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문제집/고등

2019년 천재교육 유형 해결의 법칙 고등 미적분 답지

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이책의 정답과 해설 미적분 I 수열의 극한 수열의 극한 급수 II 여러 가지 함수의 미분 지수함수와 로그함수의 미분 삼각함수의 미분 III 미분법 여러 가지 미분법 도함수의 활용 ⑴ 도함수의 활용 ⑵ IV 적분법 여러 가지 적분법 정적분 10 정적분의 활용 1 2 3 4 5 6 7 8 9 002 021 037 050 067 084 107 132 148 166 가까워짐을 알 수 있다. 1 2 3 4 n ` 따라서 lim n` Ö ¦ ;n!; =0이다.  0 0008 수열 [ 2 nÛ` ] 0009 0010 ;2!; 본책 8~25쪽 0006 수열 1, 4, 7, 10, y, 3n-2, y에서 n이 한없이 커지면 3n-2의 값 도 한없이 커진다. 따라서 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.  양의 무한대로 발산 0007 수열 9 , 6, 1, -6, y, 10-nÛ`, y에서 n이 한없이 커지면 10-nÛ`의 값 은 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커진다. 따라서 주어진 수열은 음의 무한대로 발산한다.  음의 무한대로 발산 에서 분자는 항상 2이고 n이 한없이 커지면 분모 nÛ`의 값 은 한없이 커지므로 의 값은 0에 한없이 가까워진다. 2 nÛ` 따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 0이다.  수렴, 0 1 2 3 4 n 수열 [ 10- ;n!;] 에서 n이 한없이 커지면 의 값은 0에 한없이 가까 ;n!;  0 워지므로 10- 의 값은 10에 한없이 가까워진다. ;n!; 따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 10이다.  수렴, 10 수열 n+1 에서 n이 한없이 커지면 ] ;2!; [;2!; n의 값은 한없이 커지므로 n+1의 값도 한없이 커진다. 1 2 3 4 n 따라서 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.  1  양의 무한대로 발산 0011 수열 {4-(-1)n}의 각 항을 첫째항부터 나열하면 5, 3, 5, 3, 5, y 이므로 n이 한없이 커지면 4-(-1)n의 값은 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는다. 따라서 주어진 수열은 발산(진동)한다.  발산 (진동) 0012 ⑴ lim n` Ö ¦ ⑵ lim n` Ö ¦ ⑶ lim n` Ö ¦ `(-an+3bn)=-lim n` Ö ¦ `(2an-bn)=2 lim n` Ö ¦ `an_lim n` Ö ¦ `3anbn=3`lim n` Ö ¦ `bn=-2+3_(-5)=-17 `an+3 lim n` Ö ¦ `bn=2_2-(-5)=9 `an-lim n` Ö ¦ `bn=3_2_(-5)=-30 ` ⑷ lim n` Ö ¦ 2an 3bn = 2`lim n` Ö ¦ 3`lim n` Ö ¦ `an `bn = 2_2 3_(-5) =- ;1¢5; 1 수열의 극한 개념 마스터 STEP1 0001 n이 증가하면서 변화하는 an의 값을 좌표 평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 n이 한없이 커질 때, 의 값은 0에 한없이 ;n!; 0002 n이 증가하면서 변화하는 an의 값을 좌표 평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 n이 한없이 커질 때, 의 값은 0에 한 n-1 {;2!;} 없이 가까워짐을 알 수 있다. ` 따라서 lim n` Ö ¦ {;2!;} n-1 =0이다. 0003 n이 증가하면서 변화하는 an의 값을 좌표 평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므 로 n이 한없이 커질 때, 의 값은 1에 n n+1 한없이 가까워짐을 알 수 있다. ` 따라서 lim n` Ö ¦ n n+1 =1이다. an 1 O an 1 O an 1 2 1 O 0004 n이 증가하면서 변화하는 an의 값을 좌표 평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. an 3 따라서 주어진 수열은 3에 수렴하므로 lim n` Ö ¦ `3=3이다.  3 O 1 2 3 4 n 0005 수열 , , , ;3!; ;6!; ;9!; ;1Á2; , y, 1 3n 은 0에 한없이 가까워진다. , y에서 n이 한없이 커지면 의 값 1 3n 002 | I . 수열의 극한 따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 0이다.  수렴, 0  ⑴ -17 ⑵ 9 ⑶ -30 ⑷ - ;1¢5; 정답과 해설 0013 ` lim n` Ö ¦ { 3+ ;n@;} =lim n` Ö ¦ ` `3+2`lim n` Ö ¦ ;n!; =3+2_0=3 0014 ` lim n` Ö ¦ n-2 nÛ`` =lim ` n` Ö ¦ {;n!; - =lim ` n` Ö ¦ ;n!; ` -2`lim n` Ö ¦ 2 nÛ` } 1 nÛ` =0-2_0=0 참고 두 수열 {n-2}, {nÛ`}은 수렴하지 않으므로 lim ` n` Ö ¦ n-2 nÛ` + lim n` Ö ¦ `(n-2) lim n` Ö ¦ `nÛ` 0021 lim n` Ö ¦ `( "à ` nÛ`+n-n)=lim n` Ö ¦ "à ( nÛ`+n-n)( nÛ`+n+n) "à nÛ`+n+n "à  3 ` =lim n` Ö ¦ n nÛ`+n+n 1 "à 1+ +1 ;n!; ®É ` =lim n` Ö ¦ = ;2!;  ;2!;  0 0022 lim n` Ö ¦ ` "à 1 nÛ`+2n-n ` =lim n` Ö ¦ nÛ`+2n+n "à nÛ`+2n-n)( ( "à nÛ`+2n+n) "à =lim n` Ö ¦ ` "à nÛ`+2n+n 2n =lim ` n` Ö ¦ ®É ;n@; 2 1+ +1 = =1 ;2@;  1 ` lim n` Ö ¦ { 2+ ;n!;}{;n!; -3 ` =lim n` Ö ¦ } { 2+ ;n!;} ` _lim n` Ö ¦ {;n!; -3 } =2_(-3)=-6  -6 0023 lim n` Ö ¦ `(2nÛ`-5n)=lim n` Ö ¦ `nÛ` 2- { ;n%;} =¦  발산 lim ` n` Ö ¦ { 2 nÛ` +4 } +4 = 2- ;n!; lim ` n` Ö ¦ { 2- ;n!;} = =2 ;2$; 0024  2 lim n` Ö ¦ `(n+nÛ`-nÜ`)=lim n` Ö ¦ `nÜ` 1 nÛ` { + ;n!; -1 =-¦ }  발산 0015 0016 2 nÛ` ` lim n` Ö ¦ 0017 ` lim n` Ö ¦ 3nÛ`-n+2 2nÛ`+3n-1 =lim ` n` Ö ¦ = ;2#;  수렴, ;2#; 3- + ;n!; 2+ - ;n#; 2 nÛ` 1 nÛ` 0025 nÛ`+1 2nÛ`+3 1이므로 주어진 수열은 발산한 ' '  수렴, 0 0028 주어진 수열의 공비는 2.1이고, 2.1>1이므로 주어진 수열은 발산 한다.  발산 0029 주어진 수열의 공비는 -0.8이고, -1<-0.8<1이므로 주어진 수 열은 0에 수렴한다.  수렴 1 수열의 극한 | 003 0018 ` lim n` Ö ¦ (n+3)(n-1) (2n+1)(n-2) =lim ` n` Ö ¦ nÛ`+2n-3 2nÛ`-3n-2 1+ - ;n@; 2- - ;n#; 3 nÛ` 2 nÛ` 0019 ` lim n` Ö ¦ 2+n 1+nÜ` =lim ` n` Ö ¦ + 1 nÛ` +1 2 nÜ` 1 nÜ` =0 0020 ` lim n` Ö ¦ 2nÛ`+n-3 n+1 =lim ` n` Ö ¦ 2n+1- ;n#; =¦ 1+ ;n!; 1ㅡ수열의극한 정답과 해설 0030 에 수렴한다. 주어진 수열의 공비는 이고, -1< <1이므로 주어진 수열은 0 ;3@; ;3@;  수렴 |전략| 수열의 항들이 어떤 일정한 값에 가까워지면 수렴, 그렇지 않으면 발산 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0038 한다. ㄱ. 주어진 수열은 음의 무한대로 발산한다. 0031 주어진 수열의 공비는 -2이고, -2<-1이므로 주어진 수열은 발 산(진동)한다. ㄴ. 홀수 번째 항은 -2, - , - , y에서 0에 수렴하고, 짝수 번째 ;3@; ;5@; , y에서 0에 수렴하므로 주어진 수열은 0에 수렴  발산 항은 1, , ;2!; ;3!; 한다. ㄷ. 주어진 수열은 1에 수렴한다. ㄹ. n=1, 2, 3, 4, y를 (-1)n에 차례로 대입하면  수렴, 0 -1, 1, -1, 1, y 이므로 수열 {(-1)n}은 발산(진동)한다. ㅁ. n=1, 2, 3, 4, y를 에 차례로 대입하면 (-1)n n 3n` ` lim n` Ö ¦ ` 22n-3n =lim n` Ö ¦ = 0 1-0 =0 n ` {;4#;} 1- {;4#;} n ` 0032 0033 ` lim n` Ö ¦ (-3)n+1+2n+1 2n-(-3)n =lim ` n` Ö ¦ -3_(-3)n+2_2n` 2n-(-3)n -3+2_ - { ;3@;} n ` ;3@;} - { n -1 ` =lim n` Ö ¦ = -3+0 0-1 =3  수렴, 3 0039 0034 ` lim n` Ö ¦ 2_3n+5n+1 ` 3n-4_5n =lim n` Ö ¦ 2_ n +5 {;5#;} n -4 {;5#;} = 0+5 0-4 =- ;4%;  수렴, - ;4%; 0035 lim n` Ö ¦ `(3n-2n)=lim `3n [ 1- {;3@;} n` Ö ¦ n ] =¦  발산 -1, , - , ;3!; ;4!; , y ;2!; 이므로 n이 한없이 커지면 의 값은 0에 한없이 가까워 (-1)n n 진다. 그러므로 수열 [ 3- 은 3에 수렴한다. ] (-1)n n 따라서 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.  ㄴ, ㄷ, ㅁ ① n=1, 2, 3, 4, y를 에 차례로 대입하면 -nÛ`+2 n+1 , - ;2!; ;3@; , - ;4&; , - :Á5¢: , y 이므로 n이 한없이 커지면 의 값은 음수이면서 그 절댓 -nÛ`+2 n+1 값이 한없이 커진다. 따라서 수열 [ -nÛ`+2 n+1 ] 는 음의 무한대로 발산한다. 1 n+1 ' 1 3+1 ② n=1, 2, 3, 4, y를 에 차례로 대입하면 1 1+1 , 1 2+1 , ' ' 이므로 수열 [ ' 1 n+1 ] ' 1 4+1 , ' , y 은 0에 수렴한다. ③ n=1, 2, 3, 4, y를 ` 에 차례로 대입하면 n-1 {;2!;} 이므로 n이 한없이 커지면 의 값은 0에 한없이 가까워진다. 0036 공비가 2r이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -1<2rÉ1 ∴ - 0)임을 이용한다. `log an=log lim n` Ö ¦ lim n` Ö ¦ `{logª (2nÛ`-n+3)-2`logª (n+1)} =lim n` Ö ¦ `logª  2nÛ`-n+3 (n+1)Û` =lim n` Ö ¦ `logª  2nÛ`-n+3 nÛ`+2n+1 2- + ;n!; 1+ + ;n@; 3 nÛ` 1 nÛ` â =logª  ` lim n` Ö ¦ á =logª`2=1  ② 0055 lim n` Ö ¦ `(log» "à nÛ`+2n+5-log» "à 9nÛ`-n+2 ) =lim n` Ö ¦ `log» "à "à nÛ`+2n+5 9nÛ`-n+2 =log» ` lim n` Ö ¦ á 1+ + ;n@; ®É 9- + ;n!; ®É 5 nÛ` 2 nÛ` â =log» =log3Û` 3-1=- ;3!; ;2!;  ② 0059 0056 an=log  이므로 n+1 n aÁ+aª+ y +an=log  +log  + y +log  ;1@; ;2#; n+1 n =log  _ _ y _ {;1@; ;2#; n+1 n } =log (n+1) ∴ 10aÁ+aª+ y +aÇ=10`log (n+1)=n+1 0058 Ú a+0이면 lim n` Ö ¦ ` anÜ`+bn+3 cnÛ`-2n-4 Û a=0, c+0이면 =¦ (또는 -¦) ` lim n` Ö ¦ anÜ`+bn+3 cnÛ`-2n-4 =lim ` n` Ö ¦ bn+3 cnÛ`-2n-4 =0 Ü a=0, b=0, c=0이면 ` lim n` Ö ¦ anÜ`+bn+3 cnÛ`-2n-4 =lim ` n` Ö ¦ 3 -2n-4 =0 Ú~Ü에서 a=c=0, b+0이므로 ` lim n` Ö ¦ anÜ`+bn+3 cnÛ`-2n-4 =lim ` n` Ö ¦ bn+3 -2n-4 ` =lim n` Ö ¦ =- ;2B; b+ ;n#; -2- ;n$; 따라서 - =-2이므로 b=4 ;2B; ∴ a+b+c=0+4+0=4 ` b+0이면 lim n` Ö ¦ anÛ`-2n-1 bnÜ`+nÛ`+3 =0이므로 b=0 ` ∴` lim n` Ö ¦ anÛ`-2n-1 bnÜ`+nÛ`+3 =lim ` n` Ö ¦ anÛ`-2n-1 nÛ`+3 ` =lim n` Ö ¦ a- - ;n@; 1 nÛ` 1+ 3 nÛ` = a ∴ a= ;2!; ` ∴`lim n` Ö ¦ nÛ`+3n-4 (an+b)Û` =lim ` n` Ö ¦ nÛ`+3n-4 nÛ` ;4!;  ;4!; 1+ - 3 n 4 nÛ` =4 3n-5 ` ∴ lim n` Ö ¦ ` 10aÁ+aª+ y +aÇ =lim n` Ö ¦ 3n-5 n+1 =lim ` n` Ö ¦ =3  ③ 3- ;n%; 1+ ;n!; ` =lim n` Ö ¦  4 0057 |전략| 극한값이 0이 아닌 실수이므로 분모와 분자의 차수가 같다. 0060 ` a+0이면 lim n` Ö ¦ anÛ`+bn+1 3n+5 =¦(또는 -¦)이므로 a=0 ` ∴ lim n` Ö ¦ anÛ`+bn+1 3n+5 =lim ` n` Ö ¦ bn+1 3n+5 =lim ` n` Ö ¦ b+ ;n!; 3+ ;n%; = ;3B; a>1이면 lim n` Ö ¦ ` "à nÛ`+n+n na ` "à lim n` Ö ¦ nÛ`+n+n na =¦이다. =0이고, a<1이면 즉, 0이 아닌 상수 b로 수렴하기 위해서는 a=1이어야 한다. 1 수열의 극한 | 007 1ㅡ수열의극한 ∴ lim n` Ö ¦ ` "à nÛ`+n+n na =lim n` Ö ¦ ` "à nÛ`+n+n n =lim n` Ö ¦ ∴ a+b=1+2=3 1+ +1 ` ®É ;n!; 1 =2=b 0061 |전략| 분모를 1로 보고 분자를 유리화한다. lim n` Ö ¦ `( "à 4nÛ`+3n-2n) ( 4nÛ`+3n-2n)( 4nÛ`+3n+2n) "à 4nÛ`+3n+2n "à 3n 4nÛ`+3n+2n ` =lim n` Ö ¦ 3 4+ +2 ;n#; ®É ` =lim n` Ö ¦ "à =lim ` n` Ö ¦ "à = 3 2+2 = ;4#; 0062 ` lim n` Ö ¦ ' =lim n` Ö ¦ ` ' '¶ n( '¶ n( n+1- n) ' n+1- n)( '¶ ' n+1+ ' '¶ n) n+1+ n ' =lim ` n` Ö ¦ n ' n+1+ '¶ n ' ` =lim n` Ö ¦ 1 ' 1+ ®É + 1 ' ;n!; = 1 1+1 = ;2!; 0063 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 an+bn=4(n- nÛ`+2n ), anbn=2 "à 1 bn } 1 an + ` =lim n` Ö ¦ ` ∴ lim n` Ö ¦ { an+bn anbn 4(n- ` =lim n` Ö ¦ nÛ`+2n ) "à 2 ` =2`lim n` Ö ¦ ` =2`lim n` Ö ¦ (n- "à nÛ`+2n )(n+ "à nÛ`+2n n+ "à -2n n+ nÛ`+2n "à ` =2`lim n` Ö ¦ nÛ`+2n ) -2 1+ 1+ ®É ;n@; =2_ =-2  ① -2 1+1 ∴ lim n` Ö ¦ `an=lim n` Ö ¦ `{ nÛ`+5n+4-(n+2)} nÛ`+5n+4-(n+2)}{ nÛ`+5n+4+(n+2)} "à nÛ`+5n+4+(n+2) "à n nÛ`+5n+4+n+2 1 4 nÛ` +1+ 1+ ;n%; + "à ¾¨ ;n@; "à { "à =lim n` Ö ¦ ` =lim n` Ö ¦ ` =lim n` Ö ¦ ` = 1 1+1 = ;2!; 채점 기준 ❶ an을 n에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다. ❷ lim n` Ö ¦ an의 값을 구할 수 있다. … ❷  ;2!; 비율 50`% 50`% 0065 ` lim n` Ö ¦ "à =lim ` n` Ö ¦ =lim ` n` Ö ¦ |전략| 분모를 유리화한 후 극한값을 구한다. 2 nÛ`+n- nÛ`-3n "à 2( nÛ`+n+ "à "à nÛ`-3n )( "à nÛ`-3n ) nÛ`+n+ nÛ`-3n ) =lim n` Ö ¦ ` "à ( "à 2( nÛ`+n- "à nÛ`+n+ "à 4n "à nÛ`-3n ) "à nÛ`+n+ "à 2n nÛ`-3n 1+ + 1- ;n!; ®É ®É ;n#; =lim ` n` Ö ¦ 2 = 1+1 2 =1  1  3  ④  ③ 0066 n ' n+1 n+2- lim n` Ö ¦ ` '¶ '¶ =lim ` n` Ö ¦ n+3- '¶ n+2- ( '¶ n+3- '¶ ( '¶ n)( ' '¶ n+1 )( n+2+ ' n+3+ '¶ '¶ '¶ n)( n+3+ n+1 ) n+1 )( n+2+ n ) 'Œ '¶ '¶ ` =lim n` Ö ¦ 2( n+3+ '¶ n+2+ n+1 ) n ) '¶ 2( ` =lim n` Ö ¦ '¶ 'Œ 1+ + 1+ ;n#; ®É ®É ;n!; 1+ + 1 '' ;n@; ®É = 1+1 1+1 =1 1 ` lim n` Ö ¦ n- =lim ` n` Ö ¦ 'Än(n-1) 1 nÛ`-n n- "à ` =lim n` Ö ¦ n+ nÛ`-n "à nÛ`-n )(n+ nÛ`-n ) "à (n- "à 1+ 1- nÛ`+4n+40 `{ aÉ0이면 lim n` Ö ¦ 4nÛ`+4n-(an+b)} `{ "à ∴ lim n` Ö ¦ "à { 4nÛ`+4n-(an+b)}{ 4nÛ`+4n+(an+b)} ` =lim n` Ö ¦ "à "à 4nÛ`+4n+(an+b) =lim ` n` Ö ¦ =lim ` n` Ö ¦ "à (4-aÛ`)nÛ`+(4-2ab)n-bÛ` 4nÛ`+4n+an+b "à (4-aÛ`)n+(4-2ab)- bÛ` n ` 4+ +a+ ;n$; ;nB; ®É 이 식의 극한값이 3이므로 4-aÛ`=0, 4-2ab 2+a =3 `3an-1 an+1 0071 |전략| 입한다. 3an-1 an+1 =bn으로 놓고 an을 bn에 대한 식으로 나타낸 다음 lim `an에 대 n` Ö ¦ =bn으로 놓으면 3an-1=bn(an+1)에서 (3-bn)an=bn+1 ∴ an= bn+1 3-bn 이때, lim n` Ö ¦ `bn=2이므로 lim n` Ö ¦ ` `an=lim n` Ö ¦ bn+1 3-bn = 2+1 3-2 =3 다른 풀이 수열 {an}이 수렴하므로 ` lim n` Ö ¦ `an=a(a는 실수)라 하면  3 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-2 (∵ a>0) ∴ a+b=2+(-2)=0  0 3a-1=2a+2 ∴ a=3 lim ` n` Ö ¦ 3an-1 an+1 = 3a-1 a+1 =2에서 0069 `( lim n` Ö ¦ "à ` =lim n` Ö ¦ "à pnÛ`+2n-4n+q) { pnÛ`+2n-(4n-q)}{ pnÛ`+2n+(4n-q)} "à pnÛ`+2n+(4n-q) =lim ` n` Ö ¦ =lim ` n` Ö ¦ "à (p-16)nÛ`+(2+8q)n-qÛ` pnÛ`+2n+4n-q "à (p-16)n+(2+8q)- qÛ` n p+ +4- ;n@; ;nQ; ®É 이 식의 극한값이 2이므로 p-16=0, =2 2+8q p+4 ' 위의 두 식을 연립하여 풀면 p=16, q= ;4&; ∴`pq=16_ =28 ;4&; ∴`lim n` Ö ¦ `an=3 0072 (n+1)an=bn으로 놓으면 an= bn n+1 이때, lim n` Ö ¦ `bn=3이므로 lim n` Ö ¦ `(4n+3)an=lim n` Ö ¦ `(4n+3)_ bn n+1 =lim n` Ö ¦ ` 4n+3 n+1 _lim n` Ö ¦ `bn =4_3=12  ⑤ 0073 (2nÛ`-n)an=cn으로 놓으면 an=  ④ nÜ`+nÛ`+1 bn =dn으로 놓으면 bn= cn 2nÛ`-n nÜ`+nÛ`+1 dn 1 수열의 극한 | 009 1ㅡ수열의극한 이때, lim n` Ö ¦ `cn=2, lim n` Ö ¦ `dn=3이므로 ` lim n` Ö ¦ anbn n =lim ` n` Ö ¦ cn 2nÛ`-n _ nÜ`+nÛ`+1 dn _ ;n!; ` =lim n` Ö ¦ cn dn _ nÜ`+nÛ`+1 2nÜ`-nÛ` = lim n` Ö ¦ lim n` Ö ¦ `cn `dn ` _lim n` Ö ¦ nÜ`+nÛ`+1 2nÜ`-nÛ` = _ = ;3!; ;2!; ;3@;  ③ 다른 풀이 lim n` Ö ¦ `(2nÛ`-n)an=2에서 an= 1 nÛ`+pn+q (p, q는 상수), lim ` n` Ö ¦ nÜ`+nÛ`+1 bn =3에서 bn= nÜ`+rnÛ`+sn+t (r, s, t는 상수)라 하면 ;3!; lim ` n` Ö ¦ anbn n =lim ` n` Ö ¦ ;3!; nÜ`+rnÛ`+sn+t n(nÛ`+pn+q) =lim ` n` Ö ¦ nÜ`+rnÛ`+sn+t ;3!; nÜ`+pnÛ`+qn = ;3!; 0074 an-2bn=cn으로 놓으면 an=2bn+cn 이때, lim n` Ö ¦ `cn=3 lim n` Ö ¦ ` `bn=¦이므로 lim n` Ö ¦ 1 bn =0 ` ∴ lim n` Ö ¦ bn-3 an+3 =lim ` n` Ö ¦ bn-3 2bn+cn+3 ` =lim n` Ö ¦ 1- 3 bn + 2+ cn bn 3 bn = 1-3_0 2+3_0+3_0 = ;2!;  ;2!; 0075 |전략| 명제가 거짓임을 보일 때는 반례를 생각해 본다. ㄱ. [반례] an= , bn= 이면 lim n` Ö ¦ ` `(an-bn)=lim n` Ö ¦ - { ;n!;} ;n@; ;n!; =0이 ` 지만 lim n` Ö ¦ bn an =2+1이다. ㄴ. bn an =cn이라 하면 bn=ancn이고 lim n` Ö ¦ `cn=1이므로 lim n` Ö ¦ `(an-bn)=lim n` Ö ¦ `(an-ancn)=lim n` Ö ¦ `an-lim n` Ö ¦ `an_lim n` Ö ¦ `cn bn an an bn =0-0_1=0 (참) ` ㄷ. lim n` Ö ¦ =1+0이므로 ` lim n` Ö ¦ =lim n` Ö ¦ ` = = =1 (참) ;1!; 1 bn an lim n` Ö ¦ `1 lim n` Ö ¦ ` bn an 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 010 | I . 수열의 극한 ㄴ. [반례] an=(-1)n이면 lim `anÛ`=1이지만 수열 {an}은 발산(진 n` Ö ¦ `(an-bn)=0이고 수열 {an}이 수렴하므로 `{an-(an-bn)} `an-lim n` Ö ¦ `(an-bn)=lim n` Ö ¦ `an (참) 0076 ㄱ. lim n` Ö ¦ lim n` Ö ¦ `bn=lim n` Ö ¦ =lim n` Ö ¦ 동)한다. ㄷ. [반례] an=1+(-1)n, bn=1-(-1)n이면 {an}: 0, 2, 0, 2, 0, 2, y {bn}: 2, 0, 2, 0, 2, 0, y {anbn}: 0, 0, 0, 0, 0, 0, y `anbn=0이지만 수열 {an}과 {bn}은 모두 발산(진동)한다. lim n` Ö ¦ 즉, lim n` Ö ¦ `an+0, lim n` Ö ¦ `bn+0이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.  ① 0077 |전략| 각 변을 n(n+1)로 나눈 후 극한값을 구한다. 2nÛ`+n+1|b|이므로 ` lim n` Ö ¦ { n b =0 a } … ❶ … ❷  0 비율 50`% 50`% 0084 ` 00에서 xÛ`-x+2= x- `+ >0이므로 항상 성립한다. { ;2!;} ;4&; 0092 Û xÛ`-xÉ2, 즉 `xÛ`-x-2É0에서 (x+1)(x-2)É0 ∴ -1ÉxÉ2 Ú, Û에서 -1ÉxÉ2 따라서 주어진 등비수열이 수렴하도록 하는 정수 x는 -1, 0, 1, 2이 므로 구하는 합은 2이다.  2 logª x=7, x=2à` ∴ 8x=2Ü`_2à`=2Ú`â`  ③ 0091 주어진 수열 {(x+1)(2-x)n-1}은 첫째항이 x+1, 공비가 2-x 인 등비수열이므로 이 수열이 수렴하려면 (첫째항)=0 또는 -1<(공비)É1이어야 한다. Ú (첫째항)=0인 경우 x+1=0에서 x=-1 Û -1<(공비)É1인 경우 -1<2-xÉ1에서 -3<-xÉ-1 ∴ 1Éx<3 로 구하는 합은 2이다. 채점 기준 ❶ (첫째항)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❷ -1<(공비)É1을 만족시키는 x의 값의 범위를 구할 수 있다. ❸ 주어진 수열이 수렴하도록 하는 x의 값의 범위를 구할 수 있다. … ❶ … ❷ … ❸ … ❹  2 비율 30`% 30`% 30`% 10`% 수열 5n+2 (logª x-2)n ] [ 은 첫째항이 , 공비가 5Ü` logª x-2 5 logª x-2 인 등비수열이므로 0이 아닌 극한값을 가지려면 공비가 1이어야 한다. 따라서 5 logª x-2 =1에서 참고 -1< 5 logª x-2 <1이면 5n+2 lim ` n` Ö ¦ (logª x-2)n = lim 5 logª x-2 =1이면 n` Ö ¦ `25 { 5 logª x-2 } n =25_0=0 5n+2 lim ` n` Ö ¦ (logª x-2)n = lim n` Ö ¦ `25 { n 5 logª x-2 } =25_1=25 0093 등비수열 `{rn}이 수렴하므로 -11, 즉 1Ék<5일 때 lim n` Ö ¦ n =¦이므로 {;k%;}  ① ` ak=lim n` Ö ¦ n+1 {;k%;} n +4 {;k%;} ` =lim n` Ö ¦ 1+ = ;k%; ;k%; 4 n {;k%;} ∴ kak=1_aÁ+2_aª+ y +15_a15 |전략| |r|>1일 때, -1< <1이므로 lim ` n` Ö ¦ ;r!; 1 rn =0임을 이용한다. =1_ +2_ +3_ +4_ +5_ ;1%; ;2%; ;3%; ;4%; ;5!; =5+5+5+5+1=21  21 +6_0+7_0+8_0+ y +15_0 ;K+!1`5 0097 0094 Ú |r|<1일 때, lim n` Ö ¦ `rn=0이므로 ` a=lim n` Ö ¦ rn-1 rn+1 Û r=1일 때, lim n` Ö ¦ =-1 `rn=1이므로 ` b=lim n` Ö ¦ rn-1 rn+1 =0 Ü |r|>1일 때, lim n` Ö ¦ `|rn|=¦이므로 ` c=lim n` Ö ¦ rn-1 rn+1 ` =lim n` Ö ¦ 1- 1+ 1 rn 1 rn =1 ∴`a+b+c=-1+0+1=0  0 0095 Ú 01일 때, lim n` Ö ¦ `rn+1=¦이므로 ` lim n` Ö ¦ rn-5 rn+1+1 ` =lim n` Ö ¦ - ;r!; 1+ 5 rn+1   1 rn+1 = ;r!; Ú~Ü에서 극한값 중 정수는 -5, -2의 2개이다.  ② |전략| |x|<1일 때는 lim `xn=0, |x|>1일 때는 lim ` n` Ö ¦ 1 xn =0임을 이용한다. n` Ö ¦ - f { ;3!;} ` =lim n` Ö ¦ n+1 - { ;3!;} + - { ;3!;} 2 `-1 n + - { ;3!;} - { ;3!;} +1 - ;9*; = ;3@; =- ;3$; f(1)=lim ` n` Ö ¦ 1n+1+1Û`-1 1n+1+1 = ;3!; f(2)=lim ` n` Ö ¦ 2n+1+2Û`-1 2n+2+1 =lim ` n` Ö ¦ 2+2Û`_ 1+2_ n - {;2!;} n + {;2!;} n {;2!;} {;2!;} n =2 ∴ f { - ;3!;} +f(1)+f(2)=- + ;3$; ;3!; +2=1  1 다른 풀이 Ú |x|<1일 때, lim n` Ö ¦ `xn=lim n` Ö ¦ `xn+1=0이므로 f(x)=lim ` n` Ö ¦ xn+1+xÛ`-1 xn+x+1 = xÛ`-1 x+1 =x-1 Û x=1일 때, lim n` Ö ¦ `xn=lim n` Ö ¦ `xn+1=1이므로 f(x)=lim ` n` Ö ¦ xn+1+xÛ`-1 xn+x+1 = 1+1Û`-1 1+1+1 = ;3!; Ü |x|>1일 때, lim n` Ö ¦ `|xn|=¦이므로 f(x)=lim ` n` Ö ¦ xn+1+xÛ`-1 xn+x+1 = lim n` Ö ¦ ` x+ 1+ 1 xn-2 - 1 xn-1 + 1 xn   1 xn =x 1 수열의 극한 | 013 0096 Ú 0< ` <1, 즉 k>5일 때 lim n` Ö ¦ ;k%; n ` =lim {;k%;} n` Ö ¦ {;k%;} n+1 =0이므로 ∴ f { - ;3!;} +f(1)+f(2)= - -1 + +2=1 { ;3!; } ;3!; 1ㅡ수열의극한 ∴ f(-3)+f +f(1)=-3+(-2)+ - =- { ;2!;}  ① :Á2Á: {;5!;} ⇨ an+2-an+1= (an+1-an) 꼴로 변형하여 수열 {an+1-an}은 첫 ;pR; -3-2_ - n { ;3!;} n =-3 1+ - { ;3!;} 0098 ` f(-3)=lim n` Ö ¦ (-3)n+1-2 (-3)n+1 ` =lim n` Ö ¦ n+1 -2 {;5!;} =-2 n +1 f {;5!;} ` =lim n` Ö ¦ {;5! \;} 1n+1-2 1n+1 f(1)=lim ` n` Ö ¦ =- ;2!; 0099 ` ㄱ. `f(1)=lim n` Ö ¦ 12n-1-2 1+12n =- (-1)2n-1-2 1+(-1)2n =- ;2!; ;2#; ` f(-1)=lim n` Ö ¦ ∴ f(1)+f(-1) (거짓) ㄴ. |x|<1일 때, lim n` Ö ¦ `x2n-1=lim `x2n=0이므로 n` Ö ¦ ` f(x)=lim n` Ö ¦ ㄷ. |x|>1일 때, lim n` Ö ¦ x2n-1-2 1+x2n =-2 (참) `x2n=¦이므로 ` f(x)=lim n` Ö ¦ x2n-1-2 1+x2n =lim n` Ö ¦ ` = ;[!; (참) - 2 ;[!; x2n 1 x2n +1 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ㄴ, ㄷ 0100 |전략| an+1= an+10을 an+1-20= (an-20)으로 변형한다. ;2!; an+1= an+10에서 an+1-20= (an-20) ;2!; ;2!; ;2!; ∴ lim n` Ö ¦ ` `an=lim n` Ö ¦ [ -19_ {;2!;} +20 =20 ] n-1  ⑤ 다른 풀이 수열 {an}이 수렴하므로 lim n` Ö ¦ `an=a(a는 실수)라 하면 비수열이므로 an-20=-19_ n-1 ` {;2!;} ∴ an=-19_ n-1 +20 {;2!;} lim n` Ö ¦ `an+1=a lim n` Ö ¦ `an+1=lim ` n` Ö ¦ {;2!; an+10 에서 } a= a+10, a=10 ∴ a=20 ;2!; ;2!; 014 | I . 수열의 극한 여러 가지 수열의 귀납적 정의 ⑴ an+1=an+f(n) 꼴 ⇨ n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더한다. ⑵ an+1=an`f(n) 꼴 ⇨ n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱한다. ⑶ an+1=pan+q(p+1, pq+0) 꼴 ⇨ an+1-a=p(an-a) 꼴로 변형하여 수열 {an-a}는 첫째항이 aÁ-a, 공비가 p인 등비수열임을 이용한다. ⑷ pan+2+qan+1+ran=0(p+q+r=0, pqr+0) 꼴 째항이 aª-aÁ, 공비가 ;pR;인 등비수열임을 이용한다. 0101 an+1=an+2n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더 하면 aª=aÁ+2Ú`` a£=aª+2Û`` a¢=a£+2Ü`` ⋮ an=an-1+2n-1 +>`³ an=aÁ+2Ú`+2Û`+2Ü`+ y +2n-1 2(2n-1-1) 2-1 ∴ an=aÁ+ 2k=1+ ` ∴`lim n` Ö ¦ nK-+1! 4an 2n+1 =lim ` n` Ö ¦ 4(2n-1) 2n+1 =2n-1 ` =lim n` Ö ¦ 4 1- { 1+ 1 2n } 1 2n =4 0102 이차방정식 xÛ`- '§ 방정식의 판별식을 D라 하면 ∴ an+1= an+1 ;4!; 이때, an+1- = ;3$; ;4!;{ an- 이므로 수열 [ ;3$;} an- ;3$;] 는 첫째항이 aÁ- =2- ;3$; = ;3$; ;3@; , 공비가 인 등비수열이다. ;4!; 즉, an- = _ ;3@; ;3$; {;4!;} n-1 에서 n-1 an= _ ;3@; {;4!;} + ;3$; ∴ lim n` Ö ¦ `an=lim n` Ö ¦ ` _ [;3@; {;4!;} + = ;3$; ;3$;] n-1  4 … ❶ … ❷ … ❸  ;3$; 수열 {an-20}은 첫째항이 aÁ-20=1-20=-19, 공비가 ` 인 등 ;2!; D=( an)Û`-4(an+1-1)=0, an-4an+1+4=0 '§ an x+(an+1-1)=0이 중근을 가지므로 이 이차 정답과 해설; 채점 기준 ❶ an과 an+1 사이의 관계식을 구할 수 있다. ❷ 일반항 an을 구할 수 있다. ❸ lim n` Ö ¦ an의 값을 구할 수 있다. 비율 30`% 40`% 30`% 0103 |전략| OPnÓ= "à nÛ`+n+1, OQnÓ=n임을 이용한다. OPnÓ= nÛ`+n+1, OQnÓ=n이므로 "à lim n` Ö ¦ `(OPnÓ-OQnÓ)=lim n` Ö ¦ `( nÛ`+n+1-n) ` =lim n` Ö ¦ nÛ`+n+1-n)( nÛ`+n+1+n) "à nÛ`+n+1+n ` =lim n` Ö ¦ ` =lim n` Ö ¦ 0104 xn=OAÁÓ+AÁAªÓ+AªA£Ó+ y +An-1AnÓ "à ( "à "à "à n+1 nÛ`+n+1+n 1+ ;n!; 1 nÛ` + 1+ ¾Ð ;n!; = ;2!; +1 1- n ` {;2!;} n-1 = 1- ;2!; n-1 `(n¾2) yÁ=1, yn=AnBnÓ=An-1AnÓ= 이때, an=(직선 OBn의 기울기)= 이므로 lim n` Ö ¦ `2nan=lim ` n` Ö ¦ { 2n_ yn xn } ` =lim n` Ö ¦ 2n_ ` =lim n` Ö ¦ 2 n-1 =1 2- {;2!;} n-1 {;2!;} n-1   2- {;2!;} ( { 9 {;2!;} yn xn ( { 9 0106 |전략| n번째 시행 후 A그릇에 들어 있는 물의 양을 an`L라 하고 an과 an+1 사 이의 관계식을 구한 후 일반항 an을 구한다. n번째 시행 후 A그릇에 들어 있는 물의 양을 an`L라 하면 물의 총량 은 1`L이므로 B그릇에 들어 있는 물의 양은 (1-an)`L이다. 이때, A그릇에 담긴 물의 을 퍼내어 B그릇에 부으면 A그릇에 들 ;4!; 어 있는 물의 양은 an`L, B그릇에 들어 있는 물의 양은 { ;4#; 1- an} ;4#; `L 이다. 다시 B그릇에 담긴 물의 을 퍼내어 A그릇에 부으면 ;4!; an+1= an+ 1- an} ;4#; ;4!;{ ;4#; ∴ an+1= an+ ;4!; ;1»6;  ② ∴ an+1- = ;7$; ;1»6;{ an- ;7$;} 즉, 수열 an- [ ;7$;] 는 첫째항이 aÁ- 이고 공비가 인 등비수열 ;7$; ;1»6; 이므로 an- = aÁ- ;7$; { _ ;7$;} {;1»6;} n-1 n-1 ∴ lim n` Ö ¦ ` `an=lim n` Ö ¦ [{ aÁ- _ ;7$;} {;1»6;} + = ;7$; ;7$;] n-1 따라서 A그릇에 들어 있는 물의 양은 `L에 가까워진다.  ;7$; `L ;7$; 0107 두 점 An(xn), An+1(xn+1)에 대하여 AnAn+1Ó을 2:1로 내분하는 점이 An+2(xn+2)이므로  ① xn+2= 2_xn+1+1_xn 2+1 = ;3@; xn+1+ xn (n=1, 2, 3, …) ;3!; ∴ xn+2-xn+1=- (xn+1-xn) ;3!; 즉, 수열 {xn+1-xn}은 첫째항이 xª-xÁ=4-1=3, 공비가 - 인 ;3!; =1+ + ;2!; {;2!;} `+ y + {;2!;} =2- {;2!;} n-1` ` ∴ an= aÁ- { _ ;7$;} {;1»6;} + ;7$; 0105 OCnÓ=ABnÓ=n, BnCnÓ=OAÓ=20이므로 ACnÓ="ÃOAÓ Û`+OCnÓ Û`= 또, △ABÁDn»△ABnCn이므로 20Û`+nÛ`= "à "à 400+nÛ`` ABÁÓ:ABnÓ=BÁDnÓ:BnCnÓ 1:n=BÁDnÓ:20 ∴ BÁDnÓ= 20 n ` ∴`lim n` Ö ¦ ACnÓ-OCnÓ BÁDnÓ =lim n` Ö ¦ ` "à 400+nÛ`-n 20 n ` =lim n` Ö ¦ "à n( 400+nÛ`-n)( 400+nÛ`+n) "à 400+nÛ`+n) 20( "à ` =lim n` Ö ¦ ` =lim n` Ö ¦ =10  10 20n 400+nÛ`+n 20 "à 400 nÛ` ¾Ð +1+1 등비수열이므로 xn+1-xn=3_ - { ;3!;} n-1 xª-xÁ=3 x£-xª=3_ - x¢-x£=3_ - ⋮ { { ;3!;} ` ;3!;} + xn-xn-1=3_ }³ { - ;3!;} n-2 위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 xn-xÁ=3 1+ - [ { + - { ;3!;} 2 + y + ;3!;} { - ;3!;} n-2 ] 1 수열의 극한 | 015 1ㅡ수열의극한2 2 정답과 해설 ∴ xn=xÁ+ 3_ - { ;3!;} k-1 =1+ nK-+1! = - _ - :Á4£: ;4(; { ;3!;} n-1 3 1- - [ { ;3!;} n-1 ] 1- - { ;3!;} ∴ lim n` Ö ¦ ` `xn=lim n` Ö ¦ - _ - [:Á4£: ;4(; { ;3!;} n-1 ] = :Á4£:  ⑤ Sn= n{2a+(n-1)d} 2 = n(dn+2a-d) 2 = ;2D; nÛ`+ 2a-d 2 n ` lim n` Ö ¦ Sn 2nÛ`+2n-1 =3에서 nÛ`+ ;2D; 2a-d 2 n 2nÛ`+2n-1 ` lim n` Ö ¦ =lim ` n` Ö ¦ + ;2D; 2+ 2a-d 2n 1 nÛ` ;n@;- = =3 ;4D;  ③ 유형 02 수열의 극한에 대한 기본 성질 |전략| lim `an=a, lim n` Ö ¦ n` Ö ¦ `bn=b (a, b는 실수)로 놓고 극한에 대한 기본 성질을 이 이때, a¢+aÁ¼=14이므로 a¢+aÁ¼=(log£ a+3d)+(log£ a+9d)=2 log£ a+12d 2 log£ a+12d=14 ∴ log£ a+6d=7 yy ㉠ ∴ d=12 0111 유형 06 꼴의 극한 - 로그를 포함한 식 ¦ ¦ 이용하여 log£ a, d의 값을 각각 구한다. 등차수열 {an}의 공차를 d라 하면 |전략| 공차를 d로 놓고 a¢=log£ a+3d, aÁ¼=log£ a+9d와 주어진 극한값을 an=log£ a+(n-1)d이므로 ` lim n` Ö ¦ an 2n+1 =lim n` Ö ¦ ` log£ a+(n-1)d 2n+1 d+ log£ a-d n 2+ ;n!; = ;2D; =lim n` Ö ¦ ` = ;2D; ;3!; 에서 d= ;3@; ㉡을 ㉠에 대입하면  ⑤ log£ a+6_ =7 ∴ log£ a=3 ;3@; yy ㉡  ② ∴ aÁ»=3+18_ =15 ;3@; 0112 유형 08 ¦-¦ 꼴의 극한 "à 자연수 n에 대하여 |전략| n+1< nÛ`+4n+24, |x|<4일 때로 나누어 극한값을 구한다. Ú |x|>4일 때, lim n` Ö ¦ ` n =0이므로 {;[$;} ` lim n` Ö ¦ xn+4n xn-4n =lim n` Ö ¦ ` 1+ 1- n {;[$;} n {;[$;} =1 Û |x|<4일 때, lim n` Ö ¦ ` {;4{;} n =0이므로 ` lim n` Ö ¦ xn+4n xn-4n =lim n` Ö ¦ ` n +1 {;4{;} n -1 {;4{;} =-1 Ú, Û에서 극한값이 -1이 되는 x의 값의 범위는 |x|<4, 즉 -42이므로 00)라 하면 lim n` Ö ¦ `an+1=a이다. ㉠에서 lim n` Ö ¦ ` `an+1=lim n` Ö ¦ 1 2+an a= 1 2+a , aÛ`+2a-1=0 ∴ a=-1+ 2 (∵ a>0) ' 이때, 주어진 수열은 {1+an}이므로 `(1+an)=1+a=1+(-1+ 2)= ' 2 ' 2이므로 mÛ`=( 2)Û`=2 ' lim n` Ö ¦ 따라서 m= ' 0119 유형 19 수열의 극한의 활용 ⑴ |전략| 방정식 f(x)=k의 실근은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점 의 x좌표와 같음을 이용한다. (단, k는 실수) Ú 2nf(a)-1æ¾0일 때 ` lim n` Ö ¦ |2nf(a)-1|-nf(a) 3n-2 =lim ` n` Ö ¦ 2nf(a)-1-nf(a) 3n-2 ` =lim n` Ö ¦ nf(a)-1 3n-2 = ;3!; f(a) 이때, 점 (3n, 4n)과 점 (-1, 0) 사이의 거리는 (3n+1)Û`+(4n)Û`= 25nÛ`+6n+1 "à "à 이므로 an= bn= "à "à 25nÛ`+6n+1+4n 25nÛ`+6n+1-4n yy ㉠ ` ∴ lim n` Ö ¦ =lim n` Ö ¦ an bn 25nÛ`+6n+1+4n 25nÛ`+6n+1-4n ` "à "à 25+ + ;n^; ¾Ð 25+ + ;n^; ¾Ð 1 nÛ` 1 nÛ` +4 -4 =lim n` Ö ¦ ` = 5+4 5-4 =9 ⑴ 좌표축에 접하는 원의 방정식 ① 중심의 좌표가 (a, b)이고 x축에 접하는 원의 방정식  ④ ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`=bÛ` ② 중심의 좌표가 (a, b)이고 y축에 접하는 원의 방정식 ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`=aÛ` ③ 중심의 좌표가 (a, a)이고 제1사분면에서 x축과 y축에 동시에 접하는 원의 방정식 ⇨ (x-a)Û`+(y-a)Û`=aÛ` ⑵ 원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리 ① 최댓값 ⇨ POÓ+OBÓ=d+r ② 최솟값 ⇨ POÓ-AOÓ=d-r r B d A O r P 그런데 f(a)=6은 정의되어 있지 않으므로 f(a)=6은 모순이다. 0121 따라서 방정식 f(a)=-2의 실근의 개수는 2이므로 Ú, Û에서 구 ` lim n` Ö ¦ =1 y 3 O -2 -3 -3 y=f (x) 4 x y=-2 유형 11 일반항 an을 포함한 식의 극한값 |전략| an-bn=cn으로 놓고 lim ` =0임을 이용하여 lim ` 의 값을 구한다. cn an n` Ö ¦ bn an n` Ö ¦ an-bn=cn으로 놓으면 lim n` Ö ¦ `cn=2, lim n` Ö ¦ `an=¦이므로 ` lim n` Ö ¦ =0 cn an cn an bn an ` lim n` Ö ¦ =lim n` Ö ¦ ` an-bn an ` =lim n` Ö ¦ { 1- bn an } =0에서  ② ` 따라서 lim n` Ö ¦ =lim n` Ö ¦ ` =1이므로 an bn 1 bn an ` lim n` Ö ¦ { anÛ` bn - bnÛ` an } ` =lim n` Ö ¦ anÜ`-bnÜ` anbn |전략| 반지름의 길이가 r인 원의 중심과 점 (-1, 0) 사이의 거리가 d일 때, 원 위의 점과 점 (-1, 0) 사이의 최대, 최소 거리는 각각 d+r, d-r이다. 자연수 n에 대하여 점 (3n, 4n)을 중심으 y 로 하고 x축에 접하는 원 On의 반지름의 길이는 4n이다. 4n an bn O-1 3n x ` =lim n` Ö ¦ =lim n` Ö ¦ =lim n` Ö ¦ (an-bn)(anÛ`+anbn+bnÛ`) anbn anÛ` anbn an bn anbn anbn bn an } +1+ + + `(an-bn) `(an-bn) { { bnÛ` anbn } =2_(1+1+1)=6 f(a)=2에서 f(a)=6 ;3!; Û 2nf(a)-1<0일 때 ` lim n` Ö ¦ |2nf(a)-1|-nf(a) 3n-2 ` =lim n` Ö ¦ -2nf(a)+1-nf(a) 3n-2 ` =lim n` Ö ¦ -3nf(a)+1 3n-2 =-f(a) -f(a)=2에서 f(a)=-2 하는 실수 a의 개수는 2이다. 0120 유형 19 수열의 극한의 활용 ⑴ 018 | I . 수열의 극한  ① … ❶ … ❷ … ❸  6 정답과 해설 … ❷ … ❸  6p 배점 2점 3점 2점 채점 기준 ❶ lim ` n` Ö ¦ ❷ lim ` n` Ö ¦ cn an bn an 의 값을 구할 수 있다. 의 값을 구할 수 있다. ❸ lim n` Ö ¦ ` { anÛ` bn - bnÛ` an }의 값을 구할 수 있다. 배점 1점 3점 3점 이와 같은 방법으로 계속하면 an=n æ(6p)Û`+ ¾Ð 8 n } { `æ ∴ lim n` Ö ¦ an n =lim ` n` Ö ¦ ¾Ð 2 æ(6p)Û`+ 8 n } { =6p 2` 채점 기준 ❶ aÁ의 값을 구할 수 있다. ❷ 일반항 an을 구할 수 있다. ❸ lim ` n` Ö ¦ an n 의 값을 구할 수 있다. 0124 0122 유형 14 등비수열의 극한 |전략| 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 일차 이하의 다항식 이므로 Rn(x)=ax+b(a, b는 상수)로 놓는다. 다항식 (x+1)n을 xÛ`-x로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 =x(x-1)Q(x)+ax+b yy ㉠ … ❶ Rn(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면 (x+1)n =(xÛ`-x)Q(x)+ax+b ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 1=b ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 2n=a+b ∴ a=2n-1 따라서 Rn(x)=(2n-1)x+1이므로 Rn(2)=(2n-1)_2+1=2n+1-1 2n+2+1 2n+2n+1-1 1 2n 2n+2+1 2n+Rn(2) ` ∴ lim n` Ö ¦ ` =lim n` Ö ¦ 4+ ` =lim n` Ö ¦ = ;3$; 1+2- 1 2n ❶ 몫과 나머지를 이용하여 항등식을 세울 수 있다. ❷ Rn(x)를 구할 수 있다. ❸ lim ` n` Ö ¦ 2n+2+1 2n+Rn(2) 의 값을 구할 수 있다. 채점 기준 0123 유형 19 수열의 극한의 활용 ⑴ |전략| 피타고라스 정리를 이용하여 일반항 an을 구한다. 오른쪽 그림과 같이 직원기둥의 옆면의 전 개도에서 직사각형의 가로의 길이는 직원 기둥의 밑면의 둘레의 길이와 같으므로 A 6p 이때, 옆면을 한 바퀴 돌아 점 B까지 가는 최단 거리는 직사각형의 대 2p_3=6p 각선의 길이와 같으므로 aÁ= (6p)Û`+8Û` "à 까지 가는 최단 거리는 aª=2 æ(6p)Û`+ ¾Ð {;2*;} 또, 오른쪽 그림과 같이 두 바퀴 돌아 점 B 유형 13 수열의 극한의 대소 관계 + 18 귀납적으로 정의된 수열의 극한 |전략| 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 axÛ`+bx+c>0이 항상 성립하려면 a>0이고 bÛ`-4ac<0이어야 한다. ⑴ 이차부등식 anxÛ`-2an+1x+ an>0(an>0)이 항상 성립하려면 … ❷ 이차방정식 anxÛ`-2an+1x+ an=0이 실근을 갖지 않아야 한다. ;9$; ;9$; 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =an+1Û`- anÛ`<0 ;9$; an+1+ an}{ ;3@; an+1- an} ;3@; <0 { 그런데 an+1+ an>0(∵ an>0)이므로 ;3@; an+1- an<0 ∴ an+1< ;3@; an ;3@; ⑵ ⑴의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하 … ❸  ;3$; 배점 2점 2점 2점 B 8 … ❶ B 4 4 면 aª< aÁ ;3@; a£< aª ;3@; ⋮ _ an< }³ ;3@; an-1 an< {;3@;} n-1 _aÁ ∴ 00)  ④ 개념 마스터 2 급수 본책 28~41쪽 0129 |전략| n년 차 연말에 남아 있는 와인의 양 an과 (n+1)년 차 연말에 남아 있는 와인의 양 an+1 사이의 관계식을 구한다. an+1=(1-0.4)an+200= an+200에서 ;5#; an+1-500= (an-500) ;5#; 수열 {an-500}은 첫째항이 aÁ-500=800-500=300, 공비가 ;5#; 인 등비수열이므로 an-500=300_ ∴ an=500+300_ n-1 {;5#;} n-1 {;5#;} ∴ lim n` Ö ¦   an=lim   [ n` Ö ¦ 500+300_ n-1 ] {;5#;} =500  500 |전략| 내분점의 공식을 이용하여 주어진 규칙을 수식으로 변형한 후 xn-1과 xn ㈎에서 xÁ=2이고 ㈏에서 주어진 규칙에 따라 xn은 점 Pn-1(xn-1) 과 점 P(4)를 1 : n으로 내분하는 점 Pn의 좌표이므로 0130 사이의 규칙을 찾는다. xn= n_xn-1+4 n+1 = n n+1 4 n+1 xn-1+ (n=2, 3, 4, y) ∴ xn-4= (xn-1-4) (n=2, 3, 4, y) n n+1 n n+1 n n+1 2 n+1 이때, xn-4=yn(n=2, 3, 4, y)이라 하면 yn= yn-1이고 yn-1= yn-2이므로 n-1 n yn= _ n-1 n _ n-2 n-1 _ y _ _yÁ ;3@; = (xÁ-4)=- (∵ xÁ=2) 4 n+1 yn=xn-4=- 이므로 xn=4- 4 n+1 4 n+1 ∴ lim n` Ö ¦   xn=lim   { n` Ö ¦ 4- 4 n+1 } =4  an= lim  ¦ n`  Ú  Sn= lim  ¦ Ú n`    n=1 n+2 2n+1 =   ;2!;  an= lim  ¦ n`  Ú  Sn= lim  ¦ Ú n`    [ n=1 1- n {;2!;} ] =1   an= lim  ¦ n`  Ú  Sn= lim  ¦ Ú n`    10-nÛ ` n(n-3) = lim  ¦ n`  Ú   -nÛ nÛ +10 ` -3n ` =-1  an= lim  ¦ n`  Ú  Sn= lim  ¦ Ú n`  n=1 (-3)n {;5!;}  ¦{-;5#;} n = lim n`  Ú n =0   0 0135 주어진 급수는 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열의 합이므로 제 n 항 까지의 부분합을 Sn이라 하면 Sn= n{2_2+(n-1)_3} 2 = 3nÛ +n ` 2 ∴  lim  ¦ n`  Ú  Sn= lim  ¦ Ú 따라서 주어진 급수는 발산한다.  =¦ n`    3nÛ +n ` 2  ;2!;  1  -1  발산 STEP1 0131 ¦ 0132 ¦ 0133 ¦ n=1   0134 ¦ 0136 주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가  인 등비수열의 합이므로 제 n 항 ;3!; 까지의 부분합을 Sn이라 하면 n 1- 1_ [ {;3!;} ] Sn= 1- ;3!; = ;2#;[ 1- {;3!;} n ] ∴  lim  ¦ n`  Ú  Sn= lim  ¦ Ú n`    ;2#;[ 1- n {;3!;} ] = ;2#; 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은  ;2#; 이다.   수렴, ;2#; 0137 주어진 급수의 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 SÁ=2, Sª=0, S£=2, S¢=0, y  ④ 따라서 수열 {Sn}이 진동하므로 주어진 급수는 발산한다.   발산 2 급수 | 021 2ㅡ급수; ; ; ; + - {;2!; ;3!;} {;3!; ;4!;} + - + y + 1 n { - 1 n+1 } 0138 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 - 1 = Sn=   n n 1 k(k+1)   {;k!; k=1 k=1 k+1 } = 1- { ;2!;} =1- 1 n+1 ∴  lim  ¦ n`  Ú Sn= lim n`  Ú  ¦{ 1- 1 n+1 } =1 0139 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 Sn= n k=1 k k+1 - k+1 k+2 }   { ∴  lim  ¦ n`  Ú 1- 1 'Ä 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.  Sn= lim n`  Ú n+1 } =1  ¦{  수렴, 1 0143 주어진 급수는 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열의 합이므로 제 n 항 을 an이라 하면 ∴  lim  ¦ n`  Ú an= lim  ¦ n`  Ú 따라서 주어진 급수는 발산한다.  2n=¦+0  풀이 참조 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.   수렴, 1 an=2+(n-1)_2=2n - {;3@; ;4#;} {;4#; ;5$;} + - + y + n n+1 - n+1 n+2 } { = {;2!; = ;2!; + - ;3@;} - n+1 n+2 ∴  lim  ¦ n`  Ú Sn= lim n`  Ú  ¦{;2!; - n+1 n+2 } = -1=- ;2!; ;2!; 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 - 이다.   수렴, - ;2!; ;2!; 0144 주어진 급수는 첫째항이 -2, 공차가 3인 등차수열의 합이므로 제 n   항을 an이라 하면 an=-2+(n-1)_3=3n-5 ∴  lim  ¦ n`  Ú an= lim  ¦ n`  Ú 따라서 주어진 급수는 발산한다.  (3n-5)=¦+0  풀이 참조 =( 2- 1)+( 3- 2)+( 4- 3)+ y +( n+1- n) ' ' ' 'Ä ' 제 n 항을 an이라 하면 0140 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 Sn=  log  n k=1 k+1 k =log 2+log  +log  + y +log  ;2#; ;3$; _ y _ n+1 n } =log  { 2_ ;2#; _ ;3$; =log (n+1) n+1 n ∴  lim  ¦ n`  Ú Sn= lim  ¦ n`  Ú 따라서 주어진 급수는 발산한다.  log (n+1)=¦ 0141 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 n Sn=  ( k+1- k) k=1 'Ä ' ' ' ' n+1-1 = 'Ä ∴  lim  ¦ n`  Ú Sn= lim  ¦ n`  Ú 따라서 주어진 급수는 발산한다.  n+1-1)=¦ 'Ä ( 0142 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 Sn= n k=1 = {   { ' 1 k - 1 2 } 1 k+1 } 'Ä 1 + 2 - { 1 1 - ' ' ' ' =1- 1 n+1 'Ä 022 | I . 수열의 극한 0145 주어진 급수는 첫째항이 5, 공비가 1인 등비수열의 합이므로 제 n 항 을 an이라 하면 an=5 ∴  lim  ¦ n`  Ú an=5+0 따라서 주어진 급수는 발산한다.   풀이 참조  발산 주어진 급수는 첫째항이  , 공차가 - 인 등차수열의 합이므로  0146 7 3 ' ∴  lim  ¦ n`  Ú an= +(n-1)_ - =- 7 3 ' 2 3 ' 2 3 } ' n+3 { 2 3 2 3 n+3 3 ' ' =-¦+0  발산 an= lim n`  Ú 따라서 주어진 급수는 발산한다.   ¦{- ' ' 3  }  풀이 참조 1 3 } + { 1 3 - 1 4 } ' ' + y + 1 n - 1 n+1 } 'Ä { ' 0147 제 n 항을 an이라 하면 an= nÛ ` n(n+2) lim  ¦ n`  Ú an= lim  ¦ n`  Ú = lim  ¦ n`  Ú 따라서 주어진 급수는 발산한다.  nÛ ` n(n+2) nÛ ` +2n nÛ ` =1+0  풀이 참조 정답과 해설; ; ; ; ; ; 따라서 주어진 급수는 발산한다.   풀이 참조 에서 첫째항이 3, 공비가  이고, -1< <1이므로 ;2!; ;2!; 0148 제 n 항을 an이라 하면 an= nÛ +2n-n "à ` +2n-n) lim  ¦ n`  Ú an= lim  ¦ n`  Ú ( nÛ ` "à             = lim  ¦ Ú n`  "à `             = lim  ¦ Ú n`  "à ( nÛ +2n-n)( nÛ +2n+n) "à ` nÛ`+2n+n "à 2n nÛ`+2n+n = lim  ¦ n`  Ú 2 1+ +1 ;n@; ¾Ð             = =1+0 2 1+1 0149 제 n 항을 an이라 하면 an=logª  n 2n-1 lim  ¦ n`  Ú an= lim  ¦ n`  Ú logª  n 2n-1 =logª  { lim  ¦ n`  Ú n 2n-1 }             =logª  =-1+0 ;2!; 따라서 주어진 급수는 발산한다.   풀이 참조 0150 제 n 항을 an이라 하면 an= 3n+1+1 3n+2n lim  ¦ n`  Ú an= lim  ¦ n`  Ú 3n+1+1 3n+2n = lim n`   ¦ 3+ n {;3!;} n {;3@;} Ú 1+ =3+0 따라서 주어진 급수는 발산한다.   풀이 참조  (an+2bn)=  an+2  bn=2+2_3=8 ¦ ¦ n=1 n=1 ¦ ¦ -4bn} =   ;2!; n=1  an-4 n=1  bn= ;2!; _2-4_3=-11  ⑴ 8 ⑵ -11  수렴, ;5#;  수렴, 6 에서 첫째항이 1, 공비가 - 이고, -1<- <1이 ;3@; ;3@; 0155 ¦ n-1 -   { ;3@;} n=1 므로 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은  1 1 = =   ;5#; 1- {-;3@;} ;3%; 0156 ¦ n-1  3_ {;2!;} n=1 주어진 등비급수는 수렴한다. 따라서 그 합은  3 3 = =6  1- ;2!; ;2!; 0157 ¦ n +   [{;3!;} n ¦ = n=1 n +   {;3!;} ¦ n=1 n   {;5!;} {;5!;} ] n=1                                 = ;3!; + ;5!; 1- ;3!; 1- ;5!;                                 = + =   ;4#; ;4!; ;2!;  ;4#; 0158 ¦ 3 2n - 5 4n }   { =3 ¦ n=1 n -5   {;2!;} ¦ n   {;4!;} n=1 n=1                         =3_ -5_ ;2!; 1- ;2!; ;4!; 1- ;4!;                         =3_1-5_ =   ;3$; ;3!;  ;3$; 첫째항이 1, 공비가  이고, -1< <1이므로 주어진 등비급수는  ;4!; ;4!; 0159 ¦   2n-3n 4n = ¦   {;2!;} n=1 ¦ n -   {;4#;} n=1 n n=1 수렴한다. 따라서 그 합은  1 1 = 1- ;4!; ;4#; =   ;3$;  수렴, ;3$;                   = ;2!; - ;4#; 1- ;2!; 1- ;4#;                   =1-3=-2   -2 2이고, - 2<-1이므로 주어진 등비급수는 발산한다. '  발산 0160 ¦ 공비가 - 이고, - <-1이므로 주어진 등비급수는 발산한다. ;2#; ;2#;  발산                            =3_1+4_5=23   23 3 2n +   { 4n 5n-1 } n=1 ¦ =3   {;2!;} n=1 ¦ n +4   {;5$;} n=1 n-1                            =3_ +4_ ;2!; 1- ;2!; 1 1- ;5$; 0151 ¦ ⑴  n=1 ¦ n=1 an 2   { ⑵    0152 0153 공비가 - ' 0154     2 급수 | 023 2ㅡ급수; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 정답과 해설 0161 ¦ (1- 2)n-1= n=1 ' 1 1-(1- 2) '' = 1 2 ' 2 = ' 2   2  ' 2  sin   + 3p 2  sin   5p 2 + y  ] 0162 ¦ n=1 =2  ¦ n=1 =2 [;3@;   2n+1 3n  sin   (2n-1)p 2 (2n-1)p 2 n  sin     {;3@;} p 2   sin  + {;3@;} + 2` {;3@;} {;3@;} 3` + y  ] =2 - [;3@; {;3@;} - {;3@;} 2` 3` 4` 2 = [;3@;+;3@;_{-;3@;}+;3@;_{-;3@;} =2_ ;3@; 1- {-;3@;} =2_ =   ;5$; ;5@; + y ] 2` 0163 공비가 2x이므로 주어진 등비급수가 수렴하려면 -1<2x<1    ∴ - 2+1+ + {;4@; ;4@;}+{;8@; + + ;8@; ;8@; + ;8@;} + y =2+1+1+1+ y=¦ 이므로 주어진 급수는 발산한다. ② 주어진 급수의 제 n 항을 an이라 하면 an= 2n 2n+1 =1+0이므로  은 발산한다. =1+0이므로  은 발산한다. n=1 ¦   2n 2n+1 nÛ ` n(n+5)   ¦ n=1 2n 2n+1 ③  lim  ¦ n`  Ú ¦     n`  이때,  lim  ¦ Ú nÛ ` n(n+5) 1 2n(2n+2) n n=1   ④  = lim  ¦ n`  Ú   k=1     ;2!; { 1 2k - 1 2k+2 }   ;2!;[{;2!; - ;4!;}+{;4!; ;6!;} - + y + 1 2n - { 1 2n+2 }] = lim  ¦ n`  Ú = lim  ¦ n`  Ú     {;2!; ;2!; - 1 2n+2 } = ;4!;  (수렴) ⑤  lim  ¦ n`  Ú   2nÛ 1+2+3+ y +n ` = lim  ¦ n`  Ú   2nÛ ` n(n+1) 2 4nÛ n(n+1) ` = lim  ¦ n`  Ú   =4+0 이므로  ¦ n=1   2nÛ 1+2+3+ y +n ` 은 발산한다. 따라서 주어진 급수 중 수렴하는 것은 ④이다.   ④ 0184 한다. ¦ n=1 ¦ n=1  an=a,   bn=b로 놓으면 ¦ n=1 (3an+2bn)=3  an+2  bn=12에서 n=1 n=1 ¦ ¦ 3a+2b=12   yy ㉠ 또,  (-5an+7bn)=-5  an+7  bn=11에서 ¦ ¦ n=1 n=1 ¦ n=1 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 ∴   (an-bn)=  an-  bn=a-b=2-3=-1   -1 ¦ n=1 ¦ ¦ n=1 n=1 0185 3an-5bn=cn으로 놓으면 3an=5bn+cn ∴ an= bn+ cn  ;3!; ;3%; 이때,   bn=3,   cn=12이므로 ¦ n=1 ¦ n=1 ¦ ¦  an= n=1 n=1   {;3%; bn+ cn} ;3!; = ;3%; ¦   n=1  bn+ ¦   n=1  cn ;3!;           = _3+ _12=9  ;3%; ;3!; ❶ 3an-5bn=cn으로 놓고 an을 bn과 cn을 사용하여 나타낼 수 있다. ❷ an의 합을 구할 수 있다. ¦ n=1 … ❶ … ❷  9 비율 40`% 60`%  an=a,   bn=b로 놓으면 ¦ n=1 ¦     n=1 an+bn 2 ¦ ¦ = ;2!;{ n=1  an+ =  bn} ;2!; n=1 (a+b) (수렴)  an이 수렴하므로  lim  ¦ Ú n`   an= lim  ¦ n`  Ú an+1=0 n=1 ∴   (an-an+1)= lim  ¦ Ú                                   = lim  ¦ Ú n`  n`  n   k=1  (ak-ak+1)  {(aÁ-aª)+(aª-a£) + y +(an-an+1)}                                   = lim  ¦ Ú n`   (aÁ-an+1)                                   =aÁ-0=aÁ (수렴) ㄷ. [반례]  ` bn= 1 n(n+1) ¦ n=1 이면   bn=1로 수렴하지만 1 bn     lim  ¦ n`  Ú = lim  ¦ n`  Ú 따라서 수렴하는 것은 ㄱ, ㄴ이다.   n(n+1)=¦+0이므로  은 발산한다. ¦ n=1   1 bn  ㄱ, ㄴ   채점 기준 0186 ¦ ㄱ.  n=1 ㄴ.  ¦ n=1 ¦ 0187 ¦ ㄱ.  n=1 ¦   n=1 ¦ n=1 ¦ n=1  an=a,   (an+bn)=b로 놓으면  bn=  {(an+bn)-an}=  (an+bn)-  an ¦ n=1 ㄴ.   an과  ¦ n=1 ¦  bn이 수렴하므로  lim  an= lim  ¦  ¦ n`  Ú Ú  bn=0 (참) n`   an_ lim  ¦ n`  Ú n=1  an bn= lim  ¦ Ú n`  ∴  lim  ¦ n`  Ú ㄷ. [반례] {an}:1, 0, 1, 0, y, {bn}:0, 1, 0, 1, y이면 ¦   n=1   lim  ¦ n`  Ú  an bn=0으로 수렴하고  lim  ¦ Ú n`   an+0이지만  bn+0이다.  ¦ n=1  bn=0 2 급수 | 027 |전략| an=a, bn=b로 놓고 a, b의 값을 구한 후 주어진 급수의 합을 구 ¦ n=1 ¦ n=1                =b-a (수렴) (참) -5a+7b=11  yy ㉡ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.   ㄱ, ㄴ 2ㅡ급수; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; |전략| 주어진 급수를 arn-1(a+0)의 꼴로 나타낸 다음 -10 이때, n은 홀수이므로 실근의 개수는 1이다. (3n+1-1)이므로 = ;2!; Ú, Û에서 an=  (k=1, 2, 3, y) ∴ a2k+1=1 ∴  ¦ n=2 2an 5n =                   = 0 (n=2k) [ 1 (n=2k+1) 2a¢ 5Ý 2a£ 5Ü + + ` + 2 5à` ` + y 2aª 5Û 2 5Ü ` + ` 2 5Þ ` ;12@5; 1- ;2Á5; + + y 2a° 5Þ `                   = =   ;6Á0;  ;6Á0; = = n=1 ¦ n=1 n n -;2!;_{;9!;} ]   [;2#;_{;3!;} ¦ = ;2#; n=1   {;3!;} n - ¦ n ;2!; n=1   {;9!;} = _ ;2#; - _ ;2!; ;3!; 1- ;3!; ;9!; 1- ;9!; = - =   ;1!6!; ;1Á6; ;4#;  ;1!6!; 0192 |전략| 등비수열 {an}의 첫째항이 a, 공비가 r(-11이므로  ;r!; ;r!; r-1 2 } n 의 공비는  r-1 2 이고 -1< <0이므로 수렴 r-1 2 ㄹ.  -1   {;2R; } n=1 n 의 공비는  ;2R; -1이고 - < -1<- 이므로 ;2#; ;2R; ;2!; 반드시 수렴하는 것은 아니다. 따라서 반드시 수렴하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.   ㄱ, ㄷ 0199 ¦ n=1 r 1-r 등비급수   rn이 수렴하므로 -1 ;2!; ∴-1+ 1 1-r >- ;2!; 따라서 그 합이 될 수 없는 것은 ① -1이다.   ① Û 등비급수  ¦ n=1 5-x 3   { } n 의 공비가  5-x 3 이므로 수렴하려면 -1< <1, -3<5-x<3, -8<-x<-2 ¦ n=1 rn=-1+ 1 1-r =a라 하면 -1- ;2!; ∴ -1+ 1 1-r >- ;2!;  따라서 조건을 만족시키는 정수 x는 6, 7이므로 구하는 합은 6+7=13   13 a O-1 -1 1 2- 1 r 2 급수 | 029 2ㅡ급수; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0200 |전략| 2an+1=an-3을 an+1+3= (an+3)으로 변형한다. 2an+1=an-3에서 an+1+3= (an+3) ;2!; ;2!; 수열 {an+3}은 첫째항이 aÁ+3=-5+3=-2, 공비가  인 등비 ;2!; 수열이므로 an+3=-2_ ∴   (an+3)=  (-2)_ ¦ n=1 n-1 {;2!;}                                           =-4  n-1 {;2!;} ¦ n=1 -2 = 1- ;2!; 0201 an+1=an+n+1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼 리 더하면 aª=aÁ+1+1 a£=aª+2+1 a¢=a£+3+1           ⋮ + >³` an=an-1+n-1+1 n-1        an=aÁ+ k+(n-1)           =1+ +n-1 k=1 n(n-1) 2           = +n= nÛ ` -n 2 n(n+1) 2 ∴  ¦ n=1   1 an n     k=1 1 ak = lim  ¦ n`  Ú               = lim  ¦ Ú n`      k=1 = lim  ¦ n`  Ú 1 k+1 } - n  2   k=1 {;k!;     n 2 k(k+1)               = lim  ¦ Ú n`   2 [{ 1- ;2!;}+{;2!; ;3!;} - + y + 1 - {;n!; n+1 }]               = lim  ¦ Ú n`   2 1- { 1 n+1 } =2     채점 기준 ❷ ¦ n=1 1 an ❶ 일반항 an을 구할 수 있다. 의 합을 구할 수 있다. … ❷  2 비율 50`% 50`% 0202 aÁ=1, aª=2, an+2=an+1+an이므로 임의의 자연수 n에 대하여 anæ¾n 이때,  lim  ¦ Ú n`  an=¦이므로  lim  ¦ Ú n`  1 an =0  an+2=an+1+an에서 an=an+2-an+1이므로 an an+1 an+2 = an+2-an+1 an+1 an+2 = 1 an+1 - 1 an+2 030 | I . 수열의 극한 1 a¢ } + y + 1 1 { an+1 - an+2 }]  ③  ① 0203 |전략| aÁ=SÁ, an=Sn-Sn-1(n¾2)임을 이용하여 일반항 an을 구한다. ∴  ¦ n=1   an an+1 an+2 n 1 ak+2 } 1 a£ - 1   k=1{ 1 a2 -  ¦[{ 1 a2 -  ¦{ = lim  ¦ n`  Ú = lim n`  Ú = lim n`  Ú 1 a2 = - lim  ¦ n`  Ú ak+1 - 1 a£ }+{ 1 an+2 } 1 an+2 1 an+2 = lim  ¦ n`  Ú   ;2!; = lim  ¦ n`  Ú 1 an =0 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ= ;3!; Û n¾æ2일 때, an=Sn-Sn-1 =1- {;3@;} 1- [ {;3@;} n - =- _ ;3@; {;3@;} n-1 + {;3@;} n-1 ] n-1 n-1  = _ ;3!; {;3@;} 이때, aÁ= 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 ;3!; an= _ ;3!; {;3@;} n-1 … ❶ ∴ aÁ+a£+a°+ y= + _ ;3!; ;3!; {;3@;} + _ ;3!; {;3@;} + y 2` 4` ;3!; = 1- ;9$; =   ;5#; 0204 수열 {an}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=nÛ ` Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1 Û n¾æ2일 때, an  =Sn-Sn-1=nÛ -(n-1)Û `   ` =2n-1   이때, aÁ=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=2n-1 ¦ 1 an an+1 ∴  n=1   = lim  ¦ n`  Ú n   k=1 n   k=1 1 (2k-1)(2k+1) 1 2k+1 } 2k-1 -   {   ;2!; 1                        = lim  ¦ Ú n`                         = lim  ¦ Ú n`    ;2!;   [{ 1- ;3!;}+{;3!; ;5!;} - + y + 1 1 { 2n-1 - 2n+1 }]                        = lim  ¦ Ú n`    ;2!;   { 1- 1 2n+1 } =   ;2!;  ;2!; yy ㉠  ①   yy ㉠ 정답과 해설; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0205 log (Sn+1)=n에서  Sn+1=10n  Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=9  ∴  Sn=10n-1 Û n¾æ2일 때, an  =Sn-Sn-1=10n-1-(10n-1-1)  =9_10n-1    yy ㉠ 이때, aÁ=9는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=9_10n-1 ∴  + + + y= 1 aÁ 1 aª 1 a£ ¦ n=1   1 an ¦ n-1 =   ;9!;_{;1Á0;} n=1                                       = ;9!; 1- ;1Á0; =   ;8!1); 0209 = ;3¢3; ;9!9@; =0.H1H2=0.121212y이므로 aÁ=1, aª=2, a£=1, a¢=2, y ∴  ¦ n=1   an 2n = + ;2!; 2 2Û 1 2Ü 2 2Ý + + + + + y ` ` +2_ ` +2_ 1 2Ü ` =   ;3$;                 =2_ ;2!;                 = 1 1- ;4!; 2 2ß ` + y 1 2Þ ` 1 2Þ ` 0206 an+1=Sn+3  an=Sn-1+3  ㉠-㉡을 하면 an+1-an=Sn-Sn-1=an ∴ an+1=2an (n¾2) 따라서 수열 {an}은 제 2 항부터 공비가 2인 등비수열이다. 한편, aÁ=SÁ이므로 ㉠에서 aª=SÁ+3=aÁ+3=6 ∴ an=3_2n-1 (n¾2)  이때, aÁ=3은 ㉢에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=3_2n-1 ∴  ¦ n=1   1 an ¦ = _   ;3!; {;2!;} n=1 n-1 = ;3!; =   ;3@; 1- ;2!; 0207 |전략| 0.H4= ;9$;, 0.0H5= ;9°0;임을 이용한다. 0.H4= , 0.0H5= ;9$; = ;9°0; ;1Á8; 이므로 공비를 r라 하면 = rÜ ` ;9$; ;1Á8; , rÜ = `   ;8!;  ∴  r= ;2!; 따라서 구하는 등비급수의 합은 = =0.H8  ;9*; ;9$; 1- ;2!; 0208 공비가 0.H3= = 이므로 ;9#; ;3!; ¦ n=1  an= aÁ 1- ;3!; =0.H1H8,  aÁ= ;2#; ;9!9*; ∴ aÁ= _ = ;3@; ;9!9*; ;9!9@; =0.H1H2  0210 an은 7n+1을 5로 나누었을 때의 나머지이므로 aÁ=3, aª=0, a£=4, a¢=2, a°=3, a¤=0, a¦=4, a¥=2, y   ¦ ∴  an 10n = 4 10Ü                   =0.3+0+0.004+0.0002+0.00003+ y + y 3 10Þ 2 10Ý 0 10Û ;1£0; + + + + n=1 ` ` ` `                   =0.H304H2   ② 0211 다. |전략| a, b를 각각 선분의 길이의 합, 차로 나타낸 후 등비급수의 합을 이용한  ;8!1); yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ a=OPÁÓ-PªP£Ó+P¢P°Ó-P¤P¦Ó+ y =1- + - {;4#;} {;4#;} + y {;4#;} 1 2` = 1- {-;1»6;} = 4` ;2!5^; 6`  ;3@; b=PÁPªÓ-P£P¢Ó+P°P¤Ó-P¦P¥Ó+ y = - ;4#; {;4#;} +{;4#;} -{;4#;} + y 3` 5` 7` = ;4#; 1- {-;1»6;} = ;2!5@; ∴  = a b =   ;3$; ;2!5^; ;2!5@;  ;3$;  ;3$;  ② 0212 점 Pn이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 (x, y)라 하면  x=PÁPªÓ+P£P¢Ó+P°P¤Ó+ y = + ;3@; {;3@;} +{;3@;} + y= 3` y=OPÁÓ+PªP£Ó+P¢P°Ó+ y 5` ;3@; 1- ;9$; = ;5^; =1+ + y= {;3@;} +{;3@;} 2` 4` 1 1- ;9$; = ;5(;  ③ 2 급수 | 031 2ㅡ급수; ; ; ; ; ; ; 따라서 점 Pn은 점  ,  {;5^; ;5(;} 에 한없이 가까워진다.   {;5^;, ;5(;} 0213 점 Pn이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 (x, y)라 하면 x=OPÁÓ  cos  30ù-PÁPªÓ  cos  30ù+PªP£Ó  cos  30ù- y 3 =1_ ' 2 - ;2!; 3 _ ' 2 + {;2!;} 3 _ ' 2 - y 2` 3 ' 2 = 1- {-;2!;} 3 = ' 3 y=OPÁÓ  sin  30ù+PÁPªÓ  sin  30ù+PªP£Ó  sin  30ù+ y =1_ + _ ;2!; ;2!; ;2!; + {;2!;} _ + y ;2!; ;2!; = =1 1- ;2!; 2` } 0214 높이의 두 배를 해야 한다. 따라서 점 Pn은 점  { 3 ' 3 , 1 에 한없이 가까워진다.   { 3 3 , 1 ' } |전략| 두 번째부터는 공이 튀어 올랐다가 떨어지므로 공이 움직인 거리는 공의 5 m 2 5_ m 3 5_ 2 3 { } m 5_ 2 3 { } m … 지할 때까지 움직인 거리는 5+2 5_ +5_ [ ;3@; {;3@;} +5_ {;3@;} + y  ] 2` 3` =5+2_ =5+20=25 (m)   ② :Á3¼: 1- ;3@; 0215 lÁ=30_ +1=21이고 ;3@; ln+1= ln+1(n=1, 2, 3, y)이므로 ;3@; ln+1-3= (ln-3) ;3@; 0216 추가 n번째 움직인 거리를 ln`cm라 하면 lÁ=60이고 ln+1=  ln (n=1, 2, 3, y) ;1»0; 즉, 수열 {ln}은 첫째항이 60, 공비가   인 등비수열이므로  ;1»0; ¦ n=1  ln= 60 1- ;1»0; =600  따라서 추가 정지할 때까지 움직인 거리는 600`cm이다.   600`cm 0217 3 |전략| 첫째항이 1, 공비가 ' 2 ∠POPÁ=∠PPÁPª=∠PÁPªP£=y=30ù이므로 임을 구한 후 등비급수의 합을 이용한다. PPÁÓ=OPÓ sin 30ù=2_ =1 ;2!; 3 PÁPªÓ=PPÁÓ cos 30ù=1_ ' 2 3 = ' 2 3 PªP£Ó=PÁPªÓ cos 30ù= ' 2 3 _ ' 2 = { 3 ' 2 }    ⋮ 3 ∴ PPÁÓ+PÁPªÓ+PªP£Ó+ y=1+ ' 2 + { + y                                             = 2` 3 ' 2 } 2 2- 2` 3 ' 1 = 3 1- ' 2 3  '                                             =4+2  4+2 3 ' 0218 △AnBnCn과 △An+1Bn+1Cn+1은 닮음비가 2:1이므로   따라서 수열 {an}은 첫째항이 1, 공비가  인 등비수열이므로 ;2!; ¦ n=1  an= 1 =2  1- ;2!; 0219 오른쪽 그림에서  AnBnÓ=ln, An+1Bn+1Ó=ln+1이라 하면 △AnBnC, △An+1Bn+1C가 직각이등 변삼각형이므로 An+1CÓ=ln+1이고 AnCÓ:AnBnÓ= ' (ln+ln+1):ln= 2:1 2:1 ' ∴ ln+1=( 2-1)ln, l¼=ABÓ=2 '  2 Bn+1 B n C n+1 l A n+1 l n+1 l n A n nl 위의 그림과 같이 높이가 5 m인 곳에서 수직으로 떨어뜨린 공이 정 aÁ=2_ =1이고 an+1= an (n=1, 2, 3, y)  ;2!; ;2!; 따라서 수열 {ln-3}은 첫째항이 lÁ-3=21-3=18, 공비가  인  ;3@; 따라서 ln=2_( 2-1)n(n=0, 1, 2, y)이므로 ' 등비수열이므로  ln-3=18_  ∴   (ln-3)= =54   54 n-1   {;3@;} ¦ n=1 18 1- ;3@; ABÓ+AÁBÁÓ+AªBªÓ+ y=                                         = ¦ ¦  ln= n=0 n=0  2_( 2-1)n ' 2 2-1) =2+ 2  ' 1-( '  2+ 2 ' 032 | I . 수열의 극한 정답과 해설Ü Û ; ; ; ; ; … S£ Sª 2 1 SÁ 1 2 1 2{ } … Sª S£ 2 0220 |전략| S=SÁ+2Sª+2S£+ y임을 이용한다. SÁ=1_1=1  Sª= _ = ;2!; ;2!; {;2!;} {;2!;} _{;2!;} 2` ={;2!;} 2` 2` 4` S£=   ⋮ 따라서 모든 정사각형의 넓이의 합 S는 S=SÁ+2Sª+2S£+ … =1Û +2 ` + [{;2!;} {;2!;} + …  ] 2` ;4!; 4` = ;3%; 1- ;4!; =1+2_ ∴ 6S=10  0221 오른쪽 그림과 같이 n번째 정사각형의 한 변의 길이를 an이라 하면  aÁ=1이고  ' an= { n-1 1 2 } ' 2an+1=an, 즉 an+1= an이므로 1 2 '  (n=1, 2, 3, y) 이때, 색칠한 부분의 넓이는 p 4 anÛ`- anÛ`= ;2!; p 4 { - anÛ` ;2!;} 따라서 구하는 넓이의 합은 ¦ n=1 p 4   { - ;2!;} anÛ`= ¦ p 4   { - ;2!;} _ n-1 n=1 p 4 { - _ ;2!;} {;2!;} 1 1- ;2!;                            = = -1  p 2  -1 p 2 0222 선분 AnBn 위에 빗변이 놓여 있는 직각이등변삼각형의 넓이의 합을 Sn이라 하면 SÁ= _2_1=1 ;2!; ;2!; Sª= _1_ _2= ;2!; ;2!; S£= _ _ ;2!; ;2!; ;4!; _4= ;4!;   ⋮ ¦ n=1 따라서 구하는 넓이의 합은  Sn=1+ + + y= ;2!; ;4!; 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0223 가 f(n)임을 이용한다. ` 나머지가 15이므로 유형 01 부분분수를 이용하는 급수 |전략| f(x)=anxÛ`+anx+5로 놓고 f(x)를 x-n으로 나누었을 때의 나머지   f(x)=anxÛ +anx+5로 놓으면  f(x)를 x-n으로 나누었을 때의    f(n)=annÛ ∴ an= +ann+5=15, (nÛ ` 10 n(n+1) ` +n)an=10    이때, 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 Sn= n k=1   10 k(k+1) n =10 -   {;k!; k=1 1 k+1 } 2ㅡ 급 수 =10 1- [{ ;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;} + y + - {;n!; n+1 }] 1  10 =10 1- { 1 n+1 } ∴  ¦ n=1  an= lim  ¦ n`  Ú Sn= lim  ¦ n`  Ú 10 1- { 1 n+1 } =10   ① na   0224 n+1a 2 n+1a = na 유형 02 로그를 포함한 급수 |전략| 로그의 성질을 이용하여 an을 변형하면 an=log£ (n+1)(n+3) (n+2)(n+2) 이다. an=log£  -log£  =log£  n+2 n+1 (n+1)(n+3) (n+2)(n+2) n+3 n+2 n Sn= 이때, 제 n 항까지의 부분합을 Sn이라 하면 (k+1)(k+3) (k+2)(k+2) 3_5 4_4 2_4 3_3 =log£  +log£  +log£   log£  k=1 4_6 5_5 + y +log£  (n+1)(n+3) (n+2)(n+2) 3_5 4_4 _ 4_6 5_5 _  y  _ (n+1)(n+3) (n+2)(n+2) ] =log£  [ =log£  2_4 3_3 _ 2(n+3) 3(n+2) ∴  ¦ n=1  an= lim  ¦ n`  Ú  Sn= lim  ¦ Ú n`   log£  2(n+3) 3(n+2)               =log£  =log£ 2-1  ;3@;  ① 다른 풀이 an=log£ -log£ n+3 n+2 n+2 n+1 에서 제 n 항까지의 부분합을 Sn 이라 하면 n Sn= log£ { k=1 k+3 k+2 -log£ k+2 k+1 } = log£ -log£ + log£ -log£ ;2#;} { ;4%; { ;3$; ;3$;} + y + log£ { n+3 n+2 -log£ n+2 n+1 } 1 =2  1- ;2!; =-log£ +log£ ;2#; n+3 n+2  2 ∴ ¦ n=1 an= lim  ¦ Ú n`  =-log£ ;2#; n`  -log£ Sn= lim Ú +log£ 1=log£ 2-1 +log£  ¦{ ;2#; n+3 n+2 } 2 급수 | 033 Û ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0225 이용한다. 유형 04 급수와 수열의 극한값 사이의 관계 |전략| an- =cn, an+2bn=dn으로 놓고 lim n Ö ¦ cn=0, lim n Ö ¦ dn=0임을 2n n+1 급수  ¦ n=1{ an- 2n n+1 } 이 수렴하므로  lim Ú n`   ¦{ an- 2n n+1 } =0 이때, an- =cn으로 놓으면 0228 유형 09 귀납적으로 정의된 수열의 급수 |전략| 수열 {an}의 일반항을 구하여 bÁ, bª, b£, b¢, y를 차례로 구한다. 수열 {an}은 첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열이므로 an=1_2n-1=2n-1 an을 3으로 나누었을 때의 나머지가 bn이므로 {an}:1, 2, 4, 8, 16, 32, y {bn}:1, 2, 1, 2, 1, 2, y an=cn+  cn=0이므로 즉, 수열 {bn}은 1, 2가 이 순서대로 반복되는 수열이다. 2n n+1 2n n+1 ,  lim  ¦ n`  Ú cn+ lim  ¦ n`  Ú 또, 급수  2n n+1 }  ¦{ =0+2=2  an= lim n`  Ú  (an+2bn)이 수렴하므로  lim  ¦ Ú n=1 n`  ¦ 이때, an+2bn=dn으로 놓으면 (an+2bn)=0 bn=- an+ ;2!; ;2!;  dn=0이므로 dn,  lim  ¦ n`  Ú an+ - ;2!; 2+3 -1+2 =5  lim  ¦ n`  Ú ∴  lim  ¦ n`  Ú  ¦{  bn= lim n`  Ú an+3 bn+2   = dn} ;2!; ;2!; =- _2+0=-1 0226 유형 05 급수의 성질 |전략| 2an-5와 2bn+5의 합에서 상수항이 소거됨을 이용한다. 두 급수  (2an-5),  (2bn+5)가 모두 수렴하므로 ¦ n=1 ¦ n=1 ¦ n=1 ¦ n=1 (2an-5)+ (2bn+5)= {(2an-5)+(2bn+5)}                                              = (2an+2bn)=2 (an+bn) ¦ n=1 ¦ n=1 ¦ n=1                                              =380 ∴  (an+bn)=190  ¦ n=1 0227 유형 07 합이 주어진 등비급수 |전략| 등비수열 {an}의 공비가 r이면 수열 {a3n-1}, {a3n}의 공비는 rÜ`이다. 첫째항이 2인 등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 ¦  an=6에서  =6   ∴  r= 2 1-r n=1 수열 {a3n-1}은 첫째항이 aª=2r= , 공비가 rÜ = 인 등비수열 ` ;2¥7; 이고, 수열 {a3n}은 첫째항이 a£=2rÛ = , 공비가 rÜ = 인 등비 ` ;9*; ` ;2¥7; ;3@; ;3$; 수열이다. ∴   (a£n-1-a3n)=  a3n-1-  a3n ¦ n=1 ¦ n=1 ¦ n=1  ③ ∴  ¦ n=1{ bn n = 5 } + ;5!;                     = {;5@;} +{;5!;} +{;5@;} 2` [;5!;+{;5!;} 3` +{;5!;} 4` + y  ] + y 3` 5` + [{;5@;} +{;5@;} 2` + y  ] +{;5@;} 6` 4`                     = ;5!; ;2¢5; + 1- ;2Á5; 1- ;2Á5; = + = ;6!; ;8#; ;2°4;  ⑤ 따라서 S= 이므로 16S=16_ =6  ;¶8#; ;¶8#; 0229 유형 09 귀납적으로 정의된 수열의 급수 + 10 Sn과 an 사이의 관계를 이용하는 급수 |전략| Sn+1= Sn+1을 Sn+1-2= (Sn-2)로 변형한다. ;2!; Sn+1= Sn+1에서 Sn+1-2= (Sn-2) ;2!; ;2!; ;2!; 수열 {Sn-2}는 첫째항이 SÁ-2=10-2=8, 공비가  인 등비수 ;2!; 열이므로 Sn-2=8_  ∴  Sn=8_ n-1   {;2!;} n-1 +2 {;2!;}  ④ an=Sn-Sn-1 n-1 n-2 =8_ {;2!;} +2- 8_ [ {;2!;} +2 ] =8_ {;2!;} n-1 -8_ n-2 {;2!;} =-4_ {;2!;} n-2  (n¾æ2) ∴ aª+a¢+a¤+ y=-4+ -4_ [ {;2!;} ]+[ {;2!;} ] -4_ + y = -4 1- ;4!; 2` =-   :Á3¤: 4`  ① 0230 유형 11 순환소수와 등비급수 |전략| =0.H12H3임을 이용한다. ;9!9@9#;                                = ;3$; - ;9*; 1- ;2¥7; 1- ;2¥7; =   ;1!9@;  ② ;9!9@9#; =0.H12H3=0.123123123y이므로  aÁ=1, aª=2, a£=3, a¢=1, a°=2, a¤=3, y 034 | I . 수열의 극한 정답과 해설; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ∴  ¦ n=1   an 3n = + ;3!; 2 3Û            = + {;3!; + + + + + y 3 3Ü ` + y 1 3Ý ` +2 } { ` 2 3Þ 1 3Û ` ` 1 3Ý ` ` 3 3ß 1 3Þ ` + + y } +3 { + + y } 1 3Ü ` 1 3ß ` 오른쪽 그림에서 PQÓ∥BCÓ이면 △APQ와 △ABC는 서로 닮음이다. ⑴ APÓ`:`ABÓ=AQÓ`:`ACÓ=PQÓ`:`BCÓ ⑵ APÓ`:`PBÓ=AQÓ`:`QCÓ ⑶ ABÓ`:`BPÓ=ACÓ`:`CQÓ A P Q B C            = +2_ +3_ ;3!; ;9!; 1-;2Á7; 1-;2Á7; ;2Á7; 1-;2Á7;            = + + =   ;1»3; ;2£6; ;2¤ §6; ;2»6; 0233  ⑤ OAnÓ= 1 4n-1 이고 AnBnÓ은 점 An{ 1 4n-1 , 0 } 과 직선 3x+4y=0 사 x-2=0에서 x=2  -1<3x-2É1에서 1<3xÉ3    유형 08 등비급수의 수렴 조건 |전략| 등비수열 {arn-1}의 수렴 조건은 a=0 또는 -1-1에서 xÛ -x+2>0 ` 이때, xÛ -x+2= x- { + >0 ;4&; ;2!;} `  따라서 모든 실수 x에 대하여 성립한다.   yy ㉢ 2` xÛ -x+1<1에서 xÛ -x<0, x(x-1)<0 ` yy ㉣  ④ ∴ 0- 에서연속이므로x=0에서도연속이다. ;3!; 즉,lim x` Ö 0 `f(x)=f(0)이므로 ` f(0)=lim x` Ö 0 ln(3x+1) ex-1 =lim ` x` Ö 0 ln(3x+1) 3x _ x ex-1 _3 =1_1_3=3  3 함수f(x)g(x)가열린구간 - ,¦ 에서연속이므로x=0에서 { ;2!; } 0325 f(x)=x+a(a는상수)로놓으면f(0)=a이므로 f(0)g(0)=6a ( ∴`f(x)g(x)= { 9 x(x+a) ln (1+2x) (x+0) 6a (x=0) 도연속이다. 즉,lim x` Ö 0 `f(x)g(x)=f(0)g(0)이므로 ` lim x` Ö 0 x(x+a) ln (1+2x) =lim ` x` Ö 0 2x ln (1+2x) _(x+a)_ ;2!; =1_a_ = ;2!; ;2!; a=6a 11a=0 ∴ a=0 ` =lim h` Ö 0 `f(1-h)-f(1)-{`f(1+h)-f(1)} h ` =lim h` Ö 0 `f(1-h)-f(1) -h _(-1)-lim ` h` Ö 0 `f(1+h)-f(1) h =-f'(1)-f'(1)=-2f'(1) 이때,f(x)=5_3x+1=5_3_3x=15_3x에서 `f'(x)=15_3xln3 ∴-2f'(1)=-2_15_3_ln3=-90ln3  -90 ln 3 미분계수의 정의 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는 ` `f '(a)=lim h` Ö 0 `f(a+h)-f(a)  h ` =lim x` Ö a `f(x)-f(a)  x-a |전략| y=ln x일 때, y '= ;[!;임을 이용한다. `f'(x)=3xÛ`lnx+xÜ`_ =xÛ`(3lnx+1) ;[!; ∴f'(e)=4eÛ`  ⑤ 따라서f(x)=x이므로f(4)=4  4 y=ln2x=ln2+lnx이므로y'= ;[!; 0326 |전략| y=ex일 때, y'=ex임을 이용한다. `f(x)=(x+a)ex+b=(x+a)eb_ex이므로 `f'(x)=eb_ex+(x+a)eb_ex =ex+b(x+a+1) `f'(0)=0에서eb(a+1)=0 ∴a=-1(∵eb+0) `f'(-1)=-1에서-eb-1=-1 b-1=0 ∴ b=1 ∴a+b=-1+1=0 0327 `f(x)=2x+1=2_2x이므로 `f'(x)=2_2xln2=2x+1ln2 이때,x=1에서의미분계수가aln2이므로 `f'(1)=4ln2=aln2 ∴a=4 이때,함수y=ln2x의그래프위의점 ,1 에서의접선의기울기 는x= 에서의미분계수와같으므로 ;2E;  ;e@; {;2E; } 1 ;2E; =  ;e@;  접선의 기울기와 미분계수의 관계 함수 f(x)가 미분가능할 때, 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선 의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f '(a)와 같다.  ① `f(x)=xÜ`log¢8x=xÜ`(log¢8+log¢x)=xÜ` +log¢x {;2#; 이므로 } `f'(x)=3xÛ` +log¢x +xÜ`_ {;2#; } 1 xln4 = xÛ`+3xÛ`log¢x+ ;2(; ;2(; xÛ` ln4 4 ln4 f'(2)= _4+12log¢2+ =18+6+ =24+ 2 ln2 2 ln2 이므로a=24,b=2  ② ∴a+b=24+2=26  26 3 지수함수와 로그함수의 미분 | 045 0329 0330 0331 3ㅡ지수함수와로그함수의 미분 정답과 해설 0332 ` lim h` Ö 0 `f(1+2h)-f(1-h) h ` =lim h` Ö 0 {`f(1+2h)-f(1)}-{`f(1-h)-f(1)} h ` =lim h` Ö 0 `f(1+2h)-f(1) 2h _2+lim ` h` Ö 0 `f(1-h)-f(1) -h =2f'(1)+f'(1)=3f'(1) 이때,f(x)=xÛ`+xlnx에서 `f'(x)=2x+1_lnx+x_ ;[!; =2x+lnx+1 ∴3f'(1)=3_(2+ln1+1)=9  ④ e+a=1+a+b  ∴b=e-1 또,f'(1)이존재하므로 `f'(x)= 에서 lim x` Ö 1+ e=2+a (x>1) ex` [ 2x+a (x<1) `ex= lim `(2x+a) x` Ö 1-  ∴a=e-2 ∴a-b=(e-2)-(e-1)=-1  ② 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0336 |전략| 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이고 f '(1)이 존 유형 02 로그함수의 극한 함수f(x)가x=1에서미분가능하므로x=1에서연속이다. `(bxÛ`+3)=f(1)이므로 |전략| ;[!; =t로 놓고 lim `log° t=¦임을 이용한다. =t로놓으면x 0+일때t ¦이므로 ;[!; Ú t` Ö ¦ Ú yy㉠ lim x` Ö 0+ ` `f(x) g(x) = lim ` x` Ö 0+ ` =lim t` Ö ¦ log°2t log° (3t+1)  x>1일 때 `f(x)=ln ax=ln a+ln x이므로 `f '(x)= ;[!; ` =lim t` Ö ¦ log£ ;[@; log°  +1 } {;[#; log°t+log°2 log° t+log°  { 3+ ;t!;} 1+ log° log°2 log°t 3+ { log°t ;t!;} 1+ ` =lim t` Ö ¦ = =1 ;1!;  ③  ⑤ 0337 0334 함수f(x)가x=2에서미분가능하므로x=2에서연속이다. 즉, lim x` Ö 2+ `(axÛ`-3x-1)= lim x` Ö 2- `(ex-2+b)=f(2)이므로 4a-7=1+b  ∴b=4a-8 yy㉠ 유형 04 lim ` x` Ö ¦ { 1+ x =e를 이용한 함수의 극한 ;[!;} |전략| lim ` x` Ö ¦ 1+ { ;aÁ[;} ax =e임을 이용한다. ㄱ.lim x` Ö ¦ `f(x)=lim  { x` Ö ¦ x-1 x x } =lim x` Ö ¦  { 1- ;[!;} x =lim  [{ x` Ö ¦ 1- ;[!;} -1 -x ] =e-1= (참) ;e!; ㄴ. f(x-1)= x-1 x-2 x-1 } { = 1- { x-1 1 x-1} x-1=t로놓으면x ¦일때t ¦이므로 lim x` Ö ¦ `f(x-1)=lim  { x` Ö ¦ 1- Ú Ú x-1 1 x-1} =lim  { t` Ö ¦ 1- ;t!;} t 0333 재한다. `lnax= lim x` Ö 1- 즉, lim x` Ö 1+ lna=b+3 또,f'(1)이존재하므로 `f'(x)=( { 9   (x>1) ;[!; 2bx (x<1) 에서 lim x` Ö 1+ ` = lim x` Ö 1- ;[!; `2bx 1=2b  ∴b= ;2!; b= 을㉠에대입하면lna= ;2!; ;2&; ∴lna+b= + ;2&; ;2!; =4 또,f'(2)가존재하므로 f'(x)= 2ax-3 (x>æ2) [ ex-2 (x<2) 에서 lim x` Ö 2+ 4a-3=1 `(2ax-3)= lim x` Ö 2- `ex-2  ∴a=1 a=1을㉠에대입하면b=-4 ∴aÛ`+bÛ`=1Û`+(-4)Û`=17 046 | II. 여러 가지 함수의 미분  ⑤  -t -1 =lim  [{ t` Ö ¦ 1- ;t!;} ] 0335 함수f(x)가모든실수x에서미분가능하면x=1에서도미분가능하  =e-1= ;e!; 므로x=1에서연속이다. `(ex+a)= lim 즉, lim x` Ö 1+ x` Ö 1- `(xÛ`+ax+b)=f(1)이므로 ∴lim x` Ö ¦ `f(x)f(x-1)=lim x` Ö ¦ `f(x)_lim x` Ö ¦ `f(x-1) = _ = ;e!; ;e!; 1 eÛ` (참) ㄷ.k¾æ2에서x ¦일때kx ¦이므로 lim x` Ö ¦ `f(kx)=lim  { x` Ö ¦ Ú` Ú` kx kx-1 kx } =lim  [{ x` Ö ¦ 1- -1 1 kx } -kx ] =e-1= (거짓) ;e!; 따라서옳은것은ㄱ,ㄴ이다. 0338 유형 05 lim ` x` Ö 0 ln (1+x)  x |전략| lim ` x` Ö 0 ln (1+ax) ax =1을 이용한 함수의 극한 =1임을 이용한다. ` lim x` Ö 0 ln(1+5x)+7x 2x =lim x` Ö 0 ` [ ln(1+5x) 2x + ;2&;] ` =lim x` Ö 0 ln(1+5x) 5x [ _ + ;2%; ;2&;] =1_ + ;2%; ;2&; =6  ④ 다른 풀이 5x=t로 놓으면 x 0이므로 lim ` x` Ö 0 ln(1+5x)+7x 2x =lim ` x` Ö 0 [ =lim t` Ö 0 0일 때 t Ú ln(1+5x) 2x Ú + ln(1+t) + ;2&; t ;5@; ;2&;] ( { 9 + `( { 9 [ =lim ` t` Ö 0 ln(1+t) t _ ;2%; ;2&;] =1_ + ;2%; ;2&; =6 0339 유형 06 lim ` x` Ö 0 =1을 이용한 함수의 극한 ex-1   x eax-1 ax |전략| lim ` x` Ö 0 =1임을 이용한다. ` lim x` Ö 0 e3x+9x-1 x =lim x` Ö 0 ` { +9 } e3x-1 x e3x-1 3x ` =lim x` Ö 0 { _3+9 } =1_3+9=12 0340 ex-1   유형 06 lim ` x x` Ö 0 ax-1   x eax-1 ax |전략| lim ` + 08 lim ` x` Ö 0 x` Ö 0 =1을 이용한 함수의 극한 =ln a를 이용한 함수의 극한 =1, lim ` x` Ö 0 bx-1 x =ln b임을 이용한다. ` lim x` Ö 0 e2x-1 27x-1 =lim ` x` Ö 0 e2x-1 2x _ x 27x-1 _2 =1_ _2= 1 ln27 2 3ln3  0341 유형 09 지수함수와 로그함수의 극한 - 미정계수의 결정 |전략| x 0일 때 (분자) 0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모) 0 Ú Ú 임을 이용한다. x 0일때(분자) 0이고0이아닌극한값이존재하므로 Ú Ú Ú (분모) 즉,lim x` Ö 0 0이다. Ú `(bx-c)=0이므로c=0 c=0을주어진식에대입하면  ③ ` lim x` Ö 0 ln(1+ax) bx =lim ` x` Ö 0 ln(1+ax) ax _ =1_ ;bA; = ;bA; ;bA; ∴ =10 ;bA; ∴ +c=10+0=10 ;bA; 0342 유형 10 극한의 변형 |전략| g(x)Éf(x)Éh(x)이고 lim lim x` Ö a `f(x)=a이다. x` Ö a  ④ `g(x)=lim x` Ö a `h(x)=a(a는 실수)이면 Ú-10일때,주어진부등식의각변을x로나누면 ln(1+x) x É `f(x) x É e2x-1 2x ` 이때,lim x` Ö 0+ ln(1+x) x =1,lim ` x` Ö 0+ e2x-1 2x =1이므로 ` lim x` Ö 0+ `f(x) x =1 Ú,Û에서lim x` Ö 0 ` `f(x) x =1 ∴lim x` Ö 0 ` `f(ex) x =lim ` x` Ö 0 `f(ex) ex _e=e  ② yy ㉠  ② 다른 풀이 ln(1+x)Éf(x)É (e2x-1)에서 ;2!; ln (1+ex)É f(ex)É (e2ex-1) ;2!; Ú -10일 때, 부등식 ㉠의 각 변을 ex로 나누면  ⑤ ln(1+ex) ex É `f(ex) ex É e2ex-1 2ex 3 지수함수와 로그함수의 미분 | 047 3ㅡ지수함수와로그함수의 미분 1+3a=b ㉠,㉡을연립하여풀면a=- ,b=- ;2!; ;2!; ∴a+b=- + - { ;2!; ;2!;} =-1 yy㉡  ② ㉠에서x 0+일때(분모) 0이고극한값이존재하므로  yy㉠ 0346 유형 12 지수함수와 로그함수의 연속 |전략| lim `f(x)=lim x` Ö 0+ x` Ö 0- `f(x)=f(0)임을 이용한다. 함수`f(x)가x=0에서연속이므로 `f(x)= lim x` Ö 0- lim x` Ö 0+ 이때,f(0)=6이므로 `f(x)=f(0) ` lim x` Ö 0+ ln (a+x) ebx-1 =6 Ú 0이다. Ú `ln(a+x)=0이므로 Ú (분자) 즉,lim x` Ö 0+ lna=0  ∴a=1 a=1을㉠에대입하면 ` lim x` Ö 0+ ln (1+x) ebx-1 ` = lim x` Ö 0+ ln (1+x) x _ bx ebx-1 _ ;b!; =1_1_ =6 ;b!; 이때, lim ` x` Ö 0+ ln(1+ex) ex =1, lim ` x` Ö 0+ e2ex-1 2ex =1이므로 lim ` x` Ö 0+ `f(ex) ex =1 ∴ lim ` x` Ö 0+ `f(ex) x =e Ú, Û에서 lim ` x` Ö 0 `f(ex) x =e 0343 유형 11 지수함수와 로그함수의 극한 - 도형에의 활용 |전략| PQÓ를 a에 대한 식으로 나타낸 후 극한값을 구한다. 두점P,Q의좌표는P(a,4a),Q(a,3a)이므로PQÓ=4a-3a ` ∴lim a` Ö 0+ PQÓ a = lim a` Ö 0+ ` 4a-3a a ` = lim a` Ö 0+ ` = lim a` Ö 0+ (4a-1)-(3a-1) a 4a-1 a - lim a` Ö 0+ ` 3a-1 a =ln4-ln3=ln  ;3$;  ① 0344 유형 14 로그함수의 도함수 `f(a+h)-f(a) h |전략| lim ` h` Ö 0 ` lim h` Ö 0 `f(1+3h)-f(1-h) h =f '(a)임을 이용한다. ` =lim h` Ö 0 {f(1+3h)-f(1)}-{f(1-h)-f(1)} h ` =lim h` Ö 0 `f(1+3h)-f(1) 3h _3+lim ` h` Ö 0 `f(1-h)-f(1) -h =3f'(1)+f'(1)=4f'(1) 한편,f(x)=xÜ`-xÛ`lnx에서 `f'(x)=3xÛ`- 2x_lnx+xÛ`_ { ;[!;} =3xÛ`-2xlnx-x ∴4f'(1)=4_(3-2ln1-1)=8 ∴b=  ;6!; ∴ =1_6=6 ;bA;  채점 기준 ❶ a의 값을 구할 수 있다. ❷ b의 값을 구할 수 있다. ❸ ;bA;의 값을 구할 수 있다.  ④ 0347 유형 14 로그함수의 도함수 0345 재한다. 유형 15 지수함수와 로그함수의 도함수 - 미분가능성 |전략| 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이고 f '(1)이 존 함수f(x)가x=1에서미분가능하므로x=1에서연속이다. `(lnx+axÜ`)= lim x` Ö 1- `bex-1=f(1)이므로 즉, lim x` Ö 1+ ln`1+a=b ∴ b=a |전략| y=loga x(a>0, a+1)이면 y '= 임을 이용한다. 1 x ln a 삼각형PAQ의넓이S(t)는 S(t)= _OQÓ_PQÓ= _t_logªt ;2!; S'(t)= 1_logªt+t_ 1 t ln2 } ;2!; ;2!;{ yy㉠ = ;2!;{ logªt+ ln2 } 1 ∴S'(16)= logª16+ ;2!;{ 1 ln2 } = ;2!;{ 4+ 1 ln2 } =2+ 1 2 ln2   … ❸ 1 2 ln2  2+ 또,f'(1)이존재하므로 +3axÛ` (x>1) ```bex-1 (x<1) `f'(x)= ;[!; ( { 9 ` 에서lim x` Ö 1+ {;[!; +3axÛ` = lim x` Ö 1- } `bex-1 048 | II. 여러 가지 함수의 미분 … ❶ … ❷ … ❸  6 배점 3점 3점 1점 … ❶ … ❷ 정답과 해설 채점 기준 ❶ S(t)를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❷ S'(t)를 구할 수 있다. ❸ S'(16)의 값을 구할 수 있다. 배점 2점 2점 2점 점 P가 점 A(-1, 0)에 한없이 가까워질 때 t -1-이므로  Ú PQÓ lim AQÓ t` Ö -1- ln tÛ` = lim -1-t t` Ö -1- 2 ln (-t) = lim -1-t t` Ö -1- (∵ t<-1) 이때, t+1=h로 놓으면 t -1-일 때 h 0-이므로 2 ln (-t) lim -1-t t` Ö -1-  Ú 2 ln (1-h) = lim -h h` Ö 0- =2  Ú  ③ 유형 09 지수함수와 로그함수의 극한 - 미정계수의 결정 + 13 지수함수의 도함수 |전략|x 2일 때 (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) 0임을 Ú 0350 ⑴ x 2일 때 (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) 0 Ú Ú Ú 0348 Ú 이용한다. Ú 이다. 즉, lim x` Ö 2 lim x` Ö 2 ∴ a=1 `{`f(x)-2}=0이므로 `(2x-ax-2)=4-2a-2=0 ` ⑵ lim x` Ö 2 `f(x)-2 xÛ`-4 =lim ` x` Ö 2 `f(x)-f(2) (x-2)(x+2) ` =lim x` Ö 2 `f(x)-f(2) x-2 _ 1 x+2 = f '(2)=b ;4!; f(x)=2x-x에서 f '(x)=2x ln 2-1이므로 |전략| lim ` x` Ö 0 ln (1+ax) ax =1임을 이용한다. An=lim x` Ö 0 ` ;[!;  ln (1+x)(1+2x)(1+3x)`y`(1+nx) =lim x` Ö 0 ` ;[!;  {ln (1+x)+ln (1+2x)+ln (1+3x)` +`y`+ln (1+nx)} =lim x` Ö 0 ` ln (1+x) x ` +lim x` Ö 0 ln (1+2x) 2x _2 ` +lim x` Ö 0 ln (1+3x) 3x _3+`y`+lim ` x` Ö 0 ln (1+nx) nx _n =1+2+3+ y +n = n(n+1) 2 f '(2)=4 ln 2-1 ∴ b= _(4 ln 2-1)=ln 2- ;4!; ;4!; Bn=lim x` Ö 0 ` ;[!;  ln (1+x)(1+3x)(1+5x)`y`{1+(2n-1)x} ⑶ a+b=1+ ln 2- { = +ln 2 ;4!;} ;4#; 채점 기준 ⑴ a의 값을 구할 수 있다. ⑵ b의 값을 구할 수 있다. ⑶ a+b의 값을 구할 수 있다.  ⑴ 1 ⑵ ln 2- ;4!; ⑶ ;4#; +ln 2 배점 4점 6점 2점 =lim x` Ö 0 ` ;[!; [ln (1+x)+ln (1+3x)+ln (1+5x)` +`y`+ln {1+(2n-1)x}] =lim x` Ö 0 ` ln (1+x) x ` +lim x` Ö 0 ln (1+3x) 3x ` _3+lim x` Ö 0 ln (1+5x) 5x _5 ` +`y`+lim x` Ö 0 ln {1+(2n-1)x} (2n-1)x _(2n-1) 창의·융합 교과서 속 심화문제 0349 |전략| 점 P의 좌표를 (t, ln tÛ`)이라 하고, 점 P가 제 2 사분면 위의 점임을 이용 하여 t의 값의 범위를 구한다. 점 P가 제 2 사분면 위의 점이므로 t<0, ln tÛ`>0에서 t<0이고 tÛ`>1 t<0이고 (t-1)(t+1)>0 ∴ t<-1 ∴ PQÓ=ln tÛ`, AQÓ=-1-t 점 P의 좌표를 (t, ln tÛ`)이라 하면 점 Q의 좌표는 Q(t, 0) |전략| 곡선 y=f(x) 위의 점과 직선 y=2x 사이의 거리를 이용하여 dk를 구한 =1+3+5+ y +(2n-1) = n{1+(2n-1)} 2 =nÛ` ` ∴ lim n` Ö ¦ ` =lim n` Ö ¦ An Bn n(n+1) 2 nÛ` =lim n` Ö ¦ ` nÛ`+n 2nÛ` = ;2!;  ;2!; 곡선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 직선 y=2x에 대하여 대칭이동한 것이므로 dk는 곡선 y=f(x)의 접선 중 기울기가 2인 접점에서 직선 y=2x까지의 거리의 두 배이다. 3 지수함수와 로그함수의 미분 | 049 0351 다. 3ㅡ지수함수와로그함수의 미분 `f(x)=ln =ln x-ln k에서 y y=2x ;k{; ;[!; `f '(x)= 이므로 `f '(x)=2인 접점의 좌표는 , ln {;2!; ;2Ák;} 이 접점 , ln {;2!; ;2Ák;} 에서 직선 y=2x, y=f(x) O 1 2 { , ln 1 2k } x 즉 -2x+y=0까지의 거리는  ;2Ák;| |-1+ln 2Û`+1Û` "à ∴ dk=2_ = 1+ln 2k 5 1+ln 2k 5 ' = 2 5 ' 5 ' 2 ' 5 5 따라서 k의 최솟값은 이다. eÝ` 2 (1+ln 2k) dk¾2 5에서 ' (1+ln 2k)¾2 5, ln 2k¾4 ∴ k¾ ' 0352 |전략| 주어진 방정식의 실근이 이차함수와 로그함수의 그래프의 교점의 x좌표 와 같음을 이용하여 lim `xn의 값을 구한다. xÛ`-2x+ln xn=0에서 x(x-2)=-n ln x (∵ x>0) n` Ö ¦ 4 삼각함수의 미분 본책 60~75쪽 개념 마스터 STEP1 0353 sin 15ù=sin (45ù-30ù) =sin 45ùcos 30ù-cos 45ùsin 30ù 2 = ' 2 3 _ ' 2 2 - ' 2 _ ;2!; = ' 2 ' 6- 4  ' 2 ' 6- 4 0354 cos 105ù=cos (60ù+45ù) eÝ` 2  ③ =cos 60ùcos 45ù-sin 60ùsin 45ù = ;2!; 2 _ ' 2 3 - ' 2 2 _ ' 2 = ' 6 ' 2- 4  ' 6 ' 2- 4 0355 tan 75ù=tan(45ù+30ù)= tan 45ù+tan 30ù 1-tan 45ù tan 30ù = 1+ 3 ' 3 125 3 111112 1-1_ ' 3 125 =2+ 3 ' tan  p 12 =tan  { p 3 - p 4 } = p tan  3 p -tan  4 p p 11111112  tan  1+tan  4 3 y 1 n y= -x(x-2) n y=ln x 2 0356 O 1 xn x ln x= -x(x-2) n 오른쪽 그림에서 방정식 fn(x)=0의 실근 xn은 두 함수 y=ln x, y= -x(x-2) n 의 그래프 의 교점의 x좌표와 같다. 이때, y= -x(x-2) n = -(x-1)Û`+1 n = ' 1+ 3-1  3_1 ' =2- 3 ' 0357 sin 85ùcos 40ù-cos 85ùsin 40ù =sin (85ù-40ù) 2 =sin 45ù= ' 2 0358 cos 50ùcos 20ù+sin 50ùsin 20ù =cos (50ù-20ù) 3 =cos 30ù= ' 2 에서 꼭짓점의 좌표가 { 1, ;n!;} 이므로 n ¦이면 함수 Ú 의 그래프의 꼭짓점은 점 (1, 0)에 한없이 가까워진 따라서 두 그래프의 교점의 x좌표인 xn도 1에 한없이 가까워진다. -x(x-2) n y= 다. 즉, lim n` Ö ¦ `xn=1 fn(xn)=x`nÛ`-2xn+n ln xn=0에서 n= -xn(xn-2) ln xn ∴ lim n` Ö ¦ ` `n(xn-1)=lim xn` Ö 1 -xn(xn-2)(xn-1) ln xn ` =lim xn` Ö 1 _{-xn(xn-2)} xn-1 ln xn 이때, xn-1=yn이라 하면 xn 1일 때 yn 0이므로 Ú Ú ` lim xn` Ö 1 xn-1 ln xn _{-xn(xn-2)} ` =lim yn` Ö 0 yn ln (1+yn) =1_1=1 _{-(yn+1)(yn-1)} 050 | II . 여러 가지 함수의 미분 0359 tan 75ù-tan 15ù 1+tan 75ùtan 15ù =tan (75ù-15ù)  1 =tan 60ù= 3 '  3 '  2+ 3 '  2- 3 ' 2  ' 2 3  ' 2 정답과 해설 =5 2 sin  { ' h+ p } ;4&;  5 2 sin  { ' h+ p ;4&; } 0360 "Ã2Û ' 2 sin h+2 +(2 ` 3)Û =4이므로 ` 3 cos h ' =4 sin h_ +cos h_ ' ;2!; 3 2 } =4 sin h cos  +cos h sin  ;3Ò; ;3Ò;} { { =4 sin  { h+ ;3Ò;} 0361 5Û "à 5 sin h-5 cos h +(-5)Û =5 ` ` ' 2이므로 =5 2  [ ' =5 2  { ' sin h_ +cos h_ {- 1 2 }] ' sin h cos  p+cos h sin  p ;4&; } 0362 y=sin x+cos x = 2  { ' = 2  { ' sin x_ +cos x_ sin x cos  +cos x sin  1 2 } ' ;4Ò;} = 2 sin  { ' x+ ;4Ò;} 1 2 ' ;4&; 1 2 ' ;4Ò; 0363 y=-sin x+ 3 cos x ' =2 sin x_ +cos x_ ' {-;2!;} =2 sin x cos  p+cos x sin  ;3@; [ { 3 2 ] p } ;3@; =2 sin  { x+ p } ;3@; 0364 ;2Ò; 0이므로 sin a= 1-cosÛ a= 1- - `` ¾Ð { ;5#;} "à = ;5$; 2` tan a= sin a cos a = ;5$; =- ;3$; -;5#; ⑴ sin 2a=2 sin a cos a=2_ _ - { ;5$; ;5#;} =- ;2@5$;  4 sin  { h+ ;3Ò;} ⑵ cos 2a=cosÛ  a-sinÛ  a= - - ` { ;5#;} {;5$;} ` =- ;2¦5; ⑶ tan 2a= 2 tan a 1-tanÛ =  a ` 2_ 2` {-;3$;} 1- {-;3$;} 2` = :ª7¢: 2`  ⑴ - ⑵ - ;2@5$; ⑶ :ª7¢: ;2¦5; 0365 lim `x `2°`;6Ò; 0366 lim `x `2°`;8Ò; 0367 0369 0370 0371  3 sin 3x=3 sin  =3 ;2Ò;  3  -2 tan 2x=-2 tan  =-2 ;4Ò;  -2  x sinÛ ` cos x-1 lim 0 x `2°` =lim 0 x `2°` 1-cosÛ  x cos x-1 ` =lim 0 x (1+cos x)(1-cos x) cos x-1 (-1-cos x)=-1-1=-2 =lim 0 x  -2 `2°` `2°`  2 '  ;3@;  ;5#; sin 2x 3x ` lim 0 x `2°` =lim ` 0 x `2°` sin 2x 2x _ =1_ ;3@; = ;3@; ;3@; 3x tan 5x ` lim 0 x `2°` =lim ` 0 x `2°` 5x tan 5x _ =1_ ;5#; = ;5#; ;5#; sin x+tan 3x 2x ` lim 0 x `2°` =lim ` { 0 x `2°` + tan 3x 2x } =lim ` { 0 x `2°` _ + ;2!; tan 3x 3x _ ;2#;} sin x 2x sin x x =1_ +1_ =2 ;2!; ;2#;  2 4 삼각함수의 미분 | 051 따라서 주어진 함수의 최댓값은 2, 최솟값은 - 2, 주기는 2p이다. '  최댓값: ' ' 2, 최솟값: - ' 2, 주기: 2p 0368 참고 y= 2 sin  { ' x+ ;4Ò;} 의 그래프는 y= 2 sin x의 그래프를 x축의 방향 ' 으로 - ;4Ò;만큼 평행이동한 것이므로 함수 y= 2 sin  { ' x+ ;4Ò;}의 최댓값, 최솟 값, 주기는 함수 y= 2 sin x의 최댓값, 최솟값, 주기와 같다. ' sin 2x cos x lim ` `x `2°`;4Ò; = lim ` `x `2°`;4Ò; 2 sin x cos x cos x = lim ` `2°`;4Ò; `x 2 sin x=2_ ' 2 2  = 2 ' 따라서 주어진 함수의 최댓값은 2, 최솟값은 -2, 주기는 2p이다.  최댓값:2, 최솟값:-2, 주기: 2p 4ㅡ삼각함수의미분 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0381 |전략| sinÛ` h+cosÛ` h=1임을 이용하여 cos a의 값과 sin b의 값을 구한다. ;2Ò; "à 00이고, sin a= 이므로 ;5#; cos a= 1-sinÛ  a= 1- ¾Ð {;5#;} = ;5$; 2` 0이고, cos b=- 이므로 ;1°3; ;2Ò; ` ` sin b= 1-cosÛ  b= 1- - ¾Ð { ;1°3;} = ;1!3@; "à  1 ∴ sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b 2` = _ - { ;5#; ;1°3;} + _ ;5$; ;1!3@; =- + = ;6#5#; ;6$5*; ;6!5%;  ③ 2x+sin 3x tan x ` lim 0 x `2°` =lim ` { 0 x `2°` + sin 3x tan x } 2x tan x x tan x =lim ` { 0 x `2°` _2+ sin 3x 3x _ x tan x _3 } =1_2+1_1_3=5  5 정답과 해설 0372 0373 0374 =t로 놓으면 x `¦일 때 t 0이므로 `2° `2°` ;[!; lim x x `¦ `2° sin  ;[!; =lim 0` t `2°` sin t t =1 -x=t로 놓으면 x 일 때 t 0이므로 `2°`;4Ò; `2°` ;4Ò; tan  -x } {;4Ò; p-4x   tan t 4t =lim t 0` `2°` =lim t 0` `2°`   tan t t _ ;4!; lim x `2°`;4Ò; 0375  y'=1-2 cos x 0376  y'=-sin x-ex 0377  y'=cos x+3 sin x 0378 y' =(sin x)'cos x+sin x(cos x)'  =cosÛ  x-sinÛ  x ` ` 0379 y'=(cos x)'_ln x+cos x_(ln x)' -sin x_ln x+ =   x cos x  y'=cosÛ` x-sinÛ` x 0383  y'=-sin x_ln x+ cos x x 0382 sin 70ù sin 140ù+sin 20ù sin 50ù =sin 70ù cos 50ù+cos 70ù sin 50ù 3 =sin (70ù+50ù)=sin 120ù= ' 2 Ñh의 삼각함수 ;2Ò; ⑴ sin {;2Ò; Ñh =cos h } } } ⑵ cos {;2Ò; Ñh =Ðsin h (복호동순) ⑶ tan {;2Ò; Ñh =Ð 1 tan h (복호동순) tan (a+b)=tan  =1에서 ;4Ò; tan a+tan b 1-tan a tan b =1 즉, tan a+tan b=1-tan a tan b ∴ (1+tan a)(1+tan b) =1+tan a+tan b+tan a tan b =1_ = ;4!; ;4!;  ;4!; =sin 70ù sin (90ù+50ù)+sin (90ù-70ù) sin 50ù  ⑤ 0380 y=sinÛ` x-cosÛ` x=sin x sin x-cos x cos x이므로 y' =cos x sin x+sin x cos x-{-sin x cos x+cos x(-sin x)} =cos x sin x+sin x cos x+sin x cos x+cos x sin x 0384 =4 sin x cos x  y'=4 sin x cos x 다른 풀이 y =sinÛ` x-cosÛ` x=sinÛ` x-(1-sinÛ` x) =2 sinÛ` x-1=2 sin x sin x-1 이므로 y'=2 cos x sin x+2 sin x cos x=4 sin x cos x 052 | II . 여러 가지 함수의 미분 =1+(1-tan a tan b)+tan a tan b=2  2 sin a+sin b= 의 양변을 제곱하면 ;2!; sinÛ  a+2 sin a sin b+sinÛ  b= ` ;4!; ` 3 cos a+cos b= ' 2 의 양변을 제곱하면 yy ㉠ cosÛ  a+2 cos a cos b+cosÛ  b= ` ;4#; ` yy ㉡ tan a=2, tan b=- ;3!; ㉠+㉡을 하면 (sinÛ` a+cosÛ` a)+(sinÛ` b+cosÛ` b)=1+1=2 2+2(sin a sin b+cos a cos b)=1 tan h=|tan (a-b)|= ∴ ` tan a-tan b 1+tan a tan b | | sin a sin b+cos a cos b=- ;2!; ∴ cos (a-b)=- ;2!; 0385 |전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan a+tan b= , tan a tan b= ;2%; ;2!; ∴ tan (a+b)= tan a+tan b 1-tan a tan b = ;2%; =5 1- ;2!; 0386 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan a+tan b=2a, tan a tan b=aÛ -4이므로 (tan a-tan b)Û ∴ tan a-tan b=4 ` ∴ tan (a-b)= ` -4 tan a tan b =(tan a+tan b)Û ` =(2a)Û -4(aÛ ` ` -4)=16 ` ` (∵ tan a>tan b) tan a-tan b 1+tan a tan b = 4 1+aÛ = 4 -3 aÛ ` -4 ` 이때, tan (a-b)=tan  =1이므로 ;4Ò; 0387 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan a+tan b=4, tan a tan b=-2 ∴ tan (a+b)= tan a+tan b 1-tan a tan b = 4 1+2 = ;3$; 오른쪽 그림의 직각삼각형에서 빗변의 길이는 5이고 00 ;2Ò; ∴ sin (a+b)= ;5$; 2- {-;3!;} 1+2_ {-;3!;} = ì ì f = =7 ;3&; ;3!; ì ì f  ③ 오른쪽 그림의 직각삼각형에서 빗변의 길이는 5 2이 ' 고 00 ;2Ò; sin h= ∴ ` = 7 2 ' 10 7 5 2 ' 25 7 q 1  7 2 ' 10  ⑤ 0389 kx-y-1=0에서 y=kx-1 x+2y+3=0에서 y=- x- ;2!; ;2#; 두 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 tan a=k, tan b=- ;2!; 이때, 두 직선이 이루는 예각의 크기가 이므로 ;4Ò; |tan (a-b)|=tan  =1에서 ;4Ò; tan a-tan b 1+tan a tan b | | =1, k+ 1- ;2!; ;2K; =Ñ1 0390 ;3!; tan h= ;3!; h+45ù이므로 직선 y= x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 하면 이때, 직선 y=ax+b가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 5 4 a+b 3 a=tan (h+45ù)= tan h+tan 45ù 1-tan h tan 45ù = 직선 y=2x+b가 점 (3, 1)을 지나므로 +1 ;3!; 1- _1 ;3!; =2 … ❷  ;5$; 1=2_3+b ∴ b=-5 ∴ a+b=2+(-5)=-3 4 -3 aÛ ` =1에서 aÛ =7 ∴ a= 7 (∵ a>0) ` ' `  ④ k+ =Ñ 1- ;2!; { ;2K;} ∴ k= `(∵ ` ;3!; ` k>0)  ① 0388 |전략| tan(a-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b 임을 이용한다. 두 직선 y=2x+2, y=- x- 이 x축의 양의 방향과 이루는 각 ;3!; ;3!; 의 크기를 각각 a, b라 하면 채점 기준 ❶ tan h의 값을 구할 수 있다. ❷ a의 값을 구할 수 있다. ❸ b의 값을 구할 수 있다. ❹ a+b의 값을 구할 수 있다. … ❶ … ❸ … ❹  -3 비율 30`% 40`% 20`% 10`% 4 삼각함수의 미분 | 053 4ㅡ삼각함수의미분 0391 |전략| tan (a+b)= tan a+tan b 1-tan a tan b 임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 ∠PAQ=h라 하고 정 사각형 ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면 a 3 Q D 이때, -1Ésin (x+a)É1이므로 - 3+kÛ -1É "à ` 이고, 최댓값이 3이므로 "à `` 3+kÛ   sin (x+a)-1É 3+kÛ -1 "à -1=3에서 ` 3+kÛ =16 ∴ k= (∵ k>0) ` ` 3+kÛ ` "à 13 ` '¶  ② C P a 2 B a a h b A a 1 tan =1 [;2Ò; -(a+b) = ] 1 tan (a+b) BPÓ= , DQÓ= ;2A; ;3A; 또한, ∠QAD=a, ∠PAB=b라 하면 tan a= = , tan b= ;3A; a ;3!; ;2A; a = ;2!; ∴ ` tan h=tan  -a-b = {;2Ò; } 1 tan (a+b) = 1 tan a+tan b 1-tan a tan b 1111113 = ;3!;+;2!; 11115 1- ;3!;_;2!; 0395 `f(x)=sin x+ 7 cos x-a ' =2 2  { ' sin x_ 1 2 2 ' +cos x_ ' 2 ' 7 2 } -a =2 2 sin (x+a)-a { ' 단, sin a= ' 2 ' 7 2 , cos a= 1 ' 2 2 } 이때, -1Ésin (x+a)É1이므로 -2 2-aÉ2 ' ' 이고, 최댓값이 2 2 sin (x+a)-aÉ2 2-a ' 2-a= 2이므로 a= ' ' 2 ' 따라서 f(x)의 최솟값은 ∴ ∠PAQ= ∵ 00)라 하면 `-ACÓ Û BCÓ="ÃABÓ Û 또, ∠BAD=∠ABD=h라 하면 (3t)Û`-(2t)Û `= = 5t "à ' ` = ' 5t 3t cos h= 5 = ' 3 BCÓ ABÓ 이때, △ABD에서 ∠ADC =∠BAD+∠ABD=h+h=2h 이므로 cos (∠ADC)=cos 2h=2 cosÛ  h-1 ` =2_ 5 ' 3 } { -1= ;9!; 2`  ;9!; … ❸ ☐ ABCD가 직사각형이고 ∠ADB= 이므로 ;8Ò; ADÓ=BDÓ cos  =2 cos  , ABÓ=BDÓ sin  =2 sin  ` ;8Ò; ` ;8Ò; ` ;8Ò; ` ;8Ò; ∴ ☐ ABCD=ADÓ_ABÓ … ❷ 0403  ;4#; 비율 30`% 30`% 40`% =2 cos  ;8Ò;_ 2 sin  ;8Ò; =4 sin  cos  ;8Ò;` ;8Ò; =2 sin  2 =2_ ' 2 ;4Ò; = 2 ' ` ` ` 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는 2이다.  ② ' 0404 오른쪽 그림과 같이 ∠PAB=h라 하면 ∠QAB=2h 이때, △APB에서 ∠APB=90ù이므로 cos h= = ;1¥0; ;5$; ∴ cos 2h=2 cosÛ  h-1 ` =2_ {;5$;} -1= ;2¦5; 2` 또, △AQB에서 ∠AQB=90ù이므로 Q A 2h h 8 10 B P AQÓ=ABÓ cos 2h=10_ = :Á5¢: ;2¦5;  :Á5¢: 4 삼각함수의 미분 | 055 4ㅡ삼각함수의미분 0405 한 원에서 호 AB에 대한 원주각 ∠ACB의 크기는 중심각 ∠AOB  x cosÛ ` 1-sin x lim ` x `2°`;2Ò; = lim ` x `2°`;2Ò;  x 1-sinÛ 1-sin x ` = lim ` x `2°`;2Ò; = lim ` x `2°`;2Ò; (1+sin x)(1-sin x) 1-sin x (1+sin x)=2 ∴ lim 0` x `2°` sinÛ  x ` 1-cos x + lim ` x `2°`;2Ò; cosÛ  x ` 1-sin x =2+2=4  ④ 0409 sin ax |전략| lim `0 x` 2° ax =1임을 이용한다.  ⑤ -x) sin (3xÛ xÛ ` +4x lim 0` x `2°` =lim x 0` `2°` -x) sin (3xÛ 3xÛ ` -x _ ` 3xÛ xÛ -x ` +4x `  =1_lim 0` x `2°` 3x-1 x+4   =lim 0` x `2°` ` x(3x-1) x(x+4) =- ;4!;  - ;4!; 0410 sin 2x+1-e5x sin 3x lim 0` x `2°` sin 2x sin 3x - e5x-1 sin 3x } =lim 0`{ x `2°` =lim x 0`{ `2°` sin 2x 2x _ 3x sin 3x _ - ;3@; e5x-1 5x _ 3x sin 3x _ ;3%;} =1_1_ -1_1_ =-1 ;3@; ;3%;  -1  ② 지수함수, 로그함수의 극한 a>0, a+1일 때 ⑴ lim 0` x `2°` ln (1+x)  x =1 ⑵ lim 0` x `2°` eÅ`-1  x =1 ⑶ lim 0` x `2°` logŒ (1+x)  x = 1  ln a ⑷ lim 0` x `2°` aÅ`-1  x =ln a 의 크기 h의 배이므로 ∠ACB= ;2!; h 2 이때, △ABC의 넓이가 2이므로 h _4_3_sin  2 h ∴ sin  2 =2 ;2!; = ;3!; 또, 00 h ∴ cos  2 = 1-sinÛ ¾Ð = 1- ¾Ð {;3!;} = h 2 `` 2 2 ' 3 h ∴ sin h=2 sin  2 ` h cos  2 2` =2_ _ ;3!; 2 2 ' 3 = 4 2 ' 9 ⑴ 원주각과 중심각의 크기 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 AB의 원주각 중심각의 크기의 배이다. ;2!; 즉, ∠APB= ∠AOB ;2!; ⑵ 삼각형의 넓이 △ ABC의 넓이 S는 S= bc sin A= ac sin B= ab sin C ;2!; ;2!; ;2!; P O C A AB의 중심각 B b A a B c 0406  cos x=cos a임을 이용한다. |전략| 주어진 식을 간단히 하고, lim `a x` tanÛ x ` 1-cos 2x lim 0` x `2°` =lim x 0` `2°` =lim 0` x `2°` =lim 0` x `2°` 2° sinÛ x ` 111cosÛ x `  x-1) 1-(2 cosÛ 11111112 ` sinÛ x ``  x)cosÛ 2(1-cosÛ ` 1 2 cosÛ  x ` = ;2!;  x ` sinÛ` x 0407 1-tan x sin x-cos x lim ` x `2°`;4Ò; 1- sin x cos x 111 =lim x sin x-cos x 111111 `2°`;4Ò; =lim ` x `2°`;4Ò; cos x-sin x cos x(sin x-cos x) =lim ` x `2°`;4Ò; -1 cos x =- 2 ' 0408 sinÛ  x ` 1-cos x =lim lim x 0` x 0` `2°` `2°` =lim 0` x `2°` `  x 1-cosÛ 1-cos x =lim x 0` `2°` (1+cos x)=2 056 | II . 여러 가지 함수의 미분 0411  ① 1-cos x x sin 4x lim 0` x `2°` =lim x 0` `2°` (1-cos x)(1+cos x) x sin 4x(1+cos x) =lim 0` x `2°` sinÛ ` x sin 4x(1+cos x)  x (1+cos x)(1-cos x) 1-cos x =lim 0`{ x `2°` _ 4x sin 4x _ 1 4(1+cos x) sin x x } 2` 1 4_2 =1Û _1_ ` = ;8!;  ;8!; 정답과 해설 cos  px sin  { xÛ ;2#; -1 } lim -1 x ` `2°` ` sin  { cos  px ;2#; } (x+1)(x-1) = lim -1 x ` `2°` cos  pt- p =cos  p- pt =-sin  pt {;2#; ;2#; } {;2#; ;2#; } ;2#; sin cos  p(t-1) [ ;2#; t(t-2) ] =lim ` t 0 `2°` sin cos  [ pt- p ;2#; }] {;2#; t(t-2) -sin  sin  { ;2#; t(t-2) pt } =lim ` t 0 `2°` =lim ` t 0 `2°` =lim ` t 0 `2°` sin  { -sin  pt ;2#; } sin  pt ;2#; _ -sin  pt ;2#; pt ;2#; - p ;2#; t-2 _  ① =1_1_ p= p ;4#; ;4#;  ;4#; p 0412 1-cos kx 2xÛ lim 0` x `2°` ` =lim x 0` `2°` =lim 0` x `2°` 2xÛ ` =lim 0`{ x `2°` (1-cos kx)(1+cos kx) 2xÛ (1+cos kx) ` sinÛ  kx (1+cos kx) ` sin kx kx } _ _ kÛ ` 2 1 1+cos kx =1Û _ kÛ ` 2 _ ;2!; 2` = kÛ ` 4 ` kÛ ` 4 즉, =9에서 kÛ =36 ` ∴ k=6 (∵ k>0) 0413 tan ax |전략| lim `0 x` 2° ax =1임을 이용한다. tan (tan 5x) tan 4x lim 0` x `2°` =lim x 0` `2°` tan (tan 5x) tan 5x _ 4x tan 4x _ tan 5x 5x _ ;4%; 0417 ;2Ò; 2x-p lim x cos x `2°`;2Ò; =lim t 0` `2°` x- =t로 놓으면 x 일 때 t 0이므로 2° =lim 0` t `2°` 2t -sin t ;2Ò; 2° 2t cos  +t } {;2Ò; t sin t lim 0` t `2°` ` =1_1_1_ = ;4%; ;4%;  ⑤ =-2 =-2_1=-2  -2 0414 e2xÛ `-1 tan x sin 2x lim 0` x `2°` =1_1_1=1 =lim x 0` `2°` ` _ e2xÛ `-1 2xÛ x tan x _ 2x sin 2x 0418  ③ sin x- 3 cos x=2 sin  { ' x- ;3Ò;} 이므로 0415 `f(n)=lim 0` x `2°` =lim 0` x `2°` =lim 0` x `2°` x tan x+tan 2x+tan 3x+ y +tan nx 1 tan x+tan 2x+tan 3x+ y +tan nx x 11111111111111111 1 tan 3x 3x _2+ _3+ y + tan nx nx _n + tan 2x 2x tan x x 1 1+2+3+ y +n 2 n(n+1) = 1 n(n+1) 2 2 3_4 = ;6!; = = ∴ f(3)= 0416 |전략| x+1=t로 놓은 다음 lim  ` `0 t` =1임을 이용한다. sin t t 2° x+1=t로 놓으면 x -1일 때 t 0이므로 `2°` `2°` sin x- 3 cos x ' 3x-p lim ` x `2°`;3Ò; =lim x ` `2°`;3Ò; 2 sin  { x- ;3Ò;} 3 x- { ;3Ò;} 이때, x- =t로 놓으면 x 일 때 t 0이므로 `2°`;3Ò; `2°` ;3Ò; lim ` x `2°`;3Ò; 2 sin  { ` x- ;3Ò;} 3 x- { ;3Ò;} 2 =lim t 0` `2°` ` sin t 3t = ;3@;` lim t 0` `2°` sin t t = _1= ;3@; ;3@; 따라서 p=3, q=2이므로 p+q=5  5 0419 `f(x)f(-x)= 1+sin 3x 1+sin x _ 1+sin (-3x) 1+sin (-x)  ;6!; = 1+sin 3x 1+sin x _ 1-sin 3x 1-sin x = = = cosÛ `` cosÛ `` 3x x 3x x 1-sinÛ `` 1-sinÛ `` cos 3x cos x } { 2` ;2Ò; 2° x- =t로 놓으면 x 일 때 t 0이므로 ;2Ò; 2° 4 삼각함수의 미분 | 057 4ㅡ삼각함수의미분 lim ` x `2°`;2Ò; f(x)f(-x)=lim { x `2°`;2Ò; cos 3x cos x } ( =lim t 0` { `2°` cos  2` {;2#; p+3t } cos  +t {;2Ò; } 9 sin 3t -sin t } =lim 0`{ t `2°` =lim 0`{ t `2°` sin 3t 3t =(1_1_3)Û =lim t 0`{ `2°` 2` t sin t _ _3 =9 ` ( { ` } 2` 9 sin 3t sin t } 2` 0420 |전략| ;[!; =t로 놓은 다음 lim ` `0 t` =1임을 이용한다. sin t t 2° =t로 놓으면 x ¦일 때 t 0이므로 `2°` `2°` ;[!; sin lim x x` `¦ 2° `   1 2x =lim t 0` `2°` t =lim t 0` `2°` sin  ;2T; sin  ;2T; ;2T; _ ;2!; 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) 0이다. `2°` 0424 x a일 때 (분모) `2°` `2°` (3x-1)=0이므로 즉, lim a x `2°` 3a-1=0 a=0 ∴ ` a=0을 주어진 식에 대입하면 lim 0` x `2°` 3x-1 sin x 2 ` =lim 0` x `2°` 3x-1 x _ x sin x _ ;2!; =ln 3_1_ ;2!; = ln 3 ;2!;`  ③ 즉, b ln 3= ;2!;` ln 3에서 b= ;2!; a-b=0- =- ;2!; ;2!; ∴ ` 채점 기준 ❶ a의 값을 구할 수 있다. ❷ b의 값을 구할 수 있다. ❸ a-b의 값을 구할 수 있다. 0425 x `2°`;2Ò; 즉, lim x `2°`;2Ò; 일 때 (분모) 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) 0이다. `2°` `2°` (ax+b)=0이므로 =1_ = ;2!; ;2!;  ;2!; =t로 놓으면 x` `¦일 때 t` `0이므로 2° 2° ;[!; lim x` `¦ 2° xù tan  ;[!; p 180 x`tan  ;[!; =lim t 0` `2°` p 180 _ tan t t =lim x` `¦ 2° p 180 = _1= p 180  ③ 0421 0422 3 x-2 =t로 놓으면 x` ¦일 때 t` `0이므로 2°` 2° 2x-1 3 lim x` `¦ 2° `tan  3 x-2 =lim t 0` `2°` t+2 t `tan t =lim 0` t `2°` (t+2)_ =2_1=2 tan t t |전략| x` `0일 때 (분자)` `0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모)` `0 0일 때 (분자) 0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 0423 x `2°` (분모) 2° 임을 이용한다. 2° `2°` 0이다. `2°` `ln (x+b)=0이므로 즉, lim 0 x `2°` ln b=0 ∴ b=1 b=1을 주어진 식에 대입하면 sin ax ax lim 0 x `2°` =1_1_a=a sin ax ln (1+x) =lim 0 x `2°` 즉, a=2 a+b=2+1=3 ∴ ` 058 | II . 여러 가지 함수의 미분 _ x ln (1+x) _a p+b=0 ∴ b=- p ;2A; ;2A; b=- p를 주어진 식에 대입하면 ;2A; ax- p ;2A; cos x ` lim x `2°`;2Ò; =lim ` x `2°`;2Ò; a x- { cos x ;2Ò;} 이때, x- =t로 놓으면 x 일 때 t 0이므로 `2°`;2Ò; `2°` ;2Ò; a x- { cos x ;2Ò;} ` lim x `2°`;2Ò; =lim ` t 0 `2°` cos  +t } {;2Ò; at t sin t ` =-lim t 0 `2°` at sin t =-a_1=-a  ② 2° ` =-a lim 0` t `2°` 즉, -a=3에서 a=-3 a=-3을 ㉠에 대입하면 b= p ;2#; ∴ ab=-3_ p=- ;2#; p ;2(; 0426 ` lim 0 x `2°` =lim ` 0 x `2°` =lim ` 0 x `2°` =lim ` 0 x `2°` ln (xa+1) (1-cos x)tan bx ln (xa+1)_(1+cos x) (1-cos x)(1+cos x)tan bx ln (xa+1)_(1+cos x) sinÛ ` ln (xa+1) xa _  x tan bx x sin x } xa x3 = ` _lim 0 x `2°` { 2` ;b@; _ bx tan bx xa x3 ` `lim 0 x `2°`  ③ =1_1Û _1_ ` ;b@; _ 1+cos x b _ xa x3 yy`㉠ … ❶ … ❷ … ❸  - ;2!; 비율 40`% 50`% 10`% yy`㉠  - p ;2(; 정답과 해설2 이때, ㉠이 0이 아닌 값에 수렴하므로 분자, 분모의 차수가 같아야 한 다. 즉, a=3 a=3을 ㉠에 대입하면 ;b@; ` `lim 0 x `2°` xÜ ` x3 = ;b@; _1= ;b@; 즉, = ;b@; ;4!; 이므로 b=8 ∴ a+b=3+8=11 ∴ lim h `0+ `2° ACÓ ABÓ =lim h `0+ `2° =lim h `0+ `2° sin h sin 3h AHÓ sin 3h AHÓ sin h =lim h `0+ `2° sin h h _ 3h sin 3h _ ;3!;  11 =1_1_ = ;3!; ;3!;  ;3!; 0427 |전략| BCÓ=4`tan h, BHÓ=4`sin h와 삼각함수의 극한을 이용하여 주어진 식 의 값을 구한다. 오른쪽 그림의△ABC에서 BCÓ=4`tan h, BHÓ=4`sin h lim ∴ `0+` h ` `2° BCÓ-BHÓ hÜ ` tan h-4 4 ` sin h ` 4_ 4_ ` -4 sin h hÜ ` sin h cos h 111 hÜ ` sin h-sin h cos h cos h 11111111 hÜ ` ` sin h(1-cos h) hÜ cos h `` = lim h ` `0+ `2° = lim h ` `0+ `2° = lim h ` `0+ `2° =4 =4 =4 lim h ` `0+ `2° lim h ` `0+ `2° lim h ` `0+ `2° sin h(1-cos h)(1+cos h) hÜ cos h(1+cos h) `` sinÜ h `` cos h(1+cos h) _ 1 cos h(1+cos h) h } hÜ `` sin h =4 lim `0+{ h ` `2° =4_1Ü`_ =2 ;2!; 3` 0428 OHÓ=OAÓ ` BHÓ=1-cos h cos h=cos h이므로 lim ∴ h ` `0+ `2° BHÓ hÛ ` =lim h `0+ `2° 1-cos h hÛ ` =lim h `0+ `2° (1-cos h)(1+cos h) (1+cos h) hÛ =lim h `0+ `2° hÛ `` (1+cos h) ` sinÛ h ` sin h h } 2` _ 1 1+cos h =lim `0+{ h `2° =1Û _ = ;2!; ;2!; ` C B 4 tan`h 4 sin`h H h A 4 =2 lim `0+{ h ` `2° h } =2_1Û =2 `  2 0430 △OAQ에서 OAÓ=OQÓ ` cos h=2 cos h이므로 S(h)= _2Û _h- _4 cosÛ h_h ;2!; ` ;2!; =2h(1-cosÛ h)=2h sinÛ h `` lim ∴ h ` `0+ `2° S(h) hÜ `` =lim h `0+ `2°  h 2h sinÛ hÜ ` `` sin h `` `` 2` 0431 OPÓ=a에서 OBÓ=a cos h, PBÓ=a sin h이므로 (△OBP의 넓이)= _OBÓ_PBÓ ` ;2!; ` ` = _a cos h_a sin h ;2!; ` = aÛ `` ;2!; sin h cos h ` (부채꼴 OPA의 넓이)= aÛ h ;2!; `  2 lim ∴ h ` `0+ `2° (부채꼴 OPA의 넓이) (△OBP의 넓이) = lim h ` `0+ `2° = aÛ h ` ;2!; aÛ sin h ` `` ;2!; cos h h sin h _ 1 cos h lim h ` `0+ `2° =1_ =1  1 ;1!; 0432 오른쪽 그림의 △ABC에서 ∠B=∠C=h이므로 ∠A=p-2h ☐ ADOE에서 E A 2h O H h 2 D h 1 B C  ;2!; ∠ADO=∠AEO= 이므로 ;2Ò; ∠DOE=p-∠DAE=p-(p-2h)=2h 점 O에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 하고 선분 OB를 그으면 0429 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 H라 하면 ABÓ= , ACÓ= AHÓ sin h AHÓ sin 3h B q A 3q C H ∠OBH= , BHÓ=1이므로 h 2 △ODBª△OHB이므로 ∠OBH= ;2!;∠DBH= ;2Ç;; 4 삼각함수의 미분 | 059 4ㅡ삼각함수의미분 0435 함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로 lim ` 0 x `2°` f(x)=f(0) yy ㉠ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) `0이다. `2° ∴ lim 0 x `2°` eÅ`-sin 2x-a 3x =b x 0일 때 (분모) `2°` (eÅ`-sin 2x-a)=0이므로 즉, lim 0 x `2°` `2°` 1-0-a=0 ∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 eÅ`-sin 2x-1 3x lim 0 x `2°` =lim { 0 x `2°` eÅ`-1 3x - sin 2x 3x } =lim { 0 x `2°` eÅ`-1 x _ - 1 3 sin 2x 2x _ 2 3 } =1_ -1_ =- ;3!; ;3@; ;3!; 즉, b=- ;3!; ∴ a-b=1- - = ;3$; ;3!;} {  ④ 0436 |전략| {f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g '(x)임을 이용한다. sin x이므로 `f(x)=eÅ` ` `f '(x)=eÅ `` ∴ f '(0) =eâ ` sin x+eÅ cos x=eÅ (sin x+cos x) `` `  (sin 0+cos 0)=1 h OHÓ=BHÓ tan  2 h =1_tan  2 h =tan  2 h 즉, 내접원의 반지름의 길이가 tan  2 이므로 S(h)= _ODÓ_OEÓ_sin 2h= ;2!;  tanÛ ` ;2!; h   2  sin 2h lim ∴ h ` `0+ `2° S(h) hÜ ` = lim h ` `0+ `2° tanÛ ;2!;` sin 2h h 2 ` `` hÜ ` = h tan  2 2` h 2 ¼ lim `0+` h ` `2° » _ _ ;4!; sin 2h 2h =1Û _ _1= ` ;4!; ;4!;  ;4!; 0433 |전략| 함수 f(x)가 x=1에서 연속이면 lim `f(x)=f(1)임을 이용한다. `1 x` `f(x)=f(1) 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 lim 1 x 2° `2°` `2°` 이때, x-1=t로 놓으면 x 1일 때 t 0이므로 ` ∴ lim 1 x `2°` sin 2(x-1) x-1 =k sin 2(x-1) x-1 ` lim 1 x `2°` =lim t 0` `2°` `2°` sin 2t t sin 2t 2t =lim 0` t `2°` _2 =1_2=2 ∴ k=2 함수 f(x)가 열린구간 { - , ;2Ò;} ;2Ò; 에서 연속이므로 x=0에서도 연속  ② ` ` 0437 f(x)=3x sin x+2 cos x에서 f '(x) =3 sin x+3x cos x-2 sin x =sin x+3x cos x ∴ f ' =sin  +3_ {;3Ò;} ;3Ò; _cos  = ;3Ò; ;2Ò; ;3Ò; 3 + ' 2 0434 이다. ` lim 0 x `2°` x `f(x)=f(0)이므로 즉, lim 0 x `2°` eax+b tan x =2 0일 때 (분모) `2°` (eax+b)=0이므로 즉, lim 0 x `2°` `2°` 1+b=0  ∴ b=-1 b=-1을 ㉠에 대입하면 eax-1 tan x ` lim 0 x `2°` =1_1_a=a =lim ` 0 x `2°` _ eax-1 ax 즉, a=2 ∴ a+b=2+(-1)=1 060 | II . 여러 가지 함수의 미분 0438 f(x)=eÅ `` f '(x) =eÅ ` ` =eÅ ` cos x에서 (-sin x) cos x+eÅ `` (cos x-sin x) ` f '(x)=0에서 cos x-sin x=0 (∵ eÅ`>0) ` ` ∴ cos x=sin x 이때, 00) f '(x)= ` ` 2x+a [ (x<0) (cos x-sin x)=`lim x `0- `2° ` (2x+a) 에서 `lim eÅ x `0+ `2° ∴ a=1 ∴ ab=1_1=1 0443 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하므로 x=0에서 연속이다. 0440 ` lim h 0` `2°` { =lim h 0` `2°` ` =lim h 0`[ `2°` =2f f(p+2h)-f(p-3h) h f(p+2h)-f(p)}-{ f(p-3h)-f(p)} ` h ` f(p+2h)-f(p) 2h _2+ ` f(p-3h)-f(p) -3h _3 ] '(p)=5f '(p)+3f `f(x)=x '(p) sin x에서 f '(x)=sin x+x ` cos x ` 따라서`f '(p)=sin p+p cos p=-p이므로 5f '(p)=5_(-p)=-5p 즉, lim x 0`` `2°` f(x)=f(0)이므로 a=1 또, f '(0)이 존재하므로 cos x (x>0) [ ` b (x<0) `cos x=`lim x `0- `2° `b `f '(x)= 에서 `lim x `0+ `2° ∴ b=1 ∴ a+b=1+1=2  ⑤ 다른 풀이 x=0에서 미분가능하므로 ` `lim      `0+ h` 2° `lim      ` `0+ h` 2° `f(h)-f(0) h =`lim      ` `0- h` 2° `f(h)-f(0) h sin h h =`lim      ` `0- h` 2° bh h ∴ b=1 ∴ a+b=1+1=2  3  ①  2 =3에서 x `p일 때 (분모) `0이고 극한값이 존재 `2° `2° 0444 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 미분가능하면 x=0에서도 미분가능하 0441 2 f(x)-1 x-p lim x p `2°` 하므로 (분자) `0이다. `2° {2 즉, lim x p` `2°` f(x)-1}=0이므로 2 f(p)-1=0 ∴ f(p)= ;2!; 2 lim x p` `2°` f(x)-1 x-p ` =lim x p` `2°` 2 f(x)-2 x-p f(p) =2 =2 f(x)-f(p) x-p ` lim x p` `2°` f '(p)=3 ∴ f '(p)= ;2#; 므로 x=0에서 연속이다. 즉, lim x 0`` `2°` f(x)=f(0)이므로 b=-1 또, f '(0)이 존재하므로 cos x+sin x (x>0) f '(x)= ` [ a (x<0) 에서 `lim x `0+ `2° ∴ a=1 (cos x+sin x)=`lim x `0- `2° `a ∴ a+b=1+(-1)=0  0 4 삼각함수의 미분 | 061 4ㅡ삼각함수의미분 정답과 해설 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0445 유형 01 삼각함수의 덧셈정리 |전략| 주어진 식의 양변을 각각 제곱한 후 sin (a+b)=sin a`cos b+cos a`sin b임을 이용한다. sin a+cos b= , cos a+sin b= 의 양변을 각각 제곱하면 ;2!; 1 2 ' sinÛ a+2 sin a cos b+cosÛ b= `` ;2!; ` cosÛ a+2 cos a sin b+sinÛ `` ` b= ;4!; `` `` ` ` ㉠+㉡을 하면 2+2(sin a cos b+cos a sin b)= ` ;4#; ` 2+2 sin(a+b)= ∴ sin(a+b)=- ;4#; ;8%; `  ① 0446 유형 02 삼각함수의 덧셈정리 - 방정식에의 활용 |전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 tan a+tan b=4, tan a tan b=2 ∴ tan (a+b)= ` tan a+tan b tan b 1-tan a ` = 4 1-2 =-4 0447 유형 04 삼각함수의 덧셈정리 - 도형에의 활용 |전략| tan (a-b)= 임을 이용한다. tan a-tan b 1+tan a`tan b 오른쪽 그림과 같이 ∠CAB=a, ∠EAD=b라 하면 tan a= , tan b= 이므로 ;3$; ;4#; tan h=tan(a-b) = tan a-tan b tan b 1+tan a ` ;3$;-;4#; = 1+ ;3$;_;4#; = ;2¦4; ∴ 48 tan h=48_ =14 ;2¦4; yy ㉠ yy ㉡ ` ` = 19 sin (x+a) { `` '¶ 단, sin a= ' '¶ , cos a= 4 19 } '¶ 따라서 f(x)의 최댓값은 19이다. '¶  ④ `f(x)=2 cos  { x -;6Ò;} +3 sin x ` =2 cos x cos  +sin x sin  +3 sin x ` ;6Ò;} ` `` ` ;6Ò; `{ = = 3 ` 3 ` ' ' cos x+sin x+3 sin x `` cos x+4 sin x = 19 sin x '¶ `{ _ cos x _ ` `` 4 19 + '¶ 3 ' 19 } '¶ 3 19 0449 유형 05 삼각함수의 합성 |전략| a sin h+b cos h= aÛ`+bÛ` sin (h+a)임을 이용한다. 3 cos h-sin h=2  { '  cos h-  sin h ;2!; "à 3 ' 2 } ;3@; =2  { ;3@; sin  p cos h+cos  p sin h } =2 sin  { h+ p = } ;2!; ;3@; ∴ sin  { h+ p = } ;4!; ;3@; 이때, 00, cos a>0이므로 ;2Ò; x-sinÛ x `` ``  ① cos a=sin a ∴ a= ;4Ò;  ⑤ 4 삼각함수의 미분 | 063 4ㅡ삼각함수의미분 채점 기준 ¦ n=1 Á ❶ f(n)을 n에 관한 식으로 간단히 나타낼 수 있다. ❷ ` `f(n)의 값을 구할 수 있다. 참고 1 AB = 1 { B-A 1 A - 1 B } (단, A+B) 배점 4점 3점 유형 18 사인함수와 코사인함수의 도함수 - 미분가능성 |전략| 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속임을 이용한다. 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하므로 x=0에서 연속이다. f(x)=f(0)이므로 3a=b yy`㉠ … ❶ =b에서 f(b)= , 즉 cos b= … ❶ 0460 0458 유형 01 삼각함수의 덧셈정리 |전략| cos (a+b)=cos a`cos b-sin a`sin b임을 이용한다. 함수 g(x)는 함수 ` f(x)의 역함수이므로 =a에서 f(a)= , 즉 cos a= g{;1¥7;} g{;1!7%;} ;1¥7; ;1!7%; ;1¥7; ;1!7%; 이때, 00, sin b>0이므로 sin a= 1- ¾Ð {;1¥7;} = ;1!7%; , sin b= 1- ¾Ð {;1!7%;} = ;1¥7; ∴ f(a+b) =cos(a+b) 2` 2` =cos a cos b-sin a ` ` sin b = _ - ;1¥7; ;1!7%; ;1!7%; ;1¥7; _ =0 채점 기준 ❶ cos a, cos b의 값을 구할 수 있다. ❷ sin a, sin b의 값을 구할 수 있다. ❸ f(a+b)의 값을 구할 수 있다. 함수 f(x)와 그 역함수 g(x)에 대하여 g(b)=a `f(a)=b` HjK … ❷ … ❸  0 배점 2점 2점 2점 즉, lim 0` x `2°` 또, f '(0)이 존재하므로 3aex (x>0) f '(x)= ` 에서 `lim x `0+ `2° [ cos x (x<0) 3aex=`lim x `0- `2° cos x 3a=1 ∴ a= ;3!; a= 을 ㉠에 대입하면 b=1 ;3!; ∴ a+b= +1= ;3!; ;3$; 채점 기준 ❶ a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다. ❷ a의 값을 구할 수 있다. ❸ b의 값을 구할 수 있다. ❹ a+b의 값을 구할 수 있다. 0459 유형 09 lim      ` `0 x` 2° sin x x =1을 이용한 함수의 극한 |전략| lim `0 x` 2° sin`ax ax =1임을 이용한다. `f(n)=lim 0` x `2°` x sin x+sin 2x+sin 3x+ y +sin nx =lim x 0` `2°` 1 sin x+sin 2x+sin 3x+ y +sin nx x 122111111111111113 _2+ _3+ y + sin nx nx 1212 _n =lim 0` x `2°` sin x sin 2x + 2x x 131 1212 1 1+2+3+ y +n = 1 sin 3x 3x 1212 = 1 n(n+1) 11113 11112 = 2 n(n+1) ¦ ∴ ` ` `f(n)=lim n ¦ k=1 `2°` Á n=1 Á =2 n 2 k(k+1) - n =2`lim ` k=1{;k!; n ¦ `2°` Á + y + - lim n ` `2°` ¦[{ 1- ;2!;}+{;2!; ;3!;} 1 k+1 } 1 - {;n!; n+1 }] =2 =2_1=2 1- lim ¦{ n ` `2°` 1 n+1 } 064 | II . 여러 가지 함수의 미분 0461 유형 14 삼각함수의 극한 - 도형에의 활용 |전략| ACÓ를 삼각함수를 이용하여 나타낸 다음 S(h)= _BCÓ_DCÓ_sin`h임을 이용한다. ;2!; ⑴ 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O, 원과 ACÓ가 만나는 점을 M 이라 하고, 선분 AO를 그으면 점 O는 삼각형 ABC의 내심이 A 므로 ∠MAO= ∠CAB= ;2!; h 2 C 1 M h h O B 2h 3h D H h 2 h … ❶ ∠ CBD=∠CAB+∠BCA=h+h=2h 또, 점 C에서 선분 AD의 연장선 위에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠ CDH=∠CBD+∠BCD=2h+h=3h △AOM에서 ∠MAO= 이므로 h 2 … ❷  2 AMÓ= ∴ ACÓ=2AMÓ= OMÓ h tan  2 1 = h tan  2 2 h tan  2 … ❷ … ❸ … ❹  ;3$; 배점 2점 3점 1점 1점 정답과 해설 ⑵ △CAH에서 ∠CAH=h이므로 CHÓ=ACÓ sin h= 2 _sin h= h tan  2 2 sin h ` h tan  2 △CBH에서 ∠CBH=2h이므로 BCÓ= CHÓ sin 2h = 2 sin h ` _ h tan  2 1 sin 2h = 2 sin h ` h tan  2 ` sin 2h △CDH에서 ∠CDH=3h이므로 DCÓ= CHÓ sin 3h = 2 sin h ` _ h tan  2 1 sin 3h = 2 sin h ` h tan  2 ` sin 3h ∴ S(h)= _BCÓ_DCÓ_sin h ;2!; = _ ;2!; 2 sin h ` h tan  2 ` sin 2h _ 2 sin h ` h tan  2 ` sin 3h _sin h = h sinÜ ` `` sin 2h 2 h 2 ` ` tanÛ `` sin 3h ⑶ `lim h `0+ `2° hS(h) =`lim h `0+ `2° h_  h sinÜ ` ` sin 2h 2 h 2 ` tanÛ `` sin 3h ` h 2 =2 `lim `0+{ h `2° sin h h } _ h tan  ¼ 2 2` 3` » _ 2h sin 2h _ 3h sin 3h _ ;6$; =2_1Ü`_1Û _1_1_ = ;3@; ;3$; `  ⑴ ACÓ= ⑵ S(h)= 2 tan ;2Ç;; 2 sinÜ` h tanÛ` ;2Ç;; sin 2h sin 3h ⑶ ;3$; 채점 기준 ⑴ ACÓ를 삼각함수를 이용하여 나타낼 수 있다. ⑵ S(h)를 삼각함수를 이용하여 나타낼 수 있다. ⑶ `lim      h` `0+ 2° hS(h)의 값을 구할 수 있다. 배점 4점 5점 3점 `f(x)-f(a) |전략| lim `a x` 2° x-a =f '(a)임을 이용한다. t ⑴ f(x)=lim t x `2°` ` sin x-x t-x ` sin t t =lim t x `2°` ` sin x-x ` sin x+x t-x ` sin x-x sin t ` (t-x) sin x ` t-x - x(sin t-sin x) ] t-x sin x-x_ sin t-sin x t-x } =lim t x [ `2°` =lim t x { `2°` g(t)=sin t로 놓으면 f(x)=lim x [ t `2°` sin x-x_ `g(t)-g(x) t-x ] =sin x-xg'(x)=sin x-x cos x ⑵ f '(x)=cos x-(cos x-x sin x)=x sin x ⑶ f ' {;6Ò;} = sin  = ;6Ò; ;6Ò;` ` p 12 ` `  ⑴ f(x)=sin x-x cos x ⑵ f '(x)=x sin x ⑶ ;1É2; 채점 기준 ⑴ f(x)를 간단히 할 수 있다. ⑵ f '(x)를 구할 수 있다. ⑶ f ' {;6Ò;}의 값을 구할 수 있다. 배점 5점 3점 2점 다른 풀이 ⑴ f(x)=lim x { t `2°` sin x-x_ t-x=a로 놓으면 t → x일 때 a → 0 이므로 sin t-sin x t-x 에서 } sin (a+x)-sin x a sin t-sin x t-x =lim lim x t 0 a `2°` `2°` g(x)=sin x로 놓으면 sin (a+x)-sin x a lim 0 a `2°` ∴ f(x)=sin x-x`cos x g(x+a)-g(x) a =lim 0 a `2°` =g'(x)=cos x |전략| 삼각함수의 합성, 배각의 공식 등을 이용하여 주어진 함수를 최댓값, 최솟 창의·융합 교과서 속 심화문제 0463 값, 주기를 판단하기 쉬운 꼴로 변형한다. ㄱ. y= ` f(x) g(x) = 3 sin x 4 cos x =  tan x ;4#; 이므로 함수 y= f(x) g(x) ㄴ. y=f(x)+g(x)+2=3 sin x+4 cos x+2 의 주기는 p이다. (참) =5 sin x_ +cos x_ +2 { ;5#; ;5$;} -3É5 sin (x+a)+2É7 그러므로 함수 y=f(x)+g(x)+2의 최솟값은 -3이다. (거짓) ㄷ. y=f(x)g(x)=3 sin x_4 cos x=6 sin 2x 함수 y=f(px)g(px)=6 sin 2px의 주기는 =1이므로 y=|f(px)g(px)|=|6 sin 2px|의 주기는 이때, 0É|6 sin 2px|É6이므로 y=|f(px)g(px)|의 최댓값 은 6이다. 2p 2p ;2!; 4 삼각함수의 미분 | 065 0462 =5 sin (x+a)+2 { 단,`sin a= , cos a= ;5$; ;5#;} 유형 17 사인함수와 코사인함수의 도함수 - 미분계수를 이용한 극한값의 계산 이때, -1Ésin (x+a)É1이므로 4ㅡ삼각함수의미분 그러므로 함수 y=|f(px)g(px)|의 주기와 최댓값의 곱은 Ú r=1, 2, 3, 4인 경우 aÛ`+bÛ`=rÛ`을 만족시키는 순서쌍은 (r, 0),`(-r, 0),`(0, r),`(0, -r)  ③ 의 4개이므로 조건을 만족시키지 않는다. Û r=5인 경우 aÛ`+bÛ`=5Û`을 만족시키는 순서쌍은 0464 |전략| 삼각함수의 덧셈정리와 배각의 공식을 이용하여 삼각형 OPªQª의 넓이를 y 2h Pª O h PÁ QÁ Qª x _6=3이다. (참) ;2!; 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. A를 사용하여 나타낸다. 오른쪽 그림에서 ∠OPÁQÁ=∠OPªQª=90ù 이므로 직각삼각형 OPÁQÁ의 넓이는 _OPÁÓ_PÁQÁÓ= _1_tan h ;2!; =  tan h ;2!; ;2!; 따라서  tan h=A에서 tan h=2A ;2!; 직각삼각형 OPªQª의 넓이는 _OPªÓ_PªQªÓ= _1_tan 3h=  tan 3h` ;2!; ;2!; ;2!; 이때, 이므로 tan 2h= 2 tan h 1-tanÛ` h = 2_2A 1-(2A)Û` = 4A 1-4AÛ` tan 3h=tan (2h+h)= tan 2h+tan h tan h 1-tan 2h ` = 4A 1-4AÛ 1211 ` 4A 1- 1121 1-4AÛ` +2A = _2A 4A+2A-8AÜ` 1-4AÛ 12111211 1-4AÛ`-8AÛ` 1121111 1-4AÛ` ` = 6A-8AÜ` 1-12AÛ` 따라서 삼각형 OPªQª의 넓이는  tan 3h= _ ;2!; ;2!; 6A-8AÜ` 1-12AÛ` = 3A-4AÜ` 1-12AÛ`  3A-4AÜ` 1-12AÛ` 0465 |전략| △APB는 ∠APB=90ù인 직각삼각형이므로 APÓ, BPÓ를 삼각함수를 이용하여 나타낸 후 삼각함수의 합성을 이용하여 r의 최솟값을 구한다. 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù이므로 ∠APB=90ù 오른쪽 그림에서 ∠PAB=h라 하면 P APÓ=r`cos h, BPÓ=r`sin h ∴ a APÓ+b BPÓ =ar cos h+br sin h =r aÛ`+bÛ`  { "à a aÛ`+bÛ` "à  cos h+ hA r B  sin h } "à b aÛ`+bÛ` a aÛ`+bÛ` "à b aÛ`+bÛ` } "à =r 단, sin a= aÛ`+bÛ` sin (h+a) { "à , cos a= 이때, -1Ésin (h+a)É1이므로 -r aÛ`+bÛ``Ér "à "à 이고, 최댓값이 r "à aÛ`+bÛ`  sin (h+a)Ér aÛ`+bÛ`` "à aÛ`+bÛ` =rÛ`이므로 aÛ`+bÛ`=rÛ` 066 | III . 미분법  5 (5, 0), (4, 3), (3, 4), (0, 5), (-5, 0), (-4, -3), (-3, -4), (0, -5), (-4, 3), (-3, 4), (4, -3), (3, -4) 의 12개이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 자연수 r의 최솟값은 5이다. 0466 |전략| CHÓ=k라 하고 AHÓ, BHÓ, BCÓ, BDÓ, CDÓ를 각각 k와 삼각함수를 이 용하여 나타낸다. 직각삼각형 AHC에서 CHÓ=k라 하면 AHÓ=k tan 3h 직각삼각형 ABH에서 BHÓ= AHÓ tan 2h = k tan 3h tan 2h 이므로 BCÓ=BHÓ+CHÓ= k tan 3h tan 2h +k=k { 1+ tan 3h tan 2h } 직각삼각형 BCD에서 BDÓ=BCÓ cos h=k { 1+ CDÓ=BCÓ sin h=k { 1+ tan 3h tan 2h } cos h tan 3h tan 2h } sin h SÁ= _BHÓ_AHÓ, Sª= _CHÓ_AHÓ, S£= _BDÓ_CDÓ ;2!; ;2!; 이때, ;2!; 이므로 SÁ+S£ Sª = + = SÁ Sª S£ Sª BHÓ CHÓ + BDÓ_CDÓ CHÓ_AHÓ k 1+ { tan 3h tan 2h }  cos h_k 1+ { tan 3h tan 2h }  sin h k_k tan 3h 1+ { tan 3h tan 2h }  cos h sin h tan 3h 2` k tan 3h tan 2h k + = = tan 3h tan 2h + ∴ `lim `0+ h` 2° SÁ+S£ Sª ( = lim { `0+ h` 9 2° tan 3h tan 2h + 1+ { tan 3h tan 2h }  cos h sin h tan 3h 2` = lim `0+ h` 2° tan 3h 3h _ 2h tan 2h _ ;2#; + lim `0+ h` 2° ( { 9 1+ sin 2h { 2 tan 3h tan 3h tan 2h }   2` =1_1_ ;2#; + lim _ `0+;3!; h` 2° sin 2h 2h _ 3h tan 3h { 1+ _ ;2#; 2h tan 2h _ tan 3h 3h } = + ;2#; ;3!; _1_1_ 1+ _1_1 { ;2#; = ;1$2#; } 2` 2` ;1$2#;  정답과 해설 5 여러 가지 미분법 본책 78~95쪽 0474 y= xÛ`+1 xÝ` = 1 xÛ` + 1 xÝ` =x-2+x-4이므로 y'=-2x-2-1+(-4)_x-4-1=-2x-3-4x-5 개념 마스터 (x-1)' (x-1)Û` =- 1 (x-1)Û`  y'=- 1 (x-1)Û` (ln x)' (ln x)Û` =- 1 x(ln x)Û`  y'=- 1 x(ln x)Û` =- - 2 xÜ` 4 xÞ` 0475 OPÓ= "à (-3)Û`+4Û`=5 ⑴ csc h= ;4%; ⑵ sec h= ⑶ cot h= 5 -3 -3 4 =- ;3%; =- ;4#;  y'=- - 2 xÜ` 4 xÞ`  ⑴ ;4%; ⑵ - ;3%; ⑶ - ;4#;  y'= 5 (x+2)Û` ⑴ csc  = ;6Ò; = =2 0476 sin  ;6Ò; 1 1 cos  ;4Ò; 1 1 ;2!; 1 1 2 ' = ⑵ sec  = ;4Ò; = = 2 ' ⑶ cot  `p= ;3@; tan  p ;3@; 1 3 ' - 3 =- ' 3 y'= (2x-1)'(x+2)-(2x-1)(x+2)' (x+2)Û`` = 2(x+2)-(2x-1) (x+2)Û`` = 5 (x+2)Û` y'= (xÛ`-2)'(2x+1)-(xÛ`-2)(2x+1)' (2x+1)Û` = 2x(2x+1)-(xÛ`-2)_2 (2x+1)Û` = 2xÛ`+2x+4 (2x+1)Û`  y'= 2xÛ`+2x+4 (2x+1)Û` y'= (x)'eÅ`-x(eÅ`)' (eÅ`)Û` = eÅ`-xeÅ` eÛ`Å` = eÅ`(1-x) eÛ`Å` = 1-x eÅ`  y'= 1-x eÅ`  ⑴ 2 ⑵ ' 3 2 ⑶ - ' 3 0477 tan h+cot h= sin h cos h + cos h sin h = sinÛ` h+cosÛ` h sin h`cos h = 1 sin h cos h sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면 ;2!; sinÛ` h+2sin h cos h+cosÛ` h= ;4!; 1+2sin h cos h= ∴ sin h`cos h=- ;4!; ;8#; ∴ tan h+cot h= 1 sin h cos h =- ;3*;  - ;3*; y'= (sin x+1)'cos x-(sin x+1)(cos x)' (cos x)Û` cos x cos x-(sin x+1)(-sin x) cosÛ` x cosÛ` x+sinÛ` x+sin x cosÛ` x 1+sin x cosÛ` x  y'= 1+sin x cosÛ` x 0478 cot h= 1 tan h = ;3!; 이므로 y'=3_(-5)_x-5-1=-15x-6=- 15 xß`  y'=- 15 xß` 0479  y'=secÛ` x-sin x 2` cscÛ` h=1+cotÛ` h=1+ {;3!;} = :Á9¼:  :Á9¼: 5 여러 가지 미분법 | 067 STEP1 0467 y'=- 0468 y'=- 0469 0470 0471 0472 = = = 0473 5ㅡ여러가지 미분법 0494 0495 0496 0497 dx dt 0480   y'=sec x tan x-csc x cot x 0488 y'=-cscÛ` xÛ`_(xÛ`)'=-2x cscÛ` xÛ``  y'=-2x cscÛ` xÛ 0481 y' =(x)' cot x+x(cot x)'=cot x+x(-cscÛ` x) =cot x-x cscÛ` x  y'=cot x-x cscÛ` x 0489 y'=cos (tan x)_(tan x)'=cos (tan x) secÛ` x  y'=cos (tan x) secÛ` x 0482 y' =3(2x-1)Û`_(2x-1)'=3(2x-1)Û`_2 =6(2x-1)Û`  y'=6(2x-1)Û` 0490 y'=exÛ`-x_(xÛ`-x)'=(2x-1)exÛ`-x  y'=(2x-1)exÛ`-x =(2-x)-3이므로 y'=-3(2-x)-4_(2-x)'=-3(2-x)-4_(-1) 0483 y= 1 (2-x)Ü`` = 3 (2-x)Ý`` 0491 y'=55x+1 ln 5_(5x+1)'=55x+2 ln 5  y'=55x+2 ln 5 0492 y'=2cos x ln 2_(cos x)'=-2cos x ln 2_sin x  y'= 3 (2-x)Ý`  y'=-2cos x ln 2_sin x 0484 y'={(3x+1)Û`}'(xÛ`-1)+(3x+1)Û`(xÛ`-1)' =2(3x+1)_(3x+1)'_(xÛ`-1)+(3x+1)Û`_2x =6(3x+1)(xÛ`-1)+2x(3x+1)Û`` =2(3x+1)(6xÛ`+x-3)  y'=2(3x+1)(6xÛ`+x-3) 0493 y'=(x)' ln |x|+x(ln |x|)' =ln |x|+x_ =ln |x|+1 ;[!;  y'=ln |x|+1 y'= (x-1)'(xÜ`+1)Û`-(x-1){(xÜ`+1)Û`}' (xÜ`+1)Ý` (xÜ`+1)Û`-(x-1){2(xÜ`+1)_(xÜ`+1)'} (xÜ`+1)Ý` (xÜ`+1)Û``-(x-1)_6xÛ`(xÜ`+1) (xÜ`+1)Ý` 0485 = = = y'= (3x+1)' (3x+1) ln 2 = 3 (3x+1) ln 2  y'= 3 (3x+1) ln 2   y'= (eÅ`+1)' eÅ`+1 = eÅ` eÅ`+1  y'= eÅ` eÅ`+1 -5xÜ`+6xÛ`+1 (xÜ`+1)Ü`  y'= -5xÜ`+6xÛ`+1 (xÜ`+1)Ü`  y'= (sin x)' sin x = cos x sin x =cot x  y'=cot x  0486 y'=3 sin2 x_(sin x)'=3 sinÛ` x cos x  y'=3 sinÛ` x cos x 함수 f(x)가 미분가능할 때 ⑴ y=sin f(x) ⇨ y'=cos f(x)_f '(x)` ⑵ y=cos f(x) ⇨ y'=-sin f(x)_f '(x) ⑶ y=sinÇ` f(x) ⇨ y'=n sinn-1 f(x)_cos f(x)_f '(x) ⑷ y=cosÇ` f(x) ⇨ y'=n cosn-1 f(x)_{-sin f(x)}_f '(x) (단, n은 정수) 0487 y'=-sin (2x+3)_(2x+3)'=-2 sin (2x+3)  y'=-2 sin (2x+3) =3, =4t이므로 dy dx = = 4t 3 = t ;3$; dy dt dy 12dt 122dx 12dt 0498 dx dt dy dx = =2t, =- 이므로 1 tÛ` 1 - tÛ`` 1 1122t dy dt dy 12dt 122dx 12dt = =- 1 2tÜ` 068 | III . 미분법  dy dx = t ;3$;  dy dx =- 1 2tÜ` 정답과 해설  y'= 3 x '§ 2  y'=- e xe+1  dy dx =- x+1 y-3 `(y+3) x 1-xÛ`` "à  y'=- x 1-xÛ`` "à  dy dx =2et+2 0499 dx dt =et+1, =2e2t+3이므로 dy dt dy dx = = 2e2t+3 et+1 =2et+2 0500 dx dh =1-cos h, =sin h이므로 dy dh dy 12dt 122dx 12dt dy 12dh 122dx 12dh dy dx = = sin h 1-cos h  dy dx = sin h 1-cos h 0509 0501 (x+1)Û`+(y-3)Û`=2의 각 항을 x에 대하여 미분하면 2(x+1)+2(y-3) =0 dy dx ∴ =- `(y+3) dy dx x+1 y-3 0502 xy=4의 각 항을 x에 대하여 미분하면 y+x dy dx =0     ∴ =- ;[}; dy dx  dy dx =- ;[}; dy dx dy dx 2x-3yÛ`  +6xy+3xÛ`  =0 dy dx (3xÛ`-3yÛ`) =-2x-6xy ∴ =- dy dx 2x+6xy 3xÛ`-3yÛ` `(xÛ`+yÛ`) 0504 sin x+cos y=1의 각 항을 x에 대하여 미분하면 cos x-sin y =0 dy dx  dy dx =- 2x+6xy 3xÛ`-3yÛ` `(xÛ`+yÛ`) 0505 1 x y= '§ =x- ;5!;이므로 y'=- x- ;5!; -1=- x- ;5^;=- ;5!; ;5!; 1 5x Þ '§ x  y'=- 1 5x Þ ' x 0506 y=x '§ ;2#; x=x;2#;이므로 y'= x;2#; -1= x;2!;= 3 x '§ 2 ;2#; ' 0507  y'= 3-1 3x' 0508 y'=-ex-e-1=- e xe+1 y= 1-xÛ`=(1-xÛ`);2!;이므로 y'= (1-xÛ`);2!; -1_(1-xÛ`)' (1-xÛ`)- ;2!;_(-2x) y=Ü 2x-5=(2x-5);3!;이므로 y'= (2x-5);3!; -1_(2x-5)' (2x-5)- ;3@;_2 2 (2x-5)Û`` 3 Ü "à 0511 x=yÜ`의 양변을 y에 대하여 미분하면 "à ;2!; = ;2!; =- 0510 'Ä ;3!; = ;3!; = dx dy =3yÛ`` ∴ dy dx = 0512 y=ß ' dx dy =6yÞ` 0513 y=Ü 'Ä dx dy =3yÛ`` = 1 3yÛ`` = 1 x)Û` = 3(Ü '§ 1 3 Ü xÛ` " 1 dx dy x=yÜ`에서 y=Ü 3yÛ`=3(Ü x)Û` ' ' x이므로  dy dx = 1 xÛ` 3 Ü " x에서 x=yß`이므로 양변을 y에 대하여 미분하면 x-3에서 x=yÜ`+3이므로 양변을 y에 대하여 미분하면 5 여러 가지 미분법 | 069 ∴ dy dx = cos x sin y `(sin y+0)  dy dx = cos x sin y `(sin y+0) ∴ dy dx = 1 dx dy = 1 6yÞ`` = 1 x)Þ` = 6(ß '§ 1 6 ß xÞ` "  dy dx = 1 xÞ` 6 ß " 0503 xÛ`-yÜ`+3xÛ`y-1=0의 각 항을 x에 대하여 미분하면  y'= 2 (2x-5)Û`` 3 Ü "à 5ㅡ여러가지 미분법Þ ∴ dy dx = = 1 3yÛ`` = 1 dx dy 1 x-3)Û` = 3(Ü 'Ä 1 (x-3)Û` 3 Ü "à 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0522  dy dx = 1 (x-3)Û` 3 Ü "à |전략| 함수 g(x)(g(x)+0)가 미분가능할 때, [ ' 1 g(x) ] =- g'(x) {g(x)}Û` 임을  y"=24x 이용한다. f(1+h)-f(1-h)   lim      h `0 h` 2° {`f(1+h)-f(1)}-{ f(1-h)-f(1)} =lim        h h` `0 2° `f(1+h)-f(1) =lim        h h` `0 2° `f(1-h)-f(1) +lim        -h h` `0 2° =f '(1)+f '(1)=2f '(1)  y"= 2 xÜ` `f(x)= 에서 `f '(x)=- 1 xÛ`+1 2x (xÛ`+1)Û` 다른 풀이 y= =x-1에서 y'=-x-2이므로 ;[!; ∴ 2f '(1)=2_ - =-1 { ;2!;}  ① 0523 `f(x)= 에서 `f '(x)=- 1 eÅ`-1 eÅ` (eÅ`-1)Û` ∴ f '(ln 2)=- eln 2 (eln 2-1)Û` =- 2 (2-1)Û` =-2  ④ 1 4(x+1) x+1 'Ä  y"=- 1 4(x+1) x+1 'Ä 0524 `f(1)=1이므로 `f(x)-1   lim      xÛ`-1 `1 x` 2° `f(x)-f(1)   =lim      xÛ`-1 x` `1 2°  y"=4e-2x =lim      `1[ x` `f(x)-f(1) x-1 _ 1 x+1 ] = f '(1) 2° ;2!;  y"=- 1 xÛ` `f(x)=- 에서 `f '(x)=- 2 xÛ`-3 2_2x (xÛ`-3)Û` ] = 4x (xÛ`-3)Û` [- ∴ f '(1)= _ ;2!; ;2!; 4 (1-3)Û` = ;2!;  ;2!; y'=ln x+x_ =ln x+1이므로 ;[!; 0520 y"= ;[!;  y"=-9 sin 3x 0525 |전략| 두 함수 f(x), g(x) (g(x)+0)가 미분가능할 때, ' f(x) g(x) ] [ = f '(x)g(x)-f(x)g'(x) {g(x)}Û` 임을 이용한다. `f(x)= ax+b xÛ`+x+1 에서  y"= ;[!; `f '(x)= a(xÛ`+x+1)-(ax+b)(2x+1) (xÛ`+x+1)Û` ` 0521 y'=eÅ` cos x+eÅ`(-sin x)=eÅ`(cos x-sin x)이므로 y"=eÅ`(cos x-sin x)+eÅ`(-sin x-cos x) `f '(0)=-3에서 a-b=-3 yy`㉠ `f '(-1)=1에서 a+(-a+b)=1 ∴ b=1 b=1을 ㉠에 대입하면 a=-2 =-2eÅ` sin x  y"=-2eÅ` sin x ∴ a+b=-1  -1 정답과 해설 0514 y'=12xÛ`+2이므로 y"=24x 0515 y'=- 이므로 1 xÛ` y"=- - { 2x xÝ` } = 2 xÜ` y"=2x-3= 2 xÜ` 0516 y= 'Ä x+1=(x+1);2!;에서 y'= (x+1)- ;2!;이므로 ;2!; y"=- (x+1)- ;2#;=- ;4!; 0517 y'=-2e-2x이므로 y"=4e-2x 0518 5 5x y'= y"=- 1 xÛ` = ;[!; 이므로 0519 y'=3 cos 3x이므로 y"=-9 sin 3x 070 | III . 미분법 0526 1 g(0)+3 0527 에서 `f '(x)= g(x)+3-xg'(x) {g(x)+3}Û`` `f(x)= x g(x)+3 `f '(0)=1에서 g(0)+3 {g(0)+3}Û` =1 =1, g(0)+3=1 ∴ g(0)=-2  ① 다른 풀이 y'= 0530 y= xÞ`-3x+1 xÛ`` =xÜ`- + ;[#; 1 xÛ`` =xÜ`-3x-1+x-2에서 y'=3xÛ`+3x-2-2x-3=3xÛ`+ 3 xÛ` - 2 xÜ`  y'=3xÛ`+ 3 xÛ` - 2 xÜ` (5xÝ`-3)xÛ`-(xÞ`-3x+1)_2x xÝ` = 3xÞ`+3x-2 xÜ` =3xÛ``+ - 3 xÛ` 2 xÜ` `f(x)= xÛ`-3x+5 xÛ`+1 에서 `f '(x)= (2x-3)(xÛ`+1)-(xÛ`-3x+5)_2x (xÛ`+1)Û`` ` = (x-3)(3x+1) (xÛ`+1)Û`` `  이때, (xÛ`+1)Û`>0이므로 `f '(x)É0에서 (x-3)(3x+1)É0 ∴ - ÉxÉ3 ;3!; 따라서 `f '(x)É0을 만족시키는 정수 x는 0, 1, 2, 3의 4개이다. 채점 기준 ❶ f '(x)를 구할 수 있다. ❷ f '(x)É0을 만족시키는 x의 값의 범위를 구할 수 있다. ❸ f '(x)É0을 만족시키는 정수 x의 개수를 구할 수 있다. 0528 `f {;3Ò;} = 1-sin  ;3Ò; =   cos ;3Ò; 1- 3 ' 2 12 ;2!; =2- 3이므로 ' `f(x)-2+   lim      ` x` ;3Ò; 2° x- 3 ' `f(x)-f   = lim      x` ;3Ò; 2° x- ` ;3Ò; {;3Ò;} =f ' {;3Ò;} ;3Ò; 1-sin x cos x `f(x)= 에서 `f '(x)= (-cos x)cos x-(1-sin x)(-sin x) (cos x)Û` = -cosÛ` x+sin x-sinÛ` x cosÛ` x = sin x-1 cosÛ` x ∴ f ' = {;3Ò;} =2 3-4 '  2 3-4 ' sin  -1 ;3Ò; = cosÛ`  ;3Ò; 3 ' 2 -1 ;4!; 0529 |전략| n이 정수일 때, (xÇ`)'=nxÇ` ÑÚ`임을 이용한다. … ❶ … ❷ … ❸  4 비율 50`% 30`% 20`% 0531 |전략| sinÛ` h+cosÛ` h=1, 1+tanÛ` h=secÛ` h임을 이용한다. csc h sec h-tan h + csc h sec h+tan h = csc h(sec h+tan h)+csc h(sec h-tan h) (sec h-tan h)(sec h+tan h) = 2 csc h sec h secÛ` h-tanÛ` h =2 csc h sec h= 1+tanÛ` h=secÛ` h이므로 secÛ` h-tanÛ` h=1 2 sin h cos h 이때, sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면 ;3!; sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h= ;9!; 1+2 sin h cos h= ∴ sin h cos h=- ;9$; ∴  2 sin h cos h = =- ;2(; ;9!; 2 -;9$; 0532 (1+tan h+sec h)(1+cot h-csc h) = 1+ { sin h cos h + 1 cos h }{ 1+ cos h sin h - 1 sin h } = cos h+sin h+1 cos h _ sin h+cos h-1 sin h = (cos h+sin h)Û`-1 cos h`sin h = cosÛ` h+2 cos h sin h+sinÛ` h-1 cos h sin h = 2 cos h sin h cos h sin h =2 `f(x)= + + + =x-2+2x-3+3x-4+4x-5에서 1 xÛ` 2 xÜ` 3 xÝ` 4 xÞ` `f '(x) =-2x-3+2_(-3)x-4+3_(-4)x-5+4_(-5)x-6 0533 secÛ` h+cscÛ` h= 1 cosÛ` h + 1 sinÛ` h = sinÛ` h+cosÛ` h cosÛ` h sinÛ` h =-2x-3-6x-4-12x-5-20x-6 ∴ f '(1) =-2-6-12-20=-40  ② = 1 (cos h sin h)Û`  ①  ④ 5 여러 가지 미분법 | 071 5ㅡ여러가지 미분법 ∴ f ' {;4Ò;} =sec  sec  -tan  ;4Ò;{ ;4Ò; ;4Ò;} = 1 1 cos  ;4Ò; cos  ;4Ò; -tan  ;4Ò; = 2( 2-1)=2- 2 ' ' ' ¥ ¦  ① 0537 f(p+h)-f(p)   lim      h `0 h` 2° `f(x)=sin x+tan x에서 f '(x)=cos x+secÛ` x이므로 =f '(p) `f '(p)=cos`p+secÛ``p=-1+(-1)Û`=0  ④ 0538 `f(x)=tan x에서 f '(x)=secÛ` x이므로 `f '(a)+f '(b)+f '(c) =secÛ` a+secÛ` b+secÛ` c =(1+tanÛ` a)+(1+tanÛ` b)+(1+tanÛ` c)=3 ∴ tanÛ` a+tanÛ` b+tanÛ` c=0 이때, tanÛ` a¾0, tanÛ` b¾0, tanÛ` c¾0이므로  20 tanÛ` a=tanÛ` b=tanÛ` c=0 ∴ tan a=tan b=tan c=0 ∴ f(a)+f(b)+f(c)=tan a+tan b+tan c=0  ① 0539 yy`㉠ |전략| 두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 h(x)=f(g(x)) 의 도함수는 h'(x)=f '(g(x))g'(x)임을 이용한다. yy`㉡ yy`㉢ h(x)=( f½g)(x)=f(g(x))에서 h'(x)=f '(g(x))g'(x) ∴ h'(0) =f '(g(0))g'(0)=f '(-1)g'(0) 5 (x+1)Û` 4(x+1)-(4x-1) (x+1)Û` 이때, g'(x)= = g'(0)=5 따라서 h'(0)=15, g'(0)=5를 ㉠에 대입하면 5f '(-1)=15 `f '(-1)=3 ∴ yy`㉠ 이므로 =6Û`=36  36 이때, tan h+cot h=6에서 sin h cos h + cos h sin h =6, sinÛ` h+cosÛ` h cos h sin h =6 ∴ 1 cos h sin h =6 ∴ 1 (cos h sin h)Û` 0534 1-cot h 1+tan h + 1+cot h 1-tan h (1-cot h)(1-tan h)+(1+cot h)(1+tan h) (1+tan h)(1-tan h) 2+2 cot h tan h 1-tanÛ` h cot h tan h= _tan h=1 1 tan h = = = 4 1-tanÛ` h 이때, sin h=- 에서 sinÛ` h= ;3@; ;9$; 또, cosÛ` h=1-sinÛ` h=1- = ;9$; ;9%; 이므로 tanÛ` h= sinÛ` h cosÛ` h = = ;5$; ∴ 4 1-tanÛ` h = =20 1- ;5$; ;9$; ;9%; 4 0535 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sec h+csc h= 1 cos h + 1 sin h =a에서 sin h+cos h cos h sin h =a sec h`csc h= 1 cos h sin h =2에서 cos h sin h= ;2!; ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 sin h+cos h= ;2A; ㉢의 양변을 제곱하면 sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h= aÛ` 4 ' 072 | III . 미분법 1+2_ = , aÛ`=8 ∴ a=2 2 (∵ a는 양수)  ④ aÛ` 4 ;2!; 0536 |전략| 주어진 함수를 간단히 한 후 (tan x)'=secÛ` x, (sec x)'=sec x`tan x 임을 이용한다. `f(x)= 1-csc x cot x = 1 cot x - csc x cot x csc x cot x = 1 sin x _ sin x cos x = 1 cos x =sec x 0540 h(x)=( f½g)(x)=f(g(x))에서 h'(x)=f '(g(x))g'(x) ∴ h'(1) =f '(g(1))g'(1)=f '(0)g'(1) `f '(x)=secÛ` x-sec x tan x=sec x(sec x-tan x) `f '(0)=1 =tan x-sec x이므로 이때, `f '(x)= xÛ`+1-x_2x (xÛ`+1)Û` = -xÛ`+1 (xÛ`+1)Û` 이므로  3 yy`㉠ 정답과 해설 g'(x)=2x-5이므로 g'(1)=-3 따라서 `f '(0)=1, g'(1)=-3을 ㉠에 대입하면 h'(1)=1_(-3)=-3 -3 f '(-3x+2)=3xÛ`-2x+1 위의 식의 양변에 x=-1을 대입하면  ① -3 f '(5)=3+2+1=6 ∴ `f '(5)=-2  ③ 0541 `f( f(x))=g(x)로 놓으면 g(1)=f( f(1))=f(2)=2이므로  g(x)-g(1) x-1 f( f(x))-2   lim      x-1 `1 x` 2° =lim      x` 2° =g'(1) `1 이때, g'(x)=f '( f(x))f '(x)이므로 g'(1) =f '( f(1))f '(1)=f '(2)f '(1) =4_3=12 0545 `f(2x-3)=sin 2px-cos px의 양변을 x에 대하여 미분하면 2 f '(2x-3)=2p cos 2px+p sin px 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 2 f '(-1)=2p cos 2p+p sin p=2p  12  ∴ f '(-1)=p  ④ =3에서 x` `2일 때 (분모) `0이고 극한값이 존재하 2° 2° 임을 이용한다. 0542 f(x)+1   lim      x-2 `2 x` 2° 므로 (분자) `0이다. 2° 즉, lim      x` 2°  { f(x)+1}=0이므로 f(2)=-1 `2 `f(x)-f(2) =lim        x-2 `2 x` 2° `f(x)+1   ∴ lim      x-2 x` `2 2°  g(x)-2 x+1 또, lim      `-1 x` 2° 이 존재하므로 (분자) `0이다. 2° 즉, lim      `-1 x` 2° ∴` lim      `-1 x` 2° {g(x)-2}=0이므로 g(-1)=2  g(x)-g(-1)  g(x)-2 x-(-1) x+1 = lim      `-1 x` 2° =f '(2)=3 … ❶ =2에서 x` -1일 때 (분모) `0이고 극한값 2°` 2° =g'(-1)=2 … ❷ 이때, y=(g½f)(x)=g( f(x))에서 y'=g'( f(x))f '(x) 따라서 함수 y=(g½f`)(x)의 x=2에서의 미분계수는 g'( f(2))f '(2)=g'(-1)f '(2)=2_3=6 채점 기준 ❶ `f(2), f '(2)의 값을 구할 수 있다. ❷ `g(-1), g'(-1)의 값을 구할 수 있다. ❸ 함수 y=(g½f )(x)의 x=2에서의 미분계수를 구할 수 있다. … ❸  6 비율 40`% 40`% 20`% 0543 |전략| 함수 f(x)가 미분가능할 때, { f(ax+b)}'=a f '(ax+b)임을 이용한 다. `f(x)=f(3x-1)의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f '(x)=3 f '(3x-1) ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 `f '(2)=3 f '(5) `f '(2)=6이므로 3 f '(5)=6 ∴ f '(5)=2 ㉠의 양변에 x=5를 대입하면 `f '(5)=3f '(14) 0546 |전략| 함수 f(x)가 미분가능할 때, [{ f(x)}Ç`]'=n{ f(x)}n-1f '(x)(n은 정수) g(x)={ f(x)+1}Ü`에서 g'(x)=3{ f(x)+1}Û``f '(x) ∴ g'(1)=3{`f(1)+1}Û``f '(1) yy`㉠ `f(x)= 에서 f '(x)=- ∴ f '(1)=-2 1 2x-1 2 (2x-1)Û`  f(1)=1, f '(1)=-2를 ㉠에 대입하면 g'(1)=3(1+1)Û`_(-2)=-24  -24 0547 `f(x)= x+a 2x+1 } { 에서 `f '(x)=3 3` x+a 2x+1 } x+a 2x+1 } ' { =3 x+a 2x+1 } _ 2x+1-(x+a)_2 (2x+1)Û` { { 2` 2` = 3(x+a)Û`(1-2a) (2x+1)Ý` `f '(0)=-3에서 3aÛ`(1-2a)=-3 2aÜ`-aÛ`-1=0, (a-1)(2aÛ`+a+1)=0 ∴ a=1 (∵ a는 정수)  ① 0548 `f(x)=cosÜ` (2x-p)에서 `f '(x) =3 cosÛ` (2x-p)_{-sin (2x-p)}_2 =-6 cosÛ` (2x-p) sin (2x-p) yy`㉠ ∴ `f ' {;3Ò;} =-6 cosÛ`  { - ;3Ò;}  sin  { - ;3Ò;} sin (-x)=-sin x cos (-x)=cos x =-6 cosÛ`` -sin    { ;3Ò; =-6_ `_ - ' = {;2!;} { ;3Ò;} 3 2 } 3 3 ' 4  3 3 ' 4 `f '(5)=2이므로 3 f '(14)=2 ∴ f '(14)= ;3@;  ;3@; 0549 y={xÛ` f(x)}Û`에서 0544 `f(-3x+2)=xÜ`-xÛ`+x+5의 양변을 x에 대하여 미분하면 y' =2{xÛ` f(x)}{xÛ` f(x)}' =2{xÛ` f(x)}{2xf(x)+xÛ` f '(x)} 5 여러 가지 미분법 | 073 5ㅡ여러가지 미분법2 이므로 x=1에서의 미분계수는 2{1Û`_f(1)}{2_1_f(1)+1Û`_f '(1)}=2_1_(2+2)=8 0554 log {(x+1)f(x)} =log (x+4)+log (xÜ`+1)  ② =log (x+4)(xÜ`+1)  ;5^; 이므로 (x+1)f(x)=(x+4)(xÜ`+1) ∴ f(x)=(x+4)(xÛ`-x+1) (x+-1) `f '(x) =(xÛ`-x+1)+(x+4)(2x-1) =(xÛ`-x+1)+(2xÛ`+7x-4)  ① 3(xÛ`+2x-1) (x+4)(xÛ`-x+1) =3(xÛ`+2x-1) g(x)=ln |f(x)|에서 f '(x) f(x) g'(x)= = ∴ g'(1)= 3_2 5_1 = ;5^; 0555 `f(x)=log£ (3x-1)Ü`=3 log£ (3x-1)에서 `f '(x)=3_ 3 (3x-1) ln 3 = 9 (3x-1) ln 3  ⑤ `f '(a)= 에서 3 ln 3 9 (3a-1) ln 3 = 3 ln 3 =1, 3a-1=3 ∴ a= ;3$;  ;3$; 3 3a-1 0556 `f '(n)= 2n nÛ`-1 `f(x)=ln (xÛ`-1)에서 f '(x)= 이므로 2x xÛ`-1 ¦ ∴` `f '(n) n ¦ = 1 n _ 2n nÛ`-1 ¦ =` 2 nÛ`-1 n=2 Á = n=2 Á 2 (n-1)(n+1) =lim      `¦` n` n 1 k-1 - 1 k+1 } n=2 Á ¦ n=2 Á 2° k=2{ Á `¦[{ n` 2° =lim      1- + - - ;3!;} {;2!; ;4!;}+{;3!; ;5!;} + y + 1 n-2 { - ;n!;}+{ 1 n-1 - 1 n+1 }] =lim      `¦{ n` 1+ ;2!; - ;n!; - 2° 1 n+1 } = ;2#;  ;2#; 0557 분한다. |전략| 주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취한 후 양변을 x에 대하여 미 의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 `f(x)= (x+1)Ü` xÛ`(x-1) ln |`f(x)|=ln  | (x+1)Ü` xÛ`(x-1) |  -2 3e ' f '(x) f(x) 임을 0550 |전략| 함수 f(x)가 미분가능할 때, {af(x)}'=af(x) ln a_f '(x)임을 이용한다. (단, a>0, a+1) `f(p+2h)-f(p) =2 lim        2h h` `0 `f(p+2h)-f(p)   lim      h h` `0 2° `f(x)=2sin x에서 `f '(x)=2sin x ln 2_(sin x)'=2sin x ln 2_cos x ∴ 2 f '(p)=2_2sin p_ln 2_cos p=-2 ln 2 2° =2 f '(p) 0551 `f(x)= `f '(x)= 에서 xÛ`+1 eÛ`Å` 2x_e2x-(xÛ`+1)_2e2x (eÛ`Å`)Û` 2e2x(x-xÛ`-1) eÝ`Å` = = 2(x-xÛ`-1) eÛ`Å` ∴ f(1)-f '(1)= - 2 eÛ` -2 eÛ` = 4 eÛ` 0552 h(x)=g( f(x))로 놓으면 h(x)=2e2 cos x이므로 h {;3Ò;} =2e2 cos  ;3Ò;=2e ∴ lim      x` ;3Ò; 2° `  g( f(x))-2e x- ;3Ò; h(x)-h   = lim      x` ;3Ò; 2° x- ` ;3Ò; {;3Ò;} =h' {;3Ò;} h(x)=2e2 cos x에서 h'(x)=2e2 cos x_(2`cos`x)'=-4e2 cos x sin x이므로 h' {;3Ò;} =-4e2 cos  ;3Ò;_sin  ;3Ò; 3 =-4e_ ' 2 =-2 3e ' |전략| 함수 f(x)가 미분가능하고 f(x)+0일 때, {ln |f(x)|}'= 0553 이용한다. ;2!; ∴ y'= = = y=ln  ¾Ð 1-cos x 1+cos x =  ln  ;2!; 1-cos x 1+cos x =  {ln (1-cos x)-ln (1+cos x)} sin x 1-cos x -sin x 1+cos x } -   ;2!; { sin x(1+cos x)+sin x(1-cos x) 2(1-cosÛ` x) 2`sin x 2`sinÛ` x = 1 sin x 074 | III . 미분법 따라서 x= 에서의 미분계수는 = =2  ⑤ ;6Ò; 1 sin  ;6Ò; 1 ;2!; =3 ln |x+1|-2 ln |x|-ln |x-1| 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 정답과 해설 `f '(x) f(x) = 3 x+1 - - 2 x 1 x-1 ∴ f '(x)=f(x) 3 x+1 { - - 2 x 1 x-1 } 3Ü` 2Û`_1 :ª4¦: `f(2)= = :ª4¦: 이므로 `f '(2)= _(1-1-1)=- :ª4¦: 다른 풀이 함수의 몫의 미분법을 이용하면 `f '(x)= 3(x+1)Û`_xÛ`(x-1)-(x+1)Ü`{2x(x-1)+xÛ`} {xÛ`(x-1)}Û` x(x+1)Û`{3x(x-1)-(x+1)(3x-2)} xÝ`(x-1)Û` = = 2(x+1)Û`(1-2x) xÜ`(x-1)Û` 2_3Û`_(-3) 2Ü`_1Û` =- :ª4¦: ∴ f '(2)= `f(x)=xsin x의 양변에 자연로그를 취하면 ln f(x)=ln xsin x=sin x_ln x 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f '(x) f(x) =cos x_ln x+sin x_ ;[!;  ② ∴ f '(x)=f(x) cos x_ln x+sin x_ { =xsin x { cos x_ln x+sin x_ ∴ f '(p)=psin p { cos p_ln p+sin p_ 1 =-ln p=ln  p ;[!;} ;[!;} 1 p }  ⑤ 0561 |전략| 매개변수로 나타낸 함수 x=f(t), y=g(t)가 t에 대하여 미분가능하고 0558 `f(x)= (x-1)Û` x+1 'Ä x+2 ln |`f(x)|=ln  | (x-1)Û` x+1 'Ä x+2 | 의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ∴ ln |`f(x)|=2 ln |x-1|+  ln |x+1|-ln |x+2| … ❶ ;2!; `f '(t)+0이면 = 임을 이용한다. dy dx g'(t) f '(t) dx dt =3tÛ`-2t, =3tÛ`+ t이므로 ;3@; dy dt dy dx = dy 12dt 122dx 12dt = t 3tÛ`+ ;3@; 3tÛ`-2t `(3tÛ`+2t) 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f '(x) `f(x) = 2 x-1 + 1 2(x+1) - 1 x+2 ∴ g(0)= `f '(0) `f(0) =-2+ - ;2!; ;2!; =-2 채점 기준 ❶ 주어진 식을 변형할 수 있다. ❷ `f '(x) `f(x) 를 구할 수 있다. ❸ g(0)의 값을 구할 수 있다. 0559 `f(x)=xx의 양변에 자연로그를 취하면 ln f(x)=x ln x 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 =ln x+1 =ln x+x_ f '(x) 1 f(x) x ∴ f '(x)=f(x)(ln x+1)=xx(ln x+1) ∴ f '(e)=ee(ln e+1)=2ee 0560 `f(p)=psin p=1이므로 `f(x)-1   lim      x-p `p x` 2° `f(x)-f(p) =lim        x-p `p x` 2° =f '(p) dy   ∴ lim      dx t` `0 2° t 3tÛ`+ =lim        t` `0 2° ;3@; 3tÛ`-2t 3t+   =lim      t` `0 2° ;3@; 3t-2 =- ;3!;  - ;3!; … ❷ … ❸ 비율 40`% 40`% 20`% 0562 dx dh dy dh 이므로  -2 =cos h-h`sin h-cos h=-h`sin h, =sin h+h`cos h-sin h=h`cos h dy dx = = h cos h -h sin h =-cot h dy 12dh 122dx 12dh h= 일 때, ;6Ò; =-cot  =- ;6Ò; =- 3 '  ① dy dx 1 tan  ;6Ò; 0563 `f(4+2h)-f(4-3h)   lim      h `0 h` 2°  ④ `f(4+2h)-f(4)+`f(4)-f(4-3h) =lim        h h` `0 2° =lim        [ h` `0 2° `f(4+2h)-f(4) 2h _2+ `f(4-3h)-f(4) -3h _3 ] =2f '(4)+3f '(4)=5f '(4) 이때, =2t, =6tÛ`이므로 dx dt dy dt 5 여러 가지 미분법 | 075 5ㅡ여러가지 미분법 =-1, 2-a=-3 ∴ a=5  ⑤ =secÛ` h, =2`cos h`(-sin h)=-2`cos h`sin h이므로 dy dh dy dx = = =3t 6tÛ` 2t dy 12dt 122dx 12dt 따라서 구하는 값은 5f '(4)=5_3_2=30 x=4에서 tÛ`=4 ∴ t=2`(∵ t>0) =3tÛ`, =2t-a이므로 dy dx = = 2t-a 3tÛ` `(t+0) dy 12dt 122dx 12dt dy dt dy dx t=1일 때, =-1이므로 0564 dx dt 2-a 3 0565 dx dh dy 12dh 122dx 12dh dy dx = = -2 cos h`sin h secÛ` h = -2 cos h sin h 1 cosÛ` h =-2 cosÜ` h sin h x=1, y= 일 때, tan h=1, cosÛ` h= 에서 ;2!; ;2!; h= ` ;4Ò; ∵ - { ;2Ò; 2) 따라서 g(18)=6이고 `f '(x)=2x-4이므로 g'(18)= 1 `f '(g(18)) = 1 `f '(6) = ;8!; 다른 풀이 y=xÛ`-4x+6(x>2)이라 하면 역함수는 x=yÛ`-4y+6(y>2)이므로  ⑤  ④ dx dy =2y-4=2(y-2) ∴ dy dx = 1 2(y-2) yy`㉠ 5 여러 가지 미분법 | 077 5ㅡ여러가지 미분법 한편, x=yÛ`-4y+6에서 x=18일 때 yÛ`-4y+6=18, yÛ`-4y-12=0 (y+2)(y-6)=0 ∴ y=6 (∵ y>2) y=6을 ㉠에 대입하면 구하는 값은 1 2(6-2) = ;8!; 0577 `f(2)=3에서 g(3)=2이므로 1 `f '(g(3)) 1 `f '(2) g'(3)= = =2 0578 g(2)=h라 하면 `f(h)=2이므로 2 sin h+1=2, sin h= ;2!; ∴ h= ` ∵ 0Éh< { ;6Ò; ;2Ò;} 따라서 g(2)= ;6Ò; 이고 `f '(x)=2 cos x이므로 g'(2)= 1 `f '(g(2)) = 1 = 1 = 1 `f ' {;6Ò;} 2 cos  ;6Ò; 2_ 3 ' 2 12 3 = ' `3 다른 풀이 lim     h'(x) x =lim     x` 2° `0 x` `0 2° =lim     `0[ x` 2° 2 ln (x+1) x(x+1) ln (x+1) x _ 2 x+1 ] =1_2=2 0581 `f(x)= 에서 `f '(x)=- ;[!; 1 xÛ` `f '(1)=-1이므로 `f '(x)+1   lim      x-1 `1 x` 2° `f "(x)=- - { ∴ f "(1)=2 `f '(x)-f '(1) =lim        x-1 x` `1 2° 2x xÝ` } 2 xÜ` = =f "(1) 0582 `f(x)=xeax+b(a+0)에서 `f '(x)=eax+b+xeax+b_a=(ax+1)eax+b `f "(x)=aeax+b+(ax+1)eax+b_a=a(ax+2)eax+b `f '(3)=4에서 (3a+1)e3a+b=4 `f "(-2)=0에서 a(-2a+2)e-2a+b=0 그런데 e-2a+b>0이므로 a(-2a+2)=0 yy`㉠ ∴ a=1`(∵ a+0) a=1을 ㉠에 대입하면 4e3+b=4, 3+b=0 ∴ b=-3 … ❷  2  ③ 에서 x` `3일 때 (분자)` `0이고 0이 아닌 극한 ∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+(-3)Û`=10 2° x-3   lim      `f(x)-1 `3 x` 2° 값이 존재하므로 (분모)` = ;5!; 2° `0이다. 2° 즉, lim      x` 2°  { f(x)-1}=0이므로 f(3)=1 `3 ∴ g(1)=3 x-3   이때, lim      `f(x)-1 x` `3 2° x-3 =lim        `f(x)-f(3) x` `3 2° = 1 `f '(3) 이므로 채점 기준 ❶ f '(x), f "(x)를 구할 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ aÛ`+bÛ`의 값을 구할 수 있다. ∴ g'(1)= 1 `f '(g(1)) = 1 `f '(3) = ;5!;  ;5!; 0583  ④ … ❶ … ❸  10 비율 40`% 40`% 20`% 0579 1 `f '(3) = ;5!; 0580 |전략| 함수 h(x)의 도함수 h'(x)가 미분가능할 때, h'(x)-h'(a) x-a lim      `a x` 2° =h"(a)임을 이용한다. h(x) =(g½f )(x)=g( f(x))={ln (x+1)}Û`에서 1 x+1 2 ln (x+1) x+1 h'(x)=2 ln (x+1)_ = =h"(0) _(x+1)-ln (x+1) h'(0) =0이므로 h'(x)   lim      x `0 x` 2° h"(x)=2_ h'(x)-h'(0) =lim        x-0 x` `0 2° 1 x+1 112 (x+1)Û`` =2_ 1-ln (x+1) (x+1)Û`` ∴ h"(0)=2_1=2 078 | III . 미분법 |전략| `f '(x), f "(x)를 각각 구하여 주어진 식에 대입한다. `f(x)=ex sin x에서 `f '(x)=ex sin x+ex cos x=ex(sin x+cos x) `f "(x) =ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2ex cos x 이것을 f "(x) =a f '(x)+b f(x)에 대입하면 2ex cos x=aex(sin x+cos x)+bex sin x 2 cos x=a sin x+a cos x+b sin x (∵ ex>0) ∴ (a+b) sin x+(a-2) cos x=0 위의 식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로 a+b=0, a-2=0 따라서 a=2, b=-2이므로 aÛ`+bÛ`=2Û`+(-2)Û`=8  ③ 0584 `f(x)=e-x(cos 2x+1)에서  ② 정답과 해설 `f '(x) =-e-x(cos 2x+1)+e-x(-2 sin 2x) =-e-x(cos 2x+2 sin 2x+1) `f "(x) =e-x(cos 2x+2 sin 2x+1) =e-x(4 sin 2x-3 cos 2x+1) -e-x(-2 sin 2x+4 cos 2x) ∴ f '(0)=-1_(1+1)=-2, f "(0)=1_(-3+1)=-2 이것을 `f '(0)+kf "(0)=0에 대입하면 -2-2k=0 ∴ k=-1 0586 |전략| f (1)(x), f (2)(x), f (3)(x), y를 차례로 구하여 규칙을 찾는다. `f(x)=cos x에서 `f (1)(x)=-sin x, `f (2)(x)=-cos x, `f (3)(x)=sin x, `f (4)(x)=cos x, f (5)(x)=-sin x, y ∴ f (4k+1)(x)=f (1)(x), f (4k+2)(x)=f (2)(x), f (4k+3)(x)=f (3)(x), f (4k+4)(x)=f (4)(x) (단, k는 자연수)  -1 이때, 101=4_25+1이므로 `f (101) =f (1) {;3Ò;} {;3Ò;} =-sin  3 =- ' 2 ;3Ò;  ① 0585 `f(x)= ' 3 sin x-cos x에서 `f '(x)= 3 cos x+sin x `f "(x)=- 3 sin x+cos x=2 '  sin x+  cos x ;2!; } ' 3 - ' 2 { =2 sin  { x+ p } ;6%; `f "(x)=1에서 2 sin  { x+ p =1 ;6%; } ∴ sin  { x+ p = } ;2!; ;6%; 이때, x+ p=t로 놓으면 0ÉxÉ2p에서 pÉtÉ p이고, 주 ;6%; :Á6¦: ;6%; 어진 방정식은 0588 `f(x)=e;2{;에서 0587 y=ex(sin x+cos x)에서 y(1) =ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2ex cos x y(2) =2ex cos x-2ex sin x=2ex(cos x-sin x) ∴ y(3) =2ex(cos x-sin x)+2ex(-sin x-cos x) =-4ex sin x  ① `f (1)(x)= e;2{;, `f (2)(x)= e;2{;, `f (3)(x)= ;2!; {;2!;} 2` e;2{;, … {;2!;} 3` 즉, f (n)(x)= e;2{;이므로 {;2!;} n` F(x)= `f (n)(x)= e;2{;= e;2{;=e;2{; ¦ n=1{;2!;} Á n` ;2!; 1- ;2!; ∴ F(4)=eÛ`  ⑤ 등비급수 ` arn-1=a+ar+arÛ`+ y +arn-1+ y은 -10, a+1) `f(x)=24x에서 `f '(x)=24x ln 2_4=24x+2 ln 2 `f '(a)=64 ln 2에서 24a+2 ln 2=64 ln 2, 24a+2=2ß` 4a+2=6 ∴ a=1  ① 0596 유형 10 로그함수의 도함수  ② 0592 유형 06 합성함수의 미분법 |전략| 두 함수 y=f(u), u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 h(x)=f(g(x)) 의 도함수는 h'(x)=f '(g(x))g'(x)임을 이용한다. `f(x)=sin (tan 2x)에서 `f '(x)=cos (tan 2x)_secÛ` 2x_2=2 cos (tan 2x) secÛ` 2x 이용한다. `f '(x)=ex+f(x)를 g(x)=ln f '(x)에 대입하면 g(x)=ln {ex+f(x)} |전략| 함수 f(x)가 미분가능하고 f(x)+0일 때, {ln |f(x)|}'= 임을 f '(x) f(x) 080 | III . 미분법 정답과 해설 ∴ g'(x)= ex+f '(x) ex+f(x) = ex+ex+f(x) ex+f(x) = 2ex+f(x) ex+f(x) ∴ g'(0)= 2+f(0) 1+f(0) =2 참고 조건 ㈎, ㈏를 모두 만족시키는 함수는 f(x)=xex이다. `f '(x)= -2x 1-xÛ`` 2 =- x 1-xÛ`` "à "à g'(x)=-2 sin x이므로 g' 이므로 f '(0)=0 {;2Ò;} =-2 sin  =-2 ;2Ò;  ③ 따라서 `f '(0)=0, g' =-2를 ㉠에 대입하면 {;2Ò;} 0597 유형 11 로그함수의 도함수의 활용 |전략| 주어진 식의 양변에 자연로그를 취한 후 양변을 x에 대하여 미분한다. h' {;2Ò;} =0 0600  ③ ef(x)= 1+sin x 1-sin x ¾Ð 의 양변에 자연로그를 취하면 `f(x)=ln  ¾Ð 1+sin x 1-sin x =  ln  ;2!; 1+sin x 1-sin x = {ln (1+sin x)-ln (1-sin x)} ;2!; 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f '(x)= cos x 1+sin x   ;2!; { - -cos x 1-sin x } = _ ;2!; cos x(1-sin x)+cos x(1+sin x) (1+sin x)(1-sin x) = 2`cos x 2(1-sinÛ` x) = `cos x cosÛ` x = 1 cos x ∴ `f ' = {;3Ò;} 1 cos  ;3Ò; =2 0598 유형 12 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 `f '(t)+0이면 = 임을 이용한다. dx dt =2e2t+2e-2t, =2e2t-2e-2t이므로 dy dx g'(t) f '(t) dy dt dy dx = = 2e2t-2e-2t 2e2t+2e-2t = e2t-e-2t e2t+e-2t dy 12dt 122dx 12dt t=ln 3일 때, dy dx = 9- 9+ ;9!; ;9!; = ;4$1); 유형 16 역함수의 미분법 - 역함수의 미분계수 구하기 |전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g(b)=a이면 g'(b)= 임을 이용한다. 1 f '(a) g(2e)=-1이고 `f '(x) =2xe-x-(xÛ`+1)e-x =-e-x(xÛ`-2x+1)=-(x-1)Û`e-x 따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (2e, -1)에서의 접선의 기울기는 g'(2e)= 1 f '(g(2e)) = 1 f '(-1) =- 1 4e  ①  ⑤ 0601 유형 17 이계도함수 f '(x)-f '(a) lim      `a x` 2° x-a 조건 ㈏에서 x` 2° `0이다. |전략| 함수 f(x)의 도함수 f '(x)가 미분가능할 때, =f "(a)임을 이용한다. `1일 때 (분모)` `0이고 극한값이 존재하므로 2° 2°  {`f '( f(x))-2}=0이므로 f '( f(1))=2 즉, lim      x` `1 2° f '( f(x))-2   ∴ lim      x-1 x` `1 2° f '( f(x))-f '( f(1))   =lim      x-1 x` `1 2° 2° f '( f(x))-f '( f(1))   =lim      f(x)-f(1) x` `1 f(x)-f(1) _lim        x-1 x` `1 2° =f "( f(1))f '(1)=2f "(1)=4  ① ∴ f "(1)=2  ② |전략| 매개변수로 나타낸 함수 x=f(t), y=g(t)가 t에 대하여 미분가능하고 (분자)` 0599 유형 06 합성함수의 미분법 + 14 함수 y=xÇ``(n은 실수)의 도함수 |전략| h'(x)=f '(g(x))g'(x)이고, n이 실수일 때 (xÇ`)'=nxn-1임을 이용 한다. h(x)=f(g(x))에서 h'(x)=f '(g(x))g'(x) ∴ h' {;2Ò;} =f ' {g{;2Ò;}}g' {;2Ò;} =f '(0)g' {;2Ò;} yy`㉠ 0602 유형 10 로그함수의 도함수 |전략| f(x)=ln (ex+e2x+ y +e20x)으로 놓고 {ln |f(x)|}'= f '(x) f(x) 임 을 이용한다. `f(x)=ln (ex+e2x+ y +e20x)으로 놓으면 `f(0)=ln (1+1+ y +1)=ln 20이므로 5 여러 가지 미분법 | 081 5ㅡ여러가지 미분법 `ln  lim      ` `0 x` 2° ;[!; ex+e2x+ y +e20x 20 ln (ex+e2x+ y +e20x)-ln 20   =lim      x x` `0 2° `f(x)-f(0) =lim        x `0 x` 2° =f '(0) 이때, `f '(x)= ex+2e2x+ y +20e20x ex+e2x+ y +e20x 이므로 20_21 1112 20 :ª2Á: = = 1+2+ y +20 20 ❶ f(x)=ln (ex+e2x+`y`+e20x)으로 놓고 주어진 식을 간단히 할 수 있다. `f '(0)= 채점 기준 ❷ f '(x)를 구할 수 있다. ❸ f '(0)의 값을 구할 수 있다. 0603 유형 13 음함수의 미분법 여 를 구한다. dy dx |전략| 음함수 f(x, y)=0에서 y를 x의 함수로 보고 각 항을 x에 대하여 미분하 sin (x+y)+sin (x-y)=1의 각 항을 x에 대하여 미분하면 cos (x+y)_ 1+ +cos (x-y)_ 1- dy dx } { dy dx } =0 { dy dx {cos (x+y)-cos (x-y)}=-cos (x+y)-cos (x-y) ∴ =- dy dx cos (x+y)+cos (x-y) cos (x+y)-cos (x-y) 따라서 점 , {;4Ò; ;4Ò;} 에서의 접선의 기울기는 cos  +cos 0 cos  -cos 0 ;2Ò; ;2Ò; =1 - 채점 기준 dy dx ❶ 를 구할 수 있다. ❷ 점 {;4Ò;, ;4Ò;}에서의 접선의 기울기를 구할 수 있다. … ❶ … ❷ … ❸  :ª2Á: 배점 3점 2점 2점 … ❶ … ❷  1 배점 4점 2점 이때, g(a)=b라 하면 `f(b)=a이므로 ln (eb-1)=a ∴ eb-1=ea yy`㉠ =f '(g(a))=f '(b)= (∵ ㉠) … ❷ = eb eb-1 ea+1 ea = ea+1 ea 2ea ea =2 + 1 g'(a) = ea-1 ea + ∴ ∴ 1 g'(a) 1 `f '(a) 채점 기준 ❶ ❷ 1 f '(a) 1 g'(a) 의 값을 구할 수 있다. 의 값을 구할 수 있다. ❸ 1 f '(a) + 1 g'(a) 의 값을 구할 수 있다. … ❸  2 배점 3점 3점 1점 |전략| 로그의 성질과 등비급수의 합을 이용하여 f(x)를 간단히 한 후 함수의 몫 f(x)는 첫째항이 1, 공비가 인 등비급수이고 0< <1이므로 ;[!; 0605 유형 02 함수의 몫의 미분법 - f(x) g(x) 꼴 의 미분법을 이용한다. ⑴ e-n ln x=eln xÑÇ`=x-n= 이므로 1 xÇ` f(x)=1+ + ;[!; + y + + y 1 xÛ` 1 xÇ` ;[!; f(x)= 1 = x x-1 1- ;[!; ⑵ f '(x)= 1_(x-1)-x_1 (x-1)Û` =- 1 (x-1)Û` ⑶ f(3)= , f '(2)=-1이므로 ;2#; 4f(3)-f '(2)=4_ -(-1)=7 ;2#;  ⑴ f(x)= ⑵ f '(x)=- x x-1 1 (x-1)Û` ⑶ 7 채점 기준 ⑴ f(x)를 간단히 할 수 있다. ⑵ f '(x)를 구할 수 있다. ⑶ 4f(3)-f '(2)의 값을 구할 수 있다. 배점 5점 3점 2점 0604 유형 16 역함수의 미분법 - 역함수의 미분계수 구하기 0606 |전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g(b)=a이면 g'(b)= 임을 이용한다. 1 f '(a) `f(x)=ln (eÅ`-1)에서 `f '(x)= 이므로 `f '(a)= ea ea-1 ∴ 1 `f '(a) = … ❶ ex ex-1 ea-1 ea 유형 18 이계도함수 - 방정식으로 주어진 경우 |전략| 주어진 두 식의 차를 이용하여 f(x)+g(x)를 찾은 후 f "(x)+g"(x)를 구한다. ⑴ `f "(x)+g"(x)+g(x)=e-x` `f "(x)+g"(x)-f(x)=2ex` ㉠-㉡을 하면 f(x)+g(x)=e-x-2ex` yy`㉠ yy`㉡ 082 | III . 미분법 정답과 해설 ⑵ 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)+g'(x)=-e-x-2ex` 다시 양변을 x에 대하여 미분하면 f "(x)+g"(x)=e-x-2ex` ㉢을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 e-x-2ex+g(x)=e-x, e-x-2ex-f(x)=2ex ∴ f(x)=e-x-4ex, g(x)=2ex` ⑶ g'(x)=2ex이므로 f(1)+2g'(1) =(e-1-4e)+2_2e =e-1= ;e!; ⑶ ;e!; 채점 기준 ⑴ f(x)+g(x)를 구할 수 있다. ⑵ f(x), g(x)를 각각 구할 수 있다. ⑶ f(1)+2g'(1)의 값을 구할 수 있다.  ⑴ f(x)+g(x)=e-x-2ex ⑵ f(x)=e-x-4ex, g(x)=2ex a=- , b= ;2!; ;2!; ∴ a+b=0  0 yy`㉢ 0608 |전략| g(x)=4Å`-2Å`+3으로 놓고 { f(g(x))}'=f '(g(x))g'(x)임을 이용 한다. `f(4Å`-2Å`+3)=2Å`+5에서 g(x)=4Å`-2Å`+3이라 하면 g'(x)=4Å` ln 4-2Å` ln 2=(2_4Å`-2Å`) ln 2 `f(g(x))=2Å`+5의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f '(g(x))g'(x)=2Å` ln 2 g(x)=4Å`-2Å`+3=3에서 ∴ x=0 2Û`Å`=2Å`, 2x=x ㉠에 x=0을 대입하면 `f '(g(0))g'(0)=ln 2 이때, g(0)=3, g'(0)=ln 2이므로 ∴ f '(3)=1 `f '(3) ln 2=ln 2 yy ㉠  1 0609 |전략| f(x), g(x), g( f(x)), `f(g(x))의 도함수를 이용할 수 있도록 주어진 식을 변형한다. 배점 3점 6점 3점 |전략| 도함수의 정의를 이용하여 f(x)를 구한 후 함수의 몫의 미분법을 이용하 창의·융합 교과서 속 심화문제 0607 여 f '(x)를 구한다. t cos x-x cos t   `f(x)=lim      tÛ`-xÛ` `x t` 2° t cos x-x cos x-x cos t+x cos x   =lim      t-x `x t` _ 1 t+x (t-x) cos x-x(cos t-cos x)   =lim      t-x `x t` _ 1 t+x =lim        { `x t` cos x-x_ cos t-cos x } t-x _ 1 t+x 2° 2° 2° ={cos x-x(cos x)'}_ 1 2x = cos x+x`sin x 2x ∴ f '(x)= (-sin x+sin x+x cos x)_2x-(cos x+x sin x)_2 4xÛ` = xÛ``cos x-cos x-x`sin x 2xÛ` 따라서 f '(p)= -pÛ`+1 2pÛ` =- + _ ;2!; ;2!; 이므로 1 pÛ` `f(x)=3Å`, g(x)=ln (x+1)에서 `f '(x)=3Å` ln 3, g'(x)= 1 x+1 ㄱ. f(0)=1, g(0)=0이므로 f(x)+g(x)-1   lim      x `0 x` 2° f(x)-f(0)+g(x)-g(0)   =lim      x x` `0 2° f(x)-f(0)   =lim      x-0 x` `0 2° +lim      x` 2° `0  g(x)-g(0) x-0 =f '(0)+g'(0) =ln 3+1=ln 3e (참) ㄴ. g( f(x))=h(x)라 하면 h(0)=g(f(0))=g(1)=ln 2이고 h'(x)=g'( f(x))f '(x)= 3Å` ln 3 3Å`+1 이므로  g( f(x))-ln 2 x lim      `0 x` 2° = h(x)-h(0) =lim        x-0 x` `0 2° ln 3 2 =ln  " 3` (참) =h'(0) ㄷ. f(g(x))=k(x)라 하면 k(0)=f(g(0))=f(0)=1이고 k'(x)=f '(g(x))g'(x)= 3ln (x+1) ln 3 x+1 이므로 { f(g(x))}Û`-1   lim      x `0 x` 2° {k(x)}Û`-1 =lim        x `0 x` 2° k(x)-k(0)   =lim      x-0 `0 x` 2° =k'(0){k(0)+1} =2 ln 3=ln 9 (참) _{k(x)+1} 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.  ⑤ 5 여러 가지 미분법 | 083 5ㅡ여러가지 미분법 0610 |전략| f(a)=b로 놓고 f '(a)= 임을 이용한다. 1 g'(b) `f(h(x))=x이므로 h(x)는 f(x)의 역함수이다. 즉, h(x)=g(x)이므로 xÛ`+1{g(x)}Û`+(x+1)g(x)=g(x) "à xÛ`+1{g(x)}Û`+xg(x)=0 "à xÛ`+1 g(x)+x}=0 g(x){ "à 이때, g(x)=0인 경우 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)라는 조건에 맞지 않으므로 xÛ`+1 "à 1 g'(b)  =-2 2이므로 ' xÛ`+1 g(x)+x=0 "à ∴ g(x)=- x xÛ`+1 "à g'(x)=-   "à xÛ`+1-x_ 2x 1111 xÛ`+1 2 xÛ`+1 "à =- 1 (xÛ`+1) `f(a)=b라 하면 f '(a)= -(bÛ`+1) bÛ`+1=2 bÛ`+1=-2 ' "à ∴ b=Ñ1 = 1 g'( f(a))   2 즉, f(a)=Ñ1에서 g(1)=a 또는 g(-1)=a이고 2 =- ' 2 g(1)=- 1 "Ã1Û`+1 1 "Ã(-1)Û`+1 2 = ' 2 g(-1)= 2 그런데 a는 양수이므로 a= ' 2 dÛ`y dxÛ`  = d dx { dy dx } dy dx 이므로 를 구한 후 이 식을 다시 x에 대하여 미분 0611 |전략| 한다. dx dt =2-cos t, =2`sin 2t이므로 dy dt dy dx  = = 2 sin 2t 2-cos t dy 12dt 122dx 12dt ∴ dÛ`y dxÛ` = d { dx  dy dx } = d { dx  2 sin 2t 2-cos t } = d { dt  2 sin 2t 2-cos t } _ dt dx  = 4 cos 2t(2-cos t)-2 sin 2t sin t (2-cos t)Û` _ 1 dx dt = 4 cos 2t(2-cos t)-2 sin 2t sin t (2-cos t)Ü` 따라서 t=0일 때 의 값은 dÛ`y dxÛ`  4 cos 0(2-cos 0)-2 sin 0 sin 0 (2-cos 0)Ü` =4 084 | III . 미분법 6 도함수의 활용 ⑴ 본책 98~117쪽 개념 마스터 STEP1 0612 `f(x)= 1 x+1 로 놓으면 f '(x)=- 1 이므로 (x+1)Û` 점 (0, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=-1 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-1=-(x-0)  ∴`y=-x+1  y=-x+1 0613 `f(x)= 2x-1로 놓으면 f '(x)= 2 '¶ 2 2x-1` '¶ = 1 '¶ 2x-1` 이므로 점 (5, 3)에서의 접선의 기울기는 f '(5)= ;3!; 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-3= (x-5)  ∴ y= ;3!; x+ ;3$; ;3!;  y= x+ ;3$; ;3!; 0614 `f(x)=ex으로 놓으면 f '(x)=ex이므로 점 (1, e)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=e 2  ' 2 따라서 구하는 접선의 방정식은 y-e=e(x-1)  ∴`y=ex  y=ex 0615 `f(x)=ln (x+1)로 놓으면 f '(x)= 1 이므로 x+1 점 (0, 0)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=1 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=x  y=x 0616 `f(x)=sin x로 놓으면 f '(x)=cos x이므로 점 { p 2 } , 1 에서의 접선의 기울기는 f ' p 2 } { =0 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=1  y=1 0617 `f(x)=cos 2x로 놓으면 f '(x)=-2 sin 2x이므로 점 { p 4 } , 0 에서의 접선의 기울기는 f ' =-2 따라서 구하는 접선의 방정식은 p 4 } { p 2  ⑤ y=-2 x-   ∴`y=-2x+ p 4 } {  y=-2x+ p 2 정답과 해설 점 (e, 2e)에서의 접선의 기울기는 f '(e)=1이므로 이 점에서의 접 `f '(t)=-sin t=1, sin t=-1  ∴`t= p`(∵`0ÉtÉ2p) ;2#; y-2e=-(x-e)  ∴`y=-x+3e  y=-x+3e y=x- p ;2#;  y=x- p ;2#; 0623 `f(x)=cos x로 놓으면 f '(x)=-sin x 접점의 좌표를 (t, cos t)라 하면 접선의 기울기가 1이므로 따라서 접점의 좌표가 p, 0 이므로 구하는 접선의 방정식은 {;2#; } 0624 `f(x)= 로 놓으면 f '(x)=- 1 xÛ` ;[!; 0618 `f(x)=3x-x ln x로 놓으면 `f '(x)=3- { ln x+x_ ;[!;} =2-ln x 선에 수직인 직선의 기울기는 -1이다. 따라서 구하는 직선의 방정식은 0619 `f(x)=- 2 x+1 로 놓으면 f '(x)= 2 (x+1)Û` `f '(t)= 2 (t+1)Û` =2, (t+1)Û`=1 t+1=Ñ1  ∴`t=0`(∵`t>-1) 접점의 좌표를 { t, - 2 t+1 } 라 하면 접선의 기울기가 2이므로 접점의 좌표를 { t, ;t!;} 이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 이므로 접선의 방정식은 `f '(t)=- 1 tÛ` =- 1 tÛ` y- ;t!; (x-t) yy`㉠ 따라서 접점의 좌표가 (0, -2)이므로 구하는 접선의 방정식은 이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로  y=2x-2 - =- 1 tÛ` ;t!; ;t!; + , -t=-1+t  ∴`t= ;2!; y=2x-2 0620 `f(x)=4 x 로 놓으면 `f '(x)= 4 '¶ x` 2 '¶ = 2 x` '¶ t`)라 하면 접선의 기울기가 2이므로 접점의 좌표를 (t, 4 `f '(t)= 2 t` ' ' =2에서 t=1 따라서 접점의 좌표가 (1, 4)이므로 구하는 접선의 방정식은 y-4=2(x-1)  ∴ y=2x+2  y=2x+2 0621 `f(x)=ex+1으로 놓으면 f '(x)=ex+1 접점의 좌표를 (t, et+1)이라 하면 접선의 기울기가 1이므로 `f '(t)=et+1=1, t+1=0  ∴`t=-1 따라서 접점의 좌표가 (-1, 1)이므로 구하는 접선의 방정식은 따라서 t= 을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 ;2!; y-2=-4 x-   ∴ y=-4x+4 { ;2!;}  y=-4x+4 0625 `f(x)= x+1 로 놓으면 f '(x)= 1 '¶ 2 x+1` '¶ 이므로 접선의 방정식은 접점의 좌표를 (t, `f '(t)= 1 '¶ t+1` 2 '¶ t+1= 1 y- '¶ (x-t) t+1` 이 직선이 점 (-2, 0)을 지나므로 '¶ 2 t+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 yy`㉠ - t+1=- 1 '¶ - t 2 '¶ 따라서 t=0을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 , t+1=1+ t+1 t+1 ;2T; '¶   ∴`t=0 y-1=x-(-1)  ∴`y=x+2  y=x+2 y-1= x  ∴ y= x+1 ;2!; ;2!;  y= x+1 ;2!; 0622 `f(x)=ln (2x+1)로 놓으면 f '(x)= 2 접점의 좌표를 (t, ln (2t+1))이라 하면 접선의 기울기가 1이므로 `f '(t)= 2 =1, 2t+1=2  ∴`t= 2t+1 2x+1 ;2!; 따라서 접점의 좌표가 , ln 2 이므로 구하는 접선의 방정식은 } {;2!; 0626 `f(x)=e-x으로 놓으면 f '(x)=-e-x 접점의 좌표를 (t, e-t)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 `f '(t)=-e-t이므로 접선의 방정식은 y-e-t=-e-t(x-t) yy`㉠ 이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로 -e-t=e-t+te-t, e-t(t+2)=0  ∴`t=-2`(∵`e-t>0) 따라서 t=-2를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y-ln 2=x-   ∴`y=x+ln 2- ;2!; ;2!;  y=x+ln 2- ;2!; y-eÛ`=-eÛ`(x+2)  ∴ y=-eÛ`x-eÛ`  y=-eÛ`x-eÛ` 6 도함수의 활용 ⑴ | 085 6ㅡ도함수의 활용⑴ 접점의 좌표를 (t, ln t)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는  ㈎ ex(x+1) ㈏ -1 ㈐ 감소 ㈑ 증가 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, ㈏ -1 ]에서 ㈐ 감소 하고, 구간 [ ㈏ -1 , ¦)에서 ㈑ 증가 한다. 따라서 t=e를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y-ln e= (x-e)  ∴ y= ;e!; x ;e!;  y= x ;e!; yy ㉠ 0631 `f(x)=x+ 에서 x+0이고 ;[!; 1 xÛ` `f '(x)=1- = (x+1)(x-1) xÛ` `f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 =2t, =1- 이므로 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -1], [1, ¦)에서 증가하고, 구간 x y f '(x) + f(x) ↗ -1 0 y - ↘ (0) y - ↘ 1 0 y + ↗ [-1, 0), (0, 1]에서 감소한다.  구간 (-¦, -1], [1, ¦)에서 증가, 구간 [-1, 0), (0, 1]에서 감소 0627 f(x)=ln x로 놓으면 `f '(x)= ;[!; `f '(t)= 이므로 접선의 방정식은 ;t!; y-ln t= (x-t) ;t!; 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로 -ln t=-1  ∴ t=e 0628 ⑴ dx dt dy dx = dy dt dy dt dx dt = 1 tÛ` 1- 1 tÛ` 2t = tÛ`-1 2tÜ` ⑵ t= 일 때, x= , y= ;2!; ;4!; , ;2%; dy dx = Û`-1 {;2!;} 2_ Ü` {;2!;} =-3 0632 f(x)= -3x+4 xÛ`+1 에서 ⑶ y- =-3 x-   ∴ y=-3x+ ;2%; { ;4!;} :Á4£:  ⑴ dy dx = tÛ`-1 2tÜ`  ⑵ x= , y= ;4!; dy dx , ;2%; =-3 ⑶ y=-3x+ :Á4£: 0629 ⑴ xÛ`-2x-3y+yÛ`=1의 각 항을 x에 대하여 미분하면 2x-2-3 +2y =0, (2y-3) =-2x+2 dy dx dy dx dy dx ∴ dy dx = -2x+2 2y-3 y+ { ;2#;} ⑵ x=3, y=1을 ㉠에 대입하면 dy dx = -6+2 2-3 =4 ⑶ y-1=4(x-3)  ∴ y=4x-11  ⑴ dy dx = -2x+2 2y-3 y+ { ;2#;}  ⑵ 4 ⑶ y=4x-11 0630 f(x)=xex에서 f '(x)=ex+xex= ㈎ ex(x+1) f '(x)=0에서 x+1=0 (∵ ex>0)  ∴ x= ㈏ -1 x y ㈏ -1 f '(x) - 0 f(x) ↘ y + ↗ 086 | III . 미분법 f '(x)= -3(xÛ`+1)-(-3x+4)_2x (xÛ`+1)Û` = 3xÛ`-8x-3 (xÛ`+1)Û` = (3x+1)(x-3) (xÛ`+1)Û` f '(x)=0에서 x=- 또는 x=3 ;3!; x y f '(x) + f(x) ↗ - ;3!; 0 y - ↘ y + ↗ 3 0 ] yy ㉠ -¦, - 따라서 함수 f(x)는 구간 { ;3!; , [3, ¦)에서 증가하고, 구간 - ;3!; , 3 에서 감소한다. [ ]  구간 { ;3!; ] -¦, - , [3, ¦)에서 증가, 구간 - , 3 에서 감소 ;3!; [ ] 0633 `f(x)= " `f '(x)= xÛ`+2x+2에서 2x+2 2 xÛ`+2x+2` " `f '(x)=0에서 x=-1 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -1]에서 감소하고, 구 간 [-1, ¦)에서 증가한다. x+1 xÛ`+2x+2` = " x y f '(x) - f(x) ↘ -1 0 y + ↗  구간 (-¦, -1]에서 감소, 구간 [-1, ¦)에서 증가 정답과 해설 0634 f(x)= 에서 3 xÛ`+2` " f '(x)=- _ ;2!; f '(x)=0에서 x=0 3_2x (xÛ`+2) xÛ`+2` " =- 3x (xÛ`+2) xÛ`+2` " 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, 0]에서 증가하고, 구간 [0, ¦)에서 감소한다. x y f '(x) + f(x) ↗  구간 (-¦, 0]에서 증가, 구간 [0, ¦)에서 감소 0635 f(x)=ex-x에서 f '(x)=ex-1 f '(x)=0에서 x=0 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, 0]에서 감소하고, 구간 [0, ¦)에서 증가한다. x y f '(x) - f(x) ↘ 0 0 0 0 y - ↘ y + ↗  구간 (-¦, 0]에서 감소, 구간 [0, ¦)에서 증가 0636 `f(x)=xÛ`ex에서 f '(x)=2xex+xÛ`ex=x(2+x)ex `f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 (∵ ex>0) x y f '(x) + f(x) ↗ -2 0 y - ↘ 0 0 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, -2], [0, ¦)에서 증가하고, 구간 [-2, 0]에서 감소한다.  구간 (-¦, -2], [0, ¦)에서 증가, 구간 [-2, 0]에서 감소 0637 `f(x)=x-ln x에서 x>0이고 `f '(x)=1- ;[!; `f '(x)=0에서 x=1 x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 y + ↗ 0638 `f(x)= 에서 x>0이고 ln x x `f '(x)= _x-ln x ;[!; xÛ` = 1-ln x xÛ` y + ↗ y - ↘ y + ↗ `f '(x)=0에서 ln x=1  ∴ x=e x (0) f '(x) f(x) 따라서 함수 f(x)는 구간 (0, e]에서 증가하고, 구간 [e, ¦)에서 감 소한다.  구간 (0, e]에서 증가, 구간 [e, ¦)에서 감소 0639 f(x)=1+cos x에서 f '(x)=-sin x f '(x)=0에서 sin x=0  ∴ x=p (∵ 00이고 f '(x)=ln x+x_ =ln x+1 ;[!; x (0) f '(x) f(x) y - ↘ ;e!; 0 - ;e!; y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극솟값 - 을 갖는다. ;e!; ;e!;  극솟값: - ;e!;  0646 f(x)=x+2 sin x에서 f '(x)=1+2 cos x f '(x)=0에서 cos x=-   ∴ x= p (∵ 00 ⑶ 함수 f(x)는 x=0에서 극댓값 1, x=2에서 극솟값 -3을 갖는 다.  ⑴ f '(x)=3xÛ`-6x, f "(x)=6x-6 ⑵ f "(0)<0, f "(2)>0 ⑶ 극댓값: 1, 극솟값: -3 0648 `f(x)=xÛ` ln x에서 x>0이고 `f '(x)=2x ln x+xÛ`_ =x(2 ln x+1) `f "(x)=(2 ln x+1)+x_ =2 ln x+3 ;[@; `f '(x)=0에서 2 ln x+1=0`(∵`x>0) ln x=-   ∴`x= ;2!; 이때, f " =2>0 1 e` } { ' ;[!; 1 e` ' 1 e` ' 따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극솟값 - 을 갖는다. ;2Áe;  극솟값: - 1 2e 0649 `f(x)=x-2 sin x에서 `f '(x)=1-2 cos x, `f "(x)=2 sin x ∴ x= 또는 x= p (∵`00, f " p =- 3 <0 {;3%; } ' ' 따라서 함수 f(x)는 x= p에서 극댓값 p+ 3, x= 에서 극솟 ;3%; ;3%; ' 값 - 3을 갖는다. p 3 '  극댓값: p+ 3, 극솟값: ;3%; ' p 3 - 3 ' p 3 0650 `f(x)=esin x에서 `f '(x)=esin x_cos x `f "(x)=esin x_cosÛ` x+esin x_(-sin x)=(cosÛ` x-sin x)esin x `f '(x) =0에서 cos x=0`(∵`esin x>0) `∴ x= 또는 x= p (∵ 00 p 2 p 2 } { 따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극댓값 e, x= p에서 극솟값 을 ;2#; ;e!; p 2  극댓값: e, 극솟값: ;e!;  극댓값: p+ 3 ' ;3@; 유형 마스터 유형 마스터 갖는다. STEP2 0651 |전략| 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y-f(a)=f '(a)(x-a)임을 이용한다. `f(x)=e-xÛ`+x으로 놓으면 f '(x)=(-2x+1)e-xÛ`+x x=1인 점에서의 접선의 기울기는 `f '(1)=(-2+1)e-1+1=-1 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=-(x-1)  ∴ y=-x+2 따라서 a=-1, b=2이므로 aÛ`+bÛ`=5 0652 0656 `f(x)=2 ln (x-1)로 놓으면 f '(x)= 2 x-1 점 (2, 0)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=2이므로 이 점에서의 접선  ⑤ 에 수직인 직선의 기울기는 - 이다. 점 (2, 0)을 지나고 기울기가 - 인 직선의 방정식은 ;2!; ;2!; `f(x)=x ln x-x로 놓으면 f '(x)=ln x+x_ -1=ln x ;[!; x=eÛ`인 점에서의 접선의 기울기는 `f '(eÛ`)=ln eÛ`=2 또, x=eÛ`일 때 f(eÛ`)=eÛ` ln eÛ`-eÛ`=2eÛ`-eÛ`=eÛ` 따라서 점 (eÛ`, eÛ`)에서의 접선의 방정식은 y-eÛ`=2(x-eÛ`)  ∴`y=2x-eÛ`  y=2x-eÛ` 0653 `f(x)=sin x+2 cos x로 놓으면 f '(x)=cos x-2 sin x x=p인 점에서의 접선의 기울기는 `f '(p)=cos p-2 sin p=-1-0=-1 또, x=p일 때 f(p)=sin p+2 cos p=0-2=-2 따라서 점 (p, -2)에서의 접선의 방정식은 y-(-2)=-(x-p)  ∴ y=-x+p-2 이 직선이 점 (k, p)를 지나므로 p=-k+p-2  ∴ k=-2 0654 g(x)=sin x로 놓으면 g'(x)=cos x 점 (t, sin t)에서의 접선의 기울기는 g'(t)=cos t이므로 이 점에서 의 접선의 방정식은 y-sin t=cos t_(x-t) 위의 식에 y=0을 대입하면 -sin t=x cos t-t cos t x cos t=t cos t-sin t  ∴`x=t-tan t 따라서 f(t)=t-tan t이므로 f(t) lim   t t 0 Ú t-tan t =lim   t t 0 Ú =lim   { t 0 Ú 1- tan t t } =1-1=0 0655 다. |전략| 기울기가 a(a+0)인 직선에 수직인 직선의 기울기는 - ;a!;임을 이용한 `f(x)= 2x+3+a로 놓으면 f '(x)= '¶ 2 = 1 2x+3` 2 2x+3` '¶ '¶ x=-1인 점에서의 접선의 기울기는 f '(-1)=1이므로 이 점에서 의 접선에 수직인 직선의 기울기는 -1이다. 점 (-1, 1+a)를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 y-(1+a)=-(x+1)  ∴ y=-x+a 이때, 이 직선의 y절편이 1이므로 a=1 y=- (x-2)  ∴`x+2y-2=0 ;2!; 따라서 a=1, b=2이므로`ab=2  ④ 0657 `f(x)=sin 3x로 놓으면 f '(x)=3 cos 3x 점 (t, sin 3t)에서의 접선의 기울기는 f '(t)=3 cos 3t이므로 이 점 에서의 접선에 수직인 직선의 기울기는 - 1 이다.  … ❶ 3 cos 3t 점 (t, sin 3t)를 지나고 기울기가 - 1 인 직선의 방정식은 3 cos 3t y-sin 3t=- 1 (x-t) 3 cos 3t ∴ y=- 1 3 cos 3t 따라서 g(t)= t x+ t 3 cos 3t +sin 3t  +sin 3t이므로 3 cos 3t g(p)= p 3 cos 3p +sin 3p=- p 3    -2 채점 기준 ❶ 접선에 수직인 직선의 기울기를 구할 수 있다. ❷ 접선에 수직인 직선의 방정식을 구할 수 있다. ❸ g(p)의 값을 구할 수 있다. … ❷ … ❸  - p 3 비율 40`% 40`% 20`% 기울기는 2이다.  ③ 0658 |전략| 접점의 좌표를 (t, t ln t+t)로 놓고 접선의 방정식을 구한다. x+2y+2=0에서 y=- x-1이므로 이 직선에 수직인 직선의 ;2!; `f(x)=x ln x+x로 놓으면 f '(x)=ln x+x_ +1=ln x+2 ;[!; 접점의 좌표를 (t, t ln t+t)라 하면 접선의 기울기가 2이므로 f '(t)=ln t+2=2, ln t=0  ∴ t=1 즉, 접점의 좌표가 (1, 1)이므로 접선의 방정식은 y-1=2(x-1)  ∴ y=2x-1 따라서 a=2, b=-1이므로 a-b=3  3 0659 f(x)= 2 x-2 로 놓으면 f '(x)=- 2 (x-2)Û`  1 접점의 좌표를 { t, 2 t-2 } 라 하면 접선의 기울기가 -2이므로 6 도함수의 활용 ⑴ | 089 6ㅡ도함수의 활용⑴ f '(t)=- 2 (t-2)Û` =-2, (t-2)Û`=1 t-2=Ñ1  ∴ t=1 또는 t=3 즉, 접점의 좌표가 (1, -2), (3, 2)이므로 접선의 방정식은 y-(-2)=-2(x-1), y-2=-2(x-3)에서 y=-2x, y=-2x+8 따라서 a=0, b=8 또는 a=8, b=0이므로 ab=0  0 즉, P(1, 0)이므로 △ABP의 넓이의 최솟값은 _3_2=3 ;2!; 밑변을 APÓ로 생각하면 밑변의 길이는 APÓ=3, 높이는 OBÓ=2 0664 `f(x)=sin x-cos x로 놓으면  3 ∴`a=-2e2_;2!;=-2e  ① 이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 0660 직선 y=-x+1에 평행한 직선의 기울기는 -1이다. `f(x)=cosÛ` x로 놓으면 f '(x)=2 cos x_(-sin x)=-sin 2x 접점의 좌표를 (t, cosÛ` t)라 하면 접선의 기울기가 -1이므로 `f '(t)=-sin 2t=-1, 2t= (∵ 0É2tÉ2p)  ∴ t= p 2 따라서 접점의 좌표가 { , ;2!;} p 4 이므로 구하는 직선의 방정식은 y- =- x-   ∴ y=-x+ + ;2!; { p 4 ;2!; p 4 }  ③ 0661 `f(x)=e2x+ax로 놓으면 f '(x)=2e2x+a 곡선 y=f(x)가 x축과 점 (t, 0)에서 접한다고 하면 `f(t)=e2t+at=0 yy`㉠ 또, x=t인 점에서의 접선의 기울기는 0이므로 `f '(t)=2e2t+a=0, a=-2e2t a=-2e2t을 ㉠에 대입하면 e2t-2e2t_t=0, e2t(1-2t)=0  ∴`t= `(∵`e2t>0) ;2!; 0662 f(x)=kex-1으로 놓으면 f '(x)=kex-1 접점의 좌표가 (a, 2a)이므로 kea-1=2a 또, 점 (a, 2a)에서의 접선의 기울기가 2이므로 f '(a)=kea-1=2 ㉠, ㉡에서 a=1, k=2 ∴ 4a+kÛ`=4_1+2Û`=8 `f '(x)=cos x+sin x= 2 sin { ' x+ p 4 } 접점의 좌표를 (t, sin t-cos t)라 하면 접선의 기울기는 tan 45ù=1이므로 2 sin { ' t+ =1, sin  { t+ p 4 } 이때, 00) 이 직선이 점 { k, ;2E;} 를 지나므로 k=   ∴ k=  ④ ;e@; eÛ` 4` ;2E; 0666 `f(x)= x x+1 로 놓으면 f '(x)= (x+1)-x (x+1)Û` = 1 (x+1)Û` 라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 0663 △ABP에서 ABÓ를 밑변으로 생각하면 밑변의 길이는 일정하므로 높이가 최소일 때 넓이가 최소가 된다. 즉, 점 P에서의 접선이 직선 AB에 평행할 때 넓이는 최소이다. `f(x)=ln x로 놓으면 f '(x)= ;[!; 점 P의 좌표를 (t, ln t)라 하면 점 P에서의 접선의 기울기는 1이어 야 하므로 `f '(t)= =1  ∴ t=1 ;t!; 직선 AB와 평행한 직선의 기울기는 2-0 0-(-2) =1 접점의 좌표를 { t, t t+1 } `f '(t)= 1 (t+1)Û` = 1 (t+1)Û` y- t t+1 (x-t) 이므로 접선의 방정식은 090 | III . 미분법 정답과 해설 0669 `f(x)=ex, g(x)=ln x로 놓으면 f '(x)=ex, g'(x)= ;[!; 원점에서 곡선 y=ex에 그은 접선의 접점을 (a, ea)이라 하면 접선의 기울기가 f '(a)=ea이므로 접선의 방정식은 y-ea=ea(x-a) 이 접선이 원점을 지나므로 -ea=-aea, ea(a-1)=0  ∴ a=1 (∵ ea>0)  ⑤ 따라서 접선의 방정식은 y-e=e(x-1)  ∴ y=ex 원점에서 곡선 y=ln x에 그은 접선의 접점을 (b, ln b)라 하면 접선 의 기울기가 g'(b)= 이므로 접선의 방정식은 ;b!; 이 직선이 점 (3, 3)을 지나므로 = 3-t 3- t (t+1)Û` t+1 2tÛ`+6t=0, 2t(t+3)=0 ∴`t=-3 또는 t=0 , 3(t+1)Û`-t(t+1)=3-t 따라서 mÁ= ;4!; , mª=1 또는 mÁ=1, mª= 이므로 ;4!; mÁ+mª= ;4%; 0667 f(x)= x xÛ`+1 " 로 놓으면 xÛ`+1-x_ " 2x xÛ`+1 f '(x)= 2 xÛ`+1 " t tÛ`+1` } " f '(t)= 1 (tÛ`+1) tÛ`+1 " 1 (tÛ`+1) = y- t " " tÛ`+1` tÛ`+1 이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로 - t " (tÛ`+1) " tÜ`=-1  ∴ t=-1 tÛ`+1` tÛ`+1 1-t = , -t(tÛ`+1)=1-t t=-1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y+ 1 2` ' 2 (x+1)  ∴ y= ' 4 = 1 2` 2 ' 2 x- ' 4 2 따라서 구하는 y절편은 - ' 4 이다. = 1 (xÛ`+1) xÛ`+1 " 접점의 좌표를 { t, 라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 y-ln b= (x-b) ;b!; 이 접선이 원점을 지나므로 -ln b=-1  ∴ b=e 따라서 접선의 방정식은 이므로 접선의 방정식은 y-1= (x-e)  ∴ y= ;e!; x ;e!; (x-t) yy ㉠ ;e!; 두 접선 y=ex, y= x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각 각 hÁ, hª라 하면 tan hÁ=e, tan hª= ;e!; 이때, h=hÁ-hª이므로 tan h=tan (hÁ-hª)= tan hÁ-tan hª 1+tan hÁ tan hª   = e- ;e!; 1+e_ ;e!;  ③ = e- ;e!;} ;2!;{  ;2!;{ e- ;e!;} 0668 `f(x)=xe-x으로 놓으면 f '(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x) 접점의 좌표를 (t, te-t)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 `f '(t)=e-t(1-t)이므로 접선의 방정식은 y-te-t=e-t(1-t)(x-t) 이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로 -te-t=e-t(1-t)(-1-t), (tÛ`+t-1)e-t=0 ∴ tÛ`+t-1=0 (∵`e-t>0) 이차방정식 tÛ`+t-1=0은 서로 다른 두 실근을 갖고, 이때의 두 실 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 0670 f(x)=x+ 로 놓으면 f '(x)=1- 4 xÛ` ;[$; 접점의 좌표를 { t, t+ ;t$;} 라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=1- 4 tÛ` 이므로 접선의 방정식은 y- t+ { = { ;t$;} 1- 4 tÛ` } (x-t) 이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로 1-t- =2- 8 tÛ` ;t$; -t+ , 1+ ;t$; - 8 tÛ` ;t*; =0 t+0이므로 양변에 tÛ`을 곱하면 tÛ`+8t-8=0 a+b=-1, ab=-1 따라서 두 접선의 기울기의 곱은 f '(a)f '(b) =e-a(1-a)_e-b(1-b) yy ㉠ 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =4Û`+8=24>0 =e-ae-b(1-a)(1-b) =e-(a+b){1-(a+b)+ab} =e-(-1)(1+1-1)=e (∵`㉠) 이므로 서로 다른 두 개의 실근을 가진다. 즉, 접점의 개수가 2이므로 점 (2, 1)에서 그을 수 있는 접선의 개수  ③ 는 2이다.  2 6 도함수의 활용 ⑴ | 091 6ㅡ도함수의 활용⑴ 따라서 양의 정수 a의 최솟값은 1이다.  ① 채점 기준 0671 `f(x)=xex으로 놓으면 f '(x)=ex+xex=(x+1)ex 접점의 좌표를 (t, tet)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 `f '(t)=(t+1)et이므로 접선의 방정식은 y-tet=(t+1)et(x-t) 이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로 -tet=a(t+1)et-t(t+1)et, et(tÛ`-at-a)=0 ∴ tÛ`-at-a=0 (∵ et>0) yy ㉠ 점 (a, 0)에서 곡선 y=xex에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있으 려면 이차방정식 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. ㉠의 판별식을 D라 하면 D=aÛ`+4a>0, a(a+4)>0 ∴ a<-4 또는 a>0 0672 |전략| 접선의 방정식을 구한 후 x절편, y절편을 구한다. `f(x)=xÛ` ln x로 놓으면 `f '(x)=2x ln x+xÛ`_ =(2 ln x+1)x ;[!; x=e인 점에서의 접선의 기울기는 f '(e)=3e 따라서 점 (e, eÛ`)에서의 접선의 방정식은 y-eÛ`=3e(x-e)  ∴`y=3ex-2eÛ` 접선의 x절편과 y절편이 각각 e, -2eÛ`이므로 구하는 도형의 넓이는 ;3@; _ ;2!; ;3@; e_2eÛ`= eÜ` ;3@; 0673 `f(x)=e3-x으로 놓으면 f '(x)=-e3-x 접점의 좌표를 (t, e3-t)이라 하면 접선의 기울기가 -1이므로 `f '(t)=-e3-t=-1 e3-t=1, 3-t=0  ∴ t=3 접점의 좌표가 (3, 1)이므로 접선의 방정식은 y-1=-(x-3)  ∴ y=-x+4 따라서 P(4, 0), Q(0, 4)이므로 △OPQ의 넓이는 이 직선이 원점을 지나므로 -ln  -1=-1, =1  ∴ t=2 ;2T; ;2T; 즉, 점 P의 좌표는 (2, 1)이고 접선의 기울기는 이다.  … ❶ ;2!; 점 P를 지나고 접선에 수직인 직선의 기울기는 -2이므로 이 직선의 방정식은 y-1=-2(x-2)  ∴ y=-2x+5 즉, 점 Q의 좌표는 } 따라서 △POQ의 넓이는 {;2%; , 0   _ _1= ;2!; ;2%;   ;4%; ❶ 점 P의 좌표를 구할 수 있다. ❷ 점 Q의 좌표를 구할 수 있다. ❸ △POQ의 넓이를 구할 수 있다. 0675 |전략| 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t에서 공통인 접선을 가지면 f(t)=g(t), f '(t)=g'(t)임을 이용한다. `f(x)=axÜ`, g(x)=ln x로 놓으면 `f '(x)=3axÛ`, g'(x)= ;[!; 두 곡선이 x=t인 점에서 접한다고 하면  ④ `f(t)=g(t)에서 atÜ`=ln t `f '(t)=g'(t)에서 3atÛ`= ;t!; ㉡에서 atÜ`= 을 ㉠에 대입하면 ;3!; t=Ü` e를 ㉠에 대입하면 ae= ' =ln t  ∴ t=Ü` ' e ;3!;   ∴ a= 1 3e ;3!; 0676 `f(x)= 1 xÛ` -x+2, g(x)=xÛ`+ax+2b로 놓으면 `f '(x)=- 2 xÜ` -1, g'(x)=2x+a  ④ 두 곡선이 x=1에서 공통인 접선을 가지므로 `f(1)=g(1)에서 2=1+a+2b  ∴`a+2b=1 `f '(1)=g'(1)에서 -3=2+a  ∴ a=-5 a=-5를 ㉠에 대입하면 b=3 _4_4=8 ;2!; 0674 ;2{; ;t!; 092 | III . 미분법 는 f '(t)= 이므로 접선의 방정식은 y- ln  +1 = (x-t) { ;2T; } ;t!; `f(x)=ln  +1로 놓으면 f '(x)= ∴ a+b=-2 ;2!; _ 1 ;2{; = ;[!; 접점 P의 좌표를 { t, ln  +1 ;2T; 이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기 } 0677 `f(x)=sinÛ` x-a, g(x)=cos x로 놓으면 `f '(x)=2 sin x cos x, g'(x)=-sin x 두 곡선이 x=t에서 공통인 접선을 가지므로 … ❷ … ❸  ;4%; 비율 50`% 30`% 20`% yy ㉠ yy ㉡  ④ yy ㉠  ① 정답과 해설 `f(t)=g(t)에서 sinÛ` t-a=cos t `f '(t)=g'(t)에서 2 sin t cos t=-sin t, sin t(2 cos t+1)=0 yy ㉠ ∴`cos t=- (∵`00)  … ❷ x (0) f '(x) f(x) y + ↗ 2 0 y - ↘ 2 2 ' 따라서 함수 f(x)가 증가하는 구간은 (0, 2]이므로 이 구간에 속하는 모든 정수 x의 값의 합은 1+2=3  채점 기준 ❶ f '(x)를 구할 수 있다. ❷ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❸ 증가하는 구간에 속하는 모든 정수 x의 값의 합을 구할 수 있다. 6 도함수의 활용 ⑴ | 095 |2+2| 1Û`+(-1)Û`` " = 4 2` ' =2 2 ' 0692 xy=3의 각 항을 x에 대하여 미분하면 y+x =0  ∴ dy dx dy dx =- ;[}; 점 PÇ(xÇ, yÇ)에서의 접선의 기울기는 dy dx =- yÇ xÇ =- 3 xÇÛ` ∵ yÇ= 3 { xÇ } (x-xÇ) 이므로 접선의 방정식은 y-yÇ=- 3 xÇÛ` 위의 식에 y=0을 대입하면 -yÇ=- 3 xÇÛ` (x-xÇ), yÇ xÇÛ`=3x-3xÇ 3xÇ=3x-3xÇ (∵ xÇ yÇ=3)  ∴ x=2xÇ 6ㅡ도함수의 활용⑴ 이차함수 f(x)=axÛ`+bx+c에 대하여 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판 별식을 D라 할 때 -e-x(3xÛ`+6x+1) (3xÛ`+1)Û` ⑴ 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0일 조건은 ⇨ a>0, DÉ0 ⑵ 모든 실수 x에 대하여 f(x)É0일 조건은 ⇨ a<0, DÉ0 0695 에서 `f(x)= e-x 3xÛ`+1 -e-x(3xÛ`+1)-e-x_6x (3xÛ`+1)Û` `f '(x)=0에서 3xÛ`+6x+1=0 (∵ e-x>0) `f '(x)= = 6` ∴ x=-1Ñ ' 3 x y -1-'6` 3 f '(x) - 0 f(x) ↘ y + ↗ -1+'6` 3 0 y - ↘ 6` -1- ' 3 6` ÉxÉ-1+ ' 3 6` 이므로 a=-1- ' 3 6` , b=-1+ ' 3 ∴ a+b=-2 0698 `f(x)=ax+ln (xÛ`+4)에서 `f '(x)=a+ 2x xÛ`+4 = axÛ`+2x+4a xÛ`+4 함수 f(x)가 구간 (-¦, ¦)에서 감소하려면 모든 실수 x에 대하 이때, xÛ`+4>0이므로 axÛ`+2x+4aÉ0이어야 한다. 즉, a<0이고 이차방정식 axÛ`+2x+4a=0의 판별식을 D라 하면 따라서 함수 f(x)가 증가하는 x의 값의 범위는 여 f '(x)É0이어야 한다. D 4 =1-4aÛ`É0, (2a-1)(2a+1)¾0  -2 ∴ aÉ- 또는 a¾ ;2!; ;2!; 그런데 a<0이므로 aÉ- ;2!; 따라서 구하는 a의 최댓값은 - 이다. ;2!; 0696 f(x)=3 ln (xÛ`+1)-xÜ`에서 `f '(x)= -3xÛ`= 6x xÛ`+1 6x-3xÛ`(xÛ`+1) xÛ`+1 = -3x(xÜ`+x-2) xÛ`+1 =- 3x(x-1)(xÛ`+x+2) xÛ`+1 `f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 (∵ xÛ`+x+2>0) x y f '(x) - f(x) ↘ 0 0 y + ↗ y - ↘ 1 0 ;2!; 따라서 함수 f(x)가 감소하는 구간은 (-¦, 0], [1, ¦)이므로 이 구 간에 속하는 x의 값이 아닌 것은 ③ 이다.  ③ 0697 |전략| 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하여 f '(x)¾0이어야 함을 이용한다. `f(x)=(axÛ`-1)e-x에서 `f '(x)=2axe-x-(axÛ`-1)e-x=-(axÛ`-2ax-1)e-x 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하 0700 여 f '(x)¾0이어야 한다. 이때, e-x>0이므로 axÛ`-2ax-1É0이어야 한다. Ú a=0일 때, -1É0이므로 항상 성립한다. Û a+0일 때, a<0이고 이차방정식 axÛ`-2ax-1=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`+aÉ0, -1ÉaÉ0 a<0이므로 -1Éa<0 096 | III . 미분법 Ú, Û에 의하여 구하는 a의 값의 범위는 -1ÉaÉ0  ④ 0699 `f(x)=(xÛ`+2ax+b)ex에서 `f '(x) =(2x+2a)ex+(xÛ`+2ax+b)ex ={xÛ`+2(a+1)x+2a+b}ex 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하 여 f '(x)¾0이어야 한다. 이때, ex>0이므로 xÛ`+2(a+1)x+2a+b¾0이어야 한다. 이차방정식 xÛ`+2(a+1)x+2a+b=0의 판별식을 D라 하면 =(a+1)Û`-(2a+b)É0  ∴ aÛ`+1Éb D 4 따라서 b의 최솟값은 1이다.  ④ `  ① |전략| 함수 f(x)가 구간 (-1, 1)에서 증가하려면 이 구간의 모든 x에 대하여 f '(x)¾0이어야 함을 이용한다. `f(x)= xÛ`+2x+a 에서 xÛ`+1 `f '(x)= (2x+2)(xÛ`+1)-(xÛ`+2x+a)_2x (xÛ`+1)Û` = -2xÛ`+2(1-a)x+2 (xÛ`+1)Û` 함수 f(x)가 구간 (-1, 1)에서 증가하려면 -10이므로 g(x)=-2xÛ`+2(1-a)x+2로 놓으면 -10에서 f '(x)¾0이어야 한다. 즉, x>0에서 2xÛ`-4x+kÛ`¾0이 항상 성립해야 한다. g(x) =2xÛ`-4x+kÛ`=2(x-1)Û`+kÛ`-2 로 놓으면 x>0에서 g(x)¾0이어야 하므로 kÛ`-2¾0 y kÛ kÛ -2 ∴`kÉ- 2 또는 k¾ ' 2 ' 1 x-2-x '¶ 에서 x¾2이고 `f '(x)=- y=g(x) -1 1 x-2 '¶ x-2-x)Û` '¶ 2 ( x-2-1 = 2 '¶ x-2 ( '¶ 2 '¶ x-2-x)Û` `f '(x)=0에서 2 x-2=1, x-2=   ∴ x= ;4!; ;4(; '¶ O 1  kÉ- 2 또는 k¾ 2 ' x ' x 2 f '(x) f(x) y - ↘ ;4(; 0 - ;7$; y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극솟값 - 를 갖는다. ;4(; ;7$;  - ;7$; |전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바 뀌는지 조사한다. `f(x)= 2x-1 xÛ`+2 에서 `f '(x)= 2(xÛ`+2)-(2x-1)_2x = -2xÛ`+2x+4 (xÛ`+2)Û` (xÛ`+2)Û` = -2(x+1)(x-2) (xÛ`+2)Û` `f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 x y f '(x) - f(x) ↘ -1 0 -1 2 0 ;2!; y - ↘ ;2!; y + ↗ ;2!; 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극댓값 , x=-1에서 극솟값 -1 을 가지므로 a=2, f(a)= , b=-1, f(b)=-1 0707 0706 `f(x)= x+ `f '(x)= 1 x` 2 ' ' `f '(x)=0에서 '¶ + -1 2 '¶ 2-x= '¶ 2-x   x ' 2-x에서 0ÉxÉ2이고 2-x- x x(2-x)  ' = '¶ 2 " 양변을 제곱하면 2-x=x  ∴ x=1 x 0 f '(x) f(x) y + ↗ 1 0 2 y - ↘ 2 2` ' ∴  f(a) b +  f(b) a = ;2!; -1 + -1 2 =-1  -1 `f(x)=(xÛ`-3x+1)ex에서 |전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바 뀌는지 조사한다. 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값 2를 갖는다.  2 0703 ` 6 도함수의 활용 ⑴ | 097 6ㅡ도함수의 활용⑴ `f '(x) =(2x-3)ex+(xÛ`-3x+1)ex =(xÛ`-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex `f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 (∵ ex>0) x y -1 f '(x) + f(x) ↗ 0 ;e%; y - ↘ 2 0 -eÛ` y + ↗ x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 1 eÛ` 0 극소 y + ↗ 1 0 극대 y - ↘ 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값을 갖는다.  1 다른 풀이  f '(x)=-ln x _(ln x+2)에서 f "(x)=- ;[!; (ln x+2)-ln x_ ;[!; =- ;[@; (ln x+1) 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값 , x=2에서 극솟값 -eÛ`을 ;e%; 가지므로 구하는 극댓값과 극솟값의 곱은 _(-eÛ`)=-5e ;e%; 다른 풀이 f '(x)=(xÛ`-x-2)ex에서 f "(x)=(2x-1)ex+(xÛ`-x-2)ex=(xÛ`+x-3)ex f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 (∵ ex>0) f '(x)=0에서 x= 또는 x=1 1 eÛ` 1 eÛ` } { x=1에서 극댓값을 갖는다. 0711 이때, f "(-1)=- <0, f "(2)=3eÛ`>0이므로 f(x)의 극댓값은 ;e#; `f(x)=x+2-ln x에서 x>0이고 f '(x)=1- ;[!;  ① 이때, f " =-2eÛ`_(-1)=2eÛ`>0, f "(1)=-2<0이므로 f(x)는 f(-1)= ;e%;, 극솟값은 f(2)=-eÛ`이다. 따라서 구하는 극댓값과 극솟값의 곱은 ;e%; _(-eÛ`)=-5e 0708 `f(x)=ex+e-x에서 f '(x)=ex-e-x `f '(x)=0에서 ex=e-x  ∴ x=0 `f '(x)=0에서 x=1 x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 3 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극솟값 3을 가지므로 a=1, b=3  ∴`a+b=4  ② 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극솟값 2를 가지므로 a=0, b=2  ∴`a+b=2 x y f '(x) - f(x) ↘ 0 0 2 y + ↗  2 0712 `f(x)= x ln x 에서 01이고 f '(x)= ln x-1 (ln x)Û` `f '(x)=0에서 ln x=1  ∴ x=e x (0) (1) f '(x) f(x) y - ↘ y - ↘ e 0 e y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=e에서 극솟값 e를 가지므로 a=e, b=e  ∴ a+b=2e  2e 0713 `f(x)=ex-e ln (x+e)에서 x>-e이고 f '(x)=ex- e x+e  ① `f '(x)=0에서 ex= e x+e 이 방정식의 실근은 두 곡선 y=ex과 y= e 의 교점의 x좌표와 같다. x+e 오른쪽 그림에서 f '(0)=0이고 y y=ex 1 y= e x+e -e O x x>0이면 f '(x)>0 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극소이고 극솟값은 f(0)=1-e  ② 0709 `f(x)=e-xÛ`에서 f '(x)=-2xe-xÛ` `f '(x)=0에서 x=0 (∵ e-xÛ` >0) x y f '(x) + f(x) ↗ 0 0 1 y - ↘ ㄱ. x=0에서 극댓값 1을 갖는다. (참) ㄴ. 극솟값은 없다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 0710 `f '(x)=0에서 ln x=-2 또는 ln x=0 ∴`x= 1 eÛ` 또는 x=1 098 | III . 미분법 ㄷ. 구간 (-¦, 0]에서 증가하고 구간 [0, ¦)에서 감소한다. (거짓) |전략| (진수)>0인 x의 값의 범위에서 극대, 극소를 조사한다. `f(x)=1-x(ln x)Û`에서 x>0이고 `f '(x)=-(ln x)Û`-x_2 ln x_ =-ln x_(ln x+2) -e0이면 y=ex의 그래프가 y= e 의 그래프보다 위쪽에 있으므로 채점 기준 x+e ex> e x+e   ∴ f '(x)=ex- e x+e >0 0714 ❶ f  '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ 2a-b의 값을 구할 수 있다. 비율 40`% 40`% 20`% |전략| 주어진 범위에서 f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바뀌는지 조사한다. 0716 `f(x)=(sin 2x)Û`+1에서 `f(x)=x+2 cos x에서 f '(x)=1-2 sin x ∴ x= 또는 x= p (∵ 0-1)에서 `f '(x)= (2x+a)(xÛ`-x+1)-(xÛ`+ax+1)(2x-1) (xÛ`-x+1)Û` = -(a+1)(x+1)(x-1) (xÛ`-x+1)Û` `f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x y f '(x) - f(x) ↘ -1 0 극소 y + ↗ 1 0 극대 y - ↘ 을 갖는다. 따라서 f(-1)= -a+2 3 a=f(1)=1+5+1=7 ∴ a+a=5+7=12 =-1이므로 a=5 0720 f(x)=ex+9e-x+a에서 f '(x)=ex-9e-x= e2x-9 ex f '(x)=0에서 e2x=9, 2x=ln 9  ∴ x=ln 3 a>-1이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 극솟값, x=1에서 극댓값 ' a=0, `f( a)= ' -a ln  ' ;2A; - ;2A; ;2A;  ln a=0, (1-ln a)=0 ;2A; 그런데 a>0이므로 1-ln a=0, ln a=1  ∴`a=e  ④ 0722 `f(x)=x+a cos x(a>1)에서 f '(x)=1-a sin x `f '(x)=0에서 sin x= ;a!; 이때, 0< <1이므로 f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 ;a!; p 2 } x=a 00, 4k-5<0  ∴ k< ;4%; 따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 1이다.  ① x y f '(x) - ln 3 0 f(x) ↘ 극소 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=ln 3에서 극솟값 2를 가지므로 f(ln 3)=eln 3+9e-ln 3+a=2, 3+9_ +a=2 ;3!; f '(x)=(x+k)ex+ xÛ`+kx+1 ex } 0724 `f(x)= xÛ`+kx+1 ex에서 {;2!; } {;2!;  ② = [;2!; xÛ`+(k+1)x+k+1 ex ] ∴ a=-4 0721 `f(x)= xÛ`-a ln x(a>0)에서 x>0이고 ;2!; `f '(x)=x- = xÛ`-a x ;[A; `f '(x)=0에서 xÛ`=a  ∴`x= a (∵`x>0) x (0) f '(x) f(x) y - ↘ a` ' 0 극소 ' y + ↗ 100 | III . 미분법 이때, 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 xÛ`+(k+1)x+k+1=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다. ;2!; 이차방정식 xÛ`+(k+1)x+k+1=0의 판별식을 D라 하면 ;2!; D=(k+1)Û`-2(k+1)É0, kÛ`É1  ∴ -1ÉkÉ1 따라서 정수 k의 개수는 -1, 0, 1의 3이다.  3 0725 `f(x)=2 ln x+ -x에서 x>0이고 ;[A; 정답과 해설 `f '(x)= - a xÛ` ;[@; -1= -xÛ`+2x-a xÛ` 이때, 함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식 0727 |전략| 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 f '(x)¾0 또 는 f '(x)É0임을 이용한다. -xÛ`+2x-a=0이 x>0에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. `f(x)=kx+sin x에서 f '(x)=k+cos x Ú 이차방정식 -xÛ`+2x-a=0의 판별식을 D라 하면 이때, 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)¾0 또는 f '(x)É0 =1-a>0  ∴ a<1 D 4 Û (두 근의 합)=2>0 Ü (두 근의 곱)=a>0 Ú, Û, Ü에서 구하는 a의 값의 범위는 00, ab>0 ② 두 근이 모두 음수 ⇨ D¾0, a+b<0, ab>0 ③ 두 근이 서로 다른 부호 ⇨ ab<0 (a, b가 서로 다른 두 실근인 경우 위의 조건에서 판별식의 등호(=)만 없애 주면 된다.) 0726 ;3!; ;3!; ;3!; 가져야 한다. D 4 y=  cosÜ` x+k cosÛ` x+k cos x에서 cos x=t(-10, k(k-1)>0  ∴`k<0 또는 k>1 Û y=f '(t)의 그래프의 축은 직선 t=-k이므로 -1<-k<1  ∴ -10에서 k<1 f '(1)=1+3k>0에서 k>- ;3!; ∴ `- 0)에서 `f '(x)=ex-ke-x= e2x-k ex `f '(x)=0에서 e2x=k, 2x=ln k ∴ x=  ln k ;2!; ;2!; ;2!; 이때, x< ln k이면 f '(x)<0, x> ln k이면 f '(x)>0이므로 ;2!; f(x)는 x= ln k에서 극값을 가진다. 따라서 함수 f(x)가 00 Û 축이 x=k이면 a0, f(b)>0 부호가 달라야 하므로 (|a|+b)(-|a|+b)<0, bÛ`-|a|Û`<0 ∴`aÛ`>bÛ`  ⑤ 6 도함수의 활용 ⑴ | 101 6ㅡ도함수의 활용⑴ 정답과 해설 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0730 유형  01 접점의 좌표가 주어진 접선의 방정식 |전략| 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y-f(a)=f '(a)(x-a)임을 이용한다. 로 놓으면 f '(x)=- 2 `f(x)= 1 xÜ` xÛ` 점 P(-1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(-1)=2이므로 접선의 방 정식은 y-1=2(x+1)  ∴ y=2x+3 이때, 직선 y=2x+3이 x축과 만나는 점 Q의 좌표는 { - , 0 } ;2#; 이 직선이 곡선과 만나는 점 P가 아닌 점 R의 x좌표는 1 xÛ` =2x+3에서 2xÜ`+3xÛ`-1=0 (x+1)Û`(2x-1)=0  ∴ x=-1 또는 x= ;2!; 즉, 점 R의 좌표는 , 4 } {;2!; 이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(tÁ)=2- 1 tÁ 이므로 접선의 방정식은 y-(2tÁ-ln tÁ)= (x-tÁ) 2- 1 tÁ } { 이 직선이 점 (0, 1)을 지나므로 1-2tÁ+ln tÁ=-2tÁ+1, ln tÁ=0  ∴ tÁ=1 즉, 점 (0, 1)에서 그은 접선의 기울기는 f '(1)=2-1=1이므로 이 점에서 그은 접선과 수직인 직선의 기울기는 -1이다. 점 (a, 0)에서 이 곡선에 그은 접선의 접점의 좌표를 (tª, 2tª-ln tª)라 하면 f '(tª)=2- 1 tª =-1에서 tª= ;3!; 점 , -ln ;3!;} ;3@; {;3!; 에서의 접선의 방정식은 y- -ln  =- x- ;3!;} { ;3!;} {;3@; 이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로 - +ln  =-a+   ∴ a=1+ln 3 ;3@; ;3!; ;3!;  ② PQÓ= -1+ ¾±{ 5` Û`+1Û`= ' 2 ;2#;} , QRÓ= + ¾±{;2!; ;2#;} Û`+4Û`=2 5 ' 0733 5` ∴ PQÓ:QRÓ= ' 2 :2 5=1:4 ' 0731 유형  03 기울기가 주어진 접선의 방정식 |전략| 접점의 좌표를 { t, t+1 t-1 } f(x)= x+1 x-1 로 놓으면 f '(x)= (x-1)-(x+1) =- 2 (x-1)Û` (x-1)Û` 유형  05 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이  ③ |전략| 접선의 방정식을 구한 후 x절편, y절편을 구한다. `f(x)=(xÛ`+1)ex으로 놓으면 f '(x)=2xex+(xÛ`+1)ex=(x+1)Û`ex x=0인 점에서의 접선의 기울기는 f '(0)=1이므로 점 (0, 1)에서의 y-1=x  ∴ y=x+1 따라서 접선의 x절편은 -1, y절편은 1이므로 구하는 도형의 넓이는 _1_1= ;2!; ;2!;  ① 로 놓고 접선의 방정식을 구한다. 접선의 방정식은 접점의 좌표를 { t,  t+1 t-1 } 이라 하면 접선의 기울기가 -2이므로 0734 f '(t)=- 2 (t-1)Û` =-2, (t-1)Û`=1 t-1=Ñ1  ∴ t=0 또는 t=2 y+1=-2x, y-3=-2(x-2) ∴ 2x+y+1=0, 2x+y-7=0 즉, 접점의 좌표가 (0, -1), (2, 3)이므로 접선의 방정식은 두 직선 사이의 거리는 직선 2x+y+1=0 위의 점 (0, -1)과 직선 2x+y-7=0 사이의 거리와 같으므로  ④ |-1-7| 2Û`+1Û` " = 8 5` ' = 8 5` ' 5 0732 유형  04 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식 |전략| 점 (0, 1)에서 그은 접선의 접점의 좌표를 (tÁ, 2tÁ-ln tÁ)로 놓고 접선 의 방정식을 구한 후 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1임을 이용한다. `f(x)=2x-ln x로 놓으면 f '(x)=2- ;[!; 유형  06 두 곡선의 공통인 접선 |전략| 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t에서 공통인 접선을 가지면 f(t)=g(t), f '(t)=g'(t)임을 이용한다. `f(x)=e2x, g(x)=2 `f '(x)=2e2x, g'(x)= 1 x+a로 놓으면 '¶ x+a '¶ 두 곡선이 x=b인 점에서 접하므로 `f(b)=g(b)에서 e2b=2 b+a `f '(b)=g'(b)에서 2e2b= 1 '¶ b+a` = 2 '¶ e2b 를 ㉡에 대입하면 1 b+a` ㉠에서 '¶ 2e2b= 2 e2b , e4b=1  ∴ b=0 b=0을 ㉠에 대입하면 1=2 a, 4a=1  ∴ a= ' ;4!; yy ㉠ yy ㉡ 점 (0, 1)에서 이 곡선에 그은 접선의 접점의 좌표를 (tÁ, 2tÁ-ln tÁ) ∴ a-b= ;4!;  ④ 102 | III . 미분법 유형  08 매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 유형  13 유리함수의 극대·극소 0738 |전략| = 임을 이용하여 h=p에 대응하는 점에서의 접선의 기울기를 0735 dy dx 구한다. dx dh dy dh dx dh dy dh =cos h, =1+sin h이므로 dy dx = = 1+sin h cos h (cos h+0) dy dh dx dh |전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바 뀌는지 조사한다. `f(x)=- 2x xÛ`+1 에서 `f '(x)=- 2(xÛ`+1)-2x_2x (xÛ`+1)Û` = 2(x+1)(x-1) (xÛ`+1)Û` `f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x y -1 f '(x) + f(x) ↗ 0 1 y - ↘ 1 0 -1 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값 1, x=1에서 극솟값 -1을 가지므로 극댓값과 극솟값의 곱은 1_(-1)=-1  ② 유형  14 무리함수의 극대·극소 |전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바 뀌는지 조사한다. `f(x)=x `f '(x)= 4-xÛ`에서 " 4-xÛ`- xÛ` " = 2(2-xÛ`) 4-xÛ`` " 4-xÛ`` " `f '(x)=0에서 xÛ`=2  ∴ x=Ñ x (-2) y - 2 ' 0 -2 - ↘ f '(x) f(x) (2) 2 ' 0 2 y - ↘ 2 ' y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x= ' 를 가지므로 a=2, b=-2 ∴ aÛ`+bÛ`=8 2에서 극댓값 2, x=- 2에서 극솟값 -2 '  ③ 유형  17 삼각함수의 극대·극소 |전략| 주어진 범위에서 f '(x)=0이 되는 x의 값을 구하고 그 값의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바뀌는지 조사한다. `f(x)=cos x+x sin x에서 `f '(x)=-sin x+sin x+x cos x=x cos x `f '(x)=0에서 cos x=0 (∵ x>0) ∴ x= p 2 또는 x= p (∵ 00이므로 -2xÛ`+2ax-1É0이어야 한다. 이차방정식 -2xÛ`+2ax-1=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-2É0, (a+ 2)(a- 2)É0 ' ' ∴ - 2ÉaÉ 2 ' ' 0737  ② 0740 유형  12 주어진 구간에서 함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 |전략| 함수 f(x)가 구간 { - p 2 , p 2 } 여 f '(x)¾0이어야 함을 이용한다. `f(x)=a cos x+x에서 f '(x)=-a sin x+1 에서 증가하려면 이 구간의 모든 x에 대하 , p 2 } 에서 증가하려면 - p 2 0이므로 -a+1<-a sin x+10에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. ❸ a의 값을 구할 수 있다. q x `f(x)=2 p ln x+ +x에서 x>0이고 `f '(x)= - +1= 2p x q xÛ` xÛ`+2px-q  xÛ` Ú 이차방정식 xÛ`+2px-q=0의 판별식을 D라 하면 =pÛ`+q>0  ∴ q>-pÛ` D 4 Û (두 근의 합)=-2p>0  ∴ p<0 Ü (두 근의 곱)=-q>0  ∴ q<0 Ú, Û, Ü에 의하여 순서쌍 (p, q)가 될 수 있는 것은 ⑤(-2, -3)  ⑤ 이다. 0743 유형  03 기울기가 주어진 접선의 방정식 |전략| 주어진 직선과 평행한 접선의 접점의 좌표를 찾아 이 접점과 직선 사이의 채점 기준 ❶ 를 구할 수 있다. dy dx 0745 곡선 y=f(x)의 접선 중에서 직선 y=x+4와 평행한 접선의 접점의 t`)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 1이므로 채점 기준 즉, 접점의 좌표는 (1, 2)이다.  … ❷ ❸ a+b의 값을 구할 수 있다. 따라서 점 (1, 2)와 직선 y=x+4, 즉 x-y+4=0 사이의 거리가 ❶ f  '(x)를 구할 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. 유형  18 함수의 극대·극소 - 미정계수의 결정 |전략| 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f '(a)=0임을 이용한다. `f(x)=(axÛ`-b)ex에서 `f '(x)=2axex+(axÛ`-b)ex=(axÛ`+2ax-b)ex  … ❶ 함수 f(x)가 x=1에서 극솟값을 가지므로 `f '(1)=(3a-b)e=0  ∴ 3a-b=0 yy ㉠ 곡선 y=f(x) 위의 x=0인 점에서의 접선의 기울기가 -3이므로 f '(0)=-b=-3  ∴ b=3 b=3을 ㉠에 대입하면 a=1  … ❶ ∴ a+b=4  … ❷ … ❸  2 배점 3점 3점 1점 … ❷ … ❸  4 배점 2점 4점 1점 … ❸  3 2` ' 2` 배점 2점 2점 2점 0746 유형  01 접점의 좌표가 주어진 접선의 방정식 |전략| 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1임을 이용한다. ⑴ g(x)=f(x) ln xÝ`에서 g'(x)=f '(x) ln xÝ`+f(x)_ ∴ g'(e)=f '(e) ln eÝ`+f(e)_ =4 f '(e)-4 (∵ f(e)=-e) ;[$; ;e$; 거리를 구한다. `f(x)=2 x로 놓으면 f '(x)= 1 x ' '   ' 좌표를 (t, 2 `f '(t)= 1 t` ' =1  ∴ t=1 최소이므로 |1-2+4| 1Û`+(-1)Û`` = 3 2 ' = 3 2 ' 2   " 채점 기준 ❶ f  '(x)를 구할 수 있다. ❷ 주어진 직선에 평행한 접선의 접점의 좌표를 구할 수 있다. ❸ 거리의 최솟값을 구할 수 있다. 104 | III . 미분법 정답과 해설 ⑵ 두 접선이 서로 수직이므로 f '(e)g'(e)=-1에서 f '(e){4 f '(e)-4}=-1 곡선 y=f(x) 위의 점 P t, 에서의 접선의 방정식은 1 1-sin t } { y- 1 1-sin t = cos t (1-sin t)Û` (x-t) 위의 식에 y=0을 대입하여 정리하면 -(1-sin t)=cos t_(x-t), x cos t=t cos t-1+sin t ∴ x= t cos t-1+sin t cos t 즉, 점 Q의 좌표는 { t cos t-1+sin t cos t , 0 } 이때, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발 R의 좌표는 (t, 0)이므로 QRÓ= t cos t-1+sin t cos t | -t | = | -1+sin t cos t = 1-sin t cos t | { ∵ 00 p 2 Ú p 2 -OQÓ QRÓ ∴ lim   t - Ú p 2 = lim   t - Ú p 2 p 2 - t cos t-1+sin t cos t 1-sin t cos t p 2 { -t cos t+1-sin t } 1-sin t = lim   t - Ú p 2 =h라 하면 t -일 때 h 0-이므로 p 2 Ú Ú cos t+1-sin t -h cos -t } 1-sin t {h+ p 2 } 1-sin { h sin h+1-cos h 1-cos h h+ p 2 } +1-sin h+ p 2 } { = lim h Ú 0-{ h sin h 1-cos h +1 } 이때, t- p 2 p 2 { lim   p t - 2 Ú = lim h 0- Ú = lim h 0- Ú  ⑴ 4 f '(e)-4 ⑵  ⑶ 50 ;2!; 임을 이용하여 를 구한 후 =0을 만족시키는 h의 dy dx dy dx 4{ f '(e)}Û`-4 f '(e)+1=0 {2 f '(e)-1}Û`=0  ∴ f '(e)= ;2!; ⑶ 100 f '(e)=100_;2!; =50 채점 기준 ⑴ g'(e)를 f '(e)를 사용하여 나타낼 수 있다. ⑵ f '(e)의 값을 구할 수 있다. ⑶ 100 f '(e)의 값을 구할 수 있다. 0747 |전략| dy dx 유형  17 삼각함수의 극대·극소 dy dh dx dh dy dx 값의 좌우에서 = 의 부호가 바뀌는지 조사한다. ⑴ dx dh =1-sin h, =cos h- 이므로 ;2!; dy dh dy dx = = cos h- ;2!; 1-sin h (sin h+1) dy dh dx dh ⑵ dy dx =0에서 cos h=   ∴ h= ;2!; p 3 p 2 함수는 h= 에서 극댓값을 갖는다. p 3 따라서 구하는 극댓값은 p sin  3 - p 6 3 = ' 2 - p 6 ⑴ 를 구할 수 있다. 채점 기준 dy dx dy dx ⑶ 극댓값을 구할 수 있다. ⑵ =0을 만족시키는 h의 값을 구할 수 있다. 배점 4점 4점 2점 배점 4점 4점 4점 ⑶ 00, 0이므로 점 (t, f(t)) 는 제1사분면 위의 점이다. 또, 점 (t, f(t))에서의 접선의 기울기는 f '(t)=2et cos t<0이 다.  770 제1사분면 위의 점을 지나면서 기울기가 음수인 직선은 제3사분면 을 지나지 않으므로 0) 2 e-x(cos x-sin x) x `g(x)=M(L, M은 실수) 함수의 극한의 대소 관계 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 `f(x)=L, lim lim x a a Ú Ú 일 때, a에 가까운 모든 실수 x에 대하여 ⑴ f(x)Ég(x)이면 LÉM ⑵ 함수 h(x)에 대하여 f(x)Éh(x)Ég(x)이고 L=M이면 `h(x)=L lim x a Ú sin x=-cos x  ∴ x= p+np (n¾0인 정수) ;4#; 2 e-x>0이므로 sin x의 부호를 조사한다. 2 ' f " >0, f " p+2kp } {;4#; <0 (k¾0인 정수)이므로 p+(2k+1)p } {;4#; 0752 x= p, p+2p, ;4&; ;4&; ;4&; e- ;4&; p-4p, y을 갖는다. p+4p, y에서 극댓값 e- ;4&; p, e- ;4&; p-2p, 따라서 함수 f(x)의 극댓값은 첫째항이 e- ;4&; p, 공비가 e-2p인 등비수 |전략| f '(x)를 구한 후 사잇값의 정리를 이용한다. `f(x)=e-x(ln x-1)에서 x>0이고 `f '(x)=-e-x(ln x-1)+e-x_ ;[!; 열을 이루므로 모든 극댓값의 합은 p ;4&; e- 1-e-2p = p ;4&; e2p _e- e2p(1-e-2p) = p 4 e e2p-1 =e-x {;[!; -ln x+1 } 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지므로 f '(a)=0 -ln x+1로 놓으면 g(a)=0  p e`` 4 e2p-1 <0 (∵ x>0)이므로 함수 g(x)는 즉, g(x)= ;[!; g'(x)=- 1 xÛ` - ;[!; =- 1+x xÛ` x>0에서 연속이고 감소한다. 이때, g(1)=1-ln 1+1=2>0, g(e)= ;e!; g(eÛ`)= 1 eÛ` -ln e+1= ;e!; -ln eÛ`+1= 1 eÛ` >0, -1<0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 g(c)=0인 실수 c가 구간 (e, eÛ`)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 a가 속하는 구간은 ②(e, eÛ`)이다.  ② 사잇값의 정리 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 y=f(x) f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르면 f(c)=0 인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한 다. 즉, 방정식 f(x)=0은 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. y f(b) f(a) a O cÁ cª b x c£ 0751 p 2 p 2 ;4#; |전략| ㄱ. 삼각함수의 합성과 함수의 극한의 대소 관계를 이용한다. ㄴ. x= 의 좌우에서 f '(x)의 부호의 변화를 조사한다. ㄷ. 0) ' ' ' 이때, lim -¦ x ex=0이므로 Ú (- ' lim -¦ x Ú ∴ lim -¦ x Ú 2 ex)=0, lim 2 ex=0 x -¦' Ú f(x)=0 (참) ㄴ. f '(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2ex cos x f ' { p 2 } =0이고 - p 2 0, 0 7 도함수의 활용 ⑵ 본책 120~139쪽 개념 마스터 STEP1 0753 f(x)=xÜ`-3xÛ`+5로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-6x, f "(x)=6x-6=6(x-1) f "(x)=0에서 x=1 이때, x<1이면 f "(x)<0, x>1이면 f "(x)>0 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, 1)에서 위로 볼록하고, 구간 (1, ¦)에서 아래로 볼록하다. 0754 f(x)=-xÝ`+2xÜ`-1로 놓으면 f '(x)=-4xÜ`+6xÛ`, f "(x)=-12xÛ`+12x=-12x(x-1) f "(x)=0에서 x=0 또는 x=1 이때, x<0 또는 x>1이면 f "(x)<0, 00 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, 0), (1, ¦)에서 위로 볼록하 고, 구간 (0, 1)에서 아래로 볼록하다.  구간 (-¦, 0), (1, ¦)에서 위로 볼록, 구간 (0, 1)에서 아래로 볼록 0755 f(x)=x- 1 2x f '(x)=1+ 1 2xÛ` 로 놓으면 x+0이고 , f "(x)=- 1 xÜ` 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (0, ¦)에서 아래로 볼록하다.  구간 (0, ¦)에서 아래로 볼록 0758 f(x)=x-ln x로 놓으면 x>0이고 f '(x)=1- , f "(x)= 1 xÛ` ;[!; 이때, x>0이면 f "(x)>0 0759 f(x)=sin x로 놓으면 f '(x)=cos x, f "(x)=-sin x f "(x)=0에서 x=p (∵ 00이면 f "(x)>0 따라서 x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (0, 1)  (0, 1) 이때, x<0이면 f "(x)>0, x>0이면 f "(x)<0 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, 0)에서 아래로 볼록하고, 구간 (0, ¦)에서 위로 볼록하다.  구간 (-¦, 0)에서 아래로 볼록, 구간 (0, ¦)에서 위로 볼록 0761 f(x)=xÝ`-4xÜ`으로 놓으면 f '(x)=4xÜ`-12xÛ`, f "(x)=12xÛ`-24x=12x(x-2) f "(x)=0에서 x=0 또는 x=2 이때, x<0 또는 x>2이면 f "(x)>0, 00 0757 f(x)=xe2x으로 놓으면 f '(x)=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x f "(x)=2e2x+(1+2x)_2e2x=4(x+1)e2x f "(x)=0에서 x=-1 (∵ e2x>0) 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 아래로 볼록하다.  구간 (-¦, ¦)에서 아래로 볼록 0762 f(x)= 1 로 놓으면 f '(x)= -2x (xÛ`+3)Û` xÛ`+3 f "(x)= -2(xÛ`+3)Û`+2x_2(xÛ`+3)_2x (xÛ`+3)Ý` = -2(xÛ`+3)+8xÛ` (xÛ`+3)Ü` = 6(x+1)(x-1) (xÛ`+3)Ü` f "(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 이때, x<-1이면 f "(x)<0, x>-1이면 f "(x)>0 따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-¦, -1)에서 위로 볼록하고, 구간 (-1, ¦)에서 아래로 볼록하다. 이때, x<-1 또는 x>1이면 f "(x)>0, -10) 이때, x<-2이면 f "(x)<0, x>-2이면 f "(x)>0 따라서 x=-2의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표 는 { -2, - 2 e2 }  { -2, - 2 eÛ` } 오른쪽 그림과 같다. 이때, x<-1 또는 x>1이면 f "(x)<0, -10 =x+ 에서 x+0이고 0764 f(x)=ln (xÛ`+1)로 놓으면 f '(x)= 2x xÛ`+1 = -2(xÛ`-1) (xÛ`+1)Û` f "(x)= 2(xÛ`+1)-2x_2x (xÛ`+1)Û` = -2(x+1)(x-1) (xÛ`+1)Û` f "(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 따라서 x=-1, x=1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점 의 좌표는 (-1, ln 2), (1, ln 2)  (-1, ln 2), (1, ln 2) 0765 f(x)=xÛ`-2x ln x+1로 놓으면 x>0이고 f '(x)=2x-2 ln x+x_ =2x-2 ln x-2, f "(x)=2- { ;[!;} ;[@; f "(x)=0에서 x=1 이때, 01이면 f "(x)>0 따라서 x=1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (1, 2)  (1, 2) 0766 f(x)=x+2 cos x로 놓으면 f '(x)=1-2 sin x, f "(x)=-2 cos x p 2 f "(x)=0에서 x= 또는 x= ;2#; p (∵ 00 p 2 p 2 ;2#; ;2#; 따라서 x= , x= p의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡 점의 좌표는 { p 2 , p 2 } , p, p } ;2#; {;2#;  { p 2 , p 2 } , {;2#; p, p ;2#; } 0767 f(x)=xÝ`-2xÜ`+2에서 f '(x)=4xÜ`-6xÛ`=2xÛ`(2x-3) f "(x)=12xÛ`-12x=12x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x= ;2#; f "(x)=0에서 x=0 또는 x=1 108 | III . 미분법 x y f '(x) - f "(x) + f(x) ⤷ 0 0 0 2 y - - ⤵ - 1 0 1 y - + ⤷ ;2#; 0 + ;1°6; y + + ⤴ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 y=f (x)  풀이 참조 참고  표에서 , ⤵는 각각 위로 볼록이면서 증가, 감소를 나타내고, ⤴, ⤷는 각 1 3 2 x 각 아래로 볼록이면서 증가, 감소를 나타낸다. y 2 1 O 5 16 f "(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점은 없다. 0768 f(x)= xÛ`+1 x f '(x)=1- 1 xÛ` ;[!; , f "(x)= 2 xÜ` f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x y -1 (0) f '(x) + f "(x) - ⤷ f(x) 0 - -2 y - - ⤷ y - + ⤷ 이때, lim 0+ x f(x)=¦, lim 0- x f(x)=-¦, Ú Ú lim x+ { ¦ x Ú ;[!;} =lim ¦ x Ú x, lim x+ { -¦ x Ú 점근선은 y축과 직선 y=x이다. = lim -¦ x Ú x이므로 ;[!;} 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 y + + ⤷ 1 0 + 2 y 2 -1 y=f(x) y=x x O 1 -2  풀이 참조 오른쪽 그림과 같다. 참고  lim ¦ Ú f(x)= lim ¦ Ú ⇨ 직선 y=mx+n이 곡선 y=f(x)의 점근선 (mx+n) 또는 lim -¦ Ú x` x` x` f(x)= lim -¦ x` Ú- (mx+n) 0769 f(x)= x 에서 xÛ`+4 f '(x)= (xÛ`+4)-x_2x (xÛ`+4)Û` = 4-xÛ` (xÛ`+4)Û` = -(x+2)(x-2) (xÛ`+4)Û` f "(x)= -2x(xÛ`+4)Û`-(4-xÛ`)_2(xÛ`+4)_2x (xÛ`+4)Ý` = 2xÜ`-24x (xÛ`+4)Ü` = 2x(x+2 ' 3)(x-2 3) ' (xÛ`+4)Ü` 정답과 해설 f '(x)=0에서 x=   ∴ x= ' ;2!; ;4!; f "(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점은 없다. f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2 f "(x)=0에서 x=-2 3 또는 x=0 또는 x=2 3 ' ' ' x y -2 3 y -2 y 0 y 2 y 2 3 y ' f '(x) - - - 0 + + + 0 - - - f "(x) - 0 + + + 0 - - - 0 + f(x) ⤷ - '3 8 ⤷ - ;4!; ⤷ 0 ⤷ ⤷ '3 8 ⤷ ;4!; 이때, lim ¦ Ú x f(x)=0, lim -¦ x Ú 므로 점근선은 x축이다. f(x)=0이 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개 y 1 4 3 1 8 -2 -2 3 1 형은 오른쪽 그림과 같다. y=f(x) x O 2 - 3 1 2 3 1 8 - 1 4 0772 f(x)= x ex =xe-x에서 f '(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x f "(x)=-e-x-(1-x)e-x=(x-2)e-x f '(x)=0에서 x=1 (∵ e-x>0) f "(x)=0에서 x=2 (∵ e-x>0)  풀이 참조   f(x)=0이므로 점근선은 x축 y + - ⤷ 1 0 - ;e!; y - - ⤷ 2 - 0 2 eÛ` y - + ⤷ x (0) f '(x) f "(x) f(x) 이때, lim ¦ Ú x 이다. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다. y 2 e2 1 e y=f(x) O 1 2 x  풀이 참조 0770 f(x)=x- f '(x)=1- 1 x` 2 '¶ ' x에서 x¾0이고 = 2 x-1 ' x` 2 '¶ f "(x)= 1 x` '¶ 4x` = 1 4x '¶ x` x 0 f '(x) f "(x) f(x) 0 y - + ⤷ ;4!; 0 + - ;4!; y + + ⤷ 이때, lim ¦ Ú x f(x)=¦이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그 림과 같다.  풀이 참조 0771 f(x)=ex+e-x에서 f '(x)=ex-e-x, f "(x)=ex+e-x f '(x)=0에서 ex=e-x  ∴ x=0 x y f '(x) - f "(x) + f(x) ⤷ 0 0 + 2 y + + ⤷ 이때, lim ¦ Ú x f(x)=¦, lim -¦ x Ú- f(x)=¦이므 로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다. 0773 f(x)=ln (xÛ`+2)에서 f '(x)= 2x xÛ`+2 f "(x)= 2(xÛ`+2)-2x_2x (xÛ`+2)Û` = -2(xÛ`-2) (xÛ`+2)Û` = -2(x+ 2)(x- 2) ' (xÛ`+2)Û` ' f '(x)=0에서 x=0 f "(x)=0에서 x=- 2 또는 x= x y - 2 ' ' - 0 y - + ⤷ 2 ' 0 0 + ln 2 y + + f(x) ⤷ 2 ln 2 ⤷ 2 ln 2 이때, lim ¦ Ú x   f(x)=¦, lim -¦ x   f(x)=¦ Ú 이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형 은 오른쪽 그림과 같다.  풀이 참조 0774 f(x)=x+sin x에서 y + - ⤷ 2 ' + 0 y y=f(x) x 2 1 2`ln`2 ln`2 O - 2 1 y O 1 4 - 1 4 y=f(x) 1 x f '(x) - f "(x) - f '(x)=1+cos x, f "(x)=-sin x f '(x)=0에서 cos x=-1  ∴ x=p (∵ 0ÉxÉ2p) y y=f(x) f "(x)=0에서 x=0 또는 x=p 또는 x=2p (∵ 0ÉxÉ2p) 2 O x  풀이 참조 x f '(x) f "(x) f(x) 0 0 0 y + - ⤷ p 0 0 p y + + ⤷ 2p 0 2p 7 도함수의 활용 ⑵ | 109 f "(x)=0을 만족시키는 x의 값이 존재하지 않으므로 변곡점은 없다. 7ㅡ도함수의 활용⑵ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오 른쪽 그림과 같다. y=f(x) 0778 f(x)=xÛ`ex에서 f '(x)=2xex+xÛ`ex=x(2+x)ex f '(x)=0에서 x=0 (∵ ex>0, -1ÉxÉ2)  풀이 참조 p x 2p y 2p p O 따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 4eÛ`, x=0일 때 최솟값 0을 갖  최댓값: 4eÛ`, 최솟값: 0 x -1 f '(x) f(x) ;e!; y - ↘ 0 0 0 는다. 0779 f(x)=2x-ln x에서 f '(x)=2- f '(x)=0에서 x= x f '(x) ;e!; ;2!; y - ;2!; 0 2 4eÛ` e y + ↗ ;[!; y + f(x) +1 ;e@; ↘ 1+ln 2 ↗ 2e-1 따라서 함수 f(x)는 x=e일 때 최댓값 2e-1, x= 일 때 최솟값 ;2!; 1+ln 2를 갖는다.  최댓값: 2e-1, 최솟값: 1+ln 2 0780 f(x)= ex sin x 에서 f '(x)= ex sin x-ex cos x sinÛ` x = (sin x-cos x)ex sinÛ` x f '(x)=0에서 sin x=cos x (∵ ex>0) ∴ x= ∵ { ÉxÉ p } ;6%; p 4 p 6 p 6 2'3` 3 p 6  e x f '(x) f(x) y - ↘ p 4 0 p 4 '2 e y + ↗ p ;6%; 2'3` 3 5 6 p  e 따라서 함수 f(x)는 x= p 4 을 갖는다. 솟값 2 e ' p일 때 최댓값 2'3` 3 ;6%; e;6%; p, x= 일 때 최 p 4  최댓값: 2'3` 3 e;6%; p, 최솟값: ' 2 e p 4 0781 f(x)=sin x-cos x에서 f '(x)=cos x+sin x f '(x)=0에서 cos x=-sin x  ∴ x= p (∵ pÉxÉ2p) x f '(x) f(x) p 1 y - ↘ p ;4&; 0 - 2 ' y + ↗ ;4&; 2p -1 ;4&; 0775 f(x)= xÛ`-5x+15 x-2 에서 f '(x)= (2x-5)(x-2)-(xÛ`-5x+15) (x-2)Û` = xÛ`-4x-5 (x-2)Û` = (x+1)(x-5) (x-2)Û` f '(x)=0에서 x=5 (∵ 3ÉxÉ6) x f '(x) f(x) 3 9 y - ↘ 5 0 5 y + ↗ 6 :ª4Á: 따라서 함수 f(x)는 x=3일 때 최댓값 9, x=5일 때 최솟값 5를 갖 는다.  최댓값: 9, 최솟값: 5 0776 f(x)= x xÛ`+x+1 에서 f '(x)= (xÛ`+x+1)-x(2x+1) = (xÛ`+x+1)Û` -xÛ`+1 (xÛ`+x+1)Û` = -(x+1)(x-1) (xÛ`+x+1)Û` f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x -2 f '(x) f(x) - ;3@; y - ↘ -1 0 -1 y + ↗ 1 0 ;3!; y - ↘ 2 ;7@; 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 , x=-1일 때 최솟값 -1 ;3!;  최댓값: , 최솟값: -1 ;3!; 을 갖는다. 0777 f(x)= 3-xÛ`에서 f '(x)= -2x " 2 3-xÛ`` =- " x 3-xÛ`` " f '(x)=0에서 x=0 x -1 f '(x) f(x) 2 ' y + ↗ 0 0 3 ' 1 2 ' y - ↘ ' 110 | III . 미분법 따라서 함수 f(x)는 x=0일 때 최댓값 3, x=-1 또는 x=1일 때 최솟값 2를 갖는다. '  최댓값: ' 3, 최솟값: ' 2 를 갖는다. 따라서 함수 f(x)는 x=p일 때 최댓값 1, x= p일 때 최솟값 -  최댓값: 1, 최솟값: - 2 2 ' ' 정답과 해설 0782 f(x)= x+1-x로 놓으면 x¾-1이고 f '(x)= 1 '¶ -1 2 x+1` '¶ f '(x)=0에서 x+1= , x+1=   ∴ x=- '¶ ;2!; ;4!; ;4#; 0785 방정식 x+ 1 ex =2의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=x+ 1 ex 과 직 선 y=2의 교점의 개수와 같다. f(x)=x+ 1 ex 로 놓으면 f '(x)=1- 1 ex f '(x)=0에서 ex=1  ∴ x=0 x y f '(x) - f(x) ↘ 0 0 1 y + ↗ y 1 5 4 O -1 - 3 4 y 1 y=f(x) y=x y= x+1 -1 O x 이때, lim ¦ Ú x f(x)=¦, lim -¦ x f(x)=¦이 Ú 므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오 x 른쪽 그림과 같다. 따라서 주어진 방정식은 서로 다른 두 개 의 실근을 갖는다.  2 y 2 1 O y=f(x) y=2 x 0786 방정식 x-cos x=1의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=x-cos x 와 직선 y=1의 교점의 개수와 같다. f(x)=x-cos x로 놓으면 f '(x)=1+sin x f '(x)¾æ0이므로 함수 f(x)는 실수 전체의 구간에서 증가한다. 이때, lim ¦ Ú x f(x)=¦, lim -¦ x f(x)=-¦ Ú 이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다. 따라서 주어진 방정식은 한 개의 실근을  1 y p 2 1 O y=f(x) y=1 x p 2 -1 x-2=k의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=x-2 x-2와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다. x-2로 놓으면 x¾2이고 y y=f(x) O -1 x 갖는다. 0787 방정식 x-2 '¶ '¶ f(x)=x-2 f '(x)=1- 1 '¶ '¶ f '(x)=0에서 '¶ x-2` x-2=1, x-2=1  ∴ x=3 x f '(x) f(x) 2 2 y - ↘ 3 0 1 y + ↗ 이때, lim ¦ Ú x f(x)=¦이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다. y 2 1 O y=f(x) y=k 2 3 x ⑴ 주어진 방정식이 한 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k가 한 점에서 만나야 하므로 k=1 또는 k>2 O 1 x y=f(x) ⑵ 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k가 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 이때, lim ¦ Ú x 림과 같다. 갖는다. x -1 f '(x) f(x) 1 y + ↗ -;4#; 0 ;4%; y - ↘ f(x)=-¦이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그 따라서 주어진 방정식은 한 개의 실근을  1 다른 풀이   방정식 x+1-x=0, 즉 '¶ x+1=x의 서로 다른 실근의 개수는 '¶ x¾-1에서 두 함수 y= x+1, y=x '¶ 의 그래프의 교점의 개수와 같다. 따라서 오른쪽 그림에서 구하는 서로 다 른 실근의 개수는 1이다. 0783 f(x)=ex-x-2로 놓으면 f '(x)=ex-1 f '(x)=0에서 ex=1  ∴ x=0 x y f '(x) - 0 0 f(x) ↘ -1 y + ↗ 이때, lim ¦ Ú x f(x)=¦, lim -¦ x f(x)=¦이 Ú 므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오 른쪽 그림과 같다. 따라서 주어진 방정식은 서로 다른 두 개 의 실근을 갖는다.  2 0784 f(x)=ln x-x+1로 놓으면 x>0이고 f '(x)= -1 ;[!; f '(x)=0에서 =1  ∴ x=1 ;[!; x (0) f '(x) f(x) y + ↗ 1 0 0 y - ↘ 이때, lim 0+ x Ú f(x)=-¦, lim ¦ Ú x f(x)=-¦ y 이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오 른쪽 그림과 같다. 는다. 따라서 주어진 방정식은 한 개의 실근을 갖 12 ⑵ 11일 때 부등식 x¾ln (x-1)이 성립한다.  풀이 참조 0790 f(x)=cos x-1+2x로 놓으면 f '(x)=-sin x+2 x>0일 때 f '(x)>0이므로 f(x)는 증가한다. 또, f(0)=0이므로 x>0일 때 f(x)>0 즉, cos x-1+2x>0 따라서 x>0일 때 부등식 cos x>1-2x가 성립한다.  풀이 참조 0791 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f '(t)=et+tet=et(t+1) a(t)=f "(t)=et(t+1)+et=et(t+2) 따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는 v(2)=3eÛ`, a(2)=4eÛ`  속도: 3eÛ`, 가속도: 4eÛ` 0792 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면 v(t)=f '(t)=1+ 1 t+1 a(t)=f "(t)=- 1 (t+1)Û` 따라서 t=1에서의 점 P의 속도와 가속도는 v(t)=f '(t)=1+cos t a(t)=f "(t)=-sin t p 2 따라서 t= p 2 }= v { 1, a p 2 } { =-1 에서의 점 P의 속도와 가속도는  속도: 1, 가속도: -1 0794 dx dt 따라서 t=2에서의 점 P의 속도는 (2, 4) dy dt =2, =2t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 (2, 2t) dÛ`x dtÛ` dÛ`y dtÛ` =0, =2이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 (0, 2) 따라서 t=2에서의 점 P의 가속도는 (0, 2)  속도: (2, 4), 가속도: (0, 2) =1-tÛ`이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 ( 3, 1-tÛ`) ' 따라서 t=2에서의 점 P의 속도는 ( 3, -3) ' =0, =-2t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 0795 dx dt = 3, ' dy dt dÛ`x dtÛ` dÛ`y dtÛ` (0, -2t) 따라서 t=2에서의 점 P의 가속도는 (0, -4)  속도: ( 3, -3), 가속도: (0, -4) ' 0796 dy dt =2e2t, dx dt (2e2t, 2t) dÛ`y dtÛ` =4e2t, dÛ`x dtÛ` (4e2t, 2) =2t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 따라서 t=2에서의 점 P의 속도는 (2eÝ`, 4) =2이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 따라서 t=2에서의 점 P의 가속도는 (4eÝ`, 2)  속도: (2eÝ`, 4), 가속도: (4eÝ`, 2) =-sin t, =cos t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 (-sin t, cos t) 따라서 t= 에서의 점 P의 속도는 { p 3 3` - ' 2 , ;2!;} 0797 dx dt dÛ`x dtÛ` dy dt dÛ`y dtÛ` =-cos t, =-sin t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 v(1)= , a(1)=- ;2#; ;4!;  속도: , 가속도: - ;2#; ;4!; (-cos t, -sin t) 112 | III . 미분법 정답과 해설 따라서 t= 에서의 점 P의 가속도는 { - ;2!; , - ' 3` 2 }  속도: { - '3` 2 , ;2!;} , 가속도: { - ;2!; , - '3` 2 } 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0801 p 3 p 3 p 3 0798 dx dt dy dt (1-cos t, sin t) dÛ`x dtÛ` dÛ`y dtÛ` (sin t, cos t) 0799 , =1+ 2 tÛ` , 2- 1 dx dt 1+ 2 tÛ` { tÛ` } 3Û`+1Û`= 10 " dÛ`x dtÛ` '¶ =- 4 tÜ` , dÛ`y dtÛ` = 2 tÜ` - 4 tÜ` { , 2 tÜ` } 0800 dx dt = 1 t+1 , dy dt 1 t+1 { , -t } 5` Û`+(-1)Û`= ' 2 ¾±{;2!;} dÛ`x dtÛ` =- 1 (t+1)Û` , dÛ`y dtÛ` - 1 { (t+1)Û` , -1 } 크기는 =1-cos t, =sin t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 따라서 t= 에서의 점 P의 속도는 , ' 3` 2 } {;2!; =sin t, =cos t이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 따라서 t= 에서의 점 P의 가속도는 { 3` ' 2 , ;2!;}  속도: , '3` 2 } {;2!; , 가속도: { '3` 2 , ;2!;} dy dt =2- 1 tÛ` 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 따라서 t=1에서의 점 P의 속도는 (3, 1)이므로 속력은 이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 따라서 t=1에서의 점 P의 가속도는 (-4, 2)이므로 가속도의 크기는 (-4)Û`+2Û`=2 5 ' "  속력: '¶ 10, 가속도의 크기: 2 5 ' =-t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 따라서 t=1에서의 점 P의 속도는 , -1 이므로 속력은 {;2!; } =-1이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 따라서 t=1에서의 점 P의 가속도는 { - ;4!; } , -1 이므로 가속도의 7ㅡ 도 함 수 의 활 용 ⑵ |전략| 함수 f(x)가 어떤 구간에서 f "(x)<0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에 서 위로 볼록함을 이용한다. f(x)=ex sin x로 놓으면 f '(x)=ex sin x+ex cos x=ex(sin x+cos x) f "(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2ex cos x 곡선 y=ex sin x가 위로 볼록하려면 `f "(x)<0이어야 하므로 cos x<0 (∵ ex>0) ∴ 0이고 f '(x)=2x(ln x-1)+xÛ`_ =x(2 ln x-1) ;[!; f "(x)=2 ln x-1+x_ =2 ln x+1 ;[@; 곡선 y=xÛ`(ln x-1)이 아래로 볼록하려면 `f "(x)>0이어야 하므로   ∴ x> 1 e` ' 2 ln x+1>0, ln x>- ;2!; 따라서 실수 a의 최솟값은 이다.  ② 1 e` ' 0803 임의의 서로 다른 두 실수 a, b에 대하 여 `f { a+b 2 } ;2!; < { f(a)+f(b)} 를 만족시키는 함수 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같이 아래로 볼록 한 형태이다. f(b) 1 {f(a)+f(b)} 2 a+b f( ) 2 f(a) y y=f(x) Q O a x b P a+b 2 ㄱ. f(x)=ln x에서 x>0이고 f '(x)= , f "(x)=- 1 xÛ` ;[!; x>0에서 f "(x)<0이므로 곡선 y=f(x)는 위로 볼록하다. ㄴ. f(x)=e3x에서 f '(x)=3e3x, f "(x)=9e3x 모든 실수 x에 대하여 f "(x)>0이므로 곡선 y=f(x)는 아래로 ㄷ. f(x)=cos x에서 f '(x)=-sin x, f "(x)=-cos x 00, 2이면 f "(x)<0, -20 즉, x=-2, x=2의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 (-2, 3 ln 2), (2, 3 ln 2)이다. 따라서 두 변곡점 사이의 거리는 2-(-2)=4 0805 f(x)=1+cosÛ` x에서 f '(x)=2 cos x(-sin x)=-sin 2x f "(x)=-2 cos 2x p 2 p 4   p 4 p 4 p 2 p 2 p 4 p 2 p 4 p 4 p 4 f "(x)=0에서 2x=- 또는 2x= (∵ -p<2x0, - 0) 변곡점의 x좌표가 -1이므로 f "(-1)=eb(-2bÛ`+abÛ`-4b)=0 -2bÛ`+abÛ`-4b=0 (∵ eb>0) ∴ 2b-ab+4=0 (∵ b+0) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, b=1 ∴ a+b=7 x좌표는 - , 이다.  p 4 p 4 따라서 두 변곡점의 x좌표의 차는 p 4 - - { p 4 } = p 2   채점 기준 ❶ f  "(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❷ 변곡점의 x좌표를 구할 수 있다. ❸ 변곡점의 x좌표의 차를 구할 수 있다. 0806 f(x)=e-2xÛ`으로 놓으면 f '(x)=-4xe-2xÛ` f "(x)=-4e-2xÛ`+(-4x)_(-4x)e-2xÛ`=4(4xÛ`-1)e-2xÛ` f "(x)=0에서 4xÛ`-1=0 (∵ e-2xÛ`>0) ∴ x=- 또는 x= ;2!; ;2!; f "(x)<0 이때, x<- 또는 x> 이면 `f "(x)>0, - 0이고 f '(x)=2x+p+ , f "(x)=2- ;[Q; q xÛ` x= 에서 극대이므로 ;2!; P Q y 1 e 1 O - 1 2 x 1 2  1` e` 2 ' f ' {;2!;} =1+p+2q=0  ∴ p+2q=-1 yy ㉠ 정답과 해설  -6+2 ln 2   수는 3이다. (거짓) ③ `f(-x)=-f(x)이므로 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대 칭이다. (참) ' ④ 구간 (1, 3)에서 f "(x)<0이므로 위로 볼록하다. (참) Û`=(-ln ax)Û`=(ln ax)Û`으로 놓으면 x>0이고 ⑤ x=-1에서 극솟값 - 을 갖는다. (참) ;2!; 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.  ② 변곡점의 x좌표가 1이므로 f "(1)=2-q=0  ∴ q=2 q=2를 ㉠에 대입하면 p=-5 ∴ f(x)=xÛ`-5x+2 ln x f '(x)=2x-5+ = 2xÛ`-5x+2 x = (2x-1)(x-2) x ;[@; f '(x)=0에서 x= 또는 x=2 ;2!; y + ↗ x (0) f '(x) f(x) ;2!; 0 극대 y - ↘ 2 0 극소 y + ↗ 따라서 함수 f(x)의 극솟값은 f(2)=-6+2 ln 2 0811 f(x)= ln  { 1 ax } f '(x)=2(ln ax)_ a ax = 2 ln ax x 2_ { a ax } _x-(2 ln ax)_1 f "(x)= xÛ` = 2(1-ln ax) xÛ` f "(x)=0에서 1-ln ax=0 ln ax=1, ax=e  ∴ x= ;aE; 00 ;aE; a>0이므로 부등호의 방향이 바뀌지 않는다. , 즉 ax>e일 때 ln ax>1이므로 f "(x)<0 x> ;aE; 따라서 x= 의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 ;aE; , 1 이다. {;aE; } 이때, 변곡점이 직선 y=2x 위에 있으므로 1= 2e a   ∴ a=2e  ⑤ |전략| 함수 f(x)의 증감표를 작성하고 y=f(x)의 그래프를 그려서 참, 거짓을 0812 조사한다. f(x)= x xÛ`+1` 에서 f '(x)= (xÛ`+1)-x_2x (xÛ`+1)Û` = -xÛ`+1 (xÛ`+1)Û` = -(x+1)(x-1) (xÛ`+1)Û` 림과 같다. f "(x)= -2x(xÛ`+1)Û`-(-xÛ`+1)_2(xÛ`+1)_2x (xÛ`+1)Ý` = 2xÜ`-6x (xÛ`+1)Ü` = 2x(x+ ' 3)(x- 3) ' (xÛ`+1)Ü` f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 f "(x)=0에서 x=- 3 또는 x=0 또는 x= ' 3 ' x y - 3` y -1 y 0 y 1 y 3 y ' f '(x) - - - 0 + + + 0 - - - f "(x) - + + + 0 - - - 0 + ' 0 f(x) ⤷ -'3` 4 ⤷ - ;2!; ⤷ 0 ⤷ ;2!; ⤷ '3 4 ⤷ 이때, lim ¦ Ú x f(x)=0, lim -¦ x Ú f(x)=0이 므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다. ① x=1에서 극댓값 을 갖는다. (참) ;2!; - 3 1 y 1 2 3 1 4 -1 - 1 2 O 1 - 3 1 4 y=f(x) x 3 1 ② 변곡점은 { ' - 3, - ' , (0, 0), 3, ' 이므로 변곡점의 개 3` 4 } 3` 4 } {' 함수 f(x)에 대하여 ⑴ f(x)가 우함수 f(-x)=f(x) y=f(x)의 그래프는 x축에 대하여 대칭 ⑵ f(x)가 기함수 f(-x)=-f(x) y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭 HjK HjK HjK HjK 0813 f(x)=ln (xÛ`+3)에서 f '(x)= 2x xÛ`+3 f "(x)= 2(xÛ`+3)-2x_2x (xÛ`+3)Û` = -2(xÛ`-3) (xÛ`+3)Û` = -2(x+ ' 3)(x- 3) ' (xÛ`+3)Û` f '(x)=0에서 x=0 f "(x)=0에서 x=- 3 또는 x= x y - ' 3` y f '(x) - f "(x) - ' - 0 f(x) ⤷ ln 6 - + ⤷ 3 ' 0 0 + ln 3 이때, lim ¦ Ú x f(x)=¦, f(x)=¦이 lim -¦ x Ú 므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 ㄱ. x=0에서 극솟값 ln 3을 갖는다. (참) ㄴ. 구간 (- 3, 0)에서 f "(x)>0이므로 ' 아래로 볼록하다. (거짓) y + + ⤷ 3` ' + 0 ln 6 y + - ⤷ y=f(x) y ln`6 ln`3 O - 3 1 x 3 1  ① 7 도함수의 활용 ⑵ | 115 ㄷ. 변곡점은 (- 3, ln 6), ( 3, ln 6)이므로 변곡점의 개수는 2이 ' ' 다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 7ㅡ도함수의 활용⑵ 0814 ㄱ. f(x)=x ln (xÛ`+1)-x에서 0818 Ú f(x)>0일 때, 즉 점 A, D, G, H에서 `f '(x)f "(x)>0 f(-x) =-x ln {(-x)Û`+1}-(-x)=-x ln (xÛ`+1)+x f '(x)>0이면 f "(x)>0 =-{x ln (xÛ`+1)-x}=-f(x) (참) ⇨ 아래로 볼록하면서 증가하는 구간에 있는 점은 없다. ㄴ. f '(x)=ln (xÛ`+1)+x_ 2x xÛ`+1 -1 =ln (xÛ`+1)+1- 2 xÛ`+1 f "(x)= 2x xÛ`+1 + 4x (xÛ`+1)Û` = 2x(xÛ`+3) (xÛ`+1)Û` f "(x)=0에서 x=0 f '(x)<0이면 f "(x)<0 ⇨ 위로 볼록하면서 감소하는 구간에 있는 점은 A, D, H Û f(x)<0일 때, 즉 점 B, C, E, F에서 `f '(x)f "(x)<0 f '(x)>0이면 f "(x)<0 f '(x)<0이면 f "(x)>0 ⇨ 위로 볼록하면서 증가하는 구간에 있는 점은 없다. 이때, x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 y=f(x)의 그 ⇨ 아래로 볼록하면서 감소하는 구간에 있는 점은 B, E Ú, Û에서 주어진 집합의 원소가 되는 점은 A, B, D, E, H  ⑤ 래프의 변곡점은 (0, 0)의 1개이다. (참) ㄷ. x<0에서 f "(x)<0이므로 위로 볼록하다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ③ 0819 |전략| 함수의 몫의 미분법을 이용하여 f '(x)를 구한 후 최댓값과 최솟값을 구 한다. 0815 같다. |전략| f "(x)의 부호는 y=f '(x)의 그래프에서 접선의 기울기의 부호와 같음 을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 a, b, c, d, e를 정 하고 f "(x)의 부호를 조사하면 다음과 y y=f '(x) a O b c d e x x y a y b y c y d y e y f "(x) - 0 + 0 - 0 + + 0 - f "(a)=f "(b)=f "(c)=f "(e)=0이고, x=a, x=b, x=c, x=e 의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 개수는 4이다. 0816 f "(x)의 부호를 조사하면 다음과 같다. f(x)= 2(x-1) xÛ`+3 에서 f '(x)= 2(xÛ`+3)-2(x-1)_2x (xÛ`+3)Û` = -2(xÛ`-2x-3) (xÛ`+3)Û` = -2(x+1)(x-3) (xÛ`+3)Û` f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 x y f '(x) - f(x) ↘ -1 0 -1 y + ↗ 3 0 ;3!; y - ↘  ④ 이때, lim ¦ Ú x f(x)=0, lim -¦ x Ú f(x)=0이므 로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. y 1 3 -1 O y=f(x) 1 3 x -1 x y a y b y c y d y e y 따라서 함수 f(x)는 x=3일 때 최댓값 f "(x) + + + 0 - - - 0 + + + 곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로 구하는 , x=-1일 때 최솟값 -1을 가지므로 ;3!; 구간은 (b, d)이다. 0817 f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 f "(x)=0에서 x=-1 또는 x=1  (b, d) ;3!; M= , m=-1  ∴ M+m=- ;3@;  ③ 참고  최대·최소를 구하는 문제에서 구간이 주어지지 않은 경우에는 f(x)를 구하여 극값이 최댓값 또는 최솟값이 되는지 확인해야 f(x), lim -¦ x` Ú lim ¦ x` Ú 한다. x y -1 f '(x) + f "(x) - ⤷ f(x) y + + 1 + 0 0 0 변곡점 ⤷ 변곡점 y + - ⤷ 2 0 - 극대 y - - ⤷ ㄱ. 극솟값을 갖지 않는다. (거짓) ㄴ. x=2에서 극댓값을 갖는다. (참) 0820 f(x)= xÛ`+x+1 x f '(x)=1- 1 xÛ` =x+1+ 에서 ;[!; = (x+1)(x-1) xÛ` f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0) ㄷ. y=f(x)의 그래프는 x=-1, x=1에서 변곡점을 가지므로 변 x (0) 곡점의 개수는 2이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ㄴ, ㄷ f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 3 y + ↗ 116 | III . 미분법 정답과 해설 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 3을 가지므로 a=1, b=3  ∴ ab=3  ⑤ 다른 풀이  x>0에서 ;[!; >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f(x)=x+1+ ¾2 x_ +1=3 ;[!; ¾± ;[!; (단, 등호는 x= ;[!;, 즉 x=1일 때 성립) 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 3을 가지므로 a=1, b=3  ∴ ab=3 0821 f(x)=x-3+ 4 에서 x-3 f '(x)=1- 4 (x-3)Û` = (x-1)(x-5) (x-3)Û` f '(x)=0에서 x=1 (∵ -1ÉxÉ2) x -1 f '(x) f(x) -5 y + ↗ 1 0 -4 y - ↘ 2 -5 0824 f(x)= x+ f '(x)= 1 x 2 ' ' 4-x에서 x¾0, 4-x¾0이므로 0ÉxÉ4  … ❶ '¶ - 1 2 '¶ 4-x- = '¶ 2 x` ' 4-x` 4-x` x '¶ ' f '(x)=0에서 4-x= x '¶ ' 4-x=x  ∴ x=2  x f '(x) f(x) 0 2 y + ↗ 2 0 2 2 ' y - ↘ 채점 기준 ❶ x의 값의 범위를 구할 수 있다. ❷ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❸ f(x)의 최댓값을 구할 수 있다. 4 2 ' 따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 2 2를 갖는다.  … ❷ … ❸  2 2 ' 비율 20`% 30`% 50`% 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 -4, x=-1 또는 x=2일 때 최솟값 -5를 가지므로 최댓값과 최솟값의 곱은 (-4)_(-5)=20 0822 0825 |전략| (ex)'=ex임을 이용하여 f '(x)를 구한 후 최댓값과 최솟값을 구한다. f(x)=(xÛ`+x-1)ex에서 f '(x) =(2x+1)ex+(xÛ`+x-1)ex=(xÛ`+3x)ex  20 =x(x+3)ex f '(x)=0에서 x=0 (∵ -2ÉxÉ1) |전략| (근호 안의 식의 값)¾0인 x의 값의 범위에서 최댓값과 최솟값을 구한다. x -2 f(x)=x f '(x)= 2-xÛ`에서 2-xÛ`¾æ0이므로 - " 2-xÛ`+x_ -2x " 2 2-xÛ`` " = -2(x+1)(x-1) " 2-xÛ` 2ÉxÉ 2 ' ' f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 x f '(x) f(x) - 2 ' 0 y - ↘ -1 0 -1 y + ↗ 1 0 1 y - ↘ 2 ' 0 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 1, x=-1일 때 최솟값 -1 f '(x) f(x) 1 eÛ` 가지므로 y - ↘ 0 0 -1 y + ↗ 1 e 따라서 함수 f(x)는 x=1일 때 최댓값 e, x=0일 때 최솟값 -1을 M=e, m=-1  ∴ M-m=e+1  ① 8-xÛ`에서 8-xÛ`¾æ0이므로 -2 2ÉxÉ2 ' 2 ' 을 가지므로 최댓값과 최솟값의 차는 1-(-1)=2 0823 f(x)=x+ f '(x)=1+ -2x " = " 8-xÛ`-x 8-xÛ`` 2 8-xÛ`` " f '(x)=0에서 " 8-xÛ`=x, 8-xÛ`=xÛ` " xÛ`=4  ∴ x=2 (∵ x¾æ0) " x -2 2 y f '(x) f(x) -2 2 + ↗ ' ' 2 0 4 y - ↘ 8-xÛ`¾0이므로 x¾0 2 2 ' 2 2 ' ' 따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 4, x=-2 2일 때 최솟값 ' -2 2를 가지므로 ' ' M=4, m=-2 2  ∴ M+m=4-2 2  ① 0827 f(x)=(xÛ`-kx+k)e-x에서 0826 f(x)=xe-2x에서 f '(x)=e-2x-2xe-2x=(1-2x)e-2x f '(x)=0에서 x= (∵ e-2x>0)  ③ x -1 f '(x) f(x) -eÛ` ;2!; y + ↗ ;2!; 0 1 2e ;2!; y - ↘ 1 1 eÛ` 1 2e 따라서 함수 f(x)는 x= 일 때 최댓값 , x=-1일 때 최솟값 -eÛ`을 가지므로 최댓값과 최솟값의 곱은 1 2e _(-eÛ`)=- ;2E;  ② 7 도함수의 활용 ⑵ | 117 7ㅡ도함수의 활용⑵ 따라서 함수 g(k)는 k=1일 때 최댓값 을 갖는다.  ② ;e!; f(x)=x+sin 2x에서 f '(x)=1+2 cos 2x f '(x) =(2x-k)e-x-(xÛ`-kx+k)e-x =-{xÛ`-(k+2)x+2k}e-x =-(x-k)(x-2)e-x f '(x)=0에서 x=k 또는 x=2 (∵ e-x>0) x y f '(x) - f(x) ↘ k 0 y + 2 0 y - ke-k ↗ (4-k)e-2 ↘ 함수 f(x)는 x=k일 때 극솟값 ke-k을 갖는다. 즉, g(k)=ke-k이므로 g'(k)=e-k-ke-k=(1-k)e-k g'(k)=0에서 k=1 (∵ e-k>0) k y g'(k) + g(k) ↗ 1 0 1 e y - ↘ (2) 0828 |전략| (진수)>0인 x의 값의 범위에서 최솟값을 구한다. f(x)=xÛ`-ln x에서 x>0이고 f '(x)=2x- = 2xÛ`-1 x ;[!; f '(x)=0에서 xÛ`= 2`   ∴ x= ' 2 ;2!; (∵ x>0) x (0) f '(x) f(x) y - ↘ '2 2 0 (1+ln 2) ;2!; y + ↗ 2` 따라서 함수 f(x)는 x= ' 2 일 때 최솟값 (1+ln 2)를 갖는다. ;2!;  ⑤ 0829 f(x)=(x+1) ln (x+1)-x+1에서 f '(x)=ln (x+1)+(x+1)_ 1 x+1 f '(x)=0에서 ln (x+1)=0  ∴ x=0 -1=ln (x+1) x -1 y ;e!; f '(x) f(x) 2- ;e@; - ↘ 0 0 1 y + ↗ e-1 2 따라서 함수 f(x)는 x=e-1일 때 최댓값 2, x=0일 때 최솟값 1을 가지므로 M=2, m=1  ∴ M+m=3  ④ 0830 f(x)=logª (x+6)+log4 (-x)에서 x+6>0, -x>0  ∴ -60) ∴ x= ∵ - ÉxÉ p 4 { p 2 p 2 }   - p 2 x f '(x) f(x) 0 y + ↗ p 4 0 p  e  4 '2 2 y - ↘ p 2 0 최솟값 0을 갖는다.  2` 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 ' 2 p 4 이다.  e 채점 기준 ❶ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❷ f(x)의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다. ❸ f(x)의 최댓값과 최솟값의 합을 구할 수 있다. 함수 f(x)는 x= p 4 2` 일 때 최댓값 ' 2 p 4 , x=- e p 2 또는 x= 일 때 p 2 0834 |전략| 함수 f(x)를 cos x에 대한 함수로 나타낸 후 cos x=t로 치환하여 최댓 값과 최솟값을 구한다. f(x) =cosÜ` x+3 sinÛ` x+1 =cosÜ` x+3(1-cosÛ` x)+1 =cosÜ` x-3 cosÛ` x+4 cos x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1 g(t)=tÜ`-3tÛ`+4라 하면 g'(t)=3tÛ`-6t=3t(t-2) g'(t)=0에서 t=0 (∵ -1ÉtÉ1) t -1 g'(t) g(t) 0 y + ↗ 0 0 4 y - ↘ 1 2 따라서 함수 g(t)는 t=0일 때 최댓값 4를 갖는다.  4 0835 f(x)=3(log x)Ý`-8(log x)Ü`+2에서 log x=t로 놓으면 1ÉtÉ3 (∵ 10ÉxÉ1000) g(t)=3tÝ`-8tÜ`+2라 하면 g'(t)=12tÜ`-24tÛ`=12tÛ`(t-2) g'(t)=0에서 t=2 (∵ 1ÉtÉ3) t 1 g'(t) g(t) -3 y - ↘ 2 0 -14 y + ↗ 3 29 0836 (2x+2-x)Ü` =23x+3_22x_2-x+3_2x_2-2x+2-3x … ❶ =8x+8-x+3(2x+2-x) (2x+2-x)Û` =22x+2_2x_2-x+2-2x =4x+4-x+2 이므로 f(x) =8x+8-x+4x+4-x+2(2x+2-x)+1 =(2x+2-x)Ü`-3(2x+2-x)+(2x+2-x)Û`-2+2(2x+2-x)+1 =(2x+2-x)Ü`+(2x+2-x)Û`-(2x+2-x)-1 2x+2-x=t로 놓으면 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2x+2-x¾æ2 2x_2-x=2  ∴ tæ¾2 " g(t)=tÜ`+tÛ`-t-1이라 하면 g'(t)=3tÛ`+2t-1=(t+1)(3t-1) 이때, tæ¾2에서 g'(t)>0이므로 함수 g(t)는 증가한다. 따라서 함수 g(t)는 t=2일 때 최솟값 9를 갖는다.  9 0837 g(x)= 3 sin x+cos x=2 ' sin x+ ;2!; cos x } 3` ' 2 { x+ =2 sin { p 6 } 이므로 g(x)=t로 놓으면 -2ÉtÉ2이고 ( f ç g)(x)=f(g(x))=f(t)=2tÜ`-3tÛ`+10 ∴ f '(t)=6tÛ`-6t=6t(t-1) f '(t)=0에서 t=0 또는 t=1 t -2 f '(t) f(t) -18 y + ↗ 0 0 10 y - ↘ 1 0 9 y + ↗ 2 14 따라서 함수 f(t)는 t=2일 때 최댓값 14, t=-2일 때 최솟값 -18 을 가지므로 최댓값과 최솟값의 차는  32 14-(-18)=32 0838 |전략| 증감표를 작성하여 최댓값을 찾은 후 주어진 값과 비교한다. f(x)=k sin 2x-kx에서 f '(x)=2k cos 2x-k=k(2 cos 2x-1) f '(x)=0에서 cos 2x= (∵ k>0) ;2!; 2x= (∵ 0É2xÉp)  ∴ x= p 3 x f '(x) f(x) 0 0 y + ↗ p 6 y - p 2 '3 2 p 6  k- k ↘ - p 2 k 함수 f(x)의 최댓값이 3- 이므로 3` ' 2 k- k= 3- ' p 6 3- ;2K;{' p 3 } = 3- ' p 3 ' , p 3 p 6 0 p 3 7 도함수의 활용 ⑵ | 119 따라서 함수 g(t)는 t=3일 때 최댓값 29, t=2일 때 최솟값 -14를 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은 15이다.  15 =1  ∴ k=2 ;2K; 7ㅡ도함수의 활용⑵ 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 - ln k를 갖는다.  ;4!; ;2!; … ❷ 따라서 함수 S(a)는 a= 일 때 극대이면서 최대이므로 직사각형의 함수 f(x)는 x= 일 때 최솟값을 가지므로 최솟값은 따라서 함수 f(t)는 t=0일 때 극소이면서 최소이므로 선분 PQ의 길  ③ 이의 최솟값은 f(0)=e0-0=1  1 p 2 - _2=-p p 2 0839 f(x)= xÛ`- ln kx에서 x>0(∵ k>0)이고 ;4!; ;2!; f '(x)= - 1 2x = xÛ`-1 2x = (x+1)(x-1) 2x ;2{; f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0)  x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 - ;4!; ;2!; ln k y + ↗ 함수 f(x)의 최솟값이 0이므로 ln k=0, ln k=   ∴ k= e  ;2!; ' - ;4!; ;2!; 채점 기준 ❶ f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❷ 증감표를 작성하여 f(x)의 최솟값을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❸ k의 값을 구할 수 있다. … ❸  e ' 비율 30`% 40`% 30`% 0840 f(x)=10xÜ`_10-3xÛ`+k=10xÜ`-3xÛ`+k에서 g(x)=xÜ`-3xÛ`+k로 놓으면 g(x)가 최소일 때 f(x)도 최소이다. g'(x)=3xÛ`-6x=3x(x-2) g'(x)=0에서 x=2 (∵ 1ÉxÉ3) x 1 y 2 y g'(x) g(x) -2+k ↘ -4+k ↗ - + 0 3 k 따라서 함수 g(x)는 x=2일 때 최소이므로 함수 f(x)도 x=2일 때 최소이다. 함수 f(x)의 최솟값이 1010이므로 10-4+k=1010 -4+k=10  ∴ k=14  ④ 0841 |전략| 두 점 P, Q의 x좌표를 t로 놓고 PQÓ를 t에 대한 함수로 나타내어 최솟값 을 구한다. 두 점 P, Q의 좌표를 각각 (t, et), (t, t)로 놓으면 PQÓ=et-t f(t)=et-t라 하면 f '(t)=et-1 f '(t)=0에서 t=0 t y f '(t) - 0 0 f(t) ↘ 극소 y + ↗ 120 | III . 미분법 ;2!; y + ↗ ;e!; y + ↗ 0842 직사각형의 넓이를 S(a)라 하면 S(a)=2ae-2a S'(a)=2e-2a-4ae-2a=-2e-2a(2a-1) … ❶ S'(a)=0에서 a= (∵ e-2a>0) a (0) S'(a) S(a) y - ↘ ;2!; 0 극대 ;2!; 넓이의 최댓값은 S {;2!;} =2_ _e-1= ;2!; ;e!;  ;e!; 0843 점 P의 좌표를 (a, ln a)(00이므로 00 f(x)=ln x, g(x)=kxÜ`으로 놓으면 f '(x)= , g'(x)=3kxÛ` ;[!; f(t)=g(t)에서 ln t=ktÜ` f '(t)=g'(t)에서 =3ktÛ` ;t!; ㉡에서 k= 1 3tÜ` 을 ㉠에 대입하면 _tÜ`= ln t= 1 3tÜ` t=e;3!;을 k= 1 3tÜ`   ∴ t=e;3!; ;3!; 에 대입하면 k= 1 3e 서로 다른 두 실근을 가지려면 00, 4e-2x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 f "(x)=4e2x+4e-2x+2a ¾2 4e2x_4e-2x+2a=2a+8 (단, 등호는 x=0일 때 성립) " f "(x)의 최솟값이 2a+8이므로 방정식 f "(x)=0이 실근을 가지려 면 2a+8É0, 즉 aÉ-4이어야 한다. 그런데 a=-4이면 f "(x)¾0이므로 f "(x)=0을 만족시키는 x의 값의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌지 않는다.  a<-4 7 도함수의 활용 ⑵ | 123 두 곡선이 접할 때의 접점의 x좌표를 t라 하면 따라서 실수 a의 값이 될 수 없는 것은 ⑤1이다.  ⑤ 7ㅡ도함수의 활용⑵ |전략| f(x)=xÛ`+ +k로 놓고 (f(x)의 최솟값)>0인 k의 값의 범위를 구 0859 한다. f(x)=xÛ`+ 1 xÛ` f '(x)=2x- 2 xÜ` 1 xÛ` +k로 놓으면 f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0) x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 1 0 k+2 y + ↗ = 2(xÝ`-1) xÜ` = 2(xÛ`+1)(x+1)(x-1) xÜ` 함수 f(x)는 x=1일 때 극소이면서 최소이므로 `f(x)>0이 성립하 려면 k+2>0  ∴ k>-2  k>-2 0860 f(x)=x-a+1-ln (1+x)로 놓으면 f '(x)=1- 1 = x >0 (∵ x>0) 1+x 1+x 즉, 함수 f(x)는 x>0에서 증가하므로 `f(x)>0이 성립하려면 f(0)=-a+1¾æ0  ∴ aÉ1  aÉ1 f '(x)=2x, g'(x)= ;[A; 0861 sin x+k cos xÉk에서 sin xÉk(1-cos x) sin x p 1-cos x 4 ÉxÉp에서 1-cos x>0이므로 Ék f(x)= f '(x)= 로 놓으면 sin x 1-cos x cos x(1-cos x)-sin x_sin x (1-cos x)Û` = -1+cos x (1-cos x)Û` 즉, 함수 f(x)는 ÉxÉp에서 감소하므로 f(x)의 최댓값은 =- 1 1-cos x <0 p 4 2` ' 2 2` 1- ' 2 p 4 } f { = = ' 2- 2` 2` ' = 2+1 ' ÉxÉp에서 f(x)Ék가 성립하려면 kæ¾ 2+1 ' p 4 따라서 k의 최솟값은 2+1이다. '  ④ x>0일 때, f "(x)>0이므로 f '(x)는 증가하고 f '(0)=0이므로 x>0에서 f '(x)>0이다. 즉, 함수 f(x)는 x>0에서 증가한다.  f(x)>0이 성립하려면 f(0)=1+kæ¾0  ∴ kæ æ¾-1  따라서 실수 k의 최솟값은 -1이다.  채점 기준 ❶ f '(x), f "(x)를 구할 수 있다. ❷ x>0에서 f(x)의 증가, 감소를 판단할 수 있다. ❸ k의 값의 범위를 구할 수 있다. ❹ k의 최솟값을 구할 수 있다. … ❷ … ❸ … ❹  -1 비율 30`% 30`% 30`% 10`% 0863 |전략| 곡선 y=xÛ`이 곡선 y=a ln x보다 위쪽에 있어야 함을 이용한다. x>0인 모든 실수 x에 대하여 부등식 y y=xÛ xÛ`>a ln x가 성립하려면 오른쪽 그림과 같이 x>0에서 곡선 y=xÛ`이 곡선 y=a ln x보다 위쪽에 있어야 한다. f(x)=xÛ`, g(x)=a ln x로 놓으면 y=a ln x O 1 x 두 곡선이 접할 때의 접점의 x좌표를 t(t>0)라 하면 f(t)=g(t)에서 tÛ`=a ln t f '(t)=g'(t)에서 2t= a t ㉡을 ㉠에 대입하면   ∴ tÛ`= ;2A; =a ln t, ln t=   ∴ t= ;2!; e ' ;2A; t= e를 ㉡에 대입하면 a=2e ' yy ㉠ yy ㉡ 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 양수 a의 값의 범위는 00에서 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 위쪽에 있거나 두 그래 프가 접해야 한다. 속도가 2인 순간은 +1=2에서 2 t+1 =1  ∴ t=1 2 t+1 따라서 점 P의 속도가 2일 때의 가속도는 a(1)=- ;2!; 2 +a 3 2 y a O y=f(x) y=g(x) 1 x 0869 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t)=f '(t)=2 cos 2t-2 3 sin 2t ' 3` 2  sin 2t } =4 {;2!; cos 2t- ' =4 sin { 2t+ p } ;6%; f '(x)=1- 1 xÛ` = xÛ`-1 xÛ` = (x+1)(x-1) xÛ` f '(x)=0에서 x=1 (∵ x>0) 즉, f(x)의 최솟값은 f(1)=2 g'(x)= 3(xÛ`+1)-3x_2x (xÛ`+1)Û` g'(x)=0에서 x=1 (∵ x>0) = -3(x+1)(x-1) (xÛ`+1)Û` x (0) f '(x) f(x) x (0) g'(x) g(x) y - ↘ y + ↗ 1 0 극소 1 0 극대 y + ↗ y - ↘ 이때, lim ¦ Ú x  g(x)=a이므로 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. g(x)의 최댓값은 g(1)= +a ;2#; 임의의 양의 실수 x에 대하여 f(x)æ¾g(x)이려면 2æ¾ +a  ∴ aÉ ;2#; ;2!; 따라서 실수 a의 최댓값은 이다. ;2!;  ② 0866 |전략| 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)이면 시각 t에서의 속도는 f '(t)이다. 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t)=f '(t)=5a cos { 5t+ p 6 } t=p에서의 속도가 5 3이므로 v(p)=5a cos { 5p+ =5a cos { p+ p 6 } p =-5a cos  6 3` ' 2 a=5 3 ' ' p 6 } =- 5 ∴ a=-2  -2 0867 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t), 가속도를 a(t)라 하면 v(t)=f '(t)= 2 t+1 +1 a(t)=f "(t)=- 2 (t+1)Û`  ① 0868 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t) =f '(t)=(2t-7)et+(tÛ`-7t+13)et =(tÛ`-5t+6)et 점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로 (tÛ`-5t+6)et=0에서 tÛ`-5t+6=0 (∵ et>0) (t-2)(t-3)=0  ∴ t=2 또는 t=3 이때, t=2, t=3의 좌우에서 v(t)의 부호가 바뀌므로 점 P는 운동 방향을 2번 바꾼다.  2번 -4Év(t)É4이므로 속력 |v(t)|의 최댓값은 4이다.  ⑤ 0870 |전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)이면 시각 t에서의 속도는 (f '(t), g'(t))이고, 속력은 {f '(t)}Û`+{g'(t)}Û` 이다. " dy dx dt dt (3, 4-2t) =4-2t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 =3, 점 P의 속력은 3Û`+(4-2t)Û`= 4(t-2)Û`+9 " 따라서 점 P의 속력이 최소일 때는 t=2일 때이다. "  2 =et sin t+et cos t dy dt =et cos t-et sin t, 0871 dx dt 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 (et cos t-et sin t, et sin t+et cos t) 점 P의 속력은 e2t(cos t-sin t)Û`+e2t(sin " 따라서 점 P의 속력이 4일 때의 시각 t는 2 et=4에서 et=2 2  ∴ t=ln 2 2 ' ' '  t+cos t)Û`= 2e2t= " ' 2 et  ② 7 도함수의 활용 ⑵ | 125 7ㅡ도함수의 활용⑵ 정답과 해설 0872 dx dt 도는 =10 2, ' dy dt =-10t+10 2이므로 골프공의 시각 t에서의 속 ' =-3 sin t, =3 cos t, 0875 dx dt dy dt dÛ`y dtÛ` =-3 sin t =-3 cos t, dÛ`x dtÛ` 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 (-3 sin t, 3 cos t)이고 가속도 는 (-3 cos t, -3 sin t)이다. 점 P의 속력과 가속도의 크기는 각각 " (-3 sin t)Û`+(3 cos t)Û`=3 (-3 cos t)Û`+(-3 sin t)Û`=3 " 따라서 a=3, b=3이므로 a+b=6 0876 dx dt =2t+9, =3atÛ`-5에서 dy dt  ④ … ❶ … ❷ … ❸  1 p 비율 40`% 30`% 30`% dÛ`y dtÛ` =2, dÛ`x dtÛ` 이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는 (2, 6at) =6at t=1에서의 가속도는 (2, 6a)이므로 가속도의 크기는 4+36aÛ` " 즉, " 4+36aÛ`=2 10이므로 양변을 제곱하여 정리하면 '¶ aÛ`=1  ∴ a=1 (∵ a>0)  1 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0877 유형  01 곡선의 오목·볼록 |전략| 함수 f(x)가 어떤 구간에서 f "(x)<0이면 곡선 y=f(x)는 이 구간에 서 위로 볼록함을 이용한다. f(x)=sinÛ` x로 놓으면 f '(x)=2 sin x cos x=sin 2x f "(x)=2 cos 2x 곡선 y=sinÛ` x가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로 (10 2, -10t+10 2) ' ' 골프공이 지면에 떨어질 때는 y=0일 때이므로 -5tÛ`+10 2 t=0에서 -5t(t-2 2)=0 ' ∴ t=2 2 (∵ t>0) ' ' t=2 2에서의 골프공의 속도는 (10 2, -10 2)이므로 구하는 속 ' ' (10 2)Û`+(-10 2)Û`=20 (m/s) '  20`m/s  ' 력은 ¿¹ ' =1-cos t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 0873 dx dt (2at-sin t, 1-cos t)  =2at-sin t, dy dt t= 일 때의 속도는 (ap-1, 1)  p 2 이때의 속력이 1이므로 (ap-1)Û`+1Û`=1, (ap-1)Û`+1=1 " (ap-1)Û`=0  ∴ a= 1 p   채점 기준 ❶ 점 P의 시각 t에서의 속도를 구할 수 있다. ❷ t= 일 때의 속도를 구할 수 있다. p 2 ❸ a의 값을 구할 수 있다. 0874 |전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)이면 시각 t에서의 가속도는 (f "(t), g"(t))이고, 가속도의 크기는 =3tÛ`-1이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 17)Û`+(3tÛ`-1)Û`=9에서 (3tÛ`-1)Û`=64, 3tÛ`-1=Ñ8  ⑤ cos 2x<0, <2x

0) ' dÛ`x dtÛ` (0, 6t) t= ' 기는 0+(6 3)Û`=6 3 ¿¹ ' ' 126 | III . 미분법 이때, x<0이면 f "(x)<0, x>0이면 f "(x)>0 즉, x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 곡선 y=f(x)의 변 곡점의 좌표는 (0, 1)이다. 점 (0, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=2이므로 접선의 방정식은 y-1=2(x-0)  ∴ y=2x+1 따라서 접선이 x축과 만나는 점의 좌표는 { - ;2!; , 0 이다. }  ① x y g'(x) - -1 0 g(x) ↘ - n ;3@; y + ↗ y - ↘ 1 0 2n ;3@; 이때, lim ¦ Ú x g(x)= lim -¦ x Ú- g(x)=0이므로 함수 g(x)는 x=1일 때 최댓값 2n, x=-1일 때 최솟값 - n을 갖는다. 0879 유형  04 함수의 그래프의 성질 |전략| f '(x), f "(x), lim x` Ö ¦ ㄱ. `f(x)= xÛ`-3 x-2 에서 x+2이고 f(x)를 구하여 참, 거짓을 조사한다. f '(x)= 2x(x-2)-(xÛ`-3) (x-2)Û` = xÛ`-4x+3 (x-2)Û` =(x-1)(x-3) (x-2)Û` f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3 x y f '(x) + 1 0 f(x) ↗ 극대 y - ↘ (2) y - ↘ 3 0 극소 y + ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값, x=3에서 극솟값을 갖는 다. (거짓) ㄴ. `f "(x)= (2x-4)(x-2)Û`-(xÛ`-4x+3)_2(x-2) (x-2)Ý` =104  ③ |전략| 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 비교하여 최댓값 따라서 f(n)=2n+ - n이므로 { n = ;3@; ;3$; } _ 12_13 2 f(n)= n= ;3$; ;3$; n=1 ; 1`2 n=1 ; 1`2 0881 유형  07 무리함수의 최대·최소 과 최솟값을 구한다. f(x)=x+ 1-x에서 f '(x)=1- 1 '¶ f '(x)=0에서 2 1-x=1, 1-x= '¶ 2 1-x` '¶   ∴ x= ;4!; ;4#; x f '(x) f(x) 0 1 y + ↗ ;4#; 0 ;4%; y - ↘ 1 1 = 2(x-2)Û`-2(xÛ`-4x+3) (x-2)Ü` = 2 (x-2)Ü` 따라서 함수 f(x)는 x= 일 때 최댓값 , x=0 또는 x=1일 때 최 ;4#; ;4%; 솟값 1을 가지므로 M= , m=1  ∴ M-m= ;4%; ;4!;  ① f "(x)=0을 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 변곡점은 존재하지 않는다. (참) ㄷ. `f(x)= xÛ`-3 x-2 =x+2+ 1 x-2 lim ¦ x Ú f(x)=lim ¦ Ú x (x+2), lim -¦ x f(x)= lim -¦ x Ú Ú (x+2)이므로 직 선 y=x+2는 y=f(x)의 그래프의 점근선이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ⑤ 0882 유형  08 지수함수의 최대·최소 과 최솟값을 구한다. f(x)= e-x xÛ` 에서 |전략| 함수의 몫의 미분법을 이용하여 주어진 함수의 최댓값과 최솟값을 찾은 0880 유형  06 유리함수의 최대·최소 후 f(n)을 구한다. g(x)= 2nx xÛ`-x+1 로 놓으면 g'(x)= 2n(xÛ`-x+1)-2nx(2x-1) (xÛ`-x+1)Û` = -2n(x+1)(x-1) (xÛ`-x+1)Û` g'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 |전략| 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 비교하여 최댓값 f '(x)= -e-xxÛ`-2xe-x =- e-x(x+2) xÝ` xÜ` f '(x)=0에서 x+2=0 { ∵ <0   ∴ x=-2 } e-x xÜ` x -3 f '(x) f(x) eÜ` 9 y - ↘ -2 0 eÛ` 4 y + ↗ -1 e 따라서 함수 f(x)는 x=-1일 때 최댓값 e, x=-2일 때 최솟값 을 가지므로 eÛ` 4 M=e, m= eÛ` 4   ∴ M m = e eÛ` 4 = ;e$;  ① 7 도함수의 활용 ⑵ | 127 7ㅡ도함수의 활용⑵- 0883 유형  11 치환을 이용한 함수의 최대·최소 |전략| 함수 f(x)를 cos x에 대한 함수로 나타낸 후 cos x=t로 치환하여 최댓 값과 최솟값을 구한다. f(x)=sinÛ` x cos x=(1-cosÛ` x)cos x=-cosÜ` x+cos x cos x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1 g(t)=-tÜ`+t라 하면 g'(t)=-3tÛ`+1 3` g'(t)=0에서 t=- ' 3 3` 또는 t= ' 3 t -1 g'(t) g(t) 0 y - '3 3 - 0 ↘ - 2'3 9 y + ↗ '3 3 0 2'3 9 y - ↘ 1 0 3` 함수 g(t)는 t= ' 3 일 때 최댓값 2 3` ' 9 3` , t=- ' 3 일 때 최솟값 을 가지므로 3` ' 9 , m=- 2 3` ' 9   ∴ MÛ`+mÛ`= ;2¥7; 따라서 p=27, q=8이므로 p+q=35  ② - 2 3` ' 9 M= 2 0884 유형  12 함수의 최대·최소 - 미정계수의 결정 |전략| 증감표를 작성하여 최솟값을 찾은 후 주어진 값과 비교한다. f(x)=x ln x-ax-1에서 -a=ln x+1-a f '(x)=ln x+x_ ;[!; f '(x)=0에서 ln x=a-1  ∴ x=ea-1 이때, 11  ∴ a<- ' 2 2` 또는 a> ' 2 ' 2` Û a=- ' 2 2` 또는 a= ' 2 이면 f "(x)=- 2 [ 1+sin { ' x+ p 4 }] 또는  ② f "(x)= 2 [ 1-sin { ' x+ p 4 }] ∴ f "(x)É0 또는 f "(x)æ¾0 유형  16 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 |전략| 함수 y=ln x-x+20의 그래프와 직선 y=n의 교점의 개수가 2가 되 도록 하는 n의 값의 범위를 구한다. ln x-x+20-n=0에서 ln x-x+20=n f(x)=ln x-x+20으로 놓으면 x>0이고 f '(x)= -1 ;[!; 0887 f '(x)=0에서 x=1 x (0) f '(x) f(x) y + ↗ 1 0 19 y - ↘ 128 | III . 미분법 따라서 f "(x)=0을 만족시키는 x의 값의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌지 않으므로 곡선 y=f(x)가 변곡점을 갖지 않는다. 2` Ú, Û에 의하여 aÉ- ' 2 2` 또는 aæ¾ ' 2  ③ 유형  19 f(x)¾a 꼴의 부등식이 항상 성립할 조건 |전략| 각 변에 ex을 곱하여 주어진 부등식을 변형한 후 부등식이 성립할 조건을 알아본다. ae-xÉ2xÛ`-3xÉbe-x의 각 변에 ex을 곱하면 aÉ(2xÛ`-3x)exÉb 정답과 해설 f(x)=(2xÛ`-3x)ex으로 놓으면 f '(x) =(4x-3)ex+(2xÛ`-3x)ex=(2xÛ`+x-3)ex =(2x+3)(x-1)ex f '(x)=0에서 x=- 또는 x=1 (∵ ex>0) ;2#; x -2 f '(x) f(x) 14 eÛ` y + ↗ - ;2#; 0 9 eÜ`` " y - ↘ 1 0 -e y + ↗ 2 2eÛ` 두 변곡점 사이의 거리가 2이므로 k-(- k)=2, k=1  ∴ k=1  ' ' ❶ f "(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❷ 변곡점의 좌표를 구할 수 있다. ❸ k의 값을 구할 수 있다. ' 채점 기준 0890 값을 구한다. 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 2eÛ`, x=1일 때 최솟값 -e를 가지므 유형  13 최대·최소의 활용 - 길이, 넓이 로 aÉf(x)Éb가 성립하려면 aÉ-e, b¾2eÛ` 따라서 b-a의 최솟값은 2eÛ`-(-e)=e(2e+1) |전략| ∠DOE=h로 놓고 사다리꼴의 넓이를 h에 대한 함수로 나타내어 최댓 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 D C  ⑤ 내린 수선의 발을 E라 하고 … ❸  1 배점 3점 2점 2점 0888 유형  21 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 |전략| 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)이면 시각 t에서의 속도는 f '(t)이고, 점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0임을 이용한 다. 점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면 v(t)=f '(t)=-ecos t sin t 점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로 -ecos t sin t=0에서 sin t=0 (∵ ecos t>0) ∴ t=np (n은 자연수) 이때 t=p, t=2p, t=3p, y의 좌우에서 v(t)의 부호가 바뀌므로 점 P가 두 번째로 운동 방향을 바꾼 때는 t=2p일 때이고, 그때의 점 h (0) P의 위치는 f(2p)=ecos 2p=e  ⑤ S'(h) S(h) 0889 유형  03 변곡점 - 미정계수의 결정 |전략| f "(x)=0을 만족시키는 x의 값의 좌우에서 f "(x)의 부호를 조사하여 변곡점의 좌표를 구한 후 두 변곡점 사이의 거리가 2임을 이용한다. f(x)=ln (xÛ`+k)로 놓으면 f '(x)= 2x xÛ`+k f "(x)= 2(xÛ`+k)-2x_2x (xÛ`+k)Û` = -2(xÛ`-k) (xÛ`+k)Û` = -2(x+ ' k)(x- k) ' (xÛ`+k)Û` f "(x)=0에서 x=- k 또는 x= k  ' 이때, x<- k 또는 x> k이면 f "(x)<0, - k0 ' ' 즉, x=- k, x= k의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점 ' ' 의 좌표는 (- k, ln 2k), ( k, ln 2k)이다.  ' ' … ❷ 00) ∴ h= ∵ 01이므로 구하는 가속도의 크기의 최솟값 ⑶ |cos t|¾0, " 은 cos t=0일 때 0이다.  ⑴ (2et cos t, -cos t) ⑵ |cos t| 4e2t+1 ⑶ 0 " 채점 기준 ⑴ 점 P의 시각 t에서의 가속도를 구할 수 있다. ⑵ 점 P의 시각 t에서의 가속도의 크기를 구할 수 있다. ⑶ 가속도의 크기의 최솟값을 구할 수 있다. 배점 3점 3점 4점 0892 유형  09 로그함수의 최대·최소 an의 값을 구한다. |전략| (진수)>0인 x의 값의 범위에서 최솟값 an을 구한 후 무리수 e의 정의와 삼각함수의 극한을 이용하여 lim ¦ Ú ⑴ f(x)=n ln x+ n+1 x = nx-(n+1) - n+1 xÛ` xÛ` 에서 x>0이고 -n cos f '(x)= ;n!; ;[N; n` 일 때 f '(x)<0, x> n+1 n 일 때 f '(x)>0이므로 f '(x)=0에서 x= n+1 n ⑵ 01일 때 y=f(x)의 그래프를 그려서 방정식의 실근의 개수를 판단한다. ㄱ. f(x)=-ln (ex+a)에서 f '(x)=- ex ex+a 이므로 lim ¦ x Ú- f '(x)=lim { ¦ Ú- x - ex ex+a } =lim ¦  x - Ú- 1 1+ a ex =-1 (참) ㄴ. f "(x)=- ex(ex+a)-ex_ex (ex+a)Û` ¦ =- aex (ex+a)Û` ¥ a>0일 때, 모든 실수 x에 대하여 f "(x)<0이므로 y=f(x)의 그래프는 위로 볼록하다. (거짓) ㄷ. a>1일 때, f(x)=-ln a<0, f(x)=-¦이고 lim -¦ x Ú- lim ¦ x Ú- f '(x)=- ex ex+a <0이므로 y O y=a x y=f (x) y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, a>1일 때 방정식 f(x)=a는 실근을 갖지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.  ① 정답과 해설- - - - - - - - - - - - - - - 0895 |전략| 곡선 y=ln x 위의 점 (t, ln t)에서의 접선의 방정식을 y=xÛ`+k에 대 입하여 x에 대한 이차방정식을 만들고 이 방정식이 중근을 가져야 함을 이용한 f(a)=2a+ ;a!; f '(a)=2- 1 aÛ` 로 놓으면 = 2aÛ`-1 aÛ` 다. 접선의 방정식은 y-ln t= 1 t 직선 y= 1 t y=ln x에서 y'= 이므로 곡선 y=ln x 위의 점 (t, ln t)에서의 ;[!; (x-t)  ∴ y= 1 t (x-t)+ln t (x-t)+ln t가 곡선 y=xÛ`+k에 접하므로 이차방정식 x+k+1-ln t=0은 중근을 가 (x-t)+ln t=xÛ`+k, 즉 xÛ`- 1 t 1 t 져야 한다. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D= - { ;t!;} Û`-4(k+1-ln t)=0에서 k=ln t-1+ 1 4tÛ` 이므로 k는 t에 대한 함수 k(t)로 볼 수 있다. k'(t)= - 1 2tÜ` = 2tÛ`-1 2tÜ` ;t!; k'(t)=0에서 tÛ`= 2`   ∴ t= ' 2 ;2!; (∵ t>0) t (0) k'(t) k(t) y - ↘ '2 2 0 극소 y + ↗ 2` 따라서 k는 t= ' 2 일 때 극소이면서 최소이다.  '2` 2 f '(a)=0에서 aÛ`= 2`   ∴ a= ' 2 ;2!; (∵ a>0) a (0) f '(a) f(a) y - ↘ '2 2 0 2 2 ' y + ↗ 2` 따라서 f(a), 즉 tan h는 a= ' 2 일 때 최솟값 2 2를 갖는다. ' 에 의하여 다른 풀이  a>0에서 2a>0, ;a!; ' >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계  2 2 2a+ ¾2 2a_ ;a!; ¾± =2 2 { ' ;a!; 단, 등호는 2a= 2` ;a!;, 즉 a= ' 2 일 때 성립 } 따라서 tan h의 최솟값은 2 2이다. ' 0897 |전략| f(x)=ln (sin x)+x-k로 놓고 ( f(x)의 최댓값)É0을 만족시키는 k의 최솟값을 구한다. f(x)=ln (sin x)+x-k로 놓으면 f '(x)= +1=cot x+1 cos x sin x f '(x)=0에서 cot x=-1  ∴ tan x=-1 (2n-2)p0)  ln (ex+1)+C : 0925 (ex+1)'=ex이므로 ex ex+1   ` dx = (ex+1)' ex+1   dx ` 0926 (x+cos x)'=1-sin x이므로 1-sin x x+cos x   ` dx = ` (x+cos x)' x+cos x   dx : : =ln|x+cos x|+C 134 | IV . 적분법  ln|x+cos x|+C 0932 `f(x)=x, g'(x)=ex으로 놓으면 `f '(x)=1, g(x)=ex` 정답과 해설 =(2x-2)e2x+C  (2x-2)e2x+C = `(x;2!;-1)dx= x x-x+C ;3@; ' `f(x)= (x-1)Û` x ` dx   = ` xÛ`-2x+1 x dx= x-2+ dx ;[!;}  ` { :  xex-ex+C = xÛ`-2x+ln|x|+C : : ;2!; ∴ xex dx xex- `ex dx = =xex-ex+C : ` : 0933 `f(x)=x, g'(x)=sin x로 놓으면 `f '(x)=1, g(x)=-cos x ∴ x sin x dx x cos x- `(-cos x)dx =- =-x cos x+sin x+C  -x cos x+sin x+C : ` : : 0934 `f(x)=4x-2, g'(x)=e2x으로 놓으면 `f '(x)=4, g(x)= e2x ;2!; ∴` `(4x-2)e2x dx   = (4x-2) _;2!; e2x-2 `e2x dx =(2x-1)e2x-2_ : e2x+C ;2!; 0935 `f(x)=ln x, g'(x)=1로 놓으면 `f '(x)= , g(x)=x ;[!; ∴ `ln x   dx   = x ln   x-   ` ;[!; _x dx : =x ln x-x+C : 0936 `f(x)=ln x, g'(x)=x로 놓으면 `f '(x)= , g(x)= xÛ`` ;2!; ;[!; ∴ `x ln   x   dx   = ln x   xÛ` _;2!;  - _ ` ;[!; ;2!; xÛ` dx : = xÛ` ln x- `x dx ;2!; ;2!; : ;2!; : xÛ`+C ;4!; = xÛ` ln x-  ;2!; xÛ` ln x- ;4!;xÛ`+C  x ln x-x+C 0939 이때, f(e)= eÛ`-2e에서 ;2!; eÛ`-2e+1+C= eÛ`-2e, 1+C=0 ∴ C=-1 ;2!; ;2!; 따라서 f(x)= xÛ`-2x+ln|x|-1이므로 ;2!; `f(1)= -2-1=- ;2!; ;2%;  ② 0938 F(x)= `f(x)dx = dx ` x-1 x+1 ' x+1) ( ' : x-1)( ' x+1 ' dx = `( x-1)dx ' = : : ` : : ;3%; 이때, F(1)= 에서 -1+C= ∴ C=2 ;3%; ;3@; ∴ F(x)= x x-x+2 ;3@; '  F(x)= x-x+2 x ' ;3@; F(x)=x f(x)+ 의 양변을 x에 대하여 미분하면 ;[$; f(x)=f(x)+x f '(x)- xf '(x)= ∴ f '(x)= 4 xÛ` 4 xÜ` ∴ f(x)= `4x-3 dx=- +C 4 xÜ`   ` dx = 2 xÛ` 이때, `f(1)=4에서 -2+C=4 ∴ C=6 따라서 `f(x)=- +6이므로 : 2 xÛ` 4 xÛ` : 8 f(4)=8_ - +6 =47 { ;8!; }  ④ 8ㅡ 여 러 가 지 적 분 법 0940 |전략| `ex dx=ex+C임을 이용한다. : `f(x)= xex+2 x : =ex+2 ln |x|+C dx   = : ` ex+ ` { ;[@;} dx 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0937 용한다. :` |전략| xn dx 1 n+1   xn+1 + = C(n+-1), ;[!; dx=ln|x|+C임을 이 이때, f(1)=e-eÛ`에서 e+C=e-eÛ` 따라서 f(x)=ex+2 ln |x|-eÛ`이므로 ∴ C=-eÛ` :` f(2)=2 ln 2  `2 ln 2 8 여러 가지 적분법 | 135 로그의 성질 a>0, a+1, M>0, N>0일 때 ⑴ loga 1=0, loga a=1 ⑵ loga MN=loga M+loga N =loga M-loga N ⑶ loga ;nM; ⑷ loga Nk=k loga N (단, k는 실수) 0944 `f(x)=- x ln 2 dx `{;2!;} ln 2 =- ` x dx {;2!;} =-ln 2_ +C=-ln 2_ +C : x {;2!;} -ln 2 : x {;2!;} ln  ;2!; x +C = {;2!;} 0941 조건 ㈎, ㈏의 두 식을 변끼리 더하면 2 f '(x)=e-x+ex ∴ f '(x)= (e-x+ex) 또, 조건 ㈎, ㈏의 두 식을 변끼리 빼면 2g'(x)=e-x-ex ∴ g'(x)= (e-x-ex) ;2!; ;2!; f(x)= (ex+e-x) ` ;2!; dx=   ;2!; (ex-e-x)+CÁ : g(x)= `- ;2!; (ex-e-x) dx=-   ;2!; (ex+e-x)+Cª 조건 ㈐에서 f(0)=0이므로 : (1-1)+CÁ=0 ∴ CÁ=0 ;2!; 또, g(0)=-1이므로 - (1+1)+Cª=-1 ∴ Cª=0 ;2!; ;2!; ;2!; f(1)-g(1)= (e-e-1)+ (e+e-1)=e ;2!; 0942 y=ln x-1로 놓으면 ∴ x=ey+1 y+1=ln x x와 y를 서로 바꾸면 y=ex+1 따라서 g(x)=ex+1이므로 G(x)= `g(x)dx= ex+1dx=e exdx : =e_ex+C=ex+1+C : : 이때, G(-1)=2에서 1+C=2 따라서 G(x)=ex+1+1이므로 ∴ C=1 따라서 f(x)= (ex-e-x), g(x)=- (ex+e-x)이므로 ;2!; 이때, f(0)=1에서 1+C=1 ∴ C=0 따라서 f(x)= 이므로 x {;2!;}  e f(1)f(-1)= _2=1 ;2!;  1 0945 `f(x)= 4x ln 2 dx=ln 4xdx=ln 2_ +C ` 2   4x ln 4 : =ln 2_ 4x 2 ln 2 : +C= 4x 2 +C 이때,``f(1)=2에서 2+C=2 ∴ C=0 따라서 f(x)= 이므로 4x 2 ¦ 1 `f(n) =2 ¦ n =2_ {;4!;} ;N+! ;N+! ;4!; 1- ;4!; = ;3@; 따라서 p=3, q=2이므로 p+q=5  5 등비급수의 수렴과 발산 ¦ 등비급수 ⑴ |r|<1일 때 수렴하고, 그 합은 ;N+! arn-1=a+ar+arÛ`+ y +arn-1+ y(a+0)은 a 1-r 이다. ⑵ |r|¾1일 때 발산한다. 0946 |전략| sinÛ` x=1-cosÛ` x임을 이용하여 주어진 식을 적분하기 쉬운 꼴로 변형 한다. 곡선 y=f(x) 위의 점 (x, `f(x))에서의 접선의 기울기가 sinÛ` x 1+cos x G ln { ;e@;} =G(ln 2-1)=eln 2+1=2+1=3  ③ 0943 |전략| `axdx= +C(a>0, a+1)임을 이용한다. ax ln a : `f(x)= `(3x+9x)dx= 3x ln 3 + 9x ln 9 +C : 이때, 곡선 y=f(x)가 점 { 0, 3 ln 9 } 을 지나므로 f(0)= 에서 3 ln 9 1 ln 3 + 1 ln 9 +C= 3 ln 9 , 1 ln 3 + 1 2 ln 3 +C= 3 2 ln 3 3 2 ln 3 3 2 ln 3 +C= ∴ C=0 따라서 f(x)= 3x ln 3 + 9x ln 9 이므로 `f(1)= 3 ln 3 + 9 ln 9 = 6 2 ln 3 + 9 2 ln 3 = 15 2 ln 3  ④ 이므로 f '(x)= sinÛ` x 1+cos x 136 | IV . 적분법 정답과 해설 ∴ f(x)= sinÛ` x 1+cos x `  dx = ` 1-cosÛ` x 1+cos x dx = ` (1+cos x)(1-cos x) 1+cos x dx : = ` (1-cos x)dx=x-sin x+C : : : 이때, 이 곡선이 점 (0, 1)을 지나므로 f(0)=1에서 C=1 따라서 f(x)=x-sin x+1이므로 p 2 } f { p 2 = -1+1= p 2 0950 |전략| 3x-1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. 3x-1=t로 놓으면 3= 이므로 `f(x)= (3x-1)Þ` dx = tÞ` dt ` ;3!; ` : = ;1Á8; tß`+C= (3x-1)ß`+C ;1Á8; dt dx :  ① 이때, f(0)= 에서 ;2!; +C= ;2!; ;1Á8; ∴ C= ;9$; 따라서 f(x)= (3x-1)ß`+ 이므로 f(x)를 x-1로 나누었을 때 ;1Á8; ;9$;  4 0947 1 1-sin x ` dx = ` 1+sin x 1-sinÛ` x dx= ` 1+sin x cosÛ` x dx : = : 1 cosÛ` x ` { + : 1 cos x _tan x dx }  : 의 나머지는 `f(1)= + ;1^8$; ;9$; =4 나머지정리 : =tan x+sec x+C 따라서 a=1, b=1, c=0이므로 a+b+c=2  2 0951 = `(secÛ` x+sec x tan x)dx 다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다. xÛ`-x-3=t로 놓으면 2x-1= 이므로 (4x-2)(xÛ`-x-3)Þ` dx ` 2tÞ` dt= tß`+C ;3!; dt dx = : ;3!; = (xÛ`-x-3)ß`+C =1+2 sin cos =1+sin x ;2{; ;2{; ∴ a=3, b=6 ∴ a+b=9  9 ` : 0952 1 8a 0948 sin +cos { ;2{; 2 ;2{;} =sinÛ` +2 sin cos +cosÛ` ;2{; ;2{; ;2{; ;2{; ∴ f(x)= `(1+sin x)dx=x-cos x+C 이때, f(0)=0에서 -1+C=0 ∴ `C=1 따라서 f(x)=x-cos x+1이므로 p 3 } `f { = - +1= ;2!; p 3 + ;2!; : p 3 0949 lim ` h` Ö 0 `f(x+3h)-f(x+h) h =lim ` h` Ö 0 `f(x+3h)-f(x)-{`f(x+h)-f(x)} h =lim ` h` Ö 0 `f(x+3h)-f(x) 3h _3-lim ` h` Ö 0 `f(x+h)-f(x) h =3f '(x)-f '(x)=2f '(x) 즉, 2f '(x)= 4 1+cos 2x 이므로 f '(x)= 2 1+cos 2x = 2 1+(2 cosÛ` x-1) = 1 cosÛ` x =secÛ` x  p 3 + ;2!; ax-3=t로 놓으면 a= 이므로 dt dx F(x)= `(ax-3)à` dx `tà`_ dt ;a!;  = : 1 8a : 1 8a = t¡`+C= (ax-3)¡`+C F(x)의 최고차항의 계수가 16이므로 _a¡`=16, aà`=2à` ∴ a=2  2 0953 |전략| xÛ`+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. xÛ`+1=t로 놓으면 2x= 이므로 dt dx `f(x)= xÛ` x ` "à + 1 dx = ` ;2!;' t dt= `t;2!; dt ;2!; : = _ t;2#;+C= t+C ;3@; : ;3!; t ' = (xÛ`+1) xÛ`+1+C : ;2!; ;3!; 8 여러 가지 적분법 | 137 ∴ f(x)= `secÛ` x dx=tan x+C ∴ f { p 4 } : -f(p)= { p 4 tan +C - tan p+C =1 } { }  1 이때, f(0)=2에서 +C=2 ∴ C= ;3%; "à ;3!; 8ㅡ여러가지 적분법 따라서 f(x)= (xÛ`+1) xÛ`+1+ 이므로 ;3!; "à ;3%; `f(2)= _5 5+ ;3!; ' = ( ;3%; ' ;3%; 5+1)  ⑤ 채점 기준 x xÛ`+3 "à ❷ f(x)를 구할 수 있다. ❶ f '(x)= 의 부정적분을 구할 수 있다. ❸ 방정식 f(x)=0을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 곱을 구할 수 있다. 비율 30 % 30 % 40 % x+1=t로 놓으면 1= 이므로 dt dx 0954 `f(x)= t-2 t ' dt ` ` 'Ä = dx x-1 x+1   2 t` }  - t` : dt `{' ' : t;2#;-2_2t;2!;+C= : = : ;3@; = = ` { t;2!;-2 t- dt ;2!; } t ;3@; ' t-4 t+C ' = (x+1) x+1-4 x+1+C ;3@; 'Ä 'Ä 이때, f '(x)= 이므로 f '(x)=0에서 x=1 x-1 x+1 'Ä x (-1) y `f '(x) ``f(x) 1 0 극소 y + ↗ - ↘ 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극솟값을 갖고, 극솟값이 - 이므 8 2 ' 3 로 f(1)= -4 2+C=- 4 2 ' 3 8 2 ' 3 - 8 2 ' 3 +C=- ∴ C=0 ' 8 2 ' 3 따라서 f(x)= (x+1) x+1-4 x+1이므로 ;3@; 'Ä 'Ä `f(3)= -8=- :Á3¤: ;3*;  ① 0956 |전략| xÛ`-2x+3=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. xÛ`-2x+3=t로 놓으면 2(x-1)= 이므로 `f(x)= (x-1)exÛ`-2x+3 dx   ` =;2!; `et dt : ;2!; = et+C= exÛ`-2x+3+C ;2!; dt dx : eÜ` 2 } eÜ` 2 eÜ` 2 +C= ∴ `C=0 함수 y=f(x)의 그래프가 점 { 0, 을 지나므로 f(0)= 에서 eÜ` 2 따라서 f(x)= exÛ`-2x+3이므로 f(1)= ;2!; eÛ` 2  ⑤ 0957 ex+3=t로 놓으면 ex= 이므로 dt dx `f(x)= ` ex ex+3   "à t+C=2 : =2 ' dx = ` 1 t ' : ex+3+C "à : dt= `t- ;2!; dt ∴ f(ln 13)-f(ln 6) =(2 eln 13+3+C)-(2 "à eln 6+3+C) "à =(8+C)-(6+C)=2  2 다른 풀이   ex+3=t로 놓으면 ex+3=tÛ`에서 ex=2t 이므로 dt dx 'Ä ex ex+3 2t t `f(x)= ` dx= ` dt= `2 dt "à =2t+C=2 : : ex+3+C 'Ä : ∴ f(ln 13)-f(ln 6)=2 0955 xÛ`+3=t로 놓으면 2x= 이므로 dt dx 1 t ' `f(x)= x xÛ`+3   "à ` : ;2!; = _2t;2!;+C= dx = ` _ dt= ;2!; ;2!; ` t- ;2!; dt : t+C= : xÛ`+3+C ' "à 이때, f(1)=-1에서 2+C=-1 ∴ C=-3 xÛ`+3-3 ∴ f(x)= "à 방정식 f(x)=0, 즉 "à 위의 식의 양변을 제곱하면 xÛ`+3-3=0에서 xÛ`+3=3 "à xÛ`+3=9, xÛ`=6 ∴ x=Ñ 6 ' 따라서 구하는 모든 실수 x의 값의 곱은 -6이다. 138 | IV . 적분법 0958 ex+2=t로 놓으면 ex= 이므로 dt dx … ❶ … ❷ `f(x)= 3ex 'Ä ` ex+2 dx = ' `3 t dt=3 `t;2!; dt : =3_ ;3@; t;2#;+C=2t : t+C=2(ex+2) ' : ex+2+C 'Ä 이때, f(0)=6 ∴ f(x)=2(ex+2) ' 3에서 6 ' ex+2 'Ä 3+C=6 3 ∴ C=0 ' 한편, f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 증가한다. 따라서 0ÉxÉln 7에서 함수 f(x)는 x=ln 7일 때 최대이므로 구하 … ❸  -6 는 최댓값은 `f(ln 7)=2(eln 7+2) eln 7+2=2_9_3=54 "à  ④ 정답과 해설 곡선 y=f(x) 위의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기가 이므 ln xÝ` x 0963 0959 |전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ln x=t로 놓으면 = 이므로 dt dx ;[!; F(x)= 4(ln x)Ü` x `  dx   = ` 4tÜ`dt : : =tÝ`+C=(ln x)Ý`+C 이때, F(e)=2에서 1+C=2 ∴ C=1 따라서 F(x)=(ln x)Ý`+1이므로 F(eÛ`)=2Ý`+1=17 0960 로 f '(x)= ln xÝ` x ∴ f(x)= ln xÝ` dx ` x   = `` 4 ln|x| x dx : ln |x|=t로 놓으면 : = dt dx ;[!; 이므로 4 ln|x| x ` dx   = `4t dt=2tÛ`+C : =2(ln|x|)Û`+C : 2+C=0 ∴ C=-2 따라서 f(x)=2(ln|x|)Û`-2이므로 f(eÛ`)=2_2Û`-2=6 0961 xf '(x)=ln x에서 f '(x)= 이므로 ln x x `f(x)= ` ln x x dx : ln x=t로 놓으면 = ;[!; dt dx 이므로 : 이때, f(1)= : ;2!; 에서 C= ;2!; 따라서 f(x)= (ln x)Û`+ 이므로 ;2!; ;2!; f(e)= + ;2!; ;2!; =1 이때, 이 곡선이 점 (e, 0)을 지나므로 f(e)=0에서 0962 |전략| sin x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. lim ` h` Ö 0 `f(x+h)-f(x) h =f '(x)이므로 `f '(x)=cosÜ` x `f(x)= cosÜ` x dx `  = ` cosÛ` x cos x dx = ` (1-sinÛ` x)cos x dx : : : sin x=t로 놓으면 cos x= 이므로 dt dx (1-sinÛ` `  x)cos   x   dx   = ` (1-tÛ`)dt=t- tÜ`+C ;3!; : =sin x- : sinÜ` x+C ;3!; 이때, f(0)=2에서 C=2 따라서 f(x)=sin x- sinÜ` x+2이므로 ;3!;  ② p 2 } `f { =1- +2= ;3!; ;3*;  ⑤ tan x=t로 놓으면 secÛ` x= 이므로 dt dx : `f(x)= tan x secÛ` x dx   ` = `t dt : ;2!; = tÛ`+C= tanÛ` x+C ;2!; 이때, f(0)=5에서 C=5 ∴ f(x)= tanÛ` x+5 ;2!;  `f(x)= ;2!; tanÛ` x+5 0964  ③ `f(x)= ` sin x 2+cos x dx : 2+cos x=t로 놓으면 -sin x= 이므로 dt dx sin x 2+cos x   `  dx = - ` { 1 t }  dt=-ln|t|+C : =-ln(2+cos x)+C`(∵ 2+cos x>0) : 이때, f(0)=0에서 -ln 3+C=0 ∴ C=ln 3 따라서 f(x)=-ln (2+cos x)+ln 3이므로 0965 : `f(x)= : : : |전략| `sin ax dx=- ;a!; cos ax+C임을 이용한다.  1 sin 2x cosÛ` x dx `  + ` 2 sinÜ` x cos x dx = ` (sin 2x cosÛ` x+sin 2x sinÛ` x)dx : = ` sin 2x(cosÛ` x+sinÛ` x)dx = ` sin 2x dx=-  cos 2x+C : 이때, f(p)=- ;2!; 에서 - +C=- ∴ `C=0 ;2!; ;2!; ;2!; 8 여러 가지 적분법 | 139 ln x x   ` dx = ` t dt= tÛ`+C= (ln x)Û`+C ;2!; ;2!; - `f { p 2 } =-ln 2+ln 3=ln ;2#;  ① 8ㅡ여러가지 적분법 0966 p 4 } `f { 0967 : : : p 6 따라서 f(x)=-  cos 2x이므로 ;2!; p 3 } `f { =- _ - ;2!; { = ;4!; ;2!;}  ④ (xÛ`+1)'=2x이므로 `f(x)= `  dx 6x xÛ`+1`   (xÛ`+1)' xÛ`+1` ` : =3 이때, f(0)=2에서 C=2 : 3 ` = 2x xÛ`+1` dx : dx=3 ln(xÛ`+1)+C (∵ xÛ`+1>0) `f(x)= `(5-2 sinÛ` x)dx `{(1-2 sinÛ` x)+4} dx 따라서 f(x)=3 ln(xÛ`+1)+2이므로 `f(1)=3 ln 2+2  3 ln 2+2 = : ;2!; = `(cos 2x+4) dx= sin 2x+4x+C 이때, f(p)=3p이므로 4p+C=3p ∴ C=-p 따라서 f(x)= sin 2x+4x-p이므로 ;2!; = +p-p= ;2!; ;2!; ∴ a= ;2!;  ④ 0969 ` dx `f(x)= 2e2x e2x+1 이때, (e2x+1)'=2e2x이므로 2e2x e2x+1   `f(x)= dx = `  : ` (e2x+1)' e2x+1 dx : =ln(e2x+1)+C (∵ e2x+1>0) : `f(x)= `(sin x-cos 2x)dx=-cos x-  sin 2x+C … ❶ ;2!; =(ln 10+C)-(ln 5+C) ∴ f(ln 3)-f(ln 2)={ln(e2 ln 3+1)+C}-{ln(e2 ln 2+1)+C} `f '(x)=sin x-cos 2x=sin x-(1-2 sinÛ` x) =2 sinÛ` x+sin x-1=(2 sin x-1)(sin x+1) =ln =ln 2 :Á5¼:  ln 2 `f '(x)=0에서 sin x= 또는 sin x=-1 ;2!; 0970 ∴`x= 또는 x= p (∵`00) ` = dx `f '(x) `f(x)   : ∴`f(x)=ex+C 이때, f(0)=eÛ`에서 eC=eÛ` 따라서 `f(x)=ex+2이므로 f(1)=eÜ` : ∴ `C=2  eÜ`  ;6%; y - ↘ p 6 0 극소 p 6 x (0) `f '(x) ``f(x) 므로 따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극솟값을 갖고, 극솟값이 - 3 3 ' 4 이 p 6 } p =-cos  6 - ;2!; p  sin  3 `f { +C=- 3 3 ' 4 3 - ' 2 3 - ' 4 +C=- ∴ `C=0 … ❸ 따라서 f(x)=-cos x-  sin 2x이고, f(x)는 x= p에서 극댓 ;6%; 3 3 ' 4 ;2!; 0971 조건 ㈎에서 두 식을 변끼리 더하면 `f '(x)+g'(x)=2{`f(x)+g(x)}, `f '(x)+g'(x) f(x)+g(x) =2 즉, `f '(x)+g'(x) f(x)+g(x)   `  dx = `2 dx이므로 : ln|`f(x)+g(x)|=2x+C 이때, 조건 ㈏에서 f(0)=1, g(0)=3이므로 ln|1+3|=C ∴ C=ln 4 : ln|`f(x)+g(x)|=2x+ln 4에서 `f(x)+g(x)=e2x+ln 4=e2x_eln 4=4e2x ∴ f(ln 2)+g(ln 2)=4e2 ln 2=4_4=16  16 0972 |전략| px+q (x+a)(x+b) = A x+a + B x+b 꼴로 변형한 후 부정적분을 구한다. 4x xÛ`-2x-3 = 4x (x+1)(x-3) = A x+1 + B x-3 로 놓으면 A x+1 + B x-3 = (A+B)x-3A+B (x+1)(x-3) 이므로 … ❹  3 3 ' 4 비율 20 % 30 % 30 % 20 % 값을 가지므로 `f {;6%; p 3 = ' 2 } - _ - ' ;2!; { 3 2 } = 3 3 ' 4 채점 기준 ❶ `f '(x)의 부정적분을 구할 수 있다. ❷ `f '(x)=0인 x의 값을 구할 수 있다. ❸ 적분상수 C를 구할 수 있다. ❹ `f(x)의 극댓값을 구할 수 있다. |전략| `` dx=ln|f(x)|+C임을 이용한다. 0968 `f '(x) `f(x) : 140 | IV . 적분법 정답과 해설 4x=(A+B)x-3A+B 위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 A+B=4, -3A+B=0 위의 두 식을 연립하여 풀면 A=1, B=3 ∴ 4x xÛ`-2x-3   `  dx = 1 x+1 ` { + 3 dx x-3 }  : : =ln|x+1|+3 ln|x-3|+C 따라서 a=1, b=3이므로 ab=3  ③ 0973 `f(x)= 1 4xÛ`-1   `  dx = ` 1 (2x-1)(2x+1) dx : = : ;4!; 1 : 1 ` ;2!; { 2x-1 - 2x+1 }  = dx ` ;4!; { 2 2x-1 - 2 dx 2x+1 }  = (ln|2x-1|-ln|2x+1|)+C= : ln | ;4!; 2x-1 2x+1 | +C 이때, f(0)=0에서 C=0 따라서 f(x)=xex이므로 f(2)=2eÛ`  2eÛ` 0976 u(x)=ln x, v'(x)=ax로 놓으면 u'(x)= , v(x)= xÛ`이므로 ;[!; ;2A; `f(x)= ax ln x dx ln x   = xÛ _;2A; `- _ ` ;[!; ;2A; xÛ` dx = xÛ` ln x- `x dx= ;2A; : xÛ` ln x- ;2A; xÛ`+C ;4A; ` : ;2A; : 이때, f '(x)=ax ln x이고 f '(eÛ`)=2eÛ`이므로 2aeÛ`=2eÛ`, 2eÛ`(a-1)=0 ∴ a=1 또, f {;e!;} =- 이므로 3 4eÛ` - - 1 2eÛ` 1 4eÛ` 3 4eÛ` +C=- (∵ a=1) ∴ C=0 따라서 f(x)= xÛ` ln x- xÛ`이므로 ;2!; ;4!; 이때, f(0)=0에서 C=0 따라서 f(x)= ln | ;4!; 2x-1 2x+1 | 이므로 `f(1)= ln =- ;4!; ;3!; ln 3 4 0974 y= 6-x  2+x 6-2y  y+1 6-2x  x+1 x(y+1)=6-2y ∴ x= x와 y를 서로 바꾸면 y= 따라서 g(x)= 6-2x  x+1 이므로 ❶ g(x)를 구할 수 있다. ❷ `g(x)dx를 구할 수 있다. 채점 기준 : 0975 로 놓으면 2y+xy=6-x ∴ f '(x)=x sin x  - ln 3 4 f(e)= eÛ`- eÛ`= ;2!; ;4!; eÛ` ;4!;  ② 0977 {e f(x)}'=x sin x_ef(x)에서 e f(x)_f '(x)=x sin x_e f(x) f(x)= `x sin x dx에서 u(x)=x, v'(x)=sin x로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=-cos x이므로 f(x)= x sin x dx x_( cos x) `(-cos x)dx = - - : … ❶ =-x cos x+sin x+C : ` : `g(x)dx = ` 6-2x  x+1 dx= -2+ ` { 8  x+1 }  dx : =-2x+8 ln |x+1|+C : : 이때, f { p  2 } =1에서 1+C=1 ∴ C=0 … ❷ ∴ f(x)=-x cos x+sin x  -2x+8 ln |x+1|+C ∴ lim ` x` Ö 0 `f(x)+f '(x) x =lim ` x` Ö 0 (-x cos x+sin x)+x sin x x 비율 40 % 60 % =-lim x` Ö 0 `cos x+lim ` x` Ö 0 +lim x` Ö 0 `sin x sin x x =-1+1+0=0  0 |전략| `f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)- `f '(x)g(x)dx임을 이용한다. : u(x)=x+1, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=ex이므로 : `f(x)= `(x+1)exdx (x+1)ex `exdx = : =(x+1)ex-ex+C=xex+C - : 0978 함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 xe4x 이므로 f '(x)=xe4x `f(x)= `xe4xdx에서 u(x)=x, v'(x)=e4x으로 놓으면 : u'(x)=1, v(x)= e4x이므로 ;4!; `f(x)=x_ e4x- e4xdx= xe4x- e4x+C ;4!; ;1Á6; ;4!; ` ;4!; : 8 여러 가지 적분법 | 141 8ㅡ여러가지 적분법 이때, f {;4!;} =1에서 e- ;1Á6; ;1Á6; e+C=1 ∴ `C=1 따라서 f(x)= xÛ`+ x sin 2x+  cos 2x+ 이므로 ;4!; ;8!; ;8!; ∴ f(x)= xe4x- e4x+1 ;4!; ;1Á6; `f '(x)=0에서 x=0`(∵`e4x>0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극소이면서 최소이므로 f(x)의 최솟값은 `f(0)=- +1= ;1!6%; ;1Á6; x y `f '(x) - 0 0 ``f(x) ↘ 극소 y + ↗  ⑤ 0979 `f(x)+xf '(x)={xf(x)}'이므로 조건 ㈏에서 xf(x)= `{`f(x)+xf '(x)} dx `2 ln x dx = : u(x)=ln x, v'(x)=2로 놓으면 u'(x)= , v(x)=2x이므로 : ;[!; xf(x)= `2 ln x dx ln x_2x-   = ` ;[!; _2x dx : =2x ln x-2x+C : 조건 ㈎에서 f(e)=1이므로 ef(e)=2e-2e+C ∴ C=e 따라서 xf(x)=2x ln x-2x+e이므로 x=eÛ`을 대입하면 eÛ`f(eÛ`)=4eÛ`-2eÛ`+e=2eÛ`+e에서 `f(eÛ`)=2+ ;e!; 0980 lim ` h` Ö 0 `f(x+h)-f(x) h =f '(x)이므로 `f '(x)= x(1+cos 2x) 2 ∴ f(x)= x(1+cos 2x) 2 `  dx = ` {;2!; x+ x cos 2x  dx } ;2!; ∴ f(x)= xÛ`+ : ;4!; : `x cos 2x dx ;2!; : : u'(x)=1, v(x)=  sin 2x이므로 ;2!; `x cos 2x dx에서 u(x)=x, v'(x)=cos 2x로 놓으면 x cos 2x dx x_  sin 2x = ;2!; - ` ;2!;  sin 2x dx ` : = x sin 2x+ ;2!; ;4!; :  cos 2x+CÁ yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 `f(x)= xÛ`+ x sin 2x+  cos 2x+CÁ ;4!; }   {;2!; ;2!;  CÁ=C ;2!; = xÛ`+ x sin 2x+  cos 2x+C ;4!; ;4!; ;4!; 이때, f(0)= 에서 +C= ∴ C= ;4!; ;8!; ;8!; ;8!; ;4!; 142 | IV . 적분법 p 2 } = `f  { ;4!;{ `- + = ;8!; ;8!; pÛ` 16 ;4!; p 2 } 0981 |전략| 부분적분법을 한 번 적용하여 적분이 되지 않는 경우에는 부분적분법을 한 번 더 적용한다. 곡선 y=f(x) 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 ex cos x이므로 `f '(x)=ex cos x f(x)= `ex cos x dx에서 u(x)=cos x, v'(x)=ex으로 놓으면 : : u'(x)=-sin x, v(x)=ex이므로 `f(x)= ex cos   ` x   dx   ex cos   x   = + `ex sin x dx yy ㉠ `ex sin x dx에서 부분적분법을 한 번 더 적용하면 : : ex sin   ` x   dx   ex sin   x   = - `ex cos x dx : =ex sin x-f(x)+CÁ : ㉡을 ㉠에 대입하면 `f(x)=ex cos x+ex sin x-f(x)+CÁ 2f(x)=ex (cos x+sin x)+CÁ ∴ f(x)= ex(cos x+sin x)+C ;2!; CÁ=C ;2!;   ④ 이때, y절편이 이므로 f(0)= 에서 ;2!; ;2!; (1+0)+C= ∴ C=0 ;2!; ;2!; 따라서 f(x)= ex(cos x+sin x)이므로 f(p)=- ep  ② ;2!; ;2!; 0982 `f(x)= `(4-xÛ`)ex dx에서 u(x)=4-xÛ`, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=-2x, v(x)=ex이므로 : yy ㉠ `f(x)= `(4-xÛ`)exdx (4-xÛ`)ex `(-2x)exdx = : =(4-xÛ`)ex+2 `xexdx - : : `xexdx에서 부분적분법을 한 번 더 적용하면 : ` xexdx=xex `exdx=xex-ex+CÁ - : : ㉡을 ㉠에 대입하면 `f(x) =(4-xÛ`)ex+2(xex-ex+CÁ) =ex(-xÛ`+2x+2)+C 2 CÁ=C 이때, f(0)=2에서 2+C=2 ∴`f(x)=ex(-xÛ`+2x+2) 방정식 f(x)=0에서 xÛ`-2x-2=0 (∵`ex>0) ∴ `C=0 따라서 구하는 두 실근의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의 하여 -2이다.  -2  ① yy ㉡ yy ㉠ yy ㉡ 정답과 해설2 0983 lim ` h` Ö 0 `f(x+2h)-f(x-2h) h =lim ` h` Ö 0 `f(x+2h)-f(x)-{`f(x-2h)-f(x)} h =lim ` h` Ö 0 `f(x+2h)-f(x) 2h _2+lim ` h` Ö 0 `f(x-2h)-f(x) -2h _2 =2f '(x)+2f '(x)=4f '(x) 즉, 4f '(x)=4(ln x)Û`이므로 f '(x)=(ln x)Û` `f(x)= `(ln x)Û` dx에서 u(x)=(ln x)Û`, v'(x)=1로 놓으면 : 2 ln x u'(x)= x , v(x)=x이므로 `f(x)= `(ln x)Û` dx (ln x)Û` x _ - ` 2 ln x x _x dx : =x(ln x)Û`-2 `ln x dx : = : xf '(x)=3xÛ` ln x+xÛ` ∴ f '(x)=3x ln x+x ∴ f(x)= `(3x ln x+x)dx : =3 `x ln x dx+ xÛ` ;2!; `x ln x dx에서 : u(x)=ln x, v'(x)=x로 놓으면 u'(x)= ;[!;, v(x)= ;2!; xÛ`` : {;2!; =3 xÛ` ln x- ` ;2!; x dx + } xÛ` ;2!; ∴ `x ln x dx : xÛ` ln x-3_ = ;2#; xÛ`+ xÛ`+C ;2!; ;4!; : = ;2!; xÛ` ln x- x dx ` ;2!; : = xÛ` ln x- xÛ`+C ;4!; ;2#; 이때, f(e)= eÛ`+ 에서 ;4%; ;4#; eÛ`- eÛ`+C= ;2#; ;4!; eÛ`+ ;4#; ;4%; ∴ C= ;4#; yy ㉠ 따라서 f(x)= xÛ` ln x- xÛ`+ 이므로 ;2#; ;4!; ;4#; `ln x dx에서 부분적분법을 한 번 더 적용하면 `f(1)=- + = ;2!; ;4#; ;4!;  ① ln x dx   = ` x ln x - `dx=x ln x-x+CÁ yy ㉡ : : ㉡을 ㉠에 대입하면 : `f(x)=x(ln x)Û`-2(x ln x-x+CÁ) =x{(ln x)Û`-2 ln x+2}+C -2 CÁ=C 0986 g(x)=ex f(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면 g'(x) =ex f(x)+ex f '(x)=ex{`f(x)+f '(x)} =ex_xex=xe2x 이때, f(eÜ`)=5eÜ`+1에서 5eÜ`+C=5eÜ`+1 ∴ C=1 g(x)= xe2xdx에서 u(x)=x, v'(x)=e2x으로 놓으면 따라서 f(x)=x{(ln x)Û`-2 ln x+2}+1이므로 : u'(x)=1, v(x)= e2x이므로 ;2!;  ⑤ 8ㅡ 여 러 가 지 적 분 법 g(x)= ;2!; xe2x- ` ;2!; e2xdx= xe2x- e2x+C ;2!; ;4!; : 이때, g(1)= ;4!; eÛ`에서 eÛ`- eÛ`+C= eÛ` ∴ C=0 ;2!; ;4!; ;4!; yy ㉠ 따라서 g(x)= xe2x- e2x이므로 g(0)=- ;2!; ;4!; ;4!;  ② f {;e!;} = ;e%; +1 0984 |전략| 주어진 식의 양변을 미분하여 f '(x)를 구한 다음 부분적분법을 이용한다. F(x)=xf(x)-xÛ`ex에서 ∴ f(1)=2e F(1)=f(1)-e=e F(x)=xf(x)-xÛ`ex의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f(x)=f(x)+xf '(x)-(2xex+xÛ`ex) xf '(x)=2xex+xÛ`ex ∴ f '(x)=2ex+xex` ∴ f(x)= `(2ex+xex)dx `xexdx에서 u(x)=x, v'(x)=ex으로 놓으면 : =2ex+ `xexdx : : =(x+1)ex+C =2ex+xex- `exdx ∴ `xexdx=xex- `exdx : u'(x)=1, v(x)=ex` : : 이때, ㉠에서 f(1)=2e이므로 2e+C=2e 따라서 f(x)=(x+1)ex이므로 f(0)=1 ∴ C=0  ① 0985 `f(x)dx=xf(x)-xÜ` ln x의 양변을 x에 대하여 미분하면 : `f(x)=f(x)+xf '(x)- 3xÛ` ln x+xÜ`_ { ;[!;} 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0987 유형  01 함수 y=xn (n은 실수)의 부정적분 |전략| `xndx= xn+1+C(n+-1)임을 이용한다. 1 n+1 x x-1 - x+1)( ' x-1 ' {   ' ( ' dx 1 x-1 } ' x-1) dx = `( x+1)dx ' : = `(x;2!;+1)dx= x x+x+C ;3@; ' : `f(x)= = : : : 8 여러 가지 적분법 | 143 이때, `f(1)= 에서 +1+C= ∴ C=-1 ;3@; ;3@; ;3@; 따라서 f(x)= x x+x-1이므로 ;3@; ' f(9)=18+9-1=26 0991 유형  06 무리함수의 치환적분법 |전략| 1-xÛ`=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.  ④ 1-xÛ`=t로 놓으면 -2x= 이므로 dt dx 이때, 곡선 y=f(x)가 점 (0, 2)를 지나므로 `f(0)=2에서 따라서 모든 실수 x의 값의 합은 0이다.  ③ 0988 유형  02 지수함수의 부정적분 - 밑이 e인 경우 |전략| `exdx=ex+C임을 이용한다. : `f(x)= ` (ex-1)(e2x+ex+1) e2x+ex+1 dx = ` (ex-1)dx=ex-x+C : : ∴ C=1 1+C=2 ∴ f(x)=ex-x+1 0989 유형  04 삼각함수의 부정적분 ` : = `f '(x)= (x>0) `` cos x [ sin x+1 (x<0) ,  : 이므로 `f(x)= `````sin x+CÁ [ -cos x+x+Cª (x<0) (x>0) |전략| sin x dx -cos x+CÁ `cos x dx=sin x+Cª임을 이용한다. f(-p)=1에서 1-p+Cª=1 ∴ Cª=p 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이면 x=0에서 연속이므로 분법을 이용한다. `f(0)= lim x` Ö 0- ∴ CÁ=p-1 `(-cos x+x+p)= lim x` Ö 0+ `(sin x+CÁ) 따라서 f(x)= `` sin x+p-1 [ -cos x+x+p (x<0) (x¾0) 이므로 p 2 } `f { =1+p-1=p x 1-xÛ`   dx =-;2!; ` 1 t ' dt : `t- ;2!;dt=-t;2!;+C `f(x)= `  "à ;2!; : =- =- "à : 1-xÛ`+C 이때, f(0)=0에서 -1+C=0 ∴ C=1 ∴ f(x)=- 1-xÛ`+1 "à 방정식 f(x)=1, 즉 - 1-xÛ`+1=1에서 "à 1-xÛ`=0, (1+x)(1-x)=0 ∴ x=-1 또는 x=1 0992  ③ 유형  07 지수함수의 치환적분법 |전략| xÛ`-1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. xÛ`-1=t로 놓으면 2x= 이므로 dt dx `f(x)= 2xexÛ`-1 dx   `  = ` etdt   : : =et+C=exÛ`-1+C ∴ f( 2)-f(1) =(e+C)-(1+C)=e-1  ② 유형  08 로그함수의 치환적분법 |전략| 주어진 식의 양변을 미분하여 f '(x)를 구한 다음 ln x=t로 놓고 치환적 F(x)=xf(x)-4x ln x의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f(x)=f(x)+xf '(x)-4 ln x-4 xf '(x)=4 ln x+4 ∴ f '(x)= 4 ln x+4 x `f(x)= ` dx에서 ln x=t로 놓으면 = 이므로 4 ln x+4 x dt dx ;[!;  ⑤ `f(x)= 4 ln x+4 dx   x `  = `(4t+4)dt : : =2tÛ`+4t+C=2(ln x)Û`+4 ln x+C : 이때, f(e)=8에서 2+4+C=8 ∴ C=2 ∴ f(x)=2(ln x)Û`+4 ln x+2 한편, ln x=t로 놓고 `g(t)=2tÛ`+4t+2=2(t+1)Û`이라 하면 t는 모든 실수 (∵ x>0)이므로 구하는 최솟값은 t=-1일 때 0이다.  ① ' 0993 0994 유형  09 삼각함수의 치환적분법 |전략| 1+sin x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.  ④ 1+sin x=t로 놓으면 cos x= 이므로 dt dx 0990 유형  05 다항함수의 치환적분법 |전략| xÜ`+2=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. xÜ`+2=t로 놓으면 3xÛ`= 이므로 dt dx `3xÛ`(xÜ`+2)Ü`dx= `tÜ` dt= ;4!;tÝ`+C : = : (xÜ`+2)Ý`+C ;4!; 따라서 a=4, b=4이므로 ab=16 144 | IV . 적분법 정답과 해설 `f(x)=  (1+sin x)Û`cos x dx ` tÛ`dt= tÜ`+C ;3!; ` : ;3!; = (1+sin x)Ü`+C 이때, f(0)= 이므로 +C= ∴ C= ;3@; ;3!; ;3!; = : ;3@; ;3!; 따라서 f(x)= (1+sin x)Ü`+ 이므로 ;3!; p 2 } `f { ;3!; = (1+1)Ü`+ =3 ∴ a=3 ;3!; 0995 유형  10 삼각함수의 치환적분법 - sin ax, cos ax 꼴 |전략| `sin ax dx=- cos ax+C임을 이용한다. ;a!;  : `f(x+h)-f(x) h lim ` h` Ö 0 `f '(x)=sin 2x-cos x =f '(x)이므로 유형  08 로그함수의 치환적분법 + 13 부분적분법 |전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한 다음 부분적분법을 이용한다. 곡선 y=f(x) 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 이므로 ln x xÛ` 0997 `f '(x)= ln x xÛ` ln x xÛ`  ⑤ f(x)= ` dx에서 ln x=t로 놓으면 x=et이고 = ;[!; dt dx 이므로 : `f(x)= ln x xÛ`   `  dx = ` t et dt= `te-tdt : : =t_(-e-t)- : `(-e-t)dt u(t)=t, v'(t)=e-t으로 놓으면 u'(t)=1, v(t)=-e-t` : =-te-t-e-t+C =-e-ln x ln x-e-ln x +C =- ln x x - ;[!; +C 이때, x절편이 1이므로 f(1)=0에서 -1+C=0 ∴ C=1 따라서 f(x)=- +1이므로 ln x x - ;[!; `f {;e!;} =e-e+1=1  ③ ∴ x= 또는 x= 또는 x= p (∵ 00, a+1)임을 이용한다. ax ln a : `f(x)= 8x-1 2x-1   `  dx = (2x-1)(4x+2x+1) 2x-1 ` dx : : 이때, f(0)= 에서 1 ln 2 : 4x ln 4 + 2x ln 2 1 ln 4 + 1 ln 2 1 ln 2 +C= ∴ C=- 1 ln 4  ③ 따라서 f(x)= 4x ln 4 + 2x ln 2 +x- 이므로 1 ln 4 … ❷ 따라서 함수 f(x)는 x= 에서 극댓값을 갖고, 극댓값이 이므로 = ` (4x+2x+1)dx= +x+C … ❶ 0996 유형  11 분수함수의 부정적분 - 꼴인 경우 `f '(x) f(x) |전략| ` dx=ln|f(x)|+C임을 이용한다. `f '(x) `f(x) : (xÛ`+3x+1)'=2x+3이므로 `f(x)= `  2x+3 xÛ`+3x+1   =ln|xÛ`+3x+1|+C dx : = : ` (xÛ`+3x+1)' xÛ`+3x+1 dx ∴ f(1)-f(-1) =(ln 5+C)-C=ln 5  ④ + + 2 ln 2 4 ln 4 +1- +1- 1 ln 4 1 ln 4 +1 `f(1)= 4 ln 4 4 ln 4 7 ln 4 = = 채점 기준 ❶ `f '(x)= 의 부정적분을 구할 수 있다. 8x-1 2x-1 ❷ `f(x)를 구할 수 있다. ❸ `f(1)의 값을 구할 수 있다. … ❸  7 ln 4 +1 배점 2점 2점 2점 8 여러 가지 적분법 | 145 8ㅡ여러가지 적분법 0999 유형  15 부분적분법의 응용 |전략| 주어진 식의 양변을 미분하여 f '(x)를 구한 다음 부분적분법을 이용한다. F(x)=xf(x)+3xÛ`e2x의 양변을 x에 대하여 미분하면 `f(x)=f(x)+xf '(x)+6xe2x+6xÛ`e2x` xf '(x)=-6xe2x-6xÛ`e2x ∴ f '(x)=-6e2x-6xe2x` … ❶ ∴ f(x)=-6 `(e2x+xe2x)dx : =-3e2x-6 `xe2xdx yy ㉠ `xe2xdx에서 u(x)=x, v'(x)=e2x으로 놓으면 : ⑵ `f(x)=ex이므로 f(x)g(x)=esin x+C에서 exg(x)=esin x+C g(0)=2에서 2=1+C ∴ `C=1 ⑶ exg(x)=esin x+1이므로 g(x)= esin x+1 ex  ⑴ f(x)g(x)=e sin x+C ⑵ 1 ⑶ g(x)= 채점 기준 ⑴ {`f(x)g(x)}'의 부정적분을 구할 수 있다. ⑵ 적분상수 C를 구할 수 있다. ⑶ `g(x)를 구할 수 있다. esin x+1 ex 배점 5점 4점 3점 : u'(x)=1, v(x)= e2x이므로 ;2!; ` : xe2xdx= xe2x ;2!; e2xdx ` ;2!; - = ;2!; xe2x- e2x+CÁ : ;4!; ㉡을 ㉠에 대입하면 yy ㉡ `f(x)=-3e2x-6 xe2x- e2x+CÁ {;2!; ;4!; } -6CÁ=C =-3e2x-3xe2x+ e2x+C ;2#; =- e2x-3xe2x+C ;2#; 이때, f(0)=- 에서 - +C=- ∴ `C=0 ;2#; ;2#; ;2#; 따라서` f(x)=- e2x-3xe2x이므로  ;2#; `f(1)=- eÛ`-3eÛ`=- eÛ` ∴ a=- ;2#; ;2(; eÛ` ;2(; 채점 기준 ❶ `f '(x)를 구할 수 있다. ❷ `f '(x)의 부정적분을 구할 수 있다. ❸ `f(x)를 구할 수 있다. ❹ a의 값을 구할 수 있다. 1000 |전략| sin x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ⑴ `f '(x)g(x)+f(x)g'(x)={`f(x)g(x)}'이므로 `f(x)g(x)= `{`f '(x)g(x)+f(x)g'(x)}dx = h(x)dx `e sin x cos x dx = : : dt sin x=t로 놓으면 cos x= dx 이므로 f(x)g(x)= `etdt=et+C=esin x+C : ` : 146 | IV . 적분법 … ❷ … ❸ … ❹ 배점 2점 2점 2점 1점 |전략| 치환을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 뒤 몫의 미분법의 형태가 되도록 창의·융합 교과서 속 심화문제 1001 식을 변형한다. xÛ`=t로 놓으면 2x= 이므로 dt dx `f(x)= : ;2!; `  `  xÜ`exÛ` (xÛ`+1)Û`   tet (t+1)Û`   et t+1 exÛ` 2(xÛ`+1) : _ +C +C ;2!; = = = _2x dx xÛ`exÛ` (xÛ`+1)Û` et(t+1)-et (t+1)Û` dt dx =;2!; ` dt =;2!; ` : : 몫의 미분법에 의하여 '= et t+1 } et(t+1)-et (t+1)Û` {  - eÛ` ;2(; 이때, f(0)= 에서 +C= ∴ C=0 ;2!; ;2!; ;2!; ∴ f(x)= exÛ` 2(xÛ`+1) exÛ` 2(xÛ`+1) `f(x)=k에서 =k, exÛ`=2k(xÛ`+1) xÛ`=a라 하면 ea=2k(a+1)(a¾0) yy ㉠ 이때, ㉠을 만족시키는 a가 양수이면 x=Ñ a로 그 개수가 2가 되므 ' 로 방정식 f(x)=k의 서로 다른 실근의 개수가 1이 되려면 a=0이 어야 한다. 1=2k ∴ k= ;2!;  ① 1002 |전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. x>1>0이므로 `f(x)= cos(ln xb) dx `;[A;  = ` ;[A; cos(b ln x)dx : ln x=t로 놓으면 = ;[!; dt dx : 이므로 유형  07 지수함수의 치환적분법 + 09 삼각함수의 치환적분법 따라서 ㉠에 a=0을 대입하면 정답과 해설 이때, g(1)=1이므로 Cª=1 ∴ g(x)=-x ln x+ (ln x)Û`+x ;2{; ∴ ` `f(x)+g(x) xÛ` dx (ln x)Û`+x+ (ln x)Û`+ + ;[!; dx ;[!;] 1 xÜ` ] dx ` 1 xÛ` [;2{;  1 2x ` [ 1 2x ` (ln x)Û`dx   + ` ;[!; dx+ `x-3dx `tÛ`dt+ln x- : x-2+C : ;2!; : tÜ`+ln x- 1 2xÛ` +C : = = = : : : ;2!; = = ;6!; ;6!; ` 1 2x (ln x)Û`dx에서 ln x=t로 놓으면 : dt dx 이므로 ;[!; = ` 1 2x (ln x)Û`dx= ;2!; `tÛ`dt : : = (ln x)Ü`+ln x- +C 1 2xÛ`  ;6!; (ln x)Ü`+ln x- +C 1 2xÛ` `f(x)= ln cos(b   x)dx= `;[A;  `a cos bt dt : ;bA; = sin bt+C= sin(b ln x)+C ;bA; : 이때, 조건 ㈎에서 f(1)=2이므로 C=2 ∴ f(x)= sin (b ln x)+2 ;bA; x>1, b>0이므로 -1Ésin(b ln x)É1 a>0, b>0이므로 - É ;bA; ;bA; sin(b ln x)É ;bA; - +2É sin(b ln x)+2É +2 ;bA; ;bA; ;bA; 조건 ㈏에서 f(x)의 최댓값이 4이므로 +2=4, =2 ∴ a=2b ;bA; ;bA; ∴ f(x)=2 sin(b ln x)+2 `f(x)=0에서 2 sin (b ln x)+2=0, sin(b ln x)=-1 b ln x>0이고 y=b ln x는 x>1에서 증가하므로 방정식 f(x)=0 을 만족시키는 실근 중 최솟값은 b ln x= p일 때이다. ;2#; 이때, 조건 ㈐에서 f(x)=0의 실근 중 최솟값이 e p 2 이므로 b=3 ∴ f(x)=2 sin(3 ln x)+2 따라서 방정식 `f(x)=4에서 2 sin(3 ln x)+2=4, 즉 sin(3 ln x)=1이고 이 식을 만족시키는 실근 중 최솟값은 3 ln x= 에서 ln x= ∴ x=e p 6 p 2 p 6 1004 `f '(x) `f(x) `f '(x) f(x)+e  ③ 조건 ㈐에서 =2이므로 |전략| 조건 ㈐의 식을 꼴로 변형하여 부정적분을 구한다. `f '(x) f(x)+e   `  dx = `2 dx ∴ ln|f(x)+e|=2x+CÁ : : 이때, 조건 ㈏에서 f(x)+e>0이므로 ln{`f(x)+e}=2x+CÁ, f(x)+e=e2x+CÁ ∴ f(x)=e2x+CÁ-e 1003 |전략| 첫 번째 식의 경우 곱의 미분법의 형태로 변형하고 두 번째 식의 경우 몫 의 미분법의 형태로 변형한다. x>0이므로 +f '(x)=1+ln xÛ`의 양변에 x를 곱하면 `f(x) x `f(x)+xf '(x)=x+2x ln x, {xf(x)}'=(xÛ` ln x)' ∴ xf(x)= `(xÛ` ln x)'dx=xÛ` ln x+CÁ : 이때, f(1)=1이므로 CÁ=1 ∴ f(x)=x ln x+ ;[!; x>0이므로 g(x) x xg'(x)-g(x) xÛ` ∴ g(x) x = `{ : =- - + ;[!; ln x x } dx ` ln x x dx `;[!; dx+ : : ` : ;[!; ` ln x x dx에서 ln x=t로 놓으면 dt dx ln x x dx= `t dt= 이므로 tÛ`+C ;2!; = : = : ;2!; (ln x)Û`+C -g'(x)=1-ln x의 양변을 -x로 나누면 =- + ;[!; ln x , [ x g(x) x ] '=- + ;[!; ln x x ∴ g(1)-g(-1) 조건 ㈎에서 f(0)=0이므로 eCÁ-e=0, eCÁ=e ∴ CÁ=1 따라서 f(x)=e2x+1-e이므로 g(x)= xf(x) dx = `x(e2x+1-e)dx : : xe2x+1dx-e = `x dx ` ` : ;2!; = ;2!; = ;4!; = x e2x+1- : e2x+1dx- ` ;2!; xÛ` ;2E; x e2x+1- e2x+1- xÛ`+Cª ;2E; : ;4!; e2x+1(2x-1)- xÛ`+Cª ;2E; = {;4!; eÜ`- +Cª - - } { ;4#; e 2 e-1- +Cª } e 2 = eÜ`+ ;4!; ;4#; e-1 =-ln x+ (ln x)Û`+Cª ;2!; 따라서 a= , b= 이므로 a+b=1 ;4!; ;4#;  ① u(x)=x, v'(x)=e2x+1로 놓으면 u'(x)=1, v(x)= e2x+1 ;2!; 8 여러 가지 적분법 | 147 8ㅡ여러가지 적분법 ``Ü x dx   '§ = ` dx x;3!;     = ;4#; x;3$; =12 :)8 :)8 [ ]8)  12 정답과 해설 9 정적분 개념 마스터 개념 마스터 STEP1 1005 x   ' dx x   = ` dx x;2#;     = x;2%; ;5@; = :!4 :¤5¢:-;5@;=:¤5ª:  [ ]4! dx   = x-3 dx   = -;2!; x-2 :!3` =- [ ;1Á8;-{-;2!;}=;9$;  ]3!  dx= ln|x| eÛ` =ln eÛ`-ln e=1 [ ]E 1011 위끝과 아래끝이 같으므로 p  secÛ` x dx=0 2x dx   `  =- ` 2x dx=- 2x ln 2 =- 2 :)1 { ln 2 - [ 1 ln 2 } =- ]1) 1 ln 2 148 | IV . 적분법 1006 :!4` 1007 1   xÜ ` :!3` 1008 eÛ`  ;[!; :E 1009 1010 p : :!0 1012 본책 158~175쪽 1013 x+1)dx ` (   ' + ' `( x-1)dx :)1 = :)1 x+1)+( '§ {( `  '§ x-1)}dx = ` 2 x dx '§ x dx 2 = '§ x;2#; ;3@; =;3$;  [ ]1) :)1 :)1 =2 :)1` 1014 ` (ex+1)dx   + ` (ex-1)dx   :)2 = :)2 {(ex+1)+(ex-1)}dx `  = ` 2ex dx     :)2 =2 ex dx=2 ex =2(eÛ`-1) :)2 :)2` [ ]2)  ;3$;  2(eÛ`-1)  :¤5ª: 1015 :)5 1016 :) = :) - = [ 1017  ;9$;  1 ` x dx+    '§ ` x dx=    '§ ` x dx=    '§ ;3@; x;2#; =18  18 :%9 :)9 [ ]9) ;2Ò; sin   2x   dx   - ;2Ò; sin   2y dy   ;2Ò; sin   2x   dx   p sin 2x dx   = ;2Ò; p sin   2x   dx   cos 2x   ;2!;  : p =-;2!;-{-;2!;} :) =0 p : + ])  0 |cos x|= [ -cos x ÉxÉ p ;2#; } {;2Ò; 이므로 cos x pÉxÉ p ;2%; } {;2#; ;2#; p  (-cos x)dx+ ;2%; p  cos x dx ;2%; p  |cos ;2Ò; x|dx   = ;2Ò; :              = : -sin x p ;2#; + [ ;2Ò; ] [ p ;2#; : ;2%; p   ;2#; ] sin x p =2+2=4  4 Û ` f(x)dx=  f(x)dx+  f(x)dx임을 이용하여 정적분의 값을 :Ab 구한다. :Ac` :Cb`  0 1018 |ex-1|= -ex+1 (xÉ0) ex-1 (x¾0) [ 이므로  |ex-1|dx `(-ex+1)dx `(ex-1)dx = + :_1! = :_0! -ex+x :)1` ex-x +  - 1 ln 2  = e-2 [ ;e!;+ ]0_!   [ ]1)  ;e!; +e-2 ` e4x dx     = ;4!; e4x e12 =;4!; -;4!;=;4!; (e12-1)   (e12-1)  ;4!; :)3 [ ]3) ;2Ò; cos    x dx= sin  x ;2Ò; = sin -sin 0=1 :) [ ]) Ò; ;2Ò 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분  1 Ú 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되게 하는 x의 값을 경계로 적분 구간을 나눈다. 1019 tan x, -x는 기함수이므로  (tan x-x)dx=0 :_1! 1020 sin 2x는 기함수, xÛ`은 우함수이므로 1026 xÛ`-1=t로 놓으면 2x= dt dx  0 x=1일 때 t=0, x=2일 때 t=3이므로 ` 2x(xÛ`-1)Û` dx= ` tÛ` dt tÜ` =9 = ;3!;  9 :)3 [ ]3) :!2 1027  (sin 2x+xÛ`)dx   = 2 ` xÛ` dx   = 2 xÜ` ;3!; =:Á3¤:   :Á3¤: :_2@ :)2 [ ]2) 2xÛ`+1=t로 놓으면 4x= dt dx 1021  f(x)=ex+e-x으로 놓으면  f(-x)=e-x+ex=f(x) 따라서  f(x)=ex+e-x은 우함수이므로  (ex+e-x)dx 2 = (ex+e-x)dx=2  ex-e-x :_4$ =2 eÝ`- :)4` { 1 eÝ ` } [ ]4)  2 eÝ`- 1 eÝ ` { } 1028 x=0일 때 t=1, x=2일 때 t=9이므로 `  x 2xÛ`+1  dx= 4x 2xÛ`+1   dx= ;4!; dt ;t!;  :)2             = :)2`   ln|t| =  ln 9= ;4!; :!9` ;2!;  ln 3   ;4!; ;4!; [ ]9! 1022 sin x는 기함수, cos x는 우함수이므로 p ` (sin -p x   + cos x)dx   = 2 p  cos x dx=2 p sin x =0  0 : :) [ ]) 1023  f(x+2)=f(x)를 만족시키므로 `f(x)dx ``f(x)dx= ``f(x)dx=2 = :_1! ∴` :!3 `f(x)dx= :#5 `f(x)dx+ ``f(x)dx+ ``f(x)dx :_5! =2_3=6 :_1! :!3 :#5  6 1024 2x+1=t로 놓으면 2= dt dx x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=3이므로 `(2x+1)Ü` dx= 2(2x+1)Ü` dx= tÜ` dt ;2!; :)1` ;4!; tÝ` :!3` =;2!; {:¥4Á:-;4!;} =10 ;2!; = ;2!;  [ ]3! :)1 1025 x+1=t로 놓으면 1= dt dx x=0일 때 t=1, x=3일 때 t=4이므로 x+1 dx= t dt= `t ;2!; dt 'Ä :)3`            = t ;2#; = (8-1)= :Á3¢:  :!4 ;3@; ` ' :!4 ;3@; [ ]4!  ;2!; ln 3  ln 2  ;2!; (e-1) ex+1=t로 놓으면 ex= dt dx x=0일 때 t=2, x=ln 3일 때 t=4이므로 ex ln 3   ex+1  dx=  dt= ln|t| `` ;t!; :)              =ln 4-ln 2=ln 2 :@4 [ ]4@ 1029 xÛ`=t로 놓으면 2x= dt dx x=0일 때 t=0, x=1일 때 t=1이므로 `xexÛ` dx= 2x exÛ` dx= et dt ;2!; ;2!; :)1 = :)1` et (e-1) =;2!; :)1`   ;2!;  [ ]1) 1030 sin x=t로 놓으면 cos x= dt dx x=0일 때 t=0, x= 일 때 t=1이므로 ;2Ò; ;2Ò; sinÜ` x   cos   x dx   = ` tÜ` dt   = tÝ` ;4!; =;4!;   ;4!;  10 :) :)1 [ ]1) 1031 x=sin h  { - ;2Ò Ò; ÉhÉ ;2Ò;} 로 놓으면 = ㈎ cos h x=0일 때 h= ㈏ 0 , x=1일 때 h= 이므로 dx dh ;2Ò; 1-xÛ` dx ` "à = ;2Ò;    "à ㈏ 0 1-sinÛ` h_ ㈎ cos h  dh  :Á3¢: :)1 = : ;2Ò;   cosÛ` h dh ㈏ 0 : 9 정적분 | 149 9ㅡ정적분1 1037 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)= 1 ;[!;-     f(x)= -1 ;[!; 1038 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)=-sin x+2  f(x)=-sin x+2 1039 ⑴  f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 1   x+1 lim  -1 x`  Ú `f(t)dt= lim  -1 x`  Ú F(x)-F(-1)    x+1 =F'(-1)=f(-1) :_/! =(-1)Û`-1+3=3 ⑵  f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면 x+2` lim  0 x`  Ú   ;[!; f(t) dt= lim  0 Ú x`  F(x+2)-F(2)    x =F'(2)=f(2) :@ =2Û`-eÜ`+3=7-eÜ``  ⑴ 3 ⑵ 7-eÜ` 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 1040 |전략| `xn dx= xn+1 (n+-1),  dx= ln|x| 임을 이   ;[!; 1 n+1 [ ]bA :Ab` [ ]bA -2x+1 xÛ ` `  xÜ  dx= ` {;[!;- ` :!2                = :!2 ` + 2 xÛ ` 1 xÜ `  dx } -2x-2+x-3 dx }  {;[!; :!2 ln|x|+2x-1- x-2 ;2!;                =                = [ ln 2+ { - ;8&;} ;2#; ]2! =ln 2- ;8%;   ln 2 -;8%; 정답과 해설 이때, cos 2h=2 cosÛ` h-1에서 cosÛ` h= 1+cos 2h 2 이므로 1-xÛ` dx ` "à ;2Ò; cosÛ` h dh=     ㈏ 0 ;2!; ;2Ò;   (1+cos 2h)dh ㈏ 0 = :)1 = : ;2!; [ ㈐ h+ sin 2h ;2!; = ㈑ ;4Ò; : ;2Ò; ㈏ 0 ]  ㈎ cos h ㈏ 0 ㈐ h+ 2h ㈑ sin   ;2!;  ;4Ò; 1032 x=2 sin h - ÉhÉ 로 놓으면 =2 cos h { ;2Ò; ;2Ò;} dx dh x=0일 때 h=0, x= 2일 때 h= 이므로 ' ;4Ò; 2 ' 1 4-xÛ `   "à  dx= :)               = :) 1 ;4Ò;  "à 2 cos h ;4Ò;  2 cos h _2 cos h dh 4-4 sinÛ` h   dh= ;4Ò; dh= h ;4Ò;= ;4Ò;   ;4Ò Ò; :) :) [ ]) 1033 x=tan h { - h ;2Ò;< <;2Ò;} 로 놓으면 =secÛ` h x=0일 때 h=0, x= 일 때 h= 이므로 dx dh ;6Ò; 1 3 ' 1 +1  dx= ` xÛ :) ` = 1 tanÛ` h+1 _secÛ` h dh 1 3 ' ;6Ò;  :) :) ;6Ò;  secÛ` h secÛ` h   dh = ;6Ò; dh = ;6Ò; h =;6Ò;   ;6Ò; :) [ ]) 1034  f(x)=x, g '(x)=ex으로 놓으면  f '(x)=1, g(x)=ex ∴` ` xex dx= xex - `ex dx=e- ex 1035  f(x)=ln x, g '(x)=1로 놓으면  f '(x)= , g(x)=x ;[!; ` ∴`  ln x dx= x ln x - `dx=e- x ` 1036 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)=-e-x 150 | IV . 적분법 [ =e-(e-1)=1 :)1 :)1 ]1) [ ]1)  1 용한다. :Ab [ =e-(e-1)=1 :!e :!e ]e! [ ]e!  1 1041 x+2   xÛ`-x-6  dx= x+2 (x-3)(x+2)  dx :_1!                = :_1! 1   x-3 dx= ln|x-3|                =ln 2-ln 4=-ln 2 :_1! [ ]1_!  f(x)=-e-x ∴ a=2  ② 1042 `  1 x(x+1)  dx+ `  1 y(y+1)   dy+ `  :@1 = `  :@1 = `  :@4 = `  1 x(x+1) 1 x(x+1) 1 x(x+1) :!4  dx+ :$3  dx+ `  1 x(x+1) 1 x(x+1) 1 x+1 }  dx -   {;[!; :!4 :$3  dx :$3  dx+ `   dx=  dz 1 z(z+1) 1 x(x+1) `   dx :@3 ln|x|-ln|x+1| :@3` = =(ln 3-ln 4)-(ln 2-ln 3) ]3@ [ =2 ln 3-3 ln 2=ln  ;8(; 1043 |전략| xn dx= xn+1 (n+-1)임을 이용한다. 1 n+1 :Ab` x-Ü [ x )Û` dx= ]bA ` (x-2 ` ( '§ '§ x`Ü x+Ü xÛ` )dx '§ '§ " :)1                = :)1 ` (x-2x;6%;+x;3@;)dx :)1                = xÛ` ;2!; -;1!1@; x:Á6Á: +;5#; x;3%;                = [ ;2!;-;1!1@;+;5#;=;11!0; ]1) 1046 |전략| ekx dx= ekx ;k!; 임을 이용한다. ln dx :òÕ` e3x 2   ex+1     e3x 2 ln   ex+1     e3x+1 2   ex+1     ln :) = :) = = :) ;2!; e2x-ex+x [ - 0 ` ln 2 dx : +  dt ]Õò 1 et+1 1 ln 2   ex+1  dx :) ln 2 dx = ln 2 :)  (e2x-ex+1)dx [ = {;2!;_ 4-2 ]) 2 ln   + }-{;2!; -1 ln 2   +;2!; }=  ⑤  ③ 1047 e2x+4ex+4 dx=   "à (ex+2)Û` dx   "à :_0! = :_0!  (ex+2)dx (∵ ex+2>0) = :_0! ex+2x =1-(e-1-2)=3- ]0_! [ ;e!;   3- ;e!; 1048  ④ `(3x+1)(9x-3x+1)dx= `(27x+1)dx :)1 = :)1 27x ln 27 +x = [ { 27 ln 27 +1 ]1) }- 1 26 ln 27 = ln 27 + 1 따라서 a=26, b=1이므로 a+b=27  ④ 1044 `  { f(x-1)}Û  f(x) `  dx= `  :!3                 = :!3 x-1 dx = x   ''§ x -   {'§ dx 1 x } ''§ ` (x;2!;-x-;2!;)dx= x;2#;-2x;2!; :!3` ;3@; :!3                 =(2 3-2 3)- ' ' [ 2 {;3@;- }=;3$; ]3!  ⑤ 1049 |전략| sin kx dx= cos kx 임을 이용하여 주어진 정적분의 값을 a -;k!;  [ 에 대한 식으로 나타낸다. :òÕ` ]Õò (sin x   + cos x)Û`   dx   - ` (sin x-cos x)Û` dx ` {(1+2 sin x cos x)-(1-2 sin x cos x)} dx :)a  f(x)dx=  `f(x)dx+ ` f(x)dx+ y +  f(x)dx a+1 :A :)a` = :)a =               = :)1` a+1 :!2  f(x)dx= a+1  3 x dx '§               = :) a+1  3x;2!; dx = :) 2x;2#; a+1               =2(a+1);2#; :) [ ]) 즉, 2(a+1);2#;=54이므로 (a+1);2#;=27, a+1=9 4   sin   x   cos   x   dx   = ` 2 sin 2x dx :)a` -cos 2x = :)a =-cos 2a+1 … ❶ [ ]a) 즉, -cos 2a+1= 이므로 ;2!; cos 2a= 2a ;2!;,  =;3Ò; (∵`0<2a³  Xn-1+2(n-1) an=aÁ+2{1+2+3+ y +(n-1)} ∴ an=aÁ+2 k=1+2_ n-1 k=1 (n-1)n 2 =(n-1)n+1 ∴` ;2Ò;``f(x)cos x dx=0 an¾101에서 (n-1)n+1¾101 ∴ (n-1)n¾100 이때, 9_10=90, 10_11=110이므로 구하는 자연수 n의 최솟값 따라서 정적분의 값이 항상 0인 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ㄱ, ㄷ 은 11이다.  ③ 9 정적분 | 153 9ㅡ정적분X X X X X ;  (tÛ`+1)_t_2t dt ` (tÝ`+tÛ`)dt 1064 |전략| 'Ä 'Ä x-1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. x-1=t로 놓으면 x=tÛ`+1이고 1=2t x=1일 때 t=0, x=2일 때 t=1이므로 ` x x-1 dx 'Ä = ` :!2 :)1 =2  tÞ` ;5!; +;3!; tÜ` =;1!5^; [ 따라서 p=15, q=16이므로 p+q=31 다른 풀이 x-1=t로 놓으면 1= dt dx ]1) x=1일 때 t=0, x=2일 때 t=1이므로 dt dx 2 = :)1 `(t+1) t dt= `(t t+ t )dt ' ' ' `x x-1 dx 'Ä = :!2 = t;2%;+ t;2#; ;3@; = :)1 ;1!5^; :)1 ;5@; [ 따라서 p=15, q=16이므로 p+q=31 ]1) x=0일 때 t=2, x=2일 때 t=5이므로 2x ln 2 2x+1     dx  dt= ln|t| = ` ;t!; :)2` =ln 5-ln 2=ln  :@5 [ ]5@ ;2%; 1068  31 ' 2  (x+1)Û` exÛ` dx- 2 '  (x-1)Û` exÛ` dx :) = ' :) 2  {(x+1)Û`-(x-1)Û`}exÛ` dx= 2 '  4xexÛ` dx :) 이때, xÛ`=t로 놓으면 2x= dt dx :) x=0일 때 t=0, x= 2일 때 t=2이므로 ' ' 2  4xexÛ` dx=2 ` et dt=2 et =2(eÛ`-1) :) :)2 [ ]2) 1065 xÛ`+1=t로 놓으면 2x= dt dx x=0일 때 t=1, x= 3일 때 t=4이므로 3 ' 4x xÛ `   "à +1  dx=2  dt=2 ` t-;2!; dt :!4 :) =2  :!4 =4  ④ ' 1 t `  ' 2t;2!; [ ]4! 1066 xÜ`+2=t로 놓으면 3xÛ`= dt dx x=0일 때 t=2, x=a일 때 t=aÜ`+2이므로 … ❶ 1069 (ex+1)(2e2x-ex) ln 2   e3x+1 dx   = :) = :) (ex+1)(2ex-1)ex ln 2   (ex+1)(e2x-ex+1) (2ex-1)ex ln 2   e2x-ex+1  dx  dx 이때, ex=t로 놓으면 ex= :) dt dx x=0일 때 t=1, x=ln 2일 때 t=2이므로 (2ex-1)ex ln 2   e2x-ex+1  dx= `  2t-1 t2-t+1  dt :) = :!2 ln |tÛ`-t+1|  f '(t)  f(t) dt= ln| f(t)| :!2` [ ]2! =ln 3 [ ]2!  ② `` 6xÛ ` +2 xÜ `  dx=2  dt=2 ln|t| aÜ`+2   ;t!; aÜ`+2 :)a =2{ln(aÜ`+2)-ln 2} (∵ a>0) :@ ]@ [ =ln  { aÜ ` +2 2 } 2` =ln 25이고 a>0이므로 =5, aÜ`=8 ∴ `a=2 즉, ln  { aÜ ` +2 2 } 2` aÜ ` +2 2 채점 기준 ❶ xÜ`+2=t로 치환하고 적분 구간을 구할 수 있다.  dx를 a에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다. ❷ `  6xÛ` xÜ`+2 :)a ❸ a의 값을 구할 수 있다. 1067 |전략| 2x+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. 2x+1=t로 놓으면 2x ln 2= dt dx 154 | IV . 적분법 … ❷ … ❸  2 비율 40`% 40`% 20`% 1070 |전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ln x=t로 놓으면  = ;[!; dt dx x=e일 때 t=1, x=eÝ`일 때 t=4이므로  dx=  dt= ` t-;2!; dt eÝ`   x 1 ln x '¶ :E = :!4 =2 1 `  t ' :!4 2t;2!; [ ]4! 1071 ln x-1=t로 놓으면 = dt dx ;[!; x=1일 때 t=-1, x=eÛ`일 때 t=1이므로 eÛ `  1 x(ln x-1)Û ` :! = 1   tÛ ` :_1! -t-1 :_1! =-2  dx=  dt=  t-2 dt [ ]1_!  ②  ④  ②  ① 정답과 해설 1072 ln x=t로 놓으면 = ;[!; dt dx x=1일 때 t=0, x=e일 때 t=1이므로 … ❶ an= (ln x)n x dx = ` tn dt=  tn+1 = … ❷ 1 n+1 1 n+1 ]1) :!e` ¦ :)1 n [ ∴`  an an+1= lim  ¦ Ú n`  k=1 n=1  ak ak+1 = lim  ¦ Ú n`  k=1 = lim  ¦ Ú n`  k=1 n n 1   (k+1)(k+2) - 1 1 k+1   { k+2 } = lim Ú n`   ¦[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;} + y + { 1 n+1 - 1 n+2 }] … ❸  ;2!; 비율 30`% 30`% 40`% = lim Ú n`   ¦{;2!;- n+2 }=;2!; 1 채점 기준 ❶ ln x=t로 치환하고 적분 구간을 구할 수 있다. ❷ an을 n에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다. ❸ ¦ n=1 an an+1의 값을 구할 수 있다. 1073 |전략| sin x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ;2Ò; cosÜ` x dx= ;2Ò; (1-sinÛ` x)cos x dx :) :) 이때, sin x=t로 놓으면 cos x= dt dx x=0일 때 t=0, x= 일 때 t=1이므로 ;2Ò; ;2Ò; (1-sinÛ` x)cos x dx= `(1-tÛ`)dt :)                     = :)1 t- tÜ` ;3!; =;3@; [ ]1)  ② 1074 ;2Ò;  f(x) sin 2x dx= ;2Ò; (sin x+1) sin 2x dx :) = :) ;2Ò; (sin x+1)_2 sin x cos x dx 이때, sin x=t로 놓으면 cos x= x=0일 때 t=0, x= 일 때 t=1이므로 :) ;2Ò; dt dx = ;2Ò; (sin x + 1)_2 sin x cos x dx ` (t+1)_2t dt :) = :)1 `(2tÛ`+2t)dt = tÜ`+tÛ`  ⑤ :)1 ;3@; [ =;3%; ]1) 1075 0 `` xÛ` tan x dx+ - ;4Ò; : = :) 0 `` xÛ` tan x dx+ - ;4Ò; ;4Ò; (xÛ`+1)tan x dx ;4Ò; xÛ` tan x dx+ ;4Ò; tan x dx : : - ;4Ò; = ;4Ò;` xÛ` tan x dx+ ;4Ò; tan x dx :) :) = ;4Ò; tan x dx= :) sin x ;4Ò;  cos x  dx :) :) 이때, cos x=t로 놓으면 -sin x= dt dx 2 2 이므로 x=0일 때 t=1, x= ;4Ò 일 때 t= ' Ò; 2 ' 2  dt=   ;t!;  dt ;t!; `` 2 ' 2 : 1 2 =-ln ' 2 =ln  ' 2 ;4Ò;  sin x cos x  dx=- :) = :! ln|t| 2 ' 2 ]1 [ xÛ`은 우함수, tan x는 기함수이므로 xÛ` tan x는 기함수이다. 1076 |전략| x=2 sin h - ÉhÉ 로 놓고 치환적분법을 이용한다. { ;2Ò; ;2Ò;} x=2 sin h - ÉhÉ 로 놓으면 =2 cos h { ;2Ò; ;2Ò;} dx dh x=0일 때 h=0, x=2일 때 h= 이므로 ;2Ò; 4-xÛ` dx= 4-4 sinÛ` h_2 cos h dh "à :)2` :) =4 ;2Ò; cosÛ` h dh ;2Ò;  "à :) 이때, cos 2h=2 cosÛ` h-1에서 cosÛ` h= 4 ;2Ò; cosÛ` h dh 4 = ;2Ò;  1+cos 2h 2  dh :) = :) ;2$;  [ h+  sin 2h ;2Ò;=p ;2!; ]) 1+cos 2h 2 이므로  ④  p 1077 9x-xÛ`=9-(9-9x+xÛ`)=9-(3-x)Û`이므로 9x-xÛ` dx = ` "à `"à 9-(3-x)Û` dx :)3 :)3 이때, 3-x=3 sin h - { ;2Ò; ÉhÉ ;2Ò;} 로 놓으면 - =3 cos h dx dh x=0일 때 h= , x=3일 때 h=0이므로 ;2Ò; 9-(3-x)Û` dx=- 9-9 sinÛ` h_3 cos h dh ` "à :)3 :                 =-9  cosÛ` h dh=9 ;2Ò; cosÛ` h dh 이때, cos 2h=2 cosÛ` h-1에서 cosÛ` h= :) 1+cos 2h 2 이므로 0 ;2Ò;   "à 0 ;2Ò; : ;2Ò;  1+cos 2h 2  dh 9 ;2Ò; cosÛ h `  dh   = 9 :) = h :) ;2(;  [ sin 2h +;2!;  ;2Ò; =;4(; p   p  ;4(; ]) 9 정적분 | 155 9ㅡ정적분; ; ; ; ; Ò Ò 1078 |전략| x=3 tan h  { - ;2Ò; 0) : :` ;2!; [  f(x)=cos x+ ]) 이므로 f(0)   ;4#; =;4&; 따라서 p=4, q=7이므로 pÛ`+qÛ`=65 다른 풀이 ;3Ò;`f(t) sin t dt=k (k는 상수) :) 로 놓으면  f(x)=cos x+k  f(t)=cos t+k를 ㉠에 대입하면 ;3Ò;(cos t+k) sin t dt=k :) 이때, cos t+k=l로 놓으면 -sin t= dl dt ` tf(t)dt=k (k는 상수) yy ㉠ t=0일 때 l=1+k, t= ;3Ò;일 때 l= ;2!; +k이므로 ;3Ò; (cos t+k) sin t dt +k ;2!;  l dl= =- 1+k :) = 1+k      l dl +k` ;2!; :` (1+k)Û`- : lÛ` ;2!; 1+k   +k ;2!; = ;2!; [ ;2K; ] ;8#; +k ;2!;{;2!; } 2` = + 즉, ;2K; + =k이므로 ;2K; ;8#; = ;8#; ∴ k= ;4#;  f(x)=cos x+ ;4#;이므로  f(0)= 따라서`p=4, q=7이므로 pÛ`+qÛ`=4Û`+7Û`=65 ;4&; 1090 :!e 로 놓으면  f(x)=ln x+k  f(t)=ln t+k를 ㉠에 대입하면 ` t(ln t+k) dt=k :!e 이때, u(t)=ln t+k, v'(t)=t로 놓으면 u'(t)= , v(t) tÛ`이므로` ;t!; =;2!; `t(ln t+k) dt= tÛ`(ln t+k)  - ;2!; tÛ` dt   ;t!;_;2!; [ :!e = ;2!; eÛ`(1+k) ]e! k -;2!; :!e` -;2!; ` t dt = eÛ`(1 k)- ;2!; + k ;2!; = (1+k)- k eÛ ;2!; ` ;2!; -;4!; = eÛ ;4!; `+;2!; k(eÛ 1) `- +;4!; tÛ` ;2!; :!e -;2!;  [ ]e! (eÛ`-1) ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 2f(1)-1=0에서  f(1)= 이므로 ;2!; 따라서 ln  f(x)=- ln x   + ;2!;  ln  ;2!; =ln  2 이므로 1 x '§ C=ln  ;2!;  f(x)= '§ ∴  f(9)= 2 1 x 1 = ;6!; 2 9 '  ① yy ㉠ 1092  f(x)= `  2 1+tÝ  dt ` ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 :)/  f '(x)= 2 1+xÝ ` `  2e f(x) 1+xÝ ` ㉠의 양변에 x=0을 대입하면  f(0)=0 dx에서 e f(x)=h로 놓으면 :)a e f(x)_f '(x)= dh dx , 2e f(x) 1+xÝ = dh dx ` x=0일 때 h=e f(0)=1, x=a일 때 h=e f(a)=e이므로 2e f(x) 1+xÝ `  `  dx = :)a :!e [ ]e! `dh= h =e-1  ① 1093 xf(x)=xÛ`ex+ ``f(t)dt yy`㉠ :!/ ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)+xf '(x)=2xex+xÛ`ex+f(x) ∴` f '(x)=2ex+xex=(x+2)ex  f(x)= `(x+2)ex dx에서 u(x)=x+2, v'(x)=ex으로 놓으면 즉, eÛ ;4!; `+;2!; k(eÛ`-1) +;4!; =k이므로 u'(x)=1, v(x)=ex이므로 : 158 | IV . 적분법 정답과 해설 |전략| 좌변을 (t+x) f(t)dt `tf(t)dt+x ` f(t)dt로 변형한 후 양 함수 f(x)는 x=-1일 때 극소이므로 극솟값은  f(x)= `(x+2)ex dx=(x+2)ex- `ex dx =(x+2)ex-ex+C=(x+1)ex+C : : ㉠의 양변에 x=1을 대입하면  f(1)=e 즉, 2e+C=e이므로 C=-e 따라서  f(x)=(x+1)ex-e이므로  f(-1)=-e 1094 ` :!/ = :!/ :!/ 변을 x에 대하여 미분한다. ` (t+x)f(t)dt=ex+x-e-1에서 :!/ ` tf(t)dt`+x ``f(t)dt=ex+x-e-1 :!/ 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 :!/ xf(x)+ ` f(t)dt+xf(x)=ex+1 :!/ ∴`2xf(x)+ `f(t)dt=ex+1 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 2f(1)=e+1 :!/` ∴` f(1)= e+1 2 1095 :)/ x :)/ ∴ ` (x-t)f(t)dt=sin x-x에서 ``f(t)dt- ` tf(t)dt=sin x-x :)/ 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 :)/ ``f(t)dt+xf(x)-xf(x)=cos x-1 ``f(t)dt=cos x-1 1096 = :)/ :)/ 2f(t)dt=x `2f(t)dt `(x-t)f '(t)dt-cos 2x+1에서 f '(t)dt- tf '(t)dt-cos 2x+1 :)/` 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 :)/` :)/` 2f(x)= f '(t)dt+xf '(x)-xf '(x)+2 sin 2x 2f(x)=f(x)-f(0)+2 sin 2x :)/` ∴  f(x)=-f(0)+2 sin 2x 위의 식의 양변에 x=0을 대입하면  f(0)=0 ∴  f(x)=2 sin 2x 1097 |전략|  f '(x)=0을 만족시키는 x의 값의 좌우에서  f '(x)의 부호를 조사하여 증감표를 작성한 후 극값을 구한다.  f(x)= `(t+1)e-t dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 :)/  f '(x)=(x+1)e-x  f '(x)=0에서 x=-1`(∵`e-x>0)  -e f '(x) - x f(x) y ↘ -1 0 극소 y + ↗  f(-1)= ` (t+1)e-t dt=- `  (t+1)e-t dt `1 :)- 이때, u(t)=t+1, v'(t)=e-t으로 놓으면 u'(t)=1, v(t)=-e-t이므로 :_0!  (t+1)e-t dt= -(t+1)e-t -  (-e-t)dt :_0! =-1+ [ -e-t ]0_! :_0! =-1+(-1+e)=e-2 [ ]0_! ∴` f(-1)=-(e-2)=2-e  2-e  e+1 2 1098  f(x)= (t t-2t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 ' :)/`  f '(x)=x '§ x-2x=x( x-2) '§  f '(x)=0에서 x=4 (∵ x>0) x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 4 0 극소 y + ↗ 함수  f(x)는 x=4일 때 극소이므로 극솟값은  f(4)= `(t t-2t)dt (t;2#;-2t)dt ' = t;2%; tÛ` - ;5@; :)4 [ = ` = :)4 -:Á5¤: ]4) 1099  f '(x)=(1+cos x) sin x :)/  f '(x)=0에서 x=p (∵`00) x (0) f '(x) f(x) y - ↘ 2 0 극소 y + ↗ g(t)dt=g(x+a)-g(x)임을 이용한다.  f(x)= t+ dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 함수 f(x)는 x=2일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은  f(2)= t+ `  { ;t^;}  dt = ;2!; tÛ`+6 ln|t| = +6 ln 3 :@3 {;2(; [ 2+6 ln 2 }-{ }=;2%; ]3@ +6 ln  ;2#;   ;2%; +6 ln  ;2#; … ❸  - eÜ` 2 비율 30`% 50`% 20`% ❶  f '(x)=0을 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. ❷  f(x)의 최솟값을 구할 수 있다. ❸ a+b의 값을 구할 수 있다. 채점 기준 1102  f(x)=4 `(t-t ln t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면  f '(x)=4(x-x ln x)=4x(1-ln x) :!/  f '(x)=0에서 x=e (∵ x>0) x (0) f '(x) f(x) y + ↗ e 0 극대 y - ↘ 함수  f(x)는 x=e일 때 극대이면서 최대이므로 최댓값은  f(e)=4 `(t-t ln t)dt=4 t(1-ln t) dt 이때, u(t)=1-ln t, v'(t)=t로 놓으면 :!e` :!e u'(t)=- , v(t) tÛ`이므로 ;t!; =;2!; ` t(1-ln t)dt= tÛ`(1-ln t) - ;2!;  {-;t!;}_;2!; tÛ` dt   :!e              = [ -;2!;+;2!; ]e! :!e` `t dt=-   tÛ` ;2!;+;2!; ;2!;              =- :!e eÛ ` ;2!;+;2!; { 2 -;2!;}=;4!; [ (eÛ`-3) ]e! 1101  f(x)= tetÛ`-1 dt- 의 양변을 x에 대하여 미분하면 ;2Áe; :_/@  f '(x)=xexÛ`-1  f '(x)=0에서 x=0 (∵ exÛ`-1>0) x y f '(x) - 0 0 f(x) ↘ 극소 y + ↗ 함수  f(x)는 x=0일 때 극소이면서 최소이므로 최솟값은  f(0)=  tetÛ`-1 dt -;2Áe; :_0@ 이때, tÛ`-1=s로 놓으면 2t= ds dt t=-2일 때 s=3, t=0일 때 s=-1이므로  f(0)= tetÛ`-1 dt- ;2Áe;=;2!; `es ds -;2Áe; =- :_0@` ;2!; es ds- =- :_3! eÜ`- ;2!;{ ;e!;}-;2Áe; es :#-` 1 ;2Áe;=-;2!;  [ eÜ ` 2 =- ]3_! -;2Áe; 160 | IV . 적분법 ∴  f(e)=4 t(1-ln t)dt :!e` 4_        = ;4!; (eÛ`-3)=eÛ`-3  ④ … ❶ |전략| lim x Ö 0   ;[!;  f(t)dt=f(a)임을 이용한다.  f(x)=x sin x, F'(x)=f(x)로 놓으면 x+a :A 1103 =lim  0 h`  Ú =lim  0 h`  Ú =lim  0 h`  Ú =3F' lim  0 h`  Ú   ;h!; +3h ;2Ò; -h ;2Ò; x sin x dx : F    +3h -F -h } {;2Ò; {;2Ò; } h } h } 3h F    {;2Ò; +3h -F {;2Ò;} F    {;2Ò; -h } h -F {;2Ò;} -lim  0 h`  Ú F    {;2Ò; +3h -F {;2Ò;} -F F    {;2Ò; -h } -h {;2Ò;} _3+lim  0 Ú h`  F' 4F' {;2Ò;}+ {;2Ò;}= {;2Ò;} … ❷ 4f  = {;2Ò;}= _;2Ò; 4 =2p  ③ 정답과 해설 1104  f(t)= cos 2t sin t+1 , F'(t)=f(t)로 놓으면 1108 유형  04 삼각함수의 정적분 |전략| `sin ax dx cos ax   , ` cos ax dx=   sin ax 임을 이 -;a!;  = [ ]Õò :òÕ ;a!;  [ ]Õò 용한다. :òÕ 1   x- lim   x`  ;2Ò; Ú cos 2t sin t+1   `  ;2Ò;  dt= lim   ;2Ò; x`  Ú ;2Ò; : F(x)-F   {;2Ò;} x- ;2Ò; =F' {;2Ò;}= f  {;2Ò;}=-;2!;   -;2!; 1105 F'(t)=f(t)로 놓으면 1   x-1 lim  1 x`  Ú :! xÜ` f(t)dt=lim F(xÜ   x`   1 Ú F(xÜ   )-F(1) ` x-1 )-F(1) ` xÜ -1 `                   =lim  1 Ú x`  _(xÛ`+x+1)                   =3F'(1)=3f(1)=3e  ④ ;4Ò;  sinÛ` x sin x+cos x   dx + cosÛ` x   sin x+cos x 0 ;4Ò;  dx :) = ;4Ò;  sinÛ` x sin x+cos x   : dx- ;4Ò;  cosÛ` x sin x+cos x  dx ;4Ò;  sinÛ` x-cosÛ` x sin x+cos x  dx :) ;4Ò;  (sin x+cos x)(sin x-cos x) sin x+cos x  dx :) = :) = :) = ;4Ò; (sin x-cos x)dx :) -cos x-sin x = ;4Ò; [ =- ]) 2-(-1)=1- ' 2 ' 1109 유형  05 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분 |전략| 적분 구간을 나누어 정적분의 값을 구한다. 3  ` -;3Ò; f(x)dx 0  ` = -;3Ò; sin x dx + : = : -cos x + -1 dx } 1 x+1 { :)3` ln|x+1|-x [ =- -;3Ò ]0 [ +(ln 4-3) ;2!; =ln 4- ]3)  ① 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 1106 유형  01 유리함수의 정적분 |전략|  dx `  ;[!; = 용한다. :Ab ln|x| , ` xn dx= xn+1 (n+-1)임을 이 1 n+1 [ ]bA :Ab [ ]bA 1110 `f(x)dx -2 dx= ln|x|-2x = {;[!; } :!e =(ln e-2e)-(-2)=3-2e :!e` [ ]e!  ③ `f(x) dx= c : :òÕ ``f(x) dx, ` ekx dx= ekx ;k!; 임을 :òÕ [ ]Õò 1107 유형  03 지수함수의 정적분 |전략| c f(x) dx+ :ò 이용한다. ¦ n=1 an= lim  ¦ n`  Ú     = lim  ¦ Ú n`  n ak k=1     = lim Ú n`   ¦[  (aÁ+aª+ y +an) 따라서 a=4, b=- 이므로 a+b =;2!;  ② ;2&; ;2&; 유형  06 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분 |전략| ex-2=0이 되게 하는 x의 값을 경계로 적분 구간을 나누어 정적분의 값 을 구한다. ex-2=0에서 ex=2 ∴ x=ln 2 즉, |ex-2|= 2-ex (xÉln 2) ex-2 (x¾ln 2) [ 이므로 ln 4 |ex-2|dx ln 2 (2-ex)dx ln 4 (ex-2)dx = + ln 2 :) = :) 2x-ex ln 2 + : ex-2x ln 4 ln 2 =(2 ln 2-1)+(2-2 ln 2)=1 ]) [ ] [  ② 9ㅡ 정 적 분 ``f(x)dx+ ` f(x)dx+ y + n+1 `f(x)dx ] 1111 :!2 n+1 :@3     = lim  ¦ Ú n`    f(x)dx= lim Ú n`   ¦  n+1  e-x dx :N     = lim  ¦ Ú n`  :! -e-x   n+1 = lim n`  Ú  ¦{ :! - 1 en+1 + = ;e!; ;e!;} [ ]! 유형  08 주기함수의 정적분 |전략| 주기가 p인 연속함수  f(x)에 대하여  ② 임을 이용한다. a+p `f(x)dx = b+p `f(x)dx :A :B 9 정적분 | 161 Õ ; ; /  f(x)=|sin 2x|로 놓으면  f(x)는 주기가 인 주기함수이므로 1114 ;2Ò; |sin 2x|dx |sin 2x|dx ;2Ò;|sin 2x|dx - -p 0   -;2Ò; = :               = : p |sin 2x|dx ;2Ò; = :) ;2Ò; : p  |sin 2x|dx=4 ∴ -p ;2Ò;|sin 2x|dx=4 ;2Ò;sin 2x dx : :) =4  - :) cos 2x ;2Ò; ;2!;  [ ]) =4  [;2!;-{-;2!;}] =4 유형  11 정적분의 치환적분법 – 로그함수 + 12 정적분의 치환적분법 – 삼각함수 |전략| ln(x+1)=s, cos x=t로 놓고 각각 치환적분법을 이용한다. 주어진 식의 좌변에서 ln(x+1)=s로 놓으면 1 x+1 = ds dx x=0일 때 s=0, x=eÛ`-1일 때 s=2이므로 a+ln(x+1) eÛ`-1   x+1  dx =  (a+s)ds :) = :)2 as+  ④ sÛ` =2a+2 ;2!; yy ㉠ 주어진 식의 우변에서 [ ;2Ò; sin 2x cos x dx   ]2) 2 = ;2Ò; sin x cosÛ` x dx 삼각함수의 주기 ⑴ 함수 y=a sin bx+c의 주기 ⇨ ⑵ 함수 y=a cos bx+c의 주기 ⇨ ⑶ 함수 y=a tan bx+c의 주기 ⇨ ⑷ 함수 y=|a sin bx|+c의 주기 ⇨ ⑸ 함수 y=|a cos bx|+c의 주기 ⇨ 2p |b| 2p |b| p |b| p |b| p |b| 1112 유형  10 정적분의 치환적분법 – 지수함수 |전략| ex+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ex+1=t로 놓으면 ex= dt dx x=-a일 때 t=e-a+1, x=a일 때 t=ea+1이므로 ea+1 ex   ex+1  dx= e-a  +1 :_aA =ln(ea+1)-ln(e-a+1) : ] [ e-a+1  dt= ln|t|    ;t!; ea+1 =ln  ea+1 e-a+1 =ln  ea(ea+1) 1+ea =ln ea=a ∴ a=9  ⑤ 1113 유형  11 정적분의 치환적분법 – 로그함수 |전략| ln x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ln x=t로 놓으면 = ;[!; x=e일 때 t=1, x=en일 때 t=n이므로 dt dx  f(n)=  dx= ` t dt en ln x   x = :E ;2!; tÛ` :!n nÛ ` 2 -;2!; = ]n! [  f(n) nÛ ` ∴ lim  ¦ n`  Ú = lim  ¦ n`  Ú nÛ ` 2 -;2!; nÛ ` 162 | IV . 적분법 이므로 cos x=t로 놓으면 -sin x= :) dt dx x=0일 때 t=1, x= 일 때 t=0이므로 :) ;2Ò; 2 ;2Ò; sin x cosÛ` x dx=-2 `tÛ` dt=2 `tÛ` dt :) =2  :!0 tÜ` ;3!; =;3@; :)1 따라서 ㉠=㉡에서 2a+2= [ ]1) 이므로 ;3@; 2a=- ;3$;    ∴ a =-;3@; yy ㉡  ② 1115 aÛ`-xÛ` 꼴 + 14 삼각치환법 – 유형  13 삼각치환법 – "à 1 +xÛ ` aÛ ` 꼴 |전략| 피적분함수가 "à aÛ`-xÛ` (a>0) 꼴이면 x=a sin h  {-;2Ò; ÉhÉ , ;2Ò;} 1 aÛ`+xÛ` (a>0) 꼴이면 x=a tan h  0) ∴  f(x)=ex+C : ㉠에 x=0을 대입하면  f(0)=1이므로 C=0 따라서  f(x)=ex이므로  f(4)=eÝ`  ④ 1119 을 구한다. 유형  22 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 |전략| 양변을 x에 대하여 미분하여  f '(x)를 구한 후, 극값을 이용하여 최댓값  f(x)= `(2-et)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 :)/  f '(x)=2-ex  f '(x)=0에서 ex=2 x y f '(x) + ln 2 0 ∴ `x=ln 2`` y - ↘ 함수  f(x)는 x=ln 2일 때 극대이면서 최대이므로 최댓값은  f(ln 2)=  (2-et)dt= 2t-et ln 2 ln 2 =(2 ln 2-2)-(-1)=2 ln 2-1 [ ]) :)  ② 1120 유형  02 무리함수의 정적분 1 n+1 = [ |전략| n+-1일 때 xn dx xn+1 임을 이용하여 를 n에 대한 식으로 나타낸다. :Ab ]bA 1 x+1 ;n!;  'Ä  dx= ;n!; (x+1)-;2!; dx= ;n!; 2 x+1 'Ä :) :) =2 ®É;n!; [ n+1- +1-2=2_ 'Ä ]) n '§ n '§ 1 x+1 ;n!;  'Ä  dx :) = ∴ lim n`  Ú  ¦[ (n+1) 2 n+1+ n) '§ 'Ä n( '§ ;n!;  'Ä 1 x+1 :)  dx = lim  ¦ n`  Ú ]   '§ n( 'Ä 2(n+1) n+1+ =1 n) '§ 채점 기준 1 x+1 ;n!;  'Ä  ¦[(n+1) ❶ :) ❷ lim n`  Ú  dx를 n에 대한 식으로 나타낼 수 있다. 1 x+1 ;n!;  'Ä :)  dx]의 값을 구할 수 있다. … ❶ … ❷  1 배점 4점 2점 9 정적분 | 163 9ㅡ정적분' ' x=-1일 때 t=-1, x=1일 때 t=7이므로 … ❶ 1121 유형  09 정적분의 치환적분법 – 유리함수·무리함수 |전략| xÜ`+3x+3=t로 놓고 치환적분법을 이용한다. xÜ`+3x+3=t로 놓으면 3xÛ`+3= dt dx xÛ +1 +3x+3 `   xÜ `  dx= ;3!;  dt   ;t!; :_1! = :_7! ln|t|  ln 7 =;3!; ;3!;  [ 7이므로 a ln   ;3!;  ]7_! =;3!; 따라서 a ln 7= 채점 기준 ❶ xÜ`+3x+3=t로 치환하고 적분 구간을 구할 수 있다. ❷   xÛ`+1 xÜ`+3x+3 :_1! ❸ a의 값을 구할 수 있다.  dx의 값을 구할 수 있다. 1123 유형  07 우함수·기함수의 정적분 |전략|  f(x)가 우함수이면 f(x) dx 2 = f(x) dx,  f(x)가 기함수이면 :_aA` `f(x) dx=0임을 이용한다. :)a` :_aA ⑴  f(x)=2x+2-x, g(x)=7x-7-x에서  f(-x)=2-x+2x=f(x)  g(-x)=7-x-7x=-(7x-7-x)=-g(x) 이므로  f(x)는 우함수, g(x)는 기함수이다. ⑵  (2x+7x+2-x-7-x)dx=2 `(2x+2-x)dx :_1! :)1 =2  [ =2_ 2x ln 2 - 2-x ln 2 3 2 ln 2 = ]1) 3 ln 2  ⑴ f(x): 우함수, g(x): 기함수 ⑵ 채점 기준 ⑴  f(x)=2x+2-x, g(x)=7x-7-x으로 놓고 두 함수가 우함수인지 기함 수인지 각각 구할 수 있다. ⑵ 정적분 `(2x+7x+2-x-7-x)dx의 값을 구할 수 있다. :_1! 3 ln 2 배점 4점 6점 1122 유형  18 적분 구간이 상수인 정적분을 포함한 등식 |전략| ` f(t)dt=k (k는 상수)로 놓고 k의 값을 구한다. :!3 ``f(t)dt=k (k는 상수) :!3 로 놓으면  f(x)=ln x+k  f(t)=ln t+k를 ㉠에 대입하면 `(ln t+k)dt=k :!3 이때, u(t)=ln t+k, v'(t)=1로 놓으면 u'(t)= , v(t)=t이므로 ;t!; `(ln t+k)dt= t(ln t+k) - _t dt :!3 [ =3(ln 3+k)-k- ]3! =3 ln 3+2k- t [ =3 ln 3+2k-2 ]3! ;t!; :!3` `dt :!3 즉, 3 ln 3+2k-2=k이므로`k=2-3 ln 3 따라서 f(x)=ln x+2-3 ln 3이므로  f(27)=2 채점 기준 :!3 다. ❷ k의 값을 구할 수 있다. ❸  f(27)의 값을 구할 수 있다. 164 | IV . 적분법 ❶ `f(t)dt=k (k는 상수)로 놓고  f(x)를 k에 대한 식으로 나타낼 수 있 yy ㉠ 1124 … ❶ 유형  23 정적분으로 정의된 함수의 극한 |전략| lim x Ö 0   ;[!; x+a `f(t)dt=f(a)임을 이용한다. :A ⑴ F'(t)=f(t)로 놓으면 lim  0 h`  Ú   ;h!; +h ;2Ò; -h ;2Ò; `f(t)dt : F   +h -F -h } {;2Ò; {;2Ò; h } } =lim  0 h`  Ú =lim  0 h`  Ú =lim  0 h`  Ú =F' +h -F F   {;2Ò; {;2Ò;}-[ h F {;2Ò; -h -F } {;2Ò;}] +h F   {;2Ò; -F } h {;2Ò;} F   {;2Ò; -h -F } -h {;2Ò;} +lim  0 h`  Ú F' {;2Ò;}+ {;2Ò;}= 2F' 2f  {;2Ò;}= {;2Ò;} ⑵ 2f  {;2Ò;}= 2 ;2Ò; -;2Ò; ` ;2!;  sin 2t(sin t+1)dt ;2Ò;` sin t cos t (sin t+1)dt 2 = -;2Ò; : : 이때, sin t=h로 놓으면 cos t= dh dt t=- 일 때 h ;2Ò; 1, t =- =;2Ò; 일 때 h=1이므로 … ❷ … ❸  ;3!; 배점 2점 3점 1점 … ❷ … ❸  2 배점 1점 5점 1점 정답과 해설 2 ;2Ò; -;2Ò; sin t cos t (sin t+1)dt=2 `  h(h+1)dh : =2 :_1! (hÛ`+h)dh =2 `hÛ` dh=4 `hÛ` dh =4  :_1! :)1 =;3$; :_1! ;3!; hÜ ` [ ]1) 채점 기준 ⑴ lim  0 h`  Ú   ;h!; +h ;2Ò; -h ;2Ò; :  f(t)dt를 af(b)+c 꼴로 간단히 나타낼 수 있다. ⑵ 치환적분법을 이용하여 lim Ú h`   0;h!; f(t) dt의 값을 구할 수 있다. +h` ;2Ò; -h    ;2Ò; : 배점 6점 6점  ⑴ 2f  {;2Ò;} ⑵ ;3$; = :)/` cos(x-t) :? cos(t-x) ;2Ò; - 1126 |전략| 0Éx< ;2Ò;인 경우와 ;2Ò; ÉxÉp인 경우로 나누어  f(x)를 구한다. Ú 0Éx< 인 경우  f(x)= ;2Ò; sin|x-t|dt = sin(x-t)dt ;2Ò; sin(t-x)dt + ]/) [ =(1-cos x)- [ [ cos  {;2Ò;- x } ]? -1 ] ;2Ò; :) :) [ =2-cos x-sin x Û ÉxÉp인 경우 ;2Ò;  f(x)= ;2Ò; sin|x-t|dt = ;2Ò; sin(x-t)dt = :) cos(x-t) ;2Ò; =cos  { x- ]) ;2Ò;}- cos x =sin x-cos x Ú, Û에 의하여 2-cos x-sin x 0Éx< { ;2Ò;}  f(x)= [    sin x-cos x  ÉxÉp } {;2Ò; ∴ ` f(x)dx= ;2Ò; (2-cos x-sin x)dx+ :)È = :) 2x-sin x+cos x ;2Ò;+ -cos x-sin x [ =(p-2)+2=p ]) [  (sin x-cos x)dx ;2Ò; : ` ;2Ò; ]È  p |전략| ;2Ò Ò; f(x) cosÛ` x dx에서 x= -t로 놓고 치환적분법을 이용한다. ;2Ò; ;2Ò; f(x) cosÛ` x dx에서 x -t로 놓으면 1=- =;2Ò; dt dx :) x=0일 때 t= , x ;2Ò; =;2Ò; 일 때 t=0이므로 ;2Ò; f(x) cosÛ` x dx=- 0  f  ;2Ò; -t  cosÛ`  } {;2Ò; -t dt }  {;2Ò; :) = : ;2Ò; f  t  sinÛ` t dt {;2Ò;- } 창의·융합 교과서 속 심화문제 1125 |전략| 0Éx<1인 경우와 10)이므로 ln 4 ;4!;  C 2 + =     ∴ C 2 = -;4!;  ln 4 ∴  f(x)=  ln(2xÛ`+2)+2-  ln 4 ;4!; ;4!; =;4!; xÛ  ln  ` +1 2 +2 따라서 부분적분법을 이용하면 xf "(x)dx xf '(x) `f '(x)dx = - ` [ :!3            =3f '(3)-f '(1)- :!3 ]3! f(x)            =3f '(3)-f '(1)-f(3)+f(1) [  ]3!            = ;2»0;-;4!;-;4!;  ln 5-2+2            =  ln 5 ;5!;-;4!;  ① 1129 |전략|  f(x)= `(t-a)et-b dt의 양변을 x에 대하여 미분한다. ㈎  f(x)= :)/ (t-a)et-b dt의 양변을 x에 대하여 미분하면  f '(x)=(x-a)ex-b :)/` ㈏에서 함수  f(x)는 x=1에서 극값을 가지므로  f '(1)=(1-a)e1-b=0에서 a=1 (∵ e1-b>0) 2 eÜ ㈐에서  f(2)-2f(0)= 이고 ㈎에서  f(0)=0이므로 `  f(2)= 2 eÜ ` ㈎에서 u(t)=t-1, v'(t)=et-b으로 놓으면 u'(t)=1, v(t)=et-b이므로  f(x)= `(t-1)t-b dt= (t-1)et-b - `et-b dt =(x-1)ex-b-(-e-b)- et-b [ ]/) :)/ :)/ 1132 개념 마스터 개념 마스터 STEP1 1130 lim  ¦ n`  Ú 1 nÞ ` (1Ý`+2Ý`+3Ý`+ y +nÝ`)= lim  ¦ Ú n`  = lim  ¦ Ú 이때,  f(x)=xÝ`, a=0, b=1로 놓으면 n`  n kÝ` k=1 1 nÞ n k=1{;nK;} ` ;n!; 4` Dx= = ㈎ ;n!; , xk=a+kDx= ㈏ ;nK; b-a n n k=1{;nK;} ∴ lim  ¦ n`  Ú = xÞ` ;5!; = ㈑ ;5!; :)1`  ;n!; = lim  ¦ n`  Ú n k=1 4` [ ]1) `f(xk)Dx= ㈐ xÝ`  dx  ㈎ ;n!; ㈏ ;nK; ㈐ xÝ` ㈑ ;5!; 1131 1+ ;n!;} +{ 1+ ;n@;} + y 1+ +{ ;nN;} ] 2` 2` lim n`  Ú  ¦;n!;[{ n = lim n`  Ú  ¦  k=1{ 1+ 2` ;nK;} ;n!; 2` 이때,  f(x)=xÛ`, a=1, b=2로 놓으면 Dx= , xk= 1 ;n!; +;nK; n ∴ lim n`  Ú  ¦  k=1{ 1+ n lim n`  Ú  ¦  k=1 ;nK;} ;n!;= 2` = xÜ` = ;3!; ;3&;  다른 풀이  f(x)=(1+x)Û`, a=0, b=1로 놓으면 [ ]2! `f(xk)Dx= `xÛ` dx :!2  ;3&; Dx= ;n!;, xk= ;nK; n ∴ lim n`   ¦ k=1 Ú 1+ { ;nK;} ;n!; n =lim  ¦ n`  Ú k=1 `f(xk)Dx= `(1+x)Û` dx = (1+x)Ü` = 2` :)1 ;3&; ;3!; [ ]1) [ =(x-1)ex-b+e-b-ex-b+e-b =(x-2)ex-b+2e-b 2 eÜ 이때,  f(2)= 이므로 ]/) ` 2e-b= ∴ b=3 2 eÜ ` 따라서  f(x)=(x-2)ex-3+ 이므로 2 eÜ `  f(3)=1+ 2 eÜ ` 166 | IV . 적분법 lim n`  Ú  ¦;nÒ;{  ;nÒ; sin +sin  + y +sin  2p n np n } = lim n`  Ú  ¦  k=1 n  sin  kp n _ ;nÒ; 이때,  f(x)=sin x, a=0, b=p로 놓으면 Dx= , xk= ;nÒ; kp n kp n n  sin  ∴ lim n`  Ú  ¦  k=1 n _ ;nÒ; = lim n`  Ú  ¦  k=1 `f(xk)Dx= ` sin x dx = -cos x =2  2 :)È [ ]È)  1+ 2 eÜ ` ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; :!e 1133 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는  dx= ln |x| =1 `  ;[!; [ ]e! 1134 곡선 y=sin x와 x축의 교점의 x좌표는 sin x=0에서 x=0 또는 x=p (∵`0ÉxÉp) 따라서 구하는 넓이는 ``sin x dx= -cos x =2 [ ]È) :)È 1135 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는  |-2ex|dx= 2ex dx     :_1! =2 :_1! ex =2 e- { ;e!;} [ ]1_! 1136 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 ln `  x   dx   = x ln x     - `dx :!e =e- [ x ]e! :!e =e-(e-1)=1 [ ]e! `` 2y dy=   '¶ 2 2 ' 3 y;2#; = 2 16 ' 3 [ ]4) 1137 y= xÛ`에서 xÛ`=2y ;2!; ∴ x= 2y (∵ x¾0) '¶ 따라서 구하는 넓이는 :)4 1138 y= '§ :!4 x에서 x=yÛ`` 따라서 구하는 넓이는 ` yÛ` dy=   ;3!;yÜ` =21 [ ]4! y 4 1 O y y O O 1 e y=sin x y= 1 x x  1 p x  2 x y -1 1 O -2 y=-2ex  2 e- { ;e!;} y y=ln x O 1 e x y 4 O 1 y= xÛ 2  2 16 ' 3 x 1139 y=ex에서 x=ln y 따라서 구하는 넓이는 eÛ` ln y   dy=   y ln   y   eÛ` - eÛ` dy :! =2eÛ`- [ ]! y eÛ` :! =2eÛ`-(eÛ`-1)=eÛ`+1 [ ]! 1140 y=ln x에서 x=ey` 따라서 구하는 넓이는 ey   dy=   ey =e- ;e!; [ ]1_! :_1! 1141 y=eÅ y eÛ 1 O x  eÛ`+1 y=ln x 1 x  e- ;e!; y 1 O -1 y 4 곡선 y= 과 직선 y=-x+4의 교점의 ;[#; ;[#; x좌표는 =-x+4에서 xÛ`-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 따라서 구하는 넓이는 y= 3 x O 1 x 3 4 y=-x+4 `  [ (-x+4)- dx ;[#;] = -;2!; xÛ`+4x-3 ln |x| :!3 =4-3 ln 3 [ ]3!  4-3 ln 3  1 1142 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 (ex-e-x)dx= ex+e-x :)1 =e+ [ ]1) -2 ;e!; 1143 두 곡선 y=sin x, y=cos x의 교점의 x좌표는 sin x=cos x에서 y= x 1 x  21 x= ;4Ò; { ∵ 0ÉxÉ ;2Ò;} 따라서 구하는 넓이는 ;4Ò; (cos   x-sin   x)dx   :) = [ sin x+cos   x   ;4Ò;= 2-1 ' ]) y=e-x y y=ex 1 O x x=1  e+ -2 ;e!; y 1 O y=sin x y=cos x p 4 p 2 x  2-1 ' 10 정적분의 활용 | 167 10ㅡㅡ정적분의 활용 정답과 해설 부피는 1144 밑면으로부터 x인 지점에서의 단면의 넓이가 6-x이므로 구하는 'Ä 1150 x=et cos t, y=et sin t에서 =et cos t-et sin t=et(cos t-sin t)  4 6 ' =et sin t+et cos t=et(sin t+cos t) ` 'Ä 6-x dx=   ;3@; - (6-x);2#; =4 6 ' :)6 [ ]6) 1145 밑면으로부터 x`cm인 지점에서의 단면의 넓이가 (ex)Û`=e2x`(cmÛ`) ` e2x dx=   e2x ;2!; `=;2!;(e20-1)`(cmÜ`)    ;2!;(e20-1)`cmÜ` 이므로 구하는 부피는 :)1`0 [ ]1)0 1146 ⑴ 0+ `e2t dt= :)3 `e2t dt= ⑵ :)5 [ ` |e2t|dt= ⑶ =;2!; eß`- ;2!; e10- ;2!; ;2!;e2t ]3) = ;2!; [ ;2!;e2t ]5) `e2t dt= e2t ;2!; = e¡`- ;2!; ;2!; :)4 [  ⑴ ]4) ;2!; eß`- ⑵ ;2!; ;2!; e10- ⑶ e¡`- ;2!; ;2!; ;2!;  :)4 1147 x= tÜ`-t, y=tÛ`에서 ;3!; dx dt =tÛ`-1, =2t dy dt 따라서 시각 t=0에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리는 (tÛ`-1)Û`+(2t)Û` dt= (tÛ`+1)Û` ` (tÛ`+1)dt `  "à :)1 = dt=   :)1   "à :)1 ;3!; [ tÜ`+t = ;3$;  ]1)  ;3$; 따라서 시각 t=0에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리는 (-3 `  "à sin   t)Û`+(3   cos   t)Û`   dt=   ` 3 dt= 3t =3  3 :)1 [ ]1) 1148 x=3 cos t, y=3 sin t에서 =-3 sin t, =3 cos t dy dt dx dt :)1 1149 x=6tÛ`, y=tÜ`-12t에서 dx dt =12t, =3tÛ`-12 dy dt 따라서 구하는 곡선의 길이는 (12t)Û`+(3tÛ`-12)Û`   "à dt=   ` "à (3tÛ`+12)Û` dt :)1 = :)1 ` (3tÛ`+12)dt :)1 tÜ`+12t =13 [ ]1) 168 | IV . 적분법 dx dt dy dt :!3` = :!3 ` = :!3 1151 따라서 구하는 곡선의 길이는 {et(cos t-sin t)}Û`+{et(sin t+cos t)}Û` dt "à ` e2t(1-2 sin t cos t)+e2t(1+2 sin t cos t)dt "à 2e2t dt= " 2et dt= 2et ' = 2(eÜ`-e)  ' ' 2(eÜ`-e) " :!3  [ ]3! y'= x;2!;= x이므로 구하는 곡선의 길이는 ;3@;_;2#; '§ `  "Ã1+( ' x)Û` dx=   ` 'Ä 1+x dx :)3 = :)3 ;3@; [ ]3) (1+x) 1+x = 'Ä :Á3¢:   :Á3¢: 1152 y'= ex-e-x 2 이므로 구하는 곡선의 길이는 1+ ` ¾Ð { ex-e-x 2 dx=   } ¾Ð1+ e2x-2+e-2x 4 dx :_1! = 2` = = e2x+2+e-2x 4  dx  dx ex+e-x ¾Ð{ 2 ex+e-x 2  dx } 2` :_1!  ¾Ð :_1!  :_1!  :_1!  = ` (ex+e-x)dx 이라 하면 f(x)=ex+e-x f(-x)=f(x)이므로 우함수이다. = =e- ;e!;   e -;e!; :)1 ex-e-x [ ]1) 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 1153 n |전략| lim n Ö ¦ {a+  f  k} ;nP; _ ;nP; = k=1 a+p 적분으로 나타낸다. :A f(x)dx임을 이용하여 주어진 식을 정 n lim  ¦ n`  Ú   k=1 `f  { 1+ 2k n }_;n@; xk = = ` f(x)dx= `  ;[!;  dx :!3 ln |x| :!3 =ln 3 n 다른 풀이  lim  ¦ Ú n`  k=1 `f  { [ 1+ 2k ]3! = n }_;n@; xk  ② `  1 1+x  dx ``f(1+x)dx= :)2 [ :)2 =ln 3 ]2) =  13 = ln |1+x| ; ; ; 1154 lim  ¦ n`  Ú lim  ¦ n`  Ú n n   k=1 `f  { a+   k=1 `f  { a+ (1-a)k n (1-a)k n xk 1-a n 1-a n }_ xk }_ = f(x)dx =  f(a+x)dx :A1`  1-a :) 따라서 정적분으로 바르게 나타낸 것은 ②, ③이다.  ②, ③ {(3n+2)Û`+(3n+4)Û`+ y +(3n+2n)Û`} 3+ ;n@;} + 3+ { ;n$;} + y + 3+ { 2n n } ] 2` = ;2!; lim n`  Ú  ¦  k=1{ 3+ = ;2!; ;3!; xÜ` = :¢3»:  2` 2k n } 2` = ;2!;  ;n@; `xÛ` dx 2` :#5  :¢3»: p   n n   k=1  tan  kp 4n =4 lim  ¦ n`  Ú n   k=1   { tan  p 4n p 4n k } =4 ;4Ò; tan x     dx=4   sin x ;4Ò;   cos x dx 이때, cos x=t로 놓으면 -sin x= :) :) dt dx 2 일 때 t= ' 2 ;4Ò; x=0일 때 t=1, x= 이므로 4 sin x ;4Ò;   cos x dx=-4 2 ' 2   ;t!;  :) =4 :!   ln |t| dt dt=4 ;t!; `` 2 ' 2 : 1 2 =-4 ln ' 2 =ln 4 2 ' 2 ]1   [ 1155 1   nÜ lim  ¦ n`  Ú = lim  ¦ n`  Ú `   ;n!; [{ n ]5# [ 1156 lim  ¦ n`  Ú ∴ a=4 1157 lim  ¦ n`  Ú   ;n!;  ln  { = lim  ¦ n`  Ú = lim  ¦ n`  Ú   ;n!; { n   k=1  = ` ln x dx n+1 n+2 n+3 n _ n _ y _ 2n n } ln  +ln  +ln  + y +ln  n+2 n n+3 n n+n n } n _ n+1 n 1+ ln  { ;nK;} _ ;n!; :!2 x = ln   x   - ` dx [ =2 ln 2- x ]2! :!2 =2 ln 2-1 [ ]2! 채점 기준 ❶ 주어진 급수를 정적분으로 나타낼 수 있다. ❷ 정적분의 값을 구할 수 있다.  ③ … ❶ … ❷  2 ln 2-1 비율 60`% 40`% ㄴ. lim  ¦ n`  Ú n   k=1{ 2+ 3k n } lim   ;n!;=;3!;  n`  Ú  ¦  k=1{ 2+ = (2+x)Û` dx ;3!; ㄷ. lim  ¦ n`  Ú n   k=1{ 2+ 3k n } :)3 lim   ;n!;=;3!;  n`  Ú 2+  ¦  k=1{ n n = xÛ` dx 2` 2` 3k n }   ;n#; xk 2`   ;n#; 3k n } xk 2` ;3!; :@5 따라서 주어진 식과 같은 값을 갖는 것은 ㄱ이다.  ① a- |a|+   | a- ;n!;|+| ;n@;|+ n y a- +| n-1 n | = lim  ¦ n`  Ú n-1   k=0| a- ;nK;|_;n!; = |a-x|dx = `(-x+a)dx+ :)1 `(x-a)dx = :)a -;2!;xÛ`+ax + :A1 ;2!;xÛ`-ax = aÛ`+ [ ;2!; ]a) [ +;2!;aÛ` {;2!;-a } ]1A =aÛ`-a+ ;2!;   aÛ`-a+ ;2!; 1159 lim  ¦ n`  Ú 1160 |전략| 삼각형의 닮음을 이용하여 주어진 급수를 ;nK;를 포함한 식으로 나타낸 다 음 정적분으로 변형하여 그 값을 구한다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D 에서 변 AB에 평행하게 직선 을 그어 변 BC와 만나는 점을 E라 하고 선분 BkCk와 만나는 점을 Ek라 하면 A BÁ Bª B£ … EÁ Eª E£ D CÁ Cª C£ … … Bn-2 Bn-1 (Bn=)B En-2 En-1 Cn-2 Cn-1 C(=Cn) E(=En) :EkCkÓ BkEkÓ=3, ECÓ=2 한편, △DEC»△DEkCk이므로 DEÓ:ECÓ=DEkÓ:EkCkÓ 6:2= 6k n ∴ EkCkÓ= 2k n 따라서 BkCkÓ=BkEkÓ+EkCkÓ=3+ 2k n 3+ 2k n } 2` 3+ 2k n } n k=1 { n k=1 { = BkCkÓ Û`= lim lim  ¦ n`  Ú n k=1    ;n#;   ¦   ¦  ;2#; n`  Ú lim n`  Ú = xÛ` dx ;2#; 이므로  ;n#;  ;n@; 2` xÜ` ;3!; =;2#;  [ ]5# :#5` ;2#;_:»3¥: =49 = 1158 ㄱ. lim  ¦ n`  Ú n   k=1{ 2+ 3k n } n   ;n!;= lim n`  Ú  ¦  k=1{ 2+3_ = (2+3x)Û` dx 2` ;nK;} ;n!; xk 2`  :)1 x축 위의 닫힌구간 [0, 2]를 n등분하면 xk= 이므로 2k n 1161 Qk{ 2k n , æ ¾Ð 4k n +1 }  49 10 정적분의 활용 | 169 10ㅡㅡ정적분의 활용; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ∴ OQkÓ=¾Ð{ =æ ¾Ð{ n 2k n } + {¾Ð 4k n 2` +1 2k n = } 2k n +1 =¾Ð } 2` +1 + +1 4k n 4kÛ nÛ ` ` ∴ lim  ¦ n`  Ú   ;n!;  k=1  OQkÓ = = 2` lim n`  Ú  ¦  lim ;2!;  n`  Ú 1+ n k=1 { n k=1 {  ¦  2k n } ;n!; 2k n } ;n@; 1+ = ;2!; ` x dx= xÛ` ;2!; ;2!; = :!3 _4=2 ;2!; [ ]3! ¦ ¦  Sn=   {;2!;} n=1 n=1 n = ;2!; 1- ;2!; =1 따라서 a=1이므로 100a=100 1165 |전략| 넓이는 양수이므로 닫힌구간 [a, b]에서 g(y)¾0이면 S= `g(y)dy, g(y)É0이면 S `g(y)dy임을 이용한다.  ② =- :Ab 1-x y= 1-x+1에서 y-1= :Ab 'Ä (y-1)Û`=1-x 따라서 구하는 넓이는 'Ä ∴ x=-yÛ`+2y y= 1-x+1 1162 |전략| 넓이는 양수이므로 닫힌구간 [a, b]에서  f(x)¾0이면 S= `f(x)dx,  f(x)É0이면 S=- `f(x)dx임을 이용한다. :Ab 닫힌구간 [0, 2p]에서 곡선 y=x sin x와 x축의 교점의 x좌표는 :Ab `(-yÛ`+2y)dy+ `{-(-yÛ`+2y)}dy :!2 = - yÜ`+yÛ` + yÜ`-yÛ` ;3!; :@3 ;3!; = [ ;3@;+;3$; =2 ]2! [ ]3@ 닫힌구간 [0, p]에서 x sin x¾0, 닫힌구간 [p, 2p]에서 x sin xÉ0 1166 y= 1 2-x ∴ x=2- ;]!; 에서 2-x= ;]!; x sin x=0에서 x=0 또는 x=p 또는 x=2p 이므로 구하는 넓이는 x sin   x   dx+   ` (-x sin x) dx -x cos x  (-cos x) dx :)È`  = [ [ :ù2`È - ]È) :)È` ] + { =p- -sin x +3p- sin x `=4p [ ]È) [ ]2ùÈ x cos x ` - ` cos x dx [ ]2ùÈ :ù2`È }  ④ 따라서 구하는 넓이는 y= 1 2-x { ;2!; e`  2- dy= 2y-ln |y| ;]!;}  : =(2e-1)- [ ;2!; ]e 1-ln  { ;2!;} =2e-2-ln 2 1163 오른쪽 그림에서 구하는 넓이는 y `(e-x-1)dx+ `{-(e-x-1)}dx :_0! = -e-x-x :)1 e-x+x + [ =e+ -2 ;e!; ]0_! [ ]1) -1 O 1 x y=e-x-1 1164 ;2Ò;  ;2!; p ;2Ò; : ;2#; :ù 2p   {;2!;} 2` p   {;2!;} n=1일 때, SÁ=  cos x dx= ;2!; sin x ;2Ò; =;2!; :) n=2일 때, Sª=- [  cos x dx ]) {;2!;} =- n=3일 때, S£=- cos x dx n=4일 때, S¢= 즉, 수열 {Sn}은 3`   cos x dx = {;2!;} p ;2#; : ;2!; , {;2!;} {;2!;} [ 4` , y이므로 {;2!;} , 4` , 2` 3` 4` = [ - 2` {;2!;} 3` [  sin x {;2!;}  sin x ;2Ò; ]È  sin x ;2#; ={;2!;} 2` p ={;2!;} 3` ]ù p={;2!;} 4` ;2#; ]2`È 170 | IV . 적분법  e+ -2 ;e!; ln a    [ - ;2!; (ey-a) dy ] :) = ln a     ;2!; (a-ey)dy 1167 y=ln(2x+a)에서 2x+a=ey ∴ x= (ey-a) … ❶ ;2!; 오른쪽 그림에서 색칠한 도형의 넓이는 y=ln (2x+a) ln a y O a ln a-a+1=1, a(ln a-1)=0 ∴ a=e (∵ a>1) … ❸ = :) ;2!;  [ 따라서 ay-ey ln a   =;2!;  (a ln a-a+1) (a ;2!;  ]) ln a-a+1)=     ;2!; 이므로 채점 기준 ❶ x를 y에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❷ 도형의 넓이를 a에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다. ❸ a의 값을 구할 수 있다. y e 1 2 O  ② 3 y 2 1 O 1 x  ② x  ① x … ❷  e 비율 30`% 40`% 30`% 정답과 해설; ; ; ; ; 1168 |전략| 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구한 후 {(위쪽 그래프의 식)-(아래쪽 그래프의 식)}의 정적분의 값을 구한다. 따라서 구하는 넓이는 ;2Ò; (x+x cos x-x)dx= ;2Ò; x cos x dx 와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 =x에서 2x +1 xÛ ` x(x+1)(x-1)=0 ∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=1 2x +1 곡선 y= xÛ ` 2x=xÜ`+x, xÜ`-x=0 따라서 구하는 넓이는 :) = :) x sin x ;2Ò; - ;2Ò; sin x dx = [ ;2Ò;+ ]) cos x   :) ;2Ò; =;2Ò; -1    ;2Ò; -1 [ 참고 곡선 y=x+x cos x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 0, ;2Ò;이고, ]) 00이므로 00) 또, 곡선 y= 과 직선 y x의 교점 ;[!; =;2!; 의 x좌표는  x에서 ;[!;=;2!; xÛ`=2 ∴ `x= 2 (∵`x>0) ' 따라서 구하는 넓이는 2x-;2!;x }  dx+ - x } ;2!; dx 2 `  '   {;[!; 2 ' 2 :    {;[!; - ;2!; x dx }  xÛ` ;4!; 2 ' 2 ' 2 ] 2 ' 2 { :)` `  2 ' = 2 x dx+ ;2#; = :)` `  ;4#;xÛ` 2 ' 2    + 2 `  ' 2 ' 2 :  |x|-   ln [ = ;8#; + ]) ln { [ 2-   ;8#;} =ln 2 다른 풀이  구하는 넓이는 2 ' 2 2 2x- ;2!;x }  dx+ { :)  `  2 ' 2 = 2x dx+ 2 ' 2 ;[!;  ' 2 :      ln |x| 2 ' 2 ' 2 :)  `  2 ' 2 + xÛ` = ' 2 {;[!; ' 2      : dx- - x  dx ;2!; } 2 ' ;2!;x dx   - :) ;4!;xÛ` 2 ' ]) + [ ;2!; ln  ' { `  ]   [ 2 2-ln ' 2 }-;2!; [ ]) =ln 2 = ]1) y O y=2x 1 y= x 1 y= x 2 x 2 2 2  ③ 1171 |전략| 두 곡선의 교점의 x좌표를 구한 후 {(위쪽 그래프의 식)-(아래쪽 그래프의 식)}의 정적분의 값을 구한다. 두 곡선 y= 2 cos x, y=sin 2x의 교점 ' 2 cos x=sin 2x에서 의 x좌표는 ' 2 cos x=2 sin x cos x ' ' 2 cos x(1- 2 sin x)=0 ' 2 cos x=0 또는 sin x= ' 2 ∴`x= 또는 x ;4Ò; =;2Ò; { ∵ ` 0ÉxÉ ;2Ò;} 따라서 구하는 넓이는 y 2 O y= 2 cos x y=sin 2x p 4 x p 2 ;2Ò;`(sin 2x- 2 cos x)dx= -  cos 2x- 2 sin x ;2!; ' ' ;4Ò; [ : = ;2#; - 2 ' ;2Ò;` ;4Ò; ]  ② 1172 두 곡선 y=sin x, y=sin 2x의 교점의  ② x좌표는 sin x=sin 2x에서 sin x=2 sin x cos x sin x(1-2 cos x)=0 sin x=0 또는 cos x= ;2!; y O y=sin x p 2 p 3 x p y=sin 2x ∴ x=0 또는 x= 또는 x=p (∵ 0ÉxÉp) … ❶ ;3Ò; 따라서 구하는 넓이는 ;3Ò; (sin 2x-sin x)dx+ p (sin x-sin 2x)dx ;3Ò; -;2!;  cos 2x+cos x -cos x+ cos 2x ;2!;  : ;3Ò;+ ]) [ p ;3Ò; ] [ = ;4!;+;4(;=;2%; :) = 채점 기준 ❶ 두 곡선의 교점의 x좌표를 구할 수 있다. ❷ 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다. … ❷  ;2%; 비율 50`% 50`% 10 정적분의 활용 | 171 1170 곡선 y=x+x cos x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 x+x cos x=x에서 x cos x=0 ∴ x=0 또는 x= ∵ 0ÉxÉ ;2Ò; { ;2Ò;} y y=x+x cos x y=x x p 2 O 10ㅡㅡ정적분의 활용 직선 y=ax와 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 도형의 넓이를 Sª라 하 y k 면 y=- 1 x 1 O y= 1 x x Sª= 1 a ;2!;_ _ =;2!; a 이때, Sª= SÁ이므로 ;2!; a ;2!; =;2!; (e-1) ∴ a=e-1  ③ 1173 y= 에서 x ;[!; =;]!; y=- 에서 x ;[!; =-;]!; 오른쪽 그림에서 색칠한 도형의 넓이는 `[;]!;-{-;]!;}] dy 2 =  dy  ;]!; :!k =2 :!k` ln |y| =2 ln k (∵ k>1) 따라서 2 ln k=2이므로 ln k=1 ∴ k=e [ ]k!  ⑤ 1174 |전략| 닫힌구간 에서 곡선 y=x sin x와 직선 y=k로 둘러싸인 두 도 0, ;2Ò; ] 형의 넓이가 같고 0ÉkÉ [ ;2Ò; (x sin x-k)dx=0임을 이용한다. ;2Ò;이므로 :) ;2Ò;(x sin x-k)dx=0에서 :) ;2Ò;x sin x dx= ;2Ò;k dx :) -x cos x :) ;2Ò;+ ;2Ò;cos x dx= kx ;2Ò; [ sin x ]) ;2Ò;= ;2Ò; :) k, 1 k =;2Ò; [ ∴ k= ]) 2 p `( x-2)dx=0이므로 ' x;2#; 2x - 0, k;2#;-2k=0 = ;3@; :)k ;3@; [ k k-2 {;3@;' ]k) =0, } ' k=3 (∵ k>4) ∴ k=9  ④  dx=0에서 ln x=t로 놓으면 = 이고 dt dx ;[!; :Ke x=k일 때 t=ln k, x=e일 때 t=1이므로 dx= ` t dt=0 1    ln k : ;2!; =0, {1-(ln k)Û`}=0 [ ]) 1175 1176 `  ln x x `  ln x x   :Ke ;2!;tÛ` ln k ]1 1178 y= 에서 x ;[!; =;]!; 곡선 y= 과 y축 및 두 직선 y=1, ;[!; y=4로 둘러싸인 도형의 넓이를 SÁ이라 1 y= x y 4 a 1 O SÁ=  dy= ln |y| =2 ln 2 곡선 y= 과 y축 및 두 직선 y=1, y=a로 둘러싸인 도형의 넓이를 [ ]4! 하면 `  ;]!; :!4 ;[!; Sª라 하면 Sª= `` ;]!;  2 p  dy= ln |y| =ln a (∵ 10) ;a!; 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=e에서 접하므로 Ú  f(e)=g(e)에서 y eae= , 즉 aeae=1 ;a!; yy`㉠ Û  f '(x)=aeax, g'(x)= 이므로 ;aÁ[; e 1  f '(e)=g'(e)에서 aeae= ;aÁe; ㉠, ㉡에서 a= ;e!; yy`㉡ x e ∴`f(x)=e , g(x)=e ln x 두 곡선이 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 y=f(x) 와 y축 및 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같다. 따라서 구하는 넓이는 2 `(e -x)dx=2 e x e x e e -;2!;xÛ` _ :)e [ =2 { eÛ`- eÛ`-e ;2!; ]e) =eÛ`-2e } 1187 |전략| 밑면으로부터의 높이가 x인 지점에서 밑면과 평행한 평면으로 자른 단면 의 넓이가 S(x)인 입체도형의 높이가 a일 때의 부피는 `S(x)dx임을 이용한 다. :)a 밑면으로부터의 높이가 x인 지점에서의 단면의 넓이를 S(x)라 하면 3 S(x)= ' 4 3 e5x)Û`= ' 4 ( " e5x 입체도형의 높이가 a이므로 부피는 ` S(x)dx=   3  ' 4 e5x dx :)a` :)a 3 = ' 4 e5x ;5!; 3 = ' 20 (e5a-1) 3 이때, ' 20 [ 3 (e5a-1)= ' 20 ]a) (e30-1)이므로 5a=30 ∴ a=6 174 | IV . 적분법 1188 밑면으로부터의 높이가 x인 지점에서의 단면의 넓이를 S(x)라 하면 25+xÛ`)Û`=p(25+xÛ`) S(x)=p( "à 따라서 화분의 부피는 ` S(x)dx=   ` p(25+xÛ`)dx :)5 :)5 =p 25x+ xÜ` ;3!; p =;:%3):); [ ]5) 채점 기준 ❶ 밑면으로부터의 높이가 x인 지점에서의 단면의 넓이를 x에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❷ 화분의 부피를 구할 수 있다. 1189 물의 높이가 x일 때 수면의 넓이가 x ln(xÛ`+1)이므로 구하는 물의 … ❶ … ❷ p  ;:%3):); 비율 40`% 60`% x e y=e y=x y=e ln x 부피는 ` x ln(xÛ`+1)dx :)2 이때, xÛ`+1=t로 놓으면 2x= dt dx 이고 O 1 e x x=0일 때 t=1, x=2일 때 t=5이므로  eÛ`-2e x(0ÉxÉp)인 점을 지나고 x축에 수직 인 평면으로 자른 단면인 정삼각형의 한 y= sin x sin x sin x이므로 단면의 넓이를 O x p x `x ln(xÛ`+1)dx= ` ln t _;2!;dt =;2!; { t ln   :)2 = :!5 ;2!; {5 ln 5-(5-1)} `dt } - t   ]5! [ =;2%; :!5  ln 5-2  ⑤ 1190 |전략| 닫힌구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피는 `S(x)dx임을 이용 한다. 오른쪽 그림과 같이 x좌표가 :Ab y 변의 길이는 'Ä S(x)라 하면 3 S(x)= ' 4 3 sin x)Û`= ' 4 ( 'Ä  sin x 따라서 구하는 부피는 ` S(x)dx= 3 ` ' 4 3  sin x dx= ' 4 -cos x :)È :)È 3           = ' 4 3 (1+1)= ' 2 [ ]È)  ③ y 1 1191 오른쪽 그림과 같이 x좌표가 x(-1ÉxÉ1)인 점을 지나고 x축에 수 -xÛ +1 y=-xÛ +1 직인 평면으로 자른 단면인 반원의 지름의 길이는 -xÛ`+1이므로 단면의 넓이를 -1 O x 1 x  ③ S(x)라 하면 정답과 해설 S(x)= p { ;2!; -xÛ`+1 2 따라서 구하는 부피는 } =;8Ò; 2` (-xÛ`+1)Û` S(x)dx=    ;8Ò; (-xÛ`+1)Û` dx 2 = `  ;8Ò; (-xÛ`+1)Û` dx :_1! = :_1! ;4Ò; (xÝ`-2xÛ`+1)dx `  xÞ` ;5!; -;3@; xÜ`+x :)1 =;4Ò;  [ = :)1 _ ;4Ò; ;1¥5; ;1ª5; = p 1192 오른쪽 그림과 같이 밑면의 중심을 원점, 밑 면의 지름을 x축으로 잡고, x축 위의 점 P(x, 0)(-1ÉxÉ1)을 지나고 x축에 수 직인 평면으로 입체도형을 자른 단면을 △PQR라 하면 PQÓ="ÃOQÓ Û`-OPÓ Û`= RQÓ=PQÓ tan 60ù= 1-xÛ` △PQR의 넓이를 S(x)라 하면 "à 3_ 1-xÛ` "à ' S(x)= ;2!;_ PQÓ RQÓ _ =;2!; "à _ 1-xÛ`_ 3_ 1-xÛ` ' "à 3 = ' 2 (1-xÛ`) 따라서 구하는 부피는  S(x)dx= (1-xÛ`)dx=2 (1-xÛ`)dx :_1! = x- xÜ` ;3!; 3 :)1`  _;3@;= =' 3 ' 3  2 3 ' 3 3 ' 2 2 3  ' 2 :_1! 3  ' [ ]1) 1193 |전략| 수직선 위를 움직이는 점 P의 위치가 0일 때, 점 P가 원점을 지남을 이용 한다. t=0에서의 위치가 0이므로 t=a(00) 점 P는 t=2에서 두 번째로 운동 방향을 바꾸고, 0ÉtÉ1에서 v(t)¾0, 1ÉtÉ2에서 v(t)É0이므로 구하는 거리는 `|sin pt|dt= `sin pt dt- `sin pt dt :)2 = :)1 -  cos pt -  cos pt :!2 - 1 p 1 p = [ ;@;-{-;@;} ]1) = 4 p [ ]2!  4 p ]1)  ① 1195 시각 t에서의 두 점 A, B의 위치를 각각 xA, xB라 하면 R xA=0+ ` dt= t =t xB=0+    = t;2!; :)t 1 [ ]t) t +;2!;} ` { 2 dt= ' = :)t +;2!; t t+ t ;2!; ' :)t`  두 점이 다시 만날 때 xA=xB이므로 ]t) [ t-;2!; {;2!; +;2!;} dt -1 P 60ù O 1 Q 1 y t= t+ ' t, ;2!; ;2!;' ' t( t-2)=0 ∴ t=4 (∵ t>0) 즉, 두 점 A, B가 처음으로 다시 만나는 시각은 t=4이므로 x 그때의 위치는 xA=t=4이다.  4 1196 |전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)일 때, 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는 s= ` { f '(t)}Û`+{ g'(t)}Û` dt임을 이용한다. "à x= t-1, y= 에서 :Ab ;3@; et+e-t 3 et-e-t 3 dx dt = , ;3@; dy dt = 시각 t=0에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리는 `¾Ð{;3@;} + { et-e-t 3 dt=   } `¾Ð;9$; + e2t-2+e-2t 9 dt :)1                        = 2` 2` :)1 e2t+2+e-2t 9 `¾Ð dt                        = et+e-t 3 } `¾Ð{ et+e-t 3 dt :)1 :)1 ;3!; dt= `` 2` ;3!;{ :)1 e- ;e!;}                        = et-e-t = ∴ a= ;3!; [ ]1)  ② 1197 x=et cos t, y=et sin t에서  4 =et cos t-et sin t=et(cos t-sin t) dx dt dy dt :)a = :)a = :)a` =et sin t+et cos t=et(sin t+cos t) 시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리는 `` {et(cos t-sin t)}Û`+{et(sin t+cos t)}Û` dt "à e2t(1-2 cos t sin t)+e2t(1+2 sin t cos t) dt `  "à 2e2t dt " = `  ' 2et dt= 2 et = 2(ea-1) :)a ' [ ]a) ' 10 정적분의 활용 | 175 10ㅡㅡ정적분의 활용 정답과 해설 이때, ' a=2 1198 2(ea-1)= 2(eÛ`-1)이므로 ' 1201  2 y= (xÛ`+2);2#;에서 ;3!; y'= ;3!;_;2#; (xÛ`+2);2!;_2x=x xÛ`+2 "à 0ÉxÉa에서 곡선의 길이는 `"Ã1+(x "à xÛ`+2)Û` dx= 1+xÛ`(xÛ`+2)dx :)a = :)a ` xÝ`+2xÛ`+1 dx = (xÛ`+1)Û` dx   = `(xÛ`+1)dx ` "à "à ` "à :)a :)a :)a ;3!; 이때, 점 P의 속력이 0이 되는 시각은 2|sin t|=0에서 |sin t|=0 ∴ t=p, 2p, 3p, y 따라서 점 P가 출발 후 처음으로 속력이 0이 되는 시각은 t=p이므 로 시각 t=0에서 t=p까지 점 P가 움직인 거리는 = xÜ`+x [ aÜ`+a=12이므로 이때, ;3!; aÜ`+a =;3!; ]a) aÜ`+3a-36=0, (a-3)(aÛ`+3a+12)=0 ∴ a=3 (∵ aÛ`+3a+12>0)  3 x=1- cos 2t, y t sin 2t에서 ;2!;  = -;2!;  dx dt =sin 2t, =1-cos 2t dy dt 점 P의 시각 t에서의 속력은 sinÛ` 2t+(1-cos 2t)Û`= "à = = "à 'Ä "à sinÛ` 2t+1-2 cos 2t+cosÛ` 2t 2(1-cos 2t)= "à 4 sinÛ` t=2|sin t| 2{1-(1-2 sinÛ` t)} p  2|sin t|dt 2 = p  sin t dt [ ]) :)             =2 :) -cos t p =2_2=4  ② 1199 |전략| 곡선 y=f(x)(aÉxÉb)의 길이 l은 l= 이용한다. xÛ` ;2!; y= ln x 4 따라서 구하는 곡선의 길이는 에서 y'=x - -;4Á[; 1+{ f '(x)}Û` dx임을 ` "à :Ab ` ¾Ð 1+ x- { ;4Á[;} dx=   ` ¾Ð 1+ xÛ`- + { ;2!; :!e = 2` :!e ` 1 16xÛ } ` dx = = xÛ`+ + ;2!; ¾Ð 1 16xÛ `  dx x+ ` ¾Ð{ ;4Á[;}  dx `` x+ { ;4Á[;} 2` dx :!e ln ;2!;xÛ`+;4!;    |x|   :!e :!e [ ]e! = = ;2!;eÛ`-;4!;  ④ 1200 x=2tÜ`+1, y=6tÛ`+1에서 =6tÛ`, =12t dx dt dy dt 따라서 구하는 곡선의 길이는 ' 5 "à (6tÛ`)Û`+(12t)Û` dt = ' 5  6t tÛ`+4 dt :) 이때, tÛ`+4=u로 놓으면 2t= :) 이고 "à du dt t=0일 때 u=4, t= 5일 때 u=9이므로 '  f(x) dx임을 이용하여 주어진 식을 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 1202 유형  01 정적분과 급수의 합 사이의 관계 n |전략| lim n Ö ¦   k=1  f a+ k _ } ;nP; ;nP; = { a+p 정적분으로 나타낸다. n lim  ¦ n`  Ú   k=1 `f  { 1+ :A n 2 lim  ¦ n`  Ú ;nK;}_;n@;= 1+ `f  { k=1 ;nK;}_;n!;                       f(x)dx=2 ex dx 2 =                      =2 :!2`  ex :!2` =2(eÛ`-e)  ③ [ ]2! 1203 유형  03 곡선과 x축 사이의 넓이 |전략| 넓이는 양수이므로 닫힌구간 [a, b]에서  f(x)¾0이면 S= ` f(x)dx,  f(x)É0이면 S `f(x)dx임을 이용한다. :Ab 오른쪽 그림과 같이 닫힌구간 0, =- :Ab  ;2Ò; 에 서 두 함수 y=k sin x, y=cos x의 그 [ ] 래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 y 1 k O y=cos x A y=k sin x C B p 2 p x ' 5 6t "à :) tÛ`+4 dt `3 u du= 3_ u;2#; 2u;2#; ;3@; = = ' 를 C라 하면 :$9 =2(27-8)=38 [ ]9$ [ ]9$  ① A=B에서 A+C=B+C 176 | IV . 적분법 ; ; ; 1204 유형  04 곡선과 y축 사이의 넓이 =- :Ab :Ab y=ln(x+1)에서 x+1=ey ∴ x=ey-1 따라서 구하는 넓이는 {-(ey-1)}dy+   ` (ey-1)dy :_0! = -ey+y + :)1 ey-y [ =e+ ]0_! -2 ;e!; [ ]1) Ú A+C는 곡선 y=cos x와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이 ` ln x dx- ` 2 ln(x-2) dx A+C= ;2Ò; cos x dx= sin x ;2Ò;=1 Û B+C는 곡선 y=k sin x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이이므 [ ]) :) 이므로 로 B+C= ` k sin x dx=k  -cos x =2k Ú, Û에서 1=2k이므로 k= :)È [ ;2!; ]È)  ⑤ 1206 :!4 = :#4 x ln x - [ ]4! =4 ln 4- x ` dx- {  :!4 [ -8 ln 2+ =-3+ ]4! [ :#4 4 ln(x-2)+2x 2x ln(x-2) - `  2x x-2  dx } 4 x-2 `` { ]4# +2 } :#4  dx =-3+(4 ln 2+8)-6=4 ln 2-1 ]4# [ |전략| 넓이는 양수이므로 닫힌구간 [a, b]에서 g(y)¾0이면 (xÛ`-a) sin x dx=0에서  f(x)=xÛ`-a, g'(x)=sin x로 놓으면 S= `g(y)dy, g(y)É0이면 S `g(y)dy임을 이용한다. :)È`   f '(x)=2x, g(x)=-cos x이므로 유형  07 넓이의 활용 - 두 도형의 넓이가 같을 때 |전략| 닫힌구간 [0, p]에서 곡선 y=(xÛ`-a) sin x와 x축으로 둘러싸인 두 도 형의 넓이가 같고 00),  y=ln 2 ;2!; ∴`y=2 ln 2 따라서 구하는 넓이는 2 ln 2 `(e;2!; y+2-ey)dy= 2e;2!; y+2y-ey 2 ln 2 :)È`  따라서 pÛ`-2a-4=0이므로 a= pÛ ` 2 -2  ① y=2 ln (x-2) 1207 유형  08 넓이의 활용 - 넓이를 이등분할 때 |전략| 두 곡선의 교점의 x좌표를 a 00, x-2>0에서 x>2이므로 x=4 따라서 구하는 넓이는 SÁ= ;2Ò;  a sin x dx= -a cos x ;2Ò;=a :) 0ÉxÉ ;2Ò; [ ]) 에서 두 곡선 y=a sin x, y=cos x와 직선 x 로 둘러 =;2Ò; 싸인 도형의 넓이를 Sª라 하면 10 정적분의 활용 | 177 10ㅡㅡ정적분의 활용 aÛ` 4 ;3$; 'Ä Sª= ;2Ò; (a sin x-cos x)dx -a cos x-sin x ;2Ò; a ] =-1-(-a cos a-sin a)=a cos a+sin a-1 a : [ = 이때, Sª= SÁ이므로 ;2!; 오른쪽 그림과 같이 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이므 로 P= `g(x)dx의 값은 곡선 y=f(x) 와 y축 및 직선 y=e로 둘러싸인 도형의 넓 :)e y e 1 2 Q O 1 2 y=f(x) y=x y=g(x) P e x a cos a+sin a-1= ;2A;    ∴ a cos a   + sin a   =;2A; +1 이, 즉 Q와 같다. cos a+0이므로 양변을 cos a로 나누면 a+ sin a cos a = 1 1 {;2A;+ } cos a     ∴ a tan a   + ={;2A; +1 sec a } ∴ `g(x)dx= ;2!;_ e- ;2!; f(x)dx= ;2!; 2xe2x dx - ;2E; :)e 이때, ;2!; 2xe2x dx에서 u(x)=2x, v'(x)=e2x으로 놓으면 :) :) ㉠에서 secÛ` a=tanÛ` a+1= +1이므로 1 aÛ` sec a= 1 aÛ` ¾Ð +1 { ∵ 00)  ② :) 1210 ∴ - ;2E; ;2!; 2xe2x dx =;2E;-;2!;=;2!; (e-1)  ② 유형  12 입체도형의 부피 - 단면이 밑면과 수직인 경우 |전략| 닫힌구간 [a, b]에서 x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면의 넓이가 S(x)인 입체도형의 부피는 `S(x) dx임을 이용 한다. :Ab 1 y= x 4 y= x-4 오른쪽 그림과 같이 입체도형의 밑면의 중 심이 원점, 지름 AB가 x축이 되도록 밑 면을 좌표평면 위에 놓고, 호 AB 위의 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H(x, 0) O 4 8 x 이라 하면 P 2 y 2 O -2 A -2 B x H 2 x  OPÓ Û`-OHÓ Û`= PHÓ="à 점 P를 지나고 x축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이 4-xÛ` "à 를 S(x)라 하면 3 S(x)= ' 4 3 (2 PHÓ)Û`= ' 4 "à (2 4-xÛ`)Û`= 3(4-xÛ`) ' 따라서 구하는 부피는 1208 유형  09 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 |전략| 먼저 원점에서 곡선 y= x-4에 그은 접선의 방정식을 구한다. y= x-4에서 y'= 'Ä 곡선 위의 점 (a, 이므로 1 x-4 a-4)에서의 접선 'Ä 2 y 2 의 기울기는 이고 접선의 방 'Ä 1 a-4 2 'Ä 1 a-4 2 'Ä 정식은 y- a-4= 'Ä (x-a) 이 직선이 원점을 지나므로 - a-4= 'Ä 2 즉, 곡선 y= , 2(a-4)=a -a a-4 'Ä x-4 위의 점 (8, 2)에서의 접선의 방정식은 'Ä ∴ a=8 y-2= (x-8)    ∴ y ;4!; x =;4!; 따라서 구하는 넓이는 8_2 ;2!;_ - `'Ä x-4 dx 8 = - ;3@; (x-4);2#; [ =8- :Á3¤: :$8 = ;3*; ]8$  ③ S(x)dx= 3(4-xÛ`)dx ' ` :_2@ =2 :_2@ 3 ' ` (4-xÛ`)dx =2 4x- xÜ` = :)2 3  ' [ ;3!; ]2) 3 32 ' 3 1211 유형  15 곡선의 길이  ⑤ 유형  10 함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 |전략| y=g(x)는 y=f(x)의 역함수이므로 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그 래프는 직선 y=x에 대하여 대칭임을 이용한다. 이용한다. y= ;4!; (e2x+e-2x)에서 |전략| 곡선 y=f(x)(aÉxÉb)의 길이 l은 l= 1+{ f '(x)}Û` dx임을 ` "à :Ab 1209 178 | IV . 적분법 정답과 해설 y'= (2e2x-2e-2x) (e2x-e-2x) =;2!; ;4!; -aÉxÉa에서 곡선의 길이는 1+ ` ¾Ð [;2!;(e2x-e-2x) ] dx :_aA = :_aA = ;2!;   ¾Ð[;2!; (e2x+e-2x) `(e2x+e-2x)dx 2`   dx ] 2` :_aA ;2!; e2x = ;2!; e-2x -;2!; = [ ;2!;[{;2!; e2a- e-2a ]a_A }-{;2!; ;2!; e-2a- e2a ;2!; }] = ;2!; (e2a-e-2a) 이때, (e2a-e-2a)= (eß`-e-6)이므로 ;2!; ;2!; 2a=6 ∴ a=3 1212 유형  05 곡선과 직선 사이의 넓이 |전략| 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구한 후 1213 유형  14 평면 위를 움직이는 점이 움직인 거리 |전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)일 때, 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는 s= ` { f '(t)}Û`+{g'(t)}Û` dt임을 이용한다. "à :Ab x=tÛ`-2 ln t, y=4t에서 dx dt =2t- , ;t@; dy dt =4 점 P의 시각 t초에서의 속력은 2t- +4Û`= 2t+ =2t+ (∵ t>0) ¾Ð{ ;t@;} ¾Ð{ ;t@;} ;t@; … ❶ t>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2` 2` 2t+ ¾2 2t_ ;t@; ¾Ð 단, 등호는 2t =4  { ;t@; =;t@; , 즉 t=1일 때 성립 } 즉, t=1일 때 점 P의 속력이 최소가 된다. … ❷  ⑤ 따라서 t=1일 때부터 3초 동안, 즉 4초까지 움직인 거리는 2t+ `  { ;t@;}  dt= tÛ`+2 ln t :!4 =(16+2 ln 4)-1=15+4 ln 2 ]4! [ 채점 기준 ❶ 점 P의 시각 t초에서의 속력을 구할 수 있다. ❷ 점 P의 속력이 최소일 때의 시각을 구할 수 있다. … ❸  15+4 ln 2 배점 2점 2점 3점 {(위쪽 그래프의 식)-(아래쪽 그래프의 식)}의 정적분의 값을 구한다. ❸ 점 P의 속력이 최소일 때부터 3초 동안 움직인 거리를 구할 수 있다. 곡선 y= +2와 직선 y=- +5 ;n{; 2n x y y=- +5 x n 2n y= +2 x 의 교점의 x좌표는 2n x +2=- +5에서 ;n{; 2nÛ`+2nx=-xÛ`+5nx xÛ`-3nx+2nÛ`=0 5 2 O n 2n x 1214 유형  02 정적분과 급수의 활용 |전략| 주어진 급수를 ;nK;를 포함한 식으로 나타낸 다음 정적분으로 변형하여 그 값을 구한다. (x-n)(x-2n)=0 ∴ x=n 또는 x=2n … ❶ ⑴ 반원의 중심을 O, 점 Ck에서 선분 2n Sn= - +5 - } { ;n{; [{ +2 dx }] 2n x n : = = n : - [ 2n { - ;n{; +3- 2n x } dx xÛ`+3x-2n ln|x| ;2Án; 2n n ] n-2n ln n } {;2%; =(4n-2n ln 2n)- =n -2 ln 2 {;2#; } ∴ lim  ¦ n`  Ú Sn   n+1 = lim  ¦ n`  Ú n   n+1 {;2#; -2 ln 2 } = -2 ln 2 ;2#; 채점 기준 ❶ 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구할 수 있다. ❷ Sn을 n에 대한 식으로 간단히 나타낼 수 있다. ❸ lim  ¦ n`  Ú Sn n+1 의 값을 구할 수 있다. AB에 내린 수선의 발을 Hk라 하 면 ∠AOCk= p, OCkÓ=2이므 ;nK; 로 CkHkÓ=2 sin   p ;nK; ∴ Sk= 4 2 sin   p=4 sin   p ;2!;_ _ ;nK; ;nK; ⑵ lim  ¦ n`  Ú n-1 k=1    ;n!;  Sk= =  ¦ ;n!;  lim n`  Ú 4 p  lim  ¦ n`  Ú n-1 k=1  n-1   k=1 4 sin p   ;nK;  sin   p_ ;nK; ;nÒ; = sin x dx = -cos x = 4 p 4 p :)È`   [ 8 p ]È) 채점 기준 ⑴ Sk를 사인함수로 나타낼 수 있다. ⑵ lim n`   ¦ ;n!; Ú n-1 k=1 Sk의 값을 구할 수 있다. … ❷ … ❸ 배점 1점 3점 2점  ;2#; -2 ln 2 Ck y y Cª CÁ A k n p OHk 4 Cn-1 B  ⑴ 4 sin   p ⑵ ;nK; 8 p 배점 6점 6점 10 정적분의 활용 | 179 10ㅡㅡ정적분의 활용; ; ; ; 창의·융합 교과서 속 심화문제 이때, 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 0, p, 2p이므로 구하는 넓이는 2p 2p |(x+2 sin x)-x|dx= |2 sin x|dx :)                       = :) 2 sin x dx+ (-2 sin x)dx 2p                       =4 sin x dx=4 -cos x :)È`                        =4_2=8 :)È` ]È) 따라서 k=1, A=8이므로 k+A=9  9 :ù [ 한다. lim  ¦ n`  Ú lim  ¦ n`  Ú lim  ¦ n`  Ú 1215 |전략| 각 함수의 대칭성을 파악하고 각각의 급수의 합을 정적분의 형태로 변형 조건 ㈎에서  f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x)이므로  f(x)는 우 함수, g(x)는 기함수이다. 조건 ㈏에서 n   k=1 `f  {;nK;} _ = ;n!; `f(x)dx=3 n n   k=1 `f  { 1+   k=1 `g  { 1+ :)1  2k n }_;n@;= 2k n }_;n!;=;2!; :!3`  f(x)dx=7 n lim n`  Ú k=1 g{  ¦  1+ 2k n }_;n@;                      =;2!; g(x)dx=8 :!3`  ∴ g(x)dx=16 :!3`  ∴ { f(x)-g(x)}dx :_3!   = f(x)dx+ f(x)dx- g(x)dx- g(x)dx :_1!` :!3`    =2 `f(x)dx+ f(x)dx- g(x)dx :!3`  :_1!` :!3`    =2_3+7-16=-3 :!3`  :)1  1216 |전략| 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 유추하여 조건을 만족시키는 k의 값을 찾고, 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.  f(x)=x+2 sin x에서 ∴  f(x)+f(2p-x)=2p 이때, x=p+t로 놓으면  f(p+t)+f(p-t)=2p  f(p+t)+f(p-t) 2 ∴ =p (-pÉtÉp) 1217 |전략| 주어진 곡선과 직선을 각각 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동하여 식을 간단히 한 후 입체도형의 부피를 구한다. 곡선 y= 4x-4와 두 직선 y=x-1, y=2x-2를 각각 x축의 방향 'Ä 으로 -1만큼 평행이동하면  -3 y= 4(x+1)-4=2 x, y=(x+1)-1=x, 'Ä ' y=2(x+1)-2=2x 오른쪽 그림에서 곡선 y=2 y=x의 교점의 x좌표는 2 x와 직선 '§ x=x에서 '§ y y=2x y=x y=2 x 1 O 1 4 x 4x=xÛ`, x(x-4)=0 ∴ x=0 또는 x=4 '§ 표는 2 x=2x에서 '§ x=xÛ`, x(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=1 따라서 입체도형의 단면은 닫힌구간 [0, 1]에서 한 변의 길이가 2x-x=x인 정삼각형이고, 닫힌구간 [1, 4]에서 한 변의 길이가 2 x-x인 정삼각형이므로 각각의 단면의 넓이를 SÁ(x), Sª(x)라  f(2p-x)=2p-x+2 sin(2p-x)=2p-x-2 sin x 곡선 y=2 x와 직선 y=2x의 교점의 x좌 즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 점 (p, p)에 대하여 대칭이다.  f '(x)=0에서 1+2 cos x=0 cos x=- ;2!;    ∴ x =;3@; p 또는 x =;3$; p (∵ 0ÉxÉ2p) '§ 하면 x  f '(x)  f(x) 0 0 y + ;3@;p 0 y - ;3$;p 0 ↗ f {;3@;p} ↘ f {;3$;p} y + ↗ 2p 2p 함수  f(x)=x+2 sin x의 그래프의 개 형은 오른쪽 그림과 같고, 함수 y 2p y=kx  f(x)=x+2 sin x의 그래프와 원점을 지나는 직선 y=kx가 서로 다른 세 점에 서 만나고 이 세 점의 x좌표들이 등차수 열을 이루기 위해서는 k=1이어야 한다. y=f(x) O p 2p x 180 | IV . 적분법 3 SÁ(x)= ' 4 3 xÛ`, Sª(x)= ' 4 (2 x-x)Û` '§ 입체도형의 부피는 SÁ(x)dx+ Sª(x)dx :)1` = 3 ' 4 xÛ dx `  :!4` + 3 ' 4 (2 x-x)Û` dx ' (4x-4x x+xÛ`)dx :)1` 3 = ' 12 3 = ' 12 3 = ' 12   xÜ` ]1) [ 3 + ' 4 3 + ' 4 :!4` 3   + ' 4   2xÛ`- x;2%;+ :!4` ;5*; [ _ ;5&;=;3!0#;' 3 ' xÜ` ;3!; ]4! 따라서 p=30, q=13이므로 p+q=43  43 정답과 해설; ; ; ; 1218 |전략| 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)일 때, 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는 s= ` { f '(t)}Û`+{ g'(t)}Û` dt임을 이용한다. "à :Ab x=(1-tÛ`) cos t, y=(1-tÛ`) sin t에서 dx dt dy dt =-2t cos t-(1-tÛ`) sin t =-2t sin t+(1-tÛ`) cos t 시각 t=0에서 t=k까지 점 P가 움직인 거리는 {-2t cos t-(1-tÛ`) sin t}Û`+{-2t sin t+(1-tÛ`) c "à os t}Û` dt 4tÛ`+(1-tÛ`)Û` dt= (tÛ`+1)Û` dt (tÛ`+1)dt= `  ;3!; tÜ`+t = +k "à :)k` kÜ ` 3 이때, 움직인 거리가 자연수가 되기 위해서는 kÜ`이 3의 배수이어야 한 [ ]k) :)k 따라서 이를 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 3이므로 a=3이고, 그 때의 움직인 거리는 b= +3=12 3Ü ` 3 ∴ a+b=15  15 1219 |전략| 주어진 정적분 식의 기하적 의미를 파악한다. {1+f '(x)}Û`-2f '(x) dx=5에서 {1+f '(x)}Û`-2f '(x) dx 1+{ f '(x)}Û` dx이므로 = ` "à :)3 0ÉxÉ3에서 곡선 y=f(x)의 길이는 5이다. :)3 이때, 두 점 (0, 0), (3, k)를 지나는 곡선 중에서 길이가 5이면서 k의 값이 최대가 되는 경우는 두 점을 직선으로 연결한 선분인 경우이다. 3Û`+kÛ`=5에서 kÛ`=16 ∴ k=4 (∵ k는 최대) "à 즉, 함수 g(x)의 식은 두 점 (0, 0), (3, 4)를 지나는 직선의 방정식 이므로 g(x)= x ;3$; ∴ `e g(x) dx= `e ;3$; x dx= x e;3$; ;4#;  = (e:Á3¤:-1) ;4#;  ① :)k :)4 [ ]4) :)k` = "à :)k` = 다. ` "à `"à :)3 10 정적분의 활용 | 181 10ㅡㅡ정적분의 활용à Memo Memo Memo