본문 바로가기

문제집/고등

2019년 천재교육 개념 해결의 법칙 고등 수학 1 답지

fds.flarebrick.com/1Rx5D7g5sRfenYOP3uSkVsgfGdc9ZUKmn

 

2019년 천재교육 개념 해결의 법칙 고등 수학 1.pdf Download | FlareBrick FDS

 

fds.flarebrick.com

더보기

정답과 해설 I 지수함수와 로그함수 1 | 지수 2 | 로그 3 | 지수함수 4 | 로그함수 II 삼각함수 5 | 삼각함수 6 | 삼각함수의 그래프 7 | 사인법칙과 코사인법칙 III 수열 8 | 등차수열 9 | 등비수열 10 | 수열의 합 11 | 수학적 귀납법 002 010 020 031 043 052 063 071 080 089 097 8쪽~11쪽 | 지수1 1 거듭제곱과 거듭제곱근 개념 확인 1 ⑴ a20 ⑵ 27a15b3 ⑶ a6 b3 ⑷ 1 a3 2 ⑴ -3, 3 ⑵ -5 3 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 5 ⑷ 2 ⑸ '3 1 ⑴ a8_(a3)4=a8_a12=a8+12=a20 ⑵ (3a5b)3=33a15b3=27a15b3 a6 b3 ⑶ { ⑷ a10/a5/a8=a10-5/a8=a5/a8 a2 b } = 3 = 1 a8-5 = 1 a3 2 ⑴ 81의 네제곱근을 x라 하면 x4=81이므로 x4-81=0, (x2-9)(x2+9)=0 ∴ x=-3 또는 x=-3i 따라서 81의 네제곱근 중 실수인 것은 -3, 3이다. ⑵ -125의 세제곱근을 x라 하면 x3=-125이므로 x3+125=0, (x+5)(x2-5x+25)=0 ∴ x=-5 또는 x= 5-5'3 i 2 따라서 -125의 세제곱근 중 실수인 것은 -5이다. 3 ⑴ ›'8 ›'2=›'ß8_2=›'ß16=›"ƒ2›=2 ⑵ æç;;•3¡;;=‹'ß27=‹"ƒ3‹=3 = 3 ‹'ß81 ‹'3 ⑶ (›'ß25)2=›"ƒ252=›"ƒ(5€)€=›"ƒ54=5 ⑷ ‹"ƒ'ß64=3_€'ß64=fl'ß64=fl"ƒ2fl=2 ⑸ ⁄€"ƒ3fl=2_fl"ƒ31_6=€"ƒ31='3 스스로 check 1-2  ⑴ a14 ⑵ 1 a2 ⑶ -27a11 ⑷ a5b6 ⑸ -a4b11 ⑴ (a3)2_(a2)4=a6_a8=a6+8=a14 ⑵ a11/a8/a5=a11-8/a5=a3/a5 = 1 a2 1 a5-3 = a b3 } 2 a2 ⑶ (-3a3b2)3_{ b6 =-27a⁄⁄ ⑷ (a2b3)4/(ab2)3=a8b12/a3b6=a8-3b12-6=a5b6 =-27a9b6_ ⑸ (-a2b)3/{ 3 a b2 } _ab2=-a6b3/ _ab2 a‹ bfl bfl a‹ =-a6b3_ _ab2 =-a6-3+1b3+6+2 =-a4b11 2-2  ⑴ -'ß10, 'ß10 ⑵ 3 ⑶ -2 ⑷ -5, 5 ⑴ 10의 제곱근을 x라 하면 x€=10이므로 x€-10=0, (x+'ß10)(x-'ß10)=0 ∴ x=-'ß10 따라서 10의 제곱근 중 실수인 것은 -'ß10, 'ß10이다. ⑵ 27의 세제곱근을 x라 하면 x‹=27이므로 x‹-27=0, (x-3)(x€+3x+9)=0 ∴ x=3 또는 x= -3-3'3 i 2 따라서 27의 세제곱근 중 실수인 것은 3이다. ⑶ -8의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-8이므로 x‹+8=0, (x+2)(x€-2x+4)=0 ∴ x=-2 또는 x=1-'3 i 따라서 -8의 세제곱근 중 실수인 것은 -2이다. ⑷ 625의 네제곱근을 x라 하면 x›=625이므로 x›-5›=0, (x€-5€)(x€+5€)=0 (x+5)(x-5)(x€+25)=0 ∴ x=-5 또는 x=-5i 따라서 625의 네제곱근 중 실수인 것은 -5, 5이다. STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 15, 25 ⑵ 6, 7 ⑶ 9, 9, 5 2-1 ⑴ -'7, '7 ⑵ -4 ⑶ -2, -2i, -2, 2 3-1 ⑴ 3, 3 ⑵ -2 4-1 ⑴ 3, 3 ⑵ 4, 2 ⑶ 3, 9 ⑷ 2, 6 ⑸ 4, '2 002 정답과 해설 3-2  ⑴ 0.3 ⑵ -5 ⑶ 3 ⑷ 2 ⑴ ‹'ß0.027은 x‹=0.027을 만족시키는 양수 x이고, | 13쪽~14쪽 | 0.3‹=0.027이므로 ‹'ß0.027=0.3 ⑵ ‹'ß-125 는 x‹=-125를 만족시키는 실수 x이고, (-5)‹=-125이므로 ‹'ß-125=-5 ⑶ ›'ß81은 x›=81을 만족시키는 양수 x이고, 3›=81이므로 ›'ß81=3 ⑷ fi'ß-32 는 xfi=-32를 만족시키는 실수 x이고, (-2)fi=-32이므로 fi'ß-32=-2 ∴ -fi'ß-32=2 4-2  ⑴ 6 ⑵ 3 ⑶ 4 ⑷ 2 ⑸ 4 ⑹ 6 ⑺ '2 4 'ß512 '2 'ß64 '2 5 ⑻ '5 ⑼ '2 ⑽ 2 ⑴ ‹'4 ‹'ß54=‹'ß4_54=‹'ß216=‹"ƒ6‹=6 ⑵ ›'3 ›'ß27=›'ß3_27=›'ß81=›"ƒ34=3 512 =›'ß256=›"ƒ44=4 ⑶ 2 4 = æ√ 4 5 64 2 5 æ√ = ⑷ =fi'ß32=fi"ƒ25=2 ⑸ (‹'2 )fl=‹"∂2fl=‹"ƒ(2€)‹=‹"∂4‹=4 ⑹ (›'ß36 )€=›"ƒ36€=›"ƒ(6€)€=›"ƒ6›=6 ⑺ ‹"ƒ'8=3_€'8=2_‹"ƒ ƒ21_3=€"ƒ2⁄='2 ⑻ ›"ƒ'∂ ⑼ ⁄‚"ƒ25=2_fi"ƒ21_5=€"ƒ21='2 ⑽ fl'ß64=fl"∂26=2 ß625=4_€'ß625=2_›"ƒ51_4=€"ƒ5⁄='5 ⑶ ‹ æ√ 'a ›'a _æ√ fl'a ›'a _ _ "ƒfl'a ƒ›'a "ƒ ⁄€'a °'a €›"ƒa› €›"ƒa‹ = = = ‹"ƒ'a ‹ "ƒ› 'a fl'a ⁄€'a fl'a °'a =€›'a = ⑷ fl"ƒab›_"ƒab›/‹"ƒa€bfi=fl"ƒab›_fl"ƒa‹b⁄€/fl"ƒa›b⁄‚ =fl æ√ ab›_a‹b⁄€ a›b⁄‚ a›b⁄fl a›b⁄‚ =fl æ√ =fl"ƒbfl=b 02-2  풀이 참조 |해결 전략 | 실수 a에 대하여 ˜'ßa˜=[ a (n이 홀수) |a| (n이 짝수) 이다. "ƒ(-3)fl="ƒ(-3)2_3={"ƒ(-3)€}‹=|-3|‹=3‹=27 따라서 등호가 성립하지 않는 곳은 ③이다. STEP 필수 유형 2 | 15쪽~16쪽 | 01-1  ④ |해결 전략 | 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 n이 홀수일 때는 1개이고, n이 짝 수일 때는 a의 값에 따라 다르다. ① 64의 세제곱근을 x라 하면 x‹=64이므로 x‹-64=0, (x-4)(x€+4x+16)=0 ∴ x=4 또는 x=-2-2'3 i 따라서 64의 세제곱근은 3개이다. ② -8의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-8이므로 x‹+8=0, (x+2)(x€-2x+4)=0 ∴ x=-2 또는 x=1-'3 i 따라서 -8의 세제곱근 중 실수인 것은 -2의 1개이다. ③ 8의 네제곱근 중 실수인 것은 ›'8, -›'8 이다. ④ n이 홀수일 때, 3의 n제곱근 중 실수인 것은 ˜'3 의 1개이다. ⑤ n이 짝수일 때, -4의 n제곱근 중 실수인 것은 없다. 02-1  ⑴ 7 ⑵ 2 ⑶ €›'a ⑷ b |해결 전략 | █ 'ß에서 █를 통일시켜서 계산한다. ⑴ ‹'3 ‹'9+›'4 ›'ß64=‹'ß3_9+›'ß4_64 =‹"ƒ3‹+›"ƒ4› =3+4=7 ⑵ fi"ƒ‹'ß32_"ƒ‹'ß16 =‹"ƒfi'ß32_‹"ƒ'ß16 =‹"ƒfi"ƒ2fi_‹"ƒ"ƒ4€ =‹'2_‹'4 =‹'ß2_4 =‹"ƒ2‹=2 2 지수의 확장 개념 확인 1 ⑴ a‹ ⑵ ⑶ ;8!; ⑷ 1 1 a· 2 ⑴ ① ‹'ß16 ② ‹'5 ③ fi'8 ⑵ ① 5 ② 2 ③ ;4!; ④ 12 3 ⑴ 5-'2 ⑵ 6'3 ⑶ ;2¡5; ⑷ 6'3 1 ⑴ a-2_afi=a-2+5=a‹ ⑵ a-4/afi=a-4-5=a-9= 1 a· ⑶ (2-1)_(4-1)=2-1_(22)-1 =2-1_2-2 =2-1-2=2-3=;8!; ⑷ 35_3-2/33=35-2-3 =30=1 17쪽~19쪽 1 지수 003 2 ⑴ ① 4;3@;=‹"∂4€=‹'ß16 ② 5;3!;=‹'5 ③ 2;5#;=fi"∂2‹=fi'8 ⑵ ① 5;8#;_5;8%;=5;8#;+;8%;=51=5 ② 2‹/(2;2!;)4=23/2;2!;_4=23/22=23-2 =2⁄=2 ③ (‹'ß16)-;2#;=(16;3!;)-;2#;=16;3!;_{-;2#;}=16-;2!; =(4€)-;2!;=42_{-;2!;}=4-1=;4!; ④ (2;2!;_3;4!;)›=(2;2!;)›_(3;4!;)›=2€_3=12 3 ⑴ 5'2_5-2'2=5'2+(-2'2)=5-'2 ⑵ 62'3/6'3=62'3-'3=6'3 ⑶ (5'2)-'2=5'2_(-'2)=5-2=;2¡5; ⑷ (8 '6 _3æ;2#; )'2=(8 '6 )'2_(3æ;2#; )'2 1 1 =8 1 '6 _'2_3æ;2#; _'2 =8 1 '3 _3'3 1 '3 _3'3 '3 _3'3 =(23) =23_ 1 =2'3_3'3 =(2_3)'3=6'3 STEP 개념 드릴 1 개념 check | 20쪽~21쪽 | 1-1 ⑴ 1 ⑵ 1, ;9!; 2-1 ⑴ -2 ⑵ -, -7, 7 ⑶ -3, 1 ⑷ 2, 4, 4, 2 3-1 ⑴ 4 ⑵ -2, -;4!; ⑶ 2 4-1 ⑴ 3, 3, 2 ⑵ 2, 2, ;2!; ⑶ 2, 6 ⑷ ;2!;, ;6!; 5-1 ⑴ -2'2, -'2 ⑵ 2'3 ⑶ 3, 2;2#; 1-2  ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ ;5!; ⑷ -27 스스로 check 0 =1 ⑴ {;2!;} ⑵ ('3 )‚=1 ⑶ ('5 )-2= ⑷ {-;3!;} 004 정답과 해설 =;5!; 1 ('5 )€ =(-3)3=-27 -3 2-2  ⑴ a› ⑵ a‹ ⑶ ⑷ a€b-3 ⑸ ⑹ 3⁄° 1 a€fi 1 3⁄‚ 1 a€fi ⑴ a5_a3_a-4=a5+3+(-4)=a4 ⑵ a-3_a›/a-2=a-3+4-(-2)=a3 ⑶ (a2_a3)-5=(a2+3)-5=(a5)-5=a-25= ⑷ (a-2b3)-1=(a-2)-1_(b3)-1=a2b-3 ⑸ (3-2)2_(33)-2=3-4_3-6=3-4+(-6) =3-10= 1 3⁄‚ ⑹ (3-2)-3/(33)-4=36/3-12=36-(-12)=318 3-2  ⑴ 2;3$; ⑵ 5-;4#; ⑶ 6;2#; ⑷ 3;4#; ⑷ ›'ß27=›"∂3‹=3;4#; 4-2  ⑴ ;3!; ⑵ 2;;¡2¡;; ⑶ 3 ⑷ ;3¡2; ⑸ a;1¡2; ⑹ a;4#; ⑺ a;3$;b;6%; ⑻ a;6!;b;6!; ⑴ 27-;3$;_9;2#;=(33)-;3$;_(3€);2#;=33_{-;3$;}_32_;2#; =3-4_3‹=3-4+3=3-1=;3!; ⑵ 64;4#;/8-;3!;=(26);4#; /(23)-;3!;=26_;4#; /2-1=2;2(;-(-1)=2;;¡2¡;; /23_{-;3!;} =2;2(; ⑶ "ƒ9-3_‹"ƒ27›="ƒ(3€)-3_‹"ƒ(3‹)› ="ƒ3-6_‹"ƒ3⁄€=3-;2^;_3;;¡3™;; =3-3_34=3-3+4 =31=3 ⑷ "ƒ16-4/"ƒ8-2="ƒ(2›)-4/"ƒ(2‹)-2 ="ƒ2-16/"ƒ2-6=2-;;¡2§;; =2-8/2-3=2-8-(-3) 1 2fi =2-5= 1 32 = /2-;2^; ⑸ 'a_3 'a /4 /a;4#;=a;2!;+;3!;-;4#; "ƒa‹=a;2!;_a;3!; =a;1¡2; ⑹ 3 "ƒa€/4 'a_3 'a =a;3@;/a;4!;_a;3!;=a;3@;-;4!;+;3!; =a;4#; ⑺ "ƒa€b_3 'ßab=(a€b);2!;_(ab);3!;=ab;2!;_a;3!; b;3!; =a1+;3! b;2!;+;3!;=a;3$;b;6%; ⑻ 3 'ßab/6 'ßab =(ab);3!;/(ab);6!;=(ab);3!;-;6!; =(ab);6!;=a;6!;b;6!; ⑵ "ƒ2 3 "ƒ4 4 '8 ={2_(4_8;4!;);3!;};2!; ={2_(2€_2;4#;);3!;};2!;={2_(2€+;4#;);3!;};2!; ={2_(2;;¡4¡;;);3!;};2!;=(2_2;1!2!;);2!; =(21+;1!2!;);2!;=(2;1@2#;);2!; =2;1@2#;_;2!;=2;2@4#; ∴ n=;2@4#; 02-2  13 |해결 전략 | n 'ßam=a 용한다. 5-2  ⑴ 53'3 ⑵ 33'2 ⑶ ;1¡6; ⑷ 33'2 ⑴ 5'3_5'ß12=5'3_52'3=5'3+2'3=53'3 ⑵ 3'8/3-'2=32'2/3-'2=32'2-(-'2)=33'2 ⑶ (4'2)-'2=4'2_(-'2 )=4-2= 1 4€ =;1¡6; ⑷ 35'2_3'8/3'ß32=35'2_32'2/34'2 =35'2+2'2-4'2=33'2 =16;8#;+{-2#;} =16-;;8(;=(2›)-;8(; =2-;2(; =3‹/3€_3-1 =33-2+(-1) =30=1 =2;3$;/2;3@; /3;3@;_2;3!;_3;3@; =2;3$;-;3@;+;3!;_3;3@;-;3@; =21_30=2 3 ;2#; -;3!; ] ’ -;2#;_{;4#;} ;2!; ={;3$;} ;2#; ;2!; ={;4#;} _{;4#;} ={;4#;} ;;2#;+;2!; 2 ={;4#;} =;1ª6; 02-1  ⑴ -;3@; ⑵ ;2@4#; 'ßam=a |해결 전략 | n 용한다. ⑴ '3_3 '3_(3 '3 )-;2(;=3;2!;_3;3!;_3-;2#; =3;2!;+;3!;+{-;2#;} =3-;3@; ∴ k=-;3@; STEP 필수 유형 2 | 22쪽~28쪽 | m n 을 이용하여 거듭제곱근을 지수로 바꾼 후 지수법칙을 이 01-1  ⑴ 2-;2(; ⑵ 1 ⑶ 2 ⑷ ;1ª6; |해결 전략 | 밑을 통일시킨 다음 지수법칙을 이용하여 간단히 한다. ⑴ {(-2)›};8#;_16-;2#;=16;8#;_16-;2#; 4 "ƒa€ 3 "ƒa'a ={a€_(a_a;2!;);3!;};4!;={a€_(a1+;2!;);3!;};4!; ={a€_(a;2#;);3!;};4!;=(a€_a;2!;);4!;=(a€+;2!;);4! =(a;2%;);4!;=a;2%;_;4!;=a;8%; 따라서 p=5, q=8이므로 p+q=5+8=13 ⑵ 9;2#; /27;3@;_3-1=(32);2#;/(33);3@;_3-1 03-1  ⑴ x-y-1 ⑵ x-y-1 |해결 전략 | 공통 부분을 치환한 후 다음과 같은 곱셈 공식을 이용한다. ⑶ 4;3@; /36;3!;_18;3!;=(2€);3@; /(2€_3€);3!;_(2_3€);3!; (x;2!;+y-;2!;)(x;2!;-y-;2!;)=(A+B)(A-B) ⑴ (a+b)(a-b)=a€-b€ ⑵ (a-b)(a€+ab+b€)=a‹-b‹ ⑴ x;2!;=A, y-;2!;=B로 놓으면 -;3!; ;2#; ;4!; ⑷ [{;2^7$;} _{;1ª6;} =”[{;3$;} ] 2 ;4!; _[{;4#;} ] ⑵ x;3!;=A, y-;3!;=B로 놓으면 x;3@;=A2, y-;3@;=B€이므로 (x;3!;-y-;3!;)(x;3@;+x;3!;y-;3!;+y-;3@;)=(A-B)(A€+AB+B€) =A€-B€ =(x;2!;)€-(y-;2!;)€ =x-y-1 =A‹-B‹ =(x;3!;)‹-(y-;3!;)‹ =x-y-1 m n 을 이용하여 거듭제곱근을 지수로 바꾼 후 지수법칙을 이 2;4!;=x로 놓으면 2;2!;=x€, 2=x›, 2€=x°이므로 03-2  -15 |해결 전략 | 24!;=x로 놓고 주어진 식을 x에 대한 식으로 나타낸 후 (a+b)(a-b)=a€-b€을 이용한다. (1-2;4!;)(1+2;4!;)(1+2;2!;)(1+2)(1+2€) =(1-x)(1+x)(1+x€)(1+x›)(1+x°) =(1-x€)(1+x€)(1+x›)(1+x°) =(1-x›)(1+x›)(1+x°) =(1-x°)(1+x°)=1-x⁄fl =1-(2;4!;)⁄fl=1-2›=-15 1 지수 005 04-1  ⑴ 14 ⑵ 52 |해결 전략 | 주어진 식의 양변을 제곱 또는 세제곱한다. 05-2  |해결 전략 | 분모, 분자에 2a을 곱하여 4a의 값을 구한다. ;;¡3º;; ⑴ a;2!;+a-;2!;=4의 양변을 제곱하면 (a;2!;+a-;2!;)€=4€, a+2+a-1=16 ∴ a+a-1=14 ⑵ a;2!;+a-;2!;=4의 양변을 세제곱하면 (a;2!;+a-;2!;)‹=4‹, a;2#;+3a_a-;2!;+3a;2!;_a-1+a-;2#;=64 a;2#;+a-;2#;+3(a;2!;+a-;2!;)=64, a;2#;+a-;2#;+3_4=64 ∴ a;2#;+a-;2#;=52 04-2  21 |해결 전략 | 주어진 식의 양변을 제곱하여 정리한 식을 다시 세제곱한다. x;2!;-x-;2!;=1의 양변을 제곱하면 (x;2!;-x-;2!;)€=1, x-2+x-1=1 ∴ x+x-1=3 ㉠의 양변을 세제곱하면 (x+x-1)‹=3‹, x‹+3x€_x-1+3x_x-2+x-3=27 x‹+x-3+3(x+x-1)=27 ㉠에서 x‹+x-3+3_3=27 ∴ x‹+x-3=18 ㉠, ㉡에서 x+x-1+x‹+x-3=3+18=21 05-1  ⑴ 3-2'2 ⑵ 18-10'2 31 |해결 전략 | 분모, 분자에 각각 ax을 곱하여 구하는 식에 a2x이 나오도록 식을 변 (2€)a+1 (22)a-1 = 4a+1 4a-1 =2 2a+2-a 2a-2-a 의 분모, 분자에 각각 2a을 곱하면 2a+2-a 2a-2-a = 이므로 4Å+1=2(4Å-1) 2a(2a+2-a) 2a(2a-2-a) 22a+1 22a-1 = = 4Å+1=2_4Å-2 ∴ 4Å=3 ∴ 4a+4-a=4a+ 1 4a =3+;3!;= 10 3 다른 풀이 2a+2-a 2a-2-a =2에서 2a+2-a=2(2a-2-a)이므로 2a+2-a=2_2a-2_2-a, 2a=2-a+2_2-a ∴ 2Å=3_2-a 이때, 위 식의 양변에 2a을 곱하면 4a=3이므로 ……㉠ 4a+4-a=4a+ 1 4a =3+;3!;= 10 3 ……㉡ 06-1  ⑴ 1 ⑵ 6 |해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다. 형한다. ⑴ ax-a-x ax+a-x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면 ax-a-x ax+a-x = ax(ax-a-x) ax(ax+a-x) = a2x-1 a2x+1 ('2-1)€ ('2+1)('2-1) =3-2'2 = = '2-1 '2+1 2-2'2+1 2-1 = ⑵ ax-a-x a5x+a-5x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면 ax(ax-a-x) ax-a-x a5x+a-5x = ax(a5x+a-5x) a2x-1 a2x-1 a6x+a-4x = = '2-1 = (a2x)‹+ 1 (a2x)2 ('2 )‹+ 1 ('2 )2   = 2('2-1) 4'2+1 = '2-1 2'2 +;2!;  2('2-1)(4'2-1) (4'2+1)(4'2-1) 2(9-5'2 ) 32-1 = = = 18-10'2 31 006 정답과 해설 ⑴ 6x=243의 양변을 ;x!;제곱하면 6=243;x!;=(3fi);x!;=3;x%;; 2y=27의 양변을 ;y!;제곱하면 2=27;y!;=(33);y!;=3;y#; ㉠ /㉡ 을 하면 6/2=3;x%;;/3;y#; , 3=3;x%;;-;y#; 즉, 3;x%;;-;y#;=31이므로 ;x%;;-y#;=1 ⑵ 4x=a의 양변을 ;x!;제곱하면 4=a;x!; 6=a;y!; 6y=a의 양변을 ;y!;제곱하면 9z=a의 양변을 ;z!;제곱하면 9=a;z!; ㉠ _㉡_㉢ 을 하면 이때, ;x!;+;y!;+;z!=3이므로 216=a‹, 6‹=a‹ ∴ a=6 4_6_9=a;x!;_a;y!;_a;z!; ∴ 216=a;x!;+;y!;+;z!; ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ……㉢ 07-1  3 |해결 전략 | t=1일 때와 t=8일 때 각각 S¡과 S™에 대한 식을 구한다. LECTURE 햇볕에 노출되는 시간이 1시간일 때, 요구되는 자외선 차단 지수는 햇볕에 노출되는 시간이 8시간일 때, 요구되는 자외선 차단 지수는 ……㉠ ……㉡ S¡이므로 1=m_2S¡ S™이므로 8=m_2S™ ㉡/㉠ 을 하면 m_2S™ m_2S¡ ;1*;= 즉, 2S™-S¡=23이므로 ∴ 8=2S™-S¡ S™-S¡=3 STEP 유형 드릴 3 | 29쪽~31쪽 | 수 x의 개수와 같다. 1-1  ③ |해결 전략 | a의 n제곱근은 복소수 범위에서 n개이다. 'ß81=4 ② 3‹=27이므로 3은 27의 세제곱근이다. ① 네제곱근 81은 4 "∂3›=3이다. ③ 4의 네제곱근을 x라 하면 x›=4이므로 x›-4=0, (x€-2)(x€+2)=0 (x-'2 )(x+'2 )(x€+2)=0 ∴ x=-'2 또는 x=-'2 i 따라서 4의 네제곱근은 4개이다. ④ -1의 세제곱근 중 실수인 것은 3 ⑤ n이 1이 아닌 홀수일 때, -7의 n제곱근 중 실수인 것은 n 'ß-1=3 "ƒ(-1)‹=-1이다. 'ß-7이다. 1-2  ② |해결 전략 | a의 n제곱근 중 실수인 것의 개수는 n이 홀수일 때는 1개이고, n이 짝수일 때는 a의 값에 따라 다르다. ㄱ. -8의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-8이므로 x‹+8=0, (x+2)(x€-2x+4)=0 ∴ x=-2 또는 x=1-'3 i 따라서 -8의 세제곱근 중 실수인 것은 -2이다. ㄴ. 0의 제곱근은 '0 =0이다. ㄷ. n이 짝수일 때, 5의 n제곱근 중 실수인 것은 n ㄹ. n이 1이 아닌 홀수일 때, -5의 n제곱근 중 실수인 것은 n '5, -n '5 의 2개이다. 'ß-5 의 1개이다. ㅁ. 실수 a에 대하여 n 이므로 n이 짝수이고 a (n이 홀수) |a| (n이 짝수) "∂an=[ "∂an=|a|=-a이다. a<0일 때 n 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. n이 2 이상의 정수일 때, 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 다음과 같다. n이 짝수 n이 홀수 n a>0 'a, -n 'a n 'a a=0 0 0 a<0 없다. n 'a 2-1  7 |해결 전략 | n이 홀수일 때, n "∂an=a이다. 64의 세제곱근을 x라 하면 x‹=64이므로 x‹-64=0, (x-4)(x€+4x+16)=0 ∴ x=4 또는 x=-2-2'3 i 이때, 64의 세제곱근 중 실수인 것은 4이므로 a=4 'ß27의 제곱근을 y라 하면 y€=3 3 y=-'3 또는 y='3 ∴ a+b€=4+3=7 'ß27=3 ∴ b='3 (∵ b>0) "∂3‹=3이므로 2-2  5 |해결 전략 | a의 n제곱근 중 실수인 것의 개수는 방정식 x˜=a를 만족시키는 실 -27의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-27이므로 x‹+27=0, (x+3)(x€-3x+9)=0 ∴ x=-3 또는 x= 3-3'3i 2 이때, -27의 세제곱근 중 실수인 것은 -3의 1개이므로 ∴ a=1 f(-27, 3)=1 "ƒ(-2)fl의 네제곱근을 y라 하면 y›="ƒ(-2)fl="∂2fl=2‹=8이므로 y›-8=0, (y€-2'2 )(y€+2'2 )=0 ∴ y=-2'2 또는 y=-2'2 i 이때, "ƒ(-2)fl의 네제곱근 중 실수인 것은 -2'2, 2'2 의 2개이므로 f("ƒ(-2)fl, 4)=2 ∴ a+2b=1+2_2=5 ∴ b=2 3-1  ③ |해결 전략 | 실수 a에 대하여 ˜ "ƒa˜=[ a (n이 홀수) |a| (n이 짝수) 임을 이용한다. "ƒ(-3)›+5 "ƒ(-2)‹+4 "ƒ(-2)€+3 =|-2|+(-2)+|-3|+(-3) "ƒ(-3)fi =2-2+3-3=0 3-2  ② |해결 전략 | a>0, b>0이고 n이 2 이상의 정수일 때, ˜ "a ˜ "b =˜ "∂ab, =˜ æ;bA ˜'a ˜'b 임을 이용한다. 3 '3_3 '9+ =3 '3_3 "∂3€+ ›'ß64 ›'4 ›"∂2fl ›"∂2€ 2fl 2€ =3 =3 4 "ƒ33+ æ√ "∂3‹+4 "∂2› =3+2=5 1 지수 007 4-1  ① |해결 전략 | █ "∂a€b_6 3 'ß 에서 █를 통일시켜서 계산한다. "∂a›b€_6 "∂a‹b‹ a·b‹ a‹b‹ "∂afib/'ßab=6 =fl æ√ "∂afib/6 =fl æ√ a›b€_afib a‹b‹ =6 "∂afl=|a|=a 4-2  ;2!; |해결 전략 | █ "∂a€b‹_3 6 'ß 에서 █를 통일시켜서 계산한다. "∂a€b/⁄2 "∂aflb⁄‚=⁄2 "∂a›bfl_⁄2 "∂a°b›/⁄2 "∂aflb⁄‚ a⁄€b⁄‚ aflb⁄‚ æ√ 12 = 12 æ√ a›bfl_a°b› aflb⁄‚ = =⁄2 "∂afl='a=a;2!; 즉, a;2!;=axby이므로 x=;2!;, y=0 ∴ x+y=;2!; 5-1  ⑴ 6 ⑵ ;;¡2∞;; |해결 전략 | 밑을 통일시키고 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다. ⑴ 2-3_2fi_[{ 8 27 } 0.5 -;3@; ] =2-3+5_”[{;3@;} -;3@; 3 ;2!; ’ ] ⑵ 25;2!;/24;3!;_81;3!;=(5€);2!;/(3_2‹);3!;_(3›);3!; =2€_[{;3@;} -;3@; ;2#; ] -1 =2€_{;3@;} =2€_;2#;=6 =5/3;3!;/2_3;3$; =5/2_3;3$;/3;3!; =;2%;_3;3$;-;3!; =;2%;_3 15 2 = 5-2  ④ |해결 전략 | 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다. (2æ;3$; )'3_4-;2!;/{(-2)›};2!;=2 '4 '3 _'3_(2€)-;2!;/(2›);2!; =2€_22_{-;2!;}/24_;2!; =2€_2-1/2€ =22+(-1)-2 =2-1=;2!; LECTURE 지수 x 자연수 밑 a a는 실수 정수 a+0 유리수 a>0 실수 a>0 008 정답과 해설 m n 을 이용하여 거듭제곱근을 지수로 바꾼 후 지수법칙을 이 6-1  2 |해결 전략 | n 'ßam=a 용하여 간단히 한다. ("∂a‹_fi'a/a-;2!;);1!1);=(a;2#;_a;5!;/a-;2!;);1!1); ={a;2#;+;5!;-{-;2!;}};1!1); =(a;;¡5¡;;);1!1);=a;;¡5¡;;_;1!1); =a€ 즉, a€=ak이므로 k=2 6-2  11 |해결 전략 | m "ƒa n 'a=(a_a 1 n ) 1 m 을 이용하여 거듭제곱근을 지수로 바꾼 후 지 수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다. ›"ƒa ‹"ƒa'a ={a_(a_a;2!;);3!;};4!;={a_(a1+;2!;);3!;};4!; ={a_(a;2#;);3!;};4!;=(a_a;2!;);4!; =(a1+;2!;);4!;=(a;2#;);4!; =a;2#;_;4!;=a;8#; 따라서 m=8, n=3이므로 m+n=8+3=11 ;;¡5¡;; 7-1  |해결 전략 | 2;3!;=A, 5-;3!;=B로 놓고 주어진 식을 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 곱셈 공식 (a+b)(a€-ab+b€)=a‹+b‹을 이용한다. 2;3!;=A, 5-;3!;=B로 놓으면 4;3!;=A€, 25-;3!;=B€이므로 (2;3!;+5-;3!;)(4;3!;-2;3!;5-;3!;+25-;3!;)=(A+B)(A€-AB+B€) =A‹+B‹ =(2;3!;)‹+(5-;3!;)‹ =2+5-1 =2+;5!;=;;¡5¡;; LECTURE 자주 이용되는 곱셈 공식 (A+B)(A-B)=A€-B€ (A+B)€=A€+2AB+B€ (A-B)‹=A‹-3A€B+3AB€-B‹ (복부호동순) (A-B)(A€_AB+B€)=A‹-B‹ (복부호동순) 7-2  4 |해결 전략 | 6;4!;=A, 2;4!;=B로 놓고 주어진 식을 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=a€-b€을 이용하여 식을 전개한다. 6;4!;=A, 2;4!;=B로 놓으면 6;2!;=A€, 2;2!;=B€이므로 (6;4!;-2;4!;)(6;4!;+2;4!;)(6;2!;+2;2!;)=(A-B)(A+B)(A€+B€) =(A€-B€)(A€+B€) =A›-B› =(6;4!;)›-(2;4!;)› =6;4!;_4-2;4!;_4 =6-2=4 8-1  18 |해결 전략 | 주어진 식의 양변을 세제곱한다. a+a-1=3의 양변을 세제곱하면 (a+a-1)‹=3‹ a‹+3a€_a-1+3a_a-2+a-3=27 a‹+a-3+3(a+a-1)=27 a‹+a-3+3_3=27 ∴ a‹+a-3=18 8-2  |해결 전략 | a;2!;+a-;2!;=x로 놓고 양변을 제곱하여 x의 값을 구한다. '6 a;2!;+a-;2!;=x로 놓고 양변을 제곱하면 (a;2!;+a-;2!;)€=x€ a+2a;2!;_a-;2!;+a-1=x€, a+a-1+2=x€ 즉, 4+2=x€이므로 x€=6 ∴ x='6 (∵ x>0) 9-1  2+3'2 2 |해결 전략 | 분모, 분자에 ax을 곱하여 구하는 식을 a2x이 포함된 식으로 변형한다. a3x-a-3x ax-a-x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면 a4x-a-2x ax(a3x-a-3x) a3x-a-3x ax-a-x = ax(ax-a-x) a2x-1 1 ('2 )2- '2 '2-1 (a2x)2- a2x-1 1 a2x = = = 4-'2 2('2-1) = 2 - '2 2 '2-1 (4-'2 )('2+1) 2('2-1)('2+1) 2+3'2 2 = = = 9-2  -;4%; |해결 전략 | 분모, 분자에 2a을 곱하여 4a의 값을 구한다. 2a+2-a 2a-2-a 의 분모, 분자에 각각 2a을 곱하면 2a+2-a 2a-2-a = 이므로 4a+1=-2(4a-1) 4a+1=-2_4a+2 2a(2a+2-a) 2a(2a-2-a) 22a+1 22a-1 = = 3_4a=1 ∴ 4a+4-a  4a-4-a = 4a+ ∴ 4a=;3!; 1 4a   1 4a 4Å- = ;3!;+3  ;3!;-3  = ;;¡3º;;  -;3*;; =-;4%; 다른 풀이 2a+2-a 2a-2-a =-2에서 2a+2-a=-2 (2a-2-a)이므로 2a+2-a=-2_2a+2_2-a 3_2a=2-a ∴ 2Å=;3!;_2-a 이때, 위 식의 양변에 2a을 곱하면 4a=;3!;이므로 4a+4-a  4a-4-a  = 4a+ 4a-   1  4a  1    4a  = ;3!;+3  ;3!;-3  = ;;¡3º;;  -;3*;; =-;4%; 10-1  -2 |해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다. 10-2  1 |해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다. 12x=27의 양변을 ;x!;제곱하면 12=27;x!;=(3‹);x!;=3;x#; 108y=81의 양변을 ;y!;제곱하면 108=81;y!;=(3›);y!;=3;y$; ㉠/㉡ 을 하면 12/108=3;x#;/3;y$;, ;9!;=3;x#;-;y$; 즉, 3x#;-;y$;=3-2이므로 ;x#;-;y$;=-2 2Å=10의 양변을 ;a!;제곱하면 2=10;a!; 5ı=10의 양변을 ;b!;제곱하면 5=10;b!; ㉠_㉡ 을 하면 2_5=10;a!;_10;b!;, 10=10;a!;+;b!; 즉, 10;a!;+;b!;=10⁄이므로 ;a!;+;b!;=1 2=a;x@; 3=a;2¡y; 9y=a, 즉 32y=a의 양변을 ;2¡y;제곱하면 25z=a, 즉 52z=a의 양변을 ;2¡z제곱하면 5=a;2¡z; ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ……㉢ 1 지수 009 11-1  30 |해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다. (22)a+1 (2€)a-1 = 4a+1 4a-1 =-2 2;2X;=a의 양변을 ;x@;제곱하면 ㉠_㉡_㉢ 을 하면 2_3_5=a;x@;_a;2¡y;_a;2¡z; ∴ 30=a;x@+;2¡y;+;2¡z; 이때, ;x@+;2¡y;+;2¡z=1이므로 a=30 11-2  ;2!; |해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다. | 로그2 1 로그의 뜻 개념 확인 ax=81의 양변을 ;x!;제곱하면 a=81;x!; b=81;y!; by=81의 양변을 ;y!;제곱하면 cz=81의 양변을 ;z!;제곱하면 c=81;z!; ㉠_㉡_㉢ 을 하면 abc=81;x!;_81;y!;_81;z!; ∴ abc=81;x!;+;y!;+;z!; 이때, abc=9이므로 9=81;x!;+;y!;+;z!; 'ß81=81;x!;+;y!;+;z!;, 81;2!;=81;x!;+;y!;+;z!; ∴ ;x!;+;y!;+;z!;=;2!; 12-1  2 |해결 전략 | n=8일 때와 n=2일 때 각각 t¡과 t™의 식을 구한다. 전자레인지로 피자 8조각을 굽는 데 걸리는 시간 t¡은 t¡=1.2_80.5=1.2_(2‹)0.5=1.2_21.5 전자레인지로 피자 2조각을 굽는 데 걸리는 시간 t™는 t™=1.2_20.5 ∴ t¡  t™ = 1.2_21.5  1.2_20.5 =21.5-0.5=2 1 ⑴ 2=log∞ 25 ⑵ 0=log¡º 1 ……㉠ ⑶ ;3!;=log™¶ 3 ⑷ -2=log¢ ;1¡6; 34쪽 ……㉡ STEP 개념 드릴 1 | 35쪽~36쪽 | 개념 check ……㉢ 1-1 ⑴ 16 ⑵ -3 ⑶ 36 2-1 ⑴ 0 ⑵ -2 ⑶ 4 ⑷ ;3!; 3-1 ⑴ 2 ⑵ 5-1, ;5!; ⑶ 2 4-1 ⑴ >, x<-2, x>4 ⑵ >, 1, x>2 스스로 check 1-2  ⑴ 0=log¶ 1 ⑵ 4=log£ 81 ⑶ 2=log ;5!; ;2¡5; ⑷ -2=log ;2!; 4 ⑸ -;3@;=log™¶ ;9!; ⑴ 7‚=1에서 0=log¶ 1 ⑵ 3›=81에서 4=log£ 81 €=;2¡5;에서 2=log ⑶ {;5!;} ;2¡5; ;5!; -2 ⑷ {;2!;} =4에서 -2=log ;2!; 4 ⑸ 27-;3@;=;9!;에서 -;3@;=log™¶ ;9!; 2-2  ⑴ 10‹=1000 ⑵ 3-3=;2¡7; ⑸ ('3 )›=9 ⑷ 5;2!;='5 ⑴ log¡º 1000=3에서 10‹=1000 ⑵ log£ ;2¡7;=-3에서 3-3=;2¡7; ⑶ log ;2!; 32=-5에서 {;2!;} =32 -5 -5 =32 ⑶ {;2!;} 12-2  ⑴ f(5)=3f(3) ⑵ 3 ⑶ 9배 |해결 전략 | ⑶ f(8)과 f(4)의 관계식을 구한다. ⑴ 5시간 후의 박테리아의 수 f(5)가 3시간 후의 박테리아의 수 f(3) 의 3배이므로 f(5)=3f(3) ⑵ f(5)=3f(3)에서 ka5b=3ka3b 양변을 ka3b으로 나누면 a5b-3b=3 ∴ a2b=3 ⑶ 8시간 후의 박테리아의 수는 f(8)=ka8b 4시간 후의 박테리아의 수는 f(4)=ka4b ㉠ /㉡ 을 하면 f(8) f(4) = ka8b ka4b =a8b-4b=a4b=(a2b)€=3€=9 ∴ f(8)=9f(4) 9배이다. 010 정답과 해설 따라서 8시간 후의 박테리아의 수는 4시간 후의 박테리아의 수의 ……㉠ ……㉡ ⑷ log∞ '5=;2!;에서 5;2!;='5 '3 9=4에서 ('3 )›=9 ⑸ log 3-2  ⑴ 9 ⑵ ;2¡5; ⑶ ;8!; ⑷ ;7!; ⑸ 9 ⑹ 2 ⑴ log£ x=2에서 3€=x ∴ x=9 ⑵ log∞ x=-2에서 5-2=x ∴ x=;2¡5; ⑶ log¢ x=-;2#;에서 4-;2#;=x ∴ x=;8!; ⑷ logx 7=-1에서 x-1=7 ∴ x=;7!; ⑸ logx 81=2에서 x€=81 밑의 조건에서 x>0이므로 x=9 ⑹ logx 64=6에서 xfl=64 밑의 조건에서 x>0이므로 x=2 4-2  ⑴ x<0 또는 x>3 ⑵ 14 ⑷ 00이므로 x(x-3)>0 ∴ x<0 또는 x>3 ⑵ 진수의 조건에서 -x€+3x-2>0이므로 x€-3x+2<0, (x-1)(x-2)<0 ∴ 10, x-3+1이므로 x>3, x+4 ∴ 34 ⑷ 진수의 조건에서 4-2x>0이므로 x<2 밑의 조건에서 x>0, x+1이므로 01 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 00, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 만 족시키는 x의 값의 범위를 구한다. ⑴ 진수의 조건에서 -x€+7x-10>0이므로 x€-7x+10<0, (x-2)(x-5)<0 ∴ 20, x-4+1이므로 x>4, x+5 ∴ 45 진수의 조건에서 -x€+8x-7>0이므로 x€-8x+7<0, (x-1)(x-7)<0 ∴ 10, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 만 족시키는 x의 값의 범위를 구한다. 밑의 조건에서 x-3>0, x-3+1이므로 x>3, x+4 ∴ 34 진수의 조건에서 -x€+11x-24>0이므로 x€-11x+24<0, (x-3)(x-8)<0 ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ 8 x 5+6+7=18 2 로그의 성질 1 ⑴ 0 ⑵ log™ 30 ⑶ 2 ⑷ 3 개념 확인 2 log™ 7 log™ 3 3 ⑴ 1 ⑵ ;4#; log™ 3 ⑶ 5 1 ⑵ log™ 5+log™ 6=log™ (5_6)=log™ 30 ⑶ log£ 18-log£ 2=log£ ;;¡2•;;=log£ 9 =log£ 3€=2 log£ 3=2 ⑷ log¶ 7‹=3 log¶ 7=3 3 ⑴ log¢ 3_log£ 4=log¢ 3_ 1 log¢ 3 =1 ⑵ log¡§ 27=log2› 3‹=;4#; log™ 3 ⑶ 3log£ 5=5log£ 3=5 39쪽~40쪽 2 로그 011 STEP 필수 유형 2 | 37쪽~38쪽 | ∴ 30, a+1, N>0일 때, loga N=x lfm a˛=N임을 이용하여 계산한다. ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 30, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 만 을 간단히 한다. 족시키는 x의 값의 범위를 구한다. 밑의 조건에서 x-3>0, x-3+1이므로 x>3, x+4 ∴ 34 진수의 조건에서 -x€+8x-12>0이므로 x€-8x+12<0, (x-2)(x-6)<0 ∴ 20이 성립하려면 이차방정식 x€-2ax+5a=0의 판별식이 0보다 작아야 한다. 밑의 조건에서 a-1>0, a-1+1이므로 a>1, a+2 ∴ 12 진수의 조건에서 x€-2ax+5a>0 ……㉠ 이때, 모든 실수 x에 대하여 x€-2ax+5a>0이 성립하려면 이차방 정식 x€-2ax+5a=0의 판별식을 D라 할 때, D<0이어야 하므로 logª b= 이므로 loga b loga 9 loga 3_logª b=loga 3_ loga b loga 9 loga b loga 3€ loga b 2 loga 3 =loga 3_ =loga 3_ = loga b 2 =10 ……㉡ ∴ loga b=20 ;;4Î;;=a€-5a<0, a(a-5)<0 ∴ 00, a+1, b>0, b+1, c>0, c+1, d>0일 때, ❶ loga b_logb c=loga c ❷ loga b_logb a=1 ❸ loga b_logb c_logc d=loga d ❹ loga b_logb c_logc a=1 5-1  -2 |해결 전략 | 지수를 로그로 나타낸 후 식의 값을 구한다. 10Å=2에서 a=log¡º 2 ∴ ;a!;= 1 log¡º 2 =log™ 10 ∴ ;b#;= 1 log¢º 2 =log™ 40 40ı=8에서 b=log¢º 8=log¢º 2‹=3 log¢º 2 ∴ ;a!;-;b#;=log™ 10-log™ 40=log™ ;4!0);=log™ ;4!;=-2 다른 풀이 10Å=2에서 10=2;a!; 40ı=8에서 40=8;b!;=2;b#; ㉠/㉡을 하면 2;a!;/2;b#;=;4!;, 2;a!;-;b#;=2-2 ∴ ;a!;-;b#;=-2 5-2  ;3@; a˛=27에서 x=loga 27 ∴ ;x!;= 1 loga 27 =log™¶ a bÁ=27에서 y=logb 27 ∴ ;y!;= 1 logb 27 =log™¶ b c¸=27에서 z=logc 27 ∴ ;z!;= 1 logc 27 =log™¶ c |해결 전략 | 지수를 로그로 나타낸 후 식의 값을 구한다. ∴ ;x!;+;y!;+;z!;=log™¶ a+log™¶ b+log™¶ c =log™¶ abc=log™¶ 9=log3‹ 3€=;3@; 다른 풀이 a˛=27에서 a=27 ;x!; bÁ=27에서 b=27 ;y!; c¸=27에서 c=27 ;z!; ㉠_㉡_㉢을 하면 27 x!;_27 ;y!;_27 z!;=abc 이때, abc=9이므로 27 x!;+;y!;+z!;=9 33{x!;+;y!;+z!;}=3€, 3 {;x!;+;y!;;+;z!;}=2 ∴ ;x!;+;y!;;+;z!;=;3@; 018 정답과 해설 6-1  -6 |해결 전략 | 두 근의 합은 2, 두 근의 곱은 -1임을 이용한다. 이차방정식 x€-2x-1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 log™ a+log™ b=2, log™ a_log™ b=-1 ∴ loga b+logb a= log™ b log™ a + log™ a log™ b = (log™ b)€+(log™ a)€ log™ a_log™ b = (log™ a+log™ b)€-2 log™ a_log™ b log™ a_log™ b = 2€-2_(-1) -1 =-6 6-2  -;3@; |해결 전략 | 두 근의 합은 4, 두 근의 곱은 -3임을 이용한다. 이차방정식 x€-4x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 log™ a+log™ b=4, log™ a_log™ b=-3 ∴ loga '2+logb€ 2=;2!; loga 2+;2!; logb 2 ……㉠ ……㉡ =;2!; { 1 log™ a + 1 log™ b } =;2!;_ log™ b+log™ a log™ a_log™ b =;2!;_{-;3$;}=-;3@; 7-1  2.0048 |해결 전략 | 구하는 로그의 진수를 3.18_10˜(n은 정수) 꼴로 고친다. log 3180+log 0.0318 =log (3.18_10‹)+log (3.18_10-2) =3+log 3.18+(-2)+log 3.18 =1+2 log 3.18=1+2_0.5024=2.0048 7-2  -7.91 |해결 전략 | 주어진 식을 log 2, log 3이 포함된 형태로 변형한다. 100 log {;6%;} =100 log ;6%;=100(log 5-log 6) =100[log ;;¡2º;;-(log 2+log 3)] =100(1-log 2-log 2-log 3) =100(1-2 log 2-log 3) =100(1-2_0.3010-0.4771)=-7.91 8-1  ④ |해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 진수의 숫자의 배열이 같음을 이 ……㉠ ……㉡ ……㉢ 용한다. log 48.9=log (10_4.89)=1+log 4.89=1.6893이므로 log x=4.6893에서 정수 부분이 4이므로 x는 5자리 수이다. 또, log x의 소수 부분이 0.6893이므로 x의 숫자의 배열은 4, 8, 9이다. log 4.89=0.6893 ∴ x=48900 8-2  3.4549 |해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 진수의 숫자의 배열이 같음을 이 용한다. log 2.68=0.4281 log 26.8=log (10_2.68)=1+log 2.68=1.4281이므로 log 2680 =log (10‹_2.68)=3+log 2.68 =3+0.4281=3.4281 ∴ a=3.4281 log b =-1.5719=-1-0.5719 =(-1-1)+(1-0.5719) =-2+0.4281 log x€과 log ;x!;의 소수 부분이 같으므로 log x€-log ;x!;=log x€-log x-1=3 log x=(정수) 10-2} 점근선의 방정식은 y=-2 2 x y 64 8 2 y 25 1 O y y={;2!;} x-3 -2 2 x 6 O -2 3 지수함수 021 ⑵ y=-3x-2+2의 그래프는 y=3˛의 그래프를 x축에 대하여 대칭 이동한 후, x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이 주어진 그림에서 함수 y=2-(x-a)+b의 그래프는 원점을 지나므로 0=2-(0-a)+b 2Å+b=0 ……㉡ 동한 것이다. 따라서 y=-3x-2+2의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 치역은 {y|y<2} 점근선의 방정식은 y=2 y 2 또, 점근선의 방정식은 y=-2이므로 b=-2 b=-2를 ㉡에 대입하면 2Å-2=0 O ;;¡9¶;; x 2Å=2 ∴ a=1 ∴ ab=1_(-2)=-2 01-2  ④ |해결 전략 | 지수함수 y=2˛의 그래프를 이용하여 지수함수 y=2x+2-3의 그 은 수가 크다. ⑵ 0.2;3!;>'ß0.008>›"ƒ0.2‡ |해결 전략 | 밑이 1보다 크면 지수가 큰 수가 크고, 밑이 1보다 작으면 지수가 작 y=-3x-2+2 03-1  ⑴ 30.5<‹'9<'ß27 래프를 그려 본다. y=2x+2-3의 그래프는 y=2˛의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. 따라서 y=2x+2-3의 그래프는 오른쪽 그 림과 같으므로 제4사분면을 지나지 않는다. y y=2x+2-3 y=2x 1 O -3 ⑴ 주어진 세 수를 밑이 3인 거듭제곱 꼴로 나타내면 30.5=3;2!;, 'ß27="∂3‹=3;2#;, ‹'9=‹"∂3€=3;3@; 이때, 함수 y=3˛은 밑 3이 1보다 크므 로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한 y=3x x 다. 즉, 지수가 큰 수가 크다. 따라서 지수의 크기를 비교하면 ;2!;<;3@;<;2#;이므로 x ;2!; ;3@; ;2#; y 1 O 02-1  ⑴ m=-4, n=2 |해결 전략 | 함수의 그래프에서 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 ⑵ m=2, n=5 평행이동하면 x 대신 x-m, y 대신 y-n을 대입한다. 또, y축에 대하여 대칭이 3;2!;<3;3@;<3;2#; ∴ 30.5<‹'9<'ß27 ⑵ 주어진 세 수를 밑이 0.2인 거듭제곱 꼴로 나타내면 동하면 x 대신 -x를 대입한다. ⑴ y=2˛의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만 큼 평행이동한 그래프의 식은 y=2x-m+n 따라서 y=2x-m+n이 y=16_2˛+2=2x+4+2와 일치하므로 ……㉠ -m=4, n=2 ∴ m=-4, n=2 ⑵ y=5˛의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 y=5-x ……㉠ ㉠의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평 행이동한 그래프의 식은 y=5-(x-m)+n 따라서 y=5-(x-m)+n이 y=25_{;5!;} 하므로 m=2, n=5 ˛+5=5-(x-2)+5와 일치 02-2  -2 |해결 전략 | 주어진 그림에서 함수의 그래프가 원점을 지나고 점근선의 방정식이 y=-2임을 이용한다. 함수 y=2˛의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 y=2-x ……㉠ ㉠의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이 동한 그래프의 식은 y=2-(x-a)+b 022 정답과 해설 0.2;3!;, ›"ƒ0.2‡=(0.2‡);4!;=0.2;4&;, 'ß0.008="ƒ0.2‹=(0.2‹);2!;=0.2;2#; 이때, 함수 y=0.2˛은 밑 0.2가 1보 다 작으므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉, 지수가 작은 수가 크다. 따라서 지수의 크기를 비교하면 ;3!;<;2#;<;4&;이므로 0.2;3!;>0.2;2#;>0.2;4&; ∴ 0.2;3!;>'ß0.008>›"ƒ0.2‡ y=0.2x y 1 O ;3!; ;2#; ;4&; x 04-1  ⑴ 최댓값: 11, 최솟값: 4 ⑵ 최댓값: 28, 최솟값: ;2@7*; |해결 전략 | ⑴ 밑 2는 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ⑵ 밑 ;3!;은 1보다 작으므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. ⑴ 함수 y=2x-2+3에서 밑 2는 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y 의 값도 증가한다. 따라서 20)로 놓으면 t€-2t=0, t(t-2)=0 ∴ t=2 (∵ t>0) 즉, 2˛=2이므로 2˛=2⁄ ⑶ 32x-4=52x-4에서 2x-4=0 ∴ x=1 ➡ f(m), f(a), f(b) 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값 ∴ x=2 ⑵ mb일 때 ➡ f(a), f(b) 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값 05-1  ⑴ 최댓값: 39, 최솟값: 3 ⑵ 최댓값: 3, 최솟값: 2 |해결 전략 | ⑴ 3˛=t로 치환하여 이차함수의 최대, 최소를 이용한다. ˛=t로 치환하여 이차함수의 최대, 최소를 이용한다. ⑵ {;2!;} ⑴ y=9˛-2_3x+1+12=(3˛)€-6_3˛+12 3˛=t로 놓으면 -10)로 놓으면 t€-12t+32=0, (t-4)(t-8)=0 ⑶ (2€)˛-3_2˛+2=0, 즉 (2˛)€-3_2˛+2=0 ∴ t=4 또는 t=8 t=4일 때, 2˛=4에서 x=2 t=8일 때, 2˛=8에서 x=3 ⑵ 3˛=t (t>0)로 놓으면 t€+9t-10=0, (t+10)(t-1)=0 ∴ t=1 (∵ t>0) t=1일 때, 3˛=1에서 x=0 2˛=t (t>0)로 놓으면 t€-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 t=1일 때, 2˛=1에서 x=0 t=2일 때, 2˛=2에서 x=1 3˛=t로 놓으면 t€-12t+27=0, (t-3)(t-9)=0 ∴ t=3 또는 t=9 t=3일 때, 3˛=3에서 x=1 t=9일 때, 3˛=9에서 x=2 ⑷ (3€)˛-12_3˛+27=0, 즉 (3˛)€-12_3˛+27=0 STEP 필수 유형 2 | 83쪽~87쪽 | 01-1  ⑴ x=1 ⑵ x=-3 또는 x=1 ⑶ x=;2!; 또는 x=1 |해결 전략 | 양변의 밑을 같게 하여 af(x)=ag(x) 꼴로 변형한 후 f(x)=g(x)의 해를 구한다. (단, a>0, a+1) ⑴ 5x+1=25˛에서 5x+1=(5€)˛ ∴ 5x+1=52x 따라서 x+1=2x이므로 x=1 x€-3 에서 ⑵ 4˛={;2!;} (2€)˛=(2-1)x€-3 ∴ 2€˛=2-x€+3 따라서 2x=-x€+3이므로 x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 024 정답과 해설 2x€ -3x+1 ⑶ {;5$;} ={;4%;} 에서 2x€ -1 -3x+1 =[{;5$;} {;5$;} 따라서 2x€=3x-1이므로 ] 2x€ 3x-1 ∴ {;5$;} ={;5$;} 2x€-3x+1=0, (2x-1)(x-1)=0 ∴ x=;2!; 또는 x=1 01-2  4 |해결 전략 | 양변의 밑을 3으로 같게 한 후 지수가 같아야 함을 이용한다. 3x€+4x=9x€-2에서 3x€+4x=(3€)x€-2 ∴ 3x€+4x=32x€-4 따라서 x€+4x=2x€-4이므로 x€-4x-4=0 이차방정식 x€-4x-4=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4 02-1  ⑴ x=2 ⑵ x=0 또는 x=1 |해결 전략 | ⑴ 식을 변형한 후 3˛=t로 치환하여 푼다. ⑵ 식을 변형한 후 2˛=t로 치환하여 푼다. ⑴ 32x-1-2_3˛-9=0에서 3€˛_3-1-2_3˛-9=0 즉, ;3!;_(3˛)€-2_3˛-9=0 3˛=t (t>0)로 놓으면 ;3!;t€-2t-9=0, ;3!;(t€-6t-27)=0 ;3!;(t+3)(t-9)=0 ∴ t=9 (∵ t>0) t=9일 때, 3˛=9에서 x=2 ⑵ 2˛+21-x=3에서 2˛+2_2-x-3=0 즉, 2˛+ -3=0 2 2˛ 2˛=t (t>0)로 놓으면 t+ -3=0 2 t 양변에 t를 곱하여 정리하면 t€-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 t=1일 때, 2˛=1에서 x=0 t=2일 때, 2˛=2에서 x=1 02-2  2 |해결 전략 | 3˛=t로 치환하여 얻은 t에 대한 방정식에서 근과 계수의 관계를 이 용한다. 9˛-7_3˛+9=0에서 (3˛)€-7_3˛+9=0 3˛=t (t>0)로 놓으면 t€-7t+9=0 이때, 이 방정식의 두 근은 3a, 3b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 3a_3b=9, 즉 3a+b=3€ ∴ a+b=2 LECTURE a>0, a+1일 때, pa2x+qa˛+r=0 (단, p+0) ㉠에서 a˛=t(t>0)로 놓으면 pt€+qt+r=0 이때, 방정식 ㉠의 해가 a, b이면 방정식 ㉡의 해는 aa, ab이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 aa+ab=- , aa_ab= q p r p 03-1  ⑴ x=1 또는 x=4 ⑵ x=-2 또는 x=1 |해결 전략 | ⑴ 양변의 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0일 때로 나누어 푼다. ⑵ 양변의 밑이 같으므로 지수가 같거나 밑이 1일 때로 나누어 푼다. ⑴ 지수가 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 밑이 같거나 밑이 달라도 지수가 0이면 등식이 성립한다. ⑵ 밑이 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 지수가 같거나 밑이 1 1 밑이 같은 경우 x+1=2이므로 x=1 2 지수가 0인 경우 x-4=0이므로 x=4 1, 2에서 x=1 또는 x=4 이면 등식이 성립한다. 1 지수가 같은 경우 5x-2=2x+1이므로 x=1 2 밑이 1인 경우 x+3=1이므로 x=-2 1, 2에서 x=-2 또는 x=1 04-1  ;3!; |해결 전략 | 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 주어진 방정식을 3˛=t로 치환 한 후 얻은 방정식의 두 근은 3a, 3b이다. 9˛-2_3x+1+k=0에서 3€˛-2_3_3˛+k=0이므로 (3˛)€-6_3˛+k=0 3˛=t (t>0)로 놓으면 t€-6t+k=0 ……㉠ 이때, 방정식 9˛-2_3x+1+k=0의 서로 다른 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근은 3a, 3b이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 3a_3b=k, 3a+b=k 3-1=k (∵ a+b=-1) ∴ k=;3!; 04-2  k>4 |해결 전략 | 주어진 방정식을 2˛=t로 치환하여 얻은 방정식이 서로 다른 두 양 의 실근을 가져야 한다. 4˛-k_2x-1+1=0에서 2€˛-k_2-1_2˛+1=0이므로 이때, 방정식 4˛-k_2x-1+1=0이 서로 다른 두 실근을 가지면 ㉠ ……㉠ ……㉡ 은 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다. 1 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D= -4>0, ;4!;(k€-16)>0 k€ 4 ;4!;(k+4)(k-4)>0 ∴ k<-4 또는 k>4 2 (두 근의 합)=;2K;>0, 즉 k>0 3 (두 근의 곱)=1>0 ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 k>4 ……㉡ ……㉢ 05-1  28500년 전 |해결 전략 | 주어진 식에 f(t)=;1∞6;, a=10을 대입하여 t의 값을 구한다. 처음 이 도자기에 들어 있는 ⁄›C의 양은 10 g이었고, t년이 지난 후의 도자기에 남아 있는 ⁄›C의 양은 ;1∞6; g이므로 f(t)=a_{;2!;} 5700 에 f(t)=;1∞6;, a=10을 대입하면 t t 5700 ;1∞6;=10_{;2!;} t t 5700 =;3¡2;, {;2!;} 5700 ={;2!;} {;2!;} fi t 5700 =5 ∴ t=28500 따라서 이 도자기는 28500년 전에 만들어진 것이다. 3 지수부등식 개념 확인 1 ⑴ x<3 ⑵ x<4 ⑶ 0;8!;에서 ;8!;={;2!;} x-1 ‹이므로 {;2!;} ‹ >{;2!;} 밑 ;2!;은 1보다 작으므로 x-1<3 ∴ x<4 ⑶ 9˛-4_3˛+3<0에서 9˛=(3€)˛=(3˛)€이므로 (3˛)€-4_3˛+3<0 3˛=t (t>0)로 놓으면 t€-4t+3<0, (t-1)(t-3)<0 ∴ 10)로 놓으면 t€-;2K; t+1=0 ……㉠ 즉, 1<3˛<3이므로 3‚<3˛<3⁄ 밑 3은 1보다 크므로 0, > ⑵ > 2-1 ⑴ 2, x>2 스스로 check 1-2  ⑴ x<;4%; ⑵ x>4 ⑶ x>5 ⑷ x<1 ⑴ 4=2€, 8=2‹이므로 42x-1<8에서 (2€)2x-1<2‹ 24x-2<2‹ 밑 2는 1보다 크므로 4x-2<3 ∴ x<;4%; ⑵ 9=3€이므로 3x-2>3€ 밑 3은 1보다 크므로 x-2>2 ⑶ ;3¡2;={;2!;} ∴ x>4 fi이므로 {;2!;} fi ˛<{;2!;} 밑 ;2!;은 1보다 작으므로 x>5 ⑷ ;12!5;={;5!;} ‹이므로 {;5!;} 2x+1 ‹ >{;5!;} 밑 ;5!;은 1보다 작으므로 2x+1<3 ∴ x<1 t€-6t+8<0, (t-2)(t-4)<0 ∴ 20)로 놓으면 t€-2t-15<0, (t+3)(t-5)<0 ∴ -30이므로 00)로 놓으면 t€-3t-4<0, (t+1)(t-4)<0 ∴ -10이므로 00)로 놓으면 t€+3t-18>0, (t+6)(t-3)>0 ∴ t<-6 또는 t>3 그런데 t>0이므로 t>3 따라서 3˛>3, 즉 3˛>3⁄ 밑 3은 1보다 크므로 부등식의 해는 x>1 STEP 필수 유형 2 | 90쪽~92쪽 | 01-1  ⑴ x<;2%; ⑵ x>-6 ⑶ x>1 ⑷ -332x에서 (3‹)x+2>3€˛, 33x+6>3€˛ 이때, 밑 3은 1보다 크므로 3x+6>2x 2x-3 ∴ x>-6 에서 ⑶ 5˛>{;5!;} 5˛>(5-1)2x-3이므로 5˛>5-2x+3 이때, 밑 5는 1보다 크므로 x>-2x+3 ∴ x>1 ⑷ {;3@;} >{;2#;} x€ x€ 2x-3 에서 -1 2x-3 이때, 밑 ;3@;는 1보다 작으므로 x€<-2x+3, x€+2x-3<0 (x+3)(x-1)<0 ∴ -34x€-x에서 2x€-2x+2>(2€)x€-x이므로 2x€-2x+2>22x€-2x 이때, 밑 2는 1보다 크므로 x€-2x+2>2x€-2x x€-2<0, (x+'2 )(x-'2 )<0 ∴ -'20)로 놓으면 -3aÅ>a⁄, 즉 a0)로 놓으면 y=t€-6t+a=(t-3)€+a-9 면 등식이 성립한다. 1 지수가 같은 경우 t>0에서 함수 y=(t-3)€+a-9는 -x+6=x€에서 x€+x-6=0이므로 (x+3)(x-2)=0 이때, x€-5=3+x이므로 x€-x-8=0 x€-2x+7=10에서 x€-2x-3=0이므로 t=3일 때, 최소이고 최솟값은 y=(3-3)€+a-9=a-9 따라서 t=3에서 3˛=3이므로 x=1 ∴ b=1 또, a-9=2에서 a=11 ∴ a+b=11+1=12 6-1  1 |해결 전략 | 양변의 밑을 2로 같게 한 후 지수에 대한 방정식의 해를 구한다. 2x€-5=8_2˛에서 2x€-5=2‹_2˛이므로 2x€-5=23+x 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 근의 합은 1이다. 6-2  1 |해결 전략 | 양변의 밑을 ;3!;로 같게 한 후 지수에 대한 방정식의 해를 구한다. x€+1 x€+1 {;3!;} =;2¡7;_3-x에서 ‹_{;3!;} ={;3!;} 이때, x€+1=3+x이므로 x€-x-2=0 ={;3!;} , {;3!;} {;3!;} x€+1 x 3+x 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 근의 합은 1이다. 7-1  27 |해결 전략 | 식을 변형한 후 3˛=t로 치환하여 푼다. 9˛+3˛-12=0에서 (3˛)€+3˛-12=0 3˛=t (t>0)로 놓으면 t€+t-12=0, (t+4)(t-3)=0 그런데 t>0이므로 t=3 t=3일 때, 3˛=3에서 x=1 ∴ 32a+1=3‹=27 ∴ a=1 7-2  3 |해결 전략 | 식을 변형한 후 2˛=t로 치환하여 푼다. 4˛-3_2x+1+8=0에서 (2€)˛-3_2_2˛+8=0 즉, (2˛)€-6_2˛+8=0 2˛=t (t>0)로 놓으면 t€-6t+8=0, (t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4 t=2일 때, 2˛=2에서 x=1 t=4일 때, 2˛=4에서 x=2 이때, a=1, b=2 또는 a=2, b=1이므로 a+b=3 ∴ x=2 (∵ x>0) 2 밑이 1인 경우 x=1 1+2=3 1, 2에서 x=1 또는 x=2이므로 구하는 모든 근의 합은 8-2  4 |해결 전략 | 양변의 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0일 때로 나누어 푼다. 지수가 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 밑이 같거나 밑이 달 라도 지수가 0이면 등식이 성립한다. 1 밑이 같은 경우 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 2 지수가 0인 경우 x=2 합은 -1+2+3=4 1, 2에서 x=-1 또는 x=2 또는 x=3이므로 구하는 모든 근의 9-1  5 |해결 전략 | 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 주어진 방정식을 5˛=t로 치환 한 후 얻은 방정식의 두 근은 5a, 5b이다. 25˛-6_5˛+k=0에서 (5€)˛-6_5˛+k=0이므로 (5˛)€-6_5˛+k=0 5˛=t (t>0)로 놓으면 t€-6t+k=0 이때, 방정식 25˛-6_5˛+k=0의 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근 은 5a, 5b이다. ……㉠ 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 5a_5b=k, 5a+b=k 51=k (∵ a+b=1) ∴ k=5 9-2  ;3@;2 의 실근을 가져야 한다. 4˛-k_2x+1+3k-2=0에서 (22)˛-k_2_2˛+3k-2=0이므로 (2˛)€-2k_2˛+3k-2=0 2˛=t (t>0)로 놓으면 t€-2kt+3k-2=0 |해결 전략 | 주어진 방정식을 2˛=t로 치환하여 얻은 방정식이 서로 다른 두 양 ……㉠ 3 지수함수 029 ˛<3={;3!;} 에서 밑 ;3!;은 1보다 작으므로 은 3이다. 1, 2, 3에서 02이므로 구하는 정수 x의 최솟값 이때, 방정식 4˛-k_2x+1+3k-2=0이 서로 다른 두 실근을 가지 3 x=1일 때 려면 ㉠이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다. (좌변)=1, (우변)=1이므로 (좌변)=(우변) 1 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D 4 =k€-(3k-2)>0, k€-3k+2>0, (k-1)(k-2)>0 따라서 주어진 부등식은 성립한다. 1, 2, 3에서 11, 02 2 (두 근의 합)=2k>0, 즉 k>0 3 (두 근의 곱)=3k-2>0, 즉 k>;3@; ㉡, ㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면 ;3@;2 ˛=t로 치환하여 이차부등식을 푼다. ˛ €+{;3!;} ] ˛-12<0 10-1  -1 |해결 전략 | 식을 변형한 후 {;3!;} ˛<12에서 [{;3!;} ˛+{;3!;} ˛=t (t>0)로 놓으면 {;9!;} {;3!;} t€+t-12<0, (t+4)(t-3)<0 ∴ -40이므로 0-1 따라서 구하는 x의 최솟값은 -1이다. 10-2  3 |해결 전략 | 식을 변형한 후 3˛=t로 치환하여 이차부등식을 푼다. 3€˛+1<9_3˛+3x-2에서 3€˛-(9_3˛+3-2_3˛)+1<0 즉, (3˛)€- _3˛+1<0 82 9 3˛=t (t>0)로 놓으면 t€- 82 9 t+1<0, ;9!;(9t€-82t+9)<0 ;9!;(9t-1)(t-9)<0 ∴ ;9!;1, 01일 때 5x-8<3x-2 ∴ x<3 그런데 x>1이므로 13x-2 ∴ x>3 그런데 00 ∴ x<-1 또는 x>2 1 x>1일 때 1+x0 그런데 x>1이므로 x>2 2 0x€-1, x€-x-2<0 (x+1)(x-2)<0 ∴ -10) ;4D; 즉, a_{;2!;} <;3¡2;a이므로 {;2!;} 이때, 밑 ;2!;은 1보다 작으므로 d 4 ∴ d>20 따라서 d 의 최솟값은 20이다. >5 | 104쪽~105쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1  역함수, y=x  2-1  ⑴ 1, 2  ⑵ -2, -1  ⑶ x 3-1  ⑴ -1, 2  ⑵ 3    98쪽~103쪽 4-1  ⑴ 증가, 2, 8, 3, 2, 1  ⑵ 증가, 2, 6, -log£ 6, 9, -2 스스로 check   y=log;3!; x ⑵ 로그함수 y=log ;5!; x는 지수함수 1-2   풀이 참조 ⑴ 로그함수 y=log¢ x는 지수함수 y=4x의 역함수이다. 따라서 로그함수 y=log¢ x의 그래프 는 지수함수 y=4x의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것이 므로 오른쪽 그림과 같다. x 의 역함수이다. y={;5!;} 따라서 로그함수 y=log x ;5!; x의 그래 프는 지수함수 y={;5!;} 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것이 의 그래프를 므로 오른쪽 그림과 같다. y=4x y=x y=log¢ x O 1 x y 1 x y 1 y={;5!;} y=x O 1 x y=log;5!; x 4 | 로그함수 1 로그함수와 그 그래프 1  ⑴ y=log£ x  ⑵ y=log ;3!; x 개념 확인 2  풀이 참조 3    감소, 1, y 4    풀이 참조 5    ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -1  ⑵ 최댓값: -1, 최솟값: -2 2 ⑴ y ⑵ y y=log£ x x O 1 O 1 x 4 ⑴ y ⑵ y y=log£ {x-;3@;}+1 y=log£ x y=log£ x O 1 x O 1 x y=-log£ x ⑶ y y=log£ (-x) y=log£ x ⑷ y y=-log£ (-x) y=log£ x -1 O 1 x -1 O 1 x 2-2   ⑴ -1, 3  ⑵ 2, -3  ⑶ y  ⑷ x, 1 ⑴ 함수 y=log™(x+1)+3의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것 ⑵ 함수 y=log ;5!; (x-2)-3의 그래프는 함수 y=log ;5!; x의 그래 프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 y=log£ x 것이다. ⑶ 함수 y=log£(-x)의 그래프는 함수 y=log£ x의 그래프를 y축 9 x 에 대하여 대칭이동한 것이다. ⑷ 함수 y=-log™ x+1의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프를 x 축에 대하여 대칭이동한 후, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것 이다. 이다. 5 ⑴ 함수 y=log£ x는 x의 값이 증가 하면 y의 값도 증가하므로 x=9일 때, 최댓값 log£ 9=log£ 3€=2 log£ 3=2 y 2 O -1 ;3!; x=;3!;일 때, 최솟값 log£ ;3!;=log£ 3-1=-log£ 3=-1 을 갖는다. ⑵ 함수 y=log ;5!; x는 x의 값이 증가하면 y y의 값은 감소하므로 x=5일 때, 최댓값 log ;5!; 5=log5-1 5=-log∞ 5=-1 x=25일 때, 최솟값 log ;5!; 25=log5-1 5€=-2 log∞ 5=-2 를 갖는다. 3-2   풀이 참조 ⑴ y=log£(x-2)+1의 그래프는 함수 y=log£ x의 그래프를 x축 5 25 x O -1 -2 의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1 y=log;5!; x 만큼 평행이동한 것이다. 따라서 함수 y=log£(x-2)+1의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y 1 O y=log£ (x-2)+1 1 y=log£ x x 3   4  로그함수   031 ⑶   y=log ;2!; (x-1)에서 밑 ;2!;은 1보다 작으므로 x의 값이 증가하면 ⑴ y=log™ (x+3)-1의 그래프는 y=log™ (x+3)-1 ⑵ y=-log£(x-1)의 그래프는 함수 y y=log£ x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 후, x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. y=log£ x 2 O 1 x 따라서 함수 y=-log£(x-1)의 그 y=-log£ (x-1) 래프는 오른쪽 그림과 같다. 4-2     ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: 0  ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: 1    ⑶ 최댓값: 0, 최솟값: -3  ⑷ 최댓값: 0, 최솟값: -2 ⑴   y=log™ (x+2)에서 밑 2는 1보다 크고 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 따라서 x=6일 때, 최댓값은 log™ 8=3 x=-1일 때, 최솟값은 log™ 1=0 ⑵   y=log£ (5-x)에서 밑 3은 1보다 크고 x의 값이 증가하면 5-x의 값이 감소하므로 y의 값도 감소한다. 따라서 x=-4일 때, 최댓값은 log£ 9=2 x=2일 때, 최솟값은 log£ 3=1 y의 값은 감소한다. 따라서 x=2일 때, 최댓값은 log x=9일 때, 최솟값은 log ;2!; 1=0 ;2!; 8=-3 면 y의 값은 감소한다. 따라서 x=0일 때, 최댓값은 log x=4일 때, 최솟값은 log ;3!; 1=0 ;3!; 9=-2 ⑷ y=log ;3!; (2x+1)에서 밑 ;3!;은 1보다 작으므로 x의 값이 증가하 STEP 필수 유형 2 | 106쪽~112쪽 | 01-1   ⑴ y=log™ x+log™ ;3@; (x>0)  ⑵ y=4x-1 |해결 전략| 로그의 정의를 이용하여 x를 y에 대한 식으로 나타낸 후 x와 y를 서 로 바꾼다. 이때, 정의역에 유의한다. ⑴ 함수 y=3_2x-1의 정의역은 실수 전체의 집합이고 치역은 {y|y>0}이다. y=3_2x-1에서 ;3Y;=2x-1 로그의 정의에 의하여 log™ ;3Y;=x-1, log™ y-log™ 3=x-1 ∫ x=log™ y-log™ 3+1=log™ y+log™ ;3@; x와 y를 서로 바꾸면 역함수는 y=log™ x+log™ ;3@; (x>0) ⑵ 진수의 조건에서 x+1>0이므로 정의역은 {x|x>-1}, 치역은 실수 전체의 집합이다. y=log™ 'ßx+1에서 로그의 정의에 의하여 2y='ßx+1 양변을 제곱하면 (2y)€=x+1 ∫ x=4y-1 x와 y를 서로 바꾸면 역함수는 y=4x-1 032  정답과 해설  01-2   8 |해결 전략|로그의 정의를 이용하여 역함수를 구한 후 주어진 식과 비교한다. 함수 y=32x-4+3의 정의역은 실수 전체의 집합이고 치역은 {y|y>3}이다. y=32x-4+3에서 y-3=32x-4 로그의 정의에 의하여 log£ (y-3)=2x-4, log£ (y-3)+4=2x x=;2!; log£ (y-3)+2=log3€ (y-3)+2 ∫ x=logª (y-3)+2 x와 y를 서로 바꾸면 역함수는 y=logª (x-3)+2 (x>3) 따라서 a=9, b=-3, c=2이므로 a+b+c=8 02-1   풀이 참조 |해결 전략| y=loga x의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만 큼 평행이동하면 정의역은 {x|x>m}, 점근선의 방정식은 x=m이다. y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 -3 만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 이때, 진수는 양수이어야 하므로 x+3>0 ∫ x>-3 y O -1 x 따라서 정의역은 {x|x>-3}, 점근선의 방정식은 x=-3이다. ⑵ y=log™ (-x+3)-1=log™ {-(x-3)}-1의 그래프는 y=log™ x의 그래프를 y축에 대하여 대 칭이동한 후 x축의 방향으로 3만큼, y축 의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므 로 오른쪽 그림과 같다. 이때, 진수는 양수이어야 하므로 -x+3>0 ∫ x<3 y=log™ (-x+3)-1 y 1 x O 따라서 정의역은 {x|x<3}, 점근선의 방정식은 x=3이다. ⑶ y=log (x+1)-2의 그래프는 y ;2!; y=log ;2!; x의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행 이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 이때, 진수는 양수이어야 하므로 x+1>0 ∫ x>-1 O -;4#; x y=log;2!; (x+1)-2 따라서 정의역은 {x|x>-1}, 점근선의 방정식은 x=-1이다. 3(x-1) ⑷ y=log ;3!; (x-1) 3+log y=log ;3!; ;3!; (x-1)-1 y=log ;3!; x의 그래프를 x축 의 그래프는 y=log ;3!; 의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1 y O ;3$; x 만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림 y=log;3!; 3(x-1) 과 같다. 이때, 진수는 양수이어야 하므로 x-1>0 ∫ x>1 따라서 정의역은 {x|x>1}, 점근선의 방정식은 x=1이다. y b a b a O 03-1   -3 |해결 전략 | x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y를 대입하고, x축의 방향으 05-1   -2 |해결 전략 | log£ a=0이고 직선 y=x 위의 점은 (x좌표)=(y좌표)임을 이용 로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면 x 대신 x-m, y 대신 y-n을 하여 a, b, c의 값을 차례로 구한다. 대입한다. 오른쪽 그림에서 log£ a=0이므로 y=x y=log™ x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 a=1 -y=log™ x ∫ y=-log™ x y=-log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n 만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-n=-log™ (x-m) ∫ y=-log™ (x-m)+n 즉, y=-log™ (x-m)+n이 y=log ;2!; 4(x+1)=log ;2!; (x+1)=-log™ (x+1)-2와 4+log ;2!; 또, log£ b=1에서 b=3 log£ c=3에서 c=3‹=27 ∫ log£ ab =log£ 1_3 =log£ ;9!; 27 c =log£ 3-2=-2 y=log£ x O a b c x 04-1   ⑴ log™∞ 16<2 log∞ 3<2  ⑵ -31인지 00 1  ⑴ x=9  ⑵ x=;4!; 또는 x=64 1 ⑴ 진수의 조건에서 x-2>0이므로 x>2 ∫ x=9 밑이 같으므로 x-2=7 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=9 log™ x=t로 놓으면 t€-4t-12=0, (t+2)(t-6)=0 ∫ t=-2 또는 t=6 t=-2일 때, log™ x=-2에서 x=2-2=;4!; t=6일 때, log™ x=6에서 x=2fl=64 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;4!; 또는 x=64 113쪽 åå㉠ åå㉠ | 114쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1  ⑴ 16, 17, 17  ⑵ 2, 1, 1  ⑶ ;3!;, 4, 4 2-1  0, 2, 4, 2, 4 스스로 check   1-2   ⑴ x=;;¡9ª;;  ⑵ x=4  ⑶ x=5  ⑷ x=5 ⑴ 진수의 조건에서 x-2>0 åå㉠ ∫ x>2 로그의 정의에 의하여 x-2=3-2=;9!; åå㉠ ∫ x=;;¡9ª;; 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;;¡9ª;; ⑵ 진수의 조건에서 3x+4>0 ∫ x>-;3$; åå㉠ t=-1일 때, log∞ x=-1에서 x=;5!; t=2일 때, log∞ x=2에서 x=25 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;5!; 또는 x=25 로그의 정의에 의하여 3x+4={;4!;} ∫ x=4 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=4 -2 =16 ⑶ 진수의 조건에서 x+2>0, 2x-3>0이므로 x>;2#; 밑이 같으므로 x+2=2x-3 ∫ x=5 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5 ⑷ log™ (x-1)=log¢ 2(x+3)에서 log™ (x-1)=;2!; log™ 2(x+3) 2 log™ (x-1)=log™ 2(x+3) log™ (x-1)€=log™ 2(x+3) åå㉠ STEP 필수 유형 2 | 115쪽~119쪽 | 01-1   ⑴ x=2  ⑵ x=5  ⑶ x=6  ⑷ x=1 |해결 전략| loga f(x)=loga g(x)이면 f(x)=g(x)임을 이용한다. ⑴ 밑의 조건에서 2x>0, 2x+1이므로 x>0, x+;2!; log2x 16=2에서 로그의 정의에 의하여 åå㉠ 진수의 조건에서 x-1>0, 2(x+3)>0이므로 x>1 åå㉠ 밑이 같으므로 (x-1)€=2(x+3) x€-2x+1=2x+6, x€-4x-5=0 (x+1)(x-5)=0 ∫ x=-1 또는 x=5 16=(2x)€, 4x€=16 x€=4 ∫ x=-2 또는 x=2 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=2 ⑵ 진수의 조건에서 x>0, x-3>0이므로 x>3 log x+log (x-3)=1에서 log x(x-3)=1, log (x€-3x)=1 로그의 정의에 의하여 x€-3x=10, x€-3x-10=0 (x+2)(x-5)=0 ∫ x=-2 또는 x=5 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5 2-2   ⑴ x=;4!; 또는 x=4  ⑵ x=;3!; 또는 x=81 ⑶ 진수의 조건에서 x€-2x-15>0, x-3>0이므로 1 x€-2x-15>0에서 (x+3)(x-5)>0 åå㉠ åå㉠   ⑶ x=;5!; 또는 x=25 ⑴ 진수의 조건에서 x>0 log™ x=t로 놓으면 t€-4=0, (t+2)(t-2)=0 ∫ t=-2 또는 t=2 t=-2일 때, log™ x=-2에서 x=;4!; t=2일 때, log™ x=2에서 x=4 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;4!; 또는 x=4 ⑵ 진수의 조건에서 x>0 log£ x=t로 놓으면 t€-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0 ∫ t=-1 또는 t=4 t=-1일 때, log£ x=-1에서 x=;3!; t=4일 때, log£ x=4에서 x=81 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;3!; 또는 x=81 ⑶ 진수의 조건에서 x>0 log∞ x=t로 놓으면 t€-t-2=0, (t+1)(t-2)=0 ∫ t=-1 또는 t=2 x<-3 또는 x>5 2 x-3>0에서 x>3 1, 2에서 x>5 åå㉠ (x€-2x-15)+1=-log£ (x-3)에서 log ;3!; (x-3) (x€-2x-15)+1=log log ;3!; ;3!; (x-3)-1 (x€-2x-15)=log log ;3!; ;3!; (x-3)-log (x€-2x-15)=log log ;3!; ;3!; ;3!; ;3!; (x€-2x-15)=log log ;3!; ;3!; 3(x-3) 밑이 같으므로 x€-2x-15=3(x-3) x€-5x-6=0, (x+1)(x-6)=0 åå㉠ ∫ x=-1 또는 x=6 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=6 ⑷ 진수의 조건에서 x+3>0이므로 x>-3 åå㉠ log™ (x+3)=log¢ (x+3)+1에서 log™ (x+3)=log¢ (x+3)+log¢ 4 log™ (x+3)=log™€ 4(x+3) log™ (x+3)=;2!; log™ 4(x+3) 2 log™ (x+3)=log™ 4(x+3) log™ (x+3)€=log™ 4(x+3) åå㉠ 밑이 같으므로 (x+3)€=4(x+3) x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 ∫ x=-3 또는 x=1 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=1   4  로그함수   035 02-1   ⑴ x=;9!; 또는 x=27  ⑵ x=;5!; 또는 x=25 |해결 전략| loga x=t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다. ⑴ 진수의 조건에서 x>0 (log£ x)€=log£ x+6에서 (log£ x)€-log£ x-6=0 xlog x+1=100의 양변에 상용로그를 취하면 log xlog x+1=2, (log x+1)_log x=2 åå㉠ ∫ (log x)€+log x-2=0 log x=t로 놓으면 t€+t-2=0, (t+2)(t-1)=0 ∫ t=-2 또는 t=1 01 åå㉠ logx 5= 이므로 log∞ x=t로 놓으면 t€-t-6=0, (t+2)(t-3)=0 log£ x=t로 놓으면 t€-t-6=0, (t+2)(t-3)=0 ∫ t=-2 또는 t=3 t=-2일 때, log£ x=-2에서 x=;9!; t=3일 때, log£ x=3에서 x=27 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;9!; 또는 x=27 ⑵ 진수와 밑의 조건에서 x>0, x+1이므로 1 log∞ x t= +1, t€-t-2=0 2 t (t+1)(t-2)=0 ∫ t=-1 또는 t=2 t=-1일 때, log∞ x=-1에서 x=;5!; t=2일 때, log∞ x=2에서 x=25 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;5!; 또는 x=25 02-2   x=;1¡6; 또는 x=1 |해결 전략| 식을 변형한 후 log™ x=t로 치환하여 푼다. 진수의 조건에서 x>0 log™ 8x_log™ 2x=3에서 (log™ x+3)(log™ x+1)=3 log™ x=t로 놓으면 (t+3)(t+1)=3, t€+4t=0 t(t+4)=0 ∫ t=-4 또는 t=0 t=-4일 때, log™ x=-4에서 x=;1¡6; t=0일 때, log™ x=0에서 x=1 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;1¡6; 또는 x=1 03-1   ⑴ x=;10!0; 또는 x=10  ⑵ x=10 |해결 전략| ⑴ 주어진 식을 변형하여 양변에 로그를 취한다. ⑵ 주어진 식을 변형하여 3log x=t로 치환한다. xlog x= 에서 x_xlog x=100이므로 100 x xlog x+1=100 036  정답과 해설  t=-2일 때, log x=-2에서 x=;10!0; t=1일 때, log x=1에서 x=10 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;10!0; 또는 x=10 ⑵ 진수의 조건에서 x>0 로그의 성질에 의하여 xlog 3=3log x이므로 주어진 방정식은 3log x_3log x-3log x-6=0 ∫ (3log x)€-3log x-6=0 3log x=t (t>0)로 놓으면 åå㉠ ∫ t=3 (ç t>0) t=3일 때, 3log x=3에서 log x=1 ∫ x=10 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=10 04-1   3 |해결 전략| 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 log£ x=t로 치환한 후 얻은 방 정식의 두 근은 log£ a, log£ b이다. (log£ x)€=log£ x+12에서 log£ x=t로 놓으면 åå㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 방정식 ㉠의 두 근은 log£ a, t€-t-12=0 log£ b이다. 04-2   -1 |해결 전략| 주어진 방정식을 변형하고 log£ x=t로 치환한 후 얻은 이차방정식 의 근과 계수의 관계를 이용하여 상수 k의 값을 구한다. log£ x-2 logx 3+k=0에서 logx 3= 1 log£ x 이므로 log£ x- +k=0, (log£ x)€+k log£ x-2=0 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 방정식 ㉠의 두 근은 log£ a, åå㉠ 2 log£ x log£ x=t로 놓으면 t€+kt-2=0 log£ b이다. log£ a+log£ b=log£ ab=-k 이때, ab=3이므로 log£ 3=-k ∫ k=-1 åå㉠ 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 log£ a+log£ b=1 즉, log£ ab=1 ∫ ab=3 ⑴ 진수의 조건에서 x>0 åå㉠ 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 지반 A, B의 유효수직응력을 각각 SA, SB, 저항력을 각각 RA, RB, 05-1   71.6 % |해결 전략| 주어진 조건을 관계식에 대입해 본다. 상대밀도를 각각 DA, DB라 하면 SA=1.44SB, RA=1.5RB, DB=65 이므로 65=-98+66 log =10;;¡6§6£;; , RB RB "ƒSB "ƒSB =;4%;_10;;¡6§6£;; = RA "ƒSA 따라서 구하는 지반 A의 상대밀도는 1.5RB "ƒ1.44SB DA=-98+66 log RA "ƒSA DA=-98+66 log {;4%;_10;;¡6§6£;; } DA=-98+66{log ;4%;+log 10;;¡6§6£;; } DA=-98+66{log ;;¡8º;;+;;¡6§6£;;} DA=-98+66[(log 10-log 8)+;;¡6§6£;;] DA=-98+66[(1-3 log 2)+;;¡6§6£;;] DA=-98+66{0.1+;;¡6§6£;;} DA=71.6 (%) 3 로그부등식 개념 확인 1  ⑴ x>3 ⑵ ;4!;0, 2x>0 ∫ x>0 밑 3은 1보다 크므로 x+3<2x ∫ x>3 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>3 ⑵ 진수의 조건에서 x+2>0, 4x-1>0 ∫ x>;4!; 밑 ;2!;은 1보다 작으므로 x+2>4x-1 ∫ x<1 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;4!;8  ⑶ x>3  ⑷ x>;9%; ⑸ 33 ⑴ 진수의 조건에서 x>0 10 ∫ x>0 log™ 2x>4에서 log™ 2x>log™ 16 이때, 밑 2는 1보다 크므로 2x>16 ∫ x>8 åå㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>8 ⑶ 진수의 조건에서 x+1>0 ∫ x>-1 åå㉠ log™ (x+1)>2에서 log™ (x+1)>log™ 4 이때, 밑 2는 1보다 크므로 x+1>4 ∫ x>3 åå㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>3 ⑷ 진수의 조건에서 2x-1>0 ∫ x>;2!; åå㉠ (2x-1);9!; ∫ x>;9%; ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>;9%; ⑸ 진수의 조건에서 5-x>0, x-3>0 ∫ 3x-3 ∫ x<4 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 30, x(x-2)>0 ∫ x<0 또는 x>2 밑 5는 1보다 크므로 x€-2x<3, x€-2x-3<0 (x+1)(x-3)<0 ∫ -10, x(x+1)>0 ∫ x<-1 또는 x>0 밑 ;3!;은 1보다 작으므로 x€+x<6, x€+x-6<0 (x+3)(x-2)<0 ∫ -30, 3x-4>0 ∫ x>;3$; 밑 2는 1보다 크므로 x€-2x+2>3x-4, x€-5x+6>0 åå㉠ (x-2)(x-3)>0 ∫ x<2 또는 x>3 åå㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;3$;3   4  로그함수   037 åå㉠ åå㉡ åå㉠ åå㉡ åå㉠ åå㉡ åå㉠ åå㉡ åå㉠ åå㉡    120쪽 åå㉠ åå㉡ åå㉠ åå㉡ | 121쪽 | STEP 2 필수 유형 | 122쪽~126쪽 | ⑵ 진수의 조건에서 4x>0, 8x>0이므로 x>0 åå㉠ 01-1   ⑴ 02 |해결 전략| a>1일 때 loga f(x)g(x)>0임을 이용한다. ⑴ 진수의 조건에서 1+x>0, 1-2x>0이므로 -11-2x ∫ x>0 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 00, 3x-9>0이므로 x<-3 또는 x>5, x>3 ∫ x>5 åå㉠ 8x<12에서 4x_log log ;2!; ;2!; x)<12 8+log x)(log 4+log (log ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; x-3)<12 x-2)(log (log ;2!; ;2!; x)€-5 log (log ;2!; ;2!; x=t로 놓으면 t€-5t-6<0, (t+1)(t-6)<0 log ;2!; x-6<0 ∫ -10 x)_log™ x+4>0에서 (3+log ;2!; (3-log™ x)_log™ x+4>0 -(log™ x)€+3 log™ x+4>0 (log™ x)€-3 log™ x-4<0 log™ x=t로 놓으면 t€-3t-4<0 (t+1)(t-4)<0 ∫ -10, x-3>0 ∫ x>3 log ;2!; log ;2!; x+log ;2!; x(x-3)>log ;2!; 4 (x-3)>-2에서 이때, 밑 ;2!;은 1보다 작으므로 x(x-3)<4, x€-3x-4<0 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 30, x>0 (x+1)(x-4)<0 ∫ -10 åå㉠ log¢ (x+2)0 (x+1)(x-2)>0 ∫ x<-1 또는 x>2 åå㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>2 03-1   ⑴ 027  ⑵ 10 x log£ x>27x€의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 åå㉠ log£ x log£ x>log£ 27x€, log£ x_log£ x>log£ 27+log£ x€ 02-1   ⑴ ;2¡7;3+2 log£ x ∫ (log£ x)€-2 log£ x-3>0 åå㉠ log£ x=t로 놓으면 ⑴ 진수의 조건에서 x>0 2(log£ x)€+5 log£ x-3<0에서 log£ x=t로 놓으면 2t€+5t-3<0, (t+3)(2t-1)<0 ∫ -30, (t+1)(t-3)>0 ∫ t<-1 또는 t>3 따라서 log£ x<-1 또는 log£ x>3이므로 log£ xlog£ 27 이때, 밑 3은 1보다 크므로 이때, 밑 3은 1보다 크므로 ;2¡7;27 åå㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;2¡7;27 038  정답과 해설  ⑵ 진수의 조건에서 x>0 x log x10fl 양변에 상용로그를 취하면 log (10_2n)>log 10fl, 1+n log 2>6 ∫ n> 5 log 2 = 5 0.3 =16.666å 이때, 밑 10은 1보다 크므로 10 åå㉠ 이차방정식 x€-(log™ a)x+4=0이 허근을 갖기 위해서는 판별식 STEP 유형 드릴 3 | 127쪽~129쪽 | D<0이어야 하므로 D=(log™ a)€-16<0 log™ a=t로 놓으면 t€-16<0, (t+4)(t-4)<0 ∫ -41000 |해결 전략| 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 D>0이어야 함 을 이용한다. log a에서 진수의 조건에 의하여 a>0 또, 이차방정식이므로 3-log a+0 4 a+1000 åå㉠ åå㉡ 이용한다. 이차방정식 (3-log a)x€+2(1-log a)x+1=0이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 판별식 D>0이어야 하므로 1-2   5 |해결 전략| 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g(a)=b이면 f(b)=a임을 함수 f(x)=3 log™ (x+3)-1의 역함수가 g(x)이므로 g(8)=a라 하면 f(a)=8 f(a)=3 log™ (a+3)-1=8 log™ (a+3)=3, log™ (a+3)=log™ 8 a+3=8이므로 a=5 ∫ g(8)=5 2-1   ⑤ |해결 전략| 함수 y=log™ (x-m)+n의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프 를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 것이다. ①, ⑤ 함수 y=log™ (x-5)-3의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래 프를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동 åå㉢ 한 것이므로 점근선의 방정식은 x=5이다. ③ y=log™ (x-5)-3에 x=6을 대입하면 y=-3이므로 그래프 는 점 (6, -3)을 지난다.   4  로그함수   039 D 4 =(1-log a)€-(3-log a)>0 ∫ (log a)€-log a-2>0 log a=t로 놓으면 t€-t-2>0, (t+1)(t-2)>0 ∫ t<-1 또는 t>2 따라서 log a<-1 또는 log a>2이므로 log alog 100 이때, 밑 10은 1보다 크므로 a<;1¡0; 또는 a>100 ㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 01000 ④ 밑 2가 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 2-2   ⑤ |해결 전략| 함수 y=loga (-x)의 그래프는 y=loga x의 그래프를 y축에 대 4-2   ④ |해결 전략| a>1일 때 0loga x™임을 이용한다. y=loga x는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 함수이고 하여 대칭이동한 것이다. 2만큼 평행이동한 것이다. ㄱ. 정의역은 {x|x<6}이다. 점 (3, 3)을 지난다. ㄷ. y=log£ (6-x)+2에 x=3을 대입하면 y=3이므로 그래프는 ∫ A1 또, ;aB;>1, 00, x-1>0이므로 x>4 log™ (x-4)=1+log¢ (x-1)에서 log™ (x-4)=1+;2!; log™ (x-1) 2 log™ (x-4)=2+log™ (x-1) 즉, log™ (x-4)€=log™ 4(x-1)이므로 (x-4)€=4(x-1), x€-8x+16=4x-4 x€-12x+20=0, (x-2)(x-10)=0 ∫ x=2 또는 x=10 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=10이므로 a=10 ∫ log£ (a-1)=log£ (10-1)=log£ 9=2 7-2   243 |해결 전략| log£ x=t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다. 진수의 조건에서 x>0 (log£ x)€-log£ xfi+4=0에서 (log£ x)€-5 log£ x+4=0 log£ x=t로 놓으면 t€-5t+4=0, (t-1)(t-4)=0 ∫ t=1 또는 t=4 t=1일 때, log£ x=1에서 x=3 t=4일 때, log£ x=4에서 x=81 (x+1)(x-2)<0 ∫ -10, 7-x>0이므로 17-x, x€-x-6>0 (x+2)(x-3)>0 ∫ x<-2 또는 x>3 åå㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 30 (log™ x)€+log™ x-2<0에서 log™ x=t로 놓으면 t€+t-2<0, (t+2)(t-1)<0 ∫ -20, ;4X;>0이므로 x>0 åå㉠ 8-1   2  |해결 전략| 밑을 같게 한 후 진수에 대한 부등식을 세운다. 이때, (밑)>1이면 부등호의 방향은 그대로이다. 진수의 조건에서 x-1>0, 3-x>0이므로 åå㉠ 10에서 log™ 8x_log™ ;4X;<0 (log™ 8+log™ x)(log™ x-log™ 4)<0 ∫ (log™ x+3)(log™ x-2)<0 log™ x=t로 놓으면 (t+3)(t-2)<0 ∫ -30 x log™ x= 16 x‹ log™ x log™ x=log™ 16 x‹ ∫ (log™ x)€+3 log™ x-4=0 log™ x=t로 놓으면 t€+3t-4=0 (t+4)(t-1)=0 ∫ t=-4 또는 t=1 t=-4일 때, log™ x=-4에서 x=;1¡6; t=1일 때, log™ x=1에서 x=2 따라서 ㉠에 의하여 구하는 근은 x=;1¡6; 또는 x=2이므로 모든 근의 곱은 ;1¡6;_2=;8!; 10-2   10 |해결 전략| 주어진 식을 변형하여 양변에 밑이 2인 로그를 취한다. 진수의 조건에서 x>0 8xlog™ x0 åå㉠ 이차방정식 x€-(3 log™ k)x+9=0이 허근을 갖기 위해서는 판별 åå㉠ 식 D<0이어야 하므로 log™ k=t로 놓으면 9t€-36<0, 9(t+2)(t-2)<0 ∫ -2 log 2-log 3 2 log 3-1 = 0.3010-0.4771 0.9542-1 =3.84å 5 | 삼각함수 1 일반각 개념 확인 1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조 2 ⑴ 360^_n+330^(n은 정수) ⑵ 360^_n+150^(n은 정수) 3 ⑴ 제2사분면 ⑵ 제4사분면 132쪽~134쪽 1 ⑴ P ⑵ 240^ O X 30^ O X P ⑶ O X -100^ P 360^_n+330^(n은 정수) 2 ⑴ 330^=360^_0+330^이므로 일반각은 ⑵ -570^=360^_(-2)+150^이므로 일반각은 360^_n+150^(n은 정수) 3 ⑴ 500^=360^_1+140^ 이므로 500^는 제2사분면의 각이다. ⑵ -420^=360^_(-2)+300^ 이므로 -420^는 제4사분면의 각이다. ⑴ 430^를 나타내는 동경 OP를 P 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때, 430^=360^_1+70^ 이므로 일반각은 360^_n+70^(n은 정수) ⑵ 1180^를 나타내는 동경 OP를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때, 1180^=360^_3+100^ 이므로 일반각은 360^_n+100^(n은 정수) ⑶ -230^를 나타내는 동경 OP 를 그리면 오른쪽 그림과 같다. P 이때, -230^=360^_(-1)+130^ 이므로 일반각은 360^_n+130^(n은 정수) ⑷ -760^를 나타내는 동경 OP 를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때, -760^=360^_(-3)+320^ 이므로 일반각은 360^_n+320^(n은 정수) 70^ 430^ O P X 100^ 1180^ O X X 130^ O -230^ 320^ O -760^ X P 2-2  ⑴ 제2사분면 ⑵ 제4사분면 ⑶ 제2사분면 ⑷ 제3사분면 ⑴ 470^=360^_1+110^이므로 제2사분면의 각이다. ⑵ 1720^=360^_4+280^이므로 제4사분면의 각이다. ⑶ -225^=360^_(-1)+135^이므로 제2사분면의 각이다. ⑷ -880^=360^_(-3)+200^이므로 제3사분면의 각이다. STEP 필수 유형 2 | 137쪽~138쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 210 ⑵ 60 2-1 ⑴ 1 ⑵ 100, 2 ⑶ 230, 3 스스로 check 1-2  ⑴ 그림은 풀이 참조, 360^_n+70^(n은 정수) ⑵ 그림은 풀이 참조, 360^_n+100^(n은 정수) ⑶ 그림은 풀이 참조, 360^_n+130^(n은 정수) ⑷ 그림은 풀이 참조, 360^_n+320^(n은 정수) | 136쪽 | 01-1  제2사분면 또는 제4사분면 |해결 전략|각 2h의 범위를 일반각으로 나타낸다. 각 2h가 제4사분면의 각이므로 360^_n+270^<2h<360^_n+360^ (n은 정수) ∫ 360^_ +135^0에서 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이고, cos h tan h<0에서 각 h는 제3사분면 또는 제4사분면의 각이다. 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제3사분면의 각이다. ⑵ cos h tan h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이고, sin h tan h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다. 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제2사분면의 각이다. 4 ⑴ sin h=;3!; 일 때 sin€ h+cos€ h=1이므로 cos€ h=1-sin€ h=1-{;3!;} 그런데 각 h가 제2사분면의 각이므로 cos h<0 =;9*; 2 ∫ cos h=- 2'2 3 또, tan h= sin h cos h 에서 tan h=;3!;/{- 2'2 3 }=- =- '2 4 1 2'2 ⑵ sin h+cos h=;2!;의 양변을 제곱하면 sin€ h+2sin h cos h+cos €h=;4!; 이때, sin€ h+cos€ h=1이므로 1+2sin h cos h=;4!; ∫ sin h cos h=-;8#; ⑵ 오른쪽 그림에서 y | 147쪽~149쪽 | 2 ⑴ 오른쪽 그림에서 OP’="ƒ sin h= tan h=4 ƒ1€ƒ+∂4€='å1å7이므로 1 '1å7 4 '1å7 , cos h= , OP’="∂(ƒ-2ƒ)€ƒ+∂1€='5이므로 , cos h=- , sin h= 2 '5 1 '5 tan h=-;2!; ⑶ 오른쪽 그림에서 OP’="ƒ(-5)€+(-12)€=13 이므로 sin h=-;1!3@;, cos h=-;1∞3;, tan h=:¡5™: ⑷ 오른쪽 그림에서 OP’="ƒ1€+(-'3 )€=2이므로 sin h=- '3 2 tan h=-'3 , cos h=;2!;, - 17 O 1 x 17 -'5 -2 O x '5 y 17 4 P h - 17 P '5 1 h -'5 y 13 -5 P h O -12 -13 y 2 h O -'3 -2 1 P -2 2 x STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 -1, -1, '5, -;2!; 2-1 1, - '2 2 , - '2 2 , 1 3-1 ⑴ 1, >, >, > ⑵ 240, 3, <, <, > 4-1 ⑴ 2, 2, 2 ⑵ 3, 3, 3 5-1 cos€ h, cos€ h, ;1!6%;, >, '1å5 , ;4!;, '1å5 4 4 , '1å5 15 -13 13 x 6-1 ⑴ 제곱, sin€ h, ;2#;, 1, 1, ;2#;, ;4!; ⑵ 통분, sin h+cos h, ;4!;, ;4!;, 2'6 스스로 check 1-2  ⑴ sin h=- , tan h=;4%; 4 'ß41 , cos h=- 5 'ß41 1 2 '5 '5 , cos h=-;3@;, tan h=- '5 , cos h= , tan h=-2 2 ⑵ sin h=- ⑶ sin h= '5 3 5 삼각함수 045 ƒ ⑴ 오른쪽 그림에서 OP’="ƒ(-ƒ4ƒ)€ƒ+(ƒ-5∂)€='å å4å1 이므로 sin h=- , cos h=- 5 '4å1 - 41 , 4 '4å1 직각삼각형 POH에서 OP’=1, 3POH=;3π;이므로 점 P의 좌표는 {-;2!;, - '3 2 }이다. x 41 ∫ tan ;3$;p='3 3-2  ⑴ sin h<0, cos h<0, tan h>0 ⑵ sin h>0, cos h>0, tan h>0 ⑶ sin h<0, cos h>0, tan h<0 ⑷ sin h>0, cos h<0, tan h<0 , cos h= , 1 '5 -'5 x '5 P ⑴ h=560^=360^_1+200^에서 560^는 제3사분면의 각이므로 sin h<0, cos h<0, tan h>0 y 41 h -4 P - 41 O -5 y '5 h O 1 -2 -'5 y 3 P '5 h -3 y 1 ;6&;p -1 H P tan h=;4%; ⑵ 오른쪽 그림에서 OP’="ƒ1€ƒ+(ƒ-2∂)€='5 이므로 sin h=- 2 '5 tan h=-2 ⑶ 오른쪽 그림에서 OP’="ƒ 이므로 sin h= '5 3 tan h=- '5 2 ƒ(-ƒ2)€ƒ+('ƒ5 )€=3 , cos h=-;3@;, 2-2  ⑴ -;2!; ⑵ - '2 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 ⑶ '3 2 1인 단위원과 h=;6&;p를 나타내는 동 경의 교점을 P, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 직각삼각형 POH에서 OP’=1, 3POH=;6π;이므로 점 P의 좌표는 {- '3 2 , - 1 2 }이다. ∫ sin ;6&;p=-;2!; ⑵ 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 단위원과 h=;4#;p를 나타내는 동 경의 교점을 P, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하자. -3 -2 O 3 x ⑵ h=;3&; p=2p+;3π; 에서 ;3&; p는 제1사분면의 각이므로 sin h>0, cos h>0, tan h>0 ⑶ h=-25^는 제4사분면의 각이므로 sin h<0, cos h>0, tan h<0 ⑷ h=-;6&; p=2p_(-1)+;6%; p에서 -;6&; p는 제2사분면의 각이므로 sin h>0, cos h<0, tan h<0 4-2  ⑴ 제2사분면 ⑵ 제3사분면 ⑶ 제2사분면 또는 제4사분면 ⑷ 제1사분면 또는 제2사분면 -1 O 1 x tan h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이므로 ⑴ sin h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이고, 각 h는 제2사분면의 각이다. ⑵ cos h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이고, tan h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이므로 각 h는 제3사분면의 각이다. ⑶ sin h cos h<0에서 sin h>0, cos h<0 또는 sin h<0, cos h>0이므로 각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다. ⑷ cos h tan h>0에서 cos h>0, tan h>0 또는 cos h<0, tan h<0이므로 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이다. y 1 P ;4#;p -1 H O 1 x 직각삼각형 POH에서 OP’=1, -1 3POH=;4π;이므로 점 P의 좌표는 , '2 '2 2 2 }이다. {- ∫ cos ;4#;p=- '2 2 ⑶ 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 단위원과 h=;3$;p를 나타내는 동 경의 교점을 P, 점 P에서 x축에 내린 ;3$;p H -1 O 1 x 수선의 발을 H라 하자. ∫ cos h=;5#; y 1 P -1 5-2  ⑴ cos h=;5#;, tan h=-;3$; ⑵ sin h=- '3 2 , tan h='3 ⑴ sin h=-;5$; 일 때 sin€ h+cos€ h=1이므로 cos€ h=1-sin€ h=1-{-;5$;} 그런데 각 h 가 제4사분면의 각이므로 cos h>0 =;2ª5; 2 또, tan h= 에서 tan h={-;5$;}/;5#;=-;;3$; sin h cos h 046 정답과 해설 이때, sin€ h+cos€ h=1이므로 1-2sin h cos h=;4!; 의 부호를 구한다. ⑵ cos h=-;2!; 일 때 sin€ h+cos€ h=1이므로 2 sin€ h=1-cos€ h=1-{-;2!;} 그런데 각 h가 제3사분면의 각이므로 sin h<0 ∫ sin h=- '3 2 =;4#; 또, tan h= sin h cos h 에서 tan h={- '3 2 }/{-;2!;}='3 6-2  ⑴ ;8#; ⑵ -;3$; ⑶ ;3*; ⑴ sin h-cos h=;2!;의 양변을 제곱하면 sin€h-2sin h cos h+cos€ h=;4!; ∫ sin h cos h=;8#; ⑵ 1 sin h 1 sin h - - 1 cos h 1 cos h 을 통분하면 = cos h-sin h sin h cos h 이때, ⑴에서 sin h cos h=;8#;이므로 1 sin h - 1 cos h ={-;2!;}/;8#;=-;3$; ⑶ tan h= 이므로 sin h cos h = 1 sin h cos h 이때, ⑴에서 sin h cos h=;8#;이므로 1 tan h +tan h=;3*; 1 tan h +tan h= cos h sin h + sin h cos h = cos€h+sin€h sin h cos h 필수 유형 | 150쪽~154쪽 | STEP 2 01-1  ;4#; |해결 전략| OP’의 길이를 이용하여 삼각함수의 값을 구한다. 오른쪽 그림에서 OP’="ƒ1€ƒ+(ƒ-'ƒ3 )€=2이므로 sin h=- '3 2 , tan h=-'3 ∫ (sin h-tan h)€={- '3 2 2 +'3 } =;4#; y 2 h O -'3 -2 1 P -2 2 x 01-2  1 |해결 전략| 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 5인 원을 그려 동경과 원의 교점의 좌표를 구한다. 각 h가 제2사분면의 각이고 sin h=;5$;이 므로 오른쪽 그림과 같이 원점 O를 중심 으로 하고 반지름의 길이가 5인 원을 그 리면 각 h를 나타내는 동경과 원의 교점 P의 좌표는 (-3, 4)이다. 따라서 cos h=-;5#;, tan h=-;3$;이므로 P y 5 4 h -5 -5 -3 O 5 x 5 cos h-3 tan h=5_{-;5#;}-3_{-;3$;}=1 02-1  2 cos h |해결 전략| 각 h에 대한 삼각함수의 값의 부호를 이용하여 절댓값 기호 안의 식 ;2#; p0, sin h-cos h<0 즉, |sin h|=-sin h, |cos h|=cos h, |sin h-cos h|=-(sin h-cos h)=-sin h+cos h ∫ |cos h|+|sin h-cos h|-|sin h| =cos h-sin h+cos h+sin h=2 cos h 02-2  2 sin h |해결 전략| 주어진 조건을 만족시키는 각 h가 제몇 사분면에 위치하는지 구한다. sin h tan h <0, sin h-tan h>0이므로 sin h>0, tan h<0 즉, 각 h는 제2사분면의 각이므로 cos h<0 ∫ "ƒ(siƒn hƒ-cƒos ƒh)€-"ƒ(coƒs hƒ+tƒanƒ h)€+"ƒ(taƒn hƒ-sƒinƒ h)€ =|sin h-cos h|-|cos h+tan h|+|tan h-sin h| =sin h-cos h+(cos h+tan h)-(tan h-sin h) =2 sin h 03-1  1 tan h |해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 식을 간단히 한다. tan h sin h tan h-sin h - 1 sin h = sin h cos h sin h cos h _sin h -sin h - 1 sin h = sin h 1-cos h - 1 sin h = sin h(1+cos h) (1-cos h)(1+cos h) - 1 sin h = sin h(1+cos h) sin€ h - 1 sin h = 1+cos h sin h - 1 sin h = cos h sin h = 1 tan h 5 삼각함수 047 03-2  1 |해결 전략| h=20^로 생각하고, 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식의 값을 구 한다. tan€ 20^+(1-tan› 20^)cos€ 20^ = sin€ 20^ cos€ 20^ +{1- sin› 20^ cos› 20^ } cos€ 20^ 이때, 각 h가 제3사분면의 각이므로 sin h<0, cos h<0 즉, sin h+cos h<0이므로 sin h+cos h=- '6 ∫ sin‹ h+cos‹ h=(sin h+cos h)‹-3 sin h cos h(sin h+cos h) 2 3 ={- -3_;4!;_{- '6 2 } + cos› 20^-sin› 20^ cos› 20^ _cos€ 20^ + (cos€ 20^+sin€ 20^)(cos€ 20^-sin€ 20^) cos€ 20^ + cos€ 20^-sin€ 20^ cos€ 20^ =1 = sin€ 20^ cos€ 20^ = sin€ 20^ cos€ 20^ = sin€ 20^ cos€ 20^ = cos€ 20^ cos€ 20^ LECTURE cos› 20^-sin› 20^에서 인수분해 공식을 이용 ➡ a›-b›=(a€+b€)(a€-b€) 04-1  ;2!7#; |해결 전략| 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 변형을 이용한다. sin h-cos h=;3!;의 양변을 제곱하면 sin€ h-2 sin h cos h+cos€ h=;9!; 1-2 sin h cos h=;9!; ∫ sin h cos h=;9$; ∫ sin‹ h-cos‹ h=(sin h-cos h)‹+3 sin h cos h(sin h-cos h) 3 ={;3!;} +3_;9$;_;3!; =;2¡7;+;9$;=;2!7#; LECTURE 곱셈 공식의 변형 a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b) a‹-b‹=(a-b)‹+3ab(a-b) 04-2  - 3'6 8 |해결 전략| 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 변형을 이용한다. (sin h+cos h)€=sin€ h+2 sin h cos h+cos€ h =1+2_;4!; =;2#; 048 정답과 해설 '6 2 } 3'6 4 + 3'6 8 =- =- 3'6 8 05-1  8 |해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 =a, 1 sin h cos h =2 1 1 sin h + sin h + 1 cos h 1 cos h =a에서 a= sin h+cos h sin h cos h =2(sin h+cos h) ∫ a€ =4(sin h+cos h)€ =4(sin€ h+2sin h cos h+cos€ h) =4(1+2 sin h cos h) =4 {1+2_;2!;}=8 LECTURE 이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근이 a, b일 때 a+b=-;aB;, ab=;aC; 05-2  -:™3º: |해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sin h+cos h=;5$;, sin h cos h=;5A; (sin h+cos h)€=1+2 sin h cos h에서 ;2!5^;=1+2_;5A; ∫ a=-;1ª0; ∫ ;a!;+tan h+ 1 tan h =;a!;+ sin h cos h + cos h sin h =;a!;+ sin€ h+cos€ h sin h cos h =;a!;+ 1 sin h cos h =;a!;+;a%;=;a^; =6_{-:¡9º:} =-:™3º: STEP 유형 드릴 3 1-1  제2사분면 또는 제4사분면 |해결 전략| 각 의 범위를 일반각으로 나타낸다. h 2 각 h는 제3사분면의 각이므로 2np+p0, l>0이고 2r+l=40으로 일정하므로 40=2r+l>2"2∂rl=2æ√4_;2ç !; rl=2 "∂4∂S 즉, 2"∂ ∂4∂S<40에서 S<100 여기서 등호는 2r=l 일 때 성립한다. 따라서 S의 최댓값이 100이므로 만들 수 있는 화단의 최대 넓이는 100 m€이다. 5-2  1 |해결 전략| 각 h를 나타내는 동경과 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 17인 원이 만나는 점을 잡아 삼각함수의 정의를 이용한다. 각 h가 제3사분면의 각이고 tan h= 8 15 y 17 이므로 오른쪽 그림과 같이 원점 O를 중 심으로 하고 반지름의 길이가 17인 원을 -15 그리면 각 h를 나타내는 동경과 원의 교 점 P의 좌표는 (-15, -8)이다. 따라서 sin h=-;1•7;, cos h=-;1!7%;이므로 -17 P 17 x h O -8 -17 4-2  2 |해결 전략| 부채꼴의 넓이를 반지름의 길이에 대한 이차함수로 나타내어 최댓값 을 구한다. 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면 l=8-2r (00이므로 b=2 또, a>0이고 최댓값이 3, 최솟값이 -1이므로 a+c=3, -a+c=-1 위 두 식을 연립하여 풀면 a=2, c=1 ∫ a+b+c=2+2+1=5 |해결 전략| 함수 y=|f(x)|의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후 y>0인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분은 x축에 대하여 대칭이동한 것이다. 함수 f(x)=2|cos (2x-p)|+1=2|cos 2 {x-;2π;}|+1의 그래프는 함수 f(x)=2|cos 2x|의 그래프를 x축의 방향으로 ;2π; 만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 이때, y=|cos x|의 주기가 p이므로 주어진 함수의 주기 a=;2π;, 0<|cos 2x|<1이므로 최댓값 b=2+1=3, 최솟값 c=0+1=1 03-2  5 |해결 전략| 함수 y=a sin (bx+c)+d의 그래프에서 a, d는 최댓값과 최솟값 따라서 a=;2π;, b=3, c=1이므로 abc=;2π;_3_1=;2#; p 을, b는 주기를 결정한다. 2p |b| 조건 ㈎에서 =;2π; 이때, b>0이므로 b=4 ∫ |b|=4 a<0이므로 조건 ㈏에서 -a+c=5 p 16 }=a+c=1 또, 조건 ㈐에서 f { ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, c=3 ∫ a+b+c=(-2)+4+3=5 !!㉠ !!㉡ 2 삼각함수의 성질 개념 확인 1 2 1 ⑴ ⑵ - '3 4 172쪽 04-1  -p |해결 전략| 그래프가 주어졌을 때, 최댓값과 최솟값은 그래프의 폭으로 결정된다. 주어진 그래프에서 최댓값이 1, 최솟값이 -1이므로 |a|=1 이때, a>0이므로 a=1 주기는 p이므로 =p에서 |b|=2 2p |b| 이때, b>0이므로 b=2 또, -p0이므로 2 cos x-1=0 ∫ 00에서 1-sin€ x+sin x-1>0, sin x(sin x-1)<0 00임을 이용한다. 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 D>0이어야 하므로 ;4Î;=('2 cos h)€-(-3 sin h)>0 2 cos€ h+3 sin h>0 이때, cos€ h=1-sin€ h이므로 2 (1-sin€ h)+3 sin h>0 2 sin€ h-3 sin h-2<0, (2 sin h+1)(sin h-2)<0 그런데 sin h-2<0이므로 2 sin h+1>0 0-;2!; ;4π;+;2π;+;4%;p+;2#;p=;2&; p 03-1  0이고 주기가 2p이므로 2p |-p| =2p에서 p=1 a>0이므로 최댓값은 a+b=7 또, f {;2π;}=-3이므로 f {;2π;}=-a+b=-3 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=2 ∫ a+2b+p=5+2_2+1=10 4-2  -1 |해결 전략| 삼각함수의 주기와 최대, 최소를 이용하여 상수 a, b, c의 값을 각각 !!㉠ !!㉡ !!㉠ !!㉡ 2-2  0 |해결 전략| 함수 y=sin 2x의 그래프의 성질을 안다. 함수 f(x)=sin 2x의 그래프는 직선 x=;4π; 및 x=;4#; p에 대하여 대 칭이므로 a+b = p 4 , c+d 2 =;4#; p 2 즉, a+b=;2π;, c+d=;2#; p이므로 f(a+b+c+d)=f(2p)=sin 4p=0 060 정답과 해설 구한다. 2p |;b!;| b>0이고 주기가 p이므로 =p에서 b=;2!; a>0이므로 최솟값은 -a+c=-3 또, f(p)=0이므로 f(p)=;2!;a+c=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, c=-1 ∫ abc=2_;2!;_(-1)=-1 5-1  -18 p |해결 전략| 그래프를 이용하여 삼각함수의 미정계수를 구한다. 7-1  5 |해결 전략| sin€ x+cos€ x=1과 삼각함수의 성질을 이용하여 식의 값을 구한 주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 2, 최솟값이 -4이므로 다. |a|+d=2, -|a|+d=-4 위 두 식을 연립하여 풀면 a>0이므로 a=3, d=-1 주기가 ;8#; p-{-;8π;}=;2π; 이므로 그런데 b>0이므로 b=4 2p |b| =;2π;에서 |b|=4 또, 00이므로 a=3, d=2 주기가 2 {;2(; p-;2#; p}=6p이므로 =6p에서 |b|=;3!; 2p |b| 그런데 b>0이므로 b=;3!; 또, 점 {;2#; p, 5}를 지나므로 5=3 sin {;2π;-c}+2에서 c=0 ∫ a+b+c+d=3+;3!;+0+2=:¡3§: OD’=2이고 동경 OD가 나타내는 각의 크기가 ;2#; p+h이므로 점 D의 x좌표는 2 cos {;2#; p+h}=2 sin h 8-2  ③ |해결 전략| 점 A의 좌표를 삼각함수를 이용하여 나타낸다. 점 A의 좌표는 A (cos h, sin h)이므로 점 C의 좌표는 C (-cos h, -sin h)이다. 한편, cos (p-h)=-cos h이므로 cos (p-h)는 점 C의 x좌표와 같다. 6-1  1 |해결 전략| 삼각함수의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다. sin (p-h)cos { p+h}-sin {;2π;+h} cos (p+h) 3 2 =sin h_sin h-cos h_(-cos h) =sin€ h+cos€ h=1 9-1  3 |해결 전략| sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 sin x=t라 하고 , 이차함수의 최댓 값을 구한다. sin€ {;2#; p-x}=cos€ x, cos {;2π;+x}=-sin x이고 cos€ x=1-sin€ x이므로 6-2  1 |해결 전략| 삼각함수의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다. _ cos (p-h) 1+cos {;2π;-h} cos (p+h) 1+cos {;2π;+h} -cos h 1-sin h _ = -cos h 1+sin h = cos€ h 1-sin€ h = cos€ h cos€ h =1 y=sin€ {;2#; p-x}+2 cos {;2π;+x}+1 =cos€ x-2 sin x+1 =(1-sin€ x)-2 sin x+1 =-sin€x-2 sin x+2 sin x=t라 하면 -10, (2 sin x+1)(sin x-2)>0 이때, sin x-2<0이므로 2 sin x+1<0 9-2  -;4%; |해결 전략| sin€x+cos€x=1을 이용하여 cos x=t라 하고 , 이차함수의 최솟 11-1  ;3@; p 값을 구한다. sin {x+;2π;}=cos x, sin€(x+p)=sin€ x이고 cos€ x=1-sin€ x이므로 y=sin {x+;2π;}-sin€(x+p) =cos x-sin€ x =cos x-(1-cos€ x) =cos€ x+cos x-1 cos x=t라 하면 -12에서 2(1-cos€ x)+cos x>2 2 cos€ x-cos x<0, cos x(2 cos x-1)<0 즉, 주어진 부등식의 해는 ;3π;0이어야 함을 이용한다. 이차방정식 x€-2x+2 cos h=0이 실근을 가지므로 ;4Î;=(-1)€-2 cos h=1-2 cos h>0 ∫ cos h< ;2!; 즉, ;3π; 0이므로 sin x=;2!; ∫ x=;6π; 또는 x=;6%; p 따라서 모든 근의 합은 ;6π;+;6%; p=p 062 정답과 해설 | 사인법칙과 코사인법칙 7 1 사인법칙 개념 확인 1 '3 1 삼각형 ABC에서 사인법칙에 의하여 b sin 60^ = '2 sin 45^ ∴ b= '2 sin 45^ _sin 60^= '2 '2 2 _ '3 2 ='3 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ sin 60^, sin 60^, '3 2 , 4'3 ⑵ '3 , '3 , '3 , ;2!;, 30^, 30^ 2-1 ⑴ 90^, ;2!;, 90^, 1, 1, 2 ⑵ 45^, , 90^, 1 1 '2 스스로 check 1-2  ⑴ 3 ⑵ ;3@; ⑶ 1 ⑴ 사인법칙에 의하여 = 에서 b= _;4!;=3 4 ;3!; 2 ;2!; b ;4!; c ;4!; 10 sin A 3 ;5!; 4 ;3!; 2 ;2!; ⑵ 사인법칙에 의하여 = 에서 sin A= ;5!; 3 _10=;3@; STEP 필수 유형 2 | 193쪽~196쪽 | 01-1  2 |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 삼각형 ABC에서 b의 값을 구한다. 삼각형 ABC에서 A=180^-(45^+75^)=60^ 190쪽 이므로 사인법칙에 의하여 '6 sin 60^ = b sin 45^ ∴ b= '6 sin 60^ _sin 45^ _ '2 2 =2 = '6 '3 2 A 45^ B 75^ C '6 01-2  16p |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구한다. 삼각형 ABC에 외접하는 원의 반지름의 길이를 R라 하면 삼각형 ABC에서 A=180^-(30^+30^)=120^ | 192쪽 | 이므로 사인법칙에 의하여 4'3 sin 120^ =2R ∴ R=;2!;_ =4 4'3 '3 2 따라서 삼각형 ABC에 외접하는 원의 넓이는 4€_p=16p 02-1  2 |해결 전략| 사인법칙에 의하여 a:b:c=sin A:sin B:sin C임을 이용한 다. ;3A;=;4B;=;5C;에서 a:b:c=3:4:5이므로 사인법칙에 의하여 sin A:sin B:sin C=3:4:5 이때, sin A=3k, sin B=4k, sin C=5k (k+0인 상수)라 하면 sin A+sin C sin (A+C) = sin A+sin C sin (180^-B) = sin A+sin C sin B ⑶ 사인법칙에 의하여 = 에서 c= _;4!;=1 = 3k+5k 4k = =2 8k 4k 2-2  ⑴ 2:4:5 ⑵ ;1£1; ⑶ 3:4:5 ⑷ ;1!3!; 02-2  |해결 전략| 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180^임을 이용하여 세 내각의 크기 '2 ⑴ sin A:sin B:sin C=a:b:c=2:4:5 를 구한다. ⑵ 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 a 2R sin A sin B+sin C = b 2R ⑶ a:b:c=sin A:sin B:sin C=3:4:5 c 2R + = a b+c =;1£1; ⑷ a:b:c=sin A:sin B:sin C=5:6:7이므로 a=5k, b=6k, c=7k (k+0인 상수)라 하면 a+b b+c = 5k+6k 6k+7k =;1!3!; 삼각형 ABC에서 A+B+C=180^이므로 A=180^_;1™2;=30^, B=180^_;1£2;=45^, C=180^_;1¶2;=105^ 이때, 사인법칙에 의하여 ;aB;= sin 45^ sin 30^ = ='2 '2 2 ;2!; 7 사인법칙과 코사인법칙 063 이때, 삼각형 ABC에서 A=90^-30^=60^이므로 외접원의 반지름 의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 3 sin 60^ =2R ∴ R=;2!;_ ='3 (km) 3 '3 2 따라서 상가와 A단지 사이의 거리는 '3 km이다. B 상가 3 km A 30^ R C 2 코사인법칙 개념 확인 1 120^ 1 코사인법칙에 의하여 b€+c€-a€ 2bc cos A= = 8€+7€-13€ 2_8_7 =-;2!; 이때, cos 120^=-;2!;이므로 A=120^ 197쪽 | 199쪽 | , 1, 1 ⑵ a€, cos B, '2 2 , 8, 2'2 ⑶ c€, c€, 39, '3å9 2-1 ⑴ a€, 2€, ;8&; ⑵ a€, 4€, ;1ª6; ⑶ 2ab, 2, 1, '3 , '3 2 스스로 check 1-2  ⑴ 'ß21 ⑵ 5 ⑶ '2 ⑷ 6 ⑸ 'ß13 ⑹ 2'1å4 ⑴ a€=3€+(4'3 )€-2_3_4'3_ '3 ∴ a='ß21 =21 2 03-1  C=90^인 직각삼각형 |해결 전략| sin€ h+cos€ h=1과 사인법칙을 이용하여 삼각형의 모양을 판단 한다. sin€ h+cos€ h=1이므로 cos€ A+cos€ B=cos€ C+1에서 (1-sin€ A)+(1-sin€ B)=(1-sin€ C)+1 ∫ sin€ A+sin€ B=sin€ C 사인법칙에 의하여 sin A= , sin B= , sin C= 이므로 a 2R b 2R c 2R a 2R } €+{ b 2R } €={ c 2R } € { ∴ a€+b€=c€ 따라서 삼각형 ABC는 C=90^인 직각삼각형이다. 03-2  B=90^인 직각삼각형 |해결 전략| 이차방정식이 중근을 갖기 위한 조건과 사인법칙을 이용하여 삼각형 의 모양을 판단한다. 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =cos€ B+(sin C+cos A)(sin C-cos A)=0 cos€ B+sin€ C-cos€ A=0 sin €h+cos€ h=1이므로 (1-sin€ B)+sin€ C -(1-sin€ A)=0 ∴ sin€ A+sin€ C=sin€ B 사인법칙에 의하여 sin A= , sin B= , sin C= 이므로 a 2R b 2R c 2R € a 2R } +{ € c 2R } ={ € b 2R } { ∴ a€+c€=b€ 따라서 삼각형 ABC는 B=90^인 직각삼각형이다. STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ cos A, '3 2 \ LECTURE 이차방정식 ax€+bx+c=0 (a, b, c는 상수)이 중근을 가지려면 판별 식을 D라 할 때, D=b€-4ac=0 04-1  40 cm |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구한다. 삼각형 ABC에서 C=180^-(45^+105^)=30^ 이때, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 =2R ∴ 2R= 20 sin 30^ = =40 (cm) 20 sin C 20 ;2!; 따라서 구하는 접시의 지름의 길이는 40 cm이다. 04-2  |해결 전략| 세 점으로부터 같은 거리에 있는 점은 세 점을 지나는 삼각형의 외접 '3 km ∴ b=6 원의 중심임을 이용한다. 상가에서 A, B, C 세 아파트 단지에 이르는 거리가 같으므로 상가는 세 점 A, B, C를 지나는 삼각형에 외접하는 원의 중심이다. 즉, 상가와 A단지 사이의 거리는 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이와 같다. 064 정답과 해설 ⑵ a€=4€+7€-2_4_7_;7%;=25 ∴ a=5 ⑶ b€=('2 )€+2€-2_'2_2_ '2 ∴ b='2 2 =2 ⑷ b€=8€+7€-2_8_7_;1!6!;=36 ⑸ c€=3€+4€-2_3_4_;2!;=13 ∴ c='ß13 ⑹ c€=8€+6€-2_8_6_;2!4!;=56 ∴ c=2'1å4 ⑸ ;3@; ⑹ 0 02-1  ;5#; |해결 전략| sin A : sin B : sin C=a : b : c와 코사인법칙을 이용한다. STEP 필수 유형 2 01-1  90^ |해결 전략| 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 C의 크기를 구한다. | 200쪽~203쪽 | 02-2  15^ |해결 전략| 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 최소각의 크기를 구한다. 삼각형의 가장 짧은 변의 대각이 최소각이므로 최소각은 C이다. 2-2  ⑴ ;1!4#; ⑵ ;1!2!; ⑶ ;3@6(; ⑷ - '2 5€+7€-3€ 2_5_7 ⑴ cos A= =;1!4#; 4 ⑵ cos A= 4€+3€-('3 )€ 2_4_3 =;1!2!; ⑶ cos B= 6€+3€-4€ 2_6_3 =;3@6(; ⑷ cos B= ⑸ cos C= =- '2 4 ('2 )€+1€-2€ 2_'2_1 4€+3€-3€ 2_4_3 ('7 )€+3€-4€ 2_'7_3 =;3@; ⑹ cos C= =0 코사인법칙에 의하여 ('3 )€=c€+1€-2_c_1_cos 60^ =c€+1€-2_c_1_;2!; 위 식을 정리하면 c€-c-2=0 (c+1)(c-2)=0 ∫ c=2 (ç c>0) 또, 코사인법칙에 의하여 1€+('3 )€-2€ 2_1_'3 cos C= =0 ∫ C=90^ 다. 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 AC’ €=2€+3€-2_2_3_cos 60^ =2€+3€-2_2_3_;2! !;=7 의하여 7=1€+x€-2_1_x_cos 120^ =1€+x€-2_1_x_{-;2!;} =x€+x+1 위 식을 정리하면 x€+x-6=0 (x+3)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0) 따라서 선분 AD의 길이는 2이다. 01-2  2 |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 사각형 ABCD에서 선분 AD의 길이를 구한 2 =7이고, AD’=x라 하면 코사인법칙에 또, 삼각형 ACD에서 AC’ 사인법칙에 의하여 b 2R a 2R sin A= , sin C= , sin B= c 2R 35 sin A=28'2 sin B=20'2 sin C에서 20c'2 35a 2R 2R 28b'2 2R = = , 35a=28b'2=20c'2 이므로 ∫ a:b:c=;3¡5;: 1 28'2 =4'2:5:7 : 1 20'2 이때, a=4'2k, b=5k, c=7k (k90인 상수)라 하면 코사인법칙에 의하여 cos A= (5k)€+(7k)€-(4'2k)€ 2_5k_7k =;5#; 코사인법칙에 의하여 cos B= ('3-1)€+('2 )€-2€ 2_('3-1)_'2 =- '2 2 이때, 0^90^) 따라서 A+B+C=180^이므로 최소각 C의 크기는 C=180^-(30^+135^)=15^ 03-1  C=90^인 직각삼각형 |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을 구한다. a+b cos C=c cos B에서 코사인법칙에 의하여 a+b_ a€+b€-c€ 2ab =c_ c€+a€-b€ 2ca 2a€+a€+b€-c€=c€+a€-b€ ∴ a€+b€=c€ 따라서 삼각형 ABC는 C=90^인 직각삼각형이다. 03-2  a=b인 이등변삼각형 또는 C=90^인 직각삼각형 |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을 구한다. a cos A=b cos B에서 코사인법칙에 의하여 a_ b€+c€-a€ 2bc =b_ c€+a€-b€ 2ca a€(b€+c€-a€)=b€(c€+a€-b€) c€(a€-b€)-(a›-b›)=0 7 사인법칙과 코사인법칙 065 c€(a€-b€)-(a€+b€)(a€-b€)=0 (a€-b€)(c€-a€-b€)=0 ∴ a€=b€ 또는 c€=a€+b€ 따라서 삼각형 ABC는 a€=b€에서 a=b인 이등변삼각형 또는 c€=a€+b€에서 C=90^인 직각삼각형이다. 04-1  43.6 m |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 두 나무 A, B 사이의 거리를 구한다. 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 AB’ €=30€+50€-2_30_50_cos 60^ =30€+50€-2_30_50_;2!;=1900 ∫ AB’='ß19ß00=10'ß19 (m) 이때, '1å9=4.36이므로 AB’=10'1å9=10_4.36=43.6 (m) 또, 삼각형 ABD에서 코사인법칙에 의하여 2 =6€+3€-2_6_3_cos 60^ BD’ =6€+3€-2_6_3_;2!;=27 즉, BD’=3'3이므로 삼각형 BCD의 넓이는 ;2!;_5_3'3_sin 30^=;2!;_5_3'3_;2!;= 15'3 4 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 9'3 2 + 15'3 4 = 33'3 4 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 2, ;2!;, 2 ⑵ 10, '2 2 , 15'2 | 207쪽 | 04-2  |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 A 지점과 도착점 사이의 거리를 구한다. '13“ km 오른쪽 그림과 같이 A 지점에서 5 km를 2 km 2 km 갔을 때의 위치를 B, 6 km를 갔을 때의 A 스스로 check 2-1 ⑴ 4, 4, ;2!;, 4 ⑵ 180^, 180^, 60^, 60^, '3 , 2 35'3 2 4 km 60^ 1 km B 1 km C 1-2  ⑴ 16'3 ⑵ 15 2 ⑶ 6 ⑷ 3 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 위치를 C라 하면 삼각형 ACB에서 AC’=4, BC’=1, 3ACB=60^ 이므로 코사인법칙에 의하여 AB’ €=4€+1€-2_4_1_cos 60^ =4€+1€-2_4_1_;2!;=13 ∴ AB’='1å3 (km) 따라서 A 지점에서 도착점까지의 직선거리는 '1å3 km이다. ⑴ S=;2!;_8_8_sin 120^ =;2!;_8_8_ '3 2 =16'3 ⑵ S=;2!;_6_5_sin 30^ =;2!;_6_5_;2!;=:¡2∞: ⑶ S=;2!;_4_2'3_sin 60^ =;2!;_4_2'3_ '3 =6 2 ⑷ S=;2!;_3_4_sin 150^ =;2!;_3_4_;2!;=3 2-2  ⑴ 12 ⑵ 24'3 ⑶ 10 ⑷ 6'2 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면 ⑴ B=D이므로 S=4_2'3_sin 60^ =4_2'3_ '3 2 =12 ⑵ S=6_8_sin 120^ =6_8_ '3 2 =24'3 204쪽~206쪽 3 삼각형의 넓이 개념 확인 1 16 2 33'3 4 1 A+B+C=180^에서 A+B=180^-C이므로 sin (A+B)=sin (180^-C)=sin C=;3!; 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;ab sin C=;2!;_12_8_;3!;=16 2 삼각형 ABD의 넓이는 ;2!;_6_3_sin 60^=;2!;_6_3_ '3 2 = 9'3 2 066 정답과 해설 ⑶ C=A이므로 S=4_5_sin 150^ =4_5_;2!;=10 ⑷ A=C이므로 S=3_4_sin 135^ =3_4_ '2 2 =6'2 STEP 필수 유형 2 01-1  3'1å0 |해결 전략| 삼각형의 넓이를 구하는 공식과 코사인법칙을 이용한다. 삼각형 ABC의 넓이가 18이므로 ;2!;_12_b_sin 45^=18 ∫ b=3'2 따라서 코사인법칙에 의하여 c€=12€+(3'2 )€-2_12_3'2_cos 45^ =12€+(3'2 )€-2_12_3'2_ '2 ∫ c=3'1å0 2 =90 01-2  14'3 |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 한 각에 대한 코사인 값을 먼저 구한다. a+b=15, b+c=20, c+a=21을 연립하여 풀면 a=8, b=7, c=13 코사인법칙에 의하여 cos C= 8€+7€-13€ 2_8_7 =-;2!; 4 C=120^ 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_8_7_sin 120^=;2!;_8_7_ '3 2 =14'3 LECTURE 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R, 넓이를 S라 하면 사인법 칙에 의하여 a=2R sin A, b=2R sin B이므로 S=;2!; ab sin C=;2!;_2R sin A_2R sin B_sin C =2R€ sin A sin B sin C 03-1  21'3 4 |해결 전략| 원에 내접하는 사각형의 대각의 크기의 합은 180^임을 이용한다. 사각형 ABCD가 원에 내접하므로 3B=180^-3D=60^ | 208쪽~210쪽 | 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 1ABC+1ACD =;2!;_5_3_sin 60^+;2!;_3_2_sin 120^ =;2!;_5_3_ '3 3'3 2 +;2!;_3_2_ '3 21'3 4 15'3 4 = + = 2 2 03-2  3 13 |해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 tan€ h의 값을 구한다. 사각형 ABCD의 넓이가 3이므로 3=;2!;_2_4'3_sin h, sin h= '3 4 '3 4 } 따라서 cos€ h=1-sin€ h=1-{ €=;1!6#; 이므로 tan€ h= sin€ h cos€ h = 3 13 | 211쪽~213쪽 | 02-1  4'3 |해결 전략| 외접원의 반지름의 길이가 주어졌을 때의 삼각형의 넓이는 사인법칙 을 이용한다. A=30^, B=120^라 하면 C=180^-(30^+120^)=30^ 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 4이므로 사인법칙에 의하여 a sin A = b sin B =2_4 4 a=8 sin A, b=8 sin B 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!; ab sin C=;2!;_8 sin A_8 sin B_sin C =32 sin A sin B sin C =32_;2!;_ '3 2 _;2!;=4'3 STEP 유형 드릴 3 1-1  2'3 |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 b의 값을 구한다. 사인법칙에 의하여 2 sin 30^ = 4 sin C sin C=4_ =4_ =1 sin 30^ 2 ;2!; 2 ∴ C=90^ 이때, B=180^-(90^+30^)=60^이므로 2 sin 30^ = b sin 60^ ∴ b= 2 sin 30^ _sin 60^= _ '3 2 =2'3 2 ;2!; 7 사인법칙과 코사인법칙 067 1-2  3 |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 a의 값을 구한다. 사인법칙에 의하여 3'3 sin 120^ = 3 sin C '3 2 3'3 =;2!; sin C=3_ =3_ sin 120^ 3'3 ∴ C=30^ 또는 C=150^ 그런데 B=120^이므로 C=30^ 따라서 A=180^-(120^+30^)=30^이므로 삼각형 ABC는 a=c인 이등변삼각형이다. ∴ a=3 3-2  16 |해결 전략| 선분 AB의 길이와 선분 CD의 길이를 사인법칙을 이용하여 삼각함 수로 나타낸다. 오른쪽 그림과 같이 3ACB=h라 하면 삼각형 ABC에서 사인법칙에 의하여 A 2 AB’=2R sin h=4 sin h 또, 3CBD=90^-h이므로 삼각형 BCD에서 사인법칙에 의하여 CD’=2R sin (90^-h)=4 cos h ∴ AB’ €+CD’ € =(4 sin h)€+(4 cos h)€ =16 sin€ h+16 cos€ h=16 h C B 90^-h D 2-1  16 |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 삼각형의 세 변의 길이의 합을 구한다. 4-1  10'6 m |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 두 지점 A, B 사이의 거리를 구한다. 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 3A=180^-(75^+45^)=60^이므로 사인법칙에 의하여 2-2  1 |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 구한다. 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 4-2  3'2 km |해결 전략| 사인법칙을 이용하여 두 지점 B, C 사이의 거리를 구한다. 삼각형 ABC에서 45^+3C=75^ 4 3C=30^ sin A+sin B+sin C = a 2R + b 2R + c 2R = a+b+c 2R =;5*; 이때, R=5이므로 a+b+c=;5*;_2R=;5*;_2_5=16 따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 16이다. a‹+b‹+c‹ sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C = (2R sin A)‹+(2R sin B)‹+(2R sin C)‹ sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C = 8R‹(sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C) sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C =8R3=8 ∴ R=1 3-1  2'2 |해결 전략| 원의 지름에 대한 원주각의 크기는 90^임을 이용하여 사각형 45^ A 4 D C B ABCD의 외접원의 반지름의 길이를 구한다. 오른쪽 그림에서 3B=3D=90^이므로 AC’는 원의 지름이다. 즉, 사각형 ABCD 는 반지름의 길이가 2인 원에 내접한다. 이때, 이 원은 삼각형 ABD의 외접원이므 로 사인법칙에 의하여 BD’ sin 45^ =4 ∴ BD’=4_sin 45^=4_ '2 2 =2'2 068 정답과 해설 AB’ sin 45^ = 30 sin 60^ ∴ AB’= _sin 45^ 30 sin 60^ = _ '2 2 =10'6 (m) 30 '3 2 따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 10'6 m이다. 사인법칙에 의하여 BC’ sin 45^ = 3 sin 30^ ∴ BC’= _sin 45^ = =3'2 (km) 3 sin 30^ _ '2 2 3 1 2 따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 3'2 km이다. 5-1  8 |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 선분 AC의 길이를 구한다. 사각형 ABCD가 원에 내접하므로 3B+3D=180^ 4 cos B=cos (180^-D)=-cos D=-;4!; 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 AC’ €=6€+4€-2_6_4_cos B =6€+4€-2_6_4_{-;4!;}=64 4 AC’=8 (5 AC’>0) 5-2  7 |해결 전략| 평행사변형에서 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180^임을 이용한다. 또, 삼각형 ADC에서 코사인법칙에 의하여 AD’ €=2€+5€-2_2_5_cos C 삼각형 ACD에서 3D=120^이므로 코사인법칙에 의하여 AC’ €=5€+3€-2_5_3_cos 120^ =5€+3€-2_5_3_{-;2!;}=49 ∴ AC’=7 (5 AC’>0) =2€+5€-2_2_5_;5!;=25 ∴ AD’=5 (5 AD’>0) 6-1  60^ |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 길이가 c인 변의 대각의 크기를 구한다. 용한다. 정삼각뿔의 전개도를 그려 보면 다음 그림과 같다. 8-1  5'7 |해결 전략| 정삼각뿔의 전개도를 그려 최단 거리를 생각하고, 코사인법칙을 이 한편, 길이가 c인 변의 대각의 크기를 h라 하면 코사인법칙에 의하여 A A (a+b+c)(a+b-c)=3ab에서 (a+b)€-c€=3ab, a€+2ab+b€-c€=3ab ∴ a€+b€-c€=ab cos h= a€+b€-c€ 2ab = ab 2ab =;2!; ∴ h=60^ 6-2  120^ |해결 전략| 최대각은 변의 길이가 가장 긴 변의 대각임을 이용한다. "ƒa€+ab+b€ >a, "ƒa€+ab+b€ >b이므로 세 변 중 가장 긴 변의 길 이는 "ƒa€+ab+b€ 이고, 이 변의 대각이 최대각이다. 이때, 변의 길이가 "ƒa€+ab+b€인 변의 대각의 크기를 h라 하면 코 사인법칙에 의하여 cos h= a€+b€-(a€+ab+b€) 2ab = -ab 2ab =-;2!; ∴ h=120^ 따라서 최대각의 크기는 120^이다. 7-1  6 |해결 전략| 삼각형 ABC에서 3A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 할 때, AB’:AC’=BD’:CD’가 성립함을 이용한다. 삼각형의 내각의 이등분선의 성질에 의하여 AB’:AC’=BD’:CD’이므로 BD’=4, CD’=3 이때, 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 cos B= 8€+7€-6€ 2_8_7 =;1!6!; 또, 삼각형 ABD에서 코사인법칙에 의하여 AD’ €=8€+4€-2_8_4_cos B =8€+4€-2_8_4_;1!6!;=36 ∴ AD’=6 (5 AD’>0) 10 R O 5 40^ 40^ Q 40^ P B C 이때, 최단 거리는 AR’이므로 코사인법칙에 의하여 AR’ €=10€+5€-2_10_5_cos 120^ =10€+5€-2_10_5_{-;2!;}=175 ∴ AR’=5'7 (5 AR’>0) 8-2  3'7 |해결 전략| 원뿔의 전개도를 그려 최단 거리를 생각하고 , 코사인법칙을 이용한 원뿔의 전개도를 그려 보면 오른쪽 그 다. 림과 같다. 원뿔의 옆면의 전개도인 부채꼴에서 호의 길이가 4p이므로 중심각의 크기 6 O 3 P A 120^ A 2 를 h라 하면 6h=4p, h=;3@;p, 즉 h=120^ 이때, 최단 거리는 AP’이므로 코사인법칙에 의하여 AP’ €=6€+3€-2_6_3_cos 120^ =6€+3€-2_6_3_{-;2!;}=63 ∴ AP’=3'7 (5 AP’>0) 9-1  a=b인 이등변삼각형 |해결 전략| 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관 계식을 구한다. 사인법칙과 코사인법칙에 의하여 sin A cos B=sin B cos A에서 7-2  5 |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 3B 또는 3C의 코사인 값을 구한다. a 2R _ a€+c€-b€ 2ac = b 2R _ b€+c€-a€ 2bc 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 cos C= 6€+5€-7€ 2_6_5 =;5!; a€+c€-b€=b€+c€-a€ a€=b€ ∫ a=b 따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다. 7 사인법칙과 코사인법칙 069 9-2  A=90^인 직각삼각형 |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을 구한다. 코사인법칙에 의하여 a cos B-b cos A=c에서 a_ a€+c€-b€ 2ac -b_ b€+c€-a€ 2bc =c (a€+c€-b€)-(b€+c€-a€)=2c€ ∴ a€=b€+c€ 따라서 삼각형 ABC는 A=90^인 직각삼각형이다. 10-1  3+'3 2 넓이를 구한다. |해결 전략| 삼각비의 성질을 이용하여 변 BC의 길이를 먼저 구하고, 삼각형의 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 A 2 B 60^ H '6 45^ C 내린 수선의 발을 H라 하면 BC’=BH’+CH’ =2 cos 60^+'6 cos 45^ =1+'3 ∴ 1ABC=;2!;_AB’_BC’_sin 60^ =;2!;_2_(1+'3 )_ '3 2 = 3+'3 2 10-2  4+2'2 |해결 전략| 삼각비의 성질을 이용하여 변 BC의 길이를 먼저 구하고, 삼각형의 넓이를 구한다. 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면 BH’=4 cos 45^=2'2, AH’=4 sin 45^=2'2 삼각형 ACH에서 피타고라스 정리에 의하여 B 4 45^ A H 2'3 C CH’="ƒ(2'3 )€-(2'2 )€=2이므로 BC’=BH’+CH’=2'2+2 ∫ 1ABC=;2!;_AB’_BC’_sin 45^ =;2!;_4_(2'2+2)_ '2 =4+2'2 2 임을 이용한다. 1ABC=;2!;_15_10_sin 60^ =;2!;_15_10_ '3 3BAD=3DAC=30^이고, = 2 75'3 2 AD’=x라 하면 1ABD=;2!;_15_x_sin 30^= 15 4 x 070 정답과 해설 11-1  6'3 |해결 전략| 삼각형 ABD와 삼각형 ADC의 넓이의 합이 삼각형 ABC의 넓이 구한다. A 15 60^ x 10 C B D 1ADC=;2!;_10_x_sin 30^=;2%; x 이때, 1ABC=1ABD+1ADC이므로 75'3 2 = 15 4 x+;2%; x 4 x=6'3 따라서 선분 AD의 길이는 6'3 이다. 24 5 11-2  |해결 전략| 삼각형 ABD와 삼각형 ADC의 넓이의 합이 삼각형 ABC의 넓이 임을 이용한다. 1ABC=;2!;_8_12_sin 120^ =;2!;_8_12_ '3 3BAD=3DAC=60^이고, AD’=x라 하면 =24'3 2 B 8 12 A x 120^ D C 1ABD=;2!;_8_x_sin 60^=2'3 x 1ADC=;2!;_12_x_sin 60^=3'3 x 이때, 1ABC=1ABD+1ADC이므로 24'3=2'3 x+3'3 x 4 x= 24 5 따라서 선분 AD의 길이는 이다. 24 5 12-1  40'3 |해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 대각선 AC의 길이를 구한다. 코사인법칙에 의하여 AC’ €=8€+8€-2_8_8_cos 120^ A 8 D 120^ =8€+8€-2_8_8_{-;2!;} B =192 ∴ AC’=8'3 (ç AC’>0) 이때, AB’:BC’=1:'3이므로 AB’=4'3, BC’=12 ∴ 2ABCD=1ABC+1ACD =;2!;_12_4'3+;2!;_8_8_sin 120^ =24'3+16'3=40'3 8 C 12-2  32'3 |해결 전략| 등변사다리꼴의 두 밑각의 크기가 같음을 이용하여 사각형의 넓이를 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 변 CD A D 에 평행한 선분이 변 BC와 만나는 점을 E 라 하면 삼각형 ABE는 한 변의 길이가 8인 정삼각형이다. 이때, EC’=4, 3C=60^이므로 2ABCD=1ABE+2AECD 8 60^ B E 12 C =;2!;_8€_sin 60^+8_4_sin 60^ =16'3+16'3=32'3 ⑶ x+3이 -1과 6x-1의 등차중항이므로 x+3= -1+(6x-1) 2 , 2x+6=6x-2 ∴ x=2 216쪽~220쪽 | 221쪽~222쪽 | STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 8, 28 2-1 4, 5, 5, 35, 35 3-1 ⑴ 8, 26 ⑵ 1, -2 4-1 ⑴ 2, 2 ⑵ 20, 22 6-1 ⑴ 11, 8 ⑵ x, ;2!; 스스로 check 5-1 ⑴ 5, 5, 5, 5, 47 ⑵ -7, -7, -7, -7, -53 1-2  ⑴ 제5항: 3, 제8항: 12 ⑵ 제5항: 16, 제8항: 128 ⑴ 첫째항부터 시작하여 다섯 번째와 여덟 번째에 있는 항을 각각 찾 으면 제5항은 3이고, 제8항은 12이다. ⑵ 첫째항부터 시작하여 다섯 번째와 여덟 번째에 있는 항을 각각 찾 으면 제5항은 16이고, 제8항은 128이다. 2-2  ⑴ 4, 9, 14, 19, 24 ⑵ 3, 9, 19, 33, 51 ⑶ -1, 1, -1, 1, -1 ⑷ 1, 2, 5, 12, 27 ⑴ an=5n-1에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면 8 | 등차수열 1 등차수열 개념 확인 1 ⑴ 3, 5, 7, 9, 11 ⑵ 2, 4, 8, 16, 32 2 ⑴ 13, 19 ⑵ 5, -7 ⑶ 2, ;2&; 3 ⑴ an=-5n+13 ⑵ an=4n-2 4 ⑴ 4 ⑵ ;2&; ⑶ 2 1 ⑴ an=2n+1에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면 a¡=2_1+1=3 a™=2_2+1=5 a£=2_3+1=7 a¢=2_4+1=9 a∞=2_5+1=11 3, 5, 7, 9, 11 a™=2€=4 a£=2‹=8 a¢=2›=16 a∞=2fi=32 2, 4, 8, 16, 32 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면 ⑵ an=2n에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면 a¡=2⁄=2 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면 ⑵ an=2n€+1에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면 a¡=5_1-1=4 a™=5_2-1=9 a£=5_3-1=14 a¢=5_4-1=19 a∞=5_5-1=24 4, 9, 14, 19, 24 a¡=2_1€+1=3 a™=2_2€+1=9 a£=2_3€+1=19 a¢=2_4€+1=33 a∞=2_5€+1=51 a™=(-1)€=1 a£=(-1)‹=-1 a¢=(-1)›=1 a∞=(-1)fi=-1 -1, 1, -1, 1, -1 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면 3, 9, 19, 33, 51 ⑶ an=(-1)n에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면 a¡=(-1)⁄=-1 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면 8 등차수열 071 2 ⑴ 7-4=3에서 공차가 3이므로 4, 7, 10, 13 , 16, 19 , … ⑵ -3-1=-4에서 공차가 -4이므로 9, 5 , 1, -3, -7 , -11, … ⑶ ;2#;-1=;2!; 에서 공차가 ;2!;이므로 1, ;2#;, 2 , ;2%;, 3, ;2&; , … 3 ⑴ 첫째항이 8, 공차가 -5이므로 an=8+(n-1)_(-5)=-5n+13 ⑵ 첫째항이 2, 공차가 6-2=4이므로 an=2+(n-1)_4=4n-2 4 ⑴ x가 1과 7의 등차중항이므로 x= 1+7 2 =4 ⑵ 2x가 3과 11의 등차중항이므로 2x= 3+11 2 =7 ∴ x=;2&; ⑷ an=2˜-n에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면 a¡=2⁄-1=1 a™=2€-2=2 a£=2‹-3=5 a¢=2›-4=12 a∞=2fi-5=27 1, 2, 5, 12, 27 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면 6-2  ⑴ ;2(; ⑵ 3 ⑶ -1 ⑴ 3x가 8과 19의 등차중항이므로 3x= 8+19 2 ∴ x=;2(; ⑵ 2x-1이 x와 x+4의 등차중항이므로 2x-1= , 2x-1=x+2 ∴ x=3 x+(x+4) 2 ⑶ 3x+1이 x-1과 2x의 등차중항이므로 3x+1= (x-1)+2x 2 , 6x+2=3x-1 ∴ x=-1 3-2  ⑴ 5, 19 ⑵ 11, -5 ⑶ -;3@;, 0 ⑷ ;2!;, 0 ⑴ -2-(-9)=7에서 공차가 7이므로 -9, -2, 5 , 12, 19 , 26, … ⑵ 3-7=-4에서 공차가 -4이므로 15, 11 , 7, 3, -1, -5 , … ⑶ ;3@;-;3!;=;3!;에서 공차가 ;3!;이므로 -1, -;3@; , -;3!;, 0 , ;3!;, ;3@;, … ⑷ ;2#;-2=-;2!;에서 공차가 -;2!;이므로 2, ;2#;, 1, ;2!; , 0 , -;2!;, … 4-2  ⑴ an=2n+1 ⑵ an=3n-10 ⑶ an=-4n+9 ⑷ an=-3n+2 ⑴ 첫째항이 3, 공차가 2이므로 an=3+(n-1)_2=2n+1 ⑵ 첫째항이 -7, 공차가 3이므로 an=-7+(n-1)_3=3n-10 ⑶ 첫째항이 5, 공차가 -4이므로 an=5+(n-1)_(-4)=-4n+9 ⑷ 첫째항이 -1, 공차가 -3이므로 an=-1+(n-1)_(-3)=-3n+2 5-2  ⑴ 57 ⑵ 15 ⑶ -50 ⑷ -37 ⑴ 첫째항이 3, 공차가 6이므로 an=3+(n-1)_6=6n-3 ∴ a¡º=6_10-3=57 ⑵ 첫째항이 -3, 공차가 2이므로 an=-3+(n-1)_2=2n-5 ∴ a¡º=2_10-5=15 ⑶ 첫째항이 4, 공차가 -6이므로 an=4+(n-1)_(-6)=-6n+10 ∴ a¡º=-6_10+10=-50 ⑷ 첫째항이 -1, 공차가 -4이므로 an=-1+(n-1)_(-4)=-4n+3 ∴ a¡º=-4_10+3=-37 072 정답과 해설 STEP 필수 유형 2 | 223쪽~229쪽 | 01-1  ⑴ an=n_2˜, a¶=896 ⑵ an=3_(-1)n-1, a¶=3 ⑶ an= n n+1 , a¶=;8&; |해결 전략 | 주어진 항 사이의 규칙을 찾아 일반항 an을 구한다. ⑴ a¡=1_2=1_2⁄, a™=2_4=2_2€, a£=3_8=3_2‹, a¢=4_16=4_2›, … 따라서 주어진 수열의 일반항 an은 an=n_2n an=n_2n에 n=7을 대입하면 a¶=7_2‡=896 ⑵ a¡=3=3_(-1)‚, a™=-3=3_(-1)⁄, a£=3=3_(-1)€, a¢=-3=3_(-1)‹, … 따라서 주어진 수열의 일반항 an은 an=3_(-1)n-1 an=3_(-1)n-1에 n=7을 대입하면 a¶=3_(-1)fl=3 ⑶ a¡=;2!;= a£=;4#;= 1 1+1 3 3+1 , a™=;3@;= 2 2+1 , , a¢=;5$;= 4 4+1 , … 따라서 주어진 수열의 일반항 an은 an= n n+1 n n+1 a¶=;8&; an= 에 n=7을 대입하면 02-1  ⑴ an=6n ⑵ an=3n-17 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 일반항은 an=a+(n-1)d이다. ⑴ 공차를 d 라 하면 첫째항은 6이므로 a∞=6+(5-1)d=30, 6+4d=30 ∴ d=6 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 6, 공차는 6이므로 an=6+(n-1)_6=6n ⑵ 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 (a+8)(a+12)=140, a€+20a+96=140 a™=a+(2-1)d=-11에서 a+d=-11 a€+20a-44=0, (a+22)(a-2)=0 ∴ a=2 (∵ a>0) a¡º=a+(10-1)d=13에서 a+9d=13 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-14, d=3 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 2, 공차는 4이므로 an=2+(n-1)_4=4n-2 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -14, 공차는 3이므로 ∴ a¡º=4_10-2=38 ……㉠ ……㉡ an=-14+(n-1)_3=3n-17 02-2  제10항 |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 ak=42를 만족시키는 을 구하면 된다. 04-1  제26항 |해결 전략 | 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값 등차수열 {an}의 첫째항이 -98, 공차가 4이므로 an=-98+(n-1)_4=4n-102 이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이 ……㉠ ……㉡ 므로 4n-102>0에서 4n>102 ∴ n>;;;;!4);;;@;=25.5 따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제26항이다. k의 값을 구한다. 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a™=a+(2-1)d=10에서 a+d=10 a¶=a+(7-1)d=30에서 a+6d=30 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, d=4 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 6, 공차는 4이므로 an=6+(n-1)_4=4n+2 42를 제k항이라 하면 4k+2=42 ∴ k=10 따라서 42는 제10항이다. 03-1  an=3n-4 |해결 전략 | 주어진 조건을 등차수열의 첫째항 a, 공차 d에 대한 식으로 나타낸다. 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a¢-a™=6에서 (a+3d)-(a+d)=6 2d=6 ∴ d=3 a¢+a™=10에서 (a+3d)+(a+d)=10 2a+4d=10, 2a+12=10 ∴ a=-1 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -1, 공차는 3이므로 an=-1+(n-1)_3=3n-4 다른 풀이 a¢-a™=6 a¢+a™=10 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a¢=8, a™=2 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a¢=a+3d=8, a™=a+d=2 위 식을 연립하여 풀면 a=-1, d=3 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -1, 공차는 3이므로 an=-1+(n-1)_3=3n-4 ……㉠ ……㉡ 03-2  38 |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 등차수열의 일반항 an을 구한 후 n=10을 대입하여 a¡º을 구한다. 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a£-a¡=8에서 (a+2d)-a=8 2d=8 ∴ d=4 a£a¢=140에서 (a+2d)(a+3d)=140 04-2  -3 |해결 전략 | 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값 을 구하면 된다. 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a¡-a¢=9에서 a-(a+3d)=9 -3d=9 ∴ d=-3 a£+a¢=99에서 (a+2d)+(a+3d)=99 2a+5d=99, 2a-15=99 ∴ a=57 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 57, 공차는 -3이므로 an=57+(n-1)_(-3)=-3n+60 이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이 므로 -3n+60<0에서 3n>60 ∴ n>20 따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제21항이므로 k=21 ∴ a™¡=-3_21+60=-3 05-1  16 |해결 전략 | 등차수열의 첫째항이 -4, 제10항이 32임을 이용하여 공차를 구한다. 등차수열 -4, x¡, x™, x£, …, x8, 32의 공차를 d 라 하면 첫째항이 -4, 제10항이 32이므로 -4+9d=32에서 9d=36 ∴ d=4 이때, x∞는 제6항이므로 x∞=-4+(6-1)_4=16 05-2  15 |해결 전략 | 첫째항이 7, 공차가 -;4#;인 등차수열의 제(n+2)항이 -5임을 이 용하여 n의 값을 구한다. 첫째항이 7, 공차가 -;4#; 인 등차수열의 제(n+2)항이 -5이므로 7+(n+1)_{-;4#;}=-5 8 등차수열 073 -;4#; (n+1)=-12, n+1=16 ∴ n=15 06-1  2, 4, 6 |해결 전략 | 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d라 하고, 주어진 조건을 이 용하여 식을 세운다. 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d 라 하면 세 수의 합이 12이므로 (a-d)+a+(a+d)=12 세 수의 곱이 48이므로 (a-d)_a_(a+d)=48 ……㉠ ……㉡ ㉠에서 3a=12 ∴ a=4 ㉡에 a=4를 대입하면 (4-d)_4_(4+d)=48, 16-d €=12 d €=4 ∴ d=-2 따라서 구하는 세 수는 2, 4, 6 06-2  24 |해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. 삼차방정식의 세 실근을 a-d, a, a+d 라 하면 세 실근의 합이 6이므로 (a-d)+a+(a+d)=6 3a=6 ∴ a=2 삼차방정식 x‹-6x€-4x+k=0의 한 근이 2이므로 방정식에 x=2를 대입하면 2‹-6_2€-4_2+k=0 ∴ k=24 LECTURE 삼차방정식 ax‹+bx€+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면 a+b+c=- b a , ab+bc+ca= c a , abc=- d a ⑴ a는 4와 12의 등차중항이므로 a= 4+12 2 =8 또, 16은 12와 b의 등차중항이므로 16= ∴ b=20 12+b 2 ⑵ 7은 b와 c의 등차중항이므로 7= ∴ b+c=14 또, 7은 a와 d의 등차중항이므로 7= ∴ a+d=14 b+c 2 a+d 2 ∴ a+b+c+d =(a+d)+(b+c) =14+14=28 074 정답과 해설 다른 풀이 등차수열을 이루는 다섯 개의 수를 7-2x, 7-x, 7, 7+x, 7+2x라 하면 a+b+c+d=(7-2x)+(7-x)+(7+x)+(7+2x)=28 07-2  5 |해결 전략 | 나머지정리에 의하여 f(x)를 x-1, x, x+2로 나누었을 때의 나머 지는 각각 f(1), f(0), f(-2)이다. 나머지정리에 의하여 f(x)=x€+ax+5를 x-1, x, x+2로 나누 었을 때의 나머지는 각각 f(1)=1+a+5=a+6, f(0)=5, f(-2)=4-2a+5=-2a+9 이때, f(0)은 f(1)과 f(-2)의 등차중항이므로 f(0)=  f(1)+f(-2) 2 5= (a+6)+(-2a+9) 2 -a+15=10 ∴ a=5 2 등차수열의 합 개념 확인 1 ⑴ 1400 ⑵ 435 2 ⑴ an=4n-2 ⑵ a¡=2, an=2n-1 (n>2) 1 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 230쪽~232쪽 이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같다. 따라서 수열 {an}의 일반항 an은 an=4n-2이다. 2 ⑴ an =Sn-Sn-1 =2n€-2(n-1)€ =4n-2 (n>2) a¡=S¡=2_1€=2 ⑵ an =Sn-Sn-1 =n€+1-{(n-1)€+1} =2n-1 (n>2) a¡=S¡=1€+1=2 이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르다. 따라서 수열 {an}의 일반항 an은 a¡=2, an=2n-1 (n>2)이다. ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ 07-1  ⑴ a=8, b=20 ⑵ 28 |해결 전략 | ⑴ a는 4와 12의 등차중항이고, 16은 12와 b의 등차중항임을 이용 ⑴ S™º= 20(5+135) 2 =1400 한다. ⑵ 7은 b와 c의 등차중항일 뿐만 아니라 a와 d의 등차중항임을 이용한다. ⑵ S¡∞= 15{2_8+(15-1)_3} 2 =435 | 233쪽~234쪽 | 4-2  ⑴ ① an=2n+1 (n>2) ② 3 ③ an=2n+1 ⑵ 15, 9, 30 ⑵ 7, -114 ⑵ 10, -4, -80 ⑵ 6n-3, 5, 5, 6n-3 1-2  ⑴ 590 ⑵ 572 ⑶ 810 ⑷ 50 ⑸ 992 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 18, 17, 180 2-1 ⑴ 2, 400 3-1 ⑴ -3, 5, 480 4-1 ⑴ 2n, 2, 2n 스스로 check ⑴ S™º= =590 20(1+58) 2 11(4+100) 2 15(12+96) 2 =572 =810 ⑵ S¡¡= ⑶ S¡∞= ⑷ S¡º= 10{12+(-2)} 2 =50 ⑸ S£™= 32(-1+63) 2 =992 2-2  ⑴ 407 ⑵ 240 ⑶ -350 ⑷ -416 ⑸ 85 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 ⑴ S¡¡= 11{2_2+(11-1)_7} 2 =407 ⑵ S¡∞= 15{2_(-5)+(15-1)_3} 2 =240 ⑶ S¡¢= 14{2_1+(14-1)_(-4)} 2 =-350 ⑷ S¡£= 13{2_(-2)+(13-1)_(-5)} 2 =-416 ⑸ S¡º= 10{2_22+(10-1)_(-3)} 2 =85 ⑵ 첫째항이 20, 공차가 -4이므로 주어진 등차수열의 첫째항부터 제 10항까지의 합은 10{2_1+(10-1)_4} 2 =190 제 20항까지의 합은 20{2_20+(20-1)_(-4)} 2 =-360 제 40항까지의 합은 40{2_1+(40-1)_(-2)} 2 =-1520 제13항까지의 합은 13{2_(-7)+(13-1)_5} 2 =299 ⑶ 첫째항이 1, 공차가 -2이므로 주어진 등차수열의 첫째항부터 ⑷ 첫째항이 -7, 공차가 5이므로 주어진 등차수열의 첫째항부터 ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ⑵ ① an=2n-1 (n>2) ② 0 ③ a¡=0, an=2n-1 (n>2) ⑴ ① an =Sn-Sn-1 =n€+2n-{(n-1)€+2(n-1)} =2n+1 (n>2) ② a¡=S¡=1€+2_1=3 ③ ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=2n+1 ⑵ ① an =Sn-Sn-1 =n€-1-{(n-1)€-1} =2n-1 (n>2) ② a¡=S¡=1€-1=0 ③ ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로 a¡=0, an=2n-1 (n>2) STEP 필수 유형 2 | 235쪽~238쪽 | 01-1  ⑴ 10 ⑵ -170 |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 등차수열 {an}의 첫째항과 공차를 구한 후 합을 구한다. ⑴ 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a™=-6에서 a+d=-6 a¡º=10에서 a+9d=10 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-8, d=2 따라서 등차수열 {an}의 첫째항부터 제10항까지의 합은 10(-8+10)  2 =10 ⑵ 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¢=-28에서 a+3d=-28 a¡¡=-7에서 a+10d=-7 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-37, d=3 01-2  10 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn 이 Sn= n{2a+(n-1)d} 2 임을 이용한다. 첫째항이 4, 공차가 2인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn은 Sn= n{2_4+(n-1)_2}  2 =n(n+3) 이때, Sn=130이므로 n(n+3)=130 n€+3n-130=0, (n+13)(n-10)=0 ∴ n=10 (∵ n은 자연수) 02-1  1085 |해결 전략 | 첫째항이 -10, 공차가 3인 등차수열의 제(n+2)항은 80임을 이용 하여 n의 값을 구한다. 8 등차수열 075 3-2  ⑴ 190 ⑵ -360 ⑶ -1520 ⑷ 299 ⑴ 첫째항이 1, 공차가 4이므로 주어진 등차수열의 첫째항부터 따라서 등차수열 {an}의 첫째항부터 제20항까지의 합은 20{2_(-37)+(20-1)_3} 2 =-170 첫째항이 -10, 공차가 3인 등차수열의 제(n+2)항이 80이므로 이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 -10+(n+1)_3=80, 3n-7=80 ∴ n=29 an=8n-7 따라서 제31항이 80이므로 첫째항부터 제31항까지의 합은 ∴ a¡+a¡º=1+(8_10-7)=74 31(-10+80)  2 =1085 02-2  n=14, d=-;3&; |해결 전략 | 두 수 25와 -10 사이에 n개의 수를 넣어서 만든 등차수열의 전체 항수는 (n+2)이다. 첫째항이 25, 제(n+2)항이 -10인 등차수열의 합이 120이므로 (n+2){25+(-10)}  2 따라서 제16항이 -10이므로 25+15d=-10 ∴ d=-;3&; 03-1  14 |해결 전략 | 첫째항이 양수이고 공차가 음수일 때, 처음으로 음수가 되는 항이 제k항이면 첫째항부터 제(k-1)항까지의 합이 최대가 된다. 등차수열 {an}의 첫째항이 40, 공차가 -3이므로 an=40+(n-1)_(-3)=-3n+43 다른 풀이 Sn=4n€-3n이므로 a¡=S¡=4_1€-3_1=1 a¡º =S¡º-Sª =(4_10€-3_10)-(4_9€-3_9) =(400-30)-(324-27)=73 ∴ a¡+a¡º=1+73=74 an =Sn-Sn-1 =n€+2n+1-{(n-1)€+2(n-1)+1} =2n+1 (n>2) a¡=S¡=1€+2_1+1=4 이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로 a¡=4, an=2n+1 (n>2) ∴ a¡+a™º=4+(2_20+1)=45 ……㉠ ……㉡ =120, 15(n+2)=240 ∴ n=14 04-2  45 |해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 an을 구한다. 이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이 다른 풀이 -3n+43<0에서 3n>43 ∴ n>;;¢3£;;=14.33… 따라서 등차수열 {an}은 첫째항부터 제14항까지가 양수이고 제15항 =(20€+2_20+1)-(19€+2_19+1) 부터 음수가 되므로 Sn이 최대가 되는 n의 값은 14이다. =(400+40+1)-(361+38+1)=41 ∴ a¡+a™º=4+41=45 Sn=n€+2n+1이므로 a¡=S¡=1€+2_1+1=4 a™º =S™º-S¡ª 므로 므로 03-2  -98 |해결 전략 | 첫째항이 음수이고 공차가 양수일 때, 처음으로 양수가 되는 항이 제k항이면 첫째항부터 제(k-1)항까지의 합이 최소가 된다. 등차수열 {an}의 첫째항이 -26, 공차가 4이므로 an=-26+(n-1)_4=4n-30 이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이 4n-30>0에서 4n>30 ∴ n>;;£4º;;=7.5 따라서 Sn의 최솟값은 S¶= 7{2_(-26)+(7-1)_4} 2 =-98 04-1  74 |해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 an을 구한다. an =Sn-Sn-1 =8n-7 (n>2) a¡=S¡=4_1€-3_1=1 076 정답과 해설 즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제7항까지가 음수이고 제8항부터 이때, 이웃하는 두 항의 차가 4-3=5-4=6-5= … =1로 일 양수가 되므로 첫째항부터 제7항까지의 합이 최소가 된다. 정하므로 수열 {n+2}는 공차가 1인 등차수열이다. STEP 유형 드릴 3 | 239쪽~241쪽 | 1-1  ③ |해결 전략 | 등차수열 {an}은 이웃하는 두 항의 차가 일정하다. 즉, a™-a¡=a£-a™=a¢-a£= … =d (일정)이다. ① 수열 {n+2}의 각 항을 나열하면 3, 4, 5, 6, …이다. ② 수열 {2n€+1}의 각 항을 나열하면 3, 9, 19, 33, …이다. 이때, 이웃하는 두 항의 차가 일정하지 않으므로 등차수열이 아니 다. ③ 수열 {2n-3}의 각 항을 나열하면 -1, 1, 3, 5, …이다. 이때, 이웃하는 두 항의 차가 1-(-1)=3-1=5-3= … =2 로 일정하므로 수열 {2n-3}은 공차가 2인 등차수열이다. ④ 수열 2, 2, 2, 2, 2, …는 이웃하는 두 항의 차가 2-2=0으로 일정 =4n€-3n-{4(n-1)€-3(n-1)} 하므로 공차가 0인 등차수열이다. ……㉠ ……㉡ 로 등차수열이 아니다. ⑤ 수열 1, 2, 4, 8, 16, …은 이웃하는 두 항의 차가 일정하지 않으므 1-2  3 |해결 전략 | 두 수열의 일반항을 각각 구한 후 주어진 조건을 이용하여 d의 값 3-2  8 |해결 전략 | |a™|=|a8|이면 a™=a8 또는 a™=-a8이다. 을 구한다. 수열 {an}은 첫째항이 2, 공차가 -1인 등차수열이므로 an=2+(n-1)_(-1)=-n+3 또, 수열 {bn}은 첫째항이 -5, 공차가 d인 등차수열이므로 bn=-5+(n-1)d a∞=b™에서 -5+3=-5+d ∴ d=3 2-1  12 |해결 전략 | 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 제n항은 a+(n-1)d이다. 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a£=-9에서 a+2d=-9 a¶=3에서 a+6d=3 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-15, d=3 an=-15+(n-1)_3=3n-18 ∴ a¡º=3_10-18=12 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 |a™|=|a8|에서 |a+d|=|a+7d| ∴ a+d=a+7d 또는 a+d=-(a+7d) 이때, a+d=a+7d이면 d=0이므로 a+d=-(a+7d) ∴ a+4d=0 a¡∞=40에서 a+14d=40 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-16, d=4 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -16, 공차는 4이므로 an=-16+(n-1)_4=4n-20 ∴ a¡º-a8=4_10-20-(4_8-20)=8 ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -15, 공차는 3이므로 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 ……㉠ ……㉡ 4-1  제7항 |해결 전략 | 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값 을 구하면 된다. 2-2  제20항 |해결 전략 | 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 ak=-31을 만족시키는 k의 값을 찾는다. 므로 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a™=5에서 a+d=5 a¡º=-11에서 a+9d=-11 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, d=-2 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 7, 공차는 -2이므로 ……㉠ ……㉡ an=7+(n-1)_(-2)=-2n+9 -31을 제k항이라 하면 -2k+9=-31 ∴ k=20 따라서 -31은 제20항이다. a£=6에서 a+2d=6 a¡º=-8에서 a+9d=-8 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, d=-2 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 10, 공차는 -2이므로 ∴ an=10+(n-1)_(-2)=-2n+12 이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이 -2n+12<0에서 2n>12 ∴ n>6 따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제7항이다. 4-2  32 |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 부등식 ak>100을 푼다. 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 a£=-12에서 a+2d=-12 a¢+a§+a8=0에서 (a+3d)+(a+5d)+(a+7d)=0 3a+15d=0 ∴ a+5d=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-20, d=4 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -20, 공차는 4이므로 ……㉠ ……㉡ 3-1  56 |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 n=10을 대입하여 a¡º an =-20+(n-1)_4=4n-24 이때, ak>100에서 4k-24>100 4k>124 ∴ k>31 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 따라서 구하는 자연수 k의 최솟값은 32이다. 을 구한다. a™=4a¡에서 a+d=4a ∴ d=3a a¢+a∞=46에서 (a+3d)+(a+4d)=46 ∴ 2a+7d=46 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=6 an=2+(n-1)_6=6n-4 ∴ a¡º=6_10-4=56 따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 2, 공차는 6이므로 8+6d=-4에서 6d=-12 ∴ d=-2 ……㉠ ……㉡ 5-1  2 |해결 전략 | 등차수열의 첫째항이 8, 제7항이 -4임을 이용하여 공차를 구한다. 등차수열 8, x¡, x™, …, x∞, -4의 공차를 d 라 하면 첫째항이 8, 제7항이 -4이므로 이때, x£은 제4항이므로 x£=8+(4-1)_(-2)=2 8 등차수열 077 5-2  17 |해결 전략 | 첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열의 제(n+2)항이 100임을 이용 7-2  33 |해결 전략 | 등차수열을 이루는 세 수를 찾고 등차중항을 이용하여 a, b, c, d, e 하여 n의 값을 구한다. 의 값을 각각 구한다. 첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열의 제(n+2)항이 100이므로 세 수 3, a, 1에서 a는 3과 1의 등차중항이므로 10+(n+1)_5=100, n+1=18 ∴ n=17 6-1  -3 |해결 전략 | 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d라 하고 주어진 조건을 이 용하여 식을 세운다. 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d 라 하면 세 수의 합이 3이므로 (a-d )+a+(a+d )=3 ……㉠ 세 수의 곱이 -15이므로 (a-d )_a_(a+d )=-15 ……㉡ ㉠에서 3a=3 ∴ a=1 ㉡에 a=1을 대입하면 (1-d )_1_(1+d )=-15, 1-d €=-15 d €=16 ∴ d=-4 따라서 세 수는 -3, 1, 5이므로 이 중 가장 작은 수는 -3이다. 6-2  12 |해결 전략 | 직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 a-d, a, a+d로 놓고 주어진 조건을 이용하여 식을 세운다. 직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 a-d, a, a+d 라 하 면 직사각형의 둘레의 길이가 14이므로 2(a-d)+2a=14 ∴ 2a-d=7 또, 오른쪽 그림에서 피타고라스 정리에 의하여 a= 3+1 2 =2 b= 3+13  2 =8 세 수 3, b, 13에서 b는 3과 13의 등차중항이므로 세 수 b, c, 4에서 c는 b와 4의 등차중항이므로 세 수 1, 4, e에서 4는 1과 e의 등차중항이므로 c= b+4  2 = 8+4  2 =6 4= 1+e  2 ∴ e=7 세 수 13, d, e에서 d는 13과 e의 등차중항이므로 d= 13+e 2 = 13+7  2 =10 ∴ a+b+c+d+e=2+8+6+10+7=33 8-1  10 |해결 전략 | 첫째항이 a, 제n항이 l인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 첫째항이 1, 제n항이 -20이므로 등차수열 {an}의 첫째항부터 Sn이 Sn= 임을 이용한다. n(a+l) 2 제n항까지의 합 Sn은 Sn= n{1+(-20)}  2 =-;;¡2ª;; n ……㉠ 이때, Sn=-95이므로 -;;¡2ª;; n=-95 ∴ n=10 (a+d)€=(a-d)€+a€ a€+2ad+d €=a€-2ad+d €+a€ a€-4ad=0, a(a-4d)=0 ∴ a=4d (∵ a+0) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, d=1 따라서 직사각형의 넓이는 (a-d)_a=(4-1)_4=12 a+d a 8-2  1650 |해결 전략 | 3으로 나누었을 때의 나머지가 2인 자연수들을 작은 수부터 차례로 나열하면 첫째항이 2이고 공차가 3인 등차수열을 이룬다. ……㉡ a-d 100보다 작은 자연수 중에서 3으로 나누었을 때의 나머지가 2인 수 는 2, 5, 8, 11, 14, y이다. 즉, 수열 2, 5, 8, 11, 14, y는 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열이므 따라서 구하는 합은 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열의 첫째항부터 로 제n항은 2+(n-1)_3=3n-1 3n-1<100에서 n<33.66y 제33항까지의 합이므로 33{2_2+(33-1)_3}  2 =1650 9-1  6 |해결 전략 | 두 수 2와 16 사이에 n개의 수를 넣어서 만든 등차수열의 전체 항수 첫째항이 2, 제(n+2)항이 16인 등차수열의 합이 72이므로 ……㉠ 는 (n+2)이다. (n+2)(2+16)  2 =72 ……㉡ 9(n+2)=72, n+2=8 ∴ n=6 7-1  a=2, b=4 |해결 전략 | a+3은 3a와 b의 등차중항이고, b는 a-b와 a+2b의 등차중항이다. a+3이 3a와 b의 등차중항이므로 a+3= , 2a+6=3a+b 3a+b  2 ∴ a+b=6 b가 a-b와 a+2b의 등차중항이므로 b= a-b+(a+2b)  2 , 2b=2a+b ∴ b=2a ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=4 078 정답과 해설 9-2  65 |해결 전략 | 첫째항이 1, 제7항이 25임을 이용하여 공차를 구한다. 11-1  7 |해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한 후 등차수열 1, x¡, x™, x£, x¢, x∞, 25의 공차를 d 라 하면 첫째항이 1, 10-1  -360 |해결 전략 | 첫째항이 음수이고 공차가 양수일 때, 처음으로 양수가 되는 항이 an =Sn-Sn-1 =n€-10n-{(n-1)€-10(n-1)} 제7항이 25이므로 1+6d=25에서 6d=24 ∴ d=4 따라서 제n항은 1+(n-1)_4=4n-3 이때, x¡은 제2항, x∞는 제6항이므로 x¡=4_2-3=5, x∞=4_6-3=21 ∴ x¡+x™+x£+x¢+x∞ = 5(5+21)  2 =65 다른 풀이 1+x¡+x™+x£+x¢+x∞+25= 7(1+25) 2 이므로 x¡+x™+x£+x¢+x∞= -(1+25)=65 7(1+25) 2 제k항이면 Sn의 최솟값은 Sk-1이다. 등차수열 {an}의 첫째항이 -46, 공차가 3이므로 an=-46+(n-1)_3=3n-49 이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이 므로 ∴ n=16 3n-49>0에서 3n>49 ∴ n> =16.33… 49  3 즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제16항까지가 음수이고 제17항부터 양수가 되므로 첫째항부터 제16항까지의 합이 최소가 된다. 따라서 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn의 최솟값은 S¡§= 16{2_(-46)+(16-1)_3}  2 =-376 ∴ k=-376 ∴ n+k=16+(-376)=-360 10-2  52 |해결 전략 | 먼저 등차수열 {an}이 처음으로 음수가 되는 항을 찾는다. 등차수열 {an}의 첫째항이 7, 공차가 -2이므로 an=7+(n-1)_(-2)=-2n+9 이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이므로 -2n+9<0에서 2n>9 ∴ n>;2(;=4.5 따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제5항이므로 |a¡|+|a™|+|a£|+ … +|a¡º| =a¡+a™+a£+a¢-a∞-a§-a¶-a8-aª-a¡º =a¡+a™+a£+a¢-(a∞+a§+a¶+a8+aª+a¡º) = 4(a¡+a¢)  2 - 6(a∞+a¡º)  2 = 4(7+1)  2 - 6{(-1)+(-11)}  2 =16+36=52 ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ak=11을 만족시키는 k의 값을 찾는다. an =Sn-Sn-1 =n€-2n+1-{(n-1)€-2(n-1)+1} 이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로 =2n-3 (n>2) a¡=S¡=1€-2_1+1=0 a¡=0, an=2n-3 (n>2) ak=11에서 2k-3=11 2k=14 ∴ k=7 11-2  5 |해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한 후 an<0을 만족시키는 자연수 n의 개수를 구한다. 이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 =2n-11 (n>2) a¡=S¡=1€-10_1=-9 an=2n-11 an<0에서 2n-11<0 2n<11 ∴ n<;;¡2¡;;=5.5 따라서 구하는 자연수 n의 개수는 1, 2, 3, 4, 5의 5이다. 12-1  175장 |해결 전략 | n번째 날에 사용한 종이의 장수를 an 이라 하고 수열 {an}이 어떤 수 열인지 알아본다. n번째 날에 사용한 종이의 장수를 an이라 하면 첫 번째 날에 사용한 종이가 10장이고, 그 다음날에는 그 전날보다 종이 5장을 더 사용하 므로 수열 {an}은 첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열이다. 따라서 학생이 일주일 동안 연습했을 때, 사용한 종이는 a¡+a™+ … +a¶= 7{2_10+(7-1)_5}  2 =175(장) 12-2  185 cm |해결 전략 | n번째 측정한 그림자의 길이를 an cm라 하고 수열 {an}이 어떤 수 열인지 알아본다. n번째 측정한 그림자의 길이를 an cm라 하면 처음 그림자의 길이가 5 cm이고, 다음 번부터는 바로 전에 측정한 것보다 그림자의 길이가 3 cm씩 길어졌으므로 수열 {an}은 첫째항이 5, 공차가 3인 등차수열 따라서 그림자의 길이를 총 10번 측정했을 때, 측정한 모든 그림자의 이다. 길이의 합은 a¡+a™+ … +a¡º= 10{2_5+(10-1)_3}  2 =185 (cm) 8 등차수열 079 =-;2!;이므로 16, -8, 4 , -2, 1, … ='2이므로 1, '2, 2 , 2'2, 4, … =5이므로 -1, -5, -25, -125, -625, … =-1이므로 5 , -5, 5, -5 , 5, … ⑴ 공비가 -8 16 ⑵ 공비가 '2 1 ⑶ 공비가 -5 -1 ⑷ 공비가 5 -5 ⑸ 공비가 -1 4 ⑹ 공비가 40 20 244쪽~246쪽 =-;4!;이므로 4, -1, , -;1¡6; , ;4!; ;6¡4; , … =2이므로 5, 10 , 20, 40, 80 , … 2-2  ⑴ an=2_4n-1 ⑵ an=3_{;3!;} n-1 n-1 ⑶ an=5_(-4)n-1 ⑷ an=2_{-;2!;} 3-2  ⑴ an=2n+1 ⑵ an=-3_{-;3!;} n-1 ⑶ an=3_(-1)n-1 ⑷ an=4_{;2!;} ⑸ an=2_(-4)n-1 ⑹ an=(-7)n-1 n-1 ⑴ 첫째항이 4, 공비가 2이므로 an=4_2n-1=2n+1 ⑵ 첫째항이 -3, 공비가 -;3!;이므로 n-1 an=-3_{-;3!;} ⑶ 첫째항이 3, 공비가 -1이므로 an=3_(-1)n-1 ⑷ 첫째항이 4, 공비가 ;2!;이므로 n-1 an=4_{;2!;} ⑸ 첫째항이 2, 공비가 -4이므로 an=2_(-4)n-1 ⑹ 첫째항이 1, 공비가 -7이므로 an=1_(-7)n-1=(-7)n-1 4-2  ⑴ 25 ⑵ -9, 9 ⑶ -3, 3 ⑷ -2, 2 ⑴ 5는 x와 1의 등비중항이므로 5€=x_1 ∴ x=25 ⑵ 2x는 9와 36의 등비중항이므로 (2x)€=9_36, x€=81 ∴ x=-9 또는 x=9 ⑶ x는 ;2!;과 18의 등비중항이므로 x€=;2!;_18=9 ∴ x=-3 또는 x=3 ⑷ x는 -5와 -;5$;의 등비중항이므로 9 | 등비수열 1 등비수열 개념 확인 1 ⑴ 8, 2 ⑵ 9, -;3!; n-1 2 ⑴ an=33_{;3!;} 3 ⑴ 2 ⑵ -32 ⑶ -6, 6 ⑵ an=(-125)_{-;5!;} n-1 1 ⑴ 공비가 ;3!2^;=;2!;이므로 32, 16, 8 , 4, 2 , … ⑵ 공비가 1 -3 =-;3!;이므로 -27, 9 , -3, 1, -;3!; , … 2 ⑴ an=33_{;3!;} n-1 ⑵ 첫째항이 -125, 공비가 -;5!;이므로 an=(-125)_{-;5!;} n-1 3 ⑴ 4는 x와 8의 등비중항이므로 4€=x_8 ∴ x=2 ⑵ 8은 -2와 x의 등비중항이므로 8€=-2_x ∴ x=-32 ⑶ x는 -9와 -4의 등비중항이므로 x€=-9_(-4)=36 ∴ x=-6 또는 x=6 STEP 개념 드릴 1 개념 check | 247쪽~248쪽 | 1-1 ⑴ ;5!; ⑵ -6 ⑶ 4, 256 ⑷ -2, 2 ⑸ ;3!;, ;2¡7;, ;24!3; 2-1 ⑴ 3 ⑵ 4 ⑶ -3 3-1 ⑴ 3, 3n-1 ⑵ ;4!;, ;4!; ⑶ -2, -2 ⑷ -2, -2 ⑸ 125, 125 4-1 ⑴ ;4!;, 64 ⑵ 8, 12 스스로 check 080 정답과 해설 1-2  ⑴ 4 ⑵ 2 ⑶ -25, -125 ⑷ 5, -5 ⑸ ;4!;, -;1¡6;, ;6¡4; ⑹ 10, 80 x€=-5_{-;5$;}=4 ∴ x=-2 또는 x=2 ㉠에 r=-2를 대입하면 4a=-6이므로 a=-;2#; 따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 -;2#;, 공비는 -2이다. 03-1  ;1!8(; STEP 필수 유형 2 | 249쪽~255쪽 | ⑵ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 01-1  ⑴ ;1¡6; ⑵ 첫째항: -;2#;, 공비: -2 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1임을 이 용한다. ⑴ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™a¢=16에서 ar_ar‹=a€r›=16 ∴ ar€=4 (∵ ar€=a£>0) a£+a∞=12에서 ar€+ar›=ar€(1+r€)=12 ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ㉡ /㉠ 을 하면 1+r€=3이므로 r€=2 ㉠에 r€=2를 대입하면 2a=4이므로 a=2 ∴ a¶=arfl=2_2‹=16 a™=16에서 ar=16 a¢=4에서 ar‹=4 ㉡ /㉠ 을 하면 r€=;4!;이므로 r=;2!; (∵ r>0) ㉠에 r=;2!; 을 대입하면 ;2!;a=16이므로 a=32 따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 32, 공비는 ;2!;이므로 an=32_{;2!;} n-1 ∴ a¡º=32_{;2!;} =2fi_{;2!;} 10-1 ·= 1 2› =;1¡6; ⑵ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a£=-6에서 ar€=-6 a§=48에서 arfi=48 ㉡ /㉠ 을 하면 r‹=-8이므로 r=-2 ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ 01-2  99 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1임을 이 용한다. 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¢=24에서 ar‹=24 a¶=192에서 arfl=192 ㉡/㉠ 을 하면 r‹=8이므로 r=2 ㉠에 r=2를 대입하면 8a=24이므로 a=3 따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 3, 공비는 2이므로 an=3_2n-1 ∴ a¡+a§=3+3_2fi=3+96=99 02-1  ⑴ 1 ⑵ 16 |해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현한 후 주어진 식 의 값을 구한다. ⑴ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¡+a£=16에서 a+ar€=a(1+r€)=16 a™+a¢=4에서 ar+ar‹=ar(1+r€)=4 ㉡ /㉠ 을 하면 r=;4!; ∴ a£+a∞=ar€+ar›=ar€(1+r€) =ar(1+r€)_r=4_;4!;=1 02-2  an=3n |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한 후 일반항 an을 구한다. 등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 첫째항은 3이므로 a8+aª a£+a¢ = 3r‡+3r8 3r€+3r‹ = 3r‡(1+r) 3r€(1+r) =rfi=243, 즉 r=3 등비수열 {an}의 첫째항은 3, 공비는 3이므로 an=3_3n-1=3n |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한다. 등비수열 ;4#;, a, b, c, ;2¢7;의 공비를 r(r>0)라 하면 첫째항이 ;4#;, 제5항이 ;2¢7;이므로 ;4#;_r›=;2¢7;에서 r›=;8!1^; 따라서 ∴ r=;3@; (∵ r>0) a=;4#;_;3@;=;2!; 2 3 b=;4#;_{;3@;} =;3!; c=;4#;_{;3@;} =;9@; 이므로 a+b+c=;2!;+;3!;+;9@;=;1!8(; 03-2  126 |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한다. 등비수열 3, x¡, x™, …, x∞, 192의 공비를 r (r>0)라 하면 ……㉠ 첫째항이 3, 제7항이 192이므로 3_rfl=192에서 rfl=64 ∴ r=2 (∵ r>0) ……㉡ 따라서 x¡=3_2=6 x£=3_2‹=24 x∞=3_2fi=96 이므로 x¡+x£+x∞=6+24+96=126 9 등비수열 081 | 집합의 연산 04-1  -12 |해결 전략 | 세 실수가 등비수열의 연속한 항일 때, a, ar, ar€으로 놓는다. 05-2  -5 |해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b= a+c 2 이고, 등비 등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, ar€이라 하면 세 실수의 합이 -9이므로 a+ar+ar€=-9 수열을 이루면 b€=ac이다. 2가 a와 b의 등비중항이므로 ∴ a(1+r+r€)=-9 ……㉠ 4=ab 세 실수의 곱이 216이므로 a_ar_ar€=a‹r‹=216 ∴ ar=6 ……㉡ ……㉠ ……㉡ 따라서 세 수는 -12, 6, -3이므로 가장 작은 수는 -12이다. 그런데 a, b는 서로 다른 두 실수이므로 모순이다. ㉠/㉡ 을 하면 a(1+r+r€) ar = 1+r+r€ r =-;2#; 2r€+5r+2=0, (2r+1)(r+2)=0 ∴ r=-;2!; 또는 r=-2 r=-;2!;일 때, a=-12이므로 세 실수는 -12, 6, -3 r=-2일 때, a=-3이므로 세 실수는 -3, 6, -12 04-2  14 |해결 전략 | 삼차방정식의 세 실근을 a, ar, ar€으로 놓는다. 삼차방정식 x‹-7x€+kx-8=0의 세 실근을 a, ar, ar€이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+ar+ar€=7에서 a(1+r+r€)=7 a_ar_ar€=8에서 a‹r‹=8 ∴ ar=2 a_ar+ar_ar€+ar€_a=k에서 a€r(1+r+r€)=k, ar_a(1+r+r€)=k ∴ k=2_7=14 LECTURE 삼차방정식 ax‹+bx€+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면 ➡ a+b+c=-;aB;, ab+bc+ca=;aC;, abc=-;aD; 05-1  3 |해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b= a+c 2 이고, 등비 수열을 이루면 b€=ac이다. a가 12와 b의 등차중항이므로 a= 12+b 2 b가 a와 4의 등비중항이므로 b€=4a ㉡에 ㉠을 대입하면 b€=4_ 12+b 2 b€-2b-24=0, (b+4)(b-6)=0 ∴ b=6 (∵ b>0) ㉠에 b=6을 대입하면 a= 12+6 2 =9 ∴ a-b=9-6=3 082 정답과 해설 b+1이 a와 4의 등차중항이므로 b+1= ∴ a=2b-2 a+4 2 ㉠에 ㉡을 대입하면 4=b(2b-2) b€-b-2=0, (b+1)(b-2)=0 ∴ b=-1 또는 b=2 1 b=-1이면 a=-4 2 b=2이면 a=2 1, 2에서 a=-4, b=-1이므로 a+b=-4+(-1)=-5 06-1  제10항 |해결 전략 | an=arn-1log ;5!; ;100!00; n>4+log∞ 10000 log∞ 10000 log 5 =4+ =4+ 4 1-log 2 =4+ 4 1-0.3010 =4+ 4 0.6990 =4+5.7224… =9.7224… ……㉠ ……㉡ 이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 10이다. 따라서 처음으로 ;100!00;보다 작게 되는 항은 제10항이다. 07-1  4_{;3$;} |해결 전략 | 첫째항부터 차례로 나열하여 규칙을 찾아 일반항을 구한 후 구하고자 fl 스스로 check 하는 항의 숫자를 대입한다. 1-2  ⑴ 2{1- 1 2n } ⑵ -2(2n-1) ⑶ 1-(-3)n 주어진 정삼각형의 한 변의 길이가 1이므로 둘레의 길이는 3이다. ⑷ 1-(-4)n ⑸ 5n-1 [1단계]에서는 세 변마다 길이가 ;3!;인 선분이 4개씩 생기므로 둘레의 길이는 3_;3$;=4 a¡=4 ∴ a¡=4 ⁄ a™=4_{;3$;} ⋮ n-1 an=4_{;3$;} ∴ a¶=4_{;3$;} fl ⑴ Sn= 1_[1-{;2!;} 1-;2!; ⑵ Sn= -2(2n-1) 2-1 n ] =2{1- 1 2n } =-2(2n-1) ⑶ Sn= 4{1-(-3)n} 1-(-3) =1-(-3)n ⑷ Sn= 5{1-(-4)n} 1-(-4) =1-(-4)n ⑸ Sn= 4(5n-1) 5-1 =5n-1 2 등비수열의 합 개념 확인 1 ⑴ 4 {1- 1 28 } ⑵ ;2!;(38-1) 1 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 ⑴ 첫째항이 2, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 ° 2[1-{;2!;} ] S8= =4{1- 1 28 } 1-;2!; ⑵ 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열이므로 S8= 1_(38-1) 3-1 =;2!;(38-1) STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 3 ⑵ 4 ⑶ 3n 2-1 ⑴ 2, 2 ⑵ -2, 3 ⑶ 1, {;3!;} n 256쪽 2-2  ⑴ ;4!;(5˜-1) ⑵ ;3!;{1-(-2)n} ⑶ 16 3 {1- 1 4n } ⑷ ;3$;[1-{-;2!;} ] ⑸ ;4#;{1-(-3)n} n ⑴ 첫째항이 1, 공비가 5인 등비수열이므로 Sn= 1_(5n-1) 5-1 =;4!;(5n-1) ⑵ 첫째항이 1, 공비가 -2인 등비수열이므로 Sn= 1_{1-(-2)n} 1-(-2) ⑶ 첫째항이 4, 공비가 ;4!;인 등비수열이므로 =;3!;{1-(-2)n} Sn= = 16 n ] 4[1-{;4!;} 1-;4!; 1 4n } 3 {1- ⑷ 첫째항이 2, 공비가 -;2!;인 등비수열이므로 Sn= 2[1-{-;2!;} ] 1-{-;2!;} n n | 257쪽 | =;3$;[1-{-;2!;} ] ⑸ 첫째항이 3, 공비가 -3인 등비수열이므로 Sn= 3{1-(-3)n} 1-(-3) =;4#;{1-(-3)n} 9 등비수열 083 STEP 필수 유형 2 01-1  ⑴ ;4!;(2n-1) | 258쪽~261쪽 | 02-1  504 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn은 Sn= 임을 이용한다. a(rn-1) r-1 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합 ⑵ -;2!;{1-(-3)n} 또는 3(2n-1) |해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현하여 a, r의 값을 구한 후 등비수열의 합 Sn을 구한다. ⑴ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 을 Sn이라 하면 S¢= a(r›-1) r-1 =24 a™=;2!;에서 ar=;2!; a§=8에서 arfi=8 ㉡ /㉠ 을 하면 r›=16이므로 r=2 (∵ r>0) ㉠에 r=2를 대입하면 2a=;2!;이므로 a=;4!; 따라서 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn은 ;4!;(2n-1) 2-1 Sn= =;4!;(2n-1) ⑵ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™=6에서 ar=6 a£+a¢=36에서 ar€+ar‹=ar€(1+r)=36 ㉡ /㉠ 을 하면 r(1+r)=6 r€+r-6=0, (r+3)(r-2)=0 ∴ r=-3 또는 r=2 1 r=-3일 때, a=-2이므로 첫째항부터 제n항까지의 합은 -2{1-(-3)n} 1-(-3) =-;2!;{1-(-3)n} 2 r=2일 때, a=3이므로 첫째항부터 제n항까지의 합은 3(2n-1) 2-1 =3(2n-1) 1, 2에서 첫째항부터 제n항까지의 합은 -;2!;{1-(-3)n} 또는 3(2˜-1) ……㉠ ……㉡ S8= a(r°-1) r-1 = a(r›-1)(r›+1) r-1 =120 ㉡/㉠ 을 하면 r›+1=5이므로 r›=4 ∴ S¡™= a(r⁄€-1) r-1 = a(r›-1)(r°+r›+1) r-1 =24(4€+4+1)=504 02-2  744 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn은 Sn= 임을 이용한다. a(rn-1) r-1 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합 ……㉠ ……㉡ 을 Sn이라 하면 S¡º= a(r⁄‚-1) r-1 =24 제11항부터 제20항까지의 합이 120이므로 S™º-S¡º=120, S™º=S¡º+120=144 S™º= a(r€‚-1) r-1 = a(r⁄‚-1)(r⁄‚+1) r-1 =144 ㉡/㉠ 을 하면 r⁄‚+1=6이므로 r⁄‚=5 ∴ S£º= a(r‹‚-1) r-1 = a(r⁄‚-1)(r€‚+r⁄‚+1) r-1 =24(5€+5+1)=744 03-1  an=4_5n |해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1(n>2)임을 이용한다. an =Sn-Sn-1 =(5n+1-5)-(5n-5) =5_5n-5n=4_5n (n>2) a¡=S¡=5€-5=20 이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=4_5n ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ 01-2  126 5 |해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현하여 a, r의 값을 각각 구한 후 첫째항부터 제6항까지의 합을 구한다. 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™+a¢=4에서 ar+ar‹=ar(1+r€)=4 a¢+a§=16에서 ar‹+arfi=ar‹(1+r€)=16 ㉡/㉠ 을 하면 r€=4이므로 r=2 (∵r>0) ㉠에 r=2를 대입하면 10a=4이므로 a=;5@; 따라서 첫째항부터 제6항까지의 합 S§은 S§= ;5@;(2fl-1) 2-1 = 2_2fl-2 5 = 126 5 084 정답과 해설 03-2  -12 |해결 전략 | 첫째항부터 등비수열을 이루려면 an=Sn-Sn-1에 n=1을 대입하 여 얻은 값과 S¡이 일치해야 한다. an =Sn-Sn-1 ……㉠ ……㉡ =(3_2n+2+k)-(3_2n+1+k) =6_2n+1-3_2n+1 =3_2n+1 (n>2) a¡=S¡=3_2‹+k=24+k ……㉠ ……㉡ 수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 n=1을 대입한 것과 ㉡이 같아야 하므로 12=24+k ∴ k=-12 04-1  131만 원 |해결 전략 | 월이율 1 %의 복리로 매월 초에 10만 원씩 적립하였을 때, 1년 후에 받는 금액을 먼저 그림으로 나타내 본다. ㉡/㉠ 을 하면 r‹=3 ∴ a8 a™ = ar‡ ar =rfl=3€=9 월이율 1 %의 복리로 매월 초에 10만 원씩 적립하였을 때, 1년 후에 받는 금액을 그림으로 나타내면 다음과 같다. 1 개월 후 2 개월 후 처음 11 개월 후 12 개월 후 10만 원 10만 원 10만 원 12개월 11개월 10개월 10(1+0.01)12 10(1+0.01)11 10(1+0.01)10 1개월 10만 원 10(1+0.01) 따라서 1년 후에 받는 금액은 10(1+0.01)+10(1+0.01)€+ … +10(1+0.01)⁄€ = 10(1+0.01){(1+0.01)⁄€-1} (1+0.01)-1 = 10_1.01(1.01⁄€-1) 0.01 = 10.1(1.13-1) 0.01 =131.3 따라서 1년 후에 받는 금액은 131만 원이다. STEP 유형 드릴 3 | 263쪽~265쪽 | 1-1  15 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1임을 이 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 용한다. a™=160에서 ar=160 a£=80에서 ar€=80 ㉡/㉠ 을 하면 r=;2!; ㉠에 r=;2!; 을 대입하면 ;2!;a=160이므로 a=320 따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 320, 공비는 ;2!;이므로 n-1 an=320_{;2!;} ∴ a§+a¶=320_{;2!;} fi+320_{;2!;} fl=10+5=15 2-1  ③ |해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현한 후 a¡의 값 을 구한다. 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 ……㉠ a£=9에서 ar€=9 a™:a∞=8:1에서 a™=8a∞ ar=8ar›, r‹=;8!; ∴ r=;2!; ㉠에 r=;2!; 을 대입하면 ;4!;a=9 ∴ a=a¡=36 2-2  ④ |해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현한 후 a¡£의 값 을 구한다. 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¢+a¶=12에서 ar‹+arfl=ar‹(1+r‹)=12 ……㉠ a∞ a™ =3에서 ar› ar =r‹=3 ㉠에 r‹=3을 대입하면 3a(1+3)=12 ∴ a=1 ∴ a¡£=ar⁄€=1_3›=81 3-1  ② |해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한다. 등비수열 2, a, b, c, 162의 공비를 r (r>0)라 하면 첫째항이 2, ……㉠ ……㉡ 제5항이 162이므로 2r›=162에서 r›=81 ∴ r=3 (∵ r>0) 따라서 a=2_3=6 b=2_3€=18 c=2_3‹=54 이므로 a+b+c=6+18+54=78 1-2  9 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1임을 이 용한다. 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¢=45에서 ar‹=45 a¶=135에서 arfl=135 ……㉠ ……㉡ ;8#;_4n+1=96에서 4n+1=256 4n+1=4›, n+1=4 ∴ n=3 3-2  3 |해결 전략 | 첫째항이 ;8#;, 공비가 4인 등차수열의 제(n+2)항이 96임을 이용하여 n의 값을 구한다. 첫째항이 ;8#;, 공비가 4인 등비수열의 제(n+2)항이 96이므로 9 등비수열 085 4-1  8 |해결 전략 | 등비수열을 이루는 세 실수는 a, ar, ar€으로 놓는다. 등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, ar€이라 하면 세 실수의 합이 14이므로 a+ar+ar€=14 ∴ a(1+r+r€)=14 세 실수의 곱이 64이므로 a_ar_ar€=a‹r‹=64 ∴ ar=4 ㉠/㉡ 을 하면 a(1+r+r€) = ar 1+r+r€ r =;2&; 2r€-5r+2=0, (2r-1)(r-2)=0 ∴ r=;2!; 또는 r=2 r=;2!;일 때, a=8이므로 세 실수는 8, 4, 2 r=2일 때, a=2이므로 세 실수는 2, 4, 8 따라서 세 실수는 2, 4, 8이므로 가장 큰 수는 8이다. 등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 일반항 bn은 bn=arn-1 a£=5b£에서 ……㉠ ……㉡ 6_3-3=5ar€ ∴ ar€=3 a∞=b∞에서 6_5-3=ar› ∴ ar›=27 ㉡/㉠ 을 하면 r€=9이므로 r=3 (∵ r>0) ㉠에 r=3을 대입하면 9a=3이므로 a=;3!; 따라서 등비수열 {bn}의 첫째항은 ;3!;, 공비는 3이므로 bn=;3!;_3n-1 ∴ b§=;3!;_3fi=3›=81 ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ ……㉠ ……㉡ 6-1  ① |해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b= a+c 2 이고, 등비 수열을 이루면 b€=ac이다. 3은 a와 b의 등차중항이므로 3= a+b 2 ∴ a+b=6 a+b는 1과 2b의 등비중항이므로 (a+b)€=2b ㉡에 ㉠ 을 대입하면 6€=2b이므로 b=18 ㉠에 b=18을 대입하면 a+18=6이므로 a=-12 ∴ b-a=18-(-12)=30 6-2  9 |해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c이고, 등비 수열을 이루면 b€=ac이다. log a가 log 3과 log b의 등차중항이므로 2 log a=log 3+log b, log a€=log 3b ∴ a€=3b 22a은 2와 29b의 등비중항이므로 (22a)€=2_29b, 24a=29b+1 ∴ 4a=9b+1 ㉡에 ㉠ 을 대입하면 4a=3a€+1, 3a€-4a+1=0 (3a-1)(a-1)=0 ∴ a=;3!; 또는 a=1 그런데 a=1이면 log a=log 1=0이므로 a=;3!; ㉠에 a=;3!; 을 대입하면 b=;2¡7; ∴ ;bA;=9 LECTURE 두 양수 M, N에 대하여 ❶ log M+log N=log MN ❷ log M-log N=log M N 4-2  ;8!; |해결 전략 | 삼차방정식의 세 실근을 a, ar, ar€으로 놓는다. 삼차방정식 x‹-2x€+x-k=0의 세 실근을 a, ar, ar€이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+ar+ar€=2에서 a(1+r+r€)=2 a_ar+ar_ar€+ar€_a =1에서 a€r(1+r+r€)=ar_a(1+r+r€)=1 2ar=1 ∴ ar=;2!; a_ar_ar€=k에서 a‹r‹=k ∴ k=(ar)‹={;2!;} ‹=;8!; LECTURE 삼차방정식 ax‹+bx€+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면 a+b+c=-;aB;, ab+bc+ca=;aC;, abc=-;aD; 5-1  ② |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1이고, 첫 째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항 bn은 bn=a+(n-1)d이다. 첫째항이 2, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=2rn-1 첫째항이 1, 공차가 5인 등차수열의 일반항 bn은 bn=1+(n-1)_5=5n-4 a¢=b¢에서 2r‹=5_4-4 r‹=8 ∴ r=2 5-2  81 |해결 전략 | 등비수열 {bn}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하고 주어진 조건을 이용하 여 a, r의 값을 구한다. 첫째항이 3, 공차가 6인 등차수열의 일반항 an은 an=3+(n-1)_6=6n-3 086 정답과 해설 7-1  제8항 |해결 전략 | 첫째항이 1.5, 공비가 3인 등비수열에서 주어진 조건을 만족시키는 8-2  7 ;;™7¢;;_{;7$;} 주어진 등비수열의 첫째항은 1.5, 공비는 3이므로 일반항 an은 자연수 n의 최솟값을 구한다. an=1.5_3n-1=;2!;_3˜ an=;2!;_3˜>3000에서 log ;2!;+n log 3>log (3_1000) n log 3 >log 3+3+log 2 ∴ n> log 3+3+log 2 log 3 = 0.48+3+0.3 0.48 =7.875 이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 8이다. 따라서 처음으로 3000보다 크게 되는 항은 제8항이다. 7-2  제15항 |해결 전략 | 첫째항이 243, 공비가 r인 등비수열에서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 n의 최솟값을 구한다. 등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 첫째항은 243, 제6항이 1이므로 243rfi=1, rfi=;24!3; ∴ r=;3!; 따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 243, 공비는 ;3!;이므로 an=243_{;3!;} n-1 n-1 an=243_{;3!;} 5 log 3-(n-1) log 3<-(3 log 2+3) <;80¡00;에서 n log 3>5 log 3+log 3+3 log 2+3 |해결 전략 | 첫째항부터 차례로 나열하여 규칙을 찾아 a8을 구한다. 오른쪽 그림에서 삼각형 T¡과 삼각형 ABC는 닮음이므로 (6-a¡):a¡=6:8=3:4에서 24-4a¡=3a¡ ∴ a¡=;;™7¢;; A 6-a¡ T¡ a¡ 6 삼각형 T™와 삼각형 ABC는 닮음이므로 B (a¡-a™):a™=3:4에서 4a¡-4a™=3a™ ∴ a™=;7$;a¡=;7$;_;;™7¢;; T£ a£ T™ a™ 8 C 같은 방법으로 a£={;7$;} 따라서 수열 {an}은 첫째항이 24 7 €_;;™7¢;; an=;;™7¢;;_{;7$;} ∴ a8=;;™7¢;;_{;7$;} n-1 7 , 공비가 ;7$;인 등비수열이므로 9-1  9 |해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현하여 a, r의 값을 각각 구한 후 Sn=1533일 때의 n의 값을 구한다. 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a£=12에서 ar€=12 a§=96에서 arfi=96 ……㉠ ……㉡ ∴ n> 6 log 3+3 log 2+3 log 3 = 2.88+0.9+3 0.48 =14.125 ㉡/㉠ 을 하면 r‹=8이므로 r=2 ㉠에 r=2를 대입하면 4a=12이므로 a=3 이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 15이다. 등비수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합이 1533이므로 따라서 처음으로 ;80¡00;보다 작게 되는 항은 제15항이다. =1533, 2n-1=511 3(2n-1) 2-1 2n=512 ∴ n=9 8-1  1 |해결 전략 | 정사각형 AnBnCnDn과 An+1Bn+1Cn+1Dn+1의 변의 길이의 비를 an 2 Dn+1 Dn an+1 An an 2 An+1 Bn Bn+1 Cn 구한다. 오른쪽 그림의 직각삼각형 AnAn+1Dn+1에서 an+1€={ an 2 } €+{ an 2 } €=;2!;an€ an ∴ an+1= 1 '2 즉, 첫째항은 2'2, 공비는 등비수열이므로 인 1 '2 an=2'2_{ n-1 1 '2 } 4a8=4_2'2_{ ‡=1 1 '2 } 따라서 정사각형 A8B8C8D8의 둘레의 길이는 9-2  ④ |해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현하여 a, r의 값을 Cn+1 구한 후 첫째항부터 제6항까지의 합을 구한다. 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¡+a¢=3에서 a+ar‹=a(1+r‹)=3 a¢+a¶=24에서 ar‹+arfl=ar‹(1+r‹)=24 ㉡/㉠ 을 하면 r‹=8이므로 r=2 ㉠에 r=2를 대입하면 9a=3이므로 a=;3!; 따라서 등비수열 {an}의 첫째항부터 제6항까지의 합은 ;3!;(2fl-1) 2-1 =;3!;_63=21 ……㉠ ……㉡ 9 등비수열 087 10-1  ④ |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 12-1  ③ |해결 전략 | 월이율 0.4 %의 복리로 매월 초에 10만 원씩 적립했을 때, 24개월 후 Sn은 Sn= 임을 이용한다. a(rn-1) r-1 등비수열 {an}의 첫째항을 a라 하면 공비는 3이므로 S¡º=kS∞에서 a(3⁄‚-1) =k_ 3-1 a(3fi-1) 3-1 3⁄‚-1=k(3fi-1), (3fi+1)(3fi-1)=k(3fi-1) ∴ k=3fi+1=243+1=244 10-2  130 |해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn은 Sn= 임을 이용한다. a(rn-1) r-1 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합 을 Sn이라 하면 S∞= a(rfi-1) r-1 =10 등비수열 {an}의 제6항부터 제10항까지의 합이 30이므로 S¡º-S∞=30, S¡º=S∞+30=40 S¡º= a(r⁄‚-1) r-1 = a(rfi-1)(rfi+1) r-1 =40 ㉡/㉠ 을 하면 rfi+1=4이므로 rfi=3 ∴ S¡∞= a(r⁄fi-1) r-1 = a(rfi-1)(r⁄‚+rfi+1) r-1 =10(3€+3+1)=130 11-1  ① |해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an은 구한다. an=Sn-Sn-1 =(2n+1+4)-(2n+4) =2_2n-2n=2n (n>2) a¡=S¡=2€+4=8 이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로 a¡=8, an=2n (n>2) ∴ = =1 a£ a¡ 2‹ 8 ……㉠ ……㉡ 에 받는 금액을 먼저 그림으로 나타내 본다. 월이율 0.4 %의 복리로 매달 초에 10만 원씩 적립하였을 때, 24개월 후에 적립된 금액을 그림으로 나타내면 다음과 같다. 1 개월 후 2 개월 후 처음 23 개월 후 24 개월 후 10만 원 10만 원 10만 원 24개월 23개월 22개월 10(1+0.004)24 10(1+0.004)23 10(1+0.004)22 1개월 10만 원 10(1+0.004) 따라서 24개월 후에 적립된 총액은 10(1+0.004)+10(1+0.004)€+ y +10(1+0.004)€› ……㉠ ……㉡ = = = 10(1+0.004){(1+0.004)€›-1} (1+0.004)-1 10_1.004(1.004€›-1) 0.004 10.04(1.1-1) 0.004 =251(만 원) 12-2  ⑤ |해결 전략 | 월이율 1 %의 복리로 매월 초에 a원씩 적립했을 때, 12개월 후에 받 는 금액을 먼저 그림으로 나타내 본다. 월이율 1 %의 복리로 매월 초에 a원씩 적립하였을 때, 12개월 후에 적립된 금액을 그림으로 나타내면 다음과 같다. 1 개월 후 2 개월 후 처음 11 개월 후 12 개월 후 a원 a원 a원 12개월 11개월 10개월 a(1+0.01)12 a(1+0.01)11 a(1+0.01)10 1개월 a원 a(1+0.01) 11-2  6 |해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한다. 따라서 12개월 후 적립된 총액은 a(1+0.01)+a(1+0.01)€+ y +a(1+0.01)⁄€ an=Sn-Sn-1 =(2_32n+1-k)-(2_32n-1-k) =6_32n-;3@;_32n=;;¡3§;;_32n (n>2) a¡=S¡=2_3‹-k=54-k 것과 ㉡이 같아야 하므로 ;;¡3§;;_3€=54-k ∴ k=6 088 정답과 해설 수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 n=1을 대입한 a(1+0.01){(1+0.01)⁄€-1} (1+0.01)-1 = = = a_1.01(1.01⁄€-1) 0.01 a_1.01_0.13 0.01 =13.13a ……㉠ ……㉡ 이때, 적립된 금액이 100만 원이어야 하므로 13.13a=1000000, a@76000(원) ∴ 76000원 ⑵ 5 Ú k=1 (-1)k_k =-1+2-3+4-5 =(-1)⁄_1+(-1)€_2+(-1)‹_3+(-1)›_4+(-1)fi_5 2-2  ⑴ 5 Úk=1 2 ⑵ 5 Úk=1 5_{;3!;} k-2 ⑴ 2+2+2+2+2= 5 Ú k=1 2 268쪽~269쪽 ⑵ 수열 15, 5, ;3%;, ;9%;, ;2∞7; 는 첫째항이 15, 공비가 ;3!; 인 등비수열이므로 일반항 an은 an=15_{;3!;} =5_ {;3!;} n-1 n-2 4 15+5+;3%;+;9%;+;2∞7;= 5_{;3!;} 5 Ú k=1 k-2 3-2  ⑴ -25 ⑵ 20 ⑴ (ak-2bk)= ak-2 bk=-15-2_5=-25 5 Ú k=1 5 Ú k=1 ⑵ (ak+5bk+2)= ak+5 bk+ 5 Ú k=1 5 Ú k=1 5 Ú k=1 2 =-15+5_5+2_5=20 5 Ú k=1 5 Ú k=1 10 | 수열의 합 1 합의 기호 Ú 개념 확인 1 ⑴ 2k ⑵ 3_2k 14 Úk=1 25 Úk=1 2 ⑴ 1 ⑵ -22 1 ⑴ 수열 2, 4, 6, y, 28은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열이므로 일반항 an은 an=2+(n-1)_2=2n 이때, 2n=28에서 n=14이므로 2+4+6+ y +28= 14 Ú k=1 2k ⑵ 수열 3_2, 3_2€, 3_2‹, y, 3_2€fi은 첫째항이 3_2, 공비가 2인 등비수열이므로 일반항 an은 an=3_2_2n-1=3_2n 이때, 3_2n=3_225에서 n=25이므로 3_2+3_2€+3_2‹+ y +3_225= 3_2k 25 Ú k=1 2 ⑴ 10 Ú k=1 (2ak+3bk)=2 ak+3 10 Ú k=1 10 Ú k=1 bk =2_8+3_(-5)=1 ⑵ (ak-2bk-4)= ak-2 bk- 10 Ú k=1 10 Ú k=1 10 Ú k=1 4 10 Ú k=1 =8-2_(-5)-4_10=-22 필수 유형 | 271쪽~272쪽 | STEP 2 01-1  50 |해결 전략| (a2k-1+a2k)를 Ú를 사용하지 않고 나타내 본다. n Ú k=1 (a2k-1+a2k)=(a¡+a™)+(a£+a¢)+ y +(a2n-1+a2n) = 2n Ú k=1 ak 이때, (a2k-1+a2k)=2n€이므로 ak=2n€ n Ú k=1 2n Ú k=1 4 10 Ú k=1 ak=2_5€=50 | 270쪽 | 01-2  25 kak-1=35에서 |해결 전략| kak-1, kak를 각각 Ú를 사용하지 않고 나타내 본다. 11 Ú k=2 10 Ú k=1 2a¡+3a™+4a£+ y +11a¡º=35 ……㉠ n Ú k=1 11 Ú k=2 10 Ú k=1 kak=10에서 4 10 Ú k=1 ak=25 10 수열의 합 089 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ⑴ 12 ⑵ 8, 3 2-1 ⑴ 1, 3, 3k-2 ⑵ 3, 3, 3k 3-1 ⑴ 2, 2, 44 ⑵ 3, 3, 53 스스로 check ⑴ 10 Ú k=1 2k=2⁄+2€+2‹+ y +210 1-2  ⑴ 2⁄+2€+2‹+ y +210 ⑵ -1+2-3+4-5 ㉠-㉡을 하면 a¡+a™+a£+ y +a10=25 a¡+2a™+3a£+ y +10a¡º=10 ……㉡ |해결 전략| (ak+bk)€=9에서 (ak+bk)€을 전개하여 주어진 조건을 이용 02-1  5 n Ú k=1 한다. n Ú k=1 n Ú k=1 n Ú k=1 (ak+bk)€= (ak€+2akbk+bk€) = (ak€+bk€)+2 akbk n Ú k=1 이때, (ak+bk)€=9, akbk=2이므로 n Ú k=1 9= (ak€+bk€)+2_2 4 n Ú k=1 (ak€+bk€)=5 n Ú k=1 n Ú k=1 LECTURE Ú의 성질 ❶ (ak+bk)= ak+ bk n Ú k=1 n Ú k=1 n Ú k=1 n Ú k=1 ❸ cak=c ak (단, c는 상수) n Ú k=1 ❹ c=cn (단, c는 상수) n Ú k=1 n Ú k=1 n Ú k=1 n Ú k=1 02-2  45 5 Ú k=1 5 Ú k=1 5 Ú k=1 5 Ú k=1 (2ak-3)€= (4ak€-12ak+9) =4 ak€-12 ak+ 5 Ú k=1 5 Ú k=1 9 =4_15-12_5+9_5=45 ❷ (ak-bk)= ak- bk |해결 전략| (2ak-3)€에서 (2ak-3)€을 전개하여 Ú의 성질을 이용한다. 2 ⑴ 10 Ú k=1 1 (2k-1)(2k+1) = 1 2k+1-(2k-1) 10 Ú k=1{ 1 2k-1 - 1 2k+1 } =;2!; [{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+ y +{;1¡9;-;2¡1;}] =;2!; {1-;2¡1;}=;2!1); ⑵ 35 Ú k=1 1 'k+'ßk+1 = 35 Ú k=1 'k-'ßk+1 ('k+'ßk+1 )('k-'ßk+1 ) = 35 Ú k=1 ('ßk+1-'k ) =('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+ y +('ß36-'ß35 ) ='ß36-1=6-1=5 STEP 개념 드릴 1 개념 check | 276쪽~277쪽 | 1-1 ⑴ 3, 27, 63 ⑵ 21, 40, 315 ⑶ 6, 11, 20, 140 ⑷ 39, 2660 2-1 ⑴ 2, 2, 9, 10, 2, 10, ;4!5$; ⑵ 'ß3k-1-'ß3k+2, 'ß3k-1-'ß3k+2, 'ß50, 'ß50, 4 3 '2 스스로 check 8 Ú k=1 6 Ú k=1 1-2  ⑴ 124 ⑵ 199 ⑶ 885 ⑷ 1168 ⑸ 1771 ⑹ 5950 ⑴ (3k+2)=3 k+ 2=3_ +2_8=124 8 Ú k=1 8 Ú k=1 8_9 2 ⑵ (k+2)€= (k€+4k+4)= k€+4 k+ 6 Ú k=1 6 Ú k=1 4 6 Ú k=1 6_7_13 6 6 Ú k=1 6_7 2 = +4_ +4_6=199 2 기호 와 수열의 합 Ú 개념 확인 1 ⑴ 72 ⑵ 1436 1 ⑴ 6 Ú k=1 (4k-2)=4 k- 6 Ú k=1 6 Ú k=1 2 =4_ 6(6+1) 2 -2_6 =84-12=72 ⑵ k€+ k‹= 7 Ú k=1 8 Ú k=1 7(7+1)(2_7+1) 6 +[ 8(8+1) 2 € ] =140+1296=1436 090 정답과 해설 2 ⑴ ⑵ 5 10 21 273쪽~274쪽 k(2k+1)(2k-1)= (4k‹-k)=4 k‹- 5 Ú k=1 5 Ú k=1 5 Ú k=1 k ⑶ 5 Ú k=1 =4_{ 5_6 2 €- } 5_6 2 =885 ⑷ 12 Ú k=1 (2+k€)- (2k-k€) 12 Ú k=1 = (2+k€-2k+k€)= (2k€-2k+2) 12 Ú k=1 12 Ú k=1 12 Ú k=1 =2 k€-2 k+ 12 Ú k=1 12 Ú k=1 2 =2_ 12_13_25 6 -2_ 12_13 2 +2_12=1168 11 Ú k=1 11 Ú k=1 20 Ú k=1 20 Ú k=1 ⑸ 1€+3€+5€+ y +21€ = (2k-1)€= (4k€-4k+1) 11 Ú k=1 =4 k€-4 k+ 11 Ú k=1 11 Ú k=1 1 =4_ 11_12_23 6 -4_ 11_12 2 +1_11=1771 ⑹ 1_3+2_5+3_7+ y +20_41 = k(2k+1)= (2k€+k) 20 Ú k=1 =2 k€+ 20 Ú k=1 k =2_ 20_21_41 6 + 20_21 2 =5950 2-2  ⑴ ;2∞4; ⑵ ;2!6&4%; ⑶ ;4!6%; ⑷ 4 ⑸ 2'2 ⑹ 6 ⑴ 10 Ú k=1 1 2(k+1)(k+2) =;2!; 10 Ú k=1{ 1 k+1 - 1 k+2 } =;2!; [{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+ y +{;1¡1;-;1¡2;}] =;2!; {;2!;-;1¡2;}=;2∞4; ⑵ 1 2€-1 + 1 3€-1 + 1 4€-1 + y + 1 11€-1 = 11 Ú k=2 1 k€-1 = 11 Ú k=2 1 (k-1)(k+1) =;2!; 11 Ú k=2 { 1 k-1 - 1 k+1 } =;2!; [{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;} + y +{;9!;-;1¡1;}+{;1¡0;-;1¡2;}] =;2!; {1+;2!;-;1¡1;-;1¡2;}=;2!6&4%; ⑶ 15 Ú k=1 1 (3k-2)(3k+1) =;3!; 15 Ú k=1 { 1 3k-2 - 1 3k+1 } =;3!; [{1-;4!;}+{;4!;-;7!;}+{;7!;-;1¡0;}+ y +{;4¡3;-;4¡6;}] =;3!; {1-;4¡6;}=;4!6%; 1 ß2k-1+'ß ß2k+1 ⑷ 40 Ú k=1 = 'ß 40 Ú k=1 =-;2!; '2ßk-1-'2ßk+1 ß2k+1)('ß ß2k-1-'ß ß2k+1) ('ß ß2k-1+'ß ('ß2k-1-'ß2k+1 ) 40 Ú k=1 =-;2!;{(1-'3 )+('3-'5 )+('5-'7 )+ y +('ß79-'ß81 )} =-;2!;(1-'ß81 )=4 ⑸ 24 Ú k=1 = 'ß 24 Ú k=1 =;2!; 1 ß2k+2+'ß2k ('ß2k+2-'ß2k ) ß2k+2-'ß2k ) ('ß ß2k+2+'ß2k )('ß ('ß2k+2-'ß2k ) 24 Ú k=1 =;2!; {('4-'2 )+('6-'4 )+('8-'6 )+ y +('ß50-'ß48 )} + 1 '4+'3 + y + 1 'ß49+'ß48 =;2!; ('ß50-'2 )=2'2 + 1 '3+'2 1 ßk+1+'k 'ß ⑹ 1 '2+1 = = = 48 Ú k=1 48 Ú k=1 48 Ú k=1 ('ßk+1-'k ) ßk+1-'k ) ßk+1+'k )('ß ('ß ('ßk+1-'k ) =('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+ y +('ß49-'ß48 ) ='ß49-1=6 STEP 필수 유형 2 | 278쪽~282쪽 | 01-1  ⑴ 240 ⑵ 201 |해결 전략| 자연수의 거듭제곱의 합과 Ú의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다. ⑴ 8 Ú k=1 k(k+1)= (k€+k)= k€+ 8 Ú k=1 8 Ú k=1 k 8 Ú k=1 = 8_9_17 6 + 8_9 2 =204+36=240 ⑵ 10 Ú k=1 k‹-1 15 =;1¡5; { 10 Ú k=1 k‹- 10 Ú k=1 1} =;1¡5; [{ 10_11 2 € -1_10] } = =201 3015 15 01-2  265 |해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계와 Ú의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다. 주어진 이차방정식의 두 근이 ak, bk이므로 근과 계수의 관계에 의하 여 ak+bk=-3, ak bk=-k€ 이때, (ak-bk)€=(ak+bk)€-4ak bk=(-3)€+4k€=4k€+9 이므로 5 Ú k=1 (ak-bk)€= (4k€+9)=4 k€+ 5 Ú k=1 5 Ú k=1 9 5 Ú k=1 =4_ +9_5=265 5_6_11 6 10 수열의 합 091 02-1  975 |해결 전략| Ú 기호가 여러 개 있는 식의 계산에서는 괄호 안부터 차례로 계산한다. 25 Ú m=1{ m Ú l=1 3}= 25 Ú m=1 3m=3 25 Ú m=1 m =3_ 25_26 2 =975 02-2  270 |해결 전략| Ú 기호가 여러 개 있는 식의 계산에서는 괄호 안부터 차례로 계산한다. n Ú j=1 { m Ú i=1 ij}= n Ú j=1 {j m Ú i=1 i}= n Ú j=1 [ j_ m(m+1) 2 ] = m(m+1) 2 n Ú j=1 j= m(m+1) 2 _ n(n+1) 2 = mn(mn+m+n+1) 4 이때, 이차방정식 x€-12x+27=0의 두 근이 m, n이므로 근과 계수의 관계에 의하여 m+n=12, mn=27 ∫ (주어진 식)= 27_(27+12+1) 4 =270 03-1  ④ |해결 전략| 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 을 먼저 구한다. Sn= ak=2n+1-2 n Ú k=1 an=Sn-Sn-1 =(2n+1-2)-(2n-2)=(2-1)_2n=2n (n>2) a¡=S¡=2 이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=2n ……㉠ ……㉡ 4 10 Ú k=1 ak 4k = 10 Ú k=1 {;2!;} k = 10 ;2!; [1-{;2!;} ] 1-;2!; 10 =1-{;2!;} 4 5 Ú k=1 5 Ú k=1 a2k= (24k€-12k+2) =24 k€-12 k+ 5 Ú k=1 5 Ú k=1 5 Ú k=1 2 =24_ -12_ +2_5 5_6_11 6 5_6 2 =1320-180+10=1150 04-1  ⑴ n 4(n+1) ⑵ n€+3n 4(n+1)(n+2) |해결 전략| 주어진 수열의 일반항을 찾아 부분분수로 변형한다. ⑴ 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an= 1 2n(2n+2) = 1 4n(n+1) 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합은 n Ú k=1 ak= n Ú k=1 1 4k(k+1) =;4!; n Ú k=1 { 1 k - 1 k+1 } =;4!; [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+ y +{ 1 n - 1 n+1 }] =;4!; {1- n+1 }= 1 n 4(n+1) ⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an= 1 n(n+1)(n+2) =;2!; [ 1 n(n+1) - 1 (n+1)(n+2) ] 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합은 n Ú k=1 ak= n Ú k=1 ;2!; [ 1 k(k+1) - 1 (k+1)(k+2) ] =;2!; n Ú k=1 [ 1 k(k+1) - 1 (k+1)(k+2) ] =;2!; ”{ 1 1_2 - 1 2_3 }+{ 1 2_3 - 1 3_4 } + y +[ 1 n(n+1) - 1 (n+1)(n+2) ]’ =;2!; [;2!;- 1 (n+1)(n+2) ] = n€+3n 4(n+1)(n+2) 03-2  1150 |해결 전략| 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항 |해결 전략| 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항 을 먼저 구한다. 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=a¡+a™+a£+ y +an=2n‹ =2n‹-2(n-1)‹=6n€-6n+2 (n>2) =(n€+2n)-{(n-1)€+2(n-1)}=2n+1 (n>2) ……㉠ ……㉡ 이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 ……㉠ ……㉡ a¡=S¡=3 an=2n+1 04-2  4 255 을 먼저 구한다. Sn= ak=n€+2n n Ú k=1 an=Sn-Sn-1 an=Sn-Sn-1 a¡=S¡=2 an=6n€-6n+2 092 정답과 해설 유형 드릴 | 283쪽~285쪽 | ∫ 6 Ú k=1 1 ak ak+1 ak+2 = 6 Ú k=1 1 (2k+1)(2k+3)(2k+5) =;4!; 6 Ú k=1[ 1 (2k+1)(2k+3) - 1 (2k+3)(2k+5) ] =;4!; [{ 1 3_5 - 1 5_7 }+{ 1 5_7 - 1 7_9 } + y +{ 1 13_15 - 1 15_17 }] =;4!; { 1 3_5 1 - 15_17 }= 4 255 임을 이용하여 계산한다. STEP 3 1-1  ④ |해결 전략| n Ú k=1 3k= 3(3n-1) 3-1 8 Ú k=1 2(3k+1)=2 3k+ 8 Ú k=1 8 Ú k=1 2 =2_ 3(3°-1) 3-1 +2_8 =3·-3+16 =3·+13 ∴ p=9 05-1  3-'2+'ß15 |해결 전략| 주어진 수열의 일반항을 찾아 분모를 유리화한다. , y의 일반항을 an이라 하면 수열 an= = , 2 '3+'5 , 2 '2+'4 2 1+'3 2 'n+'ßn+2 2('n-'ßn+2 ) ('n+'ßn+2 )('n-'ßn+2 ) ='ßn+2 -'n ∫ ak= 14 Ú k=1 14 Ú k=1 ('ßk+2-'k ) =('3-1)+('4-'2 )+('5-'3 ) + y +('ß15-'ß13 )+('ß16-'ß14 ) =-1-'2+'ß15+'ß16 =3-'2+'ß15 05-2  24 |해결 전략| 주어진 수열의 일반항을 찾아 분모를 유리화한다. 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면 an=1+(n-1)_2=2n-1이므로 1 ßan+1+'ßan 'ß = 1 ß2n+1+'ß 'ß = ß2n-1 'ß2n+1-'ß2n-1 ('ß ß2n-1 )('ß =;2!; ('ß2n+1-'ß2n-1 ) ß2n+1+'ß 4 n Ú k=1 1 ßak+1+'ßak 'ß =;2!; n Ú k=1 ('ß2k+1-'ß2k-1 ) ß2n+1-'ß ß2n-1 ) 1-2  -364 |해결 전략| ark-1= n Ú k=1 a(rn-1) r-1 임을 이용하여 계산한다. 수열 {an}은 첫째항이 2, 공비가 -3인 등비수열이므로 6 Ú k=1 ak= 2{(-3)fl-1} -3-1 =-364 2-1  ① |해결 전략| 수열 {an}은 1, 1, 0이 반복됨을 알아낸다. a¡=1, a™=1, a£=0, a¢=1, a∞=1, a§=0, y 즉, 수열 {an}은 1, 1, 0이 반복되므로 21 Ú n=1 an=7(1+1+0)=14 2-2  ④ |해결 전략| 수열 {an}은 3, 9, 7, 1이 반복됨을 알아낸다. a¡=3, a™=9, a£=7, a¢=1, a∞=3, a§=9, a¶=7, a•=1, y 즉, 수열 {an}은 3, 9, 7, 1이 반복되므로 a4k=1 ∫ a4k= 1=15 15 Ú k=1 15 Ú k=1 3-1  7 |해결 전략| -1의 개수를 a, 0의 개수를 b, 1의 개수를 c라 하고 주어진 Ú를 a, b, c를 이용하여 나타낸 후 식을 연립하여 계산한다. a¡, a™, y, a10 중에서 -1의 개수를 a, 0의 개수를 b, 1의 개수를 =;2!; {('3 -1)+('5 -'3 )+('7 -'5 ) ak€=a+c=7 + y +('ß2n+1-'ß2n-1 )} =;2!; ('ß2n+1-1) 이때, n Ú k=1 1 ßak+1+'ßak 'ß =3이므로 ;2!; ('ß2n+1-1)=3 'ß2n+1=7, 2n+1=49 4 n=24 4 10 Ú k=1 |ak-1|=2|-1-1|+3|0-1|+5|1-1| =4+3=7 ak=-a+c=3 c라 하면 10 Ú k=1 10 Ú k=1 ㉠+㉡을 하면 2c=10 4 c=5 c=5를 ㉡에 대입하면 a=2 이때, a+b+c=10이므로 b=3 ……㉠ ……㉡ 10 수열의 합 093 3-2  ③ |해결 전략| f n(1)을 밑이 3인 거듭제곱으로 나타낸다. f ⁄(1)=f(1)=3 f €(1)=f( f(1))=f(3)=3_3=3€ f ‹(1)=f( f €(1))=f(3€)=3_3€=3‹ ⋮ 따라서 자연수 n에 대하여 f n(1)=3n ∫ 5 Ú n=1 f n(1)=3+3€+3‹+3›+3fi = 3(3fi-1) 3-1 =363 4-1  44 |해결 전략| (ak+bk)= ak+ bk를 이용한다. n Ú k=1 n Ú k=1 n Ú k=1 7 Ú k=1 (2ak+2bk)€= (4ak€+8ak bk+4bk€) = 4ak€+ 8ak bk+ 4bk€ 7 Ú k=1 7 Ú k=1 bk€ 7 Ú k=1 7 Ú k=1 7 Ú k=1 =4 ak€+8 ak bk+4 =4 { 7 Ú k=1 ak€+ bk€}+8 7 Ú k=1 ak bk =4 (ak€+bk€)+8 ak bk 7 Ú k=1 =4_5+8_3=44 7 Ú k=1 7 Ú k=1 7 Ú k=1 7 Ú k=1 4-2  0 |해결 전략| (ak+bk)= ak+ bk를 이용한다. n Ú k=1 {3(3ak-bk)+(ak+3bk)}= 10ak이므로 10ak=3 (3ak-bk)+ (ak+3bk) 15 Ú k=1 ak=3_8+(-4)=20 4 10 ak=20 15 Ú k=1 n Ú k=1 15 Ú k=1 {(3ak-bk)-3(ak+3bk)}= (-10bk)이므로 (-10bk)= (3ak-bk)-3 (ak+3bk) 15 Ú k=1 -10 bk=8-3_(-4)=20 4 10 bk=-20 15 Ú k=1 n Ú k=1 15 Ú k=1 15 Ú k=1 15 Ú k=1 10 15 Ú k=1 15 Ú k=1 15 Ú k=1 15 Ú k=1 15 Ú k=1 15 Ú k=1 4 15 Ú k=1 |해결 전략| m의 값에 따른 i2k의 값의 규칙을 알아본다. m Ú n=1 5-2  ③ m Ú k=1 i 2k=-1에서 m=1일 때, i 2k=i €=-1 m=2일 때, i 2k=i 2+i 4=0 m=3일 때, i 2k=i 2+i 4+i 6=-1 m=4일 때, i 2k=i 2+i 4+i 6+i 8=0 1 Ú k=1 2 Ú k=1 3 Ú k=1 4 Ú k=1 따라서 m이 홀수일 때, i 2k=-1이므로 20 이하의 자연수 m의 1+3+5+ y +19= (2k-1)=2_ -10=100 10_11 2 ⋮ 값의 합은 6-1  ③ m Ú k=1 10 Ú k=1 |해결 전략| k= 9 Ú k=1 9_10 2 , 9 Ú k=1 k€= 9_10_19 6 를 이용한다. 1_2+2_3+3_4+ y +9_10 = 9 Ú k=1 k(k+1)= (k€+k)= k€+ 9 Ú k=1 9 Ú k=1 k 9 Ú k=1 = 9_10_19 6 + 9_10 2 =285+45=330 6-2  ② |해결 전략| k= n Ú k=1 n(n+1) 2 , n Ú k=1 k€= n(n+1)(2n+1) 6 을 이용한다. n Ú k=1 k(3k-1)= (3k€-k)=3 k€- n Ú k=1 n Ú k=1 k n Ú k=1 =3_ n(n+1)(2n+1) 6 - n(n+1) 2 = {(2n+1)-1}=n€(n+1) n(n+1) 2 즉, n€(n+1)=1100이므로 n=10 |해결 전략| ☐의 꼴 ⇨ k를 제외한 ☐ 안의 문자는 상수로 생각하여 계산한다. 7-1  100 n Ú k=1 l Ú k=1 5=5l이므로 (10ak+10bk)=10 ak+10 bk=20+(-20)=0 15 Ú k=1 15 Ú k=1 m Ú l=1 { l Ú k=1 5}= m Ú l=1 5l=5 l=5_ m Ú l=1 m(m+1) 2 =;2%; m(m+1) |해결 전략| an= (a2n-1+a2n)과 자연수의 제곱의 합 공식을 이용한다. 10 Ú k=1 5 Ú k=1 ak= (a2k-1+a2k)= 3k€=3_ 5 Ú k=1 5_6_11 6 =165 5-1  ② 10 Ú n=1 5 Ú n=1 a2n-1+a2n=3n€이므로 094 정답과 해설 ∫ 4 Ú m=1[ m Ú l=1 { l Ú k=1 5}]= 4 m=1[;2%; m(m+1)] Ú =;2%; { 4 Ú m=1 m€+ 4 Ú m=1 m} =;2%; { 4_5_9 6 + 4_5 2 } =;2%; (30+10)=100 |해결 전략| ☐의 꼴 ⇨ k를 제외한 ☐ 안의 문자는 상수로 생각하여 계산한다. |해결 전략| n Ú k=1 1 k(k+a) =;a!; n Ú k=1 1 {;k!;- k+a }임을 이용한다. 9-1  ① 7-2  24 n Ú k=1 4 Ú m=1 l=4l이므로 n Ú k=1 1 k(k+1) = n Ú k=1 {;k!;- 1 k+1 } ={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{ 1 1 n - n+1 } f(k)= k Ú l=1{ 4 Ú m=1 l}= k Ú l=1 4l=4 k Ú l=1 l =4_ k(k+1) 2 =2k(k+1) f(6)=2_6_7=84, f(5)=2_5_6=60이므로 f(6)-f(5)=84-60=24 8-1  95 |해결 전략| ak가 주어지면 a¡= ak, an= ak- ak (n>2)임을 1 Ú k=1 n Ú k=1 n-1 Ú k=1 n Ú k=1 이용하여 일반항을 구한다. 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 =1- 1 n+1 = n n+1 즉, n n+1 =;5$0(;이므로 n=49 8-2  -438 |해결 전략| ak가 주어지면 a¡= ak, an= ak- ak (n>2)임을 1 Ú k=1 n Ú k=1 n-1 Ú k=1 n Ú k=1 이용하여 일반항을 구한다. 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn= ak=n€ n Ú k=1 an=Sn-Sn-1 a¡=S¡=1€=1 =n€-(n-1)€=2n-1 (n>2) 이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=2n-1 5 Ú k=1 ∫ kak= k(2k-1)= (2k€-k) 5 Ú k=1 5 Ú k=1 5 Ú k=1 =2 k€- 5 Ú k=1 k =2_ 5_6_11 6 - 5_6 2 =110-15=95 Sn= ak= 이므로 n Ú k=1 1 n+1 an=Sn-Sn-1 = 1 n+1 - = 1 n n-(n+1) n(n+1) =- 1 n(n+1) (n>2) 4 10 Ú k=2 1 ak =- k(k+1) =-[ k(k+1)]+2 =- k€- k+2 10 Ú k=1 10 Ú k=2 10 Ú k=1 10 Ú k=1 =- 10_11_21 6 - 10_11 2 +2 =-385-55+2=-438 9-2  ④ |해결 전략| n Ú k=1 1 k(k+a) =;a!; n Ú k=1 1 {;k!;- k+a }임을 이용한다. 1+ 1 1+2 + 1 1+2+3 + y + 1 1+2+3+ y +10 yy㉠ yy㉡ = = 10 Ú k=1 10 Ú k=1 1 1+2+ y +k 1 k(k+1) 2 = 10 Ú k=1 2 k(k+1) =2 10 Ú k=1 {;k!;- 1 k+1 } =2 {1-;1¡1;}=;1@1); =2 [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{;1¡0;-;1¡1;}] 10-1  -2 |해결 전략| 분모에 무리식이 포함되어 있으면 분모를 유리화한 후 계산한다. = 1 ß2k+2 'ß2k+'ß =-;2!; ('ß2k-'ß2k+2 ) 'ß2k -'ß2k+2 ('2åk +'2ßkß+å2 )('2åk-'2ßkß+å2 ) ∫ 31 Ú k=1 1 ß2k+2 'ß2k+'ß =-;2!; ('ß2k-'ß2k+2 ) 31 Ú k=1 =-;2!; {('2-'4 )+('4 -'6 ) + y +('ß62 -'ß64 )} =-;2!; ('2 -'ß64 ) =-;2!; ('2-8) =4- '2 2 따라서 a=4, b=-;2!;이므로 ab=4_{-;2!;}=-2 10 수열의 합 095 10-2  3 |해결 전략| 수열의 합을 Ú를 쓰지 않은 합의 꼴로 나타낸 후 계산한다. 이차방정식 x€-('k -'ßk+1 )x-"ƒk€+k=0의 두 실근이 ak, bk 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 ak+bk='k -'ßk+1, ak bk=-"ƒk€+k=-"ƒk(k+1) (ak-bk)€=(ak+bk)€-4ak bk =('k -'ßk+1 )€+4"ƒk(k+1) =('k +'ßk+1 )€ |ak-bk|='k+'ßk+1이므로 1 |ak-bk| = 1 'k+'ßk+1 = 'k-'kß+å1 ('k+'ßk+1 )('k-'ßkß+å1 ) =-('k -'ßkß+å1 ) ∫ 15 Ú k=1 1 |ak-bk| =- 15 Ú k=1 ('k -'ßk+1 ) =-{(1-'2 )+('2 -'3 ) + y +('ß15-'ß16 )} =-(1-'ß16 ) =-(1-4) =3 LECTURE 이차방정식의 근과 계수의 관계 이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면 ➡ a+b=-;aB;, ab=;aC; 11-1  8_310+3 |해결 전략| 주어진 수열의 합 S에 대하여 S-rS를 계산한다. S=1_3+3_9+5_27+ y +17_3· =1_3+3_3€+5_3‹+ y +17_3· 이라 하면 S=1_3+3_3€+5_3‹+ y +17_3· -) 3S= 1_3€+3_3‹+ y +15_3·+17_310 -2S=1_3+2_3€+2_3‹+ y +2_3·-17_310 =2(3+3€+3‹+ y +3·)-3-17_310 -3-17_310 =2_ 3(3·-1) 3-1 =310-3-3-17_310 =-16_310-6 4 S=8_310+3 S=2_;2!;+3_{;2!;} €+4_{;2!;} ‹+ y +10_{;2!;} ‹ € + y +10_{ +4_{;2!;} S=2_;2!;+3_{;2!;} ·이라 하면 1 · 2 } 9 -);2!; S= ‹ € + y + 9_{;2!;} +3_{;2!;} 2_{;2!;} +10_{ 1 ⁄‚ 2 } · ‹ € + y +{;2!;} ;2!; S=1+{;2!;} -10_{ +{;2!;} ⁄‚ 1 2 } ° ;4!; [1-{;2!;} ] =1+ -10_{ ⁄‚ 1 2 } 1-;2!; 9 =1+;2!;-{;2!;} -5_{ 1 · 2 } · =;2#;-6_{;2!;} 4 S=3-6_{;2!;} ° 12-1  ④ |해결 전략| 규칙성을 갖는 군으로 나누어 묶은 후 각 군의 항의 개수를 찾는다. 주어진 수열을 군수열로 나타내면 ⑴, (1, 3), (1, 3, 5), (1, 3, 5, 7), (1, 3, 5, 7, 9), y 제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제n군까지의 항의 개수는 =78이므로 제84항은 제13군의 6번째 항이다. 이때, 각 군은 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로 제13군의 6번 n Ú k=1 k= n(n+1) 2 n=12일 때, 12_13 2 째 항은 1+(6-1)_2=11 따라서 제84항은 11이다. 12-2  137 |해결 전략| 주어진 수열을 같은 수끼리 묶은 후 각 군의 규칙성을 찾는다. 주어진 수열을 같은 수끼리 묶으면 (1), {;2!;, ;2!;}, {;3!;, ;3!;, ;3!;}, {;4!;, ;4!;, ;4!;, ;4!;}, y 이므로 제n군의 수는 ;n!; 이고, 항의 개수는 n이다. 즉, ;n!;=;1¡7;에서 n=17이므로 ;1¡7; 은 제17군의 수이다. 또, 제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제16군까지의 항의 개수는 16 Ú k=1 k= 16_17 2 =136 11-2  3-6_{;2!;} |해결 전략| 주어진 수열의 합 S에 대하여 S-rS를 계산한다. ° 따라서 ;1¡7; 이 처음으로 나오는 항은 제137항이므로 k=137 096 정답과 해설 개념 확인 288쪽~290쪽 +)an=an-1+8_(n-1)+1 an=a¡+8{1+2+3+ y +(n-1)}+1_(n-1) =a¡+8 k+n-1 n-1 Ú k=1 =5+8_ (n-1)n 2 +n-1 ⑵ an+1= an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 11 | 수학적 귀납법 1 수열의 귀납적 정의 1 ⑴ 23 ⑵ 21 ⑶ 17 ⑷ 120 2 ⑴ a¡=2, an+1=an+5 (n=1, 2, 3, y) ⑵ a¡=1, an+1=an-3 (n=1, 2, 3, y) 3 ⑴ a¡=2, an+1=2an (n=1, 2, 3, y) ⑵ a¡=3, an+1=-;3!; an (n=1, 2, 3, y) 4 ⑴ an=4n€-3n+4 ⑵ an= 2n-1 n 1 ⑴ an+1=an+5의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 a™=a¡+5=3+5=8 ⑵ an+1=an+2n의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 a£=a™+5=8+5=13 a¢=a£+5=13+5=18 a∞=a¢+5=18+5=23 a™=a¡+2_1=1+2=3 a£=a™+2_2=3+4=7 a¢=a£+2_3=7+6=13 a∞=a¢+2_4=13+8=21 a™=2a¡-1=4-1=3 a£=2a™-1=6-1=5 a¢=2a£-1=10-1=9 a∞=2a¢-1=18-1=17 a™=a¡=5 a£=2a™=2_5=10 a¢=3a£=3_10=30 a∞=4a¢=4_30=120 ⑶ an+1=2an-1의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 ⑷ an+1=nan의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 2 ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공차가 5인 등차수열이므로 a¡=2, an+1=an+5 (n=1, 2, 3, y) ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 1, 공차가 -3인 등차수열이므로 a¡=1, an+1=an-3 (n=1, 2, 3, y) 3 ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열이므로 a¡=2, an+1=2an (n=1, 2, 3, y) ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 3, 공비가 -;3!;인 등비수열이므로 a¡=3, an+1=-;3!; an (n=1, 2, 3, y) 4 ⑴ an+1=an+8n+1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하 여 변끼리 더하면 a™=a¡+8_1+1 a£=a™+8_2+1 a¢=a£+8_3+1 ⋮ =4n€-3n+4 2n n+1 변끼리 곱하면 a™= a£= 2_1 2 a¡ 2_2 3 a™ a¢= 2_3 4 a£ ⋮ 2n-1 n =a¡_ = 2n-1 n 2(n-1) n an-1 _)an= an=a¡_2n-1 {;2!;_;3@;_;4#;_ y _ n-1 n } STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 6, 5, 13 3 2-1 ⑴ 2, -5 ⑵ 1, 2 , 8, 6, 5, 13 3 3-1 ⑴ -1, 3 ⑵ 3, ;3!; n€-n+4 4-1 ;2!;, ;2!;, ;2!;, 4 5-1 1, 2, 3, n-1, 1, 2, 3, n-1, n, n+1 | 291쪽~292쪽 | 11 수학적 귀납법 097 ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -2, 공차가 -1인 등차수열이므로 an=a¡+(3⁄+3€+3‹+ y +3n-1) ⑵ an+1-an=n€-n에서 an+1=an+n€-n an+1=an+n€-n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 a™=a¡+1€-1 a£=a™+2€-2 a¢=a£+3€-3 ⋮ +)an=an-1+(n-1)€-(n-1) an=a¡+{1€+2€+3€+ y +(n-1)€} -{1+2+3+ y +(n-1)} =a¡+ k€- n-1 Ú k=1 n-1 Ú k=1 k =;3!;+ (n-1)n(2n-1) 6 - (n-1)n 2 = n‹-3n€+2n+1 3 ⑶ an+1-an=3n에서 an+1=an+3n an+1=an+3n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼 리 더하면 a™=a¡+3⁄ a£=a™+3€ a¢=a£+3‹ ⋮ +)an=an-1+3n-1 =a¡+ n-1 Ú k=1 3k =4+ 3(3n-1-1) 3-1 = 3n+5 2 ⑷ an+1-an=2n-1에서 an+1=an+2n-1 an+1=an+2n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 끼리 더하면 a™=a¡+2⁄-1 a£=a™+2€-1 a¢=a£+2‹-1 ⋮ +)an=an-1+2n-1-1 =a¡+ 2k-(n-1) n-1 Ú k=1 =3+ 2(2n-1-1) 2-1 -(n-1) =2n-n+2 an=a¡+(2⁄+2€+2‹+ y +2n-1)+(-1)_(n-1) 스스로 check 1-2  ⑴ 3, ;4#;, ;7#;, ;1£0; ⑵ 2, 3, 4, 5 ⑴ an+1= 의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면 an an+1 a™= a1 a¡+1 = 3 3+1 =;4#; a£= a2 a™+1 = a¢= a£ a£+1 = ;4#; ;4#;+1 ;7#; ;7#;+1 =;7#; =;1£0; 3, ;4#;, ;7#;, ;1£0; 이므로 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면 ⑵ an+2=2an+1-an의 n에 1, 2를 차례로 대입하면 a£=2a™-a¡=2_3-2=4 a¢=2a£-a™=2_4-3=5 이므로 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면 2, 3, 4, 5 2-2  ⑴ an=3n+2 ⑵ an=-n-1 ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 5, 공차가 3인 등차수열이므로 an=5+(n-1)_3=3n+2 an=-2+(n-1)_(-1)=-n-1 3-2  ⑴ an=2_{;5!;} n-1 ⑵ an=(-2)˜ ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공비가 ;5!; 인 등비수열이므로 n-1 an=2_{;5!;} ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -2, 공비가 -2인 등비수열이므로 an=(-2)_(-2)n-1=(-2)˜ 4-2  ⑴ an=2n€-2n+1 ⑵ an= 3n+5 2 ⑶ an= ⑷ an=2n-n+2 n‹-3n€+2n+1 3 ⑴ an+1-an=4n에서 an+1=an+4n an+1=an+4n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼 리 더하면 a™=a¡+4_1 a£=a™+4_2 a¢=a£+4_3 ⋮ 098 정답과 해설 +)an=an-1+4_(n-1) an=a¡+4{1+2+3+ y +(n-1)} =a¡+4 k=1+4_ =2n€-2n+1 n-1 Ú k=1 (n-1)n 2 5-2  ⑴ an= 6 (n+1)(n+2) ⑵ an= ⑶ an=n ⑷ an=2 6 n+1 (n-1)n 2 ⑴ an+1 an = n+1 n+3 에서 an+1= n+1 n+3 an ⑷ an+1 an =2n에서 an+1=2nan an+1= an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변 an+1=2nan의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 an=a¡_{;4@;_;5#;_;6$;_ y _ n n+2 } =a¡_ 2_3 (n+1)(n+2) = 6 (n+1)(n+2) ⑵ an+1 an =1- 에서 an+1= 1 n+2 n+1 n+2 an an+1= an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 _)an= n n+1 an-1 an=a¡_{;3@;_;4#;_;5$;_ y _ n n+1 } =a¡_ 2 n+1 = 6 n+1 ⑶ an+1 an 1 n =1+ 에서 an+1= n+1 n an an+1= an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 n+1 n+3 끼리 곱하면 a™=;4@; a¡ a£=;5#; a™ a¢=;6$; a£ ⋮ _)an= n n+2 an-1 n+1 n+2 변끼리 곱하면 a™=;3@; a¡ a£=;4#; a™ a¢=;5$; a£ ⋮ n+1 n 변끼리 곱하면 a™=;1@; a¡ a£=;2#; a™ a¢=;3$; a£ ⋮ _)an= n n-1 an-1 an=a¡_{;1@;_;2#;_;3$;_ y _ n n-1 } =a¡_n=n a™=2⁄a¡ a£=2€a™ a¢=2‹a£ ⋮ _)an=2n-1an-1 an=a¡_(2⁄_2€_2‹_ y _2n-1) =a¡_21+2+3+ y +(n-1) (n-1)n 2 =2 STEP 필수 유형 2 | 293쪽~298쪽 | 01-1  ⑴ -25 ⑵ 55 |해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 a15를 구한다. ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 3, 공차가 -2인 등차수열이므로 an=3+(n-1)_(-2)=-2n+5 4 a15=-2_15+5=-25 ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -1, 공차가 4인 등차수열이므로 an=-1+(n-1)_4=4n-5 4 a15=4_15-5=55 01-2  13 |해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 조건을 만 족시키는 k의 값을 구한다. an+2-2an+1+an=0이므로 수열 {an}은 등차수열이다. 수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면 ……㉠ ……㉡ a£=4에서 a+2d=4 a∞=9에서 a+4d=9 ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-1, d=;2%; 4 an=-1+(n-1)_;2%;=;2%; n-;2&; 이때, ak=29이므로 ak=;2%; k-;2&;=29 4 k=13 02-1  ⑴ 2_319 ⑵ 3_519 |해결 전략| 주어진 수열이 등비수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 a20을 구한다. ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열이므로 an=2_3n-1 4 a20=2_319 ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -3, 공비가 -5인 등비수열이므로 an=-3_(-5)n-1 4 a20=-3_(-5)19=3_519 11 수학적 귀납법 099 02-2  1023 |해결 전략| 주어진 수열이 등비수열이므로 등비수열의 합 공식을 이용한다. 04-1  5 |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 22를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다. 주어진 수열은 첫째항이 3, 공비가 4인 등비수열이므로 5 Ú k =1 ak= 3(4fi-1) 4-1 =4fi-1=210-1=1023 an+1= an의 n에 1, 2, 3, y, 22를 차례로 대입하여 변끼리 곱 03-1  526 |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 더한다. an+1=an+2n€-n의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 더하면 a™=a¡+2_1€-1 a£=a™+2_2€-2 a¢=a£+2_3€-3 ⋮ +)a10=a9+2_9€-9 =a¡+2 k€- 9 Ú k=1 9 Ú k=1 k a¡º=a¡+2(1€+2€+3€+ y +9€)-(1+2+3+ y +9) a23=a¡_{;1#;_;3%;_;5&;_ y _;4$3%;} =;9!;_45=5 =1+2_ 9_10_19 6 - 9_10 2 =526 LECTURE 자연수의 거듭제곱의 합 ❶ 1+2+3+ y +n= n Ú k=1 k= n(n+1) 2 ❷ 1€+2€+3€+ y +n€= n Ú k=1 k€= n(n+1)(2n+1) 6 04-2  'ß10 180 |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 79를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다. 'ßn+2 an+1='n an에서 an+1= 'n 'ån+2 an+1= 'n 'ån+2 an 곱하면 an의 n에 1, 2, 3, y, 79를 차례로 대입하여 변끼리 2n+1 2n-1 하면 a™=;1#; a¡ a£=;3%; a™ a¢=;5&; a£ ⋮ _)a23= 45 43 a22 03-2  10 |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하 고, ak=127임을 이용하여 식을 세운다. an+1=an+3n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼 리 더하면 a™=a¡+3_1-1 a£=a™+3_2-1 a¢=a£+3_3-1 ⋮ +)an=an-1+3(n-1)-1 an=a¡+3{1+2+3+ y +(n-1)}+(-1)_(n-1) =a1+3 k+(-1)_(n-1) n-1 Ú k=1 =1+3_ -(n-1)= (n-1)n 2 3n€-5n+4 2 ak=127이므로 3k€-5k+4 =127 2 3k€-5k-250=0, (3k+25)(k-10)=0 4 k=-;;™3∞;; 또는 k=10 이때, k는 자연수이므로 k=10 100 정답과 해설 a¡ a™ a£ a™= '1 '3 a£= '2 '4 a¢= '3 '5 ⋮ a79 _)a80= 'ß79 'ß81 a80=a¡_{ '1 '3 = '1_'2 'ß80 _'ß81 _ y _ 'ß79 'ß81 } _ '2 '4 = '2 36'5 _ '3 '5 = 'ß10 180 05-1  5° 2· 대한 식으로 변형한다. 3Sn=2an+1 3Sn-1=2an (n>2) |해결 전략| a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에 ……㉠ ……㉡ ㉠-㉡ 을 하면 3an=2(an+1-an) 4 an+1=;2%;an (n>2) 이때, a1=S1=;3!; 이므로 3S¡=2a™에서 a™=;2!; 따라서 수열 {an}의 일반항 an은 a¡=;3!;, an=;2!;_{;2%;} n-2 (n>2) 4 a10=;2!;_{;2%;} 8 = 5° 2· 05-2  3·+1 2 대한 식으로 변형한다. Sn+1=3Sn-1 Sn=3Sn-1-1 (n>2) 2 수학적 귀납법 개념 확인 1 풀이 참조 1 1 n=1일 때, (좌변)=1, (우변)= 1_(1+1) 2 =1 이므로 주어진 등식이 성립한다. 299쪽 |해결 전략| a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에 2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 ㉠-㉡ 을 하면 an+1=3an (n>2) 이때, a1=S1=1이므로 S2=3S1-1=3-1=2이고, S2=a1+a2=2이므로 a2=1 따라서 수열 {an}의 일반항 an은 a1=1, an=3n-2 (n>2) ∫ S10=a¡+ ak=1+ 10 Ú k=2 3·-1 3-1 = 3·+1 2 ……㉠ ……㉡ 1+2+3+ … +k= k(k+1) 2 위 식의 양변에 k+1을 더하면 1+2+3+ … +k+(k+1)= +(k+1) k(k+1) 2 = k€+3k+2 2 = (k+1)(k+2) 2 따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다. 1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다. 06-1  255 |해결 전략| 주어진 조건을 이용하여 a¡을 구하고 an과 an+1 사이의 관계식을 구 1시간이 지날 때마다 전 시간의 2배보다 1마리 많게 번식하므로 한다. a¡=15_2+1=31 (n+1)시간 후 박테리아 수 an+1은 an의 2배보다 1마리 많으므로 an+1=2an+1 (n=1, 2, 3, y) an+1=2an+1의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면 a™=2a¡+1=2_31+1=63 a£=2a™+1=2_63+1=127 ∫ a¢=2a£+1=2_127+1=255 STEP 개념 드릴 1 개념 check 1-1 ;2!;, ;2!;, k+1 k+2 , k+1 2-1 1, 1, 3k-2, (k+1)(3k+2) 2 스스로 check 1-2  풀이 참조 1 n=1일 때, | 300쪽 | 06-2  8 |해결 전략| (n+2)번째 계단을 오르는 방법은 n번째 계단에서 두 계단을 올라 가는 방법과 (n+1)번째 계단에서 한 계단을 올라가는 방법이 있음을 이용한다. 첫 번째 계단을 오르는 방법은 1가지이고, 두 번째 계단을 오르는 방 법은 2가지이므로 a¡=1, a™=2 오른쪽 그림과 같이 (n+2)번째 계단을 오 르는 방법은 n번째 계단에서 두 계단을 올라 가는 방법과 (n+1)번째 계단에서 한 계단 an+2 (n+2) 번째 계단 an+1 (n+1) 번째 계단 an n번째 계단 an+2=an+1+an의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면 을 올라가는 방법이 있다. 4 an+2=an+1+an a£=a™+a¡=2+1=3 a¢=a£+a™=3+2=5 ∫ a∞=a¢+a£=5+3=8 (좌변)=;3!;, (우변)= 1 2_1+1 =;3!; 이므로 주어진 등식이 성립한다. 2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1 1_3 + 1 3_5 + 1 5_7 + y + 1 (2k-1)(2k+1) = k 2k+1 위 식의 양변에 1 (2k+1)(2k+3) 을 더하면 1 1_3 + 1 3_5 + 1 5_7 + y + 1 (2k-1)(2k+1) + 1 (2k+1)(2k+3) = k 2k+1 + 1 (2k+1)(2k+3) = (2k+1)(k+1) (2k+1)(2k+3) = k+1 2k+3 따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다. 1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다. 11 수학적 귀납법 101 2-2  풀이 참조 1 n=1일 때, (좌변)=2, (우변)=;3!;_1_2_3=2 이므로 주어진 등식이 성립한다. 2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 STEP 유형 드릴 3 1-1  199 |해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 a100을 구한다. | 303쪽~305쪽 | 주어진 수열은 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로 an=1+(n-1)_2=2n-1 4 a100=199 1_2+2_3+3_4+ y +k(k+1)=;3!; k(k+1)(k+2) 위 식의 양변에 (k+1)(k+2)를 더하면 1-2  -92 |해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한다. 1_2+2_3+3_4+ y +k(k+1)+(k+1)(k+2) 주어진 수열은 첫째항이 -22, 공차가 3인 등차수열이므로 =;3!; k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) an=-22+(n-1)_3=3n-25>0 ∫ n>;;™3∞;;=8.3 y =;3!;(k+1)(k+2)(k+3) 따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다. 1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다. 따라서 ak의 최솟값은 n Ú k=1 8 Ú k=1 ak= 8(-44+7_3) 2 =-92 STEP 필수 유형 2 01-1  풀이 참조 |해결 전략| n=1일 때 명제 p(n)이 성립함을 보인 후 n=k일 때 명제 p(n)이 | 301쪽~302쪽 | 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 명제 p(n)이 성립함을 보인다. a£=2에서 a_2€=2이므로 a=;2!; 4 a10=;2!;_2·=2°=256 2-1  256 |해결 전략| 주어진 수열이 등비수열임을 이용하여 일반항을 구한다. 주어진 수열은 공비가 2인 등비수열이므로 첫째항을 a라 하면 2-2  192 |해결 전략| 수열 {an}은 등차수열이고, 수열 {bn}은 등비수열임을 이용한다. 수열 {an}은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열이므로 an=2+(n-1)_2=2n 수열 {bn}은 첫째항이 3인 등비수열이므로 공비를 r라 하면 bn=3r n-1 이때, a12=24, b9=3r °이므로 24=3r ° 4 b17=3r 16=3(r °)2=3_8€=192 4 r °=8 3-1  ;1!0(0(; 변끼리 더하면 1 1_2 1 2_3 a™=a¡+ a£=a™+ ⋮ +)a100=a99+ 1 99_100 a100=a¡+{ 1 1_2 + 1 2_3 + y + 1 99_100 } =1+{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{;9¡9;- 1 100 } =1+{1- 1 100 }= 199 100 1 n=1일 때, (좌변)=1, (우변)=2⁄-1=1 이므로 주어진 등식이 성립한다. 2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1+2+2€+ y +2k-1=2k-1 위 식의 양변에 2k을 더하면 1+2+2€+ y +2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1 따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다. 1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다. 1 n=4일 때, (좌변)=2›=16, (우변)=4€=16 이므로 주어진 부등식이 성립한다. 2 n=k (k>4)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 2k>k€이므로 2k_2>k€_2=2k€ 이때, k>4인 모든 자연수 k에 대하여 2k€-(k+1)€=(k-1)€-2>0 이므로 2k+1>2k€>(k+1)€ 따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다. 1, 2에서 n>4인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식이 성립한 다. 102 정답과 해설 02-1  풀이 참조 |해결 전략| n=4일 때 명제 p(n)이 성립함을 보인 후 n=k(k>4)일 때 명제 p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 명제 p(n)이 성립함을 보인다. |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하여 변끼리 더한다. an+1=an+ 의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하여 1 n(n+1) 3-2  50 |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입한다. an+1=an+(-1)n의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하면 a™=a¡+(-1)=1+(-1)=0 ㉠-㉡ 을 하면 ;2!; (an+1+n)-;2!; (an+n-1)=an+1이므로 an+an+1=1 (n>2) 4 11 Ú k=2 ak=(a™+a£)+(a¢+a∞)+ y +(a10+a11)=5 5-2  ④ |해결 전략| an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에 대한 식으 ……㉠ ……㉡ 로 변형한다. Sn=2an+1 Sn-1=2an (n>2) ㉠-㉡ 을 하면 an=2an+1-2an 4 an+1=;2#; an (n>2) a1=S¡=2이므로 S¡=2a™=2에서 a™=1 ∫ 5 Ú k=1 ak=a¡+ 5 Ú k=2 ak =2+ › -1 {;2#;} ;2#;-1 =2+2 {;1*6!;-1} =;;•8¡;; 따라서 p=8, q=81이므로 p+q=89 6-1  ① |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 7을 차례로 대입하여 변끼리 더한다. = +2n의 n에 1, 2, 3, y, 7을 차례로 대입하여 변끼리 |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다. an+1= an의 n에 1, 2, 3, y, 9 를 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 a£=a™+(-1)€=0+1=1 a¢=a£+(-1)‹=1+(-1)=0 ⋮ a100=a99+(-1)·9=1+(-1)=0 4 100 Ú k=1 ak=50 4-1  ;5!; n n+2 a™=;3!; a¡ a£=;4@; a™ a¢=;5#; a£ ⋮ _)a10= 9 11 a9 a10=a¡_;3!;_;4@;_;5#;_ y _;1ª1; =a¡_ =11_ 1_2 10_11 1_2 10_11 =;5!; 4-2  9 |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y을 차례로 대입한다. an+1=nan의 n에 1, 2, 3, y을 차례로 대입하면 a™=a¡=1 a£=2a™=2_1 a¢=3a£=3_2_1 a∞=4a¢=4_3_2_1=3_2‹ a§=5a∞=5_4_3_2_1=5_3_2‹ a¶=6a§=6_5_4_3_2_1=5_3€_2› a•=7a7=7_6_5_4_3_2_1=7_5_3€_2› a9=8a•=8_7_6_5_4_3_2_1=7_5_3€_2‡ 따라서 an이 32의 배수가 되도록 하는 자연수 n의 최솟값은 9이다. 5-1  ① |해결 전략| an+1=Sn+1-Sn임을 이용하여 주어진 식을 an에 대한 식으로 변 형한다. Sn+1=;2!;(an+1+n) Sn=;2!;(an+n-1) (n>2) 1 an+1 1 an 더하면 1 a2 1 a3 1 a4 = +2 = +4 = +6 ⋮ = +14 1 a1 1 a2 1 a3 1 a7 1 a1 1 a8 +) 1 a8 4 a•=;5¡7; = +(2+4+6+ y +14) =1+ 7(2+14) 2 =57 ……㉠ ……㉡ 11 수학적 귀납법 103 6-2  ③ |해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입한다. an+an+1=an+2의 n에 1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면 a£=a¡+a™=1+1=2 a¢=a™+a£=1+2=3 a∞=a£+a¢=2+3=5 a§=a¢+a∞=3+5=8 4 a¶=a∞+a§=5+8=13 7-1  ① |해결 전략| a¡, a™, a£, a¢, a∞, y를 구하여 f(n)을 추측해 본다. a¡=2, a™=4, a£=7, a¢=11, a∞=16, y이므로 a™-a¡=2, a£-a™=3, a¢-a£=4, a∞-a¢=5, y 따라서 an+1-an=n+1이므로 an+1=an+n+1 4 f(n)=n+1 f(n)=10에서 n+1=10 4 n=9 선분 PnPn+1의 중점이 Pn+2이므로 xn+2= xn+xn+1 2 의 n에 1, 2를 차례로 대입하면 이때, kh€ >0이므로 7-2  ⑤ |해결 전략| 수직선 위의 두 점을 이은 선분의 중점을 이용하여 xn, xn+1, xn+2 사이의 관계식을 구한다. x¡=5, x™= 0+5 2 =;2%; xn+2= xn+xn+1 2 x£= x1+x2 2 = 5+ 5 2 2 4 x¢= x2+x3 2 = LECTURE 수직선 위의 선분의 중점 M { x1+x2 2 } =;;¡4∞;; 15 ;2%;+ 4 2 =;;™8∞;; ➡ 수직선 위의 두 점 A(x¡), B(x™)에서 선분 AB의 중점 M은 2 n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1‹+2‹+3‹+ y +k‹=[ k(k+1) 2 € ] 위 식의 양변에 (k+1)‹ 을 더하면 1‹+2‹+3‹+ y +k‹+ (k+1)‹ =[ k(k+1) 2 € ] + (k+1)‹ = (k+1)€_ (k+2)€ 4 =[ (k+1)(k+2) 2 ] € 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. 1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 ㉠이 성립한다. 8-2  ③ |해결 전략| 주어진 부등식이 n=2일 때 성립함을 보인 후 n=k( k>2)일 때 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 성립함을 보인다. h>0일 때, n>2인 모든 자연수 n에 대하여 부등식 (1+h)n>1+nh yy㉠ 1 n=2일 때, (좌변)=(1+h)€=1+2h+h€, (우변)=1+2h 이므로 ㉠이 성립한다. 2 n=k (k>2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 (1+h)k>1+kh 위 식의 양변에 1+h 를 곱하면 (1+h)k+1>(1+kh)( 1+h ) =1+(k+1)h+ kh€ 1+(k+1)h+ kh€ >1+(k+1)h ∫ (1+h)k+1>1+(k+1)h 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. 1, 2에서 n>2인 모든 자연수 n에 대하여 ㉠이 성립한다. 9-1  ③ |해결 전략| p(1)이 참이므로 ㈏, ㈐ 를 이용하여 참인 명제를 연달아 찾는다. ㈎, ㈐에서 p(1)이 참이므로 참인 명제는 p(3), p(9), p(27), y 또, ㈏에서 p(3)이 참이므로 참인 명제는 p(5), p(9), p(17), 이다. p(33), y이다. 따라서 반드시 참인 명제가 아닌 것은 p(13)이다. 8-1  ④ |해결 전략| 주어진 등식이 n=1일 때 성립함을 보인 후 n=k일 때 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 성립함을 보인다. 모든 자연수 n에 대하여 등식 1‹+2‹+3‹+ y +n‹=[ n(n+1) 2 € ] 1 n=1일 때, (좌변)=1‹=1, (우변)={ 1_2 2 € } =1 이므로 ㉠이 성립한다. 104 정답과 해설 9-2  ④ |해결 전략| p(1)이 참이므로 ㈏, ㈐ 를 이용하여 참인 명제를 연달아 찾는다. yy㉠ ㈎, ㈐에서 p(1)이 참이므로 참인 명제는 p(2), p(4), p(8), y이 다. 또, ㈏에서 p(2)가 참이므로 참인 명제는 p(5), p(8), p(11), p(14), y 이고, p(4)가 참이므로 참인 명제는 p(7), p(10), p(13), y이다. 따라서 반드시 참인 명제는 p(11)이다.