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문제집/고등

2019년 천재교육 개념 해결의 법칙 고등 미적분 답지

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정답과 해설 I 수열의 극한 1 | 수열의 극한 2 | 급수 II 여러 가지 함수의 미분 3 | 지수함수와 로그함수의 미분 4 | 삼각함수의 미분 III 미분법 5 | 여러 가지 미분법 6 | 도함수의 활용 ⑴ 7 | 도함수의 활용 ⑵ IV 적분법 8 | 여러 가지 적분법 9 | 정적분 10 | 정적분의 활용 002 011 019 027 035 045 055 068 079 088 1 | 수열의 극한 1 수열의 수렴과 발산 개념 확인 1 ⑴ 1 ⑵ -3 ⑶ 1 3 ⑴ 5 ⑵ -3 ⑶ -;2!; 2 ⑴ 양의 무한대로 발산 ⑵ 발산(진동) ⑶ 음의 무한대로 발산 4 ⑴ ;3@;에 수렴 ⑵ 0에 수렴 ⑶ 음의 무한대로 발산 5 ⑴ 0에 수렴 ⑵ 양의 무한대로 발산 6 3 1 ⑴ an= n n+1 에 n=1, 2, 3, …을 차례로 대입하면 ;2!;, ;3@;, ;4#;, …이므로 n이 커짐 에 따라 변화하는 an의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 수열 [ n n+1 ]의 극한값은 1이다. ⑵ an=-3의 항의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 수열 {-3}의 극한값은 -3 이다. ⑶ an=1+ 에 n=1, 2, 3, an (-1)n+1 n …을 차례로 대입하면 2, ;2!;, ;3$;, …이 므로 n이 커짐에 따라 변화하는 an의 an 1 ;2!; an O -3 2 1 O 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n an=-3 an=1+ (-1)n+1 n 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 O 1 2 3 4 n 그림과 같다. 따라서 수열 [1+ ]의 극한값은 1이다. (-1)n+1 n 2 ⑴ an=n€에 n=1, 2, 3, …을 차례로 대입하 면 1, 4, 9, …이므로 n이 커짐에 따라 변 화하는 an의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 수열 {n€}은 양의 무한대로 발산 한다. an 9 4 1 O an=n€ ⑵ an=1+(-1)n에 n=1, 2, 3, …을 차례로 대입하면 0, 2, 0, 2, …이므로 an 2 n이 커짐에 따라 변화하는 an의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 수열 {1+(-1)n}은 발산(진동)한다. O 1 2 3 4 n 002 정답과 해설 ⑶ an=1-n에 n=1, 2, 3, …을 차례로 대입하면 0, -1, -2, …이므로 n이 커짐에 따라 변화하는 an의 값을 좌표 평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 an O -1 -2 -3 1 2 3 4 n an=1-n 같다. 따라서 수열 {1-n}은 음의 무한대로 발산한다. 8쪽~13쪽 3 ⑴ lim n dM (an-2bn)= lim n dM an-2 lim n dM bn ⑵ lim n dM anbn= lim n dM =3-2*(-1)=5 an lim n dM bn =3*(-1)=-3 ⑶ lim n dM 3bn 2an = lim n d$ lim n d$ 3bn 2an = 3 lim n d$ 2 lim n d$ bn an = 3*(-1) 2*3 =-;2!; an= n n+1 4 ⑴ 분모의 최고차항인 n€으로 분모, 분자를 나누면 lim n dM 2n€+1 3n€-n+2 = lim n dM 2+ 1 n€ 3- + 1 n 2 n€ = 2+0 3-0+0 =;3@; (수렴) - + 2+ - 1 n 3 n 2 n€ 1 n€ = -0+0 2+0-0 =0 (수렴) ⑵ 분모의 최고차항인 n€으로 분모, 분자를 나누면 lim n dM -n+2 2n€+3n-1 = lim n dM ⑶ 분모의 최고차항인 n으로 분모, 분자를 나누면 lim n dM -2n‹+1 n+4 = lim n dM -2n€+ 1 n 1+ 4 n = -M+0 1+0 =-M (발산) 다른 풀이 ⑴ (분자의 차수)=(분모의 차수)이므로 lim n d$ 2n€+1 3n€-n+2 =;3@; (수렴) ⑵ (분자의 차수)<(분모의 차수)이므로 lim n d$ -n+2 2n€+3n-1 =0 (수렴) ⑶ (분자의 차수)>(분모의 차수)이고, 최고차항의 계수의 부호가 다르므로 1 2 3 n lim n d$ -2n‹+1 n+4 =-M (발산) an=1+(-1)n 5 ⑴ 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화하면 lim n dM ('ßn+1-'n)= lim n dM ('ßn+1-'n)('ßn+1+'n) 'ßn+1+'n 1 'ßn+1+'n =0 (수렴) = lim n dM = 1 M ⑵ 최고차항인 n‹으로 묶으면 lim n dM (2n‹-3n€-1)= lim n dM n‹{2- 3 n - 1 n‹ } =M*2=M (발산) 6 3n-5 n+1 (분모의 차수)이고, 최고차항의 계수의 부호가 다르므로 n이 커짐에 따라 변화하는 an의 값을 4-2  ⑴ 0에 수렴 ⑵ 1에 수렴 ⑶ 양의 무한대로 발산 ⑴ 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화하면 다른 풀이 ⑴ (분자의 차수)=(분모의 차수)이므로 lim n d$ n€+3n 2n€-10 =;2!; (수렴) lim n d$ n€-n+2 -3n+1 =-M (발산) ⑶ (분자의 차수)<(분모의 차수)이므로 lim n d$ 4n-3 n€+n+1 =0 (수렴) ('ßn+5-'n)('ßn+5+'n) 'ßn+5+'n = =0 (수렴) 5 M lim n dM ('ßn+5-'n) = lim n dM = lim n dM 5 'ßn+5+'n ⑵ 분모를 유리화하면 lim n dM 1 "ƒn€+2n-n = lim n dM = lim n dM "ƒn€+2n+n ("ƒn€+2n-n)("ƒn€+2n+n) 2 n 2 "ƒn€+2n+n 2n = lim n dM Ƙ1+ +1 = =1 (수렴) 1+1 2 ⑶ 최고차항인 n€으로 묶으면 lim n dM (n€-5n)= lim n dM n€ {1- 5 n } =M*1=M (발산) ⑵ an= n+3 2n€+1 에 n=1, 2, 3, …을 차 례로 대입하면 ;3$;, ;9%;, ;1§9;, …이므로 an ;3$; an= n+3 2n€+1 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림 O 1 2 3 4 n 과 같다. 따라서 수열 [ n+3 2n€+1 ]은 0에 수렴한다. ⑶ an=cos np에 n=1, 2, 3, …을 차례로 대입하면 -1, 1, -1, 1, …이므로 n이 커 짐에 따라 변화하는 an의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 수열 {cos np}는 발산(진동)한다. an 1 O -1 an=cos np 1 3 2 4 n 02-1  ⑴ ;2!; ⑵ 1 ⑶ 1 |해결 전략| 꼴의 극한은 무리식이 있든 없든 항상 분모의 최고차항으로 분모, M M 분자를 나누어 그 극한값을 구한다. ⑴ 1+2+3+ … +(n-1)= k= n-1 Ú k =1 (n-1)n 2 = n€-n 2 이므로 (주어진 식)= lim n dM n€-n 2n€ = lim n dM = 1-0 2 =;2!; 1- 1 n 2 ⑵ lim n dM[{1-;2!;}{1-;3!;}{1-;4!;} … {1- € 1 n }] n€ = lim n dM{;2!;*;3@;*;4#;*…* n-1 € n } *n€ = lim n dM{ € 1 n } *n€ = lim n dM 1=1 ⑶ 분모의 최고차항인 n(근호 안은 n€)으로 분모, 분자를 나누면 STEP 필수 유형 2 01-1  ⑴ 발산(진동) ⑵ 0에 수렴 ⑶ 발산(진동) |해결 전략| 일반항 an에 n=1, 2, 3, …을 차례로 대입하여 항의 값의 변화를 파 = 1 1-0 =1 lim n dM n "ƒn€+n+1-"ƒn-1 1 | 16쪽~21쪽 | = lim n dM Ƙ1+ 1 n + 1 n€ -Ƙ 1 n - 1 n€ 악한다. ⑴ an=n*(-1)n에 n=1, 2, 3, …을 차례 로 대입하면 -1, 2, -3, 4, …이므로 n 이 커짐에 따라 변화하는 an의 값을 좌표 평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 수열 {n*(-1)n}은 발산(진동) an=n*(-1)n 1 3 2 4 n an 4 2 O -1 -3 한다. 004 정답과 해설 03-1  ⑴ 양의 무한대로 발산 ⑵ ;3@;에 수렴 ⑶ 양의 무한대로 발산 |해결 전략| M-M 꼴의 극한은 무리식이면 근호를 포함한 쪽을 유리화하고, 다 항식이면 최고차항으로 묶는다. ⑴ 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화하면 이때, 1-b+0이면 발산하여 극한값이 존재할 수 없으므로 1-b=0 4 b=1 따라서 ㉠에서 =1이므로 a=5 a-3 1+'b = a-3 1+1 4 a+b=5+1=6 05-1  3 |해결 전략| 먼저 =bn으로 치환한다. 3an-5 an-2 3an-5 an-2 =bn으로 놓으면 3an-5=anbn-2bn, (3-bn)an=5-2bn 4 an= 5-2bn 3-bn lim n dM bn=4이므로 lim n dM an= lim n dM 5-2bn 3-bn = 5-2*4 3-4 =3 05-2  3 |해결 전략| 먼저 (3n-2)an=bn으로 치환한다. (3n-2)an=bn으로 놓으면 an= bn 3n-2 lim n dM bn=9이므로 lim n dM (n+1)an= lim n dM[(n+1)* bn 3n-2 ] = lim n dM{ n+1 3n-2 *bn} = lim n dM n+1 3n-2 * lim n dM bn = lim n dM * lim n dM bn 1+ 3- 1 n 2 n =;3!;*9=3 다른 풀이 lim n d$ (3n-2)an=9이므로 =9*;3!;=3 n('ßn+1-'ßn-1)('ßn+1+'ßn-1) 'ßn+1+'ßn-1 lim n dM n('ßn+1-'ßn-1) = lim n dM = lim n dM = lim n dM 2n 'ßn+1+'ßn-1 2'n +Ƙ1- 1 n 1 n Ƙ1+ = =M (발산) M 1+1 ⑵ 분모, 분자를 각각 유리화하면 lim n dM 'n-'ßn-2 'ßn+3-'n = lim n dM = lim n dM = lim n dM ('n-'ßn-2)('n+'ßn-2)('ßn+3+'n) ('ßn+3-'n)('ßn+3+'n)('n+'ßn-2) 2('ßn+3+'n) 3('n+'ßn-2) 3 2{Ƙ1+ n +'1 } 2 n } 3{'1+Ƙ1- = 2(1+1) 3(1+1) =;3@; (수렴) ⑶ 최고차항인 n‹으로 묶으면 lim n dM (n‹-100n)= lim n dM n‹ {1- 100 n€ }=M*1=M (발산) 04-1  2 M M |해결 전략| 꼴의 극한이므로 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나눈다. 분모의 최고차항인 n(근호 안은 n€)으로 분모, 분자를 나누면 1- 2 n Ƙ1+ 2 n - +a 1 n€ = 1 1+a lim n dM n-2 "ƒn€+2n-1+an = lim n dM 따라서 1 1+a =;3!;이므로 a=2 04-2  6 에 수렴하려면 분자의 차수와 분모의 차수가 같아야 함을 이용한다. 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화하면 lim n dM ("ƒn€+an-"ƒbn€+3n) ("ƒn€+an-"ƒbn€+3n)("ƒn€+an+"ƒbn€+3n) "ƒn€+an+"ƒbn€+3n = lim n dM = lim n dM = lim n dM (1-b)n€+(a-3)n "ƒn€+an+"ƒbn€+3n (1-b)n+(a-3) 3 n +Ƙb+ Ƙ1+ a n |해결 전략| 분자를 유리화하여 꼴로 식을 변형한 후 극한값이 0이 아닌 수 M M lim n d$ (n+1)an= lim n d$ [(3n-2)an* n+1 3n-2 ] 06-1  2 |해결 전략| 부등식으로 대소 관계가 주어진 수열의 극한값을 구할 때에는 수열 yy ㉠ 의 극한의 대소 관계를 이용한다. 2n€ n+1 2n n+1 1이므로 6n=M (발산) lim n dM ⑵ 수열 {(-3)n}은 공비가 -3인 등비수열이고, -3<-1이므 로 발산(진동)한다. n ⑶ 수열 [{-;4#;} ]은 공비가 -;4#;인 등비수열이고, -1<-;4#;<1이므로 lim n dM{-;4#;} n =0 (수렴) 공비는 -;9@;이고, -1<-;9@;<1이므로 (-2)n+1 lim n dM 3€n =0 (수렴) ⑵ (log 5+log 2)n=(log 10)n=1이므로 (log 5+log 2)n=1 (수렴) lim n dM ⑶ "∂7n ('7 )n 2€*2n =;4!;*{ 이고, '7 2 2n+2 = 공비는 '7 2 "∂7n 2n+2 =M (발산) 3n 6n ={;6#;} ⑷ 6-n*3n= lim n dM n n 에서 '7 2 } >1이므로 n 에서 ={;2!;} 공비는 ;2!;이고, -1<;2!;<1이므로 (6-n*3n)=0 (수렴) lim n dM 2-2  ⑴ 21일 때 - 1 r 분자를 나누면 lim n dM "∂5n-5 2n = lim n dM n 5 4 } Ƙ{ n 1 2 } -5*{ 1 = M-0 1 =M (발산) n n lim n dMƘ{;4%;} =M, lim n dM{;2!;} =0 ⑶ 밑이 가장 큰 항인 7n으로 묶으면 n dM{(-4)n-7n}= lim lim n dM7n [{-;7$;} -1] n =M*(-1) lim n dM 7n=M, lim n dM{-;7$;} n =0 =-M (발산) 02-1  20, x™>0이고 loga x¡1일 때, ❷ 0x™ 02-2  x=-2 또는 -10 성립한다. 1, 2에서 -10이므로 모든 실수 x에 대하여 |해결 전략| r>0, r+1이므로 r의 값의 범위를 01로 나누어 구한다. 1 01일 때, lim n dM rn=M, 즉 lim n dM r€n lim n dM 1-r€n+1 = lim n dM 1 rn =0이므로 1 r 0-1 = =- 1 r 1 r 1 r2n+1 -1 03-2  6 |해결 전략| r의 값의 범위를 |r|<1, r=1, r=-1, |r|>1의 네 가지 경우로 나누어 12로 수렴할 수 있는지 여부를 판단한다. rn+1=1이므로 1 |r|<1일 때, lim n dM rn=0이므로 lim n dM 2rn+1 rn-5 = 2 r=1일 때, lim n dM =0+12 0 0-5 rn= lim n dM lim n dM 2rn+1 rn-5 = 2 1-5 =-;2!;+12 3 r=-1일 때, n이 홀수이면 lim n dM 2rn+1 2 rn-5 -1-5 lim n dM = n이 짝수이면 lim n dM =-;3!; rn=1, lim n dM lim n dM 2rn+1 rn-5 = -2 1-5 =;2!; 따라서 수렴하지 않는다. rn=-1, lim n dM rn+1=1이므로 rn+1=-1이므로 4 |r|>1일 때, -1< 1 r <1이므로 lim n dM 1 rn =0 lim n dM 2rn+1 rn-5 = lim n dM = 2r 1-0 =2r 2r 1- 5 rn 즉, 2r=12에서 r=6 1~4에서 수열 [ 2rn+1 rn-5 ]이 12로 수렴하도록 하는 r의 값은 6뿐 이다. STEP 유형 드릴 3 | 28쪽~29쪽 | 1-1  9 |해결 전략 | 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 주어진 식을 정리한 후 분 모의 최고차항으로 분모, 분자를 나누어 구한다. 1€+2€+3€+ … +n€= k€= n Ú k =1 n(n+1)(2n+1) 6 이므로 1 수열의 극한 007 (주어진 식)= lim n dM = lim n dM 18n‹+6n 2n‹+3n€+n 2+4+6+ … +2n= 2k=2 k=2* =n€+n n Ú k =1 n Ú k =1 n(n+1) 2 3n‹+n n(n+1)(2n+1) 6 18+ 6 n€ 2+ + 3 n 1 n€ =9 = lim n dM 1-2  2 |해결 전략 | 로그의 기본 성질을 이용하여 하나의 로그로 변형한다. log™ (2n+1)+log™ (2n-1)-2 log™ (n-3) (2n+1)(2n-1) (n-3)€ =log™ 4n€-1 n€-6n+9 =log™ 이므로 4n€-1 n€-6n+9 4- 1 n€ 1- + 6 n 9 n€ (주어진 식)= lim n dM log™ = lim n dM log™ =log™ 4=2 LECTURE 로그의 기본 성질 ❶ loga 1=0, loga a=1 ❷ loga MN=loga M+loga N ❸ loga =loga M-loga N M N ❹ loga Mk=kloga M (단, k는 실수) a>0, a+1, M>0, N>0일 때, 다음이 성립한다. 2-1  3 |해결 전략 | 먼저 분모를 유리화한다. lim n dM 6 "ƒn€+2n-"ƒn€-2n = lim n dM = lim n dM 6("ƒn€+2n+"ƒn€-2n) ("ƒn€+2n-"ƒn€-2n)("ƒn€+2n+"ƒn€-2n) 6("ƒn€+2n+"ƒn€-2n) 4n = lim n dM 3("ƒn€+2n+"ƒn€-2n) 2n 3{Ƙ1+ 2 n 2 n } +Ƙ1- 2 = lim n dM = 3(1+1) 2 =3 이므로 (주어진 식)= lim n dM (n-"ƒn€+n) (n-"ƒn€+n)(n+"ƒn€+n) n+"ƒn€+n = lim n dM = lim n dM = lim n dM -n n+"ƒn€+n -1 1+Ƙ1+ 1 n = -1 1+1 =-;2!; 3-1  4 |해결 전략 | 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화한다. lim n dM ("ƒn€-an+1-n) ("ƒn€-an+1-n)("ƒn€-an+1+n) "ƒn€-an+1+n = lim n dM = lim n dM = lim n dM -an+1 "ƒn€-an+1+n -a+ Ƙ1- a n + +1 1 n 1 n€ =- a 2 즉, - =-2이므로 a=4 a 2 3-2  54 |해결 전략 | 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화한 후 =a(a는 0이 아닌 상수)이면 ( f(n)의 차수)=(g(n)의 차수) lim n dM f(n) g(n) 임을 이용한다. lim n dM ("ƒan€+bn-3n) = lim n dM = lim n dM ("ƒan€+bn-3n)("ƒan€+bn+3n) "ƒan€+bn+3n = lim n dM (a-9)n€+bn "ƒan€+bn+3n (a-9)n+b b n Ƙa+ +3 ㉠에서 a-9+0이면 발산하므로 4 a=9 a-9=0 a=9를 ㉠에 대입하면 lim n dM b b n Ƙ9+ +3 = b 3+3 = b 6 yy ㉠ 2-2  -;2!; |해결 전략 | 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 주어진 식을 정리한 후 분 모를 1로 생각하고 분자를 유리화한다. 즉, =1이므로 b=6 b 6 4 ab=54 008 정답과 해설 4-1  4 |해결 전략 | 일반항 an을 포함한 식을 bn으로 치환하여 수열의 극한에 대한 기본 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim n dM an-5n€ n =2 성질을 이용하여 구한다. (3n+2)an=bn으로 놓으면 an= bn 3n+2 이때, lim n dM bn=6이므로 lim n dM 2n€+3 n-1 an= lim n dM{ 2n€+3 n-1 * bn 3n+2 } = lim n dM{ 2n€+3 3n€-n-2 *bn} = lim n dM * lim n dM bn 2+ 3 n€ 3- - 1 n 2 n€ =;3@;*6=4 다른 풀이 lim n d$ (3n+2)an=6이므로 lim n d$ 2n€+3 n-1 an= lim n d$ [(3n+2)an* 2n€+3 (n-1)(3n+2) ] = lim n d$ [(3n+2)an* 2n€+3 3n€-n-2 ] =6*;3@;=4 4-2  3 |해결 전략 | 일반항 an을 포함한 식을 bn으로 치환하여 수열의 극한에 대한 기본 an+3=2anbn-3bn, (2bn-1)an=3bn+3 성질을 이용하여 구한다. an+3 2an-3 =bn으로 놓으면 4 an= 3bn+3 2bn-1 이때, lim n dM bn=2이므로 lim n dM an= lim n dM 3bn+3 2bn-1 = 3*2+3 2*2-1 =3 5-1  2 |해결 전략 | 먼저 주어진 부등식에서 an을 이 되도록 부동식을 변형한 an-5n€ n 후 수열의 극한의 대소 관계를 이용한다. 5n€+2n-21일 때, lim n dM rn=M, lim n dM r€n=M이므로 lim n dM 1-r2n 1+rn = lim n dM =-M (발산) 1 rn -rn 1 rn +1 ④에서 r<-1일 때도 발산한다. 따라서 주어진 수열은 |r|>1일 때 발산한다. 4 참 4 거짓 7-2  p 3 5로 나누어 |해결 전략 | 코사인함수 y=cos x의 그래프를 이용하여 코사인함수가 포함된 구한다. 부등식을 푼다. 등비수열 {(2 cos x)n-1}의 공비는 2 cos x이므로 주어진 등비수열 1 |r|<5일 때, lim n dM{ 이 수렴할 조건은 -1<2 cos x<1 4 -;2!;5일 때, lim n dM{ n =0이므로 5 r } lim n dM 5n+2rn 5n+rn = lim n dM = 0+2 0+1 =2 n +2 n +1 5 r } 5 r } { { 1~3에서 lim n dM 5n+2rn 5n+rn <2를 만족시키는 r의 값의 범위는 -51이므로 주어진 등비급수는 발산한다. 2 ⑴ 첫째항이 1, 공비가 3x-1이므로 주어진 등비급수가 수렴할 -1<3x-1<1, 0<3x<2 4 01이므로 주어진 등비급수는 발산한다. , 공비가 -'2 인 등비급수이다. 2 급수 013 ⑶ 주어진 급수는 첫째항이 -;2!;, 공비가 -;2!;인 등비급수이다. 01-2  ;5!; 이때, |-;2!;|<1이므로 주어진 등비급수는 수렴하고, 그 합은 |해결 전략| sin p 6 =;2!;임을 이용하여 등비급수의 합을 구한다. - 1 2 1-{- 1 2 } =-;3!; ⑷ 주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가 -'5 인 등비급수이다. 이때, |-'5 |>1이므로 주어진 등비급수는 발산한다. 2-2  ⑴ 10, a+1, b>0, c>0, c+1일 때 loga b= logc b logc a 2-2  -1 n Ú k=2 log™ k€-1 k€ = n Ú k=2 log™ (k-1)(k+1) k*k =log™ +log™ +log™ 1*3 2*2 2*4 3*3 3*5 4*4 + å +log™ (n-1)(n+1) n*n =log™{;2!;* n+1 n } =log™ n+1 2n 4 M Ú n=2 log™ n€-1 n€ = lim n dM n Ú k=2 log™ k€-1 k€ = lim n dM log™ n+1 2n =log™;2!;=-1 |해결 전략 | an 대신 an+2-an+1로 놓고 부분분수를 이용하여 급수의 합을 구 한다. 3-2  ;2!; 주어진 조건에 의하여 M Ú n=1 an an+1an+2 = M Ú n=1 an+2-an+1 an+1an+2 = M Ú n=1{ 1 an+1 - 1 an+2 } = lim n dM n Ú k=1{ 1 ak+1 - 1 ak+2 } = lim n dM[{ 1 a™ - 1 a£ }+{ 1 a£ - 1 a¢ }+{ 1 a¢ - 1 a∞ } + å +{ 1 an+1 - 1 an+2 }] 수열 {an}의 정의에서 lim n dM an=M이므로 lim n dM 1 an =0 4 M Ú n=1 an an+1an+2 = lim n dM{ 1 a™ - 1 an+2 } 1 a™ =;2!; = =log™[ 1*3 2*2 * 2*4 3*3 * 3*5 4*4 * å * (n-1)(n+1) n*n ] = lim n dM{ 1 a™ - 1 an+2 } 4-1  1 |해결 전략 | 먼저 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한 후 부분분수를 이용 하여 급수의 합을 구한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 an+bn= , anbn= 4n 4n€-1 1 4n€-1 이므로 (an-bn)€=(an+bn)€-4anbn …… ㉠ …… ㉡ ={ € 4n 4n€-1 } - 4 4n€-1 ={ € 2 4n€-1 } 이때, an>bn이므로 an-bn= 2 4n€-1 = 2 (2n-1)(2n+1) = 1 2n-1 - 1 2n+1 3-1  ;3!; |해결 전략 | 먼저 수열 {an}의 일반항을 구한 후 부분분수를 이용하여 급수의 합 을 구한다. 수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의하여 a¡=S¡=3 an=Sn-Sn-1=n€+2n-{(n-1)€+2(n-1)} =2n+1 (n>2) ㉠, ㉡에서 an=2n+1 (n>1) 016 정답과 해설 4 M Ú n=1 (an-bn) = M Ú n=1{ 1 2n-1 - 1 2n+1 } = lim n dM n Ú k=1{ 1 2k-1 - 1 2k+1 } = lim n dM[{;1!;-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;} + å +{ 1 2n-1 - 1 2n+1 }] = lim n dM{1- 1 2n+1 } =1 4-2  ;8!; |해결 전략 | 먼저 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한 후 부분분수를 이용 하여 급수의 합을 구한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 an+bn=2(n+2), anbn=n(n+1)이므로 +{ 1 3*4 - 1 4*5 }+ å +[ 1 n(n+1) - 1 (n+1)(n+2) ]‘ =;4!; lim n dM[;2!;- 1 (n+1)(n+2) ] M Ú n=1 1 an€bn+anbn€ M Ú n=1 1 anbn(an+bn) = M Ú n=1 1 n(n+1)(n+2) =;2!; =;4!; M Ú n=1[ 1 n(n+1) - 1 (n+1)(n+2) ] =;4!; lim n dM n Ú k=1[ 1 k(k+1) - 1 (k+1)(k+2) ] =;4!; lim n dM“{ 1 1*2 - 1 2*3 }+{ 1 2*3 - 1 3*4 } =;8!; 5-1  6 |해결 전략 | 급수 an이 수렴하면 lim n dM an=0이다. 급수 (an+2), bn이 수렴하므로 M Ú n=1 M Ú n=1 M Ú n=1 lim n dM an=-2, lim n dM bn=0 4 lim n dM 12an+3bn€ 2an-bn€ = lim n d$ lim n d$ (12an+3bn€) (2an-bn€) = 12 lim n d$ 2 lim n d$ an+3 lim n d$ an- lim n d$ bn€ bn€ = 12*(-2)+3*0 2*(-2)-0 =6 5-2  ;3!; |해결 전략 | 급수 an이 수렴하면 lim n dM an=0이고, M Ú n=1 1€+2€+3€+ å +n€= 임을 이용하여 문제를 해결한다. n(n+1)(2n+1) 6 M n=1{an- Ú 1€+2€+3€+ å +n€ n‹ }이 수렴하므로 n dM{an- lim 1€+2€+3€+ å +n€ n‹ }=0 4 lim n dM an= lim n dM 1€+2€+3€+ å +n€ n‹ n(n+1)(2n+1) 6 n‹ = lim n dM = lim n dM n(n+1)(2n+1) 6n‹ =;6@;=;3!; a2n, lim n dM a2n-1이 각각 수렴한다고 해서 6-1  거짓 |해결 전략 | 수열 {an}에 대하여 lim n dM lim n dM an이 항상 수렴하지는 않는다. (반례) an=(-1)n이라 하면 lim a2n=1>-1= lim n dM n dM lim n dMS2n=0+-1= lim n dMS2n-1 따라서 an은 발산한다. M Ú n=1 그러므로 주어진 명제는 거짓이다. a2n-1이므로 주어진 조건을 만족시킨다. 이때, Sn= ak라 하면 S2n=0, S2n-1=-1이므로 n Ú k=1 6-2  거짓 M Ú n=1 n |해결 전략 | 급수 an이 수렴하면 lim n dM an=0이다. (반례) an={;2!;} , bn={;4!;} n 이라 하면 M Ú n=1 an= 1- =1 M Ú n=1 bn= 1- =;3!; 1 2 1 4 1 2 1 4 즉, a=1, b=;3!;이므로 주어진 조건 a>b를 만족시키지만 lim n dM an=0= lim n dM bn 따라서 주어진 명제는 거짓이다. 2 급수 017 7-1  'e |해결 전략 | 등비급수 arn-1(a+0, |r|<1)의 합은 a 이다. 1-r M Ú n=1 등비급수의 공비가 ln x이고 10이므로 (1-x)€<1에서 x€-2x+1<1, x€-2x<0 x(x-2)<0 4 01이므로 lim x d$ €=;9!; '5 2 } { x ⑶ 0<;5@;<1이므로 lim x d -M {;5@;} =M x =M 2 ⑴ lim x d 4 log™ x=log™ 4=log™ 2€=2 ⑵ 3>1이므로 lim x d 0+ log£ x=-M ⑶ 0<;3!;<1이므로 lim x d M x=-M log ;3!; 3 ⑴ lim x d 0 (1+2x);3¡x;=lim x d 0 {(1+2x);2¡x;};3@;=e;3@; ⑵ lim x d 0 (1+5x);2¡x;=lim x d 0 {(1+5x);5¡x;};2%;=e;2%; ⑶ lim x d M{1+;4¡x;} = lim x d M[{1+;4¡x;} ] 4x ;4%; =e;4%; 5x 4 ⑴ ln e›=4 ln e=4 ⑵ ln ‹"ƒe€=ln e;3@;=;3@; ln e=;3@; ⑶ ln =ln e-2=-2 ln e=-2 1 e€ 5 ⑴ lim x d 0 ln (1+x) 3x =lim x d 0 ln (1+x) x *;3!;=1*;3!;=;3!; ⑵ lim x d 0 ln {1+;2X;} x =lim x d 0 ln {1+;2X;} ;2X; *;2!;=1*;2!;=;2!; ⑶ lim x d 0 ex-1 4x =lim x d 0 ex-1 x *;4!;=1*;4!;=;4!; 3 지수함수와 로그함수의 미분 019 ⑷ lim x d 0 e-x-1 5x =lim x d 0 e-x-1 -x *{-;5!;} =1*{-;5!;}=-;5!; 6 ⑴ lim x d 0 log∞(1+x) x = 1 ln 5 ⑵ lim x d 0 log§(1+2x) x =lim x d 0 log§(1+2x) 2x *2 = 1 ln 6 *2= 2 ln 6 ⑶ lim x d 0 =ln 7 7x-1 x 4x-1 2x ⑷ lim x d 0 =lim x d 0 {;2!;* x }=;2!;ln 4=ln 2 4x-1 | 58쪽~59쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 0 ⑵ -M 2-1 ⑴ -3, -3, ⑵ -1, -1, ;e!; 1 e‹ 3-1 ⑴ 1, ;2!; ⑵ 1, ;3%; 4-1 ⑴ ln 2, 6 ln 2 ⑵ 3, 3 ln 5 ⑶ ln 2, ln 6, ln ;3!; 스스로 check 1-2  ⑴ M ⑵ 0 ⑶ M ⑷ M ⑴ 0<;7@;<1이므로 lim ⑵ 0< '7 3 <1이므로 lim x d${ x d -M{;7@;} x '7 3 } =0 x =M ⑶ '6 2 >1이므로 lim x d$ log '6 2 x=M ⑷ 0<;4#;<1이므로 lim x d 0+ log ;4#; x=M 2-2  ⑴ 1 e€ ⑵ e‹ ⑶ e;2%; ⑴ x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로 lim x d -M {1-;3¡x;} = lim t d M {1+;3¡t;} 6x -6t 020 정답과 해설 = lim t d M [{1+;3¡t;} ] 3t -2 =e-2= 1 e€ ⑵ x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 ⑶ x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 x lim x d 1 3 x-1 =lim t d 0 (1+t);t#; =lim t d 0 {(1+t);t!;}‹=e‹ 5 x lim x d 1 2x-2 =lim t d 0 (1+t);2∞t; =lim t d 0 {(1+t);t!;};2%;=e;2%; 3-2  ⑴ 2 ⑵ ;9!; ⑶ 3 ⑷ -;2!; ⑴ lim x d 0 ln (1+4x) 2x =lim x d 0 ln (1+4x) 4x *2 =1*2=2 ⑵ lim x d 0 ln {1+;3X;} 3x =lim x d 0 ln {1+;3X;} *;9!; ;3X; =1*;9!;=;9!; ⑶ lim x d 0 e6x-1 2x =lim x d 0 e6x-1 6x *3 =1*3=3 ⑷ lim x d 0 e-2x-1 4x =lim x d 0 e-2x-1 -2x *{-;2!;} =1*{-;2!;}=-;2!; 4-2  ⑴ 5 2 ln 5 ⑵ ;2#; ln 6 ⑶ ⑷ ln ;5$; 4 ln 3 ⑴ lim x d 0 log∞ (1+5x) 2x =lim x d 0 log∞ (1+5x) 5x *;2%; ⑵ lim x d 0 3x log§ (1+2x) =lim x d 0 = 1 ln 5 *;2%;= 5 2 ln 5 log§ (1+2x) 2x *2x 3x 3 =lim x d 0 log§ (1+2x) 2x *2 = 3 1 ln 6 *2 =;2#; ln 6 ⑶ lim x d 0 4x 3x-1 =lim x d 0 = 4 ln 3 4 3x-1 x ⑷ lim x d 0 4x-5x x =lim x d 0 4x-1-(5x-1) x =lim x d 0 4x-1 x -lim x d 0 5x-1 x =ln 4-ln 5=ln ;5$; | 60쪽~65쪽 | lim x d M {log™ "ƒax€+2x-1-log™ (2x+1)} = lim x d M log™ "ƒax€+2x-1 2x+1 log™ "ƒax€+2x-1 lim x d M lim x d M 2x+1 "ƒax€+2x-1 2x+1 =1에서 lim x d M "ƒax€+2x-1 2x+1 = lim x d M =2이어야 하므로 æ√a+;x@;- 1 x€ 2+;x!; = 'a 2 =2 = 'ßa+0-0 2+0 즉, 'a=4에서 a=16 이때, 분모에서 밑이 가장 큰 항인 2t으로 분모, 분자를 각각 나누면 STEP 필수 유형 2 01-1  ⑴ -1 ⑵ 9 |해결 전략| 00, a+1일 때, lim x d 0 loga (1+x) x = 1 ln a , lim x d 0 ax-1 x =ln a 임을 이용한다. ⑴ x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 lim x d 1 ⑵ lim x d 0 =lim t d 0 log£ x log£ (1+t) x-1 t (2x-1)log£ (1+x) x€ =lim [ x d 0 = 1 ln 3 2x-1 x * log£ (1+x) x ] 3 지수함수와 로그함수의 미분 021 02-2  16 |해결 전략| 로그의 성질 loga M-loga N=loga 을 이용한다. M N =ln 2* =log£ 2 1 ln 3 04-2  -3 |해결 전략| a>0, a+1일 때, lim  d 0 loga (1+)  = 1 ln a 임을 이용한다. lim x d 0 log™ (1-3x) log¢ (1+2x) =lim x d 0 log™ (1-3x) -3x log¢ (1+2x) 2x *{-;2#;} = *{-;2#;}=2*{-;2#;}=-3 1 ln 2 1 ln 4 05-1  1 |해결 전략| 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분모) cd 0이고 극한값이 존재 하면 (분자) cd 0임을 이용한다. 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 lim x d 0 f(x)=f(0) ∴ lim x d 0 ln (4x+a) x =b ㉠에서 lim x=0이므로 x d 0 lim x d 0 ln(4x+a)=ln a=0 ∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 lim x d 0 ln (4x+1) x =lim x d 0 ln (4x+1) 4x *4 =1*4=b ∴ a-b=1-4=-3 …… ㉠ 06-2  2 |해결 전략| 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=0에서 연속이어 야 한다. 함수 f(x)가 x=0에서 연속이어야 하므로 lim x d 0+ f(x)= lim x d 0- f(x)=f(0) 이때, lim x d 0+ f(x)= lim x d 0+ =;3!;, f(0)=;3!;이므로 x+1 x€+3 …… ㉠ lim x d 0- f(x)= lim x d 0- ax e2x-b =;3!; ㉠에서 lim x d 0- ax=0이므로 lim x d 0- (e2x-b)=1-b=0 ∴ b=1 b=1을 ㉠에 대입하면 lim x d 0- ax e2x-1 = lim x d 0- 2x e2x-1 *;2A; =1*;2A;=;3!; lim x d 1 x€-a 2 ln x =b에서 lim 2 ln x=0이므로 x d 1 lim x d 1 (x€-a)=0이어야 한다. 즉, 1-a=0에서 a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면 lim x d 1 x€-1 2 ln x =lim { x d 1 x+1 2 * x-1 ln x } =lim x d 1 x+1 2 *lim x d 1 x-1 ln x =lim x d 1 x-1 ln x x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 lim x d 1 x-1 ln x =lim t d 0 t ln (1+t) =1=b ∴ ab=1 ln (x+1) eax+b =;2!;에서 lim (eax+b)=0이어야 한다. x d 0 lim x d 0 lim x d 0 즉, 1+b=0에서 b=-1 b=-1을 주어진 식에 대입하면 lim x d 0 ln (x+1) eax-1 =lim x d 0 ln (x+1) x eax-1 ax *a =;a!;=;2!; ∴ a=2 ∴ a+b=1 05-2  1 |해결 전략| 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분자) cd 0이고 0이 아닌 극한값 이 존재하면 (분모) cd 0임을 이용한다. ∴ a=;3@; ∴ 3ab=2 ln(x+1)=0이므로 06-1  -3 |해결 전략| 함수 f(x)가 x=0에서 연속이면 lim x d 0 f(x)=f(0)임을 이용한다. 022 정답과 해설 2 지수함수와 로그함수의 도함수 개념 확인 1 ⑴ y'=7xln 7 ⑵ y'=3e3x ⑶ y'=3x+2ln 3 2 ⑴ y'=;x!; ⑵ y'= 1 x ln 5 ⑶ y'=;x@; 66쪽~67쪽 1 ⑴ y=7x에서 y'=7xln 7 ⑵ y=e3x에서 e3x=(e‹)x이므로 y'=(e‹)xln e‹=3e3x ⑶ y=3x+2에서 3x+2=3€*3x이므로 y'=3€*3xln 3=3x+2ln 3 2 ⑴ y=ln 3x에서 ln 3x=ln 3+ln x이므로 y'=0+;x!;=;x!; ⑵ y=log∞ x에서 y'= 1 x ln 5 ⑶ y=ln x€에서 ln x€=2 ln x이므로 y'=2*;x!;=;x@; 2-2  ⑴ y'=;5™x; ⑵ y'= 1 x ln 6 ⑶ y'=;x#; ⑷ y'=ex {log™ x+ x ln 2 } ⑸ y'=4x(2 ln x+1) 1 ⑵ y =log§ 6x=log§ 6+log§ x ⑴ y'=;5@;*;x!;=;5™x; =1+log§ x 이므로 y'=0+ 1 x ln 6 = 1 x ln 6 ⑶ y =ln (2x)‹=3 ln 2x =3(ln 2+ln x)=3ln 2+3ln x 이므로 y'=0+3*;x!;=;x#; ⑷ 곱의 미분법에 의하여 y'=(ex)'log™ x+ex(log™ x)' =exlog™ x+ex* 1 x ln 2 =ex {log™ x+ ⑸ 곱의 미분법에 의하여 1 x ln 2 } y'=(4x€)'ln x+4x€(ln x)'+0 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 8, 2 ⑵ ex, 1+x ⑶ 5xln 5, 2+xln 5 2-1 ⑴ xln 3, 2 xln 3 ⑵ 1 xln 2 , 1 ln 2 ⑶ ;x!;, x, 1 | 68쪽 | =8x ln x+4x€*;x!; =4x(2 ln x+1) 스스로 check 1-2  ⑴ y'=2xln 2+6xln 6 ⑶ y'=2*52x-1ln 5 ⑵ y'=-9ex ⑷ y'=3x(x ln 3+3 ln 3+1) ⑸ y'={;2!;} x {4-(4x-5)ln 2} ⑴ y'=(2x)'+(6x)'=2xln 2+6xln 6 ⑵ y'=-9(ex)'=-9ex ⑶ y=52x-1=52x*5-1=5-1*25x이므로 y' =5-1*25xln 25=52x-1ln 5€ =2*52x-1ln 5 ⑷ 곱의 미분법에 의하여 y' =(3x)'(x+3)+3x(x+3)' =3xln 3*(x+3)+3x*1 =3x(x ln 3+3 ln 3+1) ⑸ 곱의 미분법에 의하여 y'=[{;2!;} x '(4x-5)+{;2!;} ] x (4x-5)' ={;2!;} ln ;2!;*(4x-5)+{;2!;} x *4 x x ={;2!;} {4-(4x-5)ln 2} STEP 필수 유형 2 | 69쪽~71쪽 | 01-1  2 |해결 전략| y=ax (a>0, a+1)이면 y'=axln a임을 이용한다. 곱의 미분법에 의하여 f '(x) =(x+a)'2x+(x+a)(2x)' =2x+(x+a)*2xln 2 =2x{1+(x+a)ln 2} 이때, f '(0)=1*(1+a ln 2)=1+ln 4이므로 a ln 2=ln 2a=ln 4 ∴ a=2 01-2  8 |해결 전략| f '(a)= lim h d 0 f(a+h)-f(a) h 임을 이용한다. 3 지수함수와 로그함수의 미분 023 lim h d 0 f(ln 2+h)-f(ln 2-h) h =lim h d 0 f(ln 2+h)-f(ln 2)-f(ln 2-h)+f(ln 2) h =lim h d 0 f(ln 2+h)-f(ln 2) h +lim h d 0 f(ln 2-h)-f(ln 2) -h =f '(ln 2)+f '(ln 2) =2f '(ln 2) 한편, f(x)=ex+ln 2=eln 2*ex=2ex이므로 f '(x)=2(ex)'=2ex 따라서 구하는 값은 2f '(ln 2)=2*2eln 2=2*2*2=8 LECTURE 미분계수의 정의 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는 f '(a)= lim h d 0 f(a+h)-f(a) h = lim x d a f(x)-f(a) x-a 03-1  ln ;2E; |해결 전략| 함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 f(x)는 x=2에서 연속이고 f '(2)가 존재함을 이용한다. 함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 x=2에서 연속이므로 2x-2=f(2) lim x d 2+ (ax+b)= lim x d 2- ∴ 2a+b=1 …… ㉠ 또, 함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 f '(2)가 존재하므로 a (x>2) 2x-2ln 2 (x<2) 2x-2ln 2 a= lim x d 2- f '(x)=[ 에서 lim x d 2+ ∴ a=ln 2 a=ln 2를 ㉠에 대입하면 b=1-2a=1-2 ln 2 x<2일 때, f(x)=2x-2=2-2*2x이므로 f '(x)=2-2*2x ln 2=2x-2 ln 2 ∴ a+b=ln 2+(1-2 ln 2)=1-ln 2=ln ;2E; 02-1  1 ln 7 -1 |해결 전략| 함수 f(x)가 미분가능할 때, 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에 서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f '(a)와 같음을 이용한다. y=log¶ x-x에서 y'= 1 x ln 7 -1 이때, 곡선 y=log¶ x-x 위의 점 (1, -1)에서의 접선의 기울기는 x=1에서의 미분계수와 같으므로 1 ln 7 -1 02-2  a=1, b=-2 |해결 전략| y=ln x이면 y'=;x!;임을 이용한다. f(x)=x€ ln ax+b=x€(ln a+ln x)+b이므로 곱의 미분법에 의하여 f '(x)=(x€)'(ln a+ln x)+x€(ln a+ln x)'+0 =2x(ln a+ln x)+x€*;x!; =2x ln ax+x =x(2 ln ax+1) f '(e)=3e에서 e(2 ln ae+1)=3e, ln ae=1 ∴ a=1 따라서 f(x)=x€ ln x+b이므로 f(e)=e€-2에서 e€+b=e€-2 ∴ b=-2 024 정답과 해설 | 72쪽~73쪽 | STEP 유형 드릴 3 1-1  4 |해결 전략 | 00, a+1일 때, lim x d 0 =ln a임을 이용한다. ax-1 x lim x d 0 2x+4x-2 2x =lim { x d 0 2x-1 2x + 4x-1 2x } =lim x d 0 ;2!;{ 2x-1 x + 4x-1 x } =;2!;(ln 2+ln 4) =;2!; ln 2‹=;2#; ln 2 |해결 전략 | 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분모) cd 0이고 극한값이 존재 하면 (분자) cd 0임을 이용한다. ln(1+ax)=0이므로 lim x d 0 ebx+c-1 ln (1+ax) (ebx+c-1)=0이어야 한다. =2에서 lim x d 0 lim x d 0 즉, ec-1=0에서 c=0 c=0을 주어진 식에 대입하면 lim x d 0 ebx-1 ln (1+ax) =lim [ x d 0 ax ln (1+ax) * ebx-1 bx *;aB;] =1*1*;aB;=;aB;=2 ∴ a b+c =;bA;=;2!; 3-2  ln 5 2 한다. |해결 전략 | x-1=t로 치환한 후 lim t d 0 =ln a (a>0, a+1)임을 이용 at-1 t 다. x+1인 경우 f(x)= 2x-1-1 x-1 x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 함수 f(x)가 x=1에서 연속이어야 하므로 5-1  ln 2 |해결 전략 | 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한 lim x d 1 5x-1-1 x€-1 =lim x d 1 5x-1-1 (x-1)(x+1) 5t-1 t(t+2) =lim t d 0 =lim { t d 0 1 t+2 * 5t-1 t } =;2!;*ln 5= ln 5 2 lim x d 1 f(x)=f(1) …… ㉠ 이때, lim f(x)=lim x d 1 x d 1 2x-1-1 x-1 에서 x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 lim t d 0 2t-1 t =ln 2 ㉠에서 f(1)=ln 2 3 지수함수와 로그함수의 미분 025 5-2  2 |해결 전략 | 함수 f(x)가 x=0에서 연속이면 lim x d 0 f(x)=f(0)임을 이용한다. x+0인 경우 f(x)= xex e;2X;-1 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(x)=f(0) lim x d 0 이때, 7-2  e |해결 전략 | 함수 f(x)=(x+a)ex의 그래프 위의 점 (1, f(1))에서의 접선의 기울기는 f '(1)이고 접선의 방정식은 y=f '(1)(x-1)+f(1)임을 이용한다. f(x)=(x+a)ex에서 f '(x)=ex+(x+a)ex=(x+a+1)ex 함수 f(x)=(x+a)ex의 그래프 위의 점 (1, f(1))에서의 접선의 기 울기는 f '(1)과 같으므로 f '(1)=(a+2)e=e에서 lim x d 0 f(x)=lim x d 0 =lim x d 0 {2ex* xex e;2X;-1 ;2X; e;2X;-1 }=2 이때, f(1)=0이므로 직선 y=ex+b가 점 (1, 0)을 지난다. ∴ a=-1 a+2=1 ∴ f(x)=(x-1)ex 즉, e+b=0에서 b=-e ∴ ab=e 이므로 f(0)=2 6-1  2 |해결 전략 | f '(a)= lim x d a f(x)-f(a) x-a 임을 이용한다. lim x d 1 f(x€)-f(1) x-1 =lim [ x d 1 f(x€)-f(1) x€-1 *(x+1)] =2f '(1) 한편, f(x)=x ln x에서 f '(x)=ln x+x*;x!;=ln x+1 따라서 구하는 값은 2f '(1)=2*(0+1)=2 6-2  8 ln 2 |해결 전략 | f '(a)= lim h d 0 f(a+h)-f(a) h 임을 이용한다. lim h d 0 f(1+h)-f(1-h) h =lim h d 0 f(1+h)-f(1)-f(1-h)+f(1) h =lim h d 0 f(1+h)-f(1) h +lim h d 0 f(1-h)-f(1) -h =f '(1)+f '(1)=2f '(1) 한편, f(x)=2x+1=2*2x이므로 f '(x)=2*2x ln 2=2x+1 ln 2 따라서 구하는 값은 2f '(1)=2*4 ln 2=8 ln 2 7-1  108 |해결 전략 | 함수 f(x)=2x+3x의 그래프 위의 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기 는 f '(1)임을 이용한다. 함수 f(x)=2x+3x의 그래프 위의 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기는 f '(1)이고 f '(x)=2xln 2+3xln 3이므로 f '(1) =2 ln 2+3 ln 3=ln 2€+ln 3‹ =ln (2€*3‹)=ln 108 ∴ a=108 026 정답과 해설 8-1  a=e;4(;, b=;4!; |해결 전략 | 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f(x)는 x=1에서 연속이고 f '(1)이 존재함을 이용한다. 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 lim x d 1+ ln ax= lim x d 1- (bx›+2)=f(1) ∴ ln a=b+2 …… ㉠ 또, 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f '(1)이 존재하므로 f '(x)=[ ;x!; (x>1) 4bx‹ (x<1) 에서 x>1일 때, f(x)=ln ax=ln a+ln x이므로 f '(x)=;x!; lim x d 1+ ;x!;= lim x d 1- 4bx‹ 1=4b ∴ b=;4!; b=;4!;을 ㉠에 대입하면 ln a=;4(; ∴ a=e;4(; 8-2  -2 |해결 전략 | 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f(x)는 x=1에서 연속이고 f '(1)이 존재함을 이용한다. 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로 lim x d 1+ aex-1= lim x d 1- (ln x+bx€)=f(1) ∴ a=b …… ㉠ 또, 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f '(1)이 존재하므로 f '(x)=[ aex-1 (x>1) ;x!;+2bx (x<1) 에서 lim x d 1+ aex-1= lim x d 1- {;x!;+2bx} x>1일 때, f(x)=aex-1=ae-1*ex이므로 f '(x)=ae-1*ex=aex-1 …… ㉡ ∴ a=1+2b ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1 ∴ a+b=-2 ⑶ tan ;1∏2;=tan {;4π;-;6π;}= tan ;4π;-tan ;6π; 1+tan ;4π; tan ;6π; = 1- 1+1* 1 '3 = '3-1 1 '3+1 '3 =2-'3 76쪽 2-2  ⑴ 0 ⑵ ;2!; ⑶ -'3 ⑴ sin 140^cos 40^+cos 140^sin 40^ =sin (140^+40^) ⑵ cos 10^cos 50^-sin 10^sin 50^=cos (10^+50^) =sin 180^=0 =cos 60^=;2!; ⑶ tan 80^+tan 40^ 1-tan 80^tan 40^ =tan (80^+40^) =tan 120^=-'3 4 | 삼각함수의 미분 1 삼각함수의 덧셈정리 개념 확인 1 ⑴ '6+'2 4 ⑵ '6+'2 4 ⑶ -2-'3 1 ⑴ sin 75^=sin(45^+30^) =sin 45^cos 30^+cos 45^sin 30^ = '2 2 *;2!;= '6+'2 + '2 2 * '3 2 4 ⑵ cos 15^=cos (45^-30^) =cos 45^cos 30^+sin 45^sin 30^ + '2 = '2 2 2 *;2!;= '6+'2 * '3 2 4 ⑶ tan 105^=tan (60^+45^)= tan 60^+tan 45^ 1-tan 60^tan 45^ (1+'3 )€ (1-'3 )(1+'3 ) = '3+1 1-'3*1 =-2-'3 = STEP 필수 유형 2 | 80쪽~81쪽 | 01-1  ⑴ -2+2'ß10 9 ⑵ '5-4'2 ⑶ 9 2'5-2'2 3 | 79쪽 | |해결 전략| 주어진 삼각함수의 값과 sin€ h+cos€ h=1임을 이용하여 필요한 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ '3 2 , ;2!;, '6-'2 4 ⑵ '2 2 , '2 2 , '2-'6 4 ⑶ , 1 '3 1 '3 , 1, 1, 2+'3 2-1 ⑴ 100^, 55^ ⑵ 40^, 70^ ⑶ 80^, 20^ 스스로 check 1-2  ⑴ '6-'2 4 ⑵ '6-'2 4 ⑶ 2-'3 ⑴ sin ;1!2!;p=sin {;3@;p+;4π;}=sin ;3@;p cos ;4π;+cos ;3@;p sin ;4π; +{-;2!;}* '2 = '6-'2 4 = '3 2 * '2 2 2 ⑵ cos ;1∞2;p=cos {;4π;+;6π;}=cos ;4π; cos ;6π;-sin ;4π; sin ;6π; = '2 2 * '3 2 - '2 2 *;2!;= '6-'2 4 삼각함수의 값을 구한다. ;2π;0 €=- '5 3 ∴ cos a=-"ƒ1-sin€a=-Ƙ1-{;3@;} sin b="ƒ1-cos€ b=Ƙ1-{-;3!;} €= 2'2 3 tan a= sin a cos a = 2'5 5 =- tan b= sin b cos b = =-2'2 2 3 - '5 3 2'2 3 -;3!; ⑴ sin (a-b)=sin a cos b-cos a sin b 3 }* 2'2 3 =;3@;*{-;3!;}-{- '5 -2+2'ß10 9 = 4 삼각함수의 미분 027 ⑵ cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b 오른쪽 그림에서 h=a-b이므로 y 3x-y=0 ⑶ tan (a-b)= = 3 }*{-;3!;}-;3@;* 2'2 3 ={- '5 = '5-4'2 9 tan a-tan b 1+tan a tan b 2'5 5 }-(-2'2 ) 2'5 5 }*(-2'2 ) {- 1+{- -2'5+10'2 5+4'ß10 (-2'5+10'2 )(4'ß10-5) (4'ß10+5)(4'ß10-5) = = = 2'5-2'2 3 ;2!; ahb O -1 x-2y+1=0 x tan h=tan (a-b) = tan a-tan b 1+tan a tan b 3-;2!; = =1 1+3*;2!; 02-2  ;2!; 이때, h는 예각이므로 h=;4π; ∴ cos ;4π;= '2 2 |해결 전략| 탄젠트함수의 덧셈정리 |tan (a-b)|=| 용하여 m의 값을 구한다. tan a-tan b 1+tan a tan b |를 이 x+3y-1=0에서 y=-;3!;x+;3!; mx-y+2=0에서 y=mx+2 두 직선 x+3y-1=0, mx-y+2=0이 x축의 양의 방향과 이루 01-2  -;8%; |해결 전략| 주어진 식의 양변을 제곱한 후 sin€ h+cos€ h=1임을 이용한다. 는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 tan a=-;3!;, tan b=m 의 양변을 제곱하면 sin a-sin b= 1 '2 sin€ a+sin€ b-2 sin a sin b=;2!; cos a+cos b=;2!;의 양변을 제곱하면 cos€ a+cos€ b+2 cos a cos b=;4!; yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 (sin€ a+cos€ a)+(sin€ b+cos€ b) +2(cos a cos b-sin a sin b)=;4#; 이때, 두 직선이 이루는 예각의 크기가 ;4π;이므로 yy ㉠ |tan (a-b)|=tan ;4π;=1에서 tan a-tan b 1+tan a tan b |=1, | m+;3!; m 3 1- =\1 m+;3!;=\{1- m 3 } ∴ m=-2 또는 m=;2!; 그런데 m은 양수이므로 m=;2!; 2+2 cos (a+b)=;4#; ∴ cos (a+b)=-;8%; 02-1  '2 2 3x-y=0에서 y=3x x-2y+1=0에서 y=;2!;x+;2!; 의 크기를 각각 a, b라 하면 tan a=3, tan b=;2!; 028 정답과 해설 |해결 전략| 두 직선이 이루는 예각의 크기를 탄젠트함수의 덧셈정리 |tan (a-b)|=| tan a-tan b 1+tan a tan b |를 이용하여 구한 후 cos h의 값을 구한다. 두 직선 3x-y=0, x-2y+1=0이 x축의 양의 방향과 이루는 각 2 삼각함수의 극한 개념 확인 1 ⑴ ;2!; ⑵ ;2!; ⑶ 0 2 ⑴ 5 ⑵ ;4#; 1 ⑴ lim x d ;6π; sin x=sin ;6π;=;2!; ⑵ lim x d ;3π; ⑶ lim x d 0 cos x=cos ;3π;=;2!; tan x=tan 0=0 82쪽~83쪽 2 ⑴ lim x d 0 sin 5x x =lim x d 0 sin 5x 5x *5=1*5=5 ⑵ lim x d 0 tan 3x 4x =lim x d 0 tan 3x 3x *;4#;=1*;4#;=;4#; STEP 필수 유형 2 | 85쪽~89쪽 | 01-1  ⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ 0 ⑷ 2'2 |해결 전략| 삼각함수의 여러 가지 공식을 이용하여 주어진 식을 변형하여 구한 다. ⑴ sin€x+cos€x=1이므로 cos€ x 1+sin x lim x d ;2π; = lim x d ;2π; 1-sin€ x 1+sin x (1-sin x)(1+sin x) 1+sin x (1-sin x) = lim x d ;2π; = lim x d ;2π; | 84쪽 | =1-sin ;2π;=1-1=0 ⑵ sin 2x=2 sin x cos x이므로 lim x d p sin 2x tan x =lim x d p 2 sin x cos x sin x cos x =lim x d p 2 cos€ x =2 cos€ p=2*(-1)€=2 ⑶ sin 2x=2 sin x cos x, cos 2x=cos€ x-sin€ x=1-2 sin€ x이므로 lim x d p 1-cos 2x sin 2x 2 sin€ x 2 sin x cos x =lim x d p sin x cos x =lim x d p =lim x d p ⑷ lim x d ;4π; tan€ x-1 sin x-cos x = lim x d ;4π; tan x=tan p=0 tan€ x-1 sin x cos x -1} cos x{ (tan x+1)(tan x-1) cos x(tan x-1) = lim x d ;4π; tan x+1 cos x = = lim x d ;4π; tan ;4π;+1 cos ;4π; = 1+1 '2 2 =2'2 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ '3 2 , '3 ⑵ 0, 0 2-1 ⑴ 1 cos x , 1, 1 ⑵ ;2!;, ;2!;, ;2!; 스스로 check 1-2  ⑴ 3 ⑵ -5 ⑶ 2'3 ⑷ 0 ⑴ lim x d ;2π; ⑵ lim x d p ⑶ lim x d ;3π; ⑷ lim x d ;4π; 3 sin x=3 sin ;2π;=3*1=3 5 cos x=5 cos p=5*(-1)=-5 2 tan x=2 tan ;3π;=2*'3=2'3 ('2 cos x-tan x)='2 cos ;4π;-tan ;4π; ='2* '2 2 -1=0 2-2  ⑴ 1 ⑵ 5 ⑶ 8 ⑷ 1 sin x x sin x cos x x =lim x d 0 { ⑴ lim x d 0 ⑵ lim x d 0 5x tan x =lim x d 0 5 tan x x =;1%;=5 ⑶ lim x d 0 sin 2x+tan 6x x =lim x d 0 { sin 2x x + tan 6x x } =lim x d 0 { sin 2x 2x *2+ tan 6x 6x *6} =1*2+1*6=8 ⑷ lim x d 0 x€ sin€ x =lim x d 0 1 sin€ x x€ =lim x d 0 1 * sin x x sin x x = 1 1*1 =1 *cos x}=1*1=1 02-1  ⑴ 1 ⑵ 4 ⑶ -3 ⑷ -;2!; |해결 전략| 주어진 식을 lim  d 0 sin   , lim █ d 0 tan █ █ 꼴로 변형하여 계산한다. ⑴ lim x d 0 sin 2x+sin x 3x =lim x d 0 { sin 2x 3x + sin x 3x } =lim x d 0 { sin 2x 2x *;3@;+ sin x x *;3!;} ⑵ lim x d 0 3x+sin x tan x =lim x d 0 = 3+1 1 =4 =1*;3@;+1*;3!;=1 3+ sin x x tan x x ⑶ lim x d 0 sin (2x€+3x) x€-x =lim x d 0 [ sin (2x€+3x) 2x€+3x * 2x€+3x x€-x ] =1*lim x d 0 x(2x+3) x(x-1) =lim x d 0 2x+3 x-1 =-3 4 삼각함수의 미분 029 =lim x d 0 [ tan (2x€-x) 2x€-x * x€+2x sin (x€+2x) * 2x€-x x€+2x ] ⑷ lim x d 0 tan (2x€-x) sin (x€+2x) =1*1*lim x d 0 x(2x-1) x(x+2) =lim x d 0 2x-1 x+2 =-;2!; lim x d 0 'ß3x+4-2 tan 3x =lim x d 0 { 3x tan 3x * 'ß3x+4-2 3x ('ß3x+4-2)('ß3x+4+2) 3x('ß3x+4+2) } =1*lim x d 0 =lim x d 0 1 'ß3x+4+2 =;4!;=b ∴ ab=(-2)*;4!;=-;2!; 03-1  ⑴ -p ⑵ 1 ⑶ '2 ⑷ ;2!; |해결 전략| x cd a(a+0)이면 x-a=t, x cd M이면 ;x!;=t로 치환하여 주 04-2  ;2#; 어진 식을 변형한 후 극한값을 구한다. ⑴ x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 lim x d 1 sin px x-1 =lim t d 0 sin (p+pt) t =lim t d 0 -sin pt t =lim t d 0 sin pt pt *(-p)=1*(-p)=-p ⑵ x-2p=t로 놓으면 x cd 2p일 때 t cd 0이므로 lim x d 2p tan x x-2p =lim t d 0 tan (2p+t) t =lim t d 0 tan t t =1 ⑶ x-;4π;=t로 놓으면 x cd ;4π;일 때 t cd 0이므로 lim x d ;4π; sin x-cos x x-;4π; =lim t d 0 sin {t+;4π;}-cos {t+;4π;} t =lim t d 0 sin t cos ;4π;+cos t sin ;4π;-cos t cos ;4π;+sin t sin ;4π; t =lim t d 0 '2 sin t t ='2 *1='2 ⑷ ;x!;=t로 놓으면 x cd M일 때 t cd 0이므로 lim x d M sin ;x!; tan ;x@; =lim t d 0 sin t tan 2t =lim t d 0 { sin t t * 2t tan 2t *;2!;} =1*1*;2!;=;2!; 04-1  -;2!; |해결 전략| 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분모) cd 0이고 극한값이 존재 하면 (분자) cd 0임을 이용한다. lim x d 0 'ß3x+4+a tan 3x =b에서 lim x d 0 tan 3x=0이므로 lim x d 0 ('ß3x+4+a)=0이어야 한다. 즉, 2+a=0에서 a=-2 a=-2를 주어진 식에 대입하면 030 정답과 해설 |해결 전략| 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분자) cd 0이고 0이 아닌 극한값 이 존재하면 (분모) cd 0임을 이용한다. =b(b+0)에서 lim x d 1 sin (x-1)=0이므로 sin (x-1) x€-a lim x d 1 lim x d 1 (x€-a)=0이어야 한다. 즉, 1-a=0에서 a=1 a=1을 주어진 식에 대입하면 lim x d 1 sin (x-1) x€-1 =b x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 lim x d 1 sin (x-1) x€-1 =lim t d 0 sin t (t+1)€-1 =lim t d 0 { sin t t * 1 t+2 } =1*;2!;=;2!;=b ∴ a+b=1+;2!;=;2#; 05-1  ;2#; |해결 전략| 함수 f(x)가 x=0에서 연속이면 lim x d 0 f(x)=f(0)임을 이용한다. …… ㉠ 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 lim x d 0 f(x)=f(0) ∴ lim x d 0 a-cos x sin€ x =b ㉠에서 lim x d 0 sin€ x=0이므로 lim x d 0 (a-cos x)=a-1=0 ∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 lim x d 0 1-cos x sin€ x =lim x d 0 1-cos x 1-cos€ x =lim x d 0 1-cos x (1-cos x)(1+cos x) =lim x d 0 1 1+cos x =;2!;=b ∴ a+b=1+;2!;=;2#; 05-2  1 |해결 전략| 함수 f(x)가 x=p에서 연속이면 lim x d p f(x)=f(p)임을 이용한다. =3x€+5 cos x ⑶ y' =(x‹+5 sin x)'=(x‹)'+5(sin x)' x+p에서 함수 f(x)= 이므로 함수 f(x)가 x=p에서 tan (x-p) x-p 연속이려면 lim x d p tan (x-p) x-p =f(p) 이어야 한다. x-p=t로 놓으면 x cd p일 때 t cd 0이므로 f(p)=lim x d p tan (x-p) x-p =lim t d 0 tan t t =1 3 삼각함수의 도함수 개념 확인 1 ⑴ y'=2 cos x ⑵ y'=3 sin x ⑶ y'=cos x-sin x 90쪽 1 ⑴ y'=(2 sin x)'=2(sin x)'=2 cos x ⑵ y'=(-3 cos x)'=-3(cos x)'=3 sin x ⑶ y' =(sin x+cos x)'=(sin x)'+(cos x)' =cos x-sin x STEP 개념 드릴 1 | 91쪽 | 1-1 ⑴ -sin x, cos x ⑵ ex, cos x , sin x ⑷ cos x, cos x, cos x 개념 check ⑶ 1 xln 2 스스로 check 1-2  ⑴ y'=cos x-'2 sin x ⑵ y'=6x+2 sin x ⑶ y'=3x€+5 cos x ⑷ y'=;x!;+sin x ⑸ y'=3x ln 3+'3 cos x ⑹ y'=-sin x- 2 x ln 3 ⑺ y'=2x sin x+(x€+3)cos x ⑻ y'=-2 sin x cos x ⑼ y'=2(cos€ x-sin€ x) ⑽ y'=ex(sin x+cos x) ⑴ y' =(sin x+'2 cos x)'=(sin x)'+'2 (cos x)' ⑵ y' =(3x€-2 cos x)'=3(x€)'-2(cos x)' =cos x-'2 sin x =6x+2 sin x ⑷ y' =(ln x-cos x)'=(ln x)'-(cos x)' =;x!;+sin x ⑸ y' =(3x+'3 sin x)'=(3x)'+'3 (sin x)' =3x ln 3+'3 cos x ⑹ y' =(cos x-2 log£ x)'=(cos x)'-2(log£ x)' =-sin x- 2 x ln 3 ⑺ 곱의 미분법에 의하여 y' ={(x€+3)sin x}' =(x€+3)'sin x+(x€+3)(sin x)' =2x sin x+(x€+3)cos x ⑻ y=cos€ x=cos x cos x이므로 곱의 미분법에 의하여 y' =(cos x cos x)' =(cos x)'cos x+cos x(cos x)' =-sin x cos x-sin x cos x =-2 sin x cos x ⑼ y =sin 2x=sin (x+x) =sin x cos x+cos x sin x =2 sin x cos x 이므로 곱의 미분법에 의하여 y' =(2 sin x cos x)' =2(sin x)'cos x+2 sin x(cos x)' =2 cos x cos x+2 sin x(-sin x) =2(cos€ x-sin€ x) ⑽ 곱의 미분법에 의하여 y' =(exsin x)' =(ex)'sin x+ex(sin x)' =exsin x+excos x =ex(sin x+cos x) STEP 필수 유형 2 | 92쪽~93쪽 | 01-1  0 |해결 전략| y=sin x이면 y'=cos x, y=cos x이면 y'=-sin x임을 이용 f '(x) =(x‹)'sin x+x‹(sin x)'+3(x€)'cos x+3x€(cos x)' =3x€sin x+x‹cos x+6x cos x-3x€sin x 한다. 곱의 미분법에 의하여 =(x‹+6x)cos x ∴ f '{;2π;}=0 4 삼각함수의 미분 031 01-2  2 |해결 전략| f '(a)= lim h d 0 f(a+h)-f(a) h 임을 이용한다. f {;4π;+2h}-f {;4π;} h lim h d 0 =lim h d 0[ f {;4π;+2h}-f {;4π;} 2h *2] =2f '{;4π;} 한편, f(x) =cos€ x+2 sin€ x =(1-sin€ x)+2 sin€ x =1+sin€ x 이므로 f '(x) =(1+sin€ x)'=(sin x sin x)' =(sin x)'sin x+sin x(sin x)' =cos x sin x+sin x cos x =2 sin x cos x ∴ f '{;4π;}=2 sin ;4π; cos ;4π;=2* '2 2 * '2 2 =1 따라서 구하는 값은 2f '{;4π;}=2 02-1  6 |해결 전략| 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f(x)는 x=0에서 연속이고 f '(0)이 존재함을 이용한다. 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로 lim x d 0+ aex cos x= lim x d 0- (x€+2x-b)=f(0) 1-2  ;4!; |해결 전략 | 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sin a+cos a=- '6 2 sin a+cos a=- '6 2 , sin a cos a=;2A; 의 양변을 제곱하면 sin€ a+cos€ a+2 sin a cos a=;2#; ∴ sin a cos a=;4!; 즉, ;4!;=;2A;에서 a=;2!; ∴ a sin 2a=a(sin a cos a+cos a sin a) =2a sin a cos a=;4!; 2-1  -5 |해결 전략 | cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b, cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b임을 이용한다. cos (a+b)=1에서 cos a cos b-sin a sin b=1 cos (a-b)=-;3@;에서 cos a cos b+sin a sin b=-;3@; …… ㉠ …… ㉡ 또, 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f '(0)이 존재하므로 aex(cos x-sin x) (x>0) 2x+2 (x<0) …… ㉠ ㉠+㉡을 하면 2 cos a cos b=;3!; x>0일 때, f(x)=aexcos x이므로 f '(x) =a(ex)'cos x+aex(cos x)' =aexcos x-aexsin x =aex(cos x-sin x) ∴ cos a cos b=;6!; 이것을 ㉠에 대입하면 sin a sin b=-;6%; ∴ tan a tan b= sin a cos a * sin b cos b = sin a sin b cos a cos b ∴ a=-b f '(x)=[ 에서 ∴ a=2 lim x d 0+ aex(cos x-sin x)= lim x d 0- (2x+2) a=2를 ㉠에 대입하면 b=-2 ∴ a-2b=2+4=6 = =-5 -;6%; ;6!; 2-2  -;2!; |해결 전략 | sin€ h+cos€ h=1, cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b임을 | 94쪽~95쪽 | 이용한다. PQ’ ="ƒ(cos a-cos b)€+(sin a-sin b)€='3 양변을 제곱하면 cos€ a-2 cos a cos b+cos€ b+sin€ a-2 sin a sin b+sin€ b=3 이때, sin€ h+cos€ h=1이므로 2-2(cos a cos b+sin a sin b)=3 cos a cos b+sin a sin b=-;2!; ∴ cos (a-b)=-;2!; STEP 유형 드릴 3 1-1  ;4#; |해결 전략 | 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan a+tan b=3, tan a tan b=-3 ∴ tan (a+b)= tan a+tan b 1-tan a tan b = 3 1-(-3) =;4#; 032 정답과 해설 3-1  6 |해결 전략 | 주어진 식을 lim  d 0 sin   꼴로 변형하여 계산한다. lim x d 0 sin x+sin 2x+sin 3x x =lim x d 0 { sin x x + sin 2x 2x *2+ sin 3x 3x *3} =1+1*2+1*3=6 3-2  ;1¡0; |해결 전략 | 주어진 식을 lim █ d 0 tan █ █ 꼴로 변형하여 계산한다. lim x d 0 x tan x+tan 2x+tan 3x+tan 4x 1 tan x+tan 2x+tan 3x+tan 4x x =lim x d 0 =lim x d 0 tan x x + tan 2x 2x *2+ *3+ tan 4x 4x *4 1 tan 3x 3x = 1 1+1*2+1*3+1*4 =;1¡0; 4-1  4 |해결 전략 | lim x d 0 sin x x =1, lim x d 0 tan x x =1임을 이용한다. 오른쪽 그림에서 AH’=4 sin h, 3CAH=h이므로 CH’=AH’ tan h=4 sin h tan h ∴ lim h d 0+ CH’ h€ = lim h d 0+ 4 sin h tan h h€ A 4 h h B H = lim h d 0+{4* sin h h * tan h h } =4*1*1=4 C 5-1  -;2!; |해결 전략 | x+p=t로 치환하여 주어진 식을 변형한 후 극한값을 구한다. x+p=t로 놓으면 x cd -p일 때 t cd 0이므로 lim x d -p 1+cos x (x+p)sin x =lim t d 0 1+cos (t-p) t sin (t-p) =lim t d 0 1+cos (p-t) -t sin (p-t) =lim t d 0 1-cos t -t sin t =-lim t d 0 (1-cos t)(1+cos t) t sin t(1+cos t) =-lim t d 0 sin€ t t sin t (1+cos t) =-lim t d 0 sin t t(1+cos t) =-lim t d 0 { sin t t * 1 1+cos t } =-1* 1 1+1 =-;2!; 5-2  -;2π; |해결 전략 | x-1=t로 치환하여 주어진 식을 변형한 후 극한값을 구한다. x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로 sin {cos ;2π;x} x-1 lim x d 1 =lim t d 0 sin [cos {;2π;+;2π;t}] t sin {-sin ;2π;t} t =lim t d 0 =-lim t d 0 sin {sin ;2π;t} t =-lim t d 0[ sin {sin ;2π;t} sin ;2π;t sin ;2π;t * *;2π;] ;2π;t =-1*1*;2π;=-;2π; |해결 전략 | 주어진 식을 lim █ d 0 tan █ █ 꼴로 변형하여 계산한다. 6-1  ;2!; 4-2  'ß17 점 P의 좌표는 P(t, 2 tan 2t)이므로 OP’="ƒt€+4 tan€ 2t OP’ t "ƒt€+4 tan€ 2t t ∴ lim t d 0+ = lim t d 0+ = lim t d 0+Ƙ1+ 4 tan€ 2t t€ = lim t d 0+æç1+ tan 2t 2t * tan 2t 2t *16 ='ß1+1*1*16='ß17 |해결 전략 | 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분자) cd 0이고 0이 아닌 극한 값이 존재하면 (분모) cd 0임을 이용한다. 1-cos x ax sin x+b =1에서 lim x d 0 (1-cos x)=0이므로 (ax sin x+b)=0 lim x d 0 lim x d 0 이어야 한다. ∴ b=0 b=0을 주어진 식에 대입하면 4 삼각함수의 미분 033 6-2  8 |해결 전략 | 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분자) cd 0이고 0이 아닌 극한 값이 존재하면 (분모) cd 0임을 이용한다. 8-1  2 |해결 전략 | 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f(x)는 x=0에서 연속이고 f '(0)이 존재함을 이용한다. =4에서 lim x d 0 sin 2x=0이므로 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로 lim x d 0 1-cos x ax sin x =lim x d 0 (1-cos x)(1+cos x) ax sin x(1+cos x) =lim x d 0 1-cos€ x ax sin x(1+cos x) =lim x d 0 sin€ x ax sin x(1+cos x) =lim x d 0 sin x ax(1+cos x) =lim x d 0 {;a!;* sin x x * 1 1+cos x } =;a!;*1* 1 1+1 =;2¡a;=1 ∴ a=;2!; ∴ a+b=;2!; lim x d 0 lim x d 0 sin 2x 'ßax+b-2 ('ßax+b-2)=0 이어야 한다. 즉, 'b-2=0에서 b=4 b=4를 주어진 식에 대입하면 lim x d 0 sin 2x 'ßax+4-2 =lim x d 0 sin 2x('ßax+4+2) ('ßax+4-2)('ßax+4+2) sin 2x('ßax+4+2) ax =lim x d 0 =lim x d 0 [ sin 2x 2x *;a@;*('ßax+4+2)] =1*;a@;*4=;a*;=4 ∴ a=2 ∴ ab=8 7-1  0 |해결 전략 | f '(a)= lim x d a f(x)-f(a) x-a 임을 이용한다. f(p)=0이므로 lim x d p f(x) x-p =lim x d p f(x)-f(p) x-p =f '(p) 한편, f(x)=ln x(cos x+1)이므로 f '(x)=(ln x)'(cos x+1)+ln x(cos x+1)' =;x!;(cos x+1)-ln x sin x ∴ f '(p)=0 034 정답과 해설 |해결 전략 | f '(a)= lim x d a f(x)-f(a) x-a 임을 이용한다. 7-2  '3 f {;2π;}=0이므로 lim x d ;2π; f(x) x-;2π; = lim x d ;2π; f(x)-f {;2π;} x-;2π; =f '{;2π;} 한편, f(x)=sin x-'3 cos x-1이므로 f '(x)=cos x+'3 sin x ∴ f '{;2π;}='3 lim x d 0+ (sin x+a)= lim x d 0- (bx+1)=f(0) ∴ a=1 또, 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f '(0)이 존재하므로 f '(x)=[ cos x (x>0) b (x<0) 에서 lim x d 0+ cos x= lim x d 0- b ∴ b=1 ∴ a+b=2 8-2  8 |해결 전략 | 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f(x)는 x=0에서 연속이고 f '(0)이 존재함을 이용한다. 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로 lim x d 0+ (aex+2x+5)= lim x d 0- (cos x+bx)=f(0) 즉, a+5=1에서 a=-4 또, 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f '(0)이 존재하므로 f '(x)=[ aex+2 (x>0) -sin x+b (x<0) 에서 lim x d 0+ (aex+2)= lim x d 0- (-sin x+b) a+2=b ∴ b=-2 (∵ a=-4) ∴ ab=8 5 | 여러 가지 미분법 1 함수의 몫의 미분법 개념 확인 1 ⑴ y'=- ⑵ y'= 1 (x+1)€ -x€+1 (x€+1)€ 2 ⑴ y'=- ⑵ y'=3x€- 2 x‹ 4 xfi 12 x› 2 x‹ ⑶ y'= ⑷ y'=2x- 3 ⑴ -;1!2#; ⑵ :¡5£: ⑶ -;1∞2; 4 ⑴ y'=sec x (tan x+sec x) ⑵ y'=-csc x (cot x+csc x) 1 ⑴ y'=- (x+1)' (x+1)€ =- 1 (x+1)€ ⑵ y'= (x)'(x€+1)-x(x€+1)' (x€+1)€ = 1_(x€+1)-x_2x (x€+1)€ = -x€+1 (x€+1)€ 2 ⑴ y'=(x-2)'=-2x-2-1=-2x-3=- 2 x‹ ⑵ y' =(x‹+4x-3)'=3x3-1+4_(-3)x-3-1 =3x€-12x-4=3x€- 12 x› ⑷ y' =(x€+x-2)'=2x2-1+(-2)x-2-1 =2x-2x-3=2x- 2 x‹ STEP 개념 드릴 1 | 102쪽 | 개념 check 1-1 ⑴ - 2 (2x+1)€ ⑵ - 2(x€+1) (x€-1)€ 2-1 ⑴ tan x, cot x ⑵ -csc€ x, csc€ x 98쪽~101쪽 스스로 check 1-2  ⑴ y'=- 3 x› ⑵ y'=- 3x€ (x‹+2)€ ⑶ y'= 13 (3x+2)€ ⑷ y'= x€-2x-2 (x-1)€ ⑴ y'=- =- =- (x‹)' (x‹)€ 3x€ xfl 3 x› ⑵ y'=- (x‹+2)' (x‹+2)€ =- 3x€ (x‹+2)€ ⑶ y'= (2x-3)'(3x+2)-(2x-3)(3x+2)' (3x+2)€ = 2(3x+2)-(2x-3)_3 (3x+2)€ = 13 (3x+2)€ ⑷ y'= (x€+2)'(x-1)-(x€+2)(x-1)' (x-1)€ = 2x(x-1)-(x€+2)_1 (x-1)€ = x€-2x-2 (x-1)€ 2-2  ⑴ y'=sec€ x-1 ⑵ y'=2 cos x+3 sec€ x ⑶ y'=-sin x+5 sec x tan x ⑷ y'=csc x(3 csc x-cot x) ⑵ y'=(2 sin x)'+(3 tan x)'=2 cos x+3 sec€ x ⑶ y'=(cos x)'+(5 sec x)'=-sin x+5 sec x tan x ⑷ y' =(csc x)'-(3 cot x)'=-csc x cot x-3(-csc€ x) =csc x(3 csc x-cot x) ⑶ y'=(1-x-4)'=-1_(-4)x-4-1=4x-5= ⑴ y'=(tan x)'-(x)'=sec€ x-1 4 xfi 3 오른쪽 그림에서 OP’="ƒ5€+(-12)€=13이므로 13 -12 ⑴ csc h= =-;1!2#; ⑵ sec h=:¡5£: ⑶ cot h= 5 -12 =-;1∞2; y O h 5 x -12 P(5, -12) STEP 필수 유형 2 | 103쪽~106쪽 | 4 ⑴ y' =(sec x)'+(tan x)'=sec x tan x+sec€ x =sec x (tan x+sec x) ⑵ y' =(csc x)'+(cot x)'=-csc x cot x-csc€ x =-csc x (cot x+csc x) 01-1  ⑴ y'=- 3x€+1 (x‹+x+1)€ ⑵ y'= 2 sin x (1+cos x)€ |해결 전략| 함수의 몫의 미분법을 이용한다. ⑴ y'=- (x‹+x+1)' (x‹+x+1)€ =- 3x€+1 (x‹+x+1)€ 5 여러 가지 미분법 035 ⑵ y'= (1-cos x)'(1+cos x)-(1-cos x)(1+cos x)' (1+cos x)€ = sin x(1+cos x)-(1-cos x)(-sin x) (1+cos x)€ = 2 sin x (1+cos x)€ 03-1  ⑴ ;4#; ⑵ -;3%; |해결 전략| 제 3 사분면에서 각 삼각함수의 값의 부호를 조사하고 삼각함수 사이 의 관계를 이용한다. ⑴ 1+cot€ h=csc€ h에서 cot€ h=csc€ h-1={-;4%;} €-1=;1ª6; 그런데 h가 제 3 사분면의 각이므로 cot h>0 4 cot h=;4#; ⑵ tan h= 1 cot h =;3$;이므로 sec€ h=1+tan€ h=1+{;3$;} €=:™9∞: 그런데 h가 제 3 사분면의 각이므로 sec h<0 4 sec h=-;3%; 03-2  2 |해결 전략| 주어진 식의 분모를 통분하고 삼각함수 사이의 관계를 이용한다. cos h 1+sin h + cos h 1-sin h = cos h(1-sin h)+cos h(1+sin h) (1+sin h)(1-sin h) = 2 cos h 1-sin€ h = 2 cos h cos€ h = 2 cos h =2 sec h sin€ h+cos€ h=1 ∴ a=2 04-1  ⑴ y'=cot x-x csc€ x ⑵ y'=csc x(2x-x€cot x+cot x) |해결 전략| 함수의 곱의 미분법을 이용한다. ⑴ y' =(x)'cot x+x(cot x)' =cot x-x csc€ x ⑵ y' =(x€-1)'csc x+(x€-1)(csc x)' =2x csc x+(x€-1)(-csc x cot x) =csc x(2x-x€cot x+cot x) 04-2  -2-'2 |해결 전략| 함수의 몫의 미분법을 이용한다. f '(x)= (1+sec x)'tan x-(1+sec x)(tan x)' tan€ x = sec x tan x_tan x-(1+sec x)_sec€ x tan€ x =sec x-csc€ x(1+sec x) ∴ f ' {;4π;}=sec ;4π;-csc€ ;4π; {1+sec ;4π;} ='2-('2 )€(1+'2 )=-2-'2 sec€ x= 이므로 =csc€ x 1 cos€ x sec€ x tan€ x 01-2  -;9*; |해결 전략| 함수의 몫의 미분법을 이용한다. f(x)= x x-1 + x x+1 = 2x€ x€-1 이므로 f '(x)= (2x€)'(x€-1)-2x€(x€-1)' (x€-1)€ = 4x(x€-1)-2x€_2x (x€-1)€ =- 4x (x€-1)€ ∴ f '(2)=- 4_2 (2€-1)€ =-;9*; 02-1  ;2!; |해결 전략| y=xn (n은 정수)이면 y'=nxn-1임을 이용한다. f(x)= =x-2-6x-4이므로 x€-6 x› f '(x)=-2x-3+24x-5=- 2 x‹ + 24 xfi ∴ f '(2)=-;4!;+;4#;=;2!; 02-2  385 |해결 전략| y=xn (n은 정수)이면 y'=nxn-1임을 이용한다. f(x)=-;x!;- 2 x€ 3 x‹ =-x-1-2x-2-3x-3- y -10x-10 - y - 10 x⁄‚ - 이므로 f '(x)=x-2+2€x-3+3€x-4+ y +10€x-11 ∴ f '(1)=1+2€+3€+ y +10€ = 10 Ú k=1 k€= 10_11_21 6 =385 LECTURE 자연수의 거듭제곱의 합 ❶ 1+2+3+ … +n= k= n Ú k=1 n(n+1) 2 ❷ 1€+2€+3€+ … +n€= k€= ❸ 1‹+2‹+3‹+ … +n‹= n Ú k=1 n Ú k=1 n(n+1)(2n+1) 6 k‹=[ n(n+1) 2 € ] 036 정답과 해설 다른 풀이 f(x)= 1 tan x + sec x tan x =cot x+csc x이므로 f '(x)=-csc€ x-csc x cot x ∴ f '{;4π;}=-csc€ ;4π;-csc ;4π; cot ;4π; =-('2 )€-'2_1=-2-'2 2 합성함수의 미분법 개념 확인 1 ⑴ y'=4(x-1)‹ ⑵ y'=-6x(1-x€)€ 2 ⑴ y'=10(2x+5)› ⑵ y'=12x(2x€-1)€ 3 ⑴ y'=ex-2 ⑵ y'=3_23x+1 ln 2 4 ⑴ y'= 1 x ln 2 ⑵ y'=;x!; 1 ⑴ u=x-1로 놓으면 y=u›이므로 du dx =4u‹, dy du =1 ∴ y'= dy dx = dy du _ du dx =4u‹_1=4(x-1)‹ ⑵ u=1-x€으로 놓으면 y=u‹이므로 dy du =3u€, =-2x du dx ∴ y'= dy dx = dy du _ du dx =3u€_(-2x) =-6x(1-x€)€ 2 ⑴ y' =5(2x+5)›(2x+5)' =5(2x+5)›_2 =10(2x+5)› ⑵ y' =3(2x€-1)€(2x€-1)' =3(2x€-1)€_4x =12x(2x€-1)€ 3 ⑴ y' =ex-2(x-2)'=ex-2_1=ex-2 ⑵ y' =23x+1 ln 2_(3x+1)' =23x+1 ln 2_3 =3_23x+1 ln 2 4 ⑴ y'= 1 x ln 2 (2x)' 2x ⑵ y'= =;2™x;=;x!; | 111쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 2x+3 ⑵ 2x, - 4x (x€-3)‹ 2-1 ⑴ 2, 2e2x+1 ⑵ 3 3x+2 스스로 check 1-2  ⑴ y'=12(3x-4)‹ ⑵ y'=10x(x€-2)› ⑶ y'=4(6x+1)(3x€+x+1)‹ ⑷ y'= 6 (2-3x)‹ ⑴ y'=4(3x-4)‹(3x-4)'=4(3x-4)‹_3=12(3x-4)‹ ⑵ y'=5(x€-2)›(x€-2)'=5(x€-2)›_2x=10x(x€-2)› 107쪽~110쪽 ⑶ y' =4(3x€+x+1)‹(3x€+x+1)' =4(3x€+x+1)‹_(6x+1)=4(6x+1)(3x€+x+1)‹ ⑷ y= 1 (2-3x)€ =(2-3x)-2이므로 y' =-2(2-3x)-3(2-3x)' =-2(2-3x)-3_(-3)= 6 (2-3x)‹ 다른 풀이 ⑷ y'=- {(2-3x)€}' {(2-3x)€}€ =- 2(2-3x)(2-3x)' (2-3x)› =- 2(2-3x)_(-3) (2-3x)› = 6 (2-3x)‹ ⑶ y'= 2-2  ⑴ y'=3e3x-2 ⑵ y'=2_52x+3 ln 5 2x+3 x€+3x ⑴ y' =e3x-2(3x-2)'=e3x-2_3=3e3x-2 ⑵ y' =52x+3 ln 5_(2x+3)' ⑷ y'= 5 (5x-3)ln 2 =52x+3 ln 5_2=2_52x+3 ln 5 ⑶ y'= (x€+3x)' x€+3x = 2x+3 x€+3x ⑷ y'= (5x-3)' (5x-3)ln 2 = 5 (5x-3) ln 2 STEP 필수 유형 2 | 112쪽~114쪽 | 01-1  ⑴ y'=- 2x (1+x€)€ cos 1 1+x€ ⑵ y'=2 sec€ (2x+1) ⑶ y'=-cos x sin (1+sin x) ⑷ y'=2(2x-1)(4x€-x+2) |해결 전략| 합성함수 y=f(g(x))의 도함수는 y'=f '(g(x))g '(x)임을 이용 한다. 5 여러 가지 미분법 037 ∴ h' {;2π;}=g ' { f {;2π;}} f ' {;2π;}=g '(0) f ' {;2π;} ……㉠ 03-2  ;3%; ⑴ y'=cos 1 1+x€ _{ 1 1+x€ } ' =cos 1 1+x€ _[- (1+x€)' (1+x€)€ ] =- 2x (1+x€)€ cos 1 1+x€ ⑵ y' =sec€ (2x+1)_(2x+1)' =2 sec€ (2x+1) ⑶ y' =-sin (1+sin x)_(1+sin x)' =-sin (1+sin x)_cos x =-cos x sin (1+sin x) ⑷ y' ={(2x-1)€}'(x€+1)+(2x-1)€(x€+1)' =2(2x-1)(2x-1)'(x€+1)+(2x-1)€_2x =4(2x-1)(x€+1)+2x(2x-1)€ =2(2x-1)(4x€-x+2) 01-2  -1 |해결 전략| 합성함수 h(x)=(g@f)(x)=g(f(x))의 도함수 h'(x)=g '(f(x))f '(x)에 x=;2π;를 대입한다. h(x)=(g@f )(x)=g( f(x))에서 h'(x)=g '( f(x))f '(x) 이때, f '(x)=-sin x이므로 f ' {;2π;}=-sin ;2π;=-1 g '(x)=sec€ x이므로 g '(0)=sec€ 0=1 따라서 f ' {;2π;}=-1, g '(0)=1을 ㉠에 대입하면 h' {;2π;}=1_(-1)=-1 02-1  ⑴ y'=esin xcos x ⑵ y'=(-x+4)e-x ⑶ y'=2x€+2x ln 2 ⑷ y'=-5cos x sin x_ln 5 |해결 전략| y=e f(x)이면 y'=e f(x)f '(x)이고, y=a f(x)(a>0, a+1)이면 y'=a f(x) ln a_f '(x)임을 이용한다. ⑴ y'=esin x(sin x)'=esin xcos x ⑵ y' =(x-3)'e-x+(x-3)(e-x)' =1_e-x+(x-3)_(-e-x) =(-x+4)e-x ⑶ y' =2x€+1 ln 2_(x€+1)' =2x€+1 ln 2_2x =2x€+2x ln 2 ⑷ y' =5cos x ln 5_(cos x)' =5cos x ln 5_(-sin x) =-5cos x sin x_ln 5 038 정답과 해설 02-2  -32 |해결 전략| y={ f(x)}n (n은 정수)이면 y'=n{ f(x)}n-1 f '(x)임을 이용 한다. f '(x) =4(1+e-x)‹(1+e-x)' =4(1+e-x)‹_(-e-x) =-4e-x(1+e-x)‹ ∴ f '(0)=-4_2‹=-32 03-1  ⑴ y'=cot x ⑵ y'= ex-e-x ex+e-x ⑶ y'=- ⑷ y'= tan x ln 2 3x€ (x‹-2) ln 4 |해결 전략| y=ln |f(x)|이면 y'= 이고, y=loga |f(x)|이면 f '(x) f(x) y'= f '(x) f(x) ln a 임을 이용한다. ⑴ y'= ⑵ y'= ⑶ y'= = (sin x)' sin x (ex+e-x)' ex+e-x = (cos x)' cos x_ln 2 cos x sin x =cot x ex-e-x ex+e-x ⑷ y'= (x‹-2)' (x‹-2) ln 4 = 3x€ (x‹-2) ln 4 = -sin x cos x_ln 2 =- tan x ln 2 |해결 전략| y=ln |f(x)|이면 y'= 임을 이용한다. f '(x) f(x) f '(x)= (x€+5x+3)' x€+5x+3 = 2x+5 x€+5x+3 ∴ f '(0)=;3%; 3 여러 가지 함수의 미분법 개념 확인 1 풀이 참조 115쪽~119쪽 2 ⑴ x€-x-y+2=0 ⑵ 3xy-x+4y=0 3 ⑴ y'=pxp-1 ⑵ y'= ⑶ y'= ⑷ y'=- 2 3 ‹'x 1 4x ›'x dy dx = 4 ⑴ 1 ‹"ƒ9x€ 5 ⑴ y"=6 ⑵ y"=-2 ⑶ y"=24x+2 ⑷ y"=60x€-6x 1 4 ›"ƒx‹ ⑵ = 1 2'x dy dx 1 x=;2!;t에서 t=2x이므로 y=t€에서 y=4x€ 따라서 주어진 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y y=4x€ O x 2 ⑴ 함수 y=x€-x+2를 음함수의 꼴로 나타내면 x€-x-y+2=0 ⑵ 함수 y= 를 음함수의 꼴로 나타내면 x 3x+4 3xy-x+4y=0 3 ⑴ y'=(xp)'=pxp-1 ⑵ y'=('x )'=(x;2!;)'=;2!;x;2!;-1= ⑶ y'=(‹"∂x€ )'=(x;3@;)'=;3@;x;3@;-1= 1 2'x 2 3 ‹'x ⑷ y'={ '=(x-;4!;)'=-;4!;x-;4!;-1=- 1 ›'x } 1 4x ›'x 4 ⑴ y=›'x에서 x=y› 양변을 y에 대하여 미분하면 =4y‹ ∴ dy dx = 1 dx dy = 1 4y‹ = 1 4 ›"ƒx‹ ⑵ y=‹'ß3x에서 x=;3!;y‹ 양변을 y에 대하여 미분하면 =y€ ∴ dy dx = 1 dx dy = = 1 y€ 1 ‹"ƒ9x€ dx dy dx dy 5 ⑴ y'=6x+3이므로 y"=6 ⑵ y'=-2x-2이므로 y"=-2 ⑶ y'=12x€+2x이므로 y"=24x+2 ⑷ y'=20x‹-3x€+2이므로 y"=60x€-6x STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ -6t, -6t, -3t ⑵ 6t€-3, 6t€-3, 2t€-1 | 120쪽~121쪽 | 2-1 ⑴ ⑵ - x 4y x 2y‹ 3-1 ⑴ ;2#;'x ⑵ 3 2'ß3x+1 4-1 ⑴ ;2#;y€, 2, 2 ⑵ 4y‹, 5-1 3, 108(3x+5)€ 1 4 ›"∂(x+2)‹ 스스로 check 1-2  ⑴ =-t ⑵ dy dx = 1 2t+2 (단, t+-1) dy dx dy dt dy dt dx dt dy dt dx dt dx dt dx dt ⑴ =4, =-4t이므로 dy dx = = -4t 4 =-t ⑵ =2t+2, =1이므로 dy dt dy dx = = 1 2t+2 (단, t+-1) 2-2  ⑴ dy dx =;y!; (단, y+0) ⑵ =;yX; (단, y+0) dy dx ⑴ 각 항을 x에 대하여 미분하면 d dx d dx (y€)- (2x)- (1)=0 d dx 2y -2=0 dy dx dy dx ∴ =;y!; (단, y+0) ⑵ 각 항을 x에 대하여 미분하면 d dx (x€)- (y€)= (1) d dx d dx 2x-2y =0 dy dx ∴ dy dx =;yX; (단, y+0) 3-2  ⑴ y'= ⑴ y'=('x )'+{ ⑵ y'= x "ƒx€+1 '=(x;2!;)'+(x-;2!;)' x-1 2x'x 1 'x } =;2!;x;2!;-1-;2!;x-;2!;-1 = - 1 2'x 1 2x'x = x-1 2x'x ⑵ y="ƒx€+1=(x€+1);2!;이므로 y'=;2!;(x€+1);2!;-1(x€+1)' =;2!;(x€+1)-;2!;_2x = x "ƒx€+1 dy dx = 4-2  ⑴ 1 ‹"ƒ(3x-6)€ ⑴ y=‹'ß3x-6 에서 y‹=3x-6이므로 x=;3!;y‹+2 1 2'ßx+1 ⑵ = dy dx 양변을 y에 대하여 미분하면 =y€ dx dy 5 여러 가지 미분법 039 STEP 필수 유형 2 | 122쪽~126쪽 | 01-1  ⑴ dy dx et 2 = ⑵ dy dx = 2 sin t |해결 전략| 를 각각 구하고 임을 이용한다. dx dt , dy dt ∴ dy dx = 2x-y x-2 (단, x+2) dy dx = dy dt dx dt ∴ dy dx = 1 dx dy = = 1 y€ 1 ‹"ƒ(3x-6)€ ⑵ y='ßx+1-3에서 (y+3)€=x+1이므로 x=y€+6y+8 양변을 y에 대하여 미분하면 dx dy =2y+6 ∴ dy dx = 1 dx dy = 1 2y+6 = 1 2('ßx+1-3)+6 = 1 2'ßx+1 5-2  y"= 2 (x-1)‹ y'=- (x-1)' (x-1)€ =- 1 (x-1)€ 이므로 y"= {(x-1)€}' {(x-1)€}€ = 2(x-1) (x-1)› = 2 (x-1)‹ ⑵ =sec t tan t, =2 sec€ t이므로 dx dt dy dt dy dx = = 2 sec€ t sec t tan t = 2 sec t tan t = 2 sin t 1 cos t sec t= , tan t= sin t cos t ⑴ =2, =et이므로 dx dt dy dt dy dx = = et 2 dy dt dx dt dy dt dx dt 01-2  ;5^; 를 대입한다. dx dt dy dt = (1-t€)-t_(-2t) (1-t€)€ = t€+1 (1-t€)€ , = 2(1-t€)-(2t-1)_(-2t) (1-t€)€ = 2t€-2t+2 (1-t€)€ 이므로 dy dx = dy dt dx dt = 2t€-2t+2 (1-t€)€ t€+1 (1-t€)€ = 2t€-2t+2 t€+1 040 정답과 해설 따라서 t=2일 때, 의 값은 dy dx 2_2€-2_2+2 2€+1 =;5^; 02-1  ⑴ =- 2x+y x+2y (단, x+-2y) ⑵ = (단, x+2) 2x-y x-2 |해결 전략| 주어진 음함수의 각 항을 x에 대하여 미분하여 를 구한다. dy dx ⑴ 각 항을 x에 대하여 미분하면 d dx (x€)+ (xy)+ (y€)= (4) d dx d dx dy dx dy dx d dx dy dx dy dx 2x+y+x +2y =0 dy dx (x+2y) =-2x-y ∴ =- (단, x+-2y) dy dx 2x+y x+2y ⑵ 각 항을 x에 대하여 미분하면 d dx (xy)= (x€)+ (2y) d dx d dx y+x =2x+2 dy dx (x-2) =2x-y dy dx dy dx 02-2  0 |해결 전략| 주어진 음함수의 각 항을 x에 대하여 미분하여 를 구하고, dy dx x=1, y=-1을 대입한다. 각 항을 x에 대하여 미분하면 d dx (x€)+ (y€)- (2x)=0 d dx d dx 2x+2y -2=0 dy dx 2y =-2x+2 dy dx dy dx ∴ = -x+1 y (단, y+0) -1+1 -1 =0 03-1  ⑴ y'=;3!; ‹'ßsec x tan x ⑵ y'=- cos x 2'ß1-sin x ⑶ y'=- 3x+8 2x€(x+4)'ßx+4 ⑷ y'= x (x€+1)ln 2 |해결 전략| 함수 y={ f(x)}n (n은 실수)일 때, y'=n{ f(x)}n-1 f '(x)임을 이용한다. |해결 전략| 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여 를 구하고, t=2 dy dx 따라서 곡선 x€+y€-2x=0 위의 점 (1, -1)에서의 의 값은 dy dx ⑴ y=‹'ßsec x=(sec x);3!;이므로 y'=;3!;(sec x)-;3@; (sec x)' =;3!;(sec x)-;3@; sec x tan x = ;3!; ‹'ßsec x tan x ⑵ y='ß1-sin x=(1-sin x);2!;이므로 y'=;2!;(1-sin x)-;2!;(1-sin x)' =;2!;(1-sin x)-;2!; (-cos x) 'ßx+4+ x 2'ßx+4 x€(x+4) =- cos x 2'ß1-sin x ⑶ y'=- =- =- (x'ßx+4 )' (x'ßx+4 )€ 3x+8 2x€(x+4)'ßx+4 ⑷ y'= ("ƒx€+1 )' "ƒx€+1 ln 2 = x "ƒx€+1 "ƒx€+1 ln 2 = x (x€+1)ln 2 03-2  '3 2 |해결 전략| 함수 f(x)={g(x)}n(n은 실수)일 때, f '(x)=n{g(x)}n-1g '(x)임을 이용하여 f '(x)를 구한다. f(x)="ƒx€+x+1=(x€+x+1);2!;이므로 f '(x)=;2!;(x€+x+1)-;2!;(x€+x+1)' =;2!;(x€+x+1)-;2!;(2x+1) = 2x+1 2"ƒx€+x+1 2_1+1 2"ƒ1€+1+1 ∴ f '(1)= = '3 2 04-1  ;2!; |해결 전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g '(x)= 임을 이용한다. 1 f '(g(x)) 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 f(1)=2에서 g(2)=1 ∴ g '(2)= 1 f '(g(2)) = 1 f '(1) =;2!; 04-2  ;2!; |해결 전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g '(x)= 임을 이용한다. 1 f '(g(x)) 따라서 g(1)=-;4π;이고, f '(x)=sec€ x이므로 g '(1)= 1 f '(g(1)) = 1 f '{-;4π;} = 1 sec€ {-;4π;} =cos€ {-;4π;}=;2!; 05-1  ⑴ y"=-4x sin x-(x€-1)cos x ⑵ y"= 2(x-6) x› ⑶ y"=(x+1)ex ⑷ y"= -2(x€+1) (x€-1)€ |해결 전략| 주어진 함수를 두 번 미분하여 y"을 구한다. ⑴ y'=2x cos x-(x€+1)sin x이므로 y" =2 cos x-2x sin x-2x sin x-(x€+1)cos x =-4x sin x-(x€-1)cos x ⑵ y'= (3x€+1)x€-(x‹+x-2)_2x x› = x›-x€+4x x› 이므로 y"= (4x‹-2x+4)x›-(x›-x€+4x)_4x‹ x° = 2x›(x-6) x° = 2(x-6) x› ⑶ y'=ex+(x-1)ex=xex이므로 y"=ex+xex=(x+1)ex ⑷ y'= 이므로 2x x€-1 y"= 2(x€-1)-2x_2x (x€-1)€ = -2(x€+1) (x€-1)€ STEP 유형 드릴 3 | 127쪽~129쪽 | 1-1  12 |해결 전략 | 주어진 극한을 미분계수를 포함한 식으로 변형하고, 몫의 미분법을 이용하여 함수 f(x)를 미분한다. lim h d 0 f(2h)-f(-2h) h =lim h d 0 f(2h)-f(0)-f(-2h)+f(0) h =2lim h d 0 f(2h)-f(0) 2h +2lim h d 0 f(-2h)-f(0) -2h 이때, f(x)=- 에서 f '(x)= 3 x-1 3 (x-1)€ 이므로 4f '(0)=4_3=12 5 여러 가지 미분법 041 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g(1)=a라 하면 f(a)=1 =2f '(0)+2f '(0)=4f '(0) f(x)=tan x+2이므로 f(a)=1에서 tan a+2=1, tan a=-1 ∴ a=-;4π; {∵ -;2π;0에서 4-x€ (x€+4)€ >0 이때, (x€+4)€>0이므로 4-x€>0 x€-4<0 ∴ -20) a (x<0) 에서 lim x d 0+ (sec x tan x)= lim x d 0- a ∴ a=0 즉, f(x)=[ sec x (x>0) 1 (x<0) 이므로 f(-p)=1 042 정답과 해설 함수를 이용하여 함수 f(x)를 미분한다. f {;4π;+h}-f {;4π;-h} h lim h d 0 =lim h d 0 f {;4π;+h}-f {;4π;}-f {;4π;-h}+f {;4π;} h =lim h d 0 f {;4π;+h}-f {;4π;} h +lim h d 0 f {;4π;-h}-f {;4π;} -h =f ' {;4π;}+f ' {;4π;}=2f ' {;4π;} 이때, f(x)=x csc x에서 2f ' {;4π;}=2'2 {1-;4π;} f '(x)=csc x-x csc x cot x=csc x(1-x cot x)이므로 4-1  56 |해결 전략 | 합성함수의 미분법을 이용하여 함수 g(x)를 미분한다. g(x)=x€[ f {;2X;}] ‹에서 g '(x)=2x[ f {;2X;}] ‹+x€_3[ f {;2X;}] € [ f {;2X;}] ' =2x[ f {;2X;}] ‹+3x€[ f {;2X;}] € f ' {;2X;}_;2!; =2x[ f {;2X;}] ‹+;2#;x€[ f {;2X;}] € f ' {;2X;} ∴ g '(4) =8{ f(2)}‹+24{ f(2)}€f '(2) =8+48=56 4-2  ② |해결 전략 | 합성함수의 미분법을 이용하여 f ›(x)를 차례로 미분한다. f ›(x)=f( f ‹(x)), f ‹(x)=f( f €(x)), f €(x)=f( f(x))이므로 { f ›(x)}' ={ f(f ‹(x))}' =f '( f ‹(x))_{ f ‹(x)}' =f '( f ‹(x))_{ f( f €(x))}' =f '( f ‹(x))_f '( f €(x))_{ f €(x)}' =f '( f ‹(x))_f '( f €(x))_{ f( f(x))}' =f '( f ‹(x))_f '( f €(x))_f '( f(x))_f '(x) 한편, f(a)=a이므로 f €(a)=f( f(a))=f(a)=a f ‹(a)=f( f €(a))=f(a)=a ∴ g '(a) ={ f ›(a)}' =f '( f ‹(a))_f '( f €(a))_f '( f(a))_f '(a) =f '(a)_f '(a)_f '(a)_f '(a) =b› |해결 전략 | sec€ h=1+tan€ h, csc€ h=1+cot€ h임을 이용하여 주어진 식을 =8_1‹+24_1€_2 5-1  3 |해결 전략 | 합성함수의 미분법과 곱의 미분법을 이용하여 y={x f(x)}n을 미 분한다. y={xf(x)}n에서 y' =n{xf(x)}n-1 {xf(x)}' =n{xf(x)}n-1{ f(x)+xf '(x)} 이때, f '(1) f '(-1) =4_32a이므로 a+2 a-2 =4, 4(a-2)=a+2 3a=10 ∴ a=:¡3º: 이므로 x=1에서의 미분계수는 n{1_f(1)}n-1{ f(1)+1_f '(1)}=n_2n-1(2+3)=60 즉, n_2n-1=12=3_2€이므로 n=3 7-1  -;5¢5; |해결 전략 | 주어진 극한을 미분계수를 포함한 식으로 변형하고, 로그함수의 미 분법을 이용하여 함수 f(x)를 미분한다. lim h d 0 f(2+h)-f(2) h +lim h d 0 f(1-h)-f(1) h =lim h d 0 f(2+h)-f(2) h -lim h d 0 f(1-h)-f(1) -h =f '(2)-f '(1) 이때, f(x)=ln (2x€+3)에서 f '(x)= (2x€+3)' 2x€+3 = 4x 2x€+3 이므로 …… ㉠ f '(2)-f '(1)= 4_2 2_2€+3 - 4_1 2_1€+3 =;1•1;-;5$;=-;5¢5; 5-2  -;3*;, 2 |해결 전략 | y=f(g(x))이면 y'=f '(g(x))g '(x)임을 이용한다. f(ax-1)=x€-x+a+1의 양변을 x에 대하여 미분하면 af '(ax-1)=2x-1 ∴ f '(ax-1)= 2x-1 a ax-1=3이 되도록 하는 x의 값을 구하면 x=;a$; x=;a$;를 ㉠에 대입하면 f '(3)= ;a*;-1 a = 8-a a€ 이때, f '(3)=;2#;이므로 =;2#;, 3a€=16-2a 8-a a€ 3a€+2a-16=0, (3a+8)(a-2)=0 ∴ a=-;3*; 또는 a=2 6-1  5 |해결 전략 | y=e f(x)이면 y'=e f(x)f '(x)임을 이용한다. f(x)=xeax+b에서 f '(x)=eax+b+xeax+b_a=(1+ax)eax+b 이때, f '(0)=e‹, f '(1)=3efi이므로 f '(0)=eb=e‹ ∴ b=3 f '(1)=(1+a)ea+3=3efi ∴ a=2 ∴ a+b=2+3=5 6-2  :¡3º: |해결 전략 | y=a f(x)이면 y'=a f(x) ln a_f '(x)임을 이용한다. f(x)=3x€+ax+3에서 f '(x) =3x€+ax+3 ln 3_(x€+ax+3)' =3x€+ax+3 ln 3_(2x+a) 이므로 f '(1)=34+a ln 3_(2+a) f '(-1)=34-a ln 3_(-2+a) 7-2  :¡2¡: |해결 전략 | f(x)=ln (ex+e2x+e3x+ y +e10x)이라 하고 로그의 성질을 이 용하여 주어진 극한을 미분계수를 포함한 식으로 변형한다. f(x)=ln (ex+e2x+e3x+ y +e10x)이라 하면 f(0)=ln (1+1+1+ y +1)=ln 10 ∴ (주어진 식)=lim x d 0 ln (ex+e2x+e3x+ y +e10x)-ln 10 x =lim x d 0 f(x)-f(0) x-0 a>0, a+1이고 M>0, N>0일 때 loga =loga M-loga N M N 이때, f '(x)= =f '(0) ex+2e2x+3e3x+ y +10e10x ex+e2x+e3x+ y +e10x 이므로 10_11 2 10 =:¡2¡: = 1+2+3+ y +10 1+1+1+ y +1 |해결 전략| 임을 이용하여 를 t에 대한 식으로 나타낸 후 dy dx dy dx = dy dt dx dt 의 값을 구한다. f '(0)= 8-1  ;2%; lim t d 2 dy dx dx dt dy dx = dy dt dx dt dy dx =t€-4, =2t€+2t-12이므로 dy dt = 2t€+2t-12 t€-4 (단, t+\2) ∴ lim t d 2 =lim t d 2 2t€+2t-12 t€-4 =lim t d 2 2(t-2)(t+3) (t+2)(t-2) 5 여러 가지 미분법 043 ∴ f '(1) f '(-1) = 34+a ln 3_(2+a) 34-a ln 3_(-2+a) = a+2 a-2 _32a =lim t d 2 2(t+3) t+2 =;2%; |해결 전략 | 임을 이용하여 를 구하고 dy dx dy dx =-'3 을 만족시 dy dx = 8-2  '3 dy dt dx dt t€ 8t 2"ƒ4t€-1 _t-"ƒ4t€-1 키는 t의 값을 구한다. dx dt = = 4t€-(4t€-1) t€"ƒ4t€-1 1 t€ dy dt =- = 1 t€"ƒ4t€-1 ∴ = dy dx dy dt dx dt = - 1 t€ 1 t€"ƒ4t€-1 이때, -"ƒ4t€-1=-'3에서 4t€-1=3 t€=1 ∴ t=1 (∵ a>0, b>0) 따라서 a='ß4-1='3, b=1이므로 ab='3 =-"ƒ4t€-1 9-2  dy dx = x-2y 2x-y (단, y+2x) |해결 전략 | 음함수의 미분법에 의하여 y를 x의 함수로 보고 각 항을 x에 대하여 미분한다. x€+y€=4xy의 각 항을 x에 대하여 미분하면 d dx d dx (x€)+ (y€)= (4xy) 2x+2y =4y+4x d dx dy dx 2(2x-y) =2(x-2y) ∴ = dy dx x-2y 2x-y (단, y+2x) dy dx dy dx 044 정답과 해설 10-1  -1 |해결 전략 | y=xn (n은 음의 정수)의 도함수는 몫의 미분법을 이용하여 구한 다. y= 1 xm 이므로 mxm-1 x2m =-mxm-1-2m=-mx -m-1 y'=- 이때, -m=n이므로 y'= nxn-1 따라서 f(x)=mxm-1, g(x)=-m-1이므로 f(1)+g(2)=m+(-m-1)=-1 10-2  5 |해결 전략 | y=xn (n은 실수)의 도함수는 양변의 절댓값에 자연로그를 취한 후 음함수의 미분법을 이용하여 구한다. y=xn의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln |y|=ln |xn|, ln |y|=n ln |x| 각 항을 x에 대하여 미분하면 1 y _ dy dx = ;xN; ∴ dy dx =y_ ;xN; =nxn-1 따라서 f(x)=ln |x|, g(x)=;xN;이므로 f(e‹)+g {;2N;}=ln e‹+ =3+2=5 n ;2N; |해결 전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)일 때, g '(x)= 임을 이용한다. 1 f '(g(x)) f(a)=-;9!; f(x)=;2¡7;(xfi+2x‹)이므로 f(a)=-;9!;에서 afi+2a‹+3=0 h(a)=afi+2a‹+3이라 하면 h(-1)=0이고 h '(a)=5a›+6a€>0에서 함수 y=h(a)의 그래프는 항상 증가하 므로 a=-1은 방정식 afi+2a‹+3=0의 유일한 실근이다. 따라서 g {-;9!;}=-1이고, f '(x)=;2¡7;(5x›+6x€)이므로 g '{-;9!;}= 1 = 1 f '(-1) =;1@1&; f '{ g {-;9!;}} 11-2  ;2!; |해결 전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)일 때, g '(x)= 임을 이용한다. 1 f '(g(x)) =tan x tan y (단, cos x cos y+0) |해결 전략 | 음함수의 미분법에 의하여 y를 x의 함수로 보고 각 항을 x에 대하여 9-1  dy dx 미분한다. 4 cos x sin y=1의 각 항을 x에 대하여 미분하면 11-1  ;1@1&; d dx (4 cos x sin y)= (1) d dx -4 sin x sin y+4 cos x cos y =0 dy dx ∴ = dy dx 4 sin x sin y 4 cos x cos y =tan x tan y (단, cos x cos y+0) 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g {-;9!;}=a라 하면 g(x)-1 x-2 lim x d 2 lim x d 2 =2에서 lim x d 2 (x-2)=0이므로 {g(x)-1}=0 ∴ lim x d 2 g(x)=1 미분가능한 함수 f(x)는 연속함수이고 그 역함수 g(x)도 연속함수 6 | 도함수의 활용 ⑴ 이므로 g(2)=lim x d 2 g(x)=1 따라서 f(1)=2이고 lim x d 2 g(x)-1 x-2 =lim x d 2 g(x)-g(2) x-2 =g '(2)=2이므로 f '(1)= 1 g '( f(1)) = 1 g '(2) =;2!; LECTURE 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 ❶ lim x d a f(x) g(x) =L (L은 실수)일 때 x d a g(x)=0이면 ➡ lim lim x d a f(x)=0 ❷ lim x d a f(x) g(x) =L (L+0인 실수)일 때 x d a f(x)=0이면 ➡ lim lim x d a g(x)=0 12-1  -1 |해결 전략 | y=eax sin x를 미분하여 y', y"을 구하고 y"+2y'+2y=0에 대 입한다. y=eax sin x에서 y'=aeax sin x+eax cos x=eax(a sin x+cos x) y" =aeax(a sin x+cos x)+eax(a cos x-sin x) =eax{(a€-1)sin x+2a cos x} y"+2y'+2y=0에서 eax{(a€-1)sin x+2a cos x}+2 eax(a sin x+cos x) eax(a+1){(a+1)sin x+2 cos x}=0 +2 eaxsin x=0 위의 등식이 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로 a=-1 12-2  3 |해결 전략 | y=excos 2x를 미분하여 y', y"을 구하고 y"+ay'+by=0에 대 입한다. y=excos 2x에서 y'=excos 2x-2exsin 2x=ex(cos 2x-2 sin 2x) y" =ex(cos 2x-2 sin 2x)+ex(-2 sin 2x-4 cos 2x) =-ex(3 cos 2x+4 sin 2x) y"+ay'+by=0에서 -ex(3 cos 2x+4 sin 2x)+aex(cos 2x-2 sin 2x)+bexcos 2x =0 ex{(a+b-3)cos 2x+(-2a-4)sin 2x}=0 이때, ex+0이므로 (a+b-3)cos 2x+(-2a-4)sin 2x=0 위의 등식이 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로 a+b-3=0, -2a-4=0 ∴ a=-2, b=5 ∴ a+b=-2+5=3 1 접선의 방정식 개념 확인 1 ⑴ -2e ⑵ '2 2 2 ⑴ 2 ⑵ 0 132쪽~133쪽 1 ⑴ f(x)=e-2x+1으로 놓으면 f '(x)=e-2x+1_(-2)=-2e-2x+1 곡선 y=f(x) 위의 점 (0, e)에서의 접선의 기울기는 f '(0)이 므로 f '(0)=-2e-2_0+1=-2e ⑵ f(x)="ƒx€+1로 놓으면 f '(x)= _2x= 1 2"ƒx€+1 x "ƒx€+1 곡선 y=f(x) 위의 점 (1, '2 )에서의 접선의 기울기는 f '(1) 이므로 f '(1)= 1 "ƒ1€+1 = '2 2 2 ⑴ f(x)=;x!;로 놓으면 f '(x)=- 1 x€ 접점의 좌표를 {a, ;a!;}이라 하면 접선의 기울기가 -;4!;이므로 f '(a)=- =-;4!;에서 a=2 (∵ a>0) 1 a€ 따라서 접점의 x좌표는 2이다. ⑵ f(x)=2ex으로 놓으면 f '(x)=2ex 접점의 좌표를 (a, 2ea)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=2ea이므로 접선의 방정식은 y-2ea=2ea(x-a) ∴ y=2eax+2(1-a)ea 이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로 0=-2ea+2(1-a)ea, 2aea=0 따라서 접점의 x좌표는 0이다. ∴ a=0 (∵ ea>0) STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 2e, 2e, 2ex 2-1 1, 1, 2x+3 3-1 e€ 2 , e€ 2 , 2 e€ x+1 | 134쪽 | 6 도함수의 활용 ⑴ 045 스스로 check 1-2  y=-2x+4 f(x)=;x@;로 놓으면 f '(x)=- 2 x€ f '(1)=-2 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-2=-2(x-1) ∴ y=-2x+4 곡선 y=f(x) 위의 점 (1,`2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)이므로 2-2  y=x+;2π; f(x)=cos x로 놓으면 f '(x)=-sin x 접점의 좌표를 (a,`cos a)라 하면 접선의 기울기가 1이므로 f '(a)=-sin a=1에서 sin a=-1 ∴ a=-;2π; (∵ -p0) y=-e€x 03-2  -;4#; 04-2  y=3x+7 |해결 전략| 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여 를 구하고, t€-3t=-2, 3t-5=1을 만족시키는 t의 값을 에 대입한다. dy dx dy dx dx dt =2t-3, =3이므로 dy dt dy dx = = 3 2t-3 {단, t+;2#;} dy dt dx dt t=2일 때, = dy dx 3 2_2-3 =3 따라서 접선의 기울기는 3이므로 구하는 접선의 방정식은 y-1=3(x+2) ∴ y=3x+7 따라서 a=-1을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 이때, t€-3t=-2, 3t-5=1이므로 t=2 |해결 전략| 먼저 곡선 위의 임의의 점 {a, a-1 }에서의 접선의 방정식을 구한다. f(x)= 로 놓으면 f '(x)=- 1 x-1 1 1 (x-1)€ 접점의 좌표를 {a, 1 a-1 }이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=- 이므로 접선의 방정식은 1 (a-1)€ y- 1 a-1 =- 1 (a-1)€ (x-a) ∴ y=- 1 (a-1)€ x+ 2a-1 (a-1)€ 이 직선이 점 (-3, 0)을 지나므로 0= 3 (a-1)€ + 2a-1 (a-1)€ , 2a-1=-3 ∴ a=-1 따라서 a=-1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=-;4!;x-;4#;이 05-1  ⑴ y=-x-1 ⑵ y= '3 2 x+2 |해결 전략| 음함수의 미분법을 이용하여 를 구한 후 주어진 점의 좌표를 대 dy dx 입하여 접선의 기울기를 구한다. ⑴ y€=4x의 각 항을 x에 대하여 미분하면 …… ㉠ ∴ =;y@; (단, y+0) 곡선 y€=4x 위의 점 (1, -2)에서의 접선의 기울기는 2y =4 dy dx dy dx 2 -2 =-1 |해결 전략| 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여 를 구한 후 t의 값 dy dx 므로 구하는 y절편은 -;4#;이다. 04-1  y=x-1 을 대입하여 접선의 기울기를 구한다. dx dt = 1 t+1 , dy dt =t€-t+1이므로 dy dx = dy dt dx dt = t€-t+1 1 t+1 =t‹+1 따라서 구하는 접선의 방정식은 y+2=-(x-1) ∴ y=-x-1 ⑵ x€+4y€=4의 각 항을 x에 대하여 미분하면 2x+8y =0 dy dx ∴ =- (단, y+0) dy dx x 4y 곡선 x€+4y€=4 위의 점 {-'3 , ;2!;}에서의 접선의 기울기는 - -'3 2 = '3 2 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-;2!;= '3 2 (x+'3 ) ∴ y= '3 2 x+2 6 도함수의 활용 ⑴ 047 따라서 함수 f(x)는 구간 (-M,`0&에서 감소하고, 구간 $0, M) 따라서 함수 f(x)는 구간 {0,`;3π;‘에서 감소하고, 구간 “;3π;, p}에서 2 함수의 극대·극소 개념 확인 2 극솟값: -;e!; 3 극댓값: 48, 극솟값: -77 1 구간 (-M, 0&에서 감소, 구간 $0, M)에서 증가 1 f(x)=ex-x에서 f '(x)=ex-1 f '(x)=0에서 x=0 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x y f '(x) - f(x) ↘ 0 0 y + ↗ 에서 증가한다. 2 f(x)=xex에서 f '(x)=ex+xex=(x+1)ex f '(x)=0에서 x=-1 (∵ ex>0) x y f '(x) - -1 0 f(x) ↘ -;e!; y + ↗ 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극솟값 -;e!; 을 갖는다. 3 f(x)=2x‹-3x€-36x+4에서 f '(x)=6x€-6x-36=6(x+2)(x-3) f "(x)=12x-6 f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=3 이때, f "(-2)=-30<0, f "(3)=30>0이므로 함수 f(x)는 x=-2에서 극댓값 48, x=3에서 극솟값 -77을 갖는다. 스스로 check 140쪽~142쪽 1-2  ⑴ 구간 {0, ;3π;‘에서 감소, 구간 “;3π;, p}에서 증가 ⑵ 구간 (-M, -ln 3&에서 감소, 구간 $-ln 3, M)에서 증가 ⑴ f(x)=x-2 sin x에서 f '(x)=1-2 cos x f '(x)=0에서 cos x=;2!; ∴ x=;3π; (∵ 01 |해결 전략| 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극솟값 ln 3을 갖는다. x y f '(x) - 0 0 f(x) ↘ ln 3 y + ↗ [이계도함수 이용] f(x)=ln (x€+3)에서 f '(x)= 2x x€+3 f "(x)= 2(x€+3)-2x_2x (x€+3)€ = -2x€+6 (x€+3)€ f '(x)=0에서 x=0 이때, f "(0)=;3@;>0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 극솟값 ln 3을 갖는다. 여 f '(x)>0이어야 한다. f(x)=ax+ln (x€+1)에서 f '(x)=a+ 2x x€+1 = ax€+2x+a x€+1 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하 여 f '(x)>0이어야 한다. 이때, x€+1>0이므로 ax€+2x+a>0이어야 한다. 따라서 a>0이고, 이차방정식 ax€+2x+a=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =1-a€<0, a€-1>0 (a+1)(a-1)>0 ∴ a>1 (∵ a>0) 02-1  ⑴ 극댓값: ;2!;, 극솟값: -1 ⑵ 극댓값: 2'3 ⑶ 극댓값: , 극솟값: 0 ⑷ 극솟값: -;2¡e; 4 e€ |해결 전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구한 후, 이 x의 값의 좌우에서의 f '(x) STEP 필수 유형 2 | 144쪽~146쪽 | 01-1  ⑴ 구간 (-M, -1-'5 &, $-1+'5, M)에서 증가, 구간 $-1-'5, -1+'5 &에서 감소 ⑵ 구간 (1, 5&에서 감소, 구간 $5, M)에서 증가 |해결 전략| 어떤 구간에서 f '(x)>0이면 f(x)는 증가하고, f '(x)<0이면 f(x)는 감소한다. ⑴ f(x)=(x€-4)ex에서 f '(x)=2xex+(x€-4)ex=(x€+2x-4)ex f '(x)=0에서 x€+2x-4=0 (∵ ex>0) ∴ x=-1-'5 또는 x=-1+'5 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x f '(x) f(x) y -1-'5 y -1+'5 y + - + 0 0 ↗ ↘ ↗ 따라서 함수 f(x)는 구간 (-M, -1-'5 &, $-1+'5 ,`M)에서 증가하고, 구간 $-1-'5 ,`-1+'5 &에서 감소한다. ⑵ f(x)= f '(x)= 에서 x>1이고 x+3 'ßx-1 'ßx-1-(x+3)_ x-1 1 2'ßx-1 f '(x)=0에서 x=5 = x-5 2(x-1)'ßx-1 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x (1) f '(x) f(x) 5 0 y - ↘ y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 구간 (1, 5&에서 감소하고, 구간 $5, M)에서 증가한다. 의 부호를 살펴본다. ⑴ f(x)= 2x+1 x€+2x+3 에서 f '(x)= 2(x€+2x+3)-(2x+1)(2x+2) (x€+2x+3)€ = -2x€-2x+4 (x€+2x+3)€ = -2(x+2)(x-1) (x€+2x+3)€ f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=1 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x y f '(x) - f(x) ↘ -2 0 -1 y + ↗ 1 0 ;2!; y - ↘ ;2!; 을 갖는다. ⑵ f(x)='x+'ß6-x 에서 x>0, 6-x>0이므로 00) 따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극솟값 -1, x=1에서 극댓값 6 도함수의 활용 ⑴ 049 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 03-2  6 |해결 전략| 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내고 극댓값과 극솟값의 곱을 a에 대한 식으로 나타낸다. f(x)=x+a+;x!;에서 f '(x)=1- = 1 x€ x€-1 x€ = (x+1)(x-1) x€ f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x y f '(x) + f(x) ↗ -1 0 극대 y - ↘ (0) y - ↘ 1 0 극소 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극대이고 x=1에서 극소이다. 이때, 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값의 곱이 5이므로 f(-1) f(1)=(a-2)(a+2)=5 a€=9 ∴ a=3 (∵ a>0) 따라서 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값의 합은 f(x)=x+3+;x!; f(-1)+f(1)=1+5=6 x y -2 f '(x) + f(x) ↗ 0 4 e€ y - ↘ 0 0 0 y + ↗ 4 e€ 따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극댓값 , x=0에서 극솟값 0을 갖는다. ⑷ f(x)=x€ ln x에서 x>0이고 f '(x)=2x ln x+x€_;x!;=x(2 ln x+1) f '(x)=0에서 ln x=-;2!; ∴ x=e-;2!;= 1 'e 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x (0) f '(x) f(x) y - 1 'e 0 y + ↘ -;2¡e; ↗ 따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극솟값 -;2¡e; 을 갖는다. 1 'e 다른 풀이 ⑶ f '(x)=2xex+x€ex=(x€+2x)ex=x(x+2)ex f "(x) =(2x+2)ex+(x€+2x)ex =(x€+4x+2)ex 서 극댓값 , x=0에서 극솟값 0을 갖는다. 4 e€ ⑷ f(x)=x€ ln x에서 x>0이고 f '(x)=2x ln x+x€_;x!;=x(2 ln x+1) f "(x)=2 ln x+1+x_;x@;=2 ln x+3 f '(x)=0에서 ln x=-;2!; ∴ x=e-;2!;= 1 'e 'e }=2>0이므로 함수 f(x)는 x= 1 1 'e 이때, f "{ 갖는다. f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 (∵ ex>0) 이때, f "(-2)=-2e-2<0, f "(0)=2>0이므로 함수 f(x)는 x=-2에 1-1  ;4E; STEP 유형 드릴 3 | 147쪽~149쪽 | |해결 전략 | 주어진 함수의 도함수를 구해 접점에서의 접선의 기울기를 구한다. f(x)=ex€으로 놓으면 f '(x)=2x ex€ 곡선 y=f(x) 위의 점 (1, e)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=2e이 므로 접선의 방정식은 y-e=2e(x-1) ∴ y=2ex-e 에서 극솟값 -;2¡e; 을 따라서 A {;2!;, 0}, B(0, -e)이므로 1OAB=;2!;_;2!;_e=;4E; 03-1  a=3, 극댓값: 6 e‹ |해결 전략| 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f '(a)=0임을 이용한다. f(x)=(x€-a)ex에서 f '(x)=2xex+(x€-a)ex=(x€+2x-a)ex 함수 f(x)가 x=-3에서 극댓값을 가지므로 f '(-3)=0에서 (9-6-a) =0 ∴ a=3 1 e‹ ∴ f(x)=(x€-3)ex 1-2  y=-;4!;x+ p 16 +2 |해결 전략 | 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, b)를 지나고 점 P에서의 접선에 수직 인 직선의 방정식은 y-b=- (x-a)임을 이용한다. 1 f '(a) f(x)=sec€ x로 놓으면 f '(x)=2 sec x(sec x)'=2 sec€ x tan x 곡선 y=f(x) 위의 점 {;4π;, 2}에서의 접선의 기울기는 따라서 함수 f(x)는 x=-3에서 극댓값 f(-3)=(9-3) = 1 e‹ 6 e‹ f ' {;4π;}=2_('2 )€_1=4 이므로 접선에 수직인 직선의 기울기는 -;4!;이다. 을 갖는다. 050 정답과 해설 따라서 구하는 직선의 방정식은 y-2=-;4!; {x-;4π;} ∴ y=-;4!;x+ p 16 +2 |해결 전략 | 접점의 좌표를 {t, ln t t }로 놓고 이 점에서의 접선의 방정식을 구한다. 3-2  ;e!; f(x)= 로 놓으면 ln x x 2-1  1 |해결 전략 | 평행한 두 직선의 기울기는 서로 같음을 이용하여 접점의 좌표를 구 f '(x)= ;x!;_x-ln x x€ = 1-ln x x€ 한다. f(x)=ln (x+2)로 놓으면 f '(x)= 1 x+2 접점의 좌표를 (a, ln (a+2))라 하면 직선 y=x+3에 평행한 접선 접점의 좌표를 {t, ln t t }라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)= 이므로 접선의 방정식은 1-ln t t€ 따라서 접점의 좌표는 (-1, 0)이므로 접선의 방정식은 의 기울기는 1이므로 f '(a)= =1 ∴ a=-1 1 a+2 y-0=1_(x+1) ∴ y=x+1 x=0을 y=x+1에 대입하면 y=1 즉, 구하는 y절편은 1이다. 2-2  4'2 |해결 전략 | 기울기가 -1인 두 접선의 접점의 좌표를 구하여 두 점 사이의 거리 를 구한다. f(x)= 로 놓으면 f '(x)=- 4 x-2 4 (x-2)€ 접점의 좌표를 {a, 4 a-2 }라 하면 접선의 기울기가 -1이므로 f '(a)=- =-1, (a-2)€=4` 4 (a-2)€ a-2=\2 ∴ a=0 또는 a=4 리는 "ƒ(4-0)€+{2-(-2)}€=4'2 따라서 두 접점의 좌표는 (0, -2), (4, 2)이므로 두 접점 사이의 거 3-1  17 |해결 전략 | 점 P의 좌표를 `(a, 'a-1)로 놓고 점 P에서의 접선의 방정식을 구 한다. f(x)='x-1로 놓으면 f '(x)= 1 2'x f '(a)= 이므로 접선의 방정식은 1 2'a 1 2'a x+ 'a 2 1 2'a y-('a-1)= (x-a) ∴ y= -1 이 접선이 원점 O를 지나므로 0= 'a 2 -1, 'a=2 ∴ a=4 따라서 P(4, 1)이므로 OP’ €=4€+1€=17 …… ㉠ y- ln t t = 1-ln t t€ (x-t) ∴ y= 1-ln t t€ x+ -1+2 ln t t 이 접선이 원점을 지나므로 0= -1+2 ln t t , ln t=;2!; ∴ t='e t='e 를 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 이때, 이 접선이 점 (2, a)를 지나므로 y=;2¡e;x a=;2¡e;_2=;e!; 4-1  e |해결 전략 | 접점의 좌표를 (a, aea+1)로 놓고 이 점에서의 접선의 기울기를 각 각 찾는다. f(x)=xex+1로 놓으면 f '(x)=ex+xex=(x+1)ex 접점의 좌표를 (a, aea+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=(a+1)ea이므로 접선의 방정식은 y-(aea+1)=(a+1)ea(x-a) ∴ y=(a+1)eax-a€ea+1 이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로 1=(a+1)ea-a€ea+1, (a€-a-1)ea=0 ∴ a€-a-1=0 (∵ ea>0) a+b=1, ab=-1 이때, 두 접선의 기울기는 각각 (a+1)ea, (b+1)eb이므로 m¡m™ =(a+1)ea_(b+1)eb =(ab+a+b+1)ea+b =(-1+1+1)e⁄=e 4-2  -5 |해결 전략 | 오직 하나의 접선을 그을 수 있으려면 접선의 방정식에 x=a, y=0 을 대입하여 얻은 방정식의 해가 1개이어야 한다. 6 도함수의 활용 ⑴ 051 점 P의 좌표를 (a, 'a -1)이라 하면 점 P에서의 접선의 기울기는 이 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 f(x)=(x+1)ex으로 놓으면 f '(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex 접점의 좌표를 (t, (t+1)et)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=(t+2)et이므로 접선의 방정식은 y-(t+1)et=(t+2)et(x-t) ∴ y=(t+2)etx-(t€+t-1)et 이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로 0=(t+2)eta-(t€+t-1)et` {t€+(1-a)t-2a-1}et=0 ∴ t€+(1-a)t-2a-1=0 (∵ et>0) 이 중근을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면 D=(1-a)€-4(-2a-1)=0, a€+6a+5=0 (a+5)(a+1)=0 ∴ a=-5 (∵ a+-1) 6-1  y=;5!;x+;5!; |해결 전략 | 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)일 때, f(a)=b이면 g '(b)= ( f '(a)+0)이다. 1 f '(a) g(4)=k로 놓으면 f(k)=4이므로 k‹+2k+1=4, k‹+2k-3=0 (k-1)(k€+k+3)=0 ∴ k=1 (∵ k€+k+3>0) 즉, g(4)=1이고, f '(x)=3x€+2이므로 따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (4, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=;5!;(x-4) ∴ y=;5!;x+;5!; 점 (a, 0)에서 오직 하나의 접선을 그을 수 있으려면 이차방정식 ㉠ …… ㉠ g '(4)= 1 f '(1) =;5!; 5-1  4 |해결 전략 | 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t인 점에서 공통인 접선을 가지 함수 f(x)의 역함수가 g(x)이고 g(b)=a이면 ➡ g '(b)= 1 = 1 f '( g(b)) f '(a) (단, f '(a)+0) a=-1이면 점 (a, 0)은 곡선 y=(x+1)ex 위의 점이 된다. LECTURE f(t)=g(t)에서 a-2 sin€ t=2 sin t …… ㉠ f '(t)=g '(t)에서 -4 sin t cos t=2 cos t 6-2  y=;2!;x+;2!;-;4π; |해결 전략 | 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)일 때, f(a)=b이면 cos t(2 sin t+1)=0 ∴ cos t=0 또는 sin t=-;2!; 이때, 00이므로 g '(b)= ( f '(a)+0)이다. 1 f '(a) g(-1)=k로 놓으면 f(k)=-1이므로 tan k=-1 ∴ k=-;4π; {∵ -;2π;0) 2x€+y€=6의 각 항을 x에 대하여 미분하면 4x+2y =0 ∴ =`- (단, y+0) dy dx dy dx 2x y 이므로 접선의 방정식은 y-2=-(x-1) ∴ y=-x+3 이때, 이 접선이 점 (b, b-3)을 지나므로 b-3=-b+3, 2b=6 ∴ b=3 ∴ a+b=2+3=5 9-1  4 |해결 전략 | f '(x)를 구하여 f '(x)<0인 구간을 찾는다. f(x)=x+"ƒ25-x€에서 f '(x)=1+ -2x 2"ƒ25-x€ = "ƒ25-x€-x "ƒ25-x€ f '(x)=0에서 "ƒ25-x€=x 양변을 제곱하여 정리하면 x€=:™2∞: ∴ x= (∵ 00이어야 한다. f(x)=(x€+2x+a)ex에서 f '(x) =(2x+2)ex+(x€+2x+a)ex =(x€+4x+a+2)ex 함수 f(x)가 구간 (2, 3)에서 증가하려면 20 이어야 한다. 이때, ex>0이므로 x€+4x+a+2>0이어야 한다. y y=x€+4x+a+2 오른쪽 그림에서 2€+4_2+a+2>0 ∴ a>-14 따라서 실수 a의 최솟값은 -14이 -2 O 2 3 x 다. 6 도함수의 활용 ⑴ 053 10-1  -;2#; |해결 전략 | 삼각함수의 미분법을 이용하여 f '(x)를 구하고 주어진 구간에서 11-1  ;8(;+2 ln 2 |해결 전략 | 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f '(a)=0임을 이용한다. f(x)=ax€+bx-ln x에서 f '(x)=2ax+b-;x!;, f "(x)=2a+ 1 x€ f "(1)=2a+1=-3이므로 `a=-2 또, 함수 f(x)가 x=1에서 극댓값을 가지므로 f '(1)=-4+b-1=0 ∴ b=5 ∴ f(x)=-2x€+5x-ln x f '(x)=-4x+5-;x!;= -4x€+5x-1 x f "(x)=-4+ 1 x€ f '(x)=0에서 4x€-5x+1=0 (4x-1)(x-1)=0 ∴ x=;4!; 또는 x=1 이때, f "{;4!;}=12>0이므로 함수 f(x)는 x=;4!;에서 극소이고 극솟 값은 f {;4!;}=-2_;1¡6;+5_;4!;-ln ;4!; f '(x)=0이 되는 x의 값을 찾는다. f(x)=;2!; cos 2x-sin x에서 f '(x) =-sin 2x-cos x =-2 sin x cos x-cos x =-cos x(2 sin x+1) f '(x)=0에서 cos x=0 또는 sin x=-;2!; 이때, 00이므로 cos x=0 ∴ x=;2π; 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x (0) (p) f '(x) f(x) y - ;2π; 0 ↘ -;2#; y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=;2π;에서 극솟값 -;2#; 을 갖는다. 을 찾는다. f(x)= 4x-4 x€+1 에서 f '(x)= 4(x€+1)-(4x-4)_2x (x€+1)€ = -4(x€-2x-1) (x€+1)€ 하여 a+b=2, ab=-1이므로 f(a)+f(b)= 4a-4 a€+1 + 4b-4 b€+1 = 4a-4 2a+2 + 4b-4 2b+2 = (2a-2)(b+1)+(2b-2)(a+1) (a+1)(b+1) = 4(ab-1) ab+a+b+1 = 4(-1-1) -1+2+1 =-4 ∴ a+b+f(a)+f(b)=2+(-4)=-2 054 정답과 해설 10-2  -2 |해결 전략 | 몫의 미분법을 이용하여 f '(x)를 구하고, f '(x)=0이 되는 x의 값 =;8(;+2 ln 2 11-2  0 |해결 전략 | 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값 b를 가지면 f(a)=b, f '(a)=0임을 이용한다. …… ㉠ f(x)=a sin x+b cos x+x에서 f '(x)=0에서 x€-2x-1=0 ∴ x=1-'2 또는 x=1+'2 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x y 1-'2 y 1+'2 y - + 0 0 f '(x) - f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 따라서 f(x)는 x=1-'2 에서 극소이고, x=1+'2 에서 극대이므로 a=1+'2, b=1-'2 또, ㉠에 의하여 a€=2a+1, b€=2b+1이고, 근과 계수의 관계에 의 f '(x)=a cos x-b sin x+1 f "(x)=-a sin x-b cos x 함수 f(x)가 x=p에서 극댓값 p+1을 가지므로 f(p)=-b+p=p+1에서 b=-1 f '(p)=-a+1=0에서 a=1 따라서 f(x)=sin x-cos x+x이고 f "(x)=-sin x+cos x이므로 f(0)+f "(0)=-1+1=0 12-1  2 |해결 전략 | f '(x)=0이 되는 x의 값이 a, b임을 이용한다. f(x)= x€-3x x€+a 에서 f '(x)= (2x-3)(x€+a)-(x€-3x)_2x (x€+a)€ = 3x€+2ax-3a (x€+a)€ f '(x)=0에서 3x€+2ax-3a=0을 만족시키는 x의 값이 a, b이므 로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=- 2a 3 ab=-a 또, 주어진 조건에 의하여 b-a=4 ㉠+㉢을 하면 2b=4- 2a 3 ∴ b=2-;3A; ㉠-㉢을 하면 2a=-4- 2a 3 ∴ a=-2-;3A; ㉡에서 {-2-;3A;}{2-;3A;}=-a, 4- a€ 9 =a a€+9a-36=0, (a+12)(a-3)=0 ∴ a=3 (∵ a>0) ∴ f(x)= x€-3x x€+3 f '(x)= 3x€+6x-9 (x€+3)€ = 3(x+3)(x-1) (x€+3)€ f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x y -3 f '(x) + f(x) ↗ 0 ;2#; y - 1 0 ↘ -;2!; y + ↗ 7 …… ㉠ …… ㉡ …… ㉢ | 도함수의 활용 ⑵ 1 함수의 그래프 개념 확인 1 ⑴ 구간 (-M, 0)에서 위로 볼록, 구간 (0, M)에서 아래로 볼록 ⑵ 구간 {-M, ;3*;}에서 아래로 볼록, 구간 {;3*;, M}에서 위로 볼록 152쪽~155쪽 2 ⑴ (0, 0) ⑵ (-1, -2) 3 풀이 참조 4 최댓값: e-1, 최솟값: 1 1 ⑴ f(x)=x‹-x로 놓으면 f '(x)=3x€-1, f "(x)=6x f "(x)=0에서 x=0 간 (0, M)에서 아래로 볼록하다. ⑵ f(x)=-x‹+8x€+1로 놓으면 f '(x)=-3x€+16x f "(x)=-6x+16=-2(3x-8) f "(x)=0에서 x=;3*; 이때, x<0이면 f "(x)<0, x>0이면 f "(x)>0 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-M, 0)에서 위로 볼록하고, 구 따라서 함수 f(x)는 x=-3에서 극댓값 ;2#;, x=1에서 극솟값 -;2!; 을 가지므로 구하는 극댓값과 극솟값의 차는 ;2#;-{-;2!;}=2 이때, x<;3*;이면 f "(x)>0, x>;3*;이면 f "(x)<0 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 {-M, ;3*;}에서 아래로 볼록하고, 12-2  1 |해결 전략 | f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)=0인 x의 값의 좌우에서 구간 {;3*;, M}에서 위로 볼록하다. f '(x)의 부호가 바뀌면 안 된다. f(x)=(ax‹+x€+b)e-x에서 f '(x) =(3ax€+2x)e-x-(ax‹+x€+b)e-x ={-ax‹+(3a-1)x€+2x-b}e-x f '(x)=0에서 -ax‹+(3a-1)x€+2x-b=0 (∵ e-x>0) g(x)=-ax‹+(3a-1)x€+2x-b라 하면 f(x)가 f '(x)=0인 x의 값이 존재하지만 극댓값과 극솟값을 갖지 않으려면 방정식 g(x)=0이 실근을 갖지만 실근의 좌우에서 g(x)의 부호가 바뀌지 만약 a+0이라면 g(x)는 삼차함수이고 이 경우 반드시 최소 하나 이 상의 실근이 존재하며 실근의 좌우에서 g(x)의 부호가 반드시 바뀐다. 않아야 한다. ∴ a=0 따라서 g(x)=-x€+2x-b이고 이차방정식 g(x)=0이 중근을 가 지면 조건을 만족시킨다. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =1-b=0에서 b=1 ∴ a+b=1 2 ⑴ f(x)=2x‹+3x로 놓으면 f '(x)=6x€+3, f "(x)=12x f "(x)=0에서 x=0 좌표는 (0, 0)이다. ⑵ f(x)=-x‹-3x€으로 놓으면 f '(x)=-3x€-6x f "(x)=-6x-6=-6(x+1) f "(x)=0에서 x=-1 3 f(x)=-x‹+3x€-4로 놓으면 f '(x)=-3x€+6x=-3x(x-2) f "(x)=-6x+6=-6(x-1) 이때, x<0이면 f "(x)<0, x>0이면 f "(x)>0 따라서 x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 이때, x<-1이면 f "(x)>0, x>-1이면 f "(x)<0 따라서 x=-1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점 의 좌표는 (-1, -2)이다. 7 도함수의 활용 ⑵ 055 같다. 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 f "(x)=0에서 x=1 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x y f '(x) - f "(x) + f(x) ⤷ 0 0 + -4 y + + ⤴ 1 + 0 -2 y + -  따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다. y - - ⤵ 2 0 - 0 y 21 O-1 -2 -4 y=f(x) 4 f(x)=x-ln x에서 f '(x)=1-;x!; f '(x)=0에서 x=1 구간 “;e!;, e‘에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 x ;e!; f '(x) f(x) ;e!;+1 y - ↘ 1 0 1 y + ↗ e e-1 따라서 함수 f(x)는 x=e에서 최댓값 e-1, x=1에서 최솟값 1 을 갖는다. STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 {-;3@;, 0}, {-;3@;, ;2$7#;} 2-1 -;1!6!;, 0, 1 스스로 check 1-2  ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑴ f(x)=x›-3x‹으로 놓으면 f '(x)=4x‹-9x€ f "(x)=12x€-18x=6x(2x-3) f "(x)=0에서 x=0 또는 x=;2#; 이때, x<0 또는 x>;2#;이면 f "(x)>0, 01이면 f "(x)>0, 00일 때 아래로 볼록하고, f "(x)<0일 때 위로 볼록하다. ⑴ f(x)= 로 놓으면 1 x€+1 f '(x)=- 2x (x€+1)€ f "(x)=- = 2(3x€-1) (x€+1)‹ 2(x€+1)€-2x_2(x€+1)_2x (x€+1)› 2('3x+1)('3x-1) (x€+1)‹ 또는 x= '3 3 = f "(x)=0에서 x=- '3 3 또는 x> '3 3 이때, x<- '3 3 이면 f "(x)<0 이면 f "(x)>0, - '3 3 0, ;4π;-1이면 f "(x)>0, -40이고 f '(x)=2 ln ax_;x!;= 2 ln ax x ;x@;_x-2 ln ax x€ = 2(1-ln ax) x€ 이때, 00, x>;aE;이면 f "(x)<0 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 {0, ;4π;}, {;4#;p, p}에서 아래로 볼록 f "(x)= 하고, 구간 {;4π;, ;4#;p}에서 위로 볼록하다. f "(x)=0에서 ln ax=1, ax=e ∴ x=;aE; 02-1  ⑴ (-'3 , ln 6), ('3, ln 6) ⑵ {-4, 12 e› }, (-1, 0) 따라서 x=;aE;의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표 |해결 전략| 함수 f(x)에서 f "(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f "(x)의 부호가 는 {;aE;, 1}이다. 바뀌면 점 (a, f(a))는 곡선 y=f(x)의 변곡점이다. ⑴ f(x)=ln (x€+3)으로 놓으면 f '(x)= 2x x€+3 f "(x)= 2(x€+3)-2x_2x (x€+3)€ = -2(x+'3 )(x-'3 ) (x€+3)€ f "(x)=0에서 x=-'3 또는 x='3 이때, x<-'3 또는 x>'3이면 f "(x)<0, -'30 따라서 x=-'3 , x='3의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (-'3, ln 6), ('3 , ln 6)이다. ⑵ f(x)=(x€+x)ex으로 놓으면 f '(x)=(2x+1)ex+(x€+x)ex=(x€+3x+1)ex 이때, 변곡점 {;aE;, 1}이 직선 y=3x-1 위에 있으므로 1=3_;aE;-1, 2a=3e ∴ a= 3e 2 04-1  ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 |해결 전략| 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 곡선의 오목과 볼록, 변곡점 등을 조사하여 그래프의 개형을 그린다. ⑴ 1 f(x)=e-x€으로 놓으면 함수 f(x)의 정의역은 실수 전체의 집 합이다. 2 f(-x)=f(x)이므로 y축에 대하여 대칭이다. 3 f(0)=1이므로 점 (0, 1)을 지난다. 7 도함수의 활용 ⑵ 057 4 f '(x)=-2xe-x€ f "(x) =-2e-x€-2xe-x€_(-2x)=2(2x€-1)e-x€ =2('2x+1)('2x-1)e-x€ f '(x)=0에서 x=0 f "(x)=0에서 x=- '2 2 또는 x= '2 2 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x y - '2 2 f '(x) + f "(x) + f(x) ⤴ + 0 'e e y + -  0 0 1 - y - - ⤵ '2 2 - 0 'e e y - + ⤷ 5 lim x d M f(x)=0, lim x d -M f(x)=0이므로 점근선은 x축이다. 따라서 함수 y=f(x)의 그 래프의 개형은 오른쪽 그림 y 1 'e ;;;;;;; e 과 같다. y=f(x) x O '2 -;;;;;;; 2 '2 ;;;;;;; 2 ⑵ 1 f(x)=(ln x)€으로 놓으면 함수 f(x)의 정의역은 {x|x>0} 이다. 2 f(1)=0이므로 점 (1, 0)을 지난다. 3 f '(x)=2 ln x_;x!;= 2 ln x x f "(x)= ;x@;_x-2 ln x x€ = 2(1-ln x) x€ f '(x)=0에서 x=1 f "(x)=0에서 ln x=1 ∴ x=e ⑴ f(x)= x-2 x€-x+2 에서 f '(x)= x€-x+2-(x-2)(2x-1) (x€-x+2)€ = -x€+4x (x€-x+2)€ = -x(x-4) (x€-x+2)€ f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4 구간 [-1, 5]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다. x -1 f '(x) f(x) -;4#; y - ↘ 0 0 -1 y + ↗ 4 0 ;7!; y - ↘ 5 ;2£2; 따라서 함수 f(x)는 x=4에서 최댓값 ;7!;, x=0에서 최솟값 -1 을 갖는다. ⑵ f(x)=x'ßx+6에서 f '(x)='ßx+6+ f '(x)=0에서 x=-4 x 2'ßx+6 = 3x+12 2'ßx+6 = 3(x+4) 2'ßx+6 구간 [-6, 2]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다. x f '(x) f(x) -6 y -4 y 2 - 0 + ↘ -4'2 ↗ 4'2 0 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 최댓값 4'2, x=-4에서 최솟값 -4'2 를 갖는다. x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x (0) f '(x) f "(x) f(x) y - + ⤷ 1 0 + 0 y + + ⤴ e + 0 1 y + -  4 lim x d 0+ f(x)=M, lim x d M f(x)=M이므로 점근선은 y축이다. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형 y 은 오른쪽 그림과 같다. 06-1  ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: 2 ⑵ 최댓값: p, 최솟값: -2p |해결 전략| 주어진 구간에서 함수의 극값을 구한 후 극댓값, 극솟값, 구간의 양 끝에서의 함숫값을 비교하여 최댓값과 최솟값을 구한다. ⑴ f(x)=x ln x-x+3에서 f '(x)=ln x+x_;x!;-1=ln x f '(x)=0에서 x=1 구간 “;e!;, e‘에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 y=f(x) 1 O 1 e x x ;e!; 같다. f '(x) y - 1 0 2 y + ↗ e 3 f(x) 3-;e@; ↘ 따라서 함수 f(x)는 x=e에서 최댓값 3, x=1에서 최솟값 2를 갖 는다. ⑵ f (x)=sin x-x cos x에서 f '(x)=cos x-(cos x-x sin x)=x sin x f '(x)=0에서 x=0 또는 sin x=0 05-1  ⑴ 최댓값: ;7!;, 최솟값: -1 ⑵ 최댓값: 4'2, 최솟값:-4'2 058 정답과 해설 |해결 전략| 주어진 구간에서 함수의 극값을 구한 후 극댓값, 극솟값, 구간의 양 끝에서의 함숫값을 비교하여 최댓값과 최솟값을 구한다. ∴ x=0 또는 x=p 또는 x=2p (∵ 02에서 함수 f(a)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 07-2  a=2, b=1 |해결 전략| 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 구한 후 주 의 최솟값은 ;4&;이다. 따라서 함수 f(a)는 a=;4(;에서 극소이면서 최소이므로 PQ’의 길이 어진 최댓값과 최솟값을 이용하여 a, b의 값을 구한다. f(x)=a"ƒ3-x€e-2x+b에서 -'30이고 x f '(x) -'3 y + f(x) b ↗ -;2#; 0 '3e‹a 2 +b y - ↘ '3 b 따라서 함수 f(x)는 x=-;2#;에서 최댓값을 갖고, x=-'3 또는 x='3에서 최솟값을 갖는다. f {-;2#;}='3 e‹+1에서 '3e‹a 2 +b='3 e‹+1 f '(x)=1-;x^; f '(x)=0에서 x=6 x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 6 0 6-6 ln 6 y + ↗ y 이때, lim x d 0+ f(x)=M, lim x d M f(x)=M이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 O 6-6 ln 6 6 y=f(x) x 7 도함수의 활용 ⑵ 059 …… ㉠ 그림과 같다. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 2이다. STEP 개념 드릴 1 | 167쪽 | ⑵ f(x)=sin x-x로 놓으면 f '(x)=cos x-1 f '(x)<0이므로 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 감소한다. 이때, f(0)=0이므로 함수 y=f(x)의 y=f(x) y 개념 check 1-1 ;2#;, 2 2-1 1, 0 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과 한 점에서 만나므로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 1이다. O x 스스로 check 1-2  ⑴ 1 ⑵ 1 ⑴ f(x)= +1로 놓으면 x>0이고 ln x x f '(x)= ;x!;_x-ln x x€ = 1-ln x x€ f '(x)=0에서 ln x=1 ∴ x=e x (0) f '(x) f(x) y + e 0 y - ↗ ;e!;+1 ↘ x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 이때, lim x d 0+ f(x)=-M, y=f(x) lim x d M f(x)=1이므로 함수 y=f(x) y ;e!;+1 1 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. O e x 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 x x축과 한 점에서 만나므로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개 y 1 O 수는 1이다. ⑵ f(x)=ex-x로 놓으면 f '(x)=ex-1` f '(x)=0에서 x=0 x y f '(x) - f(x) ↘ 0 0 1 y + ↗ 이때, lim x d M f(x)=M, lim x d -M f(x)=M이 y=f(x) 므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 y=1과 한 점에서 만나므로 주어진 방정 식의 서로 다른 실근의 개수는 1이다. y=1 y 1 O x 2 ⑴ f(x)=(x-1)ex+1로 놓으면 f '(x)=ex+(x-1)ex=xex f '(x)=0에서 x=0 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x y f '(x) - f(x) ↘ 0 0 0 y + ↗ 이때, lim x d M f(x)=M, lim x d -M f(x)=1이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. 함수 f(x)는 x=0에서 최솟값 0을 가지므로 f(x)=(x-1)ex+1>0 한다. ⑵ f(x)=ln x+;x!;-1로 놓으면 x>0이고 f '(x)=;x!;- 1 x€ = x-1 x€ f '(x)=0에서 x=1 다. x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 0 y + ↗ 따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 (x-1)ex>-1이 성립 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같 림과 같다. 이때, lim x d 0+ f(x)=M, y lim x d M f(x)=M이므로 함수 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y=f(x) 함수 f(x)는 x=1에서 최솟값 0을 O 1 x 가지므로 f(x)=ln x+;x!;-1>0 060 정답과 해설 따라서 x>0일 때, 부등식 ln x>1-;x!;이 성립한다. f '(x)>0 2-2  ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑴ f(x)=x+2-(2-x)ex으로 놓으면 f '(x)=1+ex-(2-x)ex=(x-1)ex+1 f "(x)=ex+(x-1)ex=xex x>0일 때, f "(x)>0이므로 f '(x)는 증가하고, f '(0)=0이므로 또, x>0일 때, f '(x)>0이므로 f(x)는 증가하고, f(0)=0이므로 f(x)=M, lim x d M f(x)=M이 y y=f(x) f(x)>0 따라서 x>0일 때, 부등식 x+2>(2-x)ex이 성립한다. 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. ⑵ f(x)= -1로 놓으면 1 x€+1 f '(x)=- 2x (x€+1)€ f '(x)=0에서 x=0 x y f '(x) + f(x) ↗ 0 0 0 y - ↘ 이때, lim x d M f(x)=-1, y O -1 lim x d -M f(x)=-1이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 y=f(x) 과 같다. 함수 f(x)는 x=0에서 최댓값 0을 가지므로 f(x)= -1<0 1 x€+1 따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 <1이 성립한다. 1 x€+1 이때, lim x d ;2!;+ 림과 같다. k>2+ln 2 므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 따라서 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근 을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위는 2+ln 2 y=k O 1 ;2!; x 02-1  02+ln 2 |해결 전략| f(x)=2x-ln {x-;2!;}로 놓고 함수 y=f(x)의 그래프를 그려 직 선 y=k와 두 점에서 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구한다. 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=2x-ln {x-;2!;} |해결 전략| x>1에서 함수 f(x)= -k의 최솟값이 0보다 크거나 같도록 x€ ln x 의 그래프와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다. f(x)=2x-ln {x-;2!;}로 놓으면 x>;2!;이고 =2- 2 2x-1 = 4(x-1) 2x-1 f '(x)=2- 1 x-;2!; f '(x)=0에서 x=1 x f '(x) f(x) {;2!;} y - 1 0 ↘ 2+ln 2 y + ↗ x>;2!;에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x>1에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 함수 f(x)는 x='e 에서 최소이므로 f(x)>0이 성립하려면 2e-k>0 ∴ k<2e 03-2  -e;2π; |해결 전략| 00이 성립하려면 -e;2π;-k>0 ∴ k<-e;2π; 따라서 구하는 k의 최댓값은 -e;2π;이다. | 174쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 0, -2 2-1 ⑴ 2, 2, '5 ⑵ 2, 2, 2 스스로 check 1-2  ⑴ 속도: 1, 가속도: 1 ⑵ 속도: 2-'2 2 , 가속도: '2 8 ⑴ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f '(t)=1-sin t, a(t)=f "(t)=-cos t 따라서 t=p에서의 점 P의 속도와 가속도는 v(p)=1-sin p=1, a(p)=-cos p=1 ⑵ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 , a(t)=f "(t)= v(t)=f '(t)=1- 1 1 2t'÷t '÷t 따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는 2-'2 2 v(2)=1- , a(2)= = 1 2_2'2 = '2 8 1 '2 =2t-6이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 2-2  ⑴ 5 ⑵ 2 dy dt =-3, dx dt ⑴ (-3, 2t-6) 이므로 속력은 "ƒ(-3)€+4€=5 d÷€y dt€ d÷€x dt€ =0, ⑵ 따라서 t=5에서의 점 P의 속도는 (-3, 2_5-6), 즉 (-3, 4) 3 속도와 가속도 개념 확인 171쪽~172쪽 =2이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 1 ⑴ 속도: e€, 가속도: e€ ⑵ 속도: ;2!;, 가속도: -;4!; (0, 2) 2 속도: (2t, 2), 가속도: (2, 0) 따라서 t=6에서의 점 P의 가속도는 (0, 2)이므로 가속도의 크기는 "ƒ0€+2€=2 1 ⑴ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f '(t)=et, a(t)=f "(t)=et 따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는 v(2)=e€, a(2)=e€ ⑵ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f '(t)= , a(t)=f "(t)=- 1 t 1 t€ 따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는 v(2)=;2!;, a(2)=- =-;4!; 1 2€ =2t, =2이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 (2t, 2) |해결 전략| 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)일 때, 또, =2, =0이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 STEP 필수 유형 2 | 175쪽~176쪽 | 01-1  ⑴ 속도: 2+'2, 가속도: -'2 ⑵ -2 속도 v와 가속도 a는 v=f '(t), a=f "(t)이다. ⑴ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f '(t)=2+2 cos t, a(t)=f "(t)=-2 sin t 2 dx dt dy dt d÷€x dt€ d÷€y dt€ (2, 0) 062 정답과 해설 따라서 t=;4π;에서의 점 P의 속도와 가속도는 v {;4π;}=2+2 cos ;4π;=2+2_ '2 a {;4π;}=-2 sin ;4π;=-2_ '2 =2+'2 =-'2 2 2 ⑵ 속도가 2인 순간은 2+2 cos t=2에서 cos t=0 ∴ t=;2π; (∵ 00이고 f '(x)=2x(ln x-1)+x€_;x!;=x(2 ln x-1) f "(x)=2 ln x-1+x_;x@;=2 ln x+1 곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로 2 ln x+1<0, ln x<-;2!; ∴ 00) 따라서 곡선 y=f(x)가 위로 볼록한 구간은 {0, 'e e }이다. 1-2  p |해결 전략 | 곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 한다. f(x)=exsin x로 놓으면 f '(x)=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x) f "(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x 곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로 2excos x<0 ∴ ;2π;0 따라서 x=;3π;, x=;3%;p의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 두 변 2-2  |해결 전략 | 함수 y=f(x)에서 f "(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f "(x)의 부 '3 호가 바뀌면 점 (a, f(a))는 곡선 y=f(x)의 변곡점이다. f(x)=ln (x€+x+1)로 놓으면 f '(x)= 2x+1 x€+x+1 7 도함수의 활용 ⑵ 063 곡점의 x좌표는 각각 ;3π;, ;3%;p이다. | 177쪽~179쪽 | ∴ |a-b|=|;3π;-;3%;p|=;3$;p =- 이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 |해결 전략 | 함수 y=f(x)에서 f "(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f "(x)의 부 f "(x)= 2(x€+x+1)-(2x+1)(2x+1) (x€+x+1)€ =- 2x€+2x-1 (x€+x+1)€ f "(x)=0에서 2x€+2x-1=0 ∴ x= -1\'3 2 -1-'3 2 이때, x< 또는 x> 이면 f "(x)<0, -1+'3 2 -1-'3 2 0 ex>0이므로 곡선 y=f(x)의 변곡점이 2개이려면 방정식 x€+5x+a+4=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 따라서 이차방정식 x€+5x+a+4=0의 판별식을 D라 하면 D=5€-4(a+4)>0 a+4<:™4∞: ∴ a<;4(; 4-1  -;5^; |해결 전략 | 구간 $a, b&에서 정의된 연속함수 f(x)에 대하여 f(a), f(b)와 f(x)의 극값 중 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다. 따라서 x= -1-'3 2 , x= -1+'3 2 의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 두 변곡점의 x좌표는 각각 -1-'3 2 , -1+'3 2 이다. ∴ |a-b|=| -1-'3 2 - -1+'3 2 |='3 다른 풀이 f "(x)=0에서 2x€+2x-1=0 이때, 이차방정식 2x€+2x-1=0의 판별식을 D라 하면 f(x)= x€-3x+1 x-3 에서 f '(x)= (2x-3)(x-3)-(x€-3x+1) (x-3)€ = x€-6x+8 (x-3)€ = (x-2)(x-4) (x-3)€ f '(x)=0에서 x=2 {∵ -20이므로 서로 다른 두 실근 a, b를 갖고, x=a, -21)에서 =k이므로 주어진 방정식의 서 y=e-x y y=ex 로 다른 실근의 개수는 함수 y= 의 그래프와 직선 y=k의 교 a>0에서 함수 S(a)의 증가, 감소를 표 -a O a x 1 e-a f(x)= 댓값은 3'3이다. 7-2  ;e@; 직사각형의 넓이를 S(a)라 하면 S(a)=2ae-a S'(a) =2e-a-2ae-a =2(1-a)e-a S'(a)=0에서 a=1 로 나타내면 다음과 같다. a (0) S '(a) S(a) y + ↗ 1 0 ;e@; y - ↘ 값은 ;e@;이다. 8-1  02'2 x+1 'ßx-1 도록 하는 k의 값의 범위를 구한다. |해결 전략 | 함수 y= 의 그래프를 그리고 직선 y=k와 두 점에서 만나 = x-3 2(x-1)'ßx-1 x>1에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x+1 'ßx-1 x+1 'ßx-1 점의 개수와 같다. 로 놓으면 x+1 'ßx-1 'ßx-1-(x+1)_ x-1 1 2'ßx-1 f '(x)= f '(x)=0에서 x=3 x (1) f '(x) f(x) y - ↘ 3 0 2'2 y + ↗ 이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 주어진 방정식이 서로 다른 두 실 근을 갖도록 하는 k의 값의 범위는 k>2'2 2'2 O 3 y=k x 9-1  k>1 |해결 전략 | x>a에서 f(x)가 증가할 때, f(x)>0이려면 f(a)>0이어야 한다. f(x)=x-cos x+k로 놓으면 f '(x)=1+sin x 모든 실수 x에 대하여 -10 따라서 S(a)는 a=1에서 최댓값 ;e@; 를 가지므로 구하는 넓이의 최댓 이때, lim x d 1+ f(x)=M, lim x d M f(x)=M y y=f(x) 따라서 x>0일 때 f(x)는 증가하고, f(0)=-1+k이므로 f(x)>0 이 성립하려면 -1+k>0 ∴ k>1 11-1  'ß15 4 03'3 따라서 구하는 k의 최솟값은 3'3이다. 10-1  |해결 전략 | 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)일 '3 때, 시각 t에서의 점 P의 속도 v는 v= =f '(t)이다. dx dt 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t)=f '(t)=-pa sin {pt-;6π;} t=1에서의 속도가 -p이므로 -pa sin {p-;6π;}=-pa sin ;6%;p=-;2π;a=-p ∴ a=2 따라서 f(t)=2 cos {pt-;6π;}이므로 t=2에서의 점 P의 위치는 f(2)=2 cos {2p-;6π;}=2 cos ;6π;=2_ '3 ='3 2 10-2  3 |해결 전략 | 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)일 때, 시각 t에서의 점 P의 속도 v와 가속도 a는 v= =f '(t), a= =f "(t)이다. dx dt dv dt 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f '(t)= 2t t€+9 |해결 전략 | 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)일 때, 시각 t에서의 점 P의 속도는 (f '(t), g'(t))이고 속력은 "ƒ{ f '(t)}€+{ g'(t)}€이다. dx dt =-sin t-cos t이므로 점 P의 시각 t에서의 =2 sin 2t, dy dt 속도는 (2 sin 2t, -sin t-cos t) 따라서 점 P의 시각 t에서의 속력은 "ƒ(2 sin 2t)€+(-sin t-cos t)€ ="ƒ4 sin€ 2t+2 sin t cos t+1 (∵ sin€ t+cos€ t=1) ="ƒ4 sin€ 2t+sin 2t+1 sin 2t=a (-10이므로 점 P의 가속도가 0일 때의 시각은 함수 f(t)는 t=0에서 최솟값 4를 가지므로 점 P의 속력은 t=0에서 최솟값 '4=2를 갖는다. 따라서 a=0, b=2이므로 a(t)=0에서 t=3 a+b=2 7 도함수의 활용 ⑵ 067 8 | 여러 가지 적분법 1 여러 가지 함수의 부정적분 | 185쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 x€, ;x@;, ;3!;x‹, 2 ln |x| 2-1 ⑴ 4x, ln 2 ⑵ 2x, 2x ln 2 , 2x+1 ln 2 3-1 ⑴ sec€ x, sec€ x, tan x ⑵ sin€ x, sin€ x, sin x, -cos x 개념 확인 182쪽~184쪽 1 ⑴ ;4#;x ‹'x+C ⑵ - +C ⑶ 2'x+C 1 3x‹ 2 ⑴ 2ex+C ⑵ +C ⑶ ex+3+C ⑷ 32x 2 ln 3 7x+2 ln 7 +C 3 ⑴ -2 cos x+sin x+C ⑵ sin x-3 tan x+C 스스로 check 1 ⑴ … ‹'x dx=… x;3!;dx= x;3!;+1+C 1 ;3!;+1 =;4#;x;3$;+C=;4#;x ‹'x +C ⑵ … 1 x› dx=… x-4dx= 1 -4+1 x-4+1+C =-;3!;x-3+C=- 1 3x‹ +C ⑶ … dx=… x-;2!;dx= x-;2!;+1+C 1 'x 1 -;2!;+1 =2x;2!;+C=2'x+C 2 ⑴ … 2exdx=2… exdx=2ex+C ⑵ … 32xdx=… 9xdx= 9x ln 9 +C= 32x 2 ln 3 +C ⑶ … ex+3dx=… ex_e‹dx=e‹… exdx =e‹_ex+C=ex+3+C ⑷ … 7x+2dx=… 7x_7€dx=49… 7xdx 7x+2 ln 7 7x ln 7 =49_ +C= +C 3 ⑴ … (2 sin x+cos x)dx=2… sin x dx+… cos x dx =-2 cos x+sin x+C ⑵ … (cos x-3 sec€ x)dx=… cos x dx-3… sec€ x dx =sin x-3 tan x+C 068 정답과 해설 1-2  ;6!;xfl+;3@;x‹-;2!;x€+;x@;+C … {x‹-;x!;} {x€+;x@;}dx=… {xfi+2x€-x- 2 x€ } dx =… (xfi+2x€-x-2x-2)dx =;6!;xfl+;3@;x‹-;2!;x€+2x-1+C =;6!;xfl+;3@;x‹-;2!;x€+;x@;+C 2-2  ⑴ 2ex+ 23x 3 ln 2 +C ⑵ 32x 2 ln 3 - 2_3x ln 3 +x+C ⑴ … (2ex+23x)dx=… (2ex+8x)dx =2ex+ =2ex+ 8x ln 8 +C 23x 3 ln 2 +C ⑵ … (3x-1)€dx=… (9x-2_3x+1)dx 9x ln 9 3x ln 3 -2_ = +x+C = 32x 2 ln 3 - 2_3x ln 3 +x+C 3-2  ⑴ -cot x-x+C ⑵ sin x+C ⑴ cot€ x=csc€ x-1이므로 … cot€ x dx=… (csc€ x-1)dx =-cot x-x+C ⑵ 1-sin€ x=cos€ x이므로 … cos‹ x 1-sin€ x dx=… cos‹ x cos€ x dx =… cos x dx =sin x+C STEP 필수 유형 2 | 186쪽~188쪽 | ⑵ … { 1 2x -1} { 1 4x + 1 2x +1} dx=… [{;2!;} -1]dx 01-1  ⑴ ;7@;x‹'x -;5@;x€'x +6'x +C ⑵ ;5@;x€'x +;2!;x€+;3@;x'x +x+C |해결 전략| 분자를 분모로 나누거나 식을 합하고 분자를 인수분해하여 xn (n은 실수) 꼴인 항의 합으로 변형한다. ⑴ … x‹-x€+3 'x dx=… (x;2%;-x;2#;+3x-;2!;)dx =;7@;x;2&;-;5@;x;2%;+6x;2!;+C =;7@;x‹'x -;5@;x€'x +6'x +C ⑵ … x€ 'x-1 dx-… 1 'x-1 dx=… 3x x =… [{;8!;} -1]dx = -x+C x {;8!;} ln ;8!; =- -x+C 1 8x ln 8 =- 1 3_23x ln 2 -x+C 02-2  2 |해결 전략| 곱셈 공식을 이용하여 f(x)의 식을 전개한 후 부정적분을 구한다. f(x) =(3x+ax){9x-(3a)x+a2x} dx dx=… ('x )›-1 'x-1 x€-1 'x-1 {('x )€+1}('x +1)('x -1) 'x-1 dx =… =… (x+1)('x +1)dx =… (x;2#;+x+x;2!;+1)dx =;5@;x;2%;+;2!;x€+;3@;x;2#;+x+C =;5@;x€'x +;2!;x€+;3@;x'x +x+C =(3x)‹+(ax)‹ =27x+(a‹)x ∴ … f(x)dx=…{27x+(a‹)x}dx 27x ln 27 33x 3 ln 3 (a‹)x ln a‹ a3x 3 ln a + = + = +C +C = 33x-1 ln 3 + a3x 3 ln a +C 01-2  ;2%; |해결 전략| 분자를 전개한 후 xn (n은 실수) 꼴인 항의 합으로 식을 변형한다. (x€+1)€ x‹ … dx=… x›+2x€+1 x‹ dx =… {x+;x@;+ 1 x‹ }dx =… {x+;x@;+x-3 }dx =;2!;x€+2 ln |x|-;2!;x-2+C =;2!;x€+2 ln |x|- 1 2x€ +C 이때, … (x€+1)€ x‹ dx=px€+q ln |x|- +C이므로 1 2x€ p=;2!;, q=2 ∴ p+q=;2!;+2=;2%; 이때, 함수 f(x)의 한 부정적분 F(x)가 F(x)= 33x-1 ln 3 + 23x 3 ln 2 이 므로 a=2 03-1  ⑴ x+2 cot x+C ⑵ -cot x+csc x+C |해결 전략| 분자를 분모로 나누거나 식을 변형한 후 공식을 이용하여 적분한다. ⑴ … sin€ x-2 sin€ x 2 sin€ x 1- dx=… (1-2 csc€ x)dx =x+2 cot x+C ⑵ … 1 1+cos x dx=… 1-cos x (1+cos x)(1-cos x) dx =… 1-cos x sin€ x dx 1 sin€ x - 1 sin x _ cos x sin x =… (csc€ x-csc x cot x)dx =-cot x+csc x+C 02-1  ⑴ 3x ln 3 +x+C ⑵ - 1 3_23x ln 2 -x+C 03-2  - 5'3 3 |해결 전략| 인수분해한 후 약분하거나 곱셈 공식을 이용하여 식을 전개한다. |해결 전략| 함수 f(x)의 식을 삼각함수의 부정적분 공식을 적용할 수 있는 형태 ⑴ … 9x-1 3x-1 dx=… (3x+1)(3x-1) 3x-1 dx =… (3x+1)dx = 3x ln 3 +x+C 로 변형한다. f(x)= 1 cos€ x + 2 sin€ x =sec€ x+2 csc€ x이므로 F(x)=… f(x)dx=… (sec€ x+2 csc€ x)dx =tan x-2 cot x+C 8 여러 가지 적분법 069 이때, F{;4π;}=-1에서 1-2+C=-1 ∴ C=0 따라서 F(x)=tan x-2 cot x이므로 F{;6π;}= '3 3 -2'3 =- 5'3 3 2 치환적분법 개념 확인 1 ⑴ ;6!;(3x-2)fl+C ⑵ ;7!;(5x+1)‡+C 2 ⑴ ;1¡0;(2x+5)fi+C ⑵ ;6!; ln |6x+5|+C ⑶ ;2!;e2x-1+ 33x ln 3 +C ⑷ -;2!; cos (2x+1)+;3!; sin (3x+1)+C 3 ⑴ ln |x‹+3x+1|+C ⑵ x+ln |x+4|+C ⑶ ln | x+1 x+2 |+C 1 ⑴ 3x-2=t로 놓으면 3= dt dx 이므로 … 3(3x-2)fidx=… tfi dt =;6!;tfl+C=;6!;(3x-2)fl+C ⑵ 5x+1=t로 놓으면 5= 이므로 dt dx … 5(5x+1)fldx=… tfl dt =;7!;t‡+C=;7!;(5x+1)‡+C 2 ⑴ … (2x+5)›dx=;2!;_;5!;(2x+5)fi+C =;1¡0;(2x+5)fi+C ⑵ … 1 6x+5 dx=;6!; ln |6x+5|+C ⑷ … sin (2x+1)dx+… cos (3x+1)dx =-;2!; cos (2x+1)+;3!; sin (3x+1)+C 070 정답과 해설 3 ⑴ (x‹+3x+1)'=3x€+3이므로 … 3x€+3 x‹+3x+1 dx=… (x‹+3x+1)' x‹+3x+1 dx =ln |x‹+3x+1|+C ⑵ =1+ 이므로 x+5 x+4 1 x+4 … x+5 x+4 dx=… {1+ 1 x+4 }dx =x+ln |x+4|+C ⑶ 1 (x+1)(x+2) = 1 x+1 - 1 x+2 이므로 … 1 (x+1)(x+2) dx=… { 1 x+1 - 1 x+2 } dx =ln |x+1|-ln |x+2|+C =ln | x+1 x+2 |+C 189쪽~191쪽 | 192쪽~193쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ -;3@;, -;3@;, -;3@; ⑵ t, t, x€ ⑶ t, ;2!;t€, ;2!;(ln x)€ ⑷ t€, -;3!;t‹, -;3!; cos‹ x 2-1 -csc€ x, -csc€ x, ln |cot x| 3-1 ⑴ 5 ln |x+2| ⑵ x+3, x+3 스스로 check 1-2  ⑴ ;3@;(x-2)'ßx-2+C ⑵ 2ex‹+1+C ⑶ ;1¡2;(ln x)fl+C ⑷ ;4!; sin› x+C =;3@;t;2#;+C=;3@; t' t +C =;3@;(x-2)'ßx-2+C ⑶ … e2x-1dx+… 33x+1dx=;2!; e2x-1+ 1 3 ln 3 33x+1+C ⑴ x-2=t로 놓으면 1= 이므로 dt dx =;2!; e2x-1+ 33x ln 3 +C … 'ßx-2 dx=… ' t dt=… t;2!;dt ⑵ x‹+1=t로 놓으면 3x€= 이므로 dt dx … 6x€ex‹+1dx=2… 3x€ex‹+1 dx=2… et dt =2et+C=2ex‹+1+C ⑶ ln x=t로 놓으면 ;x!;= dt dx 이므로 … (ln x)fi 2x dx=;2!; … (ln x)fi x dx=;2!; … tfidt =;2!;_;6!;tfl+C=;1¡2;(ln x)fl+C ⑷ sin x=t로 놓으면 cos x= 이므로 dt dx … sin‹ x cos x dx=… t‹dt =;4!;t›+C=;4!; sin› x+C 2-2  2 ln (e2x+3)+C (e2x+3)'=2e2x이므로 4e2x e2x+3 … dx=2… dx 2e2x e2x+3 (e2x+3)' e2x+3 dx =2… =2 ln (e2x+3)+C (∵ e2x+3>0) 3-2  ⑴ ;3!;x‹+;2!;x€+3x+2 ln|x-1|+C ⑵ ;2!; ln| ⑴ x‹+2x-1 x-1 = x-3 x-1 |+C (x€+x+3)(x-1)+2 x-1 =x€+x+3+ 2 x-1 이므로 x‹+2x-1 x-1 … dx=… {x€+x+3+ 2 x-1 } dx STEP 필수 유형 2 | 194쪽~198쪽 | 01-1  ⑴ ;1¡0;(4x€-1)fi+C ⑵ ;2£0;(5x+2) ‹'ß 5x+2 +C |해결 전략| … { f(x)}nf '(x)dx, … "∂f(x)f '(x)dx 꼴은 f(x)=t로 놓고 치환 적분법을 이용한다. ⑴ 4x€-1=t로 놓으면 8x= 이므로 dt dx … 4x(4x€-1)›dx=;2!;… 8x(4x€-1)›dx=;2!;… t›dt =;2!;_;5!;tfi+C=;1¡0;tfi+C =;1¡0;(4x€-1)fi+C ⑵ 5x+2=t로 놓으면 5= 이므로 dt dx … ‹'ß 5x+2 dx=;5!;… 5 ‹'ß 5x+2 dx =;5!;… ‹' t dt=;5!;… t;3!;dt =;5!;_;4#; t;3$;+C =;2£0;t;3$;+C=;2£0; t ‹'t +C =;2£0;(5x+2) ‹'ß 5x+2+C 01-2  |해결 전략| x€+2x+3=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. '3+'2 x€+2x+3=t로 놓으면 2x+2= , 2(x+1)= 이므로 dt dx dt dx f(x)=… x+1 "ƒx€+2x+3 dx=;2!;… 2(x+1) "ƒx€+2x+3 dx =;2!;… dt=;2!;… t-;2!;dt 1 't =t;2!;+C='t +C="ƒx€+2x+3+C 이때, f(-1)=2'2에서 '2+C=2'2 따라서 f(x)="ƒx€+2x+3+'2 이므로 f(0)='3+'2 ∴ C='2 02-1  ⑴ ;3!;(e2x+2)"ƒe2x+2+C ⑵ ;3!;(ln x-3)‹+C =;3!;x‹+;2!;x€+3x+2 ln|x-1|+C |해결 전략| … f(ex)exdx, … f(ln x) x dx 꼴은 각각 ex=t, ln x=t로 놓고 치 ⑵ 1 x€-4x+3 = 1 (x-3)(x-1) =;2!; { 1 x-3 - 1 x-1 } 환적분법을 이용한다. ⑴ e2x+2=t로 놓으면 2e2x= 이므로 dt dx … 1 x€-4x+3 dx=;2!; … { 1 x-3 1 - x-1 } dx … e2x "ƒe2x+2 dx=;2!;… 2e2x "ƒe2x+2 dx=;2!;… 't dt=;2!;… t;2!;dt =;2!;(ln|x-3|-ln|x-1|)+C =;2!; ln| x-3 x-1 |+C =;3!;t;2#;+C=;3!;t't +C =;3!;(e2x+2)"ƒe2x+2+C 이므로 8 여러 가지 적분법 071 ⑵ ln x-3=t로 놓으면 ;x!;= dt dx 이므로 … (ln x-3)€ x dx=… t€dt=;3!;t‹+C =;3!;(ln x-3)‹+C 02-2  (ln 2)€ |해결 전략| ln (x€+2)=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ln (x€+2)=t로 놓으면 2x x€+2 = dt dx 이므로 f(x)=… x x€+2 ln (x€+2)dx =;2!;… 2x x€+2 ln (x€+2)dx =;2!;… t dt=;4!;t€+C =;4!;{ln (x€+2)}€+C 이때, f(0)= (ln 2)€ 4 에서 (ln 2)€ 4 (ln 2)€ 4 +C= ∴ C=0 |해결 전략| … f(sin x) cos x dx, … f(cos x) sin x dx 꼴은 각각 sin x=t, 따라서 f(x)=;4!; {ln (x€+2)}€이므로 f('2 )= (ln 4)€ 4 ={ 2 ln 2 2 } €=(ln 2)€ 03-1  ⑴ sin› x-sin‹ x+sin x+C ⑵ ;3!; cos‹ x-cos x+C cos x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ⑴ sin x=t로 놓으면 cos x= 이므로 dt dx … (4 sin‹ x-3 sin€ x+1)cos x dx =… (4t‹-3t€+1)dt =t›-t‹+t+C =sin› x-sin‹ x+sin x+C ⑵ … sin‹ x dx=… sin x_sin€ x dx =… sin x(1-cos€ x)dx cos x=t로 놓으면 -sin x= 이므로 dt dx 03-2  ;4%; |해결 전략| cos x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. cos x=t로 놓으면 -sin x= 이므로 dt dx F(x)=… f(x)dx=… cos‹ x sin x dx=-… t‹ dt =-;4!;t›+C =-;4!; cos› x+C 이때, F(0)=1에서 -;4!;+C=1 ∴ C=;4%; 따라서 F(x)=-;4!; cos› x+;4%;이므로 F{;2π;}=;4%; 04-1  ⑴ ln |x‹-x+3|+C ⑵ ln (2x+4x)+C ⑶ ln |sin x|+C |해결 전략| … f '(x) f(x) dx=ln | f(x)|+C임을 이용한다. ⑴ (x‹-x+3)'=3x€-1이므로 … 3x€-1 x‹-x+3 dx=… (x‹-x+3)' x‹-x+3 dx ⑵ (2x+4x)'=2x ln 2+4x ln 4=(2x+22x+1)ln 2이므로 =ln |x‹-x+3|+C (2x+22x+1)ln 2 2x+4x dx=… (2x+4x)' 2x+4x dx … =ln (2x+4x)+C (∵ 2x+4x>0) ⑶ cot x= 이고 (sin x)'=cos x이므로 cos x sin x … cot x dx=… cos x sin x dx=… (sin x)' sin x dx =ln |sin x|+C 04-2  ln 17 |해결 전략| … f '(x) f(x) dx=ln | f(x)|+C임을 이용한다. (e2x+1)'=2e2x이므로 2e2x e2x+1 f(x)=… dx=… (e2x+1)' e2x+1 dx =ln (e2x+1)+C (∵ e2x+1>0) 이때, f(0)=ln 2에서 ln 2+C=ln 2 따라서 f(x)=ln (e2x+1)이므로 f(ln 4)=ln (e2 ln 4+1)=ln 17 ∴ C=0 … sin x(1-cos€ x)dx=-… (1-t€)dt=… (t€-1)dt =;3!;t‹-t+C =;3!; cos‹ x-cos x+C 05-1  ⑴ ;3!;x‹-x€+3x-3 ln |x+2|+C ⑵ ln | x-2 x+1 |+C |해결 전략| 분자를 분모로 나누어 몫과 나머지의 꼴로 나타내거나 부분분수로 변형하여 부정적분을 구한다. 072 정답과 해설 ⑴ x‹-x+3 x+2 = (x€-2x+3)(x+2)-3 x+2 =x€-2x+3- 3 x+2 STEP 개념 드릴 1 | 200쪽 | 이므로 … x‹-x+3 x+2 dx=… {x€-2x+3- x+2 } dx 3 =;3!;x‹-x€+3x-3 ln |x+2|+C ⑵ 3 x€-x-2 = 3 (x-2)(x+1) = 1 x-2 - 1 x+1 이므로 … 3 x€-x-2 dx=… { 1 x-2 1 - x+1 } dx =ln |x-2|-ln |x+1|+C =ln | x-2 x+1 |+C 05-2  ln 6 |해결 전략| 1 (x+a)(x+b) = 1 b-a { 1 x+a 1 - x+b }임을 이용하여 피적 분함수를 간단한 유리함수의 차로 나타내어 적분한다. 2 x(x+2) =;x!;- 1 x+2 이므로 f(x)=… 2 x(x+2) dx=… {;x!;- x+2 } dx 1 =ln |x|-ln |x+2|+C =ln | x x+2 |+C 이때, f(1)=ln 2에서 -ln 3+C=ln 2 ∴ C=ln 2+ln 3=ln 6 따라서 f(x)=ln | x x+2 |+ln 6=ln | 6x x+2 |이므로 f(-1)=ln 6 개념 check 1-1 2x, 2, 2x, e2x 2-1 cos x, cos x, cos x, sin x 3-1 ln x, 1, ln x, x 스스로 check 1-2  x2x ln 2 - 2x (ln 2)€ +C f(x)=x, g '(x)=2x으로 놓으면 f '(x)=1, g(x)= 이므로 2x ln 2 … x2x dx= = x2x ln 2 x2x ln 2 2x ln 2 -… dx - 2x (ln 2)€ +C 2-2  x sin x+cos x+C f(x)=x, g '(x)=cos x로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=sin x이므로 … x cos x dx=x sin x-… sin x dx =x sin x+cos x+C 3-2  x ln (x+1)-x+ln |x+1|+C f(x)=ln (x+1), g '(x)=1로 놓으면 f '(x)= , g(x)=x이므로 1 x+1 … ln (x+1)dx=x ln (x+1)-… x x+1 dx 1 =x ln (x+1)-… {1- x+1 } dx =x ln (x+1)-x+ln |x+1|+C 3 부분적분법 1 f(x)= x+2 , g '(x)=ex으로 놓으면 f '(x)= 1 , g(x)=ex이므로 … (x+2)exdx=( x+2 )ex-… ex dx =(x+2)ex-ex+C = (x+1)ex +C 개념 확인 1 ㈎ x+2 ㈏ 1 ㈐ ex ㈑ (x+1)ex 199쪽 STEP 필수 유형 2 | 201쪽~202쪽 | 01-1  ⑴ (x+3)3x ln 3 - 3x (ln 3)€ +C ⑵ -;2!;x cos 2x+;4!; sin 2x+C ⑶ (x€-x) ln x-;2!;x€+x+C |해결 전략| 부분적분법을 이용한다. 8 여러 가지 적분법 073 ⑴ f(x)=x+3, g '(x)=3x으로 놓으면 f '(x)=1, g(x)= 이므로 3x ln 3 (x+3)3x ln 3 (x+3)3x ln 3 -… 3x ln 3 dx - 3x (ln 3)€ +C … (x+3)3xdx= = ⑵ f(x)=x, g '(x)=sin 2x로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=-;2!; cos 2x이므로 … x sin 2x dx=x_{-;2!; cos 2x}-… {-;2!; cos 2x} dx =-;2!;x cos 2x+;4!; sin 2x+C ⑶ f(x)=ln x, g '(x)=2x-1로 놓으면 f '(x)=;x!;, g(x)=x€-x이므로 … (2x-1) ln x dx=(x€-x) ln x-… ;x!;_(x€-x)dx =(x€-x) ln x-… (x-1)dx =(x€-x) ln x-;2!;x€+x+C 이때, … ln x dx에서 u(x)=ln x, v '(x)=1로 놓으면 u '(x)=;x!;, v(x)=x이므로 … ln x dx=x ln x-… 1 dx =x ln x-x+C¡ ㉡을 ㉠에 대입하면 … (ln x)€dx=x(ln x)€-2(x ln x-x+C¡) =x(ln x)€-2x ln x+2x+C -2C¡=C ……㉡ | 203쪽~205쪽 | |해결 전략 | n+-1일 때 …xndx= 1 n+1 xn+1+C임을 이용한다. STEP 유형 드릴 3 1-1  ;1@2%; f(x)=… (x;2!;+x-;2!;)dx =;3@;x;2#;+2x;2!;+C¡ =;3@;x'x +2'x +C¡ 즉, f(x)=;3@;x'x +2'x -;3%; g(x)=… (x;3!;+x-;3!;)dx =;4#;x;3$;+;2#;x;3@;+C™ =;4#;x ‹'x+;2#; ‹"ƒx€+C™ 이때, f(1)=1에서 ;3@;+2+C¡=1 ∴ C¡=-;3%; 02-1  ⑴ 2x€ex-4xex+4ex+C ⑵ x(ln x)€-2x ln x+2x+C |해결 전략| 부분적분법을 한 번 적용하여 부정적분을 구할 수 없으므로 다시 부 분적분법을 적용한다. ⑴ f(x)=2x€, g '(x)=ex으로 놓으면 f '(x)=4x, g(x)=ex이므로 … 2x€exdx=2x€ex-… 4xexdx ……㉠ 이때, … 4xexdx에서 u(x)=4x, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=4, v(x)=ex이므로 … 4xexdx=4xex-… 4exdx=4xex-4ex+C¡ ㉡을 ㉠에 대입하면 … 2x€exdx=2x€ex-(4xex-4ex+C¡) =2x€ex-4xex+4ex+C ⑵ f(x)=(ln x)€, g '(x)=1로 놓으면 f '(x)= , g(x)=x이므로 2 ln x x … (ln x)€dx=x(ln x)€-… 2 ln x x _x dx 074 정답과 해설 이때, g(1)=1에서 ;4#;+;2#;+C™=1 ∴ C™=-;4%; 즉, g(x)=;4#;x ‹'x +;2#; ‹"ƒx€-;4%; ……㉡ ∴ f(0)g(0)=-;3%;_{-;4%;}=;1@2%; -C¡=C 1-2  ;1¢5; |해결 전략 | 식을 전개하여 xn(n은 실수) 꼴인 항의 합으로 변형한 후 적분한다. f(x)=… {x+;x!;} {x-;x!;} dx =… {x€- 1 x€ } dx=… (x€-x-2)dx =x(ln x)€-2… ln x dx ……㉠ =;3!;x‹+x-1+C¡=;3!;x‹+;x!;+C¡ |해결 전략 | 분자를 분모로 나누어 식을 변형한 후 적분한다. 이때, f {;4π;}=;2!;+'3 에서 ;2!;+C=;2!;+'3 ∴ C='3 이때, f(1)=2에서 ;3!;+1+C¡=2 ∴ C¡=;3@; 즉, f(x)=;3!;x‹+;x!;+;3@; g(x)=… {x€+ =… {x›- 1 x€ } dx 1 x€ } {x€- 1 x› } dx=… (x›-x-4)dx =;5!;xfi+;3!;x-3+C™=;5!;xfi+ 1 3x‹ +C™ 이때, g(1)=2에서 ;5!;+;3!;+C™=2 ∴ C™=;1@5@; 즉, g(x)=;5!;xfi+ 1 3x‹ +;1@5@; ∴ f(-1)+g(-1)={-;3!;-1+;3@;}+{-;5!;-;3!;+;1@5@;}=;1¢5; 2-1  15 ln 5 -2 ln 2 f(x)=… x52x+2 x dx =… {52x+;x@;} dx =… {25x+;x@;} dx = = 25x ln 25 52x 2 ln 5 +2 ln |x|+C +2 ln |x|+C 25 ln 5 25 2 ln 5 52x 2 ln 5 25 ln 5 25 2 ln 5 따라서 f(x)= +2 ln |x|+ 이므로 f {;2!;}= 5 2 ln 5 +2 ln ;2!;+ 25 2 ln 5 = 15 ln 5 -2 ln 2 이때, f(1)= 에서 +C= ∴ C= 25 2 ln 5 2-2  ;4&; |해결 전략 | apx=(ap)x임을 이용하여 적분한다. f(x)=… (2x+22x+24x)dx =… (2x+4x+16x)dx 16x 4x ln 16 ln 4 2x ln 2 + + = +C = = 2x ln 2 2x ln 2 + 22x-1 ln 2 + 24x-2 ln 2 +C (1+2x-1+23x-2)+C 이때, f(1)= 에서 _(1+1+2)+C= 8 ln 2 2 ln 2 8 ln 2 ∴ C=0 따라서 f(x)= (1+2x-1+23x-2)이므로 2x ln 2 f(x)= g(x)에서 g(x)=1+2x-1+23x-2 2x ln 2 ∴ g(0)=1+;2!;+;4!;=;4&; 따라서 곡선 y=g(x)가 y축과 만나는 점의 y좌표는 ;4&;이다. |해결 전략 | cos 2x=2 cos€ x-1임을 이용하여 식을 변형한 후 적분한다. 3-1  3'3 2 f '(x)= 1 1+cos 2x = 1 1+2 cos€ x-1 = 1 2 cos€ x =;2!; sec€ x 이므로 f(x)=… ;2!; sec€ x dx=;2!; tan x+C 따라서 f(x)=;2!; tan x+'3이므로 f {;3π;}= '3 +'3= 3'3 2 2 LECTURE 배각의 공식 ❶ sin 2a=2 sin a cos a ❸ tan 2a= 2 tan a 1-tan€ a 3-2  ;4%; ❷ cos 2a=cos€ a-sin€ a=2 cos€ a-1=1-2 sin€ a |해결 전략 | 2 sin x cos x=sin 2x임을 이용하여 식을 변형한 후 적분한다. f(x)=… sin ;2X; cos ;2X; dx=… ;2!; sin x dx=-;2!; cos x+C 이때, f(0)=1에서 -;2!;+C=1 ∴ C=;2#; 따라서 f(x)=-;2!; cos x+;2#;이므로 f {;3π;}=-;2!;_;2!;+;2#;=;4%; 4-1  :£9™: |해결 전략 | 3x+2=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. 3x+2=t로 놓으면 3= 이므로 dt dx f(x)=… (3x+2)fidx=;3!; … 3(3x+2)fidx =;3!; … tfi dt=;1¡8;tfl+C=;1¡8;(3x+2)fl+C 8 여러 가지 적분법 075 이때, f(-1)=;1¡8;에서 ;1¡8;+C=;1¡8; ∴ C=0 6-1  ;2#; ln 2 따라서 f(x)=;1¡8;(3x+2)fl이므로 f(0)=:£9™: 4-2  ;2#; |해결 전략 | x‹+6x+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. x‹+6x+1=t로 놓으면 3x€+6= , 3(x€+2)= 이므로 dt dx dt dx f(x)=… x€+2 ‹"ƒx‹+6x+1 dx=;3!;… 3(x€+2) ‹"ƒx‹+6x+1 dx =;3!;… dt=;3!;… t-;3!;dt 1 ‹'t =;2!;t;3@;+C=;2!; ‹"ƒt€+C =;2!; ‹"ƒ(x‹+6x+1)€+C 이때, f(1)=3에서 ;2!; ‹"ƒ8€+C=3 ∴ C=1 따라서 f(x)=;2!; ‹"ƒ(x‹+6x+1)€ +1이므로 f(0)=;2!;+1=;2#; 5-1  ;2!;(efi-e€) |해결 전략 | 3x€+2=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. 3x€+2=t로 놓으면 6x= 이므로 dt dx F(x)=… 3xe3x€+2dx=;2!;… 6xe3x€+2dx =;2!;… etdt=;2!;et+C =;2!;e3x€+2+C 5-2  2 |해결 전략 | ax€+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ax€+1=t로 놓으면 2ax= 이므로 dt dx F(x)=… 4ax 2ax€+1dx=2… 2ax 2ax€+1dx =2… 2tdt=2_ 2t ln 2 +C= +C 2t+1 ln 2 = 2ax€+2 ln 2 +C 이때, F(1)-F(0)= 에서 12 ln 2 { 2a+2 ln 2 2a+2=16 +C}-{ 2€ ln 2 +C}= 12 ln 2 ∴ a=2 076 정답과 해설 |해결 전략 | ln x€=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ln x€=2 ln |x|=t로 놓으면 ;x@;= dt dx 이므로 f(x)=… 1 x ln x€ dx=;2!;… 2 x ln x€ dx =;2!;… dt=;2!; ln |t|+C 1 t =;2!; ln |ln x€|+C 이때, f(e)=ln 2에서 ;2!; ln 2+C=ln 2 ∴ C=;2!; ln 2 따라서 f(x)=;2!; ln |ln x€|+;2!; ln 2이므로 f(e€)=;2!; ln 4+;2!; ln 2=ln 2+;2!; ln 2=;2#; ln 2 6-2  -(ln 2)€-ln 2 |해결 전략 | 먼저 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하여 f '(x)를 구한 후 치 환적분법을 이용한다. F(2x)=2x f(2x)+x ln 2x의 양변을 x에 대하여 미분하면 2f(2x)=2f(2x)+4xf '(2x)+ln 2x+1 ∴ f '(2x)=- ln 2x+1 4x 따라서 f '(x)=- ln x+1 2x 이므로 f(x)=-… ln x+1 2x dx =-;2!;… ln x x dx-;2!;… ;x!; dx ……㉠ 이때, … ln x x dx에서 ln x=t로 놓으면 ;x!;= dt dx 이므로 ln x x … dx=… t dt=;2!;t€+C¡=;2!;(ln x)€+C¡ ……㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 -;2!; C¡=C =-;4!;(ln x)€-;2!; ln |x|+C 이때, f(1)=0에서 C=0 따라서 f(x)=-;4!;(ln x)€-;2!; ln |x|이므로 f(4)=-;4!;(ln 4)€-;2!; ln 4=-(ln 2)€-ln 2 7-1  ;3%; |해결 전략 | 함수 f(x)의 한 부정적분이 F(x)이면 … f(ax+b)dx=;a!;F(ax+b)+C임을 이용한다. f(x)=… sin (3x+2)dx=-;3!; cos (3x+2)+C 이때, f {-;3@;}=1에서 -;3!;+C=1 ∴ C=;3$; ∴ F(1)-F(0)={;2!;efi+C}-{;2!;e€+C}=;2!;(efi-e€) f(x)=-;2!; [;2!;(ln x)€+C¡]-;2!;… ;x!; dx 따라서 f(x)=-;3!; cos (3x+2)+;3$;이므로 p-2 3 f { }=-;3!; cos p+;3$;=;3!;+;3$;=;3%; 7-2  '2 4 |해결 전략 | 함수 f(x)의 한 부정적분이 F(x)이면 … f(ax+b)dx=;a!;F(ax+b)+C임을 이용한다. f(x)=… cos(2x-1)dx=;2!; sin (2x-1)+C 이때, f {;6π;+;2!;}= '3 에서 ;2!; sin ;3π;+C= '3 +C= '3 '3 4 4 ∴ C=0 4 4 따라서 f(x)=;2!; sin (2x-1)이므로 f {;8π;+;2!;}=;2!; sin ;4π;= '2 4 8-1  2 ln 3 |해결 전략| … f '(x) f(x) dx=ln | f(x)|+C임을 이용한다. (x‹+2x€-x+1)'=3x€+4x-1이므로 F(x)=… 3x€+4x-1 x‹+2x€-x+1 dx=… (x‹+2x€-x+1)' x‹+2x€-x+1 dx =ln |x‹+2x€-x+1|+C 이때, F(0)=ln 3에서 C=ln 3 F(x)=ln|x‹+2x€-x+1|+ln 3=ln |3(x‹+2x€-x+1)| 따라서 이므로 F(1)=2 ln 3 8-2  24 |해결 전략| … f '(x) f(x) {(x+1)(x+2)(x+3)}' =3x€+12x+11 이므로 =(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) f(x)=… 3x€+12x+11 (x+1)(x+2)(x+3) dx =… {(x+1)(x+2)(x+3)}' (x+1)(x+2)(x+3) dx =ln |(x+1)(x+2)(x+3)|+C 이때, f(0)=ln 6에서 ln 6+C=ln 6 ∴ C=0 ∴ f(x)=ln |(x+1)(x+2)(x+3)| 따라서 f(1)=ln 24=ln a이므로 a=24 9-1  1-4 ln 2+2 ln 3 |해결 전략 | 분자를 분모로 나누어 식을 변형한 후 적분한다. f(x)=… x€+3x (x+1)(x+2) dx=… [1- (x+1)(x+2) ] dx 2 =… [1-2 { 1 x+1 1 - x+2 }] dx =x-2(ln |x+1|-ln |x+2|)+C =x-2 ln | x+1 x+2 |+C ∴ f(1)-f(0) ={1-2 ln ;3@;+C}-{-2 ln ;2!;+C} =1-4 ln 2+2 ln 3 9-2  ln 2-2 ln 3 |해결 전략| 1 (x+a)(x+b) = 1 b-a { 1 x+a 1 - x+b }임을 이용하여 피적 분함수를 간단한 유리함수의 차로 나타내어 적분한다. f(x)=… 4 (x+1)(x+3) dx=2… { 1 x+1 1 - x+3 } dx =2 (ln |x+1|-ln |x+3|)+C=2 ln | x+1 x+3 |+C f(1)=-ln 2에서 2 ln ;2!;+C=-ln 2 ∴ C=ln 2 따라서 f(x)=2 ln | x+1 x+3 |+ln 2이므로 f(0)=2 ln ;3!;+ln 2=ln 2-2 ln 3 10-1  e- 3 2e f(x)=2x, g '(x)=e2x+1으로 놓으면 f '(x)=2, g(x)=;2!;e2x+1이므로 F(x)=… 2xe2x+1dx=xe2x+1-… e2x+1dx =xe2x+1-;2!; e2x+1+C 이때, F(0)=;2!;e에서 -;2!;e+C=;2!;e ∴ C=e 따라서 F(x)=xe2x+1-;2!;e2x+1+e이므로 F(-1)=-e-1-;2!;e-1+e=e- 3 2e 8 여러 가지 적분법 077 dx=ln | f(x)|+C임을 이용한다. |해결 전략 | … f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx임을 이용한다. 10-2  ;e#; 12-1  p-1 |해결 전략 | 부분적분법을 한 번 적용하여 부정적분을 구할 수 없으므로 다시 부 |해결 전략 | … f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx임을 이용한다. 분적분법을 적용한다. f(x)=-x, g '(x)=e-x으로 놓으면 f '(x)=-1, g(x)=-e-x이므로 F(x)=… (-xe-x) dx=xe-x-… e-xdx =xe-x+e-x+C 이때, F(0)=1+;e!;에서 1+C=1+;e!; ∴ C=;e!; 따라서 F(x)=xe-x+e-x+;e!;이므로 F(1)=;e!;+;e!;+;e!;=;e#; 11-1  ;4!; |해결 전략 | … f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx임을 이용한다. f(x)=x, g '(x)=sin (2x+1)로 놓으면 f '(x)=1, g(x)=-;2!; cos (2x+1)이므로 F(x)=… x sin (2x+1)dx =-;2!;x cos (2x+1)+;2!;… cos (2x+1)dx =-;2!;x cos (2x+1)+;4!; sin (2x+1)+C 이때, F(0)= 에서 +C= ∴ C=0 sin 1 4 sin 1 4 sin 1 4 따라서 F(x)=-;2!;x cos (2x+1)+;4!; sin (2x+1)이므로 F{;4π;-;2!;}=-;2!; {;4π;-;2!;} cos ;2π;+;4!; sin ;2π;=;4!; f(x)=4x, g '(x)=cos 2x로 놓으면 f '(x)=4, g(x)=;2!; sin 2x이므로 F(x)=… 4x cos 2x dx =2x sin 2x-… 2 sin 2x dx =2x sin 2x+cos 2x+C 이때, F(0)=2에서 1+C=2 ∴ C=1 따라서 F(x)=2x sin 2x+cos 2x+1이므로 F(p)=2p sin 2p+cos 2p+1=1+1=2 078 정답과 해설 f(x)=x€+x, g '(x)=sin x로 놓으면 f '(x)=2x+1, g(x)=-cos x이므로 F(x)=… (x€+x)sin x dx =-(x€+x) cos x+… (2x+1)cos x dx =-(x€+x)cos x+2… x cos x dx+… cos x dx =-(x€+x)cos x+sin x+2… x cos x dx ……㉠ 이때, … x cos x dx에서 u(x)=x, v'(x)=cos x로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=sin x이므로 … x cos x dx=x sin x-… sin x dx =x sin x+cos x+C¡ ……㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 F(x) =-(x€+x)cos x+sin x+2(x sin x+cos x+C¡) 2C¡=C =(-x€-x+2)cos x+(2x+1)sin x+C F(0)=0에서 2+C=0 ∴ C=-2 따라서 F(x)=(-x€-x+2)cos x+(2x+1)sin x-2이므로 F{;2π;}=p+1-2=p-1 12-2  4 |해결 전략 | 부분적분법을 한 번 적용하여 부정적분을 구할 수 없으므로 다시 부 분적분법을 적용한다. f(x)=x€-2x, g '(x)=ex으로 놓으면 f '(x)=2x-2, g(x)=ex이므로 F(x)=… (x€-2x)exdx … (2x-2)exdx=(2x-2)ex-… 2exdx =(2x-2)ex-2ex+C¡ =(2x-4)ex+C¡ ㉡을 ㉠에 대입하면 F(x) =(x€-2x)ex-{(2x-4)ex+C¡} -C¡=C =(x-2)€ex+C 이때, F(2)=0에서 C=0 따라서 F(x)=(x-2)€ex이므로 F(0)=(-2)€_1=4 ……㉡ 11-2  2 |해결 전략 | … f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx임을 이용한다. =(x€-2x)ex-… (2x-2)exdx ……㉠ 이때, … (2x-2)exdx에서 u(x)=2x-2, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=2, v(x)=ex이므로 | 정적분9 1 여러 가지 함수의 정적분 개념 확인 1 ⑴ 2'3 +;3$; ⑵ 4(e€-1) 2 ㈎ -f(x) ㈏ 기함수 ㈐ 0 2-2  2 cos x=0 (p4) |해결 전략| 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되게 하는 x의 값을 경계로 적분 구 9 9 ∴ … 1 |'x-2|dx=… 1 (-'x+2)dx+… 4 ('x-2)dx 4 4 =4 =… 1 (-x;2!;+2)dx+… 4 9 (x;2!;-2)dx =“-;3@;x;2#;+2x‘ +“;3@;x;2#;-2x‘ 4 1 9 4 =[{-:¡3§:+8}-{-;3@;+2}] +[(18-18)-{:¡3§:-8}] 080 정답과 해설 ⑵ 2x-4=0에서 x=2이므로 |2x-4|=[ -2x+4 (x<2) 2x-4 (x>2) 4 ∴ … 0 |2x-4|dx 2 =… 0 =“- (-2x+4)dx+… 2x ln 2 +4x‘ 2x ln 2 +“ 2 2 0 -4x‘ 4 2 4 (2x-4)dx = 9 ln 2 ⑶ sin x-cos x=0 (00) 이므로 1 1 … -1 f(x)dx=… -1 f(x)dx+… 0 f(x)dx 0 0 =… -1 (2e2x+1)dx+… 0 1 (e-x+2)dx 0 1 +“-e-x+2x‘ =“e2x+x‘ ={1-(e-2-1)}+{(-e-1+2)-(-1)} -1 0 =5- 1 e€ -;e!; 3-2  1-;e!; 한다. |해결 전략 | 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=0에서도 연속임을 이용 2-1  p+2 |해결 전략 | 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분은 적분 구간을 나눈 후 b … a f(x)dx=… f(x)dx+… c c a b f(x)dx임을 이용한다. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=0에서도 연속이므로 lim x d 0- (ex+a)= lim x d 0+ sin x=f(0) 1+a=0 ∴ a=-1 9 정적분 085 0 0 p p 따라서 f(x)=[ ex-1 (x<0) sin x (x>0) 이므로 … ;2π; f(x)dx=… -1 -1 f(x)dx+… ;2π; f(x)dx 0 =… -1 (ex-1)dx+… ;2π; sin x dx 0 0 =“ex-x‘ +“-cos x‘ 0 -1 ;2π; ={1-(e-1+1)}+1=1-;e!; 4-1  8p+4 |해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되게 하는 x의 값을 경계로 적분 구 간을 나눈다. f(x)=|sin x|+4=[ sin x+4 (00이므로 구하는 넓이는 y 1 y=cos x …   ;4π; -;6π; cos x dx=“sin x‘ = '2 2 ;4π; -;6π; +;2!; p p -;6; -;2; O p ;4; p ;2; x ⑵ y=ln x에서 x=ey 구간 $0, 2&에서 x>0이므로 구하는 넓이는 … 0 2 2 eydy=“ey ‘ 0 =e€-1 y 2 y=ln x O 1 x 4 두 곡선 x=y€+2y, x=-y€+6y+6의 교점의 y좌표는 y€+2y=-y€+6y+6에서 y 3 O x=-y€+6y+6 -1 -2 x=y€+2y 2y€-4y-6=0 2(y+1)(y-3)=0 4 y=-1 또는 y=3 따라서 구하는 넓이는 3-2  2+ln 3 1 x-1 y= +2에서 x= 1 y-2 +1 x 구간 $3, 5&에서 x>0이므로 구하는 넓 이는 5 … 3 { 1 y-2 +1}dy=“ln|y-2|+y‘ 5 3 =2+ln 3 y 5 3 O y= 1 x-1 +2 1 ;2!; x 3 … -1 {(-y€+6y+6)-(y€+2y)}dy=… -1 3 (-2y€+4y+6)dy =“-;3@; y‹+2y€+6y‘ -1 3 =;;§3¢;; 4-2  2'2 두 곡선 y=sin x, y=cos x의 교점의 x좌표는 sin x=cos x에서 x=;4π; 또는 x=;4%;p (∵ 00이므로 구하는 넓이는 0 … ;2!; {e y-;4!;} dy=“;2!; {e y-;4!; y}‘ -2 ln 2 -2 ln 2 0 =;8#;-;4!; ln 2 + y +ln {1+ n n }] = lim n d $ n Ú k=1 ln {1+ k n }_ 1 n 04-1  ;;¡3¢;;-2 ln 2 f(x)=ln x, a=1, b=2로 놓으면 ¯x= , xk=1+ 1 n k n |해결 전략| 두 곡선의 교점의 x좌표를 구하고, 두 곡선을 좌표평면에 나타낸 후 정적분을 이용하여 도형의 넓이를 구한다. ∴ lim n d $ n Ú k=1 ln {1+ k n }_ 1 n 2 ln x dx =… 1 u(x)=ln x, v '(x)=1로 놓으면 =“x ln x‘ -… 1 2 1 2 1 dx u'(x)=;x!;, v(x)=x 두 곡선 y='x , y=;x!; 의 교점의 x좌표는 y y=;x!; y='x O 1 4 x 'x=;x!;에서 x'x -1=0 ('x -1)(x+'x +1)=0 ∴ x=1 (∵ x+'x+1>0) 따라서 구하는 넓이는 … 1 {'x -;x!;} dx=“;3@;x'x-ln |x|‘ 4 1 =;;¡3¢;;-2 ln 2 =2 ln 2-“x‘ 2 1 =2 ln 2-1 02-1  2-;e@; 형의 넓이를 구한다. |해결 전략| 주어진 곡선과 직선을 좌표평면에 나타낸 후 정적분을 이용하여 도 05-1  ;3$; 곡선 y=-ln x와 x축의 교점의 x좌표는 y -ln x=0에서 x=1 |해결 전략| 직선 y=a를 기준으로 아래쪽 도형의 넓이와 위쪽 도형의 넓이가 서 로 같으므로 … ('x-a)dx=0임을 이용한다. 4 0 구간 “;e!;, 1‘에서 y>0, 구간 $1, e&에서 O ;e!; 직선 y=a의 아래쪽 도형의 넓이와 위쪽 도형의 넓이가 서로 같으므로 1 e x y=-ln x … 0 ('x -a)dx=0, “;3@; x'x-ax‘ =0 4 0 =“-x ln x‘ (-1) dx+“x ln x‘ -… 1 e 1 e 1 dx 1 -… ;e!; y<0이므로 구하는 넓이는 1 … ;e!; (-ln x) dx+… 1 e ln x dx 1 ;e!; 1 ;e!; =-;e!;+“x‘ +e-“x‘ e 1 =2-;e@; |해결 전략| 주어진 곡선과 직선을 좌표평면에 나타낸 후 정적분을 이용하여 도 03-1  ;8#;-;4!; ln 2 형의 넓이를 구한다. 090 정답과 해설 :¡3§:-4a=0 ∴ a=;3$; 05-2  1 e-1 |해결 전략| 직선 y=a를 기준으로 아래쪽 도형의 넓이와 위쪽 도형의 넓이가 서 e-1 로 같으므로 … 0 {ln (x+1)-a} dx=0임을 이용한다. 직선 y=a의 아래쪽 도형의 넓이와 위쪽 도형의 넓이가 서로 같으므로 e-1 e-1 … 0 … 0 {ln (x+1)-a}dx=0 ln (x+1)dx-… 0 e-1 a dx=0 yy㉠ 4 4 e-1 … 0 ln (x+1)dx에서 f(x)=ln (x+1), g '(x)=1로 놓으면 | 247쪽 | f '(x)= , g(x)=x이므로 ㉠에서 1 x+1 “x ln (x+1)‘ 0 e-1 -… 0 e-1 x x+1 dx-“ax‘ 0 e-1 =0 e-1 1 e-1-… 0 {1- x+1 }dx-a(e-1)=0 (1-a)(e-1)-“x-ln|x+1|‘ 0 e-1 =0 (1-a)(e-1)-(e-2)=0, 1-a= e-2 e-1 ∴ a=1- e-2 e-1 = 1 e-1 06-1  ;4!;(e€-1) |해결 전략| 곡선 y=ex과 x축 및 두 직선 x=0, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이 를 구한 후 직선 y=ax가 넓이를 이등분함을 이용한다. 곡선 y=ex과 x축 및 두 직선 x=0, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이 를 S¡이라 하면 S¡=… 0 2 2 ex dx=“ex ‘ 0 =e€-1 2 S™=… 0 ax dx=“;2!; ax€‘ =2a 2 0 직선 y=ax와 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 S™라 하면 이때, S™=;2!;S¡이므로 2a=;2!; (e€-1) ∴ a=;4!;(e€-1) STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 5, 5, 70 2-1 ;2!;x+1, ;2!;x+1, ;2!;x+1, '3 6 스스로 check 1-2  ;3$; cm‹ 깊이가 2 cm일 때, 물의 부피는 2 … 0 (2x-x€)dx=“x€-;3!; x‹‘ 2 0 =;3$; (cm‹) 물의 깊이가 x cm일 때, 수면의 넓이가 (2x-x€) cm€이므로 물의 2-2  ;;•2¡;; y 3 오른쪽 그림과 같이 곡선 y='ß9-x 위의 점 P(x, 'ß9-x )(0ln 2일 때 v(t)>0이므로 시각 t=0에서 t=4까지 점 P가 움직인 거리는 … 0 |e2t-4|dt=… 0 (4-e2t)dt+… ln 2 (e2t-4)dt ln 2 4 ln 2 =“4t-;2!; e2t ‘ 0 +“;2!; e2t-4t‘ ln 2 4 ={4 ln 2-;2#;}+{;2!; e°-18+4 ln 2} =;2!; e°-;;£2ª;;+8 ln 2 4 4 092 정답과 해설 1 ⑴ ;2!;(e›-17) ⑵ ;2!;(e°-33) ⑶ ;2!;e°-:£2ª:+8 ln 2 ⑵ =2이므로 곡선의 길이 l 은 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 et-e-t, et-e-t, e‹- 1 e‹ 2-1 ;2!;x€, ;2!;x€, :™2™4¶: | 253쪽 | =t÷‹-1이므로 시각 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직 직인 거리 s는 s=… Ƙ { a b dx dt } €+{ dy dt } €dt임을 이용한다. 스스로 check 1-2  6 dx dt =2t÷;2#;, dy dt 인 거리 s는 s=… 0 Ƙ { dx dt } €+{ dy dt } € dt s=… 0 "ƒ(2t÷;2#;)€+(t÷‹-1)€dt s=… 0 "ƒt÷fl+2t÷‹+1dt s=… 0 "ƒ(t÷‹+1)€dt 2 (t÷‹+1)dt s=… 0 s=“;4!; t÷›+t‘ =6 2 0 2-2  :¡3¢: dy dx ='ßx-1 이므로 곡선의 길이 l은 l=… 1 Ƙ1+{ dy dx } € dx l=… 1 4 "ƒ1+('ßx-1 )€dx l=… 1 'x dx l=“;3@; x;2#; =:¡3¢: 4 ‘ 1 2 2 2 2 4 4 02-1  2'2 p |해결 전략| 시각 t 에서의 위치가 (x, y)인 점 P가 시각 t=a에서 t=b까지 움 dx dt dy dt =cos t-sin t, =cos t+sin t이므로 시각 t=0에서 t=2p 까지 점 P가 움직인 거리 s는 s=… 0 Ƙ { dx dt } €+{ dy dt } € dt =… 0 "ƒ(cos t-sin t)€+(cos t+sin t)€ dt =… 0 '2 dt=“'2 t‘ 0 =2'2 p 2p 02-2  ;;¶3§;; |해결 전략| 시각 t 에서의 위치가 (x, y)인 점 P가 시각 t=a에서 t=b까지 움 직인 거리 s는 s=… Ƙ { a b dx dt } €+{ dy dt } €dt임을 이용한다. dx dt dy dt =2t cos t-(t€-1)sin t, =2t sin t+(t€-1)cos t이므로 시각 t=0에서 t=4까지 점 P가 움직인 거리 s는 s=… 0 Ƙ { dx dt } €+{ dy dt } € dt =… 0 "ƒ{2t cos t-(t÷€-1)sin t}€ƒ+{2t sin t+(t÷€-1)cos t}€ dt =… 0 "ƒ4t÷€+(t÷€-1)€dt=… 0 "ƒt›+2t€+1 dt=… 0 "ƒ(t€+1)€ dt 4 =… 0 (t€+1)dt=“;3!; t÷‹+t‘ =;;¶3§;; 4 4 0 2p 2p 2p 4 4 4 4 03-1  ;2(; | 254쪽~256쪽 | |해결 전략| 곡선 x=f(t), y=g(t) (a0이므로 시각 t=0에 서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는 3 1 … 0 |2t-2|dt=… 0 (2-2t)dt+… 1 3 (2t-2)dt =“2t- 2t ln 2 ‘ 1 0 +“ 2t ln 2 -2t‘ 3 1 ={2- 1 ln 2 }+{ 6 ln 2 -4} = -2 5 ln 2 l=… ;2π; Ƙ { 0 dx dt } €+{ dy dt } € dt =… ;2π; "ƒ(-9 cos€t sin t)€+(9 sin€t cos t)€ dt 0 =… ;2π; "ƒ81 sin€t cos€t dt 0 =… ;2π; 9 sin t cos t dt 0 l=… ;2π; 9_ 0 sin 2t 2 dt l=“-;4(; cos 2t‘ 0 =;2(; ;2π; sin 2t=2 sin t cos t 10 정적분의 활용 093 03-2  ;2!; {efl- 1 efl } 2-1  1 |해결 전략| 곡선 y=f(x) (a0) 9-2  1 |해결 전략| 시각 t 에서의 위치가 (x, y)인 점 P가 시각 t=a에서 t=b까지 움 직인 거리 s는 s=… Ƙ { a b dx dt } €+{ dy dt } €dt임을 이용한다. dx dt dy dt =2t-2, =4't 이므로 시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움 직인 거리 s는 s=… 0 Ƙ { dx dt } €+{ dy dt } € dt =… 0 "ƒ(2t-2)€+(4't )€ dt =… 0 "ƒ4t€+8t+4 dt =… 0 "ƒ(2t+2)€ dt=… 0 a (2t+2) dt =“t€+2t‘ a 0 =a€+2a 이때, s=3이므로 a€+2a=3 a€+2a-3=0, (a+3)(a-1)=0 ∴ a=1 (∵ a>0) a a a a a a a a