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문제집/고등

2019년 천재교육 유형 해결의 법칙 수학 상 답지

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이책의 정답과 해설 수학 (상) I 다항식 다항식의 연산 항등식과 나머지정리 인수분해 II 방정식과 부등식 복소수 이차방정식 이차방정식과 이차함수 여러 가지 방정식 연립일차부등식 이차부등식과 연립이차부등식 1 2 3 4 5 6 7 8 9 III 도형의 방정식 10 11 12 13 평면좌표 직선의 방정식 원의 방정식 도형의 이동 002 013 025 037 046 065 078 099 116 133 144 159 179 1 다항식의 연산 본책 8~21쪽 0009 (2x+3)Û`=(2x)Û`+2´2x´3+3Û`  ⑴ -xÛ`+(2y+1)x+3yÛ`+5 ⑵ 3yÛ`+5+(2y+1)x-xÛ` =25xÛ`-4yÛ`  25xÛ`-4yÛ` 개념 마스터 STEP1 0001 ⑴ x에 대하여 차수가 높은 항부터 나열하면 -xÛ`+(2y+1)x+3yÛ`+5 ⑵ x에 대하여 차수가 낮은 항부터 나열하면 3yÛ`+5+(2y+1)x-xÛ` 0002  4xÛ`+xy+7yÛ` =4xÛ`+12x+9  4xÛ`+12x+9 0010 (3x-1)Û`=(3x)Û`-2´3x´1+1Û` =9xÛ`-6x+1  9xÛ`-6x+1 0011 (5x+2y)(5x-2y)=(5x)Û`-(2y)Û` 0012 (x+3)(x-5)=xÛ`+(3-5)x+3´(-5) =xÛ`-2x-15  xÛ`-2x-15    0003 0004 0005 (xÛ`-3xy+yÛ`)-(-3xÛ`-5xy+4yÛ`) =xÛ`-3xy+yÛ`+3xÛ`+5xy-4yÛ` 0013 (2x+3)(4x-7)=2´4xÛ`+(-14+12)x+3´(-7) =4xÛ`+2xy-3yÛ`  4xÛ`+2xy-3yÛ` =8xÛ`-2x-21  8xÛ`-2x-21 (7xÛ`+xy-yÛ`)+(xy-5yÛ`)-(xÛ`+4xy) =7xÛ`+xy-yÛ`+xy-5yÛ`-xÛ`-4xy =6xÛ`-2xy-6yÛ`  6xÛ`-2xy-6yÛ` =xÛ`+(2y)Û`+(3z)Û`+2´x´2y+2´2y´3z+2´3z´x =xÛ`+4yÛ`+9zÛ`+4xy+12yz+6zx  xÛ`+4yÛ`+9zÛ`+4xy+12yz+6zx 0014 (x+2y+3z)Û` -3A+2B=-3(2xÜ`+5xÛ`-3x+2)+2(-xÜ`-4xÛ`+3)  =-6xÜ`-15xÛ`+9x-6-2xÜ`-8xÛ`+6  =-8xÜ`-23xÛ`+9x  -8xÜ`-23xÛ`+9x 0006 5B-(2A+B) =5B-2A-B=-2A+4B =-2(2xÜ`+5xÛ`-3x+2)+4(-xÜ`-4xÛ`+3) =-4xÜ`-10xÛ`+6x-4-4xÜ`-16xÛ`+12 =-8xÜ`-26xÛ`+6x+8  -8xÜ`-26xÛ`+6x+8 0015 (x+2)Ü`=xÜ`+3´xÛ`´2+3´x´2Û`+2Ü` =xÜ`+6xÛ`+12x+8  xÜ`+6xÛ`+12x+8 0016 (3x-4y)Ü`=(3x)Ü`-3´(3x)Û`´4y+3´3x´(4y)Û`-(4y)Ü` =27xÜ`-108xÛ`y+144xyÛ`-64yÜ`  27xÜ`-108xÛ`y+144xyÛ`-64yÜ` 0017 (x+2)(xÛ`-2x+4)=xÜ`+2Ü`=xÜ`+8  xÜ`+8 0007 2x(xÛ`+x-4)=2xÜ`+2xÛ`-8x  2xÜ`+2xÛ`-8x 0018 (5x-2)(25xÛ`+10x+4)=(5x)Ü`-2Ü` =125xÜ`-8  125xÜ`-8 0008 (2a+b)(aÛ`+ab-bÛ`) 0019 (x+2)(x+4)(x+5) =2aÜ`+2aÛ`b-2abÛ`+aÛ`b+abÛ`-bÜ` =xÜ`+(2+4+5)xÛ`+(2´4+4´5+5´2)x+2´4´5 =2aÜ`+3aÛ`b-abÛ`-bÜ`  2aÜ`+3aÛ`b-abÛ`-bÜ` =xÜ`+11xÛ`+38x+40  xÜ`+11xÛ`+38x+40 002 | I . 다항식 정답과 해설 0020 (x-y+1)(xÛ`+yÛ`+xy-x+y+1) ={x+(-y)+1}{xÛ`+(-y)Û`+1Û`-x´(-y)-(-y)´1-1´x} =xÜ`+(-y)Ü`+1Ü`-3´x´(-y)´1 =xÜ`-yÜ`+3xy+1  xÜ`-yÜ`+3xy+1 0021 (9xÛ`+6xy+4yÛ`)(9xÛ`-6xy+4yÛ`) ={(3x)Û`+3x´2y+(2y)Û`}{(3x)Û`-3x´2y+(2y)Û`} =(3x)Ý`+(3x)Û`(2y)Û`+(2y)Ý` 0028  2x-2 xÛ`+x+2`<Ô2xÜ`+2xÛ`-4x+1  2xÜ`+2xÛ`+4x 2xÜ`-2xÛ`-8x+1 2xÜ`-2xÛ`-2x-4 2xÜ`+2xÛ`-6x+5 ∴ 몫:2x-2, 나머지:-6x+5 =81xÝ`+36xÛ`yÛ`+16yÝ`  81xÝ`+36xÛ`yÛ`+16yÝ` 0029  ㈎ 3 ㈏ 3 ㈐ -9 ㈑ -2 ㈒ -10 ㈓ xÛ`-2x-3 ㈔ -10  몫:2x-2, 나머지:-6x+5 1ㅡ 다 항 식 의 연 산   0030 -1 1 -2 -1 1 -6 3 -4 1 -3 4 -2 0031 -2 3 4 -6 0 -5 4 -8 3 -2 4 -13 0032 ;2!; 2 2 1 -3 -6 1 1 -1 2 -2 -7 STEP2 0033 계산한다. 3A-2(2A-B)+C  ⑴ 7 ⑵ 18 ∴ 몫:xÛ`-3x+4, 나머지:2  몫:xÛ`-3x+4, 나머지:2  ⑴ 12 ⑵ 40 ∴ 몫:3xÛ`-2x+4, 나머지:-13  몫:3xÛ`-2x+4, 나머지:-13 0022 ⑴ xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=3Û`-2´1=7 ⑵ xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y) =3Ü`-3´1´3=18 0023 ⑴ xÛ`+yÛ`=(x-y)Û`+2xy=4Û`+2´(-2)=12 ⑵ xÜ`-yÜ`=(x-y)Ü`+3xy(x-y) =4Ü`+3´(-2)´4=40 0024 ⑴ xÛ`+ = x+ { ;[!;} 1 xÛ` Û`-2=4Û`-2=14 ⑵ { x- ;[!;} x+ { ;[!;} Û`= Û`-4=4Û`-4=12 ∴ x- =Ñ2 ;[!; 3 ' 0025 aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) 0026  ㈎ 4 ㈏ 4 ㈐ 2 0027  xÛ`-x-2 x+2`<Ô`xÜ`+xÛ`-4x+3 xÜ`+2xÛ`   -xÛ`-4x  -xÛ`-2x     -2x+3 -2x-4   -2x-7       ⑴ 14 ⑵ Ñ2 3 ' ∴ 몫:2xÛ`+2x-2, 나머지:-7  몫:2xÛ`+2x-2, 나머지:-7 =9Û`-2´8=65  65 유형 마스터 유형 마스터 |전략| 먼저 주어진 식을 간단히 정리한 다음 A, B, C에 각 다항식을 대입하여 =3A-4A+2B+C=-A+2B+C =-(3xÛ`-2xy+4yÛ`)+2(5xÛ`-3xy+yÛ`)+(-2xÛ`-5yÛ`) =-3xÛ`+2xy-4yÛ`+10xÛ`-6xy+2yÛ`-2xÛ`-5yÛ` =5xÛ`-4xy-7yÛ`  ① 0034 A-2(X-B)=2A에서 1 다항식의 연산 | 003 ∴ 몫:xÛ`-x-2, 나머지:7  몫:xÛ`-x-2, 나머지:7 A-2X+2B=2A, 2X=-A+2B `X=- A+B ;2!; =- (2xÜ`+4xÛ`-6)+(xÜ`-xÛ`+2x+3) ;2!;  =-xÜ`-2xÛ`+3+xÜ`-xÛ`+2x+3  =-3xÛ`+2x+6 0035 A+B=xÛ`+xy+yÛ` B+C=4xÛ`-3xy+yÛ` C+A=-3xÛ`+4yÛ` ㉠+㉡+㉢을 하면 2(A+B+C)=2xÛ`-2xy+6yÛ` ∴ A+B+C=xÛ`-xy+3yÛ` 0036 A∨(B∧C) 0039 (3xÛ`+3x+4)(2xÛ`+kx-7)의 전개식에서 xÛ` 항은 3xÛ`´(-7)+3x´kx+4´2xÛ`=(3k-13)xÛ` 이때, xÛ`의 계수가 5이므로  ① 3k-13=5 ∴ k=6 0040 (1+x+xÛ`+xÜ`+y+x2018)Û` =(1+x+xÛ`+xÜ`+y+x2018)(1+x+xÛ`+xÜ`+y+x2018) yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢  ④ 이 식의 전개식에서 xÞ` 항은 1´xÞ`+x´xÝ`+xÛ`´xÜ`+xÜ`´xÛ`+xÝ`´x+xÞ`´1 =xÞ`+xÞ`+xÞ`+xÞ`+xÞ`+xÞ`=6xÞ`` 따라서 xÞ`의 계수는 6이다. 참고 주어진 식의 전개식에서 xÞ`의 계수와 (1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`+xÞ`)(1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`+xÞ`)의 전개식에서 xÞ`의 계  6  ① 수는 서로 같다. 0041 =A∨(B-2C)=2A+B-2C =2(xÛ`-2x+yÛ`)+(3x-y+2yÛ`)-2(3xÛ`+2yÛ`) =2xÛ`-4x+2yÛ`+3x-y+2yÛ`-6xÛ`-4yÛ` (1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`=(1+2x+3xÛ`+4xÜ`)(1+2x+3xÛ`+4xÜ`) 이 식의 전개식에서 xÛ` 항은 1´3xÛ`+2x´2x+3xÛ`´1=3xÛ`+4xÛ`+3xÛ`=10xÛ` =-4xÛ`-x-y  -4xÛ`-x-y (1+2x+3xÛ`)Û`=(1+2x+3xÛ`)(1+2x+3xÛ`) 이 식의 전개식에서 xÛ`항은 1´3xÛ`+2x´2x+3xÛ`´1=3xÛ`+4xÛ`+3xÛ`=10xÛ` 따라서 두 다항식 (1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`, (1+2x+3xÛ`)Û`의 전개식 에서 xÛ`의 계수는 모두 10이므로 주어진 식의 xÛ`의 계수는 0이다.  ① 다른 풀이 (1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 4xÜ`과 관계 없이 결정되므로 (1+2x+3xÛ`+4xÜ`)Û`과 (1+2x+3xÛ`)Û`의 전개식에서 xÛ`의 계수는 서로 같다. 따라서 주어진 식의 xÛ`의 계수는 0이다. … ❷ 0042 (x+1)(x+2)(x+3)y(x+10)의 전개식에서 xá` 항은 … ❸ xá`´10+xá`´9+xá`´8+y+xá`´2+xá`´1  5x+2 =(1+2+y+8+9+10)xá`=55xá` 따라서 xá`의 계수는 55이다.  ③ 비율 40 % 40 % 20 % 0043 |전략| 곱셈 공식을 이용하여 좌변의 식을 전개한다. ① (x-1)(x+2)(x-4) =xÜ`+(-1+2-4)xÛ`+{(-1)´2+2´(-4)+(-4)´(-1)}x +(-1)´2´(-4)     0037 2A+B=xÛ`+8x-3 A-B=2xÛ`+x-12 ㉠+㉡을 하면 yy`㉠ yy`㉡ 3A=3xÛ`+9x-15  `∴`A=xÛ`+3x-5 … ❶ 이것을 ㉡에 대입하면 (xÛ`+3x-5)-B=2xÛ`+x-12 ∴`B =xÛ`+3x-5-(2xÛ`+x-12) =-xÛ`+2x+7 ∴`A+B=xÛ`+3x-5+(-xÛ`+2x+7) =5x+2 채점 기준 ❶ 다항식 A를 구할 수 있다. ❷ 다항식 B를 구할 수 있다. ❸ A+B를 계산할 수 있다. 0038 004 | I . 다항식 |전략| xÜ`항은 (xÜ`항)_(상수항), (xÛ`항)_(x항), (x항)_(xÛ`항)에서 나올 수 있으 =xÜ`-3xÛ`-6x+8 므로 이 항들만 선택하여 곱한다. (xÜ`+2xÛ`-x+4)(2xÛ`+3x-5)의 전개식에서 xÜ`항은 xÜ`´(-5)+2xÛ`´3x+(-x)´2xÛ`=-5xÜ`+6xÜ`-2xÜ`=-xÜ` ② (a-b)(a+b)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`) =(aÛ`-bÛ`)(aÛ`+bÛ`)(aÝ`+bÝ`) =(aÝ`-bÝ`)(aÝ`+bÝ`) 따라서 xÜ`의 계수는 -1이다.  -1 =a¡`-b¡` 정답과 해설 ④ (x-2y)Ü`=xÜ`-3´xÛ`´2y+3´x´(2y)Û`-(2y)Ü`  =xÜ`-6xÛ`y+12xyÛ`-8yÜ` 0049 xÛ`-2x=t로 놓으면 ⑤ (x-2)(xÛ`+2x+4)=xÜ`-2Ü`=xÜ`-8  ③ (xÛ`-2x+3)(xÛ`-2x-1) =(t+3)(t-1)=tÛ`+2t-3 =(xÛ`-2x)Û`+2(xÛ`-2x)-3 =xÝ`-4xÜ`+4xÛ`+2xÛ`-4x-3 =(2x)Û`+(-y)Û`+3Û`+2´2x´(-y)+2´(-y)´3+2´3´2x =xÝ`-4xÜ`+6xÛ`-4x-3 따라서 a=6, b=-4이므로 2a+b=8  8 =4xÛ`+yÛ`-4xy+12x-6y+9 따라서 a=1, b=-4, c=12이므로 0044 (2x-y+3)Û` a+b+c=9 0045 (x-y)(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)(xÛ`+xy+yÛ`) ={(x-y)(xÛ`+xy+yÛ`)}{(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)} =(xÜ`-yÜ`)(xÜ`+yÜ`) =(xÜ`)Û`-(yÜ`)Û`=xß`-yß` (xÛ`-1)(xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1) =(x-1)(x+1)(xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1) ={(x-1)(xÛ`+x+1)}{(x+1)(xÛ`-x+1)} =(xÜ`-1)(xÜ`+1) =xß`-1=2-1(∵ xß`=2)  9 0050 (5+3a)Ü`=A, (5-3a)Ü`=B로 놓으면 {(5+3a)Ü`-(5-3a)Ü`}Û`-{(5+3a)Ü`+(5-3a)Ü`}Û` =(A-B)Û`-(A+B)Û`=-4AB =-4(5+3a)Ü`(5-3a)Ü` =-4{(5+3a)(5-3a)}Ü`  ① =-4(25-9aÛ`)Ü` =-4(25-9´3)Ü` (∵ a= 3) ' =-4´(-8)=32 0051 |전략| 먼저 곱셈 공식의 변형을 이용하여 xy의 값을 구한다. xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy에서 4=(2 2)Û`-2xy ∴ xy=2 ' ∴ xÜ`+yÜ``=(x+y)Ü`-3xy(x+y)  ① =(2 2)Ü`-3´2´2 2=4 2 ' ' '  ④ |전략| 두 일차식의 상수항의 합이 같도록 짝지어 전개한 후 공통부분을 치환한다. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)} =(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6) xÛ`+5x=t로 놓으면 (주어진 식) =(t+4)(t+6)=tÛ`+10t+24 =(xÛ`+5x)Û`+10(xÛ`+5x)+24 =xÝ`+10xÜ`+25xÛ`+10xÛ`+50x+24 =xÝ`+10xÜ`+35xÛ`+50x+24  xÝ`+10xÜ`+35xÛ`+50x+24 0052 xÜ`-yÜ`=(x-y)Ü`+3xy(x-y)에서 4=1Ü`+3xy´1 ∴ xy=1 ∴ + = ;]{; ;[}; yÛ`+xÛ` xy = (x-y)Û`+2xy xy = 1Û`+2´1 1 =3 0053 xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)에서 7=1Ü`-3xy´1 ∴ `xy=-2 ∴`xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=1Û`-2´(-2)=5 ∴`xÝ`+yÝ`` =(xÛ`+yÛ`)Û`-2xÛ`yÛ` =5Û`-2´(-2)Û`=17 (a-b+c)(a+b-c)={a-(b-c)}{a+(b-c)} b-c=t로 놓으면 (주어진 식) =(a-t)(a+t)=aÛ`-tÛ` =aÛ`-(b-c)Û` =aÛ`-(bÛ`-2bc+cÛ`) =aÛ`-bÛ`+2bc-cÛ` 전개한 식을 b에 대한 내림차순으로 정리하면 -bÛ`+2bc+aÛ`-cÛ`    0054 a=2+ 3, b=2- 3에서 ' a+b=4, ab=1 ' ∴ b aÛ` + a bÛ` (a+b)Ü`-3ab(a+b) (ab)Û` = = bÜ`+aÜ` aÛ`bÛ` = 4Ü`-3´1´4 1Û` =52  ③  32  ⑤   17  52 1 다항식의 연산 | 005 0046 =1 0047  0048 1ㅡ다항식의 연산 0055 식의 값을 구한다. |전략| 양변을 x로 나누어 x+ ;[!;의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 x+0이므로 xÛ`-3x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-3+ ;[!; ∴ xÜ`+ 1 xÜ` =0 ∴ x+ =3 ;[!; Ü`-3 { = x+ { ;[!;} x+ ;[!;} =3Ü`-3´3=18 참고 x=0을 xÛ`-3x+1=0에 대입하면 1+0이므로 x+0이다. 0056 a+ { ;a!;} Û`=aÛ`+ 1 aÛ` +2=3+2=5 그런데 a>0이므로 a+ = 5 ' ;a!; Ü`-3 = a+ { ;a!;} a+ { ;a!;} =( 5)Ü`-3´ 5=2 5 ' ' ' ∴ aÜ`+ 1 aÜ` 0057 x+0이므로 xÛ`-x-1=0의 양변을 x로 나누면 x-1- =0 ∴ x- =1 ;[!; ∴ xÛ`+2x- + 1 xÛ` ;[@; ;[!; =xÛ`+ 1 xÛ` +2 x- { ;[!;} = x- { ;[!;} Û`+2+2 x- { ;[!;} =1Û`+2+2´1=5  ⑤ 0058 |전략| 먼저 곱셈 공식의 변형을 이용하여 ab+bc+ca의 값을 구한다. (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 (-1)Û`=5+2(ab+bc+ca)  ∴`ab+bc+ca=-2 ∴` aÜ`+bÜ`+cÜ`` =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc =-1´{5-(-2)}+3´2=-1  ② ㉠의 양변을 제곱하여 정리하면 aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2(abÛ`c+abcÛ`+aÛ`bc)=9 aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc(a+b+c)=9 aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2´1´1=9 ∴`aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=7  ⑤ ❶ ab+bc+ca의 값을 구할 수 있다. ❷ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`의 값을 구할 수 있다. 0061 a-b=2, b-c=3을 변끼리 더하면 a-c=5 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca = (2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab-2bc-2ca) … ❷  7 비율 40 % 60 %  ②  = {(aÛ`-2ab+bÛ`)+(bÛ`-2bc+cÛ`)+(cÛ`-2ca+aÛ`)}  = {(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}  = {2Û`+3Û`+(-5)Û`}=19  19 채점 기준 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 0062 용한다. |전략| 주어진 식에 (2-1)을 곱하여 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을 이 (2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(216+1) =(2-1)(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(216+1) 2-1=1 =(2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(216+1) =(2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1)(216+1) =(2¡`-1)(2¡`+1)(216+1) =(216-1)(216+1) =232-1  ④ 0059 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 0063 100=a로 놓으면 1Û`=2+2(ab+bc+ca)  ∴`ab+bc+ca= -;2!; aÜ`+bÜ`+cÜ`=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc에서 3=1´ 2- [ {-;2!;}] +3abc, 3abc= ;2!; ∴ abc =;6!;  ;6!; 0064 101_(10000-100+1)-99_10101 =(a+1)(aÛ`-a+1)-(a-1)(aÛ`+a+1) =aÜ`+1-(aÜ`-1)=2  2 9_11_101_10001 =(10-1)(10+1)(100+1)(10000+1) =(10Û`-1)(10Û`+1)(10Ý`+1) =(10Ý`-1)(10Ý`+1) yy`㉠ … ❶ =10¡`-1  ② 0060 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 1Û`=7+2(ab+bc+ca) ∴`ab+bc+ca=-3 006 | I . 다항식 006 | I . 다항식 정답과 해설 이때, (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 따라서 Q(x)=x-1, R(x)=x-2이므로 7Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+40 ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=9 ∴ ABÓ= aÛ`+bÛ`+cÛ`= 9=3 "à '  3 Q(2)+R(3)=1+1=2  2 ∴`OAÓ Û`+OBÓ Û`+OCÓ Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) =9Û`-2´26=29 0065 1.002Ü` =(1+0.002)Ü` =1Ü`+3_1Û`_0.002+3_1_0.002Û`+0.002Ü` =1+0.006+0.000012+y =1.006012y 따라서 소수점 아래 첫째, 셋째, 다섯째 자리의 숫자는 각각 0, 6, 1이 므로 구하는 합은 7이다.  7 0066 한 식으로 나타낸다. |전략| 직육면체의 세 모서리의 길이를 a, b, c라 하고 주어진 조건을 a, b, c에 대 직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 a, b, c라 하면 모든 모서리의 길이의 합이 28이므로 4(a+b+c)=28 ∴ a+b+c=7 또, 직육면체의 겉넓이가 40이므로 2(ab+bc+ca)=40 세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체에서 ⑴ 모서리의 길이의 총합 ⇨ 4(a+b+c) ⑵ 대각선의 길이 ⇨ aÛ`+bÛ`+cÛ` "à ⑶ 겉넓이 ⇨ 2(ab+bc+ca) ⑷ 부피 ⇨ abc 0067 직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라 하면 직사각형의 대각선의 길이가 19이므로 aÛ`+bÛ`=19Û`=361 또, 직사각형의 둘레의 길이가 42이므로 2(a+b)=42 ∴ a+b=21 이때, aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서 361=21Û`-2ab ∴ ab=40 따라서 직사각형의 넓이는 40이다.  40 채점 기준 0069 ❶ a+b+c의 값을 구할 수 있다. ❷ ab+bc+ca의 값을 구할 수 있다. Û`+OCÓ Û`+OBÓ ❸ OAÓ Û`의 값을 구할 수 있다. |전략| 직접 나눗셈을 하여 몫과 나머지를 구한다.  x-1 xÛ`-2x+2`<ÔxÜ`-3xÛ`+5x-4  xÜ`-2xÛ`+2x  -xÛ`+3x-4  -xÛ`+2x-2  -xÛ`+2x-2            0070 xÛ`+2x-2  2x+2`<Ô2xÜ`+6xÛ`-4x-7 2xÜ`+2xÛ`  2xÜ`+4xÛ` 2xÜ`+4xÛ`+4x 2xÜ`+4xÛ`-4x-7 2xÜ`+4xÛ`-4x-4 2xÜ`+2xÛ`-6x-3 ∴ a=2, b=4, c=4, d=7, e=-3 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 0071  xÛ`-x-5`<Ô2xÜ`-5xÛ`+x-1   2xÜ`-2xÛ`-10x  2x-3  2xÜ`-3xÛ`+11x-1  2xÜ`-3xÛ`+3x+15  2xÜ`-3xÛ`+8x-16 따라서 몫은 2x-3, 나머지는 8x-16이므로 a=2, b=-3, c=8, d=-16 ∴ a+b+c+d=-9 0068 세 모서리 OA, OB, OC의 길이를 각각 a, b, c라 하면 OAÓ+OBÓ+OCÓ=9에서 a+b+c=9 ab+ bc+ ca=13 ;2!; ;2!; ;2!; ∴`ab+bc+ca=26 △OAB+△OBC+△OCA=13에서 O a b … ❶ A C c 0072 B |전략| 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면 A=BQ+R이다. (단, (R의 차수)<(B의 차수)) xÜ`-xÛ`-2x+1=A(x+2)+3x-1이므로 A(x+2)=xÜ`-xÛ`-2x+1-(3x-1)  … ❷ =xÜ`-xÛ`-5x+2 1 다항식의 연산 | 007 … ❸  29 비율 30 % 30 % 40 %  ⑤  ① 1ㅡ다항식의 연산 ∴ A=(xÜ`-xÛ`-5x+2)Ö(x+2) ∴ 2xÝ`+3xÜ`+2xÛ`+2x-1=(xÛ`+x-1)(2xÛ`+x+3)+2 이때, xÛ`+x-1=0이므로 구하는 식의 값은 2이다.  ② |전략| 다항식 f(x)를 x+ ;aB;로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 할 때, f(x)를 ax+b로 나누었을 때의 몫은 ;a!; Q(x), 나머지는 R이다.  ⑤ f(x)= x- Q(x)+R= (2x-1)Q(x)+R { ;2!;} ;2!; =(2x-1)´ Q(x)+R ;2!; 0073 f(x)=(x-1)(3x-4)+5=3xÛ`-7x+9 따라서 f(x)를 2x-1로 나누었을 때의 몫은 Q(x), 나머지는 R ;2!; 따라서 f(x)=3xÛ`-7x+9를 x+1로 나누었을 때의 몫은 3x-10, 나머지는 19이다.  몫:3x-10, 나머지:19 = x- ´5Q(x)+R { ;5@;} f(x)=(5x-2)Q(x)+R =5 x- Q(x)+R { ;5@;} 0076 이다. 0077 이다. 채점 기준  ① … ❶ … ❷ … ❸ 비율 30 % 50 % 20 % 따라서 f(x)를 x- 로 나누었을 때의 몫은 5Q(x), 나머지는 R ;5@;  몫:5Q(x), 나머지:R ❶ f(x)를 5x-2에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❷ f(x)를 x- ;5@;에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ❸ f(x)를 x- ;5@;로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구할 수 있다. 0078 f(x)=(3x-1)Q(x)+R 이 식의 양변에 x를 곱하면 xf(x)=x(3x-1)Q(x)+Rx =3x x- Q(x)+R x- { ;3!;} { + R ;3!; ;3!;} = x- { ;3!;} {3xQ(x)+R}+ R ;3!; 따라서 xf(x)를 x- 로 나누었을 때의 몫은 3xQ(x)+R, ;3!; 나머지는 R이다. ;3!;  ④ 0079 |전략| 주어진 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구해 본다. 다항식 3xÜ`+axÛ`+bx-6을 x+1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하면 xÛ`-3x+1 x+2`<Ô xÜ`-2xÛ`-5x+2 xÜ`+2xÛ` xÜ`-3xÛ`-5x xÜ`-3xÛ`-6x xÜ`-3xÛ`-6x+2 xÜ`-3xÛ`-6x+2 xÜ`-3xÛ`-6x+0 ∴ A=xÛ`-3x+1 3x-10 x+1`<Ô 3xÛ`-17x+19 3xÛ`+13x 3xÛ`-10x+19 3xÛ`-10x-10 3xÛ`-10x-19 0074 직육면체의 높이를 A라 하면 (x+1)(x+2)A=2xÜ`+5xÛ`+x-2 ∴ A=(2xÜ`+5xÛ`+x-2)Ö(xÛ`+3x+2) 2x-1 xÛ`+3x+2`<Ô 2xÜ`+5xÛ`+4x-2 2xÜ`+6xÛ`+4x 2xÜ`- xÛ`-3x-2 2xÜ`- xÛ`-3x-2 2xÜ`- xÛ`-3x-0 2x+k`(k는 상수)라 하면 (x+1)(x+2)(2x+k)=2xÜ`+5xÛ`+x-2 양변의 상수항을 비교하면 2k=-2 ∴ k=-1 따라서 직육면체의 높이는 2x-1이다. 0075 2xÛ`+x+3 xÛ`+x-1`<Ô 2xÝ`+3xÜ`+2xÛ`+2x-1 2xÝ`+2xÜ`-2xÛ` 2xÝ`+2xÜ`+4xÛ`+2x 2xÝ`+2xÜ`+4xÛ`- x 2xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+3x-1 2xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+3x-3 2xÝ`+2xÜ`+3xÛ`+3x-2 008 | I . 다항식 따라서 직육면체의 높이는 2x-1이다.  2x-1 다른 풀이 2xÜ`+5xÛ`+x-2에서 xÜ`의 계수가 2이므로 구하는 높이를 정답과 해설 1ㅡ 다 항 식 의 연 산 -1 3 b -6 이 식의 전개식에서 -a+3 a-b-3 xÝ` 항은 8xÜ`´6x+(-12xÛ`)´xÛ`=48xÝ`-12xÝ`=36xÝ` a -3 3 a-3 b-a+3 a-b-9 이때, k=-1, c=-3, a-3=-1, b-a+3=-5, a-b-3=d이므로 k=-1, c=-3, a=2, b=-6, d=5 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 0080 주어진 조립제법에서 미정계수를 구하 2 면 오른쪽과 같으므로 a=1, b=3, c=-2, d=2 ∴ a+b+c+d=4 0081 주어진 조립제법에 의하여 x항은 6x´9+(-1)´6x=54x-6x=48x 따라서 xÝ`의 계수는 36, x의 계수는 48이므로 a=36, b=48 ∴ a+b=84  ③  ④ 0084 유형 04 공통부분이 있는 식의 전개 |전략| 공통부분이 xÛ`+x가 되도록 두 일차식끼리 적당히 묶어 전개한다. 1 1 3 -2 2 5 10 8 2 16 18  4 (x+2)(x+3)(x-1)(x-2) ={(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-2)} =(xÛ`+x-2)(xÛ`+x-6) xÛ`+x=t로 놓으면 (주어진 식) =(t-2)(t-6)=tÛ`-8t+12 =(xÛ`+x)Û`-8(xÛ`+x)+12 따라서 a=8, b=12이므로 a+b=20  ⑤ f(x)= x+ (px+q)+r=3 x+ ´ (px+q)+r { ;3@;} { ;3@;} ;3!; =(3x+2) px+ q } ;3!; +r {;3!; 따라서 f(x)를 3x+2로 나누었을 때의 몫은 px+ q, 나머지는 ;3!; ;3!; ;3!; r이다.  몫:;3!; px+ q, 나머지:r 13=4Û`-ab ∴ ab=3 유형 05 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 두 문자인 경우 |전략| 먼저 곱셈 공식의 변형을 이용하여 ab의 값을 구한다. aÛ`+ab+bÛ`=(a+b)Û`-ab에서 ∴ aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b) =4Ü`-3´3´4=28  ③ |전략| 먼저 주어진 식을 간단히 정리한 다음 A, B, C에 각 다항식을 대입하여 |전략| x+y, xy의 값을 구하고 곱셈 공식의 변형을 이용한다. 유형 05 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 두 문자인 경우 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0082 유형 01 다항식의 덧셈과 뺄셈 계산한다. 2(A+B)-{B-(A-C)} =2A+2B-(B-A+C) =2A+2B-B+A-C =3A+B-C =3(2xÛ`+5xy+yÛ`)+(xÛ`-3xy+2yÛ`)-(-xÛ`+xy-3yÛ`) =6xÛ`+15xy+3yÛ`+xÛ`-3xy+2yÛ`+xÛ`-xy+3yÛ` =8xÛ`+11xy+8yÛ`  ⑤ 0083 유형 02 다항식의 전개식에서 특정항의 계수 구하기 + 03 곱셈 공식을 이용한 식의 전개 2-1) = 2-1 ' 2-1 ' 2+1)( ' 2+1 2+1 x= 1 ' y= 1 ' 2-1 = = 따라서 x+y=2 ( ' ( ' ' ' 2-1)( 2+1) ' 2, xy=1이므로 = 2+1 ' xÝ`+xÜ`y+xyÜ`+yÝ` =xÜ`(x+y)+yÜ`(x+y) =(xÜ`+yÜ`)(x+y) ={(x+y)Ü`-3xy(x+y)}(x+y) ={(2 2)Ü`-3´1´2 2}´2 2 ' ' ' 2´2 ' =10 ' 2=40  ④ 0085 0086 0087 |전략| 곱셈 공식을 이용하여 식을 전개하고, xÝ`항과 x항이 나오는 부분만 찾아 계수를 구한다. (2x-1)Ü`(x+3)Û`=(8xÜ`-12xÛ`+6x-1)(xÛ`+6x+9) 유형 06 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - xÑ ;[!; 꼴을 포함한 경우 |전략| xÛ`+ 1 xÛ` x+ = { ;[!;} Û`-2, xÜ`+ 1 xÜ` x+ = { ;[!;} Ü`-3 x+ { ;[!;}임을 이용한다. 1 다항식의 연산 | 009 = x+ ;[!;} Û`-2=5Û`-2=23 = x+ Ü`-3 x+ { ;[!;} ;[!;} =5Ü`-3´5=110 따라서 a=23, b=110이므로 a+b=133  ④ xÛ`+ 1 xÛ` xÜ`+ 1 xÜ` { { 0088 유형 07 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 세 문자인 경우 |전략|  + ;a!; + = ;c!; ;b!; ab+bc+ca abc ab+bc+ca, abc의 값을 구한다. (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 5Û`=9+2(ab+bc+ca) ∴ ab+bc+ca=8 + = ab+bc+ca abc ;c!; 에서 ∴ abc=4 + ;a!; ;b!; 2= 8 abc ∴ aÜ`+bÜ`+cÜ` =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc =5´(9-8)+3´4=17  ② 0091 유형 08 곱셈 공식을 이용한 수의 계산 |전략| 201Û`=(200+1)Û`, 98_102=(100-2)(100+2)이므로 곱셈 공식 (a+b)Û`=aÛ`+2ab+bÛ`, (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을 이용한다. 201Û`+98_102=(200+1)Û`+(100-2)(100+2) =40000+400+1+10000-4 =50397 이므로 다섯 자리 자연수이다. 0092 유형 09 곱셈 공식의 도형에의 응용 식을 간단히 한다. |전략| 공통부분이 생기도록 적당히 항을 묶은 후 곱셈 공식을 이용하여 주어진 (a-b+c)(a-b-c)=(a+b+c)(c-b-a)에서 {(a-b)+c}{(a-b)-c}={c+(a+b)}{c-(a+b)} (a-b)Û`-cÛ`=cÛ`-(a+b)Û` aÛ`-2ab+bÛ`-cÛ`=cÛ`-(aÛ`+2ab+bÛ`) 이므로 주어진 조건식에서 ∴ n=5  ② 유형 07 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 세 문자인 경우 2aÛ`+2bÛ`=2cÛ` ∴ aÛ`+bÛ`=cÛ` |전략| aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca= {(a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`}임을 ;2!; 따라서 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.  ④ {(aÛ`+2ab+bÛ`)+(bÛ`+2bc+cÛ`)+(cÛ`+2ca+aÛ`)} |전략| 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면 0093 유형 11 다항식의 나눗셈 - A=BQ+R A=BQ+R이다. (단, ( R의 차수)<( B의 차수)) xÝ`+xÜ`+2xÛ`+x+2=A(xÛ`-1)+2x+5이므로 A(xÛ`-1)=xÝ`+xÜ`+2xÛ`+x+2-(2x+5)  ② ∴ A=(xÝ`+xÜ`+2xÛ`-x-3)Ö(xÛ`-1) =xÝ`+xÜ`+2xÛ`-x-3  xÛ`+x+3 xÛ`-1`<ÔxÝ`+xÜ`+2xÛ`-x-3 xÝ`-xÜ`-2xÛ`       xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x-3 xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x-3 xÝ`-xÜ`+3xÛ`-x-0 0094 유형 12 몫과 나머지의 변형 (4-1)을 곱하여 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ`을 (4-1)=1 ;3!; ∴ A=xÛ`+x+3  ① 0089 ;2!; = ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 0090 ;3!; ;3!; ;3!; ;3!; 이용한다. aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca = (2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`+2ab+2bc+2ca) = {(a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`} = {(2- 3)Û`+(2+ 3)Û`+3Û`} ' ' ' ' = (7-4 3+7+4 3+9)= :ª2£: 유형 08 곱셈 공식을 이용한 수의 계산 |전략| 주어진 식에 ;3!; 이용한다. (4+1)(4Û`+1)(4Ý`+1)(4¡`+1) = (4-1)(4+1)(4Û`+1)(4Ý`+1)(4¡`+1) = (4Û`-1)(4Û`+1)(4Ý`+1)(4¡`+1) = (4Ý`-1)(4Ý`+1)(4¡`+1) = (4¡`-1)(4¡`+1) (416-1)= = ;3!; 232-1 3 010 | I . 다항식 따라서 a=3, b=32이므로 a+b=35  ③ 때, f(x)를 ax+b로 나누었을 때의 몫은 ;a!; Q(x), 나머지는 R이다. |전략| 다항식 f(x)를 x+ ;aB;로 나누었을 때의 몫을Q(x), 나머지를 R라 할 정답과 해설 다. 0095 ;3!; f(x)=(ax+b)Q(x)+R=a x+ Q(x)+R { ;aB;} 0097  = x+ ´aQ(x)+R { ;aB;} 따라서 f(x)를 x+ 로 나누었을 때의 몫은 aQ(x), 나머지는 R이 ;aB; 유형 05 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - 두 문자인 경우 |전략| 먼저 곱셈 공식의 변형을 이용하여 aÛ`+bÛ`, xÛ`+yÛ`의 값을 구한다. aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab =(-1)Û`-2´(-1)=3  ④ xÛ`+yÛ` =(x-y)Û`+2xy =3Û`+2´3=15 ∴ (ax+by)(bx+ay)=abxÛ`+aÛ`xy+bÛ`xy+abyÛ` =ab(xÛ`+yÛ`)+xy(aÛ`+bÛ`) =(-1)´15+3´3=-6 유형 13 조립제법을 이용한 다항식의 나눗셈 |전략| 주어진 다항식을 x- ;3!;로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이 용하여 구하고, 이를 변형하여 3x-1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구한다. 채점 기준 ❶ aÛ`+bÛ`의 값을 구할 수 있다. ❷ xÛ`+yÛ`의 값을 구할 수 있다. ❸ (ax+by)(bx+ay)의 값을 구할 수 있다. 3 3 5 -11 2 1 2 -3 6 -9 -1 ∴ 3xÜ`+5xÛ`-11x+2= x- (3xÛ`+6x-9)-1 0098 { { ;3!;} ;3!;} = x- ´3(xÛ`+2x-3)-1 유형 09 곱셈 공식의 도형에의 응용 |전략| 직육면체의 세 모서리의 길이를 a, b, c라 하고 주어진 조건을 a, b, c에 대 =(3x-1)(xÛ`+2x-3)-1 한 식으로 나타낸다. 따라서 QÁ(x)=3xÛ`+6x-9, RÁ=-1, Qª(x)=xÛ`+2x-3, Rª=-1이므로 QÁ(x)Rª+Qª(x)RÁ =(3xÛ`+6x-9)´(-1)+(xÛ`+2x-3)´(-1) =-3xÛ`-6x+9-xÛ`-2x+3 =-4xÛ`-8x+12 ABÓ=a, BCÓ=b, BFÓ=c라 하면 직육면체의 겉넓이가 42이므로 2(ab+bc+ca)=42 ∴ ab+bc+ca=21 △BGD의 세 변의 길이의 제곱의 합은 DBÓ Û`+BGÓ Û`+GDÓ … ❶ Û`=44이므로 (aÛ`+bÛ`)+(bÛ`+cÛ`)+(cÛ`+aÛ`)=44  ② ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=22 이때, (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 (a+b+c)Û`=22+2´21=64 ∴ a+b+c=8 (∵ a+b+c>0) 0096 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 4(a+b+c)이므로 유형 02 다항식의 전개식에서 특정항의 계수 구하기 4(a+b+c)=4´8=32 |전략| xÜ`항과 x항이 나오는 부분만 찾아 구한 계수가 각각 5, 4임을 이용하여 상 수 m, n의 값을 구한다. (xÛ`+mx+2n)(2xÛ`-3x+n)의 전개식에서 xÜ`항은 xÛ`´(-3x)+mx´2xÛ`=(-3+2m)xÜ` 이때, xÜ`의 계수가 5이므로 -3+2m=5 ∴ m=4 또, x항은 mx´n+2n´(-3x)=(mn-6n)x 이때, x의 계수가 4이므로 mn-6n=4, 4n-6n=4 ∴ n=-2 ∴ m-2n=4-2´(-2)=8 채점 기준 ❶ xÜ`항에서 m의 값을 구할 수 있다. ❷ x항에서 n의 값을 구할 수 있다. ❸ m-2n의 값을 구할 수 있다. … ❶ … ❷ … ❸  8 배점 2점 3점 1점 채점 기준 ❶ ab+bc+ca의 값을 구할 수 있다. ❷ aÛ`+bÛ`+cÛ`의 값을 구할 수 있다. ❸ a+b+c의 값을 구할 수 있다. ❹ 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구할 수 있다. 0099 유형 06 곱셈 공식의 변형을 이용한 식의 값 구하기 - xÑ ;[!; 꼴을 포함한 경우 |전략| 양변을 x로 나누어 x+ ;[!;의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다. ⑴ x+0이므로 xÛ`-4x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-4+ =0 ∴ x+ =4 ;[!; ;[!; 1 다항식의 연산 | 011 … ❶ … ❷ … ❸  -6 배점 2점 2점 3점 … ❷ … ❸ … ❹  32 배점 2점 2점 2점 1점 1ㅡ다항식의 연산 |전략| 다항식의 나눗셈은 각 다항식을 내림차순으로 정리한 후 자연수의 나눗셈 abÛ`=75=3´5Û`이고, a, b는 서로소인 자연수이므로 ⑵xÛ`+ 1 xÛ` xÜ`+ 1 xÜ` = x+ { ;[!;} Û`-2=4Û`-2=14 x+ = { ;[!;} Ü`-3 x+ { ;[!;} =4Ü`-3´4=52 ⑶ x+2xÛ`+3xÜ`+ 2 = x+ { ;[!;}+ xÛ` } =4+2´14+3´52=188 { + 3 xÜ` ;[!; + 2 xÛ` xÛ`+ 1 +3 { xÜ`+ 1 xÜ` } 채점 기준 ⑴ x+ ;[!;의 값을 구할 수 있다. ⑵ xÛ`+ 1 xÛ` , xÜ`+ 1 xÜ` 의 값을 구할 수 있다. ⑶ x+2xÛ`+3xÜ`+ 의 값을 구할 수 있다. + 2 xÛ` + 3 xÜ` ;[!; 0100 유형 10 다항식의 나눗셈 - 몫과 나머지 + 11 다항식의 나눗셈 - A=BQ+R 과 같은 방법으로 한다. ⑴ A=(x+1)(x+2)+3=xÛ`+3x+5 ⑵ B=(x+1)(3x-1)+5=3xÛ`+2x+4 ⑶xA+B =x(xÛ`+3x+5)+(3xÛ`+2x+4) =xÜ`+3xÛ`+5x+3xÛ`+2x+4 =xÜ`+6xÛ`+7x+4 이므로  x+7 xÛ`-x+1`<ÔxÜ`+6xÛ`+7x+4  xÜ`-6xÛ`+6x    xÜ`+7xÛ`+6x+4 xÜ`+7xÛ`-7x+7 xÜ`+7xÛ`=13x-3  풀이 참조 0102 ∴ (입체도형의 부피) =(x+4)Ü`-{3xÛ`(x+4)-2xÜ`} =xÜ`+12xÛ`+48x+64-(3xÜ`+12xÛ`-2xÜ`) =48x+64 따라서 a=48, b=64이므로 a+b=112  ② 참고 구멍 부분의 부피는 한 변의 길이가 x인 정사각형을 밑면으로 하고, 높이 가 x+4인 정사각기둥 3개의 부피에서 중복된 부분인 한 모서리의 길이가 x인 정육면체의 부피를 두 번 빼주어 구할 수 있다. |전략| 처음 정육면체의 부피와 부피가 75인 직육면체의 부피를 각각 a, b에 대 한 식으로 나타낸다. 처음 정육면체의 부피는 (a+2b)Ü`=aÜ`+6aÛ`b+12abÛ`+8bÜ` yy ㉠ 이때, a, b는 서로소인 자연수이므로 ㉠에서 aÜ`, aÛ`b, abÛ`, bÜ`은 모두 다 른 값이다. 즉, ㉠에서 27개의 작은 직육면체 중 부피가 aÜ`인 것은 1 개, aÛ`b인 것은 6개, abÛ`인 것은 12개, bÜ`인 것은 8개이다. 따라서 부피가 75인 작은 직육면체는 12개이므로 abÛ`=75 a=3, b=5 ∴ b-a=2  ② 주의 75=75´1Û`에서 a0이므로 ac+bd=3  3 ⑶ xA+B를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구할 수 있다. |전략| 주어진 세 식을 변끼리 더하여 a+b+c, ab+bc+ca의 값을 구한 후 곱 a+3b=4ab, b+3c=4bc, c+3a=4ca를 변끼리 더하면 |전략| 정육면체의 부피에서 정육면체를 관통하는 구멍, 즉 3개의 정사각기둥의 부피를 빼서 주어진 입체도형의 부피를 구한다. 정육면체의 부피는 (x+4)Ü` ={(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)}-(ab+bc+ca) =(a+b+c)Û`-3(ab+bc+ca) 정육면체를 관통하는 구멍 한 개의 부피는 xÛ`(x+4) =3Û`-3´3=0    0 지는 13x-3이다. 채점 기준 ⑴ 다항식 A를 구할 수 있다. ⑵ 다항식 B를 구할 수 있다. 창의·융합 교과서 속 심화문제 0101 012 | I . 다항식 배점 3점 4점 3점 배점 4점 4점 4점 정답과 해설 ∴ (a+b)(b+c)(c+a)=2a´2a´2a=8aÜ`` ㅁ. 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면 =8´2=16 (x+1)Û`+(x-1)=xÛ`+2x+1+x-1   ④ 0105 |전략| 곱셈 공식의 변형을 이용하여 a, b, c 사이의 관계식을 구한다. (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc에서 (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=6-3´2=0 그런데 a+b+c+0이므로 aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=0 즉, {(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0이므로 ;2!; a-b=0, b-c=0, c-a=0 ∴ a=b=c 이때, abc=2이므로 aÜ`=2 0106 라 하면 |전략| 세 정사각형의 한 변의 길이를 a, b, c로 놓고, 주어진 조건을 이용하여 a+b+c, ab+bc+ca의 값을 구한다. 세 정사각형 OABC, ODEF, OGHI의 한 변의 길이를 각각 a, b, c △OCD= absin30ù= ab´ = ab ;4!; ;2!; ;2!; △OFG= bcsin30ù= bc´ = bc ;4!; ;2!; ;2!; △OIA= casin30ù= ca´ = ca ;4!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ∴ △OCD+△OFG+△OIA= ab+ bc+ ;4!; ;4!; ca ;4!; = ;4!; (ab+bc+ca) ;4!; 이때, 세 삼각형의 넓이의 합이 20이므로 (ab+bc+ca)=20 ∴ ab+bc+ca=80 또, 세 정사각형의 둘레의 길이의 합이 80이므로 4a+4b+4c=80 ∴ a+b+c=20 따라서 세 정사각형의 넓이의 합은 aÛ`+bÛ`+cÛ` =(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) 2 항등식과 나머지정리 본책 24~35쪽 개념 마스터 STEP1 0107 ㄴ. 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면 3(x-1)+2=3x-1 이므로 x의 값에 관계없이 등식이 항상 성립한다.  =xÛ`+3x 이므로 x의 값에 관계없이 등식이 항상 성립한다. 따라서 항등식은 ㄴ, ㅁ이다.  ㄴ, ㅁ 0108 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 3=a+b, 1=b ∴ a=2, b=1 0109 ax+b(x-1)=(a+b)x-b이므로 (a+b)x-b=3x+1 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a+b=3, -b=1 ∴ a=4, b=-1 0110 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-1=1, a+b=0, c-2=1 ∴ a=2, b=-2, c=3  a=2, b=1  a=4, b=-1  a=2, b=-2, c=3 =20Û`-2´80=240  240 삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 각각 b, c이고 그 끼인각이 ∠A일 때, 삼각 각형 ABC의 넓이 S는 다음과 같다. 삼각형의 넓이 ⑴ ∠A가 예각일 때 C b A B H c ⑵ ∠A가 둔각일 때 C b H A c B S= bcsinA ;2!; S= bcsin(180ù-A) ;2!; 0111 주어진 식의 우변을 전개하면 xÛ`+c(x+2)+1=xÛ`+cx+2c+1이므로 axÛ`-3x+b-1=xÛ`+cx+2c+1 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=1, -3=c, b-1=2c+1 ∴ a=1, b=-4, c=-3  a=1, b=-4, c=-3 0112 주어진 등식의 양변에 x=0, x=1, x=2를 각각 대입하면 1=-c, 1=b, 3=2a+2b+c ∴ a=1, b=1, c=-1  a=1, b=1, c=-1 2 항등식과 나머지정리 | 013 2ㅡ항등식과 나머지 정리 ∴ a=-1, b=2, c=4  a=-1, b=2, c=4 xÜ`-ax+b=(xÛ`-x+1)f(x)+x+2가 x에 대한 항등식이므로 0121 |전략| 주어진 식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 차수가 같아야 한다. 즉, f(x)가 x에 대한 일차식이어야 하므로 f(x)=x+c로 놓는다. f(x)는 x에 대한 일차식이어야 한다. 이때, 좌변의 최고차항의 계수가 1이므로 f(x)=x+c로 놓으면 xÜ`-ax+b =(xÛ`-x+1)(x+c)+x+2 =xÜ`+(c-1)xÛ`+(2-c)x+c+2 정답과 해설 0113 주어진 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a+4=3, b-3=-1, c+1=5 0114 a(x+y)-b(x-y)+1=(a-b)x+(a+b)y+1이므로 (a-b)x+(a+b)y+1=3x-5y+c 이 식이 x, y에 대한 항등식이므로 a-b=3, a+b=-5, 1=c ∴ a=-1, b=-4, c=1  a=-1, b=-4, c=1 0115  ㈎ - ;aB; ㈏ ;aB; 0116 ⑴ f(1)=1-2-3+5=1 ⑵ f(-2)=-8-8+6+5=-5 0117 ⑴ f(2)=16+4-1=19 Û`+2´ ⑵ f =4´ {;2!;} {;2!;} ;2!; -1=1+1-1=1 0118 f(x)=xÜ`-kxÛ`+3x-1로 놓으면 f(2)=5이므로 8-4k+6-1=5 ∴ k=2 0119 f(x)=2xÜ`-3xÛ`+k로 놓으면 f(-2)=0이므로 -16-12+k=0 ∴ k=28  2  28 p+q=0 채점 기준 |전략| 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리한 후 양변의 동류항의 계수를 비교한 0124 주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면 (x+a)(bxÛ`-27x+9)=bxÜ`+(ab-27)xÛ`+(9-27a)x+9a 이므로 bxÜ`+(ab-27)xÛ`+(9-27a)x+9a=7xÜ`+cxÛ`-99x+36 이 식이 x에 대한 항등식이므로 b=7, ab-27=c, 9-27a=-99, 9a=36 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0120 다. ∴ a=4, b=7, c=1 ∴ a+b+c=12 014 | I . 다항식 이 식이 x에 대한 항등식이므로 0=c-1, -a=2-c, b=c+2 ∴ a=-1, b=3, c=1 ∴ ab=-3 0122 ax+by+6 x+2y+2 =k (k는 상수)로 놓으면 ax+by+6=k(x+2y+2) ∴ (a-k)x+(b-2k)y+6-2k=0 이 식이 x, y에 대한 항등식이므로 0123 (x△p)+(3△x)=(y△q)+(2△1)에서 xp+x-p-yq+y+q-2=0 ∴ (p+1)x-(q-1)y-(p-q+2)=0 이 식이 x, y에 대한 항등식이므로 p+1=0, q-1=0, p-q+2=0 따라서 p=-1, q=1이므로  ❶ 주어진 등식을 x, y에 대하여 정리할 수 있다. ❷ p, q의 값을 구할 수 있다. ❸ p+q의 값을 구할 수 있다. |전략| 주어진 등식의 양변에 적당한 값을 대입한다. 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=-c ∴ c=1 양변에 x=1을 대입하면 2=2b ∴ b=1 양변에 x=-1을 대입하면 -2=2a ∴ a=-1  ⑴ 1 ⑵ -5 a-k=0, b-2k=0, 6-2k=0 ∴ k=3, a=3, b=6 ∴ b-a=3  ⑴ 19 ⑵ 1 (xp-x-p)+(3x-3-x)=(yq-y-q)+(2-2-1)  -3  3 … ❶ … ❷ … ❸  0 비율 50`% 30`% 20`%  12 ∴ abc=-1  ② 0125 주어진 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 또, ㉡에서 a(x-1)Û`+b(x-1)+c를 x-1로 나누었을 때의 몫은 a(x-1)+b, 나머지는 c이고, a(x-1)+b를 x-1로 나누었을 때의 몫 yy ㉠ 은 a, 나머지는 b이다. 따라서 조립제법을 반복해서 시행하면 다음과 같다. c=-4 양변에 x=0을 대입하면 2b+c=-2 양변에 x=1을 대입하면 3a+3b+c=2 ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=1, c=-4 ∴ a+b+c=-2 다른 풀이 ax(x+2)+b(x+2)+c=axÛ`+(2a+b)x+2b+c이므로 axÛ`+(2a+b)x+2b+c=xÛ`+3x-2 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a=1, 2a+b=3, 2b+c=-2 ∴ a=1, b=1, c=-4 ∴ a+b+c=-2 0126 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 0=1+a+b ∴ a+b=-1 양변에 x= 2, 즉 xÛ`=2를 대입하면 ' 0=4+2a+b ∴ 2a+b=-4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2 ∴ ab=-6 0127 |전략| 주어진 식이 x에 대한 항등식이고, 좌변의 최고차항의 계수가 1이므로 이 를 이용하여 a의 값을 먼저 구한다. xÜ`+2x-1=a(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d가 x에 대한 항 등식이고 좌변의 최고차항의 계수가 1이므로 a=1 즉, xÜ`+2x-1=(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 1+2-1=d ∴ d=2 양변에 x=0을 대입하면 -1=-1+b-c+2 즉, b-c=-2 양변에 x=2를 대입하면 8+4-1=1+b+c+2 즉, b+c=8 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=3, c=5 ∴ ad+bc=1´2+3´5=17 다른 풀이 f(x)=xÜ`+2x-1이라 하면 f(x)=a(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d yy ㉡ yy ㉢  -2 yy ㉠ yy ㉡  ② 2 -1 1 -3 3 -2 =d 2 5 =c 0 1 1 1 2 1 3 =b 1 1 1 1 1 1 1 = a 0128 ∴ a=1, b=3, c=5, d=2 ∴ ad+bc=17 |전략| 주어진 식을 k에 대하여 정리한 후 항등식의 성질을 이용한다. 주어진 등식을 k에 대하여 정리하면 (2x-y-3)k+(3x-y-2)=0 이 식이 k에 대한 항등식이므로 2x-y-3=0, 3x-y-2=0 두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-5 ∴ xy=5  5 0129 주어진 등식의 좌변을 k에 대한 내림차순으로 정리하면 xkÛ`+3(-x+y)k-2x+z=2kÛ`-3 이 식이 k에 대한 항등식이므로 x=2, -x+y=0, -2x+z=-3 따라서 x=2, y=2, z=1이므로 x+y+z=5  ⑤ 0130 |전략| 2x+y=1을 y에 대하여 정리한 후 주어진 식에 대입하여 항등식의 성질 을 이용한다. 2x+y=1에서 y=1-2x yy ㉠ 이것을 주어진 식에 대입하면 (2a+b)x-b(1-2x)+2=0 (2a+3b)x-(b-2)=0 yy ㉡ 이 식이 x에 대한 항등식이므로 2a+3b=0, b-2=0  ④ 따라서 a=-3, b=2이므로 aÛ`-bÛ`=5  ⑤ =(x-1){a(x-1)Û`+b(x-1)+c}+d =(x-1)[(x-1){a(x-1)+b}+c]+d yy㉠ yy㉡ 0131 x-y=1에서 x=1+y 이것을 주어진 식에 대입하면 ㉠에서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫은 a(x-1)Û`+b(x-1)+c이 a(1+y)Û`+b(1+y)+yÛ`-2y(1+y)+cy+2=0 고 나머지는 d이다. (a-1)yÛ`+(2a+b-2+c)y+a+b+2=0 2 항등식과 나머지정리 | 015 2ㅡ항등식과 나머지 정리 0132 |전략| 주어진 등식의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하고, 두 식을 더하여 이때, 나머지가 0이므로 ax+b+1=0 ∴ a=0, b=-1 ∴ ab=0 이 식이 y에 대한 항등식이므로 a-1=0, 2a+b-2+c=0, a+b+2=0 ∴ a=1, b=-3, c=3 ∴ a+b+c=1 a¥+a¤+a¢+aª+a¼의 값을 구한다. 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 (1-3+2)Ü`=a»+a¥+a¦+y+aÁ+a¼ yy ㉠ (-1+3+2)Ü`=-a»+a¥-a¦+y-aÁ+a¼ yy ㉡ 양변에 x=-1을 대입하면 ㉠+㉡을 하면 4Ü`=2(a¥+a¤+a¢+aª+a¼) ∴ a¥+a¤+a¢+aª+a¼=32 0133 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 (2-1-1)Þ`=aÁ¼+a»+a¥+y+aÁ+a¼ yy ㉠ … ❶ (2+1-1)Þ`=aÁ¼-a»+a¥-y-aÁ+a¼ yy ㉡ … ❷ 양변에 x=-1을 대입하면 ㉠-㉡을 하면 -2Þ`=2(a»+a¦+y+aÁ) ∴ aÁ+a£+y+a»=-16 채점 기준 ❶ aÁ¼+a»+a¥+y+a¼의 값을 구할 수 있다. ❷ aÁ¼-a»+a¥-y+a¼의 값을 구할 수 있다. ❸ aÁ+a£+y+a»의 값을 구할 수 있다.  ①  32 … ❸  -16 비율 40`% 40`% 20`% 다른 풀이 xÛ`+x+1 ax+b x-1 <Ô xÜ` + xÜ`+xÛ`+ -xÛ`+(a-1)x+b ax-1 -xÛ`- ax+b+1 ax 다항식 f(x)를 다항식 g(x)로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R(x) 이면 f(x)=g(x)Q(x)+R(x) (단, ( g(x)의 차수)>(R(x)의 차수)) 이때, f(x)가 n차식, g(x)가 m차식이면 Q(x)는 (n-m)차식이고, R(x)는 최대 (m-1)차식이다. 0136 xÜ`+axÛ`+b를 xÛ`-x-2로 나누었을 때의 몫을 x+c(c는 상수)라 하면 xÜ`+axÛ`+b =(xÛ`-x-2)(x+c)+x+2 =(x+1)(x-2)(x+c)+x+2 이 식이 x에 대한 항등식이므로 Ú 양변에 x=-1을 대입하면 -1+a+b=1 ∴ a+b=2 Û 양변에 x=2를 대입하면 8+4a+b=4 ∴ 4a+b=-4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=4 ∴ ab=-8 yy ㉠ yy ㉡  ① 0134 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면 22018+1=a2018+a2017+y+aÁ+a¼ 양변에 x=1을 대입하면 2=a¼ ∴ a2018+a2017+y+aÁ=22018+1-2=22018-1 0137 xÝ`+axÜ`+bxÛ`-x+2를 xÛ`+2x+3으로 나누었을 때의 몫을 xÛ`+cx+d (c, d는 상수)라 하면 xÝ`+axÜ`+bxÛ`-x+2 =(xÛ`+2x+3)(xÛ`+cx+d)+3x+8  ① =xÝ`+(2+c)xÜ`+(d+2c+3)xÛ`+(2d+3c+3)x+3d+8 이 식이 x에 대한 항등식이므로 0135 |전략| xÜ`의 계수가 1인 삼차식을 xÛ`의 계수가 1인 이차식으로 나누었을 때의 몫 a=2+c, b=d+2c+3, -1=2d+3c+3, 2=3d+8 따라서 a=2, b=1, c=0, d=-2이므로 은 x의 계수가 1인 일차식이다. b-a=-1  -1 xÜ`+ax+b를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 몫을 x+c(c는 상수)라 하면 xÜ`+ax+b =(xÛ`+x+1)(x+c) =xÜ`+(c+1)xÛ`+(c+1)x+c 이 식이 x에 대한 항등식이므로 0=c+1, a=c+1, b=c 따라서 c=-1, a=0, b=-1이므로 ab=0 016 | I . 다항식 0138 |전략| 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)임을 이용한다. 나머지정리에 의하여 f(3)=2, g(3)=-1 따라서 5f(x)+4g(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 5f(3)+4g(3)=5´2+4´(-1)=6  6  0 정답과 해설 f(x)=xÛ`+ax+b에서 f(2)=4+2a+b=2 ∴ 2a+b=-2 f(-1)=1-a+b=-4 ∴ -a+b=-5  ④ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-4 ∴ a+b=-3 yy㉠ yy㉡  ③ 따라서 (x+1)f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 0139 나머지정리에 의하여 f(2)=8 3f(2)=3´8=24 0140 나머지정리에 의하여 RÁ=f(a)=aÜ`+aÛ`+2a+1 Rª=f(-a)=-aÜ`+aÛ`-2a+1 이때, RÁ+Rª=6이므로 =2aÛ`+2=6 ∴ aÛ`=2 0141 나머지정리에 의하여 f(2)+g(2)=-1,{f(2)}Û`+{g(2)}Û`=13 f(2)=a, g(2)=b라 하면 a+b=-1, aÛ`+bÛ`=13 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab에서 13=(-1)Û`-2ab ∴ ab=-6 RÁ+Rª=(aÜ`+aÛ`+2a+1)+(-aÜ`+aÛ`-2a+1)  f(x)를 xÛ`-6x+8로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 따라서 f(x)를 x-aÛ`, 즉 x-2로 나누었을 때의 나머지는 =(x-2)(x-4)Q(x)+ax+b f(2)=8+4+4+1=17  17 f(2)=2a+b=5 yy㉠, f(4)=4a+b=7 yy㉡ 0145 |전략| 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 ax+b (a, b는 상수) 로 놓는다. 나머지정리에 의하여 f(2)=5, f(4)=7 R(x)=ax+b`(a, b는 상수)라 하면 f(x)=(xÛ`-6x+8)Q(x)+R(x)  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3 따라서 R(x)=x+3이므로 R(2)=5  5 0146 나머지정리에 의하여 2f(1)=6, 5f(-1)=5 ∴ f(1)=3, f(-1)=1 f(x)를 (x+1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면 f(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b f(1)=a+b=3 yy㉠, f(-1)=-a+b=1 yy㉡ 0147 나머지정리에 의하여 f(-2)=2, f(2)=-2 다항식 (xÛ`-x+1)f(x)를 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나 머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면 (xÛ`-x+1)f(x)=(xÛ`-4)Q(x)+ax+b =(x+2)(x-2)Q(x)+ax+b 양변에 x=-2를 대입하면 7f(-2)=-2a+b 양변에 x=2를 대입하면 3f(2)=2a+b ∴ -2a+b=14 ∴ 2a+b=-6 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=4 따라서 구하는 나머지는 -5x+4이다. yy㉠ yy㉡  ③ … ❶  … ❷ … ❸ … ❹  -5x+4 비율 30`% 30`% 30`% 10`% 2 항등식과 나머지정리 | 017 따라서 {`f(x)}Ü`+{ g(x)}Ü`을 x-2로 나누었을 때의 나머지는  {`f(2)}Ü`+{ g(2)}Ü``=aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b) =(-1)Ü`-3´(-6)´(-1)=-19  -19 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2 따라서 구하는 나머지는 x+2이다. 0142 |전략| 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)임을 이용하여 a, b의 값을 구한다. f(x)=axÜ`+2xÛ`+bx-4라 하면 나머지정리에 의하여 f(1)=7, f(-2)=4이므로 f(1)=a+2+b-4=7 ∴ a+b=9 f(-2)=-8a+8-2b-4=4 ∴ 4a+b=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=12 ∴ ab=-36 yy㉠ yy㉡  -36 0143 f(x)=xÜ`+axÛ`-4x+5라 하면 나머지정리에 의하여 f(2)=f(-1)이어야 하므로 f(2)=8+4a-8+5=4a+5,f(-1)=-1+a+4+5=a+8 즉, 4a+5=a+8에서 3a=3 ∴ a=1  ④ 채점 기준 0144 나머지정리에 의하여 3f(2)=6, -3f(-1)=12 ∴ f(2)=2, f(-1)=-4 ❶ f(-2), f(2)의 값을 구할 수 있다. ❷ x에 대한 항등식을 세울 수 있다. ❸ a, b의 값을 구할 수 있다. ❹ (xÛ`-x+1)f(x)를 xÛ`-4로 나누었을 때의 나머지를 구할 수 있다. 2ㅡ항등식과 나머지 정리 0148 f(x)를 xÛ`+2x-3으로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하면 xà`+xÞ`+xÜ`+x=(xÜ`-x)Q(x)+axÛ`+bx+c =x(x+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c yy㉠ f(x)를 xÛ`+x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=0, b=4 f(x)를 (xÛ`-1)(x+2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 즉, (a-2)xÛ`+(b-1)x+c=(a-2)(xÛ`+x+1)+2x-4 f(x)를 xÛ`-x-2로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하면 f(x)=(xÛ`+2x-3)QÁ(x)+2x+5 =(x+3)(x-1)QÁ(x)+2x+5 ∴ f(-3)=-1 f(x)=(xÛ`-x-2)Qª(x)+3x-2 =(x+1)(x-2)Qª(x)+3x-2 ∴ f(2)=4 R(x)=ax+b`(a, b는 상수)라 하면 f(x)=(xÛ`+x-6)Q(x)+R(x) =(x+3)(x-2)Q(x)+ax+b f(-3)=-3a+b=-1 f(2)=2a+b=4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2 따라서 R(x)=x+2이므로 R(-1)=1 0149 |전략| 다항식 f(x)를 삼차식으로 나누었을 때의 나머지는 axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)로 놓는다. R(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+axÛ`+bx+c 이때, f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지가 3x-1이므로 axÛ`+bx+c를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지도 3x-1이다. 즉, axÛ`+bx+c=a(xÛ`-1)+3x-1 ∴ f(x)=(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+a(xÛ`-1)+3x-1 yy㉠ 또, f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 나머지정리에 의하여 f(-2)=2 ㉠에서 f(-2)=3a-7=2이므로 a=3 따라서 구하는 나머지는 R(x)=3(xÛ`-1)+3x-1=3xÛ`+3x-4  3xÛ`+3x-4 axÛ`+bx+c를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지가 3x-1이 되는지 확인해 이차식이므로 xÛ`-1로 나누어진다. 보자. f(x)=(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+axÛ`+bx+c =(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+a(xÛ`-1)+R(x) =(xÛ`-1){(x+2)Q(x)+a}+3x-1 f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫  =(xÛ`-1)(x+2)Q(x)+a(xÛ`-1)+3x-1 ∴ axÛ`+bx+c=a(xÛ`-1)+3x-1 0150 xà`+xÞ`+xÜ`+x를 xÜ`-x로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수)라 하면 018 | I . 다항식 ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 0=c ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 -1-1-1-1=a-b+c c=0이므로 a-b=-4 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 1+1+1+1=a+b+c c=0이므로 a+b=4 따라서 R(x)=4x이므로 R(2)=8 yy㉡ yy㉢  8 yy㉠ yy㉡ yy㉠ yy㉡  1 라 하면 0151 f(x)+2xÛ`+x를 (xÛ`+x+1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x) f(x)+2xÛ`+x=(xÛ`+x+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c ∴ f(x)=(xÛ`+x+1)(x-1)Q(x)+(a-2)xÛ`+(b-1)x+c 이때, f(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지가 2x-4이므로 (a-2)xÛ`+(b-1)x+c를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 나머지도 2x-4이다. ∴ f(x)=(xÛ`+x+1)(x-1)Q(x)+(a-2)(xÛ`+x+1)+2x-4 또, f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 1이므로 나머지정리에 의하여 f(1)=1 ㉡에서 f(1)=3(a-2)-2=1이므로 a=3 이것을 ㉠에 대입하면 xÛ`+(b-1)x+c=xÛ`+x+1+2x-4 =xÛ`+3x-3 이므로 b-1=3, c=-3 ∴ b=4, c=-3 ∴ a+2b+3c=3+2´4+3´(-3)=2  2 0152 |전략| 다항식 f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(aa+b)임을 f(x+1)을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 이용한다. f(1+1)=f(2) f(x)를 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(xÛ`-4)Q(x)-4x+3 =(x+2)(x-2)Q(x)-4x+3 따라서 구하는 나머지는 f(2)=-4´2+3=-5   ① 정답과 해설 0153 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 25, x-2로 나누었을 때의 0157 f(x)=x2018+x2017-x라 하면 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫이 나머지가 18이므로 f(1)=25, f(2)=18 Q(x), 나머지는 f(1)=1이므로 f(x)=(x-1)Q(x)+1 yy㉠ 따라서 f(2x-5)+f(x-1)을 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1)이므로 ㉠의 양변 f(2´3-5)+f(3-1)=f(1)+f(2) 에 x=-1을 대입하면 =25+18=43  43 f(-1)=-2Q(-1)+1 1-1-(-1)=-2Q(-1)+1,2Q(-1)=0 ∴ Q(-1)=0  0 0154 f(x+2009)를 x+2011로 나누었을 때의 나머지는 f(-2011+2009)=f(-2) ∴ `f(-2)=-6 f(x+2011)을 x+2009로 나누었을 때의 나머지는 f(-2009+2011)=f(2) ∴ ` f(2)=6 이때, f(x)=xÛ`+ax+b에서 f(-2)=4-2a+b=-6 f(2)=4+2a+b=6 ∴`-2a+b=-10, 2a+b=2 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-4 ∴`ab=-12 0155 f(x)+g(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 7이므로 f(-2)+g(-2)=7  f(x)-g(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 f(-2)-g(-2)=3  ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 f(-2)=5, g(-2)=2 따라서 xf x 를 x+4로 나누었을 때의 나머지는 } {;2!; yy㉠ yy㉡ 0156 |전략| 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R이면 f(x)=(x-a)Q(x)+R임을 이용한다. f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 2이므로 f(x)=(x-1)Q(x)+2  yy㉠ 또, Q(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 3 0158 f(x)를 xÛ`+x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 2x-5이 f(x)=(xÛ`+x+1)Q(x)+2x-5  yy㉠ 또, Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 4 므로 이므로 Q(x)=(x-1)Q'(x)+4  ㉡을 ㉠에 대입하면 =(xÜ`-1)Q'(x)+4xÛ`+6x-1 따라서 R(x)=4xÛ`+6x-1이므로 R(-1)=4-6-1=-3 yy㉡  ②  -12 f(x)=(xÛ`+x+1){(x-1)Q'(x)+4}+2x-5  0159 xÜ`-2xÛ`+mx-4를 x-1로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면 xÜ`-2xÛ`+mx-4=(x-1)Q(x)+R 또, Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 -5이므로 ∴ xÜ`-2xÛ`+mx-4=(x-1){(x+1)Q'(x)-5}+R  =(x-1)(x+1)Q'(x)-5(x-1)+R 양변에 x=1을 대입하면 m-5=R 양변에 x=-1을 대입하면 -m-7=10+R ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=-6, R=-11 yy㉠ yy㉡  -6 -4f ´(-4) } {;2!; =-4f(-2)=-4´5=-20  -20 Q(x)=(x+1)Q'(x)-5 이므로 Q(x)=(x-2)Q'(x)+3  ㉡을 ㉠에 대입하면 f(x)=(x-1){(x-2)Q'(x)+3}+2  =(x-1)(x-2)Q'(x)+3x-1 이때, f(2)=5이므로 xf(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 2f(2)=2´5=10 0160 |전략| x=1000이라 하면 x-2=998이므로 x11을 x-2로 나누었을 때의 나 yy㉡ 머지를 이용한다. f(x)=x11이라 할 때, f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2)=211이므로 몫을 Q(x)라 하면 x11=(x-2)Q(x)+211 위의 식의 양변에 x=1000을 대입하면 100011=998Q(1000)+211  10 2 항등식과 나머지정리 | 019 2ㅡ항등식과 나머지 정리 이때, 100011을 998로 나누었을 때의 나머지를 r라 하면 0Ér<998 이므로 100011 =998Q(1000)+211 =998{Q(1000)+2}+52 0164 f(x-1)f(x+1)이 x-1로 나누어떨어지므로 f(1-1)f(1+1)=0, 즉 f(0)f(2)=0 ∴ f(0)=0 또는 f(2)=0 따라서 100011을 998로 나누었을 때의 나머지는 52이다.  ② 이때, f(x)=xÜ`+xÛ`-ax+2에 대하여 f(0)=2이므로 f(2)=0 자연수 a를 자연수 b로 나누었을 때의 몫을 q, 나머지를 r라 하면 자연수의 나눗셈 a=bq+r(0Ér0이므로a=1,b=1,c=-4,d=1 ∴ad-bc=1´1-1´(-4)=5 0239 [a,b]+[b,c]+[c,a]  5 xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=xÛ` { x+ ;[!; x+ -3 ;[!; } }{ xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=(xÛ`-x+1)(xÛ`-3x+1)  ④ 0240 주어진식을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면 0235 xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=xÛ` { xÛ`-4x+5- + ;[$; 1 xÛ` } xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=xÛ` xÛ`+ -4 x+ { ;[!;} +5 ] xÝ`-4xÜ`+5xÛ`-4x+1=xÛ` x+ -4 x+ { ;[!;} +3 ] [ [{ 1 xÛ` ;[!;} 2` -1 0236 xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=xÛ` { xÛ`-2x-5+ + ;[@; 1 xÛ` } xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=xÛ` xÛ`+ -2 x- { -5 ] ;[!;} 1 xÛ` [ xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=xÛ` x- `-2 x- [{ ;[!;} { -3 ] ;[!;} xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=xÛ` { x- ;[!; +1 }{ x- ;[!; -3 } xÝ`-2xÜ`-5xÛ`+2x+1=(xÛ`+x-1)(xÛ`-3x-1)  ④ 0237 |전략| 주어진 식을 전개한 후 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. 주어진식을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면 aÛ`(b-c)+bÛ`(c-a)+cÛ`(a-b) =(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-bcÛ` =(b-c)aÛ`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c) =(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc} =(b-c)(a-b)(a-c) =-(a-b)(b-c)(c-a) 참고 b나 c에 대한 내림차순으로 정리한 후 인수분해해도 그 결과는 같다.  ③ =ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) =aÛ`b-abÛ`+bc(b-c)+cÛ`a-caÛ` =(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bc(b-c) =(b-c)aÛ`-(b+c)(b-c)a+bc(b-c) =(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc} =(b-c)(a-b)(a-c) 따라서주어진식의인수인것은③이다.  ③ (a+b)(b+c)(c+a)+abc =(ab+ac+bÛ`+bc)(c+a)+abc =abc+aÛ`b+acÛ`+aÛ`c+bÛ`c+bÛ`a+bcÛ`+abc+abc =(b+c)aÛ`+(bÛ`+cÛ`+3bc)a+bc(b+c) ={(b+c)a+bc}(a+b+c) =(ab+bc+ca)(a+b+c) 따라서주어진다항식의인수인것은④이다.  ④ 다른 풀이 a+b+c=t로 놓으면 a+b=t-c, b+c=t-a, c+a=t-b이므로 (a+b)(b+c)(c+a)+abc =(t-c)(t-a)(t-b)+abc =tÜ`-(a+b+c)tÛ`+(ab+bc+ca)t =(ab+bc+ca)t`(∵ a+b+c=t) =(a+b+c)(ab+bc+ca) 0241 |전략| 주어진 식을 인수분해한 후 조건을 대입하여 식을 간단히 한다. ab+c=1에서c=1-ab,ab=1-c ∴2ab-aÛ`b-abÛ`-abc=2ab-aÛ`b-abÛ`-ab(1-ab) =ab(2-a-b-1+ab) =ab(1-a-b+ab) =ab(1-a)(1-b) =(1-c)(1-a)(1-b) =(1-a)(1-b)(1-c)  ④      0238 주어진식을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면 aÛ`(b+c)+bÛ`(c+a)+cÛ`(a+b)+2abc =aÛ`(b+c)+bÛ`c+bÛ`a+cÛ`a+cÛ`b+2abc =(b+c)aÛ`+(bÛ`+cÛ`+2bc)a+bÛ`c+cÛ`b =(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c) =(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc} =(b+c)(a+b)(a+c) =(a+b)(b+c)(c+a) 0242 a+b+c=0에서a=-(b+c) ∴2aÛ`+bc=2{-(b+c)}Û`+bc ∴2aÛ`+bc=2bÛ`+5bc+2cÛ` ∴2aÛ`+bc=(2b+c)(b+2c) ∴2aÛ`+bc=(b+b+c)(b+c+c) ∴2aÛ`+bc=(b-a)(c-a)(∵b+c=-a)  (a+b)(b+c)(c+a) ∴2aÛ`+bc=(a-b)(a-c)  ④ 3 인수분해 | 029 3ㅡ인수분해2 0243 주어진식을x에대한내림차순으로정리한후인수분해하면 다른 풀이 xÝ`+axÛ`+b가 (x-1)Û`을 인수로 가지므로 xÝ`+axÛ`+b=(x-1)Û`Q(x) 꼴로 나타낼 수 있다. 조립제법에 의하여 1 1 1 1 1 0 1 a 1 1 a+1 1 2 0 1 a+1 b11 a+1a a+1 a+b+1 a+3 2 a+3 2a+4   ⑤ 이때, 나머지가 모두 0이므로 `a+b+1=0, 2a+4=0 ∴ a=-2, b=1 ∴ b-a=3 2xÛ`+xy-yÛ`-7x-y+6 =2xÛ`+(y-7)x-(yÛ`+y-6) =2xÛ`+(y-7)x-(y+3)(y-2) ={x+(y-2)}{2x-(y+3)} =(x+y-2)(2x-y-3) 이때,x-y-2=0에서x-2=y,y+2=x ∴(주어진식)=(y+y){2(y+2)-y-3} =2y(y+1) 다른 풀이 x-y-2=0에서 y=x-2 ∴ 2xÛ`+xy-yÛ`-7x-y+6 ∴ =2xÛ`+x(x-2)-(x-2)Û`-7x-(x-2)+6 ∴ =2xÛ`+xÛ`-2x-xÛ`+4x-4-7x-x+2+6 ∴ =2xÛ`-6x+4=2(xÛ`-3x+2) ∴ =2(x-1)(x-2) ∴ =2y(y+1) (∵ x=y+2) 0246 f(x)=2xÜ`+5xÛ`-ax-3이라하면 f(x)가x-1을인수로가지므 로  f(1)=2+5-a-3=0 따라서 f(x)=2xÜ`+5xÛ`-4x-3이므 1 로조립제법을이용하여인수분해하면 ∴ a=4 f(x)=(x-1)(2xÛ`+7x+3) f(x)=(x-1)(x+3)(2x+1) 따라서b=1이므로a+b=5 2 2 5 -4 -3 7 -3 2 7 3 -0  ③ 다른 풀이 2xÜ`+5xÛ`-ax-3=(x+3)(x-1)(2x+b)에서 2xÜ`+5xÛ`-ax-3=(xÛ`+2x-3)(2x+b)  =2xÜ`+(4+b)xÛ`-(6-2b)x-3b 0244 주어진식을z에대한내림차순으로정리한후인수분해하면 xyz+xÛ`y-xy+x+z-1 =(xy+1)z+(xÛ`y-xy+x-1) =(xy+1)z+{xy(x-1)+(x-1)} =(xy+1)z+(x-1)(xy+1) =(xy+1)(z+x-1) 이때,x+y+z=1에서x+z=1-y ∴(주어진식)=(xy+1)(1-y-1) =-y(xy+1) 이 식이 x에 대한 항등식이므로 5=4+b, a=6-2b, 3=3b ∴ b=1, a=4 ∴ a+b=5   ⑤ 0247 P(x)=xÝ`-xÜ`+3xÛ`+ax+b라하면P(x)가x+1,x-1을인수 0245 |전략| xÝ`+axÛ`+b=(x-1)Û`Q(x)로 놓으면 이 식은 x에 대한 항등식이므로 주어진 식에 x=1을 두 번 대입하여 상수 a, b의 값을 구한다. 로가지므로 P(-1)=1+1+3-a+b=0  f(x)=xÝ`+axÛ`+b라하면 f(x)가(x-1)Û`을인수로가지므로 ∴-a+b=-5  f(1)=1+a+b=0 ∴b=-a-1 P(1)=1-1+3+a+b=0 yy`㉠ ∴a+b=-3 따라서 f(x)=xÝ`+axÛ`-a-1이므로조립제법을이용하여인수분 ㉠,㉡을연립하여풀면a=1,b=-4 ……㉠ ……㉡ 따라서P(x)=xÝ`-xÜ`+3xÛ`+x-4이므로조립제법을이용하여인 수분해하면 -1 1 -1 -1 3 2 1-5 1 -4 4 -1 1 -2 5 -4 4 1 -1 0 1 -1 4 -0 ∴P(x)=(x+1)(x-1)(xÛ`-x+4) ∴f(x)=xÛ`-x+4  ③ ∴2a-b+f(1)=2-(-4)+4=10  10 해하면 1 1 1 1 1 0 1 a 1 0 1 -a-1 a+1 a+1 0 1 1 a+1 1 2 a+1 a+3 2 a+3 2a+4 f(x)가(x-1)Û`을인수로가지므로 2a+4=0 ∴ a=-2 a=-2를㉠에대입하면b=1 ∴b-a=3 030 | I. 다항식 정답과 해설 aÜ`+aÛ`b-acÛ`+abÛ`+bÜ`-bcÛ` =-(a+b)cÛ`+aÜ`+aÛ`b+abÛ`+bÜ` =-(a+b)cÛ`+aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b) =(a+b)(aÛ`+bÛ`-cÛ`) 즉,(a+b)(aÛ`+bÛ`-cÛ`)=0에서 a>0,b>0이므로a+b+0 ∴aÛ`+bÛ`-cÛ`=0 ∴ aÛ`+bÛ`=cÛ` 삼각형이다. 0249 주어진식의좌변을인수분해하면 aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca) a>0,b>0,c>0이므로a+b+c+0 ∴(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0 ∴a=b=c  채점 기준 ❶ 주어진 식의 좌변을 인수분해 할 수 있다. ❷ a, b, c 사이의 관계식을 구할 수 있다. ❸ 주어진 삼각형의 모양을 판단할 수 있다. aÛ`(b-c)-bÛ`(a+c)-cÛ`(a-b)+2abc =(b-c)aÛ`-(bÛ`+cÛ`-2bc)a-bÛ`c+bcÛ` =(b-c)aÛ`-(b-c)Û`a-bc(b-c) =(b-c){aÛ`-(b-c)a-bc} =(b-c)(a-b)(a+c) 즉,(b-c)(a-b)(a+c)=0에서 a>0,c>0이므로a+c+0 ∴b-c=0또는a-b=0 ∴a=b또는b=c 0248 |전략| 주어진 등식의 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 구한다. aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc에서aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0이므로 주어진식의좌변을c에대한내림차순으로정리한후인수분해하면 =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca) 따라서주어진조건을만족시키는삼각형은빗변의길이가c인직각 0252 = (a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 ;2!; 그런데a>0,b>0,c>0에서a+b+c+0이므로 (a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0 ∴ a=b=c ∴ ;aB; + 2c b + 3a c =1+2+3=6  6  ⑤ aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=(aÜ`+aÛ`b)+(bÜ`+abÛ`) aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b) aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=(a+b)(aÛ`+bÛ`) aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=(a+b){(a+b)Û`-2ab} aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`=3(3Û`-2´2)=15  15 =(a+b+c)´ {(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`} … ❶ ;2!; 0253 a-b=3 ……㉠,b-c=1 ……㉡ 즉,(a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0에서 ㉠+㉡에서a-c=4,즉c-a=-4 따라서주어진조건을만족시키는삼각형은정삼각형이다. … ❸ =(-b+c)aÛ`+(b+c)(b-c)a-bc(b-c) 주어진식을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면 abÛ`-aÛ`b+bcÛ`-bÛ`c+caÛ`-cÛ`a … ❷ =(-b+c)aÛ`+(bÛ`-cÛ`)a-bÛ`c+bcÛ` 0250 주어진식의좌변을a에대한내림차순으로정리한후인수분해하면  정삼각형 =(b-c){-aÛ`+(b+c)a-bc} =-(b-c)(a-b)(a-c) =(a-b)(b-c)(c-a) =3´1´(-4)=-12 비율 40 % 40 % 20 % 0254 a+b+c=0에서b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c이므로 aÛ`(b+c)+bÛ`(c+a)+cÛ`(a+b)=-aÜ`-bÜ`-cÜ` 한편,aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca) 에서a+b+c=0이므로aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0 ∴aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc=3´(-3)=-9 ∴(주어진식)=-(aÜ`+bÜ`+cÜ`)=9  ②  ⑤ 0255 |전략| 주어진 식을 적당히 변형하여 인수분해 공식 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용한다. 3Û`-5Û`+7Û`-9Û`+11Û`-13Û`+15Û`-17Û` 따라서보기중가능한삼각형은ㄱ,ㄴ이다.  ③ =(3+5)(3-5)+(7+9)(7-9)+(11+13)(11-13) 0251 |전략| aÜ`+bÜ`+cÜ`=3abc에서 aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0이므로 이 등식의 좌변을 인수분해한다. =-2(8+16+24+32) =-2´80=-160 +(15+17)(15-17) =(-2)´8+(-2)´16+(-2)´24+(-2)´32  -160 3 인수분해 | 031 3ㅡ인수분해 ∴ 50_51_52_53+1=2651 'Ä  ④ xÛ`+8x=t로놓으면 정답과 해설 0256 9999=x로놓으면 9999Ü`+1 9998_9999+1 = xÜ`+1 (x-1)x+1 = (x+1)(xÛ`-x+1) xÛ`-x+1 =x+1 =9999+1=10000  ④ 0257 50=n으로놓으면 50_51_52_53+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1 ={n(n+3)}{(n+1)(n+2)}+1 =(nÛ`+3n)(nÛ`+3n+2)+1 =(nÛ`+3n)Û`+2(nÛ`+3n)+1 =(nÛ`+3n+1)Û` =(50Û`+3´50+1)Û`=2651Û` 0258 f(x)=xÝ`+6xÜ`-24xÛ`+26x-9에 대하여 f(1)=0,  f(-9)=0 이므로조립제법을이용하여인수분해하면 -1 -9 1 1 6 -24 1 26 -9 9 7 -17 7 -17 9 18 -9 -9 0 1 -2 1 -0 f(x)=(x-1)(x+9)(xÛ`-2x+1) =(x-1)Ü`(x+9) ∴f(1.1)=(1.1-1)Ü`(1.1+9) =0.1Ü`_10.1=0.0101 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0259 유형 01 공식을 이용한 인수분해 |전략| 공통인수를 묶어낸 후 인수분해 공식을 적용한다. ①(x-y)xÛ`-(x-y)yÛ`=(x-y)(xÛ`-yÛ`) =(x-y)(x+y)(x-y) =(x+y)(x-y)Û` ③27xÜ`-yÜ`=(3x-y)(9xÛ`+3xy+yÛ`) 따라서인수분해가잘못된것은③이다. 032 | I. 다항식 0260 유형 01 공식을 이용한 인수분해 |전략| 인수분해 공식 aÜ`-bÜ`=(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)을 이용한다. (x-2y)Ü`-125yÜ` =(x-2y)Ü`-(5y)Ü` =(x-2y-5y){(x-2y)Û`+(x-2y)´5y+(5y)Û`} =(x-7y)(xÛ`-4xy+4yÛ`+5xy-10yÛ`+25yÛ`) =(x-7y)(xÛ`+xy+19yÛ`) 따라서주어진다항식의인수인것은⑤이다.  ⑤ 0261 인수분해한다. 유형 02 공통부분이 있는 식의 인수분해 |전략| 공통부분이 생기도록 적당히 두 일차식을 묶은 후 공통부분을 치환하여 (xÛ`+4x+3)(xÛ`+12x+35)+15 =(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 ={(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15 =(xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15 (주어진식)=(t+7)(t+15)+15 (주어진식)=tÛ`+22t+120 (주어진식)=(t+12)(t+10) (주어진식)=(xÛ`+8x+12)(xÛ`+8x+10) (주어진식)=(x+2)(x+6)(xÛ`+8x+10) 따라서a=6,b=8,c=10이므로 a+b+c=24  ④ 유형 03 복이차식 (xÝ`+axÛ`+b 꼴)의 인수분해 |전략| 주어진 식에 4xÛ`yÛ`을 더하고 빼서 AÛ`-BÛ` 꼴로 변형하여 인수분해한 xÝ`+4yÝ`=xÝ`+4xÛ`yÛ`+4yÝ`-4xÛ`yÛ`  ⑤ xÝ`+4yÛ`=(xÛ`+2yÛ`)Û`-(2xy)Û` xÝ`+4yÛ`=(xÛ`+2xy+2yÛ`)(xÛ`-2xy+2yÛ`) 따라서a=2,b=2또는a=-2,b=2이므로 aÛ`+bÛ`=4+4=8  ② 0262 다. 0263 유형 03 복이차식 (xÝ`+axÛ`+b 꼴)의 인수분해 |전략| xÝ`+5xÛ`+9는 xÛ`항을 적당히 분리하여 AÛ`-BÛ` 꼴로 변형한 후 인수분 해하고, xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9는 공통인수 xÛ`을 묶어 인수분해 공식 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용한다. xÝ`+5xÛ`+9=xÝ`+6xÛ`+9-xÛ` xÝ`+5xÛ`+9=(xÛ`+3)Û`-xÛ`  ③ xÝ`+5xÛ`+9=(xÛ`+x+3)(xÛ`-x+3) xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9=xÛ`(xÛ`+2x+1)-9 xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9=xÛ`(x+1)Û`-3Û` xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9={x(x+1)+3}{x(x+1)-3} xÝ`+2xÜ`+xÛ`-9=(xÛ`+x+3)(xÛ`+x-3) 따라서 두 다항식의 공통인 인수는 xÛ`+x+3이다.  ③ =2(x+1)(3x+7) 이때, 주어진 직육면체의 밑면의 한 변의 길이는 x+1, 높이는 x+3 이므로 겉넓이는 2(x+1)Û`+4(x+1)(x+3) =2(x+1){(x+1)+2(x+3)} 따라서 a=1, b=3, c=7이므로 a+b+c=11  ④ 유형 04 여러 개의 문자가 포함된 식의 인수분해 |전략| 주어진 식을 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인 ⑴ (직육면체의 겉넓이)=2_(밑넓이)+(옆넓이) ⑵ (직육면체의 부피)=(밑넓이)_(높이) 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리한 후 인수분해하면 0264 수분해한다. 2xÛ`+xy-yÛ`+2x-7y-12 =2xÛ`+(y+2)x-(yÛ`+7y+12) =2xÛ`+(y+2)x-(y+3)(y+4) ={x+(y+3)}{2x-(y+4)} =(x+y+3)(2x-y-4) 따라서 두 인수의 합은 (x+y+3)+(2x-y-4)=3x-1  ① 0265 유형 05 인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해 |전략| 식의 값을 0으로 만드는 x의 값을 찾아 인수정리와 조립제법을 이용하여 주어진 식을 인수분해한다.  f(x)=2xÝ`+5xÜ`-8xÛ`-17x-6이라 하면  f(-1)=0,  f(2)=0 이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 -2 2 2 2 5 -8 -17 -6 6 -2 -3 11 0 3 -11 -6 6 14 4 7 3 -0  f(x) =(x+1)(x-2)(2xÛ`+7x+3) =(x+1)(x-2)(2x+1)(x+3) 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ②이다.  ② 0266 유형 05 인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해 |전략| (직육면체의 부피)=(밑넓이)_(높이)이므로 인수정리와 조립제법을 이 0267 유형 06 axÝ`+bxÜ`+cxÛ`+bx+a 꼴의 인수분해 |전략| 주어진 식을 xÛ`으로 묶어낸 후 xÛ`+ 1 xÛ` = x- { ;[!;} `+2임을 이용한다. xÝ`-xÜ`-4xÛ`+x+1 + 1 xÛ` } ;[!; =xÛ` xÛ`-x-4+ { xÛ`+ 1 xÛ` [ =xÛ` - x- { ;[!;} -4 ] =xÛ` x- [{ ;[!;} - x- { ;[!;} -2 ] =xÛ` x- { ;[!; x- -2 ;[!; } }{ 2` +1 =(xÛ`+x-1)(xÛ`-2x-1) 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ①이다.  ① 0268 유형 07 순환하는 꼴의 다항식의 인수분해 |전략| 주어진 식을 전개한 후 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리한 후 인수분해하면 (x-y)Ü`+(y-z)Ü`+(z-x)Ü` =(xÜ`-3xÛ`y+3xyÛ`-yÜ`)+(yÜ`-3yÛ`z+3yzÛ`-zÜ`) +(zÜ`-3zÛ`x+3zxÛ`-xÜ`) =-3xÛ`y+3xyÛ`-3yÛ`z+3yzÛ`-3zÛ`x+3zxÛ` =-3(y-z)xÛ`+3(yÛ`-zÛ`)x-3yÛ`z+3yzÛ` =-3(y-z)xÛ`+3(y+z)(y-z)x-3yz(y-z) =-3(y-z){xÛ`-(y+z)x+yz} =-3(y-z)(x-y)(x-z) =3(x-y)(y-z)(z-x)  ② 용하여 부피를 인수분해하고, 밑면의 한 변의 길이와 높이를 구한다. 다른 풀이 x-y=a, y-z=b, z-x=c로 놓으면 f(x)=xÜ`+5xÛ`+7x+3이라 하면 -1 1 a+b+c=0 5 3 7 -1 -4 -3 f(-1)=0이므로 조립제법을 이용 ∴ (x-y)Ü`+(y-z)Ü`+(z-x)Ü` 1 -4 3 -0 ∴ =aÜ`+bÜ`+cÜ` 하여 인수분해하면 f(x)=(x+1)(xÛ`+4x+3) f(x)=(x+1)(x+1)(x+3) f(x)=(x+1)Û`(x+3) ∴ =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc ∴ =3abc (∵ a+b+c=0) ∴ =3(x-y)(y-z)(z-x) 3 인수분해 | 033 3ㅡ인수분해2 0269 유형 08 인수분해를 이용한 식의 변형 - 조건식이 주어진 경우 |전략| 조건식을 변형하여 주어진 식에 대입한 후 인수분해한다. x-y+3z=0에서y=x+3z ∴xÛ`+yÛ`+3zx=xÛ`+(x+3z)Û`+3zx ∴xÛ`+yÛ`+3zx=x(x+3z)+(x+3z)Û` ∴xÛ`+yÛ`+3zx=(x+3z)(x+x+3z) ∴xÛ`+yÛ`+3zx=(x+3z)(2x+3z) ∴xÛ`+yÛ`+3zx=y(2x+3z)(∵ y=x+3z)  ③ ∴ ∴ 0272 ∴ aÜ`+bÜ`+cÜ` abc -3= aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc abc -3= (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca) abc -3= 2{12-(-4)} 4 =8  ② 0270 유형 09 인수정리와 인수분해를 이용하여 미정계수 구하기 |전략| xÜ`-xÛ`+2f(x)=(x-1)(x+a)(x+b)로 놓고 이 식이 x에 대한 항 등식임을 이용한다.  f(x)=ax+b(a,b는상수)라하면 xÜ`-xÛ`+2f(x)=xÜ`-xÛ`+2(ax+b)  =xÜ`-xÛ`+2ax+2b 이식이x-1을인수로가지므로조립제법을이용하면 1 1 -1 1 2a   2b 20   2a 1 0 2a 2a+2b 이때,나머지가0이므로 2a+2b=0 ∴ a+b=0 xÜ`-xÛ`+2ax+2b=(x-1)(xÛ`+2a) 따라서(x+a)(x+b)=xÛ`+2a이므로 그런데ab=-2이므로a=-1 이값을㉠에대입하면b=1 ∴f(x)=-x+1 다른 풀이 xÜ`-xÛ`+2f(x)=(x-1)(x+a)(x+b) xÜ`-xÛ`+2f(x)=(x-1){xÛ`+(a+b)x+ab} 2f(x)=-(a+b-ab)x-ab 2f(x)=-2x+2 ∴  f(x)=-x+1 유형 12 인수분해를 이용한 수의 계산 |전략| 29를 문자로 치환한 후 인수분해 공식을 이용한다. 29=x로놓으면 29Ý`+29Û`+1 29Û`+29+1 = xÝ`+xÛ`+1 xÛ`+x+1 = (xÛ`+x+1)(xÛ`-x+1) xÛ`+x+1 =xÛ`-x+1=xÛ`+2x+1-3x =(x+1)Û`-3x =(29+1)Û`-3´29 =30Û`-87 ∴A=87 0273 유형 12 인수분해를 이용한 수의 계산 |전략| 인수분해 공식을 이용하여 주어진 식을 인수분해하고, 10과 30 사이의 자 연수 중에서 3ß`-1의 인수를 찾는다. yy㉠ 3ß`-1=(3Ü`)Û`-1 =(3Ü`+1)(3Ü`-1) =(3+1)(3Û`-3+1)(3-1)(3Û`+3+1) 따라서10과30사이에있는자연수중에서3ß`-1을나누어떨어지도 록하는자연수는13,14,26,28의4개이다.  ②  ② 0274 주어진식을x에대한내림차순으로정리하면 xÛ`-2xy+yÛ`+ax-4y-5 =xÛ`-(2y-a)x+yÛ`-4y-5 =xÛ`-(2y-a)x+(y+1)(y-5) 주어진식이x,y에대한일차식의곱으로인수분해되려면 -(y+1)-(y-5)=-2y+a  ④    … ❶ … ❷  4 배점 4점 3점 0271 유형 11 인수분해를 이용한 식의 값 구하기 |전략| 먼저 인수분해 공식 aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)를 이 용하여 ab+bc+ca의 값을 구한다. ∴a=4  채점 기준 aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca)에서 ❶ 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리할 수 있다. 12=2Û`-2(ab+bc+ca) ∴ ab+bc+ca=-4 ❷ a의 값을 구할 수 있다. 034 | I. 다항식 xÜ`-xÛ`+2f(x)=xÜ`+(a+b-1)xÛ`-(a+b-ab)x-ab |전략| 주어진 식을 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인 즉, a+b-1=-1에서 a+b=0이고, ab=-2이므로 수분해한다. 유형 04 여러 개의 문자가 포함된 식의 인수분해 xÛ`+(a+b)x+ab=xÛ`+2a에서a+b=0,ab=2a =4_7_2_13 정답과 해설 0275 유형 05 인수정리와 조리제법을 이용한 인수분해 |전략| 인수정리와 조립제법을 이용하여 주어진 식을 인수분해하고,  f(0)+0, g(3)+0임을 이용하여 이차식  f(x), g(x)를 구한다. xÝ`+xÜ`-8xÛ`-12x=x(xÜ`+xÛ`-8x-12) h(x)=xÜ`+xÛ`-8x-12라하면  -2 1 h(-2)=0이므로조립제법을이용 하여인수분해하면 h(x)=(x+2)(xÛ`-x-6) =(x+2)(x+2)(x-3) =(x+2)Û`(x-3) 1 -8 -12 12 2 -2 1 -1 -6 -0 ∴xÝ`+xÜ`-8xÛ`-12x=x(x+2)Û`(x-3) … ❶ f(x),g(x)는각각이차식이고 f(0)+0,g(3)+0이므로 f(x)는 x를인수로갖지않고,g(x)는x-3을인수로갖지않는다. 즉, f(x)=(x+2)(x-3),g(x)=x(x+2) ∴g(1)=3  … ❷ … ❸  3 채점 기준 ❶ 주어진 식을 인수분해할 수 있다. ❷  f(x), g(x)를 구할 수 있다. ❸ g(1)의 값을 구할 수 있다.  배점 3점 2점 1점 0276 유형 11 인수분해를 이용한 식의 값 구하기 |전략| x+y, xy의 값을 구하여 주어진 식을 인수분해한 식에 대입한다. x=1+ 3,y=1- 3에서 ' x+y=(1+ 3)+(1- 3)=2 ' 3)(1- ' 3)=-2 xy=(1+ ' ' ' ∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=xyÛ`-2x+yxÛ`-2y ∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=(xyÛ`+xÛ`y)-(2x+2y) ∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=xy(x+y)-2(x+y) ∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=(x+y)(xy-2) ∴x(yÛ`-2)+y(xÛ`-2)=2(-2-2)=-8 ❶ x+y, xy의 값을 구할 수 있다. ❷ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.  채점 기준 0277 ⑵P(x)=xÝ`-3xÜ`+3xÛ`+3x-4이므로조립제법을 이용하여 인 ⑴P(-1)=1-a+b-3-4=0 ⑴∴-a+b=6 ⑴P(1)=1+a+b+3-4=0 ⑴∴a+b=0 ⑴㉠,㉡을연립하여풀면a=-3,b=3 수분해하면 -1 1 -3 -1 3 4 -7 3 -4 4 -1 1 -4 7 -4 4 1 -3 0 1 -3 4 -0 ⑴∴P(x)=(x+1)(x-1)(xÛ`-3x+4) ⑴∴f(x)=xÛ`-3x+4  채점 기준 ⑴ 상수 a, b의 값을 구할 수 있다. ⑵ f(x)를 구할 수 있다. ……㉠ ……㉡  풀이 참조 배점 4점 6점 0278 면 유형 10 인수분해를 이용하여 삼각형의 모양 판단하기 |전략| 주어진 등식의 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 구한다. ⑴주어진식의좌변을c에대한내림차순으로정리한후인수분해하 ⑴aÝ`+aÛ`cÛ`+bÛ`cÛ`-bÝ`=(aÛ`+bÛ`)cÛ`+aÝ`-bÝ` ⑴aÝ`+aÛ`cÛ`+bÛ`cÛ`-bÝ`=(aÛ`+bÛ`)cÛ`+(aÛ`+bÛ`)(aÛ`-bÛ`) … ❶ ⑴aÝ`+aÛ`cÛ`+bÛ`cÛ`-bÝ`=(aÛ`+bÛ`)(cÛ`+aÛ`-bÛ`) ⑴즉,(aÛ`+bÛ`)(cÛ`+aÛ`-bÛ`)=0에서 ⑴a>0,b>0이므로aÛ`+bÛ`+0 ⑴∴cÛ`+aÛ`-bÛ`=0 ∴ bÛ`=aÛ`+cÛ` ⑴따라서주어진조건을만족시키는삼각형은빗변의길이가b인직 ⑵빗변의길이가b인직각삼각형의넓이는 ac이다. ;2!; … ❷ … ❸  -8 배점 2점 3점 2점 각삼각형이다.  채점 기준 ⑵ 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.  풀이 참조 배점 8점 4점 ❸ ❷의 식에 x+y, xy의 값을 대입하여 주어진 식의 값을 구할 수 있다. ⑴ 주어진 식의 좌변을 인수분해하여 삼각형의 모양을 판단할 수 있다. 유형 09 인수정리와 인수분해를 이용하여 미정계수 구하기 |전략| xÝ`+axÜ`+bxÛ`+3x-4=(x+1)(x-1)f(x)는 x에 대한 항등식이 므로 주어진 식에 x=-1, x=1을 각각 대입하여 상수 a, b의 값을 구한다. ⑴P(x)=xÝ`+axÜ`+bxÛ`+3x-4라하면P(x)가x+1,x-1을 각각인수로가지므로 한다. 창의·융합 교과서 속 심화문제 0279 |전략| xÛ`+x-n=(x+a)(x-b) ( a, b는 자연수)를 만족하는 a, b의 값을 구 3 인수분해 | 035 3ㅡ인수분해 fÇ(x)=xÛ`+x-n=(x+a)(x-b)(a,b는자연수)에서 xÛ`+x-n=xÛ`+(a-b)x-ab 0282 |전략| 다항식  f(x)가 x-c로 나누어떨어지면  f(c)=0임을 이용하여 주어진 식을 인수분해한 다음 a, b, c 사이의 관계를 조사한다. 이때,ab의값은1000이하인자연수이고,a-b=1인a,b의값을구  f(x)=xÜ`-(a+b)xÛ`-(aÛ`+bÛ`)x+aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`이라하면 ∴a-b=1,ab=n 해보면다음표와같다. a b ab 2 1 2 3 2 6 4 3 12 y y y 31 30 32 31 930 992 따라서1000개의다항식중(x+a)(x-b)꼴로인수분해되는  fÇ(x)의개수는31이다.  ③  f(c)=(c-a-b)(cÛ`-aÛ`-bÛ`)=0 다항식 f(x)가x-c로나누어떨어지므로  f(c)=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ`  f(c)=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b)  f(c)=cÜ`-(a+b)cÛ`-(aÛ`+bÛ`)c+(aÛ`+bÛ`)(a+b)  f(c)=cÛ`{c-(a+b)}+(aÛ`+bÛ`){(a+b)-c}  f(c)=cÛ`(c-a-b)-(aÛ`+bÛ`)(c-a-b) 이때,a,b,c는삼각형의세변의길이이므로c+a+b 즉,cÛ`-aÛ`-bÛ`=0 ∴ cÛ`=aÛ`+bÛ` 따라서주어진조건을만족시키는삼각형은빗변의길이가c인직각 삼각형이다.  빗변의 길이가 c인 직각삼각형 인수정리 다항식 `f(x)가 일차식 x-a로 나누어떨어지면 ⇨  f(a)=0 0283 |전략| 주어진 조건을 이용하여 a, b, c, d, e,  f 사이의 관계식을 구한다. 여덟개의정삼각형모양의면에적힌수의합을구하면 abc+acd+ade+aeb+fbc+fcd+fde+feb=105 a(bc+cd+de+eb)+f(bc+cd+de+eb)=105 (a+f){b(c+e)+d(c+e)}=105 (a+f)(b+d)(c+e)=105 이때,여섯개의꼭짓점에적힌수는모두자연수이고,105=3´5´7 a+b+c+d+e+f=3+5+7=15  15 0284 |전략| 15=A로 놓고 AÜ`+AÛ`-A+2를 인수분해한다. A=15로놓으면 15Ü`+15Û`-15+2=AÜ`+AÛ`-A+2  f(A)=AÜ`+AÛ`-A+2라하면 -2 1 1 -1 -2 1 -1 2 2 -2 1 -0 0280 |전략| nÝ`-6nÛ`+25의 값이 소수이려면 인수는 1과 자기 자신뿐이어야 한다. nÝ`-6nÛ`+25=nÝ`+10nÛ`+25-16nÛ` nÝ`-6nÛ`+25=(nÛ`+5)Û`-(4n)Û` nÝ`-6nÛ`+25=(nÛ`+4n+5)(nÛ`-4n+5) 이것이소수이므로 nÛ`+4n+5=1또는nÛ`-4n+5=1 이어야한다.즉, nÛ`+4n+4=(n+2)Û`=0에서n=-2 nÛ`-4n+4=(n-2)Û`=0에서n=2 이때,nÝ`-6nÛ`+25=17로소수가되므로조건을만족시킨다. 따라서구하는정수n은-2,2의2개이다.  2 0281 |전략| 인수정리와 조립제법을 이용하여 xÜ`+(a-1)xÛ`+(2-a)x-2를 인수 이므로 분해하고, 서로 다른 세 일차식의 곱으로 인수분해되도록 하는 상수 a의 값을 구 한다.  f(x)=xÜ`+(a-1)xÛ`+(2-a)x-2라하면 f(1)=0이므로조립 제법을이용하여인수분해하면 1 1 1 a-1 11 a1 2-a -2 a1 -2 21 -0 ∴ f(x)=(x-1)(xÛ`+ax+2) 이때,xÛ`+ax+2=(x+p)(x+q)(p,q는정수)라하면  f(-2)=0이므로 조립제법을 이 xÛ`+ax+2=xÛ`+(p+q)x+pq에서 a=p+q  yy㉠,2=pq  yy㉡ 그런데㉡에서p=-1,q=-2또는p=-2,q=-1일때는 용하여인수분해하면  f(A)=(A+2)(AÛ`-A+1)  f(A)=(15+2)(15Û`-15+1) A=15를 대입  f(x)=(x-1)Û`(x-2)가되어 f(x)가서로다른세일차식의곱으  f(A)=17_211=a_b 로인수분해된다는조건을만족하지않는다. 따라서p=1,q=2또는p=2,q=1이므로㉠에서 이때,a,b는자연수이고17과211은소수이므로 a=17,b=211또는a=211,b=17  3 ∴a+b=228  228 a=1+2=3 036 | I. 다항식 정답과 해설 4 복소수 본책 52~61쪽 0298 개념 마스터 STEP1 0285  실수부분 : 0, 허수부분 : 6 0286  실수부분 : -3, 허수부분 : ' 5 0287  실수부분 : ;2&;, 허수부분 : - ;2#; 0288  실수부분 : 2- 3, 허수부분 : 0 ' 0289  ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ 0290 (x+2y)-4i=-1+2yi에서 x+2y=-1,2y=-4 ∴x=3,y=-2 0291 (2x-y)+(x+3y)i=4-5i에서 2x-y=4,x+3y=-5 ∴x=1,y=-2 0292 3+2iÓ=3-2i 0293 5Õ=5 0294 -3iÓ=3i 0295 4i- ' 0296 0297 (3+i)(2-i)=6-3i+2i-iÛ`=6-i-(-1) =7-i   7-i 0299 1+i 1+3i = (1+i)(1-3i) (1+3i)(1-3i) = 1-3i+i-3iÛ` 1-9iÛ` = 4-2i 10 = - i ;5!; ;5@;  ;5@; - i ;5!; 0300 ⑴xÛ`+yÛ`=(1+i)Û`+(1-i)Û`=2i-2i=0 ⑵ + = ;]!; ;[!; + 1 1-i = 1-i+1+i (1+i)(1-i) 1 1+i 2 1-i Û` ⑵ + = ;]!; ;[!; = =1 ;2@;  다른 풀이 x=1+i, y=1-i이므로 x+y=(1+i)+(1-i)=2, xy=(1+i)(1-i)=2 ⑴ xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=2Û`-2´2=0  ⑴ 0 ⑵ 1  x=3, y=-2 ⑵ + = 1 x 1 y x+y xy = =1 ;2@; 0301 i¡`=(iÝ`)Û``=1  x=1, y=-2 0302 (-i)Þ`=-iÞ`=-iÝ`´i=-i  3-2i 0303 i50=(iÝ`)12´iÛ`=1´(-1)=-1  5 0304 i100+i200=(iÝ`)25+(iÝ`)50=1+1=2  1  -i  -1  2  3i '  4i i  ;5#; 4 복소수 | 037 2Ó=- 2+4iÓ=- 2-4i ' '  -4i- 2 ' 0306 -16= 6i=4i 1 '¶ ' (5-2i)+(3+4i)=(5+3)+(-2+4)i =8+2i  8+2i -18=- 8i=-3 1 2i ' '  -3 2i ' (2-i)-(-3+4i)=(2+3)+(-1-4)i =5-5i  5-5i - = ®É;2»5;  i= i ;5#; ;2»5; ®É  3i 0305 -3= 3i ' '¶   0307 - '¶ 0308 4ㅡ복소수§ § 정답과 해설 0309 Ñ '¶ -2=Ñ 2i ' a의 제곱근 곱근이라 한다. -16=Ñ 6i=Ñ4i 1 ' -12= 3i´ 1 2i= 3 6iÛ`=-6 ' ' ' 0310 Ñ '¶ 0311 -3 '¶ 'Ä 0312 2 ' -3 '¶ 2 3i = ' ' = ' ' 2i 3i Û` 6 =- ' 3 i 0316  Ñ 2i ' (1+2i)(2- 3i)Û`(2+ 3i)Û` ' ' =(1+2i){(2- ' =(1+2i)(4+3)Û` 3i)(2+ 3i)}Û` ' 실수 a에 대하여 제곱하여 a가 되는 수, 즉 xÛ`=a를 만족시키는 x를 a의 제 =49+98i 따라서a=49,b=98이므로 a-b=-49  -49  Ñ4i  -6 6  - ' 3 i 0317 2- 2+ 3i 3i ' ' + + + 2+ 2- 3i 3i ' ' = (2- ' (2+ 4-4 ' = 3i)Û` ' 3i) ' 3i)Û`+(2+ 3i)(2- ' 3i-3+4+4 4+3 ' 3i-3 =  ;7@;  ① 0318 (2+i)◎(4-i)=(2+i)+(4-i)-2(2+i)(4-i) =6-2(8-2i+4i+1) =6-18-4i =-12-4i 따라서구하는허수부분은-4이다.  ① 0319 |전략| x=a+bi (a, b는 실수)가 주어지고 x에 대한 식의 값을 구할 때에는 x-a=bi로 변형한 후 양변을 제곱하여 x에 대한 이차방정식을 만든다. x= 3+i 2 에서2x-3=i 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0313 ①5-2i의실수부분은5이고,허수부분은-2이다. ②모든실수는복소수에포함되므로0도복소수이다. ③1+2i는순허수가아니다. ④a=2i,b=0이면a+bi=2i는순허수이다. a가 실수라는 조건이 없으므로 허수일 수도 있다.  ⑤ 0314 |전략| 허수 중에서 실수부분이 0인 허수가 순허수이다. 허수는-i,1+3i, 2i,2- i이고,이중순허수는-i, 2i이므로 양변을제곱하면4xÛ`-12x+9=-1 ' ;4#; ' 보기중순허수가아닌허수는1+3i,2- i의2개이다.  2 ;4#; 4xÛ`-12x=-10  ∴2xÛ`-6x=-5 ∴6xÛ`-18x+14=3(2xÛ`-6x)+14 =3´(-5)+14=-1  -1 0315 |전략| 복소수의 곱셈은 i를 문자처럼 생각하여 전개한 후 iÛ`=-1임을 이용하여 계산하고, 복소수의 나눗셈은 분모, 분자에 분모의 켤레복소수를 곱하여 계산한 다. (2+3i)(5-i)+ =10-2i+15i+3+ 2(-3+2i) 1+i 2(-3+2i)(1-i) (1+i)(1-i) =13+13i+ 2(-3+3i+2i+2) 2 =13+13i-1+5i =12+18i 따라서a=12,b=18이므로 a+b=30 038 | II. 방정식과 부등식 038 | II. 방정식과 부등식 0320 a+b=(2+i)+(2-i)=4 ab=(2+i)(2-i)=5 ∴ + = b a a b aÛ`+bÛ` ab = (a+b)Û`-2ab ab ∴ + = 4Û`-2´5 5 =  ;5^; 다른 풀이 + = a b 2-i 2+i + 2+i 2-i = (2-i)Û`+(2+i)Û` (2+i)(2-i) b a  30 = 3-4i+3+4i 5 = ;5^;  ;5^; § Œ Œ 0321 |전략| 복소수 a+bi (a, b는 실수)가 순허수이면 a=0, b+0이다. (1+i)xÛ`+(3-i)x+2(1-i) =xÛ`+xÛ`i+3x-xi+2-2i =(xÛ`+3x+2)+(xÛ`-x-2)i 이복소수가순허수가되려면 xÛ`+3x+2=0  yy㉠,xÛ`-x-2+0  yy㉡ ㉠에서(x+1)(x+2)=0 ∴ x=-1또는x=-2 ㉡에서(x+1)(x-2)+0 ∴ x+-1,x+2 따라서구하는x의값은x=-2 0322 z=i(x-2i)Û`=i(xÛ`-4xi-4) =4x+(xÛ`-4)i z가실수가되려면 xÛ`-4=0,(x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2또는x=2 이때,음수x의값이a이므로a=-2 또,x=-2를z=4x+(xÛ`-4)i에대입하면 z=-8,즉b=-8 ∴a-b=-2-(-8)=6  채점 기준 ❶ z를 (실수부분)+(허수부분) i로 나타낼 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ a-b의 값을 구할 수 있다. 0323 zÛ`이실수가되려면z는실수이거나순허수이어야한다. z=a(1+i)-3(1-i)=(a-3)+(a+3)i에서 Úz가실수일때 a+3=0 ∴ a=-3 Ûz가순허수일때 a-3=0이고a+3+0 ∴ a=3 따라서모든실수a의값의합은-3+3=0  ② 다른 풀이 zÛ`=(a-3)Û`+2(a-3)(a+3)i-(a+3)Û zÛ`이 실수가 되려면 2(a-3)(a+3)=0 ∴ a=-3 또는 a=3 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 -3+3=0 0324 z=aÛ`(1-2i)+a(1+i)-(2-i) =aÛ`-2aÛ`i+a+ai-2+i =(aÛ`+a-2)+(-2aÛ`+a+1)i  … ❶ … ❷ … ❸  6 비율 30`% 60`% 10`%       ㉠에서(a+2)(a-1)=0 ∴ a=-2또는a=1 ㉡에서(2a+1)(a-1)+0 ∴ a+- ,a+1 ;2!; 따라서구하는a의값은a=-2  ① 「복소수 z에 대하여 zÛ`이 음의 실수이면 z는 순허수이다.」를 설명하여 보자. z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zÛ`=(a+bi)Û`=aÛ`-bÛ`+2abi zÛ`이 음의 실수가 되려면 aÛ`-bÛ`<0 yy ㉠, 2ab=0 yy ㉡  -2 ㉡에서 a=0 또는 b=0 이때, b=0이면 ㉠에서 aÛ`<0이 되어 성립하지 않는다. (∵ aÛ`¾0) 따라서 a=0이고 ㉠에서 -bÛ`<0이므로 b+0 즉, a=0, b+0이므로 z는 순허수이다. 0325 |전략| a+bi=c+di (a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d이다. = x(1-i)+y(1+i) (1+i)(1-i) = (x+y)+(-x+y)i 2 (1+2i)x+(2-i)y=-5+10i에서 x+2xi+2y-yi=-5+10i (x+2y)+(2x-y)i=-5+10i 복소수가서로같을조건에의하여 x+2y=-5,2x-y=10 두식을연립하여풀면x=3,y=-4 ∴x+y=-1 0326 x 1+i 즉, + y 1-i + -x+y 2 x+y 2 i=3-i이므로 (x+y)+(-x+y)i=6-2i 복소수가서로같을조건에의하여 x+y=6,-x+y=-2 두식을연립하여풀면x=4,y=2 ∴xy=8  채점 기준 ❶ 주어진 등식의 좌변을 (실수부분)+(허수부분) i로 나타낼 수 있다. ❷ x, y의 값을 구할 수 있다. ❸ xy의 값을 구할 수 있다. 0327 xÛ`+yÛ`i+x+yi-2-6i=0에서 (xÛ`+x-2)+(yÛ`+y-6)i=0  ② … ❶ … ❷ … ❸  8 비율 40`% 40`% 20`% 4 복소수 | 039 zÛ`이음의실수가되려면z는순허수이어야하므로 복소수가서로같을조건에의하여 aÛ`+a-2=0  yy㉠,-2aÛ`+a+1+0  yy㉡ xÛ`+x-2=0,yÛ`+y-6=0 4ㅡ복소수 xÛ`+x-2=0에서(x+2)(x-1)=0 ∴x=-2또는x=1 yÛ`+y-6=0에서(y+3)(y-2)=0 ∴`y=-3또는y=2 따라서x+y의값이될수있는것은 -2-3=-5,-2+2=0,1-3=-2,1+2=3  ⑤ 0328 |전략| z=a+bi, z ®=a-bi (a, b는 실수)로 놓고 주어진 보기의 식을 계산하여 본다. z=a+bi(a,b는실수)라하면z Õ=a-bi이므로 ∴ a=0 ㄱ.a+bi=-(a-bi)에서2a=0 0331 |전략| 주어진 식을 간단히 정리한 후 a, b의 값을 대입한다. aaÕ+aÕb+abÕ+bbÕ=aÕ(a+b)+bÕ(a+b) =(a+b)(aÕ+bÕ) =(a+b)(a+bÓ) 이때,a=-1+2i,b=2-i이므로 a+b=1+i,a+bÓ=1-i ∴(주어진식)=(1+i)(1-i)=2  ① 0332 zÁÕ-zªÕ=zÁ-zªÓ=3+2i이므로zÁ-zª=3-2i 따라서z=bi이므로z는순허수이다. zÁÕ´zªÕ=zÁzªÓ=6+i이므로zÁzª=6-i ㄴ.(a+bi)-(a-bi)=0에서2bi=0 ∴ b=0 ∴(2zÁ+1)(2zª-1)=4zÁzª-2(zÁ-zª)-1 따라서z=a이므로z는실수이다. =4(6-i)-2(3-2i)-1 ㄷ.z=i이면zÛ`=-1로실수이지만(z+1)Û`=(i+1)Û`=2i이므로 =17       허수이다. 따라서옳은것은ㄴ이다.  ② 0329 z=a+bi(a,b는실수)라하면zÕ=a-bi이므로 ㄱ.(z+1)(zÕ+1)=zzÕ+z+zÕ+1 ㄴ.(z+1)(zÕ-1)=zzÕ-z+zÕ-1 =(a+bi)(a-bi)+a+bi+a-bi+1  =aÛ`+bÛ`+2a+1(실수) =(a+bi)(a-bi)-(a+bi)+a-bi-1 =aÛ`+bÛ`-1-2bi ㄴ.이때,b+0이면실수가아니다. ㄷ.(2z+1)(zÕ+1)-z=2zzÕ+2z+zÕ+1-z =2zzÕ+z+zÕ+1 =2(a+bi)(a-bi)+a+bi+a-bi+1 =2(aÛ`+bÛ`)+2a+1(실수) 따라서항상실수인것은ㄱ,ㄷ이다.  ③ 0330 |전략| 허수 z에 대하여 복소수  f(z)가 실수이면  f(z)는 그 켤레복소수 { f(z)}Ó와 같다. 즉, {f(z)}Ó=f(z)이다. 복소수 이실수이므로 1 1-zÛ` É{ ,  = 1-zÛ`Ó = 1 1 1-zÛ` ∴ (z-z Õ)(z+zÕ)=0 1 1 1-zÛ` } 1-zÛ` 1-zÛ`=1-zÛ`Ó,1-zÛ`=1-z ÕÛ` zÛ`-z ÕÛ`=0 그런데z는허수이므로z+zÕ ∴z+zÕ=0 이때,z=a+bi(a,b는실수)라하면zÕ=a-bi이므로 z+zÕ=2a=0 따라서z의실수부분은0이다. ∴ a=0 040 | II. 방정식과 부등식 0333 z= wÕ+1 2w-1 ∴zzÕ= 2- ' 1+2 ' 2i ∴zzÕ= 2- ' 2i 1+2 ' 다른 풀이 zÕ=Ð{ wÕ+1 2w-1 zzÕ= ´ 2i 2i = 2- ' 1+2 ' = 2- ' 1+2 ' 2i 2i 2i+1 2i)-1 2i 2i = 1- ' 2(1+ ' 2- ' 1+2 ' 2i ´ 2+ ' 2i 1-2 ' ´Ð{ 2i 2i } = 4+2 1+8 =  ;3@; ´ 2- ' 1+2 ' 2iÓ 2iÓ wÕ+1 2w-1 } = wÕ+1Ó 2w-1Ó = w+1 2wÕ-1 에서 w+1 2wÕ-1 = wwÕ+w+wÕ+1 4wwÕ-2(w+wÕ)+1 이때, w+wÕ=(1+ 2i)+(1- 2i)=2, wwÕ=(1+ ' (주어진 식)= ' 2i)(1- ' ' 2i)=3이므로 3+2+1 4´3-2´2+1 = ;3@; 0334 aaÕ=3,bbÕ=3에서a= 3 aÕ ,b= 3 bÕ a+b=6i에서 3 aÕ + 3 bÕ =6i 3(aÕ+bÕ) aÕ´bÕ =6i,3(a+bÓ)=6iabÓ 3´6iò=6iabÓ,3´(-6i)=6iabÓ abÓ=-3  ∴ab=-3 ∴ 1 a + 1 b = a+b ab = 6i -3 =-2i 다른 풀이 aaÕ=3, bbÕ=3에서 = 1 a a Õ , 3 1 b = b Õ 3 ∴ + = + 1 a 1 b b Õ 3 = a Õ+b Õ 3 = a+bÓ 3  0 ∴ + = = =-2i -6i 3 a Õ 3 6iÕ 3      ②  ;3@;  -2i 정답과 해설 0335 |전략| z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 주어진 식에 대입한 후 복소수가 서로 같 을 조건을 이용하여 a, b의 값을 구한다. z=a+bi(a,b는실수)라하면z Õ=a-bi이므로 즉,z=1+i이므로 zÛ`=(1+i)Û`=1+2i-1=2i zÝ`=zÛ`´zÛ`=2i´2i=-4 z¡`=zÝ`´zÝ`=(-4)´(-4)=16 (1+2i)z+3z Õi=6i+2에서 (1+2i)(a+bi)+3(a-bi)i=6i+2 a+bi+2ai-2b+3ai+3b=2+6i (a+b)+(5a+b)i=2+6i 복소수가서로같을조건에의하여 a+b=2,5a+b=6 두식을연립하여풀면a=1,b=1 ∴z=1+i  ④ 0336 z=a+bi (a,b는실수)라하면z Õ=a-bi이므로 z+z Õ=(a+bi)+(a-bi)=2a=8 ∴ a=4 zz Õ=(a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=16+bÛ`=16 bÛ`=0 ∴ b=0 따라서z=4이므로 z 1-i = 4(1+i) (1-i)(1+i) =2+2i  ⑤ z+zi=(a+bi)+(a+bi)i=a+bi+ai-b  0337 z=a+bi (a,b는실수)라하면 =(a-b)+(a+b)i 이므로 z+ziÓ=(a-b)-(a+b)i=1-i 복소수가서로같을조건에의하여 a-b=1,a+b=1 두식을연립하여풀면a=1,b=0 따라서z=1이므로z+ =1+1=2 ;z!;  2 따라서zÇ`이양수가되는자연수n의최솟값은8이다.  채점 기준 ❶ z=a+bi로 놓고 주어진 등식에 대입하여 식을 정리할 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ zÇ`이 양수가 되는 자연수 n의 최솟값을 구할 수 있다. … ❸  8 비율 40`% 30`% 30`% 0339 |전략| 음이 아닌 정수 n에 대하여 i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n+4=1 임을 이용한다. 1+i+iÛ`+iÜ`+y+i3050 =(1+i+iÛ`+iÜ`)+(iÝ`+iÞ`+iß`+ià`)+y+i3048+i3049+i3050 =(1+i-1-i)+(1+i-1-i)+y+1+i-1 =i  i 1 i 0340 + 1 i Û` + 1 i Û` 1 i = { + 1 i Ü` + 1 i Ü` + 1 i Ý` + 1 +y+ 1 i 102 +y+ i Ý` } 1 i 97 + 1 i 98 + 1 i 99 + 1 i 100 } { =+ 1 i 101 + 1 i 102 -1- 1 i = { 1 i = 1 i -1=-1-i +1 +y+ } 1 i -1- 1 i { +1 + 1 i } -1 따라서a=-1,b=-1이므로 a+b=-2  -2 0338 z=a+bi(a,b는실수)라하면zÕ=a-bi이므로 (2+i)z+(3-2i)zÕ=2-2i에서 (2+i)(a+bi)+(3-2i)(a-bi)=2-2i 2a+2bi+ai-b+3a-3bi-2ai-2b=2-2i (5a-3b)-(a+b)i=2-2i 복소수가서로같을조건에의하여 5a-3b=2,a+b=2 두식을연립하면풀면a=1,b=1 … ❶ … ❷    0341 |전략| 1+i 1-i =i, 1+i 1-i 1-i 1+i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) =-i 임을 이용한다. = 2i 2 =i 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -2i 2 =-i 1000 ∴ { 1+i 1-i } + { 1-i 1+i } 1010 =i1000+(-i)1010 =(iÝ`)250+{(-i)Ý`}252´(-i)Û` =1+iÛ` =1+(-1)=0  ④ 4 복소수 | 041 4ㅡ복소수 0342 (1-i)300={(1-i)Û`}150=(-2i)150 =(-2)150´i4´37+2=-2150 (1+i)300={(1+i)Û`}150=(2i)150 =2150´i4´37+2=-2150 0346 -3  ' '¶ 1 2+ -3  'Ä '¶ = 3i´2 3+ 3i´2 ' ' ' 3 12 -3 2 1 -12+ '¶ ' 3i 3 3i+ ' 2 ' ' + ' 'Ä- 3 3i + ' 2 ' ∴(1-i)300-(1+i)300=-2150-(-2150)=0  0 =6i-6+ i- i ;2!; ;2!; 0343 zÛ`= { = 2i 2 1+i 2 } ' 2` ∴1+z+zÛ`+y+z¡` =i이므로zÝ`=-1  =(1+z+zÛ`+zÜ`)+zÝ`(1+z+zÛ`+zÜ`)+z¡` =(1+z+i+zi)-(1+z+i+zi)+z¡` =z¡`=(zÛ`)Ý`=iÝ` =1 다른 풀이 zÛ`=i이므로 1+zÛ`+zÝ`+zß`=1+i-1-i=0 ∴1+z+zÛ`+y+z¡`  =(1+zÛ`+zÝ`+zß`)+z(1+zÛ`+zÝ`+zß`)+z¡`  =z¡`=1 0344       1 따라서-6+6i=a+bi이므로 =-6+6i a=-6,b=6 ∴a+b=0  채점 기준 ❶ 주어진 식의 좌변을 간단히 할 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ a+b의 값을 구할 수 있다. 0347 |전략| 음수의 제곱근의 성질을 이용한다. a b ' ' ① " ② ' =- 이므로a>0,b<0 ®;bA; a bÛ`= ' b= a´ "Å b a a ' ' bÛ`=-b a ' bÛ`=|b|=-b " ③-a<0,-b>0이므로 '¶ ④ab<0이므로|ab|=-ab -a '¶ |전략| =-i, =i 임을 이용하여  f(n)을 간단히 한 후 1-i 1+i 1+i 1-i  f(1)+f(2)+f(3)+y+f(100)의 값을 구한다. -b= -a)´(-b)= ( b a " ' ⑤a-b>0이므로|a-b|=a-b  ③ 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -2i 2 =-i 1+i 1-i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) = 2i 2 =i ∴ f(n)= 4n 1-i 1+i } { - { 2n 1+i 1-i } ∴ f(n)=(-i)4n-i 2n=1-(-1)Ç``  f(1)+f(2)+f(3)+y+f(100) =2+0+2+y+0 =2´50=100 즉,n이짝수일때 f(n)=0이고,n이홀수일때 f(n)=2이므로 -a= ai (a>0)임을 이용하여 음수의 제곱근을 허수단위 i를 사용하 0iÛ`=- 1 0 ' -2)Û``= -2  '¶ '¶ -2= 2i´ 2i=-2 ' ' 0345 |전략| '¶ 여 나타낸다. ' -5= ① '¶ ② '¶ ③(- -2 '¶ -5 ' ' -2)Û`=( 0= 2 2i´ ' 5i´2 ' ' 1 5i= ' 5=10i '¶ 8 -2 = 8 = ④ ' '¶ ⑤ '¶- 2 ' 2 2 ' 2i ' 2 2i ' 2 ' '¶ = 2 i =2i =-2i 042 | II. 방정식과 부등식 0348 a b ' ' ∴ " =- 이므로a>0,b<0 ®;bA; a-b)Û`+|a|- ( bÛ`=|a-b|+|a|-|b| " =a-b+a-(-b) =2a  100 a b이므로a<0,b<0 0349 a b=- ' ' ' ㄱ.a+b<0 =  ®;aB; b a ㄴ. ' ' aÛ` ㄷ. "Å "Å bÛ`=|a|´|b|=(-a)´(-b)=ab ㄹ.a+b<0이므로|a+b|=-a-b |a|+|b|=-a-b ∴|a+b|=|a|+|b|  ③ ㅁ.-a>0,b<0이므로 '¶ 'Ä 따라서옳은것은ㄱ,ㄹ의2개이다. -a b= ' -ab … ❶ … ❷ … ❸  0 비율 60`% 30`% 10`%    ③    ② 정답과 해설Œ Œ Œ Œ Œ Å Œ à Œ à Œ 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0350 0353 유형 04 복소수가 실수 또는 순허수가 될 조건 |전략| 복소수 z에 대하여 zÛ`이 양의 실수이면 z는 0이 아닌 실수이어야 한다. 유형 02 복소수의 사칙연산 |전략| 복소수의 나눗셈은 분모, 분자에 분모의 켤레복소수를 곱하여 계산한다. z =(a+2i)(1-2i)=a-2ai+2i+4 =(a+4)-2(a-1)i 3-2i+ 1-2i 1-i +3i+ -1+2i 1+i =3-2i+ (1-2i)(1+i) (1-i)(1+i) +3i+ (-1+2i)(1-i) (1+i)(1-i) =3-2i+ +3i+ 3-i 2 1+3i 2 =5+2i 0351 유형 02 복소수의 사칙연산 |전략| 규칙을 찾아 주어진 등식을 간단히 한다. f(1, 2)= 1-2i 1+2i , f(2, 4)= 2-4i 2+4i = 1-2i 1+2i , y, f(5, 10)= 이때, 1-2i 1+2i 5-10i = 1-2i 5+10i 1+2i = (1-2i)Û` (1+2i)(1-2i) (주어진 식)=5´ =-3-4i -3-4i 5 = -3-4i 5 이므로 다른 풀이 `f(a, b)= a-bi a+bi = (a-bi)Û` (a+bi)(a-bi) 이때, b=2a이면 = aÛ`-bÛ` aÛ`+bÛ` - 2ab aÛ`+bÛ` i `f(a, 2a)= aÛ`-(2a)Û` aÛ`+(2a)Û` - 4aÛ` aÛ`+(2a)Û` i= -3-4i 5 (∵ a+0) ∴ f(1, 2)=f(2, 4)=y=f(5, 10)= -3-4i 5 ∴ (주어진 식)=5´ =-3-4i -3-4i 5 0352 한다. x+y= 3i 1+ ' 2 + 3i 1- ' 2 =1 xy= 3i 1+ ' 2 ´ 3i 1- ' 2 = =1 ;4$; ∴ xÛ`-xy+yÛ` =(x+y)Û`-3xy =1Û`-3´1=-2 (cid:9000) ② 다른 풀이 xÛ`-xy+yÛ`= 3i 1+ ' 2 { - } ` 3i 1+ ' 2 ´ 3i 1- ' 2 + { 3i 1- ' 2 } ` xÛ`-xy+yÛ`= -2+2 3i ' 4 - + ;4$; -2-2 3i ' =-2 4 zÛ`이 양의 실수가 되려면 z는 0이 아닌 실수이어야 하므로 a+4+0, a-1=0 ∴ a=1 (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ⑤ 0354 유형 05 복소수가 서로 같을 조건 |전략| 좌변을 정리하여 a+bi 꼴로 나타낸 후 a+bi=c+di ( a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d임을 이용한다. (x+i)(2i-y)+(2y-x)i=2+4i에서 2xi-xy-2-yi+2yi-xi=2+4i -xy-2+xi+yi=2+4i (-xy-2)+(x+y)i=2+4i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 -xy-2=2, x+y=4 ∴ xy=-4, x+y=4 (cid:9000) ① ∴ + ;[!; ;]!; = x+y xy = 4 -4 =-1 (cid:9000) ② 0355 용한다. 유형 06 켤레복소수의 성질 |전략| a=a+bi ( a, b는 실수)로 놓고 복소수의 연산과 켤레복소수의 성질을 이 ㄱ. a=i이면 a-a Õ=i-(-i)=2i이므로 허수이다. ㄴ. a=a+bi(a, b는 실수)라 하면 a Õ=a-bi이므로 aa Õ=(a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=0 따라서 a=b=0이므로 a=0 ㄷ. a=0이면 aÛ`-aÛ`Õ=0이므로 실수이다. 4ㅡ 복 소 수 0356 유형 07 켤레복소수의 성질을 이용한 연산 |전략| 주어진 식을 간단히 정리한 후 a+b와 a+bÓ의 값을 대입한다. aa Õ+a Õb+abÕ+bbÕ =a Õ(a+b)+bÕ(a+b) =(a+b)(a Õ+bÕ) =(a+b)(a+bÓ) =(3+ 5i)(3- 5i) ' ' =14 (cid:9000) ③ 4 복소수 | 043 유형 03 복소수가 주어질 때의 식의 값 |전략| x, y가 서로 켤레복소수이므로 x+y, xy의 값을 이용하여 식의 값을 구 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. (cid:9000) ② 2 2 0357 유형 04 복소수가 실수 또는 순허수가 될 조건 + 08 z=a+bi로 놓고 조건을 만족시키는 복소수 z 구하기 + ;z@;에 대입한 식이 실수이려면 |전략| z=a+bi (a, b는 실수, b+0)로 놓고 ;2Z; 허수부분이 0이어야 한다. z=a+bi (a,b는실수,b+0)라하면 + 2 + a+bi = a+bi 2 = a+bi 2 = a+bi 2 ;2Z; ;z@; + ;2Z; ;z@; + ;2Z; ;z@; + 2(a-bi) (a+bi)(a-bi) + 2a-2bi aÛ`+bÛ` + = ;z@; ;2Z; {;2A;+ 2a aÛ`+bÛ` } + {;2B;- 2b aÛ`+bÛ` } i 이때, + 가실수이려면 ;z@; ;2Z; - 2b ;2B; aÛ`+bÛ` =0 ∴ aÛ`+bÛ`=4 ∴zz Õ=(a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=4  ④ ai (a>0)임을 이용하여 음수의 제곱근을 허수단위 i를 사용하 0360 유형 11 음수의 제곱근의 계산 |전략| '¶ 여 나타낸다. -a= ' 00이므로 -4y y ' y-x x-y + 'Ä 'Ä y-x y-xi 2 yi ' y ' + 'Ä 'Ä xÛ`+ -x -x+ 'Ä 'Ä 'Ä " =x+ xi xi+ ' ' =x-x+2i+ 1 i =2i-i=i 0361 유형 08 z=a+bi로 놓고 조건을 만족시키는 복소수 z 구하기 |전략| z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 주어진 식에 대입한 후 복소수가 서로 같 을 조건을 이용하여 a, b의 값을 구한다. z=a+bi (a,b는실수)라하면z Õ=a-bi이므로 (2+i)z+(1-i)z Õ=1+4i에서 (2+i)(a+bi)+(1-i)(a-bi)=1+4i 2a+2bi+ai-b+a-bi-ai-b=1+4i 0358 유형 09 i의 거듭제곱 |전략| 음이 아닌 정수 n에 대하여 i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n+4=1 임을 이용하여 식을 정리한 후 네 항씩 묶어 계산한다. i+2iÛ`+3iÜ`+y+49i49+50i50 =(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+y+49i-50 =(2-2i)+(2-2i)+y+49i-50 (3a-2b)+bi=1+4i 복소수가서로같을조건에의하여 3a-2b=1,b=4 두식을연립하여풀면a=3,b=4 ∴zz Õ=(3+4i)(3-4i)=25  ❶ z=a+bi로 놓고 주어진 등식에 대입하여 식을 정리할 수 있다.  ② 채점 기준 ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ zz Õ의 값을 구할 수 있다. 유형 10 복소수의 거듭제곱 0362 1+i 1-i 솟값을 구한다. |전략| =i임을 이용하여  f(n+k)=f(n)을 만족시키는 자연수 k의 최 1+i 1-i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) = 2i 2 =i이므로  f(n)= 1+i 1-i } { =i Ç`` n`  f(n+k)=f(n)에서i n+k=i Ç` ∴ i û`=1 이것을만족시키는k의값은4의배수이므로자연수k의최솟값은4 130 130 { + = 1+i 1-i } 1-i 1+i } { =(-i)130+i130 ={(-i)Ý`}32´(-i)Û`+(iÝ`)32´iÛ` 이다.  채점 기준 ❶ f(n)을 간단히 할 수 있다. =-1-1=-2   ① ❷ f(n+k)=f(n)을 만족시키는 자연수 k의 최솟값을 구할 수 있다. =12(2-2i)+49i-50 =-26+25i 따라서a=-26,b=25이므로 a+b=-1 0359 유형 10 복소수의 거듭제곱 |전략| 1+i 1-i =i, 1+i 1-i 1-i 1+i = (1+i)Û` (1-i)(1+i) =-i 임을 이용한다. = 2i 2 =i 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -2i 2 =-i ∴ f { 1+i 1-i } + f { 1-i 1+i } =f(i)+f(-i)     044 | II. 방정식과 부등식  ④ … ❶ … ❷ … ❸  25 배점 3점 2점 1점 … ❶ … ❷  4 배점 3점 4점 정답과 해설 |전략| 음수의 제곱근의 성질을 이용하여 a, b, c의 부호를 결정한다. ㄴ.zÁÕ-zª=zÁÕ-zÁÕ=0,zÁ-zªÕ=zÁ-zÁ=0이므로 ㄱ.zÁÕ+zª=zÁÕ+zÁÕ=2zÁÕ,zÁ+zªÕ=zÁ+zÁ=2zÁ이므로 zªÕ=zÁÕÓ=zÁ zÁÕ+zª+zÁ+zªÕ zÁÕ-zª=zÁ-zªÕ    a<0, b<0, c>0에서 a+b<0, -c<0이므로 a+b-c<0 ∴ |a+b-c|=-(a+b-c) ㄷ.zÁzª는실수이므로zÁzª=zÁzªÓ ㄹ.zÁzªÕ=zÁ´zÁ=zÁÛ`,zÁÕzª=zÁÕ´zÁÕ=zÁÕ Û`이므로 zÁzªÕ+zÁÕzª 따라서옳은것은ㄴ,ㄷ이다.  ② 유형 12 음수의 제곱근의 성질 b=- a b에서a<0,b<0 ' =- 에서b<0,c>0 ®;bC;  ⑴∴a<0,b<0,c>0 0363 a ⑴ ' ' c ⑴ ' b ' ⑵ "Å  채점 기준 ⑴ a, b, c의 부호를 결정할 수 있다. ⑵ 주어진 식을 간단히 할 수 있다. aÛ`+|b|- a+b-c)Û`=|a|+|b|-|a+b-c| ( " =-a-b+(a+b-c) =-c   풀이 참조   배점 4점 6점 창의·융합 교과서 속 심화문제 0364 |전략| z=a+bi (a, b는 실수)가 주어지고 z에 대한 식의 값을 구할 때는 z-a=bi 꼴로 변형하여 양변을 제곱한다. zÛ`=-3+2i에서zÛ`+3=2i 양변을제곱하면zÝ`+6zÛ`+9=-4 ∴zÝ`+6zÛ`+13=0 이식의양변을z로나누면zÜ`+6z+ =0 ∴zÝ`+zÜ`+2zÛ`+6z+ =zÝ`+2zÛ`+ zÜ`+6z+ :Áz£: :Áz£:} :Áz£: { =(-6zÛ`-13)+2zÛ` =-4zÛ`-13 =-4(-3+2i)-13 =-1-8i  -1-8i 0365 |전략| zÁ+zª, zÁzª가 모두 실수이므로 zÁ+zª, zÁzª의 허수부분이 0임을 이용한 zÁ=a+bi,zª=c+di (a,b,c,d는실수)라하면두복소수zÁ,zª는 실수가아니므로 b+0,d+0 zÁ+zª=(a+c)+(b+d)i에서zÁ+zª는실수이므로 b+d=0 ∴ b=-d zÁzª=(ac-bd)+(ad+bc)i에서zÁzª는실수이므로 ad+bc=0 ㉠을㉡에대입하면 ad-cd=0,d(a-c)=0 a-c=0 (∵d+0)  ∴a=c     다. 0366 |전략| z=a+bi (a, b는 실수)에 대하여 z Õ=a-bi임을 이용하여 zÇ (n은 자연수)의 규칙성을 찾는다. zª=(1+2i)Ó+(1+i)=(1-2i)+(1+i)=2-i z£=(2-i)Ó+(1+i)=(2+i)+(1+i)=3+2i z¢=(3+2i)Ó+(1+i)=(3-2i)+(1+i)=4-i z°=(4-i)Ó+(1+i)=(4+i)+(1+i)=5+2i ⋮ 이때,zª,z£,z¢,z°,y에서실수부분은2,3,4,5,y로나타나고,허 수부분은-1,2가반복되어나타난다. ∴z100=100-i  100-i 0367 |전략| 음이 아닌 정수 k에 대하여 i 4k+1=i, i 4k+2=-1, i 4k+3=-i, i 4k+4=1임 을 이용하여 SÇ을 구한다. SÇ=i-1-i+1+y+i Ç`  i (n=4m-3) -1+i(n=4m-2)  -1(n=4m-1)  0 (n=4m) SÇ= [ ㄱ.20=4´5이므로Sª¼=0 (m은자연수) ㄴ.SÇ=-1을만족시키는경우는n=4m-1일때이므로50이하 의자연수n은3,7,11,y,47의12개이다. ㄷ.SÁ+Sª+S£+y+S¢¼ =(i-1+i-1+0)+(i-1+i-1+0) y+(i-1+i-1+0) + =(-2+2i)´10 =-20+20i 따라서옳은것은ㄱ,ㄷ이다.     ③ 따라서zÁ=a+bi이면zª=a-bi=zÁÕ이다. zÇ`+z=(-i)Ç`-i yy㉠ yy㉡ 0368 |전략| z= 1-i 1+i =-i이므로 k가 자연수일 때, (-i)4k=1, (-i)4k-1=i, (-i)4k-2=-1, (-i)4k-3=-i임을 이용하여 zÇ`+z를 구한다. z= 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -2i 2 =-i이므로 4 복소수 | 045 4ㅡ복소수§ à ‌ Ú n=4k (k는 자연수)일 때, (-i)4k=1이므로 Û n=4k-1 (k는 자연수)일 때, (-i)4k-1=i이므로 Ü n=4k-2 (k는 자연수)일 때, (-i)4k-2=-1이므로 zÇ`+z=1-i zÇ`+z=i-i=0 zÇ`+z=-1-i Ý n=4k-3 (k는 자연수)일 때, (-i)4k-3=-i이므로 zÇ`+z=(-i)-i=-2i Ú~Ý에서 zÇ`+z=0을 만족시키는 경우는 n=4k-1 (k는 자연수) 일 때이다. 따라서 100 이하의 자연수 중 조건을 만족시키는 자연수 n은 3, 7, 11, 15, y, 99의 25개이다.  ③ 다른 풀이 z= 1-i 1+i = (1-i)Û` (1+i)(1-i) = -2i 2 =-i이므로 zÛ`=z´z=-1, zÜ`=zÛ`´z=i, zÝ`=zÜ`´z=1, zÞ`=zÝ`´z=z=-i, zß`=zÝ`´zÛ`=zÛ`=-1, zà`=zÝ`´zÜ`=zÜ`=i, y 이때, zÇ`+z=0이려면 zÇ`=-z=i이어야 한다. zÜ`=zà`=z11=y=z99=i이므로 구하는 100 이하의 자연수 n은 3, 7, 11, y, 99의 25개이다. 0369 |전략| 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 a, b의 값을 구한 후 (zÛ`+1)Ç``(n은 자연수)의 규칙성을 찾는다. zÛ`+zÕ‌‌=(a+bi)Û`+(a-bi)‌ =(aÛ`-bÛ`+a)+(2ab-b)i zÛ`+zÕ=0이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 aÛ`-bÛ`+a=0‌‌ 2ab-b=0 ∴ b(2a-1)=0‌‌ yy ㉠ yy ㉡ b>0이므로 ㉡에서 2a-1=0 ∴ a= ;2!; ㉠에 a= 을 대입하여 정리하면 bÛ`= ;2!; ;4#; 3 ∴ b= ' 2 (∵ b>0) ∴ z= 3i 1+ ' 2 이때, zÛ`+1= 3i 1+ ' 2 { +1= 1+ ' 2 3i , (zÛ`+1)Û`= 3i 1+ ' 2 { 3i -1+ 2 ' ,‌ } 2` = } 2` (zÛ`+1)Ü`=(zÛ`+1)(zÛ`+1)Û`= 5 이차방정식 본책 64~81쪽 1 개념 마스터 STEP1 0370 xÛ`-x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2  x=-1 또는 x=2 0371 3xÛ`+5x-2=0에서 (x+2)(3x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x= ;3!;  x=-2 또는 x= ;3!;  x= ;3!; 0372 9xÛ`-6x+1=0에서 (3x-1)Û`=0 ∴ x= ;3!; 0373 ;2!; xÛ`-3x+4=0의 양변에 2를 곱하면 xÛ`-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4  x=2 또는 x=4 0374 xÛ`-4x-3=0에서 -(-2)Ñ (-2)Û`-1´(-3) x= "à 1 =2Ñ 7 '  x=2Ñ 7 ' 0375 xÛ`+x+1=0에서 -1Ñ x= 1Û`-4´1´1 "à 2´1 = -1Ñ '¶ 2 -3 x= 3i -1Ñ 2 ' 0376 xÛ`+6x+11=0에서 3i 1+ ' 2 ´ 3i -1+ 2 ' =-1, -3Ñ x= "à 3Û`-1´11 1 =-3Ñ -2 '¶ (zÛ`+1)Ý`=(zÛ`+1)(zÛ`+1)Ü`= ´(-1)= 3i 1+ ' 2 -1- 2 ' 3i , (zÛ`+1)Þ`=(zÛ`+1)Û`(zÛ`+1)Ü`= 3i -1+ 2 ' ´(-1)= 1- ' 2 3i , (zÛ`+1)ß`={(zÛ`+1)Ü`}Û`=(-1)Û`=1 ⋮ 이므로 (zÛ`+1)Ç` 이 정수이려면 n은 3의 배수이어야 한다. 즉, 구하는 자연수 n의 개수는 100 이하의 자연수 중 3의 배수의 개 수와 같으므로 33이다.  33 x=-3Ñ 2i ' 0377 9xÛ`-6 x= ' -(-3 x= ' 2Ñ1 3 2x+1=0에서 2)Ñ ' (-3 "à 9 ' 2)Û`-9´1 = 3 ' 2Ñ3 9 046 | II . 방정식과 부등식  x= 3i -1Ñ 2 '  x=-3Ñ 2i '  x= ' 2Ñ1 3 정답과 해설 0378 2xÛ`-5x+2=0에서 (2x-1)(x-2)=0 ∴ x= 또는 x=2 (실근) ;2!;  x= ;2!; 또는 x=2 (실근) 0379 xÛ`-6x+4=0에서 xÛ`+2´(-3)x+4=0이므로 -(-3)Ñ (-3)Û`-1´4 "à 1 =3Ñ 5 (실근) ' x= 0384 |x-3|+|x+2|=7에서 Ú x<-2일 때, -x+3-x-2=7‌ -2x+1=7, -2x=6 ∴ x=-3 Û -2Éx<3일 때, -x+3+x+2=7 그런데 5+7이므로 해가 없다. Ü x¾3일 때, x-3+x+2=7‌ 2x-1=7, 2x=8 ∴ x=4 Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은  x=3Ñ 5 (실근) ' x=-3 또는 x=4  x=-3 또는 x=4 0380 xÛ`+3=0에서 xÛ`=-3 ∴ x=Ñ -3=Ñ 3i (허근) '¶ '  x=Ñ 3i (허근) ' 0381 3xÛ`+4x+2=0에서 3xÛ`+2´2x+2=0이므로 -2Ñ x= 2Û`-3´2 "à 3 = -2Ñ '¶ 3 -2 0385 xÛ`-5|x|-6=0에서 Ú x<0일 때, xÛ`+5x-6=0‌ 그런데 x<0이므로 x=-6 Û x¾0일 때, xÛ`-5x-6=0 (x+6)(x-1)=0 ∴ x=-6 또는 x=1 x= 2i -2Ñ 3 ' (허근)  x= 2i -2Ñ 3 ' (허근) 그런데 x¾0이므로 x=6 (x+1)(x-6)=0 ∴ x=-1 또는 x=6 Ú, Û에서 주어진 방정식의 근은 x=Ñ6  x=Ñ6 다른 풀이 xÛ`=|x|Û`이므로 주어진 방정식은 |x|Û`-5|x|-6=0,‌(|x|+1)(|x|-6)=0 그런데 |x|¾0이므로 |x|=6 ∴ x=Ñ6 Ú, Û에서 주어진 방정식의 근은 x=1  x=1 0386 보기에 주어진 각 이차방정식의 판별식을 D라 하면 0382 |x+1|=3x-1에서 Ú x<-1일 때, -x-1=3x-1‌ -4x=0 ∴ x=0 그런데 x<-1이므로 해가 없다. Û x¾-1일 때, x+1=3x-1 Û -2x=-2 ∴ x=1 0383 |2x-4|=|x|에서 Ú x<0일 때, -2x+4=-x ∴ x=4 Ú 그런데 x<0이므로 해가 없다. Û 0Éx<2일 때, -2x+4=x ∴ x= ;3$; Ü x¾2일 때, 2x-4=x ∴ x=4 Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은 다른 풀이 |2x-4|=|x|에서 2x-4=Ñx Ú 2x-4=x일 때, x=4 Û 2x-4=-x일 때, 3x=4 ∴ x= ;3$; Ú, Û에서 주어진 방정식의 근은 x= ;3$; 또는 x=4 x= 또는 x=4 ;3$;  x= ;3$; 또는 x=4 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로 ㄱ, ㅁ이다. ⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 ㄴ이다. ⑶ 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로 ㄷ, ㄹ이다.  ⑴ ㄱ, ㅁ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ, ㄹ ㄱ. D=(-5)Û`-4´1´2=17>0 ㄴ. =(-4)Û`-1´16=0 ㄷ. =(-1)Û`-2´1=-1<0 ㄹ. D=3Û`-4´5´1=-11<0 ㅁ. =3Û`-2´3=3>0 D 4 D 4 D 4 0387 이차방정식 xÛ`-2x+k=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-1)Û`-1´k=1-k 5 이차방정식 | 047 5ㅡ이차방정식 정답과 해설 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로 ⑴ =1-k>0 ∴ k<1 ⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로 ⑴ =1-k=0 ∴ k=1 ⑶ 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로 ⑴ =1-k<0 ∴ k>1 D 4 D 4 D 4  ⑴ k<1 ⑵ 1 ⑶ k>1 1 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0388 |전략| 주어진 이차방정식을 (x에 대한 이차식)=0 꼴로 변형한 후 인수분해를 이용하여 해를 구한다. 2(x+2)Û`-3=3x+8에서 2(xÛ`+4x+4)-3=3x+8 ∴`x=-3 또는 x= ;2!; 0392 |전략| x=-1을 주어진 이차방정식에 대입한다. 이차방정식 xÛ`-2ax-a+1=0의 한 근이 -1이므로 (-1)Û`-2a´(-1)-a+1=0 ∴ a=-2 a=-2를 주어진 방정식에 대입하면 xÛ`+4x+3=0, (x+1)(x+3)=0 ∴ x=-1 또는 x=-3 따라서 다른 한 근은 -3이다. 0393 이차방정식 xÛ`+kx+ (-1+ 1-2 ' 2)Û`+k(-1+ ' 2+2+k(-1+ ' 2+k(-1+ ' 2)=0 ' 2)=-1+ 2 ' 1- ' k(-1+ ∴ k=1 ' 2-2=0의 한 근이 -1+ 2이므로 ' 2)+ ' 2)+ 2-2=0 ' 2-2=0 ' 2xÛ`+5x-3=0, (x+3)(2x-1)=0 주의 이차방정식의 켤레근의 성질을 이용하려면 계수가 모두 유리수이어야 하  ① 므로 다른 한 근을 -1- 2로 생각하여 문제를 해결하지 않도록 주의한다. ' 0389 xÛ`-5x+7=0에서 근의 공식을 이용하여 해를 구하면 -(-5)Ñ x= "à (-5)Û`-4´1´7 2 = 3i 5Ñ ' 2 p, q는 유리수이므로 p=5, q=3 ∴ p+q=8 0394 이차방정식 mxÛ`-3x+m+1=0의 한 근이 2이므로 2Û`m-3´2+m+1=0, 5m=5 ∴ m=1‌ m=1을 주어진 방정식에 대입하면 xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0  8 ∴ x=1 또는 x=2 따라서 다른 한 근은 1이므로 a=1‌ 0390 (xCx)+2(3Cx)+2=0에서 (2xÛ`+x-x)+2(6x+3-x)+2=0 2xÛ`+10x+8=0, xÛ`+5x+4=0 (x+1)(x+4)=0 ∴ x=-1 또는 x=-4 따라서 주어진 식을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 합은 -1+(-4)=-5  ① ∴ m+a=2‌ 채점 기준 ❶ m의 값을 구할 수 있다. ❷ a의 값을 구할 수 있다. ❸ m+a의 값을 구할 수 있다. 0395 x=1이 이차방정식 kxÛ`+ax+(k+1)b=0의 근이므로 k+a+(k+1)b=0 (b+1)k+(a+b)=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 b+1=0, a+b=0 k에 대한 항등식 따라서 a=1, b=-1이므로  x=-1 또는 x= 2-1 ' a-b=2  ② 2-1을 곱하면 ' 2-1)=0 0391 주어진 방정식의 양변에 2( xÛ`+ ' ' xÛ`+(2- (x+1)(x- 2-1)x-( ' 2+1=0 2)x- ' ' 2+1)=0 ' ∴`x=-1 또는 x= 2-1 ' 048 | II . 방정식과 부등식  ②  1 … ❶ … ❷ … ❸  2 비율 40`% 40`% 20`% ‌ ‌ 0396 |전략| 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의 범위 를 나눈다. Ú x< 일 때, xÛ`-(2x-1)=7 Ú xÛ`-2x-6=0 ∴ x=1Ñ 7 Ú 그런데 x< 이므로 x=1- ;2!; Û x¾ 일 때, xÛ`+(2x-1)=7 ' 7 ' ;2!; ;2!; Ú xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0 Ú ∴ x=-4 또는 x=2 Ú 그런데 x¾ 이므로 x=2 ;2!; Ú, Û에서 주어진 방정식의 근은 7 또는 x=2 x=1- ' ∴ a+b=(1- 7)+2=3- 7 ' ' 0397 Ú x<0일 때, 2xÛ`-5x+3=0 Û 0Éx<1일 때, xÛ`-x=-(x-1)+3 xÛ`=4 ∴ x=-2 또는 x=2 그런데 0Éx<1이므로 해가 없다. Ü x¾1일 때, xÛ`-x=x-1+3‌ xÛ`-2x-2=0 ∴ x=1Ñ 3‌ 그런데 x¾1이므로 x=1+ ' 3 ' Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은 x=-1- 5 또는 x=1+ ' 따라서 모든 근의 합은 3 ' (-1- 5)+(1+ 3)= 3- ' ' ' 5 '  3- 5 ' ' 절댓값 기호를 2개 포함한 방정식 절댓값 기호를 2개 포함한 방정식 |x-a|+|x-b|=c‌(a0)는 x1이므로 x=-2+2 3 ' 따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 -2+2 3이다. '  ④  -2+2 3 ' 처음 토지의 한 변의 길이를 x`m라 하면 길을 제외한 토지의 넓이는 10(16-x)(20-x)`(cmÜ`)‌ 0404 |전략| 처음 토지의 한 변의 길이를 x`m라 하고 주어진 조건을 이용하여 x에 대 한 방정식을 세운다. (x-3)(x-5)`(mÛ`) 길을 제외한 토지의 넓이가 처음 토지의 넓이의 이므로 ;4#; (x-3)(x-5)= xÛ` ;4#; 4xÛ`-32x+60=3xÛ` xÛ`-32x+60=0, (x-2)(x-30)=0 ∴ x=2 또는 x=30 이때, x>5이므로 x=30 따라서 처음 토지의 한 변의 길이는 30`m이므로 그 넓이는 900`mÛ`이 다.  900`mÛ` 주의 구하는 값이 길이, 인원 수, 물건의 개수, 시간, 거리 등인 경우에는 그 값이 양수이어야 함에 주의한다. 다. ‌ 채점 기준 0407 케이크의 밑면의 가로와 세로의 길이를 각각 x`cm씩 줄였을 때, 줄 인 밑면의 가로의 길이와 세로의 길이는 각각 (16-x)`cm, (20-x)`cm이므로 케이크의 부피는 부피를 40`% 줄인 케이크의 부피는 ´16´20´10=1920`(cmÜ`) ‌ ;1¤0¼0; 즉, 10(16-x)(20-x)=1920이므로‌ xÛ`-36x+128=0, (x-4)(x-32)=0 ∴ x=4 또는 x=32 그런데 밑면의 가로의 길이에서 01 ‌ (100-x)(100+x)=9600 10000-xÛ`=9600, xÛ`=400 ∴ x=Ñ20 이때, x>0이므로 구하는 x의 값은 20이다. 다른 풀이 만큼 인하 후 만큼 인상하였으므로 x 100 x 100 - { x 100 } ´ x 100 ∴`x=Ñ20 =- ;10$0;, xÛ`=400 이때, x>0이므로 구하는 x의 값은 20이다. 0409 |전략| 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가 질 조건은 D>0이다. 이차방정식 xÛ`+2(k-1)x+kÛ`+2=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =(k-1)Û`-(kÛ`+2)>0 kÛ`-2k+1-kÛ`-2>0, -2k-1>0 ∴ k<- ;2!; D 4 D 4 식을 D라 하면 =(-k)Û`-(k+6)=0 kÛ`-k-6=0, (k+2)(k-3)=0 ∴ k=-2 또는 k=3 따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -2+3=1  1 0411 이차방정식 xÛ`-2ax+aÛ`-a+6=0의 판별식을 D라 하면 =(-a)Û`-1´(aÛ`-a+6)<0 aÛ`-aÛ`+a-6<0, a-6<0‌ ‌ ∴ a<6 0413 (mÛ`-1)xÛ`+2(m-1)x+2=0이 이차방정식이므로  20 mÛ`-1+0, (m+1)(m-1)+0 ∴ m+-1, m+1 yy`㉠ 이 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면 D 4 =(m-1)Û`-2(mÛ`-1)=0 mÛ`-2m+1-2mÛ`+2=0 mÛ`+2m-3=0, (m+3)(m-1)=0 ∴`m=-3 또는 m=1 ㉠, ㉡에서 m=-3 yy`㉡  ① 0414 (k-1)xÛ`+2(k+1)x+k+2=0이 이차방정식이므로 k-1+0 ∴ k+1 yy`㉠‌ … ❶ 이 이차방정식이 실근을 가지므로 판별식을 D라 하면 D 4 =(k+1)Û`-(k-1)(k+2)¾0 k+3¾0 ∴ k¾-3 yy`㉡‌ … ❷ … ❸  -3Ék<1 또는 k>1 채점 기준 ❶ 주어진 방정식이 이차방정식이기 위한 k의 조건을 구할 수 있다. ❷ 주어진 이차방정식이 실근을 가지기 위한 k의 값의 범위를 구할 수 있다. ❸ 실수 k의 값의 범위를 구할 수 있다. 비율 40 % 40 % 20 % 0415 |전략| 두 이차방정식의 판별식을 각각 DÁ, Dª라 하면 DÁ¾0일 때, Dª의 부호 이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 실근을 가지므로 판별식을 DÁ이라 하 를 조사한다. 면 DÁ=aÛ`-4b¾0‌ Dª‌=(a-2)Û`-4(-a+b)‌ =aÛ`-4a+4+4a-4b‌ =aÛ`-4b+4>0 (∵`㉠) 갖는다. 따라서 자연수 a의 값은 1, 2, 3, 4, 5이고, 그 개수는 5이다.  5 이차방정식 xÛ`+(a-2)x-a+b=0의 판별식을 Dª라 하면 0412 이차방정식 xÛ`-2(k-a)x+kÛ`+aÛ`-b+1=0의 판별식을 D라 따라서 이차방정식 xÛ`+(a-2)x-a+b=0은 서로 다른 두 실근을 하면 D 4 ={-(k-a)}Û`-(kÛ`+aÛ`-b+1)=0 kÛ`-2ak+aÛ`-kÛ`-aÛ`+b-1=0 -2ak+b-1=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 -2a=0, b-1=0 ∴ a=0, b=1 ∴ a+b=1 0416 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D라 하면 D=bÛ`-4ac b=a+c를 ㉠에 대입하면  ② D=(a+c)Û`-4ac=(a-c)Û` yy`㉠ ‌ ‌  ③ yy`㉠ 5 이차방정식 | 051 5ㅡ이차방정식 이때, a, c가 서로 다른 실수이므로 D=(a-c)Û`>0 x에 대한 이차방정식 xÛ`-2(k-1)x+2kÛ`-6k+4=0의 판별식을 따라서 이차방정식 axÛ`+bx+c=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ={-(k-1)}Û`-(2kÛ`-6k+4)=0  서로 다른 두 실근 kÛ`-4k+3=0, (k-1)(k-3)=0 ∴ k=3 (∵ k>1) 이때, 주어진 이차식은 xÛ`-4x+4, 즉 (x-2)Û`으로 인수분해되므로  ⑤ 0420 (k-2)xÛ`+(4k-8)x+3k-2가 이차식이므로 k+2 또, 이 식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식 (k-2)xÛ`+(4k-8)x+3k-2=0의 판별식을 D라 할 때 =(2k-4)Û`-(k-2)(3k-2)=0 a a b=- b이므로 a<0, b<0 (∵ ab+0) ' ㄱ. 이차방정식 xÛ`-bx+a=0의 판별식을 DÁ이라 하면 ' ' DÁ=(-b)Û`-4a=bÛ`-4a>0 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄴ. 이차방정식 xÛ`+ax-b=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª=aÛ`-4´1´(-b)=aÛ`+4b aÛ`+4b의 값의 부호는 알 수 없으므로 이 이차방정식의 근을 판별 할 수 없다. ㄷ. 이차방정식 axÛ`+bx-1=0의 판별식을 D£라 하면 D£=bÛ`-4´a´(-1)=bÛ`+4a ㄹ. 이차방정식 bxÛ`+x-a=0의 판별식을 D¢라 하면 D¢=1Û`-4´b´(-a)=1+4ab>0 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. 따라서 항상 서로 다른 두 실근을 갖는 이차방정식은 ㄱ, ㄹ이다. bÛ`+4a의 값의 부호는 알 수 없으므로 이 이차방정식의 근을 판별 kÛ`-8k+12=0, (k-2)(k-6)=0 할 수 없다. ∴ k=6 `(∵ k+2)  ⑤ 0421 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식  ③ (a-c)xÛ`-2bx+a+c=0의 판별식을 D라 할 때 0418 |전략| 이차식 axÛ`+bx+c가 완전제곱식이면 이차방정식 axÛ`+bx+c=0이 중근을 갖는다. 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식 xÛ`-2(k-a)x+(k-1)Û`-b=0의 판별식을 D라 할 때 =(-b)Û`-(a-c)(a+c)=0 bÛ`-(aÛ`-cÛ`)=0 ∴ aÛ`=bÛ`+cÛ` 따라서 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형은 빗변의 길이가 a인 직각삼 각형이다.  빗변의 길이가 a인 직각삼각형 D라 할 때 D 4 a=-2 ∴ k-a=5 D 4 D 4 0417 D 4 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 식 D가 완전제곱식이 되어야 한다. 0422 |전략| 주어진 식이 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면 (주어진 식)=0의 판별 2xÛ`+xy-yÛ`-x+ky-1을 x에 대한 내림차순으로 정리하면 2xÛ`+(y-1)x+(-yÛ`+ky-1)  1 이때, x에 대한 이차방정식 2xÛ`+(y-1)x+(-yÛ`+ky-1)=0의 판별식을 D라 하면 =9yÛ`-2(4k+1)y+9 가 완전제곱식이 되어야 한다. 라 하면 D' 4 ={-(4k+1)}Û`-9´9=0 즉, y에 대한 이차방정식 9yÛ`-2(4k+1)y+9=0의 판별식을 D'이 ={-(k-a)}Û`-{(k-1)Û`-b}=0 kÛ`-2ak+aÛ`-kÛ`+2k-1+b=0 (-2a+2)k+aÛ`-1+b=0 -2a+2=0, aÛ`-1+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=0 ∴ a+b=1 이차식  f(x)가 완전제곱식이 된다. 이차방정식  f(x)=0이 중근을 갖는다. 이차방정식  f(x)=0의 판별식 D=0이다. HjK HjK 야 한다. 052 | II . 방정식과 부등식 0419 주어진 이차식이 (x+a)Û` 꼴로 인수분해되려면 완전제곱식이 되어 (4k+1+9)(4k+1-9)=0, 8(2k+5)(k-2)=0 ∴`k=2 (∵ k>0)  2 x에 대한 이차식  f(x)=axÛ`+bx+c`( a, b, c는 실수 )에 대하여 D =(y-1)Û`-4´2´(-yÛ`+ky-1) 정답과 해설§ 0423 xÛ`+4xy+myÛ`-x-5y-2를 x에 대한 내림차순으로 정리하면 xÛ`+(4y-1)x+myÛ`-5y-2 이때, x에 대한 이차방정식 xÛ`+(4y-1)x+myÛ`-5y-2=0의 판 즉, y에 대한 이차방정식 (16-4m)yÛ`+12y+9=0의 판별식을 D' ⑶ (2a-1)(2b-1)‌=4ab-2(a+b)+1‌ =4´3-2´(-2)+1=17 a+ ⑷ { 1 b }{ 1 a } b+ =ab+ +2 1 ab =3+ +2= ;3!; :Á3¤:  ⑴ -6 ⑵ - ;3@; ⑶ 17 ⑷ :Á3¤: 0427 xÛ`-(1+3)x+1´3=0 ∴ xÛ`-4x+3=0  xÛ`-4x+3=0  ③ 0428 xÛ`-(-2+4)x+(-2)´4=0 ∴ xÛ`-2x-8=0  xÛ`-2x-8=0 0424 xÛ`+xy+3x-2yÛ`+3y+k를 x에 대한 내림차순으로 정리하면 xÛ`+(y+3)x+(-2yÛ`+3y+k) 이때, x에 대한 이차방정식 xÛ`+(y+3)x+(-2yÛ`+3y+k)=0의 ‌ ‌ 별식을 D라 하면 D‌=(4y-1)Û`-4(myÛ`-5y-2)‌ =(16-4m)yÛ`+12y+9 가 완전제곱식이 되어야 한다. 이라 하면 D' 4 =6Û`-9(16-4m)=0 16-4m=4 ∴ m=3‌ 판별식을 D라 하면 D‌=(y+3)Û`-4(-2yÛ`+3y+k)‌ =9yÛ`-6y+9-4k 가 완전제곱식이 되어야 한다. 하면 D' 4 =9-9(9-4k)=0 0429 xÛ`-{(1+ ∴ xÛ`-2x-1=0 0430 xÛ`-{(2+ ∴ xÛ`-4x-1=0 ' ' ' ' 0431 2)+(1- 2)}x+(1+ 2)(1- 2)=0 ' '  xÛ`-2x-1=0 5)+(2- 5)}x+(2+ 5)(2- 5)=0 ' '  xÛ`-4x-1=0 xÛ`-{(1+i)+(1-i)}x+(1+i)(1-i)=0 ∴ xÛ`-2x+2=0  xÛ`-2x+2=0 0432 xÛ`-{(2+3i)+(2-3i)}x+(2+3i)(2-3i)=0 ∴ xÛ`-4x+13=0  xÛ`-4x+13=0 0433 4 [ 4 { xÛ`- -1+ x+(-1)´ =0 { ;4!;} ;4!;] xÛ`+ x- ;4#; ;4!;} =0 ∴ 4xÛ`+3x-1=0  4xÛ`+3x-1=0 즉, y에 대한 이차방정식 9yÛ`-6y+9-4k=0의 판별식을 D'이라 -72+36k=0 ∴ k=2‌  ④ 2 개념 마스터 STEP1 0425 이차방정식 xÛ`+2x-2=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2, ab=-2 ⑴ a+b+ab=-2-2=-4 ⑵ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(-2)Û`-2´(-2)=8 ⑶ |a-b|= "à 2Û`-4´1´(-2) |1| = 1 2=2 3 ' ' ⑷ (a-1)(b-1)  =ab-(a+b)+1 =-2-(-2)+1=1  ⑴ -4 ⑵ 8 ⑶ 2 3 ⑷ 1 ' 다른 풀이 ⑶‌(a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab이므로 (a-b)Û`=(-2)Û`-4´(-2)=12 ∴ |a-b|=2 3 ' 0426 이차방정식 xÛ`+2x+3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2, ab=3 ⑴ aÛ`b+abÛ`=ab(a+b)=3´(-2)=-6 ⑵ + = 1 b a+b ab =- ;3@; 1 a 0434 6 [ xÛ`- + x+ ´ ;2!; ;3@;] ;3@;} {;2!; =0 6 { xÛ`- x+ ;6&; ;3!;} =0 ∴ 6xÛ`-7x+2=0  6xÛ`-7x+2=0 0435 두 수 a, b를 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수의 관계에 의하여 ∴ x=-(-2)Ñ -2)Û`-1´(-3)=2Ñ ( 7 ' xÛ`-4x-3=0 이때, a0, b>0) yy`㉠  ③ 054 | II . 방정식과 부등식 0447 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-1, ab=-3 이므로 (a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab =(-1)Û`-4´(-3)=13 ∴ a-b= 1 3 (∵ a>b) ' ∴ aÜ`-bÜ` =(a-b)Ü`+3ab(a-b) 0451 |전략| 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수 사이의 관계식을 세운다. 이차방정식 xÛ`-2ax-1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계 이차방정식 xÛ`+3x+b=0의 두 근이 aÛ`b, bÛ`a이므로 근과 계수의 에 의하여 a+b=2a, ab=-1 관계에 의하여 aÛ`b+bÛ`a=-3, aÛ`b´bÛ`a=b ∴ ab(a+b)=-3, aÜ`bÜ`=b =( 1 3)Ü`+3´(-3)´ 1 3=4 1 3 ' ' '  4 1 3 ' ㉠을 ㉡에 대입하면 -1´2a=-3, (-1)Ü`=b 0448 |전략| 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b일 때, aaÛ`+ba+c=0, abÛ`+bb+c=0임을 이용하여 주어진 식을 간단히 하고, a+b, ab의 값을 대 ∴ a= , b=-1 ;2#; ∴ ab=- ;2#; ∴ (aÛ`-3a+1)(bÛ`-3b+1)‌=(a-1)(b-1)‌ =ab-(a+b)+1‌‌ =2-4+1=-1‌ ‌ ‌  ③ 이차방정식 4xÛ`+2x+b=0의 두 근이 , 이므로 근과 계수의 관 1 a 1 b yy`㉠ yy`㉡  ③ yy`㉠ yy`㉡  1 ‌ … ❸  40 비율 40 % 40 % 20 % 0452 이차방정식 3xÛ`-ax+4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계 에 의하여 a+b= , ab= ;3A; ;3$; 계에 의하여 1 a + 1 b =- , ;2!; 1 a ´ 1 b = ;4B; ∴ a+b=- ab, ab= ;2!; ;b$; ㉠을 ㉡에 대입하면 =- ´ ;2!; ;3$; =- , ;3@; ;3$; = ;b$; ;3A; ∴ a=-2, b=3 ∴ a+b=1 0453 이차방정식 xÛ`-mx+n=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계 에 의하여 a+b=m, ab=n 관계에 의하여 ㉠을 ㉡에 대입하면 m+n=4, mn=2 ∴ mÜ`+nÜ`‌=(m+n)Ü`-3mn(m+n)‌ =4Ü`-3´2´4=40‌‌ 채점 기준 ❶ 근과 계수의 관계를 이용하여 ㉠을 구할 수 있다. ❷ 근과 계수의 관계를 이용하여 ㉡을 구할 수 있다. 5 이차방정식 | 055 입하여 주어진 식의 값을 구한다. 이차방정식 xÛ`-4x+2=0의 두 근이 a, b이므로 aÛ`-4a+2=0에서 aÛ`-3a+1=a-1 bÛ`-4b+2=0에서 bÛ`-3b+1=b-1 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4, ab=2 0449 이차방정식 xÛ`-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 aÛ`-2a+3=0에서 aÛ`+3=2a bÛ`-2b+3=0에서 bÛ`+3=2b 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=3 ∴ 9b aÛ`+a+3 + 9a bÛ`+b+3 9b 3a 9a 3b = + = + 3b a 3a b ∴ ∴ + + = 3(aÛ`+bÛ`) ab = 3{(a+b)Û`-2ab} ab = 3(2Û`-2´3) 3 =-2  ② aÛ`+a-1=0에서 aÛ`+a=1 bÛ`+b-1=0에서 bÛ`+b=1 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-1, ab=-1 ∴ (1+a+aÛ`+aÜ`)(1+b+bÛ`+bÜ`) ={1+a+a(a+aÛ`)}{1+b+b(b+bÛ`)} =(1+a+a)(1+b+b) =(1+2a)(1+2b) =1+2(a+b)+4ab 0450 이차방정식 xÛ`+x-1=0의 두 근이 a, b이므로 이차방정식 xÛ`-4x+2=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수의 yy ㉠‌ … ❶ a+b+ab=4, (a+b)´ab=2 yy ㉡‌ … ❷ =1+2´(-1)+4´(-1)=-5  ① ❸ mÜ`+nÜ`의 값을 구할 수 있다. 5ㅡ이차방정식Œ Œ Œ Œ Œ 0454 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계 ∴ aÛ`b+abÛ`+2a+2b =ab(a+b)+2(a+b)‌ =(ab+2)(a+b)‌ =(k-2)(2k+1)=2kÛ`-3k-2 에 의하여 a+b=-a, ab=b 이차방정식 xÛ`-(b-3)x+2a+4=0의 두 근이 a-1, b-1이므 2kÛ`-3k-2=3,‌2kÛ`-3k-5=0 yy ㉠ 즉, aÛ`b+abÛ`+2a+2b=3에서 로 근과 계수의 관계에 의하여 (a-1)+(b-1)=b-3, (a-1)(b-1)=2a+4 ∴ a+b-2=b-3, ab-(a+b)+1=2a+4 yy ㉡ (2k-5)(k+1)=0 ∴ k=-1 (∵ k는 정수) 0458 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2k+1, ab=4k-1 0455 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계 이차방정식 axÛ`-bx+c=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수 ㉣에서 a+b=1이므로 이를 ㉢에 대입하면 ab=-2 참고 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근이 a, b이고 c+0이므로 0456 |전략| aÛ`+bÛ`=28에서 좌변을 a+b, ab에 대한 식으로 변형한 후 a+b, ab ㉠을 ㉡에 대입하면 -a-2=b-3, b+a+1=2a+4 a+b=1, -a+b=3 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2 ∴ aÛ`+bÛ`=5 에 의하여 a+b=- , ab= ;aB; ;aC; 의 관계에 의하여 (a+b)+ab= , ab(a+b)= ;aB; ;aC; ㉠을 ㉡에 대입하면 (a+b)+ab=-(a+b) ab(a+b)=ab ∴ aÛ`+bÛ`  =(a+b)Û`-2ab =1Û`-2´(-2)=5 a+0, b+0 즉, ab+0이므로 ㉣에서 a+b=1 의 값을 대입한다. 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2m, ab=10-4mÛ`` aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=28에서 (2m)Û`-2(10-4mÛ`)=28 12mÛ`-20=28, mÛ`=4 ∴ m=2 (∵ m>0) 0457 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2k+1, ab=k-4`` 056 | II . 방정식과 부등식 (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab=21에서  5 (2k+1)Û`-4(4k-1)=21 4kÛ`+4k+1-16k+4=21, 4kÛ`-12k-16=0 kÛ`-3k-4=0, (k+1)(k-4)=0 ∴ k=4 (∵ k는 자연수)  4 yy`㉠ 0459 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2k, ab=kÛ`-2k+2 |a|+|b|=2 2의 양변을 제곱하면 ' |a|Û`+2|a||b|+|b|Û`=8 yy`㉡ yy`㉢ yy`㉣  ① aÛ`+bÛ`+2|ab|=8에서 (a+b)Û`-2ab+2|ab|=8이므로 (-2k)Û`-2(kÛ`-2k+2)+2|kÛ`-2k+2|=8 이때, kÛ`-2k+2=(k-1)Û`+1>0이므로 (-2k)Û`-2(kÛ`-2k+2)+2(kÛ`-2k+2)=8 (-2k)Û`=8, 4kÛ`=8, kÛ`=2 ∴ k= 2 (∵ k>0) ' 0460 |전략| 주어진 이차방정식의 두 근의 비가 2`:`3이므로 두 근을 2a, 3a로 놓는다. 주어진 방정식의 두 근을 2a, 3a (a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 2a+3a=10k 2a´3a=-kÛ`+1 ㉠에서 a=2k이므로 ㉡에 대입하면 6´(2k)Û`=-kÛ`+1, 25kÛ`=1 kÛ`= ;2Á5; ∴ k= (∵ k>0) ;5!; 0461 주어진 방정식의 두 근을 a, a+3이라 하면 근과 계수의 관계에 의하여  ② a+(a+3)=2k+1‌ a(a+3)=kÛ` ㉠에서 a=k-1이므로 ㉡에 대입하면 (k-1)(k+2)=kÛ`, kÛ`+k-2=kÛ`, k-2=0 ∴ k=2 ‌ ‌  -1  ② yy ㉠ yy ㉡  ① yy ㉠ yy ㉡  2 정답과 해설 다른 풀이 주어진 방정식의 두 근을 a, b(a>b)라 하면 a-b=3 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2k+1, ab=kÛ` 3Û`=(2k+1)Û`-4kÛ` 4k=8 ∴ k=2 이때, (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab이므로 0462 주어진 방정식의 두 근을 a, a+1 (‌a는 정수)이라 하면 근과 계수의 관 계에 의하여 a+(a+1)=a a(a+1)=a+11 ㉠에서 a=2a+1이므로 ㉡에 대입하면 aÛ`+a=2a+12, aÛ`-a-12=0 (a+3)(a-4)=0 ∴ a=-3 또는 a=4 Ú a=-3일 때, a=-5 Û a=4일 때, a=9 Ú, Û에서 a는 양수이므로 a=9 0465 |전략| 두 수 a, b를 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 xÛ`-(a+b)x+ab=0이다. 이차방정식 xÛ`+2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계 에 의하여 a+b=-2, ab=3 이때, aÛ`, bÛ`을 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여 (두 근의 합) =aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab‌ =(-2)Û`-2´3=-2 (두 근의 곱)=aÛ`´bÛ`=(ab)Û`=3Û`=9 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`+2x+9=0  ④ ‌ yy ㉠ yy ㉡ 0466 이차방정식 xÛ`-ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계 에 의하여 a+b=a, ab=b 1 a 1 b 이때, , 을 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여  ② (두 근의 합)= + = 1 a 1 a 1 b 1 b a+b ab = ;bA; 1 ab = ;b!; (두 근의 곱)= ´ = 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`- x+ =0, 즉 bxÛ`-ax+1=0 ;bA; ;b!;  ⑤ 0463 주어진 방정식의 두 근을 a, 4a (a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의 하여 a+4a=5(k-1) a´4a=-16k ㉠에서 a=k-1이므로 ㉡에 대입하면 4(k-1)Û`=-16k, (k-1)Û`=-4k, kÛ`+2k+1=0 (k+1)Û`=0 ∴ k=-1 이다. yy ㉠ yy ㉡ 0464 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱이 -18<0이므로 두 근의 부 호는 서로 다르다. 0467 APÓ, BPÓ의 길이를 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여  ② (두 근의 합)=APÓ+BPÓ=ABÓ=22 (두 근의 곱)=APÓ´BPÓ=CPÓ´DPÓ=8´12=96 따라서 구하는 이차방정식은 xÛ`-22x+96=0이다. 주어진 방정식의 두 근을 a, -2a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 원에서의 비례 관계 a+(-2a)=-(k-5) ∴ a=k-5 yy ㉠ 한 원에서 두 현 AB와 CD가 만나는 점을 P라 하면 ⇨ PAÓ´PBÓ=PCÓ´PDÓ  xÛ`-22x+96=0 P A C D B Ú, Û에서 k=8 또는 k=2이므로 모든 실수 k의 값의 합은 a´(-2a)=-18, aÛ`=9 ∴ a=-3 또는 a=3‌ Ú a=3일 때, ㉠에 대입하면 k=8 Û a=-3일 때, ㉠에 대입하면 k=2‌ 8+2=10‌ 채점 기준 ❶ a의 값을 구할 수 있다. ❷ k의 값을 구할 수 있다. ❸ 모든 실수 k의 값의 합을 구할 수 있다. … ❶ … ❷ … ❸  10 비율 50 % 30 % 20 % 0468 이차방정식 xÛ`-3x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계 에 의하여 a+b=3, ab=-2 , b+ 1 이때, a+ 1 a b 을 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여 5 이차방정식 | 057 5ㅡ이차방정식 0471 |전략| 잘못된 근의 공식을 이용하여 두 근의 곱을 a, c에 대한 식으로 나타내어 본다. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 근의 공식을 x= -bÑ bÛ`-ac 로 "à 2a 잘못 적용하여 얻은 두 근이 -1, 6이므로 ´ -b- bÛ`-ac bÛ`-ac -b+ "à 2a "à 2a = bÛ`-(bÛ`-ac) 4aÛ` = ac 4aÛ` = c 4a =-6 이때, 방정식에서 원래의 두 근의 곱은 이므로 ;aC; =-6에서 c 4a 따라서 이 이차방정식의 원래의 두 근의 곱은 -24이다.  -24 =-24 ;aC; 다른 풀이 근의 공식에서 bÛ`-4ac를 "à "à bÛ`-ac로 잘못 적용하였다는 것 c로 잘못 대입한 것과 같다. 은 c의 값을 ;4!; -1, 6을 두 근으로 하고, xÛ`의 계수가 a인 이차방정식은 a(x+1)(x-6)=0, axÛ`-5ax-6a=0 이때, -6a 대신에 (-6a)´4를 대입하면 원래의 방정식의 상수항이 된다. 즉, 원래의 방정식은 axÛ Û`-5ax-24a=0 따라서 이 이차방정식의 원래의 두 근의 곱은 -24a a =-24 0472 |전략| 이차방정식  f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면  f(2x+1)=0의 근은 2x+1=a, 2x+1=b를 만족시키는 x의 값이 된다. 이차방정식  f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=3  f(a)=0,  f(b)=0이므로  f(2x+1)=0이려면 2x+1=a 또는 2x+1=b ∴ x= 또는 x= a-1 2 b-1 2  -11 따라서 이차방정식  f(2x+1)=0의 두 근의 합은 a-1 2 + b-1 2 = a+b-2 2 = 3-2 2 = ;2!;  ;2!; { { (두 근의 합)= a+ 1 b } + b+ { 1 a } =a+b+ a+b ab (두 근의 합)=3+ 3 -2 = ;2#; (두 근의 곱)= a+ b+ =ab+2+ 1 b }{ 1 a } 1 ab (두 근의 합)=-2+2+ 1 -2 =- ;2!; 따라서 구하는 이차방정식은 2 xÛ`- x- =0, { ;2#; ;2!;} 즉 2xÛ`-3x-1=0이다.  2xÛ`-3x-1=0 0469 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근이 2, a이므로 근과 계수의 관계 이차방정식 xÛ`+(b-1)x+2a+3=0의 두 근이 -1, b이므로 근 yy`㉠ 에 의하여 2+a=-a, 2a=b 과 계수의 관계에 의하여 -1+b=-(b-1), -b=2a+3 yy`㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 -1+b=-(2a-1), -b=2(-2-a)+3 ∴ 2a+b=2, -2a+b=1 두 식을 연립하여 풀면 a= , b= ;4!; ;2#; 따라서 a, b, 즉 을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 8인 이차방정 , ;4!; ;2#; 식은 xÛ`- 8 [ + x+ ´ ;4!; ;2#;] ;2#;} {;4!; =0 8 xÛ`- x+ =0, 8xÛ`-14x+3=0 { ;4&; ;8#;} 이므로 m=-14, n=3 ∴ m+n=-11‌ 0470 |전략| 대한이는 이차항의 계수와 상수항을, 민국이는 이차항의 계수와 일차항의 계수를 바르게 보았다. 대한이는 방정식의 xÛ`의 계수와 상수항을 바르게 보고 풀었으므로 (두 근의 곱)= =(1+ 6)(1- 6)=-5 ;aC; ' ' 으므로 (두 근의 합)=- = +1= ;aB; ;3!; ;3$; 따라서 주어진 이차방정식은 a xÛ`- x-5 =0,‌ (3xÛ`-4x-15)=0 { ;3$; } ;3A; (3x+5)(x-3)=0 ;3A; ∴ x=- 또는 x=3 ;3%; 058 | II . 방정식과 부등식 또한, 민국이는 방정식의 xÛ`의 계수와 x의 계수를 바르게 보고 풀었 이때, 선택지의 각 식의 좌변에 x=-1을 대입하여  f(-1)=0을 만 족하는 것을 찾으면 ⑤이다.  ⑤ 0473 방정식  f(x)=0이 -1을 근으로 가지므로  f(-1)=0 0474 이차방정식  f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면 ab=4  f(a)=0,  f(b)=0이므로  f(2x)=0이려면  x=- ;3%; 또는 x=3 2x=a 또는 2x=b ∴ x= 또는 x= a 2 b 2 정답과 해설 따라서 이차방정식 f(2x)=0의 두 근의 곱은 0478 a 2 ´ b 2 = ab 4 = =1 ;4$; 0475 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 f(a)=0, f(b)=0 즉, f(2x-2)=0이려면 2x-2=a 또는 2x-2=b ∴ x= 또는 x= a+2 2 b+2 2 (cid:9000) ① 1 2-1 = 2+1 ' 2-1)( 2+1) = 2+1 ' ( ' ' 계수가 유리수인 이차방정식 xÛ`+2ax+b=0의 한 근이 1+ ' 다른 한 근은 1- 2이다. ' 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 (1+ 2)+(1- 2)=-2a ∴ a=-1 (1+ 2)(1- ∴ b=-1 ' ' ' 2)=b ' 따라서 이차방정식 xÛ`+bx+a=0, 즉 xÛ`-x-1=0의 근은 -(-1)Ñ (-1)Û`-4´1´(-1) "à 2 = 5 1Ñ ' 2 … ❶ 2이면 ' … ❷ … ❸ … ❹ 비율 20 % 30 % 30 % 20 % (cid:9000) x= 5 1Ñ ' 2 x= 채점 기준 ❶ 1 2-1 ' (cid:9000) 3 의 분모를 유리화할 수 있다. ❷ 켤레근의 성질을 이용하여 다른 한 근을 구할 수 있다. ❸ 근과 계수의 관계를 이용하여 a, b의 값을 구할 수 있다. ❹ 이차방정식 xÛ`+bx+a=0의 근을 구할 수 있다. 0479 계수가 실수인 이차방정식 xÛ`+mx+n=0의 한 근이 -1+2i이면 다른 한 근은 -1-2i이다. 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 (-1+2i)+(-1-2i)=-m ∴ m=2 (-1+2i)(-1-2i)=n ∴ 1 m + 1 n = + ;2!; ;5!; = ;1¦0; ∴ n=5 ´ 1 n 1 m = , ´ ;2!; ;5!; = ;1Á0; , 1 1 m n + 1 따라서 을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 xÛ`- 1 m { x+ 1 m ´ 1 n n } =0에서 xÛ`- x+ =0이므로 ;1¦0; ;1Á0; (cid:9000) 1 a=- , b= ;1Á0; ;1¦0; ∴ 5(a+b)=5 - + =-3 { ;1¦0; ;1Á0;} (cid:9000) ③ 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0480 유형 01 이차방정식의 풀이 |전략| 이차항의 계수를 유리화한 후 주어진 이차방정식의 해를 구한다. 주어진 방정식의 양변에 2를 곱하면 ' 6)x- ' 6=0 2´ 3=0 ' 2´2 ' ' 4xÛ`+(2 2xÛ`+ 2(2- ' 2-2 ' 3)x- ' ' 3)(2x+ ' 2)=0 ' (2x- ' 3 ∴`x= ' 2 2 또는 x=- ' 2 5ㅡ 이 차 방 정 식 5 이차방정식 | 059 따라서 이차방정식 f(2x-2)=0의 두 근의 곱은 a+2 2 ´ b+2 2 = ab+2(a+b)+4 4 = 4+2´2+4 4 =3 (∵ a+b=2, ab=4) 로 f(x)=a(xÛ`-2x+4)이다. ∴ f(2x-2) =a{(2x-2)Û`-2(2x-2)+4} =a(4xÛ`-12x+12) 따라서 이차방정식 f(2x-2)=0의 두 근의 곱은 12a 4a =3 다른 풀이 이차방정식 f(x)=0의 두 근의 합이 2, 두 근의 곱이 4이므 0476 |전략| 먼저 주어진 근의 분모를 실수화한 후 이차방정식의 켤레근의 성질을 이 용한다. = (1+i)Û` 1+i 1-i 계수가 실수인 이차방정식 xÛ`+ax+b=0에서 한 근이 i이면 다른 (1-i)(1+i) = 2i 2 =i 한 근은 -i이다. 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 i+(-i)=-a ∴`a=0 i´(-i)=b ∴`b=1 ∴`a+b=1 다른 풀이 =i이므로 주어진 이차방정식에 대입하면 1+i 1-i iÛ`+ai+b=0, (b-1)+ai=0 a, b가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 b-1=0, a=0 ∴`a=0, b=1 ∴`a+b=1 0477 계수가 실수인 이차방정식 xÛ`-ax+4b=0에서 한 근이 2+ai이면 다른 한 근은 2-ai이다. 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 (2+ai)+(2-ai)=a ∴ a=4 (2+ai)(2-ai)=4b 즉, 4+aÛ`=4b에서 4+4Û`=4b ∴ b=5 ∴ a+b=9 (cid:9000) ⑤ 3 따라서 a= ' 2 2 , b=- ' 2 이므로 2aÛ`-bÛ`= - =1 ;2#; ;2!; 0481 유형 ‌02 이차방정식의 한 근이 주어질 때 미정계수 구하기 |전략| x=1을 주어진 이차방정식에 대입한다. 이차방정식 xÛ`-(a+5)x+aÛ`-2a=0의 한 근이 1이므로 1-(a+5)+aÛ`-2a=0 aÛ`-3a-4=0, (a+1)(a-4)=0 ∴ a=4 (∵ a>0) a=4를 주어진 방정식에 대입하면 xÛ`-9x+8=0, (x-1)(x-8)=0 ∴ x=1 또는 x=8 따라서 다른 한 근은 8이므로 a=8 ∴ a+a=12 유형 ‌02 이차방정식의 한 근이 주어질 때 미정계수 구하기 |전략| x=a, x=b를 주어진 식에 각각 대입한 후 식을 변형하거나 양변을 b로 xÛ`-3x+1=0의 한 근이 a이므로 aÛ`-3a+1=0 ∴ aÛ`=3a-1 xÛ`-ax+1=0의 한 근이 b이므로 bÛ`-ab+1=0 이때, b+0이므로 양변을 b로 나누면 b-a+ 1 b b+ 1 ∴ b+ 1 b -aÛ`=3a-(3a-1)=1 =a =0 ∴ 3 { b } 0482 나눈다. 0483 유형 ‌04 가우스 기호를 포함한 이차방정식의 풀이 |전략| 정수 n에 대하여 nÉx0이므로 x=10 0485  ⑤ yy`㉠ yy`㉡  ⑤ 유형 ‌06 판별식을 이용한 이차방정식의 근의 판별 |전략| 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 중근을 가질 조건은 D=0, 허근을 가질 조건은 D<0이다.  ④ 이차방정식 xÛ`-2(a+2)x+2aÛ`-1=0의 판별식을 DÁ이라 하면 DÁ 4 =(a+2)Û`-(2aÛ`-1)=0 aÛ`+4a+4-2aÛ`+1=0, -aÛ`+4a+5=0 aÛ`-4a-5=0, (a+1)(a-5)=0 ∴ a=-1 또는 a=5 이차방정식 xÛ`+2x+2a+1=0의 판별식을 Dª라 하면 =1Û`-(2a+1)<0, -2a<0 Dª 4 ∴ a>0 ㉠, ㉡에서 a=5  ④ 0486 유형 ‌06 판별식을 이용한 이차방정식의 근의 판별 |전략| 이차방정식이 m의 값에 관계없이 중근을 가지면 이차방정식의 판별식 D=0은 m에 대한 항등식이다. 이차방정식 xÛ`-2(m-a+1)x+mÛ`+aÛ`-2b=0의 판별식을 D라 =(m-a+1)Û`-(mÛ`+aÛ`-2b)=0 mÛ`+aÛ`+1-2am-2a+2m-mÛ`-aÛ`+2b=0 -2am+2m-2a+2b+1=0 (-2a+2)m-2a+2b+1=0 이 식이 m의 값에 관계없이 항상 성립하므로 -2a+2=0, -2a+2b+1=0 따라서 a=1, b= 이므로 =2 ;2!; ;bA;  ③ 하면 D 4 0487 Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은 x= 3 또는 x=2이므로 ' 유형 ‌08 이차식이 완전제곱식이 될 조건 |전략| 이차식 axÛ`+bx+c가 완전제곱식이면 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의  ② 판별식 D=0이므로 a, b, c 사이의 관계를 알아본다. Ú 0cÛ` ⇨ △ABC는 예각삼각형 ⑶ aÛ`+bÛ`=cÛ` ⇨ △ABC는 직각삼각형 ⑷ aÛ`+bÛ`0이므로 a<0, b<0 유형 ‌14 두 근의 조건이 주어진 이차방정식 |전략| 주어진 이차방정식의 두 근의 절댓값의 비가 1`:`2이고, 두 근의 부호가 서 로 다르므로 두 근을 a, -2a로 놓는다. 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱이 - <0 (∵ m은 자연수) ;m^;; 이므로 두 근의 부호는 서로 다르다. 5 이차방정식 | 061 5ㅡ이차방정식 주어진 방정식의 두 근을 a, -2a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+(-2a)=- 2m-3 ∴ a= 2m-3 m a´(-2a)=- 즉, { 2m-3 2 m } ;m^;; = 3 m m ∴ aÛ`= 3 m 이므로 4mÛ`-12m+9=3m,‌4mÛ`-15m+9=0 (4m-3)(m-3)=0 ∴ ‌m= 또는 m=3 ;4#; 따라서 자연수 m의 값은 3이다. 0493 유형 ‌17 이차방정식  f(x)=0과 ‌f(ax+b)=0의 관계 |전략| 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로  f(4x-3)=0의 근은 4x-3=a, 4x-3=b를 만족시키는 x의 값이 된다. 이차방정식  f(x)=0의 두 근이 a, b이므로  f(a)=0,  f(b)=0 즉,  f(4x-3)=0이려면 4x-3=a 또는 4x-3=b ∴ x= 또는 x= a+3 4 b+3 4 따라서 이차방정식  f(4x-3)=0의 두 근의 합은 a+3 4 + b+3 4 = a+b+6 4 (∵ a+b=-2) = -2+6 4 =1 0494 를 나눈다. 유형 ‌03 절댓값 기호를 포함한 이차방정식의 풀이 |전략| 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의 범위 x-1)Û`=|x-1|이므로 xÛ`+|x+1|=|x-1|-1 ( " Ú x<-1일 때, xÛ`-(x+1)=-(x-1)-1‌ xÛ`=1 ∴ x=Ñ1 그런데 x<-1이므로 해가 없다. ‌ Û -1Éx<1일 때, xÛ`+x+1=-(x-1)-1‌ xÛ`+2x+1=0, (x+1)Û`=0 ∴ x=-1 ‌ Ü x¾1일 때, xÛ`+x+1=x-1-1‌ xÛ`=-3이므로 해가 없다.‌ Ú, Û, Ü에서 주어진 방정식의 근은 x=-1‌  ④ ‌ … ❶ … ❷ … ❸ … ❹ 배점 2점 2점 2점 1점 채점 기준 ❶ x<-1일 때 x의 값을 구할 수 있다. ❷ -1Éx<1일 때 x의 값을 구할 수 있다. ❸ x¾1일 때 x의 값을 구할 수 있다. ❹ x의 값을 구할 수 있다. 062 | II . 방정식과 부등식 유형 ‌07 계수가 문자인 이차방정식의 근의 판별 |전략| 두 이차방정식의 판별식을 각각 DÁ, Dª라 하면 DÁ=0일 때, Dª의 부호 이차방정식 xÛ`-2ax+bÛ`+1=0이 중근을 가지므로 판별식을 DÁ이 =(-a)Û`-(bÛ`+1)=0 ∴ aÛ`=bÛ`+1 yy ㉠‌ … ❶  ③ 이차방정식 xÛ`+4ax+2b+1=0의 판별식을 Dª라 하면 =(2a)Û`-(2b+1)=4aÛ`-2b-1 ‌ =4(bÛ`+1)-2b-1 (∵ ㉠) =4bÛ`-2b+3 =4 b- { ;4!;} + >0 { ∵ { b- ;4!;} :Á4Á: ¾0 ‌ } 따라서 이차방정식 xÛ`+4ax+2b+1=0은 서로 다른 두 실근을 갖 2` 2` 0495 를 조사한다. 라 하면 DÁ 4 Dª 4 는다.‌ 채점 기준  서로 다른 두 실근 … ❷ … ❸ 배점 2점 3점 1점 ❶ a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다. ❷ 이차방정식 xÛ`+4ax+2b+1=0의 판별식의 부호를 조사할 수 있다. ❸ 이차방정식 xÛ`+4ax+2b+1=0의 근을 판별할 수 있다. 0496 한다. 유형 ‌10 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값 구하기 + 18 이차방정식의 켤레근 |전략| 이차방정식의 켤레근의 성질을 이용하여 a, b의 값을 구하고, xÛ`+bx+a=0에서 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 차의 제곱의 값을 구 계수가 유리수인 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이 2- 2이면 ' 다른 한 근은 2+ 2이다. ' 이때, 근과 계수의 관계에 의하여 (2- 2)+(2+ 2)=-a‌ ‌ ∴ a=-4 ' ' (2- 2)(2+ ' ' 2)=b‌ ‌ ∴ b=2 ‌ b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2, ab=-4 ‌ ∴ (a-b)Û`‌‌=(a+b)Û`-4ab =(-2)Û`-4´(-4)=20 ‌ 따라서 이차방정식 xÛ`+bx+a=0, 즉 xÛ`+2x-4=0의 두 근을 a, … ❶ … ❷ … ❸  20 배점 2점 2점 2점  x=-1 채점 기준 ❶ a, b의 값을 구할 수 있다. 할 수 있다. ❷ xÛ`+bx+a=0에서 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구 ❸ xÛ`+bx+a=0의 두 근의 차의 제곱의 값을 구할 수 있다. 정답과 해설à 0497 유형 ‌15 이차방정식의 작성 |전략| 두 수 a, b를 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 xÛ`-(a+b)x+ab=0이다. 창의·융합 교과서 속 심화문제 0499 |전략| BPÓ=x라 하고 합동인 두 삼각형을 찾아 피타고라스 정리를 이용한다. ⑴ 이차방정식 xÛ`+3x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관 △ABP와 △ADQ에서 A 1 D x Q 1-x B x P 1-x C 계에 의하여 a+b=-3, ab=4 ⑵ b a+1 , a b+1 ⑵ (두 근의 합)= ⑵ (두 근의 합)= 를 두 근으로 하는 이차방정식에 대하여 b(b+1)+a(a+1) (a+1)(b+1) (a+b)Û`-2ab+a+b ab+a+b+1 = + a b a+1 b+1 aÛ`+bÛ`+a+b ab+a+b+1 (-3)Û`-2´4+(-3) 4+(-3)+1 = ⑵ (두 근의 합)= =-1 ⑵ (두 근의 곱)= b a+1 ´ a b+1 = ab ab+a+b+1 ⑵ (두 근의 합)= 4 4+(-3)+1 =2 를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 ABÓ=ADÓ, APÓ=AQÓ, ∠B=∠D=90ù ∴ △ABPª△ADQ`(RHS 합동) BPÓ=DQÓ=x라 하면 CPÓ=CQÓ=1-x 삼각형 APQ가 정삼각형이므로 APÓ=PQÓ, 즉 `APÓ Û`=PQÓ Û`에서 1+xÛ`=(1-x)Û`+(1-x)Û` xÛ`-4x+1=0 ∴ x=2Ñ 3 이때, 01 ;aC;  풀이 참조 배점 4점 6점 2점 ⑶ b a+1 , a b+1 ⑶ xÛ`+x+2=0 채점 기준 따라서 선분 BP의 길이는 2- 3이다.  ④ 0500 |전략| 두 이차방정식의 판별식을 이용하여 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참, 거짓을 따져 본다. ㄱ. b=a+c이므로 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대입하면 ㄱ. axÛ`+(a+c)x+c=0, (ax+c)(x+1)=0 ㄱ. 즉, 이차방정식 axÛ`+bx+c=0이 -1보다 작은 실근을 갖는다. ㄴ. 이차방정식 axÛ`+2bx+c=0이 허근을 가지므로 판별식을 DÁ이 라 하면 DÁ 4 ㄱ. =bÛ`-ac<0 0498 ㄱ. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 Dª라 하면 유형 ‌16 잘못 보고 푼 이차방정식 |전략| 갑은 xÛ`의 계수와 상수항을, 을은 xÛ`의 계수와 x의 계수를 바르게 보았다. ㄱ. Dª=bÛ`-4ac ㄱ. 이때, 00 ⑴ 갑은 방정식의 xÛ`의 계수와 상수항을 바르게 보고 풀었으므로 ㄱ. 즉, Dª=bÛ`-4acy일 때와 xy일 때 x∨y=x이므로 2xÛ ` +yÛ x∧y=y이므로 2xÛ ` +yÛ ` =x ` -1=y ㉠-㉡을 하면 x-y=1 ∴ y=x-1 이것을 ㉠에 대입하면 ` ` ` D=(-3)Û ` x는 존재하지 않는다. Û xx-y이므로 B y x A 2 D 6 C x+y x-y 8 4 16 2 32 1 에서 x=6, y=2 에서 x=9, y=7 x+y=8 x-y=4 x+y=16 x-y=2 x+y=32 x-y=1 [ [ [ 에서 x= , y= :£2£: :£2Á: ∴ [ x=6 y=2 또는 [ x=9 y=7 (∵ x, y는 자연수) 따라서 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은  1 2+6+x+y=2+6+9+7=24  24 정답과 해설 8 연립일차부등식 본책 120~137쪽 개념 마스터 STEP1 0739  -53 0741  xÉ2 0742  -2 x-5 3 x-1   7 à ㉠에서 x>5 x>-6  x>-6 따라서 주어진 연립부등식의 해는 0753  x=1 0754  해가 없다. 0755  해가 없다. 0756  해가 없다. 따라서 주어진 연립부등식의 해는 0746 x+4¾3 2xÉ10 [  ㉠에서 x¾-1 ㉡에서 xÉ5 -1ÉxÉ5 0747 2x+7>1 3x-1É2 [  ㉠에서 x>-3 ㉡에서 xÉ1 -33x-3 [  ㉠에서 x¾-3 ㉡에서 x>-2 ㉡의 양변에 21을 곱하면 3x-3>7x-35 ∴ x<8 따라서 주어진 연립부등식의 해는 yy ㉠ yy ㉡  5-6 따라서 주어진 연립부등식의 해는 ㉡ ㉡ ㉡ ㉠ -1 5 x  -1ÉxÉ5 yy ㉠ yy ㉡ ㉠ -3 1 x  -35 2x-11<-13 [  ㉠에서 x>1 ㉡에서 x<-1 따라서 주어진 연립부등식의 해는  xÉ-4 따라서 주어진 연립부등식의 해는 yy ㉠ yy ㉡ ㉡ ㉠ 5 8 x  5-2  x>-2 따라서 주어진 연립부등식은 해가 없다.  해가 없다. 8ㅡ연립일차부등식 정답과 해설 0759 주어진 부등식에서 -2Éx+3 x+3<2 [  ㉠에서 x¾-5 ㉡에서 x<-1 0760 주어진 부등식에서 2x-3É3x+1 3x+1Éx+9 [  ㉠에서 x¾-4 ㉡에서 xÉ4 따라서 주어진 부등식의 해는 -5Éx<-1 따라서 주어진 부등식의 해는 -4ÉxÉ4 유형 마스터 유형 마스터 1 STEP2 0761 5(x+1)¾x+9 x+3É3(x-1)+2 [  ㉠에서 5x+5¾x+9 ∴ x¾1 ㉡에서 x+3É3x-1 ∴ x¾2 따라서 주어진 연립부등식의 해는 0764 4x-(-5-9x)<3x+8 5(x+1)¾x+1 [  ㉠에서 4x+5+9x<3x+8 yy ㉠ yy ㉡  ㉠ 10x<3 ∴ x< ;1£0; -5 -1 x ㉡에서 5x+5¾x+1 ∴ x¾-1  -5Éx<-1 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -1Éx< 이므로 ;1£0; M=0, m=-1 ∴ M-m=1 yy ㉠ yy ㉡  ㉠ 0765 -4 4 x  -4ÉxÉ4 x-2 3 - 5x-3 4 <1   0.5(x-1)+0.8¾0.2(x+3) ㉡ ㉡ |전략| 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 만든 다음 부등식을 푼다. à ㉠에서 4(x-2)-3(5x-3)<12, 4x-8-15x+9<12 -11x<11 ∴ x>-1 ㉡에서 5(x-1)+8¾2(x+3), 5x-5+8¾2x+6 3x¾3 ∴ x¾1 따라서 주어진 연립부등식의 해는 -1 1 x ㉡ ㉠  ⑤ -2 1 -2 2 - :Á6£: ㉡에서 4(x-1)-3(x+1)É2 4x-4-3x-3É2 ∴ xÉ9 따라서 주어진 연립부등식의 해는 x¾1 0766 - :Á6£: 이다. 0767 ;2#;   ' yy ㉠ yy ㉡  ㉡ ㉠ 1 2 x  x¾2 x x  ③ yy ㉠ yy ㉡  ㉠  ⑤ x-2.13에서 x>5 2x-6<14에서 x<10 따라서 연립부등식의 해는 5-11 ㉡에서 9x+15<6x+6 ∴ x<-3 ④ 5+2x>-(8-5x)+1에서 5+2x>-8+5x+1 -3x>-12 ∴ x<4 5-2(x+2)¾3x-1에서 5-2x-4¾3x-1 따라서 주어진 부등식의 해는 -11 ;3&; 따라서 연립부등식의 해는 7x 3(1-x)   2 É-(x+1) à ㉠에서 2x+10>7x ∴ x<2 ㉡에서 3(1-x)É-2(x+1) 3-3xÉ-2x-2 ∴ x¾5 2 5 7 3 4 x 3 x  ③ yy ㉠ yy ㉡ ㉡에서 3x-4É2x+2 ∴ xÉ6 따라서 주어진 부등식의 해는 ㉡ 0772 주어진 부등식에서 4-xÉ3x-4 3x-4É2(x+1) [  ㉠에서 x¾2 2ÉxÉ6이므로 a=2, b=6 ∴ a+b=8 0773 주어진 부등식에서 1- 2(1-x) 3 < 3x+5 4   3x+5 4 < 1-x 2 -2 à ㉠에서 12-8(1-x)<3(3x+5) 12-8+8x<9x+15 ∴ x>-11 ㉡에서 3x+5<2(1-x)-8 따라서 주어진 부등식의 해를 수직선 위에 나타내면 ④와 같다.  ④ 3x+5<2-2x-8 ∴ x<- :Á5Á: yy ㉠ yy ㉡ ㉡ 1 x  x=1 yy ㉠ yy ㉡  ㉠  ④ yy ㉠ yy ㉡  2 6 x ㉠  8 yy ㉠ yy ㉡ 8 연립일차부등식 | 101 8ㅡ연립일차부등식 따라서 주어진 부등식의 해는 ㉡ 주어진 연립부등식의 해가 5ÉxÉ12이므로 ㉠ x -11 - 11 5 4a=12, =5 ∴ a=3, b=-7 a-b 2 ∴ ab=-21  7 채점 기준 ❶ 주어진 부등식을 연립부등식으로 나타낼 수 있다. ❷ ㉠의 해를 구할 수 있다. ❸ ㉡의 해를 구할 수 있다. ❹ ab의 값을 구할 수 있다. -11-7 ㉡에서 x<1 따라서 주어진 부등식의 해는 ㉡ -7 4-a 2 2x-3<17-3x에서 x<4 주어진 연립부등식의 해가 -1-3에서 x>a-3 주어진 연립부등식의 해가 없으려면 오른 쪽 그림에서 a-3¾2 ∴ a¾5  -9 2 ' 2 a-3 x  ⑤ yy ㉠ yy ㉡ … ❶ … ❷ … ❸ 0780 주어진 부등식에서 3x+13x+1에서 2x-6>3x+1 -x>7 ∴ x<-7 주어진 연립부등식이 해를 가지려면 오 른쪽 그림에서 3a-2<-7, 3a<-5 ∴ a<- ;3%; 따라서 정수 a의 최댓값은 -2이다. 실수 a의 값의 범위를 구한다. 3x+1É7에서 xÉ2 2x+a>x+4에서 x>4-a 이때, 연립부등식을 만족시키는 정수 x 가 2개이려면 오른쪽 그림에서 0É4-a<1, -4É-a<-3 ∴ 30이면 px-1 -4 x a+1 2  aÉ-9 ㉡에서 2xÉa-4 ∴ xÉ a-4 2 3 4 x a-10 2 yy ㉠ yy ㉡  따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ④이다.  ④ 이때, 연립부등식을 만족시키는 정수 x 가 2개이려면 오른쪽 그림에서 <2, 2Éa-4<4 1É a-4 2 ∴ 6Éa<8 -1 0 2 x 1 a-4 2 따라서 a의 최솟값은 6이다.  6 ¾ + ;6{;+;3A; ;3!; ;2{;   2(x+1)>3x+a à ㉠에서 3x+2¾x+2a ∴ x¾a-1 ㉡에서 2x+2>3x+a ∴ x<2-a 이때, 연립부등식을 만족시키는 정수 x 가 0과 1뿐이려면 오른쪽 그림에서 Ú -110-x [  ㉠에서 100x+4000É4600 ∴ xÉ6 ㉡에서 2x>10 ∴ x>5 ∴ 515-x [  ㉠에서 12000É200x+10500<12500 1500É200x<2000 ∴ Éx<10 :Á2°: :Á2°: ㉡에서 2x>15 ∴ x> ∴ :Á2°: 20x 180<25x [  ㉠에서 x<9 ㉡에서 x> :£5¤: ∴ :£5¤: ;2!;  x> ;2!; 0808 |x-2|<3x에서 Ú x<2일 때, -(x-2)<3x -4x<-2 ∴ x> ;2!; 그런데 x<2이므로 -1 그런데 x¾2이므로 x¾2 0809 1É|4x+5|É7에서 -7É4x+5É-1 또는 1É4x+5É7 Ú -7É4x+5É-1에서 -12É4xÉ-6 ∴ -3ÉxÉ- ;2#; Û 1É4x+5É7에서 -4É4xÉ2 ∴ -1ÉxÉ ;2!; yy ㉠ yy ㉡ yy ㉠ yy ㉡ 0802 상자의 개수를 x라 하면 볼펜은 (5x+4)개이므로 6(x-3)+1É5x+4É6(x-3)+6 즉, 6(x-3)+1É5x+4 5x+4É6(x-3)+6 [  ㉠에서 6x-17É5x+4 ∴ xÉ21 ㉡에서 5x+4É6x-12 ∴ x¾16 ∴ 16ÉxÉ21 따라서 상자는 최대 21개이다. 0803 승용차의 수를 x라 하면 사람은 (4x+16)명이므로 5(x-4)+1É4x+16É5(x-4)+5 즉, 5(x-4)+1É4x+16 4x+16É5(x-4)+5 [  ㉠에서 5x-19É4x+16 ∴ xÉ35 ㉡에서 4x+16É5x-15 ∴ x¾31 ∴ 31ÉxÉ35 0804 학생 수를 x라 하면 사탕은 (5x+12)개이므로 7(x-1)+1É5x+12<7(x-1)+5 즉, 7(x-1)+1É5x+12 5x+12<7(x-1)+5 [  ㉠에서 7x-6É5x+12 ∴ xÉ9 ㉡에서 5x+12<7x-2 ∴ x>7 ∴ 7-2 그런데 x<-1이므로 -20, x-2¾0이므로 주어진 부등식은 x+1+(x-2)<5 2x<6 ∴ x<3 그런데 x¾2이므로 2Éx<3 ⑷ ⑴, ⑵, ⑶에서 주어진 부등식의 해는 -20에서 k> ㈏ -2 0811 |2x-1|-|x|<3에서 Ú x<0이면 2x-1<0, x<0이므로 주어진 부등식은 -(2x-1)-(-x)<3, -2x+1+x<3 -x<2 ∴ x>-2 그런데 x<0이므로 -2- ;3@; 그런데 0Éx< 이므로 0Éx< ;2!; ;2!; Ü x¾ 이면 2x-1¾0, x>0이므로 주어진 방정식은 ;2!; 2x-1-x<3 ∴ x<4 그런데 x¾ 이므로 Éx<4 ;2!; ;2!; Ú, Û, Ü에서 -20 Ü ab=2k-1>0 ∴ k> ;2!; Ú, Û, Ü에서 0 ∴ k>0 Ú, Û, Ü에서 0-1이다. Ú, Û, Ü에서 ㈐ -20) 꼴의 부등식은 -c0  00, k>1 ⑵ 이차방정식 f(x)=0이 실근을 가져야 하므로 D¾0 주어진 그림에서 f(1)>0, k<1 ⑶ 주어진 그림에서 f(1)<0 b+1 a =-3, -b+1 a =1 ∴ 3a+b=-1, a+b=1 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2 ∴ ab=-2 0820 |x-a|<1에서 -1, > ⑵ ¾, >, < ⑶ < ∴ a-15에서  ⑤ 0824 |전략| x<-1, -1Éx<1, x¾1로 범위를 나누어 푼다. 2|x-1|+3|x+1|É6에서 Ú x<-1일 때, -2(x-1)-3(x+1)É6 ;5&; ;5&; 그런데 x<-1이므로 - Éx<-1 Û -1Éx<1일 때, -2(x-1)+3(x+1)É6 ∴ xÉ1 그런데 -1Éx<1이므로 -1Éx<1 Ü x¾1일 때, 2(x-1)+3(x+1)É6 5xÉ5 ∴ xÉ1 그런데 x¾1이므로 x=1 Ú, Û, Ü에서 - ÉxÉ1 ;5&; Ú x<- 일 때, -(2x+3)+(x-1)>5 ;2#; -x>9 ∴ x<-9 그런데 x<- 이므로 x<-9 ;2#; Û - Éx<1일 때, (2x+3)+(x-1)>5 ;2#; 3x>3 ∴ x>1 그런데 - Éx<1이므로 해는 없다. ;2#; Ü x¾1일 때, (2x+3)-(x-1)>5 ∴ x>1 그런데 x¾1이므로 x>1 채점 기준 0826 ❶ x< -;2#;일 때의 부등식의 해를 구할 수 있다. ❷ - Éx<1일 때의 부등식의 해를 구할 수 있다. ;2#; ❸ x¾1일 때의 부등식의 해를 구할 수 있다. ❹ 주어진 부등식의 해를 구할 수 있다. … ❶ … ❷ … ❸ … ❹ 비율 25 % 25 % 25 % 25 % 2 (x+1)Û`+|x-2|É6에서 2|x+1|+|x-2|É6 "Ã Ú x<-1일 때, -2(x+1)-(x-2)É6 -3xÉ6 ∴ x¾-2 그런데 x<-1이므로 -2Éx<-1 Û -1Éx<2일 때, 2(x+1)-(x-2)É6 5 a x ∴ xÉ2  ④ 그런데 -1Éx<2이므로 -1Éx<2 0821 |전략| x<2, x¾2로 범위를 나누어 푼다. 2|x-2|<-x+5에서 Ú x<2일 때, -2(x-2)<-x+5 -x<1 ∴ x>-1 그런데 x<2이므로 -1 ;5(; 그런데 x<1이므로 해는 없다. Û x¾1일 때, 2(x-1)<3x-7 -x<-5 ∴ x>5 그런데 x¾1이므로 x>5 Ú, Û에서 x>5 따라서 x>5가 x>a를 포함하려면 오 른쪽 그림에서 a¾5 108 | II . 방정식과 부등식 따라서 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개이다.  ⑤ Ú, Û, Ü에서 x<-9 또는 x>1  x<-9 또는 x>1 정답과 해설  xÉ-4 또는 x¾2 =1Û`-(2k+1)<0 Ú x<-1일 때, |-(x+1)-1|¾2, |-x-2|¾2 Ü x¾2일 때, 2(x+1)+(x-2)É6 3xÉ6 ∴ xÉ2 그런데 x¾2이므로 x=2 Ú, Û, Ü에서 -2ÉxÉ2 따라서 a=-2, b=2이므로 a+b=0 0827 ||x+1|-1|¾2에서 |x+1|-1É-2 또는 |x+1|-1¾2 ∴ |x+1|É-1 또는 |x+1|¾3 그런데 |x+1|¾0이므로 |x+1|¾3 x+1É-3 또는 x+1¾3 ∴ xÉ-4 또는 x¾2 다른 풀이 ||x+1|-1|¾2에서 -x-2É-2 또는 -x-2¾2 -xÉ0 또는 -x¾4 ∴ x¾0 또는 xÉ-4 그런데 x<-1이므로 xÉ-4 Û x¾-1일 때, |x+1-1|¾2, |x|¾2 ∴ xÉ-2 또는 x¾2 그런데 x¾-1이므로 x¾2 Ú, Û에서 xÉ-4 또는 x¾2  ③ 0832 0831 |x-a|¾0이므로 |x-a|ÉaÛ`-a를 만족시키는 해가 오직 한 개 만 존재하려면 aÛ`-a=0, a(a-1)=0 ∴ a=0 또는 a=1 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 1이다.  1 |전략| 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가 질 조건은 D>0, 허근을 가질 조건은 D<0이다. 이차방정식 xÛ`-2x+k-3=0의 판별식을 DÁ이라 하면 =(-1)Û`-(k-3)>0 -k+4>0 ∴ k<4 yy`㉠ 이차방정식 xÛ`+2x+2k+1=0의 판별식을 Dª라 하면 -2k<0 ∴ k>0 ㉠, ㉡에서 구하는 k의 값의 범위는 0c의 해가 모든 실수가 되려면 c<0이어야 한다. |2x+1|>a+1의 해가 모든 실수이려면 a+1<0 ∴ a<-1  ① 0829 |2x-1|¾0이므로 |2x-1|É6-2k의 해가 존재하지 않으려면 =(-a)Û`-(aÛ`-a+6)<0 6-2k<0 ∴ k>3 따라서 정수 k의 최솟값은 4이다. 채점 기준 ❶ k의 값의 범위를 구할 수 있다. ❷ 정수 k의 최솟값을 구할 수 있다. … ❶ … ❷  4 비율 70`% 30`% a-6<0 ∴ `a<6 yy`㉠ 이차방정식 4xÛ`+4ax+aÛ`+a-2=0의 판별식을 Dª라 하면 =(2a)Û`-4(aÛ`+a-2)<0 -4a+8<0 ∴ `a>2 ㉠, ㉡에서 구하는 a의 값의 범위는 21 =(k-2)Û`-(kÛ`+k-1)<0 8 연립일차부등식 | 109 8ㅡ연립일차부등식 Ú =(k-1)Û`-(kÛ`+1)¾0, -2k¾0 ∴ `kÉ0 이때, 주어진 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 방정식 ㉠ 이차방정식 xÛ`+2(2k-3)x+4kÛ`+3=0의 판별식을 Dª라 하면 Dª 4 =(2k-3)Û`-(4kÛ`+3)<0 -12k+6<0 ∴ k> ;2!; 오른쪽 그림에서 주어진 두 이차방정식 중 적어도 하나가 허근을 갖는 실수 k의 값의 범 0840 주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 Ú a+b=- mÛ`+m-6 3 =0 mÛ`+m-6=0, (m+3)(m-2)=0 ∴ m=-3 또는 m=2 1 k 1 2 Û ab= <0 ∴ m>1 -m+1 3  k> ;2!; Ú, Û에서 구하는 실수 m의 값은 2이다.  2 위는 k> ;2!; ab>0이다. 양수이므로 D 4 0836 |전략| 이차방정식의 두 실근 a, b가 모두 양수이면 판별식 D¾0, a+b>0, 주어진 이차방정식의 판별식을 D, 두 근을 a, b라 하면 두 근이 모두 Û a+b=-2(k-1)>0 ∴ `k<1` Ü ab=kÛ`+1>0 Ú, Û, Ü에서 kÉ0 따라서 정수 k의 최댓값은 0이다.  0 0837 주어진 이차방정식이 한 개의 양의 근과 한 개의 음의 근을 가지므로 두 근은 서로 다른 부호이다. 즉, 두 근을 a, b라 하면 ab=2a-4<0 ∴ a<2 따라서 실수 a의 값이 될 수 있는 것은 ①이다.  ① 0841 |전략| x에 대한 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 xÛ`=t로 치환한 t에 대한 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다. xÛ`=t로 놓으면 주어진 방정식은 tÛ`-2t-k+3=0 yy ㉠ 은 서로 다른 두 개의 양의 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면 Ú =(-1)Û`-(-k+3)>0 ∴ k>2 D 4 Û (두 근의 합)=-(-2)>0 Ü (두 근의 곱)=-k+3>0 ∴ k<3 Ú, Û, Ü에서 20에서 k< ;5(; Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=1이고 1>-1이다. Û a+b=-2<0 Ü ab= >0 ∴ k> ;8#; 8k-3 4 Ú, Û, Ü에서 -3 Û ab=5m<0 ∴ m<0 Ú, Û에서 -33 유형 02 계수가 유리수 또는 무리수인 연립일차부등식의 풀이 (cid:9000) ⑤ |전략| 먼저 연립부등식의 해를 구하고 부등식의 성질을 이용하여 A=-2x+3 즉, xÛ`-4x+k=0의 두 근 중 한 근만이 -2와 1 사이에 있어야 한 0845 xÛ`+x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 다. f(x)=xÛ`-4x+k라 하면 f(x)=(x-2)Û`-4+k에서 이차함수 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=2이므로 이차함수 y=f(x)의 그래 프가 오른쪽 그림과 같아야 한다. Ú f(-2)=k+12>0에서 k>-12 Û f(1)=-3+k<0에서 k<3 Ú, Û에서 -122(x+2) ' -2- ' x+2 3 ¾ x-4 9 à ㉠에서 ' 3x+3>2x+4 3-2)x>1 ∴ x< ( ' ' 3-2<0이므로 부등호의 부호 바뀜. 1 3-2 =-2- ' 3 ' y=f(x) ㉡에서 -18-3(x+2)¾x-4 -18-3x-6¾x-4 ∴ xÉ-5 따라서 주어진 연립부등식의 해는 21 -2 x xÉ-5이므로 ㉡ ㉠ -5 -2- 3 x ' -2x¾10 ∴ -2x+3¾13 즉, A¾13 따라서 A의 최솟값은 13이다. (cid:9000) ⑤ 따라서 정수 k는 -11, -10, y, 2의 14개이다. (cid:9000) 14 0849 유형 05 해가 주어진 연립일차부등식 |전략| 각 부등식의 해의 공통부분이 x<-2임을 이용한다. 0846 f(x)=axÛ`-(a+1)x+4라 하면 이차방정식 f(x)=0의 한 근은 2보다 크고 다른 한 근은 2보다 작으 므로 Ú a>0일 때, y=f(x)의 그래프는 오른 y=f(x) 쪽 그림과 같다. f(2)=2a+2<0에서 a<-1 그런데 a>0이므로 조건을 만족시키는 a의 값은 존재하지 않는다. 2 x >4x+3 3x-a 2 2x-1 3 É x+1 3 + x-1 6 à ㉠에서 3x-a>2(4x+3) 3x-a>8x+6 ∴ x<- a+6 5 ㉡에서 2(2x-1)É2(x+1)+x-1 4x-2É2x+2+x-1 ∴ xÉ3 Û a<0일 때, y=f(x)의 그래프는 오른 이때, 주어진 연립부등식의 해가 x<-2이므로 쪽 그림과 같다. f(2)=2a+2>0에서 a>-1 그런데 a<0이므로 -14x-17 3(x-2)-2¾2x-5 [ ㉠에서 x<5 ㉡에서 3x-6-2¾2x-5 ∴ x¾3 yy ㉠ yy ㉡ _300=30`(g) ;1Á0¼0; 물을 x`g 더 넣는다고 하면 4É 30 300+x _100É6 4(300+x)É3000É6(300+x) 즉, 4(300+x)É3000 3000É6(300+x) [ 8ㅡ 연 립 일 차 부 등 식 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉠ yy ㉡ 8 연립일차부등식 | 111 ㉠에서 1200+4xÉ3000 ∴ xÉ450 ㉡에서 3000É1800+6x ∴ x¾200 ∴ 200ÉxÉ450 Ü x¾ 일 때, 2x-1-x¾2 ∴ x¾3 ;2!; 그런데 x¾ 이므로 x¾3 ;2!; 따라서 a=200, b=450이므로 a+b=650  ④ Ú, Û, Ü에서 xÉ-1 또는 x¾3 따라서 a=-1, b=3이므로 a+b=2  ① 유형 14 |ax+b|c 꼴의 부등식의 풀이 |전략| 부등식의 해를 만족시키는 정수가 5개 포함되도록 수직선 위에 나타내 본 0854 |x-2|c 꼴의 부등식의 풀이 + 16 절댓값 기호를 2개 포함한 부등식의 풀이 |전략| 두 부등식의 해를 각각 구하여 해가 같아지는 상수 k의 값을 구한다. 3|x+1|É2|x+2|에서 Ú x<-2일 때, -3(x+1)É-2(x+2) -xÉ-1 ∴ x¾1 그런데 x<-2이므로 해는 없다. Û -2Éx<-1일 때, -3(x+1)É2(x+2) Ú, Û에서 22 해가 존재하려면 a-2¾0 ∴ a¾2 Ü x¾2일 때, x+x-2Éa ∴ xÉ 그런데 x¾2이므로 해가 존재하려면 a+2 2 a+2 2 ¾2 ∴ a¾2 Ú, Û, Ü에서 a¾2 따라서 적당하지 않은 것은 ①이다.  ① |x-1|É2x+1에서 Ú x<1일 때, -(x-1)É2x+1 ∴ x¾0 그런데 x<1이므로 0Éx<1 Û x¾1일 때, x-1É2x+1 ∴ x¾-2 그런데 x¾1이므로 x¾1 Ú, Û에서 x¾0 2(x+1)0에서 a<- ;3*; Ú, Û, Ü에서 -4Éa<- ;3*; 따라서 정수 a는 -4, -3의 2개이다.  ① 따라서 자연수 a는 1, 2의 2개이다.  ② Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=4이고 4<6이다. 0858 유형 20 이차방정식의 실근의 부호 ⑵ |전략| a, b, c의 부호를 따져 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 근을 판별한다. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D라 하면 D=bÛ`-4ac>0 즉, 이차방정식 axÛ`+bx+c=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. |전략| 각 일차부등식을 풀어 a, b의 값을 구하고, 이를 대입한 연립부등식의 해 ab>0에서 a와 b의 부호가 같으므로 - <0 ;aB; ∴ (두 근의 합)=- <0 ;aB; -3x+1<-5에서 x>2 ∴ a=2 2x+ Éx- 에서 xÉ-1 ∴ b=-1 ;3@; ;3!; … ❶ … ❷ 유형 01 연립일차부등식의 풀이 0861 를 구한다. 8 연립일차부등식 | 113 8ㅡ연립일차부등식 a=2, b=-1을 주어진 연립부등식에 대입하면 이때, k+0이지만 범위에 포함되지 않으므로 k<-1 ㉠, ㉡에서 구하는 k의 값의 범위는 -3Ék<-1 yy ㉡ … ❷ … ❸  -3Ék<-1 채점 기준 ❶ ㉠을 구할 수 있다. ❷ ㉡을 구할 수 있다. ❸ k의 값의 범위를 구할 수 있다. 배점 3점 2점 2점 0864 다. 유형 04 A0) ' "à ' ' ' ⑵ a=1+ 2를 É 2(x-1)에 대입하여 정리하면 2x-a 2 ' 2x-1- 2É2 2(x-1) ' ' 2( 2-1)x¾ 2-1 ∴ x¾ (∵ 2-1>0) ;2!; ' ' ⑶ a=1+ 2를 ' ' 2(x-1)<0.5( 2x-a)+ 에 대입하여 정리하면 ' ;2!; 2 2(x-1)< 2x-1- 2+1 ' ' 2x< ' ' 2 ∴ x<1 ⑷ ⑵, ⑶에서 주어진 부등식을 만족시키는 ⑶ 2x+1>0 -x+2É0 [  ㉠에서 x>- ;2!; ㉡에서 x¾2 따라서 구하는 연립부등식의 해는 yy ㉠ yy ㉡ - 1 2 유형 07 연립일차부등식에서 미지수의 값의 범위 구하기 - 정수인 해의 개수가 주어진 경우 |전략| 각 부등식의 해를 구한 후 정수가 3개 포함되도록 수직선 위에 나타내 yy ㉠ yy ㉡ x¾2 채점 기준 0862 ❶ a의 값을 구할 수 있다. ❷ b의 값을 구할 수 있다. ❸ 연립일차부등식의 해를 구할 수 있다. ㉡에서 2x-2¾x+3 ∴ x¾5 이때, 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 x가 3개이려면 오른쪽 그림에서 본다. x+a¾3+2x 2(x-1)¾x+3 [  ㉠에서 xÉa-3 7Éa-3<8 ∴ 10Éa<11 채점 기준 ❶ ㉠의 해를 구할 수 있다. ❷ ㉡의 해를 구할 수 있다. ❸ 조건을 만족시키는 a의 값의 범위를 구할 수 있다. ㉡ ㉠ 2 x … ❸  x¾2 배점 1점 1점 4점 … ❶ … ❷ 배점 1점 1점 4점 5 6 8 x 7 a-3 … ❸  10Éa<11 x의 값의 범위는 Éx<1 ;2!; 채점 기준 ⑴ 이차방정식을 풀어 a의 값을 구할 수 있다. ⑵ 2x-a 2 É ' 2(x-1)의 해를 구할 수 있다. ⑶ ' 2(x-1)<0.5( 2x-a)+ ' ;2!;의 해를 구할 수 있다. ⑷ 주어진 부등식의 해를 구할 수 있다. ⑵ 1 x 1 2  풀이 참조 배점 3점 3점 3점 3점 0863 라 하면 DÁ 4 Dª 4 유형 18 이차방정식의 근의 판별과 연립일차부등식 0865 |전략| 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 실근을 가질 조건은 D¾0, 허근을 가질 조건은 D<0이다. 이때, (이차항의 계수)+0임에 주의한다. 이차방정식 (k-1)xÛ`+2(k+1)x+k+2=0의 판별식을 DÁ이 유형 13 연립일차부등식의 활용 - 과부족 ⑵ |전략| 사과의 개수를 상자의 개수로 나타낸다. ⑴ 상자의 개수를 x라 하면 사과는 (9x+3)개이므로 12(x-3)+1É9x+3É12(x-3)+12 =(k+1)Û`-(k-1)(k+2)¾0, k+3¾0 ∴ k¾-3 이때, k+1이므로 -3Ék<1 또는 k>1 이차방정식 kxÛ`+2(k+2)x+k=0의 판별식을 Dª라 하면 ㉡에서 9x+3É12x-36+12 ∴ x¾9 yy ㉠ … ❶ ㉠에서 12x-36+1É9x+3 ∴ xÉ :£3¥: =(k+2)Û`-k´k<0, 4k+4<0 ∴ k<-1 ∴ 9ÉxÉ :£3¥: ⑵ ⑴에서 세운 부등식에서 12(x-3)+1É9x+3 9x+3É12(x-3)+12   [  yy ㉠ yy ㉡ 114 | II . 방정식과 부등식 정답과 해설 이때, 연립부등식의 해가 40, a+2b<0인 경우로 나누어 부등식을 푼다. Ú a+2b>0일 때 2a+5b-5 a+2b 0이 성립하지 않는다. 2a+5b-5 a+2b ∴ 2a+3b=-5 =4에서 2a+5b-5=4a+8b a+b-1 a+2b =5에서 a+b-1=5a+10b ∴ 4a+9b=-1 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=3 Û a+2b<0일 때 a+b-1 a+2b 0 ∴ k>0 ;2K; Ú, Û, Ü에서 00의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분 의 x의 값의 범위이므로 x<-2 또는 x>1 ⑵ f(x)É0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나거나 x축보다  01 ⑵ -2ÉxÉ1 0870 |전략| 이차방정식의 axÛ`+bx+c=0의 두 근의 합, 두 근의 곱의 부호를 주어 ㄱ. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0이 서로 다른 두 실근을 가지므로 진 조건에 맞도록 결정한다. bÛ`-4ac>0 ㄴ. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면 Ú a+b=- <0, >0 ∴ ab>0 ;aB; ;aB; a와 b의 부호가 서로 같다. 0873 이차방정식 xÛ`-3x-4=0에서 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 f(x)=xÛ`-3x-4라 하면 y=f(x)의 그래 프가 오른쪽 그림과 같으므로 이차부등식 -4 f(x)<0의 해는 -10에서 a<0 a<0이므로 ac<0에서 c>0 ∴ c>0 ㄷ. a=-1, b=-1, c=2이면 -xÛ`-x+2=0, xÛ`+x-2=0 0874 이차방정식 xÛ`+3x+2=0에서 (x+2)(x+1)=0 ∴ x=-2 또는 x=-1 (x+2)(x-1)=0 ∴ x=-2 또는 x=1 즉, 두 근이 서로 다른 부호이고, 음의 근의 절댓값이 양의 근보다 크지만 a+b+c=(-1)+(-1)+2=0 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ② f(x)=xÛ`+3x+2라 하면 y=f(x)의 그래 프가 오른쪽 그림과 같으므로 이차부등식 -2 -1 O x f(x)¾0의 해는 xÉ-2 또는 x¾-1  xÉ-2 또는 x¾-1 0871 |전략| 주어진 방정식이 이차방정식이므로 a>0, a<0인 경우로 나누어 푼다. f(x)=axÛ`-(a-1)x-4라 하면 이차방정식 f(x)=0의 한 근은 0875 f(x)=xÛ`+4x+4라 하면 -2와 -1 사이에 있고, 다른 한 근은 1과 2 사이에 있다. f(x)=(x+2)Û` Ú a>0일 때, y=f(x)의 그래프가 오른쪽 y=f(x) 따라서 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 이차부등식 f(x)>0의 해는 -1 1 -2 2 x x+-2인 모든 실수이다. 그림과 같아야 하므로 f(-2)=6a-6>0에서 a>1 f(-1)=2a-5<0에서 a< ;2%; f(1)=-3<0 f(2)=2a-2>0에서 a>1 따라서 a의 값의 범위는 15  k>5 0879 xÛ`-3x-10>0에서 (x+2)(x-5)>0 ∴ x<-2 또는 x>5  x<-2 또는 x>5 0880 3xÛ`-7x+2É0에서 (3x-1)(x-2)É0 ∴ ÉxÉ2 ;3!;  ÉxÉ2 ;3!; 0881 10xÛ`-11x-6¾0에서 (5x+2)(2x-3)¾0 ∴ xÉ- 또는 x¾ ;5@; ;2#;  xÉ- ;5@; 또는 x¾ ;2#; 0882 -2xÛ`+5x+3<0에서 2xÛ`-5x-3>0 (2x+1)(x-3)>0 ∴ x<- 또는 x>3 ;2!;  x<- ;2!; 또는 x>3 0883 xÛ`-6x+9=(x-3)Û`¾0 따라서 xÛ`-6x+9>0의 해는 x+3인 모든 실수이다.  x+3인 모든 실수 따라서 xÛ`+4x+6<0의 해는 없다.  해는 없다. 0884 xÛ`+4x+6=(x+2)Û`+2¾2 0885 4xÛ`+4x+1=(2x+1)Û`¾0 0890 모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면 이차함수 y=-xÛ`+kx-k-3의 그래프가 x축보다 항상 아래쪽에 있어야 하 므로 이차방정식 -xÛ`+kx-k-3=0의 판별식을 D라 하면 D=kÛ`+4(-k-3)<0, kÛ`-4k-12<0 (k+2)(k-6)<0 참고 -xÛ`+kx-k-3<0에서 xÛ`-kx+k+3>0이므로 ∴ -20이 성립하도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구해도 된다. 1 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 0891 |전략 | 부등식 f(x)¾g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프 와 만나거나 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이다. axÛ`+(b-m)x+c-n¾0에서 axÛ`+bx+c¾mx+n 따라서 주어진 이차부등식의 해는 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래 프가 직선 y=mx+n과 만나거나 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범 위이므로 xÉ-6 또는 x¾2  ④ 0892 이차부등식 f(x)É0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나거나 x축보다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 -3ÉxÉ2 따라서 a=-3, b=2이므로 ab=-6  -6 9ㅡ 이 차 부 등 식 과 연 립 이 차 부 등 식 0893 `f(x)g(x)<0에서 f(x)>0, g(x)<0 또는 f(x)<0, g(x)>0 Ú f(x)>0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는 9 이차부등식과 연립이차부등식 | 117 따라서 4xÛ`+4x+1É0의 해는 x=- 이다. ;2!;  x=- ;2!; x<-2 또는 x>4 2 Û f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는 ㄹ. -3xÛ`+2x-3>0에서 3xÛ`-2x+3<0 -24  x<-2 또는 -24 0894 |전략 | axÛ`+bx+c=0(a>0)이 서로 다른 두 실근 a, b(a0의 해는 xb이다. 이차방정식 xÛ`-2x-5=0의 해는 x=1Ñ 6이므로 이차부등식 xÛ`-2x-5>0의 해는 x<1- 6 또는 x>1+ 6 따라서 a=1- 6, b=1+ a-b=-2 ' 6 ' ' 6이므로 ' ' ' 0895 (x+2)(x-1)<4x+16에서 xÛ`+x-2<4x+16 xÛ`-3x-18<0, (x+3)(x-6)<0 ∴ -30 즉, -3xÛ`+2x-3>0의 해는 없다. 0897 xÛ`+2x-24É0에서 (x+6)(x-4)É0 ∴ -6ÉxÉ4 ① |x-2|É3에서 -3Éx-2É3 ∴ -1ÉxÉ5 ② |x-1|É4에서 -4Éx-1É4 ∴ -3ÉxÉ5  -2 6 ' ③ |x+1|É4에서 -4Éx+1É4 ∴ -5ÉxÉ3 ④ |x-1|É5에서 -5Éx-1É5 ∴ -4ÉxÉ6 ⑤ |x+1|É5에서 -5Éx+1É5 ∴ -6ÉxÉ4 따라서 주어진 이차부등식과 해가 같은 부등식은 ⑤이다.  ⑤ 0896 |전략 | 각 부등식의 좌변을 a(x-p)Û`+q 꼴로 변형한다. 이때, xÛ`의 계수가 음  7aÉxÉ-3a 0898 a<0이므로 axÛ`-4aÛ`x-21aÜ`¾0의 양변을 a로 나누면 xÛ`-4ax-21aÛ`É0, (x-7a)(x+3a)É0 이때, 7a<-3a이므로 구하는 해는 7aÉxÉ-3a 0899 a, b가 이차방정식 xÛ`-5ax+6aÛ`=0의 두 근이므로 근과 계수의 관 계에 의하여 a+b=5a, ab=6aÛ` (a-1)(b-1)É0에서 ab-(a+b)+1É0 6aÛ`-5a+1É0, (3a-1)(2a-1)É0 ∴ ÉaÉ ;3!; ;2!;  ;3!; ÉaÉ ;2!; 다른 풀이 xÛ`-5ax+6aÛ`=0에서 (x-2a)(x-3a)=0 ∴ a=2a, b=3a 또는 a=3a, b=2a xÛ`+ax+b<0의 해가 -10에 대입하면 -2xÛ`+x+3>0, 2xÛ`-x-3<0 (x+1)(2x-3)<0 ∴ -10의 해는 모든 실수이다. ㄷ. 9xÛ`+6x+1=(3x+1)Û`¾0 즉, 9xÛ`+6x+1<0의 해는 없다. ㄹ. -3xÛ`+2x-3>0에서 3xÛ`-2x+3<0 그런데 3xÛ`-2x+3=3 x- { + ¾ ;3*; ;3*; ;3!;} 이므로 3xÛ`-2x+3<0, 즉 -3xÛ`+2x-3>0의 해는 없다. 2` D 4 D 4 D 4 =(-4)Û`-1´16=0 이므로 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-8x+16¾0 즉, xÛ`-8x+16É0의 해는 x=4이다. =1Û`-1´3=-2<0 이므로 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+2x+3>0 즉, xÛ`+2x+3>0의 해는 모든 실수이다. ㄷ. 이차방정식 9xÛ`+6x+1=0의 판별식을 D라 하면 =3Û`-9´1=0 이므로 모든 실수 x에 대하여 9xÛ`+6x+1¾0 즉, 9xÛ`+6x+1<0의 해는 없다. 118 | II . 방정식과 부등식 따라서 해가 없는 부등식은 ㄷ, ㄹ이다.  ⑤ 이것을 (a-1)(b-1)É0에 대입하면 다른 풀이 ㄱ. 이차방정식 xÛ`-8x+16=0의 판별식을 D라 하면 (2a-1)(3a-1)É0 ∴ ;3!; ÉaÉ ;2!; ㄴ. 이차방정식 xÛ`+2x+3=0의 판별식을 D라 하면 임을 이용한다. 0900 |전략 | 해가 a0의 해가 - 0 ;2#;} 즉, axÛ`-ax- a>0에서 -a=4, - a=b ;4#; ;4#; ∴`a=-4, b=3 ∴ ab=-12 채점 기준 ❶ 조건을 만족시키는 이차부등식을 세울 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ ab의 값을 구할 수 있다. 0902 axÛ`+6x-4>0의 해가 10 0905 axÛ`+bx+c>0의 해가 -10 … ❶ 즉, axÛ`-ax-2a>0에서 b=-a, c=-2a 이것을 (b+c)xÛ`+(a-2c)x-2b>0에 대입하면 -3axÛ`+5ax+2a>0 이때, -a>0이므로 3xÛ`-5x-2>0 (3x+1)(x-2)>0 ∴ x<- 또는 x>2 ;3!; … ❷ … ❸  -12 비율 50`% 30`% 20`%  x<- ;3!; 또는 x>2 0906 |전략 | f(x)É0의 해를 이용하여 f(x)를 작성한 후 x에 2x+1을 대입하여 f(2x+1)É0의 해를 구한다. f(x)É0의 해가 -1ÉxÉ3이므로 양수 a에 대하여 f(x)=a(x+1)(x-3)이라 하면 f(2x+1) =a(2x+1+1)(2x+1-3) 즉, axÛ`-a(b+1)x+ab>0에서 -a(b+1)=6, ab=-4 =4a(x+1)(x-1) 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=2 ∴ a+b=0 부등식 f(2x+1)É0, 즉 4a(x+1)(x-1)É0에서  ③ (x+1)(x-1)É0 ∴ -1ÉxÉ1 다른 풀이 axÛ`+6x-4>0의 해가 10의 해가 x<-2 또는 x>1이므로 a>0이고 a(x+2)(x-1)>0 즉, axÛ`+ax-2a>0에서 b=a, c=-2a 이것을 cxÛ`-bx+a>0에 대입하면 -2axÛ`-ax+a>0 이때, -a<0이므로 2xÛ`+x-1<0 (x+1)(2x-1)<0 ∴ -10 ∴ x<2017 또는 x>2020 따라서 f(2018-x)<0을 만족시키는 x의 값이 될 수 없는 것은 ③  - ;1¦0; 이다.  ③ 다른 풀이 f(x)¾0의 해가 -2ÉxÉ1이므로 f(x)<0의 해는 x<-2 또는 x>1 f(2018-x)<0의 해는 2018-x<-2 또는 2018-x>1에서 x>2020 또는 x<2017 따라서 f(2018-x)<0을 만족시키는 x의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. 0908 f(x)<0의 해가 x<-2 또는 x>4이므로 음수 a에 대하여 f(x)=a(x+2)(x-4)라 하면 f(-2x) =a(-2x+2)(-2x-4)  1 =4a(x-1)(x+2) 9 이차부등식과 연립이차부등식 | 119 이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ 부등식 f(-2x)¾0, 즉 4a(x-1)(x+2)¾0에서 (x-1)(x+2)É0 ∴ -2ÉxÉ1 0912 xÛ`-4|x|É0에서 따라서 f(-2x)¾0을 만족시키는 정수 x의 값은 -2, -1, 0, 1로 Ú x<0일 때, xÛ`+4xÉ0 그 합은 -2이다.  -2 x(x+4)É0 ∴ -4ÉxÉ0 따라서 f(-2x)¾0을 만족시키는 정수 x의 값은 -2, -1, 0, 1로 그 합 그런데 x¾0이므로 0ÉxÉ4 다른 풀이 f(x)<0의 해가 x<-2 또는 x>4이므로 f(x)¾0의 해는 -2ÉxÉ4 f(-2x)¾0의 해는 -2É-2xÉ4에서 -2ÉxÉ1 은 -2이다. 0909 axÛ`+bx+c<0의 해가 -10이고 axÛ`+bx+c=a(x+1)(x-2)라 하면 따라서 a+b의 최솟값은 4+(-4)=0  ② 0b-4 4 a x 0913 |전략 | 정수 n에 대하여 [x]=n일 때, nÉx0, D=bÛ`-4ac=0이어야 한다. 이차부등식 xÛ`-(k+1)x+2k+2É0의 해가 오직 하나이므로 이차방정식 xÛ`-(k+1)x+2k+2=0의 판별식을 D라 하면 D=(k+1)Û`-4(2k+2)=0 kÛ`-6k-7=0, (k+1)(k-7)=0 ∴ k=-1 또는 k=7 따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -1+7=6  6 0916 이차부등식 axÛ`-2(a+4)x+2a+2¾0의 해가 하나뿐이므로 따라서 정수 x는 -5, -4, y, 5의 11개이다.  ① a<0 … ❶ 정답과 해설2 이차방정식 axÛ`-2(a+4)x+2a+2=0의 판별식을 D라 하면 Û a-1=0, 즉 a=1일 때 (a+2)(a-8)=0 ∴ a=-2 (∵ a<0) … ❷ D 4 =(a+4)Û`-a(2a+2)=0 -aÛ`+6a+16=0, aÛ`-6a-16=0 이것을 주어진 부등식에 대입하면 -2xÛ`-4x-2¾0, xÛ`+2x+1É0 (x+1)Û`É0 ∴ x=-1 ∴ b=-1 채점 기준 ❶ a의 부호를 알 수 있다. ❷ a의 값을 구할 수 있다. ❸ b의 값을 구할 수 있다. 0´xÛ`+0´x-9=-9<0이므로 부등식의 해는 없다. Ü a-1<0, 즉 a<1일 때 부등식의 해가 존재하려면 이차방정식 (a-1)xÛ`+2(a-1)x-9=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하 므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =(a-1)Û`-(a-1)´(-9)>0, aÛ`+7a-8>0 D 4 (a-1)(a+8)>0 ∴ a<-8 또는 a>1 그런데 a<1이므로 a<-8 Ú, Û, Ü에서 a<-8 또는 a>1  ④ 0920 |전략 | 이차부등식 axÛ`+bx+c>0이 항상 성립하려면 a>0, D=bÛ`-4ac<0이어야 한다. … ❸  -1 비율 20`% 50`% 30`% 0917 |전략 | 이차부등식 axÛ`+bx+c<0이 해를 가지려면 a<0일 때는 이차부등식 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 xÛ`+2(k+2)x-k>0이 성립해 야 하므로 이차방정식 xÛ`+2(k+2)x-k=0의 판별식을 D라 하면 따라서 해를 갖도록 하는 정수 a의 값이 아닌 것은 ⑤이다.  ⑤ 참고 a=3이면 주어진 부등식이 이차부등식이 아니므로 a+3 가 모든 실수이므로 a>0 은 항상 해를 갖고, a>0일 때는 D=bÛ`-4ac>0이어야 한다. (a-3)xÛ`-4x+a<0에서 Ú a-3>0, 즉 a>3일 때 주어진 이차부등식이 해를 가지려면 이차방정식 (a-3)xÛ`-4x+a=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-2)Û`-(a-3)´a>0, aÛ`-3a-4<0 (a+1)(a-4)<0 ∴ -13이므로 30, 즉 3xÛ`-2ax-a<0이 해를 가지 려면 이차방정식 3xÛ`-2ax-a=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하 므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-a)Û`-3´(-a)>0, a(a+3)>0 ∴ a<-3 또는 a>0 따라서 자연수 a의 최솟값은 1이다.  ① 0919 (a-1)xÛ`+2(a-1)x-9>0에서 Ú a-1>0, 즉 a>1일 때 D 4 =(k+2)Û`+k<0, kÛ`+5k+4<0 (k+4)(k+1)<0 ∴ -42x, 즉 axÛ`-2(a+1)x+2a>0의 해 이차방정식 axÛ`-2(a+1)x+2a=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =(a+1)Û`-2aÛ`<0, aÛ`-2a-1>0 이차방정식 aÛ`-2a-1=0의 해는 a=1Ñ 2이므로 ' 이차부등식 aÛ`-2a-1>0의 해는 a<1- 2 또는 a>1+ 2 ' 그런데 a>0이므로 a>1+ 2 ' ' 따라서 정수 a의 최솟값은 3이다. 0923 (k+3)xÛ`+2(k+3)x+2>0에서 1< 2<2에서 2<1+ 2<3 ' '  ② 이차함수 y=(a-1)xÛ`+2(a-1)x-9의 그래프는 아래로 볼록 Û k+-3일 때, 모두 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면 하므로 주어진 이차부등식은 항상 해를 갖는다. k+3>0 ∴ k>-3 Ú k=-3일 때, 0´xÛ`+0´x+2=2>0이므로 모든 실수 x에 대하 여 주어진 부등식이 성립한다. … ❶ 9 이차부등식과 연립이차부등식 | 121 이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ 이차방정식 (k+3)xÛ`+2(k+3)x+2=0의 판별식을 D라 하 면 D 4 채점 기준 =(k+3)Û`-2(k+3)<0, kÛ`+4k+3<0 (k+3)(k+1)<0 ∴ -3-3이므로 -30이 해를 갖지 않으려면 a<0, D=bÛ`-4acÉ0이어야 한다. -xÛ`+2(k+3)x+4(k+3)>0에서 xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)<0 … ❷ … ❸ … ❹  -5 비율 30`% 40`% 20`% 10`% xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)=0의 판별식을 D라 하면 =(k+3)Û`+4(k+3)É0, (k+7)(k+3)É0 ∴ -7ÉkÉ-3 따라서 M=-3, m=-7이므로 M-m=4  ② 0925 이차부등식 xÛ`-2ax+a+6É0의 해가 없으려면 모든 실수 x에 대 하여 이차부등식 xÛ`-2ax+a+6>0이 성립해야 하므로 이차방정 식 xÛ`-2ax+a+6=0의 판별식을 D라 하면 D 4 D 4 (a+2)(a-3)<0 ∴ -20이 항상 성립하려면 pÉxÉq에서 ( f(x)의 최솟값)>0이어야 한다. f(x)=xÛ`-4x+2a-3이라 하면 y y=f(x) f(x)=(x-2)Û`+2a-7 0ÉxÉ3에서 f(x)>0이어야 하므로 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 2a-7 한다. 이때, 최솟값은 f(2)이므로 f(2)>0 O 2 3 x 즉, 2a-7>0 ∴ a> ;2&;  a> ;2&; 0928 f(x)=2xÛ`-4x+aÛ`-3a+2라 하면 f(x)=2(x-1)Û`+aÛ`-3a 0ÉxÉ2에서 f(x)<0이어야 하므로 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다. 이때, 최댓값은 f(0) 또는 f(2)이므로  f(0)<0 즉, aÛ`-3a+2<0에서 (a-1)(a-2)<0 y y=f(x) 1 2 O x  1g(x)의 해와 같다. xÛ`-ax-b>-2x+3에서 xÛ`+(-a+2)x-b-3>0 yy`㉠ 해가 x<-5 또는 x>1이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은 (x+5)(x-1)>0 ∴ xÛ`+4x-5>0 yy`㉡ ㉠과 ㉡이 일치해야 하므로 -a+2=4, -b-3=-5 ∴ a=-2, b=2 0930 3xÛ`-2x-70 ∴ k>1 이차방정식 (k-1)xÛ`+2(k-1)x+2=0의 판별식을 D라 하면 =(k-1)Û`-2(k-1)É0, (k-1)(k-3)É0 D 4 ∴ 1ÉkÉ3 0931 xÛ`-2x1이므로 10 yy`㉠ 0936 kxÛ`+kx-10 ∴ mxÛ`-2mx-3m>0 yy`㉡ 성립한다. 0933 |전략 | 이차함수 y=f(x)의 그래프가 직선 y=g(x)보다 항상 위쪽에 있으면 이차부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립한다. 한다. ㉠과 ㉡이 일치해야 하므로 n=-2m, mn+2=-3m n=-2m을 mn+2=-3m에 대입하면 -2mÛ`+2=-3m, 2mÛ`-3m-2=0 (2m+1)(m-2)=0 ∴ m=- `(∵ m<0) ;2!; ∴ n=-2m=-2´ - =1 { ;2!;} ∴ m-n=- ;2#; xÛ`-2ax+1>2x+a에서 xÛ`-2(a+1)x-a+1>0 이 이차부등식이 항상 성립해야 하므로 이차방정식 xÛ`-2(a+1)x-a+1=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =(a+1)Û`-(-a+1)<0, aÛ`+3a<0 a(a+3)<0 ∴ -30 ∴ xÛ`+(a-2)x+4>0 이 이차부등식이 항상 성립해야 하므로 이차방정식 xÛ`+(a-2)x+4=0의 판별식을 D라 하면 D=(a-2)Û`-16<0, aÛ`-4a-12<0 (a+2)(a-6)<0 ∴ -20 (a+1)(a-4)>0 ∴ a<-1 또는 a>4 그런데 a<0이므로 a<-1  a<-1 의 길이는 18-2x 2 =9-x`(m) 9 이차부등식과 연립이차부등식 | 123 이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ 정답과 해설 이때, 텃밭의 넓이가 20`mÛ` 이상이 되어야 하므로 0944 x(9-x)¾20, xÛ`-9x+20É0 (x-4)(x-5)É0 ∴ 4ÉxÉ5 따라서 가로의 길이의 최댓값과 최솟값의 차는 5-4=1`(m)  ① 0940 t초 후의 수면으로부터의 높이가 (-5tÛ`+6t+10)`m이므로 수면에 서 2`m 이상의 높이에 있으려면 -5tÛ`+6t+10¾2에서 5tÛ`-6t-8É0 (5t+4)(t-2)É0 ∴ - ÉtÉ2 ;5$; 그런데 t¾0이므로 0ÉtÉ2 따라서 다이빙 선수가 2`m 이상의 높이에 있는 시간은 2초 동안이다.  2초 0941 가격을 올리기 전의 상품의 가격을 A원, 판매량을 B개라 하면 x+1¾4x-3에서 xÉ ;3$; 2xÛ`-3x-9<0에서 (2x+3)(x-3)<0 ∴ - 0에서 (x+2)(x-3)>0 ∴ x<-2 또는 x>3 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 x>3 124 | II . 방정식과 부등식 ⑷ ⑶에서 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -10 (x+2)(x+5)>0 ∴ x<-5 또는 x>-2 yy ㉠ xÛ`+7x+1<9에서 xÛ`+7x-8<0 (x+8)(x-1)<0 ∴ -80 (x+4)(x-2)>0 ∴ x<-4 또는 x>2 yy ㉠ xÛ`-15É-2x에서 xÛ`+2x-15É0 (x+5)(x-3)É0 ∴ -5ÉxÉ3 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -5Éx<-4 또는 23 3xÛ`-5x-12<0에서 (3x+4)(x-3)<0 ∴ - 0에서 x(x-2)>0 따라서 a=- , b=-1이므로 ab= ;3$; ;3$;  ④ ∴ x<0 또는 x>2 yy`㉡ (x-1)(x-4)¾0 ∴ xÉ1 또는 x¾4 yy ㉠ 0950 xÛ`-5x¾-4에서 xÛ`-5x+4¾0 -xÛ`+7x>10에서 xÛ`-7x+10<0 (x-2)(x-5)<0 ∴ 22 3xÛ`-4x+30 yy`㉡  ③ 0956 2xÛ`+1<3x에서 2xÛ`-3x+1<0 (2x-1)(x-1)<0 ∴ 0 ∴ x<1 또는 x> yy`㉠ ;2#; ∴ x¾- ;2K; 3xÛ`+2x+5É2xÛ`+x+7에서 xÛ`+x-2É0 (x+2)(x-1)É0 ∴ -2ÉxÉ1 yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2Éx<1 ㉠, ㉡의 공통부분이 0에서 x(2x+3)>0 ∴ x<- 또는 x>0 ;2#; 3xÛ`-(3a-4)x-a+1<0에서 (3x+1)(x-a+1)<0 yy`㉠ yy`㉡ x a  a>2 yy ㉠ yy ㉡ yy`㉠ yy`㉡ 9 이차부등식과 연립이차부등식 | 125 이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ -5 -4 -3 -2 - a-1 3 2 - 1 3 0 x Û a-1=- , 즉 a= 일 때, (3x+1)Û`<0이 되어 해가 존재하 ;3!; ;3@; 2x+12 ……`㉠ 0962 |전략 | 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c이고, a가 가장 긴 변의 길이일 때, 둔각삼 각형이면 aÛ`>bÛ`+cÛ`이다. x>0이므로 세 변 중 가장 긴 변의 길이는 2x+1 삼각형이 만들어질 조건에 의하여 (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합) 둔각삼각형이려면 xÛ`+(2x-1)Û`<(2x+1)Û` xÛ`-8x<0, x(x-8)<0 ∴ 0- , 즉 a> 일 때 ;3!; ;3@; 오른쪽 그림에서 30 (x+3)(x-4)>0 ∴ x<-3 또는 x>4 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 40이므로 x¾2 xÛ`+8xÉ48에서 xÛ`+8x-48É0 (x+12)(x-4)É0 ∴ -12ÉxÉ4 그런데 x>0이므로 00 (x-1)(x-2)>0 ∴ x<1 또는 x>2 ……`㉠ xÛ`-3x-4<6에서 xÛ`-3x-10<0 (x+2)(x-5)<0 ∴ -20, (x+4)(x-3)>0 0964 상품 A`kg을 100x`km 운송하는 데 드는 비용이 자동차는 A(xÛ`+2x+2)만 원, 철도는 A(x+14)만 원, 선박은 A x+16 만 원이므로 } {;2!; A(x+14)3 그런데 x>0이므로 x>3 yy`㉠ yy`㉡ yy`㉢ yy`㉣ yy`㉠ ㉡에서 x+14< x+16 ∴ x<4 ;2!; 그런데 x>0이므로 00, (k+2)(k-2)>0  ④ ∴ k<-2 또는 k>2 yy`㉠ 0961 xÛ`+8x+7>0에서 (x+7)(x+1)>0 ∴ x<-7 또는 x>-1 xÛ`+|x|-6É0에서 Ú x<0일 때, xÛ`-x-6É0 (x+2)(x-3)É0 ∴ -2ÉxÉ3 그런데 x<0이므로 -2Éx<0 Û x¾0일 때, xÛ`+x-6É0 그런데 x¾0이므로 0ÉxÉ2 Ú, Û에서 -2ÉxÉ2 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -10, 허근을 가질 조건은 D<0이다. 정답과 해설 이차방정식 xÛ`-2kx+k+6=0이 허근을 가지므로 이 이차방정식 Û a+b=- 2(3m+1) 3 <0 ∴ m>- ;3!; Ü ab= m+1 3 >0 ∴ m>-1 Ú, Û, Ü에서 m¾ ;3!;  m¾ ;3!; 0970 주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 두 근의 부호가 서로 다르 므로 ∴ 10에서 m<7 Ü y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=m이므로 ∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=(2k)Û`-2´2k(k-1)=4k ㉠에서 0É4kÉ8이므로 aÛ`+bÛ`의 최댓값은 8이다.  8 m<1 Ú, Û, Ü에서 mÉ-2 0969 |전략 | 이차방정식의 두 실근 a, b가 모두 음수이면 판별식 D¾0, a+b<0, 0973 f(x)=xÛ`+aÛ`x+a-7이라 하면 주어진 이차방정식의 판별식을 D, 두 근을 a, b라 하면 두 근이 모두 ab>0이다. 음수이므로 D 4 Ú =(3m+1)Û`-3(m+1)¾0, 9mÛ`+3m-2¾0 (3m+2)(3m-1)¾0 ∴ mÉ- 또는 m¾ ;3@; ;3!; 이차방정식 f(x)=0의 두 근 사이에 1이 있 으므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 1 같다. f(1)=1+aÛ`+a-7<0에서 aÛ`+a-6<0 (a+3)(a-2)<0 ∴ -30에서 k>- ;3!; Ü f(1)=k+1>0에서 k>-1 Ý y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x= 이므로 ;2K; 즉, axÛ`-6ax+9a¾0에서 b=-6a, c=9a 이것을 bxÛ`+cx+6a<0에 대입하면 -6axÛ`+9ax+6a<0 이때, -3a>0이므로 2xÛ`-3x-2<0 (2x+1)(x-2)<0 ∴ - 0)이라 하면 … ❶ x-1 3 } f { 부등식 f { =a { x-1 3 } x-1 3 +2 }{ x-1 3 -1 = a(x+5)(x-4) } ;9!; <0, 즉 a(x+5)(x-4)<0에서 ;9!; (x+5)(x-4)<0 ∴ -53|x-1|에서 Ú x<1일 때, xÛ`-2x-3>-3(x-1) xÛ`+x-6>0, (x+3)(x-2)>0 ∴ x<-3 또는 x>2 그런데 x<1이므로 x<-3 Û x¾1일 때, xÛ`-2x-3>3(x-1) xÛ`-5x>0, x(x-5)>0 ∴ x<0 또는 x>5 그런데 x¾1이므로 x>5 Ú, Û에서 x<-3 또는 x>5 0975 |전략 | 이차방정식 xÛ`-1=0의 해를 이용하여 이차함수 y=xÛ`+ax-6의 그 래프의 개형을 생각해 본다. xÛ`-1=0에서 (x+1)(x-1)=0 ∴ x=Ñ1 즉, xÛ`+ax-6=0의 한 근이 -1과 1 사이에 있어야 하므로 f(x)=xÛ`+ax-6이라 하면 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같 다. 채점 기준 -1 1 x -1 1 x f(-1)f(1)<0에서 (-a-5)(a-5)<0 (a+5)(a-5)>0 ∴ a<-5 또는 a>5 따라서 자연수 a의 최솟값은 6이다. ❶ xÛ`-1=0의 두 근을 구할 수 있다. ❷ a에 대한 이차부등식을 세우고, 그 해를 구할 수 있다. ❸ a의 최솟값을 구할 수 있다. … ❷ … ❸  6 비율 20`% 60`% 20`% 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 0976 유형 01 그래프를 이용한 이차부등식의 풀이 |전략 | 부등식 f(x)5이므로 a<0이고 a(x+3)(x-5)<0 즉, axÛ`-2ax-15a<0에서 -2a=2, -15a=b 0980 0981 D 4 D 4 0982 D 4 0983 0984 유형 07 이차부등식이 해를 한 개만 가질 조건 |전략 | 이차부등식 axÛ`+bx+cÉ0이 단 하나의 실근을 가지려면 a>0, D=bÛ`-4ac=0이어야 한다. 유형 13 이차부등식과 두 그래프의 위치 관계 - 항상 성립 |전략 | 이차함수 y=f(x)의 그래프가 직선 y=g(x)보다 항상 위쪽에 있으면 이차부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립한다. 이차부등식 (k+1)xÛ`-2(k+1)x+1É0이 단 하나의 해를 가져야 xÛ`+(k-3)x+5>x+1에서 xÛ`+(k-4)x+4>0 하므로 k+1>0 ∴ k>-1 이 이차부등식이 항상 성립해야 하므로 이차방정식 xÛ`+(k-4)x+4=0의 판별식을 D라 하면 이차방정식 (k+1)xÛ`-2(k+1)x+1=0의 판별식을 D라 하면 D=(k-4)Û`-16<0, kÛ`-8k<0 =(k+1)Û`-(k+1)=0, kÛ`+k=0 k(k+1)=0 ∴ k=0 또는 k=-1 그런데 k>-1이므로 k=0 k(k-8)<0 ∴ 00, D=bÛ`-4acÉ0이어야 한다. 유형 06 가우스 기호를 포함한 이차부등식의 풀이 + 16 연립이차부등식의 풀이 |전략 | 정수 n에 대하여 [x]=n일 때, nÉx0, k(k-1)>0 ∴ `k<0 또는 k>1 yy`㉠ 이차방정식 (kÛ`-k)xÛ`-2kx+2=0의 판별식을 D라 하면 2[x]-3É0에서 [x]É ;2#; ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<[x]É ;2#; 이때, [x]의 값은 정수이므로 [x]=-1, 0, 1 =(-k)Û`-2(kÛ`-k)É0, kÛ`-2k¾0 k(k-2)¾0 ∴ `kÉ0 또는 k¾2 ㉠, ㉡에서 k<0 또는 k¾2 yy`㉡  ⑤ [x]=-1에서 -1Éx<0 [x]=0에서 0Éx<1 [x]=1에서 1Éx<2 주어진 연립부등식의 해는 -1Éx<2 따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=1  ④ 유형 12 이차부등식과 두 그래프의 위치 관계 - 특정한 범위에서 성립 |전략 | 이차함수 y=f(x)의 그래프가 이차함수 y=g(x)의 그래프보다 아래쪽 에 있는 부분의 x의 값의 범위는 이차부등식 f(x)0에서 (x+3)(x-5)>0 a=-4, b=3 ∴ b-a=7  ④ ∴ x<-3 또는 x>5 yy`㉠ 9 이차부등식과 연립이차부등식 | 129 이차부등식과 연립이차부등식9ㅡ -3ÉaÉ5 0988 0989 ab>0이다. 양수이므로 그런데 ㉠, (x-8)(x-a)<0의 공통부 분이 50 ∴ a>2 yy ㉠ 이 직육면체의 부피는 a(a+4)(a-2)이고 처음 정육면체의 부피는 aÜ`이므로 a(a+4)(a-2)0이 항상 성립하려면 p0, ( f(x)의 최솟값)>0이어야 한다. f(x)=xÛ`-2ax+2a+3이라 하면 f(x)=(x-a)Û`-aÛ`+2a+3 -10이어야 하므로 -10 ∴ k<4 Ü ab=k-1>0 ∴ k>1 Ú, Û, Ü에서 10에서 k(k+4)>0 ∴ k<-4 또는 k>0 Û `f(0)=kÛ`-1<0에서 (k+1)(k-1)<0 ∴ -10에서 (k-1)(k-15)>0 ∴ k<1 또는 k>15 Ú, Û, Ü에서 00에서 aÛ`-2a-3<0, (a+1)(a-3)<0 y=f(x) 그런데 -10이므로 -aÉx-1Éa ∴ -a+1ÉxÉa+1 ……`㉠ … ❶ xÛ`-4aÛ`>0에서 (x+2a)(x-2a)>0 ∴ x<-2a 또는 x>2a (∵ a>0) ……`㉡ … ❷ ㉠, ㉡의 공통부분이 없으려면 오른쪽 그 림에서 -2aÉ-a+1, a+1É2a 즉, a¾-1, a¾1에서 a¾1 … ❸ -2a -a+1 a+1 2a 차방정식의 판별식을 Dª라 하면 Dª=(a+1)Û`-4(aÛ`-1)<0, 3aÛ`-2a-5>0 (a+1)(3a-5)>0 ∴ a<-1 또는 a> yy`㉡ ⑶ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -30의 해를 구할 수 있다. ❸ a의 값의 범위를 구할 수 있다. 채점 기준 0994 유형 17 해가 주어진 연립이차부등식 |전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 공통부분이 없도록 수직선 위에 나타내 본다. ⑴ xÛ`-9x-36>0에서 (x+3)(x-12)>0 ∴ x<-3 또는 x>12 ⑵ xÛ`-2(a+2)x+aÛ`+4a<0에서 (x-a)(x-a-4)<0 yy`㉠ yy`㉡ ∴ a0의 해를 구할 수 있다. ⑵ xÛ`-2(a+2)x+aÛ`+4a<0의 해를 구할 수 있다. ⑶ a의 값의 범위를 구할 수 있다. ⑷ M+m의 값을 구할 수 있다.  풀이 참조 배점 3점 3점 4점 2점 유형 20 이차방정식의 근의 판별과 이차부등식 |전략 | 이차방정식의 판별식을 D라 할 때, 이차방정식이 허근을 가질 조건은 채점 기준 0995 D<0이다. 창의·융합 교과서 속 심화문제 0996 |전략 | 부등식 f(x)>0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부 분의 x의 값의 범위임을 이용한다. ㄱ. f(x)g(x)>0에서 f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0 Ú f(x)>0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는 a0의 해는 a0이므로 해는 없다. Û x¾0일 때, xÛ`-4¾0, (x+2)(x-2)¾0 ∴ xÉ-2 또는 x¾2 그런데 x¾0이므로 x¾2 Ú, Û에서 x¾2 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2Éx<5 따라서 a=2, b=5이므로 a+b=7 yy`㉡  7 0998 |전략 | k<0, 01인 경우로 나누어 부등식을 푼다. Ú k<0일 때, k<00 ∴ xkÛ` 오른쪽 그림에서 이를 만족시키는 정 수 x는 무수히 많이 존재한다. k 0 k2 x 0 k2 k 1 x Û 01일 때, 11) ' ' Ú, Û, Ü에서 20에서 (x-a)(x-b)>0 xÛ`-(b+c)x+bc>0에서 (x-b)(x-c)>0 다. ∴ xb ∴ xc yy`㉠ yy`㉡ k1 2 k2 3 x 1001 |전략 | 직사각형 PQCR와 두 삼각형 APR, PBQ의 넓이를 각각 a에 대한 식 으로 나타낸다.  ' 2△APR에서 a(12-a)> aÛ` ;2!; 2a(12-a)>aÛ`, aÛ`-8a<0 a(a-8)<0 ∴ 0c PQCR>△PBQ에서 a(12-a)> (12-a)Û` ;2!; 이때, 주어진 연립부등식의 해가 x<-3 또는 x>2이므로 2a(12-a)>144-24a+aÛ`, aÛ`-16a+48<0 a=-3, c=2 (a-4)(a-12)<0 ∴ 40) 1025 |전략| 점 P(a, b)가 직선 y=x+2 위의 점이면 b=a+2이다.  ⑤ 점 P(a, b)가 직선 y=x+2 위의 점이므로 b=a+2 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-2)Û`+(b+1)Û`=(a+3)Û`+(b-2)Û` aÛ`-4a+4+bÛ`+2b+1=aÛ`+6a+9+bÛ`-4b+4 ∴`-5a+3b=4 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3 ∴`aÛ`+bÛ`=10 yy`㉠ yy`㉡  10 1026 구하는 점을 P(0, a)라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (-3)Û`+(a+2)Û`=(-1)Û`+(a+4)Û` aÛ`+4a+13=aÛ`+8a+17 -4a=4 ∴ `a=-1 1021 ABÓ=BCÓ이므로 (a-2)Û`+1Û`= (-2-a)Û`+(6-1)Û` "à 양변을 제곱하면 (a-2)Û`+1=(-2-a)Û`+25 "à aÛ`-4a+5=aÛ`+4a+29, -8a=24 ∴`a=-3  -3 1022 ABÓÉ4에서 ABÓ Û`É4Û`이므로 {(k+2)-1}Û`+(3-k)Û`É16 2kÛ`-4k-6É0, 2(k+1)(k-3)ÉÉ0 ∴ -1ÉkÉ3 {-3-(-k+1)}Û`+{(k+1)-3}Û` 1023 ABÓ = "à "à "à = (-4+k)Û`+(k-2)Û = 2kÛ`-12k+20 = 2(k-3)Û`+2 "à 따라서 ABÓ¾ ' 1024 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 O지점 을 원점, 일직선 모양의 두 도로를 각각 x축, y축으로 놓으면 출발한지 t시간 후 의 A, B 두 사람의 위치는 (-10+3t, 0), (0, -5+4t) … ❶ 이때, 두 사람 사이의 거리를 l이라 하면 l= (-10+3t)Û`+(-5+4t)Û` "à l= "à l=5 "à "à 25tÛ`-100t+125 tÛ`-4t+5 l=5 (t-2)Û`+1 채점 기준 ❶ t시간 후의 두 사람 A, B의 위치를 좌표로 나타낼 수 있다. ❷ 두 사람 사이의 거리를 구할 수 있다. ❸ 두 사람 A, B가 가장 가까이 있을 때의 거리를 구할 수 있다. 134 | III . 도형의 방정식 즉, t=2일 때 l은 최솟값 5를 갖는다. 따라서 두 사람 A, B가 가장 가까이 있을 때의 거리는 5`km이다. 따라서 정수 k는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다.  ⑤ 따라서 구하는 점의 좌표는 (0, -1)이다.  (0, -1) ` 1027 P(a, 0)이라 하면 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-2)Û`+(-5)Û`=(a-4)Û`+(-1)Û` aÛ`-4a+29=aÛ`-8a+17 4a=-12 ∴ `a=-3 2이므로 ABÓ의 길이의 최솟값은 2이다.  ② ' ∴`P(-3, 0) 또, Q(0, b)라 하면 AQÓ=BQÓ에서 AQÓ Û`=BQÓ Û`이므로 (-2)Û`+(b-5)Û`=(-4)Û`+(b-1)Û` bÛ`-10b+29=bÛ`-2b+17 A -10 y O -5 B 8b=12 ∴ `b= ;2#; x ∴`Q 0,  { ;2#;} ∴`PQÓ= 3Û`+ ¾Ð = ®Â:¢4°: = 3 5 ' 2 {;2#;} 2` 1028 APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 … ❷ (a-3)Û`+(b-3)Û`=(a+1)Û`+(b-5)Û` aÛ`-6a+9+bÛ`-6b+9=aÛ`+2a+1+bÛ`-10b+25 … ❸  5`km 비율 30`% 50`% 20`% ∴ 2a-b=-2 또, BPÓ=CPÓ에서 BPÓ Û`=CPÓ Û`이므로 (a+1)Û`+(b-5)Û`=(a+5)Û`+(b-3)Û` aÛ`+2a+1+bÛ`-10b+25=aÛ`+10a+25+bÛ`-6b+9 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 ∴ 2a+b=-2 ∴ a+b=-1  ③ yy ㉠ yy ㉡  ② 정답과 해설Ð 1029 점 P(a, b)가 삼각형 ABC의 외심이므로 APÓ=BPÓ=CPÓ APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a+4)Û`+(b+1)Û`=(a-2)Û`+(b-7)Û` aÛ`+8a+16+bÛ`+2b+1=aÛ`-4a+4+bÛ`-14b+49 ∴`3a+4b=9 APÓ=CPÓ에서 APÓ Û`=CPÓ Û`이므로 1032 ABÓ Û`=(a-1)Û`+(a-1)Û`=2aÛ`-4a+2 BCÓ Û`=1Û`+(-1-a)Û`=aÛ`+2a+2 CAÓ Û`=(-a)Û`+(1+1)Û`=aÛ`+4 삼각형 ABC는 ∠B=90ù인 직각삼각형이므로 CAÓ Û`=ABÓ Û`+BCÓ Û`에서 aÛ`+4=2aÛ`-4a+2+aÛ`+2a+2, 2aÛ`-2a=0 (a+4)Û`+(b+1)Û`=(a-4)Û`+(b-3)Û` a(a-1)=0  ∴`a=0 또는 a=1 aÛ`+8a+16+bÛ`+2b+1=aÛ`-8a+16+bÛ`-6b+9 그런데 a=1이면 점 A와 점 B의 좌표가 같게 되므로 a=0  0 yy`㉠ yy`㉡  ① ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 ∴`2a+b=1 ∴`b-a=4 삼각형의 외심 ⑴ 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이다. ⑵ 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. 1030 오른쪽 그림과 같이 C 도서관을 원점, A 도 서관을 x축 위에 오도록 좌표평면을 정 하면 A(8, 0), B(4, 2), C(0, 0) 공원을 만들려는 지점을 P(a, b)라 하면 PAÓ=PBÓ에서 PAÓ Û`=PBÓ Û`이므로 (a-8)Û`+bÛ`=(a-4)Û`+(b-2)Û` aÛ`-16a+64+bÛ`=aÛ`-8a+16+bÛ`-4b+4 ∴`-2a+b=-11 또, PAÓ=PCÓ에서 PAÓ Û`=PCÓ Û`이므로 (a-8)Û`+bÛ`=aÛ`+bÛ` aÛ`-16a+64+bÛ`=aÛ`+bÛ` -16a+64=0 ∴ `a=4 a=4를 ㉠에 대입하면 b=-3 1033 삼각형 ABC가 정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ ABÓ=BCÓ에서 ABÓ Û`=BCÓ Û`이므로 (1+1)Û`+(-1-1)Û`=(a-1)Û`+(b+1)Û` ∴`aÛ`-2a+bÛ`+2b=6 BCÓ=CAÓ에서 BCÓ Û`=CAÓ Û`이므로 (a-1)Û`+(b+1)Û`=(-1-a)Û`+(1-b)Û` -4a+4b=0 ∴ `b=a ㉡을 ㉠에 대입하면 aÛ`-2a+aÛ`+2a=6, aÛ`=3 yy`㉠ yy`㉡  2 3 ' y 2 B A 8 x O(C) 4 ∴`a=Ñ 3, b=Ñ 3 (복호동순) ' ' 그런데 점 C가 제`1`사분면 위의 점이므로 a= 3, b= 3 ' ' ∴`a+b=2 3 ' 1034 삼각형 ABC가 이등변삼각형이 되려면 ABÓ=BCÓ 또는 BCÓ=CAÓ yy`㉠ 또는 CAÓ=ABÓ이어야 한다. Ú ABÓ=BCÓ에서 ABÓ Û`=BCÓ Û`이므로 Ú 1Û`+(5-2)Û`=(a-1)Û`+(1-5)Û` Ú 10=(a-1)Û`+16, (a-1)Û`=-6 Ú 그런데 (a-1)Û`¾0이므로 이를 만족시키는 실수 a의 값은 존재 따라서 P(4, -3)이므로 새로 만들 공원과 A 도서관 사이의 거리는 (8-4)Û`+{0-(-3)}Û`=5`(km) "à  5`km 알아본다. ABÓ Û`=(-2-2)Û`+(-2-1)Û`=25 BCÓ Û`=(-1+2)Û`+(5+2)Û`=50 CAÓ Û`=(2+1)Û`+(1-5)Û`=25 이므로 BCÓ Û`=ABÓ Û`+CAÓ Û`이고 ABÓ Û`=CAÓ Û`, 즉 ABÓ=CAÓ 따라서 삼각형 ABC는 ∠A=90ù인 직각이등변삼각형이다.  ④ 하지 않는다. Û BCÓ=CAÓ에서 BCÓ Û`=CAÓ Û`이므로 Ú (a-1)Û`+(1-5)Û`=(-a)Û`+(2-1)Û` Ú aÛ`-2a+17=aÛ`+1, 2a=16  ∴ a=8 Ü CAÓ=ABÓ에서 CAÓ Û`=ABÓ Û`이므로 Ú (-a)Û`+(2-1)Û`=1Û`+(5-2)Û` Ú aÛ`+1=10, aÛ`=9 ∴ a=Ñ3 Ú, Û, Ü에서 모든 실수 a의 값의 합은 1035 |전략| O(0, 0), A(x, y), B(1, -2)라 하고, 주어진 식이 무엇을 나타내는 지 생각해 본다. O(0, 0), A(x, y), B(1, -2)라 하면 xÛ`+yÛ`=OAÓ, (x-1)Û`+(y+2)Û`=ABÓ이므로 "à "à 10 평면좌표 | 135 1031 |전략| ABÓ, BCÓ, CAÓ의 길이를 구한 후 △ABC의 세 변의 길이 사이의 관계를 8+3+(-3)=8  8 10ㅡ평면좌표 xÛ`+yÛ`+ (x-1)Û`+(y+2)Û` =OAÓ+ABÓ "à "à ¾OBÓ= 1Û`+(-2)Û`= 5 ' "à 따라서 m= 5이므로 mÛ`=5 '  ⑤ 1040 P(a, b)라 하면 APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û` 1036 A(2, -3), B(x, y), C(-4, 5)라 하면 (x-2)Û`+(y+3)Û`=ABÓ, (x+4)Û`+(y-5)Û`=BCÓ이므로 (x-2)Û`+(y+3)Û`+ (x+4)Û`+(y-5)Û` "à =ABÓ+BCÓ "à "à ¾ACÓ= (-4-2)Û`+(5+3)Û`=10 "à 따라서 구하는 최솟값은 10이다. P(1, 3) 채점 기준  ⑤ =(a+1)Û`+(b-2)Û`+(a-4)Û`+(b-6)Û`+aÛ`+(b-1)Û` =3aÛ`-6a+3bÛ`-18b+58 =3(a-1)Û`+3(b-3)Û`+28 이때, a, b가 실수이므로 (a-1)Û`¾0, (b-3)Û`¾0 ∴ APÓ Û`+BPÓ Û`+CPÓ Û`¾28 따라서 a=1, b=3일 때 주어진 식의 최솟값이 28이므로 ❶ 점 P의 좌표를 (a, b)라 하고, 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 이차 식을 세울 수 있다. ❷ ❶의 식의 값이 최소일 때의 점 P의 좌표를 구할 수 있다. … ❶ … ❷  P(1, 3) 비율 60`% 40`% 1037  A(a, 0), B(0, -1), C(3, 3)이라 하면 aÛ`+1=ABÓ, (a-3)Û`+9=ACÓ이므로 "à "à aÛ`+1+ (a-3)Û`+9 =ABÓ+ACÓ 실수의 성질 따라서 구하는 최솟값은 5이다.  ④ ¾BCÓ= (3-0)Û`+(3+1)Û`=5 "à 모든 실수 A, B에 대하여 AÛ`¾0, BÛ`¾0 ∴ AÛ`+BÛ`¾0 특히 AÛ`+BÛ`=0이면 A=0, B=0 "à "à "à 이 문제에서 A(a, 0)으로 놓으면 두 점 B, C의 좌표를 정하는 방법은 다음 과 같이 네 가지가 있다. Ú B(0, 1), C(3, -3) Û B(0, -1), C(3, 3) Ü B(0, 1), C(3, 3) Ý B(0, -1), C(3, -3) Ú, Û의 경우 위와 같이 풀면 되지만, Ü, Ý의 경우 점 A(a, 0)은 x축 위 의 점이므로 BCÓ 위에 있을 수 없다. 따라서 이 경우에는 점 B, 점 C 중 하나를 x축에 대하여 대칭이동한 다음 위 와 같이 문제를 풀면 된다. 1038 |전략| P(0, a)라 하고, APÓ Û`+BPÓ Û`을 a에 대한 식으로 나타낸다. 점 P는 y축 위의 점이므로 P(0, a)라 하면 APÓ Û`+BPÓ Û`=1Û`+(a+2)Û`+(-1)Û`+(a-4)Û` APÓ Û`+BPÓ Û`=2aÛ`-4a+22 APÓ Û`+BPÓ Û`=2(a-1)Û`+20 따라서 a=1일 때 주어진 식의 최솟값은 20이다. 1039 점 P는 직선 y=x+3 위의 점이므로 P(a, a+3)이라 하면 PAÓ Û`+PBÓ Û`=(a+2)Û`+(a+3)Û`+(a-2)Û`+(a+3)Û` PAÓ Û`+PBÓ Û`=4aÛ`+12a+26 따라서 a=- 일 때 주어진 식의 최솟값이 17이므로 점 P의 x좌표 PAÓ Û`+PBÓ Û`=4 a+ +17 { ;2#;} 2` ;2#; 는 - 이다. ;2#; 136 | III . 도형의 방정식 1041 |전략| 주어진 점이 원점 또는 좌표축 위의 점이 되도록 좌표축을 정한다. 오른쪽 그림과 같이 변 BC를 x축 위에 놓고 변 BC의 중점 M을 원점 O가 되도 록 좌표평면을 잡는다. 이때, △ABC의 세 꼭짓점의 좌표를 각 각 A(a, b), B(-c, 0), C( ㈎ c , 0) A(a, b) y O M B(-c, 0) C(c, 0) x 이라 하면 ABÓ Û`+ACÓ Û`={(a+c)Û`+bÛ`}+{(a-c)Û`+bÛ`} ABÓ Û`+ACÓ Û`=(aÛ`+2ac+cÛ`+bÛ`)+(aÛ`-2ac+cÛ`+bÛ`) ABÓ Û`+ACÓ Û`=2aÛ`+2bÛ`+2cÛ` ABÓ Û`+ACÓ Û`=2( ㈏ aÛ`+bÛ`+cÛ` ) 또, AMÓ Û`=aÛ`+bÛ`, BMÓ Û`=cÛ`이므로 AMÓ Û`+BMÓ Û`= ㈏ aÛ`+bÛ`+cÛ` ∴ ABÓ Û`+ACÓ Û`=2(AMÓ Û`+BMÓ Û`) 참고 이를 파포스(Pappos)의 정리(중선정리)라 한다.  20  ㈎ c ㈏ aÛ`+bÛ`+cÛ` 1042 오른쪽 그림과 같이 변 BC를 x축 위 에 놓고 BDÓ=2CDÓ인 점 D를 원점 O 가 되도록 좌표평면을 잡는다. 이때, △ABC의 세 꼭짓점의 좌표를 y A(a, b) x C(c, 0) 각각 A(a, b), B( ㈎ -2c , 0), B(-2c, 0) O D  ① C(c, 0)이라 하면 정답과 해설  ㈎ -2c ㈏ aÛ`+bÛ`+2cÛ` ∴`m`:`n=2`:`1 ABÓ Û`+2ACÓ Û`={(a+2c)Û`+bÛ`}+2{(a-c)Û`+bÛ`} ABÓ Û`+2ACÓ Û`=(aÛ`+4ac+4cÛ`+bÛ`)+2(aÛ`-2ac+cÛ`+bÛ`) ABÓ Û`+2ACÓ Û`=3aÛ`+3bÛ`+6cÛ` ABÓ Û`+2ACÓ Û`=3( ㈏ aÛ`+bÛ`+2cÛ` ) 또, ADÓ Û`=aÛ`+bÛ`, CDÓ Û`=cÛ`이므로 ADÓ Û`+2CDÓ Û`= ㈏ aÛ`+bÛ`+2cÛ` ∴ ABÓ Û`+2ACÓ Û`=3(ADÓ Û`+2CDÓ Û`) 1043 |전략| 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에 대하여 ABÓ를 m : n(m>0, n>0)으 로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q, 중점을 M이라 하면 myª-nyÁ myª+nyÁ m+n } , Q { mxª-nxÁ m-n , m-n } (단, m+n), , mxª+nxÁ m+n xÁ+xª 2 , P { M { yÁ+yª 2 } 선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점은 3´1+2´(-4) 3+2 , 3´(-3)+2´7 3+2 } P { , 즉 P(-1, 1) 선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점은 3´1-2´(-4) 3-2 , 3´(-3)-2´7 3-2 } Q { 따라서 선분 PQ의 중점의 좌표는 -1+11 2 , 1+(-23) 2 } { , 즉 Q(11, -23)  , 즉 (5, -11)  (5, -11) 1044 선분 AB를 1`:`2로 외분하는 점의 좌표가 (-6, b)이므로 1´a-2´(-1) 1-2 ∴`ab=40 1´(-6)-2´2 1-2 =-6, =b ∴ `a=4, b=10  ⑤ 1045 ABÓ 를 3`:`1로 내분하는 점의 좌표가 (0, 0)이므로 3´(b+1)+1´3 3+1 3b+6=0, a-2=0 3´(-1)+1´(a+1) 3+1 =0, =0 ∴ a=2, b=-2 즉, B(-1, -1), C(4, -2) BCÓ 를 4`:`3으로 외분하는 점의 좌표가 (x, y)이므로 =19, y= 4´(-2)-3´(-1) 4-3 =-5 … ❸ x= 4´4-3´(-1) 4-3 ∴ x-y=24 채점 기준 ❶ a, b의 값을 구할 수 있다. ❷ 두 점 B, C의 좌표를 구할 수 있다. ❸ x, y의 값을 구할 수 있다. ❹ x-y의 값을 구할 수 있다. 1046 선분 AB를 m`:`n으로 외분하는 점의 좌표는 { m´(-2)-n´1 m-n m´6-n´(-3) m-n 이 점이 (-5, 15)와 같으므로 , , 즉 { } -2m-n m-n , 6m+3n m-n } -2m-n m-n =-5, 6m+3n m-n =15에서 m=2n 따라서 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는 2´(-2)+1´1 2+1 , 2´6+1´(-3) 2+1 } { , 즉 (-1, 3)  (-1, 3) 1047 점 A를 원점, 직선 AB를 x축으로 하는 새로운 좌표평면에 대하여 A(0, 0), B(b, 0)(b>0)이라 하면 선분 AB를 2`:`3으로 내분하는 점은 { P 2´b+3´0 2+3 2b 5 선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점은 0 2+3 } , 즉 P , { , 0 } Q { 3´b-2´0 3-2 , 0 3-2 } , 즉 Q(3b, 0) 이때, PQÓ=13이므로 3b- 2b 5 } ¾Ð{ =13에서 =13Û`, bÛ`=25 2` ∴ b=5 (∵ b>0) { 13b 5 } ∴ ABÓ=5 2` 다른 풀이 A P B Q 위의 그림에서 PQÓ=13이므로 ABÓ=5이다.  5  17 1048 3ABÓ=2BCÓ에서 ABÓ : BCÓ=2 : 3 이때, a>0이므로 직선 AB 위의 세 점 A, B, C는 이 순서대로 놓여 있고, 점 C는 선분 AB를 5 : 3으로 외분하는 점이다. a= 5´4-3´(-2) =13, b= 5´1-3´(-1) =4 5-3 5-3 ∴`a+b=17 다른 풀이 3ABÓ=2BCÓ에서 ABÓ : BCÓ=2 : 3 이때, a>0이므로 점 B는 ACÓ를 2 : 3으로 내분하는 점이다. 즉, 2a+3´(-2) 2+3 =4, 2b+3´(-1) 2+3 =1에서 2a-6=20, 2b-3=5 ∴ a=13, b=4 ∴ a+b=17 등식을 만족시키는 선분의 연장선 위의 점 구하기 ABÓ의 연장선 위에 nABÓ=mBCÓ(m>0, n>0) m+n 가 되도록 점 C를 잡으면 A m B n C ⑴ 점 B는 ACÓ를 m : n으로 내분하는 점이다. ⑵ 점 C는 ABÓ를 (m+n) : n으로 외분하는 점이다. … ❶ … ❷ … ❹  24 비율 40`% 20`% 30`% 10`% 10 평면좌표 | 137 10ㅡ평면좌표 1049 |전략| 점 P(a, b)를 구한 후 이 점이 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0, b>0임 1052 |전략| 세 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), C(x£, y£)에 대하여 △ABC의 무게중심 을 이용하여 t의 값의 범위를 구한다. t : (1-t)에서 t>0, 1-t>0 ∴`00, b>0이다. 즉, 9t-3>0, -2t+5>0에서 0, b<0, c>0이므로 (기울기)=- >0, (y절편)=- >0 ;bC; ;bA; 따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른 쪽 그림과 같으므로 제`1, 2, 3`사분면을 지 난다. ⑵ ax+by+c=0에서 b=0이므로 ax+c=0 ∴ `x=- ;aC; a<0, c<0이므로 - <0 ;aC; 따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른 쪽 그림과 같으므로 제`2, 3`사분면을 지난 다. y O y O x x 144 | III . 도형의 방정식  ⑴ 제`1, 2, 3`사분면 ⑵ 제`2, 3`사분면 따라서 구하는 점의 좌표는 (1, 3)이다.  (1, 3) 정답과 해설 1101 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (x+2y+6)k+(x+2)=0 1109 -2x+y-1=0에서 y=2x+1 즉, 직선 ax+(b-1)y+3=0은 기울기가 2이고 점 (-1, 1)을 지 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 나는 직선이므로 x+2y+6=0, x+2=0 y-1=2{x-(-1)}, y=2x+3 두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=-2 ∴ 2x-y+3=0 따라서 구하는 점의 좌표는 (-2, -2)이다.  (-2, -2) 따라서 a=2, b-1=-1이므로 a=2, b=0 11ㅡ 직 선 의 방 정 식 x-y-9+9x+6y+9=0 ∴ y=-2x  y=-2x (x-y-9)+k(3x+2y+3)=0`(k는 실수) yy`㉠ 3 점 (2, 1)을 지나고 기울기가 tan 30ù= ' 3 인 직선의 방정식은 1102 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 으로 놓으면 이 직선이 원점을 지나므로 -9+3k=0 ∴ k=3 k=3을 ㉠에 대입하면 1103 |1´1+1´3-2| 1Û`+1Û` = 2 2 ' = 2 ' 1104 |3´(-2)-4´4+2| 3Û`+(-4)Û` = :ª5¼: =4 "à "à 1105 |-10| 2Û`+1Û` "à = 10 5 ' =2 5 ' ∴ a+b=2 1110  2  ② 3 y-1= ' 3 (x-2) ∴ 3x-3y+3-2 3=0 ' 따라서 a=3, b=3-2 3이므로 ' ' a+b=6-2 3 ' 1111 |전략 | 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª)를 지나는 직선의 방정식은 y-yÁ= (x-xÁ)이다. (단, xÁ+xª) 두 점 (1, 1), (3, -7)을 지나는 직선의 방정식은 y-1= (x-1) ∴ y=-4x+5 yª-yÁ xª-xÁ -7-1 3-1  2 '  4 두 점 (4, a), (b, 9)가 직선 y=-4x+5 위의 점이므로 a=-16+5=-11, 9=-4b+5에서 b=-1  2 5 ' ∴`a-b=-10  -10 1106 두 직선 x+y-2=0, x+y+6=0은 평행하므로 두 직선 사이의 거 리는 직선 x+y-2=0 위의 한 점 (0, 2)와 직선 x+y+6=0 사이 의 거리와 같다. ∴ |0+2+6| 1Û`+1Û` "à = 8 2 ' =4 2 ' 1112 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 2+(-2)+0 3 -1+(-5)+3 3 G , { , 즉 G(-1, 0) }  4 2 ' 따라서 직선 BG의 방정식은 0-(-2) -1-(-5) y-0= {x-(-1)}  ∴ y= x+ ;2!; ;2!; 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 1107 |전략 | 점 (xÁ, yÁ)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 y-yÁ=m(x-xÁ)이다. 두 점 (2, 7), (3, 1)을 이은 선분의 중점 { 2+3 2 , 7+1 2 , 즉 } , 4 를 지나고 기울기가 4인 직선의 방정식은 } {;2%; y-4=4 x- ∴ 4x-y-6=0 { ;2%;} 따라서 a=4, b=-6이므로 ab=-24  ① 1113 선분 AB를 3:2로 내분하는 점의 좌표는 3´3+2´(-2) 3+2 { , 3´6+2´1 3+2 , 즉 (1, 4) } 두 점 (1, 4), (-3, -4)를 지나는 직선의 방정식은 y-4= (x-1) ∴ y=2x+2 -4-4 -3-1 따라서 a=2, b=2이므로 aÛ`+bÛ`=8 1108 x절편이 3이므로 점 (3, 0)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식 채점 기준 은 ❶ ABÓ를 3:2로 내분하는 점의 좌표를 구할 수 있다. ❷ 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있다. y-0=-2(x-3) ∴ y=-2x+6  y=-2x+6 ❸ a, b의 값을 구하고, aÛ`+bÛ`의 값을 계산할 수 있다.  y= x+ ;2!; ;2!; … ❶ … ❷ … ❸  8 비율 40`% 50`% 10`% 11 직선의 방정식 | 145 1114 직선 AC의 방정식은 y-4= (x-2) ∴ y=-3x+10 -2-4 4-2 직선 OB의 방정식은 y=0 …… ㉠ …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x= , y=0 :Á3¼: 따라서 두 대각선의 교점의 좌표는 , 0 이다. {:Á3¼: }  {:Á3¼: , 0 } 1115 |전략 | x절편이 a, y절편이 b인 직선의 방정식은 + =1이다. (단, ab+0) x a y b x절편을 a라 하면 y절편은 -a이므로 직선의 방정식은 + y -a ;a{; =1 ∴ y=x-a 1119 |전략 | △ABC의 꼭짓점 A를 지나면서 그 넓이를 이등분하는 직선은 BCÓ의 중 점을 지나야 함을 이용한다. 점 A를 지나고 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하려면 직선이 BCÓ의 중점을 지나야 한다. BCÓ의 중점의 좌표는 { 2+(-4) 2 , 3+5 2 , 즉 (-1, 4)이므로 두 } 점 (1, -2), (-1, 4)를 지나는 직선의 방정식은 y-(-2)= (x-1) ∴ y=-3x+1  ② 4-(-2) -1-1 1120 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하려면 직선이 두 직사각형의 대 각선의 교점을 모두 지나야 한다. 제`1`사분면 위에 있는 직사각형의 대각선의 교점의 좌표는 이 직선이 점 (1, 2)를 지나므로 2=1-a ∴ a=-1 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x+1이다.  ③ 2+6 2 { , 3+5 2 , 즉 (4, 4) } 1116 x절편이 -3, y절편이 -9인 직선의 방정식은 x -3 + y -9 =1 ∴ y=-3x-9 이 직선이 점 (a, 6)을 지나므로 6=-3a-9 ∴ a=-5 제`3`사분면 위에 있는 직사각형의 대각선의 교점의 좌표는 -2+0 2 { , -2+(-4) 2 , 즉 (-1, -3) } 이때, 직선 ax+by-8=0이 두 점 (4, 4), (-1, -3)을 지나므로 4a+4b-8=0, -a-3b-8=0 두 식을 연립하여 풀면 a=7, b=-5    -5 ∴`a-b=12  12 1117 |전략 | 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AB와 직선 AC의 기울기 가 같아야 함을 이용한다. 두 점 (2, 0), (-3+a, 3)을 지나는 직선의 기울기와 두 점 (2, 0), (6, a-1)을 지나는 직선의 기울기가 같으므로 = a-1 4 = a-1-0 6-2 3-0 -3+a-2 (a-1)(a-5)=12 3 a-5 ∴ aÛ`-6a-7=0 에서 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 a의 값의 곱은 -7이다. 1121 △ABD와 △ACD의 넓이의 비가 3:2이므로 점 D는 BCÓ를 3:2 로 내분하는 점이다. 3´4+2´(-1) 3+2 3´(-3)+2´2 3+2 , 즉 D(2, -1) } D , { 따라서 두 점 A(3, 3), D(2, -1)을 지나는 직선의 방정식은 y-3= (x-3) ∴ y=4x-9  y=4x-9 -1-3 2-3  ① 1122 1118 직선 AB의 기울기와 직선 AC의 기울기가 같으므로 = 3-2 a-2 3-1 -a-1 aÛ`-a=0, a(a-1)=0 에서 -(a-2)(a+1)=2 ∴ a=1`(∵`a>0) 이때, 두 점 A(1, 2), B(3, 1)을 지나는 직선 l의 방정식은 y-2= 1-2 3-1 ∴ y=- (x-1) ;2%; x+ ;2!; 따라서 직선 l의 y절편은 이다. ;2%; 채점 기준 ❶ 기울기를 이용하여 a에 대한 식을 세우고, a의 값을 구할 수 있다. ❷ 직선 l의 방정식을 구할 수 있다. ❸ 직선 l의 y절편을 구할 수 있다. 146 | III . 도형의 방정식 |전략 | 직선 ax+by+c=0을 y=- x- ;bA; ;bC; 꼴로 변형하고 기울기와 y절편 의 부호를 알아본다. ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; ac>0, bc>0이므로 ab>0 따라서 (기울기)=- <0, ( y절편)=- <0이므로 직선의 개형 ;bA; ;bC;  ③ 은 ③과 같다. 1123 ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; 이 직선의 기울기는 음수이고 y절편은 양수이므로 - <0, - >0 ∴ ac<0 ;bA; ;bC; cx+ay+b=0에서 a+0이므로 y=- x- ;aC; ;aB; … ❶ … ❷ … ❸  ;2%; 비율 50`% 30`% 20`% 정답과 해설 y O y O y O 따라서 (기울기)=- >0, ;aC; (y절편)=- <0이므로 직선의 개형은 오른 ;aB; 쪽 그림과 같고 제`2 사분면을 지나지 않는다. 1124 ax+by+c=0에서 b+0이면 y=- x- ;bA; ;bC; ㄱ. ac<0, bc>0에서 ab<0이므로 (기울기)=- >0, (y절편)=- <0 즉, 오른쪽 그림과 같이 제`1, 3, 4`사분면을 지난다. ㄴ. ab<0, ac<0에서 bc>0이므로 ;bA; ;bA; ;bC; ;bC;   즉, 오른쪽 그림과 같이 제`1, 3, 4`사분면을 지난다. ㄷ. ab>0에서 (기울기)=- <0이고 ;bA; bc=0에서 c=0   즉, 오른쪽 그림과 같이 제`2, 4`사분면을 지 ab>0에서 b+0 y O 난다. 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 1125 |전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 평행하면 a a' , 일치하면 이다. a a' b b' b b' c c' c c' = + = = x  ② x x  ③   (기울기)=- >0, (y절편)=- <0 x 직선 bx+cy-4=0도 점 (-1, 2)를 지나므로 -b+2c-4=0 ∴ b-2c=-4 두 직선 3x+2y-1=0, bx+cy-4=0이 수직이므로 3b+2c=0 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 b=-1, c= ;2#; ∴ a+b+2c=4 1128 직선 x+ay+1=0과 직선 2x-by+1=0이 수직이므로 1´2+a´(-b)=0 ∴ ab=2 … ❶ 또, 직선 x+ay+1=0과 직선 x-(b-3)y-1=0이 평행하므로 , -b+3=a ∴ `a+b=3 … ❷ = a -b+3 ;1!; + 1 -1 ∴`aÜ`+bÜ` =(a+b)Ü`-3ab(a+b) =3Ü`-3´2´3=9 …… ㉠ …… ㉡  4 … ❸  9 비율 40`% 40`% 20`% 채점 기준 ❶ ab의 값을 구할 수 있다. ❷ a+b의 값을 구할 수 있다. ❸ aÜ`+bÜ`의 값을 구할 수 있다. 1129 |전략 | 두 직선이 평행하면 두 직선의 기울기는 같고, y절편이 다르다. 두 점 (-2, 1), (4, -1)을 지나는 직선의 기울기는 -1-1 4-(-2) =- ;3!; ;3!; ;3!; 기울기가 - 이고 점 (3, 2)를 지나는 직선의 방정식은 y-2=- (x-3) ∴ x+3y-9=0 두 직선 (k+1)x+y-1=0, 2x-(k-2)y-1=0이 평행하거나 따라서 a=3, b=-9이므로 a-b=12  ⑤ 일치하려면 = k+1 2 1 -k+2 kÛ`-k=0, k(k-1)=0 에서 (k+1)(-k+2)=2 1130 ∴ k=0 또는 k=1 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는 =-1이므로 구하는 2-5 4-1 Ú k=0일 때, = + ;2!; ;2!; 이므로 두 직선은 평행하다. Û k=1일 때, = = ;1!; ;2@; 이므로 두 직선은 일치한다. Ú, Û에서 a=0, b=1이므로 a-b=-1  ③ -1 -1  -1 -1  직선의 기울기는 1이다. ABÓ를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표는 1´4+2´1 1+2 { , 1´2+2´5 1+2 , 즉 (2, 4) } 따라서 기울기가 1이고 점 (2, 4)를 지나는 직선의 방정식은 y-4=x-2 ∴ y=x+2  y=x+2 1126 두 직선 ax-4y+1=0, (a-2)x+2y+3=0이 서로 수직이려면 a(a-2)+(-4)´2=0 ∴ aÛ`-2a-8=0 1131 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 a의 값의 합은 2이다.  ③ 1127 직선 3x+ay-1=0이 점 (-1, 2)를 지나므로 -3+2a-1=0 ∴ a=2 직선 2x-y-1=0, 즉 y=2x-1에 수직인 직선의 기울기는 - ;2!; 이므로 점 P(-2, 5)를 지나고 기울기가 - 인 직선의 방정식은 y-5=- {x-(-2)}  ∴ y=- x+4 ;2!; ;2!; ;2!; 11 직선의 방정식 | 147 11ㅡ직선의 방정식 이때, 점 H는 두 직선 y=2x-1, y=- x+4의 교점이므로 두 식 직선 x-2y=0과 직선 AB는 수직이므로 ;2!; y-4=- (x-3) ∴ y=- x+ ;2!; :Á2Á:  y=- x+ ;2!; :Á2Á: ;2!; y-1=-{x-(-1)} ∴ y=-x yy`㉠ 을 연립하여 풀면 x=2, y=3 ∴ H(2, 3) 1132 ∠BAO=∠ACO이므로 ∠BAC =∠BAO+∠CAO=∠ACO+∠CAO=90ù 즉, 두 직선 lÁ, lª는 서로 수직이다. 이때, 두 점 A(0, 2), B(-1, 0)을 지나는 직선 lª의 기울기는 =2이므로 직선 lÁ의 기울기는 - 0-2 -1-0 따라서 직선 lÁ에 평행하고 점 (3, 4)를 지나는 직선의 방정식은 이다. ;2!; 1133 |전략 | ABÓ의 수직이등분선은 ABÓ의 중점을 지나고, 직선 AB와 수직임을 이용 한다. ABÓ의 중점의 좌표는 { , 3+(-5) 2 , 즉 (1, -1) } 직선 AB의 기울기는 =-2 -1+3 2 -5-3 3-(-1) 따라서 ABÓ의 수직이등분선은 기울기가 이고 점 (1, -1)을 지나 므로 y-(-1)= (x-1) ∴ y= x- ;2!; 이 직선이 점 (5, a)를 지나므로 a= ;2!; ;2!; ;2#; - =1 ;2#; ;2%; 1134 직선 3x+2y-6=0, 즉 y=- x+3의 x절편, y절편이 각각 2, 3 ;2#; 이므로 양 끝점을 A(2, 0), B(0, 3)이라 하면 ABÓ의 중점의 좌표는 { 2+0 2 , 0+3 2 , 즉 } { 1, ;2#;} 직선 AB의 기울기는 - ;2#; 따라서 ABÓ의 수직이등분선은 기울기가 이고 점 { ;3@; 1, ;2#;} 을 지나므 로 y- = ;2#; ;3@; (x-1)  ∴ y= x+ ;3@; ;6%; 이 직선이 점 , a 를 지나므로 } {;4!; a= ´ ;3@; ;4!; + ;6%; =1 1135 =-1 ∴ m-n=-4 yy`㉡  ④ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=-1, n=3  ② ´ n-m 1-3 ;2!; ∴ mn=-3 1136 -3+1 Ú ACÓ의 중점의 좌표는 { 2 3-(-1) 1-(-3) 직선 AC의 기울기는 =1 , -1+3 2 , 즉 (-1, 1) } 즉, ACÓ의 수직이등분선은 기울기가 -1이고 점 (-1, 1)을 지 나므로 2+1 Û BCÓ의 중점의 좌표는 { 2 3-2 1-2 직선 BC의 기울기는 =-1 , 2+3 2 , 즉 } {;2#; , ;2%;} 즉, BCÓ의 수직이등분선은 기울기가 1이고 점 , {;2#; ;2%;} 를 지나므로 y- =x- ∴ y=x+1 ;2%; ;2#; yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=- , y= ;2!; ;2!; 따라서 구하는 점의 좌표는 { - , ;2!; ;2!;} 이다. -  { ;2!; , ;2!;} 다른 풀이 삼각형 ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점은 외심이고 외심 (a+3)Û`+(b+1)Û`=(a-2)Û`+(b-2)Û` aÛ`+6a+9+bÛ`+2b+1=aÛ`-4a+4+bÛ`-4b+4 ∴`5a+3b=-1 또, BPÓ=CPÓ에서 BPÓ Û`=CPÓ Û`이므로 (a-2)Û`+(b-2)Û`=(a-1)Û`+(b-3)Û` yy`㉠ aÛ`-4a+4+bÛ`-4b+4=aÛ`-2a+1+bÛ`-6b+9 ∴`a-b=-1 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=- ;2!;, b= ;2!; ∴`P - { , ;2!; ;2!;}  1 을 P(a, b)라 하면 APÓ=BPÓ=CPÓ가 성립한다. Û`=BPÓ APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`이므로  ⑤ 1137 |전략 | 서로 다른 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선이 모두 평행 할 때, 두 직선이 평행할 때, 세 직선이 한 점에서 만날 때이다. x-y=0 y`㉠, x+y=2 y`㉡, 5x-ky=15 y`㉢이라 하자. ABÓ의 중점의 좌표는 { 3+1 2 , m+n 2 , 즉 } { 2, m+n 2 } 직선 x-2y=0이 이 점을 지나므로 2-2´ m+n =0  ∴ m+n=2 2 Ú 두 직선 ㉠, ㉢이 평행할 때 = ;5!; -1 -k + ;1¼5; ∴ k=5 Û 두 직선 ㉡, ㉢이 평행할 때 yy`㉠ = ;5!; 1 -k + ;1ª5; ∴ k=-5 148 | III . 도형의 방정식 정답과 해설 1143 직선 2x-y=1이 점 (a, b)를 지나므로 ax+2(2a-1)y=-2 이 식을 a에 대하여 정리하면 (x+4y)a-2y+2=0 이 식이 a의 값에 관계없이 항상 성립하려면 x+4y=0, -2y+2=0 두 식을 연립하여 풀면 x=-4, y=1 Ü 직선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 교점 (1, 1)을 지날 때 5-k=15 ∴ k=-10 Ú, Û, Ü에서 모든 상수 k의 값의 합은 5+(-5)+(-10)=-10 1142 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (2x+y-3)k-(x-2y+1)=0  ④ 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 2x+y-3=0, x-2y+1=0 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=1 ∴ P(1, 1) 1138 x-2y+m+1=0 y㉠, x-y-1=0 y㉡, mx-2y+4=0 y㉢ 이라 하자. 세 직선 ㉠, ㉡, ㉢이 한 점에서 만나려면 직선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 의 방정식은 따라서 점 P(1, 1)을 지나고 직선 x=2y, 즉 y= x에 평행한 직선 ;2!; y-1= (x-1) ∴ y= ;2!; x+ ;2!; ;2!;  y= x+ ;2!; ;2!; 교점을 지나야 한다. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=m+3, y=m+2 직선 ㉢이 점 (m+3, m+2)를 지나려면 m(m+3)-2(m+2)+4=0 mÛ`+m=0, m(m+1)=0 ∴ m=-1 또는 m=0 2a-b=1 ∴ b=2a-1 따라서 모든 실수 m의 값의 합은 -1+0=-1  ② b=2a-1을 ax+2by=-2에 대입하면 1139 서로 다른 세 직선 ax+y-1=0, 2x-y+3=0, x+by+1=0에 의하여 좌표평면이 4개의 영역으로 나누어지려면 세 직선이 모두 평 행해야 한다. 두 직선 ax+y-1=0, 2x-y+3=0이 평행하려면 = ;2A; 1 -1 + -1 3 ∴ a=-2 두 직선 2x-y+3=0, x+by+1=0이 평행하려면 = ;1@; -1 b + ;1#; ∴ b=- ;2!; ∴ ab=1 1140 |전략 | 주어진 직선이 k의 값에 관계없이 일정한 점을 지나므로 주어진 식은 k에 대한 항등식이다. 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (3x+y-4)k+(x+y+2)=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 3x+y-4=0, x+y+2=0 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-5 ∴ P(3, -5) 따라서 점 P(3, -5)와 원점 사이의 거리는  ② 3Û`+(-5)Û`= 34 '¶ "à 1141 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (x-y+2)k+(x+y+a)=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 x-y+2=0, x+y+a=0 즉, 점 (-3, b)는 위의 두 직선의 교점이므로 -3-b+2=0, -3+b+a=0 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=-1 ∴`ab=-4 따라서 직선 ax+2by=-2는 항상 점 (-4, 1)을 지난다.  ⑤ 1144 |전략 | 직선 k(x-a)+y-b=0은 k의 값에 관계없이 정점 (a, b)를 지난다.  1 y=mx+m+2에서 m(x+1)-(y-2)=0 yy`㉠ 이 직선은 m의 값에 관계없이 항상 점 (-1, 2)를 지난다. 오른쪽 그림과 같이 두 직선이 제`1`사분면 에서 만나도록 직선 ㉠을 움직여 보면 Ú 직선 ㉠이 점 (3, 0)을 지날 때 4m+2=0 ∴ m=- ;2!; Û 직선 ㉠이 점 (0, 3)을 지날 때 m-1=0 ∴ m=1 y 3 2 Ú Û -1 O 3 x y=-x+3 Ú, Û에서 구하는 m의 값의 범위는 - 0) ;2#;  ;2#; 1160 |전략 | △ABC의 밑변을 ABÓ라 하면 높이는 점 C에서 직선 AB까지의 거리이 다. 이때, ABÓ= (6-3)Û`+(5-1)Û`=5이고 점 C 1, 와 직선 { ;2%;} "à 4x-3y-9=0 yy`㉡ yy`㉢ 두 직선 ㉡, ㉢`의 교점을 B, 두 직선 ㉠, ㉢`의 교점을 C 라 하면 A(3, 1), B(6, 5), C 1, { ;2%;} 4x-3y-9=0 사이의 거리는 4´1-3´ -9 ;2%; | | 4Û`+(-3)Û` "à = ;2%; ∴ △ABC= ´5´ = :ª4°: ;2%; ;2!; ABÓ= (5-3)Û`+(-1-3)Û`=2 5 "à ' 직선 AB의 방정식은 y-3= (x-3) ∴ `2x+y-9=0 -1-3 5-3 점 C(-1, 1)과 직선 AB 사이의 거리는 |2´(-1)+1´1-9| 2Û`+1Û` 10 5 =2 = ' 5 "à ∴`△ABC= ' 5=10 ´2 5´2 ;2!; ' ' (-3-0)Û`+(0-6)Û`=3 5 ' 1161 ABÓ= "à 직선 AB의 방정식은 y-6= 0-6 -3-0 (x-0) ∴ `2x-y+6=0 점 C(3, k)와 직선 AB 사이의 거리는 |2´3-1´k+6| 2Û`+(-1)Û` = "à |12-k| 5 ' 이때, 삼각형 ABC의 넓이가 15이므로 |12-k| 5 ´3 5´ ' ;2!; ' 12-k=Ñ10 =15, |12-k|=10 ∴ k=2 또는 k=22 따라서 모든 실수 k의 값의 합은 24이다. 1162 선은 평행하다. 직선 OA와 직선 4x-3y-30=0의 기울기가 로 같으므로 두 직 ;3$; 따라서 삼각형 OAP에서 OAÓ를 밑변으로 하면 원점에서 직선 4x-3y-30=0까지의 거리가 높이가 된다. OAÓ= 3Û`+4Û`=5 "à 원점과 직선 4x-3y-30=0 사이의 거리는 =6 |-30| 4Û`+(-3)Û`` "à ∴ △OAP= ´5´6=15 ;2!; 152 | III . 도형의 방정식 다른 풀이 두 직선 3x+4y-13=0, 4x-3y-9=0에서 3´4+4´(-3)=0 즉, 두 직선은 수직이므로 ∠CAB=90ù  ③ ∴ △ABC= ´ABÓ´ACÓ= ´5´ = ;2!; ;2%; :ª4°: ;2!;  :ª4°: 1164 |전략 | 두 직선의 각의 이등분선 위의 점에서 두 직선에 이르는 거리는 같다. 두 직선 x+2y-1=0, 2x-y-1=0이 이루는 각의 이등분선 위의 한 점의 좌표를 (x, y)라 하면 점 (x, y)에서 두 직선에 이르는 거리 가 같으므로 |x+2y-1| 1Û`+2Û` = "à |2x-y-1| 2Û`+(-1)Û` "à x+2y-1=Ñ(2x-y-1) ∴ x-3y=0 또는 3x+y-2=0 이 중에서 기울기가 음수인 것은 3x+y-2=0 따라서 a=3, b=1이므로 a-b=2  ②  ⑤ 1165 직선 OA의 방정식은 y= x ∴ `5x-2y=0 직선 OB의 방정식은 y=- x ∴ `2x+5y=0 오른쪽 그림과 같이 ∠AOB의 이등분선 위 의 한 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 직선 y 5 A ;2%; ;5@; 에 이르는 거리가 같으므로 |5x-2y| 5Û`+(-2)Û` = |2x+5y| 2Û`+5Û` "à 5x-2y=Ñ(2x+5y) "à ∴`3x-7y=0 또는 7x+3y=0 P 5 O -2 2 x B 이때, ∠AOB의 이등분선의 기울기는 양수이므로 구하는 방정식은  15 3x-7y=0  ⑤ 정답과 해설 ∴ y=-3 또는 4x+5y+3=0  y=-3 또는 4x+5y+3=0 다른 풀이 두 점 (1, 1), (-1, 5)를 지나는 직선의 방정식은 1166 P(x, y)라 하면 2PRÓ=PSÓ이므로 2´ |x+2y+3| 1Û`+2Û` = |2x+y-3| 2Û`+1Û` "à "à 2(x+2y+3)=Ñ(2x+y-3) 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 1167 유형 01 기울기와 한 점이 주어진 직선의 방정식 |전략 | 점 (xÁ, yÁ)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 y-yÁ=m(x-xÁ)이다. 선분 AB를 1:2로 내분하는 점의 좌표는 1´(-12)+2´3 1+2 , 1´(-5)+2´4 1+2 { , 즉 (-2, 1) } 1168 유형 02 두 점을 지나는 직선의 방정식 |전략 | 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª)를 지나는 직선의 방정식은 y-yÁ= (x-xÁ)이다. (단, xÁ+xª ) yª-yÁ xª-xÁ 두 점 (-1, 1), (3, 5)를 지나는 직선의 방정식은 y-1= 5-1 3-(-1) {x-(-1)} ∴ y=x+2 두 점 (1, 1), (-1, 5)를 지나는 직선의 기울기와 두 점 (-1, 5), (-k+2, k+1)을 지나는 직선의 기울기가 같으므로 = 5-1 -1-1 2k-6=k-4 k+1-5 -k+2-(-1) ∴ k=2 에서 -2= k-4 -k+3  ③ 11ㅡ 직 선 의 방 정 식 y-1= 5-1 -1-1 (x-1) ∴ y=-2x+3 이 직선이 점 (-k+2, k+1)을 지나므로 k+1=2k-4+3 ∴ k=2 1171 유형 06 계수의 부호에 따른 직선의 개형 |전략 | 직선 ax+by+c=0을 y=- x- ;bA; ;bC; 꼴로 변형하고 기울기와 y절편 의 부호를 알아본다. 따라서 (기울기)=- <0, ;bA; (y절편)=- >0이므로 직선의 개형은 오른 ;bC; 쪽 그림과 같고 제 3 사분면을 지나지 않는다. y O x  ③ 따라서 점 (-2, 1)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식은 ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=- x- ;bA; ;bC; y-1=-2(x+2) ∴ y=-2x-3  ③ ab>0, ac<0이므로 bc<0 이 직선이 x축, y축에 의하여 잘리는 선분의 길이는 직선이 x축과 만 나는 점 (-2, 0)과 y축과 만나는 점 (0, 2) 사이의 거리이므로 구 유형 07 두 직선의 위치 관계 |전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 수직이면 aa'+bb'=0, 하는 길이는 (0+2)Û`+(2-0)Û`=2 2 ' "à 1169 유형 03 x절편, y절편이 주어진 직선의 방정식 |전략 | x절편이 a, y절편이 b인 직선의 방정식은 ;a{; + ;b}; =1이다. (단, ab+0 ) x절편이 4, y절편이 2이므로 주어진 직선의 방정식은 + ;4{; ;2}; =1 ∴ y=- x+2 ③ x=2, y=1을 y=- x+2에 대입하면 ;2!; ;2!; 따라서 이 직선 위의 점은 ③ (2, 1)이다.  ③ 1=- ´2+2 ;2!; 1170 유형 04 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 |전략 | 임의의 세 점이 삼각형을 이루지 않으려면 세 점 중 어느 두 점이 일치하 거나 세 점이 일직선 위에 있어야 한다. 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 존재하지 않으므로 세 점은 한 직 선 위에 있다.  ② 두 직선 (a-2)x+2y-1=0, 3x+(a-1)y+1=0에 대하여 평행하면 = + 이다. a a' b b' c c' Ú 두 직선이 수직으로 만날 때 (a-2)´3+2(a-1)=0 5a=8 ∴ a= ;5*; Û 두 직선이 만나지 않을 때, 즉 평행할 때 a-2 3 = 2 a-1 + -1 1 (a-2)(a-1)=6, aÛ`-3a-4=0 (a+1)(a-4)=0 ∴ a=-1 또는 a=4 그런데 a=-1일 때 이므로 두 직선은 일치 -3 3 = 2 -2 = -1 1 Ú, Û에서 a= , b=4이므로 5ab=32 ;5*;  ② 유형 09 선분의 수직이등분선의 방정식 |전략 | 마름모 ABCD에 대하여 두 점 B, D를 지나는 직선 l은 ACÓ의 수직이등 1172 한다. ∴ a=4 1173 분선이다. 11 직선의 방정식 | 153 ABCD는 마름모이므로 두 점 B, D를 지나는 직선 l은 선분 AC 즉, 점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 ACÓ의 중점의 좌표는 의 수직이등분선이다. 두 점 A(1, 3), C(5, 1)에 대하여 선분 AC의 중점의 좌표는 1+5 2 { , 3+1 2 , 즉 (3, 2) } 직선 AC의 기울기는 1-3 5-1 =- ;2!; 따라서 직선 l은 오른쪽 그림과 같이 l 선분 AC의 중점 (3, 2)를 지나고 기 A D 울기가 2인 직선이므로 y-2=2(x-3) ∴ 2x-y-4=0 즉, a=-1, b=-4이므로 ab=4  ② O 1 3 5 x y 3 2 1 사각형의 성질 ⑴ 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. ⑵ 직사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 이등분한다. ⑶ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다. ⑷ 정사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 수직이등분한 -2+a 2 { , -1+b 2 이고, 이 점의 좌표가 (1, 2)이어야 하므로 } -2+a=2, -1+b=4 ∴ a=4, b=5 따라서 점 C의 좌표는 (4, 5)이다.  ③ 다른 풀이 직선 kx-y-k+2=0이 직사각형 ABCD의 넓이를 이등 분하려면 이 직선이 두 대각선의 교점을 지나야 한다. 점 C의 좌표를 (a, b)라 하면 ACÓ의 중점의 좌표는 -2+a 2 { , -1+b 2 } B C 이 점이 직선 k(x-1)-(y-2)=0 위의 점이므로 -2+a 2 k { -1 - } { -1+b 2 -2 =0 } -4+a 2 k { - { } -5+b 2 } =0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 -4+a 2 =0, -5+b 2 =0 ∴ a=4, b=5 따라서 점 C의 좌표는 (4, 5)이다. 다. 1174 1175 1176 유형 13 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식 |전략 | 직선 l이 k의 값에 관계없이 일정한 점을 지나므로 직선 l은 k에 대한 항 등식이다. 이때, 주어진 k의 값을 직선 l에 대입하여 참, 거짓을 따져 본다. ㄱ. 직선 l:2x+y-4+k(x-y+1)=0이 k의 값에 관계없이 항 상 성립하려면 2x+y-4=0, x-y+1=0 유형 11 정점을 지나는 직선의 방정식 |전략 | 주어진 식을 k에 대하여 정리한다. 주어진 식을 k에 대하여 정리하면 (2x-y+10)k+(3x+2y+1)=0 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=2 2x-y+10=0, 3x+2y+1=0 따라서 직선 l은 실수 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, 2)를 지난 두 식을 연립하여 풀면 x=-3, y=4 ∴ P(-3, 4) 다. 이때, 직선 3x-y=1, 즉 y=3x-1에 수직인 직선의 기울기는 - ;3!; 이므로 기울기가 - 이고 점 P를 지나는 직선의 방정식은 ;3!; y-4=- {x-(-3)} ∴ y=- x+3 ;3!; ;3!; 따라서 직선 y=- ;3!;x+3의 x절편은 9이다. ㄴ. k=-2이면 직선 l은 2x+y-4-2(x-y+1)=0 3y-6=0 ∴ y=2 따라서 x축에 평행하다. (y축에 수직이다.) ㄷ. k=1이면 직선 l은 2x+y-4+x-y+1=0 3x-3=0 ∴ x=1 유형 12 정점을 지나는 직선의 활용 |전략 | 주어진 직선이 직사각형 ABCD의 넓이를 이등분하려면 이 직선이 두 대 과 수직이다.  ④ 따라서 y축에 평행하다. (x축에 수직이다.) ㄹ. k=2이면 직선 l은 2x+y-4+2(x-y+1)=0 ∴ 4x-y-2=0 따라서 4´1+(-1)´4=0이므로 직선 l은 직선 x+4y+3=0 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.  ⑤ y D C(a, b) 2 1177 A(-2, -1) O 1 B x 유형 14 점과 직선 사이의 거리 |전략 | APÓ의 최솟값은 점 A와 주어진 직선 사이의 거리와 같다. APÓ의 최솟값은 점 A(a, 1)과 직선 + =1, 즉 3x+4y-12=0 ;4{; ;3}; 하려면 점 (1, 2)는 두 대각선의 교점이어야 한다. 사이의 거리와 같으므로 각선의 교점을 지나야 한다. kx-y-k+2=0에서 k(x-1)-y+2=0 yy ㉠ 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, 2)를 지난다. 이때, 직선 ㉠이 k의 값에 관계없이 직사각형 ABCD의 넓이를 이등분 154 | III . 도형의 방정식 정답과 해설 |3´a+4´1-12| 3Û`+4Û` =2 "à |3a-8|=10, 3a-8=Ñ10 ∴ a=6 (∵ a>0) 즉, 직선 BD의 방정식은 y-2=-2(x-3) ∴ 2x+y-8=0 따라서 점 A(0, 3)과 직선 2x+y-8=0 사이의 거리는  ④ |3-8| 2Û`+1Û` "à = 5 5 ' = 5 '  ⑤ 1178 유형 14 점과 직선 사이의 거리 |전략 | 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용한다. 점 P(a, 0)에서 두 직선 2x+y-2=0, x-y-4=0에 이르는 거리 1181 가 같으므로 |2´a-2| 2Û`+1Û` "à = "à |a-4| 1Û`+(-1)Û`` , ' 2(2a-2)Û`=5(a-4)Û` 2|2a-2|= 5|a-4| ' 2(4aÛ`-8a+4)=5(aÛ`-8a+16), 3aÛ`+24a-72=0 ∴ aÛ`+8a-24=0 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 a의 값의 합은 -8이다.  ⑤ 1179 유형 14 점과 직선 사이의 거리 |전략 | 점 P와 직선 l 사이의 거리를 f(k)= (c>0)라 하면 g(k)가 최 c g(k) 소일 때 f(k)는 최댓값을 갖는다. 두 직선 2x+y-5=0, x-2y=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 2x+y-5+k(x-2y)=0 ∴ (2+k)x+(1-2k)y-5=0 이 직선과 원점 사이의 거리를 `f(k)라 하면 |-5| (2+k)Û`+(1-2k)Û`` = 5 5kÛ`+5 "à 5kÛ`+5가 최소, 즉 k=0일 때 f(k)가 최대이므로 구하는 최 "à - +2= ;2!; ;2#; 1182 좌표를 구한다. 유형 17 자취의 방정식 - 점과 직선 사이의 거리 |전략 | 두 직선의 각의 이등분선 위의 점에서 두 직선에 이르는 거리는 같다. 두 직선 3x+y+1=0, x-3y-1=0이 이루는 각의 이등분선 위의 한 점의 좌표를 (x, y)라 하면 점 (x, y)에서 두 직선에 이르는 거리 가 같으므로 |3x+y+1| 3Û`+1Û` = "à |x-3y-1| 1Û`+(-3)Û` "à |3x+y+1|=|x-3y-1| 3x+y+1=Ñ(x-3y-1) ∴ x+2y+1=0 또는 2x-y=0 따라서 주어진 두 직선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식은 y=- x- 또는 y=2x이므로 기울기의 합은 ;2!; ;2!; f(k)= 따라서 "à 댓값은 f(0)= 5 5 ' = 5 ' 점 (2, 1)일 때이다. 2Û`+1Û`= 5 ' "à 1180 다른 풀이 두 직선 2x+y-5=0, x-2y=0의 교점 (2, 1)을 지나는 직선과 원점 사이의 거리가 최대일 때는 원점에서 직선에 내린 수선의 발이 따라서 구하는 최댓값은 점 (2, 1)과 원점 사이의 거리와 같으므로 유형 15 평행한 두 직선 사이의 거리 |전략 | 두 직선 AC, BD는 평행하므로 점 A와 직선 BD 사이의 거리를 구한다. 두 직선 AC, BD 사이의 거리는 점 A와 직선 BD 사이의 거리와 같 다. 직선 BD는 직선 x-2y+2=0, 즉 y= x+1과 수직이므로 기울 ;2!; 기가 -2이고, 점 B(3, 2)를 지난다. y 3 A 2 1 C x-2y+2=0 D B -2 O 3 x 유형 02 두 점을 지나는 직선의 방정식 |전략 | 마름모의 네 변의 길이는 같으므로 ABÓ의 길이를 이용하여 두 점 C, D의 ABÓ= (-1-2)Û`+(-1-3)Û`=5 "à 이때, BCÓ와 ADÓ는 x축에 평행하고, BCÓ=ADÓ=5이므로  ② C(4, -1), D(7, 3) 따라서 직선 CD의 방정식은 y-(-1)= 3-(-1) 7-4 (x-4), 즉 y= x- :Á3»: ;3$; 이므로 구하는 y절편은 - 이다. :Á3»: ❶ ABÓ의 길이를 이용하여 두 점 C, D의 좌표를 구할 수 있다. ❷ 직선 CD의 방정식을 구할 수 있다. ❸ 직선 CD의 y절편을 구할 수 있다. 채점 기준 1183 유형 10 세 직선의 위치 관계 |전략 | 세 직선에 의해 좌표평면이 6개의 영역으로 나누어지는 경우는 세 직선 중 두 직선이 평행한 경우, 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다. 11 직선의 방정식 | 155  ④ … ❶ … ❷ … ❸  - :Á3»: 배점 3점 2점 1점 11ㅡ직선의 방정식 세 직선이 좌표평면을 6개의 영역으로 나누는 경우는 세 직선 중 두 1185 직선이 평행하고 다른 한 직선이 평행한 두 직선과 각각 한 점에서 만 나는 경우와 주어진 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다. … ❶ Ú 직선 ax-y=4가 직선 x-y=2 또는 x+y=2와 평행할 때 유형 13 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식 |전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 교점을 지나는 직선의 방 정식을 ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0`( k는 실수)으로 놓는다. ⑴ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 (x-2y+2)+k(2x+y-6)=0 (k는 실수) … ❷ 으로 놓으면 (2k+1)x+(k-2)y-6k+2=0 …… ㉠ 두 직선 x-y=2와 x+y=2의 교점 (2, 0)이 직선 ax-y=4 = ;1A; -1 -1 + 또는 = ;2$; ;1A; -1 1 + ;2$; ∴ a=1 또는 a=-1 Û 세 직선이 한 점에서 만날 때 위에 있어야 하므로 2a=4 ∴ a=2 Ú, Û에서 모든 실수 a의 값의 곱은 -1´1´2=-2 채점 기준 ❶ 세 직선이 좌표평면을 6개의 영역으로 나누는 경우를 생각할 수 있다. ❷ 직선 ax-y=4가 직선 x-y=2 또는 x+y=2와 평행할 때의 a의 값 을 구할 수 있다. ❸ 세 직선이 한 점에서 만날 때의 a의 값을 구할 수 있다. ❹ 모든 실수 a의 값의 곱을 구할 수 있다. 이 직선이 점 (1, 3)을 지나므로 2k+1+(k-2)´3-6k+2=0 -k-3=0 ∴ k=-3 k=-3을 ㉠에 대입하면 -5x-5y+20=0 ∴ x+y-4=0 ⑵ 직선 y=-x+4가 x축과 만나는 점의 좌표는 (4, 0)이고, y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 4)이므로 오른쪽 그림에서 y 4 O 구하는 도형의 넓이는 ´4´4=8 ;2!; 채점 기준 ⑴ f(x, y)=0을 구할 수 있다. x 4 y=-x+4  풀이 참조 배점 6점 4점 1184 유형 12 정점을 지나는 직선의 활용 |전략 | k의 값에 관계없이 항상 지나는 정점을 찾아 선분 AB와 만나도록 직접 (2, 2) (1, 2)를 지난다. … ❶ 오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이 선분 AB와 -2 1186 그려 보면서 실수 k의 값의 범위를 알아본다. kx-y-k+2=0에서 k(x-1)-(y-2)=0 yy ㉠ 이 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 한 점에서 만나도록 움직여 보면 Ú 직선 ㉠이 점 A(-2, 0)을 지날 때 -3k+2=0 ∴ k= ;3@; Û 직선 ㉠이 점 B(0, 4)를 지날 때 -k-2=0 ∴ k=-2 4 B y 2 Ú A O 1 x Û ⑵ f(x, y)=0과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다. 다른 풀이 ⑴ 두 직선 x-2y+2=0, 2x+y-6=0의 교점의 좌표는 두 점 (2, 2), (1, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y-2= (x-2) ∴ y=-x+4 3-2 1-2 유형 16 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이 |전략 | △ABC의 밑변을 BCÓ라 하면 높이는 점 A에서 직선 BC까지의 거리이 다. ⑴ BCÓ= (-2-2)Û`+(-2-4)Û`=2 13 "à '¶ ⑵ 직선 BC의 방정식은 y-4= (x-2) ∴ 3x-2y+2=0 -2-4 -2-2 Ú, Û에서 직선 ㉠과 선분 AB가 한 점에서 만나도록 하는 k의 값의 점 A(0, -1)과 직선 3x-2y+2=0 사이의 거리는  -2ÉkÉ ;3@; |-2´(-1)+2| 3Û`+(-2)Û` = 4 13 = 4 13` '¶ 13 "à ⑶ △ABC= '¶ 4 13` '¶ 13 =4 ´2 13´ '¶ ;2!; ❶ 직선 kx-y-k+2=0이 k의 값에 관계없이 항상 지나는 점의 좌표를 채점 기준 ❷ 직선이 점 A(-2, 0)을 지날 때의 k의 값을 구할 수 있다. ⑴ BCÓ의 길이를 구할 수 있다. ❸ 직선이 점 B(0, 4)를 지날 때의 k의 값을 구할 수 있다. ⑵ 점 A와 직선 BC 사이의 거리를 구할 수 있다. ❹ 직선과 선분 AB가 한 점에서 만날 때의 k의 값의 범위를 구할 수 있다. ⑶ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.  풀이 참조 배점 3점 4점 3점 범위는 -2ÉkÉ ;3@; 채점 기준 구할 수 있다. 156 | III . 도형의 방정식 … ❸ … ❹  -2 배점 2점 2점 2점 1점 … ❷ … ❸ … ❹ 배점 1점 2점 2점 1점 정답과 해설 창의·융합 교과서 속 심화문제 1187 |전략| t초 후의 점 A, B, C의 좌표를 t에 대한 식으로 각각 나타낸 후, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하여 t의 값을 구한다. 두 점 A, B가 초당 3, 2의 속력으로 움직이므로 t(t+0)초 후의 두 점 A, B의 좌표는 A(3t, 0), B(0, 2t) 점 C는 직선 y= x-1 위를 초당 5의 속력으로 움직이므로 t초 ' 동안 움직인 거리는 ;2!; 5t ' 이때, 오른쪽 그림과 같이 직선 y y= x-1이 y축과 만나는 점을 P, ;2!; 점 C를 지나고 y축에 평행한 직선과 점 P를 지나고 x축에 평행한 직선의 교점을 H라 하면 직선 y= x-1 ;2!; B(0, 2t) 1 y= x-1 2 C(2t, -1+t) O P -1 5t ' 2t t H x A(3t, 0) 의 기울기는 이므로 ;2!; PHÓ=2CHÓ 따라서 CHÓ=a, PHÓ=2a라 하면 △CPH는 직각삼각형이므로 aÛ`+(2a)Û`=( ∴ a=t 5t)Û` ' 즉, t초 후의 점 C의 좌표는 C(2t, -1+t) 세 점 A, B, C가 일직선 위에 있으려면 직선 AB와 직선 AC의 기울 기가 같아야 하므로 (t-1)-0 2t-3t , - = ;3@; :t!; -1 = 2t-0 0-3t ∴ t=3(초) 따라서 출발한 지 3초 후에 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 놓이게 된 다.  3초 후 참고 출발한 지 3초 후에 세 점 A, B, C의 좌표는 각각 A(9, 0), B(0, 6), C(6, 2)이고, 세 점은 직선 y=- x+6 위에 있다. ;3@; 1188 |전략| 직선 AB의 y절편을 구한 다음 넓이가 같을 조건을 이용하여 a의 값을 구 y a D Sª 1 B C -1 SÁ O A a x 한다. 오른쪽 그림과 같이 선분 AB와 y축의 교점을 D라 하자. 두 점 A(a, a), B(-1, 1)을 지나는 직선의 방정식은 y-1= a-1 a-(-1) ∴ y= a-1 a+1 x+ 2a a+1 {x-(-1)} 따라서 점 D의 좌표는 D 0, 2a a+1 } { SÁ= ´ { ;2!; Sª= ´ ;2!; 2a a+1 2a a+1 +1 ´1= } ´a= aÛ` a+1 3a+1 2(a+1) 직선 AB의 y절편 한편, ODBC의 넓이를 SÁ, △OAD의 넓이를 Sª라 하면 이때, y축이 사각형 OABC의 넓이를 이등분하므로 = aÛ` a+1 3a+1 2(a+1) SÁ=Sª에서 (a+1)(3a+1)=2aÛ`(a+1) (a+1)(2aÛ`-3a-1)=0 ∴ a=-1 또는 a= 이때, a>0이므로 a= 17` 3Ñ '¶ 4 3+ '¶ 4 17` 점 A(a, a)는 제 1 사분면 위의 점이므로 a>0  17` 3+ '¶ 4 1189 |전략| 삼각형의 무게중심의 성질을 이용하여 BNÓ, LMÓ의 교점과 점 N 사이의 거리를 구하고, BNÓ⊥LMÓ임을 이용하여 a, b에 대한 식을 세운다. 삼각형 ABC에서 BNÓ⊥LMÓ이고 LMÓ∥ACÓ이므로 BNÓ⊥ACÓ 이때, 두 직선 LM, BN의 교점을 P 라 하면 점 N이 변 AC의 중점이므로 B 점 P는 선분 LM의 중점이다. L(2, 1) N(a, b) A 2 4 ' G P M(4, -1) C 따라서 점 P의 좌표는 { 2+4 2 , 1-1 2 , 즉 (3, 0) } 삼각형 LMN의 무게중심은 삼각형 ABC의 무게중심 G와 같고 선 분 NP는 삼각형 LMN의 중선이므로 NPÓ=3GPÓ=12 2 ' 이때, N(a, b)이고 P(3, 0)이므로 무게중심은 중선을 2:1로 내분한다. NPÓ Û`=(a-3)Û`+bÛ`=(12 2)Û`=288 ' 한편, 직선 NP와 직선 LM이 서로 수직이므로 yy ㉠ yy ㉡ =-1에서 b a-3 =1 ´ -1-1 4-2 b-0 a-3 ∴ b=a-3 ㉡을 ㉠에 대입하면 (a-3)Û`+(a-3)Û`=288, 2(a-3)Û`=288 (a-3)Û`=144=12Û` a-3=-12 또는 a-3=12 ∴ a=-9 또는 a=15 그런데 삼각형 LMN의 무게중심 G 가 제 1 사분면 위 a+6 3 { , ;3B;} 의 점이므로 a=15 a=15를 ㉡에 대입하면 b=12 ∴ ab=180 삼각형 ABC에서 ⑴ AMÓ=MBÓ, ANÓ=NCÓ이면 MNÓ∥BCÓ, MNÓ= ;2!; BCÓ ⑵ AMÓ=MBÓ, MNÓ∥BCÓ이면 ANÓ=NCÓ  ⑤ A 2배 M N B C 11 직선의 방정식 | 157 11ㅡ직선의 방정식 1190 |전략| 직사각형을 좌표평면 위에 놓고 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 직선 m은 직선 l과 x축이 이루는 각의 이등분선이므로 점 P에서 직 선 l과 x축에 이르는 거리는 같다. 즉, 점 P(a, ka)에서 두 직선 4kx-y=0, y=0에 이르는 거리가 같 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위 에 직사각형 ABCD를 점 C를 원점으로 하고, 선분 BC를 x축, 선분 DC를 y축에 오도록 놓으 면 두 점 A, M의 좌표는 각각 A(-4, 6), M(0, 3)이다. 직선 AC의 방정식은 CDÓ의 중점 y=- x이므로 PRÓ의 길이를 ;2#; A(-4, 6) 4 D(0, 6) 으므로 y S 6 M(0, 3) P R 16kÛ`+1=9, kÛ`= ;2!; 2 ∴ k= ' 2 (∵ k>0) B Q C x 따라서 직선 l의 기울기는 a라 하면 점 Q의 좌표는 Q(-a, 0), 점 P의 좌표는 P -a, { a } ;2#; 다른 풀이 △OAQ에서 OPÓ는 ∠AOQ의 이등분선이므로  2 2 ' =ka |4ka-ka| (4k)Û`+(-1)Û` 16kÛ`+1=3 "à ∴ "à 양변을 제곱하여 풀면 2 4k=4´ ' 2 =2 2 ' OAÓ:OQÓ=APÓ:QPÓ a: aÛ`+(4ka)Û`=ka:3ka "à 1+16kÛ`=1:3 1: "à 1+16kÛ`=3 ∴ "à 양변을 제곱하여 풀면 따라서 직선 l의 기울기는 2 4k=4´ ' 2 =2 2 ' 1+16kÛ`=9, kÛ`= ;2!; 2 ∴ k= ' 2 (∵ k>0) 이다. (단, 00) 점 C'에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하 면 삼각형 C'BH에서 3 ' C' 라 하고, 이를 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다. ∠C'BH=60ù이고 BC'Ó=BCÓ=2이므로 y l : y=4kx Q(a, 4ka) m : y=kx P(a, ka) O A(a, 0) x 이때, x축 위의 한 점 A(a, 0)(a>0)을 잡고, 점 A를 지나고 y축에 평행한 직선을 그어 두 직선 m, l과 만나는 점을 각각 P, Q라 하면 P(a, ka), Q(a, 4ka) 158 | III . 도형의 방정식 BHÓ=1, C'HÓ= 3 ' ∴ C'(1, 3) ' 30ù 30ù H(1, 0) B C x 이때, 두 점 B(0, 0), D(2, 4)를 지나는 직선 BD의 방정식은 y=2x이므로 점 C'(1, 3)과 직선 y=2x, 즉 ' 2x-y=0 사이의 거리는 3| |2´1-1´ 2Û`+(-1)Û` 2- ' 5 = ' 3 ' "à 따라서 a= , b= 이므로 ;5@; ;5!; 100ab=100´ ´ ;5@; ;5!; =8 = ;5@;' 5- ;5!;'¶ 15 D E  8 정답과 해설 12 원의 방정식 본책 190~207쪽 1202 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은 1194 xÛ`+(y+2)Û`=5Û`에서 원의 중심의 좌표는 (0, -2), 반지름의 길이 각각 대입하면 C=0 는 5이다.  (0, -2), 5 1+1-A+B+C=0 ∴ -A+B+C=-2 (x-3)Û`+(y+2)Û`=rÛ`이고, 이 원이 점 (2, 0)을 지나므로 (-1)Û`+2Û`=rÛ` ∴`rÛ`=5 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-3)Û`+(y+2)Û`=5  (x-3)Û`+(y+2)Û`=5 1203 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으로 놓고 세 점의 좌표를 49+1+7A+B+C=0 ∴ 7A+B+C=-50 C=0을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 -A+B=-2, 7A+B=-50 두 식을 연립하여 풀면 A=-6, B=-8 따라서 구하는 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`-6x-8y=0  xÛ`+yÛ`-6x-8y=0 12ㅡ 원 의 방 정 식 yy ㉠ yy ㉡ 1 개념 마스터 STEP1 1193 (x-3)Û`+(y+5)Û`=2Û`에서 원의 중심의 좌표는 (3, -5), 반지름 의 길이는 2이다.  (3, -5), 2 1195 (x-1)Û`+yÛ`=4Û`에서 원의 중심의 좌표는 (1, 0), 반지름의 길이는 4이다.  (1, 0), 4 1196 xÛ`+yÛ`+4x-5=0에서 (x+2)Û`+yÛ`=9 따라서 원의 중심의 좌표는 (-2, 0), 반지름의 길이는 3이다. 1197 xÛ`+yÛ`-2x-10y-7=0에서 (x-1)Û`+(y-5)Û`=33 따라서 원의 중심의 좌표는 (1, 5), 반지름의 길이는  (-2, 0), 3 1 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 1204 |전략| 중심이 x축 위에 있는 원의 방정식은 (x-a)Û`+yÛ`=rÛ`으로 놓는다. 3 3이다. '  (1, 5), 3 3 ' 원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 방정식을 (x-a)Û`+yÛ`=rÛ` 으로 놓으면 이 원이 두 점 (2, 0), (3, 1)을 지나므로 (2-a)Û`=rÛ`, (3-a)Û`+1=rÛ` 두 식을 연립하여 풀면 a=3, rÛ`=1 따라서 원의 방정식이 (x-3)Û`+yÛ`=1이므로 구하는 넓이는 p이다.  p 1198 중심의 좌표가 (2, 1)이고 반지름의 길이가 1이므로 원의 방정식은 (x-2)Û`+(y-1)Û`=1  (x-2)Û`+(y-1)Û`=1 1199 중심의 좌표가 (-2, -3)이고 반지름의 길이가 2이므로 원의 방정 식은 (x+2)Û`+(y+3)Û`=4  (x+2)Û`+(y+3)Û`=4 따라서 구하는 원의 넓이는 p이다. 다른 풀이 원의 중심을 C(a, 0)이라 하고 A(2, 0), B(3, 1)이라 하면 ACÓ=BCÓ이므로 (a-2)Û`= (a-3)Û`+(-1)Û` "à "à 양변을 제곱하여 풀면 a=3 이때, 원의 반지름의 길이는 ACÓ= (3-2)Û`=1 "à 1200 중심이 원점이고 반지름의 길이가 7인 원의 방정식은 xÛ`+yÛ`=49 1205 원의 중심이 y축 위에 있으므로 원의 방정식을  xÛ`+yÛ`=49 xÛ`+(y-b)Û`=rÛ` 으로 놓으면 이 원이 두 점 (-4, 1), (3, 0)을 지나므로 1201 중심이 점 (-4, 1)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식은 16+(1-b)Û`=rÛ`, 9+bÛ`=rÛ` 두 식을 연립하여 풀면 b=4, rÛ`=25 (x+4)Û`+(y-1)Û`=4  (x+4)Û`+(y-1)Û`=4 따라서 원의 방정식은 xÛ`+(y-4)Û`=25 12 원의 방정식 | 159 Œ Œ ㄴ. ( 6)Û`+(3-4)Û`=7+25이므로 주어진 원은 점 ( 6, 3)을 지나 ' ' 지 않는다. 1210 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는 ㄷ. 원의 반지름의 길이가 5이므로 둘레의 길이는 10p이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ③ -4+4+(-6) 3 , 8+(-1)+8 3 { , 즉 (-2, 5) } 다른 풀이 원의 중심을 C(0, b)라 하고 A(-4, 1), B(3, 0)이라 하면 ACÓ=BCÓ이므로 4Û`+(b-1)Û`= "à 양변을 제곱하여 풀면 b=4 "à (-3)Û`+bÛ` 따라서 원의 반지름의 길이는 ACÓ= (-3)Û`+4Û`=5 "à 1206 원의 중심이 직선 y=x-2 위에 있으므로 원의 방정식을 (x-a)Û`+(y-a+2)Û`=rÛ` 으로 놓으면 이 원이 두 점 (0, 1), (3, 4)를 지나므로 aÛ`+(3-a)Û`=rÛ`, (3-a)Û`+(6-a)Û`=rÛ` 두 식을 연립하여 풀면 a=3, rÛ`=9 따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 3이다.  3 이므로 구하는 원은 두 점 (-2, 5), (4, -1)을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다. 원의 중심의 좌표는 { -2+4 2 , 5+(-1) 2 , 즉 (1, 2) } 반지름의 길이는 ;2!;"Ã(4+2)Û`+(-1-5)Û`=3 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y-2)Û`=18이므로 이 원 2 ' 위의 점인 것은 ②이다.  ② 1211 원의 중심의 좌표는 { 1+5 2 , 4+6 2 , 즉 (3, 5) } 반지름의 길이는 ;2!;"Ã(5-1)Û`+(6-4)Û`= ' 5 즉, 원의 방정식은 (x-3)Û`+(y-5)Û`=5 1207 xÛ`+yÛ`-2x-10y+1=0에서 (x-1)Û`+(y-5)Û`=25 xÛ`+yÛ`+2bx+4by+10=0에서 (x+b)Û`+(y+2b)Û`=5bÛ`-10 직선 3x-y+a=0이 원 ㉠의 중심 (1, 5)를 지나므로 3-5+a=0 ∴ a=2 직선 3x-y+2=0이 원 ㉡의 중심 (-b, -2b)를 지나므로 -3b+2b+2=0 ∴ b=2 ∴ ab=4 1208 |전략| 두 점 A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식은 …… ㉠ …… ㉡ x=2를 원의 방정식에 대입하여 풀면 y=3 또는 y=7 ∴ A(3, 5), B(2, 3), C(2, 7) 이때, △ABC의 밑변의 길이는 BCÓ=7-3=4, 높이는 점 A와 직선 x=2 사이의 거리이므로 1이다. ∴ △ABC= ´4´1=2 ;2!;  2 1212 |전략| 주어진 방정식을 (x-a)Û`+(y-b)Û`=rÛ` 꼴로 변형한 후 rÛ`>0이어야  4 함을 이용한다. xÛ`+yÛ`+6x-2my+2mÛ`-4m+4=0에서 (x+3)Û`+(y-m)Û`=-mÛ`+4m+5 이 방정식이 원을 나타내려면 (원의 중심)=(ABÓ의 중점), (반지름의 길이)= ABÓ임을 이용한다. -mÛ`+4m+5>0, mÛ`-4m-5<0 ;2!; (m+1)(m-5)<0 ∴ `-10, kÛ`+k-2<0 (k+2)(k-1)<0 ∴ -20)  ① 1218 x+2y=0 2x-y=0 3x+y-10=0 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ 이때, 원의 넓이가 최대이려면 반지름의 길이가 최대이어야 하므로 -2kÛ`-2k+4=-2 k+ Û`+ { ;2!;} ;2(; 따라서 -20 ∴ `k<0 ㉠, ㉡에서 k=- 2 ' yy ㉠ yy ㉡  - 2 ' 1217 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+Ax+By+C=0으로 놓고 세 점 (2, 1), (-4, 3), (-1, -3)의 좌표를 각각 대입하면 4+1+2A+B+C=0 ∴ 2A+B+C=-5 …… ㉠ 1220 원의 중심이 직선 y=x-1 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, a-1) 16+9-4A+3B+C=0 ∴ -4A+3B+C=-25 …… ㉡ 로 놓자. 이때, 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이는 |a-1|이다. 1+9-A-3B+C=0 ∴ -A-3B+C=-10 …… ㉢ 즉, 원의 방정식은 (x-a)Û`+(y-a+1)Û`=(a-1)Û` ㉠-㉡ 을 하면 6A-2B=20 ∴ 3A-B=10 이 원이 점 (1, 1)을 지나므로 ㉡-㉢ 을 하면 -3A+6B=-15 ∴ A-2B=5 (1-a)Û`+(2-a)Û`=(a-1)Û`, (2-a)Û`=0 ∴ `a=2 두 식을 연립하여 풀면 A=3, B=-1 이것을 ㉠ 에 대입하여 풀면 C=-10 따라서 원의 방정식은 (x-2)Û`+(y-1)Û`=1이므로 구하는 둘레의 길이는 2p이다.  2p 12 원의 방정식 | 161 12ㅡ원의방정식 1221 |전략| y축에 접하는 원은 (원의 반지름의 길이)=|(중심의 x좌표)|임을 이용한다. 이때, 중심 (r, -r)가 직선 y=2x-3 위의 점이므로 -r=2r-3 ∴ `r=1 원의 중심이 점 (a, 1)이고 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이는 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y+1)Û`=1  (x-1)Û`+(y+1)Û`=1 |a|이다. 즉, 원의 방정식은 (x-a)Û`+(y-1)Û`=aÛ` 이 원이 점 (1, 3)을 지나므로 (1-a)Û`+4=aÛ`, -2a=-5 ∴ `a= ;2%;  ;2%; 1225 주어진 원의 중심은 곡선 y=xÛ`-6과 직선 y=x 또는 y=-x의 교 1222 원 xÛ`+yÛ`-2ax-2y+b=0이 점 (-1, 2)를 지나므로 1+4+2a-4+b=0 ∴ `2a+b=-1 yy`㉠ … ❶ (-2, -2), (3, 3) xÛ`+yÛ`-2ax-2y+b=0에서 (x-a)Û`+(y-1)Û`=aÛ`-b+1 Û xÛ`-6=-x에서 (x-2)(x+3)=0 … ❷ ∴ x=2 또는 x=-3 이 원의 중심의 좌표는 (a, 1)이고 원이 y축에 접하므로 반지름의 즉, 곡선 y=xÛ`-6과 직선 y=-x의 교점의 좌표는 점이다. Ú xÛ`-6=x에서 (x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 즉, 곡선 y=xÛ`-6과 직선 y=x의 교점의 좌표는 길이는 |a|이다. 즉, aÛ`-b+1=|a|이므로 양변을 제곱하면 "à aÛ`-b+1=aÛ` ∴ `b=1 b=1을 ㉠에 대입하면 a=-1 ∴`a+b=0 채점 기준 ❸ a, b의 값을 구할 수 있다. ❹ a+b의 값을 구할 수 있다. … ❸ … ❹  0 비율 30 % 20 % 40 % 10 % (2, -2), (-3, 3) Ú, Û에서 m=4 또, 네 원의 중심의 좌표는 (-2, -2), (3, 3), (2, -2), (-3, 3) 이고 반지름의 길이는 각각 2, 3, 2, 3이다. 따라서 네 원의 넓이의 합은 4p+9p+4p+9p=26p이므로 n=26 ∴ m+n=30  ③ ❶ 원이 점 (-1, 2)를 지남을 이용할 수 있다. x축, y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 직선 y=-x 위에 ❷ 주어진 원의 방정식을 (x-p)Û`+(y-q)Û`=rÛ` 꼴로 변형할 수 있다. 있다. 1223 |전략| x축, y축에 동시에 접하면서 중심이 제 2 사분면 위에 있는 원의 방정식은 (x+r)Û`+(y-r)Û`=rÛ` (r>0)으로 놓을 수 있다. 원의 중심이 제 2 사분면 위에 있어야 하므로 반지름의 길이를 r라 하 이의 최댓값과 최솟값을 구한다. xÛ`+yÛ`-2x-2y-2=0에서 (x-1)Û`+(y-1)Û`=4 면 중심의 좌표는 (-r, r)이다. 즉, 원의 방정식은 (x+r)Û`+(y-r)Û`=rÛ` 이 원이 점 (-1, 2)를 지나므로 (-1+r)Û`+(2-r)Û`=rÛ`, rÛ`-6r+5=0 (r-1)(r-5)=0 ∴ r=1 또는 r=5 의 중심 사이의 거리는 (-5+1)Û`+(5-1)Û`=4 2 ' "à 따라서 두 원의 중심의 좌표는 각각 (-1, 1), (-5, 5)이므로 두 원 1226 |전략| 원의 중심과 점 A 사이의 거리, 원의 반지름의 길이를 이용하여 APÓ의 길 원의 중심 (1, 1)과 점 A(-2, 3) 사이의 거리는 (-2-1)Û`+(3-1)Û`= 3 1 "à 이때, 원의 반지름의 길이가 2이므로 APÓ의 길이의 최댓값은 ' ' 3+2, 1 최솟값은 1 3-2이다. ' 따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 곱은 3+2)( 1 3-2)=13-4=9 1 ( ' '  ④ 1227 원 xÛ`+yÛ`=rÛ`의 중심 (0, 0)과 점 A(4, 2) 사이의 거리는 4Û`+2Û`=2 5 "à 이때, 원의 반지름의 길이는 r이고 APÓ의 길이의 최댓값이 3+2 ' 1224 원의 중심이 제 4 사분면 위에 있으므로 반지름의 길이를 r라 하면 중 심의 좌표는 (r, -r)이다. 므로 2 ' 5+r=3+2 5 ∴ `r=3 ' 162 | III . 도형의 방정식  9 5이 '  ④ 정답과 해설Œ Œ Œ Œ Œ 1228 오른쪽 그림과 같이 원 위의 점 P에 대 하여 APÓ의 길이가 최소인 점을 PÁ, A(8, 6) 1231 APÓ`:`BPÓ=2`:`1에서 APÓ=2BPÓ이므로 APÓ Û`=4BPÓ Û` 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 최대인 점을 Pª라 하자. PÁ (x+3)Û`+(y-4)Û`=4{(x-3)Û`+(y-1)Û`} 원 xÛ`+yÛ`=9의 중심 O(0, 0)과 점 xÛ`+yÛ`-10x+5=0 ∴ (x-5)Û`+yÛ`=20 O (0, 0) Pª 따라서 점 P의 자취는 중심이 점 (5, 0)이고 반지름의 길이가 2 5인 '  4 5p ' A(8, 6) 사이의 거리는 AOÓ= 8Û`+6Û`=10 "à APÁÓ=AOÓ-3=10-3=7 APªÓ=AOÓ+3=10+3=13 ∴ 7ÉAPÓÉ13 이때, APÓ의 길이가 정수가 되는 점 P를 찾아보면 Ú APÓ=8, 9, 10, 11, 12를 만족시키는 점 P는 각각 2개 Û APÓ=7, 13을 만족시키는 점 P는 각각 1개 따라서 구하는 점 P의 개수는 5´2+2´1=12 x, y 사이의 관계식을 구한다. 표를 (a, b)라 하면 (a-1)Û`+(b+2)Û`=5 이때, APÓ의 중점의 좌표를 (x, y)라 하면 x= -1+a 2 , y= 3+b 2 ∴ a=2x+1, b=2y-3 ㉡을 ㉠에 대입하면 (2x+1-1)Û`+(2y-3+2)Û`=5 Û`= ∴ xÛ`+ y- { ;2!;} ;4%; 원이므로 구하는 자취의 길이는 2p´2 5=4 5p ' ' 다른 풀이 APÓ`:`BPÓ=2`:`1에서 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점의 좌표는 2´3+1´(-3) 2+1 { , 2´1+1´4 2+1 } , 즉 (1, 2) 선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점의 좌표는 2´3-1´(-3) 2-1 { , 2´1-1´4 2-1 } , 즉 (9, -2) 원이고, 이 원의 반지름의 길이는 (9-1)Û`+(-2-2)Û`=2 5 ' ;2!;"à 따라서 구하는 자취의 길이는 2p´2 5=4 5p ' '  ④ 따라서 점 P의 자취는 두 점 (1, 2), (9, -2)를 지름의 양 끝점으로 하는 좌표평면 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에 대하여 선분 AB를 m : n(m>0, n>0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라 하면 mxª+nxÁ m+n P { , myª+nyÁ m+n } , Q { mxª-nxÁ m-n , myª-nyÁ m-n } (단, m+n) 1232 OPÓ`:`APÓ=2`:`1에서 OPÓ=2APÓ이므로 OPÓ Û`=4APÓ Û` 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 xÛ`+yÛ`=4{(x-3)Û`+yÛ`} 1229 |전략| P(a, b), APÓ의 중점의 좌표를 (x, y)라 하고 주어진 조건을 이용하여 원 xÛ`+yÛ`-2x+4y=0, 즉 (x-1)Û`+(y+2)Û`=5 위의 점 P의 좌 선분의 내분점과 외분점 따라서 APÓ의 중점이 나타내는 도형은 중심의 좌표가 { 0, ;2!;} 이고, xÛ`+yÛ`-8x+12=0 ∴ (x-4)Û`+yÛ`=4 인 원이므로 구하는 길이는 5 반지름의 길이가 ' 2 5 2p´ ' 2 = 5p ' 오른쪽 그림과 같이 OPÓ가 원의 접선일 y 때, ∠POA의 크기가 최대가 된다. 이때, 원의 중심을 C라 하면 직각삼각 P A 3 C 2 4 O 2 6 x 형 OCP에서 Û`-CPÓ Û` OPÓ Ó=¿¹OCÓ = "à 4Û`-2Û`=2 3 ' 2 개념 마스터 STEP1 1233 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 1230 원 xÛ`+yÛ`=9 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면 aÛ`+bÛ`=9 이때, △APB의 무게중심 G의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 1+8+a 3 , y= 6+0+b 3 ∴ a=3x-9, b=3y-6 ㉡을 ㉠에 대입하면 (3x-9)Û`+(3y-6)Û`=9 ∴ (x-3)Û`+(y-2)Û`=1  ⑤ -4-8k=0 ∴ `k=- ;2!; xÛ`+yÛ`+6x-4y+1+k(xÛ`+yÛ`+2x-8y-7)=0 (k+-1) y`㉠ 으로 놓으면 이 원이 점 (-1, 0)을 지나므로  2 3 ' 12 원의 방정식 | 163 yy ㉠ yy ㉡  5p ' yy ㉠ yy ㉡ 12ㅡ원의방정식 k=- 을 ㉠ 에 대입하면 ;2!; 1239 원의 중심 (-2, 1)과 직선 x-2y-2=0 사이의 거리는 xÛ`+yÛ`+6x-4y+1- (xÛ`+yÛ`+2x-8y-7)=0 ;2!; ∴`xÛ`+yÛ`+10x+9=0  xÛ`+yÛ`+10x+9=0 |-2-2-2| 1Û`+(-2)Û` "à = = 6 5 ' 6 5 ' 5 이때, 원의 반지름의 길이는 4이고 <4이므로 원과 직선은 서 6 5 ' 5 로 다른 두 점에서 만난다.  서로 다른 두 점에서 만난다. 1234 (x-2)Û`+yÛ`=10에서 xÛ`+yÛ`-4x-6=0 두 원의 공통인 현의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4x-6-(xÛ`+yÛ`+y-5)=0 ∴`4x+y+1=0  4x+y+1=0 (x-3)Û`+(y+2)Û`=4 1240 xÛ`+yÛ`-6x+4y+9=0에서 1235 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 xÛ`+yÛ`-2x+4y-3-(xÛ`+yÛ`+4x-6y+2)=0 ∴`6x-10y+5=0  6x-10y+5=0 1236 y=2x-4를 xÛ`+yÛ`=25에 대입하면 xÛ`+(2x-4)Û`=25 ∴`5xÛ`-16x-9=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =(-8)Û`-5´(-9)=109>0 따라서 교점의 개수는 2이다. 1237 x+y-1=0에서 y=-x+1 y=-x+1을 xÛ`+yÛ`-2x-6y+6=0에 대입하면 xÛ`+(-x+1)Û`-2x-6(-x+1)+6=0 ∴`2xÛ`+2x+1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D 4 =1Û`-2´1=-1<0 따라서 교점의 개수는 0이다. 원의 중심 (3, -2)와 직선 x+y+3=0 사이의 거리는 |3-2+3| 1Û`+1Û` = 4 2 =2 2 ' "à ' 이때, 원의 반지름의 길이는 2이고 2 지 않는다. 2>2이므로 원과 직선은 만나 '  만나지 않는다. 1241 원 xÛ`+yÛ`=4에 접하고 기울기가 3인 직선의 방정식은 y=3xÑ2 3Û`+1 ∴ `y=3xÑ2 1 0  y=3xÑ2 1 0 ' "à "à ' '  2 1242 직선 y=2x+1과 평행한 직선의 기울기는 2이므로 원 xÛ`+yÛ`=9에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식은 y=2xÑ3 2Û`+1 ∴ `y=2xÑ3 5  y=2xÑ3 5 ' 1243 원 xÛ`+yÛ`=13 위의 점 (3, -2)에서의 접선의 방정식은 3x-2y=13 ∴ `3x-2y-13=0  3x-2y-13=0 1244 원 xÛ`+yÛ`=20 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 방정식은 2x+4y=20 ∴ x+2y-10=0  x+2y-10=0  0 1245 ⑴ y=mx+4 ⑵ 원의 중심 (0, 0)과 직선 y=mx+4, 즉 mx-y+4=0 사이의 1238 원의 중심 (0, 0)과 직선 3x-y-10=0 사이의 거리는 |-10| 3Û`+(-1)Û` = 10 0 1 "à 이때, 원의 반지름의 길이가 ' = 1 0 ' ' 다.(접한다.) 1 0이므로 원과 직선은 한 점에서 만난  한 점에서 만난다.(접한다.) 거리는 반지름의 길이 2와 같으므로 =2, 4=2 mÛ`+1 "à |4| "à mÛ`+(-1)Û` 양변을 제곱하면 ⑶ y=Ñ 3x+4 ' 16=4(mÛ`+1), mÛ`=3 ∴ m=Ñ 3 '  ⑴ y=mx+4 ⑵ Ñ 3 ⑶ y=Ñ 3x+4 ' ' 164 | III . 도형의 방정식 정답과 해설Œ Œ Œ Œ Œ 1246 ⑴ xÁx+yÁy=5 Ú |r-2|<5에서 -50이므로 03 또, 점 (xÁ, yÁ)은 원 xÛ`+yÛ`=5 위의 점이므로 Ú, Û에서 31, aÛ`+4a+19>0 Û aÛ`+4a+20<5의 양변을 제곱하면 "à aÛ`+4a+20<25, aÛ`+4a-5<0 (a+5)(a-1)<0 ∴`-50이므로 항상 성립한다. aÛ` 4 ¾Ð +2a+13= +1 |;2A;| 양변을 제곱하면 aÛ` 4 +2a+13= aÛ` 4 +|a|+1 2a-|a|=-12 Ú, Û에서 -50) (cid:9000) 00) Ú, Û에서 모든 r의 값의 합은 10이다. 1253 두 원의 중심의 좌표가 각각 (0, 0), (a, b)이므로 중심 사이의 거리는 aÛ`+bÛ` "à 두 원의 반지름의 길이가 각각 5, 2이므로 두 원이 만나지 않으려면 Ú 한 원이 다른 원의 외부에 있는 경우 5+2< aÛ`+bÛ` ∴ `aÛ`+bÛ`>49 Û 한 원이 다른 원의 내부에 있는 경우 5-2> aÛ`+bÛ` ∴ `0ÉaÛ`+bÛ`<9 Ú, Û에서 aÛ`+bÛ`>49 또는 0ÉaÛ`+bÛ`<9 "à "à  aÛ`+bÛ`>49 또는 0ÉaÛ`+bÛ`<9 이 원의 넓이가 p이므로 ;2%; aÛ`+36 16 ;2%; = , aÛ`=4 ∴ `a=2 (∵`a>0)  2  ⑤ 으로 놓으면 1256 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`+2x-4y-6+k(xÛ`+yÛ`-18x-8y+6)=0 (k+-1) yy ㉠ (k+1)xÛ`+(k+1)yÛ`+(2-18k)x+(-4-8k)y-6+6k=0 이때, 이 원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 중심의 y좌표는 0이다. 즉, y의 계수가 0이므로 -4-8k=0 ∴ k=- ;2!; xÛ`+yÛ`+2x-4y-6- (xÛ`+yÛ`-18x-8y+6)=0 ;2!; k=- 을 ㉠에 대입하면 ;2!; xÛ`+yÛ`+22x-18=0 ∴ (x+11)Û`+yÛ`=139 따라서 구하는 원의 넓이는 139p이다.  ⑤ 1254 |전략| 두 원 xÛ`+yÛ`+ax+by+c=0, xÛ`+yÛ`+a'x+b'y+c'=0의 교점을 지나는 원의 방정식을 1257 |전략| 두 원 xÛ`+yÛ`+ax+by+c=0, xÛ`+yÛ`+a'x+b'y+c'=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은 xÛ`+yÛ`+ax+by+c-(xÛ`+yÛ`+a'x+b'y+c')=0 xÛ`+yÛ`+ax+by+c+k(xÛ`+yÛ`+a'x+b'y+c')=0 (k+-1)으로 놓는다. 이다. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 xÛ`+yÛ`+5x+y-6+k(xÛ`+yÛ`-x-y-2)=0 (k+-1) yy ㉠ xÛ`+yÛ`-x+2y-3-(xÛ`+yÛ`-3x+ay-1)=0 으로 놓으면 이 원이 점 (4, 2)를 지나므로 ∴2x+(2-a)y-2=0 이 직선이 직선 3x+y+1=0과 수직이므로 2´3+(2-a)´1=0 ∴ a=8  ④ 36+12k=0 ∴ `k=-3 k=-3을 ㉠에 대입하면 xÛ`+yÛ`+5x+y-6-3(xÛ`+yÛ`-x-y-2)=0 xÛ`+yÛ`-4x-2y=0 따라서 a=-4, b=-2, c=0이므로` a+b+c=-6 1255 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 xÛ`+yÛ`-6x+ay+8+k(xÛ`+yÛ`-4x)=0 (k+-1) yy`㉠ 으로 놓으면 이 원이 점 (1, 0)을 지나므로 3-3k=0 ∴ `k=1 k=1을 ㉠에 대입하면 xÛ`+yÛ`-6x+ay+8+(xÛ`+yÛ`-4x)=0 xÛ`+yÛ`-5x+ y+4=0 ;2A; ∴` x- { ;2%;} Û`+ y+ { ;4A;} Û`= aÛ`+36 16 166 | III . 도형의 방정식  ① ⑵ 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 수직이려면 ⑴ 두 직선 y=ax+b, y=a'x+b'이 수직이려면 aa'=-1 aa'+bb'=0 1258 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은 xÛ`+yÛ`+x-2y-(xÛ`+yÛ`-x-y-2)=0 2x-y+2=0 ∴ y=2x+2 이 직선과 평행하고 점 (1, -1)을 지나는 직선의 방정식은 y-(-1)=2(x-1) ∴ y=2x-3 따라서 a=2, b=-3이므로 ab=-6  -6 정답과 해설 1259 원 xÛ`+yÛ`-x+ay+14=0이 원 xÛ`+yÛ`-2x+8y+3=0의 둘레 두 원의 공통인 현의 방정식은 xÛ`+yÛ`-16-(xÛ`+yÛ`+8x+6y+14)=0 를 이등분하려면 두 원의 공통인 현이 원 xÛ`+yÛ`-2x+8y+3=0의 ∴ 4x+3y+15=0 … ❶ 원점 O와 공통인 현 사이의 거리는 지름이어야 한다. 두 원의 공통인 현의 방정식은 xÛ`+yÛ`-x+ay+14-(xÛ`+yÛ`-2x+8y+3)=0 ∴`x+(a-8)y+11=0 yy`㉠ … ❷ 또, xÛ`+yÛ`-2x+8y+3=0에서 (x-1)Û`+(y+4)Û`=14 yy`㉡ 따라서 직선 ㉠이 원 ㉡의 중심 (1, -4)를 지나야 하므로 1-4(a-8)+11=0, -4a=-44 OCÓ= |15| 4Û`+3Û` 직각삼각형 OAC에서 =3 "à ACÓ =¿¹OAÓ Û`-OCÓ Û`= 4Û`-3Û`= 7 ' "à 따라서 공통인 현의 길이는 ABÓ=2ACÓ=2 7 ' ∴`a=11 채점 기준 ❶ 두 원의 공통인 현이 원 xÛ`+yÛ`-2x+8y+3=0의 지름임을 알 수 있다. ❷ 두 원의 공통인 현의 방정식을 구할 수 있다. ❸ a의 값을 구할 수 있다. … ❸  11 비율 40 % 30 % 30 % 1260 두 원의 중심을 지나는 직선은 공통인 현을 수직이등분하므로 선분 AB의 중점의 좌표는 두 원의 공통인 현과 두 원의 중심을 지나는 직 선의 교점의 좌표이다. 두 원의 공통인 현의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4x-20-(xÛ`+yÛ`-9x-10y+30)=0 ∴`x+2y-10=0 yy`㉠ xÛ`+yÛ`-4x-20=0에서 (x-2)Û`+yÛ`=24 xÛ`+yÛ`-9x-10y+30=0에서 { x- ;2(;} Û`+(y-5)Û`= :¤4Á: 두 원의 중심 (2, 0), , 5 를 지나는 직선의 방정식은 {;2(; } (x-2) ∴ `y=2x-4 yy`㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x= , y= :Á5¥: :Á5¤: 따라서 선분 AB의 중점의 좌표는 두 직선의 교점의 좌표인 y-0= 5-0 -2 ;2(; , {:Á5¥: :Á5¤:} 이다. 1261 1262 오른쪽 그림과 같이 두 원 xÛ`+yÛ`=1, (x-2)Û`+(y+1)Û`=4의 중심을 각 각 O, O'이라 하고, OO'Ó과 ABÓ의 교 점을 C라 하자. (x-2)Û`+(y+1)Û`=4에서 xÛ`+yÛ`-4x+2y+1=0 이므로 두 원의 공통인 현의 방정식은 xÛ`+yÛ`-1-(xÛ`+yÛ`-4x+2y+1)=0 ∴ 2x-y-1=0 점 O'(2, -1)과 공통인 현 사이의 거리는 4 5 ' 5 } Û`= 2 5 ' 5 O'CÓ= |4+1-1| 2Û`+(-1)Û` = 4 5 ' 5 "à 직각삼각형 O'AC에서 Û`-OCÓ ACÓ=¿¹O'AÓ 따라서 공통인 현의 길이는 Û`= ¾¨2Û`- { ABÓ=2ACÓ= 4 5 ' 5 ∴ △O'AB= ´ABÓ´O'CÓ ;2!; ∴ △O'AB= ´ ;2!; 4 5 ' 5 ´ 4 5 ' 5 = ;5*;  {:Á5¥:, :Á5¤:} 1263 두 원의 교점을 지나는 원의 넓이가 최소가 되려면 공통인 현이 그 원 |전략| 두 원의 공통인 현의 방정식을 구한 후 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현 을 수직이등분함을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 두 원 xÛ`+yÛ`=16, xÛ`+yÛ`+8x+6y+14=0의 중심을 각각 O, O'이라 하고, 두 원의 교점을 A, B, OO'Ó과 ABÓ의 교점을 C라 하 자. y A -4 O' O -3 C B 의 지름이어야 한다. 오른쪽 그림과 같이 두 원 xÛ`+yÛ`=4, xÛ`+yÛ`-4x+3y=9의 중 심을 각각 O, O'이라 하고, 두 원의 교 점을 A, B, OO'Ó의 연장선과 ABÓ의 x 교점을 C라 하자. 두 원의 공통인 현의 방정식은 xÛ`+yÛ`-4-(xÛ`+yÛ`-4x+3y-9)=0 ∴ 4x-3y+5=0 y A 2C O O' x B 3 2 -  2 7 ' y O A C 2 -1 B O' x  ;5*; 12 원의 방정식 | 167 12ㅡ원의방정식 원점 O와 공통인 현 사이의 거리는 OCÓ= |5| 4Û`+(-3)Û` =1 직각삼각형 OAC에서 "à ¿¹ ACÓ= OAÓ Û`-OCÓ Û`= 2Û`-1Û`= 3 ' "à 원의 넓이는 p´( 3)Û`=3p ' 따라서 조건을 만족시키는 원의 반지름의 길이는 3이므로 구하는 ' 1264 xÛ`+yÛ`-2y-9=0에서 xÛ`+(y-1)Û`=10이므로 반지름의 길이는 원 xÛ`+yÛ`-2y-9=0의 중심 (0, 1)과 공통인 현 사이의 거리는 0이다. 1 ' 한편, 두 원의 공통인 현의 방정식은 xÛ`+yÛ`-2y-9-(xÛ`+yÛ`-x+k)=0 ∴ x-2y-k-9=0 |-2-k-9| 1Û`+(-2)Û` |-k-11| 5 이때, 공통인 현의 길이가 2 = "à ' = |k+11| 5 ' 2¾Ð( ' 1 0)Û`- { |k+11| 5 ' } 5이므로 ' Û`=2 5 ' 1266 원의 중심 (3, 2)와 직선 3x+4y+5=0 사이의 거리는 |9+8+5| 3Û`+4Û` "à = :ª5ª: 이때, 원의 반지름의 길이는 r이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에 서 만나려면 r> 이어야 한다. :ª5ª: 따라서 자연수 r의 최솟값은 5이다.  ③  ⑤ 1267 원의 중심 (2, -1)과 직선 mx+y-5m+2=0 사이의 거리는 |2m-1-5m+2| mÛ`+1Û` = "à |-3m+1| mÛ`+1Û` "à 이때, 원의 반지름의 길이는 1이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에 서 만나려면 |-3m+1| mÛ`+1Û` 양변을 제곱하면 "à <1, |-3m+1|< mÛ`+1 "à 9mÛ`-6m+10, -kÛ`+25>0 kÛ`-25<0, (k+5)(k-5)<0 ∴ `-51, |-3m|> mÛ`+1 "à 9mÛ`>mÛ`+1, 8mÛ`>1, mÛ`> ;8!; 2 ∴ m<- ' 4 2 또는 m> ' 4 2  m<- ' 4 2 또는 m> ' 4 다른 풀이 y=m(x-2)를 xÛ`+yÛ`+2x=0에 대입하면 xÛ`+mÛ`(x-2)Û`+2x=0 ∴ (1+mÛ`)xÛ`-2(2mÛ`-1)x+4mÛ`=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 원과 직선이 만나지 않으므로 D 4 =(2mÛ`-1)Û`-(1+mÛ`)´4mÛ`<0 1271 중심이 직선 y=x+5 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, a+5) -8mÛ`+1<0, mÛ`> 2 ;8!;    ∴ m<- ' 4 2 또는 m> ' 4 라 하자. 원의 중심 (a, a+5)와 직선 x+2y-8=0 사이의 거리를 dÁ, 직선 원의 반지름의 길이를 r라 할 때, 이 원이 두 직선에 접하려면 2x-y+1=0 사이의 거리를 dª라 하면 |a+2(a+5)-8| 1Û`+2Û` |2a-(a+5)+1| "à dÁ= dª= 2Û`+(-1)Û` "à = = |3a+2| 5 ' |a-4| 5 ' dÁ=dª=r이므로 |3a+2| 5 ' |3a+2| 5 ' = = |a-4| 5 ' |a-4| 5 ' =r 에서 |3a+2|=|a-4|, 3a+2=Ñ(a-4) Ú 3a+2=a-4일 때, 2a=-6 ∴ a=-3 Û 3a+2=-(a-4)일 때, 4a=2 ∴ a= ;2!; Ú, Û에서 a=-3 (∵ a<0) 즉, 원의 중심의 좌표는 (-3, 2)이므로 b=2 a=-3을 ㉠에 대입하면 r= 7 5 ' 5 따라서 원의 넓이는 p´ 7 5 ' 5 } Û`= { :¢5»: p ∴ p= :¢5»: ∴ a+b+p= :¢5¢: 1272 |전략| 원과 직선이 만나지 않으려면 원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 반지름 의 길이를 r라 할 때, d>r임을 이용한다. 1273 원의 중심 (0, 0)과 직선 x+ 3y-a 0 사이의 거리는 ' = = |-a| "Ã1Û`+('3)Û` 이때, 원의 반지름의 길이는 1이므로 원과 직선이 만나지 않으려면 |a| 2 |a| 2 >1, |a|>2 ∴ `a<-2 또는 a>2 따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.  ③ yy ㉠ 1274 원의 중심 (0, a)와 직선 x-y+1=0 사이의 거리는 |-a+1| = |1-a| 2 ' 1Û`+(-1)Û` "à 이때, 원의 반지름의 길이는 3 ' |1-a| 2 ' >3 2, |1-a|>6 ' 2이므로 원과 직선이 만나지 않으려면 1-a<-6 또는 1-a>6 ∴ a<-5 또는 a>7 따라서 자연수 a의 최솟값은 8이다.  ③ 1275 |전략| 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다.  :¢5¢: 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 직 선 4x+3y-15=0에 내린 수선의 발 을 H라 하면 OHÓ= |-15| 4Û`+3Û` "à = :Á5°: =3 y A O x H B x2+y2=25 4x+3y-15=0 12 원의 방정식 | 169 12ㅡ원의방정식Œ 직각삼각형 AOH에서 OAÓ=5이므로 Û`-OHÓ AHÓ=¿¹OAÓ `="à ∴`ABÓ=2AHÓ=2´4=8 5Û`-3Û`=4 1278 xÛ`+yÛ`-4y=0에서  8 xÛ`+(y-2)Û`=4 오른쪽 그림과 같이 원 y x2+(y-2)2=4 2 PC H Q x y=mx-4 O -4 xÛ`+(y-2)Û`=4와 직선 y=mx-4 의 두 교점 P, Q와 원의 중심 C(0, 2) 를 세 꼭짓점으로 하는 △CPQ를 좌 표평면 위에 나타내면 CPÓ, CQÓ는 원 의 반지름이므로 CPÓ=CQÓ=2 2x-y+k=0 y B H A 3 C O 2 따라서 △CPQ가 정삼각형이려면 PQÓ=2이어야 한다. x 원의 중심 C에서 PQÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 (x-2)2+(y-3)2=36 PHÓ= PQÓ=1 ;2!; 직각삼각형 CPH에서 Û`-AHÓ CHÓ=¿¹CAÓ 또, 점 C(2, 3)과 직선 2x-y+k=0 사이의 거리는 6Û`-4Û`=2 = 5 ' "à ` Û`-PHÓ CHÓ=¿¹ CPÓ 또, 점 C(0, 2)에서 직선 mx-y-4=0 사이의 거리는 2Û`-1Û`= = 3 "à ' ` 1276 오른쪽 그림과 같이 주어진 원과 직선의 두 교점을 A, B, 원의 중심 C(2, 3)에서 직선 2x-y+k=0 에 내린 수선의 발을 H라 하면 AHÓ= ABÓ= ´8=4 ;2!; ;2!; 직각삼각형 CHA에서 CAÓ=6이 므로 CHÓ= |4-3+k| 2Û`+(-1)Û` "à = |k+1| 5 ' ㉠, ㉡ 에서 |k+1| 5 =2 5 ' ' |k+1|=10, k+1=Ñ10 ∴`k=9 (∵`k>0) CHÓ= |-2-4| = 6  mÛ`+(-1)Û` "à mÛ`+1 "à ㉠, ㉡에서 = 3, 6= 3mÛ`+3 ' "à 6 mÛ`+1 "à 양변을 제곱하면 36=3mÛ`+3, mÛ`=11 ∴ m= 1 1 (∵ m>0) ' yy ㉠ yy ㉡  1 1 ' 1277 오른쪽 그림과 같이 주어진 원과 직선 의 두 교점을 A, B라 하면 두 점 A, B 를 지나는 원 중에서 넓이가 최소인 것 A 은 ABÓ를 지름으로 하는 원이다. … ❶ 원의 중심 (0, 0)에서 직선 x+2y+5=0에 내린 수선의 발을 H 라 하면 OHÓ= |5| 1Û`+2Û` = 5 5 = 5 ' ' 직각삼각형 OAH에서 OAÓ=5이므로 "à Û`-OHÓ AHÓ=¿¹OAÓ 따라서 구하는 원의 넓이는 = "à ` 5Û`-( 5)Û`=2 5 ' ' p´(2 5)Û`=20p ' 채점 기준 ❶ ABÓ를 지름으로 하는 원이 넓이가 최소인 원임을 알 수 있다. ❷ OHÓ의 길이를 구할 수 있다. ❸ AHÓ의 길이를 구할 수 있다. ❹ 넓이가 최소인 원의 넓이를 구할 수 있다. 170 | III . 도형의 방정식 1279 |전략| 원의 중심을 C, 반지름의 길이를 r라 할 때, 원 밖의 한 점 A에서 그은 접 y x2+y2=25 x O H B x+2y+5=0 선의 길이 l은 l= ¿¹ xÛ`+yÛ`-6x-10y+25=0에서 Û`-rÛ`이다. ACÓ (x-3)Û`+(y-5)Û`=9 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C라 하면 CAÓ= (-1-3)Û`+(2-5)Û`=5 직각삼각형 ACP에서 APÓ= CAÓ Û`-CPÓ Û`= 5Û`-3Û`=4 "à "à ¿¹ P 3 C(3, 5) A(-1, 2)  4 1280 오른쪽 그림에서 OPÓ= 3Û`+2Û`= 1 3 "à ' 직각삼각형 OAP에서 APÓ= OPÓ Û`-OAÓ Û` ¿¹ "Ã( ' APÓ= 1 3)Û`-1Û`=2 3 ' y A O P(3, 2) x B 이때, △OAPª△OBP(RHS 합동)이므로 AOBP=2△OAP AOBP=2´ ´1´2 3=2 3 ;2!; ' '  2 3 ' yy`㉠ yy`㉡  ③ … ❷ … ❸ … ❹  20p 비율 30 % 30 % 30 % 10 % 정답과 해설Û Û Û Û Œ Œ Œ Œ |전략| 원의 중심과 직선 사이의 거리, 원의 반지름의 길이를 이용하여 원과 직선 1281 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구한다. xÛ`+yÛ`-4x+2y-4=0에서 (x-2)Û`+(y+1)Û`=9 |6+4+15| 3Û`+(-4)Û` =5 "à 이때, 원의 반지름의 길이는 3이므로 M=5+3=8, m=5-3=2 ∴`Mm=16 원의 중심 (2, -1)과 직선 3x-4y+15=0 사이의 거리는 1282 xÛ`+yÛ`-2x+2y-7=0에서 (x-1)Û`+(y+1)Û`=9 원의 중심 (1, -1)과 직선 x+y+8=0 사이의 거리는 |1-1+8| 1Û`+1Û` "à =4 2 ' 이의 거리를 d라 하면 4 2-3ÉdÉ4 2+3 ' ' 이때, 5<4 ' 수는 12이다. 원의 반지름의 길이는 3이므로 원 위의 점 P와 직선 x+y+8=0 사 2<6이므로 d가 될 수 있는 정수는 3, 4, y, 8의 6개이 고, 각각의 거리에 해당하는 점 P가 2개씩 있으므로 구하는 점 P의 개 1285 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60ù인 직선의 기울기는 tan 60ù= 3이므로 직선의 방정식을 y= 3x+k라 하면 ' ' 이 직선이 점 A(3, 3)을 지나므로 3=3 3+k ∴ `k=3-3 3 ' ' 이때, 원의 중심 (1, 3)과 직선 y= 3x+3-3 3, 즉 ' ' 3=0 사이의 거리는 반지름의 길이 r와 같으므로 ' | 3x-y+3-3 ' 3-3+3-3 ' "Ã( ' 3)Û`+(-1)Û` ' 3| = 3| |-2 ' 2 = 3 ' 이때, 원의 반지름의 길이는 r이므로 원과 직선이 접하려면  16 r= 3 ' 따라서 구하는 원의 넓이는 p´( 3)Û`=3p '  ① B(4, 3) 5 x y 5 O C -5 -5 A(0, -5) 1286 점 C와 직선 AB 사이의 거리가 최대일 때 △ABC의 넓이가 최대이고, 이때는 오른쪽 그림과 같이 점 C에서의 접선이 직선 AB와 평행할 때이다. 직선 AB의 기울기는 3-(-5) 4-0 =2이 므로 기울기가 2인 접선의 방정식은 y=2xÑ5 2Û`+1 ∴ y=2xÑ5 "à 5 ' 위의 그림에서 점 C에서의 접선의 방정식은 y=2x+5 5이고 점 ' A(0, -5)와 접선 2x-y+5 5=0 사이의 거리는  12 = 5| |5+5 ' 5 ' 5| |5+5 ' 2Û`+(-1)Û` "à 이때, ABÓ= "à 댓값은 ' =5+ 5 ' ' (4-0)Û`+(3+5)Û`=4 5이므로 △ABC의 넓이의 최 1283 |전략| 원 xÛ`+yÛ`=rÛ`에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은 y=mxÑr mÛ`+1이다. "à 직선 x+3y-2=0, 즉 y=- x+ 에 수직인 직선의 기울기는 3 ;3!; ;3@; 이고, 원 xÛ`+yÛ`=10의 반지름의 길이는 1 0이므로 구하는 접선의 ' 이다. 방정식은 y=3xÑ 1 0´ 3Û`+1 ∴ `y=3xÑ10  y=3xÑ10 ' "à 1284 접선의 방정식을 y=2x+k라 하면 원의 중심 (1, -3)과 직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 1과 ´4 5´(5+ 5)=10+10 5 ;2!; ' ' '  10+10 5 ' 1287 |전략| 원 xÛ`+yÛ`=rÛ` 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx+yÁy=rÛ` 원 xÛ`+yÛ`=20 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=20 ∴ y=- x+ ;bA; :ªb¼: 이때, 접선의 기울기가 2이므로 b=0이면 접선의 방정식이 y축과 평행하 여 기울기가 2가 될 수 없다. ∴ b+0 - =2 ∴ a=-2b ;bA; 점 (a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=20 위의 점이므로 aÛ`+bÛ`=20 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=2 또는 a=4, b=-2 ∴ ab=-8 yy ㉠ yy ㉡  -8 5 ∴ k=-5Ñ 5 ' 이때, k는 구하는 직선의 y절편이므로 두 직선의 y절편의 곱은 ' 1288 원 xÛ`+yÛ`=25 위의 점 (4, 3)에서의 접선의 방정식은  20 4x+3y=25 ∴ `4x+3y-25=0 yy ㉠ … ❶ 같으므로 |2+3+k| 2Û`+(-1)Û` "à k+5=Ñ =1, |k+5|= 5 ' (-5+ 5)(-5- 5)=20 ' ' 12 원의 방정식 | 171 12ㅡ원의방정식Œ Œ 원의 중심 (5, 5)와 직선 4x+3y-25=0 사이의 거리는 원 O의 반 1291 따라서 구하는 원 O의 넓이는 p´2Û`=4p 는 접선의 방정식은 지름의 길이와 같으므로 |20+15-25| 4Û`+3Û` "à = :Á5¼: =2 채점 기준 ❶ 접선의 방정식을 구할 수 있다. ❷ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ❸ 원 O의 넓이를 구할 수 있다. … ❷ … ❸  4p 비율 30 % 50 % 20 % |전략| 접선의 기울기를 m이라 하고, 주어진 점을 지나는 접선의 방정식을 세운 후 원의 중심과 접선 사이의 거리가 반지름의 길이와 같음을 이용한다. 접선의 기울기를 m이라 하면 기울기가 m이고 점 (1, -1)을 지나 y-(-1)=m(x-1) ∴ `mx-y-m-1=0 원의 중심 (-1, 2)와 접선 mx-y-m-1=0 사이의 거리는 반지 름의 길이 1과 같으므로 |-m-2-m-1| mÛ`+(-1)Û` "à =1, |-2m-3|= mÛ`+1 "à 양변을 제곱하여 정리하면 3mÛ`+12m+8=0 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 기울기의 합은 -4이다.  ④ yy ㉠ (x-7)2+(y-5)2=8 1292 직선 l이 원 O'의 넓이를 이등분하므로 직선 l은 원 O'의 중심 원 O의 중심 (0, 0)과 직선 l 사이의 거리는 반지름의 길이 1과 같으 (-2, 0)을 지난다. 즉, 0=-2m+n ∴ n=2m 직선 l의 방정식은 mx-y+2m=0 므로 |2m| mÛ`+(-1)Û` "à =1, |2m|= mÛ`+1 "à 양변을 제곱하여 정리하면 3mÛ`=1 3 ∴ `m=Ñ ' 3  ③ 3 m=Ñ ' 3 을 ㉠에 대입하면 n=Ñ 2 3 ' 3 1289 xÛ`+yÛ`-14x-10y+66=0에서 (x-7)Û`+(y-5)Û`=8 원의 중심 (7, 5)와 접점 (5, 3)을 이은 직선의 기울기는 3-5 5-7 기울기는 -1이다. y 8 5 3 O =1이므로 이와 수직인 접선의 5 x 87 y=-x+8 이때, 기울기가 -1이고 점 (5, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y-3=-(x-5) ∴ y=-x+8 따라서 위의 그림에서 구하는 넓이는 ´8´8=32 ;2!; 다른 풀이 원 xÛ`+yÛ`-14x-10y+66=0, 즉 (x-7)Û`+(y-5)Û`=8 위의 점 (5, 3)에서의 접선의 방정식은 (5-7)(x-7)+(3-5)(y-5)=8 ∴ y=-x+8 따라서 구하는 넓이는 ;2!; ´8´8=32 1290 원 xÛ`+yÛ`=4 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=4 Û`+bÛ`=1 {-;2!;} 3 ∴ b=Ñ ' 2 xÛ`+yÛ`-10x+24=0에서 (x-5)Û`+yÛ`=1 원의 중심 (5, 0)과 직선 ax+by-4=0 사이의 거리는 |5a-4| aÛ`+bÛ` "à 서 만나려면 |5a-4| aÛ`+bÛ` "à 이때, 원의 반지름의 길이는 1이므로 원과 직선이 서로 다른 두 점에 <1, |5a-4|< aÛ`+bÛ` "à 이때, 점 P(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=4 위의 점이므로 aÛ`+bÛ`=4 ∴ mÛ`+nÛ`= + = ;3%; ;3$; ;3!;  ;3%; 다른 풀이 직선 l과 원 O의 접점을 (a, b)라 하면 직선 l의 방정식은 ax+by=1 직선 l이 원 O'의 넓이를 이등분하므로 직선 l은 원 O'의 중심 (-2, 0)을 지난 다. 즉, -2a=1 ∴ a=- ;2!; 점 (a, b)는 원 O 위에 있으므로 aÛ`+bÛ`=1에서 따라서 직선 l의 방정식은 -;2!; 3 xÑ ' 2 y=1, 3 즉 y=Ñ ' 3 2 3 ' 3 xÑ (복호동순) 이므로 mÛ`+nÛ` =;3!;+;3$;=;3%; 1293 접선의 기울기를 m이라 하면 기울기가 m이고 점 (2 3, 4)를 지나 ' 므로 접선의 방정식은 y-4=m(x-2 3) ' 원의 중심 (0, 2)와 접선 mx-y-2 ∴ mx-y-2 ' 3m+4=0 3m+4=0 사이의 거리는 반 ' 즉, |5a-4|<2이므로 -2<5a-4<2 ∴ 0)  ③ y=4 y 4 2 h 60ù O -2 32 x y= 3 x-2  ③ |전략| 두 원의 공통내접선, 공통외접선과 두 원의 반지름으로 이루어진 직각삼 두 원의 중심을 각각 C, C'이라 하면 C(0, 0), C'(4, 0) 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 1297 유형 01 중심이 좌표축 또는 직선 위에 있는 원의 방정식 |전략| 중심이 y축 위에 있는 원의 방정식은 xÛ`+(y-b)Û`=rÛ`으로 놓는다. 오른쪽 그림과 같이 공통외접선과 원의 두 접점을 각각 A, B라 하고 점 C에서 BC'Ó에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 1 C B 2H C' 중심이 y축 위에 있으므로 원의 방정식을 xÛ`+(y-b)Û`=rÛ` 으로 놓으면 이 원이 두 점 (-1, 0), (3, 2)를 지나므로 1+bÛ`=rÛ`, 9+(2-b)Û`=rÛ` 두 식을 연립하여 풀면 b=3, rÛ`=10 따라서 원의 방정식은 xÛ`+(y-3)Û`=10 2 C' C 1 P Q T y=1을 원의 방정식에 대입하면 x=Ñ 6이므로 ' A(- 6, 1), B( 6, 1) 또는 A( 6, 1), B(- 6, 1) ' ' ' ' ∴`ABÓ=2 6 '  ④ 1298 유형 03 원이 되기 위한 조건 따라서 공통외접선과 공통내접선의 길이의 차는 후 rÛ`>0임을 이용한다. 이때, 원이 제 2 사분면 위에 있으려면 r0, b>0) 꼴로 변형한 1 5- 7 ' '  1 5- ' 7 ' xÛ`+yÛ`+6x-2y-2k+4=0에서 C'HÓ=2-1=1 ABÓ=CHÓ= CC'Õ Û`-C'HÓ Û` ¿¹ 4Û`-1Û`= = "à 1 5 ' 오른쪽 그림과 같이 공통내접선과 원의 두 접점을 각각 P, Q라 하고 점 C'에서 CPÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 T라 하면 CTÓ=2+1=3 PQÓ=TC'Ó= CC'Õ Û`-CTÓ Û` ¿¹ 4Û`-3Û`= 7 ' = "à 1295 xÛ`+yÛ`+8x+4y+19=0에서 (x+4)Û`+(y+2)Û`=1 xÛ`+yÛ`-6x+10y+30=0에서 (x-3)Û`+(y+5)Û`=4 (x+3)Û`+(y-1)Û`=2k+6 이 방정식이 원을 나타내려면 2k+6>0 ∴ k>-3 이 원이 제 2 사분면 위에 있으려면 2k+6<1, 2k+6<1 ∴ k<- 'Ä ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -30) 1307 유형 15 원과 직선의 위치 관계 - 접할 때 |전략| 원과 직선이 접하면 원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 반지름의 길이를 r라 할 때, d=r임을 이용한다. 중심의 좌표가 (1, 3)이고 x축에 접하는 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y-3)Û`=9 1309 유형 19 원 위의 점과 직선 사이의 거리 |전략| 원의 중심과 직선 AB 사이의 거리, 원의 반지름의 길이를 이용하여 PHÓ 의 길이의 최솟값을 구한다. 삼각형 PAB의 넓이가 최소가 되려면 y A(2, 5) 두 점 A(2, 5), B(4, -1)을 지나는 직  ② 선의 방정식은 y-5= -1-5 4-2 (x-2) ∴ 3x+y-11=0 원의 중심 (0, 0)과 직선 3x+y-11=0 사이의 거리는 H 2 x B(4, -1) -2 O -2 |-11| 3Û`+1Û` = 11 0 1 ' = 11 0 1 ' 10 "à 이때, 원의 반지름의 길이는 2이므로 ( PHÓ의 길이의 최솟값)= 11 0 1 ' 10 -2 ' "à 최솟값은 원의 중심 (1, 3)과 직선 2x-3y+k=0 사이의 거리는 또, ABÓ= (4-2)Û`+(-1-5)Û`=2 1 0이므로 △PAB의 넓이의 |2-9+k| 2Û`+(-3)Û` = |k-7| 1 3 ' "à 이때, 원의 반지름의 길이는 3이므로 원과 직선이 접하려면 ´2 1 0´ ' { ;2!; 11 0 1 ' 10 -2 =11-2 1 0 ' }  ③ |전략| 원의 중심을 C, 반지름의 길이를 r라 할 때, 원 밖의 한 점 P에서 그은 접 |k-7| 3 1 k-7=Ñ3 ' =3, |k-7|=3 1 3 ' 1 3 ∴ k=7Ñ3 1 3 ' ' 따라서 모든 k의 값의 곱은 (7+3 1 3)(7-3 1 3)=-68 ' ' 1308 유형 18 접선의 길이 선의 길이 l은 l= PCÓ Û`-rÛ`이다. ¿¹ 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C, 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각 각 A, B, ABÓ의 중점을 M이라 하면 CPÓ=6 직각삼각형 CAP에서 APÓ =¿¹ CPÓ -CAÓ ` 6Û`-3Û`=3 ` 3 ="à ' 1310 이다. ' Û` 1 aÛ` + 1 bÛ` aÛ`+bÛ`=2  ② 유형 21 원의 접선의 방정식 - 원 위의 한 점이 주어질 때 |전략| 원 xÛ`+yÛ`=rÛ` 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은 xÁx+yÁy=rÛ` 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=2 ∴ A , 0 , B 0, } { ;b@;} {;a@; ABÓ=2 2이므로 y C3 ¾¨{;a@;} +{-;b@;} Û`=2 2, ' 4 aÛ` + 4 bÛ` =8 =2 ∴ aÛ`+bÛ`=2aÛ`bÛ` MA O B x 이때, 점 P(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=2 위의 점이므로 -3 P ㉡을 ㉠에 대입하면 …… ㉠ …… ㉡ 2aÛ`bÛ`=2, aÛ`bÛ`=1 ∴ ab=1 (∵ a>0, b>0)  ① 12 원의 방정식 | 175 12ㅡ원의방정식Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Û Û Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ 1311 따라서 구하는 원의 방정식은 유형 18 접선의 길이 + 22 원의 접선의 방정식 - 원 밖의 한 점이 주어질 때 (x-8)Û`+(y-11)Û`=200 … ❹ |전략| 점 A에서 원 C에 그은 두 접선이 서로 수직이고, 접점을 P, P'이라 하면  (x-8)Û`+(y-11)Û`=200 채점 기준 ❶ 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표를 구할 수 있다. ❷ 선분 AB를 1`:`2로 외분하는 점의 좌표를 구할 수 있다. ❸ 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구할 수 있다. ❹ 원의 방정식을 구할 수 있다. 배점 2점 2점 2점 1점 C(1, 3) ' 5 P 5 ' P' A(a, 0) |전략| P(a, b), Q(x, y)라 하고 주어진 조건을 이용하여 x, y 사이의 관계식 원 xÛ`+yÛ`=1 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면  ② aÛ`+bÛ`=1 yy ㉠ … ❶ 다른 풀이 접선의 기울기를 m이라 하면 기울기가 m이고 점 (a, 0)을 지 이때, 선분 AP를 2`:`1로 내분하는 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하면 원의 중심 (1, 3)과 직선 mx-y-am=0 사이의 거리는 반지름의 길이 yy ㉡ … ❷ 이때, 두 접선의 기울기는 이 이차방정식의 두 근이고, 두 접선이 수직이므로 가 인 원이므로 구하는 넓이는 ;3@; 3x+4 } 2 Û`+ { y Û`=1 } {;2#; ∴ ` x+ { ;3$;} Û`+yÛ`= ;9$; 따라서 점 Q의 자취는 중심의 좌표가 { - ;3$; , 0 이고 반지름의 길이 } CPAP'은 정사각형이다. xÛ`+yÛ`-2x-6y+5=0에서 (x-1)Û`+(y-3)Û`=5 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 C, 점 A에서 원에 그은 접선의 두 접점을 각각 P, P'이라 하 면 두 접선이 서로 수직일 때 CPAP'은 정 사각형이므로 APÓ=CPÓ= ' 이때, 직각삼각형 CAP에서 Û`+APÓ Û`이므로 Û`=CPÓ CAÓ 5 (a-1)Û`+9=5+5, aÛ`-2a=0 a(a-2)=0 ∴ a=0 또는 a=2 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 2이다. = 5, |m-3-am|= ' 5 "à ' mÛ`+1 나는 직선의 방정식은 y=m(x-a) ∴ mx-y-am=0 5와 같으므로 ' |m-3-am| mÛ`+(-1)Û` "à 양변을 제곱하여 정리하면 (aÛ`-2a-4)mÛ`-6(1-a)m+4=0 근과 계수의 관계에 의하여 4 aÛ`-2a-4 =-1, 4=-aÛ`+2a+4 aÛ`-2a=0, a(a-2)=0 ∴ a=0 또는 a=2 따라서 모든 실수 a의 값의 합은 2이다. 1313 유형 09 자취의 방정식 을 구한다. x= 2a-4 2+1 , y= 2b 2+1 ∴ a= 3x+4 2 , b= y ;2#; ㉡을 ㉠에 대입하면 p´ {;3@;} Û`= p ;9$; 채점 기준 ❶ ㉠을 구할 수 있다. ❷ ㉡을 구할 수 있다. 1314 유형 17 현의 길이 ❸ 점 Q의 자취가 나타내는 도형의 넓이를 구할 수 있다. 1312 유형 02 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식 |전략| 두 점 A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식은 (원의 중심)=(ABÓ의 중점), (반지름의 길이)= ABÓ임을 이용한다. ;2!; 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는 2´(-6)+1´6 , 2+1 2´(-3)+1´9 , 즉 (-2, 1) } 2+1 { 선분 AB를 1`:`2로 외분하는 점의 좌표는 1´(-6)-2´6 , 1-2 1´(-3)-2´9 , 즉 (18, 21) } 1-2 { … ❷ 이므로 원의 중심의 좌표는 { -2+18 2 , 1+21 2 , 즉 (8, 11) } |전략| 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다. 원 C가 x축에 접하므로 원의 방정식을 (x-a)Û`+(y-b)Û`=bÛ` (a>0, b>0)이라 하자. … ❶ 오른쪽 그림과 같이 원 C와 y축의 두 교 점을 각각 A, B라 하고, 원의 중심 C에 서 y축에 내린 수선의 발을 H라 하면 AHÓ= ABÓ= ;2!; ´2 5= ' 5 … ❶ ' ;2!; 직각삼각형 ACH에서 CAÓ Û`=CHÓ Û`+AHÓ Û`이므로 y H A O B 5 C b yy ㉠ a 5 x 반지름의 길이는 ;2!;"Ã(18+2)Û`+(21-1)Û`=10 ' 2 … ❸ bÛ`=aÛ`+5 176 | III . 도형의 방정식 … ❸ p  ;9$; 배점 1점 3점 3점 정답과 해설 또, 점 C(a, b)가 직선 x+y-5=0 위에 있으므로 양변을 제곱하여 정리하면 a+b-5=0 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3 따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 3이다. … ❷ … ❸  3 배점 2점 3점 1점 mÛ`+ 3m=0, m(m+ 3)=0 ' ∴ m=0 또는 m=- ' 따라서 접선의 방정식은 ' 3 y=2 또는 ' 3x+y+4=0 ⑵ 점 A(0, 2)에서 직선 ' 면 AHÓ= |2+4| "Ã( ' 3)Û`+1Û` =3 ⑶ BPÓ=APÓ=2 3이므로 △ PAB= ´BPÓ´AHÓ= ´2 3´3=3 ;2!; ' 3 ' ' ;2!; 3x+y+4=0에 내린 수선의 발을 H라 하 채점 기준 1315 ❶ AHÓ의 길이를 구할 수 있다. ❷ a, b의 값을 구할 수 있다. ❸ 원의 반지름의 길이를 구할 수 있다. 유형 02 두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식 + 14 원과 직선의 위치 관계 - 서로 다른 두 점에서 만날 때 |전략| 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 원의 중심과 직선 사이의 거리 채점 기준 를 d, 반지름의 길이를 r라 할 때, d0)라 하면 점 (3, k)와 직선 3x-3y=0 사이의 ' 거리는 반지름의 길이 3과 같다. 즉, |3 3-3k| ' ' 3)Û`+(-3)Û` 3 "Ã( 3-k=Ñ2 ' 이때, OOªÓ= ' =3, | 3-k|=2 ' 3 ' ∴ k=3 3`(∵ k>0) ' 3Û`+(3 "à Û`-OªQÓ ' Û`= 3)Û`=6이므로 직각삼각형 OQOª에서 OQÓ=¿¹OOªÓ 참고 두 원 O와 OÁ은 모두 반지름의 길이가 2인 원이고 직선 l에 접한다. 즉, 점 O와 점 OÁ은 직선 l과 같은 거리에 있으므로 직선 OOÁ은 직선 l과 평행하다. 6Û`-3Û`=3  3 3 "à ' ' 3 (x+1)Û`+(y-6)Û`=1과 모두 만 나지 않고 그 사이를 통과하려면 -1 O ㉠이 고정된 두 원의 반지름의 길이와 움직이는 원의 지름의 길이의 합보다 커야 한다. |-m-6| mÛ`+1 "à 양변을 제곱하여 정리하면 35mÛ`-12m<0, m(35m-12)<0 >1+1+2´2, |-m-6|>6 mÛ`+1 "à ∴ 00) ;4#;  ③ ABÓ가 두 원 xÛ`+yÛ`=4, (x+1)Û`+(y-2)Û`=4의 공통인 현이므로 ∴ 4x-y-6=0  4x-y-6=0 정답과 해설Œ Œ Œ Œ 13 도형의 이동 본책 210~223쪽 개념 마스터 STEP1 1323 (0+2, 0-1), 즉 (2, -1) 1324 (3+2, 2-1), 즉 (5, 1) 1325 (-4+2, 3-1), 즉 (-2, 2) 1326 (-2+2, -1-1), 즉 (0, -2) 1327 (2-2, -3+3), 즉 (0, 0) 1328 (-2-2, 3+3), 즉 (-4, 6) 1329 (4-2, 2+3), 즉 (2, 5) 1331 x+4=0, y-5=2이므로 1332 x+4=4, y-5=7이므로 x=0, y=12 ∴ (0, 12) 1333 x+4=2, y-5=-7이므로 1334 x+4=-3, y-5=-4이므로 x=-7, y=1 ∴ (-7, 1) 1330 (-1-2, -5+3), 즉 (-3, -2)  (-3, -2) x=-4, y=7 ∴ (-4, 7)  (-4, 7) x=-2, y=-2 ∴ (-2, -2)  (-2, -2) ⑶ 원점:(-2, 3) 1335 -7+a=2, 6+b=4이므로 a=9, b=-2 1336 (x-1)-2(y+2)-5=0  a=9, b=-2  (2, -1) ∴`x-2y-10=0  x-2y-10=0 1337 y+2=2(x-1)Û`-(x-1)+1 ∴`y=2xÛ`-5x+2  y=2xÛ`-5x+2 1338 (x-1+1)Û`+(y+2-3)Û`=4 ∴`xÛ`+(y-1)Û`=4  xÛ`+(y-1)Û`=4  (5, 1)  (-2, 2)  (0, -2) [1339~1341] 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형이 평행이동 (x, y) (x-2, y+3)에 의하여 옮겨지는 도형의 방정식은  (0, 0) 1Ú f(x+2, y-3)=0이다. 1339 5(x+2)-2(y-3)+1=0  (-4, 6) ∴`5x-2y+17=0  5x-2y+17=0  (2, 5) 1340 y-3=-(x+2)Û`+6(x+2)+7 ∴`y=-xÛ`+2x+18  y=-xÛ`+2x+18 1341 (x+2)Û`+(y-3)Û`-(x+2)+4(y-3)-20=0 ∴`xÛ`+yÛ`+3x-2y-21=0  xÛ`+yÛ`+3x-2y-21=0 1342 구하는 직선은 주어진 직선을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향 으로 5만큼 평행이동한 것이므로 2(x+1)+3(y-5)-1=0 ∴ 2x+3y-14=0  2x+3y-14=0  (0, 12) 1343 ⑴ x축:(2, 3) ⑵ y축:(-2, -3) ⑷ 직선 y=x:(-3, 2) ⑸ 직선 y=-x:(3, -2)  ⑴ (2, 3) ⑵ (-2, -3) ⑶ (-2, 3)  (-7, 1) ⑷ (-3, 2) ⑸ (3, -2) 13 도형의 이동 | 179 13ㅡ도형의 이동 정답과 해설 1344 ⑴ x축:x+(-y)+1=0, 즉 x-y+1=0 ⑵ y축:(-x)+y+1=0, 즉 x-y-1=0 ⑶ 원점:(-x)+(-y)+1=0, 즉 x+y-1=0 ⑷ 직선 y=x:y+x+1=0, 즉 x+y+1=0 ⑸ 직선 y=-x:(-y)+(-x)+1=0, 즉 x+y-1=0  ⑴ x-y+1=0 ⑵ x-y-1=0 ⑶ x+y-1=0 ⑷ x+y+1=0 ⑸ x+y-1=0 1345 ⑴ x축:(-y)=xÛ`-3x+1, 즉 y=-xÛ`+3x-1 ⑵ y축:y=(-x)Û`-3(-x)+1, 즉 y=xÛ`+3x+1 ⑶ 원점:(-y)=(-x)Û`-3(-x)+1, 즉 y=-xÛ`-3x-1 ⑷ 직선 y=x:x=yÛ`-3y+1 ⑸ 직선 y=-x: (-x)=(-y)Û`-3(-y)+1 즉, x=-yÛ`-3y-1  ⑴ y=-xÛ`+3x-1 ⑵ y=xÛ`+3x+1 ⑶ y=-xÛ`-3x-1 ⑷ x=yÛ`-3y+1 ⑸ x=-yÛ`-3y-1 1346 ⑴ x축: (x-1)Û`+{(-y)+4}Û`=25 즉, (x-1)Û`+(y-4)Û`=25 ⑵ y축: {(-x)-1}Û`+(y+4)Û`=25 즉, (x+1)Û`+(y+4)Û`=25 즉, (x+1)Û`+(y-4)Û`=25 ⑷ 직선 y=x: (y-1)Û`+(x+4)Û`=25 즉, (x+4)Û`+(y-1)Û`=25 ⑸ 직선 y=-x: {(-y)-1}Û`+{(-x)+4}Û`=25 즉, (x-4)Û`+(y+1)Û`=25  ⑴ (x-1)Û`+(y-4)Û`=25 ⑵ (x+1)Û`+(y+4)Û`=25  ⑶ (x+1)Û`+(y-4)Û`=25 ⑷ (x+4)Û`+(y-1)Û`=25  ⑸ (x-4)Û`+(y+1)Û`=25 1347 P(x, y)라 하면 x= =1, y= =-2 -1+3 2 1-5 2 ∴ P(1, -2)  P(1, -2) 1348 구하는 점의 좌표를 (p, q)라 하면 -2+p 2 3+q 2 =-1, =2 따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 1) ∴`p=0, q=1 180 | III . 도형의 방정식 1349 ⑴ 두 점 (a, b), (p, q)를 이은 선분의 중점의 좌표가 (2, 5)이므로 ⑵ 점 (a, b)가 직선 3x+4y-1=0 위의 점이므로 ⑴ a+p 2 =2, b+q 2 =5 ⑴ ∴ a=4-p, b=10-q ⑴ 3a+4b-1=0 ⑴ ㉠을 ㉡에 대입하면 ⑴ 3(4-p)+4(10-q)-1=0 ⑴ ∴ 3p+4q-51=0 …… ㉠ …… ㉡ ⑴ 따라서 점 (p, q)는 직선 3x+4y-51=0 위의 점이므로 구하는 도형의 방정식은 3x+4y-51=0  ⑴ a=4-p, b=10-q ⑵ 3x+4y-51=0 1350 ⑴ { -3+a 2 , 1+b 2 } ⑵ 두 점 A, B를 지나는 직선은 직선 x-y+1=0과 수직이다. 직선 x-y+1=0의 기울기가 1이므로 두 점 A, B를 지나는 직선 의 기울기는 -1이다. ⑶ 선분 AB의 중점 { -3+a 2 , 1+b 2 } 가 직선 x-y+1=0 위의 점이므로 -3+a 2 - 1+b 2 +1=0 ∴`a-b=2 yy ㉠ b-1 a-(-3) =-1 ∴`a+b=-2 yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=0, b=-2 ∴`B(0, -2)  ⑴ { -3+a 2 , 1+b 2 } ⑵ -1 ⑶ B(0, -2) 유형 마스터 유형 마스터 STEP2 1351 |전략| 평행이동 (x, y) 로 옮겨지면 p=a+m, q=b+n이다. 12Ú (x+m, y+n)에 의하여 점 (a, b)가 점 (p, q) 점 (-2, 3)을 점 (1, -1)로 옮기는 평행이동을 (x, y) (x+m, y+n)이라 하면 1Ú -2+m=1, 3+n=-1  ∴ m=3, n=-4 이때, 평행이동 (x, y) (x+3, y-4)에 의하여 점 (3, -2) 1Ú 로 옮겨지는 점의 좌표를 (a, b)라 하면 a+3=3, b-4=-2  ∴ a=0, b=2  (0, 1) 따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 2)이다.  ⑤ ⑶ 원점: {(-x)-1}Û`+{(-y)+4}Û`=25 또, 직선 AB의 기울기가 -1이므로 다른 풀이 정삼각형 OAB에서 OBÓ=OAÓ=2이므로 (x+1, y-2)에 의하여 옮겨 |a|=2 cos 60ù=1, |b|=2 sin 60ù= 3 a>0, b>0이므로 a=1, b= 3 ' ∴ B(1, 3) ' '  4 1357 x, y좌표의 부호가 같을 때에는 ㈎ 에 의하여 (x, y) (x-2, y+1)이므로 (5, 1) (3, 2) (1, 3) (-1, 4) 1Ú 1Ú 1Ú 1Ú (x+2, y-b)에 의하여 옮겨 x, y좌표의 부호가 다를 때에는 ㈏ 에 의하여 1352 점 (-2, 3)이 평행이동 (x, y) 지는 점의 좌표는 (-2+1, 3-2), 즉 (-1, 1) 1Ú 이 점이 직선 y=mx+5 위의 점이므로 1=-m+5 ∴ m=4 1353 점 (-1, 4)가 평행이동 (x, y) 1Ú 지는 점의 좌표는 (-1+2, 4-b), 즉 (1, 4-b) 이 점이 점 (a, 2)와 일치하므로 1=a, 4-b=2 ∴ `a=1, b=2 ∴ a-b=-1 (x, y) (x-2, y-1)이므로 1Ú 1Ú (-9, 0) (-1, 4) (-3, 3) (-5, 2) (-7, 1) 1Ú 1Ú 1Ú 이때, (-9)´0=0이므로 ㈐ 에 의하여 이동을 멈춘다.  ② 따라서 멈출 때까지 이동한 횟수는 7이다.  7 1358 |전략| 직선 ax+by+c=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정식은 a(x-m)+b(y-n)+c=0이다. 직선 ax-y+1-a=0을 주어진 평행이동에 의하여 평행이동한 직 선의 방정식은 a(x-m)-(y-2)+1-a=0 ∴ ax-y-am+3-a=0 a=-3, -am+3-a=9 따라서 a=-3, m=1이므로 a+m=-2 1359 점 (2, 1)이 평행이동 (x, y) 진 점의 좌표가 (-2, 3)이므로 1Ú 2+m=-2, 1+n=3  ∴ m=-4, n=2 (x+m, y+n)에 의하여 옮겨  5 1Ú 즉, (x, y) (x-4, y+2)이다. 직선 x+by+c=0을 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 2만 1354 점 (m, n)을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행 이동한 점의 좌표는 (m+3, n-2) 한편, xÛ`+yÛ`-4x+2y-2=0에서 (x-2)Û`+(y+1)Û`=7 즉, 원의 중심의 좌표는 (2, -1)이므로 m+3=2, n-2=-1 ∴ `m=-1, n=1 1355 점 A(3, 4)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이 동한 점을 A'이라 하면 점 A'의 좌표는 (3+a, 4+2), 즉 (a+3, 6) 이때, 원점 O로부터의 거리가 처음의 거리의 2배가 되었으므로 OA'Ó=2OAÓ, 즉 OA'Ó Û`=4OAÓ Û`에서 (a+3)Û`+6Û`=4(3Û`+4Û`), (a+3)Û`=64 a+3=Ñ8 ∴ `a=5 (∵`a>0) ∴`m+n=0  0 이 직선이 직선 3x+y-9=0, 즉 -3x-y+9=0과 일치하므로 1356 도형을 평행이동하여도 그 모양은 변하지 않는다. 즉, △O'A'B'이 정삼각형이므로 △OAB도 정삼각형이다. 오른쪽 그림의 △OAB에서 y 큼 평행이동한 직선의 방정식은 (x+4)+b(y-2)+c=0 ∴ x+by-2b+c+4=0 이 직선이 직선 x-5y+10=0과 일치하므로 b=-5, -2b+c+4=10에서 c=-4 B'(4, 6 3) ' ∴`m+n+b+c=-11 B(a, b) A' O' 채점 기준 O H A(2, 0) x ❶ m, n의 값을 구하여 평행이동을 알 수 있다. 한 변의 길이가 2인 3 정삼각형의 높이는 ' 2 ´2= 3 ' OAÓ=2이므로 OHÓ=1 이때, △OAB에서 3 BHÓ= ' ∴ B(1, 3) ' 점 B가 평행이동 (x, y) 1Ú 이므로 1+m=4, ∴ mn=15 3 ' (x+m, y+n)에 의하여 옮겨지는 점이 B'(4, 6 3) 3+n=6 3 ∴ m=3, n=5 ' ' 3 ' '  ⑤ 식을 구할 수 있다. ❸ b, c의 값을 구할 수 있다. ❹ m+n+b+c의 값을 구할 수 있다. ❷ 주어진 평행이동에 의하여 직선 x+by+c=0이 옮겨지는 직선의 방정  -2 … ❶ … ❷ … ❸ … ❹  -11 비율 30 % 30 % 20 % 20 % 13 도형의 이동 | 181 13ㅡ도형의 이동 1360 직선 y=ax+b를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만 1364 |전략| 원 xÛ`+yÛ`=rÛ`을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이 큼 평행이동한 직선의 방정식은 y+1=a(x+2)+b  ∴ y=ax+2a+b-1 동한 원의 방정식은 (x-m)Û`+(y-n)Û`=rÛ`이다. xÛ`+yÛ`-4x+2y+1=0에서 (x-2)Û`+(y+1)Û`=4 이 직선이 직선 y=3x+2와 y축 위의 점에서 수직으로 만나므로 기 원 (x-2)Û`+(y+1)Û`=4를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 울기의 곱이 -1이고 y절편이 같아야 한다. 즉, 3a=-1, 2a+b-1=2에서 a=- , b= ;3!; ;;Á3Á;; ∴ b-a=4 b만큼 평행이동한 원의 방정식은 (x-a-2)Û`+(y-b+1)Û`=4  ⑤ 이 원이 원 (x-4)Û`+(y+2)Û`=4와 겹쳐지므로 -a-2=-4, -b+1=2 ∴ `a=2, `b=-1 1361 직선 y=x-2를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 -1만큼 직선 y=-x-3을 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정 평행이동한 직선의 방정식은 y+1=x-m-2 ∴ y=x-m-3 식은 y-n=-x-3 ∴ y=-x+n-3 ∴`b-a=-3  ① 다른 풀이 원의 평행이동은 원의 중심의 평행이동으로 생각할 수 있다. 원 xÛ`+yÛ`-4x+2y+1=0, 즉 (x-2)Û`+(y+1)Û`=4의 중심의 좌표는 (2, -1)이고, 이 점을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행 이동한 점의 좌표는 (2+a, -1+b) yy ㉠ 이때, 이 점이 원 (x-4)Û`+(y+2)Û`=4의 중심의 좌표 (4, -2)이므로 2+a=4, -1+b=-2 ∴ a=2, b=-1 ∴ b-a=-3 이때, 두 직선 ㉠, ㉡이 모두 점 (3, -4)를 지나므로 -4=3-m-3에서 m=4, -4=-3+n-3에서 n=2 ∴ m+n=6  ② (x, y) (x+1, y+2) 1Ú 포물선 y=xÛ`+4x-1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2 yy ㉡ 1365 원점을 점 (1, 2)로 옮기는 평행이동은 1362 직선 x-y+2=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 -1만 큼 평행이동한 직선의 방정식은 (x-m)-(y+1)+2=0  ∴ x-y+1-m=0 이 직선의 x절편은 m-1, y절편은 1-m 이고 m>1이므로 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부 y O y=x+1-m m-1 x 분과 같다. 이 부분의 넓이가 8이므로 (m-1)Û`=8, (m-1)Û`=16 ;2!; m-1=Ñ4  ∴`m=5 (∵`m>1)  5 1-m ∴ m+n=-4 만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 y-2=(x-1)Û`+4(x-1)-1 y=xÛ`+2x-2  ∴ y=(x+1)Û`-3 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, -3)이므로 m=-1, n=-3 ∴ `m+n=-4  -4 다른 풀이 포물선의 평행이동은 꼭짓점의 평행이동으로 생각할 수 있다. 포물선 y=xÛ`+4x-1, 즉 y=(x+2)Û`-5의 꼭짓점의 좌표는 (-2, -5) 이고, 이 점이 평행이동 (x, y) (x+1, y+2)에 의하여 옮겨지는 점 1Ú 의 좌표는 (-1, -3)이므로 m=-1, n=-3 1366 xÛ`+yÛ`+ax+by+2=0에서 x+ { ;2A;} + {y+ ;2B;} = aÛ` 4 + bÛ` 4 -2 이 원을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 2` 2` 1363 직선 l : 2x+y+1=0을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 a 원의 방정식은 이때, 두 직선 l과 m 사이의 거리는 5이므로 직선 l 위의 한 점 2- =-1, `-1- =2 ∴ `a=6, `b=-6 ;2A; ;2B; x-2+ ;2A;} + {y+1+ ;2B;} { = aÛ` 4 + bÛ` 4 -2 이때, 중심의 좌표가 (-1, 2)이므로 2` 2` r= 또, 반지름의 길이는 + bÛ` 4 aÛ` 4 ∴`a+b+r=4 -2= ¾Ð 6Û` 4 ¾Ð + (-6)Û` 4 -2= 16=4 '¶ a+4=Ñ5 ∴ `a=1 (∵`a>0)  1  ① 만큼 평행이동한 직선 m의 방정식은 2(x-2)+(y-a)+1=0 ∴ `2x+y-a-3=0 (0, -1)과 직선 m 사이의 거리는 즉, |-1-a-3| 2Û`+1Û` "à = 5에서 |a+4|=5 ' ' 5이다. ' 182 | III . 도형의 방정식 정답과 해설 1367 포물선 y=3xÛ`+6x+7, 즉 y=3(x+1)Û`+4를 x축의 방향으로 p 1370 |전략| 마름모의 넓이를 이등분하는 직선은 마름모의 두 대각선의 교점을 지남을 만큼, y축의 방향으로 p+3만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 이용한다. 직선 3x-2y-6=0을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만 y-(p+3)=3(x-p+1)Û`+4 ∴`y=3(x-p+1)Û`+p+7 이다. p+7=0 ∴ `p=-7 이 포물선의 꼭짓점 (p-1, p+7)이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0 큼 평행이동한 직선의 방정식은 3(x-a)-2(y-b)-6=0 오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이 마름모의  -7 넓이를 이등분하려면 직선 ㉠이 마름모 다른 풀이 포물선의 평행이동은 꼭짓점의 평행이동으로 생각할 수 있다. 포물선 y=3xÛ`+6x+7, 즉 y=3(x+1)Û`+4의 꼭짓점의 좌표는 의 두 대각선의 교점을 지나야 한다. 이때, 마름모 PQRS의 두 대각선의 교 (-1, 4)이고, 이 점을 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 p+3만큼 점의 좌표는 평행이동한 점의 좌표는 (-1+p, 4+p+3) 이때, 이 점이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0이다. 4+p+3=0 ∴ `p=-7 3+3 2+6 2 , { 2 } 3(4-a)-2(3-b)-6=0 , 즉 (4, 3)이므로 ∴ 3a-2b=0 …… ㉠ S y 6 3 P R O 2 4 Q 6 x  ⑤ 1371 |전략| 두 원이 외접하려면 두 원의 중심 사이의 거리가 두 원의 반지름의 길이의 원 xÛ`+yÛ`=1을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행 합과 같음을 이용한다. 이동한 원의 방정식은 (x-a)Û`+(y-b)Û`=1 xÛ`+yÛ`-6x+8=0에서 (x-3)Û`+yÛ`=1 외접하는 두 원의 중심 (a, b), (3, 0) 사이의 거리는 두 원의 반지 름의 길이의 합 2와 같으므로 (a-3)Û`+bÛ`=2 "à 양변을 제곱하면 (a-3)Û`+bÛ`=4 이때, a, b는 정수이므로 (a-3)Û`=0, bÛ`=4 또는 (a-3)Û`=4, bÛ`=0 ∴`a=3, b=Ñ2 또는 a-3=Ñ2, b=0 따라서 구하는 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (3, 2), (3, -2), (5, 0), (1, 0) 1372 |전략| 점 (x, y)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (y, x), x축 에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (x, -y)이다. 점 P(1, 3)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점은 Q(3, 1) 점 Q(3, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점은 R(3, -1) 따라서 오른쪽 그림에서 △PQR= ´2´2=2 ;2!;  6 2 '  (3, 2), (3, -2), (5, 0), (1, 0) 이 원을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 1368 xÛ`+yÛ`-2x+4y+1=0에서 (x-1)Û`+(y+2)Û`=4 원의 방정식은 (x-m-1)Û`+(y-n+2)Û`=4 이 원이 원 xÛ`+yÛ`=4와 일치하려면 -m-1=0, -n+2=0 ∴ m=-1, n=2 원 xÛ`+yÛ`-6y+8=0, 즉 xÛ`+(y-3)Û`=1을 x축의 방향으로 -1 만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원의 방정식은 (x+1)Û`+(y-2-3)Û`=1 ∴ (x+1)Û`+(y-5)Û`=1 (-1)Û`+5Û`= 2 6 ' "à 따라서 원의 중심 (-1, 5)와 원점 사이의 거리는 1369 |전략| 원과 직선이 접하려면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지름의 길 이와 같아야 함을 이용한다. 직선 y=2x+k를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y+3=2(x-2)+k  ∴ 2x-y+k-7=0 이 직선이 원 xÛ`+yÛ`=5에 접하므로 원의 중심 (0, 0)과 직선 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 5와 같다. ' 즉, |k-7| 2Û`+(-1)Û` ' "à k-7=Ñ5 ∴ k=2 또는 k=12 = 5에서 |k-7|=5 따라서 모든 k의 값의 합은 14이다.  14 y=x P y 3 1 O 1 -1 Q 3 R x  2 13 도형의 이동 | 183 13ㅡ도형의 이동§ Œ 1373 민주의 위치를 나타내는 점의 좌표를 (m, n)이라 하면 1377 처음 직선의 기울기를 m이라 하면 점 (-1, 0)을 지나는 직선의 방 형식이의 위치를 나타내는 점의 좌표는 (-m, -n) 정식은 y=m(x+1) 혜나의 위치를 나타내는 점의 좌표는 (n, m) 이 직선을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 따라서 a=-m, b=m이므로 a+b=0  0 -y=m(x+1) 이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로 -1=m(1+1) ∴ m=- ;2!;  ① 1378 직선 ax+(b-1)y=1을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 1374 점 P의 좌표를 (a, b)로 놓으면 점 P를 x축에 대하여 대칭이동한 점 의 좌표는 (a, -b) ∴`a<0, b>0 이다. 이 점이 제`3 사분면 위의 점이므로 a<0, -b<0 방정식은 또한, 점 P를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-a, -b)이 고, 이 점을 다시 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-a, b) ay+(b-1)x=1 ∴ (b-1)x+ay=1 이 직선이 직선 (a-3)x-(b+1)y=1과 일치하므로 b-1=a-3, a=-b-1 ∴ a-b=2, a+b=-1 이때, -a>0, b>0이므로 점 (-a, b)는 제`1 사분면 위의 점이다.  제 1 사분면 두 식을 연립하여 풀면 a= , b=- ;2!; ;2#; 다른 풀이 점 P를 x축에 대하여 대칭이동한 점이 제`3 사분면 위에 있으 므로 점 P는 제`2`사분면 위의 점이다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 생각할 수 있다. P (제`2`사분면) 원점 111Ú 대칭 PÁ (제`4`사분면) x축 111Ú 대칭 Pª (제`1`사분면) P y O Pª PÁ x 직선 y= ax-1을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 y= a(-x)-1 ∴ y=- ax-1 yy`㉠ … ❶ 직선 y= ax-1을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -y= a(-x)-1 ∴ y= ax+1 yy`㉡ … ❷ ;2!; ;2!; 1375 점 P(3, 2)를 y축에 대하여 대칭이동하면 PÁ(-3, 2) 점 PÁ(-3, 2)를 x축에 대하여 대칭이동하면 Pª(-3, -2) 이때, 두 직선 ㉠, ㉡이 수직이므로 점 Pª(-3, -2)를 원점에 대하여 대칭이동하면 P£(3, 2) 즉, 점 P를 y축, x축, 원점에 대하여 이 순서로 대칭이동하면 자기 자 - a´ a=-1, aÛ`=4 ∴ `a=2 (∵`a>0) ;2!; ;2!; 신으로 돌아온다. 따라서 2018=3´672+2이므로 대칭이동하는 과정을 2016번 반복 채점 기준 하면 이동한 후의 점의 좌표는 (3, 2)이고, 2018번 이동한 후의 점의 좌표는 (-3, -2)이다.  (-3, -2) ❶ 주어진 직선을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구할 수 있다. ❷ 주어진 직선을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구할 수 있다. ❸ 양수 a의 값을 구할 수 있다. ∴ ab=- ;4#; 1379 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!;  - ;4#; … ❸  2 비율 30`% 30`% 40`% 1376 |전략| 도형 `f(x, y)=0을 x축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(x, -y)=0이다. 직선 y=2x-1을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -y=2x-1 ∴ `y=-2x+1 1380 |전략| 도형 f(x, y)=0을 y축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(-x, y)=0이다. xÛ`+yÛ`-4x+6y+9=0에서 (x-2)Û`+(y+3)Û`=4 이 원을 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (-x-2)Û`+(y+3)Û`=4 ∴ (x+2)Û`+(y+3)Û`=4 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 이므로 기울기가 이고 ;2!; ;2!; 이때, 이 원의 중심 (-2, -3)이 원점을 지나는 직선 l:y=ax 위 점 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식은 에 있으므로 y-1= (x-2) ∴ `y= ;2!; x ;2!;  y= x ;2!; -3=-2a  ∴ a= ;2#;  ;2#; 184 | III . 도형의 방정식 정답과 해설 1381 ㄱ. (x-1)Û`+(y-1)Û`=2를 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 도 1385 |전략| 원과 직선이 만나지 않으려면 원의 중심과 직선 사이의 거리가 원의 반지 형의 방정식은 (-y-1)Û`+(-x-1)Û`=2 름의 길이보다 커야 함을 이용한다. ∴ (x+1)Û`+(y+1)Û`=2 중심이 점 (3, -1)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 ㄴ. 2x-2y-1=0을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 도형의 방 (x-3)Û`+(y+1)Û`=rÛ` 정식은 2(-y)-2(-x)-1=0 이 원을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (-y-3)Û`+(-x+1)Û`=rÛ` ∴ (x-1)Û`+(y+3)Û`=rÛ` ㄷ. y=xÛ`+1을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 이때, 이 원과 직선 3x+4y-1=0이 만나지 않으려면 ∴ 2x-2y-1=0 -x=(-y)Û`+1 ∴ yÛ`=-x-1 따라서 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하였을 때 처음의 도형과 일 치하는 도형의 방정식은 ㄴ뿐이다.  ② 1382 중심이 점 (-1, 2)이고 반지름의 길이가 k인 원의 방정식은 (x+1)Û`+(y-2)Û`=kÛ` 이 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (x+1)Û`+(-y-2)Û`=kÛ` ∴ `(x+1)Û`+(y+2)Û`=kÛ` 이때, 이 원이 점 (2, 2)를 지나므로 (2+1)Û`+(2+2)Û`=kÛ`, kÛ`=25 ∴ k=5 (∵ k>0) 1383 포물선 y=xÛ`+mx+n을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정 -y=(-x)Û`+m(-x)+n, y=-xÛ`+mx-n Û`+ mÛ` 4 -n { x- m 2 } m 2 , mÛ` 4 } -n 이 점 (2, 1)과 일치하므로 -n=1 ∴ `m=4, n=3 식은 ∴ y=- 이때, 꼭짓점 { =2, mÛ` 4 m 2 ∴ m-n=1 (-2, -1) y=(x+2)Û`-1 ∴ `y=xÛ`+4x+3 따라서 m=4, n=3이므로 m-n=1 1384 직선 3x-4y+a=0을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 3x-4(-y)+a=0 ∴ `3x+4y+a=0 이 직선이 원 xÛ`+(y-2)Û`=9에 접하므로 원의 중심 (0, 2)와 직선 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 3과 같다. 즉, |8+a| 3Û`+4Û` "à =3에서 |8+a|=15 (원의 중심과 직선 사이의 거리)>(원의 반지름의 길이)이므로 |3-12-1| 3Û`+4Û` "à >r, 10>5r  ∴`00)  00)  7 이동하면 (-a-3, 1)이다. 13ㅡ도형의 이동 이 점이 점 (3, b)와 일치하므로 -a-3=3, 1=b ∴ `a=-6, b=1 ∴ a+b=-5 다른 풀이 주어진 그림에서 f(-1, 0)=0, f(0, -1)=0, f(-1, -1)=0이므로  ① f(-1, 0)=0일 때, f(1-y, -x)=0에서 1389 |전략| 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지남을 이용한다. 직선 y=x+2를 y축의 방향으로 m만큼 평행이동한 직선의 방정 식은 y-m=x+2 ∴ `y=x+m+2 이 직선을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -y=-x+m+2 ∴ `y=x-m-2 이 직선이 원 xÛ`+yÛ`-2x+6y+1=0, 즉 (x-1)Û`+(y+3)Û`=9의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 (1, -3)을 지나야 하므로 1-y=-1, -x=0 ∴ `x=0, y=2 f(0, -1)=0일 때, f(1-y, -x)=0에서 1-y=0, -x=-1 ∴ `x=1, y=1 f(-1, -1)=0일 때, f(1-y, -x)=0에서 1-y=-1, -x=-1 ∴ `x=1, y=2 따라서 세 점 (0, 2), (1, 1), (1, 2)를 지나는 도형은 ⑤이다. 1392 방정식 f(-x, y)=0, f(x, -y)=0, f(-x, -y)=0이 나타내 는 도형은 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 각각 y축, x축, 원 -3=1-m-2 ∴ `m=2  2 점에 대하여 대칭이동한 것이므로 주어진 네 개의 도형으로 둘러싸인 1390 |전략| 중심의 좌표가 (a, b), 반지름의 길이가 r인 원이 x축, y축에 동시에 접 원 (x-p)Û`+(y+q)Û`=4를 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식 부분은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다. y 1 f(-x, y)=0 f(x, y)=0 -2 f(-x, -y)=0 O -1 2 x f(x, -y)=0 이 원을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원의 방정식은 따라서 구하는 넓이는 ´4´2=4 ;2!;  4 하면 |a|=|b|=r임을 이용한다. 은 (x-p)Û`+(-y+q)Û`=4 ∴`(x-p)Û`+(y-q)Û`=4 (x-p)Û`+(y-1-q)Û`=4 이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로 |p|=|1+q|=2 ∴`p=2, q=1 (∵`p>0, q>0) ∴`p+q=3 채점 기준 ❶ 주어진 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구할 수 있다. ❷ ❶의 원을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원의 방정식을 구할 수 있다. ❸ p+q의 값을 구할 수 있다. … ❶ … ❷ … ❸  3 배점 30`% 30`% 40`% 이다. f(x, y)=0이 나타내는 도형을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동하 면 f(-y, -x)=0이고, 이것을 다시 y축의 방향으로 1만큼 평행이 동하면 f(1-y, -x)=0이다. y y 1 → x O 1 x → -1 O -1 y 2 1 O 186 | III . 도형의 방정식 1393 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 y축에 대하여 대칭이동하면 f(-x, y)=0이고, 이것을 다시 y축의 방향으로 1만큼 평행이동하 면 f(-x, y-1)=0이다. y 1 O 1 x y → -1 y 1 O → -2 x y 2 O x f(x, y)=0 ` f(-x, y)=0 ` ` f(-x, y-1)=0 따라서 f(-x, y-1)=0이 나타내는 도형은 ⑤이다.  ⑤ 다른 풀이 주어진 그림의 도형은 점 (0, 1)에서 꺾이므로 f(0, 1)=0 즉, f(-x, y-1)=0이 나타내는 도형은 점 (0, 2)에서 꺾인다. 또, 주어진 그림에서 f(1, 0)=0이므로 f(-x, y-1)=0에서 -x=1, y-1=0 ∴ x=-1, y=1 즉, f(-x, y-1)=0이 나타내는 도형은 점 (-1, 1)을 지난다. 따라서 구하는 도형은 ⑤이다. 1391 |전략| 도형 `f(x, y)=0과 `f(-y, -x)=0은 직선 y=-x에 대하여 대칭 f(0, 1)=0일 때, f(-x, y-1)=0에서 -x=0, y-1=1 ∴ x=0, y=2 f(x, y)=0 f(-y, -x)=0 f(1-y, -x)=0 1 x 1394 ㄱ. f(x, y)=0이 나타내는 도형을 원점에 대하여 대칭이동하면 따라서 f(1-y, -x)=0이 나타내는 도형은 ⑤이다.  ⑤ f(-x, -y)=0이다. 정답과 해설 ㄴ. f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 1만큼 평행이동 하면 f(x-1, y)=0이고, 이것을 다시 x축에 대하여 대칭이동 1398 |전략| 두 점 P, Q가 직선 l에 대하여 대칭이면 직선 l은 PQÓ의 수직이등분선이 하면 f(x-1, -y)=0이다. ㄷ. f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방 향으로 1만큼 평행이동하면 f(y-3, x-1)=0 f(x-3, y-1)=0이고, 이것을 다시 직선 y=x에 대하여 대칭이 동하면 f(y-3, x-1)=0이다. 이것은 도형 B를 나타내는 방정식이 아니다. ㄹ. f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축 y 3 2 두 점 P(-3, 7), Q(a, b)에 대하여 PQÓ의 중점 가 직선 y=2x+3 위의 점이므로 다. { , 7+b -3+a 2 } 2 =2´ -3+a 7+b 2 2 +3  ∴ 2a-b=7 yy`㉠ -1 O x 또, 직선 PQ가 직선 y=2x+3과 수직이므로 ´2=-1  ∴ a+2b=11 b-7 a-(-3) ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=5, b=3   yy`㉡ ∴ a-b=2  ② y O -1 1 2 x f(-y-1, -x)=0 의 방향으로 1만큼 평행이동하면 f(x-1, y)=0이고, 이것을 다시 직 선 y=-x에 대하여 대칭이동하면 f(-y-1, -x)=0이다. 이것은 도형 B를 나타내는 방정식이 아니다. 따라서 도형 B를 나타내는 방정식은 ㄱ, ㄴ이다.  ① 1395 |전략| 점 P(x, y)를 점 (a, b)에 대하여 대칭이동한 점을 P'이라 하면 점 2-3 4-2 ´a=-1  ∴ a=2 (a, b)는 PP'Ó의 중점이다. 두 점 (a, 2), (-1, b)를 이은 선분의 중점의 좌표가 (3, 4)이므로 =3, =4  ∴ a=7, b=6 2+b 2 a+(-1) 2 ∴ ab=42  42 a=2를 ㉠에 대입하면 b=-   ∴`y=2x- ;2&; ;2&; 이때, 직선 l의 x절편은 , y절편은 - ;4&; 이 ;2&; 므로 직선 l과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각 1399 직선 l의 방정식을 y=ax+b라 하면 두 점 P(2, 3), Q(4, 2)에 대 하여 PQÓ의 중점 { 3, ;2%;} 가 직선 l 위의 점이므로 =3a+b ;2%; 또, 직선 PQ가 직선 l과 수직이므로 yy`㉠ 형의 넓이는 ´ ´ ;2!; ;4&; ;2&; = ;1$6(; y 3 2 O - 7 2 P 2 l Q 4 7 4 x  ;1$6(; 1400 원 (x+2)Û`+(y-1)Û`=1의 중심 (-2, 1)을 직선 y=x-3에 대하 여 대칭이동한 점의 좌표를 (a, b)라 하면 두 점 (-2, 1), (a, b) , 1+b 2 } 를 이은 선분의 중점 { 가 직선 y=x-3 위의 점이 -2+a 2 므로 1+b 2 = -2+a 2 -3 ∴ a-b=9 yy`㉠ 또, 두 점 (-2, 1), (a, b)를 지나는 직선이 직선 y=x-3과 수직 1396 원 xÛ`+yÛ`-2x-8=0, 즉 (x-1)Û`+yÛ`=9의 중심의 좌표는 (1, 0)이고 반지름의 길이는 3이다. 원의 중심 (1, 0)을 점 (2, 1)에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 (a, b)라 하면 1+a 2 0+b 2 =2, =1 ∴ a=3, b=2 원은 대칭이동하여도 반지름의 길이가 변하지 않으므로 구하는 도형 은 중심의 좌표가 (3, 2)이고 반지름의 길이가 3인 원이다. ∴ (x-3)Û`+(y-2)Û`=9  ① 1397 포물선 y=xÛ`+2x+3=(x+1)Û`+2의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2) 포물선 y=-xÛ`+6x-13=-(x-3)Û`-4의 꼭짓점의 좌표는 이므로 (3, -4) 두 포물선이 점 P(a, b)에 대하여 대칭이므로 두 포물선의 꼭짓점도 점 P(a, b)에 대하여 대칭이다. 따라서 두 꼭짓점을 이은 선분의 중점이 P(a, b)이므로 2+(-4) a= -1+3 2 ∴ ab=-1 =1, b= =-1 2 ´1=-1 b-1 a+2 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-5 ∴ a+b=-1 yy`㉡ 원은 대칭이동하여도 반지름의 길이가 변하지 않으므로 구하는 도형 은 중심의 좌표가 (4, -5)이고 반지름의 길이가 1인 원이다.  ② ∴ (x-4)Û`+(y+5)Û`=1  (x-4)Û`+(y+5)Û`=1 13 도형의 이동 | 187 13ㅡ도형의 이동 정답과 해설 1401 두 원의 중심 (0, 0), (3, 1)을 이은 선분의 중점 , {;2#; ;2!;} 이 직선 ax+by-5=0 위의 점이므로 a+ b-5=0 ∴`3a+b=10 ;2#; ;2!; yy`㉠ 또, 두 점 (0, 0), (3, 1)을 지나는 직선이 직선 ax+by-5=0, 즉 y=- x+ 와 수직이므로 ;bA; ;b%; ´ - ;3!; { ;bA;} =-1 ∴`a=3b ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=1 ∴`aÛ`+bÛ`=10 1402 |전략| 점 A를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A', 점 B를 x축에 대하여 대칭이 동한 점을 B'이라 하면 APÓ+PQÓ+QBÓ¾A'B'Ó임을 이용한다. 점 A(1, 2)를 y축에 대하여 대칭 이동한 점을 A', 점 B(2, 1)을 x A'(-1, 2) A(1, 2) y O P Q B(2, 1) x B'(2, -1) 축에 대하여 대칭이동한 점을 B' 이라 하면 A'(-1, 2), B'(2, -1) APÓ=A'PÓ, QBÓ=QB'Ó이므로 APÓ+PQÓ+QBÓ =A'PÓ+PQÓ+QB'Ó ¾A'B'Ó APÓ+PQÓ+QAÓ =A'PÓ+PQÓ+QA"Ó ¾A'A"Ó = (3-1)Û`+(-1-3)Û`=2 5 "à 따라서 △APQ의 둘레의 길이의 최솟값은 2 ' 5이다. '  2 5 ' 1405 점 A(2, 4)를 직선 x+y-2=0에 대하여 대칭이동한 점을 yy`㉡ A'(m, n)이라 하자.  10 AA'Ó의 중점 { + 4+n 2 2+m 2 2+m 2 , 4+n 2 이 직선 x+y-2=0 위의 점이므로 } -2=0  ∴ m+n=-2 yy`㉠ 또, 직선 AA'이 직선 x+y-2=0과 수직이므로 ´(-1)=-1  ∴ m-n=-2 n-4 m-2 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=-2, n=0 yy`㉡ ∴ A'(-2, 0) APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ y 4 A 2 -2 A' -3 P (13+2)Û`+(-3-0)Û` ¾A'BÓ = "à =3 2 6 ' … ❷ x+y-2=0 … ❶ 13 x B  3 6 2 ' 배점 60`% 40`% = (2+1)Û`+(-1-2)Û`=3 2 "à '  3 2 ' ❶ 점 A'의 좌표를 구할 수 있다. ❷ APÓ+BPÓ의 최솟값을 구할 수 있다. 점 P가 y축 위의 점이므로 점 A를 y축에 대하여 대칭이동하고, 점 Q가 x축 위의 점이므로 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한다. 1403 점 A(2, 1)을 직선 y=x에 대하여 대 y 칭이동한 점을 A'이라 하면 A'(1, 2) APÓ=A'PÓ이므로 A'(1, 2) P A(2, 1) APÓ+BPÓ =A'PÓ+BPÓ O ¾A'BÓ = (5-1)Û`+(3-2)Û`= 7 1 ' "à x  ④ y=x B(5, 3) 점 (a, b)가 점 (p, q)로 옮겨지면 p=a+m, q=b+n이다. (x+m, y+n)에 의하여 13Ú 점 (5, 2)를 점 (1, 4)로 옮기는 평행이동을 (x, y) (x+m, y+n)이라 하면 1Ú 5+m=1, 2+n=4 ∴ m=-4, n=2 이때, 평행이동 (x, y) (x-4, y+2)에 의하여 점 P(3, 1)이 옮겨지는 점을 P'(a, b)라 하면 1Ú a=3-4=-1, b=1+2=3 ∴ P'(-1, 3) ∴ PP'Ó= (-1-3)Û`+(3-1)Û`=2 "à 5 '  ④ 1404 점 A(3, 1)을 직선 y=x에 대하여 대칭 이동한 점을 A', x축에 대하여 대칭이동 한 점을 A"이라 하면 A'(1, 3), A"(3, -1) APÓ=A'PÓ, QAÓ=QA"Ó이므로 y A'(1, 3) y=x P A(3, 1) O Q x A''(3, -1) 1407 유형 02 도형의 평행이동 - 직선 |전략| 직선 ax+by+c=0을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정식은 a(x-m)+b(y-n)+c=0이다. 채점 기준 내신 마스터 내신 마스터 STEP3 1406 유형 01 점의 평행이동 |전략| 평행이동 (x, y) 188 | III . 도형의 방정식 § § § 직선 x-2y+5=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만 aÛ`+4=12, aÛ`=8 ∴ a=Ñ2 2 큼 평행이동한 직선의 방정식은 따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 2 2´(-2 2)=-8  ③ ' ' ' (x-1)-2(y+3)+5=0 ∴ `x-2y-2=0 이 직선의 x절편은 2, y절편은 -1이므로 y x축, y축에 의하여 잘리는 선분은 두 점 (2, 0), (0, -1)을 이은 선분이다. 따라서 이 선분의 길이는 (0-2)Û`+(-1-0)Û`= 5 ' "à 1410 2 x O -1 x-2y-2=0 유형 05 점의 대칭이동 |전략| 세 점 A, B, C가 일직선 위에 있으려면 직선 AB와 직선 BC의 기울기가 같아야 함을 이용한다. 점 P(3, -1)을 x축, y축에 대하여 대칭이동한 점은 각각  ③ A(3, 1), B(-3, -1) 점 Q(a, b)를 x축에 대하여 대칭이동한 점은 1408 유형 04 평행이동의 활용 |전략| 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나려면 (두 원의 반지름의 길이의 차)<(두 원의 중심 사이의 거리)<(두 원의 반지름의 길이의 합)임을 이용한다. 원 (x+3)Û`+(y-2)Û`=3을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 원의 방정식은 (x-a+3)Û`+(y-b-2)Û`=3 1411 이때, 세 점 A, B, C가 일직선 위에 있으려면 , -3-a=-3+3b (직선 AB의 기울기) =(직선 BC의 기울기) C(a, -b) = -1+b -3-a -1-1 -3-3 ∴ a=-3b 따라서 직선 PQ의 기울기는 b+1 a-3 = b+1 -3b-3 = b+1 -3(b+1) =- ;3!; 이 원과 원 (x+3)Û`+(y-2)Û`=3이 서로 다른 두 점에서 만나려면 (두 원의 반지름의 길이의 차)<(두 원의 중심 사이의 거리) 유형 08 대칭이동의 활용 |전략| 도형 `f(x, y)=0을 y축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 <(두 원의 반지름의 길이의 합) f(-x, y)=0이고, 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 이어야 한다. 3< 즉, 3- ' ' ∴ 00) 채점 기준 있다. ❶ 주어진 포물선을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식을 구할 수 ❷ ❶의 포물선을 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 포물선의 방정식을 구 할 수 있다. ❸ 양수 a의 값을 구할 수 있다. … ❶ … ❷ … ❸  2 배점 2점 2점 3점 정답과 해설 1418 유형 12 직선 y=mx+n에 대한 대칭이동 |전략| 직선 x-y+1=0이 ACÓ, BDÓ의 수직이등분선임을 이용하여 두 점 C, 1420 |전략| y=|x|의 그래프를 평행이동한 도형 l, m의 방정식을 구하고, q<0

0 ∴ a>3 -3a+21>0 ∴ a<7 - 중심의 좌표가 { ;2!; 이고 반지름의 길이가 1인 원 OÁ의 방정식은 , 0 } 원 OÁ을 y축에 대하여 대칭이동한 원 Oª의 방정식은 2` -x+ +yÛ`=1 ∴ { x-;2!;} +yÛ`=1 원 OÁ을 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원 O£의 방정식은 2` x+ { ;2!;} +yÛ`=1 { [ ;2!;} 2` ;2!;] 2` 2` 13 도형의 이동 | 191 따라서 3