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천재교육

중등 수학의 힘 감마 (심화) 1-1 답지 (2020)

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수학의 힘 γ(감마)   중1-1
정답과 해설

1

2

3

4

5

6

7

8

9

소인수분해

최대공약수와 최소공배수

정수와 유리수

정수와 유리수의 계산

문자와 식

일차방정식의 풀이

일차방정식의 활용

좌표평면과 그래프

정비례와 반비례

2

7

14

16

24

30

36

44

48

1

소인수분해

009   1에서 15까지의 자연수 중 3을 소인수로 가지는 수는 3의 배수

인 3, 6, 9, 12, 15이다.

 이때 3=3, 6=2_3, 9=3Û`, 12=2Û`_3, 15=3_5이므로



1_2_3_y_15=☐_3ß`의 꼴이다.

 따라서 3의 지수는 6이다.

 6

010   360=2Ü`_3Û`_5의 약수는 2Ü`의 약수와 3Û`의 약수와 5의 약수

STEP

1

실력 문제

7쪽~9쪽

001   ① 5=4_1+1이므로 나머지는 1이다.
 ② 12=4_3+0이므로 나머지는 0이다.

 ③ 19=4_4+3이므로 나머지는 3이다.

 ④ 21=4_5+1이므로 나머지는 1이다.

 ⑤ 27=4_6+3이므로 나머지는 3이다.

의 곱으로 이루어진다.

2Ü`의 약수:1, 2, 2Û`, 2Ü`

3Û`의 약수:1, 3, 3Û`

5의 약수:1, 5









따라서 [  ] 안의 수가 주어진 수를 4로 나누었을 때의 나머지가

 따라서 360의 약수가 아닌 것은 ③이다.

 ③

아닌 것은 ③이다.

002   A =B_12+21

=B_12+12+9

=(B+1)_12+9

 따라서 A를 12로 나누었을 때의 나머지는 9이다.

 9

003   9의 배수가 되려면 각 자리의 숫자의 합이 9의 배수이어야 하

므로





1+4+☐+2=( 9의 배수)

 ∴ 7+☐=( 9의 배수)

따라서 ☐ 안에 들어갈 수 있는 한 자리의 숫자는 2이므로 ☐ 안

에 알맞은 숫자는 2이다.

004   소수는 2, 29, 73의 3개이다.

005   합성수는 8, 26, 57, 117의 4개이다.

 ③

011   ①  2Û`_5Ý`의 약수의 개수는

(2+1)_(4+1)=15(개)

 ②  3Û`_5Ü`의 약수의 개수는

(2+1)_(3+1)=12(개)

 ③  2Ü`_7의 약수의 개수는

(3+1)_(1+1)=8(개)

 ④  6Û`_5=2Û`_3Û`_5이므로 약수의 개수는

(2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)

 ⑤  96=2Þ`_3이므로 약수의 개수는

(5+1)_(1+1)=12(개)

 따라서 약수의 개수가 가장 많은 것은 ④이다.

 ④

 2

 3개

 4개

012   3x_7Û`_8=2Ü`_3x_7Û`이고 약수의 개수는 48개이므로


(3+1)_(x+1)_(2+1)=48





12_(x+1)=48

x+1=4

 ∴ x=3

006   ㉠ 짝수 중 소수는 2의 1개이다.
 ㉡  소수와 소수의 합은 홀수 또는 짝수이다.

예 소수인 2와 5의 합 7은 홀수이고, 소수인 3과 5의 합 8은

013   288=2Þ`_3Û`이므로 약수의 개수는


(5+1)_(2+1)=18(개)
2_3Û`_5a의 약수의 개수는



짝수이다.

 ㉢ 자연수는 약수의 개수가 1개 이상이다.

(1+1)_(2+1)_(a+1)=6_(a+1)(개)

 
 이때 288의 약수의 개수와 2_3Û`_5a의 약수의 개수가 같으므로

 ㉣ 합성수는 약수의 개수가 3개 이상인 수이다.



6_(a+1)=18, a+1=3



 ㉤ 10 이하의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다.

 ∴ a=2

 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉤의 2개이다.

 2개

014   n의 값에 주어진 수를 대입하여 약수의 개수를 구하면 다음과

007   ① 12=2Û`_3이므로 소인수는 2, 3의 2개이다.
 ② 16=2Ý`이므로 소인수는 2의 1개이다.

 ③ 30=2_3_5이므로 소인수는 2, 3, 5의 3개이다.

 ④ 50=2_5Û`이므로 소인수는 2, 5의 2개이다.

 ⑤ 91=7_13이므로 소인수는 7, 13의 2개이다.

같다.

 ① 63_2=2_3Û`_7이므로 약수의 개수는

 (1+1)_(2+1)_(1+1)=12(개)

 ② 63_4=2Û`_3Û`_7이므로 약수의 개수는

(2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)

 따라서 소인수의 개수가 가장 많은 것은 ③이다.

 ③

 ③ 63_5=3Û`_5_7이므로 약수의 개수는

 3

 2









 (2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)

 ④ 63_21=3Ü`_7Û`이므로 약수의 개수는

 5

 (3+1)_(2+1)=12(개)

008   252=2Û`_3Û`_7이므로 a=2, b=2, c=1
 ∴ a+b+c=2+2+1=5

2  |  정답과 해설

 ⑤ 63_49=3Û`_7Ü`이므로 약수의 개수는



 (2+1)_(3+1)=12(개)

 따라서 자연수 n의 값이 될 수 없는 것은 ②이다.

 ②



다른 풀이   63_n의 약수의 개수가 12개가 되려면 63=3Û`_7이

2Ü`_3Û`



=

:¦aª:

a =(자연수)Û`이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수

 이어야 한다.

 따라서 a의 값 중 가장 작은 자연수는 2이다.

 2

므로

 Ú  3Û`_7_n=3Þ`_7에서

 Û  3Û`_7_n=3Ü`_7Û`에서

 Ü  3Û`_7_n=3Û`_7Ü`에서

n=3Ü`=27

n=3_7=21

n=7Û`=49

n=2, 5, 11, y

와 같다.

 따라서 구하는 홀수의 개수는

STEP

2

심화 문제 

10쪽~14쪽

020   34를 어떤 자연수로 나누면 6이 남으므로 34-6, 즉 28을 어떤



따라서 어떤 자연수는 28의 약수 중 6보다 큰 수이므로 7, 14, 28

 Ý  3Û`_7_n=3Û`_7_a (a는 3, 7이 아닌 소수)에서

자연수로 나누면 나누어떨어진다.

 따라서 Ú ~ Ý에 의해 자연수 n의 값이 될 수 없는 것은 ②이다.

이다.

 7, 14, 28

015   주어진 수의 약수 중 홀수의 개수는 3Ü`_5Û`_7의 약수의 개수

이 자연수가 되려면 분모인 2_n+1이 220의 약수

021 

220
2_n+1

 이어야 한다.

(3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개)

 24개

 참고   홀수이려면 2를 소인수로 갖지 않아야 한다.



이때 2_n+1은 220의 약수 중 홀수이고 220=2Û`_5_11이므

로 2_n+1의 값은 5 또는 11 또는 55이다.



 





016   3의 배수는 ☐_3의 꼴이어야 한다.


이때 180=2Û`_3Û`_5=(2Û`_3_5)_3이므로 180의 약수 중 3

의 배수의 개수는 2Û`_3_5의 약수의 개수와 같다.

 따라서 구하는 3의 배수의 개수는



(2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)

 12개

017   90을 소인수분해하면 90=2_3Û`_5


90에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인수의 지

수가 모두 짝수이어야 하므로 곱하는 수는

2_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.

 따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는

2_5=10

 10

018   120을 소인수분해하면 120=2Ü`_3_5


120_a=2Ü`_3_5_a=bÛ` 이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝

수이어야 하므로 가장 작은 a의 값을 구하면



a=2_3_5=30

 이때 bÛ` =2Ü`_3_5_(2_3_5)

=2Ý`_3Û`_5Û`

=(2Û`_3_5)Û`

=60Û`

 이므로 b=60

 ∴ a+b=30+60=90

 Ú 2_n+1=5일 때, n=2

 Û 2_n+1=11일 때, n=5

 Ü 2_n+1=55일 때, n=27

 따라서 구하는 n의 값은 2, 5, 27이다.

 2, 5, 27

022   1을 7로 나누면 나머지가 1이다.


4월 26일을 3월 1일을 기준으로 계산하면 31+26=57(일)이고,

57=7_8+1이므로 57을 7로 나누면 나머지가 1이다.

 따라서 4월 26일은 토요일이 된다.

 ①

023   조건 ㉡에서 약수의 개수가 2개인 자연수는 소수이다.


이때 조건 ㉠에서 35 이상 40 미만인 자연수 중 소수는 37이므로

주어진 조건을 모두 만족하는 자연수는 37이다.

 37

024   조건 ㉡에서 n의 약수는 1과 n뿐이므로 n은 소수이다.


이때 조건 ㉠에서 n은 30 이하의 자연수이므로 n은 2, 3, 5, 7,

11, 13, 17, 19, 23, 29의 10개이다.

 10개

025   ㉠  30 이하의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

 ㉡  a, b가 소수일 때, a_b의 약수는 1, a, b, a_b이므로 합성수

29의 10개이다.

이다.

 ㉣ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다.

 ㉤ 소수가 아닌 자연수 중 1은 약수의 개수가 1개이다.

 90

 ㉥  소수와 합성수의 합은 소수 또는 합성수이다.

예 소수인 3과 합성수인 4의 합 7은 소수이다.

019   72를 소인수분해하면 72=2Ü`_3Û`이므로 나누는 자연수를 a라

소수인 3과 합성수인 6의 합 9는 합성수이다.

할 때

 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.

 ㉠, ㉢

1 소인수분해  |  3

026   (홀수)+(홀수)=(짝수), (짝수)+(홀수)=(홀수)이므로 한 소

수의 제곱은 짝수이다.

032   < 7 >은 7의 모든 약수들의 합이고 7의 약수는 1, 7이므로


< 7 >=1+7=8

∴  b=8

 소수 중 그 수의 제곱이 짝수가 되는 수는 2뿐이므로 x=2

[ 8 ]은 8의 약수의 개수이고 8=2Ü`이므로







[ 8 ]=3+1=4

∴  c=4

 121

따라서 < 4 >는 4의 모든 약수들의 합이고 4의 약수는 1, 2, 4이므

로 < 4 >=1+2+4=7

 7

 이때 2Û`+y=127이므로 y=123

 ∴ y-x=123-2=121

027   1_2_3_y_9_10


 =1_2_3_2Û`_5_(2_3)_7_2Ü`_3Û`_(2_5)

 =2¡`_3Ý`_5Û`_7


 이므로 2¡`_3Ý`_5Û`_7=2a_3b_5c_7d에서



a=8, b=4, c=2, d=1

 ∴ a+b+c+d =8+4+2+1

=15

028   [ x ]=4이므로 x를 소인수분해하면 소인수 2의 지수는 4이다.


100 이하의 자연수 중 소인수분해하였을 때, 2Ý`_a ( a는 홀수)의

꼴이 되는 수는

2Ý`_1=16, 2Ý`_3=48, 2Ý`_5=80

 따라서 [ x ]=4를 만족하는 모든 자연수 x의 값의 합은

16+48+80=144

 144

033   2Ý`_☐의 약수의 개수가 15개가 되려면
 Ú ☐가 밑이 2인 수일 때,
2Ý`_☐=214에서 ☐=210

 Û ☐가 밑이 2가 아닌 수일 때,



 15

2Ý`_☐에서

( 2Ý`의 약수의 개수)_( ☐의 약수의 개수)=15

5_( ☐의 약수의 개수)=15





∴ ( ☐의 약수의 개수)=3





따라서 ☐는 밑이 2가 아니고 약수의 개수가 3개인 수이므로



☐=3Û`, 5Û`, 7Û`, 11Û`, y

 Ú, Û에 의해 ☐ 안에 들어갈 수 있는 두 자리의 자연수는 25, 49

의 2개이다.

 2개

034   소인수분해하였을 때, 각각의 경우마다 조건을 만족하는 가장

029   분수 ;:;(n*;:); 이 자연수가 되려면 n은 980의 약수이어야 한다.


980을 소인수분해하면 980=2Û`_5_7Û`

작은 수를 구하면 다음과 같다.

 Ú aÇ` 의 꼴일 때,

 따라서 자연수 n의 값의 개수는



(2+1)_(1+1)_(2+1)=18(개)

 18개

 Û  aµ``_bÇ` 의 꼴일 때,

2à`=128

2Ü`_3=24

2_3_5=30

030   약수의 개수가 3개인 수는 어떤 소수의 제곱인 수이다. 이때

 Ü  aÂ`_bµ``_cÇ` 의 꼴일 때,

225=15Û`이므로 그 소수는 15보다 작아야 한다.

 따라서 구하는 수는 2Û`=4, 3Û`=9, 5Û`=25, 7Û`=49, 11Û`=121,

 Ú ~ Ü에 의해 구하는 가장 작은 수는 24이다.

 24

13Û`=169이다.

 4, 9, 25, 49, 121, 169

031   조건 ㉡에서 비가 3 : 7인 두 자연수를 3_k, 7_k (k는 자연
수)로 놓으면 3_k+7_k=10_k이므로 구하는 자연수는 10

의 배수이다.

이때 조건 ㉠, ㉢에서 60의 약수 중 10의 배수는 10, 20, 30, 60이

고 이 중 약수의 개수가 8개인 수는 30이므로 주어진 조건을 모두

035   3_☐의 약수의 개수가 6개이려면
 Ú  6=5+1일 때,

3_☐=3Þ`이어야 하므로 ☐=3Ý`=81

 Û  6=(1+1)_(2+1)일 때,

☐=( 3이 아닌 소수)Û`의 꼴이어야 하므로

☐ 안에 알맞은 가장 작은 자연수는 2Û`=4

 Ü  6=(2+1)_(1+1)일 때,



























만족하는 자연수는 30이다.

 참고    10=2_5이므로 약수의 개수는  

(1+1)_(1+1)=4(개)

20=2Û`_5이므로 약수의 개수는 

(2+1)_(1+1)=6(개)

30=2_3_5이므로 약수의 개수는

(1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)

60=2Û`_3_5이므로 약수의 개수는

(2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)

4  |  정답과 해설

 30

 

☐=3_( 3이 아닌 소수)의 꼴이어야 하므로

☐ 안에 알맞은 가장 작은 자연수는 3_2=6



 따라서 Ú ~ Ü에 의해 ☐ 안에 알맞은 가장 작은 자연수는 4이다.



 4

036   48=2Ý`_3이므로


A(48)=(4+1)_(1+1)=10

A(48)_A(x)=120에서 10_A(x)=120이므로





A(x)=12





`





 

 

 

 



 













 Ú  x=a11 (a는 소수)일 때,

가장 작은 자연수는 211

Ú ~ Ü에 의해 1234=4_308+2이므로 3Ú`Û`Ü`Ý`의 일의 자리의 숫

자는 9, 5Ú`Û`Ü`Ý`의 일의 자리의 숫자는 5, 7Ú`Û`Ü`Ý`의 일의 자리의 숫자는

 Û  x=aÞ`_b (a, b는 서로 다른 소수)일 때,

9이다.

가장 작은 자연수는 2Þ`_3=96

 따라서 3Ú

Ú`Û`Ü`Ý`+5Ú`Û`Ü`Ý`+7Ú`Û`Ü`Ý`의 일의 자리의 숫자는

 Ü  x=aÜ`_bÛ` (a, b는 서로 다른 소수)일 때,

9+5+9=23에서 3이므로

가장 작은 자연수는 2Ü`_3Û`=72

f(1234)=3

 3

 Ý  x=aÛ`_b_c (a, b, c는 서로 다른 소수)일 때,

가장 작은 자연수는 2Û`_3_5=60

 따라서 Ú ~ Ý에 의해 x의 값 중 가장 작은 자연수는 60이다.

042   A를 소인수분해하면 A=B_D_E


이때 10보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이고 5=2+3, 7=2+5이므로

 60

B=2, D=3, E=5 또는 B=2, D=5, E=7

037   720=2Ý`_3Û`_5이므로 720의 약수 중 어떤 자연수의 제곱이

되는 수는 지수가 모두 짝수이어야 한다.

 따라서 1, 2Û`, 3Û`, 2Ý`, 2Û`_3Û`, 2Ý`_3Û`의 6개이다.

 6개

 Ú B=2, D=3, E=5일 때,

∴ A=2_3_5=30

 Û B=2, D=5, E=7일 때,

∴ A=2_5_7=70

038   216=2Ü`_3Ü`이므로 216_a가 어떤 자연수의 제곱이 되게 하

따라서 조건을 만족하는 모든 자연수 A의 값의 합은

려면 a=2_3_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.

 ∴ a=6, 6_2Û`, 6_3Û`, 6_4Û`, y

30+70=100



 100



따라서 100 이하의 자연수 중 a의 값이 될 수 있는 수는 6, 24,

043   15를 세 소인수의 합으로 나타내고, 그때의 x의 값을 구하면

54, 96이다.

 6, 24, 54, 96

다음과 같다.

039   540을 소인수분해하면 540=2Û`_3Ü`_5이므로 나누는 자연수

를 a라 할 때



540
a =
 짝수이어야 한다.

2Û`_3Ü`_5
a

=(자연수)Û`이 되려면 소인수의 지수가 모두

 Ú  15=2+2+3+3+5이므로

x=2Û`_3Û`_5=180

 Û  15=2+3+5+5이므로

x=2_3_5Û`=150

 Ü  15=2+3+3+7이므로

x=2_3Û`_7=126

 ∴ a=3_5, 2Û`_3_5, 3Ü`_5, 2Û`_3Ü`_5

 따라서 나눌 수 있는 자연수는 15, 60, 135, 540이다.

 Ý  15=3+5+7이므로

 15, 60, 135, 540

x=3_5_7=105

040 

1260
aÛ`

=b에서 1260=2Û`_3Û`_5_7이므로

a의 최댓값은 2_3=6
575
c =dÛ`에서 575=5Û`_23이므로
c의 최솟값은 23

 이때 dÛ`=

=5Û`이므로 d=5

575
23

 ∴ a+d=6+5=11

 Ú ~ Ý에 의해 구하는 모든 x의 값의 합은

180+150+126+105=561

 561

044   n을 소인수분해하면 n=p_q이므로 n의 약수는

1, p, q, p_q이다.

n의 모든 약수의 합이 n+20이므로

1+p+q+p_q =n+20

1+p+q+p_q=p_q+20

1+p+q=20

 ∴ p+q=19

 11

 이때 합이 19인 두 소수는 2, 17이므로

n=2_17=34

 34

045   조건 ㉠에서 N은 60으로 나누어떨어지므로 N은


60=2Û`_3_5의 배수이다.
조건 ㉡에서 N의 소인수의 개수는 3개이므로 N=2a_3b_5c의



STEP

3

고난도 문제

15쪽~16쪽

041   Ú  3Ú`=3, 3Û`=9, 3Ü`=27, 3Ý`=81, 3Þ`=243, y이므로 3의 거

듭제곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 반복된다.

꼴로 나타낼 수 있다.

 Û  5Ú`=5, 5Û`=25, y이므로 5의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는

 조건 ㉢에서 N의 약수의 개수는 18개이므로

5가 반복된다.

(a+1)_(b+1)_(c+1)=18

 Ü  7Ú`=7, 7Û`=49, 7Ü`=343, 7Ý`=2401, 7Þ`=16807, y이므로 7

 이때 조건 ㉠, ㉡에서 a는 2보다 크거나 같아야 하므로

의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1이 반복된다.

18=3_2_3 또는 18=3_3_2이다.

1 소인수분해  |  5

























 



 Ú  18=3_2_3에서 a=2, b=1, c=2

 이때 b, c는 서로 다른 소수이고 bÛ`_cÛ`을 만족하는 가장 큰 수는

∴ N=2Û`_3_5Û`=300

 Û  18=3_3_2에서 a=2, b=2, c=1

∴ N=2Û`_3Û`_5=180

26Û`=(2_13)Û`=2Û`_13Û`이므로

a=b_c=2_13=26

 26



따라서 Ú, Û에 의해 주어진 조건을 모두 만족하는 자연수 N의

048   사물함의 문이 열려 있는 상태를 ◯표, 닫혀 있는 상태를 ×표

값 중에서 가장 큰 수는 300이다.

 300

로 나타내면 다음과 같다.

046   abcabc =abc_1000+abc
=abc_(1000+1)

=abc_1001

=7_11_13_abc





이때 7, 11, 13, abc는 모두 소수이므로 7_11_13_abc는 여섯

자리의 자연수 abcabc를 소인수분해한 것이다.

 따라서 구하는 약수의 개수는

(1+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)=16(개)

 16개

사물함 번호 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 y

1번 학생 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯

2번 학생

3번 학생

4번 학생

5번 학생

6번 학생



×

×

×



×



×

×



×



×

×



y

위의 표에서 사물함의 번호마다 있는 ◯, × 표시의 개수는 각 번

호의 약수의 개수와 같고 ◯, × 표시의 개수가 홀수 개일 때, 사물

함의 문이 열려 있게 된다.

약수의 개수가 홀수 개인 것은 제곱인 수이고, 1부터 100까지의

자연수 중 제곱인 수는 1Û`, 2Û`, 3Û`, y, 10Û`의 10개이다.

따라서 100명의 학생이 모두 지나갔을 때, 문이 닫혀 있는 사물함

047   a=b_c이므로 a_b_c=b_c_b_c=bÛ`_cÛ`


따라서 a_b_c=bÛ`_cÛ`의 소인수의 지수가 모두 짝수이므로 제

의 개수는

곱인 수이고, 100 이상 900 이하의 제곱인 수는 10Û`, 11Û`, y, 26Û`,

100-(문이 열려 있는 사물함의 개수)=100-10=90(개)

27Û`, 28Û`, 29Û`, 30Û`이다.

 90개




























6  |  정답과 해설

2

최대공약수와 최소공배수

057   x
2
3

4_x 6_x 9_x
 >³ 
6
 4
>³ 
3
 2
>³ 
1
2

9
9
3

STEP

1

실력 문제 

19쪽~23쪽

x_2_3_2_3=72

 이때 4_x, 6_x, 9_x의 최소공배수가 72이므로



















049   45, 75, 105를 각각 소인수분해하여 소인수끼리 맞춰 쓴다. 최
대공약수를 구할 때에는 공통인 소인수의 지수가 같거나 작은 것

을 택한다.





 

 

45=3Û`_5

75=3`_5Û`

105=3`_5`_7

(최대공약수)=3`_5` =15

 15

050   세 수의 최대공약수는 2Û`_3이므로 주어진 수 중 세 수의 공약
 ①, ②

수는 최대공약수 2Û`_3의 약수인 ①, ②다.

051   84=2Û`_3_7이고 주어진 수를 소인수분해하면 다음과 같다.
 ① 8=2Ü``

 ② 21=3_7

 ③ 25=5Û``





 ④ 45=3Û`_5    ⑤ 49=7Û``

 이때 84와 25의 최대공약수는 1이므로 84와 25는 서로소이다.

059 









052   2_3Ü`_5와 A의 최대공약수가 18, 즉 2_3Û`이므로
A=2_3Û`_a (a는 3, 5와 서로소)의 꼴이어야 한다.


 따라서 A의 값으로 적당하지 않은 것은 ②이다.

 ②

053   12, 72, 90을 각각 소인수분해하여 소인수끼리 맞춰 쓴다. 최소
공배수를 구할 때에는 공통인 소인수의 지수가 같거나 큰 것을 택

하고 공통이 아닌 소인수는 모두 곱한다.





 

 

12=2Û`_3

72=2Ü`_3Û`

90=2`_3Û`_5

x_36=72

 ∴ x=2

 2

058   1부터 7까지의 자연수를 모두 약수로 가지는 자연수는 1부터 7
까지의 자연수의 공배수이므로 구하는 가장 작은 수는 이들의 최

소공배수이다.

1, 2, 3, 4(=2Û` ), 5, 6(=2_3), 7의 최소공배수는

2Û`_3_5_7=420`

 420

2_3Û`_5
3Û`_5`

3Ü`_5Û`_7

(최대공약수)= 3Û`_5

(최소공배수)=2_3Ü`_5Û`_7

 ④

060   두 자연수 2Ü`_3_5a, 2b_3Û`_c의 최대공약수가 2Û`_3이므로


2b=2Û`에서 b=2

 ③

 또 최소공배수는 2Ü`_3Û`_5Û`_7이므로

5a=5Û`에서 a=2, c=7

 ∴ a_b_c=2_2_7=28

 28

061   75를 소인수분해하면 75=3_5Û`


2Û`_3a_5Ü`, 3Û`_5b_11의 최대공약수가 3_5Û`이므로
3a=3에서 a=1
5b=5Û`에서 b=2

따라서 두 수는 2Û`_3_5Ü `, 3Û`_5Û `_11 이므로 최소공배수는

2Û`_3Û`_5Ü`_11이다.

 ∴ c=2, d=3

(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5=360

 360

 ∴ a+b+c+d=1+2+2+3=8

 8

054   세 수 2Û`_3_5, 2Û`_3_7, 2Ü`_3Û`_7의 공배수는 세 수의 최

소공배수인 2Ü`_3Û`_5_7의 배수이다.

 ②  2Ý`_3_5_7은 2Ü`_3Û`_5_7의 배수가 아니므로 주어진 세

수의 공배수가 아니다.

062   학생 수는 48과 60의 최대공약수이어야 하므로


2_2_3=12(명)

 따라서 한 학생이 받는

 ②

 사탕의 개수는 48Ö12=4(개)

 초콜릿의 개수는 60Ö12=5(개)

48 60
2
>³ 
24 30
2
>³ 
3
12 15
>³ 
 4  5

6과 9의 공배수는 두 수의 최소공배수인 18의 배수이다.

100 이하의 자연수 중 18의 배수는 18, 36, 54, 72, 90의 5개이다.

055 




056 



 2Œ` _ 3Ü``
 2Û` _ 3º`
(최소공배수)= 2Ý` _ 3Þ`



 5개

063   정사각형 모양의 타일의 한 변의 길이는
120과 100의 최대공약수이어야 하므로


2_2_5=20`(cm)이다.

이때 가로는 120Ö20=6(개), 세로는

100Ö20=5(개)를 붙여야 하므로 필요한 타일의 개수는

 사탕 : 4개, 초콜릿 : 5개



2

2

5



120  100
50
 60
25
 30
5
6

 ∴ a=4, b=5

 a=4, b=5

6_5=30(개)

 30개





























2 최대공약수와 최소공배수  |  7

064   가능한 한 크게 만들 수 있는 정육면체 모 2
2
양의 주사위의 한 모서리의 길이는 60, 48,
3

72의 최대공약수이므로

>³ 
>³ 
>³ 

60 48 72
30 24 36
15 12 18
5  4  6

2_2_3=12`(cm)이다.

 이때 가로는 60Ö12=5(개), 세로는 48Ö12=4(개), 높이는

72Ö12=6(개)로 나누어지므로 만들 수 있는 주사위의 개수는

5_4_6=120(개)

 120개

수 중 8보다 큰 수이다.

065   구하는 수는 39-3, 56-8, 즉 36, 48의 공약 2
36 48
>³ 
18 24
2
>³ 
3
9 12
>³ 
 3  4

 이때 36과 48의 최대공약수는 2_2_3=12

이고 12의 약수 중 8보다 큰 수는 12이므로 어떤



자연수는 12이다.

 12

066   사과는 36개, 귤은 52+2, 즉 54개, 바나나는 93-3, 즉 90개

가 있으면 학생들에게 똑같이 나누어 줄 수 있다.

이때 되도록 많은 학생들에게 나누어 주려고 2
3
3

하므로 학생 수는 36, 54, 90의 최대공약수이

어야 한다.



>³ 
>³ 
>³ 

36 54 90
18 27 45
6  9 15
2  3  5

 따라서 36, 54, 90의 최대공약수는

2_3_3=18이므로 구하는 학생 수는 18명이다.

 18명

067   나무 사이의 간격이 일정하려면 나무 사이의 간격은 108과
180의 공약수이어야 하고, 가능한 한 나무의 수를 적게 하려면 나

무 사이의 간격을 최대한 넓게 해야 한다.

 이때 108과 180의 최대공약수는

2_2_3_3=36이므로 나무를 36`m 간격으로

심으면 된다.



따라서 가로는 108Ö36=3(그루), 세로는

180Ö36=5(그루)를 심어야 하므로 필요한 나



2
>³ 
2
>³ 
3
>³ 
3
>³ 


108 180
54  90
27  45
9  15
3  5

무의 수는

(3+5)_2=16(그루)

다른 풀이  나무 사이의 간격이 36`m이고 108Ö36=3,



180Ö36=5이므로 가로에 심는 나무의 수는 3+1=4(그루), 세

로에 심는 나무의 수는 5+1=6(그루)이다.

 따라서 필요한 나무의 수는



(4+6)_2-4=16(그루)

16, 12, 8의 최소공배수이어야 하므로

16 12  8
068   만들려는 정육면체의 한 모서리의 길이는 2
>³ 
8  6  4
2
>³ 
2
4  3  2
>³ 
 2  3  1

2_2_2_2_3=48`(cm)이다.

이때 가로는 48Ö16=3(개), 세로는  



48Ö12=4(개), 높이는 48Ö8=6(개)를 쌓아야 하므로 필요한

















벽돌의 개수는

3_4_6=72(개)

























따라서 A는 420Ö60=7(바퀴), B는 420Ö28=15(바퀴) 회전

해야 한다.

 A : 7바퀴, B : 15바퀴

070   12와 15의 최소공배수는 3_4_5=60이므로 3

두 버스는 60분마다 동시에 출발한다.

12 15
>³ 
 4  5



따라서 두 버스가 오전 5시 30분 이후에 처음으로

다시 동시에 출발하는 시각은 60분, 즉 1시간 후인 오전 6시 30분

이다.

071   세 사람이 처음으로 출발점에서 다시 만날 2
2
때까지 걸리는 시간은 8, 10, 12의 최소공배

수이므로 2_2_2_5_3=120(분)이다.



따라서 세 사람이 처음으로 출발점에서 다시 만날 때까지 유영이

가 공원을 돈 횟수는 120Ö8=15(바퀴)이다.

 15바퀴

 오전 6시 30분

>³ 
>³ 

8 10 12
4  5  6
2  5  3







072   세 자연수 5, 6, 8의 어느 것으로 나누어도 1이 남는 자연수를

n이라 하면 n-1은 5, 6, 8의 공배수이다.

이때 5, 6, 8의 최소공배수는

2_5_3_4=120이고

2

>³ 

5 6 8
5 3 4



120의 배수 중 가장 큰 세 자리의 자연수는 960이므로

n-1=960

∴  n=961

 961

073 

42
24
n
n
 수이어야 한다.

30
n

,

,

가 모두 자연수가 되려면 n은 24, 30, 42의 공약

따라서 이를 만족하는 자연수 n의 값 중 가 2
3

장 큰 수는 24, 30, 42의 최대공약수인

2_3=6이다.

>³ 
>³ 

24 30 42
12 15 21
4  5  7

 6

074 

,

;3!;

;5!;

중 어느 것에 곱하여도 자연수가 되는 수는 3과 5의 공

배수이다. 이때 3과 5의 최소공배수는 15이고 15의 배수 중 100

 16그루

이하의 자연수는 15, 30, 45, 60, 75, 90의 6개이다.

 6개

075 

=

;aB;

( 3과 7의 최소공배수)
( 8과 12의 최대공약수)

=

21
4

 따라서 a=4, b=21이므로

b-a=21-4=17

076   최대공약수를 G라 하면


(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)에서

960=G_120

∴  G=8

 17

 8

077   13

>³ 

A 143
a  11

 72개

A=13_a (a는 11과 서로소)라 하면

 최소공배수가 429이므로

13_a_11=429

∴  a=3

069   같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까지 2
60 28
>³ 
2
30 14
맞물리는 톱니의 수는 60과 28의 최소공배수인
>³ 
 15  7

2_2_15_7=420(개)이다.



 따라서 A=13_3=39이므로 39의 소인수들의 합은

3+13=16

 16

8  |  정답과 해설

















다른 풀이  (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로

084   32=2Þ`, 480=2Þ`_3_5이므로 구하는 자연수는 480의 약수

A_143=13_429

 ∴ A=39

이면서 3_5, 즉 15의 배수이어야 한다.

 따라서 39=3_13이므로 39의 소인수들의 합은



따라서 조건을 만족하는 자연수는 3_5, 2_3_5, 2Û`_3_5,

3+13=16

2Ü`_3_5, 2Ý`_3_5, 2Þ`_3_5의 6개이다.

 6개

078   어떤 자연수를 A라 하면


(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로

 

(2Û`_3Ü`_7)_A=(2Û`_3Û`)_(2Ü`_3Ü`_5_7)

085   9=3Û`, 25=5Û`이고 9, 25, a의 최소공배수가 2Û`_3Ü`_5Û`이므로
a는 2Û`_3Ü`_5Û`의 약수이면서 2Û`_3Ü`의 배수이어야 한다.

 따라서 a의 값이 될 수 있는 자연수는 2Û`_3Ü`, 2Û`_3Ü`_5,

 ∴ A=2Ü`_3Û`_5=360

 360



2Û`_3Ü`_5Û`의 3개이다.

 3개

086   84=2Û`_3_7이므로 세 자연수 2Û`_3_7, 2Œ`_3_7Û`,

2Ü`_3Û`_5º`의 최소공배수가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 최소공

배수의 각 소인수의 지수가 짝수이어야 한다.

 ∴ a=4, 6, 8, y

b=2, 4, 6, y

 따라서 가장 작은 자연수 a, b의 합은

STEP

2

심화 문제

24쪽~31쪽



a+b=4+2=6

 6

079   ㉡  서로 다른 두 소수는 최대공약수가 1이므로 서로소이다.
 ㉢ 6과 25는 서로소이지만 두 수 모두 소수는 아니다.

087   ⑴ {10△(56✽24)}✽12

 ㉤ 20=2Û`_5이므로 소인수는 2, 5이다.

 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉣이다.

 ㉠, ㉡, ㉣

 ⑵ 20△m=20에서 20과 m의 최소공배수가 20이므로 m은 20

=(10△8)✽12

=40✽12

=4

56과 24의 최대공약수는 8

10과 8의 최소공배수는 40

40과 12의 최대공약수는 4

의 약수이다.

이때 20=2Û`_5이므로 20의 약수의 개수는

(2+1)_(1+1)=6(개)

따라서 구하는 자연수 m의 값의 개수는 6개이다.

080   6=2_3이므로 6과 서로소인 수는 2의 배수도 아니고 3의 배

 따라서 20 이상 30 이하의 자연수 중 6과 서로소인 수는 23, 25,

수도 아니다.

29의 3개이다.

081   A=4_k=2Û`_k, B=10_k=2_5_k 이므로 두 자연수

A, B의 최대공약수는 2_k이다. 즉

2_k=20

 ∴ k=10

 따라서 A=40, B=100이므로

A+B=40+100=140

082   68=17_4이므로 A=17_a ( a는 4와 서로소)의 꼴이다.
 ① 34=17_2 ➡ 2는 4와 서로소가 아니다.

 ② 51=17_3 ➡ 3은 4와 서로소이다.

 ③ 85=17_5 ➡ 5는 4와 서로소이다.

 ④ 102=17_6 ➡ 6은 4와 서로소가 아니다.

 ⑤ 136=17_8 ➡ 8은 4와 서로소가 아니다.

 따라서 A의 값이 될 수 있는 수는 ②, ③이다.

 ②, ③

083   세 자연수를 2_x, 3_x, 7_x
( x는 자연수)라 하면 최소공배수가

x

>³ 

2_x 3_x 7_x
3

2

7

672이므로

x_2_3_7=672

 ∴ x=16

 따라서 세 자연수는 32, 48, 112이므로 그 합은

 3개

 ⑶ 24✽n=1에서 24와 n의 최대공약수가 1이므로 24와 n은 서

로소이다. 따라서 구하는 자연수 n의 값은 1, 5, 7, 11, 13, 17,

19, 23이다.

 ⑴ 4  ⑵ 6개  ⑶ 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

 140

088   216=2Ü`_3Ü`, 270=2_3Ü`_5, 360=2Ü`_3Û`_5이므로 세 수


216, 270, 360의 최대공약수는 2_3Û`이다.

 세 수의 공약수의 개수는 최대공약수의 약수의 개수와 같으므로

a=(1+1)_(2+1)=6

 세 수의 최소공배수는 2Ü`_3Ü`_5이므로

b =(3+1)_(3+1)_(1+1)=32

 ∴ b-a=32-6=26

 26

조건 ㉠에 의해 n=11_a

089 
 조건 ㉡에 의해





n=18_b (단, b와 5는 서로소)

 조건 ㉢에 의해 nÖ33=cÛ`이므로 n=33_cÛ`

 조건 ㉠, ㉡, ㉢에 의해 n은 11, 18, 33의 공배수이다.

11, 18, 33의 최소공배수는

3_11_6=198이므로

18

>³ 

n 90
b  5



3
11

>³ 
>³ 

11 18 33
11  6 11
1  6  1

2 최대공약수와 최소공배수  |  9















32+48+112=192

 192

n=198, 396, 594, y, 1188, 1386, y



따라서 198의 배수 중 네 자리의 자연수이고 5와 서로소이면서

33_cÛ`의 꼴인 수를 찾으면 33_6Û`, 33_12Û`이므로 가장 작은 수

는 33_6Û`=1188이다.

 1188

095   두 버스 A, B가 종점에서 동시에 출발하여 종 2
12 16
>³ 
2
6  8
점에서 처음으로 다시 만날 때까지 걸리는 시간은
>³ 
 3  4

12와 16의 최소공배수이므로

090   보트에 가능한 한 적은 수의 학생들을 태우려고 하므로 보트의

수는 48과 32의 최대공약수이어야 한다.

 이때 48과 32의 최대공약수는 2_2_2_2=16

이므로 필요한 보트의 수는 16대이고, 보트 한 대

에 태워야 하는 학생 수는 남학생이

48Ö16=3(명), 여학생이 32Ö16=2(명)이므로

5명이다.

2
2
2
2

>³ 
>³ 
>³ 
>³ 

48 32
24 16
12  8
6  4
3  2

 보트의 수 : 16대, 보트 한 대에 태워야 하는 학생 수 : 5명  

2_2_3_4=48(분)

만난다.

따라서 두 버스는 종점에서 출발한 지 48분 후에 첫 번째로 다시

이때 만나면 10분 동안 쉬므로 두 버스 A, B가 오전 9시에 동시

에 출발하여 두 번째로 종점에서 다시 만나는 시각은 처음 출발한

시각에서 48+10+48=106(분) 후이다.

 따라서 구하는 시각은 오전 10시 46분이다.

091   정사각형 모양의 타일을 빈틈없이 붙이려면 정사각형 모양의

096   세 버스가 동시에 출발하는 간격은 10, 15,

타일의 한 변의 길이는 168과 72의 공약수이어야 한다.

20의 최소공배수인

 이때 168과 72의 최대공약수는

5_2_3_2=60(분)(=1시간)이다.



2_2_2_3=24이므로 168과 72의 공약수는

 이때 세 도시로 가는 버스가 처음으로 동시에 출발하는 시각은 오

전 6시이므로 오후 6시까지 13회 동시에 출발한다.

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24의 8개이다.

따라서 붙일 수 있는 정사각형 모양의 타일의 종

류는 모두 8가지이다.

2
>³ 
2
>³ 
2
>³ 
3
>³ 


168 72
84 36
42 18
21  9
7  3

 주의   시외버스 터미널에서 세 도시로 가는 버스가 처음 출발하는 시각

 8가지

이 각각 다르므로 세 도시로 가는 버스가 처음으로 동시에 출발하는 시

각을 구해야 한다.

 오전 10시 46분



5
2

>³ 
>³ 

10 15 20
2  3  4
1  3  2

 13회

092   직육면체 모양의 떡을 될 수 있는 한 큰 정 2
24 30 48
>³ 
3
12 15 24
육면체 모양으로 자르려면 떡의 한 모서리의
>³ 
 4  5  8

길이는 24, 30, 48의 최대공약수이어야 하므

로 2_3=6`(cm)이다.

 이때 가로는 24Ö6=4(개), 세로는 30Ö6=5(개), 높이는

48Ö6=8(개)로 나누어지므로 떡의 총 개수는

4_5_8=160(개)이다.

 따라서 떡을 모두 팔아서 얻을 수 있는 판매 금액은

160_1000=160000(원)

 160000원

093   점 사이의 간격은 36, 45, 27의 최대공약 3
3

수이어야 하므로 3_3=9`(cm)

>³ 
>³ 

36 45 27
12 15  9
4  5  3

이때 필요한 점의 개수는

 변 AB에서 (36Ö9)-1=3(개)

 변 BC에서 (45Ö9)-1=4(개)

 변 CA에서 (27Ö9)-1=2(개)

따라서 찍어야 하는 점의 개수는

3+4+2=9(개)

108, 180의 공약수 중 8보다 큰 수이다.

 이때 72, 108, 180의 최대공약수는

2_2_3_3=36이고 36의 약수 중 8보

다 큰 수는 9, 12, 18, 36이다.



2
2
3
3

>³ 
>³ 
>³ 
>³ 

72 108 180
36  54  90
18  27  45
6  9  15
2  3  5

097   장날은 5일마다 돌아오고 토요일은 7일마다 돌아오므로 토요
일이면서 장날이 되는 날은 5와 7의 최소공배수인 35일마다 돌아

온다. 즉 8월 10일 이후 토요일이면서 장날인 날은 9월 14일, 10

월 19일, 11월 23일, y이다.

 따라서 구하는 날은 10월 19일이다.

 10월 19일

098   주어진 규칙에 의해 3과 5의 최소공배수인 3_5=15의 배수
일 때, 숫자를 말하지 않고 자리에서 일어나면서 동시에 박수를

치게 된다. A가 숫자를 말하지 않고 자리에서 일어나면서 동시에

박수를 칠 때, 바로 다음번에 숫자를 말하지 않고 자리에서 일어

나면서 동시에 박수를 치는 사람은 A에서 15번째 뒤에 있는 사람

이므로 H이다.

 H

099   어떤 자연수를 n이라 하면 n+1은 4, 5, 6의
공배수이다. 이때 4, 5, 6의 최소공배수는

2

>³ 

4 5 6
2 5 3

2_2_5_3=60이고 60의 배수 중 500에 가장 가까운 수는



 9개

480이므로

100   책상을 3줄, 4줄로 정렬하면 모두 1개씩 부족하므로 책상 수는
3과 4의 공배수보다 1만큼 작은 수이다. 또 5줄로 정렬하면 꼭 맞

으므로 책상 수는 5의 배수이다.

조건 ㉡에서 9, 12, 18, 36 중에서 약수의

이때 3과 4의 최소공배수는 3_4=12이므로 책상 수는 12-1,

개수가 6개인 수는 12, 18이다.

24-1, 36-1, 48-1, 60-1, y 중 하나이다.

 따라서 조건을 모두 만족하는 자연수는 12, 18이다.

그런데 책상 수가 5의 배수이고, 60개보다 적으므로 구하는 책상

 12, 18

수는 36-1=35(개)

 35개

094   조건 ㉠에서 구하는 자연수는 80-8, 116-8, 188-8, 즉 72,



n+1=480

∴  n=479

 479













 



























10  |  정답과 해설































 

;:#4*:%;





 18

 36

101   구하는 자연수를 x라 하면 x+1은 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8의 공배수

 따라서

의 값 중 작은 수부터 차례대로 나열하면

,

,

;aB;

:£1¥2°:

;:#6*:%;

 이때 4=2Û`, 6=2_3, 8=2Ü`이므로 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8의 최소공배

,

;:#4*:%;

;:#3*:%;

, y이므로 세 번째로 작은 수는

이다.

;:#4*:%;

수는 2Ü`_3_5_7=840이다. 즉

x+1=840, 1680, y이므로

x=839, 1679, y

이다.

다.

 이때 4와 7의 최소공배수는 4_7=28이므로

n+2=28, 56, 84, 112, y

 ∴ n=26, 54, 82, 110, y

 따라서 구하는 가장 작은 자연수는 839이다.

 839

102   1학년 전체 학생 수를 n명이라 하면 n+2는 4와 7의 공배수이

108   두 수를 18_a, 18_b (a>b, a와 b는 서로소)라 하면
 최소공배수가 108이므로

18_a_b=108

∴  a_b=6

 Ú  a=6, b=1일 때,

두 수는 108, 18

 Û  a=3, b=2일 때,

두 수는 54, 36

이 중 10으로 나누어떨어지는 가장 작은 수는 110이므로 1학년

전체 학생 수는 최소 110명이다.

 110명

54-36=18

 이때 두 수의 합이 90이므로 두 수는 54, 36이고 그 차는

103   세 전등 A, B, C가 다시 켜질 때까지 걸리는 시간은 각각



8+1=9(초), 10+2=12(초), 12+3=15(초)이다.

세 전등이 동시에 켜진 후 처음으로 다시 동시 3

에 켜질 때까지 걸리는 시간은 9, 12, 15의 최

소공배수이므로 3_3_4_5=180(초)이다.

>³ 

9 12 15
3  4  5

따라서 오후 9시 30분에 세 전등이 동시에 커졌을 때, 처음으로

다시 동시에 켜지는 시각은 180초, 즉 3분 후인 오후 9시 33분이

다.

104   54와 360의 최소공배수는 1080이고 1080Ö54=20이므로 첫


번째 삼각형과 처음으로 완전히 겹쳐지는 삼각형은

20+1=21(번째) 삼각형이다.

 21번째

105   길이가 60`cm인 막대기에 3`cm의 간격으로 눈금을 그었을 때

생기는 눈금의 개수는 (60Ö3)-1=19(개)

5`cm의 간격으로 눈금을 그었을 때 생기는 눈금의 개수는

(60Ö5)-1=11(개)

이때 3과 5의 최소공배수는 15이므로 3`cm와 5`cm의 간격으로

눈금을 그었을 때 겹치는 눈금의 개수는

(60Ö15)-1=3(개)

따라서 길이가 60`cm인 막대기에 그어진 눈금의 개수는

19+11-3=27(개)이므로 길이가 60`cm인 막대기를 그어진 눈

금에 따라 자르면 27+1=28(개)의 부분으로 나누어진다.

106   구하는 기약분수를

라 하면

;aB;

( 4, 6, 8의 최소공배수)
( 7, 35, 21의 최대공약수)

=



:ª7¢:

;aB;=

107   구하는 분수를

(a와 b는 서로소)라 하면

;aB;

=

;aB;

( 35와 77의 공배수)
( 24와 36의 공약수)

=

( 385의 배수)
( 12의 약수)

109   (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로


432=(최대공약수)_36

 ∴ (최대공약수)=12

A=12_a, B=12_b (a>b, a와 b는 서로소)라 하면

12_a_b=36이므로 a_b=3

 ∴ a=3, b=1 (∵ a>b)

 ∴ A=12_3=36

 오후 9시 33분

110   A=6_a, B=6_b ( a<b, a와 b는 서로소)라 하면
 두 자연수 A, B의 최소공배수는 252이므로

6_a_b=252

∴  a_b=42

이때 a<b이고, a, b는 서로소이므로 a_b=42를 만족하는 a, b

의 쌍 (a, b)를 구하면

(1, 42), (2, 21), (3, 14), (6, 7)

그런데 두 자연수 A=6_a, B=6_b가 50 이하의 수이므로

a=6, b=7

 따라서 A=6_6=36, B=6_7=42이므로

A+B=36+42=78

 78

111   최대공약수가 18이므로


36=18_2, 90=18_5, A=18_a라 하면

18

>³ 

36 A 90
2 a    5

 최소공배수가 540=18_2_3_5이므로

a=3, 2_3, 3_5, 2_3_5, 즉 a=3, 6, 15, 30

따라서 가능한 A의 값은 54, 108, 270, 540이므로 가장 큰 수와

가장 작은 수의 합은

540+54=594

112   조건 ㉠에서 A=18_a, C=18_c


(단, a<c, a와 c는 서로소)

 이때 최소공배수는 36이므로 18_a_c=36



a_c=2

∴  a=1, c=2 (∵ a<c)

 즉 A=18, C=36

 조건 ㉡에서 C=36=9_4이므로 B=9_b

(단, b와 4는 서로소)

 594

A C
18
>³ 
a c

>³ 

9
B 36
b  4

2 최대공약수와 최소공배수  |  11





 28개

 

:ª7¢:



























 이때 최소공배수는 108이므로 9_b_4=108

 ∴ b=3, 즉 B=27

 ∴ A+B+C=18+27+36=81

 81

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

지영

유진

◯ ◯ ◯ ◯ × ◯ ◯ ◯ ◯ ×

◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ×

×

×

따라서 10일 동안 지영이와 유진이가 같이 운동을 하는 날은 6일

이고 5월 1일부터 8월 31일까지는



STEP

3

고난도 문제

32쪽~34쪽

31+30+31+31=123(일)이므로 두 사람이 같이 운동을 하게

되는 날은 6_12+3=75(일)이다.

 75일

113   ① 최대공약수가 1인 두 자연수는 서로소이다.
 ②  서로 다른 두 소수 2와 11의 차는 11-2=9이고 합성수이다.

 ③  50 이하의 자연수 중 약수의 개수가 3개인 수는 2Û`, 3Û`, 5Û`, 7Û`

 ④  서로 다른 두 자연수 12와 25는 서로소이지만 모두 합성수이

의 4개이다.

다.

 ⑤  모든 약수의 합이 (자기 자신)+1인 수는 소수이고 10보다 작

은 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다.

 따라서 옳은 것은 ③이다.

 ③

의 값은 105, 140, 175

 ∴ x=107, 142, 177

118   구하는 물건의 개수를 x개라 하자. (단, 100<x<200)


다섯 개씩 셀 때에는 두 개가 남고, 일곱 개씩 셀 때에는 두 개가

남으므로 x-2는 5의 배수이면서 7의 배수이다.

즉 5와 7의 최소공배수인 5_7=35의 배수이므로 가능한 x-2

이때 x를 3으로 나누었을 때의 나머지가 1인 수는 142이므로 구

하는 물건의 개수는 142개이다.

 142개

119   8, 10의 최소공배수는 40이므로 두 버스 A, B는 40분마다 동시

에 출발한다.

에 출발한다.

즉 오전 5시 50분에 출발한 후 오전 6시 30분, 오전 7시 10분, 오

분, 오전 7시 10분,

전 7시 50분, y에 동시에 출발한다.

yy㉠

15, 20의 최소공배수는 60이므로 두 버스 C, D는 60분마다 동시

즉 오전 6시 10분에 출발한 후 오전 7시 10분, 오전 8시 10분, y

후 오전 7시 10분,

에 동시에 출발한다.

yy㉡

㉠, ㉡에서 40과 60의 최소공배수는 120이므로 네 버스 A, B, C,

D는 120분마다 동시에 출발한다.

이때 네 버스 A, B, C, D가 처음으로 동시에 출발하는 시각은 오

114   a는 200 이상 500 이하의 자연수 중 11의 배수이면서 33의 배

수가 아닌 수이다.

따라서 구하는 자연수 a의 개수는

(200 이상 500 이하의 11의 배수의 개수)

-(200 이상 500 이하의 33의 배수의 개수)

=27-9=18(개)

 18개

115 

72
n

,

108
n

108의 공약수이어야 하고,

72 108
이  모두  자연수이려면  n은  72와 2
>³ 
36  54
2
>³ 
18  27
3
>³ 
3
6  9
>³ 
 2  3

의 값이 가장 작

m
n



은 자연수가 되려면 n은 72와 108의 공약수 중

가장 큰 수, 즉 최대공약수이어야 하므로

















n=2_2_3_3=36

 이때

72
n

<

108
n

<

m
n

36의 배수이어야 한다.

 ∴`m=144

이므로 m은 108보다 큰 수 중 가장 작은

전 7시 10분이고 그 후 오전 9시 10분, 오전 11시 10분, 오후 1시

10분, y에 동시에 출발한다.

 144

따라서 4대의 버스가 세 번째로 동시에 출발하는 시각은 오전 11

시 10분이다.

 오전 11시 10분

116 

A-10
B-14

A
B

=

에서 AB-10B=AB-14A

7A=5B이므로 A : B=5 : 7

이때 A=5_k, B=7_k ( k는 자연수)라 k

하면 최소공배수가 455이므로

k_5_7=455

 ∴ k=13

>³ 

5_k 7_k
7

5





120   두 톱니바퀴 A, B가 같은 톱니에서 처음으로 2
12 18
>³ 
3
6  9
다시 맞물릴 때까지 돌아간 톱니의 수는 12, 18의
>³ 
 2  3



최소공배수이므로

2_3_2_3=36(개)

 ∴ A=5_13=65, B=7_13=91

이때 톱니 36개가 서로 맞물려 돌아가는 동안 같은 번호끼리 맞

117   지영이는 5일, 유진이는 10일을 주기로 운동을 한다.


5와 10의 최소공배수는 10이므로 10일 동안 지영이와 유진이가

끼리 맞물리는 것은

 A=65, B=91

물리는 것은 처음의 12개이다.

따라서 톱니바퀴 A가 300회 회전하는 동안 두 톱니바퀴 A, B는

모두 12_300=3600(개)의 톱니가 맞물리게 되므로 같은 번호

운동을 하는 날을 ◯표, 쉬는 날을 ×표로 나타내면 다음과 같다.

(3600Ö36)_12=1200(번)

 1200번

12  |  정답과 해설





























121   정육면체의 한 모서리의 길이는 25, x, 10의 최소공배수이다.
25, x, 10의 최소공배수를 y라 하면 필요한 벽돌의 개수는


 가로는

개, 세로는

개, 높이는

개이므로

;[};

;1Õ0;

;2Õ5;

123   ㉠에서 x=3_7_a (단, a는 2와 서로소)로 놓는다.

가 (자연수)Û`이 되므로

 ㉡에서

, 즉

;3Ó5;

3_7_a
5_7

=

3_a
5

a=3_5_kÛ` (단, k는 2와 서로소)

 ∴ x =3_7_3_5_kÛ`

=315_kÛ` (단, k는 2와 서로소)

 이때 x는 세 자리의 자연수이므로 k=1

∴  x=315

이때 y는 자연수이므로 x=3_5_aÜ` ( a는 자연수)의 꼴이어야



 315

_

;2Õ5;

;[};

_

;1Õ0;

=900

yÜ`=900_25_x_10

 ∴ yÜ` =2Ü`_3Û`_5Þ`_x

한다.

 ∴ y=2_3_5Û`_a

 한편 y 는 25, x, 10의 최소공배수이므로

y=2_3_5Û`_a는 x=3_5_aÜ`의 배수이다.

즉 y를 x로 나누면 나누어떨어지므로 aÛ`은 2_5, 즉 10의 약수이

다.

 그런데 10의 약수 중 제곱인 수는 1뿐이므로 aÛ`=1

 ∴ a=1

 ∴ x =3_5_1Ü`=15

122   Ú   주어진 분수 중

이 틀렸다고 하면

;5!; 



남은 공의 개수는 나머지 분수의 분모 7, 8, 9의 최소공배수

인 504의 배수이다.

 Û   주어진 분수 중

이 틀렸다고 하면

남은 공의 개수는 나머지 분수의 분모 5, 8, 9의 최소공배수인

360의 배수이다.

 Ü   주어진 분수 중

이 틀렸다고 하면

남은 공의 개수는 나머지 분수의 분모 5, 7, 9의 최소공배수인

315의 배수이다.

 Ý   주어진 분수 중

이 틀렸다고 하면

;7!; 

;8!; 

;9!; 

124   두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 하고,


A=a_G, B=b_G ( a>b, a와 b는 서로소)라 하면

L=a_b_G



 ∴

L
G

=

a_b_G
G

=a_b

 15

이때 최소공배수를 최대공약수로 나누면 12로 나누어떨어지므로



a>b이고, a, b는 서로소이므로 a_b=12를 만족하는 a, b의 쌍

a_b=12

(a, b)를 구하면

(4, 3), (12, 1)

 Ú  a=4, b=3일 때,

A=4_G, B=3_G이므로

A+B =4_G+3_G

=(4+3)_G

=7_G=21

 ∴ G=3

 A-B=3

  즉 A=4_3=12, B=3_3=9이므로

 Û  a=12, b=1일 때,

남은 공의 개수는 나머지 분수의 분모 5, 7, 8의 최소공배수인

A=12_G, B=1_G이므로

280의 배수이다.

만족하는 경우는 Ý뿐이다.

그런데 남은 공의 개수는 300개 이하이므로 Ú ~ Ý  중 조건을

A+B =12_G+1_G

=(12+1)_G

=13_G=21

 따라서 남은 공의 개수가 280개이므로 꺼낸 공의 개수는

 그런데 이를 만족하는 자연수 G는 존재하지 않는다.

500-280=220(개)

 220개

 따라서 Ú, Û에 의해 A-B=3

 3



























































2 최대공약수와 최소공배수  |  13























133   두 수 a, b의 절댓값이 같고 a가 b보다

만큼 작으므로

:Á7ª:

a<0, b>0

 이때 a, b는 원점으로부터 각각

_

=

;2!;

;7^;

:Á7ª:

만큼 떨어진 점에

 대응하는 수이므로

a=-

;7^; 

 -

;7^;

 ④

 3개

134   ① 

=

,

;6#;

;3@;

;2!;

=

;6$;

이므로

<

;2!;

;3@;

 ② -

=-

, -

=-

이므로 -

>-

;4!;

;1£2;

;3!;

;1¢2;

;4!;

;3!;

 ③ (음수)<(양수)이므로 -

<

;5$;

;1Á3;

 ④ 

-

=

,
|

;3$;

-

;3$;|

=

이므로
|

;5$;

-

;5$;|

;3$;|

>

-

|

;5$;|

|

 ⑤ 

-

=

이므로

<

-

|

;7^;|

;7^;
|
따라서 옳은 것은 ①, ④이다. 

;6%;



;7^;|

 ①, ④

3

정수와 유리수

STEP

1

실력 문제 

37쪽~39쪽

125   ① +2`cm  ② +10`%
 ④ -2`kg

⑤ +4명

③ +100원

126   ㈎에 알맞은 말은 정수가 아닌 유리수이므로 보기 중 정수가 아

 닌 유리수는 -

, 3.3,

의 3개이다.

;2%;

;7@;

127   -

;2&;

;3%; 



를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

-

7
2

보다 작은 수

5 보다 큰 수
3

-5 -4 -3 -2
7
2

-

 ∴ a=-4, b=2

-1

0

1

2

3

128   -



:Á7°:

:Á5Á: 

을 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

-

15
7

5
3

11
5

 a=-4, b=2

135   ④ 주어진 수들을 큰 수부터 차례대로 나열하면





 +4, 1, 0, -

, -

, -5

;3@;

;4#;

 이므로 네 번째로 큰 수는 -

이다.

;3@;

-3 -2 -1

0

1

2

3

 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 

 ④

 따라서 a=-2, b=2이므로

a+b=-2+2=0

 0

136   조건 ㉠에서 d는 가장 작은 수이다.
 조건 ㉢에서 0<b<c

129   두 점 사이의 거리가 12이므로 두 점은 3을 나타내는 점으로부터

두 조건 ㉡, ㉢에서 b>0, |a|=|b|이고, a와 b는 서로 다른 수

 각각 12_

=6만큼 떨어져 있다.

;2!;

거리 : 12

-3 -2 -1

1

2

3 4

8

9

0
거리 : 6

7

5
6
거리 : 6

 따라서 구하는 두 수는 -3, 9이다.

 -3, 9

과 같다.

d
 ∴ d<a<b<c 

a

0

b

c

130   두 점 A와 C 사이의 거리가 10이므로 점 B는 두 수 -6, 4를 나

137   ③ aÉ7  ⑤ 2Éa<5 

 이므로 a는 b와 절댓값이 같은 음수이다.

따라서 a, b, c, d를 조건에 맞게 수직선 위에 나타내면 다음 그림

 d<a<b<c

 ③, ⑤

 타내는 두 점으로부터 각각 10_

=5만큼 떨어져 있다.  

;2!;



이때 네 점 A, B, C, D 사이의 거리가 모두 같으므로 점 D는

점 C로부터 5만큼 떨어져 있다.

 따라서 점 D가 나타내는 수는 4+5=9이다.

 9

131   ① 

-

|

:Á3¦:|

=

:Á3¦:

 ② |-5|=5  ③ 

-

|

:Á4»:|

=:Á4»:

 ④ |+3|=3



 ⑤ 

|:Á2Á:|

=:Á2Á:
따라서 원점에서 가장 멀리 떨어진 것은 절댓값이 가장 큰 수인
①이다. 

 ①



132   |-7|=7, |-5|=5, |6|=6이므로
(-7)✽{(-5)△6} =(-7)✽(-5)


=-7 

14  |  정답과 해설

138   -

=-1

,

;5!;

:Á4Á:

;5^;

;4#;

=2

이므로 -

<x<

을 만족하는 정

;5^;

:Á4Á:

 수는 -1, 0, 1, 2의 4개이다.  

 4개

139   절댓값이 3보다 작거나 같은 정수를 x라 하면

 ∴`x=0, -1, 1, -2, 2, -3, 3 

|x|É3에서 |x|=0, |x|=1, |x|=2, |x|=3

 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

140   절댓값이 2 이상이고 5 미만인 정수를 x라 하면


2É|x|<5에서



|x|=2, |x|=3, |x|=4

 -7

 ∴`x=-2, 2, -3, 3, -4, 4
 따라서 구하는 정수의 개수는 6개이다. 

 6개

141   절댓값이

인 두 수는 -



이다.

;3*;

;3*;

;3*;

 -

=-2

,

=2

이므로 -

;3*;

;3@;
 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다. 

;3@;

;3*;

146   ㉠  a, b가 모두 음수이면 b<a이다.
 ㉡ a=0, b=-2이면 |0|<|-2|이지만 -2는 음수이다.



사이에 있는 정수는

;3*;

;3*;

 ㉣  a<0, b<0이고, |a|<|b|이면 a>b이므로 수직선에서 b를

 5개

나타내는 점은 a를 나타내는 점보다 왼쪽에 있다.

 ㉤  a>0, b>0이고, |a|<|b|이면 a<b이므로 수직선에서 b를

나타내는 점은 a를 나타내는 점보다 오른쪽에 있다.

 따라서 옳은 것은 ㉢, ㉣, ㉤이다. 

 ㉢, ㉣, ㉤

STEP

2

심화 문제 

142   <-3>=0, <10>=1, <-
 <-3>99+<10>100+<-

;1¢1;>101

;1¢1;>=-1이므로

=0á`á`+1100+(-1)101

 =1+(-1)=0 

 0

143   ㉡  음의 유리수에서 -0.1, -0.01, -0.001, y과 같이 절댓
값이 더 작은 수를 한없이 생각할 수 있으므로 음의 유리수

중에서 가장 큰 수는 알 수 없다.

 ㉢ 0은

으로 나타낼 수 있으므로 유리수이다.

;1);

 ㉤ 서로 다른 두 유리수 사이에 있는 정수의 개수는 유한 개이다.

  예



사이의 정수:1개,



사이의 정수:0개

;2!;

;2#;

;3!;

;2!;

㉥  유리수는 분자가 정수, 분모가 0이 아닌 정수인 분수로 나타

 낼 수 있는 수이다.

 ㉦ 유리수는 양수, 0, 음수로 나누어진다.
 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣이다. 

 ㉠, ㉣

144   ⑴ 두 점 A, D가 나타내는 수는 -

, 4이므로 두 점 A와 D 사

;2&;

40쪽~41쪽

147   조건 ㉠에서 |a|=|3|=3이므로 a=3 또는 a=-3
 조건 ㉡에서 a<b<2이므로 a=-3이고 -3<b<2  yy Ú

조건 ㉣에서 |a|>|c|이고 |a|=3이므로

|c|<3, 즉 -3<c<3

yy Û

이때 조건 ㉢에서 b를 나타내는 점보다 c를 나타내는 점이 a를 나

타내는 점에 더 가까우므로 Ú, Û에 의하여
a<c<b 

 a<c<b

148 

;2{;

는 정수이므로 3<

<6에서

;2{;

[

]

]
=4 또는

[
;2{;

=5

;2{;

[

]
 Ú 

[
=4일 때, 4É

]

<5

;2{;

;2{;

[
 즉

]
;2*;

;2{;

É

<

;2{;

:Á2¼:

이므로 정수 x는 8, 9이다.

 Û 

=5일 때, 5É

<6

;2{;

[
 즉

]
:Á2¼:

É

<

;2{;

:Á2ª:

이므로 정수 x는 10, 11이다.

 Ú, Û에 의하여 구하는 정수 x는 8, 9, 10, 11이다.



이의 거리는

+4=

;2&;

+

=

;2*;

;2&;

:Á2°:

149   -

<-

<-

이고,

;3^;

;4&;

;3%;

<

;3^;

:Á5Á:

<

;3&;

이므로 -





;4&;

:Á5Á:

 ⑵ 선분 AB, 선분 BC, 선분 CD의 길이가 모두 같으므로

 이에 있는 정수가 아닌 유리수 중 분모가 3인 수는

선분 CD의 길이는

_

=

;3!;

;2%;

:Á2°:

 -

, -

, -

, -

,

,

,

;3!;

;3!;

;3@;

;3$;

;3%;

,

;3@;

;3$;

;3%;

의 8개이다.

이때 점 C는 점 D에서 왼쪽으로

만큼 떨어져 있으므로



;2%;

점 C가 나타내는 수는

4-

=

-

;2*;

;2%;

;2%;

=

;2#; 

 ⑴ 

  ⑵ 

;2#;

:Á2°:

150 

|;3A;|

<1에서 -1<

<1

;3A;

145   a>b이고 |a|+|b|=3인 두 정수 a, b의 값은 다음과 같다.

 이때 -

<

<

;3A;

;3#;

이므로 정수 a의 값은 -2, -1, 0, 1, 2의

a

b

0

-3

-1

-2

1

-2

2

-1

2

1

3

0

따라서 a, b의 쌍을 (a, b)로 나타내면 (0, -3), (-1, -2),
(1, -2), (2, -1), (2, 1), (3, 0)의 6개이다. 

 6개

-1, 0, 1, 2의 5개이다.

;3#;
5개이다. 
 참고   -

<

<

;3A;

;3#;

;3#;

에서 분모가 같으므로 분자의 크기를 비교하면 

 -3<a<3이다.  이때  -3<a<3을  만족하는  정수  a의  값은  -2, 

 8, 9, 10, 11

 8개

 5개

3 정수와 유리수  |  15

















 

 





















  

































[

[

[

[





STEP

3

고난도 문제

42쪽

151   정수가 아닌 유리수 중 분모가 13인 수는

a=1일 때,

,

;1Á3;

;1ª3;

, y,

;1!3@;

의 12개

a=2일 때,

, y,

,

;1!3@;

;1!3$;

;1Á3;

, y,

;1@3%;

의 24개

4

정수와 유리수의 계산

STEP

1

실력 문제

45쪽~48쪽

a=3일 때,

, y,

,
;1!3$;

;1!3@;

, y,

,
;1@3&;

;1@3%;

;1Á3;

, y,

;1#3*;

의 36개

즉 a가 1만큼 커질 때마다 정수가 아닌 유리수 중 분모가 13인 수

155   ① (-1.5)+(+1.2)=-(1.5-1.2)=-0.3
 ② (-2.3)+(-1.7)=-(2.3+1.7)=-4

의 개수는 12개씩 증가한다.

 따라서 120=12_10이므로 구하는 자연수 a는 10이다.

 ③ 

+

+

+

=+

+

{;6$;

;6!;}

;6!;}

=+

;6%;

;3@;}

 10

 ④ 

+

-

+

;1£4;}

=

+

{

;1ª4;}

+

-

{

;1£4;}

;7!;}

{

{

152 

1_2
11
[
3_4
11

=

;1ª1;

=0,

]
=

[
!1@;
;1~

]
=1,

2_3
11
[
4_5
11

5_6
11

7_8
11

[

[

]

]

=

=

;1#1);

;1%1^;

]

[
=2,

]

[
=5,

6_7
11

8_9
11

=

;1¤1;

=0

]
=

[
;1@1);

]
=1

=

=

]

]

]

[

[

[

=3

;1$1@;

=6

;1&1@;

]

]

]

]
9_10
11

[
=

]
1_2
11

[
+

[

=8

]
;1(1);
]
2_3
11

 ∴

[

[

]

]
 =0+0+1+1+2+3+5+6+8
 =26 

[

]

+

3_4
11

+y+

9_10
11

[

]

153   -7△4=-7이므로
 Ú k△5=k일 때, -7▼k=5

 이때 |k|=5이므로 k=-5 또는 k=5

k=-5이면 -5△5=-5이므로 조건을 만족하지 않는다.

k=5이면 5△5=5이므로 조건을 만족한다.

 Û k△5=5일 때, -7▼5=5

 이때 |k|<5이므로 k=-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Ú, Û에서 주어진 식을 만족하는 k의 값은 -4, -3, -2, -1,
0, 1, 2, 3, 4, 5의 10개이다. 

 10개

{

{

 

 

=-

-

{;1£4;

;1ª4;}

=-

;1Á4;

 ⑤ 

-

{

;1°2;}

-

-

{

:Á3¼:}

=

-

{

;1°2;}

+

+

{

;1$2);}

=+

-

{;1$2);

;1°2;}

=+

;1#2%;

따라서 계산 결과가 옳은 것은 ③이다.

 ③

156   a=-

+

=-

+

=-

;6$;

;6#;

;3@;

;2!;

;6!;



b=-

-

=-

-

=-

;2!;

;3!;

;6#;

;6@;

;6%;

 ∴ a+b=-

+

-

{

;6!;

;6%;}

=-1

 -1

 26

157   a=-3-

=-

, b=

+1=

;2!;

;2&;

;3!;

;3$;

 이때 -

=-3

,

=1

이므로 -

<x<

를 만족하는 정

;2&;

;2!;

;3$;

;3!;

;2&;

;3$; 

 수 x는 -3, -2, -1, 0, 1의 5개이다.

 5개

158 

+

+

;2%;

;3!;

{-;3$;}

=

+

;6@;

:Á6°:

+

=

{-;6*;}

;2#;

 이므로 삼각형의 한 변에 놓인 세 수의 합은

이다.

;2#;

A+

+

:Á6Á:

{-;3$;}

;2#;

=

에서

A+

=


;2#;

;2!;

 ∴ A=

-

=1

;2!;

;2#;

A+B+

=

, 즉 1+B+

=

에서

;3!;

;2#;

;3!;

;2#;

B+

=


;2#;

;3$;

 ∴ B=

-

=

;3$;

;6!;

;2#;

154 

,

:ªa¢:

:¤a¼:

이 양의 정수이므로 a의 값은 24와 60의 공약수인 1,

 ∴ A-B=1-

=


;6%;

;6!;

 

;6%;



2, 3, 4, 6, 12 중의 하나이다.

 또

는 2<

<5, 즉 -5<

<-2 또는 2<

<5를 만족

;aB;

|;aB;|

;aB;

;aB;

159   A-

=

에서

{-;5^;}

;4&;

 하는 정수이므로

의 값은 -4, -3, 3, 4이다.

;aB;



의 값이 최대일 때, 즉

=4일 때, a의 값이 클수록 b의 값도

;aB;

;aB;

 커지므로 a=12일 때, b는 최댓값 48을 가진다. 

 48

A=

+

=

+

;4&;

{-;5^;}

;2#0%;

{-;2@0$;}

;2!0!;

=

 따라서 바르게 계산한 결과는

+

=

+

;2!0!;

{-;5^;}

;2!0!;

{-;2@0$;}

=-


;2!0#;

 -

;2!0#;

16  |  정답과 해설



















160 

;3*;

의 역수는

, -

의 역수는 -

이다.

;8#;

;5#;

;3%;

 ∴

_

-

{

;8#;

;3%;}

=-


;8%;

 ⑵

-(2Ý`-7)_

[:ª2¦:

{-;3!;}

]

{-;2%;}

Ö

 -

;8%;

=

[:ª2¦:

-(16-7)_

;9!;]

{-;2%;}

2`
Ö

161   ①  (-1Û`)_(-21)_(-31)_(-4)



=(-1)_(-21)_(-3)_(-4)=24

 ② 

-

{

;3@;}

_

-

{

;4%;}

_

;1»0;

=

;9$;

_

-

{

;4%;}

_

;1»0;

=-

;2!;

 ③ 

Ö

2`
{-;4#;}

Ö

=

_

;7^;

;1Á4;

{-;3$;}

_14=-16

 ④ 

_(-3)Û`Ö

-

{

:Á8°:}

;6%;

=

_9_

-

=-4

{

;1¥5;}

 ⑤ 

_(-2)_

=12

{-;4(;}

따라서 계산 결과가 옳은 것은 ③이다.

 ③

;7^;

;6%;

;3*;

162   a_(b+c)=a_b+a_c=

에서 a_b+

=

;7#;

;3¤5;

;3¤5;

 ∴ a_b=

-

=

;7#;

;3¤5;

;3¤5;

-

;3!5%;

=-


;3»5;

 -

;3»5;

163 

{-;3@;}

Ö☐_

=

에서

;1°2;

;9%;

_

=

,

;1°2;

;9%;

{-;2¥7;}

_

_

=

;1°2;

;9%;

1


3`
_

1


3`

{-;8!1);}

;9%;

=

{-;3@;}

_

1

∴  1


∴ ☐=-



;9@;

=

Ö

;9%;

{-;8!1);}

=

_

;9%;

{-;1*0!;}

=-

;2(;

=

-1

_

{:ª2¦:

}

{-;5@;}

=

_

:ª2°:

{-;5@;}

=-5

 ⑴ 

  ⑵ -5

:£3°:

166 

(-3)+

_

;2!;]

;1¢5;

[

+(-2)Û`

Ö

{-;3!;}

°
 =
[{-;2%;}

_

+4

Ö

;1¢5;

]

{-;3!;}

¤

 =

[{-;3@;}

]

{-;3!;}

:Á3¼:

+4

Ö

=

_(-3)=-10

 풀이 참조, -10

167 

-

[{

;27!9;}

_546+

-

{

;27!9;}

_12

Ö75_(-10)
]

 =

-

[{

;27!9;}

_(546+12)

Ö75_(-10)

]

 =

-

{

;27!9;}

_558_

_(-10)=

;7Á5;


;1¢5;

 

;1¢5;

168 

-

{

;3!;}

`-

(-2)Û`+

_

(-1)Û`_3-

-

;3@;

[

{

;2!;}]

 =

-

4+

_

1_3+

;2!;}]

°
;3@;

{

¤

;9!;

;9!;

[

{

 =

-

4+

_

;3@;

;2&;}

;9!;

{

=

-

4+

;3&;}

 =

-

=-

;9!;

;;Á3»;;

;;°9¤;;

 이때 -

=-6

이므로 계산 결과와 가장 가까운 정수는 -6

;;°9¤;;

;9@;

 -6

 이다.

 -

;9@;

169   어떤 유리수를 A라 하면 A_3-

=4에서

;2&;

164   세 수를 뽑아 곱한 값이 가장 큰 수가 되려면 양수이어야 하므
로 양수 1개, 음수 2개를 곱해야 한다. 이때 음수는 절댓값이 큰

A_3=4+

, A_3=

;2&;

:Á2°:

 ∴ A=

Ö3=

_

=

;3!;

;2%;

:Á2°:

:Á2°:

 따라서 바르게 계산한 결과는

또한 가장 작은 수가 되려면 음수이어야 하므로 음수 3개를 곱해

Ö3-

=

_

-

=

;2&;

;6%;

;3!;

;2%;

;2&;

-

;2&;

=-


;3*;

;2%;

 -

;3*;

수를 선택해야 하므로

a=

_

_(-2)=

{-;4#;}

;3!;

;2!;

야 한다. 즉

b=

_

{-;2!;}

{-;4#;}

_(-2)=-

;4#;

 ∴ a_b=

_

;2!;

{-;4#;}

=-


;8#;

 -

;8#;

165   ⑴ 4-

+(-1)Ü`_

(-3Û`)Ö

-

{

;5#;}

-7

]

;3!;

°
 =4-

+(-1)_

(-9)_

-

-7

{

;3%;}

[

[

;3!;

°
[;3!;





=4-

+(-1)_(15-7)

=4-

-8

=4-

{;3!;

}

{-:ª3£:}

:£3°:

]

=

¤
]

¤

170   2Ü`-{☐+(-1)99_(3-2_4)}Ö

;2!;

 =8-{☐+(-1)_(-5)}Ö

;2!;

 =8-(☐+5)_2

 =8-2_☐-10

 =-2_☐-2

171   (-1)짝수=1, (-1)홀수=-1이므로
 ⑴ (-1)100-(-1)101-(-1)102+(-1)103

=1-(-1)-1+(-1)

=1+(+1)-1+(-1)=0

 즉 -2_☐-2=-4에서 -2_☐=-2

 ∴ ☐=1

 1

4 정수와 유리수의 계산  |  17







































2






































 ⑵ (-1)+(-1)Û`+(-1)Ü`+y+(-1)1000

=(-1)+1+(-1)+y+1

=(-1+1)+(-1+1)+y+(-1+1)=0

177   ① a+b의 부호는 알 수 없다.
 ② a_b<0

 ③ |a+b|는 0 또는 양수이다.

 ⑴ 0  ⑵ 0

 ④ b-a<0

172   1_(-1)+2_(-1)Û`+3_(-1)Ü`+4_(-1)Ý`


+y+99_(-1)á`á`+100_(-1)Ú`â`â`



 =-1+2-3+4-y-99+100

 =(-1+2)+(-3+4)+y+(-99+100)

 =1+1+y+1=50

( \ { \ 9

50개

173   n이 홀수이므로 n+1은 짝수, n+2는 홀수이다.
 ∴ -1Ç`-(-1)n+1+(-1)n+2 =-1-1+(-1)=-3

 ⑤ -a<0이므로 (-a)Öb>0

 따라서 항상 양수인 것은 ⑤이다.

178   b_c>0, b+c>0이므로 b>0, c>0


a_b<0, b>0이므로 a<0

 ∴ a<0, b>0, c>0

 50

179   Ú a<0, b>0이므로 a<b
 Û a+b=(음수)+(양수)이므로 a<a+b<b

 Ü a-b=(음수)-(양수)=(음수)+(음수)이므로

 a-b<a<a+b<b

 -3

 Ý b-a=(양수)-(음수)=(양수)+(양수)이므로

 ⑤

 ③

 a-b<a<a+b<b<b-a

따라서 작은 수부터 차례대로 나열할 때, 네 번째에 오는 수는 b

이다.

 b

174   |a|=3에서 a=3 또는 a=-3
|b|=7에서 b=7 또는 b=-7


 이므로 M=3+7=10, N=(-3)+(-7)=-10

 ∴ M-N=10-(-10)=10+(+10)=20

 20

175   부호가 같은 세 정수의 곱이 음수이므로 세 정수 a, b, c는 모두

음수이다.

 이때 |a|=3이므로 a=-3

a_b_c=-15에 ㉠을 대입하면

(-3)_b_c=-15에서 b_c=5

 ㉡에서 b와 c는 음의 정수이므로

b=-1, c=-5 또는 b=-5, c=-1

 ∴ b+c=-6

176   ㉠ |a|=

에서 a=

또는 a=-



 |b|=

에서 b=

또는 b=-

;4#;

;3%;

 ㉡ Ú a=

, b=

일 때, a-b=

-

=-

;3%;

;4#;

;3%;

;1!2!;

;4#;

;3%;

;4#;

;4#;

;4#;

;3%;

;3%;

;3%;

 Ü a=-

, b=

일 때,

;4#;

 

 a-b=-

-

=-

;4#;

;3%;

;1@2(;

 Ý a=-

, b=-

일 때,

;4#;

;3%;

 

a-b=-

-

;4#;

{-;3%;}

;1!2!;

=

 이때 Ú~Ý에서 a-b=

인 경우는 a=-

, b=-



;1!2!;

;4#;

;3%;

 때이다.

 ㉠, ㉡에 의하여

18  |  정답과 해설

yy㉠

yy㉡

 -6

STEP

2

심화 문제

49쪽~55쪽

180   A=2+4+6+y+300
B=1+3+5+y+299


 ∴ A-B =(2+4+6+y+300)-(1+3+5+y+299)

=(2-1)+(4-3)+(6-5)



+y+(298-297)+(300-299)

=1+1+1+y+1+1

( | { | 9

150개
=1_150=150

 150

181   6월 1일에 생긴 불량품의 개수를 ☐개라 하자.
 ☐+2+(-4)+(+7)+(-3)+(-5)=28이므로

182   -3 ① (-8) ②  5 ③  (-2)=-2라 하자.
 Ú  ③  에 +를 써넣을 때,

 -3 ①  (-8) ②  5=0

  이때 -3과 5의 부호는 서로 같고, -8의 부호는 반대이어

 야 하므로 ①  , ② 에는 각각 -, -를 써넣어야 한다.

 Û  ③  에 -를 써넣을 때,

 -3 ①  (-8) ②  5=-4

 이를 만족하는 경우는 없다.

 Ú, Û에 의하여

 Û a=

, b=-

일 때, a-b=

-

-

{

;4#;

;3%;}

=

;1@2(;

 ☐+(-3)=28

 ∴ ☐=31

 따라서 6월 1일에 생긴 불량품의 개수는 31개이다.

 31개

a+b=-

+

-

{

;4#;

;3%;}

=-


;1@2(;

 -

;1@2(;

 -3 -  (-8) -  5 +  (-2)=-2

 -, -, +











































183   계산한 결과가 가장 큰 값이 되려면 ㉢에 음수 중 절댓값이 큰

 수를 넣어야 하므로 ㉢에는

를 넣는다. 즉

-;6%;

+

-

=

+

{-;4#;}

{+;5$;}

{-;6%;}

{-;6$0%;}

{+;6$0*;}

{+;6%0);}

+

 또는

+

-

=

+

{+;5$;}

{-;4#;}

{-;6%;}

{+;6$0*;}

{-;6$0%;}

{+;6%0);}

+

 

;6%0#;

=

;6%0#;

=


;6%0#;

b+(-1)+c+2=

, 즉

;1°2;

b+(-1)+

-

+2=

에서

{

;3$;}

;1°2;

b+
{

-

;3!;}

=


;1°2;



 ∴ b=

-

-

{

;3!;}

=

;1°2;

+

;1¢2;

=

;4#;

;1°2;

-

{

;3$;}

-

{

;3$;}

+a+b+(-1)=

, 즉

+a+

+(-1)=

에서

;4#;

;1°2;

;1°2;

(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)=-20

 -20

이어야 하므로

184   어떤 정수를 x라 하면 x에

을 더하면 음수가 되므로 x는 -

;5^;

;5^;

 보다 작다.

 ∴ x=-2, -3, -4, -5, -6, y

yy ㉠

x에

를 더하면 양수가 되므로 x는 -

보다 크다.

:Á3»:

:Á3»:

 ∴ x=-6, -5, -4, -3, -2, y

yy ㉡

 ㉠, ㉡에 의하여

x=-6, -5, -4, -3, -2

 따라서 구하는 합은

185   1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+y+2035
 ={1+(-2)}+{3+(-4)}+{5+(-6)}


+y+{2033+(-2034)}+2035

 =(-1)+(-1)+(-1)+y+(-1)+2035

( | | { | | 9

1017개

 =(-1)_1017+2035

 =1018

186   -1의 역수는 -1, 5의 역수는

,

;5!;

;7#;

의 역수는

,

 -

의 역수는 -

;5$;

, -3.5
=-
{

;4%;

;2&;}

의 역수는 -

이므로

;3&;

;7@;

(-1)_

_

_

;3&;

;5!;

_

{-;4%;}

{-;7@;}

1_
=-
{

;5!;

_

;3&;

_

;4%;

_

;7@;}

=-

;6!;



187   빈칸에 들어갈 수를 차례대로 a, b, c, d라 하면

 -1+c+2+

=

에서

;4#;

;1°2;



+c=


;1°2;



;4&;

 ∴ c=

-

;1°2;

;1@2!;

=-

;3$;

-

{

;1!2(;}

+a=


;1°2;

∴  a=

+

;1°2;

;1!2(;

=2

c+2+

+d=

;4#;

, 즉
{

-

;1°2;

;3$;}

+2+

+d=

에서

;4#;

;1°2;

+d=


;1°2;

;1!2&;

∴  d=

-

;1°2;

;1!2&;

=-1

 ∴ a_b_c_d=2_

_

-

{

;4#;

;3$;}

_(-1)=2

 2

188   17개의 정수의 곱이 -1이 되려면 곱하는 정수는 -1이거나 1

이어야 한다.

이때 이 정수들의 합이 가장 크려면 17개의 정수 중 하나만 -1

 M=(-1)+1+1+yy+1+1=15

( | { | 9

16개

한편 이 정수들의 합이 가장 작으려면 17개의 정수가 모두 -1이

어야 하므로

 m=(-1)+(-1)+yy+(-1)=-17

( | | { | | 9

17개

 ∴ M-m=15-(-17)=32

 32

 1018

189   주어진 식에서 음수의 개수가 50개이므로



_

_

{-;2!;}

{+;3@;}

{-;4#;}

_y_

{-;1»0»0;}

 =+

_

_

;3@;

;4#;

{;2!;

_y_

;1»0»0;}

=


;10!0;

 

;10!0;

190 

|-;5$;|

=

,
|

;5$;

-

;3@;|

=

;3@;

이므로 이웃한 두 점 사이의 거리는

 -

;6!;

-

_

=

_

=

;2!;

;1Á5;

;1ª5;

;2!;

;3@;}

{;5$;

1
15

1
15

1
15

-

4
5

x

-

2
3

y

x=-

+

;5$;

;1Á5;

=-

;1!5!;

y=-

+

;3@;

;1Á5;

=-

;1»5;

=-

;5#;

 ∴ x+y=-

+

-

{

;1!5!;

;5#;}

=-

;1@5);

=-


;3$;

 -

;3$;

4 정수와 유리수의 계산  |  19





























191   (13_0.325+87_0.325)_2.1-12.5_2.1

={(13+87)_0.325}_2.1-12.5_2.1

=(100_0.325)_2.1-12.5_2.1

=32.5_2.1-12.5_2.1

=(32.5-12.5)_2.1

=20_2.1=42

192   합이 11인 두 자연수와 그 두 수의 역수의 합을 구하면 다음과

같다.

합이 11인
두 자연수

역수의 합

1, 10

2, 9

3, 8

4, 7

5, 6

1+

;1Á0;

=

;1!0!;

;2!;

=

+

;9!;

;1!8!;

;3!;

=

+

;8!;

;2!4!;

;4!;

=

+

;7!;

;2!8!;

;5!;

=

+

;6!;

;3!0!;

196   1-

=1-

=1-

1-

1

1

1-

;4!;

1

1-1Ö

;4#;

1

1-

;3$;

1

1-

1

;4#;
1

1-1_

;3$;

1

-

;3!;

=1-

=1-

=1-

=1-1Ö

-

{

;3!;}







 42

=1-1_(-3)=1+3=4

 4

197   A : (-7)Ö

+

;3@;

;2!;

=(-7)_

+

;2#;

;2!;





=-

+

=-10

:ª2Á:

;2!;

B : {(-10)-(-5)}_

=(-5)_

=-

;1£0;

;1£0;

;2#;

 41

C :

-

[{

;2#;}

+4

Ö

]

=

Ö

=

;4%;

;2%;

;2%;

_

;5$;

;4%;

=2

 따라서 -7을 입력하여 나온 결과는 2이다.

 2

 따라서 A=-

=-4

이므로 A보다 큰 음의 정수는

;1^5$;

;1¢5;

 -4, -3, -2, -1이다.




(-1)n+2-(-1)n+3+(-1)n+4-12020
=1-(-1)+1-1

 ∴ (-4)+(-3)+(-2)+(-1)=-10

 -10

=1+(+1)+1-1=2

 따라서 가장 작은 값은

이므로 a=30, b=11

 ;3!0!;

 ∴ a+b=30+11=41

193   A=

Ö

:Á6Á:

;1°2;

-4_

[;2%;

-12_

-

{

;6!;}

]

=

_

:Á6Á:

:Á5ª:

-4_

{;2%;

-12_

;3Á6;}

2`

=

-4_

-

{;2%;

;3!;}

:ª5ª:

=

:ª5ª:

-4_

:Á6£:

=

-

:ª5ª:

:ª3¤:

=-

;1^5$;

194   1-

;2!;

+☐Ö{5_(-2)+6}

_4=-2에서

1-

°
+☐Ö{(-10)+6}
;2!;

¤
_4=-2

1-

+☐Ö(-4)

°
[;2!;

¤
_4=-2

]

1-

-

{;2!;


4 }

_4=-2, 1-(2-☐)=-2

195   (-12)▲

=(-12)_

=-3

;4!;



=

{-;2%;}

{-;1£0;}

{-;2%;}

{-;1£0;}

;4#;

=

 ∴
[

(-12)▲



;4!;]

[{-;2%;}

{-;1£0;}]

=(-3)▽

=(-3)+

-(-3)Ö

;4#;

=(-3)+

-(-3)_

;4!;

_



;4#;

;3$;

;4#;

;4#;

;4#;

20  |  정답과 해설



=(-3)+

+4=



;4&;

 

;4&;























198   Ú  n이 홀수일 때, n+2는 홀수, n+3은 짝수, n+4는 홀수







이므로
(-1)n+2-(-1)n+3+(-1)n+4-12020
=(-1)-1+(-1)-1

=-4

 Û  n이 짝수일 때, n+2는 짝수, n+3 은 홀수, n+4는 짝수이므

 n이 홀수일 때, -4 / n이 짝수일 때, 2

199   ① n이 홀수일 때, (-1)Ç`+(-1)n+1=(-1)+1=0
 n이 짝수일 때, (-1)Ç`+(-1)n+1=1+(-1)=0




② 2n+1은 홀수, 2n은 짝수이므로

 (-1)2n+1+(-1)2n=(-1)+1=0

③ n이 홀수일 때,

 n이 짝수일 때,
 (-1)Ç`+(-1)n+2+2_(-1)n+1 =1+1+2_(-1)



④ n이 홀수일 때,

 aÇ`+(-a)n+1-an+1+(-a)Ç` =aÇ`+an+1-an+1-aÇ` 



 

=0

=0

=0

 n이 짝수일 때,
 aÇ`+(-a)n+1-an+1+(-a)Ç` =aÇ`-an+1-an+1+aÇ`

=2aÇ`-2an+1

1-2+☐=-2

 ∴ ☐=-1

 -1

 (-1)Ç`+(-1)n+2+2_(-1)n+1 =(-1)+(-1)+2_1



























⑤ 2n+1은 홀수, 2n은 짝수이므로

 a2n+(-a)2n+1+a2n+1-(-a)2n =a2n-a2n+1+a2n+1-a2n

=0

203 |a-4|=2에서 a-4=2 또는 a-4=-2이므로


a=6 또는 a=2

|b+1|=5에서 b+1=5 또는 b+1=-5이므로

 따라서 그 값이 0이 아닌 것은 ④이다.

 ④

b=4 또는 b=-6



따라서 x-y의 최댓값은 14, 최솟값은 -14이므로

최댓값과 최솟값의 차는 14-(-14)=28

⑵ ⑴에서 |x-y|=4 또는 |x-y|=14이므로 |x-y|의 최댓

값은 14, 최솟값은 4이다.

따라서 최댓값과 최솟값의 차는 14-4=10

200   ⑴ |x|=5에서 x=5 또는 x=-5
|y|=9에서 y=9 또는 y=-9












Ú  x=5, y=9일 때,

x-y=5-9=-4

Û  x=5, y=-9일 때,

x-y=5-(-9)=14

Ü  x=-5, y=9일 때,

x-y=-5-9=-14

Ý  x=-5, y=-9일 때,

x-y=-5-(-9)=4

201   |a|=3에서 a=3 또는 a=-3
|b|=5에서 b=5 또는 b=-5


|c|=6에서 c=6 또는 c=-6

 a













3











-3







b

5


-5


5


-5










c

 a+b+c

-6

6

6

6

6

-6

-6

 14

 2

 4

 -8

 8

 -4

 -2

















-6

-14













이때 a_b의 최댓값은 a_b의 계산 결과가 양수이고, 절댓값이

가장 커야 하므로

a=6, b=4









 ∴ a_b=6_4=24

 24

204   두 정수 a, b에 대하여 |a|+|b|=4, a>b인 경우는 다음과

같다.

a

b

0

1

-1

-4 -3 -3 -2 -1

2

0

3

2

3

1

4

4

0

4

a+b -4 -2 -4

 따라서 a+b의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.

 ③

 ⑴ 28  ⑵ 10

 -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5이다.

205 

=2

이므로 |x|É

:Á5£:

:Á5£:
 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2이다.

;5#;

, 즉 -

ÉxÉ

을 만족하는

:Á5£:

:Á5£: 

|y|É5, 즉 -5ÉyÉ5를 만족하는 정수 y는 -5, -4, -3, -2,

 따라서 x+y의 최댓값은 2+5=7, x+y의 최솟값은

 -2+(-5)=-7이므로 x+y의 최댓값과 최솟값의 차는

7-(-7)=14

 14

206   -1<a<0이므로 a=-

이라 하면

;2!;

 ㉠ -aÜ`=-

=-

=

{-;8!;}

;8!;

{-;2!;}

3`
{-;2!;}

2`
{-;2!;}

1
aÛ`

;a!;

 ㉡ 

=1Ö

=1Ö

=1_4=4

;4!;

 ㉢ -

=(-1)Ö

=-1_(-2)=2

 ㉣ 

=1Ö

;a!;

{-;2!;}

=1_(-2)=-2

 ㉤ (-a)Û`=

-

 따라서 큰 수부터 차례대로 나열하면

[

{-;2!;}]

{;2!;}

=

2`

=

;4!;

2`

 ㉡, ㉢, ㉤, ㉠, ㉣이다.

 ㉡, ㉢, ㉤, ㉠, ㉣

 따라서 a+b+c의 값이 될 수 없는 것은 ④이다.

 ④

202   a_|a-b|=7에서 |a-b|>0이고 a, b는 정수이므로


a_|a-b|=1_7 또는 a_|a-b|=7_1

 Ú a=1일 때

 |1-b|=7 ➡
[

1-b=7

1-b=-7

b=-6


[

b=8

 그런데 b>0이므로 b=8

 Û a=7일 때

 |7-b|=1 ➡
[

7-b=1

7-b=-1


[

b=6

b=8

 Ú, Û에서 주어진 조건을 만족하는 a, b의 값은

a=1, b=8 또는 a=7, b=6 또는 a=7, b=8이므로
a+b의 최솟값은 1+8=9 

207   a_b<0, a<b에서 a<0, b>0


b_c>0, b>0에서 c>0

 ㉠ a<0이므로

<0

;a!;

 ㉡ b>0, c>0이므로 b+c>0

 ㉢ c>0, a<0이므로 c-a>0

 ㉣ c>0, a<0이므로 cÖa<0

 ㉤ a<0, b>0이므로 a-b<0

 ㉥ a<0, c>0이므로 a-c<0

 9

 따라서 항상 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢, ㉤이다.

 ㉠, ㉡, ㉢, ㉤

4 정수와 유리수의 계산  |  21































 는 점에 더 가까우므로 Ú, Û에 의하여 -4<c<b<4

 -

+

-

{

;3!6#;

+

=-

;1Á8;}

;9%;

+

-

{

;3!6#;

+

=

;3ª6;}

;3@6);

;3°6;

 이때 ☐ 안에 알맞은 세 수를 차례대로 구하면

 -

+

;3@;

;3!6!;

=-

+

;3@6$;

;3!6!;

=-

;3!6#;

yy Ú

yy Û

 -

+

;3!6#;

;3!6!;

=-

;3ª6;

=-

;1Á8;

+

=

+

=

=

;3@6);

;9%;

;3!6!;

;3»6;

;3!6!;

;4!;

 따라서 세 수의 합은

208   ㉠  a와 5의 합은 양수이므로 a는 -5보다 크다.
a와 3의 합은 음수이므로 a는 -3보다 작다.

따라서 a는 -5보다 크고 -3보다 작은 정수이므로

a=-4

 ㉡ 

|b|<|a|
|c|<|a|

[

에서
[

|b|<4
|c|<4

, 즉
[

-4<b<4
-4<c<4





㉢  b를 나타내는 점보다 c를 나타내는 점이 a, 즉 -4를 나타내

 ∴ a<c<b

 a<c<b

209   ㉠, ㉣에 의하여 a_b_c_d<0, c_d<0이므로 a_b>0
 Ú

a>0, b>0일 때


㉢, ㉣에 의하여 c>0, d<0

즉 a>0, b>0, c>0, d<0

이때 ㉡ a+b+c=0은 성립하지 않는다.

a<0, b<0일 때


㉡ a+b+c=0에 의하여 c>0

㉣ c_d<0에 의하여 d<0


 Û



















  

STEP

3

고난도 문제

56쪽~58쪽

210   두 점 A, B에 대응하는 수를 각각 a, b라 하면


a=5 또는 a=-5, b=9 또는 b=-7



두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점은 두 점 A, B의 한가운데

에 있는 점이므로 이 점에 대응하는 정수는 다음과 같다.

 Ú, Û에 의하여 a<0, b<0, c>0, d<0

 따라서 항상 옳은 것은 ④ a_d>0이다.

 ④

하므로

 Ú a=5, b=9일 때,
5+9
2

=7

 





 

=-1

 Û a=5, b=-7일 때,
5+(-7)
2
 Ü a=-5, b=9일 때,
(-5)+9
2
 Ý a=-5, b=-7일 때,

=2

 



 

(-5)+(-7)
2

=-6









211   이웃한 두 수 사이의 간격은

-

-

{

[;4!;

;3@;}]

Ö3=

+

{;1£2;

;1¥2;}

Ö3

=

_

=

;3!;

;1!2!;

;3!6!;

22  |  정답과 해설

따라서 작은 수부터 차례대로 나열하면 -6, -1, 2, 7이므로 두

번째로 작은 정수는 -1이다.

 -1





























 

 

;3°6;

212   세 수를 선택하여 계산한 결과가 가장 큰 수가 되려면 양수이어
야 하므로 양수 1개, 음수 2개를 선택해야 한다. 이때 나누는 수는

절댓값이 가장 작은 수이어야 하므로

{-;2&;}

_(-2)Ö

=

_(-2)_2=14

;2!;

{-;2&;}

 또는 (-2)_

Ö

=(-2)_

_2=14

{-;2&;}

;2!;

{-;2&;}

가장 작은 수가 되려면 음수이어야 하므로 양수 2개, 음수 1개를

선택해야 한다. 이때 나누는 수는 절댓값이 가장 작은 수이어야

_

;3$;

{-;2&;}

Ö

=

;2!;

;3$;

_

{-;2&;}

_2=-

:ª3¥:

 또는

{-;2&;}

_

Ö

;3$;

;2!;

=

_

_2=-

{-;2&;}

;3$;

:ª3¥:

 따라서 가장 큰 수는 14, 가장 작은 수는 -

이다.

:ª3¥:

 가장 큰 수 : 14, 가장 작은 수 : 

-:ª3¥:

213   올라가는 것을 +, 내려가는 것을 -로 나타내면
 Ú 윤서가 바위를 5번 냈을 때

   민재가 보를 낸 횟수:2(회)

민재가 가위를 낸 횟수:3(회)

이므로

 윤서:(-3)_2+(+2)_3=0

 민재:(+3)_2+(-2)_3=0

 Û 윤서가 가위를 3번 냈을 때

   민재가 바위를 낸 횟수:2(회)

민재가 보를 낸 횟수:1(회)

이므로

 윤서:(-2)_2+(+1)_1=-3

 민재:(+2)_2+(-1)_1=3

즉 처음 위치보다 윤서는 3계단 아래, 민재는 3계단 위에 있다.

 따라서 두 사람의 위치의 차는

3-(-3)=6(계단)

 6계단

 참고   바위를 내서 이겼을 때는 2계단을 올라가지만 졌을 때는 2계단을 

내려가는 것이 아니라, 상대가 보를 내서 이긴 것이므로 이긴 사람이 올

라간 3계단만큼을 내려가야 한다.

214   3△9=0, 5△2=13, 4△6=6에서


3_3-9=0, 5_3-2=13, 4_3-6=6

 ∴ a△b=a_3-b





































 또 23=7, 42=10, 83=19에서



2_2+3=7, 4_2+2=10, 8_2+3=19

 ∴ ab=a_2+b

 ∴ (2△7)(53) =(2_3-7)(5_2+3)

=(-1)13

=(-1)_2+13

=11

215 

+

;3!;

;1Á5;

+

 =

_

{

;2!;

;9Á9;

;3Á5;
2
1_3

+

+

+

;6Á3;
2
3_5

+

2
5_7

+

2
7_9

+

2
9_11 }

 =

_

-

+

-

+

-

+

-

;7!;

;9!;

;7!;

;5!;

;5!;

;3!;

+

;9!;

;3!;

-

{;1!;

;2!;

;1Á1;}

 =

_

1-

;2!;

{

;1Á1;}

 =

_

;2!;

;1!1);



=


;1°1;



218   |a|=

에서 a=

또는 a=-

;2!;

;2!;

;2!;

|b|=

에서 b=

또는 b=-

;3@;

;4#;

;3@;

;4#;

|c|=

에서 c=

또는 c=-

;3@;

;4#;







 11

 하므로 a=-

, b=

, c=-

;2!;

;3@;

;4#;

 ∴ a+b-c=

{-;2!;}

+

-

;3@;

{-;4#;}

 이때 a-b+c의 값이 최소가 되려면 a<0, b>0, c<0이어야

=

{-;1¤2;}

;1¥2;

{+;1»2;}

+

+

=


;1!2!;

 

;1!2!;

219   두 조건 ㉠, ㉢에서 네 정수의 절댓값을 각각


a, b, 3b, 4b ( a, b는 자연수)라 하면

a_b_3b_4b=648

∴  a_bÜ`=54

조건 ㉣에서 네 수의 절댓값은 각각 1보다 크고 54=2_3Ü`이므로

a=2, b=3

 

;1°1;

 이때 네 정수의 절댓값은 2, 3, 9, 12이므로

 두 조건 ㉡, ㉣을 만족하는 네 정수는

 -2, -3, -9, 12 또는 -2, 3, 9, -12

216   n이 홀수일 때, n-1은 짝수, n+1은 짝수, n+2는 홀수이므



 -2, -3, -9, 12 또는 -2, 3, 9, -12


(-1)n-1-(-1)n+(-1)n+1_(-1)n+2

 =1-(-1)+1_(-1)

 =1+(+1)+(-1)=1

n이 짝수일 때, n-1은 홀수, n+1은 홀수, n+2는 짝수이므로
(-1)n-1-(-1)n+(-1)n+1_(-1)n+2

 =(-1)-1+(-1)_1

 =(-1)-1+(-1)=-3

 따라서 식의 값이 될 수 있는 모든 수의 합은

1+(-3)=-2

217   ㉠, ㉡에서 |a|=1, |b|=2, |c|=9 또는


|a|=1, |b|=3, |c|=6

 ㉡, ㉢에서 a_b_c>0, a+b+c<0이므로



a>0, b<0, c<0 또는 a<0, b>0, c<0

 Ú  a=1, b=-2, c=-9일 때

a+b+c=1+(-2)+(-9)=-10

 Û  a=-1, b=2, c=-9일 때

a+b+c=(-1)+2+(-9)=-8

 Ü  a=1, b=-3, c=-6일 때

a+b+c=1+(-3)+(-6)=-8

 Ý  a=-1, b=3, c=-6일 때

a+b+c=(-1)+3+(-6)=-4

220   Ú a>0, b>0일 때,
|a|
|ab|
a
ab

|b|
b

+

+

 







 

 Û a>0, b<0일 때,
|ab|
ab

|a|
a

|b|
b

+

+

 



 -2

 Ü a<0, b>0일 때,
|ab|
ab

|a|
a

|b|
b

+

+

 



 Ý a<0, b<0일 때,
|ab|
ab

|a|
a

|b|
b

+

+

 



 

 

 

=

+

+

;aA;

;aAbB;
;bB;
=1+1+1=3

=

+

;aA;

-b
b

+

-ab
ab

=1+(-1)+(-1)=-1

=

-a
a

+

+

;bB;

-ab
ab

=(-1)+1+(-1)=-1

=

-a
a

+

-b
b

+

;aAbB;

=(-1)+(-1)+1=-1

 Ú~Ý에 의하여

의 값이 될 수 있는 수는 -1,

|a|
a

+

|b|
b

+

|ab|
ab

 2

3이므로 그 합은

 -1+3=2

221   ① a<b이므로 b-a>0

 ② a<b<0이므로

>

;a!;

;b!;

 ③ a<b<0이므로 |a|>|b|

 ④ a<b<0이므로 -a>-b

 Ú~Ý에서 ㉢을 만족하는 경우는 a=-1, b=3, c=-6일 때

이므로

 ⑤ -1<b<0에서

<-1이므로 1+

<0

;b!;

;b!;



a-b-c=-1-3-(-6)=2

 2

 따라서 옳은 것은 ⑤이다.

 ⑤

4 정수와 유리수의 계산  |  23

5

문자와 식

225   (시간)=

이므로 주은이가 집에서 출발하여 도서관에 도

(거리)
(속력)

 착할 때까지 걸린 시간은



+

=

+

;4A;

;6!;

;6!0);

;4A;

(시간)

 

+

{;4A;

;6!;}

시간

STEP

1

실력 문제

61쪽~64쪽

222   aÖ(b_c)=aÖbc=a_

=

a
bc

 ① aÖb_c=a_

_c=

;b!;

 ② a_bÖc=a_b_

=

;c!;

 ③ aÖbÖc=a_

_

=

;c!;

;b!;

;bÁc;
ac
b
ab
c
a
bc

 ④ a_(bÖc)=a_

b_

{

=a_

=

;cB;

;c!;}

ab
c

 ⑤ aÖ(bÖc)=aÖ

;cB;
 따라서 계산 결과가 같은 것은 ③이다.

=aÖ

b_

;c!;}

{

=a_

=

;bC;

ac
b

 ③

;2!;

{;2!;}

2`
{

;2!;}

2`

226   ① a+2b=

+2_(-1)=

-2=-

;2!;

;2#;

 ② aÛ`-bÛ`=

-(-1)Û`=

-1=-

;4!;

;4#;

 ③ (-a)Û`+b=

-

+(-1)=

-1=-

;4!;

;4#;

 ④ 

a+b=

_

+(-1)=

-1=-

;2!;

;2!;

;2!;

;4!;

;4#;

 ⑤ -

(2aÛ`-b)=-

;2!;

_

2_

;2!;

[

{;2!;}

-(-1)

]

=-

_

;2!;

{;2!;

+1

}

2`

=-

_

=-

;2!;

;2#;

;4#;

























 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다.

 ①

227 

-

+

=3Öa-4Öb+5Öc

;a#;

;b$;

;c%;

=3Ö

{-;5#;}

-4Ö

+5Ö

{-;2!;}

=3_

{-;3%;}

-4_

+5_(-2)

;7$;

;4&;

=-5-7-10=-22

 -22

228   ⑴ (사다리꼴의 넓이)

 =

;2!;

_{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)이므로











 ⑵ S=

(a+b)h=

_(4+8)_5=

_12_5=30

;2!;

;2!;

;2!;

 ⑴ S=

(a+b)h  ⑵ 30

;2!;

229 

;9%;

(x-32)에 x=50을 대입하면

(x-32)=

_(50-32)=

_18=10`(¾)

 10`¾

;9%;

;9%;

;9%;

230   한 통에 15000원인 수박을 a`% 할인한 가격은

15000-15000_

=15000-150a (원)

;10A0;

 한 개에 1000원인 음료수를 b`% 할인한 가격은

1000-1000_

=1000-10b (원)

;10B0;

 따라서 지불해야 하는 금액은

(15000-150a)+(1000-10b)_4

 =15000-150a+4000-40b

 =19000-150a-40b

 =19000-150_10-40_15

a=10, b=15를 대입

 ②, ③

 =19000-1500-600=16900 (원)

 16900원

223   ① 3xÖ

y=3x_

=

;5ª];

;5^]{;

;2%;

② (a+b)Ö2+2Öc=

 

a+b
2

+

;c@;

 ③ (-5)_a+b_

{-;3!;}

=-5a-

b
;3!;

 ④ a_2+(b-c)Ö(-3)=a_2+(b-c)_

{-;3!;}



 

=2a-

b-c
3

 ⑤ 0.1_y_x_z_x_x=0.1xÜ`yz

224   ① (남은 돈) =(모은 돈)-(연필 5자루의 가격)
=8_a-b_5

=8a-5b (원)

(소금물의 농도)
100

 ② (소금의 양)=

_(소금물의 양)

 

=

;1ª0¼0;

_x=

x`(g)

;5!;

 ③ (삼각형의 넓이)=

_(밑변의 길이)_(높이)

 ④ (판매한 가격)=(정가)-(할인 금액)

=

_8_x

;2!;

;2!;

=4x

=a-a_

;1£0¼0;

=a-

a=

a (원)

;1£0;

;1¦0;











 ⑤ (평균)=

x+y
2

(점)

 따라서 옳은 것은 ②, ③이다.

24  |  정답과 해설

 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

 ④

 S=

_(a+b)_h=

(a+b)h

;2!;

;2!;

231   ㉠ 일차식이 아니다.
 ㉣  xÛ`-x(x-1)=xÛ`-xÛ`+x=x이므로 x에 대한 일차식이다.

 ㉤ x가 분모에 있으므로 다항식이 아니다.

 따라서 일차식은 ㉡, ㉢, ㉣, ㉥의 4개이다.

 4개

232   ① 항이 3개인 다항식이다.

 ② 

(3a-7)-

(2-5a)=

;4!;

;3!;

a-

-

+

a

;3%;

;3@;

;4&;

;4#;





따라서 일차식이다.

 ③ x의 계수는

이다.

;2!;

=

;1@2(;

a-

;1@2(;

 ④ 문자와 차수가 모두 같으므로 동류항이다.

 ⑤ 상수항은 -1이다.

 따라서 옳은 것은 ④이다.

233   2xÛ`-5x+1+axÛ`+2ax+3=(2+a)xÛ`+(2a-5)x+4


이때 x에 대한 일차식이 되려면 2+a=0, 2a-5+0이어야 한

다.

 ∴ a=-2

234   x의 계수가 -2, 상수항이 6인 일차식은 -2x+6이므로


x=2일 때의 식의 값은

 -2x+6=-2_2+6=-4+6=2



 ∴ a=2



x=-4일 때의 식의 값은

 -2x+6=-2_(-4)+6=8+6=14



 ∴ b=14

 ∴ b-a=14-2=12

 -2

 12

235   ② (x+12)Ö4=(x+12)_

;4!;





 

=x_

+12_

=

x+3

;4!;

;4!;

;4!;

 ②

236   ① 문자는 같지만 차수가 다르다.
 ③ 차수는 같지만 문자가 다르다.

 ④ 

는 다항식이 아니다.

;3ª[;

 ⑤ 같은 문자끼리 차수가 다르다.

237 

;2%;

(4x-y+2)-(-9x+3y+1)Ö3

 =10x-

y+5-

-3x+y+

{

;3!;}

 =10x-

y+5+3x-y-

;2%;

;2%;

;2&;

 =13x-

y+

:Á3¢:

;3!;

:Á3¢:



































 

 











 

 

238 

+

-

2x-3
3

2x+5
2

x-1
4
3(x-1)+4(2x-3)-6(2x+5)
12

 =

 =

3x-3+8x-12-12x-30
12

 =-

x-

;1Á2;

:Á4°:

 따라서 a=-

, b=-

이므로

;1Á2;

:Á4°:

a-b=-

-

;1Á2;

{-:Á4°:}



=-

+

=


:Á3Á:

;1$2%;

;1Á2;

 

 

:Á3Á:

239   ⑴ 6x-[5y-3x-{2x-(4x-7y)}]
 =6x-{5y-3x-(2x-4x+7y)}




 ④

 =6x-{5y-3x-(-2x+7y)}

 =6x-(5y-3x+2x-7y)

 =6x-(-x-2y)

 =6x+x+2y

 =7x+2y

 ⑵ 

(6-2x)-10

(3x-5)-

(2x-3)

[;4!;

;5!;

]

;5@;

 =

(6-2x)-10

x-

-

x+

;4%;

;5@;

{;4#;

;5#;}

;5@;

;5@;

 =

(6-2x)-10

x-

{;2¦0;

;2!0#;}

 =

-

x-

x+

:Á5ª:

;5$;

;2&;

:Á2£:

 =-

x+


;1*0(;

;1$0#;

 ⑴ 7x+2y  ⑵ -

x+

;1$0#;

;1*0(;

240   4A-6(A-B) =4A-6A+6B 

=-2A+6B

=-4(x-1)+6

x+1
3

{

-1

}

=-4x+4+2(x+1)-6 

=-2x

 -2x

 

 

 ②

241   오른쪽 그림에서


(②의 길이)

=(5b+1)-(2b-1)

=5b+1-2b+1

5b+1

=3b+2



(①의 길이)

=(4b+2)-(②의 길이)

=(4b+2)-(3b+2)

=4b+2-3b-2=b

a

2b-1

2a-1



4b+2



4a

 이때 x의 계수는 13, 상수항은

이므로 그 차는

 ∴ (도형의 둘레의 길이)

13-

=

-

=



:ª3°:

:Á3¢:

:£3»:

:Á3¢:

 

:ª3°:

=8a+12b+2

=2_4a+(5b+1)+(4b+2)+(2b-1)+b

 8a+12b+2

5 문자와 식  |  25

242   ⑴ 7a+8-(
 




)=2a+14에서

=(7a+8)-(2a+14)

=7a+8-2a-14=5a-6

 ⑵ 2(

)+3(x-2)=9x-8에서

 2(

) =(9x-8)-3(x-2)

=9x-8-3x+6=6x-2

 ∴

=(6x-2)Ö2=3x-1

247   (지불해야 하는 금액)=120_a_

1+

_

1-

;10P0;}

{

;1ª0¼0;}

{

{

=120_a_

1+

;10P0;}

_

;5$;

=96a

1+

{

;10P0;}

=96a+

ap (원)

;2@5$;

 ⑤







 ⑴ 5a-6  ⑵ 3x-1

248   갈 때 걸린 시간은

=5 (시간)

:Á2¼0¼:

243   어떤 일차식을 A라 하면


A+(-3x+2)=2x+5이므로

A =(2x+5)-(-3x+2)=2x+5+3x-2=5x+3

 따라서 바르게 계산한 값은

5x+3-(-3x+2) =5x+3+3x-2

 올 때 걸린 시간은

(시간)

;:!a):); 

 즉 지훈이가 왕복하는 데 걸린 시간은
5a+100
a

(시간)

;:!a):);

5+

=



 이때 총 이동 거리는 100+100=200`(km)

=8x+1

 8x+1

 ∴ (평균 속력)=

244   A+(3x-1)=x+3이므로


A =(x+3)-(3x-1)=x+3-3x+1=-2x+4

B-(4x-1)=8x-2이므로

B=(8x-2)+(4x-1)=12x-3

 ∴ A-B =(-2x+4)-(12x-3)

=-2x+4-12x+3

=-14x+7

(총 이동 거리)
(총 걸린 시간)

=

200
5a+100
a

=200Ö

5a+100
a

=200_

a
5a+100

=

200a
5(a+20)

=

40a
a+20 

 A=-2x+4, B=12x-3, A-B=-14x+7

 따라서 왕복하는 동안의 평균 속력은 시속

40a
a+20 

km이다.

 시속 

40a
a+20 

`km

STEP

2

심화 문제

65쪽~70쪽

4+3

4+3_2 y 4+3_(n-1)

249   정사각형의 개수와 필요한 성냥개비의 개수를 표로 나타내면 다

음과 같다.

정사각형의
개수 (개)

필요한 성냥개비의 
개수 (개)

1

4

2

3

y

n




 따라서 정사각형을 n개 만들 때, 필요한 성냥개비의 개수는

4+3_(n-1)=4+3n-3=3n+1 (개)

 (3n+1)개

250   x : y=3 : 1이므로 x=3y


x=3y를 주어진 식에 대입하면

x
x+2y 

-

y
2x-y 

=

3y
3y+2y 

-

y
2_3y-y 

251   x-xÛ`+xÜ`-xÝ`+xÞ`-xß`+y+xÛ`â`Ú`á`


 =(-1)-(-1)Û`+(-1)Ü`-(-1)Ý`+(-1)Þ`-(-1)ß`

+y+(-1)Û`â`Ú`á`

 =-1-1-1-1-1-1y-1

2019개

 ④

 =(-1)_2019=-2019

 -2019

245   ㉡ 3Ö(x+2_y)=3Ö(x+2y)=

 ㉢ x_1+aÖy=x+

;]A;

 ㉣ aÖ(xÖy)Ö3=aÖ

Ö3=a_

;]{;

;[};

 ㉤ (2+a)Öb_c=(2+a)_

_c=

;b~

!;

;2!;

3
x+2y

ay
3x

_

=

;3!;
(2+a)c
b
xÛ`
2

 ㉥ xÖ2_x-3_y=x_

_x-3_y=

-3y

246   작년의 여학생 수는 3a명이므로

(올해의 남학생 수)=a_

1+

{

=

;1Á0°0;}

;2@0#;

a(명)

(올해의 여학생 수)=3a_

1-

{

=

;10%0;}

;2%0&;

a(명)

 따라서 올해의 총 학생 수는

a+

a=

;2%0&;

;2*0);

;2@0#;

a=4a(명)

26  |  정답과 해설

 따라서 옳지 않은 것은 ㉢, ㉤이다.

 ㉢, ㉤

=

-

=

-

=


;5@;

;5!;

;5#;

;5Õ];

;5#]};

 

;5@;























 



























252 

3a-2b+ac
bc

=

3_(-2)-2_

{-;3!;}

+(-2)_

;2!;

-

{

;3!;}

_

;2!;

257   -2(xÛ`+x-5)+a

xÛ`+2x+9

{;3!;

}



 =

-2+

xÛ`+(-2+2a)x+10+9a

{

a

;3!;

}

-6+

-1

;3@;

-

:Á3»:

=

=

-

;6!;

-

;6!;

=

-

{

:Á3»:}

Ö

-

{

;6!;}





=-

_(-6)=38

:Á3»:

 38

∴  x+y=7xy

x=2일 때의 식의 값은 2a+3



253 

+

=7에서

;[!;

;]!;

 ∴

3x-2xy+3y
x+y

=

=7

x+y
xy
3(x+y)-2xy
x+y
3_7xy-2xy
7xy

=

=

19xy
7xy

=


:Á7»:

254 

=

=

;5Z;

:£4Õ:

:ª3Ó:

=t (t+0)라 하면

x=

t, y=

t, z=5t

;2#;

;3$;

 ∴

2x+3y+z
4x-6y-2z

=

2_

t+3_

t+5t

;2#;

;3$;

4_

t-6_

t-2_5t

;2#;

;3$;

=

=

3t+4t+5t
6t-8t-10t
12t
-12t

=-1

255   ⑴ 선분 EI의 길이가 10-y이므로

 S=

_{x+(10-y)}_10

;2!;

  =5(x-y+10)

  =5x-5y+50

 ⑵ S=5x-5y+50

  =5_

-5_4+50

;5(;








































  =9-20+50=39

 ⑴ S=5x-5y+50 ⑵ 39

256 

⑴  한 변에 놓인 바둑돌의 개수와 정삼각형에 있는 바둑돌의

총 개수를 표로 나타내면 다음과 같다.

한 변에 놓인 바
둑돌의 개수 (개)

바둑돌의 
총 개수 (개)

2

3

4 y

n

1_3

2_3

3_3 y (n-1)_3



  따라서 한 변에 놓인 바둑돌의 개수가 n개인 정삼각형에 있

는 바둑돌의 총 개수는

(n-1)_3=3n-3 (개)

 ⑵ 3n-3에 n=8을 대입하면

 3n-3=3_8-3=21(개)

 ⑴ (3n-3)개  ⑵ 21개

 ∴ a=-4

 이 식이 x에 대한 일차식이 되려면 xÛ`의 계수가 0이어야 하므로

 -2+

a=0,

a=2

∴  a=6

;3!;

;3!;

 따라서 x의 계수는

 -2+2a=-2+2_6=10

 10

258   상수항이 3인 x에 대한 일차식을 ax+3 (a+0인 상수)이라

하면

 ∴ A=2a+3

 ∴ B=3a+3

x=3일 때의 식의 값은 3a+3



 ∴ 3A-2B =3(2a+3)-2(3a+3)

 

:Á7»:

=6a+9-6a-6=3

 3

259   (-1)2020(x-3)-(-1)2023(x-3)

=1_(x-3)-(-1)_(x-3)

=x-3-(-x+3)

=x-3+x-3

=2x-6








 2x-6

260 

◎ x=

-x+

x=-

x+

이므로

;3!;

;3@;

;3!;

;3!;

;3!;

 -1

◎ x


}

;2%;

=

{;3!;

{-;3@;

x+



;2%;

;3!;}

=

-

{

;3@;

x+

;3!;}

-

;2%;

+

{-;3@;

x+

_

;3!;}

;2%;

=-

x+

-

-

;2%;

;3!;

;3%;

;3@;

x+

;6%;

=-

x-


;3$;

;3&;

 -

x-

;3&;

;3$;

261   n이 자연수일 때, 2n은 짝수, 2n+1은 홀수이므로


(-1)2n=1, (-1)2n+1=-1

 ∴ (-1)2n_

-(-1)2n+1_

x-y
2

x+y
2

=1_

-(-1)_

x-y
2

x+y
2

=

x-y
2

+

x+y
2

=

:ª2Ó:

=x

 x

















262   n이 홀수일 때, (-1)Ç` =-1이므로
(-1)Ç` (3x+2)-(-1)Ç` (3x-2)




 =(-1)_(3x+2)-(-1)_(3x-2)

 =-3x-2-(-3x+2)

 =-3x-2+3x-2=-4

5 문자와 식  |  27

=-10(-2x-6)+6

-

x+

-1

{

;6!;

;6%;}

=20x+60-x+5-1

=19x+64

 19x+64

n이 짝수일 때, (-1)Ç` =1이므로

(-1)Ç` (2x+5)-(-1)Ç` (2x-5)

 =1_(2x+5)-1_(2x-5)

 =2x+5-2x+5=10

 ∴ b=10

 a=-4, b=10



































263   A=

Ö

-

{

;8#;}





=

_

-

{

;3*;}

3x+9
4

3x+9
4

 =-2x-6

B=

x+1
2

-

2x-1
3

=

=

3(x+1)-2(2x-1)
6

3x+3-4x+2
6

=-

x+

;6!;

;6%;

 ∴ 2A-{5A-(6B-7A-1)}

=2A-(5A-6B+7A+1)

=2A-(12A-6B+1)

=2A-12A+6B-1

=-10A+6B-1

264   새로 만든 직사각형에서

(가로의 길이)=(x+2)_

1+

{

;1Á0¼0;}

=1.1x+2.2`(cm)

(세로의 길이)=(x+2)_

1-

{

;1ª0¼0;}


 ∴ (직사각형의 둘레의 길이)

=0.8x+1.6`(cm)

=2_{(1.1x+2.2)+(0.8x+1.6)} 

=2(1.9x+3.8)

=3.8x+7.6`(cm)

265   고추 모종을 심은 밭의 넓이는



x+11+

x-

[

x+11

_

}]

;3@;

{;3!;

;3!;

 =

x+11+

x-

x-11

_

{

;3!;

}

;3@;

 =

x+11+

x-11

_

}

;3@;

{;3@;

 =

x+11+

x-

;9$;

:ª3ª:

;3!;

;3!;

;3!;

;9&;

 =

x+

:Á3Á:

28  |  정답과 해설

 따라서 고추 모종을 심지 않은 밭의 넓이는



x-

x+

:Á3Á:}

=

x-

;9@;

:Á3Á:

{;9&;

 ∴ a=

, b=-

;9@;


:Á3Á:

 a=

, b=-

;9@;

:Á3Á:

 ③  아버지가 딴 사과의 개수는



266   수지가 딴 사과의 개수가 x개이므로
 ① 언니가 딴 사과의 개수는 (x+5)개

 ② 어머니가 딴 사과의 개수는 6x개

{(x+5)+6x}-3=7x+2 (개)

 ④ 할머니가 딴 사과의 개수는

 2(x+5)-1=2x+10-1=2x+9 (개)

 ⑤ 수지네 가족 5명이 딴 사과의 개수는

 x+(x+5)+6x+(7x+2)+(2x+9)=17x+16(개)

 17x+16에 x=3을 대입하면

 17x+16=17_3+16=67(개)

 따라서 옳은 것은 ③이다.

 ③

267   A 마트에서 음료수 4개를 한 묶음으로 사면 2개를 덤으로 주

므로 6개를 산 것과 같다.

즉 A 마트에서 음료수 30개를 사려면 음료수 4개를 한 묶음으로

B 마트에서 음료수 30개를 사려면 음료수 5개를 한 묶음으로 총

총 5묶음을 사면 되므로 그 가격은

(a_4)_5=20a (원)

6묶음을 사면 되므로 그 가격은

a_5_

1-

{

;1£0¼0;}]

[

_6=21a (원)

a>0이므로 20a<21a

 따라서 A 마트에서 사는 것이 더 저렴하다.

 A 마트 : 20a원, B 마트 : 21a원, A 마트

268   ⑴  구하는 겉넓이는 정육면체의 겉넓이와 n번 잘랐을 때 생긴

단면 2n개의 넓이를 더한 것이다.

 정육면체의 겉넓이가 6a이고, 단면 1개의 넓이가 a이므로

구하는 겉넓이는



6a+a_2n=6a+2an

 ⑵ 6a+2an에 a=1, n=100을 대입하면

6a+2an=6_1+2_1_100=206





























269   (-2x+5)-C=-3x+3이므로
C =(-2x+5)-(-3x+3)


=-2x+5+3x-3

=x+2



B =C-(-x+1)

=(x+2)-(-x+1)

=x+2+x-1

=2x+1













 (3.8x+7.6)`cm

따라서 한 모서리의 길이가 1인 정육면체를 100번 자를 때,

만들어지는 입체도형의 겉넓이는 206이다.

 ⑴ 6a+2an  ⑵ 206



A =(-3x+3)-B

=(-3x+3)-(2x+1)

=-3x+3-2x-1

=-5x+2

 ∴ A-B+C =(-5x+2)-(2x+1)+x+2

=-5x+2-2x-1+x+2

  

=-6x+3

 -6x+3

274   두 자연수 m= 6m
6

과 n= 6n
6



 는 분자가 6과 서로소인 분수이므로
,  6(m+1)+1
,  6m+5
6
6
,  6n-1
6

6m+1
6
6n-5
6



사이에 분모가 6인 기약분수

,  6(m+1)+5
6

, y,



즉 m과 m+1 사이에 분모가 6인 기약분수는 2개 있으므로 구하

는 기약분수의 개수는 2(n-m)개이다.

 2(n-m)개

STEP

3

고난도 문제

71쪽~72쪽

275   처음 사다리꼴의 넓이는

































_(a+b)_4=2(a+b)

;2!;

 새로 만든 사다리꼴에서

(윗변의 길이)=a_

1-

=0.9a

{

;1Á0¼0;}

(아랫변의 길이)=b_

1-

=0.9b

{

;1Á0¼0;}

(높이)=4_

1+

=4.4이므로

{

;1Á0¼0;}

 새로 만든 사다리꼴의 넓이는

270   a:b=3:2에서 2a=3b

 ∴ a=

b:c=3:2에서 2b=3c

 ∴ c=

b

;2#;

b

;3@;

 ∴ 3-

-

=3-aÖc-bÖa

;cA;

;aB;

=3-



b-bÖ

;2#;

;2#;

;3@;

;2£b;

=3-

b_

-b_

b

;2#;

;3ªb;

=3-

-

=


;1Á2;

;3@;

;4(;

271   (-1)짝수=1, (-1)홀수=-1이므로


(주어진 식) =-1+2-3+4-5+6-y-99+100

1

1

1

 

;1Á2;

;2!;

_(0.9a+0.9b)_4.4=1.98(a+b)

 따라서 새로 만든 사다리꼴의 넓이는 처음 사다리꼴의 넓이의

1.98(a+b)
2(a+b)

_100=99`(%)이므로 1`% 감소된 것이다.

 1`% 감소

 50

276   A, B 두 문제를 맞힌 학생 수를 각각 a명, b명이라 하자.

A, B 두 문제를 모두 맞힌 학생 수는

a명이므로

;5@;

A 문제는 맞고 B 문제는 틀린 학생 수는





1
=1_50

=50

272   Ú n이 홀수일 때




   이므로

 

(주어진 식)=

 Û n이 짝수일 때

 이므로









yÇ`=(-1)Ç`=-1, yn+1=(-1)n+1=1, yÛ`Ç`=(-1)Û`Ç`=1

-2_(-1)
-2

-

(-2Û

)_1

`
(-2)Û

+

(-2Ü

)_1

`
(-2)Ü

`

`

=-1+1+1=1

a-

a=

a(명)

;5@;

;5#;

 또 두 문제를 모두 맞힌 학생 수는

b명이므로

;4!;

yÇ`=(-1)Ç`=1, yn+1=(-1)n+1=-1, yÛ`Ç`=(-1)Û`Ç`=1

b=

a

∴  b=

;4!;

;5@;

a

;5*;

(주어진 식)=

-2_1
-2

-

(-2Û

)_(-1)
`
(-2)Û

+

(-2Ü

)_1

`
(-2)Ü

`

`

=1-1+1=1

 따라서 주어진 식의 값은 1이다.

 1

273   a+b+c=0에서 a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b

 ∴

2abc
(a+b)(b+c)

+

abc
(b+c)(c+a)

+

abc
(c+a)(a+b)

 =

2abc
(-c)_(-a)

+

abc
(-a)_(-b)

+

abc
(-b)_(-c)

 =2b+c+a

 =b+(a+b+c)

 =b

0

 이때 B 문제는 맞고 A 문제는 틀린 학생 수는

a-

a=

a(명)

;5@;

;5^;

;5*;

A, B 두 문제를 모두 틀린 학생은 전체의 23`%이므로 적어도 한

 문제를 맞힌 학생 수

a+

a+

a=

a(명)은 전체의 77`%

;5@;

;5#;

;5^;

:Á5Á:

 따라서

a명은 7`%이므로 A 문제는 맞고 B 문제는 틀린 학생

 이다.

;5!;

 은 전체의

;5#;

;5^;

a=3_7=21 (%)

B 문제는 맞고 A 문제는 틀린 학생은 전체의

 ④

a=6_7=42 (%)

5 문자와 식  |  29

































 ∴ ( A 문제의 오답률)=42+23=65`(%)

( B 문제의 오답률)=21+23=44`(%)

 A 문제 : 65`%, B 문제 : 44`%

6

일차방정식의 풀이

277   가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 a, 두 번째로 작은 정사
각형의 한 변의 길이를 b라 하면 각 정사각형의 한 변의 길이는 다

STEP

1

실력 문제 

75쪽~78쪽

음 그림과 같다.





 















3a+2b

5a+3b

4a+4b

2a+b

b

a+b

a

8a+4b

4a+5b

 이때 직사각형의 가로의 길이는

(8a+4b)+(4a+5b)=12a+9b

 직사각형의 세로의 길이는

(5a+3b)+(8a+4b)=13a+7b

 그런데 직사각형의 세로의 길이에서

(5a+3b)+(8a+4b)=(4a+4b)+(4a+5b)

yy ㉠

yy ㉡

 ㉢을 ㉠에 대입하면

12a+9b=12_

b+9b=

 ㉢을 ㉡에 대입하면

13a+7b=13_

b+7b=

;5@;

;5@;

b

:¤5»:

b

:¤5Á:

 ∴ (가로의 길이) : (세로의 길이)=

b :

b

:¤5Á:

:¤5»:

=69 : 61

 69 : 61

13a+7b=8a+9b, 5a=2b

∴  a=

yy ㉢

b

;5@;

  (우변)=3x+4에서

278   x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식은 방

정식이다.

 ①, ③, ⑤ 항등식

 ②, ④ 방정식

 따라서 옳은 것은 ②, ④이다.

 ②, ④

279 

㉠ (좌변)=5x-2x=3x, (우변)=3x에서

 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

 ㉡ (좌변)+(우변)이므로 항등식이 아니다.

㉢ (좌변)=2(x+1)-2=2x+2-2=2x, (우변)=2x에서

 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

 ㉣ (좌변)+(우변)이므로 항등식이 아니다.

㉤ (좌변)=3x-1, (우변)=3(x-1)=3x-3에서

 (좌변)+(우변)이므로 항등식이 아니다.

㉥ (좌변)=4(x+1)-x=4x+4-x=3x+4,

(좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

 따라서 x의 값에 관계없이 항상 참이 되는 것은 ㉠, ㉢, ㉥이다.

 ㉠, ㉢, ㉥

280   a(x+2)-b=3x에서 ax+2a-b=3x
 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a=3, 2a-b=0

2a-b=0에 a=3을 대입하면

6-b=0

 ∴ b=6

 ∴ ab=3_6=18

 18

281   ① -10x=4y의 양변을 -2로 나누면 5x=-2y
 ② 5x=-2y의 우변을 좌변으로 이항하면 5x+2y=0

 ③ -10x=4y의 양변에 3을 더하면 3-10x=3+4y

 ④ -10x=4y의 양변을 -10으로 나누면 x=-

y

;5@;

 양변에 2를 더하면

 x+2=-

y+2, 즉 x+2=-

;5@;

2y-10
5

 ⑤ 5x=-2y의 양변에 5를 더하면

 5x+5=-2y+5, 즉 5(x+1)=-2y+5

 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

 ④





















282   ① 

;3A;

;2B;

=-

의 양변에 6을 곱하면 2a=-3b

 ② a=1, b=-1, c=0이면 ac=bc이지만 a+b이다.

 ③ 6a+6=3b+6의 양변에서 6을 빼면 6a=3b



 양변을 3으로 나누면 2a=b

30  |  정답과 해설

 ④ 2a=b의 양변을 2c로 나누면

=

;cA;

;2õc;

 ⑤ a-4=b-2의 양변에 2를 더하면 a-2=b

 따라서 옳은 것은 ④이다.

 ④

283   ㉠ -3x-1=0이므로 일차방정식이다.
 ㉡ 일차식

 ㉣, ㉤ 0´x=0이므로 일차방정식이 아니다.

 ㉥ -x+2=0이므로 일차방정식이다.

 ㉦ 분모에 x가 있으므로 다항식이 아니다.

 ㉧ x=0이므로 일차방정식이다.

 따라서 일차방정식이 아닌 것은 ㉡, ㉣, ㉤, ㉦이다.

284   3x+4=a(x-1)에서 3x+4=ax-a
 이때 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하면 (3-a)x+4+a=0

이므로 이 등식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 3-a+0이어야

한다.

 ∴ a+3

285   3(1-x)=-4(x-2)에서
∴  x=5


3-3x=-4x+8

① 3(x+1)=2(2x-1)에서

 3x+3=4x-2, -x=-5  ∴ x=5

② 4x=2(x+3)+4에서

 4x=2x+6+4, 2x=10  ∴ x=5

③ 2(x+3)=5(6-x)+4x에서

 2x+6=30-5x+4x, 3x=24  ∴ x=8

 ④ -2x+14=4에서 -2x=-10  ∴ x=5

⑤ 5(x+2)-3=3x+17에서

 5x+10-3=3x+17, 2x=10  ∴ x=5









 따라서 해가 다른 하나는 ③이다.

 ③

286   0.2x-1=

(x+3)-2에서

;2!;

x-1=

(x+3)-2

;5!;

;2!;

 양변에 10을 곱하면

2x-10=5(x+3)-20

2x-10=5x+15-20

 -3x=5

∴  x=-

, 즉 a=-

;3%;

;3%;

1.2(2x-0.5)=5-3.2x의 양변에 10을 곱하면

12(2x-0.5)=50-32x

24x-6=50-32x

56x=56

∴  x=1, 즉 b=1















































287 

x+1
3

-

2x+1
4

;4#;

=

의 양변에 12를 곱하면

4(x+1)-3(2x+1)=9

4x+4-6x-3=9, -2x=8



 ∴ x=-4, 즉 a=-4

 ∴ |-2a|-|a+1| =|-2_(-4)|-|(-4)+1|

=|8|-|-3|

=8-3=5

 5

288   (x-3):4=(2x-1):3에서


3(x-3)=4(2x-1)



3x-9=8x-4, -5x=5



 ㉡, ㉣, ㉤, ㉦

 ∴ x=-1, 즉 a=-1

 ∴ aÛ`+2a =(-1)Û`+2_(-1)

=1+(-2)=-1

 -1

289   (x-3, x-1)=x-1, [3x+1, 3x-3]=3x-3,


(1, 5)=5이므로

 a+3

(x-3, x-1)-[3x+1, 3x-3]=(1, 5)에서

x-1-(3x-3)=5

x-1-3x+3=5











 -2x=3

∴  x=-


;2#;

 -

;2#;

290   3△x=3x+3+x=4x+3이므로


(3△x)△5 =(4x+3)△5

=(4x+3)_5+(4x+3)+5

=24x+23

 따라서 24x+23=-1이므로

24x=-24

∴  x=-1

 -1

291   3(x+a)-(x-a)=7에 x=

을 대입하면

;2#;

3

+a

-

}

{;2#;

{;2#;

-a

=7

}

+3a-

+a=7, 4a=4

∴  a=1

;2(;

;2#;

 1

x+a
2

-1+a
2

292   3x+1=

에 x=-1을 대입하면

 -3+1=

, -2=

-1+a
2

 -4=-1+a

∴  a=-3

2x-b=5(x-2b)-6에 x=-1을 대입하면

 -2-b=5(-1-2b)-6

 -2-b=-5-10b-6

9b=-9

∴  b=-1

6 일차방정식의 풀이  |  31

 ∴ a+b=-

+1=-

;3%;


;3@;

 -

;3@;

 ∴ a-b=-3-(-1)=-2

 -2



























 Ú 12-a=3일 때, a=9

 Û 12-a=6일 때, a=6

 Ü 12-a=9일 때, a=3

 따라서 이를 만족하는 자연수 a의 값은 3, 6, 9의 3개이다.

 3개

 x=2

300   x-

;3!;

(x+2a)=-2의 양변에 3을 곱하면

3x-(x+2a)=-6, 3x-x-2a=-6

2x=2a-6

 ∴ x=a-3

이때 해가 3 미만의 자연수이므로 a-3은 1, 2이어야 한다.

 Ú a-3=1

 ∴ a=4

 Û a-3=2

 ∴ a=5

 따라서 a=2이므로 0.5x+2=0.8x+1.4의 양변에 10을 곱하면

293   2x-(3-2x)=

(8x-1)의 양변에 3을 곱하면

;3!;

6x-3(3-2x)=8x-1

6x-9+6x=8x-1

4x=8

∴  x=2

5x+20=8x+14

 -3x=-6

∴  x=2

294   0.4(x+1)=0.6x의 양변에 10을 곱하면


4(x+1)=6x, 4x+4=6x

 -2x=-4

 ∴ x=2

7-a(x+1)=5x-1에 x=2를 대입하면

(4-a)x=1-3ax에서 (4-a+3a)x=1

295 
 즉 (4+2a)x=1을 만족하는 x의 값이 존재하지 않으므로

4+2a=0, 2a=-4

 ∴ a=-2

 -2

7-3a=10-1, -3a=2

 ∴ a=-


;3@;

 -

;3@;

 따라서 이를 만족하는 자연수 a의 값은 4, 5이다.

 4, 5

296   (5-a)x+2=b에서 (5-a)x=b-2
 해가 무수히 많으려면 5-a=0, b-2=0이어야 하므로

STEP

2

심화 문제

79쪽~84쪽

a=5, b=2

 ∴ ab=5_2=10

297   ax-2=3x+b에서 (a-3)x=b+2
 ① a+3, b+-2이면 x= b+2
a-3

 ② a+3, b=-2이면 x=0

 ③, ⑤ a=3, b=-2이면 해가 무수히 많다.

 ④ a=3, b+-2이면 해가 없다.

 따라서 옳은 것은 ⑤이다.

298   0.2x-1.5=1.2x-3의 양변에 10을 곱하면

2x-15=12x-30, -10x=-15

 ∴ x=

;2#;

x+1
3

;4{;

=

-a의 양변에 12를 곱하면

4(x+1)=3x-12a, 4x+4=3x-12a

 ∴ x=-12a-4

 이때 두 일차방정식의 해의 비가 3:1이므로

:(-12a-4)=3:1,

=-36a-12

;2#;

;2#;

36a=-


:ª2¦:

 ∴ a=-


;8#;

299   3(4-x)=a에서 12-3x=a
12-a
3

 -3x=a-12

 ∴ x=

301   주어진 등식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하려면 x에 대한

 10

항등식이어야 한다.
3x+1
4

-2=

;4#;

x+

-

=

;4*;

;4#;

;4!;

x-

;4&;

 이때

x-

=ax+b이므로 a=

, b=-

;4#;

;4&;

;4#;

;4&;

 ∴ a+b=

+

=-1

;4#;

{-;4&;}

 -1

302   (a-1)x-

=

;2!;

x-5
2

-b에서

 ⑤

(a-1)x-

=

x-

-b

;2!;

;2!;

;2%;

 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a-1=

, -

=-

-b

 ∴ a=

, b=-2

;2!;

;2!;

;2%;

;2#;

 ∴ 2a-b=2_

-(-2)=5

;2#;

 5

303   ① 

=-

의 양변에 -6을 곱하면

;2A;

;3B;

 -3a=2b

 ② a=4b의 양변에서 2를 빼면

 -

;8#;

 a-2=4b-2, a-2=2(2b-1)

 ③ 2a-1=-b+2의 양변을 4로 나누면

-

 

;2A;

;4!;

=-

+

;4B;

;2!;

 양변에

을 더하면

;4!;

 

;2A;

=-

+

;4B;

;4#;



이때 해가 자연수이므로 12-a는 12보다 작은 3의 배수, 즉 3, 6,

         

9이어야 한다.

32  |  정답과 해설



























































 ④ -3ac+1=-3bc+1의 양변에서 1을 빼면

 -3ac=-3bc

 양변을 -3으로 나누면 ac=bc

 이때 c+0이어야 a=b가 성립한다.

  a=1, b=2, c=0인 경우 ac=bc이지만 a+b이다.

 ⑤ 

+2=

-1의 양변에 6을 곱하면

aÛ`
2

bÛ`
3

 3aÛ`+12=2bÛ`-6

309   (x-3):6=

:1에서

3x-1
3

x-3=6_

, x-3=2(3x-1)

3x-1
3

x-3=6x-2, -5x=1

 ∴ x=-

, 즉 a=-

;5!;

;5!;

;1Á0;

0.3x-

(x+1)=x-0.9의 양변에 10을 곱하면

3x-x-1=10x-9, -8x=-8



 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

 ④

3x-(x+1)=10x-9

304   2a+4=2(b+1)의 양변을 2로 나누면

 ∴ x=1, 즉 b=1

2a+4
2

=

2(b+1)
2

, a+2=b+1

 양변에서 1을 빼면

a+2-1=b+1-1

∴  a+1=b

 따라서 ☐ 안에 알맞은 식은 b이다.

 ②

 ∴ ab=

-

_1=-

{

;5!;}


;5!;

 -

;5!;

310   -1<x<1이므로 x-1<0이고, x+1>0이다.


3x+|x-1|+|x+1|=4에서

305   ㈎에서 a+2b=2a+c (④)
 ㈏에서 3a+c=3b (③)

 ① 3a+c=3b에서 c=3b-3a이므로

 a+2b=2a+3b-3a

 -b=-2a

∴  b=2a

 ② a+2b=2a+c의 양변에서 a를 빼면

 a+2b-a=2a+c-a

∴  2b=a+c

3x-(x-1)+(x+1)=4

3x-x+1+x+1=4

3x=2

∴  x=


;3@;

5
5x|


|

  3 
 3x+2 

|

7
2x-7|

=3(2x-7)-7(3x+2)

=6x-21-21x-14

=-15x-35

 x=

;3@;

 a+2b=2a+c에 c=3b-3a를 대입하면

311 

=2_5x-5_1=10x-5

 ⑤ b=2a이고, 2b=a+c에서 c=2b-a이므로

 이므로 10x-5=-15x-35

 b+c=2a+2b-a

∴  b+c=a+2b

 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

 ⑤

25x=-30

∴  x=-


;5^;

 -

;5^;

306   axÛ`+2x-ax-1=bx+5에서
axÛ`+(2-a-b)x-6=0


 이 방정식이 x에 대한 일차방정식이 되려면



a=0, 2-a-b+0이어야 한다.

 ∴ a=0, b+2

312   (3x, 2)★(x, 1)=3x_1-2_x=3x-2x=x,


(2, 3)◎(2x, 1)=2_2x-3_1=4x-3이므로

x=4x-3, -3x=-3

∴  x=1

 1

313   x-24=16x+21에서
 -15x=45

∴  x=-3

 ⑤

3(x-0.7)-a=5.7x에 x=-3을 대입하면

307   우변의 상수항 2를 a로 잘못 보았다고 하면


3(2x+5)+7=a-4x의 해가 x=-1이므로 이 방정식에

 -11.1-a=-17.1



 양변에 10을 곱하면

x=-1을 대입하면



9+7=a+4

∴  a=12

 -111-10a=-171

 -10a=-60

∴  a=6

 따라서 우변의 상수항 2를 12로 잘못 보았다.

 12

(1-x)-

x=b에 x=-3을 대입하면

;4#;

;3@;

3+2=b

∴  b=5

 ∴ ab=6_5=30

 30

308 

=

=

;4};

;5Z;

;3{;

=t (t+0)라 하면

x=3t, y=4t, z=5t

2x-3y+4z=70에 x=3t, y=4t, z=5t를 대입하면

6t-12t+20t=70

14t=70

∴  t=5

 따라서 x=15, y=20, z=25이므로

x-y+z=15-20+25=20

 20

314   x-a=2x-3에 x=-1을 대입하면
 -1-a=-2-3

∴  a=4

=a에 a=4를 대입하면

x-a
2
x-4
2

-

-

5-x
5
5-x
5

=4

6 일차방정식의 풀이  |  33











































































320   8+3(x-2)=14에서 8+3x-6=14


∴  x=4

3x=12

 x=10

 이때 -4x+5=3x+a의 해는 x=4_

=2이므로

;2!;

 -4x+5=3x+a에 x=2를 대입하면

 -8+5=6+a

∴  a=-9

 -9

321   5-x=

의 양변에 3을 곱하면

x-1
3

15-3x=x-1, -4x=-16
x+a
4

=2(x-2a)+

;4(;

∴  x=4

의 양변에 4를 곱하면

x+a=8(x-2a)+9, x+a=8x-16a+9

 2

의 양변에 6을 곱하면

 -7x=-17a+9

∴  x=

17a-9
7

 양변에 10을 곱하면

5(x-4)-2(5-x)=40

5x-20-10+2x=40

7x=70

∴  x=10

315   (2x-3):1=(3+2x):3에서


3(2x-3)=3+2x, 6x-9=3+2x

∴  x=3

4x=12
3-x
4

=a-

x에 x=3을 대입하면

;3@;

0=a-2

∴  a=2

316 

-

x+1
3

ax+3
2
2(x+1)-3(ax+3)=6x+7

=x+

;6&;

2x+2-3ax-9=6x+7

 -4x-3ax=14, (-4-3a)x=14

 이때 두 일차방정식의 해의 비가 2:3이므로

4:

17a-9
7

=2:3, 12=

34a-18
7

34a-18=84, 34a=102



 ∴ a=3

 3

322   x+4=

;3!;

(x+2a)의 양변에 3을 곱하면

3x+12=x+2a, 2x=2a-12



 ∴ x=a-6

이때 해가 음의 정수, 즉 -1, -2, -3, -4, -5이므로 이를 만

족하는 자연수 a의 값은 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.

 5개

참고   x=-1일 때, -1=a-6 

 ∴  a=5

 이 방정식의 해가 없으려면 x의 계수가 0이어야 하므로

 -4-3a=0

∴  a=-


;3$;

 -

;3$;

317   px+3>px-4이므로 (px+3)ç(px-4)=px+3


(px+3)ç(px-4)=2x+q에서

 이 방정식을 만족하는 x의 값이 없으므로

px+3=2x+q

(p-2)x=q-3

p-2=0, q-3+0

 ∴ p=2, q+3

318   ax-8=(5-b)x-4b의 해가 무수히 많으므로


(a+b-5)x=-4b+8에서

a+b-5=0, -4b+8=0

 ∴ a=3, b=2

 따라서 3x-

x+2
3
9x-(x+2)=6, 9x-x-2=6

=2의 양변에 3을 곱하면

 p=2, q+3

x=-2일 때, -2=a-6 

 ∴  a=4

x=-3일 때, -3=a-6 

 ∴  a=3

x=-4일 때, -4=a-6 

 ∴  a=2

x=-5일 때, -5=a-6 

 ∴  a=1

323   6x-(x+5a)=-2에서


6x-x-5a=-2

5x=5a-2

∴  x=

5a-2
5

5a-2
5

 의 값은 1, 2이다.

8x=8

∴  x=1

 x=1

가 2보다 작은 기약분수이므로 이를 만족하는 자연수 a

319 

ax+4
7

=

-2x+b
3

의 양변에 21을 곱하면

3(ax+4)=7(-2x+b)

3ax+12=-14x+7b

(3a+14)x=7b-12

이 방정식의 해가 2개 이상일 조건, 즉 해가 무수히 많기 위한 조

건은 3a+14=0, 7b-12=0이므로

a=-

, b=

:Á3¢:

:Á7ª:

 ∴ ab=

-

_

=-8

{

:Á3¢:}

:Á7ª:

34  |  정답과 해설

 따라서 구하는 자연수 a의 값의 합은 1+2=3

 3

324   -2(x+1)=

의 양변에 3을 곱하면

a-3
3

 -6(x+1)=a-3, -6x-6=a-3

 -6x=a+3

∴  x=

-a-3
6



x=

이 자연수가 되려면 -a-3이 6의 배수이어야 하므

-a-3
6

 -8

 로 a=-9, -15, -21, y이다.

 따라서 a의 최댓값은 -9이다.

 -9















 

 

 

 

 





STEP

3

고난도 문제

85쪽~86쪽

328   ax

+

{;b!;

;c!;}

+bx

+

{;c!;

;a!;}

+cx

+

{;a!;

;b!;}

=15에서

  











 



























 



325 

1-ax
2

-

x-3


=1의 양변에 6을 곱하면

3(1-ax)-2(x-3)=6

3-3ax-2x+6=6

 -3ax-2x=-3

(3a+2)x=3

 Ú 3a+2+0, 즉 a+-

일 때,

 x=

3
3a+2

 Û 3a+2=0, 즉 a=-

일 때,

;3@;

;3@;

 해가 없다.

 a+-

일 때, x=

3
3a+2

;3@;

;3@;

a=-

일 때, 해가 없다.

326   Ú x-1¾0, 즉 x¾1일 때,


 x-1+2x=5, 3x=6





 ∴ x=2

 Û x-1<0, 즉 x<1일 때,

 -(x-1)+2x=5, -x+1+2x=5

 ∴ x=4

 그런데 x<1을 만족하지 않으므로 해가 될 수 없다.

 Ú, Û에 의하여 주어진 방정식의 해는 x=2

 따라서 a=2이므로

aÝ`+aÛ`+1 =2Ý`+2Û`+1

=16+4+1=21

 21

327   1-

1

1+

;[!;

=1-

x
x+1

=

1
x+1
x
x-1

=1-

=

1
x+1
1123x
x+1-x
x+1
1
x-1
1123x
x-1-x
x-1

=

=-

1
x-1

1-

=1-

=1-

1

1-

;[!;

 이므로 주어진 방정식

x-

1

=

2

에서

 
1-
 

1
111
1-
;[!;

 
1-
 

1
111
1+
;[!;

=

1
1
x+1
1123

2

1
 
-
  x-1
112

x-

x-(x+1)=-2(x-1)

x-x-1=-2x+2

2x=3

 ∴ x=


;2#;



























x+

x+

x+

x+

x+

x=15

;cA;

;cB;

;aB;

;aC;

;bC;

;bA;

b+c

a }

{

x+

{

a+c
b

x+

{

}

a+b
c

}

x=15

 이때 a+b+c=0이므로

b+c=-a, a+c=-b, a+b=-c

 따라서 b+c=-a, a+c=-b, a+b=-c를 ㉠에 대입하면

 -x-x-x=15, -3x=15

 ∴ x=-5

yy ㉠

 x=-5

329   a : b : c=3 : 2 : 1이므로
a=3t, b=2t, c=t (t+0)


 m=

a+b-c   
=
a-b+c

3t+2t-t   
=
3t-2t+t

4t   
2t

=2

n=

ab-bc-ca  
aÛ`-bÛ`-cÛ`

=

6tÛ`-2tÛ`-3tÛ`
9tÛ`-4tÛ`-tÛ`

=

tÛ`  
4tÛ`

=

;4!;

 이때 3m+x=8n에 m=2, n=

을 대입하면

;4!;

6+x=2

 ∴ x=-4

 -4

330   S(a)는 자연수 a의 소인수들의 합이므로


S(24)=S(2Ü`_3)=2+3=5

S(42)=S(2_3_7)=2+3+7=12

S(63)=S(3Û`_7)=3+7=10

S(36)=S(2Û`_3Û`)=2+3=5

 따라서 주어진 방정식은

x-1
5-12 

=

x+1
10-5

, -

x-1


=

x+1


 양변에 35를 곱하면

 -5(x-1)=7(x+1), -5x+5=7x+7

 -12x=2

 ∴ x=-


;6!;

 x=-

;6!;

331   4a-2b=6a+2b에서
 -2a=4b

 ∴ a=-2b

에 a=-2b를 대입하면

3a-b  
a+b
3a-b 
a+b 
따라서 일차방정식 3+m(x-2)=-1+2x의 해가 x=7이므

-6b-b  
-2b+b

-7b 
-b

=7

=

=



3+5m=13, 5m=10

 x=

;2#;

 ∴ m=2

 2

6 일차방정식의 풀이  |  35

-
-
-
332   k△

-


{

;2!;}

[{

x△

;5!;}]

 =k△

-



x-

[{

;2!;}

{;5@;

;5!;}]

















 =k△
[

2_

-

{

;2!;}

_

{;5@;

x-

;5!;}

-

{;5@;

x-

;5!;}]

 =k△
{

-

;5$;

x+

;5@;}

 =2k

-

x+

-

-

{

;5$;

;5@;}

x+

;5@;}

;5$;

{

 =

-

k+

{

;5*;

;5$;}

x+

k-

;5$;

;5@;

-

{

;5*;

k+

;5$;}

x+

;5$;

k-

;5@;

=3의 양변에 5를 곱하면

(-8k+4)x+4k-2=15

(-8k+4)x=-4k+17

 이 식을 만족하는 x의 값이 존재하지 않으므로

 -8k+4=0, -4k+17+0

 ∴ k=


;2!;

7

일차방정식의 활용

STEP

1

실력 문제

89쪽~93쪽

333   어떤 수를 x라 하면


3(x+8)=5x+6, 3x+24=5x+6

 -2x=-18

 ∴ x=9

 9

334   연속한 세 짝수를 x-2, x, x+2라 하면


(x-2)+x+(x+2)=114

3x=114

 ∴ x=38

따라서 연속한 세 짝수는 36, 38, 40이고 세 수 중 가장 작은 수와

 

;2!;

가장 큰 수의 합은

36+40=76

 76

























335   처음 자연수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자

는 9-x이다.

 이때 처음 수는 10x+(9-x), 자리를 바꾼 수는

10(9-x)+x이므로

10(9-x)+x=10x+(9-x)-27

90-9x=9x-18

 -18x=-108

 ∴ x=6

따라서 처음 자연수의 십의 자리의 숫자는 6, 일의 자리의 숫자는

9-6=3이므로 처음 자연수는 63이다.

 63

336   큰 스님의 수를 x명이라 하면 작은 스님의 수는 (100-x)명이

므로

3x+

(100-x)=100

;3!;

9x+100-x=300, 8x=200

 ∴ x=25

 따라서 큰 스님은 25명, 작은 스님은 100-25=75(명)이다.

 큰 스님:25명, 작은 스님:75명

337 

12 m

2 m

(8-x) m

x m

8 m

14 m

위의 그림과 같이 직선 도로를 가장자리로 이동시키면 직선 도로

를 제외한 땅은 가로의 길이가 12`m, 세로의 길이가 (8-x)`m

인 직사각형 모양이므로

12_(8-x)=60, 96-12x=60

 -12x=-36

 ∴ x=3

 3

36  |  정답과 해설





































다른 풀이  두 직선 도로가 겹치는 부분인 가운데 직사각형은 직선

343   원가
 원가

정가
정가

판매 가격
판매 가격

도로의 넓이를 구할 때 2번 더해지므로 한 번 빼주어야 한다.

(전체 넓이)-(직선 도로의 넓이)=60`(mÛ`)이므로

8000원


8000_
                        25`%의 이익                                        x`%를 할인

;1ª0°0;}

1+







{

10000_

1-

{

;10{0;}



(판매 가격)-(원가)=(이익금)에서

10000_

1-

{

;10{0;}

-8000=2000-100x(원)

yy㉠

 원가의 20`%의 이익금은

8000_

=1600(원)

;1ª0¼0;

 ㉠=㉡이므로

2000-100x=1600

yy㉡

14_8-(2_8+14_x-2_x)=60

112-(16+12x)=60, 96-12x=60

 -12x=-36

 ∴ x=3

338   선분 PC의 길이를 x`cm라 하면

_(x+6)_8=40

;2!;

4x+24=40, 4x=16

 ∴ x=4

이때 점 P가 움직인 거리는 8+4=12`(cm)이고 매초 4`cm씩

움직이므로 사다리꼴 ABCP의 넓이가 40`cmÛ`가 되는 것은



12Ö4=3(초) 후이다.

 -100x=-400

 ∴ x=4

 4

 3초

344   갈 때의 거리를 x`km라 하면 올 때의 거리는 (x+20)`km이
고 (가는 데 걸린 시간)+(오는 데 걸린 시간)=5(시간)이므로

339   학생 수를 x명이라 하면
 공책의 수는 (7x-9)권 또는 (6x+7)권이므로



7x-9=6x+7

 ∴ x=16

+

;8Ó0;

x+20
60

=5

3x+4(x+20)=1200, 7x+80=1200

7x=1120

 ∴ x=160

 따라서 공책의 수는 7_16-9=103(권)이다.

 103권

 따라서 갈 때의 거리는 160`km, 올 때의 거리는

 4_21+5=89(명)

 ⑴ 21개  ⑵ 89명

3x-2x=27

 ∴ x=27

340   ⑴ 의자의 개수를 x개라 하면




 학생 수는 (4x+5)명 또는 {5(x-4)+4}명이므로

 4x+5=5(x-4)+4

 4x+5=5x-16, -x=-21

 ∴ x=21

 따라서 의자의 개수는 21개이다.

 ⑵ 의자의 개수가 21개이므로 학생 수는







341   원가를 x원이라 하면 정가는 x_(1+0.5)=1.5x(원)


이때 정가의 3할을 할인하여 팔았더니 1500원의 이익이 생겼으

므로 (판매 가격)-(원가)=(이익금)에서

1.5x_(1-0.3)-x=1500

1.05x-x=1500, 0.05x=1500

5x=150000

 ∴ x=30000

 따라서 정가는 1.5_30000=45000(원)이다.

 45000원

342   원가를 x원이라 하면
 원가에 30`%의 이익을 붙이고 500원을 할인한 금액은

x_

1+

{

;1£0¼0;}

-500=1.3x-500(원)

 원가에 10`%의 이익을 붙인 금액은

x_

1+

{

;1Á0¼0;}

=1.1x(원)

 이때 두 금액이 같으므로

1.3x-500=1.1x

13x-5000=11x, 2x=5000



 ∴ x=2500

160+20=180`(km)이므로 집으로 오는 데 걸린 시간은

=3(시간)이다.

:Á6¥0¼:

 3시간

345   집에서 방송국까지의 거리를 x`km라 하면


(다정이가 걸린 시간)-(행복이가 걸린 시간)=18(분)이므로

-

;3Ó0;

;4Ó5;

=

;1£0;

 따라서 집에서 방송국까지의 거리는 27`km이다.

 27`km

346   집에서 학교까지의 거리를 x`km라 하면


(재인이가 걸린 시간)=(지은이가 걸린 시간)+5(분)이므로

+

=

+

;3{;

;6°0;

;6@0);

;8{;

+

=

;3!;

;3{;

;8{;

+

;1Á2;

, 3x+8=8x+2

 -5x=-6

 ∴ x=

;5^;

 

따라서 집에서 학교까지의 거리는

`km이다.

;5^;

 ;5^;

`km

347   동생이 출발한 지 x시간 후에 형과 만난다고 하면 형은 출발한

 지
{

x+

;6!;}

시간 후에 동생과 만난다.

 이때 (동생이 간 거리)=(형이 간 거리)이므로

9x=4

x+

, 9x=4x+

{

;6!;}

;3@;

5x=


;3@;

 ∴ x=

;1ª5;

 따라서 컵의 원가는 2500원이다.

 2500원

 만난다.

 8분

 따라서 동생은 출발한 지

시간, 즉

_60=8(분) 후에 형과

;1ª5;

;1ª5;

7 일차방정식의 활용  |  37



































































다고 하자.

므로

 후이다.

므로

348   민재와 윤서가 동시에 출발한 지 x분 후에 처음으로 다시 만난

11x+5600-7x=6400

4x=800

∴  x=200

⑴  (민재가 간 거리)+(윤서가 간 거리)=(호수의 둘레의 길이)이

 따라서 11`%의 소금물을 200`g 섞어야 한다.

 200`g

  50x+30x=2000, 80x=2000

∴  x=25

 따라서 두 사람이 처음으로 다시 만나는 것은 출발한 지 25분

353   작년의 남학생 수를 x명이라 하면 작년의 여학생 수는


(650-x)명이므로

⑵  (민재가 간 거리)-(윤서가 간 거리)=(호수의 둘레의 길이)이

x_

1-

{

;10#0;}

+(650-x)_

1+

=643

{

;10@0;}

  50x-30x=2000, 20x=2000

∴  x=100

 따라서 두 사람이 처음으로 다시 만나는 것은 출발한 지

 100분 후이다.

 ⑴ 25분  ⑵ 100분

x+

;1»0¦0;

;1!0)0@;

(650-x)=643

97x+102(650-x)=64300

97x+66300-102x=64300

 -5x=-2000

∴  x=400

349   이 열차가 길이가 500`m인 터널을 완전히 통과하려면


(500+a)`m를 달려야 하고, 길이가 1200`m인 철교를 완전히

통과하려면 (1200+a)`m를 달려야 한다.

(터널을 통과할 때의 속력)=(철교를 통과할 때의 속력)이므로

500+a
20

=

1200+a
40

2(500+a)=1200+a

1000+2a=1200+a

∴  a=200

 이때 열차의 속력은 초속

=35`(m)이므로

500+200
20

=

:¦2¼0¼:

b=35

 ∴

a-b=

_200-35

;5@;

;5@;

=80-35=45

 45

350   x`g의 물을 더 넣는다고 하면 소금의 양은 변하지 않으므로

_460=

_(460+x)

;1Á0°0;

;1Á0¼0;

6900=4600+10x

 -10x=-2300

∴  x=230

 따라서 230`g의 물을 더 넣어야 한다.

 230`g

;10^0;

_500+x=

_(500+x)

;1Á0¼0;

3000+100x=5000+10x

90x=2000

∴  x=

;:@9):);

 따라서 더 넣은 소금의 양은

`g이다.

;:@9):);

 ①

352   11`%의 소금물을 x`g 섞는다고 하면 7`%의 소금물의 양은


(800-x)`g이므로

_x+

_(800-x)=

_800

;1Á0Á0;

;10&0;

;10*0;

  

38  |  정답과 해설

 따라서 올해의 남학생 수는 400_

=388(명),

;1»0¦0;

 올해의 여학생 수는 643-388=255(명)이다.

 올해의 남학생 수 : 388명, 올해의 여학생 수 : 255명

354   작년에 가입한 남학생 수를 x명이라 하면 작년에 가입한 여학

생 수는 (160-x)명이므로

x_

1+

{

;1£0¼0;}

+(160-x)_

1-

=160+12

{

;1Á0¼0;}

x+

;1!0#0);

;1»0¼0;

(160-x)=172



130x+14400-90x=17200

40x=2800

 ∴ x=70

따라서 작년에 가입한 남학생 수가 70명이므로 올해에 가입한 남

 학생 수는 70_

=91(명)

;1!0#0);

 91명

355   전체 일의 양을 1이라 하면 A, B가 하루에 할 수 있는 일의 양

 은 각각

,

;1Á2;

;2Á0;

이다.

 이때 A와 B가 함께 일한 날을 x일이라 하면

_4+

x+

x=1,

+

;3!;

;1Á2;

;2Á0;

;1Á2;

x+

;2Á0;

x=1

;1Á2;

20+5x+3x=60, 8x=40

∴  x=5

356   빈 물통을 가득 채울 때의 물의 양을 1이라 하면 두 수도관 A,

B로 1분에 채울 수 있는 물의 양은 각각

,

이다.

;1Á0;

;1Á5;

이때 수도관 A로 물을 넣은 시간을 x분이라 하면 수도관 B로 물

을 넣은 시간은 (x+10)분이므로

x+

(x+10)=1

;1Á0;

;1Á5;

3x+2(x+10)=30, 5x=10

∴  x=2

따라서 수도관 A로 물을 넣은 시간은 2분, 수도관 B로 물을 넣은

시간은 2+10=12(분)이다.

 A : 2분, B : 12분

351   더 넣은 소금의 양을 x`g이라 하면 10`%의 소금물의 양은


(500+x)`g이므로

 따라서 A와 B가 함께 일한 날은 5일이다.

 5일







































;3!;

;3!;





































357   범기가 유럽 여행을 x일 동안 다녀왔다고 하면

STEP

2

심화 문제

94쪽~99쪽

 따라서 범기는 30일 동안 유럽 여행을 다녀왔다.

 30일

 따라서 ☐ 안에 들어갈 수는 13이다.

 13

x+

x+3+

x+8=x

;1Á0;

;3!;

;5!;

3x+10x+90+6x+240=30x

 -11x=-330

 ∴ x=30

358   승우가 처음 가지고 있던 돈을 x원이라 하면

x+1000+

x-

x-1000

+950=x

;4#;{

;3!;

}

x+1000+

x-750+950=x

;2!;

 -

x=-1200

 ∴ x=7200

;6!;

 따라서 승우가 처음 가지고 있던 돈은 7200원이다.   7200원

361   정호가 생각한 수를 x라 하면


3(2x-5)+8=71



6x-15+8=71, 6x=78

 ∴ x=13

362   손님의 수를 x명이라 하면

x+

x=84,

x=84

 ∴ x=144

;3!;

;4!;

;1¦2;

 따라서 손님은 모두 144명이고

 밥그릇의 개수는

_144=48(개),

 국그릇의 개수는

_144=36(개)이다.

;3!;

;4!;

359   ⑴  시침과 분침이 서로 반대 방향으로
일직선이 되는 시각을 4시 x분이라

하면 분침이 시침보다 시곗바늘이

도는 방향으로 180ù만큼 더 움직여

있다. 즉

 6x-(4_30+0.5x)=180

 6x-120-0.5x=180

 5.5x=300

 ∴ x=

:¤1¼1¼:

 따라서 구하는 시각은 4시

분이다.

:¤1¼1¼:

 ⑵  시침과 분침이 이루는 각의 크기가 처

음으로 90ù가 되는 시각을 4시 x분이

라 하면 시침이 분침보다 시곗바늘이

도는 방향으로 90ù만큼 더 움직여 있

다. 즉

 (4_30+0.5x)-6x=90

 120+0.5x-6x=90

 -5.5x=-30

 ∴ x=

 따라서 구하는 시각은 4시

분이다.

;1^1);

;1^1);

 손님의 수 : 144명, 밥그릇 : 48개, 국그릇 : 36개



363 

안의 날짜 중 한가운데에 있는 날짜를 x일이라 하면 나머지

날짜는 x-7, x-1, x+1, x+7이므로

(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=90

5x=90

 ∴ x=18

 따라서 가장 마지막 날의 날짜는 18+7=25(일)이다.   25일

364   처음 수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는

8-x, 백의 자리의 숫자는 2x이다.

 이때 처음 수는 200x+10x+(8-x),

 자리를 바꾼 수는 100(8-x)+10x+2x이므로

{100(8-x)+10x+2x}={200x+10x+(8-x)}-114

따라서 백의 자리의 숫자는 4, 십의 자리의 숫자는 2, 일의 자리의

숫자는 6이므로 처음 수는 426이다.

 426

(800-88x)=209x-106

400-44x=209x-106

 -253x=-506

 ∴ x=2

365   ⑴ 979112593777에서


 홀수 번째 자릿수의 합은



9+9+1+5+3+7=34

 짝수 번째 자릿수의 합은

7+1+2+9+7+7=33

;2!;

;2!;













 ⑴ 4시 

분  ⑵ 4시 

:¤1¼1¼:



;1^1);

360   학생들이 모이는 시각을 오후 2시 x분이라 하면


2_30+0.5x=6x



60+0.5x=6x, -5.5x=-60



 ∴ x=

:Á1ª1¼:

 따라서 학생들이 모이는 시각은 오후 2시

분이다.

:Á1ª1¼:

의 자연수이므로





133+x=140

 ⑵ 133+x=140에서 x=7

 따라서 구하는 체크숫자는 7이다.

 오후 2시 



:Á1ª1¼:

 이때 (홀수 번째 자릿수의 합)+3_(짝수 번째 자릿수의 합)

=34+3_33=133





이고 이 바코드의 체크숫자를 x라 하면 x는 0 또는 한 자리

 ⑴ 133+x=140  ⑵ 7

7 일차방정식의 활용  |  39

































366  만들어지는정육각형의개수를x개라하면


6+5_(x-1)=86

371  x초후에두엘리베이터가같은높이에있다고하면
(1초에2`m씩내려오는엘리베이터가움직인거리)


6+5x-5=86,5x=85

∴ x=17

 +(2초에7`m씩올라가는엘리베이터가움직인거리)=110`(m)

따라서사용한성냥개비가86개일때,만들어지는정육각형의개

 이므로

수는17개이다.

 17개

2x+

x=110,

x=110



;2&;

:Á2Á:

 ∴x=20

따라서두엘리베이터가같은높이에있게되는것은두엘리베이

 =(직사각형ABCD의둘레의길이)이므로

터가동시에출발한지20초후이다.

 20초





























































367  두점P,Q가x초후에점R에서만난다고하면
(점P가움직인거리)+(점Q가움직인거리)


3x+5x=2_(22+14)

8x=72

∴ x=9

 이때선분BR의길이는

3x-14=3_9-14=13`(cm)

 ∴(삼각형ABR의넓이)=

_13_14

;2!;

=91`(cmÛ`)

 91`cmÛ`

368  텐트의개수를x개라하면
 학생수는(6x+14)명또는{9(x-1)+2}명이므로

6x+14=9(x-1)+2,6x+14=9x-7

 -3x=-21

∴ x=7

 따라서텐트의개수는7개이다.

 7개

369  물건의원가를a원이라하고원가에x`%의이익을붙여서정

가를정하였다고하면

a_

1+

_

;10{0;}

;1¥0¼0;

-a=

a

;1Á0ª0;

80a

1+

-100a=12a

;10{0;}

{

{

80

1+

{

;10{0;}

-100=12

80+

x-100=12

;5$;

x=32

∴ x=40

;5$;

370  큰수박을x통이라하면작은수박은(100-x)통이다.


또수박1통의원가를a원이라하면수박100통의원가는100a원

이다.

(큰수박의판매금액)+(작은수박의판매금액)

 -(100통의원가)=(이익금)이므로

a_

1+

{

;1£0¼0;}

_x+a_

1+

_(100-x)-100a

{

;1ª0¼0;}

 =100a_

;1ª0¤0;

 이때a+0이므로

1.3ax+1.2a(100-x)-100a=26a

13x+12(100-x)-1000=260

13x+1200-12x-1000=260



 ∴x=60

 따라서큰수박은60통이다.

40  |  정답과 해설

372  동하가출발한지x분후에수진이와동하가처음으로만난다

(수진이가걸은거리)+(동하가걸은거리)=(호수의둘레의길이)

고하면

 이므로

4

+

{;6Ó0;

;4!;}

+5_

;6Ó0;

=4,4x+60+5x=240

9x=180

∴ x=20

따라서동하가출발한지20분후에수진이와동하가처음으로

만난다.

 20분

373  출발한지x초후에A와B가처음으로만난다고하면


(A가달린거리)-(B가달린거리)=(트랙의둘레의길이)이므



7x-4x=420,3x=420

∴ x=140

 즉140초마다A가B를추월하게된다.

 이때8분동안계속달리므로

8_60=140_3+60

 따라서A가B를추월하는횟수는3회이다.

 3회

전히통과하려면(200+x)`m를달려야한다.

또길이가340`m인터널을통과하느라열차가보이지않는동안

열차는(340-x)`m를달린다.

(철교를통과할때의속력)=(터널을통과할때의속력)이므로
200+x
15

340-x
12

=

4(200+x)=5(340-x)

800+4x=1700-5x,9x=900



 ∴x=100

 따라서열차의길이는100`m이다.

 100`m

375  정지한물에서의배의속력을시속x`km라하면강물이흐르

는방향으로갈때의속력은

 60통



(배의속력)+(강물의속력)이므로시속(x+2)`km이다.

 따라서원가에40`%의이익을붙여서정가를정했다.

 ③

374  열차의길이를x`m라하면열차가길이가200`m인철교를완

 이때 24`km를 가는 데 2시간이 걸렸으므로

 이때 물통에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 x시간이라 하면





















 

2(x+2)=24, 2x+4=24

2x=20

∴  x=10

 즉 정지한 물에서의 배의 속력이 시속 10`km이다.

 이때 강물이 흐르는 반대 방향으로 갈 때의 속력은

(배의 속력)-(강물의 속력)이므로 시속 10-2=8`(km)이다.

 따라서 강물이 흐르는 반대 방향으로 20`km를 가는 데 걸리는

 시간은

시간, 즉 2시간 30분이다.

 2시간 30분

:ª8¼:

376   컵으로 퍼낸 소금물의 양을 x`g이라 하면


( 10`%의 소금물 300`g에 녹아 있는 소금의 양)

 -(컵으로 퍼낸 소금물에 녹아 있는 소금의 양)+20

 =( 15`%의 소금물에 녹아 있는 소금의 양)이므로

_300-

_x+20=

_(300-x+x+20)

;1Á0¼0;

;1Á0¼0;

;1Á0°0;

3000-10x+2000=4800

 -10x=-200

∴  x=20

 따라서 컵으로 퍼낸 소금물의 양은 20`g이다.

 20`g

377   처음 소금물의 농도를 x`%라 하면
 소금물의 양은 600-250+50=400`(g),

 소금의 양은

_600+50=6x+50`(g)이므로

;10{0;

_100=2x



6x+50
400
3x+25
2
 -x=-25



=2x, 3x+25=4x

∴  x=25

x+

x-

x=1

;3!;

;2!;

;6!;

2x+3x-x=6, 4x=6

∴  x=

;2#;

 따라서 물통에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간은
;2#;

시간,

 즉 1시간 30분이다.

 1시간 30분

380 

금의 무게를 x`g이라 하면 은의 무게는 (100-x)`g이다.

 물 속에서 금의 무게는

x`g만큼, 은의 무게는

(100-x)`g

;1Á9;

;2ª1;

 만큼 가벼워지므로

x+

(100-x)=100-91

;1Á9;

;2ª1;

21x+3800-38x=3591

 -17x=-209

∴  x=

:ª1¼7»:

 따라서 금의 무게는

`g이다.

:ª1¼7»:

 

:ª1¼7»:

`g

381   전체 땅의 넓이를 x`mÛ`라 하면 자녀 여섯 명에게 준 땅의 넓이

 는

x`mÛ`이므로

;2!;

x=

x+

x+

;2!;

;4!;

;8!;

x+

x+

;3Á2;

;1Á6;

;6Á4;

x+10

32x=16x+8x+4x+2x+x+640

 ∴ x=640

 따라서 기부한 땅은 x-

x=

x이므로

;2!;

;2!;

 따라서 처음 소금물의 농도는 25`%이다.

 25`%

_640=320`(mÛ`)

;2!;

 320`mÛ`

378   지난달의 전체 여행자 수는 2148-48=2100(명)이므로


지난달의 남자 여행자 수를 x명이라 하면 지난달의 여자 여행자

수는 (2100-x)명이다.

382   (남자 합격자의 수)=200_

=120(명)

(여자 합격자의 수)=200_

=80(명)

;5#;

;5@;

x_

1+

{

;1Á0¼0;}

+(2100-x)_

1-

=2148

{

;10*0;}

3x명이므로

이때 남자 지원자의 수를 5x명이라 하면 여자 지원자의 수는

x+

;1!0!0);

;1»0ª0;

(2100-x)=2148

110x+193200-92x=214800

18x=21600

∴  x=1200

(남자 불합격자의 수)=5x-120(명)

(여자 불합격자의 수)=3x-80(명)

 불합격자의 남녀 비율이 2:1이므로

(5x-120):(3x-80)=2:1

 따라서 이달의 남자 여행자 수는 1200_

=1320(명),

;1!0!0);

 이달의 여자 여행자 수는 2148-1320=828(명)이다.

5x-120=2(3x-80)

5x-120=6x-160

 이달의 남자 여행자 수 : 1320명, 

 -x=-40

∴  x=40

이달의 여자 여행자 수 : 828명

 따라서 남자 지원자의 수는 5_40=200(명)

 200명

379   빈 물통을 가득 채울 때의 물의 양을 1이라 하면 A, B 두 호스

383   B 물감의 양을 x`g이라 하면 A 물감의 양은 (350-x)`g이다.

 로 1시간에 채울 수 있는 물의 양은 각각

,

;3!;

;2!;

이고, C 호스로 1

A 물감에 들어 있는 흰색 물감의 양은
;8!;

(350-x)`g이고,

 시간에 뺄 수 있는 물의 양은
;6!;

이다.

B 물감에 들어 있는 흰색 물감의 양은
;8%;

x`g이다.



































7 일차방정식의 활용  |  41

  









 

























 따라서 섞은 B 물감의 양은

`g이다.

;:$2@:%;

 

;:$2@:%;

`g



 참고   검은색 물감의 양을 이용하여 풀어도 같은 결과를 얻을 수 있다.

128=2_4(32-2x), 128=256-16x

 이때 새로 만든 물감에 들어 있는 흰색 물감의 양은

350_

=150`(g)이므로

;7#;

(350-x)+

x=150

;8%;

;8!;

350-x+5x=1200

4x=850

 ∴ x=

;:$2@:%;

384   소진이가 운동을 하러 나간 시각을 7시 x분이라 하면


(7_30+0.5x)-6x=180

210+0.5x-6x=180

 -5.5x=-30

 ∴ x=

;1^1);

 따라서 소진이가 운동을 하러 나간 시각은 7시

분이다.

;1^1);

387   선분 PD의 길이를 x라 하면 선분 QC의 길이도 x이므로 선분

AP의 길이는 12-x, 선분 BQ의 길이는 20-x이다.

(사각형 ABCD의 넓이)=

_(12+20)_8=128

(사각형 ABQP의 넓이)=

_{(12-x)+(20-x)}_8

;2!;

;2!;

=4(32-2x)

이때 사각형 ABCD의 넓이가 사각형 ABQP의 넓이의 2배이므

16x=128

∴  x=8

따라서 선분 AP의 길이는 12-8=4이고, 선분 PD의 길이는 8

이므로 그 비는 4 : 8= 1 : 2

 1 : 2

388   원가에 20`%의 이익을 붙여서 정가를 정하였으므로 정가는

 7시 



;1^1);

500_

1+

{

;1ª0¼0;}

=600(원)

 할인하여 판 아이스크림은 정가에서 x`%를 할인하였다고 하면

600_200_

+600_

1-

_200_

-500_200

{

;10{0;}

;1¢0¼0;

;1¤0¼0;

 =17120

72000+48000-480x-100000=17120

 -480x=-2880

 ∴ x=6

STEP

3

고난도 문제

100쪽~102쪽

 따라서 할인하여 판 아이스크림은 정가에서 6 %를 할인하였다.

 6`%

 Ú 10A가 B보다 클 때,

389   형과 동생이 처음 만날 때까지 형이 걸은 시간을 x시간이라 하

385   A+B=120이므로 B=120-A


A의 일의 자리의 숫자 뒤에 0을 하나 더 쓴 수는 10A이다.

 10A-B=45, 10A-(120-A)=45

 10A-120+A=45, 11A=165

 ∴ A=15

 Û B가 10A보다 클 때,

 B-10A=45, (120-A)-10A=45

 120-11A=45, -11A=-75

 면 동생이 걸은 시간은
{

x+

;2£0;}

시간이므로

6x+4

x+

{

;2£0;}

=7.4

6x+4x+

=7.4, 60x+40x+6=74

;5#;

100x=68

 ∴ x=0.68

처음 만난 후 두 번째 만날 때까지 형과 동생이 걸은 시간을 y시간

 Ú, Û에서 A는 자연수이므로 A=15, B=120-15=105

 ∴ A=

;1&1%;

 ∴

=

=7

:Á1¼5°:

B
A

이라 하면

6y+4y=7.4

 7

10y=7.4

 ∴ y=0.74

 따라서 형이 걸은 거리는

386   연속하는 세 개의 3의 배수를 3(x-1), 3x, 3(x+1)이라 하면

a<b<c이므로 a=3(x-1), b=3x, c=3(x+1)

3x+3(x+1)
5

=20

-

3(x-1)+3x+1
2
6x+3
5
15x-5-(6x+3)=100

3x-1-

=20

15x-5-6x-3=100, 9x=108

 ∴ x=12

 ∴ c=3_(12+1)=39

 39

42  |  정답과 해설

6_(0.68+0.74)=8.52`(km)

 8.52`km

390   동호와 동생이 함께 자전거를 타고 간 거리를 x`m라 하면
 동생이 학교까지 걸어간 거리는 (4000-x)`m이다.

(동호가 학교까지 가는 데 걸린 시간)

 -(동생이 학교까지 가는 데 걸린 시간)=5(분)이므로

2x+4000
280

-

{;28{0;

+

4000-x
70

=5

}













































































2x+4000-x-4(4000-x)=1400

2x+4000-x-16000+4x=1400

5x=13400

∴  x=2680

394   버스가 A 정류장을 출발할 때, 버스 안에 있던 승객 수를 x명이

 라 하면 B 정류장에서 승객의

이 내리고 2명이 새로 탔으므로

;6!;

B 정류장을 지난 후 버스 안에 있는 승객 수는

따라서 동호와 동생이 함께 자전거를 타고 간 거리는 2680`m이

다.

 2680`m

x-

x+2=

x+2 (명)

;6!;

;6%;

391   가원이의 속력을 시속 x`km, 목표지점까지 가는데 걸리는 시

간을 y시간이라 하면

시속 1`km 더 빠르게 뛰었을 때 걸리는 시간은

y시간이고, 달

;5$;



C 정류장에서 승객의

이 내리고 6명이 새로 탔으므로 C 정류

;4!;

 장을 지난 후 버스 안에 있는 승객 수는

x+2

-

}

;4!;{;6%;

x+2

+6=

x+

(명)

;2!4%;

:Á2°:

}

{;6%;

이때 버스 안에 있는 승객 수가 처음 버스 안에 있던 승객 수보다

따라서 올림픽경기장에서 목표지점까지의 거리는



 24`km

 Ú A 주머니에 남은 구슬의 개수는

a개이므로

;5$;

 린 거리는 같으므로

xy=(x+1)_

y
;5$;

 이때 y+0이므로

5x=4x+4

∴  x=4

 즉 가원이의 속력은 시속 4`km이다.

고, 달린 거리는 같으므로

4y=3(y+2)

4y=3y+6

∴  y=6

4_6=24`(km)

또 시속 1`km 더 느리게 뛰었을 때 걸리는 시간은 (y+2)시간이

392   전체 일의 양을 1이라 하면 A, B가 혼자 일할 때 1시간 동안 할

 수 있는 일의 양은 각각

,

이다.

;6!;

;4!;

 또 A, B가 함께 일할 때 1시간 동안 할 수 있는 일의 양은 각각

_

=

,

_

;1ª5;

;4!;

;5$;

;5$;

;6!;

=

;5!;

이다.

A가 혼자서 일하는 시간을 x시간이라 하면

_2+

_2+

x=1

;1ª5;

;5!;

;6!;

+

+

;5@;

;6!;

;1¢5;

x=1, 8+12+5x=30

5x=10

∴  x=2

6명이 적으므로

x+

=x-6

;2!4%;

:Á2°:

15x+180=24x-144

 -9x=-324

∴  x=36

따라서 A 정류장을 출발할 때, 버스 안에 있던 승객 수는 36명이다.



 36명

395   처음 세 주머니 A, B, C에 들어 있던 구슬의 개수를 각각

a개, b개, c개라 하면

a=60

∴  a=75

 

;5$;

 Û B 주머니에 남은 구슬의 개수는

b+

a

개이므로
}

;5!;

;5#;{

 

;5#;{

b+

_75

=60,

b+9=60

;5!;

}

;5#;

b=51

∴  b=85

 

;5#;

 Ü C 주머니에 남은 구슬의 개수는 c+

b+

a

개이므로
}

;5!;

;5@;{

 c+

85+

_75

=60

;5@;{

;5!;

}

 c+40=60

∴  c=20

 따라서 처음 C 주머니에 들어 있던 구슬의 개수는 20개이다.

 따라서 A는 혼자서 2시간을 일해야 한다.

 2시간

 20개

393   두 양초 A, B의 길이를 각각 1이라 하면 두 양초 A, B가 한 시

396   시침과 분침이 처음으로 직각을 이루는 시각을 4시 x분이라 하면


(4_30+0.5x)-6x=90

 간에 타는 길이는 각각

이므로 불을 붙인 지 x시간 후의 두

,

;2!;

;3!;

120+0.5x-6x=90

 양초 A, B의 길이는 각각 1-

x, 1-

x이다.

;2!;

;3!;

 -5.5x=-30

∴  x=

;1^1);

 오후 5시 정각에 남은 두 양초 A, B의 길이의 비가 1:2이므로

시침과 분침이 두 번째로 직각을 이루는 시각을 4시 y분이라 하면

1-

x


{
}

;2!;

1-

x
}

;3!;

{

=1:2

2

1-

{

x
}

;2!;

=1-

x, 2-x=1-

;3!;

x

;3!;

 -

x=-1

∴  x=

;3@;

;2#;

6y-(4_30+0.5y)=90

6y-120-0.5y=90

5.5y=210

∴  y=

:¢1ª1¼:

 따라서 불을 붙인 시각은 오후 5시에서

시간, 즉 1시간 30분 전

;2#;

 인 오후 3시 30분이다.

 오후 3시 30분

-

=

:¢1ª1¼:

;1^1);

:£1¤1¼:

(분)

 



:£1¤1¼:

따라서 처음으로 직각을 이루는 시각에서부터 두 번째로 직각을

이루는 시각까지 걸리는 시간은









































7 일차방정식의 활용  |  43

STEP

1

실력 문제

398 

-2

-4

2

4
x

y

4

2
O

-2

-4

8

좌표평면과 그래프

403   점 (a, b)가 제 3 사분면 위의 점이므로 a<0, b<0


이때 a+b<0, ab>0이므로 점 (a+b, ab)는 제 2 사분면 위의

점이다.

 제 2 사분면

397   ④ 점 (1, 4)와 점 (4, 1)은 다른 점이다.

 ④



이때 a+d>0, bc<0이므로 점 R(a+d, bc)는 제 4 사분면 위

의 점이다.

 제 4 사분면

105쪽~107쪽

404   점 P(a, b)가 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0, b>0
 점 Q(c, d)가 제 2 사분면 위의 점이므로 c<0, d>0

 풀이 참조, 노

는다.

405   점 (a, -b)가 제 4 사분면 위의 점이므로


 ∴ a>0, b>0

a>0, -b<0

 ㉠  점 (0, a)는 y축 위의 점이므로 어느 사분면에도 속하지 않

 ㉡  b>0, -a<0이므로 점 (b, -a)는 제 4 사분면 위의 점이다.

 ㉢  -b<0, a>0이므로 점 (-b, a)는 제 2 사분면 위의 점이다.

 ㉣  -a<0, -b<0이므로 점 (-a, -b)는 제 3 사분면 위의 점

 ㉤  -ab<0, a>0이므로 점 (-ab, a)는 제 2 사분면 위의 점이

 ㉥  -a-b<0, b>0이므로 점 (-a-b, b)는 제 2 사분면 위의

이다.

다.

점이다.

 따라서 제 2 사분면 위에 있는 점은 ㉢, ㉤, ㉥이다.

4



 ㉢, ㉤, ㉥

406   두 점 A(a+12, b-8), B(-2a, -3b)에 대하여
 ⑴  두 점 A, B가 y축에 대칭이므로 x좌표는 부호가 반대이고

y좌표는 같다. 즉

a+12=-(-2a)에서

a+12=2a

 ∴ a=12

b-8=-3b에서

4b=8

 ∴ b=2

∴ a+b=12+2=14

모두 반대이다. 즉

a+12=-(-2a)에서

a+12=2a

 ∴ a=12

b-8=-(-3b)에서

 ⑵  두 점 A, B가 원점에 대칭이므로 x좌표, y좌표의 부호가

b-8=3b, -2b=8

 ∴ b=-4

∴ a-b=12-(-4)=16

 ⑴ 14  ⑵ 16



















399   점 A(a+5, b-3)이 x축 위에 있으므로 y좌표가 0이다. 즉


 ∴ b=3

b-3=0

또 점 B(2a+4, 3b+1)이 y축 위에 있으므로 x좌표가 0이다. 즉

2a+4=0, 2a=-4

 ∴ a=-2

 ∴ ab=(-2)_3=-6

400   세 점 A, B, C를 좌표평면 위에

나타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때

(선분 BC의 길이)=5,

(삼각형의 높이)=4이므로

(삼각형 ABC의 넓이)

 =

_5_4=10

;2!;

A

2

y
2

O

-2

B

401   세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나

타내면 오른쪽 그림과 같다.

 ∴ (삼각형 ABC의 넓이)

= (사다리꼴 ADEC의 넓이)

-(삼각형 ADB의 넓이)

-(삼각형 CBE의 넓이)

A

D

6

y

4

2

C
E

B

2

-2

O

4

x

=

;2!;

_(1+4)_6-

_3_4-

_3_1

;2!;

;2!;





=15-6-

=

;2#;



:Á2°:

 -6



x

C

 10

 

:Á2°:



A

402   직사각형 ABCD를 좌표평면 위에

나타내면 오른쪽 그림과 같다.

 ∴ D(3, -1)

이때 직사각형의 가로의 길이는 5, 세

로의 길이는 6이므로
(직사각형 ABCD의 넓이) =5_6

y

4

2

B

-2

C

44  |  정답과 해설

O

2

4 x

D

부호가 모두 반대이다.

 ∴ B(-3,-4)

407   점 A(3, 4)와 원점에 대칭인 점 B의 좌표는 x좌표, y좌표의

 점 A(3, 4)와 x축에 대칭인 점 C의 좌표는 x좌표는 같고

=30

 D(3, -1), 30



y좌표의 부호는 반대이다.

 ∴ C(3, -4)















따라서 세 점 A, B, C를 좌표평면 위

에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

A

413   a-b의 값이 최소가 될 때는 a의 값이 가장 작고 b의 값이 가
장 클 때이므로 점 P가 점 B에 있을 때이다. 이때 점 B의 좌표는

 ∴ (삼각형 ABC의 넓이)=

_6_8

-4

-2

O

2

x

4





;2!;

=24

(-3, 5)이므로



a=-3, b=5

 ∴ b-2a=5-2_(-3)=11

y
4

2

-2

-4

B

C

 24

408   예빈이가 학교에서 집까지 일정한 속력으로 걸었으므로 그래
 ③

프로 알맞은 것은 ③이다.

409   원기둥 모양의 물통의 밑면의 넓이가 넓을수록 같은 시간 동안
물통에 채워지는 물의 높이가 느리게 증가하므로 각 물통에 알맞

은 그래프는 A - ㉣, B - ㉡, C - ㉠, D - ㉢이다.

414   네 점 P, Q, R, S를 좌표평면 위에
나타내면 오른쪽 그림과 같다.

P

 ∴ (사각형 PQRS의 넓이)









=(사다리꼴 PTRS의 넓이)

 -(삼각형 PTQ의 넓이)

=

_(2+4)_6-

_3_4

;2!;

;2!;

=18-6=12

y
4

2

O

-4

-2

T

Q

-2

 A- ㉣, B- ㉡, C- ㉠, D- ㉢

415   삼각형 ABC에서 한 변 AB를 밑
변으로 할 때, 높이를 h라 하면

y
k

C

410   ③ ㈏에서 자동차는 분속 1.5`km의 일정한 속력으로 달렸다.
 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
 ③

(삼각형 ABC의 넓이)=

_4_h

O

1

x

;2!;

=8

411   ㉣  드론은 움직인 지 5초 후, 15초 후에 가장 높이 올라가므
로 가장 높이 올라간 후 다시 가장 높이 올라갈 때까지 걸린






시간은 15-5=10(초)이다.

 따라서 옳지 않은 것은 ㉣이다.

 ∴ h=4

한다.

이때 점 C의 y좌표는 두 점 A와 B의

y좌표로부터 4만큼 떨어져 있어야

y
O

-1

1

3



x

 ㉣

 ∴ k=-2+4=2 또는

k=-2-4=-6

 따라서 모든 k의 값의 합은



2+(-6)=-4

416   (삼각형 POQ의 넓이)

 =3a_2b-

_a_b

;2!;

STEP

2

심화 문제

108쪽~111쪽

 =6ab-

ab-

ab-2ab

;2!;

;2#;

-b

Q

-

_3a_b-

_2a_2b



;2!;

;2!;

O

a

3a

x

412   두 점 A(2a, b+3), B(b-2, a-1)이 x축 위에 있으므로 두

점 A, B의 y좌표가 0이다. 즉



b+3=0에서 b=-3, a-1=0에서 a=1

 ∴ A(2, 0), B(-5, 0)

 =2ab

 이때 2ab=20이므로

ab=10

 이때 3a-1=3_1-1=2,

b-3=

_(-3)-3=-4이므

;3!;

;3!;

417   점 A(2a-1, 3-a)가 x축 위에 있으므로 y좌표가 0이다. 즉


 ∴ a=3

3-a=0

 로 점 C의 좌표는 (2, -4)이다.

또 점 B(3b+2, b+4)가 y축 위에 있으므로 x좌표가 0이다. 즉

따라서 세 점 A, B, C를 좌표평면 위에

나타내면 오른쪽 그림과 같다.

 ∴ (삼각형 ABC의 넓이)=

_7_4





;2!;

=14

y

2



-4
B

-2

O

A
2

x

-2

-4

C

 

3b+2=0, 3b=-2

 ∴ b=-

;3@;

 이때 ab=3_

=-2, a-b=3-

{-;3@;}

=

이므로

{-;3@;}

:Á3Á:

 점 C의 좌표는
{

-2,

:Á3Á:}

이다.

 14

 따라서 점 C는 제 2 사분면 위의 점이다.

 제 2 사분면

8 좌표평면과 그래프  |  45

 11



S

2
R

x

 12

3

B

B

 -4

 10

-1

A

-2

-2

A

k

C

y

b

P





















418   ②  점 (a, b)가 제 2 사분면 위의 점이므로


  a<0, b>0







 따라서 점 (b, a)는 제 4 사분면 위의 점이다.

 ③  ab<0, a-b>0이므로 a>0, b<0

이때 b-a<0, -a<0이므로 점 (b-a, -a)는 제 3 사분면

위의 점이다.

 ④  ab>0, a+b<0이므로 a<0, b<0

이때 |b|>|a|이므로 b<a<0

면 위의 점이다.

 ⑤  점 (a, -b)가 제 4 사분면 위의 점이므로

a>0, -b<0, 즉 b>0

따라서 -a>0, a-b>0이므로 점 (-a, a-b)는 제 1 사분











이때 -a<0, b>0이므로 점 (-a, b)는 제 2 사분면 위의 점

이다.

 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

422   ③  무선 조종 비행기의 높이가 10`m가 되는 경우는 비행기를
날린 지 6분 후, 12분 후, 15분에서 18분 사이, 24분에서 27


 



분 사이로 총 4번이다.

 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

 ③

423   ②  출발한 지 2시간 후부터 4시간 후까지 총 2시간 동안 이동


   하지 않고 휴식을 취하였다.



 ③  출발한  지  6시간이  되었을  때  출발  장소로부터의  거리가

30`km가 되고 출발 장소로부터 가장 멀리 떨어져 있다.

 ④ 스케이트 보드를 타고 이동한 총 거리는





10+20+30=60`(km)이다.

 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

 ④

 ⑤

424   ③  자동차가 출발한 지 5분 후부터 7분 후까지 속력이 분속
0`km이므로 학교에서 출발하여 도서관에 도착하기 전까

419   점 A(aÁ, aª)와 x축에 대칭인 점이 제 3 사분면 위에 있으므로
점 A는 제 2 사분면 위에 있고, 점 B(bÁ, bª)와 y축에 대칭인 점이

지 자동차는 1번 정지하였다.

 ⑤  자동차가 출발한 지 2분 후부터 4분 후까지 분속 1.2`km로

제 4 사분면 위에 있으므로 점 B는 제 3 사분면 위에 있다.

속력을 일정하게 유지하면서 달렸다.

 ∴ aÁ<0, aª>0, bÁ<0, bª<0

 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

 ③

 따라서 aÁ+bÁ<0, aªbª<0이므로 점 P는 제 3 사분면 위에 있다.

420   두 점 A(2a+5, 6), B(3, -b+1)이 x축에 대칭이므로


x좌표는 같고 y좌표는 부호가 반대이다. 즉

 ④ 문구점에 들르지 않고 바로 학교에 가면 걸리는 시간은





 26-10=16(분)이다.

 제 3 사분면

425   ② 집에서 출발한 지 8분 후부터 18분 후까지 총 10분 동안 문

구점에 머물렀다.

2a+5=3에서 2a=-2

∴  a=-1

6=-(-b+1)에서 6=b-1





 ∴ b=7

 ∴ A(3, 6), B(3, -6)

이때 a=-1, a-b=-1-7=-8이므

로 점 C의 좌표는 (-1, -8)이다.

따라서 세 점 A, B, C를 좌표평면 위에

나타내면 오른쪽 그림과 같다.

 ∴ (삼각형 ABC의 넓이)=

_12_4





;2!;

=24

 ⑤ 수아가 등교하는 데 걸리는 시간이 26분이므로 집에서 8시 30

분에 출발했다고 하면 학교에 도착한 시각은 8시 56분이다.

A

 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

 ④

-2

O

2

x

4

426   ②  4시에서 6시 사이, 16시에서 18시 사이에서는 해수면의 높
이가 4`m 낮아지므로 해수면의 높이가 낮아질 때, 1시간마

다 1`m씩 낮아진다고 볼 수 없다.

 ③ 해수면의 높이가 2시에서 8시 사이에 낮아지고 8시에서 14시

-6

B

사이에 높아지므로 12시간마다 같은 모양의 그래프가 반복됨

C

-8

을 알 수 있다.

 24

 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

 ②

421   물이 가득 차 있는 원기둥 모양의 통에서 물이 일정하게 흐르도
록 수도꼭지를 틀면 원기둥의 밑면의 넓이가 넓을수록 물의 높이

가 느리게 감소한다.

따라서 x와 y 사이의 관계를 나타내는 그래프

는 오른쪽 그림과 같이 먼저 y의 값이 빠르게

감소하다가 천천히 감소하는 그래프이다.

427   ㉡ 달리기 시작하여 16분 전까지는 앞에서부터 세영, 주리, 지

원이의 순서로 달렸다.

 ㉢  세영이는 출발한 지 38분 후에, 주리는 출발한 지 46분 후에

결승점에 도착하였으므로 세영이는 주리보다 46-38=8(분)

빨리 결승점에 도착하였다.

 ㉤  주리는 출발한 지 12분 후부터 32분 후까지 총 20분 동안 쉬

x

 ㉡

었다.

 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢, ㉣이다.

 ㉠, ㉢, ㉣

y

6

4

2

-2

-4

y

O





















46  |  정답과 해설

  













STEP

3

고난도 문제 

112쪽

428   직사각형 ABCD의 둘레의 길이가 2_(7+8)=30이고


2020=30_67+10이므로 점 P가 움직인 거리가 2020일 때

430   점 P¼(2, 3)과 x축에 대칭인 점은 점 PÁ(2, -3)
 점 PÁ(2, -3)과 y축에 대칭인 점은 점 Pª(-2, -3)

 점 Pª(-2, -3)과 원점에 대칭인 점은 점 P£(2, 3)

 점 P£(2, 3)과 x축에 대칭인 점은 점 P¢(2, -3)

점 P의 좌표는 점 P가 움직인 거리가 10일 때의 좌표와 같다.



y

이때 점 P가 점 C까지 간 거리가 8이므로 점 C에서 2만큼 더 가

 계속 반복하면

면 된다.

 따라서 점 P의 좌표는 (2, -2)이다.

 점 P¼, P£, P¤, y의 좌표는 (2, 3)

 점 PÁ, P¢, P¦, y의 좌표는 (2, -3)

 (2, -2)

 점 Pª, P°, P¥, y의 좌표는 (-2, -3)

429   점 P(a, b)가 제 4 사분면 위의 점이므로


a>0, b<0

 점 Q(x, y)는 점 P(a, b)와 원점에 대칭인 점이므로

x=-a, y=-b

 따라서 점 R

ax
b-y

,

by
a-x }

{

에서

ax
b-y

by
a-x

=

=

a_(-a)
b-(-b)
b_(-b)
a-(-a)

=-

>0

=-

<0

aÛ`
2b

bÛ`
2a





이때 50=3_16+2이므로 점 P°¼의 좌표는 점 Pª의 좌표와 같다.

 따라서 점 P°¼의 좌표는 (-2, -3)이다.

 (-2, -3)

431   Ú   점 P가 점 A에서 점 B까지 움직일 때,

넓이는 점점 증가한다.

 Û   점 P가 점 B에서 점 C까지 움직일 때,

넓이는 변하지 않고 일정하다.

 Ü   점 P가 점 C에서 점 D까지 움직일 때,

넓이는 점점 감소한다.

 즉 점 R

ax
b-y

,

by
a-x }

{

는 제 4 사분면 위의 점이다.



이때 선분 BC의 길이가 선분 AB의 길이의 2.5배이므로 구하는

 제 4 사분면

그래프는 ④이다.

 ④

8 좌표평면과 그래프  |  47

















STEP

1

실력 문제 

432   ㉠ y=

x (정비례)

 ㉡ y=-

(반비례)

;5@;

;[#;

 ㉢ xy=9에서 y=

(반비례)

;[(;

 ㉣ 

=7에서 y=7x (정비례)

;[};

계도 아니다.

 ㉥ y=0.4x (정비례)

9

정비례와 반비례

y=-

x에 x=-15, y=c를 대입하면

;3@;

c=

-

{

;3@;}

_(-15)=10

 ∴ a+b+c=12+(-9)+10=13

 13

115쪽~120쪽

437   y=ax에 x=-3, y=1을 대입하면

1=-3a

 ∴ a=-

, 즉 y=-

;3!;

x

;3!;

y=-

x에 x=b, y=-3을 대입하면

;3!;

;3!;

 -3=-

b

 ∴ b=9

 ∴ ab=

-

_9=-3

{

;3!;}

 -3

 ㉤  y=-x+2에서 상수항이 있으므로 정비례 관계도 반비례 관

 따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ㉠, ㉣, ㉥의 3개이다.

438   그래프가 원점을 지나는 직선이므로 y=ax(a+0)라 하고

x=2, y=3을 대입하면

 3개



3=2a

 ∴ a=

, 즉 y=

;2#;

x

;2#;

433   ① y=2(6+x)에서 y=2x+12


 따라서 정비례 관계도 반비례 관계도 아니다.



 ② (시간)=

이므로 y=

(반비례)

;:![):);

(거리)
(속력)

 ③ 

xy=20에서 y=

(반비례)

:¢[¼:

;2!;

 ④ y=10x (정비례)

 ⑤ xy=60에서 y=

(반비례)

:¤[¼:

 ① 

=

_1

;2#;

;2#;

 ② 0=

_0

;2#;

 ③ -1=

-
_
{

;2#;

;3@;}



④ -3=

_(-2)

;2#;

 ⑤ 

+

;2(;

;2#;

_(-3)

 따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ④이다.

 ④

 따라서 y=

x의 그래프 위에 있지 않은 점은 ⑤이다.

 ⑤

;2#;

434   관계식을 y=ax (a+0)라 하고 x=-3, y=18을 대입하면


 ∴ a=-6, 즉 y=-6x

18=-3a

439   y=ax, y=bx의 그래프는 제 1, 3 사분면을 지나므로


a>0, b>0

이때 y=bx의 그래프가 y=ax의 그래프보다 y축에 더 가까우므

 따라서 y=-6x에 x=-

을 대입하면

;2!;



y=(-6)_

=3

{-;2!;}

 3

또 y=cx, y=dx의 그래프는 제 2, 4 사분면을 지나므로

로 0<a<b

c<0, d<0

435   ④ x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

 ⑤ 
|

-

;4!;|

<|-1|이므로 y=-

x의 그래프는 y=-x의 그

;4!;

로 c<d<0

 ∴ c<d<a<b

 c<d<a<b

이때 y=cx의 그래프가 y=dx의 그래프보다 y축에 더 가까우므

436   y=-

x에 x=a, y=-8을 대입하면

 ① y=-2x (정비례)



 ④

440   x의 값이 2배, 3배, 4배로 변함에 따라 y의 값이

배,

배,

;3!;

;2!;

배로 변하므로 y는 x에 반비례한다.

;4!;

 ② y=;[^;

(반비례)

 ③ y=

(정비례)

;3{;

 ④, ⑤ 정비례 관계도 반비례 관계도 아니다.

 따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ②이다.

 ②

 래프보다 x축에 더 가깝다.

 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

 -8=-

a

 ∴ a=12

y=-

x에 x=b, y=6을 대입하면

6=-

b

 ∴ b=-9

;3@;

;3@;

;3@;

;3@;

48  |  정답과 해설











441   ① y=xÛ`이므로 정비례 관계도 반비례 관계도 아니다.
 ② y=4x (정비례)

 ③ y=6x (정비례)

 ④ (시간)=

이므로 y=

(반비례)

;:@[):);

(거리)
(속력)

 ⑤ y=500x (정비례)

 따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ④이다.

 ④

447   y=-

:Á[¼:

의 그래프 위에 있는 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모

두 정수이려면 x좌표가 +(|-10|의 약수) 또는



-(|-10|의 약수)이어야 한다.

따라서 10의 약수는 1, 2, 5, 10이므로 구하는 점은 (1, -10),

(2, -5), (5, -2), (10, -1), (-1, 10), (-2, 5), (-5, 2),

(-10, 1)의 8개이다.

 8개

442   관계식을 y=

;[A;

(a+0)라 하고 x=3, y=8을 대입하면

8=


;3A;

∴  a=24, 즉 y=

:ª[¢:

y=

에 x=-2, y=B를 대입하면

:ª[¢:
24
-2 

B=

=-12

y=

:ª[¢:

에 x=A, y=6을 대입하면

6=


:ªa¢:

∴  A=4

448   점 A가 y=

x의 그래프 위에 있으므로

;3$;

y=

x에 x=6을 대입하면

y=

_6=8

∴  A(6, 8)

 점 A(6, 8)이 y=

의 그래프 위에 있으므로

;[A;

y=

에 x=6, y=8을 대입하면

;3$;

;3$;

;[A;

8=



;6A;

∴  a=48

 48

 ∴ A+B=4+(-12)=-8

 -8

443   ⑤  x>0일 때, a>0이면 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하

고, a<0이면 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

 ⑤

 점 P(-1, 4)가 y=

의 그래프 위에 있으므로

;[A;

449   점 P가 y=-4x의 그래프 위에 있으므로


y=-4x에 x=-1을 대입하면

y=(-4)_(-1)=4

∴  P(-1, 4)

444   y=-

에 x=-a, y=6을 대입하면

;[#;
3
-a

;[#;

;1£2;

6=-

, 6=


;a#;

∴  a=

;2!;

y=-

에 x=12, y=2b를 대입하면

2b=-

, 2b=-

∴  b=-


;4!;


;8!;

 ∴ a-b=

-


{-;8!;}=;8%;

;2!;

445   y=

;[A;

에 x=2, y=3을 대입하면

3=


;2A;

∴  a=6, 즉 y=

;[^;

y=

에 x=-4, y=k를 대입하면

;[^;

k=

6
-4

=-



;2#;

446   그래프가 제 4 사분면을 지나는 x와 y 사이의 관계식은

y=ax (a<0)와 y=

(a<0)이다.

;[A;

 따라서 구하는 x와 y 사이의 관계식은 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥이다.

y=

에 x=-1, y=4를 대입하면

;[A;

4=

a
-1 

∴  a=-4, 즉 y=-

;[$;

 ㉠  y=-4x의 그래프는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

 ㉡  y=-

의 그래프는 각 사분면에서 x의 값이 증가하면 y의

;[$;

 값도 증가한다.

 ㉢ |-4|<|-8|이므로 y=-

의 그래프는 y=-

의 그래

;[$;

;[*;

 

;8%;

 프보다 원점에 더 가깝다.

 ㉣ y=4x의 그래프는 제 1, 3 사분면을 지난다.

 따라서 옳은 것은 ㉢, ㉣이다.

 ㉢, ㉣

450   점 A가 y=:Á[¥:의 그래프 위에 있으므로

y=:Á[¥:에 y=6을 대입하면

 -

;2#;

∴  x=3, 즉 A(3, 6)

6=:Á[¥:
y=ax의 그래프가 점 A(3, 6)을 지나므로



y=ax에 x=3, y=6을 대입하면

6=3a

∴  a=2

 점 B가 y=:Á[¥:의 그래프 위에 있으므로

 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥

y=:Á[¥:에 x=6을 대입하면

9 정비례와 반비례  |  49



























































































y=

:Á6¥:

=3

∴  B(6, 3)

y=bx의 그래프가 점 B(6, 3)을 지나므로

y=bx에 x=6, y=3을 대입하면

3=6b

∴  b=

;2!;

;2!;

 ∴ a+6b=2+6_

=5

 5

456   길이가 6`m인 끈의 무게가 30`g이고, 이 끈의 15`g당 가격이

1200원이므로 길이가 6`m인 끈의 가격은



1200_2=2400(원)

 따라서 끈 1`m의 가격은

=400(원)이므로 x와 y 사이의

:ª:¢6¼:¼:

 관계식은 y=400x

 y=400x

451   점 P의 x좌표를 a라 하면 P

;4!;
 이때 삼각형 POQ의 넓이가 8이므로

a,

{

, Q(a, 0)
a
}

_a_

a=8, aÛ`=64



;2!;

;4!;

 ∴ a=8 (∵ a>0)

 따라서 점 Q의 좌표는 (8, 0)이다.

 (8, 0)

457   주어진 그래프에서 y는 x에 반비례하므로

y=

(a+0)라 하고 x=20, y=20을 대입하면

;[A;

20=


;20;

y=

;:$[):);

∴  a=400, 즉 y=

;:$[):);

에 x=40을 대입하면 y=

=10

:¢4¼0¼:

452   두 점 A, B의 y좌표가 모두 -4이므로

y=

x에 y=-4를 대입하면

;3@;

;3@;

 -4=

x

∴  x=-6, 즉 A(-6, -4)

y=-2x에 y=-4를 대입하면

 -4=-2x

∴  x=2, 즉 B(2, -4)

 ∴ (삼각형 OAB의 넓이)=

_8_4=16

 16

;2!;

453   오른쪽 그림과 같이

y

y=

:Á[ª:

(x>0)의 그래프 위의 한

 점 P의 x좌표를 a라 하면

P

a,

{

:Áaª:}

, A(a, 0), B

0,

{

:Áaª:}

 ∴ (사각형 BOAP의 넓이)

=a_

=12

:Áaª:

B 0,(

12

)a

P a,(

12
a

)

O

A(a, 0)

12
xy=
x

 12

454   두 점 B, D가 y=

의 그래프 위에 있으므로

;[A;

따라서 이 기차가 초속 40`m로 달릴 때, 철도 건널목을 완전히 통

과하는 데 걸리는 시간은 10초이다.

 10초

458   x기압일 때, 기체의 부피를 y`cmÜ`라 하면 y는 x에 반비례하므

 로 y=

(a+0)로 놓을 수 있다.

 이때 y=

에 x=2, y=7을 대입하면

;[A;

;[A;

7=



;2A;

y=

:Á[¢:

∴  a=14, 즉 y=

:Á[¢:

에 x=8을 대입하면 y=

:Á8¢:

=

;4&;

 따라서 압력이 8기압일 때, 이 기체의 부피는

`cmÜ`이다.

;4&;

 

;4&;

`cmÜ`

459   학생 수를 x명, 청소하는 데 걸리는 시간을 y분이라 하면

xy=4_20=80

∴  y=

:¥[¼:

y=

:¥[¼:

에 y=5를 대입하면

5=


:¥[¼:

∴  x=16

따라서 5분 만에 청소를 끝내려고 할 때, 필요한 학생 수는 16명

이다.

 16명

=(선분 BC의 길이)_(선분 DC의 길이)

460   점 P가 1초에 2`cm씩 움직이므로 x초 후의 선분 BP의 길이는

2x`cm이다.

 8

 ∴ y=

_2x_6=6x

;2!;

y=6x에 y=24를 대입하면

24=6x

∴  x=4

455   (A의 톱니의 수)_(A의 회전 수)


 =( B의 톱니의 수)_( B의 회전 수)이므로



16_x=28_y

∴  y=

x

;7$;

 y=

x

;7$;

를 출발한 지 4초 후이다.

 4초 후

따라서 삼각형 ABP의 넓이가 24`cmÛ`가 되는 것은 점 P가 점 B

y=

에 x=-4를 대입하면

y=-


;4A;

∴  B

-4, -

{

;4A;}

y=

에 x=4를 대입하면

;[A;

;[A;

y=


;4A;

∴  D

4,

{

;4A;}

 이때 (직사각형 ABCD의 넓이)

=8_

=4a

;2A;

 이므로 4a=32

∴  a=8

50  |  정답과 해설































































461   ⑴ 그래프가 원점을 지나는 직선이므로


 y=ax(a+0)라 하고 x=3, y=750을 대입하면





 750=3a

 ∴ a=250, 즉 y=250x

 ⑵ 그래프가 원점을 지나는 직선이므로

 y=bx(b+0)라 하고 x=5, y=250을 대입하면

 250=5b

 ∴ b=50, 즉 y=50x

 ⑶  집에서 학교까지의 거리가 3`km, 즉 3000`m이므로

y=250x에 y=3000을 대입하면

 3000=250x

 ∴ x=12

 y=50x에 y=3000을 대입하면

 3000=50x

 ∴ x=60

 ② b<0

 ∴ 제 2, 4 사분면

 ③ -

>0

 ∴ 제 1, 3 사분면

;aB;

 ④ a>0

 ∴ 제 1, 3 사분면

 ⑤ b<0

 ∴ 제 2, 4 사분면

 따라서 그래프가 제1, 3사분면을 지나는 것은 ③, ④이다.

 ③, ④

465 
① a>0이면 y=ax의 그래프는 제 1, 3 사분면을 지난다.
 ②  y=ax의 그래프는 a의 절댓값이 작을수록 x축에 가까워진다.

 ③ y=

의 그래프는 원점을 지나지 않는다.

;[B;

  따라서 자전거를 타고 갈 때 걸리는 시간은 12분, 걸어갈 때

 ④ b<0일 때, y=

의 그래프는 각 사분면에서 x의 값이 증가하

;[B;

걸리는 시간은 60분이다.



 면 y의 값도 증가하는 곡선이다.

 ⑤

 ⑷  자전거를 타고 가면 걸어갈 때보다 60-12=48(분) 먼저 도

착한다.



   ⑴ y=250x  ⑵ y=50x   

⑶ 자전거를 타고 갈 때 : 12분, 걸어갈 때 : 60분 

⑷ 48분

462   연우와 조현이의 그래프가 모두 원점을 지나는 직선이므로
 Ú 연우의 그래프

  y=ax(a+0)라 하고 x=1, y=500을 대입하면

a=500

 ∴ y=500x

 Û 조현이의 그래프

b=100

 ∴ y=100x

학교에서 도서관까지의 거리가 2.5`km, 즉 2500`m이므로

y=500x에 y=2500을 대입하면

2500=500x

 ∴ x=5

y=100x에 y=2500을 대입하면

2500=100x

 ∴ x=25

따라서 연우가 도서관에 도착한 후 25-5=20(분)을 기다려야

조현이가 도착한다.

 20분

466   두 점 A, B의 x좌표를 a라 하면 점 A의 좌표는 (a, 4a), 점 B

 의 좌표는
{

a,

a

이다.
}

;2#;

 이때 두 점 A, B 사이의 거리가 10이므로



4a-

a=10,

a=10

 ∴ a=4

;2#;

;2%;

 따라서 점 A의 좌표는 (4, 16)이다.

 (4, 16)

467   Ú y=ax의 그래프가 점 A(1, 7)을 지날 때
 ∴ y=7x


 a=7



 Û y=ax의 그래프가 점 B(6, 2)를 지날 때

 Ú, Û에 의하여 y=ax의 그래프가 선분 AB와 만날 때, a의 값

 의 범위는

ÉaÉ7

;3!;

 ;3!;

ÉaÉ7

468   점 D의 y좌표가 4이므로 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 4

따라서 점 A의 좌표는 (3, 4)이므로 y=ax에 x=3, y=4를 대

이다.

입하면

4=3a

 ∴ a=


;3$;

 

;3$;

469   삼각형 AOB의 내부에 있는 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모두

  y=bx(b+0)라 하고 x=1, y=100을 대입하면



 2=6a

 ∴ a=

, 즉 y=

;3!;

x

;3!;

STEP

2

심화 문제

121쪽~126쪽

 Ú y=1일 때, x=0, 1, 2

정수인 점은

463   ㉠ y=


:Á[°:





 ㉡ y=2x





 ㉢ y=6xÛ`

 ㉣ y=500-30x  ㉤ y=

㉥ y=6x


;:#[@:);

 ⑴ 정비례 관계인 것은 ㉡, ㉥이다.

 ⑵ 반비례 관계인 것은 ㉠, ㉤이다.

(0, 1), (1, 1), (2, 1)

 Û y=2일 때, x=0, 1, 2, 3, 4, 5

(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)

 따라서 구하는 점의 개수는 9개이다.

참고   y=-2x에 y=1을 대입하면 1=-2x 

  ∴ x=-

 9개

;2!;

점 (a, b)가 제4사분면 위의 점이므로 a>0, b<0

464 
 ① -a<0

 ∴ 제 2, 4 사분면

x좌표는 -

보다 크고 3보다 작다.

;2!;

 ⑴ ㉡, ㉥  ⑵ ㉠, ㉤

y=

x에 y=1을 대입하면 1=



  ∴ x=3

;3!;

;3!;

  따라서 삼각형 AOB의  내부에 있는  점  중에서 y좌표가 1인  점의 

9 정비례와 반비례  |  51











 

 

 

 

 

 

 























  마찬가지로 y=-2x에 y=2를 대입하면 

2=-2x 

 ∴  x=-1

y=

x에 y=2를 대입하면 2=



 ∴  x=6

;3!;

;3!;

  따라서 삼각형 AOB의  내부에 있는  점  중에서 y좌표가 2인  점의  

x좌표는 -1보다 크고 6보다 작다.

y=

x에 x=6을 대입하면

y=

_6=2

∴  B(6, 2)

;3!;

;3!;

 이때 삼각형 AOB의 넓이가 12이므로

_(6a-2)_6=12

;2!;

470   점 P의 x좌표가 2이므로 y=

에 x=2를 대입하면

;[A;

y=


;2A;

∴  P

2,

{

;2A;}

 점 Q의 x좌표가 8이므로 y=

에 x=8을 대입하면

;[A;

y=


;8A;

∴  Q

8,

{

;8A;}

 이때 두 점 P, Q의 y좌표의 차가 3이므로

=3,

a=3

∴  a=8

;2A;-;8A;

;8#;

471   y=

;[A;

에 x=

, y=6을 대입하면

;2&;

6=aÖ


;2&;

∴  a=21, 즉 y

=:ª[Á:

18a-6=12, 18a=18

∴  a=1

 1

474   점 P의 x좌표를 k라 하면 P(k, ak)
 이때 삼각형 PAB와 삼각형 PCD의 넓이가 같으므로

_3_ak=

_2_k,

a=1

;2!;

;2#;

;2!;

 ∴ a=



;3@;

 

;3@;

 8

 참고   삼각형 PAB에서 선분 AB를 밑변으로 하면 높이는 점 P의 
y좌표와 같다.

 한편 삼각형 PCD에서 선분 CD를 밑변으로 하면 높이는 점 P의 x

좌표와 같다.

 이때 y=

의 그래프 위에 있는 점 중에서 x좌표와 y좌표가 모

:ª[Á:

두 정수이려면 x좌표가 +(21의 약수) 또는 -(21의 약수)이어야

한다. 따라서 21의 약수는 1, 3, 7, 21이므로 구하는 점은 (1, 21),

(3, 7), (7, 3), (21, 1), (-1, -21), (-3, -7), (-7, -3),

y=

에 x=3을 대입하면

;[A;

y=


;3A;

∴  A

3,

{

;3A;}

(-21, -1)의 8개이다.

 8개

y=

에 x=-3을 대입하면

;[A;

475   두 점 A, B는 y=

의 그래프 위에 있으므로

;[A;

y=-


;3A;

∴  B

-3, -

{

;3A;}

 이때 (직각삼각형 ABC의 넓이)

=

;2!;

_(선분 BC의 길이)_(선분 AC의 길이)

=

_6_

a=2a

;2!;

;3@;

472   점 A가 y=

의 그래프 위에 있으므로

;[A;

y=

에 x=2, y=6을 대입하면

;[A;

6=



;2A;

∴  a=12, 즉 y=

:Á[ª:

y=

:Á[ª:

4=


:Ámª:

에 x=m, y=4를 대입하면

∴  m=3, 즉 B(3, 4)

 Ú y=kx의 그래프가 점 A(2, 6)을 지날 때

 6=2k

∴  k=3

 4=3k

∴  k=

;3$;

473   두 점 A, B의 x좌표가 모두 6이므로


y=ax에 x=6을 대입하면



y=6a

∴  A(6, 6a)

52  |  정답과 해설

 점 B가 y=

의 그래프 위에 있으므로

:Á[ª:

 이므로 2a=12

∴  a=6

 6

476   점 A의 x좌표가 -k이므로 y=-

에 x=-k를 대입하면

;[$;

y=-

4
-k

=


;k$;

∴  A

-k,

{

;k$;}

 Û y=kx의 그래프가 점 B(3, 4)를 지날 때

 점 C의 x좌표가 k이므로 y=-

에 x=k를 대입하면

;[$;

 Ú, Û에 의하여 y=kx의 그래프가 선분 AB와 만나도록 하는 k

 이때 (선분 AB의 길이)=

, (선분 BD의 길이)=2k,

 의 값의 범위는

ÉkÉ3

;3$;

 

;3$;

ÉkÉ3

(선분 CD의 길이)=

이므로 삼각형 ABD와 삼각형 BCD의 넓

;k$;

;k$;

y=-


;k$;

∴  C

k, -

{

;k$;}

 이는 같다.

 ∴ (사각형 ABCD의 넓이)=2_(삼각형 ABD의 넓이)



=2_

_2k_

=8

{;2!;

;k$;}

 8











 

 





















477   점 A는 y=2x의 그래프 위에 있으므로 y=2x에 x=a, y=10

 ④ y=

에 x=200을 대입하면

:£:¤[¼:¼:

을 대입하면

10=2a

∴  a=5, 즉 A(5, 10)

 정사각형 ABCD는 한 변의 길이가 4이므로 점 B의 좌표는
(5, 6), 점 C의 좌표는 (9, 6)이다.

 따라서 y=bx에 x=9, y=6을 대입하면

6=9b

∴  b=


;3@;

478   오른쪽 그림에서 사다리꼴


COAB의 넓이는

y

3

C

B

y=ax

_(2+4)_3=9

;2!;

이때 y=ax의 그래프와 선분 AB가

O

2

x

만나는 점을 D라 하면 점 D의 좌표는

(4, 4a)이다.

(삼각형 DOA의 넓이)=

_(사다리꼴 COAB의 넓이)이므로

;2!;





 

;3@;

D

A
4

_4_4a=

_9

;2!;

;2!;

8a=


;2(;

∴  a=


;1»6;

참고   (삼각형 COB의 넓이)=

_2_3=3이고

;2!;

_(사다리꼴 COAB의 넓이)=

_9=

;2!;

;2(;이므로 y=ax의 그래

;2!;

  프는 선분 AB와 만난다.

479   점 E의 x좌표는 -10이므로 y=ax에 x=-10을 대입하면


∴  E(-10, -10a)

y=-10a

 점 F의 x좌표는 -2이므로 y=ax에 x=-2를 대입하면

y=-2a

∴  F(-2, -2a)

이때 (직사각형 ABCD의 넓이)=8_6=48이고,

(사다리꼴 EBCF의 넓이)=

_(직사각형 ABCD의 넓이)이므로

;2!;

_{(-10a)+(-2a)}_8=

_48



;2!;

;2!;

 -48a=24

∴  a=-


;2!;

 y=

:£2¤0¼0¼:

=18

데 18분이 걸린다.

  따라서 1분당 200타를 입력할 수 있는 학생은 과제를 끝내는

 ⑤  y=

에 x=300을 대입하면

:£:¤[¼:¼:

  y=

:£:¤[¼:¼:

에 x=240을 대입하면

 y=

=12

:£3¤0¼0¼:

 y=

=15

:£2¤4¼0¼:

  따라서 1분당 300타를 입력할 수 있는 학생은 1분당 240타를

입력할 수 있는 학생보다 15-12=3(분) 먼저 과제를 끝낼 수

있다.

 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

 ⑤

482   점 P는 1초에 3`cm씩 움직이므로 x초 후 선분 BP의 길이는
3x`cm이고, 점 Q는 1초에 1`cm씩 움직이므로 x초 후 선분 AQ

 

;1»6;

의 길이는 x`cm이다.

 ∴ y=

_(x+3x)_10=20x

;2!;

y=20x에 y=50을 대입하면

50=20x

∴  x=


;2%;

 따라서 사각형 ABPQ의 넓이가 50`cmÛ`가 되는 것은 두 점 P, Q

 가 동시에 출발한 지

초 후이다.

;2%;

 

초 후

;2%;

483   x단계에서 만들어진 도형의 둘레의 길이 y를 표로 나타내면 다

음과 같다.

x (단계)



1

4

2

8

3

12

4

16

y

y

한 단계씩 증가할 때마다 만들어진 도형의 둘레의 길이는 4씩 증

가하므로 x와 y 사이의 관계식은 y=4x

 -

;2!;

y=4x에 y=100을 대입하면

100=4x

∴  x=25

480   무게가 x`g인 물체가 손잡이로부터 y`cm 떨어져 있다고 하면

 따라서 25단계에서 만들어진 도형의 둘레의 길이가 100이 된다.

 25단계

xy=80_15=1200

∴  y=

:Á:ª[¼:¼:

y=

:Á:ª[¼:¼:

에 x=120을 대입하면

y=

:Á1ª2¼0¼:

=10

484   두 그래프가 모두 원점을 지나는 직선이므로
 Ú 탄수화물의 그래프

 y=ax(a+0)라 하고 x=1, y=4를 대입하면

 따라서 물체 A는 손잡이로부터 10`cm 떨어져 있다.

 a=4

∴  y=4x

 Û 지방의 그래프

 10`cm

481   1분당 x타씩 y분을 입력해야 3600타를 입력하므로

xy=3600

∴  y=

(x>0)

:£:¤[¼:¼:

 y=b(b+0)라 하고 x=1, y=9를 대입하면

 b=9

∴  y=9x

 이때 빵 한 개에 탄수화물 10`g, 지방 4`g이 들어 있으므로

(빵 한 개의 열량)=4_10+9_4=76`(kcal)



 















 

 





















































9 정비례와 반비례  |  53





























 따라서 빵을 k개 먹었을 때의 열량을 456`kcal라 하면

STEP

3

고난도 문제

127쪽~128쪽

76k=456

 ∴ k=6

 즉 456`kcal의 열량을 얻으려면 이 빵을 6개 먹어야 한다.

487   두 점 A, B의 x좌표가 모두 6이므로


y=2x에 x=6을 대입하면

 6개

y=2_6=12

 ∴ A(6, 12)

y=ax에 x=6을 대입하면

y=6a

 ∴ B(6, 6a)

두 그래프가 모두 원점을 지나는 직선이므로

485 
 Ú  가영이의 그래프

 이때 선분 AB의 길이는 12-6a, 선분 BP의 길이는 6a이므로

(12-6a) : 6a=5 : 1, 12-6a=30a

y=ax(a+0)라 하고 x=40, y=30을 대입하면

 -36a=-12

 ∴ a=


;3!;

 

;3!;

30=40a

 ∴ a=

, 즉 y=

;4#;

x

;4#;

 Û  나영이의 그래프

y=bx(b+0)라 하고 x=60, y=30을 대입하면

30=60b

 ∴ b=

, 즉 y=

;2!;

x

;2!;

 출발한 지 p초 후에 두 사람의 거리의 차가 5`m가 된다고 하면

p-

p=5,

p=5

 ∴ p=20

;4#;

;2!;

;4!;

따라서 두 사람의 거리의 차가 5`m가 되는 것은 출발한 지 20초

후이다.

 20초 후

y

488   정비례 관계 y=2x의 그래프가 지나가는 정사각형에 적혀 있

이것은 1부터 30까지의 자연수 중에서 3의 배수를 제외한 수이므

로 구하는 수들의 합은 1부터 30까지의 자연수의 합에서 3의 배

y=ax(a+0)이라 하고 x=80, y=600을 대입하면

 =(1+30)+(2+29)+y+(15+16)

y=bx(b+0)라 하고 x=160, y=1000을 대입하면

 =(3+30)+(6+27)+y+(15+18)

는 수는

0<xÉ1에서 1, 2

1<xÉ2에서 4, 5

2<xÉ3에서 7, 8

3<xÉ4에서 10, 11

9<x<10에서 28, 29

수의 합을 뺀 값이다.

1+2+3+y+28+29+30

 =31_15

 =465

3+6+9+y+27+30

 =33_5

 =165

 따라서 구하는 수들의 합은



465-165=300

486   네 그래프가 모두 원점을 지나는 직선이므로
 Ú  A 학생의 그래프

600=80a

 ∴ a=

, 즉 y=

:Á2°:

x

:Á2°:

 Û  B 학생의 그래프

1000=160b

 ∴ b=

, 즉 y=

:ª4°:

x

:ª4°:

 Ü  C 학생의 그래프

y=cx(c+0)라 하고 x=40, y=200을 대입하면

200=40c

 ∴ c=5, 즉 y=5x

 Ý  D 학생의 그래프

y=dx(d+0)라 하고 x=200, y=800을 대입하면

800=200d

 ∴ d=4, 즉 y=4x

 ㉢ 속력이 가장 빠른 학생은 A이다.

 ㉤ y=

x에 x=80을 대입하면

:ª4°:

y=

_80=500

:ª4°:

y=5x에 x=80을 대입하면

y=5_80=400`

54  |  정답과 해설

 300

489   점 E의 x좌표가 2이므로 y=ax에 x=2를 대입하면


 ∴ E(2, 2a)

y=2a

 점 F의 x좌표가 4이므로 y=ax에 x=4를 대입하면

y=4a

 ∴ F(4, 4a)

 이때 (직사각형 ABCD의 넓이)=2_6=12이고,

(사다리꼴 EBCF의 넓이)=

_(직사각형 ABCD의 넓이)이므

;2!;

따라서 B 학생과 C 학생이 80초 동안 달렸을 때 이동한 거리

 로

_{(2a-1)+(4a-1)}_2=

_12

;2!;

;2!;

의 차는 500-400=100`(m)이다.

 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉤이다.

 ㉠, ㉡, ㉤

6a-2=6, 6a=8

 ∴ a=


;3$;

 

;3$;

  

































490   y=

;[#;

의 그래프 위에 있는 점 중에서 x좌표, y좌표가 모두 정

 수인 점은 (-1, -3), (-3, -1), (1, 3), (3, 1)이다.

 이때 각 점을 꼭짓점으로 하는 다각형은 다음 그림과 같다.

 점 B의 x좌표는 2이므로 16초 후 점 P의 x좌표는

2+

_16=6

∴  P(6, 0)

;4!;

 이때 점 Q는 y=

의 그래프 위에 있으므로

;[*;

(1, 3)

y

O

(3, 1)

x

(-3, -1)

(-1, -3)

 따라서 구하는 다각형의 넓이는



6_6-

2_

_4_4

2_

_2_2

[

{;2!;

}+

{;2!;

}]

 =36-20=16

 16

491   점 BÇ의 x좌표가 nÛ`이므로 y=

에 x=nÛ`을 대입하면

D가 y번 회전한다고 하면

aÛ`
x























y=

에 x=6을 대입하면

;[*;

y=

=


;3$;

;6*;

∴  Q

6,

{

;3$;}

 ∴ (사다리꼴 ABPQ의 넓이)=

_

4+

;2!;

{

;3$;}

_4

=



:£3ª:

 

:£3ª:

493   A가 x번 회전하는 동안 B가 b번 회전한다고 하면

18_x=24_b

∴  b=

x

;4#;

yy ㉠

B가 b번 회전할 때, C도 b번 회전하므로 C가 b번 회전하는 동안



14_b=21_y

∴  b=

y

;2#;

 ㉠, ㉡에서

x=

y

∴  y=

x

;4#;

;2#;

;2!;

yy ㉡

 y=

x

;2!;

 10

494   거북의 그래프는 원점을 지나는 직선이므로


y=ax(a+0)라 하고 x=80, y=6000을 대입하면

6000=80a

∴  a=75, 즉 y=75x

 이때 거북은 2시간 만에 결승점에 도착하였으므로

y=75x에 x=120을 대입하면

y=75_120=9000

 즉 출발 지점에서 도착 지점까지의 거리는 9000`m이다.

또 토끼가 거북보다 10분 늦게 결승점에 도착하였으므로 토끼가

결승점에 도착할 때까지 걸린 시간은 130분이다.

 따라서 토끼는 잠을 잔 이후에 130-110=20(분) 동안

9000-6000=3000 (m)를 달렸으므로 잠을 잔 이후의 토끼의

 속력은 분속

=150 (m)이다.

;:#2)0):);

 분속 150`m



y=

aÛ`
nÛ`



 ∴ SÇ=nÛ`_

nÛ`,

aÛ`
nÛ` }

∴  BÇ{
aÛ`
nÛ`

=aÛ`

 ∴

SÁ+Sª+y+SÁ¼¼
10aÛ`

aÛ`+aÛ`+y+aÛ`
10aÛ`

=

=

100aÛ`
10aÛ`

=10

492   점 A가 y=2x의 그래프 위에 있으므로


y=2x에 x=2를 대입하면

y=2_2=4

∴  A(2, 4)

y=

의 그래프가 점 A(2, 4)를 지나므로

;[A;

;[A;

y=

에 x=2, y=4를 대입하면

4=



;2A;

∴  a=8, 즉 y=

;[*;













9 정비례와 반비례  |  55

Memo

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