 이차항은 이차항끼리, 일차항은 일차항끼리, 상수항은 상수 항끼리 간단히 한다. (ax2-4x-1)-(-2x2+3x+4a) =ax2-4x-1+2x2-3x-4a =(a+2)x2-7x-4a-1 A+(-3xÛ`+5x-7)=xÛ`-2x-3 ∴ A =(xÛ`-2x-3)-(-3xÛ`+5x-7) =xÛ`-2x-3+3xÛ`-5x+7 =4xÛ`-7x+4 따라서 바르게 계산한 식은 따라서 x2의 계수는 a+2, 상수항은 -4a-1이므로 (4xÛ`-7x+4)-(-3xÛ`+5x-7) a+2+(-4a-1)=10, -3a+1=10 -3a=9 ∴ a=-3 =4xÛ`-7x+4+3xÛ`-5x+7 =7xÛ`-12x+11 …… 60% …… 40% 14 | 정답과 풀이 정답과 풀이 Lecture 바르게 계산한 식 구하기 13 Action 분배법칙을 이용하여 주어진 식을 계산한다. (주어진 식) =-2xÛ`+4xy+6x-(5xÛ`-3xy+2x) ⑴ 어떤 식에 A를 더해야 하는데 잘못하여 빼었더니 B가 되었다. =-2xÛ`+4xy+6x-5xÛ`+3xy-2x ➡ (어떤 식)-A=B, 즉 (어떤 식)=B+A ➡ (바르게 계산한 식)=(어떤 식)+A ⑵ 어떤 식에서 A를 빼어야 하는데 잘못하여 더했더니 B가 되었 =-7xÛ`+7xy+4x 따라서 xy의 계수는 7이다. 다. ➡ (어떤 식)+A=B, 즉 (어떤 식)=B-A ➡ (바르게 계산한 식)=(어떤 식)-A 09 Action 괄호를 풀어 좌변을 간단히 한 후 A+☐=B에서 ☐=B-A임을 이용한다. (좌변) =2x-4(3x+5xÛ`-7x+xÛ`-A) =2x-4(6xÛ`-4x-A) =2x-24xÛ`+16x+4A =-24xÛ`+18x+4A 따라서 -24xÛ`+18x+4A=4xÛ`-2x이므로 4A =(4xÛ`-2x)-(-24xÛ`+18x) =4xÛ`-2x+24xÛ`-18x =28xÛ`-20x ∴ A= 28xÛ`-20x 4 =7xÛ`-5x 14 Action 사칙계산이 혼합된 식은 거듭제곱 ➡ 괄호 ➡ 곱셈, 나눗셈 ➡ 덧셈, 뺄셈의 순서대로 계산한다. (주어진 식)=(16x-8y)_ y-(6xÛ`y-9xyÛ`)_ ;4#; ;3ª[; =12xy-6yÛ`-4xy+6yÛ` =8xy 15 Action (직육면체의 부피)=(밑넓이)_(높이)이다. (직육면체의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로 3x_y_(높이)=18xÛ`y-12xyÛ`` ∴ (높이)= 18xÛ`y-12xyÛ` 3xy =6x-4y 10 Action 분배법칙을 이용하여 단항식을 다항식의 각 항에 곱한다. 2x(x+3y-5)=2xÛ`+6xy-10x에서 xÛ`의 계수는 2이므 로 a=2 는 24이므로 b=24 ∴ a-b=2-24=-22 -4x(2x-6y+3)=-8xÛ`+24xy-12x에서 xy의 계수 의 넓이를 뺀 것과 같다. 16 Action 색칠한 부분의 넓이는 직사각형의 넓이에서 직각삼각형 3개 (색칠한 부분의 넓이) =6a_5b- _(6a-2)_5b- _2_3 ;2!; ;2!; - _6a_(5b-3) ;2!; 11 Action 역수를 이용하여 나눗셈을 곱셈으로 고친 후 계산한다. =30ab-15ab+5b-3-15ab+9a =9a+5b-3 24x3yÞ`+6x2y- x3y2 Ö } ;2#; ;2!; xy { = 24x3yÞ`+6x2y- x3y2 _ ;2!; } { 2 3xy =16x2y4+4x- x2y ;3!; 12 Action 잘못 계산한 식을 이용하여 어떤 다항식을 구한다. 어떤 다항식을 A라 하면 AÖ(-2aÛ`b)=-3abÛ`+ ;;ªaõ;; ∴ A= -3abÛ`+ _(-2aÛ`b) { ;;ªaõ;;} =6aÜ`bÜ`-4abÛ` 17 Action 주어진 식을 먼저 간단히 한 후 x, y의 값을 각각 대입한다. (16xÛ`yÛ`-20xyÜ`)Ö4xÛ`yÜ`=(16xÛ`yÛ`-20xyÜ`)_ 1 4xÛ`yÜ` = - ;]$; ;[%; =4Ö - { ;3!;} -5Ö ;6%; =4_(-3)-5_ ;5^; =-12-6 =-18 Ⅱ. 식의 계산 | 15 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 24 Action a+b+c=0이므로 b+c=-a, c+a=-b, a+b=-c 임을 이용한다. a+b+c=0이므로 b+c=-a, c+a=-b, a+b=-c ∴ a b+c + b c+a + c a+b = a -a + b -b + c -c =-1+(-1)+(-1) =-3 18 Action A+B C = + A C B C 임을 이용하여 식을 계산한다. xyÛ`-3xÛ`y xy - xyÛ`-4xÛ` x =y-3x-(yÛ`-4x) =y-3x-yÛ`+4x =-yÛ`+y+x =-(-3)Û`+(-3)+1 =-11 19 Action 주어진 식을 먼저 간단히 한 후 A, B를 대입한다. A-{B-2(A-B)}+B =A-(B-2A+2B)+B =A-(-2A+3B)+B =A+2A-3B+B=3A-2B =3(2x-y)-2(-x+3y) =6x-3y+2x-6y=8x-9y 20 Action x를 y의 식으로 나타낸 후 대입한다. 2x+3y=x+y+2에서 x=-2y+2 ∴ 3x-2y+5 =3(-2y+2)-2y+5 =-6y+6-2y+5 =-8y+11 21 Action 회전체는 원기둥이다. 이므로 S=2prÛ`+2prh에서 2prh=S-2prÛ` ∴ h= S-2prÛ` 2pr = S 2pr -r 22 Action 비례식을 x, y에 대한 등식으로 변형한 후 주어진 식에 대입 한다. (2x+3y):(x-y)=3:1에서 2x+3y=3(x-y) 2x+3y=3x-3y ∴ x=6y ∴ 3x+2y x-y = 18y+2y 6y-y = 20y 5y =4 23 Action a+b를 ab의 식으로 나타낸다. + =5에서 ;a!; ;b!; a+b ab =5 ∴ a+b=5ab ∴ a+3ab+b 2a-3ab+2b = (a+b)+3ab 2(a+b)-3ab = 5ab+3ab 10ab-3ab = 8ab 7ab = ;7*; 16 | 정답과 풀이 최고 수준 완성하기 P 35 - P 37 01 5xÛ`+4x-2 02 5xÛ`-10xy-7yÛ` 03 6xÛ`+xy-yÛ` 04 ;2#; xÛ`yÜ`-2xy+ ;]@; 05 5xy+2x+8y 06 24 07 - bc+ ac 08 19aÛ`-4a ;4&; ;2!0#; 09 -1 10 6a+5b-5c 11 ;1!2#; 12 2 01 Action 괄호를 풀어 좌변을 먼저 간단히 한다. 따라서 10xÛ`+x- =5xÛ`-3x+2이므로 =6xÛ`-(-4xÛ`-x+ ) =6xÛ`+4xÛ`+x- =10xÛ`+x- =(10xÛ`+x)-(5xÛ`-3x+2) =10xÛ`+x-5xÛ`+3x-2 =5xÛ`+4x-2 02 Action 다항식 A, B를 각각 구한 후 2A-B를 계산한다. B+(5xÛ`-yÛ`)+(7xÛ`-6xy-3yÛ`)=15xÛ`-3yÛ`이므로 B =(15xÛ`-3yÛ`)-(5xÛ`-yÛ`)-(7xÛ`-6xy-3yÛ`) =15xÛ`-3yÛ`-5xÛ`+yÛ`-7xÛ`+6xy+3yÛ` =3xÛ`+6xy+yÛ` …… 40% A+B+(8xÛ`-4xy-yÛ`)=15xÛ`-3yÛ`이므로 A+(3xÛ`+6xy+yÛ`)+(8xÛ`-4xy-yÛ`)=15xÛ`-3yÛ` …… 40% ∴ A =(15xÛ`-3yÛ`)-(3xÛ`+6xy+yÛ`)-(8xÛ`-4xy-yÛ`) =15xÛ`-3yÛ`-3xÛ`-6xy-yÛ`-8xÛ`+4xy+yÛ` =4xÛ`-2xy-3yÛ` …… 40% ∴ 2A-B =2(4xÛ`-2xy-3yÛ`)-(3xÛ`+6xy+yÛ`) …… 60% =8xÛ`-4xy-6yÛ`-3xÛ`-6xy-yÛ` =5xÛ`-10xy-7yÛ` …… 20% 회전체는 밑면의 반지름의 길이가 r이고 높이가 h인 원기둥 (좌변) =6xÛ`-(x-4xÛ`-2x+ ) 정답과 풀이 03 Action 약속에 따라 주어진 식을 간단히 한 후 계산한다. (3x, -y)※(y, 2x) 08 Action (정원의 넓이)=(땅의 넓이)-(건물의 넓이)-(통로의 넓이) 임을 이용한다. =3x_y+3x_2x+y_(-y)+(-y)_2x (정원의 넓이) =3xy+6xÛ`-yÛ`-2xy =6xÛ`+xy-yÛ` =(땅의 넓이)-(건물의 넓이)-(통로의 넓이) =(6a+1)_5a-4a(2a+3)-a{5a-(2a+3)} =30aÛ`+5a-8aÛ`-12a-3aÛ`+3a =19aÛ`-4a 04 Action a를 b로 나누면 몫이 q이고 나머지가 r이다. ➡ a=b_q+r A =2xÛ`y_(3xyÜ`-4y)+8x =6xÜ`yÝ`-8xÛ`yÛ`+8x 09 Action 주어진 식을 간단히 한 후 a, b, c의 값을 각각 대입한다. ∴ A 4xy = 6xÜ`yÝ`-8xÛ`yÛ`+8x 4xy = ;2#; xÛ`yÜ`-2xy+ ;]@; 4 {;3!; aÛ`bc- abÛ`+ ;6!; ;1Á2; bc Ö } ;3!; ab   05 Action 약속에 따라 식을 나타낸 후 계산한다. 15xÛ`y-40xy - | 4xy+16xyÛ` - ;2Á]; ;5Á[;| =-3xy+8y+2x+8xy =5xy+2x+8y - =(15xÛ`y-40xy)_ { ;5Á[;} - - { ;2Á];} _(4xy+16xyÛ`) 06 Action 먼저 A, B를 각각 계산한다. A= 12xyÜ`-9xyÛ`-18xÜ`y -6xy =-2yÛ`+ y+3xÛ` ;2#; B= xÜ`y- xy {;6!; ;3$; }_;[!]*; -2yÛ`+ y ;2#; =3xÛ`-24-2yÛ`+ y ;2#; ∴ A-B = -2yÛ`+ y+3xÛ` - 3xÛ`-24-2yÛ`+ ;2#; } { { y } ;2#; =-2yÛ`+ y+3xÛ`-3xÛ`+24+2yÛ`- ;2#; y ;2#; =24 07 Action 순환소수를 분수로 나타낸 후 계산한다. 0.H3= = , 0.1H5= ;9#; ;3!; 15-1 90 = ;4¦5; , 0.H4= 이므로 ;9$; (주어진 식)= abÛ`c- aÛ`bc Ö ab- bc+ac {;3!; ;4¦5; ;9$; ;2%; } } = bc- ;4#; ;2¦0; ac- bc+ac ;2%; =- bc+ ;4&; ac ;2!0#; = aÛ`bc- abÛ`+ {;3$; bc _ } ;3!; ;a£b; =4ac-2b+ ;3@; ;aC; =4_1_(-7)-2_(-17)+ -7 1 =-28+34-7 =-1 10 Action 주어진 식을 먼저 간단히 한 후 x, y를 각각 대입한다. 5x+2{4y-2(x+3y)} =5x+2(4y-2x-6y) =5x+2(-2x-2y) =5x-4x-4y =x-4y =(2a+b-c)-4(-a-b+c) =2a+b-c+4a+4b-4c =6a+5b-5c 11 Action x+y x-y = ;2#; 을 이용하여 x를 y의 식으로 나타낸다. x+y x-y ;2#; = 에서 2(x+y)=3(x-y) 2x+2y=3x-3y ∴ x=5y ∴ x x+y + y x-y = 5y 5y+y + y 5y-y = + 5y 6y y 4y = + = ;4!; ;6%; ;1!2#; 2a+ =1에서 2a=1- ;b!; b-1 b ;b!; b-1 2b 2a= ∴ a= …… 30% Ⅱ. 식의 계산 | 17 = {;3!; abÛ`c- ;4¦5; aÛ`bc _ - bc+ac ;4a(b; ;2%; 12 Action a와 c를 b의 식으로 각각 나타낸다. 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 b+ =1에서 =1-b ;c!; ;c!; ∴ c= 1 1-b = -1 b-1 ∴ +2c= ;a!; 2b b-1 +2_ -1 b-1 } { …… 30% = 2b-2 b-1 = 2(b-1) b-1 =2 …… 40% (a-2)x+(a+3)y=a(x+y) ax-2x+ay+3y=ax+ay 2x=3y ∴ x= y ;2#; 따라서 남학생 수와 여학생 수의 비는 x:y= y:y=3:2 ;2#; 최고 수준 뛰어넘기 01 6y 05 9 02 41 06 6 P 38 - P 39 03 3 : 2 04 -21 01 Action (-1)2n-1, (-1)2n, (-1)2n+1의 값을 먼저 구한다. n이 자연수이므로 2n-1, 2n+1은 홀수이고, 2n은 짝수이 다. 즉 (-1)2n-1=-1, (-1)2n=1, (-1)2n+1=-1이므로 (주어진 식) =-(3x-y)+(x+4y)+(2x+y) =-3x+y+x+4y+2x+y =6y 02 Action 입체도형의 겉넓이는 12개의 블록의 겉넓이에서 겹쳐진 부 분의 넓이를 뺀 것과 같다. 직육면체 모양의 블록 1개의 겉넓이는 2xÛ`+4xy이므로 입 체도형을 만들기 위해 사용한 블록 12개의 겉넓이는 12(2xÛ`+4xy)=24xÛ`+48xy 04 Action 지수법칙을 이용하여 먼저 x, y의 값을 각각 구한다. (2Ý`)Þ` 2´` =212 =212에서 (2Ü`)x+3= 8x+3= 16Þ` 2´` ∴ 23x+9=220-y=212 23x+9=212에서 3x+9=12 220-y=212에서 20-y=12 ∴ 15xÛ`y-9xyÛ` 3xy - 16xÛ`-8x 4x ∴ x=1 ∴ y=8 =5x-3y-(4x-2) =5x-3y-4x+2 =x-3y+2 =1-3_8+2 =-21 05 Action a와 b를 각각 c의 식으로 나타낸다. a-b+c=0에서 b=a+c a-2b-4c=0에 b=a+c를 대입하면 a-2(a+c)-4c=0, a-2a-2c-4c=0 -a-6c=0 ∴ a=-6c a-b+c=0에 a=-6c를 대입하면 -6c-b+c=0, -5c-b=0 ∴ b=-5c ∴ 4a b+c + 4b c+a + 11c a+b = 4_(-6c) -5c+c + 4_(-5c) c+(-6c) + 11c -6c+(-5c) 이때 겹쳐진 부분은 넓이가 xÛ`인 부분이 바닥을 포함하여 11 군데, 넓이가 xy인 부분이 20군데이므로 입체도형의 겉넓이 = -24c -4c + -20c -5c + 11c -11c 는 (24xÛ`+48xy)-11xÛ`-20xy=13xÛ`+28xy =6+4-1=9 따라서 A=13, B=28이므로 A+B=13+28=41 06 Action x+0이므로 xÛ`-6x+6=0을 x로 나누어 x+ ;[^;의 값을 03 Action a명의 평균이 p점이면 총점은 ap점이다. 2학년 전체 학생의 평균을 a점이라 하면 남학생의 평균은 구한다. xÛ`-6x+6=0에서 xÛ`=6x-6 (a-2)점, 여학생의 평균은 (a-2)+5=a+3(점) 이때 x+0이므로 xÛ`-6x+6=0의 양변을 x로 나누면 이때 남학생 수와 여학생 수를 각각 x명, y명이라 하면 2학 년 전체 학생의 총점은 {(a-2)x+(a+3)y}점이고, 전체 x-6+ =0 ∴ x+ =6 ;[^; ∴ x- ;[^; xÛ` 6 x+ ;[^; = 6x-6 x- ;6^; = 6(x-1) x-1 =6 학생 수는 (x+y)명이므로 전체 평균은 (a-2)x+(a+3)y x+y =a 18 | 정답과 풀이 정답과 풀이 Lecture x+0인 이유 xÛ`-6x+6=0에서 x=0이면 0Û`-6_0+6=0, 6=0이므로 등식이 성립하지 않는다. 따라서 x+0이다. 따라서 자연수 k를 소인수분해하면 k=2Û`_3Þ`_m (단, m은 2, 3과 서로소)의 꼴이다. 이때 2000-12 14 5 16 x>-3 17 -1 18 -13 04 ④ 07 6 11 x<4 15 ⑤ 19 -7 20 -4 21 7 22 ;3@; -;2!; 는다. 01 Action 부등호를 사용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식을 찾 ㉠ 단항식 ㉡ 등식 ㉥ 다항식 따라서 부등식인 것은 ㉢, ㉣, ㉤의 3개이다. 02 Action 방정식의 해를 구하여 각각의 부등식에 대입해 본다. 3x-2=1에서 3x=3 ∴ x=1 ① 5-2_1>4 (거짓) ② 3_1-6>1 (거짓) ③ 12+5_1É7 (거짓) ④ 0.4_1+2¾-3 (참) ⑤ 7_1-6 4 >1 (거짓) 따라서 x=1을 해로 갖는 것은 ④이다. ① -2a<-2b ② 6a>6b ④ > ;4A; ;4B; ③ 5a>5b이므로 5a-2>5b-2 ⑤ - a<- b이므로 3- a<3- ;2!; ;2!; ;2!; b ;2!; 따라서 옳은 것은 ③이다. 04 Action 부등식의 성질을 이용하여 식을 변형한다. ∴ 5a+4¾5b+4 ① a¾b에서 5a¾5b 20 | 정답과 풀이 ③ -1+a<-1+b에서 a-2(b-3) ⑤ 2a-1 5 > -3b-1 5 에서 2a-1>-3b-1 2a>-3b ∴ -2a<3b 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 05 Action 0이 아닌 수의 제곱은 항상 양수이다. a>b, d<0이므로 ad0이므로 ad c2 < bd c2 06 Action x의 값의 범위가 주어졌을 때, 각 변에 p를 곱한 후 q를 더하 여 px+q의 값의 범위를 구한다. 10이므로 일차부등식이 아니다. ④ -x-5<0이므로 일차부등식이다. ⑤ xÛ -2x-2É0이므로 일차부등식이 아니다. 따라서 일차부등식인 것은 ②, ④이다. 10 Action 부등식의 해를 구하여 부등식을 만족시키는 자연수 x의 값을 구한다. x-5É-4x+15에서 5xÉ20 ∴ xÉ4 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 자연수 x의 값은 1, 2, 03 Action 주어진 부등식을 이용하여 a와 b의 대소 관계를 먼저 구한다. -3a-4<-3b-4에서 -3a<-3b ∴ a>b 09 Action 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한다. ① 분모에 x가 있으므로 일차부등식이 아니다. ② aÉb에서 - ¾ -;3B; ;3A; ∴ - +1¾ ;3A; +1 -;3B; 3, 4이므로 그 합은 1+2+3+4=10 정답과 풀이 11 Action 주어진 방정식의 해를 구한 후 부등식을 푼다. -2(x+3)+1=5에서 -2x-6+1=5 -2x=10 ∴ x=-5 따라서 a=-5를 주어진 부등식에 대입하면 x+2>4x-10, -3x>-12 ∴ x<4 16 Action a>2에서 a-2>0임을 이용한다. ax+3a>2x+6에서 ax-2x>-3a+6 (a-2)x>-3(a-2) 이때 a>2에서 a-2>0이므로 x> -3(a-2) a-2 ∴ x>-3 13 Action 부등식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 -12=3(a-3), -3a=3 ∴ a=-1 17 Action 주어진 부등식을 x<(수), x>(수), xÉ(수), x¾(수) 중 어 느 하나의 꼴로 나타낸 후 부등식 해와 비교한다. ax<3x-12에서 (a-3)x<-12 이때 부등식의 해가 x>3이므로 a-3<0 따라서 x> 이므로 -12 a-3 -12 a-3 =3 Lecture 부등식의 해가 주어진 경우 일차부등식을 간단히 한 후 부등식의 부등호의 방향과 해의 부등호 의 방향이 같으면 x의 계수는 양수이고, 다르면 x의 계수는 음수이다. 18 Action 각 부등식을 풀어 부등식의 해가 같음을 이용하여 a의 값을 12 Action 먼저 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다. 5x-11É3(x-2)+5에서 5x-11É3x-1 2xÉ10 ∴ xÉ5 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5 의 5개이다. 바꾼다. x 3 - 2x-1 5 꾼다. ∴ x¾5 수는 5이다. <1의 양변에 분모의 최소공배수 15를 곱하면 5x-3(2x-1)<15, 5x-6x+3<15 -x<12 ∴ x>-12 14 Action 부등식의 양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 바 0.2(3x+4)¾1.15+0.53x의 양변에 100을 곱하면 20(3x+4)¾115+53x 60x+80¾115+53x, 7x¾35 구한다. ;4#; x-4>-1의 양변에 4를 곱하면 3x-16>-4, 3x>12 ∴ x>4 7-3x<2x+a에서 -5x 7-a 5 7-a 5 =4, 7-a=20 ∴ a=-13 …… 40% …… 40% …… 20% 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 x의 값 중 가장 작은 정 이때 두 부등식의 해가 서로 같으므로 15 Action 각각의 부등식의 해를 구해 본다. ① 3(-x-1)-3 ② -0.2x<0.1(x+9)의 양변에 10을 곱하면 -2x-3 ③ 1-x 4 <1의 양변에 4를 곱하면 1-x<4, -x<3 ∴ x>-3 ④ x+1< x+ 의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱 ;2!; ;2#; ;3!; 하면 2x+6<3x+9, -x<3 ∴ x>-3 ⑤ 0.2x+1< (2x+1)의 양변에 10을 곱하면 ;5!; 2x+10<2(2x+1), 2x+10<4x+2 -2x<-8 ∴ x>4 따라서 해가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. 19 Action 수직선 위에 나타낸 부등식의 해를 부등호를 사용하여 나타 내어 본다. ax+3¾4(x-0.5a)에서 ax+3¾4x-2a (a-4)x¾-2a-3 이때 부등식의 해가 xÉ-1이므로 a-4<0 따라서 xÉ -2a-3 a-4 이므로 -2a-3 a-4 =-1 -2a-3=-a+4 ∴ a=-7 20 Action 부등식 xÉk를 만족시키는 가장 큰 수는 k이다. 4x-(x+2)¾5x+a에서 4x-x-2¾5x+a -2x¾a+2 ∴ xÉ -a-2 2 이때 부등식의 해 중 가장 큰 수가 1이므로 -a-2 2 =1, -a-2=2 ∴ a=-4 Ⅲ . 일차부등식 | 21 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 21 Action 각 부등식을 풀어 주어진 조건을 이용하여 a, b의 값을 각각 즉 9É5a+4<10이므로 É 의 양변에 분모의 최소공배수 12를 곱 따라서 구하는 정수 a의 값은 1이다. 5É5a<6 ∴ 1Éa< ;5^; 구한다. 2x-1 4 하면 - x-2 3 a 4 3(2x-1)-4(x-2)É3a, 6x-3-4x+8É3a 2xÉ3a-5 ∴ xÉ 3a-5 2 이때 부등식을 만족시키는 x의 값 중 최댓값이 2이므로 3a-5 2 =2, 3a-5=4 3a=9 ∴ a=3 Lecture 부등식 x>k를 만족시키는 가장 작은 자연수가 10이 되려면 k는 9와 10 사이에 있어야 한다. 이때 k=9이면 x>9를 만족시키는 가장 작은 자연수가 10이므로 조건을 만족시키고, k=10이면 x>10을 만족시키는 가장 작은 자 연수는 11이므로 조건을 만족시키지 않는다. 또, -3x+2(x-1)Éb-1에서 -3x+2x-2Éb-1 24 Action 부등식을 만족시키는 자연수 x가 존재하지 않도록 부등식의 -xÉb+1 ∴ x¾-b-1 해를 수직선 위에 나타내어 본다. 이때 부등식을 만족시키는 x의 값 중 최솟값이 -3이므로 -b-1=-3, -b=-2 ∴ b=2 ∴ a+2b=3+2_2=7 22 Action 부등식을 만족시키는 자연수 x가 2개가 되도록 부등식의 해 를 수직선 위에 나타내어 본다. 3x- ;2!; 타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 2<3aÉ3이므로 a- x의 양변에 분모의 최소공배수 4를 곱 ;2!; -(x+a)-4>4a-2x, -x-a-4>4a-2x x+a 4 하면 ∴ x>5a+4 이 부등식을 만족시키는 x의 값 중 가장 작은 자연수가 10이 되도록 부등식의 해 를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 10 9 5a+4 11 같다. 22 | 정답과 풀이 ② b>d이므로 b-a>d-a ③ d0이므로 cdcd ⑤ a0이므로 < ;bA; ;bC; 따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다. 02 Action 부등식의 성질을 이용하여 식을 변형한다. ㉠ abc ㉢ aab ㉣ a0이므로 <1 ;bA; 정답과 풀이 ㉤ a=-2, b=3일 때, a<0(수), xÉ(수), x¾(수) 중 어느 하나 03 Action aÉxÉb, cÉyÉd일 때, a-dÉx-yÉb-c임을 이용 이때 부등식의 해가 x ;cA; ;cB; 따라서 옳지 않은 것은 ㉡, ㉤이다. 한다. 2ÉxÉ4에서 6É3xÉ12 1ÉyÉ5에서 4É4yÉ20 ∴ -14É3x-4yÉ8 따라서 3x-4y의 값 중 가장 큰 정수는 8, 가장 작은 정수는 -14이므로 그 합은 8+(-14)=-6 Lecture aÉxÉb, cÉyÉd일 때, x-y의 값의 범위 aÉxÉb, cÉyÉd일 때, (x-y의 최솟값)=(x의 최솟값)-( y의 최댓값), (x-y의 최댓값)=(x의 최댓값)-( y의 최솟값) 이므로 x-y의 값의 범위는 오른쪽 a 과 같이 구한다.   É É     x y     É É     b d - c >`²  `  a-dÉx-yÉb-c 04 Action x+2y=1을 x=(y에 대한 식)의 꼴로 나타낸 후 부등식에 대입하여 y의 값의 범위를 구한다. x+2y=1에서 x=1-2y x=1-2y를 1É2x-3<7에 대입하면 1É2(1-2y)-3<7, 1É-4y-1<7 2É-4y<8 ∴ -2, <-2.23>의 값을 각각 구한다. <1.74>=1, <-2.23>=-3이므로 1-(-3)_xÉ10, 3xÉ9 ∴ xÉ3 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 자연수 x는 1, 2, 3의 3개이다. 06 Action 약속에 따라 좌변과 우변을 각각 정리한다. 4  (x-3)=2_4-(x-3)-1=-x+10 (-2x+1)  2=2(-2x+1)-2-1=-4x-1 즉 4  (x-3)<(-2x+1)  2에서 의 꼴로 나타낸 후 주어진 해와 비교한다. 3(x+a)-2b이다. 01 Action 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림한 값은 정수이다. 따라서 x¾ 이므로 7-3a b-a 7-3a b-a =1 7-3a=b-a ∴ `2a+b=7 yy ㉠ …… 30% 이때 a, b는 자연수이므로 ㉠을 만족시키는 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, 5), (2, 3), (3, 1) 따라서 a>b인 것은 (3, 1)이므로 a=3, b=1 …… 20% 11 Action 주어진 부등식을 x<(수), x>(수), xÉ(수), x¾(수) 중 어 느 하나의 꼴로 나타낸 후 부등식의 해와 비교한다. (a+2b)x+a-4b<0에서 (a+2b)x<-a+4b 이때 부등식의 해가 x> 이므로 a+2b<0 ;2&; 따라서 x> -a+4b a+2b 이므로 -a+4b a+2b = ;2&; 2(-a+4b)=7(a+2b), -2a+8b=7a+14b -9a=6b ∴ a=- ;3@;b a=- b를 a-b=5에 대입하면 ;3@; - b-b=5, - b=5 ∴ b=-3 ;3@; ;3%; ;3@; b=-3을 a=- b에 대입하면 a=- _(-3)=2 ;3@; ∴ ab=2_(-3)=-6 식의 해를 수직선 위에 나타내어 본다. 0.1-0.2x<0.3(x-a)의 양변에 10을 곱하면 1-2x<3(x-a), 1-2x<3x-3a -5x<-3a-1 ∴ x> 3a+1 5 이 부등식을 만족시키는 음수 x가 존재 하지 않도록 부등식의 해를 수직선 위 에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 ¾0이므로 3a+1¾0 3a+1 5 3a¾-1 ∴ a¾- ;3!; 최고 수준 뛰어넘기 P 52 01 12개 02 xÉ-6 03 -;;Á4¦;; Ék<-3 24 | 정답과 풀이 É5에서 =3, 4, 5 x+3 4 [ ] <5.5이므로 10Éx+3<22 2< x+3 4 [ 즉 2.5É ] x+3 4 ∴ 7Éx<19 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 자연수 x는 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18의 12개이다. Lecture 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림한 값을 [n]과 같이 나타낼 때, [n]의 값은 정수이다. 이때 [n]=a (a는 정수)라 하면 n의 값의 범위는 a-0.5Én2a-b 2ax+b(x-2)>2a-3b에서 2ax+bx-2b>2a-3b 이때 부등식의 해가 x< 이므로 2a+b<0 ;4#; 따라서 x< 이므로 2a-b 2a+b 2a-b 2a+b = ;4#; 4(2a-b)=3(2a+b), 8a-4b=6a+3b 2a=7b ∴ `a= b ;2&; ;2&; ;2&; a= b를 (2a-5b)x+2a+5b¾0에 대입하면 (7b-5b)x+7b+5b¾0, 2bx¾-12b 이때 b<0이므로 xÉ ∴ `xÉ-6 -12b 2b x+4y=3에서 4y=3-x ∴ y= 3-x 4 를 y>x+k에 대입하면 대입한다. y= 3-x 4 3-x 4 >x+k, 3-x>4x+4k -5x>4k-3 ∴ `x< 3-4k 5 이 부등식을 만족시키는 자연수 x가 3개가 되도록 부등식의 해를 수직선 1 2 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 4 3 3-4k 5 따라서 3< É4이므로 15<3-4kÉ20 3-4k 5 12<-4kÉ17 ∴ `- Ék<-3 :Á4¦: 12 Action 주어진 부등식을 만족시키는 음수 x가 존재하지 않도록 부등 a= b를 2a+b<0에 대입하면 7b+b<0 ∴ `b<0 0 3a+1 5 03 Action x+4y=3을 y=(x에 대한 식)의 꼴로 나타낸 후 부등식에 정답과 풀이 2. 일차부등식의 활용 06 Action 사탕과 초콜릿의 개수의 비가 3 : 1이므로 사탕과 초콜릿의 개수를 각각 3k개, k개(k는 자연수)로 놓는다. 최고 수준 입문하기 P 54 - P 57 사탕과 초콜릿을 3`:`1의 비로 사야 하므로 사야 할 사탕과 초 콜릿의 개수를 각각 3k개, k개(k는 자연수)라 하면 01 6개 02 9, 11, 13 03 85점 05 8자루 06 18개 09 11개월 후 10 5캔 07 9일 11 7회 04 19개 08 20장 12 50분 13 17명 14 50000원 15 30 % 16 10 cm 17 7 cm 18 8 km 19 9 km 20 1 km 21 24분 22 100 g 23 75 g 24 20 g 300_3k+700_kÉ10000 ∴ kÉ ;;ª4°;; 이때 k는 자연수이고, 사탕을 최대로 사려면 k의 값도 최대 이어야 하므로 k=6 따라서 사탕은 최대 3_6=18(개)까지 살 수 있다. 07 Action (총 대여 요금)=(기본 요금)+(연체료)_(연체 기간)임을 01 Action (작지 않다.)=(크거나 같다.)임을 이용하여 부등식을 세운다. 이용한다. +2¾2x-8에서 xÉ6 ;3{; 따라서 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개이다. 책을 x일 동안 대여한다고 하면 1200+700(x-3)É5400 ∴ xÉ9 따라서 최대 9일 동안 대여할 수 있다. 02 Action 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2로 놓는다. 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면 (x-2)+x+(x+2)<36 ∴ x<12 따라서 x의 값 중 가장 큰 홀수는 11이므로 구하는 세 자연 수는 9, 11, 13이다. 08 Action 증명사진을 x장 인화한다고 할 때, 10장까지는 5000원이고 (x-10)장은 한 장당 300원임을 이용한다. 증명사진을 x장 인화한다고 하면 5000+300(x-10)É400x ∴ x¾20 따라서 증명사진을 20장 이상 인화해야 한다. 03 Action (평균)= (전체 자료의 합) (전체 자료의 개수) 임을 이용한다. 5회째 시험에서의 점수를 x점이라 하면 4회의 시험 성적의 총합은 75_4=300(점)이므로 300+x 5 ¾77 ∴ x¾85 따라서 5회째 시험에서 85점 이상을 받아야 한다. 09 Action x개월 후의 형과 동생의 예금액을 각각 구한다. x개월 후부터 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배보다 적어 진다고 하면 ∴ x>10 30000+3000x<2(10000+2000x) …… 60% 따라서 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배보다 적어지는 것은 11개월 후부터이다. …… 40% 04 Action 사람의 몸무게와 상자 여러 개의 무게의 합은 480 kg 이하이다. 상자의 개수를 x개라 하면 90+20xÉ480 ∴ xÉ :£2»: 10 Action (집 근처 가게에서 산 음료수의 가격)>(할인 매장에서 산 음 료수의 가격)+(왕복 교통비)임을 이용한다. 음료수를 x캔 산다고 하면 800x>500x+1200 ∴ x>4 유리하다. 따라서 한 번에 최대 19개의 상자를 운반할 수 있다. 따라서 음료수를 5캔 이상 살 경우 할인 매장에서 사는 것이 05 Action 볼펜의 수를 x자루라 하고 색연필의 수를 x를 이용하여 나타 볼펜의 수를 x자루라 하면 색연필의 수는 (14-x)자루이므 낸다. 로 1000(14-x)+1600xÉ19100 ∴ xÉ ;;Á2¦;; 따라서 볼펜은 최대 8자루까지 살 수 있다. 11 Action (비회원 배송료)=(배송료)_(주문 횟수)이고 (회원 배송료)=(연회비)+(배송료)_(주문 횟수)임을 이용한다. 일 년에 책을 주문하는 횟수를 x회라 하면 2000x>6000+1000x ∴ x>6 따라서 일년에 7회 이상 책을 주문하면 회원으로 가입하는 것이 유리하다. Ⅲ . 일차부등식 | 25 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 12 Action (한 달 요금)=(기본료)+(초당 통화 요금)_(통화 시간)임 18 Action (시간)= 임을 이용하여 부등식을 세운다. (거리) (속력) 시속 4`km로 걸은 거리를 x`km라 하면 시속 5`km로 걸은 거리는 (13-x)`km이므로 + ;4{; 13-x 5 É3 ∴ xÉ8 따라서 시속 4`km로 걸은 거리는 8`km 이하이다. 19 Action (올라갈 때 걸린 시간)+(내려올 때 걸린 시간)이 6시간 이내 임을 이용하여 부등식을 세운다. x`km까지 올라갔다 내려온다고 하면 x 2.4 x 4 + É6 ∴ xÉ9 따라서 최대 9`km까지 올라갔다 내려올 수 있다. 20 Action 15분은 ;6!0%; 역에서 서점까지의 거리를 x km라 하면 시간임을 이용하여 단위를 통일시킨다. …… 40% + + É1 ;4{; ;6!0%; ;2{; ∴ xÉ1 따라서 역에서 1`km 이내에 있는 서점을 이용할 수 있다. …… 60% …… 40% 21 Action (거리)=(속력)_(시간)임을 이용하여 부등식을 세운다. x분 동안 걷는다고 하면 3_ +4_ ¾2.8 ∴ x¾24 x 60 x 60 따라서 24분 이상 걸어야 한다. 을 이용한다. 한 달 동안 이용한 통화 시간을 x분이라 하면  A 요금제를 이용할 때의 한 달 요금은 12000+3_60x=12000+180x (원)  B 요금제를 이용할 때의 한 달 요금은 15000+2_60x=15000+120x (원)  A 요금제를 선택하는 것이 유리하려면 12000+180x<15000+120x ∴ x<50 따라서 한 달 동안 이용한 통화 시간이 50분 미만일 때, A요 금제를 선택하는 것이 유리하다. 13 Action 입장하는 사람 수를 x명이라 하고 x명의 입장료와 20명의 단 체 입장료를 각각 구하여 부등식을 세운다. 입장하는 사람 수를 x명이라 하면 5000x>5000_ _20 ;1¥0¼0; …… 60% 따라서 17명 이상이면 20명의 단체 입장권을 사는 것이 유리 ∴ x>16 하다. 14 Action (정가)=(원가)+(이익)이고 (판매 가격)=(정가)-(할인 금액)임을 이용한다. 원가를 x원이라 하면 정가는 x 1+ 원이므로 { ;1Á0¥0;} 1+ x { ;1Á0¥0;} -3000¾x 1+ { ;1Á0ª0;} ∴ x¾50000 따라서 원가는 50000원 이상이다. 15 Action 원가에 x %의 이익을 붙여 정가를 정한다고 하고 부등식을 원가에 x %의 이익을 붙여 정가를 정한다고 하면 정가는 세운다. { { 16 Action (사다리꼴의 넓이)= _(높이)임을 이용한다. ;2!; _{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)} 아랫변의 길이를 x`cm라 하면 _(6+x)_8¾64 ∴ x¾10 ;2!; 따라서 아랫변의 길이는 10`cm 이상이어야 한다. 2500 1+ 원이므로 ;10{0;} 22 Action (설탕의 양)= (설탕물의 농도) 100 _(설탕물의 양)임을 이용하 2500 1+ _0.8¾2500_1.04 ∴ x¾30 ;10{0;} 여 부등식을 세운다. 따라서 원가에 30 % 이상의 이익을 붙여 정가를 정해야 한다. 8 %의 설탕물을 x g 섞는다고 하면 14 %의 설탕물은 (300-x) g 섞으므로 x+ ;10*0_ ;1Á0¢0;_ (300-x)É _300 ;1Á0ª0; ∴ x¾100 따라서 8 %의 설탕물은 100`g 이상 섞어야 한다. 17 Action 만들어지는 회전체는 원기둥임을 이용한다. ABÓ의 길이를 x`cm라 하면 만들어지는 회전체는 밑면의 반 지름의 길이가 4`cm이고 높이가 x`cm인 원기둥이므로 p_4Û`_xÉ112p ∴ xÉ7 따라서 ABÓ의 길이는 7`cm 이하이어야 한다. 23 Action 물을 증발시키면 소금의 양은 변하지 않고 소금물의 양은 증 발시킨 물의 양만큼 줄어든다. 증발시켜야 하는 물의 양을 x`g이라 하면 200¾ ;10%0_ ;10*0_ (200-x) ∴ x¾75 따라서 증발시켜야 하는 물의 양은 75 g 이상이다. 26 | 정답과 풀이 정답과 풀이 24 Action 증발시키는 물의 양만큼 소금을 더 넣으므로 전체 소금물의 양은 변하지 않음을 이용한다. 03 Action 단체의 인원 수를 x명으로 놓고, x명이 10 %를 할인 받은 입 장료와 50명이 20 %를 할인 받은 입장료를 각각 구하여 부등식을 세 증발시켜야 하는 물의 양을 x`g이라 하면 더 넣은 소금의 양 운다. 도 x`g이므로 (소금물의 양)=400-x+x=400 (g) (소금의 양)= _400+x=20+x (g) ;10%0; 20+x 400 _100¾10 ∴ x¾20 따라서 최소 20`g의 물을 증발시켜야 한다. 단체의 인원 수를 x명(30Éx<50)이라 하면 1200_ _x>1200_ _50 ∴ x> ;1»0¼0; ;1¥0¼0; 따라서 45명 이상이면 50명의 단체 입장료를 내는 것이 유리 ;:$9):); 하다. 04 Action 4000원을 할인 받을 때와 6 %를 할인 받을 때의 가격을 각 각 구하여 부등식을 세운다. 학용품을 x개 산다고 하면 5000x-4000>5000x_ ;1»0¢0; ∴ x> :¢3¼: 따라서 학용품을 14개 이상 구입할 때, 6 %를 할인해 주는 쿠폰을 사용하는 것이 유리하다. 05 Action 전체 일의 양을 1로 놓고 남자 1명, 여자 1명이 하루에 하는 일의 양을 각각 구해 본다. 전체 일의 양을 1이라 하면 남자 1명이 하루에 하는 일의 양은 06 Action (시속 40 km로 달릴 때 걸린 시간)-(시속 50 km로 달릴 때 걸린 시간)이 15분 이상임을 이용하여 부등식을 세운다. 집에서 할머니 댁까지의 거리를 x km라 하면 따라서 집에서 할머니 댁까지의 거리는 50 km 이상이므로 시속 25 km로 달리면 최소 2(시간)이 걸린다. ;2%5);= 07 Action 배가 거슬러 올라갈 때와 내려올 때의 속력을 각각 구해 본다. 강을 거슬러 올라갈 때의 속력은 12-8=4, 즉 시속 4 km 이고 강을 따라 내려올 때의 속력은 12+8=20, 즉 시속 x`km까지 거슬러 올라갔다 내려온다고 하면 20 km이다. É3 ;4{;+;2Ó0; ∴ xÉ10 따라서 최대 10 km까지 거슬러 올라갔다 내려올 수 있다. …… 20% …… 50% …… 30% Ⅲ . 일차부등식 | 27 최고 수준 완성하기 P 58 - P 59 점 01 ;;Á9»;;  05 5명 02 14회 03 45명 04 14개 06 2시간 07 10 km 08 100 g 01 Action (가산점의 합)=(가산점의 평균)_(심판 수)임을 이용한다. A대회에서 6명의 심판에게 받은 가산점의 합은 이고, 여자 1명이 하루에 하는 일의 양은 ;7!; ;1Á0; 이다. 여자를 x명이라 하면 남자는 (8-x)명이므로 _6=11(점) ;;Á6Á;; B대회에서 9명의 심판에게 받은 가산점의 평균을 x점이라 _(8-x)+ x¾1 ∴ `x¾ ;1Á0; ;7!; :Á3¢: 따라서 여자는 5명 이상 필요하다. 하면 가산점의 합은 x_9=9x(점) A, B 두 대회에서 받은 가산점의 평균이 2점 이상이어야 하 ¾2 ∴ x¾ ;;Á9»;; 므로 11+9x 15 한다. 따라서 B대회에서 받은 가산점의 평균은  점 이상이어야 ;;Á9»;; - ¾ ;6!0%; ;5Ó0; ;4Ó0; ∴ x¾50 02 Action 지수가 이긴 횟수를 x회로 놓고, 지수가 진 횟수, 건우가 이긴 횟수, 건우가 진 횟수를 각각 x를 사용하여 나타낸다. 지수가 이긴 횟수를 x회라 하면 지수가 진 횟수는 (20-x) 회이고, 건우가 이긴 횟수는 (20-x)회, 건우가 진 횟수는 x 회이다. 20회에 걸쳐 지수가 얻은 점수는 4x+2(20-x)=2x+40(점) 건우가 얻은 점수는 4(20-x)+2x=80-2x(점) 이때 지수가 15점 이상의 차로 이겼으므로 2x+40-(80-2x)¾15 ∴ x¾ :°4°: 따라서 지수가 이긴 횟수는 최소 14회이다.     최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 Lecture ⑴ (강을 거슬러 올라갈 때의 속력) =(정지한 물에서의 배의 속력)-(강물의 속력) ⑵ (강을 따라 내려올 때의 속력) =(정지한 물에서의 배의 속력)+(강물의 속력) 08 Action 4 %의 소금물의 양을 x g으로 놓고, 8 %의 소금물의 양을 x를 사용하여 나타낸다. (300-x) g 섞는다. 4`%의 소금물을 x`g 섞는다고 하면 8`%의 소금물은 02 Action 먼저 한 개의 수문에서 1분 동안 흘려보내는 물의 양을 구한다. 한 개의 수문에서 1분 동안 흘려보내는 물의 양을 p톤이라 하면 3개의 수문을 동시에 열어 20분 만에 모두 흘려보냈으 므로 다. 3_p_20=3000+150_20 60p=6000 ∴ p=100 즉 한 개의 수문에서 1분 동안 100톤의 물을 흘려보낼 수 있 5000톤의 물과 1분 동안에 300톤씩 유입되는 물을 x개의 수 문을 열어 30분 이내에 모두 흘려보낸다고 하면 또, 4`%, 8`%, 5`%의 소금물을 섞어서 소금물 500`g을 만들 x_100_30¾5000+300_30 ∴ x¾ ;;Á3¢;; 려면 5`%의 소금물은 200`g을 섞어야 하므로 따라서 최소 5개의 수문을 열어야 한다. ;10*0; _(300-x)+ _200¾ _500 ;10%0; ;10^0; _x+ ;10$0; ∴ xÉ100 따라서 4`%의 소금물은 최대 100`g 섞어야 한다. 03 Action 처음으로 두 사람 A, B가 같은 구간에 있게 되려면 A가 걸 은 거리와 B가 걸은 거리의 차가 28`m보다 작아야 한다. B가 출발한 지 t분 후에 처음으로 두 사람 A, B가 같은 구 간에 있게 된다고 하면 A가 걸은 거리와 B가 걸은 거리의 차 는 28`m보다 작아야 하므로 35(t+30)-45t<28 ∴ t> ;:%5!:!; 한편, A가 k번째 구간에 있다고 하면 A가 B보다 앞에 있으 므로 처음으로 두 사람 A, B가 같은 구간에 있게 되는 것은 B가 k번째 전신주에서 출발하는 때이다. 최고 수준 뛰어넘기 01 28개 02 5개 03 102분 40초 후 P 60 즉 45t=28(k-1)이므로 t= (k-1) ;4@5*; t= ;4@5*; (k-1)을 t> 에 대입하면 ;:%5!:!; (k-1)> ;:%5!:!; ;4@5*; ∴ k> ;:^4^:!; 01 Action 밑면의 반지름의 길이가 r이고 높이가 h인 원기둥의 겉넓이 이때 k는 자연수이므로 k의 최솟값은 166이다. ∴ t= _(166-1)=102 ;4@5*; ;3@; 따라서 처음으로 두 사람 A, B가 같은 구간에 있게 되는 것 은 B가 출발한 지 102분 40초 후이다. 를 S라 하면 S=2pr2+2prh이다. 처음 원기둥의 겉넓이는 (p_7Û`)_2+2p_7_8=98p+112p=210p (cmÛ`) 구멍을 x개 뚫는다고 하면 구멍을 뚫은 입체도형의 겉넓이는 p_7Û`-p_ [ 2 _x {;2!;} ] _2 + 2p_7_8+2p_ _8_x ;2!; } { 이때 구멍을 뚫은 입체도형의 겉넓이가 처음 원기둥의 겉넓 = 49p- px _2+(112p+8px) { ;4!; } =210p+ px (cmÛ`) ;2!; ;;Á2°;; 이의 2배 이상이 되어야 하므로 210p+ px¾2_210p ∴ x¾28 ;;Á2°;; 따라서 구멍을 28개 이상 뚫어야 한다. 28 | 정답과 풀이 =98p- px+112p+8px 교과서 속 창의 사고력 P 61 - P 62 01 aÁ0이면 a>b ⑵ a-b<0이면 a3△k에서 (2x+1)-(5x-2)+1>3-k+1 2x+1-5x+2+1>4-k, -3x+4>4-k -3x>-k ∴ `x< ;3K; 이 부등식을 만족시키는 x의 값 중 가장 큰 정수가 4이므로 부등식의 해를 수직 선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 4< É5이므로`120이므로 x¾35 03 Action x, y가 자연수임을 이용하여 x, y의 값을 각각 구한다. 4x+3y=96에서 4x=96-3y ∴ x=24- y ;4#; 이때 x의 값이 자연수이므로 y의 값은 4의 배수이어야 한다. 즉 y=4, 8, 12, y를 x=24- y에 차례로 대입하여 x의 값을 구하면 다음 표와 같다. x y 21 4 18 8 15 12 12 16 6 24 3 28 0 y 32 y ;4#; 9 20 따라서 달걀 한 개의 도매가격에 35 % 이상의 이익을 붙여 따라서 x, y가 자연수인 해는 (21, 4), (18, 8), (15, 12), 판매 가격을 정해야 한다. (12, 16), (9, 20), (6, 24), (3, 28)의 7개이다. Ⅳ . 연립일차방정식 | 29 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 04 Action 주어진 해를 일차방정식에 대입하여 a, b의 값을 구한다. x=3, y=6을 ax-2y=3에 대입하면 3a-12=3 ∴ a=5 즉 x=b, y=11을 5x-2y=3에 대입하면 5b-22=3 ∴ b=5 ∴ a+b=5+5=10 …… 40% …… 40% …… 20% 연립방정식의 해를 해로 갖는 일차방정식이 주어질 때 ❶ 세 일차방정식 중 미지수가 없는 두 일차방정식으로 연립방정식 ❷ ❶에서 구한 해를 나머지 일차방정식에 대입하여 미지수의 값을 Lecture 을 세워 해를 구한다. 구한다. 05 Action x, y가 자연수일 때, 연립방정식의 각 방정식의 해를 구한 후 10 Action (1, -2), (5, -4)의 좌표를 일차방정식에 각각 대입한다. (1, -2), (5, -4)의 좌표를 ax+by=3에 각각 대입하면 06 Action x=p-1, y=-1을 2x+(p-2)y=3에 대입하여 연립방 ∴ a-b=-1-(-2)=1 공통인 해를 구한다. x, y가 자연수일 때, 2x+y=10의 해는 (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2) 3x-2y=1의 해는 (1, 1), (3, 4), (5, 7), (7, 10), … 따라서 연립방정식의 해는 (3, 4)이다. 정식의 해를 구한다. x=p-1, y=-1을 2x+(p-2)y=3에 대입하면 2(p-1)-(p-2)=3 ∴ p=3 따라서 주어진 연립방정식의 해는 (2, -1)이므로 x=2, y=-1을 qx-2y=8에 대입하면 2q+2=8, 2q=6 ∴ q=3 ∴ p-q=3-3=0 07 Action x, y에 대한 연립방정식에서 한 일차방정식이 x=(y에 대한 식) 또는 y=(x에 대한 식)의 꼴로 되어 있을 때, 이 식을 다른 일차 방정식에 대입한다. ㉠을 ㉡에 대입하면 3x-2(11-x)=-2, 5x=20 ∴ a=5 08 Action 주어진 연립방정식을 대입법 또는 가감법으로 풀어 본다. 2x+y=7 y ㉠ x-2y=1 y ㉡ [ 에서 ㉠-㉡_2를 하면 5y=5 ∴ y=1 y=1을 ㉡에 대입하면 x-2=1 ∴ x=3 ∴ x-y=3-1=2 a-2b=3 y ㉠ 5a-4b=3 y ㉡ [ ㉠_2-㉡ 을 하면 -3a=3 ∴ a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하면 -1-2b=3, -2b=4 ∴ b=-2 11 Action 주어진 해를 연립방정식에 대입한다. x=2, y=3을 [ ax+by=2 bx-ay=10 에 대입하면 2a+3b=2 2b-3a=10 [ , 즉 [ 2a+3b=2 y ㉠ -3a+2b=10 y ㉡ ㉠_3+㉡_2를 하면 13b=26 ∴ b=2 b=2를 ㉠에 대입하면 2a+6=2, 2a=-4 ∴ a=-2 ∴ ab=-2_2=-4 12 Action 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 동류항끼리 간단히 한 후 연립방정식을 푼다. [ 2(3x+y)+2y=10 2x+3(y-5)=-5 ㉠_2-㉡_3을 하면 ➡ 3x+2y=5 y ㉠ 2x+3y=10 y ㉡ [ -5y=-20 ∴ y=4 y=4를 ㉠에 대입하면 3x+8=5, 3x=-3 ∴ x=-1 따라서 a=-1, b=4이므로 a+b=-1+4=3 09 Action 주어진 연립방정식의 해는 연립방정식 [ 2x+5y=-9 x-4y=2 의 해와 같다. 13 Action 연립방정식의 해를 구한 후 그 해를 주어진 일차방정식에 대 주어진 연립방정식의 해는 세 방정식을 모두 만족시키므로 입하여 미지수의 값을 구한다. 연립방정식 [ 2x+5y=-9 y ㉠ x-4y=2 y ㉡ 의 해와 같다. ㉠-㉡_2를 하면 13y=-13 ∴ y=-1 y=-1을 ㉡에 대입하면 x+4=2 ∴ x=-2 따라서 x=-2, y=-1을 ax-3y=7에 대입하면 3(x-2y)=2(1-2y) 4(2x-y)-6=x+y [ ➡ 3x-2y=2 y ㉠ 7x-5y=6 y ㉡ [ …… 30% ㉠_5-㉡_2를 하면 x=-2 x=-2를 ㉠에 대입하면 -2a+3=7, -2a=4 ∴ a=-2 -6-2y=2, -2y=8 ∴ y=-4 …… 50% 30 | 정답과 풀이 정답과 풀이 따라서 x=-2, y=-4를 ax-y=-2에 대입하면 ㉠_12를 하여 정리하면 2x+3y=-4 y ㉢ -2a+4=-2, -2a=-6 ∴ a=3 …… 20% ㉡_6을 하여 정리하면 x+y=7 y ㉣ 14 Action 계수가 분수인 연립방정식은 양변에 분모의 최소공배수를 곱 y=-18을 ㉣에 대입하면 x-18=7 ∴ x=25 ㉢-㉣_2를 하면 y=-18 하여 계수를 모두 정수로 바꾼 후 푼다. x-2(x-y)=-4 [ - = ;2!; ;3}; ;4{; y ㉠ y ㉡ ㉠을 정리하면 -x+2y=-4 y ㉢ ㉡_12를 하면 3x-4y=6 y ㉣ ㉢_3+㉣ 을 하면 2y=-6 ∴ y=-3 18 Action 먼저 방정식을 연립방정식으로 바꿔서 해를 구한다. 3(x-3)+2(y-1)=5x-4y-11 2x-(3-y)=5x-4y-11 [ [ ➡ x-3y=0 y ㉠ 3x-5y=8 y ㉡ ㉠_3-㉡ 을 하면 -4y=-8 ∴ y=2 y=-3을 ㉢에 대입하면 -x-6=-4 ∴ x=-2 y=2를 ㉠에 대입하면 x-6=0 ∴ x=6 따라서 a=-2, b=-3이므로 a+b=-2+(-3)=-5 따라서 a=6, b=2이므로 a-b=6-2=4 15 Action 계수가 소수인 연립방정식은 양변에 10, 100, 1000, y과 같 이 적당한 수를 곱하여 계수를 모두 정수로 바꾼 후 푼다. 립방정식을 세운다. 19 Action x=2, y=-2를 주어진 방정식에 대입하여 a, b에 대한 연 ㉢ _3-㉣_2를 하면 -17y=51 ∴ y=-3 b=1을 ㉠에 대입하면 a-1=1 ∴ a=2 - = ;2%; ;2}; ;3{; 0.3x+0.4(y-3)=-1.5 [ ㉠_6을 하면 2x-3y=15 y ㉠ y ㉡ y ㉢ ㉡_10을 하여 정리하면 3x+4y=-3 y ㉣ y=-3을 ㉢에 대입하면 2x+9=15, 2x=6 ∴ x=3 따라서 x=3, y=-3을 3x-y=k에 대입하면 9+3=k ∴ k=12 16 Action 비례식에서 (내항의 곱)=(외항의 곱)임을 이용하여 비례식 을 일차방정식으로 나타낸다. (x-1) : (2x+y)=2 : 3 3x+2y=7 [ y ㉠ y ㉡ ㉠에서 2(2x+y)=3(x-1) 4x+2y=3x-3, x+2y=-3 y ㉢ ㉡-㉢ 을 하면 2x=10 ∴ x=5 x=5를 ㉢에 대입하면 5+2y=-3, 2y=-8 ∴ y=-4 따라서 m=5, n=-4이므로 m-n=5-(-4)=9 A=C B=C [ 중 간단한 것을 선택하여 푼다. x-1 3 x-1 3 [ = = 2x+y 4 x-y+5 6 y ㉠ y ㉡ 17 Action 방정식 A=B=C는 연립방정식 [ A=B A=C A=B , , [ B=C x=2, y=-2를 주어진 방정식에 대입하면 2a-2b-2=6b-2a-2=0 2a-2b-2=0 6b-2a-2=0 [ ➡ ㉠+㉡ 을 하면 2b=2 [ a-b=1 y ㉠ -a+3b=1 y ㉡ ∴ b=1 ∴ a+b=2+1=3 20 Action x : y=1 : 3이므로 y=3x임을 이용한다. x : y=1 : 3이므로 y=3x y=3x를 2x-y=6에 대입하면 2x-3x=6 ∴ x=-6 x=-6을 y=3x에 대입하면 y=-18 따라서 x=-6, y=-18을 ax-2y=3에 대입하면 -6a+36=3, -6a=-33 ∴ a= :Á2Á: Lecture ⑴ y의 값이 x의 값의 a배이다. ➡ y=ax ⑵ y의 값이 x의 값보다 b만큼 크다. ➡ y=x+b ⑶ x의 값과 y의 값의 차가 c이다. (단, x¾y) ➡ x-y=c ⑷ x의 값과 y의 값의 비가 m : n이다. ➡ x : y=m : n, 즉 my=nx에서 y= n m x 21 Action y의 값이 x의 값의 2배이므로 y=2x임을 이용한다. y의 값이 x의 값의 2배이므로 y=2x y=2x를 3x+y=10에 대입하면 3x+2x=10, 5x=10 ∴ x=2 x=2를 y=2x에 대입하면 y=4 따라서 x=2, y=4를 x+3y=a+15에 대입하면 2+12=a+15 ∴ a=-1 Ⅳ. 연립일차방정식 | 31 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 22 Action y의 값이 x의 값보다 3만큼 크므로 y=x+3임을 이용한다. x+0.6y=k ;5!; x+2y=3 ➡ x+3y=5k x+2y=3 [ [ y의 값이 x의 값보다 3만큼 크므로 y=x+3 y ㉢ y ㉠ y ㉡ ㉢ 을 ㉡에 대입하면 x+2(x+3)=3, x+2x+6=3 3x=-3 ∴ x=-1 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-1+3=2 따라서 x=-1, y=2를 ㉠에 대입하면 -1+6=5k, 5k=5 ∴ k=1 23 Action x의 값과 y의 값이 서로 같으므로 y=x임을 이용한다. x의 값과 y의 값이 서로 같으므로 y=x 주어진 연립방정식에 y=x를 대입하면 26 Action 주어진 두 연립방정식의 해는 연립방정식 [ 와 같다. x+2y=9 x-y=3 의 해 주어진 두 연립방정식의 해는 연립방정식 x+2y=9 y ㉠ x-y=3 y ㉡ [ 의 해와 같다. ㉠ -㉡ 을 하면 3y=6 ∴ y=2 y=2를 ㉡에 대입하면 x-2=3 ∴ x=5 x=5, y=2를 3x+y=a에 대입하면 15+2=a ∴ a=17 x=5, y=2를 x+by=7에 대입하면 5+2b=7, 2b=2 ∴ b=1 ∴ a+b=17+1=18 Lecture 두 연립방정식의 해가 서로 같을 때 ax-x=4 y ㉠ 3x+ax=6 y ㉡ [ 따라서 x= 을 ㉠ 에 대입하면 ;2!; ㉠-㉡ 을 하면 -4x=-2 ∴ x= , y= …… 60% 구한다. ;2!; ;2!; 두 연립방정식의 해가 서로 같을 때, 네 일차방정식 중에서 미지수 를 포함하지 않은 두 일차방정식으로 연립방정식을 세워 해를 구한 후 그 해를 나머지 두 일차방정식에 각각 대입하여 미지수의 값을 a- =4, a= ;2(; ;2!; ;2!; ;2!; ∴ a=9 …… 40% 27 Action 주어진 네 일차방정식의 공통인 해는 연립방정식 25 Action 주어진 연립방정식에서 a, b를 서로 바꾸어 연립방정식을 만 ∴ a=6 24 Action ㉡의 y의 계수 3을 a로 잘못 보았다고 하고 x=2를 주어진 연립방정식에 대입한다. ㉡의 y의 계수 3을 a로 잘못 보았다고 하면 2x+ay=-8 y ㉢ x=2를 ㉠에 대입하면 6-y=2 ∴ y=4 이때 x=2, y=4를 ㉢에 대입하면 4+4a=-8, 4a=-12 ∴ a=-3 따라서 ㉡의 y의 계수 3을 -3으로 잘못 보고 풀었다. 들고, 주어진 해를 대입한다. x=1, y=3은 [ bx+ay=1 ax+by=-5 의 해이므로 ㉠-㉡_3을 하면 -8b=16 ∴ b=-2 3a+b=1 y ㉠ a+3b=-5 y ㉡ [ b=-2를 ㉡에 대입하면 a-6=-5 ∴ a=1 따라서 처음 연립방정식은 [ x-2y=1 -2x+y=-5 y ㉣ y ㉢ ㉢_2+㉣ 을 하면 -3y=-3 ∴ y=1 y=1을 ㉢에 대입하면 x-2=1 ∴ x=3 따라서 처음 연립방정식의 해는 x=3, y=1 32 | 정답과 풀이 2x+3y=-5 5x+2y=4 [ 의 해와 같다. 주어진 네 일차방정식의 공통인 해는 연립방정식 2x+3y=-5 y ㉠ 5x+2y=4 y ㉡ [ 의 해와 같다. ㉠ _5-㉡_2를 하면 11y=-33 ∴ y=-3 y=-3을 ㉠에 대입하면 2x-9=-5, 2x=4 ∴ x=2 …… 40% x=2, y=-3을 ax-y=3(a-1)에 대입하면 2a+3=3(a-1), 2a+3=3a-3 x=2, y=-3, a=6을 bx+(1-a)y=13에 대입하면 2b+15=13, 2b=-2 ∴ b=-1 ∴ ab=6_(-1)=-6 …… 20% …… 20% …… 20% 28 Action 연립방정식의 한 일차방정식에 적당한 수를 곱하였을 때, 나 머지 일차방정식과 일치하면 해가 무수히 많다. 2x-y=a+4 6x-3y=-12 [ , 즉 6x-3y=3(a+4) 6x-3y=-12 [ 의 해가 무수히 많으므로 3(a+4)=-12, 3a+12=-12 3a=-24 ∴ a=-8 정답과 풀이 29 Action 연립방정식의 한 일차방정식에 적당한 수를 곱하였을 때, x, 이때 x, y의 최소공배수가 72인 것은 x=24, y=9이므로 y의 계수는 각각 같고 상수항이 다르면 해가 없다. x-y=24-9=15 (a-3)x+y=3 4x-2y=a+b [ , 즉 [ -2(a-3)x-2y=-6 4x-2y=a+b 의 해가 없 으려면 -2(a-3)=4, -6+a+b이어야 한다. -2(a-3)=4에서 -2a+6=4 -2a=-2 ∴ a=1 03 Action 먼저 주어진 약속에 따라 일차방정식을 세운다. 2Cx=4-3x+6=-3x+10 yC3=2y-9+6=2y-3 2Cx=yC3에서 -3x+10=2y-3 -6+a+b에서 -6+1+b ∴ b+-7 ∴ 3x+2y=13 30 Action 연립방정식이 x=0, y=0 이외의 해를 가지므로 해가 무수 (1, 5), (3, 2) 이때 x, y는 자연수이므로 3x+2y=13의 해는 히 많다. 2x+y=0 3x+2y=kx [ , 즉 [ 4x+2y=0 (3-k)x+2y=0 의 해를 가지므로 해가 무수히 많다. 따라서 4=3-k이므로 k=-1 이 x=0, y=0 이외 최고 수준 완성하기 P 71 - P 74 x=1을 ㉡에 대입하면 04 Action 지수법칙을 이용하여 x, y에 대한 일차방정식을 세운다. 3Å`_27´`=9Þ`에서 3Å`_(3Ü`)´`=(3Û`)Þ` 3Å`_33y=3Ú`â`, 3x+3y=3Ú`â` ∴ x+3y=10 따라서 주어진 연립방정식의 해는 연립방정식 4x+3y=13 y ㉠ x+3y=10 y ㉡ ㉠ -㉡ 을 하면 3x=3 [ 의 해와 같다. ∴ x=1 1+3y=10, 3y=9 ∴ y=3 x=1, y=3을 ax+y=-1에 대입하면 a+3=-1 ∴ a=-4 Lecture 지수법칙 a+0이고, m, n이 자연수일 때 ⑴ am_an=am+n ⑵ (am)n=amn ⑶ amÖan= am-n (m>n) (m=n) 1 1 an-m (my이고 x의 값과 y의 값의 차가 3이므로 x-y=3 ∴ x=y+3 x=y+3을 ㉢에 대입하면 2(y+3)-y=a-1 y ㉡ x=y+3을 ㉣에 대입하면 6(y+3)-5y=3a-15 ∴ y=a-7 ∴ y=3a-33 y ㉤ y ㉥ ㉤, ㉥에서 a-7=3a-33, -2a=-26 ∴ a=13 p= 을 ㉠에 대입하면 a=2 ∴ a=6 ;3!; ;3!; 07 Action 계수를 모두 정수로 바꾼 후 연립방정식을 푼다. y ㉠ 0.H2x-0.H3y=1.H1 x-1 8 y+1 4 - = [ ;8!; ㉠에서 x- y= ;9@; ;9#; 11-1 9 , 2x-3y=10 y ㉢ ㉡_8을 하여 정리하면 x-2y=4 y ㉣ ㉢-㉣_2를 하면 y=2 y=2를 ㉣에 대입하면 x-4=4 ∴ x=8 …… 60% 이때 3(x-2y)-2(x+3y) =3x-6y-2x-6y =x-12y …… 20% x=8, y=2를 위의 식에 대입하면 x-12y=8-12_2=-16 …… 20% 08 Action 연립방정식 [ x-2 2 = x+y 3 y+2=2(x-2) 의 해가 x=p, y=q이면 연 립방정식 [ ax+by=4 bx-ay=6 = x+y 3 x-2 2 y+2=2(x-2) [ y ㉡ ㉠_6을 하여 정리하면 x-2y=6 y ㉢ ㉡을 정리하면 2x-y=6 y ㉣ ㉢_2-㉣ 을 하면 -3y=6 ∴ y=-2 y=-2를 ㉢에 대입하면 x+4=6 ∴ x=2 -2a+2b=4 -2b-2a=6 [ ➡ a-b=-2 y ㉤ a+b=-3 y ㉥ [ ㉤+㉥ 을 하면 2a=-5 ∴ a=- ;2%; a=- 를 ㉥에 대입하면 ;2%; - +b=-3 ∴ b=- ;2!; 므로 ;2%; ;bA; ∴ =aÖb=- Ö - { ;2%; ;2!;} =- _(-2)=5 ;2%; x=y+3임을 이용한다. [ 2x+1=y+a (2x-a) : (y-3)=5 : 3 y ㉡ ㉠ 을 정리하면 2x-y=a-1 y ㉢ y ㉠ 34 | 정답과 풀이 10 Action x : y=2 : 3이므로 3x=2y임을 이용한다. 2x+ay=19 3x+2y+7=19 [ ➡ 2x+ay=19 y ㉠ 3x+2y=12 y ㉡ [ x : y=2 : 3이므로 3x=2y y ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 2y+2y=12, 4y=12 ∴ y=3 y=3을 ㉢에 대입하면 3x=6 ∴ x=2 x=2, y=3을 ㉠ 에 대입하면 4+3a=19, 3a=15 ∴ a=5 x-2y+4 2 2x+y+a 3 [ =y+a =y+a ㉠_2를 하여 정리하면 x-4y=2a-4 y ㉢ ㉡_3을 하여 정리하면 x-y=a y ㉣ y ㉠ y ㉡ 4-a 3 y= x- 4-a 3 4-a 3 를 ㉣에 대입하면 =a ∴ x= 2a+4 3 따라서 2a+4 3 2a+4=2, 2a=-2 = ;3@; 이므로 ∴ a=-1 12 Action ;[!; =A, ;]!; =B로 놓고 A, B에 대한 연립방정식을 푼다. =A, =B라 하면 [ ;]!; ;[!; 3A+2B=8 y ㉠ A-4B=-2 y ㉡ ∴ B=1 B=1을 ㉡에 대입하면 A-4=-2 ∴ A=2 즉 ;[!; =2, =1이므로 연립방정식의 해는 x= , y=1 ;2!; 따라서 p= , q=1이므로 2p+q=2_ +1=2 ;2!; ;]!; ;2!; 따라서 연립방정식 의 해는 x=-2, y=2이 ㉢-㉣ 을 하면 -3y=a-4 ∴ y= ax+by=4 bx-ay=6 [ 09 Action x>y이고 x의 값과 y의 값의 차가 3이므로 x-y=3, 즉 ㉠-㉡_3을 하면 14B=14 정답과 풀이 13 Action x, y, z 중 한 문자를 없애고 미지수가 2개인 연립방정식을 만 든다. x+y=1 y ㉠ y+z=2 z+x=3 [ ㉠-㉡ 을 하면 x-z=-1 y ㉣ y ㉡ y ㉢ ㉢+㉣ 을 하면 2x=2 ∴ x=1 x=1을 ㉠에 대입하면 1+y=1 ∴ y=0 x=1을 ㉢에 대입하면 z+1=3 ∴ z=2 따라서 연립방정식의 해는 x=1, y=0, z=2 다른 풀이 ㉠+㉡+㉢ 을 하면 2(x+y+z)=6 ∴ x+y+z=3 y ㉤ ㉤-㉠ 을 하면 z=2 ㉤-㉡ 을 하면 x=1 ㉤-㉢ 을 하면 y=0 Lecture 미지수가 3개인 연립방정식 따라서 연립방정식의 해는 x=1, y=0, z=2 세 미지수 중 한 미지수를 소거하여 미지수가 2개인 연립방정식을 만들고 해를 구한 후 그 해를 세 일차방정식 중 가장 간단한 일차방 정식에 대입하여 나머지 미지수의 값을 구한다. 14 Action 2Å`=A, 3´ =B로 놓고 A, B에 대한 연립방정식을 푼다. 2x+1=2_2Å`, 3y+2=3Û`_3´`=9_3´`이므로 2Å`=A, 3´`=B라 하면 A+9B=85 y ㉠ 2A-B=-1 y ㉡ [ ㉠_2-㉡을 하면 19B=171 ∴ B=9 B=9를 ㉠에 대입하면 A+81=85 ∴ A=4 즉 2Å`=4=2Û`, 3´`=9=3Û`이므로 x=2, y=2 ∴ xy=2_2=4 15 Action 연립방정식의 해가 무수히 많은 경우와 해가 없는 경우의 조 건을 찾는다. x+3y=-a [ 3x-by=6 3x+9y=-3a , 즉 [ 3x-by=6 의 해가 무수히 많으므로 9=-b, -3a=6 ∴ a=-2, b=-9 …… 60% cx+6y=-2 2x+3y=-4 [ , 즉 [ cx+6y=-2 4x+6y=-8 의 해가 없으므로 c=4 16 Action 연립방정식의 한 일차방정식에 적당한 수를 곱하였을 때, 나 머지 일차방정식과 일치하면 연립방정식의 해가 무수히 많다. ax-by=a [ bx-ay=-a ax-by=a , 즉 [ -bx+ay=a 의 해가 무수히 많으므로 a=-b a=-b를 ax-by=a에 대입하면 -bx-by=-b 이때 b+0이므로 양변을 -b로 나누면 x+y=1 Lecture ab+0이면 a+0이고 b+0이다. 최고 수준 뛰어넘기 P 75 - P 76 01 (a-1)개 02 x=- :Á4£:, y= :Á4°: 03 15 04 85 05 1 06 x=3, y=3 또는 x=-3, y=1 01 Action x+3y=3a, 즉 x=3a-3y에 y=1, 2, 3, y을 차례로 대 입한 후 x의 값이 자연수임을 이용한다. x+3y=3a에서 x=3a-3y y=1, 2, 3, y을 x=3a-3y에 차례로 대입하면 y=1일 때, x=3a-3 y=2일 때, x=3a-6 y=3일 때, x=3a-9 y y=a-1일 때, x=3a-3(a-1)=3 y=a일 때, x=3a-3a=0 따라서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 (a-1)개이다. 02 Action x>y, xy일 때, max(x, y)=x, min(x, y)=y이므로 x=2x+3y-1 y=-2x-y-6 [ ➡ x+3y=1 y ㉠ x+y=-3 y ㉡ [ ㉠-㉡ 을 하면 2y=4 ∴ y=2 y=2를 ㉡에 대입하면 x+2=-3 ∴ x=-5 Ⅳ. 연립일차방정식 | 35 ∴ a-b+c=-2-(-9)+4=11 이때 xy)으로 놓고 연립방 때, x회 이기고 y회 졌다면 위치의 변화는 ax-by이다. 정식을 세운다. ⑶ A, B 두 사람이 가위바위보를 할 때, A가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를 y회라 하면 B가 이긴 횟수는 y회, 진 횟수는 x회이다. (단, 비기는 경우는 없다.) 두 티셔츠의 원가를 각각 x원, y원(x>y)이라 하면 13 Action 작년의 학생 수와 학생 수의 증가량에 대한 연립방정식을 세 운다. 작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 x+y=1000 [ x- ;10%0; ;1Á0¼0; y=-10 ∴ x=600, y=400 ➡ x+y=1000 x-2y=-200 [ 38 | 정답과 풀이 1+ ;1Á0¼0;} { x-y=4000 [ x+ 1+ { ;1Á0¼0;} y=22000 [ ➡ x+y=20000 x-y=4000 ∴ x=12000, y=8000 따라서 두 티셔츠의 정가는 각각 1+ ;1Á0¼0;} 1+ ;1Á0¼0;} { { _12000=13200(원), _8000=8800(원) 정답과 풀이 17 Action 상품 A를 x개, 상품 B를 y개 판매하였다고 놓고 연립방정식 22 Action 두 사람이 만날 때까지 걸린 시간이 같음을 이용하여 연립방 을 세운다. 정식을 세운다. 상품 A를 x개, 상품 B를 y개 판매하였다고 하면 성준이가 걸은 거리를 x m, 미영이가 걸은 거리를 y m라 x+y=54 [ ;1°0¼0; ∴ x=24, y=30 _300x+ _700y=9900 ;1£0¼0; 따라서 상품 A를 24개 판매하였다. ➡ x+y=54 [ 5x+7y=330 18 Action 전체 일의 양을 1로 놓고 세준이와 재환이가 하루에 할 수 있 는 일의 양을 각각 x, y라 한다. 하면 x+y=2100 ;8Ò [ ∴`x=1200, y=900 Ó0;=;6Õ0; ➡ [ x+y=2100 3x-4y=0 따라서 두 사람이 만날 때까지 걸린 시간은 =15(분) ;:!8@0):); …… 80% …… 20% 전체 일의 양을 1로 놓고 세준이와 재환이가 하루에 할 수 있 23 Action 형과 동생이 이동한 거리는 같음을 이용하여 연립방정식을 는 일의 양을 각각 x, y라 하면 세운다. 형과 동생이 출발한 후 학교 정문에 도착할 때까지 걸린 시간 6x+6y=1 9x+4y=1 [ ∴ x= , y= ;1Á0; ;1Á5; …… 80% 따라서 재환이가 혼자서 이 일을 끝마치려면 10일이 걸린다. …… 20% 19 Action 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1로 놓는다. 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1로 놓고 두 수도 꼭지 A, B로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을 각각 x, y라 하면 20x+12(x+y)=1 30x+15y=1 [ ➡ 32x+12y=1 30x+15y=1 [ ∴ x= , y= ;4Á0; ;6Á0; 따라서 수도꼭지 B로만 물을 가득 채우는 데 60분이 걸린다. 을 각각 x분, y분이라 하면 [ x=y+20 50x=150y ∴ x=30, y=10 ➡ x=y+20 x=3y [ 따라서 동생이 출발한 후 학교 정문에 도착할 때까지 걸린 시 간은 10분이다. 24 Action 승호의 속력을 분속 x m, 연주의 속력을 분속 y m로 놓고 연 립방정식을 세운다. 승호의 속력을 분속 x m, 연주의 속력을 분속 y m라 하면 [ 10x+10y=2000 50x-50y=2000 ∴ x=120, y=80 ➡ x+y=200 x-y=40 [ 따라서 승호의 속력은 분속 120 m, 연주의 속력은 분속 20 Action 버스를 타고 간 거리를 x km, 걸어간 거리를 y km로 놓고 연립방정식을 세운다. 버스를 타고 간 거리를 x km, 걸어간 거리를 y km라 하면 80 m이다. Lecture 트랙을 도는 문제 x+y=183 ;6Ó0; [ ;3}; ∴ x=180, y=3 =4 + ➡ x+y=183 x+20y=240 [ 따라서 버스를 타고 간 거리는 180 km이다. A, B 두 사람이 트랙의 같은 지점에서 동시에 출발하였을 때, ⑴ 반대 방향으로 돌다 처음으로 만나면 (A, B가 이동한 거리의 합)=(트랙의 둘레의 길이) ⑵ 같은 방향으로 돌다 처음으로 만나면 (A, B가 이동한 거리의 차)=(트랙의 둘레의 길이) 21 Action 거리, 속력, 시간의 단위를 맞춘 후 연립방정식을 세운다. 갈 때 걸은 거리를 x km, 올 때 걸은 거리를 y km라 하면 25 Action 강을 거슬러 올라갈 때와 강을 따라 내려올 때, 배의 속력과 강물의 속력 사이의 관계를 생각하여 연립방정식을 세운다. 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x km, 강물의 속력을 시 y=x+0.5 [ = + + ;4{; ;6!; ∴ x=2, y=2.5 ;3}; ;2#; ➡ y=x+0.5 3x+4y=16 [ 따라서 건우가 걸은 총 거리는 2+2.5=4.5 (km) 속 y km라 하면 3(x-y)=40 2(x+y)=40 [ ➡ 3x-3y=40 x+y=20  [ ∴ `x= , y= :°3¼: :Á3¼: Ⅳ. 연립일차방정식 | 39 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 km, 강물의 따라서 더 넣은 물의 양은 :°3¼: 속력은 시속 km이다. :Á3¼: Lecture 흐르는 강물에서의 배의 속력에 대한 문제 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x km, 강물의 속력을 시속 y km라 하면 ⑴ 강을 거슬러 올라갈 때의 속력 ➡ 시속 (x-y) km ⑵ 강을 따라 내려올 때의 속력 ➡ 시속 (x+y) km 2x=2_140=280 (g) …… 20% Lecture 소금의 양에 대한 문제 농도가 다른 두 소금물을 섞으면 농도는 변하지만 소금의 양은 변 하지 않는다. 또, 소금물에 물을 더 넣거나 소금물의 물을 증발시켜 도 소금의 양은 변하지 않는다. 29 Action 섞은 두 소금물의 소금의 양에 대한 연립방정식을 세운다. 그릇 A에 들어 있는 소금물의 농도를 x %, 그릇 B에 들어 26 Action (다리의 길이)+(열차의 길이)=(열차가 이동한 거리)임을 이용하여 연립방정식을 세운다. 다리의 길이를 x m, 화물 열차의 속력을 초속 y m라 하면 특 _200+ _100= _300 있는 소금물의 농도를 y %라 하면 _100+ _200= _300 ;10*0; ;10^0; ;10{0; ;10{0; [ ;10}0; ;10}0; ➡ x+2y=24 2x+y=18 [ ∴ x=4, y=10 급 열차의 속력은 초속 2y m이므로 [ x+180=50y x+120=23_2y ∴`x=570, y=15 ➡ x-50y=-180 x-46y=-120 [ 따라서 다리의 길이는 570 m이다. 따라서 그릇 B에 들어 있는 소금물의 농도는 10 %이다. 30 Action 구리와 아연의 양에 대한 연립방정식을 세운다. 필요한 합금 A의 양을 x g, 합금 B의 양을 y g이라 하면 ➡ 3x+2y=6000 x+2y=3000 [ 따라서 합금 A는 1500 g, 합금 B는 750 g이 필요하다. 27 Action 설탕물의 양과 설탕의 양에 대한 연립방정식을 세운다. 3 %의 설탕물의 양을 x g, 6 %의 설탕물의 양을 y g이라 하면 [ x+y=750 ;10#0; x+ y= ;10^0; ;10$0; _750 ∴ x=500, y=250 ➡ x+y=750 x+2y=1000 [ x+ ;1Á0¼0; y=300 ;1Á0°0; x+ ;1Á0°0; [ ∴`x=1500, y=750 ;1£0¼0; y=450 Lecture 따라서 3 %의 설탕물 500 g, 6 %의 설탕물 250 g을 섞으면 합금과 식품에 대한 문제 된다. Lecture 농도에 대한 문제 ⑴ (소금물 A의 양)+(소금물 B의 양)=(전체 소금물의 양) ⑵ (소금물 A에 들어 있는 소금의 양) +(소금물 B에 들어 있는 소금의 양) =(전체 소금의 양) ⑴ (금속의 양)= _(합금의 양) (금속의 백분율) 100 ⑵ (영양소의 양)= (영양소의 백분율) 100 _(식품의 양) 28 Action 물을 더 넣어도 소금의 양은 변하지 않음을 이용하여 연립방 정식을 세운다. 최고 수준 완성하기 P 83 - P 85 5 %의 소금물의 양을 x g, 10 %의 소금물의 양을 y g이라 01 24 02 사과 : 6개, 복숭아 : 9개 03 26.6점 하면 더 넣은 물의 양은 2x g이므로 x+y+2x=500 [ x+ y ;10%0; ;1Á0¼0;; =;10#0; _500 ∴ x=140, y=80 ➡ 3x+y=500 x+2y=300 [ …… 80% 04 200명 05 600명 06 상품 A : 6000원, 상품 B : 2000원 08 1시간 12분 09 준석 : 분속 300 m, 시연 : 분속 150 m 07 26 10 140 m 11 8 % 12 560 kcal 40 | 정답과 풀이 정답과 풀이 01 Action 처음 수의 백의 자리의 숫자, 십의 자리의 숫자, 일의 자리의 따라서 남자 지원자의 수는 숫자를 각각 x, y, z로 놓고 연립방정식을 세운다. 처음 수의 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자를 y, 일 100z+10y+x=100x+10y+z+99 의 자리의 숫자를 z라 하면 x+y+z=9 y+z=2x [ ➡ x+y+z=9 y ㉠ 2x-y-z=0 y ㉡ x-z=-1 y ㉢ [ ㉠+㉡ 을 하면 3x=9 ∴ x=3 x=3을 ㉢에 대입하면 3-z=-1 ∴ z=4 x=3, z=4를 ㉠에 대입하면 3+y+4=9 ∴ y=2 따라서 처음 수의 각 자리의 숫자의 곱은 3_2_4=24 02 Action 주문한 사과와 복숭아의 개수와 금액에 대한 연립방정식을 세운다. 처음 주문한 사과의 개수를 x개, 복숭아의 개수를 y개라 하면 x+y=15 800x+1000y=1000x+800y+600 [ ➡ x+y=15 x-y=-3 [ 따라서 처음 주문한 사과의 개수는 6개, 복숭아의 개수는 9개 03 Action 합격자의 평균을 x점, 불합격자의 평균을 y점으로 놓고 연립 ∴ x=6, y=9 이다. 방정식을 세운다. (전체 지원자의 평균)= = x+5y 6 (점) 10x+50y 60 x+5y 6 (합격자의 최저 점수)= +1=x-5이므로 5x-5y=36 y ㉠ 또, 3y=2x+10이므로 2x-3y=-10 y ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x= ;:!5%:*; =31.6, y= =24.4 ;:!5@:@; 따라서 합격자의 최저 점수는 31.6-5=26.6(점) …… 20% _320=200(명)` ;8%; Lecture 비율에 대한 문제 A와 B의 비가 m : n일 때 A= m _(A+B), B= n m+n _(A+B) m+n 05 Action 올해 두 기숙사에 있는 학생 수에 대한 연립방정식을 세운다. 작년에 A기숙사에 있던 학생 수를 x명, B기숙사에 있던 학 생 수를 y명이라 하면 x+ ;1¢0¼0; y=580 ;1¦0¼0; x+ ;1£0¼0; [ ∴`x=600, y=400 ;1¤0¼0; y=420 ➡ 7x+4y=5800 x+2y=1400 [ 따라서 작년에 A기숙사에 있던 학생 수는 600명이다. 06 Action 상품 A의 원가를 x원, 상품 B의 원가를 y원으로 놓고 연립 상품 A의 원가를 x원, 상품 B의 원가를 y원이라 하면 1- { ;1Á0¼0;} x+ 1+ { _ 1- ;1£0¼0;} { ;1ª0¼0;} y =8000+1100 방정식을 세운다. x+y=8000 [ { ;1£0¼0;} 1+ _ [ ➡ x+y=8000 9x+8y=70000 ∴ x=6000, y=2000 이다. 07 Action 전체 일의 양을 1로 놓고 연립방정식을 세운다. 전체 일의 양을 1이라 하면 소희는 하루에 만큼, 유이는 하 ;[!; 루에 만큼 일을 하므로 ;]!; + = ;]!; ;8!4#; ;[!; 5 [ + + + =1 ;]!; ;[@; ;]!;} {;[!; + =1 ;]^; ;[&; + = ;]!; ;8!4#; ➡ ;[!; [ 합격자의 평균을 x점, 불합격자의 평균을 y점이라 하면 따라서 상품 A의 원가는 6000원, 상품 B의 원가는 2000원 04 Action 지원자의 수를 x명, 불합격자의 수를 y명으로 놓고 연립방정 식을 세운다. =X, =Y라 하면 ;[!; ;]!; 지원자의 수를 x명, 불합격자의 수를 y명이라 하면 x=100+y [ x= _100+ ;8%; ;5#; ∴ x=320, y=220 y ;1¦1; ➡ x-y=100 55x-56y=5280 [ X+Y= ;8!4#; 7X+6Y=1 [ ∴`X= , Y= ;1Á4; ;1Á2; 따라서 = , ;1Á4; ;]!; = ;[!; ;1Á2; 이므로 x=14, y=12 …… 80% ∴`x+y=14+12=26 Ⅳ. 연립일차방정식 | 41 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 08 Action 전체 일의 양을 1로 놓고 A, B, C 세 사람이 1시간 동안 할 ㉠ 을 ㉡에 대입하면 a y+y =10_ y+5y {;2#; } ;2#; 수 있는 일의 양을 각각 x, y, z로 놓는다. 전체 일의 양을 1로 놓고 A, B, C 세 사람이 1시간 동안 할 수 있는 일의 양을 각각 x, y, z라 하면 x+y+z=1 (x+y)=1 ;2#; 2(y+z)=1 [ x+y+z=1 y ㉠ ➡ 3x+3y=2 y ㉡ 2y+2z=1 y ㉢ [ ㉠_3-㉡ 을 하면 3z=1 ∴ `z= ;3!; z= 을 ㉢에 대입하면 2y+ =1, 2y= ∴ `y= y= 을 ㉡에 대입하면 3x+ =2, 3x= ∴ `x= ;3@; ;2!; ;3!; ;2#; ;6!; ;2!; ;3!; ;6!; ay=20y ∴ a=8 ;2%; 물의 농도는 8 %이다. 따라서 두 소금물의 양을 바꾸어 넣었을 때 만들어지는 소금 12 Action 철분의 양과 가격의 비에 대한 연립방정식을 세운다. 구매한 식품 A의 양을 x g, 식품 B의 양을 y g이라 하면 0.4 100 [ x+  y=13.6 0.8 100 x : ;1#0*0); ;1(0%0);  y=1 : 3 ∴`x=1000, y=1200 ➡ x+2y=3400 6x-5y=0 [ …… 80% 따라서 A, C 두 사람이 1시간 동안 할 수 있는 일의 양은 각 따라서 구매한 두 식품 A, B의 열량의 합은 각 , ;2!; ;3!; 이므로 A, C 두 사람이 같이 도배를 할 때 걸리는 _1000+ _1200=560 (kcal) …… 20% ;1£0ª0; ;1ª0¼0; 이는 (x-40) m, 속력은 초속 (y+10) m이므로 쉬는 시간은 (x+y-1)분이다. 시간은 1Ö + = (시간), 즉 1시간 12분이다. {;2!; ;3!;} ;5^; 09 Action 두 사람이 40분 동안 걸은 거리의 합은 호수의 둘레의 길이의 2배와 같음을 이용하여 연립방정식을 세운다. 준석이의 속력을 분속 x m, 시연이의 속력을 분속 y m라 하면 [ 40x+40y=18000 50x-40y=9000 ∴ x=300, y=150 150 m이다. ➡ x+y=450 5x-4y=900 [ 따라서 준석이의 속력은 분속 300 m, 시연이의 속력은 분속 10 Action 두 열차가 이동한 거리에 대한 연립방정식을 세운다. A열차의 길이를 x m, 속력을 초속 y m라 하면 B열차의 길 x+500=16y (x-40)+500=12(y+10) [ ➡ x-16y=-500 x-12y=-340 [ ∴ x=140, y=40 따라서 A열차의 길이는 140 m이다. 11 Action 소금의 양은 변하지 않음을 이용하여 연립방정식을 세운다. 5 %의 소금물 x g과 10 %의 소금물 y g을 섞어서 7 %의 소 금물을 만들려고 했다고 하면 ;10%0; x+ y= ;1Á0¼0; ;10&0; (x+y) ∴ x= y y ㉠ ;2#; 한편, 두 소금물의 양을 바꾸어 넣었을 때 만들어지는 소금물 의 농도를 a %라 하면 y+ ;10%0; ;1Á0¼0; x= ;10A0; (x+y) ∴ a(x+y)=10x+5y 42 | 정답과 풀이 최고 수준 뛰어넘기 P 86 - P 87 01 10곡 02 a=8, b=500 03 95만 원 04 120분 05 시속 :¦3¼: km 06 a=20, b=5 01 Action 시간을 분으로 바꾼 후 시간에 대한 연립방정식을 세운다. 처음에 8분짜리 x곡과 6분짜리 y곡을 연주하기로 계획했었 다고 하면 곡과 곡 사이에 1분 동안 쉬는 시간이 있으므로 총 처음 계획대로 연주하는 데 걸리는 시간은 1시간 45분, 즉 8x+6y+(x+y-1)=105 ∴ 9x+7y=106 y ㉠ 곡의 수가 바뀌어 연주되었을 때 걸린 시간은 1시간 57분, 즉 6x+8y+(x+y-1)=117 ∴ 7x+9y=118 y ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=4, y=10 따라서 처음에 연주하려고 계획했었던 6분짜리 곡은 모두 105분이므로 117분이므로 10곡이었다. (102-a)b원이다. 02 Action 9월 추가 요금은 (89-a)b원, 10월 추가 요금은 3500+(89-a)b=44000 3500+(102-a)b=50500 [ ➡ 89b-ab=40500 102b-ab=47000 [ y ㉡ ∴ a=8, b=500 정답과 풀이 03 Action 목수 1명, 미장공 1명, 철근공 1명의 1일 임금을 각각 x만 원, 떠내려간 시간을 제외하면 거슬러 올라갈 때 걸린 시간은 y만 원, z만 원으로 놓고 연립방정식을 세운다. 목수 1명, 미장공 1명, 철근공 1명의 1일 임금을 각각 x만 원, 2_ = ;3@; ;3$; 이다. (시간), 내려갈 때 걸린 시간은 2_ = (시간) ;3!; ;3@;   또, 20분간 떠내려간 거리는 y km이므로 거슬러 올라간 ;3!; 거리는 { 20+ y } ;3!; km, 내려간 거리는 20 km이다. (x-y)=20+ y ;3!; (x+y)=20 ;3$; ;3@; [ ∴ x= , y= :¦3¼: :ª3¼: ➡ 4x-5y=60 x+y=30 [ 따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 km이다. :¦3¼: 06 Action 두 비커 A, B에 들어 있는 소금물을 섞은 후 각각의 소금물 의 농도에 대한 연립방정식을 세운다. Ú 비커 A에 들어 있는 소금물의 반을 비커 B에 넣었을 때, 비커 A의 소금물의 양 : 400 g 비커 A의 소금의 양 : _400=4a (g) ;10A0; 비커 B의 소금물의 양 : 400+800=1200 (g) 비커 B의 소금의 양 : _400+ _800=4a+8b (g) ;10A0; ;10B0; Û 비커 B에 들어 있는 소금물의 반을 비커 A에 넣었을 때, 비커 A의 소금물의 양 : 400+600=1000 (g) 비커 A의 소금의 양 : 4a+ (4a+8b)=6a+4b (g) ;2!; 비커 B의 소금물의 양 : 600 g 비커 B의 소금의 양 : (4a+8b)=2a+4b (g) ;2!; 이때 비커 A에 들어 있는 소금물의 농도는 14 %이므로 6a+4b 1000 ∴ 3a+2b=70 y ㉠ _100=14 비커 B에 들어 있는 소금물의 농도는 10 %이므로 2a+4b 600 ∴ a+2b=30 y ㉡ _100=10 ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=20, b=5 y만 원, z만 원이라 하면 5x+3y+2z=78 y ㉠ 6x+y+5z=91 4x+5y+2z=89 [ ㉠_5-㉡_2를 하면 13x+13y=208 y ㉡ y ㉢ ∴ x+y=16 y ㉣ ㉠ -㉢ 을 하면 x-2y=-11 y ㉤ ㉣, ㉤ 을 연립하여 풀면 x=7, y=9 x=7, y=9를 ㉠에 대입하면 35+27+2z=78, 2z=16 ∴ z=8 따라서 오늘 받을 총 임금은 5x+4y+3z=35+36+24=95(만 원) 04 Action 민수와 희영이가 처음 만날 때와 두 번째 만날 때, 이동 거리 에 대한 연립방정식을 세운다. 민수의 속력을 분속 x m, 희영이의 속력을 분속 y m, A, B 두 지점 사이의 거리를 z m라 하자. 민수 희영 A (ⅰ) (ⅱ) z m B Ú 민수와 희영이가 처음 만날 때, 민수와 희영이가 40분 동안 이동한 거리의 합은 A, B 두 지점 사이의 거리의 2배이므로 40x+40y=2z ∴ `20x+20y=z y ㉠ Û 민수와 희영이가 두 번째 만날 때, 민수가 20분 동안 이동한 거리는 희영이가 40분 동안 이동 한 거리의 2배와 20분 동안 이동한 거리의 합과 같으므로 20x=2_40y+20y ∴ `x=5y y ㉡ Ú, Û에 의하여 ㉡ 을 ㉠에 대입하면 100y+20y=z z 120 따라서 희영이가 A지점에서 B지점까지 가는 데 걸리는 시 ∴ y= 간은 =zÖy=zÖ =z_ =120(분)이다. ;]Z; z 120 120 z 05 Action 떠내려간 시간을 제외하고 거슬러 올라갈 때와 내려갈 때 걸 교과서 속 창의 사고력 P 88 - P 90 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x km, 강물의 속력을 시 린 시간을 각각 구해 본다. 속 y km라 하자. 01 181 02 ㉠ 3, ㉡ 0 03 10 04 8명 05 15 km 06 약품 A : 25 g, 약품 B : 175 g Ⅳ. 연립일차방정식 | 43 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 01 Action 다섯 개의 방정식을 각 변끼리 더하여 xÁ+xª+x£+x¢+x°의 값을 먼저 구한다. 운다. 04 Action 각 요일을 신청한 학생 수를 미지수로 놓고 연립방정식을 세 02 Action 천의 자리의 덧셈과 일의 자리의 덧셈을 이용하여 연립방정 05 Action 배를 타고 하류로 내려가는 속력과 상류로 올라오는 속력을 다섯 개의 방정식을 각 변끼리 더하면 6(xÁ+xª+x£+x¢+x°)=186 ∴ xÁ+xª+x£+x¢+x°=31 y ㉠ xÁ+xª+x£+2x¢+x°=48 y ㉡ xÁ+xª+x£+x¢+2x°=96 y ㉢ [ ㉠ 을 ㉡, ㉢에 대입하면 x¢+31=48 ∴ `x¢=17 x°+31=96 ∴ `x°=65 ∴ 3x¢+2x°=3_17+2_65=181 식을 세운다. 천의 자리의 덧셈에서 1+B=A ∴ A-B=1 y ① ∴`2A-B=10 y ② ①, ② 를 연립하여 풀면 A=9, B=8 A=9, B=8을 주어진 식에 대입 하면 오른쪽과 같다. 9+9=18이므로 1+8+1=10 ∴ `㉡=0 1+㉠+0=4 ∴ `㉠=3 이때 A>B이므로 일의 자리의 덧셈에서 A+A=10+B 1 ㉠ 8 1 0 + 8 9 9 9 4 ㉡ 8 c+d이다. a+b=15 a+c=20 [ b+d=35 c+d=40 y ㉠ y ㉡ y ㉢ y ㉣ 이때 a+d와 b+c는 25 또는 30 중 하나이다. a, b, c, d 중 짝수는 하나뿐이고, (짝수)+(홀수)=(홀수), (홀수)+(홀수)=(짝수)이므로 a, c, d는 홀수이고, b는 짝수 이다. 따라서 a+d는 짝수이므로 a+d=30 y ㉤ b+c는 홀수이므로 b+c=25 ㉠+㉢ 을 하면 a+2b+d=50 y ㉥ ㉤을 ㉥에 대입하면 2b+30=50, 2b=20 ∴ b=10 따라서 구하는 짝수는 10이다. 44 | 정답과 풀이 y ㉠ y ㉡ y ㉢ y ㉣ y ㉤ 월요일, 화요일, 수요일, 목요일, 금요일을 신청한 학생 수를 각각 a명, b명, c명, d명, e명이라 하면 a+b+c+d+e=34 a+c=17 a+e=13 [ b+c+d=21 d+e=9 ㉡+㉢+㉣+㉤ 을 하면 2a+b+2c+2d+2e=60 y ㉥ ㉠_2-㉥ 을 하면 b=8 따라서 화요일을 신청한 학생 수는 8명이다. 각각 구해 본다. 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x km, 강물의 속력을 시 속 y km라 하면 3(x+y)=30 4(x-y)=30 [ ➡ x+y=10 x-y= [ :Á2°: 즉 배를 타고 하류로 내려가는 속력은 시속 10 km, 상류로 올라오는 속력은 시속 km이다. :Á2°: 이때 왕복하는 데 3시간 30분이 걸리는 관광 코스를 짜려고 할 때, 선착장에서 배를 타고 하류로 a`km를 내려갔다가 돌 아온다고 하면 = + a 10 따라서 선착장에서 배를 타고 하류로 15 km를 내려갔다가 ∴ a=15 , 7a=105 ;1@5A; ;2&; 의 양을 각각 구해 본다. 의 비가 7 : 3이므로 원료 a의 양은 200_ =140 (g) 원료 b의 양은 200_ =60 (g) 7 7+3 3 7+3 필요한 약품 A의 양을 x g, 약품 B의 양을 y g이라 하면 약품 A 약품 B 만들려고 하는 약품 원료 a 원료 b x g ;5#; x g ;5@; x+ y=140 ;7%; ;5#; ;5@; x+ y=60 [ ;7@; ∴ x=25, y=175 y g ;7%; y g ;7@; 140 g 60 g ➡ 21x+25y=4900 7x+5y=1050 [ 따라서 약품 A는 25 g, 약품 B는 175 g이 필요하다. 03 Action 서로 다른 4개의 자연수를 a, b, c, d(a0일 때 오른쪽 위로 향 하는 직선이고, a<0일 때 오른쪽 아래로 향하는 직선이다. ㉠ y=2x+1의 그래프를 y축의 방향으로 -6만큼 평행이 ㉡ 기울기가 2이므로 x의 값이 2만큼 증가할 때, y의 값은 동한 것이다. 4만큼 증가한다. ㉢ -1=2_2-5이므로 점 (2, -1)을 지난다. 또, 기울기가 양수이므로 오른쪽 위로 향하는 직선이다. ㉣ y=2x-5에 y=0을 대입하면 0=2x-5, 2x=5 ∴ x= ;2%; y=-2x-5에 y=0을 대입하면 0=-2x-5, 2x=-5 ∴ x=- 즉 y=2x-5의 그래프의 x절편은 이고, y=-2x-5 의 그래프의 x절편은 - 이므로 x축 위에서 만나지 않 ;2%; ;2%; ;2%; 는다. 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다. 18 Action a>0이고 y절편이 4임을 이용하여 그래프를 그려 본다. y y y=ax+4의 그래프의 y절편이 4이 고, a>0이므로 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. 20 Action 그래프의 모양과 그래프가 y축과 만나는 부분을 확인하여 a, 4 4 b의 부호를 각각 구한다. y=-ax+b의 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로 이때 색칠한 부분의 넓이가 10이므로 O O x x -a<0 ∴ a>0 A A y=ax+4 y=ax+4 일차함수 y=ax+4의 그래프의 x절편은 - , y절편은 ;a$; _OAÓ_4=10 ∴ OAÓ=5 ;2!; 따라서 점 A의 좌표가 (-5, 0)이므로 y=ax+4에 x=-5, y=0을 대입하면 0=-5a+4 ∴ a= ;5$; 다른 풀이 4이므로 색칠한 부분의 넓이는 _ - | ;2!; ;a$;| _4=10 이때 a>0이므로 _ _4=10 ;2!; ;a$; =10 ∴ a= ;5$; ;a*; Lecture 또, y축과 음의 부분에서 만나므로 b<0 즉 <0, - >0이므로 일차함수 ;bA; ;b!; y= x- ;bA; ;b!; 과 같다. 의 그래프는 오른쪽 그림 …… 30% 따라서 제 3사분면을 지나지 않는다. Lecture 일차함수 y=ax+b의 그래프의 성질 일차함수 y=ax+b의 그래프가 ⑴ 오른쪽 위로 향하는 직선이면 ➡ a>0 오른쪽 아래로 향하는 직선이면 ➡ a<0 ⑵ y축과 양의 부분에서 만나면 ➡ b>0 y축과 음의 부분에서 만나면 ➡ b<0 ⑶ 원점을 지나면 ➡ b=0 …… 25% …… 25% a y= x- b 1 b x …… 20% y O 일차함수의 그래프와 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이 일차함수 y=ax+b의 그래프와 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림과 같이 항상 직각삼각형이다. ∴ (넓이)= _|x절편|_|y절편| ;2!; = _ - ;2!; | ;aB;| _|b| - b a y=ax+b y b 21 Action a, b의 부호를 이용하여 a+b, ab의 부호를 각각 구한다. a<0, b<0이므로 a+b<0, ab>0 y 즉 일차함수 y=(a+b)x+ab의 그 y=(a+b)x+ab O x 래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 제 3사분면을 지나지 않는다. O x Ⅴ. 함수 | 47 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 22 Action 두 일차함수의 그래프가 서로 만나지 않으려면 두 그래프가 02 Action 3x+2 x-1 =1을 만족시키는 x의 값을 구한다. 평행해야 한다. 또, y=(a-b)x+(2a+b)에 x=-1, y=3을 대입하면 B(a, 0), C(b, 0)이라 하면 03 Action B(a, 0), C(b, 0)으로 놓고 두 점 A, D의 좌표를 a, b의 식 으로 각각 나타낸다. 두 일차함수의 그래프가 서로 만나지 않으려면 두 그래프가 평행해야 하므로 기울기는 같고 y절편은 달라야 한다. 따라서 2a=-3, -4+b이므로 a=- , b+-4 ;2#; 23 Action 두 일차함수 y=ax+b, y=cx+d의 그래프가 평행하면 a=c, b+d이다. y=(a-b)x+(2a+b)의 그래프와 y=-6x+3의 그래 프가 평행하므로 두 그래프의 기울기가 같다. ∴ a-b=-6 yy ㉠ 3=-(a-b)+2a+b ∴ a+2b=3 yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-3, b=3 ∴ a+b=-3+3=0 a=c, b=d이다. y=ax+3에 x=1, y=4를 대입하면 4=a+3 ∴ `a=1 24 Action 두 일차함수 y=ax+b, y=cx+d의 그래프가 일치하면 이때 y=x+3의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동 한 그래프의 식은 y=x+3+b y=x+3+b의 그래프가 y=cx-4의 그래프와 일치하므로 1=c, 3+b=-4 ∴ `b=-7, c=1 ∴`a+b+c=1+(-7)+1=-5 3x+2 x-1 =1에서 3x+2=x-1 2x=-3 ∴ x=- ;2#; ∴ f(1)=-3_ - +1 { ;2#;} = +1= ;2(; :Á2Á: A a, a , D(b, -2b+6) } ;2#; { 사각형 ABCD가 정사각형이므로 ABÓ=BCÓ에서 a=b-a ;2#; ∴ b= a ;2%; yy ㉠ 또, BCÓ=DCÓ에서 b-a=-2b+6 ∴ a=3b-6 yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a= , b= ;1!3@; ;1#3); 따라서 점 D의 좌표는 , {;1#3); ;1!3*;} 이다. P 98 - P 100 같으므로 일차함수 02 :Á2Á: 05 -6 03 D {;1#3);, ;1!3*;} 06 -14, -2 07 8 09 제 3사분면 10 5 11 ㉠, ㉣ 01 Action 주어진 조건을 이용하여 f(2), f(4), f(5)의 값을 각각 구 3= +k ∴ k= ;2%; 최고 수준 완성하기 01 5 04 -1 08 -1 12 - :Á4£: 한다. f(1)=2이므로 04 Action 좌표평면 위에 사각형 ABCD를 그린 후 일차함수 y= x+k의 그래프를 y축의 방향으로 움직여 본다. ;2!; 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 A(-2, 1) D(1, 3) y O x B -( 5 2 ( -2 , C(3, -2) y= x+k의 그래프가 ;2!; 점 D(1, 3)을 지날 때 k의 값은 최대가 되고, 점 C(3, -2)를 지날 때 k의 값은 최소가 된다. Ú y= x+k의 그래프가 점 D(1, 3)을 지날 때, Û y= x+k의 그래프가 점 C(3, -2)를 지날 때, -2= +k ∴ k=- ;2#; ;2&; ;2%; Ú, Û에 의하여 k의 최댓값은 , 최솟값은 - 이므로 그 ;2&; 합은 + - { ;2%; ;2&;} =-1 ;2!; ;2!; ;2!; f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)-1_1=2+2-1=3 f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-2_2=3+3-4=2 f(5)=f(1+4)=f(1)+f(4)-1_4=2+2-4=0 ∴ f(2)+f(4)+f(5)=3+2+0=5 48 | 정답과 풀이 정답과 풀이 05 Action x절편, y절편을 이용하여 a, b를 각각 c의 식으로 나타낸다. x절편이 -2이므로 08 Action 규칙에 따라 세 점이 이동한 점의 좌표를 각각 구한다. 점 (x, y)를 점 (x+y, ax-y)로 옮기는 규칙에 따라 각 점 06 Action 일차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표는 (x절편, 0) y=- x+ 에 x=-2, y=0을 대입하면 ;bA; ;bC; 2a b ;bC; 0= + , 2a=-c ∴ a=- c ;2!; 또, y절편이 3이므로 y=- x+ 에 x=0, y=3을 대입하면 ;bA; ;bC; 3= , 3b=c ∴ b= c ;3!; ;bC; c a+b ∴ =cÖ(a+b)=cÖ - c+ c } ;3!; ;2!; { =cÖ - { c } ;6!; =c_ - { ;c^;} =-6 이다. ;2#; ;2#; ∴ P(4, 0) y=- x+6에 y=0을 대입하면 0=- x+6, x=6 ∴ x=4 ;2#; y=2x+a에 y=0을 대입하면 0=2x+a, -2x=a ∴ x=- ;2A; ∴ Q - { , 0 } ;2A; 따라서 - =7 또는 - =1이므로 ;2A; ;2A; a=-14 또는 a=-2 07 Action 일차함수의 그래프에서 (기울기)= (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 임을 이용한다. f(2p)-f(2q)=-4p+4q f(2p)-f(2q)=-2(2p-2q) ∴ f(2p)-f(2q) 2p-2q =-2 따라서 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기는 -2이므로 a=-2 ㈏에서 y=-2x+b에 x=2, y=3을 대입하면 3=-4+b ∴ b=7 y=-2x+7에 x=c, y=9를 대입하면 9=-2c+7, 2c=-2 ∴ c=-1 ㈐에서 =-2이므로 k=-4 ;2K; 을 이동시키면 다음과 같다. (0, 0) ➡ (0+0, a_0-0), 즉 (0, 0) (1, 4) ➡ (1+4, a_1-4), 즉 (5, a-4) (3, 0) ➡ (3+0, a_3-0), 즉 (3, 3a) 이때 세 점이 한 직선 위에 있으므로 두 점 (0, 0), (5, a-4) 를 지나는 일차함수의 그래프의 기울기와 두 점 (0, 0), (3, 3a)를 지나는 일차함수의 그래프의 기울기는 같다. a-4 5 =a이므로 따라서 , 즉 a-4 5 a-4=5a, -4a=4 3a 3 = ∴ a=-1 09 Action 서영이는 b를 바르게 보았고, 호준이는 a를 바르게 보았다. 서영이는 b, 즉 y절편을 바르게 보았으므로 b=3 호준이는 a, 즉 기울기를 바르게 보았으므로 a= -6-0 2-(-1) -6 3 따라서 일차함수 y=-2x+3의 그래 =-2 = 프는 오른쪽 그림과 같으므로 제 3사분 면을 지나지 않는다. y 3 y=-2x+3 O 3 2 x 10 Action 먼저 두 점 A, C의 좌표를 구한 후 △ABC의 넓이를 구한다. A(6, 0), C(0, 2) ∴ △ACO= _6_2=6 ;2!; 이때 △ABC : △ACO=2 : 1이므로 △ABC : 6=2 : 1 ∴ △ABC=12 △ABO=△ABC+△ACO=12+6=18에서 _6_OBÓ=18 ∴ OBÓ=6, 즉 B(0, 6) ;2!; y=ax+b에 x=6, y=0을 대입하면 0=6a+b yy ㉠ y=ax+b에 x=0, y=6을 대입하면 6=b yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-1, b=6 ∴ a+b=-1+6=5 11 Action 두 일차함수의 그래프의 기울기, 함숫값, x절편 등을 비교해 본다. ㉠ y=ax+b, y=cx+d의 그래프는 모두 오른쪽 위로 향 하는 직선이므로 a>0, c>0이고, y=cx+d의 그래프 Ⅴ. 함수 | 49 이때 PQÓ=3이므로 점 Q의 좌표는 (7, 0) 또는 (1, 0)이다. ;3!; y=- x+2의 그래프의 x절편은 6, y절편은 2이므로 ㈎에서 f(2p)+4p=f(2q)+4q이므로 따라서 y=ax+b의 그래프가 A(6, 0), B(0, 6)을 지나므로 ∴ a+b+c-k=-2+7+(-1)-(-4)=8 가 y=ax+b의 그래프보다 y축에 더 가까우므로 a0이므로 02 Action x절편, y절편, 기울기의 부호를 알아본다. -a+b>0 ∴ `a-b<0 ㉢ y=cx+d의 그래프에서 x=-1일 때 y<0이므로 -c+d<0 ∴ `c-d>0 일차함수 y=- x- 의 그래프의 기울기는 - , x절편 ;bA; ;bC; ;bA; 은 - , y절편은 - 이다. ;aC; ;bC; ㉣ y=ax+b, y=cx+d의 그래프의 x절편은 각각 - , ;aB; ㉠ ac>0이면 - <0이므로 x절 - 이고, - <- 이므로 ;aB; ;cD; ;cD; > ;cD; ;aB; 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣이다. Lecture 깝다. 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 b의 값이 일정할 때, |a|가 클 수록 그래프는 y축에 가깝고, |a|가 작을수록 그래프는 x축에 가 편은 음수이고, bc<0이면 - >0이므로 y절 편은 양수이다. 따라서 그래프는 제 1, 2, 3사분 면을 지난다. y O ㉠ ㉡ x ㉢ 12 Action 두 일차함수의 그래프가 평행하면 기울기가 같다. 두 일차함수 y=ax-5, y=-2x+5의 그래프가 평행하므 로 기울기가 같다. ∴ a=-2 …… 40% 두 일차함수 y=-2x-5, y= x-b의 그래프가 x축 위 ;2!; bc=0이면 b+0이므로 c=0, 즉 - =0이므로 원점을 ;bC; ;aC; ;bC; ;bA; ;bC; ;bA; ㉡ ab<0이면 - >0이므로 기울기는 양수이고, bc>0이면 - <0이므로 y절편은 음수이다. 따라서 그래프는 제 1, 3, 4사분면을 지난다. ㉢ ab>0이면 - <0이므로 기울기는 음수이고, 지난다. 따라서 그래프는 제 2, 4사분면을 지난다. 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다. 에서 만나므로 x절편이 같다. y=-2x-5에 y=0을 대입하면 0=-2x-5 ∴ x=- ;2%; y= x-b에 y=0을 대입하면 ;2!; ;2!; ;2%; 0= x-b ∴ x=2b - =2b이므로 b=- ;4%; ∴ a+b=-2+ - { ;4%;} =- :Á4£: 최고 수준 뛰어넘기 01 48 02 ㉠, ㉢ 03 4 01 Action 3.24= 를 변형한다. ;1#0@0$; f(3.24)=f {;1#0@0$;} =f(324)-f(100) =f(2Û`_3Ý`)-f(10Û`) =f(2Û`)+f(3Ý`)-f(10Û`) =2f(2)+4f(3)-2f(10) =2_0.30+4_0.47-2_1 =0.60+1.88-2=0.48 따라서 a=0.48이므로 100a=48 50 | 정답과 풀이 로 나타낸 후 주어진 조건을 이용하여 f(3.24) a=- ;3@; …… 40% …… 20% 03 Action OAÓ를 밑변으로 하는 삼각형의 넓이가 항상 일정하려면 높 y A -3 2 O x P b Q P 101 의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 y=ax+b 이가 일정해야 한다. OAÓ를 밑변으로 하는 삼각형의 넓 이가 항상 일정하려면 높이가 일정 해야 하므로 일차함수 y=ax+b OAÓ와 평행해야 한다. 즉 OAÓ의 기울기는 - 이므로 ;3@; △OAP의 넓이가 항상 9이므로 △OAP=△OAQ= _|b|_3=9 ;2!; 이때 b<0이므로 b=-6 ∴ ab=- _(-6)=4 ;3@; Lecture △OAP와 △OAQ는 밑변의 길이가 |b|이고 높이가 3이므로 넓 이가 같다. 정답과 풀이 최고 수준 입문하기 P 103 - P 105 따라서 일차함수 y=-2x+2의 그래프의 x절편은 1, y절 2. 일차함수와 그래프 ⑵ 01 5 02 -6 03 y= x+5 04 x절편 : 1, y절편 : 2 05 y= x+2 ;3%; ;3!; 06 8 07 3 08 2 09 y= x+2 ;3@; 10 ⑴ y=50- x ⑵ 20 L 11 24 cm 12 35년 후 ;1Á2; 13 4600 m 14 24시간 48분 16 오후 4시 55분 17 44개 15 24 ¾ 18 2초 후 01 Action 일차함수 y=-3x+4의 그래프와 평행하므로 기울기는 -3이다. 기울기가 -3, y절편이 k이므로 y=-3x+k로 놓고 x=-2, y=11을 대입하면 11=6+k ∴ k=5 02 Action 일차함수의 그래프에서 (기울기)= (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 이다. f(x)= x+b라 하면 f(-2)=1이므로 ;2!; _(-2)+b=1 ∴ b=2 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; k+2=-1, k=-3 ∴ k=-6 03 Action 주어진 그래프의 기울기를 구한다. 주어진 그래프가 두 점 (-2, -1), (1, 4)를 지나므로 (기울기)= 4-(-1) 1-(-2) = ;3%; 따라서 구하는 일차함수의 식은 y= x+5 ;3%; Lecture ➡ y절편이 b이다. 일차함수 y=ax+b의 그래프와 y축 위에서 만난다. y=-2x+2에 y=0을 대입하면 0=-2x+2, 2x=2 ∴ x=1 y=-2x+2에 x=0을 대입하면 y=2 편은 2이다. 05 Action 먼저 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구한다. 두 점 (3k-5, -k), (3k+1, -k+2)를 지나는 일차함수 의 그래프의 기울기는 (-k+2)-(-k) (3k+1)-(3k-5) = ;3!; y= x+b로 놓고 x=3, y=3을 대입하면 ;3!; 3=1+b ∴ b=2 따라서 구하는 일차함수의 식은 y= x+2 ;3!; 06 Action 먼저 주어진 두 점을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수 의 식을 구한 후 평행이동한 그래프의 식을 구한다. 두 점 (-3, 1), (2, 6)을 지나는 일차함수의 그래프의 기울 y=x+b로 놓고 x=-3, y=1을 대입하면 기는 6-1 2-(-3) =1 1=-3+b ∴ `b=4 ∴`y=x+4 y=x+4의 그래프를 y축의 방향으로 -7만큼 평행이동한 …… 50% y=x+4+(-7) ∴ `y=x-3 …… 20% 따라서 y=x-3에 x=k, y=5를 대입하면 5=k-3 ∴ `k=8 …… 30% 07 Action 먼저 k의 값을 구한 후 두 점을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구한다. k=-1+4=3 …… 20% y=ax+b의 그래프가 두 점 (2, 3), (-1, -6)을 지나므로 (기울기)= =3 ∴ a=3 …… 30% -6-3 -1-2 y=3x+b에 x=2, y=3을 대입하면 3=6+b ∴ b=-3 ∴ a+b+k=3+(-3)+3=3 …… 30% …… 20% y=x+5의 그래프와 y축 위에서 만나므로 y절편은 5이다. y=- x+4에 x=2, y=k를 대입하면 ;2!; 따라서 f(x)= x+2이므로 f(k)=-1에서 그래프의 식은 04 Action 먼저 두 점을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구한다. 두 점 (-2, 6), (3, -4)를 지나는 일차함수의 그래프의 기 같다. 08 Action x축 위에서 만나는 두 일차함수의 그래프는 x절편이 서로 울기는 -4-6 3-(-2) =-2 y=-2x+b로 놓고 x=-2, y=6을 대입하면 6=4+b ∴ b=2 y= x- 에 y=0을 대입하면 ;4#; ;2#; 0= x- , ;2#; ;4#; x= ;2#; ;4#; ∴ x=2 Ⅴ. 함수 | 51 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 따라서 y=ax+b의 그래프는 두 점 (2, 0), (0, 4)를 지나 12 Action 종유석이 1년에 몇 cm씩 자라는지 알아본다. 므로 (기울기)= =-2 4-0 0-2 ∴ y=-2x+4 따라서 a=-2, b=4이므로 a+b=-2+4=2 09 Action 주어진 그래프의 y절편을 구한다. 주어진 그래프가 두 점 (2, 1), (4, 0)을 지나므로 (기울기)= 0-1 4-2 =- ;2!; y=- x+b로 놓고 x=4, y=0을 대입하면 ;2!; 0=-2+b ∴ b=2 따라서 구하는 일차함수의 그래프는 두 점 (-3, 0), (0, 2) 를 지나므로 (기울기)= 2-0 0-(-3) = ;3@; ∴ y= x+2 ;3@; 10 Action 자동차가 1 km를 이동하는 데 몇 L의 휘발유가 필요한지 알 아본다. ⑴ 1 L의 휘발유로 12 km를 이동하므로 1 km를 이동하는 데 L의 휘발유가 필요하다. ;1Á2; ∴ y=50- x ;1Á2; y=50- _360=20 ;1Á2; ;1Á2; 따라서 남아 있는 휘발유의 양은 20 L이다. 무게가 3 g 늘어날 때마다 용수철의 길이는 1 cm씩 늘어나 므로 무게가 1 g 늘어날 때마다 용수철의 길이는 cm씩 ;3!; 즉 x g짜리 추를 매달았을 때 용수철의 길이를 y cm라 하면 는지 알아본다. 늘어난다. y=20+ ;3!;x y=20+ x에 x=12를 대입하면 ;3!; ;3!; y=20+ _12=24 따라서 용수철의 길이는 24 cm이다. 52 | 정답과 풀이 종유석이 10년에 4 cm씩 자라므로 1년에 cm씩 자란다. ;5@; 즉 x년 후의 종유석의 길이를 y cm라 하면 y=38+ x ;5@; y=38+ x에 y=52를 대입하면 ;5@; 52=38+ x, x=14 ;5@; ;5@; ∴ x=35 따라서 이 종유석의 길이가 52 cm가 되는 것은 35년 후이다. 13 Action 1 m 높아질 때마다 기온은 몇 ¾씩 내려가는지 알아본다. 지면으로부터 100 m 높아질 때마다 기온은 0.5 ¾씩 내려가 므로 1 m 높아질 때마다 기온은 0.005 ¾씩 내려간다. 즉 지면의 기온이 13 ¾일 때 지면으로부터 높이가 x m인 곳의 기온을 y ¾라 하면 y=13-0.005x y=13-0.005x에 y=-10을 대입하면 -10=13-0.005x, 0.005x=23 ∴ x=4600 4600 m이다. 따라서 기온이 -10 ¾인 곳의 높이는 지면으로부터 14 Action (거리)=(속력)_(시간)임을 이용한다. x시간 후 서울과 태풍 사이의 거리를 y km라 하면 태풍이 서울에 도달했을 때, 서울과 태풍 사이의 거리는 0 km이므로 y=620-25x에 y=0을 대입하면 0=620-25x, 25x=620 ∴ x=24.8 따라서 태풍이 제주도에서 서울에 도달할 때까지 걸리는 시 Lecture 0.8시간=0.8_60분=48분이므로 24.8시간=24시간 48분 15 Action 표를 이용하여 기온이 1 ¾ 높아질 때마다 소리의 속력은 초 속 몇 m씩 증가하는지 알아본다. 주어진 표에서 기온이 5 ¾ 높아질 때마다 소리의 속력이 초 속 3 m씩 증가하므로 기온이 1 ¾ 높아질 때마다 소리의 속 력은 초속 m씩 증가한다. ;5#; …… 20% 11 Action 무게가 1 g 늘어날 때마다 용수철의 길이는 몇 cm씩 늘어나 간은 24시간 48분이다. ⑵ y=50- x에 x=360을 대입하면 y=620-25x 정답과 풀이 즉 기온이 x ¾일 때의 소리의 속력을 초속 y m라 하면 기온 이 0 ¾일 때의 소리의 속력이 초속 331 m이므로 최고 수준 완성하기 P 106 - P 107 …… 50% 01 y=3x-8 02 16 03 -1 04 y=x-3 y=331+ x ;5#; y=331+ x에 y=345.4를 대입하면 ;5#; 345.4=331+ x, x=14.4 ;5#; ;5#; ∴ x=24 다. 따라서 소리의 속력이 초속 345.4 m일 때의 기온은 24 ¾이 05 32 ¾ 06 :¤3°:분 07 51분 4x (00)으로 놓고 일 차함수의 식을 구한다. OAÓ=OBÓ이므로 A(0, -k), B(k, 0)(k>0)이라 하면 두 점 A, B를 지나는 일차함수의 그래프의 기울기는 0-(-k) k-0 =1 이때 y절편은 -k이므로 y=x-k 원 O의 반지름의 길이는 k이므로 (색칠한 부분의 넓이)=(p_kÛ`)_ - ;4!; ;2!; _k_k = p- kÛ` 4 kÛ` 2 p- kÛ` 4 kÛ`=9 = p- kÛ` 2 ∴ `k=3 (∵` k>0) 에서 ;2(; ;4(; 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=x-3 05 Action 온도가 1 ¾ 올라갈 때마다 기체의 부피는 몇 cmÜ`만큼 증가 하는지 알아본다. 온도가 1 ¾ 올라갈 때마다 기체의 부피는 1638_ =6 (cmÜ`)만큼 증가하므로 온도가 x ¾ 올라 ;27!3; 갔을 때 이 기체의 부피를 y cmÜ`라 하면 y=1638+6x y=1638+6x에 y=1830을 대입하면 1830=1638+6x, 6x=192 ∴ x=32 06 Action 1분 동안 줄어든 수면의 높이를 알아본다. 5분 동안 줄어든 수면의 높이는 50-35=15 (cm)이므로 1분 동안 줄어든 수면의 높이는 3 cm이다. 처음 수면의 높이는 50+15=65 (cm)이고, x분 동안 줄어 물통에서 물이 다 빠져나갔을 때의 수면의 높이는 0 cm이므로 든 수면의 높이를 y cm라 하면 y=65-3x y=65-3x에 y=0을 대입하면 0=65-3x, 3x=65 ∴`x= :¤3°: 분이다. :¤3°: 54 | 정답과 풀이 07 Action 물을 데울 때와 물을 식힐 때로 나누어 걸린 시간을 각각 구 한다. Ú 물을 데울 때, 4분마다 물의 온도가 6 ¾씩 올라가므로 1분마다 물의 온도가 ¾씩 올라간다. ;2#; 즉 x분 후의 물의 온도를 y ¾라 하면 y=20+ x ;2#; …… 20% y=20+ x에 y=65를 대입하면 ;2#; 65=20+ x, x=45 ;2#; ;2#; ∴ x=30 따라서 20 ¾에서 65 ¾까지 물을 데우는 데 걸린 시간은 30분이다. …… 20% Û 물을 식힐 때, 3분마다 물의 온도가 4 ¾씩 내려가므로 1분마다 물의 온도가 ¾씩 내려간다. ;3$; 즉 x분 후의 물의 온도를 y ¾라 하면 y=65- x ;3$; …… 20% y=65- x에 y=37을 대입하면 ;3$; 37=65- x, x=28 ;3$; ;3$; ∴ x=21 21분이다. Ú, Û에 의하여 총 걸린 시간은 30+21=51(분) …… 20% …… 20% 08 Action 점 P가 DCÓ, CBÓ, BAÓ 위에 있을 때로 나누어 생각한다. Ú 점 P가 DCÓ 위에 있을 때, 8 cm A y= _8_x=4x` ;2!; (00이므로 일차 ;bC; ;bA; 방정식 cx+by+a=0의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. 따라서 제 3사분면을 지나지 않는다. ;bA; y O 08 Action 그래프가 x축에 수직이므로 x=p(p+0)의 꼴이다. ax+by-3=0의 그래프가 x축에 수직이므로 b=0 ax-3=0에서 x= ;a#; 그래프가 제 1, 4 사분면만을 지나려면 >0 ∴ a>0 ;a#; 09 Action 먼저 a, b의 부호를 각각 구한다. 점 (ab, a-b)가 제 3사분면 위의 점이므로 …… 20% …… 20% y ax+by-1=0 ab<0, a-b<0 ∴ a<0, b>0 ax+by-1=0에서 y=- x+ ;b!; ;bA; 이때 - >0, >0이므로 일차방 ;bA; ;b!; 정식 ax+by-1=0의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. …… 40% 따라서 제 1, 2, 3사분면을 지난다. …… 20% Lecture 각 사분면 위의 점의 x좌표와 y좌표의 부호 x좌표 y좌표 + + - + - - + - 12 Action 먼저 두 일차방정식의 그래프의 교점의 x좌표를 이용하여 교 O x 점의 좌표를 구한다. 두 일차방정식의 교점의 x좌표가 2이므로 x+2y=4에 x=2를 대입하면 2+2y=4, 2y=2 ∴ y=1 ax+y=-1에 x=2, y=1을 대입하면 2a+1=-1, 2a=-2 ∴ a=-1 제 1사분면 제 2사분면 제 3사분면 제 4사분면 따라서 두 일차방정식의 교점의 좌표는 (2, 1)이다. 10 Action 먼저 4x-5y+8=0의 그래프의 x절편과 5x+3y-9=0 a, b의 값을 각각 구한다. 13 Action 두 직선의 교점의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 미지수 의 그래프의 y절편을 각각 구한다. 4x-5y+8=0에 y=0을 대입하면 4x+8=0, 4x=-8 ∴ x=-2 5x+3y-9=0에 x=0을 대입하면 3y-9=0, 3y=9 ∴ y=3 두 직선의 교점의 좌표가 (4, 2)이므로 2x-3y=2a에 x=4, y=2를 대입하면 8-6=2a, 2a=2 ∴ a=1 x+y=3b에 x=4, y=2를 대입하면 4+2=3b, 3b=6 ∴ b=2 Ⅴ. 함수 | 57 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 따라서 두 직선 2x-3y=2, x+y=6이 x축과 만나는 점의 5x-y=a에서 y=5x-a 좌표는 각각 (1, 0), (6, 0)이므로 두 점 사이의 거리는 이때 세 직선 중 어느 두 직선도 평행하지 않으므로 세 직선 6-1=5 이 한 점에서 만날 때 삼각형이 만들어지지 않는다. 연립방정식 [ x-3y=4 2x+y=1 을 풀면 x=1, y=-1 따라서 세 직선의 교점의 좌표는 (1, -1)이므로 5x-y=a에 x=1, y=-1을 대입하면 a=5-(-1)=6 Lecture 세 직선에 의하여 삼각형이 만들어지지 않는 경우는 다음과 같다. ⑴ 어느 두 직선이 평행하거나 세 직선이 평행한 경우 y O y x O x 14 Action 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 그래프의 교 점의 좌표는 연립방정식 [ ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 의 해와 같다. 연립방정식 [ x-3y=4 2x+y=1 을 풀면 x=1, y=-1 따라서 두 직선의 교점 (1, -1)을 지나며 x축에 평행한 직 선의 방정식은 y=-1 15 Action 먼저 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표를 구한 후 교점 과 주어진 점을 지나는 직선의 방정식을 구한다. 연립방정식 [ 2x-y+7=0 x+4y-10=0 구하는 직선이 두 점 (-2, 3), (-1, 6)을 지나므로 (기울기)= 6-3 -1-(-2) =3 y=3x+b로 놓고 x=-2, y=3을 대입하면 3=-6+b ∴ b=9 y=3x+9에 y=0을 대입하면 0=3x+9, -3x=9 ∴ x=-3 …… 30% …… 20% …… 20% 을 풀면 x=-2, y=3 ⑵ 세 직선이 한 점에서 만나는 경우 y O x 18 Action 두 직선의 교점이 존재하지 않으려면 두 직선은 평행해야 한다. 따라서 직선 y=3x+9의 x절편은 -3이다. …… 30% (2-a)x+y=6에서 y=-(2-a)x+6 16 Action 두 직선의 교점이 다른 직선 위에 있으므로 세 직선은 한 점 이때 두 직선의 교점이 존재하지 않으려면 두 직선은 평행해 에서 만난다. 두 직선 y=-x+4, y=ax+2의 교점이 직선 y=2x+10 야 하므로 기울기가 같고 y절편이 다르다. 즉 -(2-a)=- , 6+2b이므로 ;2#; 3x+2y=4b에서 y=- x+2b ;2#; 위에 있으므로 세 직선은 한 점에서 만난다. 연립방정식 [ y=-x+4 y=2x+10 을 풀면 x=-2, y=6 따라서 세 직선의 교점의 좌표는 (-2, 6)이므로 y=ax+2에 x=-2, y=6을 대입하면 6=-2a+2, 2a=-4 ∴ a=-2 Lecture 한 점에서 만나는 세 직선 ❶ 미지수를 포함하지 않은 두 직선의 교점의 좌표를 구한다. ❷ 미지수를 포함한 직선의 방정식에 ❶에서 구한 교점의 좌표를 대입하여 미지수의 값을 구한다. 17 Action 주어진 세 직선 중 어느 두 직선도 평행하지 않음을 이용한다. x-3y=4에서 y= x- ;3!; ;3$; 2x+y=1에서 y=-2x+1 58 | 정답과 풀이 a= , b+3 ;2!; Lecture 연립방정식의 해의 개수와 그래프 연립방정식 [ ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 ⑴ 연립방정식의 해가 한 쌍이다. y=- ;bA; y=- a' b' x- ;bC; x- c' b' , 즉 [ 에서 ➡ 두 일차방정식의 그래프가 한 점에서 만난다. ➡ - +- ;bA; a' b' ⑵ 연립방정식의 해가 없다. ➡ 두 일차방정식의 그래프가 평행하다. ➡ - =- a' b' ;bA; , - +- c' b' ;bC; ⑶ 연립방정식의 해가 무수히 많다. ➡ 두 일차방정식의 그래프가 일치한다. ➡ - ;bA;=- ;bC;=- a' b' , - c' b' 정답과 풀이 19 Action 두 일차방정식의 그래프가 일치하므로 기울기와 y절편이 각 점 C의 y좌표를 k라 하면 각 같다. 각 같다. (a-1)x+y=2에서 y=-(a-1)x+2 ax-3y=b에서 y= x- ;3A; ;3B; 두 일차방정식의 그래프가 일치하므로 기울기와 y절편이 각 _3_k= ∴ k=3 ;2(; ;2!; y=-2x+6에 y=3을 대입하면 3=-2x+6, 2x=3 ∴ x= ;2#; ∴ C , 3 } {;2#; 즉 -(a-1)= , 2=- 이므로 ;3A; ;3B; 따라서 직선 y=ax가 점 C , 3 을 지나므로 {;2#; } a= , b=-6 ;4#; 3= a ∴ a=2 ;2#; 3x+y-5=0 직선 y=4x+12의 x절편은 -3 이므로 A(-3, 0) 20 Action 먼저 연립방정식을 풀어 두 직선의 교점 A의 좌표를 구한다. 연립방정식 3x+y-5=0 x-y-3=0 [ 을 풀 면 x=2, y=-1 따라서 두 직선의 교점 A의 좌표 는 (2, -1)이다. 직선 3x+y-5=0의 y절편은 5이 므로 B(0, 5) y 5 B x-y-3=0 2 A -1 O C -3 x 직선 x-y-3=0의 y절편은 -3이므로 C(0, -3) ∴ △ABC= _8_2=8 ;2!; 21 Action 좌표평면 위에 세 직선을 그려 세 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다. 두 직선 x-y+4=0, x+2y-8=0의 교점의 좌표는 (0, 4) 두 직선 x-y+4=0, y=1의 교점의 좌표는 (-3, 1) 두 직선 x+2y-8=0, y=1의 교점의 좌표는 (6, 1) 따라서 세 직선으로 둘러싸인 도 x-y+4=0 형은 오른쪽 그림과 같으므로 구 y 4 1 -3 O y=1 6 x x+2y-8=0 하는 넓이는 _9_3= ;2!; :ª2¦: 22 Action 먼저 △BOA의 넓이를 구한 후 두 직선의 교점의 좌표를 구 한다. 직선 y=-2x+6의 x절편은 3, y절편 은 6이므로 A(3, 0), B(0, 6) ∴ △BOA= _3_6=9 ;2!; 두 직선 y=-2x+6, y=ax의 교점을 y B 6 y=ax C 23 Action 먼저 세 점 P, A, B의 좌표를 각각 구한다. y=4x+12 연립방정식 [ y=-x+2 를 풀면 P y 4 x=-2, y=4 따라서 두 직선의 교점 P의 좌표 는 (-2, 4)이다. A -3 -2 B 2 x O y=4x+12 y=-x+2 y=ax+b 직선 y=-x+2의 x절편은 2이므로 B(2, 0) 이때 직선 y=ax+b가 점 P(-2, 4)를 지나면서 △PAB 의 넓이를 이등분하려면 점 { - , 0 을 지나야 한다. } ;2!; 즉 직선 y=ax+b는 두 점 (-2, 4), { - ;2!; , 0 } 을 지나므로 0-4 a= - -(-2) ;2!; =- ;3*; y=- x+b에 x=- , y=0을 대입하면 ;3*; ;2!; ;3$; 0= +b ∴ b=- ;3$; ∴ a+b=- + - { ;3*; ;3$;} =-4 Lecture 직선 y=ax+b가 점 P를 지나면서 △PAB의 넓이를 이등분하 려면 ABÓ의 중점을 지나야 한다. ABÓ=2-(-3)=5이므로 ABÓ의 중점을 M이라 하면 AMÓ=BMÓ= ;2%; M - { , 0 } ;2!; 따라서 점 M의 x좌표는 -3+ =- 이므로 ;2%; ;2!; C라 하면 △COA= ;2(; O 3 A x y=-2x+6 24 Action 먼저 형과 동생의 그래프의 식을 각각 구한다. 형의 그래프는 두 점 (0, 0), (50, 3000)을 지나므로 y=60x yy ㉠ Ⅴ. 함수 | 59 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 동생의 그래프는 두 점 (10, 0), (30, 3000)을 지나므로 y=150x-1500 yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x= , y=1000 :°3¼: 따라서 형이 출발한 지 분 후에 형과 동생이 만난다. :°3¼: 03 Action 네 직선으로 둘러싸인 도형을 좌표평면 위에 나타낸다. x-3=0에서 x=3 y-2=0에서 y=2 2x=10에서 x=5 3y-12=0에서 y=4 kx-y+1=0에서 y=kx+1 이 그래프는 항상 점 (0, 1)을 지 나므로 주어진 네 직선으로 둘러 싸인 도형과 만나려면 오른쪽 그 림의 색칠한 부분에 있어야 한다. y 4 2 1 O (ⅰ) y=4 (ⅱ) y=2 3 5 x x=3 x=5 Ú y=kx+1의 그래프가 점 (3, 4)를 지날 때, 4=3k+1, 3k=3 ∴ k=1 Û y=kx+1의 그래프가 점 (5, 2)를 지날 때, 최고 수준 완성하기 P 114 - P 116 2=5k+1, 5k=1 ∴ k= ;5!; Ú, Û에 의하여 ÉkÉ1 ;5!; 01 5개 02 y=-1 03 ;5!; ÉkÉ1 04 ;2!; 05 - ;3$; 06 - ;3!; 07 12 08 ;2#; 09 :ª3°: p 10 a= ;4!;, b= :Á4£: 11 ㉡, ㉣ 01 Action 점 (1, -4)를 지나고, 제 1사분면을 지나지 않도록 일차방정 y=-x+4 04 Action 먼저 두 직선 l, m의 방정식을 구한다. 직선 l의 x절편은 4, y절편은 4이므로 직선 l의 방정식은 …… 20% …… 20% 직선 m의 x절편은 - , y절편은 1이므로 직선 m의 방정 ;2!; 식은 y=2x+1 y=-x+4 연립방정식 [ y=2x+1 을 풀면 x=1, y=3 …… 40% 따라서 직선 l과 직선 m의 교점의 좌표는 (1, 3)이므로 y=2ax+2에 x=1, y=3을 대입하면 3=2a+2, 2a=1 ∴ `a= ;2!; …… 20% y 1 O x (ⅱ) -4 (ⅰ) 식의 그래프를 그려 본다. ax-y-b=0, 즉 y=ax-b의 그래프가 점 (1, -4)를 지나고, 제 1사분면을 지나지 않아야 하므 로 그래프는 오른쪽 그림에서 색 칠한 부분에 있어야 한다. Ú y=ax-b의 그래프가 두 점 (0, 0), (1, -4)를 지날 때, a= -4-0 1-0 =-4 x축에 평행하므로 a=0 Û y=ax-b의 그래프가 두 점 (0, -4), (1, -4)를 지날 때, Ú, Û에 의하여 -4ÉaÉ0이어야 하므로 조건을 만족시키 는 정수 a는 -4, -3, -2, -1, 0의 5개이다. 05 Action 세 직선으로 삼각형을 만들 수 없는 경우를 모두 생각해 본다. 세 직선으로 삼각형을 만들 수 없는 경우는 세 직선 중 두 직 선이 평행하거나 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다. Ú 두 직선 x+3y-4=0, ax-y-2=0이 평행한 경우 02 Action △ABC를 좌표평면 위에 나타내고 PQÓ의 길이가 최대가 되 도록 하는 직선을 찾는다. 세 점 A(1, 3), B(-2, -3), C(6, -1)을 꼭짓점으로 하는 △ABC는 오른쪽 그림과 같으 므로 PQÓ의 길이가 최대가 되도 록 하는 직선은 점 C를 지난다. B 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-1 y 3 A -2 P 1 O -1 -3 60 | 정답과 풀이 x+3y-4=0에서 y=- x+ ;3!; ;3$; ax-y-2=0에서 y=ax-2 따라서 두 직선의 기울기는 같으므로 a=- ;3!; Û 두 직선 x-2y+2=0, ax-y-2=0이 평행한 경우 6 x C(Q) x-2y+2=0에서 y= x+1 ;2!; ax-y-2=0에서 y=ax-2 따라서 두 직선의 기울기는 같으므로 a= ;2!; 정답과 풀이 Ü 세 직선이 한 점에서 만나는 경우 따라서 세 직선으로 둘러 2x+y+4=0 x+3y-4=0 연립방정식 [ x-2y+2=0 을 풀면 x= , y= ;5@; ;5^; 따라서 세 직선의 교점의 좌표는 , {;5@; ;5^;} 이므로 ax-y-2=0에 x= , y= 을 대입하면 ;5@; ;5^; 싸인 도형은 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 넓이는 (사각형 DEFA의 넓이) -△DBA-△BEC -△ACF y 4 2 -2 D B E x-y+2=0 A O 1 2 x 4x-y-4=0 C -4 F a- -2=0, ;5@; ;5^; a= :Á5¤: ;5@; ∴ a=8 =4_8- _4_4- _2_4- _2_8 ;2!; ;2!; ;2!; Ú ~ Ü에 의하여 모든 a의 값의 곱은 =32-8-4-8=12 …… 40% - _ _8=- ;3!; ;2!; ;3$; 08 Action 세 점 P, Q, R의 좌표를 구하여 △PQR의 넓이를 구한다. 연립방정식 [ x+1 y= ;2!; y=2x-2 를 풀면 x=2, y=2 따라서 두 직선의 교점 P의 좌표는 (2, 2)이다. y=ax y 2 P S R 1 2 O y=2x-2 x Q -2 1 y= x+1 2 직선 y= x+1의 x절편은 -2이므로 Q(-2, 0) ;2!; 직선 y=2x-2의 x절편은 1이므로 R(1, 0) ∴ △PQR= _3_2=3 ;2!; 두 직선 y= x+1, y=ax가 만나는 점을 S라 하면 ;2!; △SQO= ;2#; 점 S의 y좌표를 k라 하면 _2_k= ∴ k= ;2#; ;2#; ;2!; y= x+1에 y= 을 대입하면 ;2!; ;2#; = ;2#; ;2!; x+1, x= ;2!; ;2!; ∴ x=1 ∴ S 1, { ;2#;} 따라서 직선 y=ax가 점 S 1, 을 지나므로 a= { ;2#;} ;2#; 06 Action 연립방정식의 해가 무수히 많으므로 두 일차방정식의 그래프 는 일치한다. 3x-by=2에서 y= x- ;b#; ;b@; 프가 일치해야 하므로 연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 일차방정식의 그래 -a= , 4=- ∴ a=6, b=- ;b#; ;b@; ;2!; x+ay-b=0에 a=6, b=- 을 대입하면 ;2!; x+6y+ =0, 즉 y=- x- ;6!; ;1Á2; ;2!; 또, kx-2y=0에서 y= x ;2K; 이때 두 직선 y=- x- , y= x가 평행하므로 ;6!; ;1Á2; ;2K; - = ;2K; ;6!; ∴ k=- ;3!; 07 Action 먼저 세 직선의 교점의 좌표를 구한다. x-y+2=0 연립방정식 [ 4x-y-4=0 을 풀면 x=2, y=4 따라서 두 직선 x-y+2=0, 4x-y-4=0의 교점의 좌표 …… 20% 을 풀면 x=-2, y=0 구한다. 09 Action 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타내고 점 P의 좌표를 는 (2, 4)이다. x-y+2=0 연립방정식 [ 2x+y+4=0 는 (-2, 0)이다. 4x-y-4=0 연립방정식 [ 2x+y+4=0 따라서 두 직선 x-y+2=0, 2x+y+4=0의 교점의 좌표 두 점 A(2, 0), D(0, 5)를 지나 …… 20% 는 직선의 방정식은 을 풀면 x=0, y=-4 y=- x+5 ;2%; 따라서 두 직선 4x-y-4=0, 2x+y+4=0의 교점의 좌 표는 (0, -4)이다. …… 20% 직선의 방정식은 y=- x+3 ;2!; 두 점 B(6, 0), C(0, 3)을 지나는 y 5 3 D C P 5 2 A O 1 2 B 6 x Ⅴ. 함수 | 61 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 즉 물통 A에 남아 있는 물의 양이 물통 B에 남아 있는 물 의 양보다 적다. 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다. 연립방정식 [ y=- y=- ;2%; ;2!; x+5 x+3 을 풀면 x=1, y= ;2%; 따라서 두 직선의 교점 P의 좌표는 { 1, ;2%;} 이다. 즉 △PAB를 x축을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피는 Û`_5- Û`_1= _p_ _p_ p- p ;3!; {;2%;} ;3!; {;2%;} :Á1ª2°: ;1@2%; = p :ª3°: 최고 수준 뛰어넘기 P 117 01 P(1, 3) 02 3 03 ;1@5*; 10 Action 먼저 두 직선의 교점의 좌표를 구한다. 두 직선 y=ax+2b, y=bx+2a의 교점의 x좌표는 ax+2b=bx+2a, (a-b)x=2(a-b) 각 a, b의 식으로 나타낸다. 01 Action 점 P의 좌표를 (a, b)로 놓고 네 점 A, B, C, D의 좌표를 각 ∴ x=2 (∵ a+b) 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (2, 7)이다. y=ax+2b에 x=2, y=7을 대입하면 7=2a+2b 이때 00) 따라서 f(x)의 최댓값은 x=0일 때 3이다. y 4 y=x+4 1 y= x+3 2 3 2 y=-x+3 01 Action f(3), f(4), f(5)의 값을 각각 구하여 규칙을 찾는다. f(3)은 3 이하의 자연수 2개와 3을 가지고 만들 수 있는 삼 각형의 개수이므로 (3, 2, 2) ➡ 1개 ∴ f(3)=3+1=4 각형의 개수이므로 f(4)는 4 이하의 자연수 2개와 4를 가지고 만들 수 있는 삼 (4, 4, 4), (4, 4, 3), (4, 4, 2), (4, 4, 1) ➡ 4개 -2-4 O 3 x (3, 3, 3), (3, 3, 2), (3, 3, 1) ➡ 3개 03 Action 점 B를 원점, 직선 AB를 y축, 직선 BC를 x축으로 하는 좌 표평면 위에 사각형 ABCD를 나타내어 본다. (4, 3, 3), (4, 3, 2) ➡ 2개 ∴ f(4)=4+2=6 오른쪽 그림과 같이 점 B를 원 점, 직선 AB를 y축, 직선 BC 를 x축으로 하는 좌표평면을 그려 보면 A(0, 4), C(4, 0), D(4, 4), M(2, 0), N(4, 2) 이다. y 4 A D N P Q M 2 C 4 x O(B) 두 점 D(4, 4), M(2, 0)을 지나는 직선의 방정식은 y=2x-4 yy ㉠ f(5)는 5 이하의 자연수 2개와 5를 가지고 만들 수 있는 삼 각형의 개수이므로 (5, 5, 5), (5, 5, 4), (5, 5, 3), (5, 5, 2), (5, 5, 1) ➡ 5개 (5, 4, 4), (5, 4, 3), (5, 4, 2) ➡ 3개 (5, 3, 3) ➡ 1개 ∴ f(5)=5+3+1=9 같은 방법으로 f(30) =30+28+26+y+4+2 두 점 A(0, 4), N(4, 2)를 지나는 직선의 방정식은 =(30+2)+(28+4)+y+(18+14)+16 y=- x+4 yy ㉡ ;2!; 두 점 A(0, 4), C(4, 0)을 지나는 직선의 방정식은 y=-x+4 yy ㉢ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x= , y= :Á5¤: :Á5ª: 한다. =32_7+16 =240 02 Action n에 2, 3, 4를 각각 대입한 후 a, b, c의 값의 범위를 각각 구 ∴ P , {:Á5¤: :Á5ª:} ㉠, ㉢ 을 연립하여 풀면 x= , y= ;3*; ;3$; ∴ Q , {;3*; ;3$;} ∴ (사각형 PQCN의 넓이) =△DQC-△DPN = _4_ 4- - _2_ 4- ;2!; { ;3*;} ;2!; { :Á5¤:} =;3*;-;5$; ;1@5*; = fª(a)= =1에서 1É <2 ;2A; ;2A; ] ∴ 2Éa<4 [ f£(b)= =a에서 2É <4 ;3B; 즉 2É ] ∴ 6Éb<12 [ f¢(c)= =b에서 6É <12 즉 6É [ ] <12 ;4C; ;4C; [ ] ∴ 24Éc<48 ;3B; ] [ <4 ;3B; ;4C; 이때 정수 c의 최댓값은 47, 최솟값은 24이므로 M=47, m=24 ∴ M+m=47+24=71 Lecture [x] : x보다 크지 않은 최대의 정수 ➡ x 이하의 최대의 정수 ➡ x를 넘지 않는 최대의 정수 교과서 속 창의 사고력 P 118 - P 120 01 240 02 71 03 xÉ- ;1!7!; 04 y= x-1 05 22 L ;2!; 06 ;6%; 03 Action 두 일차함수 y=f(x), y=g(x)의 식을 각각 구한다. 일차함수 y=f(x)의 그래프는 x의 값이 4만큼 증가할 때 y의 값은 3만큼 감소하므로 기울기가 - 이다. ;4#; Ⅴ. 함수 | 63 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 f(x)=- x+a로 놓으면 f(1)=4이므로 ;4#; 즉 x km를 가는 데 x L의 연료가 필요하므로 남아 있는 ;1ª5; 4=- +a ∴ a= ;4#; :Á4»: ∴ f(x)=- x+ ;4#; :Á4»: 일차함수 y=g(x)의 그래프는 y절편이 2이다. g(x)=bx+2로 놓으면 g(1)=-3이므로 ∴ b=-5 -3=b+2 ∴ g(x)=-5x+2 xÉ- :Á4Á: :Á4¦: ∴ xÉ- ;1!7!; 최 • 고 • 수 • 준 • 수 • 학 연료의 양을 y L라 하면 y=30- x ;1ª5; y=30- x에 x=60을 대입하면 y=30-8=22 ;1ª5; 따라서 남아 있는 연료의 양은 22 L이다. 06 Action 서로 다른 세 직선에 의하여 좌표평면이 여섯 부분으로 나누 어지는 경우는 세 직선이 한 점에서 만나거나 두 직선이 평행하고 다른 서로 다른 세 직선에 의하여 좌표평면이 여섯 부분으로 나누 어지는 경우는 세 직선이 한 점에서 만나거나 두 직선이 평행 하고 다른 한 직선은 두 직선과 평행하지 않은 경우이다. Ú 세 직선이 한 점에서 만나는 경우 x+py-3=0 연립방정식 [ x+2y-3=0 을 풀면 x=3, y=0 따라서 f(x)Ég(x)에서 - x+ ;4#; :Á4»: É-5x+2 한 직선은 두 직선과 평행하지 않은 경우이다. 04 Action 먼저 점 P의 좌표가 (2. 0)일 때, 점 P가 점 A로부터 떨어진 거리를 AOÓ의 길이를 이용하여 나타내어 본다. 점 P의 좌표가 (2, 0)일 때, 점 P는 점 A에서 AOÓ의 만큼 ;5$; 따라서 세 직선의 교점의 좌표는 (3, 0)이므로 떨어져 있다. 이때 점 P가 점 A를 출발하여 점 O에 도착하는 데 걸리는 시 간과 점 Q가 점 A를 출발하여 점 B에 도착하는 데 걸리는 시 간이 같으므로 점 Q는 점 A에서 ABÓ의 만큼 떨어져 있다. ;5$; 즉 점 Q의 좌표는 (10, 4)이다. px+y-1=0에 x=3, y=0을 대입하면 3p-1=0, 3p=1 ∴ p= ;3!; Û 두 직선 px+y-1=0, x+py-3=0이 평행할 때, 즉 두 직선 y=-px+1, y=- x+ 이 평행한 경우 ;p!; ;p#; 두 점 P(2, 0), Q(10, 4)를 지나는 일차함수의 그래프의 기 -p=- , 1+ ∴ p=1 또는 p=-1 ;p!; ;p#; 울기는 4-0 10-2 = ;2!; y= x+b로 놓고 x=2, y=0을 대입하면 ;2!; 0=1+b ∴ `b=-1 따라서 구하는 일차함수의 식은 y= x-1 ;2!; 05 Action 먼저 연료를 더 넣은 후의 연료의 양을 구한 후 x km를 이동 하였을 때, 남아 있는 연료의 양을 y L로 놓고 x와 y 사이의 관계를 식 으로 나타내어 본다. 자동차에 들어 있는 연료의 양은 연료통의 부피의 이었고, 20 L의 연료를 더 넣었더니 연료통의 부피의 이 되었으므 ;5!; ;5#; 로 더 넣은 연료의 양은 연료통의 부피의 ;5#; - = ;5!; ;5@; 이다. 즉 20 L의 연료가 연료통의 부피의 이므로 10 L의 연료 ;5@; 는 연료통의 부피의 이다. ;5!; 따라서 처음 연료의 양은 10 L이고, 연료를 더 넣은 후 들어 있는 연료의 양은 10+20=30 (L)이다. 이때 직선 x+2y-3=0, 즉 y=- x+ 의 기울기는 ;2!; ;2#; - 이다. ;2!; 따라서 직선 x+2y-3=0은 나머지 두 직선과 평행하 지 않으므로 조건을 만족시킨다. Ü 두 직선 px+y-1=0, x+2y-3=0이 평행할 때, 즉 두 직선 y=-px+1, y=- x+ 이 평행한 경우 ;2!; ;2#; -p=- , 1+ ∴ p= ;2!; ;2#; ;2!; 이때 x+py-3=0에 p= 을 대입하면 ;2!; x+ y-3=0, 즉 y=-2x+6의 기울기는 -2이다. ;2!; 따라서 직선 x+py-3=0은 나머지 두 직선과 평행하 지 않으므로 조건을 만족시킨다. Ý 두 직선 x+py-3=0, x+2y-3=0이 평행할 때, 즉 두 직선 y=- x+ , y=- x+ 이 평행한 경우 ;p!; ;p#; ;2!; ;2#; - =- ;p!; , ;2!; ;p#; + ;2#; 따라서 가능한 p의 값은 없다. 이때 15 km를 가는 데 2 L의 연료가 필요하므로 1 km를 가 Ú ~ Ý에 의하여 모든 상수 p의 값은 , 1, -1, 이므로 ;3!; ;2!; 는 데 L의 연료가 필요하다. ;1ª5; 그 합은 +1+(-1)+ = ;2!; ;6%; ;3!; 64 | 정답과 풀이 정답과 풀이