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문제집/고등

2019년 천재교육 유형 해결의 법칙 고등 수학 1 답지

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이책의 정답과 해설 수학 I I 지수함수와 로그함수 지수 로그 지수함수 로그함수 II 삼각함수 삼각함수 삼각함수의 그래프 사인법칙과 코사인법칙 III 수열 등차수열과 등비수열 수열의 합 10 수학적 귀납법 1 2 3 4 5 6 7 8 9 002 013 032 049 071 085 105 121 142 158 001012고유형해결수1-02(1해).indd 1 2018-03-13 오후 5:18:53 개념 마스터 STEP1 0001 aÛ`bÞ`_aÜ`bÛ`_abÝ` =a2+3+1b5+2+4 =aß`b11 0002 (aÛ`bÜ`)Ü`=a2_3b3_3=aß`bá` 0003 (aÛ`b)Þ`_ Ü`=a2_5bÞ`_aÜ` bÜ` {;bA;} =a10+3b5-3=a13bÛ` 0004 6aà`bÜ`Ö(aÛ`b)Û` =6aà`bÜ`Öa2_2bÛ` 0005 2aÝ`bÜ`ÖaÞ`bá`Ö 2b aÛ` } { Û`=2aÝ`bÜ`ÖaÞ`bá`Ö 4bÛ` a2_2 _ aÝ` 4bÛ` =2aÝ`bÜ`_ 1 aÞ`bá` = 2 4bÛ` a5-4b9-3 _ aÝ` 2b6+2 = aÜ` 2b¡` = a4-1 =4aá`b_ bß` 8aÜ` _3abÜ` = ;2#; a9-3+1b1+6+3 = ;2#; aà`b10 0006 4aá`bÖ 2a bÛ` } { Ü`_3abÜ`=4aá`bÖ 8aÜ` b2_3 _3abÜ` 1 지수 본책 8~21쪽 0008 16의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=16이므로 xÝ`-16=0, (xÛ`-4)(xÛ`+4)=0 (x-2)(x+2)(xÛ`+4)=0 ∴ x=Ñ2 또는 x=Ñ2i 0009 -1의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-1이므로 xÜ`+1=0, (x+1)(xÛ`-x+1)=0 ∴ x=-1 또는 x= 3i 1Ñ ' 2 0010 256의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=256이므로 xÝ`-256=0, (xÛ`-16)(xÛ`+16)=0  aß`b11  aß`bá`  Ñ2, Ñ2i  -1, 3i 1Ñ ' 2  a13bÛ` (x-4)(x+4)(xÛ`+16)=0 ∴ x=Ñ4 또는 x=Ñ4i  Ñ4, Ñ4i =6a7-4b3-2=6aÜ`b  6aÜ`b 0011 125=Ü 'Ä " 5Ü`=5 0012 0.0016=Ý 'Ä " 0.2Ý`=0.2 0013 - ®É ;6@4&; =Ü ®É{ - ;4#;} Ü`=- ;4#;  aÜ` 2b¡` 0014 -3Þ`=Þ " " (-3)Þ`=-3 0015 64의 세제곱근 중 실수인 것은 64=Ü 4Ü`=4 'Ä " aà`b10  ;2#; 의 네제곱근 중 실수인 것은 0016 ;1Á6;  5  0.2  - ;4#;  -3  4  -5 =Ý ®É;1Á6; ®É{;2!;} , -Ý ;2!; ®É;1Á6; =-Ý ®É{;2!;} Ý`= Ý`=- ;2!;  ;2!;, - ;2!; 0007 -27의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-27이므로 xÜ`+27=0, (x+3)(xÛ`-3x+9)=0 ∴ x=-3 또는 x= 3i 3Ñ3 2 '  -3, 3i ' 3Ñ3 2 0017 -125의 세제곱근 중 실수인 것은 -125=Ü (-5)Ü`=-5 'Ä "à 002 | I . 지수함수와 로그함수 002012고유형해결수1-02(1해).indd 2 2018-03-13 오후 3:36:28 정답과 해설Ü Ý Ü Þ Ü Ý Ü =Ü =Ü ®É;1ª6; ®;8!; ®É{;2!;} Ü`= ;2!;  ;2!; 0034 0018 -81의 네제곱근 중 실수인 것은 없다. (-3)Û` }Ü`=(-3)Û`=9 27=Ý 3_27=Ý 81=Ý 3Ý`=3 '§ " 'Ä 6)Û`=Ý 16Û`=Ý (4Û`)Û`=Ý 4Ý`=4 " " " 2 7= 2 7= 3Ü`= 3 ' ¿¹ " "à ' "Ã' 41_4_3_2 2Û` =3_4 "à "à "à 2Ü`=2 8=Ü =Ü ' " 21_2=Ü 4_Ü 2 ' ' 0026 - { ;5!;} â`=1 0027 (-4)-3= 1 (-4)Ü` =- ;6Á4; 0019 {Ü "à 0020 3_Ý ' '§ 0021 2 ' 6 1 ' =Ü 0022 (Ý 1 ' 0023 0024 4Ý`_ß 12 "à 0025 6â`=1 0028 - { ;3@;} 0029 a=a;5!; ' 0030 aÜ`=a;4#; "  없다.  9  3  4  3 '  2  1  1 0031 1 aÝ` Þ"à = 1 a;5$; =a- ;5$; 0032 a-5 = 1 a- ß"à 1 ;6%; =a;6%; 0033 100.5=10;2!;= 1 0 ' 81;3!;=(3Ý`);3!;=3;3$;=3´3;3!;=3 Ü 3 ' 32- ;1Á0;=(2Þ`)- ;1Á0;=2- ;2!;= 1 2;2!; = 1 2 ' 2 = ' 2 ;4!;=(2-3)- ;4!;=2;4#;=Ý 2Ü`=Ý 8 " ' 8- ;2!;_2;2#;=2- ;2#;_2;2#;=2- ;2#; + ;2#;=2â`=1 2;2#;_( 2)Û`Ö(2;6!;)Ü` =2;2#;_2Ö2;2!; +1- =2;2#; ;2!;=2Û`=4 0035 0036 - {;8!;} 0037 0038 ' 0039 0040 0041 8_2' 2' 0042 2_5' 5'  a;5!; 2=22 ' 2+ ' 2=23 ' 2  a;4#; 1 8Ö5' 8=5' 2+3 2-2 ' ' 2=52 ' 2  a- ;5$;  a;6%;  1 0 '  3 Ü 3 ' 2  ' 2  Ý 8 '  1  4  b  23 2 '  52 2 ' 1 지수 | 003  - ;6Á4; (Ý aÜ`_Ü " aÛ` )12=(a;4#;_a;3@;)12=aá`_a¡`=a9+8=a17 "  a17 -2 = 1 Û` {-;3@;} = = ;4(; 1 ;9$;  ;4(; (aÜ`bÛ`);6!;Ö(a;4!;b- ;3!;)Û`=a;2!;b;3!;Öa;2!;b- ;3@; =a;2!; - + ;2!;b;3!; ;3@;=b 002012고유형해결수1-02(1해).indd 3 2018-03-13 오후 3:36:29 1ㅡ지수Ý Ü Ü Œ Œ Ü Œ Ü Œ Ü Þ Ý Œ Œ Œ 정답과 해설 0043 2)' (a' 0044 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0045 2=a' 4=aÛ`  aÛ` ∴  f(9, 10)=2 10은 짝수이고 9는 양수이므로 9의 10제곱근 중 실수인 것은 2개이다. 9는 홀수이므로 -10의 9제곱근 중 실수인 것은 1개이다. (a®;3@;_b®;2#;)' 6=(a 2 ' ' 3 _b ' ' 3 2 )' 6=a ' ' _ ' 6_b ' ' 2 3 3 2 _ ' 6=aÛ`bÜ`  aÛ`bÜ` 10은 짝수이고 -9는 음수이므로 -9의 10제곱근 중 실수인 것은 ∴  f(-10, 9)=1 없다. ∴  f(-9, 10)=0 ∴  f(10, 9)+f(9, 10)-f(-10, 9)+f(-9, 10) =1+2-1+0=2  2 -3, Ý -2는 실수가 아니고, Ý 2, Ý 3은 실수이다. ' ' |전략| n이 홀수일 때 양수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 Ç a, n이 짝수일 때 양수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 ÑÇ a이다. ' ① (-2)Û`= 2Û`=2이므로 2의 제곱근은 Ñ 2이다. (거짓) "à " ② 5의 세제곱근은 방정식 xÜ`=5의 근이므로 3개이다. (거짓) ③ -16의 네제곱근 중 실수인 것은 없다. (거짓) ' ' ④ n이 짝수일 때, -8의 n제곱근 중에서 실수인 것은 없다. (거짓) ⑤ n이 홀수일 때, 3의 n제곱근 중에서 실수인 것은 Ç 3으로 1개뿐 0049 B={4, 9}이므로 Ú y=4일 때 Û y=9일 때 'Ä 'Ä 'Ä 'Ä 이다. (참) 따라서 옳은 것은 ⑤이다. ' Ú, Û에서 조건을 만족시키는 순서쌍 (x, y)의 개수는 -3, á -2, á 2, á 3은 모두 실수이다. ' ' (2, 4), (3, 4), (-3, 9), (-2, 9), (2, 9), (3, 9)의 6이다.  6  ⑤ 0046 ㄱ. 4Ü`=64이므로 4는 64의 세제곱근 중 하나이다. (참) ㄴ. -36의 네제곱근 중 실수인 것은 없다. (거짓) ㄷ. 27의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü 2 7=Ü 3Ü`=3뿐이다. (참) ' (-3)Ü`=-3이므로 Ü " 'Ä -27의 네제곱근 중 실수인 것 -27=Ü ㄹ. Ü 'Ä 은 없다. (참) "à 따라서 옳은 것의 개수는 ㄱ, ㄷ, ㄹ의 3이다.  ④ -2)Ü`=-2이므로 (Ý 2)Ý`+(Ü -2)Ü` (거짓) ' 'Ä 0050 |전략| 거듭제곱근의 성질을 이용한다. ' ㄱ. (Ý 2)Ý`=2, (Ü 'Ä 3=3_2 3=ß ㄴ. Ü "' ' ' 21_6= 2ß`=2_6 4Ü`=12 ㄷ. 12 "à " " 5_2=Ü 2=Ü 5`Ü 3 (참) ㄹ. Ü 1 ' 0 (참) ' ' 'Ä ' 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 2+Ý 2 (거짓) '  ㄴ, ㄹ (-8)Ü`=-8  'Ä -8의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü "à -8=Ü (-2)Ü`=-2이므로 'Ä "à -a=2의 네제곱근 중 양의 실수인 것은 Ý 2이므로 ' Ý`= aÝ` bÝ` = (-2)Ý` 2)Ý` (Ý ' = :Á2¤: =8  0047 -512=Ü a=-2  b=Ý 2  ' ∴ {;bA;} 채점 기준 ❶ Ü'Ä-512를 간단히 할 수 있다. ❷ a의 값을 구할 수 있다. ❸ b의 값을 구할 수 있다. Ý` 의 값을 구할 수 있다. ❹ {;bA;} … ❶ … ❷ … ❸ … ❹  8 비율 20 % 30 % 30 % 20 % 0048 9는 홀수이므로 10의 9제곱근 중 실수인 것은 1개이다. ∴  f(10, 9)=1 004 | I . 지수함수와 로그함수 0051 ① Ü 2 ' ② "' ③ (Ý 3Ü`=3 3Ý`=3 7=Ü " 1=Ý 8 " 9)Û`=Ý " 9Û`=Ý 3Ý`=3 " ' 243 3 '¶ ' 3_ß 'Ä ④ ⑤ ß ' = 3Þ` " 3Û` " 243=ß =Ý 3Ü` " 3_ß 3Þ`=ß 3_3Þ`=ß 3ß`=3 ' " "à " 따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.  ④ 0052 (Þ 3 ' 2)Û`ÖÜ 2ß`_ 6 4 =Þ " "à ' 32Û`ÖÜ "à (2Û`)Þ`ÖÜ (2Û`)Ü`_ß 6 4 ' (2Û`)Ü`_ß "à 2ß` " " "à =Þ =4Ö4_2=2 0053 6 1 ' 16 ݾР1 1 6 6 = +¾Ð ' ' + 12 2Ý` "Å 2Ý` " 2Ü`+4 "Å 2 Ü 2Û` " 2 ' 2 = 2Ý` "Å 2Ý` " = 6 2 Ü 2Û` " + 2 2Û` " = 3 2Û` " =  2 = 2 3 Ü ' 2  2 3 Ü ' 2 002012고유형해결수1-02(1해).indd 4 2018-03-13 오후 3:36:31 Œ Ü Ý á Œ Œ Œ Ý Ý Ý Œ Ü Œ Œ Ü Œ Œ Ü Œ Œ Ý Ý ß Ü Ü Ü Ü Ü 0054 amp=Ç |전략| a>0이고 m, n(n¾2)이 정수일 때, np " " aµ`` ( p는 양의 정수)임을 ∴` f(ß 3)=(ß 3)12=(3;6!;)12=3Û`=9 ' '  ④ aÝ`b_ß aÝ`bÖÜ aÞ`bÛ`= "Å " "à aÝ`b =ß ¾Ð a16bÝ` a10bÝ` a12bÜ`_ß "à a10bÝ` " aß`=a =ß "à ¾Ð = _ = a a ' ' " ' aÝ` a _ݾР12 a ' a ' 12 aÞ` " a ' 따라서 m=6, n=1이므로 m+n=7 12 aÞ` " aÛ` " =12 " 12 aÝ` " a ' 12 " 12 " aÞ` aÜ` = = aÛ`=ß a ' 0061  ④ 자연수 n에 대하여 1 2-n+1 = 2Ç` 1+2Ç` 이므로 1 2-n+1 + 1 2Ç`+1 = 2Ç` 1+2Ç` + 1 1+2Ç` =1 ∴ 1 2-5+1 + 1 2-4+1 + 1 2-3+1 + y + 1 2â`+1 + 1 2+1 + y + 1 2Þ`+1  7 = 1 2-5+1 + 1 2Þ`+1 + 1 2-4+1 + 1 2Ý`+1 + y + 1 2â`+1 =1+1+1+1+1+ ;2!; _¾Ð x x '§ 10 '§ ÖÞ ¾Ð x x '§ '§ = _ _ =1 15 x '§ x '§ x x '§ 20 '§ x x 20 '§ 15 '§ = :Á2Á:  ② 이용한다. " 0055 0056 ¾Ð x x '§ '§ 0057 aÛ` Ý aÜ ¿¹ " ' a12_24 a=24 aÛ`_24 a = a_ß " ' " ' " a21=¡ a12_a¡`_a=24 =24 aà` " " " a¡`_24 ' a 따라서 m=8, n=7이므로 m+n=15  ② 0058 ㄱ. R(2, 4)=Û ㄴ. R(5, a)´R(5, b)=Þ a Þ b=Þ b=R(5, ab) (참) 4=Ý 1 6=R(4, 16) (참) ' ' ' ' a ' a=3a ' ' 2 7=Œ 3 ' ㄷ. R(a, a)=R(3a, 27)에서 Œ ∴ a=3 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.  ⑤ 0059 |전략| a+0이고 n이 양의 정수일 때, a-n= 임을 이용한다. 3-5+27-2 4 _ 5 4Ü`+16Û` = _ 5 (2Û`)Ü`+(2Ý`)Û` 1 aÇ` 3-5+(3Ü`)-2 4 ∴ k=-6 = 3-6(3+1) 4 =3-6_2-6=6-6 _ 5 2ß`(1+2Û`) 0060  f(x)= 1+x+xÛ`+ y +x10 x-2+x-3+x-4+ y +x-12 x12(1+x+xÛ`+ y +x10) x12(x-2+x-3+x-4+ y +x-12) x12(1+x+xÛ`+ y +x10) x10+xá`+x¡`+ y +1 =x12 = =  ④  5  6  ② |전략| 지수가 실수일 때, 지수법칙이 성립함을 이용한다. - ;2#; ;3!; ] _ [{;1ª2¦ ¶5;} {:ª5¦ ¶:} {;5#;} 3_ - { _ ;2#; ;3!;} _ { ;2!; 3Ü` 5 } ;2!; = = = - ;2#; {;5#;} _{ ;2!; 3Ü` 5 } 3- ;2#;_3;2#; 5-;2#;_5;2!; = 1 5-1 =5 ' 3Öa3 ' 6_(Ü a)6 ' ' 6 ' 6=a2 =a2 =a2 ' ' ' ' 6Öa3 6Öa3 6+2 6-3 ' 6_(a;3!;)6 6_a2 6=a' ' ' 6 6 ' 따라서 k= 6이므로 kÛ`=6 ' 0062 0063 2)2 (a' 0064 a+3b a-b a-b a+b } { 2a a-b a+b a-b } 2b a-b a+b a-b } _{ -a-3b a-b _{ 2a a-b a+b a-b } _{ a+b a-b } _{ 2b a-b  ① -a-3b a-b + 2a a-b + 2b a-b a+b a-b } a+b a-b } a+b a-b } ={ ={ ={ 0065 {;6Á4;} a-b a-b a+b a-b = ;k!;=(2-6);k!;=2- ;k^;이 자연수가 되도록 하는 정수 k의 값은 -1, -2, -3, -6이다.  … ❶ 1 지수 | 005 002012고유형해결수1-02(1해).indd 5 2018-03-13 오후 3:36:31 1ㅡ지수ß ß ß Ý Ü ¡ ¡ ¡ Ý Ü Þ Ü Ü Ý ß ß Œ Œ Œ 따라서 집합 A의 원소 중 자연수인 x의 값은 2ß`, 2Ü`, 2Û`, 2Ú`이므로 그 따라서 m= , n= 이므로 m+n= ;2#; ;3*; :ª6°:  ④ 64+8+4+2=78  합은 채점 기준 ❶ k의 값을 구할 수 있다. ❷ 조건을 만족시키는 모든 x의 값의 합을 구할 수 있다. 0071 … ❷  78 비율 60 % 40 % a=23x+1에서 a=2´23x, 23x= ∴ 2Å`= ;2A; ;3!; {;2A;} ∴ 64Å`=(2ß`)Å`=(2Å`)ß`= ß`= ;3!; ] {;2A;} Û`= aÛ` 4 [{;2A;}  aÛ` 4 |전략| a>0이고 m, n이 2 이상의 정수일 때, Ç a=a;n!;, m " ' ' a=a 1 mn 임을 이용 3=¡ 3=3;8!; 3=3_ 3_Ý 3=3_3;2!;_3;4!;_3;8!; ' + =31+ ;2!; + ;4!; 3_¡ ' ' ;8!;=3:Á8°: 이므로 (좌변)=3;8!;_3:Á8°:=3;8!; :Á8°:=3Û` + 0072 ' 2 ' a=Ü 3 2=2;3%;에서 2=a;5#; b=Ý 7=3;4#;에서 3=b;3$;  2 0073 aß`=3, bÞ`=7, cÛ`=11에서 a=3;6!;, b=7;5!;, c=11;2!; 0066 한다. ' 3 "à ' "à 3 ' 3 ¿¹ ∴ k=2 0067 ∴ 144=2Ý`_3Û`=(a;5#;)Ý`_(b;3$;)Û`=a:Á5ª:b;3*;  ③ 이므로 (abc)Ç`=(3;6!;_7;5!;_11;2!;)Ç` 이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 값은 2, 5, 6의 공배수이다. 따라서 자연수 n의 최솟값은 2, 5, 6의 최소공배수인 30이다.  ②  ⑤ 0074 |전략| (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`, (a+b)Û`=aÛ`+2ab+bÛ`임을 이용한다. (a;2!;+a- ;2!;+1)(a;2!;+a- ;2!;-1)=(a;2!;+a- ;2!;)Û`-1Û` =a+2+a-1-1 =a+a-1+1  ③ a Þ ¿¹ a;3!; aû`=Ü¿¹a_a;5K;=(a1+ " + ;1ð5;=a;2#;에서 + ;3!; ;1ð5; ;2#; = ;5K;);3!;=a;3!; + ;1ð5; = ;6&; ;1ð5; ∴ k= :£2°: 0068 a ß ' ¿¹ a Ü " aÛ`=Ý a_24 ' + + ;2Á4; ' =a;4!; a_12 " ;1ª2;=a;2!4!; aÛ`=a;4!;_a;2Á4;_a;1ª2; Ü¿¹a ¡ "aû`=Ü ' =a;3!; a_24 "aû`=a;3!;_a;2ð4; + ;2ð4;=a k+8 24 따라서 = k+8 24 ;2!4!; 0069 4_ 4 4 ' 4 ®É ' =Ü¿¹41+ ;2!;_41- ;4!;=Ü¿¹4;2#; + ;4#; =(4;4(;);3!;=(2Û`);4#;=2;2#; 이므로 k+8=11 ∴ k=3  3 0075 2;3!;=A, 2- ;3@;=B로 놓으면 (2;3!;+2- ;3@;)Ü`+(2;3!;-2- ;3@;)Ü` =(A+B)Ü`+(A-B)Ü` =AÜ`+3AÛ`B+3ABÛ`+BÜ`+AÜ`-3AÛ`B+3ABÛ`-BÜ` =2(AÜ`+3ABÛ`)=2{(2;3!;)Ü`+3´2;3!;´(2- ;3@;)Û`} =2(2+3´2;3!;´2- ;3$;)=2(2+3´2-1) =2 2+ { ;2#;} =7 0076 따라서 m=2, n=3이므로 mn=6  ④ 0070 |전략| a>0, k>0이고 x+0인 정수일 때, aÅ`=k이면 a=k;[!;임을 이용한다. a=9Ý`에서 a=(3Û`)Ý`, a=3¡` ∴ 3=a;8!; b=8Ü`에서 b=(2Ü`)Ü`, b=2á` ∴ 1212=(2Û`_3)12=224_312=(b;9!;)24_(a;8!;)12=a;2#;b;3*; ∴ 2=b;9!; (a;8!;-b;2!;)(a;8!;+b;2!;)(a;4!;+b)(a;2!;+bÛ`) =(a;4!;-b)(a;4!;+b)(a;2!;+bÛ`) =(a;2!;-bÛ`)(a;2!;+bÛ`) =a-bÝ` =Ü 8-(Ý 2)Ý`=2-2=0 ' '  7  ③ 006 | I . 지수함수와 로그함수 006 | I . 지수함수와 로그함수 1 지수 | 007 002012고유형해결수1-02(1해).indd 6 2018-03-13 오후 3:36:32 정답과 해설Ç Ý Ü Ý Ü É Ý Œ Œ 1-x;8!; 1+x;8!; (1-x;8!;)(1+x;8!;) 1-x;4!; 1+x;8!;+1-x;8!; 2 = 1-x;4!; 1+x;4!; (1-x;4!;)(1+x;4!;) 1-x;2!; 2(1+x;4!;+1-x;4!;) 4 = 0077 1 2 4 + + + 1 2 4 = = = 1+x;2!; 1-x;2!; ∴ (주어진 식)= 8 4(1+x;2!;+1-x;2!;) (1-x;2!;)(1+x;2!;) = 8 1-x = 8(1+x+1-x) (1-x)(1+x) + 8 1+x = 16 1-5 1-x = 16 1-xÛ` =-4  -4 0078 0079 |전략| 먼저 주어진 등식의 양변을 제곱한다. ;2!;=2의 양변을 제곱하면 ∴ a+a-1=6 a;2!;-a- a-2+a-1=4 a+a-1=6의 양변을 제곱하면 aÛ`+2+a-2=36 ∴ aÛ`+a-2-7 a+a-1-3 = 34-7 6-3 = :ª3¦ ¶: ∴ `aÛ`+a-2=34 =9 (a;2!;-a- ;2!;)Û`=a-2+a-1=11-2=9 ∴ a;2!;-a- ;2!;=3 (∵ a>1) a;2!;-a- ;2!;=3의 양변을 세제곱하면 a-1 = a;2!; >0 (∵ a>1) a;2#;-3(a;2!;-a- ;2!;)-a- ;2#;=27 ∴ a;2#;-a- ;2#;=27+3´3=36 ∴ a;2#;-a-;2#;+14 a;2!;-a-;2!;+2 = 36+14 3+2 = :°5¼: =10 ' a- 1 a ' a-2+ ;a!; = 2의 양변을 제곱하면 ' =2 ∴ a+a-1=4 한편, (a-a-1)Û`=(a+a-1)Û`-4=4Û`-4=12 >0에서 a>1이므로 그런데 a- 1 a ' ' >0, 즉 a-1 a ' a-a-1>0 ∴ a-a-1= 3 ' ∴ (주어진 식)=(a+a-1)(a-a-1)=4´2 >0 (∵ a>1) aÛ`-1 a 2=2 ' = 1 3=8 3 ' '  8 3 ' 0082 |전략| 주어진 식의 분모, 분자에 aÅ` 을 곱한다. 주어진 식의 분모, 분자에 aÅ` 을 곱하면 a4x-1 a2x+1 aÅ`(a3x-a-x)  aÅ`(aÅ`+a-x) a3x-a-x  aÅ`+a-x = = = (a2x)Û`-1 a2x+1 = 25-1 5+1 = :ª6¢: =4  ④ 0083  ① 2;[!;=9에서 9Å`=2 ∴ 32x=2 주어진 식의 분모, 분자에 3Å` 을 곱하면 33x-3-3x  3Å`+3-x = 3Å`(33x-3-3x)  3Å`(3Å`+3-x) = 34x-3-2x  32x+1 = (32x)Û`-(32x)-1  32x+1 = 4- ;2!; 2+1   = ;6&;  ;6&; 0084 주어진 식의 분모, 분자에 2Å`을 곱하면  10 25x+2-3x  2Å`+2-x = 2Å`(25x+2-3x)  2Å`(2Å`+2-x) = 26x+2-2x  = 22x+1 (22x)Ü`+(22x)-1  22x+1 0080 xÜ`=(3;3!;-3- ;3!;)Ü` =3-3(3;3!;-3- ;3!;)-3-1 =3-3x- = ;3!; ;3*; -3x ∴ xÜ`+3x= ;3*; aÜ`+aÛ` a+1 - a-3+a-2 a-1+1 0081 a-2(a-1+1) a-1+1 = - aÛ`(a+1) a+1 =aÛ`-a-2 =(a+a-1)(a-a-1)  ③ 1 2+1 ' ( 2+1)Ü`+ ' = (2 ' = ( 2+1)+1 ' 2+6+3 2-1) 2+1)+( 2 ' 2+ ' ' 6(1+ (2+ 2)(2- ' 2)(2- ' 2-2)=3 2) ' 2) ' 2 ' = = 6+6 2+ 2 ' 2 ' =3(2- 2+2 ' ' 0085 aÅ`(aÅ`-a-x) aÅ`-a-x aÅ`+a-x = aÅ`(aÅ`+a-x) 3a2x-3=a2x+1, 2a2x=4 a2x=2 ∴ aÅ`= 2 (∵ a>0)  ' = a2x-1 a2x+1 = ;3!;  a;2#; a;2!; x-a-;2!; x+a-;2#; x x 의 분모, 분자에 a;2!; x을 곱하면  ① … ❶ … ❷ 1 지수 | 007 006 | I . 지수함수와 로그함수 002012고유형해결수1-02(1해).indd 7 2018-03-13 오후 3:36:32 1ㅡ지수Œ a;2#;x-a-;2!;x a;2!;x+a-;2#;x = a;2!;x(a;2#;x-a-;2!;x) a;2!;x(a;2!;x+a-;2#;x) = a2x-1 aÅ`+a-x = ( ' 2+ 2)Û`-1 1 2 ' ' = 2 = ' 3   1 3 2 ' ∴ 10 2a 1-b =(10 1 1-b )2a=202a=(20Œ`)Û`=3Û`=9  ⑤ 0090 |전략| 3Å`=5y=15½`=k(k>0)로 놓고 문자 사이의 관계식을 구한다. 3Å`=5y=15½`=k(k>0)로 놓으면 xyz+0에서 k+1 … ❸ 2  ' 3 비율 20 % 30 % 50 % yy ㉠ yy ㉡ yy ㉠ yy ㉡  ② yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ 그런데 k+1이므로 + - ;]!; ;z!; ;[!; =0  ③ 0091 aÅ`=by=3½`=k(k>0)로 놓으면 a+1, b+1, xyz+0에서 k+1 3Å`=k에서 3=k;[!; 5y=k에서 5=k;]!; 15½`=k에서 15=k;z!; ㉠_㉡Ö㉢을 하면 3_5Ö15=k;[!;_k;]!;Ök;z!;=k;[!; + - ;]!; ;z!; ∴ k;[!; + - ;]!; ;z!;=1 aÅ`=k에서 a=k;[!; by=k에서 b=k;]!; 3½`=k에서 3=k;z!;  이때, + = ;]!; ;z@; ;[!; 이므로 + k;[!; ;]!;=k;z@;, k;[!;_k;]!;=(k;z!;)Û`  ∴ ab=3Û`=9  채점 기준 ❶ a, b, 3을 k¨` 꼴로 나타낼 수 있다. ❷ 주어진 등식을 k에 대한 식으로 변형할 수 있다. ❸ ab의 값을 구할 수 있다. yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ … ❶ … ❷ … ❸  9 비율 40 % 40 % 20 % |전략| a0, b>0, n은 2 이상의 정수) 0092 a<Ç ' ' 0, B= 1 A=Ü 1 0=ß "' " 6, 2, 6의 최소공배수가 6이므로 ' ' ' 3, C= 1 6=ß 1 6 ' A=ß 1 0, B=ß 3Ü`=ß 2 7, C=ß 1 6 ' " 10<16<27이므로 ß 0<ß ' 1 ' ' 6<ß 1 ' 2 7 '  ② ∴ A0 a>b HjK ⑵ aÛ`-bÛ`>0 aÛ`>bÛ` a>b (단, a>0, b>0) HjK a>b (단, a>0, b>0) HjK ⑶ ;bA; >1 HjK 0095 n이 양의 정수이므로 n<Ý 20180이고 n(n¾2)이 정수일 때, Ç a=a;n!;임을 이용한다. ' 0101 유형 02 거듭제곱근의 계산 9+Ü 4)(Ü 8 1-Ü 3 6+Ü (Ü ' =(Ü =(Ü ' 9Û`-Ü ' 9+Ü ' 4)(Ü ' ' 9)Ü`+(Ü " 4)Ü` 1 6) ' 4+Ü 9´Ü ' ' 4Û`) " ' ' =9+4=13 0102 유형 03 문자를 포함한 거듭제곱근의 계산 a a ' ' ¾Ð _Þ ¾Ð a a ' ' a=mn ' 이때, µ` ' " ∴ mn=30 = a a 12 ' 20 ' a a = = _ a a 15 ' 20 ' =60 ¾Ð 12 ' 15 ' 60 aÞ` "Å 60 aÜ` " aÛ`=30 =60 a " ' a이므로 30 ' aÞ` aÜ` a=mn ' a a=a;1Á6; a=16 ' a=Ý ' ¿¹¿¹"' Ý¿¹a Ý "Ãa Ý ' a_64 a_16 ' ' =a;4!;_a;1Á6;_a;6Á4; a =a;4!; + ;1Á6; + ;6Á4;=a;6@4!; (좌변)=a;1Á6;_a;6@4!;=a;1Á6; ;6@4!;=a;6@4%; + 이므로 ∴ k= ;6@4%; 0104 유형 07 유리수인 지수로 나타내기 |전략| a=k;[!;이면 aÅ`=k임을 이용한다. ' ' 1 a=Ü 2=2;3!;에서 aÜ`=2 b= 3=3;2!;에서 bÛ`=3 ∴ ß 2=12;6!;=(2Û`_3);6!; ' ={(aÜ`)Û`_bÛ`};6!; =ab;3!; 010 | I . 지수함수와 로그함수 0105 유형 08 곱셈 공식을 이용한 식의 전개 에 의하여 a+b=-2k, ab=6 ∴ a-1-b-1 a-2-b-2 =  ④ a-1-b-1 (a-1+b-1)(a-1-b-1) a-1+b-1 = 1 = 1 ;Œ!;+;º!; = ab a+b =- ;k#; 따라서 - = ;k#; ;2¢5; 이므로 k=- :¦4°:  ① 0106 유형 09 aÅ`+a-x=k (k는 상수) 꼴의 조건이 주어진 경우 식의 값 구하기 |전략| 주어진 등식의 양변을 세제곱한다. x;3!;+x- ;3!;=1+ 2의 양변을 세제곱하면 ' x+x-1+3(x;3!;+x- ;3!;) =1+2 2+3´ 2(1+ 2) ' ' =7+5 ' 2 ' 2) ' ∴ x+x-1 =7+5 2-3(1+ ' =4+2 2 ' 따라서 a=4, b=2이므로 a+b=6  ③ 0107 유형 10 aÅ`-a-x aÅ`+a-x 꼴의 식의 값 구하기 |전략| 주어진 등식의 분모, 분자에 aÅ`을 곱한다. a2x+1 aÅ`(aÅ`+a-x) aÅ`+a-x aÅ`-a-x = a2x-1 aÅ`(aÅ`-a-x) a2x+1=3a2x-3, 2a2x=4, a2x=2 =3 = ∴ a2x-a-x ax+a-2x = = 4- 2 2 ' 2+1 ' 1 2 ;2!; 2- ' 2+ ' (4- (2 ' ∴ aÅ`= 2 (∵ a>0) '  ③ = ' 2)(2 ' 2+1)(2 ' 2-1) 2-1) -8+9 2 ' = 7  ② 0108 유형 11 aÅ`=k (k는 상수)의 조건이 주어진 경우 식의 값 구하기 |전략| 밑을 통일한 후 지수법칙을 이용한다. aÅ`=5에서 a=5;[!; (ab)y=5Û`에서 ab=5;]@; (abc)½`=5Ü`에서 abc=5;z#; ㉠_㉡Ö㉢을 하면 + a_abÖabc=5;[!; - ;]@; ;z#;  ⑤ ∴ 5;[!; + - ;]@; ;z#;= a_ab abc = ;cA; yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢  ④ 001012고유형해결수1-02(1해).indd 10 2018-03-15 오전 11:09:28 1 지수 | 011 정답과 해설Œ Œ Œ Ü Ý Þ Ð Ü Ý Ç Œ 0109 조건 ㈏에서 243Œ`=64º`=x`=k(k>0)로 놓으면 유형  13 거듭제곱근과 지수로 표현된 수의 대소 관계 abc+0에서 x+1, k+1 |전략| a0, b>0, n은 2 이상의 정수) ' ' 243Œ`=k에서 35a=k ∴ 3Þ`=k;a!; 7=ß 7이고, 3, 4, 6의 최소공배수는 12이므로 "' ' 5Ü`=12 5=12 3Ý`=12 3=12 'Ä " ' " 3<Ý 7<Ü ' 49<81<125이므로 Ü 7=12 " 125, ß 1, Ý ' ' 8 5 7Û`=12 ' 4 9 "' ' 7이므로 ' 따라서 a=Ý ' a12-b12 =(Ý 5, b=Ü "' 5)12-(Ü ' "' =125-49=76 125)12-(12 7)12=(12 ' 'Ä 4 9)12  ⑤ 64º`=k에서 26b=k ∴ 2ß`=k;b!; x`=k에서 x=k;c!;  이때, 조건 ㈎에서 + = ;b%; ;a^; :Ác¼: 이므로 + k;a^; ;b%;=k:Ác¼:, k;a^;_k;b%;=k:Ác¼:  (k;a!;)ß`_(k;b!;)Þ`=(k;c!;)10, (3Þ`)ß`_(2ß`)Þ`=x10 630=x10 ∴ x=6Ü`=216  채점 기준 ❶ 조건 ㈏에서 243, 64, x를 k¨` 꼴로 나타낼 수 있다. ❷ 조건 ㈎에서 주어진 식을 k에 대한 식으로 변형할 수 있다. … ❶ … ❷ … ❸  216 배점 3점 2점 2점 |전략| 원본의 글자 크기를 a, 확대 배율을 r(r>1)로 놓고 주어진 조건을 만족 원본의 글자 크기를 a, 확대 배율을 r(r>1)라 하면 5회째 복사본의 ❸ x의 값을 구할 수 있다. 0113  ② 유형  02 거듭제곱근의 계산 |전략| 거듭제곱근의 성질을 이용한다. ⑴ 직육면체의 부피는 0111 유형  06 거듭제곱근을 유리수인 지수로 나타내기 |전략| m=1, 2, 3일 때, Ü nµ``=n:3 M:;이 자연수가 되도록 하는 n의 값을 구한다. " Ú m=1일 때, Ü nµ``=n:3 M:=n;3!;에서 n은 어떤 자연수의 세제곱이어 6 '¶ "à ' ' 4_ 8_Ü 128 = 2á`_ß 214 " ⑵ 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라 하면 2Ü`_Ü 2ß`_ß " " 29+12+7=ß "à 2à`=ß " " 228=Ü " =ß 212_ß " " 2à` xÜ`=Ü 214 " 214 ∴ x=Ü " 214에서 m=9, n=14이므로 " 214=á " ¿¹ ⑶ á … ❶ m+n=23 Û m=2일 때, Ü nµ``=n:3 M:=n;3@;에서 n은 어떤 자연수의 세제곱이어  ⑴ Ü 214 ⑵ á " " 214 ⑶ 23 채점 기준 ⑴ 직육면체의 부피를 구할 수 있다. ⑵ 정육면체의 한 모서리의 길이를 구할 수 있다. ⑶ m+n의 값을 구할 수 있다. 배점 4점 6점 2점 0110 유형  14 지수법칙의 실생활에의 활용 시키는 식을 세운다. 글자 크기가 원본의 2배이므로 arÞ`=2a ∴ rÞ`=2 7회째 복사본의 글자 크기는 arà`이므로 arà`ÖarÞ`=rÛ`=(rÞ`);5@;=2;5@; 따라서 p=5, q=2이므로 p+q=7 야 하므로 n=1 또는 n=2Ü`=8  야 하므로 n=1 또는 n=2Ü`=8  " " " Ü m=3일 때, Ü nµ``=n:3 M:=n;3#;=n이므로 n=1, 2, 3, y, 8  Ú, Û, Ü에서 순서쌍 (m, n)의 개수는 2+2+8=12  채점 기준 ❶ m=1일 때, n의 값을 구할 수 있다. ❷ m=2일 때, n의 값을 구할 수 있다. ❸ m=3일 때, n의 값을 구할 수 있다. ❹ 순서쌍 (m, n)의 개수를 구할 수 있다. 0112 유형  12 aÅ`=by의 조건이 주어진 경우 식의 값 구하기 |전략| 243Œ`=64º`=x`=k(k>0)로 놓고, k와 243, 64, x 사이의 관계식을 구 한다. 창의·융합 교과서 속 심화문제 0114 ;2!; ;4!; |전략| 먼저 x= (3;4!;-3- ;4!;)의 양변을 제곱한다. ;2!; x= (3;4!;-3- ;4!;)의 양변을 제곱하면 xÛ`= (3;2!;+3- ;2!;-2) ∴ xÛ`+1= (3;2!;+3- ;2!;+2)= (3;4!;+3- ;4!;)Û` ;4!; ;4!; … ❷ … ❸ … ❹  12 배점 2점 2점 2점 1점 010 | I . 지수함수와 로그함수 1 지수 | 011 002012고유형해결수1-02(1해).indd 11 2018-03-13 오후 3:36:35 1ㅡ지수Ü Ü Œ Œ Œ Œ Ü Ü ∴ (x+ xÛ`+1)Ý`= (3;4!;-3- ;4!;)+ (3;4!;+3- ;4!;)Û` "à ®É;4!; ;2!; Ý` ] Ý` ] (3;4!;-3- ;4!;)+ (3;4!;+3- ;4!;) [;2!; = [;2!; =(3;4!;)Ý`=3  ③ 0115 |전략| (a, b)0 ∴ x>2  x>2 0136 진수의 조건에서 -xÛ`+3x>0, x(x-3)<0 0120  -2=log£ ;9!; ∴ 00, x-5+1 x>5, x+6 ∴ 56  56 2ㅡ 로 그 0138 밑의 조건에서 x-1>0, x-1+1 x>1, x+2 ∴ 12 진수의 조건에서 5-x>0 ∴ x<5  3 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 10, (밑)+1, (진수)>0임을 이용한다. 밑의 조건에서 x-2>0, x-2+1 진수의 조건에서 -xÛ`+5x+14>0 xÛ`-5x-14<0, (x+2)(x-7)<0 ∴ -22, x+3 ∴ 23 yy ㉠ 1000=log10ÑÚ` 10;4#;=- logÁ¼ 10=- ;4#; ;4#;  - ;4#; ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 20, |x+1|+1 ∴ x+-1, x+0, x+-2  10 진수의 조건에서 -xÛ`+x+2>0 xÛ`-x-2<0, (x+1)(x-2)<0 ∴ -10, a+1 ∴ 01 진수의 조건에서 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-ax+a+3>0이어야 하 35  Ü '¶ 므로 이차방정식 xÛ`-ax+a+3=0의 판별식을 D라 하면  ⑤ … ❶ … ❷ … ❸ 3  ' 2 비율 30`% 30`% 40`%  73 yy ㉡  ③ yy ㉠ yy ㉡ yy ㉠ 013031고등유형해결(수1)-08.indd 14 2018-03-13 오후 5:24:51 D=aÛ`-4(a+3)<0, aÛ`-4a-12<0 (a+2)(a-6)<0 ∴ -2b>c이므로 이때, logª abc logª 231 a=11, b=7, c=3 ∴ a-b-c=1 0188 |전략| 먼저 로그의 성질을 이용하여 ab의 값을 구한다. logª a+log¢ bÛ` =logª a+log2Û` bÛ`=logª a+logª b ∴ ab=2Û`=4 ∴ 4logª a´2log ' =logª ab=2 ' 2 b =alogª 4´blog 2 2 =a2 logª 2´b 2 logª 2 ' =aÛ`bÛ`=(ab)Û` =4Û`=16 0189 logŒ c:logº c=2:1에서 logŒ c=2 logº c, logŒ c=logº;2!; c  4b-6c a+b 2=2;2!;이므로 log 2 2=2 logª 2 '  ②  ③ 2 로그 | 017 =log6Ü`(2Ý`´3Ý`)=log6Ü` 6Ý`= ;3$;  ④ a=b;2~ !; ∴ b=aÛ` 다른 풀이 16Å`=216에서 16=216;[!;, 2Ý`=6;[#; ∴ 2=6;4£[;  yy ㉠ ∴ logŒ b+logº a=logŒ aÛ`+logaÛ` a=2+ = ;2%; ;2~ !;  ③ 013031고등유형해결(수1)-08.indd 17 2018-03-13 오후 5:24:53 2ㅡ로그2 0190 aÛ`bÜ`=1의 양변에 a를 밑으로 하는 로그를 취하면 logŒ aÛ`bÜ`=logŒ 1, 2+3 logŒ b=0 ∴ logŒ b=- ;3@; ∴`logŒ aÜ`bÛ`=3+2 logŒ b=3+2´ - = ;3%; ;3@;} {  ;3%; 다른 풀이 aÛ`bÜ`=1에서 bÜ`=aÑÛ` ∴ b=a- ;3@; ∴ logŒ aÜ`bÛ`=logŒ {aÜ`´(a- ;3@;)Û`}=logŒ (aÜ`´a- ;3$;)=logŒ a;3%;= ;3%; 채점 기준 a+b=5, ab=5 또, (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=5Û`-4´5=5에서 a=a-b= 5`(∵ a>b) ' ∴ logŒ a+logŒ b=logŒ ab=log 5 5 ' =log5;2!; 5=2 log° 5=2 0191 logabc x= 1 log® abc = 1 log® a+log® b+log® c 1 1 logº x 1 log x + 1 = =2 = = + 1 logŒ x 1 + + ;8!; ;3!; ;2Á4; ;2!4@; 0192 |전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 logÁ¼ a+logÁ¼ b=4, logÁ¼ a´logÁ¼ b=2 ∴`logŒ b+logº a=  2 A=log ;8!; ;2!; =log2ÑÚ` 2ÑÜ`=3 B=log¢ 32=log2Û` 2Þ`= ;2%; C=9log£  ' 2=32 log£  ' 2=3log£ 2=2log£ 3=2 ∴ C10, y>10이므로 log x>1, log y>1 2 로그 | 025 013031고등유형해결(수1)-08.indd 25 2018-03-13 오후 5:24:57 2ㅡ로그 따라서 log x=2+a (0Éa<1), log y=1+b (00, log° 3>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 Ü 100ÉxÉk(100Ék<1000)일 때, 2Élogx<3이므로 N(x)=2 ∴ N(100)+N(101)+N(102)+ y +N(k)=2(k-99) 이때, N(1)+N(2)+N(3)+ y +N(k)=500이므로 0+90+2(k-99)=500, k-99=205 k-100+1  ⑤ log£ 5+log° 3=log£ 5+ 1 log£ 5 ¾2 log£ 5´ ¾¨ 1 log£ 5 =2 그런데 log£ 5+log° 3이므로 log£ 5+log° 3>2 Ú, Û, Ü에서 가장 작은 수는 log» 3+logª° 5이므로 구하는 값은 1 ∴ k=304 0288 유형 23 상용로그의 정수 부분과 소수 부분이 조건으로 주어진 경우 |전략| 10n=2n´5n임을 이용하여 정수 부분과 소수 부분의 관계식을 구한다. ㄱ. 2019는 네 자리의 정수이므로 log 2019의 정수 부분은 3이다.  ① ∴ f(2019)=3 (거짓) ㄴ. 자연수 n에 대하여 f(x)=n이면 nÉlog x0, x-1+1 ∴ 12 진수 조건에서 -xÛ`+2x+8>0 xÛ`-2x-8<0, (x+2)(x-4)<0 ∴ -20), EB(EB>0)이므로 PA=20 log 255-10 log EA PB=20 log 255-10 log EB ㉠-㉡을 하면 yy ㉠ yy ㉡ PA-PB=(20 log 255-10 log EA)-(20 log 255-10 log EB) =10 log EB-10 log EA=10 log EB EA =10 log 100=20  ③ 이때, EB=100 EA이므로 100 EA EA PA-PB=10 log 0291 유형 08 aÅ`=b가 주어진 경우 로그의 값을 문자로 나타내기 |전략| aÅ`=k이면 logŒ k=x임을 이용한다. 유형 17 몇 자리의 정수인지 구하기 |전략| A가 n자리의 정수이면 log A의 정수 부분이 n-1이므로 n-1Élog A0이므로 n¾ = log 2+log 3+1 2(2 log 2-log 3) 1.78 0.24 =7.4___ = 0.30+0.48+1 2(2_0.30-0.48) 따라서 자연수 n의 최솟값은 8이다.  8 직선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이 직선 l의 x절편을 a, y절편을 b라 하면 다음 그림에서 직선 l과 x축 및 y축 으로 둘러싸인 부분의 넓이는 ;2!; ´|a|´|b| l l y b O a x y O b a x log =2 ∴ z=100x ;[Z; 조건 ㈐와 ㉠, ㉡에서 x+y+z=x+10x+100x=111x=15873 ∴ x=143 따라서 f(x)=f(143)=2이므로 x+f(y)+f(z) =x+( f(x)+1)+( f(x)+2) yy ㉡ 0301 |전략| 올해 신생아의 수 A가 매년 r`%씩 증가하면 n년 후 신생아의 수는 A 1+ { ;10R0;} `임을 이용한다. 올해 신생아의 수를 a명이라 하면 매년 2`%씩 증가하므로 10년 후 신생아의 수는 a 1+ =1.02Ú`â`_a { ;10@0;} =143+(2+1)+(2+2)=150  150 올해 신생아의 남녀 성비가 1:1이므로 올해 신생아 중 남자 아기의 1`0` 0300 |전략| 먼저 직선 ln의 x절편과 y절편을 구하여 직선 ln과 x축 및 y축으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 구한 후 상용로그를 취한다. 직선 ln의 방정식은 + = {;4#;} ;4}; ;3{; yy ㉠ 직선 ln의 x절편은 ㉠에 y=0을 대입할 때의 x의 값이므로 직선 ln의 y절편은 ㉠에 x=0을 대입할 때의 y의 값이므로 = ;3{; {;4#;} 에서 x=3´ >0 {;4#;} = ;4}; {;4#;} 에서 y=4´ >0 n` n` n` {;4#;} n` 로 그 넓이는 ´ 3´ ;2!; [ ´ 4´ {;4#;} ] [ =6´ {;4#;} ] {;4#;} n` n` 2`n` 수는 a이다. 남자 아기의 수는 매년 5`%씩 증가하므로 10년 후 남 ;2!; 자 아기의 수는 a { ;2!; 1+ ;10%0;} =1.05Ú`â`_ a ;2!; 1`0` 10년 후에 전체 신생아의 수에 대한 남자 아기의 수의 비율은 1.05Ú _ a ;2!; _ = 1.05Ú 1.02Ú ;2!; _a ` ` ` ` ` =k로 놓고 양변에 상용로그를 취하면 ` ` 1.02Ú 1.05Ú 1.02Ú log k =10 log 1.05-10 log 1.02 ` ` ` ` ` =10_0.021-10_0.009 =0.12 ∴ _ ;2!; = _1.32=0.66 ;2!; 1.05Ú 1.02Ú ` ` ` ` 따라서 10년 후에 신생아 100명 중 남자 아기는 66명이다.  66명 2 로그 | 031 따라서 직선 ln과 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분은 직각삼각형이므 이때, log 1.32=0.120이므로 k=1.32 013031고등유형해결(수1)-08.indd 31 2018-03-13 오후 5:25:01 2ㅡ로그n â â â â â â â â n 정답과 해설 3 지수함수 본책 48~65쪽 1 개념 마스터 개념 마스터 STEP1 0302 지수함수는 (밑)>0, (밑)+1이어야 하므로 보기 중 지수함수인 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다. 0303 f(0)=2â`=1 f(-1)=2-1= ;2!; f {;2!;} =2;2!;= 2 ' 0304 0305 0306 0307 0308 f(4)= 0309 0310 f(0)= =1 {;3!;} 0` = ;8Á1; {;3!;} 4` -2 f(-2)= =3Û`=9 {;3!;} f(2)+f(-2)=2Û`+2-2=4+ = :Á4¦: ;4!; 0312 3>1이므로 함수 y=3x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 증 가함수이다. 이때, p<3.5이므로 3p<33.5  3p<33.5 0313 ;2!; 0314 0< <1이므로 함수 y= `은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소 {;2!;}  ㄱ, ㄹ, ㅁ 하는 감소함수이다. 이때, 0.5< 이므로 ;7$; {;2!;} {;2!;} 0.5 > ;7$;  {;2!;} 0.5 > ;7$; {;2!;}  1  ;2!;  :Á4¦:  1  ;8Á1; 5=5;2!;, Ü 5Û`=5;3@;, Ý 5Ü`=5;4#;이고, "Å ' 이때, 함수 y=5x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 "Å ;4#; ;2!; ;3@; 이다. < < 5;2!;<5;3@;<5;4#; ∴ 5<Ü 5Û`<Ý 5Ü` ' "Å "Å  2 ' 0315  5<Ü ' 5Û "Å ` <Ý 5Ü` "Å {®;3!; } = {;3!;} ;2#; 이고, -0.5<0.5< 이다. ;2#; 이때, 함수 y= x 은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 {;3!;} 0.5 < ;2#; < {;3!;} {;3!;} ∴ {®;3!; `< } {;3!;} -0.5 {;3!;} 0.5 < -0.5 {;3!;}  {®;3!; } ` < {;3!;} -0.5 0.5 < {;3!;} 0316 y-2=3-(x-1)에서 y=3-x+1+2  y=3-x+1+2 0317 -y=3-x에서 y=-3-x  9 0318 y=3-(-x)에서 y=3x  y=-3-x  y=3x  y=-3x y=ax y 1 O -1 x y=-ax  풀이 참조 f(2)+f(-1)= `+ {;3!;} {;3!;} = +3= ;9!; :ª9¥:  :ª9¥: -1 0319 -y=3-(-x)에서 y=-3x 0311 ㄱ. a의 값에 관계없이 그래프는 항상 점 (0, 1)을 지난다. (참) ㄴ. 그래프의 점근선의 방정식은 y=0(x축)이다. (참) ㄷ. a>1일 때, x의 값이 증가하면 ax의 값도 증가한다. 즉, xÁ1이므로 y=5x은 증가함수이다. x 즉, x=-1일 때 y=5-1= 이 최소, ;5!; x=2일 때 y=5Û`=25가 최대이다. 따라서 최댓값은 25, 최솟값은 이다. ;5!;  최댓값:25, 최솟값:;5!; 0323 y=2x+1의 그래프는 y=2x의 그래프를 x 축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이 므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 치역은 {y|y>0}, 점근선의 방정 y=2x+1 식은 y=0(x축 )이다. y 2 1 O 0328 ;3!; 0< <1이므로 y= 은 감소함수이다. x -2 {;3!;} {;3!;} y=2x 즉, x=-2일 때 y= =9가 최대, x x=0일 때 y= `=1이 최소이다. {;3!;} 따라서 최댓값은 9, 최솟값은 1이다.  풀이 참조 0329 4>1이므로 y=4x+1-1은 증가함수이다. 즉, x=-1일 때 y=4-1+1-1=0이 최소, x=0일 때 y=40+1-1=3이 최대이다. 따라서 최댓값은 3, 최솟값은 0이다.  최댓값:9, 최솟값:1  최댓값:3, 최솟값:0 0324 y=2x-1의 그래프는 y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것 이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 치역은 {y|y>-1}, 점근선의 방 정식은 y=-1이다. 0325 y=-2x+1의 그래프는 y=2x의 그래프 를 x축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방 향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 오른 따라서 치역은 {y|y<1}, 점근선의 방정 쪽 그림과 같다. 식은 y=1이다. y y=2x 1 -1 y=2x-1 x O y y=2x 1 O y=-2x+1  풀이 참조  풀이 참조 0330 y=21-x+1= {;2!;} x-1 +1이고 0< <1이므로 y= ;2!; {;2!;} +1은 감소함수이다. 즉, x=-1일 때 y= `+1=5가 최대, {;2!;} 2-1 x-1 -1-1 ;2#; ;2#; x x=2일 때 y= +1= 이 최소이다. {;2!;} 따라서 최댓값은 5, 최솟값은 이다.  최댓값:5, 최솟값:;2#; 3 지수함수 | 033 032048고등유형해결(수1)-04.indd 33 2018-03-13 오후 5:22:34 3ㅡ지수함수/ / 0 정답과 해설 1 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0331 |전략| f(x)에 x=1, x=2를 각각 대입한 후 연립하여 식을 변형한다. f(x)=abx+c에서 f(1)=ab+c=2 f(2)=a2b+c=4 ㉡Ö㉠을 하면 ab=2 ㉠에서 ab+c=ab´ac=2´ac=2 ∴ f(3)=a3b+c=(ab)Ü`´ac=2Ü`´1=8 ∴ ac=1 yy ㉠ yy ㉡ 지수법칙 a, b가 실수이고 m, n이 양의 정수일 때 ① am_an=am+n ③ (ab)n=anbn ② (am)n=amn an bn (단, b+0) n = {;bA;} ④ ⑤ amÖan= (m=n) (단, a+0) am-n (m>n) am 1 an = 1 an-m (m0) ① f(x)=3x에서 f(0)=1이므로 y축과의 교점의 좌표는 (0, 1)이 ∴ f(x)=3Å` ② y=3x의 그래프의 점근선의 방정식은 y=0(x축)이므로 x축과 만 다. (참) 나지 않는다. (거짓) ③ xÁ1이므로 y=3x은 증가함수이다. (참) ④ f(x)=3x의 그래프는 제 1, 2 사분면을 지난다. (참) ⑤ 치역은 양의 실수 전체의 집합이다. (참) 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.  ② 0332 f(2a)f(b)=4에서 2-2a´2-b=4, 2-2a-b=2Û` 또, f(a-b)=2에서 2-(a-b)=2, 2-a+b=2Ú` ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 ∴ a+b=-1 다른 풀이 f(2a)f(b)=4에서 2-2a´2-b=4 f(a-b)=2에서 2-(a-b)=2-a´2b=2 ∴ 2a+b=-2 yy ㉠ ∴ -a+b=1 yy ㉡ ㄱ. >1이므로 f(x)= 은 증가함수이다. 0336 임의의 두 실수 a, b에 대하여 a0, a+1)에서 a>1이면 증가함수이다. ;2#; ;!; 증가함수이다.  -1 yy ㉢ yy ㉣ ㄴ. 0< <1이므로 f(x)= 은 감소함수이다. ㄷ. pÛ`-2p+3=(p-1)Û`+2>1이므로 f(x)=(pÛ`-2p+3)x은 x {;2#;} x-1 {;!;} 따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수는 ㄱ, ㄷ이다.  ④ ㉢_㉣을 하면 2-3a=8, 23a= = ;8!; {;2!;} ` ∴ 2a= ;2!; ∴ a=-1 2a= 을 ㉣에 대입하면 2´2b=2 ∴ 2b=1 ∴ b=0 ;2!; ∴ a+b=-1 0333 f(p)=2에서 (ap-a-p)=2, ap-a-p=4이므로 ;2!; (ap+a-p)Û`=(ap-a-p)Û`+4=4Û`+4=20 ∴ ap+a-p=2 5 (∵ ap+a-p>0) ∴ f(2p)= ;2!; ' (a2p-a-2p)= ;2!; (ap+a-p)(ap-a-p) 0334 함수 f(x)와 g(x)가 서로 역함수 관계이므로 g(a)=2에서 f(2)=a ∴ a= +3=1+3=4 2-2 {;3!;} 034 | I . 지수함수와 로그함수 = ´2 5´4=4 5 ;2!; ' '  ⑤ 00 ;4#; ;2!;} 이므로 항상 성립한다. Û aÛ`-a+1<1에서 aÛ`-a<0 a(a-1)<0 ∴ 01이고 - < < ;3@; ;2#; ;3!; 이므로 2- ;3!;<2;3@;<2;2#; ∴ 0.5;3!;<Ü 4<( 2)Ü` ' 따라서 가장 큰 수는 ( ' ' 0345 0aŒ`>aÚ` ∴ 1>aŒ`>a 또, 1>aŒ`>a에서 밑이 a인 지수함수의 꼴로 다시 만들면 aÚ`a n+1 n+2 >a n+2 n+3 ∴ A>B>C (참) ㄷ. a>1이면 ㉢에서 a n n+1 1일 때 f(4)=16 f(0), 즉 aÞ`=16a aÝ`=16=2Ý` ∴ a=2 Û 01) 0356 |전략| 주어진 함수의 식을 정리하여 지수함수의 밑이 1보다 큰지 작은지를 먼 저 알아본다. y=3Å`´22-x=4´ x 에서 ;2#; {;2#;} >1이므로 y=4´ {;2#;} x 은 증가함수이다. 따라서 x=0일 때 최솟값 m=4´ `=4, {;2#;} x=2일 때 최댓값 M=4´ `=9를 갖는다. {;2#;} ∴ Mm=9´4=36  ④ 0357 -3 {;2!;} 따라서 x=-2일 때 최댓값 20을 가지므로 +b=20, 8+b=20 ∴ b=12 또, x=a일 때 최솟값 14를 가지므로 a-1 {;2!;} +12=14, {;2!;} a-1 =2, 2-a+1=2 -a+1=1 ∴ a=0 ∴ a+b=0+12=12 채점 기준 ❶ 주어진 함수가 감소함수임을 알 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ a+b의 값을 구할 수 있다. … ❷ … ❸  12 비율 20`% 60`% 20`% f(x)의 값이 최소일 때 y의 값은 최대이다. 즉, f(x)=-1일 때 최솟값 y= -1 =2, {;2!;} -5 {;2!;} f(x)=-5일 때 최댓값 y= =32를 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 차는 32-2=30  ② 0360 y=a-xÛ`+2x+1에서 f(x)=-xÛ`+2x+1로 놓으면 f(x)=-(x-1)Û`+2 이때, a>1이므로 y=a f(x)은 증가함수이다. 따라서 f(x)의 값이 최대일 때 y=a f(x)의 값은 최대이다. … ❷ f(x)의 최댓값은 2이므로 aÛ`=9 … ❶ 채점 기준 ❶ 지수의 이차식을 완전제곱꼴로 나타낼 수 있다. ❷ 주어진 함수가 증가함수임을 알고, y=a f(x)의 값이 최대이기 위한 f(x) 의 값의 조건을 알 수 있다. ❸ a의 값을 구할 수 있다. … ❸  3 비율 30`% 40`% 30`% 0361 y=3-xÛ`+2x+k에서 f(x)=-xÛ`+2x+k로 놓으면 f(x)=-(x-1)Û`+k+1 ÉxÉ3에서 f =k+ , f(1)=k+1, f(3)=k-3이므로 ;2!; {;2!;} ;4#; k-3Éf(x)Ék+1 3 지수함수 | 037 032048고등유형해결(수1)-04.indd 37 2018-03-13 오후 5:22:38 3ㅡ지수함수0 2 이때, 3>1이므로 f(x)의 값이 최대일 때 y의 값은 최대이고, f(x) 의 값이 최소일 때 y의 값은 최소이다. 즉, f(x)=k-3일 때 최솟값 y=3k-3=1, f(x)=k+1일 때 최댓값 y=3k+1=m을 갖는다. ∴ k=3, m=33+1=81 ∴ k+m=3+81=84  84 y 1 -1 y=f(x) O 1 2 3 x a=2, b=18 ∴ a+b=20 0367 0362 y=2-|x-1|+1에서 f(x)=-|x-1|+1 로 놓으면 그 그래프는 y=-|x|의 그래 프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으 로 1만큼 평행이동한 것이다. 따라서 오른쪽 그림에서 f(x)는 x=1일 때 최댓값 1을 갖고, x=3일 때 최솟값 -1을 갖는다. 이때, 2>1이므로 f(x)=1일 때 최댓값 y=2, f(x)=-1일 때 최솟값 y= 을 갖는다. ;2!; 따라서 주어진 함수의 치역은 [ y |;2!; ÉyÉ2 ]  ② ∴ a=6 0363 |전략| 2x=t(t>0)로 치환하여 생각한다. y=2x+1-4x+3=2´2x-(2x)Û`+3에서 2x=t(t>0)로 놓으면 y=-tÛ`+2t+3=-(t-1)Û`+4 이때, 2>1이므로 -1ÉxÉ2에서 2-1É2xÉ2Û` ∴ ÉtÉ4 ;2!; 따라서 y는 t=1일 때 최댓값 M=4를 갖고, t=4일 때 최솟값 m=-5를 갖는다. ∴ M-m=4-(-5)=9 0364 y=4x-2x+a+b=(2x)Û`-2a´2x+b에서 2x=t(t>0)로 놓으면 y=tÛ`-2a´t+b yy ㉠ y는 x=1, 즉 t=2Ú`=2일 때 최솟값 3을 가지므로 y=(t-2)Û`+3=tÛ`-4t+7 (단, t>0 ) 이때, ㉠=㉡이므로 y=tÛ`-2a´t+b=tÛ`-4t+7 2a=4, b=7 ∴ a=2, b=7 ∴ a+b=9  ⑤ yy ㉡ 0365 y=2x+2-22x+1=4´2x-2´(2x)Û`에서 2x=t(t>0)로 놓으면 y=4t-2tÛ`=-2(t-1)Û`+2 이때, xÉa에서 0<2xÉ2a ∴ 01이므로 2Œ`>2 따라서 y는 t=1일 때 최댓값 2를 가지므로 b=2 y는 t=2a일 때 최솟값 -16을 가지므로 -2(2a-1)Û`+2=-16에서 (2a-1)Û`=9, 2a-1=3`(∵ a>1) 2a=4=2Û` ∴ a=2 038 | I . 지수함수와 로그함수 0366 |전략| 모든 실수 x에 대하여 3x>0, 3-x+4>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다. 3x>0, 3-x+4>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 3x´3-x+4=2 f(x) =3x+3-x+4¾ 2 "à 3Ý`=2´3Û`=18 " (단, 등호는 x=2일 때 성립) 따라서 함수 f(x)는 x=2일 때 최솟값 18을 가지므로 3x=3-x+4에서 x=-x+4, 2x=4 ∴ x=2  20 y=2x+a+ {;2!;} x-a =2x+a+2-x+a 2x+a>0, 2-x+a>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 y =2x+a+2-x+a¾ 2 2x+a´2-x+a=2 "à 22a=2´2a=2a+1 " (단, 등호는 x=0일 때 성립) 따라서 주어진 함수는 x=0일 때 최솟값 2a+1을 가지므로 2a+1=128=2à`, a+1=7 2x+a=2-x+a에서 x+a=-x+a, 2x=0 ∴ x=0  ② 0368 주어진 직선의 x절편과 y절편은 각각 3, 2이므로 직선의 방정식은 + ;3{; ;2}; =1, 즉 2x+3y=6 x절편이 a, y절편이 b이면 직선의 방정식은 ;a{; + ;b}; =1이다. (단, a+0, b+0) 점 P(a, b)는 직선 위의 점이므로 2a+3b=6 이때, 9Œ`>0, 27º`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 9Œ`+27º` =32a+33b¾ 2 3ß`=2´3Ü`=54 32a´33b=2 "à "à 32a+3b=2 (단, 등호는 32a=33b일 때 성립) " 따라서 9a+27b의 최솟값은 54이다. 참고 2a+3b=6에서 3b=6-2a 등호는 32a=33b, 즉 32a=36-2a일 때 성립하므로  54 2a=6-2a, 4a=6 ∴ a= ;2#; a= 을 3b=6-2a에 대입하면 ;2#; 3b=6-2´ =3 ∴ b=1 ;2#;  ⑤ 따라서 9a+27b은 a= , b=1일 때 최솟값 54를 갖는다. ;2#; 0369 2x+2-x=t로 놓으면 2x>0, 2-x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t=2x+2-x¾2 이때, 4x+4-x=(2x+2-x)Û`-2=tÛ`-2이므로 y =2(4x+4-x)-4(2x+2-x) 2x´2-x=2`(단, 등호는 x=0일 때 성립) "à =2(tÛ`-2)-4t=2tÛ`-4t-4 =2(t-1)Û`-6 ∴ aÛ`+bÛ`=2Û`+2Û`=8  ① 따라서 t¾2이므로 y는 t=2일 때 최솟값 -4를 갖는다.  ② 032048고등유형해결(수1)-04.indd 38 2018-03-13 오후 5:22:38 정답과 해설  x=2  x= ;2#; 3ㅡ 지 수 함 수 2 개념 마스터 개념 마스터 STEP1 0370 22x-5=128에서 22x-5=2à`이므로 2x-5=7, 2x=12 ∴ x=6 0371 x =3 ' {;9!;} 3에서 (3-2)x=3´3;2!;, 3-2x=3;2#;이므로 -2x= ;2#; ∴ x=- ;4#;  x=- ;4#;  x=6 0378 3x-18´3-x=7에서 3x- =7 18 3Å` 양변에 3x을 곱하면 32x-18=7´3Å`` 32x-7´3x-18=0, (3x)Û`-7´3Å``-18=0 3Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-7t-18=0, (t+2)(t-9)=0 ∴ t=9 (∵ t>0) 즉, 3Å`=9이므로 x=2 0379 22x-3=32x-3에서 0372 52x=125x에서 52x=(5Ü`)x, 52x=53x이므로 2x=3x ∴ x=0  x=0 2x-3=0 ∴ x= ;2#; 0373 {;3@;} 2(x-2) x+1 2(x-2) -x-1 = {;2#;} 에서 {;3@;} = {;3@;} 이므로 0380 (x+2)2x-4=32x-4에서 Ú 2x-4+0일 때, x+2=3이므로 x=1 2(x-2)=-x-1, 3x=3 ∴ x=1  x=1 Û 2x-4=0, 즉 x=2일 때 0374 9Å`-3Å`-6=0에서 32x-3Å`-6=0, (3Å`)Û`-3Å`-6=0 3Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-t- ㈎ 6 =0, (t-3)(t+2)=0 ∴ t= ㈏ 3 (∵ t>0) 즉, 3Å`= ㈏ 3 이므로 x= ㈐ 1 0375 4x-3´2x+2=0에서 22x-3´2x+2=0, (2x)Û`-3´2x+2=0 2x=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 즉, 2x=1 또는 2x=2이므로 x=0 또는 x=1  x=0 또는 x=1 0376 9x-3x+1=54에서 32x-3´3x-54=0, (3x)Û`-3´3x-54=0 3x=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-3t-54=0, (t+6)(t-9)=0 ∴ t=9 (∵ t>0) 즉, 3x=9이므로 x=2 0377 22x+1+3´2Å`-2=0에서 2´22x+3´2x-2=0 2´(2x)Û`+3´2x-2=0 2x=t(t>0)로 놓으면 2tÛ`+3t-2=0, (t+2)(2t-1)=0 ∴ t= (∵ t>0) ;2!; 0381 2x-1<32에서 2x-1<2Þ` 2>1이므로 x-1<5 0382 42x+1É2 ' 24x+2É2;2#; 2에서 (2Û`)2x+1É2´2;2!; 2>1이므로 4x+2É ;2#; 4xÉ- ;2!; ∴ xÉ- ;8!; 0383 x-2 52x-1> {;5!;} 52x-1>5-x+2 에서 52x-1>(5-1)x-2  x=2 5>1이므로 2x-1>-x+2 3x>3 ∴ x>1 0384 x-3 2x+1 x-3 -2x-1 {;5$;} < {;4%;} 에서 {;5$;} < {;5$;} 0< <1이므로 x-3>-2x-1 ;5$; 주어진 방정식은 4â`=3â`=1이므로 성립한다. Ú, Û에서 x=1 또는 x=2  x=1 또는 x=2  ㈎ 6 ㈏ 3 ㈐ 1 ∴ x<6  x<6 즉, 2x= 이므로 2x=2-1 ∴ x=-1 ;2!;  x=-1 3x>2 ∴ x> ;3@;  x> ;3@;  xÉ- ;8!;  x>1 3 지수함수 | 039 032048고등유형해결(수1)-04.indd 39 2018-03-13 오후 5:22:39 ∴ ㈑ 1 ;2&; ;4&; ;2%; 정답과 해설 0385 9Å`-4´3x+1+27<0에서 3Û`Å`-12´3Å`+27<0 (3Å`)Û`-12´3Å`+27<0 3Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`- ㈎ 12 t+27<0, (t-3)(t-9)<0 ∴ ㈏ 3 0에서 (3x)Û`-2´3x-3>0 3x=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-2t-3>0, (t+1)(t-3)>0 그런데 t+1>0이므로 t>3 따라서 3x>3이고 3>1이므로 x>1 0387 4x-3´2x+1+8É0에서 22x-6´2x+8É0 (2x)Û`-6´2x+8É0 2x=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-6t+8É0, (t-2)(t-4)É0 따라서 2Ú`É2xÉ2Û`이고 2>1이므로 ∴ 2ÉtÉ4  x>1  1ÉxÉ2 1ÉxÉ2 0388 x<-2 0389 ;9!; x -2´ x >8에서 {;4!;} {;2!;} 2x -2´ {;2!;} {;2!;} x -8>0 x `-2´ x -8>0 ] {;2!;} [{;2!;} x =t(t>0)로 놓으면 {;2!;} tÛ`-2t-8>0, (t+2)(t-4)>0 그런데 t+2>0이므로 t>4 따라서 {;2!;} x >2Û`, 즉 x > {;2!;} {;2!;} -2 이고 0< <1이므로 ;2!;  x<-2 ( ' ;2!; 0393 xÛ`-4 8Å`= {;2!;} <32x-1<27 3에서 3ÑÛ`<32x-1<3Ü`´3;2!; ' 3-2<32x-1<3;2&; 3>1이므로 -2<2x-1< ;2&; Ú -2<2x-1에서 2x>-1 ∴ x>- ;2!; Û 2x-1< 에서 2x< ∴ x< ;2(; ;2&; ;4(; 040 | I . 지수함수와 로그함수 Ú, Û에서 - 1이므로 -2x+1<- <2-x ;2%; Û - <2-x에서 x< ;2%; ;2(; Ú, Û에서 1이므로 -3x+1<3<-4x+2  ;4&; - Û 3<-4x+2에서 4x<-1 ∴ x<- ;3@; ;4!; Ú, Û에서 - b)이므로 a-b=5 0394 (2Å`-8)(32x-9)=0에서 2Å`=8 또는 32x=9 2Å`=8=2Ü`에서 x=3 32x=9=3Û`에서 2x=2 ∴ x=1 따라서 주어진 방정식의 두 근 a, b는 3, 1이므로  ⑤  10 032048고등유형해결(수1)-04.indd 40 2018-03-13 오후 5:22:40 2 32xÛ`+2 3x-1 =32xÛ`+2-(x-1)=32xÛ`-x+3이므로 0395 9xÛ`+1 3x-1 = 32xÛ`-x+3=81=3Ý` )xÛ (3Û ` 3x-1 = +1 ` 즉, 2xÛ`-x+3=4이므로 2xÛ`-x-1=0, (x-1)(2x+1)=0 ∴ x=1 또는 x=- ;2!; 따라서 주어진 방정식의 두 근 a, b는 1, - 이므로 ;2!; a+b=1+ - = ;2!; ;2!;} { 0396 |전략| 2Å`=t(t>0)로 치환하여 t에 대한 이차방정식을 푼다. 2Å`+25-x=33의 양변에 2Å`을 곱하면 (2Å`)Û`+2Þ`=33´2Å` (2Å`)Û`-33´2Å`+32=0 2Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-33t+32=0, (t-1)(t-32)=0 ∴ t=1 또는 t=32 즉, 2Å`=1=2â` 또는 2Å`=32=2Þ`이므로 x=0 또는 x=5 따라서 주어진 방정식의 모든 근의 합은 0+5=5 즉, 2Ü`´(2Å`)Û`-2´2Å`-3=0에서 2Å`=t(t>0)로 놓으면 8tÛ`-2t-3=0, (2t+1)(4t-3)=0 ∴ t= (∵ t>0) ;4#; 즉, 2Å`= 에서 x=a이므로 2a= ;4#; ;4#;  ;4#; 0399 5Å`+5-x=t로 놓으면 5Å`>0, 5-x>0이므로 산술평균과 기하평균의  ④ 관계에 의하여 t=5Å`+5-x¾2 이때, 25Å`+25-x=(5Å`+5-x)Û`-2=tÛ`-2이므로 5Å`´5-x=2 (단, 등호는 x=0일 때 성립) "à (tÛ`-2)+t-4=0, tÛ`+t-6=0 (t-2)(t+3)=0 따라서 5Å`+5-x=2이므로 (5Å`)Û`-2´5Å`+1=0 ∴ t=2 (∵ t¾2) (5Å`-1)Û`=0, 즉 5Å`=1이므로 x=0  x=0 0400 |전략| 치환을 이용하여 연립방정식을 푼다. 2Å`+2´`=10 2x+y-3=2 [ 에서 [ 2Å`+2´`=10 ´2Å`´2´`=2 ;8!; 2Å`=X, 2´`=Y(X>0, Y>0)로 놓으면  ② X+Y=10 X+Y=10 , 즉 [ XY=16 [ ;8!; XY=2 0397 두 함수 f(x)=4Å`, g(x)=9´2x-1-2의 그래프의 교점의 x좌표는 방정식 4Å`=9´2x-1-2의 실근과 같다. 4Å`-9´2x-1+2=0에서 (2Å`)Û`- ´2Å`+2=0 ;2(; 2Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`- t+2=0, 2tÛ`-9t+4=0 ;2(; (2t-1)(t-4)=0 ∴ t= 또는 t=4 ;2!; 즉, 2Å`= =2-1 또는 2Å`=4=2Û`이므로 ;2!; x=-1 또는 x=2 따라서 두 그래프의 교점의 x좌표는 -1, 2이다.  -1, 2 함수의 그래프와 방정식의 실근 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표는 방정식 f(x)=g(x)의 실근과 같다. 0398 f(x)=2Å`, g(x)=2x+3에서 ( f½g)(x)=f(g(x))=f(2x+3)=22x+3 (g½f )(x)=g( f(x))=g(2Å`)=2´2Å`+3 이때, ( f½g)(x)=(g½f )(x)이므로 22x+3=2´2Å`+3 ㉠에서 Y=10-X이므로 이것을 ㉡에 대입하면 X(10-X)=16, XÛ`-10X+16=0 (X-2)(X-8)=0 ∴ X=2, Y=8 또는 X=8, Y=2 즉, 2Å`=2, 2´`=8 또는 2Å`=8, 2´`=2이므로 x=1, y=3 또는 x=3, y=1 ∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+3Û`=10 0401 3´2Å`-2´3´`=6 2x-2-3y-1=-1 [ 에서 [ 3´2Å`-2´3´`=6 ´2Å`- ´3´`=-1 ;4!; ;3!; 2Å`=X, 3´`=Y(X>0, Y>0)로 놓으면 3X-2Y=6 [ ;4!; X- Y=-1 ;3!; 12_㉡을 하면 3X-4Y=-12 ㉠-㉢을 하면 2Y=18 ∴ Y=9 즉, 2Å`=8, 3´`=9이므로 x=3, y=2 따라서 a=3, b=2이므로 aÛ`+bÛ`=3Û`+2Û`=13 Y=9를 ㉠에 대입하면 3X-18=6 ∴ X=8 … ❷ yy ㉠ yy ㉡  10 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ … ❶ … ❸  13 3 지수함수 | 041 032048고등유형해결(수1)-04.indd 41 2018-03-13 오후 5:22:41 3ㅡ지수함수 ❶ 2Å`=X, 3´`=Y로 놓고 주어진 방정식을 X, Y에 대한 연립방정식으로 정 채점 기준 리할 수 있다. ❷ X, Y의 값을 구할 수 있다. ❸ aÛ`+bÛ`의 값을 구할 수 있다. 비율 40`% 30`% 30`% 0405 22x-2x+1+k=0에서 (2Å`)Û`-2´2Å`+k=0 yy ㉠ 2Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-2t+k=0 yy ㉡ 방정식 ㉠의 두 근을 a, b라 하면 방정식 ㉡의 두 근은 2a, 2b이므로 근 0402 |전략| 주어진 방정식의 밑이 같으므로 밑이 1이거나 지수가 서로 같은 경우로 나누어 생각한다. 방정식 (x-1)2x+3=(x-1)xÛ`이 성립하려면 밑이 1이거나 지수가 같아야 한다. Ú x-1=1, 즉 x=2일 때 주어진 방정식은 1à`=1Ý`=1이므로 성립한다. Û 2x+3=xÛ`일 때 xÛ`-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0 ∴ x=3`(∵ x>1) Ú, Û에서 x=2 또는 x=3 따라서 주어진 방정식의 모든 근의 합은 2+3=5  5 0403 집합 A의 (x-1)2x=(x-1)x+3에서 Ú x-1=1, 즉 x=2일 때 주어진 방정식은 1Ý`=1Þ`=1이므로 성립한다. Û 2x=x+3일 때, x=3 Ú, Û에서 x=2 또는 x=3이므로 A={2, 3} 집합 B의 (x+1)2x-1=32x-1에서 Ú 2x-1+0일 때, x+1=3이므로 x=2 Û 2x-1=0, 즉 x= 일 때 주어진 방정식은 `=3â`=1이므로 성립한다. ;2!; {;2#;} Ú, Û에서 x=2 또는 x= 이므로 ;2!; B= , 2 ] [;2!; ㉠, ㉡에서 A-B={3} 과 계수의 관계에 의하여 2a´2b=k 이때, 주어진 조건에 의하여 a+b=-1이므로 k=2a´2b=2a+b=2-1= ;2!;  ② 0406 9Å`-3x+1-k=0에서 (3Å`)Û`-3´3Å`-k=0 3Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-3t-k=0 yy ㉠ 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 이차방정식 ㉠이 서 로 다른 두 양의 근을 가져야 한다. Ú 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D=(-3)Û`-4´1´(-k)>0 9+4k>0 ∴ k>- ;4(; Û (두 근의 합)=3>0 Ü (두 근의 곱)=-k>0 ∴ k<0 Ú, Û, Ü에서 실수 k의 값의 범위는 - 0, (두 근의 곱)= >0 ② 두 근이 모두 음수일 조건은 D¾0, (두 근의 합)=- <0, (두 근의 곱)= >0 ;aC; ;aC; ;aB; ;aB; ③ 두 근이 서로 다른 부호일 조건은 (두 근의 곱)= <0 ;aC; yy ㉡  ② 0407 4Å`+4-x+a(2Å`-2-x)+7=0에서 2Å`-2-x=t로 놓으면 4Å`+4-x=(2Å`-2-x)Û`+2=tÛ`+2이므로 0404 |전략| 3Å`=t(t>0)로 놓고 t에 대한 이차방정식의 두 근은 3a, 3b임을 이용 (tÛ`+2)+at+7=0 한다. 32x-4´3x+1=0에서 (3x)Û`-4´3x+1=0 3x=t (t>0)로 놓으면 tÛ`-4t+1=0 이 방정식의 두 근은 3a, 3b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 3a+3b=4, 3a´3b=1 ∴ 9a+9b =(3a)Û`+(3b)Û`=(3a+3b)Û`-2´3a´3b ∴ tÛ`+at+9=0 yy ㉠ 이때, t=2Å`-2-x이 모든 실수의 값을 가질 수 있으므로 주어진 방정 식이 실근을 갖기 위해서는 이차방정식 ㉠이 실근을 가져야 한다. 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D=aÛ`-36¾0, (a+6)(a-6)¾0 ∴ aÉ-6 또는 a¾6 =4Û`-2´1=14  ② 따라서 양수 a의 최솟값은 6이다.  6 042 | I . 지수함수와 로그함수 032048고등유형해결(수1)-04.indd 42 2018-03-13 오후 5:22:41 정답과 해설0 실수 t에 대하여 2Å`-2-x=t라 하자. 양변에 2Å` 을 곱하여 식을 정리하면 22x-t´2Å`-1=0 이때, 2Å` 에 대한 이차방정식의 두 근의 곱이 -1로 음수이므로 이차방정식은 부호가 다른 두 실근을 갖는다. 즉, 양수인 근이 있으므로 실수 t의 값에 관계없이 이 방정식을 만족시키는 실 근은 항상 존재한다. 따라서 2Å`-2-x=t에 어떤 실수 t를 대입해도 이 식을 만족시키는 실수 x의 값은 존재하므로 t에 대한 이차방정식 tÛ`+at+9=0이 실근을 가질 조건만 따져 주면 된다. 0408 |전략| 부등식의 각 항의 밑을 같게 한 후 지수를 비교한다. 3xÛ`-2x¾ 에서 3xÛ`-2x¾3-x x {;3!;} 3>1이므로 xÛ`-2x¾-x, xÛ`-x¾0, x(x-1)¾0 ∴ xÉ0 또는 x¾1 따라서 양수 x의 최솟값은 1이다.  ① a2x+1>Ü a´a3x에서 a2x+1>a;3!;´a3x, a2x+1>a3x+ ;3!; 0 ;3@; 0410 x+2 {;5!;} < {;5!;} xÛ` <52-3x에서 x+2 < xÛ` < {;5!;} {;5!;} {;5!;} 3x-2 0< <1이므로 ;5!; x+2>xÛ`>3x-2 Ú x+2>xÛ`에서 xÛ`-x-2<0 (x+1)(x-2)<0 ∴ -13x-2에서 xÛ`-3x+2>0 (x-1)(x-2)>0 ∴ x<1 또는 x>2 Ú, Û에서 -12ax에서 2-4xÛ`>2ax 2>1이므로 -4xÛ`>ax, 4xÛ`+ax<0, x(4x+a)<0 ∴ - 0)로 치환하여 t에 대한 부등식을 푼 후 x의 값의 범위를 구한다. 32x+1-28´3Å`+9<0에서 3´(3Å`)Û`-28´3Å`+9<0 3Å`=t(t>0)로 놓으면 3tÛ`-28t+9<0 (3t-1)(t-9)<0 즉, 3-1<3Å`<3Û`이고 3>1이므로 따라서 정수 x는 0, 1이므로 구하는 합은 ∴ 0)로 놓으면 tÛ`- {;2!;} t+2É0 ;2(; 2tÛ`-9t+4É0, (2t-1)(t-4)É0 ∴ ÉtÉ4 ;2!; 즉, 1 É x É {;2!;} {;2!;} {;2!;} -2 이고 0< <1이므로 ;2!;  ⑤ -2ÉxÉ1 따라서 M=1, m=-2이므로 M+m=-1 채점 기준 ❶ 부등식의 각 항의 밑을 같게 할 수 있다. ❷ {;2!;} Å`=t로 치환한 후 t의 값의 범위를 구할 수 있다. ❸ x의 값의 범위를 구할 수 있다. ❹ M+m의 값을 구할 수 있다.  1 … ❶ … ❷ … ❸ … ❹  -1 비율 20`% 30`% 30`% 20`% 0414 |전략| 밑의 범위를 01일 때로 나누어 생각한다. xxÛ`>x2x+3에서 Ú 01이므로 부등식이 성립하지 않는다. Ü x>1일 때, xÛ`>2x+3에서 xÛ`-2x-3>0 (x+1)(x-3)>0 ∴ x<-1 또는 x>3 그런데 x>1이므로 x>3 Ú, Û, Ü에서 주어진 부등식의 해는 따라서 자연수 a는 9, 10, 11, 12이므로 구하는 합은 03 9+10+11+12=42  ④ 따라서 a=1, b=3이므로 a+b=4  ② 3 지수함수 | 043 032048고등유형해결(수1)-04.indd 43 2018-03-13 오후 5:22:41 3ㅡ지수함수2 Ú, Û, Ü에서 주어진 부등식의 해는 1x+2에서 x>2 그런데 01일 때, 2x1이므로 10)로 치환하여 t에 대한 이차부등식으로 나타내고 t>0인 범 위에서 부등식이 항상 성립함을 이용한다. 4Å`-k´2x+1+9¾0에서 (2Å`)Û`-2k´2Å`+9¾0 2Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-2kt+9¾0 ∴ (t-k)Û`+9-kÛ`¾0 yy ㉠ 주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 부등식 ㉠이 t>0 f(t) 9 9-k2 인 모든 실수 t에 대하여 성립해야 한다. f(t)=(t-k)Û`+9-kÛ`(t>0)으로 놓으면 Ú k>0일 때 f(t)는 t=k에서 최솟값 9-kÛ`을 가지므 로 9-kÛ`¾0, kÛ`-9É0 (k+3)(k-3)É0 ∴ -3ÉkÉ3 그런데 k>0이므로 00인 모 든 실수 t에 대하여 부등식 ㉠이 성립한 다. Ú, Û에서 kÉ3 0417 x+4 2x+1-2 2 +a¾0에서 2´2x-2Û`´2;2{;+a¾0 2;2{;=t(t>0)로 놓으면 2tÛ`-4t+a¾0 ∴ 2(t-1)Û`+a-2¾0 주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 부등식 ㉠이 t>0 인 모든 실수 t에 대하여 성립해야 한다. f(t)=2(t-1)Û`+a-2(t>0)로 놓으면 오 f(t) 른쪽 그림과 같이 f(t)는 t=1에서 최솟값 a-2를 가지므로 a-2¾0 ∴ a¾2 따라서 실수 a의 최솟값은 2이다. 044 | I . 지수함수와 로그함수 0418 4xÛ`-2(3t-4)x+(3t-4)>- 에서 ;4%; 4xÛ`-2(3t-4)x+3t- >0 :Á4Á: 3t=a(a>0)로 놓으면 4xÛ`-2(a-4)x+a- >0 :Á4Á: 이때, 모든 실수 x에 대하여 이 부등식이 성립해야 하므로 이차방정식 :Á4Á: D 4 =(a-4)Û`-4 a- <0 { :Á4Á:} aÛ`-12a+27<0, (a-3)(a-9)<0 즉, 3Ú`<3t<3Û`이므로 10)로 놓으면 2t+4tÛ`-72=0, 2tÛ`+t-36=0 (t-4)(2t+9)=0 ∴ t=4`(∵ t>0) f(t) 즉, 2Å`=4에서 x=2 따라서 2시간이 경과한 후이다.  ① 9 0421 50년 후의 방사능이 초기 방사능의 이 되므로 ;2!; y¼=y¼ a-50 ∴ a-50= ;2!; ;2!; O t  kÉ3 한편, 이 물질의 방사능이 초기 방사능의 1`%가 되는 것은 a년 후이 므로 ;10!0; y¼=y¼ a-a ∴ a-a= ;10!0; 그런데 `< < {;2!;} ;10!0; {;2!;} `이므로 (a-50)à`1이므로 -350<-a<-300 ∴ 3000)로 치환하여 생각한다. y=-9Å`+2´3Å`+2=-(3Å`)Û`+2´3Å`+2에서 3Å`=t(t>0)로 놓으면 y=-tÛ`+2t+2=-(t-1)Û`+3 이때, -1ÉxÉ1에서 3-1É3Å` É3Ú` ∴ ÉtÉ3 ;3!; y=x 따라서 y는 t=1, 즉 x=0일 때 최댓값 3을 갖고, t=3, 즉 x=1일 때 최솟값 -1을 가지므로 a=0, b=3, c=1, d=-1 ∴ a+b+c+d=3  ⑤ aÁ a£ aª 0429 y=3-x 2 x  ⑤ 유형 11 지수방정식 - 밑을 같게 할 수 있는 경우 |전략| 주어진 방정식의 밑을 3으로 같게 한 후 지수를 비교한다. (3x-5´9x+4)Å` =27x+5에서 (3x-5´32x+8)Å` =33x+15, (33x+3)Å`=33x+15, 33xÛ`+3x=33x+15이므로 유형 03 지수함수의 그래프에서의 함숫값+04 지수함수를 이용한 수의 대소 비교 |전략| 그래프에 aª, a£, a¢의 값을 각각 나타낸 후 대소를 비교한다. 지수함수 f(x)=3-x에 대하여 aÁ=f(2), an+1=f(aÇ)(n=1, 2, 3) 이므로 Ú 점 (0, aÁ)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 점 (aÁ, 0)이고, Û 점 (0, aª)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 점 (aª, 0)이고, Ü 점 (0, a£)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 점 (a£, 0)이고, aª=f(aÁ) a£=f(aª) a¢=f(a£) Ú, Û, Ü을 이용하여 aª, a£, a¢ 를 y축에 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. ∴ a£0)로 치환하여 t에 대한 이차방정식을 푼다. 유형 16 지수부등식 - 밑을 같게 할 수 있는 경우 |전략| 지수부등식에서 밑이 1보다 큰 경우 부등호의 방향은 변하지 않음을 이용 aÅ`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-t=2 tÛ`-t-2=0, (t+1)(t-2)=0 ∴ t=2`(∵ t>0) 즉, aÅ`=2 이때, aÅ`=2의 해가 x= 이므로 a;7!;=2 ;7!; ∴ a=2à`=128 0431 유형 13 지수방정식 - 연립방정식 |전략| 치환을 이용하여 연립방정식을 푼다. 2x-1+3y+1=11 [ 2x+2-3y-1=15 에서 ;2!; [ ´2Å`+3´3´`=11 4´2Å`- ´3´`=15 ;3!; 2Å`=X, 3´`=Y(X>0, Y>0)로 놓으면 X+3Y=11 ;2!; [ 4X- Y=15 ;3!; 2_㉠을 하면 X+6Y=22 3_㉡을 하면 12X-Y=45 ㉢+6_㉣을 하면 73X=292 ∴ X=4 X=4를 ㉢에 대입하면 4+6Y=22 ∴ Y=3 즉, 2Å`=4, 3´`=3이므로 x=2, y=1 따라서 a=2, b=1이므로 a+b=3 0432 유형 14 지수방정식 - 밑에 미지수가 있는 경우 |전략| a, b가 정수일 때, aº`=1은 Ú a=1 Û a=-1, b는 짝수 Ü a+0, b=0 인 경우로 나누어 생각한다. (xÛ`-x-1)x+2=1에서 a=xÛ`-x-1, b=x+2라 하면 xÛ`-x-1=1에서 xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 Û a=-1, b는 짝수인 경우 xÛ`-x-1=-1에서 xÛ`-x=0, x(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=1 Ü a+0, b=0인 경우 그런데 x=1이면 x+2는 짝수가 아니므로 x=0 한다. 2xÛ`>22ax-25에서 2>1이므로 xÛ`>2ax-25 즉, x2-2ax+25>0 이때, 모든 실수 x에 대하여 이 부등식이 성립해야 하므로 이차방정 식 xÛ`-2ax+25=0의 판별식을 D라 하면  ③ D 4 =aÛ`-25<0, (a+5)(a-5)<0 ∴ -51일 때로 나누어 생각한다. 집합 A의 x2x-1x+3에서 x>4 그런데 01일 때, 2x-11이므로 11일 때, x-1¾-x+5에서 x¾3  ① 그런데 x>1이므로 x¾3 Ú, Û, Ü에서 B={x|00, a+1)에서 x=0이면 a의 값과 관계없이 항상 y=1 행이동한 그래프의 식은 y-3=2x-a, y=2x-a+3 …… ㉠ ㉠의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 y=2-x-a+3 이때, y=2-x-a+3에서 x=-a이면 항상 y=4이다. 즉, y=2-x-a+3의 그래프는 항상 점 (-a, 4)를 지나므로 점 (-a, 4)가 점 (1, k)와 일치한다. … ❶ … ❷ … ❸  3 xÛ`-x-1+0, x+2=0에서 x=-2 ∴ a=-1, k=4 Ú, Û, Ü에서 조건을 만족시키는 정수 x는 -2, -1, 0, 2이므로 그 ∴ a+k=3 합은 -1이다.  ② 046 | I . 지수함수와 로그함수 Ú a=1인 경우 y=2Å` 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 3만큼 평 032048고등유형해결(수1)-04.indd 46 2018-03-13 오후 5:22:44 정답과 해설 ❶ 함수 y=2Å`의 그래프를 주어진 조건에 따라 평행이동과 대칭이동을 한 그 채점 기준 래프의 식을 구할 수 있다. ❷ a, k의 값을 구할 수 있다. ❸ a+k의 값을 구할 수 있다. 0436 유형 10 지수함수의 최대·최소 - 산술평균과 기하평균의 관계 이용 |전략| 모든 실수 x에 대하여 3Å` >0, 3-x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계를 이용한다. 3Å`+3-x=t로 놓으면 3Å`>0, 3-x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 t=3Å`+3-x¾2 이때, 9Å`+9-x=(3Å`+3-x)Û`-2=tÛ`-2이므로 y =9Å`+9-x-4(3Å`+3-x)+5 3Å` ´3-x=2`(단, 등호는 x=0일 때 성립) … ❶ "à =(tÛ`-2)-4t+5 =tÛ`-4t+3 =(t-2)Û`-1 즉, t¾2이므로 y는 t=2일 때 최솟값 b=-1을 갖는다. 한편, t=3Å`+3-x=2에서 (3Å`)Û`-2´3Å`+1=0 (3Å`-1)Û`=0, 즉 3Å`=1이므로 x=a=0 ∴ aÛ`+bÛ`=0Û`+(-1)Û`=1 배점 3점 2점 1점 0438 유형 08 함수의 최대·최소 - y=a f(x) 꼴 |전략| 먼저 이차함수 f(x)=xÛ`-6x+3을 완전제곱꼴로 나타낸다. ⑴ f(x)=xÛ`-6x+3=(x-3)Û`-6이 므로 1ÉxÉ4에서 f(1)=-2, f(3)=-6, f(4)=-5 y f(x)=x2-6x+3 1 43 x O -2 -5 -6 ∴ -6Éf(x)É-2 ∴ {y|-6ÉyÉ-2} ⑵ 함수 (g½f )(x)에서 f(x)=t (-6ÉtÉ-2)로 놓으면 (g½f )(x)=g( f(x))=g(t)=at` Ú 01일 때 t의 값이 최소일 때 g(t)의 값은 최소이고, t의 값이 최대일 때 g(t)의 값은 최대이다. 즉, t=-2일 때 함수 g(t)가 최댓값 27을 가지므로 a-2=27=3Ü` ∴ a=(3Ü`)- ;2!;=3- ;2#; 그런데 3- ;2#;<3â`=1이므로 a>1을 만족시키지 않는다. Ú, Û에서 구하는 m의 값은 3이다.  ⑴ {y|-6ÉyÉ-2} ⑵ 3 … ❷ … ❸  1 배점 3점 2점 2점 유형 16 지수부등식 - 밑을 같게 할 수 있는 경우 |전략| 부등식의 각 항의 밑을 같게 한 다음 지수를 비교하여 각각의 부등식을 푼 채점 기준 ⑴ 함수 f(x)의 치역을 구할 수 있다. ⑵ m의 값을 구할 수 있다. 배점 3점 7점 ❶ 3x+3-x=t로 치환한 후 t의 값의 범위를 구할 수 있다. ❷ 주어진 함수를 t에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❸ aÛ`+bÛ`의 값을 구할 수 있다. 채점 기준 0437 후 공통 범위를 구한다. 2x ¾ {;3!;} ;8Á1; 에서 {;3!;} 2x ¾ 0< <1이므로 ;3!; {;3!;} 4` ∴ xÉ2 2xÉ4 8xÛ`+2x-4É4xÛ`+x에서 23xÛ`+6x-12É22xÛ`+2x 2>1이므로 3xÛ`+6x-12É2xÛ`+2x xÛ`+4x-12É0, (x-2)(x+6)É0 ∴ -6ÉxÉ2 따라서 구하는 해는 ㉠, ㉡에서 -6ÉxÉ2 채점 기준 2x ❶ 부등식 {;3!;} ¾ ;8Á1;의 해를 구할 수 있다. ❷ 부등식 8xÛ`+2x-4É4xÛ`+x의 해를 구할 수 있다. ❸ 주어진 연립부등식의 해를 구할 수 있다. 제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소 x의 값의 범위가 aÉxÉb인 이차함수 f(x)=a(x-m)Û`+n의 최대·최소 ① aÉmÉb일 때 그래프의 꼭짓점의 x좌표 m이 x의 값의 범위에 속하는 경우 ⇨ f(m), f(a), f(b) 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값 ② mb일 때 그래프의 꼭짓점의 x좌표 m이 x의 값의 범위 에 속하지 않는 경우 ⇨ f(a), f(b) 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값 …… ㉠ … ❶ …… ㉡ … ❷ … ❸  -6ÉxÉ2 0439 유형 15 지수방정식의 활용 |전략| 4Å`=t(t>0)로 놓고 t에 대한 이차방정식의 두 근을 4m, 42m임을 이용 배점 3점 3점 1점 한다. ⑴ 4Û`Å`+a´4x+1+44-4a=0에서 (4Å`)Û`+4a´4Å`+44-4a=0 3 지수함수 | 047 032048고등유형해결(수1)-04.indd 47 2018-03-15 오전 11:13:54 3ㅡ지수함수 4Å`=t(t>0)로 놓으면 tÛ`+4at+44-4a=0 이 방정식의 두 근은 4m, 42m이므로 이차방정식의 근과 계수의 관 f(x)= x- +1 { - ;2!; ;2!;| Éx< ;2#;} | [ = -x+ - ;2#; { ;2!; Éx< ;2!;} x+ ;2!; Éx< ;2#;} {;2!; 이고, f(x+2)=f(x)이므로 계에 의하여 4m+42m=-4a, 4m´42m=44-4a 4m=p로 놓으면 p+pÛ`=-4a, pÜ`=44-4a 두 식을 연립하면 pÜ`=44+p+pÛ`, pÜ`-pÛ`-p-44=0 조립제법을 이용하여 인수분해하면 4 (p-4)(pÛ`+3p+11)=0 ∴ p=4 ∵ pÛ`+3p+11= p+ { ;2#;} + >0 } :£4°: { ⑵ p+pÛ`=-4a에서 -4a=4+4Û`=20 2` ∴ a=-5 채점 기준 1 -1 -1 -44 44 12 4 1 3 11 0 -x+ - ;2#; { ;2!; +2nÉx< +2n ;2!; } (단, n은 정수) f(x)= [ x+ ;2!; +2nÉx< +2n } ;2#; {;2!; 이때, 함수 y=2;n{;의 그래프와 함수 y=f(x)의 그래프의 교점의 개 수가 5가 되려면 다음 그림과 같아야 한다. x y=2n y=f(x) y 2 1 O ⑴ 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 p의 값을 구할 수 있다. ⑵ a의 값을 구할 수 있다. 배점 8점 4점  ⑴ 4 ⑵ -5 - 3 2 - 1 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2 x 13 2 Ú x= 일 때, 함수 y=f(x)의 그래프가 함수 y=2;n{;의 그래프보 ;2&; 창의·융합 교과서 속 심화문제 Û x= 일 때, 함수 y=f(x)의 그래프가 함수 y=2;n{;의 그래프보 :Á2Á: 다 위쪽에 있어야 하므로 2;2¦n; ;2¦n; ;2&; 다 아래쪽에 있어야 하므로 2 11 2n>f {:Á2Á:} =f { - ;2!;} =2 ∴ >1 ∴ n< :Á2Á: 11 2n Ú, Û에서 1) ∴ a-k=3-2=1  1 0441 |전략| 함수 y=f(x)의 그래프를 그리고, 주어진 조건을 만족시키는 n의 값의 범위를 구한다. 048 | I . 지수함수와 로그함수 032048고등유형해결(수1)-04.indd 48 2018-03-15 오전 11:13:55 정답과 해설 0443 |전략| 부등식 9Å`+p´3Å`+q<0과 그 해 -10)로 치환 4 로그함수 본책 68~87쪽 9Å`+p´3Å`+q<0에서 3Å`=t(t>0)로 놓으면 하여 나타내어 본다. tÛ`+pt+q<0 -10)로 놓으면 sÛ`+ s-1<0, 3sÛ`+8s-3<0 ;3*; (s+3)(3s-1)<0 ∴ 00) ;3!; x < 즉, {;3!;} ;3!; 에서 x>1 0444 |전략| 함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (m, n)이 주어지면 f(m)=n임을 이 용한다. f(x)=abx+k(00)의 그래프가 원점을 지나므로 f(0)=aâ`+k=0 ∴ k=-1 즉, f(x)=abx-1이므로 △ABO와 △CDO의 넓이를 각각 구하면 △ABO= (a-b-1) △CDO= (1-ab) ;2!; ;2!; 주어진 조건에서 △ABO>3△CDO이므로 (a-b-1)> (1-ab) ;2!; ;2#; a-b-1>3-3ab 양변에 ab을 곱하면 1-ab>3ab-3a2b, 3a2b-4ab+1>0 ab=t(00, (3t-1)(t-1)>0 ∴ t< 또는 t>1 ;3!; 이때, 00}이다. 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 …… ㉡ x=log£ y x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=log£ x (x>0)  y=log£ x (x>0) 0446 함수 y=2x-1의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|y>0} 이다. 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 x-1=logª y ∴ x=logª y+1 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=logª x+1`(x>0)  y=logª x+1 (x>0)  x>1 0447 함수 y=( ' {y|y>1}이다. 3)Å`+1의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 y=( 3)Å`+1에서 y-1=3;2{; ' 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 =log£ (y-1) ∴ x=2 log£ (y-1) ;2{; x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=2 log£ (x-1)`(x>1)  y=2 log£ (x-1) (x>1) ` ` =logª =logª 2ÑÜ`=-3 ;8!;  -3 3ㅡ 지 수 함 수 4ㅡ 로 그 함 수 0448 f {;8!;} 0450 0449 f(1)=logª 1=0 f( 2)=logª ' ' 2=logª 2;2!;= ;2!; 0451 f(4)-f(2) =logª 4-logª 2=logª 2Û`-logª 2 =2-1=1  0  ;2!;  1  0 4 로그함수 | 049 3 지수함수 | 049  0log£ 5 ∴ log£ 10>log» 25  log£ 10>log» 25 0460 y-2=log ;3!; (x+1)에서 y=log (x+1)+2 ;3!; 따라서 정의역은 {x|x>2}, 점근선 의 방정식은 x=2이다. 0467 y=log£ x-2의 그래프는 y=log£ x의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행 이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. (x+1)+2  y=log ;3!; x  y= {;3!;} 따라서 정의역은 {x|x>0}, 점근선의 O 1 9 x 방정식은 x=0이다. y=log£ (x-2)  풀이 참조 y y=log£ x y=log£ x-2  풀이 참조 0461 x=log y에서 y= ;3!; x {;3!;} 050 | I . 지수함수와 로그함수 049070고등유형해결(수1)-10.indd 50 2018-03-13 오후 5:23:11 정답과 해설2 0468 y=log ;2!; ;2!; 같다. (x+1)-1의 그래프는 y=log x의 그래프를 x축의 방향으 로 -1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 따라서 정의역은 {x|x>-1}, 점근 선의 방정식은 x=-1이다. y y=log x ;2!; -1 - ;2!; O 1 -1 x 1 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0474 |전략| f(x)에 x=3, x=27을 각각 대입한 후 연립하여 a의 값을 구한다. f(3) =log£ 3+a log£ 9=log£ 3+a log£ 3Û`=1+2a f(27)=log£ 27+a logª¦ 9=log£ 3Ü`+a log3Ü` 3Û`=3+ a ;3@; y=log (x+1)-1 ;2!; 이때, f(3)=f(27)이므로  풀이 참조 1+2a=3+ a, a=2 ∴ a= ;3@; ;3$; ;2#;  ③ 0469 y=-logª x+1의 그래프는 y=logª x y 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것 y=logª x 0475 g(2)=2Û`=4, h(2)=logª 2=1이므로 ( f½g)(2)+(g½h)(2) =f(g(2))+g(h(2))=f(4)+g(1) =2Ý`+1Û`=17  ① 이므로 오른쪽 그림과 같다. O 1 2 x 따라서 정의역은 {x|x>0}, 점근선의 y=-logª x+1 방정식은 x=0이다. 합성함수의 함숫값 두 함수 f, g에 대하여 ( f½g)(a)의 값 구하기 ⇨ ( f½g)(a)=f(g(a))이므로 g(a)의 값을 구하여 f(x)의 x에 대입한다.  풀이 참조 0470 2>1이므로 y=logª x는 증가함수이다. 즉, x=2일 때 y=logª 2=1이 최소, x=32일 때 y=logª 32=logª 2Þ`=5가 최대이다. 따라서 최댓값은 5, 최솟값은 1이다.  최댓값:5, 최솟값:1 0476 18>1이므로 f(18)= ´18=6 ;3!; 마찬가지로 ( f½f)(18)=f(6)= ´6=2 ;3!; ( f½f½f)(18)=f(2)= ´2= ;3!; ;3@; 0471 ;2!; 0< <1이므로 y=log x는 감소함수이다. ;2!; ;2!; ;2!; 즉, x= 일 때 y=log =1이 최대, ;2!; x=8일 때 y=log 8=log2ÑÚ` 2Ü`=-3이 최소이다. ;2!; 따라서 최댓값은 1, 최솟값은 -3이다. 이때, f(2)= <1이므로 ( f½f½f½f)(18)=f ;3@; {;3@;} =logª ;3@; ∴ 2( f½f½f½f)(18)=2logª ;3@;= ;3@; 0477 f(g(x))=x이므로 함수 f(x)와 g(x)는 서로 역함수 관계이다. g(5)=k라 하면 f(k)=5이므로 log£ k+1=5, log£ k=4 ∴ k=3Ý`=81  ;3@;  81 4ㅡ 로 그 함 수  최댓값:1, 최솟값:-3 0472 2>1이므로 y=logª (x+3)은 증가함수이다. 즉, x=1일 때 y=logª 4=logª 2Û`=2가 최소, x=5일 때 y=logª 8=logª 2Ü`=3이 최대이다. 따라서 최댓값은 3, 최솟값은 2이다.  최댓값:3, 최솟값:2 ∴ g(5)=81 0478 |전략| 먼저 y=log ;[!;을 간단히 한다. ;a!; y=log ;[!; ;a!; =logaÑÚ` xÑÚ`=logŒ x이고 a>1이므로 ① 함수 y=logŒ x의 그래프와 일치한다. (참) ② a의 값에 관계없이 그래프는 항상 점 (1, 0)을 지난다. (참) ③ 그래프의 점근선은 직선 x=0(y축)이다. (참) ④ x>0에서 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. (거짓) 0473 ;3!; 0< <1이므로 y=log x+1은 감소함수이다. ;3!; ;2Á7; ;3!; 즉, x= 일 때 y=log +1=log3ÑÚ` 3ÑÜ`+1=4가 최대, ;2Á7; ⑤ 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합이 x=9일 때 y=log 9+1=log3ÑÚ` 3Û`+1=-1이 최소이다. ;3!; 다. (참) 따라서 최댓값은 4, 최솟값은 -1이다.  최댓값:4, 최솟값:-1 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.  ④ 4 로그함수 | 051 049070고등유형해결(수1)-10.indd 51 2018-03-13 오후 5:23:12 그래프의 교점의 좌표는 (1, 1)이 아니다. (거짓) 점 A의 x좌표가 2이고, ABÓ=2이므로 점 B의 x좌표는 4이다. 0479 ㄱ. 두 함수 모두 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로 01 따라서 함수 y=logº ax는 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하고, x=1일 때 y=logº a<0이므로 그래프의 개형은 ①과 같다.  ① 0481 |전략| log£ x=y이면 x=3´`임을 이용한다. 주어진 그래프에서 log£ c=b, log£ d=c ∴ c=3º`, d=3` b-c ∴ {;3!;} =3-b+c=3-b´3`= 1 3º` ´3`= ;cD; 다른 풀이 log£ c=b, log£ d=c이므로 b-c=log£ c-log£ d=log£ ;dC; 따라서 3b-c= ;dC;이므로 {;3!;} = ;cD; b-c y logå 4 logå 2=log∫ 4 A y=logå x y=log∫ x C B O 1 2 4 x 두 점 B, C는 각각 곡선 y=logº x, y=logŒ x 위의 점이므로 두 점 B, C의 y좌표는 각각 logº 4, logŒ 4이다. 이때, BCÓ=2이므로 logŒ 4-logº 4=2 또한, 두 점 A, B의 y좌표가 서로 같으므로 logŒ 2=logº 4 ㉡을 ㉠에 대입하면 logŒ 4-logŒ 2=2, 2 logŒ 2-logŒ 2=2 logŒ 2=2 ∴ a= 2 (∵ a>1) ∴ aÛ`=2 2를 ㉡에 대입하면 log ' 2 2=logº 4, 2=logº 4 ' a= ' ∴ bÛ`=4 ∴ aÛ`+bÛ`=6  ③ 0485 A(1, 0), B(b, log£ b), C(c, log£ c)(0a) '  ④ yy ㉠ … ❶ yy ㉠ yy ㉡  6 yy ㉡ yy ㉢  ② 052 | I . 지수함수와 로그함수 049070고등유형해결(수1)-10.indd 52 2018-03-13 오후 5:23:13 정답과 해설 또, 두 점 P, Q는 함수 y=log¢ x의 그래프 위의 점이므로 또, ㉠에서 1Élog£ x<2일 때, 0Élog£ (log£ x)<1 P(a, log¢ a), Q(b, log¢ b) ∴ a+k=log¢ a b+k=log¢ b ㉢-㉡을 하면 b-a=log¢ b-log¢ a yy ㉡ yy ㉢ 한편, (log£ x)Û`¾1이므로 log£ (log£ x)<(log£ x)Û`` 1Élog£ x<2의 각 변에 밑이 3인 로그를 취하면 3>1이므로 log£ 1Élog£ (log£ x)1이므로 0492 함수 y=log£ (x-1)의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이 log£ 10, 2-log£ x>0이므로 A-B>0 ∴ A>B Û ㉠에서 00이므로 log£ (log£ x)<(log£ x)Û` y=log£ t의 그래프에서 01이므로 f(x)의 값이 최대일 때 y의 값은 최대이고, f(x) f(x)=(x-1)Û` 1Éf(x)É9 2ÉxÉ4에서 f(2)=1, f(4)=9이므로 의 값이 최소일 때 y의 값은 최소이다. 즉, f(x)=1일 때 최솟값 y=log£ 1=0, f(x)=9일 때 최댓값 y=log£ 9=2를 가지므로 M=2, m=0 ∴ M+m=2  ③  ④ 제한된 정의역 {x|mÉxÉn}에서의 로그함수 y=logŒ f(x)의 최댓값과 최솟값을 구할 때, f(x)가 이차함수이면 주어진 정의역에 꼭짓점의 x좌표가 포함되는지 확인하고 포함될 때에는 정의역의 양 끝 점 x=m, x=n에서의 함숫값뿐만 아니라 꼭짓점의 x좌표에 대한 함숫값도 구하여 최댓값과 최솟 0503 y=logŒ (xÛ`-2x+3)에서 f(x)=xÛ`-2x+3으로 놓으면 f(x)=(x-1)Û`+2 0ÉxÉ3에서 f(0)=3, f(1)=2, f(3)=6이므로 2Éf(x)É6 이때, 01이므로 주어진 식은 -(x-5)Û`+25의 값이 최대일 때 최 4 로그함수 | 055 =-2.81(log 5-log 50) =-2.81_(-1) =2.81 값을 찾아야 한다.  ② 0500 f(t)=50+30 log (t+1)에서 작품의 성취도가 80일 때, 이 작품을 만드는 데 걸린 시간을 x시간이라 하면 80=50+30 log (x+1) log (x+1)=1 x+1=10 ∴ x=9 따라서 작품을 만드는 데 걸린 시간은 9시간이다.  ④ 즉, logŒ 2=-1이므로 제품 200개를 만들어서 팔았을 때의 순이익금은 ∴ log° x+log° y =log° xy=log° {x(10-x)} 0501 f(n)= 300n 1+log° n 에서 f(200)= 300´200 1+log° 200 = 60000 log° 1000 = 60000 3 log° 10 = 20000 log° 10 제품 20개를 만들어서 팔았을 때의 순이익금은 댓값을 갖는다. 049070고등유형해결(수1)-10.indd 55 2018-03-13 오후 5:23:14 4ㅡ로그함수 -(x-5)Û`+25는 x=5일 때 최댓값 25를 가지므로 a=5, M=log° 25=2 ∴ a+M=7 다른 풀이 log° x+log° y=log° xy에서 5>1이므로 log° xy의 값은  7 채점 기준 ㉠=㉡이므로 a=2, b=2 ∴ a=3, b=2 ;3@; ∴ a+b=3+2=5 xy의 값이 최대일 때 최댓값을 갖는다. x>0, y>0이므로 x+y¾2 xy '¶ xy이므로 xyÉ25 즉, 10¾2 '¶ 이때, 등호는 x=y=5일 때 성립하므로 a=5, M=log° 25=2 ∴ a+M=7 0505 y=log |-xÛ`+4x+1|에서 0< <1이므로 ;5!; ;5!; y=log |-xÛ`+4x+1|은 |-xÛ`+4x+1|의 값이 최대일 때 y는 ;5!; 최솟값을 갖는다. 이때, f(x)=|-xÛ`+4x+1|로 놓으면 y=f(x) f(x) =|-xÛ`+4x+1| =|-(x-2)Û`+5| y=f(x)의 그래프는 y=-(x-2)Û`+5의 그래프에서 y¾0인 부분은 그대로 두고, y 5 4 1 ❶ log£ x=t로 치환하여 y를 t에 대한 이차식으로 나타낼 수 있다. ❷ x= ;3!;에서 최솟값 1을 가짐을 이용할 수 있다. ❸ a+b의 값을 구할 수 있다. 0508 y=(logª 2x) logª { :Á[¤:} =(logª 2+logª x)(logª 16-logª x) =(1+logª x)(4-logª x) =-(logª x)Û`+3 logª x+4 logª x=t로 놓으면 y=-tÛ`+3t+4=- t- { + ;2#;} :ª4°: 이때, 2>1이므로 2ÉxÉ16에서 2` logª 2Élogª xÉlogª 16 ∴ 1ÉtÉ4 y<0인 부분을 x축에 대하여 대칭이동한 O 1 2 3 x 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 따라서 1ÉxÉ3에서 f(x)의 최댓값은 x=2일 때, f(2)=5이므로 m=0을 가지므로 M+m= :ª4°: y=log |-xÛ`+4x+1|의 최솟값은 ;5!; log 5=-1 ;5!;  ② … ❸  5 비율 30`% 50`% 20`%  :ª4°: 따라서 y는 t= 일 때 최댓값 M= 를 갖고, t=4일 때 최솟값 ;2#; :ª4°: 0509 6log x=xlog 6이므로 y =6log x´xlog 6-6(6log x+xlog 6) =6log x´6log x-6(6log x+6log x) =(6log x)Û`-12´6log x 6log x=t로 놓으면 y=tÛ`-12t=(t-6)Û`-36 이때, x>1에서 t>1 0506 |전략| log ;2!; x=t로 치환하여 생각한다. y=(log x)Û`+2 log x+3에서 log x=t로 놓으면 ;2!; ;2!; ;2!; y=tÛ`+2t+3=(t+1)Û`+2 이때, <1이므로 ÉxÉ4에서 ;2!; ;2!; log 4Élog xÉlog ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ∴ -2ÉtÉ1 따라서 y는 t=-1일 때 최솟값 2를 갖고, t=1일 때 최댓값 6을 가 지므로 최댓값과 최솟값의 합은 6+2=8 0507 x>0이므로 따라서 y는 t=6일 때 최솟값 m=-36을 갖는다. 한편, t=6log x=6에서 log x=1 ∴ x=a=10 ∴ |a+m|=|10+(-36)|=26  26  ④ 0510 |전략| 지수에 미지수가 있는 식은 양변에 상용로그를 취하여 생각한다. y=10x2-log x의 양변에 상용로그를 취하면 log y =log`10x2-log x=log 10+log x2-log x =1+(2-log x)log x=-(log x)Û`+2 log x+1 y=(log£ x)Û`+a logª¦ xÛ`+b=(log£ x)Û`+ a log£ x+b에서 ;3@; log£ x=t로 놓으면 y=tÛ`+ at+b yy ㉠ … ❶ ;3@; y는 x= , 즉 t=log£ =-1일 때 최솟값 1을 가지므로 ;3!; ;3!; log x=t로 놓으면 log y=-tÛ`+2t+1=-(t-1)Û`+2 따라서 log y는 t=1일 때 최댓값 2를 갖는다. 즉, log x=1에서 x=a=10 log y=2에서 y=b=10Û`=100 y=(t+1)Û`+1=tÛ`+2t+2 yy ㉡ … ❷ ∴ b-a=100-10=90  ③ 056 | I . 지수함수와 로그함수 049070고등유형해결(수1)-10.indd 56 2018-03-13 오후 5:23:15 정답과 해설 0511 y= 100xÛ` xlog x 의 양변에 상용로그를 취하면 log y=log 100xÛ` xlog x =log 100+log xÛ`-log xlog x =-(log x)Û`+2 log x+2 (∵ x>0) log x=t로 놓으면 log y=-tÛ`+2t+2=-(t-1)Û`+3 따라서 log y는 t=1일 때 최댓값 3을 갖는다. 즉, log x=1에서 x=a=10 log y=3에서 y=b=10Ü`=1000 ∴ logŒ b=logÁ¼ 1000=3 개념 마스터 개념 마스터 2 STEP1 0514 진수의 조건에서 2x+1>0 ∴ x>- yy ㉠ ;2!; log£ (2x+1)=2에서 2x+1=3Û` 2x=8 ∴ x=4 x=4는 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다.  x=4  3 0515 밑의 조건에서 x+1>0, x+1+1 ∴ x>-1, x+0 logx+1 9=2에서 (x+1)Û`=9 x+1=3 또는 x+1=-3 ∴ x=2 또는 x=-4 이때, ㉠에 의하여 x=2 yy ㉠  x=2 0512 |전략| 주어진 범위에서 log x>0, log ;:![):); 관계를 이용한다. >0이므로 산술평균과 기하평균의 10, log >0이므로 산술평균과 기하평 ;:![):); 0516 균의 관계에 의하여 log x+log ¾2 log x´log ;:![):); ¾¨ ;:![):); 이때, y=log x´log 이고 ;:![):); log x+log ;:![):); =log { x´ ;:![):);} =log 100=2이므로 2¾2 y, yÉ1 ∴ 00, 2x-3>0 ∴ x> yy ㉠ ;2#; logª (x+3)=logª (2x-3)에서 x+3=2x-3 ∴ x=6 x=6은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다.  x=6 ∴ x>0 yy ㉠ 0517 진수의 조건에서 x>0, x+2>0 log£ x+log£ (x+2)=3 log£ 2에서 log£ {x(x+2)}=log£ 2Ü` 즉, x(x+2)=8이므로 xÛ`+2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2 이때, ㉠에 의하여 x=2 4ㅡ 로 그 함 수  x=2 log£ { x+ +log£ { ;]!;} y+ ;[$;} =log£ x+ [{ y+ ;]!;}{ ;[$;}] 0518 =log£ { xy+ ;[¢]; +5 } log£ (x-2)=log» (7-2x)에서 진수의 조건에서 x-2>0, 7-2x>0 ∴ 21이므로 주어진 식은 xy+ +5가 최소일 때 최솟값을 갖는다. log£ (x-2)= log£ (7-2x) ;2!; 이때, x>0, y>0에서 xy>0, >0이므로 산술평균과 기하평균 2 log£ (x-2)=log£ (7-2x), log£ (x-2)Û`=log£ (7-2x) ;[¢]; ;[¢]; 즉, (x-2)Û`=7-2x이므로 xÛ`-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 xy+ +5¾2 xy´ +5=2´2+5=9 ;[¢]; ®É ;[¢]; 이때, ㉠에 의하여 x=3  x=3 따라서 xy+ +5의 최솟값은 9이므로 주어진 식의 최솟값은 (단, 등호는 xy=2일 때 성립) 0513 의 관계에 의하여 ;[¢]; log£ 9=2 0519 진수의 조건에서 x>0, x+2>0  ③ ∴ x>0 …… ㉠ 4 로그함수 | 057 049070고등유형해결(수1)-10.indd 57 2018-03-13 오후 5:23:16 log x=log (x+2)에서 log x= log (x+2) ;2!; ;4!; ;2!; ;2!; ;2!; 2 log x=log (x+2), log xÛ`=log (x+2) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 즉, xÛ`=x+2이므로 xÛ`-x-2=0 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 이때, ㉠에 의하여 x=2  x=2 Ú, Û에 의하여 x=1 또는 x=2  x=1 또는 x=2 0520 logx+3 x=log2x+1 x에서 Ú 밑이 같은 경우 x+3=2x+1 ∴ x=2 Û (진수)=1인 경우 x=1 0521 logx+2 (2x+1)=log3-x (2x+1)에서 Ú 밑이 같은 경우 x+2=3-x, 2x=1 ∴ x= ;2!; Û (진수)=1인 경우 2x+1=1, 2x=0 ∴ x=0 yy ㉠ 0524 진수의 조건에서 x>0 xlog x=xÛ`의 양변에 상용로그를 취하면 log xlog x=log xÛ`, ( ㈎ log x )Û`=2 ㈎ log x ㈎ log x =t로 놓으면 tÛ`-2t=0, t(t-2)=0 ∴ t=0 또는 t=2 즉, ㈎ log x =0 또는 ㈎ log x =2이므로 x=10â`= ㈏ 1 또는 x=10Û`= ㈐ 100 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다.  ㈎ log x ㈏ 1 ㈐ 100 0525 진수의 조건에서 2x-4>0 ∴ x>2 yy ㉠ logª (2x-4)É1에서 logª (2x-4)Élogª 2 2>1이므로 2x-4É2, 2xÉ6 ∴ xÉ3 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 20 ∴ x<1 yy ㉠ log (1-x)É-2에서 log (1-x)Élog -2 {;3!;} ;3!; 0< <1이므로 1-x¾ , 1-x¾9 ;3!; -2 {;3!;} ;3!; ;3!; ∴ xÉ-8 yy ㉡  xÉ-8 Ú, Û에 의하여 x=0 또는 x= ;2!;  x=0 또는 x= ;2!; ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 xÉ-8 0522 진수의 조건에서 x>0 ∴ t=1 또는 t=2 log x=t로 놓으면 tÛ`-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0 5>1이므로 xÛ`+1¾5, xÛ`-4¾0, (x+2)(x-2)¾0 ∴ xÉ-2 또는 x¾2  xÉ-2 또는 x¾2 0527 xÛ`+1>0이므로 진수는 항상 양수이다. yy ㉠ log° (xÛ`+1)¾1에서 log° (xÛ`+1)¾log° 5 즉, log x=1 또는 log x=2이므로 x=10 또는 x=10Û`=100 x=10, x=100은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 0528  x=10 또는 x=100 xÛ`+x+2= x+ + >0이므로 진수는 항상 양수이다. { ;2!;} ;4&; logª (xÛ`+x+2)>2에서 logª (xÛ`+x+2)>logª 2Û` 2` 2>1이므로 xÛ`+x+2>4, xÛ`+x-2>0, (x-1)(x+2)>0 yy ㉠ ∴ x<-2 또는 x>1  x<-2 또는 x>1 0529 진수의 조건에서 2+3x>0, 1-5x>0 ∴ - logª (1-5x)에서 2>1이므로 2+3x>1-5x, 8x>-1 yy ㉠ yy ㉡ x= , x=81은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. ;3!; ∴ x>- ;8!;  x= ;3!; 또는 x=81 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 - 0 (log£ x)Û`=log£ xÜ`+4에서 (log£ x)Û`=3 log£ x+4 (log£ x)Û`-3 log£ x-4=0 log£ x=t로 놓으면 tÛ`-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0 ∴ t=-1 또는 t=4 즉, log£ x=-1 또는 log£ x=4이므로 x=3-1= 또는 x=3Ý`=81 ;3!; 058 | I . 지수함수와 로그함수 049070고등유형해결(수1)-10.indd 58 2018-03-13 오후 5:23:16 정답과 해설 0530 진수의 조건에서 5x-3>0, 3x+5>0 ∴ x> ;5#; log° (5x-3)¾log° (3x+5)에서 5>1이므로 5x-3¾3x+5, 2x¾8 ∴ x¾4 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x¾4 0531 진수의 조건에서 3x-5>0, x+1>0 ∴ x> ;3%; 즉, log x<-1 또는 log x>2이므로 ;3!; ;3!; -1 log xlog ;3!; ` {;3!;} ;3!; 0< <1이므로 x>3 또는 x< ;3!; ;9!; ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 03 ;9!;  03 yy ㉠ yy ㉡  x¾4 0535 진수의 조건에서 x> ㈎ 0 xlog£ x>9x의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 log£ xlog£ x>log£ 9x, ( ㈏ log£ x )Û`> ㈏ log£ x +2 yy ㉠ ㈏ log£ x =t로 놓으면 yy ㉡ yy ㉠ log (3x-5)¾log (x+1)에서 0< <1이므로 ;3!; ;3!; ;3!; 3x-5Éx+1, 2xÉ6 ∴ xÉ3 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 t+2, tÛ`-t-2>0, (t+1)(t-2)>0 ∴ t<-1 또는 t>2 즉, ㈏ log£ x <-1 또는 ㈏ log£ x >2이므로 ㈏ log£ x log£ 3Û` 3>1이므로 x< ㈐ 또는 x> ㈑ 9 ;3!; yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ∴ x>0 yy ㉠ ㈎ 0 ㈑ 9  ㈎ 0 ㈏ log£ x ㈐ ;3!; ㈑ 9 ;3!; 0532 진수의 조건에서 xÜ`>0, x>0 logª xÜ`+(logª x)Û`É4에서 3 logª x+(logª x)Û`É4 logª x=t로 놓으면 3t+tÛ`É4, tÛ`+3t-4É0 (t+4)(t-1)É0 ∴ -4ÉtÉ1 즉, -4Élogª xÉ1이므로 logª 2-4Élogª xÉlogª 2 2>1이므로 ÉxÉ2 ;1Á6; 2 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0536 |전략| 주어진 방정식의 밑을 2로 같게 한 후 로그의 성질을 이용한다. yy ㉡ 진수의 조건에서 x-1>0, x>0 ∴ x>1 yy ㉠ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ÉxÉ2 ;1Á6;  ;1Á6; ÉxÉ2 0533 진수의 조건에서 x>0, xÛ`>0 ∴ x>0 yy ㉠ (log log ;2!; x)Û`-log xÛ`É0에서 (log x)Û`-2 log ;2!; x=t로 놓으면 tÛ`-2tÉ0, t(t-2)É0 ;2!; ;2!; xÉ0 ;2!; logª (x-1)+log¢ x= 에서 ;2!; logª (x-1)+ logª x= , 2 logª (x-1)+logª x=1 ;2!; ;2!; logª {(x-1)Û`x}=logª 2 (x-1)Û`x=2, xÜ`-2xÛ`+x-2=0 xÛ`(x-2)+(x-2)=0, (x-2)(xÛ`+1)=0 xÛ`+1>0이므로 x=2 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다.  ① 4ㅡ 로 그 함 수 ∴ 0ÉtÉ2 즉, 0Élog xÉ2이므로 ;2!; log {;2!;} ;2!; Élog xÉlog ;2!; {;2!;} ;2!; 0` <1이므로 0< ;2!; ÉxÉ1 ;4!; 2` ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ÉxÉ1 ;4!;  ;4!; ÉxÉ1 밑이 같지 않은 로그방정식은 밑의 변환 공식을 이용하여 밑을 같게 한 후 yy ㉡ 로그방정식을 푼 후에는 구한 해가 밑과 진수 조건을 만족시키는지 반드시 확 인한다. 즉, (밑)>0, (밑)+1, (진수)>0의 조건을 모두 만족시키는 것만을 근 푼다. 으로 택한다. 0534 진수의 조건에서 x>0 ;3!; ∴ t<-1 또는 t>2 log x=t로 놓으면 tÛ`-t-2>0, (t+1)(t-2)>0 yy ㉠ ∴ x>4 yy ㉠ 0537 진수의 조건에서 x-4>0, 5x+4>0 log£ (x-4)=log» (5x+4)에서 log£ (x-4)= log£ (5x+4) ;2!; 4 로그함수 | 059 049070고등유형해결(수1)-10.indd 59 2018-03-13 오후 5:23:17 2 2 log£ (x-4)=log£ (5x+4) log£ (x-4)Û`=log£ (5x+4) (x-4)Û`=5x+4 xÛ`-13x+12=0, (x-1)(x-12)=0 ∴ x=1 또는 x=12 이때, ㉠에 의하여 x=a=12 0538 진수의 조건에서 x+3>0, (3x+1)Û`>0 ∴ x>-3 logª (x+3)-log¢ (3x+1)Û`=-1에서 logª (x+3)- logª (3x+1)Û`=logª ;2!; logª (x+3)-logª (3x+1)Û`=2 logª logª x+3 (3x+1)Û` =logª {;2!;} = 2` `, 4(x+3)=(3x+1)Û` x+3 (3x+1)Û` 9xÛ`+2x-11=0, (9x+11)(x-1)=0 ;4!; ∴ x=- 또는 x=1 :Á9Á: 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 0539 밑과 진수의 조건에서 4x>0, 4x+1, xÛ`+2x-2>0 ∴ x>-1+ 3 ' (x+1+ ∴ x<-1- ' 3)(x+1- 3)>0 ' 3 또는 x>-1+ ' 3 ' logxÛ`+4 (xÛ`+2x-2)=log4x (xÛ`+2x-2)에서 xÛ`+4=4x 또는 xÛ`+2x-2=1 Ú xÛ`+4=4x일 때, xÛ`-4x+4=0 (x-2)Û`=0 ∴ x=2 x=2는 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. Û xÛ`+2x-2=1일 때, xÛ`+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1 이때, ㉠에 의하여 x=1 Ú, Û에서 x=1 또는 x=2 0540 |전략| log x=t로 치환하여 t에 대한 이차방정식을 푼다. 진수의 조건에서 x>0 log xÛ`-log x´log 2x+log 4=0에서 2 log x-log x(log 2+log x)+log 4=0 060 | I . 지수함수와 로그함수 (log x)Û`+(log 2-2) log x-2 log 2=0 log x=t로 놓으면 tÛ`+(log 2-2)t-2 log 2=0 (t+log 2)(t-2)=0 ∴ t=-log 2 또는 t=2 즉, log x=-log 2 또는 log x=2이므로 x=2ÑÚ`= 또는 x=10Û`=100 ;2!;  12 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 따라서 주어진 방정식의 모든 근의 곱은 ´100=50  ④ ;2!; yy ㉠ 0541 진수의 조건에서 x>0 yy ㉠ logª 2x´logª =3에서 (logª x+logª 2)(logª x-logª 2)=3 ;2{; (logª x+1)(logª x-1)=3 logª x=t로 놓으면 (t+1)(t-1)=3 tÛ`-1=3, tÛ`=4 ∴ t=-2 또는 t=2 즉, logª x=-2 또는 logª x=2이므로 x=2ÑÛ`= 또는 x=2Û`=4 ;4!; 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다.  ③ 0542 진수의 조건에서 x>0 yy ㉠  x=- :Á9Á: 또는 x=1 (logª x)Û`+logª xÛ`-8=0에서 (logª x)Û`+2 logª x-8=0 logª x=t로 놓으면 tÛ`+2t-8=0, (t+4)(t-2)=0 ∴ t=-4 또는 t=2 즉, logª x=-4 또는 logª x=2이므로 x=2-4= 또는 x=2Û`=4 ;1Á6; yy ㉠ 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 따라서 주어진 방정식 의 모든 근의 곱은 ´4= ;4!; ;1Á6;  ;4!; 0543 밑과 진수의 조건에서 x>0, x+1 yy ㉠ 이므로 log£ x=2 log® 3+1에서 log® 3= 1 log£ x 2 log£ x (log£ x)Û`-log£ x-2=0 log£ x= +1 log£ x=t(t+0)로 놓으면 tÛ`-t-2=0, (t+1)(t-2)=0 ∴ t=-1 또는 t=2 즉, log£ x=-1 또는 log£ x=2이므로 x=3ÑÚ`= 또는 x=3Û`=9 ;3!; 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 그런데 a>b이므로 a=9, b= ;3!; … ❶ … ❷ … ❸  12 yy ㉠ ∴ a+ =9+3=12 ;º!; 따라서 주어진 방정식의 모든 근의 합은 1+2=3  ③ 참고 밑의 조건에서 xÛ`+4>0, xÛ`+4+1은 모든 실수 x에 대하여 성립하므 로 생각하지 않아도 된다. 049070고등유형해결(수1)-10.indd 60 2018-03-13 오후 5:23:18 정답과 해설 채점 기준 ❶ log£ x=t로 치환하여 t에 대한 이차방정식을 풀 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ a+ ;º!;의 값을 구할 수 있다. 0544 진수의 조건에서 a>0 이차방정식 xÛ`-x log a+log a+3=0의 판별식을 D라 하면 D=(-log a)Û`-4(log a+3)=0 (log a)Û`-4 log a-12=0 log a=t로 놓으면 tÛ`-4t-12=0, (t+2)(t-6)=0 ∴ t=-2 또는 t=6 즉, log a=-2 또는 log a=6이므로 a=10ÑÛ`= 또는 a=10ß` 1 10Û` 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 따라서 모든 양수 a의 값의 곱은 ´10ß`=10Ý`  ④ 1 10Û` 0545 진수의 조건에서 x>0 5log x´xlog 5-3(5log x+xlog 5)+5=0에서 5log x=xlog 5이므로 (5log x)Û``-6´5 log x+5=0 5log x=t(t>0)로 놓으면 tÛ`-6t+5=0, (t-1)(t-5)=0 ∴ t=1 또는 t=5 즉, 5log x=1 또는 5log x=5이므로 log x=0 또는 log x=1 ∴ x=1 또는 x=10 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 따라서 주어진 방정식의 모든 근의 합은 1+10=11  ⑤ 0546 |전략| 진수와 밑이 같은 로그가 나타나도록 주어진 식을 먼저 정리한다. 진수의 조건에서 x>0, y>0 log° x´log£ y= ´ log x log 5 log y log 3 =log£ x´log° y = log x log 3 ´ log y log 5 이므로 주어진 방정식은 [ log£ x´log° y=3 log£ x+log° y=4 log£ x=X, log° y=Y로 놓으면 [ X+Y=4 XY=3 ㉡에서 Y=4-X 이것을 ㉢에 대입하면 X(4-X)=3 XÛ`-4X+3=0, (X-1)(X-3)=0 ∴ X=1 또는 X=3 ㉣에서 X=1일 때 Y=3, X=3일 때 Y=1 즉, log£ x=1, log° y=3 또는 log£ x=3, log° y=1이므로 x=3, y=5Ü`=125 또는 x=3Ü`=27, y=5 yy ㉡ yy ㉢ yy ㉣ 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 그런데 a>b이므로 a=27, b=5 ∴ a+b=32 비율 50`% 40`% 10`% 0547 밑의 조건에서 x>0, x+1, y>0, y+1 yy ㉠ log® 4-logò 2=2 log® 2Û`-logò 2=2 log® 16+logò 8=-1 log® 2Ý`+logò 2Ü`=-1 에서 [ [ ∴ [ 2 log® 2-logò 2=2 4 log® 2+3 logò 2=-1 log® 2=X, logò 2=Y로 놓으면 [ 2X-Y=2 4X+3Y=-1 ㉡에서 Y=2X-2 ㉣을 ㉢에 대입하면 4X+3(2X-2)=-1 10X=5 ∴ X= ;2!; 이것을 ㉣에 대입하면 Y=-1 즉, log® 2= , logò 2=-1이므로 2=x;2!;, 2=yÑÚ` ∴ x=4, y= ;2!; ;2!; ∴ xy=4´ =2 ;2!; yy ㉠ 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 0548 |전략| 지수에 로그가 있을 때에는 양변에 밑이 같은 로그를 취한다. 진수의 조건에서 x>0 xlog x=10000xÜ`의 양변에 상용로그를 취하면 log xlog x=log 10000xÜ` log x´log x=log 10000+log xÜ` (log x)Û`-3 log x-4=0 log x=t로 놓으면 tÛ`-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0 yy ㉠ ∴ t=-1 또는 t=4 즉, log x=-1 또는 log x=4이므로 x=10ÑÚ`= 또는 x=10Ý`=10000 ;1Á0; 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 이때, a0 xlog£ x=27xÛ`의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 log£ xlog£ x=log£ 27xÛ` log£ x´log£ x=log£ 27+log£ xÛ` (log£ x)Û`-2 log£ x-3=0 log£ x=t로 놓으면 tÛ`-2t-3=0, (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3 즉, log£ x=-1 또는 log£ x=3이므로 x=3-1= 또는 x=3Ü`=27 ;3!; 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 따라서 주어진 방정식의 두 근의 곱은 ´27=9  ③ ;3!; 0552 (2x)logŒ 2=(3x)logŒ 3의 양변에 밑이 a인 로그를 취하면 logŒ 2´logŒ 2x=logŒ 3´logŒ 3x logŒ 2(logŒ 2+logŒ x)=logŒ 3(logŒ 3+logŒ x) (logŒ 2)Û`+logŒ 2´logŒ x=(logŒ 3)Û`+logŒ 3´logŒ x (logŒ 3-logŒ 2)logŒ x=(logŒ 2)Û`-(logŒ 3)Û` ∴ logŒ x= -(logŒ 3+logŒ 2)(logŒ 3-logŒ 2) logŒ 3-logŒ 2 =-(logŒ 3+logŒ 2)=-logŒ 6=logŒ ;6!; ∴ x= ;6!; 0553 ab= ;aC;임을 이용한다. (logª 8x)Û`-4 logª 16x=0에서 (logª 8+logª x)Û`-4(logª 16+logª x)=0 (3+logª x)Û`-4(4+logª x)=0 logª x=t로 놓으면 (3+t)Û`-4(4+t)=0 ∴ tÛ`+2t-7=0  x= ;6!; yy ㉠ yy ㉡ 0554 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 ab=9 log£ x-3 log® 3+a=0에서 log® 3= 이므로 1 log£ x log£ x- +a=0 3 log£ x log£ x=t(t>0)로 놓으면 t- +a=0 ;t#; ∴ tÛ`+at-3=0 이 방정식의 해는 log£ a, log£ b이므로 근과 계수의 관계에 의하여  ④ yy ㉠ … ❶ … ❷ … ❸  -2 비율 40`% 40`% 20`%  ③ log£ a+log£ b=-a log£ ab=-a, log£ 9=-a ∴ a=-2 채점 기준 ❶ 주어진 방정식을 치환하여 정리할 수 있다. ❷ 근과 계수의 관계를 이용할 수 있다. ❸ a의 값을 구할 수 있다. 0555 x>0이므로 (log£ x)Û`+log£ xÛ`-1=0에서 (log£ x)Û`+2 log£ x-1=0 log£ x=t로 놓으면 tÛ`+2t-1=0 이 방정식의 두 근이 log£ a, log£ b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 log£ a+log£ b=-2, log£ a´log£ b=-1 ∴ 1 (log£ a)Û` + 1 (log£ b)Û` +(log£ b)Û (log£ b)Û ` ` (log£ a)Û ` (log£ a)Û (log£ a+log£ b)Û ` = = = (-2)Û -2´(-1) ` (-1)Û =6 ` -2 log£ a´log£ b ` (log£ a´log£ b)Û ` 0556 (logª x)Ü`+logª xÜ`=4(logª x)Û`+logª x에서 (logª x)Ü`+3 logª x=4(logª x)Û`+logª x yy ㉠ ∴ tÜ`-4tÛ`+2t=0 yy ㉡ 방정식 ㉠의 세 근을 a, b, c라 하면 방정식 ㉡의 세 근은 logª a, logª b, logª c이므로 근과 계수의 관계에 의하여 logª a+logª b+logª c=4 즉, logª abc=4이므로 주어진 방정식의 모든 근의 곱은 abc=2Ý`=16  ⑤ |전략| 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b일 때, a+b=- ;aB;, logª x=t로 놓으면 tÜ`+3t=4tÛ`+t 방정식 ㉠의 두 근을 a, b라 하면 방정식 ㉡의 두 근은 logª a, logª b 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 logª a+logª b=-2 즉, logª ab=-2이므로 ab=2ÑÛ`= ;4!;  ② 삼차방정식의 근과 계수의 관계 삼차방정식 axÜ`+bxÛ`+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면 ⑴ a+b+c=- ;aB; ⑵ ab+bc+ca= ;aC; ⑶ abc=- ;aD; 062 | I . 지수함수와 로그함수 049070고등유형해결(수1)-10.indd 62 2018-03-13 오후 5:23:18 정답과 해설 0557 (log£ x) log£ = 에서 (log£ x)(log£ 27-log£ x)= { :ª[¦:} ;8A; ㉠, ㉡의 공통 범위가 주어진 부등식의 해 - 0, 9- >0 ∴ a<18 ;8A; ;2A;  ① Û 00) 하는 a의 값은 존재하지 않는다. Ú, Û에서 양수 a의 값은 2이다. ㉠, ㉢의 공통 범위가 주어진 부등식의 해 - 0, 5-xÛ`>0 즉, x>1, - 50)로 놓으면 tÛ`+4t-12É0, (t+6)(t-2)É0 yy ㉠ t+6>0이므로 tÉ2 logª (x-1)¾log¢ (5-xÛ`)에서 log¢ (x-1)Û`¾log¢ (5-xÛ`) 따라서 2Å` É2이고 2>1이므로 xÉ1 4>1이므로 (x-1)Û`¾5-xÛ`, xÛ`-x-2¾0 Û 2 logª (x+1)É2+logª (x+4)의 진수의 조건에서 (x+1)(x-2)¾0 ∴ xÉ-1 또는 x¾2 yy ㉡ x+1>0, x+4>0 ∴ x>-1 yy ㉠ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2Éx< 5 따라서 a=2, b= 5이므로 aÛ`+bÛ`=2Û`+( 5)Û`=9  ④ ' ' ' 2 logª (x+1)É2+logª (x+4)에서 logª (x+1)Û`Élogª 4(x+4) 2>1이므로 (x+1)Û`É4(x+4) xÛ`+2x+1É4x+16, xÛ`-2x-15É0 (x+3)(x-5)É0 ∴ -3ÉxÉ5 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -1 ;2!; ;2!; ;4!; 진수의 조건에서 2x-1>0, x- >0 ;2!; log (2x-1)+1>log x- { ;4!; ;2!;} 에서 log (2x-1)Û`+1>log x- { ;4!; ;2!;} log ;4!; ;4!; (2x-1)Û`>log x- { ;4!; ;2!;} 0< <1이므로 (2x-1)Û`0에서 logŒ (x+3)>logŒ (1-x)+1 logŒ (x+3)>logŒ a(1-x) Ú a>1일 때, 밑이 1보다 크므로 x+3>a(1-x), (1+a)x>a-3 ∴ x> a-3 1+a (∵ 1+a>0) x+3>0, 1-x>0 ∴ -30 ∴ x>1 yy ㉠ |log (x-1)|<2에서 -2x-1> ;2!; yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0 ) ⑵ 해가 xb(a0 (단, a>0 ) 4 로그함수 | 063 049070고등유형해결(수1)-10.indd 63 2018-03-13 오후 5:23:19 4ㅡ로그함수 0563 |전략| 진수의 조건과 부등호의 방향에 주의하여 푼다. (t-1)(t-4)É0 ∴ 1ÉtÉ4 즉, 1Élogª xÉ4이므로 logª 2Élogª xÉlogª 2Ý` 진수의 조건에서 log£ x>0 ∴ x>1 yy ㉠ 2>1이므로 2ÉxÉ16 logª (log£ x)<2에서 logª (log£ x)1이므로 log£ x<4 ∴ x<3Ý`=81 yy ㉡ 따라서 정수 x는 2, 3, 4, y, 16의 15개이다. yy ㉡  ④ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 10 log£ (logª x)É1에서 log£ (logª x)Élog£ 3 3>1이므로 logª xÉ3 ∴ xÉ2Ü`=8 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 A={x|10 ∴ x>1 yy ㉢ logª (log£ x)É1에서 logª (log£ x)Élogª 2 ∴ -11이므로 log£ xÉ2 ∴ xÉ3Û`=9 yy ㉣ 0567 (1+log£ x)(a-log£ x)>0에서 (log£ x+1)(log£ x-a)<0 이때, 부등식의 해가 1이므로 ;3!; log£ 1 yy ㉠ log£ x=t로 놓으면 (t+1)(t-a)<0 yy ㉠ yy ㉡  2 ㉢, ㉣에서 B={x|10 (logª x)Û`-logª 8xÛ`É0에서 (logª x)Û`-(logª 8+logª xÛ`)É0 (logª x)Û`-2 logª x-3É0 logª x=t로 놓으면 tÛ`-2t-3É0, (t+1)(t-3)É0 즉, -1Élogª xÉ3이므로 logª 2ÑÚ`Élogª xÉlogª 2Ü` ∴ -1ÉtÉ3 2>1이므로 ÉxÉ8 ;2!; ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ÉxÉ8 ;2!; 푼다. 따라서 a= , b=8이므로 ab=4 ;2!;  ⑤ 다른 풀이 부등식 (1+log£ x)(a-log£ x)>0의 해가 0 yy ㉠ [log° x]=t (t는 정수)로 놓으면 tÛ`-t-2<0 yy ㉠ (t+1)(t-2)<0 ∴ -10 xlogª x<8xÛ`의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 logª xlogª x1이므로 0, >0 ∴ x>0 ;[$; ;8{; log ;[$; ;2!; ´log ;8{; ;2!; ¾-2에서 (log 4-log x)(log x-log 8)¾-2 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; (-2+logª x)(-logª x+3)¾-2 (logª x-2)(logª x-3)É2 064 | I . 지수함수와 로그함수 049070고등유형해결(수1)-10.indd 64 2018-03-13 오후 5:23:19 정답과 해설 0570 2x+1>3x-1의 양변에 상용로그를 취하면 (x+1)log 2>(x-1)log 3 x(log 2-log 3)>-log 2-log 3 이때, log 20 xlog x=-logª x이므로 x-logª x>4xÜ` x>4xÜ`에서 log 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 logª x-logª x>logª 4xÜ` ;2!; ;2!; -logª x´logª x>logª 4+logª xÜ` (logª x)Û`+3 logª x+2<0 logª x=t로 놓으면 tÛ`+3t+2<0  ① yy ㉠ ∴ tÛ`-kt-2k>0 … ❷ 이때, 모든 실수 t에 대하여 이 부등식이 성립해야 하므로 이차방정식 tÛ`-kt-2k=0의 판별식을 D라 하면 D=kÛ`+8k<0, k(k+8)<0 ∴ -80 ∴ a>0 yy ㉠ x>0이므로 (logª x)Û`¾logª axÛ`에서 (logª x)Û`¾logª a+2 logª x logª x=t로 놓으면 tÛ`¾logª a+2t, tÛ`-2t-logª a¾0 이때, 모든 실수 t에 대하여 이 부등식이 성립해야 하므로 이차방정식 (t+1)(t+2)<0 ∴ -21이므로 1이므로 aÉ ;2!; ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0 yy ㉠ 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(2+logª a)Û`-1¾0, (logª a)Û`+4 logª a+3¾0 logª a=t로 놓으면 tÛ`+4t+3¾0 (t+1)(t+3)¾0 ∴ tÉ-3 또는 t¾-1 즉, logª aÉ-3 또는 logª a¾-1이므로 logª aÉlogª 2ÑÜ`` 또는 logª a¾logª 2ÑÚ` 0575 |전략| 반도체의 금년도 생산량을 a라 하고, 주어진 조건에 맞게 방정식을 세운 후 양변에 상용로그를 취하여 그 해를 구한다. 반도체의 금년도 생산량을 a라 하고, 반도체의 한 해 생산량을 매년 x`%씩 증가시켜 20년 후에 금년도의 생산량의 2배가 된다고 하면 20 1+ a { ;10{0;} =2a, { 1+ ;10{0;} 20 =2 양변에 상용로그를 취하면 20 log { 1+ ;10{0;} =log 2 log { 1+ ;10{0;} = log 2 20 = 0.300 20 =0.015 즉, log { 1+ ;10{0;} =log 1.035이므로 2>1이므로 aÉ 또는 a¾ ;8!; ;2!; yy ㉡ 1+ ;10{0; =1.035, ;10{0; =0.035 ∴ `x=3.5 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0(100x)û`의 양변에 상용로그를 취하면 log xlog x>log (100x)û`, log x´log x>k(log 100+log x) 0576 골동품의 금년도의 가격을 a라 하면 n년 후의 가격은 a(1+0.08)Ç` 이고 n년 후의 가격이 금년도의 2배 이상이므로 (log x)Û`>k(2+log x) log x=t로 놓으면 tÛ`>k(2+t) … ❶ a(1+0.08)Ç`¾2a, 1.08Ç`¾2 양변에 상용로그를 취하면 n log 1.08¾log 2 4 로그함수 | 065 049070고등유형해결(수1)-10.indd 65 2018-03-15 오전 11:14:31 4ㅡ로그함수 정답과 해설 이때, log 1.08=log 2Û`´3Ü` 10Û` log 1.08=2´0.3010+3´0.4771-2=0.0333 =2 log 2+3 log 3-2이므로 ∴ n¾ log 2 log 1.08 = 0.3010 0.0333 =9.03___ 따라서 최소 10년 후부터 가격이 금년도의 2배 이상이 된다. (cid:9000) ③ 0581 0577 현재 오염도가 80인 폐수의 n시간 후의 오염도는 80(1-0.2)Ç`이고, 오염도를 10 이하로 줄여야 하므로 80(1-0.2)Ç`É10, 8´0.8Ç` É1 양변에 상용로그를 취하면 log 8+n log É0 ;1¥0; log 2Ü`+n(log 2Ü`-log 10)É0, 3 log 2+n(3 log 2-1)É0 n(3 log 2-1)É-3 log 2 이때, 3 log 2-1<0이므로 n¾ 3 log 2 1-3 log 2 = 3´0.3010 1-3´0.3010 = 0.9030 0.0970 =9.3___ 따라서 최소한 10시간이 지나야 오염도 10 이하의 물로 정화된다. 0582 ∴ ABÓ+BCÓ+CDÓ =|2-1|+|4-2|+|4-2| =1+2+2=5 (cid:9000) ② 유형 04 로그함수를 이용한 수의 대소 비교 |전략| 0logŒ b>logŒ 1 ∴ 0logº b>logº 1 ∴ 0<10) logª x=t로 놓으면 tÛ`-2t-3=0, (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3  ③ 즉, logª x=-1 또는 logª x=3이므로 x=2ÑÚ`= 또는 x=2Ü`=8 ;2!; 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. 1=logŒ 1+k에서 k=1 2=logŒ 2+k=logŒ 2+1에서 logŒ 2=1 ∴ a+k=2+1=3 ∴ a=2 0584 ;2!; ;2!; 의 값은 감소한다. 즉, x=a일 때 y의 값은 최대이므로 log (a+2)=2, a+2= ∴ a=- {;2!;} ;4&; 2` x=b일 때 y의 값은 최소이므로 ∴ a+b=- +6= ;4&; :Á4¦: 유형 08 함수의 최대·최소 - y=logŒ f(x) 꼴 |전략| 주어진 범위에서 최댓값과 최솟값을 갖는 경우가 언제인지 생각해 본다. 따라서 주어진 방정식의 두 실근 a, b는 , 8이므로 ;2!; 0< <1이므로 y=log (x+2)의 그래프는 x의 값이 증가하면 y ;2!; ;2!; ab= ´8=4 ;2!;  ④ 다른 풀이 방정식 xlogª x=8xÛ`의 양변에 밑이 2인 로그를 취하여 식을 정 log (b+2)=-3, b+2= ∴ b=6 logª a+logª b=2, logª ab=2 -3 {;2!;} 이 방정식의 두 근이 logª a, logª b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 리하면 (logª x)Û`-2 logª x-3=0 logª x=t로 놓으면 tÛ`-2t-3=0 ∴ ab=2Û`=4  ④ 0587 유형 16 로그방정식의 활용 |전략| 먼저 밑을 같게 한 후 치환을 이용하여 방정식을 푼다. 밑과 진수의 조건에서 x>0, x+1 yy ㉠ log» xÛ`-log® 27-4=0에서 log3Û` xÛ`-log® 3Ü`-4=0, log£ x-3 log® 3-4=0 이때, log® 3= 이므로 1 log£ x log£ x- -4=0 3 log£ x log£ x=t(t+0)로 놓으면 t- -4=0 ;t#; ∴ tÛ`-4t-3=0 x+1이므로 t=log£ x+0 log£ a+log£ b=4, log£ ab=4 ∴ ab=3Ý`=81 이 방정식의 두 근이 log£ a, log£ b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 0585 유형 09 함수의 최대·최소 - 치환 |전략| log x와 log y를 각각 치환한다. log x=X, log y=Y로 놓으면 x¾10, y¾10이므로 X¾1, Y¾1 또, xy=10000의 양변에 상용로그를 취하면 log xy=log 10000, log x+log y=4 즉, X+Y=4 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 Y=4-X¾1, 즉 1ÉXÉ3 ∴ f(x, y) =log x´log y+log xy =XY+X+Y =X(4-X)+4 =-XÛ`+4X+4 =-(X-2)Û`+8 따라서 주어진 식은 X=2일 때 최댓값 8, X=1 또는 X=3일 때 최 솟값 7을 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은 8+7=15 0588  ② 0586 푼다. 유형 15 양변에 로그를 취하는 방정식 |전략| 지수에 로그가 있을 때에는 양변에 밑이 같은 로그를 취한 후 방정식을 진수의 조건에서 x>0 yy ㉠ 2 logª |x|-logª |x|É3 유형 17 로그부등식 - 밑을 같게 할 수 있는 경우 |전략| |x|Éa (a¾0)이면 -aÉxÉa이다. 진수의 조건에서 xÛ`>0, |x|>0 ∴ x+0 이때, |x|Û`=xÛ`이므로 logª xÛ`-logª |x|É3에서 logª |x|Û`-logª |x|É3  ⑤ yy ㉠ 4 로그함수 | 067 049070고등유형해결(수1)-10.indd 67 2018-03-13 오후 5:23:21 4ㅡ로그함수 logª |x|É3 이때, 농도가 20`%인 소금물을 농도가 10`% 이하가 되게 해야 하므로 2>1이므로 |x|É2Ü`=8 ∴ -8ÉxÉ8 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -8Éx<0 또는 00 2x log 2¾(1-2x)log 5 2x(log 2+log 5)¾log 5 이때, log 2+log 5=log 10=1이므로 2x¾log 5, x¾ log 5 ∴ x¾log ' 5 즉, a=log ' 5= 10a=10log ' 5이므로 ;2!; 5 ' 0590 임을 이용한다. 진수의 조건에서 a>0 또, xÛ`의 계수가 0이 아니어야 하므로 3+logª a+0 ∴ a+ ;8!; 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(1+logª a)Û`-(3+logª a)>0 (logª a)Û`+logª a-2>0 logª a=t로 놓으면 tÛ`+t-2>0 (t+2)(t-1)>0 ∴ t<-2 또는 t>1 즉, logª a<-2 또는 logª a>1이므로 logª alogª 2Ú` 2>1이므로 a< 또는 a>2 ;4!; ㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 02 ;8!; ;8!; ;4!; 0592 를 이용한다. 채점 기준 있다. 0593 유형 11 로그함수의 최대·최소 - 산술평균과 기하평균의 관계 이용 |전략| x>0, y>0이고 두 수의 합이 일정하므로 산술평균과 기하평균의 관계 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2x+y¾2 2xy` (단, 등호는 2x=y일 때 성립) '¶  ① 이때, 2x+y=20이므로 20¾2 2xy, 2xyÉ10 ∴ 2xyÉ100 '¶ '¶ ∴ log 2x+log y=log 2xyÉlog 100=2 따라서 구하는 최댓값은 2이다. yy ㉠ yy ㉡ ❶ 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 2xy에 대한 부등식을 세울 수 ❷ log 2x+log y의 최댓값을 구할 수 있다. 유형 13 로그방정식 - 치환 |전략| 치환을 이용하여 주어진 방정식의 해를 구한다. 진수의 조건에서 x>0 yy ㉠ (log£ x)Û`-6 log£ ' x+2=0에서 (log£ x)Û`-3 log£ x+2=0 log£ x=t로 놓으면 tÛ`-3t+2=0 yy ㉢ (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 즉, log£ x=1 또는 log£ x=2이므로 x=3Ú`=3 또는 x=3Û`=9 이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다. … ❶ … ❷  2 배점 3점 3점 … ❶ … ❷  27 배점 5점 1점 따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ④ 이다. ;2!;  ④ 따라서 주어진 방정식의 서로 다른 두 실근 a, b는 3, 9이므로 0591 구한다. 유형 22 로그방정식 및 로그부등식의 실생활에의 활용 |전략| 주어진 조건에 맞게 부등식을 세운 후 양변에 상용로그를 취하여 그 해를 소금물 1`dL를 퍼내고 물 1`dL를 넣으면 소금의 양이 씩 줄어들 므로 n번 시행하면 남은 소금의 양은 처음 소금의 양의 배이다. ;1Á0; {;1»0;} n` 068 | I . 지수함수와 로그함수 ab=3´9=27 채점 기준 ❶ 치환을 이용하여 주어진 방정식을 풀 수 있다. ❷ ab의 값을 구할 수 있다. 다른 풀이 (log£ x)Û`-6 log£ ' x+2=0에서 (log£ x)Û`-3 log£ x+2=0 log£ x=t로 놓으면 tÛ`-3t+2=0 049070고등유형해결(수1)-10.indd 68 2018-03-15 오전 11:14:34 정답과 해설 이 방정식의 두 근이 log£ a, log£ b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 log£ a+log£ b=3, log£ ab=3 ∴ ab=3Ü`=27 0596 한다. 유형 16 로그방정식의 활용 |전략| 계수가 실수인 이차방정식이 실근을 가지려면 (판별식)¾0임을 이용 0594 의 해를 구한다. 유형 19 로그부등식 - 치환 |전략| 로그의 성질을 이용하여 주어진 부등식을 간단히 한 후 치환하여 부등식 진수의 조건에서 x>0 3log x´xlog 3-2(3log x+xlog 3)+3<0에서 3log x=xlog 3이므로 (3log x)Û`-4´3log x+3<0 3log x=t로 놓으면 tÛ`-4t+3<0 yy ㉠ ∴ 11이므로 02, aÛ`< ∴ 02}이고, 점근선의 방정식은 x=2 O 2 x  ⑴ b=2a ⑵ ;2&; a ⑶ 7 2 ' 따라서 구하는 그래프의 개형은 오른쪽 그 이다. 림과 같다. 0598 배점 2점 4점 4점 |전략| 교점의 좌표를 이용하여 각 보기의 참, 거짓을 판단한다.  ② 4 로그함수 | 069 049070고등유형해결(수1)-10.indd 69 2018-03-13 오후 5:23:22 4ㅡ로그함수 진수의 조건에서 a>0 yy ㉠ 이차방정식 xÛ`-2x log£ a+log£ a+2=0의 두 근이 모두 음수이려 면 다음 조건을 만족시켜야 한다. Ú 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D¾0이어야 하므로 D 4 =(log£ a)Û`-(log£ a+2)¾0 log£ a=t로 놓으면 tÛ`-t-2¾0, (t-2)(t+1)¾0 ∴ tÉ-1 또는 t¾2 즉, log£ aÉ-1 또는 log£ a¾2이므로 log£ aÉlog£ 3-1 또는 log£ a¾log£ 3Û` 3>1이므로 aÉ 또는 a¾9 ;3!; Û (두 근의 합)<0이어야 하므로 2 log£ a<0, log£ a<0 ∴ a<1 Ü (두 근의 곱)>0이어야 하므로 log£ a+2>0, log£ a>-2, log£ a>log£ 3ÑÛ` 3>1이므로 a> ;9!; ㉠과 Ú, Û, Ü에서 공통 범위를 구하면 0 x>0이므로 [log£ 3x]=[log£ xÛ`]에서 [1+log£ x]=[2 log£ x] Ü 두 근이 서로 다른 부호일 조건은 이차방정식의 실근의 부호 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D라 하면 Ú 두 근이 모두 양수일 조건은  ③ D¾0, (두 근의 합)=- >0, (두 근의 곱)= >0 Û 두 근이 모두 음수일 조건은 ;aB; ;aB; ;aC; ;aC; (두 근의 곱)= <0 ;aC; log£ x=n+a (n은 정수, 0Éa<1)로 놓으면 [1+n+a]=[2(n+a)] ∴ 1+n=[2n+2a] Ú 0Éa< 일 때, 0É2a<1이므로 1+n=2n ∴ n=1 ;2!; 이때, log£ x=1+a에서 a=log£ x-1이므로 0Élog£ x-1< 에서 1Élog£ x< ;2!; ;2#; 따라서 3>1이므로 3Éx<3 3 ' Û Éa<1일 때, 1É2a<2이므로 1+n=2n+1 ∴ n=0 ;2!; 이때, log£ x=a에서 Élog£ x<1 이므로 0601 |전략| 주어진 조건에 맞게 방정식을 세운 후 양변에 상용로그를 취하여 그 해를 원산지 생산 가격을 a, 유통 과정을 한 번 거칠 때마다 가격의 인상 비 구한다. 율을 r라 하자. 유통 과정을 다섯 번 거친 소비자 가격은 원산지 생산 가격의 2.24배 a(1+r)Þ`=2.24a, (1+r)Þ`=2.24 양변에 상용로그를 취하면 5 log (1+r)=log 2.24=0.35 0600 |전략| 이차방정식의 두 근이 모두 음수일 조건은 (판별식)¾0, (두 근의 합)<0, (두 근의 곱)>0임을 이용한다. 이다.  30 log (1+r)=0.07=log 1.17 ∴ 1+r=1.17 따라서 _100= _100=52.2___이므로 유통 과정 a(1+r) a(1+r)Þ ` 1.17 2.24 을 한 번만 거친 소비자 가격은 다섯 번 거친 소비자 가격의 약 52`%  52 % ` ;2!; ' 3 따라서 3>1이므로 3Éx<3 Ú, Û에서 따라서 a= aÛ`+bÛ`=( ' 3Éx<3 ' 3, b=3 ' 3)Û`+(3 ' 3이므로 ' 3)Û`=30 ' 070 | I . 지수함수와 로그함수 049070고등유형해결(수1)-10.indd 70 2018-03-13 오후 5:23:23 정답과 해설 5 삼각함수 본책 90~103쪽 0612 3270ù=360ù_9+30ù 따라서3270ù는제 1 사분면의각이다.  제 1 사분면의 각 0613 -5140ù=360ù_(-15)+260ù 따라서-5140ù는제 3 사분면의각이다.  제 3 사분면의 각 개념 마스터 STEP1 0602  210˘ O X 0603  O -140˘ X P P 0604  h=360ù_n+120ù (단, n은 정수) 0605  h=360ù_n+(-60ù) (단, n은 정수) 0606 420ù=360ù_1+60ù이므로 360ù_n+60ù 0607 600ù=360ù_1+240ù이므로 360ù_n+240ù  360ù_n+60ù  360ù_n+240ù 0618 -90ù=-90_ ;18Ò0; =-  ;2Ò;  - ;2Ò; 0614 1ù= ;18Ò0; 라디안이므로 30ù=30_ ;18Ò0; =  ;6Ò; 120ù=120_ ;18Ò0; = p ;3@; 225ù=225_ ;18Ò0; = p ;4%; 1라디안= 이므로 = _ ;4Ò; ;4Ò; =45ù 180ù p 180ù p p= p_ ;6%; ;6%; 180ù p =150ù p= p_ ;2#; ;2#; 180ù p =270ù - =- _ ;3Ò; ;3Ò; 180ù p =-60ù 0615 0616 0617 0619 0620  ;6Ò Ò; p  ;3@; p  ;4%;  45ù  150ù  270ù  -60ù 5 삼각함수 | 071 0608 -930ù=360ù_(-3)+150ù이므로 360ù_n+150ù  360ù_n+150ù 0609 -1100ù=360ù_(-4)+340ù이므로 360ù_n+340ù  360ù_n+340ù 따라서1050ù는제 4 사분면의각이다.  제 4 사분면의 각 0621 0610 1050ù=360ù_2+330ù 0611 -600ù=360ù_(-2)+120ù 따라서-600ù는제 2 사분면의각이다.  제 2 사분면의 각 0622  2np+ ;2Ò; 071084고유형해결수1-12(5해).indd 71 2018-03-13 오후 3:39:42 5ㅡ삼각함수 p=4p+ p이므로2np+ :Á Á3¢: ;3@; p ;3@;  2np+ p ;3@;  ⑴ - ;1°3; ⑵ ;1!3@; ⑶ - ;1°2; - p=-2p+ p이므로2np+ ;4#; ;4%; p ;4%;  2np+ p ;4%; 0623  2np+ ;6Ò; 0624 0625 0626 l=3´ = p ;5#; ;5Ò;    0629 0630 OPÓ= "à 0631 OPÓ= "à 12Û`+(-5)Û`=13이므로 ⑴sin h=-  ⑵ cosh=   ⑶ tan h= ;1!3@; -;1°2;  ;1°3;    0632 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라 한다. 오른쪽그림과같이h= p를나타내는동 ;4%; 경과원점O를중심으로하는단위원의교 점을P라하고,점P에서x축에내린수선 의발을H라하자. OPÓ=1이고,∠POH= 이므로 ;4Ò; - 2 2 -1 H P y 1 5 4 p -1 1 x O - 2 2 2  sin h=- ' 2 2 , cos h=- ' 2 , tan h=1 0633 오른쪽그림과같이h=- 를나타내는 ;3Ò; 동경과원점O를중심으로하는단위원의 교점을P라하고,점P에서x축에내린수 선의발을H라하자. OPÓ=1이고,∠POH= 이므로 ;3Ò; y 1  1 2 H 1 - x p 3 P -1 - O 3 2 -1 ,cos h= ,tan h=- ;2!; 3 ' 3  sin h=- ' 2 , cos h= ;2!;, tan h=- ' 3 0634 240ù=240_ ;18Ò0; = p ;3$; 오른쪽그림과같이h= p를나타내는동 ;3$; 경과원점O를중심으로하는단위원의교 점을P라하고,점P에서x축에내린수선 y 1 4 3 p O - 3 2 - 1 2 -1 H P -1 1 x S= ´3´ p= p또는S= ´3Û`´ = p ;2!; ;5#; ;1»0; ;2!; ;5Ò; ;1»0;  l= p, S= ;5#; p ;1»0; { P ,- ' 2 - ' 2 2 2 } 2 ∴sin h=- ' 2 2 ,cos h=- ' 2 ,tan h=1 0627 120ù=120_ = p이므로 ;18Ò0; ;3@; l=10´ p= ;3@; p :ª3¼: S= ´10´ ;2!; :ª3¼: p= ;:!3):); p또는S= ´10Û`´ p= ;2!; ;3@; p ;:!3):);  l= p, S= p ;:!3):); :ª3¼: 0628 부채꼴의반지름의길이r=10,호의길이l=15p이므로 l=rh에서15p=10h ∴ h= p ;2#; S= rl에서S= ´10´15p=75p ;2!; ;2!;  h= p, S=75p ;2#; P {;2!; ,- ' 3 2 } 3 ∴sin h=- ' 2 부채꼴의호의길이l= ,넓이S= p이므로 ;2Ò; ;4#; S= rl에서 ;2!; p= r´  ;2Ò; ;2!; ;4#; ∴ r=3 l=rh에서 =3h ∴ h= ;2Ò;  ;6Ò;  r=3, h= ;6Ò; (-3)Û`+4Û`=5이므로 의발을H라하자. ⑴sin h=  ⑵ cos h=-  ⑶ tan h=-  ;5#;  ;5$; ;3$; OPÓ=1이고,∠POH= 이므로 ;3Ò;  ⑴ ;5$; ⑵ - ;5#; ⑶ - ;3$; P - { ;2!; ,- ' 3 2 } 072 | II. 삼각함수 071084고유형해결수1-12(5해).indd 72 2018-03-13 오후 3:39:43 정답과 해설 3 ∴sin h=- ' 2 ,cos h=- ,tan h= ;2!; 3 ' 0642 cos h tan h>0에서 3  sin h=- ' 2 , cos h=- ;2!;, tan h= ' 3 cos h>0,tan h>0또는cos h<0,tan h<0 이므로h는제 1 사분면또는제 2 사분면의각이다.   제 1 사분면 또는 제 2 사분면의 각 0635 -315ù=-315_ ;18Ò0; =- p ;4&; 오른쪽그림과같이h=- p를나타내는 ;4&; 동경과원점O를중심으로하는단위원의 교점을P라하고,점P에서x축에내린수 선의발을H라하자. OPÓ=1이고,∠POH= 이므로 ;4Ò; { P , ' 2 ' 2 2 2 } 2 ∴sin h= ' 2 2 ,cos h= ' 2 ,tan h=1  P 0643 sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로 Û`+cosÛ` h=1,cosÛ` h= ;1!6%; {;4!;} 이때,h가제 1 사분면의각이므로cos h>0 y 1 2 ' 2 -1 -1 - p 7 4 O H 1 x 2 ' 2 1 ∴cos h= ' 4 5 tan h= sin h cos h 에서 2  sin h= ' 2 2 , cos h= ' 2 , tan h=1 tan h= 1 1 5 = ' 1 5 15  = ' ;4!; 5 1 ' 4 1  cos h= ' 4 5 , tan h= ' 1 5 15 h= p=2p_3+ 에서h는제 1 사분면의각이므로 :ª4°: ;4Ò; sin h>0,cos h>0,tan h>0  sin h>0, cos h>0, tan h>0 이때,h가제 3 사분면의각이므로sin h<0   0636 0637 h=- p=2p_(-2)+ p에서h는제 4 사분면의각이므로 ;3&; ;3%; sin h<0,cos h>0,tan h<0  sin h<0, cos h>0, tan h<0 0638 h=960ù=360ù_2+240ù에서h는제 3 사분면의각이므로 sin h<0,cos h<0,tan h>0  sin h<0, cos h<0, tan h>0 0639 h=-560ù=360ù_(-2)+160ù에서h는제 2 사분면의각이므로 sin h>0,cos h<0,tan h<0  sin h>0, cos h<0, tan h<0 0640 sin h>0이면h는제 1 사분면또는제 2 사분면의각이고,cos h<0 이면h는제 2 사분면또는제 3 사분면의각이므로h는제 2 사분면의 각이다.  제 2 사분면의 각 0641 sin h<0이면h는제 3 사분면또는제 4 사분면의각이고,tan h>0 이면h는제 1 사분면또는제 3 사분면의각이므로h는제 3 사분면의 0646 2 sin h+cos h= ' 2 의양변을제곱하면 각이다.  제 3 사분면의 각 sinÛ` h+cosÛ` h+2 sin h cos h= ;2!; tan h= = 3 ' 3  sin h=- ' 2 , tan h= 3 ' 0644 sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로 sinÛ` h+ - { ;2!;} Û`=1,sinÛ` h= ;4#; 3 ∴sin h=- ' 2 tan h= 에서 sin h cos h 3 ' 2 - - ;2!; 0645 sinÛ` h+cosÛ` h=1이므로 Û`+cosÛ` h=1,cosÛ {;5#;} Û` h= ;2!5^; 이때,h가제 2 사분면의각이므로cos h<0 ∴cos h=- ;5$; tan h= sin h cos h 에서 tan h= =-  ;4#; ;5#; - ;5$;  cos h=- ;5$;, tan h=- ;4#; 5 삼각함수 | 073 071084고유형해결수1-12(5해).indd 73 2018-03-13 오후 3:39:43 5ㅡ삼각함수Œ Œ Œ Œ Œ Œ 1+2 sin h cos h=  ∴sin h cos h=-  ;2!;  ;4!;  - ;4!; 0653 sinÛ` h+cosÛ` h=1에서1-sinÛ` h=cosÛ` h 정답과 해설 0647 0648  0649 sin h+cos h= 의양변을제곱하면 ;3!; sinÛ` h+cosÛ` h+2 sin h cos h= ;9!; 1+2 sin h cos h=  ∴sin h cos h=-  ;9!;  ;9$;  - ;9$; cos h sin h + sin h cos h = cosÛ` h+sinÛ` h sin h cos h = 1 sin h cos h 1 = - ;9$; =-  ;4(;  -;4(; 2 sin h-cos h= ' 4 의양변을제곱하면 sinÛ` h+cosÛ` h-2 sin h cos h = ;8!; 1-2 sin h cos h=  ∴sin h cos h=  ;8!;  ;1¦6;  ;1¦6; 0650 (sin h+cos h)Û`=sinÛ` h+cosÛ` h+2 sin h cos h (sin h+cos h)Û`=1+2´ =  :Á8°: ;1¦6;  :Á8°: 0651 (sin h+cos h)Û`+(sin h-cos h)Û` =(sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h)+(sinÛ` h-2 sin h cos h+cosÛ` h)    1  ④ |전략| 어떤 각의 동경을 구할 때에는 그 각을 일반각으로 나타낸다. 따라서각을나타내는동경이나머지넷과다른하나는④이다. (1-sinÛ` h)(1+tanÛ` h) 1+ =cosÛ` h  { sinÛ` h cosÛ` h } cosÛ` h+sinÛ` h=1 = 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0654 ①430ù=360ù_1+70ù ②790ù=360ù_2+70ù ③-290ù=360ù_(-1)+70ù ④-110ù=360ù_(-1)+250ù ⑤1150ù=360ù_3+70ù 0655 ㄱ.-30ù=360ù_(-1)+330ù ㄴ.300ù=360ù_0+300ù ㄷ.840ù=360ù_2+120ù ㄹ.-240ù=360ù_(-1)+120ù ㅁ.150ù=360ù_0+150ù ㅂ.600ù=360ù_1+240ù 따라서120ù를나타내는동경과일치하는것은ㄷ,ㄹ이다.  ㄷ, ㄹ 0656 91ù를나타내는동경OP가주어진조건을만족시키며회전한후나 타내는각의크기를h라하면 h=91ù-330ù+165ù=-74ù -74ù=360ù_(-1)+286ù이므로동경OP는제 4 사분면에있다.  제 4 사분면  2 0657 |전략| h가 제 1 사분면의 각임을 이용한다. h가제 1 사분면의각이므로 360ù_n0이면 a와 b의 부호가 서  sin h와cos h의값의부호가서로다르므로h는제 2 사분면또는  cos h와tan h의값의부호가서로같으므로h는제 1 사분면또는 Ú,Û에서h는제 2 사분면의각이다.  ②  ① 0 이때,|tan h|=-tan h,|cos h|=-cos h,|sin h|=sin h… ❷ 로 같음을 이용한다. Úsin h cos h<0일때, 제 4 사분면의각이다. Ûcos h tan h>0일때, 제 2 사분면의각이다. 0684 ∴(주어진식) =2 sin h  채점 기준 … ❶ … ❸  2 sin h 비율 40`% 30`% 30`% 따라서OPÓ= 2Û`+2Û`=2 2이므로 sin h= ,cos h= = ,tan h= =1 ;2@; "à = 1 2 ' 2 ' 2 2 ∴sin h cos h-tan h= ' 1 2 ' 2 ´ 2 2 ' 1 2 ' 1 2 ' -1=-  ;2!; ❶ sin h, cos h, tan h의 값의 부호를 알 수 있다. ❷ |sin h|, |cos h|, |tan h|를 간단히 할 수 있다.  - ;2!; ❸ 주어진 식을 간단히 할 수 있다. 078 | II. 삼각함수  yy㉠,2x-y-2=0  yy㉡에서 =-tan h-cos h+sin h+tan h+cos h+sin h 071084고유형해결수1-12(5해).indd 78 2018-03-13 오후 3:39:47 정답과 해설 0685 h가제 2 사분면의각이므로sin h>0,cos h<0 따라서sin h-cos h>0,cos h-sin h<0이므로 (주어진식)=|sin h-cos h|+|cos h-sin h| =sin h-cos h-(cos h-sin h) =sin h-cos h-cos h+sin h =2(sin h-cos h)  ⑤ ① cos h-1 sin h - 1 tan h ② 1 cosÛ` h + tan h cos h =- 1 = cos h-1 sin h + sin h cosÛ` h - cos h sin h = 1+sin h 1-sinÛ` h cosÛ` h sin h = 1 = 1+sin h (1+sin h)(1-sin h) = 2-2 sin h-cosÛ` h cos h(1-sin h) = 1 1-sin h = 1-2 sin h+sinÛ` h cos h(1-sin h) ③ 2 cos h - cos h 1-sin h = (1-sin h)Û` cos h(1-sin h) = 1-sin h cos h 0689         sin h cos h이고sin h cos h+0이므로 ④ cosÛ` h 1+sin h + cosÛ` h 1-sin h =cosÛ` h´ 1-sin h+1+sin h 1-sinÛ` h 0686 sin h  "à cos h=- "à "à sin h<0,cos h<0 (주어진식) 즉,h는제 3 사분면의각이므로tan h>0 따라서1-sin h>0,1+tan h>0,sin h+cos h<0이므로 ⑤cosÝ` h-sinÝ` h =(cosÛ` h-sinÛ` h)(cosÛ` h+sinÛ` h) =|tan h|+|1-sin h|-|1+tan h|-|sin h+cos h| =2 cosÛ` h-1 =tan h+(1-sin h)-(1+tan h)-{-(sin h+cos h)} 따라서옳지않은것은④이다.  ④ =tan h+1-sin h-1-tan h+sin h+cos h  cos h 0690 =cosÛ` h´ 2 cosÛ` h =2 =cosÛ` h-sinÛ` h=cosÛ` h-(1-cosÛ` h) =cos h 0687 |전략| tan h= , sinÛ` h+cosÛ` h=1임을 이용한다. sin h cos h cosÛ` h-sinÛ` h 1+2 sin h cos h + tan h-1 tan h+1 = cosÛ` h-sinÛ` h sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h + sin h cos h sin h cos h -1 +1 (cos h+sin h)(cos h-sin h) (sin h+cos h)Û` + sin h-cos h sin h+cos h cos h-sin h sin h+cos h + sin h-cos h sin h+cos h = = =0 0688 ㄱ.sinÝ` h-cosÝ` h =(sinÛ` h-cosÛ Û` h)(sinÛ` h+cosÛ` h) =sinÛ` h-cosÛ` h =(1-cosÛ` h)-cosÛ` h =1-2_ cosÛ` h ㄴ.tanÛ` h-sinÛ` h= sinÛ` h cosÛ` h -sinÛ` h |전략| sinÛ` h=1-cosÛ` h, 임을 이용한다. 1 tan h = cos h sin h sinÛ` h+cosÛ` h=1에서 sinÛ` h=1-cosÛ` h=1- - Û`= { ;1°3;} ;1!6$9$; 이때,h가제 2 사분면의각이므로sin h>0 ∴ sin h= ;1!3@; ∴ 1 sin h + 1 tan h = 1 sin h + cos h sin h = 1+cos h sin h    ⑤ 1- ;1°3; = ;1!3@; = =  ;3@; ;1¥2; 0691 sinÛ` h+cosÛ` h=1의양변을cosÛ` h로나누면  ① tanÛ` h+1= 1 cosÛ` h ∴ 1 cosÛ` h = - { ;3$;} Û`+1= :ª9°:  ∴ cosÛ` h= ;2»5; 이때,h는제 4 사분면의각이므로cos h>0 ∴ cos h= ;5#; tan h= sin h cos h 에서 sin h=tan h cos h=- ´ ;3$; ;5#; =- ;5$; ∴ 5 sin h+2 15 cos h-6 = 5´ {-;5$;} +2 15´ -6 ;5#; =-  ;3@; = sinÛ` h-cosÛ` h sinÛ` h cosÛ` h = sinÛ` h(1-cosÛ` h) cosÛ` h = sinÛ` h_sinÛ` h cosÛ` h =tanÛ` h_ sinÛ` h   ③ 0692 1-tan h 1+tan h =2+ 3에서 '  - ;3@; 5 삼각함수 | 079 071084고유형해결수1-12(5해).indd 79 2018-03-13 오후 3:39:48 5ㅡ삼각함수 1-tan h=(1+tan h)(2+ 3) -1- 3=(3+ 3 )tan h ' ∴tan h=- =- ' 1+ 3+ 3 3 ' ' ' 1 3 ' sinÛ` h+cosÛ` h=1의양변을sinÛ` h로나누면 1+ 1 tanÛ` h = 1 sinÛ` h ∴ 1 sinÛ` h =1+ ∴sinÛ` h= ;4!; =1+3=4 1 1 3 } ' Û` - { 다른 풀이   sinÜ` h+cosÜ` h=(sin h+cos h)(sinÛ` h-sin h cos h+cosÛ` h) = ;3@;[ 1- - { ;1°8;}] ;2@7#; = 0696 sin h+cos h= ' sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h=2 2의양변을제곱하면 1+2 sin h cos h=2 ∴ sin h cos h= ;2!; ∴ sinÜ` h+cosÜ` h (1-sinh)Û`+(1-cos h)Û`-3 이때,h는제 2 사분면의각이므로sin h>0 ∴ sin h= ∴sinÛ` h-sin h= - =- ;4!; ;2!;  ;4!; ;2!;  - ;4!; = sinÜ` h+cosÜ` h 1-2 sinh+sinÛ` h+1-2 cosh+cosÛ` h-3 = (sin h+cos h)(sinÛ` h-sin h cos h+cosÛ` h) -2(sinh+cos h) 0693 tan h+ =6에서 1 tan h cos h sin h ∴cos h sin h= ;6!; sin h cos h + =6, sinÛ` h+cosÛ` h cos h sin h =6, 1 cos h sin h =6 ∴ 1 cosÛ` h + 1 sinÛ` h = sinÛ` h+cosÛ` h cosÛ` h sinÛ` h = 1 (cos h sin h)Û`   = =36 1 Û` {;6!;} 0694 |전략| 주어진 식의 양변을 제곱하고 sinÛ` h+cosÛ` h=1임을 이용한다. sin h-cos h= 의양변을제곱하면 ;2!; sinÛ` h-2 sin h cos h+cosÛ` h= ;4!; 1-2 sin h cos h= ∴ sin h cos h= ∴tan h+ 1 tan h ;8#; = sinÛ` h+cosÛ` h sinh cos h + cos h sin h  ;4!; = sin h cos h 1 = =  ;3*; ;8#;   0695 sin h+cos h= 의양변을제곱하면 ;3@; sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h= ;9$; = 1-sin h cos h -2 = 1- ;2!; -2 =-  ;4!;  - ;4!; 0697 ab= ;aC;임을 이용한다. 에의하여 sin h+cos h=-k sin h cos h=k-1 ㉠의양변을제곱하면 |전략| 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b일 때, a+b=- ;aB;,  36 xÛ`+kx+k-1=0의두근이sin h,cos h이므로근과계수의관계 yy㉠ yy㉡ sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h=kÛ` 1+2 sin h cos h=kÛ` ∴ sin h cos h= kÛ`-1 2 ㉡에서k-1= kÛ`-1 2 kÛ`-2k+1=0,(k-1)Û`=0 ∴ k=1  1  ;3*; 0698 xÛ`-px+q=0의두근이cos a,cos b이므로근과계수의관계에의 하여 의하여 cos a+cos b=p,cos a cos b=q xÛ`-rx+s=0의두근이 1 cos a , 1 cos b 이므로근과계수의관계에 1+2 sin h cos h= ∴ sin h cos h=-  ;9$; ;1°8; ∴sinÜ` h+cosÜ` h=(sin h+cos h)Ü`-3 sin h cos h(sin h+cos h)     = {;3@;} Ü`-3´ - { ´ ;1°8;} ;3@; = + =  ;2@7#; ;9%; ;2¥7; 1 cos a + 1 cos b =r, 1 cos a ´ 1 cos b =s 1 cos b ∴rs=  =  = cos b } + 1 1 cos a { cos a+cos b cos a cos b cos a+cos b (cos a cos b)Û` ´ = p qÛ`  ´ ´ 1 cos a 1 cos a cos b  ⑤  ⑤ 080 | II. 삼각함수 071084고유형해결수1-12(5해).indd 80 2018-03-13 오후 3:39:48 정답과 해설 2x+a=0의두근이sin h,cos h이므로근과계수의관계에 유형  03 육십분법과 호도법 |전략| 1ù= ;18Ò0;라디안, 1라디안= 임을 이용한다. 180ù p yy㉠ yy㉡  … ❶ ①60ù=60_ = ;18Ò0; ;3Ò; ②120ù=120_ ;18Ò0; = p ;3@; =45ù ③ = ;4Ò; ;4Ò; ④ p= ;6&; ;6&; ⑤ p= ;5^; ;5^; _ 180ù p p_ 180ù p p_ 180ù p =210ù =216ù ∴sinÜ` h+cosÜ` h=(sin h+cos h)Ü`-3 sin h cos h(sin h+cos h) 따라서옳지않은것은④이다.  ④  a=- ;2!;, sinÜ` h+cosÜ` h=- 각8h를나타내는동경과각3h를나타내는동경이일치하므로 0701 0702 용한다. 0703 0699 2xÛ`+ ' 의하여 2 sin h+cos h=- ' 2  sin h cos h=  ;2A; ㉠의양변을제곱하면 … ❷ … ❸ … ❹ 5 2 ' 8 비율 20 % 20 % 20 % 40 % ❶ 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 삼각함수에 대한 식을 세울 sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h= ;2!; 1+2 sin h cos h=  ∴sin h cos h=-  ;2!;   ;4!; ㉡에서 =-  ∴a=- ;2A;  ;4!;   ;2!; = {- 2 ' 2 } Ü`-3´ - { ´ ;4!;} {- 2 ' 2 } =- 2 2 ' 8 - 3 2 ' 8 =- 5 2 ' 8        채점 기준 수 있다. ❷ sin h cos h의 값을 구할 수 있다. ❸ a의 값을 구할 수 있다. ❹ sinÜ` h+cosÜ` h의 값을 구할 수 있다. 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0700 유형  02 사분면의 각 |전략| h가 제 2 사분면의 각임을 이용한다. h가제 2 사분면의각이므로 360ù_n+90ù0에서sin h와cos h의부호가서로같으므로h는제 1 사분면또는제 3 사분면의각이다. 사분면또는제 3 사분면의각이다. 따라서조건을모두만족시키는h는제 3 사분면의각이므로 sin h<0,tan h>0 ∴sin h+tan h+|sin h|+|tan h| =sin h+tan h-sin h+tan h =2 tan h 0707 유형  12 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식 간단히 하기 |전략| tan h= , sinÛ` h+cosÛ` h=1임을 이용한다. sin h cos h 1 sin h { -sin h Û`- } { 1 tan h -tan h Û`+ } { 1 cos h -cos h Û` } = { 1 sinÛ` h +sinÛ` h-2 - } { 1 tanÛ` h +tanÛ` h-2 } 유형  13 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식의 값 구하기 |전략| sinÛ` h+cosÛ` h=1의 양변을 sinÛ` h로 나누어 sin h의 값을 구한다. sinÛ` h+cosÛ` h=1의양변을sinÛ` h로나누면 = :Á2¤5»:  ∴ sinÛ` h= ;1ª6°9; 1+ 1 tanÛ` h = 1 sinÛ` h ∴ 1 sinÛ` h =1+ 1 Û` {;1°2;} ∴sin h=- ;1°3; ∴ sin h 1-cos h + sin h 1+cos h = = = sin h(1+cos h)+sin h(1-cos h) (1-cos h)(1+cos h) sin h+sin h cos h+sin h-sin h cos h 1-cosÛ` h 2 sin h sinÛ` h = 2 sin h = 2 =-  :ª5¤: -;1°3; 0709 ab= ;aC;임을 이용한다. 의하여 sin h+cos h=-  ;2A; sin h cos h=  ;2!; ㉠의양변을제곱하면  ① yy㉠ yy㉡  ⑤ sinÛ` h+2 sin h cos h+cosÛ` h= aÛ` 4 1+2 sin h cos h=  ∴ sin h cos h= aÛ` 4 aÛ`-4  8 ㉡에서 = ;2!; aÛ`-4   8 ∴ a=2 2(∵a>0) ' 즉,sin h+cos h=- 2 ' 한편, 1 sin h , 1 cos h 을두근으로하고xÛ`의계수가1인이차방정식은 |전략| ab>0이면 a와 b의 부호가 서로 같고, ab<0이면 a와 b의 부호가 서로 유형   15 삼각함수를 근으로 하는 이차방정식 |전략| 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b일 때, a+b=- ;aB;, sin h tan h<0에서sin h와tan h의부호가서로다르므로h는제 2 2xÛ`+ax+1=0의두근이sin h,cos h이므로근과계수의관계에 + { 1 cosÛ` h +cosÛ` h-2 } xÛ`- 이때, 1 { sin h + 1 cos h } x+ 1 sin h ´ 1 cos h =0 =(sinÛ` h+cosÛ` h)+ =(sinÛ` h+cosÛ` h)+ 1 sinÛ` h 1 sinÛ` h { { - 1 tanÛ` h } + { 1 cosÛ` h -tanÛ` h -2 } - cosÛ` h sinÛ` h } + { 1 cosÛ` h - sinÛ` h cosÛ` h } -2 =(sinÛ` h+cosÛ` h)+ 1-cosÛ` h sinÛ` h + 1-sinÛ` h cosÛ` h -2 =1+1+1-2=1 1 sin h + 1 cos h = cos h+sin h sin h cos h - 2 ' = =-2 2 ' 1 sin h ´ 1 cos h = 1 sin h cos h = =2 이므로구하는이차방정식은 1 ;2!; ;2!; '  ④ xÛ`-(-2 2 )x+2=0 ∴ xÛ`+2 2x+2=0 ' 082 | II. 삼각함수 071084고유형해결수1-12(5해).indd 82 2018-03-13 오후 3:39:51 정답과 해설Œ Œ Œ Œ 따라서a=2 2,c=2이므로 2,b=2 ' 2´2=16 ' 2´2 ' ' abc=2 채점 기준  ④ ❶ (sin h-cos h)Û`의 값을 구할 수 있다. ❷ sin h-cos h의 값을 구할 수 있다. ❸ sinÛ` h-cosÛ` h의 값을 구할 수 있다. 0710 유형  06 두 동경의 위치 관계 - 좌표축 또는 직선에 대하여 대칭 |전략| 두 각 a, b를 나타내는 동경이 직선 y=x에 대하여 대칭이면 a+b=2np+  (n은 정수)임을 이용한다. ;2Ò; 각6h를나타내는동경과각4h를나타내는동경이직선y=x에대 하여대칭이므로 6h+4h=2np+ (단,n은정수) ;2Ò; 10h=2np+ ∴h= 4n+1 p 20 ;2Ò;    0,cos h<0 7 따라서sin h-cos h>0이므로sin h-cos h= ' 2   창의·융합 교과서 속 심화문제 0713 … ❶ … ❷ |전략| sin a= ;r};임을 이용한다. 단위원위의임의의점을P(x, y)라하 고,동경OP가x축의양의방향과이루 P¢ 는각의크기를a라하면단위원의반지 ∴sinÛ` h-cosÛ` h=(sin h+cos h)(sin h-cos h) 름의길이,즉r는1이므로 = - { ;2!;} 7 ´ ' 2 7 =- ' 4   … ❸ sina= =y ;r};  7  - ' 4  PÁ과P°,Pª와P¤,P£과P¦,P¢와P¥은 각각원점에대하여대칭이므로y좌표의합은0이다. y 1 P£ P(x, y) Pª a h PÁ x 1 P° -1 O P¤ P¥ -1 P¦ 5 삼각함수 | 083 071084고유형해결수1-12(5해).indd 83 2018-03-13 오후 3:39:51 5ㅡ삼각함수 ∴sin h+sin 2h+y+sin 7h+sin 8h  =(sin h+sin 5h)+(sin 2h+sin 6h)+(sin 3 h+sin 7h) +(sin 4h+sin 8h) △OAB는한변의길이가1인정삼각형으로4개로이루어져있으므로 3 ´1Û`= ' 4 3 △BPR=△RQA= ' 4  =0 0714 |전략| 점 P의 x좌표와 y좌표를 h로 나타낸다. 점P(x, y)가단위원위의점이므로 x=cos h,y=sin h ∴ + = ;]{; ;[}; sin h cos h + cos h sin h = sinÛ` h+cosÛ` h sin h cos h = 1 sin h cos h 즉, 1 sin h cos h =- 이므로sin h cos h=- ;2%; ;5@; ∴(sin h-cos h)Û`=sinÛ` h-2 sin h cos h+cosÛ` h =1-2 sin h cos h =1+ = ;5$; ;5(; 이때,h는제 2 사분면의각이므로sin h>0,cos h<0 따라서sin h-cos h>0이므로 sin h-cos h= = ®;5(; 3 5 ' 5  0715 |전략| 점 D와 점 E에서 ABÓ, BCÓ에 수선의 발을 내린 후 삼각형의 닮음을 이용 한다. 오른쪽그림에서 BCÓ=a, ABÓ=b ;3!; ;3!; A b b b B yy㉠ yy㉡ E sin x cos x a a C a 라하면 sinÛ` x=aÛ`+(2b)Û` cosÛ` x=(2a)Û`+bÛ` ㉠+㉡에서 1=5(aÛ`+bÛ`) ∴ aÛ`+bÛ`= ∴ACÓ= (3a)Û`+(3b)Û`=3 aÛ`+bÛ`= "à 3 5 ' 5   3 5 ' 5  ;5!; "à 0716 |전략| 색칠한 도형을 6등분하여 정삼각형과 부채꼴의 넓이를 이용한다. 오른쪽그림과같이색칠한부분의넓 이를S,빗금친부분의넓이를SÁ이 라하면S=6SÁ 이때,△OAB는한변의길이가2인 정삼각형이므로 3 △OAB= ' 4 ´2Û`= 3 ' 084 | II. 삼각함수  0 정삼각형의한내각의크기는 이므로 ;3Ò; (부채꼴RPQ의넓이)= ´1Û`´ = ;3Ò; ;6Ò; ;2!; 따라서 SÁ=△OAB-{△BPR+(부채꼴RPQ의넓이)+△RQA} = 3- ' { 3 ' 4 + + ' ;6Ò; 3 4 } 3 = ' 2 - ;6Ò; ∴S=6SÁ=6 3 ' 2 { - ;6Ò;} =3 3-p '  ④ 0717 |전략| 호의 길이가 5p인 부채꼴의 중심각의 크기를 구한다. 오른쪽그림과같이실의한끝을P,구의  5p P N Q r 30 h O 중심을O,∠NOP=h라하면부채꼴 PON에서  ④ 30h=5p ∴ h= ;6Ò; 또,점P에서NOÓ에내린수선의발을Q, PQÓ=r라하면△POQ에서 r=OPÓ_sin h=30 sin  ;6Ò; =30_ =15 ;2!; 따라서실끝의자취의길이는반지름의길이가15인원의둘레의길 D 이이므로2p_15=30p  30p 0718 ' 이다. |전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 a와 h의 값을 구한다. xÛ`- 3x+2a=0은계수가실수인이차방정식이고sin h, cos h가 실수이므로한근이sin h-i cos h이면다른한근은sin h+i cos h 근과계수의관계에의하여 (sin h-i cos h)+(sin h+i cos h)= 3에서 3 sin h= ' 2  ∴ h= ∵ 00이므로 ;3@; 6 삼각함수의 그래프 | 089 085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 89 2018-03-13 오후 4:01:47 6ㅡ삼각함수의 그래프 0767 주어진 함수의 최댓값이 5이고 a>0이므로 a+b=5 yy ㉠ =p ∴ b=2 2p b = p ∴ b=3 ;3@; ∴ f(x)=a cos 3x+c 함수의 최댓값이 3이고 a<0이므로 -a+c=3 {;3@; } a+c=-1  f p =-1에서 a cos 2p+c=-1이므로 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, c=1 ∴ abc=-2´3´1=-6  f {;3Ò;} ;2&; = 에서 a sin  +b= 이므로 ;6Ò; ;2&; a+b= ;2&; ;2!; ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=2 ∴ a-b=3-2=1 0768 주어진 함수의 주기가 4p이고 b>0이므로 =4p ∴ b=2 2p ;b!; ∴  f(x)=a sin  - {;2{; ;3Ò;} -c 채점 기준 ❶ a의 값을 구할 수 있다. ❷ b의 값을 구할 수 있다. ❸ ab의 값을 구할 수 있다. 비율 40`% 50`% 10`% yy ㉠ yy ㉡ yy ㉡ 0770 |전략| 주어진 그래프에서 주기, 최댓값, 최솟값과 그래프가 지나는 점의 좌표를  -6 구한 후 삼각함수의 미정계수를 구한다. 주어진 함수의 주기가 2 p- =p이고 b>0이므로 {;4#; ;4Ò;} 2p b a=2 함수의 최댓값이 2, 최솟값이 -2이고 a>0이므로 y=2 cos(2x+c)=2 cos 2 x+ 의 그래프는 y=2 cos 2x의 그  ① 래프를 x축의 방향으로 - 만큼 평행이동한 것이다. { ;2C;} ;2C; 이때, -p0이므로 a-c=3 yy ㉠ f {;3Ò;} =0에서 a sin  { ` - ;6Ò;} -c=0이고 사인함수는 원점에 대하여 대칭이므로 sin  { - ;6Ò;}=- sin  ;6Ò; 0771 ∴ - a-c=0 ;2!; ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, c=-1 따라서 f(x)=2 sin +1이므로 f(x)의 최솟값은 - {;2{; ;3Ò;} 0772 -2+1=-1 주어진 함수의 주기가 - - { ;3Ò; ;3Ò;} = ;3@; p이고 b>0이므로 yy ㉡ = p    ∴ b= ;bÒ; ;3@; ;2#; 0769 주어진 함수의 주기가 2p이고 a>0이므로 =2p ∴ a= ;2!; ;aÒ; ∴ f(x)=3 tan  +b -4 {;2{; } 점근선의 방정식은 +b=np+ 에서 x=2np+p-2b(n은 정수)이므로 ;2{; ;2Ò; p-2b= (∵ 00이므로 ;3Ò; ;3@; 2p b = p ∴ b=3 ;3@; 함수의 최댓값이 3, 최솟값이 -1이고 a>0이므로 … ❶ a+d=3, -a+d=-1 두 식을 연립하여 풀면 a=2, d=1 x+ y=2 sin(3x+c)+1=2 sin 3 { ;3C;} +1의 그래프는 y=2 sin 3x 의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행 ;3C; 이동한 것이다. 이때, 00이므로 = 에서 ;2Ò; b=4 (∵ b>0) 0773 a= ;2!; 이다. ;2Ò; 즉, 2p b ;2!; ;2!; 이다. 주어진 함수 y=a cos (bx+c)의 최댓값과 최솟값이 각각 , - 주어진 함수의 주기가 이고 b>0이므로 ;2!; ;2!; ;3Ò; 함수 y=sin 2x의 주기는 p이므로 함수 y=a cos(bx+c)의 주기는 함수의 최댓값이 5이고 a>0이므로 = 에서 a sin  +c= 이므로 | ;6Ò;| ;2&; ;2&; y=  cos(4x+c)=  cos 4 x+ 의 그래프는 ;2!; { ;4C;} y=  cos 4x의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼 평행이동한 것 ;4C; ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, c=2 ∴ a+b-c=3+3-2=4 0775 2p b ´ = ;3Ò; ;2!; ∴ b=3 ∴  f(x)=a|sin 3x|+c a+c=5  f { p 18 } a+c= ;2&; ;2!; 0776 |전략| 각이 ;2N; 을 이용한다. 이때, 00에서 cos A<0 ㄱ. ∴ 0) 이때, 최댓값은 2a+b, 최솟값은 b이므로 2a+b=6, b=-2 ∴ a=4, b=-2 ∴ a+b=2 0787 -1Ésin xÉ1이므로 -3Ésin x-2É-1, 1É|sin x-2|É3 ∴-3+kÉ-|sin x-2|+kÉ-1+k 0788 sin { x+ ;2Ò;} =cos x이므로 y=sin { x+ ;2Ò;} -2cos x-1 y=cos x-2cos x-1=-cos x-1 -1Écos xÉ1이므로 -2É-cos x-1É0 따라서 최댓값은 -1+k, 최솟값은 -3+k이고 최댓값과 최솟값의 합이 6이므로 (-1+k)+(-3+k)=6, 2k-4=6 ∴ k=5  ⑤ 0790 y=cosÛ `  x+4sinx+k y=(1-sinÛ  x)+4sinx+k y=-sinÛ  x+4sinx+k+1 ` ` sin x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 +4t+k+1 y=-tÛ ` y=-(t-2)Û +k+5 ` 오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값은 k+4, t=-1일 때 최솟값은 k-4 0791 y=a cosÛ `  x+a sin x+b y=a(1-sinÛ  x)+a sin x+b y=-a sinÛ  x+a sin x+a+b ` ` sin x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 y=-atÛ +at+a+b ` y=-a t- { + a+b ;4%; ;2!;} 2` 오른쪽 그림에서 ;2!; ;4%; t= 일 때, 최댓값은 a+b ;4%; ∴ a+b=10 yy ㉠ t=-1일 때, 최솟값은 -a+b ∴ -a+b=1 yy ㉡ 따라서 최댓값은 0, 최솟값은 -2이므로 구하는 최댓값과 최솟값의 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=5 합은 -2이다.  ④ ∴ a+b=9  9 y=-at2+at+a+b y 5 a+b 4 a+b 1 -1 O 1 2 -a+b t 6 삼각함수의 그래프 | 093 085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 93 2018-03-13 오후 4:01:49 6ㅡ삼각함수의 그래프 정답과 해설 0792 cos p-x =-sin x, sin(p+x)=-sin x이므로 } {;2#; y=cosÛ {;2#; ` p-x +2cosÛ } `  x+2sin(p+x) y=sinÛ  x+2cosÛ  x-2sin x y=sinÛ  x+2(1-sinÛ  x)-2sin x ` ` y=-sinÛ  x-2sin x+2 ` ` ` sin x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 y=-tÛ -2t+2=-(t+1)Û +3 ` ` ` 오른쪽 그림에서 t=-1일 때, 최댓값은 3 ∴ M=3 t=1일 때, 최솟값은 -1 ∴ m=-1 ∴ M+m=2 … ❸ … ❹ 채점 기준 ❶ 주어진 식을 sin x로 통일할 수 있다. ❷ sin x=t로 놓고 함수식을 변형할 수 있다. ❸ M, m의 값을 구할 수 있다. ❹ M+m의 값을 구할 수 있다. y 3 y=-t2-2t+2 1 -1 O t -1 … ❶ … ❷  2 비율 30`% 30`% 30`% 10`% 0793 |전략| sin x=t로 놓고 y= 의 최댓값과 최솟값을 구한다. -t+4 t+2 sin x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 = -(t+2)+6 t+2 y= y= -t+4 t+2 6 t+2 -1 오른쪽 그림에서 t=-1일 때, 최댓값은 5 ∴ M=5 t=1일 때, 최솟값은 1 ∴ m=1 ∴ MÛ`+mÛ`=5Û`+1Û`=26 0794 y 5 -1 1 O -1 -2 1 cos x=t로 놓으면 ÉxÉ 에서 0ÉtÉ 이고 ;3Ò; ;2Ò; ;2!; = -(t-1)+a-1 t-1 y= y= -t+a t-1 a-1 t-1 -1 이때, a>1이므로 a-1>0 오른쪽 그림에서 t=0일 때, 최댓값은 -a이므로 t-a=-2 ∴ a=2 094 | II . 삼각함수 0795 tanx=t로 놓으면 0ÉxÉ 3 에서 0ÉtÉ ' 3 ;6Ò; 이고 = y= 2t+1 t-1 오른쪽 그림에서 2(t-1)+3 t-1 = 3 t-1 +2 t=0일 때 최댓값은 -1, 3 t= ' 3 일 때 최솟값은 - 3 ' 5+3 2 이므로 구하는 치역은 - y [ | 3 ' 5+3 2 ÉyÉ-1 ] y 2 O -1 3 ' 3 1 t - 5+3 2 3 ' y  [ | - 5+3 2 3 ' ÉyÉ-1 ] 0796 |sin x|=t로 놓으면 0ÉtÉ1이고 y= t+1 2t+1 = t+;2!;}+;2!; { ;2!; = 2 t+;2!;} { 2 t+;2!;} { + ;2!; 오른쪽 그림에서 t=0일 때 최댓값은 1, t=1일 때 최솟값은 ;3@; 이므로 주어진 함수의 치역은 y [ |;3@; ÉyÉ1 ] 따라서 a= , b=1이므로 ;3@; b-a=1- = ;3!; ;3@; y 1 2 3 O - 1 2 1 1 2 t  ③ t  ② STEP1 개념 마스터 개념 마스터 2 2 0797  ㈎ ' 2 ㈏ ;4Ò; ㈐ ;4#; p 0798 2 sin x-1=0에서 sin x= ;2!; 오른쪽 그림과 같이 0Éx<2p에서 함수 y=sinx의 그래프와 직선 y= 의 교점의 x좌표가 , ;6Ò; ;6%; p ;2!; 이므로 x= 또는 x= ;6Ò; p ;6%; y 1 2 O -1 -a 1 t -2a+1 y 1 y=sin`x p 5 6 p O p 6 -1 y= 1 2 x 2p  2  x= ;6Ò; 또는 x= ;6%; p 085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 94 2018-03-13 오후 4:01:50 0799 오른쪽 그림과 같이 0Éx<2p에서 함수 y=cos x의 그래프와 직선 의 교점의 x좌표가 , ;4Ò; ;4&; p 2 y= ' 2 이므로 x= 또는 x= ;4Ò; p ;4&; 0800 오른쪽 그림과 같이 0Éx<2p에서 함수 y=tan x의 그래프와 직선 y= 3의 교점의 x좌표는 , ;3Ò; ;3$; p ' 이므로 x= 또는 x= ;3Ò; p ;3$; 0801 2 sin 2x= 3 3에서 sin 2x= ' 2 ' 2x=t로 놓으면 0Ét<4p 오른쪽 그림과 같이 Ét< p에서 y=tan`t y 1 O -1 y= 2 2 2p x p p 4 p7 4 y=cos x  x= ;4Ò; 또는 x= ;4&; p 0803 ;3Ò; x+ =t로 놓으면 Ét< p  ;3Ò; ;3Ò; ;3&; ;3&; 함수 y=tan t의 그래프와 직선 y=1 의 교점의 t좌표가 p, p이므로 ;4%; ;4(; x+ = ;3Ò; ;4%; p 또는 x+ = p ;4(; ;3Ò; ∴ x= p 또는 x= ;1!2!; p ;1@2#; y 3 1 O p 3 5 4 p y=1 9 4 p t p 7 3  x= p 또는 x= ;1!2!; p ;1@2#; y y=tan`x p 2 p y= 3 3 2 p 4 3 p x 2p O p 3 0804  x= ;3Ò; 또는 x= ;3$; p 부등식 sinx< 의 해는 함수 y=sinx의 그래프가 직선 y= 보다 ;2!; 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위 이므로 오른쪽 그림에서 0Éx< 또는 p ' 2 2 의 해는 함수 y=cos x의 그래프가 직선 y= ' 2 y=sin`t y 1 p 2p 3p 4p O -1 p 3 2 3 p 7 3 8 3 p p y= 3 2 t 3 y= ' 2 의 교점의 t좌표가   , p, p, p이므로 ;3Ò; ;3@; ;3&; ;3*; 2x= 또는 2x= p 또는 2x= p 또는 2x= ;3Ò; ;6Ò; ;3@; ;3Ò; ;3&; ;6&; ∴ x= 또는 x= 또는 x= p 또는 x= p ;3*; p ;3$;  x= ;6Ò; 또는 x= ;3Ò; 또는 x= ;6&; p 또는 x= p ;3$; 0802 0805 2 cos x> 2 2에서 cos x> ' 2 ' 보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범 위이므로 오른쪽 그림에서 0Éx< 또는 p0이므로 ;2Ò; … ❷  ;2!; 비율 70`% 30`% 0818 |전략| 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프를 그린 후 서로 다른 교점의 개수 를 구한다. 방정식 cos x= x의 실근은 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y= ;8!; x ;8!; 의 교점의 x좌표와 같다. 오른쪽 그림에서 두 그래프 의 교점의 개수가 5이므로 cos x= x의 서로 다른 실 ;8!; 근의 개수는 5이다. -8 -2p y 1 O -1 1 y= x 8 8 x 2p y=cos x  ③ 0819 방정식 sin px= x의 실근은 함수 y=sin px의 그래프와 직선 ;3!; y= x의 교점의 x좌표와 같다. ;3!; 오른쪽 그림에서 두 그래프의 교 점의 개수가 7이므로 sin px= x의 서로 다른 실근 ;3!; -2 -3 의 개수는 7이다. y 1 y= x 1 3 O 2 3 x -1 y=sin px  ⑤ 0820 방정식 cos 2x=sin 4x의 실근은 두 함 수 y=cos 2x, y=sin 4x의 그래프의 교점의 x좌표와 같다. y 1 O y=sin 4x p 2 오른쪽 그림에서 두 그래프의 교점의 개 수가 4이므로 cos 2x=sin 4x의 서로 -1 y=cos 2x 다른 실근의 개수는 4이다. p x  ④  3 0821 방정식 2 sin|x|=|x|의 실근은 두 함 수 y=2 sin|x|, y=|x|의 그래프의 교점의 x좌표와 같다. 개수가 3이므로 2 sin|x|=|x|의 서 로 다른 실근의 개수는 3이다. y=|x| y=2 sin|x| y 2  ② 오른쪽 그림에서 두 그래프의 교점의 -2 -p O 2 x p 0822 |전략| 주어진 방정식을  f(x)=k 꼴로 변형한 후 함수 y=f(x)의 그래프와 직 선 y=k가 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구한다. sinÛ  x-2 cos x+a+2=0에서 sinÛ  x-2 cos x+2=-a ` 방정식 sinÛ  x-2 cos x+2=-a가 실근을 가지려면 y=sinÛ  x-2 cos x+2의 그래프와 직선 y=-a가 교점을 가져야 ` ` ` 6 삼각함수의 그래프 | 097 cos x=sin x ∴ x= ;4Ò;  ③ 한다. 085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 97 2018-03-13 오후 4:01:53 6ㅡ삼각함수의 그래프  x-2 cos x+2 y=sinÛ ` y=(1-cosÛ `  x)-2 cos x+2 y=-cosÛ  x-2 cos x+3 ` 이때, cos x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 y=-tÛ -2t+3=-(t+1)Û +4 ` ` 오른쪽 그림에서 주어진 방정식이 실근을 가지려면 0É-aÉ4 ∴ -4ÉaÉ0 0823 x- =t로 놓으면 0Éx<2p에서 - Ét< p이고 ;6Ò; :Á6Á: ;6Ò; 주어진 부등식은 cos tÉ- 오른쪽 그림에서 cos tÉ- 의 해는 ;2!; ;2!; y - p 6 O 2 3 p 4 3 p 11 6 p y=cos t y= - t 1 2 y 4 y=-t2-2t+3 y=-a -1 O 1 t pÉtÉ p이므로 ;3$; pÉx- É p ;3$; ;6Ò; ;3@; ;3@; ∴ pÉxÉ ;6%; p ;2#;  ② 따라서 a= p, b= p이므로 ;6%; ;2#; a+b= p ;3&; p  ;3&; 0826 cos x¾sin x의 해는 y=cos x의 그래프가 y=sin x의 그래프와 만 나거나 그 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 y=sin x 범위와 같으므로 오른쪽 그림에서 y O - p 3 4 -p y=2 sin x p - ;4#; pÉxÉ ;4Ò; 따라서 주어진 부등식의 해가 아닌 것은 ① -p이다. p 4 p x y=cos x  ① 따라서 주어진 방정식이 하나의 실근을 가지려면 함수 y=2 sin x의 cos x+ p =sin x이므로 주어진 방정식은 { ;2#; } sin x=-sin x+a ∴ 2 sin x=a 그래프와 직선 y=a가 한 점에서 만나야 한다. 오른쪽 그림에서 0Éx<2p일 때, y=2 sin x의 그래프와 직선 y=a 의 교점이 1개이려면 a=2 또는 a=-2 따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 2´(-2)=-4 y 2 O -2 y=a 2p x y=a  ① 0824 cosÛ` x-sin(x+p)-k=0에서 cosÛ` x-sin(x+p)=k 방정식 cosÛ` x-sin(x+p)=k가 실근을 가지려면 y=cosÛ` x-sin(x+p)의 그래프와 직선 y=k가 교점을 가져야 한다. cosÛ` x=1-sinÛ` x, sin(x+p)=-sin x이므로 y=cosÛ` x-sin(x+p) y=1-sinÛ` x+sinx y=-sinÛ` x+sinx+1 이때, sin x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 y=-tÛ`+t+1=- t- { + ;4%; ;2!;} 오른쪽 그림에서 주어진 방정식이 실 2` 근을 가지려면 -1ÉkÉ ;4%; 따라서 M= , m=-1이므로 ;4%; M+m= ;4!; 0825 098 | II . 삼각함수 y y=-t2+t+1 1 5 4 -1 O 1 1 2 -1 y=k t  ① |전략| x- =t로 놓고 함수 y=cos t의 그래프가 직선 y=- ;6Ò; ;2!;과 만나거나 그 아래쪽에 있는 t의 값의 범위를 구한다. 3에서 - 3É3 tan xÉ 3 ' 0827 |3 tan x|É ' 3 ∴ - ' 3 ' 3 Étan xÉ ' 3 오른쪽 그림에서 부등식 3 - ' 3 3 Étan xÉ ' 3 의 해는 0ÉxÉ  또는   pÉx

-1 y=1 1 y= 2 x p p -p O p 6 p 2 5 6 따라서 a= , b= p이므로 ;6Ò; ;6%; sin(b-a)=sin  p- =sin  {;6%; ;6Ò;} 3 p= ' 2 ;3@; ∴ Ésin xÉ1 ;2!; ÉxÉ p ;6%; ;6Ò; 0830 이때, sin x=t로 놓으면 0ÉxÉp에서 0ÉtÉ1이고 y=-2tÛ +t+2=-2 t- { + ;4!;} :Á8¦ ¶: ` 오른쪽 그림에서 t=1일 때, 최솟값 1을 2` 가지므로 17 8 2 y 1 O y=-2t2+t+2 1 1 4 t  a>-1 0832 |전략| 이차부등식 axÛ`+bx+c>0이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하려면 a>0, bÛ`-4ac<0이어야 함을 이용한다. xÛ -4x+2 sin h+3>0이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하므로 xÛ -4x+2 sin h+3=0의 판별식을 D라 하면 3  ' 2 =4-2 sin h-3<0 ∴ sin h> ;2!; 오른쪽 그림에서 sin h> 의 해는 ;2!; y y=sin h 0에서 2 cosÛ` x+sin x>-a y=2 cosÛ` x+sin x라 하면 y=2(1-sinÛ  x)+sin x=-2 sinÛ  x+sin x+2 ` ` 0835  f(x)=2xÛ - 2x cos 2h-1이라 하면 방정 ` ' 식  f(x)=0의 두 근 사이에 1이 있어야 하므 로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다. 085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 99 2018-03-13 오후 4:01:55 6ㅡ삼각함수의 그래프 y=tan x p 2 2 3  ②  ⑤ 정답과 해설 따라서  f(1)<0이어야 하므로 2- 2 cos 2h-1<0에서 2 cos 2h>1 ' ' 2 ∴ cos 2h> ' 2 이때, 2h=t로 놓으면 - ÉhÉ 에서 -pÉtÉp이고 ;2Ò; ;2Ò; ㄷ. 1< <2<3 ' 2 2 오른쪽 그림에서 cos t> ' 2 의 해는 - 0이므로 ;3@; { ;3Ò;} O 2 p 2 p 4 3 x 2p a =p ∴ a=2 ㄴ. 1< <2<30) aÉa "à ∴ a+3Éa ` (sin x+2)Û "à 이때, 최댓값이 9이므로 ` +3É3a+3 3a+3=9 ∴ a=2 따라서  f(x)=2 (sinx+2)Û +3이므로 ` "à ;6Ò; } 2` f  ` {;6Ò;} =2 ®{É sin  +2 +3=2´ +3=8 ;2%;  ④ 0845 유형  14 삼각함수를 포함한 식의 최대·최소 - 이차식 꼴 |전략| sinÛ` x+cosÛ` x=1임을 이용하여 주어진 식을 한 종류의 삼각함수로 통 일한 후 삼각함수를 t로 치환한다. y=1-2a cos x-sinÛ` x y=1-2a cos x-(1-cosÛ  x) ` y=cosÛ  x-2a cos x ` cos x=t로 놓으면 0ÉxÉp에서 -1ÉtÉ1이고  ① y=tÛ -2at=(t-a)Û -aÛ ` ` ` Ú 00  ④ ∴ 00 (cos x+3)(cos x-a)>0 이때, -1Écos xÉ1에서 cos x+3>0이므로 cos x-a>0 ∴ cos x>a 모든 실수 x에 대하여 부등식 ㉠이 성립하려면 오른쪽 그림 - p 2 p 2 y 1 O -1 a 3 - p 2 yy ㉠ y=cos x x 3 p 2 y=a  ② 0851 유형  03 삼각함수의 그래프의 대칭성 + 10 일반각에 대한 삼각함수의 성질 |전략| 삼각함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 a와 b 사이의 관계식을 세운다. 함수 f(x)=sin kx의 주기는 … ❶ 2p k ` 즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 오 y y= 3 4 y=f(x) ∴  f(a+b+c)=f { p k + c =sin k } p k + { } c =sin (p+kc) ∴  f(a+b+c)=-sin kc=-f(c)=- ;4#; 2p k 0에서 a는 예각이므로 2 5 ' 5 sin a= 1-cosÛ "à  a=¾Ð1- { ` ∴ tan a= sin a cos a = ;2!; 2 5 ' 5 } 5 = ' 5 2` 한편, 사각형 ABCD가 원에 내접하므로 a+b=p ∴ tan b=tan(p-a)=-tan a=- ;2!; 채점 기준 ❶ tan a의 값을 구할 수 있다. ❷ tan b의 값을 구할 수 있다. 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합 A 은 180ù이다. ⇨ ∠A+∠C=∠B+∠D=180ù 0854 유형  07 삼각함수의 미정계수의 결정 - 조건이 주어진 경우 |전략| -1Ésin(ax+b)É1임을 이용하여 두 함수 (g ç f)(x)와 ( f ç g)(x)의 최댓값과 최솟값을 각각 구한다. ⑴ ( g ç f)(x)=g( f(x))=g(ax+b)=2 sin(ax+b) ⑴ -1Ésin(ax+b)É1에서 -2É2 sin(ax+b)É2 ⑴ ∴ -2É(g ç f)(x)É2 ⑴ 따라서 ( g ç f)(x)의 최댓값은 2, 최솟값은 -2이다. ⑵ ( f ç g)(x)=f( g(x))=f(2 sin x)=2a sin x+b ⑴ 이때, a>0이므로 -1Ésin xÉ1에서 ⑴ -2a+bÉ2a sin x+bÉ2a+b ⑴ ∴ -2a+bÉ( f ç g)(x)É2a+b ⑴ 따라서 ( f ç g)(x)의 최댓값은 2a+b, 최솟값은 -2a+b이다. ⑶ ( g ç f)(x)와 ( f ç g)(x)의 최댓값과 최솟값이 각각 같으므로 ⑴ 2a+b=2, -2a+b=-2 … ❶ … ❷  - ;2!; 배점 3점 3점 D B C ⑴ 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0  ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -2 ⑵ 최댓값: 2a+b, 최솟값: -2a+b  ⑶ a=1, b=0 채점 기준 ⑴ (g ç f)(x)의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다. ⑵ ( f ç g)(x)의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다. ⑶ a, b의 값을 구할 수 있다. 유형  22 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식의 활용 |전략| 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 x축에 접하면 이차방정식 axÛ`+bx+c=0이 중근을 가짐을 이용한다. 주어진 이차함수의 그래프가 x축에 접하면 이차방정식 xÛ +2x cos h+sinÛ  h+cos h=0이 중근을 가지므로 이 이차방정식 0855 0853 ` D 4 cosÛ ` 의 판별식을 D라 하면 ` ` ` =cosÛ `  h-(sinÛ  h+cos h)=0 … ❶ 꼭짓점의 좌표를 구한다.  h-(1-cosÛ  h+cos h)=0, 2cosÛ  h-cos h-1=0 ` (2cos h+1)(cos h-1)=0 이때, 00)초 후의 y좌표를 각각  f(t), g(t)로 놓고 두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프를 그려 두 그래프가 만나는 횟수를 구한다. 두 점 P, Q의 t(t>0)초 후의 y좌표를 각각  f(t), g(t)라 하면 t초 후 두 동경 OP, OQ가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 pt, pt이므로 ;3@; ;3$;  f(t)=sin  pt, g(t)=sin  ;3$; ;3@; pt 이때, 두 점 P, Q의 y좌표가 같아지는 것은  f(t)=g(t)일 때이므로 두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프가 만날 때이다. 2p 함수 f(t)의 최댓값은 1, 최솟값은 -1, 주기는 =3 함수 g(t)의 최댓값은 1, 최솟값은 -1, 주기는 p ;3@; 2p p ;3$; = ;2#; y 1 O -1 y=f(t) y=g(t) 3 2 9 4 3 4 3 t 위의 그림에서 두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프는 출발 후 3초가 될 때까지 4번 만나므로 출발 후 99초가 될 때까지 4´33=132 (번)만 난다. 또, 이후 1초 동안 두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프는 1번 만나므로 출발 후 100초가 될 때까지 두 점 P, Q의 y좌표가 같아지는 횟수는 132+1=133 (번) 104 | II . 삼각함수 즉, 두 함수 y=f(t), y=g(t)의 그래프는 다음 그림과 같다. 용한다. sin x=a, cos x=b로 놓으면 085105고등유형해결6(수1)해-16.ok.indd 104 2018-03-13 오후 4:01:58 정답과 해설 7 사인법칙과 코사인법칙 본책 128~143쪽 6ㅡ 삼 각 함 수 의 그 래 프 |2k-1| kÛ`+1 "à =1, |2k-1|= kÛ +1 "à ` 양변을 제곱하여 정리하면 3kÛ -4k=0, k(3k-4)=0 ` ∴ k=0 또는 k= ;3$; 따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 이다. ;3$;  ;3$; 0860 |전략| 정수 n에 대하여 [sin x]=n이면 nÉsin x0 ` ` (2 sin h+1)(2 sin h-1)>0 ∴ sin h<- 또는 sin h> ;2!; 오른쪽 그림에서 sin h<- ;2!; ;2!; 또는 sin h> 의 해는 ;2!; y O 0이므로 b= 10 '¶  4 3 ' 0874 코사인법칙에 의하여 cÛ`=5Û`+4Û`-2´5´4´cos 60ù cÛ`=25+16-2´5´4´ =21 ;2!; c>0이므로 c= 21 '¶ 0875 코사인법칙에 의하여  6 cos A= 3Û`+( 2)Û`-(2 ' 2´3´ 2 ' 2)Û` ' = 1 2 ' 2 2 = ' 4 0876 코사인법칙에 의하여 cos B= 5Û`+4Û`-( '¶ 2´5´4 21)Û` = ;2!;  3 2 ' 2 0877 코사인법칙에 의하여 cos C= 6Û`+7Û`-8Û` 2´6´7 = ;4!; 0878 코사인법칙에 의하여 cos A= 3Û`+( 2)Û`-( 2 ' 2´3´ ' 5)Û` 2 = ' 2 ' 0ù0이므로 a=1 0873 코사인법칙에 의하여 106 | II . 삼각함수 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 106 2018-03-13 오후 2:25:02 정답과 해설 0888 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC의 넓이는  15 2 ' r(a+b+c)=5,  ´r´15=5 ∴ r= ;2!; ;2!; ;3@;  ;3@;  2 6 ' 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 "Ãs(s-7)(s- ㈐ 8 )(s-9)= ' 2´5´4´3= ㈑ 12 1 5 '  ㈎ 2 ㈏ 12 ㈐ 8 ㈑ 12 5 '  10 3 ABCD=5´7´ ' 2 = 3 35 ' 2  3 35 ' 2 7ㅡ 사 인 법 칙 과 코 사 인 법 칙 0889 헤론의 공식을 적용하면 s= 7+8+9 ㈎ 2 = ㈏ 12 0890 ABCD=5´7´sin 120ù 0891 B=D=60ù이므로 ABCD=6´9´sin 60ù 3 ABCD=6´9´ ' 2 =27 3 ' 0892 A+B=180ù이므로 A=180ù-135ù=45ù ∴ ABCD=3´4´sin 45ù 2 ∴ ABCD=3´4´ ' 2 =6 2 ' 0893 ABCD= ´5´8´sin 30ù ABCD= ´5´8´ =10 ;2!; ;2!; ;2!;  27 3 '  6 2 '  10 △ABC= 2´4´sin C= ´ ;2!; ' 6 ' 3 ∴ sin C= ' 2 0ù0)라 하면 a+b=5k, b+c=6k, c+a=7k yy ㉠ A 4 45ù 60ù h D 180ù-h C 세 식을 모두 변끼리 더하면 2a+2b+2c=18k ∴ a+b+c=9k ㉡에서 ㉠의 각 식을 빼면 a=3k, b=2k, c=4k ∴ sin A : sin B : sin C=a : b : c=3 : 2 : 4  ③  ② 벤치 2  49p`mÛ` yy ㉡ 0902 △ABC에서 A+B+C=180ù A : B : C=1 : 1 : 4이므로  ⑤ A=180ù´ =30ù B=180ù´ =30ù C=180ù´ =120ù 사인법칙에 의하여 ;6!; ;6!; ;6$; 0895 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발 을 D라 하면 △ABD는 직각이등변삼각 형이므로 BDÓ=ADÓ=1 피타고라스 정리에 의하여 CDÓ= 5-1=2 'Ä ∴ BCÓ=1+2=3 △ABC에서 사인법칙에 의하여 5 ' sin 45ù = 3 sin A 0896 △ADC에서 CDÓ=CAÓ=a라 하면 △ABC에서 A=60ù이므로 사인법칙에 의하여 = a 100+a sin 60ù sin 30ù (100+a) sin 30ù=a sin 60ù 3 (100+a)= ' 2 ;2!; a, ( 3-1)a=100 ' ∴ a= 100 3-1 ' =50( 3+1) ' 0897 ∠ADB=h라 하면 ∠ADC=180ù-h △ABD에서 사인법칙에 의하여 6 = 6 BDÓ sin 60ù BDÓ= 6 이므로 sin h ´sin 60ù= 6 sin h sin h B 3 ´ ' 2 = 3 3 ' sin h △ADC에서 사인법칙에 의하여 = DCÓ sin 45ù DCÓ= 4 sin h 4 sin (180ù-h) ´sin 45ù= 4 sin h 이므로 2 ´ ' 2 = 2 2 ' sin h ∴ BDÓ : DCÓ   = 3 3 : ' sin h   2 2 ' sin h =3 3 : 2 2 ' ' 0898 |전략| △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 할 때, b 2R , sin B= , sin C= sin A= a 2R c 2R 임을 이용한다. 108 | II . 삼각함수 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 + b sin A+sin B+sin C= a 2R 2R sin A+sin B+sin C= a+b+c + c 2R = = 2R ;1#2); ;2%;  ;2%; a : b : c=sin A : sin B : sin C a : b : c=sin 30ù : sin 30ù : sin 120ù a : b : c=  :  ;2!; 3  : ' 2 ;2!; =1 : 1 :  3 '  1 : 1 :  ' 3 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 108 2018-03-13 오후 2:25:04 정답과 해설 k :  ' 6k :  3 6 ' 2 k=8 : 6 : 9  … ❶ 0907 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 , sin C= c sin A= a 2R 2R , sin B= b 2R sin A : sin B : sin C=a : b : c=8 : 6 : 9  … ❷ 이것을 a sin A+b sin B=c sin C에 대입하면 따라서 sin A=8m, sin B=6m, sin C=9m(m>0)으로 놓으면 sin A sin B+sin C = 8m 6m+9m =   ;1¥5; aÛ` 2R + bÛ` 2R = cÛ` 2R ∴ aÛ`+bÛ`=cÛ` 따라서 △ABC는 C=90ù인 직각삼각형이다. 0903 a+b-2c=0 a-3b+c=0 ㉠-㉡을 하면 4b-3c=0 ∴ b= c ;4#; ㉠_3+㉡을 하면 4a-5c=0 ∴ a= c ;4%; 따라서 a : b : c= c :  c : c=5 : 3 : 4이므로 ;4%; ;4#; sin A : sin B : sin C=a : b : c=5 : 3 : 4  ③ 0904 ab : bc : ca=8 : 9 : 12이므로 ab=8kÛ` yy ㉠, bc=9kÛ` yy ㉡, ca=12kÛ` yy ㉢ 으로 놓고 ㉠, ㉡, ㉢을 변끼리 곱하면 (abc)Û`=864kß` ∴ abc=12 6kÜ` (∵ abc>0) yy ㉣ ' ㉣Ö㉠에서 c= 3 ㉣Ö㉡에서 a= 4 6 ' 2 k 6 ' 3 k ㉣Ö㉢에서 b= ' ∴ a : b : c= 4 6k 6 ' 3 사인법칙에 의하여 … ❸  ;1¥5; 비율 50`% 20`% 30`% ❶ a : b : c를 구할 수 있다. ❷ 사인법칙을 이용하여 sin A : sin B : sin C를 구할 수 있다. ❸ sin A, sin B, sin C를 한 종류의 문자로 나타낸 후 대입하여 ❺ sin A sin B+sin C 의 값을 구할 수 있다. 채점 기준 0905 |전략| sin A= , sin B= , sin C= 를 주어진 식에 대입하여 a 2R b 2R c 2R a, b, c에 대한 관계식을 구하고 삼각형의 모양을 판별한다. △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 sin A= a 2R , sin C= c 2R 이것을 a sin A=c sin C에 대입하면 a´ a 2R =c´ c 2R ∴ aÛ`=cÛ` ∴ a=c (∵ a>0, c>0) yy ㉠ yy ㉡ △ABC에서 ⑴ a=b ⇨ 이등변삼각형 ⑵ a=b=c ⇨ 정삼각형 ⑶ aÛ`=bÛ`+cÛ` ⇨ A=90ù인 직각삼각형 ⑷ b=c이고 aÛ`=bÛ`+cÛ` ⇨ A=90ù인 직각이등변삼각형 0906 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 , sin C= c sin A= a 2R 2R , sin B= b 2R 이것을 a sinÛ` A=b sinÛ` B=c sinÛ` C에 대입하면 a_ { a 2R } =b_ b 2R } { =c_ c 2R } { ∴ aÜ`=bÜ`=cÜ` 2` 2` 2` a, b, c는 실수이므로 a=b=c 따라서 △ABC는 정삼각형이다.  ① ∴ △ABC= ab ;2!;  ① 0908 |전략| ABCD가 원에 내접함을 이용하여 B의 크기를 구하고, △ABC에서 코사인법칙을 이용하여 ABÓ의 길이를 구한다. ABCD가 원에 내접하므로 B+D=180ù ∴ B=150ù ABÓ : BCÓ=1 :  ' △ABC에서 코사인법칙에 의하여 3이므로 ABÓ=a라 하면  BCÓ= 3a ' ( 14)Û`=aÛ`+( 3a)Û`-2´a´ 3a´cos 150ù, 7aÛ`=14 ' ' '¶ ∴ a= ' 2 (∵ a>0)  ② 0909 오른쪽 그림의 △ABD에서 BDÓ=x라 하면 코사인법칙에 의하여 xÛ`=6Û`+1Û`-2´6´1´cos h xÛ`=37-12 cos h A h x 3 1 D 5 C 6 B 7 사인법칙과 코사인법칙 | 109 따라서 △ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.  ② ABCD가 원에 내접하므로 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 109 2018-03-13 오후 2:25:04 7ㅡ사인법칙과코사인법칙 ∠BCD=180ù-h △BCD에서 코사인법칙에 의하여 xÛ`=3Û`+5Û`-2´3´5´cos(180ù-h)=34+30 cos h 즉, 37-12 cos h=34+30 cos h이므로 cos h= ;1Á4; 따라서 m=14, n=1이므로 m+n=15  15 cos C= aÛ`+bÛ`-cÛ` 2ab = (2k)Û`+(3k)Û`-(4k)Û` 2´2k´3k cos C= -3kÛ` 12kÛ` =- ;4!;  - ;4!; 0914 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 cos B= 6Û`+4Û`-6Û` = 2´6´4 ;3!; P 2h B A 2 p-h O h 2 2 △BCD가 이등변삼각형이므로 ∠ADC=p-B ∴ sin (∠ADC)=sin (p-B)=sin B ∴ sin (∠ADC)= 1-cosÛ` B (∵ 0ù0)  ③ 0911 |전략| 코사인법칙을 이용하여 △ABD에서 cos B의 값을 구한 다음, △ABC 0912 a+c b-c = b a-c 에서 ∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`-bc 코사인법칙에 의하여 (a+c)(a-c)=b(b-c), aÛ`-cÛ`=bÛ`-bc cos A= bÛ`+cÛ`-aÛ` 2bc = bÛ`+cÛ`-(bÛ`+cÛ`-bc) 2bc = ;2!; 0913 △ABC에서 A+B+C=180ù이므로 A+B=180ù-C 즉, sin A+B-C 2 =sin 180ù-2C 2 =sin (90ù-C)=cos C 이때, a : b : c=sin A : sin B : sin C=2 : 3 : 4이므로 a=2k, b=3k, c=4k(k>0)로 놓으면 110 | II . 삼각함수 ∴ sin (∠ADC)= 1-  ④ "à ®É = 2 2 ' 3 {;3!;} 2` 0915 △ABC에서 각의 이등분선의 성질에 의하여 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ 이때, ACÓ=BDÓ이므로 12 : ACÓ=ACÓ : 3 즉,  ACÓ Û`=36에서  ACÓ=6 (∵ ACÓ>0) 따라서 △ABC에서 BCÓ=BDÓ+DCÓ=6+3=9이므로 코사인법칙 에 의하여 cos B= 12Û`+9Û`-6Û` = 2´12´9 ;2!1*6(; = ;8&;  ;8&; 각의 이등분선의 성질 오른쪽 그림과 같은 △ABC에서 ADÓ가 ∠A의 이등 A 0916 선분 AB가 원 O의 지름이므로 ∠APB=90ù ∴ BPÓ= "à ∠PAB=h이므로 ' (2 3)Û`-(2 2)Û`= 4=2 ' ' ∠POB=2h cos 2h= ( ' 3)Û`-2Û` 3)Û`+( 2´ ' 3´ ' 3 ' ' = ;3!; 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대 한 중심각의 크기의 ;2!;이다. 즉, ∠APB= ;2!;∠AOB B D C P 2 A 2h 3 ' B 2 2 ' h 3 ' O 2 3 '  ;3!; P O A B ACÓ Û`=7Û`+9Û`-2´7´9´cos B=130-126´ =40 ;7%; ∴ ACÓ=2 10 (∵ ACÓ>0) '¶ 분선일 때 ABÓ : ACÓ=BDÓ : CDÓ  ② ∴ A=60ù (∵ 0ù0이므로 >0, >0 ;8{; ;2£[; 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 cos C= + ;8{; ;2£[; ¾æ2æ ´ ®É;8{; ;2£[; 3 = ' 2  135ù 이때, 등호는   = 일 때 성립하므로 ;8{; ;2£[; xÛ`=12 ∴ x=2 3 (∵ x>0) ' 따라서 C의 크기가 최대일 때, x의 값은 2 3이다. '  ③ 0918 sin A : sin B : sin C=3 : 5 : 7이므로 a : b : c=3 : 5 : 7 a=3k, b=5k, c=7k(k>0)라 하면 C가 최대각이므로 코사인법칙에 의하여 cos C= (3k)Û`+(5k)Û`-(7k)Û` =- 2´3k´5k ;2!; ∴ C=120ù (∵ 0ù0)로 놓고, 최대각의 크기를 a : b : c= 1 3 ' a : b : c= 2 k :  k :  k 1 3+ 3 ' 3 1 2 ' 3 2 ' 6 3 ' 6  :   :  3- ' 6 a : b : c=2 ' 3 : 3 ' 2 : (3- ' 2 l, c=(3- a=2 3 l, b=3 ' ' h라 하면 코사인법칙에 의하여 ' 3) cos h= cos h= (2 ' 3l)Û`+(3- 2´2 ' 3l´(3- 3)Û`lÛ`-(3 3)l ' 2l)Û` ' ' 3)lÛ`-18lÛ` 12lÛ`+(12-6 (12 ' 3-12)lÛ` cos h= ' 3) ' 3-1) 6(1- 12( ' =- ;2!; ∴ h=120ù (∵ 0ù0, b>0일 때, a+b 2 '¶ ¾ ab  (단, 등호는 a=b일 때 성립) 0921 |전략| 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 a, b, c에 대한 관계식을 구하고 삼각 형의 모양을 판별한다. △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sin A=2 sin B cos C에서 사인법칙과 코사인법칙에 의하여 a 2R =2´ b 2R ´ aÛ`+bÛ`-cÛ` 2ab 이므로 aÛ`=aÛ`+bÛ`-cÛ`, bÛ`=cÛ` ∴ b=c (∵ b>0, c>0) 따라서 △ABC는 b=c인 이등변삼각형이다.  ② 0922 a cos B=b cos A에서 코사인법칙에 의하여 a´ cÛ`+aÛ`-bÛ` 2ca =b´ bÛ`+cÛ`-aÛ` 이므로 2bc cÛ`+aÛ`-bÛ`=bÛ`+cÛ`-aÛ`, aÛ`=bÛ` ∴ a=b (∵ a>0, b>0) 따라서 △ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.  ① 따라서 최대각의 크기는 120ù이다.  120ù 참고  a=2 3l, b=3 ' ' 12=3.___, 3 2 3= ' '¶ b>a>c 2l, c=(3- 3)l에서 ' 2= 18=4.___, 3- 3=1.___이므로 ' '¶ ' 0920 코사인법칙에 의하여 cos C= 4Û`+xÛ`-2Û` 2´4´x = xÛ`+12 8x = + ;8{; ;2£[; 0923 tan A sinÛ` B=tan B sinÛ`A에서 sin A cos A _sinÛ` B= _sinÛ` A sin B cos B sin B cos A = sin A cos B ∴ sin A cos A=sin B cos B △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙과 코사인 법칙에 의하여 7 사인법칙과 코사인법칙 | 111 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 111 2018-03-13 오후 2:25:05 7ㅡ사인법칙과코사인법칙 a 2R ´ bÛ`+cÛ`-aÛ` 2bc = b 2R ´ cÛ`+aÛ`-bÛ` 2ca 이므로 aÛ`(bÛ`+cÛ`-aÛ`)=bÛ`(cÛ`+aÛ`-bÛ`) aÛ`bÛ`+aÛ`cÛ`-aÝ`=bÛ`cÛ`+aÛ`bÛ`-bÝ` (aÛ`-bÛ`)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)(aÛ`-bÛ`)=0 (aÛ`-bÛ`)(cÛ`-aÛ`-bÛ`)=0 (a+b)(a-b)(cÛ`-aÛ`-bÛ`)=0 이때, a+b+0이므로 a=b 또는 cÛ`=aÛ`+bÛ` 따라서 △ABC는 a=b인 이등변삼각형 또는 C=90ù인 직각삼각형 이므로 △ABC의 모양이 될 수 있는 것은 ㄷ, ㄹ이다.  ㄷ, ㄹ 0924 |전략| △ABC에서 코사인법칙을 이용하여 ACÓ의 길이를 구하고, △ABC= ABÓ´ACÓ´sin A를 이용하여 △ABC의 넓이를 구한다. ;2!; ∴ △ABC=SÁ+Sª+S£ ∴ △ABC= ´20´20´sin 90ù+ ´20´20´sin120ù ;2!; ;2!; ∴ △ABC=200+100 3+100 ∴ △ABC=100(3+ ' 3) ' + ´20´20´sin 150ù ;2!;  100(3+ 3) ' 0927 ADÓ=x라 하면 △ABC=△ABD+△ADC이므로 ´60´20´sin 120ù= ´60´x´sin 60ù+ ´20´x´sin 60ù ;2!; ;2!; ;2!; 300 3=15 ' ∴ x=15 ' 3x+5 3x, 20 3x=300 3 ' ' ' 다른 풀이 ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 60 : 20=BDÓ : CDÓ 즉, BDÓ : CDÓ=3 : 1이므로  BDÓ=  BCÓ ;4#;  ② ∴ △ABD= ;4#;△ABC= ;4#; ´ ´60´20´sin 120ù } {;2!; =225 3 '  ① ADÓ=x라 하면 △ABD= ´60´x´sin 60ù=225 3에서 ;2!; ' ACÓ=x라 하면 코사인법칙에 의하여 ( 19)Û`=2Û`+xÛ`-2´2´x´cos 120ù '¶ xÛ`+2x-15=0, (x-3)(x+5)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) ∴ △ABC= ´2´3´sin 120ù= ;2!; 3 3 ' 2 0925 AB'Ó의 길이는 ABÓ의 길이를 10`% 늘린 것이므로 AB'Ó= 1+ { ;1Á0¼0;} ABÓ=1.1 ABÓ AC'Ó의 길이는 ACÓ의 길이를 10`% 줄인 것이므로 AC'Ó= 1- { ;1Á0¼0;} ACÓ=0.9 ACÓ 이때, △ABC= ABÓ´ACÓ´sin A이므로 ;2!; △AB'C'= AB'Ó´AC'Ó´sin A ;2!; ;2!; △AB'C'= ´1.1 ABÓ´0.9 ACÓ´sin A △AB'C'=0.99´  ABÓ´ACÓ´sin A ;2!; △AB'C'=0.99△ABC 15 3x=225 3 ' ' ∴ x=15 0928 코사인법칙에 의하여 7Û`=bÛ`+cÛ`-2bc cos 120ù 즉, 49=bÛ`+cÛ`+bc bÛ`+cÛ`=(b+c)Û`-2bc이므로 bÛ`+cÛ`=8Û`-2bc=64-2bc ㉡을 ㉠에 대입하면 49=64-2bc+bc=64-bc ∴ bc=15  따라서 △ABC의 넓이는 따라서 △AB'C'의 넓이는 △ABC의 넓이의 배이므로 △ABC ;1»0»0; 의 넓이보다 1`% 감소한다.  ① ;2!; 채점 기준 0926 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 비 례하므로 오른쪽 그림에서 원의 중심을 O라 bcsin A= bc´sin 120ù= ;2!; 3 ´15´ ' 2 ;2!; = 3 15 ' 4   A S¡ O S™ S£ C ❶ 코사인법칙을 이용하여 b, c에 대한 관계식을 세울 수 있다. ❷ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 b, c에 대한 관계식을 세울 수 있다. ❸ bc의 값을 구할 수 있다. ❹ △ABC의 넓이를 구할 수 있다. B 다른 풀이 b+c=8이므로 c=8-b 코사인법칙에 의하여 7Û`=bÛ`+(8-b)Û`-2´b´(8-b)´cos 120ù bÛ`-8b+15=0, (b-3)(b-5)=0 ∴ b=3 또는 b=5 하면 ∠AOB=360ù´ =90ù ∠BOC=360ù´ =120ù ∠COA=360ù´ =150ù ;1£2; ;1¢2; ;1°2; 112 | II . 삼각함수 yy ㉠ … ❶ yy ㉡ … ❷ … ❸ … ❹ 15 3 ' 4  비율 30`% 30`% 20`% 20`% 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 112 2018-03-13 오후 2:25:06 정답과 해설 따라서 b=3, c=5 또는 b=5, c=3이므로 △ABC= ´3´5´sin 120ù= ;2!; 3 15 ' 4 0929 오른쪽 그림에서 ADÓ=a, BEÓ=b, CFÓ=c라 하면 BDÓ=2a, CEÓ=2b, AFÓ=2c이므로 △ABC와 △ADF에서 △ABC= ´3a´3c´sin A= ac sin A ;2(; △ADF= ´a´2c´sin A=ac sin A ;2!; ;2!; A a D 2c 2a F c B b E 2b C ∴ △ADF= △ABC ;9@; 같은 방법으로 △BED=△CFE= △ABC ;9@; ∴ △DEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE) ∴ △DEF= 1- + + ;9@; {;9@; ;9@;}] △ABC [ ;3!; ∴ △DEF= △ABC ∴ m+n=3+1=4 0930 |전략| △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 할 때, △ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로 B=A=30ù ∴ C=180ù-(30ù+30ù)=120ù △ABC의 외접원의 반지름의 길이가 6이므로 0931 △ABC= abc 4´5 =6이므로 abc=120  120 0932 |전략| △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 할 때, △ABC=  bc sin A= r(a+b+c)임을 이용한다. ;2!; ;2!; △ABC= ´5´8´sin 60ù=10 3 ;2!; ' 한편, 코사인법칙에 의하여 aÛ`=5Û`+8Û`-2´5´8´cos 60ù=49 ∴ a=7`(∵ a>0) △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC= r(7+5+8)=10r ;2!; ' ㉠=㉡에서 10 3=10r ∴ r= 3 ' yy ㉠ yy ㉡  3 ' 0933 오른쪽 그림과 같이 삼각형의 세 꼭짓점을 A, B, C라 하면 cos B= 5Û`+6Û`-7Û` 2´5´6 = ;5!; 1- {;5!;} ∴ sin B= ®É ∴ sin B= 2 2` (∵ sin B>0) 6 ' 5 ;2!; A 5 r 7 B 6 C ∴ △ABC= ´5´6´sin B=15´ 2 6 ' 5 =6 6 ' 이때, △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC= r(5+6+7)=9r ;2!; ㉠=㉡에서 6 6=9r ' ∴ r= 2 6 ' 3 yy ㉠ yy ㉡  2 6 ' 3 0934 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 , sin C= c sin A= a 2R 2R + c 2R , sin B= b 2R sin A+sin B+sin C= a 2R = a+b+c 2R + b 2R 이므로 … ❶ 이때, R=8이고 sin A+sin B+sin C= 이므로 ;2%;  ② = a+b+c 2´8 ;2%; ∴ a+b+c=40 따라서 △ABC에서 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 r=3이 … ❷ … ❸  60 비율 30`% 30`% 40`%  ;1^0#; yy ㉠ 0935 |전략| △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R, 내접원의 반지름의 길이를 r라 므로 채점 기준 있다. ❷ a+b+c의 값을 구할 수 있다. ❸ △ABC의 넓이를 구할 수 있다. ;2!; = 할 때, abc 4R △ABC= 4´7´9 4R r(a+b+c)임을 이용한다. = r(4+7+9)이므로 ;2!; 63 R =10r ∴ Rr= ;1^0#; 0936 △ABC=2RÛ` sin A sin B sin C 한편, 사인법칙에 의하여 = c = b a sin A a=2R sin A, b=2R sin B, c=2R sin C =2R이므로 sin B sin C △ABC=2RÛ` sin A sin B sin C임을 이용하여 △ABC의 넓이를 구한다. △ABC= r(a+b+c)= ´3´40=60 ;2!; ;2!; △ABC=2´6Û`´sin 30ù sin 30ù sin 120ù=9 3 '  9 3 ' ❶ 사인법칙을 이용하여 sin A+sin B+sin C를 세 변 a, b, c로 나타낼 수 7 사인법칙과 코사인법칙 | 113 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 113 2018-03-13 오후 2:25:06 7ㅡ사인법칙과코사인법칙 ∴ a+b+c=2R(sin A+sin B+sin C) △ABC의 내접원의 반지름의 길이가 r이므로 △ABC= r(a+b+c) △ABC= r{2R(sin A+sin B+sin C)} ;2!; ;2!; ㉠=㉡에서 2RÛ` sin A sin B sin C=Rr(sin A+sin B+sin C) sin A+sin B+sin C sin A sin B sin C = 2RÛ` Rr = 2R r ∴ k=2 △ABC=Rr(sin A+sin B+sin C) yy ㉡ 2R= 3 28 ' 3 다른 풀이 코사인법칙에 의하여 cos A= 6Û`+10Û`-14Û` 2´6´10 =- ;2!; △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 =2R이므로 14 sin 120ù ∴ A=120ù (∵ 0ù0)로 놓고 헤론의 공식을 이용한다. 세 변의 길이를 2k, 3k, 3k(k>0)라 하면 4k(4k-2k)(4k-3k)(4k-3k)=2 2kÛ` ' s= 2k+3k+3k =4k이므로 2 △ABC= "à △ABC의 넓이가 18 2이므로 ' 2, kÛ`=9 2 2kÛ`=18 ' 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 ' ∴ k=3 (∵ k>0) 2k+3k+3k=8k=8´3=24  24 0938 a+b=4k, b+c=5k, c+a=6k(k>0)라 하고 세 식을 모두 변 끼리 더하면 2a+2b+2c=15k ∴ a+b+c= k :Á2°: △ABC의 둘레의 길이가 45이므로 k=45 ∴ k=6 :Á2°: 따라서 a+b+c=45, a+b=24, b+c=30, c+a=36이므로 a=15, b=9, c=21 이때, s= 이므로 :¢2°: △ABC= ®É:¢2°:{:¢2°: -15 -9 }{:¢2°: }{:¢2°: -21 = 135 ' 4 3 }  3 135 ' 4 yy ㉡  3 28 ' 3 △ABC= 15(15-6)(15-10)(15-14)=15 3 yy ㉠ ' 0939 s= 6+10+14 =15이므로 2 "à 원의 반지름의 길이를 R라 하면 △ABC= 6´10´14 = 210 R 4R ㉠=㉡에서 210 R =15 3 ' ∴ R= 14 ' 3 3 따라서 원의 지름의 길이는 2R= 28 ' 3 3 114 | II . 삼각함수 이때, aÛ`=bÛ`+cÛ`이므로 A=90ù  90ù ;2!; ;2!; ;2!; 0941 |전략| △ABC= ´ABÓ´BCÓ´sin B에서 sin B의 값이 최대일 때, ;2!; △ABC의 넓이가 최대임을 이용한다. △ABC= ´ABÓ´BCÓ´sin B △ABC= ´5´7´sin B=  sin B :£2°: sin B의 값이 최대일 때, △ABC의 넓이가 최대이므로 sin B=1 (∵ 0ù0) '¶  74 '¶ 0942 △ABC= pq sin A에서 △ABC의 넓이가 최대이려면 pq, sin A 가 모두 최대이어야 한다. p>0, q>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 pÛ`+qÛ`¾2 pÛ`qÛ`=2pq (단, 등호는 p=q일 때 성립) 8¾2pq "à ∴ pqÉ4 따라서 pq의 최댓값은 4이고, 0ù0) △ABD= ´ADÓ´ABÓ´sin 60ù= ' ;2!; ;2!; △BCD= ´BCÓ´BDÓ´sin 45ù= ∴ ABCD=△ABD+△BCD ∴ ABCD=2 3+3 ' 0944 오른쪽 그림에서 ABCD=△ABD+△BCD △BCD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓ Û`=3Û`+5Û`-2´3´5´cos 120ù BDÓ Û`=34-30´ - =49 { ;2!;} ∴ BDÓ=7 (∵ BDÓ>0) △ABD에서 코사인법칙에 의하여 cos A= 3Û`+8Û`-7Û` = 2´3´8 ;2!; sin A= 1-cosÛ` A= 1- (∵ 0ù0) ' A 4 2 C B 120ù 6 60ù D 4 ABCD가 원에 내접하므로 B+D=180ù ∴ B=120ù ABÓ=x라 하면 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 (2 7)Û`=xÛ`+2Û`-2´x´2´cos 120ù, xÛ`+2x-24=0 ' (x+6)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>0) ∴ ABCD=△ABC+△ACD ∴ ABCD= ´4´2´sin 120ù+ ´6´4´sin 60ù ;2!; ∴ ABCD=2 3+6 3=8 ' 3 ' ;2!; ' 0946 오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD를 점 O를 꼭짓점으로 갖는 삼각형 4개로 나눌 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 비 수 있다. 례하므로 D A O h 6  8 3 ' C B 므로 B+C=180ù ∴ B=180ù-C=180ù-135ù=45ù ∴ ABCD=ABÓ´BCÓ´sin B ∴ ABCD=6´8´sin 45ù=24 2 ' 0948 평행사변형 ABCD의 넓이가 12 3이므로 '  ③ 4´6´sin B=12 3 ' 3 ∴ sin B= ' 2 0ù0, q>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 p+q¾æ2 pq, 6¾æ2 pq '¶ ∴ pqÉ9 (단, 등호는 p=q일 때 성립) '¶ ∴ ABCD=  pq sin 60ùÉ ;2!; 3 ´9´ ' 2 ;2!; = 9 3 ' 4  9 3 ' 4 0953 ABCD=2´4´sin 60ù=4 3 ' △ABC에서 코사인법칙에 의하여 ACÓ Û`=2Û`+4Û`-2´2´4´cos 60ù=12 ∴ ACÓ=2 3 (∵ ACÓ>0) A=180ù-B=180ù-60ù=120ù이므로 △ABD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓ Û`=2Û`+4Û`-2´2´4´cos 120ù=28 7 (∵ BDÓ>0) ∴ BDÓ=2 ' ' 따라서 ABCD= ´2 3´2 7´sin h=4 3이므로 ;2!; ' ' ' sin h= 2 7 ' 7 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0954 사인법칙에 의하여 CAÓ sin 30ù = 4 sin 45ù 이므로 CAÓ= 4 sin 45ù ´sin 30ù= B 2 =2 ´ ;2!; ' 4 2 ' 2 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 116 | II . 삼각함수 BCÓ=BHÓ+HCÓ=4 cos 30ù+2 2 cos 45ù ' 3 BCÓ=4´ ' 2 +2 2 2´ ' 2 ' BCÓ=2 3+2=2( 3+1) ' ' 0955 유형  02 사인법칙 - 외접원과의 관계 |전략| C의 크기와 AMÓ의 길이를 구하고, △ACM의 외접원의 반지름의 길이 를 R라 하면 사인법칙에 의하여 =2R임을 이용한다. AMÓ sin C △ABC는 직각이등변삼각형이므로 C=45ù =3이므로 △ABM에서 피타고라스 정리에 의하여 … ❶ … ❷  12 2 ' 비율 50`% 50`% △ACM의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 BMÓ=6´ ;2!; AMÓ Û`=6Û`+3Û`=45 ∴ AMÓ=3 5 (∵ AMÓ>0) ' 3 5 ' sin 45ù =2R ∴ R= 3 5 ' 2´sin 45ù = = 3 10 '¶ 2 3 5 ' 2 2´ ' 2 0956 을 이용한다. 으면 유형  02 사인법칙 - 외접원과의 관계 |전략| A, B, C의 크기를 구하고, a+b+c=2R(sin A+sin B+sin C)임 △ABC에서 A+B+C=180ù yy ㉠ A : B : C=1 : 2 : 3이므로 A=k, B=2k, C=3k(k>0)로 놓 A+B+C=k+2k+3k=6k ㉠=㉡에서 6k=180ù ∴ k=30ù ∴ A=30ù, B=60ù, C=90ù △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여  2 7 ' 7 a=2R sin A=2R sin 30ù=R b=2R sin B=2R sin 60ù= 3R ' c=2R sin C=2R sin 90ù=2R 이때, a+b+c=6이므로 a+b+c=R+ 3R+2R에서 ' 6=(3+ ∴ R= ' 3)R 6 3+ 3  ' =3- 3 '  ①  ③ yy ㉡  ② yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ 유형  01 사인법칙 - 각과 변의 관계 |전략| 사인법칙을 이용하여 CAÓ의 길이를 구하고, 점 A에서 BCÓ에 수선의 발 0957 H를 내려  BCÓ=BHÓ+HCÓ임을 이용한다. 유형  03 사인법칙의 변형 - 변의 길이의 비 |전략| sin A : sin B : sin C=a:b:c임을 이용한다. 2a-b=9k, 2b-c=k, 2c-a=4k (k>0)로 놓고 세 식을 모두 변 4 30ù A H 45ù C 끼리 더하면 a+b+c=14k 2a-b=9k에서 b=2a-9k 2c-a=4k에서 c= +2k ;2A; 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 116 2018-03-13 오후 2:25:09 ㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 a+(2a-9k)+ +2k =14k ∴ a=6k {;2A; } a=6k를 ㉡, ㉢에 대입하면 b=2´6k-9k=3k, c= 6k 2 ∴ a : b : c=6 : 3 : 5 +2k=5k ∴ sin A : sin B : sin C =a : b : c=6 : 3 : 5  ④ 0960 한다. 2b-a=5k 2c-b=6k 2c-a=7k 0958 유형  01 사인법칙 - 각과 변의 관계 + 05 코사인법칙 |전략| 사인법칙을 이용하여 APÓ의 길이를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 ABÓ 유형    07 삼각형의 최대각과 최소각 |전략| 세 변의 길이의 크기를 비교하여 가장 긴 변의 대각이 최대각임을 이용 2b-a 5 = 2c-b 6 = 2c-a 7 =k(k는 실수)라 하면 가장 긴 변의 길이가 c이므로 C가 △ABC의 최대각이다. ㉡-㉢을 하면 a-b=-k ㉠, ㉣을 연립하여 풀면 a=3k, b=4k a=3k를 ㉢에 대입하여 풀면 c=5k 코사인법칙에 의하여 cos C= (3k)Û`+(4k)Û`-(5k)Û` 2´3k´4k  =0 ∴ C=90ù (∵ 0ù0) ' 다른 풀이 △ABP에서 APÓ=BPÓ, ∠APC=60ù이므로 0961 D 4 유형  08 삼각형의 모양 결정 |전략| (판별식)=0임을 이용하여 식을 정리하고. 사인법칙을 이용하여 a, b, c에 대한 관계식을 구해 삼각형의 모양을 판별한다. 주어진 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면 =sinÛ` C-(cos A-cos B)(cos A+cos B)=0  ① 즉, sinÛ` C-cosÛ` A+cosÛ` B=0 이때, cosÛ` A=1-sinÛ` A, cosÛ` B=1-sinÛ` B이므로 ∠ABP=∠BAP=30ù △ABC에서 사인법칙에 의하여 ABÓ sin 45ù = ' 3 sin 30ù ABÓ= ' 3 sin 30ù ´sin 45ù  2 3 ´ ' 2 = 6 ' ABÓ= ' ;2!; 0959 유형  05 코사인법칙 + 06 코사인법칙의 변형 |전략| 코사인법칙을 이용하여 △ABC에서 cos B의 값을 구하고 △ABD에서 ADÓ의 길이를 구한다. △ABC에서 코사인법칙에 의하여 cos B= 4Û`+6Û`-5Û` = 2´4´6 ;1»6; 점 D가 BCÓ를 1:2로 내분하는 점이므로 BDÓ=2 따라서 △ABD에서 코사인법칙에 의하여 ADÓ Û`=4Û`+2Û`-2´4´2´cos B=20-16´ =11 ;1»6; ∴ ADÓ= 11 (∵ ADÓ>0) '¶  ② sinÛ` C-(1-sinÛ` A)+(1-sinÛ` B)=0 ∴ sinÛ` C+sinÛ` A-sinÛ` B=0 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 c 2R } { + { a 2R } - { b 2R } =0 2` ∴ bÛ`=aÛ`+cÛ` 2` 2` 따라서 △ABC는 B=90ù인 직각삼각형이다.  ④ 1-cosÛ` h임을 이용하여 sin h의 값을 구하고, △OAB= ´AOÓ´BOÓ´sin h를 이용하여 △OAB의 넓이를 구한다. sin h= 1-cosÛ` h (∵ 0ù0)로 놓고 △ABD, △ACD의 넓이를 구한 다음 △ABD : △ACD=BDÓ : CDÓ=3 : 2임을 이용한다. 0966 유형  16 평행사변형의 넓이 |전략| 평행사변형의 넓이를 이용하여 sin B의 값을 구하고, △ABC에서 코사 그런데 △ABD와 △ACD에서 BDÓ : CDÓ=3 : 2이고 두 삼각형의 ADÓ=l(l>0)이라 하면 △ABD= ´5´l´sin hÁ= l sin hÁ ;2%; △ACD= ´4´l´sin hª=2l sin hª ;2!; ;2!; 높이가 같으므로 △ABD : △ACD=3 : 2 즉, l sin hÁ : 2l sin hª=3 : 2에서 ;2%; 5 sin hÁ=6 sin hª ∴ sin hÁ sin hª = ;5^; 인법칙을 이용하여 ACÓ의 길이를 구한다. 평행사변형 ABCD의 넓이가 10 3이므로 ' 4´5´sin B=10 3 ' 3 ∴ sin B= ' 2 0ù0) '¶  ② 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다. 0967 0964 유형  11 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름의 길이 |전략| △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 할 때, △ABC= ac sin B= r(a+b+c)임을 이용한다. ;2!; ;2!; △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC= ´8´7´sin 120ù= r(8+13+7)이므로 ;2!; ;2!; 14 3=14r ∴ r= 3 ' '  ③ 0965 유형  13 삼각형의 넓이와 헤론의 공식 |전략| △ABC에서 코사인법칙을 이용하여 a의 값을 구하고, 헤론의 공식을 이 ´x´x´sin 120ù=9 3 ' ;2!; 3 xÛ`´ ' 2 ;2!; =9 3, xÛ`=36 ' ∴ x=6 (∵ x>0) A a-2 a-1 B a C 유형  17 사각형의 넓이 |전략| 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이가 서로 같음을 이용하여 등변사다리꼴 ABCD의 넓이를 구해 본다. ACÓ=x라 하면 등변사다리꼴의 두 대각 A D 선의 길이가 서로 같으므로 BDÓ=x 두 대각선이 이루는 각의 크기가 120ù이고, 등변사다리꼴 ABCD의 넓이가 9 3이므로 x 120ù C B ' 따라서 등변사다리꼴 ABCD의 한 대각선의 길이는 6이다.  ③ 0968 유형  01 사인법칙 - 각과 변의 관계 |전략| 사인법칙을 이용하여 △AQB에서 AQÓ의 길이를 구한 다음, △PQA에 서 나무의 높이  PQÓ를 구한다. ∠AQB=180ù-(45ù+75ù)=60ù △AQB에서 사인법칙에 의하여 , AQÓ sin 60ù=25 sin 45ù AQÓ sin 45ù = 25 sin 60ù 3 AQÓ´ ' 2 2 =25´ ' 2 ∴ AQÓ= `(m) 6 25 ' 3 △PQA에서 ∠PQA=90ù이므로 ∠QPA=180ù-(90ù+30ù)=60ù △PQA에서 사인법칙에 의하여 AQÓ sin 60ù = PQÓ sin 30ù , PQÓ sin 60ù=AQÓ sin 30ù … ❶ 용하여 △ABC의 넓이를 구한다. 오른쪽 그림의 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 cos A= (a-1)Û`+(a-2)Û`-aÛ` 2(a-1)(a-2) cos A= cos A= aÛ`-6a+5 2(a-1)(a-2) (a-1)(a-5) 2(a-1)(a-2) cos A= a-5 2(a-2) = ;5!; 5(a-5)=2(a-2) 3a=21 ∴ a=7 의하여 s= 5+6+7 2 =9 118 | II . 삼각함수 따라서 △ABC의 세 변의 길이가 각각 5, 6, 7이므로 헤론의 공식에 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 118 2018-03-13 오후 2:25:10 정답과 해설 3 PQÓ´ ' 2 = 6 25 ' 3 ´ ;2!; ∴ PQÓ= `(m) 2 25 ' 3 채점 기준 ❶ AQÓ의 길이를 구할 수 있다. ❷ 나무의 높이  PQÓ를 구할 수 있다. … ❷  2 25 ' 3  m 배점 3점 3점 ∠ACB=h라 하면 사인법칙에 의하여 3 ' sin 60ù = 2 2 sin h sin h= 2 2 ' 3 이므로 ´sin 60ù= ;2!; ∴ h=30ù (∵ 0ù0) 채점 기준 있다. 0970 ❶ ∠BCA=∠DAC=h,  ACÓ=x로 놓고 △ABC에서 cos h의 값을 구 할 수 있다. ❷ △ACD에서 cos h의 값을 구할 수 있다. ❸ ❶, ❷에서 구한 cos h의 값이 같음을 이용하여  ACÓ의 길이를 구할 수 ❶ 코사인법칙을 이용하여  ACÓ의 길이를 구할 수 있다. ❷ ∠ACB=h라 할 때, 사인법칙을 이용하여 h의 크기를 구할 수 있다. ❸ ABCD=△ABC+△ACD임을 이용하여 ABCD의 넓이를 구 유형    02 사인법칙 - 외접원과의 관계 + 05 코사인법칙 |전략| 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 BCÓ의 길이와 외접원의 반지름의 길 이를 구하고, 이를 이용하여 호수의 넓이를 구한다. ⑴ 오른쪽 그림의 △ABC에서 코사인법 칙에 의하여 … ❶ ⑴ BCÓ Û`=8Û`+10Û`-2´8´10´cos 60ù C 8`m ⑴ BCÓ Û`=164-160´ =84 ;2!; 60ù A 10`m B … ❷ ⑴ ∴ BCÓ=2 21 (m) '¶ ⑵ △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R`m라 하면 사인법칙에 … ❸  7 배점 2점 2점 3점 =2R ∴ R= 2 21 '¶ 3 2´ ' 2 =2 7 (m) ' ⑶ 호수의 넓이는 p(2 7)Û`=28p (mÛ`) '  ⑴ 2 21`m ⑵ 2 7`m ⑶ 28p`mÛ` '¶ ' ⑴ 코사인법칙을 이용하여  BCÓ의 길이를 구할 수 있다. ⑵ 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ⑶ 호수의 넓이를 구할 수 있다. 채점 기준 할 수 있다. 0971 의하여 ⑴ 2 21 '¶ sin 60ù 채점 기준 0972 유형  13 삼각형의 넓이와 헤론의 공식 |전략| 삼각형의 결정 조건으로 x의 값의 범위를 구하고, 헤론의 공식을 이용하 여 △ABC의 넓이의 최댓값을 구한다. ABCD=△ABC+△ACD임을 이용하여 ABCD의 넓이를 구한다. ⑴ 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크므로 유형  15 사각형의 넓이 - 삼각형으로 나누기 |전략| ACÓ의 길이와 ∠ACD의 크기를 구한 다음 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 ACÓ Û`  =2Û`+4Û`-2´2´4´cos 60ù =12 ' A 2 60ù B D 75ù h 1 C ⑴ 4+(x+1)>5-x ⑴ 4+(5-x)>x+1 ⑴ x+1+(5-x)>4 ∴ ACÓ=2 3 (∵ ACÓ>0) … ❶ 4 ⑴ ㉠, ㉡, ㉢에서 00) '¶ 0974 |전략| ∠BFE의 크기를 구하고, △EFG, △BFG, △BFE에 대하여 사인법칙, ㄱ. △BFG에서 ∠FBG=120ù, ∠BGF=h이므로 코사인법칙을 적용한다. ㄱ. ∠BFG=60ù-h ㄱ. ∴∠BFE  =∠EFG+∠BFG=30ù+(60ù-h)    ㄴ. △EFG에서 ∠FGE=30ù, ∠FEG=180ù-(30ù+30ù)=120ù =90ù-h (참) 이므로 사인법칙에 의하여 ㄱ. FGÓ sin 120ù = ' 2 sin 30ù ㄱ. ∴ FGÓ= ' ´sin 120ù= ' 2 sin 30ù 2 3 ´ ' 2 = 6 ' ;2!; ㄱ. 따라서 △BFG에서 사인법칙에 의하여 ㄱ. ' 6 sin 120ù = BFÓ sin h ㄱ. ∴ BFÓ= ' 6 sin 120ù 120 | II . 삼각함수 6 ´sin h= ' 3 ' 2 ´sin h=2 2 sin h (거짓) ' ㄷ. △BFE에서 코사인법칙에 의하여 ㄷ. BEÓ Û`=BFÓ Û`+EFÓ Û`-2´BFÓ´EFÓ´cos (∠BFE) ㄷ. BEÓ Û`=(2 ㄷ. BEÓ Û`=8 sinÛ` h+2-8 sinÛ` h (∵ cos (90ù-h)=sin h) ㄷ. BEÓ Û`=2 ㄷ. 따라서  BEÓ= 2 (∵ BEÓ>0)로 항상 일정하다. (참) 2 sin h)Û`+( 2)Û`-2´2 2 sin h´ ' ' ' ' ' 2´cos (90ù-h) 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ③ 0975 |전략| 직각삼각형을 이용하여 두 사각형 P, Q가 이루는 각의 sin값을 구한 후 색칠한 삼각형의 넓이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형의 세 꼭짓 점을 A, B, C라 하고, 색칠한 삼각형에서 나머지 두 꼭짓점을 D, E라 하자. 또, ∠DAE=h라 하면 ∠EAC=∠DAB= 이므로 Ò; ;2Ò h+∠BAC=p ∴ h=p-∠BAC E 2 3 ' P A h C D 2 Q R B 2 2 ' C' 이때, sin(∠BAC)= 2 2 2 3 ' ' 2 3 = ' ' ∴ △DAE= ´ADÓ´AEÓ´sin h ;2!; ;2!; 2 3 ' 3´ ' ' =2 2 '  ③ 0976 |전략| ∠BPC=h로 놓고 △PBC와 △ABC의 넓이가 같음을 이용하여 bc를 sin h에 대한 식으로 나타낸다. ∠BPC=h로 놓으면 △PBC의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 ´6´3 ;2!; bc sin h= ;2!; ∴ bc= 18 sin h Ú 점 P가 점 A와 일치할 때 Ú b=ABÓ=3, c=ACÓ= 3Û`+6Û`=3 5 Ú ∴ sin h= ' "à = 2 5 ' 5 BCÓ ACÓ = 6 3 ' 5 Û 점 P가 점 D와 일치할 때 Ú ∠BDE=45ù이고 Ú △BDEª△CDE이므로 Ú ∠CDE=45ù Ú ∴ sin h  =sin (∠CDB) =sin 90ù=1 Ú, Û에서 2 5 ' 5 Ésin hÉ1이므로 18ÉbcÉ9 5 ' 따라서 bc의 최댓값은 9 5, 최솟값은 18이다. ' A 3 B 3 b D(P) c h E 6 C  최댓값: 9 5, 최솟값: 18 ' 105120고등유형해결7(수1)해-14.ok.indd 120 2018-03-13 오후 2:25:11 정답과 해설 aÇ=1+(n-1)´(-2)=-2n+3  aÇ=-2n+3 8 등차수열과 등비수열 본책 146~167쪽 1 개념 마스터 STEP1 0977 aÇ=10Ç`-1에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례대로 대입하면 aÁ=10Ú`-1=9, aª=10Û`-1=99, a£=10Ü`-1=999, a¢=10Ý`-1=9999, a°=10Þ`-1=99999 0987 1, -1, -3, -5, -7, y -2 -2 -2 -2 첫째항이 1, 공차가 -2이므로 0988 첫째항이 -1, 공차가 3이므로 aÇ=-1+(n-1)´3=3n-4 ∴ aÁ¼=3´10-4=26  9, 99, 999, 9999, 99999  26 0978 aÇ=n+2Ç` 에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례대로 대입하면 aÁ=1+2Ú`=3, aª=2+2Û`=6, a£=3+2Ü`=11, a¢=4+2Ý`=20, a°=5+2Þ`=37  3, 6, 11, 20, 37 0989 첫째항이 2, 공차가 -4이므로 aÇ=2+(n-1)´(-4)=-4n+6 ∴ aÁ¼=-4´10+6=-34  -34 0979 aÇ=(n+2)(n-1)에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례대로 대입하면 aÁ=(1+2)(1-1)=0, aª=(2+2)(2-1)=4, a£=(3+2)(3-1)=10, a¢=(4+2)(4-1)=18, 0990 공차를 d라 하면 a¥=27에서 6+7d=27, 7d=21 a°=(5+2)(5-1)=28  0, 4, 10, 18, 28 ∴ d=3 0980  aÇ=(-1)Ç` 0981  aÇ=nÛ` 0982  aÇ= n n+1 0991 공차를 d라 하면 aÁ¼=-34에서 2+9d=-34, 9d=-36 ∴ d=-4 0992 x가 5와 17의 등차중항이므로 x= 5+17 =11 2 0993 x가 3과 -7의 등차중항이므로 x= 3+(-7) =-2 2 0983 4-1=3에서 공차가 3이므로 주어진 수열은 1, 4, 7 , 10 , 13, y  7, 10 0984 8-12=-4에서 공차가 -4이므로 주어진 수열은 20, 16 , 12, 8, 4 , y  16, 4 0985 aÇ=4n+1에서 aÁ=4´1+1=5이므로 첫째항은 5이다. 또, aª=4´2+1=9이므로 공차는 aª-aÁ=9-5=4  첫째항: 5, 공차: 4 0994 22(2+71) 2 =803  3  -4  11  -2  803 0986 첫째항이 -3, 공차가 3이므로 aÇ=-3+(n-1)´3=3n-6 0995 10{2´(-10)+(10-1)´2}` 2  aÇ=3n-6 =-10  -10 8 등차수열과 등비수열 | 121 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 121 2018-03-13 오후 2:33:30 8ㅡ등차수열과 등비수열 주어진 등차수열의 첫째항이 2, 공차가 4이므로 이 수열의 제 n 항을 정답과 해설 0996 38이라 하면 38=2+(n-1)´4 ∴ 2+6+10+ y +38= 10(2+38) ∴ n=10 1 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 1001 |전략| 공차가 d인 등차수열 {aÇ}에서 aÇ=p이면 aÇ=aÁ+(n-1)d=p임을 이용한다. =200 2  200 공차를 d라 하면 제4항이 log 2à`=7 log 2이므로 log 2+3d=7 log 2 3d=7 log 2-log 2=6 log 2 ∴ d=2 log 2  ② 0997 주어진 등차수열의 첫째항이 16, 공차가 -5이므로 이 수열의 제 n 항 을 -19라 하면 -19=16+(n-1)´(-5) ∴ 16+11+6+ y +(-19)= 8{16+(-19)} ∴ n=8  2 1002 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 {aÇ}: aÁ, aª, a£, a¢, a°, a¤, a¦, y +d +d +d +d +d +d ∴ 16+11+6+ y +(-19)=-12  -12 {a3n+1}: a¢, a¦, aÁ¼, y ⇨ 공차가 3d인 등차수열 0998 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=2´1Û`+3´1=5 Û n¾2일 때, Û aÇ =SÇ-Sn-1 =2nÛ`+3n-{2(n-1)Û`+3(n-1)} =2nÛ`+3n-(2nÛ`-n-1) 이때, aÁ=5는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 =4n+1 aÇ=4n+1 yy ㉠  aÇ=4n+1 0999 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`-2´1+2=1 Û n¾2일 때, Û aÇ =SÇ-Sn-1 =(nÛ`-2n+2)-{(n-1)Û`-2(n-1)+2} =(nÛ`-2n+2)-(nÛ`-4n+5) =2n-3 따라서 구하는 수열의 일반항은 1000 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`+4´1=5 Û n¾2일 때, Û aÇ =SÇ-Sn-1 =nÛ`+4n-{(n-1)Û`+4(n-1)} =nÛ`+4n-(nÛ`+2n-3) {a2n+1}: a£, a°, a¦, y ⇨ 공차가 2d인 등차수열 +3d +3d +2d +2d 이때, 등차수열 {aÇ}의 공차가 2이므로  d=2 등차수열 {a3n+1}의 공차는  x=3´2=6 등차수열 {a2n+1}의 공차는  y=2´2=4 ∴ x-y=6-4=2  ⑤ 1003 ①, ② aÇ=pn+q=p+q+(n-1)p이므로 첫째항이 p+q이고 공 차가 p인 등차수열이다. ③ aÁ=p+q, a£=3p+q이므로 aÁ=a£이면 p=0이다. ④ p<0이면 aÇ>an+1이다. ⑤ 2aÁ-aª=2(p+q)-(2p+q)=q  ④ 1004 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£-aÁ=a¢-aª= y =a99-a97=a100-a98=2d 이므로 a100+a99-a98-a97=(a100-a98)+(a99-a97)=4d=8 aÁ¼-a¦ =(a+9d)-(a+6d)=3d=6  6 1005 |전략| 첫째항을 a, 공차를 d라 하고 주어진 조건을 이용하여 방정식을 세운다. 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a°=4a£에서 a+4d=4(a+2d) ∴`3a+4d=0 aÁ=1, aÇ=2n-3 (단, n¾2)  aÁ=1, aÇ=2n-3 (단, n¾2) 따라서 d=2이므로 =2n+3 yy ㉠ aª+a¢=4에서 (a+d)+(a+3d)=4 이때, aÁ=5는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 ∴`2a+4d=4 aÇ=2n+3 ∴ aÁ¼=2´10+3=23 다른 풀이 aÁ¼=SÁ¼-S»=(10Û`+4´10)-(9Û`+4´9)=23 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, d=3  23 따라서 aÇ=-4+(n-1)´3=3n-7이므로 a¤=3´6-7=11 yy`㉠ yy`㉡  ③ 122 | III . 수열 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 122 2018-03-13 오후 2:33:31 1006 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=35에서 a+2d=35 a¦=71에서 a+6d=71 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=17, d=9 aÇ=17+(n-1)´9=9n+8이므로 제 n 항이 197이라 하면 9n+8=197, 9n=189 ∴ n=21 따라서 197은 제21항이다.  제 21 항 1010 첫째항이 -40, 공차가 3인 등차수열의 일반항 aÇ은 aÇ=-40+(n-1)´3=3n-43 제 n 항에서 처음으로 양수가 나온다고 하면 yy ㉠ yy ㉡ 3n-43>0에서 3n>43 ∴`n> =14.3___ :¢3£: 따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제 15 항이다.  ⑤ 1007 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=11에서 a+2d=11 a¤ : aÁ¼=5 : 8에서 8a¤=5aÁ¼ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=3 따라서 aÇ=5+(n-1)´3=3n+2이므로 aª¼=3´20+2=62 8(a+5d)=5(a+9d) ∴ `3a-5d=0 yy ㉡ yy ㉠ 1011 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 aÁ+aª+a£=-15에서 a+(a+d)+(a+2d)=-15 ∴ a+d=-5 또, a¢+a°+a¤=48에서 (a+3d)+(a+4d)+(a+5d)=48  ② ∴ a+4d=16 yy ㉠ yy ㉡ 1008 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a°와 aÁÁ은 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 a°+aÁÁ=0에서 (a+4d)+(a+10d)=0 ∴`a+7d=0 a¦=4에서 a+6d=4 yy`㉠ yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=28, d=-4 ∴`aÇ=28+(n-1)´(-4)=-4n+32 ∴`aÁ¼=-4´10+32=-8 따라서 제 10 항은 -8이다. 채점 기준 ❶ a, d에 대한 연립방정식을 세울 수 있다. ❷ a, d의 값을 구할 수 있다. ❸ aÇ을 구할 수 있다. ❹ 제 10 항을 구할 수 있다. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-12, d=7 ∴ aÇ=-12+(n-1)´7=7n-19 7n-19>100에서 7n>119 ∴ n> =17 ;:!7!:(; 따라서 처음으로 100보다 커지는 항은 제18항이다.  제 18 항 1012 A={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, y}, B={3, 6, 9, 12, 15, y}이므로 A;B={3, 9, 15, y} 따라서 수열 {cÇ}은 첫째항이 3, 공차가 6인 등차수열이므로 cÇ=3+(n-1)´6=6n-3 6n-3>50에서 6n>53 ∴ n> =8.8___ :°6£: 따라서 처음으로 50보다 커질 때의 n의 값은 9이다.  9 1009 |전략| 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열 {aÇ}에서 a+(n-1)d>0을 만족시 키는 자연수 n의 최솟값을 구한다. 1013 |전략| 두 수 a, b 사이에 n개의 수를 넣어서 등차수열을 만들면 a는 첫째항이고, b는 제 (n+2)항임을 이용한다. 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¤=17에서 a+5d=17 aª¼=-25에서 a+19d=-25 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=32, d=-3 ∴`aÇ=32+(n-1)´(-3)=-3n+35 제n항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 등차수열 23, xÁ, xª, y, xÇ, 35의 공차를 d라 하면 35는 제(n+2) 항이므로 23+(n+1)d=35 (n+1)d=12 ∴ d= 12 n+1 yy`㉠ 이때, xÁ, xª, y, xÇ이 자연수이므로 d는 자연수이다. ㉠을 만족시키는 자연수 n, d의 값을 순서쌍 (n, d)로 나타내면 -3n+35<0에서 3n>35 ∴ `n> =11.6___ :£3°: (1, 6), (2, 4), (3, 3), (5, 2), (11, 1) 따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제 12 항이다.  ② 따라서 공차가 될 수 없는 것은 ⑤이다.  ⑤ … ❶ … ❷ … ❸ … ❹  -8 비율 40`% 20`% 20`% 20`% yy`㉠ yy`㉡ 8 등차수열과 등비수열 | 123 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 123 2018-03-13 오후 2:33:31 8ㅡ등차수열과 등비수열 1 a 1 b 1 a 채점 기준 1014 첫째항이 4, 공차가 2인 등차수열의 제(n+2)항이 34이므로 4+(n+1)´2=34, 2(n+1)=30, n+1=15 n은 , 의 등차중항이므로 n= ;2!;{ + 1 b } = a+b 2ab = 8 2´(-4) =-1 ∴`n=14  14 ∴ mn=-4 1015 주어진 등차수열의 공차를 d라 하면 수열 0, aÁ, aª, y, aµ, 10에서 10은 제(m+2)항이므로 ∴ d= 10 m+1 0+(m+1)d=10 yy`㉠ 또, 수열 10, bÁ, bª, y, bÇ, 30에서 10을 첫째항으로 보면 30은 제(n+2)항이므로 10+(n+1)d=30 ∴ d= 20 n+1 ㉠, ㉡에서 10 m+1 = 20 n+1 이므로 10(n+1)=20(m+1), n+1=2m+2 ∴ n=2m+1 ❶ 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b, ab의 값을 구할 수 있다. ❷ a, b의 등차중항인 m의 값을 구할 수 있다. ❸ ;Œ!;, ;º!;의 등차중항인 n의 값을 구할 수 있다. ❹ mn의 값을 구할 수 있다. yy`㉡ 1019 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 ∴ b= a+c 2 또, cÛ`, aÛ`, bÛ`이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2b=a+c  ② 2aÛ`=cÛ`+bÛ` ㉠을 ㉡에 대입하면 … ❸ … ❹  -4 비율 30`% 30`% 30`% 10`% yy`㉠ yy`㉡ 1016 |전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c임을 이용한다. 세 수 x-1, xÛ`+1, 3x+1이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2aÛ`=cÛ`+ `, 7aÛ`-2ac-5cÛ`=0 a+c { 2 } 2` (7a+5c)(a-c)=0 ∴ c=- a`(∵ a+c) ;5&; a, b, c는 서로 다른 세 정수이다. 이때, c가 정수이므로 a는 5의 배수이고 00)로 놓으면 (a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=120 5a=120 ∴ `a=24 또, (a-2d)+(a-d)= {a+(a+d)+(a+2d)}이므로 ;7!; 7(2a-3d)=3a+3d ∴ 11a=24d yy`㉠ a=24를 ㉠에 대입하면 11´24=24d ∴ d=11 따라서 가장 많이 받은 학생의 빵의 개수는 a+2d=24+2´11=46  ③ … ❶ … ❷  -5 비율 50`% 50`% yy`㉠ yy`㉡ k(100+0) 2 =1050 ∴ k=21  즉, aªÁ=0이므로 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 100+20d=0 ∴ d=-5 yy`㉠ yy`㉡ 따라서 공차는 -5이다.  채점 기준 ❶ k의 값을 구할 수 있다. ❷ 공차를 구할 수 있다. 1027 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¢+aÁ¼=(a+3d)+(a+9d)=2a+12d=42 ∴ a+6d=21 ∴ a+9d=30 a¤+aÁ¢=(a+5d)+(a+13d)=2a+18d=60 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=3 따라서 aÁ+aª+ y +aÇ= n{2´3+(n-1)´3} 2 nÛ`+n-110=0, (n-10)(n+11)=0 =165에서 ∴ n=10 ( ∵ n은 자연수)  10 1028 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 ∴ d=-3 aÁ¼=31+9d=4 1024 |전략| 주어진 항을 이용하여 첫째항 a와 공차  d를 구한 다음 등차수열의 첫째 ∴ aÇ=31+(n-1)´(-3)=-3n+34 제 n 항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 항부터 제 n 항까지의 합은 n{2a+(n-1)d} 2 임을 이용한다. 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=11에서 a+2d=11 a¦=35에서 a+6d=35 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, d=6 따라서 첫째항부터 제 10 항까지의 합은 10{2´(-1)+(10-1)´6} 2 =260 yy`㉠ yy`㉡  ④ aÇ<0에서 -3n+34<0 ∴ `n> =11.3___ :£3¢: 즉, 수열 {aÇ}은 첫째항부터 제 11 항까지는 양수이고, 제 12 항부터 음수이다. aÁÁ=1, aÁª=-2, aÁ°=-11이므로 |aÁ|+|aª|+|a£|+ y +|aÁ°| =(aÁ+aª+a£+ y +aÁÁ)-(aÁª+aÁ£+aÁ¢+aÁ°) - 4{-2+(-11)} = 11(31+1) 2 2 =176+26=202  ④ 1025 첫째항이 3, 공차가 4인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합이 210이므로 n{2´3+(n-1)´4} 2 =210 2nÛ`+n-210=0, (2n+21)(n-10)=0 1029 aÁ+bÁ=3, 항수가 100인 등차수열의 합이 550이므로 S100+T100= 100{(aÁ+bÁ)+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)} 2 S100+T100=50{3+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)}=550 ∴`n=10`(∵`n은 자연수)  ③ 에서 3+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)=11 ∴ aÁ¼¼+bÁ¼¼=8  ① 8 등차수열과 등비수열 | 125 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 125 2018-03-13 오후 2:33:32 8ㅡ등차수열과 등비수열 다른 풀이 S100+T100= 100(aÁ+aÁ¼¼) 2 + 100(bÁ+bÁ¼¼) 2 1034 |전략| 주어진 등차수열의 합을 이용하여 첫째항과 공차를 구한 다음 제 30항까       = = = =50(aÁ+aÁ¼¼)+50(bÁ+bÁ¼¼) =50{(aÁ+aÁ¼¼)+(bÁ+bÁ¼¼)} =50{(aÁ+bÁ)+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)} =50{3+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)}=550 이므로 3+(aÁ¼¼+bÁ¼¼)=11 ∴ aÁ¼¼+bÁ¼¼=8 1030 등차수열 {aÇ}, {bÇ}의 공차를 각각 d, d'이라 하면 aÁ+bÁ=12, d+d'=5 ∴ (aÁ+aª+ y +a£¼)+(bÁ+bª+ y +b£¼) ∴ =(aÁ+bÁ)+(aª+bª)+ y +(a£¼+b£¼) ∴ = 30{2´12+(30-1)´5} =2535 2 다른 풀이 (aÁ+aª+ y +a£¼)+(bÁ+bª+ y +b£¼) 30(2bÁ+29d') 30(2aÁ+29d) 2 2 + 30{2(aÁ+bÁ)+29(d+d')} 2 30(2´12+29´5) 2 =2535 1031 |전략| 두 수 a, b 사이에 n개의 수를 넣어서 만든 등차수열의 합은 (n+2)(a+b) 2 임을 이용한다. 첫째항이 1, 끝항이 39, 항수가 n+2인 등차수열의 합이 400이므로 (n+2)(1+39) 2 이때, 39는 제20항이므로 =400, n+2=20 ∴ `n=18 1+(20-1)d=39 ∴ `d=2  n=18, d=2 1032 수열 52, aÁ, aª, a£, y, aÁ¼, 8은 12개의 항으로 이루어진 등차수열이 므로 52+aÁ+aª+a£+ y +aÁ¼+8= 12(52+8) =360 2 ∴`aÁ+aª+a£+ y +aÁ¼=360-(52+8)=300  ③ 지의 합을 구한다. 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 SÁ¼= 10{2a+(10-1)d} =10에서 2 2 2a+9d=2 Sª¼= 20{2a+(20-1)d} =40에서 2a+19d=4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , d= ;1Á0; ;5!; 30 2´ [ ;1Á0; +(30-1)´ ;5!;] ∴`S£¼= 2 =90  ⑤  2535 1035 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d, 첫째항부터 제n항까지의 합 을 SÇ이라 하면 S°= 5{2a+(5-1)d} =50에서 2 2a+4d=20 SÁ¼-S°= 10{2a+(10-1)d} -50=125에서 2a+9d=35 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, d=3 따라서 제 11 항부터 제 15 항까지의 합은 SÁ°-SÁ¼= 15{2´4+(15-1)´3} -(50+125) 2 2 SÁ°-SÁ¼=375-175=200  ⑤ yy`㉠ yy`㉡ yy`㉠ yy`㉡ 1036 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 SÁ¼= 10{2a+(10-1)d} 2 =120에서 2a+9d=24 yy`㉠` Sª¼= 20{2a+(20-1)d} 2 =440에서 2a+19d=44 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=2  ∴`aÁÁ+aÁª+ y +a£¼=S£¼-SÁ¼ yy`㉡`  … ❶ … ❷ 1033 첫째항이 24, 끝항이 -44, 항수가 n+2인 등차수열의 합은 (n+2){24+(-44)} 2 =-10(n+2) 한편, 24+(aÁ+aª+a£+ y +aÇ)+(-44) =24-120-44=-140 ㉠=㉡이므로 -10(n+2)=-140, n+2=14 ∴`aÁÁ+aÁª+ y +a£¼= 30{2´3+(30-1)´2} 2 -120 yy`㉠ ∴`aÁÁ+aÁª+ y +a£¼=960-120=840  채점 기준 yy`㉡  ③ ❶ a, d에 대한 연립방정식을 세울 수 있다. ❷ a, d의 값을 구할 수 있다. ❸ aÁÁ+aÁª+ y +a£¼의 값을 구할 수 있다. … ❸  840 비율 50`% 10`% 40`% ∴ n=12 126 | III . 수열 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 126 2018-03-13 오후 2:33:32 정답과 해설 1037 |전략| 등차수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 SÇ이라 할 때 aû>0, ak+1<0이면 SÇ의 최댓값은 Sû임을 이용한다. 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¦=4에서 a+6d=4 yy`㉠ aÁ¼=-5에서 a+9d=-5 yy`㉡ 1040 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 aÇ=17+(n-1)d 이때, S»의 값이 최대이므로 a»>0, aÁ¼<0이어야 한다. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=22, d=-3 ∴`aÇ=22+(n-1)´(-3)=-3n+25 제n항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 -3n+25<0에서  3n>25 ∴`n> =8.3___ :ª3°: 즉, 수열 {aÇ}은 제9항부터 음수이므로 첫째항부터 제8항까지의 합 이 최대이다. 따라서 구하는 최댓값은 S¥= 8{2´22+7´(-3)} 2 =92 1041 |전략| 자연수 d로 나누었을 때의 나머지가 a(0Éa0에서 d>- aÁ¼=17+9d<0에서 d<- :Á8¦: :Á9¦: ∴ - 34 ∴ n> =8.5 :£4¢: 따라서 수열 {aÇ}은 제9항부터 음수이므로 SÇ이 최대가 되는 n의 값 은 8이다.  ② 다른 풀이 SÇ= n{2´30+(n-1)´(-4)} 2    =-2nÛ`+32n=-2(n-8)Û`+128 따라서 SÇ이 최대가 되는 n의 값은 8이다. 1039 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 S¢= 4(2´10+3d) =6d+40 S¦= 7(2´10+6d) =21d+70 S¢=S¦에서 6d+40=21d+70 -15d=30 ∴ d=-2 2 2 ∴ aÇ=10+(n-1)´(-2)=-2n+12 제 n 항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 -2n+12<0에서 n>6 즉, 수열 {aÇ}은 제7항부터 음수이므로 첫째항부터 제6항까지의 합 이 최대이다. 그 합은 33(102+198) 2 =4950 끝항이 198이므로 102+(n-1)´3=198에서 n=33 따라서 항수는 33이다. 이 수열은 첫째항이 102, 끝항이 198, 항수가 33인 등차수열이므로 따라서 구하는 최댓값은 S¤= 6{2´10+5´(-2)} 2 =30 100부터 200까지의 자연수 중에서 4의 배수는  ⑤ 100, 104, 108, y, 200 8 등차수열과 등비수열 | 127 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 127 2018-03-13 오후 2:33:33 8ㅡ등차수열과 등비수열 이 수열은 첫째항이 100, 끝항이 200, 항수가 26인 등차수열이므로 끝항이 200이므로 100+(n-1)´4=200에서 n=26 따라서 항수는 26이다. = 2c d ;cD; 에서 =2 dÛ` cÛ` ∴` = 2  (∵`c>0, d>0) ;cD; ' 한편, 100부터 200까지의 자연수 중에서 12의 배수는 따라서 직선 AB의 기울기는 = = 2 ' ;cD; ;aB;  2 ' 그 합은 26(100+200) 2 =3900 108, 120, 132, y, 192 합은 8(108+192) 2 =1200 는 수의 총합은 4950+3900-1200=7650 이 수열은 첫째항이 108, 끝항이 192, 항수가 8인 등차수열이므로 그 끝항이 192이므로 108+(n-1)´12=192에서 n=8 따라서 항수는 8이다. 따라서 100부터 200까지의 자연수 중에서 3 또는 4로 나누어떨어지 1044 |전략| n각형의 외각의 크기의 총합은 360ù임을 이용한다. n각형의 내각의 크기는 공차가 10ù인 등차수열을 이루고 최대각의 크기가 170ù이므로 n개의 외각의 크기는 첫째항이 180ù-170ù=10ù, 공차가 10ù인 등차수열을 이룬다. (외각의 크기의 총합)= n{2_10ù+(n-1)_10ù} =360ù 2 이므로 n(n+1)=72, nÛ`+n-72=0, (n+9)(n-8)=0 그런데 n은 3보다 크거나 같은 자연수이므로 n=8  8 1045 직선 x=n(n=1, 2, y, 10)과 두 곡선 y=xÛ`+10, y=xÛ`-4x+10과의 교점을 이은 선분의 길이는 (nÛ`+10)-(nÛ`-4n+10)=4n 따라서 직선 x=1, x=2, y, x=10과 두 곡선의 교점을 이은 10개 의 선분의 길이는 첫째항이 4, 공차가 4인 등차수열을 이룬다. 이때 첫째항은 4, 끝항은 40, 항수는 10이므로 등차수열의 합은 10(4+40) 2 =220 따라서 구하는 선분의 길이의 합은 220이다.  ② 1046 점 A, B, C, D, E의 좌표를 각각 A(-a, 0), B(0, b), C(c, 0), D(0, -d), E(-e, 0) 이라 하면 a>0, d>0, e>0으로 하기 위해 -a, -d, -e로 놓는다. △ABO, △BCO, △CDO, △DEO는 서로 닮음이므로 OAÓ, OCÓ, EAÓ의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 yy`㉠ OBÓ OAÓ = OCÓ OBÓ = ODÓ OCÓ = OEÓ ODÓ 에서 = ;bC:=;cD;=;dE; ;aB; OAÓ+EAÓ=2OCÓ, 즉  OEÓ=2OCÓ ∴`e=2c e=2c를 ㉠의 = 에 대입하면 ;cD; ;dE; 128 | III . 수열 1047 |전략| aÁ`=SÁ이고, aÇ=SÇ-Sn-1(n¾2)임을 이용한다. SÇ=-2nÛ`+3n이므로 aÁ=SÁ=-2´1Û`+3´1=1 aÁ¼ =SÁ¼-S»  ④ =(-2´10Û`+3´10)-(-2´9Û`+3´9)=-35 ∴`aÁ+aÁ¼=1-35=-34 다른 풀이 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=-2´1Û`+3´1=1 Û n¾2일 때, aÇ=SÇ-Sn-1     ② =-2nÛ`+3n-{-2(n-1)Û`+3(n-1)} =-2nÛ`+3n-(-2nÛ`+7n-5) =-4n+5 yy ㉠ 이때, aÁ=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 aÇ=-4n+5 ∴ aÁ+aÁ¼=1+(-4´10+5)=-34 1048 SÇ=nÛ`+n이라 하면 a°=S°-S¢=(5Û`+5)-(4Û`+4)=10 TÇ=2nÛ`-kn이라 하면 b°=T°-T¢=(2´5Û`-k´5)-(2´4Û`-k´4)=18-k 이때, a°=b°이므로 10=18-k ∴ `k=8 1049 SÇ=nÛ`+3n에서 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`+3´1=4 Û n¾2일 때, Û aÇ =SÇ-Sn-1 =2n+2 =nÛ`+3n-{(n-1)Û`+3(n-1)}   8 yy`㉠ 이때, aÁ=4는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 ∴ `aªÇ=4n+2 aÇ=2n+2 aª+a¢+a¤+ y +aªÇ은 첫째항이 aª=6, 끝항이 aªÇ=4n+2, 항 수가 n인 등차수열의 합이고, 그 값은 336이므로 aª+a¢+a¤+ y +aªÇ= n{6+(4n+2)} 2 aª+a¢+a¤+ y +aªÇ=2nÛ`+4n=336 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 128 2018-03-13 오후 2:33:33 정답과 해설 ∴ a¥=64´ - { ;2!;} =2ß`´ { - 1 =- ;2!; 2à` }  - ;2!;  16  ;5!;  -4 또는 4 nÛ`+2n-168=0, (n+14)(n-12)=0 ∴`n=12`(∵ n은 자연수) 1055  ② 1050 ㄱ. n=1일 때, aÁ=SÁ=-2´1Û`+11´1-7=2 (참) ㄴ. n¾2일 때, ㄴ. aÇ =SÇ-Sn-1 =(-2nÛ`+11n-7)-{-2(n-1)Û`+11(n-1)-7}   =(-2nÛ`+11n-7)-(-2nÛ`+15n-20)    =-4n+13 ㄴ. 따라서 구하는 수열의 일반항은 ㄴ. aÁ=2, aÇ=-4n+13(n¾2)이므로 수열 {aÇ}은 제2항부터 등 차수열이다. (거짓) ㄷ. 제n항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 ㄴ. -4n+13<0에서 4n>13 ㄴ. 즉, 수열 {aÇ}은 제4항부터 음수이므로 첫째항부터 제3항까지의 ㄴ. ∴ n> =3.25 :Á4£: 합이 최대이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 개념 마스터 2 =2에서 공비가 2이므로 주어진 수열은  ① 1058 공비를 r라 하면 a°=-128에서 첫째항이 64, 공비가 - 이므로 ;2!; aÇ=64´ - { ;2!;} n-1 7` 1056 첫째항이 ' 2´( 2, 공비가 2)n-1=( ' aÇ= ' ∴ a¥=( ' ' 2)¡`={( ' 2이므로 2)Ç` ' 2)Û`}Ý`=16 1057 공비를 r라 하면 a¢=5에서 625´rÜ`=5, rÜ`= ;12!5; 이때, r는 실수이므로 r= ;5!; - { ;2!;} ´rÝ`=-128, rÝ`=256 이때, r는 실수이므로 r=Ñ4 1059 x가 3과 75의 등비중항이므로 1060 x가 1과 의 등비중항이므로 ;9!; 1061 2(3Þ`-1) 3-1 1062 이므로 STEP1 1051 ;2$; 1052 -2 2 1054 2, 4, 8 , 16 , 32, y  8, 16 xÛ`=3´75=225 ∴ x=Ñ15  -15 또는 15 x=15이면 공비가 5 x=-15이면 공비가 -5 인 등비수열이다. =-1에서 공비가 -1이므로 주어진 수열은 2, -2 , 2, -2, 2 , y  -2, 2 xÛ`=1´ = ;9!; ;9!; ∴ x=Ñ ;3!;  - ;3!;  또는   ;3!; 1053 첫째항이 -1, 공비가 4이므로 aÇ=-1´4n-1=-4n-1  aÇ=-4n-1 =3Þ`-1=242  242 첫째항이 1, 공비가 - 인 등비수열의 첫째항부터 제10항까지의 합 ;3!; 1, ` `  - , ` `   , ` `  - , ` `   , ` `y ;2!; ;4!; ;8!; ;1Á6; _ - { ;2!;} _ - { ;2!;} _ - { ;2!;} _ - { ;2!;} 첫째항이 1, 공비가 - 이므로 ;2!; aÇ=1´ - { ;2!;} = - { ;2!;} n-1 n-1 1- + - ;3!; ;9!; ;2Á7; + y + - { ;3!;} 9` 1- 1´ [ - { ;3!;} 10 ] = 1- {-;3!;} = 1- - { ;3!;} ;4#;[ 10 ]  ;4#;[ 1- - { ;3!;} ] 10  aÇ={ - ;2!;} n-1 8 등차수열과 등비수열 | 129 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 129 2018-03-13 오후 2:33:33 8ㅡ등차수열과 등비수열 정답과 해설 이므로 = 0.2(1-0.1¡`) 1-0.1 = (1-0.1¡`) ;9@; 1063 첫째항이 0.2, 공비가 0.1인 등비수열의 첫째항부터 제 8 항까지의 합 0.2+0.02+0.002+ y +0.00000002  ;9@; (1-0.1¡`) 따라서 등비수열 {aÇ}의 첫째항과 공비는 각각 , ;2#; ;4!; 이다.  ② 유형 마스터 유형 마스터 2 STEP2 1064 |전략| 등비수열 {aÇ}의 공비는 r= 임을 이용한다. aª aÁ aÇ=3_ 1 22n-1 에서 aÁ=3_ 1 2Ú` = ;2#; , aª=3_ 1 2Ü` = ;8#; 이때, 공비는 = aª aÁ = ;4!; ;8#; ;2#; 첫째항이 8, 공비가 이므로 일반항을 aÇ이라 하면 2,   4, y 1065 8,   4 ' _ 1 2 ' _ 1 2 ' n-1 1 2 } aÇ=8´ { ' ∴`a»= 8 (' 즉, sin h= ;2!; = ;2!; 2)¡` 1 2 ' = 8 (' 2)n-1 n-1 = ;12!8; 64´ {;2!;} n-1 {;2!;} n-1=13 = ;12!8; ´ ;6Á4; = 1 2à` ∴ n=14 따라서  은 제14항이다. ;12!8; ´ 1 2ß` = 1 213 = {;2!;} 13 1067 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0)라 하면 a°=24에서 arÝ`=24 a¦=96에서 arß`=96 ㉡Ö㉠을 하면 rÛ`=4 ∴`r=2 (∵`r>0) r=2를 ㉠에 대입하면 a´2Ý`=24 ∴`a= ;2#; 따라서 aÇ= ;2#; ´2n-1이므로 aÁ¼= ´2á`=768 ;2#; 1068 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a(a>0), 공비를 r(r>0)라 하면 aÁÛ`+aªÛ`=10에서 aÛ`+(ar)Û`=10 ∴ aÛ`(1+rÛ`)=10 a£Û`+a¢Û`=160에서 (arÛ`)Û`+(arÜ`)Û`=160 ∴ aÛ`rÝ`(1+rÛ`)=160 ㉡Ö㉠을 하면 rÝ`=16 ∴ r=2 (∵ r>0) r=2를 ㉠에 대입하면 aÛ`(1+4)=10, aÛ`=2 = (arÝ`)Û` ar a°Û` aª ∴ ∴ a= 2 (∵ a>0) ' =arà`= 2´2à`=128 2 ' '  128 2 ' 에서 0ùk를 만족시키는 자연 수 n의 최솟값을 구한다. 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 aª=9에서 ar=9 a°=243에서 arÝ`=243 ㉡Ö㉠을 하면 rÜ`=27 ∴ `r=3 ( ∵ r는 실수) r=3을 ㉠에 대입하면 a´3=9 ∴ aÇ=3´3n-1=3Ç` 3Ç`>3000에서 3à`=2187, 3¡`=6561이므로 n¾8 ∴ `a=3 yy`㉠ yy`㉡ 따라서 처음으로 3000보다 커지는 항은 제8항이다.  ③ 따라서 처음으로 1000보다 커지는 항은 제11항이다.  ② 1072 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 aª+a¢=10에서 ar+arÜ`=10 ∴ ar(1+rÛ`)=10 a£+a°=20에서 arÛ`+arÝ`=20 ∴ arÛ`(1+rÛ`)=20 ㉡Ö㉠을 하면 r=2 r=2를 ㉠에 대입하면 10a=10 ∴`aÇ=1´2n-1=2n-1 2n-1>1000에서 2á`=512, 210=1024이므로 ∴ `a=1 n-1¾10 ∴ n¾11 등비수열 {aÇ}의 첫째항이 1, 공비가 이므로 ;2!; 1073 n-1 aÇ= {;2!;} |an+1-aÇ|< 에서 ;50!0; n-1 n - |{;2!;} {;2!;} < | , ;50!0; |{;2!;} n -2´ n < {;2!;} | ;50!0; n < , n < {;2!;} | ;50!0; {;2!;} ;50!0; - | , 2Ç`>500 이때, 2¡`=256, 2á`=512이므로 n¾9 따라서 구하는 자연수 n의 최솟값은 9이다. 1074 |전략| 두 수 a, b 사이에 n개의 수를 넣어서 등비수열을 만들면 a는 첫째항이고, b는 제(n+2)항임을 이용한다. 공비를 r라 하면 첫째항이 3, 제12항이 30이므로 3r11=30 ∴ `r11=10 이때, aÁ, a10은 각각 제2항, 제11항이므로 aÁ=3r, a10=3r10 ∴ aÁa10=3r´3r10=9r11=9´10=90  ③ 1075 는 제(n+2)항이므로 36´ n+1 = {;3!;} ;72$9; ;72$9; {;3!;} n+1 n+1=8 ´ = 1 = 4 3ß` 3ß` ∴ n=7 ;3Á6; ´ 1 3Û` = 1 3¡` = {;3!;} 8`  ⑤  ② 1076 공비를 r(r>0)라 하면 첫째항이 12, 제5항이 972이므로 12rÝ`=972, rÝ`=81 ∴ `r=3 (∵ r>0) ∴ c-a=12´3Ü`-12´3=288  288 1077 공비를 r라 하면 첫째항이 8, 제(n+2)항이 128이므로 8´rn+1=128 ∴ rn+1=16=2Ý` yy`㉠ 이를 만족시키는 자연수 r과 n의 순서쌍 (r, n)은 (2, 3), (4, 1) yy`㉡ 이때, aÁ=8r이므로 r의 값이 최대일 때, aÁ의 값이 최대이다. 따라서 r=4이므로 aÁ=8´4=32  32 1078 |전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이루면 bÛ`=ac임을 이용한다. x, x+6, 9x가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 (x+6)Û`=x´9x, xÛ`+12x+36=9xÛ` 8xÛ`-12x-36=0, 2xÛ`-3x-9=0 (2x+3)(x-3)=0  ∴ x=3 (∵ x>0)  ③ 1079 cos h, 2 sin h, 이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 1 cos h (2 sin h)Û`=cos h´ 4 sinÛ` h=1, sinÛ` h= 1 cos h ;4!; 그런데 0ù0)  채점 기준 ❶ 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b, ab의 값을 구할 수 있다. ❷ 등비중항을 이용하여 a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다. ❸ k의 값을 구할 수 있다. … ❷ … ❸  25 비율 30`% 30`% 40`% 1081 다항식  f(x)를 x+1, x-1, x-2로 나누었을 때의 나머지는 나머 지정리에 의해 각각  f(-1),  f(1),  f(2)이고 이 세 수가 이 순서대 로 등비수열을 이루므로 { f(1)}Û`=f(-1)´f(2)  f(x)=xÛ`+2x+a에서 (a+3)Û`=(a-1)(a+8) aÛ`+6a+9=aÛ`+7a-8 ∴ `a=17 (b+6)(b-8)=0 ∴ `b=8 (∵`b는 자연수) b=8을 ㉡에 대입하면 2a=32 ∴ a=16  ② 1084 a, x, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2x=a+b a, y, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 yÛ`=ab , , ;a!; ;z!; ;b!; 이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 = a+b ab ∴ z= 2ab a+b =ab=yÛ`이므로 에서 = + ;b!; ;a!; ;z@; 이때, xz= a+b 2 ;z@; ´ 2ab a+b yÛ`-xz=0 참고  yÛ`=xz에서 y는 x와 z의 등비중항이므로 세 수 x, y, z (또는 z, y, x)는 이 순서대로 등비수열을 이루고 있음을 알 수 있다.  0 1085 |전략| 등비수열을 이루는 세 수를 a, ar, arÛ`으로 놓는다. 세 실수를 a, ar, arÛ`으로 놓으면 a+ar+arÛ`=26 ∴ a(1+r+rÛ`)=26 a´ar´arÛ`=216, (ar)Ü`=216 ∴ ar=6 yy`㉠ yy`㉡ ㉡에서 a= 을 ㉠에 대입하면 ;r^; (1+r+rÛ`)=26, 3rÛ`-10r+3=0 ;r^; 따라서  f(x)=xÛ`+2x+17이므로  f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는  f(-2)=17  ② (3r-1)(r-3)=0 ∴ r= 또는 r=3 ;3!; r= 일 때 a=18, r=3일 때 a=2이므로 세 실수는 2, 6, 18이다. ;3!; 따라서 가장 큰 수는 18이다.  18 1082 |전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c이고, 등비수열 을 이루면 bÛ`=ac임을 이용한다. 8, a, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 1086 곡선 y=-xÜ`+6xÛ`+24x와 직선 y=k의 교점의 x좌표는 방정식 2a=8+b yy`㉠ -xÜ`+6xÛ`+24x=k, 즉 xÜ`-6xÛ`-24x+k=0의 실근이다. a, b, 36이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 삼차방정식 xÜ`-6xÛ`-24x+k=0의 서로 다른 세 실근을 a, ar, arÛ` yy`㉡ 이라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 bÛ`=36a ㉠을 ㉡에 대입하면 bÛ`=18(8+b), bÛ`-18b-144=0 (b+6)(b-24)=0 ∴ `b=24`(∵ b>0) b=24를 ㉠에 대입하면 2a=32 ∴ a=16 1083 a, b, 4가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 bÛ`=4a 24, a, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2a=24+b ㉡을 ㉠에 대입하면 bÛ`=2(24+b), bÛ`-2b-48=0 132 | III . 수열 a+ar+arÛ`=6 ∴ a(1+r+rÛ`)=6 yy`㉠ aÛ`r+aÛ`rÛ`+aÛ`rÜ`=-24 ∴ aÛ`r(1+r+rÛ`)=-24 yy`㉡ a´ar´arÛ`=-k, aÜ`rÜ`=-k ∴ (ar)Ü`=-k yy`㉢ ㉡Ö㉠을 하면 ar=-4 (-4)Ü`=-k ∴ k=64  64 yy`㉠ yy`㉡ 1087 |전략| 삼각형의 닮음비를 이용하여 수열 {aÇ}을 구한다. 오른쪽 그림의 색칠한 삼각형 TÁ과 삼 A 2-a¡ 각형 ABC는 닮음이므로 (2-aÁ) : aÁ 2 : 4에서 = 8-4aÁ=2aÁ ∴ aÁ= ;3$; T¡ a¡ 2 B T™ a£ a™ T£ ... 4 C ∴ a+b=16+24=40  40 ar=-4를 ㉢에 대입하면 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 132 2018-03-13 오후 2:33:35 정답과 해설 삼각형 Tª와 삼각형 ABC는 닮음이므로 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 넓이는 (aÁ-aª) : aª=2 : 4에서 4aÁ-4aª=2aª ∴ aª= aÁ= ´ ;3@; ;3$; ;3@; 같은 방법으로 (aª-a£) : a£=2 : 4에서 4aª-4a£=2a£ ∴ a£= aª= ;3@; `´ {;3@;} ;3$; 따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열이므로 ;3$; ;3@; n-1 aÇ= ´ ;3$; {;3@;} ∴ a¦= ´ ;3$; {;3@;} `=2´ ` {;3@;} 7`  2´ {;3@;} 7` 1088 정사각형 TÁ의 넓이가 4이므로 한 변의 길이는 ' 정사각형 Tª의 넓이가 2이므로 한 변의 길이는 ' 정사각형 T£의 넓이가 1이므로 한 변의 길이는 1 2 4=2 8´ =4 ;2!; 4´ =2 ;2!; ⋮ 2´ =1 ;2!; 따라서 정사각형 TÇ의 한 변의 길이는 2´ n-1 1 2 } ' { ∴ a= 1 2 ' 2 = ' 2 다른 풀이 주어진 정사각형의 넓이가 8이므로 한 변의 길이는 ' 8=2 2 ' 2  ' 2 정사각형 TÁ의 한 변의 길이는 " 정사각형 Tª의 한 변의 길이는 "à 정사각형 T£의 한 변의 길이는 ¾Ð{ ⋮ 2)Û`=2 2)Û`+( ( Ã' 1Û`+1Û`= ' 2 ' 2 ' 2 } `+ { 2 ' 2 } `=1 따라서 정사각형 TÇ의 한 변의 길이는 2´ n-1 1 2 } ' { 이므로 2 a= ' 2 1089 1090 ;2!; ;2!; 사각형 AÁ의 넓이는 ´2´1=1 사각형 Aª의 넓이는 ´1= ;2!; 사각형 A£의 넓이는 ´ ;2!; ;2!; = {;2!;} 사각형 A¢의 넓이는 ´ ;2!; {;2!;} ⋮ = 2` {;2!;} 3` 2` n-1 사각형 AÇ의 넓이는 {;2!;} n-1 이때 {;2!;} < ;10!0; n-1¾7 ∴ n¾8 1회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는 2회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는 3회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는 n회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는 3 ' 4 3 ' 4 ´ ;4!; 3 = ' 16 3 ' 16 ´ ;4#; 2 3 ' 16 ´ {;4#;} ⋮ n-1 3 ' 16 ´ {;4#;} 따라서 11회 시행에서 색칠하게 되는 정삼각형의 넓이는 10 3 ' 16 ´ {;4#;} 이므로 n=10  10 1091 |전략| 처음의 양 a가 매일 일정한 비율 p %로 감소하면 n일 후의 양은 1- a { ;10P0;} 임을 이용한다. 처음 사용 가능한 시간은 20시간이고 한 번 충전할 때마다 성능이 n` 1`%씩 감소하므로 100번 충전할 때 사용 가능한 시간은 100 20 1- { ;10!0;} =20_0.99100=20_0.36=7.2(시간) 따라서 사용 가능한 시간은 7시간 12분이다.  ② 1092 처음 개체의 수를 a, 매일 증가하는 비율을 p`%라 하면 n일간 증가 한 개체의 수는 1+ a { ;10P0;} n 20 10 20일간 44`% 증가하였으므로 1+ a { ;10P0;} =1.44a, { 1+ ;10P0;} 20 =1.44 또, 10일 후의 개체의 수는 a 1+ 10 이므로 1+ a { ;10P0;} =a 1+ ®É{ ;10P0;} { ;10P0;} 20 =1.2a 즉, 10일 후의 개체의 수는 1.2a가 되었으므로 증가율은 1093 여과 장치를 통과하기 전의 처음 유해 세포 A의 양을 a개, 여과 장치 를 통과할 때마다 매회 감소되는 일정한 비율을 r라 하면 n회 통과했 8 등차수열과 등비수열 | 133 , 즉 2n-1>100에서 2ß`=64, 2à`=128이므로 (1.2-1)_100=20`(%)  ② 따라서 구하는 n의 값은 8이다.  8 3 |전략| 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 ' 4 aÛ`임을 이용한다. 을 때의 유해 세포 A의 양은 arÇ` 개이다. 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 133 2018-03-13 오후 2:33:36 8ㅡ등차수열과 등비수열2 6 2 2 ㉢을 ㉠에 대입하면 a=1.6_10Þ` ∴ a=2.56_10ß` ⇨ 공비가 rÛ`인 등비수열 10회 통과했을 때의 유해 세포 A의 양은 16만 개이므로 ar10=1.6_10Þ` 20회 통과했을 때의 유해 세포 A의 양은 1만 개이므로 ar20=0.1_10Þ` yy`㉠ yy`㉡ yy`㉢ ㉡Ö㉠을 하면 r10= ;1Á6; ∴ rÞ`= ;4!; 따라서 15회 통과했을 때의 유해 세포 A의 양은 ar15=2.56_10ß`_ =0.4_10Þ` ;1Á6; {;4!;} 3` 이므로 4만 개로 예상할 수 있다.  4만 개 1094 |전략| 첫째항이 a이고, 공비가 r(r+1)인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지 의 합은 a(1-rÇ`) 1-r 임을 이용한다. 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r<0)라 하면 a¢=24에서 arÜ`=24 a¥=384에서 arà`=384 ㉡Ö㉠을 하면 rÝ`=16 ∴ r=-2 (∵ r<0) r=-2를 ㉠에 대입하면 -8a=24 ∴ a=-3 따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제8항까지의 합은 -3{1-(-2)¡`} 1-(-2) =255 yy`㉠ yy`㉡  255 1095 첫째항이 1이고, 공비가 1+x(x+0)인 등비수열의 첫째항부터 제n 항까지의 합이므로 1+(1+x)+(1+x)Û`+(1+x)Ü`+ y +(1+x)n-1 = 1{(1+x)Ç`-1} (1+x)-1 = (1+x)Ç`-1 x  ④ 따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제11항까지의 합은 4(311-1) 3-1 =2(311-1)  ③ 등비수열 {aÇ}의 공비가 r일 때 ⑴ 수열 {aÇ+an+1}:aÁ+aª, aª+a£, a£+a¢, y ⇨ 공비가 r인 등비수열 ⑵ 수열 {a2n-1+a2n}:aÁ+aª, a£+a¢, a°+a¤, y 1098 등차수열 {aÇ}의 일반항이 aÇ=1+(n-1)´2=2n-1이므로 수열 {bÇ}의 일반항은 bÇ=32n-1 bÁ=3, bª=3Ü`, b£=3Þ`, y, bÁ¼=319 따라서 수열 {bÇ}은 첫째항이 3, 공비가 3Û`인 등비수열이므로 bÁ+bª+b£+ y +bÁ¼= 3{(3Û`)10-1} 3Û`-1 = 321-3 8 ∴ p=21  21 1099 주어진 수열에서 첫째항부터 제10항까지 더하면 2+ + 4+ ;2!;} { + 6+ ;4!;} { ;8!;} { + y + 20+ { 1 210 } =(2+4+6+ y +20)+ + + ;4!; ;8!; {;2!; + y + 1 210 } = 10(2+20) 2 + 10 1- ;2!;[ {;2!;} ] 1- ;2!; =110+1- 10 =111- 1 210 {;2!;} 1100 주어진 수열에서 첫째항부터 제10항까지 더하면 9+99+999+ y +99 y 9 [ 10개 =(10-1)+(10Û`-1)+(10Ü`-1)+ y +(1010-1) =(10+10Û`+10Ü`+ y +1010)-10  ②  ① 1096 등비수열의 첫째항을 a라 하면 공비가 4이므로 첫째항부터 제5항까 지의 합은 a(4Þ`-1) 4-1 ∴ a=3 =1023, a=1023 :Á;;¼3ª:£: = 10(1010-1) 10-1 -10  ③ = ;:!9):); (10á`-1) 1097 등비수열 {aÇ}의 첫째항이 1, 공비가 3이므로 수열 aÁ+aª, aª+a£, a£+a¢, y는 첫째항이 aÁ+aª=1+1´3=4, 공비가 aª+a£ aÁ+aª = 1´3+1´3Û` 1+1´3 =3인 등비수열이다. 1101 |전략| S2nÖSÇ=rÇ`+1(r+1)임을 이용한다. 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합 을 SÇ이라 하면 134 | III . 수열 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 134 2018-03-13 오후 2:33:36 정답과 해설 ´rÇ`=20´3=60  ① S°= =10 a(rÞ`-1) r-1 a(r10-1) r-1 SÁ¼= = a(rÞ`-1) r-1 ㉠, ㉡에서 10(rÞ`+1)=30 rÞ`+1=3 ∴ `rÞ`=2 yy`㉠ ㉠, ㉡에서 26rß`=702, rß`=27 rÛ`=3 (∵ r는 실수) ∴ r= 3 `(∵ r>0) ' ´(rÞ`+1)=30 yy`㉡ 1104 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0)라 하면 ∴`SÁ°= a(r15-1) r-1 = a(r5-1) r-1 ´(r10+rÞ`+1) ∴`SÁ°=10(2Û`+2+1)=10´7=70  70 1102 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0), 첫째항부터 제n항까 지의 합을 SÇ이라 하면 a(rÝ`-1) r-1 a(r¡`-1) r-1 ´(rÝ`+1)=765 yy`㉡ a(rÝ`-1) r-1 yy`㉠  … ❶ =45 S¥= S¢= = ㉠, ㉡에서 45(rÝ`+1)=765, rÝ`+1=17 rÝ`=16 ∴ r=2 (∵ r>0)  r=2를 ㉠에 대입하여 정리하면 ∴ a=3  15a=45 따라서 aÇ=3´2n-1이므로 a£=3´2Û`=12  채점 기준 ❶ S¢, S¥을 a, r에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❷ r의 값을 구할 수 있다. ❸ a의 값을 구할 수 있다. ❹ a£의 값을 구할 수 있다. 1103 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0), 첫째항부터 제n항까 지의 합을 SÇ이라 하면 aÁ+aª+ y +a¤=S¤= a(rß`-1) r-1 =26 이때, a¦+a¥+ y +aÁª=SÁª-S¤이므로 SÁª=S¤+702=26+702=728 a(rß`-1) r-1 a(r12-1) r-1 ∴ SÁª= = ㉠, ㉡에서 26(rß`+1)=728, rß`+1=28 rß`=27, rÛ`=3 ( ∵ r는 실수) ∴ r= 3 (∵ r>0) ' ´(rß`+1)=728 yy`㉡ … ❷ … ❸ … ❹  12 비율 40 % 20 % 20 % 20 % yy`㉠  3 ' aÁ+aª+a£+ y +aÇ= a(1-rÇ`) 1-r a2n+1+a2n+2+a2n+3+ y +a3n =ar2n+ar2n+1+ar2n+2+ y +ar3n-1 =20 = ar2n(1-rÇ`) 1-r = a(1-rÇ`) 1-r ´r2n=180 ㉠, ㉡에서 20r2n=180, r2n=9, (rÇ`)Û`=9 등비수열 {aÇ}의 공비가 양수이므로 rÇ`=3 ∴ an+1+an+2+an+3+ y +a2n ∴ =arÇ`+arn+1+arn+2+ y +ar2n-1 ∴ = arn(1-rÇ`) 1-r = a(1-rÇ`) 1-r 1105 |전략| aÇ=SÇ-Sn-1(n¾2)임을 이용한다. SÇ=2Ç`-1이므로 aÁ¼ aª (210-1)-(2á`-1) (2Û`-1)-(2Ú`-1) = = SÁ¼-S» Sª-SÁ 210-2á` 2Û`-2Ú` = = 2á`(2-1) 2(2-1) =2¡` 1106 ㄱ. Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=3Ú``-1=2 ㄱ. Û n¾2일 때, ㄱ. Û aÇ =SÇ-Sn-1=(3Ç`-1)-(3n-1-1) =3n-1(3-1)=2´3n-1 ㄱ. 이때, aÁ=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 ㄱ. aÇ=2´3n-1 (참) ㄴ. aÁ+a£+a°+a¦=2+2´3Û`+2´3Ý`+2´3ß`` ㄴ. aÁ+a£+a°+a¦=2(1+3Û`+3Ý`+3ß`) 1´{(3Û`)Ý`-1} 3Û`-1 ㄴ. aÁ+a£+a°+a¦=2´ ㄴ. aÁ+a£+a°+a¦= (3¡`-1) (참) ;4!; ㄷ. 수열 {aªÇ} : aª, a¢, a¤, y의 공비는 ㄴ. a¢ aª = 2´3Ü` 2´3 =3Û`=9 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 다른 풀이 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r>0)라 하면 aÁ+aª+ y +a¤ =a+ar+ y +arÞ =a(1+r+ y +rÞ`)=26 yy`㉠ a¦+a¥+ y +aÁª =arß`+arà`+ y +ar11 ` ` 1107 logª SÇ=n+1에서 SÇ=2n+1 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=4 Û n¾2일 때, =arß`(1+r+ y +rÞ`)=702 yy`㉡ aÇ=SÇ-Sn-1=2n+1-2Ç`=2Ç` yy`㉠ yy`㉡  ③ yy`㉠  ④ 8 등차수열과 등비수열 | 135 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 135 2018-03-13 오후 2:33:36 8ㅡ등차수열과 등비수열 따라서 aÁ=4, a°=2Þ`, aÁ¼=210이므로 aÁ+a°+aÁ¼=4+2Þ`+210 1108 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=3´2Û`+k=12+k yy`㉠  … ❶ Û n¾2일 때, Û aÇ =SÇ-Sn-1=3´2n+1+k-(3´2Ç`+k) 1111 =3´2Ç`(2-1)=3´2Ç` yy`㉡  … ❷ 이때, 이 수열이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉡에 n=1을 대입 한 것과 ㉠이 같아야 하므로 3´2=12+k ∴ k=-6 채점 기준 ❶ aÁ을 k에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❷ n¾2일 때, aÇ을 구할 수 있다. ❸ k의 값을 구할 수 있다. 768+768r+768rÛ`+ y +768rà`=  ④ 768+768r+768rÛ`+ y +768rà`= 768(1-r¡`) 1-r 768 [ 1- {;2!;} 1- ;2!; ] 8`  =1530(톤)  1530톤 1회 시행 시 버린 조각의 넓이는   ´4´4=4 2회 시행 시 버린 조각의 넓이는 4´ 3회 시행 시 버린 조각의 넓이는 4´ ⋮ n회 시행 시 버린 조각의 넓이는 4´ ;4!; ;4#; {;4#;} 2` n-1 {;4#;} … ❸  -6 비율 30 % 30 % 40 % 따라서 10회 시행하였을 때, 버린 조각의 넓이의 합은 10 4´ 1- [ {;4#;} ] 1- ;4#; =16´ 1- [ {;4#;} 10 ]  ④ 1112 |전략| 연이율 r의 복리로 매년 초에 a원씩 n년간 적립할 때, n년 후의 원리합계 는 a(1+r)+a(1+r)Û`+ y +a(1+r)Ç` 임을 이용한다. 매년 초에 a원씩 적립한다고 하면 12년 후의 원리합계는 a(1+0.06)+a(1+0.06)Û`+ y +a(1+0.06)12 yy`㉠ = a_1.06(1.0612-1) 0.06 = a_1.06(2.01-1) 0.06 =1000000 = 1.06_1.01_a 0.06 ∴`a= 1000000_0.06 1.06_1.01 ?56000(원) = a(1-r¡`) 1-r ´(1+r¡`)= ;2(; yy`㉡ 따라서 매년 초에 56000원씩 적립하면 된다.  ③ 1109 |전략| 파이프의 길이가 일정하게 감소하므로 등비수열임을 알고, 주어진 조건을 이용하여 공비를 구해 본다. 팬파이프의 첫 번째 파이프의 길이를 a`m, 전 파이프에 비해 감소하 는 길이의 비를 r, 첫 번째 파이프부터 n번째 파이프까지의 길이의 합 또, ar¡`+ará`+ y +ar15=SÁ¤-S¥이므로 을 SÇ`m라 하면 a(1-r¡`) 1-r S¥= =3 SÁ¤= +3= ;2#; ∴ SÁ¤= ;2(; a(1-r16) 1-r ㉠, ㉡에서 3(1+r¡`)= ;2(; 1+r¡`= ∴ Sª¢= ∴ r¡`= ;2#; a(1-r24) 1-r = ;2!; a(1-r¡`) 1-r ´(1+r¡`+r16) ∴ Sª¢=3 1+ + [ ;2!; {;2!;} ] :ª4Á: = `(m) 따라서 첫 번째 파이프부터 24번째 파이프까지의 길이의 합은 2` 이므로 파이프의 총 길이는 `m이다. :ª4Á: `m :ª4Á:  :ª4Á: `m 1113 매년 초에 적립하는 10만 원의 원리합계를 그림으로 나타내면 초1 초 초2 초 초3 초 고2 초 고3 초 고3 말 10 10 10 10 10 y y (단위: 만 원) 10(1+0.05)12 10(1+0.05)11 10(1+0.05)10 y 10(1+0.05)2 10(1+0.05) 1110 A지역의 연간 자동차 휘발유 소비량이 매년 r배 감소한다고 하면 4년 후의 휘발유의 소비량은 768rÝ`톤이므로 768rÝ`=48, rÝ`= ∴ r= (∵ r>0) ;1Á6; ;2!; 따라서 고등학교 3학년 연말에 은정이가 찾을 돈은 10(1+0.05)+10(1+0.05)Û`+ y +10(1+0.05)12 = 10_1.05(1.0512-1) 0.05 = 10_1.05(1.8-1) 0.05 따라서 8년 동안 사용되는 자동차 휘발유 소비량의 총합은 =168(만 원)  168만 원 136 | III . 수열 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 136 2018-03-13 오후 2:33:37 정답과 해설 1114 매년 1월 1일에 적립하는 금액의 원리합계를 그림으로 나타내면 2011 1 1 10 2012 1 1 2013 1 1 2020 1 1 2020 12 31 10^1.06 10^1.06#¤#### 10^1.06#·##### ... ... 올해 말부터 a만 원씩 12년 동안 갚는다고 할 때의 원리합계는 a+a(1+0.06)+ y +a(1+0.06)11 = a(1.0612-1) 1.06-1 = a(2-1) 0.06 yy ㉡ = :°3¼: a(만 원) ㉠과 ㉡이 같아야 하므로 6000= a ∴ a=360(만 원) :°3¼: 따라서 매년 말에 갚아야 할 금액은 360만 원이다.  360만 원 (단위: 조 원) 10^1.06#⁄#####‚##### 10^1.#06#⁄#####‚##### 10^1.#06#⁄#####‚##### . . . 10^1.#06#⁄#####‚##### 따라서 2020년 12월 31일까지 적립되는 금액의 원리합계는 10_1.0610_10=10_1.8_10=180(조 원)  ③ 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 1118 1115 |전략| a원을 n년에 걸쳐 상환할 때 (a원의 n년 후의 원리합계)=(n년 동안 상환한 금액의 원리합계)임을 이용한다. 갚아야 할 100만 원의 10개월 후의 원리합계는 100(1+0.02)10 =100_1.0210 =100_1.2=120(만 원) yy ㉠ 매달 초에 a만 원씩 10개월 동안 갚는다고 할 때의 원리합계는 a+a(1+0.02)+ y +a(1+0.02)á` = a(1.0210-1) 1.02-1 = a(1.2-1) 0.02 =10a(만 원) ㉠과 ㉡이 같아야 하므로 120=10a ∴ a=12(만 원) 따라서 매달 갚아야 할 금액은 12만 원이다.  12만 원 1116 매년 말에 800만 원씩 10년 동안 연이율 5`%의 복리로 적립한 금액 의 원리합계는 800+800_1.05+ y +800_1.05á` = 800(1.0510-1) = 800(1.6-1) 1.05-1 0.05 =9600(만 원) 의 원리합계는 a_1.0510=1.6a(만 원) ㉠과 ㉡이 같아야 하므로 9600=1.6a ∴ a=6000(만 원) 올해 초에 한꺼번에 연금 a만 원을 받는다고 하면 a만 원의 10년 후 따라서 올해 초에 한꺼번에 받는 금액은 6000만 원이다.  ① 1117 3000만 원을 12년 동안 예금할 때의 원리합계는 3000(1+0.06)12 =3000_1.0612 =3000_2=6000(만 원) 유형  02 항 또는 항 사이의 관계가 주어진 등차수열 |전략| 첫째항을 a, 공차를 d라 하고 주어진 조건을 이용하여 방정식을 세운다. 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=11에서 a+2d=11 aÁ¼=32에서 a+9d=32 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면`a=5, d=3 yy ㉠ yy ㉡ aÇ=5+(n-1)´3=3n+2이므로 제n항이 1211이라 하면 3n+2=1211, 3n=1209  ∴ n=403 따라서 1211은 제403항이다.  ③ yy ㉡ 1119 유형  03 조건을 만족시키는 등차수열 |전략| 등차수열 {aÇ}의 일반항을 구하고, 부등식을 이용하여 처음으로 100보다 크게 되는 항을 찾는다. 등차수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¦=24에서 a+6d=24 a° : aÁ° 3 : 8에서 8a°=3aÁ°, 8(a+4d)=3(a+14d) = yy ㉠ yy ㉡ 5a-10d=0  ∴ a-2d=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, d=3 ∴`aÇ=6+(n-1)´3=3n+3 yy ㉠ 3n+3>100에서 3n>97  ∴`n> =32.3___ :»3¦: 따라서 처음으로 100보다 크게 되는 항은 제33항이다.  ③ yy ㉡ 1120 유형  04 두 수 사이에 수를 넣어서 만든 등차수열 |전략| 두 수 a, b 사이에 n개의 수를 넣어서 등차수열을 만들면 a는 첫째항이고, b는 제(n+2)항임을 이용한다. 등차수열 2, aÁ, aª, a£, y, aÁ¼¼, 305에서 공차를 dÁ이라 하면 305는 제102항이므로 305=2+101dÁ ∴ dÁ=3 등차수열 3, bÁ, bª, b£, y, b50, 309에서 공차를 dª라 하면 309는 제52 항이므로 309=3+51dª ∴ dª=6 ` yy ㉠ ∴ bª-bÁ a100-a99 = dª dÁ = =2 ;3^;  ② 8 등차수열과 등비수열 | 137 8ㅡ 등 차 수 열 과 등 비 수 열 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 137 2018-03-13 오후 2:33:38 |전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c임을 이용한다. 등차수열 {aÇ}, {bÇ}, {cÇ}의 공차가 각각 dÁ, dª, d£일 때 ⑴ 수열 {aÇ+bÇ+cÇ}:aÁ+bÁ+cÁ, aª+bª+cª, a£+b£+c£, y 정답과 해설 1121 유형  05 등차중항 a, b, d가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2b=a+d 또, b, c, d가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2c=b+d ∴ b=2c-d ㉡을 ㉠에 대입하여 d에 대하여 풀면 2(2c-d)=a+d, 3d=4c-a ∴ d= 4c-a = 4c-a 4-1 따라서 점 D(d)는  ACÓ를 4 : 1로 외분한다. 3 다른 풀이 a, b, d가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 b-a=d-b에서  ABÓ=BDÓ 또, b, c, d가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 c-b=d-c 에서 `BCÓ=CDÓ ⇨ 공차가 dÁ+dª+d£인 등차수열 ⑵ 수열 {a2n-1}:aÁ, a£, a°, y 수열 {a2n}:aª, a¢, a¤, y ⇨ 공차가 2dÁ인 등차수열 yy ㉠ yy ㉡ 1124 유형  11 등차수열과 배수의 합  ① |전략| 자연수 d로 나누었을 때의 나머지가 a(0Éaa+d  ∴ 00) 조건 ㈏에서 a+d=25이므로 4d+d=25, 5d=25  ∴ d=5 넓이는 ´15´20=150 ;2!; 1123 유형  07 등차수열의 합 |전략| 세 수열 {aÇ}, {bÇ}, {cÇ}이 등차수열이면 {aÇ+bÇ+cÇ}도 등차수열임 을 이용한다. 세 수열 {aÇ}, {bÇ}, {cÇ}이 등차수열이므로 수열 {aÇ+bÇ+cÇ}도 등차수열이다. (aÁ+aª+ y +aÁ¼¼)+(bÁ+bª+ y +bÁ¼¼)+(cÁ+cª+ y +cÁ¼¼) =(aÁ+bÁ+cÁ)+(aª+bª+cª)+ y +(aÁ¼¼+bÁ¼¼+cÁ¼¼) 이므로 주어진 식은 첫째항이 24, 끝항이 26, 항수가 100인 등차수열 1127 의 합이다. ∴ (주어진 식)= 100(24+26) =50Û` 2 유형  16 조건을 만족시키는 등비수열 |전략| 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열 {aÇ}에서 arn-13000 n-1¾12 ∴ n¾13 yy ㉠ yy ㉡ a(1-rÞ`)(1+rÞ`) 1-r =3´ a(1-rÞ`) 1-r ∴ `rÞ`=2 1+rÞ`=3 Sª¼= a(1-r20) 1-r Sª¼= a(1-rÞ`) 1-r = a(1-r10)(1+r10) 1-r ´(1+rÞ`)(1+r10) Sª¼ =S°(1+2)(1+2Û`) (∵ ㉠) =15S° ∴ k=15 1131 유형  28 상환·연금과 등비수열 |전략| ( a원씩 n년 동안 적립한 금액의 원리합계) 따라서 처음으로 보다 작아지는 항은 제13항이다.  ③ =(일시불로 받은 금액의 n년 후의 원리합계)임을 이용한다. ;10Á00; 매년 초에 900만 원씩 20년 동안 연이율 6`%의 복리로 적립한 금액 |전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이루면 bÛ`=ac임을 이용한다. 의 원리합계는 900+900_1.06+ y +900_1.0619 = 900(1.0620-1) = 900(3.2-1) 0.06 1.06-1 2021년 초에 한꺼번에 연금 a만 원을 받는다고 하면 a만 원의 19년 =33000(만 원) yy ㉠ 후의 원리합계는 a_1.0619=3.0a(만 원) ㉠과 ㉡이 같아야 하므로 yy ㉠  ④ =Ñ192 (복호동순) 33000=3.0a  ∴ a=11000(만 원) 따라서 2021년 초에 한꺼번에 받는 금액은 1억 1천만 원이다.  ① 1132 유형  10 등차수열의 합의 최대´최소 |전략| 등차수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 SÇ이라 할 때 aû>0, ak+1<0이면 SÇ의 최댓값은 Sû임을 이용한다. S402´S404<0에서 d<0이므로 S402>0, S404<0 S402= 402(2´2011+401d) 2 ∴`d>-10.0___ S404= 404(2´2011+403d) 2 ∴`d<-9.9___ >0, 401d>-4022 <0, 403d<-4022 n회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´ 이때, d는 정수이므로 d=-10 따라서 10회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´ 10 = 810 9á` {;9*;} ∴`aÇ=2011+(n-1)´(-10)=-10n+2021 제n항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면  ② -10n+2021<0에서 10n>2021  ∴`n>202.1 따라서 수열 {aÇ}은 제203항부터 음수이므로  SÇ이 최대가 되는 n의 값은 202이다. … ❸ 유형  24 부분의 합이 주어진 등비수열의 합 |전략| S2nÖSÇ=rÇ +1(r+1)임을 이용한다. ` 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r(r+1)라 하면 SÁ¼=3S°에서 a(1-r10) 1-r =3´ a(1-rÞ`) 1-r 채점 기준 ❶ d의 값을 구할 수 있다. ❷ aÇ을 구할 수 있다. ❸ SÇ이 최대가 되는 n의 값을 구할 수 있다. 8 등차수열과 등비수열 | 139 1128 유형  18 등비중항 x가 3과 48의 등비중항이므로 xÛ`=3´48 ∴ x=Ñ12 48이 x와 y의 등비중항이므로 48Û`=xy ∴ y= 48Û` x ㉠에 x=Ñ12를 대입하면 y=Ñ 48Û` 12 따라서 양의 실수 y의 값은 192이다. 1129 유형  21 등비수열의 활용 - 도형 |전략| 몇 개의 항을 나열하여 규칙성을 파악한다. 처음 정사각형의 넓이는 3´3=9 1회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´ 2회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´ 3회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 9´ ;9*; {;9*;} 2` {;9*;} 3` n {;9*;} ⋮ 1130 yy ㉠  ③ yy ㉡ … ❶ … ❷  202 배점 3점 1점 3점 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 139 2018-03-13 오후 2:33:39 8ㅡ등차수열과 등비수열 배점 4점 6점 배점 5점 5점 2점 1133 유형  19 등차중항과 등비중항 |전략| 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c이고, 등비수열 을 이루면 bÛ`=ac임을 이용한다. 4, a, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2a=4+b ∴ b=2a-4 yy ㉠ a, b, 4가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 yy ㉡ … ❶ bÛ`=4a ㉠을 ㉡에 대입하면 (2a-4)Û`=4a, aÛ`-5a+4=0 (a-1)(a-4)=0 ∴ a=1 또는 a=4 a=1을 ㉠에 대입하면 b=-2 a=4를 ㉠에 대입하면 b=4 이때, 4, a, b는 서로 다른 수이므로 ⑴ aÁ+a£+a°+ y +a¢¦= 24{2a+(24-1)´2d} =1272 ⑴ ∴ a+23d=53 ⑵ aÁ+aª+a£+ y +a¢¦= 47{2a+(47-1)´d} ⑵ aÁ+aª+a£+ y +a¢¦=47(a+23d)=47´53=2491 2 2  ⑴ a+23d=53 ⑵ 2491 ⑴ a, d 사이의 관계식을 구할 수 있다. ⑵ 첫째항부터 제47항까지의 합을 구할 수 있다. 채점 기준 1136 유형  24 부분의 합이 주어진 등비수열의 합 |전략| 제 m 항부터 제 n 항까지의 합은 SÇ-Sm-1임을 이용한다. ⑴ 제m항부터 제n항까지의 합이 720이므로 SÇ-Sm-1=720 a=1, b=-2 ∴ ab=-2 채점 기준 ❶ a, b에 대한 연립방정식을 세울 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ ab의 값을 구할 수 있다. 1134 유형  23 등비수열의 합 … ❷ … ❸  -2 배점 3점 2점 1점 =720 ⑴ - 2(3m-1-1) 3-1 2(3Ç`-1) 3-1 ⑴ 3Ç`-3m-1=720 ⑴ 3m-1(3n-m+1-1)=3Û`´80 ⑵ m은 자연수이므로 3m-1=3Û` ⑴ 따라서 m-1=2 ⑶ n은 자연수이므로 3n-m+1=81=3Ý` ∴ m=3 ⑴ 따라서 n-m+1=4이고, m=3이므로 n=6  ⑴ 3m-1(3n-m+1-1)=3Û`´80 ⑵ 3 ⑶ 6 |전략| 다항식  f(x)를 x-a로 나눌 때의 나머지는  f(a)임을 이용한다.  f(x)=1+x+xÛ`+xÜ`+ y +x2046이라 하면  f(x)를 2x-1로 나눈 나머지는 나머지정리에 의하여  f  {;2!;} =1+ + ;2!; {;2!;} + + y + 2046 {;2!;} … ❶ {;2!;} 3` 2` 위의 식의 우변은 첫째항이 1, 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 ;2!; 제2047항까지의 합이므로 구하는 나머지는 2047 1´ 1- [ {;2!;} ] 1- ;2!; =2- {;2!;} 2046 채점 기준 ⑴ m, n 사이의 관계식을 구할 수 있다. ⑵ m의 값을 구할 수 있다. ⑶ n의 값을 구할 수 있다. 창의·융합 교과서 속 심화문제 1137 ❶ 나머지정리를 이용하여 나머지를 식으로 나타낼 수 있다. ❷ 나머지를 구할 수 있다. 또, 가장 큰 부채꼴의 넓이가 가장 작은 부채꼴의 넓이의 2배이므로 … ❷ |전략| 등차수열을 이루는 다섯 수를 a-2d, a-d, a, a+d, a+2d로 놓는다. 5개의 부채꼴의 넓이를 작은 것부터 차례대로 a-2d, a-d, a, a+d, a+2d(d>0)라 하면 5개의 부채꼴의 넓이 2046  2- {;2!;} 배점 4점 3점 의 합은 원의 넓이이므로 5a=15Û`p ∴ a=45p a+2d=2(a-2d)에서 d= = ;6A; :Á2°: p 따라서 가장 큰 부채꼴의 넓이는 유형  09 부분의 합이 주어진 등차수열의 합 |전략| 등차수열의 공차가 d일 때, 홀수 번째 항으로 이루어진 수열은 공차가 2d a+2d=45p+2´ p=60p ∴ k=60 :Á2°:  60 ⑴ 주어진 등차수열의 홀수 번째 항으로 이루어진 수열 1138 ⑴ aÁ, a£, a°, y, a¢¦은 첫째항이 a, 공차가 2d, 항수가 24개인 등차 |전략| 등차수열 {aÇ}에 대하여 aÁ>0이고, Sª¼=S¢¼이려면 d<0이고, aû>0, ak+1<0이면 SÇ의 최댓값은 Sû임을 이용한다. 채점 기준 1135 임을 이용한다. 수열이므로 140 | III . 수열 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 140 2018-03-13 오후 2:33:40 정답과 해설 ㄱ. Sª¼=S¢¼이므로 ㄱ. aªÁ+aªª+aª£+ y +a¢¼=S¢¼-Sª¼=0 (참) ㄴ. aªÁ+aªª+aª£+ y +a¢¼ =10(aªÁ+a¢¼) ㉠, ㉢에서 bd= =1 (∵ c=-a) a+c {;2!;} b, 2c, 5d가 이 순서대로 등비수열이므로 4cÛ`=5bd=5 =y =y =10(aª°+a£¤) =10(a£¼+a£Á)=0 ∴ aÛ`=cÛ`= (∵ c=-a) ;4%; 5 ∴ a=- ' 2 (∵ a<0) ㉠ 이때, aª°+a£¤=0이므로 |aª°|=|a£¤| (참) ㄷ. aÁ>0이고 ㄴ에 의하여 등차수열 {aÇ}의 공차 d는 d<0이다. d¾0이면 ㄱ. 이때, a£¼+a£Á=0이므로 aª°+a£¤>0 ㄱ. aÁ>aª> y >a£¼>0>a£Á>a£ª> y ㄱ. 가 성립한다. ㄱ. 즉, n=30일 때, SÇ은 최댓값을 갖는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ②  ② 1141 |전략| 연속한 세 원의 반지름의 길이를 각각 rÁ, rª, r£으로 놓고, 직각삼각형의 닮음비를 이용한다. 다음 그림과 같이 연속한 세 원의 중심을 각각 OÁ, Oª, O£이라 하고 반지름의 길이를 각각 rÁ, rª, r£(rÁTÁ¥이므로 aÁ¦>0, aÁ¥<0 ㉠에서 aÁ¦=50+16d>0이므로 d>- :ª8°: aÁ¥=50+17d<0이므로 d<- ;1%7); 따라서 - 0)  12 34< :Á;3):#; <35이므로 TÇ은 n=34 또 1O x 103 3 는 n=35일 때 최솟값을 갖는다. T£¢= |3´34Û`-103´34| 2 =17, T£°= |3´35Û`-103´35| =35 2 등비수열 {aÇ}의 공비가 r일 때 수열 {a2n-1}:aÁ, a£, a°, y 수열 {a2n}:aª, a¢, a¤, y ⇨ 공비가 rÛ`인 등비수열 ㉠, ㉡에서 TÇ>Tn+1을 만족시키는 n은 n=17, 18, 19, y, 33 yy ㉡ 1142 따라서 구하는 n의 최댓값은 33이다.  33 |전략| 주어진 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하여 a, b, c, d 사이의 관계 1140 식을 찾는다. ;2!; ;2!; log  d=a에서 d= yy ㉠, 2`=d yy ㉡ log  b=c에서 b= yy ㉢ ㉠, ㉡에서 c=-a {;2!;} {;2!;} a` c` |전략| N=pÂ`´qµ``(p, q는 서로 다른 소수, l, m은 자연수)일 때, N의 양의 약수 의 총합은 (1+p+ y +pÂ`)(1+q+ y +qµ``)임을 이용한다. ab=2100´3100의 양의 약수의 총합은 (1+2+ y +2100)(1+3+ y +3100) = 1´(2101-1) 2-1 =(2101-1)´ 3101-1 ´ 1´(3101-1) 3-1 2 (2´2100-1)(3´3100-1) = ;2!; = ;2!; (2a-1)(3b-1)  ① 8 등차수열과 등비수열 | 141 121144고등유형해결1-20(해8).ok.indd 141 2018-03-13 오후 2:33:40 8ㅡ등차수열과 등비수열 9 수열의 합 본책 170~183쪽 개념 마스터 1 STEP1 1143  3k=3´1+3´2+3´3+3´4+3´5 1151 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=3´3k-1=3û` 3û`=729=3ß`에서 k=6 ∴ 3+9+27+ y +729=  3û` ;K6+! 10 10 ;K+! ;K+! ;K5+! =3+6+9+12+15  3+6+9+12+15  (5aû+2)=5  aû+  2=5´3+2´10=35  35   3û` ;K6+!  2Ç`=2Ú`+2Û`+2Ü`+ y +2¡`  (2aû+bû)=2  aû+  bû=2´3+2=8 10 10  8 ;N8+! =2+4+8+ y +256  2+4+8+ y +256 ;K+! ;K+! 1152 10 ;K+! 1153 10 ;K+! 1154 10 1155 1156 10 ;K+!  = 1157 10 ;K+!   1158 10 ;K+! 1159 20 ;K+!  (aû-bû+1)=  aû-  bû+ 10 10 10  1 ;K+!     ;K+! ;K+! =3-2+1´10=11 ;K+!  11 10 10  (3aû+2bû-2)=3  10  aû+2   bû- 10  2 ;K+!     ;K+! =3´3+2´2-2´10=-7 ;K+! ;K+!  -7  (aû+1)(aû-1)=  (aûÛ`-1) 10 10 ;K+!  aûÛ`- 10  1 =20-1´10=10 ;K+! ;K+!  (2aû-1)Û`=  (4aûÛ`-4aû+1) 10 10 ;K+! =4 10  aûÛ`-4  aû+ 10  1 ;K+! =4´20-4´10+1´10=50 ;K+! ;K+!  50  (kÛ`+1)-  (kÛ`-3)=  {(kÛ`+1)-(kÛ`-3)} 10 ;K+! =  4=4´10=40  40 10 ;K+! 20 ;K+! 10 ;K+! 20 20 ;K+! = 20 ;K+! = ;K+!  kÛ` ;Kn+!   ;k!; ;Kn+! 10  2k  ;K+!  (5i-2)=(5´1-2)+(5´2-2)+(5´3-2)+ y +(5n-2) =3+8+13+ y +(5n-2)  3+8+13+ y +(5n-2)  j(2j+1)=1´3+2´5+3´7+ y +n(2n+1) =3+10+21+ y +n(2n+1)  3+10+21+ y +n(2n+1) 1144 1145 ;In+! ;Jn+! 1146 1147 1148 ;Kn+! ;Kn+! 1+ + + y + ;2!; ;3!; ;n!; =   ;k!; 1149 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=2+(k-1)´2=2k 2k=20에서 k=10 ∴ 2+4+6+ y +20= 10  2k ;K+! 1150 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=1+(k-1)´3=3k-2 3k-2=100에서 3k=102 ∴ 1+4+7+ y +100= 142 | III . 수열 ∴ k=34 34  (3k-2)   ;K+! 34  (3k-2)    ;K+!  (k-1)Û`-  (kÛ`-2k)=  {(k-1)Û`-(kÛ`-2k)}  {(kÛ`-2k+1)-(kÛ`-2k)}  1=1´20=20  20 1+4+9+16+ y +nÛ`=  kÛ`  10 142157고유형해결수1-06(9해).indd 142 2018-03-13 오후 3:44:04 정답과 해설 1160 10 ;K+! 1161 10 ;K+! ;K+! 1162 10  (2k-1)=2  k- 10 10  1=2´ 10´11 -1´10 2 ;K+! ;K+! =110-10=100  100  (kÜ`+kÛ`-4)=  kÜ`+  kÛ`-  4 10 10 10 = ;K+! { 10´11 2 ;K+! } ;K+! Û`+ 10´11´21 -4´10 6 =3025+385-40=3370  3370 다른 풀이   4Û`+5Û`+6Û`+ y +15Û`=  kÛ`=  kÛ`-  kÛ` 15 15 ;K+$ ;K+! = 15´16´31 6 ;K3+! - 3´4´7 6 =1240-14=1226 1 1´2 + 1 2´3 + 1 3´4 + y + 1 n(n+1) 1   k(k+1) =   {;k!;- 1 k+1 } ;Kn+! -;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;} + y + {;n!;- 1 n+1 }  (2k+3)Û`=  (4kÛ`+12k+9)=4  kÛ`+12  k+  9 10 10 10 10 =1- 1 n+1 = n n+1  n n+1 ;K+! =4´ 10´11´21 ;K+! 2 =1540+660+90=2290 +12´ 10´11 6 ;K+! +9´10 ;K+!  2290 1163 ⑴ aÇ=n(n+1) ⑵ aû=110에서 k(k+1)=110=10´11 ∴ k=10 ⑶ 1´2+2´3+3´4+ y +10´11=  k(k+1)=  (kÛ`+k) 10 10 1 1´3 + 1 3´5 + 1 5´7 + y + = 1   (2k-1)(2k+1) = ;2!; 1 (2n-1)(2n+1) - 1 1 2k-1   { 2k+1 } ;Kn+! = 1- ;2!;[{ ;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;} ;Kn+! + y + { 1 2n-1 - 1 2n+1 }] = ;2!;{ 1- 1 2n+1 } = n 2n+1  n 2n+1 1166 = ;Kn+! 1 { = 1167 1168 10 ;K+! = 10  kÛ`+  k ;K+! ;K+! ;K+! = 10´11´21 6 =385+55=440 + 10´11 2  ⑴ aÇ=n(n+1) ⑵ 10 ⑶ 440 1 2´4 + 1 3´5 + 1 4´6 + y + 1 (n+1)(n+3) = 1 (k+1)(k+3) = ;2!; 1 k+1 { - 1 k+3 } ;Kn+! ;Kn+! =;2!;[{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+{;4!;-;6!;} 1164 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=2k 2k=30에서 k=15 15 15 ∴ (주어진 식)=  2k=2  k ;K+! =2´ 15´16 ;K+! =240 2 1165 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=(k+3)Û` (k+3)Û`=15Û`에서 k+3=15 ∴ (주어진 식)=  (k+3)Û`=  (kÛ`+6k+9) 12 ∴ k=12 12 12 ;K+! =  kÛ`+6 12 12 ;K+!  k+  9 ;K+! ;K+! = 12´13´25 6 ;K+! +6´ 12´13 2 +9´12 =650+468+108=1226  1226 y + 1 1 1 +{;n!;- n+2 }+{ n+1 - n+3 }] = ;2!;{;2!;+;3!; - 1 n+2 - 1 n+3 } = ´ ;2!; 5(n+2)(n+3)-6(n+3)-6(n+2) 6(n+2)(n+3)  240 = 5nÛ`+13n 12(n+2)(n+3)  5nÛ`+13n 12(n+2)(n+3) 1169 2 1+ 2 ' = ;Kn+! =2 ;Kn+! =2{( =2( 'Ä 3 ' + 2 2+ ' 2 k+ k+1 'Ä k+1- '  ( 'Ä k) ' 2-1)+( ' n+1-1) ' + 2 3+ ' 4 ' + y + =2 ( k+ ' 'Ä ;Kn+! k- ' 'Ä k+1)( 2 'Ä 'Ä n+ ' k+1 k- ' n+1 k+1) 3- 2)+( 4- 3)+ y +( n+1- n)} ' ' ' ' 'Ä  2( 'Ä n+1-1) 9 수열의 합 | 143 142157고유형해결수1-06(9해).indd 143 2018-03-13 오후 3:44:04 9ㅡ수열의합 정답과 해설 1170 1 1+ = + 1 3+ ' 1 2k-1+ 3 '   'Ä + 1 5+ ' 7 ' 5 ' + y + 1 2n-1+ 'Ä 2n+1 'Ä 2k+1 'Ä = ;Kn+!   ( = ;Kn+! ;2!; 2k-1+ 'Ä 'Ä 2k+1- 'Ä  ( 'Ä 2k-1- 2k+1)( 'Ä 'Ä 2k-1) 'Ä 2k+1 2k-1- 2k+1) 'Ä ;Kn+! {( ' = ;2!; 3-1)+( 5- 3)+( 7- 5) ' ' ' ' = ( ;2!; 'Ä 2n+1-1) + y +( 2n+1- 2n-1)} 'Ä 'Ä  ;2!; ( 'Ä 2n+1-1) 1171 10   ;K+! = 2 (2k+1)(2k+3) - 1 1 2k+1   { 10 2k+3 } ;K+! {;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+{;7!;-;9!;} = + y + {;1Á9;-;2Á1;}+{;2Á1;-;2Á3;} =;3!;-;2Á3;=;6@9);  ;6@9); 1172 20   1 k(k+2) ;K+! = 20 ;2!;   {;k!;- 1 k+2 } = ;K+! ;2!;[{ 1- 1 k+ 'Ä k+1 1173 15   ' 15   ;K+! = ;K+! 15 = k- ' 'Ä k+1)( k+1 k- ' 'Ä k+1)  ( ( k+ 'Ä ' k+1- 'Ä 2-1)+( k) ' 3- ' ' =( ;K+! ' =-1+ ' 1 6=-1+4=3 144 | III . 수열 2)+( 4- 3)+ y +( 1 6- 1 5) ' ' ' '  3 ;Kn+! 이므로 2n  aû=3nÛ` ;K+! 2 k+ 'Ä   ' k+2 1174 ;K7+! = ;K7+!   ( k+ ' 2( k- ' 'Ä k+2)( ' k+2) k- 'Ä 'Ä k+2) =  ( k+2- k) 'Ä ' =( ;K7+! ' 3-1)+( 4- 2)+( 5- 3) ' ' =-1- 2+ 8+ 9=2+ 2 ' ' ' ' ' ' + y +( 8- 6)+( ' ' 9- ' '  2+ 7) 2 ' 1175 주어진 식을 S로 놓으면 S=1´2+2´2Û`+3´2Ü`+ y +n´2Ç` ㉠의 양변에 ㈎ 2 를 곱하면 ㈎ 2 S=1´2Û`+2´2Ü`+ y +(n-1)´2Ç`+n´2n+1 yy ㉠ yy ㉡ ㉠-㉡을 하면 -S=2+2Û`+2Ü`+ y + ㈏ 2Ç` -n´2n+1 = 2(2Ç`-1) 2-1 -n´2n+1=(1-n)´2n+1-2 ∴ S= ㈐ (n-1)´2n+1+2  ㈎ 2 ㈏ 2Ç` ㈐ (n-1)´2n+1+2 1176 ⑴ 제 n 군의 첫째항은 n이므로 제 10 군의 첫째항은 10이다. ⑵ 제 n 군은 첫째항이 n, 공차가 -1이고, 항수가 n인 등차수열이므 로 제 n 군의 합을 SÇ이라 하면 SÇ= n{2´n+(n-1)´(-1)} 2 = nÛ`+n 2 따라서 제 10 군의 합은 10Û`+10 2 =55 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 1177 사용하여 간단히 정리한다. ;Kn+! |전략| (a2k-1+a2k)를 를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내어 보고, 를  (a2k-1+a2k)=(aÁ+aª)+(a£+a¢)+ y +(a2n-1+a2n)= 2n  aû ;K+! ;3!;}+{;2!:-;4!;}+{;3!;-;5!;} 는 n이므로 제 1 군부터 제 7 군까지의 항수는 + y + {;1Á9;-;2Á1;}+{;2Á0;-;2Á2;}] k= 7´8 2 =28 = ;2!;{ 1+ ;2!;-;2Á1;-;2Á2;}=;4#6@2%;  ;4#6@2%; ;K7+! 따라서 8이 처음으로 나타나는 것은 제 29 항이다.  ⑴ 10 ⑵ 55 ⑶ 제 29 항 ⑶ 8이 처음으로 나타나는 것은 제 8 군의 첫째항이고, 제 n 군의 항수 142157고유형해결수1-06(9해).indd 144 2018-03-13 오후 3:44:06 Œ Œ Œ Œ Œ ; ; ;Kn+! 채점 기준 ;Kn+! ;Kn+! 1183 20 ;K+! ∴ ;K+! 1184 20 k=11 ; 1185 ;K+! ;K+! 1178 199 ;K+! 1179 200 ;K+@ ;Kn+! ∴  kÛ`=  kÛ` ;Kn+! ∴  2û`+  2û` ㄷ. m ;Kn+!  ai+  aj    n ;Kn+) j=m+1 ; =  aû 이 식의 양변에 n=5를 대입하면 10  aû=3´5Û`=75 이므로 50=30+2  aûbû  ① ∴  aûbû=10  ;Kn+!  ak+1-  ak-1=(aª+a£+ y +a200)-(aÁ+aª+ y +a199) ❶  (aû+bû)Û`을 변형할 수 있다. =a200-aÁ=55-5=50  50 ❷  aûbû의 값을 구할 수 있다. … ❷  10 비율 50 % 50 % ㄱ.  kÛ`=1Û`+2Û`+3Û`+ y +nÛ`,   kÛ`=0Û`+1Û`+2Û`+3Û`+ y +nÛ` ㄴ. ;Kn+!  2û`=2Ú`+2Û`+2Ü`+ y +2Ç`, ;Kn+)  2û`=1+2Ú`+2Û`+2Ü`+ y +2Ç` ;Kn+) ;Kn+) aû=nÛ`, bû=2n에 n=20을 각각 대입하면 20 ;Kn+!  aû=20Û`=400, ;Kn+! 20  bû=2´20=40  (aû-6bû+2)=  aû-6  bû+ 20 ;K+! 20 20  2 =400-6´40+2´20=200 ;K+! ;K+! ;K+!  200 =(aÁ+aª+ y +aµ)+(am+1+am+2+ y +aÇ) ;I+! 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ의 2개이다. ;Kn+!  2 ;K+! =(2Û`+4Û`+6Û`+ y +20Û`)+(1Û`+3Û`+5Û`+ y +19Û`) ;K+! 1180 10 10  (2k)Û`+  (2k-1)Û` =1Û`+2Û`+3Û`+ y +19Û`+20Û` 20 19 =  kÛ`=  (k+1)Û` ;K+! ;K+) 1181 |전략| 의 성질을 이용한다. 10 ;  (2aû+1)=2 10 10 10  aû+  1=2  aû+1´10=30 10 ;K+! 에서  aû=10 ;K+! ;K+! ;K+! 10 ;K+!  (aû+1)(aû-1)=  (aûÛ`-1)=  aûÛ`- 10 10 ;K+! 10 ;K+! = ;K+!  aûÛ`-1´10=50 10  1 ;K+! 10 에서  aûÛ`=60 ;K+! ∴ 10 ;K+!  (2aû+1)Û`= 10  (4aûÛ`+4aû+1)=4  aûÛ`+4  aû+ 10 10 10  1 ;K+! =4´60+4´10+1´10=290 ;K+! ;K+! ;K+! ;K+!  290 1182 ;Kn+!  (aû+bû)Û`=  (aûÛ`+2aûbû+bûÛ`)  (aûÛ`+bûÛ`)+2  aûbû  … ❶ ;Kn+! = ;Kn+! ;Kn+! (2aû+bû)=2 aû+ 20 k=11 20 ; { 20 bû k=11 10 ;  aû} =2  aû- + { 20 10  bû-  bû} ;K+! =2(45-25)+(30-15) ;K+! ;K+! ;K+! =40+15=55  ⑤ |전략| 의 성질과 등비수열의 합의 공식을 이용하여 수열의 합을 구한다.  ② ; 2û`+(-1)û` 2010   3û` 2010 =   {;3@;} 2010 û`+ û`   {-;3!;} ;K+! 1- ;3@;[ = ;K+! 2010 {;3@;} ] -;3!;[ {-;3!;} ] 1- 2010 + 1- ;3@; 2010 2010 =2 1- [ {;3@;} ]-;4!;[ 1- = -2 ;4&; {;3@;} +;4!;{-;3!;} 1 -{-;3!;} 2010 ] {-;3!;} 2010 따라서 a=7, b=2, c=1이므로 a+b+c=10 1186 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제 k 항까지의 합이다. aû=1+3+3Û`+ y +3k-1= 1´(3û`-1) 3-1 = 3û`-1 2 따라서 주어진 수열의 합은 첫째항부터 제 11 항까지의 합이므로 11  aû= 11   ;K+! ;K+! = ;2!;[ ;2!;{ = 3û`-1 2 3(311-1) 3-1 11 11  3û`-  1 ;K+! -1´11 } ;K+! = 312-25 4 ]  10  ② 9 수열의 합 | 145 142157고유형해결수1-06(9해).indd 145 2018-03-13 오후 3:44:06 9ㅡ수열의합 1187 4+44+444+ y +444 y 4 ( { 9 20개 = (9+99+999+ y +999 y 9) ( { 9 20개 {(10-1)+(10Û`-1)+(10Ü`-1)+ y +(1020-1)} ;9$; = ;9$; 20   = ;9$;  (10û`-1)= ;9$;{ 20 20  10û`-  1 ;K+! 10(1020-1) 10-1 = ;9$;[ ;K+! -1´20 } = 40´1020-760 81 ;K+! ] 따라서 a=40, b=760이므로 a+b=800 a가 한 자리의 자연수일 때, a+aa+aaa+ y +aaa y a ( { 9 n개 = ;9A; (9+99+999+ y +999 y 9) ( { 9 n개 {(10-1)+(10Û`-1)+(10Ü`-1)+ y +(10Ç`-1)}  (10û`-1) = = ;9A; ;9A;  ;Kn+! 1188 을 이용한다. log¢ 2+log¢ 2Û`+log¢ 2Ü`+ y +log¢ 220 =log¢ (2´2Û`´2Ü`´ y ´220)=log¢ 21+2+3+ y +20 =log¢ 2 20  k= ;K+! ;2!; 20    k= ´ 20´21 2 ;2!; =105 ;K+! 1189 nK-+1!  (2k+3)=2   k+  3 nK-+1! nK-+1! =2´ n(n-1) 2 =nÛ`+2n-3 +3(n-1) |전략| 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 정리하고, 자연수의 거듭제곱의 합 즉, nÛ`+2n-3=96이므로 nÛ`+2n-99=0 (n-9)(n+11)=0 ∴ n=9 (∵ n은 자연수)  ② 1190 이차방정식 xÛ`-(n+1)x-(n+2)=0의 두 근이 aÇ, bÇ이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 aÇ+bÇ=n+1, aÇbÇ=-(n+2) ∴ aÇÛ`+bÇÛ`‌‌=(aÇ+bÇ)Û`-2aÇbÇ‌ =(n+1)Û`+2(n+2)=nÛ`+4n+5 ∴  (aÇÛ`+bÇÛ`)=  (nÛ`+4n+5) 10 10 ;N+! 10  nÛ`+4  = 10  n+  5 ;N+! ;N+! = 10´11´21 6 ;N+! +4´ 10´11 2 +5´10 =385+220+50=655  655 10 ;N+! 146 | III . 수열 146 | III . 수열 1191 11 ;K+! 11  f(x)=  (x-k)Û`=  (kÛ`-2xk+xÛ`) 11 =  kÛ`-2x 11 ;K+!  k+ 11  xÛ` ;K+! ;K+! ;K+! -2x´ 11´12 = 11´12´23 +11xÛ 6 2 =11xÛ`-132x+506=11(x-6)Û`+110 따라서  f(x)가 최소가 되도록 하는 x의 값은 6이다.  ③  ③ 1192 |전략| 일반항에서 상수인 것과 상수가 아닌 것을 구별하여 안쪽에 있는 부터 차례로 계산한다. ;     {  mn = } n    {  m = } n´   [ n(n+1) 2 ] ;Mn+! ;N5+! = ;N5+! ;2!;{ ;Mn+!  nÜ`+ ;N5+!  nÛ` } = ;2!;[{ ;N5+! 5´6 2 } ;N5+! Û`+ 5´6´11 6 ] =140  ⑤       { =  k } m(m+1)   2 = ;2!;{    mÛ`+   m } ;Km+! ;Mn+! ;Mn+! ;2!;[ = n(n+1)(2n+1) 6 ;Mn+! + ;Mn+! n(n+1) 2 ] = n(n+1)(n+2) 6 =120  105 즉, n(n+1)(n+2)=720=8´9´10이므로  ③   {  12 }]=   {  12l } [ ;Lm+! ;Kl+! ;Mn+! ;Mn+! = ;Lm+! 12´   [ m(m+1) 2 =6   { ]  mÛ`+  m } ;Mn+! =6 [ n(n+1)(2n+1) 6 + ;Mn+! n(n+1) 2 ;Mn+! ] =2n(n+1)(n+2)  ① 1195 이차방정식 xÛ`-8x+12=0의 두 근이 m, n이므로 근과 계수의 관 계에 의하여 m+n=8, mn=12  ∴  (k+l) = ]   { [  k+ =  l } kn+ [ ;Km+! ;Ln+! ;Km+! =n ;Ln+!  k+ ;Ln+! ;Km+! n(n+1) 2 … ❶ n(n+1) 2 ] =n´ ;Km+! ;Km+! m(m+1) 2 + n(n+1) 2 ´m = mn 2 (m+n+2)  = :Á2ª: (8+2)=60  … ❷ … ❸  60 1193 n=8 1194 142157고유형해결수1-06(9해).indd 146 2018-03-13 오후 3:44:07 9 수열의 합 | 147 정답과 해설; ; ; ❶ m+n, mn의 값을 구할 수 있다. (k+l) ]을 m, n에 대한 식으로 나타낼 수 있다. (k+l) ]의 값을 구할 수 있다. 채점 기준 ❷ ❸ [ [ ;Km+! ;Ln+! ;Km+! ;Ln+! 1196 비율 20`% 60`% 20`% 따라서 주어진 수열의 합은  aû= kÛ` nÛ` + 2k n   { +1 = 1 nÛ` }  kÛ`+ ;n@;  k+  1 ;Kn+! ;Kn+! = 1 nÛ` ´ n(n+1)(2n+1) 6 ;Kn+! + ´ ;n@; ;Kn+! n(n+1) 2 ;Kn+! +1´n = (2n+1)(7n+1) 6n  (2n+1)(7n+1) 6n |전략| 주어진 수열의 제 k 항 aû를 k에 대한 식으로 나타내고, 수의 거듭제곱의 합을 이용하여 수열의 합을 구한다. ; 의 성질과 자연 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=k(k+1)=kÛ`+k 주어진 식은 수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 20 항까지의 합이므로 (주어진 식)= 20 20  aû=  (kÛ`+k)=  kÛ`+  k 20 20 ;K+! ;K+! = 20´21´41 6 + 20´21 2 ;K+! ;K+! =2870+210=3080 1200 |전략| 수열 {xi}의 100개의 항 중 1,`2의 값을 갖는 항수를 각각 a,`b로 놓고 생 xÁ, xª, x£, y, x100의 100개의 항 중 1이 a개, 2가 b개 있다고 하면 100  xi=1´a+2´b=95 ∴ a+2b=95 100 ;I+!  xiÛ`=1Û`´a+2Û`´b=145 ∴ a+4b=145 ;I+! ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=45, b=25 yy ㉠ yy ㉡ 각한다. 100 ;I+!  3080 ∴  xiÜ`=1Ü`´a+2Ü`´b=1´45+8´25=245  ② 1197 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=(2k-1)´(3k)Û`=18kÜ`-9kÛ` 주어진 식은 수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 5 항까지의 합이므로 (주어진 식)=  aû=  (18kÜ`-9kÛ`) ;K5+! =18 ;K5+!  kÜ`-9  kÛ` =18´ ;K5+! { 5´6 2 } ;K5+! Û`-9´ 5´6´11 6 =4050-495=3555 1198 |전략| aû에서 aû가 n을 포함한 식인 경우에는 n을 상수로 생각한다. ;Kn+! 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=k{n-(k-1)} 따라서 주어진 수열의 합은  aû=  k{n-(k-1)} ;Kn+! ;Kn+! =  (nk-kÛ`+k) ;Kn+! =(n+1)  k-  kÛ` 1199 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 Û`= kÛ` nÛ` n } aû= k+n Û`= {;nK; +1 { } + 2k n +1 1201 3Ú`=3을 5로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 aÁ=3 3Û`=9를 5로 나누었을 때의 나머지는 4이므로 aª=4 3Ü`=27을 5로 나누었을 때의 나머지는 2이므로 a£=2 3Ý`=81을 5로 나누었을 때의 나머지는 1이므로 a¢=1 3Þ`=243을 5로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 a°=3 3ß`=729를 5로 나누었을 때의 나머지는 4이므로 a¤=4  ① 즉, a4k-3=3, a4k-2=4, a4k-1=2, a4k=1  (a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k) 3Ç`을 5로 나누었을 때의 나머지 는 3, 4, 2, 1이 이 순서대로 반 복됨을 나타낸다.  (3+4+2+1)=  10=10´25=250  ④ 25 ;K+! ⋮ 100 25 ∴  aû= ;K+! 25 ;K+! = ;K+! 1202 1Ék<3일 때, É <1이므로 =0 ;3!; ;3K; 3Ék<6일 때, 1É <2이므로 6Ék<9일 때, 2É [ <3이므로 ;3K; ;3K; ⋮ ;3K; [ ;3K; ;3K; ] ] [ ] =1 =2 ;3K; [ =33  ] 96Ék<99일 때, 32É <33이므로 =32 ;3K; ;3K; [ ] 99   ∴ ;3K; ;K+! [ =0´2+1´3+2´3+ y +32´3+33 ] =3(1+2+ y +32)+33  n+33=3´ 32´33 =3 32 +33=1617  2 ;N+! … ❶ … ❷  1617 9 수열의 합 | 147 =(n+1)´ ;Kn+! ;Kn+! n(n+1) 2 - n(n+1)(2n+1) 6 = n(n+1)(n+2) 6  n(n+1)(n+2) 6 k=99일 때, =33이므로 ;3K; 146 | III . 수열 142157고유형해결수1-06(9해).indd 147 2018-03-13 오후 3:44:07 9ㅡ수열의합 ❶ k의 값의 범위에 따른 의 값을 구할 수 있다. ;3K; [ ] 의 값을 구할 수 있다. 채점 기준 99 ❷ ;3K; ;K+! [ ] 1203 |전략| 주어진 수열의 제 k항 aû를 구하고, 부분분수로 변형한다. 주어진 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû= 1 (2k+1)Û`-1 = 1 4kÛ`+4k = 1 4k(k+1) 따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제 20 항까지의 합은 20  aû= 20   1 4k(k+1) 20   = ;4!;   {;k!;- 1 k+1 } ;K+! = ;K+! ;4!;[{ 1- ;K+! y ;2!;}+{;2!;-;3!;}+ +{;2Á0;-;2Á1;}] = 1- ;4!;{ ;2Á1;}=;4!; ´ ;2@1);=;2°1;  ;2°1; 1204 aÇ=  kÛ`= n(n+1)(2n+1) 6 이므로 ;Kn+! (주어진 식)= 10   2k+1 aû 10   = ;K+! ;K+! 2k+1 k(k+1)(2k+1) 6 10   = 6 k(k+1) 10 =6   {;k!;- 1 k+1 } ;K+! =6 1- [{ ;K+! ;2!;}+{;2!;-;3!;}+ +{;1Á0;-;1Á1;}] y =6 1- { ;1Á1;}=;1^1); 1205 이차방정식 xÛ`+4x-(4nÛ`-1)=0의 두 근이 aÇ, bÇ이므로 근과 계 수의 관계에 의하여 aÇ+bÇ=-4, aÇbÇ=-(4nÛ`-1) 이때, 1 aÇ + 1 bÇ + 1 ∴ 10   { 1 aÇ 10   = bÇ } = aÇ+bÇ aÇbÇ = -4 -(4nÛ`-1) = 4 (2n-1)(2n+1) 4 (2n-1)(2n+1) - 1 1 2n-1   { 2n+1 } ;N+! 10   ;2$; = ;N+! 1 =2 [{ -;3!;}+{;3!;-;5!;}+ +{;1Á9;-;2Á1;}] y =2 1- { ;2Á1;}=;2$1);  ;2$1); ;N+!     1206 ( f½g)(n) =f(g(n))=f(2n+1) =(2n+1+3)(2n+1-1) =(2n+4)´2n=4n(n+2) 148 | III . 수열 1207 1 3+ ' 하면 aû= 1208 ;Kn+! 비율 40`% 60`% 10   ∴ 8 ( f½g)(n) ;N+! = 10   8 4n(n+2) = 10   {;n!;- 1 n+2 } = ;N+! 1- { ;N+! ;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;} y + +{;9!;-;1Á1;}+{;1Á0;-;1Á2;} =1+ ;2!;-;1Á1;-;1Á2; ;1!3&2%; =  ;1!3&2%; |전략| 주어진 수열의 제 k 항 aû를 구하고, aû의 분모를 유리화한다. , 1 4+ ' 5 ' , 1 5+ ' 6 ' 4 ' , y, 1 0+ 5 ' 5 1 ' 의 제 k 항을 aû라 1 k+2+ 'Ä k+3 'Ä = ( k+2+ 'Ä k+3- 'Ä = 'Ä k+2- k+3)( 'Ä 'Ä k+2 'Ä 'Ä k+3 k+2- k+3) 'Ä 주어진 식은 수열 {aÇ}의 첫째항부터 제 48 항까지의 합이므로 48 48  aû= ;K+! =(  ( k+3- k+2) 'Ä 4- 'Ä 3)+( ;K+! ' 5 ' ' ' = 1- 3 5- 4)+ y +( 5 1- 5 0) ' ' ' '  5 1- ' 3 '  ⑤ 1 f(k) = 1 k+1+ k+2 'Ä 'Ä ;Kn+! = = 'Ä ( ;Kn+! ( 'Ä =( 3- ;Kn+! ' n+2- ' k+1+ k+1- k+2)( k+2 k+1- 'Ä 'Ä k+2) 'Ä k+2- k+1) 'Ä 'Ä 'Ä 2)+( 4- 3)+ y +( n+2- n+1) 'Ä 'Ä ' ' ∴ n=16  ⑤ = 'Ä n+2- 즉, 'Ä n+2=3 'Ä ' 2 ' 2이므로 2=2 ' ' 2, n+2=18 1209 오른쪽 그림과 같이 네 점 (k, 0), (k+1, 0), (k, k), (k+1, k+1) ' 'Ä 을 꼭짓점으로 하는 사각형은 윗변의 길이가 k, 아랫변의 길이가 k+1, 'Ä ' 높이가 1인 사다리꼴이므로 넓이 Sû는 Sû= ´( k+ k+1)´1 ;2!; ' 'Ä = ' k+ 'Ä 2 k+1 y k+1 k ' y= x ' Sû O k k+1 x 142157고유형해결수1-06(9해).indd 148 2018-03-13 오후 3:44:08 9 수열의 합 | 149 정답과 해설; Œ Œ Œ Œ Œ Œ k- 'Ä ' k+1)( ' k+1) k- 'Ä k+1) 99   = ;K+! 99   = ;K+! 99 =2 ;K+! =2{( =2( 'Ä 2 k+ ' k+1 'Ä 2( ( '  ( k+ 'Ä k+1- 'Ä ' 2-1)+( k) ' 100-1)=18 ' ' 99   ∴ 1 Sû ;K+! 1210 3- 2)+ y +( 100- 9 9)} 'Ä '  18 |전략| 일반항을 두 로그의 차로 나타내고, k=1, 2, y, 99를 대입하여 주어진 식의 값을 구한다.  log  { 1+ ;k!;}= 99  log  k+1 k =  {log (k+1)-log k} ;K+! =(log 2-log 1)+(log 3-log 2) 99 ;K+! + y +(log 100-log 99) =log 100-log 1 =log 10Û`-0=2-0=2  ⑤ 다른 풀이    log  { 1+ ;k!;}= 99  log  k+1 k ;K+! log  ;1@;+ log  ;2#;+ log  ;3$;+ y + log  :Á9¼9¼: log  ´ ´ {;1@; ;2#; ;3$; ´ y ´ :Á9¼9¼:} log 100=log 10Û`=2 1211  logª 'Ä k+1 k ' =  (logª 'Ä k+1-logª ' k) ;Kn+! =(logª ' 1)+(logª ' 2-logª ' + y +(logª 'Ä 3-logª ' n+1-logª ' 2) n) =logª 'Ä =logª 'Ä n+1=3이므로 n+1-logª ' 1 n+1 n+1=2Ü`, n+1=2ß` ∴ n=63 즉, logª 'Ä 1212  log  { 1- 1 kÛ` } 50 =  log  (k-1)(k+1) kÛ` = log  +log  ;K+@ 50   { ;K+@ 50   { k-1 k k-1 k = log  -log  k+1 k } k k+1 } = ;K+@ log  { ;2!;- log  + log  ;3@;} { ;3@;- log  ;4#;} + y + log  ;5$0(;- log  ;5%1);} { 99 ;K+! 99 ;K+!  =  =  = ;Kn+! 'Ä 50 ;K+@ 다른 풀이    log  { 1- 50 1 kÛ` }=  log  (k-1)(k+1) kÛ` ´ k+1 k-1 k k } ;K+@ 50  log  { ;K+@ log  = = ´ {;2!; ;2#;}+ log  ´ {;3@; ;3$;}+ log  ´ {;4#; ;4%;} y + log  ´ {;5$0(; + ;5%0!;} =log  ´ ´ ´ [{;2!; ;2#;} {;3@; ;3$;} ´ ´ {;4#; ;4%;} ´ y ´ ´ {;5$0(; ;5%0!;}] =log  ´ {;2!; ;5%0!;} =log  ;1°0Á0; =log 51-2  1213 a2n-1=2Ç`, a2n=5Ç` 이므로 10  log aû=  (log a2k-1+  log 2û` + ;K5+! = log a2k)=  log a2k-1+  log a2k  log 5û`= ;K5+!  k log 2 + ;K5+!  k log 5 ;K5+! =log 2´ ;K5+!  k+log 5´ ;K5+!  k=(log 2+log 5) ;K5+!  k ;K5+! =log 10´  k=  k ;K5+! ;K5+! ;K5+! =15 5´6 2 ;K5+!  15 다른 풀이 a2n-1a2n=2Ç`´5Ç`=10Ç` 10 ∴  log aû=log aÁ+log aª+ y +log a10 ;K+! =(log aÁ+log aª)+(log a£+log a¢) + y +(log a»+log aÁ¼) =log aÁaª+log a£ a¢+ y +log a» aÁ¼ =log 10+log 10Û`+ y +log 10Þ` =1+2+3+4+5=15 50 ;K+@       ;K+!        = 1214  ③ ;Kn+! 항 aÇ을 구한다. |전략| SÇ=  aû 로 놓고 aÁ=SÁ, aÇ=SÇ-Sn-1(n¾2)임을 이용하여 일반 SÇ= aû=nÛ`+2n이라 하면 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`+2´1=3 ;Kn+! Û n¾æ2일 때, aÇ‌‌=SÇ-Sn-1 =nÛ`+2n-{(n-1)Û`+2(n-1)} =2n+1 yy ㉠ 이때, aÁ=3은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 aÇ=2n+1 따라서 a3n=2´3n+1=6n+1이므로 10 10 10 10  ka3k=  k(6k+1)=6  kÛ`+  k =log  -log  =log  =log 51-2  ② ;2!; ;5%1); ;1°0Á0; ;K+! ;K+! =6´ 10´11´21 6 ;K+! + 10´11 2 ;K+! =2365  ④ 148 | III . 수열 9 수열의 합 | 149 142157고유형해결수1-06(9해).indd 149 2018-03-13 오후 3:44:08 9ㅡ수열의합Œ 1215 SÇ=  aû= n n+1 이라 하면 ;Kn+! Ú n=1일 때, aÁ=SÁ= 1 1+1 = ;2!; Û n¾æ2일 때, aÇ=SÇ-Sn-1 = n n+1 - n-1 n = nÛ`-(n+1)(n-1) n(n+1) = nÛ`-(nÛ`-1) n(n+1) = 1 n(n+1) 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 이때, aÁ= ;2!; aÇ= 1 n(n+1) 1   aû ∴ =  k(k+1)= kÛ`+  k ;K6+! ;K6+! = 6´7´13 6 ;K6+! ;K6+! =112 + 6´7 2 1216 SÇ=  aû=nÛ`+3n이라 하면 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=1Û`+3´1=4 ;Kn+! Û næ¾2일 때, aÇ‌‌=SÇ-Sn-1 =2n+2 =nÛ`+3n-{(n-1)Û`+3(n-1)} 이때, aÁ=4는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 aÇ=2n+2  따라서 anan+1=(2n+2)(2n+4)=4(n+1)(n+2)이므로 … ❶ ;4!;[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+ +{;9!;-;1Á0;}] y 1   ak ak+1 = 1   4(k+1)(k+2) - 1 1 k+1   { k+2 } ;K8+!   ;4!; = ;K8+! = =;4!;{;2!;-;1Á0;}=;1Á0;   ;K8+!   채점 기준 ❶ SÇ= aû로 놓고 일반항 aÇ을 구할 수 있다. ❷ an an+1을 구할 수 있다. ;Kn+! ❸   1 ak ak+1 ;K8+! 의 값을 구할 수 있다. 1217 SÇ=aÁ+2aª+3a£+ y +naÇ=n(n+1)(n+2)라 하면 Ú n=1일 때, aÁ=SÁ=6 150 | III . 수열 Û n¾2일 때, naÇ‌‌=SÇ-Sn-1 =n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) =3n(n+1) …… ㉠ 이때, aÁ=6은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 naÇ=3n(n+1) 따라서 aÇ=3(n+1)이므로 10 10  aû=  3(k+1)=3  k+  3 10 10 yy ㉠ ;K+! ;K+! =3´ 10´11 ;K+! ;K+! +3´10=195 2  195 1218  ③ |전략| 주어진 수열의 합 S에 등비수열의 공비 ;2!;을 곱하고 S- S의 값을 구한다. ;2!; S를 계산하여 S= 10   k 2k-1 이므로 + 3 2Û` ;2@; ;K+! S=1+ ㉠의 양변에 을 곱하면 ;2!; + 4 2Ü` + y + 10 2á` S= ;2!; + 2 2Û` + 3 2Ü` + y + 9 2á` + 10 210 ;2!; ㉠-㉡을 하면 yy ㉠ S=1+ ;2!; + 1 2Û` + 1 2Ü` + y + 1 2á` - 10 210 ;2!; 1´ 1- [ {;2!;} 10 ] = - 10 210 =2 [ 1- 10 {;2!;} ]- 10 210 … ❷ =2- 12 ¡` {;2!;} 12 210 = 3´4 210 = 3´2Û` 210 = 3 2¡` 1-;2!; 210 =2-3 à` {;2!;} ∴ S=4-3 따라서 a=4, b=7이므로 |a-b|=3 … ❸  ;1Á0; 비율 40`% 20`% 40`% 1219 S=1+2´2+3´2Û`+4´2Ü`+ y +10´2á` ㉠의 양변에 2를 곱하면 2S= 1´2+2´2Û`+3´2Ü`+ y +9´2á`+10´210 ㉠-㉡을 하면 -S=1+2+2Û`+2Ü`+ y +2á`-10´210 = 1´(210-1) 2-1 =-9´210-1 -10´210 ∴ S=1+9´210 a+b+c=20 따라서 a=1, b=9, c=10이므로 yy ㉠ yy ㉡  3 yy ㉠ yy ㉡  20 142157고유형해결수1-06(9해).indd 150 2018-03-13 오후 3:44:09 9 수열의 합 | 151 정답과 해설 1220 이다. a90=9 1221 주어진 수열을  k= n(n+1) 2 |전략| 주어진 수열을 각 군의 첫째항과 끝항이 1이 되도록 군으로 묶는다. 이때, 제 n 군의 항수는 n+1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는 과 같이 군으로 묶으면 제 n 군에 있는 각 항의 차수는 n이다. 과 같이 군으로 묶으면 제 n 군은 (1, 2, y, n-1, n, n-1, y, 2, 1) =54이므로 제 60 항은 제 10 군의 6번째 항이다.  (k+1)= n(n+1) 2 +n= nÛ`+3n 2 ;Kn+! n=9일 때, 9Û`+3´9 2 따라서 제 n 군의 k번째 항은 an-k+1bk-1이므로 제 10 군의 6번째 항은 a10-6+1b6-1=aÞ`bÞ`  ⑤ 주어진 수열을 각 군의 첫째항과 끝항이 1이 되도록 (1), (1, 2, 1), (1, 2, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 4, 3, 2, 1), y 제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는  (2k-1)=2´ -1´n=nÛ` n(n+1) 2 ;Kn+! n=9일 때, 9Û`=81이므로 a90은 제 10 군의 9번째 항이다. 이때, 제 10 군은 (1, 2, y, 9, 10, 9, y, 2, 1)이므로 1224  9 |전략| 주어진 수열을 분모가 같은 항끼리 군으로 묶는다. 주어진 수열을 분모가 같은 항끼리 군으로 묶으면 , , , , , , {;2!;} {;3!; ;3@;} {;4!; ;4@; ;4#;} {;5!; ;5@; ;5#; ;5$;} , , , , y 제 n 군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는 (1), (3, 3), (5, 5, 5), (7, 7, 7, 7), y 과 같이 군으로 묶으면 제 n 군의 첫째항은 2n-1이고, 제 n 군의 항 수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는  k= n(n+1) 2 ;Kn+! n=15일 때, 15´16 2 이다. =120이므로 제 125 항은 제 16 군의 5번째 항 ;Kn+! 한편, 19=2n-1에서 n=10이므로 19는 제 10 군이고, 제 10 군의 첫 이때, 제 16 군은 , , {;1Á7; ;1ª7; ;1£7; , y, , ;1!7%; ;1!7^;} 이므로 제 125 항은 째항부터 10번째 항까지 계속된다. 따라서 제 1 군부터 제 9 군까지의 항수는 =45이므로 9´10 2 a=45+1=46, b=45+10=55 ∴ a+b=101 제 9 군 (17, 17, y, 17) 제 10 군 (19, 19, y, 19) 10개 ( { 9 45번째 46번째 1222 주어진 수열을 각 군의 첫째항과 끝항이 1이 되도록 (1), (1, 2, 1), (1, 2, 2Û`, 2, 1), (1, 2, 2Û`, 2Ü`, 2Û`, 2, 1), y 이다. ;1°7;  ;1°7; 참고 제 n 군의 k번째 항은 이고, 제 125 항은 제 16 군의 5번째 항이므 k n+1  101 로 5 16+1 = ;1°7; 1225 주어진 수열을 분모가 같은 항끼리 군으로 묶으면 과 같이 군으로 묶으면 2Ç`은 제(n+1)군에서 처음으로 나타나므로 210은 제 11 군에서 처음으로 나타난다. , , , , , , , y {;4#; ;4!;} ;8!;} {;2!;} 제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는 {;8&; ;8#; ;8%; 이때, 제 11 군에서 제 13 군까지 살펴보면 210 제 11 군 (1, 2, y, 210, y, 2, 1) 제 12 군 (1, 2, y, 210, 211, 210, y, 2, 1) 210 210 제 13 군 (1, 2, y, 210, 211, 212, 211, 210, y, 2, 1) 이므로 210이 다섯 번째로 나타나는 항은 제 13 군의 15번째 항이다. 210 210 제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 12 군까지의 항수는 12  (2k-1)=2´ 12´13 -1´12=144 2 ;K+! 따라서 210이 다섯 번째로 나타나는 항은 ∴ (1, 2, y, 211 13개 (\{\9 ( \ { \ 9 n개 , 212 , 211 , 210 14번째 , y, 2, 1) 15번째 제 n 군 (1, 2, y, 2n-2 , 2n-1 , 2n-2 , y, 2, 1) 144+15=159이므로 제 159 항이다.  제 159 항  2k-1= 1´(2Ç`-1) 2-1 =2Ç`-1 ;Kn+! n=6일 때, 2ß`-1=63이므로 제 100 항은 제 7 군의 37번째 항이다. 이때, 제 7 군은 첫째항이 2à`-1 2à` = ;1!2@8&; 이고, 공차가 - ;12@8;=-;6Á4; 인 등차수열을 이루므로 제 100 항은 ;1!2@8&; +(37-1)´ {-;6Á4;} = ;1°2°8;  ① 참고  제 n 군은 첫째항이 이고, 공차가 - 인 등차수열을 이룬다. 2Ç`-1 2Ç` 2 2Ç` 1223 주어진 수열을 각 군의 차수가 같도록 (a, b), (aÛ`, ab, bÛ`), (aÜ`, aÛ`b, abÛ`, bÜ`), y 1226 주어진 수열을 (분모)+(분자)의 값이 같은 항끼리 군으로 묶으면 {;1!;} {;1@; ;2!;} {;1#; ;2@; ;3!;} {;1$; , , , , , , , , ;2#; ;3@; , ;4!;} , y  … ❶ 9ㅡ 수 열 의 합 150 | III . 수열 9 수열의 합 | 151 142157고유형해결수1-06(9해).indd 151 2018-03-13 오후 3:44:10 제 n 군의 k번째 항은 분모와 분자의 합이 n+1이고 분모가 k이므로 는 제 21 군의 18번째 항이다.  ;1¢8; … ❷ 이때, 제 n 군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 20 군까지의 항수는 20  k= 20´21 =210 2 ;K+! 따라서 210+18=228이므로 채점 기준 는 제 228 항이다.  ;1¢8; … ❸  제 228 항 ❶ 주어진 수열을 (분모)+(분자)의 값이 같은 항끼리 군으로 묶을 수 있다. ❷ ;1¢8;가 제몇 군의 몇 번째 항인지 구할 수 있다. ❸ ;1¢8;가 제몇 항인지 구할 수 있다. 비율 20`% 40`% 40`% 1229 주어진 수열을 두 수의 곱이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶으면 {(1, 3), (3, 1)}, {(1, 9), (3, 3), (9, 1)}, {(1, 27), (3, 9), (9, 3), (27, 1)}, y 제 n 군의 항수는 n+1이고 순서쌍의 두 수의 곱은 3Ç`이다. 따라서 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는  (k+1)= n(n+1) 2 +n= n(n+3) 2 ;Kn+! n=8일 때, 8´11 2 =44이므로 제 50 항은 제 9 군의 6번째 항이다. 이때, 제 n 군의 k번째 항은 (3k-1, 3n-k+1)이므로 제 9 군의 6번째 항 은 (3Þ`, 3Ý`), 즉 (243, 81)이다.  (243, 81) 1227 주어진 수열을 분모가 같은 항끼리 군으로 묶으면 , , , , , , , , , {;2!;} {;3@; ;3!;} {;4#; ;4@; ;4!;} {;5$; ;5#; ;5@; ;5!;} , y 1230 |전략| 각 줄을 하나의 군으로 묶는다. 각 줄을 군으로 묶으면 제 n 군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는 제 n군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는 (1), (2, 3, 4), (9, 8, 7, 6, 5), (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16), y =55이므로 제 55 항은 제 10 군의 10번째 항이다. ;Kn+! n=10일 때, nÛ`=100이므로 111은 제 11 군에 속한다. (2k-1)=2´ -1´n=nÛ` n(n+1) 2  k= n(n+1) 2 ;Kn+! n=10일 때, 10´11 2 이때, 제 n 군은 n n+1 , n-1 n+1 , n-2 n+1 { , y, 1 n+1 } 이므로 제 n 군의 항의 합을 aÇ이라 하면  k aÇ= = n+1 ;Kn+! n(n+1) 2 n+1 = ;2N; 10 10  aû=   ;2K;=;2!; ´ 10´11 2 = :°2°: 의 합이므로 ;K+! ;K+! 1228 따라서 첫째항부터 제 55 항까지의 합은 제 1 군부터 제 10 군까지 항 그런데 제 11 군의 첫째항은 11Û`=121이고 홀수 번째 군에서는 첫째 항부터 차례로 1씩 감소하므로 111은 제 11 군의 11번째 항이다. 따라서 111은 위에서 11번째 줄의 왼쪽에서 11번째에 있으므로  22 p=11, q=11 ∴ p+q=22 1231 각 줄을 군으로 묶으면  :°2°: (1),` (2,` 3,` 4),` (5,` 6,` 7,` 8,` 9),` y 이때, 제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 9 군까지의 항수는  (2k-1)=2´ 9´10 2 -1´9=81 ;K9+! 따라서 위에서부터 10번째 줄의 왼쪽에서 7번째에 있는 수는 제 10 군 의 7번째 항이므로 81+7=88이다.  88 이때, 제 n군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 29 군까지의 항수는 (1),` (2,` 4),` (3,` 6,` 9),` (4,` 8,` 12,` 16),` y 이때, 제 n 군은 첫째항이 n, 공차가 n이고, 항수가 n인 등차수열이므 |전략| 주어진 수열을 두 수의 합이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶는다. 주어진 수열을 두 수의 합이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶으면 {(1, 1)}, {(2, 1), (1, 2)}, {(3, 1), (2, 2), (1, 3)}, {(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4)}, y 제 n 군의 순서쌍의 두 수의 합은 n+1이므로 (14, 17)은 제 30 군의 ;K+! 따라서 435+17=452이므로 (14, 17)은 제 452 항이다. 참고 순서쌍 (a, b)에서 a+b-1은 제몇 군인지, b는 군 안에서의 순서를 나  제 452 항 17번째 항이다. 29  k= 29´30 =435 2 타낸다. 152 | III . 수열 1232 각 줄을 군으로 묶으면 로 제 n 군의 항의 합을 aÇ이라 하면 aÇ=n+2n+3n+ y +n´n =n(1+2+3+ y +n) =n k=n´ n(n+1) 2 = nÜ`+nÛ` 2 ;Kn+! 142157고유형해결수1-06(9해).indd 152 2018-03-13 오후 3:44:11 9 수열의 합 | 153 정답과 해설 STEP3 1236 유형  01 합의 기호 100 ;Kn+! 99 ;K+! ;K+! ㉠-㉡을 하면 100 ;K+! 1237 따라서 첫 번째 줄부터 10번째 줄까지 나열된 수의 합은 제 1 군부터 내신 마스터 내신 마스터 제 10 군까지의 수의 합이므로 10  aû= 10   kÜ`+kÛ` 2 = ;2!; { 10 10  kÜ`+  kÛ` } ;K+! ;K+! = ;2!;[{ 10´11 2 } ;K+! ;K+! Û`+ 10´11´21 6 =1705 ] 1233 |전략| 수가 나열되는 방향에 따른 규칙을 찾는다. |전략|  aû=aÁ+aª+a£+ y +aÇ임을 이용한다. ;  1705  kaû=aÁ+2aª+3a£+ y +99a99+100a100=200 …… ㉠  kak+1=aª+2a£+3a¢+ y +98a99+99a100=100 …… ㉡ 첫 번째 줄의 수는 왼쪽에서부터 차례로 1, 4, 9, 16, y, 즉 1Û`, 2Û`, 3Û`, 4Û`, y이므로 첫 번째 줄의 왼쪽에서 15번째에 있는 수는 15Û`이다. ∴  ak=100 aÁ+aª+a£+ y +a99+a100=100  ② 첫 번째 줄의 15번째에 있는 수부터 15번째 줄의 15번째에 있는 수 까지 각 줄의 15번째에 있는 수는 1씩 작아지므로 9번째 줄의 15번째 에 있는 수는 15Û`-8=217 1234 2번째 줄부터 나열된 수의 규칙을 살펴보면 2번째 줄: 1, 2, 3, 4, 5, y  공차가 1인 등차수열 3번째 줄: 1, 3, 5, 7, 9, y  공차가 2인 등차수열 4번째 줄: 1, 4, 7, 10, 13, y  공차가 3인 등차수열 ⋮  ③ 유형  03 rÇ` 을 포함한 수열의 합 |전략| 나머지정리를 이용하여 aÇ을 구한다. 다항식  f(x)=xn-1(x-3)을 x-5로 나누었을 때의 나머지는 나머 지정리에 의하여  f(5)이므로 aÇ=5n-1´(5-3)=2´5n-1 ∴  aû=  2´5k-1=2  5k-1=2´ 1´(5Ç`-1) 5-1 = 5Ç`-1 2  ① ;Kn+! ;Kn+! ;Kn+! 이므로 10번째 줄에 나열된 수는 공차가 9인 등차수열을 이룬다. 다항식  f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지 R는 10번째 줄의 왼쪽에서 n번째에 나열된 수를 aÇ이라 하면 aÇ=1+(n-1)´9=9n-8 따라서 10번째 줄의 왼쪽에서 8번째에 있는 수는 a¥=9´8-8=64  ④ 1238 나머지정리 ⇨ R=f(a) 유형  04 자연수의 거듭제곱의 합 |전략| 의 성질을 이용하여 식을 간단히 정리하고, 자연수의 거듭제곱의 합을 이용한다. ; 20  aû=aÁ+aª+a£+a¢+ y +a19+a20 ;K+! =(aÁ+a£+ y +a19)+(aª+a¢+ y +a20) =(2´1+2´3+ y +2´19)+{-2+(-4)+ y +(-20)} 9ㅡ 수 열 의 합 y a b c d 10 =  2(2k-1)+  (-2k) =4  k-  2-2  k=2  k-2´10 10 ;K+! 10 10 10 ;K+! 10 ;K+! ;K+! ;K+! =2´ 10´11 ;K+! -20=90 2  ③ 3Û`, 4Û`, y, nÛ`이고, nÛ`의 위와 왼 10 15 20 5Û` 2 2Û` 6 8 3 6 4 8 5 y 10 3Û` 12 15 12 4Û` 20 1Û` 2 3 4 5 ⋮ 1235 가로줄의 개수와 세로줄의 개수 를 각각 n이라 하면 오른쪽과 같 이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 의 대각선의 수는 차례로 1Û` , 2Û`, 쪽에 있는 수는 각각 nÛ`-n이 다. 즉, a=(n-1)Û`, b=nÛ`-n, c=nÛ`-n, d=nÛ`이므로 a+b+c+d =(n-1)Û`+2(nÛ`-n)+nÛ` =4nÛ`-4n+1 이때, a+b+c+d=361이므로 n(n-1)=10´9 ∴ n=10 유형  05 여러 개의 를 포함한 식의 계산 4nÛ`-4n+1=361, 4nÛ`-4n=360, nÛ`-n=90 |전략| 일반항에서 상수인 것과 상수가 아닌 것을 구별하여 안쪽에 있는 ; 부 따라서 a, b, c, d 중 가장 큰 수는 d=100, 가장 작은 수는 a=81이  (-1)n-1´(2k-1) = (-1)n-1   (2k-1) 므로 구하는 값은 100-81=19  19 ;N+! ;Kn+!  (2k-1)=2´ n(n+1) 2 ;N+! ;Kn+! -1´n=nÛ`이므로 20   [ ] ; ] 터 계산한다. 1239 20   [ ;Kn+! 152 | III . 수열 9 수열의 합 | 153 142157고유형해결수1-06(9해).indd 153 2018-03-13 오후 3:44:12 (주어진 식)=  {(-1)n-1´nÛ`} 20 ;N+! =1Û`-2Û`+3Û`-4Û`+ y +19Û`-20Û` =(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4) + y +(19-20)(19+20) =-(1+2+3+4+ y +19+20) =- 20´21 =-210 k 20  ;K+! 2  ③ 1240 유형  07 제 k 항이 n에 대한 식일 때의 수열의 합 |전략| 주어진 수열의 제 k 항 aû를 k와 n에 대한 식으로 나타내고,  aû에서 n 은 상수임에 유의하여 수열의 합을 구한다. ;Kn+! 수열의 합 1´(2n-1)+2´(2n-3)+3´(2n-5)+ y +n´1에 서 수열의 제 k 항을 aû라 하면 aû=k{2n-(2k-1)} 이때, 수열의 합은  aû=  k{2n-(2k-1)}=  {(2n+1)k-2kÛ`} ;Kn+! ;Kn+! =(2n+1)  k-2  kÛ` ;Kn+! =(2n+1)´ ;Kn+! ;Kn+! n(n+1) 2 -2´ n(n+1)(2n+1) 6 = n(n+1)(2n+1) 6 따라서 a=1, b=2, c=1이므로 a+b+c=4  ② 1241 유형  08 여러 가지 수열의 합 |전략| k의 값의 범위에 따른 [ k]의 값을 구한 다음  [ k]의 값을 구한다. 50 ' 1Ék<4일 때, 1É ' k<2이므로 [ 4Ék<9일 때, 2É ' 9Ék<16일 때, 3É k<3이므로 [ ' k<4이므로 [ ' ' k]=1 ;K+! ' k]=2 k]=3 ' 36Ék<49일 때, 6É k<7이므로 [ k]=6 ' k=49, 50일 때, [ ' k]=7 ' ∴  [ k]=1´3+2´5+3´7+ y +6´13+7´2 =  k(2k+1)+14=2  kÛ`+  k+14 ;K6+! =2´ 6´7´13 6 + 6´7 2 ;K6+! +14 ;K6+! =182+21+14=217 ⋮ 50 ;K+! ' 1242 유형  10 분모에 근호가 포함된 수열의 합 |전략| 주어진 등차수열의 일반항 aÇ을 구하고, 이를 이용하여 수열 1 aÇ+ 'Ä [ an+1 ] 'Ä 1 aû+ 'Ä ak+1 'Ä 의 제 k 항 의 분모를 유리화한다. 154 | III . 수열 첫째항이 9, 공차가 3인 등차수열 {aÇ}의 일반항 aÇ은 aÇ=9+(n-1)´3=3n+6이므로 1 ak+ '¶ ak+1 'Ä 1 3k+6+ = = 'Ä ( = 'Ä 3k+9 'Ä 3k+6- 3k+9)( 'Ä 'Ä 3k+6 'Ä 'Ä 3k+6+ 'Ä 3k+9- 3 'Ä ∴ S»= =   'Ä 1 aû+'Äak+1 3k+9-  ( 'Ä ;K9+! ;3!; 3k+6) 'Ä 3k+9 3k+6- 3k+9) 'Ä = 1 2- 9)+( 1 5- 1 2)+ y +( 3 6- 3 3)} ' ' ' ' ' ;K9+! {( ' ;3!;   =;3!; ' ' ( 3 6- 9)=1  ② 1243 구한다. 유형  11 로그가 포함된 수열의 합 |전략| 일반항 aÇ의 로그의 진수를 변형하고, k=1, 2, y, n을 대입하여  aû를 ;Kn+! aÇ=logª  { 1+ ;n! ;} =logª  n+1 n ∴  aû=  logª  k+1 k ;Kn+! ;Kn+! =logª  ;1@;+ logª  ;2#;+ logª  ;3$;+ y +logª  n+1 n =logª  ´ ´ {;1@; ;2#; ;3$; ´ y ´ n+1 n } =logª (n+1) 이때,  aû=5이므로 logª (n+1)=5 로그의 정의에 의하여 n+1=2Þ`=32 ;Kn+!  ③ 유형  12 로 표현된 수열의 합과 일반항 사이의 관계 aû로 놓고 aÁ=SÁ, aÇ=SÇ-Sn-1(n¾2)임을 이용하여 일반 ∴ n=31 1244 ; |전략| SÇ= ;Kn+! 항 aÇ을 구한다. Û n¾2일 때, aÇ=SÇ-Sn-1 = n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1) ;3!; = n(n+1){n+2-(n-1)} ;3!; ;3!; =n(n+1) …… ㉠ SÇ=  aû= ;3!; n(n+1)(n+2)라 하면  ④ Ú n=1일 때, aÁ=SÁ= ´1´(1+1)(1+2)=2 ;3!; ;Kn+! 142157고유형해결수1-06(9해).indd 154 2018-03-13 오후 3:44:13 9 수열의 합 | 155 정답과 해설Œ Œ Œ Œ Œ Œ 이때, aÁ=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a¢=4+2´4+3´4+4´4 ;Kn+! 1- { = + ;2!;} {;2!;-;3!;} + y + {;n! ;- 1 n+1 } =1- 1 n+1 = n n+1  ⑤ ∴  aû= kÜ`+kÛ`   2 = ;2!;{  kÜ` +  kÛ` } aÇ=n(n+1) 1   aû ∴ = 1   k(k+1) ;Kn+! ;Kn+!   {;k!;- = 1 k+1 } 1245 유형  14 정수로 이루어진 군수열 |전략| 주어진 수열을 자릿수에 따라 군으로 묶는다. 주어진 수열을 자릿수에 따라 (1), (10, 11), (100, 101, 110, 111), y 과 같이 군으로 묶으면 제 n 군은 0과 1로 이루어진 n자리의 수이다. 제 n 군의 항수는 2n-1이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는  2k-1= 1´(2Ç`-1) 2-1 =2Ç`-1 ⋮ 이므로 aÇ=n+2n+3n+ y +n´n =  kn=n  k ;Kn+! ;Kn+! =n´ n(n+1) 2 = nÜ`+nÛ` 2   ;K9+! ;K9+! = ;2!;[{ 9´10 2 Û` } + ;K9+! ;K9+! 9´10´19 6 ] = (2025+285)=1155  ;2!; 채점 기준 ❶ aÇ을 구할 수 있다. ❷ aû의 값을 구할 수 있다. ;K9+! 1248 ;Kn+! n=6일 때, 2ß`-1=63이므로 제 65 항은 제 7 군의 2번째 항이다. 유형  16 순서쌍으로 이루어진 군수열 이때, 제 7 군은 (1000000, 1000001, y)이므로 제 65 항은 1000001이다. |전략| x좌표와 y좌표의 합이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶는다.  ④ x좌표와 y좌표의 합이 같은 순서쌍끼리 군으로 묶으면 {(1, 1)}, {(1, 2), (2, 1)}, {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}, 1246 칙을 찾는다. 유형  18 바둑판 모양으로 주어진 군수열 |전략| 1에서부터 1의 오른쪽 대각선 아래 방향에 적힌 수를 차례로 살펴보고 규 1에서부터 1의 오른쪽 대각선 아래 방향에 적힌 수는 차례로 1, 9, 25, y, 즉 1Û`, 3Û`, 5Û`, y이므로 k번째 수는 (2k-1)Û`이다. 또, k-1번째 수는 (2k-3)Û`이므로 (2k-1)Û`의 바로 위에 오는 수 는 (2k-3)Û`+1이다. 이때, 121=11Û`이므로 2k-1=11 ∴ k=6 따라서 121 바로 위에 오는 수는 (2k-3)Û`+1에 k=6을 대입한 것 과 같으므로 (2´6-3)Û`+1=82 {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}, y 점 A°¼은 주어진 수열의 제 50 항, 점 Aª¼¼은 제 200 항이다. 제 n 군의 항수는 n이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수는  k= n(n+1) 2 ;Kn+! n=9일 때 9´10 2 19´20 2 =45이므로 제 50 항은 제 10 군의 5번째 항이고, n=19일 때 =190이므로 제 200 항은 제 20 군의 10번째 항 이때, 제 n 군의 k번째 항은 (k, n-k+1)이므로 제 10 군의 5번째 항은 (5, 6)이고, 제 20 군의 10번째 항은 (10, 11)이다. … ❷ 따라서 두 점 A°¼(5, 6)과 Aª¼¼(10, 11) 사이의 거리는  ② (10-5)Û`+(11-6)Û`=5 2 ' 이다. "à 채점 기준 1247 유형  06 제 k 항을 찾아 수열의 합 구하기 |전략| 주어진 수열의 제 k 항 aû를 k에 대한 식으로 나타내고, 하여 수열의 합을 구한다. ; 의 성질을 이용 aÁ=1 aª=2+2´2 a£=3+2´3+3´3 ❶ 제 50 항과 제 200 항이 제몇 군의 몇 번째 항인지 구할 수 있다. ❷ 제 50 항과 제 200 항을 구할 수 있다. ❸ 두 점 A°¼과 Aª¼¼ 사이의 거리를 구할 수 있다. 두 점 사이의 거리 좌표평면 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에 대하여 ⇨ ABÓ= (xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û` "à … ❶ … ❷  1155 배점 3점 3점 … ❶ … ❸  5 2 ' 배점 3점 2점 2점 154 | III . 수열 9 수열의 합 | 155 142157고유형해결수1-06(9해).indd 155 2018-03-13 오후 3:44:13 9ㅡ수열의합 n=5일 때, {3, 3Ü`, 3Þ`, 3à`, 3á`}에서 S={3Ý`, 3ß`, 3¡`, 310, 312, 314, 316}이 므로  f(5)=7 ⋮ ∴  f(n)=1+(n-2)´2=2n-3 (n¾2) 11 11 ∴   f(n)=  (2n-3) ;N+@ =1+3+5+ y +19 ;N+@ = 10(1+19) 2 =100 다른 풀이 11 11 10   f(n)=  (2n-3)=  (2n-1) ;N+@ ;N+@ 10 =2  n- 10 ;N+!  1=2´ 10´11 2 -1´10=100 ;N+! ;N+!  100 |전략| 1이 첫째항이 되도록 하나의 군으로 묶어 제 1 군부터 제 n 군까지의 항수 과 같이 군으로 묶으면 제 n 군의 항수는 n+1이므로 제 1 군부터 ;Kn+! 10´13 2 n=10일 때, =65이므로 제 65 항은 제 10 군의 마지막 항, 1249 유형  15 분수로 이루어진 군수열 를 파악한다. ⑴ 주어진 수열을 1이 첫째항이 되도록 1, 1, , { ;3!;} { , ;3!; ;9!;} 1, , { , , ;3!; ;9!; ;2Á7;} , y 제 n 군까지의 항수는  (k+1)= n(n+1) 2 +n= n(n+3) 2 즉 제 10 군의 11번째 항이다. ⑵ 제 1 군부터 제 10 군까지의 항의 곱은 10 ´ {;3!;} { 9 1 3Û` } ´ { 8 1 3Ü` } ´ y ´ 1 1 310 } { 1´10+2´9+3´8+ y +10´1 = {;3!;} ∴ a=1´10+2´9+3´8+ y +10´1 10 10 10 =  k(11-k)=11  k-  kÛ |전략| n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 aÇ(n은 자연수)을 각각 구한다. 함수 y=k x의 그래프가 정사각형 AÇ과 만날 필요충분조건은 두 점 (4nÛ`, nÛ`), (nÛ`, 4nÛ`)을 양 끝점으로 하는 선분과 만날 때이다. 함수 y=k x의 그래프가 점 (4nÛ`, nÛ`)을 지날 조건은 정사각형 AÇ의 대각선 1251 ' ' "à ' nÛ` "à ;K+! =11´ 10´11 2 ;K+! - 10´11´21 6 ;K+! =605-385=220  ⑴ 제10군의 11번째 항 ⑵ 220 nÛ`=k 4nÛ` ∴ k= (∵ n은 자연수) ;2N; 함수 y=k x의 그래프가 점 (nÛ`, 4nÛ`)을 지날 조건은 4nÛ`=k ∴ k=4n (∵ n은 자연수) 채점 기준 ⑴ 제 65 항이 제몇 군의 몇 번째 항인지 구할 수 있다. ⑵ a의 값을 구할 수 있다. 배점 4점 6점 다른 풀이 ⑵ 제 n 군의 항의 곱은 1´ ´ ;3!; 1 3Û` ´ y ´ 1 3Ç` = {;3!;} y +n 1+2+ = {;3!;} n(n+1) 2 이므로 제 1 군부터 제 n 군까지의 항의 곱은 따라서 aÇ은 부등식 ;2N; ÉkÉ4n을 만족시키는 자연수 k의 개수이다. Ú n이 홀수일 때, 이 자연수가 아니므로 aÇ은 ;2N; ;2N;+;2!; , ;2N;+;2!; +1, y, 4n의 개수이다. ∴ aÇ=4n- {;2N;+;2!;} +1 =;2&; n+ ;2!; Û n이 짝수일 때, 이 자연수이므로 aÇ은 , 1, y, 4n의 개수 ;2N; ;2N;+ ;2N; 1´2 2 ´ {;3!;} {;3!;} 2´3 2 ´ y ´ n(n+1) 2 = {;3!;} {;3!;} 1´2 2 + 2´3 2 +`y`+ n(n+1) 2 이다. ∴ a= 10   k(k+1) 2 = ;2!;{ 10 10  k Û ` +  k } = ;K+! ;2!;{ 10´11´21 6 + ;K+! 10´11 2 ;K+! }=;2!; (385+55)=220 창의·융합 교과서 속 심화문제 9 10  aû=(aÁ+aª)+(a£+a¢)+ y +(a»+aÁ¼) ∴ ∴ aÇ=4n- +1 ;2N; =;2&; n+1 Ú, Û에 의하여 aÇ= ( { ;2&; ;2&; n+ ( n은 홀수) ;2!; n+1 ( n은 짝수) ;K+! =  (a2k-1+a2k) a2k-1= ;2&; ;K5+! (2k-1)+ =7k-3, ;2!; a2k= ;2&; ´2k+1=7k+1 이므로 a2k-1+a2k=14k-2 ∴  (a2k-1+a2k)=  (14k-2) ;K5+! ;K5+! =14´ 5´6 2 -2´5=200  200 |전략| n=2, 3, 4, y일 때,  f(n)의 값을 구하여 규칙을 찾는다. n=2일 때, {3, 3Ü`}에서 S={3Ý`}이므로 n=3일 때, {3, 3Ü`, 3Þ`}에서 S={3Ý`, 3ß`, 3¡`}이므로  f(3)=3 n=4일 때, {3, 3Ü`, 3Þ`, 3à`}에서 S={3Ý`, 3ß`, 3¡`, 310, 312}이므로 1250  f(2)=1  f(4)=5 156 | III . 수열 142157고유형해결수1-06(9해).indd 156 2018-03-13 오후 3:44:14 9 수열의 합 | 157 정답과 해설 |전략| 2Ç`을 10으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 가우스 기호를 사용하여 나타 |전략|  f(x)=  (x-aû)Û`이라 하고,  f(x)가 최솟값을 가질 때의 x의 값을 구 1252 내어 본다. 2Ç`을 10으로 나누었을 때 은 몫이 되고 2Ç` 10 2Ç`=10´(몫)+(나머지)에서 [ ] 2Ç` 10 [ ] 2Ç`=10 +(나머지)이므로 aÇ=2Ç`-10 은 2Ç`을 10으로 나누었을 때의 나머지, 즉 2Ç`의 일의 자리의 숫자를 나타낸다. 이때, 2Ú`, 2Û`, 2Ü`, 2Ý`, y을 10으로 나누었을 때의 나머지를 차례로 구해 2Ç` 10 [ ] 보면 2, 4, 8, 6이 이 순서대로 반복되므로 40  aû=(2+4+8+6)´10=200 ;K+! 가우스 기호를 사용한 나머지의 표현 두 자연수 m, n에 대하여 m을 n(n+0)으로 나누었을 때의 몫을 q, 나머지 를 r라 하면 m=nq+r (단, 0Ér³ aÇ=aÁ+ (2k+1) an+1= aÇ에서 주어진 수열은 공비가 인 등비수열이다. ;4!; ;4!; 1279 이때, 첫째항이 aÁ=4이므로 n-1 aÇ=4´ {;4!;} = {;4!;} n-2 n-2  aÇ= {;4!;} nK-+1! =1+2´ (n-1)n 2 +(n-1) =nÛ`  aÇ=nÛ` 1280 an+1=-5aÇ에서 주어진 수열은 공비가 -5인 등비수열이다. 이때, 첫째항이 aÁ=3이므로 aÇ=3´(-5)n-1  aÇ=3´(-5)n-1 1285 an+1-aÇ=2Ç`의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더 하면 1281 an+1 aÇ = an+2 an+1 에서 주어진 수열은 등비수열이고, aÁ=-48, aªÖaÁ=16Ö(-48)=- ;3!; 이므로 첫째항이 -48, 공비가 - 이다. ;3!; aª-aÁ=2 a£-aª=2Û` a¢-a£=2Ü` ⋮ aÇ-an-1=2n-1 + >³ aÇ-aÁ= 2û` = 2(2n-1-1) nK-+1! 2-1 =2Ç`-2 ∴ aÇ=-48´ - { ;3!;} n-1  aÇ=-48´ - { ;3!;} n-1 ∴ aÇ=2+2Ç`-2=2Ç`  aÇ=2Ç` aÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 1282 an+1Û`=aÇ an+2에서 주어진 수열은 등비수열이고, aÁ=1, aªÖaÁ=5Ö1=5 이므로 첫째항이 1, 공비가 5이다. ∴ aÇ=1´5n-1=5n-1  aÇ=5n-1 1283 an+1=aÇ+n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더 하면 1286 an+1= n n+1 곱하면 aª= aÁ ;2!; a£= ;3@;aª a¢= a£ ;4#; ⋮ aÇ= n-1 n aª=aÁ+1 a£=aª+2 a¢=a£+3 ⋮ + aÇ=an-1+n-1 >³ aÇ=aÁ+ k=1+ (n-1)n 2 nK-+1! nÛ`-n+2 2 = 160 | III . 수열 _ ³ an-1 aÇ= ´ ´ ´y ´ ;2!; ;3@; ;4#; n-1 n ´aÁ = ´3= ;n#; ;n!;  aÇ= ;n#;  aÇ= nÛ`-n+2 2 1287 an+1=3Ç` aÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱 하면 158176고유형해결수1-18(10해).indd 160 2018-03-13 오후 3:45:32 정답과 해설; ; ; aª=3aÁ a£=3Û`aª a¢=3Ü`a£ _ >³ ⋮ aÇ=3n-1an-1 aÇ=3´3Û`´3Ü`´y ´3n-1´aÁ=31+2+3+`y`+(n-1)´1 n(n-1) 2 =3 1292 2an+2-3an+1+aÇ=0에서 2(an+2-an+1)=an+1-aÇ ∴ an+2-an+1= (an+1-aÇ) ;2!; 수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=1이고 공비가 인 등비수열 ;2!;  aÇ=3 n(n-1) 2 이므로 an+1-aÇ=1´ {;2!;} = {;2!;} n-1 n-1 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 1288 ⑴ an+1=3aÇ+2에서 an+1+1=3(aÇ+1) ∴ a=-1 ⑵ 수열 {aÇ+1}은 첫째항이 aÁ+1=3이고 공비가 3인 등비수열이 므로 aÇ+1=3´3n-1=3Ç` ∴ aÇ=3Ç`-1  ⑴ -1 ⑵ aÇ=3Ç`-1 + aÇ-an-1= {;2!;} n-2 â`=1 {;2!;} aª-aÁ=1 a£-aª= ;2!; a¢-a£= Û` {;2!;} ⋮ 1289 an+1=2aÇ+1에서 an+1+1=2(aÇ+1) 수열 {aÇ+1}은 첫째항이 aÁ+1=3이고 공비가 2인 등비수열이 므로 aÇ+1=3´2n-1 ∴ aÇ=3´2n-1-1  aÇ=3´2n-1-1 aÇ-aÁ= k-1 = {;2!;} n-1 1´ 1- [ {;2!;} ] 1- ;2!; nK-+1! n-1 n-2 =2-2´ {;2!;} =2- {;2!;} ∴ aÇ=1+2- {;2!;} =3- {;2!;} n-2 n-2 n-2  aÇ=3- {;2!;} 1290 an+1= aÇ+2에서 an+1-3= (aÇ-3) ;3!; ;3!; 1293 an+1= aÇ 1+3aÇ 에서 1 an+1 = 1+3aÇ aÇ = 1 aÇ +3 수열 {aÇ-3}은 첫째항이 aÁ-3=1, 공비가 인 등비수열이므로 ;3!; n-1 n-1 = {;3!;} aÇ-3=1´ {;3!;} n-1 ∴ aÇ= {;3!;} +3  aÇ= {;3!;} n-1 +3 1291 an+2-4an+1+3aÇ=0에서 an+2-an+1=3(an+1-aÇ) 수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=1이고 공비가 3인 등비수열 이므로 an+1-aÇ=1´3n-1=3n-1 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 3â`=1 aª-aÁ=1 a£-aª=3 a¢-a£=3Û` ⋮ aÇ-an-1=3n-2 + >³ aÇ-aÁ= 3k-1= 1´(3n-1-1) 3-1 = 3n-1-1 2 nK-+1! ∴ aÇ=1+ 3n-1-1 2 = 3n-1+1 2  aÇ= 3n-1+1 2 =bÇ으로 놓으면 bn+1=bÇ+3 1 aÇ 수열 {bÇ}은 첫째항이 bÁ= 1 aÁ bÇ=1+(n-1)´3=3n-2 = 1 ∴ aÇ= 1 bÇ 3n-2 =1이고 공차가 3인 등차수열이므로  aÇ= 1 3n-2 1294 an+1= aÇ aÇ+2 에서 1 an+1 = aÇ+2 aÇ = 2 aÇ +1 =bÇ으로 놓으면 bn+1=2bÇ+1 1 aÇ ∴ bn+1+1=2(bÇ+1) 수열 {bÇ+1}은 첫째항이 bÁ+1= 1 aÁ 수열이므로 bÇ+1=3´2n-1 ∴ bÇ=3´2n-1-1 ∴ aÇ= 1 bÇ = 1 3´2n-1-1 +1=3이고 공비가 2인 등비  aÇ= 1 3´2n-1-1 10 수학적 귀납법 | 161 158176고유형해결수1-18(10해).indd 161 2018-03-13 오후 3:45:32 10ㅡ수학적귀납법; ³ ; 정답과 해설 1295 Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1+3+5+ y +(2k-1)=kÛ` yy ㉡ 참고 부분분수로의 변형 1 AB = 1 B-A { 1 A - 1 B } (단, A+B) 이므로 ㉡의 양변에 ㈎ 2k+1 을 더하면 1+3+5+ y +(2k-1)+( ㈎ 2k+1 ) =kÛ`+ ㈎ 2k+1 = ㈏ (k+1)Û` 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.  ㈎ 2k+1 ㈏ (k+1)Û` 1296 Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1+2+3+ y +k= k(k+1) 2 이므로 ㉡의 양변에 ㈎ k+1 을 더하면 1+2+3+ y +k+ ㈎ k+1 = k(k+1) 2 + ㈎ k+1 =( ㈎ k+1 ) ㈏ ;2K; +1 } { = ㈐ (k+1)(k+2) 2 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.  ㈎ k+1 ㈏ ;2K; ㈐ (k+1)(k+2) 2 1299 an+2-an+1=an+1-aÇ에서 수열 {aÇ}은 등차수열이므로 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 aª=a+d=-16 a°=a+4d=-7 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-19, d=3 ∴ aÇ=-19+(n-1)´3=3n-22 이때, 3n-22>0에서 n> =7.3___ :ª3ª: 따라서 수열 {aÇ}은 제8항부터 양수이므로 첫째항부터 제7항까지의 합이 최소가 된다. 음수인 항만 모두 더한 것 ∴ n=7  ③ 1300 |전략| an+1=raÇ에서 수열 {aÇ}은 공비가 r인 등비수열임을 이용한다. an+1=2aÇ에서 수열 {aÇ}은 공비가 2인 등비수열이다. 이때, 첫째항이 aÁ=4이므로 aÇ=4´2n-1=2n+1 a¥=2á`=512, a»=210=1024이므로 처음으로 1000 이상이 되는 항 은 제9항이다. 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 1297 |전략| an+1-aÇ=d이면 수열 {aÇ}은 공차가 d인 등차수열임을 이용한다. an+1-aÇ=-4이므로 수열 {aÇ}은 공차가 -4인 등차수열이다. 이때, 첫째항이 aÁ=300이므로 aÇ=300+(n-1)´(-4)=-4n+304 aû=88에서 -4k+304=88 4k=216 ∴ k=54 1301 an+1Û`=aÇan+2에서 수열 {aÇ}은 등비수열이다. 수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 aÁ° aÁÁ a° aÁ =r10이므로 aÁ£ a£ = =  ④ aÁÁ aÁ + + aÁ£ a£ aÁ° a° =r10+r10+r10=9 ∴ r10=3 1298 an+2-2an+1+aÇ=0에서 an+2-an+1=an+1-aÇ이므로 수열 {aÇ} 은 등차수열이고 =r20=(r10)Û`=3Û`=9 ∴ a£¼ aÁ¼ 채점 기준 ❶ 수열 {aÇ}이 등비수열임을 알 수 있다. ❷ r10의 값을 구할 수 있다. ❸ a£¼ aÁ¼ 의 값을 구할 수 있다.  ② … ❶ … ❷ … ❸  9 비율 40 % 30 % 30 % = ;4!;[{ 1- + - ;2!;} {;2!; ;3!;} + y + - {;2Á0; ;2Á1;}]  ③ 비가 3이다. ∴ aÇ=1´3n-1=3n-1 1302 2 log an+1=log aÇ+log an+2에서 an+1Û`=aÇan+2 즉, 수열 {aÇ}은 등비수열이고 aÁ=1, =3이므로 첫째항이 1, 공 aª aÁ aÁ=2, aª-aÁ=4-2=2 이므로 첫째항이 2, 공차가 2이다. ∴ aÇ=2+(n-1)´2=2n 1 2k´2(k+1) 1 ak ak+1 ∴ = 20 20 ;K+! ;K+! 20 = ;4!; {;k!; - 1 k+1 } ;K+! = 1- ;2Á1;} = ;2°1; ;4!;{ 162 | III . 수열 158176고유형해결수1-18(10해).indd 162 2018-03-13 오후 3:45:34 따라서 a2k-1=3(2k-1)-1=9k-1이므로 10 a2k-1= 10 9k-1= 1´(910-1) 9-1 = ;8!; (910-1) (910-1)  ;8!; 1305 an+1=aÇ-f(n)의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 ;K+! ;K+! 1303 이차방정식 aÇxÛ`-2an+1x+an+2=0이 중근을 가지므로 이 이차방 정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =an+1Û`-anan+2=0 ∴ an+1Û`=anan+2 ∴ an+1 aÇ = ;2!; 즉, 수열 {aÇ}은 등비수열이고 aª aÁ = ;2!; 이므로 공비가 이다. ;2!; 주어진 이차방정식에서 근은 근의 공식에 의하여 an+1Ñ"à x= an+1Û`-anan+2 aÇ = an+1 aÇ (∵ ㉠)= (중근) ;2!; 이때, 주어진 이차방정식의 중근이 bÇ이므로 bÇ= ;2!; 100 100 ∴ bû= ;2!; =100´ =50 ;2!; n-1 ;K+! ;K+! 다른 풀이 aÇ=2´ {;2!;} = {;2!;} n-2 이므로 an+1= {;2!;} n-1 , an+2= Ç` {;2!;} 따라서 주어진 이차방정식은 n-2 n-1 {;2!;} xÛ`-2´ {;2!;} x+ {;2!;} Ç` =0 이 식의 양변에 2Ç`을 곱하면 4xÛ`-4x+1=0, (2x-1)Û`=0 ∴ x=bÇ= ;2!; |전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더한다. an+1=aÇ+2n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼 리 더하면 1304 aª=aÁ+2´1-1 a£=aª+2´2-1 a¢=a£+2´3-1 ⋮ + aÇ=an-1+2´(n-1)-1 >³ aÇ=aÁ+ (2k-1) nK-+1! =aÁ+2´ (n-1)n 2 -(n-1) =aÁ+(n-1)Û` a¥=50에서 aÁ+(8-1)Û`=50 ∴ aÁ=1 ∴ aÇ=(n-1)Û`+1 ∴ a¢=(4-1)Û`+1=10 aª=aÁ-f(1) a£=aª-f(2) a¢=a£-f(3) ⋮ + aÇ=an-1-f(n-1) >³ aÇ=aÁ- `f(k)=-1-{(n-1)Û`-1} yy ㉠ =-(n-1)Û` nK-+1! ∴ a20=-(20-1)Û`=-361  -361 1306 an+1=aÇ+2Ç`의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더 하면  50 aª=aÁ+2Ú` a£=aª+2Û` a¢=a£+2Ü` ⋮ aÇ=an-1+2n-1 + >³ aÇ=aÁ+ 2û`=1+ 2(2n-1-1) 2-1 =2Ç`-1 nK-+1! aû=1023에서 2û`-1=1023 2û`=1024=210 ∴ k=10 = 'Ä n+1+ n+1- n)( n ' n+1- ' 'Ä ( 'Ä n) ' = n+1- n 'Ä ' n+1- n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 ' 1307 1 n+1+ n 'Ä ' an+1=aÇ+ 'Ä 변끼리 더하면 aª=aÁ+ 2- a£=aª+ 3- a¢=a£+ 4- ' ' ' 1 ' 2 ' 3 ' ⋮ + >³ n- aÇ=an-1+ aÇ=aÁ+ ' n- n-1 'Ä 1=1+ ' ' 100=10 ∴ a100= '¶ n-1= n ' '  10  ⑤ 1308 an+1= n+2 n+1  ③ 곱하면 |전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱한다. aÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 10 수학적 귀납법 | 163 158176고유형해결수1-18(10해).indd 163 2018-03-13 오후 3:45:35 10ㅡ수학적귀납법; ; ; aª= aÁ ;2#; a£= aª ;3$; a¢= a£ ;4%; ⋮ aÇ= n+1 n _ an-1 aª= aÁ ®;2!; a£= aª ®;3@; a¢= a£ ®;4#; ⋮ _ aÇ= ®É n-1 n an-1 10 ;K+! 1310 an+1 aÇ aª=2aÁ a£=2Û`aª a¢=2Ü`a£ 164 | III . 수열 aÇ= ´ ´ ;2#; ;3$; ;4%; ´y ´ n+1 n ´aÁ= ´2=n+1 n+1 2 ∴ a99=99+1=100  ③ 1309 n+1 an+1= naÇ에서 an+1=æ®É ' 'Ä n n+1 aÇ 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 aÇ= ´ ®;2!; ®;3@; ®;4#; ´ y ´ n-1 n ®É ´aÁ= ®;n!; ´1= 1 n ' ∴ (akak+1)Û` = { 1 'k ´ {;k!;- 1 'Äk+1 } 1 k+1 } 10 Û`= 1 k(k+1) ;K+! ´ 10 ;K+! 10 = ;K+! 1- { = =2Ç`에서 an+1=2Ç`aÇ` 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 _ >³ ⋮ aÇ=2n-1an-1 aÇ=2´2Û`´2Ü`´y ´2n-1´aÁ=21+2+3+`y`+(n-1)´1 n(n-1) 2 =2 k(k-1) 2 =255 aû=255에서 2 k(k-1) 2 =55, kÛ`-k-110=0 (k+10)(k-11)=0 ∴ k=11 (∵ k는 자연수)  11 1311 an+1= nÛ`+2n (n+1)Û` an= n(n+2) (n+1)Û` an= n n+1 ´ n+2 n+1 an 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 aª= ´ ;2!; ;2#; aÁ a£= ´ ;3@; ;3$; aª a¢= ´ ;4#; ;4%; a£ ⋮ ∴ a10= ;1!0!; 1312 _ aÇ= n-1 n ´ n+1 n an-1 aÇ= ´ ´ ´ ´ ´ ;2!; ;2#; ;3@; ;3$; ;4#; ;4%; ´y ´ n-1 n ´ n+1 n ´aÁ = n+1 2n ´2= n+1 n  ;1!0!; |전략| 주어진 식을 an+1-a=p(aÇ-a) 꼴로 변형한다. an+1=3aÇ+2에서 an+1+1=3(aÇ+1) 수열 {aÇ+1}은 첫째항이 aÁ+1=2이고 공비가 3인 등비수열이므로 aÇ+1=2´3n-1 ∴ a10=2´3á`-1 ∴ aÇ=2´3n-1-1  ③ 1313 an+1= aÇ+1에서 an+1-2= (aÇ-2) ;2!; ;2!; 따라서 p=2, q= 이므로 p+q= ;2!; ;2%;  ;2%; 1314 an+1-2an=-1에서 an+1-1=2(aÇ-1) 수열 {aÇ-1}은 첫째항이 aÁ-1=2이고 공비가 2인 등비수열이므로 aÇ-1=2´2n-1=2Ç` ∴ aÇ=2Ç`+1 (2û`+1)= 2(2Ç`-1) 2-1 +n=2n+1+n-2 ∴ SÇ= ;Kn+!  SÇ=2n+1+n-2 1315 an+1-3an+4=0에서 an+1-2=3(aÇ-2) 수열 {aÇ-2}는 첫째항이 aÁ-2=2이고 공비가 3인 등비수열이므로 aÇ-2=2´3n-1 ∴ aÇ=2´3n-1+2 + ;2!;} {;2!;-;3!;} + y + {;1Á0;-;1Á1;} 수열 {aÇ-2}는 첫째항이 aÁ-2=1이고 공비가 인 등비수열이므로 =1- = ;1!1); ;1Á1;  ;1!1); aÇ-2=1´ n-1 n-1 = {;2!;} {;2!;} ∴ aÇ=2+ {;2!;} ;2!; n-1 158176고유형해결수1-18(10해).indd 164 2018-03-13 오후 3:45:35 정답과 해설³ ³ ³ 이때, an+1-aǾæ100에서 (2´3Ç`+2)-(2´3n-1+2)=(6-2)´3n-1=4´3n-1¾æ100 2´3Ç`-2´3n-1=6´3n-1-2´3n-1=(6-2)´3n-1 ∴ 3n-1¾æ25 3Û`=9, 3Ü`=27이므로 an+1-aÇæ¾100을 만족시키는 자연수 n의 최 솟값은 4이다.  ④ 1316 |전략| 주어진 식을 an+2-an+1= (an+1-aÇ) 꼴로 변형한다. ;pR; 3an+2=5an+1-2aÇ에서 3(an+2-an+1)=2(an+1-aÇ) ∴ an+2-an+1= (an+1-aÇ) ;3@; 수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=1이고 공비가 인 등비수열 ;3@; 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 이므로 an+1-aÇ=1´ {;3@;} = {;3@;} n-1 n-1 aª-aÁ=1 a£-aª= ;3@; â` {;3@;} =1 a¢-a£= Û` {;3@;} ⋮ + aÇ-an-1= {;3@;} n-2 n-1 1´ 1- [ {;3@;} ] 1- ;3@; aÇ-aÁ= k-1 = {;3@;} nK-+1! =3 1- [ n-1 ] {;3@;} n-1 ∴ aÇ=1+3 1- [ {;3@;} ] =4-3´ {;3@;}  aÇ=4-3´ {;3@;} n-1 n-1 1317 an+2=5an+1-4aÇ에서 an+2-an+1=4(an+1-aÇ) 수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=3이고 공비가 4인 등비수열 이므로 an+1-aÇ=3´4n-1 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 aª-aÁ=3´1 a£-aª=3´4 a¢-a£=3´4Û` 4â`=1 ⋮ aÇ-an-1=3´4n-2 + >³ aÇ-aÁ= 3´4k-1= 3(4n-1-1) 4-1 nK-+1! =4n-1-1 ∴ aÇ=1+4n-1-1=4n-1 aû=256에서 4k-1=256=4Ý` k-1=4 ∴ k=5  ① 1318 an+2-3an+1+2aÇ=0에서 an+2-an+1=2(an+1-aÇ) 수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=3aÁ-aÁ=2aÁ이고 공비가 2 인 등비수열이므로 an+1-aÇ=2aÁ´2n-1=aÁ´2Ç` 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 aª-aÁ=aÁ´2 a£-aª=aÁ´2Û` a¢-a£=aÁ´2Ü` ⋮ + aÇ-an-1=aÁ´2n-1 >³ aÇ-aÁ= aÁ´2û`=aÁ´ 2(2n-1-1) 2-1 nK-+1! =aÁ(2Ç`-2) ∴ aÇ=aÁ+aÁ(2Ç`-2)=aÁ(2Ç`-1) 이때, a¤=21이므로 aÁ(2ß`-1)=21 63aÁ=21 ∴ aÁ= ;3!; 따라서 aÇ= (2Ç`-1)이므로 ;3!; a¢= (2Ý`-1)= ´15=5 ;3!; ;3!; 1319 =bÇ으로 놓으면 bn+1=bÇ+2 1 aÇ 수열 {bÇ}은 첫째항이 bÁ= 1 aÁ bÇ=3+(n-1)´2=2n+1 따라서 aÇ= 1 bÇ = 1 2n+1 이므로 a10= 1 2´10+1 = ;2Á1; 1320 an+1= aÇ 3-2aÇ 에서 1 an+1 = 3-2aÇ an =3´ 1 an -2 =bÇ으로 놓으면 bn+1=3bÇ-2 1 an ∴ bn+1-1=3(bÇ-1) 수열 {bÇ-1}은 첫째항이 bÁ-1= 1 aÁ 수열이므로 |전략| 주어진 식의 양변에 역수를 취하여 수열 [ 의 일반항을 구한다. 1 aÇ ] an+1= aÇ 1+2aÇ 에서 1 an+1 = 1+2aÇ aÇ = 1 aÇ +2 =3이고 공차가 2인 등차수열이므로  ③  ④ … ❶ -1=1이고 공비가 3인 등비 10 수학적 귀납법 | 165 158176고유형해결수1-18(10해).indd 165 2018-03-13 오후 3:45:36 10ㅡ수학적귀납법³ ; ; ; yy ㉡ bÇ-1=1´3n-1=3n-1 ∴ aÇ= 1 bÇ = 1 3n-1+1 ∴ bÇ=3n-1+1 ❶ 주어진 식의 양변에 역수를 취하여 1 an+1 ´ =;rQ; 1 an +;rP; 꼴로 변형할 수 =bÇ으로 놓고, 수열 {bÇ}의 일반항을 구할 수 있다. ❸ 수열 {aÇ}의 일반항을 구할 수 있다. … ❷ … ❸  aÇ= 1 3n-1+1 비율 30 % 50 % 20 % aª+a£=1 a¢+a°=1 a¤+a¦=1 + a¥+a»=1 >³ aª+a£+ y +a»=4 ㉠-㉡을 하면 aÁ+aÁ¼=-9 ∴ aÁ¼=-9-1=-10 aÇ 1+naÇ 에서 1 an+1 = 1+naÇ aÇ = 1 aÇ +n =bÇ으로 놓으면 bn+1=bÇ+n 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 a¦=a¤-a°=-1-(-2)=1 a¥=a¦-a¤=1-(-1)=2 연속한 두 값이 aÁ, aª와 같은 값이 나올 때까지 구한다. 1323 aÁ=1, aª=2이므로 an+2=an+1-aÇ에서 a£=aª-aÁ=2-1=1 a¢=a£-aª=1-2=-1 a°=a¢-a£=-1-1=-2 a¤=a°-a¢=-2-(-1)=-1 채점 기준 있다. ❷ 1 an 1321 an+1= 1 aÇ bª=bÁ+1 b£=bª+2 b¢=b£+3 ⋮ 따라서 수열 {aÇ}은 1, 2, 1, -1, -2, -1이 이 순서대로 반복되고, 2018=6´336+2이므로 aû=336{1+2+1+(-1)+(-2)+(-1)}+1+2=3  3 ⋮ 2018 ;K+! 1324  ③ aÁ=3, aª=2이므로 an+2= an+1+1 aÇ 에서 (n-1)n 2 = 2+(n-1)n 2 + bÇ=bn-1+(n-1) >³ bÇ=bÁ+ k=1+ bÁ= 1 aÁ =1 nK-+1! 따라서 aÇ= 1 bÇ = 2 2+(n-1)n 이므로 a200= 2 2+199´200 = 1 1+100´199 |전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 항의 규칙을 찾 다른 풀이 an+an+1=(-1)Ç` 에 n=1, 3, 5, 7, 9를 차례로 대입하여 변  -10 따라서 수열 {aÇ}은 3, 2, 1, 1, 2가 이 순서대로 반복되고, 111=5´22+1이므로 a111=aÁ=3  3 1322 는다. aÁ+aª=-1에서 aª=-2 aª+a£=1에서 a£=3 a£+a¢=-1에서 a¢=-4 ⋮ 따라서 aÇ=(-1)n-1´n이므로 aÁ¼=-10 끼리 더하면 aÁ+aª=-1 a£+a¢=-1 a°+a¤=-1 a¦+a¥=-1 + a»+aÁ¼=-1 >³ aÁ+aª+ y +aÁ¼=-5 166 | III . 수열 166 | III . 수열 a£= aª+1 aÁ = 2+1 3 =1 a¢= a£+1 aª = 1+1 2 =1 a°= a¢+1 a£ = 1+1 1 =2 a¤= a°+1 a¢ = 2+1 1 =3 a¤+1 a° = 3+1 2 =2 a¦= ⋮ 1325 aÁaªa£=aªa£a¢=1이므로 aÁ=a¢ aªa£a¢=a£a¢a°=1이므로 aª=a° a£a¢a°=a¢a°a¤=1이므로 a£=a¤ yy ㉠ ⋮ aÇ+an+1=(-1)Ç` 에 n=2, 4, 6, 8을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 따라서 수열 {aÇ}은 aÁ, aª, a£이 이 순서대로 반복된다. 158176고유형해결수1-18(10해).indd 166 2018-03-13 오후 3:45:36 10 수학적 귀납법 | 167 정답과 해설;  ③ ∴ log£ (1+2 log¢ a10)=log£ [ 2´ {;2!;+ log¢ aÁ¼}] =log£ 310=10 ❶ 양변에 밑이 4인 로그를 취하여 aÇ과 an+1 사이의 관계식을 구할 수 있다. 40 % ❷ 수열 [ log¢ aÇ+;2!;] 의 일반항을 구할 수 있다. ❸ log£ (1+2 log¢ a10)의 값을 구할 수 있다. 등비수열이므로 bÇ+ = ;2!; ;2#; ´3n-1= ´3Ç` ;2!; 따라서 log¢ aÇ=bÇ이므로 log¢ aÇ+ ´3Ç` ;2!;=;2!; 채점 기준 로그의 성질 a>0, a+1, x>0, y>0일 때 ⑴ logŒ 1=0, logŒ a=1 ⑵ logŒ xy=logŒ x+logŒ y ⑶ logŒ ;]{; =logŒ x-logŒ y ⑷ logŒ xÇ`=n logŒ x (단, n은 실수) 1329 an+1=aÁ+2aª+ y +naÇ ㉠의 n 대신 n-1을 대입하면 aÇ=aÁ+2aª+ y +(n-1)an-1 ㉠-㉡을 하면 an+1-aÇ=naÇ, an+1=(n+1)aÇ ∴ an+1 aÇ =n+1 ∴ =49+1=50 a50 a49 이때, 10=3´3+1, 17=3´5+2이므로 aÁ=a10=1, aª=a17=4 한편, aÁaªa£=1에서 a£= 1 aÁaª = 1 1´4 = ;4!; 따라서 200=3´66+2, 201=3´67이므로 a200 a201=aª a£=4´ =1 ;4!; 1326 |전략| 주어진 식의 양변을 2n+1으로 나누어 식을 변형한다. an+1=2aÇ+2n+1의 양변을 2n+1으로 나누면 an+1 2n+1 = an 2n =bÇ으로 놓으면 bn+1=bÇ+1 an 2n +1 수열 {bÇ}은 첫째항이 bÁ= =2이고 공차가 1인 등차수열이므로 aÁ 2 bÇ=2+(n-1)´1=n+1 따라서 aÇ`=2Ç` bÇ=2Ç` (n+1)이므로 a50=250(50+1)=51´250  51´250 +9=10이고 공비가 2인 등비 1327 9aÇan+1=aÇ-2an+1의 양변을 aÇan+1로 나누면 9= 1 an+1 -2´ 1 an 1 an =bÇ으로 놓으면 9=bn+1-2bÇ ∴ bn+1+9=2(bÇ+9) 수열 {bÇ+9}는 첫째항이 bÁ+9= 1 aÁ 수열이므로 bÇ+9=10´2n-1 = 1 ∴ aÇ= 1 bÇ 5´2Ç`-9 ∴ bÇ=5´2Ç`-9 1328 aÁ=4, an+1=4aÇÜ`이므로 aÇ>0 (단, n¾1) an+1=4aÇÜ`의 양변에 밑이 4인 로그를 취하면 log¢ an+1=log¢ 4aÇÜ`, log¢ an+1=log¢ 4+log¢ aÇÜ` log¢ an+1=1+3 log¢ aÇ log¢ aÇ=bÇ으로 놓으면 bn+1=3bÇ+1 ∴ bn+1+ =3 bÇ+ { ;2!; ;2!;} 수열 bÇ+ [ ;2!;] 은 첫째항이 bÁ+ =log¢ aÁ+ , 공비가 3인 ;2!; ;2!;=;2#;  ② … ❶ 1330 |전략| aÁ=SÁ, an+1=Sn+1-Sn(n¾1)임을 이용하여 주어진 등식을 aÇ, an+1 에 대한 식으로 변형한다. SÇ=2aÇ+2n(n=1, 2, 3, y)에서 Sn+1=2an+1+2(n+1) 이때, an+1=Sn+1-SÇ(n=1, 2, 3, y)이므로 an+1=2an+1+2(n+1)-(2aÇ+2n) an+1=2aÇ-2 수열 {aÇ-2}는 첫째항이 aÁ-2=-4이고 공비가 2인 등비수열이 므로 aÇ-2=-4´2n-1=-2n+1 ∴ a20=2-221 ∴ an+1-2=2(aÇ-2) ∴ aÇ=2-2n+1  2-221 … ❷ … ❸  10 배점 40 % 20 % yy ㉠ yy ㉡  50 166 | III . 수열 10 수학적 귀납법 | 167 158176고유형해결수1-18(10해).indd 167 2018-03-13 오후 3:45:37 10ㅡ수학적귀납법 1331 Sn+1=3SÇ+2(n=1, 2, 3, y)에서 Sn+1+1=3(SÇ+1) 수열 {SÇ+1}은 첫째항이 SÁ+1=3이고 공비가 3인 등비수열이 므로 SÇ+1=3´3n-1=3Ç` ∴ a49=S49-S48=349-1-(348-1)=2´348 ∴ SÇ=3Ç`-1  2´348 1332 aÁ+aª+a£+ y +aÇ=SÇ이라 하면 SÁ=aÁ=3, an+1=SÇ(n=1, 2, 3, y) 이때, an+1=Sn+1-SÇ(n=1, 2, 3, y)이므로 SÇ=Sn+1-SÇ    ∴ Sn+1=2SÇ(n=1, 2, 3, y) 수열 {SÇ}은 첫째항이 SÁ=3이고 공비가 2인 등비수열이므로 SÇ=3´2n-1 ∴ a»+aÁ¼ =(S»-S¥)+(SÁ¼-S»)=SÁ¼-S¥ =3´2á`-3´2à`=9´2à`=1152  ③ 다른 풀이 an+1=SÇ(n=1, 2, 3, y)이므로 a»+aÁ¼ =S¥+S»=3´2à`+3´2¡` =9´2à`=1152 1333 2SÇ=nan+1(n¾1) 2Sn-1=(n-1)aÇ(n¾2) ㉠-㉡을 하면 2(SÇ-Sn-1)=nan+1-(n-1)aÇ(n¾2) 2aÇ=nan+1-(n-1)aÇ, nan+1=(n+1)aÇ ∴ an+1= n+1 n aÇ(n¾2) … ❶ 이 식의 n에 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 a£= aª ;2#; a¢= a£ ;3$; a°= a¢ ;4%; ⋮ aÇ= n n-1 = aª ;2N; _ an-1 aÇ= ´ ´ ;2#; ;3$; ;4%; ´y ´ n n-1 ´aª 2SÇ=nan+1에 n=1을 대입하면 2SÁ=aª SÁ=aÁ이므로 aª=2SÁ=2aÁ=2 ∴ aÇ= ´2=n ;2N; aû=100에서 k=100 168 | III . 수열 채점 기준 ❶ aÇ과 an+1 사이의 관계식을 구할 수 있다. ❷ 수열 {aÇ}의 일반항을 구할 수 있다. ❸ k의 값을 구할 수 있다. 비율 40`% 40`% 20`% 1334 |전략| n일째 되는 날 물탱크 속의 물의 양을 aÇ`L로 놓고, aÇ과 an+1 사이의 관 계식을 구한다. n일째 되는 날 물탱크 속의 물의 양을 aÇ`L라 하면 an+1=2(aÇ-3) ∴ an+1-6=2(aÇ-6) 수열 {aÇ-6}은 첫째항이 aÁ-6=10-6=4이고 공비가 2인 등비 수열이므로 aÇ-6=4´2n-1=2n+1 ∴ aÇ=2n+1+6 이때, a¥=2á`+6=518, a»=210+6=1030이므로 1000`L들이 물탱 크를 가득 채울 수 있는 것은 9일째이다.  9일째 1335 x=aÇ을 y=2x에 대입했을 때의 y의 값과 x=an+1을 y=x+1에 대입했을 때의 y의 값이 같으므로 ∴ an+1-1=2(aÇ-1) 2aÇ=an+1+1 수열 {aÇ-1}은 첫째항이 aÁ-1=1이고 공비가 2인 등비수열이므로 ∴ aÇ=2n-1+1 aÇ-1=1´2n-1=2n-1 yy ㉠ yy ㉡ 10 10 ∴ S10= aû= (2k-1+1) = ;K+! 1´(210-1) ;K+! 2-1 +10=1033  ① 1336 n시간 후 측정한 세포의 수를 aÇ이라 하면 an+1=2(aÇ-2) ∴ an+1-4=2(aÇ-4) 수열 {aÇ-4}는 첫째항이 aÁ-4=2이고 공비가 2인 등비수열이므로 aÇ-4=2´2n-1 이때, 2Ç`+4=2052에서 2Ç`=2048=211 ∴ aÇ=2Ç`+4 ∴ n=11 (5-2)´2=6 따라서 세포의 수가 2052개가 되는 것은 11시간 후이다.  11시간 후 1337 점 PÇ의 좌표를 aÇ이라 하면 3an+1-2aÇ 3-2 an+2= =3an+1-2aÇ ∴ an+2-an+1=2(an+1-aÇ) 수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=4이고 공비가 2인 등비수열 이므로 an+1-aÇ=4´2n-1=2n+1 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 … ❷ … ❸  100 158176고유형해결수1-18(10해).indd 168 2018-03-13 오후 3:45:37 10 수학적 귀납법 | 169 정답과 해설³ aª-aÁ=2Û` a£-aª=2Ü` a¢-a£=2Ý` ⋮ + aÇ-an-1=2Ç` >³ 주어진 조건에 의하여 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3Œ`´5º`)은 참 이다. ① p(30)=p(2´3´5) ② p(60)=p(2Û`´3´5) ③ p(75)=p(3´5Û`) ④ p(90)=p(2´3Û`´5) ⑤ p(105)=p(3´5´7) 따라서 반드시 참인 명제는 ③ p(75)이다.  ③ aÇ-aÁ= 2k+1= 4(2n-1-1) 2-1 =2n+1-4 nK-+1! ∴ aÇ=1+2n+1-4=2n+1-3 이때, a°=2ß`-3=61, a¤=2à`-3=125이므로 좌표가 처음으로 100 보다 큰 값이 되는 점은 P¤이다. ㈎, ㈏에서 p(1), p(3), p(3Û`), y이 참이다. 이때, ㈐에서  ② p(1), p(5), p(5Û`), y이 참이다. p(3), p(3´5), p(3´5Û`), y이 참이다. p(3Û`), p(3Û`´5), p(3Û`´5Û`), y이 참이다. 1338 n개의 직선이 그려진 평면에 조건에 알맞은 1개의 직선을 추가하면 ⋮ 따라서 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3Œ`´5º`)이 참이다. 이 직선은 기존의 n개의 직선과 각각 한 번씩 만나므로 (n+1)개의 새로운 평면이 생긴다. 즉, (n+1)개의 직선에 의해 분할된 평면은 n 개의 직선에 의해 분할된 평면보다 (n+1)개가 많으므로 an+1=aÇ+n+1 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 aª=aÁ+1+1 a£=aª+2+1 a¢=a£+3+1 ⋮ + aÇ=an-1+(n-1)+1 >³ aÇ=aÁ+ 2 nK-+1! ∴ aÁ°= 15´14 2 +15+1=121 (k+1)= n(n-1) 2 +n+1 1341 ㄱ. p(1)이 참이면 주어진 조건에 의하여 p(3), p(5), p(7), y 는 알 수 없다. ㄴ. p(2)가 참이면 주어진 조건에 의하여 이 모두 참이지만 모든 2의 양의 배수 k에 대하여 p(k)가 참인지 p(3), p(4), p(5), y가 모두 참이므로 모든 2의 양의 배수 k에 대하여 p(k)가 참이다. ㄷ. p(2)가 참이면 ㄴ에서 2 이상인 모든 자연수 m에 대하여 p(m) 이 참이므로 p(1)이 참이면 모든 자연수 k에 대하여 p(k)가 참  ④ 이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ㄴ, ㄷ 즉, 수열 {aÇ-30}은 첫째항이 aÁ-30=10이고 공비가 인 등비수 f(a)=f(3)=5  5 1339 aÇ`%의 소금물 100`g에 들어 있는 소금의 양은 aÇ`g, 30`%의 소금물 100`g에 들어 있는 소금의 양은 30`g이므로 an+1= aÇ+30 200 ´100= aÇ+15 ;2!; ∴ an+1-30= (aÇ-30) ;2!; 50+30 200 ´100=40 ;2!; 열이므로 aÇ-30=10´ {;2!;} ∴ aÇ=10´ {;2!;} n-1 n-1 +30 따라서 aÁ¼=10´ á`+30=5 6+ 1 { 2¡` } {;2!;} 이므로 p=5, q=8 ∴ p+q=13  13 1340 이용한다. |전략| 주어진 조건에 의하여 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3Œ`´5º`)은 참임을 1342 명제 p(n)이 n=3, 5, 7, 9, y일 때 참임을 보이려면 Ú n= ㈎ 3 일 때, p(n)이 참이다. Û 5=3+2, 7=5+2, 9=7+2이므로 n=k(k¾ ㈎ 3 )일 때 p(n)이 참이라 가정하면 n= ㈏ k+2 일 때도 p(n)이 참임을 보인다. 따라서 a=3, f(k)=k+2이므로 1343 |전략| n=k일 때 주어진 식의 양변에 (k+1)(k+2)를 더하여 n=k+1일 때 에도 식이 성립함을 보인다. Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1´2+2´3+3´4+ y +k(k+1)= k(k+1)(k+2) yy ㉡ ;3!; ㉡의 양변에 ㈎ (k+1)(k+2) 를 더하면 1´2+2´3+3´4+ … +k(k+1)+ ㈎ (k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)+ ㈎ (k+1)(k+2) ;3!; 10 수학적 귀납법 | 169 168 | III . 수열 158176고유형해결수1-18(10해).indd 169 2018-03-13 오후 3:45:37 10ㅡ수학적귀납법; ; 1+ ;1!;}{ 1+ ;2!;}{ 1+ y { ;3!;} 1+ ;n!;} { =n+1 yy ㉠ 으로 놓을 수 있다. =(k+1)(k+2) k+1 } {;3!; = ㈏ (k+1)(k+2)(k+3) ;3!; 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.  ④ 1344 Ú n=1일 때, (좌변)=1+ =2, (우변)=1+1=2 ;1!; 따라서 n=1일 때 ㉠이 성립한다. Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1+ 1+ { ;1!;}{ ;2!;}{ ㉡의 양변에 1+ 1 을 곱하면 k+1 1+ y { ;3!;} 1+ ;k!;} =k+1 yy ㉡ 1+ ;1!;}{ 1+ ;2!;}{ 1+ y { ;3!;} 1+ { ;k!;}{ 1+ 1 k+1 } =(k+1) { 1+ 1 k+1 } =(k+1)+1 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. Ú, Û에 의하여 ㉠은 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. 1345 Û n=k일 때, aû= ㈎ 라 가정하면 ak+1= 1 = 2-aû k k+1 1 2- ㈎ k k+1 2(k+1)-k = k+1 = k+1 ㈏ k+2 따라서 n=k+1일 때도 aÇ= n n+1 이때, f(k)= k k+1 , g(k)=k+2이므로 이 성립한다. f(3)g(6)= ´8=6 ;4#; 히 변형한다. Û n=k일 때, 42n+1+3n+2이 13의 배수라 가정하면 42k+1+3k+2=13N(N은 자연수) 으로 놓을 수 있다. 이때, n=k+1이면 42k+3+3k+3 =4Û`´42k+1+3´ ㈎ 3k+2 =16(42k+1+3k+2)-13´3k+2 =16´ ㈏ 13N -13´ ㈎ 3k+2 =13( ㈐ 16N-3k+2 ) 170 | III . 수열 1346 |전략| 42k+1+3k+2=13N (N은 자연수)을 이용하기 위해 42k+3+3k+3을 적절 따라서 n=k+1일 때도 42n+1+3n+2이 13의 배수이다.  ④ 1347 Û n=k(k¾2)일 때, 4Ç`-3n-1이 9의 배수라 가정하면 4û`-3k-1=9N(N은 자연수) 이때, n=k+1이면 4k+1-3(k+1)-1 = ㈎ 4´4û` -3k-4 =4(4û`-3k-1)+ ㈏ 9k =4´9N+ ㈏ 9k =9( ㈐ 4N+k ) 따라서 n=k+1일 때도 4Ç`-3n-1이 9의 배수이다.  ⑤ 1348 Ú n=1일 때, 7+1=8=2´4 5â`=1 이므로 2의 배수이다. Û n=k일 때, 7n+5n-1이 2의 배수라 가정하면 7k+5k-1=2N(N은 자연수)  풀이 참조 으로 놓을 수 있다. 이때, n=k+1이면 7k+1+5k =7´7k+5´5k-1 =7(7k+5k-1)-2´5k-1 =7´2N-2´5k-1 =2(7N-5k-1) 따라서 n=k+1일 때도 7n+5n-1이 2의 배수이다. Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 7n+5n-1은 2의 배수이다.  풀이 참조 1349  ① |전략| n=k(k¾2)일 때 주어진 부등식의 양변에 1+h를 곱하여 n=k+1일 때도 부등식이 성립함을 보인다. Ú n= ㈎ 2 일 때, (좌변)=(1+h)Û`=1+2h+hÛ`>1+2h=(우변) 따라서 n= ㈎ 2 일 때 ㉠이 성립한다. Û n=k(kæ¾2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 (1+h)û`>1+kh yy ㉡ ㉡의 양변에 ㈏ 1+h 를 곱하면 (1+h)k+1>(1+kh)( ㈏ 1+h )=1+(k+1)h+khÛ`` 그런데 khÛ`>0이므로 1+(k+1)h+khÛ`>1+(k+1)h ∴ (1+h)k+1> ㈐ 1+(k+1)h 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.  ⑤ 158176고유형해결수1-18(10해).indd 170 2018-03-13 오후 3:45:38 10 수학적 귀납법 | 171 정답과 해설 = k (k+1)(k+2) >0 (∵ k¾æ2) 즉, 수열 {aÇ}은 등비수열이고 첫째항이 aÁ=3, 공비가 =2이므 1350 Û n=k(kæ¾2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 a°=a+4d=11 a»=a+8d=19 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=2 ∴ an=3+(n-1)´2=2n+1 ∴ a20=2´20+1=41 yy ㉠ yy ㉡  ① aª aÁ  ④ 에서 수열 {aÇ}은 등비수열임을 이용한다. 1353 유형 02 등비수열의 귀납적 정의 |전략| an+1 aÇ = an+2 an+1 an+1 aÇ = an+2 an+1 에서 an+1Û`=aÇ an+2 로 aÇ=3´2n-1 이때, aû=3´2k-1=768이므로 2k-1=256=2¡` ∴ k=9 1+ + + y + ;2!; ;3!; > 2k k+1 ;k!; ㉡의 양변에 ㈎ 을 더하면 1 k+1 1+ + + y + + ㈎ ;2!; ;3!; ;k!; 1 k+1 > 2k k+1 + ㈎ 1 k+1 = 2k+1 k+1 2k+1 k+1 - ㈏ 2(k+1) (k+1)+1 = (2k+1)(k+2)-2(k+1)Û` (k+1)(k+2) 그런데 이므로 > ㈏ 2k+1 k+1 2(k+1) (k+1)+1 ∴ 1+ + + y + + ㈎ > ㈏ ;2!; ;3!; ;k!; 1 k+1 2(k+1) (k+1)+1 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.  ② 1351 Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 ´ ´ ;2!; ;4#; ;6%; ´ y ´ 2k-1 <æ 2k 1 2k+1 ®É ㉡의 양변에 ㈎ 을 곱하면 2k+1 2k+2 ´ ´ ;2!; ;4#; ;6%; ´ y ´ 2k-1 ´ ㈎ 2k 2k+1 2k+2 < 1 2k+1 ®É æ´ ㈎ 2k+1 2k+2 =æ æ®É 2k+1 4(k+1)Û` 그런데 2k+1 4(k+1)Û` - ㈏ 1 2k+3 = (2k+1)(2k+3)-4(k+1)Û` 4(k+1)Û`(2k+3) = -1 4(k+1)Û`(2k+3) <0 이므로 2k+1 4(k+1)Û` < ㈏ 1 2k+3 ∴ ´ ´ ;2!; ;4#; ;6%; ´ y ´ 2k-1 ´ ㈎ 2k 2k+1 2k+2 <¾Ð æ ㈏ 1 2k+3 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.  ⑤ 1354 유형 03 an+1=aÇ+f(n) 꼴로 정의된 수열 |전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더한다. an+1=an+ 1 n(n+1) 에서 an+1=an+ - 1 n+1 ;n!; yy ㉡ 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 aª=aÁ+1- ;2!; a£=aª+ - ;2!; ;3!; a¢=a£+ - ;3!; ;4!; ⋮ aÇ=an-1+ 1 n-1 + - ;n!; aÇ=aÁ+1- =-2+1- ;n!; =- n+1 n ;n!; (∵ k는 자연수) ∴ a20-a10=- - - { ;2@0!; ;1!0!;} = ;2Á0;  ① 1355 유형 04 an+1=aÇ`f(n) 꼴로 정의된 수열 |전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱한다. an+1=(n+1)aÇ의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼 리 곱하면 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 1352 유형 01 등차수열의 귀납적 정의 aª=2aÁ` a£=3aª a¢=4a£ |전략| 2an+1=aÇ+an+2이면 수열 {aÇ}은 등차수열임을 이용한다. ⋮ 2an+1=an+an+2에서 수열 {an}은 등차수열이다. 수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 _ >³ aÇ=nan-1 aÇ=2´3´4´ y ´n´aÁ=1´2´3´4´ y ´n (∵ aÁ=1) 10ㅡ 수 학 적 귀 납 법 170 | III . 수열 10 수학적 귀납법 | 171 158176고유형해결수1-18(10해).indd 171 2018-03-13 오후 3:45:40 ³ æ æ 유형 06 pan+2+qan+1+raÇ=0(p+q+r=0, pqr+0) 꼴로 정의된 수열 +1=16이고 공비가 4인 등비 이때, næ¾5인 aÇ은 모두 10의 배수이므로 a£+a¢+a°+ y +a2018 을 10으로 나누었을 때의 나머지는 a£+a¢를 10으로 나누었을 때의 따라서 a£+a¢=6+24=30이므로 구하는 나머지는 0이다.  ① 나머지와 같다. 1356 |전략| 주어진 식을 an+2-an+1= (an+1-aÇ) 꼴로 변형한다. ;pR; 수열 {an+1-aÇ}은 첫째항이 aª-aÁ=1이고 공비가 인 등비수열 ;3!; an+1= 에서 aÇ 3aÇ+4 3aÇ+4 an 1 an+1 = = 4 an +3 =bÇ으로 놓으면 1 an bn+1=4bÇ+3 수열 {bÇ+1}은 첫째항이 bÁ+1= 1 aÁ ∴ bn+1+1=4(bÇ+1) 수열이므로 bÇ+1=16´4n-1=4n+1 ∴ aÇ= 1 4n+1-1 ∴ bÇ=4n+1-1 < ;10Á00; 에서 ;10Á00; 이때, aû< 1 4k+1-1 4k+1-1>1000, 22k+2>1001 그런데 2á`<1001<210이므로 2k+2¾10 ∴ k¾4 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 따라서 구하는 자연수 k의 최솟값은 4이다.  ④ 3an+2-4an+1+aÇ=0에서 3(an+2-an+1)=an+1-aÇ ∴ an+2-an+1= (an+1-aÇ) ;3!; 이므로 an+1-aÇ=1´ {;3!;} = {;3!;} n-1 n-1 aª-aÁ=1 a£-aª= ;3!; a¢-a£= Û` {;3!;} ⋮ + aÇ-an-1= {;3!;} n-2 n-1 1´ 1- [ {;3!;} ] 1- ;3!; aÇ-aÁ= k-1 = {;3!;} nK-+1! = ;2#;[ 1- n-1 ] {;3!;} n-1 ∴ aÇ=1+ 1- ;2#;[ {;3!;} = ] ;2%; - ´ ;2#; {;3!;} n-1 5-2aÇ=5-5+3´ {;3!;} = {;3!;} n-1 n-2 log£ (5-2aÇ)=log£ {;3!;} n-2 =2-n 10 ∴ log£ (5-2ak)= (2-k) 이때, 이므로 10 ;K+! 1357 ;K+! =2´10- 10´11 2 =-35  ② 유형 07 an+1= (pqr+0) 꼴로 정의된 수열 raÇ paÇ+q |전략| 주어진 식의 양변에 역수를 취하여 수열 [ 의 일반항을 구한다. 1 an ] 172 | III . 수열 유형 08 특수한 꼴 - 항이 반복되는 경우 |전략| 주어진 식의 n에 5, 6, 7, 8, y을 차례로 대입하여 수열의 항의 규칙을 찾 a¤=a°+3=8, a¦= a¤=4, a¥= a¦=2, a»= a¥=1, ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; a10=a»+3=4, a11= a10=2, a12= a11=1, y ;2!; 따라서 수열 {aÇ}은 a¦부터 4, 2, 1이 반복되므로 4 (n=3m-2) 2 (n=3m-1) (m¾3인 자연수) 1 (n=3m) ∴ a101+a102+a103+ y +a120 =(a101+a102+a103)+(a104+a105+a106)+ y + =(2+1+4)´6+2+1=45  ⑤ (a116+a117+a118)+a119+a120 1358 는다. a°=5에서 aÇ= { ( 9 1359 유형 09 특수한 꼴 - 식을 변형하는 경우 |전략| 주어진 식의 양변을 n(n+1)로 나누어 식을 변형한다. (n+1)aÇ=nan+1-1의 양변을 n(n+1)로 나누면 aÇ n - 1 an+1 n+1 = n(n+1) =bÇ으로 놓으면 bÇ=bn+1- 1 aÇ n n(n+1) ∴ bn+1-bÇ= - 1 n+1 ;n!; 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 158176고유형해결수1-18(10해).indd 172 2018-03-15 오전 11:10:29 10 수학적 귀납법 | 173 정답과 해설³ ; bª-bÁ=1- ;2!; b£-bª= - ;2!; ;3!; b¢-b£= - ;3!; ;4!; ⋮ bÇ-bn-1= 1 + n-1 -;n!; bÁ= aÁ 1 bÇ-bÁ=1- =1 ;n!; ∴ bÇ=1+1- = 2n-1 n ;n!; 따라서 aÇ=nbÇ=2n-1이므로 10 10 aû= (2k-1) ;K+! ;K+! =2´ 10´11 2 -10=100 1360 1362 절히 변형한다. 유형 14 수학적 귀납법을 이용한 배수의 증명 |전략| k(kÛ`+5)가 6의 배수임을 이용하기 위해 (k+1){(k+1)Û`+5}를 적 Û n=k일 때, n(nÛ`+5)가 6의 배수라 가정하면 k(kÛ`+5)=6N(N은 자연수) 으로 놓을 수 있다. 이때, n=k+1이면 (k+1){(k+1)Û`+5} =kÜ`+3kÛ`+ ㈎ 8k+6 = ㈏ kÜ`+5k +6+3k(k+1) =6N+6+3k(k+1) = ㈐ 6 (N+1)+3k(k+1) 이고, 3k(k+1)이 ㈐ 6 의 배수이므로 n=k+1일 때도  ⑤ n(nÛ`+5)가 6의 배수이다.  ④ 참고 3k(k+1)에서 k(k+1)은 연속하는 두 자연수의 곱이므로 2의 배수이 다. 따라서 3k(k+1)은 6의 배수이다. 유형 10 수열의 합 SÇ이 포함된 귀납적 정의 1363 |전략| Sn+2-SÇ=an+2+an+1임을 이용한다. Sn+2-SÇ=an+2+an+1이므로 (Sn+2-SÇ)Û`=4an+1an+2+9에서 (an+2+an+1)Û`=4an+1an+2+9 an+2Û`+2an+2an+1+an+1Û`=4an+2an+1+9 an+2Û`-2an+2an+1+an+1Û`=9 (an+2-an+1)Û`=9 ∴ an+2-an+1=3 (∵ an+2-an+1>0) 따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 1이고 공차가 3인 등차수열이므로 aÇ=1+(n-1)´3=3n-2 ∴ a10=3´10-2=28  ④ 유형 15 수학적 귀납법을 이용한 부등식의 증명 |전략| n=k(k¾4)일 때 주어진 부등식의 양변에 2를 곱하여 n=k+1일 때 도 부등식이 성립함을 보인다. Û n=k(k¾4)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 …… ㉡ 2û`¾kÛ` ㉡의 양변에 2를 곱하면 2k+1¾2kÛ` 그런데 k¾4이면 kÛ`-2k-1= ㈎ (k-1)Û` -2>0 이므로 kÛ`>2k+1 ∴ 2k+1 ¾2kÛ`=kÛ`+kÛ` >kÛ`+2k+1= ㈏ (k+1)Û` 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.  ④ |전략| 주어진 조건에 의하여 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3Œ`´4º`)은 참임을 1364 주어진 조건에 의하여 음이 아닌 정수 a, b에 대하여 p(3Œ`´4º`)은 참 1361 유형 12 수학적 귀납법 이용한다. 이다. ① p(120)=p(2´3´4´5) ② p(130)=p(2´5´13) ③ p(144)=p(3Û`´4Û`) ④ p(216)=p(2´3Ü`´4) ⑤ p(288)=p(2´3Û`´4Û`) 따라서 반드시 참인 명제는 ③ p(144)이다.  ③ p(1)이 참이면 p(3´1), 즉 p(3)이 참이다. p(3)이 참이면 p(3´3), 즉 `p(9)가 참이다. p(9)가 참이면 p(4´9), 즉 p(36)이 참이다. p(36)이 참이면 p(4´36), 즉 p(144)가 참이다. 유형 05 an+1=paÇ+q(p+1, pq+0) 꼴로 정의된 수열 |전략| 주어진 관계식을 an+1-a=p(aÇ-a) 꼴로 변형한다. an+1=2an+2에서 an+1+2=2(an+2) 수열 {an+2}는 첫째항이 aÁ+2=5이고 공비가 2인 등비수열이므로 an+2=5´2n-1 ∴ an=5´2n-1-2 ak+1-aû=160에서 (5´2û`-2)-(5´2k-1-2)=160 5´2k-1=160, 2k-1=32=2Þ`, k-1=5 ∴ k=6 … ❷ … ❶ … ❸ 채점 기준 ❶ 수열 {aÇ+2}의 일반항을 구할 수 있다. ❷ 수열 {aÇ}의 일반항을 구할 수 있다. ❸ k의 값을 구할 수 있다.  6 배점 3점 1점 2점 10 수학적 귀납법 | 173 172 | III . 수열 158176고유형해결수1-18(10해).indd 173 2018-03-13 오후 3:45:41 10ㅡ수학적귀납법³ 1365 유형 11 수열의 귀납적 정의의 활용 |전략| aÇ과 an+1 사이의 관계식을 구한다. n개의 원이 그려진 평면에 조건에 알맞은 1개의 원을 추가하면 이 원 은 기존의 n개의 원과 각각 2개의 점에서 만나므로 2n개의 새로운 교 점이 생긴다. 즉, (n+1)개의 원의 교점은 n개의 원의 교점보다 2n 채점 기준 ⑴ n=1일 때, 주어진 등식이 성립함을 보일 수 있다. ⑵ n=k일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하고, n=k+1일 때도 등식 이 성립함을 보일 수 있다. 배점 3점 7점 개가 많으므로 창의·융합 교과서 속 심화문제 an+1=aÇ+2n 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 … ❶ 1367 aª=aÁ+2´1 a£=aª+2´2 a¢=a£+2´3 ⋮ + aÇ=an-1+2´(n-1) >³ aÇ=aÁ+ 0 ∴ a10=10´9=90 nK-+1! 채점 기준 ❶ aÇ과 an+1 사이의 관계식을 구할 수 있다. ❷ 수열 {aÇ}의 일반항을 구할 수 있다. ❸ a10의 값을 구할 수 있다. 2k=2´ (n-1)n 2 =n(n-1) |전략| 주어진 두 등식을 더하고 빼서 수열 {aÇ+bÇ}, {aÇ-bÇ}의 일반항을 구 한다. an+1=3aÇ+2bÇ bn+1=2aÇ+3bÇ ㉠+㉡을 하면 …… ㉠ …… ㉡ … ❷ … ❸  90 배점 3점 3점 1점 an+1+bn+1=5(aÇ+bÇ) 따라서 수열 {aÇ+bÇ}은 첫째항이 aÁ+bÁ=5이고 공비가 5인 등비 수열이므로 aÇ+bÇ=5´5n-1=5Ç` ㉠-㉡을 하면 …… ㉢ an+1-bn+1=aÇ-bÇ 따라서 수열 {aÇ-bÇ}은 첫째항이 aÁ-bÁ=1이고 공비가 1인 등비 수열이므로 …… ㉣ 1366 유형 13 수학적 귀납법을 이용한 등식의 증명 |전략| n=1일 때 주어진 등식이 성립함을 보인 다음 n=k일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하고 n=k+1일 때도 등식이 성립함을 보인다. 1 1´2 + 1 2´3 + 1 3´4 + y + 1 n(n+1) = n n+1 yy ㉠ ∴ aÁ¼+bÁÁ= 510+1 2 2 + 511-1 2 = 510(1+5) 2 =3´510  3´510 aÇ-bÇ=1 ㉢+㉣을 하면 2an=5Ç`+1 ∴ an= 5Ç`+1 2 ㉢-㉣을 하면 2bn=5Ç`-1 ∴ bn= 5Ç`-1 1368 |전략| PÇPn+1Ó=aÇ으로 놓고 SÇ을 구한다. PÇPn+1Ó=aÇ(n=1, 2, 3, y)이라 하면 Pn+1Pn+2Ó= n` n+2 PnPn+1Ó에서 an+1= n n+2 aÇ yy ㉠ ㉠의 n에 1, 2, 3, y , n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 1 1´2 + 1 2´3 + 1 3´4 + y + 1 k(k+1) = k k+1 yy ㉡ + 1 (k+1)(k+2) ⑴ n=1일 때, (좌변)= 1 1´2 = , (우변)= 1 1+1 ;2!; = ;2!; 따라서 n=1일 때 ㉠이 성립한다. ⑵ n=k일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면 ㉡의 양변에 1 1´2 + 1 2´3 을 더하면 1 (k+1)(k+2) + 1 3´4 + y + 1 k(k+1) = k k+1 + 1 (k+1)(k+2) = kÛ`+2k+1 (k+1)(k+2) = (k+1)Û` (k+1)(k+2) = k+1 k+2 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. 174 | III . 수열 aª= aÁ ;3!; a£= aª ;4@; a¢= a£ ;5#; ⋮ an-1= n-2 n an-2 _ aÇ= n-1 n+1 an-1  ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 aÇ= ´ ´ ;3!; ;4@; ;5#; ´y ´ n-2 n ´ n-1 n+1 ´aÁ= 2 n(n+1) aÁ 158176고유형해결수1-18(10해).indd 174 2018-03-15 오전 11:10:30 10 수학적 귀납법 | 175 정답과 해설; ³ 이때, aÁ=PÁPªÓ=1이므로 aÇ= 2 n(n+1) ∴ SÇ= ´aÇ´1= ;2!; ´ ;2!; 2 n(n+1) ´1 = 1 n(n+1) 50 ∴ SÇ= 50 1 n(n+1) 50 = {;n!;- 1 n+1 } ;N+! = ;N+! 1- { + ;2!;} {;2!; ;N+! ;3!;} - + y + - {;5Á0; ;5Á1;} =1- = ;5Á1; ;5%1); 따라서 p=51, q=50이므로 p+q=101 1370 |전략| 주어진 과정을 따라가면서 빈칸에 알맞은 식을 추론한다. n¾2인 자연수 n에 대하여 an+1=Sn+1-SÇ이므로 주어진 식 ∴ Sn+1= +2nSn(n¾2) yy ㉠ an+1= +(2n-1)SÇ으로부터 SÇÛ` Sn-1 Sn+1-Sn= +(2n-1)Sn SÇÛ` Sn-1 SÇÛ` Sn-1 ㉠의 양변을 Sn으로 나누면 Sn+1 Sn SÇ Sn-1 +2n = bÇ= Sn+1 Sn 로 놓으면  101 SÁ=aÁ=1, Sª=aÁ+aª=1+1=2이므로 bÁ= =2, bÇ=bn-1+2n(n¾2) yy ㉡ Sª SÁ ㉡의 n에 2, 3, 4, y, n을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 1369 |전략| 제품 PÇ을 한 개 만드는 데 필요한 비용을 aÇ으로 놓고 aÇ과 an+1 사이의 관계식을 세운다. 제품 PÇ을 한 개 만드는 데 필요한 비용을 aÇ(n=1, 2, 3, y)이라 하면 bª=bÁ+2´2 b£=bª+2´3 b¢=b£+2´4 ⋮ aÁ=1, an+1=3aÇ+2Ç` an+1=3aÇ+2Ç`의 양변을 3n+1으로 나누면 an+1 3n+1 = an 3n =bÇ으로 놓으면 3n + 2Ç` 3n+1 이때, an bn+1=bÇ+ ´ ;3!; {;3@;} Ç` bª=bÁ+ ´ ;3!; ;3@; b£=bª+ ´ Û` {;3@;} ;3!; b¢=b£+ ´ ;3!; {;3@;} Ü` ⋮ + bÇ=bn-1+ ´ ;3!; {;3@;} n-1 bÇ=bÁ+ k ´ ;3!; {;3@;} nK-+1! = aÁ 3 + ´ ;3!; n-1 1- ;3@;[ {;3@;} ] 1- ;3@; = + ;3!; ;3@; - Ç` {;3@;} =1- Ç` {;3@;} 이 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 + >³ bÇ=bn-1+2n bÇ =bÁ+2´2+2´3+2´4+ y +2n 2 =2(1+2+3+4+ y +n) =2´ n(n+1) 2 =n(n+1)(n¾2) yy ㉢ 이때, bÁ=2는 ㉢에 n=1을 대입한 것과 같으므로 Sn+1=bÇSÇ    ∴ Sn+1=n(n+1)´SÇ ㉣의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 yy ㉣ bÇ= ㈎ n ´(n+1)(n¾1) bÇ= Sn+1 SÇ 에서 Sª=1´2´SÁ S£=2´3´Sª S¢=3´4´S£ ⋮ _ >³ SÇ=(n-1)´n´Sn-1 SÇ =SÁ´1´2Û`´3Û`´4Û`´ y ´(n-1)Û`´n = ㈎ n ´{(n-1)!}Û`(n¾1) SÁ=aÁ=1 따라서 aÁ=1이고, n¾2일 때 aÇ =SÇ-Sn-1 =n{(n-1)!}Û`-(n-1){(n-2)!}Û` ={n(n-1)Û`-(n-1)}´{(n-2)!}Û` =[(n-1){n(n-1)-1}]´{(n-2)!}Û` = ㈏ (n-1)(nÛ`-n-1) ´{(n-2)!}Û` ∴ aÇ=3Ç`´bÇ=3Ç`-2Ç` 따라서 제품 P10을 한 개 만드는 데 필요한 비용은 a10=310-210 따라서 f(n)=n, g(n)=(n-1)(nÛ`-n-1)이므로 f(10)+g(6) =10+(6-1)(6Û`-6-1)  310-210 =10+5´29=155  ④ 174 | III . 수열 10 수학적 귀납법 | 175 158176고유형해결수1-18(10해).indd 175 2018-03-13 오후 3:45:42 10ㅡ수학적귀납법³ ; Memo 158176고유형해결수1-18(10해).indd 176 2018-03-13 오후 3:45:42