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천재교육

2020년 천재교육 최고수준 해법수학 중학 3-2 답지

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정답과 풀이

중학
수학

3•2

I

II

삼각비

원의 성질

III

통계

2

21

44

I. 삼각비

1.

삼각비

최고
수준

입문하기

02 

2

5
'
5  

06 
'

2 

10  2

2 

'

14  ②, ④ 

01  ④ 

05  3 

09 

13 

17 

21 

2

2

4

4

5
'
3  
13

17  
6
'
3  
3
'
3  

03  3

07 

'

`

7

cm  04  ;4#;
29

29  

3

11  ③ 

15  ;4!; 

08  ;5&;
6
12  '
3

16  1

20  4

23 60ù

18  2

3 

'

19  2-

3 

'

3
22 y= '
3

x+

3 

'

24  ② 

25  ①, ③ 

27  ㉣, ㉡, ㉠, ㉢ 

26  ③ 

28  2 

29  ⑴ 0.7512  ⑵ 56ù 

30  39.93 

31  0.8192

01  Action   ABÓ의 길이를 구한다.
-(



ABÓ=

=2

5)Û

`

`

④ sin C=

'
ABÓ
ACÓ

=

;3@;

02  Action   피타고라스 정리를 이용하여 BCÓ, ACÓ의 길이를 차례로 구한

다.
△DBC에서 BCÓ=

△ABC에서 ACÓ=

-6Û

=8

10Û

`
(8



`
5)Û

`

'

-8Û

=16

`
5

∴ cos A=

ACÓ
ABÓ

=

16
5
8

'

=

2

'
5

03  Action   sin A의 값을 이용하여 BCÓ의 길이를 구한다.
BCÓ
12

sin A=

이므로

=

=

;4#;

BCÓ
ABÓ

4BCÓ=36 

  ∴ BCÓ=9

∴ ACÓ=

12Û

-9Û

=3



`

`

7

`

'

(cm)

`
(cm)

04  Action   꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 sin B의 

값을 이용하여 AHÓ의 길이를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에

A

서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 
하면 △ABH에서 

sin B=

AHÓ
ABÓ

=

AHÓ
13

=

 

;1!3@;

이므로 AHÓ=12

13

20

B

H

C

2  |  정답과 풀이

△AHC에서 HCÓ=

20Û

-12Û

=16



`

`

∴ tan C=

AHÓ
HCÓ

=

=

;1!6@;

;4#;

05  Action   sin A=

;3!;을 만족하는 직각삼각형 ABC를 그린다.

P  8 -  P  12

sin A=

이므로 오른쪽 그림과 같이

;3!;

3

직각삼각형 ABC를 그리면

A

C

1

B

ABÓ=




cos A=

-1Û

`
`
ABÓ
ACÓ
BCÓ
ABÓ

=2

2

'
2

2

=

'
3

1

2

2

'

tan A=

=

2
= '
4

∴ 9 cos A_tan A=9_

2

2

'
3

2
_ '
4

=3

 

'

 

06  Action   ∠B=90ù인 직각삼각형 ABC에서 90ù-∠A=∠C임을 

이용한다.

3 sin A=1에서 sin A=

…… 30%

3
= '
3

 

1
3

'

오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 ABC

를 그리면

ABÓ=

-(

3)Û

=

6  …… 30%




`

'

`

'

∴ tan (90ù-A)=tan C=

ABÓ
BCÓ

6
3

= '
'

=



'

3

A

C

3

B

…… 40%

07  Action   일차방정식의 그래프가 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 각각 

구한다.

오른쪽 그림과 같이 2x-5y+10=0

의 그래프가 x축, y축과 만나는 점을 

각각 A, B라고 하자.

2x-5y+10=0에 y=0을 대입하면 

2x+10=0 

  ∴ x=-5, 즉 A(-5, 0)

y

B

O

x

aA

2x-5y+10=0

2x-5y+10=0에 x=0을 대입하면 

-5y+10=0 
  ∴ y=2, 즉 B(0, 2)
△AOB에서 AOÓ=5, BOÓ=2이므로 
29
ABÓ=

+2Û

=

cos a=

`



=




`
AOÓ
ABÓ
BOÓ
ABÓ

sin a=

=


∴ cos a-sin a=

=

5

29


29

=

2

29


29

5
29


2
29
5

29


29

-

2

29


29

 

=

3

29


29

정답과 풀이 08  Action   일차방정식의 그래프를 그리고 x축, y축과 만나는 점의 좌표

를 각각 구한다.

일차방정식 3x+4y-12=0의 그

래프는 오른쪽 그림과 같다.
△OAB에서  OAÓ=4,  OBÓ=3이
므로

B

y

3

O

ABÓ=

+3Û

=5




sin a=

=

, cos a=

;5#;

OAÓ
ABÓ

=

;5$;

`

`
OBÓ
ABÓ

∴ sin a+cos a=

+

=

;5$;

;5#;

;5&;

a A
4

x

3x+4y-12=0

09  Action   닮은 삼각형을 찾아 x, y와 크기가 같은 각을 각각 찾는다.

2 5

x

C

△ABC와 △DBA에서  
∠BAC=∠BDA=90ù,  ∠B는 

A

x y

4

y

B

공통이므로
△ABC»△DBA ( AA 닮음)
∴ ∠C=∠BAD=x
마찬가지로 △ABC»△DAC ( AA 닮음)이므로 
∠B=∠CAD=y
이때 △ABC에서 BCÓ=

+(2

=6

5)Û

D

cos x=cos C=

=

sin y=sin B=

`



2

'

`

5

'
6

5
= '
3

=

2

5

'
6

5
= '
3

ACÓ
BCÓ
ACÓ
BCÓ

5
∴ cos x+sin y= '
3

5
+ '
3

=

2

5

'
3

10  Action   △ABC에서 x와 크기가 같은 각을 찾는다.

C

x

2

A

D

x

E

6

△ABC와 △DBE에서 
∠ACB=∠DEB=90ù, ∠B는 

공통이므로
△ABC»△DBE ( AA 닮음)
∴ ∠A=∠BDE=x 
이때 △ABC에서 BCÓ=


BCÓ
ACÓ

∴ tan x=tan A=

=

4

`

'
2

`
2

-2Û

=4



'

=2



'

B

…… 40%

…… 30%

…… 30%

11  Action   x와 크기가 같은 각을 모두 찾는다.
∠ACD=∠ADE=∠BAD=x 

참고  △ABC, △DBA, △DAC, △EAD, △EDC는 
모두 닮음이다.

12  Action   △CEG가 직각삼각형임을 이용하여 cos x의 값을 구한다.
+2Û

2

13  Action   △AEG가 직각삼각형임을 이용하여 sin x, cos x의 값을 




△EFG에서 EGÓ=
=2
오른쪽 그림과 같이 △CEG는 
∠EGC=90ù인 직각삼각형이므로

'

`

`

CEÓ=

(2

2)Û

+2Û

=2

3



'

`

=

`
EGÓ
CEÓ

'
2
3

2
2

'
'

6
= '
3

∴ cos x=

각각 구한다.
△EFG에서 EGÓ=
=2

오른쪽 그림과 같이 △AEG는 
∠AEG=90ù인 직각삼각형이므로




+4Û

`

`

13

AGÓ=

(2

13)Û

+4Û

=2

17

`

`





sin x=

cos x=


AEÓ
AGÓ
EGÓ
AGÓ

=

=

4
17
13
17

2

2

2


=

2

17


17

= '¶

221
17

C

2

G

2 3

x

E

2 2

A

4

E

2 17

x

G

2 13

∴ sin x_cos x=

2

17


17

_ '¶

221
17

=

2

13


17

14  Action   30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값을 이용한다.

2
① cos 45ù+sin 45ù= '
2

2
+ '
2

=

2

'

② tan 45ù-cos 60ù=1-

=

;2!;

;2!;

3
③ tan 30ù= '
3



1
tan 60ù

=

3
= '
3

1
3

'

이므로

 

tan 30ù=

1
tan 60ù

④ sin 30ù_cos 30ù-tan 60ù=

3
_ '
2

;2!;

-

3

'

3
= '
4

-

3=-

'

3

3

'
4

2
⑤ 2 cos 45ù_tan 60ù_sin 60ù=2_ '
2

_

3
3_ '
2

'

 

 

① △ABC에서 tan x=

② △ABD에서 tan x=

③ △ADC에서 tan x=

④ △ADE에서 tan x=

⑤ △EDC에서 tan x=

ABÓ
ACÓ
BDÓ
ADÓ
ADÓ
CDÓ
AEÓ
DEÓ
DEÓ
CEÓ

E

A

x

x

D

B

x

C

따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

Lecture

30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값

A

삼각비

sin A

cos A

tan A

30ù

;2!;

3
'
2

3
'
3

=

3

2

'
2

45ù

2
'
2

2
'
2

1

60ù

3
'
2

;2!;

3

'

Ⅰ. 삼각비  |  3

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 15  Action   ∠A:∠B:∠C=a:b:c인 △ABC에서 

 

∠A=180ù_

임을 이용한다.

a
a+b+c

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로

A=180ù_

1
1+2+3

=180ù_

=30ù

;6!;

∴ sin A_cos A_tan A

  =sin 30ù_cos 30ù_tan 30ù

  =

3
_ '
2

3
_ '
3

;2!;

  =

;4!;

16  Action   특수한 각의 삼각비의 값을 이용한다.

2
cos 45ù= '
2

이므로

2x-15ù=45ù 

  ∴ x=30ù

∴ sin x+cos 2x=sin 30ù+cos 60ù



 

=

+

;2!;

;2!;

=1

17  Action     먼저  △ADC에서  특수한  각의  삼각비의  값을  이용하여 

18  Action   먼저 △ABC에서 특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 BCÓ

ADÓ의 길이를 구한다.

△ADC에서 sin 45ù=

ADÓ
4

2
= '
2

 

 

∴ ADÓ=2

2

'

△ABD에서 sin 60ù=

∴ ABÓ=

=

4

6

'
3

4

2
'
3
'

2
2
'
ABÓ

3
= '
2

 

 

의 길이를 구한다.

△ABC에서 tan 60ù=

∴ BCÓ=



'

△DBC에서 sin 45ù= '

BCÓ
2

'

=



 

'

6
BDÓ

2
= '
2

 

 

∴ BDÓ=

2

6
'
2
'

=2



'

한편, △ABD에서 ∠DBA=30ù-15ù=15ù이므로 
△ABD는 이등변삼각형이다.
∴ ADÓ=BDÓ=10
따라서 △ABC에서 ACÓ=10+5

3이므로

tan 15ù=

BCÓ
ACÓ

=

5
10+5

=

3

'

'
1
2+

3

'

=2-

3

'

20  Action   직각삼각형 ABC에서 크기가 15ù, 75ù인 각을 각각 찾는다.

△ABD에서
BDÓ
2

sin 60ù=

3
= '
2

 

  ∴ BDÓ=

3

'

cos 60ù=

=

  

  ∴ ABÓ=1

ABÓ
2

;2!;

한편, ADÓ=CDÓ이고 
△ABD에서 ∠ADB=180ù-(60ù+90ù)=30ù이므로

3이고  ∠CAB=15ù+60ù=75ù

_30ù=15ù

∠DAC=∠DCA=

;2!;
△ABC에서  BCÓ=2+
이므로

'

tan 15ù=

tan 75ù=

ABÓ
BCÓ
BCÓ
ABÓ

=

=

1
2+
'
2+
'
1

3
3

=2-

3

=2+

3

'

'

∴ tan 15ù+tan 75ù=(2-

3)+(2+

3)=4

'

'

21  Action   특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 ACÓ, ADÓ, DEÓ의 길이

를 차례로 구한다.

△ABC에서 sin 30ù= '

3
ACÓ

=

 

;2!;

 

∴ ACÓ=2

3
'

∴ ADÓ=4

△ACD에서 cos 30ù=

2
3
'
ADÓ

3
= '
2

 

 

△ADE에서 tan 30ù=

DEÓ
4

3
= '
3

 

 

…… 50%

∴ DEÓ=

4

3

'
3

…… 50%

22  Action   직선 y=mx+n이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 
a라고 할 때, 직선 y=mx+n의 기울기는 tan a임을 이용한다.

구하는 직선의 방정식을 y=ax+b라고 하면

19  Action   특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 BDÓ, CDÓ의 길이를 각각 
구한 후 △ABD에서 ∠BDC=∠DBA+∠DAB임을 이용한다.

△DBC에서 sin 30ù=

5
BDÓ

=

  

 

;2!;

3
a=tan 30ù= '
3

3
직선 y= '
3

x+b가 점 (-3, 0)을 지나므로

∴ BDÓ=10

tan 30ù=

3
= '
3

5
CDÓ
15
3

'

∴ CDÓ=

=5

3

'

4  |  정답과 풀이

3
0= '
3

_(-3)+b 

  ∴ b=

3

'

따라서 구하는 직선의 방정식은

3
y= '
3

x+

3

'

정답과 풀이 23  Action   일차방정식을 y=mx+n의 꼴로 변형한다.

일차방정식 

3x-y+6=0의 그래프가 x축의 양의 방향과 

Lecture

오른쪽  그림과  같이  직선  y=mx+n이

x축의  양의  방향과  이루는  각의  크기를  

y

B

aA

y=mx+n

O

x

Lecture

직선의 기울기와 삼각비

a라고 할 때, 
(직선 y=mx+n의 기울기)

( y의 값의 증가량)
( x의 값의 증가량)

=tan a

=m=

=

BOÓ
AOÓ

24  Action   삼각비의 값을 분모가 1인 분수로 나타내어 본다.
BCÓ
1

① sin x=

=BCÓ

=

'

이루는 예각의 크기를 a라고 하면 

3x-y+6=0에서 y=

3x+6 

 

'

'
∴ tan a=

3

'

이때 tan 60ù=

3이므로 a=60ù

'

BCÓ
ACÓ
ABÓ
ACÓ
DEÓ
ADÓ
BCÓ
ACÓ

ABÓ
1

DEÓ
1

BCÓ
1

ABÓ
ACÓ

② cos x=

=

=ABÓ

③ tan x=

=

=DEÓ

④ cos y=

=

=BCÓ

⑤ sin z=sin y=

=

ABÓ
1

=ABÓ

따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

Lecture

예각의 삼각비의 값

⑴ sin x=

=

=ABÓ

분원에서

  cos x=

  tan x=

ABÓ
OAÓ
OBÓ
OAÓ
CDÓ
ODÓ

ABÓ
1

OBÓ
1

CDÓ
1

=

=

=OBÓ

=CDÓ

⑵ ABÓ∥CDÓ이므로 ∠y=∠z (동위각)

  sin z=sin y=

=OBÓ

OBÓ
OAÓ
ABÓ
OAÓ 

=

OBÓ
1

=

ABÓ
1

C

zA

y

x

B

D

E

1

O

25  Action   0ù, 30ù, 45ù, 60ù, 90ù의 삼각비의 값을 이용한다.

① sin 30ù+sin 60ù=

3
+ '
2

;2!;

=

3

1+
'
2

, sin 90ù=1

  이므로 sin 30ù+sin 60ù+sin 90ù

3
② tan 0ù+tan 30ù_tan 60ù=0+ '
3

_

3=1, 

'

  cos 0ù=1이므로 tan 0ù+tan 30ù_tan 60ù=cos 0ù

③  sin 0ù_cos 90ù-sin 90ù_tan 45ù

=0_0-1_1=-1

④ sin 60ù_tan 0ù+cos 0ù_sin 90ù

3
 = '
2

_0+1_1=1

⑤ (cos 45ù-cos 90ù)(sin 0ù+sin 45ù)

  =

2
'
2

{

-0

_

0+ '

}

{

2
2 }

=

;2!;

따라서 옳지 않은 것은 ①, ③이다.

0ù, 90ù의 삼각비의 값

삼각비

A



90ù

sin A

cos A

tan A

0

1

1

0

0

정할 수 없다.

26  Action   x의 크기가 0ù에서 90ù로 증가할 때, sin x, tan x의 값은 각

각 증가하고 cos x의 값은 감소함을 이용한다.

①  0ùÉxÉ90ù일 때, x의 값이 증가하면 sin x의 값은 0에

②  0ùÉxÉ90ù일 때, x의 값이 증가하면 cos x의 값은 1에

③  0ùÉx<45ù일 때, sin x<cos x이므로 

서 1까지 증가하므로 

  sin 53ù>sin 40ù

서 0까지 감소하므로

  cos 48ù<cos 42ù

  sin 20ù<cos 20ù

④ cos 60ù=

;2!;

서 한없이 증가하므로 

⑤ tan 50ù<tan 55ù

따라서 옳은 것은 ③이다.

  1=tan 45ù<tan 47ù 

  ∴ cos 60ù<tan 47ù

27  Action   x의 크기가 0ù에서 90ù로 증가할 때, sin x, tan x의 값은 각

각 증가하고 cos x의 값은 감소함을 이용한다.

㉠ cos 0ù=1 

서 1까지 증가하므로 sin 60ù<sin 72ù<sin 90ù

3
  ∴  '
2

<sin 72ù<1

㉢  0ùÉx<90ù일 때, x의 값이 증가하면 tan x의 값은 0에

서 한없이 증가하므로 tan 60ù<tan 65ù

  ∴ 

3<tan 65ù

'

Ⅰ. 삼각비  |  5

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 사

 

 0ùÉx<90ù일 때, x의 값이 증가하면 tan x의 값은 0에

  cos z=cos y=

=ABÓ

㉡  0ùÉxÉ90ù일 때, x의 값이 증가하면 sin x의 값은 0에

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 ㉣  0ùÉxÉ90ù일 때, x의 값이 증가하면 cos x의 값은 1에

01  Action   ∠BCA=∠DCE (맞꼭지각)이므로 ∠CED=x임을 이용

서 0까지 감소하므로 cos 90ù<cos 72ù<cos 60ù

한다.

  ∴ 0<cos 72ù<

;2!;

㉠, ㉢이다.

따라서 삼각비의 값을 작은 것부터 차례로 나열하면 ㉣, ㉡, 

28  Action   0ù<x<90ù일 때, 0<sin x<1임을 이용한다.
0ù<x<90ù일 때, 0<sin x<1이므로 

sin x-1<0, sin x+1>0 

…… 50%

(sin x-1)Û

∴  


=-(sin x-1)+(sin x+1) 

(sin x+1)Û

+

 
`

`

=-sin x+1+sin x+1 

=2 

…… 50%

29  Action   삼각비의 표를 보고 주어진 삼각비의 값을 찾는다.

⑴  sin 27ù+cos 29ù-tan 30ù

=0.4540+0.8746-0.5774 

=0.7512

⑵ sin 29ù=0.4848, tan 27ù=0.5095이므로

  x=29ù, y=27ù

  ∴ x+y=29ù+27ù=56ù

30  Action   ∠B의 크기를 구한 후 삼각비의 표를 이용한다.

∠B=180ù-(90ù+37ù)=53ù

sin 53ù=

=0.7986

ACÓ
ABÓ

=

ACÓ
50

∴ ACÓ=50_0.7986=39.93

31  Action   ∠AOB=x로 놓고 x의 크기를 구한다.
△AOB에서 ∠AOB=x라고 하면

cos x=

OBÓ
OAÓ

=

0.5736
1

=0.5736

이때 cos 55ù=0.5736이므로 x=55ù

따라서 sin 55ù=

=ABÓ이므로 

ABÓ
OAÓ

=

ABÓ
1

ABÓ=sin 55ù=0.8192

최고
수준

완성하기

01 

2
5
'
13  

02 

3

13

13  

05  (600+200

5)

m 

'

`

3-1)

07  9(

'
3
10  '
3

 

`

cmÛ

`
11  ;5$; 

6  |  정답과 풀이

P  13 -  P  16

04 

5

41


41

09  3

cm

`

03  ;3!; 

06 

08  2+

12  61ù

2

2
'
3  
3 

'

E

C

x
6

D

△ABC에서 sin x=

6
ACÓ

=

 

;3@;

 

∴ ACÓ=9
△ECD에서 ∠CDE=90ù,  
∠BCA=∠DCE  (맞꼭지각)이

A

x

y

므로

∠CED =90ù-∠DCE 

B

6

=90ù-∠BCA=x

이때 △CDE에서 
CDÓ
CDÓ
6
CEÓ
  ∴ DEÓ=

sin x=

=

=

;3@;

이므로 

CDÓ=4 



따라서 ADÓ=ACÓ+DCÓ=9+4=13이므로

-4Û

=2

'

5

`

`

△ADE에서 tan y=

DEÓ
ADÓ

=

2
5
'
13

02  Action   ∠BRQ와 크기가 같은 각을 모두 찾는다.
BRÓ=DRÓ, ∠DRQ=∠BRQ=x (접은 각)

ADÓ∥BCÓ이므로 

∠BQR=∠DRQ=x (엇각)
즉 △BQR는 이등변삼각형이므로 BRÓ=a
DRÓ=BRÓ=BQÓ=a

(cm)

`

cm라고 하면

`

`

(cm)

`

ARÓ=18-a
△ABR에서 aÛ


`

`

=144+324-36a+aÛ

36a=468 

  ∴ a=13

=12Û

+(18-a)Û

`

`

`

오른쪽 그림과 같이 점 Q에서

DRÓ에 내린 수선의 발을 H라

∴ DRÓ=BRÓ=BQÓ=13

(cm), ARÓ=5

(cm)

`
13 cm
A

12 cm

18 cm

R

x

x

H

D

B

x
13 cm

Q

C

P

고 하면 

RHÓ =AHÓ-ARÓ

=BQÓ-ARÓ

=13-5 

=8

(cm),

`
HQÓ=ABÓ=12
(cm)
따라서 △QHR에서 
+12Û
RQÓ=

=4

`




`

∴ sin x=

=

`
HQÓ
RQÓ

(cm)

=

3

13


13



13

`
12

4

13



03  Action   꼭짓점 A에서 BDÓ의 연장선에 수선의 발을 내려 직각삼각형

을 만든다.
△BCD는 직각이등변삼각형이므로 
2
∠BDC=45ù, BDÓ=

+3Û

=3




`

`

'

정답과 풀이 =BCÓ:ABÓ=4:5

07  Action   점 E에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 F로 놓고 EFÓ의 길이를 

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BDÓ의

연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면

∠ADH=∠BDC=45ù (맞꼭지각),  
∠AHD=90ù이므로 △ADH는 직각
이등변삼각형이다.

AHÓ=DHÓ=a라고 하면

A

3

45∞
H
45∞

D

x

45∞

3

B

45∞
3

C



+aÛ

=3Û

`

`

, aÛ
`

`

=

 
;2(;

  ∴ a=

(∵ a>0)

3

2

'
2

따라서 BHÓ=BDÓ+DHÓ=3

2+

3

2

'
2

=

9

2

'
2



'

AHÓ=

이므로

3

2

'
2

△ABH에서 tan x=

AHÓ
BHÓ

=

3

2

'
2

Ö

9

2

'
2

=

;3!;

C

4k

B

C

k

B

04  Action   sin A:cos A=4:5를 만족하는 직각삼각형을 그린다.

∠B=90ù인 직각삼각형 ABC에서

ACÓ=

(5k)Û

+(4k)Û

=

41k이므로

A

5k

sin A:cos A=

ABÓ
ACÓ
오른쪽 그림과 같이 BCÓ=4k,  

BCÓ
ACÓ



ABÓ=5k(k>0)인 직각삼각형 

ABC를 그리면

`



4k
41k



=

4

41


41

sin A=

=



`
BCÓ
ACÓ
BCÓ
ABÓ

tan A=

=

=

;5$kK;

;5$;

∴ sin AÖtan A=

4

41


41

Ö

=

;5$;

5

41


41

05  Action   도로의 경사도가 50

`

%일 때의 tan A의 값을 구한다.

도로의 경사도가 50

%이면 tan A=

=

;1°0¼0;

;2!;

`

오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù이고  

ABÓ=2k,  BCÓ=k(k>0)인  직각삼

A

2k

각형 ABC를 그리면 

ACÓ=

(2k)Û

+kÛ

=

5k



`
이때 자동차가 경사도가 50

'

`

추었을 때의 높아진 높이는 BCÓ의 길이이다.

즉 

5k=1000에서 k=

'

=200

5

'

`

1000
5

'

%인 도로를 1000

m 달린 후 멈

`

따라서 자동차의 현재의 위치는 해발 (600+200

5)

m이다.
`

'

06  Action   △AED의 두 꼭짓점 E, A에서 각각 대변에 내린 수선의 발

을 H, I로 놓고 AHÓ, AIÓ의 길이를 각각 구한다.

정삼각형 ABC에서 BEÓ=ECÓ=

_2=1이므로 

;2!;

AEÓ⊥BCÓ

`

3

=

-1Û




△ABE에서 AEÓ=
마찬가지 방법으로 DEÓ=
△AED는 AEÓ=DEÓ=
변삼각형이므로 오른쪽 그림과 같이 

'
3인 이등

`
3

'

'

점 E에서 ADÓ에 내린 수선의 발을 

3

A

2

H

H라고 하면

AHÓ=HDÓ=

_2=1

;2!;

E

x

I

3

D

△AEH에서 EHÓ=
'
또 점 A에서 EDÓ에 내린 수선의 발을 I라고 하면

(


-1Û

3)Û

=

'

2

`

`

△AED=

;2!;

_ADÓ_EHÓ=

_EDÓ_AIÓ에서

;2!;

_2_

2=

_

3_AIÓ 

  ∴ AIÓ=

;2!;

'

;2!;

'

2

6

'
3

따라서 △AEI에서
6
AIÓ
AEÓ

sin x=

=

'
3

2

Ö

3=

'

2

2

'
3

ABÓ
3
2

'

=



 

'

구한다.

△ABC에서 tan 60ù=

∴ ABÓ=6

(cm) 

`

오른쪽 그림과 같이 점 E에서

ABÓ에 내린 수선의 발을 F라 

cm라고 하면 

하고 EFÓ=x
`
△EFB는 직각이등변삼각형
(cm)
이므로 BFÓ=EFÓ=x

∴ AFÓ=6-x

`
(cm) 

`

A

…… 20%

D

60∞

C
E 60∞
45∞

45∞

F

B

2 3

cm

…… 30%

이때 EFÓ∥CBÓ이므로 ∠AEF=∠C=60ù (동위각)

△EAF에서 tan 60ù=

6-x
x

=

3이므로

'

3x=6-x, (

3+1)x=6

'

∴ x=

=3(

3-1)

6
3+1

'

3-1)

(cm) 

'

`

∴ EFÓ=3(

'
∴ △EAB=

'

 

_6_3(

3-1)

'

;2!;

=9(

3-1)

(cmÛ



`

`

'

08  Action   75ù의 각이 있는 직각삼각형을 찾는다.

△APQ에서 sin 60ù=

AQÓ
4

3
= '
2

 

  ∴ AQÓ=2

3

'

cos 60ù=

PQÓ
4

=

 

;2!;

  ∴ PQÓ=2

△AQD는 직각이등변삼각형이므로 

cos 45ù=

∴ ADÓ=

'

 

2
= '
2

ADÓ
2
3
'
6, DQÓ=ADÓ=

 

6

'

…… 30%

…… 20%

Ⅰ. 삼각비  |  7

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 한편, ∠PQC=180ù-(45ù+90ù)=45ù이므로 △PCQ는 
직각이등변삼각형이다.

△PCQ에서 sin 45ù=

CPÓ
2

2
= '
2

 

 

'

2, CQÓ=CPÓ=

∴ CPÓ=
이때 △ABP에서 ∠APB=180ù-(60ù+45ù)=75ù이므


'

2

tan 75ù=

DQÓ+CQÓ
BCÓ-CPÓ
8+4
4

=

'

3

ABÓ
BPÓ
6+
6-

=

2
2

'
'
3

= '
'
=2+

'

 

 

2 sin A=

이므로 sin A=

;5^;

 
;5#;

오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù이고 

ACÓ=5, BCÓ=3인 직각삼각형 ABC

5

를 그리면

ABÓ=

-3Û

=4 




`

∴ cos A=

`
ABÓ
ACÓ

=

 

;5$;

…… 40%

C

3

B

A

…… 40%

12  Action   먼저 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 구한 후 tan의 값을 이

용한다.

밑면의 반지름의 길이를 r라고 하면 밑면의 둘레의 길이가 

09  Action   점 O'을 지나고 BCÓ에 평행한 직선을 그어 빗변이 OO'Ó인 직

각삼각형을 만든다.

오른쪽  그림과  같이  점  O'

A

을 지나고 BCÓ에 평행한 직

선이  ODÓ와  만나는  점을  F

라고 하면

∠OFO' =∠ODC 

=90ù (동위각), 

9 cm
F

O

D

B

O′

E

30∞
C

∠OO'F=∠OCD=30ù (동위각)

반원 O'의 반지름의 길이를 r

cm라고 하면 

`

FDÓ=O'EÓ=r

(cm), OFÓ=ODÓ-FDÓ=9-r

(cm)

`

OO'Ó=9+r

`
(cm)

`

△OFO'에서 sin 30ù=

OFÓ
OO'Ó

=

9-r
9+r

=

;2!;

이므로 

2(9-r)=9+r, 3r=9 

  ∴ r=3

따라서 반원 O'의 반지름의 길이는 3

cm이다.

10  Action   이차방정식 4xÛ
하여 두 근을 구한다.

`

-2(1+

3)x+

3=0의 좌변을 인수분해

'

`

'

4xÛ

-2(1+

3)x+

3=0에서 

'

'

`

(2x-

3)(2x-1)=0 

'

3
  ∴ x= '
2

 또는 x=

;2!;

이때 A, B는 예각이고 A>B이므로 

sin A>sin B

3
즉 sin A= '
2

, sin B=

이므로 A=60ù, B=30ù

;2!;

3
∴ tan (A-B)=tan (60ù-30ù)=tan 30ù= '
3

11  Action   0ù<A<45ù일 때, 0<sin A<cos A임을 이용한다.
0ù<A<45ù일 때, 0<sin A<cos A이므로 

sin A+cos A>0, cos A-sin A>0 

…… 20%

(sin A+cos A)Û

-


`
=sin A+cos A-(cos A-sin A)



(cos A-sin A)Û

`

=2 sin A

8  |  정답과 풀이

500p이므로 

2pr=500p 
  ∴ r=250
오른쪽 그림의 △AOB에서 

tan x=

OAÓ
OBÓ

=

;2$5%0!;

 

=

;1!0*0)0$;

=1.8040

이때 주어진 삼각비의 표에서 

tan 61ù=1.8040이므로 x=61ù

A

451

O

Bx

P  17 -  P  18

뛰어넘기

최고
수준

01 

3

5
'
5  
3 

03  4

'

2
06  ⑴ 풀이 참조  ⑵ '
2

02  ⑴  '

  ⑵  '

  ⑶  '

5+1
2

5-1
4

5+1
4

04  2+2

3 

05  6

2+4

6

'

'

'

01  Action   두 점 D, E에서 ABÓ, BCÓ에 각각 수선을 그어 생긴 BDÓ, BEÓ

를 빗변으로 하는 직각삼각형을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 두 점 D,

E에서 ABÓ에 내린 수선의 발

을 각각 F, G라 하고, BCÓ에 내

cos x
E

sin x

D

린 수선의 발을 각각 H, I라고 

A

a

F

a

G

a

C

b

b

b
B

I

H

하자.

또 AFÓ=a, CIÓ=b라고 하면 

FGÓ=GBÓ=AFÓ=a, IHÓ=HBÓ=CIÓ=b
△DFB에서 
(2a)Û
+bÛ
`
△IEB에서 
+(2b)Û


 x, 4aÛ
=sinÛ
`

+4bÛ

+bÛ

`

`

`

 x, aÛ
=cosÛ
`

`

`

`

=sinÛ
 x  yy ㉠
`

=cosÛ
 x  yy ㉡
`

`

정답과 풀이 ㉠+㉡ 을 하면 

03  Action   △ABC의 한 변의 길이와 △ABÁ¼CÁ¼의 한 변의 길이를 각

5aÛ

+5bÛ

=sinÛ

`

`

 x+cosÛ
`

`

x=1 

  ∴ aÛ
`

+bÛ

=

`

;5!;

따라서 △ABC에서

ACÓ=

(3a)Û

+(3b)Û

=

9(aÛ

+bÛ

)=

`



`

`



`

=

®;5(;

3

5

'
5

Lecture

삼각비 사이의 관계

오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù인 직각삼 
각형 ABC에서

sinÛ

 A+cosÛ
`

 A=
`

+

{;bC;}

{;bA;}


`

2`
+cÛ


`

=

`
 (∵ aÛ

=



=1

`
`

A

2`

+cÛ

=bÛ

)

`

`

`

 

 

 

C

a

B

b

c

02  Action   △ABD, △BCD는 이등변삼각형임을 이용한다.

⑴ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

  ∠ABC=∠C=

_(180ù-36ù)=72ù

;2!;

  ∠ABD=∠DBC=

_72ù=36ù

;2!;

  이때 △ABD에서 
  ∠BDC =∠DAB+∠ABD=36ù+36ù=72ù
  즉 △ABD, △BCD는 이등변삼각형이므로 
  ADÓ=BDÓ=BCÓ=1
  △ABC»△BCD ( AA 닮음)이므로 
  CDÓ=x라고 하면 ABÓ:BCÓ=BCÓ:CDÓ에서 

  (1+x):1=1:x, x(1+x)=1, xÛ

+x-1=0 



`

  ∴ x=

 (∵ x>0)

-1+
2

5

'

  ∴ ABÓ=ADÓ+CDÓ=1+

-1+
2

5

'

= '

5+1
2

⑵  오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에

A



 내린 수선의 발을 E라고 하면   
△ABC는 이등변삼각형이므로 

  ∠BAE=

_36ù=18ù

;2!;

  BEÓ=

 BCÓ=

_1=

;2!;

;2!;

;2!;

  따라서 △ABE에서 

18∞

F

36∞
36∞

B

E
1

36∞

D

72∞
72∞

C

  sin 18ù=

BEÓ
ABÓ

=

Ö '

;2!;

5+1
2

=

1
5+1

= '

5-1
4

'

⑶  위 그림과 같이 점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 F라고 

하면 △ABD는 이등변삼각형이므로 
5+1
4

5+1
2

ABÓ=

= '

_ '

;2!;

;2!;

  AFÓ=

  따라서 △DAF에서 cos 36ù=

AFÓ
ADÓ

= '

5+1
4

각 구한다.

정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 x라고 하면 
△ABD에서 ∠ABD=60ù이므로 

sin 60ù=

=

ADÓ
x

3
= '
2



3
  ∴ ADÓ= '
2

x

ADÓ
ABÓ

;2!;

이때 ABÁÓ=

 ADÓ=

3
_ '
2

3
x= '
4

;2!;

x

또 △ABÁDÁ에서 ∠ABÁDÁ=60ù이므로 

3
=ADÁÓÖ '
4

3
x= '
2





sin 60ù=

ADÁÓ
ABÁÓ
3
∴ ADÁÓ= '
2

3
_ '
4

x=

x

;8#;

이때 ABªÓ=

 ADÁÓ=

_

x=

;2!;

;2!;

;8#;

x=

{

;1£6;

3
'
4 }

x

마찬가지 방법으로 정삼각형 ABÁ¼CÁ¼의 한 변의 길이를 구

2`

x이므로 정삼각형 ABC와 정삼각형 ABÁ¼CÁ¼

하면 
{

3
'
4 }

1`0`
의 한 변의 길이의 비는 

x:
{

3
'
4 }

x=4Ú

:(

3)Ú

`

`

'

`

`

따라서 a=4, b=

3이므로

1`0`

ab=4_

3=4

'

'
3

'

04  Action   두 점 A, E에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 P, Q로 놓고 

C

APÓ, EQÓ의 길이를 구한다.

오른쪽  그림과  같이

A

점 A에서 BCÓ에 내린 

2

수선의 발을 P라고 하
면  △ABD는  한  변
의 길이가 2인 정삼각형이므로 

B

E

P

D

Q

30∞

△ABP에서 sin 60ù=

APÓ
ABÓ

=

APÓ
2

3
= '
2





∴ APÓ=

3, BPÓ=DPÓ=

BDÓ=

_2=1

;2!;

;2!;

'

또 점 E에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 Q라고 하면 

∠EDQ=180ù-(60ù+90ù)=30ù이므로 
△EDQ에서
EQÓ
DEÓ
DQÓ
DEÓ

3
= '
2

  ∴ EQÓ=1

sin 30ù=

DQÓ
2

EQÓ
2

cos
`

30ù=

=

=

=

;2!;





  ∴ DQÓ=

3

'

CQÓ=x라고 하면 APÓ∥EQÓ이므로 

APÓ:EQÓ=CPÓ:CQÓ에서 

3:1=(x+

3+1):x

'

'

3x=x+

'
3+1, (

'

'
3+1
3-1

∴ x= '
'

=2+

3

'

3-1)x=

3+1 



'

∴ CDÓ=CQÓ+DQÓ=(2+

3)+

3=2+2

3

'

'

'

Ⅰ. 삼각비  |  9

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학â
â
Lecture

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

오른쪽 그림의 △ABC에서 두 점 D, E가  
각각 ABÓ, ACÓ 위에 있을 때 BCÓ∥DEÓ이면
⑴ ABÓ:ADÓ=ACÓ:AEÓ=BCÓ:DEÓ
⑵ ADÓ:DBÓ=AEÓ:ECÓ

06  Action   sin과 cos의 관계를 생각해 본다.
⑴ 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù인 직

A

  각삼각형 ABC에서 

D

E

B

C

  sin A=

 

  yy ㉠

BCÓ
ACÓ

  이때 ∠A+∠C=90ù이므로 

  90ù-∠A=∠C

C

B

05  Action   먼저 특수한 각의 삼각비의 값과 △DEF의 넓이를 이용하

여 DEÓ, DFÓ의 길이를 구한다.

DEÓ=x라고 하면 

△DEF에서 tan 60ù=

DFÓ
DEÓ

=

DFÓ
x

=



 

'

∴ DFÓ=
3x
이때 △DEF의 넓이가 18

'

3이므로 

'

3, xÛ

=36

_x_

3x=18

`

;2!;

'
'
∴ x=6 (∵ x>0)
△DEF에서 DEÓ=6, DFÓ=6
EFÓ=

+(6

=12

3)Û




`

'

`

한편, ∠DFE=30ù이므로 

3이므로 

'

∠DFA=180ù-(30ù+75ù)=75ù

오른쪽 그림과 같이 점 F에서 ABÓ,

BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 P, 

P

Q라고 하면

∠AFP =180ù-(90ù+60ù) 

=30ù

이므로 ∠PFD=75ù-30ù=45ù

∠CFQ=180ù-(90ù+60ù)=30ù이므로

A

45∞

60∞

30∞
F

D

6

6 3
60∞
E

12

B

45∞

30∞

C

Q

60∞

=

cos 45ù=

FPÓ
6
3
'
  ∴ FPÓ=3

∠EFQ=75ù-30ù=45ù
△PDF에서 
FPÓ
DFÓ
2FPÓ=6

△APF에서
FPÓ
AFÓ
3 AFÓ=6

'
'
△FEQ에서

sin 60ù=

3
6
'
AFÓ

=

'

2
= '
2

6

'

3
= '
2

  ∴ AFÓ=6

2

'

cos 45ù=

FQÓ
EFÓ
2FQÓ=12

'
△FQC에서
FQÓ
CFÓ


3 CFÓ=12

sin 60ù=

=

FQÓ
12

2
= '
2

  ∴ FQÓ=6

2

'

=

6
2
'
CFÓ

3
= '
2

'
따라서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는

'

'

  ∴ CFÓ=4

6

ACÓ=AFÓ+CFÓ=6

2+4

6

'

'

10  |  정답과 풀이

A

BCÓ
ACÓ

  ∴ cos (90ù-A)=cos C=

  yy ㉡

  ㉠, ㉡에 의하여 sin A=cos (90ù-A)

⑵ sin 0ù+sin 1ù+sin 2ù+y+sin 45ù

 

-cos 46ù-cos 47ù-cos 48ù-y-cos 90ù

  = cos 90ù+cos 89ù+cos 88ù+y+cos 45ù



-cos 46ù-cos 47ù-cos 48ù-y-cos 90ù

2
  =cos 45ù= '
2

2.

삼각비의 활용

최고
수준

입문하기

P  21 -  P  26

01  13.9 

05  20.8

m 

`

08  24초 

6

12  6

`

'
15  8(3-

17  4(3-

20  9(3+

23  15

2 

'

'

'

'

02  6.204 

06 
{

3

50
'
3

03  24

cmÜ

`


`

04  9

3 p

cmÜ

'

`

`

+50

m 

}`

07  200

m

09 

21 


cm  13  5

'
3)  16  50(

`

2

cm 

3-1)

m

'

13

10 


14  (20

`

m 

11  2

19

cm

2+20

6)

'

'

`


m

`

3)

3)

cmÛ

`

`
m 

`

24  10

cm 

`

`
18  4

'
21  49

3 

25  6

cmÛ

`
cmÛ


`

`

`

19  100

m

22  16

26  12p-9

3

'

`

`

27  6

3 

'

28  14

3

cmÛ

'

`

  29  5
`

'

2+

31  90

35  10

3 

'
cm 

`

32  52

2

cmÛ

  33  120ù 
`

36  24

`
'
cmÛ

`

`

:ª2°:  30  72
34  5

2

cmÛ

'

`

`

3

cmÛ

'

`

`

01  Action   ∠C의 삼각비를 이용하여 x, y의 값을 각각 구한다.

x=10 sin 35ù=10_0.57=5.7

y=10 cos 35ù=10_0.82=8.2

∴ x+y=5.7+8.2=13.9

02  Action   직각삼각형에서 크기가 62ù인 각을 찾는다.

△ABC에서 
∠B=180ù-(28ù+90ù)=62ù

∴ BCÓ=15 cos 62ù=15_0.47=7.05
따라서 △BCH에서 
CHÓ=7.05 sin 62ù=7.05_0.88=6.204

정답과 풀이 03  Action   45ù의 삼각비를 이용하여 FGÓ, CGÓ의 길이를 각각 구한다.

09  Action   점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 AHÓ, CHÓ의 길

2
△CFG에서  FGÓ=4 cos 45ù=4_ '
2

=2

2

(cm)

'

`

2
CGÓ=4 sin 45ù=4_ '
2

=2

2

(cm)

'

`

따라서 직육면체의 부피는

2

2_3_2

2=24

(cmÜ

)

'

`

`

'

04  Action   60ù의 삼각비를 이용하여 원뿔의 밑면의 반지름의 길이와 높

이를 각각 구한다.
△ABO에서 

3
AOÓ=6 sin 60ù=6_ '
2

=3

3

(cm) 

'

`

…… 30%

BOÓ=6 cos 60ù=6_

=3

(cm) 

…… 30%

따라서 원뿔의 부피는 

_(p_3Û

)_3

3=9

3 p

(cmÜ



`

'

'

`

;3!;

…… 40%

05  Action   40ù의 삼각비를 이용하여 손에서 연까지의 높이를 구한다.
A

ACÓ =30 sin 40ù 

=30_0.64=19.2

(m)

30 m

ADÓ =ACÓ+CDÓ 

=19.2+1.6=20.8

(m)

따라서 지면으로부터 연까지의 높이

B

40∞

1.6 m

C

D

`

`

;2!;

`

`

는 20.8

m이다.

`

△BAH에서  
BHÓ=AHÓ tan 30ù

06  Action   30ù, 45ù의 삼각비를 이용하여 ㈏ 건물의 높이를 구한다.

A

30∞
45∞

H

3

=

50
'
3

3
=50_ '
3
△ACH에서 
CHÓ=AHÓ tan 45ù=50_1=50

(m)

`

∴ BCÓ=BHÓ+CHÓ=

(m)

`

3

50
'
3

+50

(m)

`

따라서 ㈏ 건물의 높이는 
{

3

50
'
3

+50

m이다.

}`

07  Action   먼저 60ù의 삼각비를 이용하여 AHÓ의 길이를 구한다.

08  Action   27ù의 삼각비를 이용하여 ACÓ의 길이를 구한다.
9
0.45

9
sin 27ù 

ACÓ=

=20

(m)

=

`

따라서 걸리는 시간은 

=

(분)=24(초)

;5@0);

;5@;

6

30∞

B

A

H
5 3

C

이를 각각 구한다.

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ

에 내린 수선의 발을 H라고 하면
△ABH에서 

AHÓ=6 sin 30ù=6_

=3

;2!;

3
BHÓ=6 cos 30ù=6_ '
2

=3

3

'

3-3

3=2

3이므로

'

'

'

CHÓ=BCÓ-BHÓ=5
△AHC에서
3)Û
ACÓ=

+3Û

(2



'

`

=

21



`

10  Action   점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 BHÓ, AHÓ의 길

B

m2 2

C

5 m

H 45∞

이를 각각 구한다.

오른쪽 그림과 같이 점 B에서 

ACÓ에 내린 수선의 발을 H라고 
하면 △BHC에서
2 sin 45ù
BHÓ=2

A

=2

2
2_ '
2

'

=2

(m)

`

CHÓ=2

2 cos 45ù=2

2
2_ '
2

'

=2

(m)

`

AHÓ=ACÓ-CHÓ=5-2=3(m)이므로 
△AHB에서 ABÓ=

(m)

+2Û

=

13

`



`




`

'

'

11  Action   점 B에서 ADÓ의 연장선 위에 수선을 긋는다.
A

오른쪽  그림과  같이  점  B에서

H

D

B

ADÓ의 연장선 위에 내린 수선의 

120∞

발을 H라고 하면

∠BAH=180ù-120ù=60ù
△BAH에서

4 cm

B

6 cm

C



50 m

C



3
BHÓ=4 sin 60ù=4_ '
2

=2

3

(cm)

'

`

AHÓ=4 cos 60ù=4_

=2

(cm)

;2!;

`

이때 ADÓ=BCÓ=6

(cm)이므로 

`

DHÓ=ADÓ+AHÓ=6+2=8
따라서 △BDH에서
BDÓ=

+(2

=2

3)Û

19

`

'

`



`




`

(cm)

(cm)

오른쪽 그림과 같이 점 C에서 ABÓ

A

에 내린 수선의 발을 H라고 하면
△AHC에서
CHÓ=12 sin 60ù

3
=12_ '
2

=6

3

(cm) 

'

`

B

H

60∞

12 cm

75∞

C

…… 40%

Ⅰ. 삼각비  |  11

△ABH에서 AHÓ=400 cos 60ù=400_

=200

(m)

;2!;

12  Action   점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 CHÓ의 길이를 

△CAH에서 CHÓ=AHÓ tan 45ù=200_1=200

(m)

구한다.

`

`

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 (cm)

구한다.

16  Action   점 C에서 ABÓ에 수선을 긋는다.
오른쪽 그림과 같이 점 C에서

…… 20%

△ABC에서
∠B=180ù-(60ù+75ù)=45ù 
따라서 △CHB에서
6

3

BCÓ=

'
sin 45ù

=6

2
3Ö '
2

'

=6

6

(cm) 

'

`

…… 40%

13  Action   점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 BHÓ의 길이를 

구한다.

오른쪽 그림과 같이 점 B에서 ACÓ에

A

H

B

105∞

30∞
10 cm

C

내린 수선의 발을 H라고 하면 
△BCH에서
BHÓ=10 sin 30ù

=10_

=5

(cm)

`

;2!;
△ABC에서
∠A=180ù-(105ù+30ù)=45ù
따라서 △ABH에서
ABÓ= 5

=5

2
=5Ö '
2

sin 45ù

'

2

`

14  Action   점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 AHÓ, CHÓ의 길

이를 각각 구한다.

오른쪽 그림과 같이 점 C에서 

ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 

하면 
△CAH에서

40 m

45∞

A

C

H

30∞
B

2
AHÓ=40 cos 45ù=40_ '
2

=20

2

(m)

'

`

2
CHÓ=40 sin 45ù=40_ '
2

=20

2

(m)

'

`

△CHB에서
2

20

BHÓ=

'
tan 30ù

=20

3
2Ö '
3

'

=20

6

(m)

'

`

∴ AB Ó=AHÓ+BHÓ=20

2+20

6

(m)

'

'

`

15  Action   AHÓ=h로 놓고 BHÓ, CHÓ의 길이를 각각 h의 식으로 나타 

낸다.

AHÓ=h라고 하면 
△ABH에서 ∠BAH=90ù-45ù=45ù이므로 
BHÓ=h tan 45ù=h
△AHC에서 ∠CAH=75ù-45ù=30ù이므로 

3
CHÓ=h tan 30ù= '
3

h

BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 

3
16=h+ '
3

h, 

3

3+
'
3

h=16

∴ h=

48
3+

3

'

∴ AHÓ=8(3-

3)

'

=8(3-

3)

'

12  |  정답과 풀이

ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 

m라고 하면 

하고 CHÓ=h
`
△CAH에서 
∠ACH=90ù-30ù=60ù이

므로 

60∞

C

h m

H
100 m

45∞

45∞

B

30∞

A

(m)

AHÓ=h tan 60ù=
3h
`
△CHB에서 ∠BCH=90ù-45ù=45ù이므로
(m)
BHÓ=h tan 45ù=h

'

`

ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 

100=

3h+h, (

3+1)h=100

'

'

∴ h=

100
3+1

'

=50(

3-1)

'

따라서 지면으로부터 기구까지의 높이는 50(

m이다.
3-1)
`

'

17  Action   점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 CHÓ의 길이를 

오른쪽 그림과 같이 점 C에서 ABÓ에 내

A

△AHC에서 ∠HCA=75ù-30ù=45ù이므로 
(cm) 
AHÓ=h tan 45ù=h

…… 25%

린 수선의 발을 H라 하고 

cm라고 하면

CHÓ=h
`
△HBC에서 
∠BCH=90ù-60ù=30ù이므로 

3
BHÓ=h tan 30ù= '
3

h

(cm) 

`

`

ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 

3
4=h+ '
3

h, 

3

3+
'
3

h=4

∴ h=

12
3+

3

'
∴ △ABC=

;2!;

=2(3-

3) 

'

_4_2(3-

3)

 

=4(3-

3)

(cmÛ



'

`

'

`

4 cm

H

60∞

B

h cm
30∞

45∞

C

…… 25%

…… 30%

…… 20%

18  Action   AHÓ=h로 놓고 BHÓ, CHÓ의 길이를 각각 h의 식으로 나타 

낸다.

AHÓ=h라고 하면 
△ABH에서 ∠BAH=90ù-30ù=60ù이므로
BHÓ=h tan 60ù=
△ACH에서 ∠ACH=180ù-120ù=60ù이므로

3h

'

3
∠CAH=90ù-60ù=30ù    ∴ CHÓ=h tan 30ù= '
3

h

BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 

8=

3
3h- '
3

'

h, 

2

3

'
3

∴ AHÓ=4

3

'

h=8 

  ∴ h=

24
3
2
'

=4

3

'

정답과 풀이 19  Action   ∠ACD, ∠BCD의 크기를 이용하여 ADÓ, BDÓ의 길이를 각

23  Action   ABÓ∥DEÓ이므로 △AED=△BED임을 이용한다.

각 구한다.
△ADC에서 ∠ACD=90ù-30ù=60ù이므로 

3+1) tan 60ù=50(
ADÓ =50(

3+1)_

'

'

'

=50(3+

3)

(m)

'

`

△BDC에서 ∠BCD=90ù-45ù=45ù이므로 
(m)
3+1) tan 45ù=50(
BDÓ=50(

3+1)

'

`

'
∴ ABÓ =ADÓ-BDÓ

=50(3+

3)-50(

3+1)=100

(m)

'

'

`

20  Action   CDÓ=h
타낸다.

`

m로 놓고 ADÓ, BDÓ의 길이를 각각 h의 식으로 나

`

m라고 하면 

CDÓ=h
△ADC에서 ∠ACD=90ù-45ù=45ù이므로 
ADÓ=h tan 45ù=h
(m)
△BDC에서 ∠BCD=90ù-60ù=30ù이므로 

`

3
BDÓ=h tan 30ù= '
3

(m)

h
`

ABÓ=ADÓ-BDÓ이므로 

3
18=h- '
3

h, 

3

3-
'
3

h=18

∴ h=

54
3-

3

'

=9(3+

3)

'

∴ CDÓ=9(3+

3)

(m)

'

`

21  Action   먼저 ∠A의 크기를 구한다.

ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=75ù

∴ ∠A=180ù-(75ù+75ù)=30ù

∴ △ABC=

_14_14_sin 30ù

;2!;

;2!;

=

_14_14_

;2!;

=49

(cmÛ

)

`

`

 

 



22  Action   점 G가 △ABC의 무게중심이므로 △ABC=6△GDC

임을 이용한다.
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 
△ABC=6△GDC=6_8
3=48

'



'

△ABC=

;2!;

_12_ACÓ_sin 60ù

=

;2!;

3
_12_ACÓ_ '
2

=3

3  ACÓ 

'

즉 3

3  ACÓ=48

3이므로 ACÓ=16 

'
Lecture

'

삼각형의 무게중심과 넓이

△ABC에서 점 G가 무게중심일 때, 
△GAF=△GBF=△GBD
=△GCD=△GCE


…… 30%

…… 40%

…… 30%

F

E

A

G

D



=△GAE=

;6!;△ABC

B

C

오른쪽  그림과  같이  BDÓ를  그

D

A

6

45∞

C

B

E

10

으면 ABÓ∥DEÓ이므로 
△AED=△BED
∴ AECD
  =△AED+△DEC
  =△BED+△DEC
  =△DBC

  =

_6_10_sin 45ù

;2!;

  =

2
_6_10_ '
2

;2!;

  =15

2

'

24  Action   △ABC의 넓이를 이용하여 BCÓ의 길이를 구한다.

△ABC=

_8_BCÓ_sin (180ù-150ù)

;2!;

;2!;

=

_8_BCÓ_

=2 BCÓ

즉 2 BCÓ=20이므로 BCÓ=10

(cm)

;2!;

`

25  Action   먼저 △ADE에서 60ù의 삼각비를 이용하여 AEÓ의 길이를 

구한다.

ADÓ=4

cm이므로 △ADE에서

`

3
AEÓ=4 sin 60ù=4_ '
2

=2

3

(cm)

'

`

∠EAD=90ù-60ù=30ù이므로

∠EAB=30ù+90ù=120ù

∴ △ABE=

_4_2

3_sin (180ù-120ù)

'

3
3_ '
2

'

;2!;

;2!;

`

=

_4_2

=6

(cmÛ

)

`

26  Action   OCÓ를 그으면 색칠한 부분의 넓이는 
(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC이다.
오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면
△AOC에서 OAÓ=OCÓ이므로
∠OCA=∠OAC=30ù

A

∴ ∠AOC =180ù-(30ù+30ù) 

=120ù

∴ (색칠한 부분의 넓이)
  =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC

C

30∞
6

O

B

  =p_6Û

_

-

_6_6_sin (180ù-120ù)

`

;3!6@0);

;2!;

  =12p-

3
_6_6_ '
2

;2!;

  =12p-9

3

'

Ⅰ. 삼각비  |  13

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 27  Action   △ABC=△ABD+△ADC임을 이용한다.

∴ ABCD=△ABD+△BCD

△ABC=

;2!;

_15_10_sin 60ù

=

;2!;

3
_15_10_ '
2

=

3

75
'
2

ADÓ는 ∠BAC의 이등분선이므로 

∠BAD=∠DAC=

_60ù=30ù

;2!;

△ABD=

_15_ADÓ_sin 30ù

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

=

_15_ADÓ_

=

ADÓ

;2!;

:Á4°:

△ADC=

_ADÓ_10_sin 30ù

=

_ADÓ_10_

=

ADÓ

;2!;

;2%;

△ABC=△ABD+△ADC이므로 
75
'
2

ADÓ+

ADÓ=

ADÓ,

:Á4°:

:ª4°:

=

;2%;

3

3

75
'
2

∴ ADÓ=6

3

'

다른 풀이  

△ABC=

;2!;

_15_10_sin 60ù=

3

75
'
2

△ABD:△ADC =BDÓ:CDÓ=ABÓ:ACÓ

=15:10=3:2

=

_15_ADÓ_sin 30ù이므로

;2!;

=

:Á4°:

ADÓ    ∴ ADÓ=6

3

'

3

45
'
2

3

45
'
2

다.

으면

 

오른쪽  그림과  같이  BDÓ를  그

ABCD
=△ABD+△BCD

=

_2

3_4_sin (180ù-150ù)

;2!;

'

D

4 cm

A

6 cm

60∞

C

150∞

8 cm

2 3

cm

B

+

_6_8_sin 60ù

;2!;

=

_2

3_4_

+

;2!;

'

;2!;

;2!;

3
_6_8_ '
2

=2

3+12

3=14

3

(cmÛ

)

'

'

'

`

`

∴ △ABD=

3
3+2 △ABC=

;5#;

_

3

75
'
2

=

3

45
'
2

이를 구한다.

28  Action   BDÓ를 긋고 ABCD=△ABD+△BCD임을 이용한

  =5

3

'

=

_4_5

2_sin 30ù+

_5_5

;2!;

;2!;

;2!;

'

'

=

_4_5

2_

+

;2!;

:ª2°:

=5

2+

'

:ª2°:

30  Action   정팔각형의 대각선을 모두 그어 생긴 합동인 8개의 이등변삼

각형의 넓이의 합을 구한다.

오른쪽 그림과 같이 정팔각형의 대각선

을 그으면 합동인 8개의 이등변삼각형으

로 나누어진다. 

…… 30%

A

6 cm

O

B

∠AOB=360ù_

=45ù,

;8!;

OAÓ=OBÓ=

_12=6

(cm)이므로 

;2!;
(정팔각형의 넓이)=8△AOB

`

…… 30%

=8_

_6_6_sin 45ù

}

=8_

_6_6_ '

2
2 }

{;2!;

{;2!;

=72

2

(cmÛ



'

`

`

…… 40%

31  Action   먼저 점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 BDÓ의 길

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ

A

에 내린 수선의 발을 H라고 하면 
△DHC에서 

3
DHÓ=10 sin 60ù=10_ '
2

16

30∞

B

D

10

60∞
H

C

20

CHÓ=10 cos 60ù=10_

=5

;2!;

BHÓ=BCÓ-CHÓ=20-5=15이므로 
△DBH에서 BDÓ=
`
∴ ABCD=△ABD+△DBC

+(5

15Û

3)Û



'

`

=10

3
'

=

_16_10

3_sin 30ù+

_20_5

3

;2!;

'

;2!;

;2!;

'

'

=

_16_10

3_

+50

3

;2!;

'

=40

3+50

3

'

=90

3

'

'

32  Action   ABCD가 어떤 사각형인지 파악한다.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변

∴ ABCD=8_13_sin 45ù

2
=8_13_ '
2

=52

2

(cmÛ

)

'

`

`

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





29  Action   ABCD=△ABD+△BCD임을 이용한다.

형이다.

△BCD에서 

BDÓ=

5
cos 45ù

2
=5Ö '
2

=5

2

'

BCÓ=5 tan 45ù=5_1=5

14  |  정답과 풀이

정답과 풀이 36  Action   0ù<xÉ90ù일 때, 0<sin xÉ1임을 이용한다.

02  Action   먼저 점 C에서 OAÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 OHÓ의 길

두 대각선이 이루는 각 중에서 크기가 작은 각의 크기를 x라

이를 구한다.

33  Action   ABCD=ABÓ_BCÓ_sin (180ù-B)임을 이용한다.

6_9_sin (180ù-B)=27

3이므로

'

3
sin (180ù-B)= '
2

따라서 180ù-∠B=60ù이므로 ∠B=120ù

34  Action   △BMD의 넓이가 ABCD의 넓이의 몇 배인지 알아본다.

△BMD=

;2!;△BCD=

;2!;

_

;2!;

ABCD

=

ABCD=

_(5_8_sin 60ù)

;4!;

 

 

 

;4!;

3
2 }

=

_

5_8_ '

;4!;

{

=5

3

(cmÛ

)

'

`

`

35  Action   ABCD=

;2!;

_ACÓ_BDÓ_sin (180ù-135ù)임을 이

 

용한다.

_12_BDÓ_sin (180ù-135ù)=30

2이므로

'

;2!;

2
_12_BDÓ_ '
2

;2!;

∴ BDÓ=10

(cm)

`

=30

2, 3

2 BDÓ=30

2

'

'

'

고 하면

ABCD=

_6_8_sin x=24 sin x

(cmÛ

)

`

`

;2!;

이때 sin x의 값 중 가장 큰 값은 1이므로 ABCD의 넓이 

중 가장 큰 값은 24

cmÛ

`

이다.
`

최고
수준

완성하기

P  27 -  P  30

`

'

01 

4

3
'
3 `

cm  02  18

cm 

03  (50+20

3)

m

'

`

04 20

7

km  05  (4

3-4)

cm 

`

06  24-12

3

'

07  78

% 

08  (18+18

2)

cmÛ

'

`


`

10  47

cmÛ


`

11  ⑴ 4

3

cm  ⑵ 72

3

cmÛ

'

`

'

`

09  ;5#;
  12  6
`

'

3

'

`

`

`

01  Action   △ABC가 직각이등변삼각형임을 이용한다.
A

오른쪽 그림의 △BCD에서  
15ù+∠BCD=60ù 

 

∴ ∠BCD=45ù
△ABC에서 
∠ABC =180ù-(90ù+45ù) 

=45ù

4 cm

75∞

E

105∞

60∞

D

B

45∞

15∞

C

45∞

이므로 △ABC는 직각이등변삼각형이다.
ABÓ=ACÓ=x
cm라고 하면 AEÓ=x-4
△AEC에서 ∠AEC=180ù-105ù=75ù이므로 
ACÓ =AEÓ tan 75ù

(cm)

`

`

=(x-4) tan 75ù=(x-4)(2+

3)

'

즉 x=(x-4)(2+

3)에서 

'
3)x-8-4

'

3, (1+

3)x=8+4

3

'

'

 

=2(1+

3) 

'

3)

(cm)

'

`

x=(2+

∴ x=

'
8+4
1+

3
'
3
'

∴ ABÓ=ACÓ=2(1+
한편, △ABD에서 
ABÓ
tan 60ù

ADÓ=

∴ CDÓ=ACÓ-ADÓ



 

 

=2(1+

3)-

'

3)

2(3+
3

'

=2+2

3-2-

'

2

3

'
3

=

4

3
'
3 `

(cm)

=2(1+

3)Ö

3=

'

'

3)

2(3+
3

'

`

(cm)

오른쪽 그림과 같이 점 C에서 OAÓ

에 내린 수선의 발을 H라고 하면 구

하는 높이는 AHÓ의 길이와 같다.
△OHC에서 
OHÓ =50 cos 50ù=50_0.64 

=32

(cm)

`

50 cm

50∞

50∞

BB

CC

O

H

AA

∴ AHÓ=OAÓ-OHÓ=50-32=18

(cm)

따라서 A 지점을 기준으로 추는 18

`
cm 높이에 있다.

`

03  Action   40초 후의 A의 위치를 A'으로 놓고 부채꼴 A'OA를 그려 

본다.

놀이기구는 2분에 1바퀴를 회전

A′

하므로 1초에 3ù씩 회전한다.

40 m

즉 40초 동안 

3ù_40=120ù를 회전하므로 40

초  후의  A의  위치를  A'이라고 

하면 오른쪽 그림과 같다.

120∞

A

40 m

H

O

60∞

점 A'에서 OAÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면 
△A'HO에서 ∠HOA'=180ù-120ù=60ù이므로 

3
A'HÓ=40 sin 60ù=40_ '
2

=20

3

(m)

'

`

따라서 40초 후에 지면에서 A 지점까지의 높이는 

(50+20

3)

m이다.

'

`

Ⅰ. 삼각비  |  15

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 04  Action   OPÓ, OQÓ의 길이를 구한 후 점 P에서 OQÓ에 내린 수선의 발

이때 CHÓ=AHÓ=12(3-

3), 

을 H로 놓고 PHÓ, OHÓ의 길이를 각각 구한다.

두 자동차가 30분 동안 각각 시속 120

km, 시속 80

km로 

`

`

달려 P, Q 지점에 도착하였으므로

OPÓ=120_

=60

(km), OQÓ=80_

;6#0);

`

=40
`

;6#0);

(km)

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 OQÓ에

P

'
_24=12이므로

CMÓ=

BCÓ=

;2!;

;2!;

HMÓ =CHÓ-CMÓ

=12(3-

3)-12 

=24-12

3

'

'

내린 수선의 발을 H라고 하면 
△POH에서
PHÓ=60 sin 60ù

3
 =60_ '
2

=30

3

(km)

'

`

OHÓ=60 cos 60ù

 =60_

=30

(km) 

;2!;

`

HQÓ=OQÓ-OHÓ=40-30=10
△PHQ에서
PQÓ=

+(30

=20

10Û

3)Û

7

`

'

`

'

`



`

(km)

(km)이므로 

60 km

07  Action   ABÓ=c, BCÓ=a로 놓고 BDÓ, BEÓ의 길이를 각각 c, a의 식

40∞

20∞

O

R

40 km

H Q

으로 나타낸다.

ABÓ=c, BCÓ=a라고 하면 

△ABC=

;2!;

_ABÓ_BCÓ_sin B=

ac sin B

;2!;

BDÓ=

_c=

c, BEÓ=

_a=

a이므로

;1¤0¼0;

;5#;

;1!0#0);

;1!0#;

△DBE=

;2!;

_BDÓ_BEÓ_sin B

05  Action   점 C에서 ABÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H로 놓고 AHÓ, 

CHÓ의 길이를 각각 구한다.

오른쪽 그림과 같이 점 C에서 ABÓ

의 연장선에 내린 수선의 발을 H라
고 하면 △CAH에서
AHÓ=8 cos 30ù

3
 =8_ '
2

=4

3

(cm) 

'

`

CHÓ=8 sin 30ù=8_

=4

(cm) 

;2!;

`

∠ACH=90ù-30ù=60ù이므로

∠BCH=60ù-15ù=45ù
따라서 △CBH에서 
BHÓ=4 tan 45ù=4_1=4

∴ ABÓ =AHÓ-BHÓ

=4

3-4

(cm) 

'

`

(cm) 

`

8 cm

A

30∞

B

C

H

45∞

15∞

…… 25%

…… 25%

…… 30%

…… 20%

06  Action   AHÓ=h로 놓고 BHÓ, CHÓ의 길이를 각각 h의 식으로 나타낸

다.

AHÓ=h라고 하면 
△ABH에서 ∠BAH=90ù-60ù=30ù이므로 

3
BHÓ=h tan 30ù= '
3

h

△AHC에서 ∠CAH=90ù-45ù=45ù이므로 
CHÓ=h tan 45ù=h

BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 

3
24= '
3

h+h, 

h=24

3

3+
'
3

∴ h=

72
3+

3
'

=12(3-

3)

'

16  |  정답과 풀이

 

 

 

 

 

따라서 △DBE의 넓이는 △ABC의 넓이의 78

%이다.

`

=

_

;2!;

;5#;

c_

;1!0#;

a_sin B

=

_

;5#0(;

{;2!;

ac sin B

}

=

;1¦0¥0;△ABC

Lecture

증가, 감소

a에 대하여

⑴ r

% 증가 ➡ a

1+

⑵ r

% 감소 ➡ a

1-

{

{

;10R0;}

;10R0;}

`

`

08  Action   µAB:µ BC:µ CA=3:2:3이므로 

∠AOB:∠BOC:∠COA=3:2:3임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OBÓ, OCÓ를 그으

A

6 cm



µAB:µ BC:µ CA=3:2:3이므로

∠AOB=∠COA

=360ù_

=135ù, 

O

B

C

∠BOC=360ù_

=90ù 

…… 40%

3
3+2+3

2
3+2+3

∴ △ABC
  =△OAB+△OBC+△OCA

  =

_6_6_sin (180ù-135ù)+

_6_6_sin 90ù

;2!;

;2!;

+

_6_6_sin (180ù-135ù)

;2!;

  =

2
_6_6_ '
2

;2!;

+

_6_6_1+

;2!;

2
_6_6_ '
2

;2!;

2+18+9

2

  =9

'
  =18+18

'
(cmÛ



`

2

`

'

…… 60%

정답과 풀이 09  Action   EFÓ를 긋고 

다.

ABCD=△ABE+△EBF+△FBC+△DEF임을 이용한

정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 2a라고 하면 

AEÓ=EDÓ=DFÓ=FCÓ=a
△ABE에서 
(2a)Û
BEÓ=

`
마찬가지 방법으로 BFÓ=

+aÛ

5a

=



'

`

5a

'

오른쪽 그림과 같이 EFÓ를 그으면 

A

E

ABCD 
=△ABE+△EBF+△FBC 

+△DEF

x

B

이므로 △ABE=

_a_2a=aÛ

;2!;

`

△EBF=

_

5a_

5a_sin x=

;2!;

'

'



 sin x
`

;2%;

D

F

C

△FBC=

_2a_a=aÛ

;2!;

;2!;

`



`

;2!;

△DEF=

_a_a=

즉 (2a)Û

=aÛ

+

`

`



 sin x+aÛ
`

+
`



이므로 
`

;2!;

;2%;



 sin x=
`

;2#;



 
`

;2%;

  ∴ sin x=

;5#;

∠EAB'의 크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 AEÓ를 그

C′

으면
△AB'E와 △ADE에서 
∠AB'E=∠ADE=90ù, 

AB'Ó=ADÓ=10

(cm), 

`

AEÓ는 공통이므로 
△AB'Eª△ADE ( RHS 합동)

∴ ∠DAE=∠B'AE=

∠DAB'

;2!;

D

E

D′

B′

C

B

25∞
40∞

A

10 cm

=

_(90ù-40ù)=25ù

;2!;

△AB'E에서 
B'EÓ=AB'Ó tan 25ù=10_0.47=4.7
∴ DAB'E=2△AB'E

(cm)
`

=2_

_10_4.7

}

{;2!;
(cmÛ

)

`

=47

`

 

 



  오른쪽 그림과 같이 점 A에서

 

 GLÓ에 내린 수선의 발을 M이

8 cm
L

A

F

라고 하면 

  AGÓ=ALÓ=

 AFÓ

;2!;

_8=4

(cm)

   =

;2!;

`
  이므로 GMÓ=LMÓ

4 cm
G

M

60∞

B

H

K

J

E

C

I

D

 ∠ GAL=120ù이므로 ∠GAM=

_120ù=60ù

;2!;

  △AGM에서 

3
  GMÓ=4 sin 60ù=4_ '
2

=2

3

(cm) 

 

'

`

  ∴ GLÓ =2 GMÓ=2_2

3=4

'
 따라서  정육각형  GHIJKL의  한  변의  길이는  4

`

(cm)

3
'

 

3

cm 

'

`

이다.

⑵  오른쪽 그림과 같이 정육각형  

 

 GHIJKL의  대각선을  그으면  한 

변의  길이가  4

3

cm이고  합동인 

`
정삼각형  6개로  나누어지므로  정

'

육각형 GHIJKL의 넓이는

L

4 3

cm

G

H

60∞

I

K

J

  6_

_4

3_4

3_sin 60ù

{;2!;

'

'

}

  =6_

_4

3_4

3_ '

{;2!;

'

'

=72

3
'

`

(cmÛ

)

`

3
2 }

⑵  정육각형 ABCDEF의 넓이는 한 변의 길이가 8

cm인 
정삼각형 6개의 넓이와 같고, △AGL, △BHG, △CIH, 
△DJI, △EKJ, △FLK는 모두 합동이다.

`

  따라서 정육각형 GHIJKL의 넓이는

(정육각형 ABCDEF의 넓이)-6△AGL

  =6_

_8_8_sin 60ù

{;2!;

}

 

 

-6_

_4_4_sin (180ù-120ù)

[;2!;
3
2 }

]

3
2 }

  =6_

_8_8_ '

-6_

_4_4_ '

{;2!;

{;2!;

  =96

3-24

3=72

3

(cmÛ

)

'

'

`

`

'

12  Action   크기가 같은 각을 찾은 후 ABÓ, BCÓ의 길이를 x에 대한 식으

로 나타낸다.

오른쪽 그림과 같이 점 B에서

DAÓ에 내린 수선의 발을 H라

x cm x cm

D

E

A

H
60∞

60∞

B

C

G

F

고 하면

∠BAH =∠ABC 

10  Action   AEÓ를 긋고 △AB'E와 △ADE가 합동임을 이용하여 

다른 풀이  

11  Action   점 A에서 GLÓ에 수선을 긋고 GLÓ의 길이를 구한다.

⑴ 정육각형의 한 내각의 크기는

 

180ù_(6-2)
6

=120ù

=60ù (엇각)
cm이므로 △AHB에서
3

2

x
sin 60ù

3
=xÖ '
2

=

'
3

`

BHÓ=x

ABÓ=

x

(cm)
`

Ⅰ. 삼각비  |  17

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 이때 ∠BAC=∠GAC (접은 각),

∠GAC=∠BCA (엇각)이므로 ∠BAC=∠BCA
즉 △ABC는 정삼각형이므로
2

3

BCÓ=ABÓ=

'
3

x

(cm)

`

이때 △ABC=36
'
3
3

2

2

`

_

;2!;

'
3

x_

3

(cmÛ

)이므로

`

x_sin 60ù=36

3

3
'
3

`

'



=36

3, xÛ

=108 

  ∴ x=6

3 (∵ x>0)

'

'

'
3

`

최고
수준

뛰어넘기

P  31 -  P  32

01  2400

m  02  27 

`

03  18+6

3  04  '¶

'

21
14

05  3배 

06  150

3-50p

'

01  Action   두 점 B, C에서 바닥에 내린 수선의 발을 각각 D, E, 점 C에
서 BDÓ에 내린 수선의 발을 F로 놓고 BDÓ=BFÓ+FDÓ=BFÓ+CEÓ임

을 이용한다.

두 점 B, C에서 바닥에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하고 

B

F

D

800 m

35∞

35∞

A

13∞

13∞

C

E

점 C에서 BDÓ에 내린 수선의 발을 F라고 하자.
△ADB에서 
BDÓ=800 sin 35ù=800_0.6=480
△AEC에서 
CEÓ=ACÓ sin 13ù=0.2 ACÓ
△CBF에서 
BFÓ=BCÓ sin 13ù=0.2 BCÓ

(m)

(m)

(m)

`

`

`

이때 BDÓ=BFÓ+FDÓ=BFÓ+CEÓ이므로 

480=0.2BCÓ+0.2ACÓ, 0.2(ACÓ+BCÓ)=480

∴ ACÓ+BCÓ=2400

(m)

`

따라서 구하는 우회도로의 길이는 2400

m이다.

`

02  Action   BBÁÓ, BBªÓ, BB£Ó, y, BCÓ의 길이를 각각 tan의 값을 사용하

여 나타낸다.
△ABBÁ에서 ∠BABÁ=5ù이므로 
BBÁÓ=ABÓ tan 5ù=10 tan 5ù
△ABBª에서 ∠BABª=10ù이므로 
BBªÓ=ABÓ tan 10ù=10 tan 10ù

18  |  정답과 풀이

△ABB£에서 ∠BAB£=15ù이므로 
BB£Ó=ABÓ tan 15ù=10 tan 15ù

 ⋮

 
△ABB¥에서 ∠BAB¥=40ù이므로 
BB¥Ó=ABÓ tan 40ù=10 tan 40ù
△ABB»에서 ∠BAB»=45ù이므로 
BB»Ó=ABÓ tan 45ù=10
△ABBÁ¼에서 ∠BABÁ¼=50ù이므로 

BBÁ¼Ó=ABÓ tan 50ù=

ABÓ
tan 40ù

=

10
tan 40ù

△ABBÁÁ에서 ∠BABÁÁ=55ù이므로 

BBÁÁÓ=ABÓ tan 55ù=

ABÓ
tan 35ù

=

10
tan 35ù

 ⋮

 
△ABC에서 ∠BAC=85ù이므로 

BCÓ=ABÓ tan 85ù=

ABÓ
tan 5ù

=

10
tan 5ù

∴ BBÁÓ_BBªÓ_BB£Ó_y_BCÓ

  =10 tan 5ù_10 tan 10ù_10 tan 15ù

 

 

_y_

10
tan 5ù

  =102_8_10=10Ú

`

`

따라서 x=10, y=17이므로

x+y=10+17=27

Lecture

tan의 성질

_y_10 tan 40ù_10_

10
tan 40ù

_

10
tan 35ù

오른쪽 그림과  같이 ∠B=90ù인 직각
삼각형 ABC에서

tan A=

BCÓ
ABÓ



이때 ∠A+∠C=90ù이므로 
90ù-∠A=∠C

yy ㉠

A

C

B

∴ tan (90ù-A)=tan C=

yy ㉡

㉠, ㉡에 의하여 tan A=



ABÓ
BCÓ
1
tan (90ù-A)

03  Action   점 I가 △ABC의 내심이므로 ADÓ는 ∠A의 이등분선이다.
점 I가 △ABC의 내심이므로 ADÓ는 ∠A의 이등분선이다. 
즉 ∠BAD=∠DAC=30ù이므로 
△ABC에서 
∠C =180ù-(30ù+30ù+45ù)=75ù
△ADC에서 ∠ADC=180ù-(30ù+75ù)=75ù이므로 
△ADC는 이등변삼각형이다.
∴ ACÓ=ADÓ=12

정답과 풀이à
한편, 오른쪽 그림과 같이 점 D에서

A

△APR=

;2!;

_APÓ_ARÓ_sin A

CDÓ⊥ABÓ이고 ∠ACD=∠BCD=

_60ù=30ù

;2!;

∴ △PQR=△ABC-(△APR+△BQP+△CRQ)

H

45∞

B

12

I

D

30∞

C

ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하
면 △AHD에서
AHÓ=12 cos 30ù

3
 =12_ '
2

=6

3

'

DHÓ=12 sin 30ù=12_

=6

;2!;

△BDH에서
6
tan 45ù

BHÓ=

=

=6

;1^;

따라서 ABÓ=AHÓ+BHÓ=6

3+6이므로

ABÓ+ACÓ =(6

'
3+6)+12 

'

=18+6

3

'

04  Action   CDÓ⊥ABÓ임을 이용하여 BCÓ=a로 놓고 BEÓ, CEÓ의 길이를 

각각 a의 식으로 나타낸다.
△ABC가 정삼각형이므로 

ABÓ=BCÓ=CAÓ=a라고 하면 

△BCD에서 BDÓ=

ABÓ=

a

;2!;

;2!;

3
CDÓ=a sin 60ù= '
2

a이므로 

CEÓ=DEÓ=

 CDÓ

;2!;

  =

3
_ '
2
△BED에서 

;2!;

3
a= '
4

a

BEÓ=

a

+

¾¨{;2!;

}

`

{

3
'
4

7
= '
4

a

}

`

a

△BCE=

_BEÓ_BCÓ_sin x

=

_CEÓ_BCÓ_sin 30ù

이므로

7
_ '
4

;2!;

a_a_sin x=

3
_ '
4

;2!;

a_a_

;2!;

∴ sin x= '
2
'

3
7

= '¶

21
14

이의 몇 배인지 알아본다.

△ABC=

_ABÓ_ACÓ_sin A

 

 

=

_ABÓ_BCÓ_sin B

=

_ACÓ_BCÓ_sin C

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

_

;2!;

;3!;

 ABÓ_

 ACÓ_sin A

;3@;

=

_

;9@;

{;2!;

_ABÓ_ACÓ_sin A

}

=

;9@;△ABC

△BQP=

;2!;

_BQÓ_BPÓ_sin B

=

_

;2!;

;3!;

 BCÓ_

 ABÓ_sin B

;3@;

=

_

;9@;

{;2!;

_ABÓ_BCÓ_sin B

}

=

;9@;△ABC

△CRQ=

;2!;

_CRÓ_CQÓ_sin C

=

_

;2!;

;3!;

 ACÓ_

 BCÓ_sin C

;3@;

=

_

;9@;

{;2!;

_ACÓ_BCÓ_sin C

}

=

;9@;△ABC

=△ABC-3_

;9@;△ABC

=

;3!;△ABC

따라서 △ABC의 넓이는 △PQR의 넓이의 3배이다.

06  Action   색칠한 부분의 넓이는 (작은 원들의 중심을 연결하여 만든 정
육각형의 넓이)-6_(중심각의 크기가 120ù인 부채꼴의 넓이)임을 이

용한다.

오른쪽 그림과 같이 이웃한 작은 두

2r

원의 중심을 각각 A, B라 하고 작은 

원의 반지름의 길이를 r라고 하면 

B

120∞

OAÓ=OBÓ=15-r

6개의 작은 원의 중심을 차례로 연결

하면 한 변의 길이가 2r인 정육각형이 

15-r

r

A

O

되고, 이 정육각형은 합동인 정삼각형 6개로 이루어져 있다.

정삼각형 OAB에서 ABÓ=OAÓ이므로 

2r=15-r, 3r=15  ∴ r=5, 즉 OAÓ=OBÓ=10

이때 정육각형의 한 내각의 크기는 

180ù_(6-2)
6

=120ù

-6_(중심각의 크기가 120ù인 부채꼴의 넓이)

  =6_

_10_10_sin 60ù

-6_

p_5Û

_

}

{

`

;3!6@0);}

  =6_

_10_10_ '

-50p

3
2 }

  =150

3-50p

{;2!;

{;2!;

'

Ⅰ. 삼각비  |  19

05  Action   △APR, △BQP, △CRQ의 넓이가 각각 △ABC의 넓

∴ (색칠한 부분의 넓이)

  =(정육각형의 넓이)

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학2
2
교과서 속

창의 사고력

01  '

6

'

2+
4

  02 

3

160
'
3

`

m  03  '¶

13
13  

04 

21

5

'

3-
3



P  33 -  P  34

03  Action   정사면체의 전개도를 그려 본다.
오른쪽 그림과 같은 전개도

01  Action   먼저 크기가 75ù인 각을 찾는다.

△AED에서
∠DAE=180ù-(90ù+15ù)=75ù이므로

∠DAC=75ù-45ù=30ù
△ACD에서
DCÓ
4

sin 30ù=

=

;2!;

2DCÓ=4 

  ∴ DCÓ=2

cos 30ù=

ACÓ
4

3
= '
2

2ACÓ=4

3  ∴ ACÓ=2

3

'

'

∠ADC=180ù-(90ù+30ù)=60ù이므로 

∠CDE=60ù-15ù=45ù

오른쪽 그림과 같이 ACÓ와 DEÓ의 교점
을 F라고 하면 △DFC는 직각이등변삼
각형이므로 

D

45∞

15∞
4

F

30∞
45∞
E

A

C

B

3-2

'

2
= '
2

CFÓ=DCÓ=2

=2

+2Û




∴ DFÓ=
`
△AEF에서 
AFÓ=ACÓ-CFÓ=2

`

2

'

sin 45ù=

EFÓ
3-2
2

2
'
6-2

2EFÓ=2

6-

'
2

'
∴ EFÓ=
'
따라서 △AED에서
DEÓ=DFÓ+EFÓ=2

'

sin 75ù=

= '

DEÓ
ADÓ

'
6

'
2+
4

'

2+(

6-

2)=

2+

6이므로

'

'

'

02  Action   삼각비를 이용하여 BDÓ, ADÓ의 길이를 각각 구한 후  

ABÓ=BDÓ-ADÓ임을 이용한다.
△CBD에서 ∠BCD=90ù-30ù=60ù이므로 
BDÓ =80 tan 60ù 

3

'

3=80

=80_

(m)
`
△CAD에서 ∠ACD=90ù-60ù=30ù이므로 
ADÓ=80 tan 30ù

'

3
  =80_ '
3

=

3

80
'
3

`

(m)

∴ ABÓ=BDÓ-ADÓ

 

=80

3-

'

3

80
'
3

=

3

160
'
3

`

(m)

따라서 자동차가 4초 동안 움직인 거리는 

m이다.

3

160
'
3

`

20  |  정답과 풀이

04  Action   △ABC의 넓이를 삼각비와 내접원을 이용하여 각각 구해 

에서 ADÓ와 B'CÓ의 교점을 
E라고 하면 △DB'C는
B'DÓ=CDÓ인  이등변삼각형

B

M

x

C

이고 ∠CDB'=60ù+60ù=120ù이므로

A

Q

P

B′

E

D

∠B'CD=∠CB'D=

_(180ù-120ù)=30ù

;2!;

∴ ∠ACE=∠AB'E=60ù-30ù=30ù

따라서 B'CÓ는 ∠ACD와 ∠AB'D의 이등분선이므로 

B'CÓ⊥ADÓ이다.
△CDE에서 

3
CEÓ=CDÓ sin 60ù=4_ '
2

=2

3

(cm)

'

`

이등변삼각형 DB'C에서 DEÓ⊥B'CÓ이므로 

B'CÓ=2CEÓ=2_2
3
'
한편, △B'MC에서 ∠MCB'=60ù+30ù=90ù이고 

(cm)

3=4

'

`

MCÓ=

_4=2

(cm), B'CÓ=4

3

(cm)이므로 

`

'

`

;2!;




`

∴ cos x=

B'MÓ=

+(4

3)Û

=2

13

(cm)

`

=

'
MCÓ
B'MÓ


2
13

2



`

= '¶

13
13

본다.

△ABC=

;2!;

_ABÓ_BCÓ_sin 60ù

=

;2!;

3
_4_6_ '
2

=6



'

오른쪽 그림과 같이 점 A에서

A

BCÓ에 내린 수선의 발을 H라

고 하면 
△ABH에서
AHÓ=4 sin 60ù

3
  =4_ '
2

=2

3

'

yy ㉠

C

4

r

I

60∞

B

H

6

BHÓ=4 cos 60ù=4_

=2

;2!;

CHÓ=BCÓ-BHÓ=6-2=4이므로 
△AHC에서 ACÓ=
`
이때 IAÓ, IBÓ, ICÓ를 긋고 내접원 I의 반지름의 길이를 r라고 

7
'

+4Û

=2

3)Û

(2



'

`

하면 
△ABC=△ABI+△BCI+△CAI

=

_4_r+

_6_r+

_2

7_r

;2!;

;2!;

;2!;

'

 

 

=2r+3r+

7r=(5+

7)r 

'
3=(5+

'
7)r이므로 

㉠, ㉡에 의하여 6

'

5

'

=

21



'
3-
3

r=

3

6
'
5+
'

7

yy ㉡

정답과 풀이 cm 

23  2

10

cm  24  48



`

2

cmÛ

'

`

`

오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면

II. 원의 성질

1.

원과 직선

최고
수준

입문하기

P  38 -  P  43

01  8

3

cm  02  2

13 



'

`

`
7 

'

05  10

cm 

09  8

cm 

06  30p

`
10  16p 

03  :Á2°: 
07  10
3 

'
11  40ù 

04  8

2

cm

'

`

cm

08  12

`
12  52ù

13  48p 

14  26ù 

15  ;:!9):);

p

cmÛ

`

 16  2
`



21

3

`

cm  18  :Á1ª3¼: 
22  6
3
cm 

'

`

19  8 

20  2

cm  26  10

3

cm  27  2500p



  28  8
`

`

cm

`

cm 

30  14

cm 

33  34

cm 

34  2

cm 

cm 

31  2

`
35  76

cmÛ


`

`

32  9p

cmÛ

`

`

36  6

'

`

`
7

'

`

17  2

'

21  30

`
25  :Á2°:`
29  11

`

`

다.

01  Action   원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분함을 이용한

ABÓ⊥OMÓ이므로 AMÓ=BMÓ
△OAM에서 
-4Û
AMÓ=

(cm)

=4

3

`
`
∴ ABÓ=2AMÓ=2_4

'

`

3=8




Lecture

현의 수직이등분선과 피타고라스 정리

'

3

(cm)

'

`

스정리를 이용한다.
즉 오른쪽 그림과 같은 원 O에서 ABÓ⊥OCÓ
이면 AMÓ=BMÓ이고 △OAM이 직각삼각
형이므로 피타고라스 정리를 이용한다.

현의 수직이등분선에 의하여 직각삼각형이 만들어지면 피타고라

O

M
C

A

B

02  Action   원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분함을 이용한

오른쪽 그림과 같이 OAÓ, ODÓ를 그으면 

A

D

 ABÓ=

_10=5이므로 

;2!;

10
M

B

2

O

4

N

C

다.

AMÓ=

;2!;
△OAM에서 
+2Û

OAÓ=

ODÓ=OAÓ=

△OND에서 
29)Û
DNÓ=

`

`

(


=

29



29이므로


∴ CDÓ=2DNÓ=2

`

-4Û

13

`

=


13



03  Action   △OAM은 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 이용한

다.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 긋고 원 O의

O

6
M

3
C

A

B

반지름의 길이를 r라고 하면 

OAÓ=OCÓ=r, OMÓ=r-3
△OAM에서 


+(r-3)Û

=6Û

, 6r=45
`

`
`
∴ r=

:Á2°:

따라서 원 O의 반지름의 길이는 

이다.

:Á2°:

04  Action   OAÓ=OBÓ=OCÓ=(반지름의 길이)임을 이용한다. 

원 O의 반지름의 길이는

`

A

 ABÓ=

_(16+2)=

_18=9

(cm) 

…… 30%

;2!;

;2!;

;2!;

(cm)이므로

OCÓ=9

(cm)

`
OMÓ=9-2=7
△OMC에서 
-7Û
CMÓ=

`




=4

2

(cm) 

`
∴ CDÓ=2 CMÓ=2_4

'

`

`

2=8

2
'

`

'

(cm) 

16 cm

O

M

B
2 cm

C

D

…… 50%

…… 20%

05  Action   현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용한다.

D 4 cm

B

(r-4) cm

A

8 cm

r cm

C

O

오른쪽 그림과 같이 CDÓ의 연장선

은 원의 중심을 지나므로 원의 중심

을 O, 반지름의 길이를 r

cm라고 

(cm), ODÓ=r-4

(cm)

`

`

하면 

OAÓ=r
`
△ODA에서 


=8Û

+(r-4)Û

`

`
`
따라서 원의 반지름의 길이는 10

, 8r=80 

  ∴ r=10

cm이다.

`

Lecture

원의 일부분이 주어진 경우

원의 일부분이 주어진 경우에는 현의 수직이

등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용하여 

원의 중심을 찾는다. 이때 직각삼각형을 찾

아 피타고라스 정리를 이용하여 원의 반지름

의 길이를 구한다. 

A

B

C

D

O

06  Action   현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용한다.

오른쪽 그림에서 

ADÓ=

ABÓ=

_18=9

(cm)

;2!;

;2!;

`

CDÓ의  연장선은  원의  중심을  지나므로 

원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r

cm

`

라고 하면

A

r cm
r cm

C

3 cm
B

H
D
18 cm
18 cm

O

Ⅱ. 원의 성질  |  21

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 (cm), ODÓ=r-3

(cm)

`

OAÓ=r
`
△ODA에서


=9Û
`

+(r-3)Û

`
따라서 깨지기 전 원래 원 모양의 접시의 둘레의 길이는 

, 6r=90 
`

  ∴ r=15

11  Action   OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ임을 이용한다.

OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 
∠A=180ù-2_70ù=40ù

2p_15=30p

(cm)

`

07  Action   원의 중심에서 현에 수선을 그어 본다.
오른쪽 그림과 같이 점 O에서 ABÓ에 내

린 수선의 발을 M이라 하고, OMÓ의 연

장선이 원과 만나는 점을 P라고 하면

OMÓ=

 OPÓ=

_10=5

;2!;

;2!;

△OAM에서 AMÓ=
"
∴ ABÓ=2AMÓ=2_5


1

-5Û

`
`
3=10

'

=5

3

'

3

'

A

10

O

M

B

P

08  Action   원의 중심에서 현에 수선을 그어 본다.
오른쪽 그림과 같이 점 O에서 ABÓ에

12 3

Pcm

내린 수선의 발을 M이라 하고, OMÓ의 

A

B

연장선이 원과 만나는 점을 P라고 하

M

O



AMÓ=

 ABÓ

;2!;

;2!;

 =

_12

3=6

3

'

'

원의 반지름의 길이를 r

(cm) 

`
cm라고 하면

`

OAÓ=OPÓ=r

(cm)

`
 OPÓ=

OMÓ=

;2!;
△AOM에서

(cm) 

;2R;`



=

+(6

3)Û

=144 

  ∴ r=12 (∵ r>0)

{;2R;}

`
'
따라서 원의 반지름의 길이는 12

`

2`

, rÛ
`

…… 50%

cm이다. 

`

09  Action   먼저 직각삼각형 OAM에서 AMÓ의 길이를 구한다.
△OAM에서 AMÓ=


∴ ABÓ=2AMÓ=2_2

`
`
7=4

-6Û

=2

'

7

'

OMÓ=ONÓ이므로 CDÓ=ABÓ=4

7

∴ ABÓ+CDÓ=4

7+4

7=8

'

'

10  Action   특수한 각의 삼각비를 이용하여 OBÓ의 길이를 구한다.

OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=4

3

7
'

'
7

'

'

'

 ABÓ=

_4

3=2

3

;2!;

'

=2

3
3Ö '
2

'

=4

∴ BMÓ=

;2!;
△OMB에서
BMÓ
cos 30ù 

OBÓ=

따라서 원 O의 넓이는 

p_4Û

=16p

`

22  |  정답과 풀이

Lecture

현의 길이와 삼각형

⑴ 오른쪽 그림의 원 O에서 
  OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
  ➡ △ABC는 이등변삼각형

⑵ 오른쪽 그림의 원 O에서 
  ODÓ=OEÓ=OFÓ이므로 
  ABÓ=BCÓ=ACÓ
  ➡ △ABC는 정삼각형

M

N

B

C

A

O

A

OD

F

B

E

C

12  Action   먼저 ∠MAN의 크기를 구한다.

AMON에서 

∠MAN=360ù-(90ù+104ù+90ù)=76ù

이때 OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로

…… 20%

∠B=

_(180ù-76ù)=52ù

;2!;

…… 30%

13  Action   ODÓ=OEÓ=OFÓ이면 ABÓ=BCÓ=CAÓ임을 이용한다.

ODÓ=OEÓ=OFÓ이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ
즉 △ABC는 정삼각형이므로 
∠BAC=60ù 

오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 

∠DAO=

_60ù=30ù이고

;2!;

 ABÓ=

ADÓ=

;2!;
△ADO에서
ADÓ
cos 30ù

AOÓ=

_12=6이므로

;2!;

3
=6Ö '
2

=4



'

따라서 원 O의 넓이는 

p_(4

3)Û

=48p 

'

`

…… 30%

12
D

F

A

O

E

B

C

…… 50%

…… 20%

14  Action   원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름에 수직임을 이용

한다.

∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서

∠AOB=360ù-(90ù+52ù+90ù)=128ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 

∠OBA=

_(180ù-128ù)=26ù

;2!;

정답과 풀이Ã
15  Action   ∠AOB의 크기를 구한 후 색칠한 부분인 부채꼴의 중심각의 

19  Action   AEÓ=AFÓ임을 이용하여 CFÓ의 길이를 구한다.

크기를 구한다.

BDÓ=BEÓ=AEÓ-ABÓ=13-8=5

∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서

AFÓ=AEÓ=13이므로

∠AOB=360ù-(90ù+70ù+90ù)=110ù

CDÓ=CFÓ=AFÓ-ACÓ=13-10=3

따라서 색칠한 부분인 부채꼴의 중심각의 크기는 

∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ=5+3=8

360ù-110ù=250ù이므로 색칠한 부분의 넓이는

p_4Û

_

=

`

;3@6%0);

;:!9):);

`

p

(cmÛ

)

`

16  Action   원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이

용한다.

OCÓ=OBÓ=4이므로 OPÓ=4+6=10
이때 ∠PBO=90ù이므로 △PBO에서
PBÓ=

-4Û

=2

10Û

21



`

`

∴ PAÓ=PBÓ=2


21



17  Action   △PAOª△PBO ( RHS 합동)임을 이용한다.

△PAO와 △PBO에서 
∠PAO=∠PBO=90ù, OAÓ=OBÓ, POÓ는 공통이므로
△PAOª△PBO ( RHS 합동)

∴ ∠APO=∠BPO=

_60ù=30ù 

…… 60%

;2!;

△APO에서

3
OAÓ=PAÓ tan 30ù=6_ '
3

=2

3

(cm)

'

'

`

`

따라서 원 O의 반지름의 길이는 2

3

cm이다.  …… 40%

18  Action   POÓ와 ABÓ의 교점을 H로 놓고 삼각형의 넓이를 이용하여 

AHÓ의 길이를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 POÓ를 그으

면 ∠PAO=90ù이므로
△APO에서 
+12Û

POÓ=


=13

`
POÓ와 ABÓ의 교점을 H라고 하

`

면 AHÓ=BHÓ, POÓ⊥ABÓ

12

P

5

O

A

H

B

△APO=

;2!;

_APÓ_AOÓ=

_POÓ_AHÓ이므로

;2!;

_12_5=

_13_AHÓ 

  ∴ AHÓ=

;2!;

;2!;

;1^3);

∴ ABÓ=2AHÓ=2_

=

;1^3);

:Á1ª3¼:

Lecture

AHÓ=BHÓ, POÓ⊥ABÓ임을 확인하기

△PAOª△PBO ( RHS 합동)이므로 ∠APO=∠BPO
△APH와 △BPH에서
PAÓ=PBÓ, ∠APH=∠BPH, PHÓ는 공통이므로
△APHª△BPH ( SAS 합동)
∴ AHÓ=BHÓ, ∠AHP=∠BHP
∴ POÓ⊥ABÓ

20  Action   AEÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ임을 이용한다.

BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ이므로

AEÓ+AFÓ =ABÓ+BEÓ+ACÓ+CFÓ 

=ABÓ+BDÓ+ACÓ+CDÓ 

=ABÓ+BCÓ+ACÓ 

=6+5+7=18

이때 AEÓ=AFÓ이므로 AEÓ=AFÓ=

_18=9

;2!;

∴ CFÓ=AFÓ-ACÓ=9-7=2

21  Action   ( △ABC의 둘레의 길이)=AEÓ+AFÓ=2AEÓ=2AFÓ임을 

이용한다.
∠AFO=90ù이므로 △AOF에서 
AFÓ=
=15
BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ이므로 △ABC의 둘레의 길이는
ABÓ+BCÓ+CAÓ =ABÓ+BDÓ+CDÓ+CAÓ 

(cm)

-8Û

17Û



`

`

`

=ABÓ+BEÓ+CFÓ+CAÓ 

=AEÓ+AFÓ=2AFÓ 

=2_15=30

(cm)

`

Lecture

원의 접선의 성질의 응용

오른쪽 그림에서 AE³, AF³, BCÓ
는 원 O의 접선이고 세 점 D, E, 
F는 접점일 때,
AEÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, 
CDÓ=CFÓ이므로
( △ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ 

A

D

O

F

C

B

E

=ABÓ+(BDÓ+CDÓ)+CAÓ 
=(ABÓ+BEÓ)+(CFÓ+CAÓ) 
=AEÓ+AFÓ 
=2AEÓ=2AFÓ

22  Action   OAÓ를 긋고 특수한 각의 삼각비를 이용하여 AEÓ의 길이를 

구한다.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면  
△OAEª△OAF  ( RHS  합동)이
므로

∠OAE=∠OAF=

_60ù=30ù

;2!;

3 cm
O

E

B

D
60∞

F

C

A

Ⅱ. 원의 성질  |  23

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 ∠OEA=90ù이므로 △OAE에서

AEÓ=

OEÓ
tan 30ù

3
  =3Ö '
3

=3

3

(cm)

'

`

BDÓ=BEÓ, CDÓ=CFÓ이므로 △ABC의 둘레의 길이는
ABÓ+BCÓ+CAÓ =ABÓ+BDÓ+CDÓ+CAÓ

=ABÓ+BEÓ+CFÓ+CAÓ 

=AEÓ+AFÓ=2AEÓ

=2_3

3=6

3

(cm)

'

'

`

23  Action   점 A에서 CDÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 직각삼각형 

AHD에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점 A에

서  CDÓ에  내린  수선의  발을 

H라고 하면 

HCÓ=ABÓ=5

(cm)

`
∴ DHÓ=DCÓ-HCÓ=8-5=3

5 cm

A

B

(cm)

`

E

O

D

H

C

8 cm

AEÓ=ABÓ=5

(cm), DEÓ=DCÓ=8

(cm)이므로

`
ADÓ=AEÓ+DEÓ=5+8=13
△AHD에서 AHÓ=
따라서 반원 O의 반지름의 길이는

`
=4

-3Û

13Û



`

`

`
(cm)

10

(cm)



`

 BCÓ=

AHÓ=

_4

10=2

10

(cm)

;2!;





`

;2!;

;2!;

Lecture

반원에서의 접선

오른쪽 그림에서 BCÓ는 반원 O의 지름이
고 ABÓ, ADÓ, CDÓ가 반원 O의 접선일 때, 
점 A에서 CDÓ에 내린 수선의 발을 H라

고 하면
⑴ ABÓ=AEÓ, DCÓ=DEÓ
  ∴ ADÓ=AEÓ+DEÓ=ABÓ+DCÓ
⑵ BCÓ=AHÓ="ÃADÓ

Û`-DHÓ

Û`

A

B

E

O

D

H

C

24  Action   점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 직각삼각형 

DHC에서 피타고라스 정리를 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BCÓ에 내린 A
수선의 발을 H라고 하면 

4 cm

D

BHÓ=ADÓ=4

(cm)

`
∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=8-4=4

(cm)

`

DEÓ=DAÓ=4

(cm), 

`
(cm)이므로

CEÓ=CBÓ=8

`
CDÓ=DEÓ+CEÓ=4+8=12
△DHC에서 DHÓ=

-4Û

12Û



`

(cm)

`
=8

`

2

(cm)

'

`

O

B

C

H
8 cm

∴ ABCD=

_(4+8)_8

2=48

2

(cmÛ

)

'

'

`

`

;2!;

24  |  정답과 풀이

25  Action   점 E에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 직각삼각형 

AHE에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽  그림과  같이  점  E에서

A

D

F

x cm
E
x cm
C

O

6 cm

(cm)이므로

`

ABÓ에  내린  수선의  발을  H라 

6 cm

H

B

cm라고 하면

(cm), 

`
(cm)

하고 ECÓ=x

`
HBÓ=ECÓ=x

HEÓ=BCÓ=6

EFÓ=ECÓ=x

`

`
(cm), AFÓ=ABÓ=6

AEÓ=AFÓ+EFÓ=6+x
`
AHÓ=ABÓ-HBÓ=6-x
△AHE에서 (6+x)Û

`

(cm), 

(cm)

=(6-x)Û

+6Û

`

`

`

24x=36 

  ∴ x=

;2#;

∴ AEÓ=6+

=

(cm)

;2#;

:Á2°:`

26  Action   원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름에 수직임을 이용

한다.

오른쪽 그림과 같이 작은 원과 ABÓ의
접점을 H라고 하면 △OAH에서 
=5
AHÓ=

(cm)

-5Û

10Û

3

`

∴ ABÓ =2AHÓ

`

'

`

=2_5

3=10

3

(cm)

'

'

`

Lecture

중심이 같은 원

오른쪽 그림과 같이 중심이 O로 같고 반지
름의 길이가 다른 두 원에서 큰 원의 현 AB
가 작은 원의 접선이고 점 H가 접점일 때
⑴ OHÓ⊥ABÓ
⑵ AHÓ=BHÓ
Û`=AHÓ
⑶ OAÓ

Û`+OHÓ

Û`

10 cm

A

5 cm

B

O

H

O

H

A

B

27  Action   큰 원의 반지름의 길이를 x

`

m, 작은 원의 반지름의 길이를 

y

m로 놓고 직각삼각형 OAH에서 피타고라스 정리를 이용한다.

`
오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OHÓ를 그으면

OHÓ⊥ABÓ이므로

E

 

AHÓ=

ABÓ=

_100=50

(m)

;2!;

;2!;

`
…… 30%

O

x m

y m

H
100 m

B

A

m, 작은 원의 반지름의 길이를 

큰 원의 반지름의 길이를 x

`
m라고 하면 △OAH에서 
=50Û
 

`


+yÛ

y

`
∴ xÛ

`
-yÛ

`

`

 
`

=2500 

따라서 색칠한 트랙의 넓이는

pxÛ

-pyÛ

`

 =p(xÛ
`
=2500p

`

-yÛ



`
(mÛ



`

`

…… 30%

…… 40%

정답과 풀이 cm로 놓고 AFÓ, CFÓ를 x의 식으로 각각 나타낸다.

또 BDÓ=BEÓ=9

(cm), CFÓ=CEÓ=6

(cm)이므로

28  Action   BEÓ=x
BEÓ=x
`

`

cm라고 하면 BDÓ=BEÓ=x

(cm)

`

AFÓ=ADÓ=10-x

(cm), CFÓ=CEÓ=14-x

(cm)

`

ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 

`

8=(10-x)+(14-x), 2x=16 

  ∴ x=8

∴ BEÓ=8

(cm)

`

29  Action   AFÓ=x

`

cm로 놓고 △ABC의 둘레의 길이가 32

cm임을 

`

이용하여 x의 값을 구한다.

AFÓ=x

cm라고 하면 ADÓ=AFÓ=x

(cm)

`

(cm), CFÓ=CEÓ=7

BEÓ=BDÓ=5
`
△ABC의 둘레의 길이가 32
ABÓ+BCÓ+CAÓ=2(x+5+7)=32

`
cm이므로

`

`
(cm)

2x=8 

  ∴ x=4

∴ ACÓ=AFÓ+CFÓ=4+7=11

(cm)

`

30  Action   BDÓ의 길이를 구한 후 △GBH의 둘레의 길이는 2BDÓ임을 

이용한다.

BDÓ=x

cm라고 하면 BEÓ=BDÓ=x

(cm)

`

`
AFÓ=ADÓ=8-x

`

ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 

(cm), CFÓ=CEÓ=12-x

(cm)

`

6=(8-x)+(12-x), 2x=14 
GDÓ=GIÓ, HEÓ=HIÓ이므로 △GBH의 둘레의 길이는
GBÓ+BHÓ+HGÓ =GBÓ+BHÓ+GIÓ+HIÓ 

  ∴ x=7

=GBÓ+BHÓ+GDÓ+HEÓ 

=BDÓ+BEÓ=2BDÓ 

=2_7=14

(cm)

`

31  Action   DBEO가 정사각형임을 이용한다.
(cm)

△ABC에서 BCÓ=
오른쪽 그림과 같이 ODÓ, OEÓ를

-6Û

=8

10Û



`

`

`

A

긋고  원  O의  반지름의  길이를 

r

cm라고 하면 

`
DBEO는 정사각형이므로 

BDÓ=BEÓ=ODÓ=r

(cm)

6 cm
D

B

`

`

AFÓ=ADÓ=6-r

(cm), CFÓ=CEÓ=8-r

(cm)

ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 

10=(6-r)+(8-r), 2r=4 

  ∴ r=2

따라서 원 O의 반지름의 길이는 2

cm이다.

`

O

E

`

32  Action   DOFA가 정사각형임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 ODÓ, OFÓ

를 긋고 원 O의 반지름의 길이

를 r

cm라고 하면 DOFA

`

는 정사각형이므로 

ADÓ=AFÓ=ODÓ=r

(cm)

`

A

D

F

O

E

`

`
(cm) 

`
+(6+r)Û

(cm), ACÓ=6+r

`

ABÓ=9+r
△ABC에서 15Û


`
∴ r=3 (∵ r>0) 

=(9+r)Û

`
+15r-54=0, (r-3)(r+18)=0

`

`

따라서 원 O의 넓이는 

p_3Û

=9p

(cmÛ



`

`

`

…… 30%

…… 40%

…… 30%

33  Action   ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ임을 이용한다.
ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ=7+10=17

따라서 ABCD의 둘레의 길이는

ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ=2_17=34

(cm)

(cm)
`

`

34  Action   ABCD는 등변사다리꼴이므로 ABÓ=DCÓ임을 이용한다. 

ABCD는 등변사다리꼴이므로 ABÓ=DCÓ

이때 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

2ABÓ=8+14=22

(cm)

`

∴ ABÓ=11

(cm)

`

오른쪽 그림과 같이 두 점 A, D에

A

8 cm

D

서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 E, 

F라고 하면
△ABEª△DCF ( RHA 합동)
이므로

O

B

E

C

F

14 cm

BEÓ=CFÓ=

_(14-8)=3

(cm)

;2!;

`

△ABE에서 AEÓ=
따라서 원 O의 반지름의 길이는 

-3Û

11Û



=4

`

`

7

(cm)

'

`

AEÓ=

_4

7=2

7

(cm)

;2!;

'

'

`

;2!;

35  Action   (사다리꼴의 넓이)

F

10 cm

 

 

_{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)

=

;2!;

원 O의 반지름의 길이가 4

cm이므로 

`

C

ABÓ=2_4=8

(cm)

`

ADÓ+BCÓ =ABÓ+CDÓ=8+11=19

(cm)

`

따라서 ABCD의 넓이는

_(ADÓ+BCÓ)_ABÓ=

_19_8=76

(cmÛ

)

;2!;

`

`

;2!;

36  Action   AECD가 원 O에 외접함을 이용한다.

△ABE에서 BEÓ=
CEÓ=x라고 하면 ADÓ=BCÓ=x+6

-8Û

=6

10Û



`

`

AECD가 원 O에 외접하므로

ADÓ+CEÓ=AEÓ+CDÓ에서

B

9 cm

6 cm

C

(x+6)+x=10+8, 2x=12 

  ∴ x=6

∴ CEÓ=6

Ⅱ. 원의 성질  |  25

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 최고
수준

완성하기

01 

85

cm  02 4

5 



`

'

05 (4p-3

3)

'

08  24

cm 

`
cm 

12  3

`
15  (40-20

cmÛ


`
`
09  39

13  23

cmÛ


`
cm  

`

`

3)

cm

'

`

P  44 -  P  48

03  24

cm 

`

06  27

3

cmÛ

'
`
cm 

10 6

`

14 6초

04  :ª5¢:
  07 24
3
`

'
`
11  25
cm

`

cmÛ

`

01  Action   점 O에서 ABÓ, CDÓ에 내린 수선의 발을 각각 M, N으로 놓

고 직각삼각형 OBM에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점 O에서

ABÓ, CDÓ에 내린 수선의 발을 

각각 M, N이라고 하면

AMÓ=BMÓ, CNÓ=DNÓ이므로

5 cm

C

15 cm

B

A

H

N

3 cm

M

O

9 cm

AMÓ=BMÓ=

ABÓ

;2!;

D

  =

_(3+15)=9

(cm)

;2!;

`

_(5+9)=7

(cm)

CNÓ=DNÓ=

 CDÓ=

;2!;

;2!;

`
∴ OMÓ=NHÓ=CNÓ-CHÓ=7-5=2
△OBM에서 OBÓ=

따라서 원 O의 반지름의 길이는 

`
85




+2Û

85

=

`

`

`
(cm)

cm이다.

(cm)



`

02  Action   현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지남을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 내

린 수선의 발을 H라고 하면 

AHÓ⊥BCÓ, BHÓ=CHÓ이므로 AHÓ의 연

장선은 원의 중심 O를 지난다.

B

8

H

10

C

A

O

∴ BHÓ=CHÓ=

 BCÓ

;2!;



=

_16=8 

;2!;

OBÓ를 그으면 △BOH에서 OHÓ=
∴ AHÓ=AOÓ-OHÓ=10-6=4 
따라서 △ABH에서 ABÓ=

+4Û






`

=4



'

`

10Û

-8Û

=6

`

`

…… 30%

…… 40%

…… 30%

03  Action   원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분함을 이용한

다.

오른쪽 그림과 같이 점 O'에서 

OMÓ에  내린  수선의  발을  H라고 

하면 

MNÓ=HO'Ó, 

HMÓ=O'NÓ=5

(cm)

`
∴ OHÓ =OMÓ-HMÓ=10-5=5
△OHO'에서 HO'Ó=
∴ MNÓ=HO'Ó=12


`
(cm)

-5Û

13Û

`

`
=12

`

`

(cm)

(cm) 

 

13 cm
O

10 cm

H

A

M

P

O′
5 cm

B

N

26  |  정답과 풀이

AMÓ=PMÓ, PNÓ=BNÓ이므로 

ABÓ =APÓ+PBÓ=2PMÓ+2PNÓ

=2(PMÓ+PNÓ)=2MNÓ

=2_12=24

(cm)

`

04  Action   OO'Ó, OBÓ, O'BÓ를 긋고 △AOO'ª△BOO'임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OO'Ó을 그으
면 △AOO'에서 
=5

OO'Ó=


+4Û

`

A

3

4

MO

O′

`
OBÓ, O'BÓ를 그으면
△AOO'과 △BOO'에서 
OAÓ=OBÓ, O'AÓ=O'BÓ, OO'Ó은 공통이므로
△AOO'ª△BOO' ( SSS 합동)
즉 OO'Ó은 이등변삼각형 AOB의 꼭지각의 이등분선이므로 

B

ABÓ⊥OO'Ó이다.

OO'Ó과 ABÓ가 만나는 점을 M이라고 하면
△AOO'에서 OAÓ_O'AÓ=OO'Ó_AMÓ이므로 

3_4=5_AMÓ 

  ∴ AMÓ=

:Á5ª:

∴ ABÓ=2AMÓ=2_

=

:Á5ª:

:ª5¢:

05  Action   ∠AOB의 크기를 구한 후 색칠한 부분의 넓이는 
(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOB임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 점 O에서 ABÓ에

내린 수선의 발을 M이라 하고 OAÓ, 

A

M

B

2 3

Ocm

cm3

OBÓ를 그으면

OAÓ=2

3

(cm), 

'

`
 OAÓ=

;2!;

OMÓ=

_2

3=

3

(cm)

'

'

`

;2!;

3)Û

-(

`
(cm)

'

3)Û

=3

(cm)

`

`



(2

△AOM에서 AMÓ=
'
∴ ABÓ=2AMÓ=2_3=6

이때 cos (∠AOM)=

`
OMÓ
AOÓ
예각이므로 ∠AOM=60ù 

 

3
3

= '
2
'

=

이고 ∠AOM은 

;2!;

∴ ∠AOB=2∠AOM=2_60ù=120ù

∴ (색칠한 부분의 넓이)
  =(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOB

  =p_(2

3)Û

_

-

_6_

'

`

;3!6@0);

;2!;

3
'

  =4p-3

3
'

`

(cmÛ

)

`

06  Action   △ABC가 어떤 삼각형인지 알아본다.

OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ

∠A=60ù이므로 

∠B=∠C=

_(180ù-60ù)=60ù

;2!;

정답과 풀이 07  Action   (오각형 AMDEN의 넓이)=△ABC-2△BDM임을 이

09  Action   점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H로 놓고 직각삼각형 

따라서 △ABC는 정삼각형이다. 
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 
△AMOª△ANO  ( RHS  합동)이
므로 

∠OAM=∠OAN=

_60ù=30ù

B

;2!;

△AMO에서 
OMÓ
tan 30ù

AMÓ=

3
=3Ö '
3

=3

3

(cm)

'

`

∴ ABÓ=ACÓ=2AMÓ=2_3

3

(cm)

A

60∞
M

N

O

3 cm

C

3=6

'

'
`
3_sin 60ù

'

3
3_ '
2

'

∴ △ABC=

_6

3_6

;2!;

;2!;

'

'

=

_6

3_6

=27

3

(cmÛ

)

'

`

`

 

 

Lecture

예각삼각형의 넓이

△ABC에서 ∠A가 예각일 때, 

△ABC=

;2!; bc sin A

b

A

C

c

B

용한다. 

OMÓ=ONÓ이므로 

ACÓ=ABÓ=12

(cm)

`

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 내

12 cm

A

린 수선의 발을 F라고 하면 

M

N
EF

C

B

D
30∞

O

BFÓ=CFÓ
△ABF에서

AFÓ=ABÓ sin 30ù=12_

=6
`

;2!;

(cm), 

BFÓ

3
Ó=ABÓ cos 30ù=12_ '
2

=6

3

(cm)

'

`

∴ BCÓ=2BFÓ=2_6

'
한편, ABÓ⊥OMÓ이므로 

3=12

3

(cm)

'

`

 ABÓ=

BMÓ=

;2!;
△BDM에서 

;2!;

_12=6

(cm)

`

3
DMÓ=BMÓ tan 30ù=6_ '
3

=2

3

(cm)

'

`

이때 △BDMª△CEN ( ASA 합동)이므로 
△BDM=△CEN
∴ (오각형 AMDEN의 넓이)
  =△ABC-2△BDM

  =

_12

3_6-2_

_6_2

;2!;

'

{;2!;

3

'

}

  =36

  =24

3-12

3

'
)
(cmÛ

'

'

3

`

`

08  Action   삼각형의 닮음을 이용하여 점 O'과 PQÓ 사이의 거리를 구한

다.

B

Q

15 cm

O″

P

H

O′
15 cm

A

O

15 cm

위 그림과 같이 O"BÓ를 그으면 

∠ABO"=90ù

점 O'에서 PQÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면
△AO'H와 △AO"B에서 
∠A는 공통, ∠AHO'=∠ABO"=90ù이므로 
△AO'H»△AO"B ( AA 닮음)
세 원의 반지름의 길이가 모두 15

cm이므로 

AO'Ó=45

(cm), AO"Ó=75

`

따라서 AO'Ó:AO"Ó=HO'Ó:BO"Ó이므로

`
(cm)

`

45:75=HO'Ó:15, 3:5=HO'Ó:15

(cm)

∴ HO'Ó=9
`
△PO'H에서 PHÓ=
∴ PQÓ=2PHÓ=2_12=24

15Û



`

-9Û

(cm)

=12

`
`
(cm)

`

AHD에서 피타고라스 정리를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 반원 O와

A

ADÓ의 접점을 T라고 하면 

ATÓ=ABÓ=9

DTÓ=DCÓ=4

(cm), 

`
(cm)이므로

`

ADÓ =ATÓ+DTÓ 

=9+4=13

(cm) 

`

9 cm

H

T

B

O

D

C

4 cm

…… 30%

점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 

(cm)이므로 

BHÓ=CDÓ=4
`
AHÓ=ABÓ-BHÓ=9-4=5
△AHD에서 HDÓ=
BCÓ=HDÓ=12

`

(cm)이므로 

`
-5Û

13Û

`

(cm)

=12

(cm) 

`

…… 30%

OTÓ=OCÓ=

_12=6

(cm) 

`

…… 20%

∴ △AOD=

_ADÓ_OTÓ

`
 BCÓ=

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

=

_13_6=39

(cmÛ



`

`

…… 20%



 

 

다른 풀이

△ABOª△ATO ( RHS 합동),
△DCOª△DTO ( RHS 합동)이므로
△AOD=△ATO+△DTO

=

ABCD

;2!;

=

_

;2!;

[;2!;

_(4+9)_12

=39

(cmÛ



]

`

`

Ⅱ. 원의 성질  |  27

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 10  Action   점 O를 지나고 ABÓ, ADÓ에 평행한 선분을 각각 그어 현의 수

직이등분선의 성질을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점 O를 지

나면서 ADÓ에 평행한 PFÓ를 그

으면 

OPÓ⊥AGÓ, APÓ=GPÓ

AGÓ=ABÓ-GBÓ

=27-3=24

(cm)

`

이므로

Q

H

D

O

F

27 cm

3 cm

G

E
24 cm

C

APÓ=GPÓ=

 AGÓ=

_24=12

(cm)

;2!;

;2!;

`

∴ CFÓ=BPÓ=BGÓ+GPÓ=3+12=15

(cm)

또, 점 O를 지나면서 ABÓ에 평행한 QEÓ를 그으면 

AHÓ⊥OQÓ, AQÓ=HQÓ

이때 CEÓ=CFÓ=15

(cm)이므로

`

AQÓ=BEÓ=BCÓ-CEÓ=24-15=9

(cm)

따라서 AHÓ=2AQÓ=2_9=18

(cm)이므로

DHÓ=ADÓ-AHÓ=24-18=6

`

`
(cm)

`

A

P

B

`

11  Action   원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이

용한다.

오른쪽 그림과 같이 원 O와 
△ABC의 접점을 차례로 P, Q, 
R라고 하면

APÓ=ARÓ, BPÓ=BQÓ, 

CQÓ=CRÓ
( △ADI의 둘레의 길이) 
=ADÓ+DIÓ+IAÓ

A

D

10 cm
P

E

I 8 cm
R
H

O

B

G

F
Q
7 cm

C

=APÓ+ARÓ 
( △BFE의 둘레의 길이) =BFÓ+FEÓ+EBÓ

…… 20%

( △CHG의 둘레의 길이) =CHÓ+HGÓ+GCÓ

…… 20%
따라서 △ADI, △BFE, △CHG의 둘레의 길이의 합은 
(APÓ+ARÓ)+(BPÓ+BQÓ)+(CQÓ+CRÓ) 

=CQÓ+CRÓ 

=(APÓ+BPÓ)+(BQÓ+CQÓ)+(ARÓ+CRÓ) 

=ABÓ+BCÓ+CAÓ

=10+7+8 

=25

(cm) 

`

…… 40%

ADÓ=AEÓ, CEÓ=CFÓ이므로 

BDÓ+BFÓ=ABÓ+BCÓ+CAÓ

=5+8+7=20

(cm)

`

28  |  정답과 풀이

따라서 BDÓ=BFÓ=

_20=10

(cm)이므로 

;2!;

ADÓ=BDÓ-ABÓ=10-5=5

(cm)

`

`

(cm), BQÓ=BPÓ=5-x

(cm), 

`

∴ AEÓ=ADÓ=5

(cm)

cm라고 하면 

APÓ=x

`
ARÓ=APÓ=x

`

CQÓ=CRÓ=7-x

(cm)

`

`

BCÓ=BQÓ+CQÓ이므로 

8=(5-x)+(7-x)

2x=4 

  ∴ x=2

∴ REÓ=AEÓ-ARÓ=5-2=3

(cm)

`

13  Action   원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이

용한다.

오른쪽 그림과 같이 네 원

A

O

F

N

M
L

7 cm
E

10 cm

30 cm

G

I

K

D

J
14 cm

B

H

18 cm

C

과 삼각형의 접점을 차례

로 G, H, I, J, K, L, M, 

N, O라 하고 

AGÓ=x

cm라고 하면 

`

BHÓ=BGÓ

=30-x

(cm)

`

CJÓ=CIÓ=CHÓ

=18-(30-x) 

=x-12

(cm)

`

DLÓ=DKÓ=DJÓ=14-(x-12)=26-x

`
ENÓ=EMÓ=ELÓ=10-(26-x)=x-16

(cm)

(cm)

`

FOÓ=FNÓ=7-(x-16)=23-x

(cm)

이때 AGÓ=AIÓ=AKÓ=AMÓ=AOÓ=x

(cm)이므로 

AFÓ=AOÓ+FOÓ=x+(23-x)=23

(cm)

`

`

`

오른쪽 그림과 같이 원 O와

ABÓ,  BCÓ,  DEÓ,  FGÓ의  접점

을 차례로 H, I, J, K라고 하



A

E

G H
K
J

P

O
I

DIÓ=DJÓ, EHÓ=EJÓ, 

B

Q

F

D

C

FIÓ=FKÓ, GHÓ=GKÓ
( △BDE의 둘레의 길이) =BDÓ+DEÓ+EBÓ 

=BDÓ+(DJÓ+EJÓ)+EBÓ 

=(BDÓ+DIÓ)+(EHÓ+EBÓ) 

=BIÓ+BHÓ

=BFÓ+(FKÓ+GKÓ)+GBÓ 

=(BFÓ+FIÓ)+(GHÓ+GBÓ) 

=BIÓ+BHÓ

12  Action   ADÓ=AEÓ, CEÓ=CFÓ임을 이용하여 BDÓ의 길이를 구한다.

( △BFG의 둘레의 길이) =BFÓ+FGÓ+GBÓ 

Ó 
=BPÓ+BQÓ

…… 20%

14  Action   (거리)=(속력)_(시간)임을 이용한다.

정답과 풀이 즉 △BDE와 △BFG의 둘레의 길이는 같으므로
( △BFG의 둘레의 길이) =( △BDE의 둘레의 길이) 

따라서 점 Q가 점 B를 출발하여 처음으로 점 B로 돌아오는 

=3_4=12

(cm)

`

데 걸리는 시간은 

=6(초)이다.

:Á2ª:

15  Action   보조선을 그어 OOÓ'을 빗변으로 하는 직각삼각형을 만든다.

오른쪽 그림과 같이 두 원 O,

O'과 BCÓ의 접점을 각각 P, Q

라 하고 점 O'에서 OPÓ에 내

20 cm

린 수선의 발을 H라고 하자.

원 O의 반지름의 길이는 

ABÓ=

_20=10
`

;2!;

(cm)

;2!;

A

B

30 cm

D

10 cm
O

r cm

O′

Q

C

H

P

`

`

HO'Ó=PQÓ=BCÓ-BPÓ-CQÓ 

=30-10-r=20-r

(cm)

△OHO'에서
(10+r)Û

∴ r=40-20

'

`

=(20-r)Û

+(10-r)Û

, rÛ
`
3 (∵ 0<r<10)

`

`

-80r+400=0

원 O'의 반지름의 길이를 r

cm라고 하면

02  Action   원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름에 수직임을 이용

OO'Ó=10+r

(cm), OHÓ=OPÓ-HPÓ=10-r

(cm), 

한다.

`

`

따라서 원 O'의 반지름의 길이는 (40-20

3)

cm이다.

BDÓ, OPÓ의 연장선의 교점을 E라고 하자.

'

`

CHÓ=x

cm라고 하면

`

EOÓ=FOÓ=DHÓ=CHÓ=x
△DOF에서 DFÓ
△DPF에서 DFÓ
-xÛ
㉠, ㉡에서 5Û

`
=7Û

`
=7Û

`
 
`
`
-(3+x)Û

`
-(3+x)Û

-xÛ

=5Û

`

`

`

6x=15 

  ∴ x=

;2%;

 
`
이므로 
`

(cm), PFÓ=3+x
`

(cm)

yy ㉠

yy ㉡

따라서 CEÓ=DFÓ=

-


¾¨

`

{;2%;}

`

=

5

3
'
2 `

(cm), 

PEÓ=POÓ-EOÓ=3-

=

(cm)이므로

;2%;

;2!;`

△CPE에서

PCÓ=¾¨{;2!;}

`

+

{

5

3
'
2 }

`

=

19

(cm)



`

오른쪽 그림과 같이 작은

바퀴의 중심을 O, 큰 바퀴

의  중심을  P,  벨트와  두 

원  O,  P의  접점을  각각 

A, B, C, D라 하고 ACÓ, 

10 cm

A

E

O

B

H

35 cm

P

50 cm

C

D

점 O에서 CPÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면

(cm)

CHÓ=AOÓ=10

(cm)

`

∴ HPÓ=CPÓ-CHÓ=35-10=25
△OPH에서 
OHÓ=

(cm)

-25Û

=25

50Û

3

`



`

`

∴ ACÓ=OHÓ=25

3

'
이때 △OPH에서 cos (∠OPH)=

`

'
`
(cm)

=

;5@0%;

;2!;

이므로

∠OPH=60ù
△AEO»△CEP ( AA 닮음)이므로 
∠AOE=∠CPE=60ù
또, △AEOª△BEO ( RHS 합동), 
△CEPª△DEP ( RHS 합동)이므로 
∠AOB=60ù+60ù=120ù, ∠CPD=60ù+60ù=120ù

한편, BDÓ=EDÓ-EBÓ=ECÓ-EAÓ=ACÓ=25

3

(cm)

'

`

따라서 필요한 벨트의 길이는 

2p_10_

+25

3+2p_35_

;3!6@0);

'

;3@6$0);

+25

3

'

=50

3+

'

;:!3^:);

`

p

(cm) 

Lecture

(필요한 벨트의 길이)
=(중심각의 크기가 120ù인 부채꼴 AOB의 호의 길이)

+BDÓ+(중심각의 크기가 240ù인 부채꼴 CPD의 호의 길이)
+CAÓ

Ⅱ. 원의 성질  |  29

최고
수준

뛰어넘기

P  49 -  P  50

01 

19

cm  02 



`

50

3+

{

'

p

cm 

;:!3^:);

}`

03 

2

cm

'

`

04  25 

05  ⑴ 5  ⑵ 6x  ⑶ 4y  ⑷ 2

06  (21-6

10)

cm



`

01  Action   원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분함을 이용한

다.

오른쪽 그림과 같이 점 O에서 

CDÓ에 내린 수선의 발을 H라고 

C

H

D

하면 CHÓ=DHÓ

두 점 C, D에서 ABÓ에 내린 수선

의 발을 각각 E, F라 하고 

7 cm

B

A

P

E
3 cm

O

F

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학Û
Ó
Û
2
2
2
03  Action   삼각형의 닮음과 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 이용하
여 CAÓ∥PRÓ∥DBÓ임을 보이고, 이를 이용하여 ARÓ의 길이를 구한다.

05  Action   ⑴ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이고 ABCD의 둘레의 길이가 

30임을 이용하여 x+y의 값을 구한다.

C

3 cm

A

P

Q

R

O

H

6 cm

D

B

오른쪽 그림과 같이 점 C에서

DBÓ에 내린 수선의 발을 H라

고 하면 

HBÓ=CAÓ=3

(cm)

`

∴ DHÓ =DBÓ-HBÓ 

=6-3=3

(cm)

`

`
CDÓ=CPÓ+DPÓ=3+6=9
△CHD에서 
-3Û

CHÓ=


`
∴ ABÓ=CHÓ=6

`
(cm), 

(cm)

'
2

=6

2

`

`

  OAÓ=

`

'
 ABÓ=

;2!;

;2!;

CPÓ=CAÓ=3

(cm), DPÓ=DBÓ=6

(cm)이므로 

`

(cm)

_6

2=3

2

(cm)

'

'

`

한편, ∠CAB=∠ABD=90ù이므로 ACÓ∥BDÓ
따라서 △QCA»△QBD ( AA 닮음)이므로 
QAÓ:QDÓ=CAÓ:BDÓ=3:6=1:2
즉 △CAD에서 DPÓ:PCÓ=DQÓ:QAÓ=2:1이므로 
PQÓ∥CAÓ

∴ CAÓ∥PRÓ∥DBÓ

따라서 ARÓ:RBÓ=CPÓ:PDÓ=1:2이므로 

ARÓ=

1
1+2

 ABÓ=

_6

2=2

2

(cm)

;3!;

'

'

`

∴ ORÓ=OAÓ-ARÓ=3

2-2

2=

2

(cm)

'

'

'

`

04  Action   ABÓ=x로 놓고 ACÓ의 길이를 구한 후 직각삼각형 ABC에
서 피타고라스 정리를 이용하여 ABÓ, BCÓ의 길이를 각각 구한다.

오른쪽 그림과 같이 원 O와 

ABÓ, BCÓ의 접점을 각각 G, H

라 하고 원 O'과 CDÓ의 접점을 I

x

라고 하자.

A

G
5

B

5

O

5

H

E

O′

F

D

I

C

ABÓ=x라고 하면 BCÓ=35-x

35-x
OGÓ, OHÓ를 그으면 GBHO는 정사각형이므로 

BGÓ=BHÓ=5

AEÓ=AGÓ=x-5, CEÓ=CHÓ=(35-x)-5=30-x

∴ ACÓ=AEÓ+CEÓ=(x-5)+(30-x)=25
△ABC에서 xÛ


-35x+300=0, (x-15)(x-20)=0

+(35-x)Û

=25Û

`

`

`

`

∴ x=15 또는 x=20

이때 ABÓ<BCÓ이므로 ABÓ=15, BCÓ=20

따라서 CEÓ=30-15=15,

CFÓ=CIÓ=CDÓ-DIÓ=15-5=10이므로 

EFÓ=CEÓ-CFÓ=15-10=5
△EOFª△FO'E ( SAS 합동)이므로 

30  |  정답과 풀이

⑴  ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이고 ABCD의 둘레의 길이가 

30이므로

 

 ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ =2(ADÓ+BCÓ) 

=2(x+y+6+4) 

=2(x+y+10)=30

  ∴ x+y=5 

⑵  오른쪽 그림과 같이 원 O와 ABÓ

 

 의 접점을 T라 하고 OAÓ, OBÓ를 

A

T

yy ㉠

P

D

O

그으면

  △ATOª△APO 

B

6

Q

4

C

( RHS 합동), 

  △BTOª△BQO ( RHS 합동)이므로
  ∠AOP=∠AOT, ∠BOT=∠BOQ

  이때 PQÓ는 원 O의 지름이므로 

  ∠AOB=∠AOT+∠BOT

 

 

 

 

=

(∠POT+∠QOT)

;2!;

;2!;

=

_180ù=90ù

  따라서 △OAP»△BOQ ( AA 닮음)이므로 
  OPÓ:BQÓ=APÓ:OQÓ에서 OPÓ:6=x:OQÓ

  ∴ OPÓ_OQÓ=6x 

yy ㉡

⑶ OCÓ, ODÓ를 그으면 마찬가지 방법으로
  △ODP»△COQ ( AA 닮음)이므로 
  OPÓ:CQÓ=DPÓ:OQÓ에서 OPÓ:4=y:OQÓ

  ∴ OPÓ_OQÓ=4y 

⑷ ㉡, ㉢ 에서 6x=4y 

  ∴ y=



;2#;

  ㉣ 을 ㉠ 에 대입하면 x+

x=5

;2#;

 

x=5 

  ∴ x=2, 즉 APÓ=2

;2%;

yy ㉢

yy ㉣

06  Action   ADÓ+BPÓ=ABÓ+DPÓ임을 이용하여 ADÓ의 길이를 구한 

후 OO'Ó을 빗변으로 하는 직각삼각형을 그려 본다.
△DPC에서
DPÓ =

(cm)

+12Û

=13




`

`

`

ADÓ+BPÓ =ABÓ+DPÓ=12+13=25

(cm)이므로

`

ADÓ+BCÓ=ADÓ+BPÓ+CPÓ=25+5=30

(cm)

∴ ADÓ=BCÓ=15

(cm)

`

오른쪽 그림과 같이 ADÓ와

A

두 원 O, O'의 접점을 각각 

E, F라 하고 점 O'에서 OEÓ

12 cm

에 내린 수선의 발을 H라고 

`

E

O

H

F

D

O′

r cm

EOFO'=2△EOF=2_

_5_5

=25

}

{;2!;

하자.

B

C

P

5 cm

정답과 풀이 =(9-r)Û

+(6-r)Û

`

`

04  Action   원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의

원 O'의 반지름의 길이를 r

cm라고 하면 원 O의 반지름의 

길이는 

 ABÓ=

_12=6

(cm)이므로

;2!;

;2!;

`

`

OO'Ó=6+r

(cm), 

`
OHÓ=OEÓ-HEÓ=6-r

(cm), 

`

(cm)

O'HÓ=EFÓ=ADÓ-AEÓ-DFÓ

O'HÓ=15-6-r=9-r
△OO'H에서 (6+r)Û
-42r+81=0 


 

`

`

`
∴ r=21-6



10 (∵ 0<r<6)

따라서 원 O'의 반지름의 길이는 (21-6

10)

cm이다.



`

2.

원주각

최고
수준

입문하기

01  76ù 

05  57ù 

09  106ù 

13  34ù 
5
2
'
9  

17 

21  75ù 

cmÛ

  03  18ù 
`

07  70ù 

11  53ù 

15  80ù 

19  35ù 

02  10p

`
06  35ù 

10  30ù 

14  100ù 

18  52ù 

22  100ù 

04  284ù

08  114ù

12  32ù

16  2

19



20  144ù

23  ∠BAC=60ù, ∠ABC=75ù, ∠BCA=45ù

24  ∠x=36ù, ∠y=54ù

01  Action   ∠AOC=∠AOB+∠BOC임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 

∠AOB =2∠APB 

=2_15ù=30ù

∠BOC =2∠BQC 

=2_23ù=46ù

∴  ∠AOC =∠AOB+∠BOC 

=30ù+46ù=76ù

02  Action   ∠BOC=2∠BAC임을 이용한다.
∠BOC =2∠BAC=2_50ù=100ù

따라서 부채꼴 BOC의 넓이는

p_6Û

_

`

;3!6)0);

=10p

(cmÛ

)

`

`

P

15∞

A

Q

23∞
O

C

B

03  Action   OAÓ를 그으면 △AOC는 이등변삼각형임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면  

A

∠AOC=2∠ABC=2_72ù=144ù
△AOC에서 OAÓ=OCÓ이므로 

∠x=

_(180ù-144ù)=18ù

;2!;

O
72∞

B

x

C

 

크기의 ;2!;임을 이용한다.
∠y=2∠BCD=2_104ù=208ù 

∠x=

_(360ù-∠y)=

_152ù=76ù

;2!;

;2!;

∴ ∠x+∠y=76ù+208ù=284ù

05  Action   원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각

 

의 크기의 ;2!;임을 이용한다.

∠ABC=

_(360ù-140ù)=110ù 

;2!;

따라서 ABCO에서

∠x=360ù-(110ù+53ù+140ù)=57ù

∠BCD=

;2!;
△BPC에서
∠x+40ù=75ù 

∠BOD=

_150ù=75ù 

…… 50%

;2!;

  ∴ ∠x=35ù 

…… 50%

07  Action   먼저 OAÓ, OBÓ를 그어 ∠AOB의 크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를 그으면  

∠PAO=∠PBO=90ù

∠AOB=2∠ACB=2_55ù=110ù

A

C

55∞

O

이므로 APBO에서

P

B

∠APB =360ù-(90ù+110ù+90ù) 

=70ù

08  Action   먼저 OAÓ, OBÓ를 그어 ∠AOB의 크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ를 

그으면 

∠PAO=∠PBO=90ù

AOBP에서

∠AOB 

=360ù-(90ù+90ù+48ù) 

=132ù

∴ ∠ACB=

_(360ù-132ù)=114ù

;2!;

A

C

O

B

48∞

P

Ⅱ. 원의 성질  |  31

P  52 -  P  55

06  Action   ∠BCD의 크기를 구한 후 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 

이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같음을 이용한다. 

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 09  Action   원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같음을 이용한다.

15  Action   ADÓ를 그은 후 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 이용한

∠y=∠ABD=30ù
△ABP에서 
∠x+30ù=68ù 

∠z=∠x=38ù

  ∴ ∠x=38ù

∴ ∠x+∠y+∠z=38ù+30ù+38ù=106ù

10  Action   먼저 BQÓ를 그어 ∠BQC의 크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 BQÓ를 그으면 

∠BQC=

∠BOC

;2!;

;2!;

 

=

_100ù=50ù

∠AQB=80ù-50ù=30ù이므로

∠x=∠AQB=30ù

P

x

A

Q

80∞
O
100∞

11  Action   원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같음을 이용한다.
∠BAC=∠BDC=72ù, ∠DBC=∠DAC=25ù
따라서 △ABC에서
72ù+(30ù+25ù)+∠x=180ù

∴ ∠x=53ù

12  Action   반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 이용한다.
ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù

∠ABD=∠ACD=58ù이므로
△ADB에서 
∠x=180ù-(90ù+58ù)=32ù

13  Action   BCÓ를 그은 후 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 이용한

다.

오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면  

C

56∞

O

A

E

x

B

ABÓ가 원 O의 지름이므로

∠ACB=90ù

∠DCB=90ù-56ù=34ù이므로

∠x=∠DCB=34ù

14  Action   BCÓ를 그은 후 ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù이
고, ∠DAB=∠DCB임을 이용하여 ∠x의 크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면 ABÓ 

가 원 O의 지름이므로 

∠ACB=90ù

∴ ∠DCB=90ù-40ù=50ù

∠DAB=∠DCB=50ù이므로
△APD에서
∠x=180ù-(50ù+30ù)=100ù

32  |  정답과 풀이

다.

오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면 

ABÓ가 반원 O의 지름이므로

∠ADB=90ù 
△PAD에서 
∠PAD =180ù-(50ù+90ù) 

=40ù 

…… 30%

…… 30%

C

D

B

A

O

P

50∞

∴ ∠COD =2∠CAD=2_40ù=80ù 

…… 40%

16  Action   ∠BAC=∠BA'C가 되도록 원의 중심 O를 지나는 지름 

B

C

A'B를 긋고 tan A=tan A'임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 원 O의 지름인  

A

O

6 2

A′

C

B

A'BÓ를 그으면 ∠A'CB=90ù

∠BA'C=∠BAC이므로 

tan A'=tan A=3
△A'BC에서
A'CÓ= BCÓ
tan A'

6
3

=

2

'

2
2

'
'
+2Û

∴ A'BÓ=

(6

2)Û

'
따라서 원 O의 지름의 길이는 2



`

`



=2

19

=2

19이다.



17  Action   x와 크기가 같은 각을 찾는다.

ABÓ가 반원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù

∴ ∠CAB=90ù-∠ACD=∠BCD=x
이때 △ABC에서 BCÓ=

-(3

5)Û




`

=6이므로 

'

`

sin x=

=

=

;9^;

;3@;

cos x=

=

3

5

'
9

5
= '
3

BCÓ
ABÓ
ACÓ
ABÓ

∴ sin x_cos x=

5
_ '
3

;3@;

=

2

5

'
9

18  Action   한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같음

D

을 이용한다.

µAC=µ BD이므로 ∠ABC=∠DCB=26ù
따라서 △PCB에서
∠APC=26ù+26ù=52ù

D

30∞

x

O

40∞

P

A

C

19  Action   반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 알고 한 원에서 길이
가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같음을 이용한다.

B

ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù

µAD=µ DC이므로 ∠DBA=∠DAC=∠x
△DAB에서 90ù+(∠x+20ù)+∠x=180ù이므로
2∠x=70ù 

  ∴ ∠x=35ù

정답과 풀이 20  Action   µAB의 길이는 원주의 ;5!;임을 이용한다.
µAB=µ BC=µ CD=µ DE=µ EA이므로

∠BCA=∠x=∠y=

_180ù=36ù

;5!;

△BCP에서 ∠BPC=180ù-(36ù+36ù+36ù)=72ù
∴ ∠z =∠BPC=72ù (맞꼭지각)

∴ ∠x+∠y+∠z=36ù+36ù+72ù=144ù

Lecture

원주각의 크기와 호의 길이

한 원에서 모든 호에 대한 원주각의 크기의 합은 180ù이므로 길이

가 원주의 ;k!;인 호에 대한 원주각의 크기는 ;k!;

_180ù이다.

24  Action   이웃한 두 대관람차 사이의 호의 길이는 원주의 ;1Á0;임을 이
 

용한다.

대관람차의 10개의 칸이 일정한 간격으로 놓여 있으므로 이

웃한 두 대관람차 사이의 호의 길이는 원주의 

이다.

;1Á0;

∠x에 대한 호의 길이는 원주의 

, 즉 

이므로

;1ª0;

;5!;

∠x=

_180ù=36ù

;5!;

∠y에 대한 호의 길이는 원주의 

이므로

;1£0;

∠y=

_180ù=54ù

;1£0;

21  Action   ∠ABC:∠BCD=µAC:µ BD=5:3임을 이용한다.
∠ABC:∠BCD=µAC:µ BD=5:3이므로

∠ABC=5∠x, ∠BCD=3∠x라고 하면
△PCB에서 5∠x+3∠x=120ù
8∠x=120ù 

  ∴ ∠x=15ù

∴ ∠ABC=5∠x=5_15ù=75ù

22  Action   먼저 ADÓ를 그은 후 ∠ADC의 크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면 

D

µAC의 길이가 원주의 

이므로 

;9!;

∠ADC=

_180ù=20ù  …… 30%

;9!;

∠ADC:∠DAB =µAC:µ BD=1:4

A

P

C

최고
수준

완성하기

01 66ù 

02  45ù 

04  ⑴ 60ù  ⑵ 30

3

cmÛ


`

`

'
3 

06 ⑴ 4

08  '

3  ⑵ 6
6

'

'
2+
2

'

cm 

`

11  110ù 

12  68ù

P  56 -  P  59 

03  (750p+225

3)



'

`


`

05  5ù

07  4

cm

`

09  5p 

10  21ù

B

01  Action   원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름에 수직임을 이용

한다.

이므로 

다.

20ù:∠DAB=1:4 
…… 40%
따라서 △APD에서 ∠APC=80ù+20ù=100ù …… 30%

  ∴ ∠DAB=80ù 

∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서

∠AOB=360ù-(90ù+48ù+90ù)=132ù

23  Action   한 원에서 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례함을 이용한

∴ ∠ACB=

∠AOB=

_132ù=66ù

;2!;

;2!;

∠BCA:∠BAC:∠ABC=µAB:µ BC:µ CA=3:4:5 

(∠x+90ù)+48ù+(∠y+90ù)+66ù=360ù

APBC에서 

∴ ∠x+∠y=66ù

  ∠BAC=

_180ù=60ù

02  Action   BCÓ를 긋고 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 

∴ ∠BCA=

_180ù=45ù

3
3+4+5

4
3+4+5

5
3+4+5

  ∠ABC=

_180ù=75ù

Lecture

원주각의 크기와 호의 길이

한 원에서 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로  
µAB:µ BC:µ CA=l:m:n일 때,  

A

∠BCA=

∠BAC=

∠ABC=

l
l+m+n
m
l+m+n
n
l+m+n

_180ù

_180ù

_180ù

 

대한 중심각의 크기의 ;2!;임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으면

A

∠ABC=

∠AOC

=

_130ù=65ù

∠BCD=

∠BOD

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

 

 

△BCP에서 ∠x+20ù=65ù
∴ ∠x=45ù

40∞

130∞

O

B

D

x

P

C

Ⅱ. 원의 성질  |  33

B

C

=

_40ù=20ù

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 03  Action   원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의

∠ADB=∠ACB=50ù이므로 

 

크기의 ;2!;임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 원 모양의 공연장의

중심을 O, 무대의 양 끝 지점을 B, C라

30 m
무대

B

C

∠ADB=

_50ù=25ù

;2!;

∠ADE=

;2!;
△DAF에서 
∠DAF+25ù=70ù 

  ∴ ∠DAF=45ù

∴ ∠DAO =∠DAF-∠OAF=45ù-40ù=5ù

고 하면

∠BOC =2∠BAC=2_30ù=60ù
△OCB에서 OBÓ=OCÓ이므로 
∠OBC=∠OCB

 

=

_(180ù-60ù)=60ù

;2!;

30∞

O

A

즉 △OCB는 정삼각형이므로 OBÓ=BCÓ=30
따라서 무대를 제외한 공연장의 넓이는

`

(m)

p_30Û

_

+

_30_30_sin 60ù

`

;3#6)0);

;2!;

=750p+

3
_30_30_ '
2

;2!;

=750p+225

3

(mÛ

)

'

`

`

04  Action   원의 중심에서 ABÓ에 수선을 그어 본다.
⑴  오른쪽 그림과 같이 점 O에서 

 

 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하

12 cm

고 OHÓ의 연장선이 원 O와 만나

P

10 cm

는 점을 C라고 하자.

A

B

O

H

C

 OAÓ, OBÓ, ACÓ, BCÓ를 그으면 
△AOH와 △ACH에서 

  OHÓ=CHÓ, ∠AHO=∠AHC=90ù, AHÓ는 공통
  이므로 △AOHª△ACH ( SAS 합동) 
  ∴ AOÓ=ACÓ

 

 마찬가지  방법으로 △BOHª△BCH  ( SAS  합동)이
므로 BOÓ=BCÓ
 이때 OAÓ=OCÓ=OBÓ이므로 △OAC, △OCB는 모두 
…… 40%
정삼각형이다. 

  따라서 ∠AOB=60ù+60ù=120ù이므로 

  ∠APB=

∠AOB=

_120ù=60ù 

…… 20%

;2!;

 

 

 

;2!;

;2!;

⑵ △PAB=

_12_10_sin 60ù

 

 

 

 

=

;2!;

3
_12_10_ '
2

=30

3

(cmÛ



'

`

`

…… 40%

05  Action   원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같음을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면  

∠AOB=2∠ACB=2_50ù=100ù
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 
∠OAB=∠OBA

 

=

_(180ù-100ù)=40ù

;2!;

D

C

50∞

O
70∞

F

E

A

B

34  |  정답과 풀이

06  Action   APÓ의 길이를 구한 후 삼각형의 닮음을 이용하여 AQÓ의 길

이를 구한다.

⑴  오른쪽 그림과 같이 작은 반원

 

 의 중심을 O라 하고 OPÓ를 그

으면 

  OBÓ=OPÓ=OCÓ=

_8=4

;2!;

  AOÓ=4+4=8

Q

P

A

4

C

O

8

B

  AQÓ는 반원 O의 접선이므로 ∠APO=90ù
  따라서 △AOP에서 APÓ=


⑵  위 그림과 같이 BQÓ를 그으면

3
'

-4Û

=4

`

`

  ABÓ는 큰 반원의 지름이므로 ∠AQB=90ù
  △AOP와 △ABQ에서
  ∠APO=∠AQB=90ù, ∠A는 공통이므로
  △AOP»△ABQ ( AA 닮음)
  따라서 AOÓ:ABÓ=APÓ:AQÓ이므로 

  8:(4+8)=4

3:AQÓ, 8AQÓ=48

3

'

'

  ∴ AQÓ=6

3
'

07  Action   CDÓ를 긋고 삼각형의 닮음을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 CDÓ를 그으면  

∠ABC=∠ADC

ADÓ는 원 O의 지름이므로 

A

4 cm

B

OH

3 cm

6 cm

C

∠ACD=90ù
△ABH와 △ADC에서
D
∠ABH=∠ADC, ∠AHB=∠ACD=90ù이므로
△ABH»△ADC ( AA 닮음)
따라서 ABÓ:ADÓ=AHÓ:ACÓ이므로

4:ADÓ=3:6, 3ADÓ=24 

  ∴ ADÓ=8

(cm)

따라서 원 O의 반지름의 길이는 

_8=4

(cm)

;2~

!;

`

`

08  Action   원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고 반원에 대한 

원주각의 크기는 90ù임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 BOÓ의 연장선이

원 O와 만나는 점을 C'이라 하고 

AC'Ó을 그으면

BC'Ó=2BOÓ=2_1=2(cm)

∠AC'B=∠ACB=45ù

BC'Ó이 원 O의 지름이므로 ∠BAC'=90ù

A

45∞

O

45∞

C′

C

B

60∞

H

정답과 풀이 2
∴ BCÓ=BHÓ+CHÓ= '
2

6
+ '
2

= '

6

'

2+
2

`

(cm)

합과 같음을 이용한다. 

오른쪽 그림과 같이 AMÓ, ANÓ을 긋

△ABC'에서

2
ABÓ=BC'Ó sin 45ù=2_ '
2

=

2

(cm)

'

`

한편, 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 
△ABH에서

BHÓ=ABÓ cos 60ù=

2_

= '

(cm)

2
2 `

'

;2!;

3
2_ '
2

'

= '

(cm)

6
2 `

AHÓ=ABÓ sin 60ù=

△AHC에서 ∠ACH=45ù이므로 

CHÓ=AHÓ= '

(cm)

6
2 `

09  Action   ADÓ를 그은 후 µAC와 µ BD에 대한 원주각의 크기의 합을 구

한다.

오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면  
△PAD에서 
∠ADC+∠BAD=45ù

C

A

즉 µAC와 µ BD에 대한 원주각의 크기

의 합이 45ù이므로 µAC와 µ BD의 길

B
45∞

D

P

O

10

이의 합은 원주의 

=

이다.

;1¢8°0;

;4!;

이때 원 O의 둘레의 길이는 2p_10=20p

∴ µAC+µ BD=

_20p=5p

;4!;

10  Action   한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기가 같음을 이

용하여 µAB, µ BC, µ CD에 대한 원주각의 크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 BCÓ, BDÓ를

 그으면 

∠ABD=∠ACD=∠x
△ACE에서
∠BAC=∠x+32ù 

µAB=µ BC=µ CD이므로

B

C

O

x

A

D

32∞

E

…… 40%

∠BCA=∠CBD=∠BAC=∠x+32ù 
따라서 △ABC에서
(∠x+32ù)+(∠x+32ù+∠x)+(∠x+32ù)=180ù

…… 30%

4∠x+96ù=180ù, 4∠x=84ù

∴ ∠x=21ù 

11  Action   반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 알고 한 원에서 원주

각의 크기와 호의 길이는 정비례함을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 ACÓ, BCÓ를 그으

면 µAD=µDE=µ EB이므로 

∠ACD=∠DCE=∠ECB=∠x

A

이때 ABÓ는 원 O의 지름이므로 

∠ACB=90ù

C

O

x

y

F

B

D

E

즉 3∠x=90ù이므로 ∠x=30ù
△ABC에서 ∠ABC+∠CAB=90ù이고 
∠ABC:∠CAB=µAC:µ CB=7:2이므로 

∠CAB=

_90ù=20ù

2
7+2

ABÓ와 CEÓ의 교점을 F라고 하면 △CAF에서 
∠y=∠ACF+∠CAF=60ù+20ù=80ù

∴ ∠x+∠y=30ù+80ù=110ù

12  Action   한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기가 같음을 알
고 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 

고 ∠ANM=· 라고 하면

µAM=µ MB이므로 

∠MAB=∠ANM=·

∠AMN=_라고 하면 

M

N

A

Q

P
48∞
20∞

B

C

µAN=µ NC이므로 ∠NAC=∠AMN=_
△AMP에서 
∠APQ=∠AMP+∠MAP=_+·
△AQN에서 
∠AQP=∠NAQ+∠ANQ=_+·
따라서 △APQ는 APÓ=AQÓ인 이등변삼각형이다.
이때 △PBQ에서
∠APQ=∠PBQ+∠PQB=20ù+48ù=68ù이므로

∠AQP=∠APQ=68ù

최고
수준

뛰어넘기

P  60

…… 30%

01  (4

6-4

2+8

3)

cm 

02  7 

'

'

'

`

03  400

01  Action   점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H, AHÓ=x
`

cm로 놓고 

특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 BHÓ, CHÓ의 길이를 각각 x의 식

으로 나타낸다. 

∠BAC=

_(360ù-150ù)=105ù

;2!;
△ABC에서 
∠ACB=180ù-(45ù+105ù)=30ù

Ⅱ. 원의 성질  |  35

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에

A

45∞

B

8 cm

C

H

O

150∞

내린 수선의 발을 H라 하고 

cm라고 하면

AHÓ=x
`
△ABH에서 

BHÓ=

x
tan 45ù

=x

(cm)

`

ABÓ=

x
sin 45ù

2
=xÖ '
2

=

2x

(cm)

'

`

△AHC에서

CHÓ=

x
tan 30ù

3
=xÖ '
3

=

3x

(cm)

'

`

ACÓ=

x
sin 30ù

=xÖ

=2x

(cm)

;2!;

`

이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 

8
3+1

'
3-1)=4

8=x+

3x 

  ∴ x=

'

=4(

3-1)

'

∴  ABÓ=

2x=

2_4(

'

'

'

ACÓ=2x=2_4(

3-1)=8
'
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
ABÓ+BCÓ+CAÓ =(4

6-4

'

6-4

2

(cm),  

'
3-8

'
`
(cm)

`

2)+8+(8

3-8) 

'
6-4

'
2+8

'

3

`

'

'
(cm)

=4

'

02  Action   ACÓ, BOÓ, BDÓ를 긋고 닮음인 삼각형을 찾는다.

4

O

4

D

A

2

B

2

C

오른쪽 그림과 같이 ACÓ, BOÓ, 

BDÓ를 그으면 CDÓ는 반원 O의 

지름이므로 

∠CAD=∠CBD=90ù
△BCD에서 
-2Û

BDÓ=


`
ABÓ=BCÓ이므로 µAB=µ BC

=2

15



`

∴ ∠ADB=∠ACB=∠BDC=∠BAC
△BOD에서 OBÓ=ODÓ이므로 
∠OBD=∠ODB
△ABC»△BOD ( AA 닮음)이므로 
ABÓ:BOÓ=ACÓ:BDÓ에서

2:4=ACÓ:2

15, 4ACÓ=4

15 

 





∴ ACÓ=
15

따라서 △ACD에서 
-(
ADÓ=

15)Û




`



=7

`

03  Action   AOÓ의 연장선을 긋고 한 원에서 크기가 같은 원주각에 대한 

호의 길이는 서로 같음을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 AOÓ의 연장선이

원 O와 만나는 점을 E라 하고 BEÓ, 

CEÓ를 그으면 AEÓ는 원 O의 지름이

므로

∠ABE=∠ACE=90ù

A

O

D

C

B

E

36  |  정답과 풀이

즉 BDÓ∥ECÓ이므로 

∠BCE=∠DBC (엇각)

이때 µ BE와 µ CD의 원주각의 크기가 같으므로 

µ BE=µ CD 

  ∴ BEÓ=CDÓ

AEÓ=2AOÓ=2_10=20이므로 
△ABE에서 
+BEÓ
ABÓ

=AEÓ

=400

=20Û

`
∴ ABÓ

`
+CDÓ

`
=ABÓ

`
+BEÓ

`

`

`

=400

`

3.

원주각의 활용

최고
수준

입문하기

01  3개 
05  217ù 

09  20ù 

13  260ù 

17  ④ 

21  30ù 
3
9
'
2 `

25 

29  ② 

02  80ù 
06  120ù 

10  65ù 

14  175ù 

18  40ù 

22  27ù 

cmÛ

  26  62ù 
`

30  53ù

P  62 -  P  66

03  36ù 
07  4ù 

11  140ù 

15  ㉡, ㉢ 

19  70ù 

23  50ù 

27  17ù 

04  55ù
08  166ù

12  200ù

16  20ù

20  60ù

24  60ù

28  58ù

01  Action   네 점이 한 원 위에 있을 조건을 생각한다.

㉠  ∠BDC=90ù-70ù=20ù

 

즉 ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위

㉡  ∠BAC+∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 

㉢  ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 

㉣  ∠BDC=180ù-(95ù+30ù)=55ù 

 

즉 ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위

따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ㉠, ㉢, ㉣

에 있다.

있지 않다.

있다.

에 있다.

의 3개이다.

02  Action   네 점이 한 원 위에 있으므로 ∠ADB=∠ACB, 

∠DAC=∠DBC이다.

네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 

∠y=∠DAC=55ù
△DPB에서 30ù+∠x=55ù 
∴ ∠x+∠y=25ù+55ù=80ù

  ∴ ∠x=25ù

정답과 풀이Û
Û
Û
Û
Û
Û
Û
이때 BMÓ=CMÓ이므로 점 M은 원의 

B

M

C

∠x+32ù=70ù 

  ∴ ∠x=38ù

03  Action   ∠BEC=∠BDC=90ù이므로 네 점 B, C, D, E는 한 원 위

에 있음을 알고 BCÓ가 지름임을 이용한다.

∠BEC=∠BDC=90ù이므로 네 점

B, C, D, E는 오른쪽 그림과 같이 한 

원 위에 있고, BCÓ는 원의 지름이다. 

A

72∞
E

D

중심이다.
△ABD에서 
∠ABD=90ù-72ù=18ù

∴ ∠EMD=2∠EBD=2_18ù=36ù

04  Action   원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180ù

임을 이용한다. 

ABCD가 원에 내접하므로 

∠BAD+∠BCD=180ù에서

∠BAD+100ù=180ù 
따라서 △ABD에서
∠x=180ù-(80ù+45ù)=55ù

  ∴ ∠BAD=80ù

05  Action   EBCD가 원에 내접하므로 ∠BED+∠BCD=180ù임

을 이용한다.

∠ADE=∠ABE=37ù
△EFD에서 ∠x=85ù+37ù=122ù 
EBCD가 원에 내접하므로 

∠BED+∠BCD=180ù에서

85ù+∠y=180ù 

  ∴ ∠y=95ù 

∴ ∠x+∠y=122ù+95ù=217ù 

…… 40%

…… 40%

…… 20%

06  Action   반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 알고 원에 내접하는 사

각형의 성질을 이용한다.

ACÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90ù

∴ ∠EBC=90ù-70ù=20ù
△PBC에서 20ù+∠BCP=80ù 
따라서 ABCD가 원 O에 내접하므로 

∠DAB+∠BCD=180ù에서

∠DAB+60ù=180ù 

  ∴ ∠DAB=120ù

  ∴ ∠BCP=60ù

07  Action   원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 

내각에 대한 대각의 크기와 같음을 이용한다.

ABCD가 원에 내접하므로 

∠DAB=∠DCE에서

∠x+36ù=80ù 
  ∴ ∠x=44ù
△ABD에서 ∠y=180ù-(44ù+36ù+52ù)=48ù
∴ ∠y-∠x=48ù-44ù=4ù

08  Action   원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180ù
임을 알고, 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각에 대한 대각의 크기

와 같음을 이용한다.

ABCD가 원 O에 내접하므로 

∠DAB=∠DCE에서

ADÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACD=90ù
△ACD에서 ∠ADC=90ù-38ù=52ù
따라서 ∠ABC+∠ADC=180ù에서

∠y+52ù=180ù 

  ∴ ∠y=128ù

∴ ∠x+∠y=38ù+128ù=166ù

09  Action   ¨ABC, ¨ BCD의 길이가 각각 원주의 ;3@;, ;9$;임을 이용하여 
 

∠ADC, ∠BAD의 크기를 각각 구한다.

¨ ABC의 길이가 원주의 

이므로

∠ADC=180ù_

=120ù

;3@;

ABCD가 원에 내접하므로 ∠x=∠ADC=120ù

;3@;

;9$;

¨ BCD의 길이가 원주의 

이므로

∠BAD=180ù_

=80ù

;9$;

∠BAD+∠BCD=180ù에서

80ù+∠y=180ù 

  ∴ ∠y=100ù 

 

∴ ∠x-∠y=120ù-100ù=20ù

10  Action   원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 

내각에 대한 대각의 크기와 같음을 이용한다.

ABCD가 원에 내접하므로

∠QDC=∠ABC=∠x
△PBC에서 ∠PCQ=∠x+20ù
따라서 △DCQ에서 
∠x+(∠x+20ù)+30ù=180ù이므로

2∠x=130ù 

  ∴ ∠x=65ù

11  Action   CFÓ를 긋고, 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기

F

A

E

100∞

B

120∞

D

C

의 합은 180ù임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 CFÓ를 그으면 

ABCF가 원에 내접하므로

∠ABC+∠CFA=180ù에서

100ù+∠CFA=180ù 

 

∴ ∠CFA=80ù

또 CDEF가 원에 내접하므로

∠CDE+∠CFE=180ù에서

120ù+∠CFE=180ù 

  ∴ ∠CFE=60ù

∴ ∠AFE =∠CFA+∠CFE 

=80ù+60ù=140ù

Ⅱ. 원의 성질  |  37

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 12  Action   CEÓ를 긋고 ∠CED의 크기를 구한 후, 원에 내접하는 사각형

Lecture

에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180ù임을 이용한다.

사각형이 원에 내접하기 위한 조건

오른쪽 그림과 같이 CEÓ를 그으면 

∠CED=

∠COD

B

E

다음의 각 경우에 ABCD는 원에 내접한다.

⑴ 

A

  ⑵ 

A

D

  ⑶ 

A

D

=

_40ù=20ù  …… 30%

B

C

B

C

B

;2!;

;2!;

A

O

40∞

C

D

D

C E

∠BAC=∠BDC  ∠A+∠C=180ù  ∠BAD=∠DCE
∠B+∠D=180ù

  

ABCE가 원 O에 내접하므로 

∠ABC+∠AEC=180ù 

…… 30%

∴  ∠ABC+∠AED =∠ABC+(∠AEC+∠CED) 

=(∠ABC+∠AEC)+∠CED  

=180ù+20ù=200ù 

…… 40%

이용한다.

16  Action   한 쌍의 대각의 크기의 합이 180ù인 사각형은 원에 내접함을 

13  Action   PQCD가 원 O'에 내접함을 이용하여 ∠y의 크기를 구하
고, ABQP가 원 O에 내접함을 이용하여 ∠x의 크기를 구한다.

PQCD가 원 O'에 내접하므로 

∠y=∠CDP=100ù

ABQP가 원 O에 내접하므로 

∠BAP+∠BQP=180ù에서

∴ ∠x=2∠BAP=2_80ù=160ù

∴ ∠x+∠y=160ù+100ù=260ù

∠BAP+100ù=180ù 

  ∴ ∠BAP=80ù

다.

ABCD가 원에 내접하려면 한 쌍의 대각의 크기의 합이 

180ù이어야 하므로 ∠ABC+∠ADC=180ù에서

  ∴ ∠ABC=65ù

∠ABC+115ù=180ù 
△ABF에서 ∠EAF=65ù+30ù=95ù
△EAD에서 ∠x+95ù=115ù 

  ∴ ∠x=20ù

17  Action   각 사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 만족하는지 확인한

㉡  등변사다리꼴의 아랫변의 양 끝 각의 크기가 서로 같고 윗

변의 양 끝 각의 크기가 서로 같으므로 대각의 크기의 합

이 180ù이다.

14  Action   원에 내접하는 사각형의 성질을 이용하여 ∠x, ∠y의 크기를 

  즉 등변사다리꼴은 항상 원에 내접한다.

각각 구한다.

ABQP가 원 OÁ에 내접하므로 

㉣  직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90ù이므로 대각의 크

기의 합이 180ù이다.

∠PQS=∠PAB=97ù, ∠RPQ=∠ABQ=102ù

  즉 직사각형은 항상 원에 내접한다.

PQSR가 원 Oª에 내접하므로 

㉤  정사각형의 네 내각의 크기는 모두 90ù이므로 대각의 크

∠RSC=∠RPQ=102ù, ∠DRS=∠PQS=97ù

기의 합이 180ù이다.

RSCD가 원 O£에 내접하므로 

∠RSC+∠CDR=180ù에서

102ù+∠x=180ù 

  ∴ ∠x=78ù

∠y=∠DRS=97ù

∴ ∠x+∠y=78ù+97ù=175ù

15  Action   사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 생각한다.

㉠  ∠BAC+∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접하지 않

는다.

㉡  ∠BDC=180ù-(105ù+35ù)=40ù 

즉 ∠BAC=∠BDC이므로 ABCD는 원에 내접한다.

㉢  ∠DAB=∠DCE이므로 ABCD는 원에 내접한다.

㉣  ∠ABC=180ù-85ù=95ù,    

∠ADC=180ù-85ù=95ù 

 

  즉 정사각형은 항상 원에 내접한다.

따라서 항상 원에 내접하는 사각형은 ㉡, ㉣, ㉥이다.

18  Action   접선과 현이 이루는 각의 성질을 이용한다.

∠x=∠CBT=65ù

∠BOC=2∠x=2_65ù=130ù
△OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 

∠y=

_(180ù-130ù)=25ù

;2!;

∴ ∠x-∠y=65ù-25ù=40ù

19  Action   µAB:µ BC:µ CA=5:7:6임을 이용하여 ∠CAB와 

∠CBT의 크기를 구한다.

원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로

∠BCA:∠CAB:∠ABC =µAB:µ BC:µ CA 

  즉  ∠ABC+∠ADC+180ù이므로  ABCD는  원에 

내접하지 않는다.

따라서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ㉡, ㉢이다.

∴ ∠CBT=∠CAB=

_180ù=70ù

=5:7:6

7
5+7+6

38  |  정답과 풀이

정답과 풀이 20  Action   △BAT가 이등변삼각형임을 이용하여 ∠BCA의 크기를 

먼저 구한다.
△BAT는 BAÓ=BTÓ인 이등변삼각형이므로
∠BAT=∠BTA=40ù 

∴ ∠BCA=∠BAT=40ù 
따라서 △CAT에서
40ù+(∠CAB+40ù)+40ù=180ù이므로

…… 30%

…… 30%

△ACB에서 
∠BAC=90ù-∠x
△ACP에서 ACÓ=PCÓ이므로 
∠CPB=∠BAC=90ù-∠x

따라서 ∠x=(90ù-∠x)+(90ù-∠x)이므로

3∠x=180ù    ∴ ∠x=60ù

∠CAB=60ù 

…… 40%

25  Action   반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 알고 특수한 각의 삼

21  Action   사각형이 원에 내접함을 이용하여 ∠y의 크기를 구한 후 접
선과 현이 이루는 각의 성질을 이용하여 ∠x의 크기를 구한다.
△ABD에서 
∠BAD=180ù-(42ù+38ù)=100ù

ABCD가 원에 내접하므로 

∠BAD+∠BCD=180ù에서

100ù+∠y=180ù 

  ∴ ∠y=80ù

∠DBC=∠DCT=50ù이므로 
△BCD에서 
∠x=180ù-(50ù+80ù)=50ù

∴ ∠y-∠x=80ù-50ù=30ù

22  Action   한 원에서 현의 길이가 같으면 호의 길이가 같음을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면  

A

BCÓ=CDÓ이므로

∠CAD=∠BAC

 

=

_54ù=27ù

;2!;

∴ ∠x=∠CAD=27ù

54∞

B

D

C

x

T

23  Action   ATÓ를 그은 후 접선과 현이 이루는 각의 성질을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 ATÓ를 그으면 ABÓ

B

가 원 O의 지름이므로 

∠ATB=90ù

∴ ∠ATP =180ù-(90ù+70ù) 

=20ù 

…… 50%

∠BAT=∠BTC=70ù이므로 
△APT에서 
∠x+20ù=70ù 

  ∴ ∠x=50ù 

O

70∞

A
P

x

T

C

24  Action   BCÓ를 그은 후 접선과 현이 이루는 각의 성질을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 그으

면 ABÓ가 원 O의 지름이므로 

∠ACB=90ù

∠ABC=∠ACT=∠x이므로

A

T

O

C

x

각비의 값을 이용하여 변의 길이를 구한다.

ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ATB=90ù 

∠BAT=∠BTP=30ù이므로  
△ATB에서 

3
ATÓ=ABÓ cos 30ù=6_ '
2

=3

3

(cm)
`

'

…… 10%

…… 30%

BTÓ=ABÓ sin 30ù=6_

=3

(cm) 

…… 30%

∴ △ATB=

_3

3_3=

;2!;

'

3
'
2 `

(cmÛ



`

…… 30%

;2!;

`
9

26  Action   △DBE가 이등변삼각형임을 이용한다.

△DBE에서 BDÓ=BEÓ이므로

∠BED=

_(180ù-68ù)=56ù

;2!;

BCÓ는 원 O의 접선이므로 

∠DFE=∠DEB=56ù
따라서 △DEF에서
∠x=180ù-(62ù+56ù)=62ù

Lecture

접선과 현이 이루는 각의 활용

오른쪽 그림과 같이 PA³, PB³가 원의 접
선이고 두 점 A, B가 접점일 때, 
PAÓ=PBÓ이고
∠PAB=∠PBA=∠ACB

A

C

P

B

27  Action   PAÓ, PCÓ는 접선이므로 PAÓ=PBÓ이고, µAD에 대하여 

…… 50%

∴ ∠x=180ù-(47ù+47ù)=86ù

∠DAP=∠DEA임을 이용한다.
△ABC에서 ∠PBA=22ù+25ù=47ù
△APB에서 PAÓ=PBÓ이므로 
∠PAB=∠PBA=47ù

이때 PAÓ는 원의 접선이므로

∠y=∠DAP=22ù+47ù=69ù

∴ ∠x-∠y=86ù-69ù=17ù

B

P

28  Action   접선과 현이 이루는 각의 성질을 이용한다.

∠BTQ=∠BAT=70ù, ∠CTQ=∠CDT=52ù

∴ ∠x=180ù-(70ù+52ù)=58ù

Ⅱ. 원의 성질  |  39

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 29  Action   서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때, 동위각 또는 엇각의 

크기가 서로 같으면 두 직선은 평행함을 이용한다.

02  Action   원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180ù
임을 알고, 한 원에서 호의 길이가 같으면 원주각의 크기가 같음을 이

P

Q

D

E

C

용한다.

ABCD가 원에 내접하므로 

∠BAD+∠BCD=180ù에서

①  오른쪽 그림에서 

 

 

 ∠PAB=∠PQC=∠EDC

 즉 동위각의 크기가 같으므로

A

B

  ABÓ∥CDÓ

③ ∠TAB=∠BTQ=∠TCD

  즉 동위각의 크기가 같으므로 ABÓ∥CDÓ

④  ∠BAT=∠BTQ=∠DTP=∠DCT

  즉 엇각의 크기가 같으므로 ABÓ∥CDÓ

⑤ ∠BAP=∠PQC=∠PDC

  즉 엇각의 크기가 같으므로 ABÓ∥CDÓ

따라서 ABÓ∥CDÓ가 아닌 것은 ②이다.

30  Action   접선과 현이 이루는 각의 성질을 이용한다.
∠TBD=∠CTQ=∠CAT=52ù이므로
△BDT에서 
52ù+∠x=105ù 

  ∴ ∠x=53ù

∠BAD+120ù=180ù 

  ∴ ∠BAD=60ù

또, µAB=µAD이므로 ∠ADB=∠ABD
즉 △ABD에서 

∠ABD=∠ADB=

_(180ù-60ù)=60ù

;2!;

따라서 △ABD는 정삼각형이므로 
ABÓ=ADÓ=BDÓ=8
`

(cm)

∴ △ABD=

_8_8_sin 60ù

;2!;

 

 

=

;2!;

3
_8_8_ '
2

=16

3

(cmÛ

)

'

`

`

03  Action   RAÓ, RBÓ, RCÓ를 긋고 ABCR가 원에 내접함을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 RAÓ, RBÓ, RCÓ를 

R

그으면

µAP=µ PB, µ BQ=µ QC이므로

∠ARP=∠PRB, ∠BRQ=∠QRC

∴  ∠ARC 

48∞

A

P

C

B

Q

=∠ARP+∠PRB+∠BRQ+∠QRC 

=2∠PRB+2∠BRQ 

최고
수준

완성하기

P  67 -  P  69

=2(∠PRB+∠BRQ)=2∠PRQ 

01  82ù 

05  17p 

3

02  16

'

`
06  144ù 

cmÛ

  03  84ù 
`

07  46ù 

09  25ù 

10  110ù 

11  ;2!; 

04  118ù

08  6개

12  45ù 

=2_48ù=96ù

ABCR가 원에 내접하므로 

∠ABC+∠ARC=180ù에서

∠ABC+96ù=180ù 

  ∴ ∠ABC=84ù

다른 풀이

01  Action   OPÓ에 대하여 ∠OCP=∠ODP이므로 네 점 C, O, P, D는 

∠PRQ=48ù이므로 µ PQ의 길이는 원주의 

=

;1¢8¥0;

;1¢5;

이다.

한 원 위에 있음을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 

∠OCP=∠ODP=13ù이므로 

네 점 C, O, P, D는 한 원 위에 있

다.
△COP에서 
13ù+∠CPO=50ù 

  ∴ ∠CPO=37ù

CDÓ를 그으면 ∠CDO=∠CPO=37ù
이때 △COD에서 OCÓ=ODÓ이므로 
∠DCO=∠CDO=37ù

∴ ∠x=180ù-(37ù+37ù)=106ù

C

13∞
x

13∞

A

50∞

O

y

P

D

B

이때 ∠DCP=∠DCO-∠PCO=37ù-13ù=24ù이므로

∠y=∠DOP=∠DCP=24ù

∴ ∠x-∠y=106ù-24ù=82ù

40  |  정답과 풀이

µAB+µ BC=2µ PB+2µ BQ=2(µ PB+µ BQ)=2µ PQ이므로 

µAB+µ BC의 길이는 원주의 2_

=

;1¢5;

;1¥5;

이다.

따라서 µAR+µ RC의 길이는 원주의 1-

=

;1¥5;

;1¦5;

이므로

∠ABC=180ù_

=84ù

;1¦5;

04  Action   네 점 A, B, B', C'이 한 원 위에 있으므로 ABB'C'은 원

에 내접함을 이용한다.
△ABCª△AB'C'이므로 ABÓ=AB'Ó
오른쪽 그림과 같이 BB'Ó을 그으면 
△ABB'은 이등변삼각형이므로 

∠ABB'=

_(180ù-56ù)

;2!;

=62ù

A

C

56∞

B

C′

B′

정답과 풀이 이때 네 점 A, B, B', C'이 한 원 위에 있으므로 ABB'C'

은 원에 내접한다.

∠ABB'+∠AC'B'=180ù에서

62ù+∠AC'B'=180ù 

  ∴ ∠AC'B'=118ù

∴ ∠ACB=∠AC'B'=118ù

BEÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BDE=90ù
△BDE에서 ∠EBD=180ù-(68ù+90ù)=22ù
∴ ∠FBE=∠EBD=22ù
따라서 △FBE에서
∠x+22ù=68ù 

  ∴ ∠x=46ù

05  Action   원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 
내각에 대한 대각의 크기와 같음을 이용하여 ∠BAD의 크기를 구한 

08  Action   네 점이 한 원 위에 있을 조건과 사각형이 원에 내접하기 위

후 △OAB가 어떤 삼각형인지 알아본다.
ABCD가 원 O에 내접하므로 

∠BAD=∠DCP=85ù

∴ ∠BOD=2∠BAD=2_85ù=170ù

BCÓ에  대하여  ∠BFC=∠BEC=90ù이므로  FBCE는 

한 조건을 이용한다.

원에 내접한다.

마찬가지 방법으로 ABDE, AFDC도 원에 내접한다.

또, ∠AFG+∠AEG=180ù이므로 AFGE는 원에 내

이때 ∠AOB=360ù-(170ù+130ù)=60ù이고 OAÓ=OBÓ
이므로 △OAB는 정삼각형이다.
∴ OAÓ=OBÓ=ODÓ=ABÓ=6

접한다.

마찬가지 방법으로 FBDG, GDCE도 원에 내접한다.

따라서 원에 내접하는 사각형은 모두 6개이다.

06  Action   BDÓ를 긋고 ABCD와 ABDE가 원에 내접함을 이용

µ BC=µ CT이므로 

따라서 색칠한 부분의 넓이는

p_6Û

_

`

;3!6&0);

=17p

한다.

ABCD가 원에 내접하므로 

∠BAD+∠BCD=180ù에서

∠BAD+72ù=180ù 

  ∴ ∠BAD=108ù

오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면  
△ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로

E

A

D

∠ABD=

_(180ù-108ù)=36ù

;2!;

B

ABDE가 원에 내접하므로 

∠ABD+∠AED=180ù에서

36ù+∠AED=180ù 

  ∴ ∠AED=144ù

72∞

C

오른쪽 그림과 같이 ACÓ를 그으면  

E

A

D

다른 풀이  

ABÓ=ADÓ이므로

∠ACB=∠ACD

 

=

_72ù=36ù

;2!;

ACDE가 원에 내접하므로 

∠ACD+∠AED=180ù에서

36ù+∠AED=180ù 

  ∴ ∠AED=144ù

B

72∞

C

07  Action   BCDE가 원 O에 내접함을 이용하여 ∠BED의 크기를 
구한 후, 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크

기의 합과 같음을 이용하여 ∠x의 크기를 구한다.

BCDE가 원 O에 내접하므로

∠BCD+∠BED=180ù에서

09  Action   µ BC=µ CT임을 이용하여 ∠CBT의 크기를 구하고 접선과 

현이 이루는 각의 성질을 이용하여 ∠x의 크기를 구한다.

∠CBT=∠BTC=28ù 
△BTC에서 
∠BCT=180ù-(28ù+28ù)=124ù 

오른쪽 그림과 같이 ATÓ를 그으면 

ATCB가 원에 내접하므로

∠TAP=∠BCT=124ù

PTÓ가 원의 접선이므로 

∠ATP =∠ABT 

A
31∞

P

28∞

T

…… 20%

=∠x 
따라서 △APT에서 
31ù+∠x+124ù=180ù    ∴ ∠x=25ù 

…… 20%

…… 30%

x

B

C

…… 30%

10  Action   ATÓ를 긋고 ∠ABT=∠ATP임을 이용하여 ∠ATP의 
크기를 먼저 구한 후, 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용하여 ∠x의 

크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 ATÓ를

긋고 ∠ATP=∠y라고 하

면 PTÓ가 원의 접선이므로

P

∠ABT=∠ATP=∠y
△APT에서 
∠BAT=∠y+30ù
△BAT에서 ABÓ=BTÓ이므로 
∠BTA=∠BAT=∠y+30ù

B

y

x

C

A

30∞

y

T

즉 ∠y+(∠y+30ù)+(∠y+30ù)=180ù에서

3∠y=120ù 

  ∴ ∠y=40ù

Ⅱ. 원의 성질  |  41

112ù+∠BED=180ù 

  ∴ ∠BED=68ù

∴ ∠BAT=∠y+30ù=40ù+30ù=70ù

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 이때 ATCB가 원에 내접하므로 

∠BAT+∠BCT=180ù에서

70ù+∠x=180ù 

  ∴ ∠x=110ù

11  Action   AMÓ을 긋고 ∠BAM=∠ACM임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 AMÓ을 긋고 

∠ACB=∠x라고 하면 

µAM=µ MC이므로 

∠CAM=∠ACM=∠x

ABÓ가 원 O의 접선이므로 

A

x

x

MB

O

x

C

∠BAM=∠ACM=∠x
△ABC에서 (∠x+∠x)+90ù+∠x=180ù
3∠x=90ù 

  ∴ ∠x=30ù

∴ sin C=sin 30ù=

;2!;

12  Action   ATÓ와 작은 원의 교점을 D로 놓고 접선과 현이 이루는 각의 

성질을 이용한다.

∠ATP=∠TBA=55ù

오른쪽 그림과 같이 ATÓ와 작은 원

의 교점을 D라 하고 CDÓ를 그으면 

A

35∞
x

∠DCT=∠DTP=55ù

ABÓ가 작은 원의 접선이므로 

∠ACD=∠CTD=∠x
△ATC에서 35ù+∠x+(∠x+55ù)=180ù
2∠x=90ù 

  ∴ ∠x=45ù

C

55∞

D

55∞
x

P

T

55∞

B

Q

이때 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 

∠ABC=∠ACB=

_(180ù-30ù)=75ù

;2!;

또, ∠ACE=∠ADE=15ù이므로 

∠BCE=∠BCA+∠ACE=75ù+15ù=90ù

ABCE는 원에 내접하므로 

∠BAE+∠BCE=180ù에서

∠BAE+90ù=180ù 

  ∴ ∠BAE=90ù

한편, DFÓ=x라고 하면 

AFÓ=DFÓ=x, EFÓ=4-x
△AFE에서 ∠FAE=90ù이므로 AFÓ=EFÓ cos 30ù

3
x=(4-x)_ '
2

, 2x=

3(4-x)

'

02  Action   반원에 대한 원주각의 크기는 90ù임을 알고 원에 내접하는 사

P

C

28∞

HQ

O

56∞
[그림 1]

34∞

A

x

28∞

B

(2+

3)x=4

'

3
'

∴ x=

3-12

3

=8

4
'
2+
'
3-12

3

'

'

∴ DFÓ=8

각형을 찾는다.

오른쪽  [그림  1]과  같이  작은

반원의 중심을 O라 하고 OPÓ를 

그으면

∠APO=90ù
△AOP에서 
∠AOP=90ù-34ù=56ù

PBÓ를 그으면

∠PBQ=

∠POQ

 

=

_56ù=28ù

;2!;

;2!;

최고
수준

뛰어넘기

01  8

3-12  02  62ù 

'

03  72

cmÛ

`


`

01  Action   µAE의 길이가 원주의 ;1Á2;임을 이용하여 ∠ACE의 크기를 
구한 후 ABCE가 원에 내접하는 사각형임을 이용하여 ∠BAE의 
 

크기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 ADÓ, AEÓ, CEÓ를

그으면 µAE, µ BD의 길이가 각각 원주

의 

;1Á2;

이므로

∠ADE=∠DAB

A

G

E

30∞
F

4

D

B

C

 

=180ù_

=15ù

;1Á2;

즉 △ADF는 AFÓ=DFÓ인 이등변삼각형이고
∠AFE=15ù+15ù=30ù

42  |  정답과 풀이

P  70

△OBP에서 OBÓ=OPÓ이므로 ∠OPB=∠OBP=28ù
한편,  오른쪽  [그림  2]와  같이

C

BCÓ를 그으면 ABÓ가 큰 반원의 

P

28∞

28∞

B

34∞

A

HQ

O

[그림 2]

지름이므로 ∠ACB=90ù

따라서 

∠PHB+∠PCB=180ù

이므로 PHBC는 원에 내접한다.

∴ ∠x =∠CPB 

=180ù-(28ù+90ù) 

=62ù

03  Action   △TAB는 TAÓ=TBÓ인 이등변삼각형임을 알고, 두 원에서 
접선과 현이 이루는 각의 성질을 이용하여 ABÓ∥DCÓ임을 확인한다.
△TCD는 이등변삼각형이므로 ∠TCD=∠TDC
∠TAB =∠BTQ=∠PTD=∠TCD

∠TBA =∠ATP=∠QTC=∠TDC

정답과 풀이 따라서 ∠TAB=∠TCD=∠TDC=∠TBA이므로 
△TAB는 TAÓ=TBÓ인 이등변삼각형이고,
∠TAB=∠TCD (엇각)이므로 ABÓ∥DCÓ이다.

오른쪽 그림과 같이 점 T를 지

나고 ABÓ와 CDÓ에 수직인 직

선이 ABÓ, CDÓ와 만나는 점을 

각각 M, N이라고 하면

AMÓ=BMÓ=

 ABÓ

;2!;

  =

_12=6

(cm)

;2!;

`

P
P

A

6 cm

M

B

Q

15 cm

9 cm

N

T

15 cm

D

C

CNÓ=DNÓ=

 CDÓ=

_18=9

(cm)

;2!;

;2!;

`

△TND에서 TNÓ=
15Û

또, △TAM»△TDN ( AA 닮음)이므로 
AMÓ:DNÓ=TMÓ:TNÓ에서 6:9=TMÓ:12

(cm)

=12

-9Û

`

`

`

9TMÓ=72 

  ∴ TMÓ=8

(cm)

`

∴ MNÓ =TMÓ+TNÓ

=8+12=20

(cm)

`

∴ △ATD
  =AMND-△AMT-△TND

  =

_(6+9)_20-

_6_8-

_9_12

;2!;

;2!;

;2!;

  =150-24-54

  =72

(cmÛ

)

`

`

교과서 속

창의 사고력

P  71 -  P  72

01  16

5

cm  02  675p

cmÛ

  03  4800
`

`

`

km  04  69ù

'

`

01  Action   길이가 가장 긴 철사는 원의 중심에서 가장 가까이에 있는 철

사이다.

원 모양의 석쇠의 지름의 길이는 36

cm이므로 8개의 철사

`
(cm) 간격으로 놓여 있고 길이가 같은 철사는 

는 36Ö9=4

`

각각 2개씩이다. 

오른쪽  그림과  같이  원의  중심

을 O라 하고 길이가 가장 긴 철

사 2개와 원이 만나는 점을 각각 

A, B, C, D라고 하자.

점 O에서 ABÓ, CDÓ에 내린 수선

의 발을 각각 M, N이라고 하면 

ABÓ=CDÓ이므로

OMÓ=ONÓ=

 MNÓ=

_4=2

(cm)

;2!;

;2!;

`

△OBM에서 OBÓ=18
5
MBÓ=

`
`
∴ ABÓ=2MBÓ=2_8

-2Û

=8

18Û



'

`

(cm)이므로

`
(cm)

5=16

5

(cm)

'

`

'

02  Action   지면에 비친 구의 그림자는 원 모양이다.
오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 O,

P

전등의 위치를 P, 구와 지면이 닿는 

부분을 A라고 하면 PAÓ는 구의 중심 

30 cm

O를 지난다.

점 P에서 구에 그은 접선을 PBÓ라 하

C

O

15 cm

고 그 접점을 C라고 하면

A

B

(cm)이고 ∠PCO=90ù이므로

3



=15

`
-15Û

(cm), OCÓ=15

POÓ=30
`
△POC에서 PCÓ=
30Û
`
△ABP와 △COP에서
∠PAB=∠PCO=90ù, ∠P는 공통이므로
△ABP∽△COP ( AA 닮음)
ABÓ:COÓ=PAÓ:PCÓ이므로

'

`

`

(cm)

ABÓ:15=45:15

3, 15

3 ABÓ=675

∴ ABÓ=15

3
'

`

'
(cm)

'

따라서 지면에 비친 구의 그림자는 반지름의 길이가 

15

3

cm인 원이므로 그 넓이는 

`

'
p_(15

3)Û

=675p

(cmÛ

)

`

`

'

`

03  Action   인공위성에서 지구에 접선을 그었을 때, 인공위성의 위치와 
접점 사이의 거리가 인공위성이 관찰할 수 있는 지표면까지의 최대 거

리이다.

오른쪽  그림과  같이  인공위성을

P, 지구의 중심을 O라 하고 점 P

에서 지구에 그은 두 접선의 접점

을 각각 A, B라고 할 때, 인공위성

이 관찰할 수 있는 지표면까지의 

A

O

P

B

최대 거리는 PAÓ(또는 PBÓ )이다.
△POA에서 
∠PAO=90ù, POÓ=1600+6400=8000

(km), 

`

OAÓ=6400

(km)이므로 

`
8000Û

`



PAÓ=

-6400Û

=

23040000=4800

(km)

`



`

따라서 인공위성이 관찰할 수 있는 지표면까지의 최대 거리

는 4800

km이다.

`

ABÓ=ACÓ

오른쪽  그림과  같이  BCÓ를

그으면 

∠ABC=∠ACB

=

_(180ù-42ù)

 

 

;2!;

=69ù

∴ ∠BDC=∠ABC=69ù

B
B

O
O

D

C

42∞

A

Ⅱ. 원의 성질  |  43

A
C

M
O

N

4 cm

18 cm

B
D

04  Action   ABÓ, ACÓ는 원 O의 접선임을 이용한다.

ABÓ, ACÓ는 원 O의 접선이므로 

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 III. 통계

1.

대푯값과 산포도

최고
수준

입문하기

01  22 

05  ⑤ 

09  88점 

13  74점 

17  2

kg 

`

02  5 

06  ㉤, ㉥ 

10  11 

14  8.5 

18  23 

cm  04  2

08  19

12  9

16  2

03  175

`
07  6개 

11  68 

15  ④ 

19  3, 6 



20  평균:37, 분산:64 

21 

6.75점  22  ③

23  ③, ④ 

24  ④ 

25  C반, A반

01  Action   (평균)=

임을 이용한다.

(변량의 총합)
(변량의 개수)
14+11+x+16+8+19
6

=15이므로

(평균)=

68+x=90 

  ∴

x=22

`

주어진 자료의 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 나열하

면 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9이므로
5+6
2

(중앙값)=

=5.5 

  ∴

`

B=5.5

최빈값은 5이므로 C=5



A+2B-3C=6+2_5.5-3_5=2

`

P  75 -  P  78

05  Action   줄기와 잎 그림에서 줄기는 십의 자리의 숫자를, 잎은 일의 자

3+6+7+9+10+14+14+16+18+21+21+21+24+26+27+27
16

(중앙값)=

=17(회)이므로 b=17

16+18
2

최빈값은 21회이므로 c=21 

 

리의 숫자를 나타낸다.

(평균)

=

=

=16.5(회)

:ª1¤6¢:

∴ a=16.5



c>b>a

`

A 모둠에서

06  Action   A 모둠과 B 모둠의 평균, 중앙값, 최빈값을 모두 구한다.

(평균)=

74+86+80+78+82+80+80+76+84
9

=

;:&9@:);

=80(점)

중앙값은 80점이고, 최빈값은 80점이다.

(평균)=

90+45+90+80+92+78+86+90+78
9

 

 

=

;:&9@:(;

=81(점)

중앙값은 86점이고, 최빈값은 90점이다.

따라서 옳은 것은 ㉤, ㉥이다.

02  Action   네 수 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3의 평균이 13임을 이용

하여 a+b+c+d의 값을 구한다.

(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3)
4

=13에서

=13, 2(a+b+c+d)+12=52

B 모둠에서

2(a+b+c+d)+12
4

2(a+b+c+d)=40 

 



a+b+c+d=20

`

따라서 네 수 a, b, c, d의 평균은
a+b+c+d
4

=5

:ª4¼:

=

03  Action   육상부에 새로 입단한 학생 5명의 키의 평균을 x

cm로 놓고 

`

식을 세운다.

육상부에 새로 입단한 학생 5명의 키의 평균을 x

cm라고 하

`


165_20+x_5
20+5

=167

3300+5x=4175, 5x=875 

  ∴ x=175

07  Action   변량의 개수가 홀수인 경우와 짝수인 경우에 중앙값을 구하

는 방법이 다름에 주의하여 a의 값의 범위를 구한다.

㈎에서 중앙값이 15이므로 

㈏에서 중앙값이 25이고 20과 30의 평균이 25이므로 

a¾15 

aÉ20 

yy ㉠

yy ㉡

따라서 육상부에 새로 입단한 학생 5명의 키의 평균은 

㉠, ㉡에서 15ÉaÉ20이므로 이를 만족하는 정수 a의 값은 

175

cm이다.

`

15, 16, 17, 18, 19, 20의 6개이다.

04  Action   중앙값은 주어진 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하
였을 때 중앙에 놓이는 값이고, 최빈값은 가장 많이 나타나는 값이다.

5+4+5+9+6+8+6+5
8

=

:¢8¥:

=6

(평균)=

∴ A=6

44  |  정답과 풀이

08  Action   크기순으로 나열한 5개의 변량에서 중앙값은 3번째 값이고  
6개의 변량에서 중앙값은 3번째 값과 4번째 값의 평균임을 이용한다.

5개의 변량 3, 5, a, b, 8에서 중앙값은 크기순으로 나열할 때 

3번째 값이므로 a=7 (∵ a<b)

정답과 풀이 6개의 변량 4, 7, b, 10, 13, 14에서 중앙값은 크기순으로 나

13  Action   편차의 합이 0임을 이용하여 학생 B의 영어 성적의 편차를 

열할 때 3번째 값과 4번째 값의 평균이고 그 값이 11이므로 

먼저 구한다.

10<b<13
10+b
2

즉 

∴ a+b=7+12=19

=11, 10+b=22 

  ∴ b=12

편차의 합은 0이므로 

1+x+(-5)+2+0=0  ∴

x=2

`

따라서 학생 B의 영어 성적은 72+2=74(점)

09  Action   낮은 점수부터 차례로 나열된 처음 6명의 학생의 수학 성적

편차의 합은 0이므로 

의 중앙값은 세 번째 값과 네 번째 값의 평균이다.

-6+1+5+0+(-4)+x=0 

  ∴ x=4

처음 학생 6명의 수학 성적을 낮은 점수부터 차례로 나열하

이때 주어진 자료의 평균이 8이므로 각 변량을 구하면

였을 때, 네 번째 학생의 수학 성적을 x점이라고 하면 중앙값

2, 9, 13, 8, 4, 12

14  Action   편차의 합이 0임을 이용하여 x의 값을 먼저 구한다.

이 84점이므로
80+x
2

=84, 80+x=168  ∴

x=88 

…… 50%

`

이때 수학 성적이 92점인 학생을 포함한 7명의 학생의 수학 

성적을 낮은 점수부터 차례로 나열하면 7명의 학생의 수학 

성적의 중앙값은 네 번째 학생의 수학 성적인 88점이다.

이 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면

2, 4, 8, 9, 12, 13

따라서 중앙값은 

=8.5

8+9
2

…… 50%

15  Action   대푯값과 산포도에 대한 설명으로 옳은 지 확인한다.
④ 편차의 제곱의 평균을 분산이라고 한다. 

10  Action   평균이 2임을 이용하여 a+b의 값을 구하고 이때 최빈값이 

16  Action   평균이 8점임을 이용하여 x의 값을 먼저 구한다.

2이므로 a=2 또는 b=2이다.

평균이 2이므로

-3+5+2+1+(-6)+a+b
7

=2

-1+a+b=14 

  ∴

a+b=15

`

최빈값이 2이므로 a=2 또는 b=2

이때 a>b이므로 a=13, b=2



a-b=13-2=11

 

`

`

11  Action   자료에서 가장 많이 나타나는 변량이 최빈값임을 이용한다.
g이 이 자
g을 제외한 사과 4개의 무게가 모두 다르므로 x

x

`

료의 최빈값이다.

g은 최빈값이면서 평균이다.
또 평균과 최빈값이 같으므로 x
`

즉 (평균)=

65+68+x+70+69
5

=x이므로

272+x=5x, 4x=272  ∴

x=68

`

12  Action   평균이 3임을 이용하여 a+b의 값을 구한 후, a-b=2와 연

립하여 a, b의 값을 각각 구한다.

평균이 3이므로

-4+3+(-5)+a+b+(-2)+4+10+(-1)+9
10

=3

a+b+14=30 

  ∴ a+b=16

a-b=2, a+b=16을 연립하여 풀면

a=9, b=7

따라서 최빈값은 9이다.

평균이 8점이므로
6+9+x+7+10
5

=8

`



(분산)

`

32+x=40 

  ∴

x=8 

…… 50%

  =

+(10-8)Û
+(7-8)Û
+(8-8)Û
+(9-8)Û
(6-8)Û
`
`
`
`
`

5

  =

=2 

:Á5¼:

…… 50%

17  Action   편차의 합이 0임을 이용하여 x의 값을 구한 후 
(분산)임을 이용한다.

(표준편차)=



편차의 합은 0이므로

-1+2+(-3)+x+0+1+3=0  ∴
`
+0Û

+(-3)Û

(-1)Û

+2Û

(분산)=

`

`

`

+(-2)Û
7

`

x=-2

+1Û
`

`

+3Û

`

 

=

:ª7¥:

=4



(표준편차)=

4=2

(kg)

'

`

`

18  Action   2, 5, a, b의 평균과 분산을 이용하여 식을 각각 세운다.
2+5+a+b
4

평균이 3이므로 

=3

7+a+b=12  ∴

a+b=5

`

분산이 4이므로

(2-3)Û

+(5-3)Û

`

`

+(a-3)Û
4

`

+(b-3)Û

`

=4



+bÛ

-6(a+b)+23=16

`

`

`

`



+bÛ

-6_5+23=16  ∴



+bÛ

=23

`

`

`

Ⅲ. 통계  |  45

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 다른 풀이

평균이 3이고 분산이 4이므로 


+5Û

+bÛ

`

`

+aÛ
4

`

`

-3Û

=4  ∴



+bÛ

=23

`

`

`

`

Lecture

분산을 구하는 다른 방법

n개의 변량 xÁ, xª, x£, y, xÇ의 평균을 m이라고 하면
+y+(xÇ-m)Û
+(x£-m)Û
+(xª-m)Û
(xÁ-m)Û
`
`
`
`

(분산)=

n

  =

xÁÛ

+xªÛ
`

`

+x£Û
n

`

+y+xÇÛ`

-mÛ

`

즉 분산은 변량의 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 값이다.

19  Action   먼저 주어진 변량의 평균을 구한다.

주어진 변량의 평균은

3+a+6+(9-a)+12
5

=

:£5¼:

=6

분산이 10.8이므로

(3-6)Û

+(a-6)Û

`

`

+(6-6)Û
5

`

+(9-a-6)Û

+(12-6)Û

`

`

9+aÛ

=

`

-12a+36+9-6a+aÛ
5

`

+36

2aÛ

-18a+90

=

`

=10.8

5

2aÛ

-18a+90=54, aÛ

-9a+18=0

`

(a-3)(a-6)=0  ∴

a=3 또는 a=6

`

`

20  Action   a, b, c, d의 평균과 표준편차를 이용하여 식을 각각 세운다.

a, b, c, d의 평균이 20이므로
a+b+c+d
4

=20 

  ∴ a+b+c+d=80

a, b, c, d의 표준편차가 4, 즉 분산이 4Û

=16이므로

`

(a-20)Û

+(b-20)Û

`

+(c-20)Û
4

`

+(d-20)Û

`

=16

∴ (a-20)Û

+(b-20)Û

+(c-20)Û

+(d-20)Û

=64

`

`

`

2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3의 평균은

`

`

(2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3)
4

2(a+b+c+d)-4_3
4

2_80-12
4

=37

2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3의 분산은

(2a-3-37)Û

+(2b-3-37)Û

`

+(2c-3-37)Û
4

+(2d-3-37)Û
`

`

4{(a-20)Û

+(b-20)Û

`

+(c-20)Û
4

`

+(d-20)Û

}

`

`

`

=

=

=

=

4_64
4

=64

다른 풀이

46  |  정답과 풀이

Lecture

변화된 변량의 평균, 분산, 표준편차

n개의 변량 xÁ, xª, x£, y, xÇ의 평균이 m이고 표준편차가 s일 때, 
n개의 변량 axÁ+b, axª+b, ax£+b, y, axÇ+b ( a, b는 상수)
에 대하여
⑴ (평균)=am+b
⑵ (분산)=aÛ
`
⑶ (표준편차)=|a|s



`

21  Action   (분산)=

{(편차)Û
의 총합}
`
(변량의 개수)
{(편차)Û`의 총합}=(변량의 개수)_(분산)임을 이용한다.

에서 

 

반 전체 학생 20명의 음악 실기 점수의 평균은 
28_11+28_9
20

=28(점)

:°2¤0¼:

=

남학생과 여학생의 음악 실기 점수에 대한 (편차)Û

의 총합은 
`

각각 3Û

_11=99, 2Û

_9=36

`

`

따라서 반 전체 학생 20명의 음악 실기 점수의 분산은
99+36
20

=6.75

:Á2£0°:

=



(표준편차)=

6.75 (점)



`

Lecture

(편차)Û`의 총합

각 집단에서 (분산)=

{(편차)Û`의 총합}
(변량의 개수)

이므로

의 총합}=(분산)_(변량의 개수)이다.
`

{(편차)Û
이때 각 집단에서 (편차)Û
과 두 집단 전체의 평균이 서로 같으므로 두 집단 전체의 (편차)Û
총합은 각 집단에서의 (편차)Û

={(변량)-(평균)}Û

이고, 각 집단의 평균
`

의 총합을 더한 것과 같다.
`

의 
`

`

22  Action   자료가 평균을 중심으로 가까이 모여 있을수록 표준편차가 

작다.

①~⑤의 평균은 모두 5로 같다. 이때 자료가 평균을 중심으

로 가까이 모여 있을수록 표준편차가 작으므로 표준편차가 

가장 작은 것은 ③이다.

Lecture

표준편차의 크기에 따른 자료의 분석

⑴  표준편차가 작을수록 자료는 평균 주위에 모여 있으므로 자료의 

분포 상태가 고르다고 할 수 있다.

⑵  표준편차가 클수록 자료는 평균으로부터 멀리 흩어져 있으므로 

자료의 분포 상태가 고르지 않다고 할 수 있다.

23  Action   평균이 높을수록 성적이 우수하고, 표준편차가 작을수록 성

적이 고르다. 

① 최고 득점자가 있는 반은 알 수 없다.

② 편차의 합은 항상 0이다.

⑤  (분산)=(표준편차)Û

이므로  분산이  가장  큰  반은  2반이
`

(평균)=2_20-3=37, (분산)=2Û

_4Û

=64

`

`

다.

정답과 풀이 24  Action   병훈이와 정우의 사격 점수의 평균, 분산을 각각 구한다.

02  Action   85점을 x점으로 잘못 보았다고 놓고 평균에 대한 식을 세운

① (병훈이의 사격 점수의 평균)

  =

7+8_3+9+10_5
10

=9(점)

② (정우의 사격 점수의 평균)
8_2+9_6+10_2
10

  =

=9(점)

  따라서 병훈이와 정우의 사격 점수의 평균은 같다.

③ (정우의 사격 점수의 분산)

  =

(8-9)Û

`

_2+(9-9)Û
`
10

_6+(10-9)Û

_2

`

  ∴ (정우의 사격 점수의 표준편차)=

0.4 (점)



④, ⑤ (병훈이의 사격 점수의 분산)

  =

_5
+(10-9)Û
_3+(9-9)Û
+(8-9)Û
(7-9)Û
`
`
`
`
10

  =0.4

  =1.2

 

 따라서 병훈이의 사격 점수의 분산이 정우의 사격 점수의 

분산보다 크므로 병훈이에 비하여 정우의 사격 점수의 분

포 상태가 고르다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

25  Action   자료가 평균으로부터 멀리 흩어져 있는지 자료가 평균 주위

에 모여 있는지 판단한다.

자료가 평균으로부터 멀리 흩어져 있을수록 표준편차가 크

고, 자료가 평균 주위에 모여 있을수록 표준편차가 작다. 

따라서 표준편차가 가장 큰 반은 C반이고, 표준편차가 가장 

작은 반은 A반이다.

최고
수준

완성하기

P  79 -  P  83 

01  2:3 

02  65점 

03  a=18, b=21 또는 a=20, b=18

05  37, 58 

06  ㉡, ㉢ 

07  90

09  327 

10  a=3, b=6, c=12

3점 

12  평균:90점, 분산:4 

13 7.5

04  9.3 

08  21 

11 2

'
14  10 

15  C반

01  Action   남자의 수를 x명, 여자의 수를 y명으로 놓고 전체 평균에 대

한 식을 세운다.

남자의 수를 x명, 여자의 수를 y명이라고 하면
65x+60y
x+y
3x=2y 

=62, 65x+60y=62x+62y

  ∴ x:y=2:3

85점을 받은 학생을 제외한 19명의 점수의 총합을 A점이라 

하고, 85점을 x점으로 잘못 보았다고 하면

-1, A+x=A+85-20

다.

A+x
20

=

A+85
20



x=65

`

따라서 85점인 학생의 점수를 65점으로 잘못 보았다.

03  Action   n개의 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, n이 

짝수이면 중앙값은 ;2N;번째와 

{;2N;

+1

}

번째 자료의 값의 평균임을 이

 

 

용한다.

자료 A의 중앙값이 18이므로 

a=18 또는 b=18

Ú  a=18, b=18일 때, 두 자료 A, B를 섞어서 작은 값에서

부터 크기순으로 나열하면  

 

11, 13, 16, 17, 18, 18, 18, 21, 21, 22

 

 이때 전체 자료의 중앙값은 18이므로 주어진 조건을 만

족하지 않는다.

Û  a=18, b+18일 때, b-1, b를 제외한 두 자료 A, B를 

섞어서 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면  

 

11, 13, 16, 18, 18, 21, 21, 22

 중앙값이 19이려면 b-1은 18과 21 사이에 있어야 하므

로 전체 자료의 중앙값은

18+(b-1)
2

=19  ∴

b=21

`

Ü  a+18, b=18일 때, a를 제외한 두 자료 A, B를 섞어서 

작은 값에서부터 크기순으로 나열하면  

 

11, 13, 16, 17, 18, 21, 21, 22

 중앙값이 19이려면 a는 18과 21 사이에 있어야 하므로 

전체 자료의 중앙값은
18+a
2

=19  ∴

`

a=20

Ú~Ü에 의하여 a=18, b=21 또는 a=20, b=18

 

 

 

 

04  Action   (편차)=(변량)-(평균)임을 이용한다.
kg, 편차는 -0.2

귤 상자 B의 무게는 7.6

kg이므로 4개의 

`

`
귤 상자의 무게의 평균은 

7.6-(-0.2)=7.8

(kg)

`

∴ x=8.7-7.8=0.9 

편차의 합은 0이므로 

0.9+(-0.2)+z+(-1)=0



z=0.3 

`

y-7.8=0.3에서 y=8.1 

…… 30%

…… 30%

…… 30%

…… 10%

Ⅲ. 통계  |  47

따라서 남자의 수와 여자의 수의 비는 2:3이다.

∴ x+y+z=0.9+8.1+0.3=9.3 

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 05  Action   편차의 합이 0임을 이용하여 x의 값을 구한 후  

08  Action   xÁ, xª, x£, x¢, x°의 평균과 분산을 이용하여 식을 각각 세운

(변량)=(평균)+(편차)임을 이용하여 변량 A의 값을 구한다.

다.

+(-3)+(2x-4)=0

편차의 합은 0이므로 

(-xÛ

+2)+(-6)+(2xÛ

+3)+(x-2) 

`

`

`

+3x-10=0, (x+5)(x-2)=0

 



`


`

x=-5 또는 x=2

Ú x=-5일 때

+2=-(-5)Û

  -xÛ
`
A=60+(-23)=37

  ∴

`

+2=-23

`
Û x=2일 때

+2=-2Û

  -xÛ
`
A=60+(-2)=58

+2=-2

  ∴

`

Ú, Û에 의하여 A=37 또는 A=58

xÁ, xª, x£, x¢, x°의 평균이 4이므로

xÁ+xª+x£+x¢+x°
5

=4



xÁ+xª+x£+x¢+x°=20

`

xÁ, xª, x£, x¢, x°의 분산이 5이므로

+(x°-4)Û
+(x¢-4)Û
+(x£-4)Û
+(xª-4)Û
(xÁ-4)Û
`
`
`
`
`

=5

5

+x°Û`-8(xÁ+xª+x£+x¢+x°)+80=25
+x¢Û
+x£Û
+xªÛ
xÁÛ
`
`
`
`
+x¢Û
+x£Û
+xªÛ
xÁÛ

+x°Û`-8_20+80=25

`


xÁÛ

`
+xªÛ

`

`
따라서 xÁÛ

xÁÛ

+xªÛ

`

`
+x£Û

`
+x¢Û

`
, x¢Û
`
+x¢Û

`
`
, x£Û
, xªÛ
`
`
+x£Û
5

`

`

`

+x°Û`=105

, x°Û`의 평균은
`
+x°Û

`

=

;:!5):%;

=21

06  Action   주어진 편차를 이용하여 옳은 것을 찾는다.

09  Action   직육면체는 길이가 같은 모서리가 4개씩 있음을 이용하여 식

㉠  5명의 수학 성적의 평균을 x점이라고 하면 예지와 형우의 

을 세운다.

점수는 각각 (x-1)점, (x+2)점이므로 그 차는 

 

직육면체의 12개의 모서리의 길이의 평균이 10이므로

(x+2)-(x-1)=3(점)

㉡ (분산)=

`



+(-1)Û

+(-4)Û

+2Û

`

+0Û
`
5

`

`

=

=6

:£5¼:

㉢  성훈이의 편차가 0점이므로 성훈이의 점수는 5명의 평균 

점수와 같다.

㉣ 5명 중 진호의 점수가 가장 높다.

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다.

4(x+y+z)
12

=10  ∴

x+y+z=30

`

표준편차가 3, 즉 분산이 3Û

4{(x-10)Û

`

+(y-10)Û
12

`

=9이므로 

`
+(z-10)Û

}

`

=9



+yÛ

+zÛ

-20(x+y+z)+300=27

`

`

+yÛ

+zÛ

-20_30+300=27

`



`


`
+yÛ

`
+zÛ

`

`



`

`

=327

07  Action   먼저 3a+1, 3b+1, 3c+1, 3d+1의 평균을 구한다.
+bÛ

a+b+c+d=20, aÛ

=140이므로  

+dÛ

+cÛ

`

`

`

`

3a+1, 3b+1, 3c+1, 3d+1에 대하여

(평균)=

(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+(3d+1)
4

3(a+b+c+d)+4
4

3_20+4
4

=16

 

 

=

=

(분산)


`

  =

+(3d+1-16)Û
+(3c+1-16)Û
+(3b+1-16)Û
(3a+1-16)Û
`
`
`
`
4

  =

  =

`

`

(3a-15)Û

+(3b-15)Û

`

+(3c-15)Û
4

`

+(3d-15)Û

`

9{(a-5)Û

+(b-5)Û

`

+(c-5)Û
4

`

+(d-5)Û

}

`

  =

9{aÛ

+bÛ

+cÛ

`

`

+dÛ
`

-10(a+b+c+d)+100}
`

4

  =

9_(140-10_20+100)
4

  =

=90

;:#4^:);

48  |  정답과 풀이

10  Action   먼저 중앙값이 6임을 이용하여 b의 값을 구한다.

a<b<c이고 중앙값이 6이므로 b=6

평균이 7이므로
a+6+c
3

8-a이다. 

=7, a+c+6=21  ∴

a+c=15

`

이때 세 수는 a, 6, 15-a이고 그 각각의 편차는 a-7, -1, 

분산이 14이므로 

(a-7)Û

+(-1)Û

+(8-a)Û

`

`

3

`

=14

2aÛ

-30a+72=0, aÛ

-15a+36=0

`

`

(a-3)(a-12)=0 

  ∴ a=3 또는 a=12

그런데 a<b이므로 a=3, c=15-3=12

11  Action   세훈이의 점수를 x점으로 놓고 학생 5명의 과학 점수의 평균, 

분산, 표준편차를 차례대로 구한다.

세훈이의 과학 점수를 x점이라고 하면 각 학생의 과학 점수

는 다음 표와 같다.

학생

과학 점수 (점)

진아

x-2

연준

x+1

혜리

x+5

승우

x-1

민영

x+7

정답과 풀이 (학생 5명의 과학 점수의 평균)

(x-2)+(x+1)+(x+5)+(x-1)+(x+7)
5

=

=

5x+10
5

=x+2(점)

(분산)=

(-4)Û

+(-1)Û

+(-3)Û

+5Û

`

+3Û
5

`

`

`

=

=12

:¤5¼:

`



∴ (표준편차)=

12=2

3 (점)

'

Lecture

세훈이의 과학 점수를 x점이라고 할 때, 평균이 (x+2)점이므로 

각 학생의 과학 점수의 편차는 다음과 같다.
(진아의 편차)=(x-2)-(x+2)=-4(점)
(연준이의 편차)=(x+1)-(x+2)=-1(점)
(혜리의 편차)=(x+5)-(x+2)=3(점)
(승우의 편차)=(x-1)-(x+2)=-3(점)
(민영이의 편차)=(x+7)-(x+2)=5(점)

12  Action   1학기 중간고사의 국어, 영어, 수학 성적을 각각 a점, b점,  

c점으로 놓고 식을 세운다.

호준이의 1학기 중간고사의 국어, 영어, 수학 성적을 각각  

a점, b점, c점이라고 하면

평균이 85점이므로 

a+b+c
3

=85

표준편차가 2점, 즉 분산이 2Û

=4이므로

(a-85)Û

+(b-85)Û

`

`

3

`
+(c-85)Û

(b+5)점, (c+5)점이므로

(평균)=

(a+5)+(b+5)+(c+5)
3

`

=4 

…… 40%

1학기 기말고사의 국어, 영어, 수학 성적은 각각 (a+5)점, 

∴ (a-75)Û

+(b-75)Û

+(c-75)Û

+(d-75)Û

=30

`

`

`

`

이때 신혜를 제외한 4명의 국어 성적의 평균은
a+b+c+d
4

=75(점)

;:#4):);

=

따라서 신혜를 제외한 4명의 국어 성적의 분산은

(a-75)Û

+(b-75)Û

`

`

+(c-75)Û
4

`

+(d-75)Û

`

=

:£4¼:

=7.5

14  Action   남학생의 시험 점수의 분산을 x로 놓고, 여학생과 남학생의 
시험 점수의 분산을 이용하여 전체 학생의 시험 점수에 대한 (편차)Û`의 

총합을 구한다.

반 전체 학생의 시험 점수의 평균은
12_70+18_70
12+18

;:@3!0):);

=

=70(점)

여학생의 시험 점수에 대한 (편차)Û

의 총합은 12_15=180

`

남학생의 시험 점수의 분산을 x라고 하면 시험 점수에 대한 

(편차)Û

의 총합은 18x
`

이때 반 전체 학생의 시험 점수의 분산이 12이므로

180+18x
30

=12, 180+18x=360

18x=180 

  ∴ x=10

Lecture

평균이 같은 두 집단 전체의 분산

평균이 같은 두 집단 A, B의 변

량의 개수와 분산이 오른쪽 표
와 같을 때, 두 집단 A, B의 전

체 분산은 

ax+by
a+b

이다.

변량의 개수 a

집단

분산

A

x

B

b

y

=

a+b+c
3

+5=85+5=90(점) 

…… 30%

(분산)=

`

(a+5-90)Û

+(b+5-90)Û

+(c+5-90)Û

`

`

용한다.

(a-85)Û

+(b-85)Û

+(c-85)Û

`

`

3

3

`

 

 

 

=

=4 

다른 풀이

…… 30%

이다.

(평균)=1_85+5=90(점), (분산)=1Û

_2Û

=4

`

`

15  Action   표준편차가 클수록 변량이 평균에서 멀리 흩어져 있음을 이

A, B, C, D, E 다섯 반의 학생 수가 모두 같고 평균이 비슷

하므로 표준편차가 가장 큰 반이 전체 상위 5

`
학생들이 가장 많을 것이라고 예상할 수 있다.

% 이내에 드는 

따라서 본선 진출자가 가장 많을 것으로 예상되는 반은 C반

13  Action   신혜를 제외한 4명의 국어 성적을 각각 a점, b점, c점, d점으

로 놓고 식을 세운다.

신혜를 제외한 4명의 국어 성적을 각각 a점, b점, c점, d점이

라고 하면 5명의 국어 성적의 평균이 75점이므로
a+b+c+d+75
5

  ∴ a+b+c+d=300

=75 

5명의 국어 성적의 분산이 6이므로

+(75-75)Û
+(d-75)Û
+(c-75)Û
+(b-75)Û
(a-75)Û
`
`
`
`
`

=6

5

최고
수준

뛰어넘기

P  84 -  P  85

01  137 

03  ⑴ 풀이 참조  ⑵ 10 

02  평균:4, 표준편차:

04  a=b<c 

4.5 

05  평균:0.2, 분산:;3!; 

06 ㉡, ㉣

Ⅲ. 통계  |  49

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 01  Action   7개의 변량에 대한 관계식을 구해 본다.

7개의 변량을 작은 값에서부터 크기순으로 a, b, c, d, e, f, g
라고 하면

㈎에 의하여 d=78

㈐에 의하여 a=58

㈑에 의하여 

a+b+c+d+e+f+g
7

=80



a+b+c+d+e+f+g=560 

`

yy ㉠

 

 

Ú  g=84인 경우
 

 7개의 변량의 합이 최대인 경우는 a=58, b=77, c=78, 
d=78, e=84, f=84, g=84일 때이므로
 a+b+c+d+e+f+g 
=58+77+78+78+84+84+84 

=543<560

 즉 g=84인 경우에는 ㉠을 만족하지 않는다.

Û g+84인 경우 
  ㈏에서 최빈값이 84이고 d=78이므로 e=84, 
`

f=84

 

 

 

 a+b+c+d+e+f+g 
=58+b+c+78+84+84+g 
=560

  ∴

b+c+g=256

`

 

 이때 g의 값이 최대가 되려면 b, c의 값이 최소이어야 하
므로 b=59, c=60이어야 한다.
  즉 59+60+g=256이므로 g=137
Ú, Û에 의하여 7개의 변량 중 가장 큰 변량의 최댓값은 137

이다.

02  Action   자료 a, b, c의 평균과 표준편차를 이용하여 a+b+c의 값과 
+cÛ
의 값을 각각 구하고, 자료 d, e, f의 평균과 표준편차를 이
`

+bÛ



`

`

용하여 d+e+f 의 값과 dÛ

+eÛ

의 값을 각각 구한다.

+f Û
`

`

`

a, b, c의 평균이 5이므로
a+b+c
3

=5 

 

∴ a+b+c=15

a, b, c의 표준편차가 

3, 즉 분산이 (

3)Û

=3이므로 
`

'

(a-5)Û

+(b-5)Û

`

`

3

'
+(c-5)Û

`

=3



+bÛ

+cÛ

-10(a+b+c)+75=9

-10_15+75=9

`

`

`



+bÛ

+cÛ

`
∴ aÛ

`
+bÛ

`
+cÛ

=84

`

`

`
d, e, f 의 평균이 3이므로
d+e+f
3

=3 

 

∴ d+e+f=9

d, e, f의 표준편차가 2, 즉 분산이 2Û

=4이므로

(d-3)Û

+(e-3)Û

+( f-3)Û

`

`

3

`

`

=4

50  |  정답과 풀이

+f Û

-6(d+e+f )+27=12



`


+eÛ

`
+eÛ

`
∴ dÛ

`
-6_9+27=12
+f Û
`
+f Û

=39

`
+eÛ

`

`

`
∴ (a, b, c, d, e, f의 평균)=

a+b+c+d+e+f
6

=

15+9
6

=4

  (a, b, c, d, e, f 의 분산)

  =

(a-4)Û

`

+(b-4)Û
6

+y+( f-4)Û
`

`

  =

(aÛ

+bÛ

`

+y+f Û
`

`

)-8(a+b+y+f )+96

6

  =

(84+39)-8_(15+9)+96
6

  =

=4.5

:ª6¦:

  (a, b, c, d, e, f 의 표준편차)=

4.5



03  Action   분산은 편차의 제곱의 평균, 즉 

{(편차)Û`의 총합)}
(변량의 개수)

임을 이용

 

한다.

⑴ 

xÁ+xª+x£+y+xÇ
n

=m이므로

 

(분산)

  =

+y+(xÇ-m)Û
+(x£-m)Û
+(xª-m)Û
(xÁ-m)Û
`
`
`
`

n

  =

{xÁÛ

+xªÛ

+x£Û

+y+xÇÛ

;n!;

`

`

`

`

-2m(xÁ+xª+x£+y+xÇ)+nmÛ

}

`

 

  =

(xÁÛ

+xªÛ

+x£Û

+y+xÇÛ

)

;n!;

`

`

`

`

-2m_

xÁ+xª+x£+y+xÇ
n

+mÛ

`

  =

(xÁÛ

+xªÛ

+x£Û

+y+xÇÛ

)-2mÛ
`

`

+mÛ

`

`

`

`

`

`

`

`

  =

(xÁÛ

+xªÛ

+x£Û

+y+xÇÛ

)-mÛ

`

`

⑵ 

xÁ+xª+x£+y+xÁ¼
10

=30

xÁÛ

+xªÛ

+x£Û`+y+xÁ¼Û

`

=1000

  변량 xÁ, xª, x£, y, xÁ¼의 분산은

;n!;

;n!;

`

`

 

 

10

10

`

  =1000-30Û

=100

  ∴

(표준편차)=

100=10



[자료 A]  1, 2, 3, …, 50

[자료 B]  51, 52, 53, …, 100

[자료 C]  2, 4, 6, …, 100

+x£Û`+y+xÁ¼Û
+xªÛ
xÁÛ
`
`
`

-

{

xÁ+xª+x£+y+xÁ¼
10

}

`

04  Action   표준편차는 자료가 평균에서 흩어져 있는 정도를 나타낸다.

정답과 풀이2
자료 B는 자료 A의 각 변량에 50을 더한 것과 같으므로 자

료 A와 자료 B의 표준편차는 같다.

2.

산점도와 상관관계

자료 C는 자료 A의 각 변량에 2를 곱한 것과 같으므로 자료 

C의 표준편차는 자료 A의 표준편차의 2배이다.



a=b

`

`



c=2a

이때 a>0이므로 a=b<c

Lecture

연속하는 정수의 표준편차

표준편차는 자료의 분포 상태, 즉 자료가 평균으로부터 흩어져 있

는 정도를 나타내는 값이므로 변량 전체에 일정한 값을 더하거나 

빼어도 표준편차는 변함이 없고, 변량 전체에 일정한 값을 곱하면 

표준편차는 일정한 값의 절댓값을 처음 표준편차에 곱한 값과 같

다.



05  Action   두 반원의 반지름의 길이의 비를 구한다.

OBÁÓ:BÁAÁÓ=OBªÓ:BªAªÓ=y=OB¤Ó:B¤A¤Ó=1:2이므

OBÁÓ:OAÁÓ=OBªÓ:OAªÓ=y=OB¤Ó:OA¤Ó=1:3

6개의 점 AÁ, Aª, y, A¤의 x좌표를 각각 aÁ, aª, y, a¤라 하

고 6개의 점 BÁ, Bª, y, B¤의 x좌표를 각각 bÁ, bª, y, b¤라

고 하면 

bÁ:aÁ=bª:aª=y=b¤:a¤=1:3

∴ bû=

aû (k=1, 2, y, 6)

;3!;

이때 aÁ, aª, y, a¤의 평균이 0.6이므로 bÁ, bª, y, b¤의 평균

은 

;3!;

_0.6=0.2

aÁ, aª, y, a¤의 표준편차가 

3, 즉 분산이 (

3)Û

=3이므로 

'

`

bÁ, bª, y, b¤의 분산은 

{;3!;}

_3=

;3!;

'

2`

06  Action   그래프의 대칭축이 평균을 나타내고, 그래프가 넓게 퍼져 있

으면 자료의 표준편차가 크다는 것을 이용한다.

㉠  그래프의 대칭축이 평균을 나타내므로 평균이 가장 낮은 

최고
수준

입문하기

P  87 -  P  89

01 ③ 

02  17 

04  10명

05  70점 

06  4점 

% 

08  ④

09  4개 

10  ④, ⑤ 

12  ㉠, ㉡, ㉢

03  ④ 

07  30

`
11  ② 

13  ④

02  Action   주어진 조건에 따라 기준이 되는 보조선을 그어 비교한다.

l

던지기  점수가  4점  이상인

학생 수는 오른쪽 그림에서 

직선 l 위에 있는 점의 개수

와 직선 l의 오른쪽에 있는 

점의 개수의 합과 같으므로 




(점)

10명이다.

∴ a=10 

…… 40%

654321

던지기 (점)

달리기  점수가  3점  미만인 

학생 수는 오른쪽 그림에서 직선 m의 아래쪽에 있는 점의 개

수와 같으므로 7명이다.

∴ b=7 

∴ a+b=10+7=17 

…… 40%

…… 20%

03  Action   대각선을 그어 변량의 크기를 비교한다.

①  던지기 점수가 가장 낮은

 

 학생을 나타내는 점은 오

른쪽 그림에서 점 A이므

로  이  학생의  달리기  점




(점)

A

수는 2점이다.

②  달리기 점수가 2점 이상 

4점 이하인 학생 수는 오

른쪽 그림에서 두 직선 l, 

654321

던지기 (점)

m

n

m

l

6
5
4
3
2
1

0

6
5
4
3
2
1

0

학교는 A 중학교이다.

m 위에 있는 점의 개수와 두 직선 l, m 사이에 있는 점의 

㉡  C 중학교의 그래프가 A 중학교의 그래프보다 넓게 퍼져 

개수의 합과 같으므로 14명이다.

있으므로 C 중학교의 표준편차가 A 중학교의 표준편차

③  던지기 점수와 달리기 점수가 같은 학생 수는 위의 그림에

보다 크다. 

 

서 직선 n 위에 있는 점의 개수와 같으므로 4명이다.

즉 C 중학교가 A 중학교보다 학생들 간의 점수 차가 크다.

④  던지기 점수가 달리기 점수보다 높은 학생 수는 위의 그림

㉢  그래프의 폭이 좁을수록 자료의 표준편차가 작으므로 표

에서 직선 n의 아래쪽에 있는 점의 개수와 같으므로 10명

준편차가 가장 작은 학교는 B 중학교이다.

이다.

㉣  A, B, C 세 중학교 모두 그래프의 모양이 좌우대칭이므

⑤  던지기 점수와 달리기 점수가 모두 5점 이상인 학생 수는 

로 평균과 중앙값이 같다. 이때 B 중학교와 C 중학교는 

위의 그림에서 색칠한 부분에 속하는 점의 개수와 그 경계

평균이 같으므로 중앙값도 같다.

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다.

선 위에 있는 점의 개수의 합과 같으므로 2명이다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

Ⅲ. 통계  |  51

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 05  Action   영어 성적이 60점인 학생들의 수학 성적을 먼저 구한다.

영어 성적이 60점인 학생들의 수학 성적은 40점, 60점, 80



 가족 수와 생활비, 여름철 기온과 전력량, 발의 크기와 신발의 크

기, 통학 거리와 통학 시간, 인구 수와 교통량, 달리는 속도와 맥

04  Action   수학 성적과 영어 성적의 합이 100점인 보조선을 긋는다.

수학  성적과  영어  성적의  합

이 100점 이상인 학생 수는 오

100



(점)

른쪽 그림에서 직선 l 위에 있

는 점의 개수와 직선 l의 위쪽

에 있는 점의 개수의 합과 같으

므로 10명이다.

80

60

40

20

0

l
20 40 60 80 100
수학 (점)

점, 100점이므로 구하는 평균은

40+60+80+100
4

=

;:@4*:);

=70(점)

06  Action   말하기 평가 성적과 듣기 평가 성적의 차가 가장 큰 학생을 찾

아본다.

오른쪽 그림에서 직선 l에서

멀리  떨어질수록  말하기  평

가 성적과 듣기 평가 성적의 

차가 크므로 A의 성적의 차

가 가장 크다. 따라서 A의 말

하기 평가 성적은 4점이다.

10



(점)

A

2

4

10
8
6
말하기 (점)

07  Action   말하기 평가 성적은 4점 이하이고 듣기 평가 성적은 5점 이하

8

6

4

2

0

8

6

4

2

0

인 부분을 산점도에 표시한다.

말하기 평가 성적은 4점 이하

이고 듣기 평가 성적은 5점 이

10



(점)

하인 학생 수는 오른쪽 그림에

서 색칠한 부분에 속하는 점의 

개수와  그  경계선  위에  있는 

점의 개수의 합과 같으므로 9

명이다. 

…… 50%

∴ 

;3»0;

_100=30

(%) 

`

따라서 음의 상관관계인 것은 ㉠, ㉢, ㉣, ㉥의 4개이다.

㉢ 음의 상관관계

㉣ 음의 상관관계

㉤ 상관관계가 없다.

㉥ 음의 상관관계

Lecture

일상 생활과 상관관계

① 양의 상관관계

박 수

② 음의 상관관계

이와 청력

③ 상관관계가 없다.



 자동차 수와 평균 주행 속도, 물건 공급량과 가격, 하루 중 낮의 

길이와 밤의 길이, 겨울철 기온과 난방비, 산의 높이와 기온, 나



 키와 학급 석차, 머리 둘레와 시력, 지능지수와 발의 크기, 몸무

l

게와 성적

10  Action   산점도에서 상관관계가 강한 경우 점들이 한 직선 주위에 가
까이 몰려 있고, 상관관계가 약한 경우 점들이 멀리 흩어져 있다.

④ 상관관계가 없는 것은 ㉢, ㉤이다.

⑤  독서량과 국어 성적 사이에는 양의 상관관계가 있으므로 

산점도로 알맞은 것은 ㉡ 또는 ㉣이다.

따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤이다.

11  Action   두 변량 사이에 어떤 상관관계가 있는지 확인한다. 

①, ③, ④, ⑤ 양의 상관관계

② 음의 상관관계

따라서 상관관계가 나머지 넷과 다른 하나는 ②이다.

2

4

10
8
6
말하기 (점)

…… 50%

12  Action   상관관계에 대한 설명으로 옳은 것을 찾는다.

㉣  산점도에서 대체로 변량 x가 증가함에 따라 변량 y는 감

소하는 경향이 있을 때, 두 변량 x, y 사이에는 음의 상관

관계가 있다.

08  Action   겨울철 기온이 낮아질수록 난방비가 증가하므로 어떤 상관관

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉢이다.

계가 있는지 생각한다.

겨울철 기온이 낮아질수록 난방비가 증가하므로 음의 상관

관계가 있다. 따라서 산점도로 알맞은 것은 ④이다.

09  Action   먼저 주어진 산점도의 상관관계를 알아보고 두 변량 사이에 

어떤 상관관계가 있는지 확인한다.

주어진 산점도는 음의 상관관계를 나타낸다.

㉠ 음의 상관관계

㉡ 양의 상관관계

52  |  정답과 풀이

13  Action   키에 비하여 신발 사이즈가 큰 학생은 대각선을 기준으로 위

쪽에 있다.

키에 비하여 신발 사이즈가 가장

큰 학생은 오른쪽 그림에서 직선 

l의 위쪽에 있는 학생 중 직선 l

에서 가장 멀리 떨어져 있는 학생






(mm)

이므로 D이다.

l

D

CC

BB

AA

E

키 (cm)

정답과 풀이 최고
수준

완성하기

01  32

% 

`

02  18 

04  ⑴ 6명  ⑵ ③ 

07  ㉡, ㉣, ㉤

03  8점

05  188점 

06 30

%

`

01  Action   수학 성적과 과학 성적이 같은 점들로 대각선을 그어 본다.

과학  성적보다  수학  성적이

낮은 학생 수는 오른쪽 그림

에서  직선  l의  위쪽에  있는 

점의  개수와  같으므로  8명 

이다.

∴ 

;2¥5;

_100=32

(%)

`

100



(점)

90

80

70

0

60 70 80 90 100
수학 (점)

02  Action   국어 성적과 영어 성적의 합이 120점인 직선을 그어 a의 값
을 구하고, 적어도 한 과목이 80점 이상인 부분을 찾아 b의 값을 구한

다.

국어 성적과 영어 성적의 합이

120점 이하인 학생 수는 오른

쪽 그림에서 직선 l 위에 있는 

점의 개수와 직선 l의 아래쪽

에 있는 점의 개수의 합과 같



(점)

100
90
80
70
60
50
40

으므로 8명이다.

∴ a=8

0

40

50

60

70

l
90

80

100
국어 (점)

림에서 색칠한 부분에 속하는 점의 개수와 그 경계선 위에 있

는 점의 개수의 합과 같으므로 10명이다.

∴ b=10

∴ a+b=8+10=18

03  Action   1차와 2차의 사격 점수의 평균이 7점 이상이려면 1차와 2차

의 사격 점수의 합이 14점 이상이어야 한다.

1차와 2차의 사격 점수의 평균

이 7점 이상이려면 두 점수의 

10

2

(점)

합이 14점 이상이어야 한다. 

이때 1차와 2차의 사격 점수의 

합이 14점 이상인 학생들의 점

8

6

4

2

0

수를 나타내는 점은 오른쪽 그

8
1차 (점)
림에서 색칠한 부분에 속하는 점 또는 그 경계선 위에 있는 

10

4

6

2

P  90 -  P  91

Lecture

오른쪽 그림에서 각 직선 위의 점들의  

평균은 같다.
① 직선 l 위의 점들의 평균은 3
② 직선 m 위의 점들의 평균은 5
③ 직선 n 위의 점들의 평균은 7

y

8

6

4

2

n

m

0

2

4

8

x

l
6

l

04  Action   ⑴ 중간고사와 기말고사의 사회 성적의 차가 20점인 점들을 

연결하여 직선을 긋는다.

⑴  중간고사와  기말고사의  사

 

 회 성적의 차가 20점 이상인 

학생 수는 오른쪽 그림에서 

색칠한 부분에 속하는 점의 

개수와 그 경계선 위에 있는 

점의 개수의 합과 같으므로 

6명이다.

100





(점)

80

60

40

0

40

60

80

100
중간고사 (점)

⑵  중간고사와 기말고사의 사회 성적의 평균이 상위 25



`

  이내에 드는 학생은 20_

=5(명)

;1ª0°0;

 

 상위 25

% 이내에 드는 학생들의 중간고사와 기말고사의 

`

사회 성적을 순서쌍 (중간고사, 기말고사)로 나타내면 

  (100, 90), (90, 90), (90, 80), (80, 80), (90, 70)

 

 이 학생들의 중간고사와 기말고사의 사회 성적의 평균을 

차례로 구하면 95점, 90점, 85점, 80점, 80점이므로 상위 

25

% 이내에 들려면 중간고사와 기말고사의 사회 성적의 

`

Lecture

평균이 높은 순으로 점

을 찾으려면 오른쪽 그

림과 같이 성적의 합이 

높은 순으로 직선을 그

어  그  직선  위에  있는 

점을  순서대로 나열한

다.





(점)

100

80

60

40

합이 190
합이 180
합이 170

0

40

60

80

100
중간고사 (점)

05  Action   상위 20

`

% 이내에 드는 학생은 25_

=5(명)이므로 

;1ª0¼0;

 

두 과목의 성적의 합이 높은 순으로 5명의 성적을 구한다.

상위 20

`
상위 20

`

% 이내에 드는 학생은 25_

=5(명)

;1ª0¼0;

% 이내에 드는 학생들의 수학 성적과 과학 성적을 

순서쌍 (수학, 과학)으로 나타내면 

두 과목 중 적어도 한 과목이 80점 이상인 학생 수는 위의 그

평균은 적어도 80점 이상이어야 한다.

점이므로 이 학생들의 2차 사격 점수는 차례로 6점, 7점, 7

(100, 100), (90, 100), (100, 90), (80, 100), (90, 90)

점, 8점, 8점, 9점, 9점, 10점이다. 

…… 60%

이 학생들의 수학 성적과 과학 성적의 합을 차례로 구하면 

따라서 구하는 평균은 
6+7+7+8+8+9+9+10
8

=

:¤8¢:

=8(점)  …… 40%

200점, 190점, 190점, 180점, 180점이므로 구하는 평균은 
200+190+190+180+180
5

=188(점)

;:(5$:);

=

Ⅲ. 통계  |  53

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 06  Action  12É2a+bÉ18을 만족하는 영역을 산점도 위에 나타낸다.

02  Action   주어진 조건을 만족하도록 산점도에서 찢어진 부분에 있는 

어 성적이 가장 좋은 학생은 A이다.

625+a+c=780 

  ∴ a+c=155 

yy ㉠

㉤  A, B, C, D, E 5명의 학생 중 읽은 책의 수도 적고 국어 

또, 성적이 향상된 학생들의 기말고사의 과학 성적의 평균은 

12É2a+bÉ18을 만족하

는 학생 수는 오른쪽 그림

에서 색칠한 부분에 속하는 

점의 개수와 그 경계선 위

에 있는 점의 개수의 합과 

같으므로 9명이다.

10





(시간)

8

6

4

2

0

∴ 

;3»0;

_100=30

(%)

`

2

4

6

8

10

여름방학 (시간)

07  Action   A, B, C, D, E 5명의 학생들이 읽은 책의 수와 국어 성적을 

비교한다.

㉡  A는 C보다 읽은 책의 수도 적고 국어 성적도 낮다.

㉣  A, B, C, D, E 5명의 학생 중 읽은 책의 수에 비하여 국

성적도 낮은 학생은 B이고, 읽은 책의 수에 비하여 국어 

성적이 낮은 학생은 E이다.

 

 B의 국어 성적은 60점, E의 국어 성적은 70점이므로 그 

차는 70-60=10(점)이다.

따라서 옳지 않은 것은 ㉡, ㉣, ㉤이다.

P  92

l

최고
수준

뛰어넘기

01  4명 

02  ③, ⑤ 

03  ㉠, ㉡, ㉣

01  Action   ㈎, ㈏를 만족하는 영역을 산점도 위에 나타낸 후 ㈐를 만족하

는 점을 찾는다.

㈎를 만족하는 학생을 나타

내는 점은 오른쪽 그림에서 

직선 l의 위쪽에 있는 점이

고,  ㈏를  만족하는  학생을 

나타내는  점은  직선  m  위

에 있는 점과 직선 m의 위

쪽에 있는 점이다.

10

2

(점)

8

6

4

2

0

2

4

6

m

10

8
1회 (점)

즉 ㈎, ㈏를 모두 만족하는 학생을 나타내는 점은 위의 그림

에서 색칠한 부분에 속하는 점이다.

l

점의 개수를 추측한다.

㈐에서 중간고사에 비하여

기말고사 과학 성적이 향상

된  학생  10명을  나타내는 

점은 오른쪽 그림에서 직선 

l의 위쪽에 있는 점이므로 

찢어진 부분에 있는 점은 2

개이다.

100





(점)

90

80

70

60

0

60 70 80 90 100
중간고사 (점)

찢어진 부분에 나타날 수 있는 2개의 점을 각각 (a, b), 

(c, d)라고 하면 (단, a<c) 성적이 향상된 학생들의 중간고

사의 과학 성적의 평균은 78점이므로
70+70+75+75+80+80+85+90+a+c
10

=78

88점이므로
75+80+80+85+85+90+95+95+b+d
10

=88

685+b+d=880 

  ∴ b+d=195 

yy ㉡

이때 ㈎, ㈏를 만족하려면 

㉠에서 a=65, c=90 또는 a=70, c=85 또는 

a=75, c=80

㉡에서 b=95, d=100 또는 b=100, d=95

따라서 찢어진 부분에 나타날 수 있는 점으로 바르게 짝 지어

진 것은 ③, ⑤이다.

Lecture

Ú a=65, c=90이고 b=95, d=100일 때
  즉 순서쌍 (a, b), (c, d)는 (65, 95), (90, 100)
Û a=65, c=90이고 b=100, d=95일 때
  즉 순서쌍 (a, b), (c, d)는 (65, 100), (90, 95)
  이때 (90, 95)는 중복된 점이므로 조건을 만족하지 않는다.
Ü a=70, c=85이고 b=95, d=100일 때
  즉 순서쌍 (a, b), (c, d)는 (70, 95), (85, 100)
Ý a=70, c=85이고 b=100, d=95일 때
  즉 순서쌍 (a, b), (c, d)는 (70, 100), (85, 95)
  이때 (85, 95)는 중복된 점이므로 조건을 만족하지 않는다.
Þ a=75, c=80이고 b=95, d=100일 때
  즉 순서쌍 (a, b), (c, d)는 (75, 95), (80, 100)
ß a=75, c=80이고 b=100, d=95일 때
  즉 순서쌍 (a, b), (c, d)는 (75, 100), (80, 95)
Ú~ ß에 의하여 찢어진 부분에 나타날 수 있는 점은
(65, 95), (90, 100) 또는 (70, 95), (85, 100) 또는
(75, 95), (80, 100) 또는 (75, 100), (80, 95)이다.

이때 색칠한 부분에서 ㈐를 만족하는 학생을 나타내는 점은 

03  Action   (하루 수입)=(한 개당 순이익)_(일일 판매량)임을 이용한다.

위의 그림에서 ◯표한 점과 같으므로 조건을 모두 만족하는 

㉡  하루에 사탕으로 버는 돈은  

1(원)_1000(만 개)=1000(만 원)

학생 수는 4명이다.

54  |  정답과 풀이

정답과 풀이  따라서 하루에 사탕으로 버는 돈이 초콜릿으로 버는 돈의 

  하루에 초콜릿으로 버는 돈은 

 200(원)_2(만 개)=400(만 원)

2배보다 많다.

㉢  하루에 껌으로 버는 돈은 

 2(원)_60(만 개)=120(만 원)

 

 

 

 

더 많다.

㉣  초콜릿의 150

% 신장된 일일 판매량은 

`

  2(만 개)_

1+

=5(만 개)

{

;1!0%0);}

  이때 하루에 초콜릿으로 버는 돈은 

 따라서 하루에 껌으로 버는 돈보다 초콜릿으로 버는 돈이 

 

 200(원)_5(만 개)=1000(만 원)이므로 사탕으로 버는 

돈과 같아진다.

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡, ㉣이다.

잘못 계산된 분산이 9.6이므로

+(57-60)Û
+(60-60)Û
+(d-60)Û
+(c-60)Û
+(b-60)Û
(a-60)Û
`
`
`
`
`
`

6



(a-60)Û

+(b-60)Û

+(c-60)Û

+(d-60)Û

=48.6

`

`

따라서 학생 6명의 실제 몸무게는 a

`
kg, b

`

kg, c

`

`

`
kg, d

kg, 

`

63

kg, 54

(평균)=

kg이므로
`
a+b+c+d+63+54
6

=

243+63+54
6

=60

(kg)

`

(a-60)Û

+(b-60)Û

+(c-60)Û

+(d-60)Û

+(63-60)Û

+(54-60)Û

`

`

`

`

`

`

6

48.6+9+36
6

=

93.6
6

=15.6

=9.6

`

`

(분산)

 

=

=

교과서 속

창의 사고력

P  93 -  P  94

01  x¾9 

03  컵 A와 컵 B 

02  평균:60

`
04  ㉢, 이유는 풀이 참조

kg, 분산:15.6

물의 양의 평균은 

=90

(mL)

;:#4^:);

`

03  Action   표준편차를 가능한 한 작게 하려면 (편차)Û`의 총합이 가능한 

한 작아야 한다.

5개의 컵 A, B, C, D, E에 들어 있는 물의 양의 합은 

30+50+60+100+120=360

(mL)

`

2개의 컵에 들어 있는 물을 합쳤을 때, 4개의 컵에 들어 있는 

표준편차를 가능한 한 작게 하려면 (편차)Û

의 총합이 가능한 
`
mL보다 물이 적게 들어 있는 3개

한 작아야 하므로 평균 90

`

의 컵 A, B, C 중 2개의 컵에 들어 있는 물을 합치면 된다.

물의 양(mL)

편차(mL)

(편차)Û`의 합

A+B, C

A, B+C

A+C, B

80, 60

30, 110

90, 50

-10, -30

-60, 20

0, -40

1000

4000

1600

따라서 컵 A와 컵 B에 들어 있는 물을 합칠 때 (편차)Û`의 총

01  Action   x의 값의 범위를 나누어 a, b, c의 값을 각각 구한다.

Ú  1ÉxÉ5이면 a=6, b=6, c=5이므로 a<b<c가 성립

Û  x=6이면 a=6, b=6, c=6이므로 a<b<c가 성립하

Ü  x=7이면 a=7, b=7, c=7이므로 a<b<c가 성립하

하지 않는다.

지 않는다.

지 않는다.

지 않는다.

다.

Ý  x=8이면 a=7, b=8, c=8이므로 a<b<c가 성립하

합이 가장 작아지므로 4개의 컵에 들어 있는 물의 양의 표준

편차를 가능한 한 작게 하려면 컵 A와 컵 B에 들어 있는 물

Þ  x¾9이면 a=7, b=8, c=9이므로 a<b<c가 성립한

을 합쳐야 한다.

따라서  Ú ~ Þ에  의하여  구하는  자연수  x의  값의  범위는 

x¾9이다.

02  Action   바르게 입력된 학생 4명의 몸무게를 각각 a

kg, b

kg, c

kg, 

`

`

d

kg으로 놓고 식을 세운다.

`

바르게 입력된 학생 4명의 몸무게를 각각 a

kg, c

kg, 

`

`

kg, b

`

`
kg이므로 

`

kg이라고 하면 잘못 계산된 평균이 60

d
`
a+b+c+d+60+57
6



a+b+c+d=243

`

=60

04  Action   주어진 두 산점도를 보고 변량 사이의 상관관계를 파악한다.
아이스크림 판매량과 최고 기온 사이에는 양의 상관관계가 

있고 물놀이 사고 건수와 최고 기온 사이에도 양의 상관관계

가 있지만, 아이스크림 판매량과 물놀이 사고 건수 사이에 양

의 상관관계가 있는지 알 수 없다. 또, 양의 상관관계가 있다

고 해도 아이스크림 판매량이 늘어나서 그 결과로 물놀이 사

고 건수가 늘어나는 것은 아니므로 인과 관계가 있다고 볼 수 

없다.

Ⅲ. 통계  |  55

최 • 고 • 수 • 준 •  수 • 학 Memo 

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