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문제집/고등

2020년 천재교육 개념 해결의 법칙 고등 수학 (상) (15개정) 답지

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정답과 
해설

  I  다항식
 1   | 다항식의 연산  
 2   | 항등식과 나머지정리 
 3   | 인수분해 

 II  방정식과 부등식
 4   | 복소수 
 5   | 이차방정식 
 6   | 이차방정식과 이차함수 
 7   | 삼차방정식과 사차방정식 
 8   | 연립방정식과 부정방정식 
 9   | 연립일차부등식 
10  | 이차부등식과 연립이차부등식 

III 도형의 방정식
 11  | 평면좌표 
 12  | 직선의 방정식 
 13  | 원의 방정식 
 14  | 도형의 이동 

002
010
017

022
029
039
048
056
064
072

083
089
101
114

 ⑵ A-2B =(x‹+x€-x-5)-2(2x‹-2x€+3x)

=x‹+x€-x-5-4x‹+4x€-6x

=-3x‹+5x€-7x-5

 ⑶ 2A+B =2(x‹+x€-x-5)+(2x‹-2x€+3x)

=2x‹+2x€-2x-10+2x‹-2x€+3x

=4x‹+x-10

 ⑷ 3A-B =3(x‹+x€-x-5)-(2x‹-2x€+3x)

=3x‹+3x€-3x-15-2x‹+2x€-3x

=x‹+5x€-6x-15

4  ⑴ A+3B =(-x€+3xy-5y€)+3(2x€+xy+3y€)

=-x€+3xy-5y€+6x€+3xy+9y€

=5x€+6xy+4y€

 ⑵ 2A-B =2(-x€+3xy-5y€)-(2x€+xy+3y€)

=-2x€+6xy-10y€-2x€-xy-3y€

=-4x€+5xy-13y€

 ⑶ 3A+B =3(-x€+3xy-5y€)+(2x€+xy+3y€)

=-3x€+9xy-15y€+2x€+xy+3y€

=-x€+10xy-12y€

 ⑷ 3A-2B =3(-x€+3xy-5y€)-2(2x€+xy+3y€)

=-3x€+9xy-15y€-4x€-2xy-6y€

=-7x€+7xy-21y€



| 다항식의 연산



다항식의 덧셈과 뺄셈

개념 확인  

8쪽~9쪽

1 ⑴ 3x€y‹+2xy-5y€+1  ⑵ 1-5y€+2xy+3x€y‹

⑶ 3x€y‹-5y€+2xy+1  ⑷ 1+2xy-5y€+3x€y‹

2 ⑴ 3x€-2x+2  ⑵ 3x€-10x+7

2  ⑴ A+B =(2x€-4x+3)+(x€+2x-1)

=2x€-4x+3+x€+2x-1



=(2x€+x€)+(-4x+2x)+3-1

=3x€-2x+2

 ⑵ 2A-B =2(2x€-4x+3)-(x€+2x-1)

=4x€-8x+6-x€-2x+1

=(4x€-x€)+(-8x-2x)+6+1

=3x€-10x+7

STEP 



개념 드릴   

| 10쪽 |

1 ⑴ 3x€-x+1  ⑵ 4x‹+x€-5x+2

1 ⑶ -x€+(2y+1)x+3y€-5  ⑷ 2x€-4xy+y€+2

2 ⑴ 5+x-3x€  ⑵ 4-3x+2x€+x‹

1 ⑶ -2y-xy+4x€+x‹  ⑷ y€+(3y-1)x+2x€

3 ⑴ 5x‹-3x€+5x-5  ⑵ -3x‹+5x€-7x-5

1 ⑶ 4x‹+x-10  ⑷ x‹+5x€-6x-15

4 ⑴ 5x€+6xy+4y€  ⑵ -4x€+5xy-13y€

1 ⑶ -x€+10xy-12y€  ⑷ -7x€+7xy-21y€

STEP 



필수 유형   

| 11쪽 |

01-1          ⑴ -8x€+2xy+16y€  ⑵ 24x€-12xy-6y€
|해결 전략 | 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.

1  ⑷ 동류항끼리 모아서 간단히 한 후 x에 대하여 내림차순으로 정리



 2xy-1+2x€-6xy+3+y€ =-4xy+2+2x€+y€

-6xy

2xy

-1

+3

 =2(3x€-2xy+4y€-5x€+3xy-y€-2x€+5y€)

 =2{(3x€-2xy+4y€)-(5x€-3xy+y€)-(2x€-5y€)}

하면

하면

=2x€-4xy+y€+2

2  ⑷ 동류항끼리 모아서 간단히 한 후 x에 대하여 오름차순으로 정리



 2x€-xy+y€+4xy-x =2x€+3xy+y€-x

-xy +4xy



 =6A+2(-3A+2B+C)

=y€+(3y-1)x+2x€

 =6A-6A+4B+2C

⑴ A-{B+2C-(A-B)}

  =A-(B+2C-A+B)

  =A-(-A+2B+2C)

  =A+A-2B-2C

  =2(A-B-C)

 =2(-4x€+xy+8y€)

 =-8x€+2xy+16y€

⑵ 6A+2{B+C-(3A-B)}

 =6A+2(B+C-3A+B)

 =4B+2C

 =4(5x€-3xy+y€)+2(2x€-5y€)

 =20x€-12xy+4y€+4x€-10y€

 =24x€-12xy-6y€

3  ⑴ A+2B =(x‹+x€-x-5)+2(2x‹-2x€+3x)

=x‹+x€-x-5+4x‹-4x€+6x

=5x‹-3x€+5x-5

002 정답과 해설

주어진 식에 세 다항식 A, B, C를 바로 대입하여 계산해도 되지만, 주어진

식을 먼저 간단히 정리한 후 세 다항식 A, B, C를 대입하는 것이 계산 실수

참고 

를 줄일 수 있다.

3  ⑴ ① a€+b€ =(a-b)€+2ab



=2€+2_(-1)=2



 ② a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)



=2‹+3_(-1)_2=2

01-2          -x‹+6x€-10x+10
|해결 전략 | X를 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 다항식 X를 구한다.

 ⑵ a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)



=3€-2_2=5

개념 확인  

12쪽~14쪽

3 ⑴ 4a€-4+

 ⑵ x€-25y€  ⑶ 6x€-x-2  ⑷ x›-16

1
a€

A-2(X-B)=3A에서

A-2X+2B=3A, 2X=-2A+2B

∴ X  =-A+B   

=-(x‹-3x€+x-4)+(3x€-9x+6)

=-x‹+3x€-x+4+3x€-9x+6

 

 

=-x‹+6x€-10x+10



다항식의 곱셈

1 ⑴ 6x€-13x-5  ⑵ 2x€+x€y+xy+2xy€-6y€

2 ⑴ a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca  ⑵ x‹+9x€+27x+27

⑶ a‹-6a€b+12ab€-8b‹  ⑷ x‹+64



⑸ x‹+2x€-5x-6  ⑹ x›+x€+1

3 ⑴ ① 2  ② 2  ⑵ 5

1  ⑴ (2x-5)(3x+1)



=6x€+2x-15x-5  

=6x€-13x-5

 ⑵ (x+2y)(2x+xy-3y)



=2x€+x€y-3xy+4xy+2xy€-6y€



=2x€+x€y+xy+2xy€-6y€

2  ⑴ (a+b+2c)€  

=a€+b€+(2c)€+2_a_b+2_b_2c+2_2c_a

=a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca

 ⑵ (x+3)‹ =x‹+3_x€_3+3_x_3€+3‹  

=x‹+9x€+27x+27

 ⑶ (a-2b)‹ =a‹-3_a€_2b+3_a_(2b)€-(2b)‹

=a‹-6a€b+12ab€-8b‹

 ⑷ (x+4)(x€-4x+16) =(x+4)(x€-4_x+4€)





=x‹+4‹



=x‹+64

 ⑸ (x+1)(x-2)(x+3)

STEP 



개념 드릴   

| 15쪽 |

1 ⑴ -a‡  ⑵ 12a›bfi  ⑶ xflyfi  ⑷ -27x°y›

2 ⑴ -2x‹+2x  ⑵ -6xfi+3x›+3x€

2 ⑶ a‹b-2a€b-ab‹  ⑷ -2x‹+2x€y€+3xy-3y‹

2 ⑸ 3a€+8ab-3b€  ⑹ x‹-2x€y+2xy€-y‹

4 ⑴ a€+b€+4c€-2ab-4bc+4ca  ⑵ 8a‹-12a€b+6ab€-b‹

2 ⑶ 8x‹-1  ⑷ x‹y‹+8  ⑸ a‹-b‹+c‹+3abc

2 ⑹ x›+4x€y€+16y›

1  ⑴ (-a)‹_a›=-a‹_a›=-a‡
 ⑵ (-2ab€)€_3a€b =4a€b›_3a€b  

=12a›bfi

 ⑶ x€y‹_(-x€y)€=x€y‹_x›y€=xflyfi

 ⑷ (-xy)€_(-3x€)‹_y€ =x€y€_(-27xfl)_y€



=-27x°y›

2  ⑸ (3a-b)(a+3b)



=3a€+9ab-ab-3b€

=3a€+8ab-3b€

 ⑹ (x€-xy+y€)(x-y)  

=x‹-x€y-x€y+xy€+xy€-y‹



=x‹-2x€y+2xy€-y‹

3  ⑴ {2a-;a!;}


€=(2a)€-2_2a_;a!;+{;a!;}







=4a€-4+

1
a€

 ⑵ (x+5y)(x-5y) =x€-(5y)€



=x€-25y€







 =x‹+(1-2+3)x€+{1_(-2)+(-2)_3+3_1}x

 ⑶ (2x+1)(3x-2)



 =x‹+2x€-5x-6

=6x€-x-2

 ⑹ (x€+x+1)(x€-x+1) =(x€+x_1+1€)(x€-x_1+1€)

 ⑷ (x-2)(x+2)(x€+4) =(x€-4)(x€+4)  

+1_(-2)_3

=2_3_x€+{2_(-2)+1_3}x+1_(-2)



=x›+x€_1€+1›

=x›+x€+1

=(x€)€-4€



=x›-16

1 다항식의 연산 003 

4  ⑴ (a-b+2c)€  

=a€+(-b)€+(2c)€+2_a_(-b)



02-1          ⑴ x€+4y€+4xy-2x-4y+1



⑵ 27x‹+54x€y+36xy€+8y‹  ⑶ 8x‹-27



+2_(-b)_2c+2_2c_a

⑷ x‹+8y‹+27z‹-18xyz  ⑸ x°-y°

=a€+b€+4c€-2ab-4bc+4ca

 ⑵ (2a-b)‹



|해결 전략 | 곱셈 공식을 이용하여 주어진 식을 전개한다.

⑴ (x+2y-1)€ =x€+(2y)€+(-1)€+2_x_2y





=(2a)‹-3_(2a)€_b+3_2a_b€-b‹  



+2_2y_(-1)+2_(-1)_x

=8a‹-12a€b+6ab€-b‹

=x€+4y€+4xy-2x-4y+1

 ⑶ (2x-1)(4x€+2x+1) =(2x)‹-1‹

⑵ (3x+2y)‹=(3x)‹+3_(3x)€_2y+3_3x_(2y)€+(2y)‹

 ⑷ (xy+2)(x€y€-2xy+4) =(xy+2){(xy)€-xy_2+2€}

⑶ (2x-3)(4x€+6x+9) =(2x-3){(2x)€+2x_3+3€}













=27x‹+54x€y+36xy€+8y‹

=(2x)‹-3‹

=8x‹-27

 ⑸ (a-b+c)(a€+b€+c€+ab+bc-ca)

⑷ (x+2y+3z)(x€+4y€+9z€-2xy-6yz-3zx)

 =(a-b+c){a€+(-b)€+c€-a_(-b)-(-b)_c-c_a}

 =(x+2y+3z){x€+(2y)€+(3z)€-x_2y-2y_3z-3z_x}













 =a‹+(-b)‹+c‹-3_a_(-b)_c

 =x‹+(2y)‹+(3z)‹-3_x_2y_3z

 =a‹-b‹+c‹+3abc

 ⑹ (x€+2xy+4y€)(x€-2xy+4y€)

 =x‹+8y‹+27z‹-18xyz

⑸ (x-y)(x+y)(x€+y€)(x›+y›)

 ={x€+x_2y+(2y)€}{x€-x_2y+(2y)€}

 =(x€-y€)(x€+y€)(x›+y›)

 =x›+x€_(2y)€+(2y)›

 =x›+4x€y€+16y›

 =(x›-y›)(x›+y›)

 =x°-y°

=8x‹-1

=(xy)‹+2‹

=x‹y‹+8







STEP 



필수 유형   

| 16쪽~21쪽 |

(x+2y)‹(x-y)

={x‹+3_x€_2y+3_x_(2y)€+(2y)‹}(x-y)

02-2         5
|해결 전략 | 먼저 (x+2y)‹을 전개한 후 주어진 식에서 x‹y의 계수를 구한다.

01-1          ⑴ -15  ⑵ -10
|해결 전략 | 특정항이 나오는 항들만 전개한다.

⑴ (x€-3x+5)(2x€-x+1)의 전개식에서

 x‹항은 x€_(-x)-3x_2x€=-7x‹

 x항은 -3x_1+5_(-x)=-8x

⑵ (x€-2x+4)(x‹-x€-3)의 전개식에서



x›항은 x€_(-x€)-2x_x‹=-3x›

 ∴ a=-7

 ∴ b=-8

 ∴ a+b=-15

 ∴ a=-3

 ∴ b=-7

 ∴ a+b=-10

01-2          6
|해결 전략 | x‹항이 나오는 항들만 전개한다.

x‹의 계수가 -5이므로

1-k=-5

 ∴ k=6

004 정답과 해설

 x€항은 x€_(-3)+4_(-x€)=-7x€

  =X€-2X-3

(x€-kx+3)(x‹+x€-2x+1)의 전개식에서

=x€-X€ 



x‹항은 x€_(-2x)-kx_x€+3_x‹=(1-k)x‹

=(x‹+6x€y+12xy€+8y‹)(x-y)

의 전개식에서 x‹y항은



x‹_(-y)+6x€y_x=5x‹y

따라서 x‹y의 계수는 5이다.

03-1         ⑴ x›+2x‹-x€-2x-3
⑶ x›+2x‹-11x€-12x

⑵ x€-y€-z€+2yz



|해결 전략 | ⑴, ⑵ 공통부분을 X로 치환하여 전개한다. 

 

⑶ 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 치환하여 전개한다.

⑴ (x€+x+1)(x€+x-3)

 =(X+1)(X-3)

x€+x=X로 치환

 =(x€+x)€-2(x€+x)-3

X=x€+x 대입

 =x›+2x‹+x€-2x€-2x-3

 =x›+2x‹-x€-2x-3

⑵ (x+y-z)(x-y+z)



={x+(y-z)}{x-(y-z)}

=(x+X)(x-X)

y-z=X로 치환 

 





=x€-(y-z)€

X=y-z 대입

=x€-(y€-2yz+z€)



=x€-y€-z€+2yz

⑶ x(x+1)(x-3)(x+4)

 ={x(x+1)}{(x-3)(x+4)}

 =(x€+x)(x€+x-12)

 =X(X-12)

x€+x=X로 치환

  =X€-12X

 =(x€+x)€-12(x€+x)

X=x€+x 대입

 =x›+2x‹+x€-12x€-12x

 =x›+2x‹-11x€-12x

04-1         ⑴ 4  ⑵ 13  ⑶ 20
|해결 전략 | ⑴ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다. 

 

⑵, ⑶ 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 xy, ab의 값을 구한다.

⑴ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)에서

 16=4‹-3ab_4, 12ab=48

 ∴ ab=4

⑵ x‹+y‹=(x+y)‹-3xy(x+y)에서

 35=5‹-3xy_5, 15xy=90

 ∴ xy=6

 ∴ x€+y€ =(x+y)€-2xy



=5€-2_6=13

⑶ a€+b€=(a-b)€+2ab에서

 8=2€+2ab, 2ab=4

 ∴ ab=2

 ∴ a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)



=2‹+3_2_2=20

04-2         ⑴ 'ß13  ⑵ 36
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

⑴ {x+;x!;}

€={x-;x!;}

€+4=3€+4=13



∴ x+;x!;='ß13 (∵ x>0)

⑵ x‹-

1
x‹

={x-;x!;}

‹+3{x-;x!;}=3‹+3_3=36

05-2         1
1
a

|해결 전략 |

ab+bc+ca의 값을 구한다.

+

+

=

1
c

ab+bc+ca
abc

1
b

이므로 곱셈 공식의 변형을 이용하여 

a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)에서

18=4€-2(ab+bc+ca)

∴ ab+bc+ca=-1

∴  1
a

+

+

=

1
b

1
c

ab+bc+ca
abc

=

-1 
-1

=1

06-1         999902
|해결 전략 | 반복되는 수를 같은 문자로 생각한다.

100=a로 놓으면

101_(10000-100+1)-99 =(a+1)(a€-a+1)-(a-1)

=(a‹+1)-(a-1)=a‹-a+2

=100‹-100+2=999902

06-2         ;1@2%8%;
|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하기 위하여 주어진 식에 2{1-;2!;} 

주어진 식에 2{1-;2!;}=1을 곱하면
1
2› }=2{1-

2{1-;2!;}{1+;2!;}{1+

1
2€ }{1+

을 곱한다.







     







1
2› }

1
2€ }{1+
1
2› }

1
2€ }{1+
1
2› }{1+
1
2° }
2°-1


=;1@2%8%;

=2{1-

=2{1-

=2_



다항식의 나눗셈

개념 확인  

22쪽~23쪽

1 ⑴ 몫: x+3, 나머지: 2  ⑵ 몫: 2x+2, 나머지: -1

05-1         ⑴ -6  ⑵ 32  ⑶ 52
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

⑴ x€+y€+z€=(x+y+z)€-2(xy+yz+zx)에서

 16=2€-2(xy+yz+zx)

 ∴ xy+yz+zx=-6

⑵ x‹+y‹+z‹ =(x+y+z)(x€+y€+z€-xy-yz-zx)+3xyz

=2{16-(-6)}+3_(-4)

=32





⑶ x€y€+y€z€+z€x€ =(xy)€+(yz)€+(zx)€

=(xy+yz+zx)€-2(xy€z+yz€x+zx€y)

=(xy+yz+zx)€-2xyz(x+y+z)  

=(-6)€-2_(-4)_2



=52

2 ⑴ 몫: 2x€-2x+4, 나머지: -9

2 ⑵ 몫: ;3@;x€-x+1, 나머지: -2

1  ⑴

x +3
x+1œ∑x€+4x+5
x€+ x

3x+5
3x+3
2



 ∴ 몫: x+3, 나머지: 2

1 다항식의 연산 005 



 ⑵

2x +2

x-1œ∑2x€

-3

2x€-2x

2x-3
2x-2
-1



 ∴ 몫: 2x+2, 나머지: -1

2  ⑴ -2 2

2
-4
2 -2



0 -1
4 -8
4 -9





∴ 몫: 2x€-2x+4, 나머지: -9

 ⑵ -2 2

1 -3



-4
2 -3

4
6 -6
3 -2













 2x‹+x€-3x+4=(x+2)(2x€-3x+3)-2

=3(x+2){;3@;x€-x+1}-2

=(3x+6){;3@;x€-x+1}-2

 ∴ 몫: ;3@;x€-x+1, 나머지: -2

STEP 



개념 드릴   

1 풀이 참조

2 ⑸ 몫: x€-;2%;x, 나머지: -1

1  ⑴

x€

+4

x-2œ∑x‹-2x€+4x+1
x‹-2x€

4x+1
4x-8
9

 Q=x€+4, R=9이므로

 x‹-2x€+4x+1=(x-2)(x€+4)+9

 ⑵

4x€-5x + 5
x+2œ∑4x‹+3x€- 5x+ 2

4x‹+8x€
∑ -5x€- 5x
-5x€-10x

5x+ 2
5x+10
-8









 Q=4x€-5x+5, R=-8이므로

 4x‹+3x€-5x+2=(x+2)(4x€-5x+5)-8

006 정답과 해설

 ⑶

2x€+2x +5

x-1œ∑2x‹

+3x+4

2x‹-2x€

2x€+3x
2x€-2x

5x+4
5x-5
9

 Q=2x€+2x+5, R=9이므로

 2x‹+3x+4=(x-1)(2x€+2x+5)+9

 ⑷

2x +1
x€+x+1œ∑2x‹+3x€+2x-1



2x‹+2x€+2x
-1
x€
x€+ x+1
- x-2

 Q=2x+1, R=-x-2이므로

 2x‹+3x€+2x-1=(x€+x+1)(2x+1)-x-2

2  ⑴ -1 2 -3
-2
2 -5

4
1
5 -9
9 -8



 ∴ 몫: 2x€-5x+9, 나머지: -8

 ⑵  2 1

0 -6
2
2 -2

8
4 -4
4

1





∴ 몫: x€+2x-2, 나머지: 4

 ⑶ 3 2 -5
6
1

2

2
0
9
3
3  11

| 24쪽 |

 ⑷ -2 1

0 -2

-2
1 -2

3
4 -4
2 -1

 x‹-2x+3=(x+2)(x€-2x+2)-1









=2(x+2){;2!;x€-x+1}-1

=(2x+4){;2!;x€-x+1}-1

 ∴ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -1

 ⑸ 1 2 -7

2 -5

5 -1
0
0 -1

2 -5

 2x‹-7x€+5x-1=(x-1)(2x€-5x)-1





=2(x-1){x€-;2%;x}-1

=(2x-2){x€-;2%;x}-1

   ∴ 몫 : x€-;2%;x, 나머지: -1























2 ⑴ 몫: 2x€-5x+9, 나머지: -8  ⑵ 몫: x€+2x-2, 나머지: 4

2 ⑶ 몫: 2x€+x+3, 나머지: 11  ⑷ 몫: ;2!;x€-x+1, 나머지: -1



 ∴ 몫: 2x€+x+3, 나머지: 11












STEP 



필수 유형   

| 25쪽~26쪽 |

 3x‹-5x€+2x={x-;3@;}(3x€-3x)

01-1          a=-1, b=2
|해결 전략 | (x›-2x‹+x€-x+1)/(x€-x-1)을 직접 계산한다.

=3{x-;3@;}(x€-x)
=(3x-2)(x€-x)

 ∴ 몫: x€-x, 나머지: 0



한다.

02-2           몫: ;3!;Q(x), 나머지: R

|해결 전략 | ÷f(x)={x+;aB;}÷Q(x)+R=(ax+b)_;a!;÷Q(x)+R임을 이용

x€- x+1
x€-x-1œ∑x›-2x‹+ x€- x+1
x›- x‹- x€
∑ - x‹+2x€- x
- x‹+ x€+ x

x€-2x+1
x€- x-1
- x+2

따라서 몫이 x€-x+1, 나머지가 -x+2이므로

a=-1, b=2

÷f(x)={x+;3@;}÷Q(x)+R=;3!;(3x+2)Q(x)+R

=(3x+2)_;3!;Q(x)+R

∴ 몫: ;3!;Q(x), 나머지: R

01-2          몫: x-1, 나머지: -x
|해결 전략 | 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면 

A=BQ+R임을 이용한다.

다항식 A를 x+2로 나누었을 때의 몫이 x€-2x-1, 나머지가 5이

따라서 다항식 A를 x€+x-3으로 나누었을 때의 몫과 나머지는

므로

A =(x+2)(x€-2x-1)+5

=x‹-5x+3

x -1
x€+x-3 œ∑x‹ -5x+3

x‹+x€-3x
∑ -x€-2x+3
-x€- x+3
- x

∴ 몫: x-1, 나머지: -x

02-1           ⑴ 몫: x€+2x-3, 나머지: -2
⑵ 몫: x€-x, 나머지: 0



|해결 전략 | 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구한다.

⑴ 조립제법을 이용하여



 2x‹+5x€-4x-5를 x+;2!;로
 나누면 오른쪽과 같으므로

-;2!;

2

2

5 -4 -5

-1 -2

3
4 -6 -2

 2x‹+5x€-4x-5={x+;2!;}(2x€+4x-6)-2





=2{x+;2!;}(x€+2x-3)-2
=(2x+1)(x€+2x-3)-2

 ∴ 몫: x€+2x-3, 나머지: -2

⑵ 조립제법을 이용하여

 3x‹-5x€+2x를 x-;3@;로 나누면
 오른쪽과 같으므로

;3@;

3 -5

2

2 -2
0

3 -3

0

0
0

STEP 



유형 드릴   

| 27쪽~29쪽 |

1-1        -x€+4x+7
|해결 전략 | 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다. 

B-(C-2A) =B-C+2A

=2A+B-C

=2(2x+1)+(x€+2)-(2x€-3)



=4x+2+x€+2-2x€+3



=-x€+4x+7

참고

일반적으로 다항식의 연산의 결과는 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.

1-2        11x€-2xy+4y€
|해결 전략 | X를 A, B에 대한 식으로 나타낸 후 다항식 X를 구한다.

X+2(A-2B)=3A에서 X+2A-4B=3A

∴ X =A+4B



=(3x€+2xy-4y€)+4(2x€-xy+2y€)

=3x€+2xy-4y€+8x€-4xy+8y€





=11x€-2xy+4y€

2-1        12
|해결 전략 | x‹항이 나오는 항들만 전개한다.

x‹항은 2x€_3x+3x_2x€=12x‹

따라서 x‹의 계수는 12이다.

(2x€+3x-5)€, 즉 (2x€+3x-5)(2x€+3x-5)의 전개식에서

1 다항식의 연산 007 




2-2        5
|해결 전략 | x€, x‹항이 나오는 항들만 전개하여 a+b, ab의 값을 구한다.

(x‹+ax€+3)(x€+x+b)의 전개식에서

x€항은 ax€_b+3_x€=(ab+3)x€

x‹항은 x‹_b+ax€_x=(a+b)x‹

x€의 계수와 x‹의 계수가 모두 1이므로

ab+3=1, a+b=1

 ∴ a+b=1, ab=-2

∴ a€+b€=(a+b)€-2ab=1€-2_(-2)=5

3-1        ②
|해결 전략 | 좌변을 전개한 후 우변과 같은지 비교한다.

① (a-b)(a+b)=a€-b€

€-

② (3a+2)(4a-5) =12a€-15a+8a-10

=12a€-7a-10

③ (x-3y)‹ =x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹

=x‹-A9x€y+27xy€-27y‹

④ (a+3)(a€-3a+9) =(a+3)(a€-a_3+3€)

‹+
=a‹+27

⑤ (x-2y+1)€=x€+(-2y)€+1€+2_x_(-2y)









=x€+4y€-4xy+A2x-4y+1

x-4y

따라서 옳은 것은 ②이다.

+2_(-2y)_1+2_1_x

3-2        ③
|해결 전략 | 좌변을 전개한 후 우변과 같은지 비교한다.

① (-2a+3b)(2a-3b) =-(2a-3b)€

② (x€-3x+5)(2x-1) =2x‹-x€-6x€+3x+10x-5

=-(4a€-12ab+9b€)

=-
=-4a€+12ab-9b€

+12ab

=2x‹-7x€+13x-5

13x

③ (3x-2y)‹ =(3x)‹-3_(3x)€_2y+3_3x_(2y)€-(2y)‹

=27x‹-54x€y+36xy€-8y‹

④ (a-4)(a€+4a+16) =(a-4)(a€+a_4+4€)

-64
=a‹-64

⑤ (a-1)(a+1)(a€-1)=(a€-1)€=a›-2a€+1

2a€+

따라서 옳은 것은 ③이다.

4-1        -1
|해결 전략 | 공통부분을 X로 치환하여 전개한다.



(2x€+x-5)(2x€+x+2)

=(X-5)(X+2)

2x€+x=X로 치환 

=X€-3X-10

=(2x€+x)€-3(2x€+x)-10

X=2x€+x 대입 

=4x›+4x‹+x€-6x€-3x-10

=4x›+4x‹-5x€-3x-10

따라서 a=4, b=-5이므로 a+b=-1

008 정답과 해설

다른 풀이    

(2x€+x-5)(2x€+x+2)의 전개식에서

x‹항은 2x€_x+x_2x€=4x‹

 ∴ a=4

x€항은 2x€_2+x_x-5_2x€=-5x€

 ∴ b=-5

∴ a+b=-1

4-2        35
|해결 전략 | 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 치환하여 전개한다.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}

=(x€+5x+4)(x€+5x+6)

=(X+4)(X+6)

x€+5x=X로 치환 

=X€+10X+24

=(x€+5x)€+10(x€+5x)+24

X=x€+5x 대입

=x›+10x‹+25x€+10x€+50x+24

=x›+10x‹+35x€+50x+24

따라서 x€의 계수는 35이다.

5-1        26
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 x‹+y‹의 값을 구한다.

x+y=2, xy=-3이므로

x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)

=2‹-3_(-3)_2=26

5-2        4
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 (x-y)€의 값을 구한다.

x+y=6, xy=5이므로

(x-y)€ =(x+y)€-4xy

=6€-4_5=16

∴ x-y=4 (∵ x>y)

6-1        14
|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

a=2+'3, b=2-'3이므로
a+b=4, ab=1

∴ ;bA;+;aB;=

a€+b€
ab

=

(a+b)€-2ab
ab



=

4€-2_1
1

=14

6-2        14
|해결 전략 | x-y, xy의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

x='2+1, y='2-1이므로
x-y=2, xy=1

∴ x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y)

=2‹+3_1_2=14

7-1        2'2
|해결 전략 | 곱셈 공식의 변형을 이용하여 먼저 {a+

€의 값을 구한다.

1
a }

{a+;a!;}

€={a-;a!;}

€+4=2€+4=8

∴ a+;a!;=2'2 (∵ a>0)

9-2        10
|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하기 위하여 주어진 식의 좌변에 

;2!;(3-1)을 곱한다.

(3+1)(3€+1)(3›+1)=;2!;(3-1)(3+1)(3€+1)(3›+1)

;2!;(3-1)=1

=;2!;(3€-1)(3€+1)(3›+1)

의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

따라서 a=2, b=8이므로 a+b=10

=;2!;(3›-1)(3›+1)
3°-1
2

=;2!;(3°-1)=



7-2        2'5
|해결 전략 | x+

1
x

{x+;x!;}

€=x€+

1
x€

+2=3+2=5

∴ x+;x!;='5 (∵ x>0)

∴ x‹+

1
x‹

‹-3{x+;x!;}
={x+;x!;}
=('5 )‹-3_'5=2'5

8-1        36
|해결 전략 | xy+yz+zx의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

(x+y+z)€=x€+y€+z€+2(xy+yz+zx)에서

6€=14+2(xy+yz+zx)

∴  xy+yz+zx=11

∴ x‹+y‹+z‹ =(x+y+z)(x€+y€+z€-xy-yz-zx)+3xyz

=6_(14-11)+3_6  

=36

8-2        4
|해결 전략 | xy+yz+zx의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용한다.

xy+yz+zx
;x!;+;y!;+;z!;=0에서
xyz
xy+yz+zx=0 (5 xyz+0)

=0이므로

∴ x€+y€+z€ =(x+y+z)€-2(xy+yz+zx)  



=2€-2_0=4

a⁄fl=100을 대입한다.

(a-1)(a+1)(a€+1)(a›+1)(a°+1)

=(a€-1)(a€+1)(a›+1)(a°+1)

=(a›-1)(a›+1)(a°+1)

=(a°-1)(a°+1)

=a⁄fl-1

이때, a⁄fl=100이므로

a⁄fl-1=100-1=99

10-1        3
|해결 전략 | 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 a, b, c로 놓고 a, 

c

b

a

b, c 사이의 관계식을 구한다.

직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를

각각 a, b, c라 하면 모든 모서리의 길이의 합

이 20이므로

4(a+b+c)=20

 ∴ a+b+c=5

또, 직육면체의 겉넓이가 16이므로

 ∴ ab+bc+ca=8

2(ab+bc+ca)=16
이때, 직육면체의 대각선의 길이는 "ƒa€+b€+c€이고

a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)

=5€-2_8=9

따라서 직육면체의 대각선의 길이는 '9=3

10-2        60
|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b로 놓고 a, b 사이의 관

계식을 구한다.

직사각형의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 b라 하면 직사각형의 대

각선의 길이가 13이므로

a€+b€=13€=169

또, 직사각형의 둘레의 길이가 34이므로

2(a+b)=34

∴  a+b=17

이때, a€+b€=(a+b)€-2ab에서

169=17€-2ab

∴  ab=60

따라서 직사각형의 넓이는 60이다.

x +1
x€+4xœ∑x‹+5x€+4x+3
x‹+4x€

x€+4x
x€+4x

3

따라서 몫이 x+1이므로 a=1, b=1

∴ a+b=2

1 다항식의 연산 009 

9-1        99
|해결 전략 | (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후   

11-1        2
|해결 전략 | (x‹+5x€+4x+3)/(x€+4x)를 직접 계산한다.



11-2        x€+x-2
|해결 전략 | 다항식 2x‹+4x€-7을 다항식 A, 몫, 나머지를 이용하여 나타낸다.

2x‹+4x€-7=A(2x+2)+2x-3이므로

A(2x+2) =(2x‹+4x€-7)-(2x-3)



=2x‹+4x€-2x-4

즉, 다항식 A는 다항식 2x‹+4x€-2x-4를 2x+2로 나누었을 때

의 몫이다.

x€+ x -2

2x+2œ∑2x‹+4x€-2x-4
2x‹+2x€

2x€-2x
2x€+2x

-4x-4
-4x-4
0

∴ A=x€+x-2

참고  

A=BQ+R이다.

머지는 6이다.

x-2로 나누었으므로 c=2

a+4=2이므로 a=-2

d=2c=2_2=4

e=1+d=1+4=5

b+10=6이므로 b=-4

다항식 A를 다항식 B(B+0)로 나누었을 때의 몫이 Q, 나머지가 R이면

이때, A-R=BQ이므로 B는 A-R를 Q로 나누었을 때의 몫이 된다.

12-1        5
|해결 전략 | 주어진 조립제법에서 각 문자에 해당되는 값을 찾는다.

 a+3=b

∴  a=3

  ⑵ ① 계수비교법

조립제법을 이용하여 다항식

2x‹+ax€+x+b를 x-2로 나누었을 때의

몫과 나머지를 구하면 몫은 2x€+2x+e, 나

c 2 a 1

b
4 d 10
6
e
2

2

32쪽~33쪽

| 항등식과 나머지정리





항등식

개념 확인  

1 ⑴ a=3, b=2  ⑵ a=2, b=-5

2 ⑴ ① a=3, b=6  ② a=3, b=6

2 ⑵ ① a=5, b=-3  ② a=5, b=-3

2  ⑴ ① 계수비교법




 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

 ax+a+3=3x+b

 양변의 동류항의 계수를 비교하면

 a=3, a+3=b

 ∴  a=3, b=6

 ② 수치대입법

 등식의 양변에 x=-1을 대입하면

 3=-3+b

∴  b=6

 등식의 양변에 x=0을 대입하면

 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면



(a+b)x-a-2b=2x+1

 양변의 동류항의 계수를 비교하면

 a+b=2, -a-2b=1

 두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-3

 ② 수치대입법

 등식의 양변에 x=1을 대입하면

 -b=3

∴  b=-3

 등식의 양변에 x=2를 대입하면







































































∴ a+b+c+d+e=-2-4+2+4+5=5

 a=5

12-2        몫: x€-x-3, 나머지: -4
|해결 전략 | 다항식 P(x)를 몫과 나머지에 대한 등식으로 나타낸다.

다항식 P(x)를 x-;2%;로 나누었을 때의 몫이 2x€-2x-6, 나머지가
-4이므로

STEP 



개념 드릴   

| 34쪽 |

P(x)={x-;2%;}(2x€-2x-6)-4

=2{x-;2%;}(x€-x-3)-4
=(2x-5)(x€-x-3)-4

-4이다.

010 정답과 해설

따라서 P(x)를 2x-5로 나누었을 때의 몫은 x€-x-3, 나머지는

1 ⑴ _  ⑵ ◯  ⑶ ◯  ⑷ _

2 ⑴ a=-2, b=-3  ⑵ a=-1, b=2, c=0

1 ⑶ a=2, b=4  ⑷ a=5, b=2, c=2

3 ⑴ ① a=2, b=3  ② a=2, b=3

1 ⑵ ① a=1, b=-1  ② a=1, b=-1

1 ⑶ ① a=1, b=2, c=5  ② a=1, b=2, c=5




 a+1=0, b-2=0, c=0

∴  a=-1, b=2, c=0

(2k-1)x+(k+3)y=3k-5의 좌변을 k에 대하여 정리하면

1  ⑴ 주어진 등식은 x=-3일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다.
 ⑵ 주어진 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 항



이 등식은 x에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하므로 항등식

등식이다.

 ⑶ 주어진 등식의 좌변을 전개하면

 x€+2x+1=x€+2x+1

이다.

 ⑷ 주어진 등식의 우변을 전개하면

 x€+x+2=x€-x-2

 이 식을 정리하면 2x=-4

 이 등식은 x=-2일 때에만 성립하므로 항등식이 아니다.

2  ⑴ (a+2)x+b+3=0에서
 a+2=0, b+3=0


∴  a=-2, b=-3

 ⑵ (a+1)x€+(b-2)x+c=0에서

 ⑶ 3ax+2b=6x+8에서

 3a=6, 2b=8

∴  a=2, b=4

 ⑷ (a-1)x€+(b-3)x+4c=4x€-x+8에서

 a-1=4, b-3=-1, 4c=8

 ∴ a=5, b=2, c=2

3  ⑴ ① 계수비교법




 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

 ax€+(-2a+b)x+a-2b=2x€-x-4

 양변의 동류항의 계수를 비교하면

 a=2, -2a+b=-1, a-2b=-4

 ∴  a=2, b=3

 ② 수치대입법

 등식의 양변에 x=1을 대입하면

 -b=-3

∴  b=3

 등식의 양변에 x=2를 대입하면

 a=2

  ⑵ ① 계수비교법

 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

 ax€+(-a+b)x-2b=x€-2x+2

 양변의 동류항의 계수를 비교하면

 a=1, -a+b=-2, -2b=2

 ∴ a=1, b=-1

 ② 수치대입법

 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b=2

∴  b=-1

 등식의 양변에 x=2를 대입하면 2a=2

∴  a=1

  ⑶ ① 계수비교법

 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

 ax€+(-2a+b)x-2b+c=x€+1

 양변의 동류항의 계수를 비교하면

 a=1, -2a+b=0, -2b+c=1

 ∴  a=1, b=2, c=5



















































































































 ② 수치대입법

 등식의 양변에 x=0을 대입하면 -2b+c=1

 등식의 양변에 x=1을 대입하면 -a-b+c=2

 등식의 양변에 x=2를 대입하면 c=5

 ∴  a=1, b=2, c=5

STEP 



필수 유형   

| 35쪽~37쪽 |

01-1          x=2, y=-1
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을  ( 

  )k+( 

  ) 꼴로 정리한다.

(2x+y)k+(-x+3y)=3k-5

이 등식이 k에 대한 항등식이므로



2x+y=3, -x+3y=-5

∴ x=2, y=-1

01-2          a=3, b=1, c=-1
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 ( 

  )x+( 

  )y+( 

  ) 꼴로 정리한다.

a(2x+y)+b(x-2y)-1=7x+y+c의 좌변을 x, y에 대하여 정

리하면

(2a+b)x+(a-2b)y-1=7x+y+c

이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로

2a+b=7, a-2b=1, -1=c

∴ a=3, b=1, c=-1

02-1          ⑴ a=3, b=1, c=-2  ⑵ a=1, b=1, c=2



⑶ a=1, b=-2, c=2

|해결 전략 | 전개하기 쉬우면 계수비교법을, 어려우면 수치대입법을 이용한다.

⑴ 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

 3x€-5x=ax€-(2a-b)x+a-b+c

 양변의 동류항의 계수를 비교하면



 3=a, 5=2a-b, 0=a-b+c

 ∴ a=3, b=1, c=-2

⑵ 주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

 x‹+x-2=ax‹+(b-a)x€+(c-b)x-c

 양변의 동류항의 계수를 비교하면



 1=a, 0=b-a, 1=c-b, 2=c

 ∴ a=1, b=1, c=2

⑶ 등식의 양변에 x=0을 대입하면 4=-2b

 ∴ b=-2

 등식의 양변에 x=1을 대입하면 6=3c

 ∴ c=2

 등식의 양변에 x=-2를 대입하면 6=6a

 ∴ a=1

참고 

⑶ 계수비교법을 이용할 수도 있지만 우변을 전개하는 것이 복잡하므로 수치

대입법을 이용하는 것이 편리하다.

2 항등식과 나머지정리 011 

03-1        a=3, b=6
|해결 전략 | 삼차식을 이차식으로 나누었을 때의 몫을 일차식으로 놓는다.



나머지정리와 인수정리

두 식 x‹+ax€+bx-2, x€+2x+3의 최고차항의 계수가 모두 1이

개념 확인  

38쪽~39쪽

므로 x‹+ax€+bx-2를 x€+2x+3으로 나누었을 때의 몫을

1 ⑴ 0  ⑵ 6



2 4

1  ⑴ f(-1)=-2-3-1+6=0

 ⑵ f {;2!;}=;4!;-;4#;+;2!;+6=6

2  f(1)=0에서 1+2-a+1=0

∴  a=4

x+c (c는 상수)로 놓자.

이때, 나머지가 x-5이므로

x‹+ax€+bx-2=(x€+2x+3)(x+c)+x-5

우변을 전개하여 정리하면

x‹+ax€+bx-2=x‹+(c+2)x€+(2c+4)x+3c-5

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면

a=c+2, b=2c+4, -2=3c-5

c=1이므로 a=3, b=6

LECTURE

라 하면

다항식 f(x)를 다항식 g(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)

f(x)=g(x)Q(x)+R(x) (단, (R(x)의 차수)<(g(x)의 차수))

이때, f(x)가 n차, g(x)가 m차이면 Q(x)는 (n-m)차이고, R(x)는

(m-1)차 이하의 식이다.

예를 들어 f(x)가 4차, g(x)가 2차이면 Q(x)=ax€+bx+c,

R(x)=px+q로 놓고 항등식의 성질을 이용하여 Q(x), R(x)를 구한다.

03-2          a=1, b=-1
|해결 전략 | x‹의 계수가 2인 삼차식을 x€의 계수가 1인 이차식으로 나누었으므

로 몫을 x의 계수가 2인 일차식으로 놓는다. 한편, 나누어떨어진다는 것은 나머지

가 0임을 뜻한다.

2x‹+x€+ax+b의 최고차항의 계수가 2이고 x€+x+1의 최고차

항의 계수가 1이므로 2x‹+x€+ax+b를 x€+x+1로 나누었을 때

2x‹+x€+ax+b=2x‹+(c+2)x€+(c+2)x+c

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면

의 몫을 2x+c (c는 상수)로 놓자.

이때, 나머지가 0이므로

2x‹+x€+ax+b=(x€+x+1)(2x+c)

우변을 전개하여 정리하면

1=c+2, a=c+2, b=c

c=-1이므로 a=1, b=-1
다른 풀이    

직접 나눗셈을 하여 나머지가 0인 것을 이용한다.

2x-1



x€+x+1 œ∑2x‹+ x€+
2x‹+2x€+
∑ - x€+(a-2)x+b
x-1

ax+b
2x

- x€-

(a-1)x+b+1

즉, (a-1)x+b+1=0

이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a-1=0, b+1=0

∴  a=1, b=-1

012 정답과 해설

STEP 



개념 드릴   

| 40쪽 |

1 ⑴ 3  ⑵ -25  ⑶ -:¡8∞:

2 ⑴ -10  ⑵ 11  ⑶ ;2!;
3 ⑴ 1  ⑵ 3  ⑶ -1

4 ⑴ 1  ⑵ -4  ⑶ -1

1  ⑴ f(1)=1+1+2-1=3
 ⑵ f(-3)=-27+9-6-1=-25

 ⑶ f {-;2!;}=-;8!;+;4!;-1-1=-:¡8∞:

2  ⑴ f(-1)=-2-3-4-1=-10
 ⑵ f(2)=16-12+8-1=11

 ⑶ f {;2!;}=;4!;-;4#;+2-1=;2!;

3  ⑴ f(-1)=1에서 -1+a+2-1=1
 ⑵ f(1)=3에서 2-a+4=3

∴  a=3

∴  a=1

 ⑶ f {-;3!;}=2에서 ;9!;+;9A;-3+5=2





;9A;=-;9!;

∴  a=-1

4  ⑴ f(-1)=0에서 -2-a+3=0
 ⑵ f(3)=0에서 27+9a+9=0

∴  a=1

∴  a=-4

 ⑶ f {;2!;}=0에서 ;2!;-;2A;-1=0

∴  a=-1


STEP 



필수 유형   

| 41쪽~44쪽 |

03-1          5
|해결 전략 |  f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 x 대신 a를 대입하여

01-1          a=10, b=1
|해결 전략 | 다항식 f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다.

f(x)=x‹+ax€+bx-2라 하면 나머지정리에 의하여

f(1)=10, f(-1)=6

f(1)=10에서

1+a+b-2=10

 ∴ a+b=11

f(-1)=6에서

-1+a-b-2=6

 ∴ a-b=9

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, b=1

åå ㉠

åå ㉡

01-2          -10
|해결 전략 | 나머지정리에 의하여 f {-;3@;}=5임을 이용하여 먼저 상수 a의 값을
구한다.

f(x)=-9x‹+ax+1에서 나머지정리에 의하여 f {-;3@;}=5이므로

2a
3

2a
3

+1=5,

;3*;-
따라서 f(x)=-9x‹-2x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나

 ∴ a=-2

=-;3$;


머지정리에 의하여

f(1)=-9-2+1=-10

÷f(aa+b)의 값을 구한다.

÷f(2x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는

÷f(2_1)=÷f(2)

3x-1이므로

÷f(x)를 2x€-3x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가

÷÷f(x) =(2x€-3x-2)Q(x)+3x-1   

=(2x+1)(x-2)Q(x)+3x-1 

…… ㉠

㉠의 양변에 x=2를 대입하면

÷f(2)=3_2-1=5
다른 풀이  

㉠의 양변에 x 대신 2x를 대입하면

÷f(2x) =(4x+1)(2x-2)Q(2x)+6x-1  

=2(4x+1)(x-1)Q(2x)+6(x-1)+5



=(x-1){2(4x+1)Q(2x)+6}+5

따라서 ÷f(2x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 5이다.

03-2          20
|해결 전략 |  f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 x 대신 a를 대입하여

÷f(aa+b)의 값을 구한다.

÷f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나머지정리에 의

02-1          -x+4
|해결 전략 | 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는 

상수)로 놓는다.

한편, xf(x-2)를 x-5로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R

…… ㉠

f(x)를 (x+4)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를

xf(x-2)=(x-5)Q(x)+R

하여

÷f(3)=4 

라 하면

양변에 x=5를 대입하면

R=5÷f(3)=5_4=20 (∵ ㉠)

따라서 구하는 나머지는 20이다.

ax+b (a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+4)(x-2)Q(x)+ax+b

이때, 나머지정리에 의하여 f(-4)=8, f(2)=2

f(-4)=8에서 -4a+b=8

f(2)=2에서 2a+b=2

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4

åå ㉠

åå ㉡

따라서 f(x)를 (x+4)(x-2)로 나누었을 때의 나머지는 -x+4

이다.

상수)로 놓는다.

02-2          2x+3
|해결 전략 | 다항식 f(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b (a, b는 

f(x)를 x€-x-6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b

(a, b는 상수)라 하면

f(x) =(x€-x-6)Q(x)+ax+b



=(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b

이때, 나머지정리에 의하여 f(-2)=-1, f(3)=9

f(-2)=-1에서 -2a+b=-1

f(3)=9에서 3a+b=9

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3

04-1          a=-7, b=6
|해결 전략 | 다항식 ÷f(x)가 (x-a)(x-b)로 나누어떨어지면 ÷f(a)=0, 

÷f(b)=0이다.

÷f(x)=x‹+ax+b라 하면 ÷f(x)가 (x-2)(x+3)으로 나누어떨어

지므로 ÷f(x)는 x-2, x+3으로 각각 나누어떨어진다.

따라서 인수정리에 의하여

÷f(2)=0, f(-3)=0

÷f(2)=0에서

8+2a+b=0

∴  2a+b=-8

÷f(-3)=0에서

-27-3a+b=0

∴  3a-b=-27

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=6

다른 풀이

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉠

åå ㉡

다항식 x‹+ax+b가 (x-2)(x+3)으로 나누어떨어지므로 x‹+ax+b를

(x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면

따라서 f(x)를 x€-x-6으로 나누었을 때의 나머지는 2x+3이다.

x‹+ax+b=(x-2)(x+3)Q(x)

따라서 조립제법을 이용하면

2 항등식과 나머지정리 013 

2

-3

1

0
2
2
-3
1 -1

1

a
4
a+4
3
a+7

b
2a+8
2a+b+8

2a+b+8=0, a+7=0이므로

a=-7, b=6

÷04-2          a=-9, b=12
|해결 전략 | 다항식 ÷f(x)가 (x-a)(x-b)를 인수로 가지면 ÷f(a)=0, ÷f(b)=0 

이다.

÷f(x)=x›+ax€+bx-4라 하면 ÷f(x)는 x€-3x+2, 즉



(x-1)(x-2)를 인수로 갖는다.

따라서 ÷f(x)는 x-1과 x-2로 각각 나누어떨어지므로 인수정리에

1-2        -9
|해결 전략 | x를 y에 대한 식으로 나타낸 후 ax€+by€+6y+3=0에 대입한다.

x-y=1에서 x=y+1

åå ㉠

㉠을 ax€+by€+6y+3=0에 대입하면

a(y+1)€+by€+6y+3=0

∴ (a+b)y€+(2a+6)y+a+3=0

이 등식이 y에 대한 항등식이므로

a+b=0, 2a+6=0, a+3=0

∴ a=-3, b=3

∴ ab=-9

2-1        -6
|해결 전략 | 좌변을 전개하여 양변의 동류항의 계수를 비교한다.

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

3x€+5x-2=(a+1)x€+(b-2)x+c-3

양변의 동류항의 계수를 비교하면

a+1=3, b-2=5, c-3=-2

따라서 a=2, b=7, c=1이므로 a-b-c=-6

åå ㉠

åå ㉡

다항식 x›+ax€+bx-4가 (x-1)(x-2)로 나누어떨어지므로

x›+ax€+bx-4를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면

의 계수를 비교한다.

2-2        9
|해결 전략 | 우변을 전개하여 x에 대한 내림차순으로 정리한 후 양변의 동류항

의하여



÷f(1)=0, f(2)=0

÷f(1)=0에서

1+a+b-4=0

∴  a+b=3

÷f(2)=0에서

16+4a+2b-4=0

∴  2a+b=-6

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=12

다른 풀이

x›+ax€+bx-4=(x-1)(x-2)Q(x)

따라서 조립제법을 이용하면

1

2

1

1

1

a
1

0
1
1 a+1
2
3 a+7 3a+b+15

b
a+1
a+b+1
2a+14

6

-4
a+b+1
a+b-3

a+b-3=0, 3a+b+15=0이므로

a=-9, b=12

주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

3x€-ax-1=(b+c)x€-2(b+c)x+c

양변의 동류항의 계수를 비교하면

b+c=3, 2(b+c)=a, c=-1

따라서 a=6, b=4, c=-1이므로 a+b+c=9

다른 풀이

등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=c

등식의 양변에 x=1을 대입하면 2-a=-b

등식의 양변에 x=2를 대입하면 11-2a=c

따라서 a=6, b=4, c=-1이므로 a+b+c=9

3-1        a=-3, b=4
|해결 전략 | x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1, x=2를 대입한다.

등식의 양변에 x=-1을 대입하면

0=-1+a+b

∴  a+b=1

등식의 양변에 x=2를 대입하면

0=8+4a+b

∴  4a+b=-8

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=4

다른 풀이

(x+1)(x-2)f(x)=x‹+ax€+b에서

(x€-x-2)f(x)=x‹+ax€+b

이때, f(x)=x+c (c는 상수)로 놓으면

(x€-x-2)(x+c)=x‹+ax€+b

좌변을 전개하여 정리하면

x‹+(c-1)x€-(c+2)x-2c=x‹+ax€+b

양변의 동류항의 계수를 비교하면

c-1=a, c+2=0, -2c=b

c=-2이므로 a=-3, b=4

…… ㉠

…… ㉡

| 45쪽~47쪽 |

(k+3)x+2(1+k)y+5k-1=0의 좌변을 k에 대하여 정리하면

  )k+( 

  ) 꼴로 정리한다.

STEP 



유형 드릴   

1-1        -1
|해결 전략 | 주어진 식의 좌변을 ( 

(x+2y+5)k+(3x+2y-1)=0

이 등식이 k에 대한 항등식이므로

x+2y+5=0, 3x+2y-1=0

∴ x=3, y=-4

∴ x+y=-1

014 정답과 해설

3-2        a=7, b=12
|해결 전략 | x에 대한 항등식이므로 양변에 x€=3, x=-2를 대입한다.

우변을 전개하여 정리하면

2x‹+ax€+bx+3=2x‹+(c+2)x€+(c-2)x+2c+1

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면

등식의 양변에 x€=3을 대입하면

0=9-3a+b

∴  3a-b=9

등식의 양변에 x=-2를 대입하면

0=16-4a+b

∴  4a-b=16

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=12

…… ㉠

…… ㉡

a=c+2, b=c-2, 3=2c+1

c=1이므로 a=3, b=-1

∴ a+b=2

등식의 양변에 x=1을 대입하면 32=aº+a¡+a™+ … +a¡º

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=3

∴  ab=6

4-2        -40
|해결 전략 | 주어진 등식은 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 항등식

÷f(x)=x‹-(a+3)x+7이라 하면 나머지정리에 의하여

4-1        33
|해결 전략 | 주어진 등식은 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로 x에 대한 항등

식이다.

주어진 등식은 x에 대한 항등식이다.

등식의 양변에 x=0을 대입하면 -1=aº

∴ a¡+a™+a£+ … +a¡º =32-aº



=32-(-1)=33

이다.

주어진 등식은 x에 대한 항등식이다.

등식의 양변에 x=1을 대입하면

1=aº+a¡+a™+ … +a¡™

등식의 양변에 x=-1을 대입하면

81=aº-a¡+a™- … +a¡™

㉠-㉡을 하면

-80=2(a¡+a£+a∞+a¶+aª+a¡¡)

∴ a¡+a£+a∞+a¶+aª+a¡¡=-40

…… ㉠

…… ㉡

5-1        5
|해결 전략 | 나눗셈에 대한 등식을 세우고 f(1)=1임을 이용한다.

다항식 f(x)를 2x€-ax+1로 나누었을 때의 몫이 x+4, 나머지가

8x+3이므로

÷f(x)=(2x€-ax+1)(x+4)+8x+3

이 등식의 양변에 x=1을 대입하면

÷f(1)=(3-a)_5+11

이때, f(1)=1이므로 -5a+26=1

-5a=-25

∴  a=5

5-2        2
|해결 전략 | x‹의 계수가 2인 삼차식을 x€의 계수가 1인 이차식으로 나누었으므

로 몫을 x의 계수가 2인 일차식으로 놓는다.

2x‹+ax€+bx+3의 최고차항의 계수가 2이고 x€+x+2의 최고차

항의 계수가 1이므로 2x‹+ax€+bx+3을 x€+x+2로 나누었을

때의 몫을 2x+c (c는 상수)로 놓자.

이때, 나머지가 -6x+1이므로

2x‹+ax€+bx+3=(x€+x+2)(2x+c)-6x+1

6-1        6
|해결 전략 |  f(1)=2, ÷f(-1)=4임을 이용한다.

÷f(x)=x‹-ax+b에서 나머지정리에 의하여

÷f(1)=2, f(-1)=4

÷f(1)=2에서 1-a+b=2

∴  a-b=-1

÷f(-1)=4에서 -1+a+b=4

∴  a+b=5

…… ㉠

…… ㉡

6-2        25
|해결 전략 | ÷f(2)=f(4)임을 이용한다.

÷f(2)=f(4)이므로

8-2(a+3)+7=64-4(a+3)+7

2a=50

 ∴ a=25

7-1        0
|해결 전략 | ÷f(-2)=3임을 이용하여 먼저 a의 값을 구한다.

다항식 ÷f(x)=x‹+x€+ax+1에서 나머지정리에 의하여

÷f(-2)=3이므로

-8+4-2a+1=3, -2a=6

∴  a=-3

따라서 ÷f(x)=x‹+x€-3x+1을 x-1로 나누었을 때의 나머지는

f(1)=1+1-3+1=0

7-2        -4
|해결 전략 | 나머지정리를 이용하여 a의 값을 구한 후 Q(-1)의 값을 구한다.

다항식 x‹+ax€-5x+3을 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머

지가 -2이므로

x‹+ax€-5x+3=(x-1)Q(x)-2

…… ㉠

㉠의 양변에 x=1을 대입하면

1+a-5+3=-2

∴  a=-1

따라서 ㉠은 x‹-x€-5x+3=(x-1)Q(x)-2

…… ㉡

이때, Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1)이므로

㉡의 양변에 x=-1을 대입하면

-1-1+5+3=-2Q(-1)-2

2Q(-1)=-8

∴  Q(-1)=-4

따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 -4이다.

다른 풀이

오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여

x‹-x€-5x+3을 x-1로 나누었을 때의 몫

Q(x)를 구하면

1 1 -1 -5

3
0 -5
1
0 -5 -2

1

2 항등식과 나머지정리 015 

따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는

Q(x)=x€-5

Q(-1)=1-5=-4

8-1        -2x+1
|해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(1)=-1, f(-2)=5임

을 이용한다.

÷f(x)를 x€+x-2로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b

(a, b는 상수)라 하면

÷f(x) =(x€+x-2)Q(x)+ax+b



=(x+2)(x-1)Q(x)+ax+b

이때, 나머지정리에 의하여 f(1)=-1, f(-2)=5

÷f(1)=-1에서 a+b=-1

÷f(-2)=5에서 -2a+b=5

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1

따라서 f(x)를 x€+x-2로 나누었을 때의 나머지는 -2x+1이다.

8-2        -2
|해결 전략 | 나머지를 R(x)=ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(2)=-1,  

f(-3)=-6임을 이용한다.

÷f(x)를 (x-2)(x+3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지

R(x)를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

÷f(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b

이때, 나머지정리에 의하여 f(2)=-1, f(-3)=-6

÷f(2)=-1에서 2a+b=-1

÷f(-3)=-6에서 -3a+b=-6

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-3

따라서 R(x)=x-3이므로

R(1)=-2

9-1        -x
|해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(1), f(3)의 값을 이용한다.

f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x),

(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면

f(x)=(x-1)(x-2)Q¡(x)-2x+1

f(x)=(x-2)(x-3)Q™(x)-3

…… ㉠

…… ㉡

이때, f(x)를 x€-4x+3, 즉 (x-1)(x-3)으로 나누었을 때의 몫

을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b

㉠에서 f(1)=-1, ㉡에서 f(3)=-3이므로

f(1)=a+b=-1, f(3)=3a+b=-3

두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=0

따라서 구하는 나머지는 -x이다.

016 정답과 해설

9-2        x-2
|해결 전략 | 나머지를 ax+b (a, b는 상수)로 놓고 f(-2), f(2)의 값을 이용

한다.

f(x)를 x€+x-2, 즉 (x+2)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x),

x€-7x+10, 즉 (x-2)(x-5)로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면

f(x)=(x+2)(x-1)Q¡(x)+5x+6

f(x)=(x-2)(x-5)Q™(x)

…… ㉠

…… ㉡

이때, f(x)를 x€-4, 즉 (x+2)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x),

나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

f(x)=(x+2)(x-2)Q(x)+ax+b

㉠에서 f(-2)=-4, ㉡에서 f(2)=0이므로

f(-2)=-2a+b=-4, f(2)=2a+b=0

두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2

따라서 구하는 나머지는 x-2이다.

…… ㉠

…… ㉡

참고

x€+x-2=(x+2)(x-1), x€-7x+10=(x-2)(x-5)이므로 f(-2),

f(1), f(2), f(5)의 값을 알 수 있다.

10-1        8
|해결 전략 |  f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(aa+b)이다.

÷f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 나머지정리에 의

한편, xf(x-3)을 x-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라

…… ㉠

하여

÷f(1)=2

하면

…… ㉠

…… ㉡

xf(x-3)=(x-4)Q(x)+R

양변에 x=4를 대입하면

R=4÷f(1)=4_2=8 (∵ ㉠)

따라서 구하는 나머지는 8이다.

10-2        6
|해결 전략 |  f(ax+b)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 ÷f(aa+b)이다.

÷f(x)를 x€-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면

÷f(x) =(x€-3x+2)Q(x)+5x-4



=(x-1)(x-2)Q(x)+5x-4

…… ㉠

한편, ÷÷f(3x+5)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는

÷f(3_(-1)+5)=÷f(2)

㉠에서 ÷÷f(2)=6이므로 구하는 나머지는 6이다.
다른 풀이    

㉠의 양변에 x 대신 3x+5를 대입하면

÷f(3x+5) ={(3x+5)-1}{(3x+5)-2}Q(3x+5)+5(3x+5)-4 

=(3x+4)(3x+3)Q(3x+5)+15x+21 

 

=3(x+1)(3x+4)Q(3x+5)+15(x+1)+6  

=(x+1){3(3x+4)Q(3x+5)+15}+6

따라서 ÷f(3x+5)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 6이다.

11-1        4
|해결 전략 | 다항식 f(x)가 x-a를 인수로 가지면 f(a)=0이다.

f(x)=x‹+ax+2가 x+2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여

f(-2)=0

-8-2a+2=0

∴  a=-3

따라서 f(x)=x‹-3x+2를 x-2로 나누었을 때의 나머지는

f(2)=8-6+2=4



| 인수분해



인수분해

개념 확인  

1    ⑴ ab(5-3a€)  ⑵ (1-a)(2-b)  ⑶ (1+x)(1+y)

2    ⑴ (x+1)‹  ⑵ (x-3y)‹  ⑶ (x-2)(x€+2x+4) 

 

 

   50쪽~54쪽

11-2        4
|해결 전략 | f(x)=x‹+ax€-6x+b로 놓고 인수정리와 나머지정리에 의하여

⑷ (x+2y+z)€

f(2)=0,  f(1)=-1임을 이용한다.

3    ⑴ (a+b-1)€  ⑵ (x+1)(x-1)(x€-3) 

 

f(x)=x‹+ax€-6x+b라 하면 인수정리와 나머지정리에 의하여

⑶ (x€+2x-2)(x€-2x-2)

4  ⑴ (a+b)(b+c)  ⑵ (a-b)(a+c)

5   ㈎ x-1  ㈏ 3  

f(2)=0, f(1)=-1

f(2)=0에서

8+4a-12+b=0

∴  4a+b=4

f(1)=-1에서

1+a-6+b=-1

∴  a+b=4

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=4

∴ b-a=4

…… ㉠

…… ㉡

1  ⑴ 5ab-3a‹b=ab(5-3a€)
 ⑵ 2(1-a)+b(a-1) =2(1-a)-b(1-a)  

 ⑶ 1+x+y+xy =(1+x)+y(1+x)



=(1-a)(2-b)

=(1+x)(1+y)

12-1        -3
|해결 전략 | f(x)=x‹+2x€+ax+b로 놓으면 f(x)가 (x+1)(x+2)로 나

누어떨어지므로 f(-1)=0, f(-2)=0이다.

÷f(x)=x‹+2x€+ax+b라 하면 f(x)가 (x+1)(x+2)로 나누어

떨어지므로

÷f(-1)=0, f(-2)=0

÷f(-1)=0에서

-1+2-a+b=0

∴  -a+b=-1

÷f(-2)=0에서

-8+8-2a+b=0

∴  -2a+b=0

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2

∴ a+b=-3

2  ⑴ x‹+3x€+3x+1 =x‹+3_x€_1+3_x_1€+1‹
=(x+1)‹



 ⑵ x‹-9x€y+27xy€-27y‹

 =x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹





 =(x-3y)‹

 ⑶ x‹-8 =x‹-2‹



=(x-2)(x€+x_2+2€)  

=(x-2)(x€+2x+4)

 ⑷ x€+4y€+z€+4xy+4yz+2zx

…… ㉠

…… ㉡

 =x€+(2y)€+z€+2_x_2y+2_2y_z+2_z_x

 =(x+2y+z)€

12-2        0
|해결 전략 | f(x)=x›+ax‹+bx€+3으로 놓으면 f(x)가 x€-1, 즉  

(x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로 f(-1)=0, f(1)=0이다.

÷f(x)=x›+ax‹+bx€+3이라 하면 f(x)가 x€-1, 즉 (x+1)(x-1)

=(X-1)€

로 나누어떨어지므로

÷f(-1)=0, f(1)=0

÷f(-1)=0에서

÷f(1)=0에서

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-4

∴ ab=0

1-a+b+3=0

∴  -a+b=-4

…… ㉠

=(x€-1)(x€-3)

 X=x€ 대입  

 

1+a+b+3=0

∴  a+b=-4

…… ㉡

  ⑶ x›-8x€+4 =(x›-4x€+4)-4x€

3  ⑴ (a+b)€-2(a+b)+1 =X€-2X+1

 a+b=X로 치환  

=(a+b-1)€

 X=a+b 대입

 ⑵ x›-4x€+3 =X€-4X+3

 x€=X로 치환   

=(X-1)(X-3)   





=(x+1)(x-1)(x€-3)

=(x€-2)€-(2x)€

 A€-B€ 꼴로 변형



=(x€+2x-2)(x€-2x-2)

  3 인수분해   017 

4  ⑴ ab+ac+b€+bc =a(b+c)+b(b+c)



 ⑵ a€-ab+ac-bc =c(a-b)+a(a-b) 

 

=(a+b)(b+c)

=(a-b)(a+c)

 ⑵ (x-y)€-2(x-y)-3

=X€-2X-3

 x-y=X로 치환 

=(X+1)(X-3)



=(x-y+1)(x-y-3)

 X=x-y 대입 

 ⑶ (a€-a)€-4(a€-a)+4



=X€-4X+4

 a€-a=X로 치환 

=(X-2)€



=(a€-a-2)€

 X=a€-a 대입   

=(a+1)€(a-2)€







STEP 



개념 드릴

4 ⑴ x›+x€-12 =X€+X-12

 x€=X로 치환   

| 55쪽 |

=(X+4)(X-3)

=(x€+4)(x€-3)

 X=x€ 대입 

1    ⑴ (2a-3b)€  ⑵ (6a+5b)(6a-5b)  ⑶ (3a+2)(2a-1)

 ⑵ x›+5x€+4 =X€+5X+4

 x€=X로 치환   

2  ⑴ (2x+1)‹  ⑵ (5x-y)‹  ⑶ (a+4)(a€-4a+16)

   ⑷ (3x-2y)(9x€+6xy+4y€)  ⑸ (x+2y+3z)€ 

 

 

 ⑹ (a+b+1)€

3  ⑴ (a+b+1)€  ⑵ (x-y+1)(x-y-3)  ⑶ (a+1)€(a-2)€

4  ⑴ (x€+4)(x€-3)  ⑵ (x€+1)(x€+4) 

 

 ⑶ (x€+x-1)(x€-x-1)

5    ⑴ (a+b)(a-b+c)  ⑵ (a-b)(a-b+c) 

 

 ⑶ (a-2c)(a+b+2c)

1 ⑴ 4a€-12ab+9b€ =(2a)€-2_2a_3b+(3b)€



=(2a-3b)€

 ⑵ 36a€-25b€ =(6a)€-(5b)€



=(6a+5b)(6a-5b)

 ⑶ 6a€+a-2=(3a+2)(2a-1)

2 ⑴ 8x‹+12x€+6x+1 =(2x)‹+3_(2x)€_1+3_2x_1€+1‹

 ⑶ x›-3x€+1 =(x›-2x€+1)-x€

=(X+1)(X+4)

=(x€+1)(x€+4)

 X=x€ 대입 

=(x€-1)€-x€

 A€-B€ 꼴로 변형

=(x€+x-1)(x€-x-1)

5 ⑴ a€-b€+ac+bc =c(a+b)+a€-b€



=c(a+b)+(a+b)(a-b)

=(a+b)(a-b+c)

 ⑵ a€+b€+ac-bc-2ab =c(a-b)+a€-2ab+b€

=c(a-b)+(a-b)€

=(a-b)(a-b+c)

 ⑶ a€+ab-2bc-4c€ =b(a-2c)+a€-4c€  









=b(a-2c)+(a+2c)(a-2c)



=(a-2c)(a+b+2c)













=(2x+1)‹

 ⑵ 125x‹-75x€y+15xy€-y‹

 =(5x)‹-3_(5x)€_y+3_5x_y€-y‹

 =(5x-y)‹

 ⑶ a‹+64 =a‹+4‹



=(a+4)(a€-4a+16)

 ⑷ 27x‹-8y‹ =(3x)‹-(2y)‹



=(3x-2y)(9x€+6xy+4y€)

 ⑸ x€+4y€+9z€+4xy+12yz+6zx

 =(x+2y+3z)€

 ⑹ a€+b€+2ab+2a+2b+1

 =(a+b+1)€

3 ⑴ (a+b)€+2(a+b)+1

=X€+2X+1

 a+b=X로 치환   

=(X+1)€



=(a+b+1)€

 X=a+b 대입 

018  정답과 해설 

 =x€+(2y)€+(3z)€+2_x_2y+2_2y_3z+2_3z_x

STEP 



필수 유형

| 56쪽~61쪽 |

 =a€+b€+1€+2_a_b+2_b_1+2_1_a

01-1            ⑴ (a+b-c)(a€+b€+c€-ab-2bc+ca) 

 

⑵ (x-3y)(x€+9y€+3xy-x+3y)  

⑶ (2a-b+2c)€ 

 

⑷ (x+2y+4)(x€+4y€-2xy-4x-8y+16)

|해결 전략 | 공통인수로 묶고 인수분해 공식을 이용한다.

⑴ a‹+(b-c)‹ =(a+b-c){a€-a_(b-c)+(b-c)€}  

=(a+b-c)(a€+b€+c€-ab-2bc+ca)







 

 

 

 

 

⑵ x‹-x€+6xy-27y‹-9y€

 =x‹-(3y)‹-(x€-6xy+9y€)

 =(x-3y){x€+x_3y+(3y)€}-(x-3y)€

 =(x-3y){(x€+3xy+9y€)-(x-3y)}

 =(x-3y)(x€+9y€+3xy-x+3y)

⑶ 4a€+b€+4c€-4ab-4bc+8ca

03-1            ⑴ (x€+2)(x+2)(x-2) 

⑵ (x€+3x-6)(x€-3x-6) 

⑶ (x€+3x+5)(x€-3x+5) 

⑷ (x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€)

|해결 전략 | x€=X로 치환하여 인수분해되지 않으면 A€-B€ 꼴로 변형하여 

인수분해한다.

 = (2a)€+(-b)€+(2c)€+2_2a_(-b)+2_(-b)_2c

⑴ x›-2x€-8 =X€-2X-8

 x€=X로 치환 



+2_2c_2a

=(X+2)(X-4)



 =(2a-b+2c)€

⑷ x‹+8y‹-24xy+64

=(x€+2)(x€-4)

 X=x€ 대입   

=(x€+2)(x+2)(x-2)

 =x‹+(2y)‹+4‹-3_x_2y_4

⑵ x›-21x€+36 =(x›-12x€+36)-9x€

 =(x+2y+4)(x€+4y€-2xy-4x-8y+16)

 =(x€+2x-4)(x€+2x-7)

 X=x€+2x 대입

하고, 차수가 같으면 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.

|해결 전략 | 문자의 차수가 다르면 낮은 차수의 문자에 대하여 내림차순으로 정리

02-1            ⑴ (x€+5x+8)(x€+5x-2) 
⑵ (x€+2x-4)(x€+2x-7)

 

|해결 전략 | ⑴ 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다. 

 

⑵ 공통부분이 생기도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 X로 치환한다.

⑴ (x€+5x+4)(x€+5x+2)-24

 =(X+4)(X+2)-24

 x€+5x=X로 치환



=X€+6X-16



=(X+8)(X-2)

 =(x€+5x+8)(x€+5x-2)

 X=x€+5x 대입 

⑵ (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4

 ={(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+4)}+4

 =(x€+2x-3)(x€+2x-8)+4

 =(X-3)(X-8)+4

 x€+2x=X로 치환

 =X€-11X+28

 =(X-4)(X-7)

02-2          9
|해결 전략 | 이차식 x€+bx+c가 완전제곱 꼴이 되려면 c={;2B;}


이어야 한다.

(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)+k

={(x+1)(x-4)}{(x+2)(x-5)}+k

=(x€-3x-4)(x€-3x-10)+k

=(X-4)(X-10)+k

 x€-3x=X로 치환

=X€-14X+40+k

…… ㉠

주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면

㉠이 X에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로

40+k=7€

 4 k=9

참고

k=9일 때

(주어진 식)  =X€-14X+49 

 

=(X-7)€ 

 

=(x€-3x-7)€

 X=x€-3x 대입

이므로 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되는 것을 확인할 수 있다. 

=(x€-6)€-(3x)€

 A€-B€ 꼴로 변형



=(x€+3x-6)(x€-3x-6)

⑶ x›+x€+25 =(x›+10x€+25)-9x€

=(x€+5)€-(3x)€

 A€-B€ 꼴로 변형

=(x€+3x+5)(x€-3x+5)

⑷ x›+4y› =(x›+4x€y€+4y›)-4x€y€

=(x€+2y€)€-(2xy)€

 A€-B€ 꼴로 변형

=(x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€)





04-1            ⑴ (a€+b)(c-ab)   

⑵ (x+3y-2)(x+y+1) 

⑶ (x-y)(x-y+2z) 

⑷ (a+b)(b+c)(a-c)

⑴ a€c-ab€-a‹b+bc =(a€+b)c-ab€-a‹b



=(a€+b)c-ab(a€+b)  

=(a€+b)(c-ab)

⑵ x€+4xy+3y€-x+y-2

 =x€+(4y-1)x+3y€+y-2

 =x€+(4y-1)x+(3y-2)(y+1)

 =(x+3y-2)(x+y+1)

⑶ x€+y€-2yz+2zx-2xy

 =2(x-y)z+x€-2xy+y€

 =2(x-y)z+(x-y)€

 =(x-y)(x-y+2z)

⑷ ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a)

 =a€b+ab€-b€c-bc€-c€a+ca€

 =(b+c)a€+(b€-c€)a-bc(b+c)

 =(b+c)a€+(b-c)(b+c)a-bc(b+c)

 =(b+c){a€+(b-c)a-bc}

 =(b+c)(a+b)(a-c)

 =(a+b)(b+c)(a-c)

  3 인수분해   019 

|해결 전략 | f(a)=0을 만족시키는 a의 값을 찾은 후 인수정리와 조립제법을 이

05-1            ⑴ (x-2)(x+2)(x-3) 
⑵ (x-1)(x+3)(2x+1) 

⑶ (x-1)(x+1)(x+2)(x+3)

용하여 인수분해한다.

⑴ f(x)=x‹-3x€-4x+12로 놓으면

 f(2)=8-12-8+12=0

 이므로 f(x)는 x-2를 인수로 갖는다.



따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이 2 1 -3 -4
용하여 f(x)를 인수분해하면

12
2 -2 -12
0

1 -1 -6

 x‹-3x€-4x+12

STEP 



유형 드릴

| 62쪽~63쪽 |

1-1        ③
|해결 전략 | 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 인수분해한다.

③ 27x‹+8y‹ =(3x)‹+(2y)‹

=(3x+2y)(A9x€-6xy+A4y€)

 =(x-2)(x€-x-6)

 =(x-2)(x+2)(x-3)

⑵ f(x)=2x‹+5x€-4x-3으로 놓으면

 f(1)=2+5-4-3=0

 이므로 f(x)는 x-1을 인수로 갖는다.



따라서 오른쪽과 같이 조립제법을 이용

1 2

하여 f(x)를 인수분해하면

 2x‹+5x€-4x-3

 =(x-1)(2x€+7x+3)

 =(x-1)(x+3)(2x+1)

1-2        ⑤
|해결 전략 | 인수분해 공식을 이용하여 좌변을 인수분해한다.

① ax-ay+3by-3bx =a(x-y)-3b(x-y)

=(x-y)(a-3b)

-

② (2a-3)‹=(2a)‹-3_(2a)€_3+3_2a_3€-3‹

5 -4 -3
3
7
2
0
3
7

2

=8a‹-36a€+54a-27

 이므로

 8a‹-12a€+27a-27+(2a-3)‹

③ 8x‹+1=(2x+1)(4x€-2x+1)
+

-

④ a€+b€+c€-2ab-2bc+2ca=(a-b+c)€

- +

⑶ f(x)=x›+5x‹+5x€-5x-6으로 놓으면

 f(1)=1+5+5-5-6=0,

 f(-1)=1-5+5+5-6=0

이므로 f(x)는 x-1, x+1을 인수로 갖는다.

따라서 오른쪽과 같이 조립제법

을 이용하여 f(x)를 인수분해





하면

 x›+5x‹+5x€-5x-6

 =(x-1)(x+1)(x€+5x+6)

 =(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)

1 1

-1 1

1

5
1
6  11

5 -5 -6
6  11
6
0
6
-1 -5 -6
0

5

6

2-1        ⑤
|해결 전략 | 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다.

(x€+x-5)(x€+x-3)-3

=(X-5)(X-3)-3

 x€+x=X로 치환

=X€-8X+12

=(X-2)(X-6)

=(x€+x-2)(x€+x-6)

 X=x€+x 대입

=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)

06-1          ⑴ 100  ⑵ -27
|해결 전략 | ⑴ 103=x로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다.

⑵ a€-b€=(a-b)(a+b)임을 이용한다.

x€-x+1
_ (x+1)(x€-x+1)
x€-x+1

⑴ 103=x로 놓으면



101€-1
103€-1

_ 103‹+1

103€-103+1
_ x‹+1

 =

(x-2)€-1
x€-1

 =

(x-1)(x-3)
(x-1)(x+1)

 =x-3

 =103-3=100

⑵ 2€-3€+4€-5€+6€-7€

 =-1_(5+9+13)

 =-27

020  정답과 해설 

따라서 주어진 보기 중 (x€+x-5)(x€+x-3)-3의 인수가 아닌

것은 ⑤ (x-1)(x€+x-2)이다.

참고

(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)에서

③ x€-4=(x+2)(x-2)이므로 인수이다.

④ (x+2)(x€+x-6)=(x+2)(x-2)(x+3)이므로 인수이다.

2-2        -6
|해결 전략 | 공통부분을 X로 치환한 후 인수분해한다.

(x€-x+1)€-16(x€-x)+23

=(X+1)€-16X+23

 x€-x=X로 치환

=X€-14X+24

=(X-2)(X-12)

=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)

4 a+b=-2+(-4)=-6

 =(2-3)(2+3)+(4-5)(4+5)+(6-7)(6+7)

=(x€-x-2)(x€-x-12)

 X=x€-x 대입

3-1        41
|해결 전략 | 공통부분이 나타나도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 X로 치환

5-1        2a+b+3
|해결 전략 | 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.

=(X+4)(X+6)-8

 x€-5x=X로 치환



따라서 두 일차식의 합은

3-2        16
|해결 전략 | 이차식 x€+bx+c가 완전제곱 꼴이 되려면 c={;2B;}


이어야 한다.

=(x+3y+1)€

주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면

f(x)=x‹+ax€-7x+12로 놓으면 f(x)가 x-3을 인수로 가지므

6-1        3
|해결 전략 | f(x)=x‹+ax€-7x+12로 놓으면 f(x)는 x-3을 인수로 갖는

åå ㉠

다.

(주어진 식) =X€+22X+121 

 

=(X+11)€ 

 

=(x€-8x+11)€

 X=x€-8x 대입

이므로 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되는 것을 확인할 수 있다.

f(x)를 인수분해하면

f(x)=(x-3)(x€+x-4)

따라서 b=1이므로 b-a=3

다른 풀이

한다.

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-8

={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}-8

=(x€-5x+4)(x€-5x+6)-8

=X€+10X+16

=(X+2)(X+8)

=(x€-5x+2)(x€-5x+8)

 X=x€-5x 대입

4 ac+bd=(-5)_(-5)+2_8=41

(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k

={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k

=(x€-8x+7)(x€-8x+15)+k

=(X+7)(X+15)+k

 x€-8x=X로 치환

=X€+22X+105+k

㉠이 X에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로

105+k=11€

 4 k=16

참고

k=16일 때

4-1        9
|해결 전략 | x€항을 쪼개서 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다.

x›-7x€+9 =(x›-6x€+9)-x€



=(x€-3)€-x€

 A€-B€ 꼴로 변형   

=(x€+x-3)(x€-x-3)

따라서 a=1, b=-3, c=-3이므로

abc=9

4-2        -1
|해결 전략 | x€항을 더하고 빼서 A€-B€ 꼴로 변형하여 인수분해한다.

x›+9x€+25 =(x›+10x€+25)-x€  

=(x€+5)€-x€

 A€-B€ 꼴로 변형 

=(x€+x+5)(x€-x+5)

따라서 a=5, b=-1, c=5이므로

a+b-c=-1

a€+ab-2b€+3a+3b+2 =a€+(b+3)a-(2b€-3b-2)

=a€+(b+3)a-(b-2)(2b+1)

={a-(b-2)}{a+(2b+1)}

=(a-b+2)(a+2b+1)

(a-b+2)+(a+2b+1)=2a+b+3

5-2        4
|해결 전략 | 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.

x€+9y€+1+6xy+2x+6y

=x€+2(3y+1)x+(9y€+6y+1)

=x€+2(3y+1)x+(3y+1)€

 x€+2Ax+A€ 꼴

따라서 a=3, b=1이므로 a+b=4

로 f(3)=0에서

27+9a-21+12=0

 4 a=-2

4 f(x)=x‹-2x€-7x+12

오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여

3 1 -2 -7



12
3 -12
0

3
1 -4

1

x‹+ax€-7x+12=(x-3)(x€+bx-4)이므로 우변을 전개하면

x‹+ax€-7x+12=x‹+(b-3)x€-(3b+4)x+12

이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면

a=b-3, 7=3b+4

두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=1이므로 b-a=3

6-2        -6
|해결 전략 | g(x)=2x›-5x‹-5x€+ax+3으로 놓으면 g(x)는 x-1, x+1

g(x)=2x›-5x‹-5x€+ax+3으로 놓으면 g(x)가 x-1, x+1을

을 인수로 갖는다.

인수로 가지므로

g(1)=0, g(-1)=0

g(1)=0에서 2-5-5+a+3=0

 4 a=5

4 g(x)=2x›-5x‹-5x€+5x+3

오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여

g(x)를 인수분해하면

g(x)=(x-1)(x+1)(2x€-5x-3)

따라서 f(x)=2x€-5x-3이므로

f(1)=2-5-3=-6

1 2 -5 -5

5

3
2 -3 -8 -3
0

-1 2 -3 -8 -3
3
-2
0

5
2 -5 -3

  3 인수분해   021 

주의

이다.

2x›-5x‹-5x€+5x+3=(x-1)(x+1)f(x) 

…… ㉠

f(1)의 값을 구하기 위해 ㉠의 양변에 x=1을 대입하지 않도록 주의한다. 

왜냐하면 x=1을 대입하면 0=0_f(1)이 되어 f(1)의 값을 구할 수 없기 때문

| 복소수4

7-1        111
|해결 전략 | 11=x로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다.

11=x로 놓으면

11›+11€+1
11_12+1

x›+x€+1
x(x+1)+1

=

=

(x€+x+1)(x€-x+1)
x€+x+1

=x€-x+1

=11€-11+1=111

참고

x›+x€+1=(x›+2x€+1)-x€

=(x€+1)€-x€

=(x€+x+1)(x€-x+1)

7-2        -180
|해결 전략 | a€-b€=(a-b)(a+b)임을 이용한다.

10€-12€+14€-16€+18€-20€

=(10€-12€)+(14€-16€)+(18€-20€)

= (10-12)(10+12)+(14-16)(14+16)+(18-20)(18+20)

=-2(22+30+38)=-180

8-1        a=c인 이등변삼각형
|해결 전략 | 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 찾는다.

a‹+a€b-c€a-bc€ =b(a€-c€)+a(a€-c€)



=(a€-c€)(a+b)  

=(a-c)(a+c)(a+b)

즉, (a-c)(a+c)(a+b)=0

이때, a>0, b>0, c>0에서 a+b+0, a+c+0이므로

a-c=0

 4 a=c

따라서 1ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.

8-2        ;2!;ac
|해결 전략 | 좌변을 인수분해하여 a, b, c 사이의 관계식을 찾는다.

a‹-b‹+a€b-ab€+ac€+bc€ =c€(a+b)+a‹+a€b-ab€-b‹

=c€(a+b)+a€(a+b)-b€(a+b)

=(a+b)(a€-b€+c€)

즉, (a+b)(a€-b€+c€)=0

이때, a>0, b>0에서 a+b+0이므로

a€-b€+c€=0

 4 b€=a€+c€

따라서 1ABC는 b를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형이므로 넓이는

;2!;ac이다.

022  정답과 해설 

66쪽~70쪽





복소수의 뜻과 그 연산

개념 확인  
1    ⑴ 실수부분: '5, 허수부분: 0 



⑵ 실수부분: -1, 허수부분: -1 
⑶ 실수부분: '2, 허수부분: 2 
⑷ 실수부분: 0, 허수부분: -4   



실수: ⑴, 허수: ⑵, ⑶, ⑷ 

2  x=0, y=-1
3  ⑴ 3+2i  ⑵ -i-'2  ⑶ -2  ⑷ -5i
4  ⑴ 3+6i  ⑵ 2-2i  ⑶ -2+7i  ⑷ -4

5  ⑴ -3+2i  ⑵ 8+2i  ⑶ 1+i  ⑷ ;5!;-;5*;i
6  ⑴ 2  ⑵ 5

7  ⑴ 5-3i  ⑵ 10-10i

1  ⑴ '5='5+0_i이므로 '5의 실수부분은 '5, 허수부분은 0이고,

 ⑵ -1-i의 실수부분은 -1, 허수부분은 -1이고, -1-i는 허

'5는 실수이다.

수이다.

 ⑶ '2+2i의 실수부분은 '2, 허수부분은 2이고, '2+2i는 허수이다.
 ⑷ -4i=0-4i이므로 -4i의 실수부분은 0, 허수부분은 -4이

고, -4i는 허수이다.

 따라서 ⑴~⑷의 복소수 중 실수는 ⑴, 허수는 ⑵, ⑶, ⑷이다.

2  2x=0, y+1=0이므로 x=0, y=-1

3  ⑴ 3-2i’=3+2i
 ⑵ i-'2 ’=-i-'2
 ⑶ -2=-2+0_i이므로 -2’=-2

 ⑷ 5i=0+5i이므로 5i’=-5i

4  ⑴ (1+i)+(2+5i)=(1+2)+(1+5)i=3+6i
 ⑵ (3+i)+(-1-3i)=(3-1)+(1-3)i=2-2i

 ⑶ 2i-(2-5i)=(0-2)+(2+5)i=-2+7i

 ⑷ i-(4+i)=(0-4)+(1-1)i=-4

5  ⑴ i(2+3i)=2i+3i€=-3+2i
 ⑵ (1-i)(3+5i) =3+5i-3i-5i€

=3+5i-3i+5=8+2i

 ⑶

2
1-i

=

2(1+i)
(1-i)(1+i)

=

2(1+i)
1€-i€





=

2(1+i)
2

=1+i

 ⑷

2-3i
2+i

=

(2-3i)(2-i)
(2+i)(2-i)

=

4-2i-6i+3i€
2€-i€





=

1-8i
5

=;5!;-;5*;i

6  z=1+2i이므로 z“=1-2i
 ⑴ z+z“=(1+2i)+(1-2i)=2
 ⑵ zz“=(1+2i)(1-2i)=1-4i€=5

7  ⑴ z¡+z™’ =z¡’+z™’=(3+i)+(2-4i)
=(3+2)+(1-4)i=5-3i



 ⑵ z¡z™’  =z¡’_z™’=(3+i)(2-4i)



=6-12i+2i-4i€=10-10i

STEP 



개념 드릴

| 71쪽~72쪽 |

1  ⑴ 실수부분: 3, 허수부분: 6

⑵ 실수부분: -'5, 허수부분: 2
⑶ 실수부분: -8, 허수부분: 0

⑷ 실수부분: 0, 허수부분: 4

⑸ 실수부분: 5, 허수부분: -2

⑹ 실수부분: 0, 허수부분: -3

2  ⑴ 5+'3,  '2

3

  ⑵ 9i, -'5 i  ⑶ '2+4i, i€-i

3  ⑴ x=-3, y=-4  ⑵ x=1, y=-;3!;
⑶ x=1, y=8  ⑷ x=-1, y=-4

4  ⑴ -3-11i  ⑵ -9i+1  ⑶ 4

⑷ '2i  ⑸ ;2!;-;3%;i  ⑹ -3i-'2

5  ⑴ 5+2i  ⑵ -4  ⑶ 7+4i

6  ⑴ 1+5i  ⑵ -7-7i  ⑶ 1-i

7  ⑴ -5+5i  ⑵ 4+3i  ⑶ 6

8  ⑴ -;1£3;+;1™3;i  ⑵ '2-i  ⑶ -;2!;+ '3

2

i  ⑷ ;5!;-

2'6
5

i

1  ⑴ 3+6i의 실수부분은 3, 허수부분은 6이다.
 ⑵ -'5+2i의 실수부분은 -'5, 허수부분은 2이다.
 ⑶ -8=-8+0_i이므로 -8의 실수부분은 -8, 허수부분은 0

이다.

 ⑷ 'ß16i=0+4i이므로 'ß16i의 실수부분은 0, 허수부분은 4이다.
 ⑸ 5-2i의 실수부분은 5, 허수부분은 -2이다.

 ⑹ -3i=0-3i이므로 -3i의 실수부분은 0, 허수부분은 -3이다.

2  ⑶ i €-i=-1-i이므로 i €-i는 순허수가 아닌 허수이다.

3  ⑴ -x=3, y=-4이므로 x=-3, y=-4

 ⑵ x-1=0, 3y+1=0이므로 x=1, y=-;3!;
 ⑶ 2x+1=3, y-3=5이므로 x=1, y=8

 ⑷ x+y=-5, x-y=3이므로 x=-1, y=-4

4  ⑴ -3+11i’=-3-11i
 ⑵ 9i+1’=-9i+1

 ⑶ 4=4+0_i이므로 4“=4
 ⑷ -'2i=0-'2i이므로 -'2i’='2i
 ⑸ ;2!;+;3%;i
=;2!;-;3%;i
 ⑹ 3i-'2 ’=-3i-'2





5  ⑴ (3-i)+(2+3i)=(3+2)+(-1+3)i=5+2i
 ⑵ (4i-2)+(-2-4i) =(-2-2)+(4-4)i

=-4

 ⑶ 4-6i’+(3-2i) =(4+6i)+(3-2i)



=(4+3)+(6-2)i=7+4i

6  ⑴ (2+i)-(1-4i)=(2-1)+(1+4)i=1+5i
 ⑵ (-3-2i)-(4+5i) =(-3-4)+(-2-5)i

 ⑶ (5-4i)-4+3i’ =(5-4i)-(4-3i)

=-7-7i

=(5-4)+(-4+3)i=1-i

7  ⑴ (-1+3i)(2+i) =-2-i+6i+3i€

=-2-i+6i-3=-5+5i

 ⑵ (2-i)(1+2i) =2+4i-i-2i€  

=2+4i-i+2=4+3i

 ⑶ (1+'5 i)(1-'5 i) =1€-('5 i)€=1-5i €  

=1+5=6





8  ⑴

i
2-3i

=

i(2+3i)
(2-3i)(2+3i)

=

2i+3i€
2€-(3i)€

=

-3+2i
13

=-;1£3;+;1™3;i

















 ⑵

3
'2+i

=

=

=

3('2-i)
('2+i)('2-i)
3('2-i)
3

='2-i

3('2-i)
('2 )€-i€

 ⑶

1+'3 i
1-'3 i

 ⑷  '3-'2 i
'3+'2 i

=

=

=

=-;2!;+ '3

(1+'3 i)€
(1-'3 i)(1+'3 i)
-2+2'3 i
4
('3-'2 i)€
('3+'2 i)('3-'2 i)
1-2'6 i
2'6
5
5

=;5!;-

2

i

=

=

i

1+2'3 i+3i €
1€-('3 i) €

=

3-2'6 i+2i €
('3 )€-('2 i) €

  4 복소수   023 


STEP 



필수 유형

| 73쪽~78쪽 |

01-1          ⑴ 1+10i  ⑵ 10  ⑶ 7+i
|해결 전략 | i를 문자처럼 생각하고 계산한 후 i€=-1임을 이용한다.

⑴ i-7+(2-5i)(-1+2i) =-7+i+(-2+4i+5i-10i €)

⑵ (3+2i)€-(2+3i)€ =(9+12i+4i€)-(4+12i+9i €)  

=-7+i+(-2+4i+5i+10)

=-7+i+(8+9i)

=1+10i

=(9+12i-4)-(4+12i-9)

=(5+12i)-(-5+12i)





=10



3+i
1-i

=

(3+i)(1+i)
(1-i)(1+i)

=

3+3i+i+i€
1€-i€







=

2+4i
2

=1+2i

1+6i
i

=

(1+6i)i
i_i

=

i+6i€
i€



=

-6+i
-1

=6-i

⑵ z =(1-xi)(-4+i)

=-4+i+4xi-xi €

=(x-4)+(4x+1)i





 z가 실수가 되려면 4x+1=0이어야 하므로

 x=-;4!;
 z가 순허수가 되려면 x-4=0, 4x+1+0이어야 하므로

 ∴ a=-;4!;

 x=4

 ∴ b=4

02-2          1
|해결 전략 | a+bi (a, b는 실수)가 순허수일 때 a=0, b+0임을 이용한다.

z=(a€-1)+(a€+a)i가 순허수이려면

a€-1=0, a€+a+0이어야 하므로

a€-1=0에서 (a+1)(a-1)=0

∴ a=-1 또는 a=1

a€+a+0에서 a(a+1)+0

∴ a+-1이고 a+0

따라서 구하는 실수 a의 값은 1이다.

 ∴

3+i
1-i

+

1+6i
i

=1+2i+6-i=7+i

02-3          ;2#;

참고

|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.

분모가 허수일 때, 분모와 분자에 각각 분모의 켤레복소수를 곱하여 분모를 

z=-2x€+(1+i)x+3+i=(-2x€+x+3)+(x+1)i

제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로

실수화한다.

즉, a, b가 실수일 때, 

1
a+bi

=

a-bi
(a+bi)(a-bi)

=

a-bi
a€+b€

로 계산한다.

01-2          -1-5i
|해결 전략 | i를 문자처럼 생각하고 계산한 후 i €=-1임을 이용한다.

(1-i)(3+2i’)+i(1+i)€ =(1-i)(3-2i)+i(1+i)€



-2x€+x+3=0, x+1+0

2x€-x-3=0, x+-1

(x+1)(2x-3)=0, x+-1

∴ x=;2#;

참고

복소수 z에 대하여

❶ z€이 음의 실수이면 ➡ z는 순허수

=(3-2i-3i+2i€)+i(1+2i+i€)

❷ z€이 양의 실수이면 ➡ z는 0이 아닌 실수

=(3-2i-3i-2)+i(1+2i-1)



 

=1-5i+i_2i

=1-5i+2i€ 

=1-5i-2  

=-1-5i

03-1          ⑴ x=3, y=1  ⑵ x=3, y=-1
|해결 전략 | 좌변을 정리한 후 실수부분과 허수부분이 각각 같음을 이용한다.

|해결 전략 | 주어진 복소수를 (실수부분)+(허수부분)i 꼴로 정리한 후, 조건을 

 x+y=4, x-y=2

⑴ (1+i)x+(1-i)y=4+2i에서

 x+xi+y-yi=4+2i

 (x+y)+(x-y)i=4+2i

 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1

⑵ (x+2i)(1-i)=5+yi에서

 x-xi+2i-2i€=5+yi

 (x+2)+(-x+2)i=5+yi

 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

  두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=-1

02-1          ⑴ a=4, b=6  ⑵ a=-;4!;, b=4

만족시키는 x의 값을 구한다.

⑴ z =x(1+i)-2(3+2i)



=(x-6)+(x-4)i

 z가 실수가 되려면 x-4=0이어야 하므로

 x=4

 ∴ a=4

 x=6

 ∴ b=6

024  정답과 해설 

 z가 순허수가 되려면 x-6=0, x-4+0이어야 하므로

 x+2=5, -x+2=y

03-2          80
|해결 전략 | 좌변을 정리한 후 실수부분과 허수부분이 각각 같음을 이용한다.

a=-1+2i, b=2-i이므로

a+a”=(-1+2i)+(-1-2i)=-2

b+b”=(2-i)+(2+i)=4

∴ ab”+a”b+ab+a” b” =(a+a”)(b+b”)

=-2_4=-8

x
1-i

+

y
1+i

=

x(1+i)+y(1-i)
(1-i)(1+i)









=

=

x+y+(x-y)i
2

x+y
2

+

x-y
2

i

즉,

x+y
2

+

x-y
2

하여

x+y
2

=4,

=5



x-y
2

∴ x+y=8, x-y=10

두 식을 연립하여 풀면 x=9, y=-1이므로

x€-y€=81-1=80

i=4+5i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의

04-1          ⑴ ;7@;  ⑵ 20

|해결 전략 | x+y, xy의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.
x+y=(-2+'3 i)+(-2-'3 i)=-4
xy=(-2+'3 i)(-2-'3 i)=4-3i€=4+3=7


x€+y€

(x+y)€-2xy
xy

x
y +

y
x =

xy =
(-4)€-2_7
7

=;7@;





=

⑵ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y)



=(-4)‹-3_7_(-4)=20

참고

곱셈 공식의 변형

❶ a€+b€=(a+b)€-2ab=(a-b)€+2ab

❷ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b), a‹-b‹=(a-b)‹+3ab(a-b)

식을 만들어 해결한다.

x=-1+i에서 x+1=i

양변을 제곱하면

(x+1)€=i€, x€+2x+1=-1

∴ x€+2x+2=0

따라서 주어진 식의 값은

x‹+2x€+3x+2 =x(x€+2x+2)+x+2



=x_0+x+2

=x+2







=(-1+i)+2=1+i

05-2          5
|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a-b, a-b’의 값을 

대입한다.













aa”-a”b-ab”+bb”=a”(a-b)-b”(a-b)

=(a-b)(a”-b”)

=(a-b)(a-b’)

=(2+i)(2-i)=4+1=5

06-1          ⑴ 1-2i  ⑵ 2-i
|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 z, z”를 등식에 대입한다.

⑴ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

  5z+2z” =5(a+bi)+2(a-bi)

=5a+5bi+2a-2bi

=7a+3bi







즉, 7a+3bi=7-6i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

 7a=7, 3b=-6

 ∴ a=1, b=-2

  ∴ z=1-2i

⑵ z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

 (1-i)z”+2iz =(1-i)(a-bi)+2i(a+bi)  

=a-bi-ai-b+2ai-2b

=(a-3b)+(a-b)i

에 의하여

 a-3b=5, a-b=3

 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

  ∴ z=2-i

06-2          3+4i, 3-4i
|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고 z, z”를 각 등식에 대입한다.

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

04-2          1+i
|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정



즉, (a-3b)+(a-b)i=5+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건

05-1          -8
|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을 

대입한다.

ab”+a”b+ab+a” b”  =a(b+b”)+a”(b+b”)



=(a+a”)(b+b”)

z+z”=(a+bi)+(a-bi)=2a

즉, 2a=6이므로 a=3

zz”=(a+bi)(a-bi)=a€+b€

즉, a€+b€=25이고 a=3이므로

b€=16

 ∴ b=\4

따라서 구하는 복소수 z는

z=3+4i 또는 z=3-4i

  4 복소수   025 

2

i의 거듭제곱 및 음수의 제곱근

개념 확인  

79쪽~81쪽

1  ⑴ -1  ⑵ -1  ⑶ -i
2  ⑴ '5i  ⑵ 2'2 i  ⑶ -4i  ⑷ -5i
3  ⑴ \2i  ⑵ \'6 i  ⑶ \3'3 i  ⑷ \6i
4  ⑴ -2'3  ⑵ -'7     i

1  ⑴ i⁄›=(i›)‹_i€=-1
 ⑵ (-i)⁄°=i ⁄°=(i ›)›_i €=i €=-1

 ⑶ i €‹=(i ›)fi_i ‹=i ‹=-i

2  ⑴ 'ß-5='5 i
 ⑵ 'ß-8='8i=2'2 i
 ⑶ -'ß-16=-'ß16 i=-4i
 ⑷ -'ß-25=-'ß25 i=-5i

3  ⑴ \'ß-4=\'4 i=\2i
 ⑵ \'ß-6=\'6 i
 ⑶ \'ß-27=\'ß27 i=\3'3 i
 ⑷ \'ß-36=\'ß36 i=\6i

4  ⑴ 'ß-4_'ß-3=-'ß4_3=-'ß12=-2'3
 ⑵  'ß14
14
-2
'ß-2

=-'ß-7=-'7 i

=-æç

STEP 



개념 드릴

| 82쪽 |

1  ⑴ i  ⑵ 4'2 i  ⑶ -i  ⑷ 1  ⑸ 2  ⑹ -2i  ⑺ 0
2  ⑴ 6i  ⑵ -'ß10  ⑶ 6i  ⑷ 3i  ⑸ -'2i  ⑹ 3

1  ⑴ i €fi=(i ›)fl_i=i
 ⑵ ('2 i)fi=('2 )fi_i fi=4'2_i ›_i=4'2 i
 ⑶ (-i)⁄‡=-i ⁄‡=-(i ›)›_i=-i

 ⑷ {

100

=

1
i }

1
i ⁄‚‚

=

1
(i ›)€fi

=1

 ⑸ i€‚+i›‚=(i›)fi+(i›)⁄‚=1+1=2

 ⑹ i ‡+(-i)· =i ‡-i ·=i›_i‹-(i›)€_i



=i‹-i=-i-i=-2i

 ⑺

+

+

+

=

-1-

+1=0

1
i

1
i €

1
i ‹

1
i ›

1
i

1
i

026  정답과 해설 

2  ⑴ 'ß-4'9='ß(-4)_9='ß-36='ß36i=6i
 ⑵ 'ß-2'ß-5=-'ß2_5=-'ß10
 ⑶ '3'ß-12='ß3_(-12)='ß-36='ß36 i =6i
 ⑷  'ß-27
'3
 ⑸  'ß10
'ß-5
 ⑹  'ß-18
'ß-2

=-'ß-2=-'2 i

='ß-9='9 i=3i

='9=3

-27
3

-18
-2

=-æ√

10
-5

=æ√

=æ√

STEP 



필수 유형

| 83쪽~85쪽 |

01-1          ⑴ 10-10i  ⑵ -2i
|해결 전략 | ⑴ 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.

⑵ 괄호 안의 식을 간단히 한 후 i의 거듭제곱을 계산한다.
⑴ i+2i€+3i‹+4i›+5ifi+ ! +20i 20

= (i+2i€+3i‹+4i›)+(5ifi+6ifl+7i‡+8i°)



 

 = (i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)

 

+ ! +(17i 17+18i 18+19i 19+20i 20)

+ ! +(17i-18-19i+20)



 

 =(2-2i)+(2-2i)+ ! +(2-2i)

=-i›_i+(i›)‹_i‹=-i+i‹

=-i-i=-2i

 =5(2-2i)

 =10-10i

⑵  1-i
1+i

=

(1-i)€
(1+i)(1-i)

=

-2i
2

=-i

1+i
1-i

=

(1+i)€
(1-i)(1+i)

=

=i

2i
2

  ∴ {

5

1-i
1+i }

+{

1+i
1-i }

15

=(-i)fi+i 15











02-1          ⑴ -2'2+2i  ⑵ -3+2i
|해결 전략 | a>0일 때, 'ß-a='a      i임을 이용한다.
⑴ 'ß-2'ß-4+'2'ß-8+ '8
'å-2
8
-2

 =-'8 +'ß-16-æ√

 =-2'2+'ß16i-'4i
 =-2'2+4i-2i
 =-2'2+2i
⑵ 'ß-3'ß-12+'ß-5'5+ 'ß-27
'å-3

 =-'ß36+'ß-25+æ√

-27
-3

-æ√

+ 'ß27
'å-3
27
-3

 =-6+5i+'9-'9i
 =-6+5i+3-3i

 =-3+2i

02-2          10
|해결 전략 | a>0일 때, 'ß-a='a     i임을 이용하여 좌변을 계산한다.
'ß-3'ß-27+(1+'ß-3)(1-'ß-3)+ 'ß32
'å-8

=-'ß81+(1+'3 i)(1-'3 i)-æ√

32
-8

=-9+1-3i€-'4 i
=-9+1+3-2i

=-5-2i

따라서 a=-5, b=-2이므로 ab=10

03-1         -a
|해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 'a'b=-'ßab일 때, a<0, b<0임
을 이용한다.
'a'b=-'ßab, a+0, b+0에서 a<0, b<0이므로
a+b<0
따라서 "ƒ(a+b)€=|a+b|=-(a+b), |b|=-b이므로
"ƒ(a+b)€-|b| =-(a+b)-(-b)



=-a-b+b

=-a

03-2         0
|해결 전략 | 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여  'a
'b
을 이용한다.

=-æ;bA;일 때, a>0, b<0임

=-æ;bA;, a+0, b+0에서 a>0, b<0이므로

'a
'b
a-b>0
따라서 |-a|=|a|=a, |b|=-b, "ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b이
므로
|-a|+|b|-"ƒ(a-b)€ =a+(-b)-(a-b)  

=a-b-a+b=0

1-2        8
|해결 전략 | z€이 음의 실수이면 z는 순허수임을 이용한다.

z=x€-(10+i)x+2(8+i)=(x€-10x+16)+(2-x)i

제곱하여 음의 실수가 되는 복소수는 순허수이므로

x€-10x+16=0, 2-x+0

(x-2)(x-8)=0, x+2

∴ x=8

2-1        1
|해결 전략 | a+bi=c+di (a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d임을 이용한다.

(2+3i)x+(i-1)y=5(1+i)에서

(2x-y)+(3x+y)i=5+5i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

2x-y=5, 3x+y=5

두 식을 연립하여 풀면 x=2, y=-1

∴ x+y=1

2-2        12
|해결 전략 | a+bi=0 (a, b는 실수)이면 a=0, b=0임을 이용한다.

(x-i)(2+6i)-(2-yi)=0에서

(2x+4)+(6x+y-2)i=0

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

2x+4=0, 6x+y-2=0

두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=14

∴ x+y=12

3-1        20 
|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 인수분해를 이용하여 계산한다.

a=1+3i, b=1-3i에서

a+b=(1+3i)+(1-3i)=2

ab=(1+3i)(1-3i)=1+9=10

∴ a€b+ab€=ab(a+b)=10_2=20

STEP 



유형 드릴

| 86쪽~87쪽 |

1-1        6
|해결 전략 | 주어진 복소수를 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 정리한 후, a+bi가 실

수이면 b=0임을 이용한다.

(3+2ai)(1-4i)=(3+8a)+(2a-12)i

이 복소수가 실수가 되려면 (허수부분)=0이어야 하므로

2a-12=0

∴  a=6

3-2        -1 
|해결 전략 | a+b, ab의 값을 구한 후 곱셈 공식의 변형을 이용하여 계산한다.
a=-1+'3 i, b=-1-'3 i에서
a+b=(-1+'3 i)+(-1-'3 i)=-2
ab=(-1+'3 i)(-1-'3 i)=1+3=4
(a+b)€-2ab
ab

a€+b€
ab

b
a



a
b

=

+

=

=

(-2)€-2_4
4

=

4-8
4

=-1

  4 복소수   027 

4-1        -2i 
|해결 전략 | 우변에 순허수만 남도록 식을 변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정

6-1        1-2i
|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 각 등식에 대입한다.

식을 만들어 해결한다.

x=1-2i에서 x-1=-2i

양변을 제곱하면 (x-1)€=(-2i)€

x€-2x+1=-4

∴  x€-2x+5=0

∴ x‹-2x€+6x-1 =x(x€-2x+5)+x-1

=x_0+x-1=x-1

=-2i

4-2        9
|해결 전략 | 복소수 x의 분모를 실수화한 등식의 우변에 순허수만 남도록 식을 

변형한 후 양변을 제곱하여 이차방정식을 만들어 해결한다.

x=

5
2-i

=

5(2+i)
(2-i)(2+i)

=

5(2+i)
5

=2+i

즉, x=2+i에서 x-2=i

양변을 제곱하면 (x-2)€=i €

x€-4x+4=-1

∴  x€-4x+5=0

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

∴ x‹-4x€+5x+9 =x(x€-4x+5)+9



∴ z=2-i

=x_0+9=9

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

z+z”=2에서 2a=2

∴  a=1

z-z”=-4i에서 2bi=-4i

∴  b=-2

∴ z=1-2i

6-2        2-i
|해결 전략 | z=a+bi (a, b는 실수)로 놓고, z, z”를 등식에 대입한 후 복소수가 

서로 같을 조건을 이용한다.

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z”=a-bi

(3+i)z+2i z” =(3+i)(a+bi)+2i(a-bi)

=3a+3bi+ai-b+2ai+2b

=(3a+b)+(3a+3b)i





즉, (3a+b)+(3a+3b)i=5+3i이므로 복소수가 서로 같을 조건

에 의하여

3a+b=5, 3a+3b=3

7-1        -1
|해결 전략 | 좌변의 항을 네 개씩 묶어 간단히 한 후 계산한다.

1
i

+

+

+

+ … +

2
i €

3
i ‹

4
i ›

30
i ‹‚

={

1
i

+

+

+

2
i €

3
i ‹

4
i › }+{

5
i fi

6
i fl

+

+

+

7
i ‡

8
i ° }

+ … +{

25
i €fi

26
i €fl

+

+

+

27
i €‡

29
i €·

+

30
i ‹‚

28
i €° }+


= (-i-2+3i+4)+(-5i-6+7i+8)

+ … +(-25i-26+27i+28)-29i-30

=(2+2i)+(2+2i)+ … +(2+2i)-29i-30

=7(2+2i)-29i-30

=-16-15i

따라서 a=-16, b=-15이므로 a-b=-1

=

=

=-i, 

=

=-1,

i
i€

i
-1

1
-1

=

1
-i

=

i
-i€

=i, 

=;1!;=1이므로

1
i€

1
i›

❶ 

+

+

+

=-i-1+i+1=0

1
i›

❷ 

=

=

= … =

1
i4k+1 =-i

1
i€

1
ifi

1
ifl

1
i‡

1


1
i‹

1


1
i⁄‚

1
i⁄⁄

1
i⁄€

=

=

= … =

=

=

= … =

=

=

= … =

1
i4k+2 =-1
1
i4k+3 =i
1
i4k+4 =1 (단, k는 음이 아닌 정수)





참고

1
i

1
i‹

1
i

1
i

1
i€

1
i‹

1
i›







5-1        25
|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+b, a+b’의 값을 

대입한다.

aa”+a”b+ab”+bb” =a”(a+b)+b”(a+b)



=(a+b)(a”+b”)



=(a+b)(a+b’)

a=2-3i, b=1+7i이므로

a+b=3+4i, a+b’=3-4i

∴ aa”+a”b+ab”+bb” =(a+b)(a+b’)

=(3+4i)(3-4i)

=9+16=25

5-2        12
|해결 전략 | 인수분해를 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 a+a’, b+b’의 값을 

대입한다.

ab+ab”+a”b+ab’ =ab+ab”+a”b+a” b”

=a(b+b”)+a”(b+b”)

=(a+a”)(b+b”)

a=3-i, b=1+3i이므로

a+a”=(3-i)+(3+i)=6

b+b”=(1+3i)+(1-3i)=2

∴ ab+ab”+a”b+ab’  =(a+a”)(b+b”)

=6_2=12

028  정답과 해설 











7-2        1
|해결 전략 | 처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 입력하여 출력하는 과정

을 10번 시행했을 때의 결과를 계산한다.

처음 프로그램에 입력한 복소수를 z라 하고 z를 입력하여 출력하는

과정을 n번 시행하였을 때 출력되는 복소수를 zn이라 하면

입력하여 출력하는 과정을 1번 시행하여 나온 결과는

이와 같이 이 프로그램에 z를 입력하여 출력하는 과정을 10번 시행하

입력하여 출력하는 과정을 2번 시행하여 나온 결과는

입력하여 출력하는 과정을 3번 시행하여 나온 결과는

z¡=z(1+i)

z™=z¡(1+i)=z(1+i)€

z£=z™(1+i)=z(1+i)‹

 ⋮

여 나온 결과는 z(1+i)⁄‚이다.

∴ z(1+i)⁄‚=32 i

이때, (1+i)€=1+2 i-1=2i이므로

z(1+i)⁄‚=z{(1+i)€}fi=z(2 i)fi=2fii fiz=32 i_z

㉠에서 32i_z=32i이므로 z=1

따라서 이 프로그램에 처음 입력한 복소수는 1이다.

5

| 이차방정식

Review

일차방정식의 풀이

개념 확인  

1  ⑴ 1 a+3일 때, x=-

2
a-3

 2 a=3일 때, 해가 없다. 

⑵ 1 a+-1일 때, x=a-1

 2 a=-1일 때, 해가 무수히 많다.

2  ⑴ x=-2 또는 x=6  ⑵ x=;3!; 또는 x=1

…… ㉠

⑶ x=;2!;  ⑷ x=-3 또는 x=2

  90쪽~91쪽

8-1        ③
|해결 전략 | a+0, b+0일 때, 'a'b=-'ßab이면 a<0, b<0임을 이용한다.
a+0, b+0일 때, 'a'b=-'ßab이므로 a<0, b<0
① ab>0이므로 |ab|=ab
② "∂a€+|b|=|a|+|b|=-a-b
③ a+b<0이므로 |a+b|=-a-b

 |a|+|b|=-a-b

 ∴ |a+b|=|a|+|b|
④ -a>0, b<0이므로 'ß-a'b='ß-ab
⑤  'a
'b

=æç

a
b

8-2        ④
|해결 전략 | a+0, b+0일 때,  'a
'b

a+0, b+0일 때,  'a
'b

=-æç

a
b

=-æ;bA;이면 a>0, b<0임을 이용한다.

이므로 a>0, b<0

① 'a'b='ßab
② "∂a€"∂b€=|a|_|b|=a_(-b)=-ab
③ a>0, -b>0이므로 'a'ß-b='ß-ab
④ -a<0, -b>0이므로 'ß-a'ß-b='ßab
⑤ a-b>0이므로 "ƒ(a-b)€=|a-b|=a-b

1  ⑴ (a-3)x=-2에서

    1 a-3+0, 즉 a+3일 때, x=-

2
a-3

    2 a-3=0, 즉 a=3일 때, 0_x=-2

 ⑵ (a+1)x=(a+1)(a-1)에서

    1 a+1+0, 즉 a+-1일 때,





 x=

(a+1)(a-1)
a+1

=a-1





 이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 해가 없다.

    2 a+1=0,즉 a=-1일 때, 0_x=0







이를 만족시키는 x의 값은 무수히 많으므로 해가 무수히

많다.

2  ⑴ |x-2|=4에서 x-2=-4
 ∴ x=-2 또는 x=6


 ⑵ |2x-1|=x에서

    1 x<;2!;일 때, 2x-1<0이므로

 -(2x-1)=x, 3x=1

∴  x=;3!;

 이때, x=;3!;은 x<;2!;을 만족시키므로 해이다.

    2 x>;2!;일 때, 2x-1>0이므로


 2x-1=x

∴  x=1





 이때, x=1은 x>;2!;을 만족시키므로 해이다.

 1, 2에서 구하는 해는 x=;3!; 또는 x=1

 ⑶ |x+1|=3x에서

 1 x<-1일 때, x+1<0이므로

 -(x+1)=3x, 4x=-1



∴ x=-;4!;



























 그런데 x=-;4!;은 x<-1을 만족시키지 않으므로 해가 아
 니다.

  5 이차방정식   029 

1  ⑴ (x+1)(x-3)=0
 ⑵ (x+2)(x-2)=0

∴  x=-1 또는 x=3

∴  x=-2 또는 x=2

 ⑶ (x+1)(x-5)=0

∴  x=-1 또는 x=5

 ⑷ (x+2)(3x-2)=0

∴  x=-2 또는 x=;3@;

 ⑸ ;3$;x€-4x+3=0의 양변에 3을 곱하면
 4x€-12x+9=0, (2x-3)€=0




 ∴ x=;2#; (중근)

 ⑹ (2x+5)(2x-5)=0

∴  x=-;2%; 또는 x=;2%;

2  ⑴ x=

-3\"∂3€-4_1_1
2_1

=

-3\'5
2

 ⑵ x=

-5\"∂5€-4_2_1
2_2

=

-5\'ß17
4

 ⑶ x=

-(-3)\"∂(-3)€-1_1
1

=3\2'2

 ⑷ x=

-1\"∂1€-1_3
1

=-1\'2i

 ⑸ ;2!;x€-2x-3=0의 양변에 2를 곱하면

 x€-4x-6=0





 ∴ x=

-(-2)\"∂(-2)€-1_(-6)
1

=2\'ß10

 ⑹ x=

-(-1)\"∂(-1)€-1_5
1

=1\2i













































 2 x>-1일 때, x+1>0이므로

 x+1=3x, 2x=1

∴  x=;2!;

 이때, x=;2!;은 x>-1을 만족시키므로 해이다.

 1, 2에서 구하는 해는 x=;2!;

 ⑷ |x+2|+|x-1|=5에서

 1 x<-2일 때, x+2<0, x-1<0이므로

 -(x+2)-(x-1)=5, -2x=6

∴  x=-3

 이때, x=-3은 x<-2를 만족시키므로 해이다.

 2 -2<x<1일 때, x+2>0, x-1<0이므로



(x+2)-(x-1)=5, 0_x=2

 이를 만족시키는 x의 값은 존재하지 않으므로 해가 없다.

 3 x>1일 때, x+2>0, x-1>0이므로



(x+2)+(x-1)=5, 2x=4

∴  x=2

 이때, x=2는 x>1을 만족시키므로 해이다.

 1, 2, 3에서 구하는 해는 x=-3 또는 x=2



이차방정식의 풀이

개념 확인  
1  ⑴ x=-4 또는 x=2  ⑵ x=1-'3

 92쪽

1  ⑴ (x+4)(x-2)=0

∴  x=-4 또는 x=2

 ⑵ x=

-(-1)-"ƒ(-1)€-1_(-2)
1

=1\'3

STEP 



필수 유형

| 94쪽~97쪽 |

01-1            ⑴ x=-1 또는 x=4  ⑵ x=-1\i 





⑶ x=-1 또는 x='2

|해결 전략 | 인수분해 또는 근의 공식을 이용하여 해를 구한다.

| 93쪽 |

⑴ x€+x=4(x+1)에서

 x€+x=4x+4, x€-3x-4=0

 (x+1)(x-4)=0

 ∴ x=-1 또는 x=4



(x-2)€
2

=-3x+1의 양변에 2를 곱하면

 (x-2)€=-6x+2

 x€-4x+4=-6x+2, x€+2x+2=0

 ∴ x=

-1-"ƒ1€-1_2
1

=-1\i

STEP 



개념 드릴

1  ⑴ x=-1 또는 x=3  ⑵ x=-2 또는 x=2

  ⑶ x=-1 또는 x=5  ⑷ x=-2 또는 x=;3@;

  ⑸ x=;2#; (중근)  ⑹ x=-;2%; 또는 x=;2%;

2  ⑴ x=

  ⑵ x=

-3\'5
2

-5\'ß17
4

  ⑶ x=3\2'2  ⑷ x=-1\'2i
  ⑸ x=2\'ß10  ⑹ x=1\2i

030  정답과 해설 

⑶ ('2+1)x€-x-2-'2=0의 양변에 '2-1을 곱하면
('2+1)('2-1)x€-('2-1)x-(2+'2 )('2-1)=0



⑵ x€-4x+1=2|x-2|에서

 1 x<2일 때

 ∴ x€-('2-1)x-'2=0
 좌변을 실수의 범위에서 인수분해하면
 (x+1)(x-'2 )=0
 ∴ x=-1 또는 x='2

02-1          ⑴ k=1, 다른 한 근: 2  ⑵ -4
|해결 전략 | 방정식 f(x)=0의 한 근이 a이면 f(a)=0을 만족시킨다.

⑴ x€+kx-3k-3=0에 x=-3을 대입하면

 x€-4x+1=-2(x-2), x€-2x-3=0



(x+1)(x-3)=0

∴  x=-1 (∵ x<2)

 2 x>2일 때

 x€-4x+1=2(x-2), x€-6x+5=0



(x-1)(x-5)=0

∴  x=5 (∵ x>2)

 1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=5
다른 풀이

⑴ x€+|x|-2=0에서 x€=|x|€이므로

 |x|€+|x|-2=0, (|x|+2)(|x|-1)=0

 ∴ |x|=-2 또는 |x|=1

 그런데 |x|>0이므로 |x|=1

 ∴ x=-1 또는 x=1

















⑵ x€+(2a-1)x+a€-8=0에 x=1을 대입하면

범위를 나누어 절댓값 기호를 없앤 다음 푼다. 이때, 범위를 만족시키는 것만 주어

03-2          2-'2
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의 

 (-3)€-3k-3k-3=0

 -6k+6=0

 ∴ k=1

 k=1을 주어진 방정식에 대입하면

 x€+x-6=0, (x+3)(x-2)=0

 ∴ x=-3 또는 x=2

 따라서 다른 한 근은 2이다.

  1€+(2a-1)_1+a€-8=0

  a€+2a-8=0, (a+4)(a-2)=0

  ∴ a=2 (∵ a>0)

 a=2를 주어진 방정식에 대입하면

 x€+3x-4=0, (x+4)(x-1)=0

 ∴ x=-4 또는 x=1

 따라서 다른 한 근은 -4이다.

진 방정식의 해이다.

x€+|2x-1|-2=0에서

1 x<;2!;일 때
 x€-(2x-1)-2=0, x€-2x-1=0

 ∴ x=1-'2  {

5 x<;2!;}

2 x>;2!;일 때
 x€+(2x-1)-2=0, x€+2x-3=0

 (x+3)(x-1)=0

 ∴ x=1 {

5 x>;2!;}

1, 2에서 방정식의 해는 x=1-'2 또는 x=1이므로 구하는 모든
근의 합은 2-'2이다.

04-1          400 m€
|해결 전략 | 처음 토지의 한 변의 길이를 x m로 놓고 방정식을 세운다.

처음 토지의 한 변의 길이를 x m

(x-3) m

(x>5)라 하면 길을 제외한 토지

3 m

의 모양은 오른쪽 그림과 같다.

(x-5) m

5 m

x€-8x+15=255, x€-8x-240=0

(x+12)(x-20)=0    ∴ x=20 (∵ x>5)

따라서 처음 토지의 한 변의 길이는 20 m이므로 처음 토지의 넓이는

400 m€이다.

04-2          24 cm
|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 

 

  5 이차방정식   031 

03-1          ⑴ x=-1 또는 x=1 ⑵ x=-1 또는 x=5
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의 

범위를 나누어 절댓값 기호를 없앤 다음 푼다. 이때, 범위를 만족시키는 것만 주어

길을 제외한 토지의 넓이가

255 m€이므로

(x-3)(x-5)=255

진 방정식의 해이다.

⑴ x€+|x|-2=0에서

 1 x<0일 때



 x€-x-2=0, (x+1)(x-2)=0

    ∴ x=-1 (5 x<0)

 2 x>0일 때





 x€+x-2=0, (x+2)(x-1)=0

 ∴ x=1 (5 x>0)

 1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=1

(34-x) cm이다. 또, 직사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같다.

02-2          -1
|해결 전략 | x=-2를 주어진 이차방정식에 대입하여 상수 k의 값을 구한다.

kx€-2x+k€=0에 x=-2를 대입하면

4k+4+k€=0, (k+2)€=0

∴  k=-2

k=-2를 주어진 방정식에 대입하면

-2x€-2x+4=0, x€+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

∴  x=-2 또는 x=1

따라서 k=-2, a=1이므로 k+a=-1

STEP 



개념 드릴

| 100쪽 |

직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하

면 직사각형의 둘레의 길이가 68 cm

x cm

이므로 세로의 길이는 (34-x) cm

26 cm

(34-x) cm

이다.

직사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같은 26 cm이므로

x€+(34-x)€=26€, x€+34€-68x+x€=26€

x€-34x+240=0, (x-10)(x-24)=0

∴ x=10 또는 x=24

하는 직사각형의 가로의 길이는 24 cm이다.

이때, 직사각형의 가로의 길이가 세로의 길이보다 길어야 하므로 구

3  ⑴ k>-2  ⑵ k=-2  ⑶ k<-2

1  ⑴ 서로 다른 두 실근  ⑵ 서로 다른 두 허근

⑶ 서로 다른 두 실근  ⑷ 중근

⑸ 서로 다른 두 허근  ⑹ 중근

⑺ 서로 다른 두 허근

2  ⑴ k<-;4#;  ⑵ k=-;4#;  ⑶ k>-;4#;

1  ⑴ x€-3x-2=0의 판별식을 D라 하면
 D=(-3)€-4_1_(-2)=17>0


 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

 ⑵ x€-3x+3=0의 판별식을 D라 하면

 D=(-3)€-4_1_3=-3<0

 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

 ⑶ 3x€+6x+2=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=3€-3_2=3>0

 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

 ⑷ 9x€+6x+1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=3€-9_1=0

 이므로 중근을 갖는다.


 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
 ⑹ x€-4'2x+8=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-2'2 )€-1_8=0

 이므로 중근을 갖는다.

 ⑺ 2x€-2x+1=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(-1)€-2_1=-1<0

 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.































1  ⑴ 서로 다른 두 실근  ⑵ 중근  ⑶ 서로 다른 두 허근





;;4Î;;=1€-5_1=-4<0

98쪽~99쪽

 ⑸ 5x€+2x+1=0의 판별식을 D라 하면

2

이차방정식의 판별식

개념 확인  

2    ⑴ -1, 7  ⑵ 3

1  ⑴ 2x€-2x-1=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(-1)€-2_(-1)=3>0
 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

 ⑵ x€-4x+4=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=(-2)€-1_4=0
 이므로 중근을 갖는다.

 ⑶ x€-x+2=0의 판별식을 D라 하면

 D=(-1)€-4_1_2=-7<0

 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

























2  ⑴ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식
 x€+(k+1)x+2(k+1)=0의 판별식을 D라 할 때


 D=(k+1)€-4_1_2(k+1)=0

 k€-6k-7=0, (k+1)(k-7)=0

 ∴ k=-1 또는 k=7

 ⑵ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식

 x€-2kx+k€-2k+6=0의 판별식을 D라 할 때



;;4Î;;=(-k)€-1_(k€-2k+6)=0
∴  k=3

 2k-6=0

032  정답과 해설 

2  x€-3x+k+3=0의 판별식을 D라 하면
 D=(-3)€-4_1_(k+3)=-4k-3

 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D>0이어야 하므로



 -4k-3>0

∴  k<-;4#;

 ⑵ 중근을 가지려면 D=0이어야 하므로



 -4k-3=0

∴  k=-;4#;

 ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D<0이어야 하므로



 -4k-3<0

∴  k>-;4#;

3  2x€+4x-k=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=2€-2_(-k)=4+2k



 4+2k>0

∴  k>-2

 ⑵ 중근을 가지려면 ;;4Î;;=0이어야 하므로



 4+2k=0

∴  k=-2



 4+2k<0

∴  k<-2

 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 ;;4Î;;>0이어야 하므로

⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 ;;4Î;;<0이어야 하므로

 ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 ;;4Î;;<0이어야 하므로

|해결 전략 | 이차식이 완전제곱식이 된다는 것은 (이차식)=0이 중근을 가진다

⑵ 중근을 가지려면 ;;4Î;;=0이어야 하므로

 -6k+4=0

∴  k=;3@;

 -6k+4<0

∴  k>;3@;

02-1          ⑴ 2, 10  ⑵ ;3&;

는 뜻이므로 판별식 D=0이다.

⑴ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식



x€+(k-4)x+k-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라

할 때

 D=(k-4)€-4(k-1)=0

 k€-12k+20=0, (k-2)(k-10)=0

 ∴ k=2 또는 k=10

⑵ (k+3)x€+(k+3)x+k-1이 이차식이므로

 k+3+0

∴  k+-3



주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식



(k+3)x€+(k+3)x+k-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식

을 D라 할 때

 D=(k+3)€-4(k+3)(k-1)=0

| 101쪽~102쪽 |

 (k+3){k+3-4(k-1)}=0

STEP 



필수 유형

01-1          a=0, b=1
|해결 전략 | 이차방정식이 k의 값에 관계없이 중근을 가지면 판별식 D=0은 k

에 대한 항등식이다.

x€+2(k+a)x+k€+a€+b-1=0의 판별식을 D라 하면

 (k+3)(-3k+7)=0

 ∴ k=-3 또는 k=;3&;

 그런데 k+-3이므로 k=;3&;

;;4Î;;=(k+a)€-(k€+a€+b-1)=2ak-b+1

중근을 가지려면 D=0이어야 하므로

2ak-b+1=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

2a=0, -b+1=0

 ∴ a=0, b=1

01-2          ⑴ k<-2 또는 -2<k<;3@;  ⑵ k=;3@;  ⑶ k>;3@;

|해결 전략 | 이차방정식 ax€+bx+c=0에서 실근, 허근을 따질 경우는 판별식 

D=b€-4ac의 부호를 조사한다. 이때, a+0임에 주의한다.

(k+2)x€-2(k-2)x+k=0이 이차방정식이므로

k+2+0

∴  k+-2

(k+2)x€-2(k-2)x+k=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;=(k-2)€-(k+2)_k=-6k+4

⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 ;;4Î;;>0이어야 하므로

 -6k+4>0

∴  k<;3@;

 그런데 k+-2이므로 k<-2 또는 -2<k<;3@;

3

이차방정식의 근과 계수의 관계

개념 확인  

   103쪽~105쪽

1  ⑴ a+b=-2, ab=;2!;  ⑵ a+b=;2#;, ab=-;2%;
2  ⑴ x€-4x+3=0  ⑵ x€-2x-1=0

3  (x-1-3i)(x-1+3i)
4  ⑴ 1+'3  ⑵ -2-'2
5  ⑴ 1-2i  ⑵ -3-2i

 이므로 구하는 이차방정식은 x€-4x+3=0

2  ⑴ (두 근의 합)=4, (두 근의 곱)=3

 ⑵ (두 근의 합)=(1+'2 )+(1-'2 )=2,
(두 근의 곱)=(1+'2 )(1-'2 )=-1

 이므로 구하는 이차방정식은 x€-2x-1=0





  5 이차방정식   033 

3  x€-2x+10=0의 근을 구하면
-(-1)-"ƒ(-1)€-1_10
1

 x=

=1-3i

STEP 



필수 유형

| 107쪽~112쪽 |

 ∴ x€-2x+10 ={x-(1+3i)}{x-(1-3i)}



01-1          ⑴ -;3$;  ⑵ 22  ⑶  100

9

  ⑷ 18

=(x-1-3i)(x-1+3i)

|해결 전략 | 주어진 식을 a+b, ab를 포함하는 식으로 변형한다.

STEP 



개념 드릴

| 106쪽 |

⑵ a€+b€=(a+b)€-2ab=4€-2_(-3)=16+6=22

x€-4x-3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=4, ab=-3

⑴ {a+

1
b }{b+

1
a }=ab+1+1+

1
ab

=-3+2-;3!;=-;3$;



b
a€

+ a
b€

=

a‹+b‹
a€b€

=

(a+b)‹-3ab(a+b)
(ab)€



4‹-3_(-3)_4
100
(-3)€
9
⑷ (a€-3a)(b€-3b) =a€b€-3a€b-3ab€+9ab

64+36
9

=

=

=



=ab{ab-3(a+b)+9}  

=-3_{-3-3_4+9}  

=-3_(-6)=18

다른 풀이

⑷ x€-4x-3=0의 두 근이 a, b이므로 

 a€-4a-3=0, b€-4b-3=0







 따라서 a€-3a=a+3, b€-3b=b+3이므로

 (a€-3a)(b€-3b) =(a+3)(b+3)=ab+3(a+b)+9 

=-3+12+9=18

02-1          a=1, b=-4
|해결 전략 | 이차방정식 2x€+bx-6=0의 두 근이 a+b, ab이므로

(a+b)+ab=-

, (a+b)ab=-3이다.

b
2

x€+ax+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

2x€+bx-6=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수의 관계에 의

a+b=-a, ab=3

하여

(a+b)+ab=-;2B;, (a+b)ab=-3
㉠을 ㉡에 대입하면

-a+3=-;2B;, -3a=-3
∴ a=1, b=-4

åå ㉠

åå ㉡

02-2          a=4, b=2
|해결 전략 | 이차방정식 2x€+ax-b=0의 두 근이 a+1, b+1이므로 

(a+1)+(b+1)=-;2A;, (a+1)(b+1)=-;2B;이다.

x€+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-a, ab=b

åå ㉠

1  ⑴ a+b=-2, ab=-5  ⑵ a+b=;2#;, ab=2

⑶ a+b=;3!;, ab=;3!;  ⑷ a+b=-'2, ab=;2#;

2  ⑴ x€-3x-4=0  ⑵ x€+;6&;x-;2!;=0
⑶ x€-4x+1=0  ⑷ x€-6x+13=0

3  ⑴ (x-1-'6 )(x-1+'6 )
⑵ (x+3-'2     i)(x+3+'2     i)
1+'2     i
2

⑶ 4{x-

}{x-

1-'2     i
2

}

4  ⑴ 3+'6  ⑵ -1+'5  ⑶ -'3-4
5  ⑴ -1+2i  ⑵ i+5  ⑶ -'5     i-'3

2  ⑴ (두 근의 합)=3, (두 근의 곱)=-4


 이므로 구하는 이차방정식은 x€-3x-4=0

 ⑵ (두 근의 합)=-;2#;+;3!;=-;6&;,



(두 근의 곱)=-;2#;_;3!;=-;2!;

 이므로 구하는 이차방정식은 x€+;6&;x-;2!;=0

 ⑶ (두 근의 합)=(2+'3 )+(2-'3 )=4,
(두 근의 곱)=(2+'3 )(2-'3 )=1




 이므로 구하는 이차방정식은 x€-4x+1=0

 ⑷ (두 근의 합)=(3+2i)+(3-2i)=6,



(두 근의 곱)=(3+2i)(3-2i)=13

 이므로 구하는 이차방정식은 x€-6x+13=0

3  ⑴ x€-2x-5=0의 근을 구하면 x=1\'6


 ∴ x€-2x-5 ={x-(1+'6 )}{x-(1-'6 )} 

 

=(x-1-'6 )(x-1+'6 )

 ⑵ x€+6x+11=0의 근을 구하면 x=-3-'2 i


 ∴ x€+6x+11 ={x-(-3+'2 i)}{x-(-3-'2 i)}

=(x+3-'2 i)(x+3+'2 i)

 ⑶ 4x€-4x+3=0의 근을 구하면

 x=

2-2'2     i
4

=

1-'2     i
2

 ∴ 4x€-4x+3=4{x-

1+'2     i
2

}{x-

1-'2     i
2

}

034  정답과 해설 















2x€+ax-b=0의 두 근이 a+1, b+1이므로 근과 계수의 관계에

⑴ 두 근 a-1, b-1의 합과 곱을 구하면

x€-6x-k=0의 두 근의 비가 1 : 2이므로 두 근을 a, 2a (a+0)라

을 두 근으로 하고 x€의 계수가 2인 이차방정식은

의하여

(a+1)+(b+1)=-;2A;, (a+1)(b+1)=-;2B;

∴ a+b+2=-;2A;, ab+(a+b)+1=-;2B;
㉠을 ㉡에 대입하면

-a+2=-;2A;, b-a+1=-;2B;
∴ a=4, b=2

03-1          -8
|해결 전략 | 이차방정식의 두 근을 a, 2a (a+0)로 놓는다.

하면 근과 계수의 관계에 의하여

(두 근의 합)=a+2a=6에서

3a=6

 ∴ a=2

(두 근의 곱)=a_2a=-k에서

k=-2a€=-2_2€=-8

åå ㉡



따라서 a-1, b-1을 두 근으로 하고 x€의 계수가 2인 이차방정

 (a-1)+(b-1)=a+b-2=3-2=1

 (a-1)(b-1) =ab-(a+b)+1



=-2-3+1=-4

식은

 2(x€-x-4)=0
⑵ 두 근  1
a

,  1
b
= a+b
ab





+

1
a

1
a

1
b

1
b

_

=

=

 따라서  1
a

1
ab
,  1
b

∴  2x€-2x-8=0

의 합과 곱을 구하면

=

3
-2

=-;2#;

1
-2

=-;2!;

 2{x€+;2#;x-;2!;}=0

∴  2x€+3x-1=0

03-2          -2
|해결 전략 | 이차방정식의 두 근을 a, a+3으로 놓는다.

x€-5x+2k+8=0의 두 근의 차가 3이므로 두 근을 a, a+3이라

하면 근과 계수의 관계에 의하여

(두 근의 합)=a+(a+3)=5에서

2a=2

 ∴ a=1

(두 근의 곱)=a(a+3)=2k+8에서

2k+8=4

 ∴ k=-2

참고

두 근을 a, a-3으로 놓고 풀어도 결과는 같다.

a+(a-3)=5에서 2a-3=5 

 ∴  a=4

a(a-3)=2k+8에서 2k+8=4 

 ∴  k=-2

05-1          2
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(ax+b)=0 (a+0)의

…… ㉠

두 근은 

a-b
a



b-b
a

이다.

이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면

f(a)=0, f(b)=0

두 근의 합이 2이므로 a+b=2

㉠에 의하여 이차방정식 f(4x-3)=0의 두 근은

4x-3=a 또는 4x-3=b

∴ x= a+3

또는 x= b+3

4

4

따라서 이차방정식 f(4x-3)=0의 두 근의 합은

a+3
4

+ b+3
4

= a+b+6
4

=

2+6
4

=2

04-1          x€-5x+6=0
|해결 전략 | 두 근이 a, b이고 x€의 계수가 1인 이차방정식은 

x€-(a+b)x+ab=0이다.

05-2          ;3%;

두 근은 

a-b
a



b-b
a

이다.

|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(ax+b)=0 (a+0)의

x€-2x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=3

이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로

이차방정식 f(3x-1)=0의 두 근은

두 근 a+b, ab의 합과 곱을 구하면

(a+b)+ab=5, (a+b)ab=6

따라서 a+b, ab를 두 근으로 하고 x€의 계수가 1인 이차방정식은

x€-5x+6=0

3x-1=a 또는 3x-1=b

∴ x= a+1

또는 x= b+1

3

3

따라서 이차방정식 f(3x-1)=0의 두 근의 곱은

a+1
3

_ b+1
3

= ab+a+b+1
9

=

6+8+1
9

=;3%;

04-2          ⑴ 2x€-2x-8=0  ⑵ 2x€+3x-1=0
|해결 전략 | 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b, ab의 값을 구한 후 주어진 두 

x€-3x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

근의 합과 곱을 구한다.

a+b=3, ab=-2

06-1          ⑴ a=2, b=-2  ⑵ a=4, b=-1
|해결 전략 | 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 p+q'ßm이면 다른 한 근은 
p-q'ßm이다.

  5 이차방정식   035 

이차방정식 x€+ax+b=0에서 a, b가 유리수이고
⑴ 한 근이 -1-'3 이므로 다른 한 근은 -1+'3
 따라서 근과 계수의 관계에 의하여
 (두 근의 합)=(-1-'3 )+(-1+'3 )=-a
 (두 근의 곱)=(-1-'3 )(-1+'3 )=b
 ∴ b=-2
⑵ 한 근이 '5-2, 즉 -2+'5 이므로 다른 한 근은 -2-'5
 따라서 근과 계수의 관계에 의하여
 (두 근의 합)=(-2+'5 )+(-2-'5 )=-a
 (두 근의 곱)=(-2+'5 )(-2-'5 )=b
참고

 ∴ b=-1

 ∴ a=2

 ∴ a=4

켤레근의 성질을 이용하지 않고 주어진 근을 직접 이차방정식에 대입하여 a, 

b의 값을 구해도 된다.
예를 들어 ⑴의 경우 x=-1-'3 을 x€+ax+b=0에 대입하면
(-1-'3 )€+a(-1-'3 )+b=0
(-a+b+4)+(2-a)'3=0
이때, a, b는 유리수이므로

-a+b+4=0, 2-a=0

∴ a=2, b=-2

그러나 켤레근의 성질을 이용하는 것이 더 간단하다.

06-2          ⑴ a=-2, b=5  ⑵ a=-4, b=13
|해결 전략 | 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 p+qi이면 다른 한 근은  

p-qi이다.

이차방정식 x€+ax+b=0에서 a, b가 실수이고

⑴ 한 근이 1+2i이므로 다른 한 근은 1-2i

 따라서 근과 계수의 관계에 의하여

 (두 근의 합)=(1+2i)+(1-2i)=-a

 ∴ a=-2

 (두 근의 곱)=(1+2i)(1-2i)=b

 ∴ b=5

⑵ 한 근이 3i+2, 즉 2+3i이므로 다른 한 근은 2-3i

 따라서 근과 계수의 관계에 의하여

 (두 근의 합)=(2+3i)+(2-3i)=-a

 ∴ a=-4

 (두 근의 곱)=(2+3i)(2-3i)=b

 ∴ b=13

1-2        x=-'3 또는 x='3-1
|해결 전략 | 이차항의 계수를 유리수로 만든 후 해를 구한다.
('3+1)x€+('3+1)x-2'3=0의 양변에 '3-1을 곱하면
('3+1)('3-1)x€+('3+1)('3-1)x-2'3 ('3-1)=0
2x€+2x-2'3 ('3-1)=0
∴ x€+x-'3 ('3-1)=0
좌변을 실수의 범위에서 인수분해하면
(x+'3 )(x-'3+1)=0

∴  x=-'3 또는 x='3-1

2-1        -3 
|해결 전략 |  x=1을 주어진 이차방정식에 대입하여 상수 a의 값을 구한다.

x€-ax+2a+1=0에 x=1을 대입하면

1-a+2a+1=0

∴  a=-2

a=-2를 주어진 방정식에 대입하면

x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0

∴ x=-3 또는 x=1

따라서 다른 한 근은 -3이다.

2-2        4
|해결 전략 | x=5를 주어진 이차방정식에 대입하여 상수 m의 값을 구한다.

x€-2mx+m+2=0에 x=5를 대입하면

25-10m+m+2=0

∴  m=3

m=3을 주어진 방정식에 대입하면

x€-6x+5=0, (x-1)(x-5)=0

∴ x=1 또는 x=5

따라서 다른 한 근은 1이므로 a=1

∴ m+a=3+1=4

3-1        x=-1 또는 x=2
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 범위를 나

| 113쪽~115쪽 |

x€-|x+1|-1=0에서

누어 푼다.

1 x<-1일 때

 x€+(x+1)-1=0, x€+x=0

 x(x+1)=0

∴  x=0 또는 x=-1



그런데 x=0, x=-1은 x<-1을 만족시키지 않으므로 해가 아

니다.

2 x>-1일 때

 x€-(x+1)-1=0, x€-x-2=0

 (x+1)(x-2)=0

∴  x=-1 또는 x=2

1, 2에서 구하는 해는 x=-1 또는 x=2

STEP 



유형 드릴

1-1        x=-'3 또는 x=-1
|해결 전략 | 이차항의 계수를 유리수로 만든 후 해를 구한다.
('3-1)x€+2x+3-'3=0의 양변에 '3+1을 곱하면
('3-1)('3+1)x€+2('3+1)x+(3-'3 )('3+1)=0
2x€+2('3+1)x+2'3=0
∴ x€+('3+1)x+'3=0
좌변을 실수의 범위에서 인수분해하면
(x+'3 )(x+1)=0

∴  x=-'3 또는 x=-1

036  정답과 해설 

3-2        x=3\2'3
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 범위를 나

5-2        1
|해결 전략 | 이차방정식이 k의 값에 관계없이 중근을 가지면 판별식 D=0은 k

누어 푼다.

x€-5x=|x+3|에서

1 x<-3일 때

 x€-5x=-(x+3), x€-4x+3=0

 (x-1)(x-3)=0

∴  x=1 또는 x=3



그런데 x=1, x=3은 x<-3을 만족시키지 않으므로 해가 아니

다.

2 x>-3일 때

 x€-5x=x+3, x€-6x-3=0
 ∴ x=-(-3)-"ƒ(-3)€-1_(-3)=3-2'3
1, 2에서 구하는 해는 x=3\2'3

에 대한 항등식이다.

x€-2(k-a)x+(k-1)€-b=0의 판별식을 D라 하면

D
4

=(k-a)€-(k-1)€+b=2(1-a)k+a€+b-1

중근을 가지려면 D=0이어야 하므로

2(1-a)k+a€+b-1=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

1-a=0, a€+b-1=0

∴  a=1, b=0

∴ a+b=1

6-1        -1
|해결 전략 | 이차식이 완전제곱식이 된다는 것은 (이차식)=0이 중근을 가진다

는 뜻이므로 판별식 D=0이다.

주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 x에 대한 이차방정식

x€+2(a+1)x+a€-1=0이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라

4-1        25 cm€
|해결 전략 | 처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm로 놓고 이차방정식을 세운다.

처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm (x>1)라 하면 가로의 길이

=(a+1)€-(a€-1)=0

를 1 cm 줄이고 세로의 길이를 3 cm 늘인 직사각형의 넓이가

2a+2=0

∴  a=-1

할 때

D
4

32 cm€이므로

(x-1)(x+3)=32, x€+2x-35=0

(x+7)(x-5)=0

∴  x=5 (∵ x>1)

따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이므로 구하는 넓이는

25 cm€이다.

4-2        3 m
|해결 전략 | 길의 폭을 x m로 놓고 공원의 넓이를 이용하여 이차방정식을 세운다.

길의 폭을 x m (0<x<10)라 하면 처음 공원의 넓이는 150 m€, 길

의 넓이는 (15x+10x-x€) m€, 길을 제외한 공원의 넓이는 84 m€

이므로

150-(25x-x€)=84, x€-25x+66=0

(x-3)(x-22)=0

∴  x=3 (∵ 0<x<10)

따라서 길의 폭은 3 m이다.

5-1        k<-1
|해결 전략 | 이차방정식이 실근을 가지면 판별식 D>0이다.

x€-2x+2k+3=0의 판별식을 D라 하면

=(-1)€-(2k+3)=-2k-2

D
4
실근을 가지려면 D>0이어야 하므로

-2k-2>0, 2k<-2

∴  k<-1

6-2        c를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형
|해결 전략 | (이차식)=0이 중근을 가져야 하므로 판별식 D=0일 때, a, b, c 사

이의 관계식을 구한다.

주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식

(c-b)x€+2ax+b+c=0이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라

할 때

D
4

=a€-(c-b)(b+c)=0

a€-(c€-b€)=0, a€-c€+b€=0

∴  c€=a€+b€

따라서 주어진 삼각형은 c를 빗변의 길이로 하는 직각삼각형이다.

7-1        ⑴ -16  ⑵ 7
|해결 전략 | 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식의 값을 구한다.

x€-2x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=2, ab=4

⑴ a‹b+ab‹=ab(a€+b€)이고

 a€+b€=(a+b)€-2ab=2€-2_4=-4

 ∴ a‹b+ab‹=ab(a€+b€)=4_(-4)=-16

⑵ x€-2x+4=0의 두 근이 a, b이므로

 a€-2a+4=0, b€-2b+4=0

 ∴ (a€-3a+3)(b€-3b+3)



={(a€-2a+4)-a-1}{(b€-2b+4)-b-1}



=(-a-1)(-b-1)  

=ab+(a+b)+1



=4+2+1=7

  5 이차방정식   037 

7-2        7
|해결 전략 | f(x)=0의 근이 a, b이면 f(a)=0, f(b)=0이다.

x€+3x+1=0의 두 근이 a, b이므로

a€+3a+1=0, b€+3b+1=0

또, 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-3, ab=1



b
a€+4a+1

+

a
b€+4b+1

  =

b
(a€+3a+1)+a

+

a
(b€+3b+1)+b

 =

+

=

b
a

a
b

a€+b€
ab

 =

(a+b)€-2ab
ab

 =

(-3)€-2_1
1

=7

x€-5x+6k=0의 두 근의 차가 1이므로 두 근을 a, a+1이라 하면

근과 계수의 관계에 의하여

(두 근의 합)=a+(a+1)=5에서

2a+1=5

∴  a=2

(두 근의 곱)=a(a+1)=6k에서

6k=6

∴  k=1

9-2        4
|해결 전략 | 한 근이 다른 한 근의 3배이므로 두 근을 a, 3a (a+0)로 놓고 근과 

계수의 관계를 이용한다.

x€-4x+2k-5=0의 한 근이 다른 한 근의 3배이므로 두 근을 a,

3a (a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

(두 근의 합)=a+3a=4에서

4a=4

∴  a=1

(두 근의 곱)=a_3a=2k-5에서

2k-5=3

∴  k=4

8-1        -8
|해결 전략 | 두 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용한다.

x€-2ax+6=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

x€+bx+12=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수의 관계에 의

(a+b)+ab=-b, (a+b)ab=12

…… ㉡

a+b=2a, ab=6

하여

㉠을 ㉡에 대입하면

∴ ab=-8

2a+6=-b, 12a=12

∴  a=1, b=-8

10-1        x€-6x+6=0
|해결 전략 | (a+1)+(b+1), (a+1)(b+1)의 값을 구하여 이차방정식을 구

한다.

…… ㉠

x€-4x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=4, ab=1

두 근 a+1, b+1의 합과 곱을 구하면

(a+1)+(b+1) =a+b+2

(a+1)(b+1) =ab+(a+b)+1



=4+2=6

=1+4+1=6

따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고 x€의 계수가 1인 이차방정식은

x€-6x+6=0

8-2        1
|해결 전략 | 두 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용한다.

x€-ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

10-2        2x€-42x+8=0
|해결 전략 | a€+b€, a€b€의 값을 구하여 이차방정식을 구한다.

x€+5x+2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

x€+ax-b=0의 두 근이 a-1, b-1이므로 근과 계수의 관계에 의

…… ㉠

a+b=-5, ab=2

a+b=a, ab=b

하여

(a-1)+(b-1)=-a, (a-1)(b-1)=-b

∴ a+b-2=-a, ab-(a+b)+1=-b

…… ㉡

a-2=-a, b-a+1=-b

∴  a=1, b=0

㉠을 ㉡에 대입하면

∴ a+b=1

9-1        1
|해결 전략 | 두 근의 차가 1이므로 두 근을 a, a+1로 놓고 근과 계수의 관계를 

은 

a
a



b
a

이다.

이용한다.

038  정답과 해설 

두 근 a€, b€의 합과 곱을 구하면

a€+b€ =(a+b)€-2ab 

 

=(-5)€-2_2=21

a€b€=(ab)€=2€=4

따라서 a€, b€을 두 근으로 하고 x€의 계수가 2인 이차방정식은

2(x€-21x+4)=0

∴  2x€-42x+8=0

11-1        3
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(ax)=0 (a+0)의 두 근

이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면

f(a)=0, f(b)=0

…… ㉠

두 근의 합이 9이므로 a+b=9

㉠에 의하여 이차방정식 f(3x)=0의 두 근은

3x=a 또는 3x=b

∴ x= a
3

또는 x= b
3

따라서 이차방정식 f(3x)=0의 두 근의 합은

a
3

+ b
3

= a+b
3

=;3(;=3

11-2        -2
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이면 f(ax+b)=0 (a+0)의

두 근은 

a-b
a



b-b
a

이다.

이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면

f(a)=0, f(b)=0

…… ㉠

두 근의 합이 -6, 두 근의 곱이 1이므로

a+b=-6, ab=1

㉠에 의하여 이차방정식 f(2x-3)=0의 두 근은

2x-3=a 또는 2x-3=b

∴ x= a+3

또는 x= b+3

2

2

a+3
2

_ b+3
2

=

ab+3(a+b)+9
4

                   =

1+3_(-6)+9
4

=-2

12-1        16
|해결 전략 | 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 p+qi이면 다른 한 근은 
p-qi이다. 

이차방정식 x€-ax+b=0에서 a, b가 실수이고 한 근이 3-i이므

로 다른 한 근은 3+i이다.

이때, 근과 계수의 관계에 의하여

a=(3-i)+(3+i)=6

b=(3-i)(3+i)=10

∴ a+b=16

12-2        2
|해결 전략 | f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다.

2i
1+i

=

2i(1-i)
(1+i)(1-i)

=i(1-i)=1+i

| 이차방정식과 이차함수

Review

이차함수의 그래프



개념 확인  

1    풀이 참조

2    k<0

3  ⑴ a<0  ⑵ b>0  ⑶ c>0  ⑷ a-b+c<0

  ⑸ 4a+2b+c<0  ⑹ a+3b+9c>0

4  ⑴ y=4x€-8x+3  ⑵ y=x€+4x+5

  ⑶ y=-x€+6x-5  ⑷ y=x€+x

1  y =-3x€-6x-1

=-3(x€+2x)-1

=-3(x€+2x+1)+2  

=-3(x+1)€+2

   118쪽~120쪽



y

2



이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2), 축의

방정식은 x=-1이고, y절편은 -1이

-1

x

O
-1



따라서 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

y=-3x2-6x-1









2  y =x€-2kx+k€+4

=(x€-2kx+k€)+4

=(x-k)€+4

 따라서 주어진 함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는



이때, 꼭짓점 (k, 4)가 제2사분면 위에 있으므로

 (k, 4)

 k<0

3  ⑴ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
b
2a

 ⑵ 축 x=-

가 y축의 오른쪽에 있으므로 -

>0

b
2a





 즉, a, b는 서로 다른 부호이다.

 따라서 a<0이므로 b>0

 ⑶ y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0

따라서 이차방정식 f(2x-3)=0의 두 근의 곱은

다.

즉, 이차방정식 x€+ax+b=0에서 a, b가 실수이고 한 근이 1+i이

 ⑷ a-b+c는 x=-1일 때의 함숫값이므로



므로 다른 한 근은 1-i이다.

이때, 근과 계수의 관계에 의하여

-a=(1+i)+(1-i)=2

∴  a=-2

b=(1+i)(1-i)=2

따라서 f(x)=x€-2x+2를 x-2로 나누었을 때의 나머지는

f(2)=2€-2_2+2=2

 ⑸ 4a+2b+c는 x=2일 때의 함숫값이므로  

a-b+c<0

4a+2b+c<0

 ⑹ x=;3!;일 때 y>0이므로 ;9!;a+;3!;b+c>0, 즉





;9!;(a+3b+9c)>0이므로 a+3b+9c>0

  6 이차방정식과 이차함수   039 



















































4  ⑴ 꼭짓점의 좌표가 (1, -1)이므로 이차함수의 식은


 y=a(x-1)€-1

 함수의 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로

 3=a(2-1)€-1, 3=a-1

 4 a=4

 따라서 구하는 이차함수의 식은

 y=4(x-1)€-1

 4 y=4x€-8x+3

 ⑶ 이차방정식 3x€-18x+27=0에서

 3(x-3)€=0

 4 x=3

 따라서 교점의 x좌표는 3

2  ⑴ 이차방정식 x€+3x-3=0의 판별식을 D라 하면


 D=3€-4_1_(-3)=21>0

 ⑵ 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식은



 이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.



y=a(x+2)€+n

 ⑵ 이차방정식 9x€+6x+1=0의 판별식을 D라 하면

 함수의 그래프가 두 점 (-1, 2), (1, 10)을 지나므로

 2=a+n, 10=9a+n

 두 식을 연립하여 풀면 a=1, n=1

 따라서 구하는 이차함수의 식은

 y=(x+2)€+1

 4 y=x€+4x+5

 ⑶ x축과 두 점 (1, 0), (5, 0)에서 만나므로 이차함수의 식은





;;4Î;;=3€-9_1=0
    이므로 한 점에서 만난다.

 ⑶ 이차방정식 -3x€+4x-2=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=2€-(-3)_(-2)=-2<0

 이므로 만나지 않는다.

y=a(x-1)(x-5)

 함수의 그래프가 점 (0, -5)를 지나므로

 -5=a_(-1)_(-5)

 4 a=-1

 따라서 구하는 이차함수의 식은

 y=-(x-1)(x-5)

 4 y=-x€+6x-5

 ⑷ 세 점이 주어진 이차함수의 식은

 y=ax€+bx+c

 점 (0, 0)을 지나므로 c=0



즉, 이차함수 y=ax€+bx의 그래프가 두 점 (-3, 6), (1, 2)

를 지나므로

 6=9a-3b, 2=a+b

 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1

 따라서 구하는 이차함수의 식은

 y=x€+x



이차함수와 이차방정식의 관계

개념 확인  
1  ⑴ -4, 3  ⑵ -;2#;, 1  ⑶ 3
2    ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.  ⑵ 한 점에서 만난다. 

   121쪽~123쪽

3    ⑴ 만나지 않는다.  ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다. 

⑶ 만나지 않는다. 

⑶ 한 점에서 만난다. 

 

 

1  ⑴ 이차방정식 x€+x-12=0에서


(x+4)(x-3)=0



 4 x=-4 또는 x=3

 따라서 교점의 x좌표는 -4, 3

 ⑵ 이차방정식 -2x€-x+3=0에서

 2x€+x-3=0, (2x+3)(x-1)=0

 4 x=-;2#; 또는 x=1

 따라서 교점의 x좌표는 -;2#;, 1

040  정답과 해설 

3  ⑴ 이차방정식 x€+2x-1=3x-2, 즉 x€-x+1=0의 판별식

 ⑵ 이차방정식 2x€-3x-4=-x+2, 즉 2x€-2x-6=0의 판

을 D라 하면

 D=(-1)€-4_1_1=-3<0

 이므로 만나지 않는다.

별식을 D라 하면



;;4Î;;=(-1)€-2_(-6)=13>0
 이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.

판별식을 D라 하면



;;4Î;;=3€-3_3=0
 이므로 한 점에서 만난다.

 ⑶ 이차방정식 -3x€-2x-2=4x+1, 즉 3x€+6x+3=0의

STEP 



개념 드릴

| 124쪽 |

1  ⑴ -3, 1  ⑵ 2, 4  ⑶ -4, 0

2  ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.  ⑵ 한 점에서 만난다.

  ⑶ 만나지 않는다.

3  ⑴ -2, 1  ⑵ -1  ⑶ 3

4  ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.  ⑵ 만나지 않는다. 

  ⑶ 한 점에서 만난다.

1 ⑴ 이차방정식 x€+2x-3=0에서


(x+3)(x-1)=0



 4 x=-3 또는 x=1


 따라서 교점의 x좌표는 -3, 1
  ⑵ 이차방정식 -x€+6x-8=0에서


 x€-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0

 4 x=2 또는 x=4

 따라서 교점의 x좌표는 2, 4

 ⑶ 이차방정식 -(x+2)€+4=0, 즉 x€+4x=0에서

 x(x+4)=0

 4 x=-4 또는 x=0

 따라서 교점의 x좌표는 -4, 0





























2 ⑴ 이차방정식 x€-5x+5=0의 판별식을 D라 하면


 D=(-5)€-4_1_5=5>0



 이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.

01-2          a=4, b=-6
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 이차방정식의 실근과 

같다.

 ⑵ 이차방정식 -2x€+16x-32=0, 즉 x€-8x+16=0의 판별

이차함수 y=2x€+ax+b의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 -3,

 





















 



 



 ⑶ 이차방정식 -(x-2)€+4=-2x+9, 즉 x€-6x+9=0에

;;4Î;;={-(k-1)}€-(k€+5)=-2k-4

식을 D라 하면

  D
4

=(-4)€-1_16=0

 이므로 한 점에서 만난다.

 ⑶ 이차방정식 -3x€-5x-3=0의 판별식을 D라 하면

 D=(-5)€-4_(-3)_(-3)=-11<0

다른 풀이

 이므로 만나지 않는다.

3 ⑴ 이차방정식 -3x€-x+7=2x+1, 즉 3x€+3x-6=0에서


 4 x=-2 또는 x=1

 3(x+2)(x-1)=0

 따라서 교점의 x좌표는 -2, 1

 ⑵ 이차방정식 2x€+3x+4=-x+2, 즉 2x€+4x+2=0에서

호를 조사한다.

 2(x+1)€=0

 4 x=-1

 따라서 교점의 x좌표는 -1





(x-3)€=0

 4 x=3

 따라서 교점의 x좌표는 3

별식을 D라 하면

  D
4

=2€-2_4=-4<0

 이므로 만나지 않는다.

식을 D라 하면

  D
4

=2€-1_4=0

 이므로 한 점에서 만난다.

4 ⑴ 이차방정식 x€-x-2=2x-3, 즉 x€-3x+1=0의 판별식

을 D라 하면

 D=(-3)€-4_1_1=5>0

 이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.

 ⑵ 이차방정식 2x€+3x+1=-x-3, 즉 2x€+4x+4=0의 판

 ⑶ 이차방정식 x€+x-1=-3x-5, 즉 x€+4x+4=0의 판별

1이므로 이차방정식 2x€+ax+b=0의 두 실근이 -3, 1이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

-3+1=-;2A;, -3_1=;2B;
4 a=4, b=-6

두 근이 -3, 1이고 x€의 계수가 2인 이차방정식은 

2(x+3)(x-1)=0, 즉 2x€+4x-6=0

이 방정식이 2x€+ax+b=0과 같으므로 a=4, b=-6

02-1          ⑴ k<-2  ⑵ k=-2  ⑶ k>-2
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계는 이차방정식의 판별식의 부

이차방정식 x€-2(k-1)x+k€+5=0의 판별식을 D라 하면

⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어야 하므로

 -2k-4>0

 4 k<-2

⑵ 한 점에서 만나려면 D=0이어야 하므로

 -2k-4=0

 4 k=-2

⑶ 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로

 -2k-4<0

 4 k>-2


02-2          24
|해결 전략 | x축과 접하므로 판별식 D=0이다.

이차방정식 2x€+mx+3m+2=0의 판별식을 D라 하면

D=m€-4_2_(3m+2)=m€-24m-16

이차함수의 그래프가 x축과 접하려면 D=0이어야 하므로

m€-24m-16=0을 만족시키는 모든 실수 m의 값의 합은 근과 계

수의 관계에 의하여 24이다.

03-1          a=0, b=9
|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 두 실근이 

-1, 5이다.

이차방정식 x€+ax+4=4x+b, 즉 x€+(a-4)x+4-b=0의 두

실근이 -1, 5이므로 근과 계수의 관계에 의하여

STEP 



필수 유형

| 125쪽~129쪽 |

-1+5=-(a-4), -1_5=4-b

4 a=0, b=9

01-1          a=-1, b=3
|해결 전략 | 이차방정식 x€+ax-6=0의 두 실근이 -2, b이다.

이차함수 y=x€+ax-6의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 -2, b

03-2          7
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표는 -3, 1이다.

이므로 이차방정식 x€+ax-6=0의 두 실근이 -2, b이다.

주어진 그래프에서 이차함수 y=x€+ax+1의 그래프와 직선

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

y=x+b의 교점의 x좌표가 -3, 1이므로 이차방정식



-2+b=-a, -2b=-6

4 a=-1, b=3

x€+ax+1=x+b, 즉 x€+(a-1)x+1-b=0의 두 실근이 -3, 1

이다.

  6 이차방정식과 이차함수   041 

04-2          -2
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 직선이 만나므로 판별식 D>0임을 이용한다.

이차방정식 x€+2x-1=3x+k+1, 즉 x€-x-k-2=0의 판별식을


2  ⑴ -3<x<2일 때, y=(x+1)€-6의
그래프는 오른쪽 그림과 같고, 꼭짓점

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

-3+1=-(a-1), -3_1=1-b

따라서 a=3, b=4이므로 a+b=7

04-1          2
|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 이

이차방정식 x€-2x+2=2x-k, 즉 x€-4x+2+k=0의 판별식

;;4Î;;=(-2)€-(2+k)=2-k
이차함수 y=x€-2x+2의 그래프와 직선 y=2x-k가 접하려면

용한다.

을 D라 하면

D=0이어야 하므로

2-k=0

 4 k=2

D라 하면

D=(-1)€-4_1_(-k-2)=4k+9

이차함수 y=x€+2x-1의 그래프와 직선 y=3x+k+1이 만나려

면 D>0이어야 하므로

4k+9>0



4 k>-;4(;

따라서 정수 k의 최솟값은 -2이다.

참고

만나야 한다.

이차함수의 그래프와 직선이 만나려면 서로 다른 두 점에서 만나거나 한 점에서 

즉, 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 D라 할 

때, D>0 또는 D=0 ➡ D>0

05-1          a=2, b=-2
|해결 전략 | 평행한 두 직선의 기울기는 같다.

직선 y=ax+b가 직선 y=2x+3에 평행하므로 a=2

직선 y=2x+b가 이차함수 y=x€-1의 그래프와 접하므로 이차방

정식 x€-1=2x+b, 즉 x€-2x-b-1=0의 판별식을 D라 하면

D


=(-1)€-(-b-1)=0

 4 b=-2

05-2          m=0, n=-1
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로 판별식 D=0이다.

이차방정식 x€-2kx+k€-1=mx+n, 즉

x€-(2k+m)x+k€-n-1=0의 판별식을 D라 하면

D={-(2k+m)}€-4_1_(k€-n-1)=0

4 4mk+m€+4n+4=0

위 식은 k에 대한 항등식이므로 4m=0, m€+4n+4=0



4 m=0, n=-1

042  정답과 해설 

2

이차함수의 최대·최소

개념 확인  

   130쪽~131쪽

1  ⑴ 최댓값: 없다, 최솟값: 3  ⑵ 최댓값: -5, 최솟값: 없다.

1  ⑶ 최댓값: 없다, 최솟값: -

13
4

  ⑷ 최댓값: ;8(;, 최솟값: 없다.

2    ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: -6  ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: -6

1  ⑴ x=1일 때 최솟값은 3, 최댓값은 없다.
 ⑵ x=-2일 때 최댓값은 -5, 최솟값은 없다.

 ⑶ y=x€+5x+3={x+;2%;}

€-

13
4





 따라서 x=-;2%;일 때 최솟값은 -:¡4£:, 최댓값은 없다.

 ⑷ y=-2x€+x+1=-2{x-;4!;}

€+;8(;

 따라서 x=;4!;일 때 최댓값은 ;8(;, 최솟값은 없다.

의 x좌표 -1이 -3<x<2에 포함되

므로  f(-3)=-2,  f(-1)=-6,

f(2)=3을 비교하면 최댓값은 3, 최

솟값은 -6이다.

 ⑵ 2<x<4일 때, y=-(x-1)€+3의

그래프는 오른쪽 그림과 같고, 꼭짓점

의 x좌표 1이 2<x<4에 포함되지 않

으므로 f(2)=2, f(4)=-6을 비교하

면 최댓값은 2, 최솟값은 -6이다.

y

3

-3

-1

y
3
2

-6

O

2

x

-2

-6

4

O

1 2

x

STEP 



개념 드릴

| 132쪽 |

1  ⑴ 최댓값: 4, 최솟값: 없다.  ⑵ 최댓값: 없다, 최솟값: 3

  ⑶ 최댓값: 없다, 최솟값: 1  ⑷ 최댓값: -1, 최솟값: 없다.

  ⑸ 최댓값: 없다, 최솟값: 4

2  ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -2  ⑵ 최댓값: 6, 최솟값: -2

  ⑶ 최댓값: 4, 최솟값: -4  ⑷ 최댓값: 8, 최솟값: -4

  ⑸ 최댓값: 5, 최솟값: -3

1 ⑴ x=0일 때 최댓값은 4, 최솟값은 없다.
 ⑵ x=0일 때 최솟값은 3, 최댓값은 없다.
  ⑶ y=x€+2x+2=(x+1)€+1


 따라서 x=-1일 때 최솟값은 1, 최댓값은 없다.

 ⑷ y=-x€+4x-5=-(x-2)€-1



 따라서 x=2일 때 최댓값은 -1, 최솟값은 없다.

 ⑸ y=;3!;x€+2x+7=;3!;(x+3)€+4


 따라서 x=-3일 때 최솟값은 4, 최댓값은 없다.

2 ⑴ y=x€-2x-1=(x-1)€-2이므
로 -1<x<2일 때, 주어진 함수의

그래프는 오른쪽 그림과 같다.





따라서 f(-1)=2, f(1)=-2,

f(2)=-1이므로 최댓값은 2, 최솟

값은 -2이다.

 ⑵ y=x€+8x+13=(x+4)€-3이므

로 -3<x<-1일 때, 주어진 함수

의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.





따라서 f(-3)=-2, f(-1)=6이

므로 최댓값은 6, 최솟값은 -2이다.

 ⑶ y=-x€-4x+1=-(x+2)€+5

이므로 -5<x<-3일 때, 주어진

함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같

다.





따라서 f(-5)=-4, f(-3)=4이

므로 최댓값은 4, 최솟값은 -4이다.

 ⑷ y=-3x€+6x+5=-3(x-1)€+8

이므로 0<x<3일 때, 주어진 함수의

그래프는 오른쪽 그림과 같다.





따라서  f(0)=5,  f(1)=8,  

f(3)=-4이므로 최댓값은 8, 최솟값

은 -4이다.

 ⑸ y=2x€-4x-1=2(x-1)€-3이므로

-1<x<1일 때, 주어진 함수의 그래프

는 오른쪽 그림과 같다.



따라서 f(-1)=5, f(1)=-3이므로 최

댓값은 5, 최솟값은 -3이다.

01-2          최댓값: 9, 최솟값: 없다.
|해결 전략 | 이차함수의 최대*최소는 y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 구한다.

y

2

-1

O

-1

-2

1 2

x

y =x€-4x+a=(x-2)€+a-4

x=2일 때 최솟값은 a-4이므로

a-4=-6

 4 a=-2

따라서

y

6

y =ax€-8x+1=-2x€-8x+1

=-2(x+2)€+9

y

9

-3

-4

은 없다.

이므로 x=-2일 때 최댓값 9를 갖고, 최솟값

-2

O

x

-1

O x
-2
-3

y

5
4

02-1          6
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형해 꼭짓점의 x좌표가 제한된 범위에 

포함되는지 확인한다.

-5

O

-2-3

x

y=x€+8x-3k+1=(x+4)€-3k-15이고, 꼭짓점의 x좌표 -4

가 -3<x<-1에 포함되지 않으므로 x=-3일 때 최솟값

-3k-14를 갖는다.

-4

즉, -3k-14=-2이므로 k=-4

따라서 주어진 함수는 y=(x+4)€-3이고, 최댓값은 x=-1일 때

6이다.

3

O

1

x

02-2          -2
|해결 전략 | 꼭짓점의 x좌표가 제한된 범위에 포함되면 범위의 양 끝에서의 함숫

값과 꼭짓점의 y좌표를 비교한다.

y=-x€+2x+m-3=-(x-1)€+m-2이고, 꼭짓점의 x좌표

1이 -1<x<2에 포함되므로 x=1일 때 최댓값 m-2를 갖는다.

즉, m-2=2이므로 m=4

따라서 주어진 함수는 y=-(x-1)€+2이고,

x=-1일 때 y=-2,

x

x=2일 때 y=1

이므로 최솟값은 x=-1일 때 -2이다.

03-1        ⑴ 최댓값: 32, 최솟값: -4  ⑵ 최댓값: 12, 최솟값: -4
|해결 전략 | 공통부분을 t로 치환하여 구한다.

y
8

5

-4

y

5

1
O

-1

-3

STEP 



필수 유형

| 133쪽~138쪽 |

⑴ x€-2x=t로 놓으면

 t=(x-1)€-1

01-1          ⑴ -5  ⑵ a=3, b=-1
|해결 전략 | 이차함수의 최대*최소는 y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 구한다.

⑴ y =-x€-6x+k

=-(x+3)€+k+9

 x=-3일 때 최댓값은 k+9이므로

 k+9=4

 4 k=-5

⑵ y=x€-2ax+8 

 =(x-a)€-a€+8

 x=a일 때 최솟값은 -a€+8이므로

 a=3, b=-a€+8

  4 a=3, b=-3€+8=-1

y



4

-3

O

x

y

3

x

O

-1

 -2<x<2이므로 [그림 1]에서

 -1<t<8



이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면

 y =t€-4t



=(t-2)€-4 (-1<t<8)

 이므로 [그림 2]에서



t=-1일 때 y=5,

t=2일 때 y=-4,

t=8일 때 y=32





 따라서 최댓값은 32, 최솟값은 -4이다.

t

8

1

O
-2-1

2

x

[그림 1]

y
32

5
2-1
O

-4

8

t

[그림 2]

  6 이차방정식과 이차함수   043 

05-1         9
|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 (  )€+(  )€+m 꼴로 변형하여  

(실수)€>0임을 이용한다.

2x€+2y€+8x-8y+k

=2(x€+4x+4)+2(y€-4y+4)+k-16

=2(x+2)€+2(y-2)€+k-16

이때, x, y는 실수이므로 (x+2)€>0, (y-2)€>0
4 2x€+2y€+8x-8y+k>k-16

주어진 식의 최솟값이 -7이므로 k-16=-7

 4 k=9

05-2         -24
|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 (  )€+(  )€+m 꼴로 변형하여 

(실수)€>0임을 이용한다.

6x-4y-x€-y€-9 =-(x€-6x+9)-(y€+4y+4)+4

=-(x-3)€-(y+2)€+4

이때, x, y는 실수이므로 (x-3)€>0, (y+2)€>0
4 6x-4y-x€-y€-9<4

따라서 주어진 식은 x=3, y=-2일 때 최댓값 4를 갖는다.

⑵ x€-2x+3=t로 놓으면

 t=(x-1)€+2

 -1<x<2이므로 [그림 1]에서

 2<t<6

 이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로



=-(t-2)€+12 (2<t<6)

 나타내면

 y =-t€+4t+8

 이므로 [그림 2]에서

 t=2일 때 y=12,

 t=6일 때 y=-4

 따라서 최댓값은 12, 최솟값은 -4이다.

6

t

3
2

O

1

2

x

-1

[그림 1]

y
12

6

t

O
2

-4

[그림 2]

03-2        3
|해결 전략 | x€+2x-1=t로 치환하여 최솟값을 가질 때의 t의 값을 구한다.

x€+2x-1=t로 놓으면

t=(x+1)€-2

 4 t>-2

y =t€+6(t+1)+6



=t€+6t+12

=(t+3)€+3 (t>-2)

이므로 t=-2일 때 최솟값 4를 갖는다.

t=-2일 때, x€+2x-1=-2이므로

x€+2x+1=0, (x+1)€=0

4 x=-1

따라서 a=-1, b=4이므로 a+b=3

이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면

y

즉, a=3, b=-2, c=4이므로 abc=-24



4
3

-2-3

O t

06-1         45 m
|해결 전략 | 주어진 이차함수의 최댓값을 구한다.

y=-5t€+30t=-5(t-3)€+45 (0<t<6)

즉, t=3일 때 최댓값은 45이므로 물체가 가장 높이 올라갔을 때의

높이는 45 m이다.

04-1         최댓값: 6, 최솟값: -2
|해결 전략 | 주어진 조건식을 이차식에 대입하여 최댓값과 최솟값을 구한다.

y=x-4를 x€+xy에 대입하면

x€+x(x-4) =2x€-4x



=2(x-1)€-2 (1<x<3)

x€+xy=t라 하면 t=2(x-1)€-2이고,

1<x<3에서 이 이차함수의 그래프는 오른쪽

그림과 같으므로

x=1일 때 t=-2, x=3일 때 t=6

따라서 x€+xy의 최댓값은 6, 최솟값은 -2이다.

t
6

O

-2

06-2         20 cm€
|해결 전략 | AB’=x cm, AD’=y cm라 하고 식을 세운다.

오른쪽 그림과 같이

F

AB’=x cm, AD’=y cm라 하면

△FAD6△FBE이므로

FA’:FB’=AD’:BE’에서

(10-x):10=y:8

1

3

x

A

y cm

D

10 cm

x cm

B

E

C
8 cm

04-2         3
|해결 전략 | 조건식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차식에 대입한다.

2x+y+3=0, 즉 y=-2x-3을 2x€+y€에 대입하면

2x€+(-2x-3)€ =6x€+12x+9



=6(x+1)€+3

2x€+y€=t라 하면 t=6(x+1)€+3이고,

x=-1일 때 t=3

따라서 2x€+y€의 최솟값은 3이다.

044  정답과 해설 

8(10-x)=10y

 4 y=8-;5$;x

이때, 변의 길이는 양수이므로 x>0, y>0, 즉

x>0, 8-;5$;x>0
직사각형 ABCD의 넓이를 S cm€라 하면

 4 0<x<10

S=xy=x{8-;5$;x}=-;5$;x€+8x

=-;5$;(x-5)€+20 (0<x<10)
따라서 오른쪽 그림에서 S는 x=5일 때 최댓

값 20을 가지므로 직사각형 ABCD의 넓이의

최댓값은 20 cm€이다. 

S
20

O

5

10

x

다른 풀이
1FAD61FBE이므로

FA’:AD’=FB’:BE’=10:8=5:4

이때, FA’=5x, AD’=4x(0<x<2)라 하면

AB’=10-5x

직사각형 ABCD의 넓이를 S cm€라 하면

S =4x(10-5x)=-20x€+40x 

=-20(x-1)€+20 (0<x<2)

댓값은 20 cm€이다.

LECTURE

삼각형에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값은 삼각형의 넓이의 ;2!;이다.

따라서 S는 x=1일 때 최댓값 20을 가지므로 직사각형 ABCD의 넓이의 최

 

2k+5>0

 4 k>-;2%;

따라서 정수 k의 최솟값은 -2이다.

2-2        -2
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 x축과 만나려면 판별식 D>0이어야 한다.

이차방정식 x€-2(k+1)x+k€-4=0의 판별식을 D라 하면

;;4Î;;={-(k+1)}€-(k€-4)=2k+5
이차함수의 그래프가 x축과 만나려면 D>0이어야 하므로

STEP 



유형 드릴

| 139쪽~141쪽 |

4 a+b=3+16=19

3-1        19
|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 두 실근이 

-5, 3이다.

이차방정식 x€+ax+1=x+b, 즉 x€+(a-1)x-b+1=0의 두

실근이 -5, 3이므로 근과 계수의 관계에 의하여

-5+3=-(a-1), -5_3=-b+1

 4 a=3, b=16

3-2        5
|해결 전략 | 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표는 1, 3이다.

이차방정식 -x€+3mx+1=-x+n, 즉 x€-(3m+1)x+n-1=0

의 두 실근이 1, 3이므로 근과 계수의 관계에 의하여

1+3=3m+1, 1_3=n-1

 4 m=1, n=4

4 m+n=1+4=5

4-1        k>4
|해결 전략 | 이차함수의 식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 구

한다.

라 하면

;;4Î;;=(-1)€-1_(-k+5)=k-4
이차함수 y=x€+5의 그래프와 직선 y=2x+k가 서로 다른 두 점

에서 만나려면 D>0이어야 하므로

k-4>0

 4 k>4

4-2        -2
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로 판별식 D=0이다.

이차함수 y=-2x€-x+a의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로

3=-2_(-1)€-(-1)+a

 4 a=4

이차방정식 -2x€-x+4=3x+b, 즉 2x€+4x+b-4=0의 판별

;;4Î;;=2€-2_(b-4)=-2b+12

이차함수 y=-2x€-x+4의 그래프와 직선 y=3x+b가 접하려면

  6 이차방정식과 이차함수   045 

1-1        -2
|해결 전략 | 이차함수 y=x€+x+k의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 a, a+3

으로 놓는다.

이차함수 y=x€+x+k의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 a, a+3

이라 하면 이차방정식 x€+x+k=0의 두 실근이 a, a+3이다.

이때, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+(a+3)=-1, a(a+3)=k
4 a=-2, k=-2

1-2        a=2, b=4
|해결 전략 | 이차방정식 -x€+2ax=0의 두 실근이 0, b이다.

므로 이차방정식 -x€+2ax=0의 두 실근이 0, b이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

0+b=2a

 4 b=2a

이차함수 y=-x€+2ax=-(x-a)€+a€의 꼭짓점 B의 좌표는

(a, a€)이고, 삼각형 OAB의 넓이가 8이므로

;2!;_b_a€=8

이때, b=2a이므로

;2!;_2a_a€=8, a‹=8
4 b=2a=4

 4 a=2 (5 a는 실수)

2-1        -4
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 x축과 접하려면 판별식 D=0이어야 한다.

식을 D라 하면

이차방정식 x€-ax+2-a=0의 판별식을 D라 하면

D=(-a)€-4_1_(2-a)=a€+4a-8

이차함수의 그래프가 x축과 접하려면 D=0이어야 하므로

a€+4a-8=0을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 합은 근과 계수의

관계에 의하여 -4이다.

D=0이어야 하므로

-2b+12=0

 4 b=6

4 a-b=4-6=-2

이차함수 y=-x€+2ax의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 0, b이

이차방정식 x€+5=2x+k, 즉 x€-2x-k+5=0의 판별식을 D

5-1        a=5, k=-;8(;
|해결 전략 | 두 직선 y=ax+b, y=a'x+b'이 평행하면 a=a'임을 이용한다.

4 a+b=-2

즉, 3a+b=4, -a+b=-8이므로 a=3, b=-5

직선 y=ax+k가 직선 y=5x-2에 평행하므로 a=5

직선 y=5x+k가 이차함수 y=-x€+2x+3k의 그래프와 접하므

로 이차방정식 -x€+2x+3k=5x+k, 즉 x€+3x-2k=0의 판

별식을 D라 하면

D=3€-4_1_(-2k)=0, 8k+9=0

4 k=-;8(;

8-1        13
|해결 전략 | 공통부분을 t로 치환하여 최솟값을 구한다.

x€+2=t로 놓으면 t>2

이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면

y
13

y=t€+4t+1=(t+2)€-3 (t>2)

따라서 최솟값은 t=2일 때 13이다.

5-2        m=0, n=-3
|해결 전략 | 이차함수의 그래프가 직선과 접하므로 판별식 D=0이다.

이차방정식 x€+4kx+4k€-3=mx+n, 즉

x€+(4k-m)x+4k€-n-3=0의 판별식을 D라 하면

D=(4k-m)€-4_1_(4k€-n-3)=0

4 -8mk+m€+4n+12=0

위 식은 k에 대한 항등식이므로 -8m=0, m€+4n+12=0

4 m=0, n=-3

6-1        4
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 최댓값을 구한다.

y=-x€-4kx+8k+8=-(x+2k)€+4k€+8k+8은  x=-2k

일 때 최댓값 4k€+8k+8을 갖는다.

4 f(k) =4k€+8k+8=4(k+1)€+4

따라서 f(k)의 최솟값은 k=-1일 때 4이다.

6-2        3
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 최솟값을 구한다.

y=x€-2kx+2k+2=(x-k)€-k€+2k+2는 x=k일 때 최솟값

-k€+2k+2를 갖는다.

4 f(k) =-k€+2k+2=-(k-1)€+3

따라서 f(k)의 최댓값은 k=1일 때 3이다.

y =-2x€-4x+5

=-2(x+1)€+7

이므로 -1<x<2에서 x=-1일 때 최댓값

7, x=2일 때 최솟값 -11을 갖는다.

따라서 최댓값과 최솟값의 합은

7+(-11)=-4

y

7

-1

2

O

x

-11

7-2        -2
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 최댓값과 최솟값을 구한다.

a>0이므로 0<x<3에서 x=3일 때 최댓값 3a+b, x=1일 때 최

y =ax€-2ax+b  

=a(x-1)€-a+b

솟값 -a+b를 갖는다.

046  정답과 해설 

-2

1

2

O
-3

t

t

5

2
1

y

4

O 1

-4
-5

4 5

t

[그림 2]

이때, 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면

-1-2

O1

x

y =t€-8(t-2)-5=t€-8t+11



=(t-4)€-5 (1<t<5)

[그림 1]

8-2        -20
|해결 전략 | x€+2x+2=t로 치환한다.

x€+2x+2=t로 놓으면

t =(x+1)€+1

-2<x<1이므로 [그림 1]에서

1<t<5

따라서 최댓값은 4, 최솟값은 -5이므로 최댓

이므로 [그림 2]에서

t=1일 때 y=4,

t=4일 때 y=-5,

t=5일 때 y=-4

값과 최솟값의 곱은

4_(-5)=-20

참고

x€+2x=t로 치환해도 답은 같다.

t=x€+2x=(x+1)€-1

-2<x<1에서 -1<t<3

이때, 주어진 함수는

9-1        1
|해결 전략 | y€+2x=2를 변형한 식을 x€+y€+4x에 대입한다.

y€+2x=2에서 y€=-2x+2

y€>0이므로 -2x+2>0

 4 x<1

y€=-2x+2를 x€+y€+4x에 대입하면

x€+y€+4x =x€-2x+2+4x=x€+2x+2



=(x+1)€+1 (x<1)

t=(x+1)2+1

x€+y€+4x=t라 하면

t=(x+1)€+1이고, x<1에서 이 이

차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으

므로 x€+y€+4x의 최솟값은 1이다.

t

5

2

1

O-1

1

x

7-1        -4
|해결 전략 | y=a(x-m)€+n 꼴로 변형하여 최댓값과 최솟값을 구한다.

y =(t+2)€-8t-5=t€-4t-1=(t-2)€-5 (-1<t<3)

이므로 -5<y<4

9-2        8
|해결 전략 | 2x-y-4=0을 변형한 식을 4x€+y€에 대입한다.

2x-y-4=0, 즉 y=2x-4를 4x€+y€에 대입하면

4x€+y€ =4x€+(2x-4)€

=8x€-16x+16

=8(x-1)€+8





4x€+y€=t라 하면 t=8(x-1)€+8이고,

x=1일 때 t=8

따라서 4x€+y€의 최솟값은 8이다.

10-1        1
|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 (  )€+(  )€+m 꼴로 변형하여 

(실수)€>0임을 이용한다.

x€-2x+2y€-4y+k€-k+1

=(x€-2x+1)+2(y€-2y+1)+k€-k-2

=(x-1)€+2(y-1)€+k€-k-2

이때, x, y는 실수이므로 (x-1)€>0, (y-1)€>0
4 x€-2x+2y€-4y+k€-k+1>k€-k-2

주어진 식의 최솟값이 0이므로 k€-k-2=0

따라서 모든 k의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 1이다.

10-2        12
|해결 전략 | x, y에 대한 완전제곱식 꼴, 즉 (  )€+(  )€+m 꼴로 변형하여 

(실수)€>0임을 이용한다.

6x-8y-x€-2y€-6

=-(x€-6x+9)-2(y€+4y+4)+11

=-(x-3)€-2(y+2)€+11

이때, x, y는 실수이므로 (x-3)€>0, (y+2)€>0
4 6x-8y-x€-2y€-6<11

따라서 주어진 식은 x=3, y=-2일 때 최댓값 11을 갖는다.

즉, a=3, b=-2, c=11이므로 a+b+c=12

11-2        2
|해결 전략 | 이차방정식 x€+4x+3=0의 실근을 이용하여 두 점 A, B의 좌표

를 구한다.

C(0, 3)이고, x축과 만나는 두 점이 A, B이므로

x€+4x+3=0, (x+3)(x+1)=0

x=-3 또는 x=-1, 즉 A(-3, 0), B(-1, 0)

한편, 점 P(a, b)는 y=x€+4x+3의 그래프 위의 점이므로

b=a€+4a+3 (-3<a<0)
4 -2a+b =-2a+a€+4a+3



=a€+2a+3



=(a+1)€+2

-2a+b=t라 하면 t=(a+1)€+2이고,

꼭짓점의 a좌표가 -3<a<0에 포함되

므로 구하는 최솟값은 2이다.

t=(a+1)2+2
t

6

3
2

-3 -1

O

a

12-1        225원
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 함수식을 세운다.

지우개 한 개의 가격을 x원 인상하면 판매량은 2x개 감소하므로

(지우개 한 개의 가격)=200+x(원)

(지우개 판매량)=500-2x(개) (단, 0<x<250)

이때, 하루 총 판매 금액을 y원이라 하면

y =(200+x)(500-2x)



=-2x€+100x+100000  

=-2(x€-50x+625)+101250



=-2(x-25)€+101250

따라서 y의 최댓값은 x=25일 때 101250이므로 구하는 지우개 한

개의 가격은

200+25=225(원)

11-1        12
|해결 전략 | 점 C의 좌표를 (k, 0)으로 놓는다. 

점 C의 좌표를 (k, 0) (0<k<'5 )이라
하면

y

5

BC’=2k, CD’=-k€+5

직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 l이라

A

D

하면

l =2(BC’+CD’)

=2{2k+(-k€+5)}

=-2k€+4k+10

=-2(k-1)€+12







B

O

x

C

k
y=-x2+5

12-2        1900원
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 함수식을 세운다.

참가비를 100x원 내리면 신청 학생 수는 10x명 증가하므로

(참가비)=3000-100x(원)

(신청 학생 수)=80+10x(명) (단, 0<x<30)

이때, 참가비 총액을 y원이라 하면

y =(3000-100x)(80+10x)

=-1000x€+22000x+240000





=-1000(x€-22x+121)+361000



=-1000(x-11)€+361000

따라서 y의 최댓값은 x=11일 때 361000이므로 구하는 참가비는

따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 12이다.

3000-100_11=1900(원)

  6 이차방정식과 이차함수   047 

STEP 



개념 드릴

| 146쪽 |

  즉, (x+1)(x-2)(x-3)=0에서

  x=-1 또는 x=2 또는 x=3



| 삼차방정식과 사차방정식



삼차방정식과 사차방정식의 풀이

개념 확인  
1    ⑴ x=-2 또는 x=3 또는 x=5  ⑵ x=1 또는 x=2-'2

  144쪽

1  ⑴ x+2=0 또는 x-3=0 또는 x-5=0
  4 x=-2 또는 x=3 또는 x=5
 

  ⑵ x-1=0 또는 x€-4x+2=0
  4 x=1 또는 x=2\'2

 

1    ⑴ x=-7 또는 x=1 또는 x=4  ⑵ x=0 또는 x=\'3 i
  ⑶ x=-5 또는 x=

3\3'5
2
2    ⑴ x=-1 또는 x=-'5  ⑵ x=1 또는 x=- '2
2
  ⑶ x=-2 또는 x=1 또는 x=4

 i

  ⑷ x=-1 또는 x=2 또는 x=3

3  ⑴ x=-1 또는 x=1 또는 x=3 또는 x=5

  ⑵ x=-5 또는 x=-2 또는 x=-1 또는 x=2

  ⑶ x=-2 또는 x=-1 또는 x=3 또는 x=4
4  ⑴ x=-2i 또는 x=-'3  ⑵ x=-i 또는 x=-2i
 

 또는 x=

 ⑶ x=

 

-3\'ß17


3\'ß17
2

 

 ⑷ x=-1\2i 또는 x=1\2i 

1 ⑴ x+7=0 또는 x-1=0 또는 x-4=0
  4 x=-7 또는 x=1 또는 x=4
 

  ⑵ x=0 또는 x€+3=0

 

  4 x=0 또는 x=\'3 i
  ⑶ x+5=0 또는 x€-3x-9=0
3\3'5 
2

  4 x=-5 또는 x=

 

2 ⑴ x‹+x€-5x-5=0에서
  x€(x+1)-5(x+1)=0 
 

 

 

 

 

(x+1)(x€-5)=0

  x=-1 또는 x€=5
  4 x=-1 또는 x=-'5

048  정답과 해설 

 이므로 조립제법을 이용하여  f(x)

1 1 -3 -6

8
1 -2 -8


  1 -2 -8

  ⑵ 2x‹-2x€+x-1=0에서

  2x€(x-1)+(x-1)=0 

  (x-1)(2x€+1)=0

  x=1 또는 x€=-;2!;
  4 x=1 또는 x=- '2
2

i

     ⑶ f(x)=x‹-3x€-6x+8로 놓으면

f(1)=1-3-6+8=0 

를 인수분해하면

f(x)  =(x-1)(x€-2x-8) 

 

=(x-1)(x+2)(x-4)

  즉, (x+2)(x-1)(x-4)=0에서

  x=-2 또는 x=1 또는 x=4

  ⑷ f(x)=x‹-4x€+x+6으로 놓으면

  f(-1)=-1-4-1+6=0 

 

 이므로 조립제법을 이용하여  f(x)

를 인수분해하면

  f(x) =(x+1)(x€-5x+6) 

=(x+1)(x-2)(x-3)

-1 1 -4
-1
1 -5

1
6
5 -6

6

3 ⑴   (x€-4x)€-2(x€-4x)=15에서 x€-4x=X로 놓으면
 

  X€-2X-15=0, (X+3)(X-5)=0

  1, 2에서 x=-1 또는 x=1 또는 x=3 또는 x=5

  ⑵ (x€+3x)€-8(x€+3x)-20=0에서 x€+3x=X로 놓으면

  4 X=-3 또는 X=5

  1 X=-3일 때, x€-4x=-3에서

  x€-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0

  4 x=1 또는 x=3

  2 X=5일 때, x€-4x=5에서

  x€-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0

  4 x=-1 또는 x=5

  X€-8X-20=0, (X+2)(X-10)=0

  4 X=-2 또는 X=10

  1 X=-2일 때, x€+3x=-2에서

  x€+3x+2=0, (x+2)(x+1)=0

  4 x=-2 또는 x=-1

  2 X=10일 때, x€+3x=10에서

  x€+3x-10=0, (x+5)(x-2)=0

  4 x=-5 또는 x=2

  1, 2에서 x=-5 또는 x=-2 또는 x=-1 또는 x=2

  ⑶ (x€-2x)€-11(x€-2x)+24=0에서 x€-2x=X로 놓으면 

  X€-11X+24=0, (X-3)(X-8)=0

  4 X=3 또는 X=8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1 X=3일 때, x€-2x=3에서

⑴    f(x)=x‹+2x€-16으로 놓으면

  x€-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0

  f(2)=8+8-16=0 

  4 x=-1 또는 x=3

  2 X=8일 때, x€-2x=8에서

  x€-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0

  4 x=-2 또는 x=4

 

 이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 

인수분해하면

  f(x)=(x-2)(x€+4x+8)

  즉, (x-2)(x€+4x+8)=0에서

2 1

1

2
2
4

0 -16
16
8
0
8

  1, 2에서 x=-2 또는 x=-1 또는 x=3 또는 x=4

  x=2 또는 x€+4x+8=0

    1 X=-4일 때, x€=-4 

  4 x=-2i

 이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 

;2!; 2

2

1 -3

1

1
2 -2

1 -1
0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ⑴ x€=X로 놓으면
 

  X€+X-12=0, (X+4)(X-3)=0

 

  4 X=-4 또는 X=3

    2 X=3일 때, x€=3 

  4 x=-'3

  1, 2에서 x=-2i 또는 x=-'3

  ⑵ x€=X로 놓으면

  X€+5X+4=0, (X+1)(X+4)=0

  4 X=-1 또는 X=-4

    1 X=-1일 때, x€=-1 

    2 X=-4일 때, x€=-4 

  4 x=-i
  4 x=-2i

  1, 2에서 x=-i 또는 x=-2i

  ⑶ x›-13x€+4=0에서

(x›-4x€+4)-9x€=0, (x€-2)€-(3x)€=0

(x€+3x-2)(x€-3x-2)=0

    4 x€+3x-2=0 또는 x€-3x-2=0 

  1 x€+3x-2=0에서 x=

  2 x€-3x-2=0에서 x=

-3\'ß17

3\'ß17
2

 

    1, 2에서 x=

-3\'ß17


 또는 x=

3\'ß17
2

  ⑷ x›+6x€+25=0에서

(x›+10x€+25)-4x€=0, (x€+5)€-(2x)€=0

(x€+2x+5)(x€-2x+5)=0

  4 x€+2x+5=0 또는 x€-2x+5=0

  1 x€+2x+5=0에서 x=-1+2i
  2 x€-2x+5=0에서 x=1+2i 
  1, 2에서 x=-1+2i 또는 x=1+2i

 

 

 

  4 x=2 또는 x=-2\2i

⑵  f(x)=2x‹+x€-3x+1로 놓으면

 f     {;2!;}=;4!;+;4!;-;2#;+1=0 

인수분해하면

  f(x)={x-;2!;}(2x€+2x-2)

=2   {x-;2!;}(x€+x-1)

  즉, 2   {x-;2!;}(x€+x-1)=0에서

  x=;2!; 또는 x€+x-1=0
-1+
2

  4 x=;2!; 또는 x=

'5

⑶    f(x)=x›+x‹-3x€-x+2로 놓으면

  f(1)=1+1-3-1+2=0,

  f(-1)=1-1-3+1+2=0 

 

 이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

1 1

 
-1 1



1 -3 -1   2
2 -1 -2
1
2 -1 -2
0
-1 -1   2
0

1 -2

1

  f(x) =(x-1)(x+1)(x€+x-2)   

=(x-1)€(x+1)(x+2)

  즉, (x-1)€(x+1)(x+2)=0에서

  x=-2 또는 x=-1 또는 x=1   (중근)

⑷    f(x)=x›+x‹+2x-4로 놓으면

  f(1)=1+1+2-4=0,

  f(-2)=16-8-4-4=0

1 1

1
1
2
-2
0

1

0
2 -4
4
2
2
0
4
2
0 -4
0
2

  f(x)=(x-1)(x+2)(x€+2)

  즉, (x-1)(x+2)(x€+2)=0에서

  x=1 또는 x=-2 또는 x€+2=0

  4 x=-2 또는 x=1 또는 x=+

'2   i

  이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

STEP 



필수 유형

| 147쪽~151쪽 |



-2 1

 

01-1          ⑴ x=2 또는 x=-2\2i  ⑵ x=;2!; 또는 x= -1\'5
 ⑶ x=-2 또는 x=-1 또는 x=1   (중근)
 ⑷ x=-2 또는 x=1 또는 x=+

2

 

'2   i

|해결 전략 | 인수정리와 조립제법을 이용하여 주어진 방정식의 좌변을 인수분해

한 후 근을 구한다.

  7 삼차방정식과 사차방정식   049 

02-1          ⑴ x=-3 또는 x=-2 또는 x=1 또는 x=2

 ⑵ x=-6 또는 x=-2 또는 x=-4-'6

⑶ x›+x€+1=0에서 

  (x›+2x€+1)-x€=0, (x€+1)€-x€=0

|해결 전략 | ⑴ 공통부분을 치환하여 주어진 방정식의 좌변을 인수분해한 후 근

  (x€+x+1)(x€-x+1)=0

을 구한다.

⑵ 공통부분이 생기도록 식을 묶어 전개한 후 공통부분을 치환한다.

⑴ (x€+x+2)€-12(x€+x)+8=0에서 x€+x=X로 놓으면 

  (X+2)€-12X+8=0, X€-8X+12=0

  (X-2)(X-6)=0 

  4 X=2 또는 X=6

  1 X=2일 때, x€+x=2, x€+x-2=0

  1 x€+x+1=0에서 x=

  4 x€+x+1=0 또는 x€-x+1=0
-1\'3i
2
1\'3i
2

  2 x€-x+1=0에서 x=

  1, 2에서 x=

 또는 x=

-1\'3i
2

1\'3i


 

 

 

 

(x+2)(x-1)=0 

  4 x=-2 또는 x=1

⑷ x›-15x€+25=0에서 

  2 X=6일 때, x€+x=6, x€+x-6=0

  (x›+10x€+25)-25x€=0, (x€+5)€-(5x)€=0

(x+3)(x-2)=0 

  4 x=-3 또는 x=2

  (x€+5x+5)(x€-5x+5)=0

  1, 2에서 x=-3 또는 x=-2 또는 x=1 또는 x=2

  4 x€+5x+5=0 또는 x€-5x+5=0

 

 

 

 

 

 

⑵ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=-15에서

  {(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}=-15

  (x€+8x+7)(x€+8x+15)=-15

  x€+8x=X로 놓으면 

  (X+7)(X+15)=-15

  X€+22X+120=0, (X+12)(X+10)=0

  4 X=-12 또는 X=-10

  1 X=-12일 때, x€+8x=-12

   x€+8x+12=0, (x+6)(x+2)=0

   4 x=-6 또는 x=-2

  2 X=-10일 때, x€+8x=-10

   x€+8x+10=0 

 
  1, 2에서 x=-6 또는 x=-2 또는 x=-4\'6

  4 x=-4\'6

03-1          ⑴ x=+2i 또는 x=+

'7

 ⑵ x=-1\'2 또는 x=1\'2
 ⑶ x=

 또는 x=

-1\'3i
2
-5\'5


1\'3i

5\'5
2

 ⑷ x=

 또는 x=

⑴ x€=X로 놓으면

  X€-3X-28=0, (X+4)(X-7)=0

  4 X=-4 또는 X=7

  1 X=-4일 때, x€=-4 

  4 x=\2i

  2 X=7일 때, x€=7 
  1, 2에서 x=\2i 또는 x=\'7
⑵ x›-6x€+1=0에서 

  4 x=\'7

  (x€+2x-1)(x€-2x-1)=0

  4 x€+2x-1=0 또는 x€-2x-1=0

  1 x€+2x-1=0에서 x=-1+
  2 x€-2x-1=0에서 x=1+
'2
  1, 2에서 x=-1\'2 또는 x=1\'2

'2

050  정답과 해설 

  1 x€+5x+5=0에서 x=

  2 x€-5x+5=0에서 x=

-5\'5
2
5\'5
2

  1, 2에서 x=

 또는 x=

-5\'5
2

5\'5


04-1          k=4, 두 근의 곱: -1 
|해결 전략 | 주어진 근을 방정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 방정식의 좌변

을 인수분해한다. 

x‹-kx€+(k-1)x+2=0의 한 근이 2이므로 x=2를 대입하면

8-4k+2k-2+2=0 

  4 k=4 

 따라서 주어진 방정식은 

x‹-4x€+3x+2=0이고 이 방정식의 한 

근이 2이므로 조립제법을 이용하여 좌변을 

2 1 -4

3
2
2 -4 -2
0

1 -2 -1

인수분해하면

(x-2)(x€-2x-1)=0

 이때, 주어진 방정식의 나머지 두 근은 이차방정식 x€-2x-1=0의 

근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 근의 곱은 -1이다.

참고

이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면 

04-2          a=9, b=-3, 두 근의 합: 0
|해결 전략 | 주어진 근을 방정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 방정식의 좌변

x›+x‹-ax€+bx+18=0의 두 근이 -3, 2이므로  

 

을 인수분해한다. 

x=-3을 대입하면 

x=2를 대입하면 

16+8-4a+2b+18=0 

  4 2a-b=21 

yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=9, b=-3

 따라서 주어진 방정식은 x›+x‹-9x€-3x+18=0이고 이 방정식

의 두 근이 -3, 2이므로 조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면

|해결 전략 | x€=X로 치환하여 좌변이 인수분해되면 인수분해하여 근을 구하

고, 인수분해되지 않으면 A€-B€=0 꼴로 변형하여 인수분해한 후 근을 구한다. 

➡ a+b=-;aB;, ab=;aC; 

  (x›-2x€+1)-4x€=0, (x€-1)€-(2x)€=0

81-27-9a-3b+18=0 

  4 3a+b=24 

yy ㉠

1 -9 -3
-3 1
 
6
  2 1 -2 -3
 

18
  9 -18
0

-3

6
0 -6
0

2
0 -3

1

(x+3)(x-2)(x€-3)=0

2  x‹-(1+2+5)x€+(1_2+2_5+5_1)x-1_2_5=0
  4 x‹-8x€+17x-10=0

3   삼차방정식의 모든 계수가 유리수이므로 1-'2가 근이면 1+'2

도 근이다.

   이때, 주어진 방정식의 나머지 두 근은 이차방정식 x€-3=0의 근이

므로 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 근의 합은 0이다.

05-1          k>-1
|해결 전략 |  f(x)=x‹+x€+kx-k-2로 놓고  f(x)를 인수분해한 후  

 f(x)=0이 허근을 가질 조건을 구한다. 

f(x)=x‹+x€+kx-k-2로 놓으면  f(1)=0이므로 조립제법을 

4  x‹=1, x€+x+1=0이므로
  ⑴ x+x€=-1

  ⑵ x⁄€=(x‹)›=1

  ⑶ x‹+xfl=x‹+(x‹)€=1+1€=2 

이용하여  f(x)를 인수분해하면

1 1
 
  1

1
1
2

k -k-2
k+2
2
0
k+2

 f(x)=(x-1)(x€+2x+k+2)

이때, 방정식 f(x)=0이 허근을 가지려면 이차방정식  

x€+2x+k+2=0이 허근을 가져야 한다.

따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

=1-(k+2)=-k-1<0

D

4 k>-1

05-2          k<-;4!;
|해결 전략 |  f(x)=x‹+3kx+3k+1로 놓고  f(x)를 인수분해한 후  f(x)=0

의 근이 모두 실수일 조건을 구한다.

f(x)=x‹+3kx+3k+1로 놓으면  f(-1)=0이므로 조립제법을 

이때, 방정식 f(x)=0의 근이 모두 실수가 되려면 이차방정식  

이용하여  f(x)를 인수분해하면

-1 1
 
 

1

0
-1
-1

3k

3k+1
1 -3k-1
 0 

3k+1

f(x)=(x+1)(x€-x+3k+1)

x€-x+3k+1=0이 실근을 가져야 한다.

따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D=1-4(3k+1)=-12k-3>0

4 k<-;4!;

2

삼차방정식의 근과 계수의 관계

개념 확인  

1  ⑴ -;2#; 
 ⑵ -6  ⑶ ;2%;
2  x‹-8x€+17x-10=0
3  1+'2
4  ⑴ -1  ⑵ 1  ⑶ 2

  152쪽~154쪽

| 155쪽 |

STEP 



개념 드릴

1  ⑴ 2 

 ⑵ 0  ⑶ -5

2  ⑴ x‹-6x€+5x=0  ⑵ x‹-4x€+x+6=0

  ⑶ x‹-5x€+3x+1=0  ⑷ x‹-4x€+6x-4=0

3  ⑴ a=0, b=-6, c=-4  ⑵ a=-1, b=0, c=2

  ⑶ a=-8, b=25, c=-26

4  ⑴ 1  ⑵ -1  ⑶ 0  ⑷ -1

2 ⑴ (세 근의 합)=0+1+5=6
 

 

(두 근끼리의 곱의 합)=0_1+1_5+5_0=5

 

(세 근의 곱)=0_1_5=0

  x‹의 계수가 1이므로 x‹-6x€+5x=0

  ⑵ (세 근의 합)=-1+2+3=4

(두 근끼리의 곱의 합)=-1_2+2_3+3_(-1)=1

(세 근의 곱)=-1_2_3=-6

 
  x‹의 계수가 1이므로 x‹-4x€+x+6=0
  ⑶ (세 근의 합)=(2+'5 )+(2-'5 )+1=5
 

(두 근끼리의 곱의 합)

 
  =(2+'5 )(2-'5 )+(2-'5 )_1+1_(2+'5 )=3
 

(세 근의 곱)=(2+'5 )_(2-'5 )_1=-1

  x‹의 계수가 1이므로 x‹-5x€+3x+1=0

  ⑷ (세 근의 합)=(1+i)+(1-i)+2=4

 (두 근끼리의 곱의 합) 

  =(1+i)(1-i)+(1-i)_2+2_(1+i)=6

(세 근의 곱)=(1+i)_(1-i)_2=4

  x‹의 계수가 1이므로 x‹-4x€+6x-4=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  7 삼차방정식과 사차방정식   051 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3  ⑴   삼차방정식의 모든 계수가 유리수이므로 1+'3이 근이면 

1-'3 도 근이다.

  -2+(1+'3 )+(1-'3 )=-a 
  -2(1+'3 )+(1+'3 )(1-'3 )-2(1-'3 )=b  4 b=-6
  -2(1+'3 )(1-'3 )=-c 

  4 c=-4

  4 a=0

  ⑵   삼차방정식의 모든 계수가 실수이므로 1+i가 근이면 1-i도 

  -1+(1+i)+(1-i)=-a 

  4 a=-1

  -(1+i)+(1+i)(1-i)-(1-i)=b 

  4 b=0

  -(1+i)(1-i)=-c 

  4 c=2

  ⑶   삼차방정식의 모든 계수가 실수이므로 3-2i가 근이면 3+2i

근이다.

도 근이다.

01-2          -2
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식을 변형한다.

삼차방정식 x‹-2x+k=0에서 근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=0, abc=-k

이때, a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b이므로 

(a+b)(b+c)(c+a) =(-c)_(-a)_(-b)=-abc=-2
4 k=-abc=-2

02-1          x‹-5x€-2x+1=0

|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 



을 세 근으로

1
a



1
b

1
c

하는 삼차방정식의 각 항의 계수를 구한다.

  2+(3-2i)+(3+2i)=-a 

  4 a=-8

삼차방정식 x‹-2x€-5x+1=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정

  2(3-2i)+(3-2i)(3+2i)+2(3+2i)=b 

  4 b=25

식의 근과 계수의 관계에 의하여

  2(3-2i)(3+2i)=-c 

  4 c=-26

4  x‹=1, x€+x+1=0이므로
  ⑴ x·=(x‹)‹=1‹=1

  ⑵ x°+x‡=(x‹)€_x€+(x‹)€_x=x€+x=-1

  ⑶ x⁄‚+xfi+1 =(x‹)‹_x+x‹_x€+1  

 

  ⑷ x€+

=

1
x€

=

x‹_x+1
x€

=x+x€+1=0

x›+1
x€
x+1
x€

=

=-1

=

-x€
x€

STEP 



필수 유형

| 156쪽~159쪽 |

01-1          ⑴ 0  ⑵ 15
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다.

삼차방정식 x‹-3x€+x+1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=3, ab+bc+ca=1, abc=-1

⑴ (1-a)(1-b)(1-c)

  =1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc

  =1-3+1-(-1)=0

⑵ a‹+b‹+c‹

  =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc

  = (a+b+c){(a+b+c)€-3(ab+bc+ca)} +3abc

  =3(3€-3_1)+3_(-1)=15

⑴ x-a, x-b, x-c가 모두 x‹-3x€+x+1의 인수이므로 

 x‹-3x€+x+1=(x-a)(x-b)(x-c) 

yy ㉠

 x=1을 ㉠에 대입하면 (1-a)(1-b)(1-c)=0

⑵ a‹+b‹+c‹-3abc=(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)

다른 풀이

 

 

참고

052  정답과 해설 

a+b+c=2, ab+bc+ca=-5, abc=-1
구하는 삼차방정식의 세 근이  1
a

,  1
b

,  1
c

이므로

(세 근의 합)=

+

+

=

1
a

1
b

1
c

bc+ca+ab 
abc

=

-5
-1

=5

(두 근끼리의 곱의 합)=

+

+

=

1
ab

1
bc

1
ca

c+a+b
abc 

=

2
-1

=-2

(세 근의 곱)=

1
abc

=

1
-1

=-1

따라서 구하는 삼차방정식은 x‹-5x€-2x+1=0

02-2          x‹-2x-1=0
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 ab, bc, ca를 세 근으로 

하는 삼차방정식의 각 항의 계수를 구한다.

삼차방정식 x‹+2x€-1=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정식의 

근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=-2, ab+bc+ca=0, abc=1

구하는 삼차방정식의 세 근이 ab, bc, ca이므로

(세 근의 합)=ab+bc+ca=0

(두 근끼리의 곱의 합) =ab€c+bc€a+ca€b 

 

=abc(a+b+c)=-2

(세 근의 곱)=ab_bc_ca=(abc)€=1

따라서 구하는 삼차방정식은 x‹-2x-1=0

03-1          -2
|해결 전략 | 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.

계수가 유리수이고 한 근이 '3   -1이므로 -'3   -1도 근이다.
따라서 나머지 한 근을 a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
('3   -1)+(-'3   -1)+a=-1에서 a=1
('3   -1)(-'3   -1)+a('3   -1)+a(-'3   -1)=a에서 
a=-2-2a=-4
a('3   -1)(-'3   -1)=-b에서 b=2a=2
4 a+b=-2

다른 풀이
x='3-1을 x‹+x€+ax+b=0에 대입하면 

('3-1)‹+('3-1)€+a('3-1)+b=0
4 (-a+b-6)+(a+4)'3=0
a, b가 유리수이므로

-a+b-6=0, a+4=0 
4 a+b=-2

  4 a=-4, b=2

STEP 



유형 드릴

| 160쪽~161쪽 |

1-1        4
|해결 전략 | 주어진 방정식의 좌변을 인수분해한 후 근을 구한다. 

03-2          -35
|해결 전략 | 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.

  계수가 실수이고 한 근이 1+2i이므로 1-2i도 근이다.

  따라서 나머지 한 근을 a라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

x‹-2x€-x+2=0에서

x€(x-2)-(x-2)=0

(x€-1)(x-2)=0

(x+1)(x-1)(x-2)=0

4 x=-1 또는 x=1 또는 x=2

4 |a|+|b|+|c|=1+1+2=4

(1+2i)+(1-2i)+a=3에서 a=1

(1+2i)(1-2i)+a(1+2i)+a(1-2i)=a에서 

a=5+2a=7

a(1+2i)(1-2i)=-b에서 b=-5a=-5
4 ab=-35

다른 풀이

x=1+2i를 x‹-3x€+ax+b=0에 대입하면

(1+2i)‹-3(1+2i)€+a(1+2i)+b=0
4 (a+b-2)+(2a-14)i=0

a, b가 실수이므로

a+b-2=0, 2a-14=0 
4 ab=-35

  4 a=7, b=-5

04-1          ⑴ -1  ⑵ 1
|해결 전략 | 방정식 x‹=1의 허근의 성질을 이용한다.

⑴ x‹=1, x€+x+1=0이므로

  x⁄‚+

=(x‹)‹_x+

1
x⁄‚

1
(x‹)‹_x

=x+

=

1
x

x€+1
x

 

  x⁄‚+ =

=-1 

-x
x

⑵  x€+x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 허근은 x”이다.  

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 x+x”=-1, xx”=1

  4 

1
1+x

+

1
1+x”

=

(1+x”)+(1+x)
(1+x)(1+x”)

     

=

2+(x+x”)
1+(x+x”)+xx”

=1

04-2          ⑴ 1  ⑵ 1
|해결 전략 | 방정식 x‹=-1의 허근의 성질을 이용한다.

⑴ x‹+1=0에서 (x+1)(x€-x+1)=0

  4 x‹=-1, x€-x+1=0
 4  x‹›+x‹fl

=

x‹fi

(x‹)⁄⁄_x+(x‹)⁄€
(x‹)⁄⁄_x€

=

-x+1
-x€

=

-x€
-x€ 

=1

⑵ x€-x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 허근은 x”이다. 
  따라서 근과 계수의 관계에 의하여 x+x”=1, xx”=1

  4 

1
1-x

+

1
1-x”

=

(1-x”)+(1-x)
(1-x)(1-x”)

 

 

=

2-(x+x”)
1-(x+x”)+xx”

=1

1-2        1
|해결 전략 | 인수정리와 조립제법을 이용하여 주어진 방정식의 좌변을 인수분해

한 후 근과 계수의 관계를 이용한다.

f(x)=x‹+2x€+x+12로 놓으면

f(-3)=-27+18-3+12=0 

이므로 조립제법을 이용하여  f(x)

-3 1

를 인수분해하면

f(x)=(x+3)(x€-x+4)

  2
-3
1 -1

12
1
3 -12
   0
4

즉, (x+3)(x€-x+4)=0에서 x+3=0 또는 x€-x+4=0

  이때, 실근 a=-3이고, 두 허근 b, c는 방정식 x€-x+4=0의 두 

근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 bc=4
4 a+bc=-3+4=1

2-1        -5
|해결 전략 | 공통부분을 치환하여 인수분해한다.

x€+3x=X로 놓으면 주어진 방정식은

X€+6X+5=0, (X+5)(X+1)=0

4 X=-5 또는 X=-1

1 X=-5일 때, x€+3x=-5

  x€+3x+5=0의 판별식을 D¡이라 하면

 

 D¡=3€-4_1_5=-11<0

  이므로 이 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

2 X=-1일 때, x€+3x=-1

  x€+3x+1=0의 판별식을 D™라 하면

  D™=3€-4_1_1=5>0

  이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

 1, 2에서 한 허근 a는 방정식 x€+3x+5=0의 근이므로 

a€+3a+5=0 

  4 a€+3a=-5

2-2        -7
|해결 전략 | 공통부분이 생기도록 식을 변형한 후 공통부분을 치환하여 인수분

해한다.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3에서

{(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}=3

  7 삼차방정식과 사차방정식   053 

따라서 방정식 x›+x‹-7x€-x+6=0의 네 근이 -1, 2, -3, 1이

므로 나머지 두 근의 곱은 -3_1=-3

4-1        k>;8!;
|해결 전략 | f(x)=x‹+(2k-1)x-2k로 놓고 f(x)를 인수분해한 후  

f(x)=0이 허근을 가질 조건을 구한다.

(x€+5x+4)(x€+5x+6)=3

x€+5x=X로 놓으면 

(X+4)(X+6)=3, X€+10X+21=0

(X+7)(X+3)=0 

  4 X=-7 또는 X=-3

1 X=-7일 때, x€+5x=-7

  x€+5x+7=0의 판별식을 D¡이라 하면

  D¡=5€-4_1_7=-3<0

2 X=-3일 때, x€+5x=-3

  x€+5x+3=0의 판별식을 D™라 하면 

  D™=5€-4_1_3=13>0

  이므로 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

  이므로 이 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

f(x)=x‹+(2k-1)x-2k로 놓으면 f(1)=0이므로 조립제법을 

이용하여  f(x)를 인수분해하면

1 1

 

1

0
1
1

2k-1 -2k
2k
0

1
2k

x€+x+2k=0이 허근을 가져야 한다.

따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

 1, 2에서 한 허근 a는 방정식 x€+5x+7=0의 근이므로 

f(x)=(x-1)(x€+x+2k)

a€+5a+7=0 

  4 a€+5a=-7

이때, 방정식 f(x)=0이 허근을 가지려면 이차방정식 

3-1        5
|해결 전략 | x=1을 주어진 방정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 방정식의 좌

변을 인수분해한다.

x‹-6x€+ax-6=0의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면

D=1-8k<0

4 k>;8!;

1-6+a-6=0 

  4 a=11

따라서 주어진 방정식은  

x‹-6x€+11x-6=0이고 이 방정식의 

1 1 -6

1 -5
1 -5   6

 11 -6
  6
0

한 근이 1이므로 조립제법을 이용하여 

f(x)=0이 중근을 가질 조건을 구한다.

4-2        ;4!;
|해결 전략 | f(x)=x‹-2x€+(k+1)x-k로 놓고 f(x)를 인수분해한 후 

f(x)=x‹-2x€+(k+1)x-k로 놓으면  f(1)=0이므로 조립제법

좌변을 인수분해하면

(x-1)(x€-5x+6)=0 

 

4 (x-1)(x-2)(x-3)=0

a=3, b=2 
4 a€-b€=3€-2€=5

 따라서 방정식 x‹-6x€+11x-6=0의 세 근이 1, 2, 3이므로 

3-2        -3
|해결 전략 | 주어진 근을 방정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 방정식의 좌변

을 인수분해한다. 

x›+x‹+ax€-x+b=0의 두 근이 -1, 2이므로

x=-1을 대입하면

1-1+a+1+b=0 

  4 a+b=-1 

x=2를 대입하면

16+8+4a-2+b=0 

  4 4a+b=-22 

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-7, b=6

yy ㉠

yy ㉡

따라서 주어진 방정식은 x›+x‹-7x€-x+6=0이고 이 방정식의 

두 근이 -1, 2이므로 조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면

-1 1

2 1

1

-1

1 -7 -1
0
0 -7
2
2 -3

6
7 -6
6
0
4 -6
0



(x+1)(x-2)(x€+2x-3)=0

4 (x+1)(x-2)(x+3)(x-1)=0

054  정답과 해설 

을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

1 1 -2 k+1 -k
 
k
1 -1
  1 -1
0
k



f(x)=(x-1)(x€-x+k)

이때, 방정식 f(x)=0이 중근을 가지려면

1 이차방정식 x€-x+k=0이 x=1을 근으로 갖는 경우

 1-1+k=0 

  4 k=0

2 이차방정식 x€-x+k=0이 중근을 갖는 경우

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

 D=1-4k=0 

  4 k=;4!;

1, 2에서 구하는 모든 실수 k의 값의 합은 0+;4!;=;4!;

 

 

 

5-1        4
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다.

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=-1, ab+bc+ca=-6, abc=-3
+ c+a
4  a+b
ca 
ab

= c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)
abc

+ b+c
bc

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  =

2(ab+bc+ca)
abc 

  =

2_(-6)  
-3 

=4 

5-2        4
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다.

7-1        a=9, b=-5, 실근: 1
|해결 전략 | 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=2, ab+bc+ca=0, abc=-4

이때, a+b+c=2이므로

a+b=2-c, b+c=2-a, c+a=2-b
4 (a+b)(b+c)(c+a)

  =(2-c)(2-a)(2-b)

  =8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc

  =8-4_2+2_0-(-4)=4

6-1        ;2!;

|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 

을 세 근으로

1
a



1
b



1
c

하는 삼차방정식의 각 항의 계수를 구한다.

삼차방정식 x‹+2x€-x+4=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정

식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=-2, ab+bc+ca=-1, abc=-4

구하는 삼차방정식의 세 근이





이므로

1
a

1
b

1
c

1
a

1
ab

+

+

=

1
b

1
c

bc+ca+ab
abc

=

-1
-4

=;4!;

+

+

=

1
ca

c+a+b
abc

=

-2 
-4

=;2!;

1
bc

1
abc

=


-4

=-;4!;

따라서 구하는 삼차방정식은 x‹-;4!;x€+;2!;x+;4!;=0이므로

a=-;4!;, b=;2!;, c=;4!;

4 a+b+c=-;4!;+;2!;+;4!;=;2!;

6-2        a=1, b=-1, c=4
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 a+b+c, 

ab+bc+ca, abc의 값을 a, b, c로 나타낸다.

삼차방정식 x‹+ax€-2x+2=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정

식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b+c=-a, ab+bc+ca=-2, abc=-2 

…… ㉠

삼차방정식 x‹-2x€+bx+c=0의 세 근이 a+1, b+1, c+1이므로

(a+1)+(b+1)+(c+1)=2에서 a+b+c=-1

(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)=b에서

ab+bc+ca+2(a+b+c)+3=b
4 ab+bc+ca=b-1

(a+1)(b+1)(c+1)=-c에서

abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1=-c
4 abc=-b-c+1

이때, ㉠에 의하여

-1=-a, b-1=-2, -b-c+1=-2

4 a=1, b=-1, c=4

계수가 실수이고 한 근이 2+i이므로 2-i도 근이다.

따라서 나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 

의하여

(2+i)+(2-i)+a=5 

  4 a=1

(2+i)(2-i)+(2-i)_1+1_(2+i)=a 

  4 a=9

(2+i)_(2-i)_1=-b 

  4 b=-5

7-2        8
|해결 전략 | 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.

계수가 실수이고 한 근이 1-'2   i이므로 1+'2   i도 근이다.
따라서 나머지 한 근을 a라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 

의하여
(1-'2   i)+(1+'2   i)+a=-a에서
2+a=-a 
(1-'2   i)(1+'2   i)+a(1-'2   i)+a(1+'2   i)=b에서 
3+2a=b 
a(1-'2   i)(1+'2   i)=3에서 a=1
a=1을 ㉠, ㉡에 대입하면 a=-3, b=5
4 b-a=5-(-3)=8

åå ㉠

åå ㉡

8-1        4
|해결 전략 | 방정식 x‹=1의 한 허근이 x일 때 x‹=1, x€+x+1=0이다.

방정식 x‹=1의 한 허근이 x이므로

x‹=1, x€+x+1=0

x€+x+1=0에서 x+1=-x€, x€+1=-x
4 (x+1)(x€+1)(x‹+1)(x›+1)(xfi+1)(xfl+1)

   =(x+1)(x€+1)(1+1)(x+1)(x€+1)(1+1)

   ={(x+1)(x€+1)_2}€

   ={(-x€)_(-x)_2}€

   =(2x‹)€=4

8-2        -2
|해결 전략 | 방정식 x‹=-1의 한 허근이 x일 때 x“도 주어진 방정식의 근이다.

x‹+1=0에서 (x+1)(x€-x+1)=0

x€-x+1=0의 한 허근이 x이므로 다른 한 허근은 x”이다.
x€-x+1=0, x” €-x”+1=0에서
1-x=-x€, 1-x”=-x” €
-x €
x€

=-1-1=-2 

1-x
x€

x” €
1-x”

x” €
-x”€



+

+

=

  7 삼차방정식과 사차방정식   055 

8

| 연립방정식과 부정방정식

Review

연립일차방정식

개념 확인  

   164쪽~165쪽

1  ⑴ x=2, y=-1  ⑵ x=1, y=-1

2    ⑴ x=2, y=1  ⑵ x=1, y=3

1  ⑴
[

x-2y=4

3x-y=7

 ㉠에서 x=2y+4

 ㉢을 ㉡에 대입하면 3(2y+4)-y=7

 5y=-5

∴  y=-1

 y=-1을 ㉢에 대입하면 x=2_(-1)+4=2

 따라서 연립방정식의 해는 x=2, y=-1

x+2y=-1

 ⑵
[
2x-y=3

 ㉠에서 x=-2y-1

 ㉢을 ㉡에 대입하면 2(-2y-1)-y=3

 5y=-5

∴  y=-1

 y=-1을 ㉢에 대입하면 x=-2_(-1)-1=1

 따라서 연립방정식의 해는 x=1, y=-1

5x-4y=6
2  ⑴

[
2x-y=3

 ㉠-4_㉡을 하면 -3x=-6

∴  x=2

 x=2를 ㉡에 대입하면 4-y=3

∴  y=1

 따라서 연립방정식의 해는 x=2, y=1

 ⑵
[

2x+y=5

3x-2y=-3

 2_㉠+㉡을 하면 7x=7

∴  x=1

 x=1을 ㉠에 대입하면 2+y=5

∴  y=3

 따라서 연립방정식의 해는 x=1, y=3

































…… ㉠
…… ㉡

…… ㉢

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉢

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉢

1  ⑴
[

x-y=2

x€+y€=10

 ㉠에서 y=x-2

 ㉢을 ㉡에 대입하면

 x€+(x-2)€=10, 2x€-4x+4=10

 x€-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0

 ∴ x=-1 또는 x=3

    1 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-3

    2 x=3을 ㉢에 대입하면 y=1

x=-1
    1, 2에서 연립방정식의 해는
[
y=-3
(x-y)(x+y)=0

x€+xy+2y€=8

 ⑵
[

또는
[

x=3

y=1

…… ㉠
…… ㉡

 ㉠에서 y=x 또는 y=-x

    1 y=x를 ㉡에 대입하면









x€+x€+2x€=8, x€=2


 ∴ x=-'2, y=-'2 (복호동순)

∴  x=-'2

    2 y=-x를 ㉡에 대입하면



x€-x€+2x€=8, x€=4

∴  x=-2

 ∴ x=-2, y=_2 (복호동순)

    1, 2에서 연립방정식의 해는

    [

x='2
y='2

또는
[

x=-'2
y=-'2

또는
[

x=2
y=-2

또는
[

x=-2
y=2

2  ⑴ x+y=-1, xy=-6이므로 x, y는 t에 대한 이차방정식


t€+t-6=0의 두 근이다.







(t+3)(t-2)=0에서 t=-3 또는 t=2

x=-3
y=2


[

또는
[

x=2

y=-3

   

 ⑵ x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은



p+2q=10

[
3p-q=9 

 ㉠+2_㉡을 하면 7p=28

∴  p=4

 p=4를 ㉠에 대입하면 q=3

…… ㉠
…… ㉡



따라서 x, y는 t에 대한 이차방정식 t€-4t+3=0의 두 근이므로

(t-1)(t-3)=0에서 t=1 또는 t=3

x=1
y=3


[

또는
[

x=3
y=1

   



연립이차방정식

개념 확인  

1  ⑴ [

x=-1
y=-3

 또는 [

x=3
y=1

 

 또는 [

 또는 [

2  ⑵ [

2  ⑴ [

x='2
y='2
x=-3
y=2

x=-'2
y=-'2
x=2
y=-3

 또는 [

  ⑵ [

x=2
y=-2
x=1
y=3

 또는 [

x=-2
y=2

 또는 [

x=3
y=1

2  

3  ⑴ x=-1  ⑵ x=-3

056  정답과 해설 

   166쪽~169쪽

 x=-1 또는 x=2

3  ⑴ x€+x=0, 즉 x(x+1)=0의 근은


 x=0 또는 x=-1

 x€-x-2=0, 즉 (x+1)(x-2)=0의 근은

 따라서 두 이차방정식의 공통근은 x=-1

 ⑵ x€+x-6=0, 즉 (x+3)(x-2)=0의 근은

 x=-3 또는 x=2

 x€+5x+6=0, 즉 (x+2)(x+3)=0의 근은

 x=-2 또는 x=-3



따라서 두 이차방정식의 공통근은 x=-3











































STEP 



개념 드릴

| 170쪽 |

1  ⑴ [

x=-1
y=-2

 또는 [

x=2
y=1

  ⑵ [

x=-3
y=-5

 또는 [

x=5
y=3

1  ⑶ [

x=-2
y=-6

 또는 [

x=6
y=2  

 ⑷ [

x=0
y=-4

 또는 [

x=1
y=-1 

1  ⑸ [

x=-1
y=-4

 또는 [

x=2
y=-1  

2  ⑴ [

 또는 [

x='3
y=-'3

 또는 [

x=4'3
y=2'3

 또는 [

x=-4'3
y=-2'3

1  ⑵ [

 또는 [

 또는 [

x=1
y=-1 

 또는 [

x=-1
y=1 

x=-'3
y='3
x='2
y='2
x=1
y=1

x=-'2
y=-'2
x=-1 
y=-1

1  ⑶ [

 또는 [

 또는 [

1  ⑷ [

1  ⑸ [

x=1
y=1

x=2
y=1

 또는 [

x=-1 
y=-1

 또는 [

 또는 [

x=-2 
y=-1

 또는 [

x=-'5
y=3'5 
x=-3'3
y=-'3 

 또는 [

x='5
y=-3'5  
x=3'3
y='3  
x=1
y=3  

 또는 [

 또는 [

x=-1
y=-3  

1  ⑴

y=x-1

x€+y€=5

[

 ㉠을 ㉡에 대입하면

 x€+(x-1)€=5, 2x€-2x+1=5

 x€-x-2=0, (x+1)(x-2)=0

 ∴ x=-1 또는 x=2

 1 x=-1을 ㉠에 대입하면 y=-2

 2 x=2를 ㉠에 대입하면 y=1

x=-1
 1, 2에서 연립방정식의 해는
[
y=-2

또는
[

x=2

y=1

 ⑵ [

y=x-2

x€+y€=34

 ㉠을 ㉡에 대입하면

 x€+(x-2)€=34, 2x€-4x+4=34

 x€-2x-15=0, (x+3)(x-5)=0

 ∴ x=-3 또는 x=5

 1 x=-3을 ㉠에 대입하면 y=-5

 2 x=5를 ㉠에 대입하면 y=3

x=-3
 1, 2에서 연립방정식의 해는
[
y=-5

또는
[

x=5

y=3

 ⑶ [

x-y=4

x€+y€=40

 ㉠에서 y=x-4

 ㉢을 ㉡에 대입하면

 x€+(x-4)€=40, 2x€-8x+16=40

 x€-4x-12=0, (x+2)(x-6)=0

 ∴ x=-2 또는 x=6

 1 x=-2를 ㉢에 대입하면 y=-6

 2 x=6을 ㉢에 대입하면 y=2

x=-2
 1, 2에서 연립방정식의 해는
[
y=-6

또는
[

x=6

y=2











































































































 ⑷ [

y-3x=-4

x€+2x-y=4

 ㉠에서 y=3x-4

 ㉢을 ㉡에 대입하면

 x€+2x-(3x-4)=4, x€-x=0

 x(x-1)=0

∴  x=0 또는 x=1

 1 x=0을 ㉢에 대입하면 y=-4

 2 x=1을 ㉢에 대입하면 y=-1

 1, 2에서 연립방정식의 해는
[

x=0
y=-4

또는
[

x=1

y=-1

 ⑸ [

x-y=3

2x€+3x-5y=19

 ㉠에서 y=x-3

 ㉢을 ㉡에 대입하면

…… ㉠
…… ㉡

 2x€+3x-5(x-3)=19, x€-x-2=0



(x+1)(x-2)=0

∴  x=-1 또는 x=2

 1 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-4

 2 x=2를 ㉢에 대입하면 y=-1

 1, 2에서 연립방정식의 해는
[

x=-1
y=-4

또는
[

x=2
y=-1

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉢

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉢

…… ㉠
…… ㉡

(x+y)(x-2y)=0

x€-2xy+y€=12

2  ⑴ [


 ㉠에서 x=-y 또는 x=2y

 1 x=-y를 ㉡에 대입하면

…… ㉠
…… ㉡

 y€+2y€+y€=12, y€=3


 ∴  x=_'3, y=\'3 (복호동순)

∴  y=\'3

    2 x=2y를 ㉡에 대입하면

 4y€-4y€+y€=12, y€=12


 ∴  x=\4'3, y=\2'3 (복호동순)
 1, 2에서 연립방정식의 해는

∴  y=\2'3

x='3
y=-'3

[

또는 [

x=-'3
y='3
(x-y)(x+y)=0

2x€-xy+y€=4

 ⑵ [

 ㉠에서 y=x 또는 y=-x

 1 y=x를 ㉡에 대입하면

또는 [

x=4'3
y=2'3

또는 [

x=-4'3
y=-2'3

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉢

 2x€-x€+x€=4, x€=2


 ∴  x=-'2, y=-'2 (복호동순)
 2 y=-x를 ㉡에 대입하면

∴  x=-'2



 2x€+x€+x€=4, x€=1

∴  x=-1

      ∴ x=-1, y=_1 (복호동순)

 1, 2에서 연립방정식의 해는

[

 또는
[

x=-'2
y=-'2

x='2
y='2
x€+3xy+y€=5

(x-y)(3x+y)=0

 ⑶ [



 ㉡에서 y=x 또는 y=-3x

x=1
또는
[
y=-1

또는
[

x=-1
y=1

…… ㉠
…… ㉡

  8 연립방정식과 부정방정식   057 















































 1 y=x를 ㉠에 대입하면



 x€+3x€+x€=5, x€=1

∴  x=-1

 ∴  x=-1, y=-1 (복호동순)

 2 y=-3x를 ㉠에 대입하면



 x€-9x€+9x€=5, x€=5

      ∴ x=-'5, y=_3'5 (복호동순)


 1, 2에서 연립방정식의 해는

∴  x=-'5





x=1
y=1

x=-1
또는
[
y=-1

[

또는
[

x='5
y=-3'5

x=-'5
 또는
[
y=3'5

 ⑷ [

x€-4xy+3y€=0
x€-3xy-y€=-3



 ㉠의 좌변을 인수분해하면

(x-y)(x-3y)=0

∴  x=y 또는 x=3y

 1 x=y를 ㉡에 대입하면

 y€-3y€-y€=-3, y€=1

∴  y=-1

 ∴  x=-1, y=-1 (복호동순)

 2 x=3y를 ㉡에 대입하면



 9y€-9y€-y€=-3, y€=3

      ∴ x=-3'3, y=-'3 (복호동순)


 1, 2에서 연립방정식의 해는

∴  y=-'3





x=1
y=1

[

또는
[

x=-1
y=-1

또는
[

x=3'3
y='3

 또는
[

x=-3'3
y=-'3

 ⑸ [

2x€-2xy+y€=5

3x€-7xy+2y€=0

 ㉡의 좌변을 인수분해하면

(x-2y)(3x-y)=0

∴  x=2y 또는 y=3x

 1 x=2y를 ㉠에 대입하면

 8y€-4y€+y€=5, y€=1

∴  y=-1

 ∴  x=-2, y=-1 (복호동순)

 2 y=3x를 ㉠에 대입하면



 2x€-6x€+9x€=5, x€=1

∴  x=-1

      ∴ x=-1, y=-3 (복호동순)

 1, 2에서 연립방정식의 해는



x=2
[
y=1

또는
[

x=-2
y=-1

x=1
또는
[
y=3

또는
[

x=-1

y=-3

  1 y=0을 ㉢에 대입하면 x=-2

  2 y=1을 ㉢에 대입하면 x=-1

 1, 2에서 연립방정식의 해는 [

x=-2
y=0

또는 [

x=-1
y=1

⑵ [

x-2y=-6

x€+y€=20

 ㉠에서 x=2y-6

…… ㉠
…… ㉡

åå ㉢

 ㉢을 ㉡에 대입하면 (2y-6)€+y€=20, 5y€-24y+16=0

…… ㉠
…… ㉡

 (5y-4)(y-4)=0

 ∴ y=;5$; 또는 y=4

  1 y=;5$;를 ㉢에 대입하면 x=-;;™5™;;

  2 y=4를 ㉢에 대입하면 x=2

x=-;;™5™;;

y=;5$;

또는 [

x=2
y=4

  1, 2에서 연립방정식의 해는
[

참고

⑴에서 y=x+2를 ㉡에 대입해도 되고, 

⑵에서 y=;2!;x+3을 ㉡에 대입해도 된다.

01-2          5
|해결 전략 | 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다.

…… ㉠
…… ㉡

x-y=1

x€-2y€=1

[

㉠에서 x=y+1

㉢을 ㉡에 대입하면

…… ㉠
…… ㉡

åå ㉢

(y+1)€-2y€=1, -y€+2y=0

y(y-2)=0

 ∴ y=0 또는 y=2

1 y=0을 ㉢에 대입하면 x=1

2 y=2를 ㉢에 대입하면 x=3

1, 2에서 연립방정식의 해는 [

x=1
y=0

또는 [

x=3
y=2

이때, a, b는 자연수이므로 a=3, b=2

 ∴ a+b=5

02-1          ⑴ [

x=2
y=2 

 또는 [

x=-2
y=-2  

 또는 [

x=-'2
y='2

 또는 [

x='2
y=-'2 

 

  ⑵ [

x=-3'2
 
y=-'2  
|해결 전략 | 한 이차방정식을 인수분해하여 얻은 각각의 일차방정식과 다른 이차

x=3'2
y='2

 또는 [

방정식을 연립한다. 

⑴ [

x€-y€=0

x€-xy+2y€=8

 ㉠의 좌변을 인수분해하면

…… ㉠
…… ㉡

STEP 



필수 유형

| 171쪽~175쪽 |

01-1          ⑴ [

x=-2
y=0

 또는 [

x=-1
y=1

 ⑵ [

x=-;;™5™;;

y=;5$;

 또는 [

x=2
y=4

 

|해결 전략 | 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다.

 (x-y)(x+y)=0

 ∴ x=y 또는 x=-y

  1 x=y를 ㉡에 대입하면

…… ㉠
…… ㉡

åå ㉢

 y€-y€+2y€=8, y€=4

 ∴ y=\2

 ∴ x=\2, y=+2 (복호동순)

  2 x=-y를 ㉡에 대입하면









 ㉢을 ㉡에 대입하면 (y-2)€-y(y-2)+2y€=4, 2y€-2y=0

 y(y-1)=0

 ∴ y=0 또는 y=1

 y€+y€+2y€=8, y€=2

 ∴ y=\'2

 ∴ x==

'2, y=\'2 (복호동순)

⑴ [

x-y=-2
x€-xy+2y€=4



 ㉠에서 x=y-2

058  정답과 해설 



따라서 x, y는 이차방정식 t€-4t+3=0의 두 근이므로

 (t-1)(t-3)=0에서 t=1 또는 t=3

…… ㉠
…… ㉡

⑵ x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은

 ∴ [

x=1
y=3

또는 [

x=3
y=1



p€-2q=61
q=30

 [

åå ㉠
åå ㉡

 ㉡을 ㉠에 대입하면 p€-60=61, p€=121

 ∴ p=\11

  1 p=11, q=30, 즉 x+y=11, xy=30일 때

 x, y는 이차방정식 t€-11t+30=0의 두 근이므로



(t-5)(t-6)=0에서 t=5 또는 t=6
x=6

y=5

x=5
y=6

또는 [

 ∴ [

 2 p=-11, q=30, 즉 x+y=-11, xy=30일 때

 x, y는 이차방정식 t€+11t+30=0의 두 근이므로



(t+5)(t+6)=0에서 t=-5 또는 t=-6

 ∴ [

x=-5
y=-6

또는 [

x=-6

y=-5

  1, 2에서 연립방정식의 해는

x=5
y=6

 [

또는 [

x=6
y=5

또는 [

x=-5
y=-6

또는 [

x=-6
y=-5

…… ㉠
…… ㉡

다른 풀이

⑵ xy=30에서 y=

 을 x€+y€=61에 대입하면

30
x

  x€+

=61, 즉 x›-61x€+900=0이므로 

900
x€

(x›-60x€+900)-x€=0, (x€-30)€-x€=0

(x€+x-30)(x€-x-30)=0   

(x+6)(x-5)(x-6)(x+5)=0 

  ∴ x=-6 또는 x=5 또는 x=6 또는 x=-5 

  ∴ [

x=5
y=6

 또는 [

x=6
y=5

 또는 [

x=-5
y=-6

 또는 [

x=-6
y=-5

  1, 2에서 연립방정식의 해는

 [

x=2
y=2

또는 [

x=-2
y=-2

또는 [

x=-'2
y='2

또는 [

x='2
y=-'2

⑵ [

x€+xy=24

x€-2xy-3y€=0

 ㉡의 좌변을 인수분해하면

 (x+y)(x-3y)=0

 ∴ x=-y 또는 x=3y

  1 x=-y를 ㉠에 대입하면

 y€-y€=24, 0_y€=24





 이를 만족시키는 y의 값은 없다. 즉, 해가 없다.

  2 x=3y를 ㉠에 대입하면





 ∴ y=\'2

 9y€+3y€=24, y€=2
 ∴ x=\3'2, y=\'2 (복호동순)
x=3'2
y='2

  1, 2에서 연립방정식의 해는 [

또는 [

x=-3'2
y=-'2



02-2          4
|해결 전략 | 한 이차방정식을 인수분해하여 얻은 각각의 일차방정식과 다른 이차

방정식을 연립한다. 

x€-xy-2y€=0
x€+y€=10



[

㉠의 좌변을 인수분해하면

(x+y)(x-2y)=0

 ∴ x=-y 또는 x=2y

1 x=-y를 ㉡에 대입하면

 ∴ y=\'5
 y€+y€=10, y€=5
 ∴ x=_'5 , y=\'5 (복호동순)
2 x=2y를 ㉡에 대입하면

[

 ∴ y=\'2
 4y€+y€=10, y€=2
 ∴ x=\2'2, y=\'2 (복호동순)
1, 2에서 연립방정식의 해는
x=-'5
y='5
따라서 xy의 값은
-'5_'5=-5 또는 '5_(-'5 )=-5
또는 2'2_'2=4 또는 -2'2_(-'2 )=4
이므로 xy의 최댓값은 4이다.

x='5
y=-'5

x=2'2
y='2

또는 [

또는 [

또는 [

x=-2'2
y=-'2













 

 

 

04-1          4 cm
|해결 전략 | 두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 x cm, y cm라 하고, 주어진 조

건을 이용하여 x, y에 대한 연립방정식을 세운다.

두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 x cm, y cm라 하면

4x+4y=80
x€+y€=272

[

㉠에서 x+y=20

 ∴y=-x+20

㉢을 ㉡에 대입하면

x€+(-x+20)€=272, 2x€-40x+400=272

åå ㉠
åå ㉡

åå ㉢

x€-20x+64=0, (x-4)(x-16)=0

 ∴ x=4 또는 x=16

㉢에서 [

x=4
y=16

또는 [

x=16
y=4



따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다.

x+y=p, xy=q로 놓고 [

4p=80

p€-2q=272

를 풀어도 된다. 

이때, p=20, q=64이므로 x, y는 이차방정식 t€-20t+64=0의 두 근이다.

05-1          k=-;4#;, 공통근: x=-1
|해결 전략 | 공통근을 a라 하고 두 이차방정식에 x=a를 대입하여 연립한다.

  8 연립방정식과 부정방정식   059 

03-1          ⑴ [

x=1
y=3 

 또는 [

x=3
y=1 

  ⑵ [

x=5
y=6 

 또는 [

x=6
y=5 

 또는 [

x=-5
y=-6 

 또는 [

x=-6
y=-5

 

한다.

|해결 전략 | x+y=p, xy=q라 하고 x, y는 t€-pt+q=0의 두 근임을 이용

참고

⑴ x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은

 [

p+q=7

2p-q=5

 ㉠+㉡을 하면 3p=12

 ∴ p=4

 p=4를 ㉠에 대입하면 q=3

…… ㉠
…… ㉡

두 이차방정식의 공통근을 a라 하면

a€+4ka-4=0

 åå ㉠, a€+4a-4k=0

 åå ㉡

㉠-㉡을 하면 4a(k-1)+4(k-1)=0

4(k-1)(a+1)=0

 ∴ k=1 또는 a=-1

1 k=1일 때, 두 방정식이 x€+4x-4=0으로 일치하므로 공통근

은 2개이다. 즉, 오직 하나의 공통근을 갖는다는 조건에 모순이다.

2 a=-1일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면 1-4k-4=0  ∴ k=-;4#;

1, 2에서 k=-;4#;이고 그때의 공통근은 x=-1이다.
참고

k=-;4#;일 때, 두 이차방정식은 x€-3x-4=0, x€+4x+3=0
즉, (x+1)(x-4)=0, (x+3)(x+1)=0이므로 공통근은 x=-1이다.

LECTURE

두 방정식 f(x)=0, g(x)=0의 공통근을 a라 하면

➡ x-a는 두 다항식 f(x), g(x)의 공통인수  

05-2          -2, 0
|해결 전략 | 공통근을 a라 하고 두 이차방정식에 x=a를 대입하여 연립한다.

두 이차방정식의 공통근을 a라 하면

a€+(k-1)a+2k=0  åå ㉠, a€-(k-3)a-2k=0  åå ㉡

㉠+㉡을 하면 a€+a=0, a(a+1)=0

∴ a=-1 또는 a=0

1 a=-1일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면

 (-1)€-(k-1)+2k=0

 ∴ k=-2

2 a=0일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면 k=0

1, 2에서 k=-2 또는 k=0

따라서 실수 k의 값을 모두 구하면 -2, 0이다.

1  ⑵

x

y-1

-2

-1

-1

-2

1

2

2

1



 ∴ [

x=-2
y=0

또는 [

x=-1
y=-1

또는 [

x=1
y=3

또는 [

x=2
y=2



 ⑶  x-1
y+2

-2

1

-1

2

1

-2

2

-1

 ∴ [

x=-1
y=-1

또는 [

x=0
y=0

또는 [

x=2
y=-4

또는 [

x=3
y=-3

 ⑷ xy-x+y=5에서 x(y-1)+(y-1)=4

 ∴(x+1)(y-1)=4

 이때, x, y는 정수이므로 x+1, y-1의 값은 다음 표와 같다.

x+1 -4

y-1 -1

-2

-2

-1

-4

1

4

2

2

4

1

 ∴ [

x=-5
y=0

또는 [

x=-3
y=-1

또는 [

x=-2
y=-3







또는 [

x=0
y=5

또는 [

x=1
y=3

또는 [

x=3
y=2

 ⑸ xy-3x+2y=0에서 x(y-3)+2(y-3)=-6

 ∴(x+2)(y-3)=-6

 이때, x, y는 정수이므로 x+2, y-3의 값은 다음 표와 같다.

x+2 -6 -3 -2 -1

1

2

3

6

y-3

1

2

3

6 -6 -3 -2 -1

 ∴ [

x=-8
y=4

또는 [

x=-5
y=5

또는 [

x=-4
y=6

또는 [

x=-3
y=9





또는 [

x=-1
y=-3

또는 [

x=0
y=0

또는 [

x=1
y=1

또는 [

x=4
y=2

2

부정방정식

STEP 



개념 드릴

1  ⑴ [

x=-3
y=1

 또는 [

1  ⑵ [

x=-2
y=0

 또는 [

x=-1
y=3

x=-1
y=-1

 또는 [

x=1
y=-3

 또는 [

x=3
y=-1 

 또는 [

x=1
y=3

 또는 [

x=2
y=2

1  ⑶ [

x=-1
y=-1

 또는 [

x=0 
y=0 

 또는 [

x=2
y=-4  

 또는 [

x=3
y=-3 

1  ⑷ [

x=-5
y=0

 또는 [

x=-3 
y=-1

 또는 [

x=-2
y=-3  

 또는 [

x=0
y=5 

1   

 또는 [

x=1
y=3

 또는 [

x=3
y=2

1  ⑸ [

x=-8
y=4

 또는 [

x=-5 
y=5

 또는 [

x=-4
y=6

 또는 [

x=-3
y=9 

1   

 또는 [

x=-1
y=-3

 또는 [

x=0
y=0

 또는 [

x=1
y=1

 또는 [

x=4
y=2

2    ⑴ x=-1, y=1  ⑵ x=-1, y=2  ⑶ x=1, y=1 

 

⑷ x=-3, y=4  ⑸ x=2, y=-1 

060  정답과 해설 

2  ⑷ x€+y€+6x-8y+25=0에서


(x€+6x+9)+(y€-8y+16)=0



 ∴ (x+3)€+(y-4)€=0

 이때, x, y는 실수이므로 x+3=0, y-4=0

| 177쪽 |

 ∴ x=-3, y=4

 ⑸ x€+y€-4x+2y+5=0에서



(x€-4x+4)+(y€+2y+1)=0

 ∴ (x-2)€+(y+1)€=0

 이때, x, y는 실수이므로 x-2=0, y+1=0

 ∴ x=2, y=-1

다른 풀이

⑷ x€+y€+6x-8y+25=0에서 x€+6x+(y€-8y+25)=0  åå ㉠

⑷   이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

⑷ :4Î:=3€-(y€-8y+25)=-(y€-8y+16)>0
⑷ 즉, (y-4)€<0이므로 y-4=0 

 ∴  y=4

⑷ y=4를 ㉠에 대입하면 x€+6x+9=0, (x+3)€=0 

 ∴  x=-3

⑸ x€+y€-4x+2y+5=0에서 x€-4x+(y€+2y+5)=0 

åå ㉠

⑷   이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

⑷ :4Î:=(-2)€-(y€+2y+5)=-(y€+2y+1)>0
⑷ 즉, (y+1)€<0이므로 y+1=0 

 ∴  y=-1

⑷ y=-1을 ㉠에 대입하면 x€-4x+4=0, (x-2)€=0 

 ∴  x=2





































STEP 



필수 유형

| 178~179쪽 |

02-2          x=1, y=-1
|해결 전략 | x에 대하여 내림차순으로 정리한 후 이차방정식의 판별식 D>0임

01-1          [

x=-2
y=1   

 또는 [

x=2
y=-3   

 또는 [

x=4
y=7  

 또는 [

x=8
 
y=3  

|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.

xy-2x-3y+1=0에서 x(y-2)-3(y-2)-5=0

∴ (x-3)(y-2)=5

이때, x, y는 정수이므로 x-3, y-2의 값은 다음 표와 같다.

x-3

y-2

-5

-1

-1

-5

1

5

5

1

x=-2
y=1

∴ [

또는 [

x=2
y=-3

또는 [

x=4
y=7

또는 [

x=8
y=3



01-2          x=1, y=2
|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.

6xy+4x-3y-10=0에서 2x(3y+2)-(3y+2)-8=0

∴ (2x-1)(3y+2)=8

이때, x, y는 자연수이므로

2x-1=1, 3y+2=8 (5 2x-1>1, 3y+2>5)

∴ x=1, y=2

01-3          [

x=1
y=4   

 또는 [

x=3
y=4

 또는 [

x=7
y=7 

|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.

xy=x€-y+7에서 xy+y-x€=7, y(x+1)-(x€-1)=8

y(x+1)-(x+1)(x-1)=8

 ∴ (x+1)(y-x+1)=8

이때, x, y는 자연수이므로 x+1>2, y-x+1>1이다.

x-y=8
x€+y€=40

[

㉠에서 x=y+8

x+1

y-x+1

2

4

4

2

8

1

∴ [

x=1 
y=4

또는 [

x=3 
y=4

또는 [

x=7 
y=7

을 이용한다.

x€+xy+y€-x+y+1=0에서

x€+(y-1)x+y€+y+1=0

åå ㉠

이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

D =(y-1)€-4(y€+y+1)=-3(y€+2y+1)>0

즉, (y+1)€<0이므로 y+1=0

 ∴ y=-1

y=-1을 ㉠에 대입하면

x€-2x+1=0, (x-1)€=0

 ∴ x=1

다른 풀이

주어진 방정식의 양변에 2를 곱하면 2x€+2xy+2y€-2x+2y+2=0

(x€+2xy+y€)+(x€-2x+1)+(y€+2y+1)=0

∴ (x+y)€+(x-1)€+(y+1)€=0

이때, x, y는 실수이므로  

 

x+y=0, x-1=0, y+1=0 

 ∴  x=1, y=-1

STEP 



유형 드릴

| 180쪽~181쪽 |

1-1        32
|해결 전략 | 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다.

㉢을 ㉡에 대입하면 (y+8)€+y€=40, 2y€+16y+64=40

y€+8y+12=0, (y+6)(y+2)=0

 ∴ y=-6 또는 y=-2

1 y=-6을 ㉢에 대입하면 x=2

2 y=-2를 ㉢에 대입하면 x=6

1, 2에서 연립방정식의 해는 [

x=2
y=-6

또는 [

x=6
y=-2



∴ |a€-b€|=32

1-2        19
|해결 전략 | 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후 이차방정식에 대입한다.

2x-y=1
[
3x€-y€=-6

㉠에서 y=2x-1

åå ㉠
åå ㉡

åå ㉢

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉢

02-1          x=3, y=1
|해결 전략 | A€+B€=0 꼴로 정리한 후 A=0, B=0임을 이용한다.

2x€-6xy+9y€-6x+9=0에서

(x€-6xy+9y€)+(x€-6x+9)=0

∴ (x-3y)€+(x-3)€=0

다른 풀이

2x€-6xy+9y€-6x+9=0에서

2x€-6(y+1)x+9(y€+1)=0 

이때, x, y는 실수이므로 x-3y=0, x-3=0

 ∴ x=3, y=1

x€-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0

∴  x=-1 또는 x=5

㉢을 ㉡에 대입하면 3x€-(2x-1)€=-6, -x€+4x-1=-6

이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

=9(y+1)€-18(y€+1)=-9(y€-2y+1)>0


4
즉, (y-1)€<0이므로 y-1=0 

 ∴  y=1  

 

y=1을 ㉠에 대입하면 2x€-12x+18=0, 2(x-3)€=0 

 ∴  x=3

이므로 a=5, b=9

∴ 2a+b=19

1 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=-3

2 x=5를 ㉢에 대입하면 y=9

åå ㉠

1, 2에서 연립방정식의 해는
[

x=-1
y=-3

또는
[

x=5
y=9

따라서 주어진 연립방정식을 만족시키는 자연수 x, y는 x=5, y=9

  8 연립방정식과 부정방정식   061 

2-1      6
|해결 전략 | 한 이차방정식을 인수분해하여 얻은 각각의 일차방정식과 다른 이차

2 p=-3, q=2, 즉 x+y=-3, xy=2일 때

 x, y는 이차방정식 t€+3t+2=0의 두 근이므로

 (t+2)(t+1)=0에서 t=-2 또는 t=-1

…… ㉠
…… ㉡

 ∴ [

x=-2
y=-1

또는 [

x=-1

y=-2

1, 2에서 연립방정식의 해는
x=1
y=2

x=2
y=1

또는 [

또는 [

x=-2
y=-1

[

또는 [

x=-1
y=-2

따라서 x-y의 최댓값 M=1, 최솟값 m=-1이므로

M-m=2

참고

xy=2에서 y=;x@; 또는 x=;y@; 를 x€+y€=5에 대입해서 풀어도 된다.

방정식을 연립한다.
x€-3xy+2y€=0
5y€-x€=4

[

㉠의 좌변을 인수분해하면

(x-y)(x-2y)=0

∴  x=y 또는 x=2y

1 x=y를 ㉡에 대입하면

 5y€-y€=4, y€=1

∴  y=-1

 ∴ x=-1, y=-1 (복호동순)

2 x=2y를 ㉡에 대입하면

 5y€-4y€=4, y€=4

∴  y=-2

 ∴ x=-4, y=-2 (복호동순)

1, 2에서 연립방정식의 해는
x=1
y=1

x=-1
y=-1

또는 [

또는 [

[

x=4
y=2

따라서 x+y의 최댓값은 6이다.

또는 [

x=-4
y=-2



3-2      (-1, 2), (2, -1)
|해결 전략 | x+y=p, xy=q라 하고 x, y는 t€-pt+q=0의 두 근임을 이용

한다.

x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은

2-2      4
|해결 전략 | 한 이차방정식을 인수분해하여 얻은 각각의 일차방정식과 다른 이차

p€+p-2=0
q=-2

[

㉠의 좌변을 인수분해하면

…… ㉠
…… ㉡

åå ㉠
åå ㉡

방정식을 연립한다.

x€-2xy-3y€=0
x€+xy+y€=13

[

㉠의 좌변을 인수분해하면

(x+y)(x-3y)=0

∴  x=-y 또는 x=3y

1 x=-y를 ㉡에 대입하면

 y€-y€+y€=13, y€=13

∴  y=\'ß13

 ∴ x==

'ß13, y=\'ß13 (복호동순)

2 x=3y를 ㉡에 대입하면

 9y€+3y€+y€=13, y€=1

∴  y=\1

 ∴ x=\3, y=\1 (복호동순)

1, 2에서 연립방정식의 해는

[

x=-'ß13
y='ß13

또는 [

x='ß13
y=-'ß13

또는 [

x=3
y=1

또는 [

x=-3
y=-1

따라서 주어진 연립방정식을 만족시키는 자연수 x, y는

x=3, y=1

 ∴ x+y=4

3-1  2
|해결 전략 | x+y=p, xy=q라 하고 x, y는 t€-pt+q=0의 두 근임을 이용

x+y=p, xy=q라 하면 주어진 연립방정식은

한다.

p€-2q=5
q=2

[

㉡을 ㉠에 대입하면 p€=9

∴  p=\3

1 p=3, q=2, 즉 x+y=3, xy=2일 때

 x, y는 이차방정식 t€-3t+2=0의 두 근이므로

 (t-1)(t-2)=0에서 t=1 또는 t=2

 ∴ [

x=1
y=2

또는 [

x=2
y=1



062  정답과 해설 

(p+2)(p-1)=0

∴  p=-2 또는 p=1

1 p=-2, q=-2, 즉 x+y=-2, xy=-2일 때

 x, y는 이차방정식 t€+2t-2=0의 두 근이므로
 t=-1-'3

 ∴
[

x=-1+'3
y=-1-'3

또는
[

x=-1-'3

y=-1+'3

2 p=1, q=-2, 즉 x+y=1, xy=-2일 때

 x, y는 이차방정식 t€-t-2=0의 두 근이므로

 (t+1)(t-2)=0에서 t=-1 또는 t=2

 ∴ [

x=-1
y=2

또는
[

x=2
y=-1

1, 2에서 연립방정식의 해는
x=-1+'3
y=-1-'3
따라서 주어진 연립방정식을 만족시키는 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)

x=-1-'3
y=-1+'3

x=-1
y=2

x=2
y=-1

 또는
[

 또는
[

또는
[

[

는 (-1, 2), (2, -1)이다.

åå ㉠
åå ㉡

길이가 5 m이므로

4-1     12 m€
|해결 전략 | 처음 땅의 가로의 길이를 x m, 세로의 길이를 y m라 하고, 주어진 

조건을 이용하여 x, y에 대한 연립방정식을 세운다.

처음 땅의 가로의 길이를 x m, 세로의 길이를 y m라 하면 대각선의

x€+y€=5€

∴  x€+y€=25

…… ㉠

처음 땅의 넓이는 xy m€이고, 가로의 길이를 2 m 늘이고 세로의 길

이를 1 m 줄인 땅의 넓이는 (x+2)(y-1) m€이므로

(x+2)(y-1)=xy+3, xy-x+2y-2=xy+3

∴ -x+2y=5
㉡에서 x=2y-5를 ㉠에 대입하면

…… ㉡

(2y-5)€+y€=25, 5y€-20y=0

5y(y-4)=0

∴  y=4 (∵ y>1)

y=4를 ㉡에 대입하면 x=3

y-1>0에서 y>1

따라서 처음 땅의 넓이는 3_4=12 (m€)

4-2     8 cm
|해결 전략 | 원에 내접하는 직사각형의 가로의 길이를 x cm, 세로의 길이를 

y cm라 하고, 주어진 조건을 이용하여 x, y에 대한 연립방정식을 세운다.

원에 내접하는 직사각형의 가로의 길이를 x cm,

세로의 길이를 y cm라 하면 직사각형의 대각선

의 길이는 원의 지름의 길이와 같으므로

x€+y€=10€

∴  x€+y€=100

…… ㉠

x cm

y cm

10 cm

직사각형의 둘레의 길이는 28 cm이므로

2(x+y)=28

∴  x+y=14

㉡에서 y=14-x를 ㉠에 대입하면

x€+(14-x)€=100, 2x€-28x+96=0

x€-14x+48=0, (x-6)(x-8)=0

∴  x=6 또는 x=8

㉡에서 [

x=6
y=8

또는 [

x=8
y=6

따라서 직사각형의 긴 변의 길이는 8 cm이다.

참고

p€-2q=100

x+y=p, xy=q로 놓고 [
이때, q=48이므로 x, y는 이차방정식 t€-14t+48=0의 두 근이다.

 를 풀어도 된다. 

p=14

5-1      5
|해결 전략 | 공통근을 a라 하고 두 이차방정식에 x=a를 대입하여 연립한다.

두 이차방정식의 공통근을 a라 하면

a€+(k-3)a-7k=0

a€+(k-1)a-9k=0

㉠-㉡을 하면 -2a+2k=0

 ∴ a=k



a=k를 ㉠에 대입하면

k€+(k-3)k-7k=0, k€-5k=0

k(k-5)=0

 ∴ k=5 (5 k+0)

참고

k=5일 때, 두 이차방정식은 x€+2x-35=0, x€+4x-45=0

즉, (x+7)(x-5)=0, (x+9)(x-5)=0이므로 공통근은 x=5이다.

6-1      13
|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.

xy-4x-3y+7=0에서

x(y-4)-3(y-4)-5=0

∴ (x-3)(y-4)=5

이때, x, y는 자연수이므로 x-3>-2, y-4>-3이다.

x-3

y-4

1

5

∴ x+y=13





5

1

x=4
y=9

∴ [

또는 [

x=8
y=5

6-2      6
|해결 전략 | 주어진 방정식을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형한다.

…… ㉡

a!;+;b!;=;3!;에서

a+b
ab

=;3!;

3(a+b)=ab, ab-3a-3b=0

a(b-3)-3(b-3)-9=0

∴ (a-3)(b-3)=9

이때, a, b는 정수이므로 a-3, b-3의 값은 다음 표와 같다.

a-3 -9

b-3 -1

-3

-3

-1

-9

1

9

3

3

9

1

따라서 주어진 방정식을 만족시키는 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는

(-6, 2), (0, 0), (2, -6), (4, 12), (6, 6), (12, 4)의 6개이다.

7-1      8
|해결 전략 | 이차방정식의 두 근을 a, b라 하고 근과 계수의 관계를 이용하여 a, 

x€+(m-2)x+m=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과

åå ㉠
åå ㉡

åå ㉠

åå ㉡

b에 대한 방정식을 세운다.

계수의 관계에 의하여
a+b=2-m
ab=m

[

㉠+㉡을 하면

a+b+ab=2, a(b+1)+(b+1)=3

 ∴ (a+1)(b+1)=3

이때, a, b는 정수이므로 a+1, b+1의 값은 다음 표와 같다.

a+1 -3

b+1 -1

-1

-3

1

3

3

1

5-2      -1
|해결 전략 | 공통근을 a라 하고 두 이차방정식에 x=a를 대입하여 연립한다.

두 이차방정식의 공통근을 a라 하면

a=-4
b=-2

a=-2
∴ [
b=-4
∴ m=ab=8 (5 m+0)

또는 [

또는 [

a=0
b=2

또는 [

a=2
b=0

a€-2ka-k=0

 åå ㉠, a€-a+k-1=0

 åå ㉡

LECTURE

㉠-㉡을 하면 (1-2k)a+(1-2k)=0

이차방정식의 근과 계수의 관계

(1-2k)(a+1)=0

 ∴ k=;2!; 또는 a=-1

1 k=;2!;일 때, 두 방정식이 x€-x-;2!;=0으로 일치하므로 공통근
은 2개이다. 즉, 오직 하나의 공통근을 갖는다는 조건에 모순이다.


이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면



⑴ a+b=-;aB; 

 

   ⑵ ab=;aC;

2 a=-1일 때, 이 값을 ㉠에 대입하면

 1+2k-k=0

 ∴ k=-1

1, 2에서 k=-1

7-2  17
|해결 전략 | 이차방정식의 두 근을 a, b라 하고 근과 계수의 관계를 이용하여 a, 

b에 대한 방정식을 세운다.

  8 연립방정식과 부정방정식   063 

x€-(n-2)x+n+1=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과

계수의 관계에 의하여
a+b=n-2
ab=n+1

[

㉡-㉠을 하면

åå ㉠
åå ㉡

9

| 연립일차부등식

ab-a-b=3, a(b-1)-(b-1)=4

∴  (a-1)(b-1)=4

이때, a, b는 자연수이므로 a-1>0, b-1>0이다.



일차부등식

a-1

b-1

1

4

2

2

4



∴ [

a=2
b=5 또는
[

a=3
b=3 또는
[
a=2, b=5 또는 a=5, b=2일 때, n=9

a=5
b=2  

a=3, b=3일 때, n=8

따라서 모든 정수 n의 값의 합은 9+8=17

8-1      4
|해결 전략 | A€+B€=0 꼴로 정리한 후 A=0, B=0임을 이용한다.

x€+2y€-2xy+4y+4=0에서

(x€-2xy+y€)+(y€+4y+4)=0

∴ (x-y)€+(y+2)€=0

이때, x, y는 실수이므로

∴ xy=4

다른 풀이

D라 하면

:4Î:=y€-(2y€+4y+4)=-(y€+4y+4)>0
 ∴  y=-2
즉, (y+2)€<0이므로 y+2=0 

y=-2를 주어진 방정식에 대입하면

x€+4x+4=0, (x+2)€=0 

 ∴  x=-2

184쪽~185쪽

개념 확인  

1  ㄴ, ㅁ

2  ⑴ 풀이 참조  ⑵ 풀이 참조

1  a>b일 때
 ㄴ. a-2>b-2

 ㅁ. c>0이면 ac>bc, c<0이면 ac<bc

2  ⑴ 1 a-3>0, 즉 a>3일 때, x>

    2 a-3<0, 즉 a<3일 때, x<

1
a-3

1
a-3

2
a+1

2
a+1

    3 a-3=0, 즉 a=3일 때, 0_x>1이므로 해는 없다.

 ⑵ 1 a+1>0, 즉 a>-1일 때, x<

STEP 



개념 드릴

| 186쪽 |

1  ⑴ 1<2x-5<7  ⑵ 1<-;3X;+3<2

⑶ 11<3x+2<20  ⑷ -11<-2x+1<-5

x-y=0, y+2=0    ∴ x=-2, y=-2

    2 a+1<0, 즉 a<-1일 때, x>

x€-2yx+2y€+4y+4=0에서 x는 실수이므로 이 이차방정식의 판별식을 

이다.

    3 a+1=0, 즉 a=-1일 때, 0_x<2이므로 해는 모든 실수

8-2      5
|해결 전략 | x에 대하여 내림차순으로 정리한 후 이차방정식의 판별식 D>0임

2  ⑴ x<:¡2¡:  ⑵ x>-2  ⑶ x>1
3  ⑴ x>-1  ⑵ x<9  ⑶ x<10

4  ⑴ 풀이 참조  ⑵ 풀이 참조  ⑶ 풀이 참조

을 이용한다.

x€-4xy+5y€+2x-8y+5=0에서

x€-2(2y-1)x+5y€-8y+5=0

…… ㉠

이때, x는 실수이므로 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

1  3<x<6에서
 ⑴ 6<2x<12    ∫ 1<2x-5<7

:4Î:=(2y-1)€-(5y€-8y+5)=-(y€-4y+4)>0
즉, (y-2)€<0이므로 y-2=0

 ∴ y=2

y=2를 ㉠에 대입하면

x€-6x+9=0, (x-3)€=0

 ∴ x=3

∴ x+y=5

다른 풀이

x€-4xy+5y€+2x-8y+5=0에서

{x€-2(2y-1)x+(2y-1)€}+(y€-4y+4)=0

∴ (x-2y+1)€+(y-2)€=0 



이때, x, y는 실수이므로 x-2y+1=0, y-2=0

따라서 x=3, y=2이므로 x+y=5

064  정답과 해설 

 ⑵ -2<-;3X;<-1    ∴ 1<-;3X;+3<2
 ⑶ 9<3x<18    ∴ 11<3x+2<20
 ⑷ -12<-2x<-6    ∴ -11<-2x+1<-5

2  ⑴ 2x+7>4x-4에서



 -2x>-11

∴  x<:¡2¡:

 ⑵ 3x-1<5x+3에서

 -2x<4    ∴ x>-2

 ⑶ 4-2x<3x-1에서

 -5x<-5    ∴ x>1





 2x+10>5x-20, -3x>-30

∴  x<10

3 a-1=0, 즉 a=1일 때, 0_x>0이므로 해는 없다.

3  ⑴ ;2!;x+1>;6!;x+;3@; 의 양변에 6을 곱하면
∴  x>-1


 3x+6>x+4, 2x>-2

 ⑵ ;3!;x-2<

x-4
5

의 양변에 15를 곱하면

 5x-30<3(x-4), 2x<18

∴  x<9

 ⑶ 0.2x+1>0.5x-2의 양변에 10을 곱하면





4  ⑴ ax+2>2x+1에서 (a-2)x>-1

    1 a-2>0, 즉 a>2일 때, x>-

    2 a-2<0, 즉 a<2일 때, x<-

이다.

 ⑵ ax-a<-x-1에서 (a+1)x<a-1

    1 a+1>0, 즉 a>-1일 때, x<

    2 a+1<0, 즉 a<-1일 때, x>

1
a-2

1
a-2

a-1  
a+1

a-1  
a+1

    3 a-2=0, 즉 a=2일 때, 0_x>-1이므로 해는 모든 실수

이 부등식의 해가 x<-3이므로 a<0

    3 a+1=0, 즉 a=-1일 때, 0_x<-2이므로 해는 없다.

(a+3a)x-(a-3a)>0, 4ax-(-2a)>0

 ⑶ 3x-2a>-ax+6에서 (a+3)x>2a+6



 1 a+3>0, 즉 a>-3일 때, x>2

    2 a+3<0, 즉 a<-3일 때, x<2

    3 a+3=0, 즉 a=-3일 때, 0_x>0이므로 해는 없다.

02-1          풀이 참조
|해결 전략 | x의 계수가 양수, 음수, 0인 경우로 나누어 해를 구한다.

ax+a>a€+x에서 ax-x>a€-a

(a-1)x>a(a-1)

1 a-1>0, 즉 a>1일 때, x>a

2 a-1<0, 즉 a<1일 때, x<a

02-2          x<-;2!;
|해결 전략 | 주어진 부등식의 부등호의 방향과 해의 부등호의 방향이 다르면 x의 

계수는 음수이다.

ax+b>0에서 ax>-b

㉠의 양변을 a로 나누면 x<-;aB;
㉡과 x<-3이 일치하므로

åå ㉠

åå ㉡

∴  b=3a

-;aB;=-3
부등식 (a+b)x-(a-b)>0에 b=3a를 대입하여 풀면

4ax>-2a

∴  x<-;2!; (5 a<0)

STEP 



필수 유형

| 187쪽~188쪽 |

01-1          ㄱ, ㄷ, ㄹ
|해결 전략 | 부등식의 성질을 이용한다.

ㄴ. a=-1, b=-2이면 a>b이지만 |a|<|b|
ㄷ. a>b, d>0이므로  a
d
ㄷ. c>d, cd>0이므로  c
cd

∴   1
d

d
cd

b
d

>

>

>





1
c

ㄷ. 이때, b>0이므로  b
d

>



ㄷ. ㉠, ㉡에서  a
d

>

>

b
d

b
c

∴   a
d

>

b
c

ㄹ. a‹-b‹=(a-b)(a€+ab+b€)

b
c



=(a-b)[{a+

b
2 }

€+;4#;b€]

이때, a>b이므로 a-b>0, {a+

b
2 }

€+;4#;b€>0

따라서 a>b이면 a‹-b‹>0, 즉 a‹>b‹이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.





참고

ㄹ. a>b이면 a=b=0일 수 없으므로 {a+;2B;}

€+;4#;b€>0이다.

yy ㉠

2  ⑴ -1<x<4  ⑵ -3<x<1  ⑶ x<4

yy ㉡

2

연립일차부등식

개념 확인  

1  ⑴ -1, -1<x<1  ⑵ x=5

-2<x-1

x-1<3

2  ⑴ [


 -2<x-1에서 x>-1

 x-1<3에서 x<4

 따라서 연립부등식의 해는

 -1<x<4

 ⑵ [

-3<2x+3
2x+3<5

 -3<2x+3에서 x>-3

 2x+3<5에서 x<1

 따라서 연립부등식의 해는

 -3<x<1















189쪽~190쪽

åå ㉠

åå ㉡





-1

4

x

åå ㉠

åå ㉡





-3

1

x

  9 연립일차부등식   065 













































 ⑶ [

2x-3<x+1
x+1<6

 2x-3<x+1에서 x<4

 x+1<6에서 x<5

 따라서 연립부등식의 해는

 x<4

STEP 



개념 드릴

1  ⑴ 1<x<3  ⑵ 해는 없다.  ⑶ x=-2

⑷ 1<x<2  ⑸ x>4  ⑹ 해는 없다.

2  ⑴ -3<x<2  ⑵ -4<x<2  ⑶ -4<x<5

⑷ -4<x<1  ⑸ -3<x<2  ⑹ 3<x<5

1  ⑴ x+3>4에서 x>1


 -2x>-6에서 x<3

 따라서 연립부등식의 해는

 1<x<3

x-5<3x+1

3x+1<7

2  ⑴ [


åå ㉠

åå ㉡

 x-5<3x+1에서 -2x<6

∴  x>-3

 3x+1<7에서 3x<6

∴  x<2

åå ㉠

åå ㉡





 따라서 연립부등식의 해는

 -3<x<2

4

5

x

| 191쪽 |

 ⑵ [

-8<3x+4

3x+4<x+8





-3

2

x





-4

2

x

 -8<3x+4에서 -3x<12

∴  x>-4

 3x+4<x+8에서 2x<4

∴  x<2

åå ㉠

åå ㉡

 따라서 연립부등식의 해는

 -4<x<2

 ⑶ [

2x-5<3x-1

3x-1<x+9

 2x-5<3x-1에서 -x<4

∴  x>-4

 3x-1<x+9에서 2x<10

∴  x<5

åå ㉠

åå ㉡

 따라서 연립부등식의 해는

 -4<x<5





-4

5

x

 ⑵ 3x-2>1에서 x>1

 -x+2>4에서 -x>2

∴  x<-2

 따라서 연립부등식의 해는 없다.





 ⑷ [

3x-16<6x-4

6x-4<2x

-2

1

x

 3x-16<6x-4에서 -3x<12

∴  x>-4

 6x-4<2x에서 4x<4

∴  x<1

åå ㉠

åå ㉡

 ⑶ 4x+7>-1에서 4x>-8

∴  x>-2

 x-4>3x에서 -2x>4

∴  x<-2

 따라서 연립부등식의 해는

 x=-2

 ⑷ 2(x-1)<2에서 2x-2<2

 2x<4

∴  x<2

 1-3x<-2에서 -3x<-3

∴  x>1

 따라서 연립부등식의 해는

 1<x<2

 ⑸ 0.2x+0.2>1의 양변에 10을 곱하면

 2x+2>10에서 2x>8

∴  x>4

 5x-7>3에서 5x>10

∴  x>2

 따라서 연립부등식의 해는

 x>4

 ⑹ ;2!;x-;4!;>;4!;x-;2!;의 양변에 4를 곱하면

 2x-1>x-2에서 x>-1

 x+2<1에서 x<-1

 따라서 연립부등식의 해는 없다.

066  정답과 해설 

 따라서 연립부등식의 해는

 -4<x<1

 ⑸ [

0.2x-0.1<0.1x+0.1

0.1x+0.1<0.3x+0.7





-4

1

x

 0.2x-0.1<0.1x+0.1의 양변에 10을 곱하면

 2x-1<x+1에서 x<2

åå ㉠

 0.1x+0.1<0.3x+0.7의 양변에 10을 곱하면

 x+1<3x+7에서 -2x<6

∴  x>-3

åå ㉡

 따라서 연립부등식의 해는

 -3<x<2





-3

2

x

åå ㉠

åå ㉡




 ⑹
[

;2#;x+1<;2%;x-2


;2%;x-2<x+:¡2¡:

2

4

x

;2#;x+1<;2%;x-2의 양변에 2를 곱하면





 3x+2<5x-4에서 -2x<-6

∴  x>3

åå ㉠

;2%;x-2<x+:¡2¡:의 양변에 2를 곱하면

 5x-4<2x+11에서 3x<15

∴  x<5

åå ㉡

 따라서 연립부등식의 해는

 3<x<5





3

5

x

åå ㉠

åå ㉡





-1

x





1

åå ㉠

åå ㉡

3

x

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉠

åå ㉡





-2

x

åå ㉠

åå ㉡





1

2

x























































STEP 



필수 유형

| 192쪽~197쪽 |

03-1          ⑴ -6<x<8  ⑵ -2<x<4

|해결 전략 | A<B<C 꼴은 [
2(x-2)+1<3x+3

3x+3<2x+11

⑴ [

A<B
B<C

 꼴로 바꾸어 푼다.

 2(x-2)+1<3x+3에서 -x<6

 ∴ x>-6

01-1          ⑴ 3<x<6  ⑵ x<2
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 공통 범위를 구한다.

⑴ 2(x-4)<x-2에서 2x-8<x-2

 ∴ x<6

…… ㉠

 7+3x>2(x+5)에서 7+3x>2x+10

 ∴ x>3  …… ㉡

 따라서 연립부등식의 해는



 3x+3<2x+11에서 x<8

 따라서 연립부등식의 해는  

 3<x<6



 -6<x<8

3

6

x

⑵ 1.5x-1<0.6x+0.8의 양변에 10을 곱하면

 15x-10<6x+8, 9x<18

∴  x<2

…… ㉠

 2-

x-2
4

>

x-1
2

의 양변에 4를 곱하면

 8-(x-2)>2(x-1), 8-x+2>2x-2

 -3x>-12

 ∴ x<4

 따라서 연립부등식의 해는

 x<2

…… ㉡




-2x+2

3 <;2X;+3

;2X;+3<-x+9


[

 -2x+2
3

<;2X;+3에서 -4x+4<3x+18

 -7x<14

 ∴ x>-2



;2X;+3<-x+9에서 x+6<-2x+18

 3x<12

 ∴ x<4

2

4

x



따라서 연립부등식의 해는

-2<x<4

…… ㉠

…… ㉡





-6

8

x

…… ㉠

…… ㉡





-2

4

x

01-2          40
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 해의 범위에 포함되는 정수를 생각한다.

3(x-2)-1>1+x에서 3x-6-1>1+x

2x>8

∴  x>4

2x-7
3

<

x-3
2

2(2x-7)<3(x-3)+6

+1의 양변에 6을 곱하면

…… ㉠

03-2          9
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 정수인 해의 합을 구한다.

4x-14<3x-9+6

∴  x<11

…… ㉡

따라서 연립부등식의 해는 4<x<11이므로





M=10, m=4

∴ Mm=10_4=40

3x+1
2

<2x-1

[

2x-1<

4x+7
3

4

11

x

3x+1
2

<2x-1에서 3x+1<2(2x-1)

-x<-3

 ∴ x>3

2x-1<

에서 3(2x-1)<4x+7

4x+7
3

2x<10

 ∴ x<5

…… ㉠

…… ㉡

따라서 연립부등식의 해는 3<x<5이므

로 구하는 모든 정수 x의 값의 합은





 3(x+3)<-2(x-5)에서 3x+9<-2x+10

4+5=9

3

5

x

02-1          ⑴ 해는 없다.  ⑵ x=1
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 공통 범위를 구한다.

⑴ ;5!;x+1<x+0.6에서 x+5<5x+3

 -4x<-2

 ∴ x>;2!;

 5x<1

 ∴ x<;5!;
 따라서 연립부등식의 해는 없다.

⑵ 0.4x<x-;5#;에서 2x<5x-3
 -3x<-3

 ∴ x>1

 -4+x>3(x-2)에서 -4+x>3x-6

 -2x>-2

 ∴ x<1

 따라서 연립부등식의 해는

 x=1

…… ㉠

…… ㉡





;5!;

;2!;

x

04-1          a=1, b=7
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 주어진 해와 비교하여 a, b의 값을 구한다.

…… ㉠

3x-a<11에서 3x<a+11

 ∴ x<

…… ㉡





x-b<3(x-3)에서 -2x<b-9

 ∴ x>

이때, 연립부등식의 해가 1<x<4이므로

1

x

a+11
3

=4,  b-9
-2

=1

 ∴ a=1, b=7

a+11
3

b-9
-2

  9 연립일차부등식   067 

04-2          a=2, b=1
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 주어진 해와 비교하여 a, b의 값을 구한다.

-1<

<0, -2<a-3<0

∴  1<a<3

a-3
2

3x-a<5x-8
5x-8<4x+b

[

3x-a<5x-8에서 -2x<a-8

 ∴ x>

a-8
-2

5x-8<4x+b에서 x<b+8

이때, 연립부등식의 해가 3<x<9이므로

a-8
-2

=3, b+8=9



∴ a=2, b=1

05-1          a<-5
|해결 전략 | 연립부등식이 해를 가지려면 공통부분이 있어야 한다.

1-x  
3

>1에서 1-x>3

∴  x<-2

3x+a<5x-1에서 -2x<-a-1

∴  x>

a+1
2

이때, 연립부등식이 해를 가지려면

오른쪽 그림과 같아야 하므로

<-2

∴  a<-5

a+1
2

-2

x

a+1
2

참고

a+1
2

=-2이면 [

x<-2

x>-2

가 되어 연립부등식은 해를 갖지 않는다.

05-2          0
|해결 전략 | 연립부등식의 해가 없으려면 공통부분이 없어야 한다.

참고

a-3
2

=0이면 [

x<2

x>0

이 되어 연립부등식은 정수인 해를 1개만 갖는다.

06-1          10
|해결 전략 | 상자의 개수를 x로 놓고 주어진 조건을 이용하여 연립부등식을 세운다.

상자의 개수를 x라 하면

50x+40<740
75x-10>740

[

㉠에서 50x<700

 ∴ x<14

㉡에서 75x>750

 ∴ x>10

…… ㉠
…… ㉡

…… ㉠
…… ㉡

즉, 10<x<14이므로 상자의 최소 개수는 10이다.

06-2          10
|해결 전략 | 연속하는 세 자연수를 x, x+1, x+2로 놓고 주어진 조건을 이용하

여 연립부등식을 세운다.

연속하는 세 자연수를 x, x+1, x+2라 하면

x+(x+1)+(x+2)>30
x+(x+1)-(x+2)<9

[

㉠에서 3x+3>30

 ∴ x>9

㉡에서 x-1<9

 ∴ x<10

즉, 9<x<10이므로 x=9

따라서 세 자연수는 9, 10, 11이므로 가운데 수는 10이다.

LECTURE

연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1로 놓고 풀어도 된다.

(x-1)+x+(x+1)>30 
(x-1)+x-(x+1)<9 

[

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 10<x<11이므로 x=10

…… ㉠
…… ㉡

2-x>a에서 x<2-a

x
3

+

5-x
2

<2에서 2x+3(5-x)<12

2x+15-3x<12

∴  x>3

이때, 연립부등식의 해가 없으려면

오른쪽 그림과 같아야 하므로

2-a<3

∴  a>-1

참고

2-a=3이면 [

x<3

x>3

2-a

3

x

3

절댓값 기호를 포함한 일차부등식

따라서 조건을 만족시키는 정수 a의 최솟값은 0이다.

STEP 



개념 드릴

| 199쪽 |

이 되어 연립부등식은 x=3을 해로 갖는다.

1  ⑴ x<-;2!; 또는 x>;2!;  ⑵ -5<x<5  ⑶ x<-4 또는 x>4

05-3          1<a<3
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 정수인 해가 2개가 되도록 하는 a의 값의 

범위를 구한다.

0.3(x+1)>x-1.1의 양변에 10을 곱하면

3(x+1)>10x-11에서 -7x>-14

∴  x<2

4x+3>2x+a에서 2x>a-3

∴  x>

a-3
2

이때, 연립부등식이 정수인 해를 2개 가지

려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로

0

1

2

x

a-3
2

068  정답과 해설 

2  ⑴ x<-4 또는 x>2  ⑵ -4<x<-1  ⑶ -;3@;<x<2

3  ⑴ x<1  ⑵ x>;2#;  ⑶ x<3

4  ⑴ -;2#;<x<;2&;  ⑵ x<-2 또는 x>1

1  ⑴ |2x|>1에서





2x<-1 또는 2x>1

∴  x<-;2!; 또는 x>;2!;

 ⑵ |x|-5<0, 즉 |x|<5에서 -5<x<5

 ⑶ |2x|-8>0, 즉 |2x|>8에서





2x<-8 또는 2x>8

∴  x<-4 또는 x>4

 ⑶ |2x+3|>3x에서

 1 x<-;2#; 일 때, -(2x+3)>3x



 -5x>3

∴  x<-;5#;

      그런데 x<-;2#;이므로 x<-;2#;

 2 x>-;2#; 일 때, 2x+3>3x


 -x>-3

∴  x<3



 그런데 x>-;2#;이므로 -;2#;<x<3

 1, 2에서 구한 해를 합하면 x<3

4  ⑴ |x|+|x-2|<5에서


 1 x<0일 때, -x-(x-2)<5



 -2x<3

∴  x>-;2#;



 그런데 x<0이므로 -;2#;<x<0
 2 0<x<2일 때, x-(x-2)<5

 0_x<3이므로 해는 모든 실수이다.

 그런데 0<x<2이므로 0<x<2

 3 x>2일 때, x+x-2<5

 2x<7

∴  x<;2&;

 그런데 x>2이므로 2<x<;2&;

 1, 2, 3에서 구한 해를 합하면 -;2#;<x<;2&;

 ⑵ |x+2|+|x-1|>3에서

 1 x<-2일 때, -(x+2)-(x-1)>3

 -2x>4

∴  x<-2

 그런데 x<-2이므로 x<-2

 2 -2<x<1일 때, (x+2)-(x-1)>3

 0_x>0이므로 해는 없다.

 3 x>1일 때, (x+2)+(x-1)>3

 2x>2

∴  x>1

 그런데 x>1이므로 x>1

 1, 2, 3에서 구한 해를 합하면 x<-2 또는 x>1



































































2  ⑴ |x+1|>3에서


 1 x<-1일 때, -(x+1)>3

-x>4

 ∴ x<-4

그런데 x<-1이므로 x<-4













 2 x>-1일 때, x+1>3

 ∴ x>2

그런데 x>-1이므로 x>2

 1, 2에서 구한 해를 합하면 x<-4 또는 x>2

 ⑵ |2x+5|<3에서

 1 x<-;2%; 일 때, -(2x+5)<3


∴  x>-4

 -2x<8

      그런데 x<-;2%; 이므로 -4<x<-;2%;

 2 x>-;2%; 일 때, 2x+5<3
∴  x<-1


 2x<-2



 그런데 x>-;2%; 이므로 -;2%;<x<-1
 1, 2에서 구한 해를 합하면 -4<x<-1

 ⑶ |3x-2|<4에서

 1 x<;3@; 일 때, -(3x-2)<4



 -3x<2

∴  x>-;3@;

      그런데 x<;3@; 이므로 -;3@;<x<;3@;

 2 x>;3@; 일 때, 3x-2<4


∴  x<2

 3x<6



 그런데 x>;3@; 이므로 ;3@;<x<2

 1, 2에서 구한 해를 합하면 -;3@;<x<2

3  ⑴ |x+1|>2x에서


 1 x<-1일 때, -(x+1)>2x





 -3x>1

∴  x<-;3!;

      그런데 x<-1이므로 x<-1

 2 x>-1일 때, x+1>2x

 -x>-1

∴  x<1

 그런데 x>-1이므로 -1<x<1

 1, 2에서 구한 해를 합하면 x<1

 ⑵ |x-3|<x에서

 1 x<3일 때, -(x-3)<x



 -2x<-3

∴  x>;2#;

      그런데 x<3이므로 ;2#;<x<3


 2 x>3일 때, x-3<x

 0_x<3이므로 해는 모든 실수이다.

 그런데 x>3이므로 x>3





























































 1, 2에서 구한 해를 합하면 x>;2#;

다.

STEP 



필수 유형

| 200쪽~201쪽 |

01-1           ⑴ -3<x<-1 또는 2<x<4  ⑵ 1<x<3
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 범위를 나눈

  9 연립일차부등식   069 

⑴ 3<|2x-1|<7에서

 1 x<;2!;일 때, 3<-(2x-1)<7
 3<-2x+1<7, 2<-2x<6


 ∴ -3<x<-1

2 -1<x<3일 때, x+1<2+3-x

2x<4

 ∴ x<2

그런데 -1<x<3이므로 -1<x<2

3 x>3일 때, x+1<2-(3-x)

0_x<-2이므로 해는 없다.

1, 2, 3에서 x<2

02-1      -8
|해결 전략 | 절댓값 기호를 2개 포함하는 일차부등식은 x의 값의 범위를 3개로 



 그런데 x<;2!;이므로 -3<x<-1

 2 x>;2!;일 때, 3<2x-1<7
 ∴ 2<x<4


 4<2x<8



 그런데 x>;2!;이므로 2<x<4

 1, 2에서 -3<x<-1 또는 2<x<4

⑵ x+|2x-5|<4에서

 1 x<;2%;일 때, x-(2x-5)<4


 -x<-1

 ∴ x>1





그런데 x<;2%;이므로 1<x<;2%;

  2 x>;2%;일 때, x+(2x-5)<4


 ∴ x<3

 3x<9



 그런데 x>;2%;이므로 ;2%;<x<3

  1, 2에서 1<x<3

나누어 푼다.

|x+2|+|x-4|<8에서

1 x<-2일 때, -(x+2)-(x-4)<8

-2x<6

 ∴ x>-3

그런데 x<-2이므로 -3<x<-2

2 -2<x<4일 때, (x+2)-(x-4)<8

0_x<2이므로 해는 모든 실수이다.

그런데 -2<x<4이므로 -2<x<4

3 x>4일 때, (x+2)+(x-4)<8

2x<10

 ∴ x<5

그런데 x>4이므로 4<x<5

1, 2, 3에서 -3<x<5

따라서 a=-3, b=5이므로

a-b=-3-5=-8

나누어 푼다.

|x+1|<2+|3-x|에서

1 x<-1일 때, -(x+1)<2+3-x

0_x<6이므로 해는 모든 실수이다.

그런데 x<-1이므로 x<-1

070  정답과 해설 

| 202쪽~203쪽 |

STEP 



유형 드릴

1-1        ㄴ
|해결 전략 | 부등식의 성질을 이용한다.

ㄱ. a=-2, b=1이면 a<b이지만 a€>b€

ㄴ. a<b이므로 -2a>-2b

∴  -2a+3>-2b+3

ㄷ. a<b이므로

<



∴ 

-2<

-2

a
6

b
6

a
6

b
6

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

1-2        ㄱ, ㄷ
|해결 전략 | 부등식의 성질을 이용한다.

ㄱ. a>b이므로 3a>3b

 ∴ 3a-2>3b-2

ㄴ. a<b, c<0이므로

>



 ∴

+1>

+1

a
c

b
c

a
c

b
c

ㄷ. a>b이므로 a+c>b+c  

c>d이므로 b+c>b+d

∴ a+c>b+d


따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

2-1        -2
|해결 전략 | 주어진 부등식의 부등호의 방향과 해의 부등호의 방향이 다르면 x의 

계수는 음수이다.

ax+1<7에서 ax<6

이 부등식의 해가 x>-3이므로 a<0

즉, ax<6에서 x>;a^;
㉠과 x>-3이 일치하므로

;a^;=-3

 ∴ a=-2

부등식 (a-2)x>a€(a-2)의 해가 x<9이므로 a-2<0

주어진 부등식의 양변을 a-2로 나누면

x<a€

㉠과 x<9가 일치하므로

a€=9

 ∴ a=-3 (5 a-2<0)

åå ㉠

åå ㉠

02-2      x<2
|해결 전략 | 절댓값 기호를 2개 포함하는 일차부등식은 x의 값의 범위를 3개로 

계수는 음수이다.

2-2        -3
|해결 전략 | 주어진 부등식의 부등호의 방향과 해의 부등호의 방향이 다르면 x의 

3-1        8
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 해의 범위에 포함되는 정수를 생각한다.

3x-1>2x+1에서 x>2

2x-4>4x-15에서 -2x>-11

∴  x<:¡2¡:

…… ㉠

…… ㉡

이때, 연립부등식의 해가 x>1이려면

오른쪽 그림과 같아야 하므로

-a-4
2

<1

 ∴ a>-6

-a-4
2

1

x

따라서 연립부등식의 해는 2<x<:¡2¡:이므로
a=3, b=5





∴ a+b=3+5=8

2

x

;;¡2¡;;

한다.

5-2        :¡2∞:

|해결 전략 | 각 부등식을 변형하여 수직선 위에 나타낸 연립부등식의 해와 비교

ax-1<2x+1에서 (a-2)x<2

x-6<bx+2에서 (1-b)x<8

åå ㉠

åå ㉡

이때, 수직선 위에 나타낸 연립부등식의 해가 -2<x<4이므로

…… ㉠

㉠에서 x<

이므로

=4

 ∴ a=;2%;

a-2>0, 1-b<0

2
a-2

8
1-b

2
a-2

8
1-b

㉡에서 x>

이므로

=-2

 ∴ b=5

…… ㉡

∴ a+b=;2%;+5=:¡2∞:

1

4

x

6-1        -4
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 해가 오직 1개가 되도록 하는 a의 값을 구

3-2        6
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 정수인 해의 합을 구한다.

3(2-x)>x-10에서 6-3x>x-10

-4x>-16

 ∴ x<4

5+x
3

>

x+3
2
∴ x>1

에서 3(x+3)>2(5+x)

따라서 연립부등식의 해는 1<x<4이므

로 구하는 모든 정수 x의 값의 합은





1+2+3=6

4-1        6

5x+1<2x-5

2x-5<3x-2

[

|해결 전략 | A<B<C 꼴은 [

 꼴로 바꾸어 푼다.

A<B
B<C

5x+1<2x-5에서 3x<-6

 ∴ x<-2

2x-5<3x-2에서 -x<3

 ∴ x>-3

따라서 연립부등식의 해는 -3<x<-2

이므로

a=-3, b=-2

∴ ab=(-3)_(-2)=6

…… ㉠

…… ㉡





-3

-2

x

5x-3<7x+1

7x+1<6x

[

5x-3<7x+1에서 -2x<4

 ∴ x>-2

7x+1<6x에서 x<-1

…… ㉠

…… ㉡

따라서 연립부등식의 해는 -2<x<-1

이므로 정수 x의 값은 -2이다.





x=-2가 방정식 x+2=2x+a의 해이

-2

-1

x

므로 이 방정식에 x=-2를 대입하면

-2+2=2_(-2)+a

 ∴ a=4

5-1        a>-6
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 구한 후 주어진 해와 비교하여 a의 값의 범위를 구

한다.

7x-4>2x+1에서 5x>5

 ∴ x>1

4(x+1)>2x-a에서 2x>-a-4

 ∴ x>

-a-4
2

4-2        4
|해결 전략 | 연립부등식의 해를 구한 후 정수인 해를 방정식에 대입한다.

x-4
3

<a에서 x<3a+4

한다.

x+7>3(x-1)에서 -2x>-10

 ∴ x<5

5x+a>4x+1에서 x>1-a

이때, 연립부등식의 해가 오직 1개이므로

1-a=5

 ∴ a=-4

참고

a=-4이면 [

x<5

x>5

가 되어 연립부등식의 해는 x=5로 오직 1개이다.

6-2        -3
|해결 전략 | 연립부등식이 해를 갖지 않으려면 공통부분이 없어야 한다.

2(x-3)<5(x+1)+4에서 -3x<15

 ∴ x>-5

이때, 연립부등식의 해가 없으려면 오른쪽

그림과 같아야 하므로

3a+4 -5

x

3a+4<-5, 3a<-9

 ∴ a<-3

따라서 정수 a의 최댓값은 -3이다.

7-1        9송이
|해결 전략 | 구입하는 카네이션을 x송이로 놓고 주어진 조건을 이용하여 부등식

을 세운다.

카네이션을 x송이 산다고 하면 장미는 (15-x)송이를 사야 하므로

…… ㉠
…… ㉡

x>15-x
[
1500x+1200(15-x)<21000

㉠에서 2x>15

∴  x>:¡2∞:

㉡에서 300x<3000

∴  x<10

즉, :¡2∞:<x<10이므로 카네이션은 최대 9송이까지 살 수 있다.

  9 연립일차부등식   071 

7-2        바구니의 개수: 9, 사과의 개수: 57
|해결 전략 | 바구니의 개수를 x로 놓고 사과의 개수를 x를 사용하여 나타낸다.

바구니의 개수를 x라 하면 사과의 개수는 (5x+12)이다.

사과를 7개씩 담으면 마지막 바구니에 1개 이상 3개 미만 담기므로

10 

| 이차부등식과 연립이차부등식

7(x-1)+1<5x+12<7(x-1)+3

∴ [

7(x-1)+1<5x+12
5x+12<7(x-1)+3



㉠에서 2x<18

 ∴ x<9

㉡에서 -2x<-16

 ∴ x>8

즉, 8<x<9이므로 바구니의 개수는 9이고, 사과의 개수는

5_9+12=57이다.

åå ㉠
åå ㉡



이차부등식

개념 확인  

   206쪽~209쪽

1  ⑴ x<-3 또는 x>1  ⑵ -3<x<1

2    ⑴ x<3 또는 x>5  ⑵ -2<x<8  ⑶ x=5   

⑷ x+2인 모든 실수  ⑸ 모든 실수  ⑹ 해는 없다.

3  ⑴ x€-6x+8<0  ⑵ x€+2x-8>0

4  ⑴ -4<k<4  ⑵ -2<k<2

1  ⑴ y=x€+2x-3의 그래프에서 y>0인 x의 값의 범위는


 x<-3 또는 x>1

 ⑵ y=x€+2x-3의 그래프에서 y<0인 x의 값의 범위는



 -3<x<1

2  ⑴ 이차함수 y=(x-3)(x-5)의 그래프는


 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 (x-3)(x-5)>0의 해는

 x<3 또는 x>5

 ⑵ 이차함수 y=(x+2)(x-8)의 그래프는

 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 (x+2)(x-8)<0의 해는

 -2<x<8

 ⑶ 이차함수 y=(x-5)€의 그래프는

 ⑷ 이차함수 y=(x-2)€의 그래프는

 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 (x-5)€<0의 해는

 x=5

 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 (x-2)€>0의 해는

 x+2인 모든 실수

 ⑸ 이차함수 y=x€-3x+4={x-;2#;}
 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.


€+;4&;

 따라서 x€-3x+4>0의 해는

 모든 실수

 ⑹ 이차함수 y=x€-6x+10=(x-3)€+1

 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 x€-6x+10<0의 해는 없다.































3

5

x

-2

8

x

5

2

3
2

3

x

x

x

x

3  ⑴ 해가 2<x<4이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은


 ∴ x€-6x+8<0

(x-2)(x-4)<0



 ⑵ 해가 x<-4 또는 x>2이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은





(x+4)(x-2)>0

 ∴ x€+2x-8>0

8-1        4
|해결 전략 | 절댓값 기호를 2개 포함하는 일차부등식은 x의 값의 범위를 3개로 

나누어 푼다.

|x-1|+|x-2|<x+2에서

1 x<1일 때, -(x-1)-(x-2)<x+2

 -3x<-1

∴  x>;3!;

 그런데 x<1이므로 ;3!;<x<1
2 1<x<2일 때, x-1-(x-2)<x+2

 -x<1

∴  x>-1

 그런데 1<x<2이므로 1<x<2

3 x>2일 때, x-1+x-2<x+2

 ∴ x<5

 그런데 x>2이므로 2<x<5

1, 2, 3에서 ;3!;<x<5
따라서 정수 x는 1, 2, 3, 4의 4개이다.

8-2        0
|해결 전략 | 절댓값 기호를 2개 포함하는 일차부등식은 x의 값의 범위를 3개로 

나누어 푼다.

2|x+3|+x<3|x-4|에서

1 x<-3일 때, -2(x+3)+x<-3(x-4)

 2x<18

∴  x<9

 그런데 x<-3이므로 x<-3

2 -3<x<4일 때, 2(x+3)+x<-3(x-4)

 6x<6

∴  x<1

 그런데 -3<x<4이므로 -3<x<1

3 x>4일 때, 2(x+3)+x<3(x-4)

 0_x<-18이므로 해는 없다.

1, 2, 3에서 x<1

따라서 정수 x의 최댓값은 0이다.

072  정답과 해설 

4  ⑴ 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 x€-kx+4>0이 성립하려
면 이차함수 y=x€-kx+4의 그래프가 x축에 접하거나 x축

 ⑷ 이차함수 y=2(x+2)€의 그래프는

 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 2(x+2)€<0의 해는



따라서 x€-kx+4=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어야 하

 x=-2

보다 위쪽에 있어야 한다.

므로

 D=(-k)€-4_1_4<0

 k€-16<0, (k+4)(k-4)<0

 ∴ -4<k<4

 ⑵ 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 -x€+kx-1<0이 성립하

려면 이차함수 y=-x€+kx-1의 그래프가 x축에 접하거나

x축보다 아래쪽에 있어야 한다.



따라서 -x€+kx-1=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어야

하므로

 D=k€-4_(-1)_(-1)<0

 k€-4<0, (k+2)(k-2)<0

 ∴ -2<k<2

-2

x

x

5
2

-1

5

x

 ⑸ 이차함수 y=x€-5x+7={x-;2%;}
 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.


€+;4#;



 따라서 x€-5x+7<0의 해는 없다.

 ⑹ -x€+4x+5>0에서 x€-4x-5<0

 이차함수 y=x€-4x-5=(x+1)(x-5)

 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 x€-4x-5<0의 해는

 -1<x<5

 ⑺ -x€-3x-5<0에서 x€+3x+5>0

 이차함수 y=x€+3x+5={x+;2#;}
 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

€+:¡4¡:

 따라서 x€+3x+5>0의 해는

 모든 실수

-

3
2

x

2  ⑴ 해가 1<x<3이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은


 ∴ x€-4x+3<0

(x-1)(x-3)<0



 ⑵ 해가 x<2 또는 x>5이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은



(x-2)(x-5)>0

 ∴ x€-7x+10>0

 ⑶ 해가 -2<x<0이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은

 x(x+2)<0

∴  x€+2x<0

 ⑷ 해가 x<-2 또는 x>1이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은



(x+2)(x-1)>0

∴  x€+x-2>0

3  ⑴ 이차방정식 x€-2kx+4=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어

=(-k)€-4<0, (k+2)(k-2)<0

 ∴ -2<k<2

야 하므로

=1€-k<0

∴  k>1

어야 하므로

=(-3)€-(-1)_(-3k)<0

 D
4

 D
4

 D
4













































STEP 



개념 드릴   

| 210쪽 |

1  ⑴ x<2 또는 x>3  ⑵ x+4인 모든 실수  ⑶ -1<x<1

야 하므로

1  ⑷ x=-2  ⑸ 해는 없다.  ⑹ -1<x<5  ⑺ 모든 실수

2  ⑴ x€-4x+3<0  ⑵ x€-7x+10>0

2  ⑶ x€+2x<0  ⑷ x€+x-2>0

3  ⑴ -2<k<2  ⑵ k>1  ⑶ k>3  ⑷ -6<k<6

 ⑵ 이차방정식 x€+2x+k=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어

 따라서 (x-2)(x-3)>0의 해는

2

3

x

 ⑶ 이차방정식 -x€-6x-3k=0의 판별식을 D라 하면 D<0이

1  ⑴ 이차함수 y=(x-2)(x-3)의 그래프는


 오른쪽 그림과 같다.

 x<2 또는 x>3

 ⑵ 이차함수 y=(x-4)€의 그래프는

 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 (x-4)€>0의 해는

 x+4인 모든 실수

 9-3k<0

∴  k>3

4

x

 ⑷ 이차방정식 -x€+kx-9=0의 판별식을 D라 하면 D<0이

 ⑶ 이차함수 y=2(x+1)(x-1)의 그래프는

어야 하므로

 오른쪽 그림과 같다.

 따라서 2(x+1)(x-1)<0의 해는

-1

1 x

 -1<x<1

 D=k€-4_(-1)_(-9)<0

 k€-36<0, (k+6)(k-6)<0

 ∴ -6<k<6

  10 이차부등식과 연립이차부등식   073 

































| 211쪽~216쪽 |

02-2         -5<x<5
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 범위를 나누

|해결 전략 | ⑴ 부등식 f(x)>g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 

 x€+4x-5<0, (x+5)(x-1)<0

STEP 



필수 유형   

01-1          ⑴ x<-1 또는 x>3

        

 ⑵ x<-2 또는 -;2!;<x<2 또는 x>5

 

 그래프와 만나거나 위쪽에 있는 x의 값의 범위와 같다.

⑵   부등식 ÷f(x)g(x)<0의 해는 ÷f(x)>0, g(x)<0 또는 ÷f(x)<0, g(x)>0

을 만족시키는 x의 값의 범위와 같다.

⑴ y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프와 만나거나 위쪽에 있는

부분의 x의 값의 범위는 x<-1 또는 x>3

⑵ 주어진 부등식의 해는 f(x)>0, g(x)<0 또는 f(x)<0, g(x)>0

을 만족시키는 x의 값의 범위이다.

 1 ÷f(x)>0, g(x)<0일 때



f(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는

 x<-;2!; 또는 x>5
 g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는

 x<-2 또는 x>2

어 이차부등식의 해를 구한다.

x€-4|x|-5<0에서

1 x<0일 때

 ∴ -5<x<1

 그런데 x<0이므로 -5<x<0

2 x>0일 때

 x€-4x-5<0, (x+1)(x-5)<0

 ∴ -1<x<5

 그런데 x>0이므로 0<x<5

1, 2에서 주어진 부등식의 해는

-5<x<5

다른 풀이

…… ㉠

x€-4|x|-5<0에서 x€=|x|€이므로 

|x|€-4|x|-5<0, (|x|+1)(|x|-5)<0

…… ㉡

|x|+1>0이므로 |x|-5<0

|x|<5 

  ∴ -5<x<5

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 x<-2 또는 x>5

 2 ÷f(x)<0, g(x)>0일 때

참고



f(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는 -;2!;<x<5  …… ㉢

 g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는 -2<x<2  …… ㉣

용하여 풀 수도 있다.

절댓값을 포함한 부등식은 일반적으로 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 

x의 값을 경계로 범위를 나누어 풀지만 부등식의 형태에 따라 x€=|x|€을 이

















 ㉢, ㉣의 공통부분을 구하면 -;2!;<x<2

  1, 2에서 구하는 부등식의 해는

 x<-2 또는 -;2!;<x<2 또는 x>5

02-1          
  ⑴ 1<x<4  ⑵ 해는 없다.  ⑶ x='3   ⑷ 해는 없다.
|해결 전략 | 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후 해를 구한다.

⑴ x-x€>4(1-x)에서 x€-5x+4<0

 (x-1)(x-4)<0

 ∴ 1<x<4

⑵ 4x-2>1+4x€에서 4x€-4x+3<0


+2<0

 ∴ 해는 없다.

 4{x-;2!;}
⑶ x€+3<2'3x에서 x€-2'3x+3<0
 (x-'3 )€<0
⑷ -2x€+4x-6>0에서 2x€-4x+6<0

 ∴ x='3

 2(x-1)€+4<0

 ∴ 해는 없다.

03-1        a=-1, b=6
|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한 후 주

어진 부등식과 비교한다.

해가 x<-2 또는 x>3이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은

(x+2)(x-3)>0

∴  x€-x-6>0

…… ㉠

이때, ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 다르므로

a<0

㉠의 양변에 a를 곱하면

ax€-ax-6a<0

이 부등식이 ax€+x+b<0과 일치하므로

-a=1, -6a=b

 ∴ a=-1, b=6

참고

⑴ 

⑶ 

1

4 x

 

 

'3

x

074  정답과 해설 

⑵ 

⑷ 

 

 

x

03-2        x<1 또는 x>5
|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한 후 주

어진 부등식과 비교한다.

;2!;

해가 ;2#;<x<4이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은

∴  x€-:¡2¡:x+6<0
{x-;2#;}(x-4)<0
이때, ㉠과 이차부등식 ax€-11x+b<0의 부등호의 방향이 같으므로

…… ㉠

1

x

a>0

㉠의 양변에 a를 곱하면

참고

ax€-:¡2¡:ax+6a<0
이 부등식이 ax€-11x+b<0과 일치하므로

:¡2¡:a=11, 6a=b
㉡을 ax€-bx+10>0에 대입하면

 ∴ a=2, b=12

2x€-12x+10>0, 2(x-1)(x-5)>0

∴ x<1 또는 x>5

문제에서 이차부등식이라는 조건이 주어진 경우 이차항의 계수는 0이 아니

다. 즉, 이차부등식이라는 조건이 주어지면 
⑴의 답은 1<a<4, ⑵의 답은 - '2
2

<a< '2
2

…… ㉡

가 된다.

04-2        3
|해결 전략 | 이차부등식 ax€+bx+c<0(a<0)이 항상 성립할 조건은 이차방

정식 ax€+bx+c=0의 판별식 D<0임을 이용한다.

-x€+2(n-3)x<1, 즉 -x€+2(n-3)x-1<0이 모든 실수 x

에 대하여 성립하려면 이차방정식 -x€+2(n-3)x-1=0의 판별

식을 D라 할 때, D<0이어야 한다.

=(n-3)€-1<0

D
4
n€-6n+8<0, (n-2)(n-4)<0

∴ 2<n<4

따라서 자연수 n은 2, 3, 4의 3개이다.

라 하면 D<0이어야 하므로

D
4

=(a-1)€-3(a-1)<0, a€-5a+4<0

의 그래프를 그려서 푼다.

05-1          k>

15
4



|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)<0이 항상 성립할 때의 y=f(x)

(a-1)(a-4)<0

 ∴ 1<a<4

åå ㉡

f(x)=x€-4x-4k+3이라 하면

y

y=f(x)

04-1          ⑴ 1<a<4  ⑵ - '2
2
|해결 전략 | 이차항의 계수가 0일 때와 0이 아닐 때로 나누어 푼다.

<a< '2
2





0_x€-2_0_x+3>0에서 3>0이므로 모든 실수 x에 대

⑴ 1 a-1=0, 즉 a=1일 때

하여 성립한다.

 2 a-1+0, 즉 a+1일 때

주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하면 성립하려면

 a-1>0

 ∴ a>1

åå ㉠

또, 이차방정식 (a-1)x€-2(a-1)x+3=0의 판별식을 D

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 1<a<4

 1, 2에서 구하는 a의 값의 범위는

 1<a<4

⑵ ax€+2ax-a<x€+1에서

 (a-1)x€+2ax-a-1<0

 1 a-1=0, 즉 a=1일 때

 0_x€+2_1_x-1-1<0에서

 2x-2<0

 ∴ x<1



따라서 a=1이면 x<1인 범위에서만 부등식이 성립한다.

 2 a-1+0, 즉 a+1일 때

 주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면

 a-1<0



∴ a<1

åå ㉠

또, 이차방정식 (a-1)x€+2ax-a-1=0의 판별식을 D라

하면 D<0이어야 하므로

D
4

=a€-(a-1)(-a-1)<0

 2a€-1<0, ('2a+1)('2a-1)<0
 ∴ - '2
2

<a< '2
2



 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 - '2
2

<a< '2
2

  1, 2에서 구하는 a의 값의 범위는
 - '2
2

<a< '2
2









































f(x)=(x-2)€-4k-1

-2<x<5에서 f(x)<0이 항상 성립하

려면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과

2-2
O

5

x

같아야 한다.

-2<x<5에서 함수 f(x)는 x=-2일

때 최대이므로 ÷f(-2)<0에서

4+8-4k+3<0

 ∴ k>

15
4

05-2         -1<a<2
|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)<0이 항상 성립할 때의 y=f(x)

의 그래프를 그려서 푼다.

f(x)=x€+ax+a€-7이라 하자.

y=f(x)

-2<x<1에서 f(x)<0이 항상 성립하려

면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같

-2

1

x

아야 한다.

åå ㉡

1 f(-2)<0에서 4-2a+a€-7<0, a€-2a-3<0

 (a+1)(a-3)<0

 ∴ -1<a<3

2 f(1)<0에서 1+a+a€-7<0, a€+a-6<0

 (a+3)(a-2)<0

 ∴ -3<a<2

1, 2에서 구하는 a의 값의 범위는

-1<a<2

  10 이차부등식과 연립이차부등식   075 

06-1          500명 이상 1000명 이하
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 근로자의 수 x에 대한 이차부등식을 세운다.



근로자의 수 x에 대한 수익 A만 원이 10억 원 이상이어야 하므로

-0.2x€+300x>100000

x€-1500x+500000<0, (x-500)(x-1000)<0

∴ 500<x<1000

따라서 필요한 근로자는 500명 이상 1000명 이하이다.

2   이차방정식 x€+2x+k-3=0의 두 근을 a, b, 판별식을 D라 하

 1 ;;4Î;;=1€-(k-3)>0, -k+4>0
 2 a+b=-2<0

 3 ab=k-3>0

∴  k>3

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 3<k<4

∴  k<4

…… ㉠

…… ㉡





3

4

k

06-2        10 m 이상 60 m 이하
|해결 전략 | 꽃밭의 한 변의 길이를 x m라 하고 주어진 조건을 이용하여 x에 대

한 이차부등식을 세운다.

이다.

꽃밭의 한 변의 길이를 x m라 하면 다른 한 변의 길이는 (70-x) m

이때, 꽃밭의 넓이가 600 m€ 이상이어야 하므로

x(70-x)>600, -x€+70x-600>0

x€-70x+600<0, (x-10)(x-60)<0

∴ 10<x<60

따라서 꽃밭의 한 변의 길이의 범위는 10 m 이상 60 m 이하이다.

3  이차방정식 2x€-3x-4k+3=0의 두 근을 a, b라 하면

 ab=

-4k+3
2

<0, -4k+3<0

∴  k>;4#;

4  ÷f(x)=x€+kx+2k라 하면
    ÷f(x)=0의 두 근이 모두 -1보다 크므로

y=÷f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

 1 ÷f(x)=0의 판별식을 D라 하면

 D=k€-8k>0





 k(k-8)>0

∴  k<0 또는 k>8

 2 ÷f(-1)=1-k+2k=k+1>0    ∴ k>-1

 3 y=÷f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-;2K;이므로



 -;2K;>-1에서 k<2
 ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면

 -1<k<0

-1

x

y=f(x)

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢









-1

20

8

k



연립이차부등식

개념 확인  

   217쪽~219쪽

1  ⑴ 2<x<5  ⑵ -3<x<-1 또는 0<x<2

2  3<k<4 

3  k>;4#; 

4  -1<k<0

åå ㉠

åå ㉡





åå ㉠

0

2

5

x

STEP 



개념 드릴   

| 220쪽 |

1  ⑴ 2<x<4  ⑵ x>2  ⑶ x<-2  ⑷ -5<x<0



(x+3)(x-2)<0

 ∴ -3<x<2

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 -3<x<-1 또는 0<x<2







-3

-1 0

2

x

2  ⑸ -;3!;<x<2
2  ⑴ -2<x<-1 또는 2<x<3

2  ⑵ -6<x<-5 또는 2<x<3

2  ⑶ -2<x<-1 또는 3<x<4

2  ⑷ x<-1 또는 4<x<5

2  ⑸ x>2

1  ⑴ x+1>3에서 x>2


 x(x-5)<0에서 0<x<5

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 2<x<5

 ⑵ 0<x€+x<6 ➡ [

0<x€+x
x€+x<6

 0<x€+x에서 x(x+1)>0

 ∴ x<-1 또는 x>0

 x€+x<6에서 x€+x-6<0

















076  정답과 해설 

































































1  ⑴ x-1>1에서 x>2




(x-1)(x-4)<0에서 1<x<4

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면



 2<x<4

 ⑵ 2x+1>5에서 2x>4

∴  x>2



(x+2)(x+1)>0에서 x<-2 또는 x>-1

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 x>2





-2 -1

 ⑶ 2x-4<0에서 2x<4

∴  x<2

 x€-4x-12>0에서 (x+2)(x-6)>0

 ∴ x<-2 또는 x>6

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면



 x<-2



-2

2

1

2

 x€-2x<8에서 x€-2x-8<0

(x+1)(x-3)>0

∴  x<-1 또는 x>3

…… ㉠

…… ㉠

…… ㉡



4

x

…… ㉠

…… ㉡



2

x

…… ㉠

…… ㉡



6

x

…… ㉠

…… ㉡



…… ㉠

…… ㉡

 ⑶ 3<x€-2x<8 ➡
[

3<x€-2x
x€-2x<8

 3<x€-2x에서 x€-2x-3>0







































(x+2)(x-4)<0

∴  -2<x<4

…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면



 -2<x<-1 또는

 3<x<4



-2-1



43

x

 ⑷ 4x-1<3x+4<x€ ➡
[

4x-1<3x+4
3x+4<x€

 4x-1<3x+4에서 x<5

 3x+4<x€에서 x€-3x-4>0



(x+1)(x-4)>0

∴  x<-1 또는 x>4

…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 x<-1 또는 4<x<5



-1





4

5

x

…… ㉠

…… ㉠



(x+1)(2x-3)>0

∴  x<-1 또는 x>;2#;

…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 x>2



-1




x

2

3
2

 ⑷ (x+5)(x-2)<0에서 -5<x<2

 x(x-4)>0에서 x<0 또는 x>4

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면



 -5<x<0



-5

0

2

4

x

 ⑸ 7-x<x+3<2x€ ➡
[

7-x<x+3
x+3<2x€

 7-x<x+3에서 x>2

 x+3<2x€에서 2x€-x-3>0

 ⑸ (3x+1)(x-2)<0에서 -;3!;<x<2
 x€+2x-8<0에서 (x+4)(x-2)<0


 ∴ -4<x<2

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 -;3!;<x<2





-4

-;3!;

x

2

2  ⑴ 2<x€-x<6 ➡
[

2<x€-x
x€-x<6

 2<x€-x에서 x€-x-2>0

(x+1)(x-2)>0

∴  x<-1 또는 x>2

…… ㉠

 x€-x<6에서 x€-x-6<0

(x+2)(x-3)<0

∴  -2<x<3

…… ㉡

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 -2<x<-1 또는

 2<x<3







-2

-1

2

3

x

10<x€+3x
 ⑵ 10<x€+3x<18 ➡
[
x€+3x<18

 10<x€+3x에서 x€+3x-10>0

STEP 



필수 유형   

| 221쪽~226쪽 |

01-1          ⑴ -3<x<0 또는 1<x<2  ⑵ 2<x<8
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 공통부분을 찾는다.

⑴ x€<6-x에서 x€+x-6<0

(x+5)(x-2)>0

∴  x<-5 또는 x>2

…… ㉠

 (x+3)(x-2)<0

 ∴ -3<x<2

 x€+3x<18에서 x€+3x-18<0

 x€-x>0에서 x(x-1)>0

(x+6)(x-3)<0

∴  -6<x<3

…… ㉡

 ∴ x<0 또는 x>1

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 -6<x<-5 또는 2<x<3







-6-5

2

3

x

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면



 -3<x<0 또는 1<x<2



-3

åå ㉠

åå ㉡



0 1

2

x

  10 이차부등식과 연립이차부등식   077 

⑵ x€-3x<x€-6에서 -3x<-6

 ∴ x>2

 x€-6<7x+2에서 x€-7x-8<0

 (x+1)(x-8)<0

 ∴ -1<x<8

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 2<x<8





-1

2

8

x

01-2          ⑴ -1<x<4  ⑵ -1<x<3
|해결 전략 | ⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값을 경계로 범위를 나

åå ㉠

02-2          -1<k<6
|해결 전략 | 주어진 조건을 만족시키도록 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.

åå ㉠
åå ㉡

㉠에서 x(x-5)>0

 ∴ x<0 또는 x>5

x€-5x>0
x€-(k+7)x+7k<0

[



㉡에서 (x-k)(x-7)<0

1 k<7일 때, k<x<7

2 k=7일 때, 해는 없다.

3 k>7일 때, 7<x<k

연립부등식을 만족시키는 정수가



6뿐이도록 ㉠, ㉡의 해를 수직선



위에 나타내면 오른쪽 그림과 같

0

k

5 6

7



x

 (x+1)(x-5)<0

 ∴ -1<x<5

åå ㉡

åå ㉠

으므로 부등식 ㉡의 해는 k<x<7

따라서 실수 k의 값의 범위는





-1<k<6

참고

 x+1-(x-2)<5에서 3<5이므로 해는 모든 실수이다.

 그런데 -1<x<2이므로 -1<x<2

누어 부등식의 해를 구한다.

⑴ |x-1|<3에서 -3<x-1<3

 ∴ -2<x<4

 -x€+4x+5>0에서 x€-4x-5<0

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 -1<x<4

⑵ |x+1|+|x-2|<5에서

 1 x<-1일 때

 -(x+1)-(x-2)<5에서 x>-2

 그런데 x<-1이므로 -2<x<-1

 2 -1<x<2일 때

 3 x>2일 때

 x+1+x-2<5에서 x<3

 그런데 x>2이므로 2<x<3

 1, 2, 3에서 -2<x<3

 x€-3x-4<0에서 (x+1)(x-4)<0

 ∴ -1<x<4

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 -1<x<3














x€-2x-8<0

x€-(2k-1)x-2k>0

[

㉠에서 (x+2)(x-4)<0

∴ -2<x<4

㉡에서 (x+1)(x-2k)>0

1 2k<-1일 때, x<2k 또는 x>-1

2 2k=-1일 때, 모든 실수

3 2k>-1일 때, x<-1 또는 x>2k

연립부등식의 해가 -1<x<4가 되

도록 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나

타내면 오른쪽 그림과 같으므로 부

등식 ㉡의 해는 x<2k 또는 x>-1

따라서 2k<-2이므로 k<-1

078  정답과 해설 

-2

-1

4

5

x

k=-1일 때, 연립부등식의 해는 -1<x<0 또는 5<x<7이므로 연립부

등식을 만족시키는 정수는 6뿐이다.

k=6일 때, 연립부등식의 해는 6<x<7이므로 연립부등식을 만족시키는 정

수는 없다.

03-1          4 이상 5 이하
|해결 전략 | 직사각형의 가로의 길이를 x라 하고 주어진 조건을 이용하여 x에 대

한 연립이차부등식을 세운다.

로고가 들어갈 직사각형의 가로의 길이를 x라 하면 세로의 길이는

x-3이다.

이때, 직사각형의 넓이는 4 이상 10 이하이므로

4<x(x-3)<10

 ∴ 4<x€-3x<10

4<x€-3x에서 x€-3x-4>0

(x+1)(x-4)>0

 ∴ x<-1 또는 x>4

åå ㉠

åå ㉡





그런데 x-3>0, 즉 x>3이므로 x>4

…… ㉠

x€-3x<10에서 x€-3x-10<0

-2

-1

3

4

x

(x+2)(x-5)<0

 ∴ -2<x<5

그런데 x-3>0, 즉 x>3이므로 3<x<5

…… ㉡

03-2          2<x<12
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 연립이차부등식을 세운다.

삼각형이 되려면

3x+1<(3x-1)+x

∴  x>2

…… ㉠

또한, 둔각삼각형이 되려면 (3x+1)€>(3x-1)€+x€

9x€+6x+1>10x€-6x+1, x€-12x<0

x(x-12)<0

∴  0<x<12

그런데 3x-1>0, 즉 x>;3!;이므로 ;3!;<x<12
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

…… ㉡

2<x<12







2k -1-2

4

x

02-1          k<-1
|해결 전략 | 주어진 조건을 만족시키도록 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

4<x<5

åå ㉠
åå ㉡

따라서 로고가 들어갈 직사각형의 가로의 길이는 4 이상 5 이하이다.

참고

가장 긴 변의 길이가 c이고 나머지 두 변의 길이가 a, b인 삼각형이 

❶ 둔각삼각형일 때 ➡ a€+b€<c€

❷ 직각삼각형일 때 ➡ a€+b€=c€

❸ 예각삼각형일 때 ➡ a€+b€>c€

2 a+b=-

-2(k-2)
k-2

=2>0

3 ab=

>0

 ∴ k<2

-7
k-2

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

k<-5

…… ㉡







-5

2

k

04-1          '3 <a<5
|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가질 때 판별식 D<0임을 이용한다.

두 이차방정식 x€+2ax+a+20=0, x€-2x+a€-2=0이 모두

허근을 가지므로 판별식을 각각 D¡, D™라 하면

(두 근의 합)=0이다.

05-2          -3
|해결 전략 | 두 근이 서로 다른 부호이고 절댓값이 같으면  (두 근의 곱)<0,  

이차방정식 x€-(9-k€)x+k€+3k-10=0의 두 근을 a, b라 하면

04-2          -7<a<-3
|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가질 때는 판별식 D<0, 서로 다른 두 실근을 

림과 같다.

가질 때는 판별식 D>0임을 이용한다.

 1 f(x)=0의 판별식을 D라 하면

이차방정식 x€+(a+1)x-a+2=0이 허근을 갖고, 이차방정식

x€+2ax+a+12=0이 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 이차방정



;;4Î;;=(k+1)€-(2k+5)>0

 k€-4>0, (k+2)(k-2)>0

 ∴ k<-2 또는 k>2


4

=a€-(a+20)<0이므로

a€-a-20<0, (a+4)(a-5)<0

∴ -4<a<5

=(-1)€-(a€-2)<0이므로

D™
4
a€-3>0, (a+'3 )(a-'3 )>0
∴ a<-'3 또는 a>'3
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면
-4<a<-'3 또는 '3<a<5
∴ '3<a<5 (∵ a>0)

식의 판별식을 각각 D¡, D™라 하면

D¡=(a+1)€-4(-a+2)<0이므로

a€+6a-7<0, (a+7)(a-1)<0

∴ -7<a<1

D™
4

=a€-(a+12)>0이므로

a€-a-12>0, (a+3)(a-4)>0

∴ a<-3 또는 a>4

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-7<a<-3

05-1          k<-5
|해결 전략 | 서로 다른 두 근이 모두 양수일 조건은 (판별식)>0, (두 근의 합)>0, 

이차방정식 (k-2)x€-2(k-2)x-7=0의 서로 다른 두 근을 a, b,

(두 근의 곱)>0이다.

판별식을 D라 하면

1

D
4

={-(k-2)}€-(k-2)_(-7)>0

 k€+3k-10>0, (k+5)(k-2)>0

 ∴ k<-5 또는 k>2

1 ab=k€+3k-10=(k+5)(k-2)<0

åå ㉠

 ∴ -5<k<2

2 a+b=9-k€=-(k+3)(k-3)=0

 ∴ k=-3 또는 k=3

1, 2에서 구하는 k의 값은 -3

åå ㉡

06-1          ⑴ k>2  ⑵ k>1  ⑶ k>1
|해결 전략 | 판별식의 부호, 경곗값의 부호, 축의 위치를 조사한다.

⑴ ÷f(x)=x€-2(k+1)x+2k+5라 하

y=f(x)

 면 ÷f(x)=0의 두 근이 모두 1보다 크



므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그

1

x

















 2 f(1)=1-2(k+1)+2k+5=4>0이므로 항상 성립한다.

…… ㉠

  3 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=k+1이므로

…… ㉡

⑵ ÷f(x)=x€+2kx+2-k라 하면

y=f(x)



 k+1>1

∴  k>0

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

 k>2



÷  f(x)=0의 두 근이 모두 1보다 작으므로

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

 1 f(x)=0의 판별식을 D라 하면



;;4Î;;=k€-(2-k)>0

 k€+k-2>0, (k+2)(k-1)>0

 ∴ k<-2 또는 k>1

 2 f(1)=1+2k+2-k>0에서

 k>-3

  3 y=f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-k이므로

 -k<1

∴  k>-1

 ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면

…… ㉠

 k>1

  10 이차부등식과 연립이차부등식   079 

åå ㉠

åå ㉡

x1

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉢

⑶ ÷f(x)=x€-2kx+3k-6이라 하면

y=f(x)



f(x)=0의 두 근 사이에 3이 있으므로

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같

 따라서 ÷f(3)<0이어야 하므로

 f(3)=9-6k+3k-6<0, -3k+3<0

다.

 ∴ k>1

2-1        -;3!;<x<2
|해결 전략 | 부등식의 양변을 a로 나누어 푼다.

3

x

a<0이므로 3ax€-5ax-2a>0의 양변을 a로 나누면

3x€-5x-2<0, (3x+1)(x-2)<0

∴ -;3!;<x<2

2-2        ⑤ 
|해결 전략 | 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 후 해를 구한다. 

① x€-2x<2-2x에서 x€-2<0
 (x+'2 )(x-'2 )<0
② x€-3x>3(x-3)에서 x€-6x+9>0

∴  -'2<x<'2

 (x-3)€>0

 ∴ 모든 실수

③ x€+4x+5>-1에서 x€+4x+6>0

 (x+2)€+2>0

 ∴ 모든 실수

④ -3x€+1>-2x€+2x+2에서 x€+2x+1<0

 (x+1)€<0

∴  x=-1

⑤ 4x€+8x<4x-1에서 4x€+4x+1<0

 (2x+1)€<0

 ∴ 해는 없다.

따라서 해가 없는 부등식은 ⑤이다.

3-1        x<-1 또는 x>3 
|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한다.

해가 -1<x<2이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은

(x+1)(x-2)<0

∴  x€-x-2<0

이 부등식이 x€+ax+b<0과 일치하므로

åå ㉠

a=-1, b=-2

㉠을 x€+bx+3a>0에 대입하면

x€-2x-3>0, (x+1)(x-3)>0

∴ x<-1 또는 x>3

3-2        -5<x<1
|해결 전략 | 주어진 해를 이용하여 x€의 계수가 1인 이차부등식을 작성한 후 주

어진 부등식과 비교한다.

해가 x<-1 또는 x>4이고 x€의 계수가 1인 이차부등식은

(x+1)(x-4)>0

 ∴ x€-3x-4>0

åå ㉠

이때, ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 다르므로

㉠의 양변에 a를 곱하면

ax€-3ax-4a<0

이 부등식이 ax€+3x+b<0과 일치하므로

-3a=3, -4a=b

 ∴ a=-1, b=4

åå ㉡

㉡을 ax€-bx+5>0에 대입하면

-x€-4x+5>0, x€+4x-5<0

(x+5)(x-1)<0

 ∴ -5<x<1

STEP 



유형 드릴   

| 227쪽~229쪽 |

1-1        ;2%;<x<5
|해결 전략 | 부등식 f(x)<0<g(x)의 해는 f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 

즉, 주어진 부등식의 해는 ÷f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값

x의 값의 범위와 같다. 

부등식 ÷f(x)<0<g(x)에서 [

÷f(x)<0
0<g(x)

의 범위이다.

 -1<x<5

1 f(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는

2 g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는

 x>;2%;
1, 2에서 구하는 부등식의 해는

;2%;<x<5

1-2        x<-2 또는 x>3
|해결 전략 | 부등식 f(x)g(x)<0의 해는 f(x)>0, g(x)<0 또는 ÷f(x)<0, 

g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위와 같다. 

주어진 부등식의 해는 ÷f(x)>0, g(x)<0 또는 ÷f(x)<0, g(x)>0

a<0

을 만족시키는 x의 값의 범위이다.

1 f(x)>0, g(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범위는

주어진 그래프에서 g(x)>0이므로 존재하지 않는다.

2 f(x)<0, g(x)>0을 만족시키는 x의 값의 범위는





x<-2 또는 x>3

1, 2에서 구하는 부등식의 해는

x<-2 또는 x>3

080  정답과 해설 

4-1        9
|해결 전략 | 근호 안의 식의 이차항의 계수가 0일 때와 0이 아닐 때로 나누어 푼다.

5-2        k>7
|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)<0이 항상 성립할 때의 y=f(x)

모든 실수 x에 대하여 "ƒ(2-a)x€-2(2-a)x-3이 허수가 되려면
(2-a)x€-2(2-a)x-3<0이어야 한다.

의 그래프를 그려서 푼다. 

f(x)=x€-kx-3k+3이라 하자.

y=f(x)

-2<x<3에서 f(x)<0이 항상 성립하려면

0_x€-2_0_x-3<0에서 -3<0이므로 모든 실수 x에 대하

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야

-2

3

x

1 2-a=0, 즉 a=2일 때



여 성립한다.

2 2-a+0, 즉 a+2일 때



부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면



2-a<0

 ∴ a>2

åå ㉠

2 f(3)<0에서 9-3k-3k+3<0

또, 이차방정식 (2-a)x€-2(2-a)x-3=0의 판별식을 D라





D
4

하면 D<0이어야 하므로

=(2-a)€-(2-a)_(-3)<0

 (a-2)(a-5)<0

 ∴ 2<a<5

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2<a<5

1, 2에서 a의 값의 범위는 2<a<5

따라서 구하는 모든 정수 a의 값의 합은 2+3+4=9

LECTURE

❶ 'a가 실수이면 ➡ a>0
❷ 'a가 허수이면 ➡ a<0

1 f(-2)<0에서 4+2k-3k+3<0

 -k+7<0

∴  k>7

 -6k+12<0

∴  k>2

1, 2에서 구하는 k의 값의 범위는

한다.

k>7



6-1        80
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 이차부등식을 세운다.

정지거리가 80 m 이하이어야 하므로

;10!0;x€+;5!;x<80, x€+20x-8000<0
(x+100)(x-80)<0

∴  -100<x<80

그런데 x>0이므로 0<x<80

따라서 자동차의 최대 속력은 시속 80 km이다.

4-2        3 
|해결 전략 | 이차부등식 ax€+bx+c<0이 항상 성립할 조건은 a<0이고 이차

∴ a=80

방정식 ax€+bx+c=0의 판별식 D<0임을 이용한다.

이차부등식 (a-1)x€+(a-1)x-1<0이 모든 실수 x에 대하여

성립하려면

a-1<0

 ∴ a<1

또, 이차방정식 (a-1)x€+(a-1)x-1=0의 판별식을 D라 하면

åå ㉠

D<0이어야 하므로

D=(a-1)€-4_(a-1)_(-1)<0

(a+3)(a-1)<0

∴  -3<a<1

åå ㉡

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -3<a<1

따라서 구하는 정수 a는 -2, -1, 0의 3개이다.

6-2        0<x<5
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 이차부등식을 세운다. 

액자 틀의 넓이가 600 cm€ 이하가 되어야 하므로

(30+2x)(20+2x)-30_20<600

4x€+100x-600<0, x€+25x-150<0

(x+30)(x-5)<0

∴  -30<x<5

그런데 x>0이므로 x의 값의 범위는 0<x<5

5-1        -6
|해결 전략 | 주어진 범위에서 이차부등식 f(x)>0이 항상 성립할 때의 y=f(x)

|해결 전략 | 주어진 부등식을 [

꼴로 변형하여 푼다.

f(x)<g(x)

g(x)<h(x)

의 그래프를 그려서 푼다. 

x+2<2x€-1에서 2x€-x-3>0

7-1        9

f(x)=-x€+2x+2-k라 하면

y

f(x)=-(x-1)€+3-k

0<x<4에서 f(x)>0이 항상 성립하려면

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야

0<x<4에서 함수 f(x)는 x=4일 때 최소이므로

한다.

f(4)>0에서

-16+8+2-k>0

∴  k<-6

따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 -6이다.

O 1

4

x

∴ -1<x<4

y=f(x)

(x+1)(2x-3)>0

∴  x<-1 또는 x>;2#;

…… ㉠

2x€-1<6x+7에서 2x€-6x-8<0

x€-3x-4<0, (x+1)(x-4)<0

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

;2#;<x<4
따라서 정수 x의 값은 2, 3, 4이므로

구하는 합은 2+3+4=9

…… ㉡



4

x



-1



;2#;

  10 이차부등식과 연립이차부등식   081 

7-2        1
|해결 전략 | 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 공통부분을 찾는다.

x€+4x+4<2x€+2x+1, x€-2x-3>0

(x+1)(x-3)>0

∴  x<-1 또는 x>3

x€+x-6<0에서 (x+3)(x-2)<0

∴ -3<x<2

2x€-3x-5<0에서 (x+1)(2x-5)<0

∴ -1<x<;2%;
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

-1<x<2

따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=1

-3 -1

x

2

;2%;

그런데 x>0이므로 x>3

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면

x>3

…… ㉡

9-2      4<a<8
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 a에 대한 연립이차부등식을 세운다.

8-1        k<-1
|해결 전략 | 주어진 조건을 만족시키도록 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.

이때, 직사각형 PQCR의 넓이가 32 이상 36 이하이므로

…… ㉠

…… ㉡




åå ㉠
åå ㉡

QC’=a이므로 0<a<12

이때, △APR는 직각이등변삼각형이므로

AR’=PR’=a, RC’=12-a

직사각형 PQCR의 넓이는 a(12-a)

32<a(12-a)<36

1 32<a(12-a)에서 a€-12a+32<0

  (a-4)(a-8)<0    ∴ 4<a<8

2 a(12-a)<36에서 a€-12a+36>0

  (a-6)€>0이므로 항상 성립한다.

1, 2에서 구하는 a의 값의 범위는 4<a<8

10-1       9
|해결 전략 | 이차방정식이 실근을 가질 때는 판별식 D>0, 허근을 가질 때는 판





별식 D<0임을 이용한다.

k -1 1

6

x

두 이차방정식 x€+2kx+9=0, x€+kx+k+3=0의 판별식을 각

8-2       a>-1
|해결 전략 | 주어진 조건을 만족시키도록 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.

각 D¡, D™라 하면


4

=k€-9>0이므로

(k+3)(k-3)>0

∴ k<-3 또는 k>3

D™=k€-4(k+3)<0이므로

k€-4k-12<0, (k+2)(k-6)<0

åå ㉠
åå ㉡

∴ -2<k<6

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 3<k<6

따라서 a=3, b=6이므로 a+b=9

[

x€-5x-6<0

(x-k)(x-1)>0
㉠에서 (x+1)(x-6)<0

∴ -1<x<6

㉡에서

1 k<1일 때, x<k 또는 x>1

2 k=1일 때, 모든 실수

3 k>1일 때, x<1 또는 x>k

연립부등식의 해가 1<x<6이 되도록



㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나타내면

오른쪽 그림과 같으므로 부등식 ㉡의

해는 x<k 또는 x>1

∴ k<-1

[


x€-5x+4<0 

x€+(a-3)x-3a>0
㉠에서 (x-1)(x-4)<0

∴ 1<x<4

㉡에서 (x+a)(x-3)>0

1 -a<3일 때, x<-a 또는 x>3

2 -a=3일 때, x+3인 모든 실수

3 -a>3일 때, x<3 또는 x>-a

㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나타내면

오른쪽 그림과 같으므로 부등식 ㉡의

해는 x<-a 또는 x>3

따라서 -a<1이므로 a>-1

연립부등식의 해가 3<x<4가 되도록







각각 D¡, D™라 하면

-a 1

3

4

x

=a€-(-a+6)<0이므로

10-2       3
|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가질 때 판별식 D<0임을 이용한다. 

두 이차방정식 x€+2ax-a+6=0, x€-2ax+4=0의 판별식을


4

D™
4

a€+a-6<0, (a+3)(a-2)<0

∴ -3<a<2

=a€-4<0이므로

(a+2)(a-2)<0

∴ -2<a<2

9-1       x>3
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 x에 대한 연립이차부등식을 세운다.

삼각형이 되려면 x+2<x+(x+1)

∴  x>1

…… ㉠

㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<a<2

또, 예각삼각형이 되려면 (x+2)€<x€+(x+1)€

따라서 정수 a는 -1, 0, 1의 3개이다.

082  정답과 해설 

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉠

åå ㉡

11-1       5
|해결 전략 | 두 근이 서로 다른 부호일 조건은 (두 근의 곱)<0이다.

이차방정식 x€-2(k-2)x+k€-5k+4=0의 두 근을 a, b라 하면

ab=k€-5k+4=(k-1)(k-4)<0

∴ 1<k<4

11 

| 평면좌표

따라서 정수 k의 값은 2, 3이므로 구하는 합은 2+3=5



두 점 사이의 거리

11-2       3
|해결 전략 | 두 근이 서로 다른 부호이고, 절댓값이 같으면 (두 근의 곱)<0,  

이차방정식 x€-(k€-k-6)x+k€-4k-12=0의 두 근을 a, b라

(두 근의 합)=0이다.

하면

1 ab=k€-4k-12=(k+2)(k-6)<0

 ∴ -2<k<6

2 a+b=k€-k-6=(k+2)(k-3)=0

 ∴ k=-2 또는 k=3

1, 2에서 구하는 k의 값은 3

개념 확인  

1    ⑴ 7  ⑵ 5

   232쪽

1  ⑴ AB’=|-2-5|=7
 ⑵ AB’="ƒ(1-4)€+{2-(-2)}€ =5

STEP 



개념 드릴

| 233쪽 |

1  ⑴ 12  ⑵ ;2#;  ⑶ 6  ⑷ 7  ⑸ 3+'2
2  ⑴ 'ß29  ⑵ 'ß10  ⑶ 5  ⑷ 3'ß13  ⑸ 5

12-1       2<k<3
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 근의 조건에 따라 판별식의 부호,  f(-1)의 

값의 부호, 축의 위치를 이용하여 부등식을 세운다.

f(x)=x€+2kx+k+2라 하면 f(x)=0의 두

y=f(x)

1  ⑴ AB’=|-5-7|=12

 ⑵ AB’=|;2!;-2|=;2#;
 ⑶ AB’=|-1-5|=6

근이 모두 -1보다 작으므로

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

1 f(x)=0의 판별식을 D라 하면

 :4Î:=k€-(k+2)>0

 k€-k-2>0, (k+1)(k-2)>0

 ∴ k<-1 또는 k>2

2 f(-1)=1-2k+k+2>0

 ∴ k<3

3 y=÷f(x)의 그래프의 축의 방정식이 x=-k이므로

 -k<-1

 ∴ k>1

㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면

2<k<3





åå ㉠

åå ㉡

åå ㉢





-1 x

 ⑷ AB’=|4-(-3)|=7
 ⑸ AB’=|3-(-'2 )|=3+'2

2  ⑴ AB’="ƒ2€+5€='ß29
 ⑵ AB’="ƒ(-3)€+1€='ß10
 ⑶ AB’="ƒ(4-1)€+(-3-1)€=5
 ⑷ AB’="ƒ(-6-3)€+{4-(-2)}€='ß117=3'ß13
 ⑸ AB’="ƒ{1-(-3)}€+{2-(-1)}€=5

-1

1

2

3

k

STEP 



필수 유형

| 234쪽~237쪽 |

12-2       -2
|해결 전략 | 이차방정식 f(x)=0의 두 근 사이에 1이 있을 때 f(1)<0임을 이

01-1          3
|해결 전략 | 두 점 사이의 거리 공식을 이용한다.

용한다.

f(x)=x€+a€x+a-7이라 하면 f(x)=0의

y=f(x)

1

x

두 점 A(1, 3), B(a+1, 2) 사이의 거리가 'ß10이므로
"ƒ(a+1-1)€+(2-3)€='ß10
양변을 제곱하면

a€+1=10, a€-9=0

(a+3)(a-3)=0

 4 a=3 (5 a>0)

두 근 사이에 1이 있으므로 y=f(x)의 그래프

는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 ÷f(1)<0이어야 하므로

f(1)=1+a€+a-7<0, a€+a-6<0

(a+3)(a-2)<0

 ∴ -3<a<2

따라서 구하는 정수 a의 최솟값은 -2이다.

01-2          2
|해결 전략 | AB’=BC’임을 이용한다.

  11 평면좌표   083 

세 점 A(0, -1), B(x, 3), C(6, 1)에 대하여 AB’=BC’이므로
"ƒx€+(3+1)€="ƒ(6-x)€+(1-3)€
양변을 제곱하면

x€+16=(6-x)€+4, x€+16=x€-12x+40

12x=24

 4 x=2

04-1          최솟값: 13, P(3, 0)
|해결 전략 | x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 놓고 AP’ €+BP’ €을 구한다.

x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면
AP’ €+BP’ €  ={(a-5)€+(0+1)€}+{(a-1)€+(0+2)€}  

=2a€-12a+31  

=2(a-3)€+13

02-1          3A=90^인 직각이등변삼각형
|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를 알

좌표는 (3, 0)이다.

따라서 AP’ €+BP’ €은 a=3일 때 최솟값 13을 갖고, 그때의 점 P의

아본다.

AB’="ƒ(4+1)€+(-2-1)€='ß34
BC’="ƒ(2-4)€+(6+2)€='ß68
CA’="ƒ(-1-2)€+(1-6)€='ß34
4 AB’=CA’, BC’€=AB’€+CA’€
따라서 1ABC는 3A=90^인 직각이등변삼각형이다.

02-2        3
|해결 전략 | 삼각형 ABC가 ∠A=90^인 직각삼각형이면 
BC’ €=AB’ €+CA’ €이다.

 

AB’="ƒ(-5-3)€+(-1+5)€='ß80
BC’="ƒ(7+5)€+(a+1)€="ƒa€+2a+145
CA’="ƒ(3-7)€+(-5-a)€="ƒa€+10a+41
1ABC가3A=90^인 직각삼각형이므로
BC’€=AB’€+CA’€에서 a€+2a+145=80+a€+10a+41

8a=24

 4 a=3

03-1          P(0, 3)
|해결 전략 | y축 위의 점 P의 좌표를 (0, a)로 놓는다.

y축 위의 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면
AP’="ƒ(0+2)€+(a-0)€="ƒa€+4
BP’="ƒ(0-3)€+(a-1)€="ƒa€-2a+10
AP’=BP’에서 AP’€=BP’€이므로

a€+4=a€-2a+10, 2a=6

 4 a=3

4 P(0, 3)

03-2          P(2, 2)
|해결 전략 | 직선 y=3x-4 위의 점 P의 좌표를 (a, 3a-4)로 놓는다.

직선 y=3x-4 위의 점 P의 좌표를 (a, 3a-4)라 하면
AP’ ="ƒ(a+1)€+(3a-4-1)€
="ƒ(a+1)€+(3a-5)€
="ƒ10a€-28a+26









BP’ ="ƒ(a-3)€+(3a-4-5)€
="ƒ(a-3)€+(3a-9)€
="ƒ10a€-60a+90

AP’=BP’에서 AP’€=BP’€이므로

10a€-28a+26=10a€-60a+90

32a=64

 4 a=2

4 P(2, 2)

084  정답과 해설 

04-2        P {;2%;, ;2#;}
|해결 전략 | 직선 y=x-1 위의 점 P의 좌표를 (a, a-1)로 놓고 AP’ €+BP’ €
을 구한다.

직선 y=x-1 위의 점 P의 좌표를 (a, a-1)이라 하면
AP’ €+BP’ € ={(a+2)€+(a-1-3)€}+{(a-3)€+(a-1-4)€}

=(a+2)€+(a-4)€+(a-3)€+(a-5)€



=4a€-20a+54
€+29

=4 {a-;2%;}

따라서 AP’ €+BP’ €은 a=;2%;일 때 최솟값 29를 갖고, 그때의 점 P의

좌표는 {;2%;, ;2#;}이다.

   238쪽~241쪽



선분의 내분점과 외분점

개념 확인  

1  ⑴ 2, 1  ⑵ 외분  ⑶ B

2  ⑴ P {

14
5 }  ⑵ Q(18)

3  ⑴ P {4, ;3%;}  ⑵ Q(8, -1)
4  ⑴ G(2, 3)  ⑵ G(1,-1)

2  ⑴ P {

3_6+2_(-2)
3+2

}

 4 P {

14
5 }

 ⑵ Q {

5_6-3_(-2)
5-3

}

 4 Q(18)

3  ⑴ P {

2_5+1_2
2+1

,  2_1+1_3
2+1

}

 4 P {4, ;3%;}

 ⑵ Q {

2_5-1_2
2-1

,  2_1-1_3
2-1

}

 4 Q(8, -1)

4  ⑴ G {

-1+4+3
3

,  3+1+5
3

}

 4 G(2, 3)

 ⑵ G {

2-3+4
3

,  -1+2-4
3

}

 4 G(1, -1)

STEP 



개념 드릴

| 242쪽 |

STEP 



필수 유형

| 243쪽~247쪽 |

1  ⑴ P(6)  ⑵ Q(-8)  ⑶ M {;2(;}

2  ⑴ P {;2%;, 4}  ⑵ Q(5, -1)  ⑶ M(3, 3)

한다.

01-1          15'2
|해결 전략 | 주어진 조건에 맞게 두 점 P, Q의 좌표를 구한 후 PQ’의 길이를 구

3  ⑴ P(2, -4)  ⑵ Q {:¡2¶:, -:™2¡:}  ⑶ M(1, -3)
4  ⑴ G(1, 2)  ⑵ G(1, 1)  ⑶ G(5, 5)

1  ⑴ P {

4_7+1_2
4+1

}

 4 P(6)

 ⑵ Q {

2_7-3_2
2-3

}

 4 Q(-8)

 ⑶ M {

2+7
2

}

 4 M {;2(;}

선분 AB를 1:2로 내분하는 점 P의 좌표는

1_8+2_(-1)
1+2

{

,

1_7+2_(-2)
1+2

}

즉, P(2, 1)

선분 AB를 2:1로 외분하는 점 Q의 좌표는

2_8-1_(-1)
2-1

{

,

2_7-1_(-2)
2-1

}

즉, Q(17, 16)
4 PQ’="ƒ(17-2)€+(16-1)€ =15'2





2  ⑴ P {

3_2+1_4
3+1

,  3_5+1_1
3+1

}



다.



 4 P {;2%;, 4}

 ⑵ Q {

1_2-3_4
1-3

,  1_5-3_1
1-3

}





 4 Q(5, -1)

 ⑶ M {

4+2
2

,  1+5
2

}

 4 M(3, 3)

3_6+2_(-4)
3+2

,  3_(-8)+2_2
3+2

}

3  ⑴ P {


 4 P(2, -4)

 ⑵ Q {

5_6-1_(-4)
5-1

,  5_(-8)-1_2
5-1

}







 4 Q {:¡2¶:, -:™2¡:}

 ⑶ M {

-4+6
2

,  2-8
2

}

 4 M(1, -3)

4  ⑴ G {

3+2-2
3

,  2-1+5
3

}

 4 G(1, 2)

 ⑵ G {

-2+2+3
3

,  0+0+3
3

}

 4 G(1, 1)

 ⑶ G {

1+6+8
3

,  1+5+9
3

}

 4 G(5, 5)

01-2          P(3, 2) 또는 P(7, 6)
|해결 전략 | AP’=2BP’이므로 점 P는 AB’를 2:1로 내분 또는 외분하는 점이

AP’=2BP’, 즉 AP’:BP’=2:1이므로 점 P는 AB’를 2:1로 내분

1

P
외분점

2

P

B

1

2

A

내분점

하는 점 또는 2:1로 외분하는 점이다.

1 점 P가 AB’를 2:1로 내분하는 점일 때

P {

2_4+1_1
2+1

,  2_3+1_0
2+1

}

 4 P(3, 2)

2 점 P가 AB’를 2:1로 외분하는 점일 때

P {

2_4-1_1
2-1

,  2_3-1_0
2-1

}

 4 P(7, 6)

1, 2에서

P(3, 2) 또는 P(7, 6)

02-1          ;6!;<t<;5#;
|해결 전략 | 점 P의 좌표를 t에 대한 식으로 나타낸 후 x좌표와 y좌표의 부호

를 이용한다.

선분 AB를 (1-t):t로 내분하는 점 P의 좌표는

(1-t)_(-3)+t_2
(1-t)+t

{

,

(1-t)_(-1)+t_5
(1-t)+t

}

즉, P(5t-3, 6t-1)

점 P가 제2사분면 위에 있으므로

5t-3<0, 6t-1>0

 4 ;6!;<t<;5#;

또, 점 P는 선분 AB를 (1-t):t로 내분하므로

1-t>0, t>0

 4 0<t<1

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;6!;<t<;5#;

åå ㉠

åå ㉡

  11 평면좌표   085 

02-2          3
|해결 전략 | 외분점의 좌표를 구한 후 주어진 직선의 방정식에 대입한다.

04-1          4'5
|해결 전략 | 꼭짓점 D의 좌표를 (a, b)라 하고 평행사변형의 두 대각선은 서로 다

03-1          4
|해결 전략 | AO’:AB’=OC’:BC’임을 이용하여 점 C의 좌표를 구한다.

E

B(-4, 1)

C(3, 2)

선분 AB를 1:t로 외분하는 점의 좌표는

1_3-t_(-1)
1-t

{

,

1_6-t_(-2)
1-t

}

즉, {

t+3
1-t

,

2t+6
1-t }

이 점이 직선 y=x-3 위에 있으므로

2t+6
1-t

=

t+3
1-t

-3

2t+6=t+3-3(1-t)

2t=6

 4 t=3

AC’가 3A의 이등분선이므로

AO’:AB’=OC’:BC’

이때,
AO’="ƒ3€+4€=5,
AB’="ƒ(7-3)€+(1-4)€=5
이므로

OC’:BC’=AO’:AB’=1:1

즉, 점 C는 선분 OB의 중점이므로 C {;2&;, ;2!;}

따라서 a=;2&;, b=;2!;이므로

a+b=4

03-2          4
|해결 전략 | AB’:AC’=BD’:CD’임을 이용하여 점 D의 좌표를 구한다.

AD’가 3A의 이등분선이므로

y

O


B(-2, -1)

A(4, 5)

D

C(7, 2)

x



AB’:AC’=BD’:CD’

이때,
AB’ ="ƒ(-2-4)€+(-1-5)€

AC’ ="ƒ(7-4)€+(2-5)€

=6'2,

=3'2

이므로

BD’:CD’=AB’:AC’=2:1

즉, 점 D는 선분 BC를 2:1로 내분하는 점이므로

2_7+1_(-2)
2+1

,

2_2+1_(-1)
2+1

}



D {
4 D(4, 1)

따라서 선분 AD의 길이는
AD’="ƒ(4-4)€+(1-5)€=4

086  정답과 해설 

른 것을 이등분함을 이용하여 점 D의 좌표를 구한다.

점 D의 좌표를 (a, b)라 하면 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른

것을 이등분하므로 AC’의 중점과 BD’의 중점이 일치한다.

즉, {

-3+3
2

,  4+2
2

a-4=0, b+1=6

-4+a
2

}={
 4 a=4, b=5

,  1+b
2

}에서

따라서 D(4, 5)이므로 대각선 BD의 길이는
BD’="ƒ(4+4)€+(5-1)€ =4'5
다른 풀이

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 두 대각선의 교점은 

두 대각선 AC와 BD의 교점을 E라 하면  

A(-3, 4)

D

각 대각선의 중점이다. 

점 E는 AC’의 중점이므로

  4 E(0, 3)



-3+3
2

4+2
E {
2 } 
이때, BD’=2BE’이고
BE’="ƒ(0+4)€+(3-1)€=2'5
4 BD’=4'5

04-2          a=7, b=3
|해결 전략 | 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분함을 이용한다.

마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 AC’의 중점

과 BD’의 중점이 일치한다.

즉, {

1+a
2

,  1+3
2

5+b
2

}={
 4 a-b=4

,  -1+5
2

}에서

1+a=5+b
마름모의 정의에 의하여 AB’=BC’, 즉 AB’ €=BC’ €이므로





åå ㉠

(5-1)€+(-1-1)€=(a-5)€+(3+1)€

a€-10a+21=0, (a-3)(a-7)=0

4 a=3 또는 a=7

이것을 ㉠에 대입하면

a=3, b=-1 또는 a=7, b=3

4 a=7, b=3 (5 b>0)

05-1          7
|해결 전략 | 1ABC의 무게중심의 좌표를 a, b에 대한 식으로 나타낸다.

1ABC의 무게중심의 좌표가 (3, -1)이므로

-1+4+b
3

=3,  a-7+3

=-1

3

따라서 a=1, b=6이므로

a+b=7

05-2          (2, -2)
|해결 전략 | 1ABC의 무게중심과 1DEF의 무게중심은 일치함을 이용한다.

1ABC의 무게중심과 1DEF의 무게중심은 일치하므로 1ABC

의 무게중심의 좌표를 (a, b)라 하면

a=

3+4-1 
3

=2, b=

1-2-5 
3

=-2

따라서 1ABC의 무게중심의 좌표는 (2, -2)이다.

LECTURE

세 변의 내분점으로 만들어지는 삼각형의 무게중심 
1ABC의 세 꼭짓점의 좌표를 각각 A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)이라 

하고, 세 변 AB, BC, CA를 각각 m:n으로 내분하는 점 P, Q, R의 좌표

를 구하면

P {

Q {

mx™+nx¡
m+n
mx£+nx™
m+n
mx¡+nx£
m+n





my™+ny¡

m+n }

my£+ny™

m+n }

my¡+ny£



R {
이므로 1PQR의 무게중심의 좌표는

m+n }

(m+n)(x¡+x™+x£)
m+n
3

{

(m+n)(y¡+y™+y£)
m+n
3

}



x¡+x™+x£
3

y¡+y™+y£
3

즉, {
의 무게중심은 1ABC의 무게중심과 일치한다.
따라서 1PQR의 무게중심은 1ABC의 무게중심과 일치한다.
1PQR의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 
의 무게중심은 



}

2-1        3'3 
|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를 

알아본다.

AB’="ƒ(1+2)€+('3-0)€=2'3
BC’="ƒ(1-1)€+(-'3-'3 )€=2'3
CA’="ƒ(-2-1)€+(0+'3 )€=2'3
따라서 1ABC는 AB’=BC’=CA’인 정삼각형이므로 구하는 넓이는

'3
4

_(2'3 )€=3'3

참고
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는  '3
4

a€이다.

2-2        AB’=CA’인 이등변삼각형
|해결 전략 | 세 변 AB, BC, CA의 길이를 구한 후 세 변의 길이 사이의 관계를 

알아본다. 

AB’="ƒ(1-3)€+(3+2)€='ß29
BC’="ƒ(-2-1)€+(0-3)€=3'2
CA’="ƒ(3+2)€+(-2-0)€='ß29
따라서 1ABC는 AB’=CA’인 이등변삼각형이다.

STEP 



유형 드릴

| 248쪽~249쪽 |

1-1        0, 4
|해결 전략 | 두 점 사이의 거리 공식을 이용한다.

두 점 A(3, a), B(-1, 2) 사이의 거리가 2'5이므로
"ƒ(-1-3)€+(2-a)€=2'5
양변을 제곱하면

a€-4a=0, a(a-4)=0

4 a=0 또는 a=4

따라서 a의 값을 모두 구하면 0, 4이다.

1-2        -8
|해결 전략 | 두 점 사이의 거리 공식을 이용한다.

두 점 A(a, -2), B(-4, 6) 사이의 거리가 10이므로

"ƒ(-4-a)€+(6+2)€=10
양변을 제곱하면

a€+8a-20=0, (a+10)(a-2)=0

4 a=-10 또는 a=2

따라서 모든 a의 값의 합은

-10+2=-8

3-1        P(-3, -3)
|해결 전략 | 직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)로 놓는다. 

직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)라 하면
AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

(a+3)€+(a-2)€=(a-1)€+(a-0)€

2a€+2a+13=2a€-2a+1

4a=-12

 4 a=-3

4 P(-3, -3)

3-2        {-;4!;, ;4%;}
|해결 전략 | 문화센터가 건설되는 지점을 점 P라 하면 AP’=BP’=CP’이다.

문화센터가 건설되는 지점을 점 P(x, y)라 하면

AP’=BP’=CP’
AP’=BP’에서 AP’ €=BP’ €이므로

(x+2)€+(y-4)€=(x-3)€+(y-1)€

x€+4x+y€-8y+20=x€-6x+y€-2y+10

10x-6y+10=0
또, BP’=CP’에서 BP’ €=CP’ €이므로

 4 5x-3y=-5

(x-3)€+(y-1)€=(x-0)€+(y+2)€

x€-6x+y€-2y+10=x€+y€+4y+4

…… ㉠

-6x-6y+6=0

 4 x+y=1

…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

x=-;4!;, y=;4%;

따라서 문화센터가 건설되는 지점의 좌표는 {-;4!;, ;4%;}이다.

  11 평면좌표   087 

4-1        13
|해결 전략 | x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 놓고 AP’ €+BP ’ €을 구한다. 

6-1        ;6!;<t<1
|해결 전략 | 점 P의 좌표를 t에 대한 식으로 나타낸 후 x좌표와 y좌표의 부호

x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하면
AP’ €+BP’

’ € ={(a-2)€+(0-2)€}+{(a-6)€+(0-1)€}

를 이용한다.

=2a€-16a+45



=2(a-4)€+13

따라서 AP’ €+BP’

’ €은 a=4일 때 최솟값 13을 갖는다.

4-2        1
|해결 전략 | 직선 y=x+2 위의 점 P의 좌표를 (a, a+2)로 놓고 AP’ €+BP’ €

을 구한다.

직선 y=x+2 위의 점 P의 좌표를 (a, a+2)라 하면
AP’ €+BP’ € ={(a-1)€+(a+2+2)€}+{(a-5)€+(a+2-4)€}

=(a-1)€+(a+4)€+(a-5)€+(a-2)€

=4a€-8a+46

=4(a-1)€+42

따라서 AP’ €+BP’ €은 a=1일 때 최솟값 42를 가지므로 구하는 점 P

의 x좌표는 1이다.

5-1        3'ß10
|해결 전략 | 선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점의 좌표를 a, b에 대한 식으로 나타

낸다.

선분 AB를 2 : 1로 외분하는 점의 좌표가 (-5, 15)이므로

2_(-2)-1_a
2-1

=-5,

2_b-1_(-3)
2-1

=15

4 a=1, b=6

따라서 A(1, -3), B(-2, 6)이므로
AB’="ƒ(-2-1)€+(6+3)€=3'ß10

선분 AB를 t:(1-t)로 내분하는 점의 좌표는

t_5+(1-t)_(-1)
t+(1-t)

{

,

t_(-1)+(1-t)_(-2)
t+(1-t)

}

4 (6t-1, t-2)

이 점이 제4사분면 위에 있으므로

6t-1>0, t-2<0

 4 

;6!;<t<2

또, 이 점이 선분 AB를 t:(1-t)로 내분하므로

t>0, 1-t>0

 4 0<t<1

åå ㉠

åå ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;6!;<t<1

6-2        9
|해결 전략 | 내분점의 좌표를 구한 후 주어진 직선의 방정식에 대입한다.





선분 AB를 3 : t로 내분하는 점의 좌표는

3_0+t_3
3+t

,  3_5+t_0
3+t

}

{

4 {

3t
3+t

,  15

3+t }

이 점이 직선 y=x-1 위에 있으므로

15
3+t

=

3t
3+t

-1, 15=3t-3-t

2t=18

 4 t=9

7-1        1
|해결 전략 | 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분함을 이용한다.

두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로

{

,

5+7
2

a+b
2

1+3
2 }={
4 a+b=12, c=5
마름모의 정의에 의하여 AB’=BC’, 즉 AB’ €=BC’ €이므로

-1+c
2

,

}

yy ㉠

(a-5)€+(-1-1)€=(7-a)€+(3+1)€

5-2        C(6, -11)
|해결 전략 | AC’=2BC’이므로 점 C는 AB’를 2:1로 외분하는 점이다. 

AC’=2BC’, 즉 AC’:BC’=2:1이고 점 C가

AB’의 연장선 위에 있으므로 점 C는 AB’를

A

2

B

1

C

a€-10a+29=a€-14a+65

4a=36

 4 a=9

이것을 ㉠에 대입하면 b=3

4 a-b-c=9-3-5=1

AC’=2BC’에서 점 B는 AC’를 1:1로 내분하는 점, 즉 AC’의 중점이다.

2:1로 외분하는 점이다.

따라서 점 C의 좌표는

2_5-1_4
2-1

{

,

2_(-5)-1_1
2-1

}

즉, C(6, -11)

다른 풀이

점 C의 좌표를 (a, b)라 하면

4+a
2

=5, 

1+b
2

=-5

4 a=6, b=-11
4 C(6, -11)

088  정답과 해설 

7-2        C(8, -10)
|해결 전략 | 꼭짓점 B, D의 좌표를 구한 후 평행사변형의 성질을 이용하여 꼭짓

점 C의 좌표를 구한다.

B(a, b)라 하면 변 AB의 중점의 좌표는 {

-2+a
2

,  4+b
2

}이므로

-2+a
2

=0,  4+b

=0



2

4 a=2, b=-4

4 B(2, -4)

D(c, d)라 하면 변 AD의 중점의 좌표는 {

-2+c
2

,  4+d
2

}이므로

12 

| 직선의 방정식

C(x, y)라 하면 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로



직선의 방정식

-2+c
2

=1,  4+d

=1



2

4 c=4, d=-2

4 D(4, -2)

-2+x
2

,  4+y
2

{

}={

2+4
2

,  -4-2
2

}

4 x=8, y=-10

4 C(8, -10)

3  ⑴ 2x+y-3=0에서
y=-2x+3

åå ㉠

이 직선은 기울기가 -2, y절편이 3이

므로 오른쪽 그림과 같다.

y

3

O

2x+y-3=0

3
2

x

x¡+x™+x£
3

,

y¡+y™+y£
3

}이므로

8-1        C(3, -12)
|해결 전략 | A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)으로 놓고 변 AB의 중점,

1ABC의 무게중심의 좌표를 식으로 나타낸다.

A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)이라 하면

변 AB의 중점의 좌표는 {

x¡+x™
2

,

y¡+y™
2

}이므로

x¡+x™
2

=0,

y¡+y™
2

=3

4 x¡+x™=0, y¡+y™=6

1ABC의 무게중심의 좌표는 {
y¡+y™+y£
x¡+x™+x£
3
3

=1,

=-2

㉠, ㉡에서

x£=3, y£=-12

4 C(3, -12)

4 x¡+x™+x£=3, y¡+y™+y£=-6

åå ㉡

8-2        (1, 3)
|해결 전략 | 1ABC의 무게중심과 1PQR의 무게중심은 일치한다.

1PQR의 무게중심은 1ABC의 무게중심과 일치하므로

-1+1+3
3

,  1+5+3
3

}

{



4 (1, 3)

다른 풀이

세 점 P, Q, R의 좌표를 각각 구하면 다음과 같다.

P {

1_1+2_(-1)
1+2



1_5+2_1
1+2

}, 즉 P {-;3!;, ;3&;}

Q {

1_3+2_1
1+2



1_3+2_5
1+2

}, 즉 Q {;3%;, 

13
3 }

R {

1_(-1)+2_3
1+2



1_1+2_3
1+2

}, 즉 R {;3%;, ;3&;}

따라서 1PQR의 무게중심의 좌표는

{ -;3!;+;3%;+;3%;

3



;3&;+

+;3&;

13
3
3

}, 즉 (1, 3)

   252쪽~254쪽

개념 확인  

1  ⑴ y=2x-3  ⑵ y=-3x+7

2  ⑴ y=-x  ⑵ y=x+3

3  ⑴ 풀이 참조  ⑵ 풀이 참조  ⑶ 풀이 참조 

1  ⑵ y-1=-3(x-2)

 ∴ y=-3x+7

2  ⑴ y-1=

-2-1
2-(-1)

{x-(-1)}

 ∴ y=-x

 ⑵  x
-3

y
3

+

=1

 ∴ y=x+3







 ⑵ 3x+5=0에서 x=-;3%;

3x+5=0

y

이 직선은 점 {-;3%;, 0}을 지나고 y축에
평행하므로 오른쪽 그림과 같다.

 ⑶ y-4=0에서 y=4

이 직선은 점 (0, 4)를 지나고 x축에

y-4=0

평행하므로 오른쪽 그림과 같다.

-

5
3

O

x

y

4

O

x

STEP 



개념 드릴   

| 255쪽 |

1  ⑴ y=2x+4  ⑵ y=-3x+13

1  ⑶ y=3x+9  ⑷ y=-5x+20

2  ⑴ y=-4x+5  ⑵ y=-x-2  ⑶ x=4  ⑷ y=2

3  ⑴ y=2x-6  ⑵ y=2x+4  ⑶ y=-;4!;x-1
4  ⑴ 풀이 참조  ⑵ 풀이 참조  ⑶ 풀이 참조

  12 직선의 방정식   089 

1  ⑴ y-2=2{x-(-1)}
 ⑵ y-1=-3(x-4)

∴  y=2x+4

∴  y=-3x+13

 ⑶ y-0=3{x-(-3)}

∴  y=3x+9

 ⑷ y-0=-5(x-4)

∴  y=-5x+20

2  ⑴ y-1=

-3-1
2-1

(x-1)

∴  y=-4x+5

 ⑵ y-3=

{x-(-5)}

∴  y=-x-2

-1-3
-1-(-5)

 ⑶ y의 값에 관계없이 x의 값이 일정하므

x=4





로 주어진 두 점을 지나는 직선은 y축

에 평행하다.

 따라서 구하는 직선의 방정식은

 x=4

 ⑷ x의 값에 관계없이 y의 값이 일정하므



로 주어진 두 점을 지나는 직선은 x축

y

1

O

-3

y=2

4

x

y

2

=1

∴  y=2x-6

+

=1

∴  y=2x+4

y
-6

y
4

+

3  ⑴  x
3
 ⑵  x
-2
 ⑶  x
-4

+

y
-1

=1

∴  y=-;4!;x-1

STEP 



필수 유형   

| 256쪽~259쪽 |

01-1          ⑴ y= '3
3
|해결 전략 | ⑴ 직선의 기울기는 tan 30^이다.

x-'3  ⑵ y=-;2!;x+3  ⑶ x=-5

⑵ 직선 x+2y+2=0의 기울기를 구한다. 

⑶ x축에 수직인 직선의 방정식은 x=a 꼴이다.

⑴ x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 30^이므로
 (기울기)=tan 30^= '3
3

 따라서 x절편이 3, 즉 점 (3, 0)을 지나고 기울기가  '3
3

인 직선의

 방정식은

 y-0= '3
3
 ∴ y= '3
3

(x-3)

x-'3

⑵ x+2y+2=0에서 y=-;2!;x-1이므로 기울기는 -;2!;이다.

 따라서 점 (-2, 4)를 지나고 기울기가 -;2!;인 직선의 방정식은

 ∴ y=-;2!;x+3
⑶ x축에 수직인 직선은 y축에 평행한 직선이고, 점 (-5, 4)를 지나

므로 구하는 직선의 방정식은

 x=-5

02-1       -;2%;
|해결 전략 | 직선의 방정식을 구하여 x절편과 y절편을 구한다.

두 점 (-1, 2), (3, 4)를 지나는 직선의 방정식은

y-2=

4-2
3-(-1)

{x-(-1)}

 따라서 구하는 직선의 방정식은

-5

O

2

x

 y-4=-;2!;{x-(-2)}

에 평행하다.

 y=2

4  ⑴ x-2y+3=0에서

 y=;2!;x+;2#;

x-2y+3=0

∴ y=;2!;x+;2%;

y

3
2

따라서 x절편은 -5, y절편은 ;2%;이므로

 이 직선은 기울기가 ;2!;, y절편이 ;2#;
 이므로 오른쪽 그림과 같다.

-3

O

x

a=-5, b=;2%;

∴ a+b=-5+;2%;=-;2%;





-2x+5=0

x

5
2

y

O

x
3y+6=0

-2

 ⑵ -2x+5=0에서 x=;2%;

 이 직선은 점 {;2%;, 0}을 지나고 y축에
 평행하므로 오른쪽 그림과 같다.

y

O

 ⑶ 3y+6=0에서 y=-2





이 직선은 점 (0, -2)를 지나고 x축에

평행하므로 오른쪽 그림과 같다.

090  정답과 해설 

02-2          3
|해결 전략 | 직선의 방정식을 구하여 x=-2, y=6을 대입한다.

x절편이 2이고 y절편이 a인 직선의 방정식은

x
2

+

=1

y
a

이 직선이 점 (-2, 6)을 지나므로

-1+;a^;=1

 ∴ a=3























03-1          5, 17
|해결 전략 | (직선 AC의 기울기)=(직선 BC의 기울기)임을 이용한다.



두 직선의 위치 관계

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AC의 기울기와 직선

개념 확인  

   260쪽~262쪽

BC의 기울기가 같아야 한다.

(직선 AC의 기울기)=

(직선 BC의 기울기)=

13-a
9-1

=

13-a
8

13-9
9-a

=

4
9-a

즉,

13-a
8

=

4
9-a

이므로 (13-a)(9-a)=32

a€-22a+85=0, (a-5)(a-17)=0

∴ a=5 또는 a=17

03-2          y=x+1
|해결 전략 | (직선 AC의 기울기)=(직선 BC의 기울기)임을 이용하여 먼저 a

의 값을 구한다.

세 점 A, B, C가 한 직선 l 위에 있으려면 직선 AC의 기울기와 직선

BC의 기울기가 같아야 한다.

(직선 AC의 기울기)=

-1-a
-2-2

=

a+1
4

(직선 BC의 기울기)=

-1-(-2)
-2-(-a)

=

1
a-2

즉,

a+1
4

=

1
a-2

이므로 (a+1)(a-2)=4

a€-a-6=0, (a+2)(a-3)=0

∴ a=3 (5 a>0)

따라서 직선 l은 점 A(2, 3)을 지나고 기울기가 1이므로

y-3=x-2

 ∴ y=x+1

1  2 

 

3  ⑴ -;3$;  ⑵ 3  
5  5x+4y=0

2  ;3!;

4  (2, 1)

1  두 직선 y=2x+3, y=mx-3이 평행하므로 m=2

2  직선 y=-3x+1에 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면

 (-3)_m=-1

 ∴ m=;3!;

3  ⑴  2
a

=

-3
2

+

1
-1



 ∴ a=-;3$;

 ⑵ 2a+(-3)_2=0

 ∴ a=3

4  y-1-k(x-2)=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로
 y-1=0, x-2=0
 따라서 구하는 점의 좌표는 (2, 1)

 ∴ x=2, y=1

5   두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
x-y-3+k(2x+y-1)=0 (k는 실수)



 으로 놓으면 이 직선이 원점을 지나므로

…… ㉠

 -3-k=0

 ∴ k=-3

 k=-3을 ㉠에 대입하면

 x-y-3-3(2x+y-1)=0

 ∴ 5x+4y=0

04-1          ⑴ 제2, 3사분면  ⑵ 제1, 2, 4사분면
|해결 전략 | 직선 ax+by+c=0의 기울기와 y절편의 부호를 조사한다.

⑴ a+0, b=0이므로 ax+by+c=0에서

 x=-;aC;

 a>0, c>0에서 -;aC;<0


따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른

쪽 그림과 같으므로 제 2, 3사분면을 지난다.

⑵ b+0이므로 ax+by+c=0에서

 y=-;bA;x-;bC;

y

STEP 



개념 드릴   

| 263쪽 |

O

x

1  ⑴ 1  ⑵ -1  ⑶ -8  ⑷ -;3&;

2  ⑴ -;2!;  ⑵ ;3@;  ⑶ -10  ⑷ 3

3  ⑴ (3, 2)  ⑵ (-1, -1)  ⑶ {-3, ;2!;}
4  ⑴ x-3y=0  ⑵ x+7y-15=0  ⑶ 5x-y+6=0

 ab>0이므로 (기울기)=-;bA;<0





;cB;<0이므로 (y절편)=-;bC;>0
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오

른쪽 그림과 같으므로 제1, 2, 4사분면을

지난다.

y

O

1  ⑴ -2=5k-7
 ⑵ 5=3k+8

∴  k=1

∴  k=-1

 ⑶  k
6

=

4
-3

0
1

+



∴  k=-8

x

 ⑷  -2
k+1

=;2#;+

3
-1



∴  k=-;3&;

  12 직선의 방정식   091 

 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

y-5=2(x-1)

 ∴ y=2x+3

3  ⑴ 3x-4y-1+k(x-y-1)=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립

y=-x+1

 ⑵ (2x+3y+5)k+2x+y+3=0이 k의 값에 관계없이 항상 성립

2  ⑴ ;3@;_3k=-1

∴  k=-;2!;

 ⑵ -3_

=-1

∴  k=;3@;

k
2

 ⑶ (k-2)_1+4_3=0

∴  k=-10

 ⑷ y=x+2에서 x-y+2=0



 k_1+3_(-1)=0

∴  k=3

 3x-4y-1=0, x-y-1=0

 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=2

 따라서 구하는 점의 좌표는 (3, 2)이다.

하므로

하므로

 2x+3y+5=0, 2x+y+3=0

 두 식을 연립하여 풀면 x=-1, y=-1

 따라서 구하는 점의 좌표는 (-1, -1)이다.

 ⑶ 주어진 식을 k에 대하여 정리하면

 -2y+1+k(x+3)=0

 -2y+1=0, x+3=0

 ∴ x=-3, y=;2!;

 따라서 구하는 점의 좌표는 {-3, ;2!;}이다.

4  ⑴ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을
 x+2y-3+k(2x-y-3)=0 (k는 실수)


 으로 놓으면 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로

 -3-3k=0

∴  k=-1

 k=-1을 ㉠에 대입하면

 x+2y-3-(2x-y-3)=0

 ∴ x-3y=0

 ⑵ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을

 x-y+5+k(x+3y-5)=0 (k는 실수)

…… ㉠

 으로 놓으면 이 직선이 점 (1, 2)를 지나므로

 ⑶ 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을

 2x+y+4+k(3x-2y+2)=0 (k는 실수)

…… ㉠

 으로 놓으면 이 직선이 점 (-1, 1)을 지나므로

 4+2k=0

∴  k=-2

 k=-2를 ㉠에 대입하면

 x-y+5-2(x+3y-5)=0

 ∴ x+7y-15=0

 3-3k=0

∴  k=1

 k=1을 ㉠에 대입하면

 2x+y+4+3x-2y+2=0

 ∴ 5x-y+6=0

092  정답과 해설 

























































STEP 



필수 유형   

| 264쪽~269쪽 |

01-1          y=-x+1 
|해결 전략 | 두 직선이 평행하면 두 직선의 기울기가 같음을 이용한다.

두 점 A(-1, 2), B(4, -3)을 지나는 직선의 기울기는

-3-2
4-(-1)

=-1

따라서 기울기가 -1이고 y절편이 1인 직선의 방정식은

01-2          y=2x+3
|해결 전략 | 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱이 -1임을 이용한다.

y=-;2!;x+1

직선 x+2y-2=0의 기울기는 -;2!;이므로 이 직선에 수직인 직선의
기울기를 m이라 하면

 ∴ m=2

-;2!;m=-1
따라서 점 (1, 5)를 지나고 기울기가 2인 직선의 방정식은

02-1          ⑴ -1  ⑵ 4
|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 평행하면 

a
a'

b
b'

c
c'

=

+

이고, 수직이면 aa'+bb'=0이다.

…… ㉠

⑴ 두 직선이 평행하므로

a-1
2

=

1
-a-2

+

-1
2





 

åå ㉠

a-1
2

=

1
-a-2

에서 (a-1)(-a-2)=2

 a€+a=0, a(a+1)=0

  ∴ a=-1 또는 a=0

  이때, ㉠에서

a-1
2

+

-1
2

이므로 a+0

 ∴ a=-1

⑵ 두 직선이 수직이려면

 (a-1)_2+1_{-(a+2)}=0



 2a-2-a-2=0

 ∴ a=4

02-2          19
|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 수직, 평행 조건을 이

용한다.

두 직선 x+ay+1=0, 3x-by+1=0이 서로 수직이므로

1_3+a_(-b)=0

 ∴ ab=3

두 직선 x+ay+1=0, x-(b-5)y-1=0이 서로 평행하므로

1
1

1
1

=

a
-b+5

+

1
-1

=

a
-b+5

에서 a=-b+5

 ∴ a+b=5

∴ a€+b€=(a+b)€-2ab=5€-2_3=19

03-1          -1
|해결 전략 | AB’의 수직이등분선은 직선 AB와 수직이고 선분 AB의 중점을 지

난다.

직선 AB의 기울기는

=2이므로 AB’에 수직인 직선의 기

2-(-2)
5-3

울기는 -;2!;이다.

또, AB’의 중점의 좌표는

3+5
2

,

-2+2
2

{

}, 즉 (4, 0)

따라서 선분 AB의 수직이등분선은 기울기가 -;2!;이고 점 (4, 0)을 지

나는 직선이므로

y-0=-;2!;(x-4)

 ∴ y=-;2!;x+2

따라서 a=-;2!;, b=2이므로 ab=-1

두 직선 y=-x+2, y=;2#;x-3이 평행하지 않으므로 주어진 세 직선
이 삼각형을 이루지 않으려면 세 직선 중 두 직선이 평행하거나 세 직

선이 한 점에서 만나야 한다.

1 세 직선 중 두 직선이 평행할 때

직선 y=ax-6이 직선 y=-x+2 또는 y=;2#;x-3과 평행해야
하므로

a=-1 또는 a=;2#;

2 세 직선이 한 점에서 만날 때

직선 y=ax-6이 두 직선 y=-x+2, y=;2#;x-3의 교점을 지
나야 한다.

y=-x+2, y=;2#;x-3을 연립하여 풀면
x=2, y=0

따라서 직선 y=ax-6이 점 (2, 0)을 지나야 하므로

0=2a-6

 ∴ a=3

1, 2에서 a=-1 또는 a=;2#; 또는 a=3

04-2         -1, 2
|해결 전략 | 세 직선 l, m, n이 한 점에서 만나는 경우는 직선 n이 두 직선 l, m

의 교점을 지날 때이다.

주어진 세 직선이 한 점에서 만나려면 직선 kx+y-1=0이 두 직선

x-y+1=0, x-2y+k=0의 교점을 지나야 한다.

x-y+1=0, x-2y+k=0을 연립하여 풀면

03-2          -;3@;
|해결 전략 | AB’의 수직이등분선은 직선 AB와 수직이고 선분 AB의 중점을 지

x=k-2, y=k-1

난다.

따라서 직선 kx+y-1=0이 점 (k-2, k-1)을 지나야 하므로

k(k-2)+(k-1)-1=0, k€-k-2=0

직선 AB의 기울기는

=3이므로 AB’에 수직인 직선의

-2-4 
-3-(-1)

(k+1)(k-2)=0

∴ k=-1 또는 k=2

기울기는 -;3!;이다.
또, AB’의 중점의 좌표는

-1-3 
,
2

{

4-2
2 }, 즉 (-2, 1)

05-1          P(-1, -2)
|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한 

항등식임을 이용한다.

따라서 선분 AB의 수직이등분선은 기울기가 -;3!;이고 점 (-2, 1)을

(5-3k)x+(k+1)y=k-7을 k에 대하여 정리하면

지나는 직선이므로

y-1=-;3!;{x-(-2)}

 ∴ y=-;3!;x+;3!;

이때, 직선 y=-;3!;x+;3!;이 점 (3, a)를 지나므로

a=-;3!;_3+;3!;=-;3@;

5x+y+7+k(-3x+y-1)=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

5x+y+7=0, -3x+y-1=0

두 식을 연립하여 풀면

x=-1, y=-2

따라서 점 P의 좌표는 (-1, -2)이다.

04-1          -1, ;2#;, 3
|해결 전략 | 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선이 모두 평행할 때, 세 

05-2          y=-;2#;x+;2&;
|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한 

직선 중 두 직선이 평행할 때, 세 직선이 한 점에서 만날 때이다.

항등식임을 이용한다.

  12 직선의 방정식   093 

(2k+1)x-(k+3)y+5=0을 k에 대하여 정리하면

이 직선이 직선 x-2y+1=0에 수직이므로

x-3y+5+k(2x-y)=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

x-3y+5=0, 2x-y=0

두 식을 연립하여 풀면

x=1, y=2

즉, 주어진 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, 2)를 지난다.

따라서 두 점 (1, 2), (3, -1)을 지나는 직선의 방정식은

y-2=

(x-1)

-1-2
3-1

∴ y=-;2#;x+;2&;

1_(k+2)-2_(-2k-1)=0

5k+4=0

 ∴ k=-;5$;

k=-;5$; 를 ㉠에 대입하면

;5^;x+;5#;y-;5(;=0
∴ 2x+y-3=0

다른 풀이

두 직선의 방정식 2x-y-1=0, x-2y+1=0을 연립하여 풀면 

 

x=1, y=1이므로 두 직선의 교점의 좌표는 (1, 1)이다.

한편, 직선 x-2y+1=0의 기울기가 ;2!;이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기
는 -2이다.

 따라서 점 (1, 1)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식은

y-1=-2(x-1)

∴ 2x+y-3=0

(k+2)x+(-3k-1)y+(-5k+5)=0

åå ㉠

3

점과 직선 사이의 거리

06-1          x+2y+10=0
|해결 전략 | 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 교점을 지나는 직선

의 방정식을 ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0 (k는 실수)으로 놓는다.

두 직선 2x-y+5=0, x-3y-5=0의 교점을 지나는 직선의 방정

식을

으로 놓으면

2x-y+5+k(x-3y-5)=0 (k는 실수)

이 직선의 기울기가 -;2!;이므로

-

k+2
-3k-1

=-;2!;, 2(k+2)=-3k-1

5k=-5

 ∴ k=-1

k=-1을 ㉠에 대입하면

x+2y+10=0

다른 풀이

x=-4, y=-3

기울기가 -;2!;인 직선의 방정식은

y-(-3)=-;2!;{x-(-4)}
∴ x+2y+10=0

두 직선의 방정식 2x-y+5=0, x-3y-5=0을 연립하여 풀면 

따라서 두 직선의 교점의 좌표가 (-4, -3)이므로 점 (-4, -3)을 지나고 

STEP 



개념 드릴   

| 271쪽 |

1  ⑴ ;5@;  ⑵ 2'5   ⑶ 'ß13  ⑷ '5   ⑸  'ß10 
2
2  ⑴ 2'2   ⑵ 2'5   ⑶ '5   ⑷ '5   ⑸ 2 

1  ⑴  |-2|
"ƒ3€+4€

=;5@;

 ⑵  |2_(-2)-1-5|

"ƒ2€+(-1)€
 ⑶  |2_3-3_(-1)+4|

=

10
'5

=

"ƒ2€+(-3)€

=2'5

13
'ß13

='ß13

 ⑷ y=;2!;x에서 x-2y=0이므로 구하는 거리는
5
'5

|3-2_4|
"ƒ1€+(-2)€

='5

=





 ⑸ y=3x+5에서 3x-y+5=0이므로 구하는 거리는





|3-3+5|
"ƒ3€+(-1)€

=

5
'ß10

= 'ß10
2

2  ⑴ 직선 x+y-1=0 위의 한 점 (1, 0)과 직선 x+y+3=0 사

06-2          2x+y-3=0
|해결 전략 | 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구한 후 수직 조건을 이

두 직선 2x-y-1=0, x-2y+1=0의 교점을 지나는 직선의 방정

2x-y-1+k(x-2y+1)=0 (k는 실수)

(k+2)x+(-2k-1)y+k-1=0

åå ㉠

용한다.

식을

으로 놓으면

094  정답과 해설 

이의 거리와 같으므로

|1+0+3|
"ƒ1€+1€

=

4
'2

=2'2

다른 풀이

|-1-3|
"ƒ1€+1€

=

4
'2

=2'2 







  

 ⑸ 직선 3x+4y+1=0 위의 한 점 (1, -1)과 직선



두 직선 x+y-4=0, 2x-y+1=0의 교점을 지나는 직선의 방정식을

 ⑵ 직선 x-2y+4=0 위의 한 점 (0, 2)와 직선 x-2y-6=0

 ⑶ 직선 x+2y-3=0 위의 한 점 (1, 1)과 직선 x+2y+2=0

 ⑷ 직선 2x-y-3=0 위의 한 점 (0, -3)과 직선 2x-y+2=0

사이의 거리와 같으므로





|0-2_2-6|
"ƒ1€+(-2)€

=

10
'5

=2'5

   다른 풀이

  

|4-(-6)|
"ƒ1€+(-2)€

=

10
'5

=2'5

사이의 거리와 같으므로

|1+2+2|
"ƒ1€+2€

=

5
'5

='5

다른 풀이

|-3-2|
"ƒ1€+2€

=

5
'5

='5

사이의 거리와 같으므로

|2_0-(-3)+2|
"ƒ2€+(-1)€

=

5
'5

='5

다른 풀이

|-3-2|
"ƒ2€+(-1)€

=

5
'5

='5







  







  







  

3x+4y-9=0 사이의 거리와 같으므로

|3+4_(-1)-9|
"ƒ3€+4€

=

=2

10
5

다른 풀이

|1-(-9)|
"ƒ3€+4€

=

=2

10
5

STEP 



필수 유형   

| 272쪽~274쪽 |

01-1          -1
|해결 전략 | 주어진 직선의 기울기를 이용하여 직선의 방정식을 세운 후 점과 직

선 사이의 거리 공식을 이용한다.

직선 4x+3y-5=0, 즉 y=-;3$;x+;3%;의 기울기는 -;3$;이므로 이 직

선에 수직인 직선의 기울기는 ;4#;이다.

따라서 구하는 직선의 방정식을 y=;4#;x+n, 즉 3x-4y+4n=0으
로 놓으면 점 (1, 1)과 이 직선 사이의 거리가 1이므로

|3-4+4n|
"ƒ3€+(-4)€
4n-1=-5

=1, |4n-1|=5

∴ n=-1 또는 n=;2#;
이때, y절편은 음수이므로 -1이다.

01-2          4x-3y+5=0
|해결 전략 | 주어진 두 직선의 교점을 구하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 이

용한다.

x=1, y=3

x+y-4=0, 2x-y+1=0을 연립하여 풀면

따라서 두 직선 x+y-4=0, 2x-y+1=0의 교점 (1, 3)을 지나

는 직선의 기울기를 m이라 하면 직선의 방정식은

åå ㉠

åå ㉠

y-3=m(x-1)

∴ mx-y-m+3=0

원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로

|-m+3|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하면

=1, |m-3|="ƒm€+1

(m-3)€=m€+1, m€-6m+9=m€+1

6m=8

 ∴ m=;3$;

m=;3$;를 ㉠에 대입하면

;3$;x-y+;3%;=0
∴ 4x-3y+5=0

다른 풀이

x+y-4+k(2x-y+1)=0 (k는 실수)

으로 놓으면

(2k+1)x+(-k+1)y+k-4=0 

원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로

=1 

|k-4|
"ƒ(2k+1)€+(-k+1)€
|k-4|="ƒ(2k+1)€+(-k+1)€
양변을 제곱하면

(k-4)€=(2k+1)€+(-k+1)€

k€-8k+16=4k€+4k+1+k€-2k+1

2k€+5k-7=0, (2k+7)(k-1)=0

  ∴ 4x-3y+5=0

∴ k=-;2&; 또는 k=1

k=-;2&;을 ㉠에 대입하면 

-6x+;2(;y-:¡2∞:=0 
k=1을 ㉠에 대입하면 

3x-3=0 

  ∴ x=1

이때, x=1은 y축에 평행한 직선이다.

따라서 구하는 직선의 방정식은 

4x-3y+5=0

02-1          15
|해결 전략 | 직선 3x+4y+5=0 위의  점을 택하여 이 점과 직선 3x+4y+k=0 

사이의 거리가 2임을 이용한다.

두 직선 3x+4y+5=0, 3x+4y+k=0 사이의 거리는 직선

3x+4y+5=0 위의 한 점 (-3, 1)과 직선 3x+4y+k=0 사이의

거리와 같으므로

  12 직선의 방정식   095 

|3_(-3)+4_1+k|
"ƒ3€+4€
|k-5|=10, k-5=-10

=

∴ k=-5 또는 k=15

|k-5|
5

=2

따라서 구하는 양수 k의 값은 15이다.

점 C(a, -1)과 직선 AB 사이의 거리는

|5_a+3_(-1)-6|
"ƒ5€+3€

=

|5a-9|
'ß34

이때, 삼각형 ABC의 넓이가 8이므로

;2!;_'ß34_

|5a-9|
'ß34

=8, |5a-9|=16

5a-9=-16

∴  a=5 (∵ a는 정수)

STEP 



유형 드릴   

| 275쪽~277쪽 |

1-1        2
|해결 전략 | 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 h일 때, 직선의 기울

기는 tan h임을 이용한다.

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45^이므로

(기울기)=tan 45^=1

즉, 점 (1, 3)을 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은

y-3=x-1

∴  y=x+2

따라서 구하는 y절편은 2이다.

02-2          

4'5
5

의 거리를 구한다.

|해결 전략 | 두 직선이 서로 평행할 때의 m의 값을 구한 후 평행한 두 직선 사이

두 직선 x-2y+1=0, mx+(m€-3)y-3=0이 서로 평행하므로

åå ㉠

따라서 두 직선 x-2y+1=0, x-2y-3=0 사이의 거리는 직선

x-2y+1=0 위의 한 점 (-1, 0)과 직선 x-2y-3=0 사이의 거리

=

-2
m€ -3

+

1
-3



1
m

1
m

=

-2
m€-3

에서 m€-3=-2m

m€+2m-3=0, (m+3)(m-1)=0

∴ m=-3 또는 m=1

이때, ㉠에서 m+-3이므로 m=1

와 같으므로

|-1-2_0-3|
"ƒ1€+(-2)€

=

=

4
'5

4'5
5

거리이다.

선분 OA의 길이는
OA’="ƒ2€+(-4)€=2'5
직선 OA의 방정식은

y=-2x

∴  2x+y=0

|2_(-4)+(-2)|
"ƒ2€+1€

=

10
'5

따라서 삼각형 OAB의 넓이는

=2'5

;2!;_2'5 _2'5 =10

03-1          10
|해결 전략 | △OAB의 밑변을 OA’라 하면 높이는 점 B에서 직선 OA까지의 

1-2        ;2!;
|해결 전략 | 두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)를 이은 선분의 중점의 좌표는

점 B(-4, -2)와 직선 OA 사이의 거리는

B(-4, -2)

A(2, -4)

즉, 점 (3, 1)을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식은

y

O

x

x¡+x™
2



y¡+y™
2

{

}이다.

두 점 (4, 3), (2, -1)을 이은 선분의 중점의 좌표는

4+2
2

{

,  3-1

2 }    ∴ (3, 1)

y-1=-2(x-3)

 ∴ y=-2x+7

이 직선이 점 (a, 6)을 지나므로

6=-2a+7

 ∴ a=;2!;

03-2          5
|해결 전략 | △ABC의 밑변을 AB’라 하면 높이는 점 C에서 직선 AB까지의 거

나는 직선의 방정식을 구한다.

두 점 A(-4, 1), B(2, -2)에 대하여 AB’를 1:2로 내분하는 점의

2-1        2
|해결 전략 | AB’를 1 : 2로 내분하는 점의 좌표를 구한 후 이 점과 점 (1, 3)을 지

리이다.

선분 AB의 길이는
AB’="ƒ(3-0)€+(-3-2)€='ß34
직선 AB의 방정식은

y-2=

(x-0)

∴  5x+3y-6=0

-3-2
3-0

096  정답과 해설 

좌표는

1_2+2_(-4)
1+2

,  1_(-2)+2_1
1+2

}

{

 ∴ (-2, 0)

즉, 두 점 (-2, 0), (1, 3)을 지나는 직선의 방정식은

y-0= 3-0

1-(-2)

{x-(-2)}

 ∴ y=x+2

따라서 a=1, b=2이므로

참고

두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)를 이은 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 

ab=2

참고

내분하는 점의 좌표

➡ {

mx™+nx¡
m+n



my™+ny¡

m+n }

이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면

a+b=-;aB;, ab=;aC;

4-1     제4사분면
|해결 전략 | 직선 ax+by+c=0의 기울기와 y절편의 부호를 조사한다.

주어진 그림에서 b+0이므로 ax+by+c=0에서

y=- a
b

x- c
b

이때, (기울기)<0이므로 -;bA;<0

즉, ;bA;>0이므로 a와 b는 같은 부호이다.

åå ㉠

(y절편)>0이므로 -;bC;>0

즉, ;bC;<0이므로 b와 c는 다른 부호이다.
c+0이므로 bx+cy+a=0에서

y=-;cB;x-;cA;
이때, ㉠, ㉡에서 a, b는 같은 부호이고 c는

(기울기)=-;cB;>0, (y절편)=-;cA;>0
따라서 직선 bx+cy+a=0의 개형은 오른쪽

그림과 같으므로 제4사분면을 지나지 않는다.

O

a+b

x
y=-x+a+b

다른 부호이므로

2-2        12
|해결 전략 | 직선과 x축 및 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 

;2!;_|(x절편)|_|(y절편)|이다.
두 점 (a, b), (b, a)를 지나는 직선의 방정식은

y-b=

(x-a), y-b=

a-b
b-a

a-b
-(a-b)

(x-a)

∴ y=-x+a+b

åå ㉠

이때, 직선 ㉠과 x축 및 y축으로 둘러싸인

y

a+b

삼각형의 넓이가 6이므로

;2!;_(a+b)_(a+b)=6
∴ (a+b)€=12

3-1     -1
|해결 전략 | (직선 AB의 기울기)=(직선 BC의 기울기)임을 이용한다.

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AB와 직선 BC의 기

울기가 같아야 한다.

(직선 AB의 기울기)=

(직선 BC의 기울기)=

5-(-1)
1-(-2)

=2

(k+2)-5
k-1

=

k-3
k-1

즉, 2=

이므로 2k-2=k-3

∴  k=-1

k-3
k-1

4-2     제1, 2, 3사분면
|해결 전략 | 직선 ax+by+c=0의 기울기와 y절편의 부호를 조사한다.

ac>0에서 a와 c의 부호는 서로 같고, bc<0에서 b와 c의 부호는 서

로 다르다.

즉, a와 b의 부호는 서로 다르므로 ab<0

b+0이므로 ax+by+c=0에서

y=-;bA;x-;bC;

ab<0이므로 (기울기)=-;bA;>0

3-2     -3
|해결 전략 | (직선 AB의 기울기)=(직선 AC의 기울기)임을 이용한다.

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 직선 AB의 기울기와 직선

bc<0이므로 (y절편)=-;bC;>0
따라서 직선 ax+by+c=0의 개형은 오른쪽

그림과 같으므로 제1, 2, 3사분면을 지난다.

AC의 기울기가 같아야 한다.

(직선 AB의 기울기)=

(직선 AC의 기울기)=

즉,  4

a+2

=

a+1
8

이므로

5-1
a-(-2)

=

4
a+2

(a+2)-1
6-(-2)

=

a+1
8

(a+1)(a+2)=32, a€+3a-30=0

따라서 실수 a의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 -3이다.

5-1     16
|해결 전략 | 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 기울기의 곱이 -1임을 이용한다.

두 점 A(2, 0), B(0, 4)에 대하여 AB’를 2:1로 외분하는 점의 좌표는

2_0-1_2
2-1

,  2_4-1_0
2-1

}

{

 ∴ (-2, 8)

  12 직선의 방정식   097 

åå ㉡

y

O x

y

O

x

=-2이므로 직선 AB에 수직인 직

에서 b-3=-1

 ∴ b=2

1
b-3

=

-1
1

∴ a+b=-1+2=1

즉, 점 (-2, 8)을 지나고 기울기가 ;2!;인 직선의 방정식은

또, 직선 AB의 기울기는  4-0
0-2

선의 기울기는 ;2!;이다.

y-8=;2!;{x-(-2)}
∴ x-2y+18=0



따라서 a=-2, b=18이므로

a+b=16

참고

으로 외분하는 점의 좌표

➡ {

mx™-nx¡
m-n



my™-ny¡

m-n } 

두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)를 이은 선분 AB를 m : n (m>0, n>0, m+n) 

(a+1)_2+1_(-a+2)=0

 ∴ a=-4

6-2     -4
|해결 전략 | 두 직선 mx+ny+c=0, m'x+n'y+c'=0이 서로 수직이면 

mm'+nn'=0, 서로 평행하면 

m
m' 

=

n
n' 

+

c
c' 

이다.

두 직선 (a+1)x+y+3=0, 2x-(a-2)y+a+2=0에 대하여

두 직선이 서로 수직이면

두 직선이 서로 평행하면

a+1
2

=

1
-a+2 +

3
a+2



a+1
2

=

1
-a+2

에서 (a+1)(-a+2)=2

a€-a=0, a(a-1)=0

∴ a=0 또는 a=1

åå ㉠

5-2  -;3*;
|해결 전략 | x절편이 4, y절편이 6인 직선 l¡과 수직이면서 점 (4, 0)을 지나는 직

이때, ㉠에서

1
-a+2 +

3
a+2

, a+2+3(-a+2), 즉 a+1이므로

선 l™의 방정식을 구한다.

직선 l¡이 점 (4, 0)을 지나므로 직선 l¡의 x절편은 4이다.

즉, x절편이 4, y절편이 6인 직선 l¡의 방정식은

따라서 a=-4, b=0이므로

a=0

a+b=-4

직선 l¡의 기울기가 -;2#;이므로 직선 l¡에 수직인 직선의 기울기는 ;3@;
이다.

난다.

즉, 점 (4, 0)을 지나고 기울기가 ;3@;인 직선 l™의 방정식은

x
4

+ y
6

=1

∴ y=-;2#;x+6

y-0=;3@;(x-4)

∴ y=;3@;x-;3*;

따라서 직선 l™의 y절편은 -;3*;이다.

6-1     1
|해결 전략 | 두 직선 mx+ny+c=0, m'x+n'y+c'=0이 서로 수직이면 

mm'+nn'=0, 서로 평행하면 

m
m'

=

n
n' +

c
c' 이다.

직선 x+ay+5=0이 직선 x+y+2=0과 수직이므로

또, 직선 x+ay+5=0, 즉 x-y+5=0이 직선

(b-3)x+y-1=0과 평행하므로

1_1+a_1=0

∴ a=-1

1
b-3

=

-1
1

+

5
-1

098  정답과 해설 

7-1     -4
|해결 전략 | AB’의 수직이등분선은 직선 AB에 수직이고 선분 AB의 중점을 지

두 점 A(2, 0), B(4, 2)에 대하여 직선 AB의 기울기는  2-0
4-2

=1이

므로 직선 AB에 수직인 직선의 기울기는 -1이다.

또, AB’의 수직이등분선은 AB’의 중점 {

2+4
2

,  0+2

2 }, 즉 (3, 1)을

지나므로 구하는 수직이등분선의 방정식은

y-1=-(x-3)

 ∴ y=-x+4

따라서 m=-1, n=4이므로

mn=-4

7-2  y=2x-;2%;
|해결 전략 | 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분함을 이용한다.

마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 대각선 BD

는 대각선 AC와 수직이고, 대각선 AC의 중점을 지난다.

두 점 A(-2, 1), C(4, -2)를 지나는 직선의 기울기는

-2-1
4-(-2)

=-;2!;이므로 대각선 BD의 기울기는 2이다.

또, 대각선 AC의 중점은

-2+4
2

{

,

1-2
2 }, 즉 {1, -;2!;}

따라서 구하는 직선의 방정식은

y-{-;2!;}=2(x-1)

∴ y=2x-;2%;

8-1     -3
|해결 전략 | 서로 다른 세 직선이 좌표평면을 네 부분으로 나눌 때, 세 직선은 모

두 평행하다.

서로 다른 세 직선이 좌표평면을 네 부분으로 나누려면 세 직선이 모

두 평행해야 한다.

x-3y+4=0, (a+1)x-4y+1=0에서

a+1
1

=

-4
-3 +;4!;

 ∴ a=;3!;

x-3y+4=0, 3x+by-4=0에서

;1#;=

b
-3 +

-4
4



 ∴ b=-9

∴ ab=;3!;_(-9)=-3

다른 풀이

x-3y+4=0에서 y=;3!;x+;3$;

(a+1)x-4y+1=0에서 y=

a+1
4

x+;4!;

3x+by-4=0에서 y=-;b#;x+;b$;

따라서 ;3!;=

a+1
4

=-;b#;이므로 a=;3!;, b=-9

∴ ab=;3!;_(-9)=-3

세 직선이 모두 평행해야 하므로 세 직선의 기울기는 모두 같아야 한다.

8-2     -3, 1, 3
|해결 전략 | 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 세 직선이 모두 평행할 때, 세 

직선 중 두 직선이 평행할 때, 세 직선이 한 점에서 만날 때이다.

두 직선 y=x-3, y=3x-5가 평행하지 않으므로 주어진 세 직선

이 삼각형을 이루지 않으려면 세 직선 중 두 직선이 평행하거나 세 직

선이 한 점에서 만나야 한다.

1 세 직선 중 두 직선이 평행할 때

므로

a=1 또는 a=3

2 세 직선이 한 점에서 만날 때

9-1     (-2, 1)
|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한 

항등식임을 이용한다.

(2k-1)x+(k+2)y+3k-4=0을 k에 대하여 정리하면

-x+2y-4+k(2x+y+3)=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

-x+2y-4=0, 2x+y+3=0

두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=1

따라서 주어진 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 (-2, 1)을 지난다.

9-2  'ß17
|해결 전략 | 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리한 후 이 등식이 k에 대한

åå ㉠

항등식임을 이용한다.

kx-y-5k+4=0

을 k에 대하여 정리하면

-y+4+k(x-5)=0

-y+4=0, x-5=0

∴ x=5, y=4

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

을 k에 대하여 정리하면

x+y-4+k(2x-y+1)=0

이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로

x+y-4=0, 2x-y+1=0

두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=3

따라서 직선 ㉠은 k의 값에 관계없이 항상 점 P(5, 4)를 지난다.

(2k+1)x+(1-k)y-(4-k)=0

åå ㉡

따라서 직선 ㉡은 k의 값에 관계없이 항상 점 Q(1, 3)을 지난다.

∴ PQ’="ƒ(1-5)€+(3-4)€='ß17

10-1     -3
|해결 전략 | 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구한 후 x=4, y=-1

을 대입한다.

정식을

2x+y-4+k(2x-3y+4)=0 (k는 실수)

åå ㉠

으로 놓으면 이 직선이 점 (4, -1)을 지나므로

직선 y=ax+1이 직선 y=x-3 또는 y=3x-5와 평행해야 하

두 직선 2x+y-4=0, 2x-3y+4=0의 교점을 지나는 직선의 방

직선 y=ax+1이 두 직선 y=x-3, y=3x-5의 교점을 지나

y=x-3, y=3x-5를 연립하여 풀면

야 한다.

x=1, y=-2

따라서 직선 y=ax+1이 점 (1, -2)를 지나야 하므로

-2=a+1

 ∴ a=-3

1, 2에서 a=-3 또는 a=1 또는 a=3

8-1-4+k(8+3+4)=0

15k=-3

∴  k=-;5!;

k=-;5!;을 ㉠에 대입하면

2x+y-4-;5!;(2x-3y+4)=0
∴ x+y-3=0

  12 직선의 방정식   099 

이 직선이 점 (a, 6)을 지나므로

a+6-3=0

∴  a=-3

다른 풀이

x=1, y=2

두 직선의 방정식 2x+y-4=0, 2x-3y+4=0을 연립하여 풀면 

따라서 두 점 (1, 2), (4, -1)을 지나는 직선의 방정식은

y-2=

(x-1) 

 ∴  y=-x+3

-1-2
4-1

이 직선이 점 (a, 6)을 지나므로

a=-3

10-2     1
|해결 전략 | 두 직선 mx+ny+c=0, m'x+n'y+c'=0이 서로 수직이면  

두 직선 2x-y+2=0, x-2y+1=0의 교점을 지나는 직선의 방정

mm'+nn'=0이다.

식을

으로 놓으면

2x-y+2+k(x-2y+1)=0 (k는 실수)

(k+2)x-(2k+1)y+k+2=0

åå ㉠

이 직선이 직선 y=x, 즉 x-y=0과 수직이므로

(k+2)_1+(-2k-1)_(-1)=0

∴ k=-1

k=-1을 ㉠에 대입하면

x+y+1=0

 ∴ y=-x-1

따라서 a=-1, b=-1이므로

ab=1

11-2     1
|해결 전략 | 직선 y=mx+n (m+0)에 수직인 직선의 기울기는 -

1
m 이다.

직선 3x+4y-1=0의 기울기는 -;4#;이므로 이 직선에 수직인 직선
의 y절편을 n이라 하면 직선의 방정식은

…… ㉠

∴  4x-3y+3n=0

y=;3$;x+n
원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 2이므로

=2, |3n|=10

|3n|
"ƒ4€+(-3)€
∴ 3n=-10

이를 ㉠에 대입하면

4x-3y+10=0 또는 4x-3y-10=0

∴ ;5$;x-;5#;y+2=0 또는 -;5$;x+;5#;y+2=0

따라서 a=;5$;, b=-;5#; 또는 a=-;5$;, b=;5#;이므로
a€+b€=1

12-1     -2
|해결 전략 | 직선 2x-3y+1=0 위의 점을 택하여 이 점과 직선 2x-3y-a=0
사이의 거리가 'ß13임을 이용한다.
두 직선 2x-3y+1=0, 2x-3y-a=0 사이의 거리는 직선

2x-3y+1=0 위의 한 점 (1, 1)과 직선 2x-3y-a=0 사이의 거리

와 같으므로

|2-3-a|
"ƒ2€+(-3)€
a+1=\13

= |a+1|
'ß13

='ß13, |a+1|=13

 ∴ a=-14 또는 a=12

따라서 모든 실수 a의 값의 합은

-14+12=-2

11-1     3x-4y+5=0
|해결 전략 | 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용한다.

점 (1, 2)를 지나는 직선의 기울기를 m이라 하면 직선의 방정식은

12-2     2
|해결 전략 | 주어진 두 직선은 서로 평행하므로 정사각형의 한 변의 길이는 두 직

선 사이의 거리이다.

두 직선 ax+y+5=0, ax+y-1=0은 서로 평행하므로 정사각형

ABCD의 한 변의 길이는 두 직선 사이의 거리와 같다.

직선 ax+y-1=0 위의 한 점 (0, 1)과 직선 ax+y+5=0 사이의

åå ㉠

거리는

y-2=m(x-1)

∴ mx-y-m+2=0

원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로

|-m+2|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하면 (m-2)€=m€+1

=1, |m-2|="ƒm€+1

m€-4m+4=m€+1, 4m=3

∴ m=;4#;

m=;4#; 을 ㉠에 대입하면

;4#;x-y+;4%;=0

∴  3x-4y+5=0

100  정답과 해설 

= 6

|1+5|
"ƒa€+1
정사각형 ABCD의 넓이가 :£5§:이므로 한 변의 길이는

"ƒa€+1

æ√

36
5

= 6
'5

즉,

6
"ƒa€+1

= 6
'5
양변을 제곱하면 a€+1=5, a€=4

에서 "ƒa€+1='5

∴ a=2 (∵ a>0)

   280쪽~281쪽

 4 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 1

3  ⑴ x€+y€-2x=8에서
 (x€-2x+1)+y€=9


 (x-1)€+y€=3€

 4 중심의 좌표: (1, 0), 반지름의 길이: 3

 ⑵ x€+y€+2x-4y+4=0에서

 (x€+2x+1)+(y€-4y+4)=1

 (x+1)€+(y-2)€=1€

 ⑶ x€+y€-4x+2y-11=0에서





(x€-4x+4)+(y€+2y+1)=16

(x-2)€+(y+1)€=4€

 4 중심의 좌표: (2, -1), 반지름의 길이: 4

 ⑷ 2x€+2y€+20x-8y+50=0에서

 2(x€+10x+25)+2(y€-4y+4)=8



(x+5)€+(y-2)€=2€

 4 중심의 좌표: (-5, 2), 반지름의 길이: 2

13 

| 원의 방정식



원의 방정식

개념 확인  

1  (x-1)€+(y+2)€=25

2    ⑴ 중심의 좌표: (3, -2), 반지름의 길이: 3  

 

⑵ 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 2

3  ⑴ 2  ⑵ 3  ⑶ 1

1  (x-1)€+{y-(-2)}€=5€
 4 (x-1)€+(y+2)€=25

2  ⑴ (x-3)€+(y+2)€=3€에서


 중심의 좌표: (3, -2), 반지름의 길이: 3

 ⑵ x€+y€+2x-4y+1=0에서

 (x€+2x+1)+(y€-4y+4)=4

    (x+1)€+(y-2)€=2€

 4 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 2





4  ⑴ 중심이 점 (5, 2)이고 x축에 접하는 원의 반지름의 길이는

|2|=2이므로 원의 방정식은



(x-5)€+(y-2)€=2€



 4 (x-5)€+(y-2)€=4

 ⑵ 중심이 점 (-3, -2)이고 y축에 접하는 원의 반지름의 길이는

3  ⑴ x축에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 y좌표의 절댓값과

|-3|=3이므로 원의 방정식은

같으므로 원의 반지름의 길이는 |-2|=2

 ⑵ y축에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 x좌표의 절댓값과



(x+3)€+(y+2)€=3€



 4 (x+3)€+(y+2)€=9

같으므로 원의 반지름의 길이는 |-3|=3

 ⑶ 중심이 점 (-2, 2)이고 x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지

 ⑶ x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 x좌표,

름의 길이는 |-2|=|2|=2이므로 원의 방정식은

y좌표의 절댓값과 같으므로 원의 반지름의 길이는



|-1|=|1|=1



(x+2)€+(y-2)€=2€



 4 (x+2)€+(y-2)€=4

 ⑷ 중심이 점 (3, -3)이고 x축, y축에 동시에 접하는 원의 반지

름의 길이는 |3|=|-3|=3이므로 원의 방정식은



(x-3)€+(y+3)€=3€

 4 (x-3)€+(y+3)€=9







































STEP 



개념 드릴

| 282쪽 |

1  ⑴ x€+y€=4  ⑵ (x-2)€+(y-3)€=16

  ⑶ (x+2)€+(y-1)€=1  ⑷ (x-1)€+(y-2)€=3

2  ⑴ 중심의 좌표: (0, 0), 반지름의 길이: 4

  ⑵ 중심의 좌표: (-1, 0), 반지름의 길이: 1

  ⑶ 중심의 좌표: (0, 2), 반지름의 길이: 2

  ⑷ 중심의 좌표: (3, -4), 반지름의 길이: 3

3  ⑴ 중심의 좌표: (1, 0), 반지름의 길이: 3

  ⑵ 중심의 좌표: (-1, 2), 반지름의 길이: 1

  ⑶ 중심의 좌표: (2, -1), 반지름의 길이: 4

  ⑷ 중심의 좌표: (-5, 2), 반지름의 길이: 2

4  ⑴ (x-5)€+(y-2)€=4  ⑵ (x+3)€+(y+2)€=9

  ⑶ (x+2)€+(y-2)€=4  ⑷ (x-3)€+(y+3)€=9

STEP 



필수 유형

| 283쪽~289쪽 |

01-1          (x-1)€+(y-2)€=13
|해결 전략 | ‌중심이‌점‌(a,‌b)이고‌반지름의‌길이가‌r인‌원의‌방정식은‌



(x-a)€+(y-b)€=r€이다.

반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

(x-1)€+(y-2)€=r€

이 원이 점 (3, 5)를 지나므로

(3-1)€+(5-2)€=r€

 4 r€=13

4 (x-1)€+(y-2)€=13

  13 원의 방정식   101 

01-2          x€+(y-1)€=10
|해결 전략 | ‌원의‌중심의‌좌표와‌반지름의‌길이를‌구해‌(x-a)€+(y-b)€=r€‌

25p이다.

따라서 원의 방정식은 (x-4)€+y€=25이므로 구하는 원의 넓이는

02-1          (x-1)€+(y+3)€=20
|해결 전략 | 중심이‌직선‌y=-3x‌위에‌있으므로‌중심의‌좌표를‌(a,‌-3a)로‌

원의‌방정식을‌구한다.

03-2          5
|해결 전략 | x€+y€+Ax+By+C=0에‌세‌점‌O,‌A,‌B의‌좌표를‌대입하여‌

구하는 원의 중심은 AB’의 중점이므로 원의 중심의 좌표는

을‌이용한다.

1-1
2

{

,

4-2
2

}, 즉 (0, 1)

원의 중심을 P라 하면 원의 반지름의 길이는 AP’ 또는 BP’이므로
AP’="ƒ(-1)€+(1-4)€='ß10
따라서 중심의 좌표가 (0, 1)이고 반지름의 길이가 'ß10인 원의 방정
식은 x€+(y-1)€=10

다른 풀이

오른쪽  그림과  같이  원  위의  임의의  점을 

P(x, y)

A(1, 4)

P(x, y)라 하면 지름에 대한 원주각의 크기

는 90^이므로 
3APB=90^  
즉, AP’€+BP’€=AB’€에서 
(x-1)€+(y-4)€+(x+1)€+(y+2)€=(-1-1)€+(-2-4)€ 

B(-1, -2)

 

 

 

x€+y€-2y=9 

  4 x€+(y-1)€=10

놓는다.

원의 중심이 직선 y=-3x 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를

(a, -3a)라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

(x-a)€+{y-(-3a)}€=r€

 4 (x-a)€+(y+3a)€=r€

이 원이 두 점 (-1, 1), (3, 1)을 지나므로

(-1-a)€+(1+3a)€=r€에서 10a€+8a+2=r€

(3-a)€+(1+3a)€=r€에서 10a€+10=r€

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, r€=20

따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+(y+3)€=20

다른 풀이

yy ㉠

yy ㉡

원의 중심의 좌표를 (a, -3a)라 하면 점 (a, -3a)에서 두 점 (-1, 1),  

 

(3, 1)에 이르는 거리가 반지름의 길이로 같으므로 
"ƒ(a+1)€+(-3a-1)€="ƒ(a-3)€+(-3a-1)€
양변을 제곱하여 정리하면 10a€+8a+2=10a€+10

8a=8 

  4 a=1

즉, 원의 중심의 좌표는 (1, -3)이고 반지름의 길이는
"ƒ(1+1)€+(-3-1)€=2'5
이므로 구하는 원의 방정식은 (x-1)€+(y+3)€=20

02-2          25p
|해결 전략 | 중심이‌x축‌위에‌있으므로‌중심의‌좌표를‌(a,‌0)으로‌놓는다.

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉢

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉢

03-1          x€+y€-11x+7y=0
|해결 전략 | x€+y€+Ax+By+C=0에‌주어진‌세‌점의‌좌표를‌대입하여‌원

의‌방정식을‌구한다.

원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0이라 하면

세 점 O(0, 0), A(-1, -3), B(2, 2)를 지나므로

C=0

1+9-A-3B+C=0

4+4+2A+2B+C=0

㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면

A+3B=10, A+B=-4

두 식을 연립하여 풀면 A=-11, B=7

따라서 구하는 원의 방정식은

 

x€+y€-11x+7y=0

원의 방정식을 x€+y€+Ax+By+C=0이라 하면

세 점 O(0, 0), A(2, -1), B(-1, 3)을 지나므로

C=0

4+1+2A-B+C=0

1+9-A+3B+C=0







㉠을 ㉡과 ㉢에 대입하여 정리하면

2A-B=-5, A-3B=10

두 식을 연립하여 풀면 A=-5, B=-5

따라서 원의 방정식은 x€+y€-5x-5y=0

이때, 점 C(5, k)가 이 원 위의 점이므로

25+k€-25-5k=0, k(k-5)=0

4 k=5 (5 k>0)

04-1          ⑴ k<-2 또는 k>1  ⑵ -1<k<3
|해결 전략 | 주어진‌방정식을‌표준형으로‌나타낸‌후‌(반지름의‌길이)€>0임을‌이

용한다.

⑴ x€+y€-2kx+2ky-2k+4=0에서

 (x€-2kx+k€)+(y€+2ky+k€)-2k€-2k+4=0

 (x-k)€+(y+k)€=2k€+2k-4

 이 방정식이 원을 나타내려면

 2k€+2k-4>0, k€+k-2>0

원의 중심이 x축 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하고

 (k+2)(k-1)>0

 4 k<-2 또는 k>1

반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

⑵ x€+y€-2(k+1)x-2y+2k€-1=0에서

(x-a)€+y€=r€

이 원이 두 점 (0, -3), (1, 4)를 지나므로

(-a)€+(-3)€=r€에서 a€+9=r€

(1-a)€+4€=r€에서 a€-2a+17=r€

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, r€=25

102  정답과 해설 

 {x€-2(k+1)x+(k+1)€}+(y€-2y+1)-(k+1)€+2k€-2=0

yy ㉠

yy ㉡

 {x-(k+1)}€+(y-1)€=-k€+2k+3

 이 방정식이 원을 나타내려면

 -k€+2k+3>0, k€-2k-3<0

 (k+1)(k-3)<0

 4 -1<k<3

a€+2a+1+9=a€, 2a=-10

 4 a=-5

1, 2에서 중심이 직선 y=-3x+10 위에 있고 x축과 y축에 동시

04-2        2
|해결 전략 | 주어진‌방정식을‌표준형으로‌나타낸‌후‌(반지름의‌길이)€>0임을‌이

이 원이 점 (-1, 2)를 지나므로

(-1+r)€+(2-r)€=r€

용한다.

x€+y€-2ax+4ay+7a€-3a-2=0에서

(x€-2ax+a€)+(y€+4ay+4a€)+2a€-3a-2=0

(x-a)€+(y+2a)€=-2a€+3a+2

이 방정식이 원을 나타내려면

-2a€+3a+2>0, 2a€-3a-2<0

(2a+1)(a-2)<0

 4 -;2!;<a<2
따라서 구하는 정수 a는 0, 1의 2개이다.

r€-6r+5=0, (r-1)(r-5)=0



4 r=1 또는 r=5

따라서 구하는 원의 방정식은

(x+1)€+(y-1)€=1 또는 (x+5)€+(y-5)€=25

06-2        {x-;2%;}
|해결 전략 | x축,‌y축에‌동시에‌접하는‌원의‌중심은‌직선‌y=x‌또는‌y=-x‌위

 또는 (x-5)€+(y+5)€=25

€+{y-;2%;}

€=

25
4

에‌있음을‌이용한다.

x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 직선 y=x 또는 y=-x 위

05-1          (x+5)€+(y-3)€=25
|해결 전략 | 중심의‌좌표를‌(a,‌3)으로‌놓고‌y축에‌접하는‌원의‌반지름의‌길이는‌

에 있다.

1 직선 y=-3x+10과 직선 y=x의 교점의 x좌표는

점 (0, 3)에서 y축에 접하므로 원의 중심의 좌표를 (a, 3)이라 하면

|a|임을‌이용한다.

반지름의 길이는 |a|이다.

4 (x-a)€+(y-3)€=a€

이 원이 점 (-1, 0)을 지나므로

(-1-a)€+(0-3)€=a€

따라서 구하는 원의 방정식은

(x+5)€+(y-3)€=25

05-2          (x-2)€+(y-1)€=1 또는 (x-6)€+(y-5)€=25
|해결 전략 | ‌중심이‌직선‌y=x-1‌위에‌있으므로‌중심의‌좌표를‌(a,‌a-1)로‌

놓고‌x축에‌접하는‌원의‌반지름의‌길이는‌|a-1|임을‌이용한다.

원의 중심이 직선 y=x-1 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를



(a, a-1)이라 하자.

이 원이 x축에 접하므로 원의 반지름의 길이는 |a-1|이다.

4 (x-a)€+(y-a+1)€=(a-1)€

이 원이 점 (3, 1)을 지나므로

(3-a)€+(1-a+1)€=(a-1)€

a€-6a+9+a€-4a+4=a€-2a+1

a€-8a+12=0, (a-2)(a-6)=0



4 a=2 또는 a=6

따라서 구하는 원의 방정식은

(x-2)€+(y-1)€=1 또는 (x-6)€+(y-5)€=25

06-1          (x+1)€+(y-1)€=1 또는 (x+5)€+(y-5)€=25
|해결 전략 | x축,‌y축에‌동시에‌접하면서‌제2사분면‌위의‌점을‌지나는‌원의‌중심

은‌제2사분면‌위에‌있음을‌이용한다.

x축과 y축에 동시에 접하는 원이 점

y

(-1, 2)를 지나므로 원의 중심이 제2사

분면 위에 있어야 한다.

즉, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 중심

(-1, 2)

의 좌표는 (-r, r)이므로 원의 방정식은

(x+r)€+(y-r)€=r€

 -3x+10=x에서 x=;2%;

 따라서 원의 중심의 좌표는 {;2%;, ;2%;}
2 직선 y=-3x+10과 직선 y=-x의 교점의 x좌표는

 -3x+10=-x에서 x=5

 따라서 원의 중심의 좌표는 (5, -5)

또는 (x-5)€+(y+5)€=25

에 접하는 원의 방정식은
€+{y-;2%;}

{x-;2%;}

€=

25
4

다른 풀이

(a, -3a+10)이라 하자.

원의 중심이 직선 y=-3x+10 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를 

이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로 원의 반지름의 길이는 

|a|=|-3a+10|이다.
4 (x-a)€+(y+3a-10)€=a€

|a|=|-3a+10|의 양변을 제곱하면

a€=9a€-60a+100, 2a€-15a+25=0

(2a-5)(a-5)=0 

  4 a=;2%; 또는 a=5

따라서 구하는 원의 방정식은

{x-;2%;}

€+{y-;2%;}

€=:™4∞: 또는 (x-5)€+(y+5)€=25

07-1          (x+2)€+(y+1)€=8
|해결 전략 | 점‌P의‌좌표를‌(x,‌y)라‌하고‌AP’:BP’=1:2임을‌이용한다.

AP’:BP’=1:2이므로 2AP’=BP’

 4 4AP’ €=BP’ €

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

4{(x+1)€+y€}=(x-2)€+(y-3)€

3x€+3y€+12x+6y-9=0, x€+y€+4x+2y-3=0

4 (x+2)€+(y+1)€=8

다른 풀이

주어진 조건을 만족시키는 점 P가 그리는 도형은 AB’를 1:2로 내분하는 점 

M과 1:2로 외분하는 점 N을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.

M {

1_2+2_(-1)
1+2



1_3+2_0
1+2

}, 즉 M(0, 1)

O

x

N {

1_2-2_(-1)
1-2



1_3-2_0
1-2

}, 즉 N(-4, -3)

  13 원의 방정식   103 

이때, 두 점 M(0, 1), N(-4, -3)을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 중심의 
좌표는 (-2, -1), 반지름의 길이는 2'2 이므로 점 P가 그리는 도형의 방정
식은 (x+2)€+(y+1)€=8

07-2          15
|해결 전략 | 점‌P의‌좌표를‌(x,‌y)라‌하고‌AP’:BP’=2:3임을‌이용한다.

AP’:BP’=2:3이므로 3AP’=2BP’

 4 9AP’ €=4BP’ €

만난다.

 ⑵ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-y+1=0 사이의 거리 d는

 d=

|1|
"ƒ1€+(-1)€

= '2
2

 이때, 원의 반지름의 길이는 '2 이고  '2

2

<'2



따라서 원 x€+y€=2와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서

점 P의 좌표를 (x, y)라 하면

9{(x+3)€+y€}=4{(x-2)€+y€}

5x€+5y€+70x+65=0, x€+y€+14x+13=0

4 (x+7)€+y€=36

점 P가 그리는 도형은 중심의 좌표가

y

P

6

-7

A
-3

B
2 x

O

(-7, 0), 반지름의 길이가 6인 원이고,

1PAB의 넓이가 최대가 될 때는 오른

쪽 그림과 같이 높이가 원의 반지름의

길이와 같을 때이다.

따라서 1PAB의 넓이의 최댓값은

;2!;_5_6=15



원과 직선

개념 확인  

1  ⑴ x+y=0  ⑵ x€+y€-x+y=0

2  ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.  ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.

   290쪽~291쪽

 ⑵ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은

 x€+y€+2x-1-(x€+y€-2x+4y)=0

 4 4x-4y-1=0

 ⑶ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은

 x€+y€-2x+k(x€+y€+2y)=0 (k+-1)



 åå ㉠

2  ⑴ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은


 x€+y€-2x+k(x€+y€-4x-6y+8)=0 (k+-1)  å ㉠

STEP 



개념 드릴

| 292쪽 |

1  ⑴ x-2y+4=0  ⑵ 4x-4y-1=0  ⑶ 8x-y=0

2  ⑴ x€+y€-x+3y-4=0  ⑵ x€+y€-9x-12y-10=0

3  ⑴ 만나지 않는다.  ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다. 

4  ⑴ 한 점에서 만난다.  ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다. 

  ⑶ x€+y€-y-20=0

  ⑶ 한 점에서 만난다. 

  ⑶ 만나지 않는다.

1  ⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은
 x€+y€-4-(x€+y€+2x-4y+4)=0


 -2x+4y-8=0

 4 x-2y+4=0

 (x+3)€+(y+1)€-10-[(x-1)€+{y+;2#;}

€-:¡4£:]=0

 x€+y€+6x+2y-(x€+y€-2x+3y)=0

 4 8x-y=0

 이 원이 점 A(0, 1)을 지나므로

 1+k(1-6+8)=0, 1+3k=0

 4 k=-;3!;

 k=-;3!; 을 ㉠에 대입하면

 x€+y€-2x-;3!;(x€+y€-4x-6y+8)=0



;3@;x€+;3@; y€-;3@;x+2y-;3*;=0

 4 x€+y€-x+3y-4=0

 ⑵ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

1  두 원 x€+y€-2x=0, x€+y€+2y=0에 대하여

 ⑴ 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은

x€+y€-2x-(x€+y€+2y)=0

    4 x+y=0

 ⑵ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

 이 원이 점 (1, 0)을 지나므로

 1-2+k=0

 4 k=1

 k=1을 ㉠에 대입하면

 x€+y€-2x+(x€+y€+2y)=0

    4 x€+y€-x+y=0

2  ⑴ y=x+1을 x€+y€=2에 대입하면
 x€+(x+1)€=2, 2x€+2x-1=0


 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

=1€-2_(-1)=3>0

















D
4





만난다.

104  정답과 해설 

따라서 원 x€+y€=2와 직선 y=x+1은 서로 다른 두 점에서

 이 원이 점 A(-1, 0)을 지나므로

 x€+y€-4+k(x€+y€-6x-8y-8)=0 (k+-1)  åå ㉠

 1-4+k(1+6-8)=0, -3-k=0

 4 k=-3





































































































 k=-3을 ㉠에 대입하면





따라서 원 (x-1)€+(y+2)€=5와 직선 y=-x-3은 서로

 x€+y€-4-3(x€+y€-6x-8y-8)=0

다른 두 점에서 만난다.

 -2x€-2y€+18x+24y+20=0

 4 x€+y€-9x-12y-10=0

 ⑶ x€+y€+2x-2y-2=0에서 (x+1)€+(y-1)€=4





원의 중심 (-1, 1)과 직선 y=2x-2, 즉 2x-y-2=0 사이

 ⑶ 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

의 거리 d는

 (x-2)€+(y+3)€-25+k{(x+2)€+(y-4)€-48}=0

(k+-1) åå ㉠

 d=

|2_(-1)-1-2|
"ƒ2€+(-1)€

='5







지 않는다.

 이때, 원의 반지름의 길이는 2이고 '5>2


따라서 원 x€+y€+2x-2y-2=0과 직선 y=2x-2는 만나

 이 원이 점 A(0, 5)를 지나므로

 4+64-25+k(4+1-48)=0, 43-43k=0

 4 k=1

 k=1을 ㉠에 대입하면

 (x-2)€+(y+3)€-25+{(x+2)€+(y-4)€-48}=0

 x€+y€-4x+6y-12+(x€+y€+4x-8y-28)=0

 2x€+2y€-2y-40=0

 4 x€+y€-y-20=0



따라서 원 x€+y€=9와 직선 y=x-2는 서로 다른 두 점에서

 ⑶ x-y-4=0, 즉 y=x-4를 x€+y€=8에 대입하면

x€+y€+ax+by+c+k(x€+y€+a'x+b'y+c')=0‌(k+-1)이다.

 따라서 원 x€+y€=1과 직선 y=-2x+3은 만나지 않는다.

3  ⑴ y=-2x+3을 x€+y€=1에 대입하면


 x€+(-2x+3)€=1

 4 5x€-12x+8=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면



=(-6)€-5_8=-4<0

D
4

 ⑵ y=x-2를 x€+y€=9에 대입하면

 x€+(x-2)€=9

 4 2x€-4x-5=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
 D
4

=(-2)€-2_(-5)=14>0

만난다.

 x€+(x-4)€=8

 4 x€-4x+4=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면



=(-2)€-1_4=0

D
4

 따라서 원 x€+y€=8과 직선 x-y-4=0은 한 점에서 만난다.

4  ⑴ 원의 중심 (0, 0)과 직선 x-3y-10=0 사이의 거리 d는

 d=

|-10|
"ƒ1€+(-3)€

='ß10

 이때, 원의 반지름의 길이는 'ß10이고 'ß10='ß10


따라서 원 x€+y€=10과 직선 x-3y-10=0은 한 점에서 만

난다.

의 거리 d는

 d=

|1-2+3|
"ƒ1€+1€

='2

 이때, 원의 반지름의 길이는 '5이고 '2<'5

식을‌이용한다.

 ⑵ 원의 중심 (1, -2)와 직선 y=-x-3, 즉 x+y+3=0 사이

4 a=6 (5 a>0)

STEP 



필수 유형

| 293쪽~297쪽 |

01-1          5
|해결 전략 | 두‌원‌x€+y€+ax+by+c=0,‌x€+y€+a'x+b'y+c'=0의‌교

점을‌지나는‌직선의‌방정식은‌

x€+y€+ax+by+c-(x€+y€+a'x+b'y+c')=0이다.

두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은

x€+y€-2y-2-(x€+y€-2x+4y-4)=0

2x-6y+2=0

 4 x-3y+1=0

이 직선이 점 (k, 2)를 지나므로

k-6+1=0

 4 k=5

01-2          6
|해결 전략 | 두‌원‌x€+y€+ax+by+c=0,‌x€+y€+a'x+b'y+c'=0의‌교

점을‌지나는‌원의‌방정식은‌

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

x€+y€+ax+2y-2+k(x€+y€-2y)=0 (k+-1)

 åå ㉠

이 원이 점 (0, 1)을 지나므로

1+2-2+k(1-2)=0, 1-k=0

 4 k=1

k=1을 ㉠에 대입하면

x€+y€+ax+2y-2+(x€+y€-2y)=0

2x€+2y€+ax-2=0

x€+y€+;2A;x-1=0
€+y€=

4 {x+;4A;}

a€+16
16

이 원의 넓이가 :¡4£:p이므로
a€+16=52, a€=36

a€+16
16

=:¡4£:에서

02-1          ⑴ -4<k<4 
|해결 전략 | 원의‌방정식과‌직선의‌방정식을‌연립하여‌얻은‌이차방정식의‌판별

 ⑶ k<-4 또는 k>4

 ⑵ k=-4 

  13 원의 방정식   105 

y='3x+k를 x€+y€=4에 대입하면
x€+('3x+k)€=4
4 4x€+2'3kx+k€-4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D
4

=('3k)€-4(k€-4)=-k€+16

⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면

=-k€+16>0에서 k€-16<0

 (k+4)(k-4)<0

 4 -4<k<4







D
4

D
4

D
4

⑵ 접하려면

=-k€+16=0에서

 k€=16

 4 k=\4

⑶ 만나지 않으려면

=-k€+16<0에서 k€-16>0

 (k+4)(k-4)>0

 4 k<-4 또는 k>4

다른 풀이
원 x€+y€=4의 중심 (0, 0)과 직선 '3x-y+k=0 사이의 거리 d는
d=

=

|k|
"ƒ('3 )€+(-1)€

|k|
2

⑴ 서로 다른 두 점에서 만나려면 

<
 < 2에서 |k|<4 

  4 -4<k<4

⑵ 접하려면

⑶ 만나지 않으려면

|k|
2

|k|
2

|k|
2

=
 = 2에서 |k|=4 

  4k=-4

>
 >2에서 |k|>4 

  4 k<-4 또는 k>4

y
2

-2

O

-2

(1)

(2)

(3)

2

x

-5

H

B

5

x

5

y

A

O

-5

03-1          8
|해결 전략 | 원의‌중심에서‌현에‌내린‌수선은‌그‌현을‌수직이등분한다.

오른쪽 그림과 같이 원과 직선의 두 교점을

각각 A, B라 하고, 원의 중심 O에서 현

AB에 내린 수선의 발을 H라 하면

AB’=2A”H’

원의 중심 O(0, 0)과 직선

4x+3y-15=0 사이의 거리는

O”H’=

=3

|-15|
"ƒ4€+3€

O”A’=5이고 1OHA는 직각삼각형이므로
A”H’="ƒ O”A’€-O”H’
AH’="ƒ5€-3€=4
따라서 구하는 현의 길이는 AB’=2AH’=8

’€

❶ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분한다.

❷ 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다.

LECTURE

현의‌성질

106  정답과 해설 

03-2          -5
|해결 전략 | 원의‌중심에서‌현에‌내린‌수선은‌그‌현을‌수직이등분한다.

원 x€+y€+4x-6y+k=0, 즉

(x+2)€+(y-3)€=13-k와 x축의 두 교점

C(-2, 3)

을 각각 A, B라 하고, 원의 중심 C(-2, 3)에

서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면

A

H

B

x

A”H’=;2!;AB’=;2!;_6=3 
CH’=3이고 1CAH는 직각삼각형이므로

CA’  ="ƒ

A”H’ €+CH’ € 
="ƒ3€+3€=3'2

이때, 원의 반지름의 길이가 'ß13-k 이므로
 4 k=-5
'ß13-k=3'2, 13-k=18
다른 풀이

근과 계수의 관계에 의하여 

a+b=-4, ab=k

주어진 조건에서 |a-b|=6이고

(a-b)€=(a+b)€-4ab이므로

6€=(-4)€-4k, 4k=-20 

  4 k=-5

원 x€+y€+4x-6y+k=0이 x축과 만나는 두 점의 y좌표는 0이므로

x€+4x+k=0 

yy ㉠

이때, 두 점의 x좌표를 각각 a, b라 하면 a, b는 이차방정식 ㉠의 두 근이므로 

03-3          2'3
|해결 전략 | 공통현의‌방정식을‌구한‌후‌원의‌중심과‌직선‌사이의‌거리를‌이용

한다.

두 원의 공통현의 방정식은

x€+y€-4-(x€+y€-4x+3y-9)=0

4 4x-3y+5=0

오른쪽 그림과 같이 두 원의 교점을 각

각 A, B라 하고, 원 x€+y€=4의 중심

O(0, 0)에서 공통현에 내린 수선의 발

을 H라 하면

O”H’=

|5|
"ƒ4€+(-3)€

=1

O”A’=2이고 1OHA는 직각삼각형이

므로
AH’="ƒ O”A’ €-O”H’ €="ƒ2€-1€='3
4 AB’=2AH’=2'3

y

2

A

H

-2
B

-2

O

2

x

04-1          5
|해결 전략 | 원의‌접선과‌반지름이‌서로‌수직임을‌이용하여‌접선의‌길이를‌구한다.

x€+y€-2x-2y-13=0에서

T

(x-1)€+(y-1)€=15

원의 중심을 C(1, 1)이라 하면
CP’="ƒ(7-1)€+(3-1)€ =2'ß10

C(1, 1)

P(7, 3)

원 (x-2)€+(y-2)€=4 위의 점

P(x, y)에서 AB’에 내린 수선의 발을 H

라 하자.

1ABP의 넓이가 최소이려면 오른쪽 그

림과 같이 PH’의 길이가 최소이어야 한다.

y

2

O

-3

A

H

P

2

x

두 점 A(-3, 0), B(0, -4)를 지나는 직

B-4

O

H

r

P

l

선의 방정식은

x
-3

+

y
-4

=1

 4 4x+3y+12=0

원의 중심 (2, 2)와 직선 4x+3y+12=0 사이의 거리는

|4_2+3_2+12|
"ƒ4€+3€

=

26
5

이때, 원의 반지름의 길이는 2이므로 PH’의 길이의 최솟값은

16
5

-2=

26
5
또, AB’="ƒ(0+3)€+(-4-0)€=5이므로 1ABP의 넓이의 최솟
값은

y

O

;2!;_5_

16
5

=8

A

P(5, 6)

참고

C(2, 3)

B

x

은 ;2!;_5_:£5§:=18 

1ABP의 넓이가 최대이려면 PH’의 길이가 최대이어야 한다.

이때, PH’의 길이의 최댓값은 :™5§:+2=:£5§:이므로 1ABP의 넓이의 최댓값

직각삼각형 CPT에서
PT’  ="ƒ CP’ €-CT’ €  

="ƒ(2'ß10)€-('ß15)€ =5
LECTURE

접선의‌성질

원 O의 접선 l에 대하여
❶ OH’-l 
❷ OP’ €=PH’ €+OH’ €
즉, 원 밖의 점 P에서 원에 그은 접선의 길이는 
PH’="ƒ PO’ €-r€

이용한다.

x€+y€-4x-6y+9=0에서

(x-2)€+(y-3)€=4

원의 중심을 C(2, 3)이라 하면
CP’="ƒ(5-2)€+(6-3)€=3'2
직각삼각형 ACP에서
PA’="ƒ CP’ €-CA’ €

="ƒ(3'2 )€-2€='ß14
4 ACBP=21ACP

=2_;2!;_PA’_CA’

=2_;2!;_'ß14_2=2'ß14

04-2          2'ß14
|해결 전략 | 원의‌중심과‌점‌P를‌이은‌선분이‌색칠된‌부분의‌넓이를‌이등분함을‌

05-1          최댓값: 5+2'2, 최솟값: 5-2'2
|해결 전략 | 원의‌중심과‌원점‌사이의‌거리와‌반지름의‌길이를‌이용한다.



원의 접선의 방정식

x€+y€-6x-8y+17=0에서

(x-3)€+(y-4)€=8

원의 중심 (3, 4)와 원점 O 사이의 거리를 d라 하면
d="ƒ3€+4€=5
따라서 오른쪽 그림에서 원 위의 점과 원점

O 사이의 거리의
최댓값은 O”A’=d+r=5+2'2
최솟값은 OB’=d-r=5-2'2

A

r

y

4

B

d

O

3

x

05-2          8
|해결 전략 | 점‌P와‌직선‌AB‌사이의‌거리가‌최소일‌때‌삼각형의‌넓이가‌최소‌

이다.

개념 확인  
1  ⑴ y=-x\'2   ⑵ y=2x\3'5 
2  ⑴ x-y-2=0  ⑵ x+y-3=0  ⑶ 2x+y-5=0

   298쪽~300쪽

1  ⑴ y=-1_x\"ƒ(-1)€+1
 ⑵ y=2x\3"ƒ2€+1

 4 y=2x\3'5

 4 y=-x\'2

2  ⑴ 1_x+(-1)_y=2
 ⑵ (3-2)(x-2)+(0+1)(y+1)=2

 4 x-y-2=0

 x-2+y+1-2=0

 4 x+y-3=0

 ⑶ 3_x+(-1)_y-2_

+4_

3+x
2

-1+y
2

=0



 3x-y-(3+x)+2(-1+y)=0

 4 2x+y-5=0









  13 원의 방정식   107 

STEP 



개념 드릴

| 301쪽 |

방정식은

 ⑵ 접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -3)을 지나므로 접선의

 y-(-3)=m(x-1)

 4 y=mx-m-3

 yy ㉠

1  ⑴ y=2x\'5  ⑵ y=-3x\3'ß10  ⑶ y='5x\6
2  ⑴ 3x+2y-13=0  ⑵ x+y+1=0  ⑶ x-2y+3=0

 ㉠ 을 x€+y€=2에 대입하면

 x€+(mx-m-3)€=2

  ⑷ x+y+1=0  ⑸ 3x-4y+26=0

3  ⑴ y=-x-2 또는 y=7x-10

  ⑵ y=-x-2 또는 y=7x-10

  ⑶ y=-x-2 또는 y=7x-10

 4 y=2x\'5

1  ⑴ y=2x\"ƒ2€+1
 ⑵ y=-3x\3"ƒ(-3)€+1
 ⑶ y='5x\'6 "ƒ('5 )€+1

 4 y=-3x\3'ß10
 4 y='5x\6

2  ⑴ 3_x+2_y=13


 4 3x+2y-13=0

 ⑵ (2-1)(x-1)+(-3+4)(y+4)=2

 ⑶ (-1+2)(x+2)+(1-3)(y-3)=5

 x-1+y+4-2=0

 4 x+y+1=0

 x+2-2y+6-5=0

 4 x-2y+3=0

 ⑷ 0_x+(-1)_y+4_

+6_

+5=0

0+x
2

-1+y
2

 -y+2x+3(-1+y)+5=0

 4 x+y+1=0

 ⑸ -2_x+5_y-2_

-2_

-23=0

-2+x
2

5+y
2

 -2x+5y-(-2+x)-(5+y)-23=0

 4 3x-4y+26=0









































 4 (m€+1)x€-2(m€+3m)x+m€+6m+7=0

 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이므로



:4Î:=(m€+3m)€-(m€+1)(m€+6m+7)=0
 m›+6m‹+9m€-(m›+6m‹+8m€+6m+7)=0

 m€-6m-7=0, (m+1)(m-7)=0

    4 m=-1 또는 m=7

 이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은

 y=-x-2 또는 y=7x-10

 ⑶ 접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -3)을 지나므로 접선의 방

정식은

 y-(-3)=m(x-1)

 4 mx-y-m-3=0  åå ㉠
원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가 반지름의 길이 '2와
같으므로





|-m-3|
"ƒm€+(-1)€

='2

 |-m-3|="ƒ2m€+2
 양변을 제곱하여 정리하면

 m€-6m-7=0



(m+1)(m-7)=0

    4 m=-1 또는 m=7

 이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은

 x+y+2=0 또는 7x-y-10=0

 4 y=-x-2 또는 y=7x-10

3  ⑴ 접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면



이  접선이  점  (1,  -3)을  지나

접선의 방정식은

 x¡x+y¡y=2

므로

 x¡-3y¡=2



 4 x¡=3y¡+2

y
'2

-'2

O

'2



x

-'2

(1, -3)

 또, 점 (x¡, y¡)은 원 위의 점이므로 x¡€+y¡€=2

 ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면

 5y¡€+6y¡+1=0, (y¡+1)(5y¡+1)=0

 4 y¡=-1 또는 y¡=-;5!;
 이것을 ㉠에 대입하면

 x¡=-1, y¡=-1 또는 x¡=;5&;, y¡=-;5!;
 따라서 구하는 접선의 방정식은

 -x-y=2 또는 ;5&;x-;5!; y=2
 4 y=-x-2 또는 y=7x-10

108  정답과 해설 

STEP 



필수 유형

| 302쪽~304쪽 |

åå ㉠

åå ㉡

01-1          y=x\2
|해결 전략 | y=mx\r"ƒm€+1‌을‌이용한다.
구하는 접선의 기울기를 m이라 하면

m=tan 45^=1
원 x€+y€=2의 반지름의 길이가 '2 이므로 구하는 직선의 방정식은
y=x-"2 "ƒ1€+1
다른 풀이

 4 y=x\2

①   구하는 직선의 방정식을 y=x+n이라 하고, 이것을 원의 방정식에 대입하면 
  4 2x€+2nx+n€-2=0

x€+(x+n)€=2 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로

D
4

=n€-2(n€-2)=0, n€=4 

  4 n=\2

따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x\2











































②   구하는 직선의 방정식을 y=x+n이라 하면 원의 중심 (0, 0)과 직선  
x-y+n=0 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 '2 와 같으므로

02-2          8
|해결 전략 | x€‌대신‌x¡‌x,‌‌y€‌대신‌y¡‌y,‌‌x‌대신‌

x¡+x
2

,‌‌y‌대신‌

y¡+y

2 를‌대입

30^

45^

60^

90^

따라서 x절편은 y=0일 때 x=4, y절편은 x=0일 때 y=4이므로

|n|
"ƒ1€+(-1)€
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x\2

='2, |n|=2 

  4 n=\2

특수한‌각의‌삼각비의‌값

LECTURE

    A

 
삼각비

sin A

cos A

tan A

0^

0

1

0

1
2
'3
2
'3
3

'2
2
'2
2

1

'3
2

1
2

'3

1

0

01-2          y=-3x-4 또는 y=-3x+16
|해결 전략 | 원의‌중심과‌접선‌사이의‌거리가‌반지름의‌길이와‌같음을‌이용한다.

직선 x-3y-2=0, 즉 y=;3!;x-;3@;의 기울기가 ;3!;이므로 이 직선에
수직인 직선의 기울기는 -3이다.

따라서 기울기가 -3인 접선의 방정식을 y=-3x+n이라 하면

 원의 중심 (1, 3)과 직선 y=-3x+n, 즉 3x+y-n=0 사이의 거
리가 원의 반지름의 길이 'ß10 과 같으므로
|3_1+1_3-n|
"ƒ3€+1€
6-n=\10

='ß10, |6-n|=10
 4 n=-4 또는 n=16

기울기가 -3인 접선의 방정식을 y=-3x+n이라 하고, 이것을 원의 방정

따라서 구하는 직선의 방정식은

y=-3x-4 또는 y=-3x+16

다른 풀이

식에 대입하면

(x-1)€+(-3x+n-3)€=10
4 10x€-2(3n-8)x+n€-6n=0

D
4

=(3n-8)€-10(n€-6n)=0

n€-12n-64=0, (n+4)(n-16)=0
4 n=-4 또는 n=16

따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-3x-4 또는 y=-3x+16

주의
기울기가 주어진 원의 접선의 방정식의 공식 y=mx\r"ƒm€+1은 원의 중
심의 좌표가 (0, 0)일 때만 적용할 수 있다.

02-1          -1
|해결 전략 | x¡‌x+y¡‌y=r€을‌이용한다.

1_x+(-2)_y=5

 4 x-2y-5=0

이 직선이 점 (3, a)를 지나므로

3-2a-5=0, -2a=2

 4 a=-1

한다.

3_x+1_y-2_

+2_

-6=0

3+x
2

1+y
2

3x+y-(3+x)+(1+y)-6=0

4 x+y-4=0

x절편과 y절편의 합은 4+4=8

다른 풀이

① x€+y€-2x+2y-6=0에서 (x-1)€+(y+1)€=8

 따라서 원 위의 점 (3, 1)에서의 접선의 방정식은

 (3-1)(x-1)+(1+1)(y+1)=8 

  4 x+y=4

②  원의 중심 (1, -1)과 점 (3, 1)을 지나는 직선의 기울기

=1이므로 접선의 기울기는 -1이다.

(3, 1)

   따라서 기울기가 -1이고 점 (3, 1)을 지나는 직선의 

(1, -1)

 는 

1-(-1)
3-1

방정식은

 y-1=-(x-3) 

  4 y=-x+4

03-1        x=-1 또는 3x+4y-5=0
|해결 전략 | 접선의‌기울기를‌m이라‌하고‌원의‌중심과‌접선‌사이의‌거리가‌반지

름의‌길이와‌같음을‌이용한다.

접선의 기울기를 m이라 하면 점 (-1, 2)를 지나므로 접선의 방정식은

y-2=m(x+1)

 4 mx-y+m+2=0





yy ㉠

원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가 반지름의 길이 1과 같으므로

=1, |m+2|="ƒm€+1

|m+2|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하여 정리하면 4m=-3

 4 m=-;4#;

이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방

정식은 3x+4y-5=0

(-1, 2)

그런데 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접

선은 두 개이므로 오른쪽 그림에서 다른

y

1

O

-1

-1

1

x

원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선은 항상 2개이므로 1개만 나오는 경우, 반드

시 원과 접선을 그려서 다른 접선의 방정식을 구한다.

접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정식은 

이 접선이 점 (-1, 2)를 지나므로
  4 x¡=2y¡-1 

-x¡+2y¡=1 

또, 점 (x¡, y¡)은 원 위의 점이므로

x¡€+y¡€=1 

4 y¡=0 또는 y¡=;5$;

㉠ 을 ㉡에 대입하여 정리하면 5y¡€-4y¡=0, y¡(5y¡-4)=0

이것을 ㉠에 대입하면 x¡=-1, y¡=0 또는 x¡=;5#;, y¡=;5$;
따라서 구하는 접선의 방정식은 x=-1 또는 3x+4y-5=0

yy ㉠

yy ㉡

주의

다른 풀이

x¡ x+y¡ y=1 

  13 원의 방정식   109 

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로

접선의 방정식은 x=-1

03-2       ;3*;
|해결 전략 | 접선의‌기울기를‌m이라‌하고‌원의‌중심과‌접선‌사이의‌거리가‌반지

원의 중심이 직선 y=-x-1 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를

(a, -a-1)이라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

름의‌길이와‌같음을‌이용한다.

접선의 기울기를 m이라 하면 점 (1, -1)을 지나므로 접선의 방정식은

y-(-1)=m(x-1)

 4 mx-y-m-1=0



 åå ㉠

(x-a)€+{y-(-a-1)}€=r€



4 (x-a)€+(y+a+1)€=r€

이 원이 두 점 (1, -1), (1, 3)을 지나므로

원의 중심 (-1, 2)와 직선 ㉠ 사이의 거

리가 반지름의 길이 1과 같으므로

=1

|-m-2-m-1|
"ƒm€+(-1)€
|-2m-3|="ƒm€+1
양변을 제곱하여 정리하면

3m€+12m+8=0

곱은 ;3*;이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의

(1-a)€+(-1+a+1)€=r€에서 2a€-2a+1=r€

 yy ㉠

(1-a)€+(3+a+1)€=r€에서 2a€+6a+17=r€

 yy ㉡

y

2

O

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, r€=13

따라서 구하는 원의 방정식은

(x+2)€+(y-1)€=13

-1

x

(1, -1)

다른 풀이

원의 중심의 좌표를 (a, -a-1)이라 하면 점 (a, -a-1)에서 두 점  

 

(1, -1), (1, 3)에 이르는 거리가 반지름의 길이로 같으므로
"ƒ(a-1)€+a€="ƒ(a-1)€+(-a-4)€
양변을 제곱하여 정리하면 8a=-16 

  4 a=-2

즉, 원의 중심의 좌표는 (-2, 1)이고 반지름의 길이는 
"ƒ(-2-1)€+(1+1)€='ß13
이므로 구하는 원의 방정식은 

(x+2)€+(y-1)€=13

STEP 



유형 드릴

| 305쪽~307쪽 |

름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은

1-1        (x-4)€+(y-2)€=25
|해결 전략 | 두‌점‌A,‌B를‌지름의‌양‌끝점으로‌하는‌원의‌중심은‌AB’의‌중점이

구하는 원의 중심은 AB’의 중점이므로 원의 중심의 좌표는

고‌반지름의‌길이는‌;2!;AB’이다.

0+8
2

{

,

-1+5
2

}, 즉 (4, 2)

원의 중심을 P라 하면 원의 반지름의 길이는 AP’ 또는 BP’이므로
AP’="ƒ(4-0)€+(2+1)€=5
따라서 중심의 좌표가 (4, 2)이고 반지름의 길이가 5인 원의 방정식은

(x-4)€+(y-2)€=25

2-2        (x-1)€+y€=5
|해결 전략 | 중심이‌x축‌위에‌있으므로‌중심의‌좌표를‌(a,‌0)으로‌놓는다.

원의 중심이 x축 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, 0)이라 하고 반지

(x-a)€+y€=r€

이 원이 두 점 (0, 2), (3, 1)을 지나므로

a€+4=r€

(3-a)€+1€=r€에서 a€-6a+10=r€

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, r€=5

따라서 구하는 원의 방정식은

(x-1)€+y€=5





yy ㉠

yy ㉡

3-1        k<2
|해결 전략 | 주어진‌방정식을‌표준형으로‌나타낸‌후‌(반지름의‌길이)€>0임을‌이

용한다.

1-2        -5
|해결 전략 | 중심이‌점‌(a,‌b)이고‌반지름의‌길이가‌r인‌원의‌방정식은

x€+y€+2x-4y+k+3=0에서

(x€+2x+1)+(y€-4y+4)+k-2=0

(x-a)€+(y-b)€=r€이다.‌

중심이 점 (1, -2)이고 반지름의 길이가 'ß10인 원의 방정식은
(x-1)€+(y+2)€=10

(x+1)€+(y-2)€=2-k

이 방정식이 원을 나타내려면

2-k>0

 4 k<2

이 원이 점 (2, a)를 지나므로

(2-1)€+(a+2)€=10, a€+4a-5=0

(a+5)(a-1)=0

 4 a=-5 또는 a=1

그런데 a는 음수이므로 a=-5

2-1        (x+2)€+(y-1)€=13
|해결 전략 | 중심이‌직선‌y=-x-1‌위에‌있으므로‌중심의‌좌표를‌(a,‌-a-1)

로‌놓는다.

110  정답과 해설 

3-2        1
|해결 전략 | 주어진‌방정식을‌표준형으로‌나타낸‌후‌반지름의‌길이를‌k에‌대하

여‌나타낸다.

x€+y€-2kx+2y+k=0에서

(x€-2kx+k€)+(y€+2y+1)-k€+k-1=0

(x-k)€+(y+1)€=k€-k+1

이 방정식이 반지름의 길이가 '7 인 원을 나타내려면
"ƒk€-k+1='7
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의

 4 k€-k-6=0

두 원의 공통현의 방정식은

x€+y€-x+ay+14-(x€+y€-2x+8y+3)=0

4 x+(a-8)y+11=0





또, x€+y€-2x+8y+3=0에서

(x-1)€+(y+4)€=14

yy ㉠

yy ㉡


k€-k+1={k-;2!;}
이므로 모든 실수 k에 대하여 방정식 (x-k)€+(y+1)€=k€-k+1은 원이 

+;4#;>0

따라서 직선 ㉠이 원 ㉡의 중심 (1, -4)를 지나야 하므로

1-4(a-8)+11=0, 4a=44

 4 a=11

합은 1이다.

참고

된다.

4-1        8'2
|해결 전략 | 중심이‌직선‌y=x+2‌위에‌있으므로‌중심의‌좌표를‌(a,‌a+2)로‌놓

고‌x축에‌접하는‌원의‌반지름의‌길이는‌|a+2|임을‌이용한다.

원의 중심이 직선 y=x+2 위에 있으므로 원의 중심의 좌표를

(a, a+2)라 하자.

이 원이 x축에 접하므로 원의 반지름의 길이는 |a+2|이다.

5-2        7
|해결 전략 | 두‌원‌x€+y€+ax+by+c=0,‌x€+y€+a'x+b'y+c'=0의‌교

점을‌지나는‌원의‌방정식은

(x€+y€+ax+by+c)+k(x€+y€+a'x+b'y+c')=0(k+-1)이다.

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

x€+y€+4x-6y-48+k(x€+y€-18x-8y+48)=0 (k+-1)

yy ㉠

4 (x-a)€+(y-a-2)€=(a+2)€

이 원이 점 (2, 2)를 지나므로

(2-a)€+(2-a-2)€=(a+2)€

4-4a+a€+a€=a€+4a+4

a€-8a=0, a(a-8)=0

4 a=0 또는 a=8

리는
"ƒ(8-0)€+(10-2)€=8'2

따라서 두 원의 중심의 좌표는 (0, 2), (8, 10)이므로 중심 사이의 거

4-2        16
|해결 전략 | x축,‌y축에‌동시에‌접하면서‌제1사분면‌위의‌점을‌지나는‌원의‌중심

은‌제1사분면‌위에‌있음을‌이용한다.

x축과 y축에 동시에 접하는 원이 점 (3, 5)를 지나므로 원의 중심이

제1사분면 위에 있어야 한다.

방정식은

(x-r)€+(y-r)€=r€

이 원이 점 (3, 5)를 지나므로

(3-r)€+(5-r)€=r€

4 r€-16r+34=0

지름의 길이의 합은 16이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 두 원의 반

이 원이 원점을 지나므로

-48+48k=0

 4 k=1

k=1을 ㉠에 대입하여 정리하면

x€+y€-7x-7y=0

4 {x-;2&;}

+{y-;2&;}

=:¢2ª:





따라서 a=;2&;, b=;2&;이므로 a+b=7

6-1        9
|해결 전략 | 원과‌직선이‌서로‌다른‌두‌점에서‌만날‌때,‌원의‌중심과‌직선‌사이의‌

거리는‌반지름의‌길이보다‌작다.

x€+y€-4x=0에서 (x-2)€+y€=4

원의 중심 (2, 0)과 직선 x-2y+k=0 사이의 거리는

|2+k|
"ƒ1€+(-2)€
원의 반지름의 길이는 2이고, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나

|k+2|
'5

=

므로

|k+2|
'5

<2, |k+2|<2'5

-2'5<k+2<2'5
따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, å, 2의 9개이다.

 4 -2-2'5<k<-2+2'5

참고
'ß16<'ß20<'ß25, 즉 4<2'5<5이므로 2'5=4.___이다.
-2-2'5<k<-2+2'5 에서
-2-4.___<k<-2+4.___, -6.___<k<2.___

따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, y, 2이다.

즉, 원의 반지름의 길이를 r라 하면 중심의 좌표는 (r, r)이므로 원의

려면 (원의 중심과 직선 사이의 거리)<(반지름의 길이)이어야 하

5-1        11
|해결 전략 | 원‌O가‌원‌O'의‌둘레를‌이등분하면‌두‌원의‌공통현은‌원‌O'의‌지름

다른 풀이

x-2y+k=0에서 x=2y-k를 x€+y€-4x=0에 대입하면

임을‌이용한다.

름이어야 한다.

원 x€+y€-x+ay+14=0이 원 x€+y€-2x+8y+3=0의 둘레

를 이등분하려면 두 원의 공통현이 원 x€+y€-2x+8y+3=0의 지

(2y-k)€+y€-4(2y-k)=0
4 5y€-4(k+2)y+k€+4k=0

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D
4

={-2(k+2)}€-5(k€+4k)=-k€-4k+16

  13 원의 방정식   111 

이때, 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 

>0에서 

D
4

-k€-4k+16>0, k€+4k-16<0
{k-(-2-2'5 )}{k-(-2+2'5 )}<0
4 -2-2'5<k<-2+2'5
따라서 조건을 만족시키는 정수 k는 -6, -5, y, 2의 9개이다.

7-2        2'7
|해결 전략 | 공통현의‌방정식을‌구한‌후‌원의‌중심과‌직선‌사이의‌거리를‌이용

한다.

두 원의 공통현의 방정식은

x€+y€-16-(x€+y€+8x+6y+14)=0

4 4x+3y+15=0

오른쪽 그림과 같이 두 원의 교점을 각

y

6-2        6
|해결 전략 | 원과‌직선이‌접할‌때,‌원의‌중심과‌직선‌사이의‌거리는‌반지름의‌길

각 A, B라 하고 원 x€+y€=16의 중심

O(0, 0)에서 공통현에 내린 수선의 발

이와‌같다.

x€+y€-6y-7=0에서 x€+(y-3)€=16
원의 중심 (0, 3)과 직선 y='3x+k, 즉 '3x-y+k=0 사이의 거
리는

|-3+k|
"ƒ('3 )€+(-1)€
원의 반지름의 길이는 4이고, 직선이 원에 접하려면

|k-3|
2

=

(원의 중심과 직선 사이의 거리)=(반지름의 길이)이어야 하므로

을 H라 하면

O”H’=

|15|
"ƒ4€+3€

=3

O”A’=4이고 1OAH는 직각삼각형이

므로
A”H’="ƒ O”A’ €-O”H’ €="ƒ4€-3€='7
4 AB’=2AH’=2'7

O

x

A

H

B

8-1        4
|해결 전략 | 원의‌접선과‌반지름이‌서로‌수직임을‌이용하여‌접선의‌길이를‌구한다.

x€+y€-12x-6y+36=0에서

(x-6)€+(y-3)€=9

원의 중심을 C(6, 3)이라 하면
CP’="ƒ(3-6)€+(-1-3)€=5
직각삼각형 CPT에서
PT’="ƒ CP’ €-CT’

’ €="ƒ5€-3€=4

C(6, 3)

P(3, -1) T

8-2        2'3
|해결 전략 | 원의‌중심과‌점‌P를‌이은‌선분이‌사각형‌OAPB의‌넓이를‌이등분

|k-3|
2

=4, |k-3|=8

k-3=\8

 4 k=-5 또는 k=11

따라서 모든 실수 k의 값의 합은 6이다.

다른 풀이
y='3x+k를 x€+y€-6y-7=0에 대입하면
x€+('3x+k)€-6('3x+k)-7=0
4 4x€+2'3(k-3)x+k€-6k-7=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D
4

={'3(k-3)}€-4(k€-6k-7)=-k€+6k+55
D
4

이때, 원과 직선이 접하려면 

=0에서 

-k€+6k+55=0 

  4 k€-6k-55=0

오른쪽 그림과 같이 원과 직선의 두 교점을

각각 A, B라 하고 원의 중심 O(0, 0)에서

직선 y=x+k, 즉 x-y+k=0에 내린 수

선의 발을 H라 하면



=

O”H’=

|k|
'2

 åå ㉠

|k|
"ƒ1€+(-1)€
A”H’=;2!;AB’=;2!;_2'3='3
O”A’=2이고 1OAH는 직각삼각형이므로
’ €
O”H’="ƒ O”A’ €-A”H’
="ƒ2€-('3 )€=1
|k|
'2

=1, |k|='2

㉠, ㉡에서

4 k=-'2 (∵ k<0)

112  정답과 해설 

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의 합은 6

이다.

7-1        -'2
|해결 전략 | 원의‌중심에서‌현에‌내린‌수선은‌그‌현을‌수직이등분한다.

함을‌이용한다.

원의 중심 O(0, 0)과 점 P(3, 2) 사

이의 거리는
OP’="ƒ3€+2€='ß13
직각삼각형 AOP에서
AP’="ƒ OP’ €-OA’ €

="ƒ('ß13 )€-1€=2'3
4 OAPB=21AOP

=2_;2!;_AP’_OA’

=2_;2!;_2'3_1=2'3

-2

B
2

x

y
2

O

H

A -2

y

1

A

1

B

-1

O
-1

P(3, 2)

x

9-1        10
|해결 전략 | 원의‌중심과‌직선‌사이의‌거리와‌반지름의‌길이를‌이용한다.

åå ㉡

x€+y€-4x+2y-4=0에서 (x-2)€+(y+1)€=9

원의 중심 (2, -1)과 직선 3x-4y+15=0 사이의 거리는

|3_2-4_(-1)+15|
"ƒ3€+(-4)€

=5

이때, 원의 반지름의 길이는 3이므로

3x-4y+15=0

오른쪽 그림에서

M=5+3=8

m=5-3=2

4 M+m=10

10-2        20
|해결 전략 | 원의‌중심과‌접선‌사이의‌거리가‌반지름의‌길이와‌같음을‌이용한다.

5

3

기울기가 2인 접선의 방정식을 y=2x+k라 하면 원의 중심 (1, -3)

과 직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의 거리가 원의 반지름의

(2, -1)

3

(x-2)2+(y+1)2=9

길이 1과 같으므로

|2_1-(-3)+k|
"ƒ2€+(-1)€

=1, |k+5|='5

 4 k=-5-'5

k+5=-'5
이때, k는 직선의 y절편이므로 구하는 두 직선의 y절편의 곱은
(-5+'5 )(-5-'5 )=20

9-2        11
|해결 전략 | 점‌P와‌직선‌AB‌사이의‌거리가‌최대일‌때‌삼각형의‌넓이가‌최대‌

이다.

원 x€+y€=4 위의 점 P(x, y)에서 AB’에

내린 수선의 발을 H라 하자.

1ABP의 넓이가 최대이려면 오른쪽 그

림과 같이 PH’의 길이가 최대이어야 한다.

두 점 A(3, 0), B(0, -4)를 지나는 직

선의 방정식은

x
3

+

y
-4

=1

 4 4x-3y-12=0



x

A
2 3

H

y
2

P

-2

O

-2

-4 B

원의 중심 (0, 0)과 직선 4x-3y-12=0 사이의 거리는

|-12|
"ƒ4€+(-3)€
이때, 원의 반지름의 길이는 2이므로 PH’의 길이의 최댓값은

=:¡5™:

:¡5™:+2=:™5™:
또, AB’="ƒ(0-3)€+(-4-0)€=5이므로 1ABP의 넓이의 최댓
값은

;2!;_5_:™5™:=11

참고

;2!;_5_;5@;=1

1ABP의 넓이가 최소이려면 PH’의 길이가 최소이어야 한다.

이때, PH’의 길이의 최솟값은 :¡5™:-2=;5@;이므로 1ABP의 넓이의 최솟값은

10-1        6'ß10
|해결 전략 | y=mx\r"ƒm€+1‌을‌이용한다.
직선 3x+y+7=0, 즉 y=-3x-7의 기울기가 -3이므로 이 직선

에 수직인 직선의 기울기는 ;3!;이다.

기울기가 ;3!;인 접선의 방정식은

y=;3!;x\3Ƙ{;3!;}

€+1

 4 y=;3!;x\'ß10

11-1        4
|해결 전략 | x€‌대신‌x¡‌x,‌‌y€‌대신‌y¡‌y,‌‌x‌대신‌

x¡+x
2

,‌‌y‌대신‌

y¡+y

2 를‌대입

한다.

1_x+1_y+2_

-8_

+4=0

1+x
2

1+y
2

x+y+(1+x)-4(1+y)+4=0

4 2x-3y+1=0

이 직선이 점 (a, 3)을 지나므로

2a-9+1=0

 4 a=4

다른 풀이

x€+y€+2x-8y+4=0에서

(x+1)€+(y-4)€=13 

따라서 원 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은

(1+1)(x+1)+(1-4)(y-4)=13
4 2x-3y+1=0

이 직선이 점 (a, 3)을 지나므로

2a-9+1=0 

  4 a=4

11-2        45
|해결 전략 | x¡‌x+y¡‌y=r€을‌이용한다.

원 x€+y€=20 위의 점 (2, 4)

에서의 접선의 방정식은

x+2y=10

y

P

6

2x+4y=20



4 x+2y=10

이  접선이  x축과  만나는  점은

-5

-2

O

B

A

10

x

A(10, 0)이다.

원 x€+y€=20 위의 점 (-4, 2)

에서의 접선의 방정식은

2x-y=-10

-4x+2y=20

 4 2x-y=-10

이 접선이 x축과 만나는 점은 B(-5, 0)이다.

또, x+2y=10, 2x-y=-10을 연립하여 풀면 x=-2, y=6이므

이때, 직선 y=;3!;x-'ß10과 직선 y=;3!;x+'ß10이 x축과 만나는 두
점은 각각 (3'ß10, 0), (-3'ß10, 0)이므로 구하는 두 점 사이의 거리는
|3'ß10-(-3'ß10)|=6'ß10

로 두 접선의 교점 P의 좌표는 (-2, 6)이다.

따라서 위의 그림에서 삼각형 PAB의 넓이는

;2!;_15_6=45

  13 원의 방정식   113 

12-1        -;5^;
|해결 전략 | 접선의 기울기를 m이라 하고 원의 중심과 접선 사이의 거리가 반지

름의 길이와 같음을 이용한다.

접선의 기울기를 m이라 하면 점 (-3, 1)을 지나므로 접선의 방정식은

14 

| 도형의 이동

y-1=m(x+3)



4 mx-y+3m+1=0



원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가

원의 반지름의 길이 2와 같으므로

=2

|3m+1|
"ƒm€+(-1)€
|3m+1|=2"ƒm€+1
양변을 제곱하여 정리하면

5m€+6m-3=0

합은 -;5^;이다.

yy ㉠



평행이동

(-3, 1)

y

2

O

-2

2

x

-2

개념 확인  

   310쪽

1    ⑴ (2, 2)  ⑵ 2x-y-5=0  ⑶ (x-3)€+(y+2)€=4 

 

⑷ y+2=f(x-3)  ⑸  f(x-3, y+2)=0

1  ⑴ (-1+3, 4-2), 즉 (2, 2)
 ⑵ 2(x-3)-(y+2)+3=0

STEP 



개념 드릴

| 311쪽 |

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의



 4 2x-y-5=0

12-2        l: x+'3 y-8=0, m: x-'3 y-8=0
|해결 전략 | 두 직선 l, m은 점 (8, 0)에서 원 x€+y€=16에 그은 접선이다.

직선 l, m의 방정식은 점 (8, 0)에서 원 x€+y€=16에 그은 접선의 방

정식이다.

y=m(x-8)



4 mx-y-8m=0

접선의 기울기를 m이라 하면 점 (8, 0)을 지나므로 접선의 방정식은

원의 중심 (0, 0)과 직선 ㉠ 사이의 거리가 반지름의 길이 4와 같으므로



 yy ㉠

|-8m|
"ƒm€+(-1)€
양변을 제곱하면

=4, |-8m|=4"ƒm€+1

64m€=16m€+16, 48m€=16

1
'3

 4 m=-

m€=;3!;
이것을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은
x-'3y-8=0 또는 x+'3y-8=0
이때, 직선 l의 기울기는 음, 직선 m의 기울기는 양이므로
l: x+'3y-8=0, m: x-'3y-8=0
다른 풀이

접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정식은

x¡x+y¡y=16

이 접선이 점 (8, 0)을 지나므로

8x¡=16 

  4 x¡=2 

또, 점 (x¡, y¡)은 원 위의 점이므로 

x¡€+y¡€=16  

㉠을 ㉡에 대입하면

  4 y¡=-2'3

4+y¡€=16, y¡€=12 
따라서 접점의 좌표는 (2, 2'3 ), (2, -2'3 )이므로 접선의 방정식은
2x+2'3y=16 또는 2x-2'3y=16
4 x+'3y=8 또는 x-'3y=8
이때, 직선 l의 기울기는 음, 직선 m의 기울기는 양이므로
l: x+'3y=8, m: x-'3y=8

114  정답과 해설 

1  ⑴ (5, -1)  ⑵ (-1, 1)  ⑶ (0, -4)

2  ⑴ (3, -1) 

 ⑵ (6, 4)  ⑶ (1, 3)

3    ⑴ x+2y+2=0 

 ⑵ y=x€+2x-6 

  ⑶ (x-1)€+(y+5)€=16

4  ⑴ 3x-2y+15=0  ⑵ y=x€+6x+7 

  ⑶ (x+2)€+(y-1)€=4

1  ⑴ (3+2, 2-3), 즉 (5, -1)
 ⑵ (-3+2, 4-3), 즉 (-1, 1)

 ⑶ (-2+2, -1-3), 즉 (0, -4)

2  ⑴ (0+3, 0-1), 즉 (3, -1)
 ⑵ (3+3, 5-1), 즉 (6, 4)

 ⑶ (-2+3, 4-1), 즉 (1, 3)

3  x 대신 x+1, y 대신 y+2를 대입하면
 ⑴ (x+1)+2(y+2)-3=0

 4 x+2y+2=0

 ⑵ y+2=(x+1)€-5

 4 y=x€+2x-6

 ⑶ {(x+1)-2}€+{(y+2)+3}€=16

 4 (x-1)€+(y+5)€=16

 ⑴ 3(x+2)-2(y-4)+1=0

 4 3x-2y+15=0

 ⑵ y-4={(x+2)+1}€-6

 y=(x+3)€-2



 4 y=x€+6x+7













…… ㉠

4   주어진 평행이동은 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 4만

…… ㉡

큼 평행이동하는 것이다.

 따라서 x 대신 x+2, y 대신 y-4를 대입하면

 ⑶ (x+2)€+{(y-4)+3}€=4



 4 (x+2)€+(y-1)€=4

STEP 



필수 유형

| 312쪽~315쪽 |

방향으로 -1만큼 평행이동하는 것이므로 ㉠에 x 대신 x-2, y 대신

01-1          (-3, 5)
|해결 전략 | 점 (3, 1)을 점 (2, 3)으로 옮기는 평행이동을 먼저 구한다.

점 (3, 1)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동

한 점의 좌표가 (2, 3)이라 하면

3+a=2, 1+b=3

4 a=-1, b=2

만큼 평행이동하는 것이다.

(-2-1, 3+2), 즉 (-3, 5)

즉, 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2

(2+2, -2-1), 즉 (4, -3)

따라서 이 평행이동에 의하여 점 (-2, 3)이 옮겨지는 점의 좌표는

01-2          4
|해결 전략 | 점 (a, -2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구한다.

평행이동 (x, y) bd (x-1, y+3)은 x축의 방향으로 -1만큼, y

축의 방향으로 3만큼 평행이동하는 것이므로 이 평행이동에 의하여

점 (a, -2)가 옮겨지는 점의 좌표는

(a-1, -2+3), 즉 (a-1, 1)

이 점이 직선 y=2x-5 위에 있으므로

1=2(a-1)-5

 4 a=4

03-1         a=-8, b=13
|해결 전략 | 포물선의 방정식에 x 대신 x-2, y 대신 y+1을 대입한다.

y=x€-4x+2에서

y=(x-2)€-2

yy ㉠
평행이동 (x, y) bd (x+2, y-1)은 x축의 방향으로 2만큼, y축의





y+1을 대입하면

y+1=(x-2-2)€-2, y=(x-4)€-3

4 y=x€-8x+13

이 포물선이 y=x€+ax+b와 일치하므로

a=-8, b=13

다른 풀이

포물선 y=x€-4x+2, 즉 y=(x-2)€-2의 꼭짓점 (2, -2)를 x축의 방향

으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 점의 좌표는

따라서 x€의 계수가 1이고 꼭짓점의 좌표가 (4, -3)인 포물선의 방정식은

y=(x-4)€-3
4 y=x€-8x+13

a=-8, b=13

이 포물선이 y=x€+ax+b와 일치하므로

03-2         -7
|해결 전략 | 포물선의 방정식에 x 대신 x-p, y 대신 y-(p+3)을 대입한다.

y=3x€+6x+7에서 y=3(x+1)€+4

이 포물선을 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 p+3만큼 평행

이동한 포물선의 방정식은

y-(p+3)=3(x-p+1)€+4

4 y=3(x-p+1)€+p+7

이 포물선의 꼭짓점 (p-1, p+7)이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0

02-1         -8
|해결 전략 | 도형  f(x, y)=0을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 

평행이동한 도형의 방정식은  f(x-a, y-b)=0이다. 

p+7=0

 4 p=-7

이다.

다른 풀이

2x-y+k=0에 x 대신 x+3, y 대신 y-4를 대입하면

2(x+3)-(y-4)+k=0

4 2x-y+k+10=0

이 직선이 직선 2x-y+2=0과 일치하므로

k+10=2

 4 k=-8

포물선 y=3x€+6x+7, 즉 y=3(x+1)€+4의 꼭짓점 (-1, 4)를 x축의 

방향으로 p만큼, y축의 방향으로 p+3만큼 평행이동한 점의 좌표는

(-1+p, 4+p+3), 즉 (p-1, p+7)

이때, 이 점이 x축 위에 있으므로 y좌표는 0이다. 

p+7=0 

  4 p=-7

02-2         3x-y+7=0
|해결 전략 | 점 (2, -2)를 점 (1, 1)로 옮기는 평행이동을 먼저 구한다.

04-1         a=-3, b=2, c=10
|해결 전략 | 원의 방정식에 x 대신 x-a, y 대신 y-b를 대입한다.

점 (2, -2)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이

원 (x+2)€+(y+1)€=16을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으

동한 점의 좌표가 (1, 1)이라 하면

2+a=1, -2+b=1



4 a=-1, b=3

만큼 평행이동하는 것이다.

3(x+1)-(y-3)+1=0

4 3x-y+7=0

즉, 주어진 평행이동은 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3

따라서 이 평행이동에 의하여 직선 3x-y+1=0이 옮겨지는 직선의

방정식은 x 대신 x+1, y 대신 y-3을 대입하면

4 a=-3, b=2, c=10

다른 풀이

로 b만큼 평행이동한 원의 방정식은

(x-a+2)€+(y-b+1)€=16

이 원이 원 x€+y€+10x-2y+c=0, 즉

(x+5)€+(y-1)€=26-c와 일치하므로

-a+2=5, b-1=1, 16=26-c



원 (x+2)€+(y+1)€=16의 중심 (-2, -1)을 x축의 방향으로 a만큼, y

축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표는 

  14 도형의 이동   115 

(-2+a, -1+b)

심 (-5, 1)과 같으므로

이 점이 원 x€+y€+10x-2y+c=0, 즉 (x+5)€+(y-1)€=26-c의 중

-2+a=-5, -1+b=1 

  4 a=-3, b=2

또, 원을 평행이동해도 반지름의 길이는 변하지 않으므로
4='ß26-c, 16=26-c 

  4 c=10

04-2         a=3, b=-2
|해결 전략 | 원을 평행이동하면 원의 중심은 평행이동된 원의 중심으로 옮겨진다.

x€+y€+6x-4y+9=0에서

(x+3)€+(y-2)€=4

원의 방정식은

a-3=0, b+2=0

 4 a=3, b=-2

다른 풀이

원 x€+y€+6x-4y+9=0, 즉 (x+3)€+(y-2)€=4의 중심 (-3, 2)를 

x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표는 

(-3+a, 2+b)

이 점이 원점과 같으므로

-3+a=0, 2+b=0 

  4 a=3, b=-2

4  점 P(2, -1)을 직선 y=-x+3에 대
하여 대칭이동한 점을 P'(a, b)라 하면

 선분 PP'의 중점 M의 좌표는

 {

2+a
2

,

-1+b
2

}

y=-x+3

P'(a, b)

M

P(2, -1)

 이때, 중점 M이 직선 y=-x+3 위의 점이므로

-1+b
2

=-

+3



2+a
2

 -1+b=-2-a+6

 4 a+b=5





b-(-1)
a-2

_(-1)=-1

 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=1

 따라서 구하는 점의 좌표는 (4, 1)이다.

yy ㉠

yy ㉡

이 원을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한

 또, 직선 PP'과 직선 y=-x+3이 서로 수직이므로

(x-a+3)€+(y-b-2)€=4





yy ㉠

 b+1=a-2

원 ㉠의 중심의 좌표는 (a-3, b+2)이고, 이 점이 원점이어야 하므로

 4 a-b=3





STEP 



개념 드릴

| 320쪽 |



대칭이동

개념 확인  

3  (6, 7) 

4  (4, 1)

1  ⑴ (2, -3)  ⑵ (-2, 3)  ⑶ (-2, -3)  ⑷ (3, 2)

2  ⑴ 2x+y+3=0  ⑵ 2x+y-3=0 

  ⑶ 2x-y-3=0  ⑷ x-2y-3=0

   316쪽~319쪽

1  ⑴ (-5, -3)  ⑵ (5, 3)  ⑶ (5, -3)  ⑷ (3, -5)

2  ⑴ x+3y-2=0 

 ⑵ x+3y+2=0

  ⑶ x-3y+2=0  ⑷ 3x-y+2=0

3  ⑴ (x-2)€+(y-3)€=4  ⑵ (x+2)€+(y+3)€=4

  ⑶ (x+2)€+(y-3)€=4  ⑷ (x+3)€+(y-2)€=4

4  ⑴ Q(1, -1)  ⑵ Q(-5, -5) 

  ⑶ Q(0, 4)  ⑷ Q(-2, -4)

2  ⑴ 2x-(-y)+3=0
 4 2x+y+3=0


 ⑵ 2_(-x)-y+3=0

 4 2x+y-3=0

 ⑶ 2_(-x)-(-y)+3=0

 4 2x-y-3=0

 ⑷ 2y-x+3=0

 4 x-2y-3=0









3  점 P(2, -1)을 점 (4, 3)에 대하여 대칭이

P'(x', y')

동한 점을 P'(x', y')이라 하면

 선분 PP'의 중점이 (4, 3)이므로

2+x'
2

=4,

-1+y'
2

=3

 4 x'=6, y'=7

 따라서 구하는 점의 좌표는 (6, 7)이다.

116  정답과 해설 

(4, 3)

P(2, -1)

2  ⑴ x-3_(-y)-2=0
 ∴ x+3y-2=0


 ⑵ -x-3y-2=0

 ∴ x+3y+2=0

 ⑶ -x-3_(-y)-2=0

 ∴ x-3y+2=0

 ⑷ y-3x-2=0

 ∴ 3x-y+2=0

3  ⑴ (x-2)€+(-y+3)€=4
 4 (x-2)€+(y-3)€=4


 ⑵ (-x-2)€+(y+3)€=4

 4 (x+2)€+(y+3)€=4

 ⑶ (-x-2)€+(-y+3)€=4

 4 (x+2)€+(y-3)€=4

 ⑷ (y-2)€+(x+3)€=4

 4 (x+3)€+(y-2)€=4

















4  점 Q의 좌표를 (a, b)라 하면
 ⑴ 점 (2, 0)은 두 점 P(3, 1), Q(a, b)의 중점이므로

01-2          y=-;2!;x+;2%;
|해결 전략 | 점 (a, b)를 x축에 대하여 대칭이동하면 (a, -b), 직선 y=x에 대

하여 대칭이동하면 (b, a)이다.

점 P(3, -1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점 A의 좌표는

(3, 1)

(-1, 3)

점 P(3, -1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는

따라서 두 점 A(3, 1), B(-1, 3)을 지나는 직선의 방정식은

y-1=

3-1
-1-3

(x-3)

 4 y=-;2!;x+;2%;

3+a
2

=2,  1+b

=0

2

 4 a=1, b=-1

 따라서 점 Q의 좌표는 (1, -1)이다.

 ⑵ 점 (-1, -2)는 두 점 P(3, 1), Q(a, b)의 중점이므로

3+a
2

=-1,  1+b

=-2

2

 4 a=-5, b=-5

 따라서 점 Q의 좌표는 (-5, -5)이다.

 ⑶ 두 점 P(3, 1), Q(a, b)에 대하여 PQ’의 중점 {


 가 직선 y=x+1 위의 점이므로

3+a
2

,  1+b
2

}

1+b
2

=

3+a
2

 4 a-b=-4

+1, 1+b=3+a+2

 또, 직선 PQ와 직선 y=x+1은 서로 수직이므로

02-1          a=-1, b=3
|해결 전략 | 포물선을 대칭이동하면 꼭짓점은 대칭이동된 포물선의 꼭짓점으로 

옮겨진다. 

yy ㉠

y=x€+2ax+b에서 y=(x+a)€+b-a€

이 포물선의 꼭짓점 (-a, b-a€)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동

_1=-1, b-1=-a+3

b-1
a-3

 4 a+b=4

 ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=0, b=4

 따라서 점 Q의 좌표는 (0, 4)이다.

한 점의 좌표는

(b-a€, -a)

yy ㉡

이 점이 점 (2, 1)과 일치하므로

b-a€=2, -a=1

 4 a=-1, b=3

 ⑷ 두 점 P(3, 1), Q(a, b)에 대하여 PQ’의 중점 {


 가 직선 y=-x-1 위의 점이므로

3+a
2

,  1+b
2

}



=-

1+b
2

3+a
2
 4 a+b=-6

-1, 1+b=-3-a-2



02-2          ;2!;
|해결 전략 | 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지나는 직선이다.

yy ㉠

직선 y=mx+3을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

 또, 직선 PQ와 직선 y=-x-1은 서로 수직이므로

-y=mx+3

 4 y=-mx-3

yy ㉠



b-1
a-3

_(-1)=-1

 4 a-b=2

yy ㉡

x€+y€-4x+8y+4=0에서

(x-2)€+(y+4)€=16

 ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-2, b=-4

 따라서 점 Q의 좌표는 (-2, -4)이다.

직선 ㉠이 주어진 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 (2, -4)를















































지나야 하므로

-4=-2m-3

 4 m=;2!;

LECTURE

도형의 넓이를 이등분하는 직선

❶ 원: 중심을 지나는 직선

❷ 평행사변형: 두 대각선의 교점을 지나는 직선

STEP 



필수 유형

| 321쪽~326쪽 |

01-1          1
|해결 전략 | 점 (a, b)를 y축에 대하여 대칭이동하면 (-a, b), 직선 y=-x에 

03-1          a=0, b=5
|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 평행이동한 후 대칭이동한다. 

대하여 대칭이동하면 (-b, -a)이다.

점 (a, -2)를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행

점 (-4, 1)을 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는

이동한 점의 좌표는

이 점을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는

이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는

(4, 1)

(-1, -4)

이 점이 포물선 y=x€+ax-4 위에 있으므로

-4=1-a-4

 4 a=1

(a+2, -2-3), 즉 (a+2, -5)

(-a-2, 5)

이 점이 점 (-2, b)와 일치하므로

-a-2=-2, 5=b

 4 a=0, b=5

  14 도형의 이동   117 

03-2          2
|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 대칭이동한 후 평행이동한다.

06-1          5
|해결 전략 | 점 A를 x축에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다. 

직선 x+2y-1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정

점 A(-1, 1)을 x축에 대하여 대칭이

식은

y+2x-1=0

 4 2x+y-1=0

동한 점을 A'이라 하면

A'(-1, -1)

이 직선을 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 직선의 방정식은

이때, AP’=A”'P’이므로 오른쪽 그림에서

-1

P

3

x

2x+(y-n)-1=0

 4 2x+y-n-1=0

AP’+BP’=A”'P’+BP’ 

B

y

2

O

A

1

-1

A'

이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로

2+1-n-1=0

 4 n=2

>A”'B’
="ƒ(3+1)€+(2+1)€=5
따라서 AP’+BP’의 최솟값은 5이다.

04-1          7
|해결 전략 | 점 P를 점 A에 대하여 대칭이동한 점을 P'이라 하면 점 A는 선분 

PP'의 중점이다. 

두 점 (a, -8), (-1, b)를 이은 선분의 중점 (-1, b)

이 점 (2, -3)이므로

a-1
2

=2,

-8+b
2

=-3



4 a=5, b=2

 4 a+b=7

06-2          'ß10
|해결 전략 | 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다. 

점 A(2, 3)을 직선 y=x에 대하여 대칭

이동한 점을 A'이라 하면

A'(3, 2)

B

A

y=x

P

y

5

3
2

O

2

3

x

(2, -3)

이때, AP’=A'P’이므로 오른쪽 그림에서

A'

(a, -8)

AP’+BP’=A'P’+BP’

>A'B’
="ƒ(2-3)€+(5-2)€='ß10
따라서 AP’+BP’의 최솟값은 'ß10이다.

04-2          0
|해결 전략 | 원을 대칭이동하면 원의 중심은 대칭이동된 원의 중심으로 옮겨진다. 

x€+y€-2x-8y+16=0에서

(x-1)€+(y-4)€=1

원의 중심 (1, 4)를 점 (3, a)에 대하여 대

칭이동한 점의 좌표가 (b, 6)이다.

따라서 두 점 (1, 4), (b, 6)을 이은 선분

의 중점이 점 (3, a)이므로

1+b
2

=3,

4+6
2

4 a-b=0

=a

 4 a=5, b=5

(b, 6)

(3, a)

(1, 4)

STEP 



유형 드릴

| 327쪽~328쪽 |

1-1        10
|해결 전략 | 점 (-6, 5)가 평행이동에 의하여 옮겨지는 점의 좌표를 구한다.

점 (-6, 5)를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행

이동한 점의 좌표는

(-6+a, 5-3), 즉 (-6+a, 2)

이 점이 점 (2, b)와 일치하므로

-6+a=2, 2=b

 4 a=8, b=2

4 a+b=10

05-1          2
|해결 전략 | 두 원이 직선 l에 대하여 대칭이면 두 원의 중심도 직선 l에 대하여 

대칭이다.

두 원의 중심 (0, 0), (-1, a)를 이은 선분의 중점 {-

, ;2A;}가 직선

1
2

y=mx+1 위의 점이므로

;2A;=-;2!;m+1
또, 두 원의 중심 (0, 0), (-1, a)를 지나는 직선과 직선 y=mx+1

 4 a+m=2

yy ㉠

위에 있다.

점 (4, 1)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이

1-2        -6
|해결 전략 | 점 (4, 1)이 평행이동에 의하여 옮겨진 점이 직선 3x-2y+4=0 

_m=-1

 4 am=1

yy ㉡

은 서로 수직이므로

a-0
-1-0

4 a€+m€ =(a+m)€-2am



=2€-2=2 (5 ㉠, ㉡)

118  정답과 해설 

동한 점의 좌표는

(4+a, 1-2), 즉 (4+a, -1)

이 점이 직선 3x-2y+4=0 위에 있으므로

3(4+a)-2_(-1)+4=0, 3a=-18

4 a=-6

2-1        2x-y-4=0
|해결 전략 | 직선 l의 방정식을 ax+by+c=0으로 놓고 평행이동한다.

3-2        6
|해결 전략 | 점 P를 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 세 점 A, B, C의 좌표를 

직선 l의 방정식을 ax+by+c=0이라 하자.

구하고 좌표평면 위에 나타낸다. 

직선 l을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동

점 P(-3, -1)을

x축에 대하여 대칭이동한 점 A의 좌표는 (-3, 1)

y축에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표는 (3, -1)

원점에 대하여 대칭이동한 점 C의 좌표는 (3, 1)

따라서 오른쪽 그림에서 1ABC의 넓이는

;2!;_6_2=6

y

1

O
-1

A

-3
P

C

x

3
B

4-1        -6
|해결 전략 | 도형  f(x, y)=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식

직선 2x-3y+1=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 직선의 방

은  f(y, x)=0이다. 

정식은

2y-3x+1=0, 즉 3x-2y-1=0

이 직선이 직선 ax+by-1=0과 일치하므로

a=3, b=-2

 4 ab=-6

4-2        2
|해결 전략 | 원의 넓이를 이등분하는 직선은 원의 중심을 지난다. 

한 직선의 방정식은

a(x-1)+b(y+2)+c=0

4 ax+by-a+2b+c=0

이 직선이 직선 2x-y-8=0과 일치하므로

a=2, b=-1, -a+2b+c=-8

-2-2+c=-8에서 c=-4

따라서 직선 l의 방정식은 2x-y-4=0

직선 2x-y-8=0을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행

따라서 2x-y-8=0에 x 대신 x+1, y 대신 y-2를 대입하면 직선 l의 방

이동하면 직선 l이 된다.

다른 풀이

정식은

2(x+1)-(y-2)-8=0 

  4 2x-y-4=0

2-2        17
|해결 전략 | 원의 방정식을 표준형으로 고친 후 평행이동한 원의 방정식을 구한다. 

이 원을 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한

x€+y€-6x+2ay+8=0에서

(x-3)€+(y+a)€=a€+1

원의 방정식은

(x+4-3)€+(y-5+a)€=a€+1

한편, x€+y€+2bx-8y+c=0에서

(x+b)€+(y-4)€=b€-c+16





㉠과 ㉡이 일치하므로

b=1, -4=-5+a, b€-c+16=a€+1

4 a=1, b=1, c=15

4 a+b+c=17

다른 풀이

4 (x+1)€+(y-5+a)€=a€+1





yy ㉠

직선 y=mx+4를 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

y=-mx+4



 yy ㉠

yy ㉡

x€+y€-6x+4y-3=0에서

(x-3)€+(y+2)€=16

직선 ㉠이 주어진 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 (3, -2)를

지나야 하므로

-2=-3m+4

 4 m=2

원 (x-3)€+(y+a)€=a€+1의 중심 (3, -a)를 x축의 방향으로 -4만큼, 

y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 점의 좌표는

(3-4, -a+5), 즉 (-1, -a+5)

5-1        1
|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 평행이동한 후 대칭이동한다.

이 점이 원 (x+b)€+(y-4)€=b€-c+16의 중심 (-b, 4)와 일치하므로

직선 3x+y+1=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2

-1=-b, -a+5=4 

  4 a=1, b=1

또, 평행이동한 원의 반지름의 길이는 변하지 않으므로
  4 c=15
"ƒa€+1="ƒb€-c+16 에서 '2 ='ß17-c 
4 a+b+c=17

3-1        2'ß13
|해결 전략 | 점 (a, b)를 y축에 대하여 대칭이동하면 (-a, b), 원점에 대하여 대

칭이동하면 (-a, -b)이다.

점 A(3, 2)를 y축에 대하여 대칭이동한 점 P의 좌표는

(-3, 2)

점 P(-3, 2)를 원점에 대하여 대칭이동한 점 Q의 좌표는

(3, -2)
4 PQ’="ƒ(3+3)€+(-2-2)€=2'ß13

만큼 평행이동한 직선의 방정식은

3(x-1)+(y+2)+1=0

4 3x+y=0

3x-y=0

이 직선이 점 (k, 3)을 지나므로

3k-3=0

 4 k=1

이 직선을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

5-2        1
|해결 전략 | 문제에 제시된 순서대로 대칭이동한 후 평행이동한다. 

원 (x+1)€+(y-1)€=2를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의

방정식은

  14 도형의 이동   119 

이 원을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한

따라서 원의 중심은 점 (-1, 2)이고, 이 점이 직선 y=mx+3 위에

(y+1)€+(x-1)€=2

4 (x-1)€+(y+1)€=2

원의 방정식은

(x+2-1)€+(y-3+1)€=2

4 (x+1)€+(y-2)€=2

2=-m+3

 4 m=1

있으므로

다른 풀이

한 점의 좌표는 (1, -1)

점의 좌표는 

(1-2, -1+3), 즉 (-1, 2)

원 (x+1)€+(y-1)€=2의 중심 (-1, 1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동

점 (1, -1)을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 

또, 두 점 A(-4, 2), B(-2, 6)을 이은 선분의 중점

-4-2
2

{

,

2+6
2 }, 즉 (-3, 4)는 직선 y=ax+b 위의 점이므로

4=-3a+b에서

4=-3_{-;2!;}+b

 4 b=;2%;

7-2        29
|해결 전략 | 두 원의 중심이 직선 y=ax+b에 대하여 대칭이다.

(x-8)€+(y-4)€=4

x€+y€-8x-4y+c=0에서

(x-4)€+(y-2)€=20-c

yy ㉠

yy ㉡

원 ㉠과 원 ㉡이 직선 y=ax+b에 대하여 대칭이므로 원 ㉠의 중심

(8, 4)와 원 ㉡의 중심 (4, 2)가 직선 y=ax+b에 대하여 대칭이

다.

2-4
4-8

는 서로 수직이므로

_a=-1

 4 a=-2

따라서 점 (-1, 2)가 직선 y=mx+3 위에 있으므로

2=-m+3 

  4 m=1

따라서 두 원의 중심 (8, 4), (4, 2)를 지나는 직선과 직선 y=ax+b

6-1        22
|해결 전략 | 점 (3, -5)가 두 점 P, Q를 이은 선분의 중점임을 이용한다.

두 점 P(-1, 5), Q(a, b)를 이은 선분의 중점이 점 (3, -5)이므로

-1+a
2

=3,

5+b
2 =-5    4 a=7, b=-15

4 a-b=7-(-15)=22

또, 두 원의 중심 (8, 4), (4, 2)를 이은 선분의 중점 {
즉 (6, 3)이 직선 y=ax+b 위의 점이므로 3=6a+b에서

8+4
2

,

4+2
2 },

3=-12+b

 4 b=15

이때, 원 ㉠의 반지름의 길이와 원 ㉡의 반지름의 길이는 같으므로
'4 ='ß20-c
4 a+b+c=-2+15+16=29

 4 c=16

6-2        -2
|해결 전략 | 포물선 y=-x€+4x-7의 꼭짓점을 점 (-1, a)에 대하여 대칭이

동한 점의 좌표가 (b, 7)이다.

8-1        5
|해결 전략 | 점 A를 y축에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다.

y=-x€+4x-7에서 y=-(x-2)€-3

점 A(2, 7)을 y축에 대하여 대칭이동

포물선의 꼭짓점 (2, -3)을 점 (-1, a)에 대하여 대칭이동한 점의

한 점을 A'이라 하면

즉, 두 점 (2, -3), (b, 7)을 이은 선분의 중점이 점 (-1, a)이므로

이때, AP’=A'P’이므로 오른쪽 그림

좌표가 (b, 7)이다.

4 a+b=-2

LECTURE

2+b
2

=-1,

-3+7
2

=a

 4 a=2, b=-4

대칭이동에 의하여 도형은 합동인 도형으로 옮겨진다.

즉, 원은 원, 포물선은 포물선으로 옮겨진다.
이때, (중심) d (중심), (꼭짓점) d (꼭짓점), (대칭축) d (대칭축)으

로 옮겨지고, 원의 경우 반지름의 길이는 변하지 않는다.

A'(-2, 7)

에서

AP’+BP’=A”'P’+BP’

>A'B’
="ƒ(1+2)€+(3-7)€=5
따라서 AP’+BP’의 최솟값은 5이다.

7-1        a=-;2!;, b=;2%;
|해결 전략 | 직선 AB와 직선 y=ax+b는 서로 수직이고, 선분 AB의 중점은 

이동한 점을 A'이라 하면

A'(0, 1)

두 점 A(-4, 2), B(-2, 6)을 지나는 직선과 직선 y=ax+b는 서

직선 y=ax+b 위의 점이다.

로 수직이므로

6-2
-2+4

_a=-1

 4 a=-;2!;

120  정답과 해설 

8-2        'ß26
|해결 전략 | 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하여 최솟값을 구한다.

점 A(1, 0)을 직선 y=x에 대하여 대칭

y

y=x

P

2
A'

1

A

O

1

B

5

x

이때, AP’=A'P’이므로 오른쪽 그림에서

AP’+BP’ =A'P’+BP’

AP’+BP>A'B’
ß26
AP’+BP’="ƒ5€+(2-1)€='å
ß26 이다.
따라서 AP’+BP’의 최솟값은 'å

A'(-2, 7)

A(2, 7)

y

P

O

B(1, 3)

x