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문제집/고등

2019년 천재교육 짤강 고등 수학 1 답지

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. . . . . . . 개념에 강한 짧지만 짤강 고등수학 Ⅰ 정답과 해설 01 지수 02 로그 03 지수함수와 로그함수 04 지수함수와 로그함수의 활용 05 삼각함수 06 삼각함수의 그래프 07 사인법칙과 코사인법칙 08 등차수열 09 등비수열 10 수열의 합 11 수학적 귀납법 02 05 09 13 19 23 31 36 41 47 52 01 지수 & 기초 개념 피드백 TEST 1-1 ⑴ -6 ⑵ 5, 7 1-2 ⑴ 92=81, (-9)2=81이므로 81의 제곱근은 9, -9이다. ⑵ 122=144, (-12)2=144이므로 144의 제곱근은 12, -12이다. ⑶ { 2 = 3 10 } 9 100 , {- 2 = 3 10 } 9 100 이므로 의 제곱근은 , - 3 10 3 10 이다. 9 100 ⑷ (0.8)2=0.64, (-0.8)2=0.64이므로 0.64의 제곱근은 0.8, -0.8이다. 2-1 ⑴ 2, 3 ⑵ 50 2-2 ⑴ ' 2_ 10Ö 'Œ 5 ' ='Œ 2_10Ö 5 ' = 20 5 'Œ ' =' 4=2 6 6 ' ' 'Œ _ = 2_ 24Ö ⑵ 24 'Œ 2 ' 72=6'2 ='Œ 12 3 6 5 = ⑶ 12 3 18 15 ' _ 'Œ 'Œ ' Ö ' ' 18 15 _ 'Œ 'Œ 12 ' 3 = 5 6 _ ' ' =4'3 3 ' 12 3 ' = 12_ 6 ' ='Œ ⑷ ¾;2%; Ö ¾Ð 10 3 _ ¾Ð 14 3 =¾;2%; _ ¾Ð 3 10 _ ¾Ð 14 3 =¾Ð;2%; =¾;2&; = _ 3 10 _ 14 3 'Œ 14 2 3-1 ⑴ 1, 3 ⑵ 9, b 3-2 ⑴ a2b5_3ab3=3a2+1b5+3=3a3b8 ⑵ (ab)5_ =a5b5_ 3 {;bA;} a3 b3 =a5+3b5-3=a8b2 ⑶ 4a4b3Ö2a2b2=2a4-2b3-2=2a2b ⑷ (a2b)5Ö(a3b3)3=a10b5Öa9b9 a b4 a10-9 b9-5 = = 따라서 1의 세제곱근은 1, 3i -1Ñ 2 ' 본문 | 009쪽 ⑵ -1의 세제곱근을 x라 하면 x3=-1, x3+1=0, (x+1)(x2-x+1)=0 ∴ x=-1 또는 x 1Ñ ' 2 따라서 -1의 세제곱근은 = 3i -1, 3i 1Ñ ' 2 ⑶ 27의 세제곱근을 x라 하면 x3=27, x3-27=0, (x-3)(x2+3x+9)=0 -3Ñ3 3i ∴ x=3 또는 x 2 따라서 27의 세제곱근은 = ' 3, -3Ñ3 3i ' 2 ⑷ -27의 세제곱근을 x라 하면 x3=-27, x3+27=0, (x+3)(x2-3x+9)=0 3Ñ3 2 따라서 -27의 세제곱근은 ∴ x=-3 또는 x = 3i ' -3, 3i 3Ñ3 2 ' 2-1 2i, 2i 2-2 ⑴ 1의 네제곱근을 x라 하면 x4=1, x4-1=0 (x2-1)(x2+1)=0 ∴ x Ñ1 또는 x Ñi = = 따라서 1의 네제곱근은 Ñ1, Ñi ⑵ 4의 네제곱근을 x라 하면 x4=4, x4-4=0 (x2-2)(x2+2)=0 2 또는 x Ñ' ∴ x = ' 따라서 4의 네제곱근은 Ñ = Ñ 2i 2, Ñ 2i ' ' ⑶ 81의 네제곱근을 x라 하면 x4=81, x4-81=0 (x2-9)(x2+9)=0 ∴ x Ñ3 또는 x Ñ3i = = 따라서 81의 네제곱근은 Ñ3, Ñ3i 본문 | 010~014쪽 1-1 ⑴ 2, -1, 2, -1 ⑵ -2, 1, -2, 1 1-2 ⑴ 1의 세제곱근을 x라 하면 x3=1, x3-1=0, (x-1)(x2+x+1)=0 ∴ x=1 또는 x 3i -1Ñ 2 ' = 02 ⦁ 정답과 해설 3-1 ⑴ 2 ⑵ -2 ⑶ 2, -2 ⑷ 없다 3-2 ⑴ 64의 세제곱근 중에서 실수인 것은 4이므로 64=4 ⑵ -64의 세제곱근 중에서 실수인 것은 -4이므로 -64=-4 3 'Œ 3 'Œ Œ Œ Œ Œ ⑶ 81의 네제곱근 중에서 실수인 것은 3, -3이므로 81=3, -4 4 'Œ 'Œ 81=-3 ⑷ -81의 네제곱근 중에서 실수인 것은 없다. 4-1 ⑴ 5 ⑵ -4 4-2 ⑴ -125의 세제곱근 중에서 실수인 것은 -125=-5 ⑵ 256의 네제곱근 중에서 양의 실수인 것은 ⑶ 32의 다섯제곱근 중에서 실수인 것은 3 'Œ 4 'Œ 5 'Œ 256=4 32=2 -6 'Œ 64=-2 ⑷ 64의 여섯제곱근 중에서 음의 실수인 것은 5-1 ⑴ 3 ⑵ 2, 9 ⑶ 6, 2 ⑷ 4, 2 5-2 ⑴ 3 8=3 2_4=3 4=3 2_3 2Ü`=2 " ' 'Ä ' ' 212=4 (2Û`)6=4 4ß`=4 ⑵ (4 4)ß`=4 23_4=2Ü`=8 ' "à "à "à " 3 4 724=12 'Œ724=4_3 ⑶ " "à "à 3 16 8=3 'Œ " 3 2 ' 72_12=7Û`=49 ⑷ =3 ' 2Ü`=2 ¾Ð:Á2¤: 3 = 6-1 ⑴ 2, 4 ⑵ 4, 0 48+3 4 6-2 ⑴ 2 4 ' 'Œ 3 16_3+3 4 3 =2 4 ' 'Œ 24_3+3 4 =2 4 3 ' " 3+3 4 =2 4 24_4 " ' ' =4 4 3+3 4 3=7 4 ' ' ' 81_3-2 4 48 =3 4 243-2 4 ⑵ 3 4 16_3 'Œ 'Œ 'Œ 'Œ 81_4 =3 4 16_4 3-2 4 ' 'Œ ' 'Œ 3-2 4 =3 4 24_4 34_4 3 " ' " ' 3-4 4 =9 4 3=5 4 ' ' ' 3 3 3 3 7-1 ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ 4, 16 ⑷ 3 7-2 ⑴ 30=1 ⑵ ( ' ⑶ 8-2 7)0=1 1 82 = = 1 64 ⑷ (-3)-3 1 = (-3)3 =-;2Á7; 8-1 ⑴ -1, 3 ⑵ 2, 25 ⑶ 6 ⑷ 8, 12 8-2 ⑴ 76_7-4=76+(-4)=72=49 ⑵ (32)-3Ö3-3=3-6Ö3-3=3-6-(-3)=3-3= ;2Á7; ⑶ (a5Öa8)-5=(a5-8)-5=(a-3)-5=a15 ⑷ (a2b-4)-3=a2_(-3)b-4_(-3)=a-6b12= bÚ`Û` aß` 9-2 ⑴ 5 a9=a;5(; " a-5=a- ⑵ 4 " 3 a2 ⑶ a;3@; " 4 a-3 " = ⑷ a-;4#; = ;4%; ' 10-1 ⑴ 4 ⑵ ' 2_2'Œ 10-2 ⑴ 23 3, 2 ' 50 =23 =23 625=6 25Ö3 ⑵ 6 " 'Œ 'Œ ' ' 3 ⑶ 3, 8 ⑷ 3, 2, 4 2_25 ' 2 2=28 ' 2 2+5 ' 54=5;6@;Ö5;3$; 52Ö3 " =5;3!;-;3$;=5-1= ;5!; ⑶ (4' 6) 1 3=4' ' 6_ 1 3=4' ' 2 ⑷ (16_25);4#;=(24_52);4#;=24_ ;4#;_52_ ;4#; =23_5;2#;=8_5;2#; 집중 연습 본문 | 015~017쪽 1 ⑴ 3 43=4 64=3 4_16=3 16=3 4_3 ' " 'Œ '§ 'Œ 81=3 ⑵ 3 33=3 32=3 3_3 34=3 3_6 3 3_" ' " " ' " ' 'Œ (-2)3=-2 ⑶ 3 -8=3 'Œ "à 34=3 (-9)2=4 ⑷ 4 " " 8)2=6 82=6 ⑸ (6 26=2 ' " " ⑹ 3 512=52=25 "'Œ512``=6 " 5 ⑺ 3 830=82=64 'Œ830``=15 " " 4 32 4 32 = '§ 4 2 2 ' 9Ö3 'Œ 9Ö3 'Œ 24=2 16=4 " 'Œ 81=3 32Ö3 ' 'Œ 1 3 3 3 = 27 81 ⑼ 6 ' ⑼ 6 ' ¾Ð 81=6 " 3 3Ö3 'Œ ¾Ð{;3!;} ⑻ 81 3 81= =4 = = ;3!; ¾Ð ¾Ð 162_(3 ⑽ 4 ' " 3)6Ö" 64 =4 3 'Œ 26 36Ö6 44_3 " " " =4_32Ö2=18 2 8_2+3 54 =3 16+3 ⑾ 3 27_2 'Œ 'Œ 'Œ 'Œ 33_2 =3 23_2+3 " " =3 33_3 2+3 23_3 ' " ' " 2+3 3 =2 3 2=5  3 2 ' ' ' 27_2-3 250 =3 54-3 ⑿ 3 125_2 'Œ 'Œ 'Œ 'Œ =3 53_2 33_2-3 " " 53_3 2-3 33_3 =3 ' ' " " 2-5 3 =3 3 2=-2  3 ' ' ' 2 2 2 ⑴ a6_a-4=a6-4=a2 ⑵ a6Öa-3=a6+3=a9 ⑶ (a-4)-3=a(-4)_(-3)=a12 9-1 ⑴ 2 ⑵ 6 ⑶ a ⑷ -4 ⑷ (2-3_32)-2=2(-3)_(-2)_32_(-2)=26_3-4= ;8^1$; 01. 지수 ⦁ 03  ⑸ (a-2_b)-3=a(-2)_(-3)_b-3=a6_b-3 aß` bÜ` = ⑹ (a-1)-2_a-3=a2_a-3=a-1 1 a = 기초 개념 가평 본문 | 018, 019쪽 01 제곱근, 세제곱근        02 n제곱근   =34-4_210-6=30_24=16 기초 문제 가평 본문 | 020, 021쪽 3 ⑴ 63_22Ö33 =(2_3)3_22Ö33=23_33_22Ö33 =23+2_33-3=25_30=32 ⑵ a3_a-4Öa-5=a3-4-(-5)=a4 a15 a5 b2 } ⑶ (a2b-3)2Ö =a4b-6Ö { 3 b6 =a4b-6_ b6 a15 3 ⑼ (a2b-3)2Ö =a4-15b-6+6=a-11= } ⑷ (-2a2b4)3Ö6a5b2=-8a6b12Ö6a5b2 { 1 aÚ`Ú` ⑽ (-2a2b4)3Ö6a5b2=- a6-5b12-2 ;3$; 3 } 3 } { { { ⑽ (-2a2b4)3Ö6a5b2 ⑸ (a2b3)4Ö(a4b3)2_ - = ab10 ;3$; =a8b12Öa8b6_ a3 3 b9 a b3 } ⑾ (a2b3)4Ö(a4b3)2_ =a8-8+3b12-6-9 ⑾ (a2b3)4Ö(a4b3)2_ =a3b-3= aÜ` bÜ` ⑹ 92Ö43_(2-5_32)-2 =34Ö26_210_3-4 ⑶ a3=a;4#; 4 ⑴ 4 " 1 5 a-2=a-;5@; a2 =5 ⑵ " ¾Ð 1 a-2 = 3 " a3 8 a5 = " 6 " "a'Œa5= 3 ⑸ 1 a- ⑷ =a;3@; 3 ¾Ða_a;2%;= a;8#; a;6%; ;3@; =a;8#;-;6%;=a-;2!4!; 3 ¾Ða;2&;=(a;2&;);3!;=a;6&; 3 ⑹ "a 4 'a= 3 ¾Ða_a;4!;= 3 ¾Ða;4%;=(a;4%;);3!;=a;1°2; 5 ⑴ 2- ⑵ 3' ;3!;_4;3@;=2- 2+2Ö3' 2-1=3' ;3!;_2;3$;=2- 2+2-( ' + ;3!; ;3$;=2 2-1)=3Ü`=27 ⑶ ( 8)- ;3$;=( 23)- " ;3$;=(2;2#;)- ;3$; ⑶ ( 8)- ;3$;=2;2#;_{-;3$;}=2-2= ' ' ⑷ (2;2#;_3-0.5) =26_3-2= 4 ;4!; 64 9 ⑸ 3 ;2%; ¾;9$; } ] [{ -;5#; = 2` 3 ¾Ð{;3@;} ;2%; ] } [{ -;5#; ⑸ ;2%; 3 ¾;9$; } ] [{ -;5#; = ;3@;_;2%; ] -;5#; = [{;3@;} [{;3@;} -;5#; ;3%; ] ⑸ ;2%; 3 ¾;9$; } ] [{ -;5#; = {;3@;} -1 = ;2#; a4b3=a2b;4#;Ö(aÛ`b;2#;);2!;=a2b;4#;Öab;4#;=a a8b3Ö"" ⑹ 4 " 04 ⦁ 정답과 해설 03 거듭제곱근      05 n ' a    07 a=0            09 a                 11   ;bA;   13 mn              15 2                 17 6                  19 2                  21 4               04  실근   06 a>0   08 a<0   10 ab 12 m   14 n   16 7   18 12, 6   20 2   22 3 1 ⑤ 81의 음수인 네제곱근은 -4 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. '§ 81로 나타낸다. 2 5 (-2)5=-2 -32=5 "à '§ -2의 세제곱근은 3개이고, 그 중 실수인 것은 3 '§ 다. ∴ m=3, n=1 -2의 1개이 3_3 3 ① 3 33=3 27=3 9=3 ' ' " '§ ② (3 56=52=25 5)6=3 " ' 25-4 25_3 (25Û`)-4=3 25_6 625-4 =3 25_6 ③ 3 'Œ "à 'Œ "à 'Œ "à 25-3=25-1= 625-4 =3 25+6 ③ 3 'Œ "à "à 34_3 3=6 81_3 3 ④ " ' ' 'Œ " 210=2Ö22= 26Ö5 322=6 64Ö5 ⑤ 3 " " " ;2Á5; 33=3 3=3 " 32_3 3=3 ' " "'Œ ;2!; 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. -8+3 4 ⑴ 3 ' 'Œ 2_3 ' 4+" 26 2Ü`+6 (-2)Ü`+3 64 =3 3 " " "à 'Œ =-2+2+2=2 72= 34_3 21Ö3 ⑵ 3 " " 'Œ ¾Ð 3 21_72 3 34 = ¾Ð 3 73 33 = 3 = ¾Ð{;3&;} ;3&; 5 ① a5a-5=a0=1 ② (a-2)-4=a(-2)_(-4)=a8 ③ (a-1b2)-3=a3b-6 a3 b6 =  ④ (-a)-2Öb-2=a-2Öb-2=a-2_ 1 b-2 =a-2_b2= 2 {;aB;} ⑤ a-6b9Ö(ab2)2=a-6b9Öa2b4=a-8b5= 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. b5 a8 6 3a_3b 1 81 = ∴ a+b=-4 에서 3a+b=3-4 7 a=4 'Œ ∴ 9;4#; 27 3;4#; = (3Û`);4#;=(3;4#;)2=a2 = 따라서 9;4#;과 같은 것은 ④이다. 8 3 ' a;3!; ak 에서 ="a a " =¾Ða_a;2K;, a;3!; =¾Ða k+2 2 , a;3!; k+2 4 a = 이므로 3k+6=4, 3k=-2`` ;3!;= k+2 4 ∴ k=- ;3@; 9 x;2!;+x- (x;2!;+x- 1 x =7 ∴ x+ ;2!;=3의 양변을 제곱하면 ;2!;)2=9에서 x+x-1+2=9, x+x-1=7 10 3;2!;_3mÖ3;6!;=1에서 3;2!; 즉, 3m+ ;3!;=1이므로 m+ +m- ;6!;=1 =0````````` ;3!; ∴ m=- ;3!; 11 ⑴ a;3@;_a;4#;Öa- 7 12 =a;3@;+;4#;-{- 7 12 }=a;1@2$;=a2 ⑵ (a;3%;b;2!;) Ö(a;4#;) 6 12 =a10b3Öa9=a10-9b3=ab3 ⑴ 2' 2+2_2' 2-1Ö4' 2+1 =2-1= ⑵ (2' ⑵ (2' 2)2- 2)2- ' ' 2Ö(22+ 2Ö(22+ ' ' 2)' 2)' 2=22 2=22 ' ' ;2!; 2-2Ö22 2+2 ' 2-2-(2 2+2) ' ⑵ (2' 2)2- ' 2Ö(22+ ' 2)' 2 =2-4= ;1Á6; 13 2a=5, 3b=25이므로 25aÖ33b = 25aÖ33b =55Ö56=5-1 (2a)5Ö(3b)3=55Ö253 =;5!; 02 로그 1-1 ⑴ 81 ⑵ 16 1-2 ⑴ 2-3= ;8!; HjK -3=log2`;8!; ⑵ log3`' 3= ;2!; HjK 3;2!;=' 3 본문 | 022~025쪽 2-1 ⑴ 3, 3 ⑵ -3, -3 2-2 ⑴ log2`16=x로 놓으면 2x=16 2x=24에서 x=4 따라서 log2`16=4이다. ⑵ log4`;6Á4; =x로 놓으면 4x= ;6Á4; 22x=2-6에서 2x=-6 ∴ x=-3 따라서 log4`;6Á4; =-3이다. ⑶ log ;3!; `9=x로 놓으면 x =9 {;3!;} 3-x=32에서 -x=2 ∴ x=-2 따라서 log ;3!; `9=-2이다. ⑷ log0.1`100=x로 놓으면 (0.1)x=100 10-x=102에서 -x=2 따라서 log0.1`100=-2이다. ∴ x=-2 3-1 ⑴ 16, 4, 4 ⑵ 36, -1 3-2 ⑴ log5`'¶ 125=log5`" ⑵ log2`3 2-log2`3=log2` ' ' 3 =log2`' 2 53=log5`5;2#;=;2#; 2 3 =log2`2;2!;=;2!;` =log2`;3$; +log2`12 _12 =log2`{;3$; =log2`16=log2`24=4 } ⑷ 4 log5`'¶ 15- log5`27=4 log5`15;2!;- ;3@; log5`33 ;3@; =2 log5`15-2 log5`3 =2(log5`15-log5`3) =2 log5`:Á3°: =2 log5`5=2 02. 로그 ⦁ 05 12 ⑴ 2' 2+2_2' 2-1Ö4' 2+2_2' 2-1Ö22( ' 2+1) 2+1 =2' =2' 2+2+ 2-1-(2 2+2) ' ' ⑶ log2`;3$; +2 log2`'¶ 12=log2`;3$; +log2( 12 )2 '¶ 4-1 ⑴ 3, 2 ⑵ 2, 3, 2 4-2 ⑴ log10`30 =log10`(3_10)=log10`3+log10`10 =b+1 ⑵ log10`;5^; =log10`;1!0@; =log10`22 =log10`(22_3)-log10`10 `+log10`3-1=2a+b-1 ⑶ log10`;5@0&; =log10`(2_33)-log10`102 =log10`;1°0¢0; =log10`2+log10`33-2=a+3b-2 ⑷ log10`0.036=log10`;10#0^0; =log10`62-log10`103 =2 log10`(2_3)-3 =2(log10`2+log10`3)-3 =2a+2b-3 5-1 ⑴ 5 ⑵ 2, 2 5-2 ⑴ log27`;8Á1; = log3`;8Á1; log3`27 = log3`3-4 log3`33 =-;3$; ⑵ log3`4_log4`3=log3`4_ 1 log3`4 =1 ⑶ log3`5_log5`' 3= _log5`3;2!;=;2!; 1 log5`3 ⑷ log27`4_log8`5_log5`3= log3`4 log3`27 _ log3`5 log3`8 _ 1 log3`5 = log3`22 log3`33_log3`23 = 2`log3`2 3_3`log3`2 =;9@; 6-1 ⑴ 2, 2b ⑵ 2, 10, a 6-2 ⑴ log3`16= log10`16 log10`3 = log10`24 log10`3 = 4 log10`2 log10`3 = 4a b log10`3 log10`:Á2¼: b 1-a = ⑵ log5`3= log10`3 log10`5 = = log10`3 1-log10`2 ⑶ log3`' 8=log3`2;2#;= = ;2#; _ ;2#;`log3`2 3a 2b = log10`2 log10`3 ⑷ log2`'¶ 12=log2`12;2!;= ;2!;`log2`12 = ;2!; _ log10`12 log10`2 = log10`(22_3) 2 log10`2 = log10`22+log10`3 2 log10`2 = 2a+b 2a 06 ⦁ 정답과 해설 7-1 ⑴ ;2!; ⑵ -1, -1 7-2 ⑴ log`1000=log`103=3 ⑵ log`3 " 104=log`10;3$;=;3$; ⑶ log`10 10=log`10;2#;=;2#; ⑷ log`0.01=log`10-2=-2 '¶ 8-1 ⑴ 2, 2.5092 ⑵ -1, -0.4908 8-2 ⑴ log`236 =log`(102_2.36)=log`102+log`2.36 =2+0.3729=2.3729 ⑵ log`23600 =log`(104_2.36)=log`104+log`2.36 ⑶ log`23.6 =log`(10_2.36)=log`10+log`2.36 =4+0.3729=4.3729 =1+0.3729=1.3729 ⑷ log`0.236 =log`(10-1_2.36)=log`10-1+log`2.36 =-1+0.3729=-0.6271 집중 연습 본문 | 026, 027쪽 1 ⑴ log10` =log10` 1 0.001 3 '¶ 1 10-3 =log10` 3 " 1 10-1 =log10`10=1 ⑵ log10`;1Á0; +log10`100=log10`{;1Á0; _100 =log10`10=1 } 2 ⑶ log3`12+2 log3`;2(; =log3`12+log3`{;2(;} ⑷ log3`'¶ 27-log3` 1 3 ' =log3`{ 12_ :¥4Á:} =log3`35=5 27+log3`' 3 27_ =log3`'¶ =log3`( =log3`9=log3`32=2 '¶ ' 3)=log3`'¶ 81 ⑸ 2 log2`12-log2`18=log2`122-log2`18=log2` 122 18 ⑹ 2 log5`' =log5`( =log2`8=log2`23=3 5+3 log5`2-6 log5`' 2 5)2+log5`23-log5`( ' 2)6 ' =log5`5+log5`8-log5`8=1 2 ⑴ log5`6=log5`(2_3)=log5`2+log5`3=a+b ⑵ log5`12=log5`(22_3)=log5`22+log5`3=2a+b ⑶ log5`30=log5`(2_3_5)=log5`2+log5`3+log5`5 =a+b+1 ⑷ log5`:Á5¥: :Á5¥: ⑸ log5`:ª2¦: 100 9 ⑹ log5` =log5`18-log5`5=log5`(2_32)-1 =log5`2+log5`32-1=a+2b-1 =log5`27-log5`2=log5`33-log5`2=-a+3b =log5`100-log5`9=log5`102-log5`32 =2(log5`2+log5`5)-2 log5`3=2a-2b+2 3 ⑴ log100`'¶ 10=log10Û` `10;2!;= `log10`10= log10`10=;4!; ;4!; ;2!; 2 ⑵ log3`5_log5`9= _log5`32=2 1 log5`3 ⑶ log9`2_log8`9=log9`2_ 1 log9`8 1 =log9`2_ log9`23 =;3!; ⑷ log2`5_log5`7_log7`8=log2`5_ log2`7 log2`5 _ log2`8 log2`7 ⑸ log3`2_log8`0.2_log5`9= =log2`8=log2`23=3 1 log2`3 _ log2`0.2 log2`8 _ log2`9 log2`5 = 1 log2`3 _ log2 `;5!; log2`23 _ log2`32 log2`5 = 1 log2`3 _ log2`5-1 3 _ 2 log2`3 log2`5 =-;3@; ⑹ log4`48+log ;2!; ` ' 3=log2Û``(24_3)+log2ÑÚ``3;2!; = ;2!;`log2`(24_3)- ;2!;`log2`3 = ;2!; (4+log2`3)- ;2!;`log2`3=2 4 ⑴ log2`6= log10`6 log10`2 = log10`2+log10`3 log10`2 = a+b a ⑵ log2`24= log10`24 log10`2 = log10`23+log10`3 log10`2 = 3a+b a ⑶ log6`9= log10`9 log10`6 = log10`32 log10`2+log10`3 = 2b a+b ⑷ log4`' 3= log10`' 3 log10`4 = log10`3;2!; log10`22 = b ;2!; 2a = b 4a ⑸ log9`18= log10`18 log10`9 = log10`2+log10`32 log10`32 = a+2b 2b ⑹ log5`50= log10`50 log10`5 = log10`2+log10`5Û` log10`5 ⑹ log5`50= log10`2+2(1-log10`2) 1-log10`2 = 2-a 1-a 기초 개념 가평 본문 | 028, 029쪽 01 a>0    02 밑, 로그, 진수                        03 3  05 4  07 0, a    09 -  11 1, 1, 5  13 -3, 3  15 밑    17 가로줄, 세로줄 04 -5 06 ' 08 + 5 10 k 12 8, 3, 3, 3 14 10, 10 16 0.01, 넷째 본문 | 030, 031쪽 기초 문제 가평 1 ① 35=243 ② 50=1 5=log3`243 HjK 0=log5`1 HjK 3)2=3 ③ ( ' 2=log ' 3`3 HjK 5 ④ 5;2!;= =log5`' 따라서 옳은 것은 ⑤이다. ;2!; HjK ' 5 2 loga`16=2에서 a2=16 이때 a>0, a+1이므로 a=4 log5`b=2에서 52=b이므로 b=25 ∴ a=4, b=25 3 loga-1`(5-a)에서 Ú (밑)>0, (밑)+1이므로 a-1>0, a-1+1 ∴ a>1, a+2 Û (진수)>0이므로 5-a>0 Ú, Û에서 1 4-2 ⑴ ' 2=2;2!;, 7 ' 8=7 " 2Ü`=2;7#; 함수 y=2x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 이때 > 이므로 2;2!;>2;7#; ∴ ;2!; ;7#; 128=4 2ß`=2Û`, 4 64=3 ⑵ 3 " '§ " '§ 함수 y=2x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 2à`=2;4&; ' 2>7 ' 8 이때 2> 이므로 2Û`>2;4&; 64>4 ∴ 3 '§ '§ 128 ;4&; 4 ⑶ {;3!;} , {;2Á7;} 2 = 6 {;3!;} 함수 y= {;3!;} x 은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 이때 4<6이므로 4 > {;3!;} {;3!;} 6 ∴ 4 > 2 {;2Á7;} {;3!;} (0.5)Û`=(0.5);3@;, 5 0.25=3 ⑷ 3 '§ " '§ 0.5=(0.5);5!; 함수 y=(0.5)x은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 이므로 (0.5);3@;<(0.5);5!; > 이때 ;3@; ;5!; 0.25<5 ∴ 3 '§ '§ 0.5 5-1 2, 1, -1, 27 5-2 ⑴ 함수 y=3x+1은 (밑)>1이 므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 최댓값은 x=1일 때 32=9 최솟값은 x=-2일 때 3-1= ;3!; ⑵ 함수 y=23x_2-x=22x=4x 은 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 최댓값은 x=1일 때 41=4 최솟값은 x=-1일 때 4-1= ;4!; y=3Å``±Ú y=4Å y 9 y 4 -2 ;3!; O 1 x ;4!; -1 O 1 x ⑶ f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4라 하면 y=2 f(x)에서 (밑)>1이므로 f(x)의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. f(x)의 최댓값은 f(2)=4, f(x)의 최솟값은 f(0)=0이므로 함수 y=2-xÛ`+4x에서 최댓값은 f(x)가 최대, 즉 f(2)=4일 때 24=16   최솟값은 f(x)가 최소, 즉 f(0)=0일 때 20=1 03. 지수함수와 로그함수 ⦁ 09   Å Å     6-1 3, 2, 4 6-2 ⑴ 함수 y= x+2 은 {;2!;} 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.   최댓값은 x=-3일 때 -1 =2 {;2!;}   최솟값은 x=0일 때 2 = {;2!;} ;4!; 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 최댓값은 x=-1일 때 -1 = ;3$; {;4#;} 최솟값은 x=2일 때 2 = {;4#;} ;1»6; ⑵ 함수 y=3x_2-2x= x 은 {;4#;} Å` y= {;4#;} y ⑶ f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2라 하면 f(x) y= {;3!;} 에서 0<(밑)<1이므로 f(x)의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. f(x)의 최댓값은 f(-3)=2, f(x)의 최솟값은 f(-1)=-2이므로 xÛ`+2x-1 에서 함수 y= {;3!;} 최댓값은 f(x)가 최소, 즉 f(-1)=-2일 때 -2 =9 {;3!;} 최솟값은 f(x)가 최대, 즉 f(-3)=2일 때 2 = ;9!; {;3!;} 7-1 ⑴ 2, ○  ⑵ 0.5, ○ ⑶ _ 7-2 ⑴ y=log5`x는 5를 밑으로 하는 로그함수이다. (○) ` ⑵ y=log `x는 을 밑으로 하는 로그함수이다. (○) ;3!; ;3!; ⑶ y=log3`2x=x`log3`2는 y=kx (k는 상수) 꼴이므로 로 그함수가 아니다. (_) 8-1 역함수, y=x 8-2 ⑴ 로그함수 y=log3`x는 지수 함수 y=3x의 역함수이므로 두 함수의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. 따라서 로그함수 y=log 3`x 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 10 ⦁ 정답과 해설 y 3 1 y=3Å` y=x y=log£`x O 1 3 x ⑵ 로그함수 y=log `x는 지수 y=log `x ;3!; y=x Å` ±Û y= {;2!;} y 2 ;4!; -3 O x 함수 y= {;3!;} ;3!; x 의 역함수이므 로 두 함수의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. `x의 따라서 로그함수 y=log ;3!; 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ;3$; ;1»6; 2 x -1 O 9-1 -1, -1 9-2 ⑴ 함수 y=log2`x+1의 그래프 는 로그함수 y=log2`x의 그 래프를 y축의 방향으로 1만 큼 평행이동한 것이므로 오 른쪽 그림과 같고, 점근선은 y축이다. y= {;3!;} 1 x y=logª`x+1 y=logª`x 1 2 x y 1 O y 2 1 O y 1 ⑵ 함수 y=-log2`x의 그래프 y=logª`x 는 로그함수 y=log2`x의 그 래프를 x축에 대하여 대칭이 동한 것이므로 오른쪽 그림 과 같고, 점근선은 y축이다. 1 2 x O -1 y=-logª`x 10-1 ⑴ < ⑵ > 10-2 ⑴ log2`5, 2`log2`3=log2`32=log2`9` 함수 y=log2`x는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한 다. 다. 다. 이때 5<9이므로 log2`54이므로 log3`25>log3`4 ∴ log3`25>log9`16 ⑶ log `4, log `5=log ;3!; ;2!;` ;3!; 5 ` ' ;3!; 함수 y=log `x는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한 ;3!; 이때 4> 5이므로 log `44이므로 log0.2`101 이므로 x의 값이 증가하면 y 의 값도 증가한다.      최댓값은 x=9일 때 log3`9=2     최솟값은 x=3일 때 log3`3=1 ⑵ 함수 y=log5`(x-2)+1은 (밑)>1이므로 x의 값이 증 가하면 y의 값도 증가한다.      최댓값은 x=127일 때 log5`125+1=4     최솟값은 y y 4 2 2 1 O 1 3 y=log£`x 9 x O 2 7 127 x x=7일 때 log5`5+1=2 ⑶ f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1이라 하면 y=log2`f(x)에서 (밑)>1이므로 f(x)의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. f(x)의 최댓값은 f(1)=f(3)=2, f(x)의 최솟값은 f(2)=1이므로 함수 y=log2`(x2-4x+5)에서     최댓값은 f(x)가 최대, 즉 f(1)=f(3)=2일 때 log2`2=1     최솟값은 f(x)가 최소, 즉 f(2)=1일 때 log2`1=0 12-1 1, 7, -3 12-2 ⑴ 함수 y=log `x+1은 ;2!; 0<(밑)<1이므로 x의 값 이 증가하면 y의 값은 감소 y 1 1 O -1 4 x y=log `x+1 ;2!; y O -1 -3 4 x y=log `(x+5)-1 ;3!; x=4일 때 log `4+1=-2+1=-1 x=1일 때 log `1+1=1 한다.     최댓값은     최솟값은 ⑵ 함수 ;2!; ;2!; y=log `(x+5)-1 ;3!; 은 0<(밑)<1이므 -4 로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.     최댓값은 x=-4일 때 log 1-1=-1 ;3!;`     최솟값은 x=4일 때 log 9-1=-2-1=-3 ;3!;`                         ⑶ f(x)=xÛ`-2x+5=(x-1)Û`+4라 하면 y=log f(x)에서 0<(밑)<1이므로 ;2!;`` f(x)의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. f(x)의 최댓값은 f(3)=8, f(x)의 최솟값은 f(1)=4이므로 함수 y=log (xÛ`-2x+5)에서 ;2!;`     최댓값은 f(x)가 최소, 즉 f(1)=4일 때 log 4=-2 f(x)가 최대, 즉 f(3)=8일 때 log 8=-3 ;2!;` ;2!;` y=log°`(x-2)+1     최솟값은 기초 개념 가평 본문 | 038, 039쪽 01 a>0   03 실수, 양   05 감소    02 a, 지수함수 04 증가 06 x축 07 최댓값, 최솟값   08 최솟값, 최댓값 09 일대일대응   10 x=loga`y, y=loga`x 11 양, 실수   13 감소    12 증가 14 y축 15 최댓값, 최솟값   16 최솟값, 최댓값           기초 문제 가평 본문 | 040, 041쪽 1 ③ f(x)=ax에서 0f(y)이다. 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 2 함수 y= {;3!;} x-2 +5의 그래프는 지수함수 y= x 의 그래 {;3!;} 프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동 한 것이다. y= {;3!;} x-2 y= {;3!;} x 의 그래프의 점근선은 x축, 즉 y=0이므로 +5의 그래프의 점근선은 직선 y=5이다. 03. 지수함수와 로그함수 ⦁ 11 3 함수 f(x)=ax+1-2의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 f(0)=a-2=1 ∴ f(x)=3x+1-2 ① f(1)=32-2=7이므로 점 (1, 6)은 함수 f(x)의 그래프 ∴ a=3 8 함수 y=2x+a+3을 x에 대하여 나타내면 2x+a=y-3에서 x+a=log2`(y-3) ∴ x=log2`(y-3)-a x와 y를 서로 바꾸면 역함수는 y=log2`(x-3)-a a=-2, b=3 ∴ a+b=1 yy㉠ 위의 점이 아니다. 위의 점이다. 위의 점이 아니다. 위의 점이 아니다. ② f(1)=32-2=7이므로 점 (1, 7)은 함수 f(x)의 그래프 ㉠이 y=log2`(x-b)+2와 같아야 하므로 ③ f(2)=33-2=25이므로 점 (2, 1)은 함수 f(x)의 그래프 ④ f(3)=34-2=79이므로 점 (3, 9)는 함수 f(x)의 그래프 x=-1이므로 a=-1 9 함수 y=log2`(x-a)+b의 그래프에서 점근선이 직선 ∴ y=log2`(x+1)+b yy㉠ ⑤ f(3)=34-2=79이므로 점 (3, 11)은 함수 f(x)의 그래 ㉠의 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로 프 위의 점이 아니다. 따라서 그래프 위의 점인 것은 ②이다. 2=log2`1+b ∴ b=2 ∴ a+b=1 4 함수 f(x)=2x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동 그래프의 식은 10 로그함수 y=log2`x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 -y=log2`x ∴ y=-log2`x 따라서 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 ③이다. ……㉡ 11 y=log2`(2x-4)=log2`2(x-2)=log2`(x-2)+1이므 로 함수 y=log2`(2x-4)의 그래프는 로그함수 y=log2`x 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 따라서 m=2, n=1이므로 m+n=2+1=3 12 f(x)=xÛ`-2x+3=(x-1)Û`+2라 하면 y=log3`f(x)에서 (밑)>1이므로 f(x)의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. f(x)의 최댓값은 f(3)=6, f(x)의 최솟값은 f(1)=2이므로 함수 y=log3`(xÛ`-2x+3)에서 최댓값은 최솟값은 f(x)가 최대, 즉 f(3)=6일 때, M=log3`6 -xÛ`+8x+a 6 y= {;2!;} 에서 f(x)=-xÛ`+8x+a라 하면 f(x)가 최소, 즉 f(1)=2일 때, m=log3`2 0<(밑)<1이므로 f(x)가 최대일 때, y는 최소이다. ∴ M-m=log3`6-log3`2=log3`3=1 한 그래프의 식은 y=2x-a ……㉠ 또 함수 g(x)=2x-2+3의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=2x-2+3+b ㉠과 ㉡의 그래프가 겹쳐지므로 2x-a=2x-2+3+b ∴ ab=2_(-3)=-6 ∴ a=2, b=-3 5 A, B, C를 밑이 2인 거듭제곱의 꼴로 나타내면 A=2;2#;, B=2;3%;, C=(2-1)- 지수함수 y=2x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ;4#;=2;4#; > > 이때 ;3%; ∴ B>A>C ;2#; ;4#; 이므로 2;3%;>2;2#;>2;4#; 따라서 대소 관계를 바르게 나타낸 것은 ③이다. f(x)=-xÛ`+8x+a=-(x-4)Û`+a+16 f(x)의 최댓값은 f(4)=a+16이고, y의 최솟값이 2이므로 a+16 a+16 -1 =2에서 = {;2!;} {;2!;} 즉, a+16=-1이므로 a=-17 {;2!;} 7 ② a>1일 때, x1f(x2)이다. 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 12 ⦁ 정답과 해설 04 지수함수와 로그함수의 활용 기초 개념 피드백 TEST & 본문 | 043쪽 1-1 9, 3 1-2 ⑴ -x+3=3x-9에서 -x-3x=-9-3이므로 ∴ x=3 -4x=-12 ⑵ 6=9x-(2x+1)에서 6=7x-1이므로 -7x=-7 ∴ x=1 2-1 2, 2 2-2 ⑴ x2=4x-4에서 x2-4x+4=0이므로 ⑵ 9x2=4에서 9x2-4=0이므로 (x-2)2=0 ∴ x=2 (3x+2)(3x-2)=0 ∴ x=- 또는 x= ;3@; ;3@; 3-1 -2, 1 3-2 ⑴ -x-3-4 -2x<8 ⑵ 2x+7É-4x-5에서 2x+4xÉ-5-7이므로 6xÉ-12 ∴ xÉ-2 4-1 2, -2 4-2 ⑴ x2-2035 양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크므로 ∴ x>3 2x-1>5 ⑶ 42x-3=(22)2x-3=24x-6이므로 주어진 부등식은 23x<24x-6 양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로 3x<4x-6 ⑷ 9xÛ`+x=(32)xÛ`+x=32xÛ`+2x이므로 ∴ x>6 주어진 부등식은 3x+3É32xÛ`+2x 양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크므로 x+3É2x2+2x, 2x2+x-3¾0 (2x+3)(x-1)¾0 ∴ xÉ- 또는 x¾1 ;2#; 4-1 ⑴ 0.1, 3 ⑵ , -1 ;7!; x+2 4-2 ⑴ {;2!;} < ;6Á4; 에서 = ;6Á4; {;2!;} 6 이므로 주어진 부등식은 x+2 6 < {;2!;} {;2!;} 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;2!; x+2>6 ∴ x>4 04. 지수함수와 로그함수의 활용 ⦁ 13 ⑵ >0.25에서 0.25= = 2 이므로 x {;2!;} 주어진 부등식은 ;4!; x > {;2!;} 2 {;2!;} {;2!;} 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;2!; x<2 2x-1 x+1 ⑶ {;9!;} {;2Á7;} 에서 É = 2x-1 4x-2 x+1 3x+3 {;9!;} {;3!;} , {;2Á7;} 4x-2 = {;3!;} 3x+3 이므로 주어진 부등식은 {;3!;} É {;3!;} 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;3!; 4x-2¾3x+3 2x xÛ`-2 ∴ x¾5 ⑷ {;7!;} {;4Á9;} 에서 {;4Á9;} = {;7!;} 2xÛ`-4 이므로 ¾ xÛ`-2 주어진 부등식은 2x ¾ {;7!;} {;7!;} 2xÛ`-4 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;7!; 2xÉ2xÛ`-4, xÛ`-x-2¾0 (x+1)(x-2)¾0 ∴ xÉ-1 또는 x¾2 5-1 2, 5, 5, 5 5-2 ⑴ (진수)>0에서 x>0 로그의 정의에 따라 x=4-2, x= ;1Á6; 이때 x= 은 진수 조건 x>0을 만족시키므로 ;1Á6; 주어진 방정식의 해이다. ∴ x= ;1Á6; ⑵ (진수)>0에서 2x+1>0, 즉 x>- 로그의 정의에 따라 2x+1=3-1, x=- ;2!; ;3!; 이때 x= 은 진수 조건 x>- 을 만족시키므로 -;3!; ;2!; 주어진 방정식의 해이다. ∴ x=- ;3!; ⑶ (진수)>0에서 -2x+1>0, 즉 x< 로그의 정의에 따라 -2x+1= -2x+1=27, x=-13 ;2!; -3 {;3!;} ;2!; 이때 x=-13은 진수 조건 x< 을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다. ∴ x=-13 14 ⦁ 정답과 해설 6-1 3x, 2, 2 6-2 ⑴ (진수)>0에서 2x-3>0, 즉 x> ;2#; log10`(2x-3)=log10`7에서 로그함수의 성질에 따라 2x-3=7, x=5 이때 진수 조건 x> 에서 x=5 ;2#; ⑵ (진수)>0에서 x+2>0, x>0, 즉 x>0 log2`(x+2)+log2`x=log2`x(x+2)이므로 log2`x(x+2)=3 로그의 정의에 따라 x(x+2)=23, x2+2x-8=0 (x+4)(x-2)=0, x=-4 또는 x=2 이때 진수 조건 x>0에서 x=2 ⑶ (진수)>0에서 x-1>0, 3-x>0, 즉 10에서 2x-1>0, x+4>0, 즉 x> ;2!; log3`(2x-1)>log3`(x+4)에서 양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크므로 yy㉠ 2x-1>x+4, x>5 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 x>5 yy㉡ ⑵ (진수)>0에서 4-x>0, 즉 x<4 yy㉠ log2`(4-x)<1에서 1=log2`2이므로 log2`(4-x)2 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 ⑶ (진수)>0에서 x>0, x-2>0, 즉 22 log2`x+log2`(x-2)Élog2`3에서 log2`x+log2`(x-2)=log2`x(x-2)이므로 log2`x(x-2)Élog2`3 양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로 x(x-2)É3, x2-2x-3É0 (x+1)(x-3)É0, -1ÉxÉ3 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 2 ;3!; 8-2 ⑴ (진수)>0에서 3x-1>0, 2x+1>0, 즉 yy㉠ log (3x-1)¾log (2x+1)에서 ;3!;` ;3!;` 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;3!; 3x-1É2x+1, xÉ2 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 yy㉡ ⑶ 5-x+1= 에서 ;2Á5; ;2Á5; =5-2이므로 주어진 방정식은 5-x+1=5-2 양변의 밑이 5로 같으므로 -x+1=-2 x =81에서 ⑷ {;9!;} x {;9!;} ∴ x=3 주어진 방정식은 3-2x=34 양변의 밑이 3으로 같으므로 -2x=4 ∴ x=-2 ⑸ 32x=9 3에서 9 3=32_3;2!;=3;2%;이므로 ' ' =(3-2)x=3-2x , 81=34이므로 ⑵ (진수)>0에서 x-1>0, 즉 x>1 yy㉠ 주어진 방정식은 32x=3;2%; x-1> ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 ;2#; ;2!; ⑶ (진수)>0에서 x>0, x-8>0, 즉 x> ;2#; x>8 x+log log ;3!;` ;3!;` ;3!;` ;3!;` (x-8)É-2에서 log x+log (x-8)=log x(x-8), ;3!;` -2 =log 9이므로 ;3!;` -2=log ;3!;`{;3!;} x(x-8)Élog 9 ;3!;` log ;3!;` 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;3!; x(x-8)¾9, x2-8x-9¾0 (x+1)(x-9)¾0, xÉ-1 또는 x¾9 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 yy㉡ x¾9 집중 연습 본문 | 048, 049쪽 1 ⑴ 3x=243에서 243=35이므로 주어진 방정식은 3x=35 양변의 밑이 3으로 같으므로 x=5 ⑵ 52x+1=125에서 125=53이므로 주어진 방정식은 52x+1=53 양변의 밑이 5로 같으므로 2x+1=3 ∴ x=1 9-2x+1=3-4x+2, '¶ " 27= 3Ü`=3;2#;이므로 yy㉡ 주어진 방정식은 3-4x+2=3;2#; 양변의 밑이 3으로 같으므로 2x= ;2%; ∴ x= ;4%; ⑹ 9-2x+1= 27에서 '¶ 양변의 밑이 3으로 같으므로 -4x+2= ∴ x= ;2#; ;8!; yy㉠ x+1 2x-1 2 ⑴ {;2!;} > {;2!;} 에서 로 같고 1보다 작으므로 양변의 밑이 ;2!; x+1<2x-1 ∴ x>2 ⑵ 2x+1>4에서 4=22이므로 주어진 부등식은 2x+1>22 양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로 x+1>2 ⑶ x É {;4!;} ;8!; ∴ x>1 x = 에서 {;4!;} 주어진 부등식은 2x É {;2!;} {;2!;} {;2!;} = , ;8!; {;2!;} 3 이므로 2x 3 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;2!; 2x¾3 ∴ x¾ ;2#; ⑷ 52xÉ625에서 625=54이므로 주어진 부등식은 52xÉ54 양변의 밑이 5로 같고 1보다 크므로 2xÉ4 ∴ xÉ2 ⑸ 0.2x>0.04에서 0.04=0.22이므로 주어진 부등식은 0.2x>0.22 양변의 밑이 0.2로 같고 1보다 작으므로 x<2 ⑹ 22x-1<4-x+1에서 4-x+1=2-2x+2이므로 주어진 부등식은 22x-1<2-2x+2 양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로 2x-1<-2x+2 ∴ x< ;4#; 04. 지수함수와 로그함수의 활용 ⦁ 15 이때 x= 은 진수 조건 x>0을 만족시키므로 log0.1`(x-1)>log0.1`10 ⑵ (진수)>0에서 x-1>0, 즉 x>1 yy㉠ log0.1`(x-1)>-1에서 -1=log0.1`0.1-1=log0.1`10이므로 양변의 밑이 0.1로 같고 1보다 작으므로 x-1<10, x<11 yy㉡ ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 10에서 x-5>0, 즉 x>5 yy㉠ log3`(x-5)<2에서 2=log3`32=log3`9이므로 log3`(x-5)0에서 xÛ`+3x>0, x(x+3)>0, 즉 x<-3 또는 x>0 yy㉠ 양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크므로 xÛ`+3x<4, xÛ`+3x-4<0 (x+4)(x-1)<0, -40에서 x-1>0, x-3>0, 즉 x>3 yy㉠ log `(x-1)+log `(x-3)<-1에서 log `(x-1)+log `(x-3)=log `(x-1)(x-3), ;3!; ;3!; ;3!; -1 ;3!; ;3!; ;3!; -1=log ` ;3!; {;3!;} =log `3이므로 ;3!; log `(x-1)(x-3)3, xÛ`-4x>0 x(x-4)>0, x<0 또는 x>4 yy㉡ ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 x>4 ⑹ (진수)>0에서 x-1>0, 2x+1>0, 즉 x>1 yy㉠ log2`(x-1)Élog4`(2x+1)에서 log2`(x-1)=2`log4`(x-1)=log4`(x-1)Û`이므로 log4`(x-1)Û`Élog4`(2x+1) 양변의 밑이 4로 같고 1보다 크므로 (x-1)Û`É2x+1, xÛ`-4xÉ0 x(x-4)É0, 0ÉxÉ4 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 10에서 2x>0, 즉 x>0 로그의 정의에 따라 2x=3, x= ;2#; ;2#; 주어진 방정식의 해이다. ∴ x= ;2#; ⑵ (진수)>0에서 2+x>0, 즉 x>-2 로그의 정의에 따라 2+x=34, 즉 x=79 이때 x=79는 진수 조건 x>-2를 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다. ∴ x=79 ⑶ (진수)>0에서 2-x>0, 즉 x<2 -3 로그의 정의에 따라 2-x= {;3!;} 이때 x=-25는 진수 조건 x<2를 만족시키므로 주어진 =27, 즉 x=-25 방정식의 해이다. ∴ x=-25 ⑷ (진수)>0에서 x-1>0, x+1>0, x+5>0, 즉 x>1 log3`(x-1)+log3`(x+1)=log3`(x-1)(x+1)이므로 log3`(x-1)(x+1)=log3`(x+5) 로그함수의 성질에 따라 (x-1)(x+1)=x+5 xÛ`-1=x+5, xÛ`-x-6=0, (x+2)(x-3)=0, x=-2 또는 x=3 이때 진수 조건 x>1에서 x=3 ⑸ (진수)>0에서 x>0, x-4>0, 즉 x>4 log5`x+log5`(x-4)=log5`x(x-4)이므로 log5`x(x-4)=1 로그의 정의에 따라 x(x-4)=5, xÛ`-4x-5=0 (x+1)(x-5)=0, x=-1 또는 x=5 이때 진수 조건 x>4에서 x=5 ⑹ (진수)>0에서 x-2>0, 4-x>0, 즉 20에서 x>0 log10`x>3에서 3=log10`103=log10`1000이므로 log10`x>log10`1000 yy㉠ 양변의 밑이 10으로 같고 1보다 크므로 x>1000 yy㉡ ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 x>1000 16 ⦁ 정답과 해설 기초 개념 가평 본문 | 050, 051쪽 01 x1    03 밑   05 >    07 >    09 x2   11 <   13 <                 02 2, 3    04 <   06 <  08 ab  10 밑    12 >    14 >               기초 문제 가평 본문 | 052, 053쪽 1 ⑴ 4x+2=8x에서 4x+2=22x+4, 8x=23x이므로 주어진 방정식은 22x+4=23x 양변의 밑이 2로 같으므로 2x+4=3x ∴ x=4 ⑵ 0.75x= 에서 0.75x= :ª8°1¤: x {;4#;} 주어진 방정식은 4 = -4 이므로 , :ª8°1¤: = {;3$;} x = {;4#;} -4 {;4#;} {;4#;} 양변의 밑이 으로 같으므로 x=-4 ;4#; 2 ⑴ {;2Á5;} x =51-xÛ`에서 x =5-2x이므로 {;2Á5;} 주어진 방정식은 5-2x=51-xÛ` 양변의 밑이 5로 같으므로 -2x=1-xÛ` ∴ xÛ`-2x-1=0 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 이 방정 식의 모든 근의 합은 2이다. x(x-1) 2-x 에서 ⑵ {;4!;} {;4!;} = = {;8!;} {;2!;} x(x-1) 2xÛ`-2x 2-x 6-3x , {;8!;} 2xÛ`-2x = {;2!;} 6-3x 이므로 주어진 방정식은 {;2!;} = {;2!;} 양변의 밑이 로 같으므로 ;2!; 2x2-2x=6-3x ∴ 2x2+x-6=0 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 이 방정식 의 모든 근의 합은 - 이다. ;2!; 3 4x=2xÛ`+a에서 22x=2xÛ`+a이므로 2x=x2+a 즉, x2-2x+a=0의 한 근이 -1이므로 x=-1을 대입하면 1+2+a=0 ∴ a=-3 a=-3을 이차방정식 x2-2x+a=0에 대입하면 x2-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 따라서 다른 한 근은 3이다. 4 ⑴ 23x¾42x-3에서 42x-3=24x-6이므로 주어진 부등식은 23x¾24x-6 양변의 밑이 2로 같고 1보다 크므로 3x¾4x-6 2x ∴ xÉ6 3x-1 ⑵ < {;3@;} {;9$;} 에서 주어진 부등식은 3x-1 6x-2 = {;3@;} 6x-2 이므로 {;9$;} 2x < {;3@;} {;3@;} 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;3@; 2x>6x-2 ∴ x< ;2!; ⑶ 5-4+xÛ`É125x에서 125x=53x이므로 주어진 부등식은 5-4+xÛ`É53x 양변의 밑이 5로 같고 1보다 크므로 -4+xÛ`É3x, xÛ`-3x-4É0 (x+1)(x-4)É0 ∴ -1ÉxÉ4 ⑷ 2x > xÛ`-2 에서 {;7!;} {;4Á9;} xÛ`-2 2xÛ`-4 {;4Á9;} = {;7!;} 이므로 주어진 부등식은 2x > {;7!;} {;7!;} 2xÛ`-4 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;7!; 2x<2xÛ`-4, xÛ`-x-2>0 (x+1)(x-2)>0 ∴ x<-1 또는 x>2 f(x) g(x) 5 {;3!;} > {;3!;} 에서 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 f(x)0에서 x-2>0, x>0, 즉 x>2 log `x+1=log `x+log ;5!; ` ;5!; ;5!; =log ` 이므로 ;5!; ;5{; ;5!; ;5!; log `(x-2)=log ` ;5!; ;5{; 로그함수의 성질에 따라 x-2= , x= ;5{; ;2%; 이때 x= 는 진수 조건 x>2를 만족시키므로 ;2%; 주어진 방정식의 해이다. ∴ x= ;2%; 04. 지수함수와 로그함수의 활용 ⦁ 17 ⑵ (진수)>0에서 x>0, x+3>0, x+8>0, 즉 x>0 ⑶ (진수)>0에서 x-1>0, 3-x>0, 즉 log`x+log`(x+3)=log`x(x+3)이므로 1log4`(3-x)에서 log2`(x-1)=2`log4`(x-1)=log4`(x-1)2이므로 log4`(x-1)2>log4`(3-x) 양변의 밑이 4로 같고 1보다 크므로 (x-1)2>3-x, x2-x-2>0 (x+1)(x-2)>0, x<-1 또는 x>2 yy㉡ ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 20에서 x-3>0, x+1>0, 즉 x>3 yy㉠ log3`(x-3)+log3`(x+1)0에서 x+3>0, 1-x>0, 즉 -3loga`(1-x)+1에서 loga`(x+3)>loga`a(1-x) 양변의 밑이 a로 같고 1보다 크므로 x+3>a(1-x), (a+1)x>a-3 a-3 a+1 ;3!; 주어진 부등식의 해가 - 1이므로 x> yy㉡ log`x(x+3)=log`(x+8) 로그함수의 성질에 따라 x(x+3)=x+8 xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0 x=-4 또는 x=2 이때 진수 조건 x>0에서 x=2 ⑶ (진수)>0에서 x-5>0, x-2>0, 즉 x>5 log2`(x-5)=2`log4`(x-5)=log4`(x-5)2, log4`(x-2)+1 =log4`(x-2)+log4`4 =log4`4(x-2) 이므로 log4`(x-5)2=log4`4(x-2) 로그함수의 성질에 따라 (x-5)2=4(x-2) x2-14x+33=0, (x-3)(x-11)=0 x=3 또는 x=11 이때 진수 조건 x>5에서 x=11 7 log`x+log`(x+a)=1+log`(a+1)의 근이 4이므로 x=4를 대입하면 log`4+log`(4+a)=1+log`(a+1) log`4(4+a)=log`10(a+1) 로그함수의 성질에 따라 4(4+a)=10(a+1) 16+4a=10a+10 ∴ a=1 8 g(9)=f -1(9)=k라 하면 f(k)=9 f(k)=5`log3`(k+3)-1이므로 5`log3`(k+3)-1=9, 5`log3`(k+3)=10 log3`(k+3)=2, k+3=32, k=6 ∴ g(9)=6 9 ⑴ (진수)>0에서 x+4>0, 즉 x>-4 `(x+4)>-2에서 log ;2!; ;2!; -2=log ` ;2!; {;2!;} =log `4이므로 ;2!; -2 log `(x+4)>log `4 ;2!; 양변의 밑이 로 같고 1보다 작으므로 ;2!; x+4<4, x<0 yy㉡ ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 -40에서 x+1>0, 즉 x>-1 yy㉠ 2`log`(x+1)Élog`(x+1)+1에서 2`log`(x+1)=log`(x+1)2, log`(x+1)+1=log`10(x+1)이므로 log`(x+1)2Élog`10(x+1) 양변의 밑이 10으로 같고 1보다 크므로 (x+1)2É10(x+1), x2-8x-9É0 (x+1)(x-9)É0, -1ÉxÉ9 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 값의 범위는 -1 ⑵ 2, < :Á6£: ;3$; 9-2 ⑴ :Á6£: p=2p_1+ 는 제1사분면의 각이다. ;6Ò; ∴ sin` p>0, cos` p>0, tan` p>0 :Á6£: :Á6£: ⑵ - p=2p_(-1)+ p는 제3사분면의 각이다. ∴ sin` - p } ;3@; <0, cos` - p <0, { ;3@; } ;3@; { { tan` - p >0 ;3@; } ⑶ -300ù=360ù_(-1)+60ù는 제1사분면의 각이다. ∴ sin`(-300ù)>0, cos`(-300ù)>0, tan`(-300ù)>0 ⑷ 700ù=360ù_1+340ù는 제4사분면의 각이다. ∴ sin`700ù<0, cos`700ù>0, tan`700ù<0 10-1 1, 2, 2 10-2 ⑴ Ú cos`h<0 ⇨ 제2사분면의 각 또는 제3사분면의 각 Û tan`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제3사분면의 각 Ú, Û에서 각 h는 제3사분면의 각이다. ⑵ Ú sin`h>0, cos`h>0일 때 sin`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제2사분면의 각 cos`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제4사분면의 각 ``` 따라서 sin`h>0, cos`h>0을 만족시키는 각 h는 제1사분면의 각이다. 기초 문제 가평 본문 | 066, 067쪽 1 ① 120ù는 제2사분면의 각이다. ② p는 제3사분면의 각이다. ;6&; ③ 510ù=360ù_1+150ù는 제2사분면의 각이다. ④ - p=2p_(-1)+ p는 제2사분면의 각이다. ;3$; ;3@; ⑤ -585ù=360ù_(-2)+135ù는 제2사분면의 각이다. 따라서 나머지 넷과 다른 사분면에 속하는 것은 ②이다. 2 ① p 12 p 12 = _1= _ p 12 180ù p =15ù ② p= p_1= p_ ;4#; ;4#; 180ù p =135ù ③ p= p_1= p_ ;3@; ;3@; 180ù p =120ù ④ p= p_1= p_ ;4%; ;4%; 180ù p =225ù ;4#; ;3@; ;4%; ⑤ = _1= _ ;6Ò; ;6Ò; ;6Ò; 180ù p =30ù 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ⑵ Û sin`h<0, cos`h<0일 때 sin`h<0 ⇨ 제3사분면의 각 또는 제4사분면의 각 cos`h<0 ⇨ 제2사분면의 각 또는 제3사분면의 각 따라서 sin`h<0, cos`h<0을 만족시키는 각 h는 제3사분면의 각이다. ⑵ Ú, Û에서 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이다. 11-1 <, 4 11-2 sin2`h+cos2`h=1에서 sin2`h=1-cos2`h=1- - 2 = { ;4#;} ;1¦6; 이때 각 h가 제3사분면의 각이므로 sin`h<0이다. 따라서 sin2`h= 7 에서 sin`h=- ' 4 ;1¦6; 또 tan`h= 이므로 sin`h cos`h 7 tan`h=- ' 4 Ö - { ;4#;} 7 = ' 3 12-1 4, 1, 3 12-2 ⑴ sin`h-cos`h= 의 양변을 제곱하면 ;3!; sin2`h-2`sin`h`cos`h+cos2`h= ;9!; 이때 sin2`h+cos2`h=1이므로 1-2`sin`h cos`h= ∴ sin`h`cos`h= ;9!; ;9$; ⑵ sin3`h-cos3 `h =(sin`h-cos`h)(sin2`h+sin`h`cos`h+cos2`h) 즉, h= p이고 00, tan`h<0일 때 ``` sin`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제2사분면의 각 tan`h<0 ⇨ 제2사분면의 각 또는 제4사분면의 각 따라서 sin`h>0, tan`h<0을 만족시키는 각 h는 제2사분 면의 각이다. Û sin`h<0, tan`h>0일 때 sin`h<0 ⇨ 제3사분면의 각 또는 제4사분면의 각 tan`h>0 ⇨ 제1사분면의 각 또는 제3사분면의 각 따라서 sin`h<0, tan`h>0을 만족시키는 각 h는 제3사분 면의 각이다. Ú, Û에서 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다. 10 ;2#; p0이므로 sin`h-cos`h<0 ∴ |sin`h-cos`h|- sin2`h "à =|sin`h-cos`h|`-|sin`h| =-(sin`h-cos`h)-(-sin`h)=cos`h `` 따라서 간단히 한 것은 ②이다. 22 ⦁ 정답과 해설 06 삼각함수의 그래프 본문 | 068~073쪽 1-1 2p, -2, -2 1-2 ⑴ 2`cos`x=2`cos`(x+2p)이므로 주기는 2p이다. -2É2`cos`xÉ2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2} 따라서 함수 y=2`cos`x의 그래프는 다음 그림과 같다. -p -;2Ò; y=2`cos`x y=cos`x p ;2Ò; 2p x p ;2#; y 2 1 O -1 -2 ;2!;` ⑵ sin`x= sin`(x+2p)이므로 주기는 2p이다. ;2!;` - É ;2!; ;2!;` sin`xÉ 이므로 치역은 [ y | - ;2!; ;2!; ÉyÉ ;2!;] 따라서 함수 y= sin`x의 그래프는 다음 그림과 같다. ;2!;` -;2Ò; O ;2Ò; p -1 -;2!; p ;2#; 2p x 3-1 4p, 3, 3 3-2 ⑴ 2`sin` =2`sin` ;3{; 주기는 6p이다. =2`sin` x+2p } ;3!; {;3!; (x+6p)이므로 -2É2`sin` É2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2} ;3{; 따라서 함수 y=2`sin` 의 그래프는 다음 그림과 같다. ;3{; y 2 1 p -;2#; y=2`sin` ;3{; O 3p -1 -2 p ;2#; y=sin`x p ;2(; 6p x 참고 y=a`sin`bx 꼴의 그래프는 y=sin`x의 그래프를 x축의 방향으로 배, y축의 방향으로 |a|배한 그래프 1 |b| 이다. ➊ 최댓값 : |a|, 최솟값 : -|a| ➋ 주기 : 2p |b| ⑵ 2`cos`2x=2`cos`(2x+2p)=2`cos`2(x+p)이므로 -2É2`cos`2xÉ2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2} 따라서 함수 y=2`cos`2x의 그래프는 다음 그림과 같다. y=2`cos`2x y=cos`x ;2Ò; p p ;2#; 2p x y 2 1 O -1 -2 y 1 ;2!; y=sin`x y= sin`x ;2!;` 주기는 p이다. 2-1 4p, -1, -1 2-2 ⑴ sin` =sin` ;2{; 는 4p이다. x+2p =sin` (x+4p)이므로 주기 {;2!; } ;2!; 이다. 참고 y=a`cos`bx 꼴의 그래프는 y=cos`x의 그래프를 x축의 방향으로 배, y축의 방향으로 |a|배한 그래프 1 |b| ➊ 최댓값 : |a|, 최솟값 : -|a| ➋ 주기 : 2p |b| y 1 -1 p이다. -1Ésin` É1이므로 치역은 {y|-1ÉyÉ1} ;2{; 따라서 함수 y=sin` 의 그래프는 다음 그림과 같다. ;2{; y=sin` ;2{; y=sin`x -p O p 2p 3p 4p x ⑵ cos`2x=cos`(2x+2p)=cos`2(x+p)이므로 주기는 -1Écos`2xÉ1이므로 치역은 {y|-1ÉÉyÉ1} 따라서 함수 y=cos`2x의 그래프는 다음 그림과 같다. y=cos`x y=cos`2x -;2Ò; ;2Ò; p p ;2#; 2p x y 1 O -1 4-1 - ;2Ò; , 2p, -1, -1 4-2 ⑴ y=cos` x- { ;2Ò;} 의 그래프는 y=cos`x의 그래프를 x축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 주기는 2p ;2Ò; 이다. -1Écos` x- { ;2Ò;} É1이므로 치역은 {y|-1ÉyÉ1} 따라서 함수 y=cos` x- 의 그래프는 다음 그림과 { ;2Ò;} 같다. y 1 O ;2Ò; -1 y=cos` x- { ;2Ò;} y=cos`x p p ;2#; 2p x p ;2%; 06. 삼각함수의 그래프 ⦁ 23 ⑵ y=2`sin` x+ 의 그래프는 y=2`sin`x의 그래프를 ⑵ 3`tan`x=3`tan`(x+p)이므로 주기는 p이다. { ;3Ò;} 점근선은 직선 x=np+ ` (n은 정수) ;2Ò; 따라서 함수 y=3`tan`x의 그래프는 다음 그림과 같다. y=tan`x y=3`tan`x y -p -;2Ò; ;2Ò; O p x 참고 y=a`tan`bx 꼴의 그래프는 y=tan`x의 그래프를 x축의 방향으로 배, y축의 방향으로 |a|배한 그래프 1 |b| 이다. ➊ 최댓값, 최솟값은 없다. ➋ 주기 : p |b| ➌ 점근선 : 직선 x= 1 |b|  { np +;2Ò;} (n은 정수) x축의 방향으로 - 만큼 평행이동한 것이므로 주기는 ;3Ò; 2p이다. -2É2`sin` x+ { ;3Ò;} É2이므로 치역은 {y|-2ÉyÉ2} 따라서 함수 y=2`sin` 의 그래프는 다음 그림과 x+ { ;3Ò;} 같다. y=2`sin`{x+ ;3Ò;} y=2`sin`x p O -;3Ò; p ;3@; 2p x p ;3%; y 2 -2 ⑶ y=cos`2x+1의 그래프는 y=cos`2x의 그래프를 y축 의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 주기는 p이다. -1+1Écos`2x+1É1+1이므로 치역은 {y|0ÉyÉ2} 따라서 함수 y=cos`2x+1의 그래프는 다음 그림과 같다. y 2 1 O -1 y=cos`2x+1 ;2Ò; p y=cos`2x p ;2#; x 참고 y=a`sin`(bx+c)+d 꼴의 그래프는 y=a`sin`bx의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼, ;bC; y축의 방향으로 d만큼 평행이동한 것이다. ➊ 최댓값 : |a|+d, 최솟값 : -|a|+d =tan =tan +p } `;2!; `{;2{; (x+2p)이므로 주기는 6-1 , p ;2Ò; 6-2 ⑴ y=tan` x { +;4Ò;} 의 그래프는 y=tan`x의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼 평행이동한 것이므로 주기는 ;4Ò; p이다. 점근선은 직선 x=np+ - ;2Ò; ;4Ò; 즉, x=np+  (n은 정수) ;4Ò; y=tan`{x+ y ;4Ò;} y=tan`x 의 그래프는 다음 그림과 같다. 같다. 따라서 함수 y=tan` x 의 그래프는 다음 그림과 { +;4Ò;} ➋ 주기 : 2p |b| 5-1 , ;4Ò; ;2Ò; 5-2 ⑴ tan `;2{; 2p이다. 점근선은 직선 x=2 ;2Ò;} 즉, x=2npp+p (n은 정수) np+ { 따라서 함수 y=tan `;2{; y=tan`x y=tan` y ;2{; 24 ⦁ 정답과 해설 -p -;2Ò; ;2Ò; p O p ;2#; p ;2%; 2p 3p x -;4Ò; ;2Ò; -;2Ò; O ;4Ò; p ;2#; x p ;4%; ⑵ y=tan` 2x { +;2Ò;} =tan`2 x { +;4Ò;} 의 그래프는 10-1 cos`x, -sin`x,`cos`x, 2`cos`x y=tan`2x의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼 평행 ;4Ò; 따라서 함수 y=tan` 의 그래프는 다음 그림과 2x { +;2Ò;} sinÛ`` -x +cosÛ`` +x =cos2`x+sinÛ``x=1 {;2Ò; } 이동한 것이므로 주기는 이다. ;2Ò; 점근선은 직선 x= np+ ;2Ò;}-;4Ò; ;2!; { .p (n은 정수) n 2 즉, x= 같다. y=tan`2x y=tan`{2x+ ;2Ò;} y O -;4Ò; ;4Ò; ;2Ò; p x p ;4#; 7-1 ⑴ 6, 6, - ⑵ 3, 3, - ⑶ 4, 4, 1 ;2!; ;2!; 7-2 ⑴ sin` p=sin` p { +;4Ò;} =-sin` = ;4Ò; - ⑵ cos` p=cos` p { +;6Ò;} =-cos` = ;6Ò; - 2 ' 2 3 ' 2 ⑶ tan` p=tan` p { +;3Ò;} =tan` = 3 ' ;3Ò; 8-1 ⑴ 6, 6, 2 ⑵ 4, 4, - ' 2 ;2!; ⑶ 3, 3, - 3 8-2 ⑴ sin` p=sin` p { -;3Ò;} ;3Ò; =sin` = ⑵ cos` p=cos` p { -;6Ò;} =-cos` = ;6Ò; - 3 ' 2 ⑶ tan` p=tan` p =-tan` =-1 { -;4Ò;} ;4Ò; ' 3 ' 2 3 9-1 ⑴ 6, 6, ' 2 3 ⑵ 3, 3, - ' 2 ⑶ 4, , -1 ;4Ò; 9-2 ⑴ sin` p=sin` {;2Ò;+;4Ò;} =cos` 2 = ' 2 ;4Ò; ;4%; ;6&; ;3$; ;3@; ;6%; ;4#; ;4#; ;3@; ;6%; 10-2 ⑴ sin` {;2Ò; +x =cos`x, cos` -x =sin`x, {;2Ò; } sin`(x-p)=-sin`(p-x)=-sin`x이므로 sin` +x +cos` -x +sin(x-p) {;2Ò; {;2Ò; } =cos`x+sin`x-sin`x=cos`x ⑵ sinÛ`` -x =cosÛ``x, cosÛ`` +x sinÛ``x이므로 {;2Ò; }= } } } } {;2Ò; {;2Ò; 11-1 , ;6Ò; ;2!; 11-2 ⑴ 2`sin`x- 3 3=0에서 sin`x= ' 2 ' y 1 3 ;;;2;;;! O -1 y=sin`x p ;3Ò; p ;3@; y= 3 ;;;2;;;! x 2p 구하는 방정식의 해는 함수 y=sin`x의 그래프와 직선 3 y= ' 2 의 교점의 x좌표와 같으므로 x= 또는 x= p ;3Ò; ;3@; ⑵ 2`cos`x+1=0에서 `cos`x=- ;2!; y 1 O -;;2!; -1 p ;3@; p p ;3$; y=cos`x x 2p y= -;2!; y=- 의 교점의 x좌표와 같으므로 ;2!; ;3@; ' x= p 또는 x= p ;3$; ⑶ tan`x- 3=0에서 tan`x= 3 ' y=tan`x y 3 1 O ;2Ò; ;3Ò; p p ;3$; y= 3 1 2p x p ;2#; 구하는 방정식의 해는 함수 y=cos`x의 그래프와 직선 ⑵ cos` p=cos` {;2Ò;+;6Ò;} =-sin` =- ;6Ò; ;2!; 구하는 방정식의 해는 함수 y=tan`x의 그래프와 직선 ⑶ tan` p=tan` {;2Ò;+;3Ò;} =- 1 tan` ;3Ò; = - 3 ' 3 y= 3의 교점의 x좌표와 같으므로 ' ;3Ò; x= 또는 x= p ;3$; 06. 삼각함수의 그래프 ⦁ 25 \ y=- 보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위와 같으므로 ;2!; ⑽ tan` p=tan` 3p+ p =tan` ;4#; } p ;4#; 12-1 아래쪽, p , ;3%; ;3Ò; 12-2 ⑴ 2`sin`x> 2 2에서 sin`x> ' 2 ' ` y=sin`x p ;4Ò; p ;4#; y 1 2 ;;;2;;;! O -1 y= 2 ;;;2;;;! x 2p 구하는 부등식의 해는 함수 y=sin`x의 그래프가 직선 2 y= ' 2 보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위와 같으므로 < x< p ;4#; ;4Ò; ⑵ 2`cos`x+1<0에서 cos`x<- ;2!; y 1 O -;;2!; -1 p ;3@; p p ;3$; y=cos`x x 2p y= -;2!; 구하는 부등식의 해는 함수 y=cos`x의 그래프가 직선 p0이므로 sin`A= 1-cos2`A= "à ¾Ð 1- - { ;2!;} 2 3 = ' 2 ` 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 bc`sin`A= ;2!; 3 _6_10_ ' 2 ;2!; =15 3 ' 다른 풀이 s= a+b+c 2 = 14+6+10 2 =15 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 15_(15-14)_(15-6)_(15-10)=15 3 ' "à ⑵ 코사인법칙에 의해 cos`A= bÛ`+cÛ`-aÛ` 2bc cos`A= 4Û`+6Û`-8Û` 2_4_6 =- ;4!; sin`A>0이므로 sin`A= 1-cos2`A= "à ¾Ð 1- - { ;4!;} 2 15 = '¶ 4 ` 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 bc`sin`A= ;2!; 15 _4_6_ '¶ 4 ;2!; =3 15 '¶ 다른 풀이 s= a+b+c 2 = 8+4+6 2 =9 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 9_(9-8)_(9-4)_(9-6)=3 15 '¶ "à 7-1 16 7-2 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S=ABÓ_BCÓ_sin`45ù 이때 b>0, c>0이므로 b=c이다. 따라서 삼각형 ABC는 b=c인 이등변삼각형이다. 2 S=4_3_ ' 2 =6 2 ' 5-1 , 5 ;2!; 5-2 ⑴ 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S= bc`sin`A= _4_6_sin`60ù ;2!; ;2!; S= 3 _4_6_ ' 2 ;2!; =6 3` ' 8-1 3, ' 3 35 ' 4 8-2 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S= ;2!;_ ACÓ_BDÓ_sin`60ù S= ;2!;_ 3 5_8_ ' 2 =10 3 ' 07. 사인법칙과 코사인법칙 ⦁ 31 Ð Ð 집중 연습 본문 | 084, 085쪽 ⑵ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ⑷ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 1 ⑴ 사인법칙에 의해 ∴ b=sin`30ù_ 10 sin`45ù = b sin`30ù 10 sin`45ù =5 2 ' B=180ù-(30ù+15ù)=135ù 사인법칙에 의해 ∴ b=sin`135ù_ 6 sin`30ù = b sin`135ù 6 sin`30ù =6 2 ' ⑶ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 C=180ù-(60ù+75ù)=45ù 사인법칙에 의해 ∴ a=sin`60ù_ a sin`60ù = 6 sin`45ù 6 sin`45ù =3 6 ' ⑷ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 C=180ù-(75ù+45ù)=60ù 사인법칙에 의해 ∴ c=sin`60ù_ 4 sin`45ù = c sin`60ù 4 sin`45ù =2 6 ' 2 ⑴ 사인법칙에 의해 10 sin`A = 10 2 ' sin`135ù sin`A= 10`sin`135ù 10 2 ' = ;2!; 이때 0ù0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`+cÛ` (a+b+c)Û` = (2k)Û`+(3k)Û`+(4k)Û` (2k+3k+4k)Û` = 29kÛ` 81kÛ` = ;8@1(; ⑵ A`:`B`:`C=1`:`2`:`9에서 C=180ù_ 9 1+2+9 =135ù 사인법칙에 의해 =2_1 c sin`135ù 2 ∴ c=2_ ' 2 = 2 ' 5 ⑴ 코사인법칙에 의해 a2=b2+c2-2bc`cos`A a2=52+62-2_5_6_cos`60ù a2=25+36-60 =31 _;2!; 31 (∵ a>0) ∴ a= '¶ ⑵ 코사인법칙에 의해 c2=a2+b2-2ab`cos`C 2)2-2_3_ c2=32+( ' c2=9+2-6 2 2_ ' 2 ' =5 ∴`c= 5 (∵ c>0) ' ⑶ 코사인법칙에 의해 2_cos`45ù ' b2=c2+a2-2ca`cos`B c2=102+62-2_10_6_cos`120ù c2=100+36-120_ =196 {-;2!;} ∴`b=14 (∵ b>0) ⑷ 코사인법칙에 의해 a2=b2+c2-2bc`cos`A c2=22+32-2_2_3_cos`120ù c2=4+9-12_ =19 {-;2!;} ∴ a= 19 (∵ a>0) '¶ 6 ⑴ `cos`A= bÛ`+cÛ`-aÛ` 2bc = 7Û`+5Û`-8Û` 2_7_5 = ;7!; ⑵ `cos`C= aÛ`+bÛ`-cÛ` 2ab = 13Û`+8Û`-7Û` 2_13_8 = ;2@6#; 7 ⑴ `cos`A= bÛ`+cÛ`-aÛ` 2bc = 5Û`+3Û`-7Û` 2_5_3 =- ;2!; 이때 0ù0)로 놓으면 cos`C= aÛ`+bÛ`-cÛ` 2ab cos`C= (3k)Û`+(5k)Û`-(7k)Û` 2_3k_5k cos`C= -15kÛ` 30kÛ` =- ;2!; 이때 0ù0)로 놓으면 cos`B= cÛ`+aÛ`-bÛ` 2ca = (8k)Û`+(5k)Û`-(7k)Û` 2_8k_5k cos`B= 40kÛ` 80kÛ` = ;2!; 이때 0ù0이므로 AMÓ=2 7 ' 12 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S= ab`sin`C ;2!; 15 3= _6_10_sin`C, 30`sin`C=15 3 ' ;2!; ' 3 ∴ sin`C= ' 2 이때 0ù0) 한편 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S= bc`sin`A ;2!; ;2!; S= _10_16_sin`60ù 3 S=80_ ' 2 =40 3 ' S= a+b+c 2 r에서 14+10+16 2 r=40 ' 3, 20r=40 3 ' ∴ r=2 3 ' 따라서 내접원의 반지름의 길이는 2 3이다. ' 15 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의해 cos`60ù= ABÓ Û`+10Û`-(2 '¶ 2_ABÓ_10 19)Û` ;2!; = ABÓ Û`+24 20ABÓ ABÓ Û`-10ABÓ+24=0 (ABÓ-4)(ABÓ-6)=0 이때 ABÓ>5이므로 ABÓ=6 따라서 구하는 평행사변형 ABCD의 넓이는 3 6_10_sin`60ù=60_ ' 2 =30 3 ' 16 삼각형 BCD에서 코사인법칙에 의해 BDÓ Û`=42+62-2_4_6_cos`60ù BDÓ Û`=16+36-48_ =28 ;2!; ' BDÓ>0이므로 BDÓ=2 7 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 △ABD+△BCD` = _5_2 7_sin`30ù+ _4_6_sin`60ù ;2!; ' ;2!; =5 7_ 3 +12_ ' 2 ;2!; ' 5 ' 2 7 = +6 3 ' 07. 사인법칙과 코사인법칙 ⦁ 35 08 등차수열 1-1 ⑴ 2, 5, 1 ⑵ 3, 242 1-2 ⑴ a1=3_1+2=5, a2=3_2+2=8, a3=3_3+2=11, a4=3_4+2=14, a5=3_5+2=17 ⑵ a1=12+2=3, a2=22+2=6, a3=32+2=11, a4=42+2=18, a5=52+2=27 2-1 ⑴ 3n ⑵ 2 2-2 ⑴ a1=2_1=2, a2=2_2=4, a3=2_3=6, a4=2_4=8, y 따라서 주어진 수열 {an}의 일반항은 an=2n ⑵ a1= = ;2!; , a2= = ;3@; 2 2+1 , a3= = ;4#; , a4= = ;5$; 4 4+1 , y 1 1+1 3 3+1 따라서 주어진 수열 {an}의 일반항은 an= n n+1 3-1 2, -3 3-2 ⑴ 공차가 21-16=5인 등차수열이므로 안에 알맞은 수는 6+5=11 ⑵ 공차가 5-2=3인 등차수열이므로 안에 알맞은 수는 8+3=11 4-1 -4, 5, 9 4-2 ⑴ an=3+(n-1)_(-2)=-2n+5 ⑵ 첫째항이 -1, 공차가 1-(-1)=2이므로 an=-1+(n-1)_2=2n-3 5-1 9, 1, 1 5-2 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a3=a+2d=23 a12=a+11d=-4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=29, d=-3 ∴ an=29+(n-1)_(-3)=-3n+32 yy㉠ yy㉡ 6-1 3, 11 6-2 첫째항이 -45, 공차가 6인 등차수열 {an}의 일반항은 an=-45+(n-1)_6=6n-51 ⑴ an>0에서 an=6n-51>0, n> =8.5 :°6Á: 따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제9항이다. ⑵ an>50에서 an=6n-51>50, n> =16.___ 101 6 따라서 처음으로 50보다 커지는 항은 제17항이다. 36 ⦁ 정답과 해설 7-1 17, 18 7-2 첫째항이 50, 공차가 -4인 등차수열 {an}의 일반항은 an=50+(n-1)_(-4)=-4n+54 본문 | 092~097쪽 ⑴ an<0에서 an=-4n+54<0, n> =13.5 :°4¢: 따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제14항이다. 104 4 ⑵ an<-50에서 an=-4n+54<-50, n> =26 따라서 처음으로 -50보다 작아지는 항은 제27항이다. 8-1 ⑴ 2 ⑵ 12, 12 -1+9 2 8-2 ⑴ x= =4 ⑵ x, 10, y가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 10= ∴ x+y=20 yy㉠ x+y 2 10, y, -2가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 y= 10-2 2 =4 y=4를 ㉠에 대입하면 x=16 ∴ x=16, y=4 9-1 5, 8, 5 9-2 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d로 놓으면 세 수의 합이 21이므로 (a-d)+a+(a+d)=21, 3a=21 ∴ a=7 세 수의 곱이 91이므로 (a-d)_a_(a+d)=91, a(a2-d2)=91 이 식에 a=7을 대입하면 7_(49-d2)=91, d2=36 ∴ d=-6 또는 d=6 Ú a=7, d=-6일 때, 세 수는 13, 7, 1 Û a=7, d=6일 때, 세 수는 1, 7, 13 Ú, Û에서 구하는 세 수는 1, 7, 13 10-1 ⑴ 20 ⑵ 19, -530 10-2 ⑴ 구하는 합은 10_(2+74) 2 =380 ⑵ 구하는 합은 10_{2_(-1)+9_4} 2 =170 11-1 6, 816 11-2 ⑴ 100 이하의 자연수 중에서 3의 배수는 3, 6, 9, 12, y, 99 이 수열은 첫째항이 3, 공차가 3인 등차수열이므로 99 를 제n항이라 하면 3+(n-1)_3=99, 3n=99 ∴ n=33 따라서 구하는 합은 첫째항이 3, 제33항이 99, 항수가 33인 등차수열의 합이므로 33_(3+99) 2 =1683 ⑵ 100 이하의 자연수 중에서 3으로 나눈 나머지가 1인 Û n=1일 때 수는 1, 4, 7, 10, y, 100 a1=S1=4_12+3_1+1=8 이때 a1=8은 ㉠에 n=1을 대입한 값 7과 같지 않 이 수열은 첫째항이 1, 공차가 3인 등차수열이므로 100 다. 을 제n항이라 하면 Ú, Û에서 a1=8, an=8n-1 (n¾2) 1+(n-1)_3=100, 3n=102 ∴ n=34 따라서 구하는 합은 첫째항이 1, 제34항이 100, 항수가 34인 등차수열의 합이므로 34_(1+100) 2 =1717 12-1 1, 1 12-2 ⑴ Ú n¾2일 때 an =Sn-Sn-1 =2n2-n-{2(n-1)2-(n-1)} =2n2-n-(2n2-5n+3) =4n-3 yy㉠ Û n=1일 때 a1=S1=2_12-1=1 이때 a1=1은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다. Ú, Û에서 an=4n-3 ⑵ Ú n¾2일 때 an =Sn-Sn-1 =4n2+3n-{4(n-1)2+3(n-1)} =4n2+3n-(4n2-5n+1) =8n-1 yy㉠ Û n=1일 때 a1=S1=4_12+3_1=7 이때 a1=7은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다. Ú, Û에서 an=8n-1 13-1 1, 2 13-2 ⑴ Ú n¾2일 때 an =Sn-Sn-1 =n2-n-1-{(n-1)2-(n-1)-1} =n2-n-1-(n2-3n+1) =2n-2 yy㉠ Û n=1일 때 집중 연습 본문 | 098, 099쪽 1 ⑴ 2, 4, 7, 11, 16, 22, y +2 +3 +4 +5 +6 ∴ a7=22+7=29 ⑵ 10, 8, 6, 4, 2, 0, y -2 -2 -2 -2 -2 ∴ a7=0-2=-2 ⑶ 1, 3, 9, 27, 81, 243, y _3 _3 _3 _3 _3 ∴ a7=243_3=729 ⑷ a1=1, a2=-22=-4, a3=32=9, a4=-42=-16, a5=52=25, a6=-62=-36 ∴ a7=72=49 2 ⑴ 등차수열 {an}의 첫째항이 3, 공차가 4이므로 an=3+(n-1)_4=4n-1 ⑵ 등차수열 {an}의 첫째항이 2, 공차가 5이므로 an=2+(n-1)_5=5n-3 ⑶ 등차수열 {an}의 첫째항이 100, 공차가 -5이므로 an=100+(n-1)_(-5)=-5n+105 ⑷ 등차수열 {an}의 첫째항이 -3, 공차가 2이므로 an=-3+(n-1)_2=2n-5 a1=S1=12-1-1=-1 이때 a1=-1은 ㉠에 n=1을 대입한 값 0과 같지 3 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 ⑴ a5=a+4d=3 않다. Ú, Û에서 a1=-1, an=2n-2 (n¾2) ⑵ Ú n¾2일 때 an =Sn-Sn-1 =4n2+3n+1-{4(n-1)2+3(n-1)+1} =4n2+3n+1-(4n2-5n+2) =8n-1 yy㉠ a10=a+9d=18 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, d=3 ∴ an=-9+(n-1)_3=3n-12 ⑵ a15=a+14d=33 a45=a+44d=153 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-23, d=4 ∴ an=-23+(n-1)_4=4n-27 yy㉠ yy㉡ yy㉠ yy㉡ 08. 등차수열 ⦁ 37 ⑶ a5=a+4d=21 a12=a+11d=49 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=4 ∴ an=5+(n-1)_4=4n+1 ⑷ a3=a+2d=2 a9=a+8d=-16 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, d=-3 ∴ an=8+(n-1)_(-3)=-3n+11 yy㉠ yy㉡ yy㉠ yy㉡ 7 ⑴ 첫째항이 2, 공차가 5인 등차수열이므로 72를 제n항이라 하면 2+(n-1)_5=72, 5n=75 ∴ n=15 따라서 구하는 합은 첫째항이 2, 제15항이 72, 항수가 15 인 등차수열의 합이므로 15_(2+72) 2 =555 ⑵ 첫째항이 -2, 공차가 -3인 등차수열이므로 -53을 제n -2+(n-1)_(-3)=-53, -3n=-54 항이라 하면 ∴ n=18 따라서 구하는 합은 첫째항이 -2, 제18항이 -53, 항수가 18인 등차수열의 합이므로 18_(-2-53) 2 =-495 4 ⑴ x= =11 ⑵ x= =3 2+20 2 10-4 2 1+y 2 ⑶ 1, x, y가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 하면 ⑶ 첫째항이 1, 공차가 6인 등차수열이므로 91을 제n항이라 x= ∴ 2x-y=1 yy㉠ 1+(n-1)_6=91, 6n=96 ∴ n=16 x, y, -11이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 따라서 구하는 합은 첫째항이 1, 제16항이 91, 항수가 16 ∴ x-2y=11 yy㉡ y= x-11 2 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-3, y=-7 ⑷ x, 14, y가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 14= ∴ x+y=28 yy㉠ x+y 2 14, y, -2가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 y= 14-2 2 =6 y=6을 ㉠에 대입하면 x=22 ∴ x=22, y=6 인 등차수열의 합이므로 16_(1+91) 2 =736 8 ⑴ 첫째항이 8, 공차가 -2인 등차수열이므로 구하는 합은 n{2_8+(n-1)_(-2)} 2 =-n2+9n ⑵ 첫째항이 8, 공차가 -6인 등차수열이므로 구하는 합은 n{2_8+(n-1)_(-6)} 2 =-3n2+11n ⑶ 첫째항이 -2, 공차가 5인 등차수열이므로 구하는 합은 n{2_(-2)+(n-1)_5} 2 = 5n2-9n 2 5 ⑴ 구하는 합은 ⑵ 구하는 합은 ⑶ 구하는 합은 12_(-2+53) 2 15_(10+52) 2 =306 =465 27_(9+113) 2 =1647 6 ⑴ 구하는 합은 ⑵ 구하는 합은 17_{2_5+16_(-2)} 2 20_{2_3+19_(-5)} 2 =-187 =-890 ⑶ 구하는 합은 16_(2_3+15_6) 2 =768 38 ⦁ 정답과 해설 기초 개념 가평 본문 | 100, 101쪽 07 a10=a+9d     08 an=a+(n-1)d  09 등차중항  10 2b=a+c 01 수열    03 일반항  05 등차수열      11 a  13 S1  15 Sn             02 항  04 {an} 06 +d 12 2a 14 S2 기초 문제 가평 1 ⑴ 1, 4, 7 , 10, 13, 16 , 19 ⑵ 12, 9, 6 , 3, 0, -3 ⑶ 4, 8, 16, 32, 64 , 128 ⑷ 1, -3, 9, -27, 81 , -243 본문 | 102, 103쪽 an=-15+(n-1)_5=5n-20 등차수열 {an}의 일반항은 ∴ a10=5_10-20=30 다른 풀이 a=-15, d=5이므로 aÁ¼=a+9d=-15+9_5=30 2 aÁ은 1을 5로 나눈 나머지이므로 aÁ=1 aª는 2를 5로 나눈 나머지이므로 aª=2 a3은 3을 5로 나눈 나머지이므로 a3=3 a4는 4를 5로 나눈 나머지이므로 a4=4 a°는 5를 5로 나눈 나머지이므로 a°=0 a¤은 6을 5로 나눈 나머지이므로 a¤=1 ⋮ 따라서 a1=1, a2=2, a3=3, a4=4, a5=0, a6=1, a7=2, a8=3, a9=4, a10=0 3 b e a c 11 7 d f 3 a는 3과 7의 등차중항이므로 a= 3+7 2 =5 c는 a와 11, 3과 f, 7과 e의 등차중항이므로 c= a+11 2 = 5+11 2 =8 c= 에서 3+f=2c=16 ∴ f=13 c= 에서 7+e=2c=16 ∴ e=9 3+f 2 7+e 2 b는 3과 e의 등차중항이므로 b= 3+e 2 = 3+9 2 =6 d는 7과 f의 등차중항이므로 d= 7+f 2 = 7+13 2 =10 ∴ a=5, b=6, c=8, d=10, e=9, f=13 ∴ a+b+c+d+e+f=51 yy㉠ yy㉡ yy㉠ yy㉡ 5 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a10+a6=6에서 (a+9d)+(a+5d)=6 ∴ a+7d=3 a10-a6=-12에서 (a+9d)-(a+5d)=-12 4d=-12 ∴ d=-3 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=24, d=-3 ∴ a2=a+d=21 6 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a3=a+2d=32 a8=a+7d=92 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=8, d=12 ∴ an=8+(n-1)_12=12n-4 anÉ400에서 12n-4É400, nÉ =33.___ 101 3 따라서 400을 넘지 않는 최대의 항은 제33항이다. 참고 a33=12_33-4=392, a34=12_34-4=404 이므로 400을 넘지 않는 최대의 항은 제33항이다. 7 1-a, 10, 2+2a가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 10= (1-a)+(2+2a) 2 , a+3=20 ∴ a=17 8 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d로 놓으면 세 수의 합이 6이므로 (a-d)+a+(a+d)=6, 3a=6 ∴ a=2 세 수의 곱이 -24이므로 (a-d)_a_(a+d)=-24, a(a2-d2)=-24 이 식에 a=2를 대입하면 2(4-d2)=-24, d2=16 ∴ d=-4 또는 d=4 Ú a=2, d=-4일 때, 세 수는 6, 2, -2 Û a=2, d=4일 때, 세 수는 -2, 2, 6 4 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 제8항이 20이므로 a+7d=20 이때 d=5이므로 a=-15 Ú, Û에서 세 수는 -2, 2, 6 따라서 세 수의 제곱의 합은 (-2)2+22+62=44 08. 등차수열 ⦁ 39 9 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a10=a+9d=-1 a16=a+15d=5 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-10, d=1 yy㉠ yy㉡ 따라서 등차수열 {an}의 첫째항부터 제22항까지의 합은 22_{2_(-10)+21_1} 2 =11 ⑵ 1부터 100까지의 자연수의 합은 100_(1+100) 2 =5050 합은 5050-624=4426 따라서 100 이하의 자연수 중에서 8의 배수가 아닌 수의 14 Ú n¾2일 때 an =Sn-Sn-1 =3n2-2n-{3(n-1)2-2(n-1)} =3n2-2n-(3n2-8n+5) =6n-5 yy㉠ Û n=1일 때 a1=S1=3_12-2_1=1 이때 a1=1은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다. Ú , Û에서 an=6n-5 a1=1, a2=6_2-5=7이므로 d=a2-a1=7-1=6 a=1, d=6이므로 a+d=7 다른 풀이 a+d=a2이므로 a2 =S2-S1 =8-1=7 =(3_22-2_2)-(3_12-2_1) 10 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 첫째항부터 제5항까지의 합이 20이므로 5(2a+4d) 2 =20 ∴ a+2d=4 yy㉠ 제3항부터 제7항까지의 합이 -10이므로 5{2(a+2d)+4d} 2 =-10 ∴ a+4d=-2 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, d=-3 따라서 첫째항은 10, 공차는 -3이다. 참고 제3항부터 제7항까지의 합은 첫째항이 a3=a+2d, 항수가 5인 등차수열의 합이다. 11 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 첫째항부터 제5항까지의 합이 125이므로 =125 ∴ a+2d=25 yy㉠ 첫째항부터 제10항까지의 합이 500이므로 =500 ∴ 2a+9d=100 yy㉡ 5(2a+4d) 2 10(2a+9d) 2 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, d=10 따라서 등차수열 {an}의 일반항은 an=5+(n-1)_10=10n-5 12 수열 1, a1, a2, … , an, 2는 첫째항이 1, 제(n+2)항이 2, 항 수가 (n+2)이므로 (n+2)(1+2) 2 =24, n+2=16 ∴ n=14 13 ⑴ 100 이하의 자연수 중에서 8의 배수는 8, 16, 24, 32, y, 96 이 수열은 첫째항이 8, 공차가 8인 등차수열이므로 96을 제n항이라 하면 8+(n-1)_8=96, 8n=96 ∴ n=12 따라서 구하는 합은 첫째항이 8, 제12항이 96, 항수가 12인 등차수열의 합이므로 12_(8+96) 2 =624 40 ⦁ 정답과 해설 본문 | 104~109쪽 ∴ a(1+r+r2)=21 yy㉠ 안에 알맞은 수는 64_ =-32 {-;2!;} (4r-1)(r-4)=0 ∴ r= 또는 r=4 ;4!; 09 등비수열 1-1 ⑴ 4 ⑵ 27 1-2 ⑴ 공비가 ' 1 3 인 등비수열이므로 안에 알맞은 수는 3 3_ ' ' 인 등비수열이므로 =3 1 3 ⑵ 공비가 - ;2!; 2-1 ⑴ 2, 2 ⑵ 2, 2 2-2 ⑴ 등비수열 {an}의 첫째항이 -2, 공비가 -2이므로 an=(-2)_(-2)n-1=(-2)n ⑵ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 제3항이 12이므로 ar2=12 r=3이므로 9a=12 ∴ a= ;3$; ∴ an= _3n-1=4_3n-2 ;3$; 3-1 2, 3 3-2 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 제3항이 12이므로 a3=ar2=12 제6항이 -96이므로 a6=ar5=-96 ㉡을 ㉠으로 나누면 r3=-8 이때 r는 실수이므로 r=-2 이것을 ㉠에 대입하면 a=3 ∴ an=3_(-2)n-1 yy㉠ yy㉡ 4-1 7, 8 4-2 첫째항이 5, 공비가 3인 등비수열 {an}의 일반항은 an=5_3n-1 an>1000에서 an=5_3n-1>1000 3n-1>200 이때 34=81, 35=243이므로 n-1¾5 따라서 처음으로 1000보다 커지는 항은 제6항이다. 5-1 4, 4 5-2 3과 27의 등비중항을 x라 하면 x2=3_27=81 ∴ x=-9 또는 x=9 따라서 구하는 등비중항은 -9 또는 9이다. 6-1 4, 4 6-2 ⑴ 등비수열을 이루는 세 수를 a, ar, ar2으로 놓으면 세 수의 합이 21이므로 a+ar+ar2=21 세 수의 곱이 64이므로 a_ar_ar2=64, a3r3=(ar)3=64 이때 ar는 실수이므로 ar=4 ㉡에서 a= 를 ㉠에 대입하면 ;r$;      ;r$; (1+r+r2)=21, 4r2-17r+4=0 yy㉡ 따라서 공비는 또는 4이다. ;4!; ⑵ Ú r= 일 때, a=16이므로 세 수는 16, 4, 1 ;4!; Û r=4일 때, a=1이므로 세 수는 1, 4, 16 Ú, Û에서 구하는 세 수는 1, 4, 16 yy㉠ yy㉡ yy㉢ 등비수열을 이루는 세 수를 a, b, c (a1000 1 1000 이때 29=512, 210=1024이므로 n-1¾10 ∴ n¾11 다. 44 ⦁ 정답과 해설 따라서 처음으로 1보다 작은 수가 나타나는 항은 제11항이 yy㉠ yy㉡ yy㉠ yy㉡ 4 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 제3항이 12이므로 ar2=12 제6항이 -96이므로 ar5=-96 ㉡을 ㉠으로 나누면 r3=-8 이때 r는 실수이므로 r=-2 따라서 구하는 공비는 -2이다. 5 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a1+a2=60이므로 a+ar=60, a(1+r)=60 a3+a4=240이므로 ar2+ar3=240, ar2(1+r)=240 ㉡을 ㉠으로 나누면 r2=4 ∴ r=-2 또는 r=2 이때 r>0이므로 r=2 이것을 ㉠에 대입하면 a=20 an=20_2n-1이므로 a10=20_29=10240 6 등비수열의 공비를 r라 하면 첫째항이 2, 제5항이 162이므로 162=2r4에서 r4=81 (rÛ`+9)(rÛ`-9)=0 공비는 실수이므로 r2-9=0 ∴ r=-3 또는 r=3 Ú r=-3일 때 a=2_(-3)=-6, b=-6_(-3)=18, c=18_(-3)=-54 Û r=3일 때 a=2_3=6, b=6_3=18, c=18_3=54 a=-6, b=18, c=-54 또는 a=6, b=18, c=54 7 x, 12, y가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 122=xy 68, y, x가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 ∴ xy=144 2y=68+x ㉡에서 x=2y-68을 ㉠에 대입하면 (2y-68)y=144, y2-34y-72=0 (y+2)(y-36)=0 yy㉠ yy㉡ ∴ y=-2 또는 y=36 이때 y>0이므로 y=36 y=36을 ㉡에 대입하면 72=68+x ∴ x=4 ∴ x=4, y=36 이때 1+2+3+ y +19= =190이므로 Ú, Û에서 8 등비수열을 이루는 가로, 세로, 높이를 각각 a, ar, ar2으로 놓 ∴ (1+a+a2+ y +a100)(1+b+b2+ y +b100) yy㉠ yy㉡ ∴ = ∴ = 1-b101 1-b _ 1-a101 1-a 1-(a3)33a2 1-a _ 1-(b3)33b2 1-b ∴ = 1-b2 1-a2 1-b 1-a ∴ =(1+a)(1+b) _ ∴ =1+b+a+ab ∴ =a+b+ab+1 ∴ =-1+1+1=1 으면 부피가 8이므로 a_ar_ar2=a3r3=(ar)3=8 이때 ar는 실수이므로 ar=2 겉넓이가 28이므로 2(a_ar+ar_ar2+ar2_a)=28 a2r+a2r3+a2r2=14 ∴ a2r(1+r+r2)=14 ㉠에서 a= 를 ㉡에 대입하면 ;r@; _r(1+r+r2)=14, 4 rÛ` 2(1+r+rÛ`) r =7 2(1+r+r2)=7r, 2r2-5r+2=0 (2r-1)(r-2)=0 ∴ r= 또는 r=2 ;2!; 이때 공비는 1보다 크므로 r=2 r=2일 때, a=1이므로 세 수는 1, 2, 4 따라서 직육면체의 가로, 세로, 높이는 1, 2, 4이므로 제곱의 합은 12+22+42=21 9 첫째항이 2, 공비가 4인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 2_(4n-1) 4-1 Sn= = ;3@; (4n-1) Sn>1000에서 (4n-1)>1000 ;3@; 4n-1>1500, 4n>1501 이때 45=1024, 46=4096이므로 첫째항부터 제6항까지의 합이 처음으로 1000보다 커진다. ∴ n=6 10 x3-1=0에서 (x-1)(x2+x+1)=0 삼차방정식 x3-1=0의 두 허근이 a, b이므로 a3=1, b3=1 또한 a, b는 이차방정식 x2+x+1=0의 두 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 a+b=-1, ab=1 이때 1+a+a2+ y +a100은 첫째항이 1, 공비가 a인 등비 수열의 첫째항부터 제101항까지의 합이고 1+b+b2+ y +b100은 첫째항이 1, 공비가 b인 등비수열 의 첫째항부터 제101항까지의 합이다. 11 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 제2항이 6이므로 ar=6 yy㉠ 첫째항부터 제3항까지의 합이 26이므로 yy㉡ a(r3-1) r-1 =26 a(r-1)(rÛ`+r+1) r-1 a(r2+r+1)=26 =26 ㉠에서 a= 을 ㉡에 대입하면 ;r^; 3(r2+r+1) r (r2+r+1)=26, ;r^; 3(rÛ`+r+1)=13r, 3r2-10r+3=0 (3r-1)(r-3)=0 =13 ∴ r= 또는 r=3 Ú r= 일 때, a=18 Û r=3일 때, a=2 ;3!; ;3!; Ú, Û에서 등비수열 {an}의 일반항은 n-1 an=18_ {;3!;} 또는 an=2_3n-1 12 수열 1, 3, 9, 27, y 은 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열이 다. 제6항부터 제9항까지의 합은 제6항이 1_35=35, 항수가 4, 공비가 3이므로 35_(34-1) 3-1 243_80 2 =9720 = 다른 풀이 등비수열 1, 3, 9, 27, y 의 첫째항부터 제9항까지의 합은 1_(39-1) 3-1 = ;2!;_ (39-1) 첫째항부터 제5항까지의 합은 1_(35-1) 3-1 = ;2!;_ (35-1) 09. 등비수열 ⦁ 45 15 Ú n¾2일 때 an =Sn-Sn-1 =(3n+1+k)-(3n+k) =3n+1-3n =2_3n Û n=1일 때 a1=S1=32+k=9+k yy㉠ 13 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 첫째항부터 제3항까지의 합이 6이므로 수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루므로 a1=9+k는 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같아야 한다. yy㉠ 9+k=2_3 ∴ k=-3 따라서 제6항부터 제9항까지의 합은 (39-1)- (35-1) ;2!;_ ;2!;_ 35 2 _ = (39-35)= (34-1) ;2!;_ 243 2 _ = 80=9720 제2항부터 제4항까지의 합이 -12이므로 a(1-r3) 1-r =6 ar(1-r3) 1-r =-12 ㉠을 ㉡에 대입하면 6r=-12 ∴ r=-2 yy㉡ yy㉠ yy㉠ r=-2를 ㉠에 대입하면 =6 ∴ a=2 9a 3 따라서 첫째항은 2, 공비는 -2이다. 참고 제2항부터 제4항까지의 합은 첫째항이 ar, 공비가 r, 항수가 3인 등비수열의 합이다. 다른 풀이 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 첫째항부터 제3항까지의 합이 6이므로 a+ar+ar2=6, a(1+r+r2)=6 제2항부터 제4항까지의 합이 -12이므로 ar+ar2+ar3=-12, ar(1+r+r2)=-12 yy㉡ ㉡을 ㉠으로 나누면 r=-2 r=-2를 ㉠에 대입하면 a=2 14 첫째항부터 제4항까지의 합이 30이므로 첫째항부터 제8항까지의 합이 510이므로 a(r4-1) r-1 =30 a(r8-1) r-1 =510 a(r4-1)(r4+1) r-1 =510 yy㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 30(r4+1)=510, r4=16 (rÛ`+4)(rÛ`-4)=0 이때 r는 실수이므로 rÛ`=4 ∴ r=-2 또는 r=2 Ú r=-2일 때, ㉠에 대입하면 15a -3 =30 ∴ a=-6 Û r=2일 때, ㉠에 대입하면 15a=30 ∴ a=2 Ú, Û에서 a는 음수이므로 a=-6, r=-2 ∴ a+r=-8 46 ⦁ 정답과 해설 10 수열의 합 1-1 1, k 1-2 ⑴ 수열 2, 4, 6, y, 2n은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열 본문 | 116~119쪽 ⑵ k2= . ⑵ 수열 1, 3, 3Û`, y, 3n-1은 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수 이므로 일반항 an을 구하면 an=2+(n-1)_2=2n ∴ 2+4+6+ y +2n= 2k 열이므로 일반항 an을 구하면 an=1_3n-1=3n-1 ∴ 1+3+3Û`+ y +3n-1= 3k-1 n k=1 Á n k=1 Á 2-1 10, 20, 21 2-2 ⑴ 일반항 3k-1의 k에 1, 2, 3, y, 15를 차례로 대입하면 (3k-1)=(3-1)+(6-1)+(9-1) + y +(45-1) (3k-1)=2+5+8+ y +44 ⑵ 일반항 2k의 k에 1, 2, 3, y, 20을 차례로 대입하면 2k=2+22+23+ y +220 3-1 3, 10, 25 3-2 ⑴ (ak+2bk)= ak+ 2bk 20 k=1 Á 20 20 k=1 Á 20 ⑴ (2ak-3bk= ak+2 bk ⑴ k=1 (2ak-3bk=3+2_8=19 Á k=1 Á ⑵ (2ak-3bk+2)= 2ak- 3bk+ ⑴ (2ak-3bk+2)=2 ak-3 bk+ ⑴ (2ak-3bk+2)=2_3-3_8+2_20=22 20 k=1 Á 20 k=1 Á 20 k=1 Á 20 k=1 Á 2 2 20 k=1 Á 20 k=1 Á 4-1 20, 4 10 k=1 Á 10 k=1 Á 4-2 ⑴ (2ak+3)2= (4ak 2+12ak+9) ⑴ ⑴ 10 4ak 2+ 12ak+ (2ak+3)2= k=1 Á 10 (2ak+3)2=4 k=1 Á 2+12 ak 9 9 10 k=1 Á 10 k=1 Á ak+ 10 k=1 Á ⑴ (2ak+3)2=4_10+12_5+9_10=190 . ⑵ (ak-1)(ak+1)= (ak 2-1) ⑴ (ak-1)(ak+1)= ⑴ (ak-1)(ak+1)=10-1_10=0 10 k=1 10 Á k=1 Á ak 2- 10 1 k=1 Á 15 k=1 Á 20 k=1 Á 20 k=1 Á 20 k=1 Á 10 k=1 Á 10 k=1 Á 5-1 ⑵ 21 ⑶ 2 5-2 ⑴ k= =36 8_9 2 8 k=1 Á 8 k=1 Á 8 k=1 Á n k=1 Á ⑶ k3= 6-1 6, 6 8_9_17 6 =204 8_9 2 { 2 } =1296 참고 (k2+k)= n k2+ n k = k=1 k=1 Á Á n(n+1)(2n+1) 6 + n(n+1) 2 = n(n+1)(2n+1+3) 6 = n(n+1)(n+2) 3 5 (k2+k)= 5_6_7 3 =70 이므로 k=1 Á 6-2 ⑴ 10 k=1 Á 10 k=1 Á (k+1)(k-1)= 10 (k2-1)= 10 k2- 10 1 k=1 Á 10_11_21 6 k=1 Á -1_10=375 k=1 Á ⑴ (k+1)(k-1)= ⑵ (k+1)(2k-1)= (2k2+k-1) ⑴ (k+1)(2k-1)= ⑴ ⑴ (k+1)(2k-1)=2 k=1 Á (k+1)(2k-1)=2_ 2k2+ 10 10 k- k=1 Á 10 1 1 k=1 Á 10 k2+ k- k=1 Á 10_11_21 6 k=1 Á + 10_11 2 10 k=1 Á 10 k=1 Á 10 ⑴ (k+1)(2k-1)=815 ⑴ (k+1)(2k-1)=-1_10 (i+2k) 5i+2_ = (5i+30) 5 = { i=1 Á =5_ ] ] 5_6 2 5_6 5 2 } i=1 Á +30_5=225 (i+2k) 7-1 6, 2 7-2 5 [ i=1 Á 5 k=1 Á [ 8-1 21, 20 8-2 ⑴ 1 (k+2)(k+3) = 1 k+2 - 1 k+3 이 성립하므로 9 1 (k+2)(k+3) k=1 Á = 1 k+2 - 9 1 k+3 } { k=1 Á {;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+{;5!;-;6!;} = = ;3!;-;1Á2;=;4!; y + + {;1Á1;-;1Á2;} 10. 수열의 합 ⦁ 47 ⑵ 1 (2k-1)(2k+1) = 1 (2k+1)-(2k-1) { 1 2k-1 - 1 2k+1 } = ;2!; { 1 2k-1 - 1 2k+1 } 이 성립하므로 10 1 (2k-1)(2k+1) k=1 Á = 1 2k-1 - ;2!; 10 1 2k+1 } { k=1 Á 1 = ;2!;[{ -;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;} y + + {;1Á9;-;2Á1;}] = 1 ;2!;_{ -;2Á1;}=;2!1); 9-1 k+1, 11, 11 9-2 ⑴ 1 k+2+ 'Ä k+1 'Ä = = 'Ä k+2- k+1)( ( k+2+ 'Ä 'Ä k+1 (k+2)-(k+1) 'Ä k+2- 'Ä 'Ä 'Ä = k+2- k+1 'Ä 'Ä 이 성립하므로 k+1 'Ä k+2- k+1) 'Ä 2)+( 1 k+2+ 14 k=1 'Ä Á 14 ( = k=1 Á ' 16- 'Ä 3- =( = =4- '¶ ' 2 2 2k+1+ ' ' 2 ⑵ 'Ä = = 2k-1 'Ä ( 2( 2k+1+ 2k+1- 'Ä 2k-1)( 'Ä 2k+1- 'Ä 2( 2k-1) (2k+1)-(2k-1) 'Ä 'Ä = 2k+1- 'Ä 'Ä 이 성립하므로 2k-1 12 'Ä 2 2k+1+ k=1 'Ä Á 12 ( = k=1 Á ' 25-1=4 =( = 'Ä 3-1)+( '¶ 2k-1 'Ä 5- ' ' 2k+1- 2k-1) 48 ⦁ 정답과 해설 k+1 k+2- k+1) 'Ä 2k-1) 'Ä 2k+1- 'Ä 'Ä 2k-1) 3)+ y +( 25- 23) '¶ '¶ 본문 | 120, 121쪽 집중 연습 10 1 ⑴ 10 (2k+1)=2 k=1 Á k=1 Á (2k+1)=2_ ⑴ 10 k+ 1 k=1 Á 10_11 2 +1_10=120 ⑵ (1-3k)= 1-3 k 8 8 k=1 Á k=1 Á (1-3k)=1_8-3_ k=1 Á ⑵ 8_9 2 =-100 ⑶ ⑶ k=1 Á (4k-2)=4 k=1 Á (4k-2)=4_ 7 7 k- 7_8 2 2 k=1 Á -2_7=98 2 ⑴ (k2-k)= ⑴ (k2-k)= 10 k2- 10 k k=1 Á k=1 Á 10_11_21 6 ⑵ (k2+1)= 6 k2+ 6 1 ⑵ (k2+1)= +1_6=97 k=1 k=1 Á Á 6_7_13 6 - 10_11 2 =330 ⑶ ⑶ 9 (6k2+5)=6 k=1 Á (6k2+5)=6_ k=1 Á 9 k2+ 5 k=1 Á 9_10_19 6 +5_9=1755 3 ⑴ (k3-2k)= 8 k3-2 8 k ⑴ (k3-2k)= ⑵ (k3+4)= k=1 Á -2_ 2 8_9 2 =1224 ⑵ k(k2-3= 2 +4_10=3065 k=1 Á { 10 8_9 2 } k=1 Á 10 k3+ 4 k=1 Á 10_11 2 } { 5 k=1 Á 2 - 5 k=1 Á 12 k=1 Á 12 ⑶ k(k+1)= 5_6 { 2 } 5_6_11 6 =170 (k+5)2= (k2+10k+25) 4 ⑴ 12 k=1 Á ⑴ (k+5)2= ⑴ (k+5)2= ⑴ (k+5)2=1730 k2+10 12 12 k+ 25 k=1 k=1 Á Á 12_13_25 6 k=1 Á +10_ 12_13 2 +25_12 ⑵ (k+2)(k-2)= (k2-4) ⑵ (k+2)(k-2)= 10 k=1 Á 10 10 k2- 4 k=1 Á k=1 Á 10_11_21 6 ⑵ (k+2)(k-2)= -4_10=345 8 7 10 k=1 Á k=1 Á 6 9 8 k=1 Á 10 k=1 Á 5 k=1 Á 10 k=1 Á 4- 3)+ y +( 16- 15) '¶ '¶ ' ' ⑶ (k3-kÛ`)= k3- kÛ` ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ⑶ 수열 1, 3, 5, y의 일반항은 1+(n-1)_2=2n-1, 수열 2, 4, 6, y의 일반항은 2+(n-1)_2=2n ⑵ 1 (3k-1)(3k+2) = 1 ;3!;{ 3k-1 - 1 3k+2 } ⑶ k(k-1)2= k(k2-2k+1) 6 k=1 Á ⑶ k(k-1)2= (k3-2k2+k) ⑶ k(k-1)2= k3-2 6 k2+ 6 k ⑶ k(k-1)2= k=1 Á -2_ 2 k=1 Á 6_7_13 6 6_7 { 2 } + 6_7 2 =280 6 k=1 Á 6 k=1 Á 6 k=1 Á 5 ⑴ 수열 1, 2, 3, y의 일반항은 1+(n-1)_1=n, 수열 2, 3, 4, y의 일반항은 2+(n-1)_1=n+1 이므로 1_2+2_3+3_4+ y +10_11 10 = k(k+1)= 10 k2+ 10 k k=1 Á 10_11_21 6 k=1 Á 10_11 2 ⑵ 수열 1, 2, 3, y의 일반항은 1+(n-1)_1=n, =440 k=1 Á = + 수열 3, 4, 5, y의 일반항은 3+(n-1)_1=n+2 이므로 1_3+2_4+3_5+ y +12_14 12 = k(k+2)= 12 k2+2 12 k k=1 Á 12_13_25 6 k=1 Á +2_ k=1 Á 12_13 2 = =806 2n-1=15에서 n=8이므로 1_2+3_4+5_6+ y +15_16 8 = (2k-1)2k=4 8 k2-2 8 k k=1 Á =4_ 8_9_17 6 k=1 Á -2_ 8_9 2 k=1 Á =744 6 ⑴ 수열 1, 4, 7, y의 일반항은 1+(n-1)_3=3n-2 3n-2=28에서 n=10이므로 12+42+72+ y +282 10 = (3k-2)2= (9k2-12k+4) 10 k=1 Á k+ k=1 Á 10 =9 k=1 Á =9_ k2-12 10 k=1 Á 10 4 k=1 Á -12_ 10_11_21 6 10_11 2 +4_10=2845 ⑵ 수열 1, 3, 5, y의 일반항은 1+(n-1)_2=2n-1 2n-1=25에서 n=13이므로 12+32+52+ y +252 = (2k-1)2= (4k2-4k+1) 13 k=1 Á 13 13 k=1 Á 13 k+ =4 k=1 Á =4_ 13 k2-4 k=1 Á 13_14_27 6 1 k=1 Á -4_ 13_14 2 +1_13=2925 (n+k)= n+ k n n k=1 Á k=1 Á ⑴ (n+k)=n2+ n(n+1) 2 = 3nÛ`+n 2 1 i+1 _ i(i+1) 2 ] 1 i+1 10 i=1{ Á k i k=1 Á k = } 10 i=1[ Á = } ;2!; 10 i i=1 Á 7 ⑴ n k=1 Á ⑵ ⑵ ⑵ { { k = } ;2!;_ 10_11 2 =:°2°: ⑶ (i+j) = 5 j=1[ Á 5 i=1 Á [ 5_6 2 +5j } 5 j=1{ Á 5_6 2 ] ] ⑶ (i+j) =15_5+5_ =150 8 ⑴ 1 (k+1)(k+2) = 1 k+1 - 1 k+2 이 성립하므로 20 1 (k+1)(k+2) k=1 Á = = 20 k=1{ Á 1 k+1 - 1 k+2 } = ;2!;-;2Á2;=;1°1; 이 성립하므로 12 1 (3k-1)(3k+2) ;3!; 3k-1 - 1 12 k=1{ Á 1 3k+2 } k=1 Á = = = ;3!;_{;2!;-;3Á8;}=;1£9; ;3!;[{;2!;-;5!;}+{;5!;-;8!;}+{;8!;-;1Á1;} y + + {;3Á5;-;3Á8;}] {;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+ {;2Á1;-;2Á2;} y + 기초 개념 가평 본문 | 122, 123쪽 01 n             03 합  05 -           07 cn              09 6      11 d         13 k            02 m          04 +           06 c 08 2           10 n(n+1)    12 b-a            10. 수열의 합 ⦁ 49 기초 문제 가평 본문 | 124, 125쪽 1 수열 3, 5, 7, y의 일반항은 3+(n-1)_2=2n+1 2n+1=15에서 n=7이므로 33+53+73+93+113+133+153= (2k+1)3 따라서 옳은 답은 ④이다. 7 k=1 Á 12 ⑵ (k2+1)- (k2-1) 9 k=1 Á - } k=1 Á = { = { 12 k=1 Á 12 = k=10 Á k2+12 k2- 9 k2 } k=1 Á 12 k=1 Á k2+21 9 k2-9 } { k=1 Á +21 =102+112+122+21=386 m k=1 Á 6 (k2-1)= m(m+1)(2m+1) 6 -m (k2-1)= m{(m+1)(2m+1)-6} 6 (k2-1)= (k2-1)= m(2mÛ`+3m-5) 6 2mÜ`+3mÛ`-5m 6 (kÛ`-1) ] (2m3+3mÛ`-5m) ∴ 9 m=1[ Á = m k=1 Á 9 ;6!; m=1 Á 2_ = ;6!;[ =780 2 9_10 2 } { +3_ 9_10_19 6 -5_ 9_10 2 ] kn+ n(n+1) 2 ] n (k+l) ] 7 m k=1[ Á = l=1 Á m k=1[ Á ;2!; m k=1 Á 2n_ = ;2!;[ = {2kn+n(n+1)} m(m+1) 2 +mn(n+1) ] ;2!; ;2!; ;2!; = mn(m+n+2) = _20_(12+2)=140 8 ⑴ 수열 2, 4, 6, y의 일반항은 2+(n-1)_2=2n, 수열 5, 7, 9, y의 일반항은 5+(n-1)_2=2n+3 이므로 구하는 합은 n k=1 Á n k=1 Á n 2k(2k+3)= (4k2+6k) 2k(2k+3)=4 k=1 Á 2k(2k+3)=4_ k2+6 n k k=1 Á n(n+1)(2n+1) 6 n(n+1){(4n+2)+9} 3 +6_ n(n+1) 2 2k(2k+3)= 2k(2k+3)= n(n+1)(4n+11) 3 (ak 2-2ak+1)= ak 2-2 10 ak+1_10=100 따라서 구하는 식의 값은 ②이다. ⑴ (k+2)=2+ +2_10=77 = {mn(m+1)+mn(n+1)} yy㉠ yy㉡ (ak 2+2ak+1)= ak 2+2 10 ak+1_10=200 2 (ak+1)(ak-2)= (ak 2-ak-2) (ak+1)(ak-2)= ak 2- 8 ak- k=1 (ak+1)(ak-2)=40-10-2_8=14 Á k=1 Á 8 2 k=1 Á 8 k=1 Á 8 8 k=1 Á 10 k=1 Á 10 10 k=1 Á 10 10 k=1 Á 10 k=0 Á 3 (ak+1)2=200에서 k=1 Á ∴ k=1 Á ak=190 10 ak 2+2 10 k=1 k=1 Á Á (ak-1)2=100에서 k=1 Á ∴ 10 ak 2-2 10 k=1 Á ㉠-㉡을 하면 k=1 Á k=1 Á ak=90 4 ak=100 ∴ ak=25 10 k=1 Á 10 k=1 Á 4 ⑴ (k+2)=2+ (k+2) 10 k=1 Á 10 k=1 Á 10_11 2 10 다른 풀이 (k+2)= k+ 10 k=0 Á 10 10 2= k+ 10 2 k=0 k=0 k=1 Á Á Á +2_11=77 k=0 Á 10_11 2 ⑴ (k+2)= n-1 ⑵ (2i-5)=2_ (n-1)_n 2 -5(n-1) i=1 Á ⑵ (2i-5)=nÛ`-6n+5 5 ⑴ 10 (k+1)2- (k-1)2 10 k=1 Á = k=1 Á {(k+1)2-(k-1)2} = {(k2+2k+1)-(k2-2k+1)} 10 k=1 Á 10 k=1 Á 10 10 k = 4k=4 k=1 Á =4_ k=1 Á 10_11 2 =220 50 ⦁ 정답과 해설 ⑵ 수열 12, 12+22, 12+22+32, y의 일반항은 11 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 a+b=3, ab=2 an=12+22+32+ y +n2= n(n+1)(2n+1) 6 이므로 구하는 합은 n k(k+1)(2k+1) 6 (2k3+3k2+k) k=1 Á = = n ;6!; k=1 Á 2 ;6!; { = ;3!;_[ n k3+3 n k2+ n k=1 k=1 Á Á n(n+1) ] 2 2 k=1 Á ;2!; _ + k } n(n+1)(2n+1) 6 = n(n+1){n(n+1)+(2n+1)+1} 12 = n(n+1)(nÛ`+3n+2) 12 = n(n+1)Û`(n+2) 12 + _ ;6!; n(n+1) 2 9 1+2+3+ y +n= n k= n(n+1) 2 1+(1+2)+(1+2+3)+ y +(1+2+3+ y +n) k=1 Á k=1 Á = k(k+1) 2 = ;2!; n (k2+k) = _ n(n+1)(n+2) 3 n k=1 Á ;2!; = n(n+1)(n+2) 6 n(n+1)(n+2) 6 =120에서 n(n+1)(n+2)=6_120=720 이때 720=8_9_10이므로 n(n+1)(n+2)=8_9_10 ∴ n=8 따라서 자연수 n의 값은 ⑤이다. 10 1 (2n+1)Û`-1 = 1 2n(2n+2) = 1 4n(n+1) + 1 7Û`-1 + y + 1 (2n+1)Û`-1 이 성립하므로 + 1 5Û`-1 1 4k(k+1) 1 3Û`-1 = = n k=1 Á ;4!; = 1 k+1 } n k=1{;k!;- Á 1 ;4!;[{ (k-a)(k-b) {k2-(a+b)k+ab} 10 k=1 Á = 10 k=1 Á 10 = (k2-3k+2) k=1 Á 10_11_21 6 = -3_ 10_11 2 +2_10=240 12 1 k+2+ 'Ä = k+2- k+1 'Ä k+1 'Ä 'Ä 이 성립하므로 구하는 합은 48 ( k=1 =( Á k+2- k+1) 'Ä 3- ' ' 'Ä 2)+( ' 4- 3)+( 5- 4) ' ' ' = 50- 2=5 2- 2=4 2 '¶ ' ' ' ' 13 1+2+3+ y +n= n(n+1) 2 이므로 10 1 1+2+3+ y +n n=1 Á = 10 n=1 Á [{ 2 n(n+1) =2 1 1 n - n+1 }  10 n=1{ Á - =2 1- ;2!;}+{;2!; ;3!;}+{;3!; ;4!;} - + y +( 50- 49) '¶ '¶ y + - +{;1Á0; ;1Á1;}]    14 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 2_ 1   = { -;1Á1;}=;1@1);  Sn= ak=n2+2n n k=1 Á Ú n¾2일 때 an =Sn-Sn-1 =n2+2n-{(n-1)2+2(n-1)} =n2+2n-(n2-1)=2n+1 yy㉠ Û n=1일 때 a1=S1=12+2_1=3 이때 a1=3은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다. Ú, Û에서 an=2n+1 n k=1 Á ∴ ∴ ∴ 1 ak ak+1 = n k=1 Á ;2!; 1 (2k+1)(2k+3) 1 2k+3 } 1 2k+1 - n k=1{ Á = = -;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;} y + +{;n!;- n+1 }] 1 ;2!;[{;3!;-;5!;} {;5!;-;7!;} {;7!;-;9!;} + + 1 + y + { 2n+1 - 2n+3 }] 1 = 1 1 ;4!; { - n+1 }= n 4(n+1) ∴ = ;2!;{;3!;- 1 2n+3 } = n 3(2n+3) 10. 수열의 합 ⦁ 51 11 수학적 귀납법 본문 | 126~129쪽 an+1=2an+1에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 1-1 ⑴ 7, 9 ⑵ 27, 81 1-2 ⑴ a1=3이므로 a2=2a1+1=2_3+1=7, a3=2a2+1=2_7+1=15, a4=2a3+1=2_15+1=31, a5=2a4+1=2_31+1=63 ⑵ a1=3이므로 a2=-a1+2=-3+2=-1, a3=-a2+2=-(-1)+2=3, a4=-a3+2=-3+2=-1, a5=-a4+2=-(-1)+2=3 ⑶ a1=2이므로 an+1=-an+2에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 an+1=an+3에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 a2=a1+3=2+3=5, a3=a2+3=5+3=8, a4=a3+3=8+3=11, a5=a4+3=11+3=14 ⑷ a1=1이므로 a2=2_a1=2_1=2, a3=2_a2=2_2=4, a4=2_a3=2_4=8, a5=2_a4=2_8=16 이므로 일반항은 an=1_2n-1=2n-1 ∴ a5=25-1=16 an+1=2an에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 다른 풀이 수열 {an}은 첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열 다음 변끼리 더하면 aª=aÁ+3_1-1 a£=aª+3_2-1 a¢=a£+3_3-1 ⋮ a10=a9+3_9-1 +>³ a10=aÁ+3(1+2+3+.y.+9)-9 9 =1+3 k=1 Á =1+3_ k-9 9_10 2 -9=127 52 ⦁ 정답과 해설 ⑵ an+1=an+3n에 n=1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입한 다 +>³ a10=aÁ+(3+32+33+.y.+39) =1+ 9 3k k=1 Á 3_(3á`-1) 3-1 =1+ = ;2!;_ (310-1) ⑶ an+1=an+nÛ`-n에 n=1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입한 음 변끼리 더하면 aª=aÁ+3 a£=aª+32 a¢=a£+33 ⋮ a10=a9+39 다음 변끼리 더하면 aª=aÁ+1Û`-1 a£=aª+2Û`-2 a¢=a£+3Û`-3 ⋮ a10=a9+9Û`-9 +>³ a10=aÁ+(1Û`+22+.y.+92)-(1+2+.y.+9) 9 =3+ kÛ`- 9 k k=1 Á k=1 Á 9_10_19 6 =3+ - 9_10 2 =243 ⑷ an+1=an+2n-1에 n=1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입한 다음 변끼리 더하면 aª=aÁ+1 a£=aª+2 a¢=a£+22 ⋮ a10=a9+28 +>³ a10=aÁ+(1+2+22+.y.+28) =2+ 9 2k-1 k=1 Á 1_(2á`-1) 2-1 =2+ =513 3-1 ⑴ 20, 20 ⑵ 1, 190 3-2 ⑴ an+1= n+1 n+2 다음 변끼리 곱하면 aÁ ;3@; aª ;4#; a£ ;5$; aª= a£= a¢= ⋮ a20= a19 ;2@1); _ >³ a20=aÁ_ {;3@;_;4#;_;5$; _.y._ ;2@1);} =1_ = ;2ª1; ;2ª1; 2-1 ⑴ 1, 1, 91 ⑵ 2, 1023 2-2 ⑴ an+1=an+3n-1에 n=1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입한 an에 n=1, 2, 3, y, 19를 차례로 대입한 ⑵ an+1=3n-1an에 n=1, 2, 3, y, 19를 차례로 대입한 다 기초 개념 가평 본문 | 130, 131쪽 음 변끼리 곱하면 aª=aÁ a£=3aª a¢=32a£ ⋮ a20=318a19 _>³ a20=aÁ_(1_3_32_y_318) =1_31+2+3+ y +18 =3 18_19 2 =3171 ⑶ an+1= an에 n=1, 2, 3, y, 19를 차례로 대입한 2n+1 2n-1 다음 변끼리 곱하면 a20=aÁ_ {;1#;_;3%;_;5&; _.y._ ;3#7(;} =2_39=78 ⑷ 2nan+1=an, 즉 an+1= an에 n=1, 2, 3, y, 19를 차 1 2n 례로 대입한 다음 변끼리 곱하면 aÁ ;1#; aª ;3%; a£ ;5&; aª= a£= a¢= ⋮ a20= a19 ;3#7(; _ >³ aÁ ;2!; 1 aª 22 1 a£ 23 aª= a£= a¢= ⋮ a20= 1 219 a19 _ >³ a20=aÁ_ 1 22 _ 1 23 _.y._ 1 219 } {;2!;_ =1_ 1+2+3+ y +19 {;2!;} 19_20 2 = {;2!;} = {;2!;} 190 4-1 ㈎ k(k+1) 2 ㈏ k 2 ㈐ (k+1)(k+2) 2 4-2 ㈎ 2k2+7k+6 ㈏ 2k+3 ㈐ k+1 01 귀납적        03 a,  r  05 k     07 f(n-1)     09 n=2             02 a,  d       04 더한다       06 곱한다 08 n=1     10 n=k+1       기초 문제 가평 본문 | 132, 133쪽 1 ⑴ a1=2이므로 an+1=-an+3에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 a2=-a1+3=-2+3=1, a3=-a2+3=-1+3=2, a4=-a3+3=-2+3=1, a5=-a4+3=-1+3=2 ⑵ a1=4이므로 an+1=-2n-1an+n에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 a2=-21-1a1+1=-1_4+1=-3, a3=-22-1a2+2=-2_(-3)+2=8, a4=-23-1a3+3=-4_8+3=-29, a5=-24-1a4+4=-8_(-29)+4=236 an+1= +n2에 n=1, 2, 3을 차례로 대입하면 2 a1=1이므로 1 an 1 a1 1 a2 1 a3 a2= +12=1+1=2, a3= +22= +4= a4= +32= +9= ;2!; ;9@; ;2(;, 83 9 3 수열 {an}은 첫째항이 4, 공차가 3인 등차수열이므로 an=4+(n-1)_3=3n+1 ∴ a20=3_20+1=61 4 2an+1=an+an+2에서 an+2-an+1=an+1-an 즉, 수열 {an}은 첫째항이 1, 공차가 a2-a1=4인 등차수열이 므로 an=1+(n-1)_4=4n-3 10 10 ∴ ak= k=1 Á =4_ k=1 Á (4k-3) 10_11 2 -3_10=190 11. 수학적 귀납법 ⦁ 53 (좌변)=13= 1 , (우변)= 1_2 2 { 2 } = 1 따라서 n=1일 때 등식 ㉠이 성립한다. ❷ n=k일 때 등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 13+23+33+ y +k3= 2 k(k+1) 2 ] [ 위의 등식의 좌변에 (k+1)3 을 더하면 13+23+33+ y +k3+ (k+1)3 = 2 k(k+1) 2 ] [ + (k+1)3 =(k+1)Û`_ +(k+1) kÛ` 4 [ ( k+2 4 2 ] 2 ) =(k+1)Û`_ = (k+1)(k+2) 2 ] [ 위 등식은 등식 ㉠에 n=k+1을 대입한 것과 같다. 따라서 n=k+1일 때도 등식 ㉠이 성립한다. ❶, ❷에서 모든 자연수 n에 대하여 등식 ㉠이 성립한다. ∴ ㈎ 1 ㈏ (k+1)3 ㈐ k+2 10 ❶ n=2일 때 (좌변)=(1+h)2=1+2h+h2, (우변)= 1+2h 이때 1+2h+h2>1+2h이므로 부등식 ㉠이 성립한다. ❷ n=k (k¾2)일 때 부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 (1+h)k>1+kh yy㉡ 위의 부등식의 양변에 1+h를 곱하면 (1+h)k+1=(1+h)k ( 1+h ) (1+h)k+1 >(1+kh)(1+h) (1+h)k+1 =1+(k+1)h+kh2 (1+h)k+ 따라서 n=k+1일 때도 부등식 ㉠이 성립한다. ❶, ❷에서 n¾2인 모든 자연수 n에 대하여 부등식 ㉠이 성 1> 1+(k+1)h 립한다. ∴ ㈎ 1+2h ㈏ 1+h ㈐ 1+(k+1)h 5 수열 {an}은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열이므로 9 ❶ n=1일 때 ;2!; n ;2!; an= n-1 = ;2!;_{;2!;} {;2!;} 따라서 이 수열의 첫째항부터 제12항까지의 합은 k = 12 k=1{;2!;} Á 12 1 ;2!;_[ -{;2!;} ] 1- ;2!; =1- {;2!;} 12 6 an+1 2=anan+2에서 an+2 an+1 = an+1 an 즉, 수열 {an}은 첫째항이 1, 공비가 =3인 등비수열이므로 a2 a1 an=1_3n-1=3n-1 ∴ a2+a4+a6=3+33+35=273 7 an+1=an+2n+1에 n=1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입한 다음 변끼리 더하면 aª=aÁ+2_1+1 a£=aª+2_2+1 a¢=a£+2_3+1 ⋮ an=an-1+2_(n-1)+1 +>³ an=a1+2_{1+2+3+ y +(n-1)}+(n-1) n-1 =2+2 k=1 Á =2+2_ k+(n-1) (n-1)n 2 +(n-1) =n2+1 n2+1=145에서 n2=144 ∴ n=12 an에 n=1, 2, 3, y, 8을 차례로 대입한 다음 8 an+1= 3n+2 3n-1 변끼리 곱하면 aª= a£= aÁ ;2%; aª ;5*; a¢= a£ :Á8Á: ⋮ a9= a8 ;2@3^; _ >³ a9=aÁ_ =4_ =52 :ª2¤: 54 ⦁ 정답과 해설 {;2%;_;5*;_:Á8Á: _.y._ ;2@3^;} memo 짧지만 개념에 강한 짤강! memo 짧지만 개념에 강한 짤강!