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천재교육

2020년 천재교육 개념 해결의 법칙 고등 수학 1 (15개정) 답지

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개념 해결의 법칙 고등 수학 1 (15개정).pdf 다운로드 | 답지저장소

 

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STEP 1    개념 드릴 

 18쪽

1 | 지수

개념 확인 

1 ⑴ a20  ⑵ 27a15b3  ⑶ a›b  ⑷ 

1
a3

2 ⑴ 3, -3, 3i, -3i  ⑵ -4, 2+2'3 i, 2-2'3 i
3 ⑴ 4, -4  ⑵ -5
4 ⑴ 2  ⑵ 3  ⑶ 5  ⑷ 2  ⑸ '3

  8쪽~11쪽

1 ⑴ 1  ⑵  1  ⑶ ;5!;  ⑷ -27

2 ⑴ a‹  ⑵ a€b-3  ⑶ 

1
310   ⑷ 3⁄°

3 ⑴ 2;3$;  ⑵ 5-;4#;  ⑶ 6;2#;  ⑷ 3;4#;

4 ⑴ ;3!;  ⑵ 2;;¡2¡;;  ⑶ 3  ⑷ ;3¡2;  ⑸ a;1¡2;  ⑹ a;4#;

5 ⑴ 53'3  ⑵ 33'2  ⑶ ;1¡6;  ⑷ 33'2

12쪽

STEP 2    필수 유형 

  19쪽~26쪽

STEP 1    개념 드릴 

1 ⑴ a14  ⑵  

1
a2   ⑶ -27a11  ⑷ a5b6  ⑸ -a4b11

2 ⑴ 'ß10, -'ß10  ⑵ 3  ⑶ -2  ⑷ 5, -5
3 ⑴ 0.3  ⑵ -5  ⑶ 3  ⑷ 2
4 ⑴ 6  ⑵ 4  ⑶ 4  ⑷ '2  ⑸ '2

01-1 ⑴ 2-;2(;  ⑵ 1  ⑶ 2  ⑷ ;1ª6; 

02-1 ⑴ -;3@;  ⑵ ;3@;
02-2 13
03-1 ⑴ x-y-1  ⑵ x-y-1
03-2 1-a›

04-1 ⑴ 14  ⑵ 52

04-2 21

05-1 ⑴ 3-2'2  ⑵ 

18-10'2
31

05-2

;;¡3º;;
06-1 1 
06-2 6
07-1 ‹'2<fl'ß10<›'5
07-2 12

08-1 3

  13쪽~14쪽

  15쪽~17쪽

STEP 2    필수 유형 

01-1 ④
02-1 ⑴ 7  ⑵ 2  ⑶ €›'a  ⑷ b
02-2 8

개념 확인 

1 ⑴ a‹  ⑵ 

1
a9   ⑶ ;8!;  ⑷ 1

2 ⑴ ‹'5  ⑵ '7  ⑶ ‹'ß16  ⑷ fi'8 
3 ⑴ 5  ⑵ 2  ⑶ ;4!;  ⑷ 12

4 ⑴ 5'2  ⑵ 6'3  ⑶ ;2¡5;  ⑷ 6'3

STEP 3    유형 드릴 

 27쪽~29쪽

1-1 ③ 

3-1 a 

5-1 2 

7-1 110 

1-2 ㄱ, ㄷ    

2-1 7 

3-2 ;2!; 

5-2 11 

7-2 '6 

4-1 6 

6-1 :¡5¡: 

8-1 

2+3'2
2

 

9-1 -2 

9-2 1 

10-1 30 

11-1 C<A<B 11-2 C<B<A 12-1 2 

2-2 5

4-2 1

6-2 4

8-2 -;4%; 

10-2 ;2!; 
12-2 9배

빠른 정답   001 

빠른 정답   SPEED ANSWER 2 | 로그

개념 확인 

  32쪽~33쪽

1 ⑴ 2=log∞ 25  ⑵ 0=log¡º 1  ⑶ -2=log¢ ;1¡6;

2 ⑴ 5‚=1  ⑵ 10-2=0.01  ⑶ {;3!;}
3 ⑴ 0<x<1 또는 x>1  ⑵ x>1

-4

=81

  41쪽~46쪽

STEP 2    필수 유형 

01-1 ⑴ 2  ⑵ 3  

02-1 ⑴ -2  ⑵ 3 

03-1 ⑴ -;1∞8;  ⑵ 4 

03-3 2 

04-2 3a+2b

   

6

 

 

05-2 1 

06-2 -4

  01-2 5

  02-2 3

  03-2 5

  05-1 1

  06-1 2

  04-1

3a+2b
1-a

STEP 1    개념 드릴 

   34쪽

1 ⑴ 0=log¶ 1  ⑵ 4=log£ 81 

  ⑶ 2=log
;5!;

 ;2¡5;

⑷ -2=log
;2!;

 4  ⑸ -;3@;=log™¶ ;9!;

2 ⑴ 10‹=1000  ⑵ 3-3=;2¡7; 

 ⑶ {;2!;}

-5

=32

⑷ 5;2!;='5  ⑸ ('3 )›=9

개념 확인 

  47쪽~49쪽

1 ⑴ 3  ⑵ -3  ⑶ ;3@;
2 ⑴ 0.6628  ⑵ 0.6739  ⑶ 0.6839

3 ⑴ 정수 부분: 1, 소수 부분: 0.8603

3 ⑴ 2<x<3 또는 x>3  ⑵ -3<x<-2 또는 x>-2

⑵ 정수 부분: -1, 소수 부분: 0.8603

⑶ ;2%;<x<3 또는 x>3  ⑷ -2<x<-;3%; 또는 x>-;3%;

4 ⑴ 4  ⑵ -3

4 ⑴ x<2  ⑵ x<0 또는 x>3

⑶ x<-2 또는 x>4  ⑷ 1<x<2

STEP 2    필수 유형 

 35쪽~36쪽

01-1 ⑴ 9  ⑵ 81  ⑶ 3 

01-2 9

 

02-1 4<x<5 또는 5<x<7

01-3 9 

02-2 18

STEP 1    개념 드릴 

  50쪽

1 ⑴ -5  ⑵ ;4#;  ⑶ -1  ⑷ ;2%;
2 ⑴ 0.7868  ⑵ 0.7993  ⑶ 6.02  ⑷ 6.21

3 ⑴ 1.0253  ⑵ 3.0253  ⑶ -0.9747  ⑷ -1.9747

4 ⑴ 1.8572  ⑵ -0.5283  ⑶ -1.2219

5 ⑴ 3  ⑵ 4  ⑶ -2  ⑷ -4

1 ⑴ 0  ⑵ log™ 30  ⑶ 2  ⑷ 3

개념 확인 

2

log™ 7
log™ 3
3 ⑴ 4  ⑵ 4

4 ⑴ 1  ⑵ ;4#;  ⑶ 5

STEP 2    필수 유형 

  51쪽~54쪽

  37쪽~39쪽

01-1 ⑴ 56700  ⑵ 0.0567 

02-2 소수점 아래 6째 자리 

03-2 ›"ƒ10⁄fi  

 

02-1 9자리
03-1 ‹"ƒ10‡, ‹"ƒ10°
04-1 890만 원

STEP 1    개념 드릴 

  40쪽

1 ⑴ 0  ⑵ 3  ⑶ 2  ⑷ 3  ⑸ -1  ⑹ 1  ⑺ 2

2 ⑴ 

1
log¡º 2

  ⑵ 

2
log¡º 3

  ⑶ 

log¡º 3
2 log¡º 2

  ⑷ 

3 log¡º 2
2 log¡º 5

3 ⑴ 1  ⑵ 2  ⑶ ;3@;  ⑷ -;3@;  ⑸ 9  ⑹ 15

002  빠른 정답 

STEP 3    유형 드릴 

 55쪽~57쪽

1-1 1 

1-2 7  

2-1 0 

  2-2 1 

3-1 ㄴ, ㄷ, ㄹ 

3-2 20 

5-1 -2 

7-1 48900 

5-2 ;3@; 
7-2 3.4549 

8-2 소수점 아래 13째 자리 

9-2 15 

10-1 100 

4-1 

2a+b
2-a

 

  4-2 

2+a+ab
2+a

6-1 -6 

  6-2 -;3@;

8-1 14자리
9-1  ‹"ƒ10› 또는 ‹"ƒ10fi
10-2 6.5

빠른 정답   SPEED ANSWER 3 | 지수함수

개념 확인 

1   ㄱ, ㄷ, ㄹ

2   ⑴ 1  ⑵ 125  ⑶ '5  ⑷ ;2¡5;
3   ⑴ 

y

y=3x

⑵ 

x

y

y={;3!;}

3

1

1
O

O
-1

1

1

-2

1

;3!;

O

1

x

O

1

x

정의역: 실수 전체의 집합

정의역:   실수 전체의 집합

치역: 양의 실수 전체의 집합

치역:   양의 실수 전체의 집합

점근선의 방정식: y=0

점근선의 방정식: y=0

4   ⑴ y=5x+2+1  ⑵ y=-5x  ⑶ y={;5!;}
5   ⑴ 

y=3x

⑵ 

 

y

y=3x-1-2

x

  ⑷ y=-{;5!;}

x

y

1

O
-1

y=3x

x

y=-3x

1

O

x
y=-3-x

-1

⑶ 

y=3-x

y

y=3x

 

⑷  

y

y=3x 

STEP 1    개념 드릴 

1 ⑴ y=5x-1-2  ⑵ y=2x+2+3

⑶ y=-3x+2  ⑷ y={;4!;}

x+1

-3

2

y=2x+1+2
y=2x+1+2

y=2x

y
y

4
4

2
2

O
O

1
1

y
y

x

1

O
O

3

y={;5!;}

-1
-1

x
x

y=-{;5!;}
y=-{;5!;}

⑴ 실수 전체의 집합  ⑵ {y|y>2}  ⑶ y=2

⑴ 실수 전체의 집합  ⑵ {y|y<0}  ⑶ y=0

4 ⑴ 최댓값: 25, 최솟값: 1  ⑵ 최댓값: 9, 최솟값: ;3!;

  ⑶ 최댓값: 64, 최솟값: 2  ⑷ 최댓값: 1, 최솟값: ;6¡4;

x

x

x
x

x
x

STEP 2    필수 유형 

01-1

y

2

  60쪽~63쪽

  65쪽~69쪽

O

;;¡9¶;;

x

y=-3x-2+2

치역: {y|y<2}, 점근선의 방정식: y=2

01-2 ②



02-2 m=2, n=5 

02-1 m=-4, n=2

02-3 -2

03-1 30.5<‹'9<'ß27 

03-2 ›"ƒ0.2‡<'ß0.008<0.2;3!;

04-1 최댓값: 28, 최솟값: ;2@7*; 
05-1 ⑴ 최댓값: 39, 최솟값: 3  ⑵ 최댓값: 3, 최솟값: 2

04-2 최댓값: 32, 최솟값: 2

05-2 -3

STEP 1    개념 드릴 

  71쪽

1 ⑴ x=4  ⑵ x=3  ⑶ x=-;2#;  ⑷ x=2

⑸ x=-;;2%;  ⑹ x=-1  ⑺ x=2

2 ⑴ x=3  ⑵ x=0  ⑶ x=0 또는 x=1  ⑷ x=1 또는 x=2

3 ⑴ x=2  ⑵ x=3  ⑶ x=2 또는 x=5  ⑷ x=;3$; 또는 x=5 

STEP 1    개념 드릴 

  76쪽

1 ⑴ x<;4%;  ⑵ x>4  ⑶ x<;2%;  ⑷ x>1  ⑸ x>5  ⑹ x<1
2 ⑴ x<4  ⑵ x>2  ⑶ -2<x<-1  ⑷ x>1  ⑸ x<2 

⑹ -2<x<-1   

STEP 2    필수 유형 

 77쪽~80쪽 

01-1 ⑴ x>-6  ⑵ -3<x<1   01-2 4

02-1 ⑴ x>1  ⑵ x>-1

03-1 ⑴ 1<x<2  ⑵ 0<x<1 또는 2<x<3

04-1 28500년 전 

  04-2 40<a<50

빠른 정답   003 

6   ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: ;9!;  ⑵ 최댓값: 4, 최솟값: ;1¡6;

STEP 2    필수 유형 

  72쪽~74쪽

  64쪽

01-1 ⑴ x=-3 또는 x=1  ⑵ x=;2!; 또는 x=1
01-2 4

02-1 ⑴ x=2  ⑵ x=0 또는 x=1

02-2 2

03-1 ⑴ x=1 또는 x=4  ⑵ x=-2 또는 x=1

빠른 정답   SPEED ANSWER STEP 3    유형 드릴 

 81쪽~83쪽

3 y

1-1 -1 

1-2 -1 

2-1 2 

2-2 a=2, b=3

3-1 A<B<C  3-2 3a<3aÅ<3  4-1 3 

5-1 2  

7-1 27 

9-1 3 

11-1 3 

5-2 10 

7-2 2 

9-2 4 

11-2 3 

6-1 1 

8-1 5 

10-1 -1 

12-1 6 

4-2 ;4!; 
6-2 -2

8-2 4

10-2 3

12-2 20

y=log™ x

2

O 1

x

y=-log™ (x-1)

  ⑴ {x|x>1}  ⑵ 실수 전체의 집합  ⑶ x=1

4 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: 1  ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: 0

  ⑶ 최댓값: -1, 최솟값: -2  ⑷ 최댓값: 1, 최솟값: -1

STEP 2    필수 유형 

  91쪽~97쪽

01-1 ⑴ y=log™ x+log™ ;3@; (x>0)  ⑵ y=4x-1
01-2 8

  86쪽~89쪽

02-1

y

4 | 로그함수

개념 확인 

1 ㄴ, ㄷ

2 ⑴ y=log£ x  ⑵ y=log

;3!; x

3 ⑴  y

y=log£ x

⑵  y

O

1

x

O

1

x

y=log;3!; x

정의역: 양의 실수 전체의 집합

정의역: 양의 실수 전체의 집합

치역: 실수 전체의 집합

치역: 실수 전체의 집합

점근선의 방정식: x=0

점근선의 방정식: x=0

4 ⑴ y=log∞ (x+1)+2  ⑵ y=-log∞ x

⑶ y=log∞ (-x)  ⑷ y=-log∞ (-x)  ⑸ y=5x


⑵  y

y

5 ⑴

y=log£ {x-;3@;}+1

y=log£ x
x

O

1

O

1

x

y=-log£ x



y
y=log£ (-x)

y=log£ x





y

-1

O

1

x

y=-log£ (-x)

y=log£ x

-1

O

1

x

6 ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -1  ⑵ 최댓값: -1, 최솟값: -2

y=log£ x

07-2 -12

-1

-;4#;

-2

O

x

y=log;2!; (x+1)-2

정의역: {x|x>-1}, 점근선의 방정식: x=-1

02-2 ④ 

03-2 1+3 log£ 2 

04-2 258 

 

 

05-2 -3<log
 7<log
;4!;
;2!;

 9

  03-1 -2

  04-1 3

  05-1 log™∞ 16<2 log∞ 3<2

06-1 ⑴ 최댓값: 0, 최솟값: -3  ⑵ 최댓값: -1, 최솟값: -2

06-2 최댓값: 0, 최솟값: -2

07-1 ⑴ 최댓값: 0, 최솟값: -1    ⑵ 최댓값: 17, 최솟값: 1

STEP 1    개념 드릴 

  99쪽

1 ⑴ x=17  ⑵ x=;;¡9ª;;  ⑶ x=4
2 ⑴ x=5  ⑵ x=10  ⑶ x=5 

3 ⑴ x=;4!; 또는 x=4  ⑵ x=;3!; 또는 x=81

⑶ x=;5!; 또는 x=25

4 ⑴ x=4 또는 x=;2%;  ⑵ x=2  ⑶ x=7

STEP 1    개념 드릴 

 90쪽

1 ⑴ y=log™ (x+1)+3  ⑵ y=log
;5!;

 (x-2)-3 

⑶ y=log£ (-x)  ⑷ y=-log™ x+1

STEP 2    필수 유형 

01-1 x=6

01-2 x=1

  100쪽~102쪽

⑴ {x|x>2}  ⑵ 실수 전체의 집합  ⑶ x=2

03-1 ⑴ x=;10¡00; 또는 x=10  ⑵ x=10

02-1 ⑴ x=;9!; 또는 x=27  ⑵ x=;5!; 또는 x=25
02-2 3

2 y

y=log£ (x-2)+1

1

1

O

y=log£ x

2

3

x

004  빠른 정답 

빠른 정답   SPEED ANSWER STEP 1    개념 드릴 

1 ⑴ 5<x<25  ⑵ x>8  ⑶ x>3  ⑷ x>;9%;
⑸ 3<x<4  ⑹ -1<x<0 또는 2<x<3

⑺ -3<x<-1 또는 0<x<2

2 ⑴ 0<x<;3!; 또는 x>9  ⑵ 0<x<;12!5; 또는 x>;5!;

⑶ ;2!;<x<32  ⑷ x=;3!;  ⑸ ;4!;<x<;2!;

  104쪽

5 | 삼각함수

개념 확인 

1 ⑴ 

240^

O

  116쪽~119쪽



X

⑵ 

P

X

O

30^

390^

  105쪽~110쪽

STEP 2    필수 유형 

01-1 ⑴ 3<x<4  ⑵ x>2

01-2 2

02-1 ⑴ ;2¡7;<x<'3  ⑵ ;6¡4;<x<2
02-2 8

03-1 ⑴ 0<x<;3!; 또는 x>27  ⑵ 1<x<1000

04-1

;1¡6;<a<16

05-1 0<k<;4!;
06-1 2.7_10-3
06-2 17시간 후

   ⑶ 

O

X

-100^

P

P

2 ⑴ 360^_n+330^  ⑵ 360^_n+150^
3 ⑴ 제2사분면  ⑵ 제4사분면

4 ⑴ 180  ⑵ 180  ⑶ 90

STEP 1    개념 드릴 

1  ⑴ 

270^



X

⑵ 

P

  120쪽

70^

O

430^

X

X

O

-230^

⑶ 

P



⑷ 

P

O

P

1180^

O

⑸ 

320^

O

-760^

100^

X

X

P

2 ⑴ 360^_n+40^  ⑵ 360^_n+210^ 
⑶ 360^_n+100^  ⑷ 360^_n+230^

3 ⑴ 제2사분면  ⑵ 제4사분면 

 

⑶ 제2사분면  ⑷ 제3사분면

STEP 3    유형 드릴 

 111쪽~113쪽

1-1 0 

3-1 4 

4-2 3 

1-2 5 

2-1 ⑤ 

2-2 ㄴ, ㄹ

3-2 (6, 2) 

4-1 m=-;3!;, n=3

5-1 1, log£ 7, logª 100

5-2 -2, ;2!; log

 5 
 36, log
;3!;
;3!;

6-1 1 

6-2 5

7-1 x=;1¡6; 또는 x=1 

8-2 3 

9-1 5 

7-2 243 

8-1 2  

STEP 2    필수 유형 

  121쪽~122쪽

9-2 ;;£8£;; 

10-1 ;8!; 

01-1 제2사분면 또는 제4사분면

01-2 제1사분면 또는 제2사분면 또는 제4사분면

10-2 10 

11-1 0<a<;1¡0  또는 100<a<1000 또는 a>1000

11-2 ;4!;<k<4  12-1 31.62 

12-2 4초 후

02-1 225^

02-2 144^

02-3 75^

빠른 정답   005 

빠른 정답   SPEED ANSWER 개념 확인 

1 ⑴ 

p
4
2 ⑴ 2np+ p
3

3 ⑴ 2p  ⑵ 8p

  ⑵ ;3@;p  ⑶ 150^  ⑷ 270^ 

  ⑵ 2np+ p
6

STEP 1    개념 드릴 
1 ⑴ ;5#;p  ⑵ ;6&;p  ⑶ - p
3
2 ⑴ 36^  ⑵ 80^  ⑶ 1260^  ⑷ -960^
3 ⑴ 2np+ p
6

  ⑷ :£5§:p

4 ⑴ 4p  ⑵ 10p  ⑶ :¶2∞:p  ⑷ :™4∞:p

  ⑵ 2np+;3@;p  ⑶ 2np+;4#;p  ⑷ 2np+ p
3

  124쪽~125쪽

STEP 1    개념 드릴 

 133쪽

5'ß41
41
2'5
5

1 ⑴ sin h=-

, cos h=-

4'ß41
41

, tan h=;4%;

⑵ sin h=-

, cos h= '5
5

, tan h=-2

⑶ sin h= '5
3

, cos h=-;3@;, tan h=- '5

2

2 ⑴ sin h<0, cos h<0, tan h>0 
⑵ sin h>0, cos h>0, tan h>0
⑶ sin h<0, cos h>0, tan h<0  
⑷ sin h>0, cos h<0, tan h<0

 

 

3 ⑴ 제2사분면  ⑵ 제3사분면  ⑶ 제2사분면 또는 제4사분면

  126쪽

⑷ 제1사분면 또는 제2사분면

4 ⑴ cos h= 'ß15

⑶ sin h=- '3
2

4 , tan h= 'ß15
, tan h='3 

15

  ⑵ cos h=;5#;, tan h=-;3$;

STEP 2    필수 유형 

01-1 ⑤

01-2 ㄱ, ㄹ, ㅁ

02-1 r=4, h=;2π;

02-2 부채꼴의 넓이의 최댓값: 400, 반지름의 길이: 20

STEP 2    필수 유형 

  134쪽~139쪽

  127쪽~128쪽

01-1

;4#; 
02-1 제2사분면   

 

 

03-1

1
tan h
04-1 - '5
 
5

05-1 ⑴ ;2!7#;  ⑵ ;8$1(; 

06-1 8 

01-2 -7

02-2 2 sin h

03-2 1

04-2 -;5&;

05-2 -

3'6
8

06-2 -:™3º:

개념 확인 

  129쪽~132쪽

1 sin C=;1!3@;, cos C=;1∞3;, tan C=:¡5™:
2 '3
3 ⑴ sin h=

, cos h= 'ß17
17

, tan h=4

4'ß17
17
⑵ sin h=- '3
2

, cos h=;2!;, tan h=-'3

4 ⑴ sin h>0, cos h>0, tan h>0

⑵ sin h<0, cos h>0, tan h<0

5 ⑴ 제2사분면  ⑵ 제4사분면
, tan h=- '2
2'2
4
3

6 cos h=-

7 -;8#;

006  빠른 정답 

STEP 3    유형 드릴 

 140쪽~141쪽

1-1 제2사분면 또는 제4사분면 

1-2 제1사분면

2-1 p 

3-1 100 m€ 

4-1 -3 

5-1 1 
6-1 -'3 
7-1  7
 
8

8-1 5   

2-2 25

3-2 2

4-2 sin h

5-2 2

6-2 1

7-2 -4'3
8-2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

빠른 정답   SPEED ANSWER 6 | 삼각함수의 그래프

개념 확인 

1 2

2 2

y

;2!;

-;2!;

y
3

O

-3

3 ⑴ 치역: [y|-;2!;<y<;2!;], 주기: 2p

;2#;p

y=;2!; sin x

2p

x

O

p
;2;

p

 

 ⑵ 치역: {y|-3<y<3}, 주기: 

 p

2
3

y=3 cos 3x

p
;3;

p

;3%;p

;3@;p

;3$;p

2p

x

4 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: -1, 주기: p

y
3

2

O

-1

-2

y=2 cos (2x-p)+1

p
;2;

;2#;p

p

2p

x

y=2 cos 2x

 

 ⑵ 최댓값: 없다, 최솟값: 없다, 주기: ;2π;
y=2 tan (2x-p)+1

y

1

O
p
;4;

p-;4;

;4#;p

;4%;p

;4&;p

x

y=2 tan 2x

  144쪽~149쪽

p-;2;

y=3 cos 2x

y=cos 2x

;2#;p

p

2p

x

y
3

1

O
-1

-3

p
;2;

y

2  

 
3  

 

 

 ⑴ 실수 전체의 집합  ⑵ {y|-3<y<3}  ⑶ 3, -3  ⑷ p

y=tan 3x

p-;3;

p-;6;

O

p
;6;

p
;3;

p
;2;

x

;3@;p

p
y=tan {3x-  }
;2;

 ⑴ x=

 p (n은 정수)가 아닌 실수 전체의 집합

n+1
3
n+1
3

 ⑵ x=

 p (단, n은 정수)  ⑶ ;3π;

STEP 2    필수 유형 

01-1 ⑴ 

y=cos (2x-p)+2

  152쪽~155쪽

;2#;p

p

2p

x

y=cos 2x

최댓값: 3, 최솟값: 1, 주기: p

y

3

1

O

-1

p
;2;



y
2

1

 

O

-1

-2

-3

y=-2 sin 2x

p
;2;

p

2p

;2#;p

x

 최댓값: 1, 최솟값: -3, 주기: p

y=-2 sin(2x-p)-1

01-2

;4!; 
02-2 -24 

03-2 3 

04-2 3 

 

 

 

 

02-1 7

03-1 4

04-1 최댓값: 3, 최솟값: 0, 주기: 3p

STEP 1    개념 드릴 

  151쪽

1  

y
2

1

O

p
;3;

-1

y=2 sin 3x

p

;3@;p

;3$;p

;3%;p
2p

x

-2

y=sin 3x

 

 ⑴ 실수 전체의 집합  ⑵ {y|-2<y<2}  ⑶ 2, -2  ⑷ 

2p
3

1 ⑴ - '2
2

  ⑵ -;2!;  ⑶ 1

개념 확인 

158쪽

빠른 정답   007 

빠른 정답   SPEED ANSWER STEP 1    개념 드릴 

 159쪽

STEP 2    필수 유형 

 167쪽~170쪽 

1 ⑴  '2

2   ⑵ ;2!;  ⑶ '3  ⑷  '3

3

2   ⑵ -;2!;  ⑶ ;2!;  ⑷ -1

2 ⑴ - '3
3 ⑴ '3  ⑵ ;2!;  ⑶ - '2
3   ⑶  '2
4 ⑴ ;2!;  ⑵ - '3

2   ⑷ -'3

2   ⑷ -;2!;

01-1 x=;2π; 또는 x=;2#;p 

01-2

:¡3¢: p

02-1 x=;3%;p 

 

03-1

;3@;p<x<p 

02-2

;2&; p

03-2 1

04-1 0<h<;6&;p 또는 :¡6¡:p<h<2p

04-2

;3π;<h<;3@;p 또는 ;3$;p<h<;3%;p

STEP 2    필수 유형 

01-1 0 

02-1  :•2ª: 

 

 

01-2 0

02-2 1

03-1 ⑴ 최댓값: 9, 최솟값: 5  ⑵ 최댓값: ;3&;, 최솟값: 1
04-1 4 

04-2 최댓값: 3, 최솟값: 2

 

 160쪽~163쪽 

STEP 3    유형 드릴 

 171쪽~173쪽

5-1 -18p 

5-2 :¡3§:  

1-1 ⑤ 

3-1 8p 

7-1 5 

9-1 3p 

11-1 -;2!; 

1-2 ⑤ 

3-2 p 

7-2 1 

9-2 p 

11-2 1

2-1 -;5#;  
4-1 10 

6-1 1 

8-1 3  

10-1 ;3@;p 

2-2 0

4-2 -1

6-2 1

8-2 -;4%;

10-2 ;6%; p

개념 확인 

164쪽~165쪽

1 ⑴ x=;3@; p 또는 x=;3$; p ⑵  x=;3π; 또는 x=;3$; p

2 ⑴ 

<x<

;3π;

;3@; p 

⑵ 0<x<;4π; 또는 ;2π;<x<;4%; p 또는 ;2#; p<x<2p

STEP 1    개념 드릴 

 166쪽

1 ⑴ x=;3π; 또는 x=;3@;p  ⑵ x=;3π; 또는 x=;3%;p

⑶ x=;6π; 또는 x=;6&;p

2 ⑴ 0<x<;6π; 또는 ;6%;p<x<2p

⑵ 0<x<;3@;p 또는 ;3$;p<x<2p

⑶ 0<x<;2π; 또는 ;4#;p<x<;2#;p 또는 ;4&;p<x<2p

008  빠른 정답 

7 | 사인법칙과 코사인법칙

STEP 1    개념 드릴 
1 ⑴ '3  ⑵ 1  ⑶ 30^
2 ⑴ 4'3  ⑵ 
3 ⑴ 1  ⑵ '3  ⑶ 20'3  ⑷ 45^ 또는 135^
4 ⑴ 2:4:5  ⑵ 3:4:5  ⑶ 1:'3:2  ⑷ 1:1:'2

5'2
2   ⑶ 30^  ⑷ 90^

 177쪽 

STEP 2    필수 유형 

 178쪽~181쪽 

01-1 2 
'2 

02-1

 

 

 

03-1 B=90^인 직각삼각형 

03-2 C=90^인 직각삼각형

04-1 40 cm 

04-2

'3  km

01-2 16p

02-2 2

빠른 정답   SPEED ANSWER STEP 1    개념 드릴 
1 ⑴ 5  ⑵ 'ß21  ⑶ 6  ⑷ '2  ⑸ 2'ß14  ⑹ 'ß13
2 ⑴ ;1!4#;  ⑵ ;1!2!;  ⑶ ;3@6(;  ⑷ - '2

4   ⑸ ;3@;  ⑹ 0

 183쪽

 194쪽~195쪽

STEP 3    유형 드릴 
1-1 2'3 
3-1 10'6 m 
5-1 6 

1-2 3 
3-2 3'2  km 
5-2 5

2-1 16  

4-1 8 

2-2 1

4-2 7

6-1 a=b인 이등변삼각형 

6-2 A=90^인 직각삼각형

 

7-1 

3+'3
2
8-1 40'3 

 

 

7-2 4+2'2
8-2 32'3

STEP 2    필수 유형 

 184쪽~187쪽 

01-1 90^ 

01-2 2 

02-1 135^ 

02-2

;5#;

03-1 C=90^인 직각삼각형 

03-2 a=b인 이등변삼각형 또는 C=90^인 직각삼각형

04-1 43.6 m   

04-2

'13“ km

개념 확인 
1 ⑴ 15'2  ⑵ 6'3
2 5'3
3 12'3

188쪽~190쪽

STEP 1    개념 드릴 
1 ⑴ 5'3  ⑵ 2'6  ⑶ 'ß11  ⑷ 15'3  ⑸ 9'2
2 ⑴ 24'3  ⑵ 12  ⑶ 10
3 ⑴ 

2   ⑵ 18'3  ⑶ 9'3

15'3

8 | 등차수열

개념 확인 

1 제3항: 8, 제7항: 28

2 ⑴ 3, 5, 7, 9  ⑵ 2, 4, 8, 16

3 ⑴ an=3n-5  ⑵ an=-5n+13

4 ⑴ x=4, y=-2  ⑵ x=1, y=:¡5¡:

  198쪽~200쪽

STEP 1    개념 드릴 

1 ⑴ 4, 9, 14, 19  ⑵ 3, 9, 19, 33

⑶ -1, 1, -1, 1  ⑷ 1, 2, 5, 12

  201쪽

2 ⑴ 5, 19  ⑵ 11, -5  ⑶ -;3@;, 0  ⑷ ;2!;, 0

3 ⑴ an=3n-10  ⑵ an=-4n+9  ⑶ an=-;3!;n-;3@;

 191쪽

4 ⑴ an=6n-3  ⑵ an=2n-5  ⑶ an=;2!;n-:¡2¡:
5 ⑴ x=-1, y=7  ⑵ x=3, y=0

STEP 2    필수 유형 
01-1 3'1å0 
21'3
02-1
4

  

01-2 14'3 
 

 

01-3 12'5 
 
02-2

3
13

 192쪽~193쪽 

STEP 2    필수 유형 

01-1 48 

02-1 an=3n-4 

03-1 제10항 

03-3 -33 

04-2 15 

05-2 -8 

06-2 5

 

 

 

 

 

03-2 제26항

01-2 22

02-2 38

04-1 16

05-1 24

06-1 28

 202쪽~207쪽

빠른 정답   009 

빠른 정답   SPEED ANSWER 개념 확인 

1 1400

2 435

3 ⑴ an=4n-2  ⑵ a¡=2, an=2n-1 (n>2)

208쪽~209쪽

9 | 등비수열

개념 확인 

 220쪽~221쪽

n-1

1 an=33_{;3!;}
2 ⑴ x=4, y=16 또는 x=-4, y=-16

⑵ x=3, y=;3!; 또는 x=-3, y=-;3!;

STEP 1    개념 드릴 

 210쪽

1 ⑴ 590  ⑵ 572  ⑶ 50  ⑷ 992

2 ⑴ 407  ⑵ 240  ⑶ -350  ⑷ -416

3 ⑴ 190  ⑵ -360  ⑶ -1520  ⑷ 299

4 ⑴ an=2n+1  ⑵ a¡=0, an=2n-1 (n>2)

STEP 2    필수 유형 

01-1 -170 

02-1  14 

03-1 540 

04-1 74 

 

 

 

 

01-2 224

02-2 -98

03-2 1617

04-2 45

211쪽~214쪽

STEP 1    개념 드릴 

  222쪽

1 ⑴ 4  ⑵ 2  ⑶ -25, -125  ⑷ 10, 80  ⑸ 5, -5

2 ⑴ an=2_4n-1  ⑵ an=3_{;3!;}

n-1

⑶ an=5_(-4)n-1  ⑷ an=2_{-;2!;}

n-1

3 ⑴ an=2n+1  ⑵ an=-3_{-;3!;}

n-1

  ⑶ an=3_(-1)n-1

⑷ an=4_{;2!;}

  ⑸ an=2_(-'3 )n-1

n-1

4 ⑴ x=5, y=;5!; 또는 x=-5, y=-;5!;

⑵ x=2, y=;2•5; 또는 x=-2, y=-;2•5;

STEP 2    필수 유형 

 223쪽~229쪽 

01-1

;1¡6; 

02-1

:§5¢: 
02-3 an=3n 

03-2 제10항 

04-2 576 

05-1 -27 

06-1 9 

06-3 -5 

 

 

 

 

 

 

 

 

01-2 99 

02-2 16 

03-1 제8항 

04-1

;1!8(; 

04-3 4

05-2 14 

06-2 3

07-1 4_{;3$;}



STEP 3    유형 드릴 

215쪽~217쪽 

1-1 -11 

3-1 56 

5-1 2 

9-1 -360 

11-1 7 

1-2 3 

3-2 8 

5-2 17 

9-2 52 

11-2 5 

7-1 a=2, b=4  7-2 27 

010  빠른 정답 

2-1 12 

4-1 제7항 

6-1 -3 

8-1 10 

10-1 1650 

2-2 -31

4-2 32

6-2 12

8-2 -268

10-2 4350

12-1 175장 

12-2 185 cm

빠른 정답   SPEED ANSWER 개념 확인 

1 ⑴ 4 {1-

1
2° }  ⑵ ;2!;(3°-1)

230쪽

10 | 수열의 합

개념 확인 

1 ⑴ 

2k  ⑵ 

14
Úk=1

25
Úk=1

3_2k

2 ⑴ 1+3+5+7+9  ⑵ 3‹+3›+3fi+ y +3⁄‚

3 ⑴ 1  ⑵ -22

  242쪽~243쪽

STEP 1    개념 드릴 

 232쪽

1 ⑴ 2{1-

1
2n }  ⑵ -2(2n-1)  ⑶ 1-(-3)n

⑷ 1-(-4)n  ⑸ 5n-1  ⑹ 2n

2 ⑴ ;4!;(5n-1)  ⑵ ;3!; {1-(-2)n}  ⑶ :¡3§: {1-

1
4n }

⑷ ;3$; [1-{-;2!;}

]  ⑸ ;4#;{1-(-3)n}  ⑹ -5n

n

STEP 2    필수 유형 

01-1

;4!;(2°-1)

233쪽~236쪽

01-2 -;2!;{1-(-3)fi} 또는 3(2fi-1)

 

01-3

126
5  
02-2 744 
03-2 -12 
 
04-1 ⑴ 583000원  ⑵ 1133000원

 

02-1 504

03-1 an=4_5n
03-3 6

 

STEP 1    개념 드릴 

244쪽

1 ⑴ 

2  ⑵ 

3k  ⑶ 

(3k-2)  ⑷ 

5
Úk=1

15
Úk=1

12
Úk=1

6
Úk=1

15_{;3!;}

k-1

2 ⑴ 1€+2€+3€+ y +12€  ⑵ (-4)+(-3)+(-2)+ y +3

⑶ 2‹+2›+2fi+ y +2·  ⑷ 2-3+4-5

3 ⑴ 14  ⑵ 95  ⑶ 70

4 ⑴ -25  ⑵ -25  ⑶ 20

STEP 2    필수 유형 

01-1 25 

02-1 706 

02-3 45 

 

 

245쪽~246쪽 

01-2 ㄱ, ㄷ

02-2 5 

STEP 3    유형 드릴 

237쪽~239쪽 

1-1 15 

1-2 9 

2-1 36 

3-1 제8항 

3-2 제15항 

4-1 78 

5-1 8 

7-1 30 

9-1 9 

11-1 1 

5-2 ;8!; 
7-2 9 

9-2 21 

11-2 6 

6-1 2 

8-1 1 

10-1 244 

2-2 81

4-2 3

6-2 81

7

8-2 ;;™7¢;;_{;7$;}
10-2 130

12-1 251만 원  12-2 76000원

2 ⑴ ;2!1);  ⑵ 5

개념 확인 

1 ⑴ 28  ⑵ 385  ⑶ 225  ⑷ 595

247쪽~248쪽

빠른 정답   011 

빠른 정답   SPEED ANSWER STEP 1    개념 드릴 

1 ⑴ 124  ⑵ 2620  ⑶ 199

⑷ 1736  ⑸ 140  ⑹ 885

2 ⑴ ;2∞4;  ⑵ ;2!6&4%;  ⑶ ;4!6%;
    ⑸ 2'2 

⑷ 4 

  ⑹ 6

250쪽

11 | 수학적 귀납법

262쪽~263쪽

개념 확인 

1 ⑴ 21  ⑵ 17 

2 ⑴ a¡=2, an+1=an+5 (n=1, 2, 3, y)

⑵ a¡=1, an+1=an-3 (n=1, 2, 3, y)

3 ⑴ a¡=2, an+1=2an (n=1, 2, 3, y)

⑵ a¡=3, an+1=-;3!; an (n=1, 2, 3, y)

STEP 1    개념 드릴 

266쪽

1 ⑴ 3, ;4#;, ;7#;, ;1£0;  ⑵ 2, 3, 4, 5

2 ⑴ an=3n+2  ⑵ an=-n-1  ⑶ an=2_{;5!;}

n-1

  ⑷ an=(-2)n

251쪽~257쪽

01-2 n(n+1)(4n+5)

6

3 ㈎ 

(k+1)(k+2)   ㈏ 

1

k+1
k+2   ㈐ k+1

4 ㈎ 1  ㈏ 3k-2  ㈐ 

(k+1)(3k+2)
2

STEP 2    필수 유형 

01-1 2680 

02-1 975 
03-1

;1!0)2@4#; 

 

 

 

04-1

n
4(n+1)

  

05-1 3-'2+'ß15 

06-1

:¡4ª:_3⁄⁄+;4#; 

07-1 6 

 

02-2 270

03-2 1150

04-2

;1™5;

05-2 24

06-2

;4#;-

19
4_3°

07-2 27

STEP 2    필수 유형 

267쪽~273쪽 

01-1 13 

01-2 1023 

01-3 9⁄‚-1 

02-1 526 

02-2 10 

03-1 5 

03-2 'å

10
180  

04-1




 

04-2

3·+1
2

05-1 ⑴ a¡=31, an+1=2an+1 (n=1, 2, 3, y)  ⑵ 255

05-2 8 

06-1 풀이 참조    

07-1 풀이 참조

2-1 330 

4-1 95 

2-2 10

4-2 -438

6-1 -2 

6-2 3

7-1 8_310+3  7-2 3-

8-1 11 

8-2 137

STEP 3    유형 드릴 

1-1 44 

3-1 100 

5-1 49 

1-2 0 

3-2 24 

5-2 ;1@1); 

3
 
2‡  

012  빠른 정답 

258쪽~259쪽  

STEP 3    유형 드릴 

274쪽~275쪽

1-1 99 

1-2 -92    

2-1 256 

2-2 192

3-1 ;1!0(0(; 
5-1 5 

3-2 50 

5-2 89 

4-1 ;5!; 

4-2 7

6-1 ㈎ (k+1)‹  ㈏ (k+2)€  ㈐ k+2 

6-2 ㈎ 1+h  ㈏ kh€

빠른 정답   SPEED ANSWER             

정답과 
해설

  I  지수함수와 로그함수
 1   | 지수  
 2   | 로그 
 3   | 지수함수 
 4   | 로그함수 

 II  삼각함수
 5   | 삼각함수 
 6   | 삼각함수의 그래프 
 7   | 사인법칙과 코사인법칙 

III 수열
 8   | 등차수열 
 9   | 등비수열 
10  | 수열의 합 
 11  | 수학적 귀납법 

002
010
020
031

044
053
064

071
080
090
098

| 지수1 



거듭제곱과 거듭제곱근 

개념 확인  

8쪽~11쪽

1 ⑴ a20  ⑵ 27a15b3  ⑶ a›b  ⑷

1
a3

2 ⑴ 3, -3, 3i, -3i  ⑵ -4, 2+2'3 i, 2-2'3 i
3 ⑴ 4, -4  ⑵ -5
4 ⑴ 2  ⑵ 3  ⑶ 5  ⑷ 2  ⑸ '3

1  ⑴ a8_(a3)4=a8_a12=a8+12=a20
 ⑵ (3a5b)3=33a15b3=27a15b3

3

a2
b }

 ⑶
{

a6
b3 _
 ⑷ a10/a5/a8=a10-5/a8=a5/a8

a6
b3 /

a
b€ }

/{

2
=

a€
b›

=

b›
a€

=a›b

=

1
a8-5 =

1
a3

2  ⑴ 81의 네제곱근을 x라 하면 x4=81이므로


 x4-81=0, (x2-9)(x2+9)=0



 ∴ x=-3 또는 x=-3i


 따라서 81의 네제곱근은 3, -3, 3i, -3i이다.
 ⑵ -64의 세제곱근을 x라 하면 x3=-64이므로

 x3+64=0, (x+4)(x2-4x+16)=0
 ∴ x=-4 또는 x=2-2'3 i
 따라서 -64의 세제곱근은 -4, 2+2'3 i, 2-2'3 i이다.

3  ⑴ 256의 네제곱근을 x라 하면 x4=256이므로
 x4-256=0, (x2-16)(x2+16)=0




 ∴ x=-4 또는 x=-4i

 따라서 256의 네제곱근 중 실수인 것은 4, -4이다.


 ⑵ -125의 세제곱근을 x라 하면 x3=-125이므로

 x3+125=0, (x+5)(x2-5x+25)=0

 ∴ x=-5 또는 x=

5-5'3     i
2

 따라서 -125의 세제곱근 중 실수인 것은 -5이다.













4  ⑴ ›'8 ›'2=›'ß8_2=›'ß16=›"ƒ2›=2
 ⑵

æç;;•3¡;;=‹'ß27=‹"ƒ3‹=3

3
=

‹'ß81
‹'3

 ⑶ (›'ß25)2=›"ƒ252=›"ƒ(5€)€=›"ƒ54=5
 ⑷ ‹"ƒ'ß64=3_€'ß64=fl'ß64=fl"ƒ2fl=2
 ⑸ ⁄€"ƒ3fl=2_fl"ƒ31_6=€"ƒ31='3

002 정답과 해설

STEP 



개념 드릴   

| 12쪽 |

1 ⑴ a14  ⑵

1
a2   ⑶ -27a11  ⑷ a5b6  ⑸ -a4b11

2 ⑴ 'ß10, -'ß10  ⑵ 3  ⑶ -2  ⑷ 5, -5
3 ⑴ 0.3  ⑵ -5  ⑶ 3  ⑷ 2
4 ⑴ 6  ⑵ 4  ⑶ 4  ⑷ '2  ⑸ '2

1  ⑴ (a3)2_(a2)4=a6_a8=a6+8=a14

 ⑵ a11/a8/a5=a11-8/a5=a3/a5=

1
a5-3 =
a2
 ⑶ (-3a3b2)3_{
b6 =-27a⁄⁄
 ⑷ (a2b3)4/(ab2)3=a8b12/a3b6=a8-3b12-6=a5b6

=-27a9b6_

a
b3 }

1
a2

2

 ⑸ (-a2b)3/{

3

a
b2 }

_ab2=-a6b3/

_ab2

a‹
bfl
bfl
a‹

=-a6b3_

_ab2

=-a6-3+1b3+6+2
=-a4b11

2  ⑴ 10의 제곱근을 x라 하면 x€=10이므로
 x€-10=0, (x+'ß10)(x-'ß10)=0

 ∴ x=-'ß10
 따라서 10의 제곱근 중 실수인 것은





 ⑵ 27의 세제곱근을 x라 하면 x‹=27이므로

 x‹-27=0, (x-3)(x€+3x+9)=0

 ∴ x=3 또는 x=

-3-3'3     i
2

'ß10, -'ß10이다.

 따라서 27의 세제곱근 중 실수인 것은 3이다.

 ⑶ -8의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-8이므로

 x‹+8=0, (x+2)(x€-2x+4)=0
 ∴ x=-2 또는 x=1-'3 i
 따라서 -8의 세제곱근 중 실수인 것은 -2이다.

 ⑷ 625의 네제곱근을 x라 하면 x›=625이므로

 x›-5›=0, (x€-5€)(x€+5€)=0

 ∴ x=-5 또는 x=-5i

 따라서 625의 네제곱근 중 실수인 것은 5, -5이다.



















3  ⑴ ‹'ß0.027=‹"ƒ(0.3)‹=0.3
 ⑵ ‹'ß-125=‹"ƒ(-5)‹=-5
 ⑶ ›'ß81=›"ƒ3›=3
 ⑷ -fi'ß-32=-fi"ƒ(-2)fi=-(-2)=2

4

4

æ√

4
=

'ß512
'2

4  ⑴ ‹'4 ‹'ß54=‹'ß4_54=‹'ß216=‹"ƒ6‹=6
512
=›'ß256=›"ƒ44=4
 ⑵
2
 ⑶ (‹'2 )fl=‹"∂2fl=‹"ƒ(2€)‹=‹"∂4‹=4
 ⑷ ‹"ƒ'8=3_€'8=2_‹"ƒ
ƒ21_3=€"ƒ2⁄='2
 ⑸ ⁄‚"ƒ25=2_fi"ƒ21_5=€"ƒ21='2

STEP 



필수 유형   

| 13쪽~14쪽 |



지수의 확장

15쪽~17쪽

01-1          ④
|해결 전략 | 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 n이 홀수일 때는 1개이고, n이 짝

수일 때는 a의 값에 따라 다르다.

① 64의 세제곱근을 x라 하면 x‹=64이므로

 x‹-64=0, (x-4)(x€+4x+16)=0
 ∴ x=4 또는 x=-2-2'3 i
3개이다.
 따라서 64의 세제곱근은 3개이다.

② -27의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-27이므로

 x‹+27=0, (x+3)(x€-3x+9)=0

 ∴ x=-3 또는 x=

3-3'3÷i
2

1개이다.
 따라서 -27의 세제곱근 중 실수인 것은 -3의 1개이다.
›'›'›'8' , ' , ' -›'›'›'8'  이다.
'  이다.
③ 8의 네제곱근 중 실수인 것은 ›'8, -›'8 이다.
'
④ n이 홀수일 때, 3의 n제곱근 중 실수인 것은 ˜'3 의 1개이다.
없다.
⑤ n이 짝수일 때, -4의 n제곱근 중 실수인 것은 없다.

이상에서 옳은 것은 ④이다.

참고 
② -27의 세제곱근 중 실수인 것은 ‹'ß-27=‹"ƒ(-3)‹=-3이다.

02-1          ⑴ 7  ⑵ 2  ⑶ €›'a  ⑷ b
|해결 전략 | 거듭제곱근의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.

⑴ ‹'3 ‹'9+›'4 ›'ß64=‹'ß3_9+›'ß4_64

=‹"ƒ3‹+›"ƒ4›=3+4=7
⑵ fi"ƒ‹'ß32_"ƒ‹'ß16 =⁄fi"ƒ2fi_fl"∂2›=‹'2_‹"∂2€

⑶ ‹
æ√

'a
›'a

_æ√

fl'a
›'a

=

=

=‹"ƒ2_2€=‹"ƒ2‹=2
_ "ƒfl'a
ƒ›'a

⁄€'a
°'a
€›"ƒa›
€›"ƒa‹

‹"ƒ'a
‹"ƒ
ƒ›'a
fl'a
⁄€'a
fl'a
°'a
=€›'a

_

=

=

⑷ fl"ƒab›_"ƒab›/‹"ƒa€bfi=fl"ƒab›_fl"ƒa‹b⁄€/fl"ƒa›b⁄‚

æ√
=fl"ƒbfl=b

ab›_a‹b⁄€
a›b⁄‚

=

02-2          8
|해결 전략 | 거듭제곱근의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.

k

k

'9_›'ß243/‹'ß81=fl'3 에서
"∂3€=fl'3_‹'ß81/›'ß243
=fl'3_‹"∂3›/›"∂3fi
=⁄€"∂3€_⁄€"∂3⁄fl/⁄€"∂3⁄fi
3€_3⁄fl
=
3⁄fi

⁄€
æ√
=⁄€"∂3‹

따라서 k

"∂3€=⁄€"∂3‹=°"∂3€이므로 k=8

개념 확인  

1 ⑴ a‹  ⑵

1
a9   ⑶ ;8!;  ⑷ 1

2 ⑴ ‹'5  ⑵ '7  ⑶ ‹'ß16  ⑷ fi'8
3 ⑴ 5  ⑵ 2  ⑶ ;4!;  ⑷ 12

4 ⑴ 5'2  ⑵ 6'3  ⑶ ;2¡5;  ⑷ 6'3

1  ⑴ a-2_afi=a-2+5=a‹

 ⑵ a-4/afi=a-4-5=a-9=

1

 ⑶ (2-1)_(4-1)=2-1_(22)-1

 ⑷ 38_3-2/(3€)3=38_3-2/36

=2-1_2-2

=2-1-2=2-3=;8!;

=38-2-6=3‚=1

2  ⑶ 4;3@;=‹"∂4€=‹'ß16 
 ⑷ 2;5#;=fi"∂2‹=fi'8

3  ⑴ 5;8#;_5;8%;=5;8#;+;8%;=51=5
 ⑵ 2‹/(2;2!;)4=23/2;2!;_4=23/22=23-2

=2⁄=2

 ⑶ (‹'ß16)-;2#;=(16;3!;)-;2#;=16;3!;_{-;2#;}=16-;2!;
=(4€)-;2!;=42_{-;2!;}=4-1=;4!;

 ⑷ (2;2!;_3;4!;)›=(2;2!;)›_(3;4!;)›=2€_3=12

4  ⑴ 53'2_5-2'2=53'2+(-2'2)=5'2
 ⑵ 62'3/6'3=62'3-'3=6'3

 ⑶ (5'2)-'2=5'2_(-'2)=5-2=;2¡5;

1

 ⑷ (8

'6 _3æ;2#; )'2=(8

'6 )'2_(3æ;2#; )'2

1

1
'6

1

=8

_'2_3æ;2#; _'2

=8

'3 _3'3

1

=(23)

'3 _3'3

1

'3 _3'3

=23_
=2'3_3'3
=(2_3)'3
=6'3





















1 지수 003 

STEP 



개념 드릴   

1 ⑴ 1  ⑵ 1  ⑶ ;5!;  ⑷ -27

2 ⑴ a‹  ⑵ a€b-3  ⑶

1
310   ⑷ 3⁄°

3 ⑴ 2;3$;  ⑵ 5-;4#;  ⑶ 6;2#;  ⑷ 3;4#;

4 ⑴ ;3!;  ⑵ 2;;¡2¡;;  ⑶ 3  ⑷ ;3¡2;  ⑸ a;1¡2;  ⑹ a;4#;

5 ⑴ 53'3  ⑵ 33'2  ⑶ ;1¡6;  ⑷ 33'2

1  ⑶ ('5 )-2=

 ⑷

{-;3!;}

=;5!;

1
('5 )€
=(-3-1)-3=(-3)3=-27

-3

2  ⑴ a-3_a›/a-2=a-3+4-(-2)=a3
 ⑵ (a-2b3)-1=(a-2)-1(b3)-1=a2b-3
 ⑶ (3-2)2_(33)-2=3-4_3-6=3-4+(-6)

=3-10=

1
3⁄‚

 ⑷ (3-2)-3/(33)-4=36/3-12=36-(-12)=318

3  ⑷ ›'ß27=›"∂3‹=3;4#;

4  ⑴ 27-;3$;_9;2#;=(33)-;3$;_(3€);2#;=33_{-;3$;}_32_;2#;

=3-4_3‹=3-4+3=3-1=;3!;

 ⑵ 64;4#;/8-;3!;=(26);4#;

/(23)-;3!;=26_;4#;
/2-1=2;2(;-(-1)=2;;¡2¡;;

=2;2(;

/23_{-;3!;}

 ⑶

"ƒ9-3_‹"ƒ27›="ƒ(3€)-3_‹"ƒ(3‹)›

="ƒ3-6_‹"ƒ3⁄€=3-;2^;_3;;¡3™;;
=3-3_34=3-3+4
=31=3
"ƒ16-4/"ƒ8-2="ƒ(2›)-4/"ƒ(2‹)-2
="ƒ2-16/"ƒ2-6=2-;;¡2§;;
=2-8/2-3=2-8-(-3)

/2-;2^;

 ⑷

=2-5=

1
2fi

=

1
32



 ⑸

'a_3

'a /4

"ƒa‹=a;2!;_a;3!;
=a

6+4-9

12 =a;1¡2;

/a;4#;=a;2!;+;3!;-;4#; 

 ⑹ 3

"ƒa€/4

'a_3

'a =a;3@;/a;4!;_a;3!;=a;3@;-;4!;+;3!;
12 =a;4#;

=a

8-3+4

5  ⑴ 5'3_5'ß12=5'3_52'3=5'3+2'3=53'3
 ⑵ 3'8/3-'2=32'2/3-'2=32'2-(-'2)=33'2

004 정답과 해설

| 18쪽 |

 ⑶ (4'2)-'2=4'2_(-'2 )=4-2=

1
4€

=;1¡6;

 ⑷ 35'2_3'8/3'ß32=35'2_32'2/34'2

=35'2+2'2-4'2=33'2

STEP 



필수 유형   

| 19쪽~26쪽 |

01-1          ⑴ 2-;2(;  ⑵ 1  ⑶ 2  ⑷ ;1ª6;
|해결 전략 | 밑을 통일시킨 후 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.

⑴ {(-2)›};8#;_16-;2#;=16;8#;_16-;2#;=16;8#;+{-2#;}

=16-;;8(;=(2›)-;8(;

=2-;2(;
/27;3@;_3-1=(32);2#;/(33);3@;_3-1

⑵ 9;2#;

=3‹/3€_3-1=33-2+(-1)
=30=1

⑶ 4;3@;

/36;3!;_18;3!;=(2€);3@;

/(2€_3€);3!;_(2_3€);3!;

=2;3$;/2;3@;

/3;3@;_2;3!;_3;3@;

=2;3$;-;3@;+;3!;_3;3@;-;3@;
=21_30=2

⑷ [{;2^7$;}

-;3!;
;2#;
]

;4!;

_{;1ª6;}

=”[{;3$;}

;2#;

3

-;3!;


]

_[{;4#;}

2

;4!;

]

;2#;

={;3$;}

-;2#;_{;4#;}

;2!;

={;4#;}

_{;4#;}

;2!;

={;4#;}

;;2#;+;2!;

2

={;4#;}

=;1ª6;


n 임을 이용하여 거듭제곱근을 유리수인 지수

02-1          ⑴ -;3@;  ⑵ ;3@;
|해결 전략 | a>0일 때, n

'ßam=a
로 나타낸 후 지수법칙을 이용한다.
⑴ '3_3


'3_(3

'3 )-;2(;=3;2!;_3;3!;_(3;3!;)-;2(;

=3;2!;_3;3!;_3-;2#;  





=3;2!;+;3!;+{-;2#;}

=3-;3@;

∴ k=-;3@;
"ƒa›/4

"ƒa‹_12

⑵ 3

∴ k=;3@;

'a=a;3$;/a;4#;_a;1¡2;
=a;3$;-4#;+;1¡2;=a

16-9+1
12

=a;1•2;=a;3@;


n 임을 이용하여 거듭제곱근을 유리수인 지수

04-2     21
|해결 전략 | 주어진 식의 양변을 제곱하여 정리한 식을 다시 세제곱한다.

03-2     1-a›
|해결 전략 | 곱셈 공식 (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하여 식을 간단히 한다.

02-2     13
|해결 전략 | a>0일 때, n

'ßam=a
로 나타낸 후 지수법칙을 이용한다.

4

"ƒa€ 3

"ƒa'a ={a€_(a_a;2!;);3!;};4!;={a€_(a1+;2!;);3!;};4!;
={a€_(a;2#;);3!;};4!;=(a€_a;2!;);4!;=(a€+;2!;);4!

=(a;2%;);4!;=a;8%;

따라서 p=5, q=8이므로 p+q=5+8=13

03-1     ⑴ x-y-1  ⑵ x-y-1
|해결 전략 | 다음과 같은 곱셈 공식을 이용하여 식을 간단히 한다.

⑴ (a+b)(a-b)=a€-b€

⑵ (a-b)(a€+ab+b€)=a‹-b‹

⑴ (x;2!;+y-;2!;)(x;2!;-y-;2!;)=(x;2!;)€-(y-;2!;)€=x-y-1

⑵ (x;3!;-y-;3!;)(x;3@;+x;3!;y-;3!;+y-;3@;)

  =(x;3!;-y-;3!;){(x;3!;)€+x;3!;y-;3!;+(y-;3!;)2}

=(x;3!;)‹-(y-;3!;)‹
=x-y-1

(1-a;4!;)(1+a;4!;)(1+a;2!;)(1+a)(1+a€)

={1-(a;4!;)€}(1+a;2!;)(1+a)(1+a€)

=(1-a;2!;)(1+a;2!;)(1+a)(1+a€)

={1-(a;2!;)€}(1+a)(1+a€)

=(1-a)(1+a)(1+a€)

=(1-a€)(1+a€)

=1-(a€)€=1-a›

04-1     ⑴ 14  ⑵ 52
|해결 전략 |  주어진 식의 양변을 제곱 또는 세제곱한다.

⑴ a;2!;+a-;2!;=4의 양변을 제곱하면

 (a;2!;+a-;2!;)€=4€, a+2+a-1=16
 ∴ a+a-1=14

⑵ a;2!;+a-;2!;=4의 양변을 세제곱하면

 (a;2!;+a-;2!;)‹=4‹, a;2#;+3aa-;2!;+3a;2!;a-1+a-;2#;=64

 a;2#;+a-;2#;+3(a;2!;+a-;2!;)=64, a;2#;+a-;2#;+3_4=64

 ∴ a;2#;+a-;2#;=52
다른 풀이    

⑴ a+a-1=(a;2!;+a-;2!;)€-2a;2!;a-;2!;=4€-2=14

⑵ a;2#;+a-;2#;=(a;2!;+a-;2!;)‹-3a;2!;a-;2!;(a;2!;+a-;2!;)

=4‹-3_4=52

x;2!;-x-;2!;=1의 양변을 제곱하면

(x;2!;-x-;2!;)€=1, x-2+x-1=1
∴ x+x-1=3

㉠의 양변을 세제곱하면
(x+x-1)‹=3‹, x‹+3x€x-1+3xx-2+x-3=27
x‹+x-3+3(x+x-1)=27
x‹+x-3+3_3=27 (∵ ㉠)
∴ x‹+x-3=18
㉠, ㉡에서 x+x-1+x‹+x-3=3+18=21
다른 풀이    

x+x-1=(x;2!;-x-;2!;)€+2x;2!;x-;2!;=1€+2=3

x‹+x-3=(x+x-1)‹-3xx-1(x+x-1)=3‹-3_3=18
∴ x+x-1+x‹+x-3=3+18=21

…… ㉠

…… ㉡

05-1     ⑴ 3-2'2  ⑵

18-10'2
31

|해결 전략 | 분모, 분자에 각각 ax을 곱하여 구하는 식을 a2x이 포함된 식으로 변

형한다.



ax-a-x
ax+a-x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면
ax(ax-a-x)
ax-a-x
ax+a-x =
ax(ax+a-x)

=

a2x-1
a2x+1
('2-1)€
('2+1)('2-1)
=3-2'2

=

= '2-1
'2+1
2-2'2+1
2-1

=



ax-a-x
a5x+a-5x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면
a2x-1
ax(ax-a-x)
ax-a-x
a5x+a-5x =
ax(a5x+a-5x)
a6x+a-4x
a2x-1

=

=

'2-1

('2 )‹+

1

('2 )2  

=

(a2x)‹+

1
(a2x)2

= '2-1

=

2('2-1)
4'2+1

2'2 +;2!; 
2('2-1)(4'2-1)
(4'2+1)(4'2-1)
2(9-5'2 )
32-1

=

=

=

18-10'2
31

















05-2   
|해결 전략 | 분모, 분자에 각각 2a을 곱하여 4a의 값을 구한다.

;;¡3º;;

2a+2-a
2a-2-a 의 분모, 분자에 각각 2a을 곱하면
2a(2a+2-a)
2a+2-a
2a-2-a =
2a(2a-2-a)
(2€)a+1
=
(22)a-1

22a+1
22a-1

4a+1
4a-1

=2

=

=

이므로 4Å+1=2(4Å-1)

1 지수 005 

4Å+1=2_4Å-2

 ∴ 4Å=3

∴ 4a+4-a=4a+

1
4a =3+;3!;=

10
3

다른 풀이    
2a+2-a
2a-2-a =2에서 2a+2-a=2(2a-2-a)이므로
2a+2-a=2_2a-2_2-a, 2a=2-a+2_2-a
∴ 2Å=3_2-a
이 식의 양변에 2a을 곱하면 4a=3이므로

4a+4-a=4a+

1
4a =3+;3!;=:¡3º:

6x=243의 양변을

제곱하면

;x!;

6=243;x!;=(3fi);x!;=3;x%;;

2y=27의 양변을

제곱하면

;y!;

2=27;y!;=(33);y!;=3;y#;

㉠/㉡ 을 하면

6/2=3;x%;;/3;y#;

즉, 3;x%;;-;y#;=31이므로

    ∴ 3=3;x%;;-;y#;
;x%;;-;y#;=1

06-1     1
|해결 전략 | a>0, b>0, x+0일 때, ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건
식의 밑을 통일한다.

이때, 16<100<125이므로

16;1¡2;<100;1¡2;<125;1¡2;
∴ ‹'2 <fl'ß10 <›'5
다른 풀이 1    

3, 4, 6의 최소공배수가 12이므로

(‹'2 )⁄€=(2;3!;)⁄€=2›=16
(›'5 )⁄€=(5;4!;)⁄€=5‹=125
(fl'ß10 )⁄€=(10;6!;)⁄€=10€=100
이때, 16<100<125이므로 ‹'2<fl'ß10<›'5
다른 풀이 2    

3, 4, 6의 최소공배수가 12이므로
‹'2=⁄€"∂2›=⁄€'ß16
›'5=⁄€"∂5‹=⁄€'ß125
fl'ß10=⁄€"∂10€=⁄€'ß100
이때, ⁄€'ß16<⁄€'ß100<⁄€'ß125이므로 ‹'2<fl'ß10<›'5

07-2     12
|해결 전략 | 거듭제곱근을 지수가 유리수인 꼴로 나타낸 후 지수들의 분모의 최소

"ƒ›'5, "ƒ"ƒ‹'ß12 를 지수가 유리수인 꼴로 나타내면

공배수를 구하여 지수를 통일한다.

세 수 fl"ƒ2'2,
fl"ƒ2'2=(2_2;2!;);6!;=(21+;2!;);6!;=(2;2#;);6!;=2;4!;
"ƒ›'5=(5;4!;);2!;=5;8!;
"ƒ"ƒ‹'ß12 =((12;3!;);2!;);2!;=12;1¡2;
4 8 12의
4, 8, 12의 최소공배수가 24이므로

12121

4

8

06-2     6
|해결 전략 | a>0, b>0, x+0일 때, ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건
식의 밑을 통일한다.

4x=a의 양변을

제곱하면 4=a;x!; 

6y=a의 양변을

제곱하면 6=a;y!; 

9z=a의 양변을

제곱하면 9=a;z!;

;x!;

;y!;

;z!;

㉠_㉡_㉢ 을 하면

4_6_9=a;x!;_a;y!;_a;z!;

 ∴ 216=a;x!;+;y!;+;z!;

이때,

;x!;+;y!;+;z!=3이므로
 ∴ a=6

216=a‹, 6‹=a‹

07-1     ‹'2<fl'ß10<›'5
|해결 전략 | 거듭제곱근을 지수가 유리수인 꼴로 나타낸 후 지수들의 분모의 최소

공배수를 구하여 지수를 통일한다.

세 수 ‹'2, ›'5, fl'ß10 을 지수가 유리수인 꼴로 나타내면
‹'2 =2;3!;, ›'5 =5;4!;, fl'ß10 =10;6!;
3 4 6의
3, 4, 6의 최소공배수가 12이므로

3

4

6

2;3!;=2;1¢2;=(2›);1¡2;=16;1¡2;

5;4!;=5;1£2;=(5‹);1¡2;=125;1¡2;

10;6!;=10;1™2;=(10€);1¡2;=100;1¡2;

006 정답과 해설

2;4!;=2;2§4;=(2fl);2¡4;=64;2¡4;

5;8!;=5;2£4;=(5‹);2¡4=125;2¡4; 

12;1¡2;=12;2™4;=(12€);2¡4=144;2¡4; 

이때, 64<125<144이므로

64;2¡4;<125;2¡4;<144;2¡4;

∴ fl"ƒ2'2 <"ƒ
∂›'5 <"ƒ"ƒ‹'ß12
따라서 a="ƒ"ƒ‹'ß12 =12;1¡2; 이므로 a⁄€=12
다른 풀이 1   
fl"2ƒ'2=fl
4, 8, 12의 최소공배수가 24이므로

"ƒ2;2#; =›'2 , "ƒ›'5=°'5 , "ƒ"ƒ‹'ß12 =⁄€'ß12

(›'2 )€›=(2;4!;)€›=2fl=64
(°'5 )€›=(5;8!;)€›=5‹=125
(⁄€'ß12 )€›=(12;1¡2;)€›=12€=144
이때, 64<125<144이므로 ›'2<°'5<⁄€'ß12
∴ fl"2ƒ'2<"ƒ›'5 <"ƒ"ƒ‹'ß12
따라서 a="ƒ"ƒ‹'ß12 =⁄€'ß12이므로 a⁄€=12
다른 풀이 2   

4, 8, 12의 최소공배수가 24이므로
›'2 =€›"∂2fl=€›'ß64
°'5 =€›"∂5‹=€›'ß125
⁄€'ß12=€›"∂
이때, 64<125<144이므로 €›'ß64<€›'ß125<€›'ß144
∴ fl"2ƒ'2<"ƒ›'5 <"ƒ"ƒ‹'ß12
따라서 a="ƒ"ƒ‹'ß12 =⁄€'ß12이므로 a⁄€=12

ƒ12€=€›'ß144

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

08-1     3
|해결 전략 | t=1일 때와 t=8일 때 각각 S¡과 S™에 대한 식을 구한다.

햇볕에 노출되는 시간이 1시간일 때, 요구되는 자외선 차단 지수는

햇볕에 노출되는 시간이 8시간일 때, 요구되는 자외선 차단 지수는

2-1     7
|해결 전략 | n이 홀수일 때, n

"∂an=a이다.

3

 ∴ a=4

"∂4‹=4

64의 세제곱근 중 실수인 것은
'ß64=3
3
'ß27의 제곱근을 x라 하면 x€=3
x=-'3 또는 x='3
∴ a+b€=4+3=7

'ß27=3
 ∴ b='3 (∵ b>0)

"∂3‹=3이므로

…… ㉠

…… ㉡

S¡이므로
1=m_2S¡

S™이므로
8=m_2S™

㉡/㉠ 을 하면

m_2S™
m_2S¡ 
;1*;=
즉, 2S™-S¡=23이므로

S™-S¡=3

∴  8=2S™-S¡

2-2     5
|해결 전략 | 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 n이 홀수일 때는 1개이고, n이 짝

수일 때는 a의 값에 따라 다르다.

-27의 세제곱근 중 실수인 것은
'ß-27=3
3
"ƒ(-3)‹=-3
의 1개이다.

∴ a=1
"ƒ(-4)fl="∂4fl=4‹=64이므로 64의 네제곱근 중 실수인 것은
›'ß64=›"∂8€=2'2 , -›'ß64=-›"∂8€=-2'2
의 2개이다.

∴ b=2

∴ a+2b=1+2_2=5

 x›-4=0, (x€-2)(x€+2)=0
 ∴ x=-'2 또는 x=-'2 i
4개이다.
 따라서 4의 네제곱근은 4개이다.
④ -1의 세제곱근 중 실수인 것은 ‹'ß-1=‹"ƒ(-1)‹=-1이다.
⑤ n이 1이 아닌 홀수일 때, -7의 n제곱근 중 실수인 것은 ˜'ß-7이다.
이상에서 옳지 않은 것은 ③이다.

3

3-1     a
|해결 전략 | 거듭제곱근의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.
"∂a›b€_6
"∂afib/'ßab=6
"∂a€b_6

a›b€_afib
æ√
a‹b‹
=6
"∂afl=a

"∂afib/6

"∂a‹b‹

=

STEP 



유형 드릴   

| 27쪽~29쪽 |

1-1     ③
|해결 전략 | 실수 a의 n제곱근은 복소수의 범위에서 n개가 있다.

① 네제곱근 81은 ›'ß81=›"∂3›=3이다.
② 3‹=27이므로 3은 27의 세제곱근이다.

③ 4의 네제곱근을 x라 하면 x›=4이므로

참고 

실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 다음과 같다.

n이 짝수
n이 홀수

a>0
˜'a, -˜'a
˜'a

a=0
0
0

a<0
없다.
˜'a

1-2     ㄱ, ㄷ
|해결 전략 | 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 n이 홀수일 때는 1개이고, n이 짝

수일 때는 a의 값에 따라 다르다.

ㄱ. -8의 세제곱근 중 실수인 것은 ‹'ß-8=‹"ƒ(-2)‹=-2이다.
0이다.
ㄴ. 0의 제곱근은 '0 =0이다.
ㄷ. n이 짝수일 때, 5의 n제곱근 중 실수인 것은 n
ㄹ. n이 1이 아닌 홀수일 때, -5의 n제곱근 중 실수인 것은 n

'5, -n

'5 의 2개이다.
'ß-5 의

1개이다.
1개이다.

ㅁ. 실수 a에 대하여 n

"∂an=[

a  (n이 홀수)
|a| (n이 짝수)

이므로 n이 짝수이고



a<0일 때, n
a<0일 때,

"∂an=|a|=-a이다.
-a이다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

3-2   

;2!;

|해결 전략 | 거듭제곱근의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.
"∂a€b‹_3

"∂aflb⁄‚=⁄2

"∂a°b›/⁄2

"∂a›bfl_⁄2

"∂a€b/⁄2

"∂aflb⁄‚

6

=

12

æ√

a›bfl_a°b›
aflb⁄‚

=⁄2

"∂afl='a=a;2!;
, y=0

즉, a;2!;=axby이므로 x=;2!;

∴ x+y=;2!;

4-1     6

|해결 전략 | 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.

1 지수 007 

2-3_2fi_[{

8
27 }

0.5

-;3@;
]

=2-3+5_”[{;3@;}

-;3@;

3

;2!;


]

=2€_[{;3@;}

-;3@;
;2#;
]

-1

=2€_{;3@;}

=2€_;2#;=6

(2;3!;+5-;3!;)(4;3!;-2;3!;5-;3!;+25-;3!;)

=(2;3!;+5-;3!;){(2€);3!;-2;3!;5-;3!;+(5€)-;3!;}

=(2;3!;+5-;3!;){(2;3!;)€-2;3!;5-;3!;+(5-;3!;)€}

=(2;3!;)‹+(5-;3!;)‹

=2+5-1=2+;5!;=;;¡5¡;;

4-2     1
|해결 전략 | 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.

(2æ;3$; )'3_4-;2!;/{(-2)›};4!;=2 '4

'3

_'3_(2€)-;2!;/(2›);4!;

=2€_2-1/2⁄
=22+(-1)-1
=20=1

참고 

a˛에서 지수 x의 값의 범위에 따른 밑 a의 조건은 다음과 같다.

지수 x의 값의 범위 양의 정수 정수
a+0

밑 a의 조건

a+0

유리수
a>0

실수
a>0


n 임을 이용하여 거듭제곱근을 유리수인 지수

5-1     2

|해결 전략 | a>0일 때, n

'ßam=a
로 나타낸 후 지수법칙을 이용한다.

("∂a‹_fi'a/a-;2!;);1!1);=(a;2#;_a;5!;/a-;2!;);1!1);

={a;2#;+;5!;-{-;2!;}};1!1);

=(a;;¡5¡;;);1!1)

=a€

∴ k=2

6-2     4
|해결 전략 | 곱셈 공식 (a-b)(a+b)=a€-b€을 이용하여 식을 간단히 한다.

(6;4!;-2;4!;)(6;4!;+2;4!;)(6;2!;+2;2!;)={(6;4!;)€-(2;4!;)€}(6;2!;+2;2!;)

=(6;2!;-2;2!;)(6;2!;+2;2!;)

=(6;2!;)€-(2;2!;)€

=6-2=4

7-1     110
|해결 전략 | 주어진 식의 양변을 세제곱한다.

a+a-1=5의 양변을 세제곱하면 (a+a-1)‹=5‹
a‹+3a€a-1+3aa-2+a-3=125
a‹+a-3+3(a+a-1)=125
a‹+a-3+3_5=125
∴ a‹+a-3=110

7-2   
|해결 전략 | 먼저 a;2!;+a-;2!;을 제곱한다.

'6

(a;2!;+a-;2!;)€=a+2a;2!;a-;2!;+a-1

=a+a-1+2

=4+2=6

그런데 a>0이면 a;2!;+a-;2!;>0이므로
a;2!;+a-;2!;='6

a3x-a-3x
ax-a-x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면
a4x-a-2x
ax(a3x-a-3x)
a3x-a-3x
ax-a-x =
a2x-1
ax(ax-a-x)
1
('2 )2-
(a2x)2-
'2
'2-1

a2x-1

1
a2x

=

=

=

4-'2
2('2-1)

=

2 - '2
2
'2-1
(4-'2 )('2+1)
2('2-1)('2+1)
2+3'2
2

=

=

=



5-2     11
|해결 전략 | a>0일 때, m

"ƒa n

'a=(a_a



n )


m 임을 이용하여 거듭제곱근을 유

리수인 지수로 나타낸 후 지수법칙을 이용한다.


"ƒa ‹"ƒa'a ={a_(a_a;2!;);3!;};4!;={a_(a1+;2!;);3!;};4!;
={a_(a;2#;);3!;};4!;=(a_a;2!;);4!;

8-1   

2+3'2
2

형한다.

=(a1+;2!;);4!;=(a;2#;);4!;

=a;8#;

따라서 m=8, n=3이므로 m+n=8+3=11

|해결 전략 | 분모, 분자에 각각 ax을 곱하여 구하는 식을 a2x이 포함된 식으로 변

|해결 전략 | 곱셈 공식 (a+b)(a€-ab+b€)=a‹+b‹을 이용하여 식을 간단

6-1   

;;¡5¡;;

히 한다.

008 정답과 해설

(22)a+1
(2€)a-1

=

4a+1
4a-1

=-2

8-2     -;4%;
|해결 전략 | 분모, 분자에 각각 2a을 곱하여 4a의 값을 구한다.

2a+2-a
2a-2-a 의 분모, 분자에 각각 2a을 곱하면
2a(2a+2-a)
2a+2-a
2a-2-a =
2a(2a-2-a)
이므로 4a+1=-2(4a-1)
4a+1=-2_4a+2

22a+1
22a-1

=

=

3_4a=1



4a+4-a 
4a-4-a =

다른 풀이    

∴  4a=;3!;
1
4a+
4a  
=
1
4a

4Å-

;3!;+3 
;3!;-3

 =

;;¡3º;; 
-;3*;;

=-;4%;

2a+2-a
2a-2-a =-2에서 2a+2-a=-2(2a-2-a)
2a+2-a=-2_2a+2_2-a

3_2a=2-a

∴  2Å=;3!;_2-a

이 식의 양변에 2a을 곱하면 4a=;3!;이므로

 
4a 
=

 
4a 

4a+4-a
4a-4-a =

;3!;+3
 
=

;3!;-3 

-;3*;

4a+

4a-

;;¡3º;; 

=-;4%;

9-1     -2
|해결 전략 | a>0, b>0, x+0일 때, ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건
식의 밑을 통일한다.

12x=27의 양변을

제곱하면

;x!;

12=27;x!;=(3‹);x!;=3;x#;

108y=81의 양변을

제곱하면

;y!;

108=81;y!;=(3›);y!;=3;y$;

㉠/㉡ 을 하면

12/108=3;x#;/3;y$;

∴ 

;9!;=3;x#;-;y$;

즉, 3 x#;-;y$;=3-2이므로

;x#;-;y$;=-2

2Å=10의 양변을

제곱하면

2=10;a!;

5ı=10의 양변을

제곱하면

;a!;

;b!;

5=10;b!;

㉠_㉡ 을 하면

2_5=10;a!;_10;b!;

∴  10=10;a!;+;b!;

즉, 10;a!;+;b!;=10⁄이므로

;a!;+;b!;=1

9-2     1
|해결 전략 | a>0, b>0, x+0일 때, ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건
식의 밑을 통일한다.

10-1     30
|해결 전략 | a>0, b>0, x+0일 때, ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건
식의 밑을 통일한다.

2;2X;=a의 양변을

제곱하면

;x@;

2=a;x@;

3=a;2¡y;

9y=a, 즉 32y=a의 양변을

제곱하면

;2¡y;

25z=a, 즉 52z=a의 양변을 ;2¡z
5=a;2¡z;

제곱하면

㉠_㉡_㉢ 을 하면

2_3_5=a;x@;_a;2¡y;_a;2¡z;

∴  30=a;x@+;2¡y;+;2¡z;

이때,

;x@+;2¡y;+;2¡z=1이므로 a=30

;2!;

10-2   
|해결 전략 | a>0, b>0, x+0일 때, ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건
식의 밑을 통일한다.

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

ax=81의 양변을

제곱하면

;x!;

by=81의 양변을

제곱하면

a=81;x!;

b=81;y!;

;y!;

;z!;

…… ㉠

…… ㉡

cz=81의 양변을

제곱하면

c=81;z!;

㉠_㉡_㉢ 을 하면

abc=81;x!;_81;y!;_81;z!;

∴  abc=81;x!;+;y!;+;z!;

이때, abc=9이므로 9=81;x!;+;y!;+;z!;

즉, 9€ {;x!;+;y!;+;z!;}=9⁄이므로 2

{;x!;+;y!;+;z!;}=1



;x!;+;y!;+;z!;=;2!;

…… ㉠

…… ㉡

11-1     C<A<B
|해결 전략 | 거듭제곱근을 지수가 유리수인 꼴로 나타낸 후 지수들의 분모의 최소

공배수를 구하여 지수를 통일한다.

세 수 A="ƒ'2 , B=‹"ƒ'3 , C=fl"ƒ'6 을 지수가 유리수인 꼴로 나타내면
A="ƒ'2 =(2;2!;);2!;=2;4!;
B=‹"ƒ'3 =(3;2!;);3!;=3;6!;
C=fl"ƒ'6 =(6;2!;);6!;=6;1¡2;
4, 6, 12의 최소공배수가 12이므로

A=2;4!;=2;1£2;=(2‹);1¡2;=8;1¡2;

1 지수 009 

B=3;6!;=3;1™2;=(3€);1¡2;=9;1¡2;

이때, 6<8<9이므로 6;1¡2;<8;1¡2;<9;1¡2;

C=6;1¡2;

∴ C<A<B

11-2     C<B<A
|해결 전략 | 거듭제곱근을 지수가 유리수인 꼴로 나타낸 후 지수들의 분모의 최소

공배수를 구하여 지수를 통일한다.

세 수 A="ƒ2'2 , B="ƒ‹'7 , C=‹"ƒ›'ß12 를 지수가 유리수인 꼴로 나
타내면

| 로그2 

로그1 

개념 확인  

| 32쪽~33쪽 |

1 ⑴ 2=log∞ 25  ⑵ 0=log¡º 1  ⑶ -2=log¢ ;1¡6;

2 ⑴ 5‚=1  ⑵ 10-2=0.01  ⑶ {;3!;}
3 ⑴ 0<x<1 또는 x>1  ⑵ x>1

-4

=81

3  ⑴ 밑의 조건에서 x>0, x+1이므로


 0<x<1 또는 x>1

 ⑵ 진수의 조건에서 x-1>0이므로



 x>1

A="ƒ2'2 =(2_2;2!;);2!;=(2;2#;);2!;=2;4#;
B="ƒ‹'7 =(7;3!;);2!;=7;6!;
C=‹"ƒ›'ß12 =(12;4!;);3!;=12;1¡2;
4, 6, 12의 최소공배수가 12이므로

A=2;4#;=2;1ª2;=(2·);1¡2;=512;1¡2;

B=7;6!;=7;1™2;=(7€);1¡2;=49;1¡2;

이때, 12<49<512이므로 12;1¡2;<49;1¡2;<512;1¡2;

C=12;1¡2;

∴ C<B<A

12-1     2
|해결 전략 | n=8일 때와 n=2일 때 각각 t¡과 t™를 구한다.

전자레인지로 피자 8조각을 굽는 데 걸리는 시간 t¡분은
t¡=1.2_80.5=1.2_(2‹)0.5=1.2_21.5

전자레인지로 피자 2조각을 굽는 데 걸리는 시간 t™분은
t™=1.2_20.5



t¡ 
t™

=

1.2_21.5 
1.2_20.5 =21.5-0.5=2

12-2     9배
|해결 전략 | ÷f(8)과 ÷f(4)의 관계식을 구한다.

3배이므로 f(5)=3f(3)
f(5)=3f(3)에서 ka5b=3ka3b
양변을 ka3b으로 나누면
a5b-3b=3
∴  a2b=3
8시간 후의 박테리아의 수는 f(8)=ka8b
4시간 후의 박테리아의 수는 f(4)=ka4b

㉠/㉡ 을 하면
ka8b
f(8)
ka4b =a8b-4b=a4b=(a2b)€=3€=9
f(4)
∴ f(8)=9f(4)

=

이다.

010 정답과 해설

따라서 8시간 후의 박테리아의 수는 4시간 후의 박테리아의 수의 9배

5시간 후의 박테리아의 수 f(5)가 3시간 후의 박테리아의 수 f(3)의

STEP 



개념 드릴   

| 34쪽 |

1 ⑴ 0=log¶ 1  ⑵ 4=log£ 81

⑶ 2=log
;5!;

;2¡5;

⑷ -2=log
;2!;

 4  ⑸ -;3@;=log™¶ ;9!;

2 ⑴ 10‹=1000  ⑵ 3-3=;2¡7;

⑶ {;2!;}

-5

=32

⑷ 5;2!;='5  ⑸ ('3 )›=9
3 ⑴ 2<x<3 또는 x>3  ⑵ -3<x<-2 또는 x>-2

⑶ ;2%;<x<3 또는 x>3  ⑷ -2<x<-;3%; 또는 x>-;3%;
4 ⑴ x<2  ⑵ x<0 또는 x>3

⑶ x<-2 또는 x>4  ⑷ 1<x<2

…… ㉠

…… ㉡

3  ⑴ 밑의 조건에서 x-2>0, x-2+1이므로


 x>2, x+3

 ∴ 2<x<3 또는 x>3

 ⑵ 밑의 조건에서 x+3>0, x+3+1이므로

 x>-3, x+-2

 ∴ -3<x<-2 또는 x>-2

 ⑶ 밑의 조건에서 2x-5>0, 2x-5+1이므로

 x>;2%;

, x+3

 ∴

;2%;<x<3 또는 x>3











 ⑷ 밑의 조건에서 3x+6>0, 3x+6+1이므로

loga 64=3에서 a‹=64

















 x>-2, x+-;3%;

 ∴ -2<x<-;3%;

또는 x>-;3%;

4  ⑴ 진수의 조건에서 4-2x>0이므로


 x<2

 ⑵ 진수의 조건에서 x€-3x>0이므로

 x(x-3)>0

 ∴ x<0 또는 x>3



(x+2)(x-4)>0

 ∴ x<-2 또는 x>4

 ⑷ 진수의 조건에서 -x€+3x-2>0이므로

 x€-3x+2<0, (x-1)(x-2)<0

 ∴ 1<x<2

 ⑶ 진수의 조건에서 x€-2x-8>0이므로

밑의 조건에서 x-4>0, x-4+1이므로

∴ a=64;3!;=(2fl);3!;=2€=4

log™ (log§ b)=1에서 2=log§ b

6€=b    ∴ b=36



;aB;=:£4§:=9

02-1     4<x<5 또는 5<x<7
|해결 전략 | 밑의 조건 (밑)>0, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 
만족시키는 x의 값의 범위를 구한다.

x>4, x+5

∴ 4<x<5 또는 x>5

진수의 조건에서 -x€+8x-7>0이므로

x€-8x+7<0, (x-1)(x-7)<0

∴ 1<x<7

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

4<x<5 또는 5<x<7







1

4

5

7

x

02-2     18
|해결 전략 | 밑의 조건 (밑)>0, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 
만족시키는 x의 값의 범위를 구한다.

STEP 



필수 유형   

01-1          ⑴ 9  ⑵ 81  ⑶ 3
|해결 전략 | a>0, a+1, N>0일 때, loga N=x lfm a˛=N임을 이용하
여 계산한다.

밑의 조건에서 x-3>0, x-3+1이므로

x>3, x+4

∴ 3<x<4 또는 x>4

| 35쪽~36쪽 |

진수의 조건에서 -x€+11x-24>0이므로

x€-11x+24<0, (x-3)(x-8)<0

∴ 3<x<8

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면



3<x<4 또는 4<x<8

따라서 logx-3 (-x€+11x-24)

3

4





가 정의되도록 하는 정수 x의 값은 5, 6, 7이므로 구하는 합은

5+6+7=18

-2

=x

 x=-2에서
⑴ log
;3!;

{;3!;}
 ∴ x=(3-1)-2=3€=9

⑵ log

'3 x=8에서 ('3 )8=x

 ∴ x=(3;2!;)8=34=81
⑶ log£ (log™¶ x)=-1에서 3-1=log™¶ x이므로



log™¶ x=;3!;, 27;3!;=x



 ∴ x=(3‹);3!;=3

01-2     9
|해결 전략 | 5˛의 값을 먼저 구한 후 52x의 값을 구한다.

x=log∞ 3에서 5˛=3
∴ 52x=(5˛)€=3€=9

01-3     9
|해결 전략 | a>0, a+1, N>0일 때, loga N=x lfm a˛=N임을 이용하
여 계산한다.

1 ⑴ 0  ⑵ log™ 30  ⑶ 2  ⑷ 3



로그의 성질

개념 확인  

2

log™ 7
log™ 3
3 ⑴ 4  ⑵ 4

4 ⑴ 1  ⑵ ;4#;  ⑶ 5

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉠

…… ㉡

8

x

37쪽~39쪽

2 로그 011 

1  ⑵ log™ 5+log™ 6=log™ (5_6)=log™ 30

 ⑶ log£ 18-log£ 2=log£ ;;¡2•;;=log£ 9


=log£ 3€=2 log£ 3=2



 ⑷ log¶ 7‹=3 log¶ 7=3

3  ⑴

log∞ 81
log∞ 3

 ⑵

1
log¡§ 2

=log£ 81=log£ 3›=4

=log2 16=log2 2›=4

4  ⑴ log¢ 3_log£ 4=log¢ 3_

1
log¢ 3

=1

 ⑵ log¡§ 8=log2› 2‹=;4#; log™ 2=;4#;
 ⑶ 3log£ 5=5log£ 3=5

 ⑶ log¢ 3=

 ⑷ log™∞ 8=

log¡º 3
log¡º 4

=

log¡º 3
log¡º 2€

=

log¡º 3
2 log¡º 2

log¡º 8
log¡º 25

=

log¡º 2‹
log¡º 5€

=

3 log¡º 2
2 log¡º 5

3  ⑴ log¡º 5_log∞ 10=log¡º 5_

1
log¡º 5

=1

 ⑵ log£ 2_log™ 9=log£ 2_log™ 3€





=log£ 2_

2
log£ 2

=2

 ⑶ log§¢ 16=log2fl 2›=;6$;

log2 2=;3@;

 ⑷ log™¶ ;9!;=log3‹ 3-2=-;3@; log3 3=-;3@;
 ⑸ 4log™ 3=3log™ 4=3log™ 2€=3€=9

 ⑹ 2log™ 5+log™ 3=2log™ 15=15log™ 2=15

STEP 



개념 드릴   

| 40쪽 |

1 ⑴ 0  ⑵ 3  ⑶ 2  ⑷ 3  ⑸ -1  ⑹ 1  ⑺ 2

2 ⑴

1
log¡º 2

 ⑵

2
log¡º 3

 ⑶

log¡º 3
2 log¡º 2

 ⑷

3 log¡º 2
2 log¡º 5

3 ⑴ 1  ⑵ 2  ⑶ ;3@;  ⑷ -;3@;  ⑸ 9  ⑹ 15



1  ⑵ log£ 18+log£ ;2#;=log£ {18_;2#;}=log£ 27

 ⑶ log§ 3+2 log§ 'ß12=log§ 3+log§ 12=log§ 36


=log£ 3‹=3

=log§ 6€=2



 ⑷ log¢ 48-log¢

;4#;=log¢

{48/;4#;}=log¢
=log¢ 64=log¢ 4‹=3

{48_;3$;}

 ⑸ log™ 18-4 log™ '6=log™ 18-log™ 36=log™

;3!6*;

 ⑹ log™ 5+log™ 6-log™ 15=log™

=log™ 2=1

=log™

;2!;=log™ 2-1=-1
5_6
15

 ⑺ log£

;7#;+2 log£ '7-log£

;3!;=log£

;7#;+log£ 7-log£

;3!;





=log£

{;7#;_7/;3!;}

=log£

{;7#;_7_3}

=log£ 3€=2

2  ⑴ log™ 10=

log¡º 10
log¡º 2

=

1
log¡º 2

 ⑵ log£ 100=

log¡º 100
log¡º 3

=

log¡º 10€
log¡º 3

=

2
log¡º 3

012 정답과 해설

STEP 



필수 유형   

| 41쪽~46쪽 |

01-1     ⑴ 2  ⑵ 3
|해결 전략 | 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.

⑴ 5 log£ '3+;2!; log£ 2-log£ '6

 =log£ ('3 )fi+log£ 2;2!;-log£ '6
 =log£ 9'3+log£ '2-log£ '6
9'3_'2
'6

 =log£ 

 =log£ 9=log£ 3€=2

⑵ 2 log™ '6+;2!; log™ 16-log™ 3

 =log™ ('6 )€+log™ (4€);2!;-log™ 3
 =log™ 6+log™ 4-log™ 3

 =log™

6_4
3
 =log™ 8=log™ 2‹=3

01-2     5
|해결 전략 | 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.

2 log™ '3-log™ 6+6 log™ '2
=log™ ('3 )€-log™ 6+log™ ('2 )fl
=log™ 3-log™ 6+log™ 2‹

=log™

3_2‹
6

=log™ 2€=2

따라서 k=2이므로

logk 32=log™ 32=log™ 2fi=5

02-1     ⑴ -2  ⑵ 3

 ∴ 52 log∞ 4-3 log∞ 2+;4!; log∞ 16=5log∞ 4=4log∞ 5=4

|해결 전략 | 로그의 밑의 변환 공식을 이용하여 식을 간단히 한다.

-log£ 54=log£ 6-log£ 54

=log£ ;5§4;=log£ ;9!;
=log£ 3-2=-2



1
log§ 3











1
log™ 6











03-2     5
|해결 전략 | 로그의 성질 loga b˜=

n
m

용하여 식을 간단히 한다.

 loga b, aloga b=b, alogc b=blogc a를 이

+

1
logª 6

+

1
log¡™ 6

=log§ 2+log§ 9+log§ 12

log
;3!;

5+logª 125+log£ '5÷=log3-1 5+log3€ 5‹+log£ 5;2!;

=log§ (2_9_12)

=log§ 6‹=3

=-log£ 5+;2#; log£ 5+;2!; log£ 5
=log£ 5

따라서 x=log£ 5이므로
3˛=3log£ 5=5log£ 3=5

02-2     3
|해결 전략 | 로그의 밑의 변환 공식을 이용하여 a, b, c를 간단히 한다.

log¡º 2
a

log¡º 4
b

log¡º 27
c

=log¡º 6에서 a=

=log¡º 6에서 b=

=log¡º 6에서 c=

log¡º 2
log¡º 6 =log§ 2
log¡º 4
log¡º 6 =log§ 4
log¡º 27
log¡º 6 =log§ 27

∴ a+b+c=log§ 2+log§ 4+log§ 27

다른 풀이    

a+b+c=

=log§ (2_4_27)

=log§ 6‹=3

log¡º 27
log¡º 6

+

+

log¡º 4
log¡º 2
log¡º 6
log¡º 6
log¡º 2+log¡º 4+log¡º 27
log¡º 6
log¡º (2_4_27)
log¡º 6

log¡º 6‹
log¡º 6

=3

=

=

=

03-1     ⑴ -;1∞8;  ⑵ 4
|해결 전략 | 로그의 성질 loga b˜=

n
m

용하여 식을 간단히 한다.

⑴ (log™ 3+log• 9)(logª 2-log™¶ 4)

 =(log™ 3+log2‹ 3€)(log3€ 2-log3‹ 2€)

 =;3%; log™ 3_{-;6!;

log3 2}

 =;3%;_{-;6!;}_log™ 3_ log3 2=-;1∞8;
⑵ 먼저 지수를 간단히 하면

 2 log∞ 4-3 log∞ 2+;4!; log∞ 16

 =log∞ 4€-log∞ 2‹+log∞ (2›);4!;

 =log∞ 16-log∞ 8+log∞ 2

 =log∞

=log∞ 4

16_2
8

03-3     2
|해결 전략 | 로그의 성질 loga b˜=

n
m

 loga b를 이용하여 식을 간단히 한다.

(log¢ 27+log™ 9)log

'3 k=(log2€ 3‹+log™ 3€)log3;2!; k

={;2#; log™ 3+2 log™ 3}_2 log3 k

=;2&; log™ 3_2 log3 k

log™ k
log™ 3

=7 log™ 3_
=7 log™ k

이므로 7 log™ k=7

log™ k=1

∴  k=2

log¡º 2‹+log¡º 3€
log¡º 10-log¡º 2

=

3 log¡º 2+2 log¡º 3
1-log¡º 2

=

=

3a+2b
1-a

두 로그 log¡º 2, log¡º 3의 밑이 모두 10이므로 주어진 식의 밑이 10이 되도

록 밑의 변환 공식을 이용한다.

|해결 전략 | 먼저 로그의 정의를 이용하여 a, b를 로그로 나타낸다.

5Å=4에서 a=log∞ 4=log∞ 2€=2 log∞ 2

04-2   

3a+2b
6



∴ log∞ 2=;2A;

2 로그 013 

04-1   

3a+2b
1-a

|해결 전략 | 주어진 식을 log¡º 2, log¡º 3이 포함된 꼴로 변형한다.

 loga b, aloga b=b, alogc b=blogc a를 이

log∞ 72=

log¡º 72
log¡º 5

=

log¡º (2‹_3€)
log¡º ;;¡2º;;

 ={log™ 3+;3@;

log2 3}{;2!;

log3 2-;3@;

log3 2}

참고 

5ı=27에서 b=log∞ 27=log∞ 3‹=3 log∞ 3

∴ log∞ 3=;3B;
∴ log∞ 6=log∞ (2_3)=log∞ 2+log∞ 3

=;2A;+;3B;=

3a+2b


05-1     1
|해결 전략 | 지수를 로그로 나타낸 후 식의 값을 구한다.



;x!;+;y!;=log¡¢ 2+log¡¢ 7=log¡¢ (2_7)

2˛=14에서 x=log™ 14



;x!;=

1
log™ 14
7Á=14에서 y=log¶ 14

=log¡¢ 2



;y!;=

1
log¶ 14

=log¡¢ 7

=log¡¢ 14=1

다른 풀이

2˛=14에서 2=14 ;x!;

7Á=14에서 7=14 ;y!;

㉠_㉡을 하면 14;x!;_14 y!;

=14, 14 ;x!;+y!;=14⁄

∴ ;x!;+;y!;=1

05-2     1
|해결 전략 | 지수를 로그로 나타낸 후 식의 값을 구한다.

15˛=27에서 x=log¡∞ 27=log¡∞ 3‹=3 log¡∞ 3

45Á=81에서 y=log¢∞ 81=log¢∞ 3›=4 log¢∞ 3



;x#;=

1
log¡∞ 3

=log£ 15



;y$;=

1
log¢∞ 3

=log£ 45



;y$;-;x#;=log£ 45-log£ 15=log£ ;1$5%;=log£ 3=1
다른 풀이

15˛=27에서 15=27;x!;=3;x#;

45Á=81에서 45=81;y!;=3;y$;

06-1     2
|해결 전략 | 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

이차방정식 x€-4x+2=0의 근과 계수의 관계에 의하여

log£ a+log£ b=4, log£ a_log£ b=2

∴ loga 3+logb 3=

+

1
1
log£ a
log£ b
log£ b+log£ a
log£ a_log£ b

=

=;2$;=2

014 정답과 해설

06-2     -4
|해결 전략 | 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

이차방정식 x€-2x-2=0의 근과 계수의 관계에 의하여

log¡º a+log¡º b=2, log¡º a_log¡º b=-2

∴ loga b+logb a=

+

log¡º a
log¡º b

log¡º b
log¡º a
(log¡º b)€+(log¡º a)€
log¡º a_log¡º b

=

=

=

(log¡º a+log¡º b)€-2 log¡º a_log¡º b
log¡º a_log¡º b

2€-2_(-2)
-2

=-4

…… ㉠

…… ㉡



상용로그

개념 확인  

47쪽~49쪽

1 ⑴ 3  ⑵ -3  ⑶ ;3@;
2 ⑴ 0.6628  ⑵ 0.6739  ⑶ 0.6839

3 ⑴ 정수 부분: 1, 소수 부분: 0.8603

⑵ 정수 부분: -1, 소수 부분: 0.8603

4 ⑴ 4  ⑵ -3

1  ⑴ log 1000=log 10‹=3
 ⑵ log ;10¡00;=log 10-3=-3

 ⑶ log ‹'ß100=log (10€);3!;=log 10;3@;=;3@;

3  ⑴ log 72.5 =log (10_7.25)





=log 10+log 7.25

=1+0.8603

 이므로 정수 부분은 1, 소수 부분은 0.8603


 ⑵ log 0.725 =log (10-1_7.25)



=log 10-1+log 7.25



=-1+0.8603



 이므로 정수 부분은 -1, 소수 부분은 0.8603

㉡/㉠을 하면 3;y$;/3;x#;=3, 3;y$;-;x#;=3⁄

∴  ;y$;-;x#;=1

는 수이므로 log 4.72=0.6739

…… ㉠

…… ㉡

2  ⑴ 상용로그표에서 4.6의 가로줄과 0의 세로줄이 만나는 곳에 있

는 수이므로 log 4.60=0.6628

 ⑵ 상용로그표에서 4.7의 가로줄과 2의 세로줄이 만나는 곳에 있

 ⑶ 상용로그표에서 4.8의 가로줄과 3의 세로줄이 만나는 곳에 있

는 수이므로 log 4.83=0.6839

STEP 



개념 드릴   

| 50쪽 |

 ⑶ log 0.06=log (2_3_10-2)

4  ⑴ 35400은 다섯 자리의 수이므로


log 35400= 4 +0.5490



가 나타나므로





log 0.00354= -3 +0.5490

 ⑵ 0.00354는 소수점 아래 셋째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자

1 ⑴ -5  ⑵ ;4#;  ⑶ -1  ⑷ ;2%;
2 ⑴ 0.7868  ⑵ 0.7993  ⑶ 6.02  ⑷ 6.21

3 ⑴ 1.0253  ⑵ 3.0253  ⑶ -0.9747  ⑷ -1.9747

4 ⑴ 1.8572  ⑵ -0.5283  ⑶ -1.2219

5 ⑴ 3  ⑵ 4  ⑶ -2  ⑷ -4

1  ⑴ log ;100¡000;=log 10-5=-5

 ⑵ log ›'ß1000=log (10‹);4!;=log 10;4#;=;4#;

 ⑶ log 

=log 

1
'ß100

1

(10€);2!;

=log ;1¡0;=log 10-1=-1

 ⑷ log 100'ß10=log 102+;2!;=log 10;2%;=;2%;

2  ⑴ 상용로그표에서 6.1의 가로줄과 2의 세로줄이 만나는 곳에 있

는 수이므로 log 6.12=0.7868



 ∴ x=0.7868

는 수이므로 log 6.30=0.7993



 ∴ x=0.7993

 ⑵ 상용로그표에서 6.3의 가로줄과 0의 세로줄이 만나는 곳에 있

 ⑶ log 0.106=log (10-1_1.06)

 ⑷ log 0.0106=log (10-2_1.06)

=log 10-1+log 1.06

=-1+0.0253=-0.9747

=log 10-2+log 1.06

=-2+0.0253=-1.9747

4  ⑴ log 72=log (2‹_3€)=3 log 2+2 log 3

=3_0.3010+2_0.4771

=1.8572

 ⑵ log ;2•7;=log {;3@;}

‹=3 log ;3@;

=3(log 2-log 3)

=3_(0.3010-0.4771)

=3_(-0.1761)=-0.5283

=log 2+log 3-2

=0.3010+0.4771-2

=-1.2219

5  ⑴ 4620은 네 자리의 수이므로
log 4620= 3 +0.6646




 ⑵ 46200은 다섯 자리의 수이므로





log 46200= 4 +0.6646

가 나타나므로





log 0.0462= -2 +0.6646

자가 나타나므로





log 0.000462= -4 +0.6646

 ⑶ 0.0462는 소수점 아래 둘째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자

 ⑷ 0.000462는 소수점 아래 넷째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫

 ⑶ 상용로그표에서 0.7796은 6.0의 가로줄과 2의 세로줄이 만나

는 곳에 있는 수이므로 log 6.02=0.7796



 ∴ x=6.02

 ⑷ 상용로그표에서 0.7931은 6.2의 가로줄과 1의 세로줄이 만나

는 곳에 있는 수이므로 log 6.21=0.7931



 ∴ x=6.21

용한다.

STEP 



필수 유형   

| 51쪽~54쪽 |

01-1     ⑴ 56700  ⑵ 0.0567
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 진수의 숫자의 배열이 같음을 이

3  ⑴ log 10.6=log (10_1.06)

 ⑵ log 1060=log (10‹_1.06)

=log 10+log 1.06

=1+0.0253=1.0253

=log 10‹+log 1.06

=3+0.0253=3.0253

⑴ log x=4.7536에서 정수 부분이 4이므로 x는 5자리 수이다.



또, log x의 소수 부분과 log 56.7의 소수 부분이 0.7536으로 같

으므로 x의 숫자의 배열은 56.7의 숫자 배열과 같다.

 ∴ x=56700

⑵ log x=-1.2464=-1-0.2464

=(-1-1)+(1-0.2464)

=-2+0.7536

2 로그 015 

에서 정수 부분이 -2이므로 x는 소수점 아래 둘째 자리에서 처음

즉, 6<3 log x<9이므로 3 log x=7 또는 3 log x=8에서

으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

또, log x의 소수 부분과 log 56.7의 소수 부분이 0.7536으로 같

으므로 x의 숫자의 배열은 56.7의 숫자 배열과 같다.

log x=;3&;

또는 log x=;3*;

∴ x=10;3&;=‹"ƒ10‡ 또는 x=10;3*;=‹"ƒ10°





 ∴ x=0.0567

다른 풀이

log 56.7=log (10_5.67)=1+log 5.67=1.7536이므로

log 5.67=0.7536

⑴ log x =4.7536=4+0.7536

=log 10›+log 5.67=log (10›_5.67)

=log 56700

 ∴ x=56700

⑵ log x =-1.2464=-1-0.2464=-2+0.7536
=log 10-2+log 5.67=log (10-2_5.67)
=log 0.0567

 ∴ x=0.0567









02-1     9자리
|해결 전략 | log N의 정수 부분이 n이면 N은 정수 부분이 (n+1)자리인 수

이다.

54fi에 상용로그를 취하면

log 54fi =5 log 54=5 log (2_3‹)=5(log 2+3 log 3)

=5(0.3010+3_0.4771)=8.6615

따라서 log 54fi의 정수 부분이 8이므로 54fi은 9자리의 정수이다.

02-2     소수점 아래 6째 자리
|해결 전략 | log N의 정수 부분이 -n이면 N은 소수점 아래 n째 자리에서 처

음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

에 상용로그를 취하면

10

{;1£0;}

10

log {;1£0;}

=10 log ;1£0;=10(log 3-log 10)
=10(0.4771-1)=-5.229=-5-0.229

03-2     ›"ƒ10⁄fi
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분의 합이 1이면 두 상용로그의 합은 정수임

을 이용한다.

log x의 소수 부분과 log ‹'x 의 소수 부분의 합이 1이므로


log x+(정수), log ‹'x+(정수)

log x=;3$;

log x=(정수)

log x+log ‹'x =log x+;3!;
log x의 정수 부분이 3이므로

3<log x<4 (∵ log x+(정수))

각 변에

를 곱하면 4<;3$;

log x<:¡3§:

;3$;

log x=5, log x=:¡4∞:

;3$;

log x는 정수이므로

;3$;
∴ x=10:¡4∞:=›"ƒ10⁄fi
다른 풀이

log x의 소수 부분을 a라 하면

log x+(정수)

log x=3+a (단, 0<a<1)
∴ log ‹'x=;3!; log x=;3!;(3+a)=1+ a
3
따라서 log ‹'x의 소수 부분은 a
3
4a
a+ a
3
3

∴  a=;4#;

이므로

=1,

=1

∴ log x=3+;4#;=:¡4∞:

∴ x=10:¡4∞:=›"ƒ10⁄fi

04-1     890만 원
|해결 전략 | P=2_10‡, t=5, r=0.15를 대입하여 W의 값을 구한다. 

새 차의 가격이 2000만 원, 즉 (2_10‡)원이고 연평균 감가상각비

율이 0.15일 때, 5년 후의 중고차 가격을 구해야 하므로 주어진 관계

=(-5-1)+(1-0.229)=-6+0.771

식에 P=2_10‡, t=5, r=0.15를 대입하면

10

따라서 log {;1£0;}
자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

의 정수 부분이 -6이므로

{;1£0;}

10

은 소수점 아래 6째

log (1-0.15)=;5!; log 

W
2_10‡

{log W-(log 2+7)}

log 0.85=;5!;
log (8.5_10-1)=;5!;(log W-log 2-7)
5(log 8.5-1)=log W-log 2-7

log W =5 log 8.5+log 2+2



=5_0.93+0.30+2

=6.95=6+0.95

03-1     ‹"ƒ10‡, ‹"ƒ10°
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 두 상용로그의 차는 정수임을 이

용한다.

log x의 소수 부분과 log 

의 소수 부분이 같으므로

이때, 정수 부분이 6이므로 W는 7자리 수이다.

log x-log 

=log x-log x-2=3 log x=(정수)

1
x€

또, log W의 소수 부분과 log 8.9의 소수 부분이 0.95로 같으므로

W의 숫자의 배열은 8.9의 숫자 배열과 같다.

1
x€

log x의 정수 부분이 2이고 소수 부분이 0이 아니므로

∴ W=8900000

따라서 구하는 5년 후의 중고차의 가격은 890만 원이다.

2<log x<3

016 정답과 해설

STEP 



유형 드릴   

| 55쪽~57쪽 |

log¡¡ 2+log¡¡ {1+;2!;}+log¡¡ {1+;3!;}+ … +log¡¡ {1+;1¡0;}

1-1     1
|해결 전략 | 밑의 조건 (밑)>0, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 
만족시키는 x의 값을 구한다.

=log¡¡ 2+log¡¡ ;2#;+log¡¡ ;3$;+ … +log¡¡ ;1!0!;

=log¡¡ {2_;2#;_;3$;_ … _;1!0!;}
=log¡¡ 11=1

이때, 모든 실수 x에 대하여 x€-2ax+5a>0이 성립하려면 이차

방정식 x€-2ax+5a=0의 판별식을 D라 할 때, D<0이어야 하

loga 3_logª b=loga 3_

=loga 3_

밑의 조건에서 x-3>0, x-3+1이므로

x>3, x+4

∴ 3<x<4 또는 x>4

진수의 조건에서 -x€+8x-12>0이므로

x€-8x+12<0, (x-2)(x-6)<0

∴ 2<x<6

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<4 또는 4<x<6

따라서 정수 x의 값은 5이므로 정수 x의 개수는 1이다.

1-2     7
|해결 전략 | 모든 실수 x에 대하여 x€-2ax+5a>0이 성립하려면 이차방정

식 x€-2ax+5a=0의 판별식이 0보다 작아야 한다.

밑의 조건에서 a-1>0, a-1+1이므로

a>1, a+2

∴ 1<a<2 또는 a>2

진수의 조건에서 x€-2ax+5a>0

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉠

…… ㉡

므로

;;4Î;;=a€-5a<0, a(a-5)<0
∴ 0<a<5

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<a<2 또는 2<a<5

따라서 정수 a의 값은 3, 4이므로 구하는 합은

3+4=7
참고 

이차부등식이 항상 성립할 조건 (단, D=b€-4ac)

⑴ ax€+bx+c >0  a>0, D<0

> a>0

⑵ ax€+bx+c >0  a>0, D<0

> a>0

⑶ ax€+bx+c <0  a<0, D<0

< a<0

⑷ ax€+bx+c <0  a<0, D<0

< a<0

2-1     0
|해결 전략 | 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.

4 log™ '3+;2!; log™ 25-log™ 45
=log™ ('3 )4+log™ 25;2!;-log™ 45
=log™ 9+log™ 5-log™ 45

=log™

=log™ 1=0

9_5
45

2-2     1
|해결 전략 | 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.

3-1     ㄴ, ㄷ, ㄹ
|해결 전략 | 로그의 밑의 변환 공식과 로그의 성질 alogc b=blogc a를 이용하여 주

어진 식을 간단히 한다.

ㄱ. log£ 2+log™ 3=log£ 2+

1
log£ 2

+1

ㄴ. log£ 2-log£ 5=log£ ;5@;
ㄷ. 분모, 분자의 로그를 모두 7을 밑으로 하는 로그로 변환하면



log™ 3
log™ 5

=

=

log¶ 3
log¶ 5

log¶ 3
log¶ 2
log¶ 5
log¶ 2

ㄹ. 25log∞ 3=3log∞ 25=3log∞ 5€=3€=9

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

3-2     20
|해결 전략 | logª b를 a를 밑으로 하는 로그로 변환하여 식을 간단히 한다.

loga b
loga 9
loga b
2 loga 3

=

loga b
2

loga b
loga 3€

=10

=loga 3_

∴ loga b=20

4-1   

2a+b
2-a

|해결 전략 | 주어진 식을 log¡º 2, log¡º 3이 포함된 꼴로 변형한다.

log∞º 12=

log¡º 12
log¡º 50

=

log¡º (2€_3)
log¡º  ;;;!2);;;);

log¡º 2€+log¡º 3
log¡º 100-log¡º 2
2 log¡º 2+log¡º 3
2-log¡º 2



=

=

=

2a+b
2-a

4-2   

2+a+ab
2+a

|해결 전략 | 주어진 식을 log™ 3, log™ 5가 포함된 꼴로 변형한 후 

 

log™ 5=log™ 3_log£ 5임을 이용하여 간단히 한다. 

log¡™ 60=

log™ 60
log™ 12

=

log™ (2€_3_5)
log™ (2€_3)

=

=

log™ 2€+log™ 3+log™ 5
log™ 2€+log™ 3

2+log™ 3+log™ 5
2+log™ 3

2 로그 017 

이때, log™ 3_log£ 5=log™ 3_

=log™ 5이므로

log™ 5
log™ 3

log™ 5=ab

∴ log¡™ 60=

2+a+ab
2+a

참고 

a>0, a+1, b>0, b+1, c>0, c+1, d>0일 때

⑴ loga b_logb c=loga c

⑵ loga b_logb a=1

⑶ loga b_logb c_logc d=loga d

⑷ loga b_logb c_logc a=1

5-1     -2
|해결 전략 | 지수를 로그로 나타낸 후 식의 값을 구한다.

10Å=2에서 a=log¡º 2



;a!;=

1
log¡º 2

=log™ 10



;b#;=

1
log¢º 2

=log™ 40

40ı=8에서 b=log¢º 8=log¢º 2‹=3 log¢º 2



;a!;-;b#;=log™ 10-log™ 40=log™

;4!0);

=log™

;4!;=-2

다른 풀이

10Å=2에서 10=2;a!; 

40ı=8에서 40=8;b!;=2;b#; 

㉠/㉡을 하면 2;a!;/2;b#;=;4!;, 2;a!;-;b#;=2-2

∴ ;a!;-;b#;=-2

5-2   

;3@;

a˛=27에서 x=loga 27



;x!;=

1
loga 27
bÁ=27에서 y=logb 27

=log™¶ a



;y!;=

1
logb 27
c¸=27에서 z=logc 27

=log™¶ b



;z!;=

1
logc 27

=log™¶ c

다른 풀이

a˛=27에서 a=27 ;x!;

bÁ=27에서 b=27 ;y!;

c¸=27에서 c=27 ;z!;

018 정답과 해설



;x!;+;y!;+;z!;=log™¶ a+log™¶ b+log™¶ c

=log™¶ abc=log™¶ 9=log3‹ 3€=;3@;

㉠_㉡_㉢을 하면 27 x!;_27 ;y!;_27 z!;=abc

용한다.

이때, abc=9이므로 27 x!;+;y!;+z!;=9

3‹{x!;+;y!;+z!;}=3€, 3{;x!;+;y!;;+;z!;}=2

∴ ;x!;+;y!;;+;z!;=;3@;

6-1     -6
|해결 전략 | 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

이차방정식 x€-2x-1=0의 근과 계수의 관계에 의하여

log™ a+log™ b=2, log™ a_log™ b=-1

∴ loga b+logb a=

+

log™ a
log™ b

log™ b
log™ a
(log™ b)€+(log™ a)€
log™ a_log™ b



=

=

=

(log™ a+log™ b)€-2 log™ a_log™ b
log™ a_log™ b



2€-2_(-1)
-1

=-6

6-2     -;3@;
|해결 전략 | 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

이차방정식 x€-4x-3=0의 근과 계수의 관계에 의하여

log™ a+log™ b=4, log™ a_log™ b=-3

∴ loga '2+logb€ 2=;2!; loga 2+;2!; logb 2

…… ㉠

…… ㉡

=;2!; {

=;2!;_

+

1
log™ b }

1
log™ a
log™ b+log™ a
log™ a_log™ b

=;2!;_{-;3$;}=-;3@;

log x의 정수 부분이 4이므로 x는 5자리 수이다.

또, log x의 소수 부분과 log 48.9의 소수 부분이 0.6893으로 같으므

로 x의 숫자의 배열은 48.9의 숫자 배열과 같다.

용한다.

∴ x=48900
다른 풀이

log 48.9=log (10_4.89)=1+log 4.89=1.6893이므로

log 4.89=0.6893

log x=4.6893=4+0.6893

=log 10›+log 4.89=log (10›_4.89)

=log 48900

∴ x=48900

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉢

7-2     3.4549
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 진수의 숫자의 배열이 같음을 이

|해결 전략 | 지수를 로그로 나타낸 후 식의 값을 구한다.

7-1     48900
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 진수의 숫자의 배열이 같음을 이

log 26.8=log (10_2.68)=1+log 2.68=1.4281이므로

즉, 3<3 log x<6이므로

log 2.68=0.4281

log 2680 =log (10‹_2.68)=3+log 2.68



=3+0.4281=3.4281

∴ a=3.4281

log b =-1.5719=-1-0.5719

=(-1-1)+(1-0.5719)





=-2+0.4281

3 log x=4 또는 3 log x=5에서

log x=;3$;

또는 log x=;3%;

∴ x=10;3$;=‹"ƒ10› 또는 x=10;3%;=‹"ƒ10fi

log b의 정수 부분이 -2이므로 b는 소수점 아래 둘째 자리에서 처

음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

또, log b의 소수 부분과 log 2.68의 소수 부분이 0.4281로 같으므로

용한다.

b의 숫자의 배열은 2.68의 숫자 배열과 같다.

∴ b=0.0268

∴ a+b=3.4281+0.0268=3.4549

9-2     15
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 두 상용로그의 차는 정수임을 이

조건 ㈏에서 log x€의 소수 부분과 log x›의 소수 부분이 같으므로

log x›-log x€=4 log x-2 log x=2 log x=(정수)

조건 ㈎에서 log x의 정수 부분이 3이므로

8-1     14자리
|해결 전략 | log N의 정수 부분이 n이면 N은 정수 부분이 (n+1)자리인 수

이다.

5€‚에 상용로그를 취하면

log 5€‚=20 log 5=20 log ;;¡2º;;=20(1-log 2)

=20(1-0.3010)=13.98

따라서 log 5€‚의 정수 부분이 13이므로 5€‚은 14자리의 정수이다.

3<log x<4, 6<2 log x<8

∴ 2 log x=6 또는 2 log x=7

즉, log x=3 또는 log x=;2&;
따라서 x=10‹ 또는 x=10;2&;이므로
10;pQ;=10‹_10;2&;=103+;2&;=10;;¡2£;;

∴ p+q=2+13=15

10-1     100
|해결 전략 | x=100을 대입하여 I의 값을 구한다.

소리의 크기가 100 dB이므로 주어진 관계식에 x=100을 대입하면

8-2     소수점 아래 13째 자리
|해결 전략 |  log N의 정수 부분이 -n이면 N은 소수점 아래 n째 자리에서 처

음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

에 상용로그를 취하면

100

{;4#;}

100

log {;4#;}

=100 log ;4#;=100(log 3-log 4)
=100(log 3-log 2€)=100(log 3-2 log 2)

100=10 log 

, 10=log 

I


I


10=log I-log Iº
이때, Iº=10-8이므로
10=log I-log 10-8, 10=log I+8

log I=2

∴  I=100

=100(0.4771-2_0.3010)

=-12.49=-12-0.49

=(-12-1)+(1-0.49)

=-13+0.51

100

따라서 log {;4#;}
13째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

의 정수 부분이 -13이므로

{;4#;}

100

은 소수점 아래

10-2     6.5
|해결 전략 | 지구로부터 A별까지의 거리를 l이라 하면 지구로부터 B별까지의 
거리는 20l임을 이용한다.

두 별 A, B의 절대등급이 같으므로 두 별의 절대등급을 M이라 하자.

지구로부터 A별까지의 거리를 l이라 하면 지구로부터 B별까지의

9-1     ‹"ƒ10› 또는 ‹"ƒ10fi
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분의 합이 1이면 두 상용로그의 합은 정수임

을 이용한다.

log x›의 소수 부분과 log ;x!;

의 소수 부분의 합이 1이므로

log x›+log ;x!;=log x›+log x-1=3 log x=(정수)
10<x<100에서 1<log x<2

거리는 20l이므로

M-a=5-5 log l

M-b=5-5 log 20l

㉠-㉡을 하면

b-a=5 log 20l-5 log l

=5 log

=5 log 20

20l
l

=5(log 2+log 10)=5(log 2+1)

=5(0.3+1)=6.5

…… ㉠

…… ㉡

2 로그 019 

3

| 지수함수



지수함수와 그 그래프 

개념 확인  

1 ㄱ, ㄷ, ㄹ

2 ⑴ 1  ⑵ 125  ⑶ '5  ⑷ ;2¡5;
3 풀이 참조

5  ⑴

y=3x

y

 ⑵

y=3x-1-2

O
-1

1

1

-2

1
O

x

x

y

1

O
-1

y=3x

x

y=-3x

1

O

x
y=-3-x

-1

60쪽~63쪽

 ⑶

y=3-x

y



y=3x



y

y=3x 

4 ⑴ y=5x+2+1  ⑵ y=-5x  ⑶ y={;5!;}
5 풀이 참조

x

x

 ⑷ y=-{;5!;}

6 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: ;9!;  ⑵ 최댓값: 4, 최솟값: ;1¡6;

1  ㄷ. y=


2x 에서 y={;2!;}

x
이므로

;2!;

을 밑으로 하는 지수함수이다.

 최댓값은 x=1일 때, y=3⁄=3

6  ⑴ 오른쪽 그림과 같이 함수 y=3˛의 그
래프는 x의 값이 증가하면 y의 값도






y=3x

증가하므로

 최솟값은 x=-2일 때, y=3-2=;9!;



;9!;

-2

O

1

x

 ⑵ 오른쪽 그림과 같이 함수 y={;4!;}


 래프는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감

˛의 그

 소하므로

 최댓값은 x=-1일 때, y={;4!;}

-1

=4

;1¡6;
-1

O

 최솟값은 x=2일 때, y={;4!;}

€=;1¡6;











y

3

1

4

1

y

x

y={;4!;}

2

x

| 64쪽 |

STEP 



개념 드릴   

1 ⑴ y=5x-1-2  ⑵ y=2x+2+3

⑶ y=-3x+2  ⑷ y={;4!;}
2 그래프: 풀이 참조

x+1

-3

⑴ 실수 전체의 집합  ⑵ {y|y>2}  ⑶ y=2

3 그래프: 풀이 참조

⑴ 실수 전체의 집합  ⑵ {y|y<0}  ⑶ y=0

4 ⑴ 최댓값: 25, 최솟값: 1  ⑵ 최댓값: 9, 최솟값: ;3!;

⑶ 최댓값: 64, 최솟값: 2  ⑷ 최댓값: 1, 최솟값: ;6¡4;

1  ⑴ y=5˛에 x 대신 x-1, y 대신 y+2를 대입하면


∴  y=5x-1-2

 y+2=5x-1

 ⑵ y=2˛에 x 대신 x+2, y 대신 y-3을 대입하면



 y-3=2x+2

∴  y=2x+2+3

 ⑶ 함수 y=3˛의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식

은 y=3˛에 y 대신 -y를 대입하면



 -y=3˛

∴  y=-3˛

2  ⑴ f(0)=5‚=1

 ⑶ f

{;2!;}=5;2!;='5

⑵ f(3)=5‹=125

⑷ f(-2)=5-2=;2¡5;

3  ⑴

y=3x

 ⑵

x

y

y={;3!;}

y

3

1

O

1

x

1

;3!;

O

1

x

정의역: 실수 전체의 집합

정의역: 실수 전체의 집합

치역: 양의 실수 전체의 집합

치역: 양의 실수 전체의 집합

점근선의 방정식: y=0

점근선의 방정식: y=0

4  ⑴ y=5˛에 x 대신 x-(-2), y 대신 y-1을 대입하면


 y-1=5x-(-2)

∴  y=5x+2+1

 ⑵ y=5˛에 y 대신 -y를 대입하면

 -y=5x

∴  y=-5x

 ⑶ y=5˛에 x 대신 -x를 대입하면

 y=5-x

x

∴  y={;5!;}

 ⑷ y=5˛에 x 대신 -x, y 대신 -y를 대입하면

 -y=5-x

∴  y=-{;5!;}

x







020 정답과 해설



이 함수의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프

˛
⑷ y=4-x을 변형하면 y={;4!;}

 오른쪽 그림과 같이 함수 y={;4!;}

˛

x

y={;4!;}

y



의 그래프는 x의 값이 증가하면 y의

값은 감소하므로

 최댓값은 x=0일 때, y=4‚=1

 최솟값은 x=3일 때, y=4-3=;6¡4;

1

;6¡4;
O

3

x

































의 식은 y=-3˛에 y 대신 y-2를 대입하면

 y-2=-3˛

 ∴ y=-3˛+2

 ⑷ 함수 y=4˛의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식

은 y=4˛에 x 대신 -x를 대입하면

 y=4-x

x

 ∴ y={;4!;}

 이 함수의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로

x
에 x 대신 x+1,

 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y={;4!;}
 y 대신 y+3을 대입하면

 y+3={;4!;}

 ∴ y={;4!;}

x+1


x+1

-3

2  함수 y=2x+1+2의 그래프는 함수
y=2x의 그래프를 x축의 방향으로


-1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평

행이동한  것이므로  오른쪽  그림과

같다.

y=2x+1+2
y=2x+1+2

y=2x

3  함수 y=-{;5!;}

x
의 그래프는 함수

의  그래프를  x축에  대하여

대칭이동한  것이므로  오른쪽  그림과

x

 y={;5!;}


같다.

y={;5!;}

y
y

x

1

O
O

-1
-1

x
x

y=-{;5!;}
y=-{;5!;}

4  ⑴ 오른쪽 그림과 같이 함수 y=5˛의
그래프는 x의 값이 증가하면 y의




 값도 증가하므로

 최댓값은 x=2일 때, y=5€=25

 최솟값은 x=0일 때, y=5‚=1

y=5x

2 x

 ⑵ 오른쪽 그림과 같이 함수 y={;3!;}


 그래프는 x의 값이 증가하면 y의 값

˛의

x

y={;3!;}

y

 은 감소하므로

 최댓값은 x=-2일 때, y={;3!;}

-2

=9

1

 최솟값은 x=1일 때, y={;3!;}

=;3!;

-2

O

1

x

 ⑶ 오른쪽 그림과 같이 함수 y=2x+3

y=2x+3



의 그래프는 x의 값이 증가하면 y

의 값도 증가하므로

 최댓값은 x=3일 때, y=2fl=64

 최솟값은 x=-2일 때, y=2⁄=2

9

1

;3!;

y

64

8

2

y
y

4
4

2
2

O
O

1
1

y

25

1

O

x
x

STEP 



필수 유형   

| 65쪽~69쪽 |

01-1          그래프: 풀이 참조, 치역: {y|y<2}, 점근선의 방정식: y=2
|해결 전략 | 함수 y=ax-m+n의 그래프는 함수 y=a˛의 그래프를 x축의 방향
으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 것이다.

x
x

함수 y=-3x-2+2의 그래프는 함수 y=3˛의 그래프를 x축에 대하

여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평

행이동한 것이다.
따라서 y=-3x-2+2의 그래프는

오른쪽 그림과 같고,



치역은 {y|y<2}

점근선의 방정식은 y=2

y

2

O

;;¡9¶;;

x

y=-3x-2+2

01-2          ②
|해결 전략 | 주어진 함수의 그래프는 함수 y=2˛의 그래프를 평행이동한 것이다. 

함수 y=;2!;_2˛-1=2x-1-1의 그래프는 함수 y=2˛의 그래프를
x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.

따라서 함수 y=;2!;_2˛-1의 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.

① 치역은 {y|y>-1}이다.

② 그래프는 제1, 3, 4사분면을 지나

제2사분면을 지나지 않는다.
고 제2사분면을 지나지 않는다.

③ x의 값이 증가하면 y의 값도 증가

한다.

y=2x

y=2x-1-1

y

1

O

1

x

-1



;2!;_2⁄-1=0이므로 그래프는 점 (1, 0)을 지난다.

O-2

3 x

 또, 점근선의 방정식은 y=-1이다.

이상에서 옳지 않은 것은 ②이다.

3 지수함수 021 

02-1          m=-4, n=2
|해결 전략 | 함수의 그래프에서 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 

이때, 함수 y=3˛은 밑이 3이고 3>1이므로

x의  값이  증가하면  y의  값도  증가한다.

y=3x

평행이동하면 x 대신 x-m, y 대신 y-n을 대입한다.

함수 y=2˛의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n

만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2x-m+n
따라서 y=2x-m+n이 y=16_2˛+2=2x+4+2와 일치하므로

즉, 지수가 큰 수가 크다.

따라서 지수의 크기를 비교하면

이므로 3;2!;<3;3@;<3;2#;

;2!;<;3@;<;2#;
∴ 30.5<‹'9<'ß27

-m=4, n=2

∴ m=-4, n=2

y

1

O

x

;2!;

;3@;

;2#;

02-2          m=2, n=5
|해결 전략 | 함수의 그래프에서 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x, y 대

신 -y를 대입한다.

함수 y=5˛의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
-y=5-x

∴  y=-5-x

…… ㉠

㉠의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행

이동한 그래프의 식은
y=-5-(x-m)+n

따라서 y=-5-(x-m)+n이 y=-25_{;5!;}
와 일치하므로

m=2, n=5

˛+5=-5-(x-2)+5

;3!;<;2#;<;4&;

이므로 0.2;4&;<0.2;2#;<0.2;3!;

∴ ›"ƒ0.2‡<'ß0.008<0.2;3!;

03-2         ›"ƒ0.2‡<'ß0.008<0.2;3!;
|해결 전략 | 0<(밑)<1이면 지수가 작은 수가 크다.

주어진 세 수를 밑이 0.2인 거듭제곱 꼴로 나타내면

0.2;3!;, ›"ƒ0.2‡=0.2;4&;, 'ß0.008="ƒ0.2‹=0.2;2#;
이때, 함수 y=0.2˛은 밑이 0.2이고

0<0.2<1이므로 x의 값이 증가하면 y

y=0.2x

y

의 값은 감소한다.

즉, 지수가 작은 수가 크다.

따라서 지수의 크기를 비교하면

1

O

x

;3!;

;2#;

;4&;

02-3          -2
|해결 전략 | 주어진 그림에서 함수의 그래프가 원점을 지나고 점근선의 방정식이 

04-1         최댓값: 28, 최솟값: ;2@7*;
|해결 전략 | (밑)>1인지 0<(밑)<1인지 확인한다. 

y=-2임을 이용한다.

함수 y=2˛의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
y=2-x

…… ㉠

㉠의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이

동한 그래프의 식은
y=2-(x-a)+b
주어진 그림에서 함수 y=2-(x-a)+b의 그래프는 원점을 지나므로
0=2-(0-a)+b

함수 y=32-x+1=3€_3-x+1=9_{;3!;}

˛+1은 밑이
;3!;

이고

0<;3!;<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
따라서 -1<x<5에서

y=32-x+1

y

최댓값은 x=-1일 때,
y=32-(-1)+1=27+1=28

최솟값은 x=5일 때,

…… ㉡

y=32-5+1=;2¡7;+1=;2@7*;

28

;2@7*;

1
O

-1

5

x

∴ 2Å+b=0

b=-2

또, 점근선의 방정식은 y=-2이므로

b=-2를 ㉡에 대입하면 2Å-2=0

2Å=2

∴  a=1

∴ ab=1_(-2)=-2

03-1         30.5<‹'9<'ß27
|해결 전략 | (밑)>1이면 지수가 큰 수가 크다.

주어진 세 수를 밑이 3인 거듭제곱 꼴로 나타내면
30.5=3;2!;, 'ß27="∂3‹=3;2#;, ‹'9=‹"∂3€=3;3@;

022 정답과 해설

04-2        최댓값: 32, 최솟값: 2
|해결 전략 | 지수가 이차식인 경우에는 지수를 f(x)로 놓고 최댓값과 최솟값을 

구한다.

y=2x€-2x+2에서 f(x)=x€-2x+2로 놓으면

f(x)=(x-1)€+1

0<x<3에서 f(0)=2, f(1)=1, f(3)=5이므로

1<f(x)<5
이때, 함수 y=2 f(x)은 밑이 2이고 2>1이므로 f(x)가 최대일 때 최

대가 되고, f(x)가 최소일 때 최소가 된다.

따라서 함수 y=2 f(x)의

최댓값은 f(x)=5일 때, y=2fi=32

최솟값은 f(x)=1일 때, y=2⁄=2

LECTURE

a<x<b인 이차함수 f(x)=a(x-m)€+n의 최대*최소
⑴ a<m<b일 때
 ➡ f(m), f(a), f(b) 중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이

최솟값

⑵ m<a 또는 m>b일 때
 ➡ f(a), f(b) 중에서 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값

05-1        ⑴ 최댓값: 39, 최솟값: 3  ⑵ 최댓값: 3, 최솟값: 2
|해결 전략 | ⑴ 3˛=t (t>0)로 치환하여 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.
˛=t (t>0)로 치환하여 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.

⑵ {;2!;}
⑴ y=9˛-2_3x+1+12에서 y=(3˛)€-6_3˛+12
 3˛=t (t>0)로 놓으면 -1<x<2에서 3-1<3˛<3€

밑이 3이고 3>1이므로 지수가 클수록 크다.

따라서 함수 y=(t+k)€-k€-1

y

y=(t+k)2-k2-1

은 t=-k일 때 최솟값 -k€-1

-k€-1=-10

…… ㉠

을 가지므로

k€=9

∴ k=-3

O

-k

t

-1
-k2-1

(∵ t=2˛>0이므로 -k>0
참고 

∴  k<0)

㉠에서 -k<0이면

함수 y=(t+k)€-k€-1 (t>0)

은 최솟값을 갖지 않는다.

y

y=(t+k)2-k2-1

-k

O

t

-1
-k2-1

y=(t-3)2+3



지수방정식

y

39

91
9

3

O

3

;3!;

9

t

STEP 



개념 드릴   

| 71쪽 |

1 ⑴ x=4  ⑵ x=3  ⑶ x=-;2#;  ⑷ x=2

⑸ x=-;;2%;  ⑹ x=-1  ⑺ x=2
2 ⑴ x=3  ⑵ x=0  ⑶ x=0 또는 x=1  ⑷ x=1 또는 x=2

3 ⑴ x=2  ⑵ x=3  ⑶ x=2 또는 x=5  ⑷ x=5 또는 x=;3$;

 ∴

;3!;<t<9
 이때, 주어진 함수는

 y=t€-6t+12=(t-3)€+3

 따라서

;3!;<t<9에서
 함수 y=(t-3)€+3의

 최댓값은 t=9일 때,

 y=(9-3)€+3=39

 최솟값은 t=3일 때,

 y=(3-3)€+3=3
x-1

⑵ y={;4!;}

˛-{;2!;}

 ∴

;4!;<t<2
 이때, 주어진 함수는

 y=t€-2t+3=(t-1)€+2

 따라서

;4!;<t<2에서
 함수 y=(t-1)€+2의

 최댓값은 t=2일 때,

 y=(2-1)€+2=3

 최솟값은 t=1일 때,

 y=(1-1)€+2=2

˛
+3에서 y=[{;2!;}

]

€-2_{;2!;}

˛+3



{;2!;}

˛=t (t>0)로 놓으면 -1<x<2에서

{;2!;}
밑이 ;2!;이고 0<;2!;<1이므로 지수가 작을수록 크다.

€<{;2!;}

˛<{;2!;}

-1

1  ⑴ 3˛=81에서 3˛=3›


 ∴ x=4

y=(t-1)2+2

y

3

2

;1$6!;

O

;4!;

1

2

t

 ⑵ 0.3˛=0.027에서

˛={;1£0;}



{;1£0;}

에서 (3€)˛={;3!;}



 즉, 32x=3-3이므로 2x=-3



 ∴ x=3

 ⑶ 9˛=;2¡7;




 ∴ x=-;2#;

-x+1

 ⑷

{;2!;}

=2에서 2-(-x+1)=2⁄



 즉, 2x-1=2⁄이므로 x-1=1

 ∴ x=2


 ⑸ 9-x-1=27에서 (3€)-x-1=3‹

 즉, 3-2x-2=3‹이므로 -2x-2=3









 ∴ x=-;2%;

 ⑹ 53x+1=25x에서 53x+1=(5€)x

 즉, 53x+1=52x이므로

 3x+1=2x

∴  x=-1

05-2        -3
|해결 전략 | 2˛=t (t>0)로 치환하여 이차함수의 최대*최소를 이용한다.

y=4˛+k_2x+1-1에서 y=(2˛)€+2k_2x-1

2˛=t (t>0)로 놓으면 주어진 함수는

y=t€+2kt-1=(t+k)€-k€-1

3 지수함수 023 















































































-2x

 ⑺

{;7!;}

=7x+2에서 (7-1)-2x=7x+2

 즉, 72x=7x+2이므로 2x=x+2

 ∴ x=2

2  ⑴ 2˛=t (t>0)로 놓으면
t€-8t=0, t(t-8)=0




 ∴ t=8 (∵ t>0)

t=8일 때, 2˛=8=2‹에서 x=3

 ⑵ 3˛=t (t>0)로 놓으면

t€-t=0, t(t-1)=0

 ∴ t=1 (∵ t>0)

t=1일 때, 3˛=1=3‚에서 x=0

 ⑶ (2€)˛-3_2˛+2=0, 즉 (2˛)€-3_2˛+2=0

 2˛=t (t>0)로 놓으면

t€-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0

 ∴ t=1 또는 t=2

t=1일 때, 2˛=1=2‚에서 x=0

t=2일 때, 2˛=2=2⁄에서 x=1

 ∴ x=0 또는 x=1

 3˛=t (t>0)로 놓으면

t€-12t+27=0, (t-3)(t-9)=0

 ∴ t=3 또는 t=9

t=3일 때, 3˛=3=3⁄에서 x=1

t=9일 때, 3˛=9=3€에서 x=2

 ∴ x=1 또는 x=2

 ⑷ (3€)˛-12_3˛+27=0, 즉 (3˛)€-12_3˛+27=0

3  ⑴ 32x-4=52x-4에서 2x-4=0


 ∴ x=2
-x+3

-x+3

 ⑵

{;2!;}

={;5!;}

에서 -x+3=0

 ∴ x=3

 ⑶ 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0이어야 한다.

 ⑷ 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0이어야 한다.

 1 밑이 같은 경우

 1 x=2

 2 지수가 0인 경우

 1 5-x=0

∴  x=5

 1, 2에서 x=2 또는 x=5

 1 밑이 같은 경우

 1 x=5

 2 지수가 0인 경우

 1 3x-4=0

∴  x=;3$;

 1, 2에서 x=;3$;

또는 x=5

024 정답과 해설

STEP 



필수 유형   

| 72쪽~74쪽 |

01-1          ⑴ x=-3 또는 x=1  ⑵ x=;2!; 또는 x=1
|해결 전략 | 양변의 밑을 같게 하여 af(x)=ag(x)(a>0, a+1) 꼴로 변형한 후 
f(x)=g(x)의 해를 구한다. 

x€-3

에서 (2€)˛=(2-1)x€-3

⑴ 4˛={;2!;}
 따라서 2x=-x€+3이므로

 x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0

∴  2€˛=2-x€+3

 ∴ x=-3 또는 x=1

2x€

-3x+1



{;5$;}

={;4%;}

에서

2x€

-1

-3x+1




{;5$;}

=[{;5$;}
 따라서 2x€=3x-1이므로

]

2x€

3x-1

∴ 

{;5$;}

={;5$;}

 2x€-3x+1=0, (2x-1)(x-1)=0

 ∴ x=;2!;

또는 x=1

01-2          4
|해결 전략 | 양변의 밑을 3으로 같게 한 후 지수가 같아야 함을 이용한다.

3x€+4x=9x€-2에서
3x€+4x=(3€)x€-2

∴  3x€+4x=32x€-4

따라서 x€+4x=2x€-4이므로 x€-4x-4=0

이차방정식 x€-4x-4=0의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=4

02-1     ⑴ x=2  ⑵ x=0 또는 x=1
|해결 전략 | ⑴ 식을 변형한 후 3˛=t (t>0)로 치환하여 푼다.

⑵ 식을 변형한 후 2˛=t (t>0)로 치환하여 푼다.

⑴ 32x-1-2_3˛-9=0에서 3€˛_3-1-2_3˛-9=0

 즉,

;3!;_(3˛)€-2_3˛-9=0

 3˛=t (t>0)로 놓으면

;3!;t€-2t-9=0,

;3!;(t€-6t-27)=0

;3!;(t+3)(t-9)=0

 ∴ t=9 (∵ t>0)

 t=9일 때, 3˛=9=3€에서 x=2
⑵ 2˛+21-x=3에서 2˛+2_2-x-3=0

 즉, 2˛+

-3=0

2


 2˛=t (t>0)로 놓으면 t+

-3=0

2
t

 양변에 t를 곱하여 정리하면

 t€-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0

 ∴ t=1 또는 t=2

 t=1일 때, 2˛=1=2‚에서 x=0

 t=2일 때, 2˛=2=2⁄에서 x=1

 ∴ x=0 또는 x=1







02-2     2
|해결 전략 | 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 3˛=t (t>0)로 치환하여 얻
은 방정식의 두 근은 3a, 3b이다.

9˛-7_3˛+9=0에서 (3˛)€-7_3˛+9=0

3˛=t (t>0)로 놓으면

t€-7t+9=0
이때, 이 방정식의 두 근은 3a, 3b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
3a_3b=9, 즉 3a+b=3€

∴ a+b=2

LECTURE

a>0, a+1일 때
pa2x+qa˛+r=0 (단, p+0)
㉠에서 a˛=t (t>0)로 놓으면

…… ㉠

…… ㉡

pt€+qt+r=0
이때, 방정식 ㉠의 해가 a, b이면 방정식 ㉡의 해는 aa, ab이다.
따라서 이차방정식 ㉡의 근과 계수의 관계에 의하여

aa+ab=-

, aa_ab=

q
p

r
p

03-1     ⑴ x=1 또는 x=4  ⑵ x=-2 또는 x=1
|해결 전략 | ⑴ 양변의 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0일 때로 나누어 푼다.

⑵ 양변의 밑이 같으므로 지수가 같거나 밑이 1일 때로 나누어 푼다.

⑴ 지수가 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 밑이 같거나 밑이

달라도 지수가 0이면 등식이 성립한다.

1  ⑴ 42x-1<8에서




(2€)2x-1<2‹, 24x-2<2‹



 밑이 2이고 2>1이므로



 4x-2<3

∴  x<;4%;
 ⑵ 3x-2>9에서 3x-2>3€
 밑이 3이고 3>1이므로


 x-2>2


 ⑶ 22x-1<16에서 22x-1<2›

∴  x>4

 밑이 2이고 2>1이므로

 2x-1<4

∴  x<;2%;

2x-3

에서

 ⑷ 5˛>{;5!;}


 5˛>(5-1)2x-3, 5˛>5-2x+3

 밑이 5이고 5>1이므로

 x>-2x+3
˛<;3¡2;

{;2!;}

에서

∴  x>1
˛<{;2!;}

{;2!;}



 ⑸

 밑이

이고 0<;2!;<1이므로

;2!;

 x>5

2x+1

 ⑹

{;5!;}

>;12!5;

에서

{;5!;}

2x+1



>{;5!;}

 밑이

;5!;

이고 0<;5!;<1이므로
∴  x<1

 2x+1<3

⑵ 밑이 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 지수가 같거나 지수가









  1 밑이 같은 경우

x+1=2

∴  x=1

  2 지수가 0인 경우

x-4=0

∴  x=4

  1, 2에서 x=1 또는 x=4

달라도 밑이 1이면 등식이 성립한다.

  1 지수가 같은 경우

5x-2=2x+1

∴  x=1

  2 밑이 1인 경우

x+3=1

∴  x=-2

  1, 2에서 x=-2 또는 x=1

2  ⑴ 2˛=t (t>0)로 놓으면


t€-16t<0, t(t-16)<0



 ∴ 0<t<16

 따라서 0<2˛<16이므로 2˛<2›

 밑이 2이고 2>1이므로

 x<4


 ⑵ (3€)˛-9_3x>0, 즉 (3˛)€-9_3x>0

 3˛=t (t>0)로 놓으면



t€-9t>0, t(t-9)>0

 ∴ t<0 또는 t>9

 그런데 t>0이므로 t>9

 따라서 3˛>9이므로 3˛>3€

 밑이 3이고 3>1이므로

 x>2
x

 ⑶

{;2!;}

=t (t>0)로 놓으면



지수부등식

STEP 



개념 드릴   

| 76쪽 |



t€-6t+8<0, (t-2)(t-4)<0

 ∴ 2<t<4

 따라서 2<{;2!;}

x
<4이므로

-1

x

{;2!;}

<{;2!;}

<{;2!;}

-2


1 ⑴ x<;4%;  ⑵ x>4  ⑶ x<;2%;  ⑷ x>1  ⑸ x>5  ⑹ x<1
2 ⑴ x<4  ⑵ x>2  ⑶ -2<x<-1  ⑷ x>1  ⑸ x<2

⑹ -2<x<-1

 밑이

이고 0<;2!;<1이므로

;2!;

 -2<x<-1

3 지수함수 025 















































 ⑸ (2€)˛-3_2˛-4<0, 즉 (2˛)€-3_2˛-4<0

 ⑷ 5˛=t (t>0)로 놓으면



t€-2t-15>0, (t+3)(t-5)>0

 ∴ t<-3 또는 t>5

 그런데 t>0이므로 t>5

 따라서 5˛>5이므로 5˛>5⁄

 밑이 5이고 5>1이므로

 x>1

 2˛=t (t>0)로 놓으면



t€-3t-4<0, (t+1)(t-4)<0

 ∴ -1<t<4

 그런데 t>0이므로 0<t<4

 따라서 0<2˛<4이므로 2˛<2€

 밑이 2이고 2>1이므로

 x<2

˛+27<0


]

 ⑹ [{;3!;}

˛-12_{;3!;}
˛
 즉, [{;3!;}



€-12_{;3!;}
]
˛=t (t>0)로 놓으면

    {;3!;}

˛+27<0



t€-12t+27<0, (t-3)(t-9)<0

 ∴ 3<t<9





































 따라서 3<{;3!;}

˛<9이므로

-1

<{;3!;}

˛<{;3!;}

-2

{;3!;}

 밑이

이고 0<;3!;<1이므로

;3!;

 -2<x<-1

⑴ 27x+2>32x에서
 (3‹)x+2>3€˛, 33x+6>3€˛
 밑이 3이고 3>1이므로

 3x+6>2x
x€

2x-3

∴  x>-6



{;3@;}
x€

>{;2#;}

에서



{;3@;}

>[{;3@;}

]

,

{;3@;}

>{;3@;}

-1

2x-3

x€

-2x+3

 밑이

이고 0<;3@;<1이므로

;3@;

 x€<-2x+3, x€+2x-3<0

 (x+3)(x-1)<0

 ∴ -3<x<1

026 정답과 해설

01-2          4
|해결 전략 | 밑을 같게 한 후 지수부등식을 푼다. 이때, (밑)>1이면 부등호의 방

향은 그대로이고, 0<(밑)<1이면 부등호의 방향은 반대가 된다.

2x€-2x+2>4x€-x에서
2x€-2x+2>(2€)x€-x, 2x€-2x+2>22x€-2x
밑이 2이고 2>1이므로

x€-2x+2>2x€-2x
x€-2<0, (x+'2 )(x-'2 )<0
∴ -'2<x<'2
따라서 a=-'2, b='2이므로
a€+b€=2+2=4

02-1     ⑴ x>1  ⑵ x>-1
|해결 전략 | ⑴ 식을 변형한 후 3˛=t (t>0)로 치환하여 푼다.

˛=t (t>0)로 치환하여 푼다.

⑵ 식을 변형한 후 {;5!;}
⑴ 9˛+2_3x+1-27>0에서 (3˛)€+6_3˛-27>0
 3˛=t (t>0)로 놓으면

 t€+6t-27>0, (t+9)(t-3)>0

 ∴ t<-9 또는 t>3

 그런데 t>0이므로 t>3

 따라서 3˛>3이므로 3˛>3⁄

˛-15<0에서



{;2¡5;}

 밑이 3이고 3>1이므로 x>1
˛-2_{;5!;}

˛
 [{;5!;}
]
˛
=t (t>0)로 놓으면
{;5!;}

˛
-2_{;5!;}

-15<0



 t€-2t-15<0, (t+3)(t-5)<0

 ∴ -3<t<5

 그런데 t>0이므로 0<t<5

˛
<5이므로
 따라서 0<{;5!;}

˛
<{;5!;}
{;5!;}

-1

 밑이

이고 0<;5!;<1이므로 x>-1

;5!;

가지 경우로 나누어 푼다.  

⑴ 1 0<x<1일 때

 2x+1>x+3

∴  x>2

 그런데 0<x<1이므로 해가 없다.

 2 x=1일 때



(좌변)=1, (우변)=1이므로 (좌변)=(우변)

 따라서 주어진 부등식이 성립하지 않는다.

 3 x>1일 때

 2x+1<x+3

∴  x<2

 그런데 x>1이므로 1<x<2

 1, 2, 3에서 주어진 부등식의 해는

 1<x<2













STEP 



필수 유형   

| 77쪽~80쪽 |

01-1          ⑴ x>-6  ⑵ -3<x<1

|해결 전략 | 밑을 같게 한 후 지수부등식을 푼다. 이때, (밑)>1이면 부등호의 방

향은 그대로이고, 0<(밑)<1이면 부등호의 방향은 반대가 된다.

03-1     ⑴ 1<x<2  ⑵ 0<x<1 또는 2<x<3
|해결 전략 | 주어진 지수부등식의 밑이 x이므로 0<x<1, x=1, x>1의 세 





















⑵ 1 0<x<1일 때

 x€>5x-6, x€-5x+6>0



(x-2)(x-3)>0

 ∴ x<2 또는 x>3

 그런데 0<x<1이므로 0<x<1

 2 x=1일 때



(좌변)=1, (우변)=1이므로 (좌변)=(우변)

 따라서 주어진 부등식이 성립하지 않는다.

 3 x>1일 때

 x€<5x-6, x€-5x+6<0



(x-2)(x-3)<0

 ∴ 2<x<3

 그런데 x>1이므로 2<x<3

 1, 2, 3에서 주어진 부등식의 해는

 0<x<1 또는 2<x<3

STEP 



유형 드릴   

| 81쪽~83쪽 |

1-1     -1
|해결 전략 | 점근선을 이용하여 b의 값을 구한 후 a의 값을 구한다.

함수 y=2x+a-b의 그래프의 점근선은 직선 y=-b이므로

∴  b=4

-b=-4
또, 함수 y=2x+a-4의 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로
4=2a-4, 2a=8, 2a=2‹

∴ a=3

∴ a-b=3-4=-1

1-2     -1
|해결 전략 | 함수 y=3x-a+b의 그래프는 점 (3, 0)을 지나고, 점근선의 방정
식은 y=-3이다.

주어진 그림에서 함수 y=3x-a+b의 점근선의 방정식은 y=-3이

04-1     28500년 전

|해결 전략 | 주어진 식에 f(t)=;1∞6;, a=10을 대입하여 t의 값을 구한다.

처음 이 도자기에 들어 있었던 ⁄›C의 양은 10 g이었고, t년이 지난 후

또, 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로
0=33-a-3, 33-a=3⁄, 3-a=1

므로

b=-3

∴ a=2

∴ a+b=2+(-3)=-1

도자기에 남아 있는 ⁄›C의 양은

;1∞6; g이므로

f(t)=a_{;2!;}

5700 에 f(t)=;1∞6;

, a=10을 대입하면

t

t
5700

;1∞6;=10_{;2!;}

t

t

5700 =;3¡2;
,

{;2!;}

5700 ={;2!;}

{;2!;}



=5

t
5700
따라서 이 도자기는 28500년 전에 만들어진 것이라고 추측할 수 있다.

∴  t=28500

04-2     40<a<50

|해결 전략 | 10시간 후의 영양소가 초기 영양소의 ;3!;이 되므로 ;3!;kº=kºa-10임
을 이용한다.

10시간 후의 영양소가 초기 영양소의

이 되므로

;3!;

;3!;kº=kºa-10
한편, 이 채소의 영양소가 초기 영양소의 1 %가 되는 것은 a시간 후

∴  a-10=;3!;

∴  a-a=;10!0;
›이므로

이므로

;10!0;kº=kºa-a

그런데

fi<;10!0;<{;3!;}

{;3!;}

(a-10)fi<a-a<(a-10)›
∴ a-50<a-a<a-40

밑이 a이고 a>1이므로

-50<-a<-40

∴ 40<a<50

2-1     2
|해결 전략 | 함수의 그래프에서 y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x를 대

입하고, x축의  방향으로 m만큼, y축의  방향으로 n만큼  평행이동하면 x  대신 

x-m, y 대신 y-n을 대입한다. 

함수 y=3˛의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은

…… ㉠

㉠의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행

y=3-x

∴  y={;3!;}

x


이동한 그래프의 식은

y={;3!;}

x-m

+n

x-m

따라서 y={;3!;}
m=2, n=0

+n이 y=9_{;3!;}
∴  m+n=2+0=2

x

x-2

={;3!;}

과 일치하므로

2-2     a=2, b=3
|해결 전략 | 함수의 그래프에서 x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y를 대입

하고, x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동하면 x 대신 x-1, 

함수 y=a˛의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은

㉠의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이

y 대신 y-b를 대입한다. 

y=-a˛ 

동한 그래프의 식은
y=-ax-1+b

㉡의 그래프가 점 (2, 1)을 지나므로
1=-a2-1+b

∴  -a+b=1

…… ㉠

…… ㉡

3 지수함수 027 

y

1

O

x

;3@;

;5$;

;4#;

a=1, b=;4!;

∴ ab=;4!;

5-1     2

|해결 전략 | {;2!;}

또, 점근선의 방정식이 y=3이므로 b=3

∴ a=2

3-1     A<B<C
|해결 전략 | (밑)>1이면 지수가 큰 수가 크다.

주어진 세 수를 밑이 2인 거듭제곱 꼴로 나타내면

A=‹'4=‹"∂2€=2;3@;, B=›'8=›"∂2‹=2;4#;, C=fi'ß16=fi"∂2›=2;5$;
이때, 함수 y=2˛은 밑이 2이고 2>1이

y=2x

므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한

다.

즉, 지수가 큰 수가 크다.

따라서 지수의 크기를 비교하면

이므로 2;3@;<2;4#;<2;5$;

;3@;<;4#;<;5$;
∴ A<B<C

가 크다.

증가한다.

즉, 지수가 큰 수가 크다.

의 값은 감소한다.

즉, 지수가 작은 수가 크다.

3-2     3a<3aÅ<3
|해결 전략 | (밑)>1이면 지수가 큰 수가 크고, 0<(밑)<1이면 지수가 작은 수

함수 y=3˛은 밑이 3이고 3>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도

또, 함수 y=a˛은 밑이 a이고 0<a<1이므로 x의 값이 증가하면 y

따라서 0<a<1이므로 a‚>aÅ>a⁄, 즉 a<aÅ<1
∴ 3Å<3aÅ<3

4-1     3
|해결 전략 | (밑)>1인지 0<(밑)<1인지 확인한다.

x-1

함수 y={;3!;}
가하면 y의 값은 감소한다.

+b는 밑이

이고 0<;3!;<1이므로 x의 값이 증

;3!;

따라서 -2<x<a에서 함수 y={;3!;}
최댓값은 x=-2일 때,

x-1

+b의

+b=27+b=30

∴  b=3

-2-1

y={;3!;}
최솟값은 x=a일 때,
a-1

+b=3-a+1+3=6

y={;3!;}
3-a+1=3, -a+1=1

∴  a=0

∴ a+b=0+3=3

x€-2x+3

에서 f(x)=x€-2x+3으로 놓으면

y={;2!;}
f(x)=(x-1)€+2이므로 x=1일 때, 최솟값 2를 갖는다.

f(x)

이때, 함수 y={;2!;}
때 최대가 된다.

은 밑이

이고 0<;2!;<1이므로 f(x)가 최소일

;2!;

따라서 f(x)=2, 즉 x=1일 때, 최댓값은 y={;2!;}

€=;4!;

이므로

˛=t (t>0)로 치환하여 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.

y={;4!;}

˛-2-x_2‹+9


]

˛-2-x+3+9=[{;2!;}
˛
=[{;2!;}

€-8_{;2!;}
]
˛=t (t>0)로 놓으면 -3<x<0에서

˛+9

{;2!;}

‚<{;2!;}

˛<{;2!;}

{;2!;}

-3

이므로 1<t<8

1<t<8에서 함수

y=t€-8t+9=(t-4)€-7의

밑이 ;2!;이고 0<;2!;<1이므로 지수가 작을수록 크다.

y=(t-4)2-7

y

최댓값은 t=8일 때,

y=(8-4)€-7=9

최솟값은 t=4일 때,

y=(4-4)€-7=-7

따라서 M=9, m=-7이므로

M+m=2

9

2

-7

4

O

1

8

t

5-2     10
|해결 전략 | 3˛=t (t>0)로 치환하여 이차함수의 최대*최소를 이용한다.

y=9˛-2_3x+1+a =(3€)˛-2_3_3˛+a



=(3˛)€-6_3˛+a

3˛=t (t>0)로 놓으면

y=t€-6t+a=(t-3)€+a-9

t>0에서 함수 y=(t-3)€+a-9의

최솟값은 t=3일 때,

y=(3-3)€+a-9=a-9

따라서 t=3에서 3˛=3이므로 x=1

∴ b=1

또, a-9=2에서 a=11

∴ a-b=11-1=10

|해결 전략 | 지수가 이차식인 경우에는 지수를 f(x)로 놓고 최댓값 또는 최솟

6-1     1
|해결 전략 | 양변의 밑을 2로 같게 한 후 지수방정식의 해를 구한다

4-2   

;4!;

값을 구한다.

028 정답과 해설

따라서 이차방정식 x€-x-8=0의 근과 계수의 관계에 의하여 모든

2x€-5=8_2˛에서
2x€-5=2‹_2˛

∴  2x€-5=23+x

이때, x€-5=3+x이므로

x€-x-8=0

근의 합은 1이다.

6-2     -2

x€+1

x€+1

{;3!;}

{;3!;}

=;2¡7;_3-x에서
‹_{;3!;}

={;3!;}

x


이때, x€+1=3+x이므로

x€-x-2=0

근의 곱은 -2이다.

|해결 전략 | 양변의 밑을  ;3!;로 같게 한 후 지수방정식의 해를 구한다. 

x€+1

3+x

∴ 

{;3!;}

={;3!;}

따라서 이차방정식 x€-x-2=0의 근과 계수의 관계에 의하여 모든

7-1     27
|해결 전략 | 식을 변형한 후 3˛=t (t>0)로 치환하여 푼다.

9˛+3˛-12=0에서

(3€)˛+3˛-12=0 즉, (3˛)€+3˛-12=0

3˛=t (t>0)로 놓으면

t€+t-12=0, (t+4)(t-3)=0

그런데 t>0이므로 t=3

t=3일 때, 3˛=3에서 x=1
∴ 32a+1=3‹=27

∴  a=1

7-2     2
|해결 전략 | 식을 변형한 후 2˛=t (t>0)로 치환하여 푼다.

4˛-3_2x+1+8=0에서

(2€)˛-3_2_2˛+8=0

즉, (2˛)€-6_2˛+8=0

2˛=t (t>0)로 놓으면

t€-6t+8=0, (t-2)(t-4)=0

∴ t=2 또는 t=4

t=2일 때, 2˛=2=2⁄에서 x=1

t=4일 때, 2˛=4=2€에서 x=2

이때, a=1, b=2 또는 a=2, b=1이므로

ab=2

25˛-6_5˛+k=0에서

(5€)˛-6_5˛+k=0

즉, (5˛)€-6_5˛+k=0

5˛=t (t>0)로 놓으면

t€-6t+k=0

이때, 방정식 25˛-6_5˛+k=0의 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근
은 5a, 5b이다.

…… ㉠

따라서 이차방정식 ㉠의 근과 계수의 관계에 의하여
5a_5b=k, 5a+b=k
51=k (∵ a+b=1)
∴ k=5

8-2     4
|해결 전략 | 주어진 방정식을 2˛=t (t>0)로 치환하여 얻은 방정식의 두 근은 
2a, 2b이다.

4˛-k_2x+16=0에서
(22)˛-k_2˛+16=0
즉, (2˛)2-k_2˛+16=0

2˛=t (t>0)로 놓으면 t€-kt+16=0
…… ㉠
이때, a, b가 주어진 방정식의 두 근이므로 ㉠의 두 근은 2a, 2b이다.
따라서 이차방정식 ㉠의 근과 계수의 관계에 의하여
2a_2b=16, 2a+b=2›

∴  a+b=4

9-1     3
|해결 전략 | 양변의 밑이 같으므로 지수가 같거나 밑이 1일 때로 나누어 푼다.

밑이 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 지수가 같거나 지수가

달라도 밑이 1이면 등식이 성립한다.

1 지수가 같은 경우

 -x+6=x€에서 x€+x-6=0이므로

 (x+3)(x-2)=0

 ∴ x=2 (∵ x>0)

2 밑이 1인 경우  

x=1

1+2=3

1, 2에서 x=1 또는 x=2이므로 구하는 모든 근의 합은

9-2     4
|해결 전략 | 양변의 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0일 때로 나누어 푼다.

지수가 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 밑이 같거나 밑이 달

라도 지수가 0이면 등식이 성립한다.

1 밑이 같은 경우

 x€-2x+7=10에서 x€-2x-3=0이므로

3 지수함수 029 

8-1     5
|해결 전략 | 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 주어진 방정식을 5˛=t (t>0)
로 치환하여 얻은 방정식의 두 근은 5a, 5b이다.  

 (x+1)(x-3)=0

 ∴ x=-1 또는 x=3

1, 2에서 x=-1 또는 x=2 또는 x=3이므로 구하는 모든 근의

2 지수가 0인 경우

x=2

합은

-1+2+3=4

10-1     -1

|해결 전략 | 식을 변형한 후 {;3!;}

˛=t (t>0)로 치환하여 푼다.

€+{;3!;}
]

˛-12<0

˛
˛<12에서 [{;3!;}

˛+{;3!;}
˛=t (t>0)로 놓으면

{;9!;}

{;3!;}

t€+t-12<0, (t+4)(t-3)<0

∴ -4<t<3

그런데 t>0이므로 0<t<3



˛<3, 즉

-1

˛<{;3!;}

{;3!;}

에서 밑이

이고 0<;3!;<1

;3!;

따라서 구하는 x의 최솟값은 -1이다.

이때, 0<{;3!;}
이므로 x>-1

10-2     3

즉, (3˛)€-

_3˛+1<0

82
9

3˛=t (t>0)로 놓으면

t€-

t+1<0, 9t€-82t+9<0

82
9

(9t-1)(t-9)<0

∴ 

;9!;<t<9

|해결 전략 | 식을 변형한 후 3˛=t (t>0)로 치환하여 푼다.

3€˛+1<9_3˛+3x-2에서 3€˛-(9_3˛+3-2_3˛)+1<0

이때,

;9!;<3˛<9, 즉 3-2<3˛<3€에서 밑이 3이고 3>1이므로

-2<x<2

따라서 구하는 정수 x의 개수는 -1, 0, 1의 3이다.

11-1     3
|해결 전략 | 주어진 지수부등식의 밑이 x이므로 0<x<1, x=1, x>1의 세 

가지 경우로 나누어 푼다. 

1 0<x<1일 때

 5x-8>3x-2

∴  x>3

 그런데 0<x<1이므로 해가 없다.

2 x=1일 때

 (좌변)=1, (우변)=1이므로 (좌변)=(우변)

 따라서 주어진 부등식은 성립한다.

3 x>1일 때

 5x-8<3x-2

∴  x<3

 그런데 x>1이므로 1<x<3

030 정답과 해설

1, 2, 3에서 1<x<3이므로 구하는 정수 x의 개수는 1, 2, 3의

3이다.

11-2     3
|해결 전략 | 주어진 지수부등식의 밑이 x이므로 0<x<1, x=1, x>1의 세 

가지 경우로 나누어 푼다.  

1 0<x<1일 때

 1+x>x€-1, x€-x-2<0

 (x+1)(x-2)<0

 ∴ -1<x<2

 그런데 0<x<1이므로 0<x<1

2 x=1일 때

 (좌변)=1, (우변)=1이므로 (좌변)=(우변)

 따라서 주어진 부등식이 성립하지 않는다.

3 x>1일 때

 1+x<x€-1, x€-x-2>0

 (x+1)(x-2)>0

 ∴ x<-1 또는 x>2

 그런데 x>1이므로 x>2

은 3이다.

1, 2, 3에서 0<x<1 또는 x>2이므로 구하는 정수 x의 최솟값

12-1     6
|해결 전략 | 주어진 식에 P=100,  f(t)=121을 대입하여 t의 값을 구한다.

처음 100만 원을 투자하면 t년 후에 121만 원이 되므로

;3T;
에 P=100, f(t)=121을 대입하면

f(t)=P_{

11
10 }

121=100_{

;3T;

11
10 }

;1!0@0!;={

;3T;

11
10 }

,
{

11
10 }

€={

11
10 }

;3T;

t
3

=2

∴  t=6

12-2     20

|해결 전략 | L(d)<;3¡2;a를 만족시키는 d 의 최솟값을 구한다.

수면에서의 빛의 세기가 a W/m€이고, 수심이 d m인 곳에서의 빛

의 세기가 L(d)이므로 수심이 d m인 곳에서의 빛의 세기가 수면에서

의 빛의 세기의

이하가 되려면 L(d)<;3¡2;a를 만족시켜야 한다.

;3¡2;

즉, a_{;2!;}

<;3¡2;a이므로

;4D;

;4D;
{;2!;}

밑이

5
(∵ a>0)

<{;2!;}
이고 0<;2!;<1이므로  d
;2!;
4

>5

∴ d>20

따라서 d 의 최솟값은 20이다.

5  ⑴

y



⑵  y

y=log£ {x-;3@;}+1

y=log£ x
x

O

1

y=log£ x

O

1

x

y=-log£ x

   86쪽~89쪽

 ⑶

y
y=log£ (-x)

 ⑷

y=log£ x

y

-1

O

1

x

y=-log£ (-x)

y=log£ x

-1

O

1

x



| 로그함수



로그함수와 그 그래프

개념 확인  

1  ㄴ, ㄷ

2  ⑴ y=log£ x  ⑵ y=log

;3!; x

3  풀이 참조
4  ⑴ y=log∞ (x+1)+2  ⑵ y=-log∞ x
  ⑶ y=log∞ (-x)  ⑷ y=-log∞ (-x)  ⑸ y=5x
5  풀이 참조

6  ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -1  ⑵ 최댓값: -1, 최솟값: -2

1  ㄹ. y=log¡º 5˛에서 y=x log¡º 5이므로 로그함수가 아니다.

6  ⑴ 함수 y=log£ x는 밑이 3이고
 3>1이므로 x의 값이 증가하면


 y의 값도 증가한다.

 따라서 최댓값은 x=9일 때,

 y=log£ 9=log£ 3€=2 log£ 3=2

y

2

O

-1

;3!;

1

y=log£ x

9

x

 최솟값은 x=;3!;

일 때,

 y=log£ ;3!;=log£ 3-1=-log£ 3=-1

x는 밑이
 ⑵ 함수 y=log
;5!;

이고

;5!;

y

 0<;5!;<1이므로 x의 값이 증가하
 면 y의 값은 감소한다.

O

1

5

-1
-2

25

x

y=log;5!; x

 따라서

 최댓값은 x=5일 때,

5=log5-1 5
 y=log
;5!;

 =-log∞ 5=-1

 최솟값은 x=25일 때,

 y=log
25=log5-1 5€
;5!;

 =-2 log∞ 5=-2





























4  ⑴ y=log∞ x에 x 대신 x-(-1), y 대신 y-2를 대입하면


∴  y=log∞ (x+1)+2

 y-2=log∞ (x+1)

STEP 



개념 드릴   

| 90쪽 |

 ⑵ y=log∞ x에 y 대신 -y를 대입하면

 -y=log∞ x

∴  y=-log∞ x

 ⑶ y=log∞ x에 x 대신 -x를 대입하면

 y=log∞ (-x)

 ⑷ y=log∞ x에 x 대신 -x, y 대신 -y를 대입하면

 -y=log∞ (-x)

∴  y=-log∞ (-x)

 ⑸ y=log∞ x에 x 대신 y, y 대신 x를 대입하면

 x=log∞ y

∴  y=5˛

1  ⑴ y=log™ (x+1)+3  ⑵ y=log
;5!;

 (x-2)-3 

  ⑶ y=log£ (-x)  ⑷ y=-log™ x+1

2  그래프: 풀이 참조  ⑴ {x|x>2}

  ⑵ 실수 전체의 집합  ⑶ x=2

3  그래프: 풀이 참조  ⑴ {x|x>1}

  ⑵ 실수 전체의 집합  ⑶ x=1

4  ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: 1  ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: 0

  ⑶ 최댓값: -1, 최솟값: -2  ⑷ 최댓값: 1, 최솟값: -1

  4 로그함수   031 

3  ⑴  y

y=log£ x

O

1

x

 정의역:양의 실수 전체의 집합

 치역:실수 전체의 집합

 점근선의 방정식:x=0


 ⑵  y

O

1

x

y=log;3!; x

 정의역:양의 실수 전체의 집합

 치역:실수 전체의 집합

 점근선의 방정식:x=0



















1  ⑴ y=log™ x에 x 대신 x-(-1), y 대신 y-3을 대입하면


∴  y=log™ (x+1)+3

 y-3=log™ (x+1)

x에 x 대신 x-2, y 대신 y-(-3)을 대입하면
 ⑵ y=log
;5!;

 y+3=log
;5!;

(x-2)

∴  y=log
(x-2)-3
;5!;

 ⑶ y=log£ x에 x 대신 -x를 대입하면

 y=log£ (-x)

 ⑷ 함수 y=log™ x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프

의 식은 y=log™ x에 y 대신 -y를 대입하면

 -y=log™ x

∴  y=-log™ x



이 함수의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 그래프

의 식은 y=-log™ x에 y 대신 y-1을 대입하면

 y-1=-log™ x

∴  y=-log™ x+1











2  함수 y=log£ (x-2)+1의 그래
프는 함수 y=log£ x의 그래프를


x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향

으로 1만큼 평행이동한 것이므로

y

1

O

y=log£ (x-2)+1

1

2

3

y=log£ x

x

오른쪽 그림과 같다.

3  함수 y=-log™ (x-1)의 그래프는
y=log™ x의 그래프를 x축에 대하여 대


y



y=log™ x

칭이동한 후 x축의 방향으로 1만큼 평행

이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

2

O 1

x

y=-log™ (x-1)

4  ⑴ 함수 y=log™ x는 밑이 2이고 2>1이므로 x의 값이 증가하면

y의 값도 증가한다.



 따라서 최댓값은 x=8일 때, y=log™ 8=log™ 2‹=3



 따라서 최댓값은 x=9일 때, y=log£ 9=log£ 3€=2

최솟값은 x=1일 때, y=log£ 1=0

 ⑶ 함수 y=log

 x는 밑이

;2!;

이고 0<;2!;<1이므로 x의 값이

;2!;









 증가하면 y의 값은 감소한다.

 따라서 최댓값은 x=2일 때, y=log
;2!;

2=log2-1 2=-1

최솟값은 x=4일 때, y=log
;2!;

4=log2-1 2€=-2

x는 밑이
 ⑷ 함수 y=log
;3!;

이고 0<;3!;<1이므로 x의 값이 증

;3!;



 가하면 y의 값은 감소한다.

    따라서 최댓값은 x=;3!;




;3!;=1

일 때, y=log
;3!;
3=log3-1 3=-1

최솟값은 x=3일 때, y=log
;3!;

032  정답과 해설 

STEP 



필수 유형   

| 91쪽~97쪽 |

01-1     ⑴ y=log™ x+log™ ;3@; (x>0)  ⑵ y=4x-1
|해결 전략| 로그의 정의를 이용하여 x를 y로 나타낸 후 x와 y를 서로 바꾼다. 이

때, 정의역에 유의한다.

⑴ 함수 y=3_2x-1의 정의역은 실수 전체의 집합이고 치역은 {y|y>0}

이다.

 y=3_2x-1에서

;3Y;=2x-1

 로그의 정의에 의하여



log™

;3Y;=x-1, log™ y-log™ 3=x-1

 ∫ x=log™ y-log™ 3+1=log™ y+log™

;3@;

 x와 y를 서로 바꾸면 역함수는

 y=log™ x+log™

(x>0)

;3@;

⑵ 함수 y=log™

'ßx+1 은 진수의 조건에서 x+1>0이므로 정의역

은 {x|x>-1}, 치역은 실수 전체의 집합이다.

 y=log™
 양변을 제곱하면 (2y)€=x+1

'ßx+1 에서 로그의 정의에 의하여 2y='ßx+1

 ∫ x=4y-1

 x와 y를 서로 바꾸면 역함수는
 y=4x-1

01-2     8
|해결 전략| 로그의 정의를 이용하여 역함수를 구한 후 주어진 식과 비교한다.

함수 y=32x-4+3의 정의역은 실수 전체의 집합이고 치역은

{y|y>3}이다.
y=32x-4+3에서 y-3=32x-4

로그의 정의에 의하여

log£ (y-3)=2x-4, log£ (y-3)+4=2x

x=;2!; log£ (y-3)+2=log3€ (y-3)+2
∫ x=logª (y-3)+2

02-1       그래프: 풀이 참조, 정의역: {x|x>-1},   

점근선의 방정식: x=-1

|해결 전략| 함수 y=loga x의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 
n만큼 평행이동하면 정의역은 {x|x>m}, 점근선의 방정식은 x=m이다.

(x+1)-2의 그래프는 함
함수 y=log
;2!;
x의 그래프를 x축의 방향으

수 y=log
;2!;

로 -1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평

행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

이때, 진수는 양수이어야 하므로

x+1>0

 ∫ x>-1

y

-1

-;4#;

-2

O

x

y=log;2!; (x+1)-2

따라서 정의역은 {x|x>-1}, 점근선의 방정식은 x=-1이다.

최솟값은 x=2일 때, y=log™ 2=1

x와 y를 서로 바꾸면 역함수는

 ⑵   함수 y=log£ x는 밑이 3이고 3>1이므로 x의 값이 증가하면

y=logª (x-3)+2 (x>3)

 여기서 x>3은 생략할 수 있다.

y의 값도 증가한다.

따라서 a=9, b=-3, c=2이므로 a+b+c=8

02-2     ④
|해결 전략| 함수 y=log™ (-x+m)+n의 그래프는 함수 y=log™ x의 그
래프를 y축에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n

㉠의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행

이동한 그래프의 식은

y-n=log™ {-(x-m)}

 ∫ y=log™ (-x+m)+n

만큼 평행이동한 것이다.

①, ⑤ 함수 y=log™ (-x+3)-1=log™ {-(x-3)}-1의 그래

프는 함수 y=log™ x의 그래프를 y축에

log™ 3-1

=log™ (1-x)+2

따라서 y=log™ (-x+m)+n이

4(1-x)=log™ 4(1-x)
y=-log
;2!;



대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 3

만큼,  y축의  방향으로  -1만큼  평행이

동한 것이므로 점근선의 방정식은 x=3

이다.

② 진수는 양수이어야 하므로

 -x+3>0

 ∫ x<3

y

O

1

3

x

y=log™ (-x+3)-1

와 일치하므로

m=1, n=2

∫ m+n=3

 따라서 정의역은 {x|x<3}, 치역은 {y|y는 실수}이다.

③ y=log™ (-x+3)-1에 x=-1을 대입하면 y=1이므로 그래

프는 점 (-1, 1)을 지난다.

④ 밑이 2이고 2>1이므로 -x+3의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

함수 y=log¢ x의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은

감소한다.
 즉, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

이상에서 옳지 않은 것은 ④이다.

03-1     -2
|해결 전략 | log£ a=0이고 직선 y=x 위의 점은 (x좌표)=(y좌표)임을 이
용하여 a, b, c의 값을 차례로 구한다. 

오른쪽 그림에서 log£ a=0이므로

y=x

a=1

또, log£ b=1에서 b=3

log£ c=3에서 c=3‹=27

∫ log£

=log£

ab 
c

1_3  
27

=log£

;9!;







=log£ 3-2=-2

y

b
a

O

03-2     1+3 log£ 2
|해결 전략| CD’=3이므로 점 D의 y좌표가 3임을 이용한다. 

사각형 ABCD는 한 변의 길이가 3인 정사각형이므로

CD’=3이고, 점 C의 x좌표를 t라 하면

log£ t=3

∴  t=3‹=27

BC’=3이므로 점 B의 x좌표는 27-3=24

∴ BE’  =log£ 24=log£ (3_2‹)

=log£ 3+log£ 2‹

=1+3 log£ 2

04-1     3
|해결 전략 | 함수의 그래프에서 y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x를 대입하
고, x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면 x 대신 x-m, 

y 대신 y-n을 대입한다. 

04-2     258
|해결 전략 | 함수의 그래프에서 원점에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x, y 대신 
-y를 대입하고, x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 x 

대신 x-a, y 대신 y-2를 대입한다. 

-y=log¢ (-x)

 ∫ y=-log¢ (-x)

…… ㉠

㉠의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이

동한 그래프의 식은

y-2=-log¢ {-(x-a)}

 ∫ y=-log¢ (-x+a)+2

이때, y=-log¢ (-x+a)+2의 그래프가 점 (2, -2)를 지나므로

-2=-log¢ (-2+a)+2, log¢ (a-2)=4

a-2=4›

 ∫ a=258

이때, 함수 y=log∞ x는 밑이 5이고 5>1이므로 x의 값이 증가하면

log™∞ 16=log5€ 4€=log∞ 4

2=log∞ 5€=log∞ 25

또, 2 log∞ 3=log∞ 3€=log∞ 9

y의 값도 증가한다.

즉, 진수가 큰 수가 크다.

log∞ 4<log∞ 9<log∞ 25

∫ log™∞ 16<2 log∞ 3<2

따라서 진수의 크기를 비교하면 4<9<25이므로

05-2     -3<log

 7<log
;4!;
;2!;

 9

|해결 전략 | 세 수의 밑을 ;2!;로 통일한 후 진수의 크기를 비교한다.

9를 밑이
-3과 log
;4!;

;2!;

인 로그로 나타내면


-3=log
{;2!;}
;2!;

8
=log
;2!;

-3

9=log
log
;4!;

{;2!;}

3
€ 3€=log
;2!;

y=log£ x

05-1     log™∞ 16<2 log∞ 3<2
|해결 전략 | 세 수의 밑을 5로 통일한 후 진수의 크기를 비교한다.

a

b

c x

log™∞ 16과 2를 밑이 5인 로그로 나타내면

함수 y=log™ x의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은

이때, 함수 y=log
x는 밑이
;2!;

이고 0<;2!;<1이므로 x의 값이 증

;2!;

y=log™ (-x)

…… ㉠

가하면 y의 값은 감소한다.

  4 로그함수   033 

⑵ 함수 y=log∞ (x+6)-3에서 밑이 5이고 5>1이므로 x+6의

 함수 y=(t-1)€+1의

즉, 진수가 작은 수가 크다.

따라서 진수의 크기를 비교하면 3<7<8이므로

3
7<log
8<log
log
;2!;
;2!;
;2!;

9
7<log
∫ -3<log
;4!;
;2!;

06-1     ⑴ 최댓값: 0, 최솟값: -3  ⑵ 최댓값: -1, 최솟값: -2
|해결 전략 | 로그함수 y=loga f(x)에서 a>1인지 0<a<1인지 확인한다.

(x-1)에서 밑이
⑴ 함수 y=log
;2!;

이고 0<;2!;<1이므로 x-1의

;2!;

 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

(x-1)의
 따라서 2<x<9에서 함수 y=log
;2!;

1=0
 최댓값은 x=2일 때, y=log
;2!;


8=log
 최솟값은 x=9일 때, y=log
{;2!;}
;2!;
;2!;

-3

=-3

 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

 따라서 -1<x<19에서 함수 y=log∞ (x+6)-3의

 최댓값은 x=19일 때, y=log∞ 25-3=-1

 최솟값은 x=-1일 때, y=log∞ 5-3=-2

06-2     최댓값: 0, 최솟값: -2
|해결 전략 | 진수가 이차식인 경우 진수를  f(x)로 놓고 최댓값과 최솟값을 구

한다.

(-x€+6x-4)에서 밑이
함수 y=log
;2!;

이고 0<;2!;<1 이므로

;2!;

-x€+6x-4의 값이 증가하면 y의 값

y=f(x)

은 감소한다.

f(x)=-x€+6x-4로 놓으면

f(x)=-(x-3)€+5

이므로 4<x<5에서 1<f(x)<4

따라서 4<x<5에서

y

5
4

1

O

3 4 5

x

y=(t+2)€-1
y

3

O

-2

-3

-1

-1

t

 이때, 주어진 함수는

 y=t€+4t+3 =(t+2)€-1

 따라서 -3<t<-1에서

 함수 y=(t+2)€-1의

 최댓값은 t=-3 또는 t=-1일 때, y=0

 최솟값은 t=-2일 때, y=-1

x€+2에서
x)€-log
⑵ y=(log
;3!;
;3!;

x+2
x)€-2 log
 y=(log
;3!;
;3!;

x=t로 놓으면
log
;3!;

;9!;<x<27에서






x<log
27<log
log
;9!;
;3!;
;3!;
;3!;

 밑이 ;3!;이고 0<;3!;<1이므로 진수가

  작을수록 크다. 

 ∴ -3<t<2

 이때, 주어진 함수는



y=(t-1)€+1

y

17

 y=t€-2t+2=(t-1)€+1

 따라서 -3<t<2에서

 최댓값은 t=-3일 때, y=17

 최솟값은 t=1일 때, y=1

2

1
O-3

1

2

t

07-2     -12
|해결 전략 | 주어진 식을 변형하여 log3 x=t로 치환한 후 이차함수의 최대*
최소를 이용한다.
y=(log£ x)€+log£ xa+b에서
y=(log£ x)€+a log£ x+b

log£ x=t로 놓으면

y=t€+at+b

åå ㉠

㉠이 x=9, 즉 t=log£ 9=2에서 최솟값 -1을 가지므로 ㉠은

y=(t-2)€-1

∴  y=t€-4t+3

따라서 a=-4, b=3이므로 ab=-12

(-x€+6x-4)=log
함수 y=log
;2!;

;2!; f(x)의

최댓값은 f(x)=1일 때, y=log

최솟값은 f(x)=4일 때, y=log

;2!; 1=0
;2!; 4=log

-2

=-2


{;2!;}
;2!;



로그방정식

STEP 



개념 드릴   

| 99쪽 |

07-1     ⑴ 최댓값: 0, 최솟값: -1    ⑵ 최댓값: 17, 최솟값: 1
|해결 전략 | loga x=t로 치환한 후 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.

⑴ y=(log™ x)€-4 log

;2!; x+3에서

 y=(log™ x)€+4 log™ x+3

log™ x=t로 놓으면

;8!;<x<;2!;

에서





 ∴ -3<t<-1

034  정답과 해설 

1  ⑴ x=17  ⑵ x=;;¡9ª;;  ⑶ x=4
2  ⑴ x=5  ⑵ x=10  ⑶ x=5 

3  ⑴ x=;4!; 또는 x=4  ⑵ x=;3!; 또는 x=81

3  ⑶ x=;5!; 또는 x=25

4  ⑴ x=4 또는 x=;2%;  ⑵ x=2  ⑶ x=7

log™

;8!;<log™ x<log™

;2!;

 밑이 2이고 2>1이므로 진수가 클수록 크다.

1  ⑴ 진수의 조건에서 x-1>0


 ∫ x>1

åå ㉠































































 로그의 정의에 의하여 x-1=2›=16

 ∫ x=17

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=17

 ⑵ 진수의 조건에서 x-2>0

 ∫ x>2

 로그의 정의에 의하여 x-2=3-2=;9!;

 ∫ x=;;¡9ª;;

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;;¡9ª;;

  ⑶ 진수의 조건에서 3x+4>0

 ∫ x>-;3$;


 로그의 정의에 의하여 3x+4={;4!;}
 ∫ x=4

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=4

-2

=16

2  ⑴ 진수의 조건에서 x+2>0, 2x-3>0이므로

 x>;2#;

 밑이 같으므로 x+2=2x-3

 ∫ x=5

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5

 ⑵ 진수의 조건에서 x+1>0, 2x-9>0이므로

 x>;2(;

 밑이 같으므로 x+1=2x-9

 ∫ x=10

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=10

 x>3

 ∫ x=5

 밑이 같으므로 x-1=2(x-3)

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5

3  ⑴ 진수의 조건에서 x>0


log™ x=t로 놓으면



t€-4=0, (t+2)(t-2)=0

 ∫ t=-2 또는 t=2

t=-2일 때, log™ x=-2에서 x=;4!;
t=2일 때, log™ x=2에서 x=4

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는

 x=;4!;

또는 x=4

 ⑵ 진수의 조건에서 x>0

log£ x=t로 놓으면

t€-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0

 ∫ t=-1 또는 t=4





















































































åå ㉠

 x=;3!;

또는 x=81













t=-1일 때, log£ x=-1에서 x=;3!;
t=4일 때, log£ x=4에서 x=81

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는

 ⑶ 진수의 조건에서 x>0

log∞ x=t로 놓으면

t€-t-2=0, (t+1)(t-2)=0

 ∫ t=-1 또는 t=2

t=-1일 때, log∞ x=-1에서 x=;5!;
t=2일 때, log∞ x=2에서 x=25

 따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는

 x=;5!;

또는 x=25

åå ㉠

4  진수가 같은 경우에는 밑이 같거나 진수가 1임을 이용한다.
 ⑴ 진수의 조건에서 2x-4>0

åå ㉠

 ∫ x>2

 밑의 조건에서 x-1>0, x-1+1이므로

 1<x<2 또는 x>2

 ㉠, ㉡에서 x>2



logx-1 (2x-4)=log3 (2x-4)에서

åå ㉠

 x-1=3 또는 2x-4=1


 ∫ x=4 또는 x=;2%;

 ⑵ 진수의 조건에서 x+5>0

이 값은 모두 ㉢을 만족시킨다.


 0<x<1 또는 x>1

 ㉠, ㉡에서 0<x<1 또는 x>1



logx (x+5)=log2 (x+5)에서

 x=2 또는 x+5=1

 ∫ x=2 또는 x=-4

åå ㉠

 따라서 ㉢에 의하여 구하는 해는

 x=2

 ⑶ 진수의 조건에서 x€-1>0



(x-1)(x+1)>0

 ∫ x<-1 또는 x>1

 밑의 조건에서 x-2>0, x-2+1이므로

 2<x<3 또는 x>3

 ㉠, ㉡에서 2<x<3 또는 x>3



logx-2 (x€-1)=log5 (x€-1)에서

 x-2=5 또는 x€-1=1
 ∫ x=7 또는 x=-'2 또는 x='2
 따라서 ㉢에 의하여 구하는 해는

 x=7

åå ㉠

åå ㉠

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉢

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉢

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉢

  4 로그함수   035 

 ⑶ 진수의 조건에서 x-1>0, 2(x-3)>0이므로

 ∫ x>-5

åå ㉠

 밑의 조건에서 x>0, x+1이므로

STEP 



필수 유형   

| 100쪽~102쪽 |

01-1     x=6
|해결 전략| loga f(x)=loga g(x) (a>0, a+1) 꼴로 변형한 후

÷f(x)=g(x) (f(x)>0, ÷g(x)>0)임을 이용한다.

진수의 조건에서 x€-2x-15>0, x-3>0이므로

1 x€-2x-15>0에서 (x+3)(x-5)>0

åå ㉠

 ∫ x<-3 또는 x>5

2 x-3>0에서 x>3

1, 2에서 x>5

(x€-2x-15)+1=-log£ (x-3)에서

log
;3!;
(x-3)
(x€-2x-15)+1=log
log
;3!;
;3!;
(x-3)-1
(x€-2x-15)=log
log
;3!;
;3!;


(x-3)-log
(x€-2x-15)=log
log
;3!;
;3!;
;3!;
;3!;



3(x-3)
(x€-2x-15)=log
log
;3!;
;3!;

밑이 같으므로 x€-2x-15=3(x-3)

x€-5x-6=0, (x+1)(x-6)=0

∫ x=-1 또는 x=6

따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=6

01-2     x=1
|해결 전략| loga f(x)=loga g(x) (a>0, a+1) 꼴로 변형한 후

÷f(x)=g(x) (f(x)>0, ÷g(x)>0)임을 이용한다.

진수의 조건에서 x+3>0이므로 x>-3

åå ㉠

 0<x<1 또는 x>1

åå ㉠

  따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
 x=;9!;
⑵ 진수와 밑의 조건에서 x>0, x+1이므로

또는 x=27



logx 5=

이므로 log∞ x=t로 놓으면

1
log∞ x

 t=

+1, t€-t-2=0

2
t

 (t+1)(t-2)=0

 ∫ t=-1 또는 t=2

 t=-1일 때, log∞ x=-1에서 x=;5!;
  t=2일 때, log∞ x=2에서 x=25
  따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
 x=;5!;

또는 x=25

02-2     3
|해결 전략| 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 log£ x=t로 치환하여 얻은 방
정식의 두 근은 log£ a, log£ b이다. 

(log£ x)€=log£ x+12에서 log£ x=t로 놓으면

åå ㉠

주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 방정식 ㉠의 두 근은 log£ a,

t€-t-12=0

log£ b이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

log£ a+log£ b=1

log£ ab=1

 ∫ ab=3

log™ (x+3)=log¢ (x+3)+1에서

log™ (x+3)=log¢ (x+3)+log¢ 4

log™ (x+3)=log™€ 4(x+3)

log™ (x+3)=;2!; log™ 4(x+3)
2 log™ (x+3)=log™ 4(x+3)

log™ (x+3)€=log™ 4(x+3)

밑이 같으므로 (x+3)€=4(x+3)

x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0

∫ x=-3 또는 x=1

따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=1

02-1     ⑴ x=;9!; 또는 x=27  ⑵ x=;5!; 또는 x=25
|해결 전략| loga x=t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다.

⑴ 진수의 조건에서 x>0

åå ㉠

 (log£ x)€=log£ x+6에서 (log£ x)€-log£ x-6=0



log£ x=t로 놓으면

 t€-t-6=0, (t+2)(t-3)=0

 ∫  t=-2 또는 t=3

 t=-2일 때, log£ x=-2에서 x=;9!;
  t=3일 때, log£ x=3에서 x=27

036  정답과 해설 

åå ㉠

03-1     ⑴ x=;10¡00; 또는 x=10  ⑵ x=10
|해결 전략| ⑴ 주어진 식의 양변에 상용로그를 취한다.
⑵ 주어진 식을 변형하여 3log x=t로 치환한다.

의 양변에 상용로그를 취하면

⑴ 진수의 조건에서 x>0

 xlog x=

1000 
x€

log xlog x=log

1000 
x€







log x_log x=log 1000-log x€

 (log x)€+2 log x-3=0

log x=t로 놓으면

 t€+2t-3=0, (t+3)(t-1)=0

 ∫ t=-3 또는 t=1

 t=-3일 때, log x=-3에서 x=;10¡00;
  t=1일 때, log x=1에서 x=10
  따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
 x=;10¡00;
또는 x=10

⑵ 진수의 조건에서 x>0
 로그의 성질에 의하여 xlog 3=3log x이므로 주어진 방정식은
 3log x_3log x-3log x-6=0
 (3log x)€-3log x-6=0
 3log x=t (t>0)로 놓으면

 t€-t-6=0, (t+2)(t-3)=0

 ∫ t=3 (ç t>0)
 t=3일 때, 3log x=3에서

log x=1

 ∫ x=10

  따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=10



로그부등식

STEP 



개념 드릴   

| 104쪽 |

1  ⑴ 5<x<25  ⑵ x>8  ⑶ x>3  ⑷ x>;9%;
  ⑸ 3<x<4  ⑹ -1<x<0 또는 2<x<3

  ⑺ -3<x<-1 또는 0<x<2

2  ⑴ 0<x<;3!; 또는 x>9  ⑵ 0<x<;12!5; 또는 x>;5!;

  ⑶ ;2!;<x<32  ⑷ x=;3!;  ⑸ ;4!;<x<;2!;

åå ㉠

 ⑸ 진수의 조건에서 5-x>0, x-3>0

 ∫ 3<x<5

 ∫ x<4

 밑이

이고 0<;5!;<1이므로 5-x>x-3, 2x<8

;5!;

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<4

 ⑹ 진수의 조건에서 x€-2x>0, x(x-2)>0

 ∫ x<0 또는 x>2

åå ㉠

åå ㉡

åå ㉠

 밑이 5이고 5>1이므로 x€-2x<3, x€-2x-3<0



(x+1)(x-3)<0

 ∫ -1<x<3

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 -1<x<0 또는 2<x<3

 ⑺ 진수의 조건에서 x€+x>0, x(x+1)>0

    ∫ x<-1 또는 x>0

åå ㉠

 밑이

;3!;

이고 0<;3!;<1이므로 x€+x<6, x€+x-6<0
 ∫ -3<x<2

(x+3)(x-2)<0



åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 -3<x<-1 또는 0<x<2

åå ㉠

2  ⑴ 진수의 조건에서 x>0


log£ x=t로 놓으면 t€-t-2>0





(t-2)(t+1)>0

 ∫ t<-1 또는 t>2

 따라서 log£ x<-1 또는 log£ x>2이므로



log£ x<log£

또는 log£ x>log£ 9

;3!;

1  ⑴ 진수의 조건에서 x>0


 1<log∞ x<2에서 log∞ 5<log∞ x<log∞ 25

 밑이 5이고 5>1이므로 5<x<25

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 5<x<25

åå ㉠

åå ㉡

 밑이 3이고 3>1이므로 x<;3!;
 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

 0<x<;3!;

또는 x>9

또는 x>9

åå ㉡

 ⑵ 진수의 조건에서 2x>0

 ∫ x>0

åå ㉠

 ⑵ 진수의 조건에서 x>0

åå ㉠



log™ 2x>4에서 log™ 2x>log™ 16

 밑이 2이고 2>1이므로 2x>16

 ∫ x>8

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>8

log∞ x=t로 놓으면 t€+3>-4t

t€+4t+3>0, (t+3)(t+1)>0

 ∫ t<-3 또는 t>-1

 ⑶ 진수의 조건에서 x+1>0

 ∫ x>-1

åå ㉠

 따라서 log∞ x<-3 또는 log∞ x>-1이므로



log™ (x+1)>2에서 log™ (x+1)>log™ 4

 밑이 2이고 2>1이므로 x+1>4

 ∫ x>3

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>3

 ⑷ 진수의 조건에서 2x-1>0


 ∫ x>;2!;

åå ㉠




(2x-1)<log
(2x-1)<2에서 log
log
;9!;
;3!;
;3!;
;3!;

 밑이

이고 0<;3!;<1이므로 2x-1>;9!;

, 2x>:¡9º:

;3!;


 ∫ x>;9%;



log∞ x<log∞

또는 log∞ x>log∞

;12!5;

;5!;

 밑이 5이고 5>1이므로 x<;12!5;
 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면


또는 x>;5!;

åå ㉡

 0<x<;12!5;

또는 x>;5!;

 ⑶ 진수의 조건에서 x>0

(log™ x)€-5<log™ x›에서 (log™ x)€-5<4 log™ x

åå ㉠

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>;9%;

 ∫ -1<t<5

åå ㉡

log™ x=t로 놓으면 t€-5<4t

t€-4t-5<0, (t-5)(t+1)<0

























  4 로그함수   037 



















































































































 따라서 -1<log™ x<5이므로

 (x+1)(x-2)>0

 ∫ x<-1 또는 x>2

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>2

 밑이 2이고 2>1이므로

;2!;<x<32

åå ㉡

 ⑷ 진수의 조건에서 x>0

åå ㉠



log™

;2!;<log™ x<log™ 32

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;2!;<x<32











x=t로 놓으면 t€-2t+1<0
log
;3!;

(t-1)€<0

 ∫ t=1


x=log
 따라서 log
;3!;
;3!;
;3!;

이므로 x=;3!;

 x=;3!;

은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해이다.

x=t로 놓으면 t€+2<3t
log
;2!;

t€-3t+2<0, (t-1)(t-2)<0

 ∫ 1<t<2

 ⑸ 진수의 조건에서 x>0

åå ㉠

 따라서 1<log
;2!;


x<2이므로 log
;2!;<log
;2!;

x<log
;2!;
;2!;


;4!;

;2!;

 밑이

이고 0<;2!;<1이므로
 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면


;4!;<x<;2!;



;4!;<x<;2!;

01-2     2

|해결 전략| 밑을 같게 한 후 진수에 대한 부등식을 세운다. 이때, (밑)>1이면 부
등호의 방향은 그대로이고, 0<(밑)<1이면 부등호의 방향은 반대가 된다.

진수의 조건에서 log™ 5x>0

∴  log™ 5x>log™ 1

밑이 2이고 2>1이므로 5x>1

∴  x>;5!; 


(log™ 5x)<log
(log™ 5x)<-1에서 log
log
{;3!;}
;3!;
;3!;
;3!;

…… ㉠

-1

3
(log™ 5x)<log
∴ log
;3!;
;3!;

밑이

이고 0<;3!;<1이므로 log™ 5x>3

;3!;

∴ log™ 5x>log™ 8

밑이 2이고 2>1이므로 5x>8

∴  x>;5*; 

…… ㉡

åå ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>;5*;
따라서 정수 x의 최솟값은 2이다.

02-1     ⑴ ;2¡7;<x<'3  ⑵ ;6¡4;<x<2
|해결 전략| loga x 꼴이 반복되는 로그부등식은 loga x=t로 치환하여 푼다.

⑴ 진수의 조건에서 x>0

åå ㉠

 2(log£ x)€+5 log£ x-3<0에서



log£ x=t로 놓으면 2t€+5t-3<0, (t+3)(2t-1)<0

|해결 전략| a>1일 때 loga f(x)<loga g(x)이면 0<f(x)<g(x)이고,  
0<a<1일 때 loga f(x)<loga g(x)이면 f(x)>g(x)>0임을 이용한다.

| 105쪽~110쪽 |

 ∫ -3<t<;2!;

 따라서 -3<log£ x<;2!;

이므로



log£

;2¡7;<log£ x<log£ '3

STEP 



필수 유형   

01-1     ⑴ 3<x<4  ⑵ x>2

⑴ 진수의 조건에서 x>0, x-3>0

 ∫  x>3

x+log
log
;2!;
;2!;

(x-3)>-2에서

4
x(x-3)>log
log
;2!;
;2!;

;2!;

 밑이

이고 0<;2!;<1이므로
 x(x-3)<4, x€-3x-4<0

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<4

⑵ 진수의 조건에서 x+2>0, x>0

 ∫  x>0

log¢ (x+2)<log™ x에서

log™ (x+2)<log™ x

;2!;

log™ (x+2)<2 log™ x, log™ (x+2)<log™ x€

 밑이 2이고 2>1이므로

 x+2<x€, x€-x-2>0

038  정답과 해설 

 (x+1)(x-4)<0

 ∫ -1<x<4

åå ㉡

 밑이 3이고 3>1이므로

;2¡7;<x<'3

åå ㉡

åå ㉠

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;2¡7;<x<'3

⑵ 진수의 조건에서 4x>0, 8x>0이므로 x>0

åå ㉠



8x<12에서

4x_log
log
;2!;
;2!;
x)<12
8+log
x)(log
4+log
 (log
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
x-3)<12
x-2)(log
 (log
;2!;
;2!;
x)€-5 log
 (log
;2!;
;2!;
x=t로 놓으면 t€-5t-6<0, (t+1)(t-6)<0
log
;2!;

x-6<0



 ∫ -1<t<6

åå ㉠

x<6이므로
 따라서 -1<log
;2!;




x<log
2<log
log
;6¡4;
;2!;
;2!;
;2!;

 밑이

이고 0<;2!;<1이므로

;6¡4;<x<2

;2!;

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;6¡4;<x<2

02-2     8
|해결 전략| 주어진 식을 log™ x 꼴이 반복되는 형태로 변형하여 푼다.

04-1    

;1¡6;<a<16

åå ㉠

|해결 전략| 이차방정식이 허근을 가지려면 판별식 D<0이어야 함을 이용한다. 

log™ a에서 진수의 조건에 의하여 a>0

åå ㉠

이차방정식 x€-(log™ a)x+4=0이 허근을 가지려면 판별식 D<0

진수의 조건에서 x>0

x)_log™ x+4>0에서
(3+log
;2!;

(3-log™ x)_log™ x+4>0

-(log™ x)€+3 log™ x+4>0

(log™ x)€-3 log™ x-4<0

log™ x=t로 놓으면 t€-3t-4<0

(t+1)(t-4)<0

 ∫ -1<t<4

따라서 -1<log™ x<4이므로

log™

;2!;<log™ x<log™ 16

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;2!;<x<16

따라서 a=;2!;

, b=16이므로

ab=;2!;_16=8

이어야 하므로

D=(log™ a)€-16<0

log™ a=t로 놓으면

t€-16<0, (t+4)(t-4)<0

∫ -4<t<4

따라서 -4<log™ a<4이므로

log™

;1¡6;<log™ a<log™ 16

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;1¡6;<a<16

밑이 2이고 2>1이므로

;2!;<x<16

åå ㉡

밑이 2이고 2>1이므로

;1¡6;<a<16

åå ㉡

03-1     ⑴ 0<x<;3!; 또는 x>27  ⑵ 1<x<1000
|해결 전략| 지수에 로그가 있을 때는 양변에 로그를 취하여 푼다. 

⑴ 진수의 조건에서 x>0
 x log£ x>27x€의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면

åå ㉠

k>0
t€-4t+2 log
;2!;

log£ x log£ x>log£ 27x€, log£ x_log£ x>log£ 27+log£ x€

모든 실수 t에 대하여 ㉡이 성립해야 하므로 t에 대한 이차방정식

05-1     0<k<;4!;
|해결 전략| 주어진 조건에 맞게 부등식을 세운다.  

진수의 조건에서 x>0, k>0

åå ㉠

x=t로 놓으면 x는 모든 양수이므로 t는 모든 실수이고,
log
;2!;

x+2 log
x)€-4 log
(log
;2!;
;2!;
;2!;

k>0에서

åå ㉡

k=0의 판별식을 D라 하면 D<0이어야 한다.
t€-4t+2 log
;2!;

즉,

D
4

k>2
k<0에서 log
=2€-2 log
;2!;
;2!;


k>log
log
;4!;
;2!;
;2!;

밑이


이고 0<;2!;<1이므로 k<;4!;

;2!;

åå ㉢


㉠, ㉢의 공통 범위를 구하면 0<k<;4!;

åå ㉡

06-1     2.7_10-3 
|해결 전략| 주어진 관계식에 알맞은 문자 또는 값을 대입한 후 지수와 로그의 성

질을 이용한다.  

L=

I_10-kx
x€

åå ㉠

에 L=4_10-7, I=4_10fi, x=2000을 대입하면

4_10-7=

4_10fi_10-2000k
2000_2000

, 4_10-7=

10-2000k
10

∴ 4_10-6=10-2000k

양변에 상용로그를 취하면
log (4_10-6)=log 10-2000k

2 log 2-6=-2000k

0.6-6=-2000k

-5.4=-2000k
∴ k=2.7_10-3



  4 로그함수   039 











log£ x_log£ x>3+2 log£ x

 (log£ x)€-2 log£ x-3>0

log£ x=t로 놓으면

 t€-2t-3>0, (t+1)(t-3)>0

 ∫  t<-1 또는 t>3

 따라서 log£ x<-1 또는 log£ x>3이므로



log£ x<log£

또는 log£ x>log£ 27

;3!;

 밑이 3이고 3>1이므로

또는 x>27

 x<;3!;
 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

또는 x>27

 0<x<;3!;
⑵ 진수의 조건에서 x>0
 x log x<x‹의 양변에 상용로그를 취하면

log x log x<log x‹, log x_log x<3 log x

 (log x)€-3 log x<0

log x=t로 놓으면 t€-3t<0

 t(t-3)<0

 ∫ 0<t<3

 따라서 0<log x<3이므로



log 1<log x<log 1000

 밑이 10이고 10>1이므로 1<x<1000

åå ㉡

 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x<1000

06-2     17시간 후
|해결 전략| 주어진 조건에 맞게 부등식을 세운다.  

x와 y를 서로 바꾸면 함수 y=3 log™ (x+3)-1의 역함수는 y=2

x+1
3 -3

따라서 g(x)=2

3 -3이므로 g(8)=2‹-3=5

x+1

미생물 10마리가 분열을 시작하여 n시간 후에 미생물의 수가 처음으

로 100만 마리 이상이 된다고 하면
10_2n>10fl
양변에 상용로그를 취하면
log (10_2n)>log 10fl
1+n log 2>6

∫ n>

5
log 2

=

5
0.3

=16.666å

따라서 미생물 10마리가 분열을 시작하여 처음으로 100만 마리 이상

이 되는 것은 17시간 후이다.

② 진수는 양수이어야 하므로

x-5>0

 ∴ x>5

STEP 



유형 드릴   

| 111쪽~113쪽 |

2-2     ㄴ, ㄹ
|해결 전략| 함수 y=loga (-x)의 그래프는 함수 y=loga x의 그래프를 y

2-1     ⑤
|해결 전략| 함수 y=log™ (x-m)+n의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래

프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 것이다. 

①, ⑤ 함수 y=log™ (x-5)-3의 그래프는 함수 y=log™ x의 그

래프를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이

동한 것이므로 점근선의 방정식은 x=5이다.

5

 따라서 정의역은 {x |x>5}, 치역은 {y|y는 실수}이다.

③ y=log™ (x-5)-3에 x=6을 대입하면 y=-3이므로 그래프

는 점 (6, -3)을 지난다.

④ 밑이 2이고 2>1이므로 x-5의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

 즉, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

이상에서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

축에 대하여 대칭이동한 것이다. 

ㄱ. 진수는 양수이어야 하므로 6-x>0

 ∴ x<6

따라서 정의역은 {x|x<6}이다.

<

ㄴ, ㄹ. 함수 y=log£ (6-x)+2의 그래프는 함수 y=log£ x의 그

래프를 y축에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 6만큼, y축

의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 점근선의 방정식은 x=6

ㄷ. y=log£ (6-x)+2에 x=3을 대입하면 y=3이므로 그래프는

이다.

점 (3, 3)을 지난다.

3)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

3-1     4
|해결 전략 | b=log™ 16, a=log™ b임을 이용하여 주어진 식의 값을 구한다.

b=log™ 16이므로
2b=16

 ∫ b=4

또, a=log™ b이므로

a=log™ 4=2

a-b

2-4

-2





{;2!;}

{;2!;}

={;2!;}
=2€=4

a-b

={;2!;}

y

b
a

O

y=x

y=log™ x

a1

b

16

x

3-2     (6, 2)
|해결 전략| AB’=2이므로 점 A의 y좌표가 2임을 이용한다.

(t, log™ t)라 하면

log™ t=2

 ∫ t=2€=4

따라서 A(4, 2)이므로 점 D의 좌표는 (6, 2)이다.

1-1     0
|해결 전략| 주어진 두 함수는 서로 역함수 관계임을 이용한다.
함수 y=a log£ (x+b)+c의 그래프가 함수 y=3x-1+2의 그래프

와 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 함수 y=a log£ (x+b)+c는
함수 y=3x-1+2의 역함수이다.
y=3x-1+2에서 3x-1=y-2

x-1=log£ (y-2)

∫ x=log£ (y-2)+1
x와 y를 서로 바꾸면 함수 y=3x-1+2의 역함수는

y=log£ (x-2)+1

따라서 a=1, b=-2, c=1이므로

a+b+c=1+(-2)+1=0

1-2     5
|해결 전략| 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g(a)=b이면 f(b)=a임을 

이용한다.

함수 f(x)=3 log™ (x+3)-1의 역함수가 g(x)이므로

g(8)=a라 하면 f(a)=8

f(a)=3 log™ (a+3)-1=8

log™ (a+3)=3

a+3=2‹이므로 a=5

∫ g(8)=5

다른 풀이  

이다.

040  정답과 해설 

y=3 log™ (x+3)-1에서 log™ (x+3)=

y+1
3



x+3=2



  ∴ x=2

y+1
3

y+1
3 -3

함수 f(x)=3 log™ (x+3)-1의 정의역은 {x|x>-3}, 치역은 실수 전체의 집합

정사각형 ABCD의 한 변의 길이가 2이므로 점 A의 좌표를

4-1     m=-;3!;, n=3
|해결 전략| 함수 y=loga x의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으
로 n만큼 평행이동하면 함수 y=loga (x-m)+n의 그래프를 얻을 수 있다.

y=log£ (27x+9)=log£ 27{x+;3!;}

y=log£

{x+;3!;}+log£ 27=log£

{x+;3!;}+3

6-1     1
|해결 전략| 로그함수 y=loga ÷f(x)에서 a>1인지 0<a<1인지 확인한다. 

함수 y=log∞ (x€-4x+9)에서 밑이 5이고 5>1이므로

x€-4x+9의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

÷f(x)=x€-4x+9로 놓으면 함수 y=log∞ ÷f(x)는 ÷÷f(x)가 최소일

에서 함수 y=log£ (27x+9)의 그래프는 함수 y=log£ x의 그래프

÷f(x)=x€-4x+9=(x-2)€+5이므로 ÷÷f(x)는 x=2에서 최솟

때 최소가 된다.

값 5를 갖는다.

만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것

따라서 함수 y=log∞ ÷f(x)는 x=2에서 최솟값 log∞ ÷5=1을 갖는다.

∫ a=2, b=1

∴  a-b=1

를 x축의 방향으로 -;3!;
이다.

∫ m=-;3!;

, n=3

4-2     3
|해결 전략| 함수 y=loga x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식
은 -y=loga x이다.

6-2     5
|해결 전략| 로그함수 y=loga  f(x)에서 a>1인지 0<a<1인지 확인한다. 

함수 y=log™ (x€-2x+5)에서 밑이 2이고 2>1이므로

x€-2x+5의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

(x-1)+1의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그

f(x)=x€-2x+5로 놓으면

또, ㉠의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은

함수 y=log
;3!;

래프의 식은

(x-1)+1
-y=log
;3!;

(y-1)+1
-x=log
;3!;

log£ (y-1)=x+1, y-1=3x+1
∫ y=3_3x+1

따라서 a=3, b=1이므로 ab=3

f(x)=(x-1)€+4

åå ㉠

이므로 -1<x<2에서 4<f(x)<8

따라서 -1<x<2에서 함수 y=log™ f(x)의

최댓값은 f(x)=8일 때, M=log™ 8=3

최솟값은 f(x)=4일 때, m=log™ 4=2

∫ M+m=3+2=5

5-1     1, log£ 7, logª 100
|해결 전략| 밑을 같게 하여 진수의 대소를 비교한다.

1=log£ 3, logª 100=log£ 10

이때, 함수 y=log£ x는 밑이 3이고 3>1이므로 x의 값이 증가하면

7-1     x=;1¡6; 또는 x=1
|해결 전략| 주어진 식을 변형한 후 log™ x=t로 치환하여 푼다.

åå ㉠

y의 값도 증가한다.

즉, 3<7<10이므로

log£ 3<log£ 7<log£ 10

따라서 작은 것부터 차례로 나열하면

1, log£ 7, logª 100

5-2     -2, ;2!; log
|해결 전략| 밑을 같게 하여 진수의 대소를 비교한다.

 5
 36, log
;3!;

;3!;

-2=log
;3!;

9,

;2!; log

36=log
;3!;
;3!;

6

하면 y의 값은 감소한다.

즉, 5<6<9이므로

6<log
9<log
log
;3!;
;3!;
;3!;

5

따라서 작은 것부터 차례로 나열하면

-2,

;2!;

5
36, log
log
;3!;
;3!;

진수의 조건에서 x>0

log™ 8x_log™ 2x=3에서

(log™ x+3)(log™ x+1)=3

log™ x=t로 놓으면

(t+3)(t+1)=3, t€+4t=0

t(t+4)=0

 ∫ t=-4 또는 t=0

t=-4일 때, log™ x=-4에서 x=;1¡6;
t=0일 때, log™ x=0에서 x=1

따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는

x=;1¡6;

또는 x=1

진수의 조건에서 x>0

(log£ x)€-log£ xfi+4=0에서

(log£ x)€-5 log£ x+4=0

log£ x=t로 놓으면

t€-5t+4=0, (t-1)(t-4)=0

∫ t=1 또는 t=4

åå ㉠

  4 로그함수   041 

x는 밑이
이때, 함수 y=log
;3!;

이고 0<;3!;<1이므로 x의 값이 증가

;3!;

7-2     243
|해결 전략| log£ x=t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다.

따라서 -2<log∞ x<1이므로

log∞

;2¡5;<log∞ x<log∞ 5

밑이 5이고 5>1이므로

;2¡5;<x<5 

åå ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;2¡5;<x<5

따라서 정수 x는 1, 2, 3, 4, 5이므로 그 개수는 5이다.

t=1일 때, log£ x=1에서 x=3

t=4일 때, log£ x=4에서 x=81

따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는

x=3 또는 x=81

∫ ab=3_81=243

1<x<3

log™ (x-1)<log¢ (3-x)에서

log™ (x-1)<;2!; log™ (3-x)
2 log™ (x-1)<log™ (3-x)

log™ (x-1)€<log™ (3-x)

이때, 밑이 2이고 2>1이므로

(x-1)€<3-x, x€-x-2<0

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

1<x<2

따라서 a=1, b=2이므로 ab=2

8-1     2 
|해결 전략| 밑을 같게 한 후 진수에 대한 부등식을 세운다. 이때, (밑)>1이면 

부등호의 방향은 그대로이다.

진수의 조건에서 x-1>0, 3-x>0이므로

9-2    

;;£8£;;

åå ㉠

|해결 전략| 주어진 식을 변형한 후 log™ x=t로 치환하여 부등식을 푼다.

진수의 조건에서 8x>0,

;4X;>0이므로 x>0

åå ㉠

8x_log™
log
;2!;

;4X;>0에서

log™ 8x_log™

;4X;<0
(log™ 8+log™ x)(log™ x-log™ 4)<0

(log™ x+3)(log™ x-2)<0

log™ x=t로 놓으면

(t+3)(t-2)<0

 ∫ -3<t<2

따라서 -3<log™ x<2이므로

log™

;8!;<log™ x<log™ 4

밑이 2이고 2>1이므로

;8!;<x<4

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;8!;<x<4

따라서 a=;8!;

, b=4이므로

åå ㉠

a+b=;8!;+4=;;£8£;;

åå ㉡

10-1    

;8!;

|해결 전략| 양변에 밑이 2인 로그를 취한다.

진수의 조건에서 x>0

åå ㉠

x log™ x<

의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면

16
x‹ 

log™ x log™ x<log™

16
x‹ 

log™ x_log™ x<log™ 16-log™ x‹

(log™ x)€+3 log™ x-4<0

log™ x=t로 놓으면 t€+3t-4<0

(t+4)(t-1)<0

 ∫ -4<t<1

åå ㉠

따라서 -4<log™ x<1이므로

log™

;1¡6;<log™ x<log™ 2

밑이 2이고 2>1이므로

;1¡6;<x<2

åå ㉡

(x+1)(x-2)<0

 ∫ -1<x<2

åå ㉡

8-2     3
|해결 전략| 밑을 같게 한 후 진수에 대한 부등식을 세운다. 이때, 0<(밑)<1이

면 부등호의 방향은 반대가 된다.

진수의 조건에서 x-1>0, 7-x>0이므로

1<x<7

log
;3!;

(x-1)<;2!; log
(x-1)<log
2 log
;3!;
;3!;

(7-x)에서
;3!;

(7-x)

(7-x)
(x-1)€<log
log
;3!;
;3!;

밑이

이고 0<;3!;<1이므로

;3!;

(x-1)€>7-x, x€-x-6>0

(x+2)(x-3)>0

 ∫ x<-2 또는 x>3

åå ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<7

따라서 정수 x는 4, 5, 6이므로 그 개수는 3이다.

9-1     5
|해결 전략| log∞ x=t로 치환하여 t에 대한 부등식을 푼다.

진수의 조건에서 x>0

log∞ x=t로 놓으면

t€+t-2<0, (t+2)(t-1)<0

∫ -2<t<1

042  정답과 해설 

10-2     10
|해결 전략| 주어진 식을 변형하여 양변에 밑이 2인 로그를 취한다.

åå ㉠

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;1¡6;<x<2

따라서 a=;1¡6;

, b=2이므로

ab=;1¡6;_2=;8!;

의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면

진수의 조건에서 x>0

8xlog™ x<x›에서 xlog™ x<

x› 
8

xlog™ x<

x› 
8

log™ xlog™ x<log™

x› 
8

log™ x_log™ x<4 log™ x-3

(log™ x)€-4 log™ x+3<0

log™ x=t로 놓으면 t€-4t+3<0

(t-1)(t-3)<0

 ∫ 1<t<3

따라서 1<log™ x<3이므로

log™ 2<log™ x<log™ 8

밑이 2이고 2>1이므로

2<x<8

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2<x<8

따라서 a=2, b=8이므로

a+b=2+8=10

함을 이용한다.

log a에서 진수의 조건에 의하여 a>0

또, 이차방정식이므로 3-log a+0
4 a+1000

실근을 가지려면 판별식 D>0이어야 하므로

D
4

=(1-log a)€-(3-log a)>0

∫ (log a)€-log a-2>0

log a=t로 놓으면

t€-t-2>0, (t+1)(t-2)>0

∫ t<-1 또는 t>2

따라서 log a<-1 또는 log a>2이므로

log a<log

또는 log a>log 100

;1¡0;

밑이 10이고 10>1이므로

åå ㉡

åå ㉠

åå ㉡

11-1     0<a<;1¡0  또는 100<a<1000 또는 a>1000
|해결 전략| 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 D>0이어야 

이차방정식 (3-log a)x€+2(1-log a)x+1=0이 서로 다른 두

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면

0<a<;1¡0;

또는 100<a<1000 또는 a>1000

11-2    

;4!;<k<4

|해결 전략| 이차방정식이 허근을 가지려면 판별식 D<0이어야 한다.

log™ k에서 진수의 조건에 의하여 k>0

åå ㉠

이차방정식 x€-(3 log™ k)x+9=0이 허근을 가지려면 판별식 D<0

이어야 하므로

D=(3 log™ k)€-4_9<0

∫ 9(log™ k)€-36<0

log™ k=t로 놓으면

9t€-36<0, 9(t+2)(t-2)<0

∫ -2<t<2

따라서 -2<log™ k<2이므로

log™

;4!;<log™ k<log™ 4
밑이 2이고 2>1이므로

;4!;<k<4
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;4!;<k<4

åå ㉡

12-1     31.62
|해결 전략| 동물 B의 몸무게가 W이면 동물 A의 몸무게는 100W임을 이용한다.

동물 A의 표준대사량을 EA, 동물 B의 표준대사량을 EB,

EB=kW ;4#;이라 하면

EA=k(100W);4#;=100;4#;EB

따라서 a=100;4#;이므로 양변에 상용로그를 취하면

log a=;4#; log 100=1.5=1+0.5
log a=log 10+log 3.162=log 31.62

∫ a=31.62

12-2     4초 후
|해결 전략| 주어진 조건에 맞게 부등식을 세운다.

자동차의 속력이 브레이크를 밟고 t초 후 80 km/ h 이하가 된다고

하면

120_0.9t<80, 0.9t<;3@;
양변에 상용로그를 취하면

t log 0.9<log

;3@;

t(2 log 3-1)<log 2-log 3

∫ t>

log 2-log 3
2 log 3-1 

=

0.3010-0.4771
0.9542-1

=

0.1761
0.0458

=3.84å

따라서 이 자동차가 브레이크를 작동시킨 후 속력이 80 km/ h 이하

  4 로그함수   043 

a<;1¡0;

또는 a>100

åå ㉢

가 되는 것은 약 4초 후이다.

⑸ 

320^

O

X

-760^

P

2  ⑴ 360^_n+40^  ⑵ 360^_n+210^ 
  ⑶ 360^_n+100^  ⑷ 360^_n+230^
3  ⑴ 제2사분면  ⑵ 제4사분면 



116쪽~119쪽

3  ⑶ 제2사분면  ⑷ 제3사분면



X

⑵ 

P

X

O

30^

390^



| 삼각함수



일반각

개념 확인  
1  ⑴ 

240^

O

   ⑶ 

O

X

-100^

P

P

2  ⑴ 360^_n+330^  ⑵ 360^_n+150^
3  ⑴ 제2사분면  ⑵ 제4사분면

4  ⑴ 180  ⑵ 180  ⑶ 90

 360^_n+330^

2  ⑴ 330^=360^_0+330^이므로 일반각은

 ⑵ -570^=360^_(-2)+150^이므로 일반각은


 360^_n+150^

3  ⑴ 500^=360^_1+140^이므로 500^는 제2사분면의 각이다.
 ⑵ -420^=360^_(-2)+300^이므로 -420^는 제4사분면의

각이다.

2  ⑴ 400^=360^_1+40^이므로 일반각은 360^_n+40^
 ⑵ 570^=360^_1+210^이므로 일반각은 360^_n+210^

 ⑶ -260^=360^_(-1)+100^이므로 일반각은

 ⑷ -850^=360^_(-3)+230^이므로 일반각은

360^_n+100^

360^_n+230^





3  ⑴ 470^=360^_1+110^이므로 470^는 제2사분면의 각이다.
 ⑵ 1720^=360^_4+280^이므로 1720^는 제4사분면의 각이다.

 ⑶ -225^=360^_(-1)+135^이므로 -225^는 제2사분면의

 ⑷ -880^=360^_(-3)+200^이므로 -880^는 제3사분면의

각이다.

각이다.

STEP 



필수 유형   

| 121쪽~122쪽 |

01-1     제2사분면 또는 제4사분면
|해결  전략| 2h가  제4사분면의  각임을  이용하여  h의  범위를  일반각으로  나타 

낸다.

2h가 제4사분면의 각이므로
360^_n+270^<2h<360^_n+360^ (단, n은 정수)
∫ 360^_

+135^<h<360^_

+180^

n
2

n
2

STEP 



개념 드릴   

| 120쪽 |

h의 범위를 일반각으로 나타내려면 n을

1  ⑴ 

270^

⑵ 

P



X

70^

O

430^

X

n=2k, n=2k+1 (k는 정수)

인 경우로 나누어 생각한다.

1 n=2k (k는 정수)일 때

360^_k+135^<h<360^_k+180^

이므로 h는 제2사분면의 각이다.

2 n=2k+1 (k는 정수)일 때

⑶ 

P

⑷ 

P

100^



X

X

O

-230^

360^_

+135^<h<360^_

+180^

2k+1
2

2k+1
2

360^_k+315^<h<360^_k+360^

이므로 h는 제4사분면의 각이다.

1, 2에서 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다.

O

P

1180^

O

044  정답과 해설 

01-2     제1사분면 또는 제2사분면 또는 제4사분면
|해결 전략| 3h가 제2사분면의 각임을 이용하여 h의 범위를 일반각으로 나타낸

02-3     75^
|해결 전략| 두 동경의 위치에 따른 두 각 사이의 관계식을 구한다.

다.

3h가 제2사분면의 각이므로

360^_n+90^<3h<360^_n+180^ (단, n은 정수)

∫ 360^_;3N;+30^<h<360^_;3N;+60^
h의 범위를 일반각으로 나타내려면 n을

n=3k, n=3k+1, n=3k+2 (k는 정수)

인 경우로 나누어 생각한다.

1 n=3k (k는 정수)일 때

 360^_k+30^<h<360^_k+60^



이므로 h는 제1사분면의 각이다.

2 n=3k+1 (k는 정수)일 때
3k+1
3

 360^_

+30^<h<360^_

3k+1
3

+60^

 360^_k+150^<h<360^_k+180^



이므로 h는 제2사분면의 각이다.

3 n=3k+2 (k는 정수)일 때
3k+2
3

 360^_

+30^<h<360^_

3k+2
3

+60^

 360^_k+270^<h<360^_k+300^



이므로 h는 제4사분면의 각이다.

1, 2, 3에서 h는 제1사분면 또는 제2사분면 또는 제4사분면의 각

이다.

02-1     225^
|해결 전략| 두 동경의 위치에 따른 두 각 사이의 관계식을 구한다.

각 h를 나타내는 동경과 각 5h를 나타내는

동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대이므



두 동경이 원점에 대하여 대칭

5h-h=360^_n+180^ (단, n은 정수)

y

5h

h

O

x

4h=360^_n+180^

∫ h=90^_n+45^

이때, 180^<h<270^이므로 180^<90^_n+45^<270^

135^<90^_n<225^

 ∫

;2#;<n<;2%;

n은 정수이므로 n=2

 ∫ h=90^_2+45^=225^

02-2     144^
|해결 전략| 두 동경의 위치에 따른 두 각 사이의 관계식을 구한다.

각 h를 나타내는 동경과 각 4h를 나타내는

동경이 x축에 대하여 대칭이므로
h+4h=360^_n (단, n은 정수)
5h=360^_n

∫ h=72^_n

이때, 90^<h<180^이므로

90^<72^_n<180^

n은 정수이므로 n=2

 ∫

;4%;<n<;2%;
 ∫ h=72^_2=144^

y

O

4h

h

x

각 2h를 나타내는 동경과 각 4h를 나타내는

y

y=x

동경이 직선 y=x에 대하여 대칭이므로
2h+4h=360^_n+90^ (단, n은 정수)
6h=360^_n+90^

∫ h=60^_n+15^

이때, 45^<h<135^이므로

45^<60^_n+15^<135^

30^<60^_n<120^

 ∫

;2!;<n<2

n은 정수이므로 n=1

 ∫ h=60^_1+15^=75^

4h

2h

O

x

    124쪽~125쪽



호도법

개념 확인  

1  ⑴ 

p
4
2  ⑴ 2np+ p
3

3  ⑴ 2p  ⑵ 8p

  ⑵ ;3@;p  ⑶ 150^  ⑷ 270^ 

  ⑵ 2np+ p
6

1  ⑴ 45^=45_1^=45_

p
180

=

p
4

 ⑵ 120^=120_1^=120_

 ⑶

;6%;p=;6%;p_1=;6%;p_

 ⑷

;2#;p=;2#;p_1=;2#;p_

p
180

=;3@;p

180^
p

180^
p

=150^

=270^

2  ⑴

;3&;p=2p_1+

p
3

이므로 일반각은 2np+

p
3

 ⑵ -:¡6¡:p=2p_(-1)+

이므로 일반각은 2np+

p
6

p
6

3  ⑴ l=8_

=2p

p
4

 ⑵ S=;2!;_8€_;4π;=8p

STEP 



개념 드릴   

| 126쪽 |

  ⑷ :£5§:p

1  ⑴ ;5#;p  ⑵ ;6&;p  ⑶ - p
3
2  ⑴ 36^  ⑵ 80^  ⑶ 1260^  ⑷ -960^
3  ⑴ 2np+ p
6

  ⑵ 2np+;3@;p  ⑶ 2np+;4#;p  ⑷ 2np+ p
3

4  ⑴ 4p  ⑵ 10p  ⑶ :¶2∞:p  ⑷ :™4∞:p

  5 삼각함수   045 

1  ⑴ 108^=108_1^=108_

 ⑵ 210^=210_1^=210_

p
180

p
180

=;5#;p

=;6&;p

 ⑶ -60^=-60_1^=-60_ p
180

=-

p
3

 ⑷ 1296^=1296_1^=1296_

p
180

=:£5§:p

2  ⑴

p
5

p
5

=

_1=

_

=36^

p
5

180^
p

 ⑵

;9$;p=;9$;p_1=;9$;p_

180^
p

=80^

 ⑶ 7p=7p_1=7p_

=1260^

180^
p

 ⑷ -:¡3§:p=-:¡3§:p_1=-:¡3§:p_

180^
p

=-960^



;1!2!;p=;1!2!;p_1=;1!2!;p_
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

180^
p

=165^

01-2     ㄱ, ㄹ, ㅁ
|해결 전략| h가 제4사분면의 각이면 360^_n+270^<h<360^_n+360^

임을 이용한다.

ㄱ. -30^=360^_(-1)+330^이므로 제4사분면의 각이다.

ㄴ. 900^=360^_2+180^



900^를 나타내는 동경이 x축 위에 있으므로 어느 사분면에도 속

하지 않는다.

ㄷ.

:¡6£:p=2p_1+

p
6

이므로 제1사분면의 각이다.

180^
p
ㄹ. 2np+:¡5ª:p=2p_(n+1)+;5(;p이므로 제4사분면의 각이다.

=30^

p
6

_

3  ⑴

:¡6£:p=2p_1+

p
6

이므로 일반각은 2np+

p
6

ㅁ. 2np-

=2p_(n-1)+;4&;p이므로 제4사분면의 각이다.

p
4

 ⑵

:¡3¢:p=2p_2+;3@;p이므로 일반각은 2np+;3@;p

따라서 제4사분면의 각은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다.

;5(;p_

180^
p

=324^

;4&;p_

180^
p

=315^

이므로 부채꼴의 넓이는

부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면

 ⑶ -;4%;p=2p_(-1)+;4#;p이므로 일반각은 2np+;4#;p
p
p
3
3

 ⑷ -:¡3¡:p=2p_(-2)+

이므로 일반각은 2np+

4  ⑴ 부채꼴의 호의 길이는 6_;3@;p=4p
 ⑵ 150^=150_ p
180

=;6%;p이므로 부채꼴의 호의 길이는



 12_;6%;p=10p 

 ⑶ 부채꼴의 넓이는

;2!;_10€_;4#;p=:¶2∞:p

 ⑷ 90^=90_ p
180

=;2π;





;2!;_5€_;2π;=:™4∞:p

STEP 



필수 유형   

| 127쪽 ~128쪽 |

01-1     ⑤
|해결 전략| 1^= p
180

 라디안, 1라디안=

 임을 이용한다.

180^
p

① 75^=75_1^=75_

p
180

=;1∞2;p

② -315^=-315_1^=-315_

p
180

=-;4&;p



;1∞8;p=;1∞8;p_1=;1∞8;p_

180^
p

=50^

④ -;1ª0;p=-;1ª0;p_1=-;1ª0;p_

180^
p

=-162^

046  정답과 해설 

02-1     r=4, h=;2π;
|해결 전략| 부채꼴의 호의 길이와 넓이 사이의 관계를 이용한다.

부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면

S=;2!;

rl에서 4p=;2!;_r_2p    ∫ r=4

또, l=rh에서 2p=4h

 ∫ h=;2π;

02-2     부채꼴의 넓이의 최댓값: 400, 반지름의 길이: 20
|해결 전략| 부채꼴의 넓이를 반지름의 길이에 대한 이차함수로 나타낸다.

l=80-2r (단, 0<r<40)

부채꼴의 넓이를 S라 하면

rl=;2!; r(80-2r)=-r€+40r=-(r-20)€+400

S=;2!;
따라서 r=20일 때, 부채꼴의 넓이 S의 최댓값은 400이다.



삼각함수

개념 확인  

1  sin C=;1!3@;, cos C=;1∞3;, tan C=:¡5™:

2  '3÷

3   ⑴ sin h=

4'ß17
17
  ⑵ sin h=- '3
2

, cos h= 'ß17
17

, tan h=4

, cos h=;2!;, tan h=-'3

    129쪽~132쪽

4  ⑴ sin h>0, cos h>0, tan h>0

  ⑵ sin h<0, cos h>0, tan h<0

5  ⑴ 제2사분면  ⑵ 제4사분면
2'2
3

, tan h=- '2
4

6  cos h=-

7  -;8#;

1  1ABC에서 AB’="ƒ13€-5€='ß144=12
  ∫ sin C=
=;1!3@;
=;1∞3;

, cos C=



BC’
AC’

AB’
AC’
AB’
BC’





tan C=

=:¡5™:

2  sin 30^-cos 60^+tan 60^=;2!;-;2!;+'3÷='3÷

3  ⑴ 오른쪽 그림에서
OP’="ƒ




=

ƒ1€ƒ+∂4€='å1å7이므로
4'ß17
17
= 'ß17
17

4
'1å7
1
'1å7

   sin h=





 cos h=



tan h=4

 ⑵ 오른쪽 그림에서

    OP’="ƒ1€+(-'3 )€=2이므로
    sin h=- '3
2
tan h=-'3

, cos h=;2!;





y
17

4

P

h

- 17

O

1

x

17

- 17

y
2

h

O

-'3
-2

-2

2

x

1

P

4  ⑴ 430^=360^_1+70^는 제1사분면의 각이므로 모두 양수이다.

 ⑵ -;4(;p=2p_(-2)+;4&;p는 제4사분면의 각이므로 cos h만


 양수이다.

5  ⑴ sin h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이고,
 cos h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다.

 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제2사분면의 각이다.





 ⑵ cos h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제4사분면의 각이고,
tan h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다.
 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제4사분면의 각이다.





6  sin h=;3!;

일 때, sin€ h+cos€ h=1이므로

2

=;9*;

  cos€ h=1-sin€ h=1-{;3!;}
 이때, h가 제2사분면의 각이므로
2'2
3

 ∫ cos h=-

 cos h<0

 또, tan h=

sin h
cos h

에서

  tan h=;3!;/{-

2'2
3 }=-

=- '2
4

1
2'2

의 양변을 제곱하면

7  sin h+cos h=;2!;
 sin€ h+2 sin h cos h+cos €h=;4!;
 이때, sin€ h+cos€ h=1이므로

 1+2 sin h cos h=;4!;

 ∫ sin h cos h=-;8#;

STEP 



개념 드릴   

| 133쪽 |

5'ß41
41
2'5÷
5

1  ⑴ sin h=-

, cos h=-

4'ß41
41

, tan h=;4%;

  ⑵ sin h=-

, cos h= '5÷
5

, tan h=-2

  ⑶ sin h= '5
3

, cos h=-;3@;, tan h=- '5

2

2  ⑴ sin h<0, cos h<0, tan h>0 
  ⑵ sin h>0, cos h>0, tan h>0
  ⑶ sin h<0, cos h>0, tan h<0  
  ⑷ sin h>0, cos h<0, tan h<0
3  ⑴ 제2사분면  ⑵ 제3사분면  ⑶ 제2사분면 또는 제4사분면





  ⑵ cos h=;5#;, tan h=-;3$;

  ⑷ 제1사분면 또는 제2사분면
4  ⑴ cos h= 'ß15÷

4 , tan h= 'ß15÷
, tan h='3 

15

  ⑶ sin h=- '3
2

1  ⑴ 오른쪽 그림에서




OP’="ƒ(-ƒ4ƒ)€ƒ+(ƒ-5∂)€='å

å4å1

    이므로

    sin h=-

=-



 cos h=-

=-

5
'4å1
4
'4å1

5'ß41
41
4'ß41
41





tan h=;4%;
 ⑵ 오른쪽 그림에서





OP’="ƒ1€ƒ+(ƒ-2∂)€='5 이므로

2'5
5

=-

2
'5
= '5
5



    sin h=-

 cos h=

1
'5÷÷
tan h=-2







y
41

h

-4

P
- 41

O

-5

- 41

x

41

y

'5

h

O

1

-2
-'5

P

-'5

x

'5

  5 삼각함수   047 

ƒ
ƒ(-ƒ2)€ƒ+('ƒ5 )€=3

 ⑶ 오른쪽 그림에서





OP’="ƒ
    이므로
    sin h= '5
3





 cos h=-;3@;
tan h=- '5
2



y
3

P

'5
h

-3

-3 -2

O

3

x

2  ⑴ 560^=360^_1+200^는 제3사분면의 각이므로 tan h만 양

수이다.

 ⑵

 ⑶

는 제1사분면의 각이므로 모두 양수이다.

p=2p+;3π;
;3&;
-25^=360^_(-1)+335^는 제4사분면의 각이므로



 cos h만 양수이다.

 ⑷ -;6&;


 sin h만 양수이다.

p=2p_(-1)+;6%;

p는 제2사분면의 각이므로



 또, tan h=

sin h
cos h

에서





tan h={-;5$;}/;5#;=-;;3$;
 ⑶ sin€ h+cos€ h=1이므로
    sin€ h=1-cos€ h=1-{-;2!;}
 이때, h가 제3사분면의 각이므로


2

=;4#;



 sin h<0

    ∫ sin h=- '3
2





 또, tan h=

sin h
cos h

에서



tan h={- '3

2 }/{-;2!;}='3

STEP 



필수 유형   

| 134쪽~139쪽 |

3  ⑴ sin h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이고,
tan h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다.




01-1    

;4#;

 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제2사분면의 각이다.

원의 교점의 좌표를 구한다. 

|해결 전략|  각 h를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 

 ⑵ cos h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이고,



tan h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이다.

 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제3사분면의 각이다.

 ⑶ sin h cos h<0에서

 sin h>0, cos h<0 또는 sin h<0, cos h>0

 따라서 각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다.

 ⑷ cos h tan h>0에서

 cos h>0, tan h>0 또는 cos h<0, tan h<0

 따라서 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이다.

오른쪽 그림과 같이

;3%;p를 나타내는 동경
과 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길

이가 1인 원의 교점을 P, 점 P에서 x축에

내린 수선의 발을 H라 하면 △POH에서

OP’=1이고 ∠POH=;3π;
PH’=OP’ sin ;3π;= '3

2

이므로

y
1

;3%;p

;2!;

O

H

1

x

P

-1

-1

-'3
2

2


}

OH’=OP’ cos ;3π;=;2!;
∫ P {;2!;, - '3
따라서 sin h=- '3
2
(sin h-tan h)€={- '3

=;4#;

, tan h=-'3÷ 이므로

2

2 +'3
}

01-2     -7
|해결 전략| OP’의 길이를 구한 후 삼각함수의 값을 구한다.

오른쪽 그림에서 
OP’="ƒ(-3)€+(-4)€=5
이므로

, tan h=;3$;

cos h=-;5#;
∫ 5 cos h-3 tan h

=5_{-;5#;}-3_;3$;=-7

;

y
5

h

O

-4

-3

-5

5

x

P(-3, -4)

-5

























4  ⑴ sin€ h+cos€ h=1이므로
    cos€ h=1-sin€ h=1-{;4!;}


 이때, h 가 제1사분면의 각이므로

2

=;1!6%;

 cos h>0
 ∫ cos h= 'ß15
4

 또, tan h=

sin h
cos h 

에서





4

tan h=;4!;/ 'ß15
= 'ß15
15
 ⑵ sin€ h+cos€ h=1이므로
    cos€ h=1-sin€ h=1-{-;5$;}
 이때, h 가 제4사분면의 각이므로


2

=;2ª5;

 cos h>0

 ∫ cos h=;5#;

048  정답과 해설 

02-1     제2사분면
|해결 전략| 각각의 조건을 만족시키는 각 h가 제몇 사분면의 각인지 조사한 후 두 

조건을 동시에 만족시키는 경우를 찾는다.

cos h tan h>0에서

cos h>0, tan h>0 또는 cos h<0, tan h<0

이므로 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이다.

또, sin h tan h<0에서

sin h>0, tan h<0 또는 sin h<0, tan h>0

이므로 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다.

따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제2사분면의 각이다.

tan€ h+(1-tan› h)cos€ h

sin› h
cos› h } cos€ h

cos› h-sin› h
cos› h

_cos€ h

(cos€ h+sin€ h)(cos€ h-sin€ h)
cos€ h

cos€ h-sin€ h
cos€ h

 

=

=

=

=

=

+

sin€ h
cos€ h +{1-
sin€ h
cos€ h
sin€ h
cos€ h 
sin€ h
cos€ h
cos€ h
cos€ h

=1

+

+

02-2     2 sin h
|해결 전략| 주어진 조건을 만족시키는 각 h가 제몇 사분면의 각인지 구한다.

sin h
tan h <0, sin h-tan h>0이므로
sin h>0, tan h<0
즉, 각 h는 제2사분면의 각이므로 cos h<0


"ƒ(siƒn hƒ-cƒos ƒh)€-"ƒ(coƒs hƒ+tƒanƒ h)€+"ƒ(taƒn hƒ-sƒinƒ h)€
=|sin h-cos h|-|cos h+tan h|+|tan h-sin h|
=sin h-cos h+(cos h+tan h)-(tan h-sin h)
=2 sin h







04-1     - '5÷
5

|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 cos h의 값을 구한다.

1
1+sin h

+

1
1-sin h

1-sin h+1+sin h
(1+sin h)(1-sin h)

=

=

2
1-sin€ h

=

2
cos€ h

즉,

2
cos€ h


=10이므로 cos€ h=;5!;

이때, h가 제2사분면의 각이므로 cos h<0
∫ cos h=- '5÷
5

|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.

03-1      

1
tan h

tan h sin h
tan h-sin h

-

1
sin h

=

sin h
cos h
sin h
cos h

_sin h

-sin h

-

1
sin h



=

sin h
1-cos h

-

1
sin h



sin€ h-(1-cos h)
(1-cos h)sin h

(1-cos€ h)-(1-cos h)
(1-cos h)sin h

(1-cos h)cos h
(1-cos h)sin h

cos h
sin h

=

1
tan h

=

=

=

=

03-2     1
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.

04-2     -;5&;
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 sin h+cos h의 값을 구한다.

4 sin h=3 cos h에서

sin h
=;4#;    ∫ tan h=;4#;
cos h
이때, sin€ h+cos€ h=1의 양변을 cos€ h로 나누면

tan€ h+1=

1
cos€ h

∫ cos€ h=

1
tan€ h+1

=

1
€+1

=;2!5^;

{;4#;}

이때, p<h<;2#;p이므로 cos h<0

 ∫ cos h=-;5$;

를 4 sin h=3 cos h에 대입하면

cos h=-;5$;

sin h=-;5#;

∫ sin h+cos h=-;5#;-;5$;=-;5&;
다른 풀이  

4 sin h=3 cos h에서 

sin h
cos h

=;4#; 

 ∴  tan h=;4#;

이때, p<h<;2#;p이므로 
오른쪽 그림에서

sin h=-;5#;, cos h=-;5$;

∴ sin h+cos h=-;5&;

-4

3

y

4

5

h

O

x

-3

  5 삼각함수   049 

05-1     ⑴ ;2!7#;  ⑵ ;8$1(;
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 변형을 이용하여 주어진 식의 

06-2     -:™3º:
|해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

이차방정식 5x€-4x+a=0의 근과 계수의 관계에 의하여

값을 구한다.

⑴ sin h-cos h=;3!;

의 양변을 제곱하면

sin€ h-2 sin h cos h+cos€ h=;9!;

1-2 sin h cos h=;9!;
∫ sin‹ h-cos‹ h=(sin h-cos h)‹+3 sin h cos h(sin h-cos h)


 ∫ sin h cos h=;9$;

…… ㉠

3



+3_;9$;_;3!;=;2¡7;+;9$;=;2!7#;
⑵ sin› h+cos› h=(sin€ h+cos€ h)€-2 sin€ h cos€ h

={;3!;}

=1€-2_{;9$;}

2
(∵ ㉠)

=;8$1(;

참고  

곱셈 공식의 변형
⑴   a€+b€=(a+b)€-2ab, a€+b€=(a-b)€+2ab 



(a-b)€=(a+b)€-4ab

⑵ a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b), a‹-b‹=(a-b)‹+3ab(a-b)

05-2     -

3'6
8

값을 구한다.

|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 변형을 이용하여 주어진 식의 

(sin h+cos h)€=sin€ h+2 sin h cos h+cos€ h
=1+2_;4!;=;2#;
이때, h가 제3사분면의 각이므로 sin h<0, cos h<0
즉, sin h+cos h<0이므로 sin h+cos h=- '6
∫ sin‹ h+cos‹ h=(sin h+cos h)‹-3 sin h cos h(sin h+cos h)


2

3

={-

=-

'6
2 }
6'6
8 +

-3_;4!;_{-
3'6
3'6
8
8

=-

'6
2 }



06-1     8
|해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

이차방정식 x€-ax+2=0의 근과 계수의 관계에 의하여

=a,

1
sin h cos h

=2

1

1

sin h +

sin h +

1
cos h

1
cos h

=a에서

a=

sin h+cos h
sin h cos h

=2(sin h+cos h)

050  정답과 해설 

, sin h cos h=;5A;

sin h+cos h=;5$;
(sin h+cos h)€=1+2 sin h cos h에서
;2!5^;=1+2_;5A;

, 16=25+10a

∫ a=-;1ª0;



;a!;+tan h+

1
tan h

=;a!;+

     







     













+

cos h
sin h
cos h
sin h
sin€ h+cos€ h
sin h cos h

=;a!;+

=;a!;+

1
sin h cos h

=;a!;+;a%;=;a^;

=6_{-:¡9º:}

=-:™3º:

STEP 



유형 드릴   

| 140쪽~141쪽 |

의 범위를 일반각으로 나타낸다.

1-1     제2사분면 또는 제4사분면 
|해결 전략| h가 제3사분면의 각임을 이용하여 


2

h가 제3사분면의 각이므로

2np+p<h<2np+;2#;

p (단, n은 정수)

h
p
2 <np+;4#;

∫ np+;2π;<
h
2

의 범위를 일반각으로 나타내려면 n을

n=2k, n=2k+1 (k는 정수)

인 경우로 나누어 생각한다.

1 n=2k (k는 정수)일 때

h
2 <2kp+;4#;

 2kp+;2π;<
2 n=2k+1 (k는 정수)일 때

 2kp+;2#;

h
2 <2kp+;4&;

p<
h
2

p이므로

는 제2사분면의 각이다.

p이므로

는 제4사분면의 각이다.

h
2

h
2

∫ a€ =4(sin h+cos h)€=4(sin€ h+2 sin h cos h+cos€ h)

1, 2에서 각

를 나타내는 동경이 존재할 수 있는 사분면은 제2사

=4(1+2 sin h cos h)=4

{1+2_;2!;}=8

분면 또는 제4사분면이다.

의 범위를 일반각으로 나타낸다.

n은 정수이므로 n=0, 1, 2, …, 24

∫ h=

1
100 p,

3
100 p, …,

p

;1¢0ª0;

따라서 조건을 만족시키는 각 h의 개수는 25이다.

3-1     100 m€
|해결 전략| 부채꼴의 넓이를 반지름의 길이에 대한 이차함수로 나타낸다.

부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면
l=40-2r (단, 0<r<20)
부채꼴의 넓이를 S라 하면

는 제2사분면의 각이다.

S=;2!;

rl=;2!;

r(40-2r)

=-r€+20 r=-(r-10)€+100
따라서 r=10일 때, S의 최댓값이 100이므로 만들 수 있는 화단의

p이므로

는 제3사분면의 각이다.

최대 넓이는 100 m€이다.
다른 풀이  

 2kp+:¡6¡:

p<

는 제4사분면의 각이다.

부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면

2r>0, l>0이고 2r+l=40으로 일정하므로

1, 2, 3에서 각

를 나타내는 동경이 존재하지 않는 사분면은 제

40=2r+l>2"2∂rl=2æ√4_;2ç
즉, 4 "∂S<40에서 S<100
여기서 등호는 2r=l 일 때 성립한다.

!; rl=2 "∂4∂S=4 "∂S

따라서 S의 최댓값이 100이므로 만들 수 있는 화단의 최대 넓이는 100 m€이다.

2-1     p
|해결 전략| 두 동경의 위치에 따른 두 각 사이의 관계식을 구한다. 

각 h를 나타내는 동경과 각 11h를 나타내는 동경이 일치하므로

1-2     제1사분면
|해결 전략| h가 제4사분면의 각임을 이용하여 


3

h가 제4사분면의 각이므로

p<h<2np+2p (단, n은 정수)

2np+;2#;
2n
3 p+;2π;<



h
3 <

2n
3 p+;3@;

p

h
3

의 범위를 일반각으로 나타내려면 n을

n=3k, n=3k+1, n=3k+2 (k는 정수)

인 경우로 나누어 생각한다.

1 n=3k (k는 정수)일 때

h
3 <2kp+;3@;p이므로

 2kp+;2π;<
2 n=3k+1 (k는 정수)일 때

h
3

h
3 <2kp+;3$;

 2kp+;6&;p<
3 n=3k+2 (k는 정수)일 때

h
3

h
3 <2kp+2p이므로
h
3

h
3

1사분면이다.

11h-h=2np (단, n은 정수)

10h=2np    ∫ h=

np
5

이때, 0<h<p이므로
0<

np
5 <p    ∫ 0<n<5
n은 정수이므로 n=1, 2, 3, 4

,
∫ h=;5π;

;5@;

p,

;5#;

p,

;5$;

p

따라서 a=;5π;

, b=;5$;

p이므로

a+b=;5π;+;5$;p=p

칭이므로
99h+h=2np+p (단, n은 정수)
100h=(2n+1)p

 ∫ h=

2n+1
100 p

이때, 0<h<;2π;

이므로 0<

2n+1
100 p<;2π;

0<2n+1<50

 ∫ -;2!;<n<:¢2ª:

3-2     2
|해결 전략| 부채꼴의 넓이를 반지름의 길이에 대한 이차함수로 나타낸다.

부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면
l=8-2r (단, 0<r<4)
부채꼴의 넓이를 S라 하면

r(8-2r)

rl=;2!;

S=;2!;
=-r€+4r=-(r-2)€+4
따라서 r=2 일 때, S는 최댓값을 갖는다.
즉, l=8-2r에서 r=2일 때, l=4
l=rh에서 4=2h

 ∫ h=2

LECTURE

상 최댓값을 갖는다.
상 최댓값을 갖는다.
상 최댓값을 갖는다.

로 일정한 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기가 2일 때 항
둘레의 길이가 a로 일정한 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기가 2일 때 항
둘레의 길이가 a로 일정한 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기가 
로 일정한 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기가 

(cid:8857) 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면



l+2r=a 

  ∫ l=a-2r

  S=;2!; rl=;2!; r(a-2r)

=-r€+;2A; r=-{r-;4A;}

€+

a€
16

  따라서 r=;4A;일 때 부채꼴의 넓이가 최대가 되고, 호의 길이는 l=;2A;
  이므로 중심각의 크기 h는 l=rh에서



;2A;=;4A; h 

  ∫ h=2

  5 삼각함수   051 

2-2     25
|해결 전략| 두 동경의 위치에 따른 두 각 사이의 관계식을 구한다. 

각 h를 나타내는 동경과 각 99h가 나타내는 동경이 y축에 대하여 대

  부채꼴의 넓이를 S라 하면

4-1     -3 
|해결 전략| 각각의 조건을 만족시키는 각 h가 제몇 사분면의 각인지 조사한 후 두 

6-1     -'3
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 

1
cos h

+tan h의 값을 구한다.

조건을 동시에 만족시키는 경우를 찾는다.

sin h cos h>0에서

sin h>0, cos h>0 또는 sin h<0, cos h<0

이므로 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이다.

또, tan h sin h<0에서

tan h<0, sin h>0 또는 tan h>0, sin h<0

이므로 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다.

따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제3사분면의 각이다.
즉, sin h<0, cos h<0, tan h>0이므로
|sin h|
sin h +

|cos h|
cos h -

|tan h|
tan h

=

-sin h
sin h +

-cos h
cos h -

tan h
tan h

=(-1)+(-1)-1=-3

4-2     sin h
|해결 전략| 주어진 조건을 만족시키는 각 h가 제몇 사분면의 각인지 조사한다. 

'ßsin h 'ßtan h=-'ßsin h tan h 에서 sin h<0, tan h<0이므로 각
h는 제4사분면의 각이다.

즉, cos h>0, sin h-cos h<0이므로
"ƒcoƒs€ h-"ƒ(sin h-cos h)€=|cos h|-|sin h-cos h|

=cos h+sin h-cos h=sin h

sin€ h+cos€ h=1이므로

€=;4#;

cos€ h=1-sin€ h=1-{;2!;}
이때, h가 제2사분면의 각이므로
cos h<0    ∫ cos h=- '3
2

또, tan h=

sin h
cos h

에서

tan h=;2!;/{- '3

2 }=-

1
'3÷



1
cos h

+tan h=-

2
'3÷ -

1

'3÷ =-'3

6-2     1
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 

26 sin h
13 cos h+2

의 값을 구한다. 

sin€ h+cos€ h=1의 양변을 cos€ h로 나누면  

tan€ h+1=

∫ cos€ h=

1
cos€ h
1
tan€ h+1

=

1
€+1

{;1∞2}

=;1!6$9$;

이때, h가 제3사분면의 각이므로

cos h<0

 ∫ cos h=-;1!3@;
sin h
cos h

에서

참고  

a< <

음수의 제곱근의 성질
⑴ a<0, b<0이면 'a 'b=-'ßab
⑵ a>0, b<0이면  'a
<
'b

=-
=-æ√;bA;

=-'

a<0, b<0일 때를 제외하면 'a 'b='ßab

또, tan h=

a>0, b<0일 때를 제외하면  'a
'b

=æ;bA; (b+0)

sin h=tan h cos h=;1∞2;_{-;1!3@;}=-;1∞3;

5-1     1
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.



26 sin h

13 cos h+2 =

5
13 }

26_{-
12
13 }+2

13_{-

=

-10
-10

=1

1

1
cos h

{

cos h +tan h} {
sin h
cos h } {

cos h +

1

={

-tan h}
1

cos h -

sin h
cos h }

=

=

1+sin h
cos h

_

1-sin h
cos h

1-sin€ h

cos€ h =

cos€ h
cos€ h =1

5-2      2
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.

cos€ h(1-tan h)€+cos€ h(1+tan h)€

=cos€ h(1-2 tan h+tan€ h)+cos€ h(1+2 tan h+tan€ h)

=2 cos€ h(1+tan€ h)

sin€ h
=2 cos€ h {1+
cos€ h }
=2(cos€ h+sin€ h)=2

052  정답과 해설 

|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 변형을 이용하여 주어진 식의 값

7-1    

;8&;

을 구한다.

sin h+cos h= '2

2

의 양변을 제곱하면

sin€ h+2 sin h cos h+cos€ h=;2!;

1+2 sin h cos h=;2!;

∫ sin h cos h=-;4!;
∫ sin› h+cos› h=(sin€ h+cos€ h)€-2 sin€ h cos€ h
=1-2(sin h cos h)€

=1-2_{-;4!;}


=;8&;

2

이때, p<h<;2#;p이므로 sin h<0, cos h<0



삼각함수의 그래프

7-2     -4'3
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 식의 값을 구한다.

(sin h+cos h)€=sin€ h+2 sin h cos h+cos€ h

=1+2_;6!;=;3$;

즉, sin h+cos h<0이므로 sin h+cos h=-

2'3
3

1



sin h +

1
cos h

=

sin h+cos h
sin h cos h
2'3
3
1
6

-

=

=-4'3

8-1     5
|해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계와 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 

이차방정식의 계수를 구한다.  

이차방정식 x€+ax+;4!;=0의 두 근이 sin€ h, cos€ h이므로
근과 계수의 관계에 의하여

…… ㉠

…… ㉡

sin€ h+cos€ h=-a


sin€ h cos€ h=;4!;
㉠에서 a=-1

tan h+

1
tan h

=-b

1
tan h

=

이때, tan h+
1
sin€ h cos€ h
∫ a€+b€=(-1)€+4=5

b€=

=4 (∵ ㉡)

또, 이차방정식 x€+bx+1=0의 두 근이 tan h,
근과 계수의 관계에 의하여

1
tan h

이므로

sin h
cos h +

cos h
sin h

=

1
sin h cos h

이므로

8-2     1
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계와 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 

이차방정식의 계수를 구한다.

sin h+cos h=-;2!;

의 양변을 제곱하면

sin€ h+2 sin h cos h+cos€ h=;4!;

 ∫ sin h cos h=-;8#;

1+2 sin h cos h=;4!;

한편, 이차방정식 8x€+ax+b=0의 두 근이 sin h, cos h이므로
근과 계수의 관계에 의하여

sin h+cos h=-;8A;

, sin h cos h=;8B;

따라서 -;8A;=-;2!;
∫ a+b=4+(-3)=1

에서 a=4,

;8B;=-;8#;

에서 b=-3

144쪽~149쪽

| 삼각함수의 그래프

6

개념 확인 

1  2

2  2

3  ⑴ 치역: [y|-;2!;<y<;2!;], 주기: 2p, 그래프: 풀이 참조

  ⑵ 치역: {y|-3<y<3}, 주기: ;3@; p, 그래프: 풀이 참조
4  ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: -1, 주기: p, 그래프: 풀이 참조

  ⑵ 최댓값: 없다, 최솟값: 없다, 주기: ;2π;, 그래프: 풀이 참조

1  함수 f(x)의 주기가  
;2!;

이면  f

{x+;2!;}=f(x)

  f(2)=2일 때,  f(6)의 값을 구하면

  f(2)=f

{;2%;}=f(3)= ! =f(6)=2

2  함수  f(x)에 대하여  f(x+2)=f(x-2)일 때,
 x-2=t라 하면 x=t+2이므로
  f(t+4)=f(t)
  따라서 함수  f(x)의 주기는 4이다.

 f(-1)=1일 때, f(19), f(27)의 값을 구하면
  f(19)=f(15)=f(11)= ! =f(-1)=1
  f(27)=f(23)=f(19)= ! =f(-1)=1
  ∫  f(19)+f(27)=1+1=2

3  ⑴ -;2!;<;2!; sin x<;2!;
 주기는 2p이다.


이므로 치역은 [y|-;2!;

<y<

;2!;],



 따라서 함수 y=;2!;

sin x의 그래프는 다음 그림과 같다.

y

;2!;

-;2!;

;2#;p

y=;2!; sin x

2p

x

O

p
;2;

p

 ⑵ -3<3 cos 3x<3이므로 치역은 {y|-3<y<3},



 주기는

;3@;p이다.

  6 삼각함수의 그래프   053 



 따라서 함수 y=3 cos 3x의 그래프는 다음 그림과 같다.

STEP 



개념 드릴

| 151쪽 |

y
3

O

-3

y=3 cos 3x

p
;3;

p

;3%;p

;3@;p

;3$;p

2p

x

  ⑴ 실수 전체의 집합  ⑵ {y|-2<y<2}

  ⑴ 실수 전체의 집합  ⑵ {y|-3<y<3}

1  그래프: 풀이 참조 

  ⑶ 2, -2  ⑷ 

2p
3  
2  그래프: 풀이 참조 

  ⑶ 3, -3  ⑷ p

3  그래프: 풀이 참조 

n+1

n+1

  ⑴ x=

3 p (n은 정수)가 아닌 실수 전체의 집합

  ⑵ x=

3 p (단, n은 정수)  ⑶ ;3π;

1  함수 y=2 sin 3x의 그래프는 다음 그림과 같다.

y
2

1

O

p
;3;

-1

y=2 sin 3x

p

;3@;p

;3$;p

;3%;p
2p

x

-2

y=sin 3x

 ⑴ 정의역은 실수 전체의 집합이다.

 ⑵ 치역은 {y|-2<y<2}이다.

 ⑶ 함수의 치역이 {y|-2<y<2}이므로 최댓값은 2, 최솟값은

-2이다.

 ⑷ 주기는

이다.

2p
3

4  ⑴ 함수 y=2 cos (2x-p)+1=2 cos 2

{x-;2π;}+1의 그래프

 는 함수 y=2 cos 2x의 그래프를 x축의 방향으로

만큼, y축

;2π;

 의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

 이때, 최댓값은 2+1=3, 최솟값은 -2+1=-1,

 주기는

=p이다.

2p
|2|

같다.



따라서 함수 y=2 cos (2x-p)+1의 그래프는 다음 그림과

y
3

2

O

-1

-2

y=2 cos (2x-p)+1

p
;2;

;2#;p

p

2p

x

y=2 cos 2x























 ⑵ 함수 y=2 tan (2x-p)+1=2 tan 2

{x-;2π;}+1의 그래프

2  함수 y=3 cos 2x의 그래프는 다음 그림과 같다.

 는 함수 y=2 tan 2x의 그래프를 x축의 방향으로

만큼, y축

;2π;

 의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
 이때, 최댓값, 최솟값은 없고, 주기는  p
|2|

=;2π;

이다.

 또, 점근선의 방정식은 2x-p=np+;2π; (n은 정수)에서

 x=

p (단, n은 정수)

2n+3
4

같다.

y=2 tan (2x-p)+1

y=3 cos 2x

y=cos 2x

p-;2;

p
;2;

;2#;p

p

2p

x

y
3

1

O
-1

-3

 ⑴ 정의역은 실수 전체의 집합이다.

 ⑵ 치역은 {y|-3<y<3}이다.

-3이다.

 ⑷ 주기는

=p이다.

2p
2



따라서 함수 y=2 tan (2x-p)+1의 그래프는 다음 그림과

 ⑶ 함수의 치역이 {y|-3<y<3}이므로 최댓값은 3, 최솟값은

p-;4;

;4#;p

;4%;p

;4&;p

x

3  함수 y=tan

{3x-;2π;}=tan 3 {x-;6π;}

의 그래프는 함수

 y=tan 3x의 그래프를 x축의 방향으로

만큼 평행이동한 것

;6π;

y=2 tan 2x

 이므로 다음 그림과 같다.

y

1

O
p
;4;

054  정답과 해설 

y=tan 3x

y

p-;3;

p-;6;

O

p
;6;

p
;3;

p
;2;

x

;3@;p

p
y=tan {3x-  }
;2;

 ⑴ 정의역은 3x-;2π;=np+;2π;, 즉 x=


 닌 실수 전체의 집합이다.

n+1
3

p (n은 정수)가 아

 ⑵ 점근선의 방정식은 3x-;2π;=np+;2π;

(n은 정수)에서



 x=

p (단, n은 정수)

n+1
3

 ⑶ 주기는

이다.

;3π;

y
2

1

O

-1

-3

-2

2p
2

=p이다.

01-2    ;4!;

y=-2 sin 2x

p
;2;

p

2p

;2#;p

x

함수 y=-2 sin (2x-p)-1의 최댓값은 1, 최솟값은 -3, 주기는

y=-2 sin(2x-p)-1

|해결 전략 | 함수 y=a tan(bx+c)+d의 점근선의 방정식은 

bx+c=np+;2π; (n은 정수), 주기는 

임을 이용한다.

p
|b| 

점근선의 방정식은 2x-;2π;=np+;2π;

(n은 정수)에서

x=;2!;np+;2π; (단, n은 정수)

∴  k=;2!;

이 함수의 주기는


이므로 t=;2!;

;2π;

∴  kt=;2!;_;2!;=;4!;

STEP 



필수 유형

| 152쪽~155쪽 |

01-1    ⑴ 그래프: 풀이 참조, 최댓값: 3, 최솟값: 1, 주기: p

  ⑵ 그래프: 풀이 참조, 최댓값: 1, 최솟값: -3, 주기: p

02-1    7
|해결 전략 | 함수 y=a cos bx+c의 그래프에서 a, c는 최댓값과 최솟값을, b

|해결 전략 | ⑴ 함수 y=a cos(bx+c)+d의 최댓값은 |a|+d, 최솟값은 

는 주기를 결정한다.

⑵ 함수 y=a sin(bx+c)+d의 최댓값은 |a|+d, 최솟값은 -|a|+d, 주

이때, b>0이므로 b=2



 -|a|+d, 주기는 

임을 이용한다.

2p
|b|



 기는 

임을 이용한다.

2p
|b| 

함수 y=a cos bx+c의 주기가 p이므로

=p

 ∫ |b|=2

2p
|b|

또, a>0이고 최댓값이 5, 최솟값이 -1이므로

a+c=5, -a+c=-1

⑴ 함수 y=cos (2x-p)+2=cos 2

{x-;2π;}+2의 그래프는 함수

두 식을 연립하여 풀면 a=3, c=2    ∫ a+b+c=3+2+2=7

 y=cos 2x의 그래프를 x축의 방향으로

만큼, y축의 방향으로 2

;2π;

 만큼 평행이동한 것이므로 다음 그림과 같다.

02-2    -24
|해결 전략 | 함수 y=a sin (bx+c)+d의 그래프에서 a, d는 최댓값과 최솟

y

3

1

O

-1

p
;2;

y=cos (2x-p)+2

;2#;p

p

2p

x

y=cos 2x

 



2p
2

=p이다.

값을, b는 주기를 결정한다. 

주기가

이므로

;2π;

2p
|b|

=;2π;

    ∫ |b|=4

이때, b>0이므로 b=4

또, f
{

p
;2π;+c=1
16 }=1에서 a sin
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, c=3

∫ abc=(-2)_4_3=-24

 함수 y=cos (2x-p)+2의 최댓값은 3, 최솟값은 1, 주기는

∴  a+c=1

!! ㉡

a<0이고 최댓값이 5이므로 -a+c=5

!! ㉠

⑵ 함수 y=-2 sin (2x-p)-1=-2 sin 2

{x-;2π;}-1의 그래

 프는 함수 y=-2 sin 2x의 그래프를 x축의 방향으로

만큼, y

;2π;



축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 다음 그림과 같다.

03-1    4
|해결 전략 | 그래프에서 일정하게 반복되는 구간을 찾아 주기를 구한다.

  6 삼각함수의 그래프   055 

주어진 그래프에서 주기는 

;2π;-{-;2π;}=p이므로

0<|cos 2x|<1이고 최댓값은 3이므로 2+b=3

∴  b=1

2p
|b|

=p에서 |b|=2

이때, b>0이므로 b=2

또, a>0이고 최댓값이 3, 최솟값이 -1이므로

a+c=3, -a+c=-1

두 식을 연립하여 풀면 a=2, c=1

따라서 a=2, b=2, c=1이므로 abc=2_2_1=4

03-2    3
|해결 전략 | 그래프에서 일정하게 반복되는 구간을 찾아 주기를 구한다.

주어진 그래프에서 주기는

;6π;-{-;6π;}=;3π;

이므로

p
|b|

=;3π;

에서 |b|=3

이때, b>0이므로 b=3

따라서 주어진 함수의 식은 y=a tan

{3x-;2π;}+c이고

그래프가 점

, -1}

{;6π;

을 지나므로

a tan

{;2π;-;2π;}+c=-1

∴  c=-1

∴ a+b=2+1=3

참고

함수 y=|cos ax|의 주기는 오른쪽 그림

과 같이 함수 y=cos ax의 주기의 ;2!;이

므로 

p
|a| 

이다.

y

O

y= |cos ax|

p
|a|

2p
|a|

x

2

삼각함수의 성질

개념 확인 
1  ⑴ - '2

2   ⑵ -;2!;  ⑶ 1

158쪽

1  ⑴ sin 315^=sin (90^_3+45^)=-cos 45^=- '2
2

 ⑵ cos

:¡3º:p=cos

{;2π;_6+;3π;}=-cos

;3π;=-;2!;

 ⑶ tan

:¡4£:p=tan

{;2π;_6+;4π;}=tan

;4π;=1

또, 점

, 0}

{;4π;

을 지나므로 a tan

{;4#;p-;2π;}-1=0

∴  a=1

∴ a+b+c=1+3+(-1)=3

STEP 



개념 드릴

| 159쪽 |

04-1    최댓값: 3, 최솟값: 0, 주기: 3p
|해결 전략 | 함수 y=|f(x)|의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후 
y>0인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분을 x축에 대하여 대칭이동한 것이다.

함수 y=3

|sin

;3X;|

의 그래프는 함수 y=3 sin

의 그래프에서 y>0

;3X;

인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분을 x축에 대하여 대칭이동한 것

이므로 다음 그림과 같다.

y

3

O

-3

y=3|sin ;3X;|

3p

6p

x

따라서 최댓값은 3, 최솟값은 0, 주기는 3p이다.

 

 

 

-3p

04-2    3

1  ⑴  '2

2   ⑵ ;2!;  ⑶ '3  ⑷  '3

3

2   ⑵ -;2!;  ⑶ ;2!;  ⑷ -1

2  ⑴ - '3
3  ⑴ '3  ⑵ ;2!;  ⑶ - '2
3   ⑶  '2
4  ⑴ ;2!;  ⑵ - '3

2   ⑷ -'3

2   ⑷ -;2!;

1  ⑴ sin
;4(;

p=sin

{2p+;4π;}=sin

;4π;= '2

2

 ⑵ cos

p=cos

{6p+;3π;}=cos

;3π;=;2!;

:¡3ª:

 ⑶ tan

;3&;p=tan

{2p+;3π;}=tan

 ⑷ tan

p=tan

{2p+;6π;}=tan

:¡6£:

;3π;='3
;6π;= '3

3

|해결 전략 | y=|cos ax|의 주기는 y=cos ax의 주기의 ;2!;임을 이용한다.

함수 f(x)=2|cos ax|+b의 그래프는 함수 f(x)=2|cos ax|의

 ⑵ sin

{-;6π;}=-sin

;6π;=-;2!;

그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 것이다.

2  ⑴ sin

{-;3π;}=-sin

;3π;=- '3

2

이때, y=2|cos ax|의 주기는 y=2 cos ax의 주기의

이므로

;2!;

 ⑶ cos

{-:¡3£:

p}=cos

:¡3£:

p=cos

{4p+;3π;}=cos

;3π;=;2!;

 ⑷ tan

{-;4(;

p}=-tan

;4(;p=-tan

{2p+;4π;}

   

=-tan

;4π;=-1

2p 
|a|

에서 |a|=2

=;2π;
;2!;_
이때, a>0이므로 a=2

056  정답과 해설 

3  ⑴ tan
;3$;

p=tan

{p+;3π;}=tan

;3π;='3

(주어진 식)

 ⑵ sin

p=sin

{p-;6π;}=sin

;6π;=;2!;

 ⑶ cos

p=cos

{p+;4π;}=-cos

;4π;=- '2 

2

 ⑷ tan

p=tan

{p-;3π;}=-tan

;3π;=-'3

;6%;

;4%;

;3@;

4  ⑴ cos

{;2π;-;6π;}=sin

;6π;=;2!;

 ⑵ tan

{;2π;+;3π;}=-

=- '3
3

1
tan ;3π;
;4π;= '2

2

 ⑶ sin

{;2π;+;4π;}=cos

 ⑷ cos

{;2π;+;6π;}=-sin

;6π;=-;2!;

=1

| 160쪽~163쪽 |

STEP 



필수 유형

01-1    0
|해결 전략 | 삼각함수의 성질을 이용한다.

sin

{;2π;+h}=cos h, cos (p+h)=-cos h

cos

p-h}=-sin h, sin (-h)=-sin h

{;2#;

01-2    0
|해결 전략 | 삼각함수의 성질을 이용한다.

sin

{;2π;+h}=cos h, cos (3p-h)=cos (p-h)=-cos h

cos (p+h)=-cos h, sin

p+h}=sin

{;2π;+h}=cos h

{;2%;

cos

{;2π;+h}=-sin h, sin (p-h)=sin h

∴ (주어진 식)=

cos h(-cos h)
-cos h

+

cos h(-sin h)
sin h

=cos h-cos h=0

02-1    :•2ª:

|해결 전략 | 두 각의 크기의 합이 90^인 것끼리 묶고, cos (90^-h)=sin h, 
sin€h+cos€h=1임을 이용한다.

cos 89^=cos (90^-1^)=sin 1^,

cos 88^=cos (90^-2^)=sin 2^, y이므로

=(cos€ 1^+cos€ 89^)+(cos€ 2^+cos€ 88^)

+ y +(cos€ 44^+cos€ 46^)+cos€ 45^+cos€ 90^

=(cos€ 1^+sin€ 1^)+(cos€ 2^+sin€ 2^)

+ y +(cos€ 44^+sin€ 44^)+cos€ 45^+cos€ 90^
'2
2 }

€+0=:•2ª:

=1_44+{

02-2    1

임을 이용한다.

|해결 전략 | 두 각의 크기의 합이 90^인 것끼리 묶고, tan (90^-h)=

1
tan h

tan 89^=tan(90^-1^)=

,

tan 88^=tan(90^-2^)=

, y이므로

(주어진 식)

=(tan 1^_tan 89^)_(tan 2^_tan 88^)

1
tan 1^
1
tan 2^

={tan 1^_

tan 1^ }_{tan 2^_

1

1
tan 2^ }

_ y _(tan 44^_tan 46^)_tan 45^

_ y _{tan 44^_

tan 44^ }_tan 45^

1









03-1    ⑴ 최댓값: 9, 최솟값: 5  ⑵ 최댓값: ;3&;, 최솟값: 1

|해결 전략 | ⑴ cos x=t로 놓고, 절댓값 기호를 포함한 일차함수의 최댓값과 최

솟값을 구한다.

⑵ cos x=t로 놓고, 유리함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.

⑴   y=|-2 cos x-2|+5에서 cos x=t로 놓으면 -1<t<1이

고 y=|-2t-2|+5=2|t+1|+5

 -1<t<1에서 이 함수의 그래프는

5

O

-1

1

t

에서 cos x=t로 놓으면 -1<t<1이고

 t<-1일 때,

 y=-2(t+1)+5=-2t+3

오른쪽 그림과 같으므로

 t=1일 때 최댓값은 9,

  t=-1일 때 최솟값은 5이다.

⑵ y=

 y=



=

3 cos x-4
cos x-2
3t-4
t-2
2
t-2

+3

=

3(t-2)+2
t-2



 -1<t<1에서 이 함수의 그래

프는 오른쪽 그림과 같으므로

 t=-1일 때 최댓값은 

,
;3&;

 t=1일 때 최솟값은 1이다.

다른 풀이

y

9

;3&;

y

3

1

y=

2
t-2

+3

-1

O 1

2

t

  6 삼각함수의 그래프   057 

⑴ -1<cos x<1이므로 -4<-2 cos x-2<0

∴ (주어진 식) =cos h+(-cos h)+(-sin h)-(-sin h)

 t>-1일 때,

=0

 y=2(t+1)+5=2t+7

y=2|t+1|+5

 0<|-2 cos x-2|<4 

 ∴  5<|-2 cos x-2|+5<9

1  ⑴ 0<x<2p일 때, 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y=-;2!;



+3에서 -3<cos x-2<-1이므로



 다음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는

p,

p이다.

;3@;

;3$;









 따라서 최댓값은 9, 최솟값은 5이다.

⑵ y=

3 cos x-4
cos x-2 

=


cos x-2  

 -1<


cos x-2  

<-;3!; 

 ∴  1<


cos x-2  

+3<;3&;

 따라서 최댓값은 ;3&;, 최솟값은 1이다.

y

1

O

;2!;

p
;2;

y=cos x

;3@;p

p

;3$;p

-;2!;

-1

p
;3;

2p

x

;2#;p

y=-;2!;



 따라서 구하는 방정식의 해는 x=;3@;

p
p 또는 x=;3$;

 ⑵ 0<x<2p일 때, 함수 y=tan x의 그래프와 직선 y='3 은 다


 음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는

p이다.

,

;3π;

;3$;

y=tan x

y='3

;2#;p

2p

x

y

'3

O

p
;2;

p
;3;

p

;3$;p



 따라서 구하는 방정식의 해는 x=;3π;

p
또는 x=;3$;

2  ⑴ 0<x<2p일 때, 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y= '3
2





 다음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는



;3π;

;3@;

p이다.

y

1
'3
;;;2;;;

O

-1

'3
y=;;;2;;;

2p

x

p
;3;

p
;2;

;3@;p

p

;2#;p

y=sin x

 따라서 구하는 부등식의 해는 함수 y=sin x의 그래프가 직선
 y= '3
2

보다 위쪽 (경계선 포함)에 있는 x의 값의 범위이므로









;3π;<x<;3@;

p

 ⑵ 0<x<2p일 때, 함수 y=tan x의 그래프와 직선 y=1은 다음



 그림과 같으므로 교점의 x좌표는

,

;4π;

;4%;

p이다.

y

1

O

y=tan x

y=1

p
;4;

p
;2;

p

;4%;p

;2#;p

2p

x





따라서 구하는 부등식의 해는 함수 y=tan x의 그래프가 직선 

y=1보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위이므로



 0<x<;4π;

또는

;2π;<x<;4%;

p 또는

p<x<2p

;2#;

04-1    4
|해결 전략 | sin€ x=1-cos€ x임을 이용하여 cos x에 대한 이차식으로 나타

낸다.

sin€ x+cos€ x=1이므로

y =sin€ x-2 cos x=(1-cos€ x)-2 cos x



=-cos€ x-2 cos x+1

cos x=t로 놓으면 -1<t<1이고

y=-t€-2t+1=-(t+1)€+2

-1<t<1에서  이  함수의  그래프는

오른쪽 그림과 같으므로

t=-1일 때 최댓값은 M=2,

t=1일 때 최솟값은 m=-2이다.

∴ M-m=2-(-2)=4

y=-t€-2t+1

y

2

1

-1

O

t

-2

04-2    최댓값: 3, 최솟값: 2
|해결 전략 | tan (p+x)=tan x, tan(p-x)=-tan x임을 이용하여  
tan x에 대한 이차식으로 나타낸다.

tan (p+x)=tan x, tan (p-x)=-tan x이므로

y =tan€ (p+x)+2 tan (p-x)+3  

=tan€ x-2 tan x+3

tan x=t로 놓으면 0<t<1이고

y=t€-2t+3=(t-1)€+2

0<t<1에서 이 함수의 그래프는 오

른쪽 그림과 같으므로

t=0일 때 최댓값은 3,

t=1일 때 최솟값은 2이다.

y

3
2

O 1

t

y=t€-2t+3

3

삼각방정식과 삼각부등식

개념 확인 

164쪽~165쪽

1  ⑴ x=;3@; p 또는 x=;3$; p  ⑵ x=;3π; 또는 x=;3$; p

  ⑵ 0<x<;4π; 또는 ;2π;<x<;4%; p 또는 ;2#; p<x<2p

2  ⑴ ;3π;<x<;3@; p

058  정답과 해설 

| 166쪽 |

 따라서 구하는 방정식의 해는 

  x=;6π;

p
또는 x=;6&;



 따라서 구하는 방정식의 해는 x=;3π;

p
또는 x=;3@;

 ⑵ 0<x<2p일 때, 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y=-;2!;



 ⑵ 2 cos x-1=0에서 cos x=;2!;



 다음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는

p,

p이다.

;3@;

;3$;



 













STEP 



개념 드릴

1  ⑴ x=;3π; 또는 x=;3@;p  ⑵ x=;3π; 또는 x=;3%;p

  ⑶ x=;6π; 또는 x=;6&;p

2  ⑴ 0<x<;6π; 또는 ;6%;p<x<2p

  ⑵ 0<x<;3@;p 또는 ;3$;p<x<2p

  ⑶ 0<x<;2π; 또는 ;4#;p<x<;2#;p 또는 ;4&;p<x<2p

1  ⑴ 2 sin x-'3=0에서 sin x= '3

2

 0<x<2p일 때, 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y= '3
2



 다음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는

,

;3π;

;3@;

p이다.

y

1
'3
;;;2;;;

O

-1

'3
y=;;;2;;;

2p

x

p
;3;

p
;2;

;3@;p

p

;2#;p

y=sin x

 0<x<2p일 때, 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y=;2!;

은 다

 음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는

,

;3π;

;3%;

p이다.

y

1

;2!;

O

-1

p
;2;

p
;3;

p

;2#;p

y=;2!;

2p

x

;3%;p

y=cos x



 따라서 구하는 방정식의 해는 x=;3π;

p
또는 x=;3%;

 ⑶ 3 tan x-'3=0에서 tan x=



1
'3

 0<x<2p일 때, 함수 y=tan x의 그래프와 직선 y=



1
'3

 다음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는



;6π;

;6&;

p이다.

y

y=tan x

1
;;;;;;;;
'3

y=

1
;;;;;;;;
'3

2p

x

O

p
;6;

p
;2;

p

;6&;p

;2#;p













2  ⑴ 0<x<2p일 때, 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y=;2!;

은 다



 음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는

;6%;p이다.
,

;6π;

y

1

;2!;

O

p
;6;

p
;2;

-1

;2#;p

p

;6%;p

y=;2!;

2p

x

y=sin x

 따라서 구하는 부등식의 해는 함수 y=sin x의 그래프가 직선

 y=;2!;

보다 아래쪽 (경계선 포함)에 있는 x의 값의 범위이므로

 0<x<;6π;

또는

;6%;p<x<2p

;2!;

-;2!;

y

1

O

-1

;3@;p

p

;3$;p

y=cos x

x
2p
y=-;2!;

;2#;p

p
;3;

p
;2;

 따라서 구하는 부등식의 해는 함수 y=cos x의 그래프가 직선

 y=-;2!;

보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위이므로

 0<x<;3@;

p 또는

p<x<2p

;3$;

 ⑶ 0<x<2p일 때, 함수 y=tan x의 그래프와 직선 y=-1은



 다음 그림과 같으므로 교점의 x좌표는

p,

p이다.

;4#;

;4&;

y

1

O
-1

p
;2;

p
;4;

y=tan x

;4#;p

p

;2#;p

;4&;p

x
2p
y=-1





따라서 구하는 부등식의 해는 함수 y=tan x의 그래프가 직선

y=-1보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위이므로



 0<x<;2π;

또는

p<x<;2#;p 또는

;4&;

;4#;

p<x<2p

  6 삼각함수의 그래프   059 

| 167쪽~170쪽 |

02-1    x=;3%;p

STEP 



필수 유형

01-1    x=;2π; 또는 x=;2#;p

|해결 전략 | x-;6π;=t로 놓고 t의 값의 범위에서 tan t=k의 방정식을 푼다.

x-;6π;=t라 하면 0<x<2p에서 -;6π;<x-;6π;<:¡6¡:p

∴ -;6π;<t<:¡6¡:p

|해결 전략 | sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 cos x에 대한 방정식을 푼다.

sin€ x=1-cos€ x이므로 4(1-cos€ x)=4 cos x+1

4 cos€ x+4 cos x-3=0, (2 cos x-1)(2 cos x+3)=0

이때, 2 cos x+3>0이므로 2 cos x-1=0


∴  cos x=;2!;

p
따라서 p<x<2p일 때, x=;3%;

'3 tan

{x-;6π;}=3에서 '3 tan t=3

∴  tan t='3

-;6π;<t<:¡6¡:p일 때, 함수 y=tan t의 그래프와 직선 y='3 은 다

02-2    ;2&;p

음 그림과 같으므로 교점의 t좌표는

;3$;p이다.
,

;3π;

y
'3

p
-;6;

y=tan t

p
;2;

p

O

p
;3;

;3$;p

;2#;p

y='3

11
p6

2p

t

방정식 tan t='3 의 해는 t=;3π;

또는 t=;3$;p

|해결 전략 | sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 cos x에 대한 방정식을 푼다.

sin€ x=1-cos€ x이므로 (1-cos€ x)+sin x cos x-1=0

cos x(sin x-cos x)=0

∴  cos x=0 또는 sin x=cos x

0<x<2p에서 주어진 방정식의 해는

1 cos x=0이면 x=;2π;

또는 x=;2#;

p

2 sin x=cos x이면 x=;4π;

p
또는 x=;4%;

1, 2에서 x=;4π;
따라서 모든 x의 값의 합은

또는 x=;2π;

또는 x=;4%;

p 또는 x=;2#;

p

즉, x-;6π;=;3π;

또는 x-;6π;=;3$;p이므로 x=;2π;

또는 x=;2#;p

;4π;+;2π;+;4%;p+;2#;p=;2&;

p

01-2    :¡3¢:p

|해결 전략 | ;2X;+;3π;=t로 놓고 t의 값의 범위에서 sin t=k의 방정식을 푼다.

03-1    ;3@;p<x<p

;2X;+;3π;=t라 하면 p<x<3p에서

;2π;<;2X;<;2#;p

;6%;p<;2X;+;3π;<:¡6¡:p

∴ 

p
p<t<:¡6¡:

;6%;

2 sin

{;2X;+;3π;}+'3=0에서 2 sin t+'3=0

∴ sin t=- '3
2

;6%;p<t<:¡6¡:

p일 때, 함수 y=sin t의 그래프와 직선 y=- '3
2

은 다

음 그림과 같으므로 교점의 t좌표는

p,

p이다.

;3$;

;3%;

y

1

O

'3
;;;2;;;

;2#;p

;;¡6¡;;p

;3$;p

;3%;p

2p

p

t

p
;3;

p
;2;

;6%;p

-1

'3
-;;;2;;;

y=sin t

'3
y=-;;;2;;;

방정식 sin t=- '3
2

의 해는 t=;3$;

p
p 또는 t=;3%;

즉,

;2X;+;3π;=;3$;

p 또는

;2X;+;3π;=;3%;

p 이므로 x=2p 또는 x=;3*;

p

따라서 모든 해의 합은 2p+;3*;

p
p=:¡3¢:

060  정답과 해설 

|해결 전략 | x-;3π;=t로 놓고 t의 값의 범위에서 cos t<;2!;의 부등식을 푼다.

x-;3π;=t로 놓으면 0<x<p에서 -;3π;<t<;3@;p

cos

{x-;3π;}<;2!;

에서 cos t<;2!;

-;3π;<t<;3@;p일 때, 함수 y=cos t의 그래프와 직선 y=;2!;

은 다음

그림과 같으므로 부등식 cos t<;2!;

의 해는

;3π;<t<;3@;p

y
1

-1

- p
;3;

O

p
;3;

p
;2;

;3@;p

p

y=cos t

y=;2!;

t

;2#;p

따라서 t=x-;3π;

이므로

;3π;<x-;3π;<;3@;p

∴ 

;3@;p<x<p

03-2    1
|해결 전략 | sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 sin x에 대한 부등식을 푼다.

cos€ x=1-sin€ x이므로 1-sin€ x+sin x-1>0

sin x(sin x-1)<0

∴  0<sin x<1

0<x<2p일 때, 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y=0, y=1은 다

음 그림과 같다.

0<h<2p일 때, 함수 y=cos h의 그래프와 직선 y=-;2!;
다음 그림과 같으므로 구하는 h의 값의 범위는

, y=;2!;



y

1

O

-1

y=1

;2#;p

2p

y=0
x

p
;2;

p

y=sin x

따라서 주어진 부등식의 해는 0<x<p이므로

a=0, b=p

∴ cos€ (a+b)=cos€ p=(cos p)€=(-1)€=1

04-1    0<h<;6&;p 또는 :¡6¡:p<h<2p

;3π;<h<;3@;p 또는

;3$;p<h<;3%;p

;2!;

y

1

O

-;2!;

-1

p
;2;

;3@;p

p

;2#;p

y=;2!;

2p

h

;3%;p

y=-;2!;

p
;3;

;3$;p

y=cos h

|해결 전략 | 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 D>0이어야 함

STEP 



유형 드릴

| 171쪽~173쪽 |

주어진 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 D>0이

을 이용한다.

어야 하므로

:4Î:=('2 cos h)€-(-3 sin h)>0
2 cos€ h+3 sin h>0

이때, cos€ h=1-sin€ h이므로 2 (1-sin€ h)+3 sin h>0 

2 sin€ h-3 sin h-2<0, (2 sin h+1)(sin h-2)<0

그런데 sin h-2<0이므로 2 sin h+1>0

∴ sin h>-;2!;

이다.

0<h<2p일 때, 함수 y=sin h의 그래프와 직선 y=-;2!;
림과 같으므로 구하는 h의 값의 범위는

은 다음 그

0<h<;6&;

p 또는 

p<h<2p

:¡6¡:

y=sin h

p
;2;

p

-;2!;

y

1

O

-;2!;

-1

p
;6;

;6&;p

;2#;p

;;¡6¡;;p

2p

h

y=-;2!;

1-1   ⑤
|해결 전략 | 함수 y=3 cos 2x-1의 그래프의 성질을 안다. 

① 주기는 

=p이다.

2p
2

② 최댓값은 3-1=2이다.

③ 최솟값은 -3-1=-4이다.

④ 함수 y=3 cos 2x-1의 그래프는 함수 y=3 cos 2x의 그래프를 

y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 y축에 대하여 대칭

⑤ 함수 y=3 cos x의 그래프는 주기가 2p이고 함수



y=3 cos 2x-1의 그래프는 주기가 p이므로 두 그래프는 평행이

동하여 겹칠 수 없다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

1-2   ⑤

|해결 전략 | 함수 y=2 tan ;2X;+1의 그래프의 성질을 안다.
① 주기는  p
;2!;

=2p이다.

②, ③ 최댓값과 최솟값은 없다.

④ 점 (0, 1)에 대하여 대칭이다.

⑤ 직선 x=2

{np+;2π;}=2np+p (n은 정수)를 점근선으로 가진다.

04-2    ;3π;<h<;3@;p 또는 ;3$;p<h<;3%;p

|해결 전략 | 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 ax€+bx+c>0이 항상 성립하

려면 a>0, b€-4ac<0이어야 함을 이용한다.

모든 실수 x에 대하여 부등식 x€+4x cos h+1>0이 항상 성립해

야 하므로 이차방정식 x€+4x cos h+1=0이 허근을 가져야 한다.

즉, 이차방정식 x€+4x cos h+1=0에서 판별식 D<0이어야 하므

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

2-1    -;5#;



:4Î:=(2 cos h)€-1<0, 4 cos€ h-1<0
(2 cos h+1)(2 cos h-1)<0

∴ -;2!;<cos h<;2!;

|해결 전략 | 함수 y=sin x의 그래프의 성질을 이용한다.

함수 y=sin x의 그래프는 직선 x=;2π;

에 대하여 대칭이므로

a+b
2


=;2π;

∴  a+b=p

∴ f(a+b+c)=f(p+c)=sin (p+c) 

=-sin c=-;5#;

  6 삼각함수의 그래프   061 

대칭이므로  a+b

=;4π;

,  c+d
2

=;4#;

p

2

, c+d=;2#;
즉, a+b=;2π;
f(a+b+c+d)=f(2p)=sin 4p=0

p이므로

프를 x축의 방향으로 -;4π;
것이다.

주기는

=p이므로 p=p

2p
2

최댓값은 |-1|+3=4이므로 m=4

최솟값은 -|-1|+3=2이므로 n=2

∴ mnp=4_2_p=8p

다.

주기는

2p
3

이므로 p=;3@;p

최댓값은 2+1=3이므로 m=3

최솟값은 -2+1=-1이므로 n=-1



3p
m+n

=

3_;3@;p
3+(-1) 

=p

2-2    0
|해결 전략 | 함수 y=sin 2x의 그래프의 성질을 안다.

4-2    -1
|해결 전략 | 삼각함수의 주기와 최대, 최소를 이용하여 상수 a, b, c의 값을 구한

함수 f(x)=sin 2x의 그래프는 직선 x=;4π;

및 x=;4#;

p에 대하여

다.

3-1    8p
|해결 전략 | 함수 y=-sin 2x의 그래프의 성질을 이용하여 주기, 최댓값, 최솟

∴ abc=2_;2!;_(-1)=-1

값을 구한다.

함수 y=-sin

{2x+;2π;}+3의 그래프는 함수 y=-sin 2x의 그래

5-1    -18p
|해결 전략 | 그래프를 이용하여 삼각함수의 미정계수를 구한다.

만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한

a>0이고 주어진 그래프에서 최댓값이 2, 최솟값이 -4이므로

b>0이고 주기가 p이므로

=p에서 b=;2!;

2p

|;b!;|

a>0이므로 최솟값은 -a+c=-3

…… ㉠

또,  f(p)=0이므로

f(p)=a sin

{2p+;6π;}+c=a sin
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, c=-1

;6π;+c=;2!;a+c=0  …… ㉡

a+d=2, -a+d=-4

두 식을 연립하여 풀면 a=3, d=-1

주기가

p-{-;8π;}=;2π;

;8#;

이므로 

2p
|b|

=;2π;

에서 |b|=4

이때, b>0이므로 b=4

또, 0<c<2p에서 함수 y=3 cos(4x-c)-1의 그래프는 함수

y=3 cos 4x-1의 그래프를 x축의 방향으로

p만큼 평행이동한

;8#;

5-2    :¡3§:

|해결 전략 | 그래프를 이용하여 삼각함수의 미정계수를 구한다.

a>0이고 주어진 그래프에서 최댓값이 5, 최솟값이 -1이므로

a+d=5, -a+d=-1

두 식을 연립하여 풀면 a=3, d=2

주기가 2

p-;2#;

p}=6p이므로

{;2(;

=6p에서 |b|=;3!;

2p
|b|

이때, b>0이므로 b=;3!;

또, 함수 y=3 sin

{;3!;x-c}+2의 그래프는 점

{;2#;

p, 5}

를 지나므로

5=3 sin

{;2π;-c}+2에서 sin

{;2π;-c}=1, cos c=1



3-2    p
|해결 전략 | 함수 y=2 cos 3x의 그래프의 성질을 이용하여 주기, 최댓값, 최솟

것이므로

값을 구한다.

y=3 cos 4{x-;8#;p}-1=3 cos

{4x-;2#;p}-1

∴  c=;2#;

p

함수 y=2 cos (3x-6)+1의 그래프는 함수 y=2 cos 3x의 그래

프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이

∴ abcd=3_4_;2#;

p_(-1)=-18p

4-1    10
|해결 전략 | 삼각함수의 주기와 최대, 최소를 이용하여 상수 a, b, p의 값을 구한

다.

p>0이고 주기가 2p이므로

=2p에서 p=1

2p
|-p|

a>0이므로 최댓값은 a+b=7

또,  f

{;2π;}=-3이므로

{;2π;}=a cos p+b=-a+b=-3
f
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=2

∴ a+2b+p=5+2_2+1=10

062  정답과 해설 

…… ㉠

∵ -;2π;<c<;2π;}
∴ c=0
{

∴ a+b+c+d=3+;3!;+0+2=:¡3§:

…… ㉡

6-1    1
|해결 전략 | 삼각함수의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.

sin (p-h)cos

{;2#;p+h}-sin

{;2π;+h}

cos (p+h)

=sin h_sin h-cos h_(-cos h)=sin€ h+cos€ h=1

|해결 전략 | sin€x+cos€x=1을 이용하여 cos x에 대한 이차식으로 나타 

8-2    -;4%;

낸다.

6-2    1
|해결 전략 | 삼각함수의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.

cos (p+h)
1+cos {;2π;+h}

_

cos (p-h)
1+cos {;2π;-h}

=

-cos h
1-sin h

_

-cos h
1+sin h

































=

cos€ h
1-sin€ h

=

cos€ h
cos€ h

=1

7-1    5
|해결 전략 | 두 각의 크기의 합이 90^인 것끼리 묶고, sin (90^-h)=cos h, 
sin€ h+cos€ h=1임을 이용한다.

sin (90^-h)=cos h이므로

(주어진 식)

y=sin

{x+;2π;}-sin€ (x+p)=cos x-sin€ x

=cos x-(1-cos€ x)=cos€ x+cos x-1

cos x=t로 놓으면 -1<t<1이고

y=t€+t-1

y=t€+t-1={t+;2!;}
-1<t<1에서 이 함수의 그래프는 오

€-;4%;

른쪽 그림과 같으므로 t=-;2!;

일 때,

최솟값은 -;4%;

이다.

y

1

-;2!;

-1

t

O

1
-1

-;4%;

= (sin€ 10^+sin€ 80^)+(sin€ 20^+sin€ 70^)  

|해결 전략 | tan h=

를 이용하여 sin h, cos h에 대한 방정식을 푼다.

+(sin€ 30^+sin€ 60^)+(sin€ 40^+sin€ 50^)+sin€ 90^

= (sin€ 10^+cos€ 10^)+(sin€ 20^+cos€ 20^)

tan h=2 sin h에서 

=2 sin h

+(sin€ 30^+cos€ 30^)+(sin€ 40^+cos€ 40^)+sin€ 90^

sin h=2 sin h cos h, sin h (2 cos h-1)=0

9-1    3p

sin h
cos h

sin h
cos h

|해결 전략 | 두 각의 크기의 합이 90^인 것끼리 묶고, tan (90^-h)=

=1_4+1=5

7-2    1

임을 이용한다.

tan (90^-h)=

이므로

1
tan h

(주어진 식)

∴ sin h=0 또는 cos h=;2!;
1 sin h=0이면 h=0 또는 h=p

1
tan h 

2 cos h=;2!;
따라서 모든 근의 합은

이면 h=;3π;

p
또는 h=;3%;

0+p+;3π;+;3%;

p=3p

= (tan€ 5^_tan€ 85^) _(tan€ 10^_tan€ 80^)  

_ y _(tan€ 40^_tan€ 50^)_tan€ 45^

9-2    p

={tan€ 5^_

tan€ 5^ }_{tan€ 10^_

1

1
tan€ 10^ }

|해결 전략 | tan x=

sin x
cos x , sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 sin x에 대한

_ y _{tan€ 40^_

tan€ 40^ }_tan€ 45^

1

 

=1

낸다.

8-1    3
|해결 전략 | sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 sin x에 대한 이차식으로 나타 

방정식을 푼다.

3 tan x=2 cos x에서 

=2 cos x

3 sin x
cos x

3 sin x=2 cos€ x

이때, cos€ x=1-sin€ x이므로 3 sin x=2(1-sin€ x)

2 sin€ x+3 sin x-2=0, (2 sin x-1)(sin x+2)=0

그런데 sin x+2>0이므로 sin x=;2!;

y=sin€

p-x}+2 cos

{;2π;+x}+1=cos€ x-2 sin x+1

{;2#;

=(1-sin€ x)-2 sin x+1=-sin€x-2 sin x+2

이때, 0<x<p이므로 x=;6π;
따라서 모든 근의 합은

p
또는 x=;6%;

sin x=t로 놓으면 -1<t<1이고

y =-t€-2t+2=-(t+1)€+3

-1<t<1에서 이 함수의 그래프는

오른쪽 그림과 같으므로  t=-1일

때, 최댓값은 3이다.

y=-t€-2t+2

y

3
2

;6π;+;6%;

p=p

O

1

-1

-1

t

10-1    ;3@;p

|해결 전략 | sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 sin x에 대한 부등식을 푼다.

  6 삼각함수의 그래프   063 

cos€ x=1-sin€ x이므로

2 cos€ x+3 sin x<0에서 2(1-sin€ x)+3 sin x<0

2 sin€ x-3 sin x-2>0, (2 sin x+1)(sin x-2)>0

이때, sin x-2<0이므로 2 sin x+1<0


∴ sin x<-;2!;

즉, 0<x<2p에서 주어진 부등식의 해는

p<x<:¡6¡:

;6&;

p이므로

a=;6&;

p, b=:¡6¡:

p

∴  b-a=;3@;p

10-2    ;6%;p

|해결 전략 | sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 cos x에 대한 부등식을 푼다.

sin€ x=1-cos€ x이므로

2 sin€ x+cos x>2에서 2(1-cos€ x)+cos x>2

2 cos€ x-cos x<0, cos x(2 cos x-1)<0

∴ 0<cos x<;2!;

즉, 0<x<p에서 주어진 부등식의 해는

;3π;<x<;2π;

이므로

a=;3π;


, b=;2π;

p
∴  a+b=;6%;

11-1    -;2!;

이어야 하므로

∴ cos h<;2!;

a=;3π;

, b=;3%;

p



|해결 전략 | 이차방정식이 실근을 가지려면 판별식 D>0이어야 함을 이용한다.

이차방정식 x€-2x+2 cos h=0이 실근을 가지려면 판별식 D>0

:4Î:=(-1)€-2 cos h=1-2 cos h>0



즉, 0<h<2p에서 이 부등식의 해는

;3π;<h<;3%;

p이므로

∴ cos (b-a)=cos

p=cos

;3$;

{p+;3π;}=-cos

;3π;=-;2!;

11-2    1
|해결 전략 | 이차방정식이 허근을 가지려면 판별식 D<0이어야 함을 이용한다.
이차방정식  4x€+4x-'2 sin h=0이  허근을  가지려면  판별식
D<0이어야 하므로

:4Î:=2€-4_(-'2 sin h)=4+4'2 sin h<0
∴ sin h<- '2
2



7

| 사인법칙과 코사인법칙



사인법칙

STEP 



개념 드릴

| 177쪽 |

5'2
2   ⑶ 30^  ⑷ 90^

1  ⑴ '3  ⑵ 1  ⑶ 30^
2  ⑴ 4'3  ⑵ 
3  ⑴ 1  ⑵ '3  ⑶ 20'3  ⑷ 45^ 또는 135^
4  ⑴ 2:4:5  ⑵ 3:4:5  ⑶ 1:'3:2  ⑷ 1:1:'2

1  사인법칙을 이용하면
'2
x
sin 60^
sin 45^

 ⑴

=

에서

2

 x sin 45^='2 sin 60^,  '2
 ∴ x='3
x
sin 30^

= '3
 x sin120^='3 sin 30^,  '3

sin 120^  

에서

2

 ⑵

 ∴ x=1


 ⑶  '3
sin x

=

3
sin 60^

에서

x='2 _ '3

2


x='3_;2!;



 3 sin x='3 sin 60^, 3 sin x='3_ '3

2


 sin x=;2!;

∴  x=30^ (∵ 0^<x<120^)

2  사인법칙을 이용하면
4
a
sin 30^
sin 60^

 ⑴

=





;2!;a=4_ '3

2



∴  a=4'3

에서 a sin 30^=4 sin 60^

 ⑵

에서 c sin 45^=5 sin 30^

=

c
sin 30^

5
sin 45^
'2
2






c=5_;2!;

∴  c=

 ⑶

5
sin B

=

5'2
sin 135^

에서

=

5'2
2

5
'2
'2 sin B=sin 135^



'2 sin B= '2


, sin B=;2!;
 ∴ B=30^ (∵ 0^<B<45^)

2



 ⑷

4'3
sin 60^

=

8
sin C

에서

'3 sin C=2 sin 60^



















즉, 0<h<2p에서 이 부등식의 해는

p<h<;4&;

;4%;

p이므로

a=;4%;

p, b=;4&;

p

∴  sin (b-a)=sin

;2π;=1



'3 sin C=2_ '3

2

, sin C=1

 ∴ C=90^ (ç 0^<C<120^)

064  정답과 해설 

3  사인법칙을 이용하면
'2
sin 45^ 

 ⑴

=2R에서  '2
'2


=2R

 4 R=1

 ⑵ A+B+C=180^이므로 A=60^





3
sin 60^ 

=2R에서

=2R

∴  R='3

 ⑶

c
sin 120^  

=2_20에서

=40

∴  c=20'3

 ⑷

6'2
sin B   

=2_6에서 sin B= '2
2  



 이때, 0^<B<180^이므로 B=45^ 또는 B=135^

3
'3


c
'3


4  ⑴ sin A:sin B:sin C=a:b:c=2:4:5
 ⑵ a:b:c=sin A:sin B:sin C=3:4:5

 ⑶ C=180^-(30^+60^)=90^



 ∴ a:b:c =sin A:sin B:sin C

=sin 30^:sin 60^:sin 90^

:1

=;2!;
=1:

: '3
2
'3:2

 ⑷ B=180^-(45^+90^)=45^

 ∴ a:b:c =sin A:sin B:sin C





=sin 45^:sin 45^:sin 90^
= '2
2

:1

: '2
2
'2

=1:1:



















STEP 



필수 유형

| 178쪽~181쪽 |

01-1    2
|해결 전략 | 사인법칙을 이용하여 삼각형 ABC에서 b의 값을 구한다.

삼각형 ABC에서 A=180^-(45^+75^)=60^
'6
sin 60^

사인법칙에 의하여

b
sin 45^

이므로

=

b sin 60^='6 sin 45^,  '3

2

b='6_ '2

2

∴ b=2

01-2    16p
|해결 전략 | 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구한다.

삼각형 ABC에서 A=180^-(30^+30^)=120^

이때, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면

사인법칙에 의하여

4'3
sin 120^

=2R이므로 R=;2!;_

=4

4'3
'3
2

따라서 삼각형 ABC의 외접원의 넓이는 p_4€=16p

02-1    '2
|해결 전략 | 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180^임을 이용하여 세 내각의 크기

를 구한다.

삼각형 ABC에서 A+B+C=180^이므로

A=180^_;1™2;=30^, B=180^_;1£2;=45^

C=180^_;1¶2;=105^
이때, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙

의 변형에 의하여

;aB;=

2R sin 45^
2R sin 30^

=

sin 45^
sin 30^

=

='2

'2
2

;2!;

02-2    2
|해결 전략 | 사인법칙의 변형에 의하여 a:b:c=sin A:sin B:sin C임을 

이용한다.

;3A;=;4B;=;5C;=l (l>0)이라 하면 a:b:c=3l:4l:5l=3:4:5
사인법칙의 변형에 의하여 sin A:sin B:sin C=3:4:5

이때, sin A=3k, sin B=4k, sin C=5k (k>0)라 하면

sin A+sin C
sin (A+C)

=

sin A+sin C
sin (180^-B)

=

sin A+sin C
sin B

=

3k+5k
4k

=

=2

8k
4k

03-1    B=90^인 직각삼각형
|해결 전략 | 사인법칙의 변형을 이용하여 삼각형의 모양을 판단한다.

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙의 변형

에 의하여 sin A=

, sin B=

, sin C=

이므로

b
2R

c
2R

a
2R }

€+{

c
2R }

{



b
2R }

 ∴ a€+c€=b€

따라서 삼각형 ABC는 B=90^인 직각삼각형이다.

a
2R
€={

03-2    C=90^인 직각삼각형
|해결 전략 | sin€ h+cos€ h=1과 사인법칙의 변형을 이용하여 삼각형의 모양

을 판단한다.

sin€ h+cos€ h=1이므로 cos€ A+cos€ B=cos€ C+1에서

(1-sin€ A)+(1-sin€ B)=(1-sin€ C)+1

∴ sin€ A+sin€ B=sin€ C

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙의 변형

에 의하여 sin A=

, sin B=

, sin C=

이므로

b
2R

c
2R

a
2R }

€+{

b
2R }

{



c
2R }

 ∴ a€+b€=c€

a
2R
€={

  7 사인법칙과 코사인법칙   065 

따라서 삼각형 ABC는 C=90^인 직각삼각형이다.

04-1    40 cm
|해결 전략 | 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구한다.

삼각형 ABC에서 C=180^-(45^+105^)=30^

이때, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면

사인법칙에 의하여

=2R이므로

2R=

20
sin 30^

=

=40 (cm)

20
sin C

20

;2!;

따라서 구하는 접시의 지름의 길이는 40 cm이다.

04-2    '3  km
|해결 전략 | 세 점으로부터 같은 거리에 있는 점은 세 점을 지나는 삼각형의 외접

원의 중심임을 이용한다.

상가에서 A, B, C 세 아파트 단지에 이르는 거리가 같으므로 상가는

세 점 A, B, C를 지나는 삼각형의 외접원의 중심이다.

의 길이와 같다.

이때, 삼각형 ABC에서

A=90^-30^=60^이므로

외접원의 반지름의 길이를 R라 하면

사인법칙에 의하여

3
sin 60^

=2R

∴ R=;2!;_

='3 (km)

3
'3
2

A

30^

R

C

B

상가

3 km

따라서 상가와 A 단지 사이의 거리는

'3 km이다.

 ∴ b=6

 ⑶ b€=8€+7€-2_8_7_;1!6!;=36

 ⑷ b€=('2 )€+2€-2_'2_2_cos 45^
=('2 )€+2€-2_'2_2_ '2


=2



2



 ∴ b='2

 ⑸ c€=8€+6€-2_8_6_;2!4!;=56


 ∴ c=2'ß14

 ⑹ c€=3€+4€-2_3_4_cos 60^



=3€+4€-2_3_4_;2!;=13





 ∴ c='ß13

2  코사인법칙의 변형을 이용하면

 ⑴ cos A=

=;7^0%;=;1!4#;



5€+7€-3€
2_5_7
4€+3€-('3 )€
2_4_3

6€+3€-4€
2_6_3
('2 )€+1€-2€
2_'2_1
4€+3€-3€
2_4_3
('7 )€+3€-4€
2_'7_3

 ⑶ cos B=

=;3@6(;

 ⑷ cos B=

=-

=- '2
4

1
2'2

 ⑸ cos C=

=;2!4^;=;3@;

 ⑹ cos C=

=0

즉, 상가와 A 단지 사이의 거리는 삼각형 ABC의 외접원의 반지름

 ⑵ cos A=

=;2@4@;=;1!2!;

2

코사인법칙

STEP 



개념 드릴

1  ⑴ 5  ⑵ 'ß21  ⑶ 6  ⑷ '2  ⑸ 2'ß14  ⑹ 'ß13
2  ⑴ ;1!4#;  ⑵ ;1!2!;  ⑶ ;3@6(;  ⑷ - '2
4   ⑸ ;3@;  ⑹ 0

1  코사인법칙을 이용하면

 ∴ a=5

 ⑴ a€=4€+7€-2_4_7_;7%;=25

 ⑵ a€=3€+(4'3 )€-2_3_4'3_cos 30^
=3€+(4'3 )€-2_3_4'3_ '3





2

=21



 ∴ a='ß21

066  정답과 해설 

STEP 



필수 유형

| 184쪽~187쪽 |

01-1    90^
|해결 전략 | 코사인법칙을 이용하여 C의 크기를 구한다.

| 183쪽 |

코사인법칙에 의하여
('3 )€=c€+1€-2_c_1_cos 60^

=c€+1€-2_c_1_;2!;
위 식을 정리하면 c€-c-2=0

(c+1)(c-2)=0

∴  c=2 (ç c>0)

또, 사인법칙에 의하여

'3
sin 60^

=

2
sin C

이므로

'3 sin C=2 sin 60^, '3 sin C=2_ '3



sin C=1

∴  C=90^ (ç 0^<C<120^)

다른 풀이

코사인법칙의 변형에 의하여

1€+('3 )€-2€
2_1_'3

cos C=

=0 

 ∴  C=90^ (ç 0^<C<120^)

01-2    2
|해결 전략 | 코사인법칙을 이용하여 사각형 ABCD에서 선분 AD의 길이를 구

삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여

AC’ €=2€+3€-2_2_3_cos 60^=2€+3€-2_2_3_;2!
!;=7
2
=7이고, AD’=x라 하면 코사인법칙에
또, 삼각형 ACD에서 AC’

한다.

의하여

코사인법칙의 변형에 의하여 a+b cos C=c cos B에서

a+b_

a€+b€-c€
2ab

=c_

c€+a€-b€
2ca

2a€+a€+b€-c€=c€+a€-b€

∴ a€+b€=c€

따라서 삼각형 ABC는 C=90^인 직각삼각형이다.

7=1€+x€-2_1_x_cos 120^=1€+x€-2_1_x_{-;2!;}
위 식을 정리하면 x€+x-6=0

구한다.

(x+3)(x-2)=0

∴  x=2 (∵ x>0)

따라서 선분 AD의 길이는 2이다.

03-2    a=b인 이등변삼각형 또는 C=90^인 직각삼각형
|해결 전략 | 코사인법칙의 변형을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을  

코사인법칙의 변형에 의하여 a cos A=b cos B에서

02-1    135^
|해결 전략 | 코사인법칙의 변형을 이용하여 최대각의 크기를 구한다.

삼각형의 가장 긴 변의 대각이 최대각이므로 최대각은 B이다.

(a€-b€)(c€-a€-b€)=0

코사인법칙의 변형에 의하여

cos B=

('3-1)€+('2 )€-2€
2_('3-1)_'2

=- '2
2

∴ B=135^ (∵ 0^<B<180^)

02-2    ;5#;

다.

|해결 전략 | sin A:sin B:sin C=a:b:c와 코사인법칙의 변형을 이용한

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여

a
2R

b
2R

sin A=

, sin C=

, sin B=

c
2R
35 sin A=28'2 sin B=20'2 sin C에서
20c'2
35a
2R
2R

28b'2
2R

=

=

, 35a=28b'2=20c'2

이므로



1
28'2

1
∴ a:b:c=;3¡5;
20'2
이때, a=4'2k, b=5k, c=7k (k>0)라 하면 코사인법칙의 변형
에 의하여

=4'2:5:7



cos A=

(5k)€+(7k)€-(4'2k)€
2_5k_7k

=;7$0@;=;5#;

다른 풀이
35 sin A=28'2 sin B=20'2 sin C=l (l>0)이라 하면

sin A=

, sin B=

, sin C=

l
28'2  

l
20'2  

l
35 

∴ a:b:c=;3¡5;:

1

28'2  

1
20'2  

=4'2:5:7

이때, a=4'2k, b=5k, c=7k (k>0)라 하면 코사인법칙의 변형에 의하여

cos A=;5#;

구한다.

a_

b€+c€-a€
2bc

=b_

c€+a€-b€
2ca

a€(b€+c€-a€)=b€(c€+a€-b€)

c€(a€-b€)-(a›-b›)=0

c€(a€-b€)-(a€+b€)(a€-b€)=0

∴ a€=b€ 또는 c€=a€+b€

∴ a=b 또는 c€=a€+b€

삼각형이다.

따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형 또는 C=90^인 직각

04-1    43.6 m
|해결 전략 | 코사인법칙을 이용하여 두 나무 A, B 사이의 거리를 구한다.

삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여
AB’ €=30€+50€-2_30_50_cos 60^

=30€+50€-2_30_50_;2!;=1900

∴ AB’='ß1900=10'ß19 (m)
이때,
'ß19=4.36이므로
AB’=10'ß19=10_4.36=43.6 (m)
따라서 두 나무 A, B 사이의 거리는 43.6 m이다.

04-2    'ß13  km
|해결 전략 | 코사인법칙을 이용하여 A 지점에서 도착점까지의 직선거리를 구

한다.

오른쪽 그림과 같이 A 지점에서 5 km

2 km

2 km

를 갔을 때의 위치를 B, 6 km를 갔을 때

A

의 위치를 C라 하면 삼각형 ACB에서

4 km

60^

1 km
B
1 km

C

AC’=4 km, BC’=1 km,
3ACB=60^

이므로 코사인법칙에 의하여
AB’ €=4€+1€-2_4_1_cos 60^

=4€+1€-2_4_1_;2!;=13

60^

리는

'ß13 km이다.

  7 사인법칙과 코사인법칙   067 

03-1    C=90^인 직각삼각형
|해결 전략 | 코사인법칙의 변형을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을 

∴ AB’='ß13 (km)
따라서 A 지점에서 도착점까지의 직선거

 ⑵ S=;2!;_9_8_sin 120^=;2!;_9_8_ '3
 ⑶ S=;2!;_6_6_sin 60^=;2!;_6_6_ '3

2

2

=18'3

=9'3

188쪽~190쪽

3

삼각형의 넓이

개념 확인 
1  ⑴ 15'2  ⑵ 6'3
2  5'3
3  12'3

1  ⑴ S=;2!;_6_10_sin 45^=;2!;_6_10_ '2
 ⑵ S=;2!;_4_6_sin 120^=;2!;_4_6_ '3

2

2

=15'2

=6'3

2  S=2_5_sin 60^=2_5_ '3
2

=5'3

3  S=;2!;_6_8_sin 120^=;2!;_6_8_ '3

2

=12'3

STEP 



개념 드릴

| 191쪽 |

1  ⑴ 5'3  ⑵ 2'6  ⑶ 'ß11  ⑷ 15'3  ⑸ 9'2
2  ⑴ 24'3  ⑵ 12  ⑶ 10
3  ⑴ 

2   ⑵ 18'3  ⑶ 9'3

15'3

1  ⑴ S=;2!;_5_4_sin 60^=;2!;_5_4_ '3
=5'3
 ⑵ S=;2!;_2'3_4_sin 45^=;2!;_2'3_4_ '2

2

=2'6

2

 ⑶ S=;2!;_4_'ß11_sin 30^=;2!;_4_'ß11_;2!;='ß11
 ⑷ S=;2!;_10_6_sin 120^=;2!;_10_6_ '3
 ⑸ S=;2!;_6_6_sin 135^=;2!;_6_6_ '2

=9'2

2

=15'3

2

2  ⑴ S=6_8_sin 120^=6_8_ '3
2

=24'3

 ⑵ B=D이므로

 S=4_2'3_sin 60^=4_2'3_ '3

2

=12

 ⑶ C=A이므로

 S=4_5_sin 150^=4_5_;2!;=10





3  ⑴ S=;2!;_5_6_sin 60^=;2!;_5_6_ '3

2

=

15'3
2

068  정답과 해설 

STEP 



필수 유형

| 192쪽~193쪽 |

01-1    3'ß10
|해결 전략 | 삼각형의 넓이를 구하는 공식과 코사인법칙을 이용한다.

=18

삼각형 ABC의 넓이가 18이므로

;2!;_12_b_ '2

2

;2!;_12_b_sin 45^=18,
∴ b=3'2
따라서 코사인법칙에 의하여
c€=12€+(3'2 )€-2_12_3'2_cos 45^
=12€+(3'2 )€-2_12_3'2_ '2
∴ c=3'ß10 (ç c>0)

2

=90

01-2    4'3
|해결 전략 | 외접원의 반지름의 길이 R를 알고 세 내각의 크기를 알 수 있으므로 

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R, 삼각형 ABC의 넓이

S=2R€ sin A sin B sin C를 이용한다.

A=30^, B=120^라 하면

C=180^-(30^+120^)=30^

를 S라 하면 S=2R€ sin A sin B sin C에서

S=2_4€_sin 30^_sin 120^_sin 30^

=2_4€_;2!;_ '3

2

_;2!;=4'3

01-3    12'5
|해결 전략 | 먼저 코사인법칙의 변형을 이용하여 한 각의 코사인 값을 구한다.

코사인법칙의 변형에 의하여

cos C=

8€+7€-9€
2_8_7

=;7@;

그런데 0^<C<180^이므로 sin C>0

∴ sin C="ƒ1-cos€ C=æç1-{;7@;}

€=

3'5
7
3'5
7

∴ 1ABC=;2!;ab sin C=;2!;_8_7_

=12'5

다른 풀이

s=

8+7+9


=12이므로 헤론의 공식에 의하여

1ABC="ƒ12(12-8)(12-7)(12-9)=12'5

02-1   

21'3
4

|해결 전략 | 원에 내접하는 사각형의 대각의 크기의 합은 180^임을 이용한다.

사각형 ABCD가 원에 내접하므로
3B=180^-3D=60^

따라서 사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면
S=1ABC+1ACD

=;2!;_5_3_sin 60^+;2!;_3_2_sin 120^
=;2!;_5_3_ '3
3'3
2

+;2!;_3_2_ '3
21'3
4

15'3
4

=

+

=

2

2

02-2    ;1£3;

|해결 전략 | 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 tan€ h의 값을 구한다.

사각형 ABCD의 넓이가 3이므로

3=;2!;_2_4'3_sin h

∴  sin h= '3
4
€=;1!6#;

'3
4 }

따라서 cos€ h=1-sin€ h=1-{

이므로

tan€ h=

sin€ h
cos€ h

=;1£3;

1-1    2'3
|해결 전략 | 사인법칙을 이용하여 C의 크기를 구한 후 b의 값을 구한다.

사인법칙에 의하여

2
sin 30^

=

4
sin C

이므로

2 sin C=4 sin 30^, 2 sin C=4_;2!;
sin C=1

∴  C=90^ (ç 0^<C<150^)

삼각형 ABC에서

B=180^-(90^+30^)=60^

또, 사인법칙에 의하여

2
sin 30^

=

b
sin 60^

이므로

b sin 30^=2 sin 60^,

;2B;=2_ '3

2

∴ b=2'3

1-2    3
|해결 전략 | 사인법칙을 이용하여 C의 크기를 구한 후 a의 값을 구한다.

사인법칙에 의하여

3'3
sin 120^

=

3
sin C

이므로

'3 sin C=sin 120^,

'3 sin C= '3

2

∴  C=30^ (ç 0^<C<60^)


sin C=;2!;
따라서 A=180^-(120^+30^)=30^이므로 삼각형 ABC는

a=c인 이등변삼각형이다.

∴ a=3

2-1    16
|해결 전략 | 사인법칙의 변형을 이용하여 삼각형의 세 변의 길이의 합을 구한다.

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙의 변

형에 의하여

sin A+sin B+sin C=

a
2R

+

b
2R

+

c
2R

=

a+b+c
2R

=;5*;

이때, R=5이므로

a+b+c=;5*;_2R=;5*;_2_5=16
따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 16이다.

2-2    1
|해결 전략 | 사인법칙의 변형을 이용하여 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 구

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙의 변

a‹+b‹+c‹
sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C

=

(2R sin A)‹+(2R sin B)‹+(2R sin C)‹
sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C

한다.

형에 의하여

=8R‹=8

∴ R=1

다른 풀이

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면

sin A=

, sin B=

, sin C=

b
2R

c
2R

a
2R

∴ 

a‹+b‹+c‹
sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C 

=

a‹+b‹+c‹
b
2R }

+{



+{



a
2R }

{

‹ 

c
2R }



























 =8R‹=8

∴ R=1

3-1    10'6  m
|해결 전략 | 사인법칙을 이용하여 두 지점 A, B 사이의 거리를 구한다.

삼각형 ABC에서
3A=180^-(75^+45^)=60^

사인법칙에 의하여

AB’
sin 45^

=

30
sin 60^

이므로

  7 사인법칙과 코사인법칙   069 

STEP 



유형 드릴

| 194쪽~195쪽 |

=

8R‹(sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C)
sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C

AB’_sin 60^=30 sin 45^, AB’_ '3
2

=30_ '2
2

∴ AB’=

=10'6 (m)

30'2
'3

따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 10'6  m이다.

또, 삼각형 ABD에서 코사인법칙에 의하여
AD’÷€=8€+4€-2_8_4_cos B

÷ =8€+4€-2_8_4_;1!6!;=36

∴ AD’=6 (∵ AD’>0)

3-2    3'2  km
|해결 전략 | 사인법칙을 이용하여 두 지점 B, C 사이의 거리를 구한다.

5-2    5
|해결 전략 | 코사인법칙의 변형을 이용하여 3B 또는 3C의 코사인 값을 구한다.

삼각형 ABC에서
45^+3C=75^

∴  3C=30^

사인법칙에 의하여

BC’
sin 45^

=

3
sin 30^

이므로

BC’_sin 30^=3 sin 45^, BC’_;2!;=3_ '2
∴ BC’=3'2 (km)
따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 3'2 km이다.

2

4-1    8
|해결 전략 | 코사인법칙을 이용하여 선분 AC의 길이를 구한다.

사각형 ABCD가 원에 내접하므로
3B+3D=180^

∴ cos B=cos (180^-D)=-cos D=-;4!;
삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여
AC’ €=6€+4€-2_6_4_cos B

=6€+4€-2_6_4_{-;4!;}=64

∴ AC’=8 (∵ AC’>0)

4-2    7
|해결 전략 | 평행사변형에서 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180^임을 이용한다.
삼각형 ACD에서 3D=180^-60^=120^이므로 코사인법칙에 의

하여
AC’÷€=5€+3€-2_5_3_cos 120^

=5€+3€-2_5_3_{-;2!;}=49

∴ AC’=7 (∵ AC’>0)

5-1    6
|해결 전략 | 삼각형 ABC에서 3A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 
할 때, AB’:AC’=BD’:CD’가 성립함을 이용한다.

삼각형의 내각의 이등분선의 성질에 의하여

AB’:AC’=BD’:CD’이므로

BD’=4, CD’=3

이때, 삼각형 ABC에서 코사인법칙의 변형에 의하여

cos B=

8€+7€-6€
2_8_7

=;1!6!;

070  정답과 해설 

삼각형 ABC에서 코사인법칙의 변형에 의하여

cos C=

6€+5€-7€
2_6_5

=;5!;

또, 삼각형 ADC에서 코사인법칙에 의하여
AD’ €=2€+5€-2_2_5_cos C

=2€+5€-2_2_5_;5!;=25

∴ AD’=5 (∵ AD’>0)

6-1    a=b인 이등변삼각형
|해결 전략 | 사인법칙의 변형과 코사인법칙의 변형을 이용하여 세 변의 길이 a, 

b, c 사이의 관계식을 구한다.

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙의 변

형과 코사인법칙의 변형에 의하여

sin A cos B=sin B cos A에서

a
2R

_

c€+a€-b€
2ca

=

b
2R

_

b€+c€-a€
2bc

c€+a€-b€=b€+c€-a€, a€=b€

∴  a=b

따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.

6-2    A=90^인 직각삼각형
|해결 전략 | 코사인법칙의 변형을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을 

구한다.

코사인법칙의 변형에 의하여 a cos B-b cos A=c에서

a_

c€+a€-b€
2ca

-b_

b€+c€-a€
2bc

=c

(c€+a€-b€)-(b€+c€-a€)=2c€

∴  a€=b€+c€

따라서 삼각형 ABC는 A=90^인 직각삼각형이다.

7-1   

3+'3
2

|해결 전략 | 변 BC의 길이를 먼저 구하고, 삼각형 ABC의 넓이를 구한다.

삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에

A

내린 수선의 발을 H라 하면

BC’ =BH’+CH’



=2 cos 60^+'6 cos 45^
=2_;2!;+'6_ '2

2

=1+'3



2

B

60^

H

'6

45^

C

∴ 1ABC=;2!;_AB’_BC’_sin 60^
=;2!;_2_(1+'3 )_ '3

2

=

3+'3
2

7-2    4+2'2
|해결 전략 | 삼각비의 성질을 이용하여 변 BC의 길이를 먼저 구하고, 삼각형 

2'3

4

45^

B

C

A

H

ABC의 넓이를 구한다.

삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에

내린 수선의 발을 H라 하면
BH’=4 cos 45^=4_ '2
2
AH’=4 sin 45^=4_ '2
2

=2'2

=2'2

삼각형 ACH에서 피타고라스 정리에 의하여

CH’="ƒ(2'3 )€-(2'2 )€=2이므로
BC’=BH’+CH’=2'2+2
∴ 1ABC=;2!;_AB’_BC’_sin 45^
=;2!;_4_(2'2+2)_ '2
=4+2'2

2

8-1    40'3
|해결 전략 | 코사인법칙을 이용하여 대각선 AC의 길이를 구한다.

삼각형 ACD에서 코사인법칙에 의하여
AC’ €=8€+8€-2_8_8_cos 120^

A

8

D

120^

=8€+8€-2_8_8_{-;2!;}

=192

B

∴ AC’=8'3 (ç AC’>0)
이때, AB’:BC’=1:
AB’:BC’:AC’=1:'3:2=4'3:12:8'3
∴ AB’=4'3, BC’=12
∴ 2ABCD=1ABC+1ACD

'3 이므로 피타고라스 정리에 의하여

=;2!;_12_4'3+;2!;_8_8_sin 120^
=;2!;_12_4'3+;2!;_8_8_ '3
=24'3+16'3=40'3

2

8-2    32'3
|해결 전략 | 등변사다리꼴의 두 밑각의 크기가 같음을 이용하여 사각형 ABCD

의 넓이를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 변

A

D

CD에 평행한 직선이 변 BC와 만나는 점

을 E라 하면 삼각형 ABE는 한 변의 길

이가 8인 정삼각형이다.
이때, EC’=4, 3C=60^이므로
2ABCD=1ABE+2AECD

8

60^

B

=;2!;_8_8_sin 60^+8_4_sin 60^
=;2!;_8_8_ '3
=16'3+16'3=32'3

+8_4_ '3
2

2

8

| 등차수열



등차수열

개념 확인 

1  제3항: 8, 제7항: 28

2  ⑴ 3, 5, 7, 9  ⑵ 2, 4, 8, 16

3  ⑴ an=3n-5  ⑵ an=-5n+13

4  ⑴ x=4, y=-2  ⑵ x=1, y=:¡5¡:

198쪽~200쪽

2  ⑴ an=2n+1에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면


 a¡=2_1+1=3, a™=2_2+1=5

 a£=2_3+1=7, a¢=2_4+1=9



따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면





3, 5, 7, 9

 ⑵ an=2n에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면


 a¡=2⁄=2, a™=2€=4, a£=2‹=8, a¢=2›=16





따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면

2, 4, 8, 16

8

C

3  ⑴ 첫째항이 -2, 공차가 3이므로


 an=-2+(n-1)_3=3n-5

 ⑵ 첫째항이 8, 공차가 -5이므로



 an=8+(n-1)_(-5)=-5n+13

4  ⑴ x는 7과 1의 등차중항이므로 x=



 y는 1과 -5의 등차중항이므로 y=

=-2

7+1
2

=4

1-5
2

;5@;+;5*;
2

=1

 ⑵ x는



의 등차중항이므로 x=

;5@;

;5*;



 y는



의 등차중항이므로 y=

;5*;

:¡5¢:

;5*;+:¡5¢:
2

=:¡5¡:

STEP 



개념 드릴

| 201쪽 |

E

12

C

1  ⑴ 4, 9, 14, 19  ⑵ 3, 9, 19, 33  ⑶ -1, 1, -1, 1  ⑷ 1, 2, 5, 12

2  ⑴ 5, 19  ⑵ 11, -5  ⑶ -;3@;, 0  ⑷ ;2!;, 0

3  ⑴ an=3n-10  ⑵ an=-4n+9  ⑶ an=-;3!;n-;3@;

4  ⑴ an=6n-3  ⑵ an=2n-5  ⑶ an=;2!;n-:¡2¡:
5  ⑴ x=-1, y=7  ⑵ x=3, y=0

  8 등차수열   071 

1  ⑴ an=5n-1에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면


 a¡=5_1-1=4

 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면

 ⑵ an=2n€+1에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면

 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면

 3, 9, 19, 33


 ⑶ an=(-1)n에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면


 a¡=(-1)⁄=-1

 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면

 ⑷ an=2˜-n에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면











































 a™=5_2-1=9

 a£=5_3-1=14

 a¢=5_4-1=19

 4, 9, 14, 19

 a¡=2_1€+1=3

 a™=2_2€+1=9

 a£=2_3€+1=19

 a¢=2_4€+1=33

 a™=(-1)€=1

 a£=(-1)‹=-1

 a¢=(-1)›=1

 -1, 1, -1, 1

 a¡=2⁄-1=1

 a™=2€-2=2

 a£=2‹-3=5

 a¢=2›-4=12

 1, 2, 5, 12

2  ⑴ -2-(-9)=7에서 공차가 7이므로


 -9, -2,  5 , 12, 19 , 26, …

 ⑵ 3-7=-4에서 공차가 -4이므로



 15, 11 , 7, 3, -1, -5 , …

 ⑶

;3@;-;3!;=;3!;

에서 공차가

이므로

;3!;



 -1,  -;3@;

, -;3!;

,  0 ,

,

;3!;

;3@;

, …

 ⑷

;2#;-2=-;2!;

에서 공차가 -;2!;

이므로



 2,

, 1,

;2#;

,  0 , -;2!;

, …

;2!;

3  ⑴ 첫째항이 -7, 공차가 3이므로


 an=-7+(n-1)_3=3n-10

 ⑵ 첫째항이 5, 공차가 -4이므로



 an=5+(n-1)_(-4)=-4n+9

 ⑶ 첫째항이 -1, 공차가 -;3!;

이므로



 an=-1+(n-1)_{-;3!;}=-;3!;n-;3@;

072  정답과 해설 

4  ⑴ 첫째항이 3, 공차가 9-3=6이므로
 an=3+(n-1)_6=6n-3


 ⑵ 첫째항이 -3, 공차가 (-1)-(-3)=2이므로



 an=-3+(n-1)_2=2n-5

 ⑶ 첫째항이 -5, 공차가

{-;2(;}-(-5)=;2!;

이므로



 an=-5+(n-1)_;2!;=;2!;n-:¡2¡:

5  ⑴ x는 -5와 3의 등차중항이므로 x=

-5+3
2

=-1



 y는 3과 11의 등차중항이므로 y=

 ⑵ x는



의 등차중항이므로 x=

;2(;

;2#;



 y는

과 -;2#;

;2#;

의 등차중항이므로 y=

3+11
2

=7

;2(;+;2#;
2

=3

;2#;-;2#;
2

=0

01-1    48
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d 인 등차수열 {an}의 일반항은 an=a+(n-1)d
임을 이용한다.

등차수열 {an}의 공차를 d 라 하면 첫째항은 6이므로

a∞=6+(5-1)d=30, 6+4d=30

∴ d=6

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 6, 공차는 6이므로

an=6+(n-1)_6=6n

∴ a•=6_8=48

01-2    22
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d 인 등차수열 {an}의 일반항은 an=a+(n-1)d
임을 이용한다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a™=a+(2-1)d=-11에서 a+d=-11

a¡º=a+(10-1)d=13에서 a+9d=13

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-14, d=3

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -14, 공차는 3이므로

an=-14+(n-1)_3=3n-17

∴ a¡£=3_13-17=22

…… ㉠

…… ㉡

 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면

STEP 



필수 유형

| 202쪽~207쪽 |

02-1    an=3n-4
|해결 전략 | 주어진 조건을 등차수열 {an}의 첫째항 a, 공차 d에 대한 식으로 나
타낸다.

03-2   제 26항
|해결 전략 | 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값
을 구하면 된다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

등차수열 {an}의 첫째항이 -98, 공차가 4이므로

a¢-a™=6에서 (a+3d)-(a+d)=6

an=-98+(n-1)_4=4n-102

2d=6

∴  d=3

a¢+a™=10에서 (a+3d)+(a+d)=10

2a+4d=10, 2a+12=10

∴ a=-1

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -1, 공차는 3이므로

an=-1+(n-1)_3=3n-4

다른 풀이

a¢-a™=6 

a¢+a™=10 

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a¢=8, a™=2

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a¢=a+3d=8, a™=a+d=2

두 식을 연립하여 풀면 a=-1, d=3

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -1, 공차는 3이므로

an=-1+(n-1)_3=3n-4

이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이

므로 4n-102>0에서 4n>102

∴  n>;;;;!4);;;@;=25.5

따라서 이것을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 26이므로 처음으로

양수가 되는 항은 제26항이다.

…… ㉠

…… ㉡

03-3    -33
|해결 전략 | 처음으로 -30보다 작아지는 항은 an<-30을 만족시키는 자연수 
n의 최솟값을 구하면 된다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a¡-a¢=9에서 a-(a+3d)=9

-3d=9

∴  d=-3

a£+a¢=99에서 (a+2d)+(a+3d)=99

2a+5d=99, 2a-15=99

∴  a=57

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 57, 공차는 -3이므로

an=57+(n-1)_(-3)=-3n+60

02-2    38
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 n=10을 대입하여 
a¡º의 값을 구한다.

이때, 처음으로 -30보다 작아지는 항은 an<-30을 만족시키는 최

초의 항이므로 -3n+60<-30에서 3n>90

∴  n>30

따라서 이것을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 31이므로 처음으로

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a£-a¡=8에서 (a+2d)-a=8

2d=8

∴  d=4

a£a¢=140에서 (a+2d)(a+3d)=140

(a+8)(a+12)=140, a€+20a+96=140

a€+20a-44=0, (a+22)(a-2)=0



∴ a=2 (∵ a>0)

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 2, 공차는 4이므로

an=2+(n-1)_4=4n-2

∴ a¡º=4_10-2=38

-30보다 작아지는 항은 제31항이다.

∴ k=31

∴ a£¡=-3_31+60=-33

04-1    16
|해결 전략 | 등차수열의 첫째항이 -4, 제10항이 32임을 이용하여 공차를 구

한다.

등차수열 -4, x¡, x™, x£, …, x8, 32의 공차를 d 라 하면 첫째항이

-4, 제10항이 32이므로 -4+9d=32에서

03-1   제 10항
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 ak=42를 만족시키는 
k의 값을 구한다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a™=a+(2-1)d=10에서 a+d=10

a¶=a+(7-1)d=30에서 a+6d=30

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, d=4

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 6, 공차는 4이므로

an=6+(n-1)_4=4n+2

42를 제k항이라 하면

4k+2=42

∴  k=10

따라서 42는 제10항이다.

9d=36

∴  d=4

이때, x∞는 제6항이므로

x∞=-4+(6-1)_4=16

04-2    15

7+(n+1)_{-;4#;}=-5

(n+1)=-12, n+1=16

-;4#;
∴ n=15

…… ㉠

…… ㉡

|해결 전략 | 첫째항이 7, 공차가 -;4#;인 등차수열의 제(n+2)항이 -5임을 이
용하여 n의 값을 구한다.

첫째항이 7, 공차가 -;4#;

인 등차수열의 제(n+2)항이 -5이므로

  8 등차수열   073 

05-1    24
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

6-2    5
|해결 전략 | 나머지정리에 의하여 f(x)를 x-1, x, x+2로 나누었을 때의 나

삼차방정식 x‹-6x€-4x+k=0의 세 실근을 a-d, a, a+d 로 놓

머지는 각각 f(1),  f(0),  f(-2)이다.

으면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 실근의 합이 6이므로

나머지정리에 의하여 f(x)=x€+ax+5를 x-1, x, x+2로 나누

었을 때의 나머지는 각각

f(1)=1+a+5=a+6, f(0)=5

f(-2)=4-2a+5=-2a+9

이때, f(0)은 f(1)과 f(-2)의 등차중항이므로

f(0)=

 f(1)+f(-2)
2

, 5=

(a+6)+(-2a+9)
2

-a+15=10

∴  a=5

삼차방정식  x‹-6x€-4x+k=0의  한  근이  2이므로  방정식에

(a-d)+a+(a+d)=6

3a=6

∴  a=2

x=2를 대입하면

2‹-6_2€-4_2+k=0

∴  k=24

다른 풀이

삼차방정식의 세 실근을 a-d, a, a+d 로 놓으면

세 수의 합이 6이므로 (a-d)+a+(a+d)=6 

두 수의 곱의 합이 -4이므로 

a(a-d)+a(a+d)+(a+d)(a-d)=-4 

㉠에서 3a=6 

 ∴  a=2

㉡에 a=2를 대입하면

2(2-d)+2(2+d)+(2+d)(2-d)=-4, 12-d €=-4

d €=16 

 ∴  d=\4

따라서 세 수는 -2, 2, 6이고 세 수의 곱이 -k이므로

-k=-2_2_6=-24 

 ∴  k=24

…… ㉠

…… ㉡

2

등차수열의 합

개념 확인 

1  1400

2  435

208쪽~209쪽

05-2    -8
|해결 전략 | 등차수열을 이루는 네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d로 놓고, 

주어진 조건을 이용하여 식을 세운다.

등차수열을 이루는 네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d로 놓으면

 S¡∞=

(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=-8

(a-3d)(a+3d)=-32

㉠에서 4a=-8

∴  a=-2

㉡에서 a€-9d €=-32이므로 a=-2를 대입하면

4-9d €=-32, d €=4

 ∫ d=-2

…… ㉠

…… ㉡

따라서 네 수는 -8, -4, 0, 4이므로 이 중 가장 작은 수는 -8이다.

 이때, a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같다.

06-1    28
|해결 전략 | 7은 b와 c의 등차중항일 뿐만 아니라 a와 d의 등차중항임을 이용

=n€+1-{(n-1)€+1}

=2n-1 (n>2)

3  ⑴ an=4n-2  ⑵ a¡=2, an=2n-1 (n>2)

1  등차수열의 첫째항부터 제20항까지의 합 S™º은

 S™º=

20(5+135)
2

=1400

2  등차수열의 첫째항부터 제15항까지의 합 S¡∞ 는

15{2_8+(15-1)_3}
2

=435

3  ⑴ a¡=S¡=2_1€=2
 an =Sn-Sn-1






=2n€-2(n-1)€

=4n-2 (n>2)

 ∴ an=4n-2

 ⑵ a¡=S¡=1€+1=2

 an =Sn-Sn-1











 이때, a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르다.



∴ a¡=2, an=2n-1 (n>2)

…… ㉠





…… ㉠

STEP 



개념 드릴

| 210쪽 |

1  ⑴ 590  ⑵ 572  ⑶ 50  ⑷ 992

2  ⑴ 407  ⑵ 240  ⑶ -350  ⑷ -416

3  ⑴ 190  ⑵ -360  ⑶ -1520  ⑷ 299

4  ⑴ an=2n+1  ⑵ a¡=0, an=2n-1 (n>2)

한다.

7은 b와 c의 등차중항이므로

7=

b+c
2



∴  b+c=14

또, 7은 a와 d의 등차중항이므로

7=

a+d
2



∴  a+d=14

∴ a+b+c+d =(a+d)+(b+c)



=14+14=28

다른 풀이

등차수열을 이루는 다섯 개의 수를 7-2x, 7-x, 7, 7+x, 7+2x로 놓으면

a+b+c+d=(7-2x)+(7-x)+(7+x)+(7+2x)=28

074  정답과 해설 

1  등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면

 ⑴ S™º=

20(1+58)
2

=590

 ⑵ S¡¡=

11(4+100)
2

=572

 ⑶ S¡º=

10{12+(-2)}
2

=50

 ⑷ S£™=

32(-1+63)
2

=992

2  등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면

 ⑴ S¡¡=

11{2_2+(11-1)_7}
2

=407

 ⑵ S¡∞=

15{2_(-5)+(15-1)_3}
2

=240

 ⑶ S¡¢=

14{2_1+(14-1)_(-4)}
2

=-350

 ⑷ S¡£=

13{2_(-2)+(13-1)_(-5)}
2

=-416

STEP 



필수 유형

| 211쪽~214쪽 |

01-1    -170
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 등차수열 {an}의 첫째항과 공차를 구한 후 
등차수열의 합을 구한다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면

a¢=-28에서 a+3d=-28

a¡¡=-7에서 a+10d=-7

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-37, d=3

따라서 등차수열 {an}의 첫째항부터 제20항까지의 합은
20{2_(-37)+(20-1)_3}
2

=-170

…… ㉠

…… ㉡

01-2    224
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn

은 Sn=

n{2a+(n-1)d}
2

임을 이용한다.

첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

S§=

6{2a+(6-1)d}
2

=54에서 2a+5d=18

…… ㉠

3  ⑴ 첫째항이 1, 공차가 5-1=4이므로 주어진 등차수열의 첫째항


 부터 제10항까지의 합은

S¡¡-S§=

11{2a+(11-1)d}
2

-54=100에서





10{2_1+(10-1)_4}
2

=190

2a+10d=28

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, d=2

…… ㉡

 ⑵ 첫째항이 20, 공차가 16-20=-4이므로 주어진 등차수열의

따라서 등차수열 {an}의 제12항부터 제18항까지의 합은

첫째항부터 제20항까지의 합은





20{2_20+(20-1)_(-4)}
2

=-360

의 첫째항부터 제40항까지의 합은





40{2_1+(40-1)_(-2)}
2

=-1520

 ⑶ 첫째항이 1, 공차가 (-1)-1=-2이므로 주어진 등차수열

 ⑷ 첫째항이 -7, 공차가 (-2)-(-7)=5이므로 주어진 등차

수열의 첫째항부터 제13항까지의 합은





13{2_(-7)+(13-1)_5}
2

=299

4  ⑴ a¡=S¡=1€+2_1=3



 an =Sn-Sn-1

=n€+2n-{(n-1)€+2(n-1)}



=2n+1 (n>2)

…… ㉠

 이때, a¡=3은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같다.











 ∴ an=2n+1

 ⑵ a¡=S¡=1€-1=0


 an =Sn-Sn-1



=n€-1-{(n-1)€-1}



=2n-1 (n>2)

 이때, a¡=0은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르다.

 ∴ a¡=0, an=2n-1 (n>2)

S¡•-S¡¡=

18{2_4+(18-1)_2}
2

-(54+100)

=378-154=224

02-1    14
|해결 전략 | 첫째항이 양수이고 공차가 음수일 때, 처음으로 음수가 되는 항이 제

k항이면 첫째항부터 제(k-1)항까지의 합이 최대가 된다.

등차수열 {an}의 첫째항이 40, 공차가 -3이므로

an=40+(n-1)_(-3)=-3n+43

이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이

므로 -3n+43<0에서

3n>43

∴  n>;;¢3£;;=14.33…

따라서 등차수열 {an}은 첫째항부터 제14항까지가 양수이고 제15항

부터 음수가 되므로 Sn이 최대가 되는 n의 값은 14이다.

02-2    -98
|해결 전략 | 첫째항이 음수이고 공차가 양수일 때, 처음으로 양수가 되는 항이 제

k항이면 첫째항부터 제(k-1)항까지의 합이 최소가 된다.

등차수열 {an}의 첫째항이 -26, 공차가 4이므로

an=-26+(n-1)_4=4n-30

이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이

…… ㉠

므로 4n-30>0에서

4n>30

∴  n>;;£4º;;=7.5

  8 등차수열   075 













즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제7항까지가 음수이고 제8항부터

양수가 되므로 첫째항부터 제7항까지의 합이 최소가 된다.

04-2    45
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 an을 구한다.

따라서 Sn의 최솟값은

S¶=

7{2_(-26)+(7-1)_4}
2

=-98

a¡=S¡=1€+2_1+1=4

an =Sn-Sn-1



=n€+2n+1-{(n-1)€+2(n-1)+1}



=2n+1 (n>2)

…… ㉠

이때, a¡=4는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로

03-1    540
|해결 전략 | 자연수 d로 나누었을 때의 나머지가 a(0<a<d)인 자연수를 작은 

수부터 순서대로 나열하면 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열이다.

a¡=4, an=2n+1 (n>2)

∴ a¡+a™º=4+(2_20+1)=45

20과 70 사이에 있는 자연수 중에서 4로 나누었을 때의 나머지가 3

다른 풀이

인 수를 작은 수부터 순서대로 나열하면

23, 27, 31, 35, y, 67

이므로 첫째항이 23, 공차가 4인 등차수열이다.

이 수열의 일반항을 an이라 하면

an=23+(n-1)_4=4n+19

이때, 4n+19=67에서 n=12이므로 67은 제12항이다.

따라서 구하는 합은

12(23+67)


=540

Sn=n€+2n+1이므로

a¡=S¡=1€+2_1+1=4

a™º  =S™º-S¡ª 



=20€+2_20+1-(19€+2_19+1) 



=400+40+1-(361+38+1)=41

∴ a¡+a™º=4+41=45

03-2    1617
|해결 전략 | 자연수 d로 나누었을 때 나누어떨어지는 자연수를 작은 수부터 순서

대로 나열하면 첫째항과 공차가 모두 d인 등차수열이다.

150 이하의 자연수 중에서 7로 나누었을 때 나누어떨어지는 수를 작

은 수부터 순서대로 나열하면

7, 14, 21, 28, y, 147

이 수열의 일반항을 an이라 하면

an=7+(n-1)_7=7n

STEP 



유형 드릴

| 215쪽~217쪽 |

1-1    -11
|해결 전략 | 두 수열의 일반항을 각각 구한 후 주어진 조건을 이용하여 a의 값을 

구한다.

an=a+(n-1)_4

또, 수열 {bn}은 첫째항이 7, 공차가 -3인 등차수열이므로

이므로 첫째항과 공차가 모두 7인 등차수열이다.

수열 {an}은 첫째항이 a, 공차가 4인 등차수열이므로

이때, 7n=147에서 n=21이므로 147은 제21항이다.

bn=7+(n-1)_(-3)=-3n+10

따라서 구하는 합은

21(7+147)
2

=1617

a¢=b£에서 a+12=-9+10

∴ a=-11

04-1    74
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 an을 구한다.

a¡=S¡=4_1€-3_1=1

an =Sn-Sn-1



=4n€-3n-{4(n-1)€-3(n-1)}



=8n-7 (n>2)

…… ㉠

이때, a¡=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로

an=8n-7

∴ a¡+a¡º=1+(8_10-7)=74

다른 풀이

Sn=4n€-3n이므로

a¡=S¡=4_1€-3_1=1

a¡º  =S¡º-Sª 



=400-30-(324-27)=73

∴ a¡+a¡º=1+73=74

076  정답과 해설 

=4_10€-3_10-(4_9€-3_9) 



1-2    3
|해결 전략 | 두 수열의 일반항을 각각 구한 후 주어진 조건을 이용하여 d의 값을 

구한다.

수열 {an}은 첫째항이 2, 공차가 -1인 등차수열이므로

an=2+(n-1)_(-1)=-n+3

또, 수열 {bn}은 첫째항이 -5, 공차가 d인 등차수열이므로

bn=-5+(n-1)d

a∞=b™에서 -5+3=-5+d

∴ d=3

2-1    12
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열 {an}의 일반항은 an=a+(n-1)d
임을 이용한다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a£=-9에서 a+2d=-9

a¶=3에서 a+6d=3

…… ㉠

…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-15, d=3

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -15, 공차는 3이므로

a£=6에서 a+2d=6

an=-15+(n-1)_3=3n-18

∴ a¡º=3_10-18=12

a¡º=-8에서 a+9d=-8

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, d=-2

…… ㉠

…… ㉡

2-2    -31
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열 {an}의 일반항은 an=a+(n-1)d
임을 이용한다.

므로 -2n+12<0에서

2n>12

∴  n>6

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 10, 공차는 -2이므로

an=10+(n-1)_(-2)=-2n+12

이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이

따라서 이것을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 7이므로 처음으로

…… ㉠

…… ㉡

음수가 되는 항은 제7항이다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a™=5에서 a+d=5

a¡º=-11에서 a+9d=-11

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, d=-2

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 7, 공차는 -2이므로

an=7+(n-1)_(-2)=-2n+9

∫ a™º=-2_20+9=-31

3-1    56
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 n=10을 대입하여 
a¡º의 값을 구한다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a™=4a¡에서 a+d=4a

∴ d=3a

a¢+a∞=46에서 (a+3d)+(a+4d)=46

∴ 2a+7d=46

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=6

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 2, 공차는 6이므로

an=2+(n-1)_6=6n-4

∴ a¡º=6_10-4=56

3-2    8
|해결 전략 | |a™|=|a•|이면 a™=a• 또는 a™=-a•이다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

|a™|=|a8|에서 |a+d|=|a+7d|

∴ a+d=a+7d 또는 a+d=-(a+7d)

이때, a+d=a+7d이면 d=0이므로

a+d=-(a+7d)

∴ a+4d=0

a¡∞=40에서 a+14d=40

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-16, d=4

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -16, 공차는 4이므로

an=-16+(n-1)_4=4n-20

∴ a¡º-a8=4_10-20-(4_8-20)=8

4-2    32
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 ak>100을 만족시키
는 자연수 k의 최솟값을 구한다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a£=-12에서 a+2d=-12

a¢+a§+a8=0에서 (a+3d)+(a+5d)+(a+7d)=0

3a+15d=0

∴  a+5d=0

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-20, d=4

따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -20, 공차는 4이므로

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉠

an =-20+(n-1)_4=4n-24

이때, ak>100에서 4k-24>100

…… ㉡

4k>124

∴  k>31

따라서 이것을 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 32이다.

5-1    2
|해결 전략 | 등차수열의 첫째항이 8, 제7항이 -4임을 이용하여 공차를 구한다.

등차수열 8, x¡, x™, …, x∞, -4의 공차를 d 라 하면 첫째항이 8, 제7

항이 -4이므로 8+6d=-4에서

6d=-12

∴  d=-2

이때, x£은 제4항이므로

x£=8+(4-1)_(-2)=2

…… ㉠

…… ㉡

5-2    17
|해결 전략 | 첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열의 제(n+2)항이 100임을 이용

하여 n의 값을 구한다.

첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열의 제(n+2)항이 100이므로

10+(n+1)_5=100, n+1=18





∴ n=17

4-1   제 7항
|해결 전략 | 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값

6-1    -3
|해결 전략 | 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d로 놓고 주어진 조건을 

을 구하면 된다.

이용하여 식을 세운다.

  8 등차수열   077 

등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d 로 놓으면

세 수 1, 4, d 에서 4는 1과 d 의 등차중항이므로

세 수의 합이 3이므로 (a-d )+a+(a+d )=3

…… ㉠

세 수의 곱이 -15이므로 (a-d )_a_(a+d )=-15  …… ㉡

4=

1+d 

2

∴  d=7

㉠에서 3a=3

∴  a=1

㉡에 a=1을 대입하면

(1-d )_1_(1+d )=-15, 1-d €=-15

d €=16

∴  d=-4

따라서 세 수는 -3, 1, 5이므로 이 중 가장 작은 수는 -3이다.

세 수 13, c, d 에서 c는 13과 d 의 등차중항이므로

c=

13+d
2

=

13+7 

2

∴  c=10

∴ a+b+c+d=2+8+10+7=27

6-2    12
|해결 전략 | 직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 a-d, a, a+d로 놓

은 Sn=

n(a+l)
2

임을 이용한다.

고 주어진 조건을 이용하여 식을 세운다.

첫째항이 1, 제n항이 -20이므로 등차수열 {an}의 첫째항부터 제n

직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 a-d, a, a+d 라 하

항까지의 합 Sn은

8-1    10
|해결 전략 | 첫째항이 a, 제n항이 l인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn

면 직사각형의 둘레의 길이가 14이므로

2(a-d)+2a=14

∴ 2a-d=7

또, 오른쪽 그림에서 피타고라스 정리에 의하여

(a+d)€=(a-d)€+a€

a€+2ad+d €=a€-2ad+d €+a€

a€-4ad=0, a(a-4d)=0

∴ a=4d (∵ a+0)

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, d=1

따라서 직사각형의 넓이는

(a-d)_a=(4-1)_4=12

Sn=

n{1+(-20)} 
2

=-:¡2ª:n

이때, Sn=-95이므로 -:¡2ª:n=-95
∴ n=10

…… ㉠

a+d

a

…… ㉡

a-d

8-2    -268
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn

은 Sn=

n{2a+(n-1)d} 
2

임을 이용한다.

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면

S∞=

5{2a+(5-1)d} 
2

=35에서

a+2d=7

S¡™-S∞=

2a+11d=-7

12{2a+(12-1)d} 
2

-35=-77에서

yy ㉠

yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=13, d=-3

따라서 등차수열 {an}의 제13항부터 제20항까지의 합은
20{2_13+(20-1)_(-3)} 


S™º-S¡™=

-(35-77)







 =-310+42=-268

9-1    -360
|해결 전략 | 첫째항이 음수이고 공차가 양수일 때, 처음으로 양수가 되는 항이  

제k항이면 첫째항부터 제(k-1)항까지의 합이 최소가 된다.

등차수열 {an}의 첫째항이 -46, 공차가 3이므로

an=-46+(n-1)_3=3n-49

이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이

므로 3n-49>0에서

3n>49

∴  n>:¢3ª:=16.33…

즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제16항까지가 음수이고 제17항부

터 양수가 되므로 첫째항부터 제16항까지의 합이 최소가 된다.

∴ n=16

7-1    a=2, b=4
|해결 전략 | a+3은 3a와 b의 등차중항이고, b는 a-b와 a+2b의 등차중항

이다.

a+3이 3a와 b의 등차중항이므로

a+3=

, 2a+6=3a+b

3a+b 
2

∴ a+b=6

b가 a-b와 a+2b의 등차중항이므로

b=

(a-b)+(a+2b) 
2

, 2b=2a+b

∴ b=2a

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=4

…… ㉠

…… ㉡

7-2    27
|해결 전략 | 등차수열을 이루는 세 수를 찾고 등차중항을 이용하여 a, b, c, d의 

값을 각각 구한다.

세 수 3, a, 1에서 a는 3과 1의 등차중항이므로

세 수 3, b, 13에서 b는 3과 13의 등차중항이므로

a=

3+1
2



∴  a=2

b=

3+13 

2

∴  b=8

078  정답과 해설 

따라서 등차수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn의 최솟값은

S¡§= 16{2_(-46)+(16-1)_3} 

=-376

2

∴ k=-376

∴ n+k=16+(-376)=-360

11-1    7
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한 
후 ak=11을 만족시키는 k의 값을 구한다.

a¡=S¡=1€-2_1+1=0

an =Sn-Sn-1



=n€-2n+1-{(n-1)€-2(n-1)+1}



=2n-3 (n>2)

…… ㉠

이때, a¡=0은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로

9-2    52
|해결 전략 | 먼저 등차수열 {an}이 처음으로 음수가 되는 항을 찾는다.

등차수열 {an}의 첫째항이 7, 공차가 -2이므로

an=7+(n-1)_(-2)=-2n+9

a¡=0, an=2n-3 (n>2)

…… ㉠

ak=11에서 2k-3=11

이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이므로

2k=14

∴  k=7

-2n+9<0에서 2n>9

∴  n>;2(;=4.5
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제5항이므로

|a¡|+|a™|+|a£|+ … +|a¡º|

=a¡+a™+a£+a¢-a∞-a§-a¶-a8-aª-a¡º

= a¡+a™+a£+a¢ 

 항이 4개이고 첫째항이 a, 끝항이 a¢인 등차수열이다.

-(a∞+a§+a¶+a8+aª+a¡º)
4(a¡+a¢) 
2

6(a∞+a¡º) 
2

-

=

   항이 6개이고 첫째항이 a∞, 끝항이 
a¡º인 등차수열이다.

=

4(7+1) 
2

-

6{(-1)+(-11)} 
2

(ç ㉠)

=16+36=52

10-1    1650
|해결 전략 | 자연수 d로 나누었을 때의 나머지가 a(0<a<d)인 자연수를 작은 

수부터 순서대로 나열하면 첫째항이 a이고 공차가 d인 등차수열이다. 

100보다 작은 자연수 중에서 3으로 나누었을 때의 나머지가 2인 수

5이다.

를 작은 수부터 순서대로 나열하면

2, 5, 8, 11, y, 98

이므로 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열이다.

이 수열의 일반항을 an이라 하면

an=2+(n-1)_3=3n-1

이때, 3n-1=98에서 n=33이므로 98은 제33항이다.

따라서 구하는 합은

33(2+98) 
2

=1650

11-2    5
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한 
후 an<0을 만족시키는 자연수 n의 개수를 구한다.

a¡=S¡=1€-10_1=-9

an =Sn-Sn-1



=n€-10n-{(n-1)€-10(n-1)}



=2n-11 (n>2)

…… ㉠

이때, a¡=-9는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로

an=2n-11

an<0에서 2n-11<0

2n<11

∴  n<:¡2¡:=5.5

따라서 이것을 만족시키는 자연수 n은 1, 2, 3, 4, 5이므로 그 개수는

12-1    175장
|해결 전략 | n번째 날에 사용한 종이의 장수를 an이라 하고 수열 {an}이 어떤 수
열인지 알아본다.

n번째 날에 사용한 종이의 장수를 an이라 하면 첫 번째 날에 사용한

종이가 10장이고, 그 다음날에는 그 전날보다 종이 5장을 더 사용하

므로 수열 {an}은 첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열이다.

따라서 학생이 일주일 동안 연습했을 때, 사용한 종이는

a¡+a™+a£+ … +a¶=

7{2_10+(7-1)_5} 
2

=175(장)

10-2    4350
|해결 전략 | 자연수 d로 나누었을 때 나누어떨어지는 자연수를 작은 수부터 순서

대로 나열하면 첫째항과 공차가 모두 d인 등차수열이다.

100과 250 사이에 있는 자연수 중에서 6으로 나누었을 때 나누어떨

어지는 수를 작은 수부터 순서대로 나열하면

102, 108, 114, 120, y, 246

이므로 첫째항이 102, 공차가 6인 등차수열이다.

이 수열의 일반항을 an이라 하면

an=102+(n-1)_6=6n+96

12-2    185 cm
|해결 전략 | n번째 측정한 그림자의 길이를 an cm라 하고 수열 {an}이 어떤 수
열인지 알아본다.







n번째 측정한 그림자의 길이를 an cm라 하면 처음 그림자의 길이가

5 cm이고, 다음 번부터는 바로 전에 측정한 것보다 그림자의 길이가

3 cm씩 길어졌으므로 수열 {an}은 첫째항이 5, 공차가 3인 등차수

열이다.

따라서 그림자의 길이를 총 10번 측정했을 때, 측정한 모든 그림자의

이때, 6n+96=246에서 n=25이므로 246은 제25항이다.

길이의 합은

따라서 구하는 합은

25(102+246) 
2

=4350

a¡+a™+a£+ … +a¡º= 10{2_5+(10-1)_3} 

=185 (cm)

2

  8 등차수열   079 



























9

| 등비수열



등비수열

개념 확인 

n-1

1  an=33_{;3!;}
2  ⑴ x=4, y=16 또는 x=-4, y=-16

  ⑵ x=3, y=;3!; 또는 x=-3, y=-;3!;

1  ⑴ 공비가

-8
16
 ⑵ 공비가  '2
1

=-;2!;

이므로 16, -8,  4 , -2, 1, …

='2이므로 1,

'2,  2 , 2'2, 4, …

 ⑶ 공비가

=5이므로



 -1, -5,  -25 ,  -125 , -625, …

-5
-1

5
-5

220쪽~221쪽

 ⑷ 공비가

;2$0);=2이므로 5,  10 , 20, 40,  80 , …

 ⑸ 공비가

=-1이므로  5 , -5, 5,  -5 , 5, …

2  ⑴ x는 2와 8의 등비중항이므로


 x€=2_8=16

∴  x=4 또는 x=-4

 x=4일 때, 세 수 2, 4, 8은 공비가 2인 등비수열이므로

 y=8_2=16

 y=8_(-2)=-16

 따라서 x, y의 값은

 x=4, y=16 또는 x=-4, y=-16

 ⑵ x는 9와 1의 등비중항이므로

 x€=9_1=9

∴  x=3 또는 x=-3

3  ⑴ 첫째항이 4, 공비가

;4*;=2이므로 an=4_2n-1=2n+1

 ⑵ 첫째항이 -3, 공비가

1
-3

=-;3!;

이므로



 an=-3_{-;3!;}

n-1

-3
3

 ⑷ 첫째항이 4, 공비가

;4@;=;2!;

이므로 an=4_{;2!;}

n-1

 ⑸ 첫째항이 2, 공비가



 an=2_(-'3 )n-1

-2'3
2

=-'3 이므로

 x=-4일 때, 세 수 2, -4, 8은 공비가 -2인 등비수열이므로

 ⑶ 첫째항이 3, 공비가

=-1이므로 an=3_(-1)n-1

 x=3일 때, 세 수 9, 3, 1은 공비가

인 등비수열이므로

;3!;

 y=1_;3!;=;3!;

4  ⑴ x는 25와 1의 등비중항이므로


 x€=25_1=25

∴  x=5 또는 x=-5

 x=-3일 때, 세 수 9, -3, 1은 공비가 -;3!;

인 등비수열이므로

 x=5일 때, 세 수 25, 5, 1은 공비가

인 등비수열이므로

;5!;

 y=1_{-;3!;}=-;3!;
 따라서 x, y의 값은

 x=3, y=;3!;

또는 x=-3, y=-;3!;

STEP 



개념 드릴

1  ⑴ 4  ⑵ 2  ⑶ -25, -125  ⑷ 10, 80  ⑸ 5, -5

2  ⑴ an=2_4n-1  ⑵ an=3_{;3!;}

n-1

  ⑶ an=5_(-4)n-1  ⑷ an=2_{-;2!;}

n-1


  ⑷ an=4_{;2!;}

  ⑸ an=2_(-'3 )n-1

n-1

4  ⑴ x=5, y=;5!; 또는 x=-5, y=-;5!;

  ⑵ x=2, y=;2•5; 또는 x=-2, y=-;2•5;

080  정답과 해설 























 x=-5일 때, 세 수 25, -5, 1은 공비가 -;5!;

인 등비수열이

 y=1_;5!;=;5!;

 므로 y=1_{-;5!;}=-;5!;
 따라서 x, y의 값은

| 222쪽 |

 x=5, y=;5!;

또는 x=-5, y=-;5!;

 ⑵ x는 -5와 -;5$;

의 등비중항이므로

 x€=(-5)_{-;5$;}=4

∴  x=2 또는 x=-2

 x=2일 때, 세 수 -5, 2, -;5$;

는 공비가 -;5@;

인 등비수열이

    x=-2일 때, 세 수 -5, -2, -;5$;

는 공비가

인 등비수열

;5@;

 이므로 y={-;5$;}_;5@;=-;2•5;

 따라서 x, y의 값은 x=2, y=;2•5;

또는 x=-2, y=-;2•5;

3  ⑴ an=2n+1  ⑵ an=-3_{-;3!;}

n-1

  ⑶ an=3_(-1)n-1

 므로 y={-;5$;}_{-;5@;}=;2•5;

STEP 



필수 유형

| 223쪽~229쪽 |

01-1    ;1¡6;
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열 {an}의 일반항은 an=arn-1임을 
이용한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a™=16에서 ar=16

a¢=4에서 ar‹=4


㉡/㉠ 을 하면 r€=;4!;

 ∫ r=;2!;

(∵ r>0)

r=;2!;

을 ㉠에 대입하면

;2!;a=16

 ∫ a=32

따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 32, 공비는

이므로

;2!;

n-1

an=32_{;2!;}

∴ a¡º=32_{;2!;}

=2fi_{;2!;}

10-1

·=

1
2›

=;1¡6;

01-2    99
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열 {an}의 일반항은 an=arn-1임을 
이용한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a¢=24에서 ar‹=24

a¶=192에서 arfl=192

…… ㉠

…… ㉡

㉡/㉠ 을 하면 r‹=8

 ∫ r=2 (∵ r는 실수)

r=2를 ㉠에 대입하면 8a=24

 ∫ a=3

따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 3, 공비는 2이므로
an=3_2n-1
∴ a¡+a§=3+3_2fi=3+96=99

02-1    :§5¢:

a¡+a£=4에서

a+ar€=a(1+r€)=4

a™+a¢=8에서

ar+ar‹=ar(1+r€)=8

㉡/㉠을 하면 r=2

r=2를 ㉠에 대입하면 5a=4

 ∫ a=;5$;

따라서 an=;5$;_2n-1이므로

a∞=;5$;_2›=:§5¢:

02-2    16
|해결 전략 | 주어진 조건을 등비수열 {an}의 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나
타낸 후 a¶의 값을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a™a¢=16에서

ar_ar‹=a€r›=16

∴ ar€=4 (∵ ar€=a£>0)

a£+a∞=12에서

ar€+ar›=ar€(1+r€)=12

…… ㉠

…… ㉡

㉡/㉠ 을 하면 1+r€=3

 ∫ r€=2

r€=2를 ㉠에 대입하면 2a=4

 ∫ a=2

∴ a¶=arfl=a_(r€)‹=2_2‹=16

…… ㉠

…… ㉡

02-3    an=3n
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한 후 일반항 an을 구한다.

등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 첫째항은 3이므로
a8+aª
a∞+a§

3r‡(1+r)
3r›(1+r)

3r‡+3r8
3r›+3rfi

=r‹=27

=

=

∫ r=3 (ç r는 실수)

등비수열 {an}의 첫째항은 3, 공비는 3이므로
an=3_3n-1=3n

03-1   제 8항

|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 ak=;8(; 를 만족시키는
k의 값을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a™=72에서 ar=72

a∞=9에서 ar›=9

㉡/㉠을 하면

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉠

a_;2!;=72

∴  a=144

…… ㉡

∴ an=144_{;2!;}

n-1

를 제k항이라 하면

;8(;

k-1

144_{;2!;}
k-1=7

,

=;8(;
∴  k=8

{;2!;}

k-1



={;2!;}

따라서

는 제8항이다.

;8(;

  9 등비수열   081 

|해결 전략 | 주어진 조건을 등비수열 {an}의 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나
타낸 후 a∞의 값을 구한다.


r‹=;8!;

∴  r=;2!;

(ç r는 실수)

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

r=;2!;

을 ㉠에 대입하면

03-2   제 10항
|해결 전략 | an=arn-1<;100!00; 을 만족시키는 자연수 n의 최솟값을 구한다.

이때, x¡, x∞는 각각 제2항, 제6항이므로

1 r=2인 경우

x¡=3_2=6, x∞=3_2fi=96

등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 첫째항이 125, 제5항이

이므로

;5!;

2 r=-2인 경우

이때, 처음으로

;100!00;

보다 작게 되는 항은 an<;100!00;

을 만족시

125_r›=;5!;


, r›=;62!5;

∴  r=;5!;

(ç r>0)

등비수열 {an}의 첫째항이 125, 공비가

이므로

;5!;

n-1

n-4

an=125_{;5!;}

={;5!;}

키는 최초의 항이므로

n-4

an={;5!;}

<;100!00;

에서

;100!00;=log∞ 10000=

n-4>log
;5!;

log 10000
log 5

∫ n>4+

=4+

4
log 5

4
1-log 2

=4+

4
1-0.3010

=4+

4
0.6990

=4+5.7224…=9.7224…

따라서 이것을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 10이므로 처음으로

보다 작게 되는 항은 제10항이다.

;100!00;

04-1    ;1!8(;

|해결 전략 | 등비수열의 첫째항이 ;4#;, 제5항이 ;2¢7;임을 이용하여 공비를 구한다.

등비수열

, a, b, c,

의 공비를 r (r>0)라 하면 첫째항이

, 제

;4#;

;2¢7;

;4#;

5항이

이므로

;2¢7;

;4#;_r›=;2¢7;

에서

∴  r=;3@;

(∵ r>0)


r›=;8!1^;
따라서

a=;4#;_;3@;=;2!;

2

3

b=;4#;_{;3@;}

=;3!;

c=;4#;_{;3@;}

=;9@;

_;3@;

_;3@;

이므로 a+b+c=;2!;+;3!;+;9@;=;1!8(;

x¡=3_(-2)=-6, x∞=3_(-2)fi=-96

1, 2에서 x¡x∞=6_96=576

다른 풀이

x¡, x∞는 각각 제2항, 제6항이므로

x¡=3r, x∞=3r fi

∫ x¡x∞=3r_3rfi=9rfl=9_64=576 (ç ㉠)

04-3    4
|해결 전략 | 첫째항이 3, 공비가 3인 등비수열의 제(m+2)항이 729임을 이용

하여 m의 값을 구한다.

첫째항이 3, 공비가 3인 등비수열의 제(m+2)항이 729이므로
3_3m+1=729, 3m+2=3fl

따라서 m+2=6이므로 m=4

05-1    -27
|해결 전략 | 등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, ar€으로 놓고, 주어진 조건을 이

용하여 식을 세운다.

등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, ar€으로 놓으면

세 실수의 합이 -21이므로

a+ar+ar€=-21

∴ a(1+r+r€)=-21

세 실수의 곱이 729이므로

a_ar_ar€=a‹r‹=729

∴ ar=9

㉠/㉡ 을 하면

a(1+r+r€)
ar

=

1+r+r€
r

=-;3&;

3r€+10r+3=0, (3r+1)(r+3)=0

∴ r=-;3!;

또는 r=-3

…… ㉠

…… ㉡

일 때, ㉡에 의하여 a=-27이므로 세 수는

1 r=-;3!;
 -27, 9, -3

 -3, 9, -27

2 r=-3일 때, ㉡에 의하여 a=-3이므로 세 수는

따라서 세 수는 -27, 9, -3이므로 가장 작은 수는 -27이다.

04-2    576
|해결 전략 | 등비수열의 첫째항이 3, 제7항이 192임을 이용한다.

등비수열 3, x¡, x™, …, x∞, 192의 공비를 r 라 하면 첫째항이 3, 제7

항이 192이므로 3_rfl=192에서

rfl=64

∴ r=2 또는 r=-2

082  정답과 해설 

yy ㉠

05-2    14
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

삼차방정식 x‹-7x€+kx-8=0의 세 실근을 a, ar, ar€으로 놓으

㉡을 ㉠에 대입하면

면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+ar+ar€=7에서 a(1+r+r€)=7

a_ar_ar€=8에서 a‹r‹=8

∴  ar=2

a_ar+ar_ar€+ar€_a=k에서

a€r(1+r+r€)=k, ar_a(1+r+r€)=k

∴ k=2_7=14 (ç ㉠, ㉡)

참고

삼차방정식의 근과 계수의 관계

삼차방정식 ax‹+bx€+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면

a+b+c=-;aB;, ab+bc+ca=;aC;, abc=-;aD;

…… ㉠

…… ㉡

4=b(2b-2)

b€-b-2=0, (b+1)(b-2)=0

∴ b=-1 또는 b=2

1 b=-1이면 a=-4 (ç ㉡)

2 b=2이면 a=2 (ç ㉡)

 그런데 a, b는 서로 다른 두 실수이므로 모순이다.

1, 2에서 a=-4, b=-1이므로

a+b=(-4)+(-1)=-5

07-1    4_{;3$;}



하는 항의 숫자를 대입한다.

|해결 전략 | 첫째항부터 차례로 나열하여 규칙을 찾아 일반항을 구한 후 구하고자 

주어진 정삼각형의 한 변의 길이가 1이므로 둘레의 길이는 3이다.

[1단계]에서는 세 변마다 길이가

인 선분이 4개씩 생기므로

;3!;

둘레의 길이는 3_;3$;=4
한 번의 시행 후 도형의 둘레의 길이는 시행 전의 도형의 둘레의 길이의

∴  a¡=4

06-1    9
|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이루면 b€=ac이다.

2a가 a-3과 6a의 등비중항이므로

(2a)€=(a-3)_6a, 4a€=6a€-18a

2a€-18a=0, 2a(a-9)=0

∴ a=9 (∵ a>0)

06-2    3

|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b=

a+c

2 이고, 등

비수열을 이루면 b€=ac이다.

a가 12와 b의 등차중항이므로

a=

12+b
2



b가 a와 4의 등비중항이므로

b€=4a

㉠을 ㉡에 대입하면

b€=4_

12+b
2

b€-2b-24=0, (b+4)(b-6)=0

∴ b=6 (∵ b>0)

b=6을 ㉠에 대입하면 a=

12+6
2

=9

∴ a-b=9-6=3

이므로

;3$;

a¡=4

1

2

a™=4_{;3$;}

a£=4_{;3$;}




n-1

an=4_{;3$;}


∴ a¶=4_{;3$;}

…… ㉠

…… ㉡

2

등비수열의 합

개념 확인 

1  ⑴ 4 {1-

1
2° }  ⑵ ;2!;(3°-1)

06-3    -5

|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b=

a+c

2 이고, 등

비수열을 이루면 b€=ac이다.

2가 a와 b의 등비중항이므로

4=ab

b+1이 a와 4의 등차중항이므로

b+1=



∴  a=2b-2

a+4
2

1  등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면

…… ㉠

 ⑴ S8=

2[1-{;2!;}

°

]

1-;2!;

=4{1- 1
28 }

…… ㉡

 ⑵ S8= 1_(38-1)

3-1

=;2!;(38-1)

230쪽

  9 등비수열   083 

STEP 



개념 드릴

 ⑹ 첫째항이 -5, 공비가 1인 등비수열이므로

| 232쪽 |



 Sn=n_(-5)=-5n

1
2n }  ⑵ -2(2n-1)  ⑶ 1-(-3)n

1  ⑴ 2{1-
  ⑷ 1-(-4)n  ⑸ 5n-1  ⑹ 2n

2  ⑴ ;4!;(5n-1)  ⑵ ;3!; {1-(-2)n}  ⑶ :¡3§: {1-

1
4n }

  ⑷ ;3$; [1-{-;2!;}

]  ⑸ ;4#;{1-(-3)n}  ⑹ -5n

n

1  ⑴ Sn=

 ⑵ Sn=

 ⑶ Sn=

 ⑷ Sn=

n

1_[1-{;2!;}

]

1-;2!;
-2(2n-1)
2-1
4{1-(-3)n}
1-(-3)
5{1-(-4)n}
1-(-4)

=2{1-

1
2n }

=-2(2n-1)

=1-(-3)n

=1-(-4)n

 ⑸ Sn=

4(5n-1)
5-1

=5n-1

 ⑹ Sn=n_2=2n

2  ⑴ 첫째항이 1, 공비가 5인 등비수열이므로

 ⑵ 첫째항이 1, 공비가 -2인 등비수열이므로

 ⑶ 첫째항이 4, 공비가

인 등비수열이므로

;4!;



















 Sn=

1_(5n-1)
5-1

 =;4!;(5n-1)

 Sn=

1_{1-(-2)n}
1-(-2)

 =;3!;{1-(-2)n}

n

4[1-{;4!;}

]



 Sn=

1-;4!;
 =:¡3§:{1- 1
4n }

 Sn=

2[1-{-;2!;}

]

1-{-;2!;}

n

n


 =;3$;
[1-{-;2!;}

]

 Sn=

3{1-(-3)n}
1-(-3)

 =;4#;{1-(-3)n}

084  정답과 해설 

 ⑷ 첫째항이 2, 공비가 -;2!;

인 등비수열이므로

 ⑸ 첫째항이 3, 공비가 -3인 등비수열이므로

STEP 



필수 유형

01-1    ;4!;(2°-1)

| 233쪽~236쪽 |

|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나타내어 a, r의 값을 

구한 후 첫째항부터 제8항까지의 합을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면


에서 ar=;2!;
a™=;2!;
a§=8에서 arfi=8

…… ㉠

…… ㉡

㉡/㉠ 을 하면 r›=16

 ∫ r=2 (∵ r>0)


r=2를 ㉠에 대입하면 2a=;2!;
따라서 등비수열 {an}의 첫째항부터 제8항까지의 합은

 ∫ a=;4!;

;4!;(2°-1)
2-1

=;4!;(2°-1)

01-2    -;2!;{1-(-3)fi} 또는 3(2fi-1)

|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나타내어 a, r의 값을 

구한 후 첫째항부터 제5항까지의 합을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a™=6에서 ar=6

a£+a¢=36에서 ar€+ar‹=ar€(1+r)=36

㉡/㉠ 을 하면 r(1+r)=6

r€+r-6=0, (r+3)(r-2)=0

∴ r=-3 또는 r=2

1 r=-3일 때,

…… ㉠

…… ㉡

a=-2이므로 등비수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지의 합은





-2{1-(-3)fi}
1-(-3)

=-;2!;{1-(-3)fi}

2 r=2일 때,

a=3이므로 등비수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지의 합은

3(2fi-1)
2-1

=3(2fi-1)

1, 2에서 등비수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지의 합은

-;2!;{1-(-3)fi} 또는 3(2fi-1)

03-1    an=4_5n
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한다.

a¡=S¡=5€-5=20

an =Sn-Sn-1



=(5n+1-5)-(5n-5)
=5_5n-5n=4_5n (n>2)



…… ㉠

…… ㉡

이때, a¡=20은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=4_5n

…… ㉠

03-2    -12
|해결 전략 | 첫째항부터 등비수열을 이루려면 an=Sn-Sn-1에 n=1을 대입
한 것과 S¡이 일치해야 한다.

a¡=S¡=3_2‹+k=24+k

an =Sn-Sn-1


=(3_2n+2+k)-(3_2n+1+k)
=6_2n+1-3_2n+1
=3_2n+1 (n>2)







수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 n=1을 대입한

…… ㉠

것과 a¡=24+k가 같아야 하므로

12=24+k

∴  k=-12

…… ㉠

…… ㉡

03-3    6
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1(n>2)임을 이용하여 an<;20!0; 을 만족
시키는 자연수 n의 최솟값을 구한다.

a¡=S¡=1-;3!;=;3@;

an=Sn-Sn-1=[1-{;3!;}

]-[1-{;3!;}

]

n

n-1

=-;3!;_{;3!;}

=;3@;_{;3!;}

n-1

n-1

+{;3!;}
n-1 (n>2)

이때, a¡=;3@;

는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로

n-1

an=;3@;_{;3!;}

…… ㉠

…… ㉠

an<;20!0;

에서

;3@;_{;3!;}

,
<;20!0;

{;3!;}

<;40!0;

n-1

n

이때,

fi=;24!3;
,

{;3!;}

fl=;72!9;

{;3!;}

이므로

n>6

…… ㉡

따라서 자연수 n의 최솟값은 6이다.

01-3   

126
5

|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나타내어 a, r의 값을  

구한 후 첫째항부터 제6항까지의 합을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a™+a¢=4에서

ar+ar‹=ar(1+r€)=4

a¢+a§=16에서

ar‹+arfi=ar‹(1+r€)=16

㉡/㉠ 을 하면 r€=4

 ∫ r=2 (∵ r>0)

r=2를 ㉠에 대입하면 10a=4

 ∫ a=;5@;

따라서 등비수열 {an}의 첫째항부터 제6항까지의 합은

;5@;(2fl-1)
2-1

=;5@;(2fl-1)=

126
5

02-1    504
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r (r+1)인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지

의 합 Sn은 Sn=

r-1 임을 이용한다.

a(rn-1)

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합

을 Sn이라 하면
a(r›-1)
r-1

S¢=

=24

S8=

a(r°-1)
r-1

=

a(r›-1)(r›+1)
r-1

=120

㉡/㉠ 을 하면 r›+1=5

 ∫ r›=4

∴ S¡™=

a(r⁄€-1)
r-1

=

a(r›-1)(r°+r›+1)
r-1

=

a(r›-1)
r-1

_(r°+r›+1)

=24(4€+4+1)=504

02-2    744
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r (r+1)인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지

의 합 Sn은 Sn=

r-1 임을 이용한다.

a(rn-1)

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합

을 Sn이라 하면

S¡º=

a(r⁄‚-1)
r-1

=24

제11항부터 제20항까지의 합이 120이므로

S™º-S¡º=120, S™º=S¡º+120=144

S™º=

a(r€‚-1)
r-1

=

a(r⁄‚-1)(r⁄‚+1)
r-1

=144

㉡/㉠ 을 하면 r⁄‚+1=6

 ∫ r⁄‚=5

∴ S£º=

a(r‹‚-1)
r-1

=

a(r⁄‚-1)(r€‚+r⁄‚+1)
r-1

=

a(r⁄‚-1)
r-1

_(r€‚+r⁄‚+1)

=24(5€+5+1)=744

04-1    ⑴ 583000원  ⑵ 1133000원

|해결 전략 | 매년 초에 적립하는 경우에는 S=

a(1+r){(1+r)n-1}
r

을, 매

년 말에 적립하는 경우에는 S=

a{(1+r)n-1}
r

 을 이용한다.

  9 등비수열   085 

⑴ 연이율 3 %, 1년마다 복리로 매년 초에 5만 원씩 10년 동안 적립

㉡/㉠ 을 하면 r‹=3

할 때, 10년 말까지 적립금의 원리합계를 S만 원이라 하면

 S=5(1+0.03)+5(1+0.03)€+ y +5(1+0.03)⁄‚



a8
a™ =

ar‡
ar

=rfl=3€=9

=

5(1+0.03){(1+0.03)⁄‚-1}
(1+0.03)-1

=

5_1.03_0.34
0.03

=58.36y(만 원)

 따라서 10년 말까지 적립금의 원리합계는 583000원이다.

⑵ 연이율 3 %, 1년마다 복리로 매년 말에 10만 원씩 10년 동안 적

립할 때, 10년 말까지 적립금의 원리합계를 S만 원이라 하면

 S=10+10(1+0.03)+10(1+0.03)€+ y +10(1+0.03)·

r‹=;8!;



∴  r=;2!;

(ç r는 실수)

=

10{(1+0.03)⁄‚-1}
(1+0.03)-1

=

10_0.34
0.03

=113.33y(만 원)

 따라서 10년 말까지 적립금의 원리합계는 1133000원이다.

2-1    36
|해결 전략 | 주어진 조건을 등비수열 {an}의 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나
타낸 후 a¡의 값을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a£=9에서 ar€=9

…… ㉠

a™:a∞=8:1에서 a™=8a∞, ar=8ar›

r=;2!;

을 ㉠에 대입하면

;4!;a=9

∴  a=a¡=36

2-2    81
|해결 전략 | 주어진 조건을 등비수열 {an}의 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나
타낸 후 a¡£의 값을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a∞
a™

=3에서

=r‹=3

ar›
ar

a¢+a¶=12에서 ar‹+arfl=ar‹(1+r‹)=12

…… ㉠

r‹=3을 ㉠에 대입하면 3a(1+3)=12

∴  a=1

∴ a¡£=ar⁄€=1_3›=81

3-1   제 8항
|해결 전략 | 첫째항이 1.5, 공비가 3인 등비수열 {an}에서 an>3000을 만족시
키는 자연수 n의 최솟값을 구한다.

주어진 등비수열의 첫째항은 1.5, 공비는

=3이므로 일반항 an은

4.5
1.5

STEP 



유형 드릴

| 237쪽~239쪽 |

1-1    15
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열 {an}의 일반항은 an=arn-1임을 
이용한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a™=160에서 ar=160

a£=80에서 ar€=80

㉡/㉠ 을 하면 r=;2!;

r=;2!;

을 ㉠에 대입하면

;2!;a=160

 ∫ a=320

n-1

an=320_{;2!;}

∴ a§+a¶=320_{;2!;}

fi+320_{;2!;}

fl=10+5=15

1-2    9
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열 {an}의 일반항은 an=arn-1임을 
이용한다.

…… ㉠

…… ㉡

an=1.5_3n-1=;2!;_3n

an=;2!;_3n>3000에서 log
n log 3 >log 3+3+log 2

;2!;+n log 3>log (3_1000)

∴ n>

log 3+3+log 2
log 3

=

0.48+3+0.3
0.48

=7.875

따라서 이것을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 8이므로 처음으로

3-2   제 15항
|해결 전략 | 첫째항이 243, 공비가 r인 등비수열 {an}에서 an<;80¡00; 을 만족시
키는 자연수 n의 최솟값을 구한다.

등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 첫째항이 243, 제4항이 9이므로


243r‹=9, r‹=;2¡7;

∴  r=;3!;

(ç r는 실수)

따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 320, 공비는

이므로

;2!;

3000보다 크게 되는 항은 제8항이다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 243, 공비는

이므로

;3!;

a¢=45에서 ar‹=45

a¶=135에서 arfl=135

086  정답과 해설 

…… ㉠

…… ㉡

an=243_{;3!;}

n-1

n-1

an=243_{;3!;}
5 log 3-(n-1) log 3<-(3 log 2+3)

<;80¡00;

에서

n log 3>5 log 3+log 3+3 log 2+3

∴ n>

6 log 3+3 log 2+3
log 3

=

2.88+0.9+3 
0.48

=14.125

따라서 이것을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 15이므로 처음으로

보다 작게 되는 항은 제15항이다.

;80¡00;

4-1    78
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한다.

등비수열 2, a, b, c, 162의 공비를 r (r>0)라 하면 첫째항이 2,

제5항이 162이므로 2r›=162에서

r›=81

∴  r=3 (∵ r>0)

따라서

a=2_3=6

b=2_3€=18

c=2_3‹=54

_3

_3

이므로 a+b+c=6+18+54=78

4-2    3

|해결 전략 | 첫째항이 ;8#;, 공비가 4인 등비수열의 제(n+2)항이 96임을 이용하
여 n의 값을 구한다.

첫째항이

, 공비가 4인 등비수열의 제(n+2)항이 96이므로

;8#;

;8#;_4n+1=96에서 4n+1=32_8
4n+1=4›, n+1=4
∴  n=3

5-1    8
|해결 전략 | 등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, ar€으로 놓고, 주어진 조건을 이

용하여 식을 세운다.

등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, ar€으로 놓으면

세 실수의 합이 14이므로 a+ar+ar€=14

∴ a(1+r+r€)=14

세 실수의 곱이 64이므로 a_ar_ar€=a‹r‹=64

∴ ar=4

㉠/㉡ 을 하면

a(1+r+r€)
ar

=

1+r+r€
r

=;2&;

2r€-5r+2=0, (2r-1)(r-2)=0

∴ r=;2!;

또는 r=2

일 때, ㉡에 의하여 a=8이므로 세 수는 8, 4, 2

1 r=;2!;
2 r=2일 때, ㉡에 의하여 a=2이므로 세 수는 2, 4, 8

따라서 세 수는 2, 4, 8이므로 가장 큰 수는 8이다.

5-2    ;8!;

|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.

삼차방정식 x‹-2x€+x-k=0의 세 실근을 a, ar, ar€으로 놓으면

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+ar+ar€=2에서 a(1+r+r€)=2

a_ar+ar_ar€+ar€_a=1에서

a€r(1+r+r€)=ar_a(1+r+r€)=1

2ar=1

∴  ar=;2!;
a_ar_ar€=k에서 a‹r‹=k

∴ k=(ar)‹={;2!;}

‹=;8!;

6-1    2
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열 {an}의 일반항 an은 an=arn-1
이고, 첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열 {bn}의 일반항은 bn=a+(n-1)d임
을 이용한다.

수열 {an}은 첫째항이 2, 공비가 r인 등비수열이므로
an=2rn-1
수열 {bn}은 첫째항이 1, 공차가 5인 등차수열이므로

bn=1+(n-1)_5=5n-4

a¢=b¢에서 2r‹=5_4-4

r‹=8

∴  r=2 (ç r는 실수)

6-2    81
|해결 전략 | 등비수열 {bn}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하고 주어진 조건을 이용

하여 a, r의 값을 구한다.

첫째항이 3, 공차가 6인 등차수열 {an}의 일반항 an은

an=3+(n-1)_6=6n-3

등비수열 {bn}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 일반항 bn은
bn=arn-1
a£=5b£에서

6_3-3=5ar€

∴  ar€=3

a∞=b∞에서

6_5-3=ar›

∴  ar›=27

㉡/㉠ 을 하면 r€=9

 ∫ r=3 (∵ r>0)

…… ㉠

…… ㉡

…… ㉠

r=3을 ㉠에 대입하면 9a=3

 ∫ a=;3!;

…… ㉡

따라서 등비수열 {bn}의 첫째항은

, 공비는 3이므로

;3!;

bn=;3!;_3n-1

∴ b§=;3!;_3fi=3›=81

7-1    30

|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b=

비수열을 이루면 b€=ac이다.

a+c

2 이고, 등

  9 등비수열   087 

3은 a와 b의 등차중항이므로

3=

a+b
2



∴  a+b=6

a+b는 1과 2b의 등비중항이므로

(a+b)€=2b

㉠ 을 ㉡에 대입하면 6€=2b

 ∫ b=18

b=18을 ㉠에 대입하면 a+18=6

 ∫ a=-12

∴ b-a=18-(-12)=30

7-2    9

|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b=

a+c

2 이고, 등

비수열을 이루면 b€=ac이다.

log a가 log 3과 log b의 등차중항이므로

2 log a=log 3+log b, log a€=log 3b

∴ a€=3b
22a은 2와 29b의 등비중항이므로
(22a)€=2_29b, 24a=29b+1

∴ 4a=9b+1

㉠ 을 ㉡에 대입하면

4a=3a€+1, 3a€-4a+1=0

(3a-1)(a-1)=0

∴  a=;3!;

또는 a=1

그런데 a=1이면 log a=log 1=0이므로 a=;3!;

a=;3!;

을 ㉠에 대입하면 b=;2¡7;



∴ 

;bA;=9

LECTURE

두 양수 M, N에 대하여

❶ log M+log N=log MN 

 ❷  log M-log N=log 

M
N

8-2    :™7¢:_{;7$;}

7

…… ㉠

|해결 전략 | 첫째항부터 차례로 나열하여 규칙을 찾아 a8의 값을 구한다.

오른쪽 그림에서 삼각형 T¡과

…… ㉡

삼각형 ABC는 닮음이므로

(6-a¡):a¡=6:8=3:4에서

A

6-a¡



a1-a2

6

B





T™
a™

8

C

24-4a¡=3a¡

∴  a¡=:™7¢:

삼각형 T™와 삼각형 ABC는 닮음이므로

(a¡-a™):a™=3:4에서

4a¡-4a™=3a™

∴  a™=;7$;a¡=;7$;_:™7¢:

같은 방법으로 a£={;7$;}

€_:™7¢:

, y

따라서 수열 {an}은 첫째항이

, 공비가

인 등비수열이므로

:™7¢:

;7$;

…… ㉠

an=:™7¢:_{;7$;}

n-1

7

∴ a8=:™7¢:_{;7$;}

…… ㉡

9-1    9
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나타내어 a, r의 값을 
구한 후 Sn=1533일 때의 n의 값을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a£=12에서 ar€=12

a§=96에서 arfi=96

…… ㉠

…… ㉡

㉡/㉠ 을 하면 r‹=8

 ∫ r=2 (ç r는 실수)

r=2를 ㉠에 대입하면 4a=12

 ∫ a=3

등비수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합이 1533이므로
3(2n-1)
2-1
2n=512

=1533, 2n-1=511

8-1    1
|해결 전략 | 정사각형 AnBnCnDn과 정사각형 An+1Bn+1Cn+1Dn+1의 변의 길
이의 비를 생각한다.

∴ n=9

정사각형 AnBnCnDn의 한 변의 길

이를 an이라 하면 오른쪽 그림의 직

각삼각형 AnAn+1Dn+1에서

an+1€={

an
2 }

€+{

an
2 }

€=;2!;an€

An

an
2

An+1

an
2

Dn+1

Dn

an+1

∴ an+1=

an

1
'2

Bn

Bn+1

Cn

1
'2
오른쪽 그림에서
a¡="∂2€+2€=2'2

an=2'2_{
따라서 정사각형 A8B8C8D8의 둘레의 길이는

n-1

1
'2 }

2



2



a1





4a8=4_2'2_{

‡=1

1
'2 }

088  정답과 해설 

9-2    21
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 나타내어 a, r의 값을 

Cn+1

구한 후 첫째항부터 제6항까지의 합을 구한다.

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면

a¡+a¢=3에서 a+ar‹=a(1+r‹)=3

a¢+a¶=24에서 ar‹+arfl=ar‹(1+r‹)=24

…… ㉠

…… ㉡

r=2를 ㉠에 대입하면 9a=3

 ∫ a=;3!;

따라서 등비수열 {an}의 첫째항부터 제6항까지의 합은

;3!;(2fl-1)
2-1

=;3!;_63=21

즉, 수열 {an}은 첫째항이 2'2, 공비가

인 등비수열이므로

㉡/㉠ 을 하면 r‹=8

 ∫ r=2 (ç r는 실수)

10-1    244
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r (r+1)인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지

12-1    251만 원
|해결 전략 | 월이율 0.4 %, 1개월마다 복리로 매월 초에 10만 원씩 적립했을 때, 

의 합 Sn은 Sn=

r-1 임을 이용한다.

a(rn-1)

등비수열 {an}의 첫째항을 a라 하면 공비는 3이므로

S¡º=kS∞에서

a(3⁄‚-1)
3-1

=k_

a(3fi-1)
3-1

3⁄‚-1=k(3fi-1), (3fi+1)(3fi-1)=k(3fi-1)

∴ k=3fi+1=243+1=244

10-2    130
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r (r+1)인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지

의 합 Sn은 Sn=

r-1 임을 이용한다.

a(rn-1)

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합

을 Sn이라 하면
a(rfi-1)
r-1

S∞=

=10

등비수열 {an}의 제6항부터 제10항까지의 합이 30이므로

S¡º-S∞=30, S¡º=S∞+30=40

S¡º=

a(r⁄‚-1)
r-1

=

a(rfi-1)(rfi+1)
r-1

=40

㉡/㉠ 을 하면 rfi+1=4

 ∫ rfi=3

∴ S¡∞=

a(r⁄fi-1)
r-1

=

a(rfi-1)(r⁄‚+rfi+1)
r-1

=

a(r⁄fi-1)
r-1

_(r⁄‚+rfi+1)=10(3€+3+1)=130

11-1    1
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한다.

a¡=S¡=2€+4=8


an =Sn-Sn-1



=(2n+1+4)-(2n+4)
=2_2n-2n=2n (n>2)



이때, a¡=8은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로
a¡=8, an=2n (n>2)



=

=1




2‹
8

24개월 후에 받는 금액을 구한다.

월이율 0.4 %, 1개월마다 복리로 매월 초에 10만 원씩 24개월 동안

적립한 적립금의 원리합계는 다음과 같다.

1
개월


2
개월


3
개월


24
개월


24
개월


(원리합계)

10만 원

10만 원

10만 원

24개월

23개월

22개월

10(1+0.004)24

10(1+0.004)23

10(1+0.004)22

1개월

10만 원

10(1+0.004)

따라서 24개월 후에 적립된 총액은

10(1+0.004)+10(1+0.004)€+ y +10(1+0.004)€›

…… ㉠

…… ㉡

=

10(1+0.004){(1+0.004)€›-1}
(1+0.004)-1

=

10_1.004(1.004€›-1)
0.004

=

10.04_0.1
0.004

=251(만 원)

12-2    76000원
|해결 전략 | 월이율 1 %, 1개월마다 복리로 매월 말에 a원씩 적립했을 때, 12개

월 후에 받는 금액이 100만 원이 되는 a의 값을 구한다.

월이율 1 %, 1개월마다 복리로 매월 말에 a원씩 12개월 동안 적립

한 적립금의 원리합계는 다음과 같다.

1
개월


1
개월


2
개월


11
개월


12
개월
말 (원리합계)

…… ㉠

a원

a원

11개월

10개월

a(1+0.01)11

a(1+0.01)10

1개월

a원

a(1+0.01)

a원

a

11-2    6
|해결 전략 | 첫째항부터 등비수열을 이루려면 an=Sn-Sn-1에 n=1을 대입
한 것과 S¡이 일치해야 한다.

따라서 12개월 후 적립된 총액은

a+a(1+0.01)+a(1+0.01)€+ y +a(1+0.01)⁄⁄

a¡=S¡=2_3‹-k=54-k

an =Sn-Sn-1


=(2_32n+1-k)-(2_32n-1-k)

=6_32n-;3@;_32n=:¡3§:_32n (n>2)

…… ㉠

수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 n=1을 대입한

것과 a¡=54-k가 같아야 하므로

:¡3§:_3€=54-k

∴  k=6

=

a{(1+0.01)⁄€-1}
(1+0.01)-1

=

a(1.01⁄€-1)
0.01

=

a_0.13
0.01

=13a(원)

이때, 적립된 금액이 100만 원이어야 하므로

13a=1000000, a=76923.y(원)

따라서 매월 적립해야 하는 금액은 76000원이다.

  9 등비수열   089 

  ⑵ 수열 3_2, 3_2€, 3_2‹, y, 3_2€fi은 첫째항이 3_2, 공비

 이때, 3n-2=34에서 n=12이므로

10

| 수열의 합



합의 기호 

 와 그 성질

Ú

개념 확인 

1  ⑴ 

2k  ⑵ 

3_2k   

14
Úk=1

25
Úk=1

2  ⑴ 1+3+5+7+9

  ⑵ 3‹+3›+3fi+ y +3⁄‚

3  ⑴ 1  ⑵ -22

로 일반항 an은

 an=2+(n-1)_2=2n

 이때, 2n=28에서 n=14이므로

 2+4+6+ y +28=

14
Ú 
k=1

2k













가 2인 등비수열이므로 일반항 an은

 an=3_2_2n-1=3_2n
 이때, 3_2n=3_225에서 n=25이므로

 3_2+3_2€+3_2‹+ y +3_225=

3_2k

25
Ú 
k=1

1  ⑴ 수열 2, 4, 6, y, 28은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열이므

2  ⑴ 일반항 2k-1에 k=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면





(2k-1)=(2_1-1) +(2_2-1)+(2_3-1)



+(2_4-1)+(2_5-1)



=1+3+5+7+9


 ⑵ 일반항 3i에 i=3, 4, 5, y, 10을 차례로 대입하면





3i=3‹+3›+3fi+ y +3⁄‚

5
Ú 
k=1

10
Ú 
i=3

3  ⑴

10
Ú 
k=1

(2ak+3bk)=2

ak+3

10
Ú 
k=1

10
Ú 
k=1

bk

























=1

=2_8+3_(-5)

 ⑵

(ak-2bk-4)=

ak-2

bk-

10
Ú 
k=1

10
Ú 
k=1

10
Ú 
k=1

4

10
Ú 
k=1

















=-22

090  정답과 해설 

STEP 



개념 드릴

| 244쪽 |

1  ⑴ 

2  ⑵ 

3k  ⑶ 

(3k-2)  ⑷ 

5
Úk=1

15
Úk=1

12
Úk=1

6
Úk=1

15_{;3!;}

k-1

2  ⑴ 1€+2€+3€+ y +12€  ⑵ (-4)+(-3)+(-2)+ y +3

  ⑶ 2‹+2›+2fi+ y +2·  ⑷ 2-3+4-5

242쪽~243쪽

3  ⑴ 14  ⑵ 95  ⑶ 70

4  ⑴ -25  ⑵ -25  ⑶ 20

1  ⑴ 2+2+2+2+2=
5개

[

5
Ú 
k=1

2

 ⑵ 수열 3, 3€, 3‹, y, 3⁄fi은 첫째항이 3, 공비가 3인 등비수열이므

 ⑶ 수열 1, 4, 7, y, 34는 첫째항이 1, 공차가 3인 등차수열이므

로 일반항 an은
 an=3_3n-1=3n
 이때, 3n=3⁄fi에서 n=15이므로

 3+3€+3‹+ y +3⁄fi=

15
Ú 
k=1

3k

로 일반항 an은

 an=1+(n-1)_3=3n-2

 1+4+7+ y +34=

(3k-2)

12
Ú 
k=1

 ⑷ 수열 15, 5,

, y,

는 첫째항이 15, 공비가

인 등비수열

;3%;

;8∞1;

;3!;

 이므로 일반항 an은

 an=15_{;3!;}

n-1

n-1

   이때, 15_{;3!;}

=;8∞1;

에서 n-1=5, 즉 n=6이므로



 15+5+;3%;+ y +;8∞1;=

15_{;3!;}

6
Ú 
k=1

k-1

2  ⑴ 일반항 k€에 k=1, 2, 3, y, 12를 차례로 대입하면





k€=1€+2€+3€+ y +12€

 ⑵ 일반항 k-5에 k=1, 2, 3, y, 8을 차례로 대입하면





(k-5) =(1-5)+(2-5)+(3-5)+ y +(8-5)




=(-4)+(-3)+(-2)+ y +3
 ⑶ 일반항 2i에 i=3, 4, 5, y, 9를 차례로 대입하면





2i=2‹+2›+2fi+ y +2·

 ⑷ 일반항 (-1)j_j에 j=2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면

12
Ú 
k=1

8
Ú 
k=1

9
Ú 
i=3



5
Ú 
j=2

(-1)j_j

 =2-3+4-5























=8-2_(-5)-4_10

 =(-1)€_2+(-1)‹_3+(-1)›_4+(-1)fi_5

3  ⑴

(ak+2bk)=

ak+2

bk=20+2_(-3)=14

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

ㄹ.

a2k-1+

20
Ú 
k=1

20
Ú 
k=1

a2k

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

 ⑵

(4ak-5bk)=4

ak-5

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

bk

















=4_20-5_(-3)=95

 ⑶

(3ak-bk+1)=3

ak-

bk+

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

1



















=3_20-(-3)+1_7=70

4  ⑴

(ak-2bk)=

ak-2

bk=-15-2_5=-25

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

 ⑵

(3ak+4bk)=3

ak+4

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

bk







=3_(-15)+4_5=-25

 ⑶

(ak+5bk+2)=

ak+5

bk+

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

2







=-15+5_5+2_5=20

=(a¡+a£+a∞+ y +a£ª)+(a™+a¢+a§+ y +a¢º)

=a¡+a™+a£+a¢+a∞+a§+ y +a£ª+a¢º







=

40
Ú 
k=1

ak

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

02-1    706
|해결 전략 | Ú의 성질과 등비수열의 합의 공식을 이용하여 식의 값을 구한다.

5
Ú 
k=1

(2_3k-4)=2

3k-

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

4

=2(3+3€+3‹+3›+3fi)-4_5

=2_

3(3fi-1)
3-1

-20

=3fl-3-20=706

|해결 전략 | 

(ak+bk)€=9에서 (ak+bk)€을 전개하여 Ú의 성질을 이용

02-2    5

n
Úk=1

한다.

n
Ú 
k=1

n
Ú 
k=1

n
Ú 
k=1

02-3    45
|해결 전략 | 

5
Úk=1

n
Ú 
k=1

n
Ú 
k=1

(ak+bk)€=

(ak€+2akbk+bk€)

=

(ak€+bk€)+2

akbk

이때,

(ak+bk)€=9,

akbk=2이므로

n
Ú 
k=1

n
Ú 
k=1

n
Ú 
k=1

9=

(ak€+bk€)+2_2

 4

(ak€+bk€)=5



여러 가지 수열의 합

1  ⑴ 28  ⑵ 385  ⑶ 225  ⑷ 595

2  ⑴ ;2!1);  ⑵ 5

1  ⑴ 1+2+3+ y +7=

7
Ú 
k=1

k=

7(7+1)
2

=28  

  ⑵ 1€+2€+3€+ y +10€=

10
Ú 
k=1

k€

























10(10+1)(2_10+1)
6

=

=385

  10 수열의 합   091 

2a¡+3a™+4a£+ y +11a¡º=35





…… ㉠

a¡+2a™+3a£+ y +10a¡º=10





…… ㉡

㉠-㉡을 하면 a¡+a™+a£+ y +a10=25

=4_15-12_5+9_5=45

(2ak-3)€에서 (2ak-3)€을 전개하여 Ú의 성질을 이용한다.

5
Ú 
k=1

(2ak-3)€=

(4ak€-12ak+9)=4

ak€-12

ak+

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

9

5
Ú 
k=1

=(a¡+a™+a£+ y +a¡∞)-(a™+a£+a¢+ y +a¡∞)

개념 확인 

247쪽~248쪽

STEP 



필수 유형

01-1    25

| 245쪽~246쪽 |

|해결 전략 | 

kak-1, 

kak를 각각 Ú를 사용하지 않고 나타내어 본다.

11
Úk=2

10
Úk=1

11
Ú 
k=2

10
Ú 
k=1

kak-1=35에서

kak=10에서

4

10
Ú 
k=1

ak=25

ㄱ.

ak-

ak+1

15
Ú 
k=1

14
Ú 
k=1

=a¡

ㄴ.

ak-

20
Ú 
k=1

19
Ú 
k=1

ak

=a™º

ㄷ.

ak+1-

20
Ú 
k=1

20
Ú 
k=1

ak













=a™¡-a¡

01-2    ㄱ, ㄷ
|해결 전략 | 주어진 식을 Ú를 사용하지 않고 나타내어 본다.

=(a¡+a™+a£+ y +a™º)-(a¡+a™+a£+ y +a¡ª)

=(a™+a£+a¢+ y +a™¡)-(a¡+a™+a£+ y +a™º)

  ⑶ 1‹+2‹+3‹+4‹+5‹=

5
Ú 
k=1

k‹=[

5(5+1)
2

€=15€=225
]

  ⑷

(2k-1)€=

(4k€-4k+1)

11
Ú 
k=4

  ⑷ 6€+7€+8€+ y +12€



 =

12
Ú 
k=1

k€-

5
Ú 
k=1

k€

    =

12(12+1)(2_12+1)
6

-

5(5+1)(2_5+1)
6



 =650-55=595

2  ⑴

10
Ú 
k=1

1
(2k-1)(2k+1)





 =

1
2k+1-(2k-1)

10
Ú 
k=1{

1
2k-1

-

1

2k+1 }  

    =;2!;

10
Ú 
k=1{

1
2k-1

-

1
2k+1 }

 =;2!;

[{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+ y +{;1¡9;-;2¡1;}]

 =;2!;


{1-;2¡1;}=;2!1);

 ⑵

35
Ú 
k=1



1
'k+'ßk+1



 =

35
Ú 
k=1



'k-'ßk+1
('k+'ßk+1 )('k-'ßk+1 )

=

35
Ú 
k=1

('ßk+1-'k )

 =('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+ y +('ß36-'ß35 )
 ='ß36-1=6-1=5

1  ⑴ 124  ⑵ 2620  ⑶ 199  ⑷ 1736  ⑸ 140  ⑹ 885

2  ⑴ ;2∞4;  ⑵ ;2!6&4%;  ⑶ ;4!6%;  ⑷ 4  ⑸ 2'2  ⑹ 6

1  ⑴

8
Ú 
k=1

(3k+2)=3

k+

2=3_

+2_8

8
Ú 
k=1

8
Ú 
k=1

8_9
2















=108+16=124

  ⑵

k(k+1)=

(k€+k)-

(k€+k)

19
Ú 
k=1

4
Ú 
k=1

19
Ú 
k=5

={

19
Ú 
k=1

k€+

19
Ú 
k=1

k}-{

4
Ú 
k=1

k€+

4
Ú 
k=1

k}

={

19_20_39
6

+

19_20
2

}

-{




=(2470+190)-(30+10)=2620

+

4_5_9
6

4_5

2 }

  ⑶

(k+2)€=

(k€+4k+4)=

k€+4

k+

6
Ú 
k=1

6
Ú 
k=1

6
Ú 
k=1

6
Ú 
k=1

4

=

+4_

+4_6

6_7_13
6

=91+84+24=199

6
Ú 
k=1

6_7
2

092  정답과 해설 



























11
Ú 
k=4

11
Ú 
k=1

























=

(4k€-4k+1)-

(4k€-4k+1)

3
Ú 
k=1

={4

11
Ú 
k=1

k€-4

k+

11
Ú 
k=1

11
Ú 
k=1

1}

-{4

3
Ú 
k=1

k€-4

k+

3
Ú 
k=1

3
Ú 
k=1

1}















={4_

11_12_23
6

-4_

11_12
2

+1_11}











-{4_

+1_3}
=(2024-264+11)-(56-24+3)=1736

-4_

3_4_7
6

3_4
2















  ⑸

(k‹-2k€+3k-4)

5
Ú 
k=1



 =

k‹-2

k€+3

k-

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

4

5_6

2 }

€-2_

5_6_11
6

+3_

-4_5

5_6
2

 =225-110+45-20=140

  ⑹

k(2k+1)(2k-1)=

(4k‹-k)=4

k‹-

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

k

    ={


5
Ú 
k=1





=4_{
=900-15=885

2 }

5_6

€-

5_6
2

2  ⑴

10
Ú 
k=1

1
2(k+1)(k+2)



 =;2!;

10

Ú 
k=1{

1
k+1

-

1
k+2 }




 =;2!;
{;2!;-;1¡2;}=;2∞4;

 ⑵

1
2€-1

+

1
3€-1

+

1
4€-1

+ y +

1
11€-1



 =

11
Ú 
k=2

1
k€-1

=

11
Ú 
k=2

1
(k-1)(k+1)



11

 =;2!;
Ú 
k=2

 {

1
k-1

-

1
k+1 }



 =;2!;

[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}

+ y +{;9!;-;1¡1;}+{;1¡0;-;1¡2;}]



 =;2!;


{1+;2!;-;1¡1;-;1¡2;}=;2!6&4%;

 ⑶

15
Ú 
k=1

1
(3k-2)(3k+1)

 =;3!;

15

Ú 
k=1

 {

1
3k-2

-

1
3k+1 }



 =;3!;

[{1-;4!;}+{;4!;-;7!;}+{;7!;-;1¡0;}+ y +{;4¡3;-;4¡6;}]


 =;3!;
{1-;4¡6;}=;4!6%;







 























STEP 



개념 드릴

| 250쪽 |

 =;2!;

[{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+ y +{;1¡1;-;1¡2;}]

+

1
'4+'3

+ y +

1
'ß49+'ß48

=

mn(mn+m+n+1)
4



이때, 이차방정식 x€-12x+27=0의 두 근이 m, n이므로 근과 계

수의 관계에 의하여 m+n=12, mn=27



n
Ú 
j=1{

m
Ú 
i=1 

ij}=

27_(27+12+1)
4

=270

 =('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+ y +('ß49-'ß48 )
 ='ß49-1=6

03-1    ;1!0)2@4#;
|해결 전략 | 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항을 



40
Ú 
k=1

 =


40
Ú 
k=1

 =-;2!;

1
ß2k-1+'ß



ß2k+1

'2ßk-1-'2ßk+1
ß2k+1)('ß

ß2k-1-'ß

ß2k+1)

('ß

ß2k-1+'ß
('ß2k-1-'ß2k+1 )

40
Ú 
k=1

 =-;2!;{(1-'3 )+('3-'5 )+('5-'7 )


+ y +('ß79-'ß81 )}

 =;2!;

{('4-'2 )+('6-'4 )+('8-'6 )+ y +('ß50-'ß48 )}





 =-;2!;(1-'ß81 )=4
1
ß2k+2+'ß2k

24
Ú 
k=1




24
Ú 
k=1

 =

ß2k+2+'ß2k )('ß
('ß
('ß2k+2-'ß2k )

24

 =;2!;
Ú 
k=1

'ß2k+2-'ß2k

ß2k+2-'ß2k )

 =;2!;

('ß50-'2 )=2'2

+

1
'3+'2
1
ßk+1+'k







1
'2+1

 =

 =

 =

48
Ú 
k=1

48
Ú 
k=1

48
Ú 
k=1

'ßk+1-'k

ßk+1-'k )

ßk+1+'k )('ß

('ß
('ßk+1-'k )

STEP 



필수 유형

| 251쪽~257쪽 |

01-1    2680
|해결 전략 | 자연수의 거듭제곱의 합과 Ú의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.
k‹+1
k+1

(k+1)(k€-k+1)
k+1

k‹
k+1

1
k+1

20
Ú 
k=1

20
Ú 
k=1

20
Ú 
k=1

20
Ú 
k=1

=

=

+

=

(k€-k+1)=

k€-

k+

20
Ú 
k=1

20
Ú 
k=1

20
Ú 
k=1

20
Ú 
k=1

1

=

20_21_41
6

-

20_21
2

+1_20

=2870-210+20=2680

01-2   

n(n+1)(4n+5)
6

|해결 전략 | 주어진 수열의 일반항 an을 구한 후 

ak를 구한다.

n
Úk=1

주어진 수열의 일반항을 an이라 하면

an=n_{3+(n-1)_2}=n(2n+1)

수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합은
n
Ú 
k=1

(2k€+k)=2

k(2k+1)=

n
Ú 
k=1

n
Ú 
k=1

ak=

n
Ú 
k=1

k€+

n
Ú 
k=1

k

=2_

n(n+1)(2n+1)
6

+

n(n+1)
2

=

n(n+1)
2

[

2(2n+1)
3

+1]=

n(n+1)(4n+5)
6

02-1    975
|해결 전략 | Ú를 여러 개 포함한 식의 계산에서는 괄호 안부터 차례로 계산한다.

25
Ú 
m=1{

m
Ú 
l=1

3}=

25
Ú 
m=1

3m=3

m=3_

25
Ú 
m=1

25_26
2

=975

02-2    270
|해결 전략 | Ú를 여러 개 포함한 식의 계산에서는 괄호 안부터 차례로 계산한다.

n
Ú 
j=1


{

m
Ú 
i=1

ij}=

n
Ú 
j=1


{j

m
Ú 
i=1

i}=

n
Ú 
j=1

[ j_

m(m+1)
2



=

m(m+1)
2

n
Ú 
j=1

j=

m(m+1)
2

_

n(n+1)
2

수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면

먼저 구한다.

Sn=

ak=2n+1-2에서

n
Ú 
k=1

1 n=1일 때

 a¡=S¡=2

2 n>2일 때

 an=Sn-Sn-1
 =(2n+1-2)-(2n-2)=(2-1)_2n=2n
이때, a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=2n



…… ㉠

4

10
Ú 
k=1

ak
4k =

10
Ú 
k=1

 {;2!;}

k
=

10

=1-{;2!;}


=;1!0)2@4#;

10

]

;2!; [1-{;2!;}
1-;2!;

03-2    1150
|해결 전략 | 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항을 

수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면

Sn=a¡+a™+a£+ y +an=2n‹에서

먼저 구한다.

1 n=1일 때

 a¡=S¡=2

  10 수열의 합   093 

2 n>2일 때

 an=Sn-Sn-1

05-1    3-'2+'ß15
|해결 전략 | 분모에 근호가 포함된 수열의 합은 일반항의 분모를 유리화한 후 계

|해결 전략 | 분수 꼴로 주어진 수열의 합은 일반항을 부분분수로 변형한 후 계산

+ y +('ß15-'ß13 )+('ß16-'ß14 )

, y의 일반항을 an이라 하면

산한다.

수열

an=

=

,

2
'3+'5

,

2
'2+'4


2
1+'3
2
'n+'ßn+2

2('n-'ßn+2 )
('n+'ßn+2 )('n-'ßn+2 )



='ßn+2 -'n

14
Ú 
k=1

14
Ú 
k=1



ak=

('ßk+2-'k )
=('3-1)+('4-'2 )+('5-'3 )

=-1-'2+'ß15+'ß16
=3-'2+'ß15

05-2    24
|해결 전략 | 분모에 근호가 포함된 수열의 합은 일반항의 분모를 유리화한 후 계

산한다.

주어진 수열 {an}의 일반항을 구하면

an=1+(n-1)_2=2n-1이므로



=



1
ß2n+1+'ß

1
ßan+1+'ßan

=

ß2n-1
'ß2n+1-'ß2n-1
ß2n-1 )('ß
ß2n+1+'ß
('ß
('ß2n+1-'ß2n-1 )
=;2!;

ß2n+1-'ß

ß2n-1 )



4

n
Ú 
k=1

=;2!;

1
ßak+1+'ßak
=;2!;



n

Ú 
k=1

('ß2k+1-'ß2k-1 )

{('3 -1)+('5 -'3 )+('7 -'5 )

+ y +('ß2n+1-'ß

ß2n-1 )}







=;2!;

('ß2n+1-1)

이때,

n
Ú 
k=1

1
ßak+1+'ßak



=3이므로

('ß2n+1-1)=3

;2!;

'ß2n+1=7, 2n+1=49

 4 n=24

06-1    :¡4ª:_3⁄⁄+;4#;

여 S의 값을 구한다.

|해결 전략 | 주어진 수열의 합 S에 대하여 S-(등비수열의 공비)_S를 계산하

S=1_3+2_3€+3_3‹+ y +10_3⁄‚
-®† 3S=
-2S= 3+ 3€+ 3‹+ y +

1_3€+†2_3‹+ y + 9_3⁄‚+10_3⁄⁄
3⁄‚-10_3⁄⁄

 =2n‹-2(n-1)‹=6n€-6n+2

…… ㉠

이때, a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로

an=6n€-6n+2

4

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

a2k=

(24k€-12k+2)=24

k€-12

k+

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

2

=24_

-12_

+2_5

5_6_11
6

=1320-180+10=1150

5
Ú 
k=1

5_6
2

04-1   

n
4(n+1)

한다.

주어진 수열의 일반항을 an이라 하면

an=

1
2n(2n+2)

=

1
4n(n+1)



수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합은

n
Ú 
k=1

ak=

n
Ú 
k=1



1
4k(k+1)

=;4!;

n

Ú 
k=1


{

1
k

-

1

k+1 } 

=;4!;

[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+ y +{

1
n

-

1

n+1 }]


=;4!;
{1-

n+1 }=

1

n
4(n+1)

|해결 전략 | 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항을 

수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면

04-2    ;1™5;

먼저 구한다.

Sn=

ak=n€+2n에서

n
Ú 
k=1

1 n=1일 때

 a¡=S¡=3

2 n>2일 때

 an=Sn-Sn-1

an=2n+1
6
Ú 
k=1

1
ak ak+1

∫ 

 =

6
Ú 
k=1

1
(2k+1)(2k+3)



6
 =;2!;

Ú 
k=1{

1
2k+1

-

1
2k+3 }



 =;2!;

[{

1
3

-

1
5 }+{

1
5

-

1
7 }+{

1
7

-

1
9 }

 

 =;2!;


{

1
3

-

1
15 }=;1™5;

094  정답과 해설 



=(n€+2n)-{(n-1)€+2(n-1)}=2n+1

…… ㉠

이때, a¡=3은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로

  +

y +{

1
13

-

1
15 }]





=

3(3⁄‚-1)
3-1

-10_3⁄⁄

=-:¡2ª:_3⁄⁄-;2#;

∫ S=:¡4ª:_3⁄⁄+;4#;

STEP 



유형 드릴

| 258쪽~259쪽 |

19
4_3°

06-2    ;4#;-
|해결 전략 | 주어진 수열의 합 Sn에 대하여 S•-(등비수열의 공비)_S•을 계
산하여 S•의 값을 구한다.

-®† ;3!; S•=

1_

+2_

+ y +7_

+8_



;3@; S•= ;3!;+

+

+ y +

-8_

1
3€

1
3€ †
1
3€

1
3‹

1
3‹

1
3‹

1


1


1


1


1


1-1    44

7
Úk=1

한다.

7
Ú 
k=1

 S•=1_;3!;+2_

+3_

+ y +8_

|해결 전략 | 

(2ak+2bk)€에서 (2ak+2bk)€을 전개하여 Ú의 성질을 이용







;3!; {1-

1
3° }

=

1-;3!;

-8_

1


=;2!;{1-

=;2!;-

8


1
3° }-
19
2_3·

∫ S•=;4#;-

19
4_3°

개수는

n
Ú 
k=1

k=

n(n+1)
2

9_10
2

5번째 항은

10+(5-1)_(-1)=6

따라서 제50항은 6이다.

07-1    6
|해결 전략 | 수열의 각 항이 갖는 규칙을 파악하여 주어진 수열을 군으로 나눈다.

주어진 수열을 각 군의 마지막 항이 1이 되도록 묶으면

(1), (2, 1), (3, 2, 1), (4, 3, 2, 1), y
제1군 제2군
각 군의 항의 개수는 1, 2, 3, y이므로 제1군부터 제n군까지의 항의

제3군

제4군

07-2    27
|해결 전략 | 수열의 각 항이 갖는 규칙을 파악하여 주어진 수열을 군으로 나눈다.

주어진 수열을 분모와 분자의 합이 같은 것끼리 묶으면

,

,

{;1@;

{;1!;}
제1군 제2군

;2!;}

,

{;1#;

,

,

;2@;
제3군

,

;3!;}

{;1$;

,

,

,

;3@;
;2#;
제4군

, y

;4!;}

는 분모와 분자의 합이 8인 제7군의 6번째 항이다.

각 군의 항의 개수는 1, 2, 3, y 이므로 제1군부터 제6군까지의 항의

1+2+3+ y +6=

=21

6_7
2

;6@;

개수는

;6@;

k=27

(2ak+2bk)€=

(4ak€+8ak bk+4bk€)

=4

ak€+8

ak bk+4

7
Ú 
k=1

bk€

=4
{

ak€+

bk€}+8

7
Ú 
k=1

ak bk

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

=4

(ak€+bk€)+8

ak bk

7
Ú 
k=1

=4_5+8_3=44

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

7
Ú 
k=1

1-2    0

|해결 전략 | 먼저 

10ak, 

10bk의 값을 구한다.

15
Úk=1

15
Úk=1

{3(3ak-bk)+(ak+3bk)}=

10ak이므로

10ak=3

(3ak-bk)+

(ak+3bk)





=3_8+(-4)=20

{3(ak+3bk)-(3ak-bk)}=

10bk이므로

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

10bk=3

(ak+3bk)-

(3ak-bk)





=3_(-4)-8=-20

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

2-1    330
|해결 전략 | 자연수의 거듭제곱의 합과 Ú의 성질을 이용한다. 
1_2+2_3+3_4+ y +9_10

=

9
Ú 
k=1

k(k+1)=

(k€+k)=

k€+

9
Ú 
k=1

9
Ú 
k=1

k

9
Ú 
k=1

=

9_10_19
6

+

9_10
2

=285+45=330

2-2    10
|해결 전략 | 자연수의 거듭제곱의 합과 Ú의 성질을 이용한다.

n
Ú 
k=1

k(3k-1)=

(3k€-k)=3

k€-

n
Ú 
k=1

n
Ú 
k=1

k

n
Ú 
k=1

=3_

n(n+1)(2n+1)
6

-

n(n+1)
2



n(n+1)
2

즉, n€(n+1)=1100이므로 n=10

n=9일 때,

=45이므로 제50항은 제10군의 5번째 항이다.

이때, 제n군은 첫째항이 n, 공차가 -1인 등차수열이므로 제10군의

4

15
Ú 
k=1

(10ak+10bk)=

10ak+

10bk=20+(-20)=0

15
Ú 
k=1

15
Ú 
k=1

따라서

가 처음으로 나오는 항은 제(21+6)항, 즉 제27항이므로

=

{(2n+1)-1}=n€(n+1)

  10 수열의 합   095 

|해결 전략 | 

☐  꼴 ➡ k를 제외한 ☐ 안의 문자는 상수로 생각하여 계산한다.

3-1    100

n
Úk=1

l
Ú 
k=1

5=5l이므로

m
Ú 
l=1

 {

l
Ú 
k=1

5}=

m
Ú 
l=1

5l=5

l=5_

m
Ú 
l=1 

m(m+1)
2

=;2%;

m(m+1)



4
Ú 
m=1[

m
Ú 
l=1 

 {

l
Ú 
k=1

 5}]=

4
Ú 
m=1[;2%;

m(m+1)]


=;2%;
{

4
Ú 
m=1

m€+

4
Ú 
m=1

m}


=;2%;
{

4_5_9
6

+

4_5

2 }

=;2%;

(30+10)=100

|해결 전략 | 

☐  꼴 ➡ k를 제외한 ☐ 안의 문자는 상수로 생각하여 계산한다.

3-2    24

n
Úk=1

4
Ú 
m=1

l=4l이므로

f(k)=

k
Ú 
l=1{

4
Ú 
m=1

l}=

k
Ú 
l=1

4l=4

k
Ú 
l=1

l

=4_

k(k+1)
2

=2k(k+1)

f(6)=2_6_7=84, f(5)=2_5_6=60이므로

f(6)-f(5)=84-60=24

먼저 구한다.

Sn=

ak=n€에서

n
Ú 
k=1

1 n=1일 때

a¡=S¡=1€=1

2 n>2일 때

an=Sn-Sn-1









=n€-(n-1)€=2n-1

yy ㉠

이때, a¡=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로

an=2n-1
5
Ú 
k=1



kak=

5
Ú 
k=1

k(2k-1)=

(2k€-k)

5
Ú 
k=1

=2

k€-

5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=1

k

=2_

5_6_11
6

-

5_6
2

=110-15=95

4-2    -438
|해결 전략 | 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항을 

먼저 구한다.

096  정답과 해설 

수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면

Sn=

ak=

n
Ú 
k=1

1
n+1

이므로

an=Sn-Sn-1

=

1
n+1

-

=

1
n

n-(n+1)
n(n+1)

=-

1
n(n+1)

(n>2)



10
Ú 
k=2



1
ak

=-

k(k+1)=-[

k(k+1)]+2

10
Ú 
k=1

=-

k€-

k+2

10
Ú 
k=1

=-

10_11_21
6

-

10_11
2

+2

=-385-55+2=-438

10
Ú 
k=2

10
Ú 
k=1

5-1    49
|해결 전략 | 분수 꼴로 주어진 수열의 합은 일반항을 부분분수로 변형한 후 계산

={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+ y +{

1

1
n

-

n+1 }  

한다.

n
Ú 
k=1

1
k(k+1) 

=

n
Ú 
k=1{

1
k

-

1
k+1 }

=1-

1
n+1

=

n
n+1

5-2    ;1@1);

한다.

|해결 전략 | 분수 꼴로 주어진 수열의 합은 일반항을 부분분수로 변형한 후 계산

1+

1
1+2

+

1
1+2+3

+ y +

1
1+2+3+ y +10



=

10
Ú 
k=1

1
1+2+3+ y +k 

=

10
Ú 
k=1

1
k(k+1)
2



=

10
Ú 
k=1



2
k(k+1)

=2

10
Ú 
k=1

 {;k!;-

1
k+1 }



=2 [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+ y +{;1¡0;-;1¡1;}]

=2


{1-;1¡1;}=;1@1);

6-1    -2
|해결 전략 | 분모에 근호가 포함된 수열의 합은 일반항의 분모를 유리화한 후 계

산한다.

=

1
'ß2k+'ß
ß2k+2
=;2!;

'ß2k -'ß2k+2
('2åk +'2ßkß+å2 )('2åk-'2ßkß+å2 )
('ß2k+2 -'ß2k )



4-1    95
|해결 전략 | 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항을 

즉,

n
n+1

=;5$0(;

이므로 n=49

수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면

∫ 

31
Ú 
k=1

1
'ß2k+'ß
ß2k+2

31

=;2!;
Ú 
k=1

('ß2k+2 -'ß2k)

=;2!;


{('4-'2 )+('6 -'4 )+('8 -'6 )
+ y +('ß64 -'ß62 )}

7-2    3-

3
2‡  

여 S의 값을 구한다.

=;2!;
=4- '2
2

('ß64 -'2 )

따라서 a=4, b=-;2!;

이므로 ab=4_{-;2!;}=-2

|해결 전략 | 주어진 수열의 합 S에 대하여 S-(등비수열의 공비)_S를 계산하

S=2_;2!;+3_{;2!;}

€+4_{;2!;}





S=2_;2!;+3_{;2!;}

-

S=

®†;2!;

+2_{;2!;}

S= 1+ {;2!;}
;2!;

€+4_{;2!;}
€+3_{;2!;}
€+ {;2!;}

·이라 하면

‹+ y +10_{;2!;}
‹+ y

·
+10_{;2!;}

‹+

y

+ 9_{;2!;}

‹+ y

+ {;2!;}

⁄‚
·+10_{;2!;}
⁄‚
·-10_{;2!;}

6-2    3
|해결 전략 | 분모에 근호가 포함된 수열의 합은 일반항의  분모를 유리화한 후 계

산한다.
이차방정식 x€-('k -'ßk+1 )x-"∂k€+k=0의 두 실근이 ak, bk
이므로 근과 계수의 관계에 의하여
ak+bk='k -'ßk+1, ak bk=-"ƒk€+k=-"ƒk(k+1)
(ak-bk)€=(ak+bk)€-4ak bk







=1+

°
]

;4!; [1-{;2!;}
1-;2!;

-10_{

⁄‚

1
2 }

=1+;2!;-{;2!;}

=;2#;-6_{;2!;}

·

1
2 }

·-5_{
·=;2#;-

3


4 S=3-

3
2‡

='ß16 -1
=3

+ y +('ß16-'ß15 )

n=12일 때,

=78이므로 제84항은 제13군의 6번째 항이다.

이때, 각 군은 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로 제13군의 6번









=('k -'ßk+1 )€+4"ƒk(k+1)
=('k +'ßk+1 )€








|ak-bk|='k+'ßk+1이므로

1
|ak-bk|

=

1
'k+'ßk+1













=

'k-'kß+å1
('k+'ßk+1 )('k-'ßk+1 )  

='ßkß+å1 -'k



15
Ú 
k=1

=

15
Ú 
k=1

1
('ßk+1 -'k )
 
|ak-bk|
=('2 -1)+('3 -'2 )+('4 -'3 )



















7-1    8_310+3
|해결 전략 | 주어진 수열의 합 S에 대하여 S-(등비수열의 공비)_S를 계산하

여 S의 값을 구한다.

S=1_3+3_9+5_27+ y +17_3·

=1_3+3_3€+5_3‹+ y +17_3·

이라 하면

S=1_3+3_3€+5_3‹+ y +17_3·

-®† 3S=

1_†3€+3_3‹+ y +15_3·+17_†3⁄‚
-2S=1_3+2_3€+2_3‹+ y + 2_3·-17_3⁄‚

=2(3+3€+3‹+ y +3·)-3-17_3⁄‚



=2_

-3-17_3⁄‚

3(3·-1)
3-1

=3⁄‚-3-3-17_3⁄‚

=-16_3⁄‚-6

4 S=8_3⁄‚+3

8-1    11
|해결 전략 | 수열의 각 항이 갖는 규칙을 파악하여 주어진 수열을 군으로 나눈다.

주어진 수열을 각 군의 첫째항이 1이 되도록 묶으면

(1), (1, 3), (1, 3, 5), (1, 3, 5, 7), (1, 3, 5, 7, 9), y
제1군 제2군

제5군

제4군

제3군

각 군의 항의 개수는 1, 2, 3, y이므로 제1군부터 제n군까지의 항의

개수는

n
Ú 
k=1

k=

n(n+1)
2



12_13
2

째 항은

1+(6-1)_2=11

따라서 제84항은 11이다.

8-2    137
|해결 전략 | 수열의 각 항이 갖는 규칙을 파악하여 주어진 수열을 군으로 나눈다.

주어진 수열을 같은 수끼리 묶으면

(1),
제1군

,

,

{;2!;

;2!;}

{;3!;

,

;3!;}

{;4!;

,

,

;3!;
제3군

제2군

,

;4!;}

, y

,

,

;4!;
;4!;
제4군

은 분모가 17인 제17군의 수이다.

;1¡7;

의 개수는

16
Ú 
k=1

k=

16_17
2

=136

각 군의 항의 개수는 1, 2, 3, y이므로 제1군부터 제16군까지의 항

따라서

이 처음으로 나오는 항은 제137항이므로 k=137

;1¡7;

  10 수열의 합   097 


11

| 수학적 귀납법



수학적 귀납법

개념 확인 

1  ⑴ 21  ⑵ 17

2  ⑴ a¡=2, an+1=an+5 (n=1, 2, 3, y)



 ⑵ a¡=1, an+1=an-3 (n=1, 2, 3, y)

3  ⑴ a¡=2, an+1=2an (n=1, 2, 3, y)



 ⑵ a¡=3, an+1=-;3!; an (n=1, 2, 3, y)

1  ⑴ an+1=an+2n의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면


 a™=a¡+2_1=1+2=3

 ⑵ an+1=2an-1의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면















 a£=a™+2_2=3+4=7

 a¢=a£+2_3=7+6=13

 ∫ a∞=a¢+2_4=13+8=21

 a™=2a¡-1=2_2-1=3

 a£=2a™-1=2_3-1=5

 a¢=2a£-1=2_5-1=9

 ∫ a∞=2a¢-1=2_9-1=17

2  ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공차가 7-2=5인 등차수열이므로


 a¡=2, an+1=an+5 (n=1, 2, 3, y)

 ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 1, 공차가 -2-1=-3인 등차수열

이므로 a¡=1, an+1=an-3 (n=1, 2, 3, y)

3  ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공비가

;2$;=2인 등비수열이므로



 a¡=2, an+1=2an (n=1, 2, 3, y)

 ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 3, 공비가

인 등비수열이

-1
3

=-;3!;



 므로 a¡=3, an+1=-;3!;

an (n=1, 2, 3, y)

1  ⑴ an+1=

an
an+1

의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면



 a™=

a1
a¡+1

=

3
3+1

=;4#;



 a£=

a2
a™+1

=

;4#;
;4#;+1

=;7#;

 a¢=


a£+1

=

;7#;
;7#;+1

=;1£0;

262쪽~263쪽





































 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면

 3,

,

,

;4#;

;7#;

;1£0;

 ⑵ an+2=2an+1-an의 n에 1, 2를 차례로 대입하면

 a£=2a™-a¡=2_3-2=4, a¢=2a£-a™=2_4-3=5

 따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면

 2, 3, 4, 5

2  ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 5, 공차가 3인 등차수열이므로


 an=5+(n-1)_3=3n+2

 ⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -2,

공차가 a™-a¡=(-3)-(-2)=-1인 등차수열이므로

 an=-2+(n-1)_(-1)=-n-1

 ⑶ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공비가

인 등비수열이므로

;5!;

n-1

 an=2_{;5!;}

 ⑷ 주어진 수열은 첫째항이 -2, 공비가

=

=-2인 등비

a™


4
-2

 수열이므로
 an=(-2)_(-2)n-1=(-2)˜

3  1 n=1일 때, (좌변)=;2!;


 립한다.

, (우변)=;2!;

이므로 주어진 등식이 성

  2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

1
1_2

+

1
2_3

+

1
3_4

+ å +

1
k(k+1)

=

k
k+1

 위 식의 양변에

1
(k+1)(k+2)

을 더하면





| 266쪽 |

1
1_2

+

1
2_3

+

1
3_4

 + å +

1
k(k+1)

+

1
(k+1)(k+2)

 = k

k+1

+

1
(k+1)(k+2)

 = k€+2k+1

(k+1)(k+2)

=

k+1
k+2

 따라서 n= k+1 일 때도 주어진 등식이 성립한다.

  1, 2에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

STEP 



개념 드릴

1  ⑴ 3, ;4#;, ;7#;, ;1£0;  ⑵ 2, 3, 4, 5
2  ⑴ an=3n+2  ⑵ an=-n-1

  ⑶ an=2_{;5!;}

n-1

  ⑷ an=(-2)n

3  ㈎ 

(k+1)(k+2)   ㈏ 

1

k+1
k+2   ㈐ k+1

4  ㈎ 1  ㈏ 3k-2  ㈐ 

(k+1)(3k+2)
2

098  정답과 해설 

4  1 n=1일 때,



(좌변)= 1 , (우변)=

1_(3_1-1)
2

= 1

 이므로 주어진 등식이 성립한다.

  2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

 1+4+7+ y +( 3k-2 )=

k(3k-1)
2

 위 식의 양변에 3k+1을 더하면

 1+4+7+ y +(3k-2)+(3k+1)
 = k(3k-1)

+(3k+1)= 3k€+5k+2

2

2

 =

(k+1)(3k+2)
2

















 따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.

  1, 2에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

STEP 



필수 유형

| 267쪽~273쪽 |

01-1    13
|해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 조건을 만

족시키는 k의 값을 구한다.

an+2-2an+1+an=0에서 2an+1=an+an+2이므로 수열 {an}은

이때, 수열 {an}은 첫째항이 8, 공비가

a™


=:™8¢:=3이므로 수열 a¡,

a£, a∞, y, a¡ª는 첫째항이 8, 공비가 9인 등비수열이고 항의 개수는

10이다.

∫ a¡+a£+a∞+ y +a¡ª=

8(9⁄‚-1)
9-1

=9⁄‚-1

02-1    526
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 더한다.

an+1=an+2n€-n의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리

더하면

a™=a¡+2_1€-1

a£=a™+2_2€-2

a¢=a£+2_3€-3





+)a10=a9+2_9€-9


a¡º=a¡+2(1€+2€+3€+ y +9€)-(1+2+3+ y +9)

    =a¡+2

k€-

k=1+2_

9
Ú 
k=1

9
Ú 
k=1

9_10_19
6

-

9_10
2





=1+570-45=526

참고

자연수의 거듭제곱의 합

⑴ 1+2+3+ y +n=

n
Ú
k=1

 

k= n(n+1)

2

⑵ 1€+2€+3€+ y +n€=

n
Ú
k=1

 

k€= n(n+1)(2n+1)

6

등차수열이다.

수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면

a£=4에서 a+2d=4

a∞=9에서 a+4d=9









㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-1, d=;2%;

4 an=-1+(n-1)_;2%;=;2%;
이때, ak=29이므로

n-;2&;

ak=;2%;

k-;2&;=29

 4 k=13

01-2    1023
|해결 전략| 주어진 수열이 등비수열이므로 등비수열의 합의 공식을 이용한다.

an+1€=anan+2이므로 수열 {an}은 등비수열이다.

이때, 첫째항이 3, 공비가

a™


=:¡3™:=4이므로

5
Ú 
k=1

ak=

3(4fi-1)
4-1

=4fi-1=2⁄‚-1=1023

…… ㉠

…… ㉡

02-2    10
|해결 전략 | 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더한다.

an+1=an+3n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변

끼리 더하면

a™=a¡+3_1-1

a£=a™+3_2-1

a¢=a£+3_3-1





+)an=an-1+3(n-1)-1


an=a¡+3{1+2+3+ y +(n-1)}+(-1)_(n-1)

     =a1+3

k+(-1)_(n-1)

n-1
Ú 
k=1

  =1+3_

-(n-1)

(n-1)n
2

  =

3n€-5n+4
2



ak=127이므로

3k€-5k+4
2

=127, 3k€-5k-250=0

01-3    9⁄‚-1
|해결 전략| 로그의 성질을 이용하여 주어진 수열이 등비수열임을 안다.

2 log an+1=log an+log an+2에서  an+1€=anan+2이므로  수열

{an}은 등비수열이다.

(3k+25)(k-10)=0

 4 k=-;;™3∞;; 또는 k=10

이때, k는 자연수이므로 k=10

  11 수학적 귀납법   099 





















2n+1
2n-1

곱하면

a™=;1#;



a£=;3%;

a™



a¢=;5&;



_)a23=

45
43

a22











=;9!;_45=5

03-2    'å

10
180

곱하면





a™







a™= '1
'3
a£= '2
'4
a¢= '3
'5

a¶ª= 'ß78
'ß80
_)a80= 'ß79
'ß81
a80=a¡_{









a¶•

a79

04-1   




3Sn=2an+1

3Sn-1=2an (n>2)

03-1    5
|해결 전략 | 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 22를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.

an+1=

an의 n에 1, 2, 3, y, 22를 차례로 대입하여 변끼리

a23=a¡_{;1#;_;3%;_;5&;_ y _;4$3%;}

|해결 전략 | 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 79를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.

'ßn+2 an+1='n an에서 an+1= 'n
'ån+2
an+1= 'n
'ån+2

an

an의 n에 1, 2, 3, y, 79를 차례로 대입하여 변끼리

 a¡=15_2+1=31

따라서 수열 {an}의 일반항 an은

a¡=;3!;

, an=;2!;_{;2%;}

n-2 

(n>2)

4 a10=;2!;_{;2%;}

8
=




04-2   

3·+1
2

|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에 
대한 식으로 변형한다.

…… ㉠

…… ㉡

Sn+1=3Sn-1

Sn=3Sn-1-1 (n>2)

㉠-㉡ 을 하면 an+1=3an (n>2)

이때, a1=S1=1이므로 S2=3S1-1=3-1=2

S2=a1+a2=2이므로 a2=1

따라서 수열 {an}의 일반항 an은
a1=1, an=3n-2 (n>2)

∫ S10=a¡+

ak=1+

10
Ú 
k=2

3·-1
3-1

=

3·+1
2



05-1    ⑴ a¡=31, an+1=2an+1 (n=1, 2, 3, y)  ⑵ 255
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 a¡의 값을 구하고, an과 an+1 사이의 관계
식을 구한다.

⑴ 1시간이 지날 때마다 전 시간의 2배보다 1마리 많게 번식하므로

 (n+1)시간 후 박테리아 수 an+1은 an의 2배보다 1마리 많으므로

 an+1=2an+1 (n=1, 2, 3, y)

⑵ an+1=2an+1의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면

 a™=2a¡+1=2_31+1=63

 a£=2a™+1=2_63+1=127

 ∫  a¢=2a£+1=2_127+1=255

05-2    8
|해결 전략 | (n+2)번째 계단을 오르는 방법은 n번째 계단에서 두 계단을 올라 

가는 방법과 (n+1)번째 계단에서 한 계단을 올라가는 방법이 있음을 이용한다.

첫 번째 계단을 오르는 방법은 1가지이고, 두 번째 계단을 오르는 방

법은 2가지이므로 a¡=1, a™=2

오른쪽 그림과 같이 (n+2)번째 계단을 오

르는 방법은 n번째 계단에서 두 계단을 올라

가는 방법과 (n+1)번째 계단에서 한 계단

을 올라가는 방법이 있다.
4 an+2=an+1+an
an+2=an+1+an의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면

an+2
(n+2)
번째
계단

an+1
(n+1)
번째
계단

an
n번째
계단

'1
'3
= '1_'2

'ß80 _'ß81 

_ '2
'4
= '2
36'5

_ '3
'5
= 'ß10
180

_ y _ 'ß78
'ß80

_ 'ß79

'ß81 }

|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에 
대한 식으로 변형한다.

a£=a™+a¡=2+1=3

a¢=a£+a™=3+2=5

∫ a∞=a¢+a£=5+3=8

…… ㉠

…… ㉡

㉠-㉡ 을 하면 3an=2(an+1-an)

 4 an+1=;2%;an (n>2)

이때, a1=S1=;3!;


이므로 3S¡=2a™에서 a™=;2!;

100  정답과 해설 

06-1    풀이 참조
|해결 전략 | 주어진 등식이 n=1일 때 성립함을 보인 후 n=k일 때 성립한다고 

가정하면 n=k+1일 때도 성립함을 보인다.

1 n=1일 때,

 (좌변)=1, (우변)=2⁄-1=1

 이므로 주어진 등식이 성립한다.

2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
 1+2+2€+ y +2k-1=2k-1
 위 식의 양변에 2k을 더하면
 1+2+2€+ y +2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1
 따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.

1, 2에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

07-1    풀이 참조
|해결 전략 | 주어진 부등식이 n=4일 때 성립함을 보인 후 n=k (k>4)일 때  
성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 성립함을 보인다.

1 n=4일 때,

 (좌변)=2›=16, (우변)=4€=16

 이므로 주어진 부등식이 성립한다.

2 n=k (k>4)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
 2k>k€이므로 2k_2>k€_2=2k€
 이때, k>4인 모든 자연수 k에 대하여

 2k€-(k+1)€=(k-1)€-2>0

 이므로
 2k+1>2k€>(k+1)€
 따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

  1, 2에 의하여 n>4인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식이

성립한다.

1-1    99
|해결 전략 | 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 a∞º의 값을 

구한다.

주어진 수열은 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로

an=1+(n-1)_2=2n-1

 4 a∞0=99

1-2    -92
|해결 전략 | 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한다.

주어진 수열은 첫째항이 -22, 공차가 3인 등차수열이므로

an=-22+(n-1)_3=3n-25<0

 ∫ n<;;™3∞;;=8.3 y

따라서

ak의 최솟값은

n
Ú 
k=1

8
Ú 
k=1

ak=

8(-44+7_3)
2

=-92

주어진 수열은 공비가 2인 등비수열이므로 첫째항을 a라 하면


a£=2에서 a_2€=2이므로 a=;2!;

 4 a10=;2!;_2·=2°=256

2-2    192
|해결 전략 | 수열 {an}은 등차수열이고, 수열 {bn}은 등비수열임을 이용한다. 

수열 {an}은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열이므로

an=2+(n-1)_2=2n

수열 {bn}은 첫째항이 3인 등비수열이므로 공비를 r라 하면
bn=3rn-1
이때, a12=24, b9=3r°이므로 24=3r°
4 b17=3r16=3(r°)2=3_8€=192

 4 r°=8

3-1    ;1!0(0(;

|해결 전략 | 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하여 변끼리 더한다.

an+1=an+

의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하여 변

1
n(n+1)

끼리 더하면

1
1_2

1
2_3

1
3_4









a™=a¡+

a£=a™+

a¢=a£+



+)a100=a99+

1
99_100

















a100=a¡+{

1
1_2

+

1
2_3

+

1
3_4

+ y +

1
99_100 }



=1+{1-

1
100 }=

199
100



+ y +{;9¡9;-

1
100 }  

3-2    50
|해결 전략 | 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입한다.
an+1=an+(-1)n의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하면
a™=a¡+(-1)=1+(-1)=0

a£=a™+(-1)€=0+1=1

a¢=a£+(-1)‹=1+(-1)=0






a100=a99+(-1)·9=1+(-1)=0

4

100
Ú 
k=1

ak=50

 {an}: 1, 0, 1, 0, y

STEP 



유형 드릴

| 274쪽~275쪽 |

=1+{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}

2-1    256
|해결 전략 | 주어진 수열이 등비수열임을 이용하여 a¡º의 값을 구한다.

4-1    ;5!;

|해결 전략 | 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.

  11 수학적 귀납법   101 

an+1=

an의 n에 1, 2, 3, y, 9 를 차례로 대입하여 변끼리 곱하면

n
n+2



a™



a™=;3!;
a£=;4@;
a¢=;5#;




aª=;1•0;
9
11

_)a10=

a•

a9













a10=a¡_;3!;_;4@;_;5#;_ y _;1•0;_;1ª1;



=11_

1_2
10_11

=;5!;

4-2    7
|해결 전략 | 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y을 차례로 대입한다.

an+1=nan의 n에 1, 2, 3, y을 차례로 대입하면

a™=a¡=1

a£=2a™=2_1

a¢=3a£=3_2_1

a∞=4a¢=4_3_2_1=3_2‹

a§=5a∞=5_4_3_2_1=5_3_2‹

a¶=6a§=6_5_4_3_2_1=5_3€_2›











  ⋮

따라서 an이 16의 배수가 되도록 하는 자연수 n의 최솟값은 7이다.

an+1=nan의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면

참고

      a™=a¡

      a£=2a™

      a¢=3a£

         ⋮

_)an=(n-1)an-1

an=a¡_2_3_ y _(n-1)

=1_2_3_ y _(n-1)

Sn+1=;2!;(an+1+n)

Sn=;2!;(an+n-1) (n>2)

Sn=2an+1 

Sn-1=2an (n>2)

㉠-㉡ 을 하면

…… ㉠

…… ㉡

an=2an+1-2an

 4 an+1=;2#;

an (n>2)

이때, a1=S¡=2이므로 S¡=2a™=2에서 a™=1





5
Ú 
k=1

5
Ú 
k=2

ak=a¡+

-1
{;2#;}
;2#;-1
따라서 p=8, q=81이므로 p+q=89

ak=2+

=2+2

{;1*6!;-1}=;;•8¡;;

6-1    ㈎ (k+1)‹  ㈏ (k+2)€  ㈐ k+2
|해결 전략 | 주어진 등식이 n=1일 때 성립함을 보인 후 n=k일 때 성립한다고 

가정하면 n=k+1일 때도 성립함을 보인다. 

1 n=1일 때,

 (좌변)=1‹=1, (우변)={
 이므로 주어진 등식이 성립한다.

1_2

2 }

€=1

2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

 1‹+2‹+3‹+ y +k‹=[

k(k+1)
2


]

 위 식의 양변에  (k+1)‹ 을 더하면

 1‹+2‹+3‹+ y +k‹+ (k+1)‹ 

 =[

k(k+1)
2

€+ (k+1)‹
]

 =

(k+1)€_ (k+2)€
4

(k+1)( k+2 )
2

]



=[

 따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.

1, 2에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

6-2    ㈎ 1+h  ㈏ kh€
|해결 전략 | 주어진 부등식이 n=2일 때 성립함을 보인 후 n=k ( k>2)일 때 
성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 성립함을 보인다.

5-1    5
|해결 전략 | an+1=Sn+1-Sn임을 이용하여 주어진 식을 an에 대한 식으로 변
형한다.

1 n=2일 때,

…… ㉠

…… ㉡

 (좌변)=(1+h)€=1+2h+h€, (우변)=1+2h

 이므로 주어진 부등식이 성립한다.

2 n=k (k>2)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
 (1+h)k>1+kh

 위 식의 양변에  1+h 를 곱하면

㉠-㉡ 을 하면

(an+1+n)-;2!;

;2!;

(an+n-1)=an+1이므로

 (1+h)k+1>(1+kh)( 1+h )=1+(k+1)h+ kh€

an+an+1=1 (n>2)

4

11
Ú 
k=2

ak=(a™+a£)+(a¢+a∞)+ y +(a10+a11)=5

 이때,  kh€ >0이므로

 1+(k+1)h+ kh€ >1+(k+1)h
 ∫  (1+h)k+1>1+(k+1)h

5-2    89
|해결 전략 | an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에 대한 식
으로 변형한다.

성립한다.

 따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

  1, 2에 의하여 n>2인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식이

102  정답과 해설 

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