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천재교육

2020년 천재교육 중등 수학의 힘 베타 (유형) 2-2 답지

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중등 수학의 힘 베타 (유형) 2-2.pdf 다운로드 | 답지저장소

 

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수학의 힘 β(베타)  중2-2

정답과 해설

1

2

3

4

5

6

7

8

9

이등변삼각형

삼각형의 외심과 내심

평행사변형

여러 가지 사각형

도형의 닮음

평행선과 선분의 길이의 비

닮음의 활용

피타고라스 정리

경우의 수

확률

10

2

10

21

27

40

49

62

72

83

91

0017   ⑴ DFÓ, RHS  ⑵ ∠D, RHA

0018  ㉡ 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 두 직각삼

각형은 합동이다. ( RHA 합동)

㉢ 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같으므로 두 직

각삼각형은 합동이다. ( RHS 합동)   

 ㉡, ㉢

0019   ㉠과 ㉢에서 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로

두 직각삼각형은 합동이다. ( RHA 합동)

 

 ㉠과 ㉢, RHA 합동

0020   ㈎ ∠POB  ㈏ OPÓ  ㈐ ∠OAP  ㈑ PAÓ

0021   3

0023   3

0022   12

0024   30

1

이등변삼각형
이등변삼각형
이등변삼각형

STEP

1

기초 Build

0001   65ù

0002  ∠x=

_(180ù-110ù)=35ù   

;2!;

0003  ∠B=∠A=50ù


∴ ∠x=180ù-(50ù+50ù)=80ù 

0004  ∠ACB=180ù-120ù=60ù
∠A=∠ACB=60ù


 

 

∴ ∠x=180ù-(60ù+60ù)=60ù 

 60ù

0005  ∠B=

_(180ù-70ù)=55ù

;2!;

∴ ∠x=∠B=55ù (동위각) 

 

 55ù

0006  ∠C=∠B=58ù


∴ ∠x=∠C=58ù (엇각)  

0007   90

0008   5

p.7, 9

 35ù

 80ù

 58ù

 32

 20













STEP

2

적중유형 Drill

p.10~p.19

0025   ㈎ ACÓ  ㈏ ∠CAD  ㈐ SAS  ㈑ ∠C

0009  ∠ADB=90ù이므로 ∠x=180ù-(58ù+90ù)=32ù


∴ x=32 

 

0026   ㈎ ACÓ  ㈏ ∠CAD  ㈐ △ACD  ㈑ SAS  ㈒ ∠ADC  ㈓ 90ù

0010  x=2_10=20 

 

0011   ㈎ ∠C  ㈏ ∠CAD  ㈐ ADÓ  ㈑ ACÓ

0012  ∠C=180ù-(80ù+50ù)=50ù이므로 x=7 

   7

0014  ∠B=180ù-(70ù+40ù)=70ù이므로 x=8 

   8

0027   △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠C=70ù

이때 △BCD는 BCÓ=BDÓ인 이등변삼각형이므로
∠DBC =180ù-2∠C





=180ù-2_70ù=40ù

∴ ∠x =∠ABC-∠DBC

=70ù-40ù=30ù   

0028   △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로


∠C=∠B=3∠x

0013  ∠A=180ù-(100ù+40ù)=40ù이므로 x=6 

   6

 30ù

0015  ∠A=180ù-(44ù+92ù)=44ù이므로 x=10 

   10

(∠x+5ù)+3∠x+3∠x=180ù이므로

7∠x=175ù  ∴ ∠x=25ù 

 

 25ù

0016  ㉠ ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형

이다.

㉣ ∠JLK=180ù-112ù=68ù
  △JKL에서 ∠JKL=180ù-(44ù+68ù)=68ù
  ∴ ∠JKL=∠JLK
  즉 △JKL은 JKÓ=JLÓ인 이등변삼각형이다.   ㉠, ㉣

0029   △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠C=

_(180ù-∠A)

;2!;

=

;2!;

_(180ù-42ù)=69ù

이때 l∥BCÓ이므로 ∠x=∠C=69ù (엇각) 

  69ù

2  |  정답과 해설



 













0030  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

③, ④ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이

_(180ù-72ù)=54ù

0035   이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하

∴ ∠CAD =∠BAD-∠BAC





므로

=54ù-36ù=18ù 

 

 18ù

∠B=

_(180ù-∠BAC)

;2!;

=

;2!;

_(180ù-36ù)=72ù

△ABD에서 BAÓ=BDÓ이므로

∠BAD=

_(180ù-∠B)

;2!;

=

;2!;

0031   △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠B=∠C=

_(180ù-∠A)

;2!;

=

;2!;

_(180ù-100ù)=40ù

△BED에서 BDÓ=BEÓ이므로

∠BED=

_(180ù-∠B)

_(180ù-40ù)=70ù

또 △CFE에서 CEÓ=CFÓ이므로

∠CEF=

_(180ù-∠C)

;2!;

=

;2!;

;2!;

=

;2!;

_(180ù-40ù)=70ù

∴ ∠x=180ù-(∠BED+∠CEF)

0032  ∠DBC=∠x라 하면


△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠C=∠ABC=2∠DBC=2∠x
△DBC에서
135ù+∠x+2∠x=180ù이므로

3∠x=45ù  ∴ ∠x=15ù

즉 ∠ABC=2∠x=30ù이므로
△ABC에서
∠A =180ù-(∠ABC+∠C)

=180ù-(30ù+30ù)=120ù  

0033   ② ∠B=

_(180ù-∠BAC)

;2!;

;2!;

;2!;

   =

_(180ù-80ù)=50ù

④ BDÓ=

BCÓ=

_8=4`(cm) 

;2!;



















































 

따라서 옳은 것은 ③이다. 

 ③

0034  ① ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로


  ∠B=∠C





























































등분하므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ

⑤ △ABD와 △ACD에서
  ABÓ=ACÓ, ∠BAD=∠CAD, ADÓ는 공통
  ∴ △ABDª△ACD ( SAS 합동)
따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 

 

 ②

BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù
△PBD와 △PCD에서
BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC, PDÓ는 공통
따라서 △PBDª△PCD ( SAS 합동)이므로
PCÓ=PBÓ=5`cm 

 

0036  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠B=∠x


∠CAD =∠B+∠ACB

x

B

=∠x+∠x=2∠x

△ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로
∠CDA=∠CAD=2∠x
△BCD에서
∠DCE =∠B+∠BDC

=∠x+2∠x=3∠x





 5`cm

A

D

2x

2x

x

102$

C

E



 

 

D

0037  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠B=∠ACB=

_(180ù-100ù)=40ù

;2!;

∠CAD =180ù-100ù=80ù
△ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로
∠CDA=∠CAD=80ù
따라서 △DBC에서
∠x =∠B+∠D=40ù+80ù=120ù 



 120ù

0038  ∠B=∠x라 하면
△DBE에서

DBÓ=DEÓ이므로



∠DEB=∠B=∠x

 120ù

A

2x
x

2x

3x

E

30$
3x
C

x

B

∠ADE =∠B+∠DEB=∠x+∠x=2∠x
△EAD에서 EAÓ=EDÓ이므로
∠EAD=∠EDA=2∠x
△ABE에서
∠AEC=∠B+∠BAE=∠x+2∠x=3∠x
△AEC에서 AEÓ=ACÓ이므로
∠ACE=∠AEC=3∠x

1. 이등변삼각형  |  3

=180ù-(70ù+70ù)=40ù

 

 40ù

따라서 3∠x=102ù이므로 ∠x=34ù 

 34ù

=∠a+∠a=2∠a

∠x+37ù=53ù  ∴ ∠x=16ù 

 

 16ù

이때 △AEC에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
30ù+3∠x+3∠x=180ù

6∠x=150ù  ∴ ∠x=25ù 

 

 25ù

0042  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로



































































0039  ∠B=∠a라 하면


△DBE에서 DBÓ=DEÓ이
므로

2a

A

2a

D

3a

3a

120$

C

B

a

a

E

∠DEB=∠B=∠a

∠ADE =∠B+∠DEB





△EAD에서 EAÓ=EDÓ이므로
∠EAD=∠EDA=2∠a
△ABE에서
∠AEC =∠B+∠BAE=∠a+2∠a=3∠a
△AEC에서 AEÓ=ACÓ이므로
∠ACE=∠AEC=3∠a
이때 △ABC에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
120ù+∠a+3∠a=180ù

4∠a=60ù  ∴ ∠a=15ù

∴ ∠x=3∠a=3_15ù=45ù 

 

 45ù

0040  ∠A=∠x라 하면


△ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로
∠DBA=∠A=∠x

∠BDC =∠A+∠DBA



=∠x+∠x=2∠x

A

x

x

x

2x
2x

B

D

C

△BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로
∠BCD=∠BDC=2∠x
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ABC=∠C=2∠x
이때 △ABC에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠x+2∠x+2∠x=180ù

5∠x=180ù  ∴ ∠x=36ù



∴ ∠A=∠x=36ù 

 

0041  ∠B=3∠x라 하면


∠B :∠C=3 :2이므로

2x

A

3x

3x

B

M

∠C=2∠x
△MAB에서 MAÓ=MBÓ이므로
∠MAB=∠B=3∠x
△MCA에서 MAÓ=MCÓ이므로
∠MAC=∠C=2∠x
이때 △ABC에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
(3∠x+2∠x)+3∠x+2∠x=180ù

10∠x=180ù  ∴ ∠x=18ù



 36ù

2x

C

4  |  정답과 해설

























































∠ ABC=∠ACB=

_(180ù-32ù)=74ù

;2!;

∠DBC=

∠ABC=

_74ù=37ù

;2!;

;2!;

∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-74ù=106ù이므로

_106ù=53ù

∠DCE=

∠ACE=

;2!;

;2!;
△DBC에서
∠BDC+∠DBC=∠DCE이므로

0043  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠ABC=∠ACB=

_(180ù-48ù)=66ù

;2!;

∠DBC=

∠ABC=

_66ù=33ù

;2!;

;2!;

∠ACE =180ù-∠ACB=180ù-66ù=114ù이므로

_114ù=57ù

∠DCE=

∠ACE=

;2!;

;2!;
△DBC에서
∠BDC+∠DBC=∠DCE이므로

∠x+33ù=57ù  ∴ ∠x=24ù 

 

 24ù

0044  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠ABC=∠ACB=

_(180ù-72ù)=54ù

;2!;

∠DBC=

∠ABC=

_54ù=18ù

;3!;

;3!;

∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-54ù=126ù이므로

_126ù=63ù

∠DCE=

∠ACE=

;2!;

;2!;
△DBC에서
∠BDC+∠DBC=∠DCE이므로



∠x+18ù=63ù  ∴ ∠x=45ù 

 

 45ù

0045  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠B=∠ACB=

_(180ù-36ù)=72ù

;2!;

∴ x=72

또 ∠BCD=

∠ACB=

_72ù=36ù이므로

;2!;

;2!;

△BCD에서
∠CDB=180ù-(72ù+36ù)=72ù

즉 ∠B=∠CDB=72ù이므로

CDÓ=CBÓ=6`cm

∴ y=6 

 x=72, y=6

∴ ∠BAC=5∠x=5_18ù=90ù 

 

 90ù

0046   ㈎ ∠ACB  ㈏ ∠ACB  ㈐ ∠PCB  ㈑ PCÓ





















































0047  2x-4=x+4이므로 x=8 

 8

0052  ∠DCF=∠EDC=∠x (엇각),



0048  △ADC에서 DAÓ=DCÓ이므로
∠DCA=∠A=60ù


∴ ∠ADC =180ù-(60ù+60ù)=60ù
즉 △ADC는 정삼각형이므로
ADÓ=DCÓ=ACÓ=4`cm

또 ∠DCB=90ù-∠DCA=90ù-60ù=30ù이고
△ABC에서
∠B=180ù-(60ù+90ù)=30ù이므로





∠B=∠DCB

∴ DBÓ=DCÓ=4`cm 

0049   이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하

∠ECD=∠DCF=∠x (접은 각)이므로
△ECD에서 150ù=∠x+∠x
2∠x=150ù  ∴ ∠x=75ù 

 75ù

0053  ∠BAC=∠DAC (접은 각),


∠BCA=∠DAC (엇각)이므로 ∠BAC=∠BCA
따라서 △BCA에서

∠BCA=

_(180ù-60ù)=60ù

;2!;

∴ ∠x =180ù-∠BCA  

 4`cm

=180ù-60ù=120ù 

 120ù

므로

BDÓ=CDÓ=

`BCÓ=

_10=5`(cm)

;2!;

;2!;

∠EDB=∠EDC=90ù
△EBD와 △ECD에서
BDÓ=CDÓ, ∠BDE=∠CDE, EDÓ는 공통
따라서 △EBDª△ECD ( SAS 합동)이므로

∠BED=∠CED=

∠BEC

;2!;

=

_90ù=45ù

;2!;
△EBD에서
∠EBD=180ù-(90ù+45ù)=45ù

즉 ∠EBD=∠BED이므로

DEÓ=DBÓ=5`cm 

0054  ∠BAC=∠GAC (접은 각),


∠BCA=∠GAC (엇각)이므로 ∠BAC=∠BCA

∴ BAÓ=BCÓ=4 cm
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
4+4+6=14 (cm) 

 

 14`cm

0055   ∠A=∠x라 하면


∠DBE=∠A=∠x (접은 각)이므로

∠ABC =∠DBE+∠EBC=∠x+15ù
또 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠C=∠ABC=∠x+15ù
이때 △ABC에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠x+(∠x+15ù)+(∠x+15ù)=180ù

 5`cm

3∠x=150ù  ∴ ∠x=50ù 

 

 50ù

0050  ∠B=∠C이므로 ACÓ=ABÓ=12`cm


오른쪽 그림과 같이 APÓ를 그으면

A

0056  △ABC에서

12 cm

D

B

E
C

P

∠ABC=∠C=

_(180ù-38ù)=71ù

;2!;

이때 ∠EBD=∠A=38ù (접은 각)이므로

∠DBC =∠ABC-∠EBD



 

=71ù-38ù=33ù 

 33ù

△ABP=

_ABÓ_PDÓ

;2!;

=;2!;_12_PDÓ
=6 PDÓ`

△ACP=

_ACÓ_PEÓ

;2!;

=

;2!;

_12_PEÓ=6 PEÓ

Ó`

이때 △ABC=△ABP+△ACP이므로
60=6 PDÓ+6 PEÓ, 6(PDÓ+PEÓ)=60

∴ PDÓ+PEÓ=10`(cm) 

 10`cm

0051  ∠GFE=∠DFE=∠x (접은 각),


∠GEF=∠DFE=∠x (엇각)이므로
△GEF에서 68ù+∠x+∠x=180ù
2∠x=112ù  ∴ ∠x=56ù 





0057  △ABC에서

∠B=

_(180ù-44ù)=68ù

;2!;

△ BDF와 △CED에서
BFÓ=CDÓ
Ó, BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C
따라서 △BDFª△CED ( SAS 합동)이므로
∠BFD=∠CDE, ∠BDF=∠CED

∴ ∠FDE=180ù-(∠BDF+∠CDE)

=180ù-(∠BDF+∠BFD)

 

 

 56ù

=∠B=68ù  

 68ù



















































1. 이등변삼각형  |  5

=180ù-(∠BED+∠BDE)

⑵ (사다리꼴 ADEC의 넓이)=

_(5+7)_12

0058  △ABD와 △ACE에서


ABÓ=ACÓ, BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C
따라서 △ABDª△ACE ( SAS 합동)이므로
ADÓ=AEÓ
즉 △ADE에서 ADÓ=AEÓ이므로

0065  △ADB와 △CEA에서


∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ,

∠DBA=90ù-∠DAB=∠EAC
따라서 △ADBª△CEA ( RHA 합동)이므로
ADÓ=CEÓ=5`cm

∠x=

_(180ù-40ù)=70ù 

;2!;

 70ù

∴ △ADB=

_8_5=20`(cmÛ`) 

;2!;

 20`cmÛ`

















































0059  △ABC에서 ∠B=

_(180ù-52ù)=64ù

;2!;
△BED와 △CFE에서
BEÓ=CFÓ, BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C
따라서 △BEDª△CFE ( SAS 합동)이므로
∠BED=∠CFE, ∠BDE=∠CEF

∴ ∠DEF=180ù-(∠BED+∠CEF)

 

 

=∠B=64ù

이때 EDÓ=FEÓ이므로
△EFD에서

∠EDF=

_(180ù-64ù)=58ù 

;2!;

 58ù

0060  ①, ② 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같으므로 합

③ 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 합동이다.

동이다. ➡ RHS 합동

➡ RHA 합동

⑤ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므로 합동이

다. ➡ SAS 합동 

 ④

0061  Ú △ABC와 △GIH에서


∠C=∠H=90ù, ABÓ=GIÓ=5, ∠A=∠G=60ù
∴ △ABCª△GIH ( RHA 합동)

Û △DEF와 △QRP에서

∠E=∠R=90ù, DFÓ=QPÓ=6, DEÓ=QRÓ=4
∴ △DEFª△QRP ( RHS 합동) 

 ③

0062   ㈎ DEÓ  ㈏ ∠E  ㈐ ∠D  ㈑ ASA

0063   ㈎ ∠E  ㈏ ∠D  ㈐ SAS

0064  △ADB와 △BEC에서


∠ADB=∠BEC=90ù, ABÓ=BCÓ,

∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE
따라서 △ADBª△BEC ( RHA 합동)이므로
BEÓ=ADÓ=5`cm, BDÓ=CEÓ=3`cm

6  |  정답과 해설





















 

































0066  ⑴ △ADB와 △BEC에서


  ∠ADB=∠BEC=90ù, ABÓ=BCÓ,

  ∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE
  따라서 △ADBª△BEC ( RHA 합동)이므로
  BDÓ=CEÓ=7`cm, BEÓ=ADÓ=5`cm

  ∴ DEÓ=BDÓ+BEÓ=7+5=12`(cm)

;2!;

=72`(cmÛ`)

 ⑴ 12`cm ⑵ 72`cmÛ`

0067  △ADB와 △BEC에서


Ó,`
∠ADB=∠BEC=90ù, ABÓ=BCÓ

∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE
따라서 △ADBª△BEC ( RHA 합동)이므로
BEÓ=ADÓ=12`cm, ECÓ=DBÓ=5`cm
∴ △ABC=(사다리꼴 ADEC의 넓이)-2△ADB

=

_(12+5)_17-2_

_5_12

{;2!;

}

;2!;

=

:ª;2*;»:

-60=

:Á;2^;»:

`(cmÛ`) 

 :Á;2^;»:

`cmÛ`

0068  △ABD와 △BCE에서


∠ADB=∠BEC=90ù, ABÓ=BCÓ,

∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE
따라서 △ABDª△BCE ( RHA 합동)이므로
BDÓ=CEÓ=8`cm, BEÓ=ADÓ=15`cm

∴ DEÓ=BEÓ-BDÓ=15-8=7`(cm) 

 7`cm

0069  △BDM과 △CEM에서


∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ,

∠BMD=∠CME (맞꼭지각)
따라서 △BDMª△CEM ( RHA 합동)이므로
BDÓ=CEÓ=4`cm
∴ △ABC=△ABM+△ACM

=

_7_4+

_7_4

;2!;

;2!;

 

 

∴ DEÓ=BDÓ+BEÓ=3+5=8`(cm) 

 8`cm

=28`(cmÛ`)   

 28`cmÛ`

따라서 옳은 것은 ⑤이다.  

 ⑤

따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 

 ③

0070  △ADE와 △ACE에서


∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통, ADÓ=ACÓ
따라서 △ADEª△ACE ( RHS 합동)이므로
∠AED=∠AEC=180ù-(30ù+90ù)=60ù

∴ ∠x =180ù-(∠AED+∠AEC)

=180ù-(60ù+60ù)=60ù 

 60ù



 

0077  △ABD와 △AED에서


∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ∠BAD=∠EAD
따라서 △ABDª△AED ( RHA 합동)이므로 (⑤)
BDÓ=EDÓ (①), ABÓ=AEÓ (②)
이때 △ABC에서 BAÓ=BCÓ이므로















































0071  △BCE와 △BDE에서


∠BCE=∠BDE=90ù, BEÓ는 공통, BCÓ=BDÓ
따라서 △BCEª△BDE ( RHS 합동)이므로
∠DEB=∠CEB

0072  △BCD와 △BED에서


∠BCD=∠BED=90ù, BDÓ 는 공통, BCÓ=BEÓ
따라서 △BCDª△BED ( RHS 합동)이므로
EDÓ=CDÓ=4`cm
이때 △ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로

∠A=

_(180ù-90ù)=45ù

;2!;

△AED에서 ∠EDA=180ù-(45ù+90ù)=45ù이므로
EAÓ=EDÓ=4`cm

∴ △AED=

_4_4=8`(cmÛ`) 

;2!;

 8`cmÛ`

0073  △MBD와 △MCE에서


∠MDB=∠MEC=90ù, MBÓ=MCÓ, MDÓ=MEÓ
따라서 △MBDª△MCE ( RHS 합동)이므로
∠B=∠C
즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로

∠B=

_(180ù-70ù)=55ù   

;2!;

 55ù

0074   ㈎ ∠PDO  ㈏ ∠DOP  ㈐ △DOP  ㈑ RHA

0075  △COP와 △DOP에서


∠PCO=∠PDO=90ù, OPÓ는 공통, ∠COP=∠DOP
따라서 △COPª△DOP ( RHA 합동)이므로
OCÓ=ODÓ=5`cm, PDÓ=PCÓ=2.5`cm

∴ (사각형 CODP의 둘레의 길이) =5+5+2.5+2.5

=15`(cm)   15`cm

0076  △AED와 △ACD에서


∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD
따라서 △AEDª△ACD ( RHA 합동)이므로
EDÓ=CDÓ=3`cm

∴ △ABD=

;2!;

_10_3=15`(cmÛ`)  

 15`cmÛ`

















































∠C=

_(180ù-90ù)=45ù

;2!;
△EDC에서
∠EDC=180ù-(90ù+45ù)=45ù
즉 △EDC는 EDÓ=ECÓ인 직각이등변삼각형이다.
∴ BDÓ=EDÓ=ECÓ (④)

0078   오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ에
내린 수선의 발을 E라 하면
△ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90ù,





A

B

6 cm

D

20 cm
E



C

ADÓ는 공통,

∠BAD=∠EAD
따라서 △ABDª△AED ( RHA 합동)이므로
EDÓ=BDÓ=6`cm

∴ △ADC=

;2!;

_20_6=60`(cmÛ`) 

 60`cmÛ`

0079   오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에
내린 수선의 발을 E라 하면

A



16 cm

E

_16_EDÓ=40에서

;2!;

B

C

D

EDÓ=5`(cm)
이때 △AED와 △ACD에서
∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD
따라서 △AEDª△ACD ( RHA 합동)이므로
CDÓ=EDÓ=5`cm 

 5`cm

0080  △AED와 △ACD에서


∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD
따라서 △AEDª△ACD ( RHA 합동)이므로
AEÓ=ACÓ=6`cm,

BEÓ=ABÓ-AEÓ=10-6=4`(cm)
∴ (△BDE의 둘레의 길이) =BDÓ+DEÓ+EBÓ
=BDÓ+DCÓ+EBÓ





=BCÓ+EBÓ  

=8+4



=12`(cm) 

 12`cm

1. 이등변삼각형  |  7

△ABC에서
3∠x+(103ù-2∠x)+(103ù-2∠x)=180ù이므로

206ù-∠x=180ù  ∴ ∠x=26ù

∴ ∠BAC=3∠x=3_26ù=78ù 

 78ù

0085  ∠B=∠x라 하면


2x

D

F

2x

3x

4x

3x

B

x

x

E

6x

A

H

4x

6x

5x 5x

G

I

7x
C

이때 △ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로
∠BAC=∠C=7∠x

따라서 ∠x+7∠x+7∠x=180ù이므로

15∠x=180ù  ∴ ∠x=12ù 

 12ù

0086   ∠CAD=∠a라 하면


△CDA에서 CAÓ=CDÓ이므로
∠CDA=∠CAD=∠a

E

78$
a

A

2a
2a

C

B

a

D

∠ACB =∠CAD+∠CDA

=∠a+∠a=2∠a

△BCA에서 BAÓ=BCÓ이므로
∠BAC=∠BCA=2∠a

2∠a+∠a+78ù=180ù

3∠a=102ù  ∴ ∠a=34ù

이때 ∠BAC+∠CAD+∠DAE=180ù이므로

∠BAC=∠BCA=2∠a=2_34ù=68ù이므로
△ABC에서
∠B=180ù-(68ù+68ù)=44ù 

 44ù

0087   ∠BAC:∠BDC=4 : 3이므로


∠BAC=4∠x, ∠BDC=3∠x라 하면
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로



 36ù

∠ACB=

_(180ù-4∠x)

;2!;

=90ù-2∠x

∠ACE =180ù-(90ù-2∠x)



=90ù+2∠x

∠ACD=∠DCE

=

;2!;

_(90ù+2∠x)=45ù+∠x

△BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로
∠CBD=∠CDB=3∠x

STEP

3

심화유형 Master

p.20~p.22

0081   ADÓ=BDÓ이므로 △ABD는 이등변삼각형이다.


∴ ∠DBA=∠DAB

∠DBA=∠DAB=∠DAC=∠a라 하면
△ABC에서
2∠a+∠a+90ù=180ù이므로

3∠a=90ù  ∴ ∠a=30ù
따라서 △ABD에서
∠x =30ù+30ù=60ù 

 60ù

0082   ⑴ ABÓ=AEÓ이므로 △ABE는 이등변삼각형이다.

⑵ 정오각형의 한 내각의 크기는

180ù_(5-2)
5

=108ù이므

  로 ∠BAE=108ù

  ∴ ∠AEB=

_(180ù-108ù)=36ù

;2!;

⑶ 위의 ⑵와 같은 방법으로 ∠DEC=36ù이므로

  ∠BEC =∠AED-(∠AEB+∠DEC)

=108ù-(36ù+36ù)=36ù

 

 ⑴ 이등변삼각형  ⑵ 36ù  ⑶ 36ù

0083  ∠ PBA=∠x라 하면


△PAB에서 PAÓ=PBÓ이므로
∠PAB=∠PBA=∠x
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠ABC=2∠x
△ABC에서 ∠x+2∠x+2∠x=180ù이므로
5∠x=180ù  ∴ ∠x=36ù

∠PCQ =180ù-∠ACB=180ù-2∠x

=180ù-2_36ù=108ù

△CQP에서 CPÓ=CQÓ이므로

∠Q=;2!;_(180ù-108ù)=36ù 

0084   ∠BAD=∠x라 하면


∠BAC=3∠BAD=3∠x

∠DAC=2∠BAD=2∠x
△AEC에서
∠ACE =180ù-(2∠x+90ù)

=90ù-2∠x

∴ ∠ACD =∠ACE+13ù



=103ù-2∠x

△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠ACD=103ù-2∠x







8  |  정답과 해설















































































































=(90ù-2∠x)+13ù



이때 ∠DCE=∠CBD+∠CDB이므로

45ù+∠x=3∠x+3∠x

5∠x=45ù  ∴ ∠x=9ù

∴ ∠DCE=45ù+∠x=45ù+9ù=54ù 

 54ù

0088   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

A

0092  ∠EBC=∠x라 하면


∠DBE=∠EBC+15ù=∠x+15ù



C

∴ △ABC=

_BCÓ_AHÓ

;2!;

0093  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

BHÓ=CHÓ=

BCÓ

;2!;

=

;2!;

_12=6`(cm)

△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

B

H
12 cm

∠B=∠C=

_(180ù-90ù)=45ù

;2!;

△ABH에서
∠BAH=180ù-(45ù+90ù)=45ù  
따라서 △ABH는 AHÓ=BHÓ인 직각이등변삼각형이므로
AHÓ=BHÓ=6`cm

 

=

;2!;

_12_6=36`(cmÛ`) 

 36`cmÛ`

0089  ∠ABE=∠EBH=∠a라 하면


△ABF에서
∠AFB=180ù-(90ù+∠a)=90ù-∠a
△EBH에서
∠BEH=180ù-(90ù+∠a)=90ù-∠a

∴ ∠AEF=∠BEH=90ù-∠a (맞꼭지각)
따라서  ∠AEF=∠AFE이므로 △AEF는 AEÓ=AFÓ인
이등변삼각형이다. 
 AEÓ=AFÓ인 이등변삼각형

0090  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠C=∠a라 하면

△DHC에서 ∠D=180ù-(90ù+∠a)=90ù-∠a
또 △EBH에서
∠BEH=180ù-(90ù+∠a)=90ù-∠a







∴ ∠AED =∠BEH=90ù-∠a (맞꼭지각)
따라서  ∠D=∠AED이므로 △ADE는 ADÓ=AEÓ인 이
등변삼각형이다.

이때 ADÓ=AEÓ=x라 하면

ABÓ=x+3, ACÓ=7-x이므로

x+3=7-x, 2x=4  ∴ x=2

∴ ADÓ=2 

0091   ⑴ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

  ∠B=∠ACB=

_(180ù-64ù)=58ù

;2!;

  ∠DCB=∠B'CD=20ù (접은 각)이므로
  △DBC에서 ∠ADC=58ù+20ù=78ù
⑵ ∠B'=∠B=58ù이므로
  △B'DC에서
  58ù+(∠B'DA+78ù)+20ù=180ù





















































































































∠A=∠DBE=∠x+15ù (접은 각)
△ABC는 ABÓ=ACÓ이므로
∠C =∠ABC=∠DBE+∠EBC



=(∠x+15ù)+∠x=2∠x+15ù

△ABC에서
(∠x+15ù)+(2∠x+15ù)+(2∠x+15ù)=180ù

5∠x=135ù  ∴ ∠x=27ù

∴ ∠C =2∠x+15ù





=2_27ù+15ù=69ù 

 69ù

∠ABC=

_(180ù-40ù)=70ù

;2!;

∠EBC=∠ABC-∠ABE=70ù-33ù=37ù
△DBC와 △ECB에서
DBÓ=ABÓ-ADÓ=ACÓ-AEÓ=ECÓ,

∠DBC=∠ECB,

BCÓ는 공통
따라서 △DBCª△ECB ( SAS 합동)이므로
∠DCB=∠EBC=37ù
따라서 △PBC에서
∠EPC=37ù+37ù=74ù 

 74ù

0094   △ABD와 △ACE에서


ABÓ=ACÓ, BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C
따라서 △ABD≡△ACE ( SAS 합동)이므로
ADÓ=AEÓ
즉 △AED는 이등변삼각형이므로

∠ADE=

_(180ù-36ù)=72ù

;2!;
△ABD에서
∠B =180ù-2∠ADB  



 

=180ù-2_72ù=36ù 

 36ù

 2

0095  △ADB와 △BEC에서


∠D=∠E=90ù, ABÓ=BCÓ,

∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE (①)
따라서 △ADBª△BEC ( RHA 합동) (④)이므로
BEÓ=ADÓ=a, BDÓ=CEÓ=b

DEÓ=BDÓ+BEÓ=b+a (③)

(사각형 ADEC의 넓이)=

_(a+b)_(a+b)

;2!;

=

;2!;

(a+b)Û``(⑤)

  ∴ ∠B'DA=24ù 

 ⑴ 78ù  ⑵ 24ù

따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 

 ②

1. 이등변삼각형  |  9

0096   △AGD와 △AEB에서


∠ADG=∠ABE=90ù, AGÓ=AEÓ, ADÓ=ABÓ
따라서 △AGDª△AEB ( RHS 합동)이므로
∠EAB =∠GAD





=180ù-(60ù+90ù)=30ù

∠FAG=90ù-∠GAD=90ù-30ù=60ù이므로

∠EAG =∠EAB+∠FAG





=30ù+60ù=90ù

2

삼각형의 외심과 내심
삼각형의 외심과 내심
삼각형의 외심과 내심
삼각형의 외심과 내심

STEP

1

기초 Build

p.25, 27

0099   _ 

0100  ◯

0101   ◯ 

0102  _

 

 

 

즉 △AEG는 AEÓ=AGÓ인 직각이등변삼각형이므로

0103   _ 

0104  ◯

∠AEG=∠AGE=

_(180ù-90ù)=45ù

;2!;

따라서 △AEF에서
∠x =∠EAB+∠AEF



=30ù+45ù=75ù 

0105  △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=20ù


∴ x=20

 20

 75ù

0106  OCÓ=OAÓ=4 cm이므로 x=4

 4

0097   오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ

에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABD와 △HBD에서
∠BAD=∠BHD=90ù,

BDÓ는 공통,

B

C

H

10 cm

A

D

0107  OAÓ=OBÓ이므로 OAÓ=

ABÓ=

_6=3`(cm)

;2!;

;2!;

따라서 외접원의 반지름의 길이는 3`cm이다.

 3 cm

0108  OAÓ=OBÓ이므로 OAÓ=

ABÓ=

_5=

`(cm)

;2!;

;2%;

따라서 외접원의 반지름의 길이는

`cm이다.   

 cm

;2!;

;2%;

∠ABD=∠HBD
따라서 △ABDª△HBD ( RHA 합동)이므로
ADÓ=HDÓ, ABÓ=HBÓ
또한 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠C=

_(180ù-90ù)=45ù이고

;2!;
△DHC에서
∠CDH=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로

HCÓ=HDÓ=ADÓ

∴ ABÓ+ADÓ =HBÓ+HCÓ 

 

 

0109  ∠x+15ù+40ù=90ù이므로 ∠x=35ù

0110  ∠OBC=∠OCB=40ù이므로


∠x+40ù+20ù=90ù  ∴ ∠x=30ù

0111  ∠OAB=∠OBA=34ù이므로


34ù+∠x+25ù=90ù  ∴ ∠x=31ù

=BCÓ=10`cm 

 10`cm

0112  △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

∠OCA=

_(180ù-120ù)=30ù

;2!;

∠OBC=∠OCB=∠x이므로

15ù+∠x+30ù=90ù  ∴ ∠x=45ù

 45ù

0098  △AED와 △ACD에서


∠AED=∠ACD=90ù, ADÓ는 공통, ∠EAD=∠CAD
따라서 △AEDª△ACD ( RHA 합동)이므로
AEÓ=ACÓ=3

;2%;

 35ù

 30ù

 31ù

 100ù

 55ù

0113  ∠x=2∠A=2_50ù=100ù

0114  ∠x=

∠BOC=

_110ù=55ù

;2!;

;2!;

0115  ∠BOC=2∠A=2_65ù=130ù


△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

∠x=;2!;

_(180ù-130ù)=25ù

 25ù

 ;2#;

0116  △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=20ù


EBÓ=ABÓ-AEÓ=5-3=2

이때 DEÓ=DCÓ=x라 하면
△ABC=△ABD+△ADC에서

_4_3=

_5_x+

_x_3

;2!;

;2!;

;2!;

6=4x  ∴ x=

;2#;

따라서 DEÓ=

이므로

;2#;

△EBD=

_2_

=

;2#; 

;2#;

;2!;

10  |  정답과 해설























































































∠AOC=180ù-(20ù+20ù)=140ù

∴ ∠x=

∠AOC=

_140ù=70ù

;2!;

;2!;

 70ù

0134   외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 외심을 나타내

는 것은 ④이다.

 ④

0117   ◯



0118  ◯

0119   _

0120  _

0121   ◯

0122  ∠IBA=∠IBC이므로 x=20

0123  ∠IAB=∠IAC이므로 x=24

0124  ∠ICB=∠ICA=30ù이므로


△IBC에서 ∠IBC=180ù-(130ù+30ù)=20ù
∠IBA=∠IBC=20ù이므로 x=20

0125  IEÓ=IDÓ=2`cm이므로 x=2

0126  ∠ICA=∠ICB=∠x이므로


35ù+25ù+∠x=90ù  ∴ ∠x=30ù

0135  점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ
△ABO의 둘레의 길이가 13 cm이므로

OAÓ+OBÓ+5=13, 2 OAÓ=8



∴ OAÓ=4`(cm)
따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 4 cm이다.

 4 cm

0136  BDÓ=ADÓ=10 cm이므로 ABÓ=10+10=20 (cm)


CEÓ=BEÓ=8 cm이므로 BCÓ=8+8=16 (cm)

AFÓ=CFÓ=9 cm이므로 CAÓ=9+9=18 (cm)
∴ ( △ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ



=20+16+18

=54 (cm)



 54 cm

0137  OAÓ=OBÓ=OCÓ=r cm라 하면
2pr=12p  ∴ r=6


한편 OAÓ+OCÓ+ACÓ=18 cm이므로

6+6+ACÓ=18, ACÓ+12=18

0127  ∠IAB=∠IAC=32ù이고

∴ ACÓ=6 (cm)

 6 cm

∠IBA=∠IBC=

∠ABC=25ù이므로

;2!;

32ù+25ù+∠x=90ù  ∴ ∠x=33ù

 33ù

0138   직각삼각형 ABC의 외심은 빗변 BC의 중점과 일치하므로

외접원의 반지름의 길이는

0128  ∠x=90ù+

_54ù=117ù

;2!;

 117ù

`BCÓ=

_10=5 (cm)

;2!;

;2!;

 5 cm

0129  130ù=90ù+

∠x,

∠x=40ù

;2!;

;2!;

∴ ∠x=80ù

0130  AFÓ=ADÓ=2 cm, CFÓ=CEÓ=6 cm


∴ ACÓ=AFÓ+CFÓ=2+6=8 (cm), 즉 x=8

0131  BEÓ=BDÓ=(10-x) cm


AFÓ=ADÓ=x cm이므로 CEÓ=CFÓ=(6-x) cm

이때 BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로

8=(10-x)+(6-x), 2x=8  ∴ x=4

0139  OAÓ=OBÓ=OCÓ=

 BCÓ=

_14=7 (cm)

;2!;

;2!;

∠C=2∠B이고 ∠A+∠B+∠C=180ù이므로

90ù+∠B+2∠B=180ù

3∠B=90ù  ∴ ∠B=30ù
즉  ∠C=2∠B=60ù이고 △AOC는  OAÓ=OCÓ인  이등변
삼각형이므로 △AOC는 정삼각형이다.
∴ ACÓ=OAÓ=OCÓ=7 cm
∴ ( △AOC의 둘레의 길이) =OAÓ+OCÓ+ACÓ



=7+7+7

=21 (cm)



 21 cm

0132  △ABC=

_3_34=51

;2!;

0140   점 O가 직각삼각형 ABC의 외심이므로 점 O는 BCÓ의 중점





































 20

 24

 20

 2

 30ù

 80ù

 8

 4

 51

p.28~p.37

 ②

STEP

2

적중유형 Drill

0133  ② CEÓ=BEÓ, CFÓ=AFÓ

이다.

∴ △ABO=;2!;△ABC

=

;2!;

_

{;2!;

_12_5

}

=15`(cmÛ`)

 15 cmÛ`

2. 삼각형의 외심과 내심  |  11

0141  △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OCA=∠OAC=50ù


∴ ∠BOC =∠OAC+∠OCA

0145  ∠OAB=∠OBA=25ù이므로


25ù+∠x+38ù=90ù  ∴ ∠x=27ù

=50ù+50ù=100ù

 100ù

0146  2∠x+3∠x+4∠x=90ù이므로


9∠x=90ù  ∴ ∠x=10ù





















































다른 풀이 
△ABC에서 ∠B=180ù-(50ù+90ù)=40ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠B=40ù

∴ ∠BOC =180ù-(40ù+40ù)=100ù

0142  점 O는 빗변 AC의 중점이므로 △ABC의 외심이다.


∴ OAÓ=OBÓ=OCÓ
△OBC에서

∠C=

_(180ù-112ù)=34ù

;2!;

따라서 △ABC에서
∠A=180ù-(90ù+34ù)=56ù

 56ù

0143  점 O는 빗변 AC의 중점이므로 △ABC의 외심이다.


∴ OAÓ=OBÓ=OCÓ

∠COB=180ù_

=100ù이므로

;9%;

∠OBC=

_(180ù-100ù)=40ù

;2!;

 40ù

△OBC에서

다른 풀이 

∠AOB=180ù_

=80ù이므로

;9$;

△OAB에서

∠OBA=

_(180ù-80ù)=50ù

;2!;

∴ ∠OBC =90ù-∠OBA

=90ù-50ù=40ù

0144  △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠C=40ù


∠AOD =∠OAC+∠C



=40ù+40ù=80ù

따라서 △ADO에서
∠DAO =180ù-(90ù+80ù)=10ù

다른 풀이 
△OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠C=40ù
△ADC에서 ∠DAC=180ù-(90ù+40ù)=50ù
∴ ∠DAO =∠DAC-∠OAC

=50ù-40ù=10ù

12  |  정답과 해설







































 27ù

 10ù

A

O

 66ù

35$

C

25$

 55ù

0147  46ù+20ù+∠OAC=90ù이므로


∠OAC=24ù
이때 △OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OCA=∠OAC=24ù
따라서 △OCF에서
∠x=180ù-(90ù+24ù)=66ù

0148  오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면
35ù+∠OBA+25ù=90ù이므로


∠OBA=30ù
또 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=∠OCB=25ù

∴ ∠x =∠OBA+∠OBC



=30ù+25ù=55ù

x

B

0149  △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

∠OBC=

_(180ù-120ù)=30ù

;2!;

이때 34ù+30ù+∠OCA=90ù이므로

∠OCA=26ù

 26ù

0150  ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이고


∠OAB`:`∠OBC`:`∠OCA=3`:`2`:`1이므로

=45ù

∠OAB=90ù_

;6#;
이때 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OBA=∠OAB=45ù

∴ ∠AOB=180ù-(45ù+45ù)=90ù

 90ù

0151  △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OBA=∠OAB=40ù


∠ABC =∠OBA+∠OBC



=40ù+35ù=75ù

 10ù

∴ ∠AOC=2∠ABC=2_75ù=150ù

 150ù

0152  △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠OBC=20ù


∠BOC=180ù-(20ù+20ù)=140ù

∴ ∠A=

∠BOC=

_140ù=70ù

;2!;

;2!;

 70ù

























































0153  ∠ABC=

∠AOC=

_118ù=59ù이므로

;2!;

;2!;

∠OBC=∠ABC-∠OBA=59ù-47ù=12ù
이때 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠BOC =180ù-(12ù+12ù)=156ù

 156ù

다른 풀이 
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=47ù

∠AOB =180ù-(47ù+47ù)=86ù

∠AOB+∠BOC+∠COA=360ù이므로

86ù+∠BOC+118ù=360ù  ∴ ∠BOC=156ù

0154  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠ABC=

_(180ù-50ù)=65ù

∠BOC=2∠A=2_50ù=100ù
이때 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

∠OBC=

_(180ù-100ù)=40ù

;2!;

;2!;

∴ ∠OBA =∠ABC-∠OBC

=65ù-40ù=25ù

 25ù

0158  점 I는 △ABC의 내심이므로


① IDÓ=IEÓ=IFÓ=(내접원의 반지름의 길이)
② △IADª△IAF (RHA 합동)이므로
  ∠DIA=∠FIA
③ △IBDª△IBE (RHA 합동)이므로
  BDÓ=BEÓ
④ △ICEª△ICF(RHA 합동)
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

 ⑤

0159   삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 삼각형의
내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 내심을 나타내는

것은 ③, ⑤이다.

 ③, ⑤

0160  ∠IBC=∠IBA=30ù, ∠ICB=∠ICA=25ù이므로


△IBC에서 ∠BIC=180ù-(30ù+25ù)=125ù   125ù

0161  ∠ICB=∠ICA=35ù이므로


∠ACB=35ù+35ù=70ù
이때 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠B=∠ACB=70ù

∠CAB =180ù-(70ù+70ù)=40ù

0155  ∠AOB+∠BOC+∠COA=360ù이고


∠AOB`:`∠BOC`:`∠COA=2`:`3`:`4이므로

∠AOC=360ù_

=160ù

;9$;

∴ ∠ABC=

∠AOC

;2!;

∴ ∠x=

∠CAB=

_40ù=20ù

 20ù

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

0162  ∠IBC=

∠ABC=

_50ù=25ù

25ù+∠x+28ù=90ù이므로 ∠x=37ù

 37ù

=

;2!;

_160ù=80ù

 80ù

0163  ∠IAB+40ù+20ù=90ù이므로 ∠IAB=30ù

 30ù

A

54$

D

O

108$

x

C
 36ù

20$

25$

A

O

4 cm

25$

C

20$

B

0156  오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면
∠BOC =2∠A=2_54ù=108ù

이때 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로



∠x=

_(180ù-108ù)=36ù

;2!;

B

0157  오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면


△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=20ù
△OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=25ù

∠BAC =∠OAB+∠OAC



=20ù+25ù=45ù

∴ ∠BOC=2∠BAC=2_45ù=90ù

따라서 부채꼴 BOC의 넓이는

p_4Û`_

=4p (cmÛ`)

90
360

0164   오른쪽 그림과 같이 AIÓ를 그으면
∠BAI+27ù+33ù=90ù이므로

∠BAI=30ù

∴ ∠x=2∠BAI=2_30ù=60ù

A

x



I

27$

33$

B

C
 60ù

0165  ∠IAC=∠IAB=25ù이므로


∠BAC=25ù+25ù=50ù

∴ ∠BIC=90ù+

∠BAC

;2!;

;2!;

0166  ∠AIB =180ù-55ù=125ù

∠AIB=90ù+

∠C이므로

;2!;

=90ù+

_50ù=115ù

 115ù

 4p cmÛ`

∴ ∠C=70ù

 70ù

125ù=90ù+

∠C,

∠C=35ù  

;2!;

;2!;

2. 삼각형의 외심과 내심  |  13





































0167  ∠BIC=90ù+

∠A=90ù+

_60ù=120ù

;2!;

;2!;

0174  내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

∴ ∠BI'C=90ù+

∠BIC

;2!;

;2!;

=90ù+

_120ù=150ù

 150ù

0168  ∠AIB+∠BIC+∠CIA=360ù이고


∠AIB : ∠BIC : ∠CIA=6 : 7 : 5이므로

∠BIC=360ù_

=140ù

;1¦8;

∠BIC=90ù+

∠BAC이므로

;2!;

140ù=90ù+

∠BAC,

∠BAC=50ù

;2!;

;2!;

∴ ∠BAC=100ù

 100ù

0169  BEÓ=x cm라 하면 BDÓ=BEÓ=x cm


CFÓ=CEÓ=(10-x) cm, AFÓ=ADÓ=(7-x) cm

이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로

8=(7-x)+(10-x), 2x=9  ∴ x=

`

;2(;

따라서 BEÓ의 길이는

cm이다.

;2(;

 

;2(;

 cm

0170  BEÓ=BDÓ=4 cm


CFÓ=CEÓ=3 cm이므로

ADÓ=AFÓ=6-3=3 (cm)

ABÓ=ADÓ+BDÓ=3+4=7 (cm)

BCÓ=BEÓ+CEÓ=4+3=7 (cm)
∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ



0171  사각형 IECF는 정사각형이므로
CEÓ=CFÓ=IEÓ=2`cm


ADÓ=AFÓ=6-2=4`(cm)

BDÓ =BEÓ=8-2=6`(cm)

∴ ABÓ =ADÓ+BDÓ=4+6=10`(cm)

 10 cm

0172  내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

84=

_r_(15+14+13)이므로

21r=84  ∴ r=4

따라서 내접원 I의 반지름의 길이는 4 cm이다.   4 cm

0173  63=

_3_(ABÓ+BCÓ+CAÓ)이므로

;2!;

;2!;













































14  |  정답과 해설

△IAB=

;2!;

_16_r=8r`(cmÛ`)

△IBC=

;2!;

_12_r=6r`(cmÛ`)

△ICA=

;2!;

_10_r=5r`(cmÛ`)

∴ △IAB : △IBC : △ICA =8r : 6r : 5r



=8 : 6 : 5

 8 : 6 : 5

0175  내접원 I의 반지름의 길이를 r cm라 하면

_4_3=

_r_(5+4+3)이므로

;2!;

;2!;

6r=6  ∴ r=1

따라서 내접원 I의 반지름의 길이는 1 cm이다.   1 cm

0176   내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

_9_12=

_r_(15+9+12)이므로

;2!;

;2!;

18r=54  ∴ r=3

따라서 내접원 I의 반지름의 길이는 3`cm이다.

∴ (색칠한 부분의 넓이)
  =△ABC-(원 I의 넓이)

=54-p_3Û`

=54-9p (cmÛ`)

0177  점 I는 △ABC의 내심이므로


∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB

또 DEÓ∥BCÓ이므로

 (54-9p) cmÛ`

DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ
∴ ( △ADE의 둘레의 길이)
  =ADÓ+DEÓ+AEÓ

  =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ

  =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ)

  =ABÓ+ACÓ



  =16+12=28`(cm)

0178  오른쪽 그림과 같이 BIÓ, CIÓ를 그
으면 점 I는 △ABC의 내심이므로

∠DBI=∠IBC



∠ECI=∠ICB

DEÓ∥BCÓ이므로



 28 cm

A

4 cm

E
2 cm
C

6 cm

D

I

3 cm

B





























































(ABÓ+BCÓ+CAÓ)=63

;2#;

∴ ABÓ+BCÓ+CAÓ=42`(cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는 42 cm이다.   42 cm

∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각)

즉 ∠DIB=∠DBI, ∠EIC=∠ECI이므로

DIÓ=DBÓ=3`cm, EIÓ=ECÓ=2`cm

∴ DEÓ=DIÓ+EIÓ=3+2=5`(cm)

 5 cm

=7+7+6



=20 (cm)

 20 cm

∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각)

즉 ∠DIB=∠DBI, ∠EIC=∠ECI이므로



































0179  ⑴ 점 I는 내심이므로 ∠IBC=∠DBI=25ù

DEÓ∥BCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC=25ù (엇각)

⑵ 점 I는 내심이므로 ∠ICB=∠ECI=35ù

 DEÓ∥BCÓ이므로 ∠EIC=∠ICB=35ù (엇각)
⑶ △DBI에서 ∠DIB=∠DBI이므로 DIÓ=DBÓ
△ECI에서 ∠EIC=∠ECI이므로 EIÓ=ECÓ
∴ ( △ADE의 둘레의 길이)
=ADÓ+DEÓ+AEÓ

=ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ

=(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ)

=ABÓ+ACÓ

=12+10=22`(cm)

0185  △ABC에서


∠ACB=180ù-(50ù+90ù)=40ù
이때 점 O가 △ABC의 외심이므로
OAÓ=OBÓ=OCÓ
따라서 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=∠OCB=40ù
한편 점 I가 △ABC의 내심이므로

_40ù=20ù

∠ICB=

∠ACB=

;2!;

;2!;
따라서 △PBC에서
∠BPC =180ù-(40ù+20ù)=120ù

 120ù

 ⑴ 25ù  ⑵ 35ù  ⑶ 22 cm

0186  외접원의 반지름의 길이는

0180  ABÓ+ACÓ=( △ADE의 둘레의 길이)=10`cm이므로
(△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+ACÓ+BCÓ


ABÓ=

_17=

(cm)

;2!;

;2!;

:Á2¦:

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

=10+5=15`(cm)   15 cm

_15_8=

_r_(17+15+8)이므로

;2!;

;2!;



















=90ù+

_52ù=116ù

 116ù

0187  외접원의 반지름의 길이는

0181  ∠A=

∠BOC=

_104ù=52ù

;2!;

;2!;

∴ ∠BIC=90ù+

∠A

0182  ∠BOC=2∠A=2_64ù=128ù

∠BIC=90ù+

∠A

=90ù+

_64ù=122ù

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

∴ ∠BOC+∠BIC=128ù+122ù=250ù

 250ù

0183  △ABC에서 ∠A =180ù-(48ù+60ù)=72ù


∠BOC=2∠A=2_72ù=144ù

∠BIC=90ù+

∠A

=90ù+

_72ù=126ù

0184   ⑴ ∠BOC=2∠A=2_48ù=96ù


  △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

  ∠OBC=

_(180ù-96ù)=42ù

⑵ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

  ∠ABC=

_(180ù-48ù)=66ù

;2!;

;2!;

∴ ∠BOC-∠BIC=144ù-126ù=18ù

 18ù

0188  외접원의 반지름의 길이는

20r=60  ∴ r=3

따라서 내접원의 반지름의 길이는 3`cm이다.

 외접원 : 

 cm, 내접원 : 3 cm

:Á2¦:

ABÓ=

_10=5`(cm)

;2!;

;2!;

∴ (원 O의 넓이)=p_5Û`=25p (cmÛ`)

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

_8_6=

_r_(10+8+6)이므로

;2!;

;2!;

12r=24  ∴ r=2

따라서 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이다.

∴ (원 I의 넓이)=p_2Û`=4p (cmÛ`)

따라서 두 원 O, I의 넓이의 합은

25p+4p=29p (cmÛ`)

 29p cmÛ`

`BCÓ=

_5=

(cm)

;2!;

;2%;

;2!;

내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면

_3_4=

_r_(3+5+4)이므로

;2!;

;2!;

6r=6  ∴ r=1

따라서 내접원의 반지름의 길이는 1`cm이다.

∴ (색칠한 부분의 둘레의 길이)

  =(원 O의 둘레의 길이)+(원 I의 둘레의 길이)

2. 삼각형의 외심과 내심  |  15

  ∴ ∠IBC=

∠ABC=

_66ù=33ù

;2!;

;2!;

⑶ ∠OBI =∠OBC-∠IBC



=42ù-33ù=9ù

 ⑴ 42ù  ⑵ 33ù  ⑶ 9ù

  =2p_

+2p_1=7p (cm)

;2%;

 7p cm































































0189  오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를


B

54$

38$

16$

그으면
△OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=∠x+16ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OBC=∠OCB=16ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=16ù+38ù=54ù
이때 △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
(54ù+∠x+16ù)+38ù+∠x=180ù

O

2∠x=72ù  ∴ ∠x=36ù

 36ù

0190  오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를


25$

A

O

35$

그으면
△OAC에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OAC=∠OCA=25ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OBA=∠OAB=25ù+35ù=60ù
∠OBC=∠x-60ù이고 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠OBC=∠x-60ù

B

x

25$

C

∠ACB=∠x-60ù-25ù=∠x-85ù
이때 △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
35ù+∠x+(∠x-85ù)=180ù

2∠x=230ù  ∴ ∠x=115ù

 115ù

0191  ∠BAD=∠DAC=∠x,


∠ACE=∠ECB=∠y라 하면
△ABD에서 ∠a=∠x+64ù
△EBC에서 ∠b=64ù+∠y
한편 △ABC에서
64ù+2∠x+2∠y=180ù이므로

A

x
b

x

I

E

64$

B

a

D

y
y

C

2(∠x+∠y)=116ù  ∴ ∠x+∠y=58ù

∴ ∠a+∠b =(∠x+64ù)+(64ù+∠y)

=58ù+128ù=186ù

 186ù

0192  ∠ABD=∠DBC=∠x,


∠ACE=∠ECB=∠y라 하면
△AEC에서 ∠a=70ù+∠y
△ABD에서 ∠b=70ù+∠x
한편 △ABC에서
70ù+2∠x+2∠y=180ù이므로

A

70$

I

E

a

x
x

B

b

D

y
y

C

2(∠x+∠y)=110ù  ∴ ∠x+∠y=55ù

∴ ∠a+∠b =(70ù+∠y)+(70ù+∠x)

=140ù+55ù=195ù

 195ù































































16  |  정답과 해설



















































A

x+16$

C

x

16$

STEP

3

심화유형 Master

p.38~p.40

0193   OAÓ=OBÓ=OCÓ=

`BCÓ=

_(16+9)=

이므로

;2!;

;2!;

:ª2°:

ODÓ=OCÓ-DCÓ=

-9=

:ª2°:

;2&;

이때 △AOD=

;2!;

_OAÓ_DEÓ=

_ODÓ_ADÓ이므로

;2!;

_

;2!;

:ª2°:

_DEÓ=

_

;2!;

;2&;

_12

`DEÓ=21  ∴ DEÓ=


;2*5$;

:ª4°:

 

;2*5$;

=2_55ù=110ù

 110ù

0194   △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=35ù


∠AOC =∠OAB+∠OBA

=35ù+35ù=70ù

△OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

∠OAC=

_(180ù-70ù)=55ù

;2!;

∴ ∠OO'C =2∠OAC

0195  △PBQ에서 PBÓ=PQÓ이므로


∠PBQ=∠PQB=∠a라 하고
△QPC에서 QPÓ=QCÓ이므로
∠QPC=∠QCP=∠b라 하자.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=∠a
△OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로
∠OAC=∠OCA=∠b

∴ ∠A=∠a+∠b

한편 ∠BOC=2∠A이므로

A

ba

a
O

P

a

b

Q

b

B

C

∠POQ=∠BOC=2(∠a+∠b)(맞꼭지각)
△OQP에서
2(∠a+∠b)+∠a+∠b=180ù이므로

3(∠a+∠b)=180ù  

∴ ∠a+∠b=60ù

∴ ∠A=∠a+∠b=60ù

 60ù

0196   점 I는 세 내각의 이등분선의 교점이므로 △ABC의 내심이

다. ➡ ㉠, ㉤

또한 점 I에서 세 점 D, E, F에 이르는 거리가 같으므로 점 I
는 △DEF의 외심이다. ➡ ㉣
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣, ㉤이다.

 ㉠, ㉣, ㉤



























































0197  △ABC에서 ∠BAC=180ù-(40ù+80ù)=60ù


이때 점 I는 △ABC의 내심이므로

∠IAC=

∠BAC=

_60ù=30ù

;2!;

;2!;

또 △AHC에서 ∠HAC=180ù-(90ù+80ù)=10ù
∴ ∠IAH =∠IAC-∠HAC

=30ù-10ù=20ù



 20ù

0201   오른쪽 그림과 같이 IDÓ를 그으면  사각형

A



DBEI는 정사각형이므로

BEÓ=BDÓ=IEÓ=2 cm

이때 ADÓ=AFÓ, CEÓ=CFÓ이므로

ADÓ+CEÓ=AFÓ+CFÓ=ACÓ=12 cm

∴ △ABC=

;2!;

_2_(ABÓ+BCÓ+CAÓ)

12 cm

D
B

I

F

C
2 cm

E

0198  △ABC에서 ∠BAC=180ù-(60ù+40ù)=80ù

∠IAC=

∠BAC=

_80ù=40ù이므로

;2!;

;2!;
△AHC에서 ∠CAH=180ù-(90ù+40ù)=50ù
∴ ∠x=∠CAH-∠IAC=50ù-40ù=10ù

∠ICA=

∠ACB=

_40ù=20ù이므로

;2!;

;2!;
△AIC에서
∠y=∠IAC+∠ICA=40ù+20ù=60ù

=

;2!;

=

;2!;

=

;2!;

_2_(ADÓ+BDÓ+BEÓ+CEÓ+CAÓ)

_2_(ADÓ+CEÓ+BDÓ+BEÓ+CAÓ)

_2_(12+2+2+12)

=28 (cmÛ`)

 28 cmÛ`

0202   오른쪽  그림과  같이  OAÓ,  OBÓ,
OCÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길

이를 r라 하면

B

A



O'

5

C

13

O

12

0199  CFÓ=x라 하면


CEÓ=CFÓ=x이므로

BDÓ=BEÓ=7-x,

ADÓ=AFÓ=6-x

 ∠x=10ù, ∠y=60ù

A

6-x
F

6-x
D
5
7-x

I

B

7-x

E

P

C

Q

x

G

x

△OAB=

_13_r=

;2!;

r

:Á2£:

△OBC=

;2!;

_12_r=6r

△OCA=

_5_3r=

r

:Á2°:

△ABC=

_12_5=30이고

;2!;

;2!;

이때 ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로

5=(6-x)+(7-x), 2x=8  ∴ x=4

PQÓ와 원 I의 접점을 G라 하면

QGÓ=QFÓ, PGÓ=PEÓ
∴ ( △QPC의 둘레의 길이)
  =QPÓ+PCÓ+CQÓ

  =(QGÓ+PGÓ)+PCÓ+CQÓ

  =(QFÓ+PEÓ)+PCÓ+CQÓ

  =(PCÓ+PEÓ)+(QFÓ+CQÓ)

  =CEÓ+CFÓ=4+4=8

0200   내접원의 반지름의 길이를 r라 하면

_4_3=

_r_(5+4+3)이므로

;2!;

;2!;

6r=6  ∴ r=1

따라서 내접원의 반지름의 길이는 1이다.

오른쪽 그림과 같이 점 I에서 BCÓ,

ACÓ에 내린 수선의 발을 각각 D,

E라 하면 사각형 IDCE는 정사각

형이므로

(색칠한 부분의 넓이)

B

A



I

D

3

E

C

5

4

=(사각형 IDCE의 넓이)-(부채꼴 DIE의 넓이)

=1_1-p_1Û`_

=1-

;4!;

p
4



 1-

p
4

△ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므로

30=

r+6r+

r, 20r=30

:Á2£:

:Á2°:

∴ r=

;2#;

따라서 원 O의 반지름의 길이는

이다.

;2#;

 ;2#;

 8



0203  ABÓ∥IPÓ이고 △ABC는 정삼각형이므로
∠IPQ=∠ABP=60ù (동위각)

ACÓ∥IQÓ이고 △ABC는 정삼각형이므로
∠IQP=∠ACQ=60ù (동위각)
즉 △IPQ는 정삼각형이므로
IPÓ=PQÓ=IQÓ







yy ㉠



오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ABI=∠IBP

A

I

9 cm

또 ABÓ∥IPÓ이므로

∠BIP=∠ABI (엇각)

B

P

Q

C

∴ ∠IBP=∠BIP
즉 △IBP는 이등변삼각형이므로
IPÓ=BPÓ
yy ㉡
마찬가지 방법으로 ∠ICQ=∠CIQ이므로 △IQC는 이등
변삼각형이다.

2. 삼각형의 외심과 내심  |  17





































































































∴ IQÓ=CQÓ

yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 BPÓ=PQÓ=CQÓ이므로

BPÓ=CQÓ=

`BCÓ=

_9=3 (cm)

;3!;

;3!;

∴ BPÓ+CQÓ=3+3=6 (cm)

 6 cm

0204  △ABC에서 외심 O와 내심 I가 일직선 위에 있으므로

△ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.

∴ ∠ACB=

_(180ù-72ù)=54ù

;2!;

이때 점 I는 △ABC의 내심이므로

∠ICA=

∠ACB=

_54ù=27ù

;2!;

;2!;
또 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠OEC=90ù
따라서 △PCE에서
∠EPC=180ù-(90ù+27ù)=63ù

 63ù

0205  △ABC에서 외심 O와 내심 I가 일직선 위에 있으므로
△ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.

오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으

A



면 ∠BOH=180ù-100ù=80ù

이므로

∠BOC=80ù+80ù=160ù
점 O는 △ABC의 외심이므로

B

100$ 

I
O

H

또 점 I는 △ABC의 내심이므로
∠CAD=∠BAD=35ù

∴ ∠DAE =∠CAD-∠CAE



=35ù-25ù=10ù

따라서 △ADE에서
∠x =180ù-(10ù+100ù)=70ù

 70ù



C

O

R cm

I

A

B

0207   오른쪽  그림과  같이  직각삼각형        
ABC의 외심을 O, 내심을 I라 하고 외

접원의 반지름의 길이를 R`cm, 내접

원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

r cm

(외접원 O의 넓이)=pRÛ`=36p

(내접원 I의 넓이)=prÛ`=4p  

∴ R=6

∴ r=2



이때 오른쪽 그림과 같이
△ABC와  내접원  I의  접점을
각각 D, E, F라 하고

A

F

O

x cm
D

I

6 cm

C

B

E

2 cm
y cm

C

이때 ACÓ=2COÓ=2_6=12 (cm)이고

ABÓ=x`cm,

BCÓ=y`cm라 하면

AFÓ=ADÓ=(x-2)`cm,

CFÓ=CEÓ=(y-2)`cm

ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로

12=(x-2)+(y-2)  

∴ x+y=16

∴ △ABC=

;2!;

_2_(x+y+12)

∠BAC=

∠BOC

;2!;

=

;2!;

_160ù=80ù

_(180ù-80ù)=50ù

∴ ∠ABH=

;2!;
점 I는 △ABC의 내심이므로

∠IBH=

∠ABH=

_50ù=25ù

;2!;

;2!;

∠OHB=90ù이므로
△OBH에서
∠OBH=180ù-(80ù+90ù)=10ù

∴ ∠IBO =∠IBH-∠OBH



=25ù-10ù=15ù

 15ù

0206   오른쪽  그림과 같이 OCÓ를 그으
면 점 O는 △ABC의 외심이므로
∠OCA=∠OAC=25ù



∴ ∠AOC =180ù-(25ù+25ù)

=130ù

A

35$

25$



I

O

x
D E

25$

C



B

∠B=

∠AOC=

;2!;

;2!;
△ABD에서 ∠ADE =35ù+65ù=100ù

_130ù=65ù이므로

18  |  정답과 해설

=

;2!;

_2_(16+12)

=28`(cmÛ`)

 28 cmÛ`

0208   점 O는 △BDC의 외심이므로
∠OCB=∠OBC=10ù


∠OAB=∠a, ∠OAC=∠b라 하면
점 O는 △ABC의 외심이므로
∠OBA =∠OAB=∠a

∠OCA=∠OAC=∠b

∠ABC =∠OBA-∠OBC

∠ACB =∠OCA-∠OCB

=∠a-10ù

=∠b-10ù





이때 △ABC에서
(∠a+∠b)+(∠a-10ù)+(∠b-10ù)=180ù이므로

2(∠a+∠b)=200ù  ∴ ∠a+∠b=100ù

∴ ∠BAC=∠a+∠b=100ù

 100ù





























































0209  오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면


OAÓ=OBÓ=OCÓ이므로

A

110$ 

0213   삼각형의 내접원의 중심은 삼각형의 내심( ㉥ )이므로 삼각형

의 세 내각의 이등분선의 교점( ㉧ )을 찾는다.

∠OAB=∠OBA

∠OAC=∠OCA

∴ ∠OBA+∠OCA



=∠OAB+∠OAC  

=∠A=110ù

B

C

O

D

 풀이 참조

0214  ⑴ [그림 1]의 △ABC와 △DEF를 ABÓ와 EDÓ를 맞대어 붙
이면 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형이 되

고, 이 직사각형의 넓이는 ab이다.

이때 사각형 ABOC의 내각의 크기의 합은 360ù이므로



또 [그림 2]에서 새로 만들어진 직사각형은 가로의 길이가

∠A+∠OBA+∠BOC+∠OCA=360ù에서

a+b+c, 세로의 길이가 r이므로 그 넓이는 r(a+b+c)

110ù+110ù+∠BOC=360ù  ∴ ∠BOC=140ù

이다.

∴ ∠D=

∠BOC=

_140ù=70ù

;2!;

;2!;

 70ù

0210  ∠BAD=∠DAC=∠a,


∠ABE=∠EBC=∠b라 하
면 △ABE에서
2∠a+∠b+65ù=180ù

A
a a

E

65$
I

D

b

70$

b

B

∴ 2∠a+∠b=115ù  
△ABD에서 ∠a+2∠b+70ù=180ù
∴ ∠a+2∠b=110ù  

㉠+㉡을 하면

3∠a+3∠b=225ù  ∴ ∠a+∠b=75ù
한편 △ABC에서
2∠a+2∠b+∠C=180ù이므로

∠C =180ù-2(∠a+∠b)

=180ù-2_75ù=30ù

서술형 Power Up!

 ∴ ab=r(a+b+c)
⑵ △ABC=△DEF이므로

 △ABC=

ab=

r(a+b+c)

;2!; 

;2!; 

 ⑴ 풀이 참조  ⑵ △ABC=

 r(a+b+c)

;2!;

0215  ⑴ △DBC와 △ECB에서


∠DBC=∠ECB

 ∠CDB=∠BEC=90ù, BCÓ는 공통, BDÓ=CEÓ
 따라서 △DBCª△ECB ( RHS 합동)이므로

 즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.
⑵ △BCE에서 ∠ECB=180ù-(90ù+24ù)=66ù
⑶ ∠DBC=∠ECB=66ù이므로
 △ABC에서 ∠A=180ù-(66ù+66ù)=48ù

 ⑴ ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형  ⑵ 66ù  ⑶ 48ù

0216  ⑴ △ABF와 △BCG에서


 ∠AFB=∠BGC=90ù, ABÓ=BCÓ,

 ∠BAF=90ù-∠ABF=∠CBG
 ∴ △ABFª△BCG (RHA 합동)
⑵ BGÓ=AFÓ=8 cm, BFÓ=CGÓ=5 cm이므로

C

yy ㉠

yy ㉡



 30ù

p.41~p.44

0211  지환 : 이등변삼각형의 두 밑각의 이등분선은 마주 보는 변과

 FGÓ=BGÓ-BFÓ=8-5=3 (cm)

수직이 아니다.

보검 : 직각삼각형과 둔각삼각형도 이등변삼각형이 될 수 있

다.

 지환, 보검, 풀이 참조

⑶ △AFG=

;2!;

_3_8=12 (cmÛ`)

 ⑴ 풀이 참조  ⑵ 3 cm  ⑶ 12 cmÛ`

0212  △ABD와 △ACD에서


ABÓ=ACÓ, ADÓ는 공통, ∠BAD=∠CAD
따라서 △ABDª△ACD ( SAS 합동)이므로
BDÓ=CDÓ

또 ∠ADB=∠ADC이고

∠ADB+∠ADC=180ù이므로

∠ADB=∠ADC=90ù  

yy ㉡

따라서 ㉠, ㉡에서 ADÓ는 BCÓ의 수직이등분선이다.

0217  ⑴ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치하므로 점 M은

△ABC의 외심이다.

 따라서 외접원의 반지름의 길이는

yy ㉠



`BCÓ=

_14=7 (cm)이므로

;2!;

;2!;

 외접원의 둘레의 길이는 2p_7=14p (cm)
⑵ △MAB에서 MAÓ=MBÓ이므로
 ∠MAB=∠B=38ù

 ∠AMH =∠MAB+∠MBA



 풀이 참조

=38ù+38ù=76ù



































































































2. 삼각형의 외심과 내심  |  19

 따라서 △AMH에서
 ∠MAH=180ù-(76ù+90ù)=14ù

 ⑴ 14p cm  ⑵ 14ù

∴ △ABC=(사각형 ADEC의 넓이)-2△ADB

_(5+7)_12-2_

_5_7

{;2!;

}

=

;2!;

=37

 37



























































0218  ⑴ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

 ∠ACB=

_(180ù-68ù)=56ù

;2!;
⑵ 점 I가 △ABC의 내심이므로

 ∠ICA=

∠ACB=

_56ù=28ù

;2!;

;2!;

⑶ 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠ODC=90ù
 따라서 △DEC에서
 ∠DEC=180ù-(90ù+28ù)=62ù

 ⑴ 56ù  ⑵ 28ù  ⑶ 62ù



 150ù

0219  ∠ABD=

∠ABC=

_60ù=30ù

;2!;

△ABD에서 ABÓ=BDÓ이므로

∠BDA=

_(180ù-30ù)=75ù

마찬가지 방법으로 ∠BDC=75ù

∴ ∠ADC =∠BDA+∠BDC

=75ù+75ù=150ù

0220  △BDA에서 BAÓ=BDÓ이므로

∠BDA=

_(180ù-70ù)=55ù

△CED에서 CDÓ=CEÓ이므로

∠CDE=

_(180ù-30ù)=75ù

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

0221  △BAC에서 BAÓ=BCÓ이므로
∠BCA=∠A=18ù


∴ ∠CBD=18ù+18ù=36ù
△BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로
∠CDB=∠CBD=36ù
△DAC에서 ∠DCE=18ù+36ù=54ù
△DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로
∠DEC=∠DCE=54ù

∴ ∠x=180ù-(55ù+75ù)=50ù

 50ù

∴ ∠CDE=180ù-(54ù+54ù)=72ù

 72ù

0222  △ADB와 △BEC에서


∠ADB=∠BEC=90ù, ABÓ=BCÓ,

∠DAB=90ù-∠ABD=∠EBC
따라서 △ADBª△BEC(RHA 합동)이므로
BDÓ=CEÓ=7, BEÓ=ADÓ=5

∴ DEÓ=BDÓ+BEÓ=7+5=12

20  |  정답과 해설



























































0223  OAÓ=OBÓ=OCÓ=

`ABÓ=

_(2+8)=5 (cm)이므로

;2!;

;2!;

DOÓ=OAÓ-ADÓ=5-2=3 (cm)

이때 △OCD=

;2!;

_OCÓ_DEÓ=

_ODÓ_CDÓ이므로

;2!;

_5_DEÓ=

_3_4

;2!;

;2!;

;2%;

`DEÓ=6  ∴ DEÓ=

(cm)

:Á5ª:

 

:Á5ª:

 cm

0224  ∠OAB=∠x라 하면 ∠OBC=∠x+30ù


△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠OBC=∠x+30ù

또 AOÓ는 ∠BAC의 이등분선이므로

∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠x+∠x=2∠x
점 O는 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠BAC=2_2∠x=4∠x
이때 △OBC에서
4∠x+(∠x+30ù)+(∠x+30ù)=180ù이므로

6∠x=120ù

∴  ∠x=20ù

∴ ∠BOC=4∠x=4_20ù=80ù

 80ù

0225  BEÓ=x cm라 하면 BDÓ=BEÓ=x cm


CFÓ=CEÓ=12 cm이므로

ADÓ=AFÓ=20-12=8 (cm)
이때 △ABC의 둘레의 길이가 58 cm이므로
ABÓ+BCÓ+CAÓ=(8+x)+(x+12)+20=58

2x=18  ∴ x=9

따라서 BEÓ의 길이는 9 cm이다.

 9 cm

0226  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠ABC=64ù


∴ ∠A=180ù-(64ù+64ù)=52ù
점 O는 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_52ù=104ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

∠OCB=

_(180ù-104ù)=38ù

;2!;

한편 점 I는 △ABC의 내심이므로

∠ICB=

∠ACB=

_64ù=32ù

;2!;

;2!;

∴ ∠OCI =∠OCB-∠ICB



=38ù-32ù=6ù

 6ù

3

평행사변형
평행사변형
평행사변형

STEP

1

기초 Build

 

 

0241   DCÓ, DCÓ

p.47, 49

0242   ㈎ ;2!;∠D  ㈏ ∠EDF  ㈐ ∠DFC  ㈑ ∠AEB  ㈒ ∠BFD

0227  ADÓ∥BCÓ이므로 ∠x=∠DBC=28ù (엇각)
ABÓ∥DCÓ이므로 ∠y=∠BAC=47ù (엇각)


0243   ㈎ FCÓ  ㈏ FCÓ

 ∠x=28ù, ∠y=47ù

0244   ㈎ DFÓ  ㈏ CDÓ  ㈐ ∠DCF  ㈑ RHA  ㈒ DFÓ

0228  ADÓ∥BCÓ이므로 ∠x=∠ADB=25ù (엇각)
ABÓ∥DCÓ이므로 ∠y=∠ABD=38ù (엇각)


0245  △OCD=△OBC=8`cmÛ`  

 8`cmÛ`

 ∠x=25ù, ∠y=38ù

0246  △ABD=2△OBC=2_8=16`(cmÛ`) 

 16`cmÛ`

 

 



 









0229  ADÓ=BCÓ이므로 x=5


∠B=∠D이므로 y=65  

0230  ∠A=∠C이므로 x=120


ABÓ=DCÓ이므로 y=6 

 

 x=5, y=65

 x=120, y=6

0231  OAÓ=OCÓ이므로 x=3
OBÓ=ODÓ이므로 y=2 


 

 

 x=3, y=2

0232  ACÓ=2 OAÓ=2_4=8`(cm)이므로 x=8

ODÓ=

BDÓ=

_10=5`(cm)이므로 y=5 

 

;2!;

;2!;

0233  ABÓ=DCÓ이므로 3x=x+6
2x=6  ∴ x=3


ADÓ=BCÓ이므로 10=2y+2

2y=8  ∴ y=4 

 

 x=3, y=4

0234  ABÓ=DCÓ이므로 x+2=8-2x


3x=6  ∴ x=2

ADÓ=BCÓ이므로 y+2=3y-8

2y=10  ∴ y=5 

 

 x=2, y=5

0235  △ABD에서 ∠A=180ù-(43ù+30ù)=107ù


∴ ∠x=∠A=107ù  

 107ù

0247  ABCD=4△OBC=4_8=32`(cmÛ`) 

 32`cmÛ`

0248  △PDA+△PBC =△PAB+△PCD  

=36`cmÛ` 

 36`cmÛ`

0249  ABCD =2(△PAB+△PCD) 

 

=2_36=72`(cmÛ`) 

 72`cmÛ`

 x=8, y=5

STEP

2

적중유형 Drill

p.50~p.57

0250   ADÓ∥BCÓ이므로


∠DBC=∠ADB=∠y (엇각),

∠ACB=∠DAC=∠x (엇각)

이때 ∠ABC+∠BCD=180ù이므로

(55ù+∠y)+(60ù+∠x)=180ù

∴ ∠x+∠y=65ù 

 

 65ù

다른 풀이 

ABÓ∥DCÓ이므로

∠BAC=∠ACD=60ù (엇각)
△ABD에서 (60ù+∠x)+55ù+∠y=180ù이므로
∠x+∠y=65ù

0236  ∠D=∠B=60ù이므로


△ACD에서 ∠x=180ù-(45ù+60ù)=75ù  

 75ù

0251   ABÓ∥DCÓ이므로 ∠ABD=∠BDC=40ù (엇각)


이때 △ABO에서
∠BOC =∠OAB+∠ABO=55ù+40ù=95ù 



0237   DCÓ, BCÓ

0238   DCÓ, BCÓ

0239   ∠BCD, ∠ADC

0240   OCÓ, ODÓ

0252   ∠D+∠C=180ù이므로


∠D+115ù=180ù  ∴ ∠D=65ù
△AED에서 ∠x=180ù-(20ù+65ù)=95ù 

  95ù

 95ù

3. 평행사변형  |  21





















0253   ㈎ ∠DCA  ㈏ ACÓ  ㈐ ∠CAD  ㈑ ASA  ㈒ ABÓ  ㈓ BCÓ

0263  ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠DAE (엇각)


이때 ∠BAE=∠DAE이므로

0254   ㈎ ∠CDB  ㈏ ∠ADB  ㈐ BDÓ  ㈑ ASA  ㈒ ∠C  ㈓ ∠B

0255   ㈎ ∠OCD  ㈏ ∠ODC  ㈐ CDÓ  ㈑ ASA  ㈒ OCÓ  ㈓ ODÓ

0256   ABÓ=DCÓ이므로 2x+4=x+6  ∴ x=2


즉 ABÓ=DCÓ=x+6=8, ADÓ=BCÓ=5x-1=9이므로

(ABCD의 둘레의 길이) =2_(8+9)=34 

   34

0257  ∠y=∠A=100ù


△BCD에서 ∠x=180ù-(30ù+100ù)=50ù

 ∠x=50ù, ∠y=100ù

0258  BCÓ=ADÓ=8`cm

OBÓ=

BDÓ=

_12=6`(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

OCÓ=

ACÓ=

_8=4`(cm)

∠BAE=∠AEB
따라서 △ABE는 BAÓ=BEÓ인 이등변삼각형이므로
BEÓ=ABÓ=12`cm

또 ∠DFC=∠ADF (엇각)이고

∠CDF=∠ADF이므로 ∠DFC=∠CDF
따라서 △CDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=CDÓ=12`cm

이때 BCÓ=ADÓ=16`cm이고

BCÓ=BEÓ+CFÓ-FEÓ이므로

16=12+12-FEÓ  ∴ FEÓ=8`(cm) 

 8`cm

0264  ABÓ∥FEÓ이므로 ∠AED=∠BAE (엇각)


이때 ∠DAE=∠BAE이므로

∠AED=∠DAE
따라서 △DAE는 DAÓ=DEÓ인 이등변삼각형이므로
DEÓ=ADÓ=13`cm

∴ (△OBC의 둘레의 길이) =OBÓ+BCÓ+OCÓ



또 ∠BFC=∠ABF (엇각)이고

=6+8+4=18`(cm)   

 

 18`cm

0259  ④ ABÓ=BCÓ일 때에만 성립한다. 

 ④

0260  ABÓ∥DFÓ이므로 ∠AFD=∠BAE (엇각)


이때 ∠BAE=∠DAF이므로 ∠AFD=∠DAF
따라서 △DAF는 DAÓ=DFÓ인 이등변삼각형이므로
DFÓ=DAÓ=15`cm





∠CBF=∠ABF이므로 ∠BFC=∠CBF
따라서 △BCF는 CBÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=BCÓ=13`cm

이때 CDÓ=ABÓ=9`cm이고

EFÓ=DEÓ+CFÓ-CDÓ이므로

EFÓ=13+13-9=17`(cm) 

 17`cm

0265  ∠A+∠B=180ù이고 ∠A:∠B=8 :7이므로

이때 DCÓ=ABÓ=8`cm이므로

CFÓ=DFÓ-DCÓ=15-8=7`(cm) 

 7`cm

∠A=180ù_

=96ù

;1¥5;

∴ ∠C=∠A=96ù 

0266  ∠AEB=180ù-122ù=58ù


ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DAE=∠AEB=58ù (엇각)

0261  ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠EBC (엇각)


이때 ∠ABE=∠EBC이므로 ∠AEB=∠ABE
따라서 △ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로
AEÓ=ABÓ=CDÓ=3`cm

이때 ADÓ=BCÓ=5`cm이므로

DEÓ =ADÓ-AEÓ=5-3=2`(cm) 

 2`cm

0262  △ABE와 △FCE에서


∠ABE=∠FCE (엇각), BEÓ=CEÓ,

∠AEB=∠FEC (맞꼭지각)
따라서 △ABEª△FCE ( ASA 합동)이므로
CFÓ=ABÓ=8`cm

이때 DCÓ=ABÓ=8`cm이므로`

∠BAE=∠DAE=58ù이므로
△ABE에서
∠B=180ù-(58ù+58ù)=64ù

∴ ∠D=∠B=64ù 

0267  ∠ADC=∠B=45ù이고
 

∠ADE:∠EDC=2`:`1이므로

∠ADE=45ù_

=30ù

;3@;

이때 ADÓ∥BCÓ이므로

∠DEC=∠ADE=30ù (엇각)

DFÓ=DCÓ+CFÓ=8+8=16`(cm) 

 16`cm

∴ ∠x =180ù-(80ù+30ù)=70ù 

 70ù

 96ù

 64ù































































 





























22  |  정답과 해설

0268  ∠AFB=180ù-160ù=20ù


ADÓ∥BCÓ이므로 ∠FBE=∠AFB=20ù (엇각)

0273  △OAE와 △OCF에서


∠OAE=∠OCF (엇각), OAÓ=OCÓ,

∠ABC=2∠FBE=2_20ù=40ù

이때 ∠BAD+∠ABC=180ù이므로

∠BAD=180ù-40ù=140ù

∠BAE=

∠BAD=

_140ù=70ù

;2!;

;2!;

∠AOE=∠COF (맞꼭지각)
따라서 △OAEª△OCF ( ASA 합동)이므로
CFÓ=AEÓ=3`cm

∴ BFÓ=BCÓ-CFÓ=10-3=7`(cm) 

 7`cm

따라서 △ABE에서
∠x=∠BAE+∠ABE=70ù+40ù=110ù 

 110ù

0274   ㈎ △CDA  ㈏ ∠DCA  ㈐ DCÓ  ㈑ ∠DAC  ㈒ BCÓ

0269  ABÓ∥DCÓ이므로 ∠DCE=∠B=66ù (동위각)


∠E=∠a라 하면

ADÓ∥BEÓ이므로 ∠DAE=∠E=∠a (엇각)

∠CAE=∠DAE=∠a
△ACE에서 ∠a+(52ù+66ù)+∠a=180ù이므로
2∠a=62ù  ∴ ∠a=31ù

∴ ∠E=31ù 

0270  ∠AEB=∠a라 하면


△ABE에서 ABÓ=AEÓ이므로
∠B=∠AEB=∠a

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DAF =∠AEB=∠a (엇각)

∠ADC=∠B=∠a이므로 ∠ADF=∠a-34ù
△AFD에서 ∠a+90ù+(∠a-34ù)=180ù이므로
2∠a=124ù  ∴ ∠a=62ù

∴ ∠AEB=62ù 

 62ù

0271  ACÓ+BDÓ=22`cm이므로

OAÓ+OBÓ=

ACÓ+

BDÓ=

(ACÓ+BDÓ)

;2!;

;2!;

;2!;

=

;2!;

_22=11`(cm)

∴ (△OAB의 둘레의 길이) =ABÓ+OAÓ+OBÓ 
=7+11=18`(cm)

 

0275   ㈎ 360  ㈏ 180  ㈐ ∠DAE  ㈑ BCÓ  ㈒ DCÓ

0276   ⑤ ADÓ∥BCÓ 

0277   ④ ∠DCA 

 ⑤

 ④

 31ù

0278   ① ∠D =360ù-(55ù+125ù+55ù)=125ù


  따라서 ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 ABCD의 두 쌍

의 대각의 크기가 각각 같다.

  즉 ABCD는 평행사변형이다. 

 ①

0279   ① 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.


② 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.

⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이

다.

따라서 평행사변형이 되는 조건이 아닌 것은 ③, ④이다.

 ③, ④

0280   ⑴ ∠A+∠B=180ù이므로 2xù+(xù-30ù)=180ù


  3xù=210ù  ∴ x=70

  ∠A=∠C이므로 y=2x=2_70=140

⑵ ∠A+∠B=180ù이므로 ∠A=180ù-76ù=104ù

∴ x=104

  ADÓ=BCÓ이므로 13=3y-2

  3y=15  ∴ y=5

 18`cm

 ⑴ x=70, y=140 ⑵ x=104, y=5

0272  ① ABÓ=DCÓ=3.5`cm

② OBÓ=

BDÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

③ ACÓ=2 OCÓ=2_3=6`(cm)

④ ODÓ=

BDÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

⑤ OAÓ=OCÓ=3`cm
  ∴ (△OAB의 둘레의 길이) =OAÓ+ABÓ+OBÓ   

0281  AFCH에서 AHÓ∥FCÓ, AHÓ=FCÓ이므로


AFCH는 평행사변형이다.

∴ APÓ∥QCÓ (①)

또 AECG에서 AEÓ∥GCÓ, AEÓ=GCÓ이므로

AECG는 평행사변형이다.

∴ AQÓ∥PCÓ (②)

㉠, ㉡에서 APCQ는 평행사변형이므로

yy ㉠

yy ㉡

따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 

 ④

따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 

 ③

=3+3.5+4=10.5`(cm)

AQÓ=PCÓ (④), ∠APC=∠AQC (⑤)





































 















 















 









 















3. 평행사변형  |  23

0282   ㈎ CFÓ  ㈏ SAS  ㈐ GFÓ  ㈑ SAS  ㈒ GHÓ

0289   오른쪽 그림과 같이 MNÓ을 그으
면 ABNM, MNCD는 모

0283  △DEF에서 ∠EDF=180ù-(45ù+90ù)=45ù


이때 EBFD는 평행사변형이므로

∠EBF=∠EDF=45ù 

 45ù

0284  PBQD는 평행사변형이므로
∠BPD+∠PBQ=180ù


∴ ∠BPD =180ù-∠PBQ



=180ù-42ù=138ù 

 138ù

0285  ADÓ∥BCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각)


이때 ∠DAE=∠BAE이므로 ∠BEA=∠BAE
따라서 △BEA는 BAÓ=BEÓ인 이등변삼각형이므로
BEÓ=ABÓ=11`cm





이때 AECF는 평행사변형이므로

AEÓ=FCÓ=12`cm
∴ (△ABE의 둘레의 길이) =ABÓ+BEÓ+AEÓ





=11+11+12

=34`(cm) 

 34`cm

0286  BFED는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행

사변형이다.

∴ BDÓ=FEÓ=8`cm

ABCD는 평행사변형이므로 ADÓ∥BCÓ, ADÓ=BCÓ

∴ ADÓ∥CEÓ, ADÓ=CEÓ

이때 ABCD는 평행사변형이므로

OBÓ=

BDÓ=

_8=4`(cm)  ∴ x=4`

OCÓ=

ACÓ=

_6=3`(cm)  ∴ y=3

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

∴ x+y=4+3=7 

 7

0287  △OEA와 △OFC에서


∠OAE=∠OCF (엇각), OAÓ=OCÓ,

∠AOE=∠COF (맞꼭지각)
따라서 △OEAª△OFC ( ASA 합동)이므로
△OEA=△OFC
△OEA+△OBF =△OFC+△OBF  

=△OBC=16`cmÛ`





































0288  △OCD=

;4!;

ABCD=

_96=24`(cmÛ`)   24`cmÛ`

;4!;

24  |  정답과 해설

A

P

B

N

M

D

Q

C

두 평행사변형이다.

∴ MPNQ
  =△PNM+△QMN

  =

ABNM+

MNCD

;4!;

  =

(ABNM+MNCD)

  =

ABCD

;4!;

;4!;

;4!;

;4!;

  =

_64=16`(cmÛ`) 

 16`cmÛ`

0290  △BCD=2△OAB=2_7=14`(cmÛ`)


이때 BFED는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로

평행사변형이다.
∴ BFED =4△BCD



=4_14=56`(cmÛ`) 

 56`cmÛ`

0291  △PBC+△PDA=

ABCD

_50=25`(cmÛ`) 

 25`cmÛ`

0292  ABCD =2(△PAB+△PCD)



=2_(15+24)=78  



 78

_44=22`(cmÛ`)

즉 12+△PCD=22이므로
△PCD=22-12=10`(cmÛ`) 

 10`cmÛ`

0294  △ACD=

;2!;

ABCD=

_112=56`(cmÛ`)이므로

△PCD =△ACD-△PDA  

=56-22=34`(cmÛ`)

이때 △PAB+△PCD=

ABCD=56`(cmÛ`)이므로

△PAB+34=56
∴ △PAB=56-34=22`(cmÛ`) 

 22`cmÛ`

;2!;

;2!;



 

△PBC+△PDA=

ABCD=

_40=20`(cmÛ`)

;2!;

;2!;

즉 7+△PDA=20이므로
△PDA=20-7=13`(cmÛ`)   

 13`cmÛ`





















 















;2!;

=

;2!;

;2!;

=

;2!;

∴ ABCD =4△OBC



0295  ABCD=8_5=40`(cmÛ`)이므로

=4_16=64`(cmÛ`) 

 64`cmÛ`

즉 ACED는 평행사변형이므로 ACÓ=DEÓ=6`cm

0293  △PAB+△PCD=

ABCD

STEP

3

심화유형 Master

p.58~p.60



∴ ∠AEG =∠FGE+∠EFG=90ù





 

 CFÓ=2`cm, ∠AEG=90ù

0296   ∠FDB=∠BDC=42ù (접은 각)


FBÓ∥DCÓ이므로 ∠FBD=∠BDC=42ù (엇각)
따라서 △FBD에서
∠x =180ù-(42ù+42ù)=96ù 

 96ù

0297   ∠BAE=∠MAE (접은 각),


∠BAE=∠EFC (엇각)이므로 ∠MAF=∠MFA
따라서 △MAF는 MAÓ=MFÓ인 이등변삼각형이므로
MFÓ=MAÓ=ABÓ=12`cm

MCÓ=

CDÓ=

 ABÓ=

_12=6`(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

∴ CFÓ =MFÓ-MCÓ=12-6=6`(cm) 

 6`cm

0298  △AOF와 △DEF에서


AOÓ=COÓ=DEÓ, ∠AOF=∠DEF (엇각),

∠FAO=∠FDE (엇각)
따라서 △AOFª△DEF ( ASA 합동)이므로

AFÓ=DFÓ=

ADÓ=

 BCÓ=

_9=

OFÓ=EFÓ=

CDÓ=

ABÓ=

_7=

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2(;

;2&;

0300  ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CED=∠ADE (엇각)


∠CDE=∠ADE이므로 ∠CED=∠CDE
따라서 △CDE는 CDÓ=CEÓ인 이등변삼각형이므로
CEÓ=CDÓ=ABÓ=5`cm





오른쪽 그림과 같이 AFÓ의 연장

A

8 cm

D

선과 DCÓ의 연장선의 교점을 G

라 하면

∠DGH =90ù-∠GDH

5 cm

B

H

E

F

C

G

=90ù-∠ADH

=∠DAH

따라서 △DAG는 DAÓ=DGÓ인 이등변삼각형이므로
DGÓ=DAÓ=8`cm  

∴ CGÓ=DGÓ-DCÓ=8-5=3`(cm)

한편 ∠AFB=∠DAF (엇각),

∠CFG=∠AFB (맞꼭지각)이므로

∠CFG=∠AFB=∠DAF=∠CGF
따라서 △CFG는 CFÓ=CGÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=CGÓ=3`cm

∴ EFÓ=CEÓ-CFÓ=5-3=2`(cm)

 

 2`cm

∴ AFÓ+OFÓ=

+

=8 

;2&;

;2(;

 8

0301   다음 그림과 같이 BEÓ의 연장선과 ADÓ의 연장선이 만나는 점

을 G라 하면

A

6 cm

D

A

D

G

0299  ADÓ∥BCÓ이므로


∠AEB=∠DAE (엇각)

∠BAE=∠DAE이므로

∠AEB=∠BAE
따라서 △BEA는 BAÓ=BEÓ인
이등변삼각형이므로

BEÓ=ABÓ=4`cm

이때 BCÓ=ADÓ=6`cm이므로

CEÓ =BCÓ-BEÓ=6-4=2`(cm)

4 cm

B

G

C

E

F

ABÓ∥DFÓ이므로 ∠CFE=∠BAE (엇각)

또 ∠CEF=∠AEB (맞꼭지각)이므로

∠CFE=∠BAE=∠AEB=∠CEF
따라서 △CEF는 CEÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=CEÓ=2`cm
한편 △CGE는 CEÓ=CGÓ인 이등변삼각형이므로
∠CEG=∠CGE
△GEF에서
∠FGE+∠GEC+∠CEF+∠EFG=180ù이므로

2∠FGE+2∠EFG=180ù

∠FGE+∠EFG=90ù

20$

E

F

C

B

△EBC와 △EGD에서
ECÓ=EDÓ, ∠ECB=∠EDG (엇각),

∠BEC=∠GED (맞꼭지각)
따라서 △EBCª△EGD ( ASA 합동)이므로
BCÓ=GDÓ

∴ ADÓ=BCÓ=GDÓ

즉 직각삼각형 AFG에서 점 D는 빗변 AG의 중점이므로
△AFG의 외심이다.
∴ DAÓ=DFÓ=DGÓ
△DFG에서 ∠DGF=∠DFG=20ù이므로
△AFG에서
∠DAF=180ù-(90ù+20ù)=70ù 

 70ù

0302  ∠BAE=∠a, ∠ABE=∠b라 하면
△ABE에서 ∠a+∠b=90ù

ABÓ∥DCÓ이므로 ∠BFC=∠ABE=∠b (엇각)



3. 평행사변형  |  25







































































































이때 ∠C=∠BAD=∠a+∠x이므로
△BCF에서 30ù+(∠a+∠x)+∠b=180ù
∴ ∠x =180ù-30ù-(∠a+∠b)


=180ù-30ù-90ù=60ù  

 60ù

따라서 색칠한 세 삼각형의 둘레의 길이의 합은 △ABC의
둘레의 길이와 같으므로

9+7+6=22 

 22

































0303  APÓ∥RCÓ, APÓ=RCÓ이므로 APCR는 평행사변형이다.
yy ㉠


ASÓ∥QCÓ, ASÓ=QCÓ이므로 AQCS는 평행사변형이다.

㉠, ㉡에서 AFÓ∥ECÓ, AEÓ∥FCÓ이므로 AECF는 평행사

yy ㉡

 풀이 참조

0304  BCÓ=ECÓ, DCÓ=FCÓ이므로 BFED는 평행사변형이다.


ABÓ=DCÓ=CFÓ이고 ABÓ∥CFÓ이므로 ABFC는 평행사

변형이다. 

변형이다.



ADÓ=BCÓ=CEÓ이고 ADÓ∥CEÓ이므로 ACED는 평행사

변형이다. 

 BFED, ABFC, ACED

0305  평행사변형 ABCD의 높이를 h`cm라 하면
ABCD=12_h=84이므로 h=7


ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CFD=∠ADF (엇각)

∠CDF=∠ADF이므로 ∠CFD=∠CDF
따라서 △CDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로
CFÓ=CDÓ=ABÓ=9`cm

∴ BFÓ =BCÓ-CFÓ=12-9=3`(cm)

이때 BFDE는 평행사변형이므로

BFDE=3_7=21`(cmÛ`) 

 21`cmÛ`

0306  ABÓ∥RQÓ, ACÓ∥PQÓ이므로 APQR는 평행사변형이다.


△ABC가 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C
이때 ACÓ∥PQÓ이므로 ∠PQB=∠C (동위각)
따라서 ∠B=∠PQB이므로 △PBQ는 PBÓ=PQÓ인 이등
변삼각형이다.







∴ (APQR의 둘레의 길이)

=APÓ+PQÓ+QRÓ+RAÓ

=2(APÓ+PQÓ) 

=2(APÓ+PBÓ)

=2ABÓ

 





=2_10=20`(cm)   





 









 





0307  AFPI, DBHP, PGCE는 두 쌍의 대변이 각각 평행

하므로 모두 평행사변형이다.

AFPI에서 FPÓ=AIÓ, IPÓ=AFÓ

DBHP에서 DPÓ=BHÓ, PHÓ=DBÓ

PGCE에서 PEÓ=GCÓ, PGÓ=ECÓ

26  |  정답과 해설





















































0308  △DBE와 △ABC에서


△ADB는 정삼각형이므로 DBÓ=ABÓ,
△EBC는 정삼각형이므로 BEÓ=BCÓ,
∠DBE=60ù-∠EBA=∠ABC
따라서 △DBEª△ABC ( SAS 합동)이므로
`DEÓ=ACÓ
이때 △ACF는 정삼각형이므로 ACÓ=AFÓ
∴ DEÓ=ACÓ=AFÓ
마찬가지 방법으로 △FECª△ABC ( SAS 합동)이므로
`FEÓ=ABÓ
이때 △ADB는 정삼각형이므로 ABÓ=ADÓ
∴ FEÓ=ABÓ=ADÓ

따라서 DEÓ=AFÓ, FEÓ=ADÓ이므로 EDAF는 평행사변

형이다.

이때 ∠DAF =360ù-(60ù+110ù+60ù)=130ù이므로

∠DEF=∠DAF=130ù 

 130ù

0309   점 Q가 출발한 지 x초 후에 APCQ가 평행사변형이 된다

고 하면 점 P는 (x+6)초 동안 이동하였으므로

APÓ=3(x+6)`cm, CQÓ=5x`cm

이때 APCQ에서 APÓ∥CQÓ이고 APCQ가 평행사변형

이 되려면 APÓ=CQÓ이어야 한다.

즉 3(x+6)=5x에서 3x+18=5x

-2x=-18  ∴ x=9

따라서 APCQ가 평행사변형이 되는 것은 점 Q가 출발한

지 9초 후이다. 

 9초

0310   오른쪽  그림과  같이  EGÓ를  긋고
두 점 F, H를 각각 지나며 ABÓ에

A

E

H

P Q



D

G

평행한 두 직선이 EGÓ와 만나는 점

 

을 각각 P, Q라 하면 AEGD,

B

F

C

EBCG는 모두 평행사변형이므로

 20`cm

따라서 AEQH, HQGD, EBFP, PFCG는 모두

ADÓ∥EGÓ∥BCÓ

평행사변형이다.

∴ EFGH
  =△EQH+△EFP+△PFG+△HQG

  =

(AEQH+EBFP+PFCG+HQGD)

  =

ABCD=

_20=10`(cmÛ`) 

 10`cmÛ`

;2!;

;2!;

;2!;

0312   오른쪽 그림과 같이 MNÓ을
그으면 AMND,

P

A

D


Q

0318  OCÓ=OAÓ=5 cm

0311   오른쪽 그림과 같이 점 Q를 지나
고  ABÓ에  평행한  직선이  ADÓ,

PRÓ와 만나는 점을 각각 E, F라

하면  ABQE,  EQCD는  모

A

P

F

B

M

Q

E

D

R

N

C

두 평행사변형이므로

AEÓ=BQÓ=QCÓ=EDÓ

따라서 AQCE, EBQD는 모두 평행사변형이므로

EMQN도 평행사변형이다.

∴ ABCD =ABQE+EQCD
=4△EMQ+4△EQN
=4△MQN+4△MQN
=8△MQN
=8_16=128`(cmÛ`) 













MBCN은  모두  평행사

변형이다.

이때  두  점  M,  N은  각각

ABÓ, DCÓ의 중점이므로

M

B

N

O

C

MBCN=AMND=

ABCD

;2!;

=

;2!;

_40=20`(cmÛ`)

△ONM=

;4!;

MBCN=

_20=5`(cmÛ`)

;4!;

한편 PAÓ∥BCÓ이므로 △MAP와 △MBC에서
MAÓ=MBÓ, ∠MAP=∠MBC (엇각),

∠PMA=∠CMB (맞꼭지각)
따라서 △MAPª△MBC ( ASA 합동)이므로

△MAP=△MBC=

MBCN

;2!;

=

;2!;

_20=10`(cmÛ`)

마찬가지 방법으로 △NQDª△NBC ( ASA 합동)이므로

△NQD=△NBC=

MBCN

;2!;

=

;2!;

_20=10`(cmÛ`)

∴ △OQP =△MAP+AMND+△NQD+△ONM
 45`cmÛ`

=10+20+10+5=45`(cmÛ`) 

0313  △PAB+△PCD=

ABCD=

_100=50`(cmÛ`)

;2!;

;2!;

즉 20+△PCD=50이므로
△PCD=50-20=30`(cmÛ`)
EPGD와 PFCG는 모두 평행사변형이므로
△PDE+△PFC =△PGD+△PCG  













































4

여러 가지 사각형
여러 가지 사각형
여러 가지 사각형

STEP

1

기초 Build

0314   90ù

0315  OBÓ=

`BDÓ=

_16=8 (cm)이므로

;2!;

;2!;



OCÓ=OBÓ=8 cm

 8 cm

0316  △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로
∠OCB=∠OBC=35ù


 128`cmÛ`

0317  CDÓ=ABÓ=10 cm

p.63, 65

 35ù

 10 cm

 5 cm

 30ù

 5 cm

 7 cm

 78ù

 60ù

0319  △AOD에서 ∠AOD=90ù이므로


∠ADO=180ù-(60ù+90ù)=30ù

0320   ㉠, ㉡, ㉣은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이다.


 ㉢, ㉤

0321   90ù

0322  ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠BOC=90ù

 90ù

0323  BDÓ=ACÓ=2 OCÓ=2_5=10 (cm)

 10 cm

0324  ABÓ=DCÓ=5 cm

0325  BDÓ=ACÓ=7 cm

0326  ADÓ∥BCÓ이므로


∠ADC =180ù-∠BCD=180ù-∠ABC

=180ù-60ù=120ù

 120ù

0327  ∠DBC=∠ADB=28ù (엇각)이므로
∠ABC =∠ABD+∠DBC


=50ù+28ù=78ù

∴ ∠x=∠ABC=78ù

0328  △DAC에서 ∠DCA=∠DAC=30ù


또 ∠ACB=∠DAC=30ù (엇각)이므로

∠DCB=30ù+30ù=60ù

∴ ∠x=∠DCB=60ù







=△PCD=30`cmÛ` 

 30`cmÛ`

0329   ◯, ◯, ◯, ◯

0330  _, _, ◯, ◯

4. 여러 가지 사각형  |  27

0331   _, ◯, _, ◯

0332  _, ◯, _, ◯

따라서 △ODA에서 DOÓ=AOÓ이므로
∠y=∠OAD=90ù-54ù=36ù   ∠x=54ù, ∠y=36ù

0345  △ABP : △APC=3 : 4이므로


24 : △APC=3 : 4  ∴ △APC=32 (cmÛ`)

0353  ①, ④ 한 내각의 크기가 90ù이다.
②, ⑤ 두 대각선의 길이가 같다.


 △OCD

 40 cmÛ`

 18 cmÛ`

 32 cmÛ`

 56 cmÛ`

p.66~p.78

0333   _, _, ◯, ◯

0334   직사각형

0335  마름모

0336   직사각형

0337  마름모

0338   정사각형

0339  정사각형

0340   △DBC

0341   △ABD

0342  △OAB =△ABC-△OBC
=△DBC-△OBC
=△OCD

0343  △ABC=△BCD=40 cmÛ`

0344  △OAB =△ABC-△OBC
=40-22=18 (cmÛ`)

















0346  △ABC =△ABP+△APC
=24+32=56 (cmÛ`)

STEP

2

적중유형 Drill

0347  ACÓ=2 AOÓ=2(2x+3)=4x+6 (cm)이고
ACÓ=BDÓ이므로 4x+6=10x-6


-6x=-12  ∴ x=2
또 △OBC에서 BOÓ=COÓ이므로
∠OBC=∠OCB=35ù

이때 ∠ABC=90ù이므로

∠ABO=90ù-35ù=55ù  ∴ y=55

∴ xy=2_55=110

0348  ③ ABÓ=ADÓ인 경우에만 성립한다.

0349  ∠AOB=∠COD=72ù (맞꼭지각)
△OAB에서 AOÓ=BOÓ이므로


∠x=

_(180ù-72ù)=54ù

;2!;

28  |  정답과 해설











































 

0350   ㈎ DCÓ  ㈏ ∠ABC  ㈐ BCÓ  ㈑ SAS  ㈒ DBÓ

0351  △BED에서 BEÓ=DEÓ이므로


∠DBE=∠BDE

또 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠DBE`(엇각)

즉 ∠ADB=∠BDE=∠EDC이고

∠ADC=90ù이므로 ∠EDC=

_90ù=30ù

;3!;

따라서 △DEC에서
∠x=180ù-(30ù+90ù)=60ù

0352  ∠ECG=∠A=90ù이므로


∠ECF=90ù-20ù=70ù

한편 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEF=∠EFC=∠x`(엇각)이고

∠FEC=∠AEF=∠x`(접은 각)이므로
△EFC에서 ∠x+∠x+70ù=180ù
2∠x=110ù  ∴ ∠x=55ù

 60ù

 55ù

따라서 직사각형이 되는 조건이 아닌 것은 ③이다.   ③

0354  ④ 한 내각의 크기가 90ù이다.
⑤ 두 대각선의 길이가 같다.


따라서 직사각형이 되기 위하여 필요한 조건은 ④, ⑤이다.

 ④, ⑤

0355   ㈎ DCÓ  ㈏ BCÓ  ㈐ SSS  ㈑ ∠D  ㈒ ∠A

0356  ∠x=∠OCB=20ù


△ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로
∠OAB=∠OCB=20ù
이때 △ABO에서 ∠AOB=90ù이므로
∠y=180ù-(20ù+90ù)=70ù

 110

 ③

0357  ACÓ⊥BDÓ이고

 ∠x=20ù, ∠y=70ù

AOÓ=COÓ=

`ACÓ=

_9=

`(cm)이므로

;2!;

;2!;

;2(;

ABCD=2△ABD

=2_

_6_

{;2!;

;2(;}

=27 (cmÛ`)

 27 cmÛ`

 ∠x=50ù, ∠y=50ù

이때 ∠ACD=45ù이므로

∠y =∠ACE-∠ACD

=76ù-45ù=31ù

∴ OAÓ=

`ACÓ=

_6=3 (cm), 즉 y=3

;2!;

;2!;

 x=6, y=3

0366  ACÓ⊥BDÓ이고

0358  BCÓ=ABÓ=6 cm이므로 x=6


△ABO에서 ∠AOB=90ù이므로
∠BAO=180ù-(30ù+90ù)=60ù
△ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로
∠BCA=∠BAC=60ù
따라서 △ABC는 정삼각형이므로
ACÓ=ABÓ=6 cm

0359   ㈎ DOÓ  ㈏ SSS  ㈐ 180ù  ㈑ 90ù



0360  ∠CBO=∠ABO=40ù이므로
∠x=180ù-(40ù+90ù)=50ù

△ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로
∠ADB=∠ABD=40ù
△AOD에서 ∠AOD=90ù이므로
∠y=180ù-(90ù+40ù)=50ù







0361  △ABE와 △ADF에서


∠AEB=∠AFD=90ù, ABÓ=ADÓ, ∠B=∠D
따라서 △ABEª△ADF`( RHA 합동)이므로
AEÓ=AFÓ
즉 △AEF는 이등변삼각형이므로

∠AFE=

_(180ù-54ù)=63ù

;2!;

∴ ∠CFE =∠AFC-∠AFE  

0362  ㉢ 두 대각선이 서로 수직으로 만난다.


㉥ ∠BAC=∠BCA이면 ABÓ=BCÓ이므로 이웃하는 두 변

의 길이가 같다.

따라서 마름모가 되는 조건은 ㉢, ㉥이다.

 ㉢, ㉥

0363  ABÓ∥DCÓ이므로


∠OBA=∠ODC=28ù (엇각)
△ABO에서
∠AOB =180ù-(62ù+28ù)=90ù

즉 평행사변형 ABCD에서 두 대각선이 서로 수직으로 만나

므로 ABCD는 마름모이다.

따라서 ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ=6`cm이므로

ABCD의 둘레의 길이는

4_6=24`(cm)

 24 cm

0364   ㈎ ODÓ  ㈏ SAS  ㈐ ABÓ  ㈑ DCÓ  ㈒ BCÓ





























































































0365  △ABE와 △CBE에서


ABÓ=CBÓ, ∠ABE=∠CBE=45ù, BEÓ는 공통
따라서 △ABEª△CBE ( SAS 합동)이므로
∠BCE=∠BAE=65ù
따라서 △BCE에서
∠DEC =∠CBE+∠BCE



=45ù+65ù=110ù

 110ù

OBÓ=

`BDÓ=

`ACÓ=

_10=5 (cm)이므로

;2!;

;2!;

;2!;

ABCD=2△ABC

=2_

_10_5

{;2!;

}

=50 (cmÛ`)

 50 cmÛ`

0367  △ACE는 ACÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로

∠x=∠ACE=

_(180ù-28ù)=76ù

;2!;

∴ ∠x-∠y=76ù-31ù=45ù

 45ù

0368  ABÓ=ADÓ=AEÓ이므로 △ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼

각형이다.

따라서 ∠AEB=∠ABE=25ù이므로

∠BAE=180ù-(25ù+25ù)=130ù

∠EAD =∠EAB-∠DAB



이때 △ADE는 ADÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로

∠ADE=

_(180ù-40ù)=70ù

;2!;

 70ù

0369  △EBC는 정삼각형이므로 ∠EBC=60ù


∠ABC=90ù이므로 ∠ABE=90ù-60ù=30ù
이때 ABÓ=BCÓ=BEÓ이므로 △ABE는 ABÓ=BEÓ인 이등
변삼각형이다.

∴ ∠x=

_(180ù-30ù)=75ù

;2!;

한편 △ABE와 △DCE에서
ABÓ=DCÓ, BEÓ=CEÓ, ∠ABE=∠DCE
따라서 △ABEª△DCE`( SAS 합동)이므로
AEÓ=DEÓ
즉 △EDA는 EAÓ=EDÓ인 이등변삼각형이고
∠EAD=90ù-75ù=15ù이므로

∠y=180ù-(15ù+15ù)=150ù

 ∠x=75ù, ∠y=150ù

4. 여러 가지 사각형  |  29

=90ù-63ù=27ù

 27ù

=130ù-90ù=40ù















































=180ù-90ù=90ù

 90ù

0378  ③ △ABC와 △DCB에서


0370  △ABE와 △BCF에서


ABÓ=BCÓ, ∠ABE=∠BCF=90ù, BEÓ=CFÓ
따라서 △ABEª△BCF`( SAS 합동)이므로
∠BAE=∠CBF
이때 △ABE에서 ∠BAE+∠AEB=90ù이므로
∠CBF+∠AEB=90ù
따라서 △BEG에서 ∠GBE+∠GEB=90ù이므로
∠BGE =180ù-(∠GBE+∠GEB)



0371  △DAE는 이등변삼각형이므로
∠DAE=∠DEA=∠a라 하면


∠ADE =180ù-(∠a+∠a)



=180ù-2∠a

∴ ∠CDE =∠ADE-∠ADC

=(180ù-2∠a)-90ù



=90ù-2∠a

△DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로
∠DCE=∠DEC=∠x+∠a

따라서

0377  △ABD는 ABÓ=ADÓ인 이등변삼각형이므로

∠ABD=∠ADB=

_(180ù-100ù)=40ù

;2!;

이때 ADÓ∥BCÓ이므로

∠DBC=∠ADB=40ù (엇각)

∠C=∠ABC=40ù+40ù=80ù이므로
△DBC에서 ∠x=180ù-(40ù+80ù)=60ù

 60ù

  ABÓ=DCÓ, ∠ABC=∠DCB, BCÓ는 공통
  ∴ △ABCª△DCB ( SAS 합동)
④ △ABCª△DCB (SAS 합동)이므로
  ∠BAC=∠CDB
  △ABDª△DCA (SAS 합동)이므로
  ∠BAD=∠CDA

  ∴ ∠OAD =∠BAD-∠BAC



=∠CDA-∠CDB=∠ODA

  ∴ OAÓ=ODÓ

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

 ⑤

(90ù-2∠a)+(∠x+∠a)+(∠x+∠a)=180ù이므로

2∠x=90ù  ∴ ∠x=45ù

 45ù

0379   ㈎ DCÓ  ㈏ ∠DCB  ㈐ BCÓ  ㈑ SAS

0372  ② 평행사변형의 성질이다.


③ 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이다.

⑤ 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다.

따라서 정사각형이 되는 조건은 ①, ④이다.

 ①, ④

0373  ② 이웃하는 두 변의 길이가 같다.


④ 두 대각선이 서로 수직으로 만난다.

0380   ㈎ 평행사변형  ㈏ ∠DEC  ㈐ DEÓ  ㈑ DCÓ

0381   오른쪽 그림과 같이 점 D를 지
나고 ABÓ와 평행한 직선이 BCÓ

A

7 cm

D

10 cm 120$

와 만나는 점을 E라 하면

ABED는 평행사변형이므로

60$

60$ 60$

B

E

C

따라서 정사각형이 되는 조건은 ②, ④이다.

 ②, ④

BEÓ=ADÓ=7 cm

0374  ① OAÓ=OBÓ이면 ACÓ=BDÓ이므로 두 대각선의 길이가 같다.
⑤ ∠ABC=∠BAD이면 ∠ABC=∠BAD=90ù


 즉 한 내각의 크기가 90ù이다.

따라서 정사각형이 되는 조건은 ①, ⑤이다.

 ①, ⑤

0375  ADÓ∥BCÓ이므로


∠DCB=180ù-∠D=180ù-110ù=70ù

∠B=∠DCB=70ù이므로
△ABC에서 ∠x=180ù-(70ù+32ù)=78ù

 78ù

0376  ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DBC=∠ADB=35ù (엇각)


∴ ∠x=∠ABC=25ù+35ù=60ù
△DBC에서
∠y=180ù-(35ù+60ù)=85ù

∴ ∠y-∠x=85ù-60ù=25ù

 25ù

30  |  정답과 해설

또 ∠C=∠B=180ù-∠A=180ù-120ù=60ù이고

∠DEC=∠B=60ù (동위각)
따라서 △DEC는 정삼각형이므로
ECÓ=DCÓ=ABÓ=10 cm

∴ (ABCD의 둘레의 길이)

  =ABÓ+(BEÓ+ECÓ)+CDÓ+DAÓ

  =10+(7+10)+10+7=44 (cm)

 44 cm

0382  오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ에
내린 수선의 발을 F라 하면

△ABE와 △DCF에서
∠AEB=∠DFC=90ù,





A

6 cm

D

B

E

F

12 cm

C

ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C
따라서 △ABEª△DCF`( RHA 합동)이므로
BEÓ=CFÓ



















































이때 EFÓ=ADÓ=6`cm이므로

BEÓ=

_(BCÓ-EFÓ)

;2!;

=

;2!;

_(12-6)=3`(cm)

 3 cm

0383  오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ


에 내린 수선의 발을 F라 하면





EFÓ=ADÓ=4`cm
△ABEª△DCF ( RHA 합동)
이므로 CFÓ=BEÓ=3`cm

A

4 cm

D

6 cm

B

3 cm

E

F

C

즉 BCÓ=BEÓ+EFÓ+CFÓ=3+4+3=10`(cm)이므로

ABCD=

_(4+10)_6

;2!;

=42`(cmÛ`)

 42 cmÛ`

0384  ∠A+∠B=180ù이고 ∠A:∠B=2 :1이므로

∠A=180ù_

=120ù

∠B=180ù_

=60ù

;3@;

;3!;

오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나

A

6 cm

D

고 ABÓ와 평행한 직선이 BCÓ와

8 cm 120$

만나는 점을 E라 하면

ABED는 평행사변형이므로

60$

60$ 60$

C

B

E

BEÓ=ADÓ=6 cm

또 ∠C=∠B=60ù이고 ∠DEC=∠B=60ù`(동위각)
따라서 △DEC는 정삼각형이므로
ECÓ=DCÓ=ABÓ=8 cm

∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=6+8=14 (cm)

 14 cm

0385  ∠A+∠B=180ù이므로 ∠EAB+∠EBA=90ù


∴ ∠HEF=∠AEB=90ù (맞꼭지각)

∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù이므로 EFGH는 직사

마찬가지 방법으로

각형이다.

⑤ 마름모 또는 정사각형의 성질이다.

 ⑤

0386  △ABM과 △DCM에서


ABÓ=DCÓ, AMÓ=DMÓ, BMÓ=CMÓ
따라서 △ABMª△DCM`( SSS 합동)이므로
∠A=∠D















































0387  △AOE와 △COF에서


AOÓ=COÓ, ∠AOE=∠COF, ∠OAE=∠OCF`(엇각)
따라서 △AOEª△COF`( ASA 합동) ( ① )이므로
OEÓ=OFÓ ( ② ), AEÓ=CFÓ

한편 AEÓ∥CFÓ이고 AEÓ=CFÓ이므로 AFCE는 평행사변

이때 두 대각선이 수직으로 만나므로 AFCE는 마름모가

형이다. 즉 AFÓ=CEÓ ( ④ )

된다. 즉 AEÓ=AFÓ ( ③ )

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

 ⑤

0388  ∠AEB=∠FAE (엇각)이고 ∠BAE=∠FAE이므로


∠AEB=∠BAE  ∴ ABÓ=BEÓ

yy ㉠

또 ∠AFB=∠FBE (엇각)이고 ∠ABF=∠FBE이므로

∠AFB=∠ABF  ∴ ABÓ=AFÓ

yy ㉡

㉠, ㉡에서 AFÓ=BEÓ이고 AFÓ∥BEÓ이므로 ABEF는 평

행사변형이다.

따라서 ABEF는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변

형이므로 마름모이다.

 마름모

0389  △ABP와 △DFP에서


ABÓ=DFÓ, ∠BAP=∠FDP (엇각),

∠ABP=∠DFP (엇각)
따라서 △ABPª△DFP`( ASA 합동)이므로
APÓ=DPÓ

마찬가지 방법으로
△ABQª△ECQ`( ASA 합동)이므로
BQÓ=CQÓ

이때 오른쪽 그림과 같이 PQÓ를 그

F

D

으면 ADÓ=2ABÓ이므로

ABÓ=BQÓ=QPÓ=PAÓ

즉 ABQP는 마름모이므로

∠POQ=90ù
따라서 △OEF에서
∠OEF+∠OFE =180ù-∠POQ

A

P

B

O

Q

C

E



=180ù-90ù=90ù

 90ù

0390  ② OAÓ=OBÓ이면 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형이

된다.

 ②

0391  ① 한 쌍의 대변이 평행하다.


② 다른 한 쌍의 대변이 평행하다.

③, ⑤ 한 내각이 직각이거나 두 대각선의 길이가 같다.

















































4. 여러 가지 사각형  |  31

즉 평행사변형 ABCD의 이웃하는 두 내각의 크기가 같으므

④ 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대각선이 서로 수직

로 ABCD는 직사각형이 된다.

이다.

∴ ∠D=90ù

 직사각형, ∠D=90ù

따라서 옳은 것은 ④이다.

 ④

0392  ② 마름모는 네 내각의 크기가 모두 같지 않으므로 직사각형

이 아니다.

 ②

0402  ACÓ∥EDÓ이므로 △ADE=△CDE
BEÓ∥CDÓ이므로 △CDE=△BCD

∴ △ADE=△BCD



따라서 바르게 짝 지은 것은 ①이다.

 ①

로 p_6Û`_

=6p`(cmÛ`)

 6p cmÛ`

0393   ㉡, ㉣, ㉥

0394   ④, ⑤

0395  ② 마름모 - 직사각형


③ 평행사변형 - 평행사변형

④ 정사각형 - 정사각형

⑤ 사다리꼴 - 평행사변형























0396  EFGH는 마름모이므로


EFÓ=FGÓ=GHÓ=HEÓ=6 cm

따라서 EFGH의 둘레의 길이는

4_6=24 (cm)

 24 cm

0397   직사각형의 네 변의 중점을 차례로 연결하여 만든 사각형

EFGH는 마름모이다.

∴ EFÓ=EHÓ, EGÓ⊥HFÓ

 ①, ③

0398   등변사다리꼴의 각 변의 중점을 차례로 연결하여 만든 사각

형은 마름모이다.

따라서 마름모에 대한 설명으로 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉣, ㉥이

다.

 ㉠, ㉡, ㉣, ㉥

0399  ACÓ∥DEÓ이므로 △ACD=△ACE=12 cmÛ`


∴ ABCD =△ABC+△ACD
=18+12=30 (cmÛ`)



 30 cmÛ`

0400  ACÓ∥DEÓ이므로 △ACD=△ACE
∴ ABCD =△ABC+△ACD

=△ABC+△ACE
=△ABE





=

;2!;

_9_4=18`(cmÛ`)

 18 cmÛ`

0401  ACÓ∥DEÓ이므로


△ACE=△ACD`( ① ), △AED=△DCE`( ③ )
△AOD =△ACD-△ACO  
=△ACE-△ACO  
=△CEO`( ② )
ABCD =△ABC+△ACD
=△ABC+△ACE
=△ABE`( ⑤ )

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

 ④

32  |  정답과 해설











































=

;2!;

_9_6=27`(cmÛ`)

 27 cmÛ`

0403  µ CD의 길이가 원주의

이므로

;6!;

∠COD=360ù_

=60ù

;6!;

한편 ABÓ∥CDÓ이므로 △BCD=△OCD
따라서 색칠한 부분의 넓이는 부채꼴 COD의 넓이와 같으므

60
360

0404  BPÓ=CPÓ이므로

△ABP=

;2!;△ABC=

;2!;
이때 △AQP:△QBP=AQÓ: QBÓ=3: 1이므로

_64=32 (cmÛ`)

△AQP=

;4#;△ABP

=

;4#;

_32=24 (cmÛ`)

 24 cmÛ`

0405  △ABD : △ADC=BDÓ : DCÓ=5 : 3이므로

△ABD=

;8%;△ABC

=

;8%;

_80=50 (cmÛ`)

 50 cmÛ`

0406  BEÓ: ECÓ=2 :1이므로


△ABE=2△AEC=2_7=14`(cmÛ`)
AEÓ∥DCÓ이므로
△AED=△AEC=7`cmÛ`
∴ ABED =△ABE+△AED
=14+7=21`(cmÛ`)



0407  PQÓ∥ACÓ이므로 △APQ=△PQC=4 cmÛ`


BPÓ : PAÓ=5 : 2이므로
△PBQ : △APQ=5 : 2

즉 △PBQ=

;2%;△APQ

=

;2%;

_4=10 (cmÛ`)

∴ △PBC =△PBQ+△PQC
=10+4=14`(cmÛ`)

0408  AEÓ : ECÓ=3 : 2이므로

 21 cmÛ`

 14 cmÛ`

△ADC=

;2%;△EDC=

;2%;

_8=20 (cmÛ`)

또 BDÓ : DCÓ=4 : 1이므로
△ABC =5△ADC=5_20=100 (cmÛ`)   100 cmÛ`

A

E

P

D

B

C

0414  오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면

A

D

△ACD=

ABCD



;2!;`

=

;2!;

_96=48 (cmÛ`)

B

Q

P

C

0409  오른쪽 그림과 같이 PCÓ를 그으면
AEÓ : ECÓ=2 : 3이므로


△APC=

;2%;△APE

=

;2%;

_6=15`(cmÛ`)

APÓ : PDÓ=1 : 1이므로
△ADC=2△APC=2_15=30`(cmÛ`)
BDÓ : DCÓ=3 : 2이므로

△ABC=

;2%;△ADC=

;2%;

_30=75`(cmÛ`)   75 cmÛ`

0410  ADÓ∥BCÓ이므로 △ABE=△DBE
BDÓ∥EFÓ이므로 △DBE=△DBF

ABÓ∥DCÓ이므로 △DBF=△DAF
∴ △ABE=△DBE=△DBF=△DAF





0411  오른쪽 그림과 같이 AFÓ를 그으면


ABÓ∥DCÓ이므로
△BCF=△ACF  yy ㉠
ACÓ∥EFÓ이므로
△ACF=△ACE  yy ㉡
㉠, ㉡에서
△ACE=△BCF=13 cmÛ`

B

A

E

D

 ④

F

C

이때 △ACD=

ABCD=



;2!;

;2!;`

_50=25 (cmÛ`)이므로

△CDE=△ACD-△ACE
=25-13=12 (cmÛ`)

 12 cmÛ`



0412  ABÓ∥DCÓ이므로 △DAE=△DBE
DFÓ∥BCÓ이므로 △DBF=△DCF

△DBE =△DBF-△DEF
=△DCF-△DEF
=△FEC





∴ △DAE=△DBE=△FEC

 ②, ④











































CPÓ=PDÓ이므로

△APD=

;2!;△ACD

=

;2!;

_48=24 (cmÛ`)

이때 AQÓ : QPÓ=2 : 1이므로

△AQD=

;3@;△APD

=

;3@;

_24=16 (cmÛ`)

 16 cmÛ`

0415   오른쪽 그림과 같이 ACÓ, BDÓ, DMÓ

A

D

N

C

B

M

을 그으면

BMÓ=MCÓ이므로

△AMC=

;2!;△ABC

=

_

ABCD



;2!; 

;2!;

=

ABCD



;4!; 

=

;4!;

_72=18 (cmÛ`)

=

ABCD



;4!;  

=

;4!;

_72=18 (cmÛ`)

또 DNÓ=NCÓ이므로

△ACN=

;2!;△ACD=

;2!;

_

ABCD



;2!;`

△NMC=

;2!;△DMC=

;2!;

_

;2!;△DBC

=

;4!;△DBC=

;4!;

_

ABCD



;2!;`

=

ABCD



;8!;`

=

;8!;

_72=9 (cmÛ`)

=18+18-9



=27 (cmÛ`)

∴ △AMN =△AMC+△ACN-△NMC























































0413  △ABD=

ABCD



;2!;`

=

;2!;

_120=60 (cmÛ`)

이때 BMÓ=MNÓ=NDÓ이므로

△AMN=

;3!;△ABD

=

;3!;

_60=20 (cmÛ`)

마찬가지 방법으로 △CNM=20 cmÛ`
AMCN =△AMN+△CNM
∴ 

=20+20=40 (cmÛ`)



0416   오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으


면 ADÓ∥BCÓ이므로
△AED=△ACD=△ABC,
△DEC=△AEC
이때 △AED:△DEC=3: 1이므로
△AED:△DEC =△ABC:△AEC  

B

 27 cmÛ`

A

D

C

E

 40 cmÛ`

=BCÓ: ECÓ=3: 1

4. 여러 가지 사각형  |  33

즉 BEÓ: ECÓ=2: 1이므로



∴ ABCD =△OAB+△OBC+△OCD+△ODA













































△AEC=

;2!;△ABE=
△ABC =△ABE+△AEC  

;2!;

_12=6 (cmÛ`)

=12+6=18 (cmÛ`)
△ACD=△ABC=18 cmÛ`
∴ AECD =△AEC+△ACD
=6+18=24 (cmÛ`)



 24 cmÛ`

0417  ABÓ∥DCÓ이므로 △ACE=△BCE


∴ △AFE =△ACE-△FCE


=△BCE-△FCE=△BCF

△AFE =△BCF=a cmÛ`라 하면
△ABC=△ACD이므로
25+a=20+a+△FCE
∴ △FCE=5 (cmÛ`)

0418  ADÓ∥BCÓ이므로 △OCD=△OAB=30 cmÛ`


이때 BOÓ : DOÓ=5 : 2이므로
△OBC : △OCD=5 : 2

 5 cmÛ`

즉 △OBC=

;2%;△OCD=

;2%;

_30=75 (cmÛ`)이므로

△ABC =△OAB+△OBC  
=30+75=105 (cmÛ`)

 105 cmÛ`

0419  ADÓ∥BCÓ이므로 △DBC=△ABC=35 cmÛ`


∴△OCD =△DBC-△OBC
=35-21=14 (cmÛ`)

 14 cmÛ`

0420  △OBC=△ABC-△OAB=60-15=45 (cmÛ`)이므로


△OAB:△OBC=15: 45=1: 3
∴ OAÓ: OCÓ=△OAB:△OBC=1: 3
ADÓ∥BCÓ이므로 △OCD=△OAB=15 cmÛ`
△ODA:△OCD=OAÓ: OCÓ=1: 3이므로

△ODA=

;3!;△OCD

0421  5 AOÓ=3 COÓ이므로 AOÓ: COÓ=3: 5


즉 △OAB:△OBC=3: 5이므로

;5#;

△OAB=

_25=15 (cmÛ`)

;5#;△OBC=
이때 ADÓ∥BCÓ이므로
△OCD=△OAB=15 cmÛ`
△ODA:△OCD=AOÓ: COÓ=3: 5이므로

△ODA=

;5#;△OCD=

;5#;

_15=9 (cmÛ`)

34  |  정답과 해설

=15+25+15+9

=64 (cmÛ`)

 64 cmÛ`



0422  △OAB의 넓이를 a cmÛ`라 하면
AOÓ: COÓ=1: 3이므로

△OBC=3△OAB=3a (cmÛ`)
ADÓ∥BCÓ이므로
△OCD=△OAB=a cmÛ`
이때 △ODA:△OCD=AOÓ: COÓ=1: 3이므로







△ODA=

;3!;△OCD=

;3!;
ABCD= △OAB+△OBC+△OCD+△ODA

a (cmÛ`)

=a+3a+a+

a=

a (cmÛ`)

;3!;

:Á3¤:



:Á3¤:

a=128이므로 a=24

∴ △OBC=3a=3_24=72 (cmÛ`)

 72 cmÛ`

0423  △ABE와 △ADG에서


∠ABE=∠ADG=90ù, ABÓ=ADÓ, AEÓ=AGÓ
따라서 △ABEª△ADG ( RHS 합동)이므로
∠BAE=∠DAG, ∠AEB=∠AGD
또 △AGF와 △AEF에서
AGÓ=AEÓ, AFÓ는 공통,

∠FAG =∠FAD+∠DAG

=∠FAD+∠BAE





=90ù-∠EAF=90ù-45ù



=45ù=∠FAE

따라서 △AGFª△AEF`( SAS 합동)이므로
∠AGF=∠AEF=70ù

∴ ∠AEB=∠AGD=70ù

 70ù

∠BOP=90ù-∠POC=∠COQ
따라서 △OBPª△OCQ`( ASA 합동)이므로
△OBP=△OCQ
∴ OPCQ=△OPC+△OCQ
=△OPC+△OBP
=△OBC

` ABCD

=

;4!;

=

;4!;

_(8_8)=16 (cmÛ`)

 16 cmÛ`











































=

;3!;

_15=5 (cmÛ`)

 5 cmÛ`

0424  △OBP와 △OCQ에서


OBÓ=OCÓ, ∠OBP=∠OCQ=45ù,

0425   오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 긋고
ACÓ와  BDÓ의  교점을  O라  하면

A

M


D

E

O

0427  AMÓ=DMÓ=BNÓ=a (a>0)라 하면


ABÓ : BCÓ=3`:`2이므로 ANÓ=2a, BCÓ=2a

















































MBND는 평행사변형이므로

MBÓ∥DNÓ, OBÓ=ODÓ
△OEB와 △OFD에서
∠OBE=∠ODF`(엇각), OBÓ=ODÓ,

B

N

F

C

∠EOB=∠FOD`(맞꼭지각)
따라서 △OEBª△OFD`( ASA 합동)이므로
△OEB=△OFD
∴ EBNF =△OEB+OBNF
=△OFD+OBNF
=△DBN

 

 

 

 

=

;2!;△BCD

=

;2!;

_

;2!;

`ABCD

`ABCD

=

;4!;

=

;4!;

_48=12 (cmÛ`)

 12 cmÛ`

STEP

3

심화유형 Master

p.79~p.82

0426   ABÓ : BCÓ=2 : 3이므로


ABÓ=2x, BCÓ=3x`(x>0)라 하면

CMÓ=DMÓ=

ABÓ=

_2x=x

;2!;

;2!;

또 BPÓ : PCÓ=1 : 2이므로

BPÓ=x, PCÓ=2x

오른쪽 그림과 같이 APÓ를 그으면
△ABP와 △PCM에서
∠B=∠C=90ù,

A

2x

ABÓ=PCÓ,

B

x

P

2x

BPÓ=CMÓ
따라서 △ABPª△PCM`( SAS 합동)이므로
APÓ=PMÓ, ∠APB=∠PMC

∠APM =180ù-(∠APB+∠MPC)

=180ù-(∠PMC+∠MPC)

=180ù-90ù=90ù

따라서 △APM은 APÓ=PMÓ인 직각이등변삼각형이므로

x

A

2a

N
a

B

a

M

a

D

y

C

x
2a

오른쪽 그림과 같이 NCÓ를 그으면
△MAN과 △NBC에서
AMÓ=BNÓ, ∠A=∠B=90ù,

ANÓ=BCÓ
따라서 △MANª△NBC ( SAS 합동)
이므로

MNÓ=NCÓ, ∠NCB=∠MNA=∠x

∠MNC =180ù-(∠MNA+∠BNC)

=180ù-(∠NCB+∠BNC)

=180ù-90ù=90ù

따라서 △NCM은 NCÓ=NMÓ인 직각이등변삼각형이므로

∠NCM=

_(180ù-90ù)=45ù

;2!;

∴ ∠x+∠y =90ù-∠NCM

=90ù-45ù=45ù

 45ù

0428   ∠ACH=∠BCH=∠x라 하면


△ABC에서 BAÓ=BCÓ이므로
∠BAC=∠BCA=2∠x
△AHC에서 2∠x+90ù+∠x=180ù이므로
3∠x=90ù  ∴ ∠x=30ù
따라서 △HBC에서
∠B=180ù-(90ù+30ù)=60ù

0429  △FDB는 FBÓ=FDÓ인 이등변삼각형이므로


∠FDB=∠FBD

또 ∠EDB=∠FBD (엇각)이므로

∠EDB=∠FDB=∠FDC

∴ ∠FDC=

∠ADC=

_90ù=30ù

;3!;

;3!;

따라서 △DFC에서
∠DFC=180ù-(90ù+30ù)=60ù

 60ù

 60ù

D

x
M
x

C

0430   ∠BAD =180ù-∠ABC

=180ù-78ù=102ù

△ABE는 정삼각형이므로 ∠BAE=60ù
∴ ∠EAD =∠BAD-∠BAE

=102ù-60ù=42ù

△ABE는 정삼각형이므로 ABÓ=BEÓ=EAÓ이고
ABCD는 마름모이므로 ABÓ=BCÓ=CDÓ=ADÓ이다.

∴ AEÓ=ADÓ
따라서 △AED는 이등변삼각형이므로

























































∠AMP=

_(180ù-90ù)=45ù

;2!;

 45ù

∠AED=

_(180ù-42ù)=69ù

;2!;

 69ù

4. 여러 가지 사각형  |  35



따라서 △ABEª△C'DE ( ASA 합동)이므로

오른쪽 그림과 같이 GEÓ, GCÓ를

A

4 cm

E

=180ù-(40ù+40ù)=100ù

 100ù

 AFDE, ABCG, △AFG



























































0431  ∠ABD=∠a라 하면


ABÓ=ADÓ이므로 ∠ADB=∠ABD=∠a

∠DBC=∠ADB=∠a (엇각)

이때 ∠DCB=∠ABC=∠a+∠a=2∠a
△DBC에서
60ù+∠a+2∠a=180ù  

3∠a=120ù  ∴ ∠a=40ù
따라서 △ABD에서
∠x =180ù-(∠a+∠a)



0432  ⑴ ∠DBC=∠EDB=∠x (엇각)


 ∠EBD=∠DBC=∠x (접은 각)
 이때 △EBD에서 50ù=∠x+∠x
 2∠x=50ù  ∴ ∠x=25ù
⑵ △C'ED에서
 ∠C'DE=180ù-(90ù+50ù)=40ù

 ∠AEB=∠C'ED=50ù (맞꼭지각)이므로

 ∠ABE=180ù-(90ù+50ù)=40ù
 △ABE와 △C'DE에서
 ∠BAE=∠DC'E=90ù, ABÓ=C'DÓ,

 ∠ABE=∠C'DE=40ù

 AEÓ=C'EÓ
 △AEC'에서 ∠EAC'=∠EC'A이고
 ∠EAC'+∠EC'A=50ù이므로

 50ù=2∠EAC'  ∴ ∠EAC'=25ù

 이때 ∠EAC'=∠EDB=25ù (엇각)이므로

 AC'Ó∥BDÓ

또 ∠ABD=∠C'DB=40ù+25ù=65ù

따라서 ABDC'은 등변사다리꼴이다.

PBÓ=PDÓ, BOÓ=DOÓ, POÓ는 공통
따라서 △PBOª△PDO ( SSS 합동)이므로
∠POB=∠POD=90ù

즉 평행사변형 ABCD의 두 대각선이 서로 수직으로 만나므로

ABCD는 마름모이다.

∴ ABCD=

_12_18=108 (cmÛ`)

 108 cmÛ`

;2!;

0434   오각형 ABCDE의 넓이를 S라 하자.


Ú ACÓ∥BFÓ이므로 △ABC=△AFC
 ∴ S =△ABC+ ACDE  
=△AFC+ ACDE  
= AFDE

36  |  정답과 해설























































Û ADÓ∥EGÓ이므로 △ADE=△ADG
 ∴ S = ABCD+△ADE  
= ABCD+△ADG
= ABCG

Ü S =△ABC+△ACD+△ADE
=△AFC+△ACD+△ADG
=△AFG





Ú ~ Ü에서 오각형 ABCDE와 넓이가 같은 삼각형과 사각
형을 모두 찾으면 AFDE, ABCG, △AFG이다.

0435   오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면


BEÓ : ECÓ=2 : 1이므로
△DBE =2△DEC



A

=2_5=10 (cmÛ`)

B

E

ABÓ∥DEÓ이므로 △DAE=△DBE=10 cmÛ`
∴ AECD =△DAE+△DEC
=10+5=15 (cmÛ`)



 15 cmÛ`

0436  AEÓ : EDÓ=1 : 2이므로

AEÓ=

ADÓ=

_12=4`(cm)

;3!;

;3!;

F

8 cm
G

그으면
△EGF=△GCF이므로
AGFE= GBCF에서
△AGE+△EGF
=△GCF+△GBC
∴ △AGE=△GBC
이때 GBÓ=x`cm라 하면 AGÓ=(8-x) cm이므로

B

12 cm

0437  오른쪽 그림과 같이 DEÓ를 그으면


DMÓ=MCÓ이므로
△ECD =2△ECM



A

E

B

=2_6=12 (cmÛ`)
한편 △ECD와 △ECB에서
DCÓ=BCÓ, ∠ECD=∠ECB=45ù, ECÓ는 공통
따라서 △ECDª△ECB`( SAS 합동)이므로
△ECB=△ECD=12 cmÛ`
△BCM=△ECB+△ECM=12+6=18 (cmÛ`)
∴  ABCD =4△BCM



=4_18=72 (cmÛ`)

 72 cmÛ`

D

C

D

C

D

M

C









0433   △PBO와 △PDO에서

따라서 GBÓ의 길이는 2`cm이다.

 2 cm

 ⑴ 25ù ⑵ 등변사다리꼴

_(8-x)_4=

_x_12

;2!;

;2!;

16-2x=6x, 8x=16  ∴ x=2

0438   오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면

A

D

B

F

C

△DBE=△DAB=

 ABCD

;2!;

=

;2!;

_24=12 (cmÛ`)

BECD는 평행사변형이므로
BECD =2△DBE 



E

=2_12=24 (cmÛ`)

∴ △FEC=

;4!;

 BECD=

_24=6 (cmÛ`)   6 cmÛ`

;4!;

0439   ∠ADE=∠EDC이고 ∠DEC=∠ADE (엇각)이므로


∠DEC=∠EDC

따라서 ECÓ=DCÓ이고 ABÓ : ADÓ=3 : 4이므로

오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면

A

D

B

E

C

BEÓ : ECÓ=1 : 3

△DEC=

;4#;△DBC

=

;4#;

_

;2!;

 ABCD

=

;8#;

=

;8#;

ABCD

_8=3 (cmÛ`)

∴ ABED =ABCD-△DEC



=8-3=5 (cmÛ`)

 5 cmÛ`

0440   오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면

A

D

△ABC=

 ABCD

;2!;

=

;2!;

_50=25 (cmÛ`)

ABÓ∥DFÓ이므로
△ABF=△ABC=25 cmÛ`
△ABC에서 BEÓ : ECÓ=3 : 2이므로

B

E

C

F

_25=15 (cmÛ`)

;5#;

△ABE=

;5#;△ABC=
∴ △BFE =△ABF-△ABE
=25-15=10 (cmÛ`)
이때 △BFC에서 BEÓ : ECÓ=3 : 2이므로



△EFC=

;3@;△BFE=

;3@;

_10=

:ª3¼:

(cmÛ`)   

 cmÛ`

:ª3¼:

















































이때 △AQD=

 ABCD=△APD+△PBC이므로

;2!;

△APD+△PBC=45 (cmÛ`)
∴ △PBC=45-20=25 (cmÛ`)

 25 cmÛ`

0442   오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 긋고


A

D

F

C

B

E

△DEF=x라 하면
△DCF에서
DEÓ : ECÓ=1 : 3이므로
△ECF=3△DEF=3x
AFÓ∥BCÓ이므로 △DBE=△ECF=3x
또 ABÓ∥DCÓ이므로 △AED=△DBE=3x
△DBC에서 DEÓ : ECÓ=1 : 3이므로
△EBC=3△DBE=3_3x=9x
△DBC=△DBE +△EBC=3x+9x=12x
따라서 ABCD=2△DBC=2_12x=24x이고
△AED+△ECF=3x+3x=6x이므로
ABCD의 넓이는 △AED+△ECF의 넓이의 4배이다.
 4배

D

6a

Q

O

a

3b

Pb
C









a

B

A

0443   오른쪽 그림과 같이 QCÓ를 긋고
△OCQ=a, △QCP=b라 하면

OAÓ=OCÓ이므로
△AOQ=△OCQ=a
△QCD에서 CPÓ : PDÓ=1 : 3이므로
△QPD=3△QCP=3b
또 △ACD에서 CPÓ : PDÓ=1 : 3이므로
△ACP:△APD=1 : 3
즉 (2a+b):(△AQD+3b)=1 : 3이므로
△AQD+3b=3(2a+b)=6a+3b
∴ △AQD=6a
이때 △AOD=a+6a=7a이고













△AOD=

;4!;

 ABCD=

_224=56이므로

;4!;

7a=56  ∴ a=8
한편 △OCD=a+4b=8+4b이고

△OCD=

;4!;

 ABCD=56이므로

8+4b=56, 4b=48  ∴ b=12

∴  OCPQ =a+b=8+12=20

 20















































4. 여러 가지 사각형  |  37

0441   오른쪽 그림과 같이 QDÓ를 그으면
APÓ : PQÓ=4 : 5이므로

A

P

D



△AQD=

;4(;△APD

B

Q

C

=

;4(;

_20=45 (cmÛ`)

0444  △OBE와 △OCF에서


OBÓ=OCÓ, ∠OBE=∠OCF=45ù, BEÓ=CFÓ
따라서 △OBEª△OCF`( SAS 합동)이므로
△OBE=△OCF

∴  OECF=△OEC+△OCF
=△OEC+△OBE
=△OBC

 ABCD

=

;4!;

=

;4!;

_(5_5)=

(cmÛ`)

:ª4°:

 

:ª4°:

 cmÛ`

0445  오른쪽 그림과 같이 BGÓ를


그으면
△BCG와 △DCE에서
BCÓ=DCÓ,

CGÓ=CEÓ,

∠BCG =90ù-∠GCD  

=∠DCE

F

A

G

D

8 cm

E

B

C

따라서 △BCGª△DCE ( SAS 합동)이므로

△DCE=△BCG=

 ABCD

;2!;

=

;2!;

_(8_8)=32 (cmÛ`)

 32 cmÛ`

0446  △ABF에서 ∠BAF=180ù-(90ù+25ù)=65ù


△ABE와 △CBE에서
∠ABE=∠CBE=45ù, BEÓ는 공통, ABÓ=CBÓ
따라서 △ABEª△CBE ( SAS 합동)이므로
∠BCE=∠BAE=65ù
△ECF에서 ∠CEF=65ù-25ù=40ù
∴ ∠BCE+∠CEF=65ù+40ù=105ù

 105ù

P'

D

Q

C

45$

A

B

61$

P

0447   오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선  위
에 BPÓ=DP'Ó이 되도록 점 P'을 잡으면

△ABP와 △ADP'에서
ABÓ=ADÓ,





BPÓ=DP'Ó,

∠ABP=∠ADP'=90ù
따라서 △ABPª△ADP'`( SAS 합동)
이므로

∠BAP=∠DAP', APÓ=AP'Ó
한편 △AP'Q와 △APQ에서
AP'Ó=APÓ, AQÓ는 공통,

∠P'AQ =∠DAP'+∠DAQ  

=∠BAP+∠DAQ

























































38  |  정답과 해설

0448  △BCG와 △DCE에서


BCÓ=DCÓ, ∠BCG=∠DCE=90ù, CGÓ=CEÓ
따라서 △BCGª△DCE ( SAS 합동)이므로
∠CDE=∠CBG

∠DGH=∠BGC (맞꼭지각)이므로
△DGH에서
∠BHE =∠CDE+∠DGH

=∠CBG+∠BGC



=180ù-∠BCG

=180ù-90ù=90ù



 90ù

0449   오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나고
ADÓ와 평행한 직선이 DCÓ와 만나는

10 cm

A

D

점을 G라 하고 점 A에서 EGÓ에 내린

E

H

8 cm

20 cm

B
F

G

C

수선의 발을 H라 하자.
△AEH와 △EBF에서
AEÓ=EBÓ,

∠AHE=∠EFB=90ù

∠AEH=∠EBF (동위각)
따라서 △AEHª△EBF ( RHA 합동)이므로
AHÓ=EFÓ=8`cm



△EBC=

;2!;

_20_8=80 (cmÛ`)

△AED=

;2!;

_10_8=40 (cmÛ`)

∴ △ECD=ABCD-△AED-△EBC

=

;2!;

_(10+20)_16-40-80

=120 (cmÛ`)

 120 cmÛ`

서술형 Power Up!

p.83~p.86

0450  ⑴ ABÓ=DCÓ=6`cm, ADÓ=BCÓ=8`cm


따라서 ABCD는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므



로 평행사변형이다.

⑵ ∠C=360ù-(120ù+60ù+60ù)=120ù이므로

 ∠A=∠C=120ù, ∠B=∠D=60ù

  따라서 ABCD는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므

로 평행사변형이다.

⑶ OAÓ=OCÓ=5`cm, OBÓ=ODÓ=7`cm



따라서 ABCD는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분

하므로 평행사변형이다.















































=90ù-∠PAQ=90ù-45ù



⑷ ∠ADB=∠DBC=32ù (엇각)이므로 ADÓ∥BCÓ

=45ù=∠PAQ

 ADÓ=BCÓ=9`cm

따라서 △AP'Qª△APQ`( SAS 합동)이므로
∠AQD =∠AQP=180ù-(45ù+61ù)=74ù

 따라서 ABCD는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가

 74ù

같으므로 평행사변형이다.

 풀이 참조

 준석

 ⑴ △ACD, 16 cmÛ`  ⑵ 40 cmÛ`

0451   오른쪽 그림과 같이 두 대각선의 교
점 O를 지나는 직선이 ADÓ, BCÓ와

만나는 점을 각각 P, Q라 하면
△OAP와 △OCQ에서
∠AOP=∠COQ (맞꼭지각),

A

D

P

O

B

Q

C

OAÓ=OCÓ, ∠OAP=∠OCQ (엇각)
따라서 △OAPª△OCQ ( ASA 합동)이므로
△OAP=△OCQ
이때 △OAB=△OBC=△OCD=△ODA이므로
△OBQ =△OBC-△OCQ
=△ODA-△OAP
=△ODP

∴ ABQP =△OAP+△OAB+△OBQ
=△OCQ+△OCD+△ODP
=CDPQ









따라서 잘린 두 색종이의 넓이는 같다.

 풀이 참조

0452   평행사변형 ABCD에서 AOÓ=BOÓ이므로 ABCD는 직

사각형이다.

석이다.

따라서 직사각형이 정사각형이 되는 조건을 말한 학생은 준

0453  ⑴ △ABP와 △CDQ에서


 ABÓ=CDÓ, ∠APB=∠CQD=90ù,

 ∠BAP=∠DCQ (엇각)
 ∴ △ABPª△CDQ ( RHA 합동)
⑵ ∠BPQ=∠DQP=90ù (엇각)이므로

 BPÓ∥DQÓ
 또 △ABPª△CDQ이므로 BPÓ=DQÓ


따라서 PBQD는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가

같으므로 평행사변형이다.

⑶ ∠PBQ=180ù-(52ù+90ù)=38ù

 ⑴ 풀이 참조  ⑵ 평행사변형  ⑶ 38ù

0454  ⑴ ∠ABE=90ù-60ù=30ù이고


 BAÓ=BEÓ이므로

 ∠AEB=

_(180ù-30ù)=75ù

⑵ ∠DCE=90ù-60ù=30ù이고

 CDÓ=CEÓ이므로

 ∠DEC=

_(180ù-30ù)=75ù

;2!;

;2!;

⑶ ∠AED=360ù-(75ù+60ù+75ù)=150ù

















































0455  ABÓ∥DCÓ, ADÓ∥BCÓ이므로 ABCD는 평행사변형이다.


⑴ ∠BAO=∠DAO이고,



따라서 평행사변형 ABCD의 이웃하는 두 변의 길이가

 ∠DAO=∠BCO (엇각)이므로

 ∠BAO=∠BCO, 즉 ABÓ=BCÓ

같으므로 ABCD는 마름모이다.

⑵ ACÓ=2 OAÓ=2 OBÓ=BDÓ



따라서 평행사변형 ABCD의 두 대각선의 길이가 같으므

로 ABCD는 직사각형이다.

⑶ 평행사변형 ABCD에서 한 내각의 크기가 90ù이고 두 대

각선이 서로 수직으로 만나므로 ABCD는 정사각형이

다.

 ⑴ 마름모  ⑵ 직사각형  ⑶ 정사각형

0456  ⑴ ACÓ∥DEÓ이므로 △ACE=△ACD


 △ACD =ABCD-△ABC 

=40-24=16 (cmÛ`)
⑵ △ABE =△ABC+△ACE
=△ABC+△ACD
=ABCD=40`cmÛ`





0457  ∠A+∠B=180ù이므로

∠A=180ù_

=135ù

;4#;

∠B=180ù-∠A=180ù-135ù=45ù

따라서 ∠C=∠A=135ù, ∠D=∠B=45ù이므로

∠C-∠D=135ù-45ù=90ù



 90ù

0458  ADÓ=BCÓ이므로 3x+4=5x
2x=4  ∴ x=2


따라서 OAÓ=4x-3=4_2-3=5이므로

ACÓ=2 OAÓ=2_5=10

 10

0459  △ABC와 △DBE에서


ABÓ=DBÓ, BCÓ=BEÓ, ∠ABC=60ù-∠EBA=∠DBE
따라서 △ABCª△DBE ( SAS 합동)이므로
DEÓ=ACÓ=AFÓ=6`cm
또 △ABC와 △FEC에서
BCÓ=ECÓ, ACÓ=FCÓ, ∠ACB=60ù-∠ECA=∠FCE
따라서 △ABCª△FEC ( SAS 합동)이므로
EFÓ=BAÓ=DAÓ=5`cm

∴ ( AFED의 둘레의 길이) =6+5+6+5















































4. 여러 가지 사각형  |  39

 ⑴ 75ù  ⑵ 75ù ⑶ 150ù

=22`(cm)

 22 cm

p.89, 91

 6`cm

 12`cm

 80ù

 150ù

5

도형의 닮음
도형의 닮음
도형의 닮음
도형의 닮음

STEP

1

기초 Build

0465   ABCD»A'B'C'D'

0466   점 B'

0460   오른쪽 그림과 같이 PRÓ를 긋고
점  Q를  지나며  PRÓ에  평행한


PS

A

D

STÓ를 그으면

QQ

B

RT

C

PRÓ∥STÓ이므로
△PQR=△PTR
∴ (오각형 PQRCD의 넓이)
=△PQR+PRCD
=△PTR+PRCD
=PTCD

따라서 새 경계선은 PTê이다.

0461   BPÓ : PCÓ=2 : 3이므로

 풀이 참조

0467   A'B'Ó

0468   ∠C'

△APC=

;5#;△ABC=

;5#;

_

;2!;

ABCD

0469  닮음비는 ABÓ :EFÓ=2 :6=1 :3  

 

 1 :3

=

_

;1£0;

{;2!;

_10_20

}

=30 (cmÛ`)

 30 cmÛ`

0470  BCÓ :FGÓ=1 :3이므로 BCÓ :18=1 :3
3BCÓ=18  ∴ BCÓ=6`(cm)   


0462  BEÓ=ECÓ이므로


△DEC=△DBE=20`cmÛ`
이때 DFÓ=FCÓ이므로

△DEF=

;2!;△DEC

=

;2!;

_20=10 (cmÛ`)

 10 cmÛ`

0473  ∠E=∠A=150ù  

0472  ∠D=∠H=80ù  

 

 

0471  DCÓ :HGÓ=1 :3이므로 4 :HGÓ=1 :3  


∴ HGÓ=12`(cm)  

 

0463   △ABC=

;2!;

 ABCD=

_72=36 (cmÛ`)

;2!;

오른쪽 그림과 같이 BEÓ를 그으면

A


D

0475   면 A'B'F'E'

0474  닮음비는 FGÓ :F'G'Ó=4 :6=2 :3  

 

 2 :3

B

F

E

C

0476  GHÓ :G'H'Ó=2 :3이므로 GHÓ :12=2 :3  


3GHÓ =24  ∴ GHÓ=8`(cm)  

 

 8`cm

AEÓ : ECÓ=3 : 1이므로

△BCE=

;4!;△ABC

=

;4!;

_36=9 (cmÛ`)

BFÓ : FCÓ=1 : 2이므로

△EFC=

;3@;△BCE=

;3@;

_9=6 (cmÛ`)

 6 cmÛ`

0477  DHÓ :D'H'Ó=2 :3이므로 6 :D'H'Ó=2 :3  
2D'H'Ó=18  ∴ D'H'Ó=9`(cm)  


 

 9`cm

0464  △OCD =△DBC-△OBC
=△ABC-△OBC
=△OAB=10 cmÛ`

OAÓ : OCÓ=△OAB : △OBC=10 : 20=1 : 2이므로
△ODA : △OCD=1 : 2

0478   

0479   

0480   ×

0481   

0482   

0483   ×

즉 △ODA=

;2!;△OCD=

;2!;
ABCD =△OAB+△OBC+△OCD+△ODA
=10+20+10+5=45 (cmÛ`)

_10=5 (cmÛ`)이므로

 45 cmÛ`



0484  △ABC와 △FDE에서


ABÓ :FDÓ=BCÓ :DEÓ=CAÓ :EFÓ=1 :2
∴ △ABC»△FDE ( SSS 닮음)

 △FDE, SSS

40  |  정답과 해설























































a :c=c :x  ∴ cÛ`=ax

 c, c, ax

0501  ㉠ ABÓ의 길이는 알 수 없다.


㉡ ACÓ :DEÓ=BCÓ :FEÓ이므로 ACÓ :6=12 :9

0485  △ABC와 △DEF에서


ABÓ :DEÓ=ACÓ :DFÓ=2 :1, ∠A=∠D=80ù
∴ △ABC»△DEF ( SAS 닮음)

 △DEF, SAS

0486  △ABC와 △ADE에서


∠ABC=∠ADE=75ù, ∠A는 공통
∴ △ABC»△ADE ( AA 닮음)

 △ADE, AA

0487  △ABC와 △EBD에서


∠ACB=∠EDB, ∠B는 공통
∴ △ABC»△EBD ( AA 닮음)

 △EBD, AA

0488   ∠DAC, ∠BAD

0489   △DBA, △DAC, AA

0490  △ABC»△DBA이므로
BCÓ :BAÓ=BAÓ :BDÓ에서


0491  △ABC»△DAC이므로
BCÓ :ACÓ=ACÓ :DCÓ에서


0497   ④ 점 D에 대응하는 점은 점 H이다.

 ④

0498   항상 닮은 도형은 ② 두 정사면체, ④ 두 원이다.   ②, ④

0499  ① ADÓ :EHÓ=BCÓ :FGÓ이므로


  ADÓ :6=12 :8=3 :2  ∴ ADÓ=9`(cm)

② DCÓ :HGÓ=3 :2이므로

  15 :HGÓ=3 :2  

  3HGÓ=30  ∴ HGÓ=10`(cm)

③ ∠A=∠E=120ù

④ ∠H=∠D=81ù

⑤ 닮음비는 BCÓ :FGÓ=12 :8=3 :2

 ②

0500   원 O의 지름의 길이를 a`cm라 하면
a :10=3 :2, 2a=30  ∴ a=15


따라서 원 O의 지름의 길이는 15`cm이다.

 15`cm

  9ACÓ=72  ∴ ACÓ=8`(cm)

㉢ ∠A=∠D=63ù이므로
  △ABC에서
  ∠C=180ù-(63ù+77ù)=40ù

㉣ ∠A=∠D이므로 ∠A :∠D=1 :1

㉤ 닮음비는 BCÓ :FEÓ=12 :9=4 :3

따라서 옳지 않은 것은 ㉠, ㉣이다.

 ㉠, ㉣

a :b=b :y  ∴ bÛ`=ay

 a, y, ay

0492  △DBA»△DAC이므로
DAÓ :DCÓ=DBÓ :DAÓ에서


h :y=x :h  ∴ hÛ`=xy

 y, h, xy

0493  ABÓ Û`=BHÓ_BCÓ이므로


8Û`=4_(4+x), 4x=48   ∴ x=12

0494  ACÓ Û`=CDÓ_CBÓ이므로

4Û`=x_5  ∴ x=



:Á5¤:

0495  BHÓ Û`=HAÓ_HCÓ이므로


xÛ`=4_9=36  ∴ x=6 (∵ x>0)

STEP

2

적중유형 Drill

0496  ③ 반지름의 길이가 같은 두 부채꼴
은 오른쪽 그림과 같이 닮음이 아

닌 경우가 있다.

0502  ABÓ :EFÓ=2 :3이므로 ABÓ :7=2 :3

3ABÓ=14  ∴ ABÓ=

`(cm)

:Á3¢:

따라서 ABCD의 둘레의 길이는

+5+4+3=

`(cm)

:°3¼:

:Á3¢:

EFGH의 둘레의 길이를 l`cm라 하면

:l=2 :3, 2l=50  ∴ l=25

:°3¼:

0503   A3 용지의 긴 변의 길이를 a라 하

면 A5 용지의 긴 변의 길이는

a

;2!;

이므로 A7 용지의 긴 변의 길이는

a



따라서 A3 용지와 A7 용지의 닮

_

a=

a

;4!;

;2!;

;2!;

음비는

a :

a=4 :1

;4!;

 12



:Á5¤:

 6

p.92~p.99

 ③

따라서 EFGH의 둘레의 길이는 25`cm이다.   25`cm


a
4
A5

A8

A7

A6


a
2

A4

 4 :1

5. 도형의 닮음  |  41







































































































0504  닮음비는 ACÓ :A'C'Ó=10 :5=2 :1


D'E'Ó=A'B'Ó=4이므로

DEÓ :D'E'Ó=2 :1에서

x :4=2 :1  ∴ x=8

ADÓ :A'D'Ó=2 :1에서

12 :y=2 :1, 2y=12  ∴ y=6

 x=8, y=6



0505  ① 닮음비는 ABÓ :A'B'Ó=3 :5이므로


  2 :B'C'Ó=3 :5, 3B'C'Ó=10  

  ∴ B'C'Ó=

`(cm)

:Á3¼:

⑤ △BCD에 대응하는 면은 △B'C'D'이다.

 ⑤

0506   닮음비는 27 :15=9 :5


원기둥 A의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

r :5=9 :5, 5r=45  ∴ r=9

따라서 원기둥 A의 밑면인 원의 둘레의 길이는

2p_9=18p`(cm)

 18p`cm

Ü △GHI와 △JLK에서

GHÓ :JLÓ=3.5 :7=1 :2,

HIÓ :LKÓ=2 :4=1 :2,

GIÓ :JKÓ=3 :6=1 :2
∴ △GHI»△JLK ( SSS 닮음)

 △ABC»△PQR ( AA 닮음), 

△DEF»△OMN ( SAS 닮음), 
△GHI»△JLK ( SSS 닮음)

0510  ② △ABC와 △GIH에서


  ∠B=180ù-(75ù+60ù)=45ù=∠I

  ∠C=∠H=60ù
  ∴ △ABC»△GIH ( AA 닮음)

0511   ① ∠C=60ù이면 △ABC에서


  ∠A=180ù-(40ù+60ù)=80ù
  이때 △ABC와 △DFE에서
  ∠A=∠D=80ù, ∠C=∠E=60ù
  ∴ △ABC»△DFE ( AA 닮음)

 ②

 ①

0507   처음 원뿔과 잘라서 생긴 작은 원뿔은 서로 닮은 도형이므로

닮음비는 높이의 비와 같다.

따라서 닮음비는 (5+10) :5=15 :5=3 :1

처음 원뿔의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

r :2=3 :1  ∴ r=6

따라서 처음 원뿔의 밑면인 원의 반지름의 길이는 6`cm이다.

 6`cm

0512  △ABC와 △AED에서


ABÓ :AEÓ=(5+7) :4=3 :1,

ACÓ :ADÓ=(4+11) :5=3 :1,

∠A는 공통
∴ △ABC»△AED ( SAS 닮음)
즉 BCÓ :EDÓ=3 :1이므로 BCÓ :6=3 :1

∴ BCÓ=18

 18

0508   물의 높이는 20_

=8`(cm)이므로

;5@;

그릇과 물이 이루는 원뿔의 닮음비는 20 :8=5 :2

물이 이루는 원뿔의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라

0513  △ABC와 △DEC에서
ACÓ :DCÓ=4 :8=1 :2,


BCÓ :ECÓ=6 :12=1 :2,

하면

15 :r=5 :2, 5r=30  ∴ r=6

따라서 수면이 이루는 원의 넓이는

∠ACB=∠DCE (맞꼭지각)
∴ △ABC»△DEC ( SAS 닮음)
즉 ABÓ :DEÓ=1 :2이므로 ABÓ :10=1 :2

p_6Û`=36p`(cmÛ`)

 36p`cmÛ`

2ABÓ=10  ∴ ABÓ=5

 5

0509  Ú △ABC와 △PQR에서


∠A=180ù-(50ù+40ù)=90ù=∠P

∠C=∠R=40ù
∴△ABC»△PQR ( AA 닮음)

Û △DEF와 △OMN에서
DEÓ :OMÓ=6 :4=3 :2,

DFÓ :ONÓ=3 :2,

∠D=∠O=30ù
∴ △DEF»△OMN ( SAS 닮음)

42  |  정답과 해설

0514   ⑴ △ABC와 △EDC에서


  BCÓ :DCÓ=(9+3) :4=3 :1,

  ACÓ :ECÓ=9 :3=3 :1,

  ∠C는 공통
  ∴ △ABC»△EDC ( SAS 닮음)
⑵ 닮음비는 ACÓ :ECÓ=9 :3=3 :1이므로

  BAÓ :DEÓ=3 :1에서 6 :DEÓ=3 :1

  3DEÓ=6  ∴ DEÓ=2

 ⑴ △ABC»△EDC ( SAS 닮음)  ⑵ 2

























































0515  △ABC와 △EBD에서


ABÓ :EBÓ=(10+6) :8=2 :1,

BCÓ :BDÓ=(8+4) :6=2 :1,

∠B는 공통
∴ △ABC»△EBD ( SAS 닮음)
즉 ACÓ :EDÓ=2 :1이므로 ACÓ :4=2 :1

∴ ACÓ=8

0516  △ABC와 △DBA에서


ABÓ :DBÓ=12 :8=3 :2,

BCÓ :BAÓ=(8+10) :12=3 :2,

∠B는 공통
∴ △ABC»△DBA ( SAS 닮음)
즉 CAÓ :ADÓ=3 :2이므로 9 :ADÓ=3 :2

0521  △ABC와 △EBD에서


∠ACB=∠EDB, ∠B는 공통
∴ △ABC»△EBD ( AA 닮음)
즉 ABÓ :EBÓ=BCÓ :BDÓ이므로 5 :3=(3+4) :BDÓ

5BDÓ=21  ∴ BDÓ=

`(cm)

:ª5Á:

 8

∴ ADÓ=ABÓ-BDÓ=5-

=

;5$;

:ª5Á:

`(cm)



;5$;

`cm

0522  △ABC와 △DEA에서


AEÓ∥BCÓ이므로 ∠ACB=∠DAE (엇각),

ABÓ∥EDÓ이므로 ∠BAC=∠EDA (엇각)
∴ △ABC»△DEA ( AA 닮음)
즉 BCÓ :EAÓ=ACÓ :DAÓ이므로 BCÓ :5=(6+4) :6

3ADÓ=18  ∴ ADÓ=6`(cm)

 6`cm

6BCÓ=50  ∴ BCÓ=

`(cm)

:ª3°:



:ª3°:

`cm

0517  △ABC와 △ADE에서


∠ABC=∠ADE, ∠A는 공통
∴ △ABC»△ADE ( AA 닮음)
즉 ABÓ :ADÓ=ACÓ :AEÓ이므로 18 :9=ACÓ :6

9ACÓ=108  ∴ ACÓ=12

∴ CDÓ=ACÓ-ADÓ=12-9=3

 3

0518  △ABC와 △EDC에서
ABÓ∥DEÓ이므로


∠CAB=∠CED (엇각), ∠CBA=∠CDE (엇각)
∴ △ABC»△EDC ( AA 닮음)
즉 ACÓ :ECÓ=ABÓ :EDÓ이므로 6 :x=9 :12

9x=72  ∴ x=8

또 BCÓ :DCÓ=ABÓ :EDÓ이므로 y :16=9 :12

12y=144  ∴ y=12

 x=8, y=12

0519   ⑴ △ABC와 △BDC에서


  ∠BAC=∠DBC, ∠C는 공통
  ∴ △ABC»△BDC ( AA 닮음)
⑵ ABÓ :BDÓ=ACÓ :BCÓ이므로 12 :BDÓ=18 :16

  18BDÓ=192  ∴ BDÓ=

`(cm)

:£3ª:

0523  △ABE와 △FCE에서
ABÓ∥CFÓ이므로


∠BAE=∠CFE (엇각), ∠ABE=∠FCE (엇각)
∴ △ABE»△FCE ( AA 닮음)
즉 ABÓ :FCÓ=BEÓ :CEÓ이므로 6 :FCÓ=3 :2

3FCÓ=12  ∴ FCÓ=4`(cm)

∴ DFÓ=DCÓ+CFÓ=6+4=10`(cm)

 10`cm

다른 풀이 

BCÓ=ADÓ=10`cm이고

BEÓ :CEÓ=3 :2이므로

CEÓ=10_

=4`(cm)

;5@;
△AFD와 △EFC에서
ADÓ∥ECÓ이므로 ∠FAD=∠FEC (동위각),

∠F는 공통
∴ △AFD»△EFC ( AA 닮음)
CFÓ=x`cm라 하면

ADÓ :ECÓ=FDÓ :FCÓ이므로

6 cm

10 :4=(x+6) :x에서

10x=4x+24

6x=24  ∴ x=4`

A

10 cm

D

B

E

4 cm

C
x cm

F

 ⑴ △ABC»△BDC ( AA 닮음)  ⑵

`cm

:£3ª:

∴ DFÓ=DCÓ+CFÓ=6+4=10`(cm)

0520  △ABC와 △DBA에서


∠BCA=∠BAD, ∠B는 공통
∴ △ABC»△DBA ( AA 닮음)
즉 ABÓ :DBÓ=BCÓ :BAÓ이므로 12 :8=BCÓ :12

8BCÓ=144  ∴ BCÓ=18

0524  △ABD와 △CBE에서


∠ADB=∠CEB=90ù, ∠B는 공통
∴ △ABD»△CBE ( AA 닮음)
즉 ABÓ :CBÓ=BDÓ :BEÓ이므로 8 :9=(9-3) :BEÓ

∴ CDÓ=BCÓ-BDÓ=18-8=10

 10

8BEÓ=54  ∴ BEÓ=

`(cm)

:ª4¦:



:ª4¦:

`cm





















































































































5. 도형의 닮음  |  43

3x=9  ∴ x=3

 3

 ②



















































0525  △ABC와 △AED에서


∠ACB=∠ADE=90ù, ∠A는 공통
∴ △ABC»△AED ( AA 닮음)
즉 BCÓ :EDÓ=ACÓ :ADÓ이므로

6 :3=(5+x) :4에서 15+3x=24

0526  BDÓ :DCÓ=3 :2이므로

DCÓ=20_

=8`(cm)

;5@;
△ADC와 △BEC에서
∠ADC=∠BEC=90ù, ∠C는 공통
∴ △ADC»△BEC ( AA 닮음)
즉 ACÓ :BCÓ=DCÓ :ECÓ이므로 16 :20=8 :ECÓ

16ECÓ=160  ∴ ECÓ=10`(cm)

∴ AEÓ =ACÓ-ECÓ=16-10=6`(cm)

 6`cm

0527  △ACD와 △BCP에서


∠ACD=∠BCP=90ù, ∠A=90ù-∠D=∠B
∴ △ACD»△BCP ( AA 닮음)
즉 ACÓ :BCÓ=CDÓ :CPÓ이므로 ACÓ :6=6 :4

4ACÓ=36  ∴ ACÓ=9`(cm)

∴ APÓ =ACÓ-PCÓ=9-4=5`(cm)

 5`cm

0528  △ABC와 △FEC에서


∠ABC=∠FEC=90ù, ∠C는 공통
∴ △ABC»△FEC ( AA 닮음)
DBEF의 한 변의 길이를

A

x`cm라 하면

ABÓ :FEÓ=BCÓ :ECÓ이므로

10 :x=15 :(15-x)

15x=150-10x

25x=150  ∴ x=6

D
10 cm

B

(15-x) cm



C

F

x cm

E
15 cm

∴ DBEF=6_6=36`(cmÛ`)

 36`cmÛ`



D

A

0529   크기가 같은 각을 표시하면 오른
쪽  그림과  같으므로  △ABC와
닮음인 삼각형은 다음과 같다.
① △ABC와 △EBA에서
  ∠ACB=∠EAB=90ù, ∠B는 공통
  ∴ △ABC »△EBA ( AA 닮음)
② ∠BDF=90ù인지 알 수 없으므로 △ABC와 △FBD는

E

B

C

F







닮음인 삼각형이 아니다.
③ △ABC와 △DEA에서
  ∠ACB=∠DAE=90ù, ∠ABC=∠DEA
  ∴ △ABC »△DEA ( AA 닮음)

44  |  정답과 해설









































④ △ABC와 △EAC에서
  ∠ACB=∠ECA=90ù, ∠ABC=∠EAC
  ∴ △ABC »△EAC ( AA 닮음)
⑤ △ABC와 △DBE에서
  ∠ACB=∠DEB=90ù, ∠B는 공통
  ∴ △ABC »△DBE ( AA 닮음)

0530  △ABC와 △EOC에서


∠ABC=∠EOC=90ù, ∠ACB는 공통
∴ △ABC»△EOC ( AA 닮음)
즉 ABÓ :EOÓ=BCÓ :OCÓ이므로 6 :EOÓ=8`:`5

`(cm)

8EOÓ=30  ∴ EOÓ=

;;Á4°;;
또 △AOF와 △COE에서
AOÓ=COÓ, ∠OAF=∠OCE (엇각),

∠AOF=∠COE (맞꼭지각)
∴ △AOFª△COE ( ASA 합동)
즉 FOÓ=EOÓ이므로

EFÓ=2EOÓ=2_

;;Á4°;;=;;Á2°;;

`(cm)



 ;;Á2°;;

`cm

0531  ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로


5Û`=3_(3+y), 25=9+3y

3y=16  ∴ y=

:Á3¤:

ACÓ Û`=CDÓ_CBÓ이므로

xÛ`=

_

:Á3¤:

{:Á3¤:+

}

;:$9):);

{:ª3¼:}

3

=

=

Û`  

∴ x=

`(∵ x>0)

:ª3¼:

∴ x+y=

+

:ª3¼:

:Á3¤:

=

:£3¤:

=12

 12









0532  ① ∠ACB=90ù-∠CAD=∠BAD
② △ABC와 △DBA에서

  ∠BAC=∠BDA=90ù, ∠B는 공통
  ∴ △ABC∽△DBA ( AA 닮음)
③ △ABC와 △DAC에서
  ∠BAC=∠ADC=90ù, ∠C는 공통
  ∴ △ABC∽△DAC ( AA 닮음)
  즉 ACÓ :DCÓ=BCÓ`:`ACÓ이므로 ACÓ Û`=CDÓ_CBÓ
④ ∠B=90ù-∠ACD=∠DAC
⑤ △ABD와 △CAD에서
  ∠ADB=∠CDA=90ù, ∠ABD=∠CAD
  ∴ △ABD∽△CAD`( AA 닮음)
  즉 ADÓ :CDÓ=BDÓ`:`ADÓ이므로 ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ

















따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

 ③

_18_12=108`(cmÛ`)

 108`cmÛ`

즉 ADÓ :ABÓ=AEÓ :ACÓ이므로

:10=AEÓ :6

:Á5¥:

0533  ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로


12Û`=8_DCÓ  ∴ DCÓ=18`(cm)

∴ △ADC=

_DCÓ_ADÓ

;2!;

=

;2!;

0534  ACÓ_BCÓ=ABÓ_CDÓ이므로


15_20=ABÓ_12  ∴ ABÓ=25
BCÓ Û`=BDÓ_BAÓ이므로
20Û`=x_25  ∴ x=16

ADÓ=ABÓ-BDÓ이므로

y=25-16=9

∴ x-y=16-9=7

0535  △ABD에서 ABÓ Û`=BEÓ_BDÓ이므로

3Û`=BEÓ_5  ∴ BEÓ=

`(cm)

또 △BCD에서 CDÓ Û`=DFÓ_DBÓ이므로

3Û`=DFÓ_5  ∴ DFÓ=

`(cm)

∴ EFÓ=BDÓ-(BEÓ+DFÓ)

;5(;

;5(;

다른 풀이 
△ABD에서 ABÓ Û`=BEÓ_BDÓ이므로

3Û`=BEÓ_5   ∴ BEÓ=

`(cm)

;5(;

△ABE와 △CDF에서
ABÓ=CDÓ, ∠AEB=∠CFD=90ù,

ABÓ∥CDÓ이므로 ∠ABE=∠CDF (엇각)
∴ △ABEª△CDF ( RHA 합동)

즉 DFÓ=BEÓ=

`cm이므로

;5(;

EFÓ=BDÓ-(BEÓ+DFÓ)

=5-

+

=

;5&;

;5(;}

{;5(;

`(cm)

 7

=5-

+

=

;5&;

;5(;}

{;5(;

`(cm)



;5&;

`cm

6Û`=ADÓ_10  ∴ ADÓ=

:Á5¥:

또 △ADC에서 DAÓ Û`=AEÓ_ACÓ이므로

Û`=AEÓ_6, 6AEÓ=

  

:£2ª5¢:

{:Á5¥:}

∴ AEÓ=


;2%5$;



;2%5$;

다른 풀이 
△ABC에서 CAÓ Û`=ADÓ_ABÓ이므로

6Û`=ADÓ_10  ∴ ADÓ=

:Á5¥:























































































































△ADE와 △ABC에서
∠AED=∠ACB=90ù, ∠A는 공통
∴ △ADE»△ABC ( AA 닮음)



10AEÓ=

  ∴ AEÓ=

:Á;5);¥:

;2%5$;

0537  점 M은 △ABC의 외심이므로

AMÓ=BMÓ=CMÓ=

BCÓ=

_(16+4)=10`(cm)

;2!;

;2!;

MDÓ=CMÓ-CDÓ=10-4=6`(cm)
△ABC에서 ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로
ADÓ Û`=16_4=64  ∴ ADÓ=8`(cm) (∵ ADÓ>0)

∴ △AMD=

_MDÓ_ADÓ

;2!;

=

;2!;

 

_6_8=24`(cmÛ`)

 24`cmÛ`

0538   DPÓ=10-8=2


△ABP와 △DPQ에서
∠A=∠D=90ù,

∠ABP=90ù-∠APB=∠DPQ
∴△ABP»△DPQ ( AA 닮음)
즉 ABÓ :DPÓ=APÓ :DQÓ이므로 6 :2=8 :DQÓ

6DQÓ=16  ∴ DQÓ=


;3*;



;3*;

0539  △ABC는 한 변의 길이가 5+10=15인 정삼각형이므로


EDÓ=ADÓ=15-8=7

EFÓ=AFÓ=x
△DBE와 △ECF에서
∠DBE=∠ECF=60ù,

∠BDE=120ù-∠DEB=∠CEF
∴ △DBE»△ECF ( AA 닮음)
즉 DBÓ :ECÓ=DEÓ :EFÓ이므로

8 :10=7 :x, 8x=70  ∴ x=


:£4°:



:£4°:

이므로

BPÓ=16-8=8`(cm)

FPÓ=DFÓ=10`cm
△QBP와 △PCF에서
∠B=∠C=90ù,

∠BQP=90ù-∠QPB=∠CPF
∴ △QBP»△PCF ( AA 닮음)
즉 PQÓ :FPÓ=BPÓ :CFÓ이므로 PQÓ :10=8 :6

6PQÓ=80  ∴ PQÓ=

`(cm)

:¢3¼:



:¢3¼:

`cm

5. 도형의 닮음  |  45

0536  △ABC에서 CAÓ Û`=ADÓ_ABÓ이므로

0540   ABCD는 한 변의 길이가 10+6=16`(cm)인 정사각형









































0541   BDÓ=

`BCÓ=

_24=12`(cm)이므로

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

BFÓ=

`BDÓ=

_12=6`(cm)

△ABC와 △FBE에서
∠BAC=∠BFE=90ù, ∠B는 공통
∴ △ABC»△FBE ( AA 닮음)
즉 BAÓ :BFÓ=BCÓ :BEÓ이므로 18 :6=24 :BEÓ

18BEÓ=144  ∴ BEÓ=8`(cm) 

 8`cm

∴ △ABC»△DEF ( AA 닮음)
즉 ABÓ :DEÓ=BCÓ :EFÓ이므로 10 :DEÓ=12 :6

12DEÓ=60  ∴ DEÓ=5

 5





















0542  △ABC와 △DEF에서


∠EDF =∠DAC+∠ACD

=∠DAC+∠BAE

=∠BAC

∠DEF =∠BAE+∠ABE

=∠CBF+∠ABE

=∠ABC

0543   △ABC와 △DEF에서


∠EDF =∠DAC+∠ACD

=∠DAC+∠BAE

=∠BAC

∠DEF =∠BAE+∠ABE

=∠CBF+∠ABE

=∠ABC

∴ △ABC»△DEF ( AA 닮음)
즉 ACÓ :BCÓ=DFÓ :EFÓ이므로

DFÓ :EFÓ=5 :6

STEP

3

심화유형 Master

0544  △ABC와 △BDC에서


ACÓ :BCÓ=(7+9) :12=4 :3,

BCÓ :DCÓ=12 :9=4 :3,

 5 :6

p.100~p.102

∠C는 공통
∴ △ABC»△BDC ( SAS 닮음)
즉 ABÓ :BDÓ=4`:`3이므로 22 :BDÓ=4 :3

4BDÓ=66  ∴ BDÓ=


:£2£:

 :£2£:

0545  △ABE와 △CBD에서


∠ABE=∠CBD, ∠BAE=∠BCD
∴ △ABE»△CBD ( AA 닮음)

46  |  정답과 해설































































즉 AEÓ :CDÓ=ABÓ :CBÓ이고

CDÓ=ABÓ=6`cm이므로

AEÓ :6=6 :9, 9AEÓ=36  ∴ AEÓ=4`(cm)

∴ EDÓ=ADÓ-AEÓ=9-4=5`(cm)

 5`cm

0546  △ABF와 △DEF에서


∠AFB=∠DFE (맞꼭지각),

ABÓ∥EDÓ이므로 ∠ABF=∠DEF (엇각)
∴ △ABF»△DEF ( AA 닮음)
AFÓ=x`cm라 하면

AFÓ :DFÓ=ABÓ :DEÓ에서 x`:`(10-x)=8`:`4

4x=80-8x, 12x=80  ∴ x=

`

:ª3¼:

따라서 AFÓ의 길이는

`cm이다.

:ª3¼:



:ª3¼:

`cm

0547  △ABF와 △EDF에서


ABÓ∥DEÓ이므로 ∠BAF=∠DEF (엇각),

∠AFB=∠EFD (맞꼭지각)
∴ △ABF»△EDF ( AA 닮음)
즉 ABÓ :EDÓ=BFÓ :DFÓ이므로 ABÓ :4=(12-4) :4

4ABÓ=32  ∴ ABÓ=8`(cm)

이때 CDÓ=ABÓ=8`cm이므로

CEÓ=CDÓ-DEÓ=8-4=4`(cm) 

 4`cm

0548  △ABE와 △CBD에서
∠ABE=∠CBD,


∠AEB =180ù-∠AED







=180ù-∠ADE=∠CDB

∴ △ABE»△CBD ( AA 닮음)
즉 BEÓ :BDÓ=AEÓ :CDÓ이고

AEÓ=ADÓ=4이므로

6 :BDÓ=4 :6, 4BDÓ=36

∴ BDÓ=9

 9

D

0549  BFÓ=k(k>0)라 하면
FCÓ=2BFÓ=2k



k
2

A

3k

E

ADÓ=BFÓ+FCÓ=k+2k=3k

EAÓ=

ADÓ=

;2!;

k

;2#;

G

22 cm

B

k

F

2k

C

△EGD와 △FGB에서
EDÓ∥BCÓ이므로 ∠DEG=∠BFG (엇각),

∠EGD=∠FGB (맞꼭지각)
∴ △EGD»△FGB ( AA 닮음)
즉 DGÓ :BGÓ=DEÓ :BFÓ이므로

DGÓ :BGÓ=

:k=9 :2
k+3k
}

{;2#;

∴ BGÓ=

`BDÓ=

_22=4`(cm)

;1ª1;

;1ª1;

 4`cm





































































0550  △AED와 △GEC에서


ADÓ∥BGÓ이므로 ∠ADE=∠GCE (엇각),

∠AED=∠GEC (맞꼭지각)
∴ △AED»△GEC ( AA 닮음)
즉 AEÓ :GEÓ=DEÓ :CEÓ=3 : 2
또 △ABF와 △EDF에서
ABÓ∥DCÓ이므로 ∠ABF=∠EDF (엇각),

∠AFB=∠EFD (맞꼭지각)
∴ △ABF»△EDF ( AA 닮음)
이때 ABÓ :EDÓ=DCÓ :EDÓ=5 : 3이므로

AFÓ :EFÓ=5 : 3, 5EFÓ=3AFÓ  ∴ EFÓ=

AFÓ

;5#;

AEÓ=AFÓ+EFÓ=AFÓ+

AFÓ=

AFÓ이므로

;5#; 

;5*;

㉠에서

AFÓ :GEÓ=3 :2

;5*;

AFÓ=3GEÓ, 16AFÓ=15GEÓ

:Á5¤:

∴ AFÓ :GEÓ=15 :16

 15 :16

이때 EDÓ=ECÓ-DCÓ=8-2=6`(cm)이고



EGÓ=CFÓ=8`cm이므로

EDHG=

_(GHÓ+EDÓ)_EGÓ

;2!;

=

;2!;

yy ㉠

_(2+6)_8=32`(cmÛ`)

 32`cmÛ`

0553  △DBC와 △FBO에서


∠DCB=∠FOB=90ù, ∠B는 공통
∴ △DBC»△FBO ( AA 닮음)
즉 BCÓ :BOÓ=BDÓ :BFÓ

Ó이고

BOÓ=

BDÓ=

_20=10`(cm)이므로

;2!;

;2!;

16 :10=20 :BFÓ, 16BFÓ=200

∴ BFÓ=

`(cm)

:ª2°:

또 △OED와 △OFB에서
ODÓ=OBÓ, ∠EOD=∠FOB=90ù

EDÓ∥BFÓ이므로 ∠EDO=∠FBO
∴ △OEDª△OFB ( ASA 합동)
즉 OEÓ=OFÓ이므로 EBFD는 마름모이다.

∴ (EBFD의 둘레의 길이)=4BFÓ

0551  △ABE와 △EFD에서


ABÓ∥EFÓ이므로 ∠ABE=∠BEF (엇각),

EBÓ∥DFÓ이므로 ∠BEF=∠EFD (엇각)

∴ ∠ABE=∠EFD

EBÓ∥DFÓ이므로 ∠AEB=∠EDF (동위각)
∴ △ABE»△EFD ( AA 닮음)
즉 BEÓ :FDÓ=ABÓ :EFÓ이므로

BEÓ :FDÓ=8 :EFÓ
Ó
또 △EBF와 △DFC에서
EBÓ∥DFÓ이므로 ∠BEF=∠EFD (엇각)

EFÓ∥DCÓ이므로 ∠EFD=∠FDC (엇각)

∴ ∠BEF=∠FDC

EBÓ∥DFÓ이므로 ∠EBF=∠DFC (동위각)
∴ △EBF»△DFC ( AA 닮음)
즉 BEÓ :FDÓ=EFÓ :DCÓ이므로

BEÓ :FDÓ=EFÓ :18
㉠, ㉡에서 8 :EFÓ=EFÓ`:`18, EFÓ Û`=144  
∴ EFÓ=12`(cm) (∵ EFÓ>0)

yy ㉡

 12`cm

=4_

=50`(cm)

:ª2°:

 50`cm

yy ㉠

0554  △FBC와 △EDC에서


∠FCB=∠ECD, ∠FBC=∠EDC=90ù
∴ △FBC»△EDC ( AA 닮음)
즉 BCÓ :DCÓ=CFÓ :CEÓ이므로 10 :8=CFÓ :CEÓ

∴ CFÓ :CEÓ=5`:`4

따라서 CEÓ :EFÓ=4`:`1이므로

EFÓ
CEÓ

=



;4!;



;4!;

C

15 cm

25 cm

D

F

E
20 cm

B

0555  △ABC와 △ADB에서
∠ABC=∠ADB=90ù,


∠A는 공통
∴ △ABC»△ADB
( AA 닮음)

A

즉 BCÓ :DBÓ=ACÓ :ABÓ이므로

15 :DBÓ=25`:`20

0552  △BCD와 △BFH에서


∠BCD=∠BFH=90ù, ∠B는 공통
∴ △BCD»△BFH ( AA 닮음)
즉 BCÓ :BFÓ=DCÓ :HFÓ이고

DCÓ=ABÓ=2`cm이므로

4 :(4+8)=2 :HFÓ, 4HFÓ=24  ∴ HFÓ=6`(cm)

∴ GHÓ

Ó=GFÓ-HFÓ=8-6=2`(cm)

25DBÓ=300  ∴ DBÓ=12`(cm)
또 △ABC와 △DEB에서
∠ABC=∠DEB=90ù, ∠CAB=∠BDE
∴ △ABC»△DEB ( AA 닮음)
즉 ABÓ :DEÓ=ACÓ :DBÓ이므로 20 :DEÓ=25`:`12

25DEÓ=240  ∴ DEÓ=

`(cm)

:¢5¥:

5. 도형의 닮음  |  47































































































































또 △ABC와 △EFD에서
∠ABC=∠EFD=90ù, ∠CAB=∠DEF
∴ △ABC»△EFD ( AA 닮음)
즉 ABÓ :EFÓ=ACÓ :EDÓ이므로

20 :EFÓ=25 :

, 25EFÓ=192

:¢5¥:

∴ EFÓ=

`(cm)

:Á2»5ª:



:Á2»5ª:

`cm

A

a

45$

EB

a

P

Q

D

F

C

…… ㉡

 35

0556  △ABE와 △AQF에서
∠ABE=∠AQF=90ù,


∠BAC=∠DAC=45ù이므로

∠BAE =45ù-∠EAP



=∠QAF

∴ △ABE»△AQF ( AA 닮음)
이때 ABÓ=ADÓ=a라 하면

ABÓ :AQÓ=AEÓ :AFÓ에서

a :7=AEÓ`:`AFÓ
한편 △AEP와 △AFD에서
∠APE=∠ADF=90ù,



∠EAP=45ù-∠QAF=∠FAD
∴ △AEP»△AFD ( AA 닮음)
즉 APÓ :ADÓ=AEÓ :AFÓ이므로

5 :a=AEÓ`:`AFÓ



㉠, ㉡에서 a :7=5`:`a  ∴ aÛ`=35

∴ ABCD=aÛ`=35

0557  △ABD에서 AEÓ Û`=EBÓ_EDÓ이므로

6Û`=EBÓ_8  ∴ EBÓ=

`(cm)

;2(;

△ABD에서 ABÓ Û`=BEÓ_BDÓ이므로

ABÓ Û`=

_

;2(;

{;2(;

+8

=

}

:ª;4@;°:

  

∴ ABÓ=:Á2°:`(cm) (∵ ABÓ>0)
△ABD에서 ADÓ Û`=DEÓ_DBÓ이므로

ADÓ Û`=8_

8+

{

;2(;}

=100  

∴ ADÓ=10`(cm) (∵ ADÓ>0)

따라서 ABCD의 둘레의 길이는

2(ABÓ+ADÓ)=2_

+10

=35`(cm)

 35`cm

{:Á2°:

}

0558  점 M은 △ABC의 외심이므로

AMÓ=BMÓ=CMÓ=

  BCÓ=

_10=5`(cm)

;2!;

;2!;

△ABC에서 ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로
ADÓ Û`=2_8=16  ∴ ADÓ=4`(cm)`(∵ ADÓ>0)

48  |  정답과 해설

…… ㉠

0560   ⑴ ∠PBD=∠DBC (접은 각)


  ADÓ∥BCÓ이므로 ∠PDB=∠DBC (엇각)
  따라서 ∠PBD=∠PDB이므로 △PBD는 이등변삼각





















































또 DMÓ=BMÓ-BDÓ=5-2=3`(cm)이고
△ADM에서 AMÓ_DHÓ=DMÓ_ADÓ이므로

5_DHÓ=3_4  ∴ DHÓ=

`(cm)

:Á5ª:



:Á5ª:

`cm

0559  △ABC'과 △DC'E에서
∠A=∠D=90ù,


∠ABC'=90ù-∠AC'B=∠DC'E
∴ △ABC'»△DC'E ( AA 닮음)
즉 ABÓ :DC'Ó=BC'Ó`:`C'EÓ이고

C'EÓ=CEÓ=8-3=5`(cm)이므로

8 :4=BC'Ó :5, 4BC'Ó=40  ∴ BC'Ó=10`(cm)

∴ △BEC'=

_BC'Ó_C'EÓ

;2!;

=

;2!;



_10_5=25`(cmÛ`)

 25`cmÛ`

형이다.

  ∴ BQÓ=DQÓ=

BDÓ=

_5=

;2!;

;2!;

;2%;

  △PBQ와 △DBC에서
  ∠PBQ=∠DBC (접은 각), ∠PQB=∠DCB=90ù
  ∴ △PBQ»△DBC ( AA 닮음)
  즉 BQÓ :BCÓ=PQÓ :DCÓ이고

  DCÓ=ABÓ=3이므로

 

:4=PQÓ :3, 4PQÓ=

;2%;

:Á2°:

  ∴ PQÓ=

:Á8°:

⑵ △PBD=

_5_

=


;1&6%;

:Á8°:

;2!;

 ⑴ :Á8°:  ⑵ ;1&6%;

0561  △ABC와 △DEF에서


∠EDF =∠BAD+∠ABD

=∠BAD+∠CAF

=∠BAC

∠DEF =∠EBC+∠BCE

=∠EBC+∠ABD

=∠ABC













∴ △ABC»△DEF ( AA 닮음)
닮음비는 ACÓ :DFÓ=9 :5이고
△ABC의 둘레의 길이는 8+10+9=27이므로
△DEF의 둘레의 길이를 l이라 하면
27 :l=9 :5, 9l=135  ∴ l=15
따라서 △DEF의 둘레의 길이는 15이다. 

 15

6

평행선과 선분의 길이의 비
평행선과 선분의 길이의 비
평행선과 선분의 길이의 비

STEP

1

기초 Build

p.105, 107

0562  ABÓ :ADÓ=ACÓ :AEÓ이므로 20 :x=25 :10


25x=200  ∴ x=8

 8

0563  ABÓ :ADÓ=BCÓ :DEÓ이므로 5 :3=8 :x

0570  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 12 :9=x :6


9x=72  ∴ x=8

0571  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 5 :10=x :(12-x)


10x=60-5x, 15x=60  ∴ x=4

0572  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 12 :18=(20-x) :x
12x=360-18x, 30x=360  ∴ x=12




5x=24  ∴ x=


:ª5¢:

 

:ª5¢:

0573  10 :8=15 :x에서 10x=120  ∴ x=12

0564  ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ이므로 8 :4=6 :x


8x=24  ∴ x=3

0574  5 :4=8 :x에서 5x=32  ∴ x=


:£5ª:

 

:£5ª:

 3

 15

 3

 20

0565  ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ이므로 8 :4=(x-5) :5


4x-20=40, 4x=60  ∴ x=15

0566  ABÓ :ADÓ=ACÓ :AEÓ이므로 8 :4=6 :x


8x=24  ∴ x=3

0567  ABÓ :ADÓ=ACÓ :AEÓ이므로 (x-8) :8=9 :6


6x-48=72, 6x=120  ∴ x=20

0568  ㉠ ADÓ :DBÓ=6 :4=3 :2, AEÓ :ECÓ=3 :2이므로


 ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ

 ∴ BCÓ∥DEÓ

0575  x :(15-x)=8 :(20-8)에서


12x=120-8x, 20x=120  ∴ x=6

0576  AGFD는 평행사변형이므로


GFÓ=ADÓ=3`cm

0577  AHCD는 평행사변형이므로


HCÓ=ADÓ=3`cm

∴ BHÓ=BCÓ-HCÓ=9-3=6`(cm)
△ABH에서 EGÓ∥BHÓ이므로
AEÓ :ABÓ=EGÓ :BHÓ에서 2 :6=EGÓ :6

6 EGÓ=12  ∴ EGÓ=2`(cm)

㉡ ABÓ :ADÓ=10 :5=2 :1, ACÓ :AEÓ=9 :4이므로

0578  EFÓ=EGÓ+GFÓ=2+3=5`(cm)

















































 ABÓ :ADÓ+ACÓ :AEÓ

 따라서 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.

㉢ ABÓ :ADÓ=9 :4, ACÓ :AEÓ=6 :3=2 :1이므로

 ABÓ :ADÓ+ACÓ :AEÓ

 따라서 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.

㉣ ABÓ :ADÓ=10 :15=2 :3, ACÓ :AEÓ=6 :9=2 :3이

므로 ABÓ :ADÓ=ACÓ :AEÓ

 ∴ BCÓ∥DEÓ

㉤ ABÓ :ADÓ=2 :6=1 :3, ACÓ :AEÓ=3 :8이므로

 ABÓ :ADÓ+ACÓ :AEÓ

 따라서 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.

㉥ ABÓ :ADÓ=8 :5, ACÓ :AEÓ=7.5 :5=3 :2이므로

 ABÓ :ADÓ+ACÓ :AEÓ

 따라서 BCÓ와 DEÓ는 평행하지 않다.

따라서 BCÓ∥DEÓ인 것은 ㉠, ㉣이다.

 ㉠, ㉣

0579  △ABC에서 EGÓ∥BCÓ이므로


AEÓ :ABÓ=EGÓ :BCÓ에서 6 :8=EGÓ :20

8 EGÓ=120  ∴ EGÓ=15

 15

0580  △ABC에서 EGÓ∥BCÓ이므로


CGÓ :CAÓ=BEÓ :BAÓ=2 :8=1 :4
△ACD에서 GFÓ∥ADÓ이므로
CGÓ :CAÓ=GFÓ :ADÓ에서 1 :4=GFÓ :8

4 GFÓ=8  ∴ GFÓ=2

0581  EFÓ=EGÓ+GFÓ=15+2=17

 8

 4

 12

 12

 6

 3 cm

 2 cm

 5 cm

 2

 17

0569  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 8 :6=4 :x


8x=24  ∴ x=3

 3



0582   오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나
고 DCÓ와 평행한 직선이 EFÓ, BCÓ

와 만나는 점을 각각 G, H라 하

5

D

A
2
E

G

F

5

5

H

5

C

3

B

6. 평행선과 선분의 길이의 비  |  49





















 14

 ③

 6

 12

 16

HCÓ=GFÓ=ADÓ=5이므로

BHÓ=BCÓ-HCÓ=10-5=5
이때 △ABH에서 EGÓ∥BHÓ이므로
AEÓ :ABÓ=EGÓ :BHÓ에서 2 :5=EGÓ :5

5 EGÓ=10  ∴ EGÓ=2

∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=2+5=7

또 AEÓ :ACÓ=DEÓ :BCÓ이므로 6 :9=y :9

9y=54  ∴ y=6

∴ x+y=8+6=14

0594  ③ ADÓ :ABÓ=DEÓ :BCÓ

 7

0595  ADÓ :ABÓ=DEÓ :BCÓ이므로 x :(x+2)=5 :8

0583  BEÓ :DEÓ =ABÓ :CDÓ =20 :30=2 :3

 2:3

8x=5x+10, 3x=10  ∴ x=

:Á3¼:

0584  △BCD에서 EFÓ∥DCÓ이므로
BFÓ :FCÓ =BEÓ :EDÓ=2 :3


0585  BEÓ :BDÓ=2 :(2+3)=2 :5

 2:3

 2:5

y=6  ∴ y=

;5(;

:Á3¼:

∴ xy=

_

=6

;5(;

:Á3¼:

또 AEÓ :ECÓ=ADÓ :DBÓ이므로 3 :y=

:2

:Á3¼:

0588  BCÓ=2 MNÓ=2_7=14  ∴ x=14 

 14

9x=48  ∴ x=

:Á3¤:

0586  △BCD에서 EFÓ∥DCÓ이므로


EFÓ :DCÓ=BEÓ :BDÓ에서 EFÓ :30=2 :5



5EFÓ=60  ∴ EFÓ=12

 12

0587  MNÓ=

BCÓ=

_10=5`(cm)  ∴ x=5 

 5

;2!;

;2!;

0589  ANÓ=

ABÓ=

_16=8`(cm)  ∴ x=8 

 8

;2!;

;2!;

0590  MNÓ=

ABÓ=

_12=6  ∴ x=6 

;2!;

;2!;

 6

0591  △ABD에서 MPÓ=

ADÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

△DBC에서 PNÓ=

BCÓ=

_14=7`(cm)

;2!;

;2!;

∴ MNÓ=MPÓ+PNÓ=4+7=11`(cm) 

 11`cm

0592  △ABC에서 MQÓ=

BCÓ=

_14=7`(cm)

△ABD에서 MPÓ=

ADÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

∴ PQÓ=MQÓ-MPÓ=7-4=3`(cm) 

 3`cm

0596  ABÓ :BEÓ=ACÓ :CDÓ이므로 4 :x=6 :(6+3)


6x=36  ∴ x=6

또 ACÓ :ADÓ=BCÓ :EDÓ이므로 6 :3=y :3

3y=18  ∴ y=6

∴ x+y=6+6=12

0597  GFÓ :GBÓ=EFÓ :ABÓ이므로 4 :9=x :12

또 GCÓ :GBÓ=DCÓ :ABÓ이므로 y :9=4 :12

12y=36  ∴ y=3

∴ xy=

_3=16

:Á3¤:

0598  DBEF의 한 변의 길이를 x cm라 하면


ADÓ=(20-x) cm

이때 DFÓ∥BCÓ이므로 ADÓ :ABÓ=DFÓ :BCÓ에서

(20-x) :20=x :12, 20x=240-12x

32x=240  ∴ x=

:Á2°:

따라서 DBEF의 한 변의 길이는

cm이다.

:Á2°:

0599  오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 A
BEÓ와 평행한 직선이 ABÓ의 연장


선, EFÓ와 만나는 점을 각각 G, H

라 하면 BEHG와 CEHD는

모두 평행사변형이므로

GHÓ=BEÓ=x, DHÓ=CEÓ=3

 

:Á2°:

 cm

B

G

D

x

4

6x
C

3

E

3

H

F

STEP

2

적중유형 Drill

p.108~p.123

0593  ADÓ :ABÓ=AEÓ :ACÓ이므로 x :12=6 :9


9x=72  ∴ x=8

이때 AGÓ∥HFÓ이므로 DAÓ :DFÓ=DGÓ :DHÓ에서

6 :4=(x-3):3, 4x-12=18

4x=30  ∴ x=


:Á2°:

 

:Á2°:

50  |  정답과 해설















































0600  △ABP에서 DQÓ∥BPÓ이므로


ADÓ :ABÓ=DQÓ :BPÓ에서 8 :(8+x)=4 :6

32+4x=48, 4x=16  ∴ x=4
△ABP에서 DQÓ∥BPÓ이므로 AQÓ :APÓ=DQÓ :BPÓ
△APC에서 QEÓ∥PCÓ이므로 AQÓ :APÓ=QEÓ :PCÓ
따라서 DQÓ :BPÓ=QEÓ :PCÓ이므로

4 :6=6 :y, 4y=36  ∴ y=9

∴ x+y=4+9=13

0601  △ABF에서 DGÓ∥BFÓ이므로 AGÓ :AFÓ=DGÓ :BFÓ
△AFC에서 GEÓ∥FCÓ이므로 AGÓ :AFÓ=GEÓ :FCÓ

따라서 DGÓ :BFÓ=GEÓ :FCÓ이므로



4 :6=8 :FCÓ, 4 FCÓ=48  ∴ FCÓ=12

 12

0602  △ABF에서 DGÓ∥BFÓ이므로 AGÓ :AFÓ=DGÓ :BFÓ
△AFC에서 GEÓ∥FCÓ이므로 AGÓ :AFÓ=GEÓ :FCÓ

∴ DGÓ :BFÓ=GEÓ :FCÓ



BFÓ=x cm라 하면 FCÓ=(20-x) cm이므로

9 :x=6 :(20-x), 6x=180-9x

15x=180  ∴ x=12

따라서 BFÓ의 길이는 12`cm이다.

 12 cm

0603  △ABC에서 DEÓ∥ACÓ이므로


BDÓ :BAÓ=BEÓ :BCÓ에서

BDÓ :BAÓ=12 :18=2 :3
또 △ABE에서 DFÓ∥AEÓ이므로
BDÓ :BAÓ=BFÓ :BEÓ에서 2 :3=BFÓ :12

0604  △ADC에서 FEÓ∥DCÓ이므로


AEÓ :ECÓ=AFÓ :FDÓ에서

AEÓ :ECÓ=9 :6=3 :2
또 △ABC에서 DEÓ∥BCÓ이므로
ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ에서 15 :DBÓ=3 :2

3 DBÓ=30  ∴ DBÓ=10

 10

0605  △ADC에서 FEÓ∥DCÓ이므로


AEÓ :ECÓ=AFÓ :FDÓ에서 AEÓ :ECÓ=3 :1
또 △ABC에서 DEÓ∥BCÓ이므로
ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ에서 9 :DBÓ=3 :1

3 DBÓ=9  ∴ DBÓ=3 (cm)

 3 cm

0606  △ADC에서 EFÓ∥CDÓ이므로


AFÓ :FDÓ=AEÓ :ECÓ에서

AFÓ :FDÓ=12 :8=3 :2























































































































또 △ABC에서 EDÓ∥CBÓ이므로
ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ에서

ADÓ :DBÓ=12 :8=3 :2

이때 AFÓ :FDÓ=3 :2이므로

AFÓ=3k cm, FDÓ=2k`cm (k>0)라 하면

ADÓ=AFÓ+FDÓ=3k+2k=5k (cm)

또 ADÓ :DBÓ=3 :2이므로

 13

5k :DBÓ=3 :2, 3DBÓ=10k  ∴ DBÓ=

k (cm)

:Á3¼:

∴ AFÓ :FDÓ :DBÓ=3k :2k :

k

:Á3¼:

=9 :6 :10

 9:6:10

0607  ① ADÓ :ABÓ=6 :9=2 :3,


  AEÓ :ACÓ=4 :6=2 :3이므로

  ADÓ :ABÓ=AEÓ :ACÓ

  ∴ BCÓ∥DEÓ

② ADÓ :DBÓ=4 :2=2 :1, AEÓ :ECÓ=5 :3이므로

  ADÓ :DBÓ+AEÓ :ECÓ

③ ADÓ :DBÓ=6 :4=3 :2,

  AEÓ :ECÓ=9 :6=3 :2이므로

  ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ

  ∴ BCÓ∥DEÓ

④ ABÓ :ADÓ=15 :12=5 :4,

  BCÓ :DEÓ=15 :10=3 :2이므로

  ABÓ :ADÓ+BCÓ :DEÓ

⑤ ACÓ :CEÓ=6 :4=3 :2, ABÓ :BDÓ=9 :5이므로

  ACÓ :CEÓ+ABÓ :BDÓ

0608  ① ADÓ :ABÓ=AEÓ :ACÓ이므로 DEÓ∥BCÓ


  ∴ ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ
③ △ADE와 △ABC에서
  ADÓ :ABÓ=AEÓ :ACÓ, ∠A는 공통
  ∴ △ADE»△ABC` (SAS 닮음)
④ DEÓ∥BCÓ이므로 ∠AED=∠ACB (동위각)
⑤ △ADE»△ABC이므로
  DEÓ: BCÓ=ADÓ :ABÓ=4 :12=1 :3

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

 ⑤

0609  ① BDÓ :DAÓ=6 :9=2 :3,


  BEÓ :ECÓ=8 :12=2 :3이므로

  BDÓ :DAÓ=BEÓ :ECÓ

  ∴ DEÓ∥ACÓ

② ADÓ :DBÓ=9 :6=3 :2,

  AFÓ :FCÓ=6 :9=2 :3이므로

  ADÓ :DBÓ+AFÓ :FCÓ

6. 평행선과 선분의 길이의 비  |  51

3 BFÓ=24  ∴ BFÓ=8 (cm)

 8 cm

따라서 BCÓ∥DEÓ인 것은 ①, ③이다.

 ①, ③

∴ ACÓ=24 (cm)

 24 cm

다른 풀이 

























































③ △CFE와 △CAB에서
  CFÓ :CAÓ=9 :(9+6)=3 :5,

  CEÓ :CBÓ=12 :(12+8)=3 :5,

  ∠C는 공통
  ∴ △CFE»△CAB ( SAS 닮음)
④ DEÓ∥ACÓ이므로 ∠BDE=∠BAC`(동위각)
⑤ △DBE와 △FCE에서
  BDÓ :CFÓ=6 :9=2 :3,

  BEÓ :CEÓ=8 :12=2 :3,
  △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C
  ∴ △DBE»△FCE ( SAS 닮음)
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

 ②

0610  CDÓ=x cm라 하면 BDÓ=(9-x) cm


이때 ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로

10 :8=(9-x):x, 10x=72-8x

18x=72  ∴ x=4

따라서 CDÓ의 길이는 4 cm이다.

 4 cm

0611  ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ이므로


18 : ACÓ=(28-16) : 16, 12 ACÓ=288

0612   ㈎ BDÓ ㈏ ∠BAD ㈐ 이등변 ㈑ ACÓ

0613  ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로


ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ에서 8 :6=x :3

6x=24  ∴ x=4

또 BEÓ는 ∠B의 이등분선이므로

BCÓ :BAÓ=CEÓ :AEÓ에서 7 :8=y :(6-y)

8y=42-7y, 15y=42  ∴ y=



:Á5¢:

 x=4, y=

:Á5¢:

0614  ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로


ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ에서 BDÓ :CDÓ=4 :6=2 :3
이때 △CAB에서 ABÓ∥EDÓ이므로
CEÓ :CAÓ=CDÓ :CBÓ에서 CEÓ :6=3 :(3+2)

5CEÓ=18  ∴ CEÓ=

(cm)

:Á5¥:

 

:Á5¥:

 cm

0615  △ABC와 △CBD에서


∠CAB=∠DCB, ∠B는 공통
∴ △ABC»△CBD (AA 닮음)
즉 ABÓ :CBÓ=BCÓ :BDÓ에서 9 :6=6 :BDÓ

9BDÓ=36  ∴ BDÓ=4`(cm)

이때 ADÓ=ABÓ-BDÓ=9-4=5`(cm)이므로

ADÓ :BDÓ=5 :4

52  |  정답과 해설



















































CDÓ는 ∠C의 이등분선이므로

CAÓ :CBÓ=ADÓ :BDÓ에서 CAÓ :6=5 :4

4ACÓ=30  ∴ ACÓ=

(cm)

:Á2°:

 

:Á2°:

 cm

0616  △ABC와 △DBA에서


∠ACB=∠DAB, ∠B는 공통
∴ △ABC»△DBA (AA 닮음)
즉 ACÓ :DAÓ=BCÓ :BAÓ에서 20 :DAÓ=24 :12

24 DAÓ=240  ∴ DAÓ=10
이때 △ADC에서 AEÓ는 ∠DAC의 이등분선이므로
ADÓ :ACÓ=DEÓ :CEÓ에서 10 :20=x :(18-x)

20x=180-10x, 30x=180

∴ x=6

 6

0617  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 BDÓ :CDÓ=7 :5


따라서 △ABD:△ACD=BDÓ :CDÓ=7 :5이므로
△ABD :10=7 :5
5△ABD=70  ∴ △ABD=14 (cmÛ`)
∴ △ABC =△ABD+△ACD

=14+10=24 (cmÛ`)

 24 cmÛ`

ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 BDÓ :CDÓ=7 :5
∴ △ABC:△ACD =BCÓ :CDÓ



=(7+5) :5=12 :5

즉 5△ABC=12△ACD이므로

△ABC=

:Á5ª:△ACD

=

:Á5ª:

_10=24 (cmÛ`)

0618  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 BDÓ :CDÓ=10 :9


∴ △ABD:△ACD =BDÓ :CDÓ=10 :9

 10:9

0619  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 BDÓ :CDÓ=4 :3


따라서 △ABD :△ACD=BDÓ :CDÓ=4 :3이므로
△ABD :27=4 :3
3△ABD=108  ∴ △ABD=36 (cmÛ`)
이때 △AEDª△ACD (RHA 합동)이므로
△AED=△ACD=27 cmÛ`
∴ △BDE =△ABD-△AED
=36-27=9 (cmÛ`)



 9 cmÛ`

0620  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 8 :6=(3+x) :x


8x=18+6x, 2x=18

∴ x=9

 9

0621  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 7 :ACÓ=14 :8


14ACÓ=56  ∴ ACÓ=4 (cm)

 4 cm

0622   ㈎ ∠CFA ㈏ ACÓ ㈐ CDÓ

0623  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 8 :6=(4+CDÓ) :CDÓ


8 CDÓ=24+6 CDÓ, 2 CDÓ=24

∴ CDÓ=12 (cm)

∴ BDÓ=BCÓ+CDÓ=4+12=16 (cm)

 16 cm

0624  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로


BDÓ :CDÓ=10 :6=5 :3

∴ BCÓ :CDÓ=(5-3):3=2 :3
△ABC:△ACD=BCÓ :CDÓ=2 :3이므로
2△ACD=3△ABC

∴ △ACD=

;2#;△ABC

=

;2#;

_20=30 (cmÛ`)

 30 cmÛ`

0625  ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로


BDÓ :CDÓ=6 :4=3 :2

∴ BCÓ :BDÓ=(3-2):3=1 :3
이때 △BDE에서 ACÓ∥EDÓ이므로
ACÓ :EDÓ=BCÓ :BDÓ에서 4 :EDÓ=1 :3  

∴ EDÓ=12

 12

0626  ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로


ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ에서 10 :6=5 :CDÓ

10 CDÓ=30  ∴ CDÓ=3 (cm)

∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ=5+3=8 (cm)

AEÓ가 ∠A의 외각의 이등분선이므로

ABÓ :ACÓ=BEÓ :CEÓ에서 10 :6=(8+CEÓ) :CEÓ

10 CEÓ=48+6`CEÓ, 4 CEÓ=48  

∴ CEÓ=12 (cm)

 12 cm

0627  x :(10-x)=6 :9이므로 9x=60-6x


15x=60  ∴ x=4

5 :y=6 :9이므로 6y=45  ∴ y=

:Á2°:

 x=4, y=

:Á2°:

0628  2 :4=3 :x이므로 2x=12  ∴ x=6


4 :6=x :y, 즉 4 :6=6 :y이므로

4y=36  ∴ y=9

 x=6, y=9

0629  2 :x=3 :6이므로 3x=12


∴ x=4



























































































x :2=6 :y, 즉 4 :2=6 :y이므로

4y=12  ∴ y=3

∴ x+y=4+3=7

 7

0630  8 :12=x :15이므로 12x=120  ∴ x=10
8 :12=(y-18) :18이므로 12y-216=144


12y=360  ∴ y=30

 x=10, y=30

0631  오른쪽 그림과 같이 직선 l과
평행한 직선 k를 그으면


18 :9=12 :x이므로

18x=108  ∴ x=6

4 :12=y :18이므로

12y=72  ∴ y=6

l
k

m
n

9

4

18

y

12

x

 x=6, y=6

0632  오른쪽 그림과 같이 점 A를 지
나고 DCÓ와 평행한 직선이 EFÓ,


BCÓ와 만나는 점을 각각 G, H

라 하면

A

8 cm

D

6 cm

E
4 cm

G

8 cm

F

HCÓ=GFÓ=ADÓ=8 cm이므로

B

5 cm 8 cm
H

C

BHÓ=BCÓ-HCÓ=13-8=5 (cm)
이때 △ABH에서 EGÓ∥BHÓ이므로
AEÓ :ABÓ=EGÓ :BHÓ에서 6 :10=EGÓ :5

10EGÓ=30  ∴ EGÓ=3 (cm)

∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=3+8=11 (cm)

 11 cm

0633  오른쪽 그림과 같이 보조선을


그으면

3 :9=3 :(x-4)이므로

3x-12=27, 3x=39

∴ x=13

4 cm

3 cm

6 cm

3 cm 4 cm

l

m

n

(x-4) cm

4 cm

 13

0634   오른쪽 그림과 같이 점 A를
지나고 DCÓ와 평행한 직선이

EFÓ, BCÓ와 만나는 점을 각각

G, H라 하고 ADÓ=x cm라

하면

3 cm
E
2 cm
B

A

x cm
(8-x) cm

D

G

x cm



F

C

H
(10-x) cm

x cm

HCÓ=GFÓ=ADÓ=x cm이므로

EGÓ=(8-x) cm, BHÓ=(10-x) cm
이때 △ABH에서 EGÓ∥BHÓ이므로
AEÓ :ABÓ=EGÓ :BHÓ에서

3 :5=(8-x) :(10-x)

30-3x=40-5x, 2x=10  ∴ x=5

따라서 ADÓ의 길이는 5 cm이다.

 5 cm

6. 평행선과 선분의 길이의 비  |  53

∴ PQÓ=PEÓ+EQÓ=2+16=18

 18

4EMÓ=24  ∴ EMÓ=6 (cm)

0635  오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고
ABÓ와 평행한 직선이 EFÓ, BCÓ와


A

4 cm

D

이때 EPÓ :PFÓ=2 :1이므로 EPÓ=2PFÓ에서

12-

x=2_

x, 12-

;2#;

;4%;

x=

x

;2%;

;2#;

4x=12  ∴ x=3

 3























































만나는 점을 각각 G, H라 하면

BHÓ=EGÓ=ADÓ=4 cm이므로

E

4 cm

G

HCÓ =BCÓ-BHÓ



B

4 cm

H

6 cm

F

C

=10-4=6 (cm)

이때 △DHC에서 GFÓ∥HCÓ이므로
DFÓ :DCÓ=GFÓ :HCÓ에서 2 :(2+1)=GFÓ :6

3GFÓ=12  ∴ GFÓ=4 (cm)

∴ EFÓ=EGÓ+GFÓ=4+4=8 (cm)

 8 cm

0636  오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고
DCÓ와 평행한 직선이 PQÓ, BCÓ와 만


나는 점을 각각 E, F라 하면

FCÓ=EQÓ=ADÓ=16이므로

BFÓ=BCÓ-FCÓ=24-16=8
이때 △ABF에서 PEÓ∥BFÓ이므로
APÓ :ABÓ=PEÓ :BFÓ에서 1 :4=PEÓ :8

4PEÓ=8  ∴ PEÓ=2

16

A

E

P

R

T

B

8

F

16

D

Q

S

U

C

0637  △ABC에서 EPÓ∥BCÓ이므로


APÓ :ACÓ=EPÓ :BCÓ=9 :12=3 :4

∴ APÓ :PCÓ=3 :(4-3)=3 :1
이때 △ACD에서 PFÓ∥ADÓ이므로
CPÓ :CAÓ=PFÓ :ADÓ에서 1 :(1+3)=PFÓ :8

4PFÓ=8  ∴ PFÓ=2 (cm)

 2 cm

0638  △ABC에서 EPÓ∥BCÓ이므로


AEÓ :ABÓ=EPÓ :BCÓ에서 3 :(3+2)=EPÓ :10

5EPÓ=30  ∴ EPÓ=6 (cm)

또 APÓ :PCÓ=AEÓ :EBÓ=3 :2이고
△ACD에서 PFÓ∥ADÓ이므로
CPÓ :CAÓ=PFÓ :ADÓ에서 2 :(2+3)=PFÓ :5

5PFÓ=10  ∴ PFÓ=2 (cm)

∴ EFÓ=EPÓ+PFÓ=6+2=8 (cm)

 8 cm

0639  △ABC에서 EPÓ∥BCÓ이므로


AEÓ :ABÓ=EPÓ :BCÓ에서 (8-x):8=EPÓ :12

8EPÓ=96-12x  ∴ EPÓ=12-

x (cm)

;2#;

또 CPÓ :CAÓ=BEÓ :BAÓ=x :8이고
△ACD에서 PFÓ∥ADÓ이므로
CPÓ :CAÓ=PFÓ :ADÓ에서 x :8=PFÓ :10

8PFÓ=10x  ∴ PFÓ=

x (cm)

;4%;

54  |  정답과 해설





















































0640  △ABC에서 ENÓ∥BCÓ이므로


AEÓ :ABÓ=ENÓ :BCÓ에서 2 :(2+1)=ENÓ :18

3ENÓ=36  ∴ ENÓ=12 (cm)
△ABD에서 EMÓ∥ADÓ이므로
BEÓ :BAÓ=EMÓ :ADÓ에서 1 :(1+2)=EMÓ :12

3EMÓ=12  ∴ EMÓ=4 (cm)

∴ MNÓ=ENÓ-EMÓ=12-4=8 (cm)

 8 cm

0641  AEÓ=3 EBÓ이므로 AEÓ :EBÓ=3 :1
△ABC에서 ENÓ∥BCÓ이므로

AEÓ :ABÓ=ENÓ :BCÓ에서 3 :(3+1)=ENÓ :32



4ENÓ=96  ∴ ENÓ=24 (cm)
△ABD에서 EMÓ∥ADÓ이므로
BEÓ :BAÓ=EMÓ :ADÓ에서 1 :(1+3)=EMÓ :24

∴ MNÓ=ENÓ-EMÓ=24-6=18 (cm)

 18 cm

0642  ⑴ AEÓ=2EBÓ이므로 AEÓ :EBÓ=2 :1


  △ABD에서 EMÓ∥ADÓ이므로
  BEÓ :BAÓ=EMÓ :ADÓ에서 1 :(1+2)=EMÓ :24



  3EMÓ=24  ∴ EMÓ=8 (cm)

⑵ ENÓ=EMÓ+MNÓ=8+10=18 (cm)
  △ABC에서 ENÓ∥BCÓ이므로
  AEÓ :ABÓ=ENÓ :BCÓ에서 2 :(2+1)=18 :BCÓ

  2BCÓ=54  ∴ BCÓ=27 (cm)

 ⑴ 8 cm ⑵ 27 cm

0643  △AOD»△COB(AA 닮음)이므로
OAÓ :OCÓ=ADÓ :CBÓ=12 :20=3 :5

△ABC에서 EOÓ∥BCÓ이므로
AOÓ :ACÓ=EOÓ :BCÓ에서





3 :(3+5)=EOÓ :20

8EOÓ=60  ∴ EOÓ=

(cm)

:Á2°:

△ACD에서 OFÓ∥ADÓ이므로
COÓ :CAÓ=OFÓ :ADÓ에서

5 :(5+3)=OFÓ :12  ∴ OFÓ=

(cm)

:Á2°:

∴ EFÓ=EOÓ+OFÓ

=

+

:Á2°:

:Á2°:

=15 (cm)

 15 cm

또 EFÓ :DCÓ=BEÓ :BDÓ에서 y :12=2 :(2+3)

BEÓ :DEÓ =ABÓ :CDÓ



2ADÓ=12  ∴ ADÓ=6 (cm)

 6 cm

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.



 ④

0644  △AOD»△COB(AA 닮음)이므로
ODÓ :OBÓ=ADÓ :CBÓ=9 :12=3 :4

△DBC에서 OFÓ∥BCÓ이므로
DOÓ :DBÓ=OFÓ :BCÓ에서





3 :(3+4)=OFÓ :12

7OFÓ=36  ∴ OFÓ=

(cm)

:£7¤:

 

:£7¤:

 cm

0645  △ABC에서 EOÓ∥BCÓ이므로


AOÓ :ACÓ=EOÓ :BCÓ=4 :12=1 :3
이때 △AOD»△COB(AA 닮음)이므로
ADÓ :CBÓ=AOÓ :COÓ에서

ADÓ :12=1 :(3-1)

0646  △ABE»△CDE(AA 닮음)이므로
BEÓ :DEÓ=ABÓ :CDÓ=8 :12=2 :3

△BCD에서 EFÓ∥DCÓ이므로
BFÓ :BCÓ=BEÓ :BDÓ에서 x :12=2 :(2+3)





5x=24  ∴ x=

:ª5¢:

5y=24  ∴ y=

:ª5¢:

∴ x+y=

+

=



:¢5¥:

:ª5¢:

:ª5¢:

0647  △ABE»△CDE(AA 닮음)이므로
BEÓ :DEÓ=ABÓ :CDÓ=12 :6=2 :1

△BCD에서 EFÓ∥DCÓ이므로
EFÓ :DCÓ=BEÓ :BDÓ에서





EFÓ :6=2 :(2+1)

0648  △ABE»△CDE(AA 닮음)이므로
BEÓ :DEÓ=ABÓ :CDÓ=5 :6

△BCD에서 EFÓ∥DCÓ이므로
BFÓ :BCÓ=BEÓ :BDÓ에서





5 :BCÓ=5 :(5+6)

5 BCÓ=55  ∴ BCÓ=11

0649  △BCD에서 PHÓ∥DCÓ이므로


BPÓ :BDÓ=PHÓ :DCÓ=6 :24=1 :4
△ABP»△CDP(AA 닮음)이므로
ABÓ :CDÓ=BPÓ :DPÓ에서

ABÓ :24=1 :(4-1)







0650  ① △ABC»△PHC(AA 닮음)
② △ABP»△CDP(AA 닮음)

③ △ABP»△CDP(AA 닮음)이므로
  PAÓ :PCÓ=ABÓ :CDÓ=8 :12=2 :3
  △ABC에서 PHÓ∥ABÓ이므로
  PHÓ :ABÓ=CPÓ :CAÓ=3 :(3+2)=3 :5
④ △ABP»△CDP(AA 닮음)이므로
  PBÓ :PDÓ=ABÓ :CDÓ=8 :12=2 :3
  △BCD에서 PHÓ∥DCÓ이므로
  PHÓ :DCÓ=BPÓ :BDÓ=2 :(2+3)=2 :5











⑤ PHÓ :ABÓ=3 :5이므로 PHÓ :8=3 :5

  5 PHÓ=24  ∴ PHÓ=

(cm)

:ª5¢:































D

C

10 cm

0651  오른쪽 그림과 같이 점 E에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 F라


A

하면
△ABE»△CDE

15 cm

E

(AA 닮음)이므로

B

F
15 cm

=15 :10=3 :2
이때 △BCD에서 EFÓ∥DCÓ이므로
EFÓ :DCÓ=BEÓ :BDÓ에서 EFÓ :10=3 :(3+2)

5EFÓ=30  ∴ EFÓ=6 (cm)

∴ △EBC=

_BCÓ_EFÓ

;2!;

=

;2!;

_15_6=45 (cmÛ`)

 45 cmÛ`

 

:¢5¥:

0653   ㈎ ABÓ  ㈏ BCÓ  ㈐ 2  ㈑ BCÓ

0654   △ABC에서


BCÓ=2MNÓ=2_5=10`(cm)
△DBC에서

 11

PQÓ=

BCÓ=

_10=5`(cm) 

;2!;

;2!;

 5`cm

0655   BNÓ=CNÓ, MNÓ∥ACÓ이므로


BMÓ=AMÓ=7`cm  ∴ x=7

ACÓ=2MNÓ=2_8=16`(cm)  ∴ y=16

6. 평행선과 선분의 길이의 비  |  55

3EFÓ=12  ∴ EFÓ=4 (cm)

 4 cm

0652   MNÓ∥BCÓ이므로 x=63


BCÓ=2MNÓ이므로 y=2_4=8

 x=63, y=8

3ABÓ=24  ∴ ABÓ=8 (cm)

 8 cm

 

 x=7, y=16





































0656   △ABC에서 AMÓ=MBÓ, MNÓ∥BCÓ이므로

∴ ( △DEF의 둘레의 길이) =DEÓ+EFÓ+DFÓ



MNÓ=

BCÓ=

_12=6`(cm)

;2!;

;2!;

∴ PNÓ=MNÓ-MPÓ=6-4=2`(cm) 

 2`cm

다른 풀이 
△ABQ에서 BQÓ=2MPÓ=2_4=8`(cm)이므로
QCÓ=BCÓ-BQÓ=12-8=4`(cm)
따라서 △AQC에서

PNÓ=

QCÓ=

_4=2`(cm)

;2!;

;2!;

0657   AMÓ=MBÓ, MNÓ∥BCÓ이므로 ANÓ=NCÓ


∴ ( △AMN의 둘레의 길이)=AMÓ+MNÓ+ANÓ

=4+3+5=12`(cm)

 12`cm

다른 풀이 
( △ABC의 둘레의 길이)=6+10+8=24`(cm)

∴ ( △DEF의 둘레의 길이)=

_24=12`(cm)

;2!;

0662   ( △ABC의 둘레의 길이) =2_( △DEF의 둘레의 길이)

=2_24=48`(cm)

즉 14+16+ACÓ=48이므로

ACÓ=18`(cm) 

 18`cm

=

;2!; 

ABÓ+

BCÓ+

ACÓ

;2!; 

;2!; 

=

;2!;

(ABÓ+BCÓ+ACÓ)

=

_26=13`(cm)

;2!;

 13`cm

0663  ( △DEF의 둘레의 길이)=

_( △ABC의 둘레의 길이)

( △DEF의 둘레의 길이)=

_44=22`(cm)

∴ ( △GHI의 둘레의 길이)=

_( △DEF의 둘레의 길이)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

=

_22=11`(cm)

 11`cm

0658  AEÓ=ECÓ, DEÓ∥BCÓ이므로 BCÓ=2DEÓ=2_6=12`(cm)


이때 DBFE는 평행사변형이므로

BFÓ=DEÓ=6`cm

∴ FCÓ=BCÓ-BFÓ=12-6=6`(cm) 

 6`cm

0664  EFÓ

Ó=HGÓ=

ACÓ=

_16=8`(cm)

EHÓ=FGÓ=

BDÓ=

_20=10`(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

0659   점 M은 △ABC의 외심이므로 AMÓ=BMÓ=CMÓ

∴ (EFGH의 둘레의 길이) =EFÓ+FGÓ+GHÓ+EHÓ

∴ BMÓ=

ACÓ=

_12=6`(cm)

;2!;

;2!;

이때 △BCM에서 MDÓ=CDÓ, EDÓ∥BMÓ이므로

DEÓ=

BMÓ=

_6=3`(cm) 

;2!;

;2!;

=8+10+8+10



=36`(cm) 

 36`cm

 3`cm

0665     ㈎ ACÓ  ㈏ ACÓ  ㈐ HGÓ  ㈑ HGÓ  ㈒ 평행사변형

0660   오른쪽 그림과 같이 ABÓ를 그어 MNÓ의
연장선과 만나는 점을 E라 하면

6 cm

A

D



0666  EHÓ=FGÓ=

BDÓ, EFÓ=HGÓ=

ACÓ=

`(cm)이므로

;2!;

;2!;

;2(;

(EFGH의 둘레의 길이)=EFÓ+FGÓ+GHÓ+EHÓ

ADÓ∥EMÓ∥BCÓ
따라서 △ABC에서
AMÓ=MCÓ, EMÓ∥BCÓ이므로

E

B

M

N

C

16 cm

EMÓ=

BCÓ=

_16=8`(cm)

;2!;

;2!;

△ABD에서 BNÓ=NDÓ, ENÓ∥ADÓ이므로

ENÓ=

ADÓ=

_6=3`(cm)

;2!;

;2!;

∴ NMÓ =EMÓ-ENÓ=8-3=5`(cm)

 

 5`cm

=

+EHÓ+

+EHÓ

;2(;

;2(;

=2EHÓ+9`(cm)

이때 EFGH의 둘레의 길이가 21`cm이므로

2EHÓ+9=21, 2EHÓ=12  

∴ EHÓ=6`(cm) 

0667   오른쪽 그림과 같이 대각선 AC를 A

 6`cm

H

8 cm

F



D

G

C

E

B

그으면

ABCD는 직사각형이므로

ACÓ=BDÓ=8`cm

EHÓ=FGÓ=

BDÓ

;2!;

=

_8=4`(cm)

;2!;



 

















 













































 





























0661   DEÓ=

ACÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

EFÓ=

ABÓ=

_6=3`(cm)

DFÓ=

BCÓ=

_10=5`(cm)

56  |  정답과 해설





































EFÓ=HGÓ=

ACÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

따라서 EFGH의 둘레의 길이는

4_4=16`(cm) 

 16`cm

이때 BFÓ=BGÓ+GFÓ이므로 2x=21+

x

;2!;

x=21  ∴ x=14

;2#;

따라서 DEÓ의 길이는 14`cm이다. 

 14`cm

0668  EFÓ=HGÓ=

ACÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

EHÓ=FGÓ=

BDÓ=

_12=6`(cm)

이때 EFGH는 직사각형이므로

EFGH=4_6=24`(cmÛ`) 

 24`cmÛ`

0674   오른쪽 그림과 같이 점  D를 지나고
BEÓ와 평행한  직선이  ACÓ와 만나는
점을 M이라 하면 △ABE에서
ADÓ=DBÓ, DMÓ∥BEÓ이므로



AMÓ=MEÓ이고

A



M

E

D

16 cm

F

B

C

0669  △AFD에서


EGÓ∥FDÓ이고 FDÓ=2EGÓ=2_4=8`(cm)
△BCE에서 BFÓ=FEÓ, FDÓ∥ECÓ이므로
ECÓ=2FDÓ=2_8=16`(cm)

DMÓ=

BEÓ=

_16=8`(cm)

;2!;

;2!;

이때 AEÓ=2CEÓ이므로 AMÓ=MEÓ=ECÓ
△CMD에서 CEÓ=EMÓ

Ó, FEÓ∥DMÓ이므로

FEÓ=

DMÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

∴ GCÓ=ECÓ-EGÓ=16-4=12`(cm) 

 12`cm

∴ BFÓ=BEÓ-FEÓ=16-4=12`(cm) 

 12`cm

0670  △ADG에서 AEÓ=EDÓ, EFÓ∥DGÓ이므로


DGÓ=2EFÓ=2_5=10
△BCF에서 BDÓ=DCÓ, DGÓ∥BFÓ이므로
BFÓ=2DGÓ=2_10=20





∴ BEÓ=BFÓ-EFÓ=20-5=15 

 15

0675   오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나
고 BCÓ와 평행한 직선이 DEÓ와

만나는 점을 F라 하면
△DBE에서
DAÓ=ABÓ, AFÓ∥BEÓ이므로

D

A

F
M

E

B

6 cm

C

0671  △AEC에서

`ECÓ=

DFÓ∥ECÓ이고 DFÓ=

;2!;
△BGD에서 BEÓ=EDÓ, ECÓ∥DGÓ이므로
DGÓ=2`ECÓ=2_4=8`(cm)

;2!;

_4=2`(cm)

∴ FGÓ=DGÓ-DFÓ=8-2=6`(cm) 

 6`cm

0672  △BCD에서 BEÓ=ECÓ, EFÓ∥BDÓ이므로
BDÓ=2EFÓ=2_6=12`(cm)

△AEF에서 PDÓ∥EFÓ이고 APÓ :PEÓ=2`:`1이므로 
APÓ : AEÓ=PDÓ : EFÓ에서





2 :(2+1)=PDÓ`:`6

3PDÓ=12  ∴ PDÓ=4`(cm)

∴ BPÓ=BDÓ-PDÓ=12-4=8`(cm)  

 8`cm

0673  DEÓ=x`cm라 하면
△ABF에서

DEÓ∥BFÓ이고 BFÓ=2DEÓ=2x`(cm)
△CED에서 CFÓ=FEÓ, GFÓ∥DEÓ이므로





GFÓ=

DEÓ=

x`(cm)

;2!;

;2!;

AFÓ=

BEÓ=

_6=3`(cm)

;2!;

;2!;
이때 △AMF와 △CME에서
∠AMF=∠CME (맞꼭지각), AMÓ=CMÓ,

∠MAF=∠MCE (엇각)이므로
△AMFª△CME ( ASA 합동)
∴ CEÓ=AFÓ=3`cm 

 3`cm

A



0676   오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고
BFÓ와 평행한 직선이 ACÓ와 만나는

점을 G라 하면
△DEG와 △FEC에서
∠DEG=∠FEC (맞꼭지각),

DEÓ=FEÓ,

D

G

E

B

C
24 cm

F

∠EDG=∠EFC (엇각)이므로
△DEGª△FEC ( ASA 합동)
∴ DGÓ=FCÓ
△ABC에서 ADÓ=DBÓ, DGÓ∥BCÓ이므로
BCÓ=2DGÓ

∴ BFÓ=BCÓ+FCÓ=2DGÓ+DGÓ=3DGÓ

즉 3DGÓ=24이므로 DGÓ=8`(cm)

∴ BCÓ=2DGÓ=2_8=16`(cm) 

 16`cm

6. 평행선과 선분의 길이의 비  |  57

























































0677   오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고

A



이때 △APQ»△FDQ ( AA 닮음)이므로

D

12 cm
G

B

E

C

F

APÓ :FDÓ=PQÓ :DQÓ에서

DFÓ :DFÓ=6 :DQÓ

;2#;

3 : 2=6 : DQÓ, 3DQÓ=12

∴ DQÓ=4`(cm) 

 4`cm

0680   오른쪽 그림과 같이 FEÓ를 그으

A

면 △ADC에서 FEÓ∥ADÓ
△BEF에서
BDÓ=DEÓ, PDÓ∥FEÓ이므로

BPÓ=PFÓ=

BFÓ=

_10=5

;2!;

;2!;

0681   오른쪽 그림과 같이 FDÓ를 그으


면 △ABE에서
FDÓ∥AEÓ이고 AEÓ=2FDÓ
△CFD에서
CEÓ=EDÓ, QEÓ∥FDÓ이므로

QEÓ=

FDÓ

;2!;

FQ

P

10

D

E

A

F

5

Q

P

D

E

C

 5

C

B

B

∴ AQÓ=AEÓ-QEÓ=2FDÓ-

FDÓ=

FDÓ

;2!;

;2#;

이때 △PFD»△PQA ( AA 닮음)이므로

PDÓ :PAÓ=FDÓ :QAÓ에서 PDÓ :5=FDÓ :

FDÓ

;2#;

PDÓ :5=2 :3, 3PDÓ=10

∴ PDÓ=

:Á3¼: 

 

:Á3¼:

0682  △ABC에서 MQÓ=

BCÓ=

_16=8`(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

△ABD에서 MPÓ=

ADÓ=

_10=5`(cm)

∴ PQÓ=MQÓ-MPÓ=8-5=3`(cm) 

 3`cm

BFÓ와 평행한 직선이 ACÓ와 만나는 점

을 G라 하면
△DEG와 △FEC에서
∠DEG=∠FEC (맞꼭지각),

DEÓ=FEÓ,

∠EDG=∠EFC (엇각)이므로
△DEGª△FEC ( ASA 합동)
∴ GEÓ=CEÓ
△ABC에서 ADÓ=DBÓ, DGÓ∥BFÓ이므로
AGÓ=GCÓ

∴ AEÓ =AGÓ+GEÓ=GCÓ+GEÓ

=2CEÓ+CEÓ=3CEÓ

즉 3 CEÓ=12이므로 CEÓ=4 (cm) 

 4`cm

0678  ⑴ 오른쪽  그림과  같이  점  D를
지나고 BCÓ와 평행한 직선이

A



15 cm

AEÓ와 만나는 점을 F라 하면
△ABE에서
ADÓ=DBÓ, DFÓ∥BEÓ이므로

D

F

M

B

18 cm

E

C

  DFÓ=

BEÓ=

_18=9`(cm)

;2!;

;2!;

  △DMF와 △CME에서
  ∠DMF=∠CME (맞꼭지각), DMÓ=CMÓ,

  ∠MDF=∠MCE (엇각)이므로
  △DMFª△CME ( ASA 합동)
  ∴ CEÓ=DFÓ=9`cm
⑵ △DMFª△CME ( ASA 합동)이므로
  MFÓ=MEÓ
  △ABE에서 ADÓ=DBÓ, DFÓ∥BEÓ이므로
  AFÓ=FEÓ

  ∴ AMÓ =AFÓ+FMÓ=FEÓ+MEÓ



=2MEÓ+MEÓ=3MEÓ

  즉 3MEÓ=15이므로 MEÓ=5`(cm)













































 



























 





































 ⑴ 9`cm  ⑵ 5`cm

0683  △ABD에서 MPÓ=

ADÓ=

_14=7`(cm)이므로

;2!;

;2!;

PNÓ=MNÓ-MPÓ=17-7=10`(cm)
△DBC에서 BCÓ=2PNÓ=2_10=20`(cm)   20`cm

0679   오른쪽 그림과 같이 DFÓ를 그으면


△AEC에서
DFÓ∥AEÓ이고 AEÓ=2DFÓ
△BFD에서
BEÓ=EFÓ, PEÓ∥DFÓ이므로

A

Q

P

D

B

E

F

6 cm



C

PEÓ=

DFÓ

;2!;

∴ APÓ=AEÓ-PEÓ

=2DFÓ-

DFÓ=

DFÓ

;2!;

;2#;

58  |  정답과 해설

0684   △ABC에서 MQÓ=

BCÓ=

_18=9`(cm)이므로

;2!;

;2!;

MPÓ=MQÓ-PQÓ=9-3=6`(cm)
△ABD에서 ADÓ=2 MPÓ=2_6=12`(cm)   12`cm

0685  △ABD에서 MPÓ=

ADÓ=

`(cm)이고

;2!;

;2(;

MPÓ=PQÓ=QNÓ이므로

MQÓ=

+

;2(;

;2(;

=9`(cm)

△ABC에서 BCÓ=2MQÓ=2_9=18`(cm) 

 18`cm

A

8 cm



D

ABÓ∥MPÓ이므로 ∠MPD=∠ABD=35ù (동위각)

PNÓ∥DCÓ이므로 ∠BPN=∠BDC=65ù (동위각)

0686   오른쪽 그림과 같이 대각선 AC를
그어 MNÓ과 만나는 점을 P라 하면
△ABC에서



BCÓ=

MPÓ=

;2!;
△ACD에서

;2!;

_10=5`(cm)

PNÓ=

ADÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

M

B

P

10 cm

∴ MNÓ=MPÓ+PNÓ=5+4=9`(cm) 

 9`cm

다른 풀이 

오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고

A

8 cm



D

DCÓ와 평행한 직선이 MNÓ, BCÓ와

만나는 점을 각각 E, F라 하면

M

AFCD는 평행사변형이므로

FCÓ=ENÓ=ADÓ=8`cm

∴ BFÓ =BCÓ-FCÓ=10-8=2`(cm)

8 cm

E

2 cm

8 cm

B

F

10 cm

△ABF에서 MEÓ=

BFÓ=

_2=1`(cm)

;2!;`

;2!;

∴ MNÓ=MEÓ+ENÓ=1+8=9`(cm)

N

C

N

C

0687   △ABD에서 AMÓ=MDÓ, MPÓ∥ABÓ이므로

△BCD에서 BNÓ=NCÓ, PNÓ∥DCÓ이므로

MPÓ=

ABÓ

;2!;

PNÓ=

DCÓ

;2!;

이때 ABÓ=DCÓ이므로 MPÓ=PNÓ
즉 △PNM은 이등변삼각형이므로
∠PNM=∠PMN=25ù

∴ ∠MPN =180ù-(∠PMN+∠PNM)

=180ù-(25ù+25ù)=130ù 

 130ù

0688  △ABD에서 AMÓ=MDÓ, MPÓ∥ABÓ이므로


ABÓ=2MPÓ=2_6=12`(cm)

∴ DCÓ=ABÓ=12`cm
△BCD에서 BNÓ=NCÓ, PNÓ∥DCÓ이므로

PNÓ=

DCÓ=

_12=6`(cm)

;2!;

;2!;

∴ PNÓ+DCÓ=6+12=18`(cm) 

 18`cm

0689   △ABD에서

MPÓ∥ABÓ이고 MPÓ=

ABÓ

;2!;

△BCD에서

PNÓ∥DCÓ이고 PNÓ=

DCÓ

;2!;

이때 ABÓ=DCÓ이므로 MPÓ=NPÓ
즉 △PNM은 이등변삼각형이다.







































































































∠DPN =180ù-∠BPN

=180ù-65ù=115ù

∠MPN =∠MPD+∠DPN

=35ù+115ù=150ù

∴ ∠PNM=

_(180ù-∠MPN)

;2!;

=

;2!;

_(180ù-150ù)=15ù 

 15ù

STEP

3

심화유형 Master

p.124~p.126

0690  GBÓ :GCÓ=ABÓ :DCÓ이므로 6`:`x=8`:`24


8x=144  ∴ x=18

DFÓ :DCÓ=EFÓ :GCÓ이므로 20`:`24=y`:`18

24y=360  ∴ y=15

∴ x+y=18+15=33

0691  오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나고
BCÓ와 평행한 직선이 ADÓ와 만나


는 점을 G라 하면
△ADC에서 GEÓ∥DCÓ이므로
GEÓ :DCÓ=AEÓ :ACÓ

이때 ECÓ=2AEÓ이므로 AEÓ :ACÓ=1 :3

∴ GEÓ :DCÓ=AEÓ :ACÓ=1 :3

이때 BDÓ=CDÓ이므로 GEÓ :BDÓ=1 :3

 33

A

G
F

E

3 cm

D

B

C

또 GEÓ∥BDÓ이므로 EFÓ :BFÓ=GEÓ :DBÓ에서

3 :BFÓ=1 :3  ∴ BFÓ=9 (cm)

 9 cm

0692  △ABC에서 DEÓ∥BCÓ이므로


ADÓ :ABÓ=AEÓ :ACÓ에서 x :8=4 :6

6x=32  ∴ x=

:Á3¤:
△ABC와 △AEF에서
∠ABC=∠AEF, ∠A는 공통
∴ △ABC»△AEF ( AA 닮음)
즉 ABÓ :AEÓ=ACÓ :AFÓ이므로 8 :4=6 :y

8y=24  ∴ y=3

 x=

, y=3

:Á3¤:

0693  △ABH에서 DFÓ∥BHÓ이므로 ADÓ :ABÓ=AFÓ :AHÓ


△AHI에서 FGÓ∥HIÓ이므로 AFÓ :AHÓ=AGÓ :AIÓ
∴ AFÓ :AHÓ =AGÓ :AIÓ=ADÓ :ABÓ



=12 :16=3 :4
이때 △AHI에서 AFÓ :AHÓ=FGÓ :HIÓ이므로
3 :4=6 :x, 3x=24  ∴ x=8

6. 평행선과 선분의 길이의 비  |  59

















































또 △AIC에서 AGÓ :AIÓ=GEÓ :ICÓ이므로
3 :4=y :4, 4y=12  ∴ y=3

 x=8, y=3

10AEÓ=120  ∴ AEÓ=12

즉 ABÓ :ACÓ=AEÓ :AFÓ이므로 15 :10=AEÓ :8

5 :GHÓ=3 :2, 3 GHÓ=10  ∴ GHÓ=

:Á3¼:

DEÓ=

`FEÓ=

_4=

;5#;

;5#;


:Á5ª:

 

:Á5ª:

0694  △BGF에서 DEÓ∥FGÓ이므로
BDÓ :DFÓ=BEÓ :EGÓ=3 :2

△BHF에서 DGÓ∥FHÓ이므로
BGÓ :GHÓ=BDÓ :DFÓ=3 :2에서





또 △ABH에서 FGÓ∥AHÓ이므로
BFÓ :FAÓ=BGÓ :GHÓ=3 :2
△ABC에서 FHÓ∥ACÓ이므로
BHÓ :HCÓ=BFÓ :FAÓ=3 :2에서

5+

{

:Á3¼:} 

:x=3 :2, 3x=

:°3¼:

∴ x=


:°9¼:

 

:°9¼:

0695  DEÓ∥BCÓ이므로 ADÓ :DBÓ=AEÓ :ECÓ=1 :2
DFÓ∥ACÓ이므로 BFÓ :FCÓ=BDÓ :DAÓ=2 :1


GFÓ∥ABÓ이므로 CGÓ :GAÓ=CFÓ :FBÓ=1 :2

이때 AEÓ :ECÓ=1 :2이므로 AEÓ=EGÓ=GCÓ

∴ EGÓ=

ACÓ=

_9=3

;3!;

;3!;

 3

0696  BEÓ=ABÓ-AEÓ=8-6=2`(cm)


△ABD에서 EFÓ∥ADÓ이므로
BFÓ :FDÓ=BEÓ :EAÓ에서 BFÓ :3=2 :6



6 BFÓ=6  ∴ BFÓ=1`(cm)

이때 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로

ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ에서 8 :6=4 :CDÓ

8 CDÓ=24  ∴ CDÓ=3`(cm)

∴ BFÓ+CDÓ=1+3=4`(cm) 

∴ FEÓ=AEÓ-AFÓ=12-8=4
한편 △ABC에서 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로
BDÓ :CDÓ=ABÓ :ACÓ=15 :10=3 :2

이때 AEÓ⊥BEÓ, AEÓ⊥CFÓ이므로 BEÓ∥CFÓ

따라서 DEÓ :DFÓ=BDÓ :CDÓ=3 :2이므로

0699  ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로


ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ에서 6 :4=3 :CDÓ

6CDÓ=12  ∴ CDÓ=2 (cm)

∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ=3+2=5 (cm)

AEÓ가 ∠A의 외각의 이등분선이므로

ABÓ :ACÓ=BEÓ :CEÓ에서 6 :4=(5+CEÓ) :CEÓ

6 CEÓ=20+4CEÓ, 2CEÓ=20  ∴ CEÓ=10 (cm)

∴ DEÓ=CDÓ+CEÓ=2+10=12 (cm)
△ABD:△ADE=BDÓ :DEÓ=3 :12=1 :4이므로
△ADE =4△ABD=4_5=20 (cmÛ`)

 20 cmÛ`

0700  AGÓ :HGÓ=ADÓ :HBÓ이므로


AGÓ :6=4 :8, 8AGÓ=24  ∴ AGÓ=3 (cm)

이때 AHCD는 평행사변형이므로

DCÓ=AHÓ=AGÓ+GHÓ=3+6=9 (cm)

∴ y=9
한편 △ABH에서 EGÓ∥BHÓ이므로
EGÓ :BHÓ=AGÓ :AHÓ에서 x :8=3 :9

 4`cm

9x=24  ∴ x=

;3*;

∴ x+y=

+9=

;3*;


:£3°:

 

:£3°:

0697  점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠BAD=∠CAD


따라서 ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ이므로 BDÓ :CDÓ=3 :5

∴ BDÓ=

`BCÓ=

_6=

;8#;

;4(;

;8#;

오른쪽 그림과 같이 BIÓ를 그으면

A

∠ABI=∠DBI이므로

BAÓ :BDÓ=AIÓ :DIÓ

∴ AIÓ :IDÓ=3 :

=4 :3

;4(;

3

B

5

I

D

6

C

0701  AEÓ=3 EBÓ이므로 AEÓ :EBÓ=3 :1
△ABC에서 EQÓ∥BCÓ이므로

AEÓ :ABÓ=EQÓ :BCÓ에서



3 :(3+1)=EQÓ :28

4 EQÓ=84  ∴ EQÓ=21 (cm)
또 △ABD에서 EPÓ∥ADÓ이므로
BEÓ :BAÓ=EPÓ :ADÓ에서

 4 :3

1 :(1+3)=EPÓ :20

0698  △ABE와 △ACF에서


∠AEB=∠AFC=90ù, ∠BAE=∠CAF
∴ △ABE»△ACF`( AA 닮음)

60  |  정답과 해설

4 EPÓ=20  ∴ EPÓ=5 (cm)

∴ PQÓ=EQÓ-EPÓ=21-5=16 (cm)

이때 OPÓ :ODÓ=PQÓ :DAÓ에서

OPÓ :ODÓ=16 :20=4 :5

yy ㉠

























































































































한편 BPÓ :PDÓ=BEÓ :EAÓ=1 :3이므로

BPÓ=k`cm(k>0)라 하면 PDÓ=3k`cm

이때 ㉠에서

POÓ=

PDÓ=

_3k=

k`(cm)

;9$;

;9%;

;9$;

;9%;

;3$;

;3%;

ODÓ=

PDÓ=

_3k=

k`(cm)

∴ BPÓ :POÓ :ODÓ=k :

k :

k=3 :4 :5   3:4:5

;3$;

;3%;

0702  △ABP에서 AEÓ=BEÓ, EQÓ∥APÓ이므로


BQÓ=PQÓ
△CDR에서 DGÓ=CGÓ, SGÓ∥RCÓ이므로
DSÓ=RSÓ
△ASD에서 AHÓ=DHÓ, PHÓ∥SDÓ이므로
SDÓ=2 PHÓ

따라서 BQÓ=PQÓ=RSÓ=DSÓ=2PHÓ이므로

BHÓ=5PHÓ



즉 5PHÓ=12`cm이므로 PHÓ=

`(cm)

:Á5ª:

∴ PQÓ=RSÓ=2 PHÓ=2_

=

:Á5ª:

:ª5¢:

`(cm)

마찬가지 방법으로 APÓ=SPÓ=QRÓ=CRÓ=2 SGÓ이므로

AGÓ=5SGÓ



즉 5 SGÓ=13 cm이므로 SGÓ=

`(cm)

:Á5£:

∴ QRÓ=SPÓ=2 SGÓ=2_

=

:Á5£:

:ª5¤:

`(cm)

∴ (PQRS의 둘레의 길이)=2_

+2_

:ª5¢:

:ª5¤:

=20`(cm) 

 20`cm

0703  △ABC는 이등변삼각형이므로 BDÓ=CDÓ
오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고


BNÓ과 평행한 직선이 ACÓ와 만나는

A



N

12 cm

EM

12 cm

B

D

C

yy`㉠

점을 E라 하면
△NBC에서
BDÓ=DCÓ, DEÓ∥BNÓ이므로

NEÓ=ECÓ
또 △ADE에서
AMÓ=MDÓ, MNÓ∥DEÓ이므로

ANÓ=NEÓ

㉠, ㉡에서 ANÓ=NEÓ=ECÓ

∴ ANÓ=

ACÓ=

_12=4`(cm) 

;3!;

;3!;

0704  △ABD에서 AEÓ=EBÓ, EFÓ∥BDÓ이므로

AFÓ=FDÓ=

ADÓ=

`(cm)

;2!;

;2%;

EFÓ=

BDÓ=

_2=1`(cm)

;2!;

;2!;























































따라서 PFÓ :PDÓ=EFÓ :CDÓ=1 :4이므로

PDÓ=

FDÓ=

;5$;

_

;5$;

;2%;

=2`(cm) 

 2`cm

0705   오른쪽 그림과 같이 점 M을 지나
고 ABÓ와 평행한 직선이 PCÓ와 만나
는 점을 N이라 하면 △APC에서
AMÓ=MCÓ, MNÓ∥APÓ이므로



A

M

P Q

N

24 cm

B

C

PNÓ=NCÓ

∴ PNÓ=

PCÓ=

_24=12`(cm)

;2!;

;2!;

또 MNÓ=

APÓ

;2!;

yy ㉠

APÓ :PBÓ=2 :1이므로 PBÓ=

APÓ 

yy ㉡

;2!;

㉠, ㉡에서 MNÓ=PBÓ
이때 △BQP와 △MQN에서
PBÓ=NMÓ, ∠QBP=∠QMN (엇각),

∠QPB=∠QNM (엇각)이므로
△BQPª△MQN ( ASA 합동)
따라서 PQÓ=NQÓ이므로

PQÓ=

PNÓ=

_12=6`(cm) 

;2!;

;2!;

 6`cm

0706   오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고
ABÓ와 평행한 직선이 ECÓ와 만나는

점을 G라 하면
△AEF와 △DGF에서
∠AFE=∠DFG (맞꼭지각),

A



E

F

G

4 cm

B

D

C

AFÓ=DFÓ, ∠EAF=∠GDF (엇각)
따라서 △AEFª△DGF ( ASA 합동)이므로
GFÓ=EFÓ=4`cm
이때 △CEB에서
CDÓ=DBÓ, DGÓ∥BEÓ이므로

CGÓ=GEÓ=GFÓ+EFÓ=4+4=8`(cm)

∴ CFÓ=CGÓ+GFÓ=8+4=12`(cm) 

 12`cm

0707  오른쪽 그림과 같이 PQÓ의 연장선이
ABÓ와 만나는 점을 E라 하면

△ABC에서
AQÓ=QCÓ, EQÓ∥BCÓ이므로





16 cm

A

D

E

B

Q

P

24 cm

C

yy`㉡

 4`cm

EQÓ=

BCÓ=

_24=12`(cm)

;2!;

;2!; 
△ABD에서
BPÓ=PDÓ, EPÓ∥ADÓ이므로

EPÓ=

ADÓ=

_16=8`(cm)

;2!;

;2!;

∴ PQÓ=EQÓ-EPÓ=12-8=4`(cm) 

 4`cm

6. 평행선과 선분의 길이의 비  |  61

 6

 1 : 3

 1 : 9

 108 cmÛ`

 2:3

 4:9

 8:27

p.130~p.139

BDÓ=

ABÓ=

_18=9  ∴ y=9 

 x=4, y=9

;2!;

;2!;

0725  100 (m)_

(m)=1 (cm)

 1 cm

1
10000

=

1
100

0724  2 (cm)_10000=20000 (cm)=200 (m)

 200 m

7

닮음의 활용
닮음의 활용
닮음의 활용

STEP

1

기초 Build

0708  △ADC=

;2!;△ABC

p.129

∴ (색칠한 부분의 넓이)=2_

;6!;△ABC

=;3!;△ABC

=

_18=6 

;3!;

=

;2!;

_30=15`(cmÛ`) 

 15`cmÛ`

0717  6 :18=1 :3

0718  둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 1 :3

 1:3























0719  1Û` :3Û`=1 :9

0720  12 :△DEF=1 :9


∴ △DEF=108 (cmÛ`)

0721  8 :12=2 :3

0722  2Û` :3Û`=4 :9

0723  2Ü` :3Ü`=8 :27

STEP

2

적중유형 Drill

0726  ADÓ가 △ABC의 중선이므로

△ADC=

;2!;△ABC

=

_30=15`(cmÛ`)

;2!;

이때 AEÓ :ADÓ=2 :5이므로

AEÓ :EDÓ=2 :(5-2)=2 :3

∴ △AEC=

;5@;△ADC

























0709  AGÓ : GDÓ=2 :1이므로
x :7=2 :1  ∴ x=14


ADÓ는 중선이므로

CDÓ=BDÓ=11  ∴ y=11 

 x=14, y=11

0710  AGÓ : GDÓ=2 :1이므로


12 :x=2 :1, 2x=12  ∴ x=6

ADÓ는 중선이므로

BDÓ=

BCÓ=

_10=5  ∴ y=5 

 x=6, y=5

;2!;

;2!;

0711  CGÓ : GDÓ=2 :1이므로


8 :x=2 :1, 2x=8  ∴ x=4

CDÓ는 중선이므로

0712  ADÓ는 중선이므로


CDÓ=BDÓ=5  ∴ x=5

AGÓ :GDÓ=2 :1이므로

AGÓ=

ADÓ=

_9=6  ∴ y=6 

 x=5, y=6

;3@;

;3@;

0713  (색칠한 부분의 넓이)=

;6!;△ABC

0714  (색칠한 부분의 넓이)=

;3!;△ABC

0715  (색칠한 부분의 넓이)=

;2!;△ABC

_18=3 

=;6!;

_18=6 

=;3!;

=;2!;_18=9 

62  |  정답과 해설

 3

 6

 9

=

;5@;

_15=6`(cmÛ`) 

 6`cmÛ`

0727   BQÓ :QCÓ=1 :3이므로 △PBQ :△PQC=1 :3
즉 4 :△PQC=1 :3이므로 △PQC=12`(cmÛ`)

∴ △PBC =△PBQ+△PQC
=4+12=16`(cmÛ`)



이때 BPÓ는 △ABC의 중선이므로
△ABC =2△PBC

0716  △GDC=△GCE=

;6!;△ABC

=2_16=32`(cmÛ`) 

 32`cmÛ`

0728  ADÓ가 △ABC의 중선이므로

0734  점 G'이 △GCA의 무게중심이므로

















































=

;3!;

_21=7`(cmÛ`) 

 7`cmÛ`

0735  점 G가 △ABC의 무게중심이므로

△ABD=

;2!;△ABC

=

_42=21`(cmÛ`)

;2!;

이때 AEÓ=EFÓ=FDÓ이므로

△BFE=

;3!;△ABD

0729  점 G가 △ABC의 무게중심이므로

GDÓ=

AGÓ=

_18=9`(cm)  ∴ x=9

;2!;

;2!;

또 ADÓ는 중선이므로

CDÓ=BDÓ=16`cm  ∴ y=16

∴ x+y=9+16=25 

0730  점 G가 직각삼각형 ABC의 무게중심이므로

GDÓ=

AGÓ=

_4=2`(cm)

;2!;

;2!;

∴ ADÓ=AGÓ+GDÓ=4+2=6`(cm)

이때 점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이므로

BDÓ=CDÓ=ADÓ=6`cm

∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ



=6+6=12`(cm) 

 12`cm

0731  AMÓ이 △ABC의 중선이므로 BMÓ=CMÓ


점 M은 BCÓ의 중점이므로 직각삼각형 GBC의 외심이다.

∴ GMÓ=BMÓ=CMÓ

=

BCÓ=

_16=8`(cm)

;2!;

;2!;
이때 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=2 GMÓ=2_8=16`(cm)

∴ AMÓ =AGÓ+GMÓ 

G'DÓ=

GG'Ó=

_6=3`(cm)

;2!;

;2!;

∴ GDÓ=GG'Ó+G'DÓ=6+3=9`(cm)
또 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
BGÓ=2 GDÓ=2_9=18`(cm)

∴ BDÓ=BGÓ+GDÓ=18+9=27`(cm) 

 27`cm

GMÓ=

`BGÓ=

_4=2`(cm)

;2!;

;2!;

∴ BMÓ=BGÓ+GMÓ=4+2=6`(cm)
이때 △CMB에서 MNÓ=CNÓ, BDÓ=CDÓ이므로

DNÓ=

BMÓ=

_6=3`(cm) 

;2!;

;2!;

 3`cm

 25

0736  점 G가 △ABC의 무게중심이므로


AGÓ=2 GDÓ=2_8=16`(cm)

Ó+GDÓ=16+8=24`(cm)

∴ ADÓ=AGÓ
이때 △CAD에서 AEÓ=CEÓ, EFÓ∥ADÓ이므로

EFÓ=

ADÓ=

_24=12`(cm) 

;2!;

;2!;

 12`cm

다른 풀이 
△BFE에서 GDÓ∥EFÓ이므로
BGÓ :BEÓ=GDÓ :EFÓ

이때 BGÓ :GEÓ=2 :1이므로

BGÓ :BEÓ=2 :(2+1)=2 :3

즉 2 :3=8 :EFÓ이므로 2EFÓ=24

∴ EFÓ=12`(cm)

0737  △ABD에서


AEÓ=BEÓ, EFÓ∥ADÓ이므로

ADÓ=2EFÓ=2_6=12`(cm)
이때 점 G가 △ABC의 무게중심이므로

=16+8=24`(cm) 

 24`cm

GDÓ=

ADÓ=

_12=4`(cm) 

;3!;

;3!;

 4`cm

0732  점 G가 △ABC의 무게중심이므로

GDÓ=

ADÓ=

_18=6`(cm)

;3!;

;3!;

또 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로

GG'Ó=

GDÓ=

_6=4`(cm) 

;3@;

;3@;

 4`cm

0738  점 G가 △ABC의 무게중심이므로


AGÓ =2 GMÓ=2_4=8  ∴ x=8

GEÓ∥MCÓ이므로
△AGE»△AMC ( AA 닮음)에서
AGÓ :AMÓ=GEÓ :MCÓ

이때 MCÓ=BMÓ=6이므로

0733  점 G'이 △GBC의 무게중심이므로


GG'Ó=2 G'DÓ=2_2=4`(cm)

∴ GDÓ=GG'Ó+G'DÓ=4+2=6`(cm)
또 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
AGÓ=2 GDÓ=2_6=12`(cm) 

2 :3=y :6, 3y=12  ∴ y=4 

 x=8, y=4

0739  BFÓ=CFÓ=

BCÓ=

_24=12`(cm)

;2!;

;2!;

 12`cm

GEÓ∥FCÓ이므로 △AGE»△AFC ( AA 닮음)에서
AGÓ :AFÓ=GEÓ :FCÓ

7. 닮음의 활용  |  63



























































즉 2 :3=GEÓ :12이므로 3 GEÓ=24

∴ GDCE =△GCD+△GCE

∴ GEÓ=8`(cm) 

 8`cm















































0740  BEÓ=DEÓ=

BDÓ, DFÓ=CFÓ=

CDÓ이므로

;2!;

;2!;

EFÓ=DEÓ+DFÓ

=

BDÓ+

CDÓ

;2!;

=

(BDÓ+CDÓ)=

BCÓ

;2!;

=

_36=18`(cm)

;2!;

;2!;

;2!;

이때 두 점 G, G'은 각각 △ABD, △ADC의 무게중심이므
로 AGÓ :GEÓ=AG'Ó :G'FÓ=2 :1
따라서 △AEF에서 GG'Ó∥EFÓ이므로
AGÓ :AEÓ=GG'Ó :EFÓ

즉 2 :3=GG'Ó :18이므로 3 GG'Ó=36

∴ GG'Ó=12`(cm) 

 12`cm

0741  AFÓ=BFÓ, AEÓ=CEÓ이므로 FEÓ∥BCÓ


따라서 △FGH»△CGD(AA 닮음)이므로
GFÓ : GCÓ=GHÓ : GDÓ



즉 1 : 2=2 : GDÓ이므로 GDÓ=4`(cm)
이때 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
ADÓ=3 GDÓ=3_4=12`(cm) 

 12`cm

0742  △EGF»△CGD (AA 닮음)이므로


GEÓ : GCÓ=GFÓ : GDÓ

즉 1 : 2=GFÓ : 6이므로 2 GFÓ=6

0743  점 G가 △ABC의 무게중심이므로

GDÓ=

ADÓ=

_30=10`(cm)

;3!;

;3!;

AFÓ=BFÓ, AEÓ=CEÓ이므로 FEÓ∥BCÓ
따라서 △FGH»△CGD ( AA 닮음)이므로
GFÓ : GCÓ=GHÓ : GDÓ

즉 1 : 2=GHÓ : 10이므로 2 GHÓ=10

∴ GHÓ=5`(cm) 

 5`cm

0744   오른쪽 그림과 같이 CGÓ를 그으면
점  G가 △ABC의  무게중심이므


△GCD=△GCE=

;6!;△ABC

B

A

G

D

E

C

64  |  정답과 해설























































=

;6!;△ABC+

;6!;△ABC

=

;3!;△ABC

=

;3!;

_33=11`(cmÛ`) 

 11`cmÛ`

0745   점 G가 △ABC의 무게중심이므로

△AGC=

;3!;△ABC=
△AGC에서 GDÓ=DEÓ=ECÓ이므로

;3!;

_36=12`(cmÛ`)

△ADE=

;3!;△AGC

=

;3!;

_12=4`(cmÛ`) 

 4`cmÛ`

0746  점 G가 △ABC의 무게중심이므로

△GAB=△GCA=

;3!;△ABC

△GAB에서 BEÓ=EGÓ이므로

△AEG=

;2!;△GAB

=

_

;3!;△ABC=

;6!;△ABC

;2!;

또 △GCA에서 GFÓ=FCÓ이므로

△AGF=

;2!;△GCA

=

_

;3!;△ABC=

;6!;△ABC

;2!;

즉 △AEG+△AGF=

;6!;△ABC+

;6!;△ABC

즉 △AEG+△AGF=

;3!;△ABC

이므로

;3!;△ABC=9
∴ △ABC=3_9=27`(cmÛ`) 

0747  점 G가 △ABC의 무게중심이므로

△GBC=

;3!;△ABC=
또 점 G'이 △GBC의 무게중심이므로

;3!;

_45=15`(cmÛ`)

△G'BC=

;3!;△GBC=

;3!;

_15=5`(cmÛ`)

∴ (색칠한 부분의 넓이) =△GBC-△G'BC



=15-5=10`(cmÛ`)   10`cmÛ`

0748  점 G가 △ABC의 무게중심이므로


AGÓ :GDÓ=2 :1
따라서 △AGF :△GDF=2 :1이므로
8 :△GDF=2 :1, 2△GDF=8
∴ △GDF=4`(cmÛ`)
△ADF =△AGF+△GDF  



=8+4=12`(cmÛ`)

∴ GFÓ=3 (cm)

 

 3`cm

 27`cmÛ`

다른 풀이 
△CDB에서

MNÓ=

BDÓ=

_24=12`(cm)

;2!;

;2!;
△AMN에서 PQÓ∥MNÓ이므로
APÓ :AMÓ=PQÓ :MNÓ
이때 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
APÓ :PMÓ=2 :1

따라서 APÓ :AMÓ=2 :(2+1)=2 :3이므로

2 :3=PQÓ :12, 3PQÓ=24

∴ PQÓ=8`(cm)

0754  △AMN에서 PQÓ∥MNÓ이므로


Ó=PQÓ :MNÓ

APÓ :AMÓ

 54`cmÛ`

A

4 cm

Q


D

P

M

B

N

C

한편 오른쪽 그림과 같이 ACÓ를
그으면 점 P는 △ABC의 무게
중심이므로

APÓ :PMÓ=2 :1

∴ APÓ :AMÓ=2 :(2+1)



=2 :3

즉 2 :3=4 :MNÓ이므로 2MNÓ=12

 6`cmÛ`

∴ MNÓ=6`(cm) 

 6`cm



다른 풀이 

BPÓ=PQÓ=QDÓ=4`cm이므로

BDÓ=3 PQÓ=3_4=12`(cm)

∴ MNÓ=

BDÓ=

_12=6`(cm)

;2!;

;2!;

A

M


D

P

O

18

N

Q

C

B

하면

AOÓ=COÓ

=

ACÓ=

_18=9

;2!;

;2!;
점 P는 △ABD의 무게중심이므로

POÓ=

AOÓ=

_9=3

;3!;

;3!;

마찬가지 방법으로 QOÓ=3

 12`cmÛ`

∴ PQÓ=POÓ+QOÓ=3+3=6 

 6

이때 △ADC에서 GFÓ∥DCÓ이므로
AFÓ :FCÓ=AGÓ :GDÓ=2 :1
따라서 △ADF :△FDC=2 :1이므로
12 :△FDC=2 :1, 2△FDC=12
∴ △FDC=6`(cmÛ`) 

 6`cmÛ`

0749   점 N은 △ABE의 무게중심이므로


△ABE=6△NDE=6_6=36`(cmÛ`)
이때 △ABC에서 BEÓ :ECÓ=2 :1이므로
△ABE :△AEC=2 :1
즉 36 :△AEC=2 :1이므로
2△AEC=36  ∴ △AEC=18`(cmÛ`)
∴ △ABC =△ABE+△AEC

=36+18=54`(cmÛ`) 

0750   점 G가 △ABC의 무게중심이므로

△GDB=

;6!;△ABC=

;6!;

_72=12`(cmÛ`)

이때 BGÓ :GEÓ=2 :1이므로
△GDB :△GED=2 :1
즉 12 :△GED=2 :1이므로 2△GED=12
∴ △GED=6`(cmÛ`) 

0751   점 G가 △ABC의 무게중심이므로


BGÓ :GEÓ=2 :1
따라서 △GDB :△GED=2 :1이므로
△GDB :10=2 :1  ∴ △GDB=20`(cmÛ`)
∴ △ABC =6△GDB  

0752  점 G가 △ABC의 무게중심이므로


BGÓ :GEÓ=2 :1
따라서 △GDB :△GED=2 :1이므로
△GDB :4=2 :1  ∴ △GDB=8`(cmÛ`)
△DBE =△GDB+△GED  

=8+4=12`(cmÛ`)

이때 ADÓ=BDÓ이므로
△ADE=△DBE=12`cmÛ` 













































































































0753  BOÓ=DOÓ=

BDÓ=

_24=12`(cm)

;2!;

;2!;

0756  점 P는 △ABC의 무게중심이므로

점 P는 △ABC의 무게중심이므로

POÓ=

BOÓ=

_12=4`(cm)

;3!;

;3!;

마찬가지 방법으로 QOÓ=4`cm

∴ PQÓ=POÓ+QOÓ=4+4=8`(cm) 

 8`cm

PMCO=

;3!;△ABC=

;3!;

_

;2!;

ABCD

=

;6!;

ABCD

=

_60=10`(cmÛ`)

;6!;

7. 닮음의 활용  |  65

=6_20=120`(cmÛ`) 

 120`cmÛ`

0755   오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그어
대각선 AC와 만나는 점을 O라

























































점 Q는 △ACD의 무게중심이므로

OCNQ=

;3!;△ACD=

;3!;

_

;2!;

ABCD

=

;6!;

ABCD

=

_60=10`(cmÛ`)

;6!;

따라서 색칠한 부분의 넓이는

PMCO+OCNQ =10+10=20`(cmÛ`)   20`cmÛ`

0757  점 P는 △ABC의 무게중심이므로

△APO=

;6!;△ABC=

;6!;

_

;2!; 

ABCD

=

;1Á2; 

ABCD

=

;1Á2;

_54=

`(cmÛ`)

;2(;

점 Q는 △ACD의 무게중심이므로

△AOQ=

;6!;△ACD=

;6!;

_

;2!; 

ABCD

=

;1Á2; 

ABCD

=

;1Á2;

_54=

`(cmÛ`)

;2(;

∴ △APQ=△APO+△AOQ

=

+

;2(;

;2(;

=9`(cmÛ`) 

 9`cmÛ`

다른 풀이 

△APQ=

;3!;△ABD=

;3!;

_

;2!;

ABCD

=

;6!;

ABCD

=

_54=9`(cmÛ`)

;6!;

0758  점 E는 △ABD의 무게중심이므로

MEOD=

;3!;△ABD=

;3!;

_

;2!;

ABCD

=

;6!;

ABCD

점 F는 △BCD의 무게중심이므로

△DOF=

;6!;△BCD=

;6!;

_

;2!;

ABCD

=

;1Á2;

ABCD

∴ MEFD=MEOD+△DOF

=

ABCD+

ABCD

;1Á2;

ABCD

;6!;

=

;4!;

=

;4!;

66  |  정답과 해설

0759  △EAD»△CAB (AA 닮음)이고


닮음비는 ADÓ :ABÓ=8 :12=2 :3이므로
넓이의 비는 △EAD :△CAB=2Û` :3Û`=4 :9
즉 16 : △CAB=4 : 9이므로
4△CAB=144  ∴△CAB=36`(cmÛ`)
∴  CEDB =△CAB-△EAD

=36-16=20 (cmÛ`)

 20 cmÛ`

0760  △ABC»△ACD ( AA 닮음)이고


닮음비는 ACÓ :ADÓ=10 :8=5 :4이므로
넓이의 비는 △ABC :△ACD=5Û` :4Û`=25 :16
즉 △ABC :32=25 :16이므로
16△ABC=800  ∴ △ABC=50`(cmÛ`)
∴ △DBC =△ABC-△ACD
=50-32=18`(cmÛ`)



 18 cmÛ`

다른 풀이 
△ABC:△ACD=25 :16이므로
△DBC:△ACD=(25-16) :16=9 :16
즉 △DBC :32=9 :16이므로
△DBC=18`(cmÛ`)

0761  △ADE»△AFG»△ABC (SAS 닮음)이고


닮음비는 ADÓ :AFÓ :ABÓ=1 :2 :3이므로

넓이의 비는
△ADE:△AFG:△ABC =1Û`:2Û`:3Û`=1 :4 :9
∴  DFGE: FBCG =(4-1) :(9-4)=3 :5

 3:5

0762   세 원의 닮음비가 1 :2 :3이므로
넓이의 비는 1Û`:2Û`:3Û`=1 :4 :9


따라서 가장 큰 원과 색칠한 부분의 넓이의 비는

9 :(4-1)=9 :3=3 :1이므로

색칠한 부분의 넓이를 S cmÛ`라 하면

36p :S=3 :1, 3S=36p  ∴ S=12p

따라서 색칠한 부분의 넓이는 12p`cmÛ`이다.   12p cmÛ`





다른 풀이 

세 원의 넓이의 비가 1Û`:2Û`:3Û`=1 :4 :9이므로 세 원의 넓

이는 각각 4p cmÛ`, 16p cmÛ`, 36p cmÛ`이다.

따라서 색칠한 부분의 넓이는

16p-4p=12p (cmÛ`)

0763  점 G가 △ABC의 무게중심이므로


△ABC=6△GBD=6_8=48 (cmÛ`)
BEÓ는 △ABC의 중선이므로





















































_56=14`(cmÛ`) 

 14`cmÛ`

△EBC=

;2!;△ABC=

;2!;

_48=24 (cmÛ`)

















































△EBC»△FDC (AA 닮음)이고
닮음비는 BCÓ :DCÓ=2 :1이므로
넓이의 비는 △EBC:△FDC=2Û` :1Û`=4 :1
즉 24:△FDC=4 :1이므로 4△FDC=24
∴ △FDC=6 (cmÛ`)

0769  두 삼각뿔 A, B의 닮음비가 2 :3이므로


부피의 비는 2Ü`:3Ü`=8 :27

삼각뿔 B의 부피를 V cmÜ`라 하면

16 :V=8 :27, 8V=432  ∴ V=54

 6 cmÛ`

따라서 삼각뿔 B의 부피는 54 cmÜ`이다.

 54 cmÜ`

0764  △ODA»△OBC (AA 닮음)이고


닮음비는 DAÓ :BCÓ=6 :8=3 :4이므로
넓이의 비는 △ODA :△OBC=3Û`:4Û`=9 :16
즉 9 : △OBC=9 :16이므로
9△OBC=144  ∴ △OBC=16 (cmÛ`)
한편 BOÓ :DOÓ=4 :3이므로 △OAB:△ODA=4 :3에서
△OAB : 9=4 : 3, 3△OAB=36
∴ △OAB=12 (cmÛ`)
마찬가지 방법으로 △OCD=12 cmÛ`
∴ ☐ABCD =△ODA+△OAB+△OBC+△OCD
=9+12+16+12=49 (cmÛ`)   49 cmÛ`

0770  농구공과 축구공의 닮음비가 15 :10=3 :2이므로


부피의 비는 3Ü`:2Ü`=27 :8

 27:8

0771   두 삼각기둥 A, B의 부피의 비가 64 :27=4Ü`:3Ü`이므로


닮음비는 4 :3

즉 8 :a=4 :3이므로 4a=24

∴ a=6

 6

0772  두 쇠공의 닮음비가 30 :6=5 :1이므로


부피의 비는 5Ü`:1Ü`=125 :1

따라서 만들 수 있는 작은 쇠공은 125개이다.

 125개

0765  두 정육면체 P, Q의 닮음비가 2 :3이므로


겉넓이의 비는 2Û`:3Û`=4 :9

정육면체 Q의 겉넓이를 S cmÛ`라 하면

96 :S=4 :9, 4S=864  ∴ S=216

0773   원뿔 PÁ과 처음 원뿔의 닮음비가 3 :(3+2)=3 :5이므로

부피의 비는 3Ü`:5Ü`=27 :125

∴ (PÁ의 부피):(Pª의 부피) =27 :(125-27)=27 :98

따라서 a=27, b=98이므로

따라서 정육면체 Q의 겉넓이는 216 cmÛ`이다.   216 cmÛ`

a+b=27+98=125

 125

0766  두 원뿔 A, B의 닮음비가 6 :10=3 :5이므로


옆넓이의 비는 3Û` :5Û`=9 :25

원뿔 A의 옆넓이를 S cmÛ`라 하면

S :50p=9 :25, 25S=450p  ∴ S=18p

따라서 원뿔 A의 옆넓이는 18p cmÛ`이다.

 18p cmÛ`

0767  두 원기둥 A, B의 겉넓이의 비가 4 :9=2Û`:3Û`이므로


닮음비는 2 :3

즉 4 :r=2 :3이므로 2r=12  ∴ r=6

또 h :18=2 :3이므로 3h=36  ∴ h=12

0768  닮음비가 2 : 3이므로 겉넓이의 비는 2Û`:3Û`=4 :9


큰 다람쥐 집의 겉면을 모두 칠하는 데 필요한 페인트의 양을

x mL라 하면

800 :x=4 :9, 4x=7200  ∴ x=1800

0774  세 입체도형 A, (A+B), (A+B+C)의 닮음비가


1 :2 :3이므로

부피의 비는 1Ü`:2Ü`:3Ü`=1 :8 :27

따라서 세 입체도형 A, B, C의 부피의 비는



1 :(8-1) :(27-8)=1 :7 :19이므로

두 입체도형 A, C의 부피의 비는 1 :19이다.

입체도형 C의 부피를 V cmÜ`라 하면

2p :V=1 :19  ∴ V=38p

따라서 입체도형 C의 부피는 38p cmÜ`이다.   38p cmÜ`

 r=6, h=12

0775   두 직육면체의 겉넓이의 비가 9 :16=3Û`:4Û`이므로


닮음비는 3 :4이고

부피의 비는 3Ü`:4Ü`=27 :64

큰 직육면체의 부피를 V cmÜ`라 하면

270 :V=27 :64  ∴ V=640

따라서 큰 직육면체의 부피는 640 cmÜ`이다.   640 cmÜ`

따라서 큰 다람쥐 집의 겉면을 모두 칠하는 데 필요한 페인트

0776  ⑴ 두 입체도형 A, B의 옆넓이의 비가 4 :25=2Û`:5Û`이므로

의 양은 1800 mL이다.

 1800 mL

닮음비는 2 :5







































7. 닮음의 활용  |  67































































⑵ 두 입체도형 A, B의 닮음비가 2 :5이므로

부피의 비는 2Ü`:5Ü`=8 :125

⑶ 입체도형 B의 부피를 V cmÜ`라 하면

  16 :V=8 :125, 8V=2000  ∴ V=250

  따라서 입체도형 B의 부피는 250 cmÜ`이다.

 ⑴ 2:5 ⑵ 8:125 ⑶ 250 cmÜ`

0777  두 직육면체 A, B의 부피의 비가
24 :81=8 :27=2Ü` :3Ü`이므로


닮음비는 2 :3이고 겉넓이의 비는 2Û` :3Û`=4 :9

직육면체 B의 겉넓이를 S cmÛ`라 하면

60 :S=4 :9, 4S=540  ∴ S=135

따라서 직육면체 B의 겉넓이는 135 cmÛ`이다.   135 cmÛ`

0778   물이 담긴 부분과 원뿔 모양의 그릇의 닮음비가


2 :6=1 :3이므로

부피의 비는 1Ü`:3Ü`=1 : 27

물의 부피를 V cmÜ`라 하면

0782  △ABC»△DEC (AA 닮음)이므로


ABÓ :DEÓ=BCÓ :ECÓ

즉 1.6:DEÓ=2 :6이므로 2DEÓ=9.6

∴ DEÓ=4.8 (m)

따라서 가로등의 높이는 4.8 m이다.

 4.8 m

0783  △ABC»△ADE (AA 닮음)이므로


ABÓ :ADÓ=BCÓ :DEÓ

ABÓ=x cm라 하면

x :(x+4)=8 :12, 12x=8x+32

4x=32  ∴ x=8

이때 축척이

이므로 실제 다리의 길이는

;200!00;

8`(cm)_20000 =160000 (cm)=1.6 (km)   1.6 km

0784  두 지점 A, B 사이의 실제 거리는


10`(cm)_400000 =4000000 (cm)=40 (km)

V :81p=1 :27, 27V=81p  ∴ V=3p

즉 시속 20 km로 40 km를 가는 데 걸리는 시간은

따라서 물의 부피는 3p cmÜ`이다.

 3p cmÜ`

=2`(시간)

;2$0);

0779  물이 담긴 부분과 원뿔 모양의 그릇의 닮음비가

:1=2 :3이므로

;3@;

부피의 비는 2Ü`:3Ü`=8 :27

비는

(27-8) :27=19 :27이므로

따라서 물이 담기지 않은 부분과 원뿔 모양의 그릇의 부피의

물이 담기지 않은 부분의 부피를 V`cmÜ`라 하면

V :108p=19 :27  ∴ V=76p

따라서 물이 담기지 않은 부분의 부피는 76p`cmÜ``이다.

 76p cmÜ`

0780   물이 담긴 부분과 원뿔 모양의 그릇의 닮음비가


9 :12=3 :4이므로

부피의 비는 3Ü`:4Ü`=27 :64

따라서 물이 담긴 부분과 물이 담기지 않은 부분의 부피의 비는

27 :(64-27)=27 :37이므로

그릇에 물을 가득 채울 때까지 더 걸리는 시간을 x분이라 하면

27 :x=27 :37  ∴ x=37

따라서 물을 가득 채울 때까지 더 걸리는 시간은 37분이다.

 37분

0781  △ABC»△ADE (AA 닮음)이므로


ABÓ :ADÓ=BCÓ :DEÓ

즉 2.1:6.3=1.8:DEÓ이므로 1 :3=1.8:DEÓ

∴ DEÓ=5.4 (m)

68  |  정답과 해설

따라서 두 지점 A, B 사이의 실제 거리를 왕복하는 데 걸리

는 시간은 4시간이다.

 4시간

0785  (축척)=

BCÓ
EFÓ

=

1.2 (cm)
27 (m)

=

1.2 (cm)
2700 (cm)

=

1
2250

이므로

DFÓ=2`(cm)_2250=4500 (cm)=45 (m)

따라서 탑의 실제 높이는

45+1.5=46.5 (m)

 46.5 m

STEP

3

심화유형 Master

p.140~p.144

0786  △GMG'과 △AMD에서


점 G가 △ABC의 무게중심이므로
MGÓ :MAÓ=1 :3,
또 점 G'이 △DBC의 무게중심이므로
MG'Ó :MDÓ=1 :3,

∠AMD는 공통
∴ △GMG'»△AMD(SAS 닮음)
즉 MGÓ :MAÓ =GG'Ó :ADÓ 이므로

따라서 조형물의 높이는 5.4 m이다.

 5.4 m

1 :3=6 :ADÓ   ∴ ADÓ=18`(cm) 

 18`cm











































0787  점 G는 △ABC의 무게중심이므로

0790  점 G가 △ABC의 무게중심이므로























































AGÓ=

ADÓ

;3@;

;3@;

=

_16=

`(cm)

:£3ª:

또 ADÓ는 △ABC의 중선이므로

BDÓ=CDÓ=

BCÓ

;2!;

=

_24=12`(cm)

;2!;

오른쪽 그림과 같이 BIÓ를 그으면
점 I는 △ABC의 내심이므로
∠ABI=∠DBI

20 cm

20 cm

16 cm

A

I
G

12 cm

D
24 cm



C

따라서  BAÓ :BDÓ=AIÓ :DIÓ이므

B





AIÓ :DIÓ=20 :12=5 :3

AIÓ=

ADÓ=

_16=10`(cm)이므로

;8%;

;8%;

IGÓ=AGÓ-AIÓ=

-10=

`(cm) 

:£3ª:

;3@;

 

;3@;

`cm

0788  ADÓ=

ABÓ, AMÓ=

ABÓ이므로

;2!;

;3!;

MDÓ=ADÓ-AMÓ

=

;2!;

ABÓ-

ABÓ=

ABÓ

;3!;

;6!;

점 G가 △ABC의 무게중심이므로 GCÓ=

DCÓ

;3@;

∴ △MGC=

;3@;△MDC=

;3@;

_

;6!;△ABC

=

;9!;△ABC

=

;9!;

_

{;2!;

_10_9

}

=5 (cmÛ`)

 5 cmÛ`

0789  점 I는 △ABC의 내심이므로


∠BAE=∠CAE

따라서 ABÓ :ACÓ=BEÓ :CEÓ이므로

BEÓ : CEÓ=4 :3

이때 BEÓ=4k, CEÓ=3k (k>0)라 하면

BCÓ=BEÓ+CEÓ=4k+3k=7k
한편 ADÓ는 △ABC의 중선이므로

CDÓ=

BCÓ=

;2!;

k

;2&;

DEÓ=CDÓ-CEÓ=

k-3k=

;2&;

k

;2!;

따라서 BCÓ :DEÓ=7k :

k=14 :1이므로

;2!;

△ADE=

;1Á4;△ABC

=

_

;1Á4;

{;2!;

_4_3

=

}

;7#; 

 

;7#;



























































GMÓ=

AMÓ=

`(cm)

;3!;

;3*;

yy`㉠

오른쪽 그림과 같이 AG'Ó, MG'Ó

A

의 연장선이 BMÓ, ABÓ와 만나는

점을 각각 D, E라 하면
MEÓ는 △ABM의 중선이므로
AEÓ=BEÓ
AMÓ은 △ABC의 중선이므로

10 cm

G

8 cm

E

G'

D

B

C

M
12 cm

BMÓ=CMÓ=

 BCÓ=

_12=6 (cm)

;2!;

;2!;

따라서 △ABC에서

MEÓ=

ACÓ=

_10=5`(cm)

;2!;

;2!;

이때 점 G'은 △ABM의 무게중심이므로

MG'Ó=

MEÓ=

_5=

`(cm)

;3@;

;3@;

:Á3¼:

yy`㉡

또 △AG'G»△ADM (SAS 닮음)이므로
AG'Ó :ADÓ=G'GÓ :DMÓ이고

DMÓ=

BMÓ=

_6=3`(cm)이므로

;2!;

;2!;

2 :3=G'GÓ :3, 3 G'GÓ=6  ∴ G'GÓ=2`(cm)  yy`㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 △G'MG의 둘레의 길이는

MG'Ó+GMÓ+G'GÓ=

+

+2

;3*;

:Á3¼:

=8`(cm) 

 8`cm

0791  오른쪽 그림과 같이 MCÓ를 그으면


△ABC에서 MNÓ∥BCÓ이므로
△MGP»△CGD ( AA 닮음)
따라서 GPÓ : GDÓ=GMÓ : GCÓ이고
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
GMÓ : GCÓ=1 : 2

A

M

B

P

G

N

3

D

C

즉 3 :GDÓ=1 :2이므로 GDÓ=6
이때 △ABD에서 AMÓ=BMÓ, MPÓ∥BDÓ이므로
APÓ=PDÓ=PGÓ+GDÓ=3+6=9 

0792  △AFC에서 ADÓ=DCÓ, EDÓ∥FCÓ이므로 AEÓ=EFÓ
A


오른쪽 그림과 같이 FDÓ를 그으면
△EFD=△AED=24`cmÛ`
∴ △DFC =△AFD


=2△AED  
=48`(cmÛ`)
또 점 G가 △ABC의 무게중심이므로

B

E

F

G

_48=16`(cmÛ`)

△FGD=

;3!;△DFC=
∴ EFGD =△EFD+△FGD
=24+16=40`(cmÛ`) 

;3!;



 9

D

C

 40`cmÛ`

7. 닮음의 활용  |  69

























































0793   점 G가 △ABC의 무게중심이므로


AGÓ :GDÓ=2 :1이고

AFÓ=FDÓ이므로 AFÓ :FGÓ :GDÓ=3 :1 :2

마찬가지 방법으로

BHÓ :HGÓ :GEÓ=3 :1 :2
△GFH의 넓이를 a`cmÛ`라 하면
FGÓ :GDÓ=1 :2이므로 △GHD=2△GFH=2a`(cmÛ`)
HGÓ :GEÓ=1 :2이므로 △GDE=2△GHD=4a`(cmÛ`)
HGÓ :GEÓ=1 :2이므로 △GEF=2△GFH=2a`(cmÛ`)
AFÓ :FGÓ=3 :1이므로 △AFE=3△GEF=6a`(cmÛ`)
△AGE =△AFE+△GEF  

=6a+2a=8a`(cmÛ`)

△AGE=

;6!;△ABC이므로

8a=

_96  ∴ a=2

;6!;

∴ DEFH =△GFH+△GHD+△GDE+△GEF

=a+2a+4a+2a=9a

=9_2=18`(cmÛ`) 

 18`cmÛ`

0794   오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어
대각선 BD와 만나는 점을 O라

하면

BOÓ=

BDÓ

;2!;

;2!;

=

_36=18`(cm)

A

E

P

O

Q



D

36 cm

B

F

C

점 Q는 △ABC의 무게중심이므로

QOÓ=

BOÓ=

_18=6`(cm)

;3!;

;3!;

△ABO에서 BEÓ=EAÓ, EPÓ∥AOÓ이므로

BPÓ=POÓ=

BOÓ=

_18=9`(cm)

;2!;

;2!;

∴ PQÓ =POÓ-QOÓ=9-6=3`(cm) 

 3`cm

0795  ㉠ △ACD에서 점 Q는 두 중선 AN, DO의 교점이므로 무

게중심이다.

㉡ 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
  BPÓ : POÓ=2 : 1

  즉 BPÓ : 3=2 : 1이므로 BPÓ=6

  BOÓ=BPÓ+POÓ=6+3=9

  ∴ BDÓ=2BOÓ=2_9=18

㉢ BPÓ :PQÓ :QDÓ=1 :1 :1이므로

  △APQ=

;3!;△ABD

㉣ △APQ=

;3!;△ABD=

;3!;

_

;2!;

ABCD

=

;6!;

ABCD

70  |  정답과 해설

























































  PMCO=OCNQ=

;3!;△ABC

=

_

ABCD

;3!;

;2!;

=

;6!;

ABCD

  즉 오각형 PMCNQ의 넓이는

 

 

 

  PMCO+OCNQ=

ABCD+

ABCD

;6!;

;6!;

=

;3!;

ABCD

  따라서 △APQ와 오각형 PMCNQ의 넓이의 비는

 

ABCD :

ABCD=1 :2

;6!;

;3!;
㉤ AMCN=△AMC+△ACN

=

;2!;△ABC+

;2!;△ACD

=

ABCD+

ABCD

;4!;

;4!;

;2!;

=

;2!;

ABCD

=

_80=40`(cmÛ`)

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢, ㉤이다. 

 ㉠, ㉡, ㉢, ㉤

0796   오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그어 대
각선 BD와 만나는 점을 O라 하면
점 P는 △ABC의 무게중심이므




A

Q

P O

D

N

B

M

C

PMCO=

;3!;△ABC=

;3!;

_

;2!;

ABCD

=

;6!;

ABCD

=

_72=12 (cmÛ`)

;6!;

점 Q는 △ACD의 무게중심이므로

OCNQ=

;3!;△ACD=

;3!;

_

;2!;

ABCD

=

;6!;

ABCD

=

_72=12 (cmÛ`)

;6!;

(오각형 PMCNQ의 넓이) =PMCO+OCNQ  

=12+12=24 (cmÛ`)

한편 BNÓ을 그으면

△MCN=

;2!;△NBC=

;2!;

_

;2!;△DBC

=

_

ABCD

;4!;

;2!;

=

;8!;

ABCD

=

_72=9`(cmÛ`)

;8!;

∴ PMNQ =(오각형 PMCNQ의 넓이)-△MCN

=24-9=15`(cmÛ`) 

 15`cmÛ`

따라서 삼각형 A£의 넓이는 2 cmÛ`이다.

 2 cmÛ`

0802  △DEF의 넓이를 S cmÛ`라 하고 삼각기둥의 높이를 h cm

0797   처음 원판과 구멍 한 개의 닮음비가 6 :1이므로 넓이의 비는

원기둥의 밑면과 원기둥의 그림자로 만들어지는 원은 닮음

6Û`:1Û`=36 :1

따라서 남은 부분과 처음 원판의 넓이의 비는

이고 닮음비는 r :r'이므로 넓이의 비는 rÛ`:r'Û`

따라서 원기둥의 밑넓이와 그림자의 넓이의 비는

(36-7_1) :36=29 :36

 29:36

rÛ`:(r'Û`-rÛ`)이므로















































0798  △ABC의 각 변의 중점을 연결하여 만든 삼각형 AÁ은

△ABC와 닮음이고 닮음비는 1 :
;2!;

=2 :1

마찬가지 방법으로 △ABC, 삼각형 AÁ, 삼각형 Aª, 삼각형
A£의 닮음비는

1 :





;4!;

;8!;

;2!;

=8 :4 :2 :1

즉 △ABC와 삼각형 A£의 닮음비가 8 :1이므로
넓이의 비는 8Û`:1Û`=64 :1

삼각형 A£의 넓이를 S`cmÛ`라 하면

128 :S=64 :1, 64S=128  ∴ S=2

0799  △ECF»△BCD (SAS 닮음)이고


닮음비는 ECÓ :BCÓ=1 :2이므로
넓이의 비는 △ECF:△BCD=1Û`:2Û`=1 :4
즉 24:△BCD=1 :4이므로 △BCD=96 (cmÛ`)
∴ △ABD=△BCD=96 cmÛ`
이때 △ABD에서 BPÓ=PQÓ=QDÓ이므로

△APQ=

;3!;△ABD

=

;3!;

_96=32 (cmÛ`)

0800  △PMA»△PBC (AA 닮음)이고


닮음비는 MAÓ :BCÓ=1 :2이므로
넓이의 비는 △PMA:△PBC =1Û`:2Û`=1 :4
즉 △PMA :16=1 :4이므로
4△PMA=16  ∴ △PMA=4 (cmÛ`)
이때 PMÓ :PBÓ=1 :2이므로
△ABP =2△PMA=2_4=8 (cmÛ`)
△ACD =△ABC=△ABP+△PBC  

=8+16=24 (cmÛ`)
∴  PCDM =△ACD-△PMA

=24-4=20 (cmÛ`)

 20 cmÛ`

0801   오른쪽 그림과 같이 바닥에 닿은
원기둥의 밑면의 중심을 O', 원

기둥의 밑면의 반지름의 길이를

r cm, 원기둥의 밑면의 중심에

서 그림자의 끝 부분까지의 거

리를 r' cm라 하면



























































rÛ`:(r'Û`-rÛ`)=1 :3, r'Û`-rÛ`=3rÛ`

r'Û`=4rÛ`=(2r)Û`  ∴ r'=2r`(∵ r>0, r'>0)
이때 △AOB»△AO'C (AA 닮음)이므로
AOÓ :AO'Ó=OBÓ :O'CÓ에서

AOÓ=h cm라 하면



h :(h+50)=r :2r

즉 h :(h+50)=1 :2이므로

2h=h+50  ∴ h=50

따라서 중심 O에서 전등까지의 거리는 50 cm이어야 한다.

 50 cm

라 하면

삼각기둥의 부피가 225 cmÜ`이므로 Sh=225
한편 △DEF»△GHF (AA 닮음)이고
닮음비는 DFÓ :GFÓ=(3+2) :2=5 :2이므로
넓이의 비는 △DEF:△GHF=5Û`:2Û`=25 :4
즉 S:△GHF=25 :4이므로

△GHF=

S

;2¢5;

따라서 삼각뿔 C-GHF의 부피를 V cmÜ`라 하면

 32 cmÛ`

V=

;3!;△GHF_h



=

;3!;

_

;2¢5;

S_h

=

;7¢5;

Sh

=

;7¢5;

_225=12 (cmÜ`)

 12 cmÜ`

0803  ㈎에 들어 있는 구슬 한 개의 지름의 길이는
;2A;

이고

㈏에 들어 있는 구슬 한 개의 지름의 길이는
;3A;

이므로

두 구슬의 닮음비는



;3A;

;2A;

=3 :2

따라서 겉넓이의 비는 3Û`:2Û`=9 :4

 9:4



A

O

O'

r cm

B

50 cm

C
r##' cm

0804   작은 정사면체와 처음 정사면체의 닮음비는 1 :2이므로


부피의 비는 1Ü`:2Ü`=1 :8



이때 작은 정사면체 한 개의 부피를 a라 하면 처음 정사면체

의 부피는 8a이므로

(정팔면체의 부피)=8a-4a=4a

따라서 작은 정사면체 한 개와 정팔면체의 부피의 비는

a :4a=1 :4

 1:4

7. 닮음의 활용  |  71

따라서 입체도형 P의 부피는 16 cmÜ`이다.

 16 cmÜ`

0815   이등변삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선은 밑

0805   원기둥 A와 원기둥 C의 부피의 비는 1 :64=1Ü`:4Ü`이므로

닮음비는 1 :4

즉 2:(원기둥 C의 높이)=1 :4이므로

(원기둥 C의 높이)=8

이때 두 원기둥 B, C의 닮음비가 4 :8=1 :2이므로

부피의 비는 1Ü`:2Ü`=1 :8

따라서 원기둥 C에 물을 가득 채우려면 8번 부어야 한다.

0806   세 입체도형 P, (P+Q), (P+Q+R)의 옆넓이의 비는
4 :(4+5) :(4+5+7)=4 :9 :16=2Û`:3Û`:4Û`이므로


세 입체도형 P, (P+Q), (P+Q+R)의 닮음비는

부피의 비는 2Ü`:3Ü`:4Ü`=8 :27 :64

따라서 입체도형 P와 처음 삼각뿔의 부피의 비는

2 :3 :4이고

8 :64=1 :8

입체도형 P의 부피를 V cmÜ`라 하면

V :128=1 :8, 8V=128  ∴ V=16

0807  오른쪽 그림과 같이 컵의 모선을 연장


하여 원뿔 모양을 만들면

ABCD는 사다리꼴이고

ADÓ∥EFÓ∥BCÓ이므로

EFÓ=

(ADÓ+BCÓ)

;2!;

=

;2!;

_(12+8)=10 (cm)

A

E

B

12 cm
D
10 cm

F

C
8 cm

큰 원뿔, 중간 원뿔, 작은 원뿔은 서로 닮음이고

닮음비는 ADÓ :EFÓ :BCÓ=12 :10 :8=6 :5 :4이므로

부피의 비는 6Ü`:5Ü`:4Ü`=216 :125 :64

따라서 원뿔대 모양의 컵과 물의 부피의 비는

(216-64) :(125-64)=152 :61

물의 부피를 V cmÜ`라 하면

304p :V=152 :61  ∴ V=122p

따라서 물의 부피는 122p cmÜ`이다.

 122p cmÜ`

0808

A

B

30 m

D

1 m

45 m

C

E

3 m

F

△ABC»△DEF(AA 닮음)이므로
ABÓ :DEÓ=BCÓ :EFÓ

이때 BCÓ=15+45=60`(m)이므로































































72  |  정답과 해설

8

피타고라스 정리
피타고라스 정리
피타고라스 정리

STEP

1

기초 Build

0809  xÛ`=4Û`+3Û`=25=5Û`  ∴ x=5 (∵ x>0)

 5

0810  xÛ`=15Û`+8Û`=289=17Û`  ∴ x=17 (∵ x>0)   17

 8번

0811  xÛ`=25Û`-24Û`=49=7Û`  ∴ x=7 (∵ x>0)

0812  xÛ`=15Û`-12Û`=81=9Û`  ∴ x=9 (∵ x>0)

p.147, 149

 7

 9

xÛ`=12Û`+5Û`=169=13Û`  ∴ x=13 (∵ x>0)   13

0813  △ABC에서


0814  △DBC에서















xÛ`=2Û`+

{;2#;}

=

=

:ª4°:

{;2%;}

  ∴ x=

(∵ x>0)   ;2%;

;2%;

2`

2`

변을 수직이등분하므로

BHÓ=CHÓ=

BCÓ=

_6=3`(cm)

;2!;

;2!;

 3`cm

0816  △ABH에서


AHÓ Û`=5Û`-3Û`=16=4Û`
∴ AHÓ=4`(cm) (∵ AHÓ>0)

0817  △ABC=

_6_4=12`(cmÛ`)

;2!;

 4`cm

 12`cmÛ`

0818  △ABC에서


xÛ`=12Û`+16Û`=400=20Û`  ∴ x=20 (∵ x>0)
ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로

144=y_20  ∴ y=



:£5¤:

 x=20, y=:£5¤:

0819  △ABD에서


xÛ`=10Û`-8Û`=36=6Û`  ∴ x=6 (∵ x>0)
ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로

36=8_y  ∴ y=


;2(;

 x=6, y=

;2(;

0820  (색칠한 부분의 넓이)=BCÓ Û`=5Û

+3Û

=34 

0821   (색칠한 부분의 넓이)=ACÓ Û`=4Û

-2Û

=12 

`

`

`

`

 34

 12

 9

ABÓ :1=60 :3, 3ABÓ=60  ∴ ABÓ=20 (m)

따라서 정사각뿔의 높이는 20 m이다.

 20 m

0822   BFÓ=AEÓ=3이므로


ABÓ=AFÓ+BFÓ=6+3=9

0823   ABCD=ABÓ Û

`=9Û

`

=81 

0824   △AFE에서
EFÓ Û

`=3Û`+6Û`=45
∴ EFGH=EFÓ Û



`=45 

 81

 45

STEP

2

적중유형 Drill

0839  △ABC에서


ABÓ Û`=15Û`-9Û`=144=12Û`
∴ ABÓ=12`(cm) (∵ ABÓ>0)

p.150~p.159

∴ △ABC=

;2!;

_12_9=54

(cmÛ`)

`

 54`cmÛ`

0825  ㉠ 5Û
`
㉢ 15Û


=3Û

+4Û

`
+12Û


`
+10Û


`

㉡ 12Û

㉣ 13Û

`

+9Û
`
=12Û

+8Û

`
+5Û

`

`
따라서 직각삼각형인 것은 ㉠, ㉣이다. 

`

`

`

 ㉠, ㉣



0826  10Û`=6Û`+8Û`이므로 직각삼각형이다.

 직각삼각형

0827   6Û`>4Û`+4Û`이므로 둔각삼각형이다.

 둔각삼각형

0840  ABCD=25
ABÓ=BCÓ=5


cmÛ`이므로

`
(cm) (∵ ABÓ>0, BCÓ>0)

`
ECGF=49

cmÛ`이므로

`

CGÓ=7

(cm) (∵ CGÓ>0)

`

∴ BGÓ=BCÓ+CGÓ=5+7=12
따라서 △ABG에서
AGÓ Û`=5Û`+12Û`=169=13Û`

`

(cm)

0828   7Û`<5Û`+6Û`이므로 예각삼각형이다.

 예각삼각형

∴ AGÓ=13

(cm) (∵ AGÓ>0)

`

 

 13

cm

`

0829   DEÓ Û`+BCÓ Û`=BE Ó
+12Û


`

=10Û

+xÛ



`

`

`

Û`+CDÓ Û`이므로
=60

 ∴ xÛ

`

0830   DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
+8Û


 ∴ xÛ

=19

+9Û

=6Û





`

`

`

`

0831  ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
+xÛ



 ∴ xÛ

=84

=4Û

+8Û



`

`


`

0832  ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로
+4Û


 ∴ xÛ

=27

+xÛ

=6Û





`

`

`

`

`

0833  APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
=20
+xÛ

`

 ∴ xÛ

+6Û

=5Û





`

`

`

`

0834  APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
=18 
+5Û


 ∴ xÛ

+xÛ

=3Û





`

`

`

`

`

`

`

`

0835  (색칠한 부분의 넓이) =28+12=40`(cmÛ`)

 40`cmÛ`

0836   (색칠한 부분의 넓이) =45-30=15

(cmÛ`)

 15

cmÛ

`

0837   (색칠한 부분의 넓이) =△ABC=35
cmÛ`
`

 35

cmÛ

0838  (색칠한 부분의 넓이)=△ABC



=

_7_4=14

(cmÛ`)   14

cmÛ

;2!;

`

 60

 19

 84

 27

 20

 18

`

`

`

`

`

`

0841  △ABC에서


BCÓ Û`=8Û`+6Û`=100=10Û`
∴ BCÓ=10
이때  ADÓ는  △ABC의  중선이므로  점  D는  직각삼각형
ABC의 빗변의 중점이다. 즉 점 D는 △ABC의 외심이므로

(cm) (∵ BCÓ>0)

`

ADÓ=

BCÓ=

_10=5

(cm)

;2!;

;2!;

`

따라서 점 G는 △ABC의 무게중심이므로

AGÓ=

ADÓ=

_5=

(cm) 

;3@;

:Á3¼:`

;3@;

 :Á3¼:`

cm

0842   ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로
ABÓ :ACÓ=BDÓ :CDÓ=5 :3


이때 ABÓ=5k, ACÓ=3k
BCÓ Û`=(5k)Û`-(3k)Û`=16kÛ`=(4k)Û`
∴ BCÓ=4k (∵ k>0)

`

(k>0)라 하면

즉 4k=8에서 k=2

∴ ACÓ=3k=3_2=6 

0843  △ABD에서


BDÓ Û`=13Û`-12Û`=25=5Û`
∴ BDÓ=5`(cm) (∵ BDÓ>0)

∴ DCÓ=BCÓ-BDÓ=14-5=9`(cm)
따라서 △ADC에서
ACÓ Û`=12Û`+9Û`=225=15Û`
∴ ACÓ=15`(cm) (∵ ACÓ>0) 

 6

 15`cm

0844  ⑴ △ADC에서


⑴ xÛ`=10Û`-6Û`=64=8Û`  ∴ x=8 (∵ x>0)
⑴ △DBC에서
⑴ yÛ`=17Û`-8Û`=225=15Û`

 ∴ y=15 (∵ y>0)

8. 피타고라스 정리  |  73



















































⑵ △ADC에서
⑴ yÛ`=10Û`-6Û`=64=8Û`
⑴ 따라서 △ABC에서
⑴ xÛ`=15Û`+8Û`=289=17Û`  ∴ x=17 (∵ x>0)

∴  y=8 (∵ y>0)

 ⑴ x=8, y=15  ⑵ x=17, y=8

0849  BCÓ=4a, CDÓ=3a`(a>0)라 하면


20Û`=(4a)Û`+(3a)Û`, 25aÛ`=400

aÛ`=16

∴  a=4 (∵ a>0)

∴ BCÓ=4a=4_4=16`(cm)

 16`cm













 















































 

0845  △ABC의 넓이가 24`cmÛ`이므로

∴  ADÓ=12`(cm)

_4_ADÓ=24

;2!;
△ABD에서
BDÓ Û`=15Û`-12Û`=81=9Û`
∴ BDÓ=9`(cm) (∵ BDÓ>0)

따라서 CDÓ=BDÓ-BCÓ =9-4=5`(cm)이므로
△ACD에서
ACÓ Û`=5Û`+12Û`=169=13Û`
∴ ACÓ=13`(cm) (∵ ACÓ>0)

0846   꼭짓점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발 A

2

D

을 H라 하면

HCÓ=BCÓ-BHÓ=5-2=3

DHÓ=ABÓ=4
따라서 △DHC에서
CDÓ Û`=4Û`+3Û`=25=5Û
∴ CDÓ=5 (∵ CDÓ>0)  

4

4

2

3

B

H
5

C

0847  BDÓ를 그으면 △ABD에서
BDÓ Û`=20Û`+15Û`=625=25Û`



A

15 cm

20 cm

∴ BDÓ=25`(cm) (∵ BDÓ>0)
따라서 △DBC에서
CDÓ Û`=25Û`-24Û`=49=7Û`
∴ CDÓ=7`(cm) (∵ CDÓ>0)

B

24 cm

 5

D

C

 7`cm

0848   두 꼭짓점 A, D에서 BCÓ에 내
린  수선의  발을  각각  E,  F라

A

10 cm

D

13 cm

13 cm

하면
△ABEª△DCF

B

E
5 cm

10 cm
20 cm

F
5 cm

C

( RHA 합동)

이므로 BEÓ=CFÓ



EFÓ=ADÓ=10`cm이므로

_(20-10)=5

(cm)

`

BEÓ=CFÓ=

;2!;
△ABE에서
AEÓ Û`=13Û`-5Û`=144=12Û`

∴ AEÓ=12

(cm) (∵ AEÓ>0)

`

;2!;

∴ ABCD=

_(10+20)_12=180`(cmÛ`)

 180`cmÛ`

74  |  정답과 해설









































0850  정사각형 BEFD의 넓이가 25이므로
BDÓ Û`=25  ∴ BDÓ=5 (∵ BDÓ>0)

△ABD에서
ABÓ Û`=5Û`-4Û`=9=3Û`
∴ ABCD=4_3=12







∴  ABÓ=3 (∵ ABÓ>0)

 12

0851  △ABC의 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내
린 수선의 발을 H라 하면

 13`cm

BHÓ=CHÓ=

`BCÓ

;2!;

A



10 cm

10 cm

B

H

12 cm

C

BH=

_12=6 (cm)

;2!;
△ABH에서
AHÓ Û`=10Û`-6Û`=64=8Û`
∴ AHÓ=8`(cm) (∵ AHÓ>0)

∴ △ABC=

;2!;

_12_8=48 (cmÛ`)

 48 cmÛ`

0852  △ABC의 꼭짓점 A에서 BCÓ에

내린 수선의 발을 H라 하면

A

H

8 cm



C

BHÓ=CHÓ=

`BCÓ

;2!;

B

BH=

_8=4 (cm)

;2!;

△ABC의 넓이가 12 cmÛ`이므로

∴  AHÓ=3 (cm)

_8_AHÓ=12

;2!;
△ABH에서
ABÓ Û`=4Û`+3Û`=25=5Û`
∴ ABÓ=5 (cm) (∵ ABÓ>0)

0853   꼭짓점 A에서 BDÓ에 내린 수선
의  발을  H라  하면  △ABD는
ABÓ=ADÓ인 이등변삼각형이므

15 cm

B

H
24 cm

D

 5`cm

A

C



BHÓ=DHÓ=

`BDÓ

;2!;

=

_24=12 (cm)

;2!;
△ABH에서
AHÓ Û`=15Û`-12Û`=81=9Û`
∴ AHÓ=9 (cm) (∵ AHÓ>0)

∴ ABCD=2△ABD





=2_

_24_9

{;2!;

}

=216 (cmÛ`)

0860  △AEHª△BFEª△CGFª△DHG

( SAS 합동)이므


 216 cmÛ`

로 EFGH는 정사각형이다.
즉 △AEH에서 EHÓ Û`=2Û`+4Û`=20이므로
EFGH=EHÓ Û`=20  













































0854  △ABD에서


BDÓ Û`=5Û`-4Û`=9=3Û`
DCÓ=x라 하면 ADÓ Û`=DBÓ_DCÓ이므로

∴  BDÓ=3 (∵ BDÓ>0)

4Û`=3_x

∴  x=

:Á3¤:

:Á3¤:

따라서 DCÓ의 길이는

이다.



 :Á3¤:

0855  △ABD에서


∴  x=12`(∵ x>0)

xÛ`=20Û`-16Û`=144=12Û`
ADÓ Û
`=DBÓ_DCÓ이므로
=16_z
12Û
∴  z=9
`
ACÓ Û
`=CDÓ_CBÓ이므로
=9_(9+16)=225=15Û


`
∴ x+y-z=12+15-9=18

`

0856  △ABC에서


ACÓ Û`=15Û`-9Û`=144=12Û`
∴ ACÓ=12`(cm) (∵ ACÓ>0)

ABÓ_ACÓ=AHÓ_BCÓ이므로



∴  y=15

(∵ y>0)

`

 18

9_12=AHÓ_15

∴  AHÓ=

`(cm) 

:£5¤:

 :£5¤:

`cm

0857  △ABC에서


ABÓ Û`=5Û`-3Û`=16=4Û`

∴  ABÓ=4`(cm) (∵ ABÓ>0)

∴ △ABF=

;2!;

BFML=

ADEB

;2!;

=

;2!;

_4Û`=8`(cmÛ`) 

 8

cmÛ`

`

0858  △ABC에서


ABÓ Û`=13Û`-5Û`=144=12Û`

∴  ABÓ=12 (∵ ABÓ>0)

∴ △LFM=

;2!;

BFML=

ADEB

;2!;

 

=

;2!;

_12Û

=72 

`

 72

0859  △EBC와 △ABF에서


EBÓ=ABÓ, BCÓ=BFÓ, ∠EBC=90ù+∠ABC=∠ABF
이므로 △EBCª△ABF ( SAS 합동)
∴ △EBC=△ABF
EBÓ∥DCÓ이므로 △EBA=△EBC
BFÓ∥AKÓ이므로 △ABF=△BFJ
따라서 넓이가 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다. 

 ②























































 20

 15

0861  △AEHª△BFEª△CGFª△DHG

( SAS 합동)이므로


EFGH는 정사각형이다.
∴ EFGH=EHÓ Û`=aÛ`+bÛ`=15 

0862  △AEHª△BFEª△CGFª△DHG ( SAS  합동)이므

로 EFGH는 정사각형이다.
즉 EFGH=13이므로 HEÓ Û`=13

△AEH에서
AEÓ Û`=13-2Û`=9=3Û``
따라서 ABÓ=AEÓ+EBÓ=3+2=5이므로
ABCD=ABÓ Û`=5Û`=25 

∴  AEÓ=3 (∵ AEÓ>0)

 25

0863  4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 EFGH는 정사각

형이다.
△ABE에서 BEÓ=AHÓ=3이므로
AEÓ Û`=5Û`-3Û`=16=4Û`
즉 HEÓ=AEÓ-AHÓ=4-3=1이므로

∴  AEÓ=4 (∵ AEÓ>0)

EFGH=1Û`=1

 

 1

0864  EFGH는 정사각형이고 그 넓이가 16`cmÛ`이므로


∴  EFÓ=4`(cm) (∵ EFÓ>0)

EFÓ Û`=16
이때 BEÓ=CFÓ=6`cm이므로

BFÓ=BEÓ+EFÓ=6+4=10`(cm)
따라서 △FBC에서
BCÓ Û`=10Û`+6Û`=136
∴ ABCD=BCÓ Û`=136`(cmÛ`) 

 136`cmÛ`

0865  ① BPÓ=ASÓ=5이므로 △ABP에서


  APÓ Û`=13Û`-5Û`=12Û`
  ∴ BQÓ=APÓ=12

∴  APÓ=12 (∵ APÓ>0)

③ APÓ=BQÓ=CRÓ=DSÓ이고 BPÓ=CQÓ=DRÓ=ASÓ이므로

② △ABP=

_5_12=30

;2!;

  PQÓ=QRÓ=RSÓ=SPÓ

④ SPÓ=APÓ-ASÓ=12-5=7

⑤ PQRS가 정사각형이므로
  PQRS=SPÓ Û`=7Û`=49

따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 

 ②

0866   AEÓ=ADÓ=5

cm이므로 △ABE에서

`

BEÓ Û`=5Û`-3Û`=16=4Û`
∴ ECÓ=BCÓ-BEÓ=5-4=1

(cm)

`

∴  BEÓ=4`(cm) (∵ BEÓ>0)

8. 피타고라스 정리  |  75





































 















한편 △ABE와 △ECF에서
∠B=∠C=90ù, ∠BAE=90ù-∠AEB=∠CEF
이므로 △ABE»△ECF ( AA 닮음)
따라서 ABÓ : ECÓ=AEÓ : EFÓ이므로

3 : 1=5 : EFÓ, 3EFÓ=5

∴  EFÓ=

(cm)   ;3%;`

cm

;3%;`

0872  Ú 가장 긴 변의 길이가 x일 때,
+8Û

=100

=6Û



  ∴ xÛ
`

`

Û 가장 긴 변의 길이가 8일 때,



=6Û

+xÛ

  ∴ xÛ
`

`

=28





`

`

`

`

다. 

Ú, Û에서 직각삼각형이 되도록 하는 xÛ`의 값은 28, 100이

0867   PDÓ=ADÓ=13

cm이므로 △DPC에서

`

0873  a가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 될 수 있는 조건에 의

 ∴ PCÓ=5`(cm) (∵ PCÓ>0)

`



(cm)

PC Ó Û`=13Û`-12Û`=25=5Û
∴ BPÓ=BCÓ-PCÓ=13-5=8
한편 △QBP와 △PCD에서
∠B=∠C=90ù, ∠BQP=90ù-∠QPB=∠CPD
이므로 △QBP»△PCD ( AA 닮음)
따라서 BPÓ : CDÓ=QBÓ : PCÓ이므로

`

8 : 12=QBÓ : 5, 12QBÓ=40

∴  QBÓ=

(cm)

:Á3¼:`

∴ △QBP=

_8_

=

:Á3¼:

:¢3¼:

;2!;

`(cmÛ`) 

 :¢3¼:

`cmÛ`

0868  ABÓ=BCÓ=8`cm이므로


(cm)

AEÓ=ABÓ-EBÓ=8-3=5
`
이때 DEÓ=AEÓ=5`cm이므로 △EBD에서
BDÓ Û`=5Û`-3Û`=16=4Û
∴ DCÓ=BCÓ-BDÓ=8-4=4

∴  BDÓ=4

(cm) 


`

`

`

(cm) (∵ BDÓ>0)

 4`cm

0869  ㉠ 6Û
`
㉢ 13Û


+2Û

+5Û

`
+12Û

`
=5Û
`
+24Û

`
=7Û

`

`


`

㉤ 25Û

`

㉡ 9Û

`
㉣ 10Û

㉥ 41Û

`

+4Û

+6Û

`
=6Û

`
=9Û

`
+8Û

`
`
+40Û

`

`

따라서 직각삼각형인 것은 ㉢, ㉣, ㉤, ㉥이다.

하여

7<a<11

∠C<90ù이므로



<4Û

+7Û

∴  aÛ

<65

`

`


`

㉠, ㉡에서 자연수 a의 값은 8이다.

`

`

`

0874  a가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 될 수 있는 조건에 의

하여

6<a<10

둔각삼각형이 되려면



>4Û

+6Û

∴  aÛ

>52

`

`


`

㉠, ㉡에서 자연수 a의 값은 8, 9의 2개이다.

0875  a가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 될 수 있는 조건에 의

하여

8<a<13

예각삼각형이 되려면



<5Û

+8Û

∴  aÛ

<89

`

`


`

㉠, ㉡에서 자연수 a의 값은 9이다.

 ㉢, ㉣, ㉤, ㉥

0876  ① 6Û`<4Û`+5Û` ➡ 예각삼각형
② 8Û`>4Û`+6Û` ➡ 둔각삼각형


③ 7Û`<5Û`+6Û` ➡ 예각삼각형

④ 13Û`=5Û`+12Û` ➡ 직각삼각형

⑤ 10Û`=6Û`+8Û` ➡ 직각삼각형

0870  29Û`=20Û`+21Û`이므로  △ABC는  ∠B=90ù인  직각삼각형

이다.

따라서 예각삼각형인 것은 ①, ③이다.

 ①, ③

∴ △ABC=

;2!;

_20_21=210`(cmÛ`) 

 210`cmÛ`

0877   △ABC의 세 변의 길이의 비가 5 : 6 : 7이므로 세 변의 길

0871  ACÓ를 그으면 △ACD에서

ACÓ Û`=8Û`+6Û`=100=10Û`
∴ ACÓ=10`(cm) (∵ ACÓ>0)
이때 △ABC는 26Û`=24Û`+10Û`이므로 ∠C=90ù인 직각삼
각형이다.
∴ ABCD=△ABC+△ACD

∴ ABCD=

_24_10+

_8_6

;2!;

;2!;

∴ ABCD=120+24=144`(cmÛ`)

 144`cmÛ`

76  |  정답과 해설

(a>0)라 하면

이를 각각 5a, 6a, 7a

`
(7a)Û`<(5a)Û`+(6a)Û`
따라서 △ABC는 예각삼각형이다.

0878  ④  cÛ

<aÛ

이면 ∠C<90ù이지만 ∠A, ∠B의 크기를 알
+bÛ
`

`
수 없으므로 △ABC는 예각삼각형이라 할 수 없다.

`

0879   DEÓ Û
+9Û


`+BCÓ Û
=8Û

`=BEÓ Û
+CDÓ Û



`이므로

`+CDÓ Û
`  ∴ CDÓ Û

`=33

`

`

`





































 





 28, 100

yy ㉠

yy ㉡

 8 

yy ㉠

yy ㉡

 2 

yy ㉠

yy ㉡

 9

 ①

 ④

 33 

0880  △DBE에서


DEÓ Û`=3Û`+4Û`=25=5Û`
`=AEÓ Û
`+ACÓ Û
이때 DEÓ Û
+ACÓ Û
+10Û
`=8Û


∴  DEÓ=5`(∵ DEÓ>0)
`+CDÓ Û
∴  ACÓ Û

`이므로
`=139



`

`

`

 139

0889   ABÓ, ACÓ를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이의 합은 BCÓ를

지름으로 하는 반원의 넓이와 같다.

∴ (색칠한 부분의 넓이)=

_p_4Û

=8p`(cmÛ`)

;2!;

`





















 

`

`

+7Û

0881   △ADE에서 DEÓ Û


=98

`=7Û
△ADC에서 CDÓ Û`=7Û`+(7+5)Û`=193
DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로
98+BCÓ Û`=BEÓ Û`+193
∴ BCÓ Û`-BEÓ Û`=193-98=95 







0882  △ABO에서
ABÓ

이때 ABÓ Û



Ó Û`=8Û`+6Û`=100=10Û`
`=ADÓ Û
`+12Û


`+CDÓ Û
=ADÓ Û

+10Û

`

`

10Û

`

`이므로

`+BCÓ Û
∴  ADÓ Û

`=56

∴  ABÓ=10`(∵ ABÓ>0)

0883  △OBC가 직각이등변삼각형이므로 OCÓ=OBÓ=4
Ó Û
△OBC에서 BCÓ
`=4Û
+4Û

`
`
`+BCÓ Û
` =ADÓ Û
∴ ABÓ Û

=32
`=3Û

+32=41

`+CDÓ Û



`

`=ADÓ Û
`+BCÓ Û
∴  ADÓ Û
`+8Û


`이므로

`=10

`

0884   ABÓ Û
+7Û


`+CDÓ Û
=ADÓ Û

`
`
△AOD에서
ODÓ

Ó Û`=10-1Û`=9=3Û`

∴  ODÓ=3`(∵ ODÓ>0)

∴ △AOD=

_3_1=

;2!;

;2#;

0885   APÓ Û
+5Û


`+CPÓ Û
=BPÓ Û



`=BPÓ Û
`+DPÓ Û
`+3Û


∴  BPÓ Û

`이므로

`=65

`

`

`

0886   APÓ Û
CPÓ Û


`=BPÓ Û
`+CPÓ Û
=BPÓ Û
`-DPÓ Û
`

`+DPÓ Û
`-APÓ Û

`이므로
-6Û
`=7Û

`

=13

`

 95

 56

 41

 

;2#;

 65

 13

0887   학교의 위치를 점 P라 하면
`+DPÓ Û
`+CPÓ Û
`이


`=BPÓ Û

APÓ Û

므로

+DPÓ Û
`

`


+1Û
`
DPÓ Û

=7Û
`=16=4Û

`

`
(km)

`

`

∴ DPÓ=4

(∵ DPÓ>0)

A

B

8 km

P

7 km

학교

D

C

1 km

따라서 학교에서 D의 집까지의 거리는 4

km이다.   4`km

`

0888  P+Q=R이므로


P+Q+R=R+R=2R

=2_

_p_5Û`

=25p

{;2!;

}

 25p















 





































 

 8p

cmÛ

`

`

 8

cm

`

 60

cmÛ
 
`

`

 13

cm

`

0890   P=Q+R=2p+6p=8p`(cmÛ`)이므로

_p_

{

;2!;

∴ ABÓ=8

ABÓ
2 }
2`
(cm)

`

`

=8p, ABÓ Û

`=64=8Û

`

(∵ ABÓ>0)

0891  △ABC에서


ACÓ Û`=17Û

-15Û`=64=8Û`

`

∴ ACÓ=8`(cm) (∵ ACÓ>0)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC

∴ (색칠한 부분의 넓이)=

_15_8=60`(cmÛ`)

;2!;

0892  색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로

30=

_12_ACÓ

∴  ACÓ=5`(cm)

;2!;

따라서 △ABC에서
BCÓ Û

`
∴ BCÓ=13`(cm)

`=12Û

+5Û

`

=169=13Û

`
(∵ BCÓ>0)

`

0893   ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는 8p

cmÛ

`

이므로
`

{

;2!;

_p_

=8p, ABÓ Û`=64=8Û

ABÓ
2 }
∴ ABÓ=8`(cm) (∵ ABÓ>0)
△ABC에서
ACÓ Û
=36=6Û
-8Û
`=10Û
(cm) (∵ ACÓ>0)
 ∴ ACÓ=6
`
`
`
`

2`

`

∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=

_8_6=24`(cmÛ`)

;2!;

 24

cmÛ
`

`

0894   2p_OBÓ=16p에서 OBÓ=8


`

(cm)

△AOB에서
AOÓ Û
`=17Û
-8Û
∴ AOÓ=15

`

`

`

=225=15Û



`

(cm) (∵ AOÓ>0)

∴ (원뿔의 부피)=

_(p_8Û`)_15=320p

;3!;

(cmÜ`)

`

 320p`cmÜ`

0895   원뿔의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r

cm라 하면

`

2p_5_

=2pr

∴  r=3

;3@6!0^;

이때 원뿔의 높이를 h

cm라 하면



=5Û

-3Û

=16=4Û

∴  h=4 (∵ h>0)

`

`

`

∴ (원뿔의 부피)=

_(p_3Û`)_4=12p`(cmÜ`)

`


`

;3!;

 12p`cmÜ`

8. 피타고라스 정리  |  77













 













 













0896   직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때
만들어지는 입체도형은 오른쪽 그림

과 같다.
△ADB에서
ADÓ Û
-6Û
`=10Û
`
∴ ADÓ=8

`

`

=64=8Û

`

(cm) (∵ ADÓ>0)

A



C 10 cm

D

B
6 cm

0901   OCÓ를 그으면


OCÓ=OAÓ=17`cm이므로
△ECO에서
ECÓ Û`=17Û`-15Û`=64=8Û`
∴ ECÓ=8`(cm)

`
∴ OECD=8_15=120`(cmÛ`) 

(∵ ECÓ>0)

 120`cmÛ`

이때 CDÓ=ACÓ=

 ADÓ=

_8=4

(cm)이므로

;2!;

;2!;

`

구하는 입체도형의 부피는

_(p_6Û`)_8-

_(p_6Û`)_4

;3!;

;3!;

=96p-48p=48p`(cmÜ`)

0897   점 D를 ABÓ에 대칭이동한 점을 D'

이라 하면

BD'Ó=BDÓ=5

CPÓ+DPÓ =CPÓ+D'PÓ¾CD'Ó

이므로 CPÓ+DPÓ의 최솟값은 CD'Ó

의 길이와 같다.
△CHD'에서
CD'Ó Û`=(4+5)Û`+12Û`=225=15Û`
∴ CD'Ó=15`(∵ CD'Ó>0)

 48p

cmÜ

`

`

C

4
A

5

H

P

12

D

5

B

D'

0902   △ADC=

_5_12=30`(cmÛ`)이고

;2!;
△DBC=66`cmÛ`이므로
△ABC=△ADC+△DBC=30+66=96`(cmÛ`)
BDÓ=x`cm라 하면

 ∴ x=11

_12_(x+5)=96, x+5=16

;2!;
△ABC에서
BCÓ Û`=(11+5)Û`+12Û`=400=20Û`
∴ BCÓ=20`(cm)`(∵ BCÓ>0)
이때 △DBC=66`cmÛ`이므로

_20_DEÓ=66

 ∴ DEÓ=

`(cm) 

:£5£:

;2!;

 :£5£:`cm

0903  △ABC에서
BCÓ


Û`=8Û`+6Û`=100=10Û`
∴ BCÓ=10`(cm)`(∵ BCÓ>0)
△ABC와 △DBE에서
∠A=∠D=90ù, ∠B는 공통
이므로 △ABC»△DBE ( AA 닮음)
즉 ABÓ : DBÓ=BCÓ : BEÓ에서

8 : DBÓ=10 : 4  ∴ DBÓ=

`(cm)

:Á5¤:

∴ ADÓ=ABÓ-DBÓ=8-

=

:Á5¤:

:ª5¢:

`(cm)

또 ACÓ : DEÓ=BCÓ : BEÓ에서

6 : DEÓ=10 : 4  ∴ DEÓ=:Á5ª:`(cm)

따라서 CPÓ+DPÓ의 최솟값은 15이다.

 15 

0898   오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 A
최단 거리는 BHÓ의 길이와 같다.
△ABH에서
BHÓ Û`=(8+4)Û`+5Û`=169=13Û`
∴ BHÓ =13

(∵ BHÓ>0)

5







B

`



따라서 최단 거리는 13이다.

0899   오른쪽 그림의 전개도에서 원기둥의 높

B

8

D

4

H

G

C

 13

B'

20

p

이는 A'B'Ó의 길이와 같다.

AA'Ó=2p_6=12p이므로
△B'AA'에서
A'B'Ó Û
=(20p)Û`-(12p)Û
`

`

∴ A'B'Ó=16p
`

(∵ A'B'Ó>0)

따라서 원기둥의 높이는 16p이다.

STEP

3

심화유형 Master



0900  BEÓ Û`=BDÓ Û`=BCÓ Û`+CDÓ Û`=xÛ
`
BGÓ Û`=BFÓ Û`=BEÓ Û`+EFÓ Û`=2xÛ
BIÓ Û`=BHÓ Û`=BGÓ Û`+GHÓ Û`=3xÛ
이때 BIÓ=6이므로





+xÛ

`
+xÛ

`
+xÛ

=2xÛ
`
=3xÛ
`

`
=4xÛ
`

`

`

78  |  정답과 해설

A
=256pÛ`=(16p)Û``

12

p

A'

∴ ADEF=

_

=

:ª5¢:

:Á5ª:

:ª2¥5¥:

`(cmÛ`)

 :ª2¥5¥:

`cmÛ`

 16p

0904  △ABC에서
ACÓ


Û`=3Û`+4Û`=25=5Û`  ∴ ACÓ=5`(cm)`(∵ ACÓ>0)

p.160~p.162

이때 ABÓ

Û`=AEÓ_ACÓ이므로

3Û`=AEÓ_5  ∴ AEÓ=

`(cm)

;5(;

△ABE와 △CDF에서
∠AEB=∠CFD=90ù, ABÓ=CDÓ, ∠BAE=∠DCF (엇각)
이므로 △ABEª△CDF ( RHA 합동)



4xÛ`=36, xÛ`=9=3Û`  ∴ x=3

(∵ x>0) 

 3

`

∴ CFÓ=AEÓ=

`cm

;5(;



























































∴ EFÓ=ACÓ-(AEÓ+CFÓ)

∴ EFÓ=5-

+

=

;5&;

;5(;}

{;5(;

`(cm)

 ;5&;

`cm

다른 풀이  △ABC에서
BCÓ Û`=8Û`+6Û`=100=10Û`
∴ BCÓ=10`(cm)`(∵ BCÓ>0)

























































0905  △ABC에서 AHÓ Û


`=HBÓ_HCÓ


Ó이므로

`=4_16=64=8Û

AHÓ Û
이때 점 M은 BCÓ의 중점이므로 △ABC의 외심이다. 즉

 ∴ AHÓ=8

(cm) (∵ AHÓ>0)

`

`

AMÓ=BMÓ=CMÓ=

BCÓ=

_(4+16)=10

(cm)

;2!;

;2!;

`

△AHM에서
HMÓ Û
-8Û
`=10Û
`
∴ HMÓ=6

`

`

=36=6Û

`

(cm) (∵ HMÓ>0)

이때 HAÓ_HMÓ=HQÓ_AMÓ이므로

8_6=HQÓ_10

∴  HQÓ=

(cm)

:ª5¢:`

 

:ª5¢:`

cm

0906   y=

x+4에 y=0을 대입하면

;3$;

;3$;

x=-3

∴  A(-3, 0)

y=

x+4에 x=0을 대입하면

∴  B(0, 4)

y=4
즉 OAÓ=3, OBÓ=4이므로 △AOB에서
ABÓ
OBÓ Û

Û`=3Û`+4Û`=25=5Û`  ∴ ABÓ=5`(∵ ABÓ>0)
`=BHÓ_BAÓ이므로



=BHÓ_5

∴  BHÓ=


:Á5¤:

`

OAÓ_OBÓ=OHÓ_ABÓ이므로

3_4=OHÓ_5

∴  OHÓ=



:Á5ª:

∴ △OBH=

_

_

=


;2(5^;

:Á5ª:

:Á5¤:

;2!;

 

;2(5^;

0907  △ABC에서
BCÓ


Û`=8Û`+6Û`=100=10Û`
∴ BCÓ=10`(cm)`(∵ BCÓ>0)

ABÓ, ACÓ를 각각 한 변으로 하는

F



G

A

8 cm

6 cm

H

I

C

E

B

D

정사각형 AFGB, ACHI를 그

리면

△ABD=

AFGB

△ABD=

_8Û

=32`(cmÛ`)

△AEC=

ACHI

△AEC=

_6Û

=18`(cmÛ`)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

`

`

∴ △ADE=△ABC+BDEC-△ABD-△AEC



















































ABÓ, ACÓ를 각각 한 변으로 하는

F



정사각형 AFGB, ACHI를 그

리고 꼭짓점 A에서 DEÓ에 수선

8 cm

6 cm

H

G

A

I

C

L

M

E

B

D

을 그어 BCÓ, DEÓ와 만나는 점을

각각 L, M이라 하면
△ADE
=△ADL+△AEL+△LDE
=△ABL+△ACL+△LDE
=△ABC+△LDE

=

;2!;

_8_6+

_10_10

;2!;

=74

(cmÛ`)

`

0908   두 정사각형 C, D의 넓이
의 합은 정사각형 A의 넓

이와 같으므로 36이다.

또 두 정사각형 G, H의 넓

이의  합은  정사각형  F의

넓이와 같고, 두 정사각형

G

F

H

E

R

P

B

8

D

C

A

6

Q

E, F의 넓이의 합은 정사각형 B의 넓이와 같으므로 64이다.

따라서 색칠한 정사각형의 넓이의 합은

36+64=100 

 100

0909  △AEDª△BCE이므로 AEÓ=BCÓ=12


△DAE에서
DEÓ

Û`=5Û`+12Û`=169=13Û`

∴  DEÓ=13`(∵ DEÓ>0)

이때 CEÓ=DEÓ=13이고, △DEC는 ∠DEC=90ù인 직각
이등변삼각형이므로

CDÓ

Û`=13Û`+13Û`=338

따라서 CDÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는

CDÓ
2 }

=

;2!;

_p_

CDÓ Û`
4

_p_

_p_

{

{

;2!;

;2!;

2`
=

}

2`

_p_

=

:£;4#:*;

:Á;4^:(;



;2!;

p
 :Á;4^:(;

0910  △DBC에서
DBÓ


Û`=16Û`+12Û`=400=20Û`
∴ DBÓ=20`(cm)`(∵ DBÓ>0)
△PBD에서
∠PBQ=∠DBC (접은 각), ∠DBC=∠PDQ (엇각)

이므로 ∠PBQ=∠PDQ
따라서 △PBD는 PBÓ=PDÓ인 이등변삼각형이므로

8. 피타고라스 정리  |  79

=

;2!;

_8_6+10Û

-32-18

`

=74`(cmÛ`) 

 74

cmÛ

`

`

DQÓ=

DBÓ=

_20=10

(cm)

;2!;

;2!;

`















































△PDQ와 △DBC에서
∠PDQ=∠DBC (엇각), ∠PQD=∠DCB=90ù
이므로 △PDQ»△DBC ( AA 닮음)
따라서 PDÓ :DBÓ=QDÓ :CBÓ에서

PDÓ :20=10 :16

∴  PDÓ=

(cm)

:ª2°:

즉 BCÓ=5k=5_2=10이므로

S£=

_p_

;2!;

=

p

:ª2°:

{:Á2¼:}
2`

SÁ+Sª=S£이므로

SÁ+Sª+S£=2S£=2_

p=25p

:ª2°:

 25p

∴ APÓ=ADÓ-PDÓ=16-

=

;2&;

:ª2°:

(cm) 

 ;2&;

`cm

0915   △ABD, △BCD는 각각 직각삼







A

D



10

S™

15



B

C



각형이므로
SÁ+Sª=△ABD
S£+S¢=△BCD
∴ (색칠한 부분의 넓이)

=SÁ+Sª+S£+S¢
=△ABD+△BCD
=ABCD


=10_15=150

 150



Q′
3
D
6
Q
C
3
H

 20

5

 cm

p

0916   점  P를  BCÓ에  대칭이동한  점을
P', 점 Q를 ADÓ에 대칭이동한 점

을 Q'이라 하면 구하는 최단 거리

는 P'Q'Ó의 길이와 같다.
△Q'P'H에서
P'Q'Ó Û` =16Û`+(3+6+3)Û`
=400=20Û`

∴ P'Q'Ó =20 (∵ P'Q'Ó>0)

따라서 최단 거리는 20이다.

A

P
B

P′

16

0917   오른쪽  그림의  전개도에
서  최단  거리는  AB"Ó의

B'

B''

B

A

6

 cm

A'

p

6

 cm

p

A''

길이와 같다.

AA'Ó=2p_3=6p`(cm)
이므로 △B"AA"에서
AB"Ó Û`=(6p+6p)Û
∴ AB"Ó=13p`(cm)

`

`

`

=169pÛ`=(13p)Û`

+(5p)Û
``
(∵ AB"Ó>0)

따라서 최단 거리는 13p

cm이다. 

 13p`cm

 5

서술형 Power Up!

p.163~p.166

0918  ⑴ △ABC와 △LJK에서


 ABÓ :LJÓ=16 :8=2 :1,

 BCÓ :JKÓ=20 :10=2 :1,

 CAÓ :KLÓ=18 :9=2 :1
 ∴ △ABC»△LJK ( SSS 닮음)

0911   점 B에서 ACÓ의 연장선에 내린
수선의 발을 H라 하면
△AHB에서
AHÓ

Û`=5Û`-3Û`=16=4Û`







C

H

A

3 cm

B

5 cm

D

∴ AHÓ=4`(cm)`(∵ AHÓ>0)
△ABC에서
∠ABC=∠CBD (접은 각), ∠ACB=∠CBD (엇각)

이므로 ∠ABC=∠ACB

∴ ACÓ=ABÓ=5

cm

`

따라서 CHÓ=4+5=9
△BCH에서
BCÓ

Û`=3Û`+9Û`=90 

`

(cm)이므로

 90

0912  △ABC에서 DEÓBCÓ이므로
ADÓ : ABÓ=DEÓ : BCÓ


1 :3=DEÓ : 12
∴ BEÓ Û`+CDÓ Û` =DEÓ Û`+BCÓ Û`

∴  DEÓ=4



=4Û`+12Û`=160 

 160

0913  ADÓ=

 ABÓ=

_6=3

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

CEÓ=

 BCÓ=

_8=4

DEÓ는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분이므로

DEÓ=x라 하면 ACÓ=2x

ADEC에서
`+CEÓ Û
ADÓ Û
=xÛ
`
`=5


+4Û
`
`
∴ DEÓ Û

`+ACÓ Û

`=DEÓ Û
+(2x)Û`, 5xÛ

`이므로
=25

`

∴  xÛ

=5

`

0914   ABÓ : BCÓ : CAÓ=4 : 5 : 3이므로


ABÓ=4k, BCÓ=5k, CAÓ=3k
△ABC의 세 변의 길이의 합이 24이므로
∴  k=2
4k+5k+3k=24, 12k=24

`





(k>0)라 하면

80  |  정답과 해설









































 △GHI와 △WXV에서
 GHÓ :WXÓ=15 :18=5 :6,

 GIÓ :WVÓ=10 :12=5 :6,

 ∠G=∠W=60ù
 ∴ △GHI»△WXV ( SAS 닮음)
 △PQR와 △TUS에서
 ∠Q=180ù-(60ù+75ù)=45ù이므로

 ∠Q=∠U=45ù, ∠R=∠S=75ù
 ∴ △PQR»△TUS ( AA 닮음)
⑵ △ABC와 △LJK는 세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가

 △GHI와 △WXV는 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비

가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다.

 △PQR와 △TUS는 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각

같다.

각 같다.

 ⑴ 풀이 참조  ⑵ 풀이 참조

0919  ⑴ ㉠은 BCÓ의 길이를 a배 한 것이므로 a_a=aÛ`
⑵ ㉡은 ACÓ의 길이를 b배 한 것이므로 b_b=bÛ`

 

⑵ ㉢은 ABÓ의 길이를 c배 한 것이므로 c_c=cÛ`





c

ab

bc

ab

ac



a



b

  ⑴ ㉠: aÛ`, ㉡: bÛ`, ㉢: cÛ`  ⑵ 풀이 참조  

   ⑶   직사각형의 대변의 길이는 서로 같으므로 aÛ`+bÛ`=cÛ`이 

성립한다.

0920  ⑴ △EAB, △FBC, △GCD가 모두 정삼각형이므로


 ∠EAB=∠FBC=∠GCD=60ù

 즉 동위각의 크기가 같으므로

 EAÓ∥FBÓ∥GCÓ

 ABÓ=EAÓ=8 cm이므로

 BHÓ =AHÓ-ABÓ=20-8=12 (cm)
 △HEA에서 FBÓ∥EAÓ이므로
 HBÓ :HAÓ=FBÓ :EAÓ

 즉 12 :20=FBÓ :8이므로

 FBÓ=

(cm)

:ª5¢:

⑵ BCÓ=FBÓ=

cm이므로

:ª5¢:

 CHÓ=BHÓ-BCÓ=12-

=

:ª5¢:

:£5¤:

(cm)

 △HEA에서 GCÓ∥EAÓ이므로
 HCÓ :HAÓ=GCÓ :EAÓ

 































 































































 













 즉

:20=GCÓ :8이므로

:£5¤:

 GCÓ=

(cm)

;2&5@;



 ⑴ 

 cm  ⑵ 

 cm

:ª5¢:

;2&5@;

0921  ⑴ △ADC에서 DEÓ=ECÓ, AFÓ=FCÓ이므로
 ADÓ=2FEÓ=2_6=12 (cm)

⑵ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로



 GDÓ=

`ADÓ=

_12=4 (cm)

;3!;

;3!;

 ⑴ 12 cm  ⑵ 4 cm

0922  ⑴ 점 P는 △ABD의 무게중심이므로

  MPOD=

;3!;△ABD=

;3!;

_

;2!;

ABCD

=

;6!;

ABCD

=

;6!;

_(12_9)=18

⑵ 점 Q는 △BCD의 무게중심이므로

  OQND=

;3!;△BCD=

;3!;

_

;2!;

ABCD

 

 

 

 

=

;6!;

ABCD

=

;6!;

_(12_9)=18

⑶ (색칠한 부분의 넓이)

⑶ = MPOD+ OQND

⑶ =18+18=36

0923  ⑴ CHÓ=25-20=5


`

⑵ △CHD에서
⑵ CDÓ

(m)

Û`=5Û`+12Û`=169=13Û`
⑵ ∴ CDÓ=13`(m) `(∵ CDÓ>0)

 ⑴ 18  ⑵ 18  ⑶ 36

C

5 m
H

D

20 m

20 m

⑵ 따라서 스턴트맨이 이동한 직선 거

A

12 m

B

리는 13

m이다.

`

 ⑴ 5`m  ⑵ 13

m

`

0924  △DBF와 △FCE에서


∠DBF=∠FCE=60ù, ∠BDF+∠DFB=120ù이고

∠DFB+∠CFE=120ù이므로

∠BDF=∠CFE
∴ △DBF»△FCE ( AA 닮음)
따라서 BFÓ :CEÓ=DFÓ :FEÓ에서

FEÓ=AEÓ=12-5=7이므로

4 :5=DFÓ :7

∴  DFÓ=


:ª5¥:

 

:ª5¥:

8. 피타고라스 정리  |  81

0925  △ABE와 △CBD에서
∠ABE=∠CBD,


0929  세 입체도형 A, (A+B), (A+B+C)의 닮음비가


1 : 2 : 3이므로



















































∠AEB =180ù-∠AED=180ù-∠ADE=∠CDB
이므로 △ABE»△CBD ( AA 닮음)
즉 ABÓ :CBÓ=BEÓ :BDÓ이므로

16 :24=BEÓ :18  ∴ BEÓ=12 (cm)

EDÓ=BDÓ-BEÓ=18-12=6 (cm)

이때 AEÓ :EDÓ=4 :3에서

AEÓ :6=4 :3

∴  AEÓ=8 (cm)

∴ ADÓ=AEÓ=8 cm

 8 cm

0926  점 G는 △ADC의 무게중심이므로


△ADE=3△AFG=3_5=15 (cmÛ`)
∴ △ABE =2△ADE  



=2_15=30 (cmÛ`)

 30 cmÛ`

y

9
6

A

P

O
-6

H

B

20 x

B′

0927   점 B를 x축에 대칭이동한 점을 B'

이라 하면

B'(20, -6)

APÓ+BPÓ=APÓ+B'PÓ¾AB'Ó

이므로 APÓ+BPÓ의 최솟값은

AB'Ó의 길이와 같다.
△AHB'에서
AB'Ó Û
=15Û
`
∴ AB'Ó=25`(∵ AB'Ó>0)

+20Û

=625=25Û

`

`

`

`



따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 25이다.

 25

0928   처음 정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면

[1단계]에서 지워지는 정삼각형의 한 변의 길이는
;2!;

a

[2단계]에서 지워지는 정삼각형의 한 변의 길이는

_

a=

;2!;

;2!;
마찬가지 방법으로

{;2!;}

Û`a=

a

;4!;

[n단계]에서 지워지는 정삼각형의 한 변의 길이는

Ç`a이므로

{;2!;}

[5단계]에서 지워지는 정삼각형의 한 변의 길이는

Þ`a=

a

;3Á2;

{;2!;}

따라서 [2단계]에서 지워지는 정삼각형과 [5단계]에서 지워지

는 정삼각형의 닮음비는

a:

a=8 :1이므로

;4!;

;3Á2;

넓이의 비는 8Û` :1Û`=64 :1

 64:1

82  |  정답과 해설

















































 

부피의 비는 1Ü` : 2Ü` : 3Ü`=1 : 8 : 27

따라서 세 입체도형 A, B, C의 부피의 비는

1 : (8-1) : (27-8)=1 : 7 : 19이므로

두 입체도형 B, C의 부피의 비는 7 : 19이다.

입체도형 C의 부피를 V cmÜ`라 하면

42p : V=7 : 19, 7V=798p  ∴ V=114p

따라서 입체도형 C의 부피는 114p cmÜ`이다.   114p cmÜ`

0930

A

D

E

2 m

6 m

B

C

A'

1 m

B'

1.5 m

C'

위의 그림과 같이 벽면이 그림자를 가리지 않았다고 할 때,

ADÓ의 연장선과 BEÓ의 연장선의 교점을 C라 하면
△DEC»△A'B'C' ( AA 닮음)이므로
ECÓ :B'C'Ó=DEÓ : A'B'Ó에서

∴  ECÓ=3 (m)

ECÓ :1.5=2 :1
또 △ABC»△A'B'C' ( AA 닮음)이므로
ABÓ :A'B'Ó=BCÓ :B'C'Ó에서

ABÓ :1=(6+3) :1.5

1.5 ABÓ=9

∴  ABÓ=6 (m)

따라서 나무의 높이는 6 m이다.

 6 m

0931  Ú   세 변의 길이가 2
>2Û

+3Û



`

`

`
Û   세 변의 길이가 2

`

➡ 둔각삼각형

cm, 3

cm, 4

cm인 경우

cm, 4

cm, 5

cm인 경우

`

`

`

`

`



>2Û

+4Û

➡ 둔각삼각형

`

`
Ü   세 변의 길이가 2

`

`
➡ 둔각삼각형

`



>2Û

+5Û

`

`
Ý   세 변의 길이가 3

`



=3Û

+4Û

➡ 직각삼각형

`

`
Þ   세 변의 길이가 3

`



>3Û

+4Û

➡ 둔각삼각형

`

`
ß   세 변의 길이가 3

`



>3Û

+5Û

➡ 둔각삼각형

`

`
à   세 변의 길이가 4

`



<4Û

+5Û

➡ 예각삼각형

`

`

`

cm, 5

cm, 6

cm인 경우

cm, 4

cm, 5

cm인 경우

cm, 4

cm, 6

cm인 경우

cm, 5

cm, 6

cm인 경우

cm, 5

cm, 6

cm인 경우

`

`

`

`

`

`

`

`

`

`

`

`

`















Ú~ à에서 예각삼각형은 1개, 둔각삼각형은 5개이므로

a=1, b=5

∴ b-a=5-1=4

 참고   세 변의 길이가 (2

cm, 3

cm, 5

cm),  

`
cm), (2

`
cm, 4

`
cm, 6

`

`

`

cm)인 경우에는 삼각

(2

cm, 3

cm, 6

`

`
형을 만들 수 없다.

`

 4

9

경우의 수
경우의 수
경우의 수

STEP

1

기초 Build

0932   6, 12 / 2

0933   2, 3, 5, 7, 11 / 5

0934   1, 2, 5, 10 / 4

0935   3

0936   2

0937  3+2=5 

0938  5+3=8 

0939  4+2=6 

0940   1

0941   3

0942  1_3=3 

0943  5_4=20 

0944  2_4=8 

0945  2_6=12 

0946  2_2_6=24 

0947  4_3_2_1=24 

0948  4_3=12 

0949  4_3_2=24  

0951  3_2_1=6  

0952  4_3=12 

0953  4_3_2=24 

0950  (3_2_1)_(2_1)=12  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 9

 18

 12

 24

 6

 4

 30

 120

 15

 20

 4

 4

 3

 4

p.172~p.181

0954  3_3=9 

p.169, 171

0955  3_3_2=18 

0956  4_3=12 

0957  4_3_2=24 

0958

4_3
2_1

=6 

0959

4_3_2
3_2_1

=4 

0960  6_5=30 

0961  6_5_4=120 

0962

6_5
2_1

=15 

0963

6_5_4
3_2_1

=20 

STEP

2

적중유형 Drill

(4, 1)의 4가지 

 5

 8

 6

 3

 20

 8

 12

 24

 24

 12

 24

 12

 6

 12

0964   두 눈의 수의 합이 5가 되는 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2),

 

 

0965   6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4가지 

 

0966   한 개만 뒷면이 나오는 경우는 (앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞),

(뒤, 앞, 앞)의 3가지 

0967   윷가락의 볼록한 면을 등, 평편한 면을 배라고 할 때, 걸이 나
오는 경우는 (등, 배, 배, 배), (배, 등, 배, 배), (배, 배, 등, 배),

(배, 배, 배, 등)의 4가지  

0968   2500원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다.

500원 (개)

100원 (개)

50원 (개)

4

4

2

4

3

4

4

2

6

4

1

8

3

8

4

3

7

6

3

6

8

 24



따라서 구하는 방법의 수는 7이다. 

 

 7

9. 경우의 수  |  83

0969  650원을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다.

2의 배수이면서 5의 배수, 즉 10의 배수가 나오는 경우는



따라서 지불할 수 있는 금액의 가짓수는 50원, 100원, 150원,

따라서 구하는 경우의 수는 4+3=7

 

   7

200원, 250원, 300원, 350원, 400원, 450원, 500원, 550원,

600원의 12이다.  























10, 20, 30, 40, 50의 5가지

따라서 구하는 경우의 수는 25+10-5=30

   30









0978   두 눈의 수의 합이 4인 경우는
(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지

두 눈의 수의 합이 6인 경우는

(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지

따라서 구하는 경우의 수는 3+5=8

 

   8

0979   두 눈의 수의 합이 9인 경우는

(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)의 4가지

두 눈의 수의 차가 4인 경우는

(1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지

따라서 구하는 경우의 수는 4+4=8 

 

 8

0980   두 눈의 수의 합이 5의 배수인 경우는 합이 5이거나 10인 경

우이다.

두 눈의 수의 합이 5인 경우는



(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지

두 눈의 수의 합이 10인 경우는  

(4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지

0981   두 수의 합이 6인 경우는 (2, 4), (3, 3), (4, 2)의 3가지
두 수의 합이 7인 경우는 (3, 4), (4, 3)의 2가지


두 수의 합이 8인 경우는 (4, 4)의 1가지

따라서 구하는 경우의 수는 3+2+1=6 

 

 6

0982   김밥을 선택하는 경우의 수는 3, 그 각각의 경우에 대하여 음
료수를 선택하는 경우의 수는 5이므로 만들 수 있는 묶음 할

인 세트는 3_5=15(가지)

 

 

 15가지

0983   자음을 선택하는 경우의 수는 3, 그 각각의 경우에 대하여 모



3_3=9(가지) 

 

 9가지

0984   빵은 2종류, 음료수는 3종류, 아이스크림은 4종류가 있으므

100원 (개)

50원 (개)

10원 (개)

6

1

0

6

0

5

5

3

0

5

2

5

4

5

0



따라서 구하는 방법의 수는 8이다. 

4

4

5

 

3

7

0

3

6

5

 8

0970   주어진 동전으로 돈을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음

과 같다.

100원 (개) 50원 (개) 금액 (원)

100원 (개) 50원 (개) 금액 (원)

300

250

200

300

250

200

150

100

200

150

100

50

 12

 8

 10

 10

2

1

0

4

3

2

1

0

4

3

2

1

 

 

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

2

2

4

3

2

1

0

4

3

2

1

0

4

3

600

550

500

450

400

500

450

400

350

300

400

350

2

2

2

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0971  3+5=8 

0972  4+3+3=10 

0973  4+6=10 

 

 

 

0974  6의 배수인 경우는 6, 12의 2가지


소수인 경우는 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6가지

0975  4의 배수인 경우는 4, 8의 2가지
5의 배수인 경우는 5, 10의 2가지










84  |  정답과 해설

따라서 구하는 경우의 수는 2+6=8 

 8

음을 선택하는 경우의 수는 3이므로 만들 수 있는 글자는

따라서 구하는 경우의 수는 2+2=4 

 4

로 구하는 경우의 수는 2_3_4=24 

 24

0976  16의 약수인 경우는 1, 2, 4, 8, 16의 5가지
4의 배수인 경우는 4, 8, 12, 16, 20의 5가지


0985   집에서 문구점까지 가는 방법은 3가지, 문구점에서 도서관까
지 가는 방법은 4가지이므로 집에서 도서관까지 가는 모든

16의 약수이고 4의 배수인 경우는 4, 8, 16의 3가지

경우의 수는 3_4=12 

 12

따라서 구하는 경우의 수는 5+5-3=7 

 

 7

0977  2의 배수인 경우는 2, 4, 6, y, 48, 50의 25가지


5의 배수인 경우는 5, 10, 15, y, 45, 50의 10가지

0986   올라가는 길을 선택하는 경우의 수는 5, 그 각각의 경우에 대
하여 내려오는 길을 선택하는 경우의 수는 올라간 길을 제외

한 4이므로 가능한 코스는 5_4=20(가지) 

 20가지

따라서 구하는 경우의 수는 24+24=48 

 48

타내면

0995  A, B, C가 가위바위보를 내는 경우를 순서쌍 (A, B, C)로 나

0987  집 → 서점 → 약국 → 집으로 이동하는 경우는


4_3_2=24(가지)

집 → 약국 → 서점 → 집으로 이동하는 경우는

2_3_4=24(가지)

0988  2개의 동전이 서로 다른 면이 나오는 경우는



(앞, 뒤), (뒤, 앞)의 2가지

주사위에서 6의 약수의 눈이 나오는 경우는

1, 2, 3, 6의 4가지

따라서 구하는 경우의 수는 2_4=8 

 8

0989  동전의 뒷면이 나오는 경우는 1가지


주사위에서 짝수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지

따라서 구하는 경우의 수는 1_3=3 

 3

0990  A 주사위에서 3 이하의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3의 3가지


B 주사위에서 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지

따라서 구하는 경우의 수는 3_3=9 

 9

0991   두 눈의 수의 곱이 홀수가 되는 경우는 (홀수)_(홀수)일 때

이다.

따라서 한 개의 주사위에서 홀수의 눈이 나오는 경우는 1, 3,

5의 3가지이므로 구하는 경우의 수는 3_3=9 

 9

0992   가위바위보를 할 때 한 사람이 낼 수 있는 것은 가위, 바위, 보
의 3가지이므로 세 사람이 가위바위보를 할 때 일어날 수 있

는 모든 경우의 수는 3_3_3=27 

 27

0993   태현이와 시윤이가 가위바위보를 내는 경우를 순서쌍

(태현, 시윤)으로 나타내면

태현이가 이기는 경우는

(가위, 보), (바위, 가위), (보, 바위)의 3가지

태현이가 지는 경우는



(가위, 바위), (바위, 보), (보, 가위)의 3가지

다른 풀이 

태현이가 이기거나 지는 경우의 수는

(모든 경우의 수)-(비기는 경우의 수)와 같다.

모든 경우의 수는 3_3=9



































C가 낼 수 있는 것은 A, B가 낸 것을 제외한 1가지

따라서 구하는 경우의 수는 3_2_1=6 

 6

Ú 한 명이 이기는 경우 : A가 혼자 이기는 경우는



(가위, 보, 보), (바위, 가위, 가위), (보, 바위, 바위)의 3가

지이고, 이 경우가 B, C가 각각 혼자 이기는 경우에도 일

어나므로 3_3=9(가지)

Û 두 명이 같이 이기는 경우 : A와 B가 같이 이기는 경우는

(가위, 가위, 보), (바위, 바위, 가위), (보, 보, 바위)의 3가

지이고, 이 경우가 A와 C, B와 C가 각각 같이 이기는 경

우에도 일어나므로 3_3=9(가지)

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 9+9=18 

 18

다른 풀이 

한 번에 승부가 결정되는 경우의 수는

(모든 경우의 수)-(비기는 경우의 수)와 같다.

모든 경우의 수는 3_3_3=27

비기는 경우는

Ú 모두 같은 것을 내는 경우 : (가위, 가위, 가위),



(바위, 바위, 바위), (보, 보, 보)의 3가지

Û 모두 다른 것을 내는 경우 : 3_2_1=6(가지)

Ú, Û에서 비기는 경우의 수는 3+6=9

따라서 구하는 경우의 수는 27-9=18

0996  A에 칠할 수 있는 색은 4가지


B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지

C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 2가지

D에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외한 2가지

따라서 구하는 경우의 수는 4_3_2_2=48 

 48

0997  A에 칠할 수 있는 색은 4가지


B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지

C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지

0998  A`→`B`→`C`→`D`→`E의 순서로 색을 칠하면


A에 칠할 수 있는 색은 5가지

B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지

















































9. 경우의 수  |  85

따라서 구하는 경우의 수는 3+3=6  

 6

따라서 구하는 경우의 수는 4_3_3=36 

 36

비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지

C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 3가지

따라서 구하는 경우의 수는 9-3=6

D에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 4가지

0994  A가 낼 수 있는 것은 가위, 바위, 보의 3가지


B가 낼 수 있는 것은 A가 낸 것을 제외한 2가지



E에 칠할 수 있는 색은 C, D에 칠한 색을 제외한 3가지

따라서 구하는 경우의 수는

5_4_3_4_3=720



 

 720





 



























0999  A 지점에서 P 지점까지 최단 거
리로 가는 경우는 3가지

P 지점에서 B 지점까지 최단 거

리로 가는 경우는 10가지

따라서 구하는 경우의 수는

3_10=30 

10
6
3
1

4
3
2
1

1
1
1
3

P

1

1
A

2

1

B

1007   여학생 2명, 남학생 3명을 각각 하나로 묶어서 생각하면 2명

을 한 줄로 세우는 경우의 수는

이때 여학생 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는

2_1=2

2_1=2

 30

남학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는

1000   오른쪽 그림에서 점 P에서 점 Q까지
최단 거리로 가는 경우의 수는 10이

다.

1

1

1



P

1

1

2

3

3

6

1001   다빈이네  집에서  소연이네  집
까지 최단 거리로 가는 경우는

3가지

소연이네  집에서  학교까지  최

단 거리로 가는 경우는 3가지

2
1

3
1

1

3

2

소연
이네

1

1

따라서 구하는 경우의 수는

다빈이네

1

3_3=9 

1002  4명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로


4_3_2_1=24 

1003   ⑴ 5_4_3_2_1=120


⑵ 5_4=20

⑶ 5_4_3=60 

 ⑴ 120  ⑵ 20  ⑶ 60

1004  6권의 책 중에서 3권을 선택하여 한 줄로 세우는 경우의 수와

1005   부부를 하나로 묶어서 생각하면 4명을 한 줄로 세우는 경우

같으므로

6_5_4=120 

의 수는



4_3_2_1=24

이때 부부가 자리를 바꾸는 경우의 수는

따라서 구하는 경우의 수는

2_1=2

24_2=48 

4

10

Q

 10

학교

 9

 24

 120



 48

3_2_1=6

따라서 구하는 경우의 수는

2_2_6=24 

는 경우의 수와 같으므로

5_4_3_2_1=120 

는 경우의 수와 같으므로

3_2_1=6 

1008   자리가 고정된 혜은이를 제외한 나머지 5명을 한 줄로 세우

1009   자리가 고정된 A와 E를 제외한 나머지 3명을 한 줄로 세우

1010  Ú A

B인 경우의 수 : 3_2_1=6

Û B

A인 경우의 수 : 3_2_1=6









Ú, Û에서 구하는 경우의 수는

6+6=12 

1011  A를 제외한 5명 중에서 C와 D를 하나로 묶어서 생각하면

4명을 한 줄로 세우는 경우의 수는

4_3_2_1=24

이때 C와 D가 자리를 바꾸는 경우의 수는

따라서 구하는 경우의 수는

2_1=2

24_2=48 

1012   홀수는 일의 자리의 숫자가 1 또는 3인 경우이다.


`1인 경우:백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1을 제

Ú

`

외한 3개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리의 숫

자와 1을 제외한 2개이므로 3_2=6(개)

Û

`

`3인 경우 : 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 3을 제

외한 3개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리의 숫

자와 3을 제외한 2개이므로 3_2=6(개)

Ú, Û에서 구하는 홀수의 개수는



 24

 120

 6

 12

 48

 12

1006   민호, 수지, 형식 3명을 하나로 묶어서 생각하면 3명을 한 줄

6+6=12 

다른 풀이 

이때 민호, 수지, 형식이가 자리를 바꾸는 경우의 수는

일의 자리의 숫자를 제외한 3개, 백의 자리에 올 수 있는 숫자

홀수인 경우는 일의 자리의 숫자가 홀수이므로 일의 자리에

올 수 있는 숫자는 1, 3의 2개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는

는 일의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외한 2개이므로 구하는

홀수의 개수는

 36



2_3_2=12

로 세우는 경우의 수는

3_2_1=6

따라서 구하는 경우의 수는

3_2_1=6

6_6=36 

86  |  정답과 해설













































1013   십의 자리에 올 수 있는 숫자는 5개, 일의 자리에 올 수 있는
숫자도 5개이므로 구하는 두 자리의 자연수의 개수는



5_5=25 

 25

1020  7_6_5=210 

1021  5명 중에서 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므

1014  Ú 3`
Û 4`


인 경우:35, 36의 2개

인 경우:41, 42, 43, 45, 46의 5개

인 경우:51, 52, 53, 54, 56의 5개

인 경우:61, 62, 63, 64, 65의 5개

Ü 5`

Ý 6`

Ú ~ Ý에서 구하는 자연수의 개수는

2+5+5+5=17 

 17

1015  3의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이다.
Ú 각 자리의 숫자의 합이 3인 경우 : 12, 21의 2개


Û 각 자리의 숫자의 합이 6인 경우 : 15, 24, 42, 51의 4개

Ü 각 자리의 숫자의 합이 9인 경우 : 45, 54의 2개

Ú ~ Ü에서 구하는 3의 배수의 개수는

1016   백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4개, 십의 자리에
올 수 있는 숫자는 백의 자리의 숫자를 제외한 4개, 일의 자리

로 5_4=20 

로 6_5=30 

1022  6명 중에서 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므

1023  Ú 대표가 남자인 경우:



남자 3명 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 3

  이때 부대표를 뽑는 경우의 수는 남자 2명 중 1명, 여자

4명 중 1명을 뽑는 경우이므로 2_4=8

∴ 3_8=24





여자 4명 중에서 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 4

  이때 부대표를 뽑는 경우의 수는 남자 3명 중 1명, 여자

3명 중 1명을 뽑는 경우이므로 3_3=9

2+4+2=8 

 8



Û 대표가 여자인 경우:



에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외

∴ 4_9=36

한 3개이므로 구하는 자연수의 개수는

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는

4_4_3=48 

 48

24+36=60 

 60

1024  5명의 후보 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 5


회장 1명을 제외한 4명의 후보 중에서 부회장 2명을 뽑는 경

1017  Ú 1`
Û 2`


인 경우:10, 12, 13의 3개

인 경우:20, 21의 2개

Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는

3+2=5(개) 

 5

1018  Ú 2`
Û 3`


인 경우:4_3=12(개)

인 경우:4_3=12(개)

Ü 4`

인 경우:4_3=12(개)

Ú ~ Ü에서 구하는 자연수의 개수는

`

`

`

1019  5의 배수는 일의 자리의 숫자가 0 또는 5인 수이다.


`0인 경우:백의 자리에 올 수 있는 숫자는 일의 자

Ú

`

백의 자리와 일의 자리의 숫자를 제외한 4개이므로

5_4=20(개)

Û

`

`5인 경우:백의 자리에 올 수 있는 숫자는 일의 자

리의 숫자 5와 0을 제외한 4개, 십의 자리에 올 수 있는 숫

자는 백의 자리와 일의 자리의 숫자를 제외한 4개이므로

4_4=16(개)

Ú, Û에서 구하는 5의 배수의 개수는

20+16=36 

 36

우의 수는

4_3
2_1

=6

따라서 구하는 경우의 수는

5_6=30 



6_5
2_1

=15 



4_3_2
3_2_1

=4 

12+12+12=36 

 36

1025  6명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므

리의 숫자 0을 제외한 5개, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는

1026  4명 중에서 자격이 같은 대표 3명을 뽑는 경우의 수와 같으므

 210

 20

 30









 30

 15

 4

 6

1027  A가 반드시 뽑혀야 하므로 A를 제외한 나머지 4명 중에서

대의원 2명을 뽑는 경우의 수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는

4_3
2_1

=6 

9. 경우의 수  |  87







































































































1028   수학책 4권 중에서 2권을 사는 경우의 수는 4명 중에서 자격

이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로

=6

4_3
2_1
과학책 3권 중에서 2권을 사는 경우의 수는 3명 중에서 자격

이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로

STEP

3

심화유형 Master

p.182~p.184

1035  

<1, 즉 2y<x를 만족하는 순서쌍 (x, y)는

2y
x
y=1일 때, (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)의 4가지

y=2일 때, (5, 2), (6, 2)의 2가지

따라서 구하는 경우의 수는 4+2=6 

 6

3_2
2_1

=3

6_3=18 

따라서 구하는 경우의 수는



5_4
2_1

=10(번) 

1029  5명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므

 18

1036   삼각형이 만들어지려면


(가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합)이어야 한

 10번

따라서 주어진 5개의 막대로 삼각형을 만들 수 있는 경우의















 









 

다.

수는

A

B

C

D

B

A
C
D

A

D

A

C

;aB;

;aB;

;aB;

;aB;

C

D
D
A

D
A
B

B
A
B

D

C
A
C

B
B
A

C
B
A

3=

_2-1,

=4

:ªaõ:



=2

;aB;

2=

_3-1,

=3

:£aõ:



=1

;aB;

(5`cm, 6`cm, 9`cm), (5`cm, 6`cm, 10`cm),

(5`cm, 9`cm, 10`cm), (6`cm, 9`cm, 10`cm),

(6`cm, 10`cm, 15`cm), (9`cm, 10`cm, 15`cm) 

의 6이다. 

 

 6

1037   4개의 가방을  A ,  B ,  C ,  D , 4명의 학생을 A, B, C, D
로 놓고 나뭇가지 모양의 그림을 그리면 다음과 같다.

1030  10명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으

므로

10_9
2_1

=45(번) 

 45번

1031  7명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수는

=21

7_6
2_1
이때 대표 2명을 모두 여학생으로만 뽑는 경우의 수는

따라서 구하는 경우의 수는

 18

Ú 대표 2명 중 남학생이 1명인 경우의 수는

Û 대표 2명이 모두 남학생인 경우의 수는

3_2
2_1

=3

21-3=18 

다른 풀이 

4_3=12



4_3
2_1

=6

1032  두 점을 이어 만들 수 있는 선분의 개수는

=10

5_4
2_1

세 점을 이어 만들 수 있는 삼각형의 개수는

 선분 : 10, 삼각형 : 10

5_4_3
3_2_1

=10 

1033

6_5_4
3_2_1

=20 

1034   A, B, C, D, E 5개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의

수는

5_4_3
3_2_1

=10

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 12+6=18



따라서 구하는 경우의 수는 9이다. 

 

 9

1038  Ú y=

x-1의 그래프가 점 B(2, 3)을 지나는 경우 :

 20

Û y=

x-1의 그래프가 점 C(3, 2)를 지나는 경우 :

이때 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있으므로 세 점 A, B, C

를 선택하는 경우에는 삼각형을 만들 수 없다.

따라서 구하는 삼각형의 개수는 10-1=9 

 9

따라서 y=

x-1의 그래프가 △ABC와 만나려면

;aB;



É2이어야 한다.

;aB;

88  |  정답과 해설









































위의 부등식을 만족하는 순서쌍 (a, b)는

a=1일 때, (1, 1), (1, 2)의 2가지

a=2일 때, (2, 2), (2, 3), (2, 4)의 3가지

a=3일 때, (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)의 4가지

a=4일 때, (4, 4), (4, 5), (4, 6)의 3가지

a=5일 때, (5, 5), (5, 6)의 2가지

a=6일 때, (6, 6)의 1가지

따라서 구하는 경우의 수는

2+3+4+3+2+1=15  

 15

1043  Ú A → B → D로 가는 경우의

수는

  3_6=18

Û A → C → D로 가는 경우의

수는

  3_4=12

D



D



6

3

1

4

3

2

1

1

1

B
3

2

1

3

2

1

1

1

1

3

C

1

2

1

1

1

A

1

A

1039   주어진 동전으로 800원 이상 1500원 이하인 학용품을 사는

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 18+12=30 

   30

방법은 다음과 같다.

500원 (개) 100원 (개) 금액 (원)

500원 (개) 100원 (개) 금액 (원)

0

4

3

2

1500

1400

1300

1200

2

2

1

1

1

0

4

3

1100

1000

900

800

따라서 거스름돈 없이 학용품을 사는 방법은 8가지이다. 

 8가지

3

2

2

2

 

1040  1개의 계단을 오르는 횟수를 x회, 2개의 계단을 오르는 횟수
를 y회라 하면 총 6개의 계단을 오르므로 x+2y=6

이때 이를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (6, 0), (4, 1), (2, 2),

Ú (6, 0)인 경우 : 1+1+1+1+1+1의 1가지

Û (4, 1)인 경우 : 1+1+1+1+2, 1+1+1+2+1,

1+1+2+1+1,  1+2+1+1+1,  2+1+1+1+1의

(0, 3)이다.

5가지

Ü (2, 2)인 경우 : 1+1+2+2, 1+2+1+2, 1+2+2+1,

2+2+1+1, 2+1+2+1, 2+1+1+2의 6가지

Ý (0, 3)인 경우 : 2+2+2의 1가지

따라서 구하는 경우의 수는 1+5+6+1=13 

   13

1041   전구 한 개로 만들 수 있는 신호는 켜지는 경우와 꺼지는 경
우의 2가지이므로 전구 4개로 만들 수 있는 신호는

2_2_2_2=16(가지)

이때 전구가 모두 꺼진 경우는 신호로 보지 않으므로 만들 수

있는 신호는 16-1=15(가지) 

 15가지







1044  Ú a`

인 경우 : b, c, d, e를 한 줄로 세우는 경

우의 수와 같으므로 4_3_2_1=24

Û b`

인 경우 : a, c, d, e를 한 줄로 세우는 경

`

`

`

`

`

`

우의 수와 같으므로 4_3_2_1=24



Ú, Û에서 a, b가 맨 앞에 오는 문자의 배열은

24+24=48(개)이고 48번째 단어는 bedca이다.

즉 49번째 단어부터 c가 맨 앞에 오므로 49번째부터 문자의

배열은 다음과 같다.

cabde, cabed, cadbe, cadeb
49번째 50번째 51번째 52번째

따라서 52번째에 나오는 문자의 배열은 cadeb이다.   

 cadeb

1045  Ú D





인 경우의 수 : D는 항상 C 앞에 서게 되고

3명을 한 줄로 세우면 되므로

3_2_1=6

Û

D



인 경우의 수 : 맨 앞자리에는 C를 제외한 2

명 중 1명이 올 수 있고, 뒤의 두 자리에는 나머지 2명을

한 줄로 세우면 되므로

2_(2_1)=4

Ü



D

인 경우의 수 : C의 자리는 맨 뒤로 고정되

고 앞의 두 자리에는 나머지 2명을 한 줄로 세우면 되므로

Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는

2_1=2

6+4+2=12 

 12

1046  Ú 1`
Û 2`


인 경우:4_3=12(개)

인 경우:4_3=12(개)

Ü 3`

인 경우:4_3=12(개)







1042  Ú A → C → B → D → A로 이동하는 경우의 수 :

Ú ~ Ü에서 백의 자리의 숫자가 1, 2, 3일 때의 자연수의 개

Û A → D → B → C → A로 이동하는 경우의 수 :

따라서 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, 37번째 수는 401,

수는 12+12+12=36(개)이고 36번째 수는 342이다.

38번째 수는 402, 39번째 수는 403, 40번째 수는 410이다. 

1_2_2_3=12

3_2_2_1=12

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 12+12=24 

   24

 

 410

9. 경우의 수  |  89



















 





















1047  3가지 색으로 네 부분이 구분되도록 색을 칠하려면 이웃하지

이때 한 직선 위에 있는 세 점 A, B, C를 선택하는 경우의 수

않은 A와 C를 같은 색으로 칠해야 한다.

는 1

4가지 색 중 3가지 색을 선택하는 경우의 수는

또 한 직선 위에 있는 네 점 D, E, F, G 중 3개의 점을 선택하

=4

4_3_2
3_2_1
A, C → B → D의 순서로 선택한 3가지 색을 칠하는 경우의



는 경우의 수는

4_3_2
3_2_1

=4

수는 3_2_1=6

따라서 구하는 경우의 수는

4_6=24 

 

 24





































1048   파티에 참석한 사람 수를 n명이라 하면

n_(n-1)
2_1

=36에서 n_(n-1)=72

9_8=72이므로 n=9

따라서 미진이는 자신을 제외한 8명의 사람과 악수를 하게

되는데 지금까지 4번의 악수를 하였으므로 앞으로

8-4=4(번)의 악수를 더 해야 한다. 

 

 4번

1049  16강전에서 한 개의 조가 치른 경기의 수는 4명 중에서 자격

이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로





=6(번)

4_3
2_1
4개 조 모두 6번씩 경기를 치르므로 16강전에서 조별 경기의

수는 4_6=24(번)

4+2+1=7(번)

다음 그림에서 8강전부터 치른 경기의 수는

1번
2번
4번

따라서 우승팀이 결정될 때까지 16개 팀이 치른 모든 경기의

수는

24+7=31(번) 

 

 31번

1050  9개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수는

=84

9_8_7
3_2_1
이때 한 직선 위에 있는 3개의 점을 선택하는 경우의 수는 8

따라서 구하는 삼각형의 개수는

84-8=76 

 76

1051  A, B, C, D, E, F, G 7개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는

경우의 수는

7_6_5
3_2_1

=35

90  |  정답과 해설





























































따라서 구하는 삼각형의 개수는

35-(1+4)=30 

 

 30

1052  7개의 점 중에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수는

=21

7_6
2_1
지름 위에 있는 4개의 점 중에서 2개의 점을 선택하는 경우의

수는

=6

4_3
2_1
이때 지름 위에 있는 4개의 점으로 만들 수 있는 직선은 1개

따라서 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수는

21-6+1=16이므로 a=16



7개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수는

=35

7_6_5
3_2_1
이때 지름 위에 있는 4개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는

경우의 수는

4_3_2
3_2_1

=4

따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는

35-4=31이므로 b=31

∴ a+b=16+31=47  

 47

1053   만들 수 있는 직사각형의 개수는 세로줄 5개 중 2개를 선택하

고, 가로줄 5개 중 2개를 선택하는 경우의 수와 같으므로

5_4
2_1

_

5_4
2_1

=100

이때 만들어지는 정사각형의 개수를 구해 보면

Ú 가장 작은 정사각형 1개( )로 만들어지는 경우 :

4_4=16(개)

3_3=9(개)

Û 가장 작은 정사각형 4개`

로 만들어지는 경우 :

{ 

 }

Ü 가장 작은 정사각형 9개`

로 만들어지는 경우 :

{ 

 }

2_2=4(개)

Ý 가장 큰 정사각형은 1개

Ú ~ Ý에서 구하는 정사각형의 개수는

16+9+4+1=30

따라서 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는

100-30=70 

 

 70

10

확률확률확률확률

STEP

1

기초 Build

1054  2_2=4

1055   1

1056   ;4!;

1057

=


;3!;

;1°5;

1058

=


;3@;

;1!5);

=


;5!;

;2¢0;

=


;1£0;

;2¤0;

=


;5@;

;2¥0;











1065   ;9%;

다.

이다.

1059  5의 배수는 5, 10, 15, 20의 4개이므로 구하는 확률은

1074  한 개의 동전에서 뒷면이 나올 확률은

이므로 구하는 확률

1060  18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18의 6개이므로 구하는 확률은

1061  소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 8개이므로 구하는 확률은

주사위에서 3 이상의 눈이 나올 확률은

=

;6$;

;3@;

1075  동전에서 앞면이 나올 확률은

;2!;

1062  4의 약수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 4의 3가지이므로 구하

는 확률은

=


;2!;

;6#;

1076  동전에서 뒷면이 나올 확률은

;2!;

1063  7의 눈은 나올 수 없으므로 구하는 확률은 0이다.

 0

주사위에서 2 이하의 눈이 나올 확률은

=

;6@;

;3!;

1064   주사위의 눈의 수는 모두 6 이하이므로 구하는 확률은 1이다.

p.187, 189

1070  3의 배수인 경우는 3, 6, 9, 12의 4가지이므로 구하는 확률은

1071  5의 배수인 경우는 5, 10의 2가지이므로 구하는 확률은

1069   15, 5, 10, 15, 3, ;5!;, ;5!;, ;5$;

=


;3!;

;1¢2;

=


;6!;

;1ª2;

1072

+

=

=


;2!;

;6#;

;6!;

;3!;

1073  한 개의 동전에서 앞면이 나올 확률은

이므로 구하는 확률

;2!;

;2!;

 4

 ;3!;

 ;3@;

 ;5!;

 ;1£0;

 ;5@;

 ;2!;

 1

 0

 1























_

_

=


;8!;

;2!;

;2!;

;2!;



_

_

=


;8!;

;2!;

;2!;

;2!;

따라서 구하는 확률은

_

=


;3!;

;3@;

;2!;

따라서 구하는 확률은

_

=


;6!;

;3!;

;2!;

1077

_

=


;1¢0»0;

;1¦0;

;1¦0;

1078

_

=


;1¦5;

;9^;

;1¦0;

1079

_


;5#;=;2»5;

;5#;

 ;3!;

 ;6!;

 ;2!;

 ;8!;

 ;8!;

 ;3!;

 ;6!;

 ;1¢0»0;

 ;1¦5;

 ;2»5;

 ;1£0;

10. 확률  |  91

1066   녹색 공은 주머니에 들어 있지 않으므로 구하는 확률은 0이

1067   주머니에는 빨간 공과 파란 공만 있으므로 구하는 확률은 1

1068  1-

=


;1¦0;

;1£0;

 ;1¦0;

1080

_

=


;1£0;

;4@;

;5#;

1081   ;8!;

=


;2!;

;8$;

=


;4!;

;8@;

=


;2!;

;8$;

1082  2의 배수는 2, 4, 6, 8의 4개이므로 구하는 확률은

1083  7 이상의 수는 7, 8의 2개이므로 구하는 확률은

1084  소수는 2, 3, 5, 7의 4개이므로 구하는 확률은

1089  두 자리의 자연수의 개수는 6_5=30


이때 50 이상인 자연수는 십의 자리의 숫자가 5 또는 6인 경

우이다.

Ú 5 인 경우:51, 52, 53, 54, 56의 5개

Û 6 인 경우:61, 62, 63, 64, 65의 5개

Ú, Û 에서 50 이상인 경우의 수는 5+5=10

따라서 구하는 확률은

=


;3!;

;3!0);

 ;3!;

1090  모든 경우의 수는 4_3_2_1=24


키 순서대로 서는 경우의 수는 2

따라서 구하는 확률은

=


;1Á2;

;2ª4;

 ;1Á2;

1091  모든 경우의 수는

4_3
2_1

=6

준석이가 대표로 뽑히는 경우는 (준석, 경희), (준석, 현주),

(준석, 성헌)의 3가지

STEP

2

적중유형 Drill

p.190~p.201

따라서 구하는 확률은

=


;2!;

;6#;

 ;2!;

1085  모든 경우의 수는 6_6=36


두 눈의 수의 합이 9인 경우는 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)

1092  두 자리의 자연수의 개수는 4_4=16


이때 짝수는 일의 자리의 숫자가 0 또는 2 또는 4인 경우이다.

의 4가지

따라서 구하는 확률은

=


;9!;

;3¢6;

1086  모든 경우의 수는 4+5=9


흰 바둑돌이 나오는 경우의 수는 4

따라서 구하는 확률은



;9$;

1087  모든 경우의 수는 2_2_2_2=16


윷가락의 볼록한 면을 등, 평편한 면을 배라 하면

Ú

Û

Ü

0인 경우:10, 20, 30, 40의 4개

2인 경우:12, 32, 42의 3개

4인 경우:14, 24, 34의 3개

Ú~Ü 에서 짝수인 경우의 수는 4+3+3=10

따라서 구하는 확률은

=


;8%;

;1!6);

 ;8%;

1093  모든 경우의 수는 6_5_4_3_2_1=720


E인 경우의 수 : 4_3_2_1=24

Ú A

Û E

A인 경우의 수 : 4_3_2_1=24

Ú, Û 에서 A, E가 양 끝에 서는 경우의 수는

도가 나오는 경우는 (등, 등, 등, 배), (등, 등, 배, 등),

24+24=48

(등, 배, 등, 등), (배, 등, 등, 등)의 4가지

따라서 구하는 확률은

=


;4!;

;1¢6;

 ;4!;

따라서 구하는 확률은

;7¢2¥0;

=


;1Á5;

 ;1Á5;

1088  모든 경우의 수는 2_2_2_2=16


9점이 되는 경우는 3점이 1번, 2점이 3번, 즉 앞면이 1번, 뒷

면이 3번 나오는 경우이므로 (앞, 뒤, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 뒤),

(뒤, 뒤, 앞, 뒤), (뒤, 뒤, 뒤, 앞)의 4가지

1094  모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120


여학생끼리 이웃하여 서는 경우의 수는

(4_3_2_1)_2=48

따라서 구하는 확률은

;1¢2¥0;

=


;5@;

 ;5@;

따라서 구하는 확률은

=


;4!;

;1¢6;

 ;4!;

 참고   점수가 9점이 될 때, 앞면이 나온 횟수를 x번이라 하면 뒷면

1095  모든 경우의 수는

6_5
2_1

=15

이 나온 횟수는 (4-x)번이므로

재학생 3명 중 대표 2명을 뽑는 경우의 수는

3_2
2_1

=3

3_x+2_(4-x)=9에서 3x+8-2x=9  ∴ x=1

즉 앞면이 1번, 뒷면이 3번 나오면 9점이 된다.

따라서 구하는 확률은

=


;5!;

;1£5;

 ;5!;

92  |  정답과 해설

 ;2!;

 ;4!;

 ;2!;

 ;9!;

 ;9$;



























































 

 

 









































1096

=

에서 9+x=12

;3!;

4
5+4+x

∴ x=3

따라서 두 눈의 수의 합이 3 이상일 확률은

 3

1-

=


;3#6%;

;3Á6;

 

;3#6%;

1097  노란 공의 개수를 x개 하면


전체 공의 개수는 4+5+x=x+9

이때 빨간 공이 나올 확률이

이므로

;7@;

4
x+9 =
2x=10  ∴ x=5

;7@;

에서 2(x+9)=28

1103  1-

=

;1¢0¼0;

;1¤0¼0;

, 즉

;1¤0¼0;

_100=60(%)

 60 %

1104  불량품이 나올 확률은

이므로

;10&0;

합격품이 나올 확률은 1-

;10&0;

=


;1»0£0;

 

;1»0£0;

따라서 노란 공의 개수는 5이다.

 5

1105  모든 경우의 수는 6_6=36


2a-b=3을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 1), (3, 3),

1098  모든 경우의 수는 12_11=132


이때 남학생 수를 x명이라 하면 회장과 총무가 모두 남학생

(4, 5)의 3가지이므로 그 확률은

=

;3£6;

;1Á2;

따라서 2a-b+3일 확률은

이 되는 경우의 수는 x(x-1)이고 그 확률이

이므로

;3°3;

1-

=


;1!2!;

;1Á2;

 

;1!2!;

x(x-1)
132

=

;3°3;

x(x-1)=20

에서 33x(x-1)=660

이때 5_4=20이므로 x=5

따라서 남학생 수는 5명이다.

1099  ④ 사건 A가 반드시 일어나면 q=0이다.

 ④

1106  모든 경우의 수는

5_4
2_1

=10

두 명 모두 여학생이 뽑히는 경우의 수는 1이므로 그 확률은

 5명

;1Á0;

따라서 적어도 한 명은 남학생이 뽑힐 확률은

1-

=


;1»0;

;1Á0;

 

;1»0;

1100  ①

=

;2!;

;6#;

② 모든 경우의 수는 2_2=4

  모두 앞면이 나오는 경우는 (앞, 앞)의 1가지이므로 구하

1107  모든 경우의 수는 2_2_2=8


동전 3개 모두 앞면이 나오는 경우의 수는 1이므로 그 확률

③ 두 눈의 수의 합은 항상 2 이상이므로 구하는 확률은 1이

따라서 적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률은

  는 확률은

;4!;

다.



;8!;

1-

=


;8&;

;8!;

④ 흰 공은 없으므로 구하는 확률은 0이다.

⑤ 모든 경우의 수는 3_3=9

  비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가

1108  모든 경우의 수는 6_6=36


두 주사위 모두 짝수의 눈이 나오는 경우의 수는 3_3=9이

  지이므로 구하는 확률은

=


;3!;

;9#;

 ③

므로 그 확률은

=

;4!;

;3»6;

따라서 적어도 하나는 홀수의 눈이 나올 확률은

1101  ㉠, ㉡, ㉢ p, q는 각각 확률이므로 0ÉpÉ1, 0ÉqÉ1


㉣ p=0이면 사건 A가 일어날 확률이 0이므로 사건 A는 절

1-

=


;4#;

;4!;

대로 일어나지 않는다.

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다.

 ㉡, ㉣

1109  모든 경우의 수는 3_2_1=6


3장의 카드가 모두 다른 위치에 있는 경우는 (B, C, A),

1102  모든 경우의 수는 6_6=36


두 눈의 수의 합이 3 미만인 경우, 즉 두 눈의 수의 합이 2인

(C, A, B)의 2가지이므로 그 확률은

=

;6@;

;3!;

따라서 적어도 한 문자는 원래의 위치에 있을 확률은

경우는 (1, 1)의 1가지이므로 그 확률은

;3Á6;

1-

=


;3@;

;3!;

 

;8&;

 

;4#;

 

;3@;

10. 확률  |  93



























































































꺼낸 구슬이 검은 구슬일 확률은

3, 6의 2가지이므로 그 확률은

1110  모든 경우의 수는 6_6=36


두 눈의 수의 차가 2인 경우는 (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5),

1115

_

=


;1Á0;

;5@;

;4!;

 

;1Á0;

(4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)의 8가지이므로 그 확률은

;3¥6;

두 눈의 수의 차가 4인 경우는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)

1116  토요일에 비가 올 확률은

=

;1£0¼0;

;1£0;

일요일에 비가 올 확률은

;1°0¼0;

=

;2!;

따라서 구하는 확률은

_

=

;2!;

;2£0;

;1£0;

의 4가지이므로 그 확률은

;3¢6;

따라서 구하는 확률은

+

=

=


;3!;

;3!6@;

;3¢6;

;3¥6;

1111  전체 구슬의 개수는 5+6+7=18이므로

꺼낸 구슬이 파란 구슬일 확률은

;1°8;

;1¦8;

따라서 구하는 확률은

+

=

=


;3@;

;1!8@;

;1¦8;

;1°8;

다른 풀이 

(파란 구슬 또는 검은 구슬일 확률)

=1-(빨간 구슬일 확률)

=1-

=

=

;3@;

;1!8@;

;1¤8;

1112  혈액형이 A형일 확률은

;3!5#;

;3!5@;

혈액형이 B형일 확률은

따라서 구하는 확률은

+

=

=


;7%;

;3@5%;

;3!5@;

;3!5#;

 

;3!;



;2£0;

_100=15`(%)

 15 %

1117  한 개의 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은
;2!;

한 개의 주사위를 던질 때 3의 배수의 눈이 나오는 경우는

 

;3@;

=

;3!;

;6@;

따라서 구하는 확률은

_

_

_

=


;3Á6;

;3!;

;3!;

;2!;

;2!;

1118  두 주머니에서 꺼낸 공이 모두 흰 공이 아닐 확률은

따라서 적어도 한 개는 흰 공일 확률은

_

=

;7@;

;6$;

;7#;

1-

=


;7%;

;7@;

1119  둘 다 진품이 아닐 확률은

1-

_

1-

;4!;}

{

=

;4#;

_

;5@;

=

;1£0;

;5#;}

{

따라서 적어도 하나는 진품일 확률은

 

;3Á6;

 

;7%;

 

;1¦0;

 

;1!5!;

 

;7%;

;2°0;

;2¢0;

1113  4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20의 5개이므로 그 확률은

1-

=


;1¦0;

;1£0;

5의 배수는 5, 10, 15, 20의 4개이므로 그 확률은

이때 4와 5의 최소공배수인 20의 배수는 20의 1개이므로 그

1120  둘 다 불합격할 확률은

확률은

;2Á0;

따라서 구하는 확률은

1-

_

1-

;5#;}

{

=

;5@;

_

;3@;

=

;1¢5;

;3!;}

{

따라서 적어도 한 사람은 합격할 확률은

+

-

=

=


;5@;

;2¥0;

;2Á0;

;2¢0;

;2°0;

 

;5@;

1-

=


;1!5!;

;1¢5;

1114  한 개의 동전을 던질 때 뒷면이 나올 확률은
;2!;

한 개의 주사위를 던질 때 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3,

5의 3가지이므로 그 확률은

=

;6#;

;2!;

따라서 구하는 확률은

_

_

=


;8!;

;2!;

;2!;

;2!;

94  |  정답과 해설

1121  둘 다 공을 넣지 못할 확률은

1-

{

_

1-

;1£0¼0;}

{

;1¢0¼0;}

=

_

=

;5#;

;1¦0;

;5@0!;

따라서 적어도 한 사람은 공을 넣을 확률은

1-

=

;5@0!;

;5@0(;

 

;8!;



;5@0(;

_100=58`(%)

 58 %



























































































1122  Ú A 주머니에서 흰 공이 나오고 B 주머니에서 검은 공이

1127  3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15의 5개이므로 첫 번째에 3의 배수

나올 확률은

_

=

;4!;

;6@;

;2ª4;

가 적힌 카드가 나올 확률은

=

;3!;

;1°5;

Û A 주머니에서 검은 공이 나오고 B 주머니에서 흰 공이

소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6개이므로 두 번째에 소수가 적

이때 a+b가 짝수인 경우는 a, b 모두 짝수이거나 a, b 모두

1130  첫 번째에 흰 돌이 나오고 두 번째에 검은 돌이 나올 확률은

나올 확률은

_

=

;6$;

;4#;

;2!4@;

Ú, Û에서 구하는 확률은

+

=

=


;1¦2;

;2!4$;

;2!4@;

;2ª4;

1123   임의로 한 주머니를 선택할 확률은
;2!;

이므로

Ú A 주머니에서 흰 공이 나올 확률은

_


;2!;

;7#;

=

;1£4;

Û B 주머니에서 흰 공이 나올 확률은

_


;2!;

;8$;

=

;4!;

Ú, Û에서 구하는 확률은

+

=

+

=


;2!8#;

;2¦8;

;2¤8;

;4!;

;1£4;

1124  a가 짝수일 확률은 1-

b가 짝수일 확률은 1-

=

;3@;

;3!;

=

;5@;

;5#;

홀수인 경우이다.

Ú a, b가 모두 짝수일 확률은

_


;3!;

;5#;

=

;1£5;

Û a, b가 모두 홀수일 확률은

_


;3@;

;5@;

=

;1¢5;

Ú, Û에서 구하는 확률은

+

=


;1¦5;

;1¢5;

;1£5;

 

;1¦2;

 

;2!8#;

힌 카드가 나올 확률은

=

;5@;

;1¤5;

따라서 구하는 확률은

_

=


;1ª5;

;5@;

;3!;

 

;1ª5;

1128  첫 번째에 노란 구슬이 나올 확률은
;6$;

=

;3@;

두 번째에 노란 구슬이 나올 확률은
;5#;

따라서 구하는 확률은

_

=


;5@;

;5#;

;3@;

 

;5@;

1129  ⑴ A가 당첨 제비를 뽑지 못할 확률은

;1¦0;

  B가 당첨 제비를 뽑지 못할 확률은
;9^;

=

;3@;

  따라서 구하는 확률은

_

=

;3@;

;1¦5;

;1¦0;

⑵ (적어도 한 사람은 당첨 제비를 뽑을 확률)

  =1-(두 사람 모두 당첨 제비를 뽑지 못할 확률)

  =1-

=

;1¦5;

;1¥5;

 ⑴ 

  ⑵ 

;1¦5;

;1¥5;

첫 번째에 검은 돌이 나오고 두 번째에 흰 돌이 나올 확률은

_

=

;4!;

;2!4);

;2!5%;

_

=

;4!;

;2!4%;

;2!5);

따라서 구하는 확률은

+

=

=


;2!;

;4@;

;4!;

;4!;

 

;2!;

 

;1¦5;

1131  A 문제를 틀릴 확률은 1-

B 문제를 틀릴 확률은 1-

=

;4!;

;4#;

=

;5!;

;5$;

∴ (두 문제 중 한 문제만 맞힐 확률)

=( A 문제만 맞힐 확률)+( B 문제만 맞힐 확률)

1125  A가 당첨 제비를 뽑을 확률은
;7#;



B가 당첨 제비를 뽑을 확률은

;7#;

따라서 구하는 확률은

_

=


;4»9;

;7#;

;7#;

 

;4»9;

1126  첫 번째에 흰 구슬이 나올 확률은
;9^;

=

;3@;

두 번째에 흰 구슬이 나올 확률은
;9^;

=

;3@;

=

_

+

;4!;

;5!;

;4#;

_

;5$;

=

+

=


;2¦0;

;2¢0;

;2£0;

1132  두 문제 모두 틀릴 확률은

1-

_

1-

;3@;}

{

;5#;}

=

{

;3!;_;5@;=;1ª5;

따라서 적어도 한 문제는 맞힐 확률은

따라서 구하는 확률은

_

=


;9$;

;3@;

;3@;

 

;9$;

1-

=


;1!5#;

;1ª5;

 

;2¦0;

 

;1!5#;

10. 확률  |  95

















































1133  Ú A, B만 문제를 맞힐 확률은

1139  (적어도 한 선수는 명중시킬 확률)


=1-(두 선수 모두 명중시키지 못할 확률)











































=1-

1-

{

_

1-

;3@;}

{

;4#;}

=1-

_

;4!;

;3!;

=1-

=


;1!2!;

;1Á2;

_


;2!;

;3!;

_

{

1-

;4#;}

=

;2!;

_

;3!;

_

;4!;

=

;2Á4;

Û A, C만 문제를 맞힐 확률은


;2!;

_

1-

{

;3!;}_;4#;=;2!;

_

_

=

;4#;

;3@;

;2¤4;

Ü B, C만 문제를 맞힐 확률은

1-


{

;2!;}

_

;3!;

_

;4#;

=

;2!;

_

;3!;

_

;4#;

=

;2£4;

Ú ~ Ü에서 구하는 확률은

+

+

=

=


;1°2;

;2!4);

;2£4;

;2¤4;

;2Á4;

 

;1!2!;

 

;1»0;

 

;1°2;

1140  (참새가 총에 맞을 확률)


=(적어도 한 명이 명중시킬 확률)

=1-(세 명 모두 명중시키지 못할 확률)

=1-

1-

{

_

1-

;5@;}

{

;2!;}

_

1-

{

;3@;}

=1-

_

;2!;

;5#;

_

;3!;

=1-

=


;1»0;

;1Á0;

1134  ◯, _ 문제를 한 문제 맞힐 확률은
;2!;

이므로 5개의 문제 중

첫 번째 문제만 맞힐 확률은

_

_

_

_

=

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;3Á2;

도 각각

이다.

;3Á2;

이때 두 번째, 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 문제만 맞힐 확률

따라서 구하는 확률은

_5=


;3°2;

;3Á2;

 

;3°2;

1141  모든 경우의 수는 3_3=9


두 사람이 비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)

의 3가지이므로 그 확률은

=

;9#;

;3!;

∴ (승부가 결정될 확률)=1-(두 사람이 비길 확률)

=1-

=


;3@;

;3!;

 

;3@;

1135   두 사람이 만날 확률은

_

=

;5@;

;4#;

;1£0;

따라서 두 사람이 만나지 못할 확률은

1-

=


;1¦0;

;1£0;

지혁이가 약속 장소에 나갈 확률은 1-

따라서 두 사람이 약속 장소에서 만날 확률은

=


;5@;

;5#;

=

;8#;

;8%;

1136  선희가 약속 장소에 나갈 확률은 1-

 (바위, 가위), (바위, 보), (보, 가위), (보, 바위)의 6가지이

 

;1¦0;

1142  ⑴ 모든 경우의 수는 3_3=9


 서로 다른 것을 내는 경우는 (가위, 바위), (가위, 보),

 므로 그 확률은

=

;3@;

;9^;

⑵ 비길 확률은

=

이고,

;9#;

;3!;

 구하는 확률은

_

_

=

;3@;

;3!;

;3!;

;2ª7;

_

=


;2£0;

;8#;

;5@;

 

;2£0;

 승부가 결정될 확률은 1-

=

;3@;

;3!;

이므로

1137  이번 일요일에 비가 오지 않을 확률은 1-

;3!;=;3@;

이번 일요일에 두 사람이 함께 봉사 활동을 가는 경우는 비가

오지 않고 성진이와 지현이가 모두 약속을 지키는 경우이므

로 구하는 확률은

_

_

=


;1¢5;

;2!;

;5$;

;3@;

 

;1¢5;

1138   (풍선이 터질 확률)


=(적어도 한 사람이 풍선을 맞힐 확률)

=1-(두 사람 모두 풍선을 맞히지 못할 확률)

=1-

1-

{

_

1-

;5@;}

{

;4#;}

 ⑴ 

  ⑵ 

;3@;

;2ª7;

1143  모든 경우의 수는 3_3_3=27


세 사람이 가위바위보를 내는 경우를 순서쌍

(성아, 주경, 경진)으로 나타내면 성아가 이기는 경우는 다음

과 같다.

Ú 성아 혼자 이기는 경우

(가위, 보, 보), (바위, 가위, 가위), (보, 바위, 바위)의 3가지

Û 성아와 주경이가 함께 이기는 경우

(가위, 가위, 보), (바위, 바위, 가위), (보, 보, 바위)의 3가지

Ü 성아와 경진이가 함께 이기는 경우





 

;2!0&;

(가위, 보, 가위), (바위, 가위, 바위), (보, 바위, 보)의 3가지





=1-

_

;4!;

;5#;

=1-

=


;2!0&;

;2£0;

96  |  정답과 해설



















































































_

_











_





_









_

_

Ú ~ Ü에서 성아가 이기는 경우는 3+3+3=9(가지)이므로

그 확률은

=

;3!;

;2»7;

따라서 성아가 연속으로 두 번 이길 확률은

 

;9!;

1144  비가 오지 않은 날의 다음 날에 비가 오지 않을 확률은

비가 온 날을 ◯, 비가 오지 않은 날을 _로 표시하면 월요일

에 비가 오지 않았을 때, 같은 주 수요일에 비가 오는 경우는

_

=


;9!;

;3!;

;3!;

1-

=

;4#;

;4!;

다음과 같다.













_

_



_



_



_

_



확률



_

_

=

;4#;

;5$;

;5!;

;2£5;

_

_

;4!;

;5$;

;5$;

=

;2¢5;

_

_

=

;4!;

;4#;

;5$;

;2£0;

따라서 구하는 확률은

+

+

=

;1Á0ª0;

+

;1Á0¤0;

+

;1Á0°0;

=


;1¢0£0;

;2£0;

;2¢5;

;2£5;

 

;1¢0£0;

확률

_

=

;3!;

;4!;

;1Á2;

_

=

;4!;

;4#;

;1£6;

1147  오른쪽 그림에서


OAÓ=ABÓ=BCÓ=a라 하면







과녁 전체의 넓이는

p_(3a)Û`=9aÛ`p

9점 영역의 넓이는



p_(2a)Û`-p_aÛ`=4aÛ`p-aÛ`p=3aÛ`p

따라서 구하는 확률은

3aÛ`p
9aÛ`p

=



;3!;

8

9 10

O

A B

C

따라서 구하는 확률은

+

=

+

=


;4!8#;

;4»8;

;4¢8;

;1£6;

;1Á2;

 

;4!8#;

1145  숙제를 한 날의 다음 날에 숙제를 하지 않을 확률은

1148  9등분된 것 중 색칠한 부분이 네 부분이므로 구하는 확률은

1-

=

;5$;

;5!;

1-

=

;6!;

;6%;

숙제를 하지 않은 날의 다음 날에 숙제를 하지 않을 확률은

숙제를 한 날을 ◯, 숙제를 하지 않은 날을 _로 표시하면 화

요일에 숙제를 했을 때, 같은 주 목요일에 숙제를 하지 않는

경우는 다음과 같다.

이다.

;9$;

1149

_

=


;2!;

;3@;

;4#;

1150  모든 경우의 수는 6_6=36
-a+2b=2에서 a=2b-2


이 식을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 2), (4, 3), (6, 4)의

확률

_

=

;5$;

;5!;

;2¢5;

_

=

;6!;

;5$;

;1ª5;

3가지

따라서 구하는 확률은


;3£6;=;1Á2;

 

;7@5@;

1151  모든 경우의 수는 6_6=36


3a<b+5에서 b>3a-5

이 식을 만족하는 순서쌍 (a, b)는

Ú a=1일 때, b>-2이므로

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)의 6가지





(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)의 5가지

Ü a=3일 때, b>4이므로 (3, 5), (3, 6)의 2가지

Ú ~ Ü에서 순서쌍 (a, b)는 6+5+2=13(가지)

따라서 구하는 확률은



;3!6#;

 ;3!6#;

10. 확률  |  97

따라서 구하는 확률은

+

=

+

=


;7@5@;

;7!5);

;7!5@;

;1ª5;

;2¢5;

1146  지각한 날의 다음 날에 지각하지 않을 확률은

1-

=

;5$;

;5!;

1-

=

;4!;

;4#;

지각한 날을 ◯, 지각하지 않은 날을 _로 표시하면 월요일에

지각을 했을 때, 같은 주 화요일부터 목요일까지 한 번만 지

각하는 경우는 다음과 같다.

지각하지 않은 날의 다음 날에 지각하지 않을 확률은

Û a=2일 때, b>1이므로

 

;3!;

 

;9$;

 

;2!;

 ;1Á2;































(4, 6)의 4가지이므로 두 직선이 평행할 확률은

=

;9!;

;3¢6;

즉 앞면이 2번, 뒷면이 2번 나올 확률을 구하면 된다.

따라서 두 직선이 한 점에서 만날 확률은

앞면이 2번, 뒷면이 2번 나오는 경우는

1152  모든 경우의 수는 6_6=36


x=2, y=1을 ax+by=8에 대입하면 2a+b=8

이 식을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 6), (2, 4), (3, 2)의

3가지

따라서 구하는 확률은

=


;1Á2;

;3£6;

따라서 구하는 확률은


;1»0;

다른 풀이 

모든 경우의 수는

5_4_3
3_2_1

=10

 

;1»0;

삼각형이 만들어지지 않는 경우는 (5`cm, 7`cm, 12`cm)의

1153  모든 경우의 수는 6_6=36


두 직선 y=3x-2와 y=mx-n이 평행하려면 기울기는 같

1-

=

;1Á0;

;1»0;

 ;1Á2;

1가지이므로 그 확률은

;1Á0;

따라서 삼각형이 만들어질 확률은































































































고 y절편은 달라야 하므로

3=m, -2+-n, 즉 m=3, n+2

따라서 순서쌍 (m, n)은 (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5),

(3, 6)의 5가지이므로 구하는 확률은


;3°6;

 

;3°6;

1154  모든 경우의 수는 6_6=36


(a+2)x+y+2=0에서 y=-(a+2)x-2

bx+y-3=0에서 y=-bx+3

y절편이 다른 두 직선이 한 점에서 만나지 않으려면 두 직선

이 평행해야 하므로

-(a+2)=-b, 즉 a+2=b

이 식을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (2, 4), (3, 5),

1-

=


;9*;

;9!;

1155  모든 경우의 수는

4_3_2
3_2_1

=4

삼각형이 만들어지는 경우는 (3 cm, 4 cm, 6 cm),

(4 cm, 6 cm, 9 cm)의 2가지

따라서 구하는 확률은

=



;2!;

;4@;

1156   모든 경우의 수는

5_4_3
3_2_1

=10

 

;9*;

 

;2!;

삼각형이 만들어지는 경우는 (2 cm, 3 cm, 4 cm),

(2 cm, 4 cm, 5 cm), (3 cm, 4 cm, 5 cm)의 3가지

따라서 구하는 확률은


;1£0;

 

;1£0;

1157   모든 경우의 수는

5_4_3
3_2_1

=10

삼각형이 만들어지는 경우는 (5`cm, 7 cm, 8 cm),

(5 cm, 7 cm, 11 cm), (5 cm, 8 cm, 11 cm),

(5 cm, 8 cm, 12 cm), (5 cm, 11 cm, 12 cm),

(7 cm, 8 cm, 11 cm), (7 cm, 8 cm, 12 cm),

98  |  정답과 해설

1158  모든 경우의 수는 2_2_2=8


앞면이 x번 나오면 뒷면이 (3-x)번 나오므로

x-(3-x)=-1에서 x=1

즉 앞면이 1번, 뒷면이 2번 나올 확률을 구하면 된다.

앞면이 1번, 뒷면이 2번 나오는 경우는 (앞, 뒤, 뒤),

(뒤, 앞, 뒤), (뒤, 뒤, 앞)의 3가지

따라서 구하는 확률은



;8#;

 

;8#;

1159  모든 경우의 수는 2_2_2_2=16


앞면이 x번 나오면 뒷면이 (4-x)번 나오므로

2_x-(4-x)=2에서 x=2

(앞, 앞, 뒤, 뒤), (앞, 뒤, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 뒤, 앞),



(뒤, 앞, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 앞), (뒤, 뒤, 앞, 앞)의 6가지

따라서 구하는 확률은

=


;8#;

;1¤6;

 

;8#;

1160  모든 경우의 수는 2_2_2_2=16


이때 점 P가 꼭짓점 B에 오게 되는 경우는 뒷면이 1개 또는

4개 나오는 경우이다.

Ú 뒷면이 1개, 앞면이 3개 나오는 경우



(앞, 앞, 앞, 뒤), (앞, 앞, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞), (뒤, 앞,

앞, 앞)의 4가지이므로 그 확률은

;1¢6;

Û 뒷면이 4개 나오는 경우

(뒤, 뒤, 뒤, 뒤)의 1가지이므로 그 확률은

;1Á6;

Ú, Û에서 구하는 확률은

+

=


;1°6;

;1Á6;

;1¢6;

 

;1°6;

1161  모든 경우의 수는 6_6=36


이때 점 P가 꼭짓점 D에 오게 되는 경우는 두 눈의 수의 합이

(7 cm, 11 cm, 12 cm), (8 cm, 11 cm, 12 cm)의 9가지

3 또는 7 또는 11인 경우이다.

Ú 두 눈의 수의 합이 3인 경우 : (1, 2), (2, 1)의 2가지이므

p.202~p.204

STEP

3

심화유형 Master

로 그 확률은

;3ª6;

Û 두 눈의 수의 합이 7인 경우 : (1, 6), (2, 5), (3, 4),

(4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지이므로 그 확률은

;3¤6;

Ü 두 눈의 수의 합이 11인 경우 : (5, 6), (6, 5)의 2가지이

4_3
2_1

=6

1165   모든 경우의 수는 6_5_4_3_2_1=720


부모 사이에 설 자녀 두 명을 선택하는 경우의 수는













































므로 그 확률은

;3ª6;

Ú ~ Ü에서 구하는 확률은

+

+

=

=


;1°8;

;3!6);

;3ª6;

;3¤6;

;3ª6;

 ;1°8;

1162  2의 약수는 1, 2의 2가지이므로

2의 약수의 눈이 나올 확률은

=

;6@;

;3!;

2의 약수의 눈이 나오지 않을 확률은 1-

=


;3@;

;3!;

Ú A가 1회에서 이길 확률 : 1회에 2의 약수의 눈이 나오면

되므로

;3!;

Û A가 3회에서 이길 확률 : 1회, 2회에 2의 약수의 눈이 나

오지 않고 3회에 2의 약수의 눈이 나오면 되므로

_


;3@;

;3@;

_

;3!;

=

;2¢7;

Ú, Û에서 구하는 확률은

+

=

+

=


;2!7#;

;2¢7;

;2»7;

;2¢7;

;3!;

1163   민서가  3회에서  이기는  경우를

표로 만들면 오른쪽과 같다.

따라서 구하는 확률은

_

_

=

;5$;

;6@;

;7#;

;3¢5;

 

;2!7#;

1회

2회

3회



민서 지훈 민서

파란
구슬

파란
구슬

빨간
구슬

 

;3¢5;

는 경우를 표로 만들면 다음과 같다.

4회 5회 6회 7회

확률

B 승 B 승 B 승

_

_

=

;2!;

;2!;

;8!;

;2!;

A 승 B 승 B 승 B 승 ;2!;

_

;2!;

_

;2!;

_

;2!;

=

;1Á6;

B 승 A 승 B 승 B 승 ;2!;_;2!;_;2!;_;2!;=;1Á6;

B 승 B 승 A 승 B 승 ;2!;

_

;2!;

_

;2!;

_

;2!;

=

;1Á6;





































부모와 그 사이에 선 두 명의 자녀를 한 묶음으로 생각하면

3명을 한 줄로 세우는 경우의 수는

3_2_1=6

이때 묶음 안에서 부모가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2, 자녀

끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2이므로 부모 사이에 두 명

의 자녀가 서는 경우의 수는

6_6_2_2=144

따라서 구하는 확률은

;7!2$0$;

=


;5!;

 

;5!;

1166   주어진 6개의 점 중에서 세 점을 이어 삼각형을 만드는 경우

의 수는

-3=17

6_5_4
3_2_1

이때 정삼각형이 되는 경우는 오른쪽
그림에서 △ABC, △BDE,
△BEC, △CEF, △ADF의 5가지
이다.

또 AEÓ를 밑변으로 하는 이등변삼각

형이  되는  경우는  오른쪽  그림에서
△ABE, △ACE의 2가지이고 CDÓ,
BFÓ를  밑변으로  하는  이등변삼각형

A



B

C

D

F

F

E

A

E

B

C

이 되는 경우도 마찬가지로 각각 2가

D

지이다.

따라서 이등변삼각형이 되는 경우의 수는 5+2_3=11이

므로 구하는 확률은


;1!7!;

 

;1!7!;

1167   주머니 속에 들어 있는 전체 구슬의 개수를 x, 파란 구슬의 개

파란 구슬을 꺼낼 확률이

이므로

;5#;

=

에서 3x=5y

;[};

;5#;

이므로

y
x+20

=

에서 3x+60=7y

;7#;

20개의 빨간 구슬을 더 넣으면 파란 구슬을 꺼낼 확률이

㉠을 ㉡에 대입하면 5y+60=7y  ∴ y=30

따라서 파란 구슬의 개수는 30이다.

 30

yy ㉠

;7#;

yy ㉡

10. 확률  |  99

따라서 구하는 확률은

+

;8!;

;1Á6;

+

;1Á6;

+

;1Á6;

=

;1ª6;

+

;1Á6;

+

;1Á6;

+

;1Á6;

=

;1°6;

  

;1°6;

1168   ㉠ 0ÉpÉ1


㉡ 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1-p이다.

1164   B 팀이 우승하려면 먼저 3번을 이겨야 하므로 B 팀이 우승하

수를 y라 하면



























































㉢ 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16

 윷가락의 볼록한 면을 등, 평편한 면을 배라 하면

 Ú 윷이 나오는 경우 : (배, 배, 배, 배)의 1가지이므로 그

1171   시합하는 날 비가 올 확률이 60`%, 즉

이므로 비가 오지

;5#;

Û 모가 나오는 경우 : (등, 등, 등, 등)의 1가지이므로 그

  =(비가 올 때 이길 확률)+(비가 오지 않을 때 이길 확률)













확률은

;1Á6;

확률은

;1Á6;

 Ú, Û에서 윷이 나올 확률과 모가 나올 확률은 같다.

㉣ 모든 경우의 수는 2_2=4

 모두 앞면이 나오는 경우는 (앞, 앞)의 1가지이므로 그 확

㉤ 두 눈의 수의 합은 항상 자연수이므로 구하는 확률은 1이

1172   (두 사람 중 한 사람만 당첨될 확률)


=(유진이만 당첨될 확률)+(경은이만 당첨될 확률)

 률은

;4!;

다.

따라서 옳은 것은 ㉢, ㉤이다.

 ㉢, ㉤

1169   모든 경우의 수는 3_3_3=27


B가 꺼낸 카드에 적힌 숫자가 가장 크려면 B는 5 또는 9가 적

1173  Ú 두 공이 모두 빨간 공일 확률은

않을 확률은 1-

=

;5@;

;5#;

이다.

∴ (이 팀이 이길 확률)

  =

_

+

;5@;

;2!;

;5#;

_

;5#;

  =

+

;1£0;

;2¤5;

  =

+

=


;5@0&;

;5!0@;

;5!0%;

=

_

+

;9&;

;1¦0;

_

;9#;

;1£0;

=

+

=

=


;1¦5;

;3!0$;

;3¦0;

;3¦0;

Û 두 공이 모두 노란 공일 확률은

Ü 두 공이 모두 파란 공일 확률은

_


;9@;

;8!;

=

;7ª2;

_


;9#;

;8@;

=

;7¤2;

_


;9$;

;8#;

=

;7!2@;

Ú ~ Ü에서 두 공이 같은 색일 확률은

+

+

;7¤2;

;7!2@;

=

;7@2);

=

;1°8;

;7ª2;

따라서 두 공이 서로 다른 색일 확률은

이때 A, B, C 세 사람이 꺼낸 카드에 적힌 숫자를 순서쌍

Ú 5가 적힌 카드를 꺼낸 경우 : (1, 5, 3), (1, 5, 4)의 2가지

힌 카드를 꺼내야 한다.

(A, B, C)로 나타내면

이므로 그 확률은

;2ª7;

Û 9가 적힌 카드를 꺼낸 경우 : (1, 9, 3), (1, 9, 4),

(1, 9, 6), (7, 9, 3), (7, 9, 4), (7, 9, 6), (8, 9, 3),

(8, 9, 4), (8, 9, 6)의 9가지이므로 그 확률은

;2»7;

Ú, Û 에서 구하는 확률은

+

=


;2!7!;

;2»7;

;2ª7;

1170   태준이가 두 자연수 a, b를 차례로 적을 때, a, b가 홀수일 확

률은 각각 1-

;3!;=;3@;

, 1-

;5#;=;5@;

이므로

ab가 홀수일 확률은

_

=

;5@;

;3@;

;1¢5;

따라서 ab가 짝수일 확률은 1-

=


;1!5!;

;1¢5;

 

;1!5!;

다른 풀이 

( ab가 짝수일 확률)

=( a, b가 모두 짝수일 확률)+( a가 짝수, b가 홀수일 확률)

+( a가 홀수, b가 짝수일 확률)

=

_

+

;3!;

;5#;

;3!;

_

1-

{

+

1-

;5#;}

{

_

;5#;

;3!;}

=

_

+

_

+

;5@;

;3@;

_

;5#;

;3!;

;5#;

;3!;

=

+

+

;1ª5;

;1¤5;

=

;1!5!;

;1£5;

100  |  정답과 해설

 

;2!7!;

1-

=


;1!8#;

;1°8;

 

;1!8#;

1174  (2발 이하로 총을 쏠 확률)


=(첫 번째에 명중시킬 확률)

+ (첫 번째에 명중시키지 못하고 두 번째에 명중시킬 확률)

=

+

1-

;8%;

{

_

;8%;

;8%;}

=;8%;+;8#;_;8%;

=;8%;+;6!4%;

=;6$4);+;6!4%;

=



;6%4%;

1175   모든 경우의 수는 3_3_3=27


A, B, C 세 사람이 가위바위보를 내는 경우를 순서쌍

(A, B, C)로 나타내면 A만 이기는 경우는 (가위, 보, 보),



(바위, 가위, 가위), (보, 바위, 바위)의 3가지이다.

 

;5@0&;

 

;1¦5;

 

;6%4%;















































B만 이기는 경우와 C만 이기는 경우도 마찬가지로 각각 3가

Ú a=1일 때, 1ÉbÉ2이므로 b=1, 2의 2가지

지이므로 세 사람이 가위바위보를 할 때, 한 사람만 이기는 경

Û a=2일 때, 2ÉbÉ4이므로 b=2, 3, 4의 3가지







































Ü a=3일 때, 3ÉbÉ6이므로 b=3, 4, 5, 6의 4가지

Ý a=4일 때, 4ÉbÉ8이므로 b=4, 5, 6의 3가지

Þ a=5일 때, 5ÉbÉ10이므로 b=5, 6의 2가지

ß a=6일 때, 6ÉbÉ12이므로 b=6의 1가지

Ú ~ ß에서 y=

x의 그래프가 선분 AB와 만나는 경우의

;aB;

수는 2+3+4+3+2+1=15

따라서 구하는 확률은

=


;1°2;

;3!6%;

 

;1°2;

우의 수는 3_3=9

따라서 구하는 확률은

=


;3!;

;2»7;

 

;3!;

1176   비가 온 날의 다음 날에 비가 오지 않을 확률은

비가 오지 않은 날의 다음 날에 비가 오지 않을 확률은

비가 온 날을 ◯, 비가 오지 않은 날을 _로 표시하면 금요일

에 비가 오고 같은 주 일요일에 비가 오지 않는 경우는 다음

1-

=

;3@;

;3!;

1-

=

;4#;

;4!;

과 같다.











_



_

_

확률

_

=

;3@;

;9@;

;3!;

_

=

;4!;

;6!;

;3@;

따라서 구하는 확률은

+

=

+

=


;1¦8;

;1£8;

;1¢8;

;6!;

;9@;

1180   첫 번째 던진 후에 꼭짓점 A에서 출발한 점 P가 꼭짓점 C에

위치하려면 주사위에서 2 또는 7이 나와야 한다.

즉 점 P가 꼭짓점 C에 위치할 확률은

=


;4!;

;8@;

두 번째 던진 후에 꼭짓점 C에서 출발한 점 P가 꼭짓점 A에

위치하려면 주사위에서 3 또는 8이 나와야 한다.

즉 점 P가 꼭짓점 A에 위치할 확률은

=


;4!;

;8@;

 

;1¦8;

따라서 구하는 확률은

_

=


;1Á6;

;4!;

;4!;

 

;1Á6;

1177   한 면도 색칠되지 않은 작은 정육면체의 개수는 8개이므로

한 면도 색칠되지 않은 정육면체일 확률은

=

;8!;

;6¥4;

따라서 적어도 한 면이 색칠된 정육면체일 확률은

1-

=


;8&;

;8!;

1178  모든 경우의 수는 6_6=36


x=1을 주어진 두 직선의 방정식에 각각 대입하면

a-y=0에서 y=a

1+y-b=0에서 y=b-1

㉠, ㉡에서 a=b-1

(4, 5), (5, 6)의 5가지

따라서 구하는 확률은



;3°6;

1181   모든 경우의 수는 6_6=36


게임에서 두 사람이 비기는 경우는 두 사람이 던진 주사위의

눈의 수가 같을 때이므로 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),

(5, 5), (6, 6)의 6가지이다.

즉 게임에서 두 사람이 비길 확률은

=

;6!;

;3¤6;

이고 두 사람 중

한 사람이 이길 확률은 1-

=

;6%;

;6!;

이때 두 번째 게임에서 승자가 결정되려면 첫 번째 게임에서

두 사람이 비기고 두 번째 게임에서 두 사람 중 한 사람이 이

겨야 한다.

_

=



;3°6;

;6%;

;6!;

 

;8&;

yy ㉠

yy ㉡

yy ㉢

 

;3°6;



㉢을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 2), (2, 3), (3, 4),

따라서 두 번째 게임에서 승자가 결정될 확률은

1179   모든 경우의 수는 6_6=36

x=1, y=2를 y=

x에 대입하면 2=

;aB;

x=2, y=2를 y=

x에 대입하면 2=

  ∴

=1

:ªaõ:

;aB;

즉 일차함수 y=

x의 그래프가 선분 AB와 만나는 경우는

;aB;

;aB;

;aB;



É2

;aB;

1182   색칠한 부분을 맞힐 확률은

;9$;

Ú 1회에 승부가 가려질 확률은

Û 2회에 승부가 가려질 확률은

_

=

;9$;

;8@1);

;9$;

;9%;

Ú, Û에서 구하는 확률은

+

=

+

=


;8%1^;

;8@1);

;8#1^;

;8@1);

;9$;

 

;3°6;

 

;8%1^;

10. 확률  |  101

















































서술형 Power Up!

p.205~p.208

1187  ⑴ A에 칠할 수 있는 색은 4가지


 B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지

1183  3의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18,
21, 24, 27, 30의 10가지이고, 4의 배수가 적힌 카드가 나오

 C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지

 D에 칠할 수 있는 색은 B, C에 칠한 색을 제외한 2가지

는 경우는 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28의 7가지이다.

⑵ 4_3_3_2=72

이때 3과 4의 공배수, 즉 12의 배수가 적힌 카드가 나오는 경

 ⑴ A : 4가지, B : 3가지, C : 3가지, D : 2가지  ⑵ 72

우인 12, 24의 2가지가 중복된다.

따라서 3의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수는 10, 4의

배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수는 7, 3과 4의 공배수가

적힌 카드가 나오는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수

는 10+7-2=15이다.

 풀이 참조

1184  ⑴ 모든 경우의 수는 2_2=4




서로 같은 면이 나오는 경우는 (앞, 앞), (뒤, 뒤)의 2가지

 이므로 구하는 확률은

=

;4@;

;2!;

⑵ 모든 경우의 수는 2_2=4

 서로 다른 면이 나오는 경우는 (앞, 뒤), (뒤, 앞)의 2가지

1188  ⑴ 첫 번째에 검은 공이 나올 확률은
;6#;

=

;2!;

  두 번째에 검은 공이 나올 확률은
;6#;

=

;2!;

  따라서 구하는 확률은

_

;2!;

=

;4!;

;2!;

⑵ 첫 번째에 검은 공이 나올 확률은
;6#;

=

;2!;

  두 번째에 검은 공이 나올 확률은
;5@;

  따라서 구하는 확률은

_

=



;5!;

;5@;

;2!;

 ⑴ 

  ⑵ 

;4!;

;5!;

 이므로 구하는 확률은

=

;4@;

;2!;

1189   비가 온 날의 다음 날에 비가 오지 않을 확률은

⑶ 1반이 공격 우선권을 받을 확률과 2반이 공격 우선권을 받

을 확률이 서로 같으므로 공정한 규칙이다.

 ⑴ 

  ⑵ 

  ⑶ 공정한 규칙이다.

;2!;

;2!;

1-

=

;3!;

;3@;

1-

=

;4#;

;4!;

1185   모든 경우의 수는 6_6=36


두 눈의 수의 차가 4인 경우는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)

우는 다음과 같다.

비가 오지 않은 날의 다음 날에 비가 오지 않을 확률은

비가 온 날을 ◯, 비가 오지 않은 날을 _로 표시하면

⑴ 목요일에 비가 오고 같은 주 토요일에 비가 오지 않는 경

















_

확률

_

=

;3!;

;9@;

;3@;

_

=

;4#;

;4!;

;3!;

 따라서 구하는 확률은

+

=

;4!;

;9@;

;3¥6;

+

;3»6;

=

;3!6&;

⑵ 목요일에 비가 오고 같은 주 토요일에 비가 오고 일요일에

비가 오지 않는 경우는 다음과 같다.











_







확률

_

_

=

;3!;

;3@;

;3@;

;2¢7;

_

_

;4!;

;3!;

;3!;

=

;3Á6;



_

_



_

_

 따라서 구하는 확률은



+

=

+

=

;2¢7;

;3Á6;

;1Á0¤8;

;10#8;

;1Á0»8;

따라서 구하는 확률은

의 4가지

=


;9!;

;3¢6;

 풀이 참조, 옳은 답 : 

;9!;

1186   첫 번째로 뽑는 사람이 당첨될 확률은

;5@;

두 번째로 뽑는 사람이 당첨될 확률을 구해 보면

Ú 첫 번째로 뽑는 사람이 당첨되지 않고 두 번째로 뽑는 사

람만 당첨될 확률은

_

;5#;

=

;4@;

;1£0;

Û 첫 번째로 뽑는 사람과 두 번째로 뽑는 사람이 모두 당첨

될 확률은

_

;5@;

=

;4!;

;1Á0;

Ú, Û에서 구하는 확률은

+

=

=

;5@;

;1¢0;

;1Á0;

;1£0;

확률은 각각 같다.

따라서 첫 번째로 뽑는 사람과 두 번째로 뽑는 사람이 당첨될

102  |  정답과 해설

즉 세현이의 의견이 옳다.

 세현, 풀이 참조

 ⑴ 

  ⑵ 

;3!6&;

;1Á0»8;



















































































1190  ⑴ A가 승리하려면 6번째 게임에서 이기거나 7번째 게임에서

1194  A, B, C, D, E, F 6개의 점 중에서 3개의 점을 선택하는 경

 이겨야 하므로 A가 6번째 게임에서 이길 확률은

, 6번

;2!;

우의 수는

6_5_4
3_2_1

=20

 째 게임에서 지고 7번째 게임에서 이길 확률은

이때 한 직선 위에 있는 세 점 A, B, C를 선택하는 경우에는



















































_

=

;2!;

;4!;

;2!;

 따라서 A가 승리할 확률은

+

=

+

;4@;

;4!;

;4!;

;2!;

=

;4#;

⑵ B가 승리하려면 6번째 게임과 7번째 게임에서 모두 이겨

 야 하므로 B가 승리할 확률은

_

;2!;

=

;4!;

;2!;

⑶ A가 가져야 할 상금은 10000_

=7500(원)

 B가 가져야 할 상금은 10000_

=2500(원)

;4#;

;4!;

 ⑴ 

  ⑵ 

  ⑶ A : 7500원, B : 2500원

;4#;

;4!;

1191   두 직선 y=x+a, y=3x-b의 교점의 x좌표를 구하면


x+a=3x-b, -2x=-a-b



∴ x=

a+b
2

이때 x좌표가 소수가 되어야 하므로

=2, 3, 5

a+b
2

즉 a+b의 값은 4 또는 6 또는 10이어야 한다.

Ú a+b=4인 경우 : (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지

Û a+b=6인 경우 : (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

의 5가지

Ü a+b=10인 경우 : (4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지

Ú~ Ü에서 구하는 경우의 수는 3+5+3=11

 11

1192   왼쪽에서 세 번째에 선 사람이 이웃한 두 사람보다 키가 크려

면 키가 가장 크거나 두 번째로 커야 한다.

Ú 키가 가장 큰 경우 : 나머지 세 자리에 3명을 한 줄로 세우

는 경우의 수와 같으므로 3_2_1=6

Û 키가 두 번째로 큰 경우 : 첫 번째에 키가 가장 큰 사람을

세우고, 두 번째와 네 번째에 키가 작은 2명을 한 줄로 세

우는 경우의 수와 같으므로 2_1=2

Ú, Û 에서 구하는 경우의 수는 6+2=8

 8

1193  3의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이다.


0, 1, 2, 3, 4 중 세 수의 합이 3의 배수인 경우는 (0, 1, 2),

(0, 2, 4), (1, 2, 3), (2, 3, 4)이다.

Ú (0, 1, 2), (0, 2, 4)로 만들 수 있는 세 자리의 자연수의

개수는 각각 2_2_1=4

Û (1, 2, 3), (2, 3, 4)로 만들 수 있는 세 자리의 자연수의

개수는 각각 3_2_1=6

Ú, Û에서 구하는 3의 배수의 개수는

4_2+6_2=20



















































삼각형이 만들어지지 않는다.

따라서 구하는 삼각형의 개수는

20-1=19

 19

1195   모든 경우의 수는 4_4=16

가 정수인 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, 1), (1, 2),

;aB;

(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)의 8가지

따라서 구하는 확률은

=


;2!;

;1¥6;

 

;2!;

1196  Ú A 상자에서 3의 배수가 적힌 공을 꺼내어 B 상자에 넣고,
B 상자에서 3의 배수가 적힌 공을 꺼낼 확률은

_

=

;1£0;

;1¢1;

;1Á1ª0;

Û A 상자에서 3의 배수가 아닌 수가 적힌 공을 꺼내어 B 상

자에 넣고, B 상자에서 3의 배수가 적힌 공을 꺼낼 확률은





_

=

;1¦0;

;1£1;

;1ª1Á0;

Ú, Û에서 구하는 확률은

;1Á1ª0;

+

;1ª1Á0;

=

;1£1£0;

=


;1£0;

1197   모든 경우의 수는 2_2_2_2_2=32


앞면이 x번 나오면 뒷면이 (5-x)번 나오므로

x-(5-x)=3에서 x=4

즉 앞면이 4번, 뒷면이 1번 나올 확률을 구하면 된다.

앞면이 4번, 뒷면이 1번 나오는 경우는 (앞, 앞, 앞, 앞, 뒤),

(앞, 앞, 앞, 뒤, 앞), (앞, 앞, 뒤, 앞, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞, 앞),

 

;1£0;

 

;3°2;

(뒤, 앞, 앞, 앞, 앞)의 5가지

따라서 구하는 확률은


;3°2;

1198  4회 이내에 찬오가 이기려면 1회 또는 3회에서 처음으로 6의

약수의 눈이 나와야 한다.

한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 6의 약수의 눈이 나오는 경

우는 1, 2, 3, 6의 4가지이므로 그 확률은

=

;6$;

;3@;

Ú 1회에서 찬오가 이길 확률은

;3@;

Û 3회에서 찬오가 이길 확률은



1-

_

1-

;3@;}

{

;3@;}

_

=

;3@;

;3!;

_

;3!;

_

;3@;

=

;2ª7;

{

Ú, Û에서 구하는 확률은

 20

+

=

+

=


;2@7);

;2ª7;

;2!7*;

;2ª7;

;3@;

 

;2@7);

10. 확률  |  103

Memo

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