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천재교육

2020년 천재교육 중등 수학의 힘 베타 (유형) 3-2 답지

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수학의 힘 β(베타)  중3-2

정답과 해설

삼각비

삼각비의 값

삼각비의 활용

원과 직선

원주각

대푯값과 산포도

산점도와 상관관계

1

2

3

4

5

6

7

2

8

15

26

38

50

59

0007  ACÓ=

17Û

-8Û

=

225=15 



`

`



1

삼각비삼각비삼각비삼각비

STEP

1

기초 Build

0001  sin B=

=

;5#; 

;1¤0;

0002  cos B=

=

;5$; 

;1¥0;

0003  tan B=

=

;4#; 

;8^;

0004   sin A=

=

;5$; 

;1¥0;

0005  cos A=

=

;5#; 

;1¤0;

0006  tan A=

=

;3$; 

;6*;

0008  sin A=

;1¥7; 

0009  cos A=

;1!7%; 

0010  tan A=

;1¥5; 

0014   BCÓ, ADÓ, AFÓ

0015   ABÓ, ADÓ, AGÓ

0016   BCÓ, AEÓ, FGÓ

2  |  정답과 해설

0011  sin A=

이므로

BCÓ
8

3
= '
2

  ∴ BCÓ=4

3   4

'

3

'

0012  cos A=

이므로

2
ACÓ

=

2

5

'
5

  ∴ ACÓ=

5   
'

5

'

0013  tan A=

이므로

  ∴ ABÓ=6 

 6

9
ABÓ

=

;2#;

BCÓ
ACÓ

ABÓ
ACÓ

BCÓ
ABÓ

p.7

 ;5#;

 ;5$;

 ;4#;

 ;5$;

 ;5#;

 ;3$;

 15

 ;1¥7;

 ;1!7%;

 ;1¥5;

0018   ACÓ, ADÓ, BCÓ

0019   BCÓ, ADÓ, BDÓ

STEP

2

적중유형 Drill

p.8~p.13

0020  BCÓ=




`

-4Û

=

9=3

`

'

① sin A=

③ sin B=


;5#;


;3$;

;5$;

;5$; 

④ tan B=

⑤ cos A=

 ②

0021   BCÓ =

25Û`-24Û`=

49=7





sin A=

, cos A=

;2¦5;

;2@5$;

∴ sin A+cos A=

+

=

;2#5!; 

;2@5$;

;2¦5;

 ;2#5!;

0022   ACÓ=

15Û`-9Û`=

144=12





tan x=

=

;3$;

:Á9ª:

, tan y=

=

;4#;

;1»2;

∴ tan x_tan y=

_

=1 

;4#;

;3$;

 1

0023  △ABD에서 ADÓ=3이므로

+3Û

BDÓ=

25=5

=

`






`

;5#;

sin x=

, cos x=

;5$;

∴ sin x+cos x=

+

=

;5&; 

;5$;

;5#;

 ;5&;

0024  ① △ABC에서 x =
  △ACD에서 y =


4
13

② sin a=

BCÓ
ACÓ

=



2



6Û`+4Û`=

52=2


13)Û`+6Û`=

13


88=2

(2





22



=

2

13


13

=

3

13


13

=

3

22


22

2


6
13


6
22



2

③ tan c=

=

④ cos d=

=

CDÓ
ACÓ

CDÓ
ADÓ

ABÓ
BCÓ

  ∴ tan b+tan d  

⑤ tan b=

=

=

;4^;

;2#;

, tan d=

ACÓ
CDÓ

=

2

13

6

13
= '¶
3





























 ⑤

 ;5$;

0017  △ABC»△ADB»△BDC ( AA 닮음)이므로


∠A=∠CBD

0025  △BCD에서 BCÓ=

△ABC에서 ACÓ=


13Û`-5Û`=


20Û`-12Û`=



144=12

256=16





sin A=


`

CBÓ
ACÓ

=

BDÓ
ABÓ

=

CDÓ
BCÓ

 

 ACÓ, BDÓ, BCÓ

∴ cos x=

ACÓ
ABÓ

=

=

;5$; 

;2!0^;

Ó
Ó
△AHC에서
AHÓ
ACÓ

sin C=

이므로

4
3
'
ACÓ

3
= '
3

  ∴ ACÓ=12

(cm)

`

CHÓ ="Ã12Û`-(4
∴ BCÓ=BHÓ+CHÓ=4+4

3)Û`=

'



96=4

6

(cm)

'
`
(cm) 

6

`

'

 (4+4

6)`cm

'

0032  △ABC에서 tan A=

이므로

BCÓ
ABÓ

'

DEÓ
ADÓ

6
ABÓ

6
= '
6

  ∴ ABÓ=6

6`

△ADE에서 tan A=

이므로

2
6
'
ADÓ

6
= '
6

  ∴ ADÓ=12

3

'

∴ BDÓ=ADÓ-ABÓ=12

3-6

'

6



'

 12

3-6

6

'

'

15
0033  tan A= '¶
7

이므로  오른쪽  그림

과 같은 직각삼각형 ABC를 그리

 

5

34


34

C

15

B

A

7


ACÓ ="Ã7Û

`

+(

15)Û

=

64=8



`



15
sin A= '¶
8

, cos A=

;8&;

15
∴ sin A+cos A= '¶
8

+

;8&;

= '¶

15+7
8

 

  '¶

15+7
8

 ⑴ 2

13  ⑵ 5

13





0034  ∠C=90ù, sin A=

이므로 오른

;3!;

쪽  그림과  같은  직각삼각형  ABC

3

A

B

1

C

0026   ABÓ :BCÓ=2 :

ABÓ=2k, BCÓ=


10이므로

10k

(k>0)라고 하면



`

AC Ó=

(




10k)Û`-(2k)Û`=

6kÛ`=

6k

(∵
`

`

'

k>0)


15
= '¶
5

6k
10k

sin B= '

2k
10k

sin C=

3
5

= '
'
10
= '¶
5


sin C
sin B



10
= '¶
5

15
Ö '¶
5

2
3

6
= '
3

 

= '
'

6
  '
3

0027  cos B=

이므로

BCÓ
ABÓ

5
ABÓ

=

;5#;

  ∴ ABÓ=

(cm)

:ª3°:`

∴ ACÓ=

¾Ð{;;ª3°;;}

-

=¾Ð:¢;9);¼:

:ª3¼:

=

`(cm)   

cm

:ª3¼:`

Û`

5Û`

0028   tan C=

이므로

  ∴ BCÓ=10

ABÓ
BCÓ

6
BCÓ

=

;5#;

ACÓ=

6Û`+10Û`=

136=2

34







=

5

34


34

 

10

2

34



∴ sin A=

0029   ⑴ tan A=

이므로

=

  ∴ a=6

;4A;

;2#;

;bA;



;bA;



  ∴ ABÓ=

6Û`+4Û`=

52=2

13





⑵ tan A=

이므로

=

  ∴ b=10

:Áb°:

;2#;

  ∴ ABÓ=

15Û`+10Û`=

325=5

13





0030   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하
면 △ABH에서

3

B

A

H

5

cos B=

이므로

BHÓ
ABÓ

BHÓ
3

=

;3@;

BHÓ=2


`

따라서 AHÓ=



-2Û

=

5이므로



`

`

△ABC=

_5_

5=

'

;2!;

'
5

5

 

'
2

0031   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고
하면 △ABH에서

8 cm

B

A

H

sin B=

이므로

AHÓ
ABÓ

AHÓ
8

3
= '
2

  

(cm)

∴ AHÓ=4
3
`
BHÓ ="Ã8Û`-(4

'

'

3)Û`=

16=4

(cm)



`



C



C

 

5

5

'
2





















 























































 

를 그리면

ACÓ=




`

-1Û

=

8=2

2

'

① cos A=

③ sin B=

"
2



`
2

'
3

2

2

'
3



⑤ tan B=

2

2

'
1

=2



'

1

2

2

2
= '
4



② tan A=

'
④ cos B=;3!;

0035  5 cos A-3=0에서 cos A=

이므로

;5#;

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC를

5

그리면

BCÓ =




`

-3Û

=

16=4

`



∴ sin A=

, tan A=

;5$;

;3$; 

 ⑤

C

A

3

B

 sin A=

, tan A=

;5$;

;3$;

1. 삼각비  |  3

0036   △ABC»△DEC ( AA 닮음)이므로 ∠B=∠DEC=x
3Û`+4Û`=


△ABC에서 BCÓ=

25=5

0043  △ABC에서 ACÓ=


=
`
△ABC»△HBA ( AA 닮음)이므로 ∠C=∠BAH=x

225=15

-8Û

17Û





`

∴ sin x=sin B=




ACÓ
BCÓ

=

;5$; 

0037   △ABC»△EBD ( AA 닮음)이므로 ∠C=∠BDE=x
12Û`+5Û`=


△ABC에서 BCÓ =

169=13

∴ cos x=cos C=


ACÓ
BCÓ



 

=

;1°3;

0038  △ABC»△EDC ( AA 닮음)이므로 ∠A=∠DEC

△DEC에서 DEÓ="Ã(
sin A=sin (∠DEC)=

'

5)Û

-2Û

=

1=1

cos A=cos (∠DEC)=

`

'
5

2

'
5

=

5
= '
5

`
2
5

'
1
5

'

∴ sin A-cos A=

2

5

'
5

5
- '
5

5
= '
5

 

5
  '
5

0039  △ABC»△EDC ( AA 닮음)이므로 ∠B=∠CDE=x

-2Û

12=2

=

3

`



'

△ABC에서 ACÓ=


3

sin x=sin B=

2

`

3
= '
2

'
4

cos x=cos B=

=

;4@;

;2!;

3
∴ sin x_cos x= '
2

_

;2!;

3
= '
4

 

3
  '
4

 ;5$;

sin B=

, tan x=tan C=

;1!7%;

;1¥5;

sin B_tan x=


`

_

=

;1¥7; 

;1¥5;

;1!7%;

 ;1¥7;

 ;1°3;

0044   △ABC에서 ABÓ="Ã6Û


'
△ABC»△HBA ( AA 닮음)이므로 ∠C=∠BAH=x
△ABC»△HAC ( AA 닮음)이므로 ∠B=∠CAH=y

24=2

(cm)

-(2

3)Û

=



'

6



`

`

`

sin x=sin C=

sin y=sin B=

2

6

'
6

'
6

2

3

6
= '
3

3
= '
3

6
sin x_sin y= '
3

3
_ '
3

2
= '
3

 


`

2
  '
3

0045   △ABC에서 BCÓ=


=
△ABC»△HBA ( AA 닮음)이므로 ∠C=∠BAH=x
△ABC»△HAC ( AA 닮음)이므로 ∠B=∠CAH=y

25=5




+4Û





`

`

sin x=sin C=

;5#;

cos y=cos B=

cos y
sin x


`

+1=

;5#;
cos B
sin C

+1=

Ö

;5#;

;5#;

+1=2 

 2

0040  △ABC»△AED ( AA 닮음)이므로 ∠B=∠AED


50=5

-5Û

3)Û

=

2

'

△ADE에서 ADÓ="Ã(5
sin B=sin (∠AED)=

'

0046   △ABD에서 ADÓ=BCÓ=20이므로
12Û`+20Û`=


544=4

BDÓ=

△ABD»△HBA ( AA 닮음)이므로
∠BDA=∠BAH=x

34









`
2
3

`


6
= '
3

3
= '
3

5
5

'
'
5

5

3

'
3

 

sin C=sin (∠ADE)=

∴ sin B-sin C= '

6-
3

'

  '

3
'

6-
3

cos x=cos (∠BDA)=

sin x=sin (∠BDA)=

20

4

34

=

5

34


34

=

3

34


34


12


3

4

34

∴ cos x-sin x=

5

34


34

-

34


34

= '¶

34
17

 

  '¶

34
17

0041  △ABC에서 BCÓ=

△ABC»△HBA
( AA 닮음)이므로 ∠C=∠BAH=x


△ABC»△HAC
( AA 닮음)이므로 ∠B=∠CAH=y


5Û`+12Û`=

169=13





sin x=sin C=

, sin y=sin B=

;1°3;

;1!3@;

∴ sin x+sin y=

+

=

;1!3&; 

;1!3@;

;1°3;

 ;1!3&;

하면

0047   오른쪽 그림과 같이 일차방정식


3x+4y-12=0의 그래프가 x축,

y축과 만나는 점을 각각 A, B라고

B

y

3

O



3x+4y-12=0

a

A
4

x

0042  △ABC에서 BCÓ=

△ABC»△HBA
( AA 닮음)이므로 ∠C=∠BAH=x



8Û`+6Û`=

100=10

(cm)



`

∴ cos x=cos C=

=

;5#; 

;1¤0;

 ;5#;

∴ cos a-sin a=

-

=

;5#;

;5$;

 ;5!;

A(4, 0), B(0, 3)

OAÓ=4, OBÓ=3이므로

△BOA에서 ABÓ =

4Û`+3Û`=

25=5




;5!; 





























































4  |  정답과 해설

0048   오른쪽 그림과 같이 직선


3x-5y+15=0이  x축,  y축과  만

나는 점을 각각 A, B라고 하면



A(-5, 0), B(0, 3)

OAÓ=5, OBÓ=3이므로

tan a=


;5#;

y

B

3

a

A
-5

O

x

3x-5y+15=0

 ;5#;

4Û`+3Û`=


5Û`+5Û`=

25=5

`
50=5



(cm)

2

(cm)

'

`

0052  △EFG에서 EGÓ=

△AEG에서 AGÓ=


따라서 △AEG에서
EGÓ
AGÓ

cos x=

=

5





5

2

2
= '
2

 

'

0049   ⑴  기울기가 3이고 점 (-1, 3)을 지나므로 직선의 방정식을
y=3x+k로 놓고 x=-1, y=3을 대입하면

0053   △FGH에서 FHÓ=




6Û`+6Û`=

72=6

2



'

2
  '
2

3
  '
3

2)Û`=

BFÓ=6이므로 △BFH에서
BHÓ="Ã6Û`+(6
따라서 △BFH에서
BFÓ
BHÓ

3
= '
3

sin x=

=



'

6

 

6

3

'

108=6

3

'

0054  원뿔의 부피가 12p`cmÜ`이므로

_p_3Û

_(높이)=12p  ∴ (높이)=4`(cm)

;3!;

`

∴ tan x=

;4#; 

 ;4#;

  3=3_(-1)+k  ∴ k=6

  따라서 구하는 직선의 방정식은

  y=3x+6

⑵ y=3x+6의 y절편은 6이므로 A(0, 6)

  y=3x+6에 y=0을 대입하면

  0=3x+6  ∴ x=-2, 즉 B(-2, 0)

2Û`+6Û`=

40=2

10







⑶ OAÓ=6, OBÓ=2이므로
△ABO에서 ABÓ=

10
2
10
10

  sin a=

= '¶

2

  cos a=


6
10



2

=

3

10


10

  ∴ sin a_cos a= '¶

_

10
10

3

10


10

=

;1£0;

 ⑴ y=3x+6  ⑵ A(0, 6), B(-2, 0)  ⑶ ;1£0;

0055   MCÓ=

BCÓ=

_6=3`(cm)이므로

;2!;

;2!;

B

y

2

O

B

y

4

O

a A
2

x

x
2

y
+ =1
2

6
  '
3





a

A
5

x

4x+5y-20=0

0050  오른쪽 그림과 같이 일차방정식

+

;2{;

y
2

'

=1의 그래프가 x축, y축과

만나는 점을 각각 A, B라고 하면

A(2, 0), B(0,

2)

'

'

2이므로

OAÓ=2, OBÓ=
△BOA에서 ABÓ="Ã2Û`+(
2
∴ cos a=
6

6
= '
3

 

'

2)Û`=

6

'

'

0051   오른쪽 그림과 같이 일차방정식


4x+5y-20=0의 그래프가 x축, y

축과 만나는 점을 각각 A, B라고 하

면 A(5, 0), B(0, 4)

OAÓ=5, OBÓ=4이므로

△BOA에서 ABÓ=

5Û`+4Û`=

41





∴ (cos a-sin a)Û`=

5
41

-

Û`

4
41 }

{

{


Û`=


1
41 }



;4Á1;

∴ (cos a-sin a)Û`=

 ;4Á1;

△DMC에서 DMÓ=
점 H는 △BCD의 무게중심이므로

6Û`-3Û`=





27=3

3`(cm)

'

DHÓ=

DMÓ=

_3

3=2

3`(cm)

;3@;

;3@;

'

'
△AHD에서 AHÓ="Ã6Û`-(2
AHÓ
6
= '
3
ADÓ

∴ sin x=

=

'
6

6

2

,

'

∴ cos x=

DHÓ
ADÓ

=

2

3

'
6

3
= '
3



3)Û`=

24=2

6`(cm)



'

6
 sin x= '
3

3
, cos x= '
3

참고    점 H가 △BCD의 무게중심인 이유
△ABH, △ACH, △ADH에서 
∠AHB  =∠AHC=∠AHD

A

=90ù,

AHÓ는 공통, ABÓ=ACÓ=ADÓ
∴ △ABHª△ACHª△ADH
( RHS 합동)
 

B

M

H

C

D

 즉 BHÓ=CHÓ=DHÓ이므로 점 H는 
△BCD의 외심이다.
 이때 정삼각형의 외심과 무게중심은 일치하므로 점 H는 △BCD
의 무게중심이다.

1. 삼각비  |  5



























 









`





































 

 

 

 

 

 

 

 

STEP

3

심화유형 Master

0056   △CAD에서 sin A=

CDÓ
b

CDÓ
a

△CDB에서 sin B=



sin A
sin B

=

CDÓ
b

Ö

CDÓ
a

=



;bA;

0057   오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D
에서 변 BC에 내린 수선의 발을 각

각 H, H'이라고 하면



HH'Ó=ADÓ=8
`
△ABHª△DCH'이므로

BHÓ=CH'Ó=

_(12-8)=2

;2!;

△ABH에서 AHÓ=


AHÓ
15

2
BHÓ

tan B=

=

2

`

=

15



△DH'C에서 DH'Ó=AHÓ=2

15

`



tan C=

DH'Ó
CH'Ó

=

2

15

2

=

15



-2Û

=

60=2

15

`





`

 ;bA;

A

8



8

8

B H

H' C

12

∴ tan B_tan C=

15_

15=15 





 15

0058   BDÓ :CDÓ=1 :3이므로


BDÓ=x, CDÓ=3x(x>0), ABÓ=y(y>0)라고 하면

ACÓ=ABÓ+BDÓ=x+y
ACÓ Û`=ABÓ Û`+BCÓ Û`이므로

(x+y)Û`=yÛ`+(3x+x)Û`



+2xy+yÛ

=yÛ

+16xÛ

`

`

`

, 15xÛ
`

`

=2xy

x=


`

;1ª5;

y (∵ x+0)

cos A=


`

ABÓ
ACÓ

=

y
x+y

=yÖ

y
;1!5& 

=;1!7%;  

 

;1!7%;

p.14~p.16

0060   sin A=

;1!7%;

이므로 오른쪽 그림과 같은 직

C

각삼각형 ABC를 그리면

ABÓ =

17Û

-15Û

=

64=8



`

`



cos A+cos A_tan A=

+

;1¥7;

;1¥7;

_

:Á8°:

A

17

15

B

=

;1@7#;

sin A_sin A+cos A_cos A=

;1!7%;_;1!7%;+;1¥7;

;1¥7;

_

=

15Û`+8Û`
17Û`

=

=1

17Û`
17Û`



cos A+cos A_tan A
sin A_sin A+cos A _cos A

=

;1@7#;

Ö1=

;1@7#;

0061   tan (90 ù-A)= tan  B=3 이므로
오른쪽  그림과  같이  ∠C=90ù인  직

각삼각형 ABC를 그리면

ABÓ=

3Û`+1Û`=

10





∴ sin A_cos A=

_

1
10



3
10



=

;1£0; 

A

3

0062   3xÛ

`

+5x-2=0에서 (x+2)(3x-1)=0

∴ x=-2 또는 x=

;3!;

0ù<A<90ù일 때 0<sin A<1이므로

sin A=


;3!;

이때 오른쪽 그림과 같은 직각삼각

형 ABC를 그리면

ABÓ=




`

-1Û

=

8=2

2

'

'

`
1

2

2

'

2
= '
4



 

∴ tan A=

 ;1@7#;


1

C

 

;1£0;

3

A

C

1

B

2
  '
4



a

b

x

c

0059   오른쪽 그림에서 ADÓ∥BCÓ, 


ABÓ∥DCÓ이므로 겹쳐진 부분인

ABCD는 평행사변형이다.

이때 점 A에서 직선 BC에 내린

수선의 발을 H라고 하면

△AHB에서 ABÓ=

1
sin a

1

A

1

a

H

B

D

C

0063   오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 a,
b, c인 직각삼각형을 그리면

sin x=

, cos x=

이므로

;bA;

;bC;

sin x :cos x=

=a :c=5 :12



;bA;

;bC;

이때 a=5k, c=12k (k>0)라고 하면

따라서 직사각형 모양의 띠의 폭이 1이므로

ABCD=

_1=

1
sin a

1
sin a

 

 ①

∴ cos

x=

`

=

;bC;

;1!3@kK;

=

 ;1!3@;

b=

(5k)Û

+(12k)Û

=

169kÛ`=13k (∵ k>0)



`

`


;1!3@; 

6  |  정답과 해설













 



































































Ó
Ó
0064   △BCE»△ACD ( AA 닮음)이므로


∠DAC=∠EBC=x

이등변삼각형 ABC에서 ADÓ⊥BCÓ이므로

CDÓ=

BCÓ=

_12=6`(cm)

;2!;

;2!;

△ADC에서 ADÓ=

10Û

-6Û



`

64=8`(cm)

∴ cos x=cos (∠CAD)=

=

=

;5$; 

;1¥0;

 ;5$;

=

`

ADÓ
ACÓ

0068  △PCD에서 sin x=

이므로

PDÓ
CPÓ

PDÓ
15

=



;5#;

∴ PDÓ=9

(cm)

`
-9Û

CDÓ=

15Û

=

144=12

(cm)

`

`





`
∴ APÓ=ADÓ-PDÓ=12-9=3
이때 △PQA»△PCD ( AA 닮음)이므로
∠Q=∠PCD=x

(cm)

`

sin x=sin Q=

이므로

PAÓ
PQÓ

3
PQÓ

=


;5#;













































0065   △ADC와 △ACB에서


∠ADC=∠ACB=90ù, ∠DAC=∠CAB이므로
△ADC»△ACB
ADÓ`:`ACÓ=ACÓ`:`ABÓ이므로

( AA 닮음)


9`:`ACÓ=ACÓ`:`12
ACÓ Û`=108  ∴ ACÓ=6
따라서 △ADC에서
ADÓ
ACÓ

3
= '
2

cos x=

=

9

6

3

 

'

3

(∵ ACÓ>0)

'

`

3
  '
2

0066  ∠AEB+∠FEC=90ù, ∠FEC+∠EFC=90ù이므로


∠AEB=∠EFC=x
△ABE에서 AEÓ=ADÓ=10
BEÓ=

64=8

-6Û

10Û

=

`
(cm)

`



`



cm이므로

`
ABÓ
AEÓ

sin x=

=

=

;5#;

;1¤0;

, cos x=

=

=

;5$;

;1¥0;

BEÓ
AEÓ

∴ sin x+cos x=

+

=

;5&; 

;5$;

;5#;

 ;5&;

0067   CPÓ=APÓ=3, CRÓ=ABÓ=2


∠APQ=∠CPQ=x (접은 각),

∠PQC=∠APQ=x (엇각)이므로
△CPQ는 ∠CPQ=∠CQP인 이등변삼각형이다.
∴ CQÓ=CPÓ=3

오른쪽 그림과 같이 점 Q에서 APÓ

에 내린 수선의 발을 H라고 하면

AHÓ =BQÓ=QRÓ 



5

3Û`-2Û`=

=

△HQP에서
PHÓ=APÓ-AHÓ=3-

'

`

tan x =

HQÓ
PHÓ

=

2
3-

5

'

'

=

5이므로

5

3+
'
2

 

A

2

B

3

H

x

P

x

x

Q

D

C

3

3

R

2

 

5

3+
'
2



















































∴ PQÓ=5

(cm)

`

 5

cm

`

0069  △ABM에서 sin x=

이므로

BMÓ
AMÓ

4
AMÓ

=

  

;5!;

∴ AMÓ=20
△ABM과 △CDM에서
 ∠ABM=∠CDM=90ù,

 ∠AMB=∠CMD (맞꼭지각)이므로
△ABM»△CDM ( AA 닮음)
AMÓ:CMÓ=BMÓ:DMÓ이므로

20:5=4:DMÓ  ∴ DMÓ=1

△CDM에서 CDÓ=


2
6
'
21

∴ tan y=

CDÓ
ADÓ

=

`

 

-1Û

=

24=2

6

`



'

 

2
6
'
21

2 cm
E

A

y

x

y

D

B

8 cm

x

C



0070   △ABC»△DBA ( AA 닮음)
이므로 ∠C=∠BAD=x

△ADC»△DEC ( AA 닮음)
이므로 ∠EDC=∠DAC=y
△ADC에서 DEÓ Û
(cm)

`
`

DEÓ>0)

DEÓ=4







`
△DCE에서 CDÓ=
DEÓ
CDÓ

sin x=

=

4

4

5



cos y=

DEÓ
CDÓ

=

5
= '
5

5
= '
5





'
4

4

5

'

`=AEÓ_CEÓ=2_8=16
(∵
`
4Û`+8Û`=

80=4

5



(cm)

`

'

`

5
sin x+cos y= '
5

5
+ '
5


`

=

2

5

'
5

 

 

2

5

'
5

0071  tan a=


'
OAÓ=k, OBÓ=

3이므로

3k(k>0)라고 하면

'
3k)Û`=

ABÓ=

kÛ`+(

¿¹

'
OAÓ_OBÓ=OHÓ_ABÓ이므로



4kÛ`=2k (∵ k>0)

k_

3k=3_2k  ∴ k=2

3 (∵ k>0)

'

따라서 OAÓ=2

3, OBÓ=6이므로 구하는 직선의 방정식은

'

'

'

y=

3x+6 

 y=

3x+6

'

1. 삼각비  |  7

0072  CMÓ=

CDÓ=

_12=6`(cm)이므로

;2!;

;2!;

108=6

12Û`-6Û`=

△ACM에서 AMÓ=

마찬가지로 ANÓ=6
3`(cm)
즉 △AMN은 AMÓ=ANÓ인 이등변삼각형이다.
오른쪽 그림과 같이 점 A에서
A



'

'



3`(cm)

2

삼각비의 값
삼각비의 값
삼각비의 값
삼각비의 값

STEP

1

기초 Build

MNÓ에 내린 수선의 발을 H라고

하면

MHÓ=

MNÓ=

_12=6`(cm)

;2!;

;2!;

△AMH에서 AHÓ="Ã
2
6
∴ tan`x=
'
6

AHÓ
MHÓ

=

=

2

'

3 cm

6

÷

x

M



3 cm

6

÷

H

N

0074   sin

30ù+cos

30ù=

`

3
+ '
2

;2!;

=

3

1+
'
2



 



1+
'
2

0075  sin

60ù_cos

3
30ù= '
2

`

3
_ '
2

=


;4#;

(6

3)Û

-6Û

=

72=6

2

(cm)

'

`

`



'

`

0076  tan

45ùÖsin

2
45ù=1Ö '
2

`

=1_

2
2

'

=

2

'

 

2

'

0077  cos

30ù+tan

3
45ù= '
2

`

+1=

3

2+
'
2



 



2+
'
2

0073  BMÓ=

BCÓ=

_2=1이므로

;2!;

;2!;

△ABM에서 AMÓ=
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서

2Û`-1Û`=



'

3

밑면에 내린 수선의 발을 H라고 하

면 점 H는 정삼각형 BCD의 무게

중심이고



B



D

A

2

x

H

M

C

DMÓ=AMÓ=

3이므로

'

MHÓ=

DMÓ=

;3!;

_

;3!;

3
3= '
3

'

△AMH에서 AHÓ=¾Ð(

'

3)Û`-

sin`x=

AHÓ
AMÓ

=

2

6

'
3

Ö

3=

'

2

'
3

cos`x=

MHÓ
AMÓ

3
= '
3

Ö

3=

;3!;

'

2

2

'
3

=

®;3*;

=

2

6

'
3

3
'
3 }

2`

{

2

sin`x+cos`x=


`

+

=

;3!;

2

'

2+1
3

 

 

2

'

2+1
3

0078  sin

2
45ù= '
2

`

이므로 x=45ù

0079   cos

3
30ù= '
2

`

이므로 x=30ù

0080  tan

60ù=

3이므로 x=60ù

'

0081  sin

30ù=

=


;2!;

;8{;

 ∴
`

x=4





cos

30ù=

3
= '
2



;8};

 ∴
`

y=4

3

'

 x=4, y=4

3

'

0082  tan

`

45ù= x
3
2
'
2
45ù= 3

'
y

cos

`

=1

 ∴
`

x=3

2

'

2
= '
2



 ∴
`

y=6

 x=3

2, y=6

'

`

`

`

`

`

`

`































0083   ABÓ, 0.77, 0.77

0084    OAÓ, 0.64, 0.64

0085   CDÓ, 1.19, 1.19

0086   sin`0ù_cos`90ù+tan`0ù_cos`60ù



=0_0+0_

=0

;2!;

0087   cos

90ù_tan

`

0ù-sin
`

`

90ù-cos



`

=0_0-1-1=-2

0088    0.3746

8  |  정답과 해설

p.19

 

;4#;

2

 
'

 45ù

 30ù

 60ù

 0

 -2

0089   0.9455

0090   0.3839

0091   20

0092   22

0093   19















































⑤tan

45ù_(cos`60ù+sin`30ù-cos`45ù)

`

=1_

+

- '

{;2!;

;2!;

2
2 }

=

2

2-
'
2

`

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

 ⑤

0097  
'

3

`

sin

60ùÖcos

`
45ù_

tan

`



3

cos

'

`

`

3

tan

'
`
`
30ù+ '

=3

`

60ù=

Ö

3
3_ '
2
3_

;2!;
3=3

'
60ù=1_
'
3`sin`60ùÖcos`60ù
3`tan`60ù

tan`45ù_

'

'

=

3
3_ '
2

'

+

;3#;

=

+1=

;2#;


;2%;

0098  cos

60ù=

`

;2!;

`

이므로 2xÛ

+ax-5=0에 x=

을 대입하면

;2!;

∴ sin

A-cos

A_tan

A=sin

`

`

`

30ù_tan

30ù

`

`

30ù-cos
`
3
_ '
3

3
- '
2

=

;2!;

=0

0100  sin`A-cos`B=sin

30ù-cos

=

2
- '
2

;2!;

=

`

`

2

45ù

`
1-
'
2
45ù

=

2
+ '
2

;2!;

2

=

`
1+
'
2
1
sin`A+cos`B

sin`A+cos`B=sin

30ù+cos



1
sin`A-cos`B
2
1+

2
1-

+

2

=

+

2

'
2(1+
'
(1-
'

'
2)+2(1-
2)(1+

'
2)

'

2)

4
-1

=-4

=

=

0101  cos

3
30ù= '
2

`

이므로

2x-60ù=30ù

x=45ù

sin

x-cos


`

`

45ù-cos`45ù

 ∴
`
x=sin

`

`

2
= '
2

2
- '
2

=0

0102   sin

30ù=

이므로

`

;2!;

x+10ù=30ù

 ∴
`

x=20ù

 

;2%;

 9

 0

 -4

 0

 20ù

2. 삼각비의 값  |  9

STEP

2

적중유형 Drill

0094  ㉠ sin

45ù+cos

2
45ù= '
2

`

2
+ '
2

=

2

'

p.20~p.26

2_

{;2!;}

a=

;2!;

2`

;2(;

+a_

-5=0

;2!;

 ∴ a=9

㉡ sin

30ù=

, cos

30ù_tan

;2!;

`

3
30ù= '
2

`

3
_ '
3

=

;2!;

0099  A=180ù_

1
1+2+3

=30ù

`

`

`

`

`

∴ sin

30ù=cos

30ù_tan
`

`

30ù

㉢ sin

60ù-cos

60ù= '

`

3-1
2

, sin

30ù=

`

;2!;

∴ sin

60ù-cos

60ù+sin
`

`

30ù

㉣ tan

3
30ù= '
`
3

∴ tan

30ù=

`

,

1
tan`60ù 
1
tan`60ù 

=

= '

3
3 `

1
3

'

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉣이다.

 ㉠, ㉡, ㉣

0095   tan`60ù_sin`30ù-cos`30ù_tan`45ù
3
- '
2

_1

3_

=

;2!;

'



3
- '
2

3
= '
2
=0

 0

0096  ①sin

60ù+cos

`

3
30ù= '
2

`

3
+ '
2

②sinÛ

③sin

30ù_cosÛ

``
45ù_cos
2
= '
2

2
_ '
2

`

+

{

30ù=

{;2!;}

``
45ù-tan
`

`

45ù

-1=-

;2!;

3

=

'
3
'
2 }

2`

=1

④(cos`30ù+sin`60ù)_(cos`45ù-sin`45ù)

=

{

3
'
2

+ '

3
2 }

_

{

2
'
2

- '

2
2 }

=0

`



























2


































0103  tan

45ù=1이므로

`

x+15ù=45ù

 ∴ x=30ù

∴ sin

x+

3

cos

`

'

`

x=sin
`

`

30ù+

3

cos

30ù

'

`
3
3_ '
2

`

=2

=

+

'

;2!;

 2

0104  cos
`

60ù=

이므로

;2!;

2x+40ù=60ù

 ∴ x=10ù

∴ sin

6x=sin
`

`

3
60ù= '
2




  '
2

 30ù 

0105   tan

A=

`

3

3

3

3
= '
3

이고 tan
`

3
30ù= '
3

이므로

'
∠A=30ù

0106  2xÛ

-3x+1=0에서

`

(x-1)(2x-1)=0

∴ x=1 또는 x=

;2!;

즉 tan

A=1이고 tan
`

`

45ù=1이므로

A=45ù

 45ù

0107  cos

60ù=

`

이므로 sin
`

;2!;

3x=

;2!;

또 sin

30ù=

이므로 3x=30ù



x=10ù

`

;2!;



1
tan`(20ù+x)

=

1
tan`30ù 

=

3

'



3

'

`
3
=1Ö '
3



sin

0108  △ADC에서
ADÓ
4
CDÓ
4

cos 60ù=

60ù=



`

3
= '
2





ADÓ=2

3

(cm)

`

'

`

=



;2!;

 ∴
`

CDÓ=2

(cm)

`

∴ BDÓ=BCÓ-CDÓ=5-2=3

(cm)

`

따라서 △ABD에서
=
ABÓ =

+(2

3)Û

"Ã3Û

`

'

`



`

21

(cm)

21`cm

 



0109   cos

30ù=

3
3
'
x
y

3
= '
2
3
= '
3





 ∴ x=6

 ∴ y=3

`

`

tan

30ù=

3
x-y=6-3=3

'

3


`

10  |  정답과 해설

0110  △ABC에서
BCÓ
2

60ù=

tan



`

'

따라서 △DBC에서
2
= '
2

45ù= '

6
BDÓ

sin

`



0111  △ABC에서
ACÓ
10
BCÓ
10

30ù=

30ù=

cos

sin



`

`

=


;2!;
3
= '
2

∴ CDÓ=

BCÓ=

;2!;
;2!;
따라서 △ADC에서
5

ADÓ=¾¨{

3
'
2 }

2`

=

3

'

∴  BCÓ=

6

'



 ∴ BDÓ=2

3

'

 2

3

'

 ∴ ACÓ=5`(cm)



 ∴ BCÓ=5

3

(cm)

'

`

_5

3=

'

5

3

'
2

`(cm)

+5Û

=

`

¾¨;:!4&:%;

=

5

7

'
2

`(cm)

 

5



'
2

`cm

0112  △ABD에서


15ù+∠BAD=30ù

∴  ∠BAD=15ù


`

ADÓ=BDÓ=4

cm

`

`

=

sin

30ù=

△ADC에서
ACÓ
4
DCÓ
4

30ù=

3
= '
2
따라서 △ABC에서


;2!;

cos

`

 ∴ ACÓ=2`(cm)



 ∴ DCÓ=2

3`(cm)

'

tan

15ù=

`

2
4+2

3

'

=

1
2+

3

'

=2-

3

'

 2-

3

'

0113  △ABC에서 sin

30ù=

ACÓ
4

=

  ∴ ACÓ=2

;2!;



∠BAC=90ù-30ù=60ù이므로

∠BAD=∠DAC=

∠BAC=

_60ù=30ù

△ADC에서 cos

30ù=

  ∴ ADÓ=

;2!;

;2!;
3
= '
2

2
ADÓ

`

`

4

3

'
3

 

4



'
3

△DAB는 이등변삼각형이므로
3

4

BDÓ=ADÓ=



'
3

sin

30ù=

다른 풀이  △ABC에서
ACÓ 
4
BCÓ 
4


;2!;
3
= '
2

30ù=

=



`

`

cos

 ∴
`

ACÓ=2

 ∴
`

BCÓ=2

3

'

ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로











 

































ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ

BDÓ : CDÓ=2 : 1

 ∴
`


`

BDÓ=

BCÓ=

_2

3=

;3@; 

;3@;

'

4



'
3

 3







































직선 y=x-2와 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 a

cos

x=

이므로 OHÓ=r

cos

x

0114   직선과 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기가 60ù이므로 직

3이고 y절편이
'

'

6인 직선의 방정식은

 ④

③tan

55ù=

=

=CDÓ=1.4281

선의 기울기는

tan

60ù=

3

'

따라서 기울기가

y=

3x+

6

'

`

'

0115  3x-4y+12=0에서

4y=3x+12

 ∴ y=

x+3

;4#;

따라서 기울기가

이므로

;4#;

tan

a=

`

;4#; 

0116  x-y-2=0에서 y=x-2


라고 하면

tan

a=1

`
이때 tan

`

45ù=1이므로

a=45ù(∵ 0ù<a<90ù)

0120  ①sin
`

55ù=

ABÓ
OAÓ

=

ABÓ
1

=ABÓ=0.8192

②cos

55ù=

=

=OBÓ=0.5736

OBÓ
OAÓ

CDÓ
ODÓ

OBÓ
OAÓ

ABÓ
OAÓ

OBÓ
1

CDÓ
1

=

OBÓ
1

=

ABÓ
1

④sin

35ù=

=OBÓ=0.5736

⑤cos

35ù=

=ABÓ=0.8192

따라서 옳지 않은 것은 ①, ②이다.

 ①, ②

 

;4#;

0121   ㉠, ㉣△AOH에서

sin

x=

이므로 AHÓ=r

sin

x

AHÓ
OAÓ
OHÓ
OAÓ

=

=

AHÓ
r
OHÓ
r

`

`

`

`

`

㉡BHÓ=OBÓ-OHÓ=r-r

cos

x

㉢△TOB에서 tan

x=

`

㉢BTÓ=r

tan

x

`
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢, ㉣이다.

`

`

=

`
BTÓ
OBÓ

BTÓ
r

이므로

 ㉠, ㉢, ㉣

`

`

`

`

`

`

`

`

`

0117   직선 y=ax+b와 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기가

30ù이므로

a=tan

3
30ù= '
3

`

3
x절편이 3이므로 직선 y= '
3

x+b가 점 (3,0)을 지난다.

3
x=3, y=0을 y= '
3

x+b에 대입하면

3
0= '
3

_3+b

∴  b=-

3

'

3
∴ ab= '
3

_(-

3)=-1

'

0122  ①sin

x=

ABÓ
OAÓ

=

ABÓ
1

=ABÓ

②cos

x=

=

=OBÓ

OBÓ
OAÓ

CDÓ
ODÓ

OBÓ
1

CDÓ
1

③tan

x=

=

=CDÓ

④sin (90ù-x)=sin (∠OAB)=

 -1

⑤tan (90ù-x)=tan (∠OCD)=

따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다.

 ④, ⑤

OBÓ
OAÓ

=

OBÓ
1

=OBÓ

ODÓ
CDÓ

=

1
CDÓ

0118  ①sin

x=

=

=BCÓ

BCÓ
ACÓ

BCÓ
ACÓ

BCÓ
1

BCÓ
1

②cos

y=

=

=BCÓ

③cos

x=

ABÓ
ACÓ

=

ABÓ
1

=ABÓ

④sin

z=sin

y=

`

ABÓ
ACÓ

=

ABÓ
1

=ABÓ

⑤tan

x=

DEÓ
ADÓ

=

DEÓ
1

=DEÓ

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

`

`

`

`

`

0119  △COD에서
CDÓ
ODÓ

x=

tan



`

=

CDÓ
1

=CDÓ

0123  ①sin
②sin


90ù_cos

0ù_cos

`

`

`

90ù=1_0=0

`
0ù=0_1=0

③ (sin`90ù+9)(cos`0ù-9)=(1+9)_(1-9)=-80

④(sin`0ù+cos`0ù)(sin`90ù-cos`90ù)

=(0+1)_(1-0)=1

⑤(sin`0ù+tan`45ù)_cos`90ù=(0+1)_0=0

따라서 옳은 것은 ③이다.

 ③

0124  (sin`0ù+cos`0ù+sin`30ù)(sin`90ù-cos`90ù-tan`45ù)

=

0+1+

{

;2!;}_

(1-0-1)

=0

 0

2. 삼각비의 값  |  11













































 45ù

 ③

 ②











 









































0125  cos`0ù-sin`90ù=1-1=0
0ù=0


㉠sin

=

=1

;1!;

2
= '
2

2
Ö '
2

=1

45ù=1

0ù=1

㉡cos

`
㉣tan
`
sin`45ù
cos`45ù 

㉥

㉧cos

90ù=0

`

90ù의 값은 정할 수 없다.

따라서 cos

0ù-sin

90ù의 값과 같은 것은 ㉠, ㉢, ㉧이다.

`

`

 ㉠, ㉢, ㉧

`
㉢tan

㉤

0ù=0

`
1
tan`45ù 

90ù=1

㉦sin

`
㉨tan

`

 

0130  0ù<x<45ù일 때, 0<tan
x-1<0

tan



`

x<1이므로

`
(tan





x-1)Û`

`

x-1)

=-(tan
`
=1-tan

`

`

x

 1-tan`x

0131  0ù<x<45ù일 때, sin
x-cos

x<0, -sin

sin



`

x<cos

x이고 sin
`

x>0이므로

`
x<0

`
(-sin



x-cos

x)Û`+

`
x-cos

`
x+cos

`

`
x+sin

x

`



x)Û`

`

`

x)+{-(-sin

x)}  


`

`

(sin

`


=-(sin

`

=-sin

=cos

`
x

`

 cos`x





0126  45ù<x<90ù일 때


90ù<cos

cos
`

x<cos 45ù이므로

0<cos

`
2
x< '
2
x<sin



`

`

sin

45ù<sin

`

2
'
2

<sin

x<1

`

90ù이므로

`

tan

45ù<tan
`

x이므로 1<tan
`

`

x

㉠, ㉡, ㉢에서

cos
`

x<sin
`
따라서 옳은 것은 ③이다.

x<tan
`

x

0127  ①cos
②sin


0ù=1

`
50ù<sin

`
20ù<cos

`
80ù<sin

`
50ù>tan
`

`

90ù=1

0ù=1

`
90ù=1

45ù=1

`
③cos

④sin

`
⑤tan

따라서 주어진 삼각비의 값 중 가장 큰 것은 ⑤이다.   ⑤

0128   ①,  ②,  ③ 0ùÉx<90ù인  범위에서  x의  값이  증가할  때,
x의 값은 감소

x의 값은 각각 증가하고, cos

sin

`

x와 tan
`

`
한다.

 ∴ sin 24ù<sin 26ù, cos

12ù>cos

`

32ù,
`

tan

34ù<tan
`

`

35ù

④ sin

30ù=

, cos

60ù=

;2!;

`

이므로 sin
`

;2!;

30ù=cos

60ù

`

`

`

⑤ 0ùÉx<45ù일 때, sin
`



sin

15ù<cos

15ù

`

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

x<cos

x이므로

`

0129   0ù<A<90ù일 때, 0<cos


A-1<0, 1+cos

`
A>0

A<1이므로

cos
`
(cos



`


=-(cos

=-cos

`

=2

`
(1+cos

A-1)Û

+

`



`
A-1)+(1+cos

`
A+1+1+cos

`

A

`

A)Û`

A)

12  |  정답과 해설

yy ㉠

yy ㉡

yy ㉢

 ③

0132   0ù<A<45ù일 때, sin

A<cos

`

A이고 sin
`

`

A>0,

A>0, cos

A-sin

A>0

cos

A>0이므로

`
A+cos

`

sin

`
(sin

¿¹
(sin

`

A+cos

`
A+cos

A)Û

+

¿¹

`
`
A)+(cos

`

2

cos

A=

3

∴  cos

`

`

'

`
(cos

`
A-sin

`

`
A-sin

`

A= '
2

`

이때 cos


30ù= '
2

`

이므로 A=30ù

A)Û

=

3에서

'

`
A)=

`
3

'

∴ cos

(90ù-A)=cos

60ù=

`

;2!; 

`

 

;2!;

0133   sin

40ù=0.6428, cos

41ù=0.7547, tan

39ù=0.8098

`

`

`
이므로

sin

40ù+cos

41ù-tan

39ù

`

`
=0.6428+0.7547-0.8098

`

=0.5877

 0.5877

0134  sin
`
cos



`
tan

`

80ù=0.9848이므로 A=80ù

82ù=0.1392이므로 B=82ù

81ù=6.3138이므로 C=81ù

∴ A+B-C=80ù+82ù-81ù=81ù

 81ù

0135  sin
`
cos



22ù=0.3746이므로 x=22ù

23ù=0.9205이므로 y=23ù

`
sin(x+y)_tan(x+y)=sin


`

 ⑤

45ù

`

= '
2

45ù_tan
`

_1= '
 
2

2
  '
2

0136  cos

65ù=

=0.4226

 ∴ x=0.8452

`

`

;2{;

;2};

sin

65ù=

=0.9063

 ∴ y=1.8126

 2

∴ x+y=0.8452+1.8126=2.6578

  2.6578













































































0137  ∠B=35ù이므로 ∠A=90ù-35ù=55ù

tan

55ù=

`

BCÓ
20

=1.4281

∴ BCÓ=28.562

 28.562

0138  OBÓ=OCÓ-BCÓ=1-0.4554=0.5446


△AOB에서

cos
`

(∠AOB)=

∴ ∠AOB=57ù

OBÓ
OAÓ

=

0.5446
1

=0.5446

sin

57ù=

`

ABÓ
OAÓ

=

ABÓ
1

=0.8387

∴ ABÓ=0.8387

STEP

3

심화유형 Master

0139  sin


45ù= '
2

`

이므로 2x-25ù=45ù

2x=70ù

cos


`

x=35ù

 ∴
`
(x-5ù)_tan
`

`

(x+10ù)=cos

30ù_tan

45ù

`

`

= '
2


_1= '
2

3
   '
2

0140  4xÛ
`
(2x-


-2(1+

3)x+

3=0에서

'

'

3)(2x-1)=0

'


∴ x= '
2

또는 x=

;2!;

0ù<A<90ù, 0ù<B<90ù이고 A>B이므로



sin

A>sin
`

`

B

∴ sin


A= '
2

`

, sin

B=

`

;2!;

이때 sin


60ù= '
2

`

, sin

30ù=

이므로

`

;2!;

A=60ù, B=30ù

∴ tan(A-B)=tan
`


30ù= '

3

A

D



4

60$

C

B

H

H'

6

 0142   오른쪽  그림과  같이  두  꼭짓점
A, D에서 BCÓ에 내린 수선의 발

을 각각 H, H'이라고 하면
△DH'C에서
DH'Ó
4


= '
2

60ù=

sin

`

∴ DH'Ó=2

3

cos

'
CH'Ó
4
이때 BHÓ=CH'Ó=2이므로

60ù=

;2!;   

=

`

ADÓ=HH'Ó=6-(2+2)=2

∴ CH'Ó=2

 0.8387

∴ ABCD=

_(2+6)_2

3=8

3  

'

'

 8

3

'

;2!;

`

`

'

0143  △DBC에서 sin

45ù= '

6
BCÓ


= '
 
2

  ∴ BCÓ=2

3

'

△EBC에서  EFÓ=x라고  하면  ∠BEF=∠EBF=45ù이
므로 BFÓ=EFÓ=x

△CEF에서 tan

30ù=

x
FCÓ


= '
 
3

  ∴ FCÓ=

3x

'

3=x+

3x, (

3+1)x=2

3

'

2

'

∴ x=

'
2
3
'
3+1

'
∴ △EBC=

=3-

3

'

_2

3_(3-

3)=3

3-3   3

3-3

;2!;

'

'

'

'

p.27~p.28

BCÓ=BFÓ+FCÓ에서

0144  △ABD에서
a
ADÓ

60ù=

cos



`

=



;2!;

 ∴ ADÓ=2a

tan

60ù=

`

BDÓ
a

=

3

'

 ∴ BDÓ=

3a

'

△ADC는 ADÓ=CDÓ인 이등변삼각형이고
∠ADB=180ù-(60ù+90ù)=30ù이므로

∠ACD =

∠ADB=

_30ù=15ù

;2!;

;2!;

CDÓ=ADÓ=2a이므로

BCÓ=BDÓ+CDÓ=

'
따라서 △ABC에서

tan

15ù=

`

ABÓ
BCÓ

=

a
(2+

3a+2a=(2+

3)a

'

3
  '
3

=2-

3

'

3)a

'

  2-

3

'

0141   △ABC에서 sin 30ù=

 ∴ BCÓ=6

BCÓ
12

=


;2!;

 △BCD에서 ∠BCD=60ù이고

sin 60ù=

BDÓ
6

3
= '
2



 ∴ BDÓ=3

3

'

 △DBE에서 ∠DBE=60ù이고





cos 60ù=

 ∴ BEÓ=

BEÓ

3

'

=



;2!;

3

3

'
2



 

3



'
2

0145  부채꼴의 반지름의 길이를 r

cm라고 하면

`

2pr_

=4p

;3£6¼0;

 ∴
`

r=24`

△AOH에서
AHÓ
24

30ù=

sin

`

=


;2!;

 ∴
`

AHÓ=12`(cm)

cos

30ù=

`

OHÓ
24


= '

2

 ∴
`

OHÓ=12

3`(cm)

'

2. 삼각비의 값  |  13

















































따라서 색칠한 부분의 넓이는 부채꼴 AOB의 넓이에서 직각

삼각형 AOH의 넓이를 뺀 것이므로

△ABE에서
∠AEB=180ù-(60ù+45ù)=75ù이고

(색칠한 부분의 넓이)=p_24Û

_

-

_12

3_12

`

;3£6¼0;

;2!;

'



ABÓ=DFÓ+CFÓ=

6+

2, BEÓ=BCÓ-CEÓ=

6-

2

'

'

'

'

=48p-72

3`(cmÛ`)

'

 (48p-72

3)

cmÛ

'

`

`





















































0146   △CFG에서 FGÓ=ADÓ=6이므로
6
CFÓ

∴  CFÓ=12

cos
`

60ù=


;2!;

=



`

`

'

3

=

tan

tan

45ù=

60ù=

CGÓ
6
△AEF에서 AEÓ=CGÓ=6
6
3
'
EFÓ
6
3
'
AFÓ
△ACD에서 CDÓ=EFÓ=6
+(6
ACÓ=

2
= '
2

45ù=

3)Û`=

=1

sin



`




∴  CGÓ=6

3

'

3이므로

'

 ∴ EFÓ=6

3

'

 ∴ AFÓ=6

6

'

3이므로

'
144=12

`

'


즉 △CAF는 CAÓ=CFÓ인 이등변삼각형이다.
오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AFÓ

C

에 내린 수선의 발을 M이라고 하



∠ACM=

∠ACF=

;2!; 

;2{;

AMÓ=

AFÓ=

_6

6=3

;2!;

;2!;

'

6

'

12


2


2

12

△CAM에서 CMÓ=

12Û

-(3

6)Û`

=

90=3

10

¿¹

`

'

`





∴ cos

=cos

(∠ACM)

`;2{;

`
CMÓ
ACÓ

=

=

3

10


12

10
= '¶
4



10
  '¶
4

0147  △AEF에서

`

sin

60ù=

AFÓ 
4
EFÓ 
4
△AFD에서

cos 60ù=


= '

2

 ∴ AFÓ=2

3

'

=

;2!;   

∴ EFÓ=2

cos
`

45ù=

ADÓ 
3
2

= '


2    

∴ ADÓ=

6

'

`

sin

= '

45ù=

'
DFÓ 
2
3
'
△ECF에서
∠EFC=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로


2    

∴ DFÓ=

'

6

cos
`

45ù=

CFÓ 
2


= '

2

sin

45ù=

`

CEÓ 
2


= '

2

 ∴ CFÓ=

 ∴ CEÓ=

2

'

2

'

14  |  정답과 해설































 













이므로

tan

75ù=

`

ABÓ 
BEÓ

2
'
2
'
2)Û
``
6+

6+
6-

= '
'
6+
'
2)(
'

(
'
6-
'
3

2)

'

=

=

(
'
8+4
4

'

=2+

3

'

0148  △AOB에서
OBÓ 
6

x=

cos



`

=

  ∴ OBÓ=4

;3@;


2

ABÓ=




tan

x=

`

`

-4Û

`
ABÓ
OBÓ

=

=

20=2

5이므로

'




= '
2

'
4

 

 2+

3

'

△COD에서 tan

x=

`

CDÓ 
6


= '
2

  ∴ CDÓ=3

5

'

이때 BDÓ=ODÓ-OBÓ=6-4=2이므로

ABDC=

_(2

5+3

5)_2=5

5

;2!;

'

'

'

 5

5

'

45ù=1이고 sin

x>cos

x이므로

`
1-tan

`
x<0, sin

`
(1-tan



=-(1-tan

`

x-cos

`
x)Û`-|sin

`

`
x>0

`

x-cos

x|+1



`
x-cos

x)+1  

x)-(sin

`
x-sin

`
x+cos

`
x+1

`

`

`



=-1+tan

`
x-sin

`

=tan

`

x+cos

x

`

 tan

x-sin

x+cos

x

`

`

`

3
0150  tan a=(직선의 기울기)= '
3
 ∴ b=90ù-30ù=60ù


이므로 a=30ù

 ①sin (a+b)=sin 90ù=1

 ②cos

b
2

3
=cos 30ù= '
2

 ③tan 2a=tan 60ù=

3

'

 ④tan a_

=tan 30ù_

1
tanb

1
tan60ù

3
= '
3

_

1
3

'

=

;3!;

 ⑤sin 3a-cos b=sin 90ù-cos 60ù=1-

=

;2!;

;2!;

따라서 옳은 것은 ②, ④이다.

 ②, ④

A

F

M
66

0149  45ù<x<90ù일 때,


x>tan

tan

3

삼각비의 활용
삼각비의 활용
삼각비의 활용
삼각비의 활용

STEP

1

기초 Build

0151   ⑴ 60, 3

3  ⑵ 60, 3

'

'

0152   ⑴ 5, 5

2  ⑵ 5, 5

0153   ⑴ 4, 8  ⑵ 4, 4

3

'

p.31, 33

0166  BCÓ =BHÓ+CHÓ이므로
55ù+h tan


50=h tan

`

20ù

`

h(tan 55ù+tan 20ù)=50

∴ h=

50
tan`55ù+tan`20ù



 

tan

`

50
55ù+tan

20ù

`

0167  △ABH에서 ∠BAH=45ù이므로


BHÓ=h tan 45ù=h
△AHC에서 ∠CAH=60ù이므로
CHÓ=h tan 60ù=

3h





'

 BHÓ=h, CHÓ=

3h

'

0154  x=ABÓ cos 36ù=10_0.81=8.1
y=ABÓ sin 36ù=10_0.59=5.9


0168  BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로

 x=8.1, y=5.9

10=h+

3h, (

3+1)h=10

∴ h=

'
10
3+1

'

=

'

3-1)

10(
'
3+1)(

3-1)

'

(

'

=5(

3-1)

'





0155  x=ACÓ cos 42ù=20_0.74=14.8
y=ACÓ sin 42ù=20_0.67=13.4


 x=14.8, y=13.4

0156   2, 
'

3, 2, 1, 1, 3, 

3, 3, 2

'

3

'

0157  △AHC에서 AHÓ=6 sin

3
60ù=6_ '
2

`

=3

3

'

 3

3

'

0158  △AHC에서 CHÓ=6 cos

60ù=6_

=3

`

;2!;

0159  BHÓ=BCÓ-CHÓ=10-3=7

 3

 7

0160  △ABH에서 ABÓ=

(3

3)Û`+7Û`=

76=2

19   2

19

¿¹

'







0161   6, 3

2, 30, 6

'

2

'

0162  △BCH에서 BHÓ=8 sin

3
60ù=8_ '
2

`

=4

3

'

 4

3

'

0163  △ABC에서 ∠A=180ù-(75ù+60ù)=45ù이므로



△ABH에서 ABÓ=

BHÓ

sin

45ù

`

=4

2
3Ö '
2

'

=4

6   4

'

6

'

0164  △ABH에서 ∠BAH=55ù이므로
55ù


BHÓ=h tan

0165  △AHC에서 ∠CAH=20ù이므로
20ù


CHÓ=h tan

`

`

 h tan`55ù

 h tan`20ù

 5(

3-1)

'

 h tan`50ù

 h tan`15ù

`

`

`

0169  △ABH에서 ∠BAH=50ù이므로
50ù


BHÓ=h tan

0170  △ACH에서 ∠CAH=15ù이므로


CHÓ=h tan

15ù

0171  BCÓ =BHÓ-CHÓ이므로
50ù-h tan


100=h tan

15ù

h(tan

∴ h=

`

`
50ù-tan

`
15ù)=100

`
100
15ù
50ù-tan
tan
`
`



 

tan

`

100
50ù-tan

15ù

`

0172  △CAH에서 ∠ACH=60ù이므로


`

3h

60ù=

AHÓ=h tan
△CBH에서 ∠CBH=45ù, ∠BCH=45ù이므로
BHÓ=h tan

45ù=h

 AHÓ=

'

3h, BHÓ=h

'

0173  ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로


3h-h, (

10=

3-1)h=10

'

∴`h=

'

=

10
3-1

'

3+1)

10(
'
3-1)(

3+1)

'

(

'

=5(

3+1)

'

 5(

3+1)

'

0174  △ABC=

_6_9_sin

45ù

;2!;

`

=

;2!;

2
_6_9_ '
2

=

2

27
'
2



 

2`

27
'
2

3. 삼각비의 활용  |  15













































0175  △ABC=

_8_15_sin
`

;2!;

60ù

0185  ④ c sin`A=c_

=a=BCÓ

;cA;

 ④

=

;2!;

3
_8_15_ '
2

=30

3

'

 30

3

'

0176  △ABC=

;2!;

_10_7_sin`(180ù-135ù)

=

;2!;

2
_10_7_ '
2

=

2

35
'
2



 

2`

35
'
2

0177  △ABC=

;2!;

_10_9_sin`(180ù-120ù)

=

;2!;

3
_10_9_ '
2

=

3

45
'
2



 

3`

45
'
2

0178  ABCD=8_10_sin
2
=8_10_ '
2



`

45ù

=40

2

'

0179  ABCD=2_3_sin

60ù

`

3
=2_3_ '
2

=3

3

'

0180  ABCD =4_7_sin`(180ù-120ù)

3
=4_7_ '
2

=14

3

'

0181  ABCD=11_10_sin`(180ù-135ù)

2
=11_10_ '
2

=55

2

'

 40

2

'

 3

3

'

 14

3

'

 55

2

'

0186   오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으
면 △AB'Eª△ADE`(RHS
합동)이므로

C'

E

C

D

D'

B'

B

A

30$
6 cm

∠B'AE=∠DAE=30ù
△AB'E에서

B'EÓ=6 tan

3`
30ù=6_ '
3

`

=2

3`(cm)
∴ AB'ED=2△AB'E

'





=2_

_6_2

{;2!;

3

'

}

=12

3`(cmÛ`)

'

 12

3 cmÛ`

'

4Û`+3Û`=

25=5`(cm)



0187  △FGH에서 FHÓ=

따라서 △DFH에서

5
60ù
cos

DFÓ=

=5Ö



`

=10`(cm)

;2!;

 10 cm

0188  △ABO에서 AOÓ=6 sin

2
45ù=6_ '
2

`

=3

2`(cm)

'

BOÓ=6 cos

2
45ù=6_ '
2

`

=3

2`(cm)

'

따라서 원뿔의 부피는

_p_(3

2)Û`_3

2=18

2p`(cmÜ`)

'

'

'

;3!;

 18

2p cmÜ`

'

0182  ABCD=

_15_12_sin

60ù

`

0189   △ABC에서 ACÓ=8 sin 30ù=8_

=4`(cm)

;2!;

=

;2!;

3
_15_12_ '
2

=45

3

'

 45

3

'

3
BCÓ=8 cos 30ù=8_ '
2

=4

3`(cm)

'

따라서 삼각기둥의 겉넓이는

2_

_4_4

{;2!;

3
}

'

+10_(8+4

3+4)

'

0183  ABCD=

_8_8_sin`(180ù-135ù)

=

;2!;

2
_8_8_ '
2

=16

2

'

 16

2

'

=120+56

3`(cmÛ`)

'

 (120+56

3 ) cmÛ`

'

;2!;

;2!;

0190  굴뚝의 끝에서 할아버지의 눈높이까지의 높이는


44ù=100_0.97=97`(m)

100 tan

p.34~p.42

`

따라서 굴뚝의 높이는

97+1.6=98.6`(m)

 98.6 m

 ACÓ=7.44, BCÓ=9.48

17ù=20_0.31=6.2`(m)

 6.2 m

0191  등대의 높이는
20 tan


`

STEP

2

적중유형 Drill

0184  ACÓ=12 sin
BCÓ=12 cos


38ù=12_0.62=7.44

`
38ù=12_0.79=9.48

`

16  |  정답과 해설































0198  △ABH에서

AHÓ=3

2 sin

45ù=3

=3`(cm)

'

'

`

`

2
2_ '
2

'

2
2_ '
2

'

BHÓ=3

2 cos

45ù=3

=3`(cm)

CHÓ=BCÓ-BHÓ=5-3=2`(cm)
따라서 △AHC에서
ACÓ="

13`(cm)

3Û`+2Û`=



0199   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서
ACÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하
면 △BHC에서

3
BHÓ=80 sin 60ù=80_ '
2

=40

3`(m)

'

CHÓ=80 cos 60ù=80_

=40`(m)

;2!;

AHÓ=ACÓ-CHÓ=100-40=60`(m)
△BHA에서
ABÓ=


따라서 두 나무 A, B 사이의 거리는 20

3)Û`+60Û`=

8400=20

(40

'

¿¹



 

13 cm



A

B



100 m

H

80 m

60$

C

21`(m)

21`m이다.



 20

21 m



0200   오른쪽  그림과  같이  꼭짓점  A에 A
서  BCÓ의  연장선에  내린  수선의
발을 H라고 하면 △AHB에서
∠ABH=45ù이므로



4

135$

H

45$

B

2

C

AHÓ=4 sin

2
45ù=4_ '
2

`

=2

2

'

BHÓ=4 cos

2
45ù=4_ '
2

`

=2

2

'

CHÓ=BHÓ+BCÓ=2
'
따라서 △AHC에서
2)Û`+(3
ACÓ ="(2

'

'

2+

2=3

2

'

'

2)Û`=

26



3
0192  ABÓ=6 tan 30ù=6_ '
3



=2

3`(m)

'

ACÓ=

6
30ù
cos

3
=6Ö '
2

`

=4

3`(m)

'

따라서 처음 나무의 높이는

A

B



C

30$

6 m

ABÓ+ACÓ=2

3+4

3=6

3`(m)

'

'

'

 6

3 m

'

0193  △BCD에서 BCÓ=

△ABC에서 ACÓ =20
'
∴ ADÓ =ACÓ-CDÓ=20

20
tan
`
3`tan

30ù

`

3
=20Ö '
3

=20

3`(m)

'

45ù=20

3`(m)

'

3-20`(m)   (20

3-20) m

'

'

0194  BEÓ=CDÓ=30 m


△ABE에서

AEÓ=30 tan
`

3
30ù=30_ '
3

3`(m)

'

=10
△BDE에서
DEÓ=30 tan

45ù=30`(m)

`
∴ ADÓ=AEÓ+DEÓ=10

A

B

30$
45$

E

C
신문사

30 m

D
방송국

따라서 방송국 건물의 높이는 (10

3+30)`m이다.

3+30`(m)

'

'

 (10

3+30) m

'

O

0195   오른쪽 그림과 같이 점 B에서 OAÓ에 내린



수선의 발을 H라고 하면

3
OHÓ=12 cos 30ù=12_ '
2

=6

3`(cm)

'

∴ AHÓ=OAÓ-OHÓ=12-6

3`(cm)

따라서 A 지점과 B 지점에서의 추의 높이

30$

12 cm

H

A

B

의 차는 (12-6

3)`cm이다.

'

 (12-6

3) cm

'

0196  △ABH에서 AHÓ=100 sin

30ù=100_

=50`(km)

△ACH에서 CHÓ=50 tan
`

45ù=50`(km)

 50 km

'

`

0197   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라
고 하면 △ABH에서

AHÓ=8 sin

3
60ù=8_ '
2

`

=4

3`(cm)

'

BHÓ=8 cos

60ù=8_

=4`(cm)

`

;2!;

CHÓ=BCÓ-BHÓ=15-4=11`(cm)
따라서 △AHC에서
ACÓ=

3)Û`+11Û`=

(4

169=13`(cm)

¿¹

'



 13 cm

































































































;2!;

A

8 cm

B

60$

H

0201   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서
BCÓ의  연장선에  내린  수선의  발을
H라고 하면 △DCH에서
∠DCH=∠ABC=60ù(동위각)



10

C

15 cm

이므로

B

60$
6

60$

C

H

 

26



A



D

3
DHÓ=10 sin 60ù=10_ '
2

=5

3

'

CHÓ=10 cos 60ù=10_

=5

;2!;

BHÓ=BCÓ+CHÓ=6+5=11
따라서 △DBH에서
BDÓ =

3)Û`+11Û`=

(5

¿¹

'

196=14



 14

3. 삼각비의 활용  |  17

0202   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라
고 하면 △ABH에서

A

75$

20 cm

60$

B

H

45$

C

0206  ∠C=180ù-(75ù+45ù)=60ù
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서


BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하
면 △AHC에서

8 m

AHÓ=20 sin
`

3
60ù=20_ '
2

=10

3`(cm)

'

BHÓ=20 cos

60ù=20_

=10`(cm)

`

;2!;

∠C=180ù-(75ù+60ù)=45ù이므로

△AHC에서 CHÓ=

10
3
'
45ù
tan
`

=10

3`(cm)

'

∴ BCÓ =BHÓ+CHÓ=10+10

3`(cm)   (10+10

3) cm

'

'

0203  ⑴ △BCH에서 BHÓ=8 sin
`

30ù=8_

=4`(cm)

;2!;

⑵ ∠A=180ù-(105ù+30ù)=45ù

⑶ △ABH에서 AHÓ=

4
45ù
tan
`
⑷ △BCH에서 CHÓ=8 cos

=4`(cm)

3
30ù=8_ '
2

`

=4

3`(cm)

'

  ∴ ACÓ=AHÓ+CHÓ=4+4

3`(cm)

'

 ⑴ 4 cm ⑵ 45ù ⑶ 4 cm ⑷ (4+4

3) cm

0204   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 ABÓ

에 내린 수선의 발을 H라고 하면
△BCH에서

CHÓ=4 sin

2`
45ù=4_ '
2

`

=2

2

'

'

A



30$

H

45$
4

B

105$

C

∠A=180ù-(45ù+105ù)=30ù이므로

△AHC에서 ACÓ=

=2



'

=4

2

'

;2!;

 4

2

'

2
'
sin
`

2`
30ù

0205   ∠C=180ù-(75ù+60ù)=45ù


오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서

BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하
면 △AHC에서
AHÓ=

2 sin

45ù

'

`
2`
2_ '
2

'

=

=1`(cm)

A

75$



2 cm

B

60$

H

45$

C

CHÓ=

2 cos

45ù=

'

`

2`
2_ '
2

'

=1`(cm)

△ABH에서 BHÓ=

1
60ù
tan
`

=

'

1
3`

3`
= '
3

`(cm)

3`
ABÓ= '
3

Öcos

3`
60ù= '
3

`

Ö

=

;2!;

2

3`
'
3

`(cm)

따라서 △ABC의 둘레의 길이는
3`
'
3

ABÓ+BCÓ+ACÓ=

3`
'
3

+

2

{

+1

+

2

}

'















































18  |  정답과 해설

C

60$

H



A

75$

45$

B

=4

6`(m)

'

 4

6 m

'

AHÓ=8 sin

3`
60ù=8_ '
2

`

=4

3`(m)

'

따라서 △ABH에서
3
4

ABÓ=

'
sin`45ù

=4

2`
3Ö '
2

'

0207  AHÓ=h라고 하면


△ABH에서 ∠BAH=45ù이므로
BHÓ=h tan
45ù=h
△AHC에서 ∠CAH=30ù이므로

`

CHÓ=h tan

3`
30ù= '
3

`

h

BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로
3`
3`
20=h+ '
3

h,

∴ h=

60
3+

3

'

=

h=20

3+
'
3
60(3-

3)
'
3)(3-

(3+

'

따라서 AHÓ의 길이는 10(3-

0208  △ABH에서 ∠BAH=50ù이므로


BHÓ=AHÓ tan
△AHC에서 ∠CAH=35ù이므로
35ù
CHÓ=AHÓ tan

50ù





`

`

`

BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로

13=AHÓ tan

50ù+AHÓ tan

35ù

AHÓ`(tan`50ù+tan

`
35ù)=13  

∴ AHÓ=

`
13
tan`50ù+tan`35ù



0209  AHÓ=h라고 하면


△ABH에서 ∠BAH=30ù이므로

3
BHÓ=h tan 30ù= '
3

 h

△AHC에서 ∠CAH=45ù이므로
CHÓ=h tan 45ù=h

BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로

3
3+1= '
3

'

 h+h,  '

3+3
3

 h=

3+1

'

=10(3-

3)

'

3)

'
3)이다.

'

  10(3-

3)

'

 ④













































=1+

2+

3`(cm)

'

'

 (1+

2+

3) cm

'

'

3(

3+1)
3

∴ h=

'
3+
따라서 AHÓ의 길이는

=

3+1)(3-
3)(3-

3(
'
(3+
'
3이다.

'

3)
'
3)
'

=

3

'

'

 

3

'



























































 40(

3-1) m

'

100(

3+1)`km이다.

'

 100(

3+1) km

'

0210  AHÓ=h`m라고 하면


△ABH에서 ∠BAH=45ù이므로
BHÓ=h tan
△AHC에서 ∠CAH=60ù이므로
CHÓ=h tan

45ù=h`(m)

3 h`(m)

60ù=

`

`
BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로

'

80=h+

3 h, (

3+1)h=80

∴`h=

'

=

'
80
3+1

'

(

'

따라서 AHÓ의 길이는 40(

3-1)

80(
'
3+1)(

3-1)

'
3-1)`m이다.

'

=40(

3-1)

'





0211  AHÓ=h`cm라고 하면


60ù=

3h`(cm)

△ABH에서 ∠BAH=60ù이므로
BHÓ=h tan
`
△ACH에서 ∠CAH=45ù이므로
CHÓ=h tan
`
BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로

45ù=h`(cm)

'

8=

3h-h, (

3-1)h=8

'

'

0212  AHÓ=h라고 하면


△ABH에서 ∠BAH=60ù이므로
BHÓ=h tan
`
△ACH에서 ∠CAH=30ù이므로

60ù=

3h

'

3
CHÓ=h tan`30ù= '
3

h

BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로

∴ h=

8
3-1
따라서 AHÓ의 길이는 4(

8(
'
3-1)(

=

'

'

(

3+1)

'

3+1)
3+1)`cm이다.

'

=4(

3+1)`

'

 4(

3+1) cm

'

△PBH에서 ∠BPH=45ù이므로
BHÓ=h tan

45ù=h`(km)

`
ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로

100=

3h-h, (

3-1)h=100

'

'

∴`h=

100
3-1
△PAH에서

'

=

3+1)

100(
'
3-1)(

3+1)

'

(
'

=50(

3+1)

'

APÓ=

50(

3+1)
30ù

'
sin

=50(

3+1)Ö

'

;2!;

`
3+1)`(km)

=100(

'

따라서 관측소 A에서 인공위성까지의 거리는

0214  △ABH에서 ∠BAH=55ù이므로
55ù


BHÓ=h tan
△ACH에서 ∠CAH=15ù이므로
CHÓ=h tan

15ù





`

`
BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로

32=h tan

55ù-h tan

15ù

`
55ù-tan

`

15ù)h=32

`
32
55ù-tan



15ù

`

tan

`

(tan

`

∴ h=

0215  AHÓ=h라고 하면


△ABH에서 ∠BAH=68ù이므로
BHÓ=h tan
68ù=2.5h
△ACH에서 ∠CAH=27ù이므로
27ù=0.5h
CHÓ=h tan

`

`
BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로

14=2.5h-0.5h, 2h=14  ∴ h=7

 ⑤

10=

3
3h- '
3

'

h,

2

3

'
3

h=10  ∴ h=5

3

'

따라서 AHÓ의 길이는 7이다.

 7

따라서 AHÓ의 길이는 5

3이다.

'

다른 풀이  △ABC에서
∠BAC=60ù-30ù=30ù이므로

ACÓ=BCÓ=10
따라서 △ACH에서

AHÓ=10 sin

3
60ù=10_ '
2

`

=5

3

'

 5

3

'

0216  △ABC=

_ABÓ_20_sin

30ù

;2!;

=

;2!;

`

;2!;

_ABÓ_20_

=5 ABÓ`(cmÛ`)

즉 5 ABÓ=60

3이므로

'

ABÓ=

=12

3`(cm)

'

3

60
'
5

 12

3 cm

'

0213   오른쪽 그림과 같이 인공위성
의 위치를 P라 하고 점 P에서

ABÓ의 연장선에 내린 수선의

발을 H, PHÓ=h`km라고 하면
△PAH에서 ∠APH=60ù이므로
60ù=
AHÓ=h tan
`

3h`(km)

'

P

60$



45$

h km

A

30$
100 km

B

45$

H

0217  △ABC=

_12_18_sin

45ù

;2!;

`

=

;2!;

2
_12_18_ '
2

=54

2

'

이때 점 G는 △ABC의 무게중심이므로

△GBC=

;3!;△ABC=

;3!;

_54

2=18

2

'

'

 18

2

'

3. 삼각비의 활용  |  19




















































0218   오른쪽  그림과  같이 DEÓ를  그
으면 AEÓ∥DBÓ이므로
△DAB=△DEB
∴ ABCD





=△DBC+△DAB
=△DBC+△DEB

A

D

9 cm

60$

C

E

B
16 cm

=△DEC=

;2!;

_9_16_sin

60ù

`

=

;2!;

3`
_9_16_ '
2

=36

3`(cmÛ`)

'

 36

3 cmÛ`

'

0219  △ABC=

_6_4=12

;2!;

ADÓ=x라고 하면 ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로

△ABD=

;2!;

45ù

_6_x_sin

`
2`
_6_x_ '
2

=

3

2`
'
2

x

=

;2!;

△ADC=

;2!;

45ù

_x_4_sin
`
2`
_x_4_ '
2

=

2x

'

=

;2!;

△ABC=△ABD+△ADC이므로

12=

3

2`
'
2

x+

2x,

'

5

2`
'
2

x=12

∴  x=

2`

12
'
5

따라서 ADÓ의 길이는

이다.

2`

12
'
5

 

2`

12
'
5



0220  △PCD에서 ∠PCD=90ù-30ù=60ù이므로

PCÓ=

7
60ù
cos

`

=7Ö

=14`(cm)

;2!;

∠APQ=∠QPC (접은 각), ∠APQ=∠QPC (엇각)

이므로 ∠QPC=∠PQC
따라서 △PQC에서`QCÓ=PCÓ=14`cm이므로

△PQC=

;2!;

_14_14_sin

30ù

`

=

;2!;

_14_14_

=49`(cmÛ`)

 49 cmÛ`

;2!;

0221  △ABC=

;2!;

_8_ACÓ_sin`(180ù-135ù)

=

;2!;

2
_8_ACÓ_ '
2

=2

2 ACÓ`(cmÛ`)

'

즉 2

2 ACÓ=12

3이므로

'

ACÓ=

=3

6`(cm)

'

'

12
2

3`
'
2
'









































0223   AOÓ=COÓ이므로 ∠AOC=180ù-2_30ù=120ù

(부채꼴 AOC의 넓이)=p_(6

3)Û`_

=36p

120
360

'

△AOC=

;2!;

_6

3_6

3_sin`(180ù-120ù)

'

'

'

=

;2!;

_6

3_6

3`
3_ '
2

'

=27

3

'

∴`(색칠한 부분의 넓이)

` =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC
=36p-27

3



'

 36p-27

3

'

0224   오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그

으면

ABCD
=△ABD+△BCD

D

4 cm

A
cm 150$

32

8 cm

B

;2!;

6 cm

60$

C

`

_2

3_4_ sin`(180ù-150ù)+

_8_6_sin

60ù

=

;2!;

=

;2!;

'

'

=14

3`(cmÛ`)

'

_2

3_4_

+

;2!;

;2!;

3
_8_6_ '
2

 14

3 cmÛ`

'

0225  △ABC에서 ACÓ=

16Û`-8Û`=

192=8

3이므로



'

△ABC=

;2!;

_8_8

3=32

3

'



'

△ACD=

_8

3_12_sin

30ù

;2!;

'

`

=

_8

3_12_

=24

3

;2!;

'
'
∴ ABCD=△ABC+△ACD

;2!;

=32

3+24

3=56

3

'

'

'

 56

3

'

0226   오른쪽 그림과 같이 정육각형은 합동
인 6개의 정삼각형으로 나누어진다.

OBÓ=OAÓ=10`cm, ∠AOB=60ù

이므로

△OAB=

;2!;

60ù

_10_10_sin

`
3`
_10_10_ '
2

=

;2!;

=25

3`(cmÛ`)

'

따라서 원 O에 내접하는 정육각형의 넓이는
6△OAB=6_25

3`(cmÛ`)

3=150

'

'

A 10 cm

B

F

O

C

E

D

 150

3 cmÛ`

'

A

B

8
45$
8

O

















































 3

6 cm

'

0227   오른쪽 그림과 같이 정팔각형은 합동
인  8개의  이등변삼각형으로  나누어

0222  △ADE에서 AEÓ=12`sin
`

30ù=12_

=6`(cm)

;2!;

진다.

이때 ∠EAB=60ù+90ù=150ù이므로

△ABE=

;2!;

_12_6_sin`(180ù-150ù)

=

;2!;

;2!;

_12_6_

=18`(cmÛ`)

 18 cmÛ`

OAÓ=OBÓ=8, ∠AOB=45ù이므로

△OAB=

;2!;

45ù

_8_8_sin

`
2`
_8_8_ '
2

=16

2

'

=

;2!;

20  |  정답과 해설

따라서 원 O에 내접하는 정팔각형의 넓이는
8△OAB=8_16

2=128

2

'

'

 128

2

'

0235   ACÓ=x`cm라고 하면 ABCD는 등변사다리꼴이므로


BDÓ=ACÓ=x`cm



































0228  ADÓ=BCÓ=10이므로
ABCD=6


3_10_sin`(180ù-150ù)

'

'

=6

3_10_

=30

3

;2!;

'

 30

3

'

0229  ∠A=∠C=120ù이므로
ABCD=6_4


2_sin`(180ù-120ù)

'

=6_4

3`
2_ '
2

'

=12

6

'

 12

6

'

0230  마름모의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면


ABCD=x_x_sin (180ù-135ù)

2`
=x_x_ '
2

2`
= '
2

xÛ``(cmÛ`)

2`
즉  '
2

xÛ`=18

2이므로

'

xÛ`=18

2`
2Ö '
2

'

=36  ∴ x=6`(∵ x>0)

따라서 마름모의 한 변의 길이는 6`cm이다.

 6 cm

0231  ∠B=∠D=55ù이므로 △ABC에서


∠ACB =180ù-(80ù+55ù)=45ù
∴ ABCD=2△ABC



=2_

_7_6_sin
`

{;2!;

45ù

}

=2_

_7_6_ '

{;2!;

2`
2 }

=21

2

'

 21

2

'

0232   △APD=

;4!;

ABCD=

_(4_6_sin

60ù)

`

=

;4!;

{

_

4_6_ '

=3

3`(cmÛ`)   3

3 cmÛ`

'

'

;4!;
3`
2 }

0233  △AMC=;2!;△ABC=;4!;

ABCD

=

;4!;

_(12_8_sin

45ù)

`
2`
2 }

=

;4!;

{

_

12_8_ '

=12

2`(cmÛ`)

'

0234  ABCD=

_ACÓ_6_sin`(180ù-120ù)

;2!;

=

;2!;

3`
_ACÓ_6_ '
2

=

3

3`
'
2

ACÓ`(cmÛ`)



3

3`
'
2

ACÓ=24

3이므로

'

3

3`
'
2















































ABCD=

;2!;

_x_x_sin

`
2`
_x_x_ '
2

45ù

2`
= '
4

=

;2!;

xÛ``(cmÛ`)

2`
즉  '
4

xÛ`=8

2이므로

'

xÛ`=8

2`
2Ö '
4

'

=32  ∴`x=4

2`(∵ x>0)

'

따라서 ACÓ의 길이는 4

2`cm이다.

'

 4

2 cm

'

0236  두 대각선이 이루는 예각의 크기를 x라고 하면

ABCD=

_7_8_sin`x=28 sin`x`(cmÛ`)

;2!;

이때 sin`x의 최댓값은 1이므로 ABCD의 넓이의 최댓값

은 28`cmÛ`이다.

 28 cmÛ`

STEP

3

심화유형 Master

0237   △CAD에서 ADÓ=6 cos`A
△CBD에서 BDÓ=8 cos`B

ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로



6 cos`A+8 cos`B=7
△ABE에서 BEÓ=7 cos`B
△AEC에서 CEÓ=6 cos`C
BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로

7 cos`B+6 cos`C=8
△BCF에서 CFÓ=8 cos`C
△BFA에서 AFÓ=7 cos`A
CAÓ=CFÓ+AFÓ이므로

8 cos`C+7 cos`A=6

㉠+㉡+㉢을 하면

p.43~p.45

yy ㉠

yy ㉡

yy ㉢

13 cos`A+15 cos`B+14 cos`C=7+8+6=21   21

 12

2 cmÛ`

'

0238   △AEB에서 AEÓ=

2
30ù

3`
=2Ö '
3

=2

3

'

tan

`

△ADE에서 ADÓ=DEÓ이므로 ∠EAD=∠AED=45ù

DEÓ=2

3 sin

45ù=2

'

`

2`
3_ '
2

'

=

6

'

∠FEA=∠EAD=45ù(엇각)이므로 ∠BEF=45ù

△BFE에서 BFÓ=2 sin

2`
45ù=2_ '
2

`

=

2

'

ACÓ=24



=16`(cm)

'

 16 cm

∴ BC Ó=BFÓ+FCÓ=

2+

6

'

'

 

2+

6

'

'

3. 삼각비의 활용  |  21

0239   △OBC에서 OCÓ=

=4

3`(cm)

'



4
3
'
45ù
tan
`

△ABO에서 OAÓ=4

3 tan
`

'

30ù=4

3`
3`_ '
3

'

=4`(cm)

PHÓ=10 sin

3`
60ù=10_ '
2

`

=5

3`(km)

'

OHÓ=10 cos

60ù=10_

=5`(km)

`

;2!;











































∴ (삼각뿔의 부피)=

_

_4

3_4

;3!;

{;2!;

'

_4

3

'

}



=32`(cmÜ`)

 32 cmÜ`

0240   △APH에서 ∠APH=45ù이므로


AHÓ=510 tan
`
△BPH에서 ∠BPH=30ù이므로

45ù=510`(m)



BHÓ=510 tan
`

3`
30ù=510_ '
3

=170

3`(m)

'

이때 열기구가 1분 동안 이동한 거리는`

ABÓ=AHÓ-BHÓ=510-170

3`(m)

'

따라서 이 열기구의 속력은 분속 (510-170

3)`m이다.

0241   오른쪽 그림과 같이 6분 후의 A
칸과 B  칸의  위치를 각각 A',

A'

B'이라고 하면

A'CÓ=20 sin

3`
60ù=20_ '
2

`

=10

3`(m)

'

'
 분속 (510-170

3) m

'

A

60$

C

D

60$

B

20 m

20 m

B'DÓ=20 sin

3`
60ù=20_ '
2

`

=10

3`(m)

'

B'

따라서 구하는 높이의 차는

10

3+10

3=20

3 (m)

'

'

'

0242   오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ
의 연장선에 내린 수선의 발을 H

라고 하면 AHÓ=6`cm
△ABH에서

 20

3 m

'

H

C

6 cm

A

B
12 cm

D

sin`(∠ABH)=

이므로 ∠ABH=30ù

=

;2!;

;1¤2;

∠BAC=∠BAD (접은 각), ∠ABC=∠BAD (엇각)

이므로 ∠BAC=∠ABC
∠CAH=90ù-(30ù+30ù)=30ù이므로 △HAC에서

ACÓ=

6
30ù
cos

3`
=6Ö '
2

`

∴ BCÓ=ACÓ=4

3`cm

'

=4

3`(cm)

'

∴ △ABC=

_4

3_6=12

3`(cmÛ`)

;2!;

'

'

 12

3 cmÛ`

'

0243   OPÓ=2_5=10`(km),
OQÓ=2_6=12`(km)






오른쪽 그림과 같이 점 P에서

OQÓ에 내린 수선의 발을 H라고
하면 △POH에서 ∠POH=60ù
이므로

P

Q

10 km

20$

12 km

H

40$

O

22  |  정답과 해설





















































△PHQ에서 HQÓ=OQÓ-OHÓ=12-5=7`(km)이므로
PQÓ ="(5
124=2
따라서 두 지점 P, Q 사이의 거리는 2

31`km이다.

3)Û`+7Û`=

31`(km)

'







 2

31 km



0244   오른쪽 그림과 같이 비행기의 위
치를 C라 하고 점 C에서 ABÓ에

C

59$

50$

700 m

A

D

B

내린 수선의 발을 D라고 하면
△CAD에서 ∠ACD=50ù이므로
ADÓ =700 tan
△CDB에서 ∠BCD=59ù이므로
BDÓ =700 tan

`

50ù=700_1.19=833`(m)

59ù=700_1.66=1162`(m)

`

∴ ABÓ =ADÓ+BDÓ=833+1162=1995`(m)

따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 1995`m이다.

 1995 m

0245   ∠A=180ù-(45ù+75ù)=60ù


오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서

ABÓ에 내린 수선의 발을 H,

CHÓ=h라고 하면
△AHC에서 ∠ACH=30ù이므

로 AHÓ=h tan

3
30ù= '
3

`

 h

△BCH에서 ∠BCH=45ù이므로
45ù=h
BHÓ=h tan

`
ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로

A



6

H

60$

45$

B

30$

C

h

45$

h+h,  '

 h=6

3+3
3

3
6= '
3

∴ h=

18
3+

3

=

'
∴ △ABC=

;2!;

18(3-

3)
'
3)(3-

(3+

'
_6_3(3-

3)

'

3)=9(3-

3)

'

'

=3(3-

3)

'

 9(3-

3)

'

A



45$

30$

h

H

0246   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BCÓ의  연장선에  내린  수선의  발을

H, AHÓ=h라고 하면
△ABH에서 ∠BAH=45ù이므로
BHÓ=h tan
45ù=h
△ACH에서 ∠ACH=60ù,

`

∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h tan

45$

B

60$

120$

C8

3`
30ù= '
3

`

h





















































BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로

3`
8=h- '
3

h,

3`

3-
'
3

h=8

∴ h=

24
3-

3`

=

24(3+

3)
'
3)(3+

(3-

'

3)

'

=4(3+

3)

'

_8_4(3+

3)=16(3+

3)

'

'

'
∴ △ABC=

;2!;



 16(3+

3)

'

0247   세 삼각형의 넓이가 모두 같으므로

ab sin

30ù=

`

;2!;

60ù=

bc sin

45ù

;2!;

`

=

;2!;

2`
bc_ '
2

ac sin

;2!;

`
3`
ac_ '
2

ab_

=

;2!;

;2!;

;2!;

;4!;

3`
ab= '
4
3ac=

2`
ac= '
4
2bc

∴ ab=

'

'

bc

ab=

3ac에서 b=

3c

'

'

ab=

2bc에서 a=

2c

'
∴ a :b :c =

'
2c :
'

'

3c :c=

2 :

3 :1

'

'

 

2:

3:1

'

'

0248   △BCD는 직각이등변삼각형이므로


∠CBD=∠CDB=45ù

BCÓ=4

2 cos

45ù=4

'

`

2`
2_ '
2

'

=4

∴`CDÓ=DAÓ=BCÓ=4
△ABC에서 BCÓ=4, ACÓ=8이므로
ABÓ=

4Û`+8Û`=

80=4

5




'
;2!;△ABC=

;2!;

△ABD=

_

{;2!;

_4_8

=8

}



또 △ABD=

_4

5_4

2_sin`x=8

10 sin x이므로

;2!;

'

'

8

10`sin`x=8  ∴`sin`x=



8
10`

= '¶

10`
10



8



 '¶

10`
10



다른 풀이  ∠BDA=180ù-45ù=135ù이므로

△ABD=

_4_4

2_sin`(180ù-135ù)

'

;2!;

;2!;

△ABD=

_4_4

2`
2_ '
2

'

=8

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내린

A



수선의 발을 H라고 하면

△ABD=

_4

5_DHÓ=2

5`DHÓ

;2!;

'

즉 2

5`DHÓ=8이므로`DHÓ=

'

따라서 △BDH에서`
4

sin`x=

5`
'
5

Ö4

2= '¶

'

10`
10

'

8`

2

5`

'

=

4

5`
'
5

B

H

x
24

D

C

0249   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라
고 하면 △ABH에서

AHÓ=8 sin

3`
60ù=8_ '
2

`

=4

3

'

8

60$

B

A

H

10

D

C

45$

72

BHÓ=8 cos

60ù=8_

=4

`

;2!;

CHÓ=BCÓ-BHÓ=10-4=6
△AHC에서 ACÓ="(4
∴ ABCD

'

=△ABC+△ACD

3)Û`+6Û`=

84=2

21





_10_4

3+

_2

21_2

45ù

=

;2!;

=

;2!;

'

'

;2!;

;2!;





_10_4

3+

_2

21_2

7_sin

`
2`
7_ '
2

'

'

=20

3+7

6

'

'

 20

3+7

6

'

'

A

105$
D

60$



10

2

45$

B

60$

H

C

0250   오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ에

내린 수선의 발을 H라고 하면
△DBH에서

BHÓ=10

2`cos

60ù=10

2_

'

;2!;

BH=5

'

2

'

'

`

`

DHÓ=10

2`sin

60ù=10

3`
2_ '
2

'

=5

6

'

∠CDH=180ù-(30ù+105ù)=45ù이므로
△DHC에서 CHÓ=5
'
∴ BCÓ=BHÓ+CHÓ=5

'
6=5(

`
2+5

45ù=5

6`tan

2+

6

6)

이때 ABÓ=ACÓ=BCÓ=5(

ADÓ

Ó =ABÓ-BDÓ

Ó=5(

'

'
2+

'
'
6)이므로

'
2+

'
6)-10

'

'

2=5(

6-

2)

'

'

'

∴ △ADC=

;2!;

_5(

6-

2)_5(

6+

'

'

'

'

'

'

60ù

2)_sin

`
3`
2)_ '
2

'

'

_5(

6-

2)_5(

6+

 25

3

'

∴ △ADC=

;2!;
∴ △ADC=25

3 

'



0251   ABÓ=x, BCÓ=y라고 하면

A'BÓ=

x=

x, BC'Ó=

;1¥0¼0;

;5$;

;1!0@0);

y=

y

;5^;

△ABC=

xy`sin`B

;2!;

△A'BC'=

_

x_

;5$;

;5^;

;2!;

y_sin`B

=

_

;2!;

;2@5$;

xy`sin`B=

;2@5$;△ABC

따라서

=

;2@5$;

;1»0¤0;

이므로 △A'BC'의 넓이는 △ABC의 넓

이와 비교하여 4`% 줄어든다.

 ③

0252   ∠A+∠D=180ù이고 ∠A:∠D=3 :1이므로

∠D=180ù_

=45ù

;4!;

3. 삼각비의 활용  |  23







































































































∴`△DOC=

;4!;

ABCD=

_(4_3_sin

45ù)

;4!;

`

서술형 Power Up!

=

;4!;

{

_

4_3_ '

2`
2 }

=

3

2`
'
2



 

3

2`
'
2

0255  ⑴ sin`A=

p.46~p.50

0253   오른쪽 그림과  같이 ACÓ를

A

그으면

△ABM=

;2!;△ABC

60$

B

M
10 cm

C

D



N

6 cm

=

;4!;

ABCD

△AND=

;2!;△ACD=

;4!;

ABCD

또 DÕMÓ, DBÓ를 각각 그으면

△NMC=

;2!;△DMC=

;4!;△DBC=

;8!;

ABCD

∴ △AMN

=ABCD-(△ABM+△AND+△NMC)
=ABCD

;cA;

;bA;

;cB;

⑵ tan`A=

, tan`B=

이므로 tan`A=

1
tan`B

 따라서 tan`A와 tan`B는 항상 역수 관계이다.

⑶ sin`B=

, cos`B=

이므로



a+b이면 sin`B와 cos`B의 값은 같지 않다.

;aB;

;cA;

 ⑴ _, 풀이 참조 ⑵ ◯ ⑶ _, 풀이 참조

0256   ⑴ cos


`

52ù<sin

52ù

`

⑷  0ù<A<90ù일 때, sin`A>0, cos`A>0이고 A의 크기

가 증가하면 sin`A의 값은 증가하고 cos`A의 값은 감소

  하므로

의 값은 증가한다.

sin`A
cos`A

 ⑴ _, 풀이 참조 ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ ◯



-

{;4!;

ABCD+

ABCD+

ABCD

;8!;

}

;4!;

0257    ⑴ ① 0.5736 ② cos x ③ 55ù 

=

ABCD=

_(6_10_sin

60ù)

;8#;

;8#;

`

=

_

6_10_ '

;8#;

{

3`
2 }

=

3`

45
'
4

`(cmÛ`)   

3`

45
'
4

`cmÛ`

  ⑵ ① sin x ② 0.8192 

  ⑶ ① tan x ② 1.4281

0258    3, 


13, AA, ACB, ACB, ABÓ, 

2

13`

13

`

0254   오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 긋고

H



2 cm

D

120$

A

4 cm

ABÓ:BCÓ=1:

3이므로

'

3k`cm

ABÓ=k`cm, BCÓ=
(k>0)라고 하면 △ABC에서
ACÓ=

3k)Û`=

kÛ`+(

'



'



C
4kÛ`=2k`(cm) (∵ k>0) yy ㉠

B

한편 꼭짓점 C에서 ADÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라
고 하면 ∠HDC=180ù-120ù=60ù이므로 △DCH에서

CHÓ=4`sin

3`
60ù=4_ '
2

`

=2

3`(cm)

'

60ù=4_

=2`(cm)

;2!;

DHÓ=4`cos

`
△ACH에서
ACÓ=

㉠, ㉡에서

¿¹

'

'

∴ ABCD

2k=2

7

 ∴ k=

즉 ABÓ=

7`cm, BCÓ=

21`cm

7

'



=△ABC+△ACD

(2+2)Û`+(2

3)Û`=

28=2

7`(cm)  yy ㉡

'



'

=

_

21_

7+

_2_4_sin`(180ù-120ù)

;2!;



;2!;

'

'

=

=

;2!;
7

_


3`
'
2

21_

7+

3`
_2_4_ '
2

;2!;

+2

3=

'

3`

11
'
2

`(cmÛ`)

 

3`

11
'
2

`cmÛ`

24  |  정답과 해설

0259     꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선

의 발을 H, AHÓ=h라고 하면 



△ABH에서 AHÓ=ABÓ sin`B
이므로 h=c sin`B

c

B

 ∴ S=

ah=

ac sin`B

;2!;

;2!;

A

h

H

a

 

C

0260   ⑴ tan`a=

이므로 a=(기울기)=

;3$;

;3$;

⑵ △AOB에서 tan`a=;3$;
  AOÓ=3k, BOÓ=4k(k>0)라고 하면

이므로

  ABÓ=

(3k)Û`+(4k)Û`=

25kÛ`=5k (∵ k>0)





  이때 AOÓ_BOÓ=ABÓ_OHÓ이므로

  3k_4k=5k_2, 12kÛ`-10k=0



  6kÛ`-5k=0, k(6k-5)=0  ∴ k=

`(∵ k>0)

;6%;

  BOÓ=4k=4_

=

;6%;

:Á3¼:

이므로

  b=(y절편)=

:Á3¼:

⑶ a+b=

+

;3$;

=

:Á3¼:

:Á3¢:

 ⑴ 

 ⑵ 

;3$;

:Á3¼:

 ⑶ 

:Á3¢:















 

 























Û`=

300=10

3



3)Û`+10Û`=



'
400=20

D



따라서 △VAD에서
3`
3`
Ö1= '
cos`x= '
3
3



20

x

B

I

10

6

20

G

0266   오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 긋고
OHÓ=x`cm라고 하면

△ABH에서
Û`=(2
BHÓ

3)Û`-(2+x)Û`





2

3 cm

A

0261   ⑴ 2xÛ`-3x+1=0에서 (x-1)(2x-1)=0

  ∴ x=1 또는 x=

;2!;

⑵ A>B이므로 sin`A=1, sin`B=

;2!;

  sin`A=1에서 A=90ù

  sin`B=

에서 B=30ù

;2!;

⑶ tan`(A-B) =tan`(90ù-30ù)=tan
`

60ù=

3

'

 ⑴ x=1 또는 x=

 ⑵ A=90ù, B=30ù ⑶ 
'

3

;2!;

0262  ⑴ △DGH에서 DGÓ=

10

cos

60ù

`

=10Ö

=20

;2!;

60ù=10

3

'
3이므로

=10

6

'

⑵ △DGH에서 DHÓ=10 tan
`
 △BFG에서 BFÓ=DHÓ=10
'
3
2`
'
3Ö '
45ù
2
`

 BGÓ=

10
sin

=10

'

⑶ △BCG에서
 BCÓ="(10
3)Û
'
'
 △BCD에서 BDÓ="(10


오른쪽 그림과 같이 점 D에서

6)Û`-(10

'

BGÓ에 내린 수선의 발을 I라
고 하면 △DBG는
DBÓ=DGÓ인 이등변삼각형이



므로

 BIÓ=GIÓ=

`BGÓ=

_10

6=5

6

;2!;

'

'

;2!;

 따라서 △DBI에서 cos`x=

5
6`
'
20

6`
= '
4

 ⑴ 20 ⑵ 10

6`
6 ⑶  '
4

'

0263   ⑴ △ABC에서 ABÓ=12이므로
3`
30ù=12_ '
3

 BCÓ=12 tan
`



=4

3

'

 ∴ △ABC=

_12_4

3=24

3

'

'

;2!;

⑵   오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그

으면 OAÓ=ODÓ이므로

 ∠ODA=∠OAD=30ù

 ∠AOD =180ù-(30ù+30ù)

A

30$


60$
6

O

B

=120ù

 ∠DOB=180ù-120ù=60ù

 ∴ ( ABÓ, ADÓ와 µ BD로 이루어진 부분의 넓이)

=( △AOD의 넓이)+(부채꼴 DOB의 넓이)

=

_6_6_sin`(180ù-120ù)+p_6Û`_

;2!;

;3¤6¼0;

=

;2!;

3`
_6_6_ '
2

+p_6Û`_

;6!;

=9

3+6p

'





























































































































⑶ 24

3-(9

3+6p)=15

3-6p

'

'

'
 ⑴ 24

3 ⑵ 9

3+6p ⑶ 15

3-6p

'

'

'

0264  A(0, 2), B(


'
OAÓ=2, OBÓ=

3, 0)이므로

'
2Û`+(

3

'

¿¹

3)Û`=

7

'

=

2

7`
'
7



2
7`

'

∴ ABÓ=

∴ sin a=

0265  BEÓ=

BCÓ=

_1=

이므로

;2!;

;2!;

;2!;

△ABE에서 AEÓ=

1Û`-

¾Ð

=

{;2!;}

®;4#;

오른쪽  그림과 같이 꼭짓점 V에서

2`

밑면에 내린 수선의 발을 D라고 하
면 점 D는 △ABC의 무게중심이므
3`
= '
3

3`
_ '
2

로 ADÓ=

`AEÓ=

;3@;

;3@;

3`
= '
2



1

x

A

 

2

7

'
7

V



C

D

B

E

3`
  '
3

2 cm

O
x cm
H

C

Û`=2Û`-xÛ`

B

'

△OBH에서 BHÓ
즉 (2

'

3)Û`-(2+x)Û`=2Û`-xÛ`에서

12-(4+4x+xÛ`)=4-xÛ`

4x=4  ∴ x=1
△OBH에서 BHÓ=

따라서 △ABH에서

2Û`-1Û`=

3 (cm)

'

sin`A-tan`A_cos`A= '
2
'
=0

3`
3`

3`
- '
3

_

3
3`

'

2

 0

∴ BDÓ=ADÓ-ABÓ=1-

=

;2!;

;2!;

△EAD에서
DEÓ=tan

60ù=

3

`
1Û`+(

'
3)Û`=

EAÓ=

¿¹

'
∴ ECÓ=EAÓ-ACÓ=2-1=1

'

4=2

따라서 CBDE의 둘레의 길이는

3`
CBÓ+BDÓ+DEÓ+ECÓ= '
2

+

;2!;

+

3+1

'

CBÓ+BDÓ+DEÓ+ECÓ=

3

'

3+3`
2



 

3

'

3+3`
2

3. 삼각비의 활용  |  25

C

D

0267   △CAB에서

BCÓ=sin

3`
60ù= '
2

`

, ABÓ=cos

60ù=

`

;2!;

0268   45ù<x<90ù일 때, sin`x>cos`x이므로


sin`x-cos`x>0, cos`x-sin`x<0



(sin`x-cos`x)Û`+

(cos`x-sin`x)Û`


=(sin`x-cos`x)-(cos`x-sin`x)



=sin`x-cos`x-cos`x+sin`x

4

원과 직선
원과 직선
원과 직선

STEP

1

기초 Build

=2 sin`x-2 cos`x

 2 sin x-2 cos x

0272  BMÓ=AMÓ=7`cm이므로 x=7

0273  ABÓ=2BMÓ=2_6=12`(cm)이므로 x=12

 12

30 cm 45$

0274  OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=8

 ∴ x=8

B

B'

0275  ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=3

 ∴ x=3

0269   오른쪽 그림과 같이 점 B에서



OAÓ에  내린  수선의  발을  H라고
하면 △OBH에서
45ù
OHÓ =30 cos

`
2`
=30_ '
2

=15

2`(cm)

'

O

H

A

∴ AHÓ =OAÓ-OHÓ=30-15

2`(cm)

'

따라서 추는 A 지점을 기준으로 (30-15

2)`cm의 높이에

'
 (30-15

2) cm

'

있다.

0270  CDÓ=h`m라고 하면


△CAD에서 ∠ACD=68ù이므로
ADÓ=h tan
△CBD에서 ∠BCD=48ù이므로
BDÓ=h tan

68ù=2.5h`(m)

48ù=1.1h`(m)

`

`
ABÓ=ADÓ-BDÓ이므로

40=2.5 h-1.1 h, 1.4 h=40  ∴ h=

200
7



따라서 CDÓ의 길이는

`m이다.

200
7

 

:ª;7);¼:`

m

0276  OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=2CNÓ=2_3=6


∴ x=6

0277  ABÓ=ACÓ이므로 OMÓ=ONÓ=4

 ∴ x=4

0278  PAÓ=PBÓ=5

cm이므로 x=5

`

0279  ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 AOBP에서
∠P=360ù-(90ù+150ù+90ù)=30ù




∴ x=30 

0280  PAÓ=PBÓ이므로 ∠PBA=∠PAB=62ù


∴ x=62

p.53

 7

 8

 3

 6

 4

 5

 30

 62

0271   ⑴ BMÓ=MCÓ이므로

 △AMC=

;2!;△ABC=

;2!;

_32

3=16

3`(cmÛ`)

'

0282  ADÓ=AFÓ=5
BEÓ=BDÓ=4


 ∴ a=5

 ∴ b=4

0281  △OAP에서 PAÓ=
PBÓ=PAÓ=2


`
21`cm이므로 x=2

-4Û

10Û

=





`

84=2

21`(cm)



21



 2

21





'

60ù

=2

3`MCÓ`(cmÛ`)

'

⑵ △AMC=

⑵ △AMC=

_8_MCÓ_sin
`
3`
_8_MCÓ_ '
2

;2!;

;2!;

 즉 2

3`MCÓ=16

3이므로

'

'

  MCÓ=

=8`(cm)

16
2

3
'
3
'

⑶ AMÓ=MCÓ=BMÓ이므로
 △ABM은 AMÓ=BMÓ인 이등변삼각형이다.
 즉 ∠BAM=∠ABM=∠x이므로
 △ABM에서
 ∠x+∠x=60ù, 2∠x=60ù  ∴ ∠x=30ù

 ∴ sin`x=sin

30ù=

`

;2!;

CFÓ=CEÓ=3

 ∴ c=3

 a=5, b=4, c=3

0283  AFÓ=ADÓ=8
BEÓ=BDÓ=4


 ∴ a=8

 ∴ b=4

CFÓ=CEÓ=9

 ∴ c=9

 a=8, b=4, c=9

0284  BEÓ=BDÓ=7


AFÓ=ADÓ=11-7=4

 ∴ a=7

 ∴ c=4

CEÓ=CFÓ

Ó=9-4=5

 ∴ b=5

 a=7, b=5, c=4









 ⑴ 16

3 cmÛ` ⑵ 8 cm ⑶ 

'

;2!;

ADÓ=AFÓ

Ó=8-4=4

 ∴ c=4

 a=8, b=4, c=4

0285  BDÓ=BEÓ=8


CFÓ=CEÓ=12-8=4

 ∴ a=8

 ∴ b=4

26  |  정답과 해설



















































STEP

2

적중유형 Drill

p.54~p.66

45ù:15ù=12:µBD

 ∴µ BD=4

(cm)
`

 4`cm

0286  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
x=7


10+x=5+12

 ∴
`

0287  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
x=18


10+15=7+x

 ∴
`

0288  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
8+7=5+(x+4)


x=6

 ∴
`

0289  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
12+8=6+(8+x)


 ∴
`

x=6

 7

 18

 6

 6

0290  ∠AOB:∠COD=µAB:µCD이므로


25ù:∠COD=3:15

 ∴∠COD=125ù

 125ù

0291  ①OAÓ,OCÓ,OEÓ는한원의반지름이므로


 OAÓ=OCÓ=OEÓ

②∠AOB=∠BOC이므로µAB=µBC

③∠BOC=∠DOE이므로BCÓ=DEÓ

④호의길이는중심각의크기에정비례한다.

 ∠AOC=2∠DOE이므로µAC=2µDE

⑤현의길이는중심각의크기에정비례하지않으므로

 ACÓ+2ABÓ

따라지옳지않은것은⑤이다.

 ⑤

0292  ∠AOB:∠BOC:∠COA
=µAB:µBC:µCA


=2:3:4

∴∠BOC=360ù_

=120ù

 120ù

3
2+3+4

0293  ACÓ∥ODÓ이므로


∠CAO=∠DOB=20ù(동위각)

오른쪽그림과같이OCÓ를그으면

OÕAÓ=OCÓ이므로

∠ACO=∠CAO=20ù

∠AOC=180ù-(20ù+20ù)


`

=140ù

∠AOC:∠DOB=µAC:µBD이므로

20$

A

20$

C

O

20$

D
3
B

140ù:20ù=µAC:3

 ∴µAC=21

 21











































































0294  OCÓ=ODÓ이므로

∠OCD=

_(180ù-100ù)=40ù

;2!;

ABÓ∥CDÓ이므로

∠AOC=∠OCD=40ù(엇각)

∠AOC:∠COD=µAC:µ CD이므로

40ù:100ù=µAC:20p  ∴µAC=8p`(cm)  8p`cm

0295  △ODE에서ODÓ=DEÓ이므로
∠DOE=∠DEO=15ù


∴∠ODC=15ù+15ù=30ù
△OCD에서OCÓ=ODÓ이므로
∠OCD=∠ODC=30ù
△OCE에서∠AOC=30ù+15ù=45ù
∠AOC:∠BOD=µAC:µ BD이므로

0296  △OAM에서
AMÓ=


10Û`-6Û`=

64=8`(cm)







∴ABÓ=2AMÓ=2_8=16`(cm)

 16`cm

0297  구하는거리는오른쪽그림에서OÕMÓ의



길이와같다.

AMÓ=

;2!;
△OAM에서
-3Û
OMÓ=





`

ABÓ=

_6=3`(cm)

;2!;

=

55`(cm)

`



O
8 cm 6 cm

A

B

M

55`cm

 



0298  OMÓ=OCÓ-MCÓ=4-1=3`(cm)


-3Û

=



△OMB에서BMÓ=
∴AMÓ=BMÓ=
7


`
cm

`

'

7`(cm)

'

`

7`cm

 

'

0299  원O의반지름의길이를r


cm,OMÓ=(r-3)

OAÓ=r

`

`

cm

`

cm라고하면

AMÓ=

ABÓ=

_12=6`(cm)

;2!; 

;2!;

△OAM에서
=(r-3)Û


`

+6Û

,rÛ

=rÛ

-6r+9+36

`

`

`

`

6r=45

 ∴r=

:Á2°:

따라서원O의반지름의길이는

cm이다.

:Á2°:`

 

:Á2°:

`cm

4. 원과 직선  |  27





















































0300  오른쪽그림과같이원O의반지
름의길이를r라고하면

0305  CDÓ의연장선은원의중심O를지난다.


오른쪽그림과같이OÕAÓ를그으면

A

B

OÕAÓ=6

cm

`

r

O

r
2

C

3

P

D

 12p



A

2 cm

 12`cm

OCÓ=r,OPÓ=

CDÓ=

CPÓ=

;2!; 
△COP에서

;2R;

;2!;

_6=3



=

`

{;2R;}

+3Û

,
`

;4#;

`



=9

∴ rÛ

=12

`

따라서원O의넓이는

2`

p_rÛ

=p_12=12p

`

0301  ODÓ=

CDÓ=

_20=10`(cm)

;2!; 

;2!;

∴OMÓ=ODÓ-MDÓ=10-2=8

`
오른쪽그림과같이OÕAÓ를그으면

(cm)

cm이므로

`

OÕAÓ=ODÓ=10
△AOM에서
-8Û
AMÓ=

10Û



`

`



=

36=6`(cm)

∴ABÓ=2AMÓ=2_6=12`(cm)

C

O

20 cm

D

M

B

0302  ∠BOM=180ù-120ù=60ù이므로


60ù=5_

△OMB에서BMÓ=5
`
ABÓ=2BMÓ=2_5

`

'

tan
`
3=10

3

'



3=5

3

'

'

 10

3

'

0303  오른쪽그림과같이원O의반지름

3 cm

C

C

D

1 cm



B

A

5 cm

6 cm

O
 2

11`cm



A

10 cm

6 cm

C

(r-6) cm

M

B

r cm

O

ODÓ=OCÓ-CDÓ=6-1=5`(cm)
△AOD에서
-5Û
ADÓ=

11`(cm)

=




`

`




`

ABÓ=2ADÓ=2_

11=2

11`(cm)





0306  AMÓ의연장선은원의중심O를지난다.
오른쪽그림과같이원O의반지름


의길이를r

cm라고하면

`

`

OBÓ=r

cm,OMÓ=(r-6)

cm

`

BMÓ=

BCÓ=

_20=10`(cm)

;2!; 

;2!;

△BOM에서
=(r-6)Û


`

+10Û

,rÛ

=rÛ

-12r+36+100

`

`

`

`

12r=136

 ∴r=

:£3¢:

따라서거울의반지름의길이는

cm이다.  

:£3¢:`

`cm

:£3¢:

0307  오른쪽그림과같이원의중심O에서
ABÓ에내린수선의발을H,OHÓ의

연장선이 원과 만나는 점을 C라고

하면

;2!;

OCÓ=

OHÓ=

;2!; 
△OAH에서
-5Û
AHÓ=

10Û

_10=5`(cm)



B

10 cm

O

A

H

C

의길이를r

cm라고하면

`

cm,OMÓ=(r-3)

cm

`

OAÓ=r
`
△AOM에서
=(r-3)Û


`

+9Û

`
-6r+9+81

`



=rÛ

`

`
6r=90

 ∴r=15

`

A

9 cm

M

B

r cm

(r-3) cm

=

75=5

3`(cm)



`
∴ABÓ=2AHÓ=2_5



`

'
3=10

'

3`(cm)

'

 10

3`cm

'

O

0308  오른쪽그림과같이ABÓ와OPÓ의교

A

4 cm

점을H라고하면∠AHO=90ù

따라서원O의지름의길이는30

cm이다.

 30`cm

`

C

O

3 cm

4 cm

r cm

D
(r-3) cm

B

0304  CDÓ의연장선은원의중심O를지난다.
오른쪽그림과같이원O의반


지름의길이를r

cm라고하면

OAÓ=r

cm,ODÓ=(r-3)

cm

A

`

`

_8=4`(cm)

`

;2!;

ABÓ=

ADÓ=

;2!; 
△AOD에서
=(r-3)Û


`

+4Û

,rÛ
`

`

`

`

=rÛ

-6r+9+16

6r=25

∴

r=

`

:ª6°:`

따라서원의반지름의길이는

:ª6°:`

cm이다.


;2!;

OPÓ=

OHÓ=

;2!; 
△OAH에서
-2Û
AHÓ=





`

`



∴ABÓ=2AHÓ=2_2

_4=2`(cm)

P H

O

B

=

12=2

3

(cm)

'
`
3=4

'

3

(cm)

'

`

 4

3`cm

'

0309  오른쪽그림과같이원의중심O에서
ABÓ에내린수선의발을H,원O의

38

cm

A

H



B

r cm

O


2

cm

반지름의길이를r

cm라고하면

OÕAÓ=r

cm,OHÓ=

`cm

`

`

;2R;

AHÓ=

ABÓ=

_8

3=4

3`(cm)

;2!; 

;2!;

'

'

△AOH에서rÛ

=(4

3)Û`+

`

'

{;2R;}



=48+



=64

`

`

=48



,


`
4
∴ r=8

;4#;

`

(∵r>0)

`

2`

 

:ª6°:

`cm

 8`cm

28  |  정답과 해설















































 5`cm

⑤△OAH와△OCI에서

0310  오른쪽그림과 같이원의중심 O에
서ABÓ에내린수선의발을H,원O

의반지름의길이를r라고하면



B

r
2

O

H

r

A

OÕAÓ=r,OHÓ=

;2R;

△OAH에서

;2R;

=

Ör=

cos
`

(∠AOH)=

OHÓ
OAÓ
이때∠AOH<90ù이므로∠AOH=60ù
△OAHª△OBH이므로∠AOH=∠BOH
∴∠AOB=2∠AOH=2_60ù=120ù


;2!;

 120ù 

0311  OHÓ⊥ABÓ이므로

BHÓ=

ABÓ=

_8=4`(cm)

;2!; 

;2!;

따라서△OHB에서
+4Û
OBÓ=

=




`

`



25=5`(cm)

0312  오른쪽그림과같이OÕAÓ를그으면
OAÓ=OCÓ=2+6=8`(cm)
OHÓ⊥ABÓ이므로△OAH에서
=
AHÓ=

60=2

-2Û

15`(cm)








`

`



∴ABÓ=2AHÓ=2_2




15


15`(cm)

=4



0313  오른쪽그림과같이ABÓ와작은원의
접점을 H, 큰 원의 반지름의 길이를

R

cm,작은원의반지름의길이를

r

`
cm라고하면

`
OHÓ⊥ABÓ이므로

A

8 cm

O

2 cm

6 cm

H

C

B

 4

15`cm







O

H

8 cm

AHÓ=

ABÓ=

_8=4`(cm)

;2!; 

;2!;

△OAH에서RÛ`=4Û`+rÛ`

`

(색칠한부분의넓이)=pRÛ`-prÛ

 ∴
`


`

RÛ`-rÛ`=16



`



=p(RÛ`-rÛ`)

=16p

(cmÛ`)

`

 16p`cmÛ`



B



∴

0314  오른쪽그림과같이ABÓ와작은원의
접점을H,큰원의반지름의길이를

R

r

cm,작은원의 반지름의 길이를

`
cm라고하면색칠한부분의넓이

A

O

H

`
가27p

cmÛ

이므로
`

`

pRÛ`-prÛ`=27p,p(RÛ`-rÛ`)=27p  ∴RÛ`-rÛ`=27
OHÓ⊥ABÓ이므로△OAH에서
AHÓ=

RÛ`-rÛ`=

3`(cm)

27=3





∴ABÓ=2AHÓ=2_3

3`(cm)

'
3=6

'

'

 6

3`cm

'





































0315  △OMB에서BMÓ=

∴ABÓ=2BMÓ=2_


(3

'
6=2

'

6

`

'

2)Û`-(2

3)Û`=

'

6

`

'

따라서OMÓ=ONÓ이므로

CDÓ=ABÓ=2

6

'

 2

6

'

0316  ONÓ⊥CDÓ이므로CNÓ=DNÓ=3
'
3)Û


-(3

3

`
=

cm

△OCN에서ONÓ=
`
따라서ABÓ=CDÓ이므로




'

`



'

54=3

6`(cm)

OMÓ=ONÓ=3

6

cm

'

`

 3

6`cm

'

0317  ①OHÓ⊥ABÓ이므로AHÓ=BHÓ
OHÓ=OIÓ이므로ABÓ=CDÓ
②

③

④

OHÓ와OIÓ는각각ABÓ와CDÓ를수직이등분하고 

ABÓ=CDÓ이므로AHÓ=BHÓ=CIÓ=DIÓ

AHÓ=OHÓ인지알수없다.

∠OHA=∠OIC=90ù,OAÓ=OCÓ(반지름),

 OHÓ=OIÓ이므로 △OAHª△OCI
따라지옳지않은것은④이다. 

`

(RHS합동)

 ④



B

5 cm

O

N

C

D

0318  오른쪽그림과같이원O의중심에서
ABÓ,CDÓ에내린수선의발을각각M,

6 cm
A

M

N이라고하면ABÓ∥CDÓ이므로세점

M,O,N은일직선위에있다.

BMÓ=

ABÓ=

_6=3`(cm)

;2!; 

;2!;

이므로△OBM에서OMÓ=
ABÓ=CDÓ이므로OMÓ=ONÓ




`

-3Û

=

16=4`(cm)

`



따라서두현AB,CD사이의거리는8

cm이다.  8`cm

`

0319  OMÓ=ONÓ이므로ACÓ=BCÓ


즉△ABC는ACÓ=BCÓ인이등변삼각형이므로

∠CAB=

_(180ù-68ù)=56ù

;2!;

 56ù 

0320  OMÓ=ONÓ이므로ACÓ=BCÓ


즉△ABC는ACÓ=BCÓ인이등변삼각형이므로
∠CBA=∠CAB=70ù

∠BCA=180ù-2_70ù=40ù

 40ù

`

`

0321  OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=BCÓ


즉△ABC는ABÓ=BCÓ인이등변삼각형이다.
MBNO에서

∠MBN=360ù-(90ù+90ù+124ù)=56ù

∴∠BCA=

_(180ù-56ù)=62ù

 62ù

;2!;

































4. 원과 직선  |  29

A

B

∴

MNÓ=2OMÓ=2_4=8`(cm)

0322  ①,⑤OMÓ⊥ABÓ이므로ABÓ=2AMÓ=2_4=8`(cm)


 OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=ACÓ

0327  △PBA는PAÓ=PBÓ인이등변삼각형이므로















































 ∴∠ABC=∠ACB=

_(180ù-60ù)=60ù

;2!;

 즉△ABC는정삼각형이므로
 ABÓ=BCÓ=ACÓ=8

cm

`

②CNÓ=ANÓ=

ACÓ=

_8=4`(cm)

;2!;

;2!;

③,④AOÓ를그으면△OAMª△OAN이므로
 ∠OAM=∠OAN=30ù

 △OAN에서ONÓ=4

tan
`

`

30ù=

4

3

'
3

`(cm)

 OAÓ=

4
cos`30ù

3
=4Ö '
2

=

8

3

'
3

`(cm)



따라지옳지않은것은⑤이다.

 ⑤

0323  ODÓ=OEÓ=OFÓ이므로ABÓ=BCÓ=ACÓ


즉△ABC는정삼각형이다.
AOÓ를그으면△ADOª△AFO이므로



∠DAO=

∠DAF=

_60ù=30ù

;2!;

;2!;

이때ADÓ=

ABÓ=

_6=3`(cm)이므로

;2!; 

;2!;

△ADO에서AOÓ=

3
cos`30ù

3
=3Ö '
2

=2

3`(cm)

'

따라서원O의넓이는

p_(2

3)Û`=12p

(cmÛ`)

'

`

 12p`cmÛ`

0324  △POT에서∠PTO=90ù이고



TOÓ=AOÓ=4

cm,



`

POÓ=PAÓ+AOÓ=2+4=6`(cm)이므로

PTÓ=




`

-4Û

=

20=2

5`(cm)

`



'

 2

5`cm

'

0325  원O의반지름의길이를r


`

cm라고하면

`

cm,POÓ=4+r`(cm)

OTÓ=r
∠PTO=90ù이므로△OPT에서
(4+r)Û

=8Û

+rÛ

,16+8r+rÛ
`

`

`

`
8r=48

 ∴r=6

=64+rÛ

`

∠PAB=

_(180ù-58ù)=61ù

;2!;

∠OAB=∠PAO-∠PAB=90ù-61ù=29ù  29ù


`

0328  PAÓ=PBÓ이므로

∠PAB=∠PBA=

_(180ù-60ù)=60ù

따라서△PAB는정삼각형이므로그둘레의길이는
3PAÓ=3_12=36

(cm)

 36`cm

;2!;

`

0329  ∠PBO=90ù이므로


∠PBA=∠PBO-∠ABC=90ù-24ù=66ù
PAÓ=PBÓ이므로△PAB에서
∠P=180ù-2_66ù=48ù

 48ù 

0330  ∠PAO=∠PBO=90ù이므로PAOB에서


∠AOB=360ù-(50ù+90ù+90ù)=130ù

따라서색칠한부분의중심각의크기는

360ù-130ù=230ù

가23p

cmÛ

`

이므로
`

원O의반지름의길이를r

cm라고하면색칠한부분의넓이

`

p_rÛ

_

`

;3@6#0);

=23p,rÛ

=36
`

 ∴r=6(∵r>0)

따라서원O의반지름의길이는6

cm이다.

 6`cm

`

0331  PAÓ=PBÓ=12,∠PAO=90ù이므로


△AOP에서POÓ=



`


PCÓ=POÓ-COÓ=13-5=8

+12Û

=



`

`

169=13

0332  OPÓ=OCÓ+CPÓ=8+9=17,∠PAO=90ù이므로
17Û


225=15

-8Û

=



`

`



△AOP에서PAÓ=
PBÓ=PAÓ=15

`

0333  원O의반지름의길이를r라고하면
COÓ=r,POÓ=PCÓ+COÓ=4
2+r

∠PAO=90ù이므로△APO에서
2r+rÛ
+rÛ
(4
`

,32+8
`

2+r)Û`=8Û

'

'

'





`

=64+rÛ

`

 8

 15































0326  오른쪽그림과같이OTÓ를그

T

따라서원O의넓이는

p_6Û

=36p

(cmÛ`)

`

`

으면

OTÓ=AOÓ=4

cm,

`

∠PTO=90ù이므로
△POT에서
4
tan`30ù

PTÓ=

3
=4Ö '
3

30  |  정답과 해설

 36p`cmÛ`

8

2r=32

'

 ∴
`

r=

=2

2

'

32
2
8

'

따라서원O의반지름의길이는2

2이다.

'

 2

2

'

30$

P

A

4 cm O

B

=4

3`(cm)

'

 4

3`cm

'



0334  오른쪽그림과같이POÓ를그으면
△APOª△BPO이므로

∠AOP=∠BOP=60°
△APO에서
18
tan`60ù

=18Ö

OAÓ=

3=6

'

'

3





`

18 cm

P

60$

O

A

B

(cm)

 6

3`cm

'

0335  ∠PAO=∠PBO=90ù이므로AOBP에서


∠AOB=360ù-(90ù+90ù+60ù)=120ù

오른쪽그림과같이POÓ를그으면

0340  ∠ADO=90ù이므로△AOD에서
-7Û


176=4

ADÓ=

15Û

=

11`(cm)

`

`




ADÓ=AFÓ,BDÓ=BEÓ,CEÓ=CFÓ이므로
(△ABC의둘레의길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ



=ADÓ+AFÓ=2ADÓ

=2_4

11=8

11`(cm)





 8

11`cm









0341  AFÓ=ADÓ=ABÓ+BDÓ=13+7=20`(cm),
cm이므로


BEÓ=BDÓ=7

`

 12p`cmÛ`

CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=12-7=5

(cm)

`

∴ACÓ=AFÓ-CFÓ=20-5=15`(cm)

 15`cm

26

cm

P

6 cm

O

A

M

B

0342  ①AEÓ,AFÓ는원O의접선이므로AEÓ=AFÓ
②CEÓ,CDÓ는원O의접선이므로CEÓ=CDÓ


⑤ABÓ+BCÓ+CAÓ=AFÓ+AEÓ=2AEÓ

따라서옳지않은것은③,④이다.

 ③, ④































 

 

 

 









A

O

60$

36

cm

B

P





△PAOª△PBO이므로
∠AOP=∠BOP=60°
△AOP에서
3
'
tan`60ù

OAÓ=



=6

'

6

'

3

OA=6

(cm)

`

따라서색칠한부분의넓이는

p_6Û

_

`

;3!6@0);

=12p`(cmÛ`)

0336  오른쪽그림과같이POÓ를긋고
POÓ와 ABÓ의 교점을 M이라고

하면

ABÓ⊥POÓ,AMÓ=BMÓ

∠PAO=90ù이므로
△APO에서
2)Û
POÓ=

+6Û

(6

=

¿¹

`
PAÓ_OAÓ=AMÓ_POÓ이므로

'



`

'

`

108=6

3

(cm)

AMÓ=

36
6

2
'
3
'
6`(cm)

6

2_6=AMÓ_6

'

3

'

 ∴
`

=2

6

(cm)

'

`

6`cm

'

'

 4

6=4

∴ABÓ=2AMÓ=2_2
'
참고   △APOª△BPO이므로 ∠POA=∠POB
△OAM과 △OBM에서
OAÓ=OBÓ

(반지름), ∠MOA=∠MOB, OMÓ은 공통이므로 
`
△OAMª△OBM
∴ ABÓ⊥POÓ, AMÓ=BMÓ

(SAS 합동)
`

0337  ADÓ=AFÓ,BDÓ=BEÓ,CEÓ=CFÓ이므로


(△ABC의둘레의길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ
=ADÓ+AFÓ=2ADÓ
`
즉2ADÓ=7+6+9=22이므로ADÓ=11`(cm)



∴BDÓ=ADÓ-ABÓ=11-7=4`(cm)

 4`cm

0338  ADÓ=AFÓ,BDÓ=BEÓ,CEÓ=CFÓ이므로


(△ABC의둘레의길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ

=ADÓ+AFÓ=2ADÓ

=2_8=16`(cm)

 16`cm







0339  ADÓ=AFÓ=17


`

cm이므로

BEÓ=BDÓ=ADÓ-ABÓ=17-13=4`(cm)

CEÓ=CFÓ=AFÓ-ACÓ=17-11=6`(cm)

∴BCÓ=BEÓ+CEÓ=4+6=10`(cm)

 10`cm















































0343  오른쪽그림과같이점D에서
BCÓ에내린수선의발을H라

고하면

BHÓ=ADÓ=4

cm

`
CDÓ=DEÓ+CEÓ=ADÓ+BCÓ

=4+9=13`(cm)

CHÓ=BCÓ-BHÓ=9-4=5`(cm)
△CDH에서DHÓ=
∴ABÓ=DHÓ=12


cm

-5Û

13Û

=



`

`

`



`

C



H

9 cm

E

D
4 cm

A

O

B

144=12`(cm)

 12`cm

0344  ADÓ+BCÓ=DEÓ+CEÓ=CDÓ=7

cm

ABCD=

_(ADÓ+BCÓ)_ABÓ


`

;2!;

;2!;

=

_7_6=21`(cmÛ`)

 21`cmÛ`

0345  ①,②두직선l,m은반원O와점A,B에서각각접하므로


l⊥ABÓ,m⊥ABÓ

 ∴l∥m



③ACÓ+BDÓ=CEÓ+DEÓ=CDÓ>ABÓ

즉ABÓ+ACÓ+BDÓ이다.

④,⑤△OACª△OEC이므로∠AOC=∠EOC
 △OBDª△OED이므로∠BOD=∠EOD
 ∴∠COD=∠EOC+∠EOD

=

(∠AOE+∠BOE)

;2!;

;2!;

=

_180ù=90ù

 즉△COD는∠COD=90ù인직각삼각형이다.
따라서옳지않은것은③이다.

 ③

4. 원과 직선  |  31

0346  오른쪽그림과같이점A
에서CDÓ에내린수선의

(x+8) cm
E

(8-x) cm

D

H

C

0353  ADÓ=x


`

cm라고하면AFÓ=ADÓ=x

cm

`
cm이고

`

cm,CEÓ=CFÓ=8

BDÓ=BEÓ=6
(△ABC의둘레의길이)=2(ADÓ+BEÓ+CFÓ)이므로
38=2(x+6+8),2x=10

∴ x=5

`

 5`cm

발을H라하고

ABÓ=x

cm라고하면

`
CHÓ=ABÓ=x
`
DHÓ=DCÓ-CHÓ=8-x`(cm)

cm

A

x cm

O

B

28

cm

ADÓ=AEÓ+EDÓ=ABÓ+CDÓ=x+8`(cm)

AHÓ=BCÓ=8

2

cm이므로△AHD에서

`

'
=(8-x)Û

+(8

2)Û``

'

`



+16x+64=64-16x+xÛ

(x+8)Û

`

`

`
+128

`

32x=128

∴

x=4

`

0347  오른쪽그림과같이점E에서CDÓ

A

에내린수선의발을H라하고

cm라고하면

DEÓ=x
`
DPÓ=CDÓ=10

cm이므로

`
CHÓ=BEÓ=PEÓ=x-10`(cm)

DHÓ=CDÓ-CHÓ=10-(x-10)

x cm

P

O
10 cm

E

B

=20-x`(cm)

△DEH에서


=10Û

+(20-x)Û

`

`

,xÛ
`

`

=100+400-40x+xÛ
`

 4`cm

D

H

C

10 cm

0354  CFÓ=x라고하면CGÓ=CFÓ=x


BHÓ=BFÓ=14-x,AHÓ=AGÓ=17-x

ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로

13=(17-x)+(14-x)

`

∴

x=9

2x=18
∴(△DEC의둘레의길이)=DEÓ+ECÓ+CDÓ
=CFÓ+CGÓ=2CFÓ





=2_9=18

 18

0355  ABÓ=




16Û

+12Û

=

400=20`(cm)

`

`



오른쪽그림과 같이OEÓ, OFÓ

를긋고,원O의반지름의길이

를r

cm라고하면

`

ADÓ=AFÓ=12-r`(cm)

BDÓ=BEÓ=16-r`(cm)

ABÓ

Ó=ADÓ+BDÓ이므로

A

D

O

12 cm
F

r cm

B

E

C

16 cm

따라서원O의반지름의길이는4

cm이다.

 4`cm

`

`

0356  ABÓ=


10Û

-6Û

=

64=8

(cm)




오른쪽그림과같이ODÓ,OEÓ를긋고

`

`

`

원 O의 반지름의 길이를 r

cm라고

`

A



10 cm
F

D

B

O

E
6 cm

C

40x=500

∴ x=



:ª2°:

 

:ª2°:

`cm

20=(12-r)+(16-r),2r=8

∴

r=4

0348  CAÓ=CPÓ,CPÓ=CBÓ이므로CAÓ=CPÓ=CBÓ


`

CPÓ=

ABÓ=

_14=7

(cm)

;2!; 

;2!;

`

  7`cm

0349  PAÓ=PCÓ,PCÓ=PBÓ이므로PAÓ=PCÓ=PBÓ


3x+1=2x+3

x=2

 ∴
`

  2

하면

0350  CEÓ=x


`

cm라고하면CFÓ=CEÓ=x

cm

`

ADÓ=AFÓ=14-x`(cm),BDÓ=BEÓ=16-x`(cm)

ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로

15=(14-x)+(16-x),2x=15

 ∴x=


:Á2°:`

0351  ARÓ=APÓ=2


CQÓ=CRÓ=6-2=4

BPÓ=BQÓ=10-4=6


`

0352  AEÓ=AFÓ=4


`
BDÓ=BFÓ=9-4=5`(cm)

cm

CEÓ=CDÓ=8-5=3`(cm)

32  |  정답과 해설

∴ACÓ=AEÓ+CEÓ=4+3=7`(cm)

 7`cm

AFÓ=ADÓ=8-r`(cm)

CFÓ=CEÓ=6-r`(cm)

ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로

10=(8-r)+(6-r)

 ∴r=2

2r=4
따라서△ADO에서
+2Û
AOÓ=

=



cm,

`
cm이므로

cm라고하면
를r
`

CEÓ=CFÓ=r

`
AFÓ=ADÓ=6

cm

BEÓ=BDÓ=9

BCÓ=9+r

`
ACÓ=6+r

`
(cm)

(cm)

`

 

:Á2°:

`cm




`

`



40=2

10

(cm)



`

 2

10`cm



0357  오른쪽그림과같이OEÓ,OFÓ
를긋고원O의반지름의길이

 6

F

E

C

O

A

6 cm

D

9 cm

B





































































































































△ABC에서15Û
225=81+18r+rÛ

`

=(9+r)Û

+(6+r)Û

`
+36+12r+rÛ

`

(r-3)(r+18)=0

`
따라서원O의반지름의길이는3

 ∴r=3

`
,rÛ
`
`
(∵r>0)

cm이다.

`

+15r-54=0

 3`cm

0363  오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점
A,D에서BCÓ에내린수선의발

을각각H,H'이라고하면

BHÓ=CH'Ó=

_(16-8)

;2!;

BH=4

(cm)

`

A

8 cm

D



12 cm

O

B

H
4 cm

C

8 cm

H'

4 cm

0358  오른쪽그림과 같이 ODÓ,OEÓ를

A





ABÓ=CDÓ이고ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

F

5 cm

1 cm
D

O

B

E

1 cm

C

2ABÓ=24

 ∴ABÓ=12

(cm)

`
-4Û

△ABH에서AHÓ=
`
따라서원O의지름의길이는8

12Û



`

=

128=8

'
cm이다.


2

2`(cm)

'

`

 8

2`cm

'

cm라고하면

긋고ADÓ=x

`
AFÓ=ADÓ=x

cm,

`

CEÓ=CFÓ=5-x
`

(cm)

BDÓ=BEÓ=1

cm이므로

ABÓ=x+1

(cm)

`

`

BCÓ=1+(5-x)=6-x`(cm)
△ABC에서(x+1)Û


+(6-x)Û

`

`

`

+2x+1+36-12x+xÛ
`
`
x=2또는x=3

(x-2)(x-3)=0

=25,xÛ

∴

=5Û

`
-5x+6=0

`

이때ABÓ<BCÓ이므로

ABÓ=2+1=3`(cm),BCÓ=6-2=4`(cm)

0364  DEÓ=x

cm라고하면

`

ABÓ+DEÓ=ADÓ+BEÓ이므로

10+x=12+BEÓ

∴ BEÓ=x-2

(cm)

CEÓ=BCÓ-BEÓ=12-(x-2)=14-x
△DEC에서xÛ


=196-28x+xÛ

=(14-x)Û

+100

+10Û

`

`

`

`

`

`

`

(cm)

28x=296

∴ x=


:¦7¢:`

 

:¦7¢:

`cm

∴

`△ABC=

;2!;

_4_3=6`(cmÛ`)

 6`cmÛ`

0359  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ=6+5=11`(cm)이므로


(ABCD의둘레의길이)=ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ

=11+11



0365  △ABE에서AEÓ=


BCÓ=x라고하면

13Û

-12Û

=

25=5



`

`



EDÓ=ADÓ-AEÓ=x-5

BEÓ+CDÓ=EDÓ+BCÓ이므로

=22`(cm)

 22`cm

13+12=(x-5)+x,2x=30

∴ x=15

 15

0360  △ABC에서ABÓ=


`
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

-8Û

10Û



`

=

36=6`(cm)



0366  AEÓ=AFÓ=BFÓ=BGÓ=

_2=1이므로

;2!;

DHÓ=DEÓ=3-1=2

6+CDÓ=5+8

∴ CDÓ=7`(cm)

 7`cm

GIÓ=x라고하면

0361  ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=17+8=25

∴

ABCD=

_(ADÓ+BCÓ)_CDÓ

`

;2!;

;2!;

=

_25_8

=100

0362  오른쪽그림과같이OEÓ,OFÓ를
긋고 원 O의반지름의 길이를

8 cm

D



O

10 cm

r cm

A

F
7 cm

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

B

r cm

E

5 cm

C

r

cm라고하면

`
BEÓ=r

cm

`

7+10=8+(r+5)

∴r=4

따라서원O의넓이는

p_4Û

=16p

(cmÛ`)

`

`

 16p`cmÛ`

 100

0367  오른쪽 그림과 같이두 원 O,
O'이BCÓ와만나는점을각각

12 cm


D

IHÓ=GIÓ=x,DIÓ=2+x,CIÓ=3-1-x=2-x`
△DIC에서(2+x)Û`=(2-x)Û`+2Û`
=4-4x+xÛ
4+4x+xÛ

+4

`

`

8x=4

∴ x=


;2!;

A

B

O

R

P

P,Q,점O'에서OPÓ에내린수

8 cm

선의발을R라하고원O'의반

cm라고하면
지름의길이를r
`

cm이므로
원O의반지름의길이는4
`

OO'Ó=4+r

(cm)

`

RO'Ó=PQÓ=BCÓ-(BPÓ+QCÓ)

=12-(4+r)=8-r`(cm)

ORÓ=OPÓ-RPÓ=4-r`(cm)
△ORO'에서(4+r)Û

=(8-r)Û

`

+(4-r)Û

`

`

 

;2!;

O'

C

Q

4. 원과 직선  |  33

















































이때 ∠AOM<90ù이므로 ∠AOM=60ù

∴ ∠AOB=2∠AOM=2_60ù=120ù

∴ (색칠한 부분의 넓이)

 =(부채꼴 OAB의 넓이)-△OAB

 =p_8Û

_

-

_8

3_4

`

;3!6@0);

;2!;

'

 =

p-16



:¤3¢:

'

(cid:9000) 

:¤3¢:

p-16

3

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

`

16+8r+rÛ

=64-16r+rÛ

+16-8r+rÛ



-32r+64=0 

`
그런데 r<4이므로 r=16-8

`
  ∴ r=16Ñ8

3

'

`

3

'

따라서 원 O'의 지름의 길이는

2(16-8

3)=32-16

3`(cm) 

'

'

(cid:9000) (32-16

3)`cm

'

0368   O'HÓ=4-2=2`(cm)이므로
 

△O'OH에서 
-2Û

OHÓ=


`

`

=

32=4

2`(cm) 



'

(cid:9000) 4

2`cm

'

STEP

3

응용유형 Master

0369   오른쪽 그림과 같이 점 O에서 CDÓ
에 내린 수선의 발을 H라고 하면

C

H

D

34

cm

A

B

O
16 cm

CHÓ=

 CDÓ

;2!;

;2!;

CH=

_4

3=2

3

(cm)

'

'

`

_16=8`(cm)

;2!;

 ABÓ=

OCÓ=

;2!;
△COH에서
OHÓ=


¿¹
∴ △COD=

`

-(2

'

;2!;

3)Û`=

52=2

13

(cm)





`

_4

3_2

13=4

39

(cmÛ`)

'





`

따라서 원 O의 지름의 길이는 

`cm이다. 

:¢3¼:

(cid:9000) 

:¢3¼:

`cm

0370   오른쪽 그림에서 원 O의 반지름의 길
cm라고 하면

이를 r

(cm) 

`
OHÓ=12-r
`
△OAH에서


=4Û

+(12-r)Û

`

`



=16+144-24r+rÛ

`

`

24r=160 

  ∴ r=

`

:ª3¼:

0371   오른쪽 그림과 같이 원 O의 중심에
서 ABÓ에 내린 수선의 발을 M이라

고 하면

OAÓ=8, OMÓ=8_

=4이므로

;2!;

△OAM에서
-4Û
AMÓ=



=

48=4



`
∴ ABÓ=2AMÓ=2_4



`

3

'
3=8

3

'

'
OMÓ
OAÓ

또 cos
`

(∠AOM)=

=

=

;8$;

;2!;

34  |  정답과 해설

0372   한 원에서 길이가 같은 현은 원
의  중심으로부터  같은  거리에 

있으므로  오른쪽  그림과  같이 

p.67~p.70

원 O의 내부에 그 거리를 반지

A

H

O

6

B

름으로 하는 원이 그려진다. 원

의 중심 O에서 현 AB에 내린 

수선의 발을 H라고 하면

AHÓ=

ABÓ=

_6=3

;2!; 

;2!;

따라서 현이 지나간 부분의 넓이는 
p_OAÓ Û

`-p_OHÓ Û
`

 =p(OAÓ Û
=p_3Û

`-OHÓ Û
=9p 

`

`)=p_AHÓ Û
``

 

(cid:9000) 9p

(cid:9000) 4

39

cmÛ`



`

(12-r) cm

O

r cm

4 cmA

BH

0373   오른쪽 그림과 같이 점 O에서
ABÓ, CDÓ에 내린 수선의 발을 

각각 M, N이라고 하면

C

5 cm

15 cm
M

 

B

A

3 cm

H

N

O

9 cm

D

BMÓ=

 ABÓ=

_(3+15)

=9

(cm)

;2!;

`

;2!;

;2!;

;2!;

DNÓ=

 CDÓ=

_(5+9)=7`(cm)

OMÓ=NHÓ=DHÓ-DNÓ=9-7=2
△OBM에서 OBÓ=

+2Û

85

=

(cm)

`
(cm) 

`



`




`

85`cm

(cid:9000) 



8

O

4

60$

A

M

P

B

 

52

r

O

H

C

A

4

B

0374   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서
ABÓ에  내린  수선의  발을  H라고 

하면 CHÓ는 현 AB의 수직이등분

선이므로 CHÓ의 연장선은 원의 중

심 O를 지난다. 

AHÓ=

ABÓ=

_8=4

;2!;

;2!;

△AHC에서 CHÓ ="Ã(2
OÕAÓ를 긋고 OÕAÓ=r라고 하면

'

5)Û`-4Û

=

4=2

`

'

OHÓ=OCÓ-CHÓ=r-2
△AOH에서 (r-2)Û
  ∴ r=5
4r=20 

`

+4Û

=rÛ

`

`

따라서 원 O의 반지름의 길이는 5이다. 

(cid:9000) 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0375  OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=BCÓ

즉∠C=∠A=60ù이므로∠B=180ù-(60ù+60ù)=60ù
따라서△ABC는정삼각형이다.
오른쪽그림과같이OBÓ를그으

A

_12=6

(cm)이므로

`

면

OBÓ=

;2!;
△OBN에서
-3Û
BNÓ=




`

∴

`

BCÓ=2BNÓ=2_3

'
∴(색칠한부분의넓이)

=

27=3

3(cm)

`



'
3=6

(cm)

3
'

`

M

6 cm

B

3 cm

C

60$

O

N

=(원O의넓이)-△ABC

=p_6Û

-

_6

3_6

`

;2!;

'

3_sin
`

'

60ù







=36p-27

3

(cmÛ

)

'

`


`

`

 (36p-27

3)`cmÛ`

'

0376  △ABC에서BCÓ=





`

오른쪽그림과같이반원O의반지

`

'

-4Û

=

9=3`(cm)



름의길이를r

cm라고하면

cm

`
OCÓ=OHÓ=r
`
△ABC=△ABO+△AOC
이므로

_3_4=

_5_r+

_4_r

;2!;

;2!;

;2!;

A

4 cm

5 cm

H

B

O
r cm r cm

C

0378  오른쪽그림과같이원O'과OAÓ,

B



OBÓ의접점을각각C,D라하고

원O'의반지름의길이를r라고하

면OO'Ó=10-r,O'CÓ=r
△O'OCª△O'OD이므로
∠O'OC=∠O'OD=30ù

10

D

10-r
O'

r

30$

O

r

C

A

△O'OC에서sin

30ù=

`

r
10-r

=

;2!;

이므로

2r=10-r,3r=10

∴ r=



:Á3¼:

 

:Á3¼:



















































∴













































0379  오른쪽그림과같이반원O와CDÓ
의접점을E라하고점C에서ADÓ

에내린수선의발을H라고하면

D

H

5

DEÓ=DAÓ=5,CEÓ=CBÓ=3

A

O

E

C

3

B

AHÓ=BCÓ=3이므로

-2Û




DHÓ=ADÓ-AHÓ=5-3=2
△DHC에서CHÓ=
ABÓ=CHÓ=2
`△DOC
=ABCD-(△DAO+△BCO)

`
15이므로OAÓ=OBÓ=

60=2

=









`

15

15

=

_(3+5)_2

15-

_

15_5+

_

15_3



{;2!;



;2!;



}

;2!;

=4

15



`



다른 풀이  오른쪽 그림과 같이 OEÓ

D

 4

15



E

C

B

3

5

A

O

를그으면
△DAOª△DEO,
△BCOª△ECO이므로
△DOC=△DEO+△ECO

=

DAOE+

EOBC

;2!;

;2!;

;2!;

=

ABCD

=

_

;2!;

;2!;

_(3+5)_2

15



=4

15



삼각형이다.

∠QAP=∠QPA=∠x, ∠QPB=∠QBP=∠y라고하
면△APB에서
∠x+(∠x+∠y)+∠y=180ù  ∴
`

∠x+∠y=90ù

 90ù

A



7

8

5

J

O

I
P
H
2
CG
2
N

3

M

D

K
L

E

5

6

B

4

F

AKÓ+APÓ=ADÓ+DIÓ+AIÓ



=8+5+7=20

EKÓ=ELÓ,FMÓ=FLÓ이므로

BKÓ+BMÓ=BEÓ+EFÓ+BFÓ



=6+5+4=15

GMÓ=GNÓ,HPÓ=HNÓ이므로

CMÓ+CPÓ=CGÓ+GHÓ+CHÓ

=2+3+2=7





∴(△ABC의둘레의길이)



=(AKÓ+APÓ)+(BKÓ+BMÓ)+(CMÓ+CPÓ)



=20+15+7=42

 42

4. 원과 직선  |  35

9r=12

∴

r=


;3$;`

`

 

;3$;

`cm

0380  QAÓ=QPÓ=QBÓ이므로△QAP와△QPB는모두이등변

A



12

E

C

16

D

B

12

O

0377  오른쪽그림과같이원O와ABÓ,
ACÓ의접점을각각D,E라고하

면△ADOª△AEO이므로
∠DAO=∠EAO

즉AOÓ는∠BAC의이등분선이므로

ABÓ:ACÓ=BOÓ : COÓ

16:12=12:COÓ

∴

COÓ=9

`

∴

∠APB=∠x+∠y=90ù

`

0381  오른쪽그림과같이접점을차례로
J,K,L,M,N,P라고하면

 9

DKÓ=DJÓ,IPÓ=IJÓ이므로

Ô
Ô
Ô
Ô
Ô
Ô
Ô
Ô
Ô
9 cm

r cm

r cm

O

r cm

E

B
2 cm

P

=(6+r)Û

+(9+r)Û

`
+81+18r+rÛ

`

`
,rÛ
`
`
(∵r>0)

`

+15r-54=0

(r-3)(r+18)=0

∴ r=3`

∴(색칠한부분의넓이)=ODBE-(부채꼴EOD의넓이)

0382  BEÓ=x라고하면BFÓ=BEÓ=x
CHÓ=CGÓ=CFÓ=11-x


AIÓ=AGÓ=AEÓ=25-x

DIÓ=DHÓ=10-(11-x)=x-1

∴ADÓ=AIÓ+DIÓ=(25-x)+(x-1)=24

 24

0386  ABÓ=

6

3
'
cos`30ù

=6

3
3Ö '
2

'

=12

(cm)

`

ACÓ=6

3

tan
`

`

'

30ù=6

3
3_ '
3

'

=6

(cm)

`

오른쪽그림과같이OEÓ,OFÓ

를긋고원O의반지름의길

12 cm























































E

4

D

Q

C

  4

0383  오른쪽그림과같이접점을차례
로 G, H, I, J, K, L이라 하고

3

F

x
L K

A

G

5

O

H

J

2

I

D

B

4

C

FKÓ=x라고하면

FLÓ=FKÓ=x

AGÓ=ALÓ=3-x

BHÓ=BGÓ=5-(3-x)=2+x

CIÓ=CHÓ=4-(2+x)=2-x

DJÓ=DIÓ=2-(2-x)=x

EKÓ=EJÓ=4-x

∴ EFÓ=(4-x)+x=4 

0384  오른쪽그림과같이원의중심O
에서BCÓ에내린수선의발을E

A

라하고원O의반지름의길이를

r

cm라고하면

`
OPÓ=r

cm

`
PEÓ=r-2`(cm)

OEÓ=9-r`(cm)
△OPE에서rÛ


=rÛ

`

`

`
(r-5)(r-17)=0

=(r-2)Û
`

+(9-r)Û

`

-4r+4+81-18r+rÛ

-22r+85=0

,rÛ
`

`

 ∴r=5`(∵2<r<9)  5`cm

0385  ABÓ:ACÓ=BDÓ:CDÓ=10:6=5:3이므로

5ACÓ=3ABÓ  ∴ACÓ=

ABÓ

;5#;`

△ABC에서ABÓÛ

`=16Û

+

`

{;5#;`

ABÓ



}

2`

ABÓÛ

`=256,ABÓÛ

`=400

;2!5^;

∴ABÓ=20`(cm)(∵ABÓ>0)

∴ACÓ=

ABÓ=

_20=12`(cm)

;5#;`

;5#;

오른쪽 그림과 같이 OFÓ, OGÓ를

긋고 원 O의 반지름의 길이를

cm라고하면
r
`
CFÓ=CGÓ=rcm

AEÓ=AGÓ=12-r

BEÓ=BFÓ=16-r

(cm)

`
(cm)

`

ABÓ=AEÓ+BEÓ이므로

E

O

A



G

C

B

10 cm

D

F
6 cm

20=(12-r)+(16-r),2r=8

∴ r=4

 4`cm

36  |  정답과 해설































 



























A



6 cm
F

D

O

30$

B

C

E

36

cm

cm라고하면



이를r

`
CEÓ=CFÓ=r

cm

`
ADÓ=AFÓ=6-r`(cm)

BDÓ=BEÓ=6

3-r`(cm)

'

ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로

12=(6-r)+(6

3-r)

'

2r=6

3-6

 ∴r=3

3-3

'

'

 (3

3-3)`cm

'

0387  오른쪽그림과같이 ODÓ,OEÓ를

A



긋고원O의반지름의길이를

6 cm

F

D

B

O

E

r cm
9 cm

C

r

cm라고하면

`
BEÓ=BDÓ=r

`
AFÓ=ADÓ=6

cm

`

CFÓ=CEÓ=9
△ABC에서15Û
225=36+12r+rÛ

`



cm,

`
cm이므로

=3_3-p_3Û

_

`

;3»6¼0;

=9

p

(cmÛ`)

-;4(;

`

 
{

9-

p

;4(;

}`

cmÛ`

2 cm

P

O

O'

Q

A

R

C

5 cm

B

0388  오른쪽그림과같이O'QÓ를긋고


cm라고하면

OPÓ=x

`

BQÓ=BPÓ=5+x`(cm)

ARÓ=APÓ=5-x`(cm)

CQÓ=CRÓ=2

cm이므로

`

BCÓ=BQÓ+CQÓ=(5+x)+2=7+x

`
ACÓ=ARÓ+CRÓ=(5-x)+2=7-x
`
△ABC에서10Û`=(7+x)Û`+(7-x)Û`
`
100=49+14x+xÛ

+49-14x+xÛ

(cm)

(cm)



=1

∴ x=1

`

즉BCÓ=7+1=8

`

`
(∵x>0)

`

`
(cm),ACÓ=7-1=6

(cm)

`



_8_6=24

`△ABC=
다른 풀이 ABÓ+BCÓ+CAÓ

;2!;

`

(cmÛ`)

 24`cmÛ`

다른 풀이 =ABÓ+(BQÓ+QCÓ)+(ARÓ+RCÓ)

그런데ABÓ=BPÓ+APÓ=BQÓ+ARÓ이므로

ABÓ+BCÓ+CAÓ=2ABÓ+QCÓ+RCÓ



=2_10+2+2=24

(cm)

`

∴

`△ABC=

;2!;

_O'QÓ_(ABÓ+BCÓ+CAÓ)

=

_2_24=24

(cmÛ`)

;2!;

`

0389  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
∴ x-y=3


x+3=y+6

ACÓ⊥BDÓ이므로
`=ADÓÛ
`+CDÓÛ
ABÓÛ
,xÛ
+6Û
=yÛ
+3Û

`

`

`

`

`
∴(x+y)(x-y)=27

`

`+BCÓÛ
-yÛ

=27

`에서

㉠을㉡에대입하면

3(x+y)=27

∴ x+y=9

0392  오른쪽그림과같이


ABED와원O의접점을

P,Q,R,S라고하면

ASÓ=APÓ=BPÓ=BQÓ

=

_4=2`(cm)

;2!;

A

S

D

4 cm

P

O

B

R

EQ

6 cm

C

DRÓ=DSÓ=CQÓ=BCÓ-BQÓ=6-2=4`(cm)
∴(△DEC의둘레의길이)

=DEÓ+ECÓ+CDÓ

Ó
=(DRÓ+ERÓ)+ECÓ+CDÓ

=DRÓ+(EQÓ+ECÓ)+CDÓ

=DRÓ+CQÓ+CDÓ

=4+4+4

=12`(cm)

 12`cm























yy㉠

yy㉡

  9



















































0390  오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점
A,D에서BCÓ에내린수선의발

을각각P,Q라고하면

BPÓ=CQÓ=

_(20-10)

;2!;

B

BP=5`(cm)



ABCD가원O에외접하므로

ABÓ+DCÓ=ADÓ+BCÓ에서

10 cm

A

D



O

C

P

Q

20 cm

 ∴ABÓ=15`(cm)

2ABÓ=10+20
△ABP에서APÓ=

따라서원O의반지름의길이는5

-5Û

15Û

=



`

`

200=10

2(cm)

'

2`cm이므로

'

(색칠한부분의넓이)

=ABCD-(원O의넓이)

=

_(10+20)_10

2-p_(5

2)Û`

'

'

`

;2!;

=150

2-50p(cmÛ`)

'

 (150

2-50p) cmÛ

'

 
`

0391  ①AEÓ=AFÓ=BFÓ=BGÓ=

_10=5

;2!;

②,③DHÓ=DEÓ=ADÓ-AEÓ=13-5=8

④

GIÓ=x라고하면HIÓ=GIÓ=x

 CIÓ=BCÓ-BGÓ-GIÓ=13-5-x=8-x

 DIÓ=DÕHÓ+HIÓ=8+x
 △DIC에서(8+x)Û


64+16x+xÛ

`
=64-16x+xÛ

=(8-x)Û

`

`

+10Û

``

+100

`



32x=100

∴

x=

`

:ª8°:

⑤

CIÓ=8-x=8-

=

:ª8°:

:£8\

»:`

따라서옳은것은③,⑤이다.

 ③, ⑤

4. 원과 직선  |  37

0393  ∠x=

∠AOB=

_130ù=65ù  

;2!;

0394  ∠x=

_240ù=120ù 

 120ù

다.

 

0411   ∠C=∠D=50ù이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있

5

원주각원주각원주각

STEP

1

기초 Build

;2!;

;2!;

0395  ∠x=2∠APB=2_42ù=84ù  

0396  ∠x =360ù-2_125ù=110ù 

0397  ∠x =∠APB=50ù

0398  ∠x =∠PBQ=28ù





0399  ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠x =90ù

0400  ∠ACB=90ù이므로


∠x=180ù-(90ù+25ù)=65ù 

0401  ∠ACB=90ù이므로


∠x=180ù-(90ù+30ù)=60ù 

0402  ∠ACB=90ù이므로


∠x=180ù-(90ù+70ù)=20ù 

0409   ∠C=∠D=90ù이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있

다. 

0410  ∠A+∠D이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.

0412  ∠A+∠B이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다.

0413  ∠A+∠C=180ù이므로


120ù+∠x=180ù  ∴`∠x=60ù

∠B+∠D=180ù이므로

85ù+∠y=180ù  ∴`∠y=95ù    ∠x=60ù, ∠y=95ù

0414  △ABD에서 ∠x+60ù+40ù=180ù  ∴`∠x=80ù


∠A+∠C=180ù이므로

80ù+∠y=180ù  ∴`∠y=100ù

 ∠x=80ù, ∠y=100ù

0415  ∠DCE=∠A이므로 ∠x=80ù  

 80ù

0416  ∠DAB=∠DCE이므로 ∠x=128ù  

 128ù

0417   ∠B+∠D+180ù이므로 ABCD는 원에 내접하지 않는

다. 

p.73, 75

 65ù

 84ù

 110ù

 50ù

 28ù

 90ù

 65ù

 60ù

 20ù



 

 

 





 

 

 

 ◯

 _

 ◯

 _

 _

 ◯

 ◯

 ◯

 70ù

 80ù

 85ù

 34ù

0403  µ AB=µ CD이므로 ∠CQD=∠APB=45ù


∴ x=45 

0404  ∠APB=∠CQD이므로 µ CD=µ AB=4


∴ x=4 

`

cm

 45

0418   ∠DCE=∠A=75ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.

 4

0419   ∠D+∠B=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.

0405  ∠APB :∠BPC=µ AB :µ BC이므로


∠APB :50ù=6 :12  ∴ ∠APB=25ù

∴ x=25 

 25

0420   ∠A+∠C=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.

0406  ∠APB :∠CQD=µ AB :µ CD이므로


60ù :20ù=9 :µ CD  ∴ µ CD=3`(cm)

0421  ∠x=∠BAP=70ù  

∴ x=3 

 3

0422  ∠x=∠APT=80ù  

0407  ∠x=∠A=40ù 

 40ù

0423  ∠x=∠BPT=85ù  

0408  ∠x=∠D=52ù 

 52ù

0424  ∠x=∠ABP=34ù  





38  |  정답과 해설



































 

 











 









0425   ∠x=∠ATP=∠CTQ=∠CDT=73ù
∠y=∠DTP=∠BTQ=∠BAT=47ù


 ∠x=73ù, ∠y=47ù

0426   ∠x=∠CTQ=∠ATP=∠ABT=70ù
∠y=∠DTP=∠BTQ=∠BAT=60ù


0434   오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그

으면

∠ADC=

∠AOC

;2!;

=

;2!;

_80ù=40ù

A

C

80$

O

32$

B

D

P

 ∠x=70ù, ∠y=60ù

∠BAD=

∠BOD=

_32ù=16ù

;2!;

;2!;

△ADP에서 ∠P=40ù-16ù=24ù 

 24ù

 ∠x=63ù, ∠y=63ù

 ∠x=75ù, ∠y=75ù

0435   ∠BOC=2∠BAC=2∠x


△ABD에서 ∠BDC=∠x+64ù
△ODC에서 ∠BDC=2∠x+22ù
㉠, ㉡에서 ∠x+64ù=2∠x+22ù

yy`㉠

yy`㉡

 ∴`∠x=42ù   42ù

0436   오른쪽 그림과 같이 AOÓ, BOÓ

C

를 그으면

∠PAO=∠PBO=90ù이므

로 AOBP에서

∠AOB =360ù-(90ù+90ù+48ù)=132ù

O

48$

P

∴ ∠ACB=

∠AOB=

_132ù=66ù  

 66ù

;2!;

;2!;

p.76~p.90

0427   ∠x=∠CTQ=63ù
∠y=∠BTQ=63ù 


0428   ∠x=∠DTP=75ù
∠y=∠ATP=75ù 


STEP

2

적중유형 Drill

0429  ∠x=

_260ù=130ù

;2!;

;2!;

∠y=

∠AOC=

_(360ù-260ù)=50ù

;2!;

0437   오른쪽 그림과 같이 AOÓ, BOÓ를

∴`∠x-2∠y=130ù-2_50ù=30ù 

 30ù

그으면

0430  ∠ABC=

_(360ù-130ù)=115ù

;2!;

AOCB에서

∠PAO=∠PBO=90ù이므로

APBO에서

40$

P

∠AOB=360ù-(90ù+40ù+90ù)=140ù

∠x=360ù-(115ù+60ù+130ù)=55ù 

 55ù

∴ ∠ACB=

_(360ù-140ù)=110ù  

 110ù

;2!;

0431  ∠BOC=2∠BAC=2_60ù=120ù

0438   오른쪽 그림과 같이 AOÓ, BOÓ를

∴`(색칠한 부분의 넓이)=p_6Û`_

=12p 

 12p

그으면

;3!6@0);

P

O

56$

C

0432  오른쪽 그림과 같이 OEÓ를 그으면



∠AOB =∠AOE+∠EOB

=2∠ADE+2∠ECB

=2_28ù+2_34ù

=124ù

0433  오른쪽 그림과 같이 ORÓ를 그으면



∠AOB =∠AOR+∠ROB

D

28$

O

A

C

34$

B

E

 124ù

P

50$
O

Q

x

=2∠APR+2∠RQB

A



B

=2_50ù+2∠x

∠AOB =2∠ACB=2_56ù

=112ù

∠PAO=∠PBO=90ù이므로

APBO에서

∠P =360ù-(90ù+90ù+112ù)=68ù 

 68ù

0439   ∠ACD=∠ABD=43ù


△PCD에서 ∠APD =43ù+40ù=83ù  

0440   ∠ADC=∠ABC=30ù


△ECD에서 ∠BCD=80ù-30ù=50ù  

 83ù

 50ù

이때 ABÓ가 원 O의 지름이므로

R

∠AOB=180ù

0441   ∠x=2∠CAD=2_25ù=50ù


∠y=∠CAD=25ù

즉 180ù=100ù+2∠x이므로`∠x=40ù 

 40ù



∴ ∠x+∠y =50ù+25ù=75ù  

 75ù

A

B

A

B

A

C

O

B





5. 원주각  |  39

0444   ∠ACD=∠ABD=63ù


△AQC에서 ∠QAC =63ù-38ù=25ù  

 25ù

∠BPC=∠BAC=60ù이므로

0442   오른쪽 그림과 같이 BRÓ를 그으면
∠ARB=∠APB=23ù


∠BRC=∠BQC=41ù

∴ ∠ARC =∠ARB+∠BRC

=23ù+41ù=64ù

P

A

Q

23$ 41$



R

C

B

 64ù

0449  오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면
ABÓ가 원 O의 지름이므로


C

E

43$

A

B

∠ACB=90ù

∠DCB=∠DEB=43ù

∴ ∠ACD =∠ACB-∠DCB

O

D

=90ù-43ù=47ù 

 47ù





 



















 

0443  오른쪽 그림과 같이 BQÓ를 그으면

∠BQC =

∠BOC

;2!;

=

;2!;

_62ù=31ù

∠AQB =∠AQC-∠BQC



=70ù-31ù=39ù

Q

70$

P

O

62$



B

C

A



∴`∠APB=∠AQB=39ù

 39ù

0445   ACÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90ù


∠BAC=∠BDC=37ù
△ABC에서 ∠BCA=180ù-(37ù+90ù)=53ù   53ù



0446   ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠APB=90ù


∠PAQ=∠PBQ=36ù
△PAR에서 ∠ARP =180ù-(90ù+36ù)=54ù    54ù



0447   ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠APB=90ù


△APB에서 ∠x=180ù-(90ù+38ù)=52ù
∠APQ=90ù-32ù=58ù이므로



∠y=∠APQ=58ù

∴ ∠y-∠x =58ù-52ù=6ù 

 6ù

0448  오른쪽 그림과 같이 CDÓ를 그으면
ACÓ가 원 O의 지름이므로


∠ADC=90ù

∠BDC=∠BAC=36ù

∴ ∠ADB =∠ADC-∠BDC

=90ù-36ù=54ù

A

O36$

C

D

B

40  |  정답과 해설





































0450   오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면
ABÓ가 반원 O의 지름이므로


P

70$
D

C

∠ADB=90ù
△PAD에서
∠PAD=90ù-70ù=20ù

A

O

B

∴`∠COD =2∠CAD=2_20ù=40ù  

 40ù

0451   오른쪽 그림과  같이 원의  중심 O를
지나는 BPÓ를 긋고 CPÓ를 그으면 BPÓ

A

60$

는 원 O의 지름이므로

∠BCP=90ù



P

C

B

O

6 cm

△BCP에서 BPÓ=

6
60ù
sin

3
=6Ö '
2

`

=4

3`(cm)

'

따라서 원 O의 반지름의 길이는

BPÓ=

_4

3=2

3

(cm) 

;2!;

'

'

`

;2!;

 2

3

cm

'

`

0452   오른쪽 그림과 같이 COÓ의 연장선이
원 O와 만나는 점을 P라고 하고 APÓ

를 그으면 PCÓ는 원 O의 지름이므로

A



6

C

5

O

P

5

B

∠PAC=90ù
PCÓ=10이므로 △APC에서
APÓ=

`
이때 ∠APC=∠ABC이므로
`

64=8

-6Û

=

10Û





`

cos B=cos P=

APÓ
PCÓ

=

;1¥0;=;5$; 

0453   ABÓ가 지름이므로 ∠ACB=90ù
ABÓ=10이므로 ACÓ=

이때 △ABC»△ACD ( AA닮음)이므로
∠ABC=∠ACD=x

-(2

5)Û

10Û

=

¿¹

'







`

`

80=4

5

'



∴ sin x_cos x=sin B_cos B=

∴ sin x_cos x=

4
5
'
10

_

2
5
'
10

=



;5@;

ACÓ
ABÓ

_

BCÓ
ABÓ

 ;5$;

 ;5@;

 60ù

 54ù

0454   µ AB=µ CD이므로 ∠ACB=∠DBC=30ù


△PBC에서 ∠DPC =30ù+30ù=60ù  

0455  µ AB=µ AC이므로 ∠ACB=∠ABC=35ù


△ABC에서 ∠BAC =180ù-(35ù+35ù)=110ù   110ù

0463  △ACP에서 ∠CAP=65ù-20ù=45ù


∠ACD :∠CAB=µ AD :µ BC이므로

0458   오른쪽 그림과 같이 AEÓ, BEÓ를 그

C

D

0466  µ AC의 길이가 원주의

이므로

;1Á2;

으면 ABÓ가 원 O의 지름이므로

∠AEB=90ù

A

B

E

O

O

E

 54ù

B

F



 30ù

C

B

 36ù

0456  ∠ACD=∠ABD=40ù


µ AB=µ BC이므로 ∠ADB=∠BDC=43ù
△ACD에서
∠DAC =180ù-(40ù+43ù+43ù)=54ù  

0457   오른쪽 그림과 같이 AEÓ, BEÓ를 그

으면

∠AED=∠ACD=25ù

µ AD=µ BF이므로

∠FEB=∠ACD=25ù

25$

A

C

D

ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠AEB=90ù

∴ ∠DEF =90ù-(∠AED+∠FEB)  

=90ù-(25ù+25ù)=40ù  

 40ù

µ AC=µ CD=µ DB이므로

∠AEC=∠CED=∠DEB

∴ ∠CED=

∠AEB

;3!;

=

;3!;

_90ù=30ù  

0459   오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
ABÓ가 원 O의 지름이므로


∠ADB=90ù

µ AD=µ CD이므로

D

x

A

O

18$

∠ABD=∠DAC=∠x
△ABD에서 90ù+(∠x+18ù)+∠x=180ù
∠x=36ù  
2∠x=72ù  ∴
`

0460  ∠APB :∠CQD=µ AB :µ CD이므로


∠APB :23ù=10 :5  ∴ ∠APB=46ù

∴ ∠AOB =2∠APB=2_46ù=92ù  

 92ù

0461  ∠APB :∠BQC=µ AB :µ BC이므로


21ù :∠BQC=1 :4  ∴ ∠BQC=84ù  

 84ù

0462  ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù


∠ABC :∠BAC=µ AC :µ BC=3 :2이므로

∠BAC=90ù_

=36ù

2
3+2

∠ACB+∠BAC=90ù+36ù=126ù  

 126ù


`









































20ù :45ù=µ AD :4  ∴ µ AD=

:Á9¤: 

 :Á9¤:

0464  오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면

A

µ AC의 길이는 원주의

이므로

D

∠ADC=180ù_

=30ù

µ BD의 길이는 원주의

이므로

∠BAD=180ù_

=60ù

;6!;

;3!;

;6!;

;3!;

C E

B

△AED에서 ∠AED=180ù-(30ù+60ù)=90ù    90ù

0465  ∠C :∠A :∠B=µ AB :µ BC :µ CA=2 :3 :4

∴ ∠A=180ù_

3
2+3+4

=60ù 

 60ù

 42ù



P

=15ù

∠ABC=180ù_

;1Á2;
△PAB에서 ∠PAB=36ù-15ù=21ù
∠DOB=2∠DAB=2_21ù=42ù  

`

0467   오른쪽  그림과  같이 BCÓ를

A

그으면

µ AC의 길이가 원주의

이므로

C

B

D

∠ABC=180ù_

=45ù

;4!;

;4!;

;6!;

µ BD의 길이가 원주의

이므로 ∠BCD=180ù_

=30ù

△BCP에서 ∠P=45ù-30ù=15ù  

;6!;

 15ù

0468   ① ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에

② ∠BAC=180ù-(25ù+70ù+25ù)=60ù

  즉 ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위

있지 않다.

에 있지 않다.

있지 않다.

위에 있다.

위에 있다.

③ ∠DAC+∠DBC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에

④ ∠ACB=180ù-(90ù+50ù)=40ù

  즉 ∠ACB=∠ADB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원

⑤ ∠ABD=180ù-(90ù+25ù)=65ù

  즉 ∠ABD=∠ACD이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원

따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ④, ⑤이다.













































 

 ④, ⑤

5. 원주각  |  41

0469   네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로


∠BDC=∠BAC=80ù
△DBC에서
∠ACD =180ù-(80ù+35ù+40ù)=25ù  





 25ù

0470   네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로


∠BDC=∠BAC=44ù
△BCD에서 ∠x =180ù-(44ù+42ù+57ù)=37ù    37ù



0477  ∠AEC+∠ADC=180ù이므로
65ù+∠x=180ù  ∴

`
∠BCE=∠BAE=30ù
△FEC에서 ∠y=65ù+30ù=95ù
∠x-∠y=115ù-95ù=20ù  

`

∠x=115ù





 20ù

0478  ∠BAD=

_210ù=105ù

;2!;

∠DCE=∠BAD=105ù  


`

 105ù

0471   △ABC에서 ∠ABC =180ù-(35ù+40ù)=105ù


∠ABC+∠ADC=180ù이므로

105ù+∠x=180ù

 ∴ ∠x=75ù  

 75ù

0479  ∠x=∠EDC=82ù


∠A+∠C=180ù이므로































0472   ∠A+∠C=180ù이므로
∠x+(∠x+12ù)=180ù


2∠x=168ù  ∴
`

∠x=84ù  

0473  ∠B+∠D=180ù이고 ∠B :∠D=2 :3이므로

∠D=180ù_

=108ù  

3
2+3

0474   BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù


△ABC에서 ∠ABC =180ù-(90ù+32ù)=58ù
∠ABC+∠ADC=180ù이므로



58ù+∠ADC=180ù

∴  ∠ADC=122ù  

 122ù

0475  △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠ACB=

_(180ù-46ù)=67ù

;2!;

∠APB+∠ACB=180ù이므로

0476  오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면


∠ADB :∠BDC :

B

A



∠CBD :∠DBA

=µ AB :µ BC :µ CD :µ DA

=2 :3 :3 :4

이때 ∠ABC+∠ADC=180ù이므로

∠CBD=180ù_

∠DBA=180ù_

3
2+3+3+4
4
2+3+3+4

=45ù

=60ù

D

C

42  |  정답과 해설





























115ù+∠y=180ù  ∴ ∠y=65ù

∠x-∠y=82ù-65ù=17ù  


`

 17ù

0480  ∠ABC=∠EDC=80ù


△ABC에서 ∠CAB =180ù-(65ù+80ù)=35ù    35ù

0481  ∠EAB=∠C=70ù이므로


△AEB에서 ∠EBA=180ù-(40ù+70ù)=70ù    70ù

 84ù

 108ù

0482  ∠ADC=∠ABE=100ù, ∠BDC=∠BAC=53ù이므로


∠x =∠ADC-∠BDC



=100ù-53ù=47ù

∠ABD=180ù-(100ù+48ù)=32ù

∠y=∠ABD=32ù


`

`

∠x+∠y=47ù+32ù=79ù  

 79ù

ADÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABD=90ù
△ABD에서 ∠BAD=180ù-(90ù+30ù)=60ù
∠BAD+∠BCD=180ù이므로

60ù+∠y=180ù  ∴ ∠y=120ù

∴ ∠y-∠x =120ù-32ù=88ù  

 88ù

∠ABC =∠CBD+∠DBA





∠ABC+∠ADC=180ù이므로


`

=45ù+60ù=105ù  

 105ù

∠x+60ù=180ù  ∴ ∠x =120ù

0484  µ AC의 길이가 원주의

이므로

;3!;

∠ADC=180ù_

=60ù

;3!;

∠APB+67ù=180ù

∠APB=113ù  

 113ù

 ∴
`

0483  ∠ADC=∠ABE=62ù이므로
∠x=62ù-30ù=32ù




















































µ BD의 길이가 원주의

이므로

;4!;

∠BAD=180ù_

=45ù

;4!;

∴ ∠y=∠BAD=45ù

∴ ∠x+∠y =120ù+45ù=165ù  

 165ù

0490  오른쪽 그림과 같이 CEÓ를 그으면


ABCE가 원 O에 내접하므로

A

∠B+∠AEC=180ù

120ù+∠AEC=180ù

∴ ∠AEC=60ù

B

O

120$
50$

E

C

D

∠CED=

∠COD=

_50ù=25ù

;2!;

;2!;

∴ ∠E =∠AEC+∠CED





=60ù+25ù=85ù  

 85ù

0485  ∠FCB=∠DAB=∠x


△EAB에서 ∠EBF =∠x+30ù
△CBF에서 ∠x+(∠x+30ù)+62ù=180ù
∠x=44ù  
2∠x=88ù  ∴
`

0486  ∠PBA=180ù-120ù=60ù


∠ADC=∠PBA=60ù
△QDA에서 ∠QAP=28ù+60ù=88ù
△PBA에서 ∠P=180ù-(60ù+88ù)=32ù  

0487  오른쪽 그림과 같이 CEÓ를 그으면

∠CED=

∠COD

;2!;

=

;2!;

_74ù=37ù

 44ù

0491  ABQP가 원 O에 내접하므로
∠DPQ=∠ABQ=72ù


원 O'에서

∠QO'D =2∠DPQ=2_72ù=144ù  

 144ù

 32ù

0492  ABQP가 원 O에 내접하므로
∠DPQ=∠ABQ=112ù


PQCD가 원 O'에 내접하므로

∠DPQ+∠DCQ=180ù

B

E

112ù+∠DCQ=180ù

∠DCQ=68ù  

 68ù

 ∴
`

ABCE가 원 O에 내접하므로

C

D

∠B+∠AEC=180ù

∠B+∠E =∠B+(∠AEC+∠CED) 


`

=(∠B+∠AEC)+∠CED

=180ù+37ù=217ù  

 217ù

0493  ABCD가 원에 내접하므로


∠CDP=∠ABC=92ù

DCQP가 원에 내접하므로

∠PQR=∠CDP=92ù

PQRS가 원에 내접하므로

∠PQR+∠PSR=180ù

A

O

74$





A

0488  오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면


ABCD가 원에 내접하므로

B

∠BAD+∠BCD=180ù

∠BAD+115ù=180ù

∴ ∠BAD=65ù

ADEF가 원에 내접하므로

∠DAF+∠DEF=180ù

115$ 140$

F

C

E

D

∠DAF+140ù=180ù

 ∴ ∠DAF=40ù

∴ ∠A =∠BAD+∠DAF=65ù+40ù=105ù   105ù

0489  오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
ABDE가 원 O에 내접하므로


∠A+∠BDE=180ù

95ù+∠BDE=180ù

∴ ∠BDE=85ù

∠BDC=130ù-85ù=45ù

A

95$

O

B

E

130$

D

C

92ù+∠x=180ù

 ∴
`

∠x=88ù  

 88ù

0494  ①  ∠A+∠C+180ù이므로 ABCD는 원에 내접하지 않

는다.

는다.

는다.

다.

② △ABC에서 ∠B=180ù-(45ù+35ù)=100ù
   ∠B+∠D+180ù이므로 ABCD는 원에 내접하지 않

③  ∠BAC+∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접하지 않

④  ∠A=∠DCE=73ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.
⑤ △AEB에서 ∠EAB=100ù-40ù=60ù
   즉 ∠EAB=∠C=60ù이므로 ABCD는 원에 내접한

따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ④, ⑤이다.

 ④, ⑤

0495  △APD에서 ∠DAP =180ù-(110ù+30ù)=40ù


따라서 ABCD가 원에 내접하려면

5. 원주각  |  43

∴ ∠BOC =2∠BDC=2_45ù=90ù  

 90ù

∠DBC=∠DAC=40ù 

 40ù













































 











 









 

















0496   ABCD가 원에 내접하려면 ∠ABC=∠ADE이어야 하

므로

∠x+20ù=43ù  ∴ ∠x=23ù
△BCD에서 ∠C=180ù-(20ù+90ù)=70ù
∠A+∠C=180ù이어야 하므로

∠y+70ù=180ù  ∴ ∠y=110ù

 ∠x=23ù, ∠y=110ù

0497   ㉠  ∠ADB=∠AEB=90ù이므로 ABDE는 원에 내접

㉡  ∠AFG+∠AEG=180ù이므로  AFGE는  원에  내

㉣  ∠BFG+∠BDG=180ù이므로 BDGF는 원에 내접

㉤  ∠AFC=∠ADC=90ù이므로 CAFD는 원에 내접

한다.

접한다.

한다.

한다.

따라서 원에 내접하는 사각형은 ㉠, ㉡, ㉣, ㉤이다.

 ㉠, ㉡, ㉣, ㉤

0498  ∠ACB=∠BAT=64ù이므로


△ABC에서 ∠BAC=180ù-(40ù+64ù)=76ù    76ù

0499  ∠ACB=∠TAB=70ù
∠BAC=∠CBT'=72ù

△ABC에서 ∠ABC=180ù-(70ù+72ù)=38ù    38ù



0500  ∠x=∠BAT=30ù


△ABC에서 ∠y=180ù-(65ù+30ù)=85ù

`

∠y-∠x=85ù-30ù=55ù  

0501  ∠x=∠BAT=50ù


∠BOA=2∠x=2_50ù=100ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

∠y=

_(180ù-100ù)=40ù

;2!;

∠x+∠y=50ù+40ù=90ù  


`

0502   ∠AC B:∠BAC :∠CBA
=µ AB :µ BC :µ CA


=2 :3 :4

이므로

∠ACB=180ù_

2
2+3+4

=40ù

44  |  정답과 해설

∴ ∠BAT=∠ACB=40ù  

 40ù

0503   ∠BCA=∠BAT=60ù이고 µ AB=µ BC이므로


∠BAC=∠BCA=60ù
즉 △ABC는 한 변의 길이가 4

cm인 정삼각형이므로

`

△ABC=

_4_4_sin
`

;2!;

60ù

△ABC=

3
_4_4_ '
2

;2!;

=4

3

(cmÛ`) 

'

`

 4

3

cmÛ`

'

`

0504  µ AB=µ BC이므로 ∠BCA=∠CAB=33ù


∴ ∠BAE=∠BCA=33ù
△CPA에서 ∠ACP =(33ù+33ù)-35ù=31ù    31ù



0505  ∠x=∠DCT'=35ù


`

∠BCD=180ù-(35ù+30ù)=115ù

∠BAD+∠BCD=180ù이므로

∠y+115ù=180ù  ∴
`

∠y=65ù

∠x+∠y=35ù+65ù=100ù  


`

0506  ∠BAD+∠BCD=180ù이므로


100ù+∠BCD=180ù  ∴ ∠BCD=80ù
△BCD에서 ∠DBC=180ù-(80ù+40ù)=60ù

`

∠x=∠DBC=60ù  

0507  ∠DCT'=∠x라고 하면 ∠CAD=∠DCT'=∠x


µ AB=µ BC=µ CD이므로

∠ACB=∠BAC=∠CAD=∠x

∠BAD+∠BCD=180ù이므로

(∠x+∠x)+(∠x+75ù)=180ù

3∠x=105ù  ∴ ∠x=35ù 

 100ù

 60ù

 35ù

B

 36ù

 55ù

0508  오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면
BCÓ가 원 O의 지름이므로


∠CAB=90ù

∠BCA=∠BAT=63ù

∠CAP =180ù-(90ù+63ù)=27ù 
△CPA에서 ∠x=63ù-27ù=36ù 

O

C
x

P

63$

A

T

 90ù

0509  오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
ABCD가 원 O에 내접하므로


∠DAB+∠BCD=180ù

∠DAB+128ù=180ù

O

128$

A

D

C

∴ ∠DAB=52ù

T

B

ADÓ가 원 O의 지름이므로

∠ABD=90ù
△ABD에서 ∠ADB=180ù-(52ù+90ù)=38ù 
∴ ∠ABT=∠ADB=38ù 

 38ù















































 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0510  오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면
CDÓ가 원 O의 지름이므로 
 

B

0516  △PAB에서 PAÓ=PBÓ이므로

∠CAD=90ù

∠CDA=∠CAT=40ù
△CAD에서 
∠DCA =180ù-(90ù+40ù) 

=50ù 

∠DBA=∠DCA=50ù 


`

C

O

T

40$

A

D

 

(cid:9000) 50ù

0511   BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù
 

∠ACB=∠x라고 하면 ACÓ=ADÓ이므로

∠ADB=∠ACB=∠x

 ∠BAD=∠ACB=∠x이므로 
△ACD에서 (∠x+90ù)+∠x+∠x=180ù
3∠x=90ù  ∴ ∠x=30ù

0512  BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù 
 

∠BCA=∠BAT=60ù

∴ ∠CAT=∠CBA=180ù-(30ù+90ù)=60ù   (cid:9000) 60ù

므로

∠ABP=

_(180ù-50ù)=65ù 

;2!;

∠ACB=∠ABP=65ù 

∠CBA :∠BAC=µ AC :µ CB=3 :2이므로

∠BAC=

∠CBA

;3@;

△ACB에서 ∠CBA+

∠CBA+65ù=180ù 

;3@;

∠CBA=115ù  ∴ ∠CBA=69ù  

(cid:9000) 69ù

;3%;

0517  ∠BTQ=∠BAT=75ù
∠CTQ=∠CDT=50ù
 

∴ ∠DTC =180ù-(75ù+50ù)=55ù  

(cid:9000) 55ù

0518   오른쪽 그림과 같이 ABÓ를 그으
면 (cid:8772)ABCD가 원 O'에 내접하

∠ABP=∠ADC=71ù

∠x=∠ABP=71ù 


`

x

O

P

T

D

A

71$

O'

69$

C

B

(cid:9000) 71ù

△ABC에서 BCÓ=

3
cos`60ù

=3Ö

=6

(cm)  (cid:9000) 6

cm

;2!;

`

`

0519  ∠ATP=∠CDT=52ù
∠BTQ=∠BAT=80ù
 

0513   오른쪽  그림과  같이  BCÓ를  그

C

으면

ABÓ가 원 O의 지름이므로  

∠ACB=90ù
 △ABC에서 

A

30$

O
14 cm

B

D

STEP

3

심화유형 Master

0520    오른쪽 그림과 같이 원 모양의 공연장
의 중심을 O라고 하고 OÕAÓ, OBÓ를 그

8 m
무대

A

B

∠ATB =180ù-(80ù+52ù)=48ù  

(cid:9000) 48ù


`

BCÓ=14

sin

30ù=14_

=7

(cm)

`

`

;2!;

`

∠BCD=∠CAB=30ù이므로 
△CAD에서 ∠D=180ù-(30ù+90ù+30ù)=30ù 
△CBD에서 ∠BCD=∠D=30ù이므로
BDÓ=BCÓ=7

cm 

`

(cid:9000) 7

cm

`

으면 

∠AOB =2∠ACB=2_45ù=90ù 
 즉 △AOB는 OAÓ=OBÓ인 직각이등
변삼각형이다.

OAÓ=8

sin

`

2
45ù=8_ '
2

`

=4

2

(m)

'

`

p.91~p.94

45$

O

C

0514  △ABC에서 ∠C=180ù-(60ù+58ù)=62ù 
 

△CFE에서 CEÓ=CFÓ이므로

∠FEC=

_(180ù-62ù)=59ù

;2!;

∠FDE=∠FEC=59ù 


`

(cid:9000) 59ù

0515  ∠y=∠ACB=70ù
 

△PAB에서 PAÓ=PBÓ이므로 
∠x=180ù-2_70ù=40ù  

(cid:9000) ∠x=40ù, ∠y=70ù

ACÓ=16

cos

60ù=16_

=8

(cm)

`

`

;2!;

`

이때 △AOB=

_4

2_4

;2!;

'

2=16
`

'

`

(mÛ

)이므로 

무대를 제외한 공연장의 넓이는

16+p_(4

2)Û

_

'

`

;3@6&0);

=16+24p

(mÛ`) 

`

(cid:9000) (16+24p)

mÛ`

`

0521  ABÓ가 반원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù
 

∠ACD=90ù-60ù=30ù이므로 △ADC에서 
∠CAD=180ù-(30ù+90ù)=60ù
△ABC에서 ABÓ=2OBÓ=2_8=16

  

 

(cm)이므로 

`

5. 원주각  |  45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

△ADC에서 CDÓ=8

sin

3
60ù=8_ '
2

`

`

=4

3

(cm)

'

`

0526  오른쪽 그림과 같이 BCÓ, BEÓ를 긋고
∠ABC=∠a, ∠DCB=∠b라고 하






















































CDÓ
ABÓ

=

4
3
'
16

= '

3
4  

0522  오른쪽 그림과 같이 BPÓ를 그으면



ABÓ가 반원 O의 지름이므로

∠APB=90ù
△PAB에서

30$

O

A

8 cm

=4

(cm)

PBÓ=8

sin

30ù=8_
`

;2!;

`

`
△ABC에서 ∠ACB=180ù-(30ù+90ù)=60ù이므로
△PBC에서 ∠PBC=180ù-(60ù+90ù)=30ù

△PBQ에서 PQÓ=4

sin

30ù=4_

=2

(cm)

`

`

△CPQ에서 CQÓ=

(cm)

;2!;

2

=

`
3
'
3 `

(cmÛ`) 

=

2
60ù
tan
`
2

3

2

=

2
3
'
3
'
3 `

∴ △CPQ=

_2_

;2!;

'
3

 

2

3
'
3 `

cmÛ

`

0523  ∠ACD=∠x라고 하면


△ACE에서 ∠BAC=∠x+32ù
이때 µ AB=µ BC=µ CD이므로 µ AB, µ BC, µ CD에 대한 원주각

의 크기는 모두 같다.

즉 ∠x+3(∠x+32ù)=180ù이므로

4∠x=84ù  ∴
`

∠x=21ù 

 21ù

0524  오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면


µ BC=µ CD이므로

∠CAD =∠BAC=22ù

A

22$

O

∴ ∠BOD =2∠BAD







=2_(22ù+22ù)=88ù 

∠AOD =180ù-88ù=92ù이므로

C

B

∠ACD=

∠AOD

;2!;

=

;2!;

_92ù=46ù 

 46ù

C

26$
O

110$

B

A

0525   오른쪽 그림과 같이 OBÓ, OCÓ, ODÓ

를 긋고 ∠CDB=∠x라고 하면

µ AB=µ BC=µ CD이므로

∠AOB =∠COD=∠BOC



=2∠CDB=2∠x

D

E

∠DOE=2∠DCE=2_26ù=52ù이고

∠DOE+∠EOA+∠AOB+∠BOC+∠COD=360ù

이므로

52ù+110ù+2∠x+2∠x+2∠x=360ù

46  |  정답과 해설





















































D

P

B

36$

O

A

C

E

3
  '
4

P

C

Q

B


△PCB에서 ∠a+∠b=36ù
이때 µ BD=µ CE이므로

∠CBE=∠DCB=∠b

∴ ∠ABE =∠ABC+∠CBE

=∠a+∠b=36ù

∴ ∠AOE =2∠ABE

=2_36ù=72ù  

 72ù

A

2

p

60$

D

C

P

O

4

p

B

0527  오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면


µ AD :µ BC =2p :4p=1 :2이므로

∠ABD :∠BDC=1 :2
△PBD에서
∠ABD+∠BDC=60ù이므로

∠ABD=60ù_

=20ù

1
1+2

원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면

2pr_

=2p  ∴ r=9

40
360

즉 µ AD의 중심각의 크기는 2∠ABD=2_20ù=40ù이므로

따라서 원 O의 반지름의 길이는 9이다.

 9

0528   대관람차의 10개의 칸이 일정한 간격으로 놓여 있으므로 이

웃한 두 대관람차 사이의 호의 길이는 원주의

이다.

;1Á0;

D

∠x에 대한 호의 길이는 원주의

=

;5!;

;1ª0;

이므로

∠x=180ù_

=36ù

;5!;

∠y에 대한 호의 길이는 원주의

이므로

;1£0;

∠y=180ù_;1£0;=54ù 

 ∠x=36ù, ∠y=54ù

0529  ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù

µ AD=µ DE=µ EB이므로

∠ACD=∠DCE=∠ECB=90ù_

=30ù

;3!;

∴ ∠ACE=30ù+30ù=60ù

∠ABC :∠CAB=µ AC :µ CB=3 :2이고

∠ABC+∠CAB=90ù이므로

∠CAB=90ù_

=36ù

2
3+2

∴ ∠x =∠ACE+∠CAB



6∠x=198ù  ∴ ∠x=33ù  

 33ù

=60ù+36ù=96ù  

 96ù

△APB에서 ∠x+34ù+(32ù+∠x)=180ù
2∠x=114ù  ∴ ∠x=57ù

∴ ∠BOD=2∠x=2_57ù=114ù 

 114ù

0535  오른쪽 그림과 같이 CEÓ를 그으면


OCÓ=ODÓ이므로 △OCD에서
∠COD =180ù-2_30ù=120ù



A

B

C

O

110$

E

30$

D

∠CED=

∠COD

;2!;

=

;2!;

_120ù=60ù이므로

∠AEC=110ù-60ù=50ù

ABCE가 원 O에 내접하므로

∠ABC+∠AEC=180ù

∠ABC+50ù=180ù



∠ABC=130ù 

 130ù

`

0536   오른쪽 그림과 같이 OÕAÓ, OPÓ를 그

B

으면

∠PBA=∠APT=30ù이므로

∠POA =2∠PBA



=2_30ù=60ù
이때 △OPA는 정삼각형이므로
cm
OPÓ=APÓ=5

`

따라서 원 O의 넓이는

p_5Û

=25p

(cmÛ`) 

`

`

O

P

5 cm

A
30$
T

 25p

cmÛ`

`



0537  ∠ABC=∠a, ∠ADE=∠EDB=∠b라고 하면


∠CAD=∠ABC=∠a
△ABD에서 (50ù+∠a)+∠a+(∠b+∠b)=180ù
2∠a+2∠b=130ù  ∴ ∠a+∠b=65ù
△EBD에서 ∠AED=∠a+∠b=65ù  





 65ù

0538   오른쪽 그림과 같이 DEÓ를 그으면
∠CBT=∠CAB=60ù이므로


∠EDB=∠EBT=60ù

한편 ∠CDE=∠DBE=∠x
△DBC에서
(60ù+∠x)+∠x+34ù=180ù

2∠x=86ù  ∴ ∠x=43ù  

D

60$

34$

E

A

P

x

B

C

T

 43ù

0530  오른쪽 그림과 같이 ABÓ를 그으면

µ BC의 길이가 원주의

이므로

;5!;

∠BAC=180ù_

=36ù

;5!;

µAB, µ BC, µ CD의 길이가 모두 원주의

B

P

C

A

O

D

이므로 µ AD의 길이는 원주의 1-3_

=

;5!;

;5@;

이다.

;5!;

∴ ∠ABD=180ù_

;5@;
△ABP에서 ∠BPC=36ù+72ù=108ù  

=72ù

 108ù

0531  오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면


△CPB에서
∠CBA+∠BCD=45ù

C

A

B

P 45$

O

12 cm

D

즉 µ AC, µ BD에 대한 원주각의 크기

의 합이 45ù이므로 중심각의 크기

의 합은 90ù이다.

∴ µ AC+µ BD=2p_12_

=6p

(cm) 

90
360

`

 6p

cm

`

0532  오른쪽 그림에서 BCÓ에 대하여


∠BEC=∠BDC이므로 네 점 B,

C, D, E는 한 원 위에 있다. 이때

∠BEC=90ù이므로  BCÓ는  원의

B

지름이고 점 M은 원의 중심이다.
△ABD에서
∠ABD=180ù-(65ù+90ù)=25ù

∴ ∠EMD =2∠EBD

A

E

65$

D

M

C

=2_25ù=50ù 

 50ù

0533   △ABC와 △EDC에서


∠ABC=∠EDC, ABÓ=EDÓ,

∠BAC=∠CAD이므로 BCÓ=DCÓ
`△ABCª△EDC ( SAS 합동)


이때 △ACD :△DCE=ADÓ :DEÓ=2 :3이고
△DCE=△ABC=6
△ACD :6=2 :3  ∴

`

ABCD =△ABC+△ACD

`△ACD=4

cmÛ`이므로

(cmÛ`)



`

`

=6+4=10`(cmÛ`) 

 참고   ∠BAC=∠CAD이므로 µ  BC=µ DC  ∴ BCÓ=DCÓ 

0534   ∠BCD=∠x라고 하면 ABCD가 원 O에 내접하므로


∠PAB=∠BCD=∠x
△QBC에서 ∠QBP=32ù+∠x





































 





















































 10

cmÛ

`

`

0539  ∠BCP=∠x라고 하면 ∠BAC=∠BCP=∠x


△BPC에서 ∠ABC=∠x+36ù
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로
∠ACB=∠ABC=∠x+36ù

(∠x+36ù)+(∠x+36ù)+∠x=180ù

3∠x=108ù  ∴
`

∠x=36ù

∠ABC=36ù+36ù=72ù


`

5. 원주각  |  47

이때 ABCD는 원 O에 내접하므로

∠ABC+∠ADC=180ù

72ù+∠ADC=180ù



∠ADC=108ù  

 108ù

`

서술형 Power Up!

0544   ⑴ ◯

⑵ ◯

p.95~p.98

0540   ∠POA=∠APQ=54ù이므로


∠POB=180ù-54ù=126ù

AOÓ가 작은 반원의 지름이므로 ∠APO=90ù

∠OPB=180ù-(54ù+90ù)=36ù
△POB에서 ∠PBO=54ù-36ù=18ù
∴ ∠POB-∠PBO=126ù-18ù=108ù  

0541   오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면
△APC와 △ACB에서

∠APC=∠ACB=90ù,



∠ACP=∠ABC이므로
△APC»△ACB ( AA 닮음)
APÓ :ACÓ=ACÓ :ABÓ이므로
9 :ACÓ=ACÓ :12, ACÓ Û
∴ ACÓ=6

(∵ ACÓ>0) 

3

'

`

`=108  

0542  오른쪽 그림과 같이 ABÓ를 그으면
ACÓ가 원 O의 지름이므로


A

∠ABC=90ù

∠CAB=∠CBT=25ù
△ABC에서
∠ACB=180ù-(25ù+90ù)=65ù

∴ ∠ADB=∠ACB=65ù

∠DBT=∠ADB=65ù

(엇각)이므로


=65ù-25ù=40ù

B

D

C

T

O

P

B

25$

A

O

x

A'

0543   오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O
를 지나는 BA'Ó을 긋고 A'CÓ를 그

으면 BA'Ó은 원 O의 지름이므로

B

x

T

6

C

∠BCA'=90ù

∠BA'C=∠CBT=∠x이므로
△BCA'에서
A'CÓ
A'BÓ

cos x=

=

;5$;



A'BÓ=5k, A'CÓ=4k(k>0)라고 하면

  

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  



 











































































⑶ _, 한 원에서 한 호에 대한 원주각은 무수히 많다.

⑷ _, 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 

 중심각의 크기의 

 이다.

;2!;

⑸  _, 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그 외각에 

이웃한 내각에 대한 대각의 크기와 같다.

 108ù

⑹ ◯

A

9

P

12

O

C

0545   △OAM과 △OBM에서
∠OMA=∠OMB=90ù, 
  

OAÓ=OBÓ (반지름), OMÓ은 공통이므로
△OAMª△OBM ( RHS 합동)
∴ AMÓ=BMÓ 

 6

3

'

0546   △OAM과 △ODN에서
  

OMÓ=OÕNÓ,  OAÓ=ODÓ (반지름),

∠OMA=∠OND=90ù이므로
△OAMª△ODN ( RHS 합동) 
∴ AMÓ=DNÓ

이때 ABÓ=2AMÓ

Ó이고 CDÓ=2DNÓ이므로 

ABÓ=CDÓ

0547  ⑴ 



원 O의 지름의 길이가 6

cm이므로

`

 DFÓ=DHÓ=CHÓ=CGÓ=

_6=3

(cm)

;2!;

`

⑵ EGÓ=EIÓ=x

cm이므로

`
(cm)

`

 ∴ BEÓ=BCÓ-ECÓ=8-(x+3)=5-x`(cm)
⑶ △ABE에서 AIÓ=AFÓ=5

(5+x)Û`=6Û`+(5-x)Û`

cm이므로

`

  25+10x+xÛ`=36+25-10x+xÛ`

  20x=36  ∴ x=

;5(;

 ∴ AEÓ

Ó=AIÓ+EIÓ=5+

=

;5(;

:£5¢:

`(cm)

 ⑴ 5

cm  ⑵ (5-x)

cm  ⑶ 

`

cm

:£5¢:`

`

(5k)Û`=(4k)Û`+6Û`, 9kÛ`=36

kÛ`=4  ∴ k=2 (∵ k>0)

따라서 원 O의 지름의 길이는

A'BÓ=5k=5_2=10 

0548  ⑴ ∠ATP=∠x라고 하면
 ∠ABT=∠ATP=∠x

 △BPT에서 ∠x+60ù+(∠x+30ù)=180ù
  2∠x=90ù  ∴ ∠x=45ù





 10

48  |  정답과 해설

∠DAC =∠DBC=∠DBT-∠CBT





  ∴ AFÓ=ADÓ-FDÓ=8-3=5`(cm)

△APD에서 ∠APD =180ù-(40ù+65ù)=75ù    75ù

 ECÓ=x+3

  따라서 APÓ의 길이는 4(

3-1)
`

'

cm이다.

0552  ⑴ △AOPª△BOP이므로

 ⑴ 45ù  ⑵ 4(

3-1)

cm

'

`



 

































 



















⑵  오른쪽 그림과 같이 점 A에서

B



PTÓ에 내린 수선의 발을 D라 하

cm라고 하면
고 APÓ=a
`

 PDÓ=APÓ  cos

60ù=

a`(cm)

A

60$
P

D
4 cm

O

30$

T

 ADÓ=APÓ  sin

a`(cm)

`

;2!;

3
60ù= '
2

`

 이때 ∠ATP=45ù이므로

 DTÓ

Ó=

ADÓ
tan 45ù

3
= '
2

a`(cm)

 PTÓ=PDÓ+DTÓ이므로



4=

3
a+ '
2

;2!;

a,

3

1+
'
2

a=4

 ∴ a=

=4(

3-1)

'

8
1+

3

'

 



 

0549  ⑴ BPÓ=BQÓ=x


`

ARÓ=APÓ=6-x`(cm)

cm이므로

 CRÓ=CQÓ=10-x`(cm)

ACÓ=ARÓ+CRÓ이므로

8=(6-x)+(10-x)



  2x=8  ∴ x=4

⑵ ∠x=

∠BOC=

_150ù=75ù

;2!;

;2!;

⑶ BCÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù

 ∴ ∠x=180ù-(90ù+30ù)=60ù

 ABCD가 원 O에 내접하므로

60ù+∠y=180ù

∴  ∠y=120ù

 ⑴ ㉡, 4  ⑵ ㉢, 75ù  ⑶ ㉣, ㉤, ∠x=60ù, ∠y=120ù

0550   오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ, OCÓ를

A



그으면

∠AOB=360ù_

=150ù

O

∠BOC=360ù_

=90ù

B

C

5
5+3+4

3
5+3+4

4
5+3+4

∠AOC=360ù_

=120ù

∴ △ABC
  =△OAB+△OBC+△OCA

  =

_2

2_2

2_sin (180ù-150ù)+

_2

2_2

2

;2!;

'

'

;2!;

'

'

+

_2

2_2

2_sin (180ù-120ù)

;2!;

'

'

  =

_2

2_2

2_

+4+

_2

2_2

;2!;

'

'

;2!;

;2!;

'

3
2_ '
2

'

  =6+2

3

'

 6+2

3
'





























 























0551   오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에
내린 수선의 발을 D라고 하면

BDÓ=CDÓ=

BCÓ

;2!; 

=

_16=8`(cm)

;2!;



C

A

D

O

B

10 cm

16 cm

ADÓ의 연장선은 원의 중심 O를 지나므로 △OBD에서
ODÓ=

36=6`(cm)

-8Û

10Û

=

`

`




∴ ADÓ=OÕAÓ-ODÓ=10-6=4`(cm)
△ABD에서
+4Û
ABÓ=

5`(cm)

80=4

=

`



'




`

 4

5`cm

'

 ∠APO=∠BPO=

_60ù=30ù

;2!;

∠PAO=90ù이므로 △AOP에서

`

`

OÕAÓ=8

3

sin

30ù=8

3_

=4

3`(cm)

'

;2!;

'

'

`

⑵  △AOP에서

 PAÓ=8

3

cos

30ù=8

=12`(cm)

'

`

3
3_ '
2

'

∴ PBÓ=PAÓ=12

cm

`

⑶  (△PQR의 둘레의 길이) =PQÓ+QRÓ+PRÓ
=PAÓ+PBÓ=2PAÓ

=2_12=24`(cm)

 ⑴ 4

3

cm  ⑵ PÕAÓ=12

cm, PBÓ=12

cm  ⑶ 24

cm

`

`

'

`



`





0553   오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O를

지나는 AP'Ó을 긋고 BÕP'Ó을 그으면

∠AP'B=∠APB=x

AP'Ó이 원 O의 지름이므로

∠ABP'=90ù

P

x

O

x

M

x

P'

B

A

이때 원의 중심 O에서 ABÓ에 내린

수선의 발을 M이라고 하면
△OAM과 △P'AB에서
∠OMA=∠P'BA=90ù, ∠A는 공통이므로
△OAM»△P'AB ( AA 닮음)
∴ ∠AOM=∠AP'B=x

OAÓ=r라고 하면 OMÓ=

이므로 △OAM에서

;2R;

AMÓ=

-


®É

`

{;2R;}

`=

®Â;4#;



3
= '
2

`

r (∵ r>0)

∴ sin

x=

`

AMÓ
OAÓ

3
= '
2

3
rÖr= '
2



3
  '
2

5. 원주각  |  49

Û














































0554   오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면

A

6

대푯값과 산포도
대푯값과 산포도
대푯값과 산포도

P

C

STEP

1

기초 Build

µAC의 길이가 원주의

이므로 

;5!;

∠ADC=180ù_

=36ù

;5!;

∠ADC : ∠DAB=µAC : µ BD

이므로

36ù : ∠DAB=4 : 3, 4∠DAB=108ù



∴ ∠DAB=27ù
△APD에서 ∠APC=36ù+27ù=63ù 

D

B

 63ù

0558  (평균)=

7+15+18+12
4

=

:°4ª:

=13

0559  (평균)=

51+47+60+54+48 
5

=

:;@5^:);

=52

0560  (평균)=

24+16+20+32+18+34 
6

=

;:!6$:$;

=24   24

0555   오른쪽 그림과 같이 BCÓ, EDÓ를 긋
고 ∠BCA=∠x라고 하면

A

B

P Q

E

0561  (평균)=

26+25+28+30+1+24+27 
7

=

=23

;:!7^:!;

µAB=µAE이므로

∠ADE=∠BCA=∠x

BCDE가 원에 내접하므로

∠PBC =180ù-(76ù+∠x) 

=104ù-∠x

x

C

76$

x

D

0562  자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면


9, 10, 18, 20, 20

이므로 중앙값은 18이다.

△BCP에서
∠CPQ =∠x+(104ù-∠x)=104ù 

 104ù

또 가장 많이 나타난 값이 20이므로 최빈값은 20이다.

 중앙값:18, 최빈값 : 20 

p.101

 13

 52

 23

 





 





 













0563  자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면


9, 13, 13, 13, 18, 21

이므로 중앙값은

=13이다.

13+13
2

또 가장 많이 나타난 값이 13이므로 최빈값은 13이다.

 중앙값:13, 최빈값 : 13 

0564  자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면


16, 16, 20, 28, 35, 35

이므로 중앙값은

=24이다.

20+28
2

또 가장 많이 나타난 값이 16, 35이므로 최빈값은 16, 35이

다.

 중앙값:24, 최빈값 : 16, 35 

0565  자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면


4, 4, 4, 11, 11, 19, 32

이므로 중앙값은 11이다.

0566   윗몸일으키기 횟수가 적은 순서로 10번째와 11번째인 학생

의 기록은 각각 14회, 15회이므로 중앙값은

14+15 
2

=14.5(회)

 14.5회

0567   16회를 한 학생이 가장 많으므로 최빈값은 16회이다.


  16회

0556  ABCD는 원에 내접하므로


∠DAB+∠DCB=180ù

 ∴ ∠DAB=70ù

∠DAB+110ù=180ù
△APB에서 ∠x=70ù-30ù=40ù
∠y=∠CBT=50ù

∴ ∠x+∠y=40ù+50ù=90ù

 90ù

0557  △BAC와 △BCD에서


∠BAC=∠BCD,

∠ACB=∠CDB=90ù이므로
△BAC»△BCD
BAÓ : BCÓ=BCÓ : BDÓ이므로
Û`=12

4 : BCÓ=BCÓ : 3, BCÓ

(AA 닮음)
`

3`(cm)(∵ BCÓ>0)

∴ BCÓ=2
'
△BCD에서 CDÓ="Ã(2

50  |  정답과 해설

3)Û`-3Û

=

3`(cm)   
'

'

3`cm

`

'

또 가장 많이 나타난 값이 4이므로 최빈값은 4이다.

 중앙값:11, 최빈값 : 4 

0568   (수지의 평균)=

7+6+6+5+7+5 
6

=

:£6¤:

=6(점)

(경민이의 평균)=

7+8+5+4+4+8 
6

=

:£6¤:

=6(점)

 6, 6

 -2

 6회

0569   경민, 수지, 작다

0570   편차의 총합은 0이므로


-2+x+2+(-1)+4=0

0571  편차의 총합은 0이므로


-4+1+x+8+(x-1)=0

2x+4=0

 ∴ x=-2

x+3=0

 ∴ x=-3

 -3

0572   (평균)=

4+2+6+10+8 
5

=

:£5¼:

=6(회)

0573   (편차)=(변량)-(평균)이므로 각 변량의 편차는
4-6=-2(회), 2-6=-4(회), 6-6=0(회),


10-6=4(회), 8-6=2(회)   -2회, -4회, 0회, 4회, 2회 

0574   (편차)Û
`
 

의 총합은

(-2)Û`+(-4)Û`+0Û`+4Û`+2Û`=40

 40

0575   (분산)=

(편차)Û
의 총합
`
(변량의 개수)

=

:¢5¼:

=8

(표준편차)=

(분산)=

8=2

2(회)

¿¹

'

'

 분산:8, 표준편차:2

2회

'

STEP

2

적중유형 Drill

0576  수학 점수를 x점이라고 하면

87+x+84+86+91 
5

=88

x+348=440

 ∴ x=92

따라서 승봉이의 수학 점수는 92점이다.

 92점

0577  (평균)=

6_5+7_8+8_12+9_17+10_8 
50

=

:¢5Á0°:

=8.3(점)

 8.3점



 









 











 7

 14

 19

0579  변량 a, b, c, d의 평균이 5이므로

a+b+c+d 
4

=5

 ∴ a+b+c+d=20

따라서 변량 a, b, c, d, 15의 평균은

a+b+c+d+15 
5

=

20+15 
5

=7

0580  변량 a, b, c의 평균이 12이므로

a+b+c 
3

=12

 ∴ a+b+c=36

변량 d, e의 평균이 17이므로

d+e 
2

=17

 ∴ d+e=34

따라서 변량 a, b, c, d, e의 평균은

a+b+c+d+e
5

=

36+34 
5

=14

0581  변량 a, b, c, d의 평균이 8이므로

a+b+c+d
4

=8

 ∴ a+b+c+d=32

따라서 변량 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3의 평균은

(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3)
4

=

=

2(a+b+c+d )+12
4
2_32+12 
4

=19

0582   (A반의 총점)=50_24=1200(점)
(B반의 총점)=60_26=1560(점)


∴ (전체 평균)=

1200+1560
24+26

=

2760
50

=55.2(점)

 55.2점

다음과 같다.

① 1, 2, 3, 3, 4, 10이므로 중앙값은

=3이다.

② 1, 2, 5, 6, 8, 8, 9이므로 중앙값은 6이다.

③ 4, 5, 5, 6, 8, 9이므로 중앙값은

=5.5이다.

④ 1, 2, 3, 4, 7, 8, 10이므로 중앙값은 4이다.

⑤ 2, 3, 7, 7, 10, 15이므로 중앙값은

=7이다.

3+3
2

5+6
2

7+7
2

따라서 중앙값이 가장 작은 것은 ①이다. 

 ①





























 















6. 대푯값과 산포도  |  51

0578  

(a-4)+(a+5)+(a+7)+2a
4

=17이므로

0584   자료 A를 작은 값부터 크기순으로 나열하면


14, 15, 16, 19, 21, 23, 24

5a+8=68

 ∴ a=12

 12

이므로 중앙값은 19이다.

p.102~p.109

0583   자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하여 중앙값을 구하면



















 



 



 













자료 B를 작은 값부터 크기순으로 나열하면

3, 5, 5, 8, 11, 17, 19, 21

이므로 중앙값은

=9.5이다.

8+11 
2

따라서 두 자료의 중앙값의 합은

19+9.5=28.5

 28.5 

⑵  가장 많이 판매되는 치수가 40

cm이므로 이 가게의 주인

`

은 목둘레 치수가 40

cm인 셔츠를 가장 많이 주문해야

한다.

 

⑵ 40

cm

`

`

`

  ⑴ 평균:42

cm, 중앙값:41

cm, 최빈값:40

cm

`

`

0585   (평균)=

7+1+6+39+5+3+9+10
8

=

:¥8¼:

=10(시간)

과 같다.

0591   꺾은선그래프를 보고 운동화의 크기를 표로 나타내면 다음

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면

1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 39

이므로 중앙값은

=6.5(시간)이다.

6+7 
2

운동화 크기 (mm)

230

235

240

245

250

255 합계

1반 학생 수 (명)

2반 학생 수 (명)

1

2

6

5

10

8

7

8

4

5

4

2

32

30

자료에 극단적인 값 39시간이 있으므로 대푯값으로 중앙값

1반에서 운동화 크기가 작은 순서로 16번째와 17번째인 학

이 더 적절하다.

생의 운동화의 크기는 모두 240

mm이므로 중앙값은

 평균:10시간, 중앙값 : 6.5시간, 중앙값

240+240
2

(mm)이다.
=240
`

0586   강아지를 기르고 있는 학생이 가장 많으므로 최빈값은 강아

지이다.

 강아지

값은 240

mm이다.

`

또 운동화의 크기가 240

mm인 학생이 가장 많으므로 최빈

`

`

`

2반에서 운동화 크기가 작은 순서로 15번째와 16번째인 학

생의 운동화의 크기는 각각 240

mm, 245

mm이므로 중앙

`

값은

240+245
2

=242.5 (mm)이다.

또 운동화의 크기가 240

mm, 245

mm인 학생이 가장 많으

므로 최빈값은 240

`
mm, 245

`
mm이다.

`

`

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢이다.

 ㉠, ㉡, ㉢

4+7+a+12+0+10+8 

7
∴  a=8

a+41=49

=7

따라서 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면

0, 4, 7, 8, 8, 10, 12

이므로 중앙값은 8이다.

 8

3+4+10+4+x+5

6
x+26=30

∴  x=4

=5

따라서 자료에서 가장 많이 나타난 값이 4시간이므로 최빈값

은 4시간이다.

 4시간

따라서 최빈값은 4점이다.

 4점

0592  평균이 7이므로

 중앙값:54회, 최빈값:53회

0593  평균이 5시간이므로

0587   각 변량이 나오는 횟수를 표로 나타내면 다음과 같다.


변량 (점) 횟수 (회) 변량 (점) 횟수 (회) 변량 (점) 횟수 (회)

1

2

3

4

1

2

4

8

5

6

7

8

5

2

3

1

9

10

11

20

1

1

1

1

0588  ⑤ 최빈값은 매우 작거나 매우 큰 값의 영향을 받지 않는다.

 

 ⑤

0589   줄넘기 횟수가 적은 순서로 13번째인 학생의 기록은 54회이

므로 중앙값은 54회이다.

또 53회를 한 학생이 가장 많으므로 최빈값은 53회이다.

0590   ⑴ 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면


39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 42, 44, 44, 45, 46, 48

39+40_6+41_2+42+44_2+45+46+48
15

이므로

(평균)

=

=

630
15

=42

(cm)

`

이고, 중앙값은 41

cm이다.

`

`

cm이다.

40
`

52  |  정답과 해설



또 가장 많이 나타난 값이 40

cm이므로 최빈값은

이때 a-b=10이므로 두 식을 연립하여 풀면

0594  평균이 120

mg이므로

`

114+100+a+106+120+b+155+135
8

=120

730+a+b=960

 ∴ a+b=230

a=120, b=110



 

 









































따라서 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면

0600   영어 점수를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3번째와 4번째

100, 106, 110, 114, 120, 120, 135, 155이므로

점수의 평균이 중앙값이므로 4번째 점수를 x점이라고 하면

(중앙값)=

114+120 
2

=117

(mg)

`

 117

mg

`

73+x
2

=76





















































0595  평균이 2이므로

4+(-6)+y+10+12+(-8)+x
7

=2

x+y+12=14

∴  x+y=2

이때 x<y이고 최빈값이 4이므로 y=4



∴ x=-2

따라서 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면

-8, -6, -2, 4, 4, 10, 12

이므로 중앙값은 4이다.

0596   자료에서 가장 많이 나타난 값이 9회이므로 최빈값은 9회이

다.

x+52
7

(평균)=

9+8+7+9+10+x+9
7

=

x+52
7

(회)

이때 평균과 최빈값이 같으므로

=9, x+52=63

∴  x=11

 11

0597   자료에서 x를 제외한 나머지 변량들이 모두 다르므로 최빈값

은 x점이다.

(평균)=

90+84+76+86+x 
5

=

336+x 
5

(점)

이때 평균과 최빈값이 같으므로

336+x 
5

=x, 336+x=5x

 ∴ x=84

따라서 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면

76, 84, 84, 86, 90

이므로 중앙값은 84점이다.

 84점

0598   65점, 71점, 75점, x점의 중앙값이 72점이므로 71<x<75

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면

65점, 71점, x점, 75점이고 중앙값이 72점이므로

이어야 한다.

71+x 
2

0599   변량 2, 3, a, b, 6의 중앙값이 5이므로 5개의 변량을 작은 값

부터 크기순으로 나열했을 때 3번째 수가 5이어야 한다.

이때 a<b이므로 a=5

또 변량 6, 5, b, 10의 중앙값이 7이므로 6<b<10이어야 한

다. 4개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

5, 6, b, 10이고 중앙값이 7이므로

6+b
2

=7, 6+b=14

 ∴ b=8

∴ a+b=5+8=13









































73+x=152

∴  x=79

따라서 영어 점수가 80점인 학생이 들어왔을 때, 영어 점수를

작은 값부터 크기순으로 나열하면 4번째 점수가 79점이므로

중앙값은 79점이다.

 79점

0601   (5회에 걸쳐 치른 수학 시험 성적의 총합)=84_5=420(점)

 4

이고 6회에 걸쳐 치른 수학 시험 성적의 평균은

84+1=85(점)이므로 6회째 수학  시험  성적을  x점이라고

하면

420+x
6

=85

420+x=510

∴  x=90

따라서 6회째 수학 시험 성적은 90점이다.

 90점 

0602   (씨름부 20명의 몸무게의 총합)=79.5_20=1590
`
kg이라고 하면

고 씨름부를 나간 부원의 몸무게를 x

(kg)이

`

1590-x
19

=80

1590-x=1520

∴  x=70

따라서 씨름부를 나간 부원의 몸무게는 70

kg이다.

`

 70

kg  

`

0603   제대로 본 9과목의 성적의 총점을 a점이라고 하고, 70점을 x

점으로 잘못 보았다고 하면

a+x 
10

=

a+70 
10

+1

a+x=a+70+10

 ∴ x=80

0604   2회 때의 국어 시험 성적의 편차를 x점이라고 하면

편차의 총합은 0이므로

-2+x+(-5)+4=0

x-3=0

∴  x=3

이때 (변량)=(편차)+(평균)이므로

2회 때의 국어 시험 성적은

 13

3+80=83(점)

 83점

6. 대푯값과 산포도  |  53

=72, 71+x=144

∴  x=73

 73

따라서 70점을 80점으로 잘못 보았다.

 80점 

0605  편차의 총합은 0이므로

0611   1반의 평균과 2반의 평균이 같으므로 편차 역시 각 반의 편차

∴ A+B+C=90+86+7=183

 183

0612   남학생의 평균과 여학생의 평균이 같으므로 편차 역시 남학























































-2+3+x+(-15)+7+y=0

x+y-7=0

∴  x+y=7

 7

(평균)=(변량)-(편차)이므로 5명의 음악 성적의 평균은

0606   편차의 총합은 0이므로

-4+C+(-8)+2+3=0

C-7=0

 ∴ C=7

79-(-4)=83(점)

(변량)=(편차)+(평균)이므로

A=C+83=7+83=90

B=3+83=86

0607   C 학생의 TV 시청 시간의 편차를 x시간이라고 하면

편차의 총합은 0이므로

2+0+x+(-2)+1=0

x+1=0

∴  x=-1

(분산)=

`



+0Û

`

+(-1)Û
`
5

+(-2)Û

+1Û

`

`

=

=2

:Á5¼:

∴ (표준편차)=

2(시간)

'

 

2시간

'

0609  (평균)=

(a-4)+a+(a+1)+(a+3)
4

=

=a

4a
4

이때 편차는 -4, 0, 1, 3이므로

(분산)=

(-4)Û

`

+0Û
4

`

+1Û

+3Û

`

`

=

=6.5

:ª4¤:

 6.5

0610  평균이 3이므로



5+8+(-4)+a+11+(-3)+b
7

=3

a+b+17=21

∴  a+b=4

이때 a<b이고 중앙값이 3이므로

a=1, b=3

또 편차는 2, 5, -7, -2, 8, -6, 0이므로

(분산)=

`

`

`



+5Û

+(-7)Û

+(-2)Û

+8Û

+(-6)Û

+0Û

`

`

`

`

7

=

182
7

=26

∴ (표준편차)=

26



54  |  정답과 해설

























































와 같다.
(1반의 분산)= {1반의 (편차)Û`의 총합}

30

{1반의 (편차)Û`의 총합}=480

=4Û

=16이므로

(2반의 분산)=

{2반의 (편차)Û`의 총합}
40

=3Û

=9이므로

{2반의 (편차)Û
`

의 총합}=360

따라서 1, 2반 전체 학생의 과학 성적의 분산은

`

`

480+360
30+40

=

840
70

=12

∴ (표준편차)=

12=2

3(점)



'

 2

3점

'

생, 여학생별로 구한 편차와 같다.

(남학생의 분산)=

{남학생의 (편차)Û
`

의 총합}

=4이므로

{남학생의 (편차)Û
`

의 총합}=16

(여학생의 분산)=

{여학생의 (편차)Û
`

의 총합} 

=9이므로

4

6

{여학생의 (편차)Û
`

의 총합}=54

따라서 전체 학생 10명의 사회 성적의 분산은

16+54
4+6

=

;1&0);

=7

∴ (표준편차)=

7(점)

'

 
'

7점

:ª5¢:

yy



`

 100

a+b+31=45

 ∴ a+b=14


`

yy



`

분산이

이므로

:ª5¢:

+(11-9)Û
+(b-9)Û
+(8-9)Û
+(a-9)Û
(12-9)Û
`
`
`
`
`

=

5
+(b-9)Û



+(a-9)Û

+(-1)Û

`
∴ aÛ

`

`
`
-18(a+b)+176=24

+bÛ

+2Û

=24

`

`

`
㉠을 ㉡에 대입하면



+bÛ

`
∴ aÛ

`
+bÛ

`

`

=100

-18_14+176=24



0614   편차의 총합은 0이므로
1+x+3+y=0



 ∴ x+y=-4

분산이 5이므로

=5

`

`

`

+yÛ

+3Û
4
+10=20



+xÛ

`



+yÛ

`

`
이때 xÛ

+yÛ

=(x+y)Û

`

`
`
10=(-4)Û

`

 ∴ xÛ

+yÛ

=10

`

`
-2xy이므로

 


26

-2xy, 2xy=6

 ∴ xy=3

 3

0608  (평균)=

8+7+6+9+10
5

40
5

=

=8(회)

이때 편차는 0회, -1회, -2회, 1회, 2회이므로

(분산)=

0Û`+(-1)Û`+(-2)Û`+1Û`+2Û`
5

=

:Á5¼:

=2

 2 

0613  평균이 9이므로

12+a+8+b+11
5

=9

0615   평균이 8이므로
a+b+c
3

=8



분산이 3이므로

 ∴ a+b+c=24

yy



`

`

3

`

(a-8)Û

+(b-8)Û

+(c-8)Û

`

`

=3

(a-8)Û

+(b-8)Û

+(c-8)Û

=9

`

`
+bÛ

∴ aÛ
`

`
㉠을 ㉡에 대입하면

`

+cÛ

-16(a+b+c)+192=9





+bÛ

+cÛ

-16_24+192=9

`
∴ aÛ
`

`
+bÛ

`
+cÛ

`

`

=201

yy



`

 201 

0616  평균이 4이므로

x+y+z

3

=4

 ∴ x+y+z=12

yy ㉠

표준편차가 2, 즉 분산이 2Û

=4이므로

(x-4)Û
`

+(y-4)Û

`

3

`
+(z-4)Û

`

=4

(x-4)Û`+(y-4)Û`+(z-4)Û`=12

∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-8(x+y+z)+48=12

yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면



+yÛ

+zÛ

-8_12+48=12

`

`

`
따라서 3개의 변량 xÛ

, zÛ

, yÛ
`

`

의 평균은
`

 ∴ xÛ
`

+yÛ

+zÛ

=60

`

`

+zÛ



`

+yÛ
`
3

`

=

=20

60 
3

 20

0617  변량 xÁ, xª, x£, x¢, x°의 평균이 10, 분산이 2이므로

xÁ+xª+x£+x¢+x°
5

=10

(xÁ-10)Û`+(xª-10)Û`+y+(x°-10)Û` 
5
변량 xÁ+2, xª+2, x£+2, x¢+2, x°+2에서

=2

(평균)=

(xÁ+2)+(xª+2)+(x£+2)+(x¢+2)+(x°+2)
5

(평균)=

(xÁ+xª+x£+x¢+x°)+10 
5

(평균)=10+2=12

(분산)=

{(xÁ+2)-12}Û`+{(xª+2)-12}Û`+y+(x°+2)-12}Û`
5

(분산)=

(xÁ-10)Û`+(xª-10)Û`+y+(x°-10)Û` 
5

(분산)=2 

 평균:12, 분산:2 

다른 풀이  (평균)=10+2=12, (분산)=2

0618  변량 a, b, c, d의 평균이 5, 분산이 4이므로

a+b+c+d 
4
(a-5)Û

=5



+(b-5)Û

`

`

+(c-5)Û
`
4

+(d-5)Û

 
`

=4



















































































































0619   변량 aÁ, aª, a£, a¢, a°의 평균이 6, 표준편차가 2이므로

변량 3a, 3b, 3c, 3d에서

(평균)=

3a+3b+3c+3d 
4
3(a+b+c+d) 
4
=3_5=15

=

∴ x=15

(분산)=

+(3c-15)Û
+(3d-15)Û
+(3b-15)Û
(3a-15)Û
`
`
`
`
4

(분산)=

9{(a-5)Û

+(b-5)Û
`

`

+(c-5)Û
4

`

+(d-5)Û



`

(분산)=9_4=36

∴ y=36

∴ x+y=15+36=51

다른 풀이  x=3_5=15, y=3Û

_4=36

`

∴ x+y=15+36=51

 51

aÁ+aª+a£+a¢+a°
5

=6

(aÁ-6)Û`+(aª-6)Û`+(a£-6)Û`+(a¢-6)Û`+(a°-6)Û`
5

=2Û

=4

`

변량 2aÁ+3, 2aª+3, 2a£+3, 2a¢+3, 2a°+3에서

(평균)=

(2aÁ+3)+(2aª+3)+(2a£+3)+(2a¢+3)+(2a°+3) 
5

(평균)=

2(aÁ+aª+a£+a¢+a°)+15
5

(평균)=2_6+3=15

(분산)=

{(2aÁ+3)-15}Û`+{(2aª+3)-15)Û`+y+{(2a°+3)-15}Û` 
5

(분산)=

(2aÁ-12)Û`+(2aª-12)Û`+y+(2a°-12)Û`
5

(분산)=

4{(aÁ-6)Û`+(aª-6)Û`+y+(a°-6)Û`}
5

(분산)=4_4=16

이므로

(표준편차)=

16=4 



다른 풀이  (평균)=2_6+3=15, (표준편차)=2_2=4

 평균:15, 표준편차:4

0620  ①, ② A, B 두 반 중 최고 득점자가 어느 반에 있는지 알 수

없다.

③, ④ 표준편차가 작을수록 성적이 고르므로 B반의 성적이

A반의 성적보다 더 고르게 분포되어 있다.

⑤  표준편차가 클수록 산포도가 더 크므로 A반의 성적의 산

포도가 B반의 성적의 산포도보다 더 크다.

따라서 옳은 것은 ④이다.

 ④

0621   표준편차가 클수록 키의 분포가 고르지 않으므로 키의 분포

가 가장 고르지 않은 반은 B반이다.

 B반

6. 대푯값과 산포도  |  55

0622   각 자료의 평균은 모두 3이므로 표준편차가 가장 큰 것은 평

0628   10개의 변량을 xÁ, xª, y, xÁ¼(xÁ<xª<y<xÁ¼)이라고 하

균을 중심으로 흩어진 정도가 가장 큰 ④이다.

 ④

면 가장 작은 것을 제외한 9개의 변량의 평균이 43이므로

































다른 풀이  각 자료의 표준편차를 구하면

6
①  '
3

2

6

'
3

 ② 

 ③ 0  ④ 2  ⑤ 1

따라서 표준편차가 가장 큰 것은 ④이다.

0623   A, B의 평균은 모두 6점이고 평균 6점을 중심으로 성적의 흩

어진 정도가 작은 사람은 B이다.

따라서 B의 성적이 A의 성적보다 고르다.

다른 풀이  A의 표준편차는

3.8점이고 B의 표준편차는

0.6



점이다. 따라서 B의 표준편차가 A의 표준편차보다 작으므

로 B의 성적이 A의 성적보다 고르다.

 B



0624   ㉠, ㉣ 최고 득점자와 최저 득점자는 어느 모둠에 있는지 알

수 없다.

㉡  D 모둠의 표준편차가 가장 작으므로 D 모둠 학생들의 성

적이 가장 고르게 분포되어 있다.

㉢ 편차의 총합은 0으로 모두 같다.

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다.

 ㉡, ㉣

xª+x£+y+xÁ¼ 
9

=43

∴ xª+x£+y+xÁ¼=387 

yy ㉠

가장 큰 것을 제외한 9개의 변량의 평균이 39이므로

가장 작은 변량과 가장 큰 변량의 합이 82이므로

yy ㉡

yy ㉢

xÁ+xª+y+x»
9

=39

∴ xÁ+xª+y+x»=351 

xÁ+xÁ¼=82

㉠+㉡+㉢을 하면

2(xÁ+xª+y+xÁ¼)=820

∴ xÁ+xª+y+xÁ¼=410

따라서 10개의 변량 xÁ, xª, y, xÁ¼의 평균은

xÁ+xª+y+xÁ¼
10

=

=41

:¢1Á0¼:

 41

0625  ㉠, ㉢, ㉣ 대칭축으로부터 흩어져 있는 정도가 A반이 B반
보다 크므로 A반의 성적이 B반보다 고르지 않다. 즉 A

반의 분산, 표준편차가 B반보다 크다.

한다.

∴ aÉ30 

㉡  대칭축은 각 반의 평균을 의미한다. A반의 대칭축이 B반

㉠, ㉡에서 25ÉaÉ30

yy ㉡

 25ÉaÉ30

0629   ㈎ 에서 15, 20, 25, 40, a의 중앙값이 25이므로


a¾25 

yy ㉠

㈏ 에서 30, 40, 43, a의 중앙값이 35이므로 작은 값부터 크

기순으로 나열했을 때 2번째와 3번째 수가 30과 40이어야

의 대칭축보다 오른쪽에 있으므로 A반의 수학 성적의 평

균이 B반보다 높다.

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢, ㉣이다.

 ㉡, ㉢, ㉣

STEP

3

심화유형 Master

p.110~p.112

0626   남자의 수를 x명, 여자의 수를 y명이라고 하면 남녀 전체의

평균 나이는 47세이므로

45x+50y
x+y
2x=3y

 ∴ x : y=3 : 2

=47, 45x+50y=47x+47y

0630  중앙값이 90점이므로 x¾92이어야 한다.  


평균이 91점 미만이므로

yy ㉠

88+85+x+92 
4

<91

265+x<364

 ∴ x<99

yy ㉡

㉠, ㉡에서 92Éx<99이므로 구하는 자연수 x는 92, 93, 94,

95, 96, 97, 98의 7개이다.

 7 

0631   자료 A의 중앙값이 14이므로 5개의 변량을 작은 값부터 크
기순으로 나열할 때 3번째 변량은 14이어야 한다.

그런데 a<b이므로 a=14

따라서 남자의 수와 여자의 수의 비는 3 : 2이다.   3 : 2

두 자료 A, B를 섞은 전체의 자료에서 두 개의 b를 제외하고

0627  나머지 3과목의 성적의 평균을 x점이라고 하면

87_7+3x
10

¾90, 609+3x¾900

 ∴ x¾97

따라서 3과목의 성적의 평균은 97점 이상이어야 한다.

작은 값부터 크기순으로 나열하면

8, 10, 13, 14, 18, 23, 24, 25

이때 전체 자료의 중앙값이 19이므로

18+b
2

=19, 18+b=38

 ∴ b=20

 97점

 a=14, b=20

56  |  정답과 해설















































 

0632   a, b를 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 4,

0636  지수가 맞힌 결과는 3, 4, 5, 6, 7이므로

4, 4, 6, 7, 8이다.

이때 a<b<5이면 5번째 자료의 값이 4이므로 중앙값은 4이

다. 또 자료에서 가장 많이 나타난 값이 4이므로 최빈값은 4

이다.

 중앙값 : 4, 최빈값 : 4

0633   최빈값이 12이고 6이 2개이므로 a, b, c 중 적어도 2개는 12이

어야 한다.

a=12, b=12라고 하고 c를 제외한 7개의 자료를 작은 값부

터 크기순으로 나열하면 5, 6, 6, 10, 12, 12, 12이다.

이때 중앙값이 9이므로 6<c<10이고

c+10
2

=9

c+10=18

∴  c=8

∴ a+b+c=12+12+8=32

 32

0634  ① 편차의 총합은 0이므로













3+(-2)+4+x+(-3)=0 

 x+2=0

∴  x=-2

②, ③ (변량)=(편차)+(평균)이므로

( A 학생의 점수)=3+75=78(점)

( B 학생의 점수)=-2+75=73(점)

( C 학생의 점수)=4+75=79(점)

( D 학생의 점수)=-2+75=73(점)

( E 학생의 점수)=-3+75=72(점)

면 72점, 73점, 73점, 78점, 79점이므로 중앙값은 73점이

다.

 따라서 C 학생의 점수는 중앙값과 같지 않다.

⑤ 가장 많이 나타난 점수가 73점이므로 최빈값은 73점이다.

 따라서 B 학생의 점수는 최빈값과 같다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

 ⑤

0635   평균이 1이므로

-3+(-2)+a+b+4+2+1 
7

=1

a+b+2=7

∴  a+b=5



yy ㉠

a, b를 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 -3,

-2, 1, 2, 4이고 중앙값이 2이므로 a, b는 a¾2, b¾2인 정

수이어야 한다.



yy ㉡

㉠, ㉡ 을 만족하는 정수 a, b는

a=2, b=3 또는 a=3, b=2

이때 편차는 -4, -3, 1, 2, 3, 1, 0이므로

(분산)=

`

(-4)Û

+(-3)Û

+2Û

+3Û

+1Û

+0Û

`

`

`

`

=

`

+1Û
7

`

:¢7¼:

 

:¢7¼:















































































































(평균)=

3+4+5+6+7 
5
이때 편차는 -2, -1, 0, 1, 2이므로

:ª5°:

=

=5

(분산)=

(-2)Û

`

+(-1)Û
5

`

+0Û

+1Û

+2Û

`

`

`

=

=2

:Á5¼:

(표준편차)=

2

∴  a=

'

2

'

성민이가 맞힌 결과는 1, 2, 5, 8, 9이므로

(평균)=

1+2+5+8+9 
5
이때 편차는 -4, -3, 0, 3, 4이므로

:ª5°:

=

=5

(분산)=

(-4)Û

+0Û

+3Û

+4Û

`

`

 
`

=

=10

:°5¼:

`

`

+(-3)Û
5
∴  b=

(표준편차)=

10



10



세진이가 맞힌 결과는 1, 2, 3, 4, 5이므로

(평균)=

1+2+3+4+5 
5
이때 편차는 -2, -1, 0, 1, 2이므로

:Á5°:

=

=3

(분산)=

(-2)Û

`

+(-1)Û
5

`

+0Û

+1Û

`

+2Û
`

`

 

=

=2

:Á5¼:

(표준편차)=

2

'
'
따라서 a, b, c의 대소 관계는

∴  c=

2

a=c<b

 ④

(평균)=

x+(x+2)+x+(x+2)
4

=

4x+4
4

=x+1

이때 각 변의 길이의 편차는 -1, 1, -1, 1이므로

(분산)=

(-1)Û

+1Û

`

`

+(-1)Û
4

`

+1Û

`

=

=1

;4$;

 1

0638   바르게 입력된 4명의 몸무게의 합을 x


y라고 하면 6명의 잘못 구한 몸무게의 평균이 60

`

kg, (편차)Û`의 총합을

kg이므로

`

x+57+62
6

=60, x+119=360

 ∴ x=241

6명의 실제 몸무게의 평균은

241+60+59
6

=

;:#6^:);

=60

(kg)

`

한편 6명의 잘못 구한 몸무게의 분산에서

{(편차)Û`의 총합}=11_6=66이므로

y+(57-60)Û

y+13=66

+(62-60)Û

`
∴  y=53

`

=66



따라서 6명의 실제 몸무게의 분산은

53+(60-60)Û
6

`

+(59-60)Û

`

=

=9

:°6¢:

 9

6. 대푯값과 산포도  |  57

 따라서 E 학생의 점수가 가장 낮다.

0637   직사각형의 세로의 길이를 x라고 하면 가로의 길이는 x+2

④  5명의 학생들의 점수를 작은 값부터 크기순으로 나열하

이므로 직사각형의 네 변의 길이는 x, x+2, x, x+2이다.

0639   학생 6명 중에서 점수가 80점인 학생 한 명을 제외한 나머지
학생 5명의 점수를 각각 a점, b점, c점, d점, e점이라고 하면

학생 6명의 영어 성적의 분산이 25이므로

(a-80)Û`+(b-80)Û`+(c-80)Û`+(d-80)Û`+(e-80)Û`+(80-80)Û`
6

=25

=150

+(e-80)Û
+(d-80)Û
+(c-80)Û
+(b-80)Û
∴ (a-80)Û
`
`
`
`
`

이때 점수가 80점인 학생을 제외한 나머지 학생 5명의 평균

도 80점이므로 나머지 학생 5명의 영어 성적의 분산은

(a-80)Û`+(b-80)Û`+(c-80)Û`+(d-80)Û`+(e-80)Û`
5

다른 풀이  학생 6명의 영어 성적의 총합은 80_6=480(점)이

므로 점수가 80점인 학생 한 명을 제외한 나머지 학생 5명의

=

;:!5%:);

=30

영어 성적의 평균은

480-80
5

=80(점)

한편 학생 6명의 (편차)Û`의 총합은 25_6=150이고 점수가

80점인 학생의 편차는 0이므로 점수가 80점인 학생 한 명을

제외한 나머지 학생 5명의 (편차)Û`의 총합도 150이다.

따라서 나머지 학생 5명의 영어 성적의 분산은

=30

;:!5%:);

0640  변량 a, b, c, d의 평균이 3이므로

a+b+c+d
4
, bÛ
변량 aÛ
`
+bÛ

, cÛ
`
+cÛ
4



`

`

`

, dÛ
`
+dÛ

=3

 ∴ a+b+c+d=12

의 평균이 13이므로
`

`

=13

 ∴ aÛ

+bÛ

`

+cÛ
`

`

+dÛ

=52

`

따라서 변량 a, b, c, d의 분산은

(a-3)Û

+(b-3)Û

`

`

+(c-3)Û
4

`

+(d-3)Û

`

aÛ`+bÛ`+cÛ`+dÛ`-6(a+b+c+d)+36
4

=

=

52-6_12+36
4

=

:Á4¤:

=4

∴ (표준편차)=

4=2

'

㉠을 ㉡에 대입하면



+yÛ

`

`
이때 xÛ

`
56=10Û

`

-12_10+76=12

 ∴ xÛ

+yÛ

=56

+yÛ

=(x+y)Û

`

`

`
-2xy이므로

`

-2xy, 2xy=44

 ∴ xy=22

∴ (직육면체의 겉넓이) =2(xy+8x+8y)

=2xy+16(x+y)

=2_22+16_10=204   204 

0642   자료 A:1, 2, 3, y, 100


자료 B:-49, -48, -47, y, 50

자료 C:2, 4, 6, y, 200

  30

자료 B는 자료 A의 각 변량에서 50을 뺀 것과 같고 자료 C는

자료 A의 각 변량에 2를 곱한 것과 같다.

분산은 변량에 일정한 수를 더하거나 빼어도 변하지 않으므

로 자료 A와 자료 B의 분산은 같다.

∴ a=b





yy ㉠

이라고 할 때, kxÁ, kxª, y,

또 변량 xÁ, xª, y, xÇ의 분산을 sÛ
kxÇ의 분산은 kÛ

_a=4a
c=2Û



`

`

이므로 자료 C의 분산은
`

`

㉠, ㉡에서 a=b<c

yy ㉡

 ④

0643  ① (준영이의 평균)=

6_3+7_4+8_3
3+4+3

=

;1&0);

=7(점)

(희선이의 평균)

=

3_1+4_2+5_1+6_1+9_2+10_3
1+2+1+1+2+3







=

=7(점)

;1&0);

 따라서 준영이와 희선이의 평균은 같다.

②, ③, ⑤ 희선이의 사격 점수가 준영이의 사격 점수보다 평

균에서 더 많이 흩어져 있으므로 희선이의 산포도(분산,

표준편차)가 준영이의 산포도(분산, 표준편차)보다 크다.

④  준영이의 점수가 희선이의 점수보다 평균을 중심으로 모

여 있으므로 준영이의 점수가 희선이의 점수보다 분포가

 2

고르다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다. 

참고   준영이의 자료에서 

  ⑤

0641  12개의 모서리의 길이의 평균이 6이므로

(분산)=

_3+0Û
_3
_4+1Û
(-1)Û
`
`
`
10

=

;1¤0;

=0.6

4(x+y+8)
12
x+y+8=18

=6

∴  x+y=10

yy ㉠

12개의 모서리의 길이의 분산이 4이므로

4{(x-6)Û
`

+(y-6)Û
12
+(y-6)Û

+2Û

`

`

=12

`

+(8-6)Û

}

`

=4

(x-6)Û

`
+yÛ
`

`

∴ xÛ

-12(x+y)+76=12

yy ㉡

(표준편차)=

0.6 (점)



희선이의 자료에서

(분산)

=

;1&0$;

=7.4

(표준편차)=

7.4 (점)



=

(-4)Û`_1+(-3)Û`_2+(-2)Û`_1+(-1)Û`_1+2Û`_2+3Û`_3 
10







































 

 

 

 

 



 

 























































58  |  정답과 해설

7

산점도와 상관관계
산점도와 상관관계
산점도와 상관관계
산점도와 상관관계

STEP

1

기초 Build

0644    2

 점

(점)

10
9
8
7
6
5

0

0655    음



p.115

0656  음

0657    없음

STEP

2

적중유형 Drill

p.116~p.120

0645   수학 성적이 90점 이상인 학

l

5 6 7 8 9 10

1차 점수(점)

생 수는 오른쪽 산점도에서

직선 l을 포함하고 직선 l의

오른쪽에 속하는 점의 개수

와 같으므로 2명이다.



 성

(점)

100

80

60

40

20

0

0658   던지기 실기 점수는 4점 이상
이고 달리기 실기 점수는 5점

이상인 학생 수는 오른쪽 산점

도에서 색칠한 부분에 속하는

점의  개수와  같으므로  3명이




 실

 점

(점)

6
5
4
3
2
1

0

m

다.

1 2 3 4

65

던지기 실기 점수(점)

 3명 









0646   영어 성적이 40점 이하인 학생 수는 0645의 산점도에서 직

선 m을 포함하고 직선 m의 아래쪽에 속하는 점의 개수와 같

으므로 5명이다.

0647   수학 성적과 영어 성적이 모두

80점 이상인 학생 수는 오른

쪽 산점도에서 색칠한 부분에

속하는 점의 개수와 같으므로

3명이다.



 성

(점)

100

80

60

40

20

0

20 40 60 80 100
수학 성적(점)

 2명 

 5명

l



20 40 60 80 100
수학 성적(점)

 3명







0649    ㉢, ㉤

0650  ㉠, ㉣ 

0651   ㉡, ㉥

0652  ㉤

0653   ㉠

0654  양

l

l









0659   던지기 실기 점수가 달리기 실기 점수보다 높은 학생 수는
0658의 산점도에서 직선 l을 제외하고 직선 l의 아래쪽에
속하는 점의 개수와 같으므로 4명이다.

 4명 

0660   던지기 실기 점수와 달리기 실기 점수가 같은 학생 수는

0658의 산점도에서 직선 l 위에 있는 점의 개수와 같으므로



;1£2;

_100=25

(%)

`

 25

%  

`

0661   



3명이다.



 득


(골)

12
11
10
9
8
7

0

0662   작년 득점수가 가장 많은 선수는 11골을 득점한 C이므로 이

선수의 올해 득점수는 12골이다.

 12골  

0663   작년 득점수에 비해 올해 득점
수가 오른 선수의 수는 오른쪽

산점도에  직선  l을  제외하고

직선 l의 위쪽에 속하는 점의

개수와 같으므로 5명이다.



;1°0;

_100=50

(%)

`



 득


(골)

12
11
10
9
8
7

0

7

8

9 10

11

작년 득점수(골)

 50



`

7. 산점도와 상관관계  |  59

0648   수학 성적과 영어 성적이 같은 학생 수는 0647의 산점도에

서 직선 l 위에 있는 점의 개수와 같으므로 4명이다.    4명

7

8

9 10 11
작년 득점수(골)

0664   작년과 올해 중 적어도 한 해는 득점수가 10골 이상인 선수의

수는 0663의 산점도에서 색칠한 부분에 속하는 점의 개수와

같으므로 5명이다.

 5명 

0665   1차 수행평가 점수가 60점 이

상 80점 이하인 학생 수는 오

른쪽 산점도에서 색칠한 부분

에  속하는  점의  개수와  같으

므로 6명이다.

따라서 1차 수행평가 점수가

2

 수



 점

(점)

100

80

60

40

20

0

0668   워드 프로세서 시험의 필기
점수와 실기 점수의 평균이

m



n

60점 이상인 학생은 워드 프

로세서 시험의 필기 점수와

실기 점수의 합이 120점 이

상인 학생이다.

l

100



 점

(점)

80

60

40

20

0



따라서  오른쪽  산점도에서

20 40 60 80 100
필기 점수(점)

직선 l을 포함하고 직선 l의 위쪽에 속하는 점의 개수와 같으

므로 10명이다.

 10명 

60점 이상 80점 이하인 학생의 비율은

=


;8#;

;1¤6;

 ①  

20 40 60 80 100
1차 수행평가 점수(점)

0669   워드 프로세서 시험의 필기 점수와 실기 점수의 차가 20점인
학생 수는 0668의 산점도에서 두 직선 m, n 위에 있는 점의
개수와 같으므로 4명이다.

 4명 

0666   1차 수행평가 점수가 90점 이상인 학생의 2차 수행 평가 점수

는 60점, 70점, 90점, 100점이므로 그 평균은

60+70+90+100
4

=

320 
4

=80(점)

 80점  

0670   워드 프로세서 시험의 필기 점수와 실기 점수의 차가 20점 이
상인 학생 수는 0668의 산점도에서 색칠한 부분에 속하는
점의 개수와 같으므로 10명이다.



;2!0);

_100=50

(%)

`

 50



`

0667   ① 



국어  성적이  80점  이상

100점 미만인 학생 수는

오른쪽 산점도에서 직선

l은 포함하고 직선 m은

제외한 두 직선 l, m 사

이에  속하는  점의  개수

와 같으므로 7명이다.



 성

(점)

100

80

60

40

20

0

l

m n



p

0671   1학기와  2학기  동안  봉사활동
을 한 횟수의 합이 8회 이상인

학생  수는  오른쪽  산점도에서

직선 l을 포함하고 직선 l의 위

쪽에 속하는 점의 개수와 같으

므로 7명이다.

l

2

6
기 m
5
(회)
4
3
2
1

A

20 40 60 80 100
국어 성적(점)

0

1 2 3 4

65
1학기(회)

 7명 

② 

국어 성적보다 영어 성적이 높은 학생 수는 위 산점도에

서 직선 n을 제외하고 직선 n의 위쪽에 속하는 점의 개수

와 같으므로 10명이다.

③ 

영어 성적이 70점보다 높은 학생 수는 위 산점도에서 직

선 p를 제외하고 직선 p의 위쪽에 속하는 점의 개수와 같

으므로 8명이다.

④ 

위 산점도의 직선 n에서 멀리 떨어질수록 국어 성적과

영어 성적의 차가 크므로 국어 성적과 영어 성적의 차가

가장 큰 학생은 A이다. 따라서 A의 국어 성적은 70점이

⑤ 

국어 성적과 영어 성적이 모두 50점 이하인 학생 수는 위

산점도에서 색칠한 부분에 속하는 점의 개수와 같으므로

다.

12명이다.

 ∴

_100=40

(%)

;3!0@;

`

따라서 옳은 것은 ②, ④이다.

 ②, ④

0672   1학기와 2학기 동안 봉사활동을 한 횟수의 합이 5회 이하인
학생 수는 0671의 산점도에서 직선 m을 포함하고 직선 m
의 아래쪽에 속하는 점의 개수와 같으므로 3명이다.



;1£5;

_100=20

(%)

`

 20



`

0673   ① 



수진이네 반 학생 수는 산점도에서 점의 개수와 같으므

로 20명이다.

② 

일주일 동안 먹은 빵과 음

료수의 개수가 같은 학생

수는  오른쪽  산점도에서

직선 l 위에 있는 점의 개

수와 같으므로 5명이다.





 개

(개)

6
5
4
3
2
1

0

m

l

n

1 2 3 4

65
빵의 개수(개)





























60  |  정답과 해설













 

 

③ 

일주일 동안 먹은 빵과 음료수의 개수의 차가 1개인 학생

② A는 D에 비해 수입액도 적고 저축액도 적다.

수는 위 산점도에서 두 직선 m, n 위에 있는 점의 개수와

④ A, B, C, D, E 중 저축액이 가장 적은 사원은 A이다.

같으므로 6명이다.

⑤  A, B, C, D, E 중 수입액과 저축액이 가장 많은 사원은

 따라서 일주일 동안 먹은 빵과 음료수의 개수의 차가 1개

D이다.

따라서 옳은 것은 ③이다.

 ③  

 인 학생의 비율은

=0.3

;2¤0;

④ 

일주일 동안 먹은 빵과 음료수의 개수의 차가 1개 이하인

학생 수는 위 산점도에서 두 직선 m, n을 포함하고 두 직

선 m, n 사이에 속하는 점의 개수와 같으므로 11명이다.

⑤ 

일주일 동안 먹은 빵과 음료수의 개수의 차가 3개 이상인

학생 수는 위 산점도에서 색칠한 부분에 속하는 점의 개수

와 같으므로 4명이다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

 ④

0681   D

다.



























0682  ㉠  A, B, C, D 중 100

m 달리기를 가장 잘하는 학생은 A이

`

㉡ 

주어진 산점도에 오른쪽 아래로 향하는 대각선을 그었을

때, 대각선에서 멀리 떨어질수록 100

m 달리기 기록과

`

멀리던지기 기록의 차가 크므로 A, B, C, D 중 두 기록의

차가 가장 큰 학생은 B이다.

㉣  100

m 달리기 기록이 짧을수록 100 m 달리기를 잘하는

m 달리기를 잘하는 학생은 대체로 멀리던

`

것이므로 100

`
지기도 잘한다.

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢, ㉣이다.

 ㉡, ㉢, ㉣ 

0683   ①, ⑤ 금메달과 은메달 개수 사이에는 양의 상관관계가 있
으므로 예금액과 이자 사이의 상관관계와 같다.

② 

은메달 개수가 10개 이상인 국가의 금메달 개수는 9개, 9

개, 11개, 12개, 14개이므로 그 평균은



9+9+11+12+14  
5

=

55  
5

=11(개)

③ 

금메달 개수가 6개 미만인



국가의 수는 오른쪽 산점도

에서 직선을 제외하고 색칠

한  부분에  속하는  점의  개

수와 같으므로 7개이다.

 ∴

_100=35

(%)

;2¦0;

`




 개

(개)

14
12
10
8
6
4
2

0

2 4 6 8 10 12 14
금메달 개수(개)

④ 

금메달 개수가 가장 적은 국가의 금메달 개수는 1개이고,

이 국가의 은메달 개수는 3개이다.

따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.

 ②, ⑤ 

0674   주어진 산점도는 음의 상관관계가 있으므로 보기에서 음의
상관관계가 있는 것을 고르면 ㉡, ㉢, ㉥이다.   ㉡, ㉢, ㉥ 

참고    ㉠ 양의 상관관계

㉣, ㉤ 상관관계가 없다.

0675   

100

, 양의 상관관계



 성

(점)

80

60

40

20

0

2

4

6

8

10 12
책의 권수(권)

0676   ㉠, ㉣, ㉤, ㉥

0677   여름철 평균 기온과 아이스크림 판매량 사이에는 양의 상관
관계가 있으므로 양의 상관관계를 나타내는 산점도는 ㉢이

다.

 ㉢ 

0678   ①, ②, ④, ⑤ 양의 상관관계
③ 음의 상관관계




따라서 두 변량 사이의 상관관계가 나머지 넷과 다른 하나는

③이다.

 ③  

0679   하루에 걷는 시간과 혈압, 심장마비, 혈액의 점도, 불필요한
응혈은 음의 상관관계가 있고, 하루에 걷는 시간과 좋은 콜레

STEP

3

심화유형 Master

스테롤 수치는 양의 상관관계가 있다.

 ③  

p.121~p.122

0684   1차 시기와 2차 시기 점수의 합이 큰 쪽부터 크기순으로 나열
하면 32점, 31점, 31점, 30점, 29점, 28점, …이다.

0680  ① 



수입액과 저축액 사이에는 양의 상관관계가 있으므로 수



따라서 5등인 선수의 1차 시기와 2차 시기 점수의 합은 29점

입이 많을수록 대체로 저축을 많이 한다.

이고, 그 선수의 2차 시기 점수는 15점이다.

 15점 

7. 산점도와 상관관계  |  61

`

`

`

































0685   전체 학생 수가 30명이므로 상위 10

% 이내에 드는 학생 수

는 30_

=3(명)

;1Á0¼0;

이때 말하기와 듣기 점수의 합이 상위 3명에 속하는 학생들

0690   과학 상상화 그리기와 글짓기 점수의 총점이 큰 쪽부터 크기
순으로  나열하면  20점,  19점, 18점,  18점, 17점,  16점, 15

점,  …이고,

20+19+18+18+17+16 
6

=

108  
6

=18(점)

의 말하기와 듣기 점수를 순서쌍으로 나타내면

이므로 전체 학생 수 24명 중 6명이 선발되었다.

(100, 100), (100, 90), (90, 90)

따라서 상장을 받는 학생들의 말하기와 듣기 점수의 합은 최

소 90+90=180(점)이다.

 180점 

든다.

따라서 선발된 학생들은 상위

_100=25

(%) 이내에

;2¤4;

`

  25



`

0686   전체 학생 수가 20명이므로 상위 25

% 이내에 드는 학생 수

는 20_

=5(명)

;1ª0°0;

이때 수학 성적이 상위 5명에 속하는 학생들의 체육 성적은

100점, 90점, 90점, 70점, 60점이므로 그 평균은

100+90+90+70+60  
5

=

410
5

=82(점)

 82점 

0687   전체 학생 수가 15명이므로 상위 40

% 이내에 드는 학생 수

는 15_

=6(명)

;1¢0¼0;

이때 지필평가와 수행평가 점수의 총점이 상위 6명에 속하는

학생들의 지필평가와 수행평가 점수를 순서쌍으로 나타내면

(50, 50), (50, 45), (45, 50), (45, 40), (40, 45), (45, 35)

% 이내에 드는 학생들의 총점의 평균은

따라서 상위 40
(50+50)+(50+45)+(45+50)+(45+40)+(40+45)+(45+35) 
6

`

=

100+95+95+85+85+80 
6

=

540 
6

=90(점)  90점 

0688   국어와  수학  중  적어도  한
과목의 성적이 60점 미만인

l



 성

(점)

100

80

60

40

0

학생 수는 오른쪽 산점도에

서 두 직선 l, m을 제외하

고 색칠한 부분에 속하는 점

의  개수와 같으므로 7명이

다.



;2¦0;

_100=35

(%)

`

40

60

80 100
국어 성적(점)

 35

%   

`

0689   국어 성적이 수학 성적보다 높은 학생 수는 0688의 산점도
에서 직선 n을 제외하고 직선 n의 아래쪽에 속하는 점의 개

수와 같다. 이 중에서 수학 성적이 60점 이하인 학생 수는 빗

금친 부분에 속하는 점의 개수와 같으므로 4명이다.



따라서 국어 성적이 수학 성적보다 높으면서 수학 성적이 60

점 이하인 학생들의 국어 성적은 50점, 60점, 80점, 90점이므

로 그 평균은

50+60+80+90 
4

=

280  
4

=70(점)

 70점  

62  |  정답과 해설

참고    상위 5명의 총점의 평균은
92 
20+19+18+18+17
5
5

=

=18.4(점) 

상위 7명의 총점의 평균은
20+19+18+18+17+16+15
7

=

123
7

(점)

0691   득점과 승점의 차가 20점 이상
인 팀의 수는 오른쪽 산점도에



(점)

80

60

40

20

0

서 색칠한 부분에 속하는 점의

개수와  같으므로  5팀이다. 즉

a=5

또 득점과 승점의 평균이 12번

째로  높은  팀의  득점은  40점,

승점은 50점이므로 그 평균은

=

40+50 
2

90 
2
∴ b-a=45-5=40

=45(점), 즉 b=45

20

40

60

80
득점(점)

0692   ㈎ 중간고사  성적보다  기말
고사 성적이 떨어진 학생

수는  오른쪽  산점도에서

직선 l을 제외하고 직선 l

의 아래쪽에 속하는 점의

개수와 같다.

㈏ ㈎에서  중간고사와  기말





(점)

100

80

60

40

0



n

m

40

60

80 100
중간고사(점)

고사 성적의 차가 10점 이상인 학생 수는 색칠한 부분에

속하는 점의 개수와 같다.

㈐ ㈏에서 중간고사와 기말고사 성적의 총점이 150점 이상인

학생 수는 빗금친 부분에 속하는 점의 개수와 같다.

따라서 세 조건 ㈎, ㈏, ㈐ 를 동시에 만족하는 학생 수는 4명

이다.

 40 



 4명 



0693   주어진  산점도에  자료를
추가하면  오른쪽  산점도

와  같으므로  SNS  이용

시간과 수면 시간 사이에

는 음의 상관관계가 있다.



 시

(시간)

8
7.5
7
6.5
6
5.5

0

1 2 3 4

5
SNS 이용 시간(시간)

6 7

 음의 상관관계   









 

 

 

 





















 















 

 









0694  SNS이용시간이4시간이상인학생수는0693의산점도에

0698  ⑴ 자료의값중에95

mm와같이극단적인값이있으므로

`

서색칠한부분에속하는점의개수와같으므로6명이다.

대푯값으로중앙값이적당하다.

∴

;1¤6;

_100=37.5

(%),즉a=37.5

`

또수면시간이7시간인학생들의SNS이용시간은2시간,

3시간,4시간이므로그평균은

2+3+4  
3

=

;3(;

=3(시간),

즉b=3

∴2a-b=2_37.5-3=72

 72 

⑵ 자료를작은값부터크기순으로나열하면



2,3,5,7,8,9,10,95



이므로중앙값은4번째값인7과5번째값인8의평균이

 다.즉(중앙값)=

7+8
2

=7.5

(mm)

`

 ⑴ 중앙값, 풀이 참조  ⑵ 7.5`mm

0699   

, 음의 상관관계



 함


(mg/L)

7
6.5
6
5.5
5
4.5
4

0

0695  ㉠   영화A는영화C보다제작비도많고,누적관객수도많

다.

㉢ 

(누적 관객 수 )  
(제작비)

의값이크다는것은제작비에비해누적



관객수가많다는뜻이므로세영화A,B,C중제작비에

비해누적관객수가가장많은영화는B이다.

따라서옳은것은㉡,㉢이다.

 참고   오른쪽 그림과 같이 원점과

세 점 A, B, C를 각각 연결한 직선

을 그었을 때, 직선의 기울기는 

(누적 관객 수) 
(제작비)

의 값을 의미한다.

 이때 점 B를 지나는 직선의 기울



 관

 수
(만 명)

0

5 10 15 20 25 30 35

수심(m)

 ㉡, ㉢

 

A

0700  ⑴ 3회의성적이90점이고편차가6점이므로


 (평균)=90-6=84(점)

 ∴A=4+84=88,B=-3+84=81,

 

D=81-84=-3,F=85-84=1

B

C

 이때편차의총합은0이므로

 -3+4+6+(-3)+E+1=0

 ∴E=-5

제작비(억 원)

 ∴C=-5+84=79

기가 가장 크므로 

의 값이 가장 큰 영화는 B이다.

⑵

 (분산)=

(누적 관객 수) 
(제작비)

(-3)Û`+4Û`+6Û`+(-3)Û`+(-5)Û`+1Û`
6

=

:»6¤:

=16

 ∴(표준편차)=

16=4(점)



              ⑵ 4점

 

 ⑴ A=88, B=81, C=79, D=-3, E=-5, F=1 

p.123~p.126

0701  ⑴ 편차의총합은0이므로


 -5+(-3)+a+2+b=0

∴ a+b=6

⑵

 표준편차가

11.6,즉분산이(

11.6)Û

=11.6이므로

서술형 Power Up!

0696   ⑴ 평균은 변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값이다.
(변량의 총합)
(변량의 개수)

 즉 (평균)=

이다.

 

 ⑵   평균은 극단적인 값에 영향을 받으므로 자료에 극단적인 

값이 있는 경우 대푯값으로 적절하지 않다.

 ⑶  중앙값은 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열할 때 중앙

⑶

에 놓인 값이다.

0697  ⑵ 최빈값은2개이상일수도있다.


⑶ 자료의변량의개수가짝수개인경우중앙값은자료의변

량을작은값부터크기순으로나열할때중앙에놓인두

값의평균이므로주어진자료중에없을수도있다.

⑷자료의값이3,4,5,5,5,6,7인경우평균,중앙값,최빈



`

+aÛ

+2Û

+bÛ

`

`

`

=11.6

`


+(-3)Û
5
+38=58

`

(-5)Û

 

 aÛ

+bÛ

`

`

 aÛ

+bÛ

`
`
 20=6Û

=(a+b)Û

`
-2ab,2ab=16

`

∴ aÛ

+bÛ

`

`
-2ab이므로

=20

 ∴ab=8

기말고사수학 성적이

모두60점미만인학생

수는오른쪽산점도에

서두직선l,m을제

외하고 색칠한 부분에

속하는점의개수와같





 수

 성

(점)

100

80

60

40

20

0

 ⑴ 6  ⑵ 20  ⑶ 8 

n

m

20 40 60 80 100
중간고사 수학 성적(점)

 ⑷ 최빈값은 변량 중에서 가장 많이 나타나는 값이다.

0702  ⑴ 



중간고사 수학 성적과

l

값이모두5로일치한다.

으므로5명이다.따라서보충학습과제를받는학생수는

 

 ⑴ ◯  ⑵ _, 풀이 참조  ⑶ _, 풀이 참조  ⑷ ◯

5명이다.

















 

 

 

 

 

 

 



 

7. 산점도와 상관관계  |  63





































⑵ 

중간고사 수학 성적에 비해 기말고사 수학 성적이 오른

㉠을 ㉡에 대입하면

학생 수는 위 산점도에서 직선 n을 제외하고 직선 n의 위



+bÛ

-18_20+188=30



쪽에 속하는 점의 개수와 같으므로 6명이다.

 ∴

100=37.5

(%)

;1¤6;_

`

 202

 ⑴ 5명  ⑵ 37.5

%  

`

0708   변량 a, b, c, d의 평균이 1, 표준편차가
'

3이므로

`
∴ aÛ

`
+bÛ
`

`

=202

a+b+c+d
4

=1

0703  ⑵ 



주어진 산점도에 5개

의  자료를  추가하면

오른쪽  산점도와  같

으므로  아버지의  키

와 아들의 키 사이에

는  양의  상관관계가




 키
(cm)

170

165

160

155

150

0

있다.







160 165 170 175 180

아버지의 키(cm)

 ⑴ 상관관계가 없다.  ⑵ 양의 상관관계    

0704   남학생 수와 여학생 수를 각각 4x명, 3x명(x>0)이라고 하

면 이 반 전체 학생의 음악 성적의 평균은

67_4x+60_3x
4x+3x

=

448x
7x

=64(점)

 64점

이므로

=9_3=27

0705   자료에서 x를 제외한 나머지 변량들이 모두 다르므로 최빈값
이 존재하려면 x의 값이 85, 93, 78, 84 중 하나이어야 하고,

0709  A 모둠에서













































 



(a-1)Û`+(b-1)Û`+(c-1)Û`+(d-1)Û`
4

=(

3)Û

=3

'

`

변량 3a-1, 3b-1, 3c-1, 3d-1에서

(평균)=

(3a-1)+(3b-1)+(3c-1)+(3d-1)
4

=

3(a+b+c+d)-4
4

=3_1-1=2

(분산)=

{(3a-1)-2}Û`+{(3b-1)-2}Û`+{(3c-1)-2}Û`+{(3d-1)-2}Û`
4

=

=

(3a-3)Û`+(3b-3)Û`+(3c-3)Û`+(3d-3)Û`
4
9{(a-1)Û`+(b-1)Û`+(c-1)Û`+(d-1)Û`}
4

(표준편차)=

27=3

3



'

 평균 : 2, 표준편차 : 3

3

'

(평균)=

5+6+6+9+9
5

=

:£5°:

=7(점)

이때 편차는 -2점, -1점, -1점, 2점, 2점이므로

(분산)=

(-2)Û

+(-1)Û

`

`

+(-1)Û
5

`

+2Û

+2Û

`

`

=

=2.8

:Á5¢:

B 모둠에서

(평균)=

4+4+4+6+7
5

=

:ª5°:

=5(점)

이때 편차는 -1점, -1점, -1점, 1점, 2점이므로

(분산)=

(-1)Û`+(-1)Û`+(-1)Û`+1Û`+2Û`
`
5

=

=1.6

;5*;

따라서 B 모둠의 분산이 A 모둠의 분산보다 작으므로 B 모

둠의 성적이 A 모둠의 성적보다 더 고르다.

 B 모둠, 풀이 참조

0710   핸드폰 사용 시간이 65시간 이상인 학생이 읽은 책의 권수는

2권, 3권, 4권, 5권, 6권이므로 그 평균은

2+3+4+5+6 
5

=

:ª5¼:

=4(권)

 4권 

0711   주어진 산점도에 오른쪽 위로 향하는 대각선을 그렸을 때, 대
각선에서 멀리 떨어질수록 오른손과 왼손의 악력의 차가 크

므로 오른손과 왼손의 악력의 차가 가장 큰 학생은 E이다.  

최빈값은 x점이다.

(평균)=

85+93+78+84+x
5

=

340+x
5

(점)

이때 평균과 최빈값이 같으므로

340+x
5
4x=340

=x, 340+x=5x

∴  x=85

0706  학생 D의 국어 성적의 편차를 x점이라고 하면


편차의 총합은 0이므로

-2+3+(-1)+x+4=0  ∴ x=-4

∴ (분산)=

(-2)Û`+3Û`+(-1)Û`+(-4)Û`+4Û`
5

=

:¢5¤:

 85

 41

 

즉 a=46, b=5이므로

a-b=46-5=41

0707  평균이 9이므로

8+a+b+5+12
5

=9

a+b+25=45

∴  a+b=20

yy ㉠

분산이 6이므로

`

`

(-1)Û

+(a-9)Û

`
+bÛ

∴ aÛ

`

(8-9)Û

+(a-9)Û

+(b-9)Û

+(5-9)Û

+(12-9)Û

`

=6

`

`

5
+(b-9)Û
`

`

+(-4)Û

+3Û

=30

`

`

`

64  |  정답과 해설

-18(a+b)+188=30

yy ㉡



 E 

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