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문제집/고등

2019년 천재교육 수학의 힘 개념 알파 확률과 통계 답지

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정답과 해설 수학의 힘 개념   I. 경우의 수     II. 확률     III. 통계     02 19 38 05 첫 번째 부부가 원탁의 임의의 자리에 서로 마주 보도록 앉 은 후, 나머지 4자리에 두 쌍의 부부가 앉으면 된다. 이때 두 번째 부부가 서로 마주 보고 앉는 경우의 수는 세 번째 부부가 서로 마주 보고 앉는 경우의 수는 2*2!=4 1*2!=2 4*2=8 따라서 구하는 경우의 수는     본문 9 ~12쪽     8 I .  경우의 수 01 원순열 유제 유제 01 남자 4명 중 3명을 선택하는 경우의 수는 ¢C£=¢C¡=4 여자 4명 중 2명을 선택하는 경우의 수는 ¢C™=6 선택한 5명의 남녀를 원탁에 둘러앉히는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 4*6*24=576 06 (부회장, 회장, 부회장)을 한 묶음으로 생각하면 7명이 원탁 에 둘러앉는 경우와 같으므로 그 경우의 수는  576 묶음 속의 부회장 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 (7-1)!=6!=720 따라서 구하는 경우의 수는 720*2=1440  1440 02 여학생 3명을 한 사람으로 생각하면 6명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우와 같으므로 그 경우의 수는 (6-1)!=5!=120 여학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 120*6=720 03 2, 4가 적힌 돌이 이웃하지 않으므로 이웃해도 되는 나머지 3개의 돌을 먼저 원형으로 배열하는 경우의 수는 (3-1)!=2!=2 원형으로 배열된 3개의 돌 사이사이, 즉 3곳 중에서 2곳을 택하 여 2, 4가 적힌 돌을 배열하는 경우의 수는 £P™=6 따라서 구하는 경우의 수는 2*6=12 04 ⑴ 한 명의 야구 선수의 자리가 결정되면 나머지 한 명의 자리 는 마주 보는 자리로 고정되므로 구하는 경우의 수는 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 ⑵ 축구 선수 4명 중에서 야구 선수 2명 사이에 앉는 축구 선수 한 명을 뽑는 경우의 수는 4 (야구 선수, 뽑힌 축구 선수 한 명, 야구 선수)를 한 묶음으로 생각하면 4명이 원탁에 둘러앉는 경우와 같으므로 그 경우의  720 07 8명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (8-1)!=7!=5040 ⑴ 다음 그림과 같이 정사각형 모양의 탁자에서 원형으로 배열하 는 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다. 1 2 8 1 8 7 3 4 7 6 2 3 6 5 5 4  12 따라서 구하는 방법의 수는 5040*2=10080 ⑵ 다음 그림과 같이 직사각형 모양의 탁자에서 원형으로 배열하 는 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 4가지씩 존재한다. 1 23 8 12 8 6 7 7 6 5 81 6 6 5 4 78 4 7 2 5 3 1 5 4 3 4 3 2 묶음 속의 야구 선수 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 4*6*2=48 따라서 구하는 방법의 수는 5040*4=20160  ⑴ 24 ⑵ 48  ⑴ 10080 ⑵ 20160 수는 (4-1)!=3!=6 02 I. 경우의 수    08 10명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (10-1)!=9! 02 남학생끼리 이웃하지 않으므로 이웃해도 되는 여학생 5명을 먼저 원탁에 둘러앉히는 경우의 수는 다음 그림과 같이 정오각형 모양의 탁자에서 원형으로 배열하는 (5-1)!=4!=24 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다. 원탁에 앉은 여학생 5명 사이사이, 즉 5곳 중에서 3곳을 택하여 10 1 9 10 남학생을 앉히는 경우의 수는 ∞P£=60 따라서 구하는 경우의 수는 24*60=1440 9 8 7 2 3 4 8 7 6 1 2 3 6 5 5 4 따라서 구하는 방법의 수는 9!*2 법의 수는 가운데 영역 ①에 색칠한 색을 ④ ③ 09 오른쪽 그림의 가운데 영역 ① 을 색칠하는 방법의 수는 4 나머지 영역인 ②, ③, ④ 를 색칠하는 방 제외한 나머지 3가지 색을 원형으로 배열 하는 원순열의 수와 같으므로 (3-1)!=2!=2 따라서 구하는 방법의 수는 4*2=8 ③ ① ② ④ ⑤⑥ 10 오른쪽 그림의 가운데 영역 ① 을 색칠 하는 방법의 수는 6 나머지 영역인 ②, ③, ④, ⑤, ⑥ 을 색칠하 는 방법의 수는 가운데 영역 ①에 색칠한 색을 제외한 나머지 5가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로 (5-1)!=4!=24 따라서 구하는 방법의 수는 6*24=144 03 모자를 쓴 사람 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6  ④ 원탁에 앉은 모자를 쓴 사람 4명 사이사이의 4개의 자리에 모자 를 쓰지 않은 사람 4명을 앉히는 경우의 수는 ② ① ¢P¢=4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 6*24=144 04 남학생 4명 중 2명을 뽑는 경우의 수는 ¢C™=6 여학생 3명 중 2명을 뽑는 경우의 수는 £C™=3 뽑힌 4명의 학생을 정사각형 모양의 테이블의 네 개의 의자에 앉  8 히는 방법의 수는 원순열의 수와 같으므로 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 방법의 수는 6*3*6=108 05 남학생 2명이 원탁에 마주 보고 앉는 경우의 수는 1 나머지 4명이 자리에 앉는 경우의 수는 남은 4개의 자리에 일렬 로 앉는 경우의 수와 같으므로 4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 1*24=24  144 06 학생이 5명이므로 선생님 사이에 앉는 학생 한 명을 뽑는 경 우의 수는 5 (선생님, 뽑힌 학생 한 명, 선생님)을 한 묶음으로 생각하면 5명 이 원탁에 둘러앉는 경우와 같으므로 그 경우의 수는 묶음 속의 선생님 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 5*24*2=240 연습 문제     본문 13 ~14쪽    (5-1)!=4!=24 01  ③  05  24  09  72  02  ③  06  ④   03  144  07  120  10  ⑴ 8  ⑵ 40   04  108 08  24 11  30 12  2304  13  ③  14  360 07 서로 다른 색깔의 5개의 공에 색깔이 없는 1개의 공을 추가 하여 총 6개의 공을 6개의 구멍에 올려놓는다고 하면 그 방법의 01 각 쌍을 묶어서 세 사람으로 생각하면 3명이 원탁에 둘러앉 는 경우의 수는 (3-1)!=2!=2 2!*2!*2!=8 따라서 구하는 경우의 수는 2*8=16 수는 원순열의 수이므로 (6-1)!=5!=120 깔의 5개의 공을 올려놓는 경우가 된다. 따라서 구하는 방법의 수는 120 세 쌍의 부부가 각각 자리를 바꾸는 경우의 수는 여기서 색깔이 없는 1개의 공을 빼면 6개의 구멍에 서로 다른 색 01  원순열 03 08 1학년 학생 2명을 한 사람으로 생각하면 1학년, 2학년 학생 이 원탁에 둘러앉는 경우는 3명이 원탁에 둘러앉는 경우와 같으 주의   보자.  므로 그 경우의 수는 (3-1)!=2!=2 1학년 학생 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 3학년 학생 2명은 이웃하지 않으므로 원탁에 앉은 3명 사이사이, 즉 3곳 중에서 2곳을 택하여 3학년 학생 2명을 앉히는 경우의 수 따라서 구하는 경우의 수는 는 £P™=6 2*2*6=24 09 다음 그림과 같이 A, B가 마주 보는 경우는 3가지이다. 된다.  남학생 4명이 먼저 앉고 남은 네 자리에 여학생 4명이 앉는 경우를 살펴  남1 여1 남1 여4 남4 여4 남1 여2 남4 여3 남1 여1 남3 여3 [그림 1] 남3 여2 [그림 2] [그림 1]과 같이 자리를 정했을 때 [그림 1]에서 여학생들만 시계 방향으 로 한 칸씩 옮긴 [그림 2]를 살펴 보면 [그림 1]과 [그림 2]는 다른 경우가  따라서 여학생이 앉는 경우의 수는 원형으로 배열하는 원순열의 수인  (4-1)!이 아니라 일렬로 배열하는 순열의 수인 4!이다. A B A B A B 나머지 4명이 자리에 앉는 경우의 수는 남은 4개의 자리에 일렬 로 앉는 경우의 수와 같으므로 4!=24 따라서 구하는 방법의 수는 3*24=72 10 ⑴ 오른쪽 그림의 가운데 영역 ① 을 색칠 하는 방법의 수는 4 나머지 영역인 ②, ③, ④ 를 색칠하는 방법 의 수는 가운데 영역 ①에 색칠한 색을 제 ① ④ 외한 나머지 3가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같 으므로 (3-1)!=2!=2 따라서 구하는 방법의 수는 4*2=8 ⑵ 1, 2, 3, 4, 5 중 네 수를 택하는 방법의 수는 ∞C¢=∞C¡=5 네 수 중 하나를 영역 ①에 써넣는 방법의 수는 4 나머지 세 수를 영역 ②, ③, ④에 써넣는 방법의 수는 (3-1)!=2!=2 따라서 구하는 방법의 수는 5*4*2=40 11 정사각뿔의 바닥을 색칠하는 방법의 수는 5 정사각뿔의 옆면을 색칠하는 방법의 수는 바닥에 색칠한 색을 제 외한 나머지 4가지 색을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으 므로 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 방법의 수는 5*6=30 12 남학생 4명을 먼저 앉히면 각 면의 두 개의 의자 중 하나에 앉으면 되므로 그 경우의 수는 (4-1)!*2!*2!*2!*2!=96 남은 네 자리에 여학생 4명이 앉는 경우의 수는 4!=24 따라서 구하는 방법의 수는 96*24=2304 04 I. 경우의 수    13 6명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (6-1)!=5!=120 다음 그림과 같이 탁자 A, B, C에서 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 A는 2가지씩, B는 3가지씩, C ② ③ 는 1가지씩 존재한다. 6 1 5 6 5 A 2 4 A 1 4 3 3 2 1 2 3 6 1 2 5 6 1 B B 6 5 4 5 4 3 4 3 2 B 1 C 4 6 5 2 3 따라서 x=120*2=240, y=120*3=360, z=120*1=120 이므로 y>x>z 14 같은 모양의 구멍이 마주 보는 같은 위치의 두 면에 있으므 로 옆면에 서로 다른 색을 칠하는 것은 다음 그림과 같이 직사각 형 둘레의 6곳에 서로 다른 색을 배열하는 것과 같다. ② ③ ④ ① ⑥ ⑤ ⇨ 1 4 2 3 6 5 서로 다른 6가지 색을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (6-1)!=5!=120 다음 그림과 같이 직사각형 둘레의 6곳에서 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 3가지씩 존재한다. 02 2000보다 큰 네 자리의 수는 2   , 3   , 4    꼴이다. 2 , 3 , 4  꼴의 자연수의 개수는 5개 A B F A E F F C E B D A 의 숫자에서 중복하여 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 3*∞≤£=3*5‹=375 그런데 2000보다 큰 자연수이므로 2000은 제외된다. E D D C C B 따라서 구하는 자연수의 개수는 따라서 구하는 방법의 수는 120*3=360 375-1=374  374 03 A, B, C의 세 민박집에 다섯 사람이 투숙할 때, 한 사람이 여러 민박집에서 투숙할 수는 없지만 여러 명이 한 민박집을 중 복하여 선택해서 투숙할 수는 있다. 따라서 구하는 방법의 수는 서로 다른 세 민박집에서 중복을 허 용하여 다섯 개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 ∞≤£=5‹=125  125 04 A, B, C의 세 개의 우체통으로 네 통의 편지를 넣을 때, 한 통의 편지가 여러 우체통으로 들어갈 수는 없지만 여러 통의 편     본문 16 ~18쪽    지가 한 우체통을 중복하여 선택해서 들어갈 수는 있다. 따라서 구하는 방법의 수는 서로 다른 3개의 우체통에서 중복을 허용하여 4개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 £≤¢=3›=81 05 흰색, 빨간색의 2가지 깃발에서 중복을 허용하여 깃발을 4 번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는 ™≤¢=2›=16 06 2개의 모스 부호 중에서 중복을 허용하여 n개를 택하여 만 들 수 있는 신호의 개수는 ™≤n=2˜ 이때 100개 이상의 신호를 만들려면 2˜>100이어야 한다.  81  16  7 02 중복순열 유제 유제 01 ⑴ 1 한 자리의 정수의 개수는 6 2 두 자리의 정수의 개수 십의 자리에는 0이 올 수 없으므로 5가지, 일의 자리에는 0, 1, 2, 3, 4, 5가 올 수 있으므로 6가지 ∴ 5*6=30 3 세 자리의 정수의 개수 백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 5가지, 십의 자리와 일의 자리에는 0, 1, 2, 3, 4, 5가 모두 중복하여 올 수 있 으므로 §≤™=6€=36 ∴ 5*36=180 1, 2, 3에서 구하는 정수의 개수는 6+30+180=216   다른 풀이     0이 앞에 오는 경우인 0, 00는 각각 두 자리의 정수, 한 자리 즉 n>7   따라서 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 0을 포함한 6개의 숫자가  따라서 이를 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 7이다. 의 정수이다.  모두 중복하여 올 수 있다.    즉 6개 중 중복을 허용하여 3개를 뽑는 중복순열이므로 경우의 수는  §≤£=6‹=216 07 ⑴ X에서 Y로의 함수의 개수는 집합 Y의 원소 a, b, c, d, e 의 5개에서 중복을 허용하여 4개를 뽑아 집합 X의 원소 1, 2, ⑵ 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 5가지 3, 4에 대응시키는 중복순열의 수와 같다. 백의 자리, 십의 자리에는 0, 1, 2, 3, 4, 5가 모두 중복하여 올 수 있으므로 §≤™=6€=36 ∴ ∞≤¢=5›=625 ⑵ X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 집합 Y의 원소 a, b, c, d, 일의 자리에는 1, 3, 5가 올 수 있으므로 3가지 e의 5개에서 서로 다른 4개를 뽑아 집합 X의 원소 1, 2, 3, 4 따라서 구하는 홀수의 개수는 5*36*3=540 에 대응시키는 순열의 수와 같다. ∴ ∞P¢=5*4*3*2=120  ⑴ 216 ⑵ 540  ⑴ 625 ⑵ 120 02  중복순열 05       08 ⑴ X에서 Y로의 함수 f 의 개수는 집합 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 중복을 허용하여 3개를 뽑아 집합 X의 원소 1, 2, 3 1이 두 개 포함될 때 3에 대응시키는 중복순열의 수와 같다. ∴ ∞≤£=5‹=125 ⑵ f(1)=1이고 f(2)의 값이 될 수 있는 수는 5개, f(3)의 값이 될 수 있는 수는 4를 제외한 4개이므로 구하는 함수 f 의 개수는 5*4=20 11 꼴이고 에 2, 3, 4가 모두 중복하여 올 수 있다. ∴ £≤™=3€=9 1, 2, 3에서 구하는 정수의 개수는 81+81+9=171  ⑴ 125 ⑵ 20 05 각 자리 숫자의 곱이 홀수이려면 각 자리 숫자가 모두 홀수 이어야 한다. 따라서 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개이므로 각 자리의 숫자가 모두 연습 문제     본문 19 ~20쪽    01  ⑤  05  ④  09  ①  13  50  02  ④  06  ⑤   10  ③  14  729  03  ④  07  56  11  ⑤  15  768 04  171 08  63 12  ⑤ 01 1 한 자리의 정수의 개수는 4 2 두 자리의 정수의 개수 십의 자리, 일의 자리에는 1, 2, 3, 4가 모두 중복하여 올 수 있 으므로 ¢≤™=4€=16 3 세 자리의 정수의 개수 홀수인 세 자리의 자연수의 개수는 ∞≤£=5‹=125 06 방송반, 독서반, 과학반 3개의 반 중에서 중복을 허용하여 5 개를 택하는 중복순열이므로 구하는 경우의 수는 £≤∞=3fi=243 나머지 세 자리에는 0, 1이 중복하여 올 수 있으므로 07 1 암호 숫자가 4자리일 때 맨 앞에 올 수 있는 숫자는 1 ™≤£=2‹=8 2 암호 숫자가 5자리일 때 맨 앞에 올 수 있는 숫자는 1 나머지 네 자리에는 0, 1이 중복하여 올 수 있으므로 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에는 1, 2, 3, 4가 모두 중복하 여 올 수 있으므로 ¢≤£=4‹=64 1, 2, 3에서 구하는 정수의 개수는 ™≤¢=2›=16 3 암호 숫자가 6자리일 때 맨 앞에 올 수 있는 숫자는 1 4+16+64=84 나머지 다섯 자리에는 0, 1이 중복하여 올 수 있으므로 02 2000 이상인 네 자리의 자연수는 2  , 3   꼴이 다. 2  , 3   꼴의 자연수의 개수는 4개의 숫자에서 3개 를 중복하여 택하는 중복순열의 수와 같으므로 2*¢≤£=2*4‹=128 03 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 5가지 백의 자리, 십의 자리에는 0, 1, 2, 3, 4, 5가 모두 중복하여 올 수 있으므로 §≤™=6€=36 일의 자리에는 0, 2, 4가 올 수 있으므로 3가지 의 개수는 64-1=63 따라서 구하는 짝수의 개수는 5*36*3=540 04 1 1이 포함되지 않을 때 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 2, 3, 4가 모두 중복하여 올 수 있으므로 £≤¢=3›=81 2 1이 하나 포함될 때 ™≤∞=2fi=32 1, 2, 3에서 구하는 암호 숫자의 개수는 1*8+1*16+1*32=56 08 여섯 개의 전구 각각은 불이 켜지거나 꺼지는 경우 두 가지 가 있으므로 모든 경우의 수는 ™≤§=2fl=64 이때 모든 전구가 꺼진 경우는 신호에서 제외하므로 구하는 신호 09 X에서 Y로의 함수의 개수는 집합 Y의 원소 a, b, c, d의 4 개에서 중복을 허용하여 4개를 뽑아 집합 X의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시키는 중복순열의 수와 같다. ∴ m=¢≤¢=4›=256 x¡GX, x™GX에 대하여 x¡+x™이면 g(x¡)+g(x™)를 만족시 키는 함수 g 는 일대일함수이다. 이때 X에서 Y로의 일대일함수 의 개수는 집합 Y의 원소 a, b, c, d의 4개에서 서로 다른 4개를 ∴ n=¢P¢=4!=24 ∴ m-n=256-24=232 1 ,  1 ,   1 꼴이고 에 2, 3, 4가 모두 중 뽑아 집합 X의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시키는 순열의 수와 같다. 복하여 올 수 있다. ∴ 3*£≤£=3*3‹=81 06 I. 경우의 수    10 f(a)=1이고 f(b)와 f(c)의 값이 될 수 있는 수는 집합 Y 의 원소 0, 1, 2, 3 중 하나이다. 따라서 구하는 함수 f 의 개수는 집합 Y의 원소 0, 1, 2, 3의 4개 에서 중복을 허용하여 2개를 뽑아 집합 X의 원소 b, c에 대응시 키는 중복순열의 수와 같다. ∴ ¢≤™=4€=16 이때 백의 자리에는 0이 올 수 없고 십의 자리와 일의 자리에 는 0, 5, 6, 7, 8, 9 중에서 중복을 허용하여 2개를 뽑아 일렬 로 나열하면 되므로 5*§≤™=5*6€=180 1, 2에서 구하는 자연수의 개수는 900-180=720 11 1 양 끝에 배열하는 같은 문자가 적힌 카드가 2장일 때 2개의 같은 문자를 써넣는 방법의 수는 5 이때 같은 문자가 A인 경우는 다음과 같다. A A 나머지 세 자리에 4개의 문자 B, C, D, E에서 중복을 허용하 여 3개를 택하고 일렬로 나열하여 써넣으면 되므로 ¢≤£=4‹=64 이때 나머지 세 자리에 모두 같은 문자가 오면 안 되므로 같은 문자가 오는 4가지 경우를 빼야한다. 즉 64-4=60 ∴ 5*60=300 2 양 끝에 배열하는 같은 문자가 적힌 카드가 3장일 때 3개의 같은 문자를 써넣는 방법의 수는 5 이때 같은 문자가 A인 경우는 다음과 같이 3가지이다. A A A A A A A A A 나머지 두 자리에 4개의 문자 B, C, D, E에서 중복을 허용하 여 2개를 택하고 일렬로 나열하면 되므로 ¢≤™=4€=16 ∴ 5*3*16=240 3 양 끝에 배열하는 같은 문자가 적힌 카드가 4장일 때 4개의 같은 문자를 써넣는 방법의 수는 5 이때 같은 문자가 A인 경우는 다음과 같다. A A A A 나머지 한 자리에 4개의 문자 B, C, D, E에서 하나를 써넣으 면 되므로 그 경우의 수는 4 ∴ 5*4=20 1, 2, 3에서 구하는 경우의 수는 300+240+20=560 12 1, 2, 3, 4를 적어도 하나 포함하는 세 자리의 자연수는 세 자리의 자연수 전체에서 1, 2, 3, 4를 모두 포함하지 않는 자연수 를 제외하면 된다. 1 세 자리의 자연수는 100에서 999까지이므로 개수는 900 2 1, 2, 3, 4를 모두 포함하지 않는 세 자리의 자연수는 13 1 1, 2, 3으로 중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리의 자연 수의 개수는 £≤¢=3›=81 2 ① 1을 포함하지 않는 경우, 즉 2와 3으로 중복을 허용하여 만 ② 2를 포함하지 않는 경우, 즉 1과 3으로 중복을 허용하여 만 들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수는 ™≤¢=2›=16 들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수는 ™≤¢=2›=16 ③ 1과 2를 모두 포함하지 않는 경우, 즉 3으로만 이루어진 네 자리의 자연수는 1가지 따라서 1 또는 2를 포함하고 않는 자연수의 개수는 16+16-1=31 81-31=50 1, 2에서 1과 2를 모두 포함하고 있는 자연수의 개수는 14 AAU, BAU이고 ADB=0이므로 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 즉 집합 U의 6개의 각 원소가 서로소인 세 집합 A, B, (ACB)C 중 하나에 속 U A B 하므로 구하는 경우의 수는 3개의 집합에서 중복을 허락하여 6개 를 택하는 중복순열의 수와 같다. ∴ £≤§=3fl=729 15 1 f(2)=1인 경우 1, 3, 4, 5는 각각 1을 제외한 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응되므로 구하는 함수 f 의 개수는 ¢≤¢=4›=256 2 f(2)=3인 경우 1, 3, 4, 5는 각각 3을 제외한 1, 2, 4, 5 중 하나에 대응되므로 구하는 함수 f 의 개수는 ¢≤¢=4›=256 3 f(2)=5인 경우 1, 3, 4, 5는 각각 5를 제외한 1, 2, 3, 4 중 하나에 대응되므로 구하는 함수 f 의 개수는 ¢≤¢=4›=256 02 중복순열 07 0, 5, 6, 7, 8, 9로 중복을 허용하여 만들 수 있는 세 자리의 자 1, 2, 3에서 조건을 모두 만족시키는 함수 f 의 개수는 연수이다. 3*256=768 03 같은 것이 있는 순열 ⑵ C와 C 사이에 들어갈 수 있는 문자는 S, U, E, S, S 중 하나 이다. 유제 유제     본문 22 ~24쪽    C와 C 사이에 1 S가 들어가면 남은 문자는 U, E, S, S이므로 경우의 수는 01 ⑴ 6개의 숫자 중 2가 3개, 3이 3개이므로 구하는 정수의 개수는 =20 6! 3!3! ⑵ 2, 2, 2, 3, 3, 3 중 5개를 택하는 방법은 (2, 2, 2, 3, 3), (2, 2, 3, 3, 3)의 2가지가 있다. 1 (2, 2, 2, 3, 3)을 택하는 경우 1* =60 5! 2! 개이므로 경우의 수는 2* =40 5! 3! 2 U, E 중 하나가 들어가면 남은 문자는 U, E 중 1개와 S 3 2가 3개, 3이 2개이므로 만들 수 있는 정수의 개수는 1, 2에서 구하는 경우의 수는 60+40=100  ⑴ 120 ⑵ 100 2 (2, 2, 3, 3, 3)을 택하는 경우 2가 2개, 3이 3개이므로 만들 수 있는 정수의 개수는 5! 3!2! =10 5! 2!3! =10 05 모음 i, e의 순서가 알파벳순으로 정해져 있으므로 e, i를 모 두 같은 문자 A로 생각하면 A, A, k, n, d, n, s, s의 8개의 문 자를 일렬로 나열한 후 첫 번째, 두 번째 A를 각각 e, i로 바꾸면 된다. 1, 2에서 구하는 정수의 개수는 10+10=20  ⑴ 20 ⑵ 20 따라서 구하는 방법의 수는 =5040 8! 2!2!2! 02 10개의 문자 중 S가 3개, T가 3개, I가 2개이므로 구하는 방법의 수는 =50400 10! 3!3!2! 06 도로망에서 오른쪽으로 한 칸 가는 것을 a, 위쪽으로 한 칸 가는 것을 b라 하자.  50400 1 A에서 B로 가는 최단 경로의 수는 a, a, a, a, a, b, b, b를 일  5040 03 1 일의 자리에 0이 오는 경우 나머지 다섯 자리에 1, 1, 1, 2, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수 는 5개의 숫자 중 1이 3개, 2가 2개이므로 5! 3!2! =10 2 일의 자리에 2가 오는 경우 나머지 다섯 자리에 0, 1, 1, 1, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5개의 숫자 중 1이 3개이므로 5! 3! =20 이므로 =4 4! 3! 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 나머지 4개의 숫자 1, 1, 1, 2 를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. 즉 4개의 숫자 중 1이 3개 따라서 만들 수 있는 짝수의 개수는 20-4=16 1, 2에서 구하는 짝수의 개수는 10+16=26 04 ⑴ 맨 앞에 올 수 있는 문자는 모음 U, E 중 하나이므로 경우 의 수는 2 맨 앞에 모음 중 하나가 오면 남은 문자는 U, E 중 1개와 S, C, C, S, S의 5개이므로 6개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 2*60=120 6! 3!2! =60 08 I. 경우의 수    렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 8! 5!3! =56 2 A에서 P로 가는 최단 경로의 수는 a, a, a, b, b를 일렬로 나열 하는 경우의 수와 같으므로 5! 3!2! =10 P에서 B로 가는 최단 경로의 수는 a, a, b를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 =3 3! 2! 따라서 A에서 P를 거쳐 B로 가는 최단 경로의 수는 1, 2에서 A에서 P를 거치지 않고 B로 가는 최단 경로의 수는 10*3=30 56-30=26 07 지나갈 수 없는 길을 점선으로 연결하고, 그 교차점을 P로 놓으면 오 른쪽 그림과 같다. 점선 길까지 포함하 A P  26 여 A에서 B로 가는 최단 경로의 수는 =126 9! 4!5! A에서 P를 거쳐 B로 가는 최단 경로의 수는 4! 3! * 5! 4! =4*5=20 따라서 구하는 최단 경로의 수는 126-20=106  26 B  106 연습 문제     본문 25 ~26쪽    01  ③  05  ②  09  ②  13  120  02  ②  06  840   10  12  14  30  03  150  07  132  11  90  15  32  04  ⑤ 08  900 12  24 16  12 06 모음 u, a, e의 순서가 알파벳순으로 정해져 있으므로 a, e, u를 모두 같은 문자 A로 생각하면 A, A, A, c, h, n, j의 7개의 문자를 일렬로 나열한 후 첫 번째, 두 번째, 세 번째 A를 각각 a, e, u로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 방법의 수는 =840 7! 3! 01 6개의 깃발을 일렬로 나열할 때 같은 색의 깃발이 각각 3개, 2개, 1개이므로 만들 수 있는 신호의 개수는 6! 2!2! =180 ∴ m=180 07 6개의 문자 중 a가 2개, c가 2개이므로 문자의 개수는 a와 a 사이에 들어갈 수 있는 문자는 b, c, c, d 중 하나이다. 02 6개의 숫자 중 2가 2개, 3이 3개이므로 구하는 정수의 개수 1 c가 들어가면 남은 문자는 b, c, d이므로 문자의 개수는 6! 3!2! =60 는 6! 2!3! =60 5! 2!2! =30 03 6개의 숫자 중 1이 2개, 2가 2개이므로 0, 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 =180 6! 2!2! 이 중 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 나머지 5개의 숫자 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. 즉 1이 2개, 2가 2개이므로 따라서 구하는 정수의 개수는 180-30=150 다른 풀이  맨 앞자리에는 0이 올 수 없으므로 1 또는 2 또는 3이 오는 경 우로 나누어 생각한다. 1 맨 앞자리에 1이 오는 경우 2 맨 앞자리에 2가 오는 경우  0, 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하면 되므로  =60 3 맨 앞자리에 3이 오는 경우  0, 1, 1, 2, 2를 일렬로 나열하면 되므로  =30 1, 2, 3에서 구하는 정수의 개수는 60+60+30=150 5! 2! 5! 2! 5! 2!2! 04 홀수이므로 일의 자리에는 7 또는 9가 올 수 있다. 일의 자리에 7이 오는 경우 남은 숫자는 2, 2, 4, 4, 4, 9이므로 6개 일의 자리에 9가 오는 경우 남은 숫자는 2, 2, 4, 4, 4, 7이므로 6개 를 일렬로 나열하면 홀수의 개수는 =60 6! 2!3! 6! 2!3! 따라서 구하는 홀수의 개수는 60+60=120 2 b, d 중 하나가 들어가면 남은 문자는 b, d 중 1개와 c 2개이 a와 a 사이에 1*4!=24 므로 문자의 개수는 2* =24 4! 2! 1, 2에서 n=24+24=48 ∴ m-n=132 08 t, i를 모두 같은 문자 A로 생각하고 A, A, m, n, g의 5개 의 문자를 일렬로 나열한 후 첫 번째, 두 번째 A를 각각 t, i로 바 꾸는 경우의 수는 =60 5! 2! ㈏에서 문자 e는 연속하여 쓰지 않 으므로 오른쪽 그림과 같이 ∨◯∨◯∨◯∨◯∨◯∨ 서 2개의 자리를 택하는 조합의 수와 같으므로 따라서 구하는 문자의 개수는 §C™=15 60*15=900 09 A에서 C로 가는 최단 경로의 수는 =4 C에서 B로 가는 최단 경로의 수는 =10 4! 3! 5! 2!3! 10 오른쪽 그림과 같이 점 P, Q를 잡 으면 최단 경로는 A에서 선분 PQ를 지나 B로 가는 길이다. P A에서 P로 가는 최단 경로의 수는 A B Q  0, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하면 되므로  =60 A, A, m, n, g를 배열하고 양 끝과 그 사이사이의 6개의 자리에 를 일렬로 나열하면 홀수의 개수는 =60 따라서 구하는 최단 경로의 수는 4*10=40 05 s, p의 순서가 정해져 있으므로 s, p를 모두 A로 생각하면 A, A, e, e, d의 5개의 문자를 일렬로 나열한 후 첫 번째, 두 번 4! 2!2! =6 째 A를 각각 s, p로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 방법의 수는 =30 5! 2!2! P에서 Q로 가는 최단 경로의 수는 1 Q에서 B로 가는 최단 경로의 수는 2 따라서 구하는 최단 경로의 수는 6*1*2=12 03  같은 것이 있는 순열 09 11 1 십만 자리의 숫자가 4인 경우 1, 2, 2, 5, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 15 A에서 B로 갈 때, 오른쪽 그림과 같이 점 P, Q, R를 잡으면 어느 한 점은 반드시 호수 B Q R P A 지나고, 두 점을 동시에 지나지 않는다. 1 A d P d B의 최단 경로의 수는 2 A d Q d B의 최단 경로의 수는 4! 2!2! * 4! 3! =6*4=24 3 A d R d B의 최단 경로의 수는 1* =4 4! 3! 4! 3! *1=4 4+24+4=32 다른 풀이   1, 2, 3에서 구하는 최단 경로의 수는 지나갈 수 없는 길을 점선으로 연결하고, 그 교차  B 점을 P로 놓으면 오른쪽 그림과 같다.  점선 길까지 포함하여 A에서 B로 가는 최단 경로 호수 P A에서 P를 거쳐 B로 가는 최단 경로의 수는 A 의 수는  =56 8! 3!5! 4! 3! * 4! 2!2! =4*6=24 따라서 구하는 최단 경로의 수는 56-24=32 16 d, ↗, ↑ 방향으로 각각 2번, 1번, 1번씩 가면 P에서 Q로 가는 최단 경 로가 된다. 즉 d, d, ↗, ↑를 일렬로 나열하면 되므로 구하는 최단 경로의 P Q A D B C 수는 4! 2! =12 5! 2!2! =30 5! 2! =60 4! 3! =4 4! 2!2! =6 2 십만 자리의 숫자가 5인 경우 1, 2, 2, 4, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 1, 2에서 구하는 자연수의 개수는 30+60=90 12 홀수 1, 1, 1, 3을 홀수 번째의 자리에 나열하는 경우의 수는 짝수 2, 2, 4, 4를 짝수 번째의 자리에 나열하는 경우의 수는 따라서 만들 수 있는 정수의 개수는 4*6=24 13 원점에서 점 A(2, 2)까지 가기 위해서는 최소 오른쪽으로 2 번, 위쪽으로 2번 움직이면 된다. 움직이는 방향을 화살표로 나타 내면 d, d, ↑, ↑를 일렬로 나열하면 된다. 그런데 6번 움직여 서 점 A(2, 2)로 오므로 나머지 두 번은 제자리로 오는 경우, 즉 (d, e) 또는 (↑, ↓)로 움직여야 한다. 1 d, d, ↑, ↑, d, e 를 일렬로 나열하는 경우 6! 3!2! =60 6! 2!3! =60 2 d, d, ↑, ↑, ↑, ↓를 일렬로 나열하는 경우 1, 2에서 구하는 경우의 수는 60+60=120 14 5일 동안 A를 들은 횟수를 x, B를 들은 횟수를 y, C를 들은 횟수를 z라 하면 0f(b)를 만족시키는 함수 f 의 개수에서 f(2)=3을 만족 ㈏ 를 만족시키는 함수의 개수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개의 숫자에서 중복을 허용하여 4개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 ∞H¢=8C¢=70 이 중에서 f(2)=3을 만족시키는 함수는 공역의 3, 4, 5에서 1개 를 뽑은 후 정의역의 1에 대응시키고 공역의 1, 2, 3에서 중복을 허용하여 2개를 택한 후 큰 수부터 정의역의 3, 4에 차례대로 대 응시키면 된다. 즉 이를 만족시키는 함수의 개수는 £C¡*£H™=3*¢C™=18 따라서 f 의 개수는 70-18=52 15 1, 2, 3, 4 중에서 중복을 허용하여 세 자연수를 택하면 작은 수부터 차례로 |a|, |b|, |c|의 값이 되므로 순서쌍 (| a |, | b |, | c |)의 개수는 ¢H£=§C£=20 이때 a, b, c의 값은 각각 2가지씩 생기므로 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 20*2*2*2=160 16 ㈎ 에서 a+b+c=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 3개의 문자 a, b, c에서 중 £H¶=ªC¶=ªC™=36 ㈏에서 2Å_4ı=2Å_22b=2a+2b이 8의 배수이려면 a+2b>3이 어야 한다. 이때 a+2b<3을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b의 순서쌍 (a, b) 의 개수는 (0, 0), (0, 1), (1, 0), (2, 0)의 4이다. 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 04  중복조합 13 준 다음 나머지 2개의 초콜릿을 그 2명의 아이에게 나누어 주 복을 허용하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 면 되므로 서로 다른 2개에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중복조합의 수와 같다. ∴ ™H™=£C™=£C¡=3 2 1개의 사탕을 받은 아이가 1명일 때 1명을 정하는 경우의 수는 £C¡=3 초콜릿을 나누어 주는 경우는 1가지이다. 1, 2에서 구하는 경우의 수는 3*3+3*1=12 36-4=32 따라서 a‹=8이므로 a=2 3 ㉢의 전개식에서 상수항은 ①에서 6-2r=0, 즉 r=3일 때 2 ㉡의 전개식에서 상수항은 ①에서 8-2r=0, 즉 r=4일 때이므로 8C¢(-1)›=70     본문 35 ~38쪽    1, 2에서 구하는 상수항은 -56+70=14 ⑵ (x€+x+1){x+;x!;} fl=x€{x+;x!;} fl+x{x+;x!;} fl fl+{x+;x!;} ㉠ ㉡ ㉢ {x+;x!;} fl의 전개식에서 일반항은 §Crx6-r =§Crx6-2r …… ① r {;x!;} 1 ㉠의 전개식에서 상수항은 x€_{①의 항}일 때이다. 1 x€ ①에서 항은 6-2r=-2, 즉 r=4일 때이므로 1 x€ §C¢x-2= 15 x€ 따라서 상수항은 x€_ =15 15 x€ 2 ㉡의 전개식에서 상수항은 x_{①의 ;x!;항}일 때이다. ①에서 ;x!;항은 없으므로 ㉡의 전개식에서 상수항은 없다.  2 이므로 §C£=20 1, 2, 3에서 구하는 상수항은 15+20=35  ⑴ 14 ⑵ 35 05 (1+2x)›의 전개식에서 일반항은 ¢Cr14-r(2x)r=¢Cr(2x)r …… ㉠ (1-x)fi의 전개식에서 일반항은 ∞Cr15-r(-x)r=∞Cr(-x)r (1+2x)›(1-x)fi의 전개식에서 x€항은 …… ㉡ (㉠의 x€항)_(㉡의 상수항)+(㉠의 x항)_(㉡의 x항) +(㉠의 상수항)_(㉡의 x€항)이므로 ¢C™(2x)€_1+¢C¡(2x)_∞C¡(-x)+1_∞C™x€  ⑴ -160 ⑵ 84 =24x€-40x€+10x€=-6x€ 따라서 x€의 계수는 -6이다.  -6 05 이항정리 유제 유제 01 ⑴ (2x+3y)fi의 전개식의 일반항은 ∞Cr(2x)5-r(3y)r=∞Cr25-r3rx5-ryr x€y‹항은 5-r=2일 때이므로 r=3 따라서 x€y‹의 계수는 ∞C£_2€_3‹=1080 ⑵ (3-2x)fl의 전개식의 일반항은 §Cr36-r(-2x)r=§Cr36-r(-2)rxr x€항은 r=2일 때이므로 x€의 계수는 §C™_3›_(-2)€=4860  ⑴ 1080 ⑵ 4860 02 (ax-y)fi의 전개식의 일반항은 ∞Cr(ax)5-r(-y)r=∞Cra5-r(-1)rx5-ryr x‹y€항은 5-r=3일 때이므로 r=2 이때 x‹y€의 계수는 ∞C™_a‹_(-1)€=10a‹=80 fl의 전개식의 일반항은 03 ⑴ {x-;x@;} §Crx6-r {-;x@;} r =§Cr(-2)rx6-r =§Cr(-2)rx6-2r r {;x!;} 상수항은 6-2r=0일 때이므로 r=3 따라서 상수항은 §C£_(-2)‹=-160 ⑵ {x+;y@;} 7 의 전개식의 일반항은 r ¶Crx7-r {;y@;} =¶Cr2rx7-ry-r 항, 즉 xfiy-2항은 7-r=5일 때이므로 r=2 xfi y€ xfi y€ 따라서 의 계수는 ¶C™_2€=84 04 ⑴ (x€+1){x-;x!;} °=x€{x-;x!;} ° °+{x-;x!;} ㉠ ㉡ {x-;x!;} °의 전개식에서 일반항은 8Crx8-r {-;x!;} r =8Cr(-1)rx8-2r …… ① 1 ㉠의 전개식에서 상수항은 x€_{①의 항}일 때이다. 1 x€ 1 x€ 8C∞(-1)fix-2=- 56 x€ 따라서 상수항은 x€_{- 56 x€ }=-56 14 I. 경우의 수    06 (2x-1)fi의 전개식에서 일반항은 ∞Cr(2x)5-r(-1)r=∞Cr25-r(-1)rx5-r …… ㉠ (1+x)˜의 전개식에서 일반항은 nCr1n-rxr=nCrxr (2x-1)fi(1+x)˜의 전개식에서 x€항은 …… ㉡ +(㉠의 상수항)_(㉡의 x€항)이므로 ∞C£2€(-1)‹x€_1+∞C¢ 2x_nC¡x+(-1)fi_nC™x€ n(n-1) 2 -n€+21n-80 2 =-40x€+10nx€- x€= x€ ①에서 항은 8-2r=-2, 즉 r=5일 때이므로 (㉠의 x€항)_(㉡의 상수항)+(㉠의 x항)_(㉡의 x항) 이때 x€의 계수가 -13이므로 -n€+21n-80 2 =-13 n€-21n+54=0, (n-3)(n-18)=0 ∴ n=3 또는 n=18 따라서 자연수 n의 최솟값은 3이다. 07 ⑴ £C£+¢C£+∞C£+…+¡ºC£ =(¢C¢+¢C£)+∞C£+…+¡ºC£ (∵ £C£=¢C¢) =(∞C¢+∞C£)+§C£+…+¡ºC£ (∵ ¢C¢+¢C£=∞C¢) =(§C¢+§C£)+…+¡ºC£ (∵ ∞C¢+∞C£=§C¢) ⋮ =¡ºC¢+¡ºC£=¡¡C¢=330 ⑵ ™Cº+£C¡+¢C™+∞C£+…+¡¡Cª =(£Cº+£C¡)+¢C™+∞C£+…+¡¡Cª (∵ ™Cº=£Cº) =(¢C¡+¢C™)+∞C£+…+¡¡Cª (∵ £Cº+£C¡=¢C¡) =(∞C™+∞C£)+…+¡¡Cª (∵ ¢C¡+¢C™=∞C™) ⋮ =¡¡C8+¡¡Cª=¡™Cª=¡™C£=220 08 (1+x€)˜의 전개식에서 일반항은 nCr x2r이고 30) 01  ②  05  3  09  3  13  30  02  ②  06  ②  10  ④  14  ④  03  -672  04  ④ 07  ④  11  9  15  601  08  2640 12  119 16  127 01 (2x-a)fi의 전개식의 일반항은 ∞Cr(2x)5-r(-a)r=∞Cr25-r(-a)rx5-r x항은 5-r=1일 때이므로 r=4 x의 계수는 ∞C¢2a›=10a› ∴ p=10a› x€항은 5-r=2일 때이므로 r=3 x€의 계수는 ∞C£2€(-a)‹=-40a‹ ∴ q=-40a‹ p+q=10a›-40a‹=0, 10a‹(a-4)=0 ∴ a=4 (∵ a+0) 02 {ax‹-;x!;} fi의 전개식의 일반항은 ∞Cr(ax‹)5-r =∞Cra5-r(-1)rx15-4r r {-;x!;} x‹항은 15-4r=3일 때이므로 r=3 x‹의 계수는 ∞C£(-1)a€=-10a€ 이때 -10a€=-90이므로 a€=9 ∴ a=3 (∵ a>0) 03 {'x-;x@;} ·의 전개식의 일반항은 ªCr('x )9-r {-;x@;} =ªCr(-2)rx r 9-3r 2 상수항은 =0일 때이므로 r=3 9-3r 2 따라서 상수항은 ªC£(-2)‹=-672 04 {ax+;y!;} fi의 전개식의 일반항은 ∞Cr(ax)5-r =∞Cra5-rx5-ry-r r {;y!;} , 즉 x‹y-2항은 5-r=3일 때이므로 r=2 x‹ y€ x‹ y€ 의 계수는 ∞C™a‹=10a‹ 이때 10a‹=80이므로 a‹=8 ∴ a=2 05 {ax€-;x!;} fl의 전개식의 일반항은 §Cr(ax€)6-r {-;x!;} ‰=§Cra6-r(-1)rx12-3r 상수항은 12-3r=0일 때이므로 r=4 상수항은 §C¢a€=15a€ 06 (2x+1)‹의 전개식에서 일반항은 £Cr(2x)3-r1r=£Cr23-rx3-r …… ㉠ (x-3)›의 전개식에서 일반항은 ¢Crx4-r(-3)r (2x+1)‹(x-3)›의 전개식에서 x›항은 …… ㉡ (㉠의 x‹항)_(㉡의 x항)+(㉠의 x€항)_(㉡의 x€항) +(㉠의 x항)_(㉡의 x‹항)+(㉠의 상수항)_(㉡의 x›항)이므로 £Cº2‹x‹_¢C£(-3)‹x+£C¡2€x€_¢C™(-3)€x€ +£C™2x_¢C¡(-3)x‹+1_¢Cºx› =-864x›+648x›-72x›+x›=-287x› 따라서 x›의 계수는 -287이다. 07 (x+a)›의 전개식에서 일반항은 ¢Crx4-rar …… ㉠ {x-;x!;} ‹의 전개식에서 일반항은 £Crx3-r {-;x!;} r =£Cr(-1)rx3-2r …… ㉡ (x+a)› {x-;x!;} ‹의 전개식에서 x€항은 (㉠의 x항)_(㉡의 x항)+(㉠의 x‹항)_{㉡의 ;x!;항}이므로 ¢C£a‹x_£C¡(-1)x+¢C¡ax‹_£C™x-1 =-12a‹x€+12ax€=(-12a‹+12a)x€ 이때 -12a‹+12a=-72이므로 a‹-a-6=0 (a-2)(a€+2a+3)=0 ∴ a=2 08 (1+2x)˜의 전개식의 일반항은 nCr(2x)‰=nCr2rxr 이고 32) =1-P(X=3) =1-;3!;=;3@; 3 ⑴ 확률변수 X는 2개의 공을 동시에 꺼낼 때 나오는 흰 공의 개수이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1이다. ⑵ 흰 공 1개, 빨간 공 2개가 들어 있는 주머니에서 2개의 공을 동 시에 꺼내는 경우의 수는 £C™ 빨간 공만 2개 꺼내는 경우의 수는 ™C™이므로 P(X=0)= ™C™ £C™ =;3!; 흰 공 1개, 빨간 공 1개를 꺼내는 경우의 수는 ¡C¡_™C¡이므로 확률의 총합은 1이므로 P(X=1)= ¡C¡_™C¡ £C™ =;3@; ⑶ X P(X=x) 0 ;3!; 1 ;3@; 합계 1 6 ⑴ 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X P(X=x) 1 k 2 2k 3 3k 4 4k 5 5k 합계 1 k+2k+3k+4k+5k=1, 15k=1 ∴ k=;1¡5; ⑵ P(X=4)=;1¢5;, P(X=5)=;3!;이므로 P(X>4)=P(X=4)+P(X=5)=;1¢5;+;3!;=;1ª5;=;5#; 01 확률변수와 확률분포 39 연습 문제 본문 87 ~88 쪽 02 ② 06 ;2!0(; 10 ② 03 ④ 07 ;8#; 11 ⑤ 04 ③ 08 1 12 ;5$; 01 ① 05 ② 09 ;2!; 13 ;8#; 01 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 1 2 P(X=x) k+;7!; k+;7@; 3 k 4 k 5 k 합계 1 확률의 총합은 1이므로 k+;7!;+k+;7@;+k+k+k=1, 5k+;7#;=1 ∴ k=;3¢5; 02 확률의 총합은 1이므로 ;6!;+k+;3!;=1, k+;2!;=1 ∴ k=;2!; P(X€=1)=P(X=-1 또는 X=1) =P(X=-1)+P(X=1)=;6!;+;2!;=;3@; ∴ k_P(X€=1)=;2!;_;3@;=;3!; 03 확률의 총합은 1이므로 2k+;4!;+k+;4!;=1, 3k+;2!;=1 ∴ k=;6!; P(X=2)=;4!;, P(X=3)=;6!;이므로 P(210)=P(X=10)+P(X=11)+P(X=12) =;1¡2;+;1¡8;+;3¡6;=;6!; 참고 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 합계 P(X=x) ;3¡6; ;1¡8; ;1¡2; ;9!; ;3∞6; ;6!; ;3∞6; ;9!; ;1¡2; ;1¡8; ;3¡6; 1 06 확률변수 X는 6개의 제품 중 3개를 뽑을 때 나오는 불량품 의 개수이므로 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 각각의 확률은 £C£_£Cº §C£ £C¡_£C™ §C£ P(X=0)= =;2¡0;, P(X=1)= P(X=2)= =;2ª0;, P(X=3)= ∴ P(|X-2|<1)=P(-10)이므로 X-m r E(T)=E {20_ +100} =E { 20 r X- 20m r +100} = E(X)- +100 20m r 20 r = 20m r - 20m r +100=100 r(T)=r {20_ X-m r +100} =| 20 r |r(X)= 20 r _r=20 X P(X=x) 1 ;3!; 2 ;2!; 4 ;6!; 합계 1 ∴ E(X)=1_;3!;+2_;2!;+4_;6!;=2 ∴ E(2X+3) =2E(X)+3=2_2+3=7 46 III. 통계 10 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 4이고, 그 각각의 확 률은 각의 확률은 즉 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 -200, 100, 400이고, 그 각 P(X=1)=;6@;=;3!;, P(X=2)=;6#;=;2!;, P(X=4)=;6!; 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. P(X=-200)=;4!;, P(X=100)=;2!;, P(X=400)=;4!; 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 12 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하자. 앞면이 0개인 경우는 (T, T)의 1가지이고 X=-100-100=-200 앞면이 1개인 경우는 (H, T), (T, H)의 2가지이고 X=100_2-100=100 앞면이 2개인 경우는 (H, H)의 1가지이고 X=100_2+100_2=400 X -200 100 400 합계 P(X=x) ;4!; ;2!; ;4!; 1 ∴ E(X)=(-200)_;4!;+100_;2!;+400_;4!;=100 따라서 구하는 X의 기댓값은 100원이다. 13 5장의 카드 중 2장을 동시에 뽑는 경우의 수는 ∞C™=10 두 수의 차가 1인 경우는 (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)의 4가지 두 수의 차가 2인 경우는 (1, 3), (2, 4), (3, 5)의 3가지 두 수의 차가 3인 경우는 (1, 4), (2, 5)의 2가지 두 수의 차가 4인 경우는 (1, 5)의 1가지 즉 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4이고, 그 각각의 확률 1, 2에서 X=1인 확률 P(X=1)은 P(X=1)= x 20 + x(10-x) 180 이때 P(X=1)=;1¢5;에서 x 20 + x(10-x) 180 =;1¢5; 양변에 180을 곱하면 9x+x(10-x)=48 x€-19x+48=0, (x-3)(x-16)=0 ∴ x=3 (∵ 01) =P(Z>0)-P(0k)= 20 1000 =0.02에서 P {Z> k-70 10 }=0.02 P(Z>0)-P {047)=P {Z> 47-41 6 }=P(Z>1) =P(Z>0)-P(0k)=0.07에서 P {Z> k-65 9 }=0.07 P(Z>0)-P {0-1)=P(-10) =P(01)=P(Z>0)-P(06)=P {Z> }=P(Z>0.5) =P(Z>0)-P(00) ∴ ab=;5@; O b 3 P(026)이므로 m= 12+26 2 =19 06 정규분포 N(10, 72)을 따르는 확률변수 X의 확률밀도함수 의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 x=10 에서 최댓값을 갖고, 직선 x=10에 대하여 대칭이다. 따라서 P(a-5rB=rC 따라서 옳은 것은 ④이다. 08 Z= X-47 3 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(441.5) =P(Z>0)-P(040)=P {Z> 40-30 5 }=P(Z>2) =P(Z>0)-P(0k)= 36 300 =0.12에서 P {Z> k-83 5 }=0.12 이때 주어진 표준정규분포표에서 P(053)이므로 =50, 즉 E(X)=50 m= 47+53 2 ㈏에 의하여 V(X)=E(X€)-{E(X)}€=2525-2500=25 ∴ r='ß25=5 ∴ P(X<60)=P(X<50+2_5) =P(Xk)=0.045에서 P {ZX> k-15 4 }=0.045 P(ZX>0)-P {01.62) =P(ZY>0)-P(090)=P(Y<160)이므로 P {ZX> 90-a 3 }=P {ZY< 160-2a 4 } 한편 P {ZY< 160-2a 4 }=P {ZY>- 160-2a 4 }이므로 90-a 3 =- 160-2a 4 10a=840 ∴ a=84 , 360-4a=6a-480 분포 N(0, 1)을 따른다. P(X>175)=P {Z> 175-164 5 } =P(Z>2.2) =P(Z>0)-P(0k)=0.1에서 P {Z> k-300 10 }=0.1 P(Z>0)-P {0- k-50 5 }=P(Z>2) E(X)=450_;3@;=300, V(X)=450_;3@;_;3!;=100 이때 450은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 즉 - k-50 5 =2이므로 k=40 따라서 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 분포 N(300, 10€)을 따른다. X-300 10 N(0, 1)을 따르므로 P(300159)=P {Z> 159-144 6 }=P(Z>2.5) =P(Z>0)-P(07)=P {Z> 7-10 3 }=P(Z>-1) =P(-10) =P(00) =0.3413+0.5=0.8413 05 100장의 복권 중 당첨 복권의 개수를 확률변수 X라 하면 구 입한 복권 1장이 당첨 복권일 확률은 ;1™0;=;5!;이므로 X는 이항분 08 승객 400명 중 실제로 탑승하는 승객의 수를 확률변수 X라 하면 승객 한 명이 실제 탑승할 확률은 0.8이므로 X는 이항분포 포 B {100, ;5!;}을 따른다. B(400, 0.8)을 따른다. ∴ E(X)=100_;5!;=20, V(X)=100_;5!;_;5$;=16 ∴ E(X)=400_0.8=320, V(X)=400_0.8_0.2=64 이때 400은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 분포 N(320, 8€)을 따른다. 분포 N(20, 4€)을 따른다. X-20 4 N(0, 1)을 따른다. 따라서 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 ∴ P(X>24)=P {Z> 24-20 4 }=P(Z>1) =P(Z>0)-P(036)=P Z> { 36-27 ;2(; =P(Z>2) } =P(Z>0)-P(0a)=0.02에서 P(X>a)=P {Z> }=0.5-P {00이어야 한다. 즉 D=(-5)€-4(2+a)=17-4a>0 하면 X는 이항분포 B {48, ;4!;}을 따르므로 E(X)=48_;4!;=12, V(X)=48_;4!;_;4#;=9 따라서 주사위의 눈의 수가 1, 2, 3, 4일 때 주어진 직선과 곡선이 이때 48은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분 서로 다른 두 점에서 만나므로 사건 A가 일어날 확률은 ;6$;=;3@; ∴ a<;;¡4¶;;=4.25 이다. 따라서 Z= 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 한 개의 주사위를 450번 던지는 시행에서 사건 A가 일어나는 횟 포 N(12, 3€)을 따른다. X-12 3 N(0, 1)을 따른다. ∴ (주어진 식)=P(X=6)+P(X=7)+…+P(X=21) =P(6290)=P {Z> 290-300 10 }=P(Z>-1) =P(-10) =P(00) =0.3413+0.5=0.8413 11 100번의 시행 중 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X, 뒷면이 나오는 횟수를 확률변수 Y라 하면 X+Y=100 …… ㉠ 점수가 100점인 경우는 3X-2Y=100 …… ㉡ 13 정사면체 모양의 상자 2개를 동시에 던졌을 때, 바닥에 닿은 면에 적힌 두 눈의 수의 곱이 홀수인 경우는 두 상자에 적힌 숫자가 모두 홀수일 때이다. 따라서 사건 A가 일어날 확률은 ;4@;_;4@;=;4!; 1200번의 시행에서 사건 A가 일어나는 횟수를 확률변수 X라 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 X=60, Y=40 즉 게임을 100번 독립적으로 시행한 후의 점수가 100점 이상이 하면 X는 이항분포 B {1200, ;4!;}을 따른다. 려면 X>60이어야 한다. 이때 X는 이항분포 B {100, ;2!;}을 따르므로 E(X)=100_;2!;=50, V(X)=100_;2!;_;2!;=25 이때 100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규 분포 N(50, 5€)을 따른다. X-50 5 N(0, 1)을 따른다. 따라서 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 ∴ P(X>60)=P {Z> 60-50 5 }=P(Z>2) =P(Z>0)-P(02) =P(Z>0)-P(032)=P {Z> 32-30 1 }=P(Z>2) =P(Z>0)-P(01)=P(Y” P { 1-0 4 3 ZY< =P { } a-3 1 2 } 오른쪽 표준정규분포곡선에서 P {ZX>;4#;}=P {ZX<-;4#;} 이므로 ㉠에서 P {ZX<-;4#;}=P(ZY<2(a-3)) 즉 -;4#;=2(a-3)이므로 a=;;™8¡;; ∴ P {ZX>;4#;}=P(ZY<2(a-3)) …… ㉠ N(80, 1€)을 따른다. X”-80 1 N(0, 1)을 따른다. 한편 불량품으로 분류하는 상자의 귤 100개의 무게의 합이 7800g 이하이므로 그 평균은 78g 이하이다. 따라서 불량품이 될 확률은 P(X”<78)=P {Z< 78-80 1 } =P(Z<-2)=P(Z>2) =P(Z>0)-P(00.6826 이므로 P(7.760.6826에서 2P {00.3413 >1, 'n>5 ∴ n>25 따라서 구하는 n의 최솟값은 25이다. 62 III. 통계 08 모평균의 추정 유제 유제 본문 130 ~132쪽 01 표본평균 x”=50, 표본의 크기 n=49, 표준편차 r=7이므로 모평균 m의 신뢰도 95%인 신뢰구간은 50-1.96_ 9.8 ∴ n>96.04 10 'n 10 'n  48.0412.9 ∴ n>166.41 따라서 표본의 크기의 최솟값은 167이다.  97  167 01 ② 04 ⑤ 08 72 02 23220 5 'n ∴ n>400 따라서 표본의 최소 크기는 400이다. 참고 보통 모평균을 신뢰도 99%로 추정할 때 2.58을 사용하는 이유는 P(-2.5811.76 9 'n ∴ n>138.2976 따라서 구하는 n의 최솟값은 139이다. 07 신뢰도에 따른 신뢰구간 x”-k_ 8 10 'n ∴ n>64 따라서 표본의 크기는 최소 64 이상이어야 한다. 64 III. 통계 이때 신뢰도를 그대로 유지하면서 신뢰구간의 길이가 4 이하가 또 표본의 크기가 n인 신뢰도 99%의 신뢰구간 c6.3 ∴ n>39.69 따라서 표본의 크기의 최솟값은 40이다. 11 작년에 운행된 택시의 연간 주행거리를 확률변수 X라 하고, 모표준편차를 r라 하면 X는 정규분포 N(m, r€)을 따르므로 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) Z= X-m r 을 따른다. 표본평균이 x”, 모표준편차가 r, 표본의 크기가 16이므로 모평균 m의 신뢰도 95%인 신뢰구간은 x”-1.96_