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문제집/고등

2019년 천재교육 수학의 힘 유형 베타 수학 2 답지

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정답과 해설 수학의 힘 유형 β I함수의 극한과 연속 II미분 III적분 1 2 함수의 극한 함수의 연속 002 016 3 4 5 6 미분계수와 도함수 도함수의 활용 ⑴ 도함수의 활용 ⑵ 도함수의 활용 ⑶ 030 045 061 079 부정적분 정적분 7 8 9 정적분의 활용 095 106 120 1 함수의 극한 본책 6쪽~22쪽 으로 놓으면 y=f(x)의 그래프 ` y=f(x) 0007  ¦ f(x)=2xÛ 에서 lim ¦ x Ú =¦ 2xÛ ` STEP1 기초 Build 0001  1 f(x)=2x+1로 놓으면 y=f(x)의 그래 프에서 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므로 lim 0 x Ú (2x+1)=1 0008  -¦ f(x)=x-2로 놓으면 y=f(x)의 그래프에서 lim -¦ x Ú (x-2)=-¦ y 1 O y=f(x) x f(x)=1+ 으로 놓으면 y=f(x)의 y=f(x) ` 0002  2 f(x)=xÛ -2로 놓으면 y=f(x)의 그 래프에서 x의 값이 2에 한없이 가까워 질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워 지므로 lim (xÛ 2 x Ú -2)=2 ` y 2 O -2 x 2 y=f(x) 0009  1 3 x-2 그래프에서 1+ lim x Ú ¦{ 3 x-2 } =1 0003  1 -2 x-1 f(x)= lim -1 x Ú -2 x-1 =1 로 놓으면 y=f(x)의 그래 y 프에서 x의 값이 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므로 y=f(x) 1 1 x -1 O 0010  0 3 1-x f(x)= 프에서 lim -¦ x Ú 3 1-x =0 으로 놓으면 y=f(x)의 그래 'Ä 0004  2 f(x)= x+1로 놓으면 y=f(x)의 그 래프에서 x의 값이 3에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므로 lim 3 x Ú x+1=2 'Ä y=f(x) y 2 1 -1 O x 3 0011  ⑴ -1 ⑵ 2 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므 로 ⑴ lim 1- x ⑵ lim 1+ x f(x)=-1 f(x)=2 Ú Ú y 2 O -1 y=f(x) 1 x y O y O -2 y 1 O x y=f(x) x 2 2 x y 3 x O 1 y=f(x) 0005  ¦ 1 xÛ` f(x)=1+ 로 놓으면 y=f(x)의 그래프에서 1 xÛ` } =¦ lim x Ú 1+ 0{ 0006  -¦ f(x)=- 로 놓으면 1 |x| y=f(x)의 그래프에서 1 |x| } =-¦ lim x Ú - 0{ 002 | Ⅰ 함수의 극한과 연속 y 1 O y O y=f(x) x x y=f(x) Ú Ú f(x)=1 f(x)=0 f(x)=0 0012  풀이 참조 ⑴ lim 1- x ⑵ lim 1+ x ⑶ lim 2- x ⑷ lim 2+ x Ú ⑸ lim f(x)=0 1 x Ú ⑹ lim 2- x Ú 는다. f(x)=0 x Ú Ú 0013  -1 lim 1 x Ú (x-2)=1-2=-1 f(x)+ lim 2+ f(x)이므로 lim 2 Ú x f(x)의 값은 존재하지 않 +1)=2(-2Û +1)=-6 ` = -3 -1 =3 -3x+1= -3´(-1)+1=2 "à   (x-2)(x+3) x-2 (x+3)=5 =lim  2 x   Ú =lim  2 x   Ú   =lim  1 x   Ú =lim  1 x   Ú (x-1)(xÛ +x+1) ` x-1 (xÛ +x+1)=3 ` =lim  2 x   Ú =lim  2 x   Ú x(x-2) (x+1)(x-2) x x+1 = ;3@; 0014  -6 lim  x(-xÛ `  2 x   Ú 0015  3 x-3 xÛ`-1 lim  0 x   Ú   0016  2 lim x   Ú  -1'Ä 0017  5 xÛ   lim  2 x   Ú ` +x-6 x-2 0018  3 xÜ -1 ` x-1 lim  1 x   Ú   0019  ;3@; xÛ`-2x xÛ`-x-2 lim  2 x   Ú   0020  ;2!; 'Ä x+3-1 x+2 lim  -2 x   Ú 0021  2 x x+1-1 lim  0 x   Ú   'Ä               = lim  -2 x   Ú = lim  -2 x   Ú = lim  -2 x   Ú ( 'Ä x+3-1)( (x+2)( 'Ä x+2 x+3+1) 'Ä x+3+1) 'Ä (x+2)( 1 x+3+1 'Ä x+3+1) = 1 1+1 ' = ;2!; x( x+1+1) x+1+1) =lim  0 x   Ú =lim  0 x   Ú =lim  0 x   Ú 'Ä x+1-1)( 'Ä x+1+1) ( 'Ä x( 'Ä x ( x+1+1)=2 'Ä 0022  0 lim  ¦ x   Ú 3x+2 2xÛ`-3x+1 = lim  ¦ x   Ú + ;[#; 2 xÛ` 2- + ;[#; 1 xÛ` =0 0023  ¦ xÛ +5 ` x+1 lim  ¦ x   Ú = lim  ¦ x   Ú x+ ;[%; 1+ ;[!; =¦ 0024  5 lim  ¦ x   Ú 5xÛ`+x+1 xÛ`+2 = lim  ¦ x   Ú 5+ + ;[!; 1 xÛ` 1+ 2 xÛ` =5             0025  ;5*; lim  -¦ x   Ú 8x+9 5x+7 = lim  -¦ x   Ú 8+ ;[(; 5+ ;[&; = ;5*; 0026  -3 lim  ¦ x   Ú 1-3xÛ ` (x+1)Û ` = lim  ¦ x   Ú = lim  ¦ x   Ú 1-3xÛ` xÛ`+2x+1 1 xÛ` -3 1+ + ;[@; 1 xÛ` =-3 0027  0 ( lim  ¦ x   Ú 'Ä x+2- x-2)= lim  ¦ Ú x   'Ä x-2 x+2-x+2 x+2+ 4 x+2+ 'Ä x-2 'Ä 'Ä 'Ä =0 = lim  ¦ x   Ú 0028  2 lim  ¦ x   Ú ( xÛ +4x-x)= lim  ¦ Ú x   ` "à +4x-xÛ xÛ ` ` +4x+x xÛ "à "à ` ` 4x 4 xÛ +4x+x 1+ +1 ;[$; ®É =2 = lim  ¦ x   Ú = lim  ¦ x   Ú 0029  -1 lim  0 x   Ú   ;[!;{ 1+ 1 x-1 } =lim  0 x   Ú   ;[!; ´ x x-1 =lim  0 x   Ú   1 x-1 =-1 0030  -8 lim  ¦ x   Ú 2x { 1- x+1 x-3 } = lim  ¦ x   Ú  2x´ -4 x-3 8x x-3 = lim  ¦ x   - Ú =-8 0031  a=3, b=3 x    -1일 때 (분모)   2Ú (분자)   2Ú  0이다. 즉,  lim  -1 x   Ú 2Ú ∴ b=a 위의 식을 주어진 식에 대입하면 a(x+1) x+1 ax+a x+1 = lim  -1 x   Ú lim  -1 x   Ú ∴ a=3, b=3 =a=3 0032  a=0, b=-1 x   2Ú  1일 때 (분자)    0이다.  +ax+b)=0이므로 1+a+b=0 2Ú (분모)   즉, lim  1 x   Ú ∴ b=-a-1 위의 식을 주어진 식에 대입하면 2Ú (xÛ `  0이고 극한값이 존재하므로  (ax+b)=0이므로 -a+b=0  0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로  1 함수의 극한 | 003 함수의 극한1 lim 1 x Ú x-1 xÛ`+ax-a-1 =lim 1 x Ú x-1 (x-1)(x+a+1) ∴ a=0, b=-1 =lim 1 x Ú 1 x+a+1 = 1 a+2 = ;2!; -1)=-1이므로 함수의 극한의 이므로 함수의 극한의 대소 관계 0033  -1 lim (-xÛ ` 0 x Ú 대소 관계에서 lim 0 Ú x -1)=-1, lim 0 x Ú f(x)=-1 (2xÛ ` 0034  ;5@; 2x+3 5x+2 lim ¦ x Ú = lim ¦ x Ú 2x+7 5x+1 = ;5@; 에서 lim ¦ x Ú f(x)= ;5@; STEP2 유형 Drill 유형 01 함수의 극한값이 존재하기 위한 조건 본책 10쪽 우극한과 좌극한을 각각 구하여 비교한다. ⑴ 두 값이 같으면 극한값이 존재한다. ⑵ 두 값이 다르거나 수렴하지 않으면 극한값이 존재하지 않는다. f(x)의 값은 존재하지 않는다. f(x)=1 f(x)=¦이므로 lim 0 Ú 0035  ㄴ, ㄹ ㄱ. lim 0 x Ú ㄴ. lim 1- x ㄷ. lim 3- x 하지 않는다. ㄹ. 1Éa<3인 실수 a에 대하여 lim a Ú f(x)=1, lim 1+ f(x)=0, lim 3+ x x x Ú Ú Ú Ú x f(x)=1이므로 lim 1 Ú f(x)=1이므로 lim 3 Ú x x 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. f(x)의 값은 항상 존재한다. f(x)=¦에서 ¦는 일정한 값이 아닌 한없이 커지는 상태를 f(x)의 값은 존재하지 않는다. (1-x)=-¦이므로 lim ¥ Ú x (1-x)의 값은 존재하지 않 y 4 y=f(x) -1 O x 로 놓으면 y=f(x)의 그 ㄴ. f(x)= ∴ lim ¦ 4x x+1 래프는 오른쪽 그림과 같다. 4x x+1 Ú |x-2|= lim ㄷ. lim 2- 2- x Ú |x-2|= lim lim 2+ 2+ x Ú 이므로 lim 2 Ú x Ú |x-2|=0 =4 x x x Ú {-(x-2)}=0 (x-2)=0 004 | Ⅰ 함수의 극한과 연속 참고 ㄱ. lim 0 x Ú 나타내므로 lim 0 Ú x 0036  ② ㄱ. lim ¥ x 는다. Ú -(x+2)(x-2) x-2 {-(x+2)}=-4 |xÛ -4| ` x-2 ㄹ. lim 2- x Ú |xÛ -4| ` x-2 lim 2+ x Ú |xÛ = lim 2- x Ú = lim 2- x Ú = lim 2+ x Ú -4| 이므로 lim 2 Ú ` x-2 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다. x 의 값은 존재하지 않는다. (x+2)(x-2) x-2 = lim 2+ x Ú (x+2)=4 0037  11 x -2- lim Ú lim Ú -2+ x 이때, lim -2 x Ú 이어야 하므로 8+2a+b=-3 f(x)= lim (2xÛ -ax+b)=8+2a+b f(x)= lim (x-1)=-3 ` x -2- Ú x -2+ Ú f(x)의 값이 존재하려면 f(x)= lim f(x) lim Ú -2- x x -2+ Ú ∴ -2a-b=11 0038  p 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.  f(x)= lim p- {|;@; x Ú x | -2 =0 } -p  f(x)= lim p+ x   {;{; +1 =2 } Ú  f(x)의 값은 존재하지 않는다. lim p- x Ú lim p+ x Ú 이므로 lim p Ú x ∴ a=p y=f(x) p x y 2 O -2 0039  ② lim 0 x Ú =1+2+(-1)=2 f(x)+ lim 1- x Ú f(x)+lim 2 Ú x f(x) 0040  ④ a>2에서 |x-a|-(a-1) x-1 lim 1 x Ú =lim 1 x Ú =lim 1 x Ú -x+a-(a-1) x-1 -x+1 x-1 =-1 0041  0 lim 1- x Ú lim 1+ x Ú f(x)= lim 1- x f(x)= lim 1+ x Ú Ú (x-1)(x-2) -(x-1) (x-1)(x-2) x-1 = lim 1- x Ú = lim 1+ x Ú -(x-2)=1 (x-2)=-1 이므로 p=1, q=-1 ∴ p+q=0 유형 02 함수의 극한값 구하기 본책 10쪽 ⑴ lim a+ x Ú f(x)= lim a- x  f(x)=L HjK ⑵ 절댓값 기호를 포함한 함수는 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x Ú  f(x)=L lim a x Ú f(x)의 값은 존재 의 값을 기준으로 구간을 나누어 함수의 식을 구한 후 극한값을 구한다. 0042  ⑤ 1-x=t로 놓으면 x f(1-x)= lim lim 0- 1+ x Ú ∴ lim 1+ x t Ú f(x)f(1-x)= lim 1+ 2Ú f(t)=2 x Ú Ú =1´2=2 1+일 때 t 0-이므로 2Ú f(x)´ lim 1+ x Ú f(1-x) 0043  -3 정의역에 속하는 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 -2ÉxÉ2에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ∴ lim f(x) x Ú f(x)+ lim 2- =-1+(-2)=-3 -1-2 -1+ 2 1 O x x y 1 2 Ú -1 -2 유형 03 합성함수의 극한값 구하기 본책 11쪽 g(f(x))의 값은 f(x)=t로 놓고 다음을 이용하여 구한다. lim a+ x Ú ⑴ x 2Ú lim a+ x Ú ⑵ x 2Ú lim a+ x Ú ⑶ x 2Ú lim a+ x Ú a+일 때, t 2Ú g(f(x))= lim b+ t a+일 때, t 2Ú g(f(x))= lim b- Ú t Ú b+이면  g(t) b-이면  g(t) a+일 때, t=b이면 g(f(x))=g(b) 0044  ㄴ, ㄷ ㄱ. g(x)=t로 놓으면 x f(g(x))= lim 0+ ㄴ. f(x)=t로 놓으면 x g(f(x))= lim lim 1 x Ú Ú t lim 1- x Ú ∴ lim 1- x Ú g(f(x))=g(0) 1일 때 t 0+이므로 2Ú f(t)=1 2Ú 1-일 때 t 2-이므로 2Ú g(t)=1이고, g(0)=1 2Ú t 2- Ú 2+일 때 t 1+이므로 2Ú ㄷ. g(x)=t로 놓으면 x f(g(x))= lim 2Ú f(t)=1 lim 2+ x Ú t 1+ Ú ㄹ. lim 1- x f(x)=2이므로 g{ 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. Ú lim 1- x Ú f(x) =g(2)=1 } 1+일 때 0045  ⑤ 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같 다. f(x)=t로 놓으면 x 1+이므로 t 2Ú f(f(x))= lim lim 1+ 1+ x Ú 1-일 때 t 또, x 2Ú f(f(x))= lim lim 0+ 1- x Ú ∴ lim 1+ x f(f(x))+ lim 1- 2Ú f(t)=1 0+이므로 f(t)=1 2Ú f(f(x))=1+1=2 x Ú Ú t t Ú Ú y=f(x) y 1 O 1 x y=f(x) -1 O 1 x y 1 -1 1-일 때 0046  1 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. f(x)=t로 놓으면 x t 2Ú lim 1- x Ú 또, x lim 0+ x Ú ∴ lim 1- x -1+이므로 f(f(x))= lim -1+ 0+일 때 t 2Ú f(f(x))= lim 0- t f(f(x))- lim 0+ 2Ú f(t)=0 0-이므로 f(t)=1 2Ú x Ú Ú t Ú Ú 0047  -2 f(f(x))=1-0=1 f(x)=t로 놓으면 x - +일 때 t -1+이므로 2Ú f(f(x))= lim -1+ t Ú ;2#; f(t)= lim -1+ t Ú 2Ú (tÛ ` lim - ;2#; Ú x + -t-k)=2-k 또, x - -일 때 t -1-이므로 2Ú ;2#; lim - ;2#; Ú x - f(f(x))= lim -1- t Ú 2Ú f(t)= lim -1- t Ú (2t+2)=0 f(f(x))의 값이 존재하므로 이때, lim - ;2#; x Ú 2-k=0 따라서 x lim 0 x Ú 0048  4 t t-1 t 2Ú f { lim ¦ t Ú -2t+2 2t+1 ∴ k=2 0일 때 t -2이므로 2Ú f(f(x))= lim -2 t Ú 2Ú f(t)= lim -2 t Ú (2t+2)=-2 =m으로 놓으면 m=1+ 에서 1 t-1 ¦일 때 m t t-1 } 2Ú = lim 1+ m Ú 1+이므로 f(m)=3 =n으로 놓으면 n=-1+ 3 2t+1 에서 -1+이므로 t 2Ú f { lim ¦ t Ú ∴ lim ¦ t Ú 2Ú ¦일 때 n -2t+2 2t+1 } t t-1 } f { = lim n Ú -1+ f(n)=1 +lim ¦ t Ú f { -2t+2 2t+1 } =3+1=4 유형 04 가우스 기호를 포함한 함수의 극한값 구하기 본책 12쪽 [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수일 때, 정수 n에 대하여 ⑴ nÉx0) 0084  -1 x=-t로 놓으면 x lim axÛ -¦ x Ú "à ( ` -¦일 때 t 2Ú -bx+1+x)=lim ¦ t ( "à ㉠의 극한값이 존재하려면 a-1=0 a=1을 ㉠에 대입하면 ¦이므로 +bt+1-t) 2Ú atÛ "à ` (a-1)tÛ ` atÛ ` ∴ a=1 +bt+1 +bt+1+t Ú =lim ¦ t Ú bt+1 tÛ +bt+1+t "à ` =lim ¦ t Ú b+ ;t!; 1 tÛ` 1+ + ;tB; ¾¨ +1 = ;2B; =1에서 b=2이므로 a-b=-1 lim ¦ t Ú ;2B; yy ㉠ lim ¦ x Ú =2에서 f(x)는 이차항의 계수가 2인 이차식이다. f(x) xÛ -2 ` f(x) x-1 하므로 (분자) 즉, f(x)=2(x-1)(x+a) (a는 상수)로 놓을 수 있으므로 2Ú 0이다. 1일 때 (분모) ∴ f(1)=0 =7에서 x lim 1 x Ú 0이고 극한값이 존재 2Ú 2Ú f(x) x-1 lim 1 x Ú =lim 1 x Ú =lim 1 x Ú 2(x-1)(x+a) x-1 2(x+a)=2(1+a) 2(1+a)=7에서 a= ;2%; 따라서 f(x)=2(x-1) ;2%;} 구하는 나머지는 f(2)=1´9=9 x+ { =(x-1)(2x+5)이므로 다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면 0085  ;2#; lim ¦ x Ú f(x)= lim ¦ Ú lim 0 x Ú f(x)=lim 0 Ú x axÛ`+bx+c xÛ`+x xÛ`+bx+c xÛ`+x 0일 때 (분모) 0이다. 2Ú x 에서 x (분자) 2Ú 2Ú 010 | Ⅰ 함수의 극한과 연속 =1이므로 a=1 =2 yy ㉠ 0이고 극한값이 존재하므로 Lecture 나머지정리 ⇨ R=f(a) 0088  6 f(x) x   lim  0 x   Ú =1, lim  1 Ú x     f(x) x-1 =1에서 각각 (분모)    0이고 극한값 2Ú 이 존재하므로 (분자)   ∴ f(0)=0, f(1)=0 즉, f(x)=x(x-1)Q(x) (Q(x)는 다항식)로 놓을 수 있다.  0이다. 2Ú lim  1 x   Ú lim  0 x   Ú yy ㉠  xQ(x)=1 =lim  1 x   Ú =lim  1 x   Ú =lim  0 x   Ú (x-1)Q(x)=1 x(x-1)Q(x) x-1 x(x-1)Q(x) x f(x) =lim x  0 x   Ú ∴ Q(0)=-1  f(x) x-1 ∴ Q(1)=1  yy ㉡ ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 다항식 Q(x) 중 차수가 가장 낮은 것은  일차식이므로 Q(x)=ax+b (a, b는 상수)로 놓으면  ㉠, ㉡에서 b=-1, a+b=1  따라서 g(x)=x(x-1)(2x-1)이므로 g(2)=6 참고 Q(x)의 차수가 낮을수록 f(x)의 차수도 낮다.  ∴  a=2, b=-1 0089  22 =t로 놓으면 x  2   Ú ;[!;  0+일 때 t    ¦이므로  2Ú  f(t)-1 1 tÜ` 1 tÜ` + ;t!; xÜ`f  -1 {;[!;} xÜ`+x lim  0+ x   Ú =lim  ¦ t   Ú =lim  ¦ t   Ú f(t)-tÜ 1+tÛ ` ` =5 따라서 f(t)는 삼차항의 계수가 1, 이차항의 계수가 5인 삼차식이 다. 즉, f(x)=xÜ ` f(x) +x-2 +ax+b (a, b는 상수)로 놓을 수 있다.  1일 때 (분모)    0이고 극한값이  에서 x   +5xÛ 2Ú 2Ú = ;3!; xÛ   ` lim  1 x   Ú +ax+b)=0이므로 6+a+b=0  yy ㉠ `  0이다. 2Ú 존재하므로 (분자)   즉, lim (xÜ  1 x   Ú ∴ b=-a-6  ㉠을 주어진 식에 대입하면 +5xÛ ` ` f(x) +x-2   lim  1 x   Ú xÛ `     =lim  1 x   Ú =lim  1 x   Ú =lim  1 x   Ú ` xÜ +5xÛ xÛ (x-1)(xÛ +ax-a-6 ` +x-2 ` +6x+a+6) ` (x-1)(x+2) xÛ ` +6x+a+6 x+2 = a+13 3 -1ÉxÛ f(x)É4xÛ +2의 각 변을 xÛ ` 으로 나누면 ` 0090  4 x>0일 때, 4xÛ ` 4xÛ`-1 xÛ` Éf(x)É ` 4xÛ`+2 xÛ` 이때, lim  ¦ x   Ú 4xÛ`-1 xÛ` = lim  ¦ x   Ú 4xÛ`+2 xÛ` =4이므로  f(x)=4 lim  ¦ x   Ú 0091  ;4!; xÛ`-x 4xÛ`+1 lim  ¦ x   Ú lim  ¦ x   Ú  f(x)= ;4!; 0092  7 x>- ;7!; (7x+1)Û ` 각 변을 7xÛ (7x+1)Û +2 7xÛ ` 이때, lim  ¦ x   ` Ú ` =7 lim  ¦ x   Ú { f(x)}Û +2 7xÛ ` ` = ;4!; , lim  ¦ x   Ú xÛ`+3x 4xÛ` = ;4!; 이므로   일 때, 7x+12f(x)=4이므로 g(x)=1+f(x) ∴ lim {1+f(x)}=1+2=3 5- 5+일 때, 함수 f(x)는 1에서 5까지의 자연수 중에서 홀 g(x)= lim Û x 5- x x Ú Ú 2Ú 수의 개수이므로 f(x)=3 이때, x<2f(x)=6이므로 g(x)=1-f(x) ∴ lim 5+ {1-f(x)}=1-3=-2 g(x)= lim 5+ x 0100  ㄱ, ㄴ TIP lim a Ú f(x)=L HjK x f(x)=1, lim 1- x Ú 1- g(x)=1이므로 lim f(x)= lim a+ a- x Ú f(x)=-1, lim 1+ x x Ú Ú f(x)=L임을 이용한다. g(x)=-1, lim 1+ x Ú lim x Ú ㄱ. lim 1+ x Ú lim 1- x Ú ∴ lim 1 Ú x ㄴ. lim 1+ x Ú lim 1- x Ú ∴ lim 1 Ú x lim 1+ x Ú lim 1- x Ú lim 1+ x Ú { f(x)+g(x)}= lim { f(x)+g(x)}= lim f(x)+ lim 1+ f(x)+ lim 1- x Ú x Ú x 1+ Ú x 1- Ú g(x)=1-1=0 g(x)=-1+1=0 { f(x)+g(x)}=0 f(x)g(x)= lim x 1+ Ú f(x)g(x)= lim 1- f(x)g(x)=-1 x Ú f(x)´ lim 1+ x f(x)´ lim 1- Ú x Ú g(x)=1´(-1)=-1 g(x)=-1´1=-1 ㄷ. f(x)=t로 놓으면 x x 1-일 때 t 2Ú g(f(x))= lim 2Ú 2Ú -1+이므로 g(t)=1 1+일 때 t 1-, 2Ú g(f(x))= lim g(t)=-1 t 1- Ú t -1+ Ú x 1- Ú g(f(x))+ lim g(f(x))이므로 lim g(f(x))의 값은 x 1 Ú 존재하지 않는다. 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ이다. 0097  ⑤ 선분 OA와 원의 교점을 B, 원과 직선 y=x의 교점을 C라 하면 원 의 반지름의 길이는 선분 AC의 길이와 같다. 이때, 선분 AC의 길 Ú x Ú Ú, Û에 의하여 lim 5- x Ú g(x)- lim x Ú 5+ g(x)=3-(-2)=5 이는 점 A a, a+ { ;a!;} 과 직선 x-y=0 사이의 거리와 같으므로 2  g(f(x))의 값은 f(x)=t로 놓고 좌극한과 우극한의 값을 비교하  0+일 때 t    0+, x    0-일 때  2Ú 2Ú 2Ú x 0101  ④ TIP lim a Ú 여 구한다. ㄱ. f(x)=t로 놓으면 x      0-이므로  g(f(x))= lim   t   2Ú lim  0+ x   Ú lim  0- x   Ú lim  0+ x   Ú  g(t)=-2  g(f(x))= lim  g(t)=0 t    0+ Ú t    0- Ú x    0- Ú   존재하지 않는다. ㄴ.  f(x)=t로 놓으면 x   t=1이므로                 g(f(x))+ lim  g(f(x))이므로  lim  g(f(x))의  값은  x    0 Ú  2+일 때 t=-1, x    2-일 때  2Ú 2Ú   lim  2+ x   Ú   ∴ lim  2 Ú ㄷ. 2k+ x   ;[!;  g(f(x))=g(-1)=1,  lim  g(f(x))=g(1)=1 x    2- Ú  g(f(x))=1 =t로 놓으면 x    ¦일 때 t    2k+이고  2Ú 2Ú f(x+4)=f(x)이므로  lim  ¦ x   Ú  g{  f  { 6+ ;[!;}}     lim  ¦ x   Ú  g{  f  { 8+ ;[!;}} = lim  ¦ x   Ú = lim  2+ t   Ú = lim  ¦ x   Ú = lim t   Ú   ∴  lim  ¦ x     Ú  g{  f  { 2k+ ;[!;}} 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ;K4+!  { 2+  g{  f  g(f(t))=1 (∵ ㄴ) ;[!;}}  g{  f 4+  { ;[!;}}  0+g(f(t))=-2 (∵ ㄱ) Ú = lim  ¦ x    g{  f  {;[!;}} =1+(-2)+1+(-2)=-2 0102  3 TIP 정수 n에 대하여 n=n+1임을 이용 한다. lim  1+ x   Ú   ([x]-2)+ lim  ([x]+2)=(1-2)Û +(0+2)Ú x    1- Ú ` =1+2=3 ` 0103  ① TIP 주어진 식의 분자, 분모에 f(x)를 곱하여 식을 변형한다.   lim  0 x   Ú x f(x) =1에서 x    0일 때 (분자)    0이고 0이 아닌 극한 2Ú 2Ú  1일 때 (분자)    0이고 0이 아닌 극한 2Ú  0이다.   f(x)=0이므로 f(0)=0 2Ú 값이 존재하므로 (분모)   즉, lim  0 x   Ú x-1 f(x) =2에서 x   lim  1 x   Ú   2Ú 값이 존재하므로 (분모)   즉, lim  1 x   Ú f(f(x))  f(x)=0이므로 f(1)=0  0이다.  2Ú   lim  1 x   Ú 2xÛ -x-1 ` =lim  1 x   Ú   =lim  1 x   Ú   =lim  1 x   Ú   f(f(x)) (2x+1)(x-1) f(f(x))f(x) (2x+1)(x-1)f(x) f(x) f(f(x)) x-1 f(x) ´lim  1 x   Ú   ´lim  1 x   Ú 1 2x+1   yy㉠           이때, f(x)=t로 놓으면 x    1일 때 t    0이므로 ㉠에서 f(t) t lim  0 t   Ú ´lim  1 x   Ú f(x) x-1 ´lim  1 x   Ú 1 2x+1 =1´ ´ ;2!; ;3!; = ;6!; 2Ú 2Ú a일 때 (분모) 0이고 극한값이 존재하면 (분자) 0이다. Ú  1일 때 (분모)    0이고 극한값이 존 2Ú 0104  ① TIP x Ú g(x)-2x x-1 Ú 에서 x   lim  1 x   Ú 2Ú  0이다.   {g(x)-2x}=0이므로 g(1)=2 2Ú 재하므로 (분자)   즉, lim  1 x   Ú f(x)+x-1=(x-1)g(x)에서  f(x) =(x-1)g(x)-(x-1)=(x-1){g(x)-1} ∴ lim  1 x   Ú f(x)g(x) -1 xÛ ` =lim  1 x   Ú =lim  1 x   Ú xÛ (x-1){g(x)-1}g(x) -1 ` (x-1){g(x)-1}g(x) (x+1)(x-1) {g(x)-1}g(x) x+1 =lim  1 x   Ú (2-1)´2 2 = =1 0105  26 TIP 분모를 유리화하고 주어진 식이 0이 아닌 극한값을 가지는 조건을 이용 하여 n의 값을 구한다. xÞ +6xÜ ` ` x+4-2) lim  0 x   Ú xn( 'Ä x+4+2) x+4+2) 'Ä x+4+2) =lim  0 x   Ú =lim  0 x   Ú =4 lim  0 x   Ú xn( (xÞ ` )( (xÞ 'Ä +6xÜ +6xÜ ` 'Ä ` x+4-2)( )( 'Ä xn+1 xÞ`+6xÜ` xn+1 =4 lim x   `  0 Ú xÜ`(xÛ`+6) xn+1 이때, 0이 아닌 극한값이 존재하려면 분모가 삼차식이어야 한다.  즉, n+1=3이므로 n=2 ∴ (주어진 식)=4 lim  0 Ú x   xÜ`(xÛ`+6) xÜ` =4lim  0 x   Ú  (xÛ +6)=24 ` 따라서 n=2, a=24이므로 n+a=26 0106  -36 TIP x Ú -x-2=(x+2)(x+1)(x-1)이므로 f(x)=xÜ ` f(x)=0의 세 근은 x=-2 또는 x=-1 또는 x=1이다. a일 때 (분모) +2xÛ 0이고 극한값이 존재하면 (분자) Ú Ú ` 0이다. =p에서 x    a일 때 (분모)    0이고 극한값이 존재 2Ú  0이다. 즉, lim  a Ú x   2Ú 2Ú  f(x)=0이므로  =q에서 x    b일 때 (분모)    0이고 극한값이 존재 하므로 (분자)    0이다. 즉, lim  b Ú x   2Ú 2Ú  f(x)=0이므로  f(x) x-a lim  a x   Ú 하므로 (분자)   f(a)=0  f(x) x-b lim  b x   Ú f(b)=0  f(x) x-c 하므로 (분자)   lim  c x   Ú f(c)=0  2Ú 2Ú =r에서 x    c일 때 (분모)    0이고 극한값이 존재  0이다. 즉, lim  c Ú x   2Ú 2Ú  f(x)=0이므로  yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ 1 함수의 극한 | 013 함수의 극한1 ㉠, ㉡, ㉢에서 a, b, c는 f(x)=0의 세 근이고 a0)으로 놓고 OQÓ를 t에 대한 식으로 나타 낸다. 점 A의 좌표를 (t, 2tÛ =t OAÓ= OAÓ=OPÓ이므로 P(t 두 점 A, P를 지나는 직선의 방정식은 )(t>0)이라 하면 4tÛ "à 4tÛ ` +1, 0) +(2tÛ +1 tÛ "à "à )Û ` ` ` ` ` y-2tÛ = ` -2tÛ 4tÛ ` +1-t t "à ` (x-t) 점 Q는 두 점 A, P를 지나는 직선의 y절편이므로 위의 식에 x=0 을 대입하면 2tÛ ` +1-1 2tÛ ` +1-1 "à ∴ Q ` 0, +2tÛ +2tÛ y= 4tÛ `} { ` 4tÛ "à O이면 t ` A 2Ú 0+이므로 2Ú 0113  ;5*; TIP 선분 PQ가 ∠APB를 이등분하므로 PAÓ:PBÓ=AQÓ:BQÓ임을 이용 ` +16으로 내분하는 점이므로 lim O A Ú OQÓ= lim 0+{ t Ú +2tÛ `} 4tÛ "à 4tÛ ` "à 2tÛ ` +1-1 ` 2tÛ ` +1-1 2tÛ ( "à +1-1)( 4tÛ ` ` +0 ( 4tÛ "à 4tÛ ` +1+1 2 ` "à =1 = lim 0+ t Ú = lim 0+ t Ú = lim 0+ t Ú +1+1) 4tÛ "à ` +1+1) ` ` tÛ "à +16 +1, PBÓ= 하여 f(t)를 t에 대한 식으로 나타낸다. PAÓ= tÛ "à 이때, 선분 PQ가 ∠APB를 이등분하므로 AQÓ:BQÓ=PAÓ:PBÓ= +16 즉, 점 Q는 선분 AB를 점 Q의 y좌표는 +1: ` +1: tÛ "à tÛ "à tÛ "à tÛ "à ` ` f(t)= ∴ lim 0 t Ú ` 4 +1+ tÛ ` "à +1+ tÛ "à +16 tÛ ` "à +16 tÛ ` "à tÛ +1+ 4 "à ` f(t)=lim +1+ tÛ 0 Ú "à ` 4+4 = 1+4 = ;5*; t +16 ` +16 tÛ "à tÛ "à ` Lecture 각의 이등분선의 성질 오른쪽 그림의 △ABC에서 ABÓ:ACÓ =BDÓ:CDÓ A =△ABD:△ACD B D C 의 y절편이다. 삼각형 POQ가 이등변삼각형이므로 Q(2t, 0) ∴ S(t)= ´2t´tÛ =tÜ ;2!; ` ` 한편, 삼각형 PRO가 이등변삼각형이므로 점 R는 선분 OP의 수직 이등분선이 y축과 만나는 점이다. 직선 OP의 기울기가 t이므로 그 수직이등분선의 기울기는 - 이 ;t!; 인 직선의 방정식은 고, 이 직선은 OPÓ의 중점을 지난다. , tÛ 따라서 점 을 지나고 기울기가 - {;2T; ` 2 } y- tÛ ` 2 =- x- ;t!;{ ∴ y=- ;t!; ;t!; x+ tÛ ` +1 2 ;2T;} tÛ ` +1 2 = tÜ 이 직선의 y절편은 이므로 T(t)= ´t´ tÛ ` +1 2 ;2!; ` +t 4 ∴ lim 0+ t Ú T(t)-S(t) t tÜ ` +t 4 -tÜ ` t +1 -3tÛ ` 4 = ;4!; = lim 0+ t Ú = lim 0+ t Ú 1 함수의 극한 | 015 =q에서 q=3이므로 0114  ② TIP 삼각형 PRO가 이등변삼각형이므로 점 R는 선분 OP의 수직이등분선 함수의 극한1 0116  ④ TIP 원의 중심 O에서 APÓ에 수선의 발을 내리고 △OAP의 넓이를 이용 0120  불연속 0115  ④ TIP 원 xÛ`+yÛ`=rÛ` 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx+yÁy=rÛ` +2t이므로 2t)에서의 yy ㉠ ` ` ` ` ` ` '¶ = 2t)Û tÛ "à +( +2t이므로 점 P(t, p=(tÛ ` +yÛ "ÃtÛ +2t)p =tÛ ` 이다. 원 C의 반지름의 길이는 OPÓ= S(t)=( +2t)Û tÛ ` "à 또, 원 C의 방정식이 xÛ 접선의 방정식은 tx+ 이때, 점 Q의 x좌표는 직선 ㉠의 x절편이므로 OQÓ=t+2 한편, Q(t+2, 0)이므로 (t+2-t)Û PQÓ= S(t) OQÓ-PQÓ 2t+4 +2t)p "à ∴ lim 0+ t Ú '¶ = lim 0+ t Ú 2t y=tÛ +2t +( 2t)Û = '¶ '¶ ` ` ` 'Ä (tÛ ` t+2- p(tÛ ` 'Ä 2t+4 +2t)(t+2+ tÛ 2t+4)p=4p +2t 'Ä ` 2t+4) (t+2+ 'Ä = lim 0+ t Ú = lim 0+ t Ú 한다. 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 APÓ에 내린 수선의 발을 H라 하 고 OAÓ와 PQÓ의 교점을 T라 하면 △OAP= ´OAÓ´PTÓ ;2!; ;2!; = ´APÓ´OHÓ 1 B R O H A r T P Q 즉, ´1´PTÓ= ´r´OHÓ에서 PTÓ=r´OHÓ ;2!; ;2!; 1- rÛ ` 4 ¾¨ 이때, OHÓ= ∴ △RAP= ´r´ ;2!; ∴ S(r)=2△RAP= = "à 4-rÛ 2 4-rÛ 2 ` = r "à rÛ `"à 4-rÛ 2 ` ` 이므로 PTÓ= r "à 4-rÛ 2 ` rÛ `"à 4-rÛ 4 ` ∴ lim 2- r Ú S(r) 2-r 'Ä 2+r 'Ä 2-r rÛ `"à 2 'Ä rÛ `'Ä rÛ `'Ä 4-rÛ ` 2-r 2-r 2 'Ä 2+r 2 =4 = lim 2- r Ú = lim 2- r Ú = lim 2- r Ú 4´2 2 = 016 | Ⅰ 함수의 극한과 연속 2 함수의 연속 본책 24쪽~38쪽 STEP1 기초 Build 0117  ⑴ ㄱ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ `f(x)+ lim ⑵ lim  1+  1- x` Ú Ú x` `f(x)이므로 lim  1 Ú x` `f(x)가 존재하지 않는다. 0118  연속  f(2)=-1, lim  2 Ú x` 는 x=2에서 연속이다. `f(x)=-1이고 lim  2 Ú x` `f(x)= f(2)이므로  f(x) 0119  불연속  f(x)가 x=2에서 정의되지 않으므로  f(x)는 x=2에서 불연속이 다.  f(2)=1, lim  2 Ú x` `f(x)=lim `  2 Ú x` (x-2)(x+1) x-2 =lim  2 x` Ú  (x+1)=3 이므로 lim x`  2 Ú 따라서  f(x)는 x=2에서 불연속이다. `f(x)+f(2) 0121  연속  f(2)=2이고, lim x`  2- Ú lim x`  2+ Ú ∴ lim  2 x` Ú `f(x)= lim  2- `f(x)= lim x`  2+ `f(x)=f(2) Ú Ú x` (4-x)=2, (xÛ`-2)=2이므로 lim  2 Ú x` `f(x)=2 따라서  f(x)는 x=2에서 연속이다. 0122  [-2, 1] 0123  [0, 5) 0124  (1, 3] 0125  (-5, 2) 0126  (¦, 4] 0127  (6, ¦) 0128  (-¦, 1), (1, ¦)  f(x)= 2 x-1 합이므로 열린구간 (-¦, 1), (1, ¦)이다. 의 정의역은 x-1+0, 즉 x+1인 모든 실수 x의 집 0129  (-¦, ¦)  f(x)=3xÛ`+x의 정의역은 실수 전체의 집합이므로 열린구간 (-¦, ¦)이다. 0130  { -¦,  ;2%; ]  f(x)= 5-2x의 정의역은 5-2x¾0, 즉 xÉ 인 x의 값들의 ;2%; 'Ä 즉, 3 f(x)-2g(x)는 다항함수이므로 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다. 집합이므로 반닫힌 구간 { -¦,  이다. ;2%; ] 0131  [-3, 3]  f(x)= 의 집합이므로 닫힌구간 [-3, 3]이다. "à 9-xÛ`의 정의역은 9-xÛ`¾0, 즉 -3ÉxÉ3인 x의 값들 0132  (-¦, ¦)  f(x)=-1은 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다. 0133  (-¦, ¦)  f(x)=2x는 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속이다. 0134  [2, ¦)  f(x)= 이다. 'Ä x-2 는 x-2¾0일 때, 즉 반닫힌 구간 [2, ¦)에서 연속 0135  (-¦, -4), (-4, ¦)  f(x)= x x+4 간 (-¦, -4), (-4, ¦)에서 연속이다. 는 유리함수이므로 x+-4인 모든 실수, 즉 열린구 0136  (-¦, ¦)  f(x)+g(x)=(4x-2)+(xÛ`-4)=xÛ`+4x-6 즉,  f(x)+g(x)는 다항함수이므로 열린구간 (-¦, ¦)에서 연 속이다. 0137  (-¦, ¦)  f(x)g(x)=(4x-2)(xÛ`-4)=4xÜ`-2xÛ`-16x+8 즉,  f(x)g(x)는 다항함수이므로 열린구간 (-¦, ¦)에서 연속 이다. -¦,  0138  { = xÛ`-4 4x-2 g(x)  f(x) } {;2!;, ¦ , ;2!;} (x-2)(x+2) 2(2x-1) = 는 유리함수이므로 x+ 인 모든 실수, 즉 열린구간 { ;2!; -¦,  ;2!;}, , ¦ }에서 연속이다. {;2!; = 4x-2 xÛ`-4 0139  (-¦, -2), (-2, 2), (2, ¦) f(x)  g(x) 는 유리함수이므로 x+-2, x+2인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, -2), (-2, 2), (2, ¦)에서 연속이다. 4x-2 (x-2)(x+2) = 0140  (-¦, ¦) 3 f(x)-2g(x)=3(3xÛ`-1)-2(3x+5)=9xÛ`-6x-13 0141  (-¦, -1), (-1, 2), (2, ¦) f(x)+g(x)  f(x)-g(x) (3xÛ`-1)+(3x+5) (3xÛ`-1)-(3x+5) = = 3xÛ`+3x+4 3xÛ`-3x-6 = 3xÛ`+3x+4 3(x+1)(x-2) 는 유리함수이므로 x+-1, x+2인 모든 실수, 즉 열린구간 (-¦, -1), (-1, 2), (2, ¦)에서 연속이다. 0142  최댓값 : 1, 최솟값 : -3  f(x)=-xÛ`-2x는 닫힌구간 [-3, 0] 에서 연속이고 이 구간에서 y= f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서  f(x)는 x=-1에서 최댓값 1, x=-3에서 최솟값 -3을 갖는다. y=f(x) y -3 -1 x 1 O -3 'Ä 0143  최댓값 : 0, 최솟값 : -1  f(x)=1- -x+2 는 닫힌구간 [-2, 1]에서 연속이고 이 구간에서 y= f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서  f(x)는 x=1에서 최 댓값 0, x=-2에서 최솟값 -1을 갖는다. 0144  최댓값 : 3, 최솟값 : 1  f(x)= 3 은 닫힌구간 [0, 2]에서 x+1 연속이고 이 구간에서 y= f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서  f(x) 는 x=0에서 최댓값 3, x=2에서 최솟 값 1을 갖는다. 0145  ㈎ + ㈏ 사잇값 0146  ㈎ 연속 ㈏ > ㈐ 0 y O 1 x -1 -2 y=f(x) y=f(x) y 3 1 -1 O 2 x 0147  풀이 참조  f(x)=xÜ`+2xÛ`-2라 하면 함수  f(x)는 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이고  f(-1)=-1<0,  f(1)=1>0이므로 사잇값의 정리에 의하여  f(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 1)에 적어도 하나 존재한 다. 따라서 주어진 방정식은 열린구간 (-1, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 0148  풀이 참조  f(x)=xÝ`+3xÜ`+x-3이라 하면 함수  f(x)는 닫힌구간 [-1, 1] 에서 연속이고  f(-1)=-6<0,  f(1)=2>0이므로 사잇값의 정 리에 의하여  f(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 1)에 적어도 하나 존 재한다. 따라서 주어진 방정식은 열린구간 (-1, 1)에서 적어도 하 나의 실근을 갖는다. 2 함수의 연속 | 017 함수의 연속2 `g(x)의 값이 존재하지 않으므로  g(x)는 x=-2에 유형 02 함수의 그래프와 연속 본책 28쪽 Ú ㄴ. 서 불연속이다. ㄷ. h(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한 함수 y=f(x)의 그래프가 x=a에서 끊어져 있으면 ⇨ f(x)는 x=a에서 불연속이다. STEP2 유형 Drill 유형 01 함수의 연속 본책 28쪽 ⑴ 함수 f(x)가 x=a에서 연속이면 ⑴ ① f(a)가 정의되어 있다. `f(x)의 값이 존재한다. ⇨ lim ⑴ ② lim  a-  a Ú ⑴ ③ lim  a Ú `f(x)=f(a) Ú x` x` x` `f(x)= lim  a+ x` `f(x) Ú ⑵ 위의 세 조건 중 하나라도 만족시키지 않으면 x=a에서 불연속이다. 0149  ㄷ ㄱ.  f(-2)가 정의되지 않으므로  f(x)는 x=-2에서 불연속이 다. ㄴ. lim x` Ú  -2- `g(x)= lim `  -2- x` -(x+2) x+2 =-1 Ú Ú `g(x)= lim  -2+ x` ` x+2 x+2 =1 `g(x)+ lim  -2+ x` `g(x) Ú  -2+ ㄴ. lim x` Ú ㄴ. ∴ lim x`  -2- ㄴ. 즉, lim  -2 Ú x` 다. 이때, h(1)=3이고, xÜ`-1 x-1 x`  h(x)=lim `  1 Ú  h(x)=lim  1 Ú x` ㄴ. lim  1 x` Ú ㄴ. ㄴ. 즉, lim  1 Ú x` =lim `  1 x` Ú (x-1)(xÛ`+x+1) x-1 `(xÛ`+x+1)=3  h(x)=h(1)이므로 h(x)는 x=1에서 연속이다. [x]=0이므로 0150  ⑤ ① lim x`  0- Ú ② lim  0- x` Ú [x]=-1, lim  0+ Ú `f(x) x` `f(x)+ lim  0+ x` Ú Ú Ú -x x x x `f(x) ② lim  0- x` Ú `f(x)= lim `  0- x` =-1, `f(x)= lim `  0+ x` =1이므로 ② lim  0+ x` Ú ② lim  0- x` Ú `f(x)+ lim  0+ x` ③  f(0)=0이고, Ú xÛ`-2x x x` ② `f(x)=lim ② lim =lim ` `  0  0 x`  0 x` Ú Ú Ú `f(x)=lim `(x-2)=-2 x`  0 Ú ② ∴ lim `f(x)+ f(0)  0 Ú x` x(x-2) x x` (-x)=0 `f(x)= lim  0- `f(x)= lim  0+ ④  f(0)이 정의되지 않으므로  f(x)는 x=0에서 불연속이다. ⑤  f(0)=0이고, ② lim x`  0- Ú ② lim  0+ x` Ú Ú ② 이므로 lim `f(x)=0  0 Ú x` ② 즉, lim `f(x)=f(0)이므로  f(x)는 x=0에서 연속이다.  0 Ú  xÛ`=0 Ú x` x` 018 | Ⅰ 함수의 극한과 연속 x` Ú  (xÛ`-3x)=aÛ`-3a `f(x)= lim  a- `f(x)= lim  a+ 0151  2  f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=a에서 연속이면 된다. 이때,  f(a)=aÛ`-3a이고, lim x`  a- Ú lim x`  a+ x` Ú Ú  f(x)가 x=a에서 연속이려면 aÛ`-3a=a-4, aÛ`-4a+4=0, (a-2)Û`=0 ∴ a=2 참고 f(a)= lim  a-  f(x)이므로 따로 구하지 않아도 된다.  (x-4)=a-4 x` Ú 0152  ③ 1  f(x)= = 1 xÛ`-1 x = x xÛ`-1 x- ;[!; 따라서 x=0, xÛ`-1=0인 x의 값에서 함수  f(x)가 정의되지 않으 므로 불연속이 되는 점의 개수는 x=-1, x=0, x=1의 3이다. 0153  ㄷ ㄱ. lim x`  1- Ú ㄱ. ∴ lim  1- `f(x)=0, lim  1+ `f(x)+ lim  1+ Ú x` `f(x)=1 `f(x) x` Ú x` Ú ㄱ. 따라서 lim `f(x)의 값은 존재하지 않는다.  1 Ú `f(x)= lim  2+ `f(x)=2 x` ㄴ. lim x`  2- Ú Ú ㄱ. ∴ lim `f(x)=2  2 Ú x` x` ㄷ.  f(x)는 x=1, x=2에서 연속이 아니므로 불연속인 점의 개수  f(x)+ lim  1+ x` Ú  f(x)이므로 lim  1 Ú x` Ú  f(x)의 값이 존재  f(x)+f(2)이므로 극한값과 함숫값이 다르므로 `f(x)이므로  f(x)는 x=3에서 극한값이 존재 는 2이다. 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 참고 x=1에서는 lim  1- x` 하지 않고, x=2에서는 lim  2 Ú x` 불연속이다. 0154  3 lim  3- x` Ú `f(x)+ lim  3+ x` Ú 하지 않는다. ∴ m=1 `f(x)+f(1), lim lim  5  1 x` Ú Ú x` `f(x)+f(5)이므로  f(x)는 x=1, x=5에 서 극한값과 함숫값이 다르다. ∴ m+n=3 ∴ n=2 0155  ㄱ ㄴ. lim x` Ú  -1- ㄴ. 지 않는다. ` f(x)+ lim ` f(x)이므로 lim  -1 x` Ú x`  -1+ Ú  f(x)의 값은 존재하 ㄷ.  f(x)는 x=-1, x=2에서 연속이 아니므로 불연속인 점의 개 유형 03 합과 곱의 꼴로 주어진 함수의 연속 본책 29쪽 수는 2이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. ⑴ 두 함수 f(x),  g(x)에 대하여 f(x)+g(x)가 x=a에서 연속이려면 ⑴ ⇨ lim  a- x` { f(x)+g(x)}=f(a)+g(a) { f(x)+g(x)}= lim  a+ x` ⑵ 두 함수 f(x),  g(x)에 대하여 f(x)g(x)가 x=a에서 연속이려면 ⑴ ⇨ lim  a- x` `f(x)g(x)= lim  a+ `f(x)g(x)=f(a)g(a) x` Ú Ú Ú Ú …… ㉠ `g(x)=-1이므로 0158  ㄱ, ㄷ ㄱ. lim x`  1+ ㄱ. lim  1+ x` Ú Ú `f(x)=1, lim  1+ x` Ú { f(x)+g(x)}=0 0156  -2 직선 y=2x+k와 곡선 y=xÛ`-1의 교점의 개수는 방정식 2x+k=xÛ`-1, 즉 xÛ`-2x-1-k=0 의 실근의 개수와 같다. 방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 =(-1)Û`-(-1-k)=2+k >0, 즉 k>-2일 때, ㉠은 서로 다른 두 실근을 가지므로 =0, 즉 k=-2일 때, ㉠은 중근을 가지므로  f(-2)=1 <0, 즉 k<-2일 때, ㉠은 허근을 가지므로  f(k)=0 Ú~Ü에서 y=f(k)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고  f(k)는 k=-2에서 불연속 이다. ∴ a=-2 y=f(k) y 2 1 -2 O k D 4 Ú D 4 Û  f(k)=2 D 4 D 4 Ü Û 0157  ㄴ, ㄷ TIP k=0, k+0일 때로 나누어서  f(k)를 구한다. kxÛ`+2(k+2)x-(k+2)=0에서 Ú k=0일 때 Û 4x-2=0에서 x= ∴  f(0)=1 ;2!; D 4 D 4 D 4 D 4 Û k+0일 때 Û kxÛ`+2(k+2)x-(k+2)=0의 판별식을 D라 하면 Û =(k+2)Û`+k(k+2)=2kÛ`+6k+4=2(k+1)(k+2) Û >0, 즉 k<-2 또는 -10일 때,  f(k)=2 Û =0, 즉 k=-2 또는 k=-1일 때,  f(k)=1 Û <0, 즉 -20,  f(2)=12>0,  f(3)=37>0,  f(4)=82>0 따라서  f(0)f(1)<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 주어진 방정 식의 실근이 존재하는 구간은 (0, 1)이다. 0191  ㄴ, ㄷ ㄱ.  g(x)=f(x)+4x라 하면  g(x)는 닫힌구간 [0, 1]에서 연속 이고  g(0)=2>0,  g(1)=4>0이므로  g(c)=0인 c가 열린 구간 (0, 1)에 존재하는지 알 수 없다. 즉, 방정식  f(x)+4x=0 이 열린구간 (0, 1)에서 실근을 갖는지 알 수 없다. ㄴ.  g(x)=f(x)-2xÛ`이라 하면  g(x)는 닫힌구간 [0, 1]에서 연 속이고  g(0)=2>0,  g(1)=-2<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 g(c)=0인 c가 열린구간 (0, 1)에 적어도 하나 존재한 다. 즉, 방정식  f(x)-2xÛ`=0은 열린구간 (0, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ㄷ.  g(x)=f(x)- 이라 하면 g(x)는 닫힌구간 [0, 1]에서 1 x+1 ㄷ.   연속이고  g(0)=1>0,  g(1)=- <0이므로 사잇값의 정 ;2!; ㄷ.   리에 의하여  g(c)=0인 c가 열린구간 (0, 1)에 적어도 하나 존 1 x+1 ㄷ.   재한다. 즉, 방정식  f(x)- =0은 열린구간 (0, 1)에서 ㄷ.   적어도 하나의 실근을 갖는다. 0192  00,  f(1)=a-3<0이어야 한다. 2` ∴ 00,  f  =-1<0,  f(1)=-3<0, {;2!;}  f  {;2#;} =-3<0,  f(2)=-3<0,  f  =-5<0 {;2%;} 따라서  f(0) f  <0이므로 사잇값의 정리에 의하여 주어진 방 {;2!;} 정식의 실근이 존재하는 구간은 { 0,  ;2!;} 이다. 0194  5  g(x)=f(x)+x라 하면 함수  g(x)는 연속함수이고  g(0)=-2<0,  g{;3!;} = >0,  g{;2!;} ;6%; =- <0, ;2%; = >0,  g{;5$;} ;1!2&; =- ;5!; <0,  g(1)= >0 ;6!;  g{;3@;} 즉,  g(0) g{;3!;} <0,  g{;3!;}  g{;2!;} <0,  g{;2!;}  g{;3@;} <0,  g{;5$;}  g{;3@;} 사잇값의 정리에 의하여 방정식 g(x)=0은 구간  g(1)<0이므로 <0,  g{;5$;} ,  ,  ,  0,  ;3@;} ;2!;} ;3!;} , {;3@; , , {;2!; {;3!; { 하나의 실근을 갖는다. 따라서 구간 (0, 1)에서  f(x)=-x는 적어도 5개의 실근을 갖는 다. 에서 각각 적어도 , {;5$; ;5$;} , 1 } 0195  5  g(x)=f(x)-xÛ`-4x라 하면 함수  g(x)는 연속함수이고  g(0)=2>0, g(1)=aÛ`-2a-8,  g(2)=3>0이므로  g(1)<0이면 사잇값의 정리에 의하여 방정식 g(x)=0은 구간 (0, 1), (1, 2)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다. 즉, aÛ`-2a-8<0에서 (a+2)(a-4)<0 ∴ -20,  f(19)=-1<0,  f(20)=2>0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식  f(x)=0은 구간 (18, 19), (19, 20)에서 각각 하나의 실근을 갖는다. 이때, a11일 때,  f(b)=M(0k,  f(a)=1125인 경우도 있다. ㄴ. 사잇값의 정리에 의하여 (0, 5), y 25 23 21 20 18 16 y=h(t) (5, 10), (20, 25)에서 h(t)=19인 순간이 적어도 한 번씩 있으므로 h(t)=19인 순간이 적어도 3번 존재한다. O 5 10 15 20 25 30 t ㄷ. [반례] 위의 그래프와 같이 h(t)<16인 경우도 있다. 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. STEP3 심화 Master 0201  ㄱ, ㄴ, ㄷ TIP x 25Ú 25Ú ㄱ. x가 유리수일 때 lim  0 Ú ㄱ. x가 무리수일 때 lim  0 Ú x` x` ㄱ. ∴ lim  0 Ú x` `f(x)=0 n ( n은 정수)일 때, x가 유리수이면서 x n인 경우와 x가 25Ú 무리수이면서 x n인 경우로 나누어 생각한다. `x=0 `f(x)=lim  0 Ú x` `f(x)=0 ㄴ. n이 자연수이면 1- 은 유리수이므로 ;n!; 1- `f { = lim ㄴ. lim `  ¦ n` n`  ¦ Ú Ú ㄷ. lim `f(x)=0이고,  0 x` Ú ;n!;} 1- { ;n!;} =1 ㄴ. x=0은 유리수이므로 f(0)=0 ㄴ. lim  0 x` Ú  f(x)=0을 만족시키는 해는 무한개이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. `f(x)=f(0)이므로 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. ㄹ. 닫힌구간 [-2, 2]에서 무리수는 무수히 많으므로 방정식 0202  0 TIP 조건 ㈎의 식의 양변에 x=0, y=0을 대입하여  f(0)의 값을 먼저 구한다. ㈎에서  f(x+y)=f(x)+f(y)+a의 양변에 x=0, y=0을 대입 하면  f(0)=f(0)+f(0)+a ㈏에서 x-1=t라 하면 x f(t) t ∴  f(0)=-a 1일 때 t f(x-1) x-1 f(x) x 0이므로 =3 3Ú 3Ú =lim `  0 x` Ú =lim `  0 t` Ú lim `  1 x` Ú =3에서 x 0일 때 (분모) 0이고 극한값 3Ú 이때, lim `  0 Ú x` f(x) x 이 존재하므로 (분자) ∴ lim `f(x)=0  0 x` Ú 3Ú 3Ú 0이다. 0203  ③ TIP t의 값의 범위를 나누어  f(t)를 먼저 구한다. |t|>1 y |t| y=1 |t| x x2+y2=t2 O O |t|=1 y |t|<1 y y=1 1 x x2+y2=t2 |t| O y=1 |t| x x2+y2=t2 원 xÛ`+yÛ`=tÛ`과 직선 y=1이 만나는 점의 개수는 위의 그림과 같으 므로 2 (t<-1 또는 t>1) 1 (t=-1 또는 t=1) 0 (-10, b>0인 경우,  f(a)f(b)=ab>0이므로 방정식  f(x)=0 은 열린구간 (a, b)에서 실근을 갖는지 알 수 없다. ② g(x)=f(x)-f(a)로 놓으면 g(x)는 연속함수이고 g(a)=f(a)-f(a)=0, g(b)=f(b)-f(a)=a-b<0 따라서 g(a)g(b)=0이므로 방정식 g(x)=0, 즉  f(x)=f(a) 는 열린구간 (a, b)에서 실근을 갖는지 알 수 없다. ③ g(x)=f(x)-f(b)로 놓으면 g(x)는 연속함수이고 g(a)=f(a)-f(b)=b-a>0, g(b)=f(b)-f(b)=0 따라서 g(a)g(b)=0이므로 방정식 g(x)=0, 즉  f(x)=f(b) 는 열린구간 (a, b)에서 실근을 갖는지 알 수 없다. ④ g(x)=f(x)-x로 놓으면 g(x)는 연속함수이고 g(a)=f(a)-a=b-a>0, g(b)=f(b)-b=a-b<0 따라서 g(a)g(b)<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 g(x)=0, 즉  f(x)=x는 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ⑤ g(x)=f(x)+x로 놓으면 g(x)는 연속함수이고 g(a)=f(a)+a=b+a, g(b)=f(b)+b=a+b 따라서 g(a)g(b)=(a+b)Û`¾0이므로 방정식 g(x)=0, 즉  f(x)=-x는 열린구간 (a, b)에서 실근을 갖는지 알 수 없다. 따라서 구하는 방정식은 ④이다. 0211  ㄱ, ㄷ TIP 사잇값의 정리와 주기함수의 성질을 이용한다. ㄱ.  f(x)=f(x+3)에서  f(1)= f(4)= f(7)= f(10) ㄴ.  f(0)=f(3)이므로  f(2)f(3)= f(0)f(2)<0 ㄷ. 주어진 조건에 의해서 방정식 f(x)=0은 구간 (0, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 8), (8, 9), (9, 11), (11, 12)에서 각각 적어도 하나의 실근을 가진다. 따라서 00 ㄴ. 에서 g(1)g(3)<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 g(c)=0인 실수 c가 열린구간 (1, 3)에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식  f(x) f(x+1)+2x-5=0은 열린구간 (1, 3)에서 적어도 하 나의 실근을 갖는다. { f(x)f(x+1)+2x-5} { f(x)f(x+1)+2x-5} ㄷ. =f(1)f(2)+2-5=-3 참고 ㄷ. lim  1- x` Ú ㄷ. = lim  1+ x` Ú ㄷ. 또, ㄷ. lim  2- x` Ú ㄷ. = lim  2+ x` Ú { f(x)f(x+1)+2x-5} { f(x)f(x+1)+2x-5} ㄷ. =f(2)f(3)+4-5=-1 ㄷ. 이므로 g(x)는 x=1, x=2에서 연속이다. 0213  56 TIP 사잇값의 정리와 주기함수의 성질을 이용한다.  f(x)는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고, 조건 ㈎에 의하여 (0, 2) 에서 적어도 하나의 실근을 가지므로  f(0) f(2)<0, a(a-12)<0 ∴ 00) 0226  -1  f(-1+Dx)-f(-1)  f '(-1)= lim   Dx 0 Ú Dx {2(-1+Dx)Û`+3(-1+Dx)}-(-1) = lim   Dx 0 Dx Ú 2(Dx)Û`-Dx = lim   Dx 0 Dx Ú  (2Dx-1)=-1 = lim 0 Dx Ú 0227  2  f(0+Dx)-f(0)  f '(0)= lim   Dx 0 Ú Dx {-(Dx)Ü`+2Dx}-0 = lim   Dx 0 Dx Ú = lim 0 Dx Ú  {-(Dx)Û`+2}=2 0228  ㈎ 연속 ㈏ -1 ㈐ 미분가능하지 않다. 0229  ⑴ 연속이다. ⑵ 미분가능하지 않다. ⑴  f(1)=2이고, `2xÛ`=2 `(-xÛ`+3)=2 x Ú `f(x)= lim 1+ `f(x)= lim 1- lim 1+ x Ú lim 1- x Ú 따라서 lim 1 Ú Ú x x 속이다.  f(x)-f(1) ⑵ lim   x-1 1+ x Ú 2xÛ`-2 = lim   x-1 1+ x Ú  f(x)-f(1) lim   x-1 1- x Ú (-xÛ`+3)-2 = lim   x-1 1- x Ú 2(x+1)(x-1) = lim   x-1 1+ x Ú = lim  2(x+1)=4 1+ x Ú -(x+1)(x-1) = lim   x-1 1- x Ú =- lim  (x+1)=-2 1- x Ú `f(x)=f(1)=2이므로 함수  f(x)는 x=1에서 연 0232   f '(x)=2x  f(x+Dx)-f(x)  f '(x)= lim   Dx 0 Ú Dx {(x+Dx)Û`+2}-(xÛ`+2) = lim   Dx 0 Dx Ú 2xDx+(Dx)Û` = lim   Dx 0 Dx Ú  (2x+Dx)=2x = lim 0 Dx Ú 0233  y'=6xÞ` y'=(xß`)'=6xÞ` 0234  y'=0 y'=(10)'=0 0235  y'=-16xà` y'=(-2x¡`)'=-16xà` 0236  y'= ;2!; '= y'= x-5 } {;2!; x } {;2!; '-(5)'= ;2!; 0237  y'=2x-3 y'=(xÛ`-3x+4)'=(xÛ`)'-(3x)'+(4)'=2x-3 0238  y'=-3x¡`+5xÝ` '= xá`+xÞ`+1 y'= - { ;3!; =-3x¡`+5xÝ` } - xá` } ;3!; { '+(xÞ`)'+(1)' 0239  ⑴ -4 ⑵ 13 ⑴ 함수  f(x)+2g(x)의 x=1에서의 미분계수는  f '(1)+2g'(1)=2+2´(-3)=-4 ⑵ 함수 2f(x)-3g(x)의 x=1에서의 미분계수는 2f '(1)-3g'(1)=2´2-3´(-3)=13 0240  ㈎  f(x)g(x+h) ㈏  f '(x)g(x)  f(x)-f(1) ∴ lim   x-1 1+ x Ú  f(x)-f(1) + lim   x-1 1- x Ú 따라서  f '(1)의 값이 존재하지 않으므로 함수  f(x)는 x=1에 서 미분가능하지 않다. 0241  y'=-10x-1 y' =(-x)'(5x+1)-x(5x+1)' =-(5x+1)-x´5=-10x-1 0230   f '(x)=0  f(x+Dx)-f(x)  f '(x)= lim   Dx 0 Ú Dx 1-1 = lim   Dx 0 Dx Ú =0 0242  y'=-8x+4 y' =(2x+1)'(-2x+3)+(2x+1)(-2x+3)' =2(-2x+3)-2(2x+1)=-8x+4 0231   f '(x)=1  f(x+Dx)-f(x)  f '(x)= lim   Dx 0 Ú Dx {(x+Dx)+2}-(x+2) = lim   Dx 0 Dx Ú Dx = lim   Dx 0 Dx Ú =1 0243  y'=6xÛ`-16x y' =(2xÛ`)'(x-4)+2xÛ`(x-4)' =4x(x-4)+2xÛ`=6xÛ`-16x 0244  y'=-18xÛ`+4x+9 y' =(-2xÛ`+3)'(3x-1)+(-2xÛ`+3)(3x-1)' =-4x(3x-1)+3(-2xÛ`+3)=-18xÛ`+4x+9 3 미분계수와 도함수 | 031 미분계수와 도함수3 0245  y'=3xÛ`+2x-2 y' =(x)'(x-1)(x+2)+x(x-1)'(x+2)+x(x-1)(x+2)' +2x(x-2)(xÛ`+3)' =(x-1)(x+2)+x(x+2)+x(x-1) =3xÛ`+2x-2 0246  y'=8xÜ`-12xÛ`+12x-12 y'=(2x)'(x-2)(xÛ`+3)+2x(x-2)'(xÛ`+3) =2(x-2)(xÛ`+3)+2x(xÛ`+3)+4xÛ`(x-2) =8xÜ`-12xÛ`+12x-12 0247  y'=6(3x-4) y' ={(3x-4)Û`}'=2(3x-4)(3x-4)' =6(3x-4) 0248  y'=3(xÛ`-3x)Û`(2x-3) y' ={(xÛ`-3x)Ü`}'=3(xÛ`-3x)Û`(xÛ`-3x)' =3(xÛ`-3x)Û`(2x-3) 0249  y'=4(5x-2)(5xÛ`-x+5) y' =(xÛ`+2)'(5x-2)Û`+(xÛ`+2){(5x-2)Û`}' =2x(5x-2)Û`+(xÛ`+2)´2(5x-2)(5x-2)' =2x(5x-2)Û`+10(xÛ`+2)(5x-2) =4(5x-2)(5xÛ`-x+5) STEP2 유형 Drill 유형 01 평균변화율 0252  5 구간 [n, n+1]에서의 함수  f(x)의 평균변화율은  f(n+1)-f(n) (n+1)-n =f(n+1)-f(n) ∴  f(n+1)-f(n)=2n-1 ㉠의 양변에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하여 변끼리 더하면 yy ㉠ +>³ f(2)-f(1)=2´1-1 f(3)-f(2)=2´2-1 f(4)-f(3)=2´3-1 f(5)-f(4)=2´4-1 `f(6)-f(5)=2´5-1 f(6)-f(1) =2(1+2+3+4+5)-5 =30-5=25 따라서 구간 [1, 6]에서의 함수  f(x)의 평균변화율은  f(6)-f(1) 6-1 =5 :ª5°: = 0253  -3 직선 AB의 기울기는 x의 값이 3에서 6까지 변할 때의 함수  f(x) 의 평균변화율과 같으므로 `f(6)-f(3) 6-3 = `f(6)-f(3) 3 =3 한편, 이차함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=3에 대하여 대칭이 므로  f(0)=f(6) 따라서 x의 값이 0에서 3까지 변할 때의 함수 f(x)의 평균변화율은 `f(3)-f(0) 3-0 `f(3)-f(6) 3 `f(6)-f(3) 3 =-3 =- = 본책 44쪽 유형 02 평균변화율과 미분계수 본책 44쪽 ⑴ 함수 y=f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은 ⑴ 함수  f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은 Dy Dx =  f(b)-f(a) b-a =  f(a+Dx)-f(a) Dx (단, Dx=b-a ) Dy Dx =  f(b)-f(a) b-a ⑵ 함수 y=f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은 그 ⑵ 함수  f(x)에서 x=a에서의 미분계수는 래프 위의 두 점 (a,  f(a)), (b,  f(b))를 지나는 직선의 기울기와 같다.  f(a+Dx)-f(a)  f '(a)=lim   Dx 0 Ú Dx  f(x)-f(a) =lim   x-a x a Ú 0250  6 x의 값이 0에서 a까지 변할 때의 함수  f(x)의 평균변화율은  f(a)-f(0) a-0 = (3aÛ`-2a+1)-1 a a(3a-2) a =3a-2 = 따라서 3a-2=16이므로 a=6 0251  -1 구간 [-2, 1]에서의 함수 g(x)의 평균변화율은 (`f½f`)(1)-(`f½f`)(-2)  g(1)-g(-2) 3 1-(-2) = = =  f( f(1))-f( f(-2)) 3  f(3)-f(0) 3 5-8 3 = =-1 032 | Ⅱ 미분 0254  ;2!; x의 값이 -1에서 2까지 변할 때의 함수  f(x)의 평균변화율은 f(2)-f(-1)  2-(-1) 10-(-2)  3 =4 = 또, 함수  f(x)의 x=k에서의 미분계수는  f(k+h)-f(k)  f '(k)=lim   h 0 Ú h {(k+h)Û`+3(k+h)}-(kÛ`+3k) =lim   h 0 h Ú 2kh+hÛ`+3h =lim   h 0 h Ú =lim 0 h Ú  (2k+h+3)=2k+3 따라서 2k+3=4이므로 k= ;2!; =aÛ`+2a,  f(0)=0이므로  f(a)=aÜ`+2aÛ` 0255  7 `f(a)-f(0) a-0 즉,  f(x)=xÜ`+2xÛ`  f(x)-f(1) ∴  f '(1)=lim   x-1 1 Ú x xÜ`+2xÛ`-3 =lim   x-1 1 x Ú (x-1)(xÛ`+3x+3) =lim   x-1 1 x Ú =lim 1 x Ú  (xÛ`+3x+3)=7 유형 03 미분계수를 이용한 극한값의 계산  f(a+h)-f(a) ; lim   h h` 0 Ú 함수 y=f(x)의 x=a에서의 미분계수는  f(a+█)-f(a) ⇨  f '(a)=lim   █ 0 Ú █ 0256  18 `f(1+h)-f(1-2h) lim   h 0 h Ú { f(1+h)-f(1)}-{ f(1-2h)-f(1)}  =lim   h 0 h Ú `f(1+h)-f(1) =lim   h 0 h Ú `f(1-2h)-f(1) +lim   -2h 0 h Ú ´2 =f '(1)+2f '(1)=3f '(1) =3´6=18 0257  6 `f(a+h)-f(a-2h) lim   2h 0 h Ú {`f(a+h)-f(a)}-{`f(a-2h)-f(a)} =lim   2h 0 h Ú =lim   ;2!; 0 h Ú ´ `f(a+h)-f(a) h `f(a-2h)-f(a) +lim   -2h 0 h Ú =  f '(a)+f '(a)=  f '(a) ;2!; ;2#; = ´4=6 ;2#; 0258  -12 `f(a+2h)-f(a)-g(h) lim   h 0 h Ú =0에서 `f(a+2h)-f(a) lim   2h 0 h Ú g(h) ´2-lim   h 0 Ú h =0 g(h) ∴ lim   h 0 h Ú =2f '(a)=2´(-6)=-12 본책 44쪽 따라서 2-k=3+3k이므로 k=- ;4!; 0259  - ;4!; `f(1+2h)-f(1+kh) lim   f(1-h)-f(1+kh) 0 h Ú =lim   0 h Ú `f(1+2h)-f(1)+f(1)-f(1+kh) h `f(1-h)-f(1)+f(1)-f(1+kh) h `f(1+2h)-f(1) lim   2h 0 h Ú `f(1+kh)-f(1) ´2-lim   kh 0 Ú h ´k = = `f(1-h)-f(1) lim   -h 0 h Ú 2f '(1)-kf '(1) -f '(1)-kf '(1) = 2-k -1-k =-3 `f(1+kh)-f(1) ´(-1)-lim   kh 0 Ú h ´k 0260  ④ =h로 놓으면 n ¦일 때 h 0이므로 `3Ú `3Ú ;n!; lim ¦ n Ú  n  f  { [ 1+ k n }- f  { 1- k n }] `f(1+kh)-f(1-kh)   h = lim h 0 Ú `{ f(1+kh)-f(1)}-{ f(1-kh)-f(1)} lim   h h 0 Ú = = `f(1+kh)-f(1) lim   kh h 0 Ú =kf '(1)+kf '(1)=2kf '(1) ´k+lim 0 Ú h `f(1-kh)-f(1)   -kh ´k 미분계수를 이용한 극한값의 계산 유형 04  f(x)-f(a) ; lim   x-a x` a Ú 함수 y=f(x)의 x=a에서의 미분계수는  f(▲)-f(a) ⇨  f '(a)=lim   ▲-a a Ú ▲ 본책 45쪽 0261  12 `f(xÜ`)-f(8) lim   x-2 x 2 Ú =lim x 2 Ú `f(xÜ`)-f(8)   xÜ`-8 ´(xÛ`+2x+4) `f(xÜ`)-f(8) =lim   xÜ`-8 x 2 Ú =12f '(8)=12  (xÛ`+2x+4) ´lim x 2 Ú 0262  2 `f(x)-xf(1) lim   x-1 x 1 Ú '§ '§ ( `f(x)-f(1) lim   x-1 x 1 Ú = [ {`f(x)-f(1)}+{`f(1)-xf(1)} =lim   x 1 Ú x-1)( x+1) ´( x+1) '§ '§ -(x-1)f(1)   x-1 +lim x 1 Ú _lim x 1 Ú ]  ( '§ x+1) =2{`f '(1)-f(1)}=2(5-4)=2 3 미분계수와 도함수 | 033 미분계수와 도함수3 0263  6  f(4)=0이므로 2xÛ`-4x-16 lim   `f(x) x 4 Ú 2(x-4)(x+2) =lim   `f(x)-f(4) x 4 Ú x-4 =2 lim   `f(x)-f(4) x 4 Ú ´(x+2) =2 lim x 4 Ú x-4   `f(x)-f(4) _lim x 4 Ú  (x+2) =2´ 1 `f '(4) ´6=6 =3에서 x` 3일 때 (분모)` 0이고 극한값 0264  ② `f(x-1)-6 lim   xÛ`-9 x 3 Ú 3Ú 0이어야 한다. 3Ú 이 존재하므로 (분자)` 즉, lim x 3 Ú 3Ú `{`f(x-1)-6}=0이므로  f(2)=6 한편, x-1=t로 놓으면 x` 3일 때 t` 2이므로 `f(x-1)-6 lim   xÛ`-9 x 3 Ú 3Ú =lim t 2 Ú 3Ú `f(t)-6   tÛ`+2t-8 `f(t)-f(2) =lim   (t-2)(t+4) t 2 Ú `f(t)-f(2) =lim   t-2 t 2 Ú _lim t 2 Ú 1   t+4 = `f '(2) ;6!; `f '(2)=3에서  f '(2)=18 ;6!; ∴ f(2)+f '(2)=6+18=24 유형 05 관계식이 주어질 때 미분계수 구하기 본책 46쪽 Ú 주어진 식의 x, y에 적당한 수를 대입하여  f(0)의 값을 구한다.  f(a+h)-f(a) Û  f '(a)=lim   h 0 Ú h 대입하여  f '(a)의 값을 구한다. 에서 f(a+h)에 주어진 관계식을 0265  5  f(x+y)=f(x)+f(y)+xy에 x=0, y=0을 대입하면 ∴ f(0)=0  f(0)=f(0)+f(0) `f(2+h)-f(2) ∴ f '(2)=lim   h 0 Ú h `f(2)+f(h)+2h-f(2) =lim   h h 0 Ú `f(h) =lim   h h 0 Ú +2 `f(h)+2h =lim   h h 0 Ú `f(h)-f(0) =lim   h h 0 Ú +2 =f '(0)+2=3+2=5 034 | Ⅱ 미분 0266  1  f(x+y)=f(x)+f(y)-xyÛ`-xÛ`y에 x=0, y=0을 대입하면  f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0 `f(1+h)-f(1) ∴ f '(1)=lim   h 0 Ú h `f(1)+f(h)-hÛ`-h-f(1) =lim   h h 0 Ú `f(h)-hÛ`-h h =lim   h 0 Ú `f(h) =lim   h h 0 Ú -lim h 0 Ú `f(h)-f(0) =lim   h h 0 Ú  (h+1) -1 =f '(0)-1=2-1=1 0267  ①  f(x-y)=f(x)-f(y)+xy(x-y)에 x=0, y=0을 대입하면  f(0)=f(0)-f(0) ∴ f(0)=0 `f(5+h)-f(5) ∴ f '(5)=lim   h 0 Ú h `f(5)-f(-h)-5h(5+h)-f(5) =lim   h 0 Ú h -f(-h)-5h(5+h) =lim   h 0 Ú h `f(-h) =lim   -h 0 Ú h -lim h 0 Ú  5(5+h) `f(-h)-f(0) =lim   -h 0 Ú h -25 =f '(0)-25=5-25=-20 0268  6050  f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy에 x=0, y=0을 대입하면 ∴ f(0)=0  f(0)=f(0)+f(0) `f(k+h)-f(k) ∴ f '(k)=lim   h 0 Ú h `f(k)+f(h)+2kh-f(k)  =lim   h h 0 Ú `f(h)+2kh  =lim   h h 0 Ú `f(h) =lim   h h 0 Ú +2k =lim h 0 Ú `f(h)-f(0)   h =f '(0)+2k +2k kÛ`{`f '(k)-f '(0)} kÛ`{`f '(0)+2k-f '(0)} 10 ∴ k=1 ; = 10 = k=1 10 ; k=1 ; =2´ 2kÜ` 10´11 2 } { Û`=6050 유형 06 미분계수의 기하학적 의미 본책 46쪽 ⑴ 곡선 y=f(x) 위의 점 (a,  f(a))에서의 접선의 기울기는 함수  f(x)의 x=a에서의 미분계수  f '(a)와 같다. ⑵ 곡선 y=f(x) 위의 점 (a,  f(a))에서의 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h(0ùÉh<90ù)라 하면 tan h=f '(a)이다. ㄱ. 0269  ㄱ, ㄴ `f(a) a `f(b) b `f(a) a < `f(b) b 는 원점과 점 (a, f(a))를 지나는 직선의 기울기이고, 는 원점과 점 (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기이므로 ㄴ. 두 점 (a, f (a)), (b, f (b))를 지나는 직선의 기울기는 직선 y=x의 기울기인 1보다 크므로 `f(b)-f(a) b-a >1 이때, b-a>0이므로  f(b)-f(a)>b-a ㄷ.  f '(a)는 점 (a,  f(a))에서의 접선의 기울기이고,  f '(b)는 점 (b, f(b))에서의 접선의 기울기이므로  f '(a)1 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 0270  -3 곡선 y=f(x) 위의 x=1인 점에서의 접선의 기울기는  f '(1)과 같 고, 이 접선은 두 점 (0, -1), (1, 4)를 지나므로 =5  f '(1)= 4-(-1) 1-0 xÜ`f(1)-f(xÜ`) ∴ lim   x-1 x 1 Ú {xÜ`f(1)-f(1)}-{`f(xÜ`)-f(1)} =lim   x-1 x 1 Ú xÜ`-1 =f(1)´lim   x-1 1 Ú x -lim x 1 Ú `f(xÜ`)-f(1)   x-1 =f(1)´lim 1 Ú x `f(xÜ`)-f(1)  (xÛ`+x+1)-lim   xÜ`-1 1 Ú x ´(xÛ`+x+1) =3f(1)-3f '(1) =3´4-3´5=-3 0271  ㄱ, ㄷ ㄱ. 00이므로 `f '(a) a <0 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. y O -a f(a) -1 a 1 x y=f(x) A y=-x 0272  0 곡선 y=-xÜ`+3xÛ`-1 위의 점 (2, 3)에서의 접선의 기울기는 `f(x)-f(2)  f '(2)=lim   x-2 2 Ú x =lim x 2 Ú (-xÜ`+3xÛ`-1)-3   x-2 (x-2)(-xÛ`+x+2) =lim   x-2 x 2 Ú =lim x 2 Ú  (-xÛ`+x+2)=0 이때, tan h의 값은 이 접선의 기울기와 같으므로 tan h=0 유형 07 미분가능성과 연속성 ; 정의를 이용하는 경우 본책 47쪽 `f(x)=f(a)이면 x=a에서 연속이다. 함수  f(x)가 실수 a에 대하여 ⑴ lim x a Ú  f(a+h)-f(a) ⑵ lim   h 0 h Ú 가 존재하면 x=a에서 미분가능하다. 0273  ③ ①  f(0)이 정의되지 않으므로  f(x)는 x=0에서 불연속이고 미분 가능하지 않다. ② lim x 0 Ú `f(x)=f(0)=-2이므로  f(x)는 x=0에서 연속이다.  f(0+h)-f(0)  f '(0)=lim   h 0 Ú h -2-(-2) =lim   h h 0 Ú =0 `f(x)=f(0)=0이므로  f(x)는 x=0에서 연속이다. 이므로  f(x)는 x=0에서 미분가능하다. ③ lim x 0 Ú  f(h)-f(0) lim   h h 0- Ú  f(h)-f(0) lim   h h 0+ Ú h = lim   h h 0- Ú -h = lim   h h 0+ Ú 이므로  f '(0)의 값이 존재하지 않는다. 따라서  f(x)는 x=0에서 미분가능하지 않다. -|h| = lim   h h 0- Ú -|h| = lim   h h 0+ Ú =1 =-1 ④  f(x)= 이고, x=0에서 정의되지 않는다. 1 (x>0)   -1 (x<0) [ 즉, x=0에서 불연속이고 미분가능하지 않다. ⑤ lim x 0 Ú `f(x)=f(0)=1이므로  f(x)는 x=0에서 연속이다.  f(h)-f(0) lim   h h 0- Ú  f(h)-f(0) lim   h h 0+ Ú (-2h+1)-1 = lim   h h 0- Ú (h-1)Û`-1 = lim   h h 0+ Ú = lim  (h-2)=-2 h 0+ Ú -2h = lim   h h 0- Ú hÛ`-2h = lim   h h 0+ Ú 이므로  f '(0)=-2 따라서  f(x)는 x=0에서 미분가능하다. =-2 0274  ㄱ, ㄷ, ㄹ ㄱ. lim x -1 Ú `f(x)=f(-1)=0이므로  f(x)는 x=-1에서 연속이다.  f(-1+h)-f(-1) lim   h h 0- Ú  f(-1+h)-f(-1) lim   h h 0+ Ú |h| = lim   h h 0- Ú |h| = lim   h h 0+ Ú -h = lim   h h 0- Ú h = lim   h h 0+ Ú =1 =-1 이므로  f '(-1)의 값이 존재하지 않는다. 따라서  f(x)는 x=-1에서 미분가능하지 않다. 3 미분계수와 도함수 | 035 미분계수와 도함수3 ㄴ. lim x -1 `f(x)=f(-1)=2이므로  f(x)는 x=-1에서 연속이다. Ú  f(-1+h)-f(-1)  f '(-1)=lim   h h 0 Ú =lim h 0 Ú  (h-2)=-2 (hÛ`-2h+2)-2 =lim   h h 0 Ú 이므로  f(x)는 x=-1에서 미분가능하다. ㄷ. lim x -1 `f(x)=f(-1)=0이므로  f(x)는 x=-1에서 연속이다. 이다. 0277  ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ. x=2에서의 접선의 기울기는 양수이므로  f '(2)>0 ㄴ. 함수  f(x)가 불연속인 점은 x=3, x=5의 2개이다. ㄷ. 함수  f(x)가 미분가능하지 않은 점은 x=1, x=3, x=5의 3개 ㄹ.  f '(x)=0인 점은 구간 (-1, 1)에서 1개 존재한다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. Ú  f(-1+h)-f(-1) lim   h h 0- Ú  f(-1+h)-f(-1) lim   h h 0+ Ú  (h-2)=-2 |hÛ`-2h| = lim   h h 0- Ú hÛ`-2h = lim   h h 0- Ú = lim h 0- Ú |hÛ`-2h| = lim   h h 0+ Ú -hÛ`+2h = lim   h h 0+ Ú = lim h 0+ Ú  (-h+2)=2 이므로  f '(-1)의 값이 존재하지 않는다. 따라서  f(x)는 x=-1에서 미분가능하지 않다. ㄹ. lim x -1 `f(x)=f(-1)=-1이므로  f(x)는 x=-1에서 연속이다. Ú  f(-1+h)-f(-1) lim   h h 0- Ú  f(-1+h)-f(-1) lim   h h 0+ Ú =0 -1+h+|h|-(-1) = lim   h h 0- Ú 0 = lim   h h 0- Ú -1+h+|h|-(-1) = lim   h h 0+ Ú 2h = lim   h h 0+ Ú =2 유형 09 도함수의 정의를 이용하여 도함수 구하기 본책 48쪽 미분가능한 함수  f(x)에 대하여  f(x+Dx)-f(x)  f '(x)= lim   Dx 0 Ú Dx =lim t x Ú  f(t)-f(x)   t-x 0278  ㈎ (x+h)Û` ㈏ 2x+h ㈐ xÛ`f '(x)+2xf(x) xÛ`f(x)=g(x)로 놓으면 y=g(x)에서 g(x+h)-g(x) y'=lim   h h 0 Ú (x+h)Û`f(x+h)-xÛ`f(x) =lim   h h 0 Ú (x+h)Û`{`f(x+h)-f(x)}+f(x){(x+h)Û`-xÛ`} =lim   h h 0 Ú =lim h 0 Ú `f(x+h)-f(x)   ㈎ (x+h)Û` ´lim   h 0 Ú +f(x)´lim 0 Ú h h  ( ㈏ 2x+h ) = ㈐ xÛ`f '(x)+2xf(x) 이므로  f '(-1)의 값이 존재하지 않는다. 따라서  f(x)는 x=-1에서 미분가능하지 않다. 0279  ① 유형 08 미분가능성과 연속성 ; 그래프가 주어진 경우 함수 y=f(x)의 그래프에서 ⑴ 불연속인 점 ⇨ 연결되어 있지 않고 끊어져 있는 점 ⑵ 미분가능하지 않은 점 ⇨ 불연속인 점, 뾰족한 점  f '(x)=lim x Ú t `f(t)-f(x)   t-x n( ㈎ tÇ`-xÇ` ) =lim   t-x t x Ú 본책 47쪽 n( ㈏ t-x )(tn-1+xtn-2+y+xn-1)   t-x  n(tn-1+xtn-2+y+txn-2+xn-1) =lim t x Ú =lim t x Ú = ㈐ nÛ`xn-1 0275  ② 함수 y=f(x)는 x=-2, x=1, x=2에서 불연속이므로 m=3 또, x=-2, x=-1, x=1, x=2에서 미분가능하지 않으므로 n=4 ∴ mn=12 0276  ① ① x=1.5에서의 접선의 기울기는 0이므로  f '(1.5)=0 ② x=0에서의 접선의 기울기는 0이므로  f '(0)=0 x=2.2에서의 접선의 기울기는 양수이므로  f '(2.2)>0 ∴ f '(0)a) 가 x=a 에서 미분가능하면 ⇨ ⑴ 함수 F(x)가 x=a에서 연속이다. 즉  f(a)= lim a+ x  g(x) Ú ⑵ x=a에서 함수 F(x)의 미분계수가 존재한다. 즉 `f(x)-f(a) lim   x-a x a- Ú g(x)-g(a) = lim   x-a x a+ Ú 0305  ② 함수  f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이다. 즉,  f(1)=lim 1 Ú `f(x)에서 x 1=a+b 또,  f '(1)이 존재하므로 `f(1+h)-f(1) lim   h h 0- Ú -(1+h)Û`+2-1 = lim   h h 0- Ú -hÛ`-2h = lim   h h 0- Ú =-2 ah = lim   h h 0+ Ú =a 에서 a=-2 이 값을 ㉠에 대입하면 b=3 ∴ ab=-6 0306  -1 함수  f(x)가 x=2에서 미분가능하므로 x=2에서 연속이다. 즉,  f(2)=lim 2 Ú `f(x)에서 x yy ㉠ 4a+b=8 또,  f '(2)가 존재하므로 `f(2+h)-f(2) lim   h h 0- Ú (2+h)Ü`-8 = lim   h h 0- Ú hÜ`+6hÛ`+12h = lim   h h 0- Ú =12 `f(2+h)-f(2) lim   h h 0+ Ú a(2+h)Û`+b-(4a+b) = lim   h h 0+ Ú 4ah+ahÛ` = lim   h h 0+ Ú =4a ∴ a=3 에서 4a=12 이 값을 ㉠에 대입하면 b=-4 ∴ a+b=-1 0307  -2  f(x)= -(x-2)(x+k) (xÉ2)    (x-2)(x+k)  (x>2) [ 이므로 040 | Ⅱ 미분  (-2-h-k)=-2-k lim h 0- Ú = lim h 0- Ú  f(2+h)-f(2)   h  f(2+h)-f(2) lim   h h 0+ Ú  f(x)는 x=2에서 미분가능하므로 -2-k=2+k ∴ k=-2  (2+h+k)=2+k = lim h 0+ Ú 0308  -3 함수  f(x)= 가 x=1에서 미분가 2(xÛ`+ax+b) Éx<1 {;2!; } [  3(xÛ`+ax+b) { 1Éx< ;2#;} yy ㉠ 능하므로 x=1에서 연속이다. 즉,  f(1)=lim x 1 Ú 1+a+b=0 또,  f '(1)이 존재하므로 `f(x)에서 ∴ a+b=-1 `f(1+h)-f(1) lim   h h 0- Ú 2h(h+2+a) = lim   h h 0- Ú `f(1+h)-f(1) lim   h h 0+ Ú =2a+4 3h(h+2+a) = lim   h h 0+ Ú =3a+6 ∴ a=-2 에서 2a+4=3a+6 이 값을 ㉠에 대입하면 b=1 ∴ a-b=-3 0309  -12 TIP 구간에 따라 다르게 정의된 함수가 모든 실수 x에서 미분가능하려면 각 구간의 경계점에서 연속이고 미분계수가 존재해야 한다. 함수 g(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이다. 즉,  f(1)=lim 1 Ú `f(x)에서 x x Ú 1+ `g'(x) yy ㉠ ∴ 8a+b=20  f(1)=f(-3)+b a-1=9a-21+b 또, g'(1)이 존재하므로 `g'(x)= lim lim x 1- Ú 이때, 함수 y=f(x-4)+b의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 것이므 로  f(x)의 x=1에서의 미분계수와  f(x)의 x=-3에서의 미분계 수가 같아야 한다. 즉,  f '(x)=3xÛ`+2ax-2이고  f '(1)=f '(-3)이므로 ∴ a=3 2a+1=-6a+25 이 값을 ㉠에 대입하면 b=-4 ∴ ab=-12 유형 18 치환을 이용한 극한값의 계산 본책 52쪽 따라서 `f '(1) g '(1) = n+2 15 =1 ∴ n=13 를 이용할 수 있도록 식 유형 19 미분의 항등식에의 활용 본책 53쪽 분자에 인수분해가 힘든 복잡한 식이 나오면 Ú 분자의 적당한 식을  f(x)로 치환한다. `f(x)-f(a) Û 미분계수의 정의  f '(a)=lim   x-a a Ú x 을 변형한다. 0310  33  f(x)=xÇ`-3x로 놓으면  f(1)=-2이므로 xÇ`-3x+2 lim   xÛ`-1 x 1 Ú- `f(x)-f(1) =lim   xÛ`-1 x 1 Ú- `f(x)-f(1) =lim   x-1 x 1 Ú- ´ 1 x+1 =  f '(1) ;2!;  f '(x)=nxn-1-3이므로  f '(1)=n-3 n-3 2 =15에서 n=33 0311  ①  f(x)=x99-x98+x97으로 놓으면  f(-1)=-3이므로 x99-x98+x97+3 lim   xÜ`+1 x -1 Ú `f(x)-f(-1) = lim   x+1 x -1 Ú ´ 1 xÛ`-x+1 =  f '(-1) ;3!;  f '(x)=99x98-98x97+97x96이므로  f '(-1)=99+98+97=294 ∴  f '(-1)=98 ;3!; 0312  28  f(x)=xà`+xß`+xÞ`+y+x로 놓으면  f(1)=7이므로 xà`+xß`+xÞ`+y+x-7 lim   x-1 x 1 Ú  f '(x)=7xß`+6xÞ`+5xÝ`+y+1이므로 `f(x)-f(1) =lim   x-1 x 1 Ú =f '(1)  f '(1)=7+6+5+y+1= =28 7´8 2 0313  13  f(x)=xÇ`+2x로 놓으면  f(1)=3 g(x)=x¡`+xà`으로 놓으면 g(1)=2 주어진 식의 분모, 분자를 x-1로 나누면 xÇ`+2x-3 lim   x¡`+xà`-2 1 x Ú =lim   1 x Ú xÇ`+2x-3 x-1 `x¡`+xà`-2 x-1 `f(x)-f(1) x-1 `g(x)-g(1) x-1 =lim   1 x Ú = `f '(1) g'(1) 이때,  f '(x)=nxn-1+2이므로  f '(1)=n+2 g'(x)=8xà`+7xß`이므로 g'(1)=15 조건에 맞게  f(x)의 식을 세우고,  f '(x)를 포함한 조건식에 대입한 후 항등식의 성질을 이용한다. ⑴ axÛ`+bx+c=0이 x에 대한 항등식 a=0, b=0, c=0 HjK ⑵ axÛ`+bx+c=a'xÛ`+b'x+c'이 x에 대한 항등식 a=a', b=b', c=c' HjK 0314  0  f(x)가 이차함수이므로  f(x)=axÛ`+bx+c ( a, b, c는 상수, a+0 )로 놓으면  f '(x)=2ax+b  f(x)와  f '(x)를 주어진 식에 대입하면 (x+1)(2ax+b)-2(axÛ`+bx+c)-x-5=0 ∴ (2a-b-1)x+b-2c-5=0 위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 2a-b-1=0, b-2c-5=0 또,  f(0)=-2이므로 c=-2 이 값을 ㉠에 대입하여 풀면 a=1, b=1 따라서  f(x)=xÛ`+x-2이므로  f(1)=0 yy ㉠ yy ㉠ 0315  -1 {`f(x)+g(x)}'=xÜ`-4x+1에서  f '(x)+g'(x)=xÜ`-4x+1 ∴ f '(x)+f(x)=xÜ`-4x+1 따라서 f (x)가 삼차함수이므로  f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d ( a, b, c, d는 상수, a+0 )로 놓으면  f '(x)=3axÛ`+2bx+c  f(x)와  f '(x)를 ㉠에 대입하면 (3axÛ`+2bx+c)+(axÜ`+bxÛ`+cx+d)=xÜ`-4x+1 axÜ`+(3a+b)xÛ`+(2b+c)x+c+d=xÜ`-4x+1 위의 등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a=1, 3a+b=0, 2b+c=-4, c+d=1 ∴ a=1, b=-3, c=2, d=-1 따라서 f(x)=xÜ`-3xÛ`+2x-1이므로  f(2)=-1 0316  21 다항함수  f(x)의 최고차항을 axÇ` (a+0)으로 놓으면  f '(x)의 최 고차항은 naxn-1이므로 {`f '(x)}Û`의 최고차항은 nÛ`aÛ`x2(n-1)이다. {`f '(x)}Û`=f(x)가 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 양변의 최고 차항의 차수가 같아야 한다. ∴ n=2 2(n-1)=n 또, 양변의 최고차항의 계수도 같아야 하므로 nÛ`aÛ`=a에서 4aÛ`=a 4a a- { ;4!;} =0 ∴ a= ;4!; 3 미분계수와 도함수 | 041 미분계수와 도함수3 즉,  f(x)= xÛ`+bx+c( b, c는 상수)로 놓으면  f '(x)= x+b ;2!; ;4!;  f '(2)f '(-2)=20에서 (1+b)(-1+b)=20 -1+bÛ`=20 ∴ f(0)={`f '(0)}Û`=bÛ`=21 ∴ bÛ`=21 유형 20 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용 본책 53쪽 ⑴ 다항식 f(x)가 (x-a)Û`으로 나누어떨어질 때, ⇨  f(a)=0,  f '(a)=0 ⑵ 다항식  f(x)를 다항식 g(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라 하면  f(x)=g(x)Q(x)+R(x)에서  f '(x)=g'(x)Q(x)+g(x)Q'(x)+R'(x) 0317  ④  f(x)=xÞ`+axÛ`+b로 놓으면  f(x)가 (x+1)Û`으로 나누어떨어지 므로  f(-1)=0,  f '(-1)=0  f(-1)=0에서 a+b=1  f '(x)=5xÝ`+2ax이므로  f '(-1)=0에서 yy ㉠ 5-2a=0 ∴ a= ;2%; 이 값을 ㉠에 대입하면 b=- ;2#; ∴ aÛ`+bÛ`= + = ;4(; :ª4°: :Á2¦: 0318  9900  f(x)=x100+ax-b로 놓으면  f(x)가 (x-1)Ý`으로 나누어떨어 지므로  f(1)=0,  f '(1)=0  f(1)=0에서 a-b=-1  f '(x)=100x99+a이므로  f '(1)=0에서 ∴ a=-100 100+a=0 이 값을 ㉠에 대입하면 b=-99 ∴ ab=9900 yy ㉠ yy ㉠ 0319  -16 다항식 xÞ`을 x(x-2)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c로 놓으면 xÞ`=x(x-2)Û`Q(x)+axÛ`+bx+c ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 c=0 ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 32=4a+2b ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 5xÝ`={(x-2)Û`+2x(x-2)}Q(x)+x(x-2)Û`Q'(x)+2ax+b 위의 식의 양변에 x=2를 대입하면 80=4a+b ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=32, b=-48 따라서 R(x)=32xÛ`-48x이므로 R(1)=-16 yy ㉡ yy ㉢ 042 | Ⅱ 미분 yy ㉠ yy ㉡ 0320  3 다항식 2xÝ`+axÛ`+bx+6을 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)로 놓으면 2xÝ`+axÛ`+bx+6=(x-1)Û`Q(x)+5x-4 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 ∴ a+b=-7 a+b+8=1 ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 8xÜ`+2ax+b=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x)+5 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 ∴ 2a+b=-3 2a+b+8=5 ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=4, b=-11  f(x)=6xÞ`+2ax+b로 놓으면  f(x)=6xÞ`+8x-11 이때,  f(x)를 일차식 x-1로 나누었을 때의 나머지는  f(1)=6+8-11=3 yy ㉢ STEP3 심화 Master 0321  4 TIP 함수  f(x)에 대하여 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은  f(b)-f(a) b-a 임을 이용한다. x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 함수  f(x)의 평균변화율은 M(a, b)= `f(b)-f(a) b-a = 2bÛ`(a+b)-2aÛ`(a+b) b-a = 2(a+b)(bÛ`-aÛ`) b-a = 2(a+b)Û`(b-a) b-a M(a, b)É2에서 2(a+b)Û`(b-a) b-a ∴ (a+b)Û`É1 (∵ b-a>0) 위의 식을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (-2, 1), (-1, 0), (-1, 1), (0, 1)로 그 개수는 4이다. É2 0322  ④ TIP 01일 때로 나누어 평균변화율 g(t)를 구한다. Ú 01일 때 닫힌구간 [0, t]에서의 함수  f(x)의 평균변화율은 g(t)= `f(t)-f(0) t-0 = 6-3t t = -3 6 t 따라서 y=g(t)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. y 3 O 1 t 0323  ① TIP 함수 y=f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭이면  f(x)=f(-x)임 `f(x)-f '(x) ∴ lim   xÛ`-1 x 1 Ú 을 이용한다. 함수 y=f(x)의 그래프가 y축에 대하여 대칭이므로  f(x)=f(-x) `f(t)-f(-x) 이때,  f '(-x)=lim   t-(-x) -x -x일 때 s` Ú t=-s로 놓으면 t` t 에서 x이므로 3Ú  3Ú  t Ú `f(t)-f(-x)  f '(-x)=lim   t-(-x) -x `f(-s)-f(-x) =lim   -s-(-x) s x Ú `f(s)-f(x) =-lim   s-x x Ú s ∴ f '(-x)=-f '(x) 따라서  f '(-2)=-f '(2)=3이다. `f(xÛ`)-f(4) ∴ lim   `f(x)-f(2) x -2 Ú =-f '(x) = lim   [ x -2 Ú `f(xÛ`)-f(4) xÛ`-4 ´ x-(-2) `f(x)-f(-2) ´(x-2) ] `f(xÛ`)-f(4) = lim   xÛ`-4 x -2 Ú `f(t)-f(4)   t-4 ´ =lim t 4 Ú x-(-2) ´ lim   `f(x)-f(-2) x -2 Ú 1 `f '(-2) (xÛ`=t로 놓으면 x` ´(-4)  (x-2) ´ lim x -2 Ú  -2일 때 t`  4) 3Ú 3Ú =f '(4)´ 1 `f '(-2) ´(-4) =6´ ´(-4)=-8 ;3!; 0324  36 TIP 주어진 식에 x=0, y=0을 대입하여  f(0)의 값을 구하고 도함수의 정 의를 이용한다.  f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1에 x=0, y=0을 대입하면  f(0)=2f(0)-1 한편, ∴ f(0)=1 `f(x+h)-f(x)  f '(x)=lim   h 0 Ú h {`f(x)+f(h)+2xh-1}-f(x) =lim   h h 0 Ú `f(h)-1 =lim   [ h h 0 Ú =2x+f '(0) +2x `f(h)-f(0) =2x+lim   h 0 Ú h ] 이때,  f '(x)가 일차함수이므로  f(x)는 이차함수이다.  f(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수, a+0 )로 놓으면  f '(x)=2ax+b=2x+f '(0)에서 a=1, b=f '(0) `f(x)-f '(x) 또, lim   xÛ`-1 x 1 Ú =18에서 x` 1일 때 (분모)` 0이고 극 3Ú 3Ú 0이다. 즉,  f(1)=f '(1)에서 한값이 존재하므로 (분자)` a+b+c=2a+b ㉠을 ㉡에 대입하면 a=1, b=f '(0), c=1 ∴ f(x)=xÛ`+f '(0)x+1 3Ú ∴ c-a=0 yy ㉠ yy ㉡ {xÛ`+f '(0)x+1}-{2x+f '(0)} =lim   xÛ`-1 x 1 Ú xÛ`+{ f '(0)-2}x+1-f '(0) =lim   xÛ`-1 x 1 Ú (x-1){x+f '(0)-1} =lim   (x-1)(x+1) x 1 Ú f '(0) 2 =18 = ∴ f '(0)=36 0325  ' 1 5 TIP  f '(a)=lim  f(x)-f(a)   x-a x a Ú 임을 이용한다. 두 점 (2,  f(2)), (a,  f(a)) 사이의 거리가 aÛ`-4이므로 (a-2)Û`+{ f(a)-f(2)}Û`=aÛ`-4 "à (a-2)Û`+{`f(a)-f(2)}Û`=(aÛ`-4)Û` {`f(a)-f(2)}Û` =(aÛ`-4)Û`-(a-2)Û` =aÝ`-9aÛ`+4a+12 =(a-2)Û`(a+1)(a+3) ∴ f(a)-f(2)=(a-2) (a+1)(a+3) (∵ f(a)>f(2)) "à `f(x)-f(2) ∴ f '(2)=lim   x-2 2 Ú x (x-2) =lim   x 2 Ú =lim   "à x 2 Ú "à (x+1)(x+3) x-2 (x+1)(x+3)= 1 5 ' Lecture 두 점 사이의 거리 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª) 사이의 거리는 (xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û` "à 0326  ③ TIP 주어진 함수를 k(x)로 놓고 x=0에서 연속이고 미분계수 k'(0)이 존 재하는지 확인한다. ㄱ. k(x)=xf(x)로 놓으면  `xÛ` (x¾0)   -xÛ` (x<0) k(x)= [ lim x 0 Ú lim x 0 Ú  k(x)=k(0)=0이므로 k(x)는 x=0에서 연속이다. k(h)-k(0) lim   h h 0 Ú hf(h) =lim   h h 0 Ú 이므로 k(x), 즉 xf(x)는 x=0에서 미분가능하다. ㄴ. k(x)=f(x)g(x)로 놓으면 =lim h 0 Ú `f(h)=0 k(x)= 2xÛ`+x (x¾0)   `xÛ`+x (x<0) [  k(x)=k(0)=0이므로 k(x)는 x=0에서 연속이다. k(h)-k(0) lim   h h 0- Ú k(h)-k(0) lim   h h 0+ Ú hÛ`+h = lim   h h 0- Ú 2hÛ`+h = lim   h h 0+ Ú = lim h 0- Ú  (h+1)=1 = lim h 0+ Ú  (2h+1)=1 이므로 k(x), 즉 f(x)g(x)는 x=0에서 미분가능하다. 3 미분계수와 도함수 | 043 미분계수와 도함수3Œ Œ  k(x)=k(0)=1이므로 k(x)는 x=0에서 연속이다. 이므로  f '(4)는 t=2에서 최댓값 56을 갖는다.  f '(4) =(4+2t)(4-t)+4(4-t)+4(4+2t) =-2tÛ`+8t+48 =-2(t-2)Û`+56 ㄷ. k(x)=|`f(x)-g(x)|로 놓으면 x+1 (x¾0)    1 (x<0) k(x)= [ lim x 0 Ú k(h)-k(0) lim   h h 0- Ú k(h)-k(0) lim   h h 0+ Ú 1-1 = lim   h h 0- Ú =0 (h+1)-1 = lim   h h 0+ Ú =1 이므로 k(x), 즉 | f(x)-g(x)|는 x=0에서 미분가능하지 않 다. 따라서 x=0에서 미분가능한 함수는 ㄱ, ㄴ이다.  x (x¾0)   -x (x<0) `2x+1 (x¾0)   -x-1 (x<0) 참고 ㄷ.  f(x)= , g(x)= [ [ 에 대하여 x¾0일 때, g(x)>f(x)이고, x<0일 때,  f(x)>g(x)이므로 k(x)= g(x)-f(x)=x+1 (x¾0)   f(x)-g(x)=1 (x<0) [ 이다. 0327  385 TIP 다항함수  f(x)=a¼+aÁx+aªxÛ`+y+aÇxÇ` (aÇ은 상수)의 도함수는  f '(x)=aÁ+2aªx+y+naÇxn-1임을 이용한다. 10 h(x)= 10 `fÇ(x)gÇ(x)= =x+2xÛ`+3xÜ`+y+10x10 n=1 ; n=1 ;  nxÇ` 따라서 h'(x)=1+2Û`x+3Û`xÛ`+y+10Û`xá`이므로 h'(1)=1+2Û`+3Û`+y+10Û`= 10´11´21 6 =385 Lecture 자연수의 거듭제곱의 합 n(n+1)(2n+1) 6 n(n+1) 2 ] Û` [ ⑴  kÛ`= ⑵  kÜ`= ;Kn+! ;Kn+! 0328  605  f(a+h)-f(a) TIP  f '(a)=lim   h h 0 Ú 임을 이용한다. ;2!;  ;N5+!   ;2!; = `f(n+2h)-f(n)  lim   h h 0 Ú `f(n+2h)-f(n)   2h  lim h 0 Ú = N5+! (4nÜ`-20n+1)=4 =900-300+5=605 ;N5+! ´2 = ;N5+! Û`-20´ `f '(n) 5´6 2 +5 5´6 2 } { 0329  56 TIP  f(x)=x(x+2t)(x-t)로 놓고 양수 t에 대하여  f '(4)의 최댓값을 분가능해야 한다.  f(x)=x(x+2t)(x-t)로 놓으면  f '(x) =x'(x+2t)(x-t)+x(x+2t)'(x-t)+x(x+2t)(x-t)' =(x+2t)(x-t)+x(x-t)+x(x+2t) 구한다. 따라서 044 | Ⅱ 미분 0330  8 TIP  f(x)-2=a(x-1)(x-2)(x-3) (a+0)으로 놓고  f(4)=14임 을 이용한다.  f(1)=f(2)=f(3)=2에서 삼차방정식  f(x)-2=0의 세 근이 x=1 또는 x=2 또는 x=3이므로  f(x)-2=a(x-1)(x-2)(x-3) (a+0)으로 놓을 수 있다. 위의 식에 x=4를 대입하면  f(4)=14이므로  f(4)-2=6a, 12=6a ∴ f(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)+2 ∴ a=2 `f(xÛ`)-f(1) lim   x-1 x 1 Ú =lim   [ x 1 Ú `f(xÛ`)-f(1) xÛ`-1 ´(x+1) ] `f(t)-f(1) =lim   t-1 t 1 Ú ´lim x 1 Ú  (x+1) (xÛ`=t로 놓으면 x` 1일 때 t` 3Ú  1) 3Ú  =2f '(1) 이때,  f '(x)=2(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+2(x-1)(x-2) 이므로  f '(1)=4 ∴ 2f '(1)=2´4=8 0331  -1, 1 TIP g'(x)=(2x+1)f(x)+(xÛ`+x)f '(x)에 x=-2, -1, 0, 1, 2를 대 입한다. g(x)=(xÛ`+x)f(x)에서 g'(x)=(2x+1)f(x)+(xÛ`+x)f '(x) g'(-2) =-3f(-2)+2f '(-2) =0+2f '(-2)<0 (∵ f(-2)=0, f '(-2)<0) g'(-1)=-f(-1)+0>0 (∵ f(-1)<0) g'(0)=f(0)+0=0 g'(1) =3f(1)+2f '(1) =3f(1)+0>0 ( ∵ f(1)>0,  f '(1)=0) g'(2) =5f(2)+6f '(2)=0 따라서 집합 S의 원소 중 {x|g'(x)>0}의 원소인 것은 -1, 1이 다. 0332  2 TIP 함수  f(x)가 실수 전체에서 미분가능하려면 x=Ñ1에서 연속이고 미  f(x)= (xÉ-1)   -x axÛ`+bx+c (-11) 능해야 하므로  f '(-1)=-2a=-1,  f '(1)=2a=1 ∴ a= , c= (∵ a+c=1) ;2!; ;2!; Ú, Û에서 a= , b=0, c= 이므로 구하는 값은 a+2b+3c= +2´0+3´ =2 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 0333  ;5(; TIP h(x)=axf(x)로 놓고  f '(1)=3임을 이용한다. 함수 g(x)가 x=1에서 연속이므로 ∴ f(1)=2 (∵ a+0) h(x)=axf(x)로 놓으면 h(1)=af(1)=2a이므로 =h'(1)=9 axf(x)-2a lim   x-1 x 1 Ú h(x)-h(1) =lim   x-1 x 1 Ú 이때, h'(x)=af(x)+axf '(x)이므로 h'(1) =af(1)+af '(1) =2a+3a=5a 따라서 h'(1)=9에서 5a=9 ∴ a= ;5(; 구한다. 0334  7 TIP  f(x)를 n차 다항식으로 나타낸 후 주어진 조건을 만족시키는  f(x)를 다항함수  f(x)의 최고차항을 axÇ` (a+0)으로 놓으면  f '(x)의 최 고차항은 naxn-1이다. (xû`+3)f '(x)=f(x)가 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 양변의 최고차항의 차수가 같아야 한다. ∴ k=1 n-1+k=n 또, 양변의 최고차항의 계수도 같아야 하므로 an=a 따라서  f(x)=ax+b로 놓으면  f '(x)=a이므로 (xû`+3)f '(x)=f(x)에서 (x+3)a=ax+b ax+3a=ax+b ∴ b=3a 이때,  f(1)=8에서 4a=8이므로 a=2, b=6 ∴ k+f(0)=1+6=7 ∴ n=1 4 도함수의 활용 ⑴ 본책 58쪽~74쪽 STEP1 기초 Build 0335  -1  f(x)=3xÛ`-x+6으로 놓으면  f '(x)=6x-1 따라서 점 (0, 6)에서의 접선의 기울기는  f '(0)=-1 0336  1  f(x)=-xÜ` +2xÛ`+1로 놓으면  f '(x)=-3xÛ`+4x 따라서 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는  f '(1)=-3+4=1 0337  y=-5x-6  f(x)=xÛ`-x-2로 놓으면  f '(x)=2x-1 점 (-2, 4)에서의 접선의 기울기는  f '(-2)=-5 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-4=-5(x+2) ∴ y=-5x-6  f(x)=- xÛ`-x+20으로 놓으면  f '(x)=- x-1 ;4!; ;2!; 점 (2, 17)에서의 접선의 기울기는  f '(2)=-2 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-17=-2(x-2) ∴ y=-2x+21 0339  y=-1  f(x)=xÜ`+2xÛ`-1로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+4x 점 (0, -1)에서의 접선의 기울기는  f '(0)=0 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-(-1)=0 ∴ y=-1 0340  y=3x-7  f(x)=xÛ`-3x+2로 놓으면  f '(x)=2x-3 접점의 좌표를 (t, tÛ`-3t+2)라 하면 접선의 기울기가 3이므로  f '(t)=2t-3=3 따라서 접점의 좌표는 (3, 2)이므로 구하는 접선의 방정식은 y-2=3(x-3) ∴ y=3x-7 ∴ t=3 0341  y=3x+5  f(x)=3xÛ`+3x+5로 놓으면  f '(x)=6x+3 접점의 좌표를 (t, 3tÛ`+3t+5)라 하면 접선의 기울기가 3이므로  f '(t)=6t+3=3 따라서 접점의 좌표는 (0, 5)이므로 구하는 접선의 방정식은 y-5=3(x-0) ∴ y=3x+5 ∴ t=0 0342  y=3x+10 '  f(x)=xÜ`-12x로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-12 5, y=3x-10 ' 5 4 도함수의 활용 ⑴ | 045 도함수의 활용⑴4 접점의 좌표를 (t, tÜ`-12t)라 하면 접선의 기울기가 3이므로  f '(t)=3tÛ`-12=3, tÛ`-5=0 (t+ ' 따라서 접점의 좌표는 (- 5 또는 t= ' 5, -7 ∴ t=- 5, 7 5 5)이므로 구하는 ' 5), ( 5)(t- 5)=0 ' ' ' ' ' 접선의 방정식은 y-7 5=3(x+ ∴ y=3x+10 ' ' 5), y-(-7 ' 5, y=3x-10 ' 5 ' 5)=3(x- 5) ' 0343  y=2x+9  f(x)=-xÛ`-2x+5로 놓으면  f '(x)=-2x-2 접점의 좌표를 (t, -tÛ`-2t+5)라 하면 직선 y=- x+1에 수 ;2!; ∴ t=-2 직인 직선의 기울기가 2이므로  f '(t)=-2t-2=2 따라서 구하는 접선은 점 (-2, 5)를 지나고 기울기가 2인 직선이 므로 y-5=2(x+2) ∴ y=2x+9 0344  y=5x+1, y=5x-3  f(x)=xÜ`+2x-1로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+2 접점의 좌표를 (t, tÜ`+2t-1)이라 하면 직선 y=5x-1에 평행한 직선의 기울기가 5이므로  f '(t)=3tÛ`+2=5, tÛ`-1=0 (t+1)(t-1)=0 ∴ t=-1 또는 t=1 따라서 접점의 좌표는 (-1, -4), (1, 2)이므로 구하는 접선의 방 정식은 y-(-4)=5(x+1), y-2=5(x-1) ∴ y=5x+1, y=5x-3 0345  ⑴ y-(-aÛ`-4a-2)=(-2a-4)(x-a) ⑵ -1, -5 ⑶ y=-2x-1, y=6x+23 ⑴  f '(x)=-2x-4이고 접점의 좌표는 (a,  -aÛ`-4a-2)이므 로 이 점에서의 접선의 기울기는  f '(a)=-2a-4 따라서 접선의 방정식은 y-(-aÛ`-4a-2)=(-2a-4)(x-a) ⑵ 이 직선이 점 (-3, 5)를 지나므로 5-(-aÛ`-4a-2)=(-2a-4)(-3-a) aÛ`+6a+5=0, (a+1)(a+5)=0 ∴ a=-1 또는 a=-5 ⑶ a=-1을 ⑴에서 구한 접선의 방정식에 대입하면 y-1=-2(x+1) a=-5를 ⑴에서 구한 접선의 방정식에 대입하면 y+7=6(x+5) ∴ y=-2x-1 ∴ y=6x+23 0346  y=-7x+3, y=5x+3  f(x)=3xÛ`-x+6으로 놓으면  f '(x)=6x-1 접점의 좌표를 (t, 3tÛ`-t+6)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울 기는  f '(t)=6t-1이므로 접선의 방정식은 y-(3tÛ`-t+6)=(6t-1)(x-t) yy ㉠ 046 | Ⅱ 미분 이 직선이 점 (0, 3)을 지나므로 3-(3tÛ`-t+6)=(6t-1)(-t) tÛ`-1=0, (t+1)(t-1)=0 이것을 ㉠에 대입하면 t=-1일 때, y-10=-7(x+1) t=1일 때, y-8=5(x-1) ∴ t=-1 또는 t=1 ∴ y=-7x+3 ∴ y=5x+3 0347  y=-x+3  f(x)=-xÜ`+2x+1로 놓으면  f '(x)=-3xÛ`+2 접점의 좌표를 (t, -tÜ`+2t+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기 울기는  f '(t)=-3tÛ`+2이므로 접선의 방정식은 y-(-tÜ`+2t+1)=(-3tÛ`+2)(x-t) 이 직선이 점 (0, 3)을 지나므로 3-(-tÜ`+2t+1)=(-3tÛ`+2)(-t) tÜ`-1=0, (t-1)(tÛ`+t+1)=0 ∴ t=1 (∵ tÛ`+t+1>0) 이것을 ㉠에 대입하면 y-2=-(x-1) ∴ y=-x+3 yy ㉠ 0348  ⑴ a=1, b=0 ⑵ y=4x-2 ⑴  f(x)=xÜ`+ax, g(x)=2xÛ`+b로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+a, g '(x)=4x 두 곡선이 x=1인 점에서 공통인 접선을 가지므로  f(1)=g(1),  f '(1)=g '(1)  f(1)=g(1)에서 a+1=b+2 ∴ a-b=1  f '(1)=g '(1)에서 a+3=4 a=1을 ㉠에 대입하면 b=0 ⑵ 두 곡선  f(x)=xÜ`+x, g(x)=2xÛ`의 접점의 좌표가 (1, 2)이 고 접선의 기울기가  f '(1)=4이므로 구하는 접선의 방정식은 ∴ a=1 yy ㉠ y-2=4(x-1) ∴ y=4x-2 접점의 좌표를 t라 하면  f(t)=g(t),  f '(t)=g'(t)이어야 한다. 0349  ⑴ -1 ⑵ y=3x+3 ⑴  f(x)=xÜ`+1, g(x)=-3xÛ`-3x로 놓으면  f '(x)=3xÛ`, g '(x)=-6x-3  f(t)=g(t)에서 ∴ t=-1  f '(t)=g '(t)에서 3tÛ`=-6t-3, 3(t+1)Û`=0 ∴ t=-1 따라서 t=-1이므로 접점의 x좌표는 -1이다. ⑵ 접점의 좌표는 (-1, 0)이고  f '(-1)=g '(-1)=3이므로 구 tÜ`+1=-3tÛ`-3t, (t+1)Ü`=0 하는 접선의 방정식은 y-0=3(x+1) ∴ y=3x+3 0350  ;2#; 함수  f(x)=xÛ`-3x는 닫힌구간 [0,  3]에서 연속이고 열린구간 (0, 3)에서 미분가능하며  f(0)=f(3)=0이므로  f '(c)=0인 c가 구간 (0, 3)에 적어도 하나 존재한다.  f '(x)=2x-3이므로  f '(c)=2c-3=0 ∴ c= ;2#;  f '(x)=-2x이므로 =-2c -5-3 3-1 ∴ c=2 0351  2 함수  f(x)=-xÛ`+4x는 닫힌구간 [1, 3]에서 연속이고 열린구간 (1, 3)에서 미분가능하며  f(1)=f(3)=3이므로  f '(c)=0인 c가 구간 (1, 3)에 적어도 하나 존재한다.  f '(x)=-2x+4이므로  f '(c)=-2c+4=0 ∴ c=2 0352  ;2%; 함수  f(x)=(x-1)(x-4)=xÛ`-5x+4는 닫힌구간 [1,  4]에 서 연속이고 열린구간 (1, 4)에서 미분가능하며  f(1)=f(4)=0 이므로  f '(c)=0인 c가 구간 (1, 4)에 적어도 하나 존재한다.  f '(x)=2x-5이므로  f '(c)=2c-5=0 ∴ c= ;2%; 0353  1 함수  f(x)=xÜ`-3x는 닫힌구간 [0,  ' (0,  3)에서 미분가능하며  f(0)=f( ' c가 구간 (0,  3)에 적어도 하나 존재한다.  f '(x)=3xÛ`-3이므로  f '(c)=3cÛ`-3=0 3(c+1)(c-1)=0 ∴ c=1 (∵ 00이므로 서로 다른 D 4 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 모든 실수 두 실근을 갖는다. k의 값의 합은 6이다. 유형 03 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용한 본책 63쪽 미정계수의 결정 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 k일 때 ⇨  f(a)=b,  f '(a)=k ∴ 2a+b=0 0372  1 f(x)=xÛ`+ax+b로 놓으면  f(2)=4에서 4+2a+b=4 yy ㉠ 또, 곡선 y=f(x) 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 기울기가 3이므로  f '(2)=3  f '(x)=2x+a이므로 a+4=3 a=-1을 ㉠에 대입하면 b=2 ∴ a+b=1 ∴ a=-1 0373  ④  f(x)=axÜ`+bxÛ`+c로 놓으면  f(-1)=-1에서 -a+b+c=-1  f(3)=3에서 27a+9b+c=3 yy ㉡ 또, y=f(x) 위의 두 점 (-1, -1), (3, 3)에서의 접선이 서로 평 행하므로  f '(-1)=f '(3)  f '(x)=3axÛ`+2bx이므로 3a-2b=27a+6b ∴ 3a+b=0 yy ㉠ yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-3, c=3 ∴ a+b+c=1 0374  12  f(x)=xÜ`+xÛ`+ax+b로 놓으면  f(-1)=-5에서 -a+b=-5 yy ㉠ 곡선 y=f(x) 위의 점 A(-1, -5)에서의 접선에 수직인 직선의 기울기가 - 이므로 점 A에서의 접선의 기울기는 4이다. ;4!;  f '(x)=3xÛ`+2x+a이므로  f '(-1)=4에서 a+1=4 a=3을 ㉠에 대입하면 b=-2 ∴ abÛ`=12 ∴ a=3 유형 04 곡선과 접선의 교점 본책 64쪽 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선 y=g(x)가 이 곡선과 다 시 만나는 점의 x좌표는 ⇨ 방정식  f(x)=g(x)의 x+a인 실근과 같다. 0375  14  f(x)=xÜ`-3xÛ`으로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-6x  f '(3)=9이므로 점 (3, 0)에서의 접선의 방정식은 y-0=9(x-3) ∴ y=9x-27 직선 y=9x-27이 주어진 곡선과 만나는 점의 x좌표는 xÜ`-3xÛ`=9x-27, xÜ`-3xÛ`-9x+27=0 (x-3)Û`(x+3)=0 따라서 점 P의 좌표는 (-3, -54)이고 점 P에서의 접선의 기울 기는  f '(-3)=45이므로 접선의 방정식은 y-(-54)=45(x+3) 즉, a=45, b=81이므로 a+b ∴ x=3 또는 x=-3 ∴ y=45x+81 =14 9 0376  1:2  f(x)=-xÜ`+2x+1로 놓으면  f '(x)=-3xÛ`+2  f '(1)=-1이므로 점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은 y-2=-(x-1) 즉, 점 Q의 좌표는 (0, 3)이므로 PQÓ= ∴ y=-x+3 (-1)Û`+1Û`= 2 "à ' 또, 직선 y=-x+3이 주어진 곡선과 만나는 점의 x좌표는 -xÜ`+2x+1=-x+3, xÜ`-3x+2=0 (x-1)Û`(x+2)=0 따라서 점 R의 좌표는 (-2, 5)이므로 QRÓ= ∴ x=-2 또는 x=1 (-2)Û`+2Û`=2 2 "à ∴ PQÓ:QRÓ= ' 2=1:2 2:2 ' ' 0377  , - {:£3°: :ª6£:}  f(x)=xÜ`-4xÛ`으로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-8x  f '(1)=-5이므로 점 (1, -3)에서의 접선의 방정식은 y-(-3)=-5(x-1) ∴ y=-5x+2 4 도함수의 활용 ⑴ | 049 도함수의 활용⑴4 직선 y=-5x+2가 주어진 곡선과 만나는 점의 x좌표는 xÜ`-4xÛ`=-5x+2, xÜ`-4xÛ`+5x-2=0 (x-1)Û`(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 따라서 다시 만나는 점의 좌표가 P(2, -8)이고  f '(2)=-4이므 로 점 P를 지나고 점 P에서의 접선에 수직인 직선의 방정식은 y-(-8)= (x-2) ∴ y= x- ;4!; :Á2¦: ;4!; an+1= aÇ ;2!; aÇ= ´ ;2!; {;2!;} n-1 Ç` = {;2!;} ∴ a°= Þ`= {;2!;} ;3Á2; 이 직선과 x축, y축의 교점의 좌표는 각각 B(34, 0), C 0, - Lecture { :Á2¦:} 이므로 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는 따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열이므로 ;2!; ;2!; -3+0- :Á2¦: 3 } ∴ , - {:£3°: :ª6£:} 1+34+0 3 { ,  Lecture 삼각형의 무게중심 세 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), C(x£, y£)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 무게중심을 G라 하면 xÁ+xª+x£ 3 ⇨ G ,  { yÁ+yª+y£ 3 } 0378  -75  f(x)=xÜ`+nxÛ`-x로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+2nx-1  f '(1)=2n+2이므로 점 (1, n)에서의 접선의 방정식은 y-n=(2n+2)(x-1) ∴ y=(2n+2)x-n-2 직선 y=(2n+2)x-n-2가 주어진 곡선과 만나는 점의 x좌표는 xÜ`+nxÛ`-x=(2n+2)x-n-2 (x-1)Û`(x+n+2)=0 따라서 xÇ=-n-2이므로 ∴ x=1 또는 x=-n-2 10  xÇ= 10  (-n-2)=- 10´11 -20=-75 n=1 ; n=1 ; 유형 05 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식의 활용 2 곡선 y=f(x) 위의 점의 좌표가 주어졌을 때 Ú aÁ을 구한다. Û 점 (aÇ, f(aÇ))에서의 접선의 방정식을 구하여 an+1=paÇ 꼴로 나 타낸다. Ü 수열 {aÇ}이 등비수열임을 이용한다. 0379  ;3Á2;  f(x)=xÛ`으로 놓으면  f '(x)=2x  f '(1)=2이므로 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은 ∴ y=2x-1 y-1=2(x-1) 직선 y=2x-1과 x축과의 교점의 좌표는 , 0 이므로 {;2!; } 등비수열의 귀납적 정의 ⑴ an+1Öan=r 또는 an+1=ran ⇨ 공비가 r인 등비수열 ⑵ an+1Öan=an+2Öan+1 또는 an+1Û`=anan+2 ⇨ an+1은 an과 an+2의 등비중항 0380  ②  f(x)=xÜ`으로 놓으면  f '(x)=3xÛ`  f '(1)=3이므로 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은 ∴ y=3x-2 y-1=3(x-1) 직선 y=3x-2와 x축과의 교점의 좌표는 , 0 이므로 {;3@; } 또, 곡선 위의 점 (aÇ, aÇÜ`)에서의 접선의 기울기는 3aÇÛ`이므로 접 선의 방정식은 y-aÇÜ`=3aÇÛ`(x-aÇ) ∴ y=3aÇÛ`x-2aÇÜ` 접선 y=3aÇÛ`x-2aÇÜ`과 x축과의 교점의 좌표는 aÇ, 0 이므로 } {;3@; aÁ= ;3@; an+1= aÇ ;3@; 따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열이므로 ;3@; ;3@; 유형 06 기울기가 주어진 접선의 방정식 본책 65쪽 ⑴ 곡선 y=f(x)에 접하는 접선의 기울기 m이 주어졌을 때 Ú 접점의 좌표를 (a, f(a))로 놓는다. Û  f '(a)=m임을 이용하여 접점의 좌표를 구한다. Ü y-f(a)=m(x-a)를 이용하여 접선의 방정식을 구한다. ⑵ 기울기가 직접적으로 주어지지 않은 경우 ① 평행한 두 직선은 기울기가 서로 같고, 두 직선이 수직이면 두 직선 의 기울기의 곱은 -1이다. ② 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 h (0ùÉh<90ù)가 주어지면 (기울기)=tan h임을 이용한다. 본책 64쪽 n-1 n = {;3@;} aÇ= ´ ;3@; ∴ aÁ¼= {;3@;} 10 {;3@;} aÁ= ;2!; 또, 곡선 위의 점 (aÇ, aÇÛ`)에서의 접선의 기울기는 2aÇ이므로 접선 의 방정식은 y-aÇÛ`=2aÇ(x-aÇ) ∴ y=2aÇx-aÇÛ` 직선 y=2aÇx-aÇÛ`과 x축과의 교점의 좌표는 aÇ, 0 이므로 } {;2!; 0381  ②  f(x)=xÜ`-3xÛ`+5로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-6x 접점의 좌표를 (t, tÜ`-3tÛ`+5)라 하면 직선 x-3y+2=0, 즉 y= x+ 에 수직인 직선의 기울기는 -3이므로 ;3!; ;3@;  f '(t)=3tÛ`-6t=-3 050 | Ⅱ 미분 tÛ`-2t+1=0, (t-1)Û`=0 ∴ t=1 즉, 접점의 좌표는 (1, 3)이므로 직선의 방정식은 y-3=-3(x-1) ∴ y=-3x+6 0382  2  f(x)=xÛ`+2x+3으로 놓으면  f '(x)=2x+2 접점의 좌표를 (t, tÛ`+2t+3)이라 하면 직선 y=4x-1에 평행한 직선의 기울기는 4이므로 ∴ t=1  f '(t)=2t+2=4 즉, 접점의 좌표는 (1, 6)이므로 직선의 방정식은 y-6=4(x-1) 따라서 구하는 y절편은 2이다. ∴ y=4x+2 0383  8  f(x)=xÝ`-4xÜ`+6xÛ`+4로 놓으면  f '(x)=4xÜ`-12xÛ`+12x 곡선 위의 점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 4이므로  f '(a)=4에서 4aÜ`-12aÛ`+12a=4 aÜ`-3aÛ`+3a-1=0, (a-1)Ü`=0 ∴ a=1 즉, 접점의 좌표는 (1, 7)이므로 a=1, b=7 ∴ a+b=8 0384  ④  f(x)=-2xÜ`+6xÛ`+x-1로 놓으면  f '(x)=-6xÛ`+12x+1=-6(x-1)Û`+7 이므로  f '(x)는 x=1에서 최댓값 7을 갖는다. 따라서 구하는 기울기 m의 최댓값은 7이다. 0385  ①  f(x)= xÜ`+xÛ`+x+ 로 놓으면 ;6!; ;3$;  f '(x)= xÛ`+2x+1= (x+2)Û`-1 ;2!; ;2!; 이므로  f '(x)는 x=-2일 때 최솟값 -1을 갖는다. 즉, 기울기가 최소인 접선의 접점의 좌표는 (-2,  2)이고 접선의 기울기가 -1이므로 접선 l의 방정식은 y-2=-(x+2) 따라서 직선 l 위의 점은 (1, -1)이다. ∴ y=-x 0386  -6  f(x)=-xÛ`+3x+2로 놓으면  f '(x)=-2x+3 곡선 위의 점 (1, 4)에서의 접선의 기울기는  f '(1)=1이므로 수직 인 직선의 기울기는 -1이다. 접점의 좌표를 (t, -tÛ`+3t+2)라 하면  f '(t)=-2t+3=-1 즉, 접점의 좌표는 (2, 4)이므로 직선의 방정식은 y-4=-(x-2) ∴ y=-x+6 따라서 a=-1, b=6이므로 ab=-6 ∴ t=2 ∴ t=1 0387  2  f(x)=xÛ`-3x-1로 놓으면  f '(x)=2x-3 접점의 좌표를 (t, tÛ`-3t-1)이라 하면 접선의 기울기는 tan 135ù=-1이므로  f '(t)=2t-3=-1 즉, 접점의 좌표는 (1, -3)이므로 접선의 방정식은 y-(-3)=-(x-1) 점 P(a, b)가 직선 y=-x-2 위의 점이므로 b=-a-2 ∴ aÛ`+bÛ`=aÛ`+(-a-2)Û`=2(a+1)Û`+2 따라서 aÛ`+bÛ`은 a=-1일 때 최솟값 2를 갖는다. ∴ y=-x-2 유형 07 곡선과 직선이 접할 때 미정계수의 결정 본책 66쪽 곡선 y=f(x)와 직선 y=mx+n이 접할 때 Ú 접점의 좌표를 (t, f(t))로 놓고 접선의 방정식을 세운다. Û Ú에서 구한 접선의 방정식과 직선 y=mx+n이 일치함을 이용하 여 t의 값을 구한다. Ü 구한 t의 값을 y=f(x)에 대입하여 미정계수를 구한다. 0388  -25  f(x)=xÜ`-3xÛ`+2로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-6x 접점의 좌표를 (t, tÜ`-3tÛ`+2)라 하면 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`-6t이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`-3tÛ`+2)=(3tÛ`-6t)(x-t) ∴ y=(3tÛ`-6t)x-2tÜ`+3tÛ`+2 이 직선이 직선 y=9x+k와 일치하므로 3tÛ`-6t=9, -2tÜ`+3tÛ`+2=k 두 식을 연립하여 풀면 t=-1, k=7 또는 t=3, k=-25 이때, k는 음수이므로 구하는 k의 값은 -25이다. 0389  ①  f(x)=xÜ`+xÛ`-2로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+2x 접점의 좌표를 (t, tÜ`+tÛ`-2)라 하면 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`+2t이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`+tÛ`-2)=(3tÛ`+2t)(x-t) ∴ y=(3tÛ`+2t)x-2tÜ`-tÛ`-2 이 직선이 직선 y=x-k+3과 일치하므로 3tÛ`+2t=1, -2tÜ`-tÛ`-2=-k+3 두 식을 연립하여 풀면 t=-1, k=4 또는 t= , k= ;3!; :Á2¢7¼: 이때, k는 정수이므로 구하는 k의 값은 4이다. 2 0390  '  f(x)=xÜ`+kx-1이라 하면  f '(x)=3xÛ`+k 접점의 좌표를 (t, tÜ`+kt-1)이라 하면 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`+k이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`+kt-1)=(3tÛ`+k)(x-t) ∴ y=(3tÛ`+k)x-2tÜ`-1 4 도함수의 활용 ⑴ | 051 도함수의 활용⑴4 이 직선이 직선 y=2x+1과 일치하므로 3tÛ`+k=2, -2tÜ`-1=1 두 식을 연립하여 풀면 t=-1, k=-1 따라서 점 P의 좌표는 (-1, -1)이므로 OPÓ= (-1)Û`+(-1)Û`= "à ' 2 Lecture 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 ⑴ 좌표평면 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª) 사이의 거리는 ABÓ= (xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û` ⑵ 원점 O와 점 P(xÁ, yÁ) 사이의 거리는 OPÓ= xÁÛ`+yÁÛ` "à "à 0391  8  f(x)=xÜ`-kxÛ`+2kx-2로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-2kx+2k 접점의 좌표를 (t, tÜ`-ktÛ`+2kt-2)라 하면 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`-2kt+2k이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`-ktÛ`+2kt-2)=(3tÛ`-2kt+2k)(x-t) ∴ y=(3tÛ`-2kt+2k)x-2tÜ`+ktÛ`-2 이 직선이 직선 y=4x-2와 일치하므로 3tÛ`-2kt+2k=4 -2tÜ`+ktÛ`-2=-2 yy ㉠ yy ㉡ ㉡에서 -tÛ`(2t-k)=0 ∴ t=0 또는 t= ;2K; Ú t=0을 ㉠에 대입하면 k=2 Û t= 를 ㉠에 대입하면 ;2K; kÛ`-kÛ`+2k=4, (k-4)Û`=0 ∴ k=4 ;4#; Ú, Û에서 모든 상수 k의 값의 곱은 2´4=8 유형 08 기울기가 주어진 접선의 방정식의 활용 본책 66쪽 Ú 곡선의 접선 중 주어진 직선과 평행한 접선의 접점의 좌표를 구한다. Û 이 접점과 직선 사이의 거리가 구하는 거리의 최솟값이다. 2 ' 0392  8  f(x)=xÛ`-5x+10으로 놓으면  f '(x)=2x-5 곡선 y=f(x)의 접선 중에서 직선 y=-x-10과 평행한 접선의 접점의 좌표를 (t, tÛ`-5t+10)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울 기가 -1이어야 하므로  f '(t)=2t-5=-1 따라서 접점의 좌표는 (2, 4)이고, 점 (2, 4)와 직선 y=-x-10, 즉, x+y+10=0 사이의 거리가 구하는 최솟값이므로 |2+4+10| 1Û`+1Û` ∴ t=2 16 2 =8 = ' 2 점 (xÁ, yÁ)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리 d는 "à Lecture ' 점과 직선 사이의 거리 |axÁ+byÁ+c| d= aÛ`+bÛ` "à 052 | Ⅱ 미분 0393  ②  f(x)=xÜ`-6xÛ`+6x로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-12x+6 곡선 y=f(x)의 접선 중에서 직선 x=3y, 즉 y= x와 수직인 접 ;3!; 선의 접점의 좌표를 (t, t Ü`-6tÛ`+6t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 -3이어야 하므로  f '(t)=3tÛ`-12t+6=-3 tÛ`-4t+3=0, (t-1)(t-3)=0 ∴ t=1 또는 t=3 따라서 접점의 좌표는 (1, 1), (3, -9)이므로 접선의 방정식은 y-1=-3(x-1), y-(-9)=-3(x-3) ∴ 3x+y-4=0, 3x+y=0 위의 두 직선 사이의 거리는 직선 3x+y-4=0 위의 점 (0, 4)와 직선 3x+y=0 사이의 거리와 같으므로 구하는 거리는 |0+4| 3Û`+1Û` ;5@;' 4 1 = = 0 1 0 "à ' 0394  ③  f(x)=xÛ`-3x로 놓으면 f '(x)=2x-3 곡선 y=f(x)의 접선 중에서 직선 y=x와 평행한 접선의 접점의 좌표를 (t, tÛ`-3t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 1이어야 하므로 f '(t)=2t-3=1 따라서 접점의 좌표는 P(2, -2)이고, 이때 삼각형 OAP의 넓이가 최대이다. ∴ t=2 =-2이어야 하므로 0395  1  f(x)=-xÛ`+4로 놓으면  f '(x)=-2x 곡선 y=f(x)의 접선 중에서 직선 PQ와 평행한 접선의 접점의 좌 표를 (t, -tÛ`+4)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 0-4 2-0  f '(t)=-2t=-2 즉, 접점의 좌표는 (1, 3)이므로 A(1, 3)일 때 삼각형 PQA의 넓 이가 최대이다. 한편, 두 점 P(0, 4), Q(2, 0)을 지나는 직선은 ∴ 2x+y-4=0 y-4=-2x 이때, 점 A(1, 3)과 직선 2x+y-4=0 사이의 거리는 |2+3-4| 2Û`+1Û` 5 = ' 5 ∴ t=1 5이므로 삼각형 PQA의 넓이의 최댓값은 "à PQÓ= 2Û`+4Û`=2 "à ' ´2 ;2!; 5 5´ ' 5 ' =1 0396  24 TIP 세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 a, b, c로 놓으면  f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)이다. 세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 a, b, c라 하면  f(x)=(x-a)(x-b)(x-c) ACÓ=6에서 c-a=6  f '(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b) Œ Œ 이고 점 C에서의 접선의 기울기는  f '(c)=12이므로 (c-a)(c-b)=12, 6(c-b)=12 ∴ c-b=2 이때, b-a=4이고 점 A에서의 접선의 기울기는 f '(a)이므로  f '(a)=(a-b)(a-c)=-4´(-6)=24 유형 09 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식 본책 67쪽 곡선 y=f(x) 밖의 한 점 (a, b)가 주어졌을 때 Ú 접점의 좌표를 (t, f(t))로 놓는다. Û y-f(t)=f '(t)(x-t)에 점 (a, b)의 좌표를 대입하여 t의 값을 구 Ü 구한 t의 값을 y-f(t)=f '(t)(x-t)에 대입하여 접선의 방정식을 한다. 구한다. 0397  ①, ⑤  f(x)=-(x+1)Û`+2=-xÛ`-2x+1로 놓으면  f '(x)=-2x-2 접점의 좌표를 (t, -tÛ`-2t+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기 울기는  f '(t)=-2t-2이므로 접선의 방정식은 y-(-tÛ`-2t+1)=(-2t-2)(x-t) ∴ y=(-2t-2)x+tÛ`+1 이 직선이 점 (-1, 3)을 지나므로 3=tÛ`+2t+3, t(t+2)=0 ∴ t=0 또는 t=-2 t=0을 ㉠에 대입하면 y=-2x+1 t=-2를 ㉠에 대입하면 y=2x+5 yy ㉠ 0398  -4  f(x)=-xÛ`+4x로 놓으면  f '(x)=-2x+4 접점의 좌표를 (t, -tÛ`+4t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는  f '(t)=-2t+4이므로 접선의 방정식은 y-(-tÛ`+4t)=(-2t+4)(x-t) ∴ y=(-2t+4)x+tÛ` 이 직선이 점 (3, 7)을 지나므로 7=tÛ`-6t+12, tÛ`-6t+5=0 (t-1)(t-5)=0 따라서 두 접선의 기울기의 합은  f '(1)+f '(5)=2+(-6)=-4 ∴ t=1 또는 t=5 0399  1  f(x)=xÜ`+5로 놓으면  f '(x)=3xÛ` 접점의 좌표를 (t, tÜ`+5)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`+5)=3tÛ`(x-t) ∴ y=3tÛ`x-2tÜ`+5 이 직선이 점 (0, 3)을 지나므로 3=-2tÜ`+5, tÜ`-1=0 (t-1)(tÛ`+t+1)=0 즉, 접점은 (1, 6)의 1개이므로 구하는 접선의 개수는 1이다. ∴ t=1 (∵ tÛ`+t+1>0) 0400  y= x- ;4#; ;2!;  f(x)=xÜ`+xÛ`-x로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+2x-1 접점의 좌표를 (t, tÜ`+tÛ`-t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`+2t-1이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`+tÛ`-t)=(3tÛ`+2t-1)(x-t) ∴ y=(3tÛ`+2t-1)x-2tÜ`-tÛ` 이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로 1=-2tÜ`+5tÛ`+4t-2, 2tÜ`-5tÛ`-4t+3=0 (t+1)(t-3)(2t-1)=0 yy ㉠ ∴ t=-1 또는 t= 또는 t=3 ;2!; 따라서 접선의 기울기는 각각  f '(-1)=0,  f ' = ,  f '(3)=32 {;2!;} ;4#; 은 t= 을 ㉠에 대입하면 ;2!; ;2!; y= x- ;4#; ;2!; 즉, t= 일 때 기울기 m이 00) ∴ y=2x+5 유형 10 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식의 활용 ⑴ 본책 68쪽 곡선 y=f(x) 밖의 한 점 (a, b)가 주어졌을 때 Ú 접점의 좌표를 (t, f(t))로 놓고 접선의 방정식을 세운다. Û 점 (a, b)의 좌표를 접선의 방정식에 대입하여 t에 대한 방정식을 세 운다. Ü t에 대한 방정식의 해가 접점의 x좌표임을 이용한다. 0402  2  f(x)=-xÛ`+x로 놓으면  f '(x)=-2x+1 접점의 좌표를 (t, -tÛ`+t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는  f '(t)=-2t+1이므로 접선의 방정식은 y-(-tÛ`+t)=(-2t+1)(x-t) ∴ y=(-2t+1)x+tÛ` 이 직선이 점 (1, 2)를 지나므로 2=tÛ`-2t+1 4 도함수의 활용 ⑴ | 053 도함수의 활용⑴4 ∴ tÛ`-2t-1=0 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 두 접점의 x좌표의 합은 2이다. 따라서 접점의 좌표는 (-1, 8), (1, 8)이므로 ABÓ=2 0403  -1  f(x)=xÜ`-3x+1로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-3 접점의 좌표를 (t, tÜ`-3t+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울 기는  f '(t)=3tÛ`-3이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`-3t+1)=(3tÛ`-3)(x-t) ∴ y=(3tÛ`-3)x-2tÜ`+1 이 직선이 점 (2, k)를 지나므로 k=-2tÜ`+6tÛ`-5 ∴ 2tÜ`-6tÛ`+5+k=0 yy ㉠ 이 방정식의 세 근이 등차수열을 이루므로 세 근을 a-d, a, a+d 라 하면 근과 계수의 관계에서 (a-d)+a+(a+d)=3 ㉠의 한 근이 1이므로 x=1을 ㉠에 대입하면 2-6+5+k=0 ∴ k=-1 ∴ a=1 유형 11 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식의 활용 ⑵ 본책 68쪽 곡선 y=f(x) 밖의 한 점 (a, b)가 주어졌을 때 Ú 접점의 좌표를 (t, f(t))로 놓고 접선의 방정식을 세운다. Û 점 (a, b)의 좌표를 접선의 방정식에 대입하여 t의 값을 구한 후 접점 의 좌표를 구한다. 0404  18  f(x)=xÜ`-2x로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-2 접점의 좌표를 (t, tÜ`-2t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`-2이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`-2t)=(3tÛ`-2)(x-t) ∴ y=(3tÛ`-2)x-2tÜ` 이 직선이 점 (0, -2)를 지나므로 -2=-2tÜ`, tÜ`-1=0 (t-1)(tÛ`+t+1)=0 즉, 접점의 좌표는 P(1, -1)이고 이 점에서의 접선의 방정식은 y=x-2이므로 직선 y=x-2가 주어진 곡선과 만나는 점의 x좌표는 xÜ`-2x=x-2, xÜ`-3x+2=0 (x-1)Û`(x+2)=0 따라서 접선과 곡선이 만나는 다른 한 점은 Q(-2, -4)이므로 PQÓ Û`=(1+2)Û`+(-1+4)Û`=18 ∴ t=1 (∵ tÛ`+t+1>0) ∴ x=1 또는 x=-2 0405  2  f(x)=xÝ`+2xÛ`+5로 놓으면  f '(x)=4xÜ`+4x 접점의 좌표를 (t, tÝ`+2tÛ`+5)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기 는  f '(t)=4tÜ`+4t이므로 접선의 방정식은 y-(tÝ`+2tÛ`+5)=(4tÜ`+4t)(x-t) ∴ y=(4tÜ`+4t)x-3tÝ`-2tÛ`+5 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로 0=-3tÝ`-2tÛ`+5, (t+1)(t-1)(3tÛ`+5)=0 ∴ t=-1 또는 t=1 054 | Ⅱ 미분 유형 12 공통인 접선 본책 68쪽 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t에서 공통인 접선을 가지면 ⑴ x=t에서 두 곡선이 만난다. ⇨  f(t)=g(t) ⑵ x=t에서의 두 곡선의 접선의 기울기가 같다. ⇨  f '(t)=g '(t) 0406  3  f(x)=xÛ`+3x-1, g(x)=xÜ`+2x로 놓으면  f '(x)=2x+3, g'(x)=3xÛ`+2 두 곡선이 x=t인 점에서 공통인 접선을 갖는다고 하면  f(t)=g(t)에서 tÛ`+3t-1=tÜ`+2t (t+1)(t-1)Û`=0  f '(t)=g'(t)에서 2t+3=3tÛ`+2 ∴ t=-1 또는 t=1 (t-1)(3t+1)=0 ∴ t=- 또는 t=1 ;3!; 따라서 t=1일 때, 즉 점 (1, 3)에서 공통인 접선을 갖고 접선의 기 울기는  f '(1)=g '(1)=5이므로 공통인 접선의 방정식은 y-3=5(x-1) ∴ y=5x-2 즉, a=5, b=-2이므로 a+b=3 0407  2  f(x)=xÜ`+ax, g(x)=axÛ`+b로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+a, g '(x)=2ax 두 곡선이 x=1인 점에서 공통인 접선을 가지므로  f(1)=g(1)에서 a+1=a+b  f '(1)=g'(1)에서 3+a=2a ∴ a-b=2 ∴ b=1 ∴ a=3 0408  -2  f(x)=xÝ`+ax, g(x)=bxÛ`+c로 놓으면  f '(x)=4xÜ`+a, g '(x)=2bx 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 점 (-1, 0)을 지나므로  f(-1)=0에서 1-a=0 g(-1)=0에서 b+c=0 점 (-1, 0)에서의 두 곡선의 접선의 기울기가 서로 같으므로  f '(-1)=g '(-1)에서 a-4=-2b ∴ a=1 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 a=1, b= , c=- ;2#; ;2#; ∴ a-b+c=-2 0409  ②  f(x)=xÜ`+ax, g(x)=xÛ`-1로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+a, g '(x)=2x 두 곡선이 x=t인 점에서 공통인 접선을 갖는다고 하면  f(t)=g(t)에서 tÜ`+at=tÛ`-1  f '(t)=g '(t)에서 3tÛ`+a=2t ∴ a=-3tÛ`+2t ㉡을 ㉠에 대입하면 yy ㉠ yy ㉡ tÜ`+(-3tÛ`+2t)t=tÛ`-1, 2tÜ`-tÛ`-1=0 (t-1)(2tÛ`+t+1)=0 t=1을 ㉡에 대입하면 a=-1 ∴ t=1 (∵ 2tÛ`+t+1>0) 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로 0=-3tÝ`+tÛ`+2, (t-1)(t+1)(3tÛ`+2)=0 ∴ t=-1 또는 t=1 따라서 접점의 좌표는 A(-1, 2), B(1, 2)이므로 유형 13 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이 본책 69쪽 △OAB= ´2´2=2 ;2!; Ú 접선의 방정식을 구한다. Û 접선의 x절편과 y절편을 찾아 도형의 넓이를 구한다. 0410  ③ f(x)=xÜ`+2xÛ`-1이라 하면 f '(x)=3xÛ`+4x 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=7이므로 접선의 방정식 은 y-2=7(x-1) ∴ y=7x-5 이 접선의 x절편이 , y절편이 -5이므로 구하는 삼각형의 넓이는 ;7%; ´ ;2!; ;7%; ´5= ;1@4%; 0411  32 f(x)=-(x-1)(x+4)=-xÛ`-3x+4라 하면 f '(x)=-2x-3 접점의 좌표를 (t, -tÛ`-3t+4)라 하면 접선의 기울기가 1이므로 ∴ t=-2 f '(t)=-2t-3=1 따라서 접점의 좌표는 (-2, 6)이므로 접선의 방정식은 y-6=x+2 이 접선의 x절편이 -8, y절편이 8이므로 구하는 도형의 넓이는 ∴ y=x+8 ´8´8=32 ;2!; 0412  ;2!; f(x)=xÜ`+ax, g(x)=bxÛ`+c로 놓으면 f '(x)=3xÛ`+a, g '(x)=2bx 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 점 P(1, 2)를 지나므로 f(1)=2에서 a+1=2 g(1)=2에서 b+c=2 점 P(1, 2)에서의 두 곡선의 접선의 기울기가 서로 같으므로  f '(1)=g'(1)에서 a+3=2b ㉠, ㉡, ㉢에서 a=1, b=2, c=0 점 P(1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=g'(1)=4이므로 접선 의 방정식은 y-2=4(x-1) ∴ y=4x-2 ∴ a=1 yy ㉠ yy ㉢ yy ㉡ 0414  16 f(x)=xÛ`+1로 놓으면 f '(x)=2x 접점의 좌표를 (t, tÛ`+1)로 놓으면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=2t이므로 접선의 방정식은 y-(tÛ`+1)=2t(x-t) ∴ y=2tx-tÛ`+1 이 직선이 점 P(1, -2)를 지나므로 -2=-tÛ`+2t+1, tÛ`-2t-3=0 (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3 따라서 두 접점의 좌표는 Q(-1, 2), R(3, 10)이고, 접선의 방정 식은 y=-2x, y=6x-8 PQÓ= (-1-1)Û`+(2+2)Û`=2 5이고, "à ' 점 R(3, 10)과 직선 PQ, 즉 2x+y=0 사이의 거리는 |6+10| 2Û`+1Û` = 5 16 ' 5 "à ∴ △PQR= ´2 5´ ' ;2!; 5 16 ' 5 =16 0415  8 TIP 접선의 방정식을 구하여 x절편과 직선 y=8과의 교점을 찾아 사다리꼴 ' 2 의 넓이를 구한다. f(x)=2xÛ`으로 놓으면 f '(x)=4x 접점의 좌표를 (t, 2tÛ`)이라 하면 접선의 기울기는 f '(t)=4t이므 로 접선의 방정식은 y-2tÛ`=4t(x-t) ∴ y=4tx-2tÛ` 이 직선이 x축과 만나는 점의 좌표는 , 0 , 직선 y=8과 만나는 {;2T; } 점의 좌표는 { S= ´8´ ;2!; {;2T; } , 8 tÛ`+4 2t + tÛ`+4 2t } =4 t+ { ;t@;} 이므로 사다리꼴의 넓이 S는 이때, t>0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 ;t@; 이 접선의 x절편이 , y절편이 -2이므로 구하는 삼각형의 넓이는 ;2!; S=4 t+ ¾4´2 t´ =4´2 2=8 { ;t@;} ®É ;t@; ' 2 ' ´ ;2!; ;2!; ´2= ;2!; 0413  2 f(x)=xÝ`-xÛ`+2로 놓으면 f '(x)=4xÜ`-2x 접점의 좌표를 (t, tÝ`-tÛ`+2)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=4tÜ`-2t이므로 접선의 방정식은 y-(tÝ`-tÛ`+2)=(4tÜ`-2t)(x-t) ∴ y=(4tÜ`-2t)x-3tÝ`+tÛ`+2 따라서 사다리꼴의 넓이의 최솟값은 8 2이다. ' (단, 등호는 t= 2일 때 성립) ' 유형 14 곡선과 원의 접선 본책 70쪽 곡선 y=f(x)와 원 C가 접할 때, ⑴ (원 C의 반지름의 길이)=(원 C의 중심과 접점 사이의 거리) ⑵ 원 C의 중심과 접점을 지나는 직선은 접선과 수직이다. 4 도함수의 활용 ⑴ | 055 도함수의 활용⑴4 y O 0416  20p  f(x)=-xÛ`+3으로 놓으면  f '(x)=-2x 오른쪽 그림과 같이 접점을 P(t,  -tÛ`+3)이라 하면 이 점에서의 접 선의 기울기는  f '(t)=-2t이고, 직선 CP의 기울기는 -tÛ`-1 t-5 이때, 접선과 직선 CP는 서로 수직이므로 -2t´ -tÛ`-1 t-5 =-1 2tÜ`+3t-5=0, (t-1)(2tÛ`+2t+5)=0 ∴ t=1 (∵ 2tÛ`+2t+5>0) 즉, 구하는 접점의 좌표는 P(1, 2)이므로 원의 반지름의 길이는 (5-1)Û`+(4-2)Û`=2 "à 따라서 구하는 원의 넓이는 (2 ' 5 5)Û`p=20p이다. ' 따라서 구하는 원의 둘레의 길이는 2 1 7p이다. ' C(5, 4) 3 P 유형 15 롤의 정리 본책 70쪽 x 함수  f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분 가능할 때,  f(a)=f(b)이면 y=-x2+3 ⇨  f '(c)=0인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다. 0419  -6 함수  f(x)=2xÛ`+ax에 대하여 닫힌구간 [0, 4]에서 롤의 정리가 성립하려면  f(0)=f(4)이어야 한다.  f(0)=0이므로 f(4)=32+4a=0 즉,  f(x)=2xÛ`-8x이므로  f '(x)=4x-8 이때, 상수 b에 대하여  f '(b)=0이므로 4b-8=0 ∴ a+b=-6 ∴ a=-8 ∴ b=2 0417  ④  f(x)=xÛ`으로 놓으면  f '(x)=2x 오른쪽 그림과 같이 접점을 P(t, tÛ`)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는  f '(t)=2t이고, 점 (0, a)와 점 P(t, tÛ`) 을 지나는 직선의 기울기는 y y=x2 0420  ㄷ, ㄹ ㄱ. 함수  f(x)=xÛ`(x-2)는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고 열린 구간 (0, 2)에서 미분가능하다. 이때  f(0)=f(2)=0이므로 f '(c)=0인 c가 열린구간 (0, 2)에 적 a O P(t, t2) x 어도 하나 존재한다. tÛ`-a t 2t´ tÛ`-a t ∴ tÛ`=a- ;2!; 이때, 원의 중심과 접점을 지나는 직선은 접선과 서로 수직이므로 =-1, 2(tÛ`-a)=-1 또, 원의 반지름의 길이, 즉 점 (0, a)와 점 P(t, tÛ`) 사이의 거리가 1이므로 tÛ`+(tÛ`-a)Û`=1, tÛ`+(tÛ`-a)Û`=1 "à ㉡에 ㉠을 대입하면 a- + a- ;2!; { -a } ;2!; Û`=1 ∴ a= ;4%; yy ㉠ yy ㉡ ㄴ. 함수  f(x)=3은 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고 열린구간 (0, 2)에서 미분가능하다. 이때  f(0)=f(2)=3이므로  f '(c)=0인 c가 열린구간 (0, 2)에 적 어도 하나 존재한다. ㄷ. 함수  f(x)=2|x-1|은 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이지만 x=1에서 미분가능하지 않으므로 롤의 정리가 성립하지 않는 다. ㄹ. 함수  f(x)=2x+|x+1|에서  f(0)=1,  f(2)=7이므로  f(0)+f(2) 따라서 롤의 정리가 성립하지 않는다. 따라서 롤의 정리가 성립하지 않는 함수는 ㄷ, ㄹ이다. 0418  ④  f(x)=xÝ`으로 놓으면  f '(x)=4xÜ` 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기가  f '(1)=4이므로 이 접선에 수직 0421  16 인 직선의 기울기는 - 이다. ;4!; 함수  f(x)= xÜ`+4xÛ`-10x+1은 닫힌구간 [-a, a]에서 연속 ;3@; 이고 열린구간 (-a, a)에서 미분가능하다. 이때, 롤의 정리를 만족시키려면  f(-a)=f(a)이어야 하므로 따라서 점 (1, 1)을 지나고 기울기가 - 인 직선의 방정식은 ;4!; - aÜ`+4aÛ`+10a+1= aÜ`+4aÛ`-10a+1 ;3@; ;3@; y-1=- (x-1) ∴ y=- ;4!; x+ ;4%; ;4!; yy ㉠ 또, 중심이 x축 위에 있는 원의 방정식을 (x-a)Û`+yÛ`=rÛ`이라 하 면 직선 ㉠이 원의 중심 (a, 0)을 지나야 하므로 이때, 반지름의 길이는 두 점 (1, 1), (5, 0) 사이의 거리와 같으므로 0=- a+ ;4%; ;4!; ∴ a=5 (5-1)Û`+(0-1)Û`= 1 7 ' "à 056 | Ⅱ 미분 aÜ`-20a=0, a(aÛ`-15)=0 1 ' ;3$; 5 (∵ a>0) ;3$; ∴ a= 한편,  f '(x)=2xÛ`+8x-10이고,  f '(c)=0인 c가 구간 5)에 적어도 하나 존재하므로 (- 1 '  f '(c)=2cÛ`+8c-10=0 2(c-1)(c+5)=0 ∴ aÛ`+c=16 ∴ c=1 (∵ - 5,  1 ' 5-2) 0426  - ;6%; 함수 f(x)가 미분가능하므로 함수 g(x)= 도 닫힌구간 `f(x) x+1 [0, 5]에서 연속이고 열린구간 (0, 5)에서 미분가능하다. 즉, g(5)-g(0) 5-0 =g '(c) 인 c가 열린구간 (0, 5)에 적어도 하나 존재한다. ∴ g'(c)= -4 -;6!; 5-0 =- ;6%; 0427  -25 함수 f(x)=xÛ`-3x는 닫힌구간 [1, 4]에서 연속이고 열린구간 (1, 4)에서 미분가능하므로 `f(4)-f(1) 4-1 =f '(c) 인 c가 구간 (1, 4)에 적어도 하나 존재한다. f '(x)=2x-3이므로 =2c-3 4-(-2) 4-1 ∴ c= ;2%; 접선의 방정식은 따라서 점 , - 에서의 접선의 기울기는 f ' =2이므로 {;2%; ;4%;} {;2%;} 0424  5 `f(b)-f(a) b-a 는 곡선 y=f(x) 위의 두 점 (a, f(a)), (b, f(b)) y- {-;4%;} =2 x- { ;2%;} ∴ y=2x- :ª4°: 를 지나는 직선의 기울기이고, f '(c)는 곡선 y=f(x)의 x=c에서 의 접선의 기울기이다. 즉, m=2, n=- 이므로 2mn=-25 :ª4°: 이때, 오른쪽 그림과 같이 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 지나는 직 선과 평행한 접선을 5개 그을 수 있 으므로 주어진 조건을 만족시키는 상수 c의 개수는 5이다. y y=f(x) 유형 17 평균값 정리의 변형 본책 71쪽 a O b x Ú 함수 f(x)의 도함수 f '(x)를 구한다. Û 주어진 식에 f(x)와 f '(x)를 대입하여 h에 대한 식으로 정리한 후 극한값을 구한다. 0425  2 닫힌구간 [-3, 5]에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 c는 두 점 (-3, 24), (5, -52)를 지나는 직선의 기울기와 같은 미분계수를 갖는 점의 x좌표이다. 함수 f(x)= -2xÛ`-x+3 (x¾0) 2xÛ`-x+3 ` (x<0) [ 0428  ;2!; f(x)=3xÛ`에서 f '(x)=6x f(a+h)=f(a)+hf '(a+hh)에서 3(a+h)Û`=3aÛ`+h{6(a+hh)} 3hÛ`=6hhÛ` ∴ h= ;2!; 4 도함수의 활용 ⑴ | 057 도함수의 활용⑴4 0429  12 함수  f(x)는 닫힌구간 [x-2, x +2]에서 연속이고 열린구간 (x-2, x+2)에서 미분가능하므로 `f(x+2)-f(x-2) (x+2)-(x-2) =f '(c) 인 c가 구간 (x-2, x+2)에 적어도 하나 존재한다.  f(x+2)-f(x-2)=4f '(c)에서 x` ¦일 때 c`  { f(x+2)-f(x-2)}=lim lim ¦ ¦ x Ú  4f '(c)=4´3=12 3Ú  Ú c ¦이므로 3Ú  STEP3 심화 Master 0430  ;6!; TIP 두 함수  f(x), g(x)가 역함수 관계이면 y=f(x) 위의 점 (a, b)에서 의 접선과 y=g(x) 위의 점 (b, a)에서의 접선은 직선 y=x에 대하여 대칭 이다.  f(x)=xÜ`+3x+2에서 f '(x)=3xÛ`+3 y=f(x) 위의 점 (1, 6)에서의 접선의 기울기는  f '(1)=6이므로 접선의 방정식은 y-6=6(x-1) 이 접선과 직선 y=x에 대하여 대칭인 직선의 방정식은 ∴ y=6x x=6y, 즉 y= x이므로 ;6!; a= , b=0 ∴ a+b= ;6!; ;6!; 0431  ;6%; TIP 곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은 y=f '(t)(x-t)+f(t)이다.  f(x)=-xÜ`+4xÛ`-3x에서  f '(x)=-3xÛ`+8x-3 점 (t, f(t))에서의 접선의 기울기는  f '(t)=-3tÛ`+8t-3이므로 접선의 방정식은 y-(-tÜ`+4tÛ`-3t)=(-3tÛ`+8t-3)(x-t) ∴ y=(-3tÛ`+8t-3)x+2tÜ`-4tÛ` yy ㉠ ∴ A 2tÜ`-4tÛ` 3tÛ`-8t+3 { , 0 } 또, 점 B(3, 0)에서의 접선의 기울기는  f '(3)=-6이므로 접선의 방정식은 y=-6(x-3) ∴ y=-6x+18 두 접선 ㉠, ㉡이 만나는 점 C의 x좌표는 (-3tÛ`+8t-3)x+2tÜ`-4tÛ`=-6x+18 (3tÛ`-8t-3)x=2tÜ`-4tÛ`-18 (3t+1)(t-3)x=2(t-3)(tÛ`+t+3) yy ㉡ ∴ x= ∴ D { 2(tÛ`+t+3) 3t+1 2(tÛ`+t+3) 3t+1 , 0 } (∵ t+3) 058 | Ⅱ 미분 이때, ABÓ:BDÓ=4:1에서 `4BDÓ=ABÓ이므로 4 3- [ 2(tÛ`+t+3) 3t+1 ] =3- 2tÜ`-4tÛ` 3tÛ`-8t+3 8(tÛ`+t+3) 3t+1 8(tÛ`+t+3) 3t+1 = = +9 2tÜ`-4tÛ` 3tÛ`-8t+3 2tÜ`+23tÛ`-72t+27 3tÛ`-8t+3 (3t+1)(2tÜ`+23tÛ`-72t+27)-8(tÛ`+t+3)(3tÛ`-8t+3)=0 6tÝ`-37tÜ`+75tÛ`-59t+15=0 (t-1)(t-3)(2t-1)(3t-5)=0 ∴ t=1 또는 t= 또는 t= (∵ t+3) ;2!; ;3%; 따라서 모든 실수 t의 값의 곱은 1´ ´ ;2!; ;3%; = ;6%; 0432  97  f(x) TIP lim   g(x) Ú 조건 ㈏에서 x` x a 의 극한값이 존재할 때 (분모)` 0이면 (분자)` 0이다. 3Ú  3Ú   2일 때 (분모)`  0이고 극한값이 존재하므로 3Ú  0이다. 3Ú  { f(x)-g(x)}=0이므로 3Ú (분자)` 즉, lim x 2 Ú  f(2)-g(2)=0 yy ㉠ `f(x)-g(x) ∴ lim   x-2 x 2 Ú { f(x)-f(2)}-{g(x)-g(2)} =lim   x-2 x 2 Ú `f(x)-f(2) =lim   x-2 x 2 Ú g(x)-g(2) -lim   x-2 x 2 Ú =f '(2)-g'(2)=2 yy ㉡ yy ㉢ 조건 ㈎에 주어진 식의 양변에 x=2를 대입하면 g(2)=8f(2)-7 ㉠, ㉢을 연립하여 풀면  f(2)=g(2)=1 또, 조건 ㈎에 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 g '(x)=3xÛ`f(x)+xÜ`f '(x) 이 식의 양변에 x=2를 대입하면 g '(2)=12f(2)+8f '(2)=12+8f '(2) ㉡, ㉣을 연립하여 풀면 7g '(2)=-28 ∴ g '(2)=-4 따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (2, g(2))에서의 접선의 방정식은 y-g(2)=g '(2)(x-2) y-1=-4(x-2) 즉, a=-4, b=9이므로 aÛ`+bÛ`=97 ∴ y=-4x+9 yy ㉣ 0433  ㄱ TIP 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, b)에서의 접선의 기울기가 k이면  f(a)=b,  f '(a)=k이다.  f(x)=4x-5, 즉  f(x)-4x+5=0에서 g(x)=f(x)-4x+5로 놓으면 g '(x)=f '(x)-4 또, g(x)=0의 두 근이 a, b이고  f(x)의 xÛ`의 계수가 1이므로 g(x)=(x-a)(x-b)로 놓을 수 있다. ㄱ. 곡선 y=f(x)-4x+5, 즉 y=g(x)의 x=a에서의 접선의 기 yy ㉠ 울기는 g '(a)이다.이때 f '(a)=-3이므로 ㉠에서 g '(a)=f '(a)-4=-3-4=-7 ㄴ. g(x)=(x-a)(x-b)에서 g '(x)=(x-b)+(x-a)=2x-a-b 이 식과 ㉠을 연립하면  f '(x)-4=2x-a-b 양변에 x=a를 대입하면 ∴ b-a=7 ㄷ. 곡선 y=f(x)의 점 B에서의 접선의 기울기는  f '(b)이므로 ㉡  f '(a)-4=2a-a-b, -7=a-b yy ㉡ 0436  3 TIP 곡선 y=f(x)에 접하고 기울기가 1인 두 직선의 접점의 x좌표를 각각 a, b라 하면  f '(x)=1의 두 근이 a, b임을 이용한다.  f(x)=xÜ`+kxÛ`으로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+2kx 접점의 좌표를 (t, tÜ`+ktÛ`)이라 하면 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`+2kt=1 ∴ 3tÛ`+2kt-1=0 이 식의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 에 x=b를 대입하면  f '(b)-4=2b-a-b ∴  f '(b)=b-a+4=7+4=11 따라서 점 B에서의 접선의 기울기는 11이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. a+b=- k, ab=- ;3@; ;3!; ∴ aÛ`+bÛ`-ab=(a+b)Û`-3ab = kÛ`+1=5 ;9$; kÛ`=4이므로 kÛ`=9 따라서 ;9$; ∴ k=3 (∵ k>0) 0434  20 TIP 곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은 y=f '(t)(x-t)+f(t)이다. g(x)=xÜ`+2로 놓으면 g '(x)=3xÛ` 점 P(t, tÜ`+2)에서의 접선의 기울기는 g '(t)=3tÛ`이므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`+2)=3tÛ`(x-t) ∴ 3tÛ`x-y-2tÜ`+2=0 이 접선과 원점 사이의 거리  f(t)는 |-2tÜ`+2| (3tÛ`)Û`+(-1)Û` = |-2tÜ`+2| 9tÝ`+1 "à  f(t)= "à `f(t) ∴ lim   t ¦ t Ú =lim   t ¦ t Ú "à 2- 2tÜ`-2 9tÝ`+1 2 tÜ` 1 tÝ` =lim   ¦ t Ú ®É9+ = ;3@; 따라서 a= 이므로 30a=20 ;3@; 0435  1 TIP 곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은 y=f '(t)(x-t)+f(t)이다.  f(x)=xÜ`+1로 놓으면  f '(x)=3xÛ` 접점의 좌표를 (t, tÜ`+1)이라 하면 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`이 므로 접선의 방정식은 y-(tÜ`+1)=3tÛ`(x-t) ∴ y=3tÛ`x-2tÜ`+1 이 접선이 직선 y=mx+3과 일치하므로 3tÛ`=m, -2tÜ`+1=3 두 식을 연립하여 풀면 t=-1, m=3 따라서 점 P의 좌표는 (-1, 0)이므로 △ABP= ´1´2=1 ;2!; 0437  7 TIP 세 점 A, B, C의 x좌표를 a, a+k, a+3k (k>0)로 놓으면 방정식 y=x x  f(x)=x의 세 근이 a, a+k, a+3k임을 이용한다. y C B A' y=f(x) 오른쪽 그림과 같이 세 점 A, B, C에서 x축에 내린 수선의 발을 A', B', C'이라 하면 ABÓ:BCÓ=1:2`에서 A'B'Ó:B'C'Ó=1:2` A'(a, 0)이라 하면 B'(a+k, 0), C'(a+3k, 0) (k>0) 이때, 방정식  f(x)=x, 즉  f(x)-x=0의 세 근이 a, a+k, a+3k이므로  f(x)-x=(x-a)(x-a-k)(x-a-3k) ∴  f(x)=(x-a)(x-a-k)(x-a-3k)+x ∴  f '(x)=(x-a-k)(x-a-3k)+(x-a)(x-a-3k) B' C' A O +(x-a)(x-a-k)+1 점 A에서의 접선의 기울기가 4이므로  f '(a)=4에서 3kÛ`+1=4, kÛ`=1 ∴ k=1 (∵ k>0) 따라서 점 C에서의 접선의 기울기는  f '(a+3k)=6kÛ`+1=7 0438  ④ TIP 직선 AC와 같은 기울기를 갖는 접선의 접점이 P일 때 선분 AC에서 점 P까지의 거리가 최대임을 이용한다. 0-(-6) 2-(-1) 직선 AB의 기울기는 =2, 직선 BC의 기울기는 =2이므로 세 점 A, B, C는 일직선 위에 있다. 4-0 4-2 AQCP=△ACP+△ACQ이므로 두 삼각형 ACP, ACQ의 밑변을 선분 AC라 하면 높이는 각각 점 P, Q와 선분 AC 사이의 거리이므로 접선의 기울기가 2인 접점이 P, Q일 때 사각형 AQCP 의 넓이가 최대이다.  f(x)=xÜ`-5xÛ`+4x+4로 놓으면  f '(x)=3xÛ`-10x+4 4 도함수의 활용 ⑴ | 059 도함수의 활용⑴4 접점의 좌표를 (t, tÜ`-5tÛ`+4t+4)라 하면 접선의 기울기는  f '(t)=3tÛ`-10t+4=2 ∴ 3tÛ`-10t+2=0 이 식의 두 근이 두 점 P, Q의 x좌표이므로 근과 계수의 관계에 의 하여 구하는 x좌표의 곱은 이다. ;3@;  f '(2)=g'(2)= ;2#; 이때, h(x)=f(x)g(x)에서 h'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)이 고 곡선 y=h(x) 위의 점 (2, h(2))에서의 접선의 기울기는 h'(2)이다. ∴ h'(2)=f '(2)g(2)+f(2)g '(2) = ´3+3´ =9 ;2#; ;2#; 0442  ⑤ TIP 곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은 y=f '(t)(x-t)+f(t)이다.  f(x)=xÛ`에서  f '(x)=2x 점 P(1, 1)에서의 접선의 기울기는  f '(1)=2이므로 접선의 방정 식은 y-1=2(x-1) ∴ y=2x-1 곡선 y=g(x)의 접점 Q의 좌표를 (a, b)라 하면 접선의 기울기는 2이므로 g '(x)=-2x+6에서 g '(a)=-2a+6=2 이때, 점 Q(2, b)는 직선 y=2x-1 위의 점이므로 b=4-1=3 ∴ Q(2, 3) 또, 점 Q(2, 3)은 곡선 y=g(x) 위의 점이므로 3=-(2-3)Û`+k ∴ k=4 두 점 R, S의 x좌표는 방정식 g(x)=0의 두 근이므로 -(x-3)Û`+4=0, (x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 또는 x=5 ∴ a=2 ∴ △QRS= ´4´3=6 ;2!; 0443  -1Ék<3 TIP 평균값의 정리를 이용한다. 함수  f(x)= xÜ`-xÛ`+4는 닫힌구간 [0, 3]에서 연속이고 열린 ;3!; 구간 (0, 3)에서 미분가능하므로 `f(xª)-f(xÁ) xª-xÁ =f '(c) 인 c가 구간 (0, 3)에 적어도 하나 존재한다. 이때  f '(x)=xÛ`-2x이므로  f '(c)=cÛ`-2c=(c-1)Û`-1 0 ㈏ 감소 0445  증가 00이므로 ;2B;} { 2` ∴ f(a)> f(b) ;4#; f(a)- f(b)>0 따라서 함수  f(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 감소한다. 0447  증가 10 ⑴ ∴ x<4 ⑴ 그런데 x>0이므로 00 ⇨  f(x)는 그 구간에서 증가 ⑵  f '(x)<0 ⇨  f(x)는 그 구간에서 감소 5 도함수의 활용 ⑵ | 063 따라서 함수  f(x)는 x=2일 때 최댓값 21, x=1일 때 최솟값 4를 갖는다. 0472  ③  f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x에서 도함수의 활용⑵5  f '(x)=3xÛ`-6x-9=3(x-3)(x+1) 삼차함수  f(x)는  f '(x)É0인 구간에서 감소하므로 3(x-3)(x+1)É0 따라서 a=-1, b=3이므로 a+b=2 ∴ -1ÉxÉ3 0473  -9  f(x)=(3xÛ`-1)(4-3x)에서  f '(x)=6x(4-3x)-3(3xÛ`-1)=-27xÛ`+24x+3 삼차함수  f(x)는  f '(x)¾0인 구간에서 증가하므로 -27xÛ`+24x+3¾0, 9xÛ`-8x-1É0 (9x+1)(x-1)É0 ∴ - ÉxÉ1 따라서 a=- , b=1이므로 =-9 ;9!; ;9!; b a 0474  -12  f(x)=- xÜ`+axÛ`+bx+3에서  f '(x)=-2xÛ`+2ax+b ;3@; 주어진 조건에 의하여 이차방정식  f '(x)=0의 두 근은 -3과 2이 다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -3+2=a, -3´2=- ;2B; ∴ a=-1, b=12 ∴ ab=-12 0475  148  f(x)=-2xÜ`+3xÛ`+ax+1에서  f '(x)=-6xÛ`+6x+a 함수  f(x)가 증가하는 x의 값의 범위가 -1ÉxÉb이므로 이차방 정식  f '(x)=0의 두 근은 -1, b이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 -1+b=1, -1´b= a -6 ∴ a=12, b=2 ∴ aÛ`+bÛ`=144+4=148 유형 02 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 본책 80쪽 삼차함수  f(x)가 실수 전체의 집합에서 ⑴ 증가하면 ⇨ 모든 실수 x에 대하여  f '(x)¾0 ⑵ 감소하면 ⇨ 모든 실수 x에 대하여  f '(x)É0 0476  ③  f(x)=xÜ`+kxÛ`+kx+16에서  f '(x)=3xÛ`+2kx+k 함수  f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하 여  f '(x)¾0이어야 하므로 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D 라 하면 D 4 ∴ 0ÉkÉ3 =kÛ`-3kÉ0, k(k-3)É0 064 | Ⅱ 미분 0477  -1ÉkÉ2  f(x)=-xÜ`+(k+1)xÛ`-(k+1)x에서  f '(x)=-3xÛ`+2(k+1)x-(k+1) 함수  f(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하려면 모든 실수 x에 대하 여  f '(x)É0이어야 하므로 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D 라 하면 D 4 ∴ -1ÉkÉ2 =(k+1)Û`-3(k+1)É0, (k+1)(k-2)É0 0478  0 함수  f(x)가 일대일대응이어야 하므로 실수 전체의 집합에서  f(x)는 증가하거나 감소해야 한다. 그런데  f(x)의 최고차항의 계 수가 음수이므로  f(x)는 감소해야 한다.  f(x)=-xÜ`-kxÛ`-kx+1에서  f '(x)=-3xÛ`-2kx-k 함수  f(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하려면 모든 실수 x에 대하 여  f '(x)É0이어야 하므로 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D 라 하면 D 4 ∴ 0ÉkÉ3 =kÛ`-3kÉ0, k(k-3)É0 따라서 구하는 실수 k의 최솟값은 0이다. 0479  5 함수  f(x)의 역함수가 존재하려면  f(x)가 일대일대응이어야 하 므로 실수 전체의 집합에서  f(x)는 증가하거나 감소해야 한다. 그 런데  f(x)의 최고차항의 계수가 양수이므로  f(x)는 증가해야 한 다.  f(x)=xÜ`-kxÛ`+2x+5에서  f '(x)=3xÛ`-2kx+2 함수  f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하 여  f '(x)¾0이어야 하므로 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D 라 하면 =kÛ`-6É0, (k+ D 4 ∴ - 따라서 정수 k는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다. 6)(k- 6ÉkÉ 6)É0 ' ' ' ' 6 0480  -3 xÁ0 Ú 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 Ú =9+3kÉ0 ∴ kÉ-3 Ú 이때, ㉠, ㉡을 만족시키는 실수 k는 없다. Û 함수  f(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하려면 모든 실수 x에 대하여  f '(x)É0이어야 하므로 Û k<0 Û 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 Ú =9+3kÉ0 ∴ kÉ-3 Û ㉢, ㉣에서 kÉ-3 Ü k=0이면  f(x)=-3xÛ`-x에서  f(x)는 일대일대응이 아니 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ yy ㉣ D 4 D 4 다. Ú~Ü에서 구하는 범위는 kÉ-3 0482  ① TIP x¾a, xa) [ -xÛ`+3x+4 (x4에서  f '(x)¾0이어야 한 다. y y=f'(x) 오른쪽 그림에서  f '(-3)=f '(3)=9-kÉ0 ∴ k¾9  f '(4)=16-k¾0 ∴ kÉ16 따라서 k의 값의 범위는 9ÉkÉ16이므로 정수 k의 개수는 8이다. -3 O x 4 3 유형 04 함수의 그래프와 증가·감소 본책 82쪽 y=f '(x)의 그래프에서 ⑴ x축의 위쪽 부분 ⇨  f '(x)>0 ⇨ 이 구간에서  f(x)가 증가한다. ⑵ x축의 아래쪽 부분 ⇨  f '(x)<0 ⇨ 이 구간에서  f(x)가 감소한다. 0486  ㄴ, ㄷ, ㄹ ㄱ. 구간 (-¦, a)에서  f '(x)>0이므로  f(x)는 증가한다. ㄴ. 구간 (a, b)에서  f '(x)>0이므로  f(x)는 증가한다. ㄷ. 구간 (b, c)에서  f '(x)>0이므로  f(x)는 증가한다. ㄹ. 구간 (c, ¦)에서  f '(x)<0이므로  f(x)는 감소한다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 5 도함수의 활용 ⑵ | 065 도함수의 활용⑵5 0487  ④ 집합 A는 함수  f(x)가 감소하는 구간을 의미하고 주어진 그래프에 서 x0, 즉  f '(x)>g '(x)인 구 간이므로 (b, d)이다. 유형 05 함수의 극대·극소 본책 82쪽 미분가능한 함수  f(x)의 극값은 다음과 같은 순서로 구한다. Ú  f '(x)를 구한다. Û  f '(x)=0인 x의 값을 구한다. Ü Û에서 구한 x의 값의 좌우에서  f '(x)의 부호를 조사하여 증감표를 만든다. 이때,  f '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양 으로 바뀌면 극소이다. 0489  ①  f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x+2에서  f '(x)=3xÛ`-6x-9=3(x+1)(x-3)  f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 x y -1 y  f '(x) +  f(x) ↗ 0 7 3 0 y + - ↘ -25 ↗ 따라서 함수  f(x)는 x=-1에서 극댓값 7, x=3에서 극솟값 -25를 가지므로 극댓값과 극솟값의 합은 7+(-25)=-18 0490  -34  f(x)=xÝ`-4xÜ`-7에서  f '(x)=4xÜ`-12xÛ`=4xÛ`(x-3)  f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3 x y  f '(x) - 0 0 y - 3 0 y +  f(x) ↘ -7 ↘ -34 ↗ 따라서 함수  f(x)는 x=3에서 극솟값 -34를 갖고, x=0의 좌우 에서  f '(x)의 부호가 바뀌지 않으므로 x=0에서는 극값을 갖지 않 는다. 즉, 구하는 극값은 -34이다. 0491  3  f(x)= xÜ`-xÛ`+3에서  f '(x)=xÛ`-2x=x(x-2) ;3!;  f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 x y  f '(x) +  f(x) ↗ 0 0 3 y - ↘ 2 0 ;3%; y + ↗ 066 | Ⅱ 미분 따라서 함수  f(x)는 x=0에서 극댓값 3, x=2에서 극솟값 를 가 지므로 A(0, 3), B 2,  { ;3%;} ∴ △OAB= ´3´2=3 ;2!; ;3%; y A3 y=f(x) ;3%; O B 2 x 2 ' 0492  4  f(x-y)=f(x)-f(y)+xy(x-y)의 양변에 x=0, y=0을 대 입하면  f(0)=f(0)-f(0) 이때,  f '(0)=8이므로 ∴  f(0)=0 f '(0)=lim `  0 Ú h` f(h)-f(0) h =lim `  0 h` Ú f(h) h =8 f(x+h)-f(x) h ∴ f '(x)=lim `  0 Ú h` ∴ f '(x)=lim `  0 Ú h` f(x)-f(-h)+x(-h)(x+h)-f(x) h f(-h) -h -xÛ`-hx ] 2 또는 x=2 2 ' 2 2 ' 0 극대 y - ↘ ∴ f '(x)=lim `  0 Ú h` [ ∴ f '(x)=8-xÛ`  f '(x)=0에서 x=-2 x y -2  f '(x) -  f(x) ↘ 극소 ' 2 y ' 0 + ↗ 따라서 함수  f(x)는 x=2 로 a=2 ∴ a-b=4 2, b=-2 ' ' 2 2 ' ' 2에서 극대, x=-2 2에서 극소이므 ' 유형 06 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 본책 83쪽 ⑴ 미분가능한 함수  f(x)가 x=a에서 극값 b를 가지면 ⇨  f(a)=b,  f '(a)=0 ⑵ 삼차함수  f(x)가 x=a, x=b에서 극값을 가지면 ⇨ a, b는 이차방정식  f '(x)=0의 두 근이다. 0493  ④ f(x)=-2xÜ`+axÛ`+bx+c에서 f '(x)=-6xÛ`+2ax+b f '(x)=0의 두 근이 x=1 또는 x=2이므로 근과 계수의 관계에 의하여 1+2= 2a 6 ∴ a=9, b=-12 , 1´2=- ;6B; ∴  f(x)=-2xÜ`+9xÛ`-12x+c 한편, 함수  f(x)가 x=1에서 극솟값 -2를 가지므로  f(1)=-2+9-12+c=-2 ∴ a+b-c=9-12-3=-6 ∴ c=3 0494  -2  f(x)=xÜ`+axÛ`+b에서 f '(x)=3xÛ`+2ax 함수  f(x)가 x=-2에서 극댓값 2를 가지므로  f(-2)=2, f '(-2)=0에서 -8+4a+b=2, 12-4a=0 즉,  f(x)=xÜ`+3xÛ`-2이므로 f '(x)=3xÛ`+6x=3x(x+2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 ∴ a=3, b=-2 x y -2  f '(x) +  f(x) ↗ 0 2 y - ↘ 0 0 -2 y + ↗ 따라서 함수  f(x)는 x=0에서 극솟값 -2를 갖는다. 0495  -2  f(x)=-xÜ`+axÛ`+bx+1에서 f '(x)=-3xÛ`+2ax+b f '(x)=0의 두 근이 x=1 또는 x=3이므로 근과 계수의 관계에 의하여 1+3= 2a 3 ∴ a=6, b=-9 , 1´3=- ;3B; ∴  f(x)=-xÜ`+6xÛ`-9x+1 따라서 함수  f(x)의 극솟값은  f(1)=-3, 극댓값은  f(3)=1이 므로 구하는 합은 -3+1=-2 0496  -4  f(x)=(x+3k)(x+2k)(x+k)에서  f '(x)=(x+2k)(x+k)+(x+3k)(x+k)+(x+3k)(x+2k)  f '(x)=(xÛ`+3kx+2kÛ`)+(xÛ`+4kx+3kÛ`)+(xÛ`+5kx+6kÛ`)  f '(x)=3xÛ`+12kx+11kÛ`  f '(x)=0의 두 근이 x=a 또는 x=b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=- 12k 3 -4k k a+b k =-4k =-4 ∴ = 0497  97  f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c에서  f '(x)=3xÛ`+2ax+b 함수  f(x)가 x=0에서 극값을 가지므로  f '(0)=0에서 b=0 한편, lim `  3 Ú x` f(x) x-3 =3에서 x` 3일 때 (분모)` 0이고 극한값이 3Ú 3Ú 존재하므로 (분자)` 3Ú 즉, lim ` f(x)=0이므로 f(3)=0  3 x` Ú 0이다. ∴ 27+9a+3b+c=0 f(x) x-3 f(x)-f(3) x-3 또, lim `  3 x` Ú =lim `  3 x` Ú ∴ 27+6a+b=3 ㉡, ㉢에 ㉠을 대입하여 풀면 a=-4, c=9이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`=16+0+81=97 =f '(3)이므로 f '(3)=3 yy ㉡ yy ㉢ 유형 07 극대·극소의 활용 본책 83쪽 함수의 도함수와 증감표를 이용하여 극댓값 또는 극솟값을 구하고, 주어 진 조건과 이를 이용하여 문제를 해결한다. 0498  -16  f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c ( a, b, c는 상수)로 놓으면 조건 ㈎에서 a=0, c=0 따라서  f(x)=xÜ`+bx이므로  f '(x)=3xÛ`+b 조건 ㈏에서  f '(-2)=0이므로 ∴ b=-12 12+b=0 즉,  f(x)=xÜ`-12x이므로  f '(x)=3xÛ`-12=3(x+2)(x-2)  f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2 x y -2  f '(x) +  f(x) ↗ 0 16 y - ↘ 2 0 -16 y + ↗ 따라서 함수  f(x)는 x=2에서 극솟값 -16을 갖는다. Lecture 다항함수  f(x)가 모든 실수 x에 대하여 ⑴    f(-x)=f(x)를 만족시키면  f(x)는 짝수 차수의 항 또는 상수항으 ⑵    f(-x)=-f(x)를 만족시키면  f(x)는 홀수 차수의 항으로만 이루어 로만 이루어져 있다. 져 있다. 0499  ④  f(x)=xÜ`-3x+a에서  f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1)  f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x y  f '(x) + -1 0 y - ↘ 1 0 y + ↗  f(x) ↗ a+2 a-2 따라서 함수  f(x)는 x=-1에서 극댓값 a+2, x=1에서 극솟값 a-2를 가지므로 A(-1, a+2), B(1, a-2) 이때, 선분 AB의 중점의 좌표가 (b, 2)이므로 -1+1 2 a+2+a-2 2 ∴ a=2, b=0 =b, =2 0500  -25  f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c ( a, b, c는 상수)로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+2ax+b 함수  f(x)가 x=-1에서 극댓값 7을 가지므로  f(-1)=7,  f '(-1)=0에서 -1+a-b+c=7 3-2a+b=0 yy ㉠ yy ㉡ 5 도함수의 활용 ⑵ | 067 yy ㉠ ∴ 2a+b=4 도함수의 활용⑵5 또, x=0인 점과 x=2인 점에서의 접선의 기울기가 같으므로 f '(0)=f '(2)에서 b=12+4a+b 이 값을 ㉠, ㉡에 대입하여 풀면 b=-9, c=2 즉,  f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x+2이므로  f(3)=27-27-27+2=-25 ∴ a=-3 0501  25 함수  f(x)는 x=1에서 극댓값 4를 가지므로  f(1)=4,  f '(1)=0 이때,  g(x)=(2x+5)f(x)에서  g(1)=7f(1)=7´4=28  g '(x)=2f(x)+(2x+5)f '(x)에서  g '(1)=2f(1)+7f '(1)=2´4+7´0=8 따라서 y=g(x)의 그래프 위의 x=1인 점에서의 접선의 방정식은 y-28=8(x-1) ∴ y=8x+20 이 직선의 x절편이 - , y절편이 20이므로 구하는 넓이는 ;2%; ´ ;2!; ;2%; ´20=25 0502  81  f(x)= xÜ`-xÛ`-8x+ 에서 ;3!; ;3*;  f '(x)=xÛ`-2x-8=(x+2)(x-4)  f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=4 x y -2 y  f '(x) +  f(x) ↗ 0 12 - 4 0 y + ↘ -24 ↗ 따라서 함수  f(x)는 x=-2에서 극댓값 12를 가지므로 a=-2, b=12 한편, 점 (1, f(1)), 즉 점 (1, -6)에서의 접선 l의 기울기는  f '(1)=-9이므로 접선 l의 방정식은 y+6=-9(x-1) ∴ 9x+y-3=0 따라서 점 (-2, 12)에서 직선 9x+y-3=0까지의 거리 d는 d= |-18+12-3| 9Û`+1Û` = "à 9 82 '¶ ∴ 82dÛ`=82´ =81 ;8*2!; 유형 08 극대·극소의 활용 ; 함수의 계수의 부호 결정 본책 84쪽 삼차함수  f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d에 대하여 ⑴ x ⑴ x 2Ú 2Ú ¦일 때,  f(x) ¦이면 a>0 ¦일 때,  f(x) -¦이면 a<0 2Ú 2Ú ⑵ y=f(x)의 그래프가 y축과 양의 부분에서 만나면 d>0 ⑵ y=f(x)의 그래프가 y축과 음의 부분에서 만나면 d<0 ⑶ 함수  f(x)가 x=a에서 극값을 가지면  f '(a)=0 0503  ③ 함수  f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d의 그래프에서 x  f(x) ¦이므로 a>0 ¦일 때, 3Ú 3Ú 068 | Ⅱ 미분 또, 그래프가 y축과 양의 부분에서 만나므로 d>0  f '(x)=3axÛ`+2bx+c에서 방정식  f '(x)=0의 두 실근은 a, b 이고, a<0, b>0, a+b>0이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=- 2b 3a a>0이므로 b<0, c<0 따라서 그 값이 양수인 것은 ③이다. >0, ab= <0 ;3‚a; 0504  ㄱ, ㄷ, ㄹ 함수  f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c의 그래프가 y축과 음의 부분에서 만나므로 c<0 yy ㉠  f '(x)=3xÛ`+2ax+b에서 방정식  f '(x)=0의 두 실근을 a, b라 하면 a, b는 서로 다른 음수이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=- <0, ab= >0 ∴ a>0, b>0 yy ㉡ :ª3: ;3B; ㉠, ㉡에서 ab>0, bc<0, ac<0 한편,  f '(x)=0은 서로 다른 두 실근을 가지므로 3xÛ`+2ax+b=0의 판별식을 D라 하면 D 4 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. =aÛ`-3b>0 유형 09 도함수의 그래프와 함수의 극값 본책 84쪽 함수 y=f(x)의 도함수 y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌우 에서 f '(x)의 부호가 ⑴ 양에서 음으로 바뀌면 ⇨ x=a에서  f(x)가 극대 ⑵ 음에서 양으로 바뀌면 ⇨ x=b에서  f(x)가 극소 y=f'(x) + a - + xb 극대 극소 0505  11 함수 y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 -1, 2이므 로  f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 x y  f '(x) -  f(x) ↘ -1 0 극소 y + ↗ 2 0 극대 y - ↘  f(x)=-2xÜ`+axÛ`+bx+c에서  f '(x)=-6xÛ`+2ax+b  f '(x)=0의 두 근이 x=-1 또는 x=2이므로 근과 계수의 관계 에 의하여 -1+2= , -1´2=- ∴ a=3, b=12 ;6B; :ª6: 즉,  f(x)=-2xÜ`+3xÛ`+12x+c이고  f(-2)=-5이므로 16+12-24+c=-5에서 c=-9 따라서  f(x)=-2xÜ`+3xÛ`+12x-9이므로 구하는 극댓값은  f(2)=-16+12+24-9=11 0506  ③ 주어진 그래프에서  f '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 점의 x 좌표는 0이므로 함수  f(x)는 x=0에서 극대이다. 또,  f '(x)의 부 호가 음에서 양으로 바뀌는 점의 x좌표는 -2, 3이므로 함수  f(x) 는 x=-2, x=3에서 극소이다. 따라서 극대 또는 극소가 되는 점의 개수는 3이다. ㄹ.  f(x)가 극대 또는 극소가 되는 점은 2개이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 0507  0 주어진 그래프에서  f '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 점의 x 좌표는 -2, 4이므로 함수  f(x)는 x=-2, x=4에서 극댓값을 갖 는다. ∴ m=-2+4=2 또,  f '(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌는 점의 x좌표는 2이므로 함수  f(x)는 x=2에서 극솟값을 갖는다. ∴ n=2 ∴ m-n=0 0508  68 함수 y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 -3, 1이므 로  f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1 x y  f '(x) +  f(x) ↗ -3 0 극대 y - ↘ 1 0 극소 y + ↗  f(x)=2xÜ`+axÛ`+bx+c에서  f '(x)=6xÛ`+2ax+b  f '(x)=0의 두 근이 x=-3 또는 x=1이므로 근과 계수의 관계 에 의하여 -3+1=- , -3´1= ∴ a=6, b=-18 :ª6: ;6B; 즉,  f(x)=2xÜ`+6xÛ`-18x+c이고,  f(x)의 극솟값이 4이므로  f(1)=4에서 2+6-18+c=4 따라서  f(x)=2xÜ`+6xÛ`-18x+14이므로 구하는 극댓값은  f(-3)=-54+54+54+14=68 ∴ c=14 유형 10  f '(x)의 그래프를 이용한  f(x)의 해석 본책 85쪽 y=f '(x)의 그래프를 보고 함수  f(x)에 대한 증감표를 만든다. ⑴  f '(x)>0인 구간에서  f(x)는 증가하고,  f '(x)<0인 구간에서 ⑵  f '(a)=0이고 x=a의 좌우에서  f '(x)의 부호가 바뀌면  f(x)는  f(x)는 감소한다. x=a에서 극값을 갖는다. 0509  ㄱ, ㄷ y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 a, 0, d이므 로  f '(x)=0에서 x=a 또는 x=0 또는 x=d x y  f '(x) - a 0  f(x) ↘ 극소 y + ↗ 0 0 y + ↗ d 0 극대 y - ↘ ㄱ. 구간 (a, 0)에서  f '(x)>0이므로  f(x)는 증가한다. ㄴ. 구간 (c, d)에서는 f '(x)>0이므로  f(x)는 증가하고, 구간 (d, ¦)에서는 f '(x)<0이므로  f(x)는 감소한다. ㄷ.  f(x)는 x=a에서 극소이다. 0510  ㄱ, ㄷ, ㄹ y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 0, 2, 4이므 로  f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 또는 x=4 x y  f '(x) +  f(x) ↗ 0 0 y + ↗ 2 0 y - ↘ 극대 극소 4 0 y + ↗ ㄱ. x<2에서  f '(x)¾0이므로  f(x)는 증가한다. ㄴ. x=0의 좌우에서  f '(x)의 부호가 바뀌지 않으므로  f(x)는 x=0에서 극값을 갖지 않는다. ㄷ.  f '(4)=0이므로  f(x)는 x=4에서 미분가능하다. ㄹ. 구간 (3, 4)에서  f '(x)<0이므로  f(x)는 감소한다. 즉,  f(x)0 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. 0511  ㄴ, ㄷ, ㄹ h(x)=g(x)-f(x)에서 h'(x)=g '(x)-f '(x) h'(x)=0, 즉 g '(x)=f '(x)에서 x=1 또는 x=3 또는 x=6 x y h '(x) + 1 0 y - ↘ 3 0 y + ↗ 6 0 y - ↘ h(x) ↗ 극대 극소 극대 ㄱ. 구간 (0,  1)에서는 h'(x)>0이므로 h(x)는 증가하고 구간 (1, 3)에서는 h'(x)<0이므로 h(x)는 감소한다. ㄴ. h(x)는 x=3에서 극솟값을 갖는다. ㄷ. h(x)가 극대가 되는 점은 x=1, x=6의 2개이다. ㄹ. h(x)는 x=1에서 극댓값을 갖고 h(1)=g(1)-f(1)=0이므 로 y=h(x)의 그래프는 x=1에서 x축에 접한다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 유형 11 그래프의 개형 유추하기 본책 86쪽 y=f '(x)의 그래프를 보고 함수  f(x)에 대한 증감표를 만든 후 함수  f(x)가 증가 또는 감소하는 구간, 극값을 갖는 x의 값 등을 찾아 y=f(x)의 그래프의 개형을 유추한다. 0512  ① y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 -2, 1이므 로  f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=1 x y -2 y  f '(x) - 0  f(x) ↘ 극소 + ↗ 1 0 y + ↗ 즉, 함수  f(x)는 x=-2에서 극소이고, x=1의 좌우에서  f '(x) 의 부호가 바뀌지 않으므로  f(x)는 x=1에서 극값을 갖지 않는다. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ①이다. 5 도함수의 활용 ⑵ | 069 도함수의 활용⑵5 0513  ㄱ, ㄴ y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 -2, 0, 2이므 로  f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=2 x y -2 y  f '(x) - 0 0 0 2 0 y - ↘ y + ↗ + ↗  f(x) ↘ 극소 극대 극소 이때, 함수 y=f(x)의 그래프가 두 점 (2, 0), (-2, 0)을 지나므로 그래프의 개 형은 오른쪽 그림과 같다. ㄱ.  f(0)>0,  f(2)=0이므로  f(0)>f(2) ㄴ.  f(-1)>0,  f(1)>0이므로  f(-1)f(1)>0 ㄷ. 방정식  f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. y y=f(x) -2 O 2 x 0514  ⑤ y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 a, b, c이므 로  f '(x)=0에서 x=a 또는 x=b 또는 x=c x y  f '(x) - a 0  f(x) ↘ 극소 y + ↗ b 0 y + ↗ c 0 극대 y - ↘ 즉, 함수  f(x)는 x=a에서 극소, x=c에서 극대이다. 또, x=b의 좌우에서  f '(x)의 부호가 바뀌지 않으므로  f(x)는 x=b에서는 극값을 갖지 않는다. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ⑤이다. 유형 12 삼차함수가 극값을 갖거나 갖지 않을 조건 본책 87쪽 삼차함수  f(x)에 대하여 ⑴  f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다. ⇨ 이차방정식  f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 갖는다. ⇨ 이차방정식  f '(x)=0의 판별식 D>0 ⑵  f(x)가 극값을 갖지 않는다. ⇨ 이차방정식  f '(x)=0이 중근 또는 허근을 갖는다. ⇨ 이차방정식  f '(x)=0의 판별식 DÉ0 0515  13  f(x)=xÜ`+kxÛ`+4kx+5에서  f '(x)=3xÛ`+2kx+4k 삼차함수  f(x)가 극값을 가지려면 이차방정식  f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 ∴ k<0 또는 k>12 따라서 구하는 자연수 k의 최솟값은 13이다. 참고 삼차함수  f(x)가 극값을 갖는다. =kÛ`-12k>0, k(k-12)>0 삼차함수  f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다. HjK 070 | Ⅱ 미분 0516  k<0 또는 k>3  f(x)=xÜ`+kxÛ`+kx+3에서  f '(x)=3xÛ`+2kx+k 삼차함수  f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정 식  f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 ∴ k<0 또는 k>3 =kÛ`-3k>0, k(k-3)>0 0517  7  f(x)=xÜ`+kxÛ`+3x-1에서  f '(x)=3xÛ`+2kx+3 삼차함수  f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식  f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다. 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 ∴ -3ÉkÉ3 따라서 정수 k는 -3, -2, y, 2, 3의 7개이다. =kÛ`-9É0, (k+3)(k-3)É0 0518  0  f(x)=-xÜ`+kxÛ`-3kx+2에서  f '(x)=-3xÛ`+2kx-3k 삼차함수  f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식  f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다. 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 ∴ 0ÉkÉ9 따라서 a=0, b=9이므로 ab=0 =kÛ`-9kÉ0, k(k-9)É0 0519  ④  f(x)=kxÜ`+6xÛ`+2kx+1이 삼차함수이므로 k+0이고,  f '(x)=3kxÛ`+12x+2k 삼차함수  f(x)가 극값을 가지려면 이차방정식  f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D 4 ∴ - 6 (∵ k+0) 따라서 정수 k는 -2, -1, 1, 2의 4개이다. =36-6kÛ`>0, 6(k+ 60 ∴ k<-6 또는 k>2 ㉠, ㉡에서 20 ⇨ Û  f '(a),  f '(b)의 부호를 조사한다. ⇨ Ü y=f '(x)의 그래프에서 축의 방정식이 x=k이면 a2 f(x)= xÜ`-kxÛ`+(k+2)x에서 ;3!;  f '(x)=xÛ`-2kx+(k+2) 함수  f(x)가 x>0에서 극댓값과 극솟값 을 모두 가지려면 이차방정식  f '(x)=0 이 x>0에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. Ú 이차방정식  f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 O Ú =kÛ`-(k+2)>0, (k+1)(k-2)>0 y y=f'(x) x Ú ∴ k<-1 또는 k>2 Û  f '(0)>0에서 k+2>0 Ü 이차함수 y=f '(x)의 그래프의 축의 방정식은 x=k이므로 ∴ k>-2 D 4 k>0 0522  6  f(x)= xÜ`+ kxÛ`+(k+3)x-1에서 ;3!; ;2!;  f '(x)=xÛ`+kx+(k+3) 이차방정식  f '(x)=0의 두 실근을 a, b (a1이어야 한다.  f '(0)>0에서 k+3>0 ∴ k>-3  f '(1)<0에서 2k+4<0 ∴ k<-2 ㉠, ㉡에서 -30, (3k+8)(3k-8)>0 ∴ k<- 또는 k> ;3*; ;3*; 따라서 정수 k의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. 참고 사차함수  f(x)=axÝ`+bxÜ`+cxÛ`+d (a+0)에 대하여 a>0이면 0525  k<0 또는 00 ∴ k< yy ㉠ ;2#; Ú~Ü에서 구하는 실수 k의 값의 범위는 k>2  f(x)는 항상 극솟값을 갖고, a<0이면  f(x)는 항상 극댓값을 갖는다. 0523  ②  f(x)=xÜ`-kxÛ`-kÛ`x+5에서  f '(x)=3xÛ`-2kx-kÛ` 이차방정식  f '(x)=0의 두 실근을 a, b (a2이어야 한다.  f '(-2)=12+4k-kÛ`>0에서 (k+2)(k-6)<0 O 2 -2 a y ㉠, ㉡에서 k<0 또는 00)에서  f '(x)=4axÜ`-12axÛ`=4axÛ`(x-3)  f '(x)=0에서 x=0 또는 x=3 x -1  f '(x) y - y - 3 0 y +  f(x) 5a+b ↘ ↘ -27a+b ↗ 0 0 b 4 b 따라서 함수  f(x)는 x=-1일 때 최댓값 5a+b, x=3일 때 최솟 값 -27a+b를 갖는다. 즉, 5a+b=7, -27a+b=-9이므로 두 식을 연립하여 풀면 a= , b= ;2!; ;2(; ∴ 27a+b=18 0536  -13  f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c에서  f '(x)=3xÛ`+2ax+b 주어진 그래프에서  f '(x)=0의 두 근이 x=1 또는 x=3이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 1+3=- , 1´3= ;3B; :ª3: ∴ a=-6, b=9 즉,  f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x+c 이때, x=1의 좌우에서  f '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 x=1에서 극대이고 극댓값이 7이므로  f(1)=7에서 1-6+9+c=7 ∴  f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x+3 ∴ c=3 x -1 y  f '(x) +  f(x) -13 ↗ 1 0 7 y - ↘ 3 0 3 따라서 함수  f(x)는 x=-1일 때 최솟값 -13을 갖는다. 0537  4 조건 ㈎에서 a=0, c=0 따라서  f(x)=xÝ`+bxÛ`+d이므로  f '(x)=4xÜ`+2bx 조건 ㈏에서  f(1)=-5,  f '(1)=0이므로 1+b+d=-5, 4+2b=0 ∴  f(x)=xÝ`-2xÛ`-4  f '(x)=4xÜ`-4x=4x(x+1)(x-1)  f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1 ∴ b=-2, d=-4 5 도함수의 활용 ⑵ | 073 도함수의 활용⑵5 x -2 y -1 y  f '(x) - 0 + 0 0 y - 1 0 y +  f(x) 4 ↘ -5 ↗ -4 ↘ -5 ↗ 2 4 따라서 함수  f(x)는 x=-2 또는 x=2일 때 최댓값 4를 갖는다.  f '(t)=4tÜ`+2t-6=2(t-1)(2tÛ`+2t+3)  f '(t)=0에서 t=1 (∵ 2tÛ`+2t+3>0) 따라서 함수  f(t)는 t=1일 때 극소 이면서 최소이므로 최솟값은  f(1)=5 따라서 구하는 거리의 최솟값은 t 5 ' y 1 y  f '(t) - 0 +  f(t) ↘ 극소 ↗ 유형 17 최대·최소의 활용 ; 실생활 본책 90쪽 이다. 함수에 대한 증감표를 만든 후 최댓값 또는 최솟값을 구한다. 이때, 함수 의 정의역에 주의한다. 0538  3시간 후 E(t)=27t-tÜ`에서 E'(t)=27-3tÛ`=-3(t-3)(t+3) E'(t)=0에서 t=3 (∵ t>0) 따라서 함수 E(t)는 t=3일 때 극대이면서 최대이므로 약효가 최대일 때는 약품을 투여한 지 3 시간 후이다. t 0 y 3 y E'(t) E(t) + 0 - ↗ 극대 ↘ 0539  180만 원 반지 한 개의 이익금이 60만 원이므로 반지의 가격을 10x만 원 인 상하면 반지 한 개에 대한 이익금은 (60+10x)만 원이고 한 달 판 매량은 (36-xÛ`)개이다. 이때, x>0, 36-xÛ`>0에서 00) 따라서 함수  f(t)는 t=1일 때 극소이면서 최소이므로 구하는 최솟값은  f(1)=35 t y  f '(t) - 1 0 y +  f(t) ↘ 극소 ↗ 유형 19 최대·최소의 활용 ; 넓이 본책 91쪽 좌표평면에서 넓이의 최댓값은 움직이는 점의 x좌표를 t로 놓고 넓이를 t에 대한 함수로 나타내어 구한다. 0542  :ª4¦: 두 점 P, Q의 좌표가 각각 P t, - , Q(t, -tÛ`+4t)이므로 { ;2T;} PQÓ=(-tÛ`+4t)- {-;2T;} =-tÛ`+ t ;2(; 삼각형 OPQ의 넓이를  f(t)라 하면  f(t)= t ;2!; { -tÛ`+ t ;2(; } =- tÜ`+ tÛ` ;4(; ;2!;  f '(t)=- tÛ`+ t=- t(t-3) ;2#; ;2(; ;2#;  f '(t)=0에서 t=3 (∵ 00, 6-2x>0에서 00, h>0이므로 6- xÛ`>0에서 00일 때 Ú  f(x)= ax( ' `x(x+ 3+x)( ' a)(x- 3-x) (x<0) a) (x¾0) [ ' ' Ú y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. Ú 이때, 함수 f(x)의 극댓값은 x=0 일 때 0이므로 모순이다. - 3 ' x a ' y O y O y O y=f(x) x x y=f(x) Ú y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 y=f(x) Ú 이때, 함수  f(x)의 극댓값은 존재하 지 않으므로 모순이다. Ü a<0일 때 Ú  f(x)= 3+x)( ax( [      x(xÛ`-a) 3-x) (x<0) (x¾0) ' ' Ú y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. 이때, x<0에서 함수  f(x)의 극댓값이 존재하므로 Ú  f(x)=a(3x-xÜ`)에서 Ú  f '(x) =a(3-3xÛ`) - 3 ' =3a(1+x)(1-x) Ú  f '(x)=0에서 x=-1 (∵ x<0) Ú 따라서 함수  f(x)는 Ú x=-1에서 극댓값 -2a x 를 가지므로 Ú -2a=5 ∴ a=- ;2%; Ú~Ü에서 a=- ;2%; y -1 y 0  f '(x) + 0 -  f(x) ↗ 극대 ↘ 0552  4 TIP 삼차함수를  f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)로 놓고 주어진 조건을 이용한다.  f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)로 놓으면  f '(x)=3xÛ`+2ax+b 조건 ㈎에서 a=0 즉,  f(x)=xÜ`+bx+c이고  f '(x)=3xÛ`+b 조건 ㈏에서  f(1)=0,  f '(1)=0이므로 1+b+c=0, 3+b=0 ∴ b=-3, c=2 따라서  f(x)=xÜ`-3x+2이고  f '(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1)  f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x y  f '(x) +  f(x) ↗ -1 0 극대 y - ↘ 1 0 극소 y + ↗ 따라서 함수  f(x)는 x=-1에서 극대이므로 구하는 극댓값은  f(-1)=4 0553  ⑤ TIP 주어진 그래프를 이용하여 y=h'(x)의 그래프를 그려본다. h(x)=f(x)-g(x)에서 h'(x)=f '(x)-g '(x) y=h'(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다. ㄱ. 함수 h(x)는 x=a에서 극댓값을 O a y 5 갖는다. ㄴ. h(b)=0이면 함수 y=h(x)의 그 래프의 개형은 오른쪽 그림과 같으 므로 방정식 h(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 2이다. y=h'(x) b x y=h(x) a b x ㄷ. 함수 h(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b) 에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 h(b)-h(a) b-a ㄷ. =h'(c)를 만족시키는 c가 열린구간 (a, b)에 ㄷ. 적어도 하나 존재한다. ㄷ. 열린구간 (0, b)에 있는 모든 실수 x에 대하여 ㄷ. h'(x)<5이므로 h(b)-h(a) b-a ㄷ. ∴ h(b)-h(a)<5(b-a) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. <5 고 주어진 조건을 이용한다.  f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d (a, b, c, d는 상수, a+0)로 놓으면  f '(x)=3axÛ`+2bx+c  f '(-3)=f '(3)에서 27a-6b+c=27a+6b+c 조건 ㈎에서  f '(-2)=0이므로 12a+c=0 즉,  f '(x) =3axÛ`-12a ∴ c=-12a ∴ b=0 y y=f'(x) =3a(x+2)(x-2)  f(x)는 x=-2에서 극댓값을 가지므로 y=f '(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그 림과 같고 a>0 O-2 2 x ㄱ.  f '(x)는 x=0에서 최솟값을 갖는다. ㄴ. y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 방정 식  f(x)=f(2)는 서로 다른 두 실근을 갖는다. y y=f(x) -2 O 2 y=f(2) x ㄷ.  f '(-1)=-9a이고,  f(x)=axÜ`-12ax+d에서 ㄷ.  f(-1)=11a+d이므로 점 (-1,  f(-1))에서의 접선의 방 정식은 y-(11a+d)=-9a(x+1) ㄷ. y=-9ax+2a+d ㄷ. ㉠에 점 (2,  f(2)), 즉 (2, -16a+d)를 대입하면 ㄷ. -16a+d=-18a+2a+d ㄷ. 이 등식이 성립하므로 점 (-1, f(-1))에서의 접선은 점 yy ㉠ (2, f(2))를 지난다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 0555  ② TIP  f '(x)의 부호가 바뀌는 지점을 찾는다. 주어진 그래프에서 x=0의 좌우에서  f '(x)의 부호가 음에서 양으 로 바뀌므로 극솟값을 갖고, x<-2, x>2에서  f '(x)=0이므 로  f(x)는 기울기가 0인 직선이다. 또,  f(x)가 연속이므로 x=2 또는 x=-2에서도 연속이다. 이 조건을 모두 만족시키는 그래프는 ②이다. 0556  ① TIP 접선의 방정식을 구하고  f(x)=axÛ`+bx+c ( a+0, b, c는 상수)로 놓 고 주어진 조건을 이용한다. ∴ y=f '(t)x-tf '(t)+f(t) 이차함수  f(x)의 그래프 위의 임의의 점 (t,  f(t))에서 그은 접선 의 방정식은 y-f(t)=f '(t)(x-t) 이 식이 y=f '(t)x+g(t)와 일치하므로 g(t)=-tf '(t)+f(t) 한편,  f(x)는 이차함수이므로  f(x)=axÛ`+bx+c ( a+0, b, c는 상수)로 놓으면  g(t) =-tf '(t)+f(t)=-t(2at+b)+(atÛ`+bt+c) 이때, 함수  g(t)는 극댓값  g(0)=c를 갖고 그 값이 양수이므로 -a<0, g(0)>0 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ①이다. ∴ a>0, c>0 0557  ① TIP 주어진 등식을 이용하여 yÛ`을 x에 대한 식으로 정리한다. xÛ`+3yÛ`=9에서 yÛ`= (9-xÛ`) ;3!; yy ㉠ yÛ`¾0이므로 (9-xÛ`)¾0 ∴ -3ÉxÉ3 ;3!; ㉠을 xÛ`+xyÛ`에 대입하여 정리하면 xÛ`+xyÛ`=xÛ`+x 3- { xÛ` =- ;3!; } ;3!; xÜ`+xÛ`+3x 5 도함수의 활용 ⑵ | 077 0554  ⑤ TIP 삼차함수를  f(x)=axÜ`+bxÛ`+cx+d ( a, b, c, d는 상수, a+0 )로 놓 =-atÛ`+c 도함수의 활용⑵5 이때,  f(t)=tÝ`+tÛ`-6t+9라 하면  f '(t)=4tÜ`+2t-6=2(t-1)(2tÛ`+2t+3)  f '(t)=0에서 t=1 따라서 함수  f(t)는 t=1일 때 극소 이면서 최소이므로 최솟값은  f(1)=5이고 이때 PCÓ= 따라서 선분 PQ의 길이의 최솟값은 PCÓ-CQÓ= 5-1 ' 5 t y 1 y  f '(t) - 0 +  f(t) ↘ 극소 ↗ 원 밖의 한 점 P에서 원에 이르는 거리의 ⑴ 최솟값 ⇨ PAÓ=PCÓ-r ⑵ 최댓값 ⇨ PBÓ=PCÓ+r P r r CA B 0560  64 TIP 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식을 먼저 구한다.  f(x)=(x-2)Û`에서  f '(x)=2(x-2) 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y-(a-2)Û`=2(a-2)(x-a) ∴ y=2(a-2)x-aÛ`+4 y=0일 때 x= a+2 이므로 P a+2 2 { , 0 } 2 x=0일 때 y=-aÛ`+4이므로 Q(0, -aÛ`+4) △OPQ의 넓이를  g(a)라 하면 a+2 2 (-aÛ`+4)=-  g(a)= ;4!; ;2!; ´ (aÜ`+2aÛ`-4a-8)  g '(a)=- ;4!; (3aÛ`+4a-4)=- (a+2)(3a-2) ;4!;  g '(a)=0에서 a= (∵ 01 f(x)=2xÜ`-3xÛ`+k로 놓으면 f '(x)=6xÛ`-6x=6x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 ⑴ 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 f(0)f(1)<0이어 야 하므로 k(k-1)<0 ∴ 00이어 야 하므로 k(k-1)>0 ∴ k<0 또는 k>1 6 도함수의 활용 ⑶ | 079 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 주어진 방정식은 한 실근 y=f(x) 5 y 4 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 주어진 방정식은 서로 다 을 갖는다. 른 네 실근을 갖는다. 도함수의 활용⑶6 0567  ㈎ 1 ㈏ > f(x)=xÜ`-xÛ`-x+2로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-2x-1=(3x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=1 ( ∵ x¾0) x¾0일 때 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 최솟값 은 ㈎ 1 이다. 즉, x¾0에서 f(x) ㈏ > 0 ∴ xÜ`-xÛ`-x+2>0 x f '(x) f(x) x f '(x) f(x) 0 2 0 0 1 y - ↘ y - ↘ 1 0 1 1 0 0 y + ↗ y + ↗ 0568  풀이 참조 f(x)=3xÝ`-4xÜ`+1로 놓으면 f '(x)=12xÜ`-12xÛ`=12xÛ`(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 x¾0일 때 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 최솟값 은 0이다. 즉, x¾0에서 f(x)¾0이다. ∴ 3xÝ`-4xÜ`+1¾0 0569  a¾3 f(x)=xÝ`-4x+a로 놓으면 f '(x)=4xÜ`-4=4(x-1)(xÛ`+x+1) f '(x)=0에서 x=1 (∵ xÛ`+x+1>0) x f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 a-3 y + ↗ 즉, 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이다. 따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)¾0이 성립하려면 f(1)¾0이어야 하므로 a-3¾0 ∴ a¾3 =4이므로 t=1에서의 점 P의 속도와 =6t이므로 t=3에서의 점 P의 속도와 0570  v=1, a=4 v= dx dt =4t-3, a= dv dt 가속도는 v=4-3=1, a=4 0571  v=19, a=18 v= dx dt =3tÛ`-8, a= dv dt 가속도는 v=27-8=19, a=18 080 | Ⅱ 미분 0572  v=4, a=-30 v= dx dt =-4tÜ`+18t, a= dv dt 점 P의 속도와 가속도는 v=-32+36=4, a=-48+18=-30 =-12tÛ`+18이므로 t=2에서의 =3tÛ`+6t+3이므로 t=2에서의 고무줄의 길이의 변화율은 0573  27 dl dt 12+12+3=27 0574  ⑴ 3.2p ⑵ 3.2p ⑴ 구의 겉넓이를 S라 하면 S=4p(0.2t)Û`=0.16ptÛ` ∴ =0.32pt dS dt 따라서 t=10에서의 구의 겉넓이의 변화율은 0.32p_10=3.2p ⑵ 구의 부피를 V라 하면 V= p(0.2t)Ü`= 0.032ptÜ 3 ` ∴ =0.032ptÛ` ;3$; dV dt 따라서 t=10에서의 구의 부피의 변화율은 0.032p_10Û`=3.2p 참고 반지름의 길이가 r인 구에 대하여 ⑴ 구의 겉넓이:4prÛ` ⑵ 구의 부피: prÜ` ;3$; STEP2 유형 Drill 유형 01 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 본책 98쪽 방정식 f(x)=k의 서로 다른 실근의 개수는 ⇨ 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다. 0575  -4 3xÝ`-4xÜ`-12xÛ`+1-k=0에서 3xÝ`-4xÜ`-12xÛ`+1=k 방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가지려면 곡선 y=3xÝ`-4xÜ`-12xÛ`+1과 직선 y=k가 서로 다른 세 점에서 만나 야 한다. f(x)=3xÝ`-4xÜ`-12xÛ`+1로 놓으면 f '(x)=12xÜ`-12xÛ`-24x=12x(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=2 yy ㉠ x y f '(x) - f(x) ↘ -1 0 -4 y + ↗ 0 0 1 y - ↘ 2 0 -31 y + ↗ 이때, 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 함수 y=f(x)의 그래 프와 직선 y=k가 서로 다른 세 점에서 만나려면 k=-4 또는 k=1 따라서 모든 실수 k의 값의 곱은 -4´1=-4 y O 1 y=f(x) y=k 2 -1 -4 x y=k 방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가지려면 곡선 y=3xÝ`-8xÜ`-6xÛ`+24x-1과 직선 y=k가 서로 다른 세 점에서 만나야 한다. f(x)=3xÝ`-8xÜ`-6xÛ`+24x-1로 놓으면 f '(x) =12xÜ`-24xÛ`-12x+24 -31 =12(x+1)(x-1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 또는 x=2 0576  ① xÜ`-6xÛ`+9x-k=0에서 xÜ`-6xÛ`+9x=k yy ㉠ 방정식 ㉠이 한 실근과 두 허근을 가지려면 곡선 y=xÜ`-6xÛ`+9x 와 직선 y=k가 한 점에서 만나야 한다. f(x)=xÜ`-6xÛ`+9x로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 x f '(x) f(x) y + ↗ 1 0 4 y - ↘ 이때, 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 함수 y=f(x)의 그래프 와 직선 y=k가 한 점에서 만나려면 k<0 또는 k>4 따라서 실수 k의 값이 될 수 있는 것은 ① 이다. 3 0 0 y 4 y + ↗ y=f(x) y=k O 1 3 x 0577  ⑤ xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x-k=0에서 xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x=k 방정식 ㉠이 서로 다른 네 실근을 가지려면 곡선 y=xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x와 직선 y=k가 서로 다른 네 점에서 만나 야 한다. f(x)=xÝ`-4xÜ`-2xÛ`+12x로 놓으면 f '(x)=4xÜ`-12xÛ`-4x+12=4(x+1)(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 또는 x=3 yy ㉠ x y f '(x) - f(x) ↘ -1 0 -9 y + ↗ 1 0 7 이때, 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 함수 y=f(x)의 그래프 와 직선 y=k가 서로 다른 네 점에서 만나 려면 -90이면 방정식 f(x)=0은 실근을 갖 지 않는다. f(x) ↘ 극소 ↗ + 0 ㄴ. a=b+c이면 f '(x)=(x-a)Û`(x-c) f '(x)=0에서 x=a 또는 x=c 함수 f(x)는 x=c에서 극소이고, f(a)<0이므로 함수 6 도함수의 활용 ⑶ | 081 도함수의 활용⑶6 y=f(x)의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다. ac a c x c a x 따라서 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. a7 따라서 정수 a의 최솟값은 8이다. y y=f(x) y=a 7 2 -1 O x -20 0584  6 3xÝ`-8xÜ`-18xÛ`-k=0에서 3xÝ`-8xÜ`-18xÛ`=k f(x)=3xÝ`-8xÜ`-18xÛ`으로 놓으면 f '(x)=12xÜ`-24xÛ`-36x=12x(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=3 x y f '(x) - f(x) ↘ -1 0 -7 y + ↗ 0 0 0 y - 3 0 ↘ -135 y + ↗ 이때, 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 함수 y=f(x)의 그래프 와 직선 y=k의 교점의 x좌표가 2개는 양 수, 2개는 음수이려면 -70 0585  -30) 0589  29 f(x)=xÜ`-3xÛ`-24x-k로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-6x-24=3(x+2)(x-4) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=4 삼차방정식 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면 f(-2)f(4)>0이어야 하므로 (-k+28)(-k-80)>0 따라서 자연수 k의 최솟값은 29이다. ∴ k<-80 또는 k>28 0590  ① f(x)=2xÜ`-6aÛ`x+4로 놓으면 f '(x)=6xÛ`-6aÛ`=6(xÛ`-aÛ`)=6(x+a)(x-a) f '(x)=0에서 x=-a 또는 x=a 함수 f(x)가 극값을 가지려면 방정식 f '(x)=0이 서로 다른 두 실 근을 가져야 하므로 a+0 또, 삼차방정식 f(x)=0이 오직 하나의 실근을 가지려면 f(-a)f(a)>0이어야 하므로 (4aÜ`+4)(-4aÜ`+4)>0, (aÜ`+1)(aÜ`-1)<0 (a+1)(a-1)(aÛ`-a+1)(aÛ`+a+1)<0 yy ㉠ 이때, aÛ`-a+1= a- { + >0, ;4#; ;2!;} 2` >0이므로 + aÛ`+a+1= a+ { ;4#; ;2!;} (a+1)(a-1)<0 ㉠, ㉡에서 -10) 0593  5 주어진 두 곡선이 오직 한 점에서 만나려면 방정식 xÜ`-xÛ`=2xÛ`-a, 즉 xÜ`-3xÛ`+a=0이 한 실근과 두 허근을 가져야 한다. f(x)=xÜ`-3xÛ`+a로 놓으면 6 도함수의 활용 ⑶ | 083 도함수의 활용⑶6 f '(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 삼차방정식 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면 f(0)f(2)>0이어야 하므로  a(a-4)>0  따라서 자연수 a의 최솟값은 5이다.  ∴  a<0 또는 a>4 0594  -6 주어진 두 곡선이 서로 다른 세 점에서 만나려면 방정식  3xÝ`+4xÜ`+5x+2=12xÛ`+5x+k, 즉 3xÝ`+4xÜ`-12xÛ`+2=k 가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다. f(x)=3xÝ`+4xÜ`-12xÛ`+2로 놓으면 f '(x)=12xÜ`+12xÛ`-24x=12x(x-1)(x+2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 또는 x=1 x y f '(x) - -2 0 f(x) ↘ -30 y + ↗ 0 0 2 y - ↘ 1 0 -3 y + ↗ 이때, 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 함수 y=f(x)의 그래프 와 직선 y=k가 세 점에서 만나려면 k=-3 또는 k=2 따라서 모든 실수 k의 값의 곱은 -3´2=-6 y 2-2 O y=f(x) 1 y=k x y=k -30 본책 100쪽 0595  20이어야 하므로  (-3k+2)(-3k+1)>0   ∴  k<  또는 k> ;3!; ;3@; 따라서 자연수 k의 최솟값은 1이다. 유형 06 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 본책 101쪽 ; 증가·감소의 활용 ⑴ 구간 (a, b)에서 감소하는 함수 f(x)에 대하여 부등식 f(x)>k가 -3 ⑵ 구간 (a, b)에서 증가하는 함수 f(x)에 대하여 부등식 f(x)0이려면  f(1)¾0이어야 하므로  4-3-6+a¾0   ∴  a¾5 0598  -9 f(x)=- xÜ`+2xÛ`+a로 놓으면 ;2!; ;3!; f '(x)=-xÛ`+4x=-x(x-4) 1ÉxÉ3에서  f '(x)>0이므로 함수  f(x)는 구간 [1, 3]에서 증 가한다. 따라서 1ÉxÉ3에서 f(x)É0이려면  f(3)É0이어야 하므로  ∴  aÉ-9 -9+18+aÉ0  즉, 실수 a의 최댓값은 -9이다. 0599  -4 f(x)=-2xÜ`+3xÛ`-a로 놓으면 f '(x)=-6xÛ`+6x=-6x(x-1) x>2에서 f '(x)<0이므로 함수  f(x)는 구간 (2, ¦)에서 감소한 다. 따라서 x>2에서 f(x)<0이려면  f(2)É0이어야 하므로 -16+12-aÉ0  즉, 실수 a의 최솟값은 -4이다.  ∴  a¾-4 유형 05 접선의 개수 같음을 이용한다. 곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그을 수 있는 접선의 개수는 접점의 개수와 서 감소한다. 0600  a<2 xÜ`-3xÛ`-x<8x-a에서 xÜ`-3xÛ`-9x+a<0 f(x)=xÜ`-3xÛ`-9x+a로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-6x-9=3(x+1)(x-3) xÉ-2에서 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 구간 (-¦, -2]에 서 증가한다. 따라서 xÉ-2에서 f(x)<0이려면 f(-2)<0이어야 하므로 -8-12+18+a<0 ∴ a<2 x f '(x) f(x) -2 0 k+20 y - ↘ 1 0 k-7 y + ↗ 2 k+4 -2ÉxÉ2에서 함수 f(x)는 x=-2일 때 최대이므로 최댓값은 k+20, x=1일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 k-7 이때, 0Éf(x)É30이려면 f(1)¾0, f(-2)É30이어야 하므로 ∴ 7ÉkÉ10 k-7¾0, k+20É30 따라서 모든 정수 k의 값의 합은 7+8+9+10=34 유형 07 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 본책 101쪽 ; 최대·최소의 활용 0604  6 TIP aÉ0일 때와 a>0일 때로 나누어 조건을 만족시키는 a의 값의 범위를 ⑴ 어떤 구간에서 부등식 f(x)Éa를 증명하려면 ⇨ 그 구간에서 (함수 f(x)의 최댓값)Éa임을 보인다. ⑵ 어떤 구간에서 부등식 f(x)¾a를 증명하려면 ⇨ 그 구간에서 (함수 f(x)의 최솟값)¾a임을 보인다. 0601  23 2xÛ`-9ÉxÜ`-4xÛ`+a에서 xÜ`-6xÛ`+a+9¾0 f(x)=xÜ`-6xÛ`+a+9로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-12x=3x(x-4) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4 x -2 f '(x) f(x) a-23 y + ↗ 0 0 a+9 y - ↘ 4 0 a-23 y + ↗ x¾-2에서 함수 f(x)는 x=-2 또는 x=4일 때 최소이므로 최 솟값은 a-23 이때, f(x)¾0이려면 a-23¾0이어야 하므로 a¾23 따라서 실수 a의 최솟값은 23이다. 0602  ⑤ f(x)=4xÜ`-12x-2+a로 놓으면 f '(x)=12xÛ`-12=12(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=1 (∵ x¾0) x f '(x) f(x) 0 a-2 y - ↘ 1 0 a-10 y + ↗ 구한다. xÜ`¾a(xÛ`-a)에서 xÜ`-axÛ`+aÛ`¾0 f(x)=xÜ`-axÛ`+aÛ`으로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-2ax=x(3x-2a) f '(x)=0에서 x=0 또는 x= a ;3@; Ú aÉ0, 즉 aÉ0일 때 ;3@; x>0에서 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 증가한다. 따라서 x>0에서 f(x)¾0이려면 f(0)¾0이어야 하므로 f(0)=aÛ`¾0 이 식이 항상 성립하므로 aÉ0일 때 주어진 부등식은 항상 성립 한다. Û a>0, 즉 a>0일 때 ;3@; x 0 f '(x) f(x) a ;3@; 0 - ;2¢7; aÜ`+aÛ` y + ↗ y - ↘ ;3@; x>0에서 함수 f(x)는 x= a일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 f a } {;3@; =- ;2¢7; aÜ`+aÛ`=- aÛ` { ;2¢7; a- :ª4¦:} 이때, f(x)¾0이려면 f ¾0이어야 하므로 a } {;3@; - aÛ` { ;2¢7; a- :ª4¦:} ¾0 ∴ 00이려면 f(3)>0이어야 하므로 k-29>0 따라서 실수 k의 값이 될 수 없는 것은 ①이다. ∴ k>29 0606  ② f(x)= xÝ`- xÜ`-xÛ`-k로 놓으면 ;4!; ;3!; f '(x)=xÜ`-xÛ`-2x=x(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=2 x y f '(x) - -1 0 y + 0 0 y - 2 0 f(x) ↘ -k- ;1°2; ↗ -k ↘ -k- ;3*; y + ↗ 함수 f(x)는 x=2일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 -k- ;3*; 이때, 임의의 실수 x에 대하여 f(x)¾0이려면 f(2)¾0이어야 하 므로 -k- ¾0 ∴ kÉ- ;3*; 따라서 실수 k의 최댓값은 - 이다. ;3*; ;3*; 0607  5 f(x)=xÝ`-4kÜ`x+48로 놓으면 f '(x)=4xÜ`-4kÜ`=4(x-k)(xÛ`+kx+kÛ`) f '(x)=0에서 x=k (∵ xÛ`+kx+kÛ`>0) x f '(x) f(x) y - ↘ k 0 -3kÝ`+48 y + ↗ 함수 f(x)는 x=k일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 -3kÝ`+48 이때, 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0이려면 f(k)¾0이어야 하므 로 -3kÝ`+48¾0, kÝ`-16É0 (kÛ`+4)(k+2)(k-2)É0 (k+2)(k-2)É0 (∵ kÛ`+4>0) ∴ -2ÉkÉ2 따라서 정수 k는 -2, -1, 0, 1, 2로 그 개수는 5이다. 유형 09 부등식 f(x)>g(x) 꼴 본책 102쪽 어떤 구간에서 부등식 f(x)>g(x)가 성립하려면 h(x)=f(x)-g(x)라 할 때 ⇨ 그 구간에서 (함수 h(x)의 최솟값)>0 086 | Ⅱ 미분 0608  a>8 h(x)=f(x)-g(x)로 놓으면 h(x) =xÝ`+6xÛ`+a-(4xÜ`+8x) =xÝ`-4xÜ`+6xÛ`-8x+a h'(x)=4xÜ`-12xÛ`+12x-8=4(x-2)(xÛ`-x+1) h '(x)=0에서 x=2 (∵ xÛ`-x+1>0) x h '(x) h(x) y - ↘ 2 0 a-8 y + ↗ 함수 h(x)는 x=2일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 a-8 이때, 모든 실수 x에 대하여 h(x)>0이려면 h(2)>0이어야 하므 로 a-8>0 ∴ a>8 0609  ② h(x)=f(x)-g(x)로 놓으면 h(x) =xÜ`+2xÛ`-3x+2-(2xÛ`+k+1) =xÜ`-3x-k+1 h'(x)=3xÛ`-3=3(x+1)(x-1) h'(x)=0에서 x=1 (∵ 0ÉxÉ3) 0 x h'(x) h(x) y - ↘ 1 0 y + ↗ -k+1 -k-1 -k+19 3 0ÉxÉ3에서 함수 h(x)는 x=1일 때 극소이면서 최소이므로 최 솟값은 -k-1 이때, h(x)¾0이려면 h(1)¾0이어야 하므로 -k-1¾0 따라서 실수 k의 최댓값은 -1이다. ∴ kÉ-1 0610  0g(x)이어야 한다. h(x)=f(x)-g(x)로 놓으면 h(x) =xÜ`-3kxÛ`+x+10-(-xÜ`+x+2) =2xÜ`-3kxÛ`+8 h'(x)=6xÛ`-6kx=6x(x-k) h'(x)=0에서 x=0 또는 x=k x -1 h'(x) h(x) -3k+6 y + ↗ 0 0 8 y - ↘ k 0 -kÜ`+8 y + ↗ 이때, x¾-1에서 h(x)>0이려면 h(-1)>0, h(k)>0이어야 하므로 h(-1)=-3k+6>0에서 k<2 h(k)=-kÜ`+8>0에서 kÜ`-8<0, (k-2)(kÛ`+2k+4)<0 ∴ k<2 (∵ kÛ`+2k+4>0) yy ㉠ yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 k<2 따라서 양수 k의 값의 범위는 00 f(x)=-xÜ`+6xÛ`-9x로 놓으면 f '(x)=-3xÛ`+12x-9=-3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 x f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 -4 y + ↗ 3 0 0 y - ↘ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때, 직선 y=kx의 그래프는 원점을 지 나므로 x>0에서 f(x)0 y 1 O y=kx 3 x -4 y=f(x) 유형 10 속도와 가속도 본책 103쪽 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)일 때, 시 각 t에서의 점 P의 속도 v와 가속도 a는 ⇨ v= =f '(t), a= =v'(t) dx dt dv dt 0612  ① 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v= dx dt a= dv dt =3tÛ`-12t =6t-12 6t-12=0에서 t=2이므로 t=2일 때 점 P의 속도는 3´2Û`-12´2=-12 0613  12 두 점 P, Q의 속도를 각각 v¸, vÎ라 하면 v¸= =tÛ`+4, vÎ= =4t dxÎ dt dx¸ dt v¸=vÎ에서 tÛ`+4=4t, (t-2)Û`=0 t=2일 때 두 점 P, Q의 위치는 각각 ∴ t=2 +8- =10, 8-10=-2 ;3@; ;3*; 이므로 구하는 두 점 사이의 거리는 10-(-2)=12 0614  20이므로 점 P는 움직이고 있다. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 0624  ③ ① t=a일 때, v'(a)>0이므로 속도가 증가하고 있다. ② t=b일 때, v'(b)<0이므로 속도가 감소하고 있다. ③ t=c일 때, v'(c)<0이므로 가속도는 음의 값이다. ④ t=d일 때, v'(d)>0이므로 가속도는 양의 값이다. ⑤ t>e일 때, v(t)>0이므로 출발할 때와 같은 양의 방향으로 움 직인다. 유형 14 정지하는 물체의 움직인 거리 본책 105쪽 어떤 열차가 제동을 건 후 t초 동안 움직인 거리를 x`m라 하면 ⑴ 제동을 건 지 t초 후의 속도 ⇨ ⑵ 열차가 정지할 때의 속도 ⇨ 0 dx dt 0625  ④ 자동차의 속도를 v라 하면 v= dx dt =30-2t 자동차가 정지할 때의 속도는 0이므로 v=0에서 30-2t=0 따라서 자동차가 정지할 때까지 움직인 거리는 30´15-15Û`=225`(m) ∴ t=15 0626  ③ 기차의 속도를 v라 하면 v= dx dt =16-0.8t 기차가 정지할 때의 속도는 0이므로 v=0에서 ∴ t=20 16-0.8t=0 따라서 기차가 정지할 때까지 움직인 거리는 16´20-0.4´20Û`=160`(m) 따라서 목적지로부터 전방 160`m의 지점에서 제동을 걸어야 한다. ∴ a=160 2 ' 0627  20 기차의 속도를 v라 하면 v= dx dt =a-0.8t 기차가 정지할 때의 속도는 0이므로 v=0에서 a-0.8t=0 ∴ t= a ;4%; 이때, 기차가 멈출 때까지 움직인 거리는 x= aÛ`-0.4 ;4%; a } {;4%; = aÛ` ;8%; 그런데 aÛ`É500이어야 하므로 aÛ`É800 ;8%; 2` 2)(a-20 2)É0 ' aÛ`-800É0, (a+20 ' ∴ -20 2 따라서 a의 최댓값은 20 2ÉaÉ20 ' ' 2이다. ' 유형 15 위로 던진 물체의 위치와 속도 본책 105쪽 지면에서 똑바로 위로 던진 물체의 t초 후의 높이를 h`m라 하면 ⑴ t초 후의 물체의 속도 ⇨ dh dt ⑵ 물체가 최고 지점에 도달했을 때의 속도 ⇨ 0 0628  ④ 공의 속도를 v라 하면 v= dh dt =40-10t 0629  2.5초 물체의 속도를 v라 하면 v= dh dt =24.5-9.8t 물체가 최고 지점에 도달했을 때의 속도는 0이므로 v=0에서 ∴ t=2.5 24.5-9.8t=0 따라서 물체는 2.5초 후에 최고 지점에 도달한다. ` m/s 0630  30 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0`m이므로 h=0에서 25+20t-5tÛ`=0, -5(t-5)(t+1)=0 ∴ t=5 (∵ t>0) 물체의 속도를 v라 하면 v= dh dt =20-10t t=5일 때 물체의 속도는 20-10´5=-30`(m/s) 따라서 물체가 지면에 떨어지는 순간의 속력은 30`m/s이다. 0631  60 물체의 속도를 v라 하면 v= dh dt =a-10t a-10t=0 ∴ t= ;10; 물체가 최고 지점에 도달했을 때의 속도는 0이므로 v=0에서 즉, t= 일 때 물체의 높이가 최대가 되므로 ;10; a´ ;10; -5 {;10;} ¾180, aÛ`¾3600 aÛ`-3600¾0, (a+60)(a-60)¾0 따라서 상수 a의 최솟값은 60이다. 2` ∴ a¾60 (∵ a>0) 유형 16 위치의 그래프가 주어진 경우 본책 106쪽 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x(t)의 그래프에서 ⑴ x'(t)>0인 구간 ⇨ 점 P의 속도는 양의 값이다. ⑵ x'(t)=0일 때 ⇨ 점 P의 속도는 0이다. ⑶ x'(t)<0인 구간 ⇨ 점 P의 속도는 음의 값이다. 0632  ③ ① t=1의 좌우에서 x'(t)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 운동 ② t의 값이 1, 2, 3, 5, 6, 7일 때 운동 방향이 바뀐다. ③ 1초와 2초, 3초와 4초 사이에 점 P는 수직선의 음의 방향으로 움 방향이 바뀐다. 직인다. 공이 최고 지점에 도달했을 때의 속도는 0이므로 v=0에서 40-10t=0 따라서 4초 후 이 공의 지면으로부터의 높이는 40´4-5´4Û`=80`(m) ∴ t=4 ④ t=5일 때의 위치와 t=7일 때의 위치는 -3으로 같다. ⑤ x'(2)=0, x'(4)<0이므로 |x'(2)|<|x'(4)| 따라서 t=4일 때의 속력이 t=2일 때의 속력보다 빠르다. 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 6 도함수의 활용 ⑶ | 089 도함수의 활용⑶6 0633  b t=b와 t=d의 좌우에서 x'(t)의 부호가 바뀌므로 점 P의 운동 방 향이 처음으로 바뀐 시각은 t=b이다. 그런데 x=1.5t이므로 y=1.5t ∴ =1.5 dy dt 따라서 그림자의 길이의 변화율은 1.5`m/s이다. 0634  :Á3¼: x(t)는 t에 대한 삼차식이고 x(t)의 그래프가 t축과 만나는 점의 t 좌표가 각각 0, 4, 6이므로 x(t)=kt(t-4)(t-6)=ktÜ`-10ktÛ`+24kt (k>0) 로 놓을 수 있다. 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=x'(t)=3ktÛ`-20kt+24k a= dv dt =6kt-20k 따라서 가속도가 0이 되는 시각은 a=0에서 6kt-20k=0 ∴ t= :Á3¼: 0635  ㄱ, ㄴ, ㄷ x(t)는 t에 대한 삼차식이고 x(t)의 그래프가 t축과 만나는 점의 t 좌표가 각각 0, 6이므로 x(t)=kt(t-6)Û` (k>0) 으로 놓을 수 있다. 0637  2 2 ' 3 t초 후의 두 점 P, Q의 좌표는 P(t, 0), Q(0, 2t)이므로 직선 PQ의 방정식은 y Q(0, 2t) y=x R {;3@; t, ;3@; t} O P(t, 0) x y-2t= x -2t t ∴ y=-2x+2t 이때, 직선 PQ와 직선 y=x의 교점 R 의 x좌표는 -2x+2t=x에서 x= t ∴ R ;3@; t, t ;3@; } {;3@; 선분 OR의 길이를 l이라 하면 l= t ¾¨{;3@; } + t {;3@; } = 2 2 ' 3 t ∴ = 2 2 ' 3 2` 2` 따라서 선분 OR의 길이의 변화율은 이다. dl dt 2 2 ' 3 이때, x(2)= 에서 =2k´(-4)Û` ∴ k= :£3ª: :£3ª: ;3!; 유형 18 시각에 대한 넓이의 변화율 본책 107쪽 ∴ x(t)= t(t-6)Û`= tÜ`-4tÛ`+12t ;3!; ;3!; 점 P의 속도를 v, 가속도를 a라 하면 v=x'(t)=tÛ`-8t+12 a= dv dt =2t-8 어떤 물체의 시각 t에서의 넓이가 S일 때, 시각 t에서의 넓이의 변화율을 구하려면 ⇨ t초 후의 넓이에 대한 관계식을 세운 후 변화율 에 주어진 조건을 dS dt 만족시키는 t의 값을 대입한다. ㄱ. t=0일 때 v=12이므로 점 P의 출발할 때의 속도는 12이다. ㄴ. t=3일 때 a=6-8=-2이므로 점 P의 가속도는 -2이다. ㄷ. x(8)= ´8´(8-6)Û`= 에서 x(2)=x(8)이므로 점 P의 ;3!; :£3ª: 0638  ③ t초 후의 가장 바깥쪽 원의 반지름의 길이는 0.5t이므로 원의 넓이를 S`mÛ`라 하면 t=2일 때의 위치와 t=8일 때의 위치는 서로 같다. S=p(0.5t)Û`=0.25ptÛ` ∴ =0.5pt dS dt 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 따라서 t=6일 때 원의 넓이의 변화율은 0.5p´6=3p`(mÛ`/s) 유형 17 시각에 대한 길이의 변화율 본책 106쪽 어떤 물체의 시각 t에서의 길이가 l일 때, 시각 t에서의 길이의 변화율을 구하려면 ⇨ t초 후의 길이에 대한 관계식을 세운 후 변화율 에 주어진 조건을 0639  ② t초 후의 ABÓ, BCÓ의 길이는 각각 10-t, 10+4t이고, ∠B=60ù이므로 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 만족시키는 t의 값을 대입한다. S= ABÓ´BCÓ sin 60ù dl dt A 3.2 m D 1.6 m B x m E y m C ;2!; 3 = ' 4 3 = ' 4 dS dt ∴ 3 ' 4 (10-t)(10+4t) (-4tÛ`+30t+100) 3 = ' 4 (-8t+30) (-24+30)= 3 3 ' 2 따라서 t=3일 때 삼각형 ABC의 넓이의 변화율은 ` m/s 0636  1.5 t초 동안 사람이 움직인 거리를 x`m, 사 람의 그림자의 길이를 y`m라 하면 오른 쪽 그림에서 △ABC»△DEC이므로 3.2:1.6=(x+y):y 3.2y=1.6x+1.6y, 1.6y=1.6x ∴ y=x 090 | Ⅱ 미분 A t P 10-t 10 D 10 B 2t Q C 10-2t 0643  ⑤ t초 후의 수면의 높이는 t`cm이고 오른쪽 그림에서 △ABC»△ADE이므로 수면 의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 30:20=t:r, 30r=20t B 20 cm C 30 cm D r cm E t cm A ∴ r= t ;3@; 물의 부피를 V`cmÜ`라 하면 V= p´ t {;3@; } ´t= ptÜ` ;2¢7; ;3!; dV dt ∴ 2` ptÛ` = ;9$; 따라서 t=6일 때 물의 부피의 변화율은 p´6Û`=16p`(cmÜ`/s) ;9$; 0640  8 t초 후에 APÓ=t, BQÓ=2t이므로 PBÓ=10-t, QCÓ=10-2t t초 후의 사각형 DPBQ의 넓이를 SÁ이라 하 면 SÁ=ABCD-△APD-△CQD =100- ´10t- ´10(10-2t) ;2!; ;2!; =50+5t 그런데 SÁ이 사각형 ABCD의 넓이의 배가 되려면 ;2!0!; 50+5t= ´100=55 ∴ t=1 ;2!0!; t초 후의 삼각형 PBQ의 넓이를 S라 하면 S= ´2t(10-t)=-tÛ`+10t ;2!; dS dt ∴ =-2t+10 따라서 t=1일 때 삼각형 PBQ의 넓이의 변화율은 -2+10=8 유형 19 시각에 대한 부피의 변화율 본책 107쪽 어떤 물체의 시각 t에서의 부피가 V일 때, 시각 t에서의 부피의 변화율을 구하려면 ⇨ t초 후의 부피에 대한 관계식을 세운 후 변화율 에 주어진 조건을 dV dt 만족시키는 t의 값을 대입한다. 0641  ④ t초 후의 고무풍선의 반지름의 길이는 3+t이므로 고무풍선의 부피 를 V`cmÜ`라 하면 V= p(3+t)Ü` ;3$; dV dt ∴ = p´3(3+t)Û`=4p(3+t)Û` ;3$; 따라서 t=3일 때 고무풍선의 부피의 변화율은 4p´6Û`=144p`(cmÜ`/s) 0642  45 t초 후의 가로, 세로의 길이는 각각 10+2t, 높이는 20+t이므로 이 직육면체가 정육면체가 되는 순간은 10+2t=20+t 직육면체의 부피를 V`cmÜ`라 하면 V=(10+2t)Û`(20+t) ∴ t=10 ∴ dV dt =4(10+2t)(20+t)+(10+2t)Û` 따라서 t=10일 때 직육면체의 부피의 변화율은 a=4´30Û`+30Û`=4500 ∴ ;10A0; =45 STEP3 심화 Master 0644  13 TIP g(t)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 실수 t에 대하여 실근의 개수 가 일정하므로 함수 f(x)는 증가함수 또는 감소함수이어야 한다. f(x)=-2xÜ`+axÛ`-6x+5라 하면 방정식 -2xÜ`+axÛ`-6x+5=t의 실근의 개수는 함수 y=f(x)의 그래프 와 직선 y=t의 교점의 개수와 같다. 이때, 함수 f(x)의 극값이 존 재하면 y=t가 f(x)의 극점을 지날 때 함수 g(t)의 불연속점이 생 기므로 함수 g(t)가 연속이려면 최고차항이 음수인 함수 f(x)가 극 점을 갖지 않는 감소함수이어야 한다. 즉, f '(x)=-6xÛ`+2ax-6É0이어야 한다. 이차방정식 -6xÛ`+2ax-6=0의 판별식을 D라 하면 D 4 ∴ -6ÉaÉ6 따라서 구하는 정수 a의 개수는 13이다. =aÛ`-36É0, (a+6)(a-6)É0 -6ÉaÉ6일 때, 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=t의 교점은 항 참고 상 1개이므로 g(t)=1이다. 0645  ③ TIP 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 알아본다. y=f'(x) ㄱ. 삼차방정식 f '(x)=0의 최고차항의 계수가 양수이므로 y=f '(x)의 그래 프의 개형은 오른쪽 그림과 같다. 이때, x=b의 좌우에서 f '(x)의 부호 가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 f(x)는 x=b에서 극댓값을 갖 는다. b x a c 6 도함수의 활용 ⑶ | 091 도함수의 활용⑶6 ㄴ. 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 그려 보면 f(a)f(b)f(c)<0에서 Ú f(a)<0, f(b)<0, f(c)<0일 때 y=f(x) a b c x Û f(a)<0, f(b)>0, f(c)>0일 때 y=f(x) Ü f(a)>0, f(b)>0, f(c)<0일 때 y=f(x) a b c x a b c x 따라서 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. f(a)>0이면 f(b)>0, f(c)<0이므로 ㄴ의 Ü과 같다. 즉, 방정식 f(x)=0은 b보다 큰 실근을 2개 갖는다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. Éa< 0647  ;3!; TIP 주어진 방정식을 f(x)=k 꼴로 변형하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그 ;2!; 려 본다. ;3!; ;3!; ;2!; ;2!; cosÜ` h+ sinÛ` h-a=0에서 cosÜ` h+ (1-cosÛ` h)-a=0 ∴ cosÜ` h- cosÛ` h+ =a ;3!; ;2!; ;2!; yy ㉠ cos h=t라 하면 -1Écos hÉ1에서 -1ÉtÉ1 이때, f(t)= tÜ`- tÛ`+ 로 놓으면 ;3!; ;2!; ;2!; f '(t)=tÛ`-t=t(t-1) f '(t)=0에서 t=0 또는 t=1 t f '(t) f(t) -1 - ;3!; y + ↗ 0 0 ;2!; 이때, 함수 y=f(t)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ㉠이 서로 다른 두 실근을 가 지려면 -1ÉtÉ1에서 함수 y=f(t)의 그래프와 직선 y=a가 서로 다른 두 점에 서 만나야 하므로 구하는 실수 a의 값의 범위는 Éa< ;2!; ;3!; 1 0 ;3!; y - ↘ y ;3!; ;2!; y=f(t) y=a y=a -1 O -;3!; 1 t 0646  83 TIP 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 알아본 후 함수식을 구한다. 6 3 y x O y=f(x) 사차함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1이고 모든 실수 x에 대하여 f(3+x)=f(3-x)를 만족시키므로 함수 y=f(x)의 그래프는 x=3에 대하여 대칭이다. 이때, f(0)k이려면 f(a)¾k임 을 이용한다. nxn+1-2 kx   >-  kÛ`에서 ;Kn+! ;Kn+! nxn+1-n(n+1)x>- n(n+1)(2n+1) 6 nxn+1-n(n+1)x+ ∴ xn+1-(n+1)x+ >0 n(n+1)(2n+1) 6 (n+1)(2n+1) 6 >0 f(x)=xn+1-(n+1)x+ (n+1)(2n+1) 6 로 놓으면 f '(x) =(n+1)xn-(n+1) =(n+1)(xn-1) 이때, x>1에서 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 주어진 구간에서 증 가한다. x>1에서 f(x)>0이려면 f(1)¾0이어야 하므로 (n+1)(2n+1) 6 1-(n+1)+ ¾0 6-6n-6+2nÛ`+3n+1¾0 2nÛ`-3n+1¾0, (n-1)(2n-1)¾0 ∴ n¾1 ( ∵ n은 자연수) 따라서 자연수 n의 최솟값은 1이다. 0651  -36 TIP (f(x)의 최솟값)¾(g(x)의 최댓값)이어야 한다. 임의의 두 실수 xÁ, xª에 대하여 f(xÁ)¾g(xª)이려면 (f(x)의 최솟값)¾(g(x)의 최댓값)이어야 한다. f '(x)=4xÜ`+2x-6=2(x-1)(2xÛ`+2x+3) f '(x)=0에서 x=1 (∵ 2xÛ`+2x+3>0) x f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 -4 y + ↗ 함수 f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은 -4이다. 한편, g(x) =-2xÛ`-16x+a =-2(x+4)Û`+a+32Éa+32 이므로 함수 g(x)의 최댓값은 a+32이다. 즉, -4¾a+32에서 aÉ-36 따라서 실수 a의 최댓값은 -36이다. 0652  ⑤ TIP g(x)=f(x)-f '(x)로 놓고 함수 y=g(x)의 그래프의 개형을 알아 본 후 함수식을 구한다. 조건 ㈎에 의하여 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)로 놓으 면 f '(x)=3xÛ`+2ax+b 조건 ㈏에서 f(0)=f '(0)이므로 c=b ∴ f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+b g(x)=f(x)-f '(x)로 놓으면 g(x) =xÜ`+axÛ`+bx+b-(3xÛ`+2ax+b) y y=g(x) -1 O x =xÜ`+(a-3)xÛ`+(b-2a)x 이때, g(0)=f(0)-f '(0)=0이고, 조 건 ㈐에서 x¾-1인 모든 실수 x에 대 하여 g(x)¾0이므로 오른쪽 그림과 같 이 함수 g(x)는 x=0에서 극솟값을 가 진다. 따라서 g'(0)=0이므로 g'(x)=3xÛ`+2(a-3)x+b-2a에서 b-2a=0 ∴ b=2a ∴ g(x)=xÜ`+(a-3)xÛ` 이때, g(-1)¾0이어야 하므로 -1+a-3¾0 따라서 f(x)=xÜ`+axÛ`+2ax+2a에서 f(2) =8+4a+4a+2a=10a+8¾48 이므로 f(2)의 최솟값은 48이다. ∴ a¾4 0653  ② TIP 가속도를 나타내는 그래프는 속도를 나타내는 그래프의 도함수의 그래 프이다. a(t)=v'(t)이므로 가속도 a(t)를 나타내는 그래프는 주어진 그래 프의 도함수의 그래프이다. 00이므로 vª=0의 해는 없다. ∴ b=0 v£=0에서 t= ;3@; ∴ a+b+c=3 또는 t=2이므로 c=2 용한다. 공이 경사면과 처음으로 충돌하는 순간은 오른쪽 그림과 같으므로 이때의 바닥으로 부터 공의 중심까지의 높이를 x`m라 하면 sin 30ù= ∴ x=1 0.5 x x=1일 때 1=46-5tÛ`에서 tÛ`-9=0, (t+3)(t-3)=0 공의 속도를 v라 하면 v= dh dt =-10t 따라서 t=3일 때 공의 속도는 -10´3=-30`(m/s) ∴ a=-30 ∴ t=3 (∵ t>0) 0656  15 TIP t초 후의 BPÓ, BQÓ의 길이를 t에 대한 식으로 나타낸 후 PQÓ Û`의 변화율 을 구한다. t초 후에 DPÓ=t, CQÓ=2t이므로 2-t, BQÓ=6+2t BPÓ=6 이때, ∠PBQ=∠DBC=45ù이므로 PQÓ Û`=l이라 하면 코사인법칙에 의하여 l =(6 =(6 2-t)Û`+(6+2t)Û`-2(6 2-t)Û`+(6+2t)Û`- ' 2(6 ' 2-t)(6+2t)cos 45ù 2-t)(6+2t) ' ' ' ' 094 | Ⅱ 미분 y y=x2 Q(a, a2) O x {;2;+1, 0} t P R(0, -a2) y=xÛ`에서 y'=2x이므로 접점 Q의 좌표 를 (a, aÛ`)이라 할 때 점 Q에서의 접선의 방정식은 y-aÛ`=2a(x-a) ∴ R(0, -aÛ`) ∴ y=2ax-aÛ` 그런데 이 직선이 점 P +1, 0 {;2T; 을 지나 } 므로 0=2a +1 -aÛ`, a(t+2-a)=0 {;2T; } ∴ a=t+2 (∵ a+0) 따라서 두 점 Q, R의 좌표는 각각 Q(t+2, (t+2)Û`), R(0, -(t+2)Û`) 이므로 삼각형 OQR의 넓이를 S라 하면 S= (t+2)Û`´(t+2)= (t+2)Ü` ;2!; ;2!; dS dt ∴ = (t+2)Û` ;2#; TIP 시각 t에서의 넓이가 S일 때 넓이의 변화율은 이다. dS dt 점 P의 위치에 따른 삼각형의 넓이를 S(t)라 하면 Ú 0Ét<2일 때, BPÓ=t이므로 S(t)= ´ABÓ´BPÓ= ´2´t=t ;2!; 즉, v(t)=S'(t)=1 Û 2Ét<4일 때, 삼각형 PAB의 높이는 2로 일정하므로 ;2!; S(t)= ´ABÓ´(높이)= ´2´2=2 ;2!; 즉, v(t)=S'(t)=0 Ü 4Ét<6일 때, APÓ=6-t이므로 ;2!; ´2´(6-t)=6-t S(t)= ´ABÓ´APÓ= ;2!; 즉, v(t)=S'(t)=-1 따라서 ;2!; v(t)= 1 (0Ét<2) 0 (2Ét<4) -1 (4Ét<6) ∴ v(1)+v(3)+v(5)=1+0+(-1)=0 à 7 부정적분 본책 112쪽~122쪽 STEP1 기초 Build 0659  f(x)=6x+5 f(x)=(3xÛ`+5x+C)'=6x+5 0660  f(x)=-3x+4 f(x)= - xÛ`+4x+C { ;2#; } '=-3x+4 0661  f(x)=3xÛ ` f(x)=(xÜ`-xÛ`+2x+C)'=3xÛ`-2x+2 -2x+2 0662  f(x)=-6xÛ ` f(x)=(-2xÜ`+3xÛ`+C)'=-6xÛ`+6x +6x 0663  f(x)=xÜ +xÛ +x+1 f(x)= xÝ`+ ;3!; {;4!; xÛ`+x+C } '=xÜ`+xÛ`+x+1 ` ` xÜ`+ ;2!; f(x)dx=f(x)이므로 (xÜ`-2x)dx=xÜ`-2x -2x+C dx=f(x)+C이므로 (xÜ`-2x) dx=xÜ`-2x+C ] -2x ` 0664  xÜ d dx d dx :` `  f(x) :` 0665  xÜ d dx d dx :` [ [ ] :` 0666  3x+C 3 dx=3x+C :` 0667  ;8!; x¡ ` +C xà`dx= x¡`+C ;8!; :` 0668  ;20!1; x201+C x200dx= x201+C ;20!1; :` 0669  ;6!; xß ` +C xÛ`·xÜ`dx= xÞ`dx= xß`+C ;6!; :` : 0670  ;7!; xà ` +C (xÛ`)Ü`dx= xß`dx= xà`+C ;7!; : :` 0671  xÛ +4x+C ` (2x+4)dx= 2x dx+ 4 dx : =2 :` x dx+ 4 dx : =xÛ`+4x+C :` 0672  xÝ -5xÛ ` ` (4xÜ`-10x+5)dx= +5x+C 0673  xÜ -xÛ ` -x+C ` (x-1)(3x+1)dx= 4xÜ` dx- 10x dx+ 5 dx : =4 : xÜ` dx-10 x dx+ 5 dx =xÝ`-5xÛ`+5x+C : : (3xÛ`-2x-1)dx :` = 3xÛ` dx- 2x dx- 1 dx : =3 : xÛ` dx-2 x dx- 1 dx : =xÜ`-xÛ`-x+C : : : :` :` 0674  ;4!; ` xÝ -x+C (x-1)(xÛ`+x+1)dx= (xÜ`-1)dx :` = = : ;4!; xÜ` dx- 1 dx :` xÝ`-x+C :     :     :       :     (9xÛ`+6x+1)dx- (9xÛ`-6x+1)dx : 0675  6xÛ +C ` (3x+1)Û`dx- (3x-1)Û`dx :` = : : = 12x dx=12 :` x dx=6xÛ`+C :` -x+C xÛ ` 0676  ;2!; xÛ ` x+1 xÛ -1 ` x+1 : =  dx- 1 x+1  dx :`  dx= (x-1) dx : = x dx- : 1 dx = : ;2!; :` xÛ`-x+C xÜ + ` xÛ +x+C ` ;2!; 1 x-1 dx 0677  ;3!; xÜ ` x-1 xÜ -1 ` x-1 : = dx- :  dx= (xÛ`+x+1)dx : = xÛ` dx+ :` x dx+ 1 dx = xÜ`+ : ;3!; ;2!; : xÛ`+x+C :` 7 부정적분 | 095 부정적분7 STEP2 유형 Drill 유형 01 부정적분의 정의 본책 114쪽 함수 F(x)의 도함수가 f(x)이다. F '(x)=f(x) F(x)는 f(x)의 부정적분이다. `f(x)dx=F(x)+C (단, C는 적분상수) HjK HjK HjK : 0678  4 (x-1)f(x)dx=xÜ`-xÛ`-x+C에서 :` (x-1)f(x) =(xÜ`-xÛ`-x+C)'=3xÛ`-2x-1  =(3x+1)(x-1) 따라서 f(x)=3x+1이므로 f(1)=4 0679  13 F(x)=2xÜ`-3xÛ`+x-2로 놓으면 f(x)=F '(x)=(2xÜ`-3xÛ`+x-2)'=6xÛ`-6x+1 ∴ f(2)=24-12+1=13 0680  - ;3!; f(x)dx=F(x)에서 :` f(x)=F '(x)=3xÛ`+2x+k f(1)=-1이므로 3+2+k=-1  이때, f(a)=-5에서 3aÛ`+2a-6=-5 3aÛ`+2a-1=0, (3a-1)(a+1)=0  ∴  k=-6 ∴ a=  또는 a=-1 ;3!; 따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 - 이다. ;3!; 0681  ① f(x)=F '(x)=(8xÜ`+axÛ`+bx+4)'=24xÛ`+2ax+b 이므로 f(0)=-2에서 b=-2 f '(x)=48x+2a이므로 f '(1)=24에서  48+2a=24  ∴ a+b=-14  ∴  a=-12 유형 02 부정적분과 미분의 관계 d dx ` f(x)dx=f(x) ; F '(x)=f(x)일 때, f(x)dx=F(x)+C이므로 f(x)dx= {F(x)+C}=f(x) : :` d dx (x-3)f(x) dx=(x-3)f(x) =(x-3)(xÛ`+3x+1)   ∴ F(-2)=-5(4-6+1)=5 :` ⇨ d dx :` 0682  ③ F(x)= d dx 096 | Ⅲ 적분 (axÜ`+bx+4)dx=axÜ`+bx+4이므로 0683  ② d dx axÜ`+bx+4=2xÜ`+4x+c 따라서 a=2, b=4, c=4이므로 a-b+c=2 :` 0684  5 log®  { d dx xÞ` dx =log® xÞ`=5이므로 } :` 5=xÜ`-5xÛ`-x+10에서 xÜ`-5xÛ`-x+5=0, (x+1)(x-1)(x-5)=0 ∴ x=5 (∵ x>0, x+1) 따라서 구하는 근은 5이다. Lecture 로그의 정의 a>0, a+1, N>0일 때 x=logŒ N aÅ`=N HjK d dx [ :` 0685  7 F(x)= ] d dx :` 유형 03 부정적분과 미분의 관계 d [ dx : f(x) ; ] dx=f(x)+C 본책 115쪽 f(x) dx= f '(x)dx=f(x)+C (단, C는 적분상수) dx=(x-1)(xÛ`+1)+C이고 (x-1)(xÛ`+1) ] [ :` F(1)=2에서 C=2 따라서 F(x)=(x-1)(xÛ`+1)+2이므로 F(2)=5+2=7 0686  4 d dx g(x)=xÛ`-4x :` f(x)dx=f(x)이므로 d dx [  f(x) dx=f(x)+C이므로 ] :` h(x)=xÛ`-4x+C h(0)=3이므로 C=3 따라서 h(x)=xÛ`-4x+3이므로 g(2)+h(-1)=-4+8=4 본책 114쪽 0687  8   f(x)가 최댓값 -2를 가지려면  f(x)는 최솟값  f(x)= (xÛ`-6x) dx=xÛ`-6x+C ] d dx [ :` 조건 ㈏에서 log ;2!; 4를 가져야 한다. f(x)=xÛ`-6x+C=(x-3)Û`+C-9 에서 f(x)는 x=3일 때 최솟값 C-9를 가지므로  ∴  C=13 C-9=4  따라서 f(x)=xÛ`-6x+13이므로 f(1)=1-6+13=8  f(x) dx  dx ] 0688  5051 d dx d dx [ :   d dx :  [ =  { f(x)+CÁ} ]  dx :` [ = f '(x)dx ] :   =f(x)+Cª 이므로 F(x)=100x100+99x99+y+2xÛ`+x+Cª 이때, F(0)=1이므로 Cª=1 따라서 F(x)=100x100+99x99+y+2xÛ`+x+1이므로 F(1)=100+99+y+2+1+1   = 100´101 2 +1=5051 유형 04 부정적분의 계산 본책 115쪽 ⑴ m, n이 음이 아닌 정수일 때 xn dx+ xm dx= xn+1+ xm+1+C 1 n+1 1 m+1   :` :` (단, C는 적분상수) ⑵ 두 함수 f(x), g(x)와 두 상수 k, l에 대하여 {kf(x)Ñlg(x)}dx=k f(x)dxÑl g(x)dx (복호동순)   :` :` :`  dx+ f(x)= 0689  ;3&; xÝ +1 ` x+1 xÝ -1 ` x+1 (x+1)(x-1)(xÛ `   =   = :   :    dx   { - : x+1   =  (x-1)(xÛ`+1)dx   =  (xÜ`-xÛ`+x-1)dx 2 x+1 } dx +1)  dx   = xÝ`- xÜ`+ xÛ`-x+C ;3!; ;2!; 이때,  f(0)=1이므로 C=1 : : : ;4!; 따라서 f(x)= xÝ`- xÜ`+ xÛ`-x+1이므로 ;4!; ;3!; ;2!; f(2)=4- +2-2+1= ;3*; ;3&; 0690  p f(x)= (sin x+cos x)Û`dx+ (sin x-cos x)Û`dx   = :` (1+2 sin x cos x)dx+ (1-2 sin x cos x)dx   = 2 dx=2x+C :` : : :` {;2Ò;} 따라서 f(x)=2x+2p이므로 - f  { ;2Ò;} =p 0691  ;5%1); f(x)=x+ xÛ`+ xÜ`+y+ ;2!; ;3!; ;5Á0; x50이므로 F(x)= f(x)dx = :` 1 1´2 xÛ`+ xÜ`+ xÝ`+y+ 1 2´3 1 3´4 1 50´51 x51+C 이때, F(0)=0이므로 C=0 1 2´3 따라서 F(x)= 1 1´2 xÛ`+ xÜ`+ xÝ`+y+ 1 3´4 1 50´51 x51 이므로 F(1)= 1 1´2 + 1 2´3 + 1 3´4 +y+ 1 50´51 = 1- { + - + - ;2!;} {;2!; ;3!;} {;3!; ;4!;} +y+ - {;5Á0; ;5Á1;}       =1- = ;5Á1; ;5%1); 0692  ① fÇ(x)= (1+2x+3xÛ`+y+nxn-1)dx :` =x+xÛ`+xÜ`+y+xn+C   이때, fÇ(0)=1이므로 C=1 따라서 f°(x)=x+xÛ`+xÜ`+xÝ`+xÞ`+1,  f£(x)=x+xÛ`+xÜ`+1이므로 f°(x)-f£(x)=xÝ`+xÞ` ∴ f°(-2)-f£(-2) =(-2)Ý`+(-2)Þ`  =16-32  =-16 유형 05 f '(x)가 주어질 때 f(x) 구하기 본책 116쪽 함수 f(x)와 그 도함수 f '(x)에 대하여 ⇨ f(x)= f '(x)dx :` 0693  ① f(x)= f '(x)dx :`   = (4x+k)dx :`   =2xÛ`+kx+C f(1)=2에서 2+k+C=2  f(2)=12에서 8+2k+C=12  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=4, C=-4 따라서 f(x)=2xÛ`+4x-4이므로 방정식 f(x)=0의 모든  근의  합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 yy ㉠ yy ㉡ - =-2 ;2$; Lecture 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=- ;aB;, ab= ;aC; 7 부정적분 | 097 이때,  f  =3p이므로 p+C=3p   ∴  C=2p 이차방정식의 근과 계수의 관계 부정적분7 0694  0 f(x)= f '(x)dx :`   = (9xÛ`+2x-3)dx :`   =3xÜ`+xÛ`-3x+C f(x)가 일차식 x-1로 나누어떨어지므로  f(1)=0 3+1-3+C=0  따라서 f(x)=3xÜ`+xÛ`-3x-1이므로 f(-1)=-3+1+3-1=0  ∴  C=-1 0695  ④ f '(x)=2xÜ`-3x-5이므로 f(x)= f '(x)dx= (2xÜ`-3x-5)dx   = xÝ`- ;2#; : ;2!; :` xÛ`-5x+CÁ f(0)=2이므로 CÁ=2 따라서 f(x)= xÝ`- xÛ`-5x+2이므로 ;2!; ;2#; F(x)= f(x)dx= xÝ`- xÛ`-5x+2 dx {;2!; ;2#; }   = : ;1Á0; xÞ`- ;2!; :` xÜ`- ;2%; xÛ`+2x+Cª F(1)=- 이므로  ;1!0!; - - ;2!; ;2%; ;1Á0; +2+Cª=-   ;1!0!;   ∴ Cª=- ;5!; 따라서 F(x)= xÞ`- xÜ`- xÛ`+2x- 이므로 ;1Á0; ;2!; ;2%; ;5!; F(2)= -4-10+4- =-7 ;1#0@; ;5!; 0696  2 TIP 다항식 f(x)가 k(x-a)(x-b)(k, a, b는 상수, k+0)로 나누어떨어 ∴ h(2)= ´3=2 ;3@; 0698  3 지면 f(a)=0, f(b)=0이다. f(x)= f '(x)dx= g(x)dx   = : :` (2xÜ`-3xÛ`-12x+p)dx xÝ`-xÜ`-6xÛ`+px+C   = :` ;2!; f(0)=q에서 C=q ∴ f(x)= xÝ`-xÜ`-6xÛ`+px+q ;2!; 이때, h(x)=g'(x)=6xÛ`-6x-12=6(x+1)(x-2)이고  f(x)가 h(x)로 나누어떨어지므로  -p+q=0 f(-1)=- ;2(; f(2)=-24+2p+q=0 위의 두 식을 연립하여 풀면 p= , q=11이므로 :Á2£: 2p-q=13-11=2 098 | Ⅲ 적분 유형 06 부정적분과 미분의 관계의 활용 ; 함수의 추정 본책 116쪽 ⇨ 양변을 미분하여 ` f(x)dx=f(x)임을 이용한다. ⑴ ` f(x)dx=g(x)꼴이 주어지면 : ⑵  d dx f(x)=g(x)꼴이 주어지면 d dx : d dx [ :` ⇨ 양변을 적분하여 f(x) dx=f(x)+C임을 이용한다. ] (단, C는 적분상수) { f(x)+g(x)}=3에서  0697  2 d dx    d dx { f(x)+g(x)}  dx= 3 dx [ :` : ] ∴ f(x)+g(x)=3x+CÁ 위의 식에 x=0을 대입하면 f(0)+g(0)=CÁ 따라서 CÁ=1+2=3이므로 f(x)+g(x)=3x+3=3(x+1) 또,  { f(x)g(x)}=4x+4에서    { f(x)g(x)}  dx= (4x+4)dx [ ] : :` ∴ f(x)g(x)=2xÛ`+4x+Cª 위의 식에 x=0을 대입하면 f(0)g(0)=Cª 따라서 Cª=1´2=2이므로 f(x)g(x)=2xÛ`+4x+2=2(x+1)Û` f(x)g(x) 2(x+1)Û ` f(x)+g(x) 3(x+1) ∴ h(x)= = = (x+1) ;3@; { f(x)+g(x)}dx= xÜ`+xÛ`+C에서 ;3!; :` f(x)+g(x)= {;3!; xÜ`+xÛ`+C '=xÛ`+2x  } 또,  { f(x)g(x)}=3xÛ`에서   { f(x)g(x)}  dx= 3xÛ`dx [ :` : ] ∴ f(x)g(x)=xÜ`+CÁ  f(0)=1이므로 x=0을 ㉠에 대입하면 f(0)+g(0)=0, 1+g(0)=0  이때, x=0을 ㉡에 대입하면 f(0)g(0)=CÁ  ∴ f(x)g(x)=xÜ`-1=(x-1)(xÛ`+x+1)   ∴  CÁ=-1  ∴  g(0)=-1 ㉠, ㉢에서  [ f(x)=x-1 g(x)=xÛ`+x+1  또는  [ f(x)=xÛ`+x+1 g(x)=x-1 그런데 f(0)=1, g(0)=-1이므로 f(x)=xÛ`+x+1, g(x)=x-1 ∴ f(1)-g(1)=3-0=3 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ d dx d dx d dx d dx 0699  3 d dx    d dx { f(x)+g(x)}=3에서 { f(x)+g(x)}  dx= 3 dx [ : ] ∴ f(x)+g(x)=3x+CÁ f '(x)g(x)+f(x)g'(x)={ f(x)g(x)}'=4x+1에서 :` f(x)g(x)= (4x+1)dx=2xÛ`+x+Cª :` f(0)=-3, g(0)=2이므로  f(0)+g(0)=CÁ=-1 f(0)g(0)=Cª=-6 따라서  f(x)+g(x)=3x-1,  f(x)g(x)=2xÛ`+x-6=(2x-3)(x+2) 이므로 f(x)=2x-3 g(x)=x+2 [  또는  [ f(x)=x+2 g(x)=2x-3 그런데 f(0)=-3, g(0)=2이므로 f(x)=2x-3, g(x)=x+2 ∴ f(1)+g(2)=-1+4=3 0700  1 (x+2)f '(x)dx=xÜ`+ xÛ`-10x에서 ;2!; :` (x+2)f '(x)= xÜ`+ xÛ`-10x { ;2!; ' }   ∴ f '(x)=3x-5 =3xÛ`+x-10=(3x-5)(x+2) ∴ f(x)= f '(x)dx= (3x-5)dx= xÛ`-5x+C ;2#; f(1)=-1이므로  -5+C=-1   ∴  C= : :` ;2#; ;2%; 따라서 f(x)= xÛ`-5x+ 이므로 ;2#; ;2%; f(3)=1 유형 07 부정적분과 미분의 관계의 활용 ; xf(x) 꼴을 포함하는 경우 본책 117쪽 f(x)dx=g(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면 ⇨ f(x)=g'(x) :` 0701  - ;4!; F(x)=xf(x)-3xÝ`+2xÜ`+xÛ`의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf '(x)-12xÜ`+6xÛ`+2x xf '(x)=12xÜ`-6xÛ`-2x ∴ f '(x)=12xÛ`-6x-2 ∴ f(x)= f '(x)dx= (12xÛ`-6x-2)dx : ` =4xÜ`-3xÛ`-2x+C   f(0)=1이므로 C=1 :` 따라서 f(x)=4xÜ`-3xÛ`-2x+1이므로 방정식 f(x)=0의 모든  근의 곱은 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 - ;4!; Lecture 0702  ⑤ 삼차방정식의 근과 계수의 관계 삼차방정식 axÜ`+bxÛ`+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면 a+b+c=- ;aB;, ab+bc+ca= ;aC;, abc=- ;aD; 2 f(x)dx=xf(x)-2f(x)+4x의 양변을 x에 대하여 미분하면 :` 2f(x)=f(x)+xf '(x)-2f '(x)+4  f(x)=(x-2)f '(x)+4  yy ㉠ f(x)가 일차함수이므로 f(x)=ax+b (a, b는 상수, a+0)로 놓 으면 f '(x)=a f(x)=ax+b, f '(x)=a를 ㉠에 대입하면 ax+b =a(x-2)+4  =ax-2a+4 ∴ b=-2a+4  f(-1)=1이므로 -a+b=1  ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=2 따라서 f(x)=x+2이므로 f(1)=3 0703  7 yy ㉡ yy ㉢ f(x)+ xf(x)dx= xÝ`+2xÜ`+ xÛ`+6x의 양변을 x에 대하여 ;2!; ;2#; yy ㉠  ∴  n=2 : 미분하면 f '(x)+xf(x)=2xÜ`+6xÛ`+3x+6  f(x)를 n차함수라 하면 xf(x)는 (n+1)차함수이므로 ㉠에서 n+1=3  즉, f(x)는 이차함수이므로  f(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수, a+0)로 놓을 수 있다. f(x)=axÛ`+bx+c, f '(x)=2ax+b를 ㉠에 대입하면 2ax+b+x(axÛ`+bx+c)=2xÜ`+6xÛ`+3x+6 ∴ axÜ`+bxÛ`+(2a+c)x+b=2xÜ`+6xÛ`+3x+6 이 식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 a=2, b=6, 2a+c=3에서 c=-1 따라서 f(x)=2xÛ`+6x-1이므로 f(1)=2+6-1=7 유형 08 부정적분과 함수의 연속성 본책 117쪽 연속함수 f(x)의 도함수 f '(x)가 f '(x)= g(x) (xa) [ 이면 ⇨ f(x)= g(x)dx (x2) 이므로 f(x)=   xÜ`-x+CÁ  (x<2)   ;2!; xÛ`-2x+Cª (x¾2) à f(0)=4이므로 CÁ=4 ∴ f(x)=xÜ`-x+4 (x<2) f(x)는 x=2에서 연속이므로 (xÜ`-x+4)= lim xÛ`-2x+Cª lim  2- x   Ú 10=-2+Cª  x    2+{;2!; Ú  ∴  Cª=12 } ∴ f(x)= xÛ`-2x+12 (x¾2) ;2!; ∴ f(6)=18-12+12=18 0705  2 f '(x)= (x<1)   k  2x-3 (x>1) [ 이므로 f(x)=   kx+CÁ   (x<1)   [ xÛ`-3x+Cª (x¾1) f(0)=1에서 CÁ=1 f(4)=9에서 4+Cª=9   ∴  Cª=5 ∴ f(x)=   kx+1  (x<1)   [ xÛ`-3x+5 (x¾1) f(x)는 x=1에서 연속이므로 (kx+1)= lim lim  1+  1- x   Ú k+1=3   ∴  k=2 x   Ú (xÛ`-3x+5) 0706  ;2&; 주어진 그래프에서 f '(x)=   x+1  (x<1)   [ -2x+4 (x¾1) 이므로 f(x)= xÛ`+x+CÁ  (x<1)   ;2!;   -xÛ`+4x+Cª (x¾1) f(0)=2에서 CÁ=2 à ∴ f(x)= xÛ`+x+2 (x<1) ;2!; f(x)는 x=1에서 연속이므로 lim x   Ú  1-{;2!; xÛ`+x+2 = lim  1+ x   Ú } (-xÛ`+4x+Cª) =3+Cª   ∴  Cª= ;2&; ;2!; 따라서 f(x)=-xÛ`+4x+  (x¾1)이므로 ;2!; f(3)=-9+12+ = ;2!; ;2&; 0707  10 f '(x)=|x|+|x-2|에서 f '(x)= -2x+2 (x<0)       2x-2  (x¾2) 2  (0Éx<2) à 100 | Ⅲ 적분 yy ㉠ yy ㉡ 유형 09 부정적분과 접선의 기울기 본책 118쪽 곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기는 ∴ f(x)= -xÛ`+2x+CÁ (x<0)       xÛ`-2x+C£  (x¾2) 2x+Cª  (0Éx<2) à Ú x   (2x+Cª) f(x)는 x=0에서 연속이므로 (-xÛ`+2x+CÁ)= lim lim  0+  0- x   Ú ∴ CÁ=Cª  또, f(x)는 x=2에서 연속이므로 lim  2- x   Ú ∴ 4+Cª=C£  ㉠, ㉡에서 C£-CÁ=4 ∴ f(3)-f(-1) =3+C£-(-3+CÁ)  (2x+Cª)= lim  2+ (xÛ`-2x+C£) x   Ú =6+C£-CÁ  =6+4=10 f '(x)이므로 ⇨ f(x)= f '(x)dx :` 0708  8 f '(x)=3xÛ`-4x이므로 f(x)= f '(x)dx= (3xÛ`-4x)dx =xÜ`-2xÛ`+C : :` 곡선 y=f(x)가 점 (2, 9)를 지나므로 9=8-8+C  따라서 f(x)=xÜ`-2xÛ`+9이므로 f(1)=1-2+9=8  ∴  C=9 0709  ① f '(x)=(2x+1)k (k는 상수, k+0)이므로 f(x)= f '(x)dx= (2x+1)k dx =kxÛ`+kx+C : :` 곡선 y=f(x)가 두 점 (0, 1), (1, 5)를 지나므로 f(0)=1에서 C=1 f(1)=5에서 2k+C=2k+1=5  따라서 f(x)=2xÛ`+2x+1이므로 f(-1)=2-2+1=1  ∴  k=2 0710  ④ f '(x)=2x+k이므로 f(x)= f '(x)dx= (2x+k)dx =xÛ`+kx+C : :` 곡선 y=f(x)가 점 (0, 0)을 지나므로  f(0)=0에서 C=0 f(2)=2에서 4+2k+C=4+2k=2  따라서 f(x)=xÛ`-x이므로 f(5)=25-5=20  ∴  k=-1 유형 10 부정적분과 미분계수 본책 118쪽 조건 ㈏에서 x    1일 때 (분모)    0이고 극한값이 존재하므로  한편, f(x)= (x-3)(xÛ`+3x+9)dx의 양변을 x에 대하여 미 유형 11 부정적분과 도함수의 정의 본책 119쪽 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는 ⇨ f '(a)=lim 0 Ú h f(a+h)-f(a) h =lim a x Ú f(x)-f(a) x-a 0711  -38 f(2+h)-f(2-h) h   lim  0 h   Ú =lim  0 h   Ú   =lim  0 h   Ú   f(2+h)-f(2)-f(2-h)+f(2) h f(2+h)-f(2) h +lim  0 h   Ú   f(2-h)-f(2) -h =f '(2)+f '(2)=2 f '(2) :` 분하면 f '(x)=(x-3)(xÛ`+3x+9)=xÜ`-27 ∴ f '(2)=8-27=-19 따라서 구하는 값은 2 f '(2)=2´(-19)=-38 0712  ② )-f(1) f(xÛ ` x-1 lim  1 x   Ú     )-f(1) f(xÛ ` -1 xÛ ` =lim  1 x   Ú =2 f '(1) ´(x+1) 한편, f(x)= (3xÛ`-2)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 :` f '(x)=3xÛ`-2 ∴ f '(1)=1 따라서 구하는 값은 2 f '(1)=2´1=2 0713  1 f(x+2h)-f(x-h) h   lim  0 h   Ú =lim  0 h   Ú   =lim  0 h   Ú   f(x+2h)-f(x)-f(x-h)+f(x) h f(x+2h)-f(x) 2h ´2+lim  0 Ú h     f(x-h)-f(x) -h =2 f '(x)+f '(x)=3 f '(x) 즉, 3 f '(x)=9xÛ`+6x-3에서 f '(x)=3xÛ`+2x-1 ∴ f(x)= f '(x)dx= (3xÛ`+2x-1)dx : :` =xÜ`+xÛ`-x+C   f(1)=4이므로 1+C=4  따라서 f(x)=xÜ`+xÛ`-x+3이므로 f(-2)=-8+4+2+3=1  ∴  C=3 0714  4 조건 ㈎에서 f '(x)는 일차항의 계수가 6인 일차식이다. 즉, f '(x)=6x+a (a는 상수)로 놓을 수 있다. 2Ú  0이다. 2Ú  f(x)=0이므로 f(1)=0 2Ú (분자)   즉, lim  1 x   Ú   f(x) x-1 ∴ lim  1 x   Ú f(x)-f(1) x-1 이때, f '(1)=6+a=1에서 a=-5이므로 f '(x)=6x-5 =f '(1)=1 =lim  1 x   Ú   ∴ f(x)= f '(x)dx= (6x-5)dx=3xÛ`-5x+C : :` f(1)=0에서 3-5+C=0  따라서 f(x)=3xÛ`-5x+2이므로 f(2)=12-10+2=4  ∴  C=2 f(x+y)=f(x)+f(y)+y꼴의 식이 주어지면 Ú x=0, y=0을 대입하여 f(0)의 값을 구한다. Û 도함수의 정의를 이용하여 f '(x)를 구한다. ⇨ f '(x)=lim 0 Ú h f(x+h)-f(x) h Ü 부정적분을 구하고, f(0)의 값을 대입하여 적분상수를 구한다. 0715  ⑤ f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0)+0  f '(1)=4이므로  ∴  f(0)=0 f '(1)=lim  0 Ú h       =lim  0 Ú h       h     =lim  0 Ú f(h) h 즉, lim  0 h   Ú   f(1+h)-f(1) h f(1)+f(h)+2h-f(1) h f(h) h +2=4 =2이므로 f '(x)=lim  0 Ú h     f(x+h)-f(x) h   =lim  0 Ú h     f(x)+f(h)+2xh-f(x) h f(h) h +2x   =lim  0 Ú h       =2+2x ∴ f(x)= f '(x)dx= (2+2x)dx : :` =xÛ`+2x+C   그런데 f(0)=0이므로 C=0 따라서 f(x)=xÛ`+2x이므로 f(3)=9+6=15 0716  f(x)=- xÜ ` ;3!; +2x f(h) h   lim  0 h   Ú =2이므로 f(x+y)=f(x)+f(y)-xy(x+y)에 x=0, y=0을 대입하면  ∴  f(0)=0 f(0)=f(0)+f(0)-0  7 부정적분 | 101 부정적분7 ∴ f(x)= f '(x)dx= kx dx= xÛ`+C ;2K; 0719  0 f(x)= 6(x-1)(x-2)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 yy ㉠ yy ㉡ :` f '(x)=6(x-1)(x-2) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=2           f '(x)=lim  0 Ú h     f(x+h)-f(x) h f(x)+f(h)-xh(x+h)-f(x) h =lim  0 h   Ú     =lim  0 h   Ú =2-xÛ` f(h) h -xÛ` ∴ f(x)= f '(x)dx= (2-xÛ`)dx : =- :` xÜ`+2x+C ;3!; 그런데 f(0)=0이므로 C=0 ∴ f(x)=- xÜ`+2x ;3!; 0717  ① f '(x)=lim  0 Ú h     =lim  0 h   Ú   f(x+h)-f(x) h kxh+3hÛ h =kx ` f(1)=1이므로  : :` +C=1  ;2K; f(2)=10이므로 2k+C=10  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=6, C=-2 따라서 f(x)=3xÛ`-2이므로 f(-3)=27-2=25 다른 풀이 1 f(t+h)-f(t)=kth+3hÛ`에 t=1, h=1을 대입하면 f(2)-f(1)=k+3, 10-1=k+3 ∴ f(t+h)-f(t)=6th+3hÛ` f(x+h)-f(x) h 6xh+3hÛ` h ∴ k=6 =lim 0 h Ú h f '(x)=lim 0 Ú =lim 0 h Ú (6x+3h)=6x ∴ f(x)= f '(x)dx= 6x dx=3xÛ`+C :` :   그런데 f(1)=1이므로 3+C=1 따라서 f(x)=3xÛ`-2이므로 f(-3)=27-2=25 ∴ C=-2 ∴ f(0)=-2 다른 풀이 2 f(t+h)-f(t)=kth+3hÛ` 에 t=0, h=1을 대입하면 f(1)-f(0)=3 이때, 주어진 식에 t=0, h=x를 대입하면 ∴ f(x)=3xÛ`-2 f(x)-f(0)=3xÛ` ∴ f(-3)=25 0718  3 주어진 그래프에서 f '(x)=ax(x-2) (a<0)로 놓으면 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2 x f '(x) f(x) y - ↘ 0 0 극소 y + ↗ 2 0 극대 y - ↘ 즉, f(x)는 x=0에서 극솟값을 갖고, x=2에서 극댓값을 가지므로  f(0)=3, f(2)=7 이때,  f(x)= f '(x)dx= ax(x-2)dx : :`   = (axÛ`-2ax)dx= xÜ`-axÛ`+C ;3A; :` f(0)=3에서 C=3 f(2)=7에서 - a+C=- a+3=7   ∴  a=-3 ;3$; 따라서 f(x)=-xÜ`+3xÛ`+3이므로 f(3)=-27+27+3=3 ;3$; x f '(x) f(x) y + ↗ 1 0 극대 y - ↘ 2 0 극소 y + ↗ 즉, f(x)는 x=1에서 극댓값 1을 갖고, x=2에서 극솟값을 갖는 다. 이때, f(x)= 6(x-1)(x-2)dx= (6xÛ`-18x+12)dx : :`   =2xÜ`-9xÛ`+12x+C f(1)=1이므로 5+C=1  따라서 f(x)=2xÜ`-9xÛ`+12x-4이므로 f(x)의 극솟값은 f(2)=16-36+24-4=0  ∴  C=-4 0720  ;2&; 주어진 그래프에서 f '(x)=a x- -  (a>0)으로 놓으면 { ;2!;} ;4#; f '(0)=0이므로  a- =0   ∴  a=3 ;4!; ;4#; ∴ f '(x)=3 x- - =3xÛ`-3x=3x(x-1) { ;2!;} ;4#; f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 2` 2` y - ↘ 유형 12 부정적분과 극대·극소 본책 119쪽 미분가능한 함수 f(x)에 대하여 f '(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f '(x)의 부호가 ⑴ 양에서 음으로 바뀌면 ⇨ f(x)는 x=a에서 극대이다. ⑵ 음에서 양으로 바뀌면 ⇨ f(x)는 x=a에서 극소이다. x f '(x) f(x) y + ↗ 0 0 극대 1 0 극소 y + ↗ 즉, f(x)는 x=0에서 극댓값을 갖고, x=1에서 극솟값 3을 갖는 다. 102 | Ⅲ 적분 따라서 f(x)=xÜ`- xÛ`+ 이므로 f(x)의 극댓값은 ;2#; ;2&; { f(x)-g(x)}dx=xÛ`+6x의 양변을 x에 대하여 미분하면  x f '(x) f(x) y + ↗ -1 0 극대 y - ↘ 3 0 극소 y + ↗ 즉, f(x)는 x=-1에서 극댓값을 갖고, x=3에서 극솟값을 갖는 다. 이때,   = xÛ`+bx+C : ;2A; ∴ f(x)g(x) :`   =(-xÛ`+ax+b) xÛ`+bx+C {;2A; } 이때, f(x)= f '(x)dx : :`   = (3xÛ`-3x)dx=xÜ`- xÛ`+C ;2#; f(1)=3이므로 C- =3   ∴  C= ;2!; ;2&; f(0)= ;2&; 0721  14 조건 ㈎에서 f(x+2h)-f(x) h lim  0 h   Ú 이므로 2 f '(x)=6xÛ`-12x+a ∴ f '(x)=3xÛ`-6x+ ;2A; 조건 ㈏에서 f '(-1)=0이므로 9+ =0   ∴  a=-18 ;2A; ∴ f '(x)=3xÛ`-6x-9=3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 =lim  0 h   Ú f(x+2h)-f(x) 2h ´2=2 f '(x) f(x)= f '(x)dx= (3xÛ`-6x-9)dx : :`   =xÜ`-3xÛ`-9x+C 이므로 M=f(-1)=C+5, m=f(3)=C-27 ∴ a+M-m =-18+(C+5)-(C-27)=14 STEP3 심화 Master 0722  12 TIP F(x), G(x)가 f(x)의 부정적분이므로 F'(x)=G'(x)이다. F '(x)=G'(x)이므로 G(x)=F(x)+C (C는 상수) 이때, F(200)-G(200)=3에서 G(200)=F(200)-3이므로 C=-3 ∴ G(x)=F(x)-3 20 20 ∴  G(k)= {F(k)-3} ;K+! ;K+! 20 = F(k)-60 =72-60=12 ;K+!     0723  0 d dx :` TIP f(x)dx=f(x)임을 이용한다. { f(x)+g(x)}dx=xÛ`-4x의 양변을 x에 대하여 미분하면 :` f(x)+g(x)=2x-4  :` f(x)-g(x)=2x+6  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 f(x)=2x+1, g(x)=-5 ∴ f(2)+g(-2)=5-5=0 yy ㉠ yy ㉡ 0724  ② TIP f(x)가 이차함수이고 f(x)g(x)가 사차함수이므로 g(x)는 이차함수 임을 이용한다. f(x)가 이차함수이고 f(x)g(x)가 사차함수이므로 g(x)는 이차 함수이다. 이때, g(x)= {xÛ`+f(x)}dx이므로 xÛ`+f(x)는 일차함수이다. 따라서 f(x)=-xÛ`+ax+b (a, b는 상수, a+0)로 놓으면 :` g(x)= (xÛ`-xÛ`+ax+b)dx= (ax+b)dx   =- xÝ`+ ;2A; -b xÜ`+ } {;2#; aÛ ` 2 { ab-C xÛ`+(aC+bÛ`)x+bC } 위의 식이 -2xÝ`+8xÜ`과 같으므로 양변의 계수를 비교하면 - =-2,  -b=8,  ab-C=0, aC+bÛ`=0, bC=0 ;2A; ;2#; aÛ ` 2 ∴ a=4, b=0, C=0 따라서 g(x)=2xÛ`이므로 g(1)=2´1=2 0725  23 TIP 주어진 식에서 g'(x)를 구한 후 g(x)= g'(x)dx임을 이용한다. :` f(x)-g(x)=-xÜ`+2x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)-g'(x)=-3xÛ`+2  ∴ f '(x)=g'(x)-3xÛ`+2  이때, xf '(x)= d dx { g(x)+xÜ`-2xÛ`}=g'(x)+3xÛ`-4x yy ㉠ 이므로 위의 식에 ㉠을 대입하면 xg'(x)-3xÜ`+2x=g'(x)+3xÛ`-4x (x-1)g'(x)=3xÜ`+3xÛ`-6x=3x(x-1)(x+2) ∴ g'(x)=3x(x+2)=3xÛ`+6x 7 부정적분 | 103 부정적분7 g(x)= g'(x)dx= (3xÛ`+6x)dx=xÜ`+3xÛ`+C : :` g(0)=3이므로 C=3 따라서 g(x)=xÜ`+3xÛ`+3이므로 g(2)=8+12+3=23 0726  ① n   1 FÔ(1) ;I+!   즉,  3nÛ +n ` 2 n n = (n+i)=  n+ n  i ;I+! =nÛ`+ ;I+! n(n+1) 2 = ;I+! +n 3nÛ ` 2 =40이므로 3nÛ`+n-80=0 (3n+16)(n-5)=0   ∴  n=5 ( ∵ n은 자연수) TIP 그래프를 이용하여 f '(x)를 구한 후 f(x)= f '(x)dx임을 이용한다. 주어진 그래프에서  f '(x)=kx(x+ 로 놓으면 ' :` 2)(x- 2)=kxÜ`-2kx (k>0) ' 0728  ⑤ 을 이용한다. :` TIP f(x)= xg(x)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=xg(x)임 f(x)=  f '(x)dx= (kxÜ`-2kx)dx f(x)= xg(x)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 2 )=-3이므로 -k+C=-k+1=-3     ∴ k=4 y=f(x) - 2 ' 2 ' x y 1 O -3   = :` xÝ`-kxÛ`+C : ;4K; ' f(0)=1이므로 C=1 f( ∴ f(x)=xÝ`-4xÛ`+1 이때, y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고 f(-2)=f(2)=1, f(0)=1, f(-1)=f(1)=-2 이므로 f(m)f(m+1)<0을 만족시키는   정수 m의 값은 -2, -1, 0, 1이다. 따라서 모든 정수 m의 값의 합은 -2+(-1)+1=-2 0727  5 :` 구한다. 조건 ㈎에서 TIP Fi+1(x)= (n+i)Fi (x)dx에 i=1, 2, 3, y을 대입하여 Fi(x)를 FÁ(x)=  f(x)dx= xndx= xn+1+CÁ 1 n+1 :` FÁ(0)=0이므로 CÁ=0  :  ∴  FÁ(x)= 1 n+1 xn+1 조건 ㈏에서 Fª(x)= (n+1)FÁ(x)dx      :` :` :` = xn+1dx= 1 n+2 xn+2+Cª Fª(0)=0이므로 Cª=0   ∴  Fª(x)= 1 n+2 xn+2 F£(x)= (n+2)Fª(x)dx  :` = xn+2dx= 1 n+3 xn+3+C£ F£(0)=0이므로 C£=0   ∴  F£(x)= 1 n+3 xn+3           ⋮ 따라서 FÔ(x)= xn+i (i=1, 2, 3, y)이므로 1 n+i 104 | Ⅲ 적분 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢  { f(x)-g(x)}=4xÜ`+2x에서 :` f '(x)=xg(x)  d dx f '(x)-g '(x)=4xÜ`+2x  ㉠을 ㉡에 대입하면 xg(x)-g '(x)=4xÜ`+2x  함수 g(x)는 최고차항의 계수가 4인 이차함수이므로  g(x)=4xÛ`+ax+b ( a, b는 상수)로 놓으면 g '(x)=8x+a 위의 식을 ㉢에 대입하면 x(4xÛ`+ax+b)-(8x+a)=4xÜ`+2x 4xÜ`+axÛ`+(b-8)x-a=4xÜ`+2x 양변의 계수를 비교하면 a=0, b=10 따라서 g(x)=4xÛ`+10이므로 g(1)=14 0729  15 임을 이용한다. TIP 절댓값 부호에 주의하여 x의 값의 범위를 나눈 후 f(x)= f '(x)dx :` f '(x)= 3xÛ`+2x-2 (|x|<1)   [   4x-5   (|x|>1) 이므로 f(x)=   2xÛ`-5x+CÁ  (x<-1) xÜ`+xÛ`-2x+Cª (-1Éx<1)     2xÛ`-5x+C£  (x¾1) à  f(x)= lim  1+ f(2)=2이므로 8-10+C£=2  이때, f(x)는 x=1에서 연속이므로 lim  1- x   Ú lim  1- x   Ú 1+1-2+Cª=2-5+4  또, f(x)는 x=-1에서 연속이므로  (xÜ`+xÛ`-2x+Cª)= lim  1+  f(x)에서 x   Ú Ú x    ∴  Cª=1  ∴  C£=4  (2xÛ`-5x+C£) x    -1- lim Ú lim Ú  f(x)= lim  f(x)에서 x    -1+  (2xÛ`-5x+CÁ)= lim Ú  -1- x   x   Ú 2+5+CÁ=-1+1+2+1  ∴ f(-2)+f(0) =(8+10-4)+1   -1+  ∴  CÁ=-4  (xÜ`+xÛ`-2x+Cª) =15 0730  2 TIP 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y-f(a)=f '(a)(x-a)이다. 곡선 y=f(x) 위의 점 P(t, f(t))에서의 접선의 방정식은 y-f(t)=f '(t)(x-t) ∴ y=f '(t)x-tf '(t)+f(t) 이 식이 y=2(1-t)x+g(t)와 같으므로 f '(t)=2(1-t), g(t)=-tf '(t)+f(t) f(t)= f '(t)dt= (-2t+2)dt=-tÛ`+2t+C : :` f(0)=0이므로 C=0 ∴ f(t)=-tÛ`+2t 따라서 g(t)=-t(-2t+2)+(-tÛ`+2t)=tÛ`이므로 f(1)+g(-1)=1+1=2 0731  900원 TIP y=f(x)에 대하여 f '(x)= lim 0 Ú Dx Dy Dx 이다. Dy=(3xÛ`-2x)Dx+k(Dx)Û`의 양변을 Dx로 나누면 Dy Dx y=f(x)라 하면 =3xÛ`-2x+kDx Dy f '(x)= lim Dx 0 Ú =3xÛ`-2x Dx = lim 0 Dx Ú (3xÛ`-2x+kDx) ∴ f(x)= f '(x)dx= (3xÛ`-2x)dx : :` =xÜ`-xÛ`+C 이때, 재료를 쓰지 않았을 때의 제품의 가격은 0원이므로 f(0)=0에서 C=0 따라서 f(x)=xÜ`-xÛ`이므로 10`g의 재료가 사용될 때의 제품의 가 격은 f(10)=10Ü`-10Û`=900(원) 0732  ② TIP 그래프가 원점에 대하여 대칭인 삼차함수 f(x)가 x=1에서 극값을 가 지면 x=-1에서도 극값을 갖고, 그래프는 원점을 지남을 이용한다. 삼차함수 f(x)가 x=1에서 극값을 갖고, 그 그래프가 원점에 대하 여 대칭이므로 x=-1에서도 극값을 갖는다. 즉, f '(x)=a(x+1)(x-1)=axÛ`-a (a는 상수, a+0)로 놓으 면 f(x)= f '(x)dx= (axÛ`-a)dx= xÜ`-ax+C ;3A; : :` 이때, 함수 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 원점을 지난다. 즉, f(0)=0에서 C=0 ∴ f(x)= xÜ`-ax= x(x+ 3)(x- 3) ;3A; ;3A; ' 따라서 함수 y=f(x)의 그래프와 x축과의 교점의 x좌표 중에서 양 수인 것은 3이다. ' ' 0733  ⑤ TIP 주어진 식에서 g'(x)를 구한 후 g'(a)=0일 때 x=a의 좌우에서 g '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소임을 이용한다. 주어진 그래프에서 f(x)=x(x-a)Û`=xÜ`-2axÛ`+aÛ`x 조건 ㈎에서 g'(x) =f(x)+xf '(x) ={xf(x)}' =(xÝ`-2axÜ`+aÛ`xÛ`)' =4xÜ`-6axÛ`+2aÛ`x 이므로 g(x)= g'(x)dx=xÝ`-2axÜ`+aÛ`xÛ`+C g'(x)=2x(2x-a)(x-a)=0에서 :` x=0 또는 x= 또는 x=a ;2Ä; x y g'(x) - g(x) ↘ 0 0 극소 y + ↗ ;2Ä; 0 극대 y - ↘ y + ↗ a 0 극소 ;2Ä; 즉, g(x)는 x=0 또는 x=a에서 극솟값을 갖고, x= 에서 극댓 값을 가지므로 g(0)=g(a)=0, g =81 {;2Ä;} g(0)=g(a)=0에서 C=0 g =81에서 aÝ ` {;2Ä;} 16 따라서 g(x)=xÝ`-12xÜ`+36xÛ`이므로 =81 ∴ a=6 (∵ a>0) g {;3Ä;} =g(2)=16-96+144=64 7 부정적분 | 105 부정적분7 본책 124쪽~136쪽 8 정적분 STEP1 기초 Build 0734  1 `4xÜ` dx= xÝ` =1 :)1` [ 0735  ;4#; ]1) `(xÜ`-2x)dx= xÝ`-xÛ` ;4!; [ :_2! `(xÜ`-2x)dx=(4-4)- ]2_! {;4!; -1 = } ;4#; :_2! 0736  :¢3¤: :!3` 0737  40 `(2xÛ`-x+1)dx= xÜ`- xÛ`+x ;3@; ;2!; [ = { 18- +3 - ;2(; } ]3! {;3@; - +1 ;2!; } = :¢3¤: (3tÛ`+2t)dt= tÜ`+tÛ` :_3@` (3tÛ`+2t)dt=(27+9)-(-8+4)=40 ]3_@ [ `(3xÛ`+6x+1)dx=0 :_3@` 0738  0 :@2` 0739  -4 (4xÜ`+5)dx =- (4xÜ`+5)dx :)-``1`` (4xÜ`+5)dx=- xÝ`+5x :_0!` :)-``1`` [ (4xÜ`+5)dx=-{0-(1-5)}=-4 ]0_! :)-``1`` 0740  -18 `(x-1)(xÛ`+x+1)dx `(xÜ`-1)dx =- :#1` `(x-1)(xÛ`+x+1)dx=- xÝ`-x :!3` ;4!; :#1` [ `(x-1)(xÛ`+x+1)dx=- [{:¥4Á: ]3! } -3 - -1 }] {;4!; :#1` `(x-1)(xÛ`+x+1)dx=-18 :#1` 0741  xÛ`-5x `(tÛ`-5t)dt=xÛ`-5x 0742  -xÜ`+2xÛ`-1 d dx d dx x x :_@ :! 106 | Ⅲ 적분 `(-tÜ`+2tÛ`-1)dt=-xÜ`+2xÛ`-1 0743  32 `(3xÛ`-2x+1)dx `(2x+2)dx :!3` = `(3xÛ`-2x+1+2x+2)dx + :!3` :!3` = `(3xÛ`+3)dx :!3` xÜ`+3x = ]3! =(27+9)-(1+3)=32 [ `(x-1)Û`dx (x+1)Û`dx - :!0`` `(xÛ`-2x+1)dx+ `(xÛ`+2x+1)dx `(xÛ`-2x+1+xÛ`+2x+1)dx :)1` 0744  ;3*; :)1` = :)1` = :)1` = `(2xÛ`+2)dx = :)1` ;3@; xÜ`+2x = +2= [ ;3@; ]1) ;3*; 0745  116 (4xÜ`+3xÛ`+2)dx (4xÜ`+3xÛ`+2)dx :_2!` = `(4xÜ`+3xÛ`+2)dx + :@3`` :_3! xÝ`+xÜ`+2x = ]3_! =(81+27+6)-(1-1-2)=116 [ 0746  24 (5xÝ`-3)dx- `(5xÝ`-3)dx :_0@` = :!0` (5xÝ`-3)dx+ `(5xÝ`-3)dx :_0@` = (5xÝ`-3)dx :)1` :_1@` xÞ`-3x = =(1-3)-(-32+6)=24 ]1_@ [ 0747  4 (2xÞ`-7xÜ`+3xÛ`+1)dx :_1!` = :_1!` =2 (3xÛ`+1)dx (2xÞ`-7xÜ`)dx + :_1!` `(3xÛ`+1)dx=2 xÜ`+x :)1` =2´2=4 [ ]1) 0748  144 0755  2 (xÞ`+10xÝ`-4xÜ`+3xÛ`)dx `{ f '(x)-2x}dx=  f(x)-xÛ` :_2@` = :_2@` =2 (10xÝ`+3xÛ`)dx (xÞ`-4xÜ`)dx + :_2@` `(10xÝ`+3xÛ`)dx=2 2xÞ`+xÜ` =2´72=144 :)2` [ ]2) 0749  f(x)=2x-2 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)=2x-2 0750  f(x)=3xÛ`+7 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)=3xÛ`+7 0751  -3 F '(x)=(x-1)(x+3)이라 하면 lim   ;h!;  0 h` Ú :)h`` (x-1)(x+3)dx=lim  0 Ú h`  F(h)-F(0) h =F '(0)=-3 0752  4 F '(t)=6tÛ`-3t+1이라 하면 x `(6tÛ`-3t+1)dt=lim  1 Ú   1 x-1 lim  1 x` Ú x` :! =F '(1)=4  F(x)-F(1) x-1 STEP2 유형 Drill 유형 01 정적분의 정의 본책 126쪽 구간 [a, b]에서 연속인 함수  f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 ``f(x)dx= F(x) =F(b)-F(a) :Ab [ ]bA 0753  2 `(3xÛ`-4)dx= xÜ`-4x [ ]k) :)k` `(3xÛ`-4)dx=kÜ`-4k `(3xÛ`-4)dx=k(k+2)(k-2) :)k` 이므로 k(k+2)(k-2)=0에서 :)k` k=2 (∵ k>0) 0754  -8 `(6xÛ`+ax)dx= 2xÜ`+ xÛ` =2+ ;2A; ;2A; :)1` 이때,  f(1)=6+a이므로 [ ]1) 2+ =6+a ∴ a=-8 ;2A; :)2` [ `{ f '(x)-2x}dx={ f(2)-4}- f(0) `{ f '(x)-2x}dx=- f(0)-4 (∵  f(2)=0) ]2) :)2` 즉, - f(0)-4=-6이므로  f(0)=2 :)2` ∴  f '(x)dx= f(0)- f(-1) ∴ :_0!`  f '(x)dx=2 (∵  f(-1)=0) :_0!` 0756  5 y=xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 것은 y-b=(x-a)Û` ∴ g(x)=(x-a)Û`+b=xÛ`-2ax+aÛ`+b ∴ y=(x-a)Û`+b 2a `g(x)dx - `f(x)dx ` `(xÛ`-2ax+aÛ`+b)dx `xÛ` dx :)a` xÜ`-axÛ`+aÛ`x+bx - 2a - :)a` ;3!; xÜ` 2a :A = = :A ;3!; } [ ]a) aÜ` ]A ;3!; - = aÜ`+ab [ {;3!; =ab=8 한편,  g(0)=0이므로 aÛ`+b=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-4 따라서  g(x)=(x+2)Û`-4이므로 g(1)=5 yy ㉠ yy ㉡ 유형 02 정적분의 계산 ; 적분 구간이 같은 경우 본책 126쪽 두 함수  f(x),  g(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, ``f(x)dxÑ ``g(x)dx= ``{`f(x)Ñg(x)}dx (복호동순) :Ab ⇨ 적분 구간이 같으므로 하나의 정적분 기호로 묶는다. :Ab :Ab 0757  8 `(xÛ`+4)dx+2 `(xÛ`-x-1)dx `(xÛ`+4)dx+ `(2xÛ`-2x-2)dx :)2` :)2` `(xÛ`+4+2xÛ`-2x-2)dx `(3xÛ`-2x+2)dx :)2` = :)2` = :)2` = :)2` xÜ`-xÛ`+2x = =8-4+4=8 [ ]2) 8 정적분 | 107 정적분8  f(x)= `(t+x)Û` dt+ `(2tÛ`+1)dt = `f(x)dx ` 0758  ;6%; xÜ` x+1   xÜ` x+1   xÜ` x+1   :)1` = :)1` = ` ` dx- `` :!0 dx- dt 1 t+1 1 x+1 `` dx dx+ `` 1 x+1 dx :!0 :)1 xÜ`+1 x+1 dx (x+1)(xÛ`-x+1) x+1 dx :)1` `` = :)1 = `` :)1 = ``(xÛ`-x+1)dx = :)1 ;3!;xÜ`-;2!;xÛ`+x =;6%; [ ]1) 0759  ④  f(x)= `(t+x)Û` dt`- `(2tÛ`+1)dt :#1` :!3` :!3` :!3` :!3` :!3`  f(x)= `(tÛ`+2xt+xÛ`)dt+ `(2tÛ`+1)dt  f(x)= `(tÛ`+2xt+xÛ`+2tÛ`+1)dt :!3`  f(x)= `(3tÛ`+2xt+xÛ`+1)dt  f(x)= :!3` tÜ`+xtÛ`+xÛ`t+t [  f(x)=2xÛ`+8x+28=2(x+2)Û`+20 따라서  f(x)는 x=-2에서 최솟값 20을 가지므로 ∴ a+b=18 a=-2, b=20 ]3! 0760  1 :_a!` = :_a!` :_a!` { :_a!` = = = :_a!` 1 cosÛ` x { +2x dx } - (tanÛ` x+2)dx 1 cosÛ` x 1 cosÛ` x { { :_a!` +2x-tanÛ` x-2 dx } +2x- sinÛ` x cosÛ` x -2 dx } 1-sinÛ` x cosÛ` x +2x-2 dx } cosÛ` x cosÛ` x { +2x-2 dx } = (2x-1)dx :_a!` xÛ`-x = =(aÛ`-a)-(1+1) [ ]a_! =aÛ`-a-2=-2 따라서 aÛ`-a=0, a(a-1)=0이므로 a=1 (∵ a>0) 108 | Ⅲ 적분 Lecture 삼각함수 사이의 관계 tan x= sin x cos x sinÛ` x+cosÛ` x=1 유형 03 정적분의 계산 ; 피적분함수가 같은 경우 본책 127쪽 세 실수 a, b, c를 포함하는 구간에서 함수  f(x)가 연속일 때, ``f(x)dx+ ``f(x)dx= ``f(x)dx :Ac :Cb ⇨ 적분 구간을 합쳐 계산한다. :Ab 0761  ④ `f(x)dx - `f(x)dx+ `f(x)dx :#5` = :$5` `f(x)dx+ :)3` `f(x)dx+ `f(x)dx = `f(x)dx+ `f(x)dx :%4` :)3` :)5` :#5` :%4` :)4` 이때,  f(x)=xÛ`-x이므로 `f(x)dx = `(xÛ`-x)dx= xÜ`- xÛ` ;2!; ;3!; `f(x)dx= -8= :¢3¼: :)4` :¤3¢: [ ]4) 0762  6 :)4` :)4` :_0! = :_0! = :_2! :ª3¼: - =6 ;3@; 0763  4 `f(x)dx = :@3` 0764  1 `(xÛ`+2x)dx `(yÛ`+2y)dy`+ `(zÛ`+2z)dz `(xÛ`+2x)dx :!2` `(xÛ`+2x)dx+ `(xÛ`+2x)dx + :)1` + = `(xÛ`+2x)dx= xÜ`+xÛ` :!2` :)1` ;3!; [ ]2_! `f(x)dx+ `f(x)dx- `f(x)dx :@3` :)1` `f(x)dx=2+5-3=4 :!3` :)2` `f(x)dx = `f(x)dx+ `f(x)dx :_3#` 이때, :_0#` :)3` `f(x)dx= `f(x)dx 이므로 `f(x)dx+ `f(x)dx :_0#` :)3` `f(x)dx = :_3#` :)3` `f(x)dx = :)3` ∴ :)3` `f(x)dx=0 :)3` ∴ `f(x)dx=0 `f(x)dx=0 , :_3#` 따라서  f(x)=xÛ`+ax+b (a, b는 상수)로 놓으면 :_0#` `f(x)dx = `(xÛ`+ax+b)dx= xÜ`+ xÛ`+bx ;3!; ;2A; `f(x)dx = (xÛ`+ax+b)dx= xÜ`+ xÛ`+bx ;3!; ;2A; [ [ :)3` :)3` `f(x)dx=9+ a+3b=0 ;2(; :)3` :_0#` :_0#` `f(x)dx=9- a+3b=0 ;2(; :_0#` ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-3 따라서  f(x)=xÛ`-3이므로  f(2)=1 ]3) yy ㉠ ]0_# yy ㉡ 0767  ①  f(x)= x (xÉ1)   1 (x>1) [ 에서 (x-1)f(x)= x(x-1) (xÉ1)     x-1 (x>1) [ ∴ `(x-1)f(x)dx :)2` ∴ = `(xÛ`-x)dx+ (x-1)dx :)1` ;3!; ∴ = xÜ`- xÛ` + xÛ`-x ;2!; :!2`` ;2!; [ ]2! [ ∴ =- + = ;2!; ;6!; ]1) ;3!; 유형 04 정적분의 계산 ; 구간에 따라 다르게 정의된 함수 본책 127쪽 유형 05 정적분의 계산 ; 절댓값 기호를 포함한 함수 본책 128쪽 a0) 0 a g '(a) g(a) y + ↗ 2 0 :Á3¤: y - ↘ 나눈다. :Ab 0768  1 ⑵ ``f(x)dx= ``f(x)dx+ ``f(x)dx임을 이용한다. :Ac :Cb |xÛ`+x-2|=  xÛ`+x-2 (xÉ-2 또는 x¾1)   -xÛ`-x+2 (-20) 로 놓을 수 있다. 이때,  f(t)dt=a(xÛ`-3x+2)이므로 이 등식의 양변을 x에 :!/`` 대하여 미분하면  f(x)=a(2x-3) y=f(x)의 그래프가 점 (1, -3)을 지나므로 -3=-a ∴ a=3 116 | Ⅲ 적분 F(x)=  f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F '(x)=f(x) :)/`` 이므로  f(x)는 F(x)의 도함수이다. 그런데 y=F(x)의 그래프가 xÉ2에서 증가하므로  f(x)¾0 2ÉxÉ4에서 감소하므로  f(x)É0 x¾4에서 증가하므로  f(x)¾0 따라서 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로  f(2)=0,  f(3)<0,  f(4)=0,  f(5)>0 ㄱ.  f(x)=0을 만족시키는 x의 값은 2, 4이 다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. y y=f(x) 3 O 2 4 5 x 본책 134쪽 따라서 |3+a|=4에서 3+a=4 또는 3+a=-4 이때, a는 양수이므로 a=1 유형 16 정적분으로 정의된 함수의 극한 x+a `f(t)dt 꼴 ` ; lim  0 x` Ú ;[!; x+a :A ` f(t)dt의 값을 구하려면 ` ;[!; lim  0 x` Ú Ú F'(t)=f(t)로 놓는다. :A x+a Û lim  0 x` Ú ` ;[!; ` f(t)dt=lim `  0 Ú x` F(x+a)-F(a) x =F'(a)=f(a) Û 임을 이용한다. :A 0809  ② 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면  f(1)=1 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)+xf '(x)=2x+f(x) xf '(x)=2x ∴  f '(x)=2  f(x)=  f '(x)dx 2 dx=2x+C = :` :` 이때,  f(1)=1에서 2+C=1 ∴  f(x)=2x-1 F'(t)=f(t)로 놓으면 ∴ C=-1 F(x)-F(0)  f(t)dt=lim   x  0 Ú x`  f(t)dt=F'(0)=f(0)=-1 lim   ;[!;  0 x` Ú :)/``   ;[!; :)/`` 0810  18  f(x)=3xÜ`-2xÛ`-4x+1, F '(x)=f(x)로 놓으면 `(3xÜ`-2xÛ`-4x+1)dx 2+h 2-h lim   ;h!;  0 h` Ú : =lim   ;h!;  0 h` Ú 2+h 2-h ` f(x)dx : F(2+h)-F(2-h) =lim   h  0 h` Ú {F(2+h)-F(2)}-{F(2-h)-F(2)} =lim   h  0 h` Ú F(2+h)-F(2) =lim   h  0 h` Ú F(2-h)-F(2) +lim   -h  0 h` Ú =F'(2)+F'(2)=2F'(2)=2f(2) =2´9=18 0811  ①  f(x)=|x+a|, F'(x)=f(x)로 놓으면 lim   ;h!;  0 h` Ú : =lim   ;h!;  0 h` Ú 3+h 3-h `|x+a|dx 3+h 3-h ` f(x)dx : F(3+h)-F(3-h) =lim   h  0 h` Ú {F(3+h)-F(3)}-{F(3-h)-F(3)} =lim   h  0 h` Ú F(3+h)-F(3) =lim   h  0 h` Ú F(3-h)-F(3) +lim   -h  0 h` Ú =F'(3)+F'(3)=2F'(3)=2f(3) =2|3+a|=8 정적분으로 정의된 함수의 극한 유형 17 ` ; lim  a x` Ú 1 x-a `f(t)dt 꼴 1 x-a lim `  a x` Ú :A/` ` f(t)dt의 값을 구하려면 :A/` Ú F'(t)=f(t)로 놓는다. 본책 134쪽 Û lim `  a x` Ú 1 x-a :A/` Û 임을 이용한다. ` f(t)dt=lim `  a Ú x` F(x)-F(a) x-a =F'(a)=f(a)  f(t)dt = lim  2 x` Ú  f(t)dt= 1   x-2 1   x+2 ´lim  2 x` Ú F(x)-F(2) lim   x-2  2 x` Ú :@/``  f(t)dt 0812  2 F '(x)=f(x)로 놓으면 1 lim   xÛ`-4  2 x` Ú         :@/`` :@/`` :@/`` :@/`` :@/`` ;4!; ;4!;  f(t)dt= F'(2)  f(t)dt=;4!;  f(2)  f(t)dt= ´8=2 ;4!; 0813  ① F '(x)=f(x)로 놓으면 F(x)-F(-1)  f(t)dt= lim   x-(-1)  -1 x` Ú 1 lim   x+1  -1 x` Ú :_/!` =F'(-1) =f(-1) 따라서  f(-1)=2이므로 k+7=2 ∴ k=-5 0814  70  f(t)=t(k-t), F '(t)=f(t)로 놓으면 1 lim   x-2  2 x` Ú :@/``  t(k-t)dt  f(t)dt 1   x-2 = lim  2 x` Ú 10 ∴ 1   x-2 ` [ lim  2 x` Ú ;K+! :@/`` :@/`` F(x)-F(2) =lim   x-2  2 x` Ú =F'(2) =f(2) =2(k-2)  t(k-t)dt `2(k-2) ]= 10 ;K+! 10 ;K+! =2´ =70 = `(2k-4) 10´11 2 -4´10 8 정적분 | 117 정적분8 0815  150  f(t)=tÛ`+nt, F '(t)=f(t)로 놓으면 1 aÇ=lim   x-2  2 x` Ú 1 aÇ=lim   x-2  2 x` Ú  (tÛ`+nt)dt :@/``  f(t)dt :@/`` F(x)-F(2) aÇ=lim   x-2  2 x` Ú aÇ=F'(2)=f(2)=4+2n 10 10 ∴ `aû= ;K+! ;K+! STEP3 심화 Master `(4+2k)=4´10+2´ =150 10´11 2 ∴ c= ´ ;3@; bÜ`-aÜ` bÛ`-aÛ` = ´ ;3@; (b-a)(bÛ`+ab+aÛ`) (b-a)(b+a) ∴ c= ´ ;3@; (b+a)Û`-ab b+a = ´ ;3@; 6Û`-6 6 ∴ c= :Á3¼: 0818  2100-101 TIP ` f(x)dx ` f(x)dx+ ` f(x)dx를 이용하여 먼저 = :Ac` :Ab` ` f(x)dx의 값을 구한다. :Cb` :!n` 임의의 자연수 n에 대하여 ` f(x)dx = ` f(x)dx+ ` f(x)dx y + + ` f(x)dx :Nn_! 0816  3 TIP 주어진 등식을 이용하여 먼저  f(x)의 차수를 알아본다. 다항식  f(x)의 차수를 n이라 하면  f( f(x)), f(t)dt의 차수는 :)/`` 각각 nÛ`, n+1이다. 이때, n¾2이면 주어진 식의 좌변과 우변의 차수는 각각 nÛ`, n+1 이다. 그런데 nÛ`=n+1을 만족시키는 자연수 n의 값은 없으므로 n<2 이다. 즉, n=1이므로  f(x)=ax+b`(a, b는 상수, a+0)로 놓으면 :!n` :!n` :@3` :!2` ` f(x)dx=1+2+y+2n-2 ` f(x)dx= 2n-1-1 2-1 =2n-1-1 100 :!n` ∴ ` [  ` f(x)dx 100` (2n-1-1)  ]= ;N+!` = 2100-1 2-1 =2100-101  ]  ] -100 ;N+!` 100` :!n` ∴ ` f(x)dx 100` ;N+!` :!n` ∴ ` f(x)dx [  [  ;N+!` :!n` Lecture 등비수열의 합 f( f(x))= f(t)dt-xÛ`+3x+3에서 :)/`` :)/`` ;2A; a(ax+b)+b= (at+b)dt-xÛ`+3x+3 a(ax+b)+b= xÛ`+bx-xÛ`+3x+3 ∴ aÛ`x+ab+b= -1 xÛ`+(b+3)x+3 {;2A; } 양변의 동류항의 계수를 비교하면 0= -1, aÛ`=b+3, ab+b=3 ;2A; ∴ a=2, b=1 ∴  f(x)=2x+1 따라서 구하는  f(x)의 계수들의 합은 2+1=3 q, y=p- q 꼴로 주어지면 x+y, x-y, xy의 값을 이용할 ' c {  `x dx + `x dx } = `xÛ` dx+ `xÛ` dx :Ac` :Cb` 0817  :Á3¼: TIP x=p+ ' 수 있도록 식을 변형한다. 주어진 식에서 :Ac` c `x dx :Cb` `xÛ` dx = :Ab` ;2!; c xÛ` = :Ab` ;3!; xÜ` [ [ ]bA (bÛ`-aÛ`)= ;2C; ;3!; ]bA (bÜ`-aÜ`) 118 | Ⅲ 적분 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제 n 항까지의 합 SÇ은 ⑴ r+1일 때 ⇨ SÇ= a(rÇ`-1) r-1 = a(1-rÇ`) 1-r ⑵ r=1일 때 ⇨ SÇ=na 0819  0 TIP  f(x+y)=f(x)+f(y)의 x, y에 적당한 값을 대입하여  f(x)의 성질 을 알아본다. ∴  f(0)=0  f(x+y)=f(x)+f(y)에 x=0, y=0을 대입하면  f(0)=f(0)+f(0) 또, y=-x를 대입하면  f(0)=f(x)+f(-x), 0=f(x)+f(-x) ∴  f(-x)=-f(x) 따라서 함수  f(x)는 기함수이므로  f(x)dx +  f(x)dx :_1#` = :_0#` :_3#` =0+0=0 :_3!` :)1`` :_1!` =  f(x)dx+  f(x)dx  f(x)dx+  f(x)dx+  f(x)dx+  f(x)dx :_0!` :)3`` 0820  ① TIP 주어진 조건을 이용하여 함수 h(x)의 성질을 알아본다.  f(-x)=-f(x),  g(-x)=g(x)이므로 h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x) 따라서 함수 h(x)는 기함수이고 h'(x)는 우함수이다. (x+5)h'(x)dx xh'(x)dx+5 h'(x)dx = = :_3#` 10 :_3#` (x+5)h'(x)dx h'(x)dx :_3#` :_3#` (x+5)h'(x)dx=10{h(3)-h(0)}=10 :)3`` ∴ h(3)-h(0)=1 :_3#` 이때, h(-x)=-h(x)의 양변에 x=0을 대입하면 h(0)=-h(0) ∴ h(0)=0 ∴ h(3)=h(0)+1=1 참고 h(x)가 기함수이므로 h(x)=aÁx+aªxÜ`+a£xÞ`+y ( aÁ, aª, a£, y은 상수)으로 놓으면 h'(x)=aÁ+3aªxÛ`+5a£xÝ`+y h'(x)=aÁ+3aª(-x)Û`+5a£(-x)Ý`+y h'(x)=h'(-x) 이므로 h'(x)는 우함수이다. 또, xh'(x)=aÁx+3aªxÜ`+5a£xÞ`+y=-(-x)h'(-x) 이므로 xh'(x)는 기함수이다. 0821  8 TIP 주어진 식을 변형하여 정적분의 성질을 이용한다. `(x-k)Û`f(x)dx `(xÛ`-2kx+kÛ`)f(x)dx :)1` = :)1` ` :)1` :)1` :)1` = xÛ`f(x)dx-2k `xf(x)dx+kÛ` ` f(x)dx = `xÛ`f(x)dx-4k+kÛ` :)1` :)1` :)1` `xÛ`f(x)dx=a ( a는 상수)로 놓으면 `(x-k)Û`f(x)dx=kÛ`-4k+a `(x-k)Û`f(x)dx=(k-2)Û`+a-4 이때, 최솟값은 a-4이므로 a-4=4 :)1` ∴ a=8 ∴ `xÛ`f(x)dx=8 :)1` 0822  43 = = :A4` - ;3!; TIP ` f(x)dx ` f(x)dx+ ` f(x)dx를 이용한다. a+4 :Ab` `f(x)dx :Ac` `(-xÛ`+4x)dx+ :Cb` a+4 `(x-4)dx :A a+4 :A a+4 :A  g(a)= `f(x)dx= xÜ`+2xÛ` + `f(x)dx [ =;3!; aÜ` ]4A +:£3ª: aÛ` -;2#; aÜ`- aÛ`+ ;2#; :£3ª:로 놓으면 ;3!; :$ xÛ`-4x a+4 ;2!; [ ]$ g '(a)=aÛ`-3a=a(a-3) g '(a)=0에서 a=0 또는 a=3 0 0 a g '(a) g(a) y - ↘ 3 0 극소 y + ↗ 4 즉, g(a)는 a=3일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은 g(3)=9- + = :£3ª: 따라서 p=6, q=37이므로 p+q=43 :ª2¦: :£6¦: 0823  ② TIP 0Éx<1, x¾1인 경우로 나누어 그래프의 개형을 알아본다. f(x)= -x (0Éx<1)   x-2 (x¾1) [ Ú 0Éx<1일 때 이므로 F(x)= f(t)dt에서 :)/`` Ú F(x)= (-t)dt= - tÛ` ;2!; =- xÛ` ;2!; Û x¾1일 때 :)/`` [ ]/) Ú F(x)= (-t)dt (t-2)dt + Ú F(x)= tÛ` ;2!; + :!/`` tÛ`-2t ;2!; = ;2!;xÛ`-2x+1 따라서 y=F(x)의 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ②이다. ]1) [ ]/! :)1`` - [ TIP F '(x)=f(x)로 놓고 lim =F '(a)=f(a)임을 이 F(x)-F(a) x-a x`  a Ú 0824  a 용한다. F'(x)=f(x)로 놓으면 bÜ` `f(x)dx bÛ` f(x)dx =lim  a b` Ú lim  a b` Ú aÜ` : aÛ` : bÜ` `f(x)dx bÜ`-aÜ` bÛ` `f(x)dx bÛ`-aÛ` aÜ` : aÛ` : ´(bÜ`-aÜ`) ´(bÛ`-aÛ`) =lim  a b` Ú F(bÜ`)-F(aÜ`) bÜ`-aÜ` F(bÛ`)-F(aÛ`) bÛ`-aÛ` ´ bÜ`-aÜ` bÛ`-aÛ` bÛ`+ba+aÛ` b+a = F'(aÜ`) F'(aÛ`) =  f(aÜ`)  f(aÛ`) ´ ´lim  a b` Ú 3aÛ` 2a = ´ ;3@; 3aÛ` 2a =a 8 정적분 | 119 정적분8 9 정적분의 활용 STEP1 기초 Build 0825  ;6!;  {-x(x+1)} dx=  (-xÛ`-x) dx :_0! :_0! - = [ xÜ`- xÛ` ;2!; ;3!; = ;6!; ]0_! 0826  ;2(; 곡선 y=-xÛ`+3x와 x축의 교점의 x좌 표는 -xÛ`+3x=0에서 -x(x-3)=0 ∴ x=0 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는  (-xÛ`+3x) dx :)3` = [ - xÜ`+ xÛ` = ;3!; ;2#; ;2(; ]3) 0827  ;3*; 곡선 y=2xÛ`-8x+6과 x축의 교점의 x 좌표는 2xÛ`-8x+6=0에서 2(x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는 {-(2xÛ`-8x+6)} dx :!3`  =- [ = ;3*; xÜ`-4xÛ`+6x ;3@; ]3! 0828  ;2!; 곡선 y=xÜ`-x와 x축의 교점의 x좌표 는 xÜ`-x=0에서 x(x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는 |xÜ`-x| dx :_1! =  (xÜ`-x) dx+  (-xÜ`+x) dx = :_0! ;4!; xÝ`- xÛ` ;2!; :)1` - + xÝ`+ xÛ` ;2!; ;4!; [ ]0_! [ =;4!;+;4!;=;2!; ]1) 120 | Ⅲ 적분 본책 138쪽~151쪽  (xÛ`+3) dx= xÜ`+3x = - =12 :Á3¼: {-:ª3¤:} ;3!; [ ]1_@ 0829  12 :_1@ 0830  2  {-(xÛ`+2x)} dx+  (xÛ`+2x) dx :_0! =  (-xÛ`-2x) dx+  (xÛ`+2x) dx :)1` :_0! - = ;3!; xÜ`-xÛ` + :)1` xÜ`+xÛ` ;3!; [ ;3@; = + =2 ;3$; ]0_! [ ]1) y y=-x2+3x 0831  ;3$; O 3 x :)2`  {-(yÛ`-2y)} dy=  (-yÛ`+2y) dy :)2` - = ;3!; yÜ`+yÛ` = ;3$; [ ]2) y y=2x2-8x+6 O 1 3 x  {(-xÛ`-2x-1)-(x+1)} dx 0832  ;6!; 곡선 y=-xÛ`-2x-1과 직선 y=x+1의 교점의 x좌표는 -xÛ`-2x-1=x+1에서 -xÛ`-3x-2=0 -(x+1)(x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x=-1 따라서 구하는 넓이는 :_-@1` = :_-@1` - =  (-xÛ`-3x-2) dx xÜ`- xÛ`-2x ;3!; ;2#; = [ ;6%; - = ;3@; ;6!; ]-_1@ y y=x+1 -1-2 1 O -1 x y=-x2-2x-1 y y=x3-x -1 O 1 x 0833  ;3$; 곡선 y=xÛ`-2x+3과 직선 y=2x의 교 점의 x좌표는 xÛ`-2x+3=2x에서 xÛ`-4x+3=0 (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는 y=x2-2x+3 y=2x y 6 2 O 1 3 x  {2x-(xÛ`-2x+3)} dx :!3` =  (-xÛ`+4x-3) dx :!3` - = ;3!; [ xÜ`+2xÛ`-3x = ;3$; ]3! 0834  ;2!; 곡선 y=xÜ`과 직선 y=x의 교점의 x좌표는 xÜ`=x에서 xÜ`-x=0 x(x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는  (xÜ`-x) dx+  (x-xÜ`) dx :_0! = = xÛ` xÝ`- ;2!; ;4!; [ ;4!;+;4!;=;2!; :)1` + ;2!; [ ]0_! xÛ`- xÝ` ;4!; ]1) 0835  ;3*; 두 곡선 y=-xÛ`+1, y=xÛ`-1의 교점의 x좌표는 -xÛ`+1=xÛ`-1에서 2xÛ`-2=0 2(x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는  {(-xÛ`+1)-(xÛ`-1)} dx :_1! =  (-2xÛ`+2) dx :_1! - = xÜ`+2x ;3@; = [ ;3$;-{-;3$;} = ]1_! ;3*; 0836  9 두 곡선 y=-xÛ`+2x, y=xÛ`-4의 교점의 x좌표는 -xÛ`+2x=xÛ`-4에서 2xÛ`-2x-4=0 2(x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는  {(-xÛ`+2x)-(xÛ`-4)} dx :_2! =  (-2xÛ`+2x+4) dx :_2! - = ;3@; xÜ`+xÛ`+4x = [ :ª3¼:-{-;3&;} =9 ]2_! 0837  ⑴ 24 ⑵ 4 ⑶ 13 ⑴ 0+  (4t-2) dt= 2tÛ`-2t =24 ⑵ :)4`  (4t-2) dt= [ 2tÛ`-2t ]4) =4 :!2` [ ]2! y y=x3 y=x -1 O 1 x y=v(t) y 10 ⑶  |4t-2| dt :)3` = ;2!;  (-4t+2) dt+  (4t-2) dt   :) -2tÛ`+2t ;2!; 3` : 2tÛ`-2t ;2!;+ = = [ ;2!;+:ª2°: ]) =13 [ ;2!; ]3 O -2 3 ;2!; t y=x2-1 :Ac` :Cb` y 1 -1 -1 O 1 x y=-x2+1 y y=x2-4 -1 O 2 x -4 y=-x2+2x STEP2 유형 Drill 유형 01 곡선과 x축 사이의 넓이 본책 140쪽 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=f(x)와 x축으 y=f(x) 로 둘러싸인 도형의 넓이는 ⇨  `f(x) dx+  {-f(x)} dx a c x b 0838  :ª3ª: 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는  (2x-xÛ`) dx+  (-2x+xÛ`) dx :!2` = xÛ`- xÜ` + ;3!; :@4` -xÛ`+ xÜ` ;3!; = [ ;3@;+:ª3¼:=:ª3ª: ]2! [ ]4@ 0839  3 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는  (-xÛ`+kÛ`) dx :_kK = xÜ`+kÛ`x -;3!; [ ;3@; = kÜ`- - { kÜ` ]k_K } = kÜ` ;3$; ;3@; 따라서 kÜ`=36이므로 kÜ`=27 ;3$; ∴ k=3 y y=-2x+x2 1 O 2 4 x y y=x2-k2 -k O k x -k2 0840  :£5ª: 곡선 y=xÜ`-xÛ`-2x와 x축의 교점의 x좌표는 xÜ`-xÛ`-2x=0에서 x(x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=2 SÁ=  (xÜ`-xÛ`-2x) dx = :_0! ;4!; xÝ`- xÜ`-xÛ` = ;3!; ;1°2; [ Sª=  (-xÜ`+xÛ`+2x) dx ]0_! :)2` - = xÝ`+ xÜ`+xÛ` = ;4!; ;3!; ;3*; ∴ Sª [ SÁ = :£5ª: ]2) 9 정적분의 활용 | 121 정적분의활용9 0846  8 y y=6x2+6x-12  y(yÛ`-4) dy+  {-y(yÛ`-4)} dy 0841  ④ 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는  {-x(x-1)Û`(x+2)} dx y y=x(x-1)2(x+2) :_0@ +  x(x-1)Û`(x+2) dx O -2 1 2 x = :)2`  (-xÝ`+3xÛ`-2x) dx :_0@ +  (xÝ`-3xÛ`+2x) dx = - +xÜ`-xÛ` + -xÜ`+xÛ` :)2` xÞ` 5 xÞ` 5 = [ :ª5¥:+:Á5ª: =8 ]0_@ [ ]2) 0842  27 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)+xf '(x)=xf '(x)+6xÛ`+6x-12 ∴ f(x) =6xÛ`+6x-12 =6(x-1)(x+2) 곡선 y=f(x)와 x축의 교점의 x좌표는 6(x-1)(x+2)=0에서 x=-2 또는 x=1 따라서 오른쪽 그림에서 구하는 넓 이는  (-6xÛ`-6x+12) dx -2 O 1 x -12 :_1@ = -2xÜ`-3xÛ`+12x =7-(-20)=27 [ ]1_@ 0843  ;2#; SÁ+Sª+S£=  (-xÛ`+x+2) dx :_2! - = = [ :Á3¼: xÜ`+ xÛ`+2x ;3!; ;2!; - - = ]2_! { ;6&;} 이때, SÁ, Sª, S£이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2Sª=SÁ+S£ ;2(; 따라서 3Sª= 이므로 Sª= ;2(; ;2#; 0844  ② TIP S(t)= `f(x) dx이다. S(a)= :At` f(x) dx=0이므로 :Aa`` S(t) lim   t-a t a Ú S(t)-S(a) =lim   t-a t a Ú =S'(a) 이때, S(t)= f(x) dx이므로 S'(t)=f(t) :At`` ∴ S'(a)=f(a)=b S(t) ∴ lim   t-a t a Ú =b 122 | Ⅲ 적분 유형 02 곡선과 y축 사이의 넓이 오른쪽 그림과 같이 곡선 x=g(y)와 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 ⇨   g(y) dy+  {-g(y)} dy :Ce` :Ed` 본책 141쪽 x=g(y) y e d c 0845  ;3$; 곡선 x=-yÛ`+1과 y축의 교점의 y좌표는 -yÛ`+1=0에서 (y+1)(y-1)=0 ∴ y=-1 또는 y=1 따라서 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 x=-y2+1  (-yÛ`+1) dy= yÜ`+y -;3!; :_1! [ ;3@; = - - { ;3@;} ;3$; ]1_! = y 1 O 1 x -1 :_0@ = :)2`  (yÜ`-4y) dy+  (-yÜ`+4y) dy yÝ`-2yÛ` = :_0@ ;4!; =4+4=8 [ + :)2` - ;4!; yÝ`+2yÛ` ]0_@ [ ]2) 유형 03 곡선과 직선 사이의 넓이 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 y=f(x) ⇨  {`f(x)-g(x)} dx a c b x 본책 141쪽 y=g(x) :Ac` + :Cb`  { g(x)-f(x)} dx 0847  ① 곡선 y=xÜ`-3xÛ`+3x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 xÜ`-3xÛ`+3x=x에서 xÜ`-3xÛ`+2x=0 x(x-1)(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는 y y=x3-3x2+3x y=x O 1 2 x  {(xÜ`-3xÛ`+3x)-x} dx+  {x-(xÜ`-3xÛ`+3x)} dx  (xÜ`-3xÛ`+2x) dx+ :!2`  (-xÜ`+3xÛ`-2x) dx :)1` = = :)1` ;4!; xÝ`-xÜ`+xÛ` + - :!2` xÝ`+xÜ`-xÛ` ;4!; = [ ;4!;+;4!;=;2!; ]1) [ ]2! 따라서 a=90이므로 a=8 :¢4°: 즉,  f(x)-g(x)=8x(x-3)(x-4) ∴  f(2)-g(2)=8´2´(-1)´(-2)=32 0848  ① y=|xÛ`-2x|= -xÛ`+2x (0ÉxÉ2)    `xÛ`-2x `(x<0 또는 x>2) [ 함수 y=|xÛ`-2x|의 그래프와 직선 y=2x의 교점의 x좌표는 Ú 0ÉxÉ2일 때 -xÛ`+2x=2x에서 xÛ`=0 Û x<0, x>2일 때 x(x-4)=0 따라서 구하는 넓이는 xÛ`-2x=2x에서 xÛ`-4x=0 ∴ x=0 ∴ x=4 y y=2x  {2x-(-xÛ`+2x)} dx y=|x2-2x| :)2` +  {2x-(xÛ`-2x)} dx = :@4`  xÛ` dx+  (-xÛ`+4x) dx = :)2` ;3!; xÜ` + xÜ`+2xÛ` :@4` - ;3!; = ]2) [ ;3*;+:Á3¤: [ =8 ]4@ y=x2-2x y y=kx :_0! O 2 x k+2 0849  3 곡선 y=xÛ`-2x와 직선 y=kx의 교점의 x 좌표는 xÛ`-2x=kx에서 xÛ`-(k+2)x=0, x(x-k-2)=0 ∴ x=0 또는 x=k+2 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이가  {kx-(xÛ`-2x)} dx=  {-xÛ`+(k+2)x} dx k+2 이고 :Á;6@;°: k+2 :) 따라서 k+2=5 = (k+2)Ü` 6 ∴ k=3 :Á;6@;°: xÜ`+ k+2 xÛ` k+2 2 ]) :) - = ;3!; (k+2)Ü` [ = 6 이므로 (k+2)Ü`=125 유형 04 두 곡선 사이의 넓이 오른쪽 그림과 같이 두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 y=g(x) ⇨  {`f(x)-g(x)} dx a c b x 본책 142쪽 y=f(x) O 2 4 x :Ac`  + { g(x)-f(x)} dx :Cb`  0851  ① 두 곡선 y=-xÜ`+xÛ`, y=xÛ`-x의 교 점의 x좌표는 -xÜ`+xÛ`=xÛ`-x에서 xÜ`-x=0, x(x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=1 따라서 구하는 넓이는  {(xÛ`-x)-(-xÜ`+xÛ`)} dx =  (xÜ`-x) dx+  (-xÜ`+x) dx :)1` = :_0! ;4!; xÝ`- xÛ` ;2!; = [ ;4!;+;4!;=;2!; :)1` - + xÝ`+ xÛ` ;2!; ;4!; ]0_! [ ]1) y y=x2-x -1 O 1 x y=-x3+x2 +  {(-xÜ`+xÛ`)-(xÛ`-x)} dx 0850  ④ h(x)=f(x)-g(x)로 놓으면 h(x)=0, 즉  f(x)=g(x)의 해가 x=0 또는 x=3 또는 x=4이고 h(x)는 삼차함수이므로 h(x)=ax(x-3)(x-4) (a+0)로 놓을 수 있다. 색칠한 부분의 넓이가 90이고  {`f(x)-g(x)} dx=  h(x) dx :)3` 0852  9 두 곡선 y=xÛ`+x-2, y=-xÛ`+3x+2의 교점의 x좌표는 xÛ`+x-2=-xÛ`+3x+2에서 xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는 y y=x2+x-2 -1 O 2 x y=-x2+3x+2  ax(x-3)(x-4) dx  {(-xÛ`+3x+2)-(xÛ`+x-2)} dx :)3` = :)3` =a  (xÜ`-7xÛ`+12x) dx :)3` ;4!; =a xÝ`- xÜ`+6xÛ` ;3&; = [ :¢4°: a ]3) :_2! =  (-2xÛ`+2x+4) dx :_2! = -;3@; xÜ`+xÛ`+4x = [ :ª3¼: + =9 ;3&; ]2_! 9 정적분의 활용 | 123 정적분의활용9 0853  :Á1ª2°: 두 곡선 y=xÜ`-6x, y=xÛ`의 교점의 x좌표는 xÜ`-6x=xÛ`에서 xÜ`-xÛ`-6x=0, x(x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=3 ∴ Sª-SÁ =  {xÛ`-(xÜ`-6x)} dx-  {(xÜ`-6x)-xÛ`} dx  (-xÜ`+xÛ`+6x) dx-  (xÜ`-xÛ`-6x) dx xÝ`+ xÜ`+3xÛ` - xÝ`- xÜ`-3xÛ` ;4!; ;3!; ;3!; ]3) [ ]0_@ :_0@ :_0@ ;4!; :)3` = :)3` - = = [ :¤4£:-:Á3¤: = :Á1ª2°: ∴ y=xÛ` 0854  ② 곡선 y=-xÛ`을 x축에 대하여 대칭이동시키면 -y=-xÛ` 이 곡선을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이 동시키면 y=(x-1)Û`-5=xÛ`-2x-4 ∴ f(x)=xÛ`-2x-4 이때, 두 곡선 y=-xÛ`, y=xÛ`-2x-4 의 교점의 x좌표는 -xÛ`=xÛ`-2x-4에서 xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 따라서 구하는 넓이는 -1 O y=-x2 y=f(x) -4 x 2 y  {-xÛ`-(xÛ`-2x-4)} dx :_2! =  (-2xÛ`+2x+4) dx :_2! - = = [ :ª3¼: ;3@; - xÜ`+xÛ`+4x ]2_! =9 {-;3&;} Lecture 도형의 평행이동 SÁ=  (-xÛ`+9) dx :_3# - = ;3!; xÜ`+9x =36 [ ]3_# 한편, 두 곡선 y=-xÛ`+9, y=kxÛ`의 교점 의 x좌표는 -xÛ`+9=kxÛ, 즉 (k+1)xÛ`-9=0의 두 실근이다. 이때, (k+1)xÛ`-9=0의 두 실근을 a, b`(a2) 0865  ;3*; A:B=2:1에서 A=2B이고, 곡선 y=xÛ`+4x+k가 직선 x=-2에 대하여 대칭이므로 오 른쪽 그림에서 빗금 친 부분의 넓 이는 A=B이다. ;2!;  {xÜ`-(a+2)xÛ`+2ax} dx=0 y=x3-ax2 즉, 곡선 y=xÛ`+4x+k와 x축, y 축 및 직선 x=-2로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로 126 | Ⅲ 적분  (xÛ`+4x+k) dx=0 :_0@ ;3!; [ - xÜ`+2xÛ`+kx =0 +2k=0 :Á3¤: ]0_@ ∴ k= ;3*; 유형 07 넓이의 활용 ; 이등분 본책 144쪽 오른쪽 그림과 같이 곡선 y=f(x)와 x축으 로 둘러싸인 도형의 넓이 S가 곡선 y=g(x) 에 의하여 이등분되면 ⇨  {`f(x)-g(x)} dx= S ;2!; :)a` y y=f(x) y=g(x) O a x 0866  ;2!; 곡선 y=-xÛ`+x와 직선 y=mx의 교점의 x좌표는 -xÛ`+x=mx에서 xÛ`+(m-1)x=0 x(x+m-1)=0 ∴ x=0 또는 x=1-m 따라서 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 y  {(-xÛ`+x)-mx} dx O 1-m 1 x 넓이는 1-m 1-m :) = :) = -;3!;  {-xÛ`+(1-m)x} dx xÜ`+ 1-m xÛ` 1-m 2 y=mx y=-x2+x (1-m)Ü` [ =;6!; 이때, 곡선 y=-xÛ`+x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 ]) (1-m)Ü`= ´ ;6!; ;2!; ;6!; ∴ (1-m)Ü`= ;2!; 0867  ④ 곡선 y=xÛ`-2x와 직선 y=ax의 교점의 x좌표는 xÛ`-2x=ax에서 xÛ`-(a+2)x=0 x(x-a-2)=0 ∴ x=0 또는 x=a+2 따라서 오른쪽 그림에서 색칠한 부분 y 의 넓이는 a+2  {ax-(xÛ`-2x)} dx y=x2-2x y=ax O x 2 a+2 y=2x2-2ax O 2 a x (-xÛ`+x) dx= - xÜ`+ xÛ` = ;3!; ;2!; ;6!; :)1`  이므로 [ ]1) y=x2+4x+k x=-2 y a+2 :) =  {-xÛ`+(a+2)x} dx B xO A ;2!; :) - = xÜ`+ a+2 xÛ` a+2 ;3!; 2 [ = ;6!; (a+2)Ü` ]) 곡선 y=xÛ`-2x와 x축의 교점의 x좌표는 xÛ`-2x=0에서 x(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=2 따라서 오른쪽 그림에서 빗금 친 부분 y y=x2-2x 0870  ④ 함수 y=x(x-a)Û`의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 색칠한 부분의 넓이는 y=ax y y=x(x-a)2 O x 2 a+2 O a 2 x 의 넓이는 (-xÛ`+2x) dx xÜ`+xÛ` ;3!; =;3$; :)2`  = - [ 이므로 ;6!; ]2) ;3$; (a+2)Ü`=2´ ∴ (a+2)Ü`=16 0868  ;4#; 두 곡선 y=xÝ`-xÜ`, y=-xÝ`+x로 둘러싸인 도형의 넓이는  {(-xÝ`+x)-(xÝ`-xÜ`)} dx`  (-2xÝ`+xÜ`+x) dx :)1` = :)1` - = xÞ`+ xÝ`+ xÛ` = ;5@; ;2¦0; 두 곡선 y=ax(1-x), y=-xÝ`+x로 둘러싸인 도형의 넓이는 ;4!; ;2!; ]1) [  {(-xÝ`+x)-ax(1-x)} dx :)1` =  {-xÝ`+axÛ`+(1-a)x} dx :)1` - = xÞ`+ ;5!; ;3A; xÜ`+ 1-a xÛ` 2 = - a ;6!; ;1£0; [ 이므로 ]1) - a= ´ ;2¦0; ;2!; ;6!; ;1£0; ∴ a= ;4#; 유형 08 넓이의 활용 ; 넓이의 최솟값 본책 145쪽 Ú 두 곡선 사이의 넓이를 정적분을 이용하여 나타낸다. Û 산술평균과 기하평균의 관계, 증감표 등을 이용하여 넓이의 최솟값을 두 곡선 y=axÜ, y=- xÜ`과 직선 ;a$; y=- y x34 a y=ax3 x=1로 둘러싸인 도형의 넓이는 1 x O 구한다. 0869  ② axÜ`- - { xÜ` ;a$; }]  dx a+ ;a$;} xÜ` dx [ :)1`  = { = a+ { ;a$;} :)1`  ;4!; xÝ` = + ;4A; ;a!; 이때, ;4A; [ >0, ;a!; ]1) >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 + ¾2 ´ ;a!; ®É;4A; ;a!; ;4A; 따라서 구하는 넓이의 최솟값은 1이다. 단, 등호는 =1 { ;4A;=;a!; 일 때 성립 } Lecture 산술평균과 기하평균의 관계 a>0, b>0일 때, a+b 2 ' ¾ a b (단, 등호는 a=b일 때 성립)  x(x-a)Û` dx :)2` =  (xÜ`-2axÛ`+aÛ`x) dx = :)2` ;4!; xÝ`- :ª3: xÜ`+ aÛ` 2 xÛ` [ =2aÛ`- a+4=2 :Á3¤: ]2) a- { Û`+ ;3$;} ;9$; 따라서 구하는 넓이의 최솟값은 이다. ;9$; 0871  8 곡선 y=(x+2)(x-k)(x-2) (-20  f '(x)=3xÛ`+2x+1=3 x+ y ;3@; ;3!;} y=f(x) { 이므로 함수  f(x)는 실수 전체의 집합에서 증가한다. 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)의 교점의 x좌표는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점의 x좌표와 같으므로 xÜ`+xÛ`+x=x에서 xÜ`+xÛ`=0 xÛ`(x+1)=0 ∴ x=0 또는 x=-1 이때, 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도 형의 넓이의 2배이므로 구하는 넓이는 y=g(x) y=x -1 -1 O x 2 {`f(x)-x} dx=2 (xÜ`+xÛ`+x-x) dx :_0! 따라서 점 R가 다시 원점을 지날 때에는 x(t)=0이므로 tÜ`- tÛ`=0에서 tÛ`(t-1)=0 ∴ t=1 (초) ;2!; ;2!; ;2!; :_0! =2 (xÜ`+xÛ`) dx =2 :_0! ;4!; xÝ`+ xÜ` ;3!; [ =2 {-;4!;+;3!;}=;6!; ]0_! 유형 12 움직인 거리 본책 147쪽 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t)일 때, 시각 유형 11 위치와 위치의 변화량 본책 146쪽 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s ⇨ s=  |v(t)| dt 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t)이고 시각 t=a :Ab` 에서의 위치가 x¼일 때 ⑴ 시각 t에서 점 P의 위치 x ⇨ x=x¼+  v(t) dt ⑵ 시각 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치의 변화량 ⇨  v(t) dt :At` 0884  6 tÛ`+4t-5=(t-1)(t+5)=0에서 t=1 (∵ t>0) 0879  2 t=0에서의 점 P의 좌표가 -2이므로 t=2에서의 점 P의 위치는 :Ab` :)2` ∴  |v(t)| dt=  (-tÛ`-4t+5) dt+  (tÛ`+4t-5) dt :)1` - = ;3!; = + [ ;3*; =6 :Á3¼: tÜ`-2tÛ`+5t + tÜ`+2tÛ`-5t :!2` ;3!; ]1) [ ]2! -2+ (4-2t) dt=-2+ 4t-tÛ` :)2`  =-2+4=2 [ ]2) 0880  39 t=1에서 t=4까지 점 P의 위치의 변화량은 (8t-tÛ`) dt= 4tÛ`- tÜ` ;3!; =39 [ ]4! :!4`  0881  ④ v(t)=0일 때 점 P가 움직이는 방향이 바뀌므로 12-4t=0 따라서 t=3에서의 점 P의 위치는 ∴ t=3 0+ (12-4t) dt= 12t-2tÛ` :)3`    [ =18 ]3) Lecture 물체의 운동과 속도의 관계 ⑴ 움직이던 물체가 정지할 때 ⇨ (속도)=0 ⑵ 움직이던 물체가 운동 방향을 바꿀 때 ⇨ (속도)=0 1+  (-3tÛ`+6t) dt+  (tÛ`-6t+8) dt :)2` =1+ -tÜ`+3tÛ` + :@5` tÜ`-3tÛ`+8t ;3!; [ =1+4+0=5 ]2) [ ]5@ 0883  1초 t초 후의 점 R의 속도를 v(t)라 하면 v(t)= vP(t)+vQ(t) 2 = tÛ`-t ;2#; 따라서 t초 후의 점 R의 위치를 x(t)라 하면 0882  5 t=0에서의 점 P의 좌표가 1이므로 t=5에서의 점 P의 위치는 0885  ② v(t)=27-0.9t=0에서 t=30 따라서 열차는 제동을 건 후 30초 후에 정지하므로 정지할 때까지 30 30  |v(t)| dt=  (27-0.9t) dt 달린 거리는 :) :) 27t- = tÛ` ;2»0; 30 =405`(m) [ ]) 0886  ③ t=a (a>0)일 때 비행기가 난 거리가 18`km라 하면  |vÁ(t)| dt=   {;2#; tÛ`+t dt } :)a` = :)a` ;2!; tÜ`+ tÛ` ;2!; = ]a) ;2!;aÛ`=18 [ ;2!;aÜ`+ aÜ`+aÛ`-36=0, (a-3)(aÛ`+4a+12)=0 ∴ a=3 (∵ aÛ`+4a+12>0) t=3일 때 비행기의 속도는 vÁ(3)= ´3Û`+3= `(km/m) ;2#; :£2£: 출발 후 4분 이후의 속도는 vª(t)=4t+ 이므로 이 비행기의 속 ;2!; 도의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 또, 비행기가 출발한 후 7분 동안 난 거 리는 SÁ+Sª+S£의 값과 같으므로 구 하는 거리는 v(t) 57 2 33 2 Sª S£ SÁ O 3 4 7 t 9 정적분의 활용 | 129 x(t)= v(t) dt= tÛ`-t } {;2#;  dt= tÜ`- tÛ` ;2!; ;2!; 18+ + + ´3´ =102`(km) :£2£: {:£2£: :°2¦:} ;2!; :)t`  :)t`  정적분의활용9 0887  295`m v(t)=49-9.8t=0에서 t=5 따라서 물체는 위로 쏘아 올린 지 5초 후에 최고 높이에 도달하므로 0891  원점 t=7일 때의 점 P의 위치는  v(t) dt이고,  v(t) dt의 값은 주 :)7` 어진 v(t)의 그래프에서 t축의 윗부분의 넓이에서 t축의 아랫부분 의 넓이를 뺀 것과 같다. v(t)=0인 t의 값을 구하면 Ú 2Ét<3일 때 :)7` v(t)=3t-7이므로 3t-7=0 ∴ t= ;3&; Û t=5일 때 v(t)=0 ∴ t=5 따라서 t=7일 때의 점 P의 위치는  v(t) dt=- 1+ ´1+ ´ 5- ;2!; { ;3&;} ;3&;} ;2!;{ ´2- ´2´1 ;2!; :)7` =0 즉, t=7일 때의 점 P의 위치는 원점이다. 0892  ② ㄱ. 점 P의 운동 방향은 v(t)=0, 즉 t=2, t=6, t=8일 때 바뀌므 로 움직이는 동안 운동 방향을 3번 바꾼다. ㄴ. 다음 그래프에서 각 넓이를 SÁ, Sª라 하면 v(t) 1 O -1 SÁ SÁ 1 2 3 5 Sª 6 7 8 t SÁ 9 v(t) dt= v(t) dt=SÁ= ;2!; :)1`  v(t) dt=2SÁ=1 :)3`  v(t) dt= v(t) dt=  v(t) dt :)2`  :)5`  :)7`  =SÁ-Sª= :)9` -;2#; v(t) dt=-Sª=-2 :)6`  v(t) dt=2SÁ-Sª=-1 ㄷ. :)8`  따라서 t=6일 때 원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있다. ;2&; v(t) dt=0이므로 t= 일 때 원점을 다시 지난다. ;2&; 0)  |v(t)| dt= -   { ;2!; tÜ`+ ;2#; tÛ`+2t  dt } :)4` :)4` - = [ tÝ`+ tÜ`+tÛ` =16`(m) ;8!; ;2!; ]4) 유형 13 그래프에서의 위치와 움직인 거리 본책 148쪽 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 할 때 ⑴  v(t) dt ⇨ t=a에서 t=b까지 점 P의 위치의 변화량 ⑵  |v(t)| dt ⇨ t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 :Ab` :Ab` ⇨ y=v(t)의 그래프와 t축 및 두 직선 t=a, t=b로 둘러싸인 도형의 넓이 0889  ㄷ ㄱ. v(t)=0인 구간의 길이가 1이 되는 t의 값의 범위가 존재하지 않으므로 1초 동안 멈춘 적이 없다. ㄴ. 점 P의 운동 방향은 v(t)=0, 즉 t=3, t=5일 때 바뀌므로 움 직이는 동안 운동 방향을 2번 바꾼다. ㄷ.  v(t) dt=-  v(t) dt이므로 :#5`  v(t) dt= :%7`  v(t) dt>0 :)7` 즉, 7초 후 점 P는 원점의 오른쪽에 위치한다. 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. :)3` 0890  6초, 10초 t=a일 때 원점을 지난다 고 하면  v(t) dt=0 이어야 한다. :)a` 오른쪽 그림에서 A= ´2´4=4, ;2!; ;2!; v(t) 4 2 O -2 130 | Ⅲ 적분 A 1 2 4 B 6 C 7 8 9 D t 10 (초) B= ´4´2=4, C= ´2´2=2, D= ´2´2=2 ;2!; ;2!; 즉, A=B, C=D이므로 t=6, t=10일 때 다시 원점을 지난다. 동안 운동 방향을 1번 바꾸었다. 0893  ㄷ ㄱ. 기구는 출발 후 1초에서 3초 사이에 2`m/초의 속도로 움직인다. ㄴ. 기구의 운동 방향은 v(t)=0, 즉 t=5일 때 바뀌므로 움직이는 조건 ㈎, ㈏에 의하여 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다. xÛ`=2x+k, 즉 xÛ`-4x-2k=0의 두 근을 a, b`(a0)으로 놓을 수 있다. } ;2!; y= xÛ`에서 y'=x이므로 함수 y= xÛ`의 그래프 위의 점 P에서 ;2!; ;2!; 의 접선의 기울기는 a이고, 이 접선과 직선 AP는 수직이므로 9 정적분의 활용 | 131 직선 AB의 방정식은 y=- x+3이므로 직선 AB와 곡선 y=axÛ` ;2#; 의 제 1 사분면에서의 교점의 x좌표를 k라 하면 =- {(b-a)Ü`+3ab(b-a)}+(b-a)(b+a)+ (b-a) ;2!; ;6!; 17 ' 3 5 =- +8 5+ 5= ' ' 5 10 ' 3 yy ㉠ 0897  140 정적분의활용9 =-1, aÛ`=1 ∴ a=1 (∵ a>0) 즉, P 1, { , Q -1, ;2!;} { ;2!;} 이고, 직선 AP의 방정식은 aÛ`- ;2#; ;2!; a-0 a´ y=-x+ ;2#; 이때, 원의 반지름의 길이는 두 점 A, P 사이의 거리와 같으므로 r= (1-0)Û`+ ®É - {;2!; ;2#;} Û`= 2 ' 원 C와 함수 y= xÛ`의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는 ;2!; 2 [ { -x+ - xÛ` dx-p_( } ' ;2!; ;2#; 2)Û`_ ;8!;] =2 :)1` [ = [ ;3%;-;2Ò; -;6!; xÜ`- xÛ`+ ;2!; x ;2#; - ;4Ò;] ]1) 따라서 a= , b=- 이므로 120(a+b)=140 ;3%; ;2!; 0898  ① TIP SÁ, Sª, S£이 이 순서대로 등차수열을 이루면 2Sª=SÁ+S£이 성립한 다. SÁ= xÛ` dx= xÜ` = , SÁ+Sª+S£=1이므로 ;6!; ;6!; ;2!; :)1` [ Sª+S£=1-SÁ= ;6%; ]1) SÁ, Sª, S£이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 yy ㉠ 2Sª=SÁ+S£ +S£ ∴ 2Sª-S£= yy ㉡ =;6!; ;6!; ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 Sª= , S£= ;3!; ;2!; 곡선 y=axÛ`과 직선 y=1의 교점의 x좌표는 axÛ`=1에서 ( ax-1)=0 ax+1)( ' ' ∴ x= (∵ x>0) ∴ S£=1´ - ' a axÛ` dx 1 a ' = 1 a ' 1 a ' 2 = 3 a ' ' 1 a ' - 1 1 a ' :) xÜ` ;3A; 1 - [ 3 ]) = 2 3 a a ' ' 이므로 = ;2!; 따라서 3 ' a=4, a= ∴ a= ;3$; :Á9¤: 이 접선이 점 P , -2 를 지나므로 {;2!; ∴ t=-1 또는 t=2 } -2=t-tÛ`, tÛ`-t-2=0 (t+1)(t-2)=0 t=-1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=-2x-1 t=2를 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=4x-4 따라서 구하는 넓이는 ;2!; :_! = ;2!; = :_! ;3!; = [ ;8(; {xÛ`-(-2x-1)} dx+ {xÛ`-(4x-4)} dx (xÛ`+2x+1) dx+ ;2! : 2` (xÛ`-4x+4)dx xÜ`+xÛ`+x ;2!;+ ]_! [ + = ;8(; ;4(; ;2! : 2` xÜ`-2xÛ`+4x ;3!; ;2!; ]2 0900  512 TIP 직선 l의 방정식을 y=g(x)라 하고 f(x)-g(x)를 구한다. 직선 l을 g(x)=mx+n이라 하면 f(x)-g(x)=xÝ`-8xÛ`+(2-m)x+7-n yy ㉠ 직선 l이 함수 y=f(x)의 그래프와 서로 다른 두 점에서 접하므로 방정식 xÝ`-8xÛ`+2x+7=mx+n, 즉 f(x)-g(x)=0은 서로 다른 두 중근을 갖는다. f(x)-g(x)=0의 두 중근을 a, b (aSª이므로 점 P는 출발하고 나서 원점을 다시 지나지 않는다. ㄴ. v(t) dt= v(t) dt+ v(t) dt :)c`  =SÁ+(-Sª) :)a`  :Ac`  =S£=  v(t) dt ㄷ.  |v(t)| dt=-  v(t) dt+  v(t) dt :Bd` =-  v(t) dt+  v(t) dt (∵ ㄴ) :Cd` :Bc` = :Bc`  v(t) dt :Cd` :)c` 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. :)b` 134 | Ⅲ 적분 Memo Memo