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천재교육

2020년 천재교육 중등 수학의 힘 알파 (개념) 3-2 답지

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수학의 힘 

(알파) 중3-2

정답과 해설

  I.  삼각비    
  II. 원의 성질     
 III. 통계     

2

15

29

I .  삼각비

01   ACÓ=

13Û

-5Û

=

144=12이므로



`

`



 ④ sin B=

;1!3@;

12

13

A

C

5

B

01 

삼각비의 뜻

기초의  

 

1 ⑴ 

  ⑵ 

  ⑶ 

  ⑷ 

  ⑸ 

  ⑹ 

;4#;

;5$;

;5#;

;5#;

;5$;

;3$;

2 ⑴ 

  ⑵ 

  ⑶ 

;2@5$;

;2¦5;

;2¦4;

3 ⑴ 

  ⑵ 

  ⑶ 

;1¥7;

;1!7%;

:Á8°:

4 ⑴ 3  ⑵ 14  ⑶ 5  ⑷ 15  ⑸ 4  ⑹ 8

3

'

1  ⑴ sin A=

=


;5#;

;1¤0;

⑵ cos A=

=

;5$;

;1¥0;

 ⑶ tan A=

=

;8^;

;4#; 

⑷ sin C=

=

;5$;

;1¥0;

 ⑸ cos C=

=


;5#;

;1¤0;

⑹ tan C=

=

;6*;

;3$;

2  BCÓ=

25Û

-24Û

=

49=7



`

`



3  ACÓ=

17Û

-8Û
`

`





=

225=15

4  ⑴ sin A=

이므로

=


;4#;

;4{;

 ∴ x=3

 ⑵ sin B=

이므로

=


;7$;

;[*;

 ∴ x=14

 ⑶ cos A=

이므로

=


;2!;

;1Ó0;

 ∴ x=5

 ⑷ cos B=

이므로

 ∴ x=15

10
x

=



;3@;

 ⑸ tan A=

이므로

=


;3@;

;6{;

 ∴ x=4

 ⑹ tan C=

이므로

3
= '
4

;[^;



 ∴ x=8

3

'

BCÓ
ACÓ
ACÓ
ABÓ

ABÓ
ACÓ

BCÓ
ABÓ

BCÓ
ABÓ

ABÓ
BCÓ

02   sin B=

이므로

ACÓ
ABÓ

ACÓ
15

=


;3@;

 ∴ ACÓ=10 (cm)

9쪽

BCÓ=

15Û

-10Û

=

125=5



`

`



5 (cm)이므로
`

'

 △ABC=

_5

5_10=25

5 (cmÛ

)

'

`

`

;2!;

'

















03  ⑴ sin B=

;3@;

이므로 오른쪽 그림과 같이



∠C=90ù, ABÓ=3, ACÓ=2인 직각삼각

3

형 ABC를 생각한다.

 BCÓ=

-2Û

=

5이므로




`

`

'

B



5
cos B= '
3

, tan B=

=

2
5

2

5

'
5

'
이므로 오른쪽 그림과 같이

 ⑵ cos A=

;7%;

A

2

C

C



∠B=90ù,  ACÓ=7,  ABÓ=5인  직각삼

7

각형 ABC를 생각한다.

 BCÓ=

-5Û

=

24=2

6이므로

A

`






`
2

6

'
7

'
2

6

'
5



sin A=

, tan A=

5

B

6

x

B

A

x

D

10

8

C

04   오른쪽 그림에서
 △ABC»△DAC ( AA 닮음)이므로
 ∠B=∠CAD=x
 △ABC에서
-6Û
 ACÓ=

64=8

10Û

=



`

`



 ⑴ sin x=sin B=

 ⑵ cos x=cos B=

 ⑶ tan x=tan B=

ACÓ
BCÓ

ABÓ
BCÓ

ACÓ
ABÓ

=

=

;1¥0;

;5$;

=

=

;1¤0;

;5#;

=

=

;6*;

;3$;

05  A(4, 0), B(0, -3)이고 AOÓ=4, BOÓ=3이므로
 △AOB에서
+3Û
 ABÓ=

25=5

=




`

`



개념의  

유제  

 

01 ④ 

03 ⑴ cos B= '

02 25

5 cmÛ` 

'
5
3 , tan B=

2

5
'
5   

04 ⑴ 

  ⑵ 

  ⑶ 

;5$;

;5#;

 
;3$;

 
05 ;5$;

⑵ sin A=

2

6

'
5

2

6
'
7 , tan A=
7
06 '
3

10쪽 ~12쪽

=

8=2

2이므로

`

'

'

 ∴ cos a=

;5$;

06   △DAC에서
+2Û
 ACÓ=




`

;2!;

 AHÓ=

ACÓ=

_2

2=

2

;2!;

'

'

 △OAH에서
-(
OHÓ=



¿¹

`

 ∴ sin x=

7

2)Û

=
'
`
7
= '
3

'
OHÓ
OAÓ

2    정답과 해설

내공의  

 

01 ⑤ 

04 

 

:Á8¦:

09 

2

2
'
5  

02  '

7
3  

05 

;1!3&; 

10  '

3
5  

13쪽 ~14쪽

03 sin A=

06 

4

3
'
9  

11 3 

3

10
10
10 , cosA= '¶

10
34

34  

07 

5

2
08  '
2

6
12  '
3

01  BCÓ=


¿¹

`

-(4

2)Û

=

49=7이므로

'

`



  ① sin A=

  ② cos A=

  ③ tan A=

 
;9&;

 

4

2

'
9

7

4

2

'
2

4

'
9

  ④ sin B=

 

 

=

7

2

'
8

  ⑤ cos B=

;9&;

  따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

02   sin B=

=

이므로 ACÓ=6   

;4#;

ACÓ
8

  △ABC에서
-6Û
BCÓ=
 




`

  ∴  tan A=

28=2

7

`='¶
BCÓ
ACÓ

=

'
7

2

'
6

7
= '
3

03   tan A=3이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù, 
  ABÓ=1, BCÓ=3인 직각삼각형 ABC를 생각한다.

  ACÓ=

+3Û

=

10이므로




`

 

sin A=

, cos A=


3

`

=

10


10

3
10



1
10

= '¶

10
10



A

B

1

C

3

04   cos B=

;1¥7;

이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù, 

A

  ABÓ=17, BCÓ=8인 직각삼각형 ABC를 생각한다.

17

  ACÓ=

17Û

-8Û

=

225=15이므로



`

`



 

tan B=

:Á8°:

  ∴ 

1+tanÛ



 B=
`

¾¨

1+

{:Á8°:}

¾¨:ª6¥4»:

:Á8¦:

=

=

2`

D12
x

E

B

A

x

5

C

05   오른쪽 그림에서
  △ABC»△EBD ( AA 닮음)
  이므로 ∠C=∠BDE=x
  △ABC에서 
+5Û
BCÓ=
 

12Û

=

169=13이므로



`

`

 

sin x=sin C=

=

;1!3@;

, cos x=cos C=

ACÓ
BCÓ

=

;1°3;


ABÓ
BCÓ

  ∴ sin x+cos x=

+

=

;1!3@;

;1°3;

;1!3&;

06   오른쪽 그림에서
  △ABD»△HAD ( AA 닮음)이므로
  ∠ABD=∠HAD=x
  △ABD에서 
+(
BDÓ=
 

3이므로

27=3

11)Û

=

 

sin x=


¿¹

'



=

`
ADÓ
BDÓ

`
4



=

3

3

'

4

3

'
9

x

x

A

11

B

H

4

D

C

07   오른쪽 그림과 같이 직선 
 

 5x+3y+15=0이 x축, y축과 만나는 

A

-3

a

y

O

x

점을 각각 A, B라고 하면 A(-3, 0), 

B(0, -5)이다. 즉 AOÓ=3, BOÓ=5이

5x+3y+15=0

B

-5

고, ABÓ=

+5Û

=

34이므로

`



BOÓ
ABÓ



=

`
5
34



5

34


34

 

sin a=

=

08  △FGH에서 
+4Û
FHÓ=
 
  △BFH에서 ∠BFH=90ù이고 BFÓ=DHÓ=5이므로
 

BHÓ=

25=5

50=5




+5Û

=

=



2

`

`




`



=

`
FHÓ
BHÓ

5

'

5

2

'

2
= '
2

  ∴ cos x=

09   △ABH에서 
BHÓ
6

cos B=

 




  즉 AHÓ=
`
  △AHC에서
AHÓ
ACÓ

sin C=

 

10  △ABC에서 

=

 
;3!;

  ∴ BHÓ=2

-2Û

=

32=4

2이므로

`



'

=

4
2
'
10

=

2

2

'
5

 

sin x=

=

  ∴ ABÓ=4

2
ABÓ

;2!;

  이때 △ABC와 △DBE에서
  ∠C=∠E=90ù, ∠ABC=∠DBE (맞꼭지각)이므로
  △ABC»△DBE ( AA 닮음)
  즉 ABÓ:DBÓ=BCÓ:BEÓ에서

B

8

C

4:2=2:BEÓ  ∴ BEÓ=1

 

 

 

  따라서 △DEB에서 

DEÓ=

-1Û

=

3이므로




`

`

'

  △ADE에서

tan y=

DEÓ
AEÓ

= '

3
4+1

3
= '
5

11  오른쪽 그림에서 ADÓ∥BCÓ이므로
  ∠AEF=∠CFE (엇각)

  ∠AEF=∠CEF (접은 각)

A

6

B

10

E
x x

x

F

H

D

C

  ∴ ∠CEF=∠CFE=x
  즉 △CEF는 CEÓ=CFÓ=10인 이등변삼각형이다.

G

I. 삼각비    3

 한편 점 E에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면
 △EHC에서
-6Û
CHÓ=


64=8이므로

10Û

=



`
FHÓ=CFÓ-CHÓ=10-8=2



`

 ∴ tan

x=

`

=

=3

;2^;

EHÓ
FHÓ

12   오른쪽 그림에서 △ACD는 정삼각형

이므로 ∠AMC=90ù

 직각삼각형 ACM에서 CMÓ=2이므로

A

4

B
Hx

N

E

 AMÓ=

-2Û

=

12=2

3




`

`


한편 △AMN은 AMÓ=ANÓ인 이등변
삼각형이므로 점 A에서 MNÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면

M

'

D

C

 MHÓ=

MNÓ=

_4=2

;2!;

;2!;

 따라서 직각삼각형 AMH에서

 AHÓ=

(2

3)Û

-2Û

=

8=2

2이므로



`

=

'
AHÓ
AMÓ

`
2
3

2
2

'
'

'

'

6
= '
3

sin

x=

`







 ⑵ cos 45ù=

에서

;1Ó4;













2
'
2

=


;1Ó4;

 ∴ x=7

2

'

sin 45ù=

에서

;1Õ4;

2
'
2

=


;1Õ4;

 ∴ y=7

2

'

4  ⑴ sin x=

=

=ABÓ

 ⑵ cos x=

=

=OBÓ

ABÓ
OAÓ
OBÓ
OAÓ
CDÓ
ODÓ
OBÓ
OAÓ
ABÓ
OAÓ

ABÓ
1

OBÓ
1

CDÓ
1

=

OBÓ
1

=

ABÓ
1

 ⑶ tan x=

=

=CDÓ

 ⑷ sin y=

=OBÓ

 ⑸ cos y=

=ABÓ

 ⑹ sin z=sin y=OBÓ

5  ⑴ sin 0ù+cos 0ù+tan 0ù=0+1+0=1
 ⑵ sin 90ù-cos 90ù-tan 0ù=1-0-0=1

 ⑶ sin 0ù_tan 0ù-cos 0ù=0_0-1=-1

 ⑷ cos 90ù_tan 0ù+sin 90ù-cos 0ù=0_0+1-1=0

17쪽

개념의  

유제  

 

18쪽 ~22쪽

01 ⑴ 

⑵ 3 

;4%;  

02 '

3
2  

03 4 

04 30ù

05 ③ 

07 ㉢, ㉤, ㉣, ㉠, ㉡ 

06 '

6
2  

08 ⑴ 1-tan x  ⑵ tan A-cos A 
10 ACÓ=5.299, BCÓ=8.48

09 a=25, b=28 

3
01  ⑴  sin 60ù_(tan 30ù+cos 30ù)= '
2

3
'
3

_

{

+ '

3
2 }

3
= '
2

_

5

3

'
6

=

;4%;

 ⑵ 

3 tan 60ù-

2 cos 45ù+2 sin 30ù

'

 =

3_

3-

'

'

2
2_ '
2

'

+2_

;2!;









'











 =3-1+1=3

02   tan x=

3에서 x=60ù

sin y=

에서 y=30ù

'

;2!;

3
 ∴ cos (x-y) =cos (60ù-30ù)=cos 30ù= '
2

02

삼각비의 값

기초의  

 

1 ⑴ 1  ⑵  '

6
2   ⑶ 

;2#;

  ⑷ 

;2!;

'

3, y=4

2 ⑴ 45ù  ⑵ 30ù  ⑶ 30ù
3 ⑴ x=8
3  ⑵ x=7
4 ⑴ ABÓ  ⑵ OBÓ  ⑶ CDÓ  ⑷ OBÓ  ⑸ ABÓ  ⑹ OBÓ
5 ⑴ 1  ⑵ 1  ⑶ -1  ⑷ 0
6 ⑴ 0.6428  ⑵ 0.7771  ⑶ 0.9004

2, y=7

'

'

'

2

1  ⑴ sin 30ù+cos 60ù=

+

=1

;2!;

;2!;

2
 ⑵ cos 45ù_tan 60ù= '
2

_

6
3= '
2

'

3
 ⑶ sin 60ùÖtan 30ù= '
2

3
Ö '
3

3
= '
2

_

3
3

'

=

;2#;

2
 ⑷ sin 45ù_cos 45ù= '
2

2
_ '
2

=

;2!;

3  ⑴  cos 30ù=

에서

12
x













3
'
2

12
x

=



 ∴ x=8

3

'

tan 30ù=

에서

;1Õ2;

3
'
3

=


;1Õ2;

 ∴ y=4

3

'

4    정답과 해설

BCÓ
3
2

'

03  △DBC에서 tan 45ù=

=1이므로



BCÓ=2

3

'

 △ABC에서 sin 60ù=

3
2
'
ACÓ

3
= '
2

이므로

 ACÓ=2

3
3Ö '
2

'

=4

04  x-

3
3y+3=0에서  y= '
3

'

x+

3
3이므로  직선의  기울기는  '
3

'

 이다.

직선이 x축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 a라고 하면

3
tan a= '
3



 ∴ a=30ù (∵ 0ù<a<90ù)

  ⑵ 45ù<A<90ù일 때 cos A<sin A<tan A이므로


cos A-sin A<0, tan A-sin A>0



 ∴

(cos A-sin A)Û

+

(tan A-sin A)Û


``
=-(cos A-sin A)+(tan A-sin A)



`

=-cos A+sin A+tan A-sin A









=tan A-cos A

09  sin 25ù=0.4226, cos 28ù=0.8829이므로


a=25, b=28

10  cos 58ù=0.5299이므로

ACÓ
10

BCÓ
10

=0.5299

 ∴ ACÓ=5.299

sin 58ù=0.8480이므로

=0.8480

 ∴ BCÓ=8.48

































05   ① sin x=

 ② cos x=

 ③ tan x=

 ④ sin y=

ABÓ
OAÓ

=

ABÓ
1

OBÓ
OAÓ

CDÓ
ODÓ

=

=

OBÓ
1

CDÓ
1

=ABÓ

=OBÓ

=CDÓ

OBÓ
OAÓ

=

OBÓ
1

=OBÓ

 ⑤ ∠OCD=y이므로 tan y=

 따라서 삼각비의 값 중 CDÓ의 길이와 같은 것은 ③이다.

ODÓ
CDÓ

=

1
CDÓ

06   sin 45ù_cos 0ù_tan 60ù- sin 60ù_sin 90ù_tan 0ù

2
  = '
2

_1_

3
3- '
2

6
_1_0= '
2

'

07  0ùÉxÉ90ù인 범위에서 x의 값이 증가하면
sin x의 값은 0에서 1까지 증가하므로


sin 50ù<sin 70ù, 즉 ㉣<㉠

cos x의 값은 1에서 0까지 감소하므로

cos 70ù<cos 50ù, 즉 ㉢<㉤

 이때 45ù<xÉ90ù인 범위에서 cos x<sin x이므로

cos 50ù<sin 50ù, 즉 ㉤<㉣

tan 45ù=1이고 sin 70ù<1이므로 ㉠<㉡

따라서 주어진 삼각비의 값을 작은 것부터 차례로 나열하면 ㉢, ㉤,

㉣, ㉠, ㉡이다.

3
08  ⑴ 30ù<x<45ù일 때  '
3

<tan x<1이므로



tan x-1<0

 ∴

(tan x-1)Û

=-(tan x-1)=1-tan x



`

내공의  

 

01 ① 

02 



'

03 60ù 

04 4



'

06 4+4

3  07 

'

 

;3$;

08 y=

3x+2

'

3
'



10 0 

14 2.1079 

11 ㉠, ㉡, ㉣, ㉢ 
15 6

3

'

 

16 20

2 cmÛ`
  

'

12 ⑤ 

18 ②, ⑤ 

19 

;1°3;

23쪽 ~25쪽

05 

4

3

'
3

09 ⑤ 

13 2


17 2-

3

'

3
01  ① sin 60ù+cos 30ù= '
2

3
+ '
2

=

3

'

3
 ② cos 30ù_tan 60ù= '
2

_

3=

'

;2#;

 ③ sin 30ù_cos 60ù-tan 45ù=

_

-1=-

;2!;

;2!;

;4#;

 ④ sin 45ù_cos 45ù-sin 60ùÖtan 30ù

 

2
  = '
2

2
_ '
2

3
- '
2

3
Ö '
3

=-1

 ⑤ (cos 30ù+sin 45ù)_(sin 60ù-cos 45ù)



 =

3
'
2

{

+ '

2
2 }

_

{

3
'
2

- '

2
2 }

=

;4!;

 따라서 계산한 값이 가장 큰 것은 ①이다.

tan (x+y) =tan (30ù+30ù)=tan 60ù=

3

02   sin x=

;2!;

이므로 x=30ù



3
cos y= '
2

이므로 y=30ù

 ∴
`

03  4xÛ

`

-4x+1=0에서 (2x-1)Û

=0

 ∴ x=

`

 즉 cos A=

이므로 A=60ù (∵ 0ù<A<90ù)

;2!;

'

;2!;`

I. 삼각비    5

04  △AHC에서
AHÓ
12

sin 45ù=



2
= '
2

이므로

2
 AHÓ= '
2

_12=6

2

'

 △ABH에서
6
2
'
ABÓ

sin 60ù=



3
= '
2

이므로

 ABÓ=6

3
2Ö '
2

'

=4

6

'

05  △ABC에서
ABÓ
4

sin 30ù=



=

이므로 ABÓ=2

;2!;

 한편 ∠CAB=180ù-(90ù+30ù)=60ù이고,

 ∠BAD=

∠CAB=

_60ù=30ù

;2!;

;2!;

 즉 △ABD에서 cos 30ù=

2
ADÓ

3
= '
2

이므로

3
  ADÓ=2Ö '
2

=

4

3

'
3

06  △AHD에서
6
ADÓ

cos 30ù=



3
= '
2

이므로

3
 ADÓ=6Ö '
2

=4

3

 ∴ BCÓ=ADÓ=4
'
 또 △ABD에서

'

3



tan 30ù=

이므로 ABÓ=4

3
= '
3

ABÓ
4
3

'

 ∴ ABÓ+BCÓ=4+4

3

'

;3$;

y

B

A

60∞
O-2

x

 ∴ tan a=(직선의 기울기)=

;3$;

08   오른쪽 그림과 같이 주어진 직선이 x축, y축

과 만나는 점을 각각 A, B라고 하면

(직선의 기울기)=tan 60ù=

  이때 △AOB에서 AOÓ=2이므로

'

3

tan 60ù=

=

3

∴  BOÓ=2

3

'

BOÓ
2





'

'

y=

3x+2

3

'

'

 따라서 y절편이 2

3이므로 구하는 직선의 방정식은

09  △AOB에서 ∠OAB=180ù-(55ù+90ù)=35ù

  ① sin

55ù=

`

ABÓ
OAÓ

=

ABÓ
1

=0.8192

6    정답과 해설

 ② cos

55ù=

=0.5736

`

`

OBÓ
OAÓ

CDÓ
ODÓ

=

=

OBÓ
1

CDÓ
1

 ③ tan

55ù=

=1.4281

35ù=

 ④ sin

OBÓ
OAÓ
 ⑤ ∠OCD=∠OAB=35ù이므로

OBÓ
1

=0.5736

=

`



tan

35ù=

`

ODÓ
CDÓ

=

1
1.4281

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.











10  2 sin 60ù_cos 90ù-
3
 =2_ '
2

_0-

2
3_ '
2

'

'

_0=0

3 cos 45ù_tan 0ù

3
11  sin 0ù<sin 32ù<sin 60ù이므로 0<sin 32ù< '
2

3
cos 0ù>cos 19ù>cos 30ù이므로  '
2

<cos 19ù<1

tan 45ù<tan 46ù이므로 1<tan 46ù

 ∴ sin 32ù<cos 19ù<sin 90ù<tan 46ù

따라서 삼각비의 값을 작은 것부터 차례로 나열하면 ㉠, ㉡, ㉣, ㉢

이다.

12  ⑤ A>45ù이면 tan A>tan 45ù

 ∴
`

tan A>1

13  0ù<x<90ù일 때, 0<sin x<1이므로


sin x+1>0, sin x-1<0

 ∴
`

(sin x+1)Û



`
=(sin x+1)-(sin x-1)

(sin x-1)Û

+





`

=sin x+1-sin x+1=2

14  sin 46ù=0.7193이므로 x=46ù
cos 47ù=0.6820이므로 y=47ù


15   △ABD에서
ADÓ
8

60ù=

sin



`

3
= '
2

이므로
`

3
 ADÓ= '
2

_8=4

3

'

 △ADE에서
DEÓ
4
3

60ù=

sin



`

'



3
DEÓ= '
2

_4

3=6

'

3
= '
2

이므로
`

 한편 ∠ECD=180ù-(60ù+90ù)=30ù이므로

 △DCE에서 tan

30ù=

`

 ∴
`

3
CEÓ=6Ö '
3

=6

3

'

6
CEÓ

3
= '
3





07  4x-3y+9=0에서 y=

;3$;

x+3이므로 직선의 기울기는

이다.

  ∴ tan x+tan y =tan 46ù+tan 47ù 

=1.0355+1.0724=2.1079

4 cm

A

D

5 cm

B

45∞
H

C

28쪽

 한편 △ADC는 CDÓ=ADÓ=2인 이등변삼각형이므로

16   오른쪽 그림과 같이 ADÓ∥ BCÓ,
ABÓ∥DCÓ이므로 겹쳐진 부분인

ABCD는 평행사변형이다. 이때 점

D에서 BCê에 내린 수선의 발을 H라
고 하면 △DCH에서
2
= '
2

sin 45ù=

이므로

5
CDÓ

2
CDÓ=5Ö '
2

=5

2

(cm)
`

'

 ∴ ABCD=5

2_4=20

2 (cmÛ

)

'

'

`

17   △ABD에서
1
ADÓ

sin 30ù=



=

이므로 ADÓ=2

;2!;



tan 30ù=

1
BDÓ

3
= '
3

이므로 BDÓ=

3

'

 ∠ACD=

∠ADB=

_30ù=15ù

;2!;

;2!;

 따라서



tan 15ù=

`△ABC에서

ABÓ
BCÓ

2+

=

=2-

3

'

3

'

18  tan


a=(직선의 기울기)=

'
a=60ù, b=90ù-60ù=30ù

`

3이므로

 ① sin (a+b)=sin

90ù=1

 ② cos

=cos

`

3
30ù= '
2

`

 ③ tan

2b=tan
`

`

60ù=

3

'

 ④ tan

a_

1
tan`b

=tan
`

60ù_

1
tan`30ù

 ⑤ sin

a-cos

=

3_

3=3

'

'
b=sin

`

`

60ù-cos

30ù

`

3
= '
2

3
- '
2

=0

 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.

a
2

`

`

`







19   45ù<x<90ù일 때 cos x<sin x이므로
sin x+cos x>0, cos x-sin x<0


 ∴

(sin x+cos x)Û` -

(cos x-sin x)Û`





 ∴ =(sin x+cos x)-{-(cos x-sin x)}

 ∴ =sin x+cos x+(cos x-sin x)

 ∴ =2 cos x

 즉 2 cos x=

에서 cos x=

이므로 이를 만족

;1!3);

;1°3;

A

 하는 직각삼각형 ABC를 그리면 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 ACÓ=

13Û

-5Û

=

144=12이므로



`

`





sin x_

1
tan x

=

;1!3@;_;1°2;=;1°3;

13

B

x
5

C

03

삼각비의 활용 ⑴

기초의  

 

1 x=3
3, y=3
'
2 ⑴ 5.3  ⑵ 8.5
3 ⑴ 3  ⑵ 3

'

4 60, 3, 3, 60, 3,  '

3  ⑶ 2

3  ⑷ 

21



'
3
2 , 2

3

'

5 ⑴ h  ⑵  '

h  ⑶ 5(3-

3)

'

3
3  

6 ⑴ 

3h  ⑵ h  ⑶ 5(

3+1)

'

'

3
1  x=6 sin 60ù=6_ '
2

=3

3

'



y=6 cos 60ù=6_

=3

;2!;

2  ⑴ ABÓ=10 cos 58ù=10_0.53=5.3
 ⑵ ACÓ=10 sin 58ù=10_0.85=8.5

3  ⑴ △AHC에서







AHÓ=6 sin 30ù=6_

=3

;2!;

 ⑵ △AHC에서



3
CHÓ=6 cos 30ù=6_ '
2

=3

3

'

 ⑶ BHÓ=BCÓ-CHÓ=5

3-3

3=2

3

'

'

'

 ⑷ △ABH에서
ABÓ=¿¹AHÓ Û





4

A

`+BHÓ Û

`=



+(2

3)Û

=

21

'

`



¿¹

`

A

60



H



45∞

B

75∞

C

23

45∞

B

75∞

C

23

 △HBC에서 CHÓ=3

2 sin 45ù=3

'

2
2_ '
2

'

= 3 

 따라서 △AHC에서

 ACÓ=

3

3
= 3 Ö '
2

= 2

3

'

sin  60  ù  

5  ⑴ △ABH에서

 ⑵  △AHC에서



BHÓ=h tan 45ù=h





CHÓ=h

tan

3
30ù= '
3

`

h

`

3
 ⑶  h+ '
3

h=10,

h=10

3

3+
'
3

   ∴ h=

30
3+

3

'

=5(3-

3 )

'

45∞

A

h

30∞

45∞

B

60∞

C

H

10

I. 삼각비    7

 BHÓ=h tan 60ù=

3h

6  ⑴ △ABH에서

 ⑵ △ACH에서


 CHÓ=h tan 45ù=h

'

 ⑶ 
'

3h-h=10, (

3-1)h=10

'

   ∴ h=

10
3-1

'

=5(

3+1)

'

60∞

A

45∞ h

H

B

45∞

30∞
10

C

개념의  

유제  

 

29쪽 ~31쪽

01 ㉠, ㉣ 
04 2



02 3.94 m  03 ⑴ 9 m  ⑵ 10.5 m
06 20(

3-1) m 



10 cm 05 10

'

07 8(3+

3) m

'

'

ACÓ
3

3
ACÓ

01  ㉠ tan 35ù=

에서 ACÓ=3 tan 35ù

 ㉣ ∠A=180ù-(35ù+90ù)=55ù이므로





tan 55ù=

에서 ACÓ=

3
tan 55ù 

 따라서 ACÓ의 길이를 나타내는 것은 ㉠, ㉣이다.

02  (구하는 높이) =5 sin 52ù=5_0.7880=3.94 (m)

03  ⑴ BCÓ=10 tan 42ù=10_0.9=9
 ⑵ (나무의 높이)=BCÓ+CEÓ=9+1.5=10.5

(m)

`

(m)

`

04   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A
에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H

라고 하면
 △AHC에서

A

H

2
45∞

2 cm

C

B

8 cm

 AHÓ=2

2 sin 45ù=2

=2 (cm)

'

'

2
2_ '
2

'

2
2_ '
2

'



CHÓ=2

2 cos 45ù=2

=2 (cm)

 ∴ BHÓ=BCÓ-CHÓ=8-2=6 (cm)
 따라서 △ABH에서

 ABÓ=


10 (cm)

40=2

+2Û

=





`

`

05  오른쪽 그림과 같이
 ∠C=180ù-(60ù+75ù)=45ù



꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발

A

75∞

20

60∞

B

H

45∞

C

을 H라고 하면
 △ABH에서

3
 AHÓ=20 sin 60ù=20_ '
2

=10

3

'

 따라서 △AHC에서
10
'
sin 45ù 

 ACÓ=

=10

'

3

2
3Ö '
2

=10

6

'

8    정답과 해설

3-1) m이다.

'

06  AHÓ=h m라고 하면
 △ABH에서 ∠BAH=45ù이므로

 △AHC에서 ∠CAH=60ù이므로
 CHÓ=h tan 60ù=

BHÓ=h tan 45ù=h (m)

3 h (m)

'

 이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로



40=h+

3 h, (1+

3)h=40

'

'
40
3+1
  따라서 AHÓ의 길이는 20(

 ∴
`

=20(

h=

'

'

3-1)

07  CHÓ=h m라고 하면
 △CAH에서 ∠ACH=45ù이므로
 AHÓ=h tan 45ù=h (m)
 △CBH에서 ∠BCH=30ù이므로





3
BHÓ=h tan 30ù= '
3

h (m)

 이때 ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로

3
16=h- '
3

h,



3-
'
3

h=16

48
3-

 ∴
`

h=

3
'
  따라서 CHÓ의 길이는 8(3+

'

=8(3+

3)

3) m이다.

'

내공의  

 

01 16.58 

02 

3

64
'
3

p cmÜ` 

04 (20
'
07 15+5
11 9(3+

3+60) m 

3+5

'

'

'

3)  



05 

'
08 ④ 
12 12-4

3

'

32쪽 ~33쪽

03 16.2 m 

2 m



06 30

'
09 ② 

10 40-20

3

'

01  ACÓ=20 cos 34ù=20_0.8290=16.58

3
02   AOÓ=8 sin 60ù=8_ '
2

=4

3

(cm)

'

`



BOÓ=8 cos 60ù=8_

=4

(cm)

;2!;

`

 ∴ (원뿔의 부피)=

_p_4Û

_4

3=

;3!;

`

'


p

64
'
3

`

(cmÜ

)

`

03   ABÓ =12 cos 62ù=12_0.47=5.64 (m)
 ACÓ =12 sin 62ù=12_0.88=10.56 (m)

 따라서 쓰러지기 전의 나무의 높이는

 ABÓ+ACÓ=5.64+10.56=16.2 (m)

04   DHÓ=ABÓ=60 m이므로
 △CDH에서



3
CHÓ=DHÓ tan 30ù=60_ '
3

=20

3 (m)

'

09  △CAH에서 ∠ACH=61ù이므로
 AHÓ=h tan 61ù (m)
 △CBH에서 ∠BCH=31ù이므로


BHÓ=h tan 31ù (m)

05   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 ABÓ에

A

 이때 ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로

3

H

60∞



100=h tan 61ù-h tan 31ù

 ∴ h=

100
tan 61ù-tan 31ù 

2

C

B

 △DBH에서


BHÓ=DHÓ tan 45ù=60 (m)

 ∴ BC Ó =CHÓ+BHÓ=20

3+60 (m)

'

내린 수선의 발을 H라고 하면

 △AHC에서



3
CHÓ=2 sin 60ù=2_ '
2

=

3

'

 AHÓ=2 cos 60ù=2_

=1

;2!;

 ∴ BHÓ=ABÓ-AHÓ=3-1=2
 따라서 △BCH에서
=


¿¹

BCÓ=

+(

3)Û

'

'

7

`

`

06   오른쪽 그림에서
 ∠C=180ù-(105ù+45ù)=30ù



꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발

A

30 m

45∞

B

105∞
H

30∞

C

을 H라고 하면
 △ABH에서

2
 AHÓ=30 sin 45ù=30_ '
2

=15

2

(m)

'

`

 따라서 △AHC에서
15
'
sin 30ù 

 ACÓ=

=15

2

'



=30

2

(m)

;2!;

'

`

07  오른쪽 그림에서
 ∠A=180ù-(75ù+60ù)=45ù

꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라

A

45∞







고 하면
 △BCH에서

3
BHÓ=10 sin 60ù=10_ '
2

=5

3

'

CHÓ=10 cos 60ù=10_

=5

;2!;

`

 한편△ABH에서

 AHÓ=

5

3

'
tan 45ù

=5

3이므로

'

 ABÓ=

5

3

'
cos 45ù

=5

2
3Ö '
2

'

=5

6

`

'

 ∴ ( △ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ
6+10+(5+5

=5

'
=15+5

3+5

6

`

'

'

3)

'



08   ① ∠BAH=180ù-(90ù+45ù)=45ù
 ② ∠CAH=180ù-(90ù+50ù)=40ù
  ③ △ABH에서 BHÓ=AHÓ tan 45ù
 ④ △AHC에서 CHÓ=AHÓ tan 40ù
 ⑤  BCÓ =BHÓ+CHÓ=AHÓ tan 45ù+AHÓ tan 40ù

  따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

10   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 OAÓ
에 내린 수선의 발을 H라고 하면

AHÓ=x cm

 직각삼각형 OHB에서



OHÓ=40_cos 30ù

3
=40_ '
2

=20

3 (cm)

'

 ∴ AHÓ=OAÓ-OHÓ=40-20

'
 따라서 구하는 x의 값은 40-20

3 (cm)

3이다.

'

O

40 cm

30∞

B

H

A

x cm

11   AHÓ=h라고 하면
 △ABH에서 ∠BAH=45이므로

 △ACH에서 ∠CAH=30ù이므로

BHÓ=h tan 45ù=h

3
CHÓ=h tan 30ù= '
3

h

 이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로

75∞
B

H

60∞

C

10





3
6=h- '
3

h,



3-
'
3

h=6

 ∴ h=

18
3-

3

'

=3(3+

3)

'

 ∴ △ABC=

;2!;

_6_3(3+

3)=9(3+

3)

'

'

A

60∞

D

E

8

B

45∞

60∞

45∞

F

C

12  오른쪽 그림의 △EBF에서
 ∠BEF=90ù-45ù=45ù이므로



BFÓ=EFÓ tan 45ù=EFÓ

 ABÓ∥EFÓ이므로

 ∠CEF=∠A=60ù

 ∴ CFÓ=EFÓ tan 60ù=
 한편 △ABC에서
BCÓ=8 tan 60ù=8


3

'

3

EFÓ

'

`

 이때 BCÓ=BFÓ+CFÓ이므로



8

3=EFÓ+

3 EFÓ, (1+

3)EFÓ=8

3

'

'

 ∴ EFÓ=

=12-4

3

'
8
3
'
3+1

'

'

'

I. 삼각비    9

04

삼각비의 활용 ⑵

기초의  

 

2  ⑵ 20

1 ⑴ 6
2 ⑴ 12  ⑵ 24  ⑶ 20

'

'

3  ⑶ 5

'

3  ⑷ 27
6

3  ⑷ 20

2

'

'

'

3 ⑴ 24

2 ⑵ 36

2  ⑶ 42

3  ⑷ 

'

'

'

:¦2°:

1

⑴ △ABC=

;2!;

_4_6_sin 45ù

2
_4_6_ '
2

=

;2!;

=6

2

'

  ⑵ △ABC=

;2!;

_8_10_sin 60ù

3
_8_10_ '
2

=

;2!;

=20

3

'

 ⑶ △ABC=

_4_5_sin (180ù-120ù)

 ⑷ △ABC=

_12_9_sin (180ù-135ù)

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

=

_4_5_sin 60ù

=

;2!;

3
_4_5_ '
2

=5

3

'

=

_12_9_sin 45ù

2
_12_9_ '
2

=

;2!;

=27

2

'

2

⑴ ABCD=4_3

2_sin 45ù

'

2
2_ '
2

'

=4_3

=12

⑵ ABCD=6_8_sin 30ù

 ⑶ ABCD =5_8_sin (180ù-120ù)

=6_8_

=24

;2!;

=5_8_sin 60ù

3
=5_8_ '
2

=20

3

'

=4

3_10_sin 45ù

=4

2
3_10_ '
2

'

=20

6

'

 ⑷ ABCD =4

3_10_sin(180ù-135ù)

3

⑴ ABCD=

_12_8_sin 45ù

2
_12_8_ '
2

=

;2!;

=24

2

'

⑵ ABCD=

_8

2_6

3_sin 60ù

'

'

'

=

_8

2_6

3
3_ '
2

'

=36

2

'

10    정답과 해설

'

'

;2!;

;2!;

;2!;





















































 ⑶ ABCD=

_14_12_sin(180ù-120ù)

36쪽

















;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

=

_14_12_sin 60ù

3
_14_12_ '
2

=

;2!;

=42

3

'

=

_15_10_sin 30ù

=

_15_10_

=

;2!;

:¦2°:

 ⑷ ABCD=

_15_10_sin(180ù-150ù)

개념의  

유제  

 

37쪽 ~39쪽

02 5



'

03 7



'

04 54



'

05 2 cmÛ`

01 :¦4°:   
06 45ù

01  △ABC가 이등변삼각형이므로
 ACÓ=ABÓ=5

3, ∠A=180ù-(75ù+75ù)=30ù



'

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

'

 ∴ △ABC=

_5

3_5

3_sin 30ù

 ∴ △ABC=

_5

3_5

3_

=

;2!;

;;¦4°;;

'

'

'

'

02  △ABC=

_ABÓ_8_sin(180ù-150ù)

sin 30ù

 △ABC=

_ABÓ_8_

=2ABÓ

;2!;

 즉 2ABÓ=10

3이므로 ABÓ=5

3

'

`

03  오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면
 ABCD
 =△ABD+△BCD

 =

_2

3_2_sin

;2!;

'

(180ù-150ù)
sin 30ù

`

 ABCD=+

_6_4_sin

60ù

 =

_2

3_2_

+

3
_6_4_ '
2

;2!;

;2!;

;2!;

'

'

'

 =

3+6

3=7

3

;2!;

'

04   오른쪽 그림과 같이 정육각형은 6개의 합동

인 정삼각형으로 나누어지므로



(정육각형의 넓이)

 =6_

_6_6_sin 60ù

 =6_

_6_6_ '

{;2!;

{;2!;

}

3
2 }

 =54

3

'

05   ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ=2
 ABCD =2_2_sin (180ù-150ù)

cm이므로

`

sin 30ù

 ABCD =2_2_

;2!;

 ABCD=2

(cmÛ
`

`

)

D

2

A

32

150∞

B

6

4

60∞

C

O 6
60∞

6

06   오른쪽 그림과 같이 두 대각선이 이루

는 예각의 크기를 x라고 하면

 ABCD=

_12_15_sin x

;2!;

A

B

15

12

x

D

C

05  BDÓ를 그으면
  ABCD
 =△ABD+△DBC

 ABCD=90 sin x

 즉 90 sin x=45

2이므로

'



2
sin x= '
2



 ∴ x=45ù

 따라서 두 대각선이 이루는 예각의 크기는 45ù이다.

 =

_4_4_sin(180ù-120ù)+

3_4

3_sin 60ù

;2!;

 =

3
_4_4_ '
2

;2!;

+

_4

3_4

;2!;

'

sin 60ù

_4

;2!;

'
3
3_ '
2

'

'

3+12

3

'

 =4

'
 =16

3

'

06   오른쪽 그림과 같이 정팔각형은 8개의 합동
인 이등변삼각형으로 나누어지므로 원의 반

45∞

40쪽~41쪽

지름의 길이를 x라고 하면



(정팔각형의 넓이)

 =8_

_x_x_sin 45ù

}

 =8_

_x_x_ '

2
2 }

{;2!;

{;2!;

 =2

'
 즉 2

2xÛ

`
2xÛ





`

=32

2이므로

`

'
=16

'
 ∴ x=4

(∵ x>0)

`

 따라서 반지름의 길이는 4이다.

07   △AMC=

;2!;△ABC

 △AMC=

ABCD

;4!;

;4!;

 △AMC=

_6_10_sin 60ù

 △AMC=

3
_6_10_ '
2

;4!;

 △AMC=

3

15
'
2

(cmÛ

)

`

C

A

30∞
12

O

B

08  △ABC에서
+6Û
 ACÓ=




`

=

100=10

`



내공의  
01 12 cm 

05 ②


'

 

02 4



06 4

'



'

09 4

5 cm  10 18



11 9 cmÛ` 

12 4

03 48p-36



'

07 

15

3
'
2  

cmÛ` 

04 80



'

08 40

3

'

01  △ABC=

_8

2_BCÓ_sin 45ù

;2!;

'

 △ABC=

_8

;2!;

2
2_BCÓ_ '
2

'

 △ABC=4BCÓ
 즉 4BCÓ=48이므로 BCÓ=12

(cmÛ

)

`

`

(cm)

`

02  △ABC=

;2!;

_6_8_sin 60ù

 △ABC=

3
_6_8_ '
2

;2!;

3

 △ABC=12
'
;3!;△ABC=

 ∴ △GBC=

_12

3=4

3

'

'

;3!;

03   오른쪽  그림과  같이  OCÓ를  그으면
△AOC는 OAÓ=OCÓ인 이등변삼각
형이므로

 ∠AOC=180ù-(30ù+30ù)=120ù

 ∴ (색칠한 부분의 넓이)









 =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC
120ù
360ù

 =p_12Û

_

-

;2!;

`

 =p_12Û

_
`

;3!;

-

;2!;

3
_12_12_ '
2

 =48p-36

3

'

04  ACÓ=10 tan 60ù=10
3이므로
 ABCD=△ABC+△ACD

'

_12_12_sin (180ù-120ù)

sin 60ù

 ABCD=

_10_10

3+

_10

3_12_sin 30ù

;2!;

'

;2!;

'

 ABCD=50

3+

_10

3_12_

;2!;

'

;2!;

 ABCD=50

3+30

3=80

3

'

'

'

'

 ∴ ABCD=

_10_16_sin (180ù-120ù)

;2!;

3
_10_16_ '
2

;2!;

sin 60ù

 ∴ ABCD=

 ∴ ABCD=40

3

'

09   ABCD가 등변사다리꼴이므로 ACÓ=BDÓ

 ∴ ABCD=

_ACÓ_BDÓ_sin 30ù

;2!;

  ∴ ABCD=

ACÓ_ACÓ

;2!;_

_;2!;

  ∴ ABCD=

ACÓ Û`

(cmÛ

)

;4!;

`

`

ACÓ Û`=20이므로

 즉

;4!;
 ACÓ Û`=80

 ∴ ACÓ=4

5 (cm) (∵ ACÓ>0)

'

I. 삼각비    11

10   cos A=

;3@;

이므로 오른쪽 그림과 같이

∠D=90ù, AEÓ=3, ADÓ=2인 직각삼각형

ADE를 생각하면

DEÓ=




`

-2Û

=

5

`

'

5
 ∴ sin A= '
3

E

3

A

D

2

 ∴ △ABC=

_9_12_sin A

;2!;

 ∴ △ABC=

;2!;
 ∴ △ABC=18

5

'

5
_9_12_ '
3

11   △PCD에서 ∠PCD=90ù-30ù=60ù이므로



CPÓ=

3
60ù
cos

`

=3Ö

=6

(cm)

;2!;

`

 ∠QPC=∠APQ (접은 각), ∠PQC=∠APQ (엇각)

 이므로 ∠PQC=∠QPC
 따라서 △PQC는
cm인 이등변삼각형이므로
CQÓ=CPÓ=6
`
`

 △PQC=

_6_6_sin

30ù

`

;2!;

;2!;

`

=

_6_6_

;2!;

=9

(cmÛ

)

`









실전의  

 

42쪽 ~45쪽

01 3

7 cm  02 3 

'

03 ③ 

04 

2

2

'
3

 

05 -1 

08 32

3 cmÛ` 09 3 

07 64



'

'
13 13.372 
12 ④ 
17 10 cm`  18 50(3-

14 24초 

3) m 

'

10 ;4!;
15 4
19 5

'

'

3 cmÛ`
2 cm

06 1 

11 ②, ④ 
16 6


3

'
21
'
2

20 

 cmÛ` 

22 192

3 cmÛ` 

'

21 27

2 cmÛ`` 

'

23  '¶

10
10

 

2
24  '
2

01  sin A=

=

이므로
`

;4#;

BCÓ=9 (cm)

BCÓ
12

 ∴
`

ACÓ=

12Û

-9Û

=

63=3

7

(cm)



`

`



'

`

02   tan A=2이므로  오른쪽  그림과  같이  ∠B=90ù, 
ABÓ=1, BCÓ=2인 직각삼각형 ABC를 생각한다.

 ACÓ=

+2Û

=

5이므로



sin A=

, cos A=




'
5

`

2

=

`
2
5
'
sin A+cos A
sin A-cos A

'
5

5
= '
5

1
5
5
5 }

'
+ '

=

{

2

5

'
5

5

=

3

'
5

5
Ö '
5

=3

 ∴
`

 ∴
`

A

1

2

5

'
5

- '

5
5 }

Ö

{

C

2

B

12   △ABC=

;2!;

_6_12_sin (180ù-120ù)

sin 60ù

 △ABC=

3
_6_12_ '
2

;2!;

=18

3

'

 이때 ADÓ=x라고 하면

 △ABD=

_6_x_sin 60ù

 △ABD=

3
_6_x_ '
2

 △ABD=


x

'
2

 △ADC=

_x_12_sin 60ù

;2!;

;2!;
3

;2!;

3
_x_12_ '
2

 △ACD=

;2!;
 △ACD=3
 이때 △ABC=△ABD+△ADC이므로

3x

'

`



18

3=

'

3



'
2

x+3

3x,

'

9



'
2

x=18

3

 ∴ x=4

'

 따라서 ADÓ의 길이는 4이다.

12    정답과 해설

A

D 8
x

E

C

6

x

B

A

12

D

B

x

H

M

C









03  오른쪽 그림에서
 △ABC»△EDC ( AA 닮음)
 이므로 ∠B=∠CDE=x
 △ABC에서
+8Û
BCÓ=


=

100=10이므로




`

`

sin x=sin B=

`

=

=

;1¥0;

;5$;


ACÓ
BCÓ

04  오른쪽 그림에서

BMÓ=CMÓ=
△ABM에서

;2!;

BCÓ=

_12=6이므로

;2!;

 AMÓ=

12Û

-6Û

=

108=6

3

`

`

'




한편 점 A에서 △BCD에 내린 수선의 발
을 H라고 하면 점 H는 △BCD의 무게중
심이고

DMÓ=AMÓ=6

3이므로

'

 MHÓ=

DMÓ=

_6

3=2

3

;3!;

'

'

;3!;

 즉 △AMH에서
 AHÓ=

(6

3)Û



 ∴ sin x=

=

-(2

3)Û

=

96=4

6

'

'
`
AHÓ
AMÓ


2

`

=

2

'
3

'
4
6

'
'

6
3

05  점 I가 △ABC의 내심이므로



105ù=90ù+

∠A

 ∴ ∠A=30ù

;2!;

 이때 ∠ABC=180ù-(30ù+90ù)=60ù이므로

sin A-cos A_tan B=sin 30ù-cos 30ù_tan 60ù

 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△COD-△AOB
2
_ '
2

∴ (색칠한 부분의 넓이)=

_1_1

-;2!;

;2!;



2
_ '
2



 



=

;2!;

3
- '
2

_

3

'

=

-

;2!;

;2#;

=-1

2
06  cos 45ù= '
2

이므로 2x-15ù=45ù

 

2x=60ù    ∴
`

x=30ù

sin x+cos 2x=sin 30ù+cos 60ù

  ∴
`

  ∴
`

sin x+cos 2x=

+

=1

;2!;

;2!;

07  △ADH에서
12
AHÓ

tan 60ù=



=

3이므로 AHÓ=4

3

'

'

y=ADÓ=


 한편 △BAH에서 ∠BAH=90ù-60ù=30ù이고

192=8

+(4

12Û

3)Û

=



'



'

3

`

`



cos 30ù=

이므로 x=8

3
4
'
x

3
= '
2

 ∴ xy=8_8

3=64

3

'

'

08   오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D에
서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 H, H'

이라고 하면
 △ABH에서
AHÓ
8

sin 60ù=



 AHÓ=4

3

'

3
= '
2

이므로





cos 60ù=

BHÓ
8

=

;2!;

이므로

BHÓ=4, 또 CH'Ó=BHÓ=4

A

D

8 cm

60∞

B

H

H'

12 cm

 이때 ADÓ=HH'Ó=BCÓ-(BHÓ+CH'Ó)=12-(4+4)=4

 ∴ ABCD=

_(4+12)_4

3=32

3 (cmÛ

)

'

'

`

;2!;

09  직선 y=ax+b에서


a=(기울기)=tan 45ù=1

  즉 직선 y=x+b가 점 (-1, -4)를 지나므로



y=x+b에 x=-1, y=-4를 대입하면

 -4=-1+b

 ∴
`

b=-3

 이때 y=x-3에 y=0을 대입하면



0=x-3

 ∴
`
 따라서 직선 y=x-3의 x절편은 3이다.

x=3



∴ (색칠한 부분의 넓이)=

-

=

;4!;

;4!;

;2!;

2
11  ① cos 45ù+sin 45ù= '
2

2
+ '
2

=

2

'

 ② cos 60ù_tan 60ù=

_

3
3= '
2

'

;2!;

3
 ③ tan 30ù= '
3

, tan 60ù=

3이므로

'





tan 30ù=

1
tan 60ù

 ④ tan 0ù+tan 45ù-cos 0ù=0+1-1=0

2
 ⑤ 2 cos 45ù_tan 60ù_sin 30ù=2_ '
2

_

3_

'

6
= '
2

;2!;

 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

12  0ù<x<90ù일 때, 0<cos x<1이므로


cos x+1>0, cos x-1<0

 ∴

(cos x+1)Û

-

(cos x-1)Û

¿¹
¿¹
=(cos x+1)-{-(cos x-1)}

`


``

=cos x+1+(cos x-1)

=2 cos x

C

13  sin 64ù=

;1Ó0;

=0.8988이므로 x=8.988



cos 64ù=

=0.4384이므로 y=4.384

;1Õ0;

 ∴
`

x+y=8.988+4.384=13.372

14  ACÓ=

9
sin 27ù

=

9
0.45

=20 (m)

 이때 지은이는 매분 50 m의 속력으로 걸으므로 매초

=

(m)의 속력으로 걷는다.

;6%0);

;6%;

 따라서 A 지점에서 C 지점까지 가는 데 걸리는 시간은

20Ö

=24(초)

;6%;

15   오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그으면
 △ADE와 △AB'E에서
 ∠ADE=∠AB'E=90ù,

 AEÓ는 공통, ADÓ=AB'Ó이므로
 △ADEª△AB'E (RHS 합동)
  ∴ ∠DAE=∠B'AE=30ù
  △AB'E에서

C'

E

D

D'

C

B

B'

30∞

30∞
30∞
2

30∞
A

3 cm











I. 삼각비    13

2
=ABÓ= '
2

, cos 45ù=

OBÓ
1

2
=OBÓ= '
2

10  △AOB에서
ABÓ
1

sin 45ù=



 △COD에서
CDÓ
1

tan 45ù=

 

=CDÓ=1

EB'Ó=2

3 tan 30ù=2

=2 (cm)

'

3
3_ '
3

'

 ∴ AB'ED=2△AB'E

AB'ED=2_

_2

3_2

{;2!;

'

}

AB'ED=4

3 (cmÛ

)

'

`

  헬리콥터의 높이를 h m라고 하면

45∞

B

60∞

C

 ∴ sin x=

16   오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서
BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면

 △ABH에서

3
 AHÓ=6 sin 60ùÓ=6_ '
2

=3

3

'



BHÓ=6 cos 60ù=6_

=3

;2!;

 ∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=12-3=9
 따라서 △AHC에서
=
(3
 ACÓ=

108=6

+9Û

3)Û

¿¹

'

`

`



3

'

17  오른쪽 그림에서
 ∠A=180ù-(105ù+45ù)=30ù

A



꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H

라고 하면
 △BCH에서



BHÓ=5

2 sin 45ùÓ=5

'
 따라서 △ABH에서

2
2_ '
2

'

=5 (cm)

 ABÓ=

BHÓ
sin 30ù

=5Ö

=10

(cm)

;2!;

`

18   오른쪽 그림과 같이 A 지점에서 지면에

내린 수선의 발을 H라고 하면

 ∠BAH=45ù, ∠CAH=30ù

BHÓ=h tan45ù=h (m)

3
CHÓ=h tan 30ù= '
3

h (m)

3
 즉 h+ '
3

h=100이므로







3

3+
'
3

h=100

 ∴ h=

=50(3-

3)

'

 따라서 헬리콥터의 높이는 50(3-

3) m이다.

300

3+

3

'

'

19  △ABC=

;2!;

_8_BCÓ_sin(180ù-135ù)

 △ABC=

2
_8_BCÓ_ '
2

;2!;

 △ABC=2

2 BCÓ (cmÛ

)

'

`

  즉 2

2 BCÓ=20이므로

'



BCÓ=

=5

2 (cm)

20
2

'



'

20  △BMD=

;2!;△BCD

 △BMD=

ABCD

 △BMD=

_6

3_14_sin (180ù-150ù)

sin 30ù

 △BMD=

_6

3_14_

;2!;

 △BMD=

(cmÛ

)

`

;4!;

;4!;

'

'

;4!;
21
'
2

3

14    정답과 해설

A

6

60∞
H

B

12

21  두 대각선이 이루는 예각의 크기는
180ù-(55ù+80ù)=45ù이므로


C

 ABCD=

_9_12_sin 45ù

;2!;

  ABCD=

2
_9_12_ '
2

;2!;

  ABCD=27

2 (cmÛ

)

'

`

22   오른쪽 그림과 같이 주어진 도형은 12개의
합동인 정삼각형으로 나누어지므로 넓이는

8 cm

60∞

12_

_8_8_sin 60ù

{;2!;

=12_

_8_8_ '

{;2!;

=192

3 (cmÛ )

'

}

3
2 }

30∞

H

105∞
B

5

45∞
2 cm

C

23   오른쪽 그림의 △ABC에서
 ABÓ=
+2Û
 △ADC에서
+2Û
 ADÓ=

20=2

8=2




=

=



'



`

`



`

`

'

'

5 (cm)

2 (cm)

이때 △ABC=△ABD+△ADC이므로

A

x
45∞

2 cm

B

2 cm

D

45∞
2 cm

C

A

45∞

h m

H
100 m

30∞

_4_2=

_2

5_2

2_sin x

+

_2_2

{;2!;

'

'

}

{;2!;

}

;2!;

4=2



10 sin x=2

10 sin x+2, 2
2
10

= 'Ä

2


10
10



















24  AMÓ : MDÓ=1 : 2이므로
 AMÓ=a, MDÓ=2a (a>0)라고 하면 ABÓ=3a이므로

 △ABM에서
BMÓ=




aÛ`+(3a)Û`=

10aÛ`=

10 a



CNÓ=NDÓ=

ABÓ=

a이므로

;2!;



;2#;

 △BCN에서

BNÓ=

(3a)Û`+

®É

Û`=

a

}

{;2#;

aÛ`=

®É:¢4°:

3

5

'
2

a

 이때
 ABCD=△ABM+△MBN+△BCN+△DMN
 이므로

 △ABM=

_a_3a=

;2!;



`

;2#;

3

5

'
2

 △MBN=

_

10 a_

;2!;



a_sin x=

2

15
'
4



 sin x

`

 △BCN=

_3a_

a=



`

;4(;

;2#;

;2!;

 △DMN=

_2a_

a=



`

;2#;

;2#;

;2!;

 즉 (3a)Û`=



+

;2#;

`

2

15
'
4



 sin x+

`



+

;4(;

`



이므로
`

;2#;



2

15
'
4



 sin x=

`



2
  ∴ sin x= '
`
2

:Á4°:

II .  원의 성질

 ABÓ=2AMÓ=2_8=16, CDÓ=2DNÓ=2_8=16

 즉 ABÓ=CDÓ이므로

 ONÓ=OMÓ=6

 ∴ x=6

01

원의 현에 관한 성질

 

기초의  
1 ⑴ 9  ⑵ 6
2 ⑴ 8  ⑵ 5  ⑶ 5  ⑷ 22  ⑸ 2  ⑹ 6

3  ⑶ 16  ⑷ 6  ⑸ 15  ⑹ 2

'

5

'

50쪽

개념의  

유제  

 

51쪽 ~53쪽

cm  02 2

7

cm  03 4



'

`

'

04 4

5

cm  05 4

'

`

2

'

6

01 2
'
06 55ù

`

















A

B

C
1`cm

D

3`cm

O

4`cm

03   오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 ABÓ
에 내린 수선의 발을 H, OHÓ의 연장선이

µAB와 만나는 점을 C라 하고 원 O의 반지

A

B

12
H r

C

O

(cm)

`

cm이므로

`
OHÓ=OCÓ-CHÓ=6-2=4

01   OCÓ=OBÓ=6

 즉 △OHB에서
=




 이때 AHÓ=BHÓ=2
 △ACH에서
 ACÓ=

5)Û`+2Û

BHÓ=

-4Û



`

`

"Ã(2

'

20=2

5

(cm)

'

`
cm이므로
`

5

'

=

24=2

6

(cm)

`



'

`

02   오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선은
원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O

라고 하면

OCÓ=OAÓ=4

cm

`
ODÓ=OCÓ-CDÓ=4-1=3

(cm)

`


 즉 △OAD에서
=
 ADÓ=


'

 ABÓ=2ADÓ=2_

-3Û

`

`

7

(cm)이므로

`
7=2

'

7

(cm)

'

`

름의 길이를 r라고 하면

BHÓ=

ABÓ=

_12=6

;2!;

;2!;

OHÓ=CHÓ=

OCÓ=

r이므로

;2!; 

;2!;

  △OBH에서



=6Û

+

`

r

,
`

}

;4#;

{;2!;

rÛ`=36

`

`



=48

 ∴ r=4

3

(∵ r>0)

'

`

 따라서 원 O의 반지름의 길이는 4

3이다.

'

04   ABÓ가 작은 원의 접선이므로 ABÓ⊥OHÓ
 즉 △OAH에서
=
 AHÓ=

20=2

(cm)이므로

5




 ABÓ=2AHÓ=2_2

-4Û

`

`

'
5=4

`
5

'

`

'

(cm)

II . 원의 성질    15

1  ⑴ AHÓ=

ABÓ=

_18=9

 ∴ x=9

;2!;

;2!;

27=3

3이므로

'
3=6

'

'

3

 ∴ x=6

3

'

 ⑵ △OAH에서
-3Û
 AHÓ=





 ABÓ=2AHÓ=2_3

=


 ⑶ △OHB에서
5)Û
 BHÓ=


-4Û

`

`

"Ã(4

'
 ABÓ=2BHÓ=2_8=16



`

`

 ∴ x=16

=

64=8이므로

 ⑷ AHÓ=

ABÓ=

_16=8이므로

;2!;

;2!;

 △OAH에서
-8Û
 OHÓ=

10Û



`

`



=

36=6

 ∴ x=6

 ⑸ AHÓ=

ABÓ=

_24=12이므로

;2!;

;2!;

 △OAH에서
+9Û
 OAÓ=

12Û



`

`



=

225=15

 ∴ x=15

 ⑹ BHÓ=

ABÓ=

_8=4이므로

;2!;

;2!;

 △OHB에서
+2Û
 OBÓ=




`

=

20=2

5

 ∴ x=2

5

`



'

'

2  ⑴ OMÓ=ONÓ이므로
 CDÓ=ABÓ=8


 ∴ x=8

 ⑵ ABÓ=CDÓ이므로

 ONÓ=OMÓ=5

 ∴ x=5

`

 ⑶ OMÓ=ONÓ이므로

 ABÓ=CDÓ=10

 AMÓ=

ABÓ=

_10=5

 ∴ x=5

;2!;

;2!;

 ⑷ OMÓ=ONÓ이므로

 ABÓ=CDÓ=2CNÓ=2_11=22

 ∴ x=22

 ⑸ CDÓ=2CNÓ=2_3=6

 즉 ABÓ=CDÓ이므로

 OMÓ=ONÓ=2

 ⑹ △AOM에서
-8Û


 OMÓ=

10Û



`

 ∴ x=2

=

36=6

`



























2
05   OMÓ=ONÓ=4이므로 ABÓ=CDÓ=8

ABÓ=

_8=4이므로

;2!;

 이때 BMÓ=

;2!;
 △OBM에서
+4Û


OBÓ=




`

=

32=4

2

`



'

06  OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
 즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.
 한편 AMON에서

 ∠A=360ù-(90ù+110ù+90ù)=70ù이므로

 ∠ABC=

_(180ù-70ù)=55ù

;2!;

내공의  

 

54쪽 ~55쪽

01 :ª2°: 
06 8
2
`
'
11 120ù 

02 12



`

3

cm  03 6

'
cmÛ`  08 70ù 

'

cm  07 60

`
12 49p

cmÛ`

`

04 20

cm 

05 6

3

cm

`

09 12

3

cm  10 6
`

'

'

3

cm

'

`

`

01   OAÓ=OCÓ=x라고 하면
OHÓ=OCÓ-CHÓ=x-5


 이때 AHÓ=BHÓ=10이므로
 △OAH에서
=(x-5)Û


+10Û



`

`



=xÛ

-10x+25+100

`

`

`

10x=125

 ∴ x=

:ª2°:







 따라서 원 O의 반지름의 길이는

이다.

:ª2°:

02   OCÓ=OBÓ=12
`

cm이므로

OMÓ=

OCÓ=

_12=6

(cm)

`

;2!; 

;2!;
 즉 △OMB에서
=
 MBÓ=



 ABÓ=2MBÓ=2_6

-6Û

12Û

`

`

108=6

3

(cm)이므로

'
3

`
(cm)

'

`

3=12

'

03   OAÓ를 그으면



OAÓ=OCÓ=

CDÓ=

_18=9이므로

;2!; 

;2!;

OMÓ=OCÓ-CMÓ=9-3=6


 즉 △AOM에서
=
 AMÓ=

-6Û





 ABÓ=2AMÓ=2_3

`

`

45=3

5이므로

'
5=6

'

5

'

04   오른쪽  그림과  같이  CDÓ의  연장선은
원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O,

C
4 cm

8 cm
A

원 O의 반지름의 길이를 r

cm라고 하

`



D

16 cm

B

r cm (r-4) cm
O

16    정답과 해설



OAÓ=OCÓ=r

cm, ODÓ=OCÓ-CDÓ=r-4

(cm)

`

ABÓ=

_16=8

(cm)이므로

;2!;

 이때 ADÓ=

;2!;
 △AOD에서




`

=(r-4)Û`+8Û`, 8r=80

 ∴ r=10

 따라서 접시의 지름의 길이는 20

cm이다.

05   오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 ABÓ
에 내린 수선의 발을 H라 하고 OHÓ의 연장

`

`

선이 µAB와 만나는 점을 C라고 하면

OCÓ=OAÓ=6

cm이므로

A

6`cm
H

B

O

C

`

`





OHÓ=CHÓ=

OCÓ=

_6=3

(cm)

;2!; 

;2!;

`

 즉 △OAH에서
=
 AHÓ=




 ABÓ=2AHÓ=2_3

-3Û

`

`

27=3

3

(cm)이므로

'
3=6

`
3

'

`

'

(cm)

06   △AOM에서
3)Û
 AMÓ=

(4

`

 ABÓ=2AMÓ=2_4

'

`

 이때 OMÓ=ONÓ이므로



CDÓ=ABÓ=8

2

cm

'

`

-4Û

=

32=4

2

(cm)이므로


2=8

'

2

`

'

`
'
(cm)

07  ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OMÓ=12
 △OND에서
 NDÓ=

25=5

-12Û

(cm)

`
 즉 CDÓ=2NDÓ=2_5=10

13Û

=





`

`

cm

`
(cm)이므로

`

 △OCD=

;2!;

_CDÓ_ONÓ=

_10_12=60

(cmÛ`)

;2!;

`

08  OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
 즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.

 ∴ ∠ABC=

_(180ù-40ù)=70ù

;2!;

09   OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ

 ∴ ∠ABC=∠ACB=

_(180ù-60ù)=60ù

;2!;

 즉 △ABC는 정삼각형이다.
 한편 OAÓ를 그으면 OAÓ=4 cm이므로
 △OAM에서
-2Û
 AMÓ=

3 (cm)

12=2

=



`



`

 ∴ ABÓ=2AMÓ=2_2
 따라서 △ABC의 둘레의 길이는


3ABÓ=3_4

'
3=4

3 (cm)

3=12

'

'

'

'

3 (cm)

10   BHÓ=

;2!;

ABÓ=

_18=9

(cm)

;2!;

`

 ∠BOH=180ù-120ù=60ù이므로
 △OHB에서



OBÓ =


sin 60ù

3
=9Ö '
2

=6

3 (cm)

'

 ∴ OCÓ=OBÓ=6

3 cm

'

 ⑹ PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 이등변삼각형이다.
 즉 ∠APB=180ù-(71ù+71ù)=38ù이므로


A

O

4

H

C

B















 x=38


 ⑺ ∠PAO=90ù이므로 △PAO에서
-6Û



 PAÓ=

89=3
1

15Û

=

1

2

`
 이때 PBÓ=PAÓ이므로

'



`

'

 x=3

2

1

'
 ⑻ OPÓ=2+5=7이고

 ∠PBO=90ù이므로 △PBO에서
=
 PBÓ=

5=3

-2Û

5

4



`
 이때 PAÓ=PBÓ이므로

'

`

'




 x=3

5

'

3  ⑴ BEÓ=BDÓ=7
 ⑵ AFÓ=ADÓ=3이므로

 CEÓ=CFÓ=ACÓ-AFÓ=8-3=5

 ⑶ BCÓ=BEÓ+CEÓ=7+5=12

4  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로
 ∴ x=7
 ⑴ 8+x=6+9

 ⑵ 10+12=7+x

 ∴ x=15

 ⑶ 10+15=7+(6+x)

 ∴ x=12

 ⑷ 8+6=4+(x+5)

 ∴ x=5

개념의  

유제  

 

59쪽 ~62쪽

01 18ù 
06 4p

02 7


'
cmÛ`  07 162

03 18
cmÛ`  08 9

cm  04 75
`
cm

'

`

2

cmÛ` 05 6

cm

`

`

`

`

01   PAÓ=PBÓ이므로 △PAB는 이등변삼각형이다.

 ∴ ∠PAB=

_(180ù-36ù)=72ù

;2!;

58쪽

 이때 ∠PAO=90ù이므로

21  ⑻ 3

5

'



 ∠BAO=∠PAO-∠PAB=90ù-72ù=18ù

r cm
O

H
14 cm

B

R cm

A



한편 큰 원의 반지름의 길이를 R

cm, 작은 원의 반지름의 길이를

`

11   오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 ABÓ
에 내린 수선의 발을 H라 하고 OHÓ의 연장

선이 µAB와 만나는 점을 C라고 하면

 △OAH와 △OBH에서
 ∠OHA=∠OHB=90ù

OAÓ=OBÓ=4, OHÓ는 공통이므로

 △OAHª△OBH (RHS 합동)

 이때 OHÓ=CHÓ=

OCÓ=

_4=2이므로

;2!; 

;2!;

 △OAH에서 ∠AOH=x라고 하면



cos x=


;4@;=;2!;

 ∴ x=60ù

 ∴ ∠AOB=2∠AOH=2_60ù=120ù

12   오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OHÓ를 그으
면 ABÓ가 작은 원의 접선이므로


ABÓ⊥OHÓ

 ∴ AHÓ=BHÓ=

ABÓ

;2!;

=

_14=7 (cm)

;2!;

`

r

cm라고 하면
 △OAH에서
=7Û
 RÛ

+rÛ

`

`


`

 ∴ RÛ

-rÛ

=49

`

`

 ∴ (색칠한 부분의 넓이)

=(큰 원의 넓이)-(작은 원의 넓이)

=pRÛ`-prÛ`=p(RÛ`-rÛ`)=49p`(cmÛ`)

02

원의 접선에 관한 성질

기초의  

 

1 ⑴ 110  ⑵ 45  ⑶ 4  ⑷ 5  ⑸ 65  ⑹ 38  ⑺ 3
2 ⑴ x=5, y=4, z=3  ⑵ x=8, y=4, z=9
3 ⑴ 7  ⑵ 5  ⑶ 12
4 ⑴ 7  ⑵ 15  ⑶ 12  ⑷ 5

1  ⑴ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로


 APBO에서

 ∠AOB=360ù-(90ù+70ù+90ù)=110ù

 ⑵ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로

 ∴ x=110

 AOBP에서

 ∠APB=360ù-(90ù+135ù+90ù)=45ù

 ∴ x=45


 ⑸ PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 이등변삼각형이다.

 즉 ∠PAB=

_(180ù-50ù)=65ù이므로

;2!;













 x=65



다른 풀이  

 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로

 AOBP에서

 ∠AOB=360ù-(90ù+90ù+36ù)=144ù



△AOB에서 OAÓ=OBÓ이므로

 ∠BAO=

_(180ù-144ù)=18ù

;2!;

02   POÓ를 그으면 △PAOª△PBO

(RHS 합동)이므로

`

∠AOB=

_120ù=60ù

;2!;

 ∠AOP=

;2!;
 △PAO에서


 APBO에서

PAÓ=7 tan 60ù=7

3

'

 ∠APB=360ù-(90ù+120ù+90ù)=60ù이고, PAÓ=PBÓ이므로
 △PBA는 정삼각형이다.
 ∴ ABÓ=PAÓ=7

3

'

II . 원의 성질    17


Œ
Œ
Œ
03  ADÓ=AFÓ


Ó, BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ이므로

(△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ

=ABÓ+(BEÓ+CEÓ)+CAÓ

=ADÓ+AFÓ

=2ADÓ

=2_9=18

(cm)

`

08   △ABE에서
BEÓ=


15Û

-12Û


Ó=x

`

`

cm라고 하면

CEÓ

=

81=9

(cm)

`

 이때 AEÓ

Ó+CDÓ

Ó=ADÓ

Ó+ECÓ

`
Ó에서

`
Ó=BCÓ

15+12=(9+x)+x, 2x=18

 ∴ x=9

 따라서 CEÓ의 길이는 9 cm이다.

=(ABÓ+BDÓ)+(CFÓ+CAÓ)

 ADÓ

Ó=BEÓ

Ó+CEÓ

Ó=9+x

(cm)





















내공의  
cm 

01 8
`
06 16
11 3
16 3

`

`

cm 
`
cm 
cm 

 

02 72ù 
07 20 
12 1 
17 15 

03 ① 
08 3 

13 ④ 
18 4

63쪽 ~65쪽

`

04 12
09 30
`
14 16 

cm 
05 2
`
cmÛ`  10 30
15 4

cm

cm

`
2 cm

'

cm라고 하면

OTÓ=r

01   원 O의 반지름의 길이를 r
`
cm, POÓ=(9+r)

 ∠PTO=90ù이므로 △POT에서


cm

`

`

(9+r)Û`=rÛ`+15Û`, 18r=144    ∴ r=8

 따라서 원 O의 반지름의 길이는 8 cm이다.

02   ∠PAO=90ù이므로 ∠PAB=90ù-36ù=54ù
 이때 PAÓ=PBÓ이므로 △PBA에서
 ∠P=180ù-(54ù+54ù)=72ù 

03   ① AOÓ의 길이는 알 수 없다.

04   △ABC에서
+8Û
 ABÓ=




=

100=10

(cm)

`
`
BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ이므로



`

 ADÓ+AFÓ=(ABÓ+BDÓ)+(CFÓ+ACÓ)

=ABÓ+(BEÓ+CEÓ)+ACÓ

=ABÓ+BCÓ+ACÓ

=10+8+6=24

(cm)

 ∴ ADÓ=AFÓ=

_24=12

(cm)

;2!;

`

`

05   오른쪽 그림과 같이 CBÓ=x cm라고

D

하면

CEÓ=CBÓ=x cm,

DEÓ=DAÓ=6

cm이므로

`
CDÓ=CEÓ+DEÓ=x+6 (cm)

한편 점 C에서 DAÓ에 내린 수선의 발

을 H라고 하면

 HCÓ=ABÓ=4

3

cm

'

`

 또 HAÓ=CBÓ=x cm이므로

DHÓ=DAÓ-AHÓ=6-x (cm)


 이때 △DHC에서

(6-x)Û`+(4

'
 따라서 CBÓ의 길이는 2 cm이다.

3)Û`=(6+x)Û`, 24x=48    ∴ x=2

6 cm

H

A

O
3 cm

4

E

C

B

H

10 cm

C

B

04   DEÓ=DAÓ=5


`
CDÓ =CEÓ+DEÓ=10+5=15

cm, CEÓ=CBÓ=10

`
(cm)

cm이므로

`

오른쪽  그림과  같이  점  D에서

BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고

E

하면

BHÓ=ADÓ=5

cm이므로
`

CHÓ

Ó=BCÓ-BHÓ=10-5=5

(cm)

5 cm

D

A

이때 △CDH에서
=
15Û
DHÓ=

-5Û



`

`



200=10

2

(cm)이므로

(사다리꼴 ABCD의 넓이)=

_(5+10)_10

2

`

'

`

;2!;

O

'

=75

2

(cmÛ`)

'

`

05   BDÓ=x
`
 AFÓ=ADÓ=(9-x)

cm라고 하면 BEÓ=BDÓ=x
`
cm, CFÓ=CEÓ=(10-x)`cm

cm이므로

`

 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ에서



7=(9-x)+(10-x), 2x=12

 ∴ x=6

 따라서 BDÓ의 길이는 6 cm이다.

06   △ABC에서
 ACÓ=

13Û

=

25=5 (cm)



`
오른쪽  그림과  같이  OEÓ,  OFÓ를



-12Û
`

긋고 원 O의 반지름의 길이를

r cm라고 하면 OECF는 정사

각형이므로

B

OEÓ=ECÓ=CFÓ=OFÓ=r cm

A

F

C

13 cm

r cm

12 cm

D

O

E

 이때 BDÓ=BEÓ=(12-r) cm, ADÓ=AFÓ=(5-r) cm이므로

 ABÓ=ADÓ+BDÓ에서

13=(5-r)+(12-r), 2r=4

 ∴ r=2

 ∴ (원 O의 넓이)=p_2Û

=4p (cmÛ`)

`



















07   원 O의 반지름의 길이가 6
 ABÓ=2_6=12

(cm)

`

cm이므로

 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ에서



12+15=ADÓ+18

 ∴ ADÓ=9

(cm)

`

 ∴ ABCD=

_(9+18)_12=162`(cmÛ`)

`

;2!;

18    정답과 해설

06   ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CEÓ=CFÓ이므로

 ADÓ+BEÓ+CFÓ=

(ABÓ+BCÓ+CAÓ)

;2!;

=

;2!;

_(11+14+7)

=

_32=16

(cm)

;2!;

`

07   BEÓ=x라고 하면


BDÓ=BEÓ=x이므로

CFÓ=CEÓ=16-x, AFÓ=ADÓ=17-x

 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로

13=(17-x)+(16-x), 2x=20

 ∴ x=10

 또 PRÓ=PDÓ, QRÓ=QEÓ이므로

(△PBQ의 둘레의 길이) =PBÓ+BQÓ+QPÓ











=BPÓ+(PRÓ+QRÓ)+QBÓ

=(BPÓ+PDÓ)+(QEÓ+QBÓ)

=BDÓ+BEÓ=2BEÓ

=2_10=20

08   ODÓ, OFÓ를 그으면
 ADOF는 정사각형이므로

 ADÓ=DOÓ=OFÓ=FAÓ=x

 이때 BDÓ=BEÓ=6, CFÓ=CEÓ=9이므로
 △ABC에서


(x+6)Û`+(x+9)Û`=15Û`, xÛ

+15x-54=0

`



(x-3)(x+18)=0

 ∴ x=3 (∵ x>0)

09   OEÓ를 그으면
 OECF는 정사각형이므로



OEÓ=ECÓ=CFÓ=FOÓ=

_4=2

(cm)

;2!;

`

 ADÓ=x
`

 AFÓ=ADÓ

cm라고 하면

cm이므로

Ó=x
`
cm

`

 ACÓ=(x+2)

  또 BEÓ=BDÓ=(13-x)

cm이므로

`

BCÓ=(13-x)+2=15-x

(cm)


 따라서 △ABC에서
=(15-x)Û


13Û

+(x+2)Û

`

`
-13x+30=0, (x-3)(x-10)=0

``

`





`

 ∴ x=3 (∵ BCÓ>ACÓ)

11   OQÓ를 그으면
 PBQO는 정사각형이므로



PBÓ=BQÓ=QOÓ=OPÓ=6

`
 이때 CRÓ=CQÓ=13-6=7

cm

(cm)이므로



DSÓ=DRÓ=10-7=3

`
(cm)

`

12   원 O의 지름의 길이는 4이므로 반지름의 길이는 2이다.
 즉 CGÓ=CHÓ=DHÓ=DIÓ=2이므로

 AFÓ=AIÓ=ADÓ-DIÓ=6-2=4





EGÓ=x라고 하면

EFÓ=EGÓ=x이므로

 AEÓ=4+x, BEÓ=6-(x+2)=4-x
 즉 △ABE에서


(4+x)Û`=4Û`+(4-x)Û`, 16x=16

 ∴ x=1

 따라서 EGÓ의 길이는 1이다.

13   △APO와 △BPO에서


POÓ는 공통, AOÓ=BOÓ=10

cm,

`

 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로
 △APOª△BPO

(RHS 합동)

`

 ① ∠AOP=∠BOP=

∠AOB=

_120ù=60ù

;2!;

;2!;

 ② PAÓ=10 tan 60ù=10

3

(cm)

 ③ POÓ=

=20 (cm)

PAÓ
sin 60ù

=10

'

`

3
3Ö '
2

'

 ④ APBO에서



 ∠APB=360ù-(90ù+90ù+120ù)=60ù이고
 PAÓ=PBÓ이므로 △APB는 정삼각형이다.
3

   ∴ ABÓ=PAÓ=10

cm



'

`

 ⑤ △ABO=

;2!;

_OAÓ_OBÓ_sin (180ù-120ù)

=

;2!;

3
_10_10_ '
2

=25

3

(cmÛ`)

'

`

  따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

14   BEÓ=x라고 하면 BFÓ=BEÓ=x
 AIÓ=AGÓ=AEÓ=20-x, CHÓ=CGÓ=CFÓ=16-x이므로



DIÓ=DHÓ=12-(16-x)=x-4

 ∴ ADÓ =AIÓ+DIÓ=(20-x)+(x-4)=16

15   오른쪽  그림에서  ACÓ=BCÓ이

므로

OAÓ=OCÓ=O'BÓ=O'CÓ

P

Q

H

3 cm

A

3 cm

O

C
3 cm

3 cm

O'

B











II . 원의 성질    19

 즉 BCÓ=15-3=12

(cm)이므로
(cm), ACÓ=3+2=5
`
`

 △ABC=

;2!;

_12_5=30

(cmÛ`)

`

10   ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ에서
 ABÓ+CDÓ=7+8=15

(cm)

`

 ∴ (ABCD의 둘레의 길이) =2(ABÓ+CDÓ)

=2_15=30

(cm)

`

=

72=6

2 (cm)

`



'

O'PÓ를 그으면 ∠APO'=90ù이므로


 △AO'P에서
-3Û


PAÓ=




`

=

ABÓ

;4!;

=

_12=3 (cm)

;4!;

 한편 점 O에서 QAÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면
 HAÓ=HQÓ이고, △AOH»△AO'P (AA 닮음)이므로


OAÓ : O'AÓ=HAÓ : PAÓ에서



3 : 9=HAÓ : 6

2

 ∴ HAÓ=2

2 (cm)

'

 ∴ QAÓ=2HAÓ=2_2

2=4

'

'

'
2 (cm)

16   오른쪽  그림에서  DJÓ=x  cm라고  하

A

5 cm

면 DIÓ=x cm이므로

CHÓ=CIÓ=(4-x) cm

BGÓ=BHÓ=4-(4-x)=x (cm)

 ALÓ=AGÓ=(6-x) cm

FKÓ=FLÓ=5-(6-x)=x-1 (cm)

EJÓ=EKÓ=2-(x-1)=3-x (cm)

 ∴ DEÓ=DJÓ+EJÓ=x+(3-x)=3 (cm)

6 cm

G

B

H
4 cm

L

F

K

2 cm
E

J

D

I

4 cm

O

C

1  ⑴ ∠x=

;2!;

∠AOB=

_120ù=60ù

;2!;

 ⑵ ∠x=2∠APB=2_55ù=110ù

 ⑶ ∠x=2∠APB=2_25ù=50ù

 ⑷ ∠AOB=360ù-240ù=120ù



 ∴ ∠x=

∠AOB=

_120ù=60ù

;2!;

;2!;

2  ⑴ ∠x=∠BAC=20ù
 ⑵ ∠x=∠ACD=55ù
 ⑶ △ABC에서 ∠BAC=180ù-(80ù+65ù)=35ù


 ∴ ∠x=∠BAC=35ù

 ⑷ ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù



 ∴ ∠x=180ù-(60ù+90ù)=30ù

17   EFÓ=x라고 하면


EBÓ=EFÓ=x이므로 AEÓ=12-x

 이때 DFÓ=DCÓ=12이므로 DEÓ=12+x
 따라서 △AED에서


+(12-x)Û

`
 ∴ DEÓ =DFÓ+EFÓ=12+3=15

, 48x=144
`

(12+x)Û
`

=12Û

18   오른쪽 그림과 같이 두 원 O, O'이
BCÓ에 접하는 점을 각각 E, F라 하

A

25

3  ⑴ µAB=µ CD이므로


 ∠CQD=∠APB=40ù

 ⑵ ∠APB=∠CQD이므로

 ∴ x=40

µ CD=µAB=4

cm

 ∴ x=4

`
 ⑶ ∠APB : ∠CQD=µAB : µ CD이므로





 ∴ x=40

 ⑷ ∠APB : ∠BPC=µAB : µ BC이므로

D



27ù : 45ù=3 : x

 ∴ x=5

 ∴ x=3

20ù : ∠CQD=3 : 6

 ∴ ∠CQD=40ù



고 점 O'에서 OEÓ에 내린 수선의

18

발을 H라고 하자.

ABÓ=18이므로 원 O의 반지름의

길이는 9이다. 즉 OEÓ=9

O

9

9-r
H
r

r

O'

B

E

16-r

F

C

4  ⑴ ∠x=∠BAC=52ù
 ⑵ ∠ACB=∠ADB=60ù이므로

 △PBC에서
 ∠x=60ù+60ù=120ù

이때 원 O'의 반지름의 길이를 r라고 하면

 ⑶ ∠ABD=∠ACD=20ù이므로

OO'Ó=9+r, OHÓ=9-r, HO'Ó=25-(9+r)=16-r


 따라서 △OHO'에서


(9-r)Û`+(16-r)Û`=(9+r)Û`



-68r+256=0, (r-4)(r-64)=0

`

 ∴ r=4 (∵ 0<r<9)

 따라서 원 O'의 반지름의 길이는 4이다.

 △ABP에서
 ∠x+20ù=95ù

 ∴ ∠x=75ù

 ⑷ ∠ABD=∠ACD=40ù이므로

 △ABP에서
 ∠x=180ù-(60ù+40ù)=80ù



































03

원주각

기초의  

 

1 ⑴ 60ù  ⑵ 110ù  ⑶ 50ù  ⑷ 60ù
2 ⑴ 20ù  ⑵ 55ù  ⑶ 35ù  ⑷ 30ù
3 ⑴ 40  ⑵ 4  ⑶ 40  ⑷ 5
4 ⑴ 52ù  ⑵ 120ù  ⑶ 75ù  ⑷ 80ù

20    정답과 해설

개념의  

유제  

 

01 35ù 

02 50ù  

03 155ù 

04 34ù 

06 39ù 

07 64ù 

08 56ù 

09 50ù 

69쪽 ~73쪽

05 ;8%;
10 110ù

68쪽

01   OBÓ를 그으면
 ∠AOB=2∠APB=2_20ù=40ù

 이때 ∠BOC=110ù-40ù=70ù이므로

 ∠BQC=

∠BOC=

_70ù=35ù

;2!;

;2!;

02   OAÓ, OBÓ를 그으면
 ∠AOB=360ù-2∠ACB=360ù-2_115ù=130ù

 이때 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서

 ∠APB=360ù-(90ù+90ù+130ù)=50ù

03   ∠x=∠BAC=45ù
 △DPC에서 ∠y=45ù+65ù=110ù
 ∴ ∠x+∠y=45ù+110ù=155ù

04   AEÓ를 그으면 ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠AEB=90ù
 ∠AED=90ù-56ù=34ù이므로

 ∠x =∠AED=34ù

05   오른쪽 그림과 같이 AOÓ의 연장선이 원 O
와 만나는 점을 P'이라고 하면 AP'Ó은 원 O

의 지름이므로

 ∠ABP'=90ù

 ∠APB=∠AP'B이므로



sin P=sin P'=

ABÓ
AP'Ó

=

=

;1!6);

;8%;

06   µAB=µ BC이므로 ∠ADB=∠BDC=43ù
 ∠ACD=∠ABD=55ù
 △ACD에서
 ∠x=180ù-(43ù+43ù+55ù)=39ù

07   µAB :  µ CD=∠ACB : ∠DBC이므로
1 : 3=16ù : ∠DBC

 따라서 △PBC에서
 ∠x=48ù+16ù=64ù

 ∴ ∠DBC=48ù

08  ADÓ를 그으면

 ∠ADC=180ù_

=36ù

;5!;

=20ù

 ∠DAB=180ù_

;9!;
 따라서 △APD에서
 ∠x=20ù+36ù=56ù

09  △ABC에서
 ∠ACB=180ù-(70ù+60ù)=50ù



이때 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로

 ∠ADB=∠ACB=50ù

10   네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
 ∠x=∠DAC=20ù
 △ACP에서 ∠ACB=20ù+50ù=70ù
 △QBC에서 ∠y=20ù+70ù=90ù
 ∴ ∠x+∠y=20ù+90ù=110ù

내공의  

 

74쪽 ~77쪽

01 52ù 
06 80ù 

02 140ù 
07 33ù 



03 25
'
08 65ù 

04 72ù 
09 95ù 

05 112ù 
10 48ù

2

2

 

12 

'
3
17 63ù 
2 m  22 35ù 

11 68ù 

16 10 
21 20

'

13 90ù 

14 36ù 

18 80ù 
23 27ù 

19 ②, ④ 
24 100ù 

15 28ù

20 30ù
25 4p

;2!;

;2!;

01   ∠APB=

_(360ù-∠AOB)



=

_(360ù-140ù)=110ù

 따라서 PAOB에서

 ∠x=360ù-(110ù+58ù+140ù)=52ù

P'

P

8 cm

O

8 cm

A

B
10 cm

02   OBÓ를 그으면
 ∠AOB=2∠APB=2_22ù=44ù

 ∠BOC=2∠BQC=2_48ù=96ù

 ∴ ∠AOC =∠AOB+∠BOC

=44ù+96ù=140ù

03   ∠BOC=2∠BAC=2_60ù=120ù이고


OBÓ=OCÓ=10이므로

 △OBC=

;2!;

_10_10_sin (180ù-120ù)

3
_10_10_ '
2

=

;2!;

=25

3

'

04   OAÓ, OBÓ를 그으면 APBO에서
 ∠AOB=360ù-(90ù+36ù+90ù)=144ù

  ∴
`

∠x=

∠AOB=

_144ù=72ù

;2!;

;2!;

05  OAÓ, OBÓ를 그으면 APBO에서
 ∠AOB=360ù-(90ù+44ù+90ù)=136ù

 ∴
`

∠ACB=

_(360ù-∠AOB)

;2!;

;2!;

=

_(360ù-136ù)=112ù







06  RBÓ를 그으면
 ∠ARB=∠APB=46ù

 ∠BRC=∠BQC=34ù

 ∴ ∠ARC =∠ARB+∠BRC

=46ù+34ù=80ù

07   PBÓ를 그으면

 ∠APB=

∠AOB=

_70ù=35ù이므로

;2!;

;2!;

 ∠BPC =68ù-35ù=33ù

 ∴ ∠BQC=∠BPC=33ù

II . 원의 성질    21

08   ∠BAC=∠BDC=29ù이므로
 △AQC에서
 ∠ACD=29ù+36ù=65ù

09   ∠x=∠BDC=30ù
 ACÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90ù

 이때 ∠ABD=∠ACD=25ù이므로

 ∠y=90ù-25ù=65ù

 ∴ ∠x+∠y=30ù+65ù=95ù

10   BDÓ를 그으면 ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù
 ∠ABD=∠ACD=42ù이므로
 △ADB에서
 ∠BAD =180ù-(90ù+42ù)=48ù

11   ADÓ를 그으면

 ∠CAD=

∠COD=

_44ù=22ù

;2!;

;2!;

 한편 ABÓ는 반원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù, 즉 ∠ADP=90ù
 따라서 △PAD에서
 ∠x=180ù-(22ù+90ù)=68ù

12   오른쪽 그림과 같이 BOÓ의 연장선이 원 O와
만나는 점을 A'이라고 하면 A'BÓ는 원 O의

지름이므로 ∠BCA'=90ù

 이때 A'BÓ=18이므로 △A'BC에서
 A'CÓ=

288=12

`
 또 ∠BAC=∠BA'C이므로

-6Û

18Û

=





'

2

`



cos A=cos A'=

12

2

'
18

=

2

2

'
3

A A'

O

B

9

6

C

13   µAB=µ BC이므로 ∠BAC=∠ADB=32ù
BDÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BAD=90ù


 ∴ ∠PAD=90ù-32ù=58ù
 따라서 △APD에서
 ∠x=180ù-(58ù+32ù)=90ù

14   BDÓ를 그으면 µAD=µ DC이므로
 ∠DBA=∠DAC=∠x

 ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù
 따라서 △ABD에서


(∠x+18ù)+∠x+90ù=180ù



2∠x=72ù

 ∴ ∠x=36ù

15   µ BC : µAD=∠CAB : ∠ACD이므로
2 : 1=∠CAB : ∠x

 따라서 △ACP에서


2∠x+∠x=84ù, 3∠x=84ù

 ∴ ∠CAB=2∠x

 ∴ ∠x=28ù

22    정답과 해설

16   △ABP에서
 ∠ABP=40ù-15ù=25ù





µAD : µ BC=∠ABD : ∠BAC이므로

µAD : 6=25ù : 15ù    ∴ µAD=10

17   ADÓ를 그으면

 ∠ADB=180ù_

=18ù

;1Á0;



µAB : µ CD =∠ADB : ∠DAC에서

2 : 5=18ù : ∠DAC

 따라서 △APD에서
 ∠x=45ù+18ù=63ù

 ∴ ∠DAC=45ù

18  ∠C : ∠A : ∠B=µAB : µ BC : µ CA=3 : 2 : 4
4
3+2+4

 ∴ ∠B=180ù_

=180ù_

=80ù

;9$;

19   ①  ∠ACB+∠ADB이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지

 ②  ∠BDC=90ù-60ù=30ù, 즉 ∠BAC=∠BDC이므로 네 점

A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

 ④  ∠BAC=180ù-(56ù+80ù)=44ù, 즉 ∠BAC=∠BDC이

므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

 ⑤  ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지

않다.

않다.

 따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ②, ④이다.

20   ∠BOC=2∠BAC=2∠x
 △ABD에서 ∠BDC=∠x+40ù
 △ODC에서 ∠BDC=2∠x+10ù
 ㉠, ㉡에서 ∠x+40ù=2∠x+10ù

 ∴ ∠x=30ù

yy ㉠

yy ㉡

20 m
무대

A

B

45$

O

C

21   오른쪽 그림과 같이 원 모양의 공연장의 중심

을 O라고 하고, OAÓ, OBÓ를 그으면

 ∠AOB =2∠ACB=2_45ù=90ù



즉 △AOB는 OAÓ=OBÓ인 직각이등변삼각
형이므로

 ∠OAB=∠OBA=45ù

2
 ∴ OAÓ=20 sin 45ù=20_ '
2

=10

2 (m)

'

 따라서 공연장의 지름의 길이는



2OAÓ=2_10

2=20

2

(m)

'

'

`

22   ∠BDC=∠BAC=∠x
 △BQD에서 ∠ABD=40ù+∠x
 따라서 △ABP에서
 ∠x+(40ù+∠x)=110ù



2∠x=70ù

 ∴ ∠x=35ù

23  BDÓ를 그으면
 ∠ABD=∠ACD=∠x
 △ACP에서
 ∠BAC=∠x+24ù

 이때 µAB=µ BC=µ CD이므로

 ∠ACB =∠BAC=∠CBD=∠x+24ù
 따라서 △ABC에서


(∠x+24ù)+(∠x+∠x+24ù)+(∠x+24ù)=180ù

4∠x=108ù

 ∴ ∠x=27ù

24   ∠ABC=∠x라고 하면
 ∠ADC=∠ABC=∠x

µAC : µ BD=∠ABC : ∠BAD이므로

 ∴ ∠BAD=3∠x

 ∠x : ∠BAD=1 : 3
 이때 △AQD에서
50ù+∠x=3∠x


2∠x=50ù

 ∴ ∠x=25ù


 따라서 △APB에서
 ∠BPD=25ù+3_25ù=100ù

25   BCÓ를 그으면 △PCB에서
 ∠PCB+∠CBP=45ù, 즉 ∠ABC+∠DCB=45ù

µAC, µ BD에 대한 원주각의 크기의 합이 45ù이므로 µAC+µ BD의

 길이는 원주의

45ù
180ù

=

이다.

;4!;

 이때 원 O의 반지름의 길이는 8이므로

µAC+µ BD=

_(2p_8)=4p

;4!;

 ⑶ △ACD에서


 ∠x=180ù-(35ù+45ù)=100ù

 ∠ABC+∠ADC=180ù이므로

 ∠y+100ù=180ù

 ∴ ∠y=80ù

 ⑷ BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù

 △ABC에서
 ∠x=180ù-(90ù+30ù)=60ù

 ∠ABC+∠ADC=180ù이므로



60ù+∠y=180ù

 ∴ ∠y=120ù

2  ⑴ ∠x=∠ADC=120ù
  ⑵ ∠x=180ù-85ù=95ù

 ∠y=∠x=95ù

 ⑶ ∠A+∠C=180ù이므로



77ù+∠x=180ù

 ∴ ∠x=103ù

 ∠y=∠ABC=105ù


 ⑷ △ABD에서


 ∠x=180ù-(45ù+55ù)=80ù

 ∠y=∠x=80ù



115ù+∠x=180ù

3  ⑴  ∠A+∠C=180ù이어야 하므로

 ⑶ △ABC에서


 ∠B=180ù-(90ù+30ù)=60ù

 ∴ ∠x=65ù



 ∠B+∠D=180ù이어야 하므로

 ∴ ∠x=120ù

60ù+∠x=180ù




 ⑷ △ACD에서


 ∠D=180ù-(24ù+43ù)=113ù

 ∠B+∠D=180ù이어야 하므로

 ∠x+113ù=180ù

 ∴ ∠x=67ù























04

원과 사각형

기초의  

 

1  ⑴ ∠x=110ù, ∠y=85ù  ⑵ ∠x=104ù, ∠y=65ù 
⑶ ∠x=100ù, ∠y=80ù  ⑷ ∠x=60ù, ∠y=120ù  

4  ㉠ ∠BAC=∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접한다.
 ㉣ ∠A=∠DCE이므로 ABCD는 원에 내접한다.

79쪽

 ㉤   ∠ABD=100ù-30ù=70ù, 즉 ∠ABD=∠ACD이므로

ABCD는 원에 내접한다.

2  ⑴ ∠x=120ù  ⑵ ∠x=95ù, ∠y=95ù  ⑶ ∠x=103ù, ∠y=105ù 

 따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ㉠, ㉣, ㉤이다.

⑷ ∠x=80ù, ∠y=80ù

3 ⑴ 65ù  ⑵ 128ù  ⑶ 120ù  ⑷ 67ù

4 ㉠, ㉣, ㉤

1  ⑴ ∠B+∠D=180ù이므로
70ù+∠x=180ù




 ∴ ∠x=110ù

  ∠A+∠C=180ù이므로



95ù+∠y=180ù    ∴ ∠y=85ù

  ⑵ ∠A+∠C=180ù이므로

 ∠x+76ù=180ù

 ∴ ∠x=104ù

  ∠B+∠D=180ù이므로

 ∠y+115ù=180ù

 ∴ ∠y=65ù

개념의  

유제  

 

80쪽 ~82쪽

02 150ù 

03 32ù 

04 225ù 

05 82ù    

01 50ù 
06 170ù

01   BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù
 ∠BAD+∠BCD=180ù이므로



(25ù+90ù)+(∠x+15ù)=180ù

 ∴
`

∠x=50ù

02   ∠BAD=∠DCE=75ù이므로
 ∠x=2∠BAD=2_75ù=150ù

II . 원의 성질    23



















04  ∠PAB=∠BCD=65ù이므로
 △APB에서
  ∠PBA=180ù-(65ù+40ù)=75ù

05  ∠CDQ=∠ABC=∠x
 △PBC에서 ∠DCQ=∠x+25ù
 따라서 △DCQ에서
 ∠x+(∠x+25ù)+43ù=180ù



2∠x=112ù    ∴ ∠x=56ù

06   BEÓ를 그으면
 ABEF가 원에 내접하므로

 ∠BAF+∠BEF=180ù에서

110ù+∠BEF=180ù

 ∴ ∠BEF=70ù

 BCDE가 원에 내접하므로

 ∠BCD+∠BED=180ù에서

130ù+∠BED=180ù

 ∴ ∠BED=50ù





 ∴ ∠x =∠BEF+∠BED

=70ù+50ù=120ù

07  BDÓ를 그으면
 ABDE는 원 O에 내접하므로

 ∠BAE+∠BDE=180ù에서



87ù+∠BDE=180ù    ∴
`
 ∠BDC =∠CDE-∠BDE

∠BDE=93ù

08  ABQP가 원 O에 내접하므로
 ∠PQC=∠BAP=105ù

 PQCD가 원 O'에 내접하므로

 ∠PQC+∠PDC=180ù에서



105ù+∠PDC=180ù

 ∴ ∠PDC=75ù

 ∴ ∠PO'C=2∠PDC=2_75ù=150ù

 ∴ ∠ABC=55ù

03   ∠ABC+∠ADC=180ù이므로
 ∠ABC+125ù=180ù
 △PBC에서
 ∠DCQ=55ù+∠x
 따라서 △DCQ에서


(55ù+∠x)+38ù=125ù

 ∴ ∠x=32ù

04  CEÓ를 그으면
 ∠CED=∠CAD=45ù

 이때 ABCE는 원 O에 내접하므로

 ∠ABC+∠AEC=180ù

 ∴ ∠x+∠y =(∠ABC+∠AEC)+∠CED

=180ù+45ù=225ù

05   PQÓ를 그으면 PQCD가 원 O'에 내접하므로
 ∠BQP=∠PDC=98ù

 ABQP가 원 O에 내접하므로

 ∠PAB+∠BQP=180ù에서

 ∠x+98ù=180ù  ∴ ∠x=82ù

06   ABCD가 원에 내접하므로
 ∠x=∠BDC=70ù

 ∠ADB=∠ACB=30ù이므로

 ∠y=∠ADC=30ù+70ù=100ù

 ∴ ∠x+∠y=70ù+100ù=170ù

01  ∠ADC+∠ABC=180ù이므로


100ù+∠x=180ù

 ∴ ∠x=80ù

 ∠y=2∠ABC=2_80ù=160ù

 ∴ ∠x+∠y=80ù+160ù=240ù

02  ∠BAD+∠BCD=180ù이므로


70ù+∠BCD=180ù

 ∴ ∠BCD=110ù

 이때 µAB=µAD이므로 ∠ACB=∠ACD

 ∴ ∠ACB=

∠BCD=

_110ù=55ù

;2!;

;2!;

03  ABCD가 원 O에 내접하므로
 ∠x=∠BAD=94ù

 ABCE가 원 O에 내접하므로

 ∠BAE+∠BCE=180ù에서

 ∴ ∠x-∠y=94ù-28ù=66ù

24    정답과 해설

내공의  

 

01 240ù 
06 120ù 
11 46ù 

02 55ù 
07 66ù 
12 68ù

03 66ù 
08 150ù 

04 75ù 

09 ④ 

05 56ù
10 80ù

83쪽 ~84쪽

=126ù-93ù=33ù

 ∴
`

∠x=2∠BDC=2_33ù=66ù

09  ①  ∠ADB=∠ACB이므로 ABCD는 원에 내접한다.
 ②  △ABC에서 ∠ABC=180ù-(60ù+40ù)=80ù

 ③  △DEB에서 ∠ADB=50ù-30ù=20ù

 즉 ∠ABC+∠ADC=180ù이므로 ABCD는 원에 내접한다.

즉 ∠ADB=∠ACB이므로 ABCD는 원에 내접한다.

 ④  ∠BAD=180ù-120ù=60ù, 즉 ∠BAD+∠DCE이므로



 ABCD는 원에 내접하지 않는다.

 ⑤  ∠ABD=108ù-54ù=54ù, 즉 ∠ABD=∠ACD이므로

ABCD는 원에 내접한다.



(94ù+∠y)+58ù=180ù  ∴ ∠y=28ù

 따라서 ABCD가 원에 내접하지 않는 것은 ④이다.

12  △ABP에서
 ∠PAB=180ù-{(60ù+20ù)+28ù}=72ù

 이때 ∠BAD=∠DCP이므로 ABCD는 원에 내접한다.

개념의  

유제  

 

87쪽 ~89쪽

01 65ù 
05 ⑴ 60ù  ⑵ 58ù

02 50ù 

03 15ù 

04 45ù 

10  △FDA에서
 ∠FDA=120ù-20ù=100ù

 ABCD는 원 O에 내접하므로

 ∠ADC+∠ABC=180ù에서





100ù+∠ABC=180ù

 ∴ ∠ABC=80ù

11  BCDE가 원 O에 내접하므로
 ∠BCD+∠BED=180ù에서

112ù+∠BED=180ù    ∴ ∠BED=68ù

BEÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BDE=90ù


 △EBD에서
 ∠EBD=180ù-(90ù+68ù)=22ù이므로

 ∠FBD=2∠EBD=2_22ù=44ù
 따라서 △FBD에서
 ∠x=180ù-(44ù+90ù)=46ù

 즉 ∠DAC=∠DBC=20ù이므로

 ∠BAE=72ù-20ù=52ù
 따라서 △ABE에서
 ∠x=180ù-(52ù+60ù)=68ù

05

원의 접선과 현이 이루는 각

기초의  

 

86쪽

1 ⑴ 58ù  ⑵ 65ù  ⑶ 104ù  ⑷ 97ù  ⑸ 62ù  ⑹ 68ù
2 ⑴ ∠x=51ù, ∠y=72ù  ⑵ ∠x=80ù, ∠y=60ù
  ⑶ ∠x=45ù, ∠y=80ù  ⑷ ∠x=90ù, ∠y=60ù
  ⑸ ∠x=55ù, ∠y=55ù  ⑹ ∠x=68ù, ∠y=44ù

1  ⑴ ∠x=∠ABP=58ù
 ⑵ ∠x=∠BPT=65ù

  ⑶ ∠x=∠BAP=104ù

 ⑷ ∠x=∠APT=97ù

 ⑸ ∠APT=180ù-(64ù+54ù)=62ù

 ∴ ∠x=∠APT=62ù


 ⑹ △APB에서


 ∠ABP=180ù-(40ù+72ù)=68ù



 ∴ ∠x=∠ABP=68ù

2  ⑴ ∠x=∠APT=51ù
 ∠y=∠BAP=72ù


 ⑵ ∠x=∠BPT=80ù
 △APB에서
 ∠y=180ù-(40ù+80ù)=60ù





 ⑶ ∠x=∠APT=45ù
 △APB에서
 ∠y=180ù-(45ù+55ù)=80ù





 ⑷ APÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ABP=90ù

 ∠x=∠ABP=90ù

 ∠y=∠BAP=60ù

 ⑸ ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠APB=90ù

  △APB에서
 ∠x=180ù-(35ù+90ù)=55ù

 ∠y=∠BAP=55ù

  ⑹ ∠x=∠BPT=68ù

 △BAP는 BAÓ=BPÓ인 이등변삼각형이므로
 ∠y=180ù-2∠BAP=180ù-2_68ù=44ù















01   ∠ABT=∠ATP=40ù이므로 △BPT에서
 ∠ATB=180ù-(40ù+35ù+40ù)=65ù

02   ∠BCP=∠BAC=30ù

ABCD가 원에 내접하므로

 ∠CBP=∠ADC=100ù
 따라서 △BPC에서
 ∠BPC=180ù-(100ù+30ù)=50ù

03   ACÓ를 그으면 BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BAC=90ù
 ∠BCA=∠BAT=55ù이므로
 △BAC에서
 ∠x=180ù-(90ù+55ù)=35ù

  이때 ∠CAP=∠CBA=35ù이므로
 △CAP에서
 ∠y=55ù-35ù=20ù

 ∴ ∠x-∠y=35ù-20ù=15ù

04   △PBA에서 PAÓ=PBÓ이므로

 ∠PBA=

_(180ù-60ù)=60ù

;2!;

 ∠ABC=∠TAC=75ù이므로

 ∠CBT'=180ù-(60ù+75ù)=45ù

05   ⑴ ∠BTQ=∠BAT=70ù


 ∠PTD=∠BTQ=70ù(맞꼭지각)







 ∠DCT=∠PTD=70ù
 따라서 △DTC에서
 ∠x=180ù-(70ù+50ù)=60ù

II . 원의 성질    25

  ⑵ ∠DCT=180ù-126ù=54ù







 ∴ ∠ABT=∠ATP=∠DCT=54ù
 따라서 △ABT에서
 ∠x=180ù-(68ù+54ù)=58ù

내공의  

 

01 50ù 
06 64ù 
11 31ù 

02 45ù 
07 43ù 
12 114ù

90쪽 ~91쪽

03 58ù 
08 35ù 

04 30ù 
09 71ù 

05 40ù
10 30ù

01  △ABC는 BAÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로
 ∠ABC=180ù-(65ù+65ù)=50ù

 ∴
`

∠x=∠ABC=50ù

02  △APT에서
 ∠ATP=70ù-25ù=45ù

 ∴ ∠x=∠ATP=45ù

03  ABCD는 원에 내접하므로
 ∠BAD+∠BCD=180ù에서

96ù+∠BCD=180ù


 △BCD에서
 ∠DBC=180ù-(84ù+38ù)=58ù

 ∴ ∠BCD=84ù

 ∴ ∠DCT=∠DBC=58ù

04  ABÓ=APÓ이므로
 ∠ABP=∠APB=∠x

 이때 ACÓ를 그으면

 ∠CAP=∠ABP=∠x

BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù


 따라서 △BPA에서
 ∠x+∠x+(∠x+90ù)=180ù



3∠x=90ù

 ∴ ∠x=30ù

05  CDÓ를 그으면 ADÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACD=90ù
 ∠CAB=∠CBT=82ù이므로

 ∠CAD=82ù-32ù=50ù
 따라서 △ADC에서
 ∠ADC=180ù-(90ù+50ù)=40ù

 ∴ ∠ABC=∠ADC=40ù

06  ∠E FC=∠FDE=54ù
 △ADF에서 ADÓ=AFÓ이므로

 ∠AFD=

_(180ù-56ù)=62ù

;2!;

 ∴ ∠EFD=180ù-(54ù+62ù)=64ù

26    정답과 해설

07  △PBA에서 PAÓ=PBÓ이므로

 ∠PAB=

_(180ù-36ù)=72ù

;2!;

 이때 ∠BAC=∠CBT'=65ù이므로

 ∠TAC=180ù-(72ù+65ù)=43ù

08  ∠PTD=∠DCT=65ù
 ∠BTQ=∠PTD=65ù(맞꼭지각)

 ∠BAT=∠BTQ=65ù
 따라서 △ABT에서
 ∠x =180ù-(80ù+65ù)=35ù

09  ABCD가 원 O'에 내접하므로
 ∠PBA=∠ADC=71ù

 ∴ ∠x=∠PBA=71ù

10  ∠BCA=∠BAT'=68ù
 ∴ ∠BOA=2∠BCA=2_68ù=136ù
 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로



∠OBA=

_(180ù-136ù)=22ù

;2!;

 이때 ∠CBA=∠CAT=52ù이므로

 ∠x=∠CBA-∠OBA=52ù-22ù=30ù

11   BDÓ를 그으면 ADÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABD=90ù
  ABCD가 원 O에 내접하므로

 ∠BAD+∠BCD=180ù에서

 ∠BAD+121ù=180ù
 따라서 △ABD에서
 ∠ADB=180ù-(59ù+90ù)=31ù

 ∴ ∠BAD=59ù

 ∴ ∠x=∠ADB=31ù

12   오른쪽 그림과 같이 두 원 O, O'의

A

공통인 접선 EFê

ê를 그으면

 ∠CTF=∠CDT=57ù

 ∠ATE=∠CTF=57ù(맞꼭지각)

 ∠ABT=∠ATE=57ù

 ∴ ∠AOT=2∠ABT=2_57ù=114ù

E

D

T

57∞
O'

F

C

O

B

실전의  

 

92쪽 ~95쪽

02 10 

06 6 

03 2700p mÛ

  
`

07 14 

08 10 

 cm  11 70ù 

12 12ù 

13 32ù 

16 105ù 

18 20ù 

20 125ù 

21 215ù 

 cmÛ`  

17 83ù 

22 

9

3

'
2

01 :Á2°: 
05 26ù 

10 

;7(;
15 56ù 

24 38ù

04 58ù

09 -2

14 

`
;5&;
19 4ù

23 22ù

01   OAÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면
OAÓ=r, OHÓ=OCÓ-CHÓ=r-3이므로

 △OAH에서





=6Û

+(r-3)Û

, 6r=45  ∴ r=

``

`

`

:Á2°:

 따라서 원 O의 반지름의 길이는

이다.

:Á2°:

02   CDÓ의 연장선은 원의 중심을 지나므로
원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r라

A

고 하면





OAÓ=r, ODÓ=OCÓ-CDÓ=r-2이므
로 △OAD에서


+(r-2)Û`, 4r=40

=6Û

 ∴
`

r=10

`

`

 따라서 원의 반지름의 길이는 10이다.

03   OHÓ는 현 AB와 현 CD에 내린 수선이므로

 AHÓ=

_120=60 (m)



CHÓ=

_60=30 (m)

;2!;

;2!;

 오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OCÓ를 그으면
 △OAH에서

 △OCH에서


`=60Û
`

=6100

=3400

+50Û

+50Û

OAÓ

OCÓ

`

`=30Û

`

`

 ∴ (트랙의 넓이) =p_OAÓ


`-p_OCÓ
`
=6100p-3400p=2700p (mÛ

)

`

04   OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
 즉 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.

 ∴ ∠ACB=

_(180ù-64ù)=58ù

;2!;

05   ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 (cid:8772)APBO에서
 ∠AOB=360ù-(90ù+52ù+90ù)=128ù
 따라서 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

 ∠OBA=

_(180ù-128ù)=26ù 

;2!;

06   OBÓ를 그으면 ∠PBO=90ù이므로
 △PBO에서
OPÓ=


225=15

+9Û

=

12Û



`

`



 ∴ PQÓ=OPÓ-OQÓ=15-9=6

07   BEÓ=x라고 하면 BDÓ=BEÓ=x이므로
CFÓ=CEÓ=12-x, AFÓ=ADÓ=8-x


 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로



6=(8-x)+(12-x), 2x=14

 ∴ x=7

 또 PRÓ=PDÓ, QRÓ=QEÓ이므로
 △PBQ의 둘레의 길이는


08   AFÓ=x라고 하면 ADÓ=AFÓ=x
 마찬가지로 CFÓ=CEÓ=2, BDÓ=BEÓ=4

 즉 ABÓ=x+4, ACÓ=x+2, BCÓ=6이므로
 △ABC에서
(x+4)Û


=(x+2)Û

+6Û

 ∴ x=6

`

, 4x=24
`

`

 ∴ ABÓ=ADÓ+BDÓ=6+4=10

B

6

r

D

r-2

C
2

O

09   원 O는 ABCD에 내접하므로
 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ에서

 원 O'은 DCEF에 내접하므로

CDÓ+EFÓ=DFÓ+CEÓ에서

 ㉠, ㉡에서

16-a=18-b

 ∴ a-b=-2

a+CDÓ=9+7

 ∴ CDÓ=16-a

yy ㉠

CDÓ+b=5+13

 ∴ CDÓ=18-b

yy ㉡

O

50 m

A

HC

60 m
D

B

120 m

10   원 O의 지름의 길이는 6`cm이므로 반지름의 길이는 3`cm이다.
 즉 AGÓ=AHÓ=BHÓ=BIÓ=3`cm

 ∴ DFÓ=DGÓ=10-3=7

(cm)

`

EFÓ=x`cm라고 하면 EIÓ=EFÓ=x`cm이므로

DEÓ=(7+x)`cm, ECÓ=10-(3+x)=7-x`(cm)


 즉 △DEC에서

(7+x)Û`=(7-x)Û`+6Û`, 28x=36

 ∴ x=

;7(;

 따라서 EFÓ의 길이는

cm이다.

;7(;













11   OAÓ, OBÓ를 그으면 ∠PAO=∠PBO=90ù
 ∠AOB =2∠ACB=2_55ù=110ù

  따라서 (cid:8772)APBO에서

 ∠APB=360ù-(90ù+110ù+90ù)=70ù

12   QBÓ를 그으면

 ∠BQC=

∠BOC=

_58ù=29ù이므로

;2!;

;2!;

 ∠AQB=41ù-29ù=12ù

 ∴ ∠APB=∠AQB=12ù

13   ADÓ를 그으면 ABÓ는 원 O의 지름이므로
 ∠ADB=90ù, 즉 ∠ADP=90ù
 △PAD에서
 ∠CAD=180ù-(90ù+74ù)=16ù

PBÓ+BQÓ+QPÓ=BDÓ+BEÓ=2BEÓ=2_7=14

 ∴ ∠COD=2∠CAD=2_16ù=32ù

II . 원의 성질    27

Û
Û
Û
Û
14   오른쪽 그림과 같이 BOÓ의 연장선이 원 O와
만나는 점을 D라고 하면 BDÓ는 원 O의 지름

이므로 ∠BCD=90ù

 이때 DBÓ=10 (cm)이므로 △DBC에서


64=8

DCÓ=

(cm)

-6Û

10Û

=

`
 또 ∠BAC=∠BDC이므로





`

`

A

O

D

C

5 cm

B

6 cm

21 CEÓ를 그으면

 ∠CED=

∠COD=

_70ù=35ù

;2!;

;2!;

 이때 ABCE가 원 O에 내접하므로

 ∠ABC+∠AEC=180ù

 ∴
`

∠x+∠y =(∠ABC+∠AEC)+∠CED



=180ù+35ù=215ù

22 ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ATB=90ù
 ∠BAT=∠BTP=30ù
 이때 ABÓ=3+3=6 (cm)이므로 △ATB에서

3
 ATÓ=6 cos 30ù=6_ '
2

=3

3 (cm)

'



BTÓ=6 sin 30ù=6_

=3 (cm)

;2!;

 ∴ △ATB=

_3_3

3=

(cmÛ`)

;2!;

'

9

3

'
2

∠BAT=2∠BTC=2_27ù=54ù

23 µTC= µBC이므로 µBT=2µ BC
 ∴
`
 이때 △APT에서
 ∠ATP=54ù-32ù=22ù

 ∴
`

∠ABT=∠ATP=22ù

24 ACÓ를 그으면 BCÓ는 원 O의 지름이므로 ∠CAB=90ù
 ∠CAP=180ù-(90ù+64ù)=26ù

 ∠BCA=∠BAT=64ù이므로
 △CPA에서
 ∠x=64ù-26ù=38ù





sin A=sin D=

=

;1¤0;

;5#;

cos A=cos D=

=

;1¥0;

;5$;

 ∴ sin A+cos A=

+

=

;5$;

;5#;

;5&;

15 BCÓ를 그으면 µ BD=µ CE이므로
 ∠BCD=∠CBE

 즉 엇각의 크기가 같으므로 DCÓ∥BEÓ

 이때 ∠ABE=∠DPB=28ù(엇각)이므로

 ∠AOE=2∠ABE=2_28ù=56ù

16 ADÓ를 그으면

 ∠ADC=180ù_

;6!;
 따라서 △DAP에서
 ∠x=180ù-(30ù+45ù)=105ù

=30ù, ∠DAB=180ù_

=45ù

;4!;

17   네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
 ∠ACD=∠ABD=56ù
 따라서△ECD에서
 ∠AED=56ù+27ù=83ù

18 ∠x=

;2!;

∠BOD=

_160ù=80ù

;2!;

 ABCD가 원 O에 내접하므로



80ù+∠y=180ù

 ∴ ∠y=100ù

 ∴ ∠y-∠x=100ù-80ù=20ù

19 ∠DAB=∠DCE이므로
 ∠x+36ù=80ù
 △ABD에서
 ∠y=180ù-(80ù+52ù)=48ù

 ∴ ∠x=44ù

 ∴ ∠y-∠x=48ù-44ù=4ù

20 ∠DAB+∠BCD=180ù이므로
 ∠BCD=180ù-∠x
 △EBC에서
 ∠ABF=30ù+(180ù-∠x)=210ù-∠x
 따라서 △AFB에서


40ù+(210ù-∠x)=∠x



2∠x=250ù

 ∴ ∠x=125ù

28    정답과 해설

III .  통계

01

대푯값

기초의  

 

1 ⑴ 7  ⑵ 18  ⑶ 21
2 1, 1, 4, 5, 6, 7, 8 / 4, 5
3 2, 4, 5, 7, 9, 15 / 3, 4, 6
4 ⑴ 3  ⑵ 3, 4
5 36.6세

6 피자

1  ⑴ 

2+9+8+9+7
5

=

=7

35
5

 ⑵ 

16+17+20+16+11+28
6

=

108
6

=18

 ⑶ 

26+20+18+34+27+9+13
7

=

147
7

=21

4  ⑴ 3이 네 번으로 가장 많으므로 최빈값은 3이다.
 ⑵  3과 4가 세 번으로 가장 많으므로 최빈값은 3과 4이다.

5

(평균)=

26+27+31+33+36+36+40+41+43+53
10

6  피자가 13명으로 가장 많으므로 최빈값은 피자이다.

01   (평균)=

29+31+27+26+29+25+29
7

=

196
7

=28`(¾)

 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

25, 26, 27, 29, 29, 29, 31이므로

(중앙값)=29`¾, (최빈값)=29

¾

`

02   평균이 6이므로

6+3+x+10+2+7+7+6
8

=6

41+x=48

 ∴ x=7



































03   x를 제외한 자료에서 턱걸이 횟수가 6회인 학생이 3 명으로 가장 많

으므로 최빈값은 6회이다.

(평균)=

12+6+x+6+1+6+2+10
8

=

43+x
8

(회)

 이때 평균과 최빈값이 서로 같으므로

43+x
8

=6에서 43+x=48

 ∴ x=5

04   13, 18, 20, a의 중앙값이 16이므로 13<a<18이어야 한다.
 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

99쪽

13, a, 18, 20이므로
a+18
2

=16에서 a+18=32

 ∴ a=14

5, 10, 14, 18, b의 중앙값이 12이므로 b=12

 ∴ a+b=14+12=26

내공의  

 

01 ③ 
06 83 
10 -14 

02 c<b<a  03 ②, ④ 
07 71 
11 12 

08 29ÉaÉ38 
12 77점 

04 32 

13 168

cm

`

102쪽~103쪽

05 14.5
09 2 

 

01  ③ 평균과 중앙값은 다를 수 있다.
 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

10, 10, 10, 10, 20, 30, 30, 40이므로

(중앙값)=

=15, (최빈값)=10

10+20
2

 따라서 a=20, b=15, c=10이므로

=

104
8

=13`(cm)

 ②, ③ 볼펜의 길이가 13`cm인 학생이 2명으로 가장 많으므로 최

빈값은 13`cm이고, 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

9, 10, 12, 13, 13, 14, 15, 18이므로



(중앙값)=

=13`(cm)

13+13
2

 따라서 중앙값과 최빈값은 같다.

 ④  주어진 자료에 14`cm를 추가하여 변량을 작은 값부터 크기순

9, 10, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 18이므로 중앙값은 5번째 값인

으로 나열하면

13`cm이다.

III. 통계    29

=

366
10

=36.6(세)

02   (평균)=

30+10+20+10+10+30+10+40
8

=

160
8

=20

개념의  

유제  

 

100쪽~101쪽

c<b<a

01 평균 : 28
03 5 

`

¾, 중앙값 : 29
04 26

`

¾, 최빈값 : 29

¾ 

`

02 7

03   ① (평균)=

18+13+12+15+14+13+10+9
8

따라서 7이 세 번으로 가장 많으므로 최빈값은 7이다.

따라서 중앙값은 바뀌지 않는다.

 ⑤  8개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 4번째와 5번째

09   평균이 1이므로

값의 평균이 중앙값이다.

 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

04   변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 10번째 변량은 14회, 11번

팔굽혀펴기 횟수가 17회인 학생이 4명으로 가장 많으므로 최빈값

째 변량은 16회이므로

(중앙값)=

=15(회)

14+16
2

은 17회이다.

 따라서 a=15, b=17이므로

a+b=15+17=32

05   평균이 14이므로
6+10+19+x
4



=14

35+x=56

 ∴ x=21

6, 10, 19, 21이므로
10+19
2

(중앙값)=

=14.5

 따라서 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

이 된다.

(평균)=

71+80+98+83+x
5

=

332+x
5

(점)

 이때 평균과 최빈값이 서로 같으므로

332+x
5

=x에서 4x=332

 ∴
`

x=83

06   x를 제외한 자료에서 변량이 모두 다르므로 최빈값이 존재하려면
x는 71, 80, 98, 83 중 하나와 같아야 하고, x는 이 자료의 최빈값

 이때 a, b는 a<b<6인 자연수이므로 중앙값은 5이고,

7이 세 번으로 가장 많으므로 최빈값은 7이다.



















 











3+(-3)+b+2+4+(-5)+a
7

=1

a+b+1=7

 ∴ a+b=6

 이때 최빈값이 -3이므로 a, b의 값 중 하나는 -3이다.

 즉 a=-3, b=9 또는 a=9, b=-3

따라서 7개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

 -5, -3, -3, 2, 3, 4, 9이므로 중앙값은 4번째 변량인 2이다.

10  평균이 23회이므로

a+31+22+28+11+9+b
7

=23

a+b+101=161

 ∴ a+b=60

a, b를 제외한 5개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

9, 11, 22, 28, 31이고 중앙값이 23회이므로 a, b의 값 중 하나는 23

이다.

 이때 a<b이므로 a=23

23+b=60에서 b=37

 ∴ a-b=23-37=-14

11   a, b를 제외한 7개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

2, 4, 5, 7, 7, 7, 9이다.

 따라서 중앙값과 최빈값의 합은

5+7=12

참고   Úb=5일 때, a는 4 이하의 자연수이므로 중앙값은 5이다.

  Ûb=4일 때, a는 3 이하의 자연수이므로 중앙값은 5이다.

  Üb=3일 때, a는 2 이하의 자연수이므로 중앙값은 5이다.

  Ýb=2일 때, a는 1이므로 중앙값은 5이다.

 

즉 중앙값은 5이다.

4번째 학생의 수학 점수를 x점이라고 하면
x+81
2

=79에서 x+81=158  ∴ x=77

이때 수학 점수가 72점인 학생이 들어왔을 때 수학 점수를 작은 값

부터 크기순으로 나열하면 5번째 학생의 점수가 77점이므로 학생

9명의 수학 점수의 중앙값은 77점이다.

13   잘못 측정한 동호의 키를 x

cm, 제대로 측정한 6명의 키의 합을

`

cm라고 하면 (제대로 구한 평균)+1=(잘못 구한 평균)이므로
y
`
161+y
7

, 161+y+7=x+y

x+y
7

x=168

 ∴
`

+1=

 따라서 동호의 키를 168

cm로 잘못 측정하였다.

`

다른 풀이  7명의 키의 평균이 1

cm 높게 나오려면 7명의 키의 합

`
cm가 더 나와야 하므로 동호의 키를 161+7=168

(cm)

이 7

`

`

로 잘못 측정하였다.

48, 63, 67, x, 72, 80이므로
67+x
2

=69에서 67+x=138

 ∴
`

x=71

08   ㈎에서 중앙값이 29이므로 29가 작은 값부터 크기순으로 3번째에

있어야 한다.

 ∴ a¾29

㈏에서 중앙값이 42이고

=42이므로 38과 46이 작은 값

38+46
2

 부터 크기순으로 2번째와 3번째에 있어야 한다.

 ∴ aÉ38

 따라서 주어진 조건을 모두 만족하는 a의 값의 범위는 29ÉaÉ38

참고   ㈎에서 a<29인 경우

  Ú aÉ16일 때, a, 16, 23, 29, 34 ➡ 중앙값 23

  Û 16<aÉ23일 때, 16, a, 23, 29, 34 ➡ 중앙값 23

  Ü 23<a<29일 때, 16, 23, a, 29, 34 ➡ 중앙값 a

   즉 a<29이면 5개의 변량의 중앙값이 29가 될 수 없다.

30    정답과 해설

07   48, 63, 67, 72, 80, x의 중앙값이 69분이므로 67<x<72이어야

한다.

12   수학 점수를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 4번째와 5번째 학생

 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

의 수학 점수의 평균이 중앙값이다.























 

 ⑶ (평균)=

11+21+19+14+15
5

80
5

=

=16이므로

106쪽



(분산)

 =

(11-16)Û`+(21-16)Û`+(19-16)Û`+(14-16)Û`+(15-16)Û``
5

 =

=12.8

64
5

(표준편차)=

12.8







(분산)

 =

=43

258
6



(표준편차)=

43



이다.

 ⑷ (평균)=

10+22+25+27+18+30
6

=

132
6

=22이므로

 =

(10-22)Û`+(22-22)Û`+(25-22)Û`+(27-22)Û`+(18-22)Û`+(30-22)Û`
6

6

1반의 표준편차가 가장 작으므로 수학 성적이 가장 고른 반은 1반

02

산포도

 

기초의  
1 ㉠ 2  ㉡ -3
2 평균 : 27,  변량 24

편차 -3 -1

26

27

0

28

1

30

3

3 ⑴ 0  ⑵ -11  ⑶ 1
4   ⑴ 6회  ⑵ 56  ⑶ 7  ⑷ 
5   ⑴ 분산 : 2, 표준편차 : 
'

⑶ 분산 : 12.8, 표준편차 : 


6   1반

7회

'
2  ⑵ 분산 : 4.5, 표준편차 : 


4.5 
12.8  ⑷ 분산 : 43, 표준편차 : 


43

(편차)=(변량)-(평균)이므로

1
 ㉠=6-4=2

 ㉡=1-4=-3

2

(평균)=

24+26+27+28+30
5

=

;:!5#:%;

=27이므로 표를 완성하

 면 다음과 같다.

변량 24

26

편차 -3 -1

27

0

28

1

30

3

3  ⑴ 3+(-1)+x+2+(-4)=0
 ⑵ -2+3+5+(-4)+x+9=0

 ∴ x=0

 ∴ x=-11

 ⑶ x+(-6)+1+(x+1)+2=0



 2x-2=0

 ∴ x=1

개념의  

유제  

 

107쪽~110쪽

01 71점 
6점 
05 평균 : 9, 표준편차 : 3  06 가인 

02 3 

03 

'

04 70

07 ④

4  ⑴ (평균)=

2+5+8+5+6+10+3+9
8

=

:¢8¥:

=6(회)

 ⑵ (-4)Û

+(-1)Û

+2Û

+(-1)Û

+0Û

+4Û

+(-3)Û

+3Û

=56

`

`

`

`

`

`

`

`

 ⑶ (분산)=

=7

56
8

 ⑷ (표준편차)=

7(회)

'

01   편차의 총합은 0이므로


3+(-2)+x+(-1)+1=0

(변량)=(평균)+(편차)이므로

 영어 성적은 72+(-1)=71(점)

 ∴
`

x=-1

02   평균이 10이므로

9+7+15+x
4

=10

31+x=40

 ∴
`

x=9

5  ⑴ (평균)=

3+5+2+6+4
5

20
5

=

=4이므로

(분산)=

(9-10)Û`+(7-10)Û`+(15-10)Û`+(9-10)Û`
4

(분산)=

(3-4)Û`+(5-4)Û`+(2-4)Û`+(6-4)Û`+(4-4)Û`
5

=

=9

36
4













=

=2

10
5

(표준편차)=

2

'

=

=4.5

18
4

(표준편차)=

4.5



 ⑵ (평균)=

12+7+7+10
4

36
4

=

=9이므로

(분산)=

(12-9)Û`+(7-9)Û`+(7-9)Û`+(10-9)Û`
4

 ∴
`

(표준편차)=

9=3

'

03  {남학생의 (편차)Û`의 총합}=4_3=12
{여학생의 (편차)Û`의 총합}=6_8=48


학생 전체의 수학 성적의 분산은

12+48
4+6

=

;1^0);

=6

 ∴ (표준편차)=

6(점)

'

이때 남학생과 여학생의 수학 성적의 평균이 같으므로 남학생과 여

III. 통계    31













































111쪽~113쪽

내공의  

 

01 -1 

06 ⑤ 
11 -5 
12 ① 
15 a=3, b=6, c=9 
18 평균 : 17, 분산 : 36

02 71점 
07 6 

2권 

03 3
'
08 6.2 

6 cm 

04 
'
09 36 

05 ②, ③
10 80

13 수혁 
16 21 

14 ③, ⑤ 
17 14 

…… ㉡

01   편차의 총합은 0이므로


0+(-4)+3+x+(-2)+y+5+(-1)=0

 ∴
`

x+y=-1

02   지우의 편차를 x점이라고 하면 편차의 총합은 0이므로
 -3+(-1)+x+4+(-8)+5=0

 ∴ x=3

 따라서 지우의 수학 점수는



68+3=71(점)

03   D의 편차를 x권이라고 하면 편차의 총합은 0이므로


6+4+(-3)+x+(-5)=0

 ∴ x=-2



(분산)=

6Û`+4Û`+(-3)Û`+(-2)Û`+(-5)Û`
5

=

:»5¼:

=18

 ∴ (표준편차)=

18=3

2 (권)



'

04   (평균)=

21+17+24+18+20
5

=

100
5

=20 (cm)

(분산)=

(21-20)Û`+(17-20)Û`+(24-20)Û`+(18-20)Û`+(20-20)Û`
5





=

=6

30
5

05   ① C의 편차를 x




`

1+(-2)+x+(-3)+4=0

 ∴ x=0

kg이라고 하면 편차의 총합은 0이므로



 따라서 C의 편차가 0

kg이므로 C의 몸무게는 평균과 같다.

`

 ② 몸무게가 가장 많이 나가는 학생은 편차가 가장 큰 E이다.

 ③  A는 평균보다 1

kg이 더 나가고, B는 평균보다 2

kg이 덜 나

`
가므로 A는 B보다 몸무게가 3

`

kg 더 나간다.

`

 ④ (분산)=

1Û`+(-2)Û`+0Û`+(-3)Û`+4Û`
5

=

=6

30
5

 ⑤ (표준편차)=

6

(kg)

'

`

 따라서 옳지 않은 것은 ②, ③이다.

06   ①  분산은 편차의 제곱의 평균이고, 표준편차는 분산의 음이 아닌

제곱근이다.

 ② 편차는 변량에서 평균을 뺀 값이다.

04   평균이 5이므로

1+4+8+a+b
5

=5

 분산이 6이므로

13+a+b=25

 ∴ a+b=12

…… ㉠

(1-5)Û`+(4-5)Û`+(8-5)Û`+(a-5)Û`+(b-5)Û`
5

=6

(-4)Û`+(-1)Û`+3Û`+(a-5)Û`+(b-5)Û`=30

 ∴ aÛ

+bÛ

`

`
 ㉠을 ㉡에 대입하면

-10(a+b)+76=30



+bÛ

-10_12+76=30

 ∴ aÛ

+bÛ

=74

`

`

 ∴ 2ab=(a+b)Û`-(aÛ`+bÛ`)=12Û

`
`
-74=70

`

05   5개의 변량 a, b, c, d, e의 평균이 12, 표준편차가 3, 즉 분산이 9이

므로
a+b+c+d+e
5

=12

(a-12)Û`+(b-12)Û`+(c-12)Û`+(d-12)Û`+(e-12)Û``
5

=9

`

 변량 a-3, b-3, c-3, d-3, e-3에서

(평균)=

(a-3)+(b-3)+(c-3)+(d-3)+(e-3)
5
(a+b+c+d+e)-15
5

=

=12-3=9

(분산)=

(a-3-9)Û`+(b-3-9)Û`+y+(e-3-9)Û`
5

=

(a-12)Û`+(b-12)Û`+y+(e-12)Û`
5

=9

(표준편차)=

9=3

'

가 가장 큰 가인이다.

07   A의 기록에서

=

=2

10
5

 ∴ (표준편차)=

2(회)

'

B의 기록에서

(평균)=

(분산)=

13+15+17+16+14
5

75
5
(13-15)Û`+(15-15)Û`+(17-15)Û`+(16-15)Û`+(14-15)Û`
5

=15(회)

=

(평균)=

(분산)=

19+11+13+15+17
5

75
5
(19-15)Û`+(11-15)Û`+(13-15)Û`+(15-15)Û`+(17-15)Û`
5

=15(회)

=

=

=8

40
5

 ∴ (표준편차)=

8=2

2(회)

'

'











































32    정답과 해설

즉 A와 B의 평균은 서로 같고 A의 표준편차가 B의 표준편차보다

 ③ 편차의 총합은 항상 0이다.

작으므로 A의 기록이 B의 기록보다 더 고르다.

 ④ 두 자료의 분산만으로는 평균이 같은지 다른지 알 수 없다.

 따라서 옳은 것은 ④이다.

 따라서 옳은 것은 ⑤이다.

06   ‘불규칙하다.’라는 뜻은 ‘고르지 않다.’라는 말과 같고 표준편차가
큰 경우를 말하므로 수면 시간이 가장 불규칙적인 학생은 표준편차

 ∴ (표준편차)=

6 (cm)

'























07   (평균)=

(8-a)+8+(8+a)
3

=

=8

24
3

 표준편차가 2

6, 즉 분산이 24이므로

'

(8-a-8)Û`+(8-8)Û`+(8+a-8)Û`
3

=24



=24, aÛ

=36

 ∴ a=6 (∵ a>0)

;3@;

`

`

13   수혁이의 성적이 유정이의 성적보다 평균 80점을 중심으로 가까이

모여 있으므로 국어 성적이 더 고른 학생은 수혁이다.

다른 풀이  두 학생의 분산을 각각 구하면 다음과 같다.

(수혁이의 분산)=

(70-80)Û`_2+(80-80)Û`_6+(90-80)Û`_2
10

=

400
10

=40

(유정이의 분산)

08  {A 모둠의 (편차)Û`의 총합}=6_3Û
{B 모둠의 (편차)Û`의 총합}=4_(


`

=54

2)Û

=8

'

`

이때 A 모둠과 B 모둠의 쪽지 시험 점수의 평균이 같으므로 A, B

 =

=120

1200
10

 =

(60-80)Û`_1+(70-80)Û`_2+(80-80)Û`_4+(90-80)Û`_2+(100-80)Û`_1
10

두 모둠 전체의 쪽지 시험 점수의 분산은



분산이 작을수록 자료가 평균을 중심으로 가까이 모여 있으므로 국

54+8
6+4

62
10

=

=6.2

어 성적이 더 고른 학생은 수혁이다.

09   네 수 a, b, c, d의 평균이 10, 표준편차가 3, 즉 분산이 9이므로

(a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`
4

=9

`

없다.

 ② 편차의 총합은 항상 0이므로 4개 반 모두 같다.

 ∴ (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`=36

 ③  2반의 표준편차가 가장 작으므로 2반 학생들의 성적이 가장 고

14   ① 


최고 득점자가 어느 반에 있는지 주어진 자료만으로는 알 수

10   평균이 4이므로
1+3+a+b
4



=4

 분산이 6.5이므로

4+a+b=16

 ∴ a+b=12

yy ㉠

(1-4)Û`+(3-4)Û`+(a-4)Û`+(b-4)Û`
4

=6.5

(-3)Û`+(-1)Û`+(a-4)Û`+(b-4)Û`=26

 ∴ aÛ`+bÛ`-8(a+b)+42=26

 ㉠을 ㉡에 대입하면



+bÛ

-8_12+42=26

 ∴ aÛ

+bÛ

=80

`

`

`

`

11   편차의 총합은 0이므로
 -1+(-3)+a+b+6=0  ∴ a+b=-2

 표준편차가 2

3, 즉 분산이 12이므로

'

(-1)Û`+(-3)Û`+aÛ`+bÛ`+6Û`
5

=12

46+aÛ`+bÛ`=60

 ∴ aÛ

+bÛ

=14

`

`

 이때 2ab=(a+b)Û`-(aÛ`+bÛ`)=(-2)Û`-14=-10

 ∴ ab=-5

르게 분포되어 있다.

 ④  표준편차가 클수록 분산도 크므로 표준편차가 가장 큰 3반이 분

산도 가장 크다는 것을 알 수 있다.

 따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.

(a<b<c)의 중앙값이 6이므로 b=6

15   a, b, c


`

평균이 6이므로

a+6+c
3

=6

yy ㉡

a+c=12

 ∴ c=12-a

분산이 6이므로

(a-6)Û`+(6-6)Û`+(c-6)Û`
3

=6

(a-6)Û`+(c-6)Û`=18

 ㉠을 ㉡에 대입하면

(a-6)Û`+(12-a-6)Û`=18,aÛ

-12a+27=0

(a-3)(a-9)=0

`
 ∴ a=3 또는 a=9

 그런데 a<b<c이므로 a=3, c=9

yy ㉠

yy ㉡

16   평균이 7이므로

xÁ+xª+x£+x¢+x°
5

=7



 ∴ xÁ+xª+x£+x¢+x°=35

12   ①~⑤의 평균은 모두 6으로 같다.


이때 표준편차가 크다는 것은 자료가 평균에서 멀리 흩어져 있다는

것이므로 표준편차가 가장 큰 것은 ①이다.



다른 풀이  ①~⑤의 평균은 모두 6으로 같고, 각 자료의 표준편차를

 이때 xÛÁ+xÛª+xÛ£+xÛ¢+xÛ°=350이므로

(분산)=

(분산)=

(xÁ-7)Û`+(xª-7)Û`+(x£-7)Û`+(x¢-7)Û`+(x°-7)Û`
5
(xÛÁ+xÛª+y+xÛ°)-14(xÁ+xª+y+x°)+245`
5

구하면 다음과 같다.

 ① 

6 ② 

'

2

6

'
3

6
③  '
3

④ 1 ⑤ 0

 따라서 표준편차가 가장 큰 것은 ①이다.

(분산)=

350-14_35+245
5

(분산)=

=21

105
5

































III. 통계    33

17   학생 7명의 과학 점수의 총합은 7_70=490(점)이므로 점수가 70
점인 한 학생을 제외한 나머지 학생 6명의 과학 점수의 평균은

개념의  

유제  

 

116쪽~117쪽

01 ⑴ 6명  ⑵ 9명  ⑶ 4명  ⑷ 7.5점  ⑸ 25 %

02 ㉢ 

03 E 

18  5개의 변량 a, b, c, d, e의 평균이 5, 분산이 4이므로





 

0

5

6 7 8 9 10

1 차(점)

(평균)=

(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)+(3d+2)+(3e+2)
5

다.

 





0

5

6 7 8 9 10

1 차(점)

한편 학생 7명의 편차의 제곱의 총합은 7_12=84이고 점수가 70

점인 학생의 편차는 0이므로 나머지 학생 6명의 편차의 제곱의 총

합도 84이다. 따라서 나머지 학생 6명의 과학 점수의 분산은

490-70
6

=70(점)

=14

:¥6¢:

a+b+c+d+e

5

=5

(a-5)Û`+(b-5)Û`+(c-5)Û`+(d-5)Û`+(e-5)Û`
5

=4

 변량 3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2에서

=

3(a+b+c+d+e)+10
5

=3_5+2=17

(분산)=

(3a+2-17)Û`+(3b+2-17)Û`+y+(3e+2-17)Û`
5
(3a-15)Û`+(3b-15)Û`+(3c-15)Û`+(3d-15)Û`+(3e-15)Û`
5
9{(a-5)Û`+(b-5)Û`+(c-5)Û`+(d-5)Û`+(e-5)Û`}
5

=

=

=9_4=36

























10
9
8
7
6
5

10
9
8
7
6
5

10
9
8
7
6
5

2

(점)

2

(점)

2

(점)

10
9
8
7
6
5




(원)

0

01   ⑴  1차 점수와 2차 점수가 같은 선수
의  수는  오른쪽  산점도에서  직선

2

(점)

위에 있는 점의 개수와 같으므로 6

명이다.







 ⑵  1차 점수보다 2차 점수가 더 높은

선수의  수는  오른쪽  산점도에서

직선을  제외한  색칠한  부분에  속

하는 점의 개수와 같으므로 9명이





 ⑶  1차 점수가 9점 이상이고 2차 점수

가 8점 이상인 선수의 수는 오른쪽

산점도에서 색칠한 부분에 속하는

점의 개수와 같으므로 4명이다.



 





7점, 8점, 9점이므로



(평균)=

6+7+8+9
4

=

:£4¼:

=7.5(점)

 ⑸  1차 점수와 2차 점수의 합이 12점

이하인  학생  수는  오른쪽  산점도

에서  색칠한  부분에  속하는  점의

개수와 같으므로 5명이다.

 ⑷  1차 점수가 7점인 선수는 4명이고, 이들의 2차 점수는 각각 6점,

0

5

6 7 8 9 10

1 차(점)

는 것은 ㉢이다.

03   오른쪽 산점도에서 대각선 위쪽에 있
으면 수입에 비해 저축을 많이 하는 직

원이고, 대각선 아래쪽에 있으면 수입

E

A

B

에 비해 저축을 적게 하는 직원이다.

C

따라서 수입에 비해 저축을 가장 많이

하는 직원은 E이다.

D

수입액(원)

내공의  

 

118쪽~119쪽

01 ④ 
05 ⑴ 음의 상관관계  ⑵ 7명  ⑶ 7.5시간  ⑷ 30 % 

03 ④ 

02 4명 

04 ⑴ 4명  ⑵ 3명 

07 ①, ④ 

08 ㉣ 

09 29.25 ¾  10 6명 

06 ⑤
11 9.5점 

03

산점도와 상관관계

기초의  

 



 ∴

_100=25 (%)

;2°0;

0

5

6 7 8 9 10

1 차(점)

115쪽

02   주어진 산점도는 상관관계가 없으므로 보기 중에서 상관관계가 없





 점

(점)

5

4

3

2

1

0





 사


(kWh)

200
180
160
140
120

1

2

3

4
읽기 점수(점)

5

0

10 15 20 25 30

수돗물 사용량(m‹)

3 ⑴ ㉠  ⑵ ㉡, ㉣  ⑶ ㉢
4   ⑴ 양의 상관관계  ⑵ 음의 상관관계

34    정답과 해설

01   ① 


산점도는 두 변량의 순서쌍을 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에

 ⑷ 

수면 시간이 6.5시간 미만인 학

 ② 

두 변량의 평균이 어떤 관계를 가지는지 산점도로 확인할 수

나타낸 그래프이다.

없다.

 ③  점들이 한 직선에 가까이 분포되어 있는 산점도는 양의 상관관

이다.

계 또는 음의 상관관계가 있거나 상관관계가 없다.

 ⑤  변량 x가 증가함에 따라 대체로 변량 y는 감소하는 경향이 있

을 때, 두 변량 x, y 사이에는 음의 상관관계가 있다고 한다.

 따라서 옳은 것은 ④이다.

생 수는 오른쪽 산점도에서 직

선을 제외한 색칠한 부분에 속

하는 점의 개수와 같으므로 6명



 시

(시간)

9

8

7

6

5



 ∴

_100=30 (%)

;2¤0;

06   ① 상관관계가 없다.
 ②, ③, ④ 양의 상관관계

 ⑤ 음의 상관관계

 따라서 음의 상관관계가 있는 것은 ⑤이다.

07   ② A는 키도 작고 몸무게도 적게 나간다.
 ③ B는 키에 비해 몸무게가 많이 나간다.

 ⑤ D는 키도 크고 몸무게도 많이 나간다.

50 60 70 80 90100
수학 점수(점)

 따라서 옳은 것은 ①, ④이다.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
인터넷 사용 시간(시간)



 점

(점)

100
90
80
70
60
50

0




 눈

 시


2.0
1.5
1.2
1.0
0.9
0.8

15
14
13
12
11
10

0

15
14
13
12
11
10

0

02   수학 점수가 과학 점수보다 높은 학생
수는 오른쪽 산점도에서 직선을 제외

한 색칠한 부분에 속하는 점의 개수와

같으므로 4명이다.

03   오른쪽 눈의 시력이 왼쪽 눈의 시력보
다 좋은 주민의 수는 오른쪽 산점도에

서 직선을 제외한 색칠한 부분에 속하

는 점의 개수와 같으므로 4명이다.

 따라서 구하는 비율은



=

;1¢4;

;7@;

04   ⑴  A보다  2차  기록이  좋은  선수의
수는  오른쪽  산점도에서  직선을

2

(초)

제외한 색칠한 부분에 속하는 점

의 개수와 같으므로 4명이다.

 ⑵  1차 기록과 2차 기록의 평균이 14

초 이상인 선수는 1차 기록과 2차

기록의 합이 28초 이상인 선수이

2

(초)

다.

따라서  오른쪽  산점도에서  색칠

한 부분에 속하는 점의 개수와 같

으므로 3명이다.

05  ⑵ 


인터넷 사용 시간이 2시간 이상

인 학생 수는 오른쪽 산점도에

서 색칠한 부분에 속하는 점의

개수와 같으므로 7명이다.



 시

(시간)

9

8

7

6

5

0 0.80.91.01.21.52.0

왼쪽 눈의 시력

08   ㉠, ㉢ 일조량과 성장량 사이에는 양의 상관관계가 있다.
 ㉡ 일조량이 증가할수록 성장량도 증가한다.

 따라서 옳은 것은 ㉣이다.





09   일평균 습도가 75 % 미만인 날은 직
선 ㉠을 제외한 왼쪽 부분에 속하는

점의 개수와 같으므로 4일이고, 이 날

들의 최고 기온은 각각 29 ¾, 31 ¾,

33 ¾, 35 ¾이다.



 기

(#)

35
33
31
29
27
25
0



또 일평균 습도가 90 % 이상인 날은

직선 ㉡을 포함한 오른쪽 부분에 속

70 75 80 85 90 95

일평균 습도(%)

하는 점의 개수와 같으므로 4일이고, 이 날들의 최고 기온은 각각

A

25 ¾, 25 ¾, 27 ¾, 29 ¾이다.

 ∴ (평균)=

29+31+33+35+25+25+27+29
8

10

11

12

13

15
14
1차(초)

=

234
8

=29.25 (¾)

A

10   1차 점수와 2차 점수의 차가 2점 이
상인 학생 수는 오른쪽 산점도에서

2

(점)

색칠한 부분에 속하는 점의 개수와

10

11

12

13

14
15
1차(초)

같으므로 6명이다.

10
9
8
7
6
5
4
3
2
0 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 차(점)

11   1차 점수와 2차 점수의 평균이 높은 학생 3명의 점수를 순서쌍으로

나타내면 (10점, 10점), (10점, 9점), (9점, 10점)이다.

 이때 이 학생들의 평균을 차례로 구하면

=10(점),

10+10
2

10+9
2

9+10
2

=9.5(점),

=9.5(점)이므로 대표로 선발되는 학생의

1차 점수와 2차 점수의 평균은 최소 9.5점 이상이다.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
인터넷 사용 시간(시간)







III. 통계    35

실전의  

 

120쪽~123쪽

07   평균이 7이므로

03 8 

02 4 
07 2 
12 2

01 18 
06 4 
11 2 
16 평균 : m+5, 분산 : sÛ
20 ⑴ 5개  ⑵ 6개  ⑶ 35 %  ⑷ 9개 

2시간  13 4, 5 

  17 ⑤ 
`

08 ② 

'

05 3개

04 6 
09 85점 
14 320 

10 ①
15 306
19 B반, A반
18 ③   
21 ㉡, ㉣, ㉤  22 ②  23 A

01   (평균)=

5+4+7+1+17+3+7+3+7
9

=

=6

54
9

 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

1, 3, 3, 4, 5, 7, 7, 7, 17이므로 중앙값은 5, 최빈값은 7이다.

 따라서 a=6, b=5, c=7이므로

a+b+c=6+5+7=18

변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 3, 4, 4, 5, 7이므로

 따라서 옳은 것은 ②이다.

02   최빈값이 4이므로 x=4




(중앙값)=

4+4
2

=4

























03   x를 제외한 자료에서 학용품의 개수가 8개인 학생이 3명으로 가장

많으므로 최빈값은 8개이다.

(평균)=

5+8+9+4+10+x+8+7+13+8
10

=

72+x
10

(개)

 이때 평균과 최빈값이 서로 같으므로

72+x
10

=8에서 72+x=80

 ∴
`

x=8

04  2, 4, 8, 11, 17, x의 중앙값이 7권이므로 4<x<8이어야 한다.
 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 4, x, 8, 11, 17이므로

x+8
2

=7에서 x+8=14

 ∴ x=6

있어야 한다.



 ∴ aÉ18

㈏에서 중앙값이 14이고

=14이므로 12와 16이 작은 값

12+16
2

 부터 크기순으로 2번째와 3번째에 있어야 한다.



 ∴ a¾16

06   평균이 4이므로

4+5+a+7+3+b+8+1+2
9

=4

a+b+30=36  ∴ a+b=6

 이때 a-b=-2이므로 두 식을 연립하여 풀면

a=2, b=4

따라서 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 8이므로 중앙값은 5번째 값인 4이다.

36    정답과 해설



















 이때 최빈값이 7이므로 a, b의 값 중 하나는 7이다.

3+5+7+12+6+a+b
7

=7

33+a+b=49

 ∴ a+b=16

 즉 a=7, b=9 또는 a=9, b=7

 그런데 a>b이므로 a=9, b=7

 ∴ a-b=9-7=2

08   ① 표준편차는 산포도의 종류이다.
 ③  대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있고, 산포도에는 분산,

 ④  편차는 어떤 자료의 각 변량에서 그 자료의 평균을 뺀 값이다.

 ⑤  자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값을 대푯값이라고

표준편차 등이 있다.

한다.

09   효진이의 편차를 x점이라고 하면 편차의 총합은 0이므로


5+(-2)+x+(-4)+2=0

 ∴ x=-1

 따라서 효진이의 수학 시험 점수는

86+(-1)=85(점)

10   ① 편차의 총합은 0이므로


4+(-3)+x+(-1)=0



 ∴ x=0

 따라서 평균과 성적이 같은 학생은 편차가 0인 C이다.

 ② 성적이 가장 낮은 학생은 편차가 가장 작은 B이다.

 ③ 학생 B의 성적과 학생 D의 성적의 차는



(-1)-(-3)=2(점)

 ④ (분산)=

4Û`+(-3)Û`+0Û`+(-1)Û`
4

26
4

=

=6.5

 ⑤ 

편차만으로 평균을 구할 수 없다.

11   평균이 8점이므로

7+6+9+x+7+10
6

=8

39+x=48  ∴
`

x=9

 ∴
`

(분산)

=

:Á6ª:

=2

12  {남학생의 (편차)Û`의 총합}=8_11=88
{여학생의 (편차)Û`의 총합}=12_6=72


이때 남학생과 여학생의 독서 시간의 평균이 같으므로 남학생과 여

학생 전체의 독서 시간의 분산은

88+72
8+12

=

160
20

=8

 ∴
`

(표준편차)=

8=2

2 (시간)

'

'

따라서 주어진 조건을 모두 만족하는 a의 값의 범위는 16ÉaÉ18

이므로 정수 a의 값은 16, 17, 18의 3개이다.

=

(7-8)Û`+(6-8)Û`+(9-8)Û`+(9-8)Û`+(7-8)Û`+(10-8)Û`
6

05   ㈎에서 중앙값이 18이므로 18이 작은 값부터 크기순으로 3번째에

 따라서 옳은 것은 ①이다.

 ∴ xÛ`+yÛ`-24(x+y)+306=50

yy ㉡

도시의 수는 오른쪽 산점도에서



































13  (평균)=

3+a+6+(9-a)+12
5

=

:£5¼:

=6

 이때 분산이 10이므로

(3-6)Û`+(a-6)Û`+(6-6)Û`+(9-a-6)Û`+(12-6)Û`
5

=10

(-3)Û`+(a-6)Û`+(3-a)Û`+6Û`=50

2aÛ

-18a+40=0, aÛ

-9a+20=0

`

`

(a-4)(a-5)=0  ∴
`

a=4 또는 a=5

14   평균이 12이므로

9+12+15+x+y
5

=12

36+x+y=60

∴  x+y=24

yy ㉠

 표준편차가

10, 즉 분산이 10이므로



(9-12)Û`+(12-12)Û`+(15-12)Û`+(x-12)Û`+(y-12)Û`
5

=10

(-3)Û`+3Û`+(x-12)Û`+(y-12)Û`=50

=10

∴  x+y+z=30

yy ㉠

 ㉠을 ㉡에 대입하면



+yÛ

-24_24+306=50

∴  xÛ

+yÛ

=320

`

`

`

`

15   평균이 10이므로
4(x+y+z)
12



 표준편차가

2, 즉 분산이 2이므로

'

4{(x-10)Û`+(y-10)Û`+(z-10)Û`}
12

=2

(x-10)Û`+(y-10)Û`+(z-10)Û`=6

 ∴ xÛ

+yÛ

+zÛ

-20(x+y+z)+300=6

`

`

`

 ㉠을 ㉡에 대입하면



+yÛ

+zÛ

-20_30+300=6

`

`

`

 ∴
`

`



+yÛ

+zÛ

=306

`

`

16 4개의 변량 a, b, c, d의 평균이 m, 분산이 sÛ

이므로
`

a+b+c+d
4

=m

(a-m)Û`+(b-m)Û`+(c-m)Û`+(d-m)Û`
4

=sÛ
`

 변량 a+5, b+5, c+5, d+5에서

(평균)=

(a+5)+(b+5)+(c+5)+(d+5)
4
(a+b+c+d)+20
4

=m+5

=

(분산)

 =

{a+5-(m+5)}Û`+{b+5-(m+5)}Û`+{c+5-(m+5)}Û`+{d+5-(m+5)}Û`
4

 =

(a-m)Û`+(b-m)Û`+(c-m)Û`+(d-m)Û`
4

=sÛ

`

17   ①~⑤의 평균은 모두 2로 같다.


이때 표준편차가 작다는 것은 자료가 평균을 중심으로 가까이 모여

있다는 것이므로 표준편차가 가장 작은 것은 ⑤이다.

18   ①, ②, ⑤ 평균과 표준편차만으로는 알 수 없다.
 ③  3반의 표준편차가 4반의 표준편차보다 작으므로 3반의 영어 성

 ④ 영어 성적이 가장 고른 반은 표준편차가 가장 작은 2반이다.

 따라서 옳은 것은 ③이다.

19   자료가 평균에서 멀리 흩어져 있을수록 표준편차가 크고, 자료가

평균을 중심으로 가까이 모여 있을수록 표준편차가 작다.

 따라서 표준편차가 가장 큰 반은 B반이고, 가장 작은 반은 A반이다.

2

4

6

10
8
3월(일)

2

4

6

10
8
3월(일)

20   ⑴  3월과 4월 모두 미세 먼지가 환
경 기준치를 초과한 날의 수가 8

104

(일)

8

일  이상인  도시의  수는  오른쪽

산점도에서 색칠한 부분에 속하

는 점의 개수와 같으므로 5개이

다.

 ⑵  3월과  4월에 미세  먼지가 환경

기준치를 초과한 날의 수가 같은

104

(일)

8

직선 위에 있는 점의 개수와 같

으므로 6개이다.

 ⑶  3월보다 4월에 미세 먼지가 환경

기준치를  초과한  날의  수가  더

많은 도시의 수는 오른쪽 산점도

에서 직선을 제외한 색칠한 부분

에 속하는 점의 개수와 같으므로



 ∴

_100=35 (%)

;2¦0;

 ⑷  3월과  4월에 미세  먼지가  환경

기준치를 초과한 날의 수의 차가

2일 이상인 도시의 수는 오른쪽

산점도에서 색칠한 부분에 속하

는 점의 개수와 같으므로 9개이

다.

6

4

2

0

6

4

2

0

6

4

2

0

6

4

2

0

104

(일)

8

104

(일)

8

2

4

6

10
8
3월(일)

21   ㉠ 양의 상관관계
 ㉡, ㉣, ㉤ 상관관계가 없다.

 ㉢ 음의 상관관계

 따라서 상관관계가 없는 것은 ㉡, ㉣, ㉤이다.

22   주어진 산점도는 양의 상관관계가 있으므로 보기 중에서 양의 상관

관계가 있는 것은 ②이다.

23   오른쪽 산점도에서 대각선 위쪽에 있으면
국어 성적에 비해 책을 많이 읽은 학생이

고, 대각선 아래쪽에 있으면 국어 성적에

비해 책을 적게 읽은 학생이다.



따라서 국어 성적에 비해 책을 많이 읽은



 책
(권)

A

B

C

E

D

0

국어 성적(점)

III. 통계    37

yy ㉡

7개이다.

2

4

6

10
8
3월(일)

적이 4반의 영어 성적보다 더 고르다.

학생은 A이다.

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Memo

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