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문제집/중등

2019년 좋은책신사고 쎈 ( SSEN ) 중등 수학 3 - 2 답지

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(001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지1 SinsagoHitec 수학 ➌(하) 정답및 풀이 빠른 정답 찾기 2~9 「빠른 정답 찾기」는 각 문제의 정답만을 실어 문제의 정답을 빠르게 확인할 수 있습니다. 14 피타고라스 정리 15 피타고라스 정리와 도형 16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 자세한 풀이 통계Ⅴ 13 대푯값과 산포도 Ⅵ 피타고라스 정리 Ⅶ 삼각비 18 삼각비 19 삼각비의 활용 Ⅷ 원의 성질 20 원과 직선 21 원주각 22 원주각의 활용 10~120 10 18 28 35 47 59 73 83 96 108 (001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지2 SinsagoHitec 13 대푯값과 산포도 14 피타고라스 정리 0001 평균: , 중앙값: 3, 최빈값: 3 14 5 0002 평균: 8, 중앙값: 8, 최빈값: 8, 9 0003 평균: 5, 중앙값: 5.5, 최빈값: 없다. 0004 중앙값: 67회, 최빈값: 74회 0005 3 0006 중앙값: 4개, 최빈값: 3개, 5개 0007 10시간 0008 2시간, -2시간, 5시간, -1시간, -4시간 0009 -5 0010 67점 0011 41개 0012 576 7 0017 65 3 0018 개'1ß9ß5 3 0078 '1å1 0079 '5 0080 2 0081 5'2 0082 x=8, y='ß73 0083 x=3, y=4'5 0084 x=2'ß13, y=2'ß22 0085 x=12, y=2'ß11 0086 ㈎ BF”(cid:100)㈏ SAS(cid:100)㈐ △LBF 0087 25cm¤ 0088 12cm 0089 36cm¤ 0090 64cm¤ 0091 ㈎ (cid:8772)AGHB(cid:100)㈏ (a+b)¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤ 0092 5cm 0093 20cm 0094 25cm¤ 0097 7, 49 0098 ㈎ (a+b)¤ (cid:100)㈏ c¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤ 1 2 1 2 0099 ㈀, ㈂, ㈅ 0013 개 0014 30점 0015 점 0016 9개 0095 ㈎ (cid:8772)CFGH(cid:100)㈏ (a-b)¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤ 0096 2, 4 24'7 7 20'3 3 0019 ② 0020 ⑤ 0021 2시간 0022 ④ 0023 12 0024 13.5 0025 114 0026 ① 0027 157.5 0028 15 0029 ① 0030 ⑤ 0031 ⑤ 0032 1 0033 45kg 0034 ③ 0035 ⑤ 0036 78점 0037 47kg 0100 60cm¤ 0101 ③ 0102 ④ 0038 ② 0039 10 0040 ⑤ 0041 ② 0103 ③ 0104 ③ 0105 25cm 0106 ⑤ 0042 102 0043 63 0044 -6 0045 ③ 0107 17 0108 3자 0109 ③ 0110 ③ 0046 18 0047 4 0048 ② 0049 ⑤ 0111 6cm 0112 ② 0113 ⑤ 0114 12 cm 0050 415 0051 ② 0052 ① 0053 ④ 0115 ④ 0116 ② 0117 6'5 cm 0118 ③ 0054 76 0055 ② 0056 ① 0057 '6 0119 4'6 cm 0120 ② 0121 ⑴ '3 ⑵ 3 0058 1반 0059 ① 0060 ② 0061 선환 0122 ④ 0123 '6 0124 ④ 0125 ② 0062 ④ 0063 D 0064 ① 0065 B반 0126 4-2'3 0127 9+4'5 0128 ⑤ 0129 ① 0130 ④ 0131 5 0132 14'3 cm¤ 0133 ① 0134 4'ß15 cm 0135 ② 0136 4'2cm 0137 ③ 0138 5'3 cm¤ 0139 57cm¤ 0140 ③ 0141 50cm¤ 0142 ② 0143 ⑤ 0144 cm 0145 ① 8'5 5 0066 ④ 0067 16 0068 412 0146 ③ 0147 ③ 0148 24 0149 ⑤ 0069 ③ 0070 ⑤ 0071 ③ 0072 11점 0150 8'5 0151 ② 0152 ④ 0153 ③ 0073 ③ 0074 ⑤ 0075 15살 0076 5 0154 ③ 0155 ② 0156 ① 0157 45 cm¤ 0158 2'ß17cm 0159 cm 0160 ④ 10 3 0077 11 3 2 빠른 정답 찾기 (001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지3 SinsagoHitec 0161 ⑴ 8 ⑵ 10'5 0162 ① 0163 169 3 cm¤ 0227 ② 0228 ④ 0164 ② 0165 0166 ⑤ 0167 6cm 7 4 0229 ⑴ 790°인 둔각삼각형 0285 56 5 cm 0286 'ß97 0287 24'2 cm¤ 0288 8'3 cm¤ 15 피타고라스 정리와 도형 0207 2, 10, 6, 2'∂13, 2, 2'∂13 0208 8'290°인 둔각삼각형 0370 cm 0371 ① 0372 ③ 0373 6('3+3) 10'3 3 0374 ⑴ 2'ß13 cm(cid:100)⑵ 39'3 2 cm¤ 0375 2('3+12)cm¤ 0376 10('3-1)m 0377 3(2+'2)cm 0378 ④ 0379 ⑤ 0380 18(p-2)cm¤ 0381 cm¤ 0382 2 3'6 2 0383 ③ 0384 ⑤ 0385 -2 0386 ② 0387 ⑴ 2'∂10 ⑵ 20 0388 ② 0389 ④ 0390 ③ 0391 ③ 0392 5 0393 ④ 0394 ② 0395 ④ 0396 'ß10 0397 5+3'5 0398 ① 0399 10'2 m 0400 ② 0401 20'2 cm 0402 ④ 0403 84 25 cm¤ 0404 5'3 cm 0405 ⑤ 0406 ④ 0407 3 0408 ⑤ 0409 ③ 0410 ③ 0411 4('2-1)m 0412 2'5 0413 ② 0414 ① 0415 :;!4#:%; 0416 3 : 4 0417 25'3 2 cm¤ 0418 81 5 0419 A{ 5 3 , 2'∂14 3 } 0420 9('3+1) 0421 3+3'3 0422 40'5 cm 0329 2'∂37 0330 65 cm¤ 0331 6'2 0332 2 0333 15 0334 ③ 0335 ② 0336 10'2 cm 0337 ③ 0338 3'6 0339 ④ 0340 ② 0341 ④ 0342 cm 0343 56 5 21 5 cm 0344 4cm 0345 ④ 0346 '∂21 cm 0347 75'3 cm¤ 0348 ① 0349 6'3 cm¤ 0350 ⑴ cm¤ (cid:100)⑵ '3 4 3'3 2 cm¤ 0351 ② 0352 3'3 0353 ③ 0354 ④ 0355 ⑴ 6'3 cm(cid:100)⑵ 18'3 cm¤ 0356 8 cm 0357 ④ 0358 ② 0359 48 0360 72cm 0361 ⑤ 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 0423 7'2 cm 0424 3'3 cm 0425 9 cm 0426 8'3 cm 0427 4 0428 3'3 0429 5 0430 2'3 0431 h=4'5cm, V= 256'5 3 p cm‹ 0432 5'3 cm 0362 ① 0363 ⑤ 0364 2'6 0365 'ß79 cm 0433 56p cm‹ 0434 12 cm 0435 100`p cm‹ 0436 6'2 0366 ④ 0367 ② 0368 54'2 0369 ② 0437 3'2 0438 3'7 0439 36'7 4 빠른 정답 찾기 (001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지5 SinsagoHitec 0440 h='6, V=2'6 0441 h=2'2, V= 0507 ⑴ 'ß10 cm ⑵ cm 0508 8'5 cm 0509 ③ 2'ß30 3 0442 ㈎ 3'3(cid:100)㈏ 2'3(cid:100)㈐ 2'6(cid:100)㈑ 9'3(cid:100)㈒ 18'2 0443 0510 ⑴ B C D (cid:100)⑵ '8å9 cm 8'2 3 3 2 '6 4 0444 1 0445 '2 0446 0447 0448 '∂10 0449 144'2 0450 0451 18'2 0452 ⑴ A D (cid:100)⑵ 5'5 cm 3'3 4 3'6 2 5`cm 0453 ⑴ 4π (cid:100)⑵ 5p B 7`cm 3`cm C G B F 3π A 0454 'ß47cm 0455 ④ 0456 (10+5'2 ) cm 0457 4'ß26 cm¤ 0458 48 0459 40 cm 0460 ② 0461 ④ 0462 ③ 0463 ⑤ 0464 4'3p cm‹ 0465 ② 0466 ③ 0467 144 cm¤ 0468 ④ 0469 5'2 cm 0470 ⑤ 0471 ③ 0472 ⑤ 0473 ⑤ 0474 6(2+'2 ) 0475 2 0476 ③ 0477 120° 0478 ④ 0479 ② 0480 ⑤ 0481 6(1+'5)cm 0482 36(1+'2)p cm¤ 0483 ① 0484 ② 0485 ② 0486 ④ 0487 9'3p cm‹ 0488 8 cm 0489 4'5 3 p 0490 2'ß14cm, 32'∂14 3 cm‹ 0491 ⑤ M 2Â10·`cm F 5`cm G H 2`cm 0511 15 cm 0512 ④ 0513 2'3p cm 0514 20p cm 0515 ② 0516 ② 0517 9cm 0518 6'5 cm 0519 ① 0520 6'2 cm 0521 6'7 0522 ② 0523 ⑤ 0524 '5배 0525 4'ß15cm‹ 0526 ① 0527 2'2 0528 36 0529 ⑤ 0530 12'3 0531 2'3 3 0532 ⑤ 0533 8'ß13 cm 0534 9'2p cm‹ 0535 9(1+'3 )p 0536 12'ß11 cm¤ 0537 4'2 0538 ⑴ 6가지(cid:100)⑵ 5'5, 3'1å3, '∂137(cid:100)⑶ 3'1å3 0539 2 cm 0540 '∂130cm 18 삼각비 0541 sin A= , cos A= , tan A= 12 13 5 13 12 5 0542 sin B= , cos B= , tan B= 0543 2'5 5 13 '5 5 12 13 2'5 5 5 12 1 2 0544 sin C= , cos C= , tan C= 0545 15 0546 9 0547 ㈎ AC” ”(cid:100)㈏ AB”(cid:100)㈐ CD” 0492 64'2cm‹ 0493 36'2 0494 ④ 0548 ㈎ AB”(cid:100)㈏ BD”(cid:100)㈐ AC” 0549 ㈎ AB”(cid:100)㈏ BD”(cid:100)㈐ CD” 0495 ⑴ (36+24'∂10)cm¤ (cid:100)⑵ 12'∂31cm‹ 0496 cm‹ 9 8 0550 5'3 6 0551 0 0552 1 0497 ② 0498 12'2 cm¤ 0499 ④ 0500 ③ 0501 ⑴ '3 : 1(cid:100)⑵ 3 : 1 0502 4 cm 0503 ③ 0504 3'2 2 cm¤ 0505 51p cm¤ 0506 ④ 0554 '2 0555 1 0556 9 4 0558 60° 0559 45° 0560 30° 0561 x=4, y=4'3 0562 x=2'2, y=4 0553 '2 0557 '3 빠른 정답 찾기 5 ” (001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지6 SinsagoHitec 0676 ⑤ 0677 0678 ② '6 9 0679 ② 0680 0681 ⑤ 0682 ② 8'5 5 0683 ③ 0684 75('3-1) 0687 7 12 0688 ⑤ 0685 ③ 0689 15 17 0691 ⑴ AB”=5, BC”='6å5, CA”=4'5(cid:100) ⑵ AD”=4, CD”=8 ⑶ sin A= 2'5 5 '5 , cos A= , tan A=2 5 0693 0694 y= x+ 0695 0 3 4 7 2 0697 cm¤ 0698 6'2+4'6 '∂23 11 9'3 2 0686 ② 0690 ③ 0692 0696 5 13 11 12 0699 -'3 0563 0.5736 0564 0.8192 0565 0.7002 0566 0.8192 0567 0.5736 0568 2 0569 0 0570 1 0571 -1 0572 0 0573 < 0574 > 0575 = 0576 < 0577 > 0578 < 0579 < 0580 > 0581 < 0582 0.3907 0583 0.9272 0584 0.4663 0585 22 0586 25 0587 24 4 5 3 2 7 9 0588 ③ 0589 ⑤ 0590 0591 ④ 0592 ② 0593 0594 ⑤ 0595 ④ 0596 14 0597 54 0598 ② 0600 ③ 0601 ⑤ 0602 6-2'5 0603 ③ 0604 0605 ④ 0606 5'ß13 13 '2 3 'ß11 6 0608 ② 0609 0610 -;1∞3; 0612 24 25 0613 ② 0614 ④ 0599 '5 5 0607 23 17 0611 ③ 0615 ④ 0616 ⑤ 0617 0618 ③ 0619 ⑤ 0620 ① 0621 2 0622 ③ 0623 ③ 0624 ③ 0625 ②, ⑤ 0626 1 0627 -4 0628 ③ 0629 -2 0630 35° 0631 30° 0632 ② 0633 1 0634 ② 0635 ③ 0636 ④ 0637 8'6 19 삼각비의 활용 0700 ⑴ a sin B ⑵ , acosB ⑶ , c tan B c a b c 0638 9'6 2 0642 2'3 0639 5'7 cm 0640 ② 0641 ③ ⑷ a sinC ⑸ , a cos C ⑹ , b tan C0700 b a c b 0643 ① 0644 ③ 0701 ⑴ 10, 5'3 ⑵ 10, 5 0645 ⑴ 2+'3(cid:100)⑵ 2-'3 0646 ⑤ 0702 ⑴ 4, 4'2 ⑵ 4, 4 0703 x=3.84, y=4.62 0647 y=x-3 0648 60° 0649 ① 0650 ④ 0704 x=5.74, y=3.99 0705 4'3 cm 0706 8cm 0651 ⑤ 0652 ④ 0653 ⑤ 0654 ③ 0707 4'7 cm 0708 12 0709 8'3 0655 ④ 0656 ③ 0657 ⑤ 0658 ;2!; 0659 +1 0660 ④ 0661 ⑤ 0662 ③ '2 4 0663 ② 0664 ② 0665 ① 0666 ④ 0667 ⑤ 0668 0 0669 60° 0670 ② 0671 3.0734 0672 ⑤ 0673 13.524 0674 36.325 0710 ㈎ '3(cid:100)㈏ 1(cid:100)㈐ 5('3-1) 0711 h 0712 '3 3 h 0713 3+'3 0714 14 cm¤ 0715 15'2 cm¤ 0716 ㈎ absin(180°-x) ㈏ absin(180°-x) 0717 21'2 cm¤ 0718 55'3 cm¤ 0719 ㈎ 1 ㈏ ab 2 0720 33'3 cm¤ 0721 16 cm¤ 1 2 1 2 0675 1.3554 6 빠른 정답 찾기 (001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지7 SinsagoHitec 0722 1.53 0723 ⑤ 0724 ②, ③ 20 원과 직선 0725 ② 0726 ① 0727 72'3p cm‹ 0728 ② 0729 30.2m 0730 3.57m 0731 ③ 0732 ② 0733 50'3 m 0734 ④ 0735 ('3+1)m 0736 ⑤ 0737 ② 0738 ④ 0739 35초 0740 ② 0741 4'7 cm 0742 2'ß13 0743 ③ 0744 ⑤ 0745 ③ 0746 14 cm 0747 ④ 0748 5'2 8 0749 5'6 m 0750 ⑤ 0751 ② 0752 26.199 m 0753 40('3-1)m 0754 3'3 0755 ③ 0756 ⑤ 0757 ④ 0758 9(3+'3)cm¤ 0759 ① 0760 ④ 0761 45° 0762 6'2 cm¤ 0763 ② 0764 ④ 0765 27 4 0766 ④ 0767 ① 0768 135° 0769 ② 0770 4p-3'3 0771 ④ 0772 ① 0773 18+ 21'2 2 0774 ④ 0775 ② 0776 (2+'3)cm¤ 0777 40+3'ß51 0778 ① 0779 32'2 cm¤ 0780 ⑤ 0781 8'6 cm 0782 15'3 0783 ② 0784 ② 0785 ⑤ 0786 45° 0787 27cm¤ 0788 ② 0789 ⑤ 0790 (10'3-6)m 0791 ② 0792 4('3+1) 0793 ④ 0794 ② 0795 ④ 0796 cm 7 4 0797 3 5 0798 ③ 0799 ③ 0800 ⑴ 20cm(cid:100)⑵ 4cm 0801 'ß15 3 0802 {3+ 3'3 2 cm } 0803 7 cm 0804 3'2 2 0805 99'3 0806 ㈎ OB” ㈏ RHS ㈐ BM” 0807 16 0808 4'∂14 0809 3 0810 10'2 0812 2 0816 7 0813 12 0814 6 0817 ㈃, ㈅ 0811 7 0815 6 0818 ㈎ ∠PBO ㈏ OB” ㈐ RHS ㈑ PB” 0819 60° 0820 110° 0821 6cm 0822 2'∂13 cm 0823 8-x 0824 10-x 0825 3 0826 풀이 83쪽 0827 13 0828 AF”=5-r, CF”=12-r 0829 2 0830 10 0831 3 0832 ④ 0833 ④ 0834 2'ß21cm¤ 0835 ④ 0836 ④ 0837 20p cm 0838 15 2 cm 0839 ② 0840 ④ 0841 ⑤ 0842 ⑤ 0843 ① 0844 9'5 cm¤ 0845 25p cm¤ 0846 ⑤ 0847 ④ 0848 cm¤ 0849 5 cm 0850 10 cm 9'3 4 0851 ⑤ 0852 ④ 0853 12 0854 ③ 0855 16 cm 0856 ④ 0857 100° 0858 ③ 0859 ③ 0860 12p cm¤ 0861 ④ 0862 ④ 0863 25p cm¤ 0864 ③ 0865 ③ 0866 64° 0868 4'3 cm¤ 0869 ② 0870 ① 0872 4'3 cm 0873 ③ 0874 3'3 cm¤ 0875 cm 0876 5cm 0877 ② 0878 12cm 0867 ③ 0871 ⑤ 16'5 5 0879 ③ 0880 ② 0881 8'3 cm 0882 ③ 0883 90° 0884 ③ 0885 30cm 0886 ④ 0887 32'∂15 cm¤ 0888 10'6 cm¤ 0889 ⑤ 0890 8'2 cm 0891 ② 0892 ③ 0893 16 0894 ③ 0895 7 cm 0896 ④ 0897 ③ 빠른 정답 찾기 7 (001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지8 SinsagoHitec 0898 ① 0899 4p cm¤ 0900 60 cm¤ 0963 ① 0964 48° 0965 ③ 0901 8cm 0902 ② 0903 16 cm 0904 ④ 0966 ② 0967 ④ 0968 ③ 0969 ③ 0905 ③ 0906 54cm¤ 0907 2'ß10 cm 0908 ③ 0970 24° 0971 ④ 0972 ④ 0973 ① 0909 ④ 0910 36 cm 0911 ③ 0912 3.5 cm 0974 ④ 0975 72° 0976 ⑤ 0977 ③ 0913 ② 0914 2cm 0915 2 cm 0916 4 cm 0978 ③ 0979 ② 0980 70° 0981 ③ 0917 ③ 0918 2'2 cm 0919 ① 0920 12p-9'3 0921 ④ 0922 9'3 cm¤ 0923 ② 0924 ④ 0925 ⑤ 0926 1.5 cm 0927 ③ 0928 21 10 0929 ④ 0930 7cm 0931 (8+2p)cm 0932 36 7 cm 15 2 15 2 0939 { 16'3- p } cm¤ 16 3 0940 cm 0941 6 cm 0942 3 0943 4 0944 {96- 576 25 p} cm¤ 0945 6 cm¤ 0946 36p cm¤ 0933 ⑤ 0934 8 0935 5p 0936 4'2 1018 20 1019 ⑤ 1020 배 1021 100° 1 3 0937 80'5 cm¤ 0938 cm 1022 ② 1023 ③ 1024 ④ 1025 113° 0982 40° 0983 ② 0984 30° 0985 50° 0986 ④ 0987 ④ 0988 ③ 0989 75° 0990 70° 0991 ① 0992 ⑤ 0993 65° 0994 16'2 cm 0995 ⑤ 0996 ② 0997 ④ 0998 2'3 7 0999 ② 1000 12+4'3 1001 3'3 cm 1002 ⑤ 1003 30° 1004 ③ 1005 125° 1006 ④ 1007 36° 1008 60° 1009 ③ 1010 ① 1011 60° 1012 ② 1013 ④ 1014 9cm 1015 7p 1016 ③ 1017 ① 1026 ⑤ 1027 ④ 1028 115° 1029 ② 1030 ④ 1031 ① 1032 15 cm 1033 ⑤ 1034 96° 1035 ③ 1036 10° 1037 ② 1038 20° 1039 ④ 1040 95° 1041 ③ 1042 216° 1043 225° 1044 ②, ④ 1045 ② 1046 100° 1047 ② 0947 30° 0948 47° 0949 60° 0951 ㈎ ∠PAO(cid:100)㈏ ∠BPO(cid:100)㈐ ∠APB(cid:100)㈑ ∠AOB 1048 ② 1049 2p 1050 ④ 0952 33° 0953 23° 0954 90° 0955 35° 1051 ③ 1052 ③ 1053 80° 1054 ④ 0956 35 0957 7 0958 54 0959 25 1055 9 1056 ② 1057 ⑤ 1058 ③ 0960 ㈎ (cid:100)㈏ (cid:100)㈐ 180°(cid:100)㈑ ∠DCE 0961 73° 1059 ② p 1060 -1 2 1061 92° 1062 '3 2 1063 2'3 cm 1064 21° 1065 115° 1066 66° 21 원주각 0950 60° 1 2 1 2 0962 93° 8 빠른 정답 찾기 (001~009)중3쎈_해설 2015.2.13 12:29 PM 페이지9 SinsagoHitec 22 원주각의 활용 1176 ② 1177 ② 1178 6 cm 1179 20 3 cm 1067 ㈁, ㈃ 1068 38° 1069 20° 1180 10 1181 4'6 1182 2cm 1070 77° 1071 25° 1072 ㈁, ㈂ 1073 70° 1183 ② 1184 5cm 1185 ③ 1074 65° 1075 68° 1076 55° 1077 72° 1186 ㈎ AH”(cid:100)㈏ ∠ABD(cid:100)㈐ ∠ADB 1187 ③ 1188 ⑤ 1189 65° 1190 ③ 1191 ① 1192 3'5p 1193 ④ 1194 ③ 1195 60° 1196 73p 1197 8 1198 cm¤ 1199 ③ 1200 ④ 1201 24 cm¤ 15 2 1202 ㈀, ㈂, ㈃ 1203 77.5° 1204 30° 1205 105° 1206 84° 1207 '3 2 1208 55'3 2 1209 1 1210 100p cm¤ 1211 ⑴ 4cm(cid:100)⑵ 54 25 cm¤ 1099 ②, ⑤ 1100 ⑤ 1101 ⑤ 1102 ③ 1103 ① 1104 50° 1105 ②, ④ 1212 18p 1078 105° 1079 48° 1080 68° 1081 90° 1082 65° 1083 3 1084 6 1085 15 1086 31 5 1087 ㈎ ∠PBD ㈏ AA ㈐ PB” 1088 2, 16, 4 1089 6, 6, 6, 4 1090 4, 4, 4, 10, 2'∂14 1091 3 1092 4 1093 5 1097 8 1094 6 1098 9 1095 18 1096 3'5 1106 ② 1107 ② 1108 ㈎ ∠APB(cid:100)㈏ ∠CRD(cid:100)㈐ 360°(cid:100)㈑ 180°1109 ③ 1110 ⑤ 1111 6cm 1112 ① 1113 84° 1114 40° 1115 36° 1116 ④ 1117 20° 1118 60° 1119 ⑤ 1120 44° 1121 32° 1122 ② 1123 ② 1124 ④ 1125 ② 1126 60° 1127 ⑤ 1128 53° 1129 ④ 1130 2'6 cm 1131 ⑤ 1132 63° 1133 ① 1134 254° 1135 80° 1136 ② 1137 ① 1138 65° 1139 ③ 1140 14 1141 3 1142 ④ 1143 24 5 cm 1144 3'3 cm 1145 ⑤ 1146 2'ß10 cm 1147 16p cm¤ 1148 ⑤ 1151 8'2p cm 1152 ⑤ 1149 ② 1153 ④ 1155 ② 1159 3 1156 4'ß22p 1157 ② 1160 ③ 1161 ⑤ 1150 ③ 1154 3 1158 9 1162 ② 1163 2 cm 1164 ④ 1165 4 cm 1166 ⑤ 1167 6 1168 ① 1169 ㈀, ㈂, ㈃ 1170 ④ 1172 ④ 1173 ② 1174 ① 1171 13 2 cm 1175 4'3å1 빠른 정답 찾기 9 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지10 SinsagoHitec (cid:9120) 평균: 8, 중앙값: 8, 최빈값: 8, 9 0014 10_4+20_6+30_8+40_10+50_2 30 13 대푯값과 산포도 0001 (평균) 1+2+3+3+5 5 14 5 = = (중앙값)=3, (최빈값)=3 (cid:9120) 평균: , 중앙값: 3, 최빈값: 3 14 5 0002 (평균) 9+7+8+9+8+5+10 7 56 = = 7 8 = 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10 따라서 중앙값은 8, 최빈값은 8, 9이다. 0003 (평균) 7+1+5+8+6+3 6 30 5 = = 6 = 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면(cid:100)(cid:100)1, 3, 5, 6, 7, 8 따라서 중앙값은 5.5이고, 최빈값은 없다. 5+6 2 = (cid:9120) 평균: 5, 중앙값: 5.5, 최빈값: 없다. 줄기와 잎 그림의 변량은 작은 값부터 순서대로 나열되 0004 어 있으므로 중앙에 있는 값은 67이다. 즉 중앙값은 67회이다. 또 가장 많이 나타난 값이 74이므로 최빈값은 74회이다. (cid:9120) 중앙값: 67회, 최빈값: 74회 0005 3+6+5+x+5+2+4 7 4 = 25+x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (cid:9120) 3 0006 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6 따라서 중앙값은 4개, 최빈값은 3개, 5개이다. (cid:9120) 중앙값: 4개, 최빈값: 3개, 5개 0007 0008 12+8+15+9+6 5 = 50 5 =10(시간) (cid:9120) 10시간 평균이 10시간이므로 각 변량에 대한 편차를 구하면 2시간, -2시간, 5시간, -1시간, -4시간 (cid:9120) 2시간, -2시간, 5시간, -1시간, -4시간 0009 편차의 합이 0이므로 3+(-1)+2+x+1=0주어∴ x=-5 (cid:9120) -5 0010 학생 C의 영어 점수를 a점이라 하면 a-65=2주어∴ a=67 (cid:9120) 67점 0011 25+44+38+35+52+40+53 7 = 287 7 =41(개) 10 정답 및 풀이 평균이 41개이므로 분산은 {(25-41)¤ +(44-41)¤ +(38-41)¤ +(35-41)¤ +(52-41)¤ +(40-41)¤ +(53-41)¤ } 0012 1 7 = 576 7 0013 분산이 이므로 표준편차는 576 7 576 7 æ≠ 24 = = '7 24'7 7 (개) (cid:9120) 576 7 (cid:9120) 24'7 7 개 (cid:9120) 30점 0015 점수 도수 (편차)¤ (편차)¤ _(도수) = 900 30 =30(점) 편차 -20 -10 0 10 20 400 100 0 100 400 10 20 30 40 50 합계 4 6 8 10 2 30 (cid:100)(cid:100)∴ (표준편차)=æ≠ 4000 30 = 20'3 3 (점) (cid:9120) 20'3 3 점 0016 도수 계급값 (계급값)_(도수) 계급 0이상~ 4미만 4이상~ 8미만 8이상~ 12미만 12이상~ 16미만 16이상~ 20미만 합계 4 6 8 4 2 24 편차 -7 -3 1 5 9 2 6 10 14 18 4 6 8 4 2 합계 24 2 6 10 14 18 49 9 1 25 81 ∴ (평균)= =9(개) 216 24 (cid:9120) 9개 0017 계급값 도수 (편차)¤ (편차)¤ _(도수) 1600 600 0 1000 800 4000 8 36 80 56 36 216 196 54 8 100 162 520 (cid:9120) 41개 ∴ (분산)= 520 24 = 65 3 (cid:9120) 65 3 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지11 SinsagoHitec 0018 분산이 이므로 표준편차는 65 3 '1ß9ß5 3 (cid:100)(cid:100)æ≠ = 65 3 (개) (cid:9120) 개'1ß9ß5 3 0019 a, b, c의 평균이 10이므로(cid:100)(cid:100) a+b+c 3 =10 ∴ a+b+c=30 따라서 5개의 변량 7, a, b, c, 13의 평균은 7+a+b+c+13 5 = 20+a+b+c 5 = 20+30 5 50 = =10 5 본책 9~11쪽 1 3 대 푯 값 과 산 포 도 0024 1모둠의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 2, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 10, 11, 14 이므로 중앙값은(cid:100)(cid:100) =7(개)(cid:100)(cid:100)∴ a=7 2모둠의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 1, 2, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 9, 15 이므로 중앙값은 (cid:100)(cid:100) =6.5(개)(cid:100)(cid:100)∴ b=6.5 7+7 2 6+7 2 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=13.5 0020 ① 대푯값은 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값이다. ② 대푯값은 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다. ③ 평균은 전체 변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값이다. ④ 평균은 모든 자료의 값을 포함하여 계산한다. 113+115 2 =114 0026 최빈값은 독서이다. (cid:9120) 13.5 (cid:9120) 114 (cid:9120) ① (cid:100)… ➊ (cid:100)… ➌ (cid:100)… ➍ (cid:9120) 157.5 30% 30% 30% 10% (cid:9120) 15 (cid:9120) ② 0025 자료의 변량은 모두 18개이므로 중앙값은 변량을 작은 값부터 순서대로 나열할 때 9번째, 10번째 오는 두 값의 평균이 다. 즉 중앙값은 주어진 도수분포표에서 도수가 가장 큰 것은 독서이므로 (cid:9120) ⑤ (cid:9120) 2시간 0027 주어진 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 56, 56, 58, 60, 62, 65, 68, 71, 71, 72, 75, 76, 77, 77, 77, 78, 80, 80, 80, 80, 83, 85, 86, 88, 88, 89, 92, 93, 94, 95 이므로 중앙값은(cid:100)(cid:100) =77.5(점)(cid:100)(cid:100)∴ a=77.5 … ➋ 77+78 2 최빈값은 80점이므로(cid:100)(cid:100)b=80 ∴ a+b=77.5+80=157.5 ➊ 변량을 작은 값부터 순서대로 나열할 수 있다. ➋ a의 값을 구할 수 있다. ➌ b의 값을 구할 수 있다. ➍ a+b의 값을 구할 수 있다. (cid:9120) ④ 0028 도수의 합이 25명이므로 중앙값은 변량을 작은 값부터 순서대로 나열할 때 13번째 오는 값이 속하는 계급, 즉 2시간 이 상 4시간 미만인 계급의 계급값이다. yy ㉠(cid:100)(cid:100)… ➊ 최빈값은 도수가 가장 큰 계급의 계급값이므로 ∴ a= 2+4 2 =3 b= 4+6 2 =5 ∴ ab=3_5=15 yy ㉡(cid:100)(cid:100)… ➋ ㈁ 중앙값은 자료의 모든 정보를 활용한다고 볼 수 없다. 0029 ㈂ 최빈값은 없을 수도 있고, 2개 이상일 수도 있다. 이상에서 옳은 것은 ㈀뿐이다. (cid:9120) ① … ➌ (cid:9120) 12 30% 30% 40% 0030 5회의 성적을 x점이라 하면 90+85+89+92+x 5 =90 356+x=450(cid:100)(cid:100)∴ x=94 (cid:9120) ⑤ 13 대푯값과 산포도 11 0021 1+0+2+2+1+3+5 7 14 7 = =2(시간) 0022 a, b, c, d, e의 평균이 20이므로 a+b+c+d+e 5 =20 (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d+e=100 따라서 3a-4, 3b-1, 3c, 3d-1, 3e-4의 평균은 (cid:100)(cid:100) (3a-4)+(3b-1)+3c+(3d-1)+(3e-4) 5 = 3(a+b+c+d+e)-(4+1+1+4) 5 = 3_100-10 5 = 290 5 =58 0023 도수의 합이 10명이므로 (cid:100)(cid:100)2+x+y+1=10(cid:100)(cid:100)∴ x+y=7 10명의 학생의 통학 시간의 평균이 18분이므로 5_2+15_x+25_y+35_1 10 =18 15x+25y=135 (cid:100)(cid:100)∴ 3x+5y=27 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)x=4, y=3 (cid:100)(cid:100)∴ xy=12 ➊ 도수의 합을 이용하여 x, y에 대한 식을 세울 수 있다. ➋ 평균을 이용하여 x, y에 대한 식을 세울 수 있다. ➌ xy의 값을 구할 수 있다. (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지12 SinsagoHitec 최빈값이 80점이므로(cid:100)(cid:100)x=80 0031 이때 4회까지의 평균은 100+60+80+80 4 =80(점) 따라서 C의 몸무게는 -5+52=47(kg) 5회까지의 평균은 80점에서 3점이 오른 83점이므로 5회의 성적 을 a점이라 하면 ➊ C의 몸무게의 편차를 구할 수 있다. ➋ C의 몸무게를 구할 수 있다. 100+60+80+80+a 5 =83 (cid:100)(cid:100)320+a=415(cid:100)(cid:100)∴ a=95 (cid:9120) ⑤ … ➋ (cid:9120) 47kg 50% 50% 0032 주어진 자료의 평균이 45분이므로 46+36+30+x+41+90+30 7 =45 273+x=315 (cid:100)(cid:100)∴ x=42 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 30, 30, 36, 41, 42, 46, 90 이므로(cid:100)(cid:100)y=41 ∴ x-y=42-41=1 0033 동아리를 탈퇴한 학생의 몸무게를 x kg이라 하면 =50.1,탈퇴2550-x=2505 51_50-x 50 ∴ x=45 0034 e cm라 하면 a+b+c+d+e 5 =163.5 ∴ a+b+c+d+e=817.5 F의 키가 171 cm이므로 a+b+c+171+e 5 =164 a+b+c+171+e=820 yy ㉡㉠㉠ (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+e=649 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)649+d=817.5 (cid:100)(cid:100)∴ d=168.5 이때 A, B, C, D, E의 중앙값이 163 cm이고 168.5>163, 171>163이므로 D 대신 F를 포함한 A, B, C, F, E의 키의 중 앙값은 163 cm로 변하지 않는다. (cid:9120) ③ 0035 4회의 편차를 x점이라 하면 편차의 합은 0이므로 0038 편차의 합은 0이므로 -3+(-1)+3+0+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 따라서 분산은 (-3)¤ +(-1)¤ +3¤ +0¤ +1¤ 5 = :™5º: =4 0039 주어진 자료의 평균은 4+3+7+12+11+5+7 7 49 7 = =7(회) 이므로 분산은 이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'4=2 (cm) (cid:9120) ② (cid:9120) 1 (-3)¤ +(-4)¤ +0¤ +5¤ +4¤ +(-2)¤ +0¤ 7 = :¶7º: =10 (cid:9120) 10 0040 주어진 변량의 평균이 8이므로 (cid:9120) 45kg 5+7+10+8+x 5 따라서 분산은 =8,(cid:100)(cid:100)30+x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=10 yy ㉠㉠㉠ 0041 변량 4, 10, x, y, 5의 평균이 6이므로 4+10+x+y+5 5 =6,(cid:100)(cid:100)x+y+19=30 yy ㉠㉠㉠ (cid:100)(cid:100) {(4-6)¤ +(10-6)¤ +(x-6)¤ +(y-6)¤ +(5-6)¤ } ∴ x+y=11 또 분산이 4.4이므로 1 5 (cid:100)=4.4 ∴ x¤ +y¤ -12(x+y)+93=22 위의 식에 ㉠을 대입하면 x¤ +y¤ -12_11+93=22 ∴ x¤ +y¤ =61 0042 세 수 x, y, z의 평균이 10이므로 x+y+z 3 =10㉠㉠∴ x+y+z=30 yy ㉠(cid:100)(cid:100)… ➊ (cid:9120) ② 또 x, y, z의 분산이 2이므로 (x-10)¤ +(y-10)¤ +(z-10)¤ 3 =2 (x-10)¤ +(y-10)¤ +(z-10)¤ =6 ∴ x¤ +y¤ +z¤ -20(x+y+z)+300=6 위의 식에 ㉠을 대입하면 (cid:9120) ⑤ (cid:9120) 78점 A, B, C, D, E의 키를 각각 a cm, b cm, c cm, d cm, (-3)¤ +(-1)¤ +2¤ +0¤ +2¤ 5 = :¡5•: =3.6 (cid:9120) ⑤ C의 몸무게의 편차를 xkg이라 하면 편차의 합은 0이므로 0037 (cid:100)(cid:100)3+(-1)+x+2+1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 … ➊ x¤ +y¤ +z¤ -20_30+300=6 ∴ x¤ +y¤ +z¤ =306 … ➋ 2+0+(-3)+x=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=1 따라서 4회의 수학 시험 점수는 1+84=85(점) 0036 3+75=78(점) 12 정답 및 풀이 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지13 SinsagoHitec 따라서 x¤ , y¤ , z¤ 의 평균은 x¤ +y¤ +z¤ 3 = 306 3 =102 또 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 분산은 … ➌ (cid:100)(cid:100) {(a+3-9)¤ +(b+3-9)¤ +(c+3-9)¤ (cid:9120) 102 +(d+3-9)¤ +(e+3-9)¤ } 1 5 1 5 = {(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤ } 본책 12~14쪽 1 3 대 푯 값 과 산 포 도 ➊ x+y+z의 값을 구할 수 있다. ➋ x¤ +y¤ +z¤ 의 값을 구할 수 있다. ➌ x¤ , y¤ , z¤ 의 평균을 구할 수 있다. 30% 50% 20% =4 (∵ ㉡) yy ㉠(cid:100)(cid:100) a+b+c 3 =10 따라서 구하는 평균은 9, 표준편차는 '4=2이다. (평균)=6+3=9, (표준편차)=1_2=2 (cid:9120) ③ 0046 a, b, c의 평균과 표준편차가 각각 10, 4이므로 (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ 3 =16 … ➊ 이때 3a, 3b, 3c의 평균 m은 m= 3a+3b+3c 3 =3_ a+b+c 3 =3_10=30 3a, 3b, 3c의 분산 n¤ 은 n¤ = (3a-30)¤ +(3b-30)¤ +(3c-30)¤ 3 n¤ = 9{(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ } 3 n¤ =9_ (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ 3 =9_16=144 yy ㉠(cid:100)(cid:100)… ➊ ∴ n='ƒ144=12 ∴ m-n=30-12=18 0043 변량 10, 11, a, b, 13의 평균이 10이므로 10+11+a+b+13 5 =10,(cid:100)(cid:100)a+b+34=50 ∴ a+b=16 또 분산이 4이므로 (cid:100)(cid:100) {(10-10)¤ +(11-10)¤ +(a-10)¤ +(b-10)¤ +(13-10)¤ } 1 5 =4 ∴ a¤ +b¤ -20(a+b)+210=20 위의 식에 ㉠을 대입하면 a¤ +b¤ -20_16+210=20 ∴ a¤ +b¤ =130 따라서 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab에 ㉠, ㉡을 대입하면 16¤ =130+2ab,(cid:100)(cid:100)2ab=126(cid:100)(cid:100)∴ ab=63 (cid:9120) 63 yy ㉡(cid:100)(cid:100) 0044 편차의 합은 0이므로 a+4+(-2)+b+(-1)=0(cid:100) ∴ a+b=-1 분산이 6.8이므로 a¤ +4¤ +(-2)¤ +b¤ +(-1)¤ 5 =6.8 a¤ +b¤ +21=34(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =13 yy ㉡(cid:100)(cid:100)… ➋ 따라서 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab에 ㉠, ㉡을 대입하면 (-1)¤ =13+2ab,(cid:100)(cid:100)2ab=-12 ∴ ab=-6 … ➋ … ➌ (cid:9120) 18 30% 50% 20% ➊ 평균과 표준편차를 이용하여 a, b, c에 대한 식을 세울 수 있다. ➋ m, n의 값을 구할 수 있다. ➌ m-n의 값을 구할 수 있다. 0047 변량 x¡, x™, y, x«의 평균을 m이라 하면 x¡+x™+y+x« n =m 또 변량 x¡, x™, y, x«의 표준편차가 2이므로 (x¡-m)¤ +(x™-m)¤ +y+(x«-m)¤ n =4 변량 2x¡+1, 2x™+1, y, 2x«+1의 평균은 (2x¡+1)+(2x™+1)+y+(2x«+1) n (cid:100)(cid:100) (cid:100)= 2(x¡+x™+y+x«)+n n =2m+1 변량 2x¡+1, 2x™+1, y, 2x«+1의 분산은 … ➌ (cid:9120) -6 20% 40% 40% yy ㉠(cid:100)(cid:100) ➊ a+b의 값을 구할 수 있다. ➋ a¤ +b¤``의 값을 구할 수 있다. ➌ ab의 값을 구할 수 있다. 0045 a, b, c, d, e의 평균이 6이므로 a+b+c+d+e 5 =6 ∴ a+b+c+d+e=30 또 표준편차가 2이므로 1 5 =4 (cid:100)(cid:100) {(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤ } (cid:100)(cid:100) {(2x¡+1-2m-1)¤ +(2x™+1-2m-1)¤ a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 평균은 a+b+c+d+e+15 5 = 30+15 5 =9 (∵ ㉠) (cid:100)=4_ {(x¡-m)¤ +(x™-m)¤ +y+(x«-m)¤ }=4_4=16 따라서 구하는 표준편차는 '1å6=4이다. (cid:9120) 4 yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) +y+(2x«+1-2m-1)¤ } 1 n 1 n 13 대푯값과 산포도 13 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지14 SinsagoHitec 1 10 70 10 1 10 58 10 1 20 0048 주어진 자료의 평균은 2_1+6_2+10_5+14_10+18_2 20 = 240 20 =12(점) 계급값 도수 (편차)¤ (편차)¤ _(도수) 편차 -10 -6 -2 2 6 100 36 4 4 36 2 6 10 14 18 합계 1 2 5 10 2 20 100 72 20 40 72 304 따라서 분산은 6000 35 = 1200 7 이므로 B=7, C=1200 ∴ A÷B_C=7÷7_1200=1200 주어진 히스토그램을 이용하여 0052 도수분포표를 만들면 오른쪽과 같다. 주어진 자료의 평균은 (cid:100)(cid:100) (4_2+6_4+8_2 +10_1+12_1) 따라서 분산은(cid:100)(cid:100) =15.2 304 20 (cid:9120) ② = =7(kg) 따라서 분산은 계급값(kg) 도수(개) (cid:9120) ② 2 4 2 1 1 4 6 8 10 12 합계 10 0049 ⑤ (표준편차)=æ≠ {(편차)¤ _(도수)}의 총합 (도수)의 총합 (cid:100)(cid:100) {(4-7)¤ _2+(6-7)¤ _4+(8-7)¤ _2 (cid:9120) ⑤ +(10-7)¤ _1+(12-7)¤ _1} = =5.8 (cid:9120) ① ∴ a+b+c+d+e=25+75+17+289+9 =415 (cid:9120) 415 = 2400 20 =120 0 이상 10 미만인 계급의 계급값이 5, 편차가 -13이므로 이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)"ç120=2'∂30(kg) (평균)=5-(-13)=18 (개) a=25, b=25_3=75 0050 주어진 자료의 평균은 10+60+75+35 10 = 180 10 =18(개) 이므로(cid:100)(cid:100)c=35-18=17 ∴ d=17¤ _1=289 따라서 분산은 338+36+147+289 10 = 810 10 =81 이므로(cid:100)(cid:100)e='8ß1 =9 0051 1+4+A+10+8+5=35이므로 28+A=35(cid:100)(cid:100)∴ A=7 주어진 자료의 평균은 = 2625 35 =75(점) 계급값 도수 (편차)¤ (편차)¤ _(도수) 편차 -30 -20 -10 0 10 20 900 400 100 0 100 400 45 55 65 75 85 95 1 4 7 8 5 10 합계 35 900 1600 700 0 800 2000 6000 14 정답 및 풀이 0053 주어진 자료의 평균은 (cid:100)(cid:100) 35_2+45_4+55_8+65_4+75_2 2+4+8+4+2 = 1100 20 =55(kg) 따라서 분산은 (cid:100)(cid:100) {(35-55)¤ _2+(45-55)¤ _4+(55-55)¤ _8 +(65-55)¤ _4+(75-55)¤ _2} ∴ a=30 0054 은 10명이므로 계급값이 75점인 계급의 도수를 x명이라 하면 도수의 합 1+2+x+2=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5 … ➊ 주어진 자료의 평균은 (cid:100)(cid:100) {(55-73)¤ _1+(65-73)¤ _2+(75-73)¤ _5 따라서 분산은 1 10 = 760 10 =76 +(85-73)¤ _2} (cid:9120) ④ … ➌ (cid:9120) 76 20% 40% 40% ➊ 계급값이 75점인 계급의 도수를 구할 수 있다. ➋ 평균을 구할 수 있다. ➌ 분산을 구할 수 있다. (cid:100)(cid:100) 45_1+55_4+65_7+75_10+85_8+95_5 35 (cid:100)(cid:100) 55_1+65_2+75_5+85_2 10 = 730 10 =73(점) … ➋ ≠ (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지15 SinsagoHitec 본책 14~18쪽 1 3 대 푯 값 과 산 포 도 0055 남학생과 여학생의 영어 성적의 평균이 같으므로 0061 점수의 변동이 가장 작은 선환이의 표준편차가 가장 작다. (cid:9120) 선환 (분산)= 20_6¤ +20_4¤ 40 = 1040 40 =26 ∴ (표준편차)='2ß6 (점) 0056 남학생과 여학생의 점수의 평균이 같으므로 (분산)= 4_4+6_9 10 70 = =7 10 0057 a, b의 평균이 4이므로 (cid:9120) ② (cid:9120) ① =4(cid:100)(cid:100)∴ a+b=8 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 0062 표준편차가 작을수록 변량이 평균 주위에 더 집중된다. 따라서 성적이 가장 고른 학급은 표준편차가 가장 작은 D이다. 0063 주어진 표준편차에서 분산을 차례로 구해 보면 7¤ =49, (4'3 )¤ =48, (5'2 )¤ =50, (3'5 )¤ =45 키의 격차가 작을수록 표준편차와 분산이 작으므로 키의 격차가 가장 작은 반은 D이다. =1(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ -8(a+b)+32=2 위의 식에 ㉠을 대입하면(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ -8_8+32=2 0064 2반의 표준편차가 가장 크므로 2반 학생들의 성적이 1반 과 3반보다 넓게 퍼져 있다. 그러나 성적이 가장 우수한 학생이 속해 있는 학급이나 90점 이상인 학생 수는 알 수 없다. yy ㉡(cid:100)(cid:100) 이상에서 옳은 것은 ㈀뿐이다. =6(cid:100)(cid:100)∴ c+d=12 yy ㉢(cid:100)(cid:100) 0065 A반 회원의 평균은 1_1+2_2+3_4+4_2+5_1 10 30 10 = =3(권) =9(cid:100)(cid:100)∴ c¤ +d¤ -12(c+d)+72=18 B반 회원의 평균은 1_2+2_4+3_3+4_1 10 23 10 = =2.3(권) … ➊ yy ㉣(cid:100)(cid:100) 따라서 B반 회원이 대여한 책의 수가 평균을 중심으로 더 모여 있으므로 더 고르다고 할 수 있다. … ➋ a, b의 분산이 1이므로 (a-4)¤ +(b-4)¤ 2 ∴ a¤ +b¤ =34 c, d의 평균이 6이므로 a+b 2 c+d 2 c, d의 분산이 9이므로 (c-6)¤ +(d-6)¤ 2 (cid:9120) ④ (cid:9120) D (cid:9120) ① (cid:9120) B반 60% 40% 위의 식에 ㉢을 대입하면(cid:100)(cid:100)c¤ +d¤ -12_12+72=18 ∴ c¤ +d¤ =90 따라서 a, b, c, d의 평균은 (cid:100)(cid:100) a+b+c+d 4 = 8+12 4 이고, 분산은 =5 (∵ ㉠, ㉢) (cid:100)(cid:100) (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ 4 a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -10(a+b+c+d)+100 4 34+90-10(8+12)+100 4 (∵ ㉠, ㉡, ㉢, ㉣) (cid:100)= (cid:100)= 24 (cid:100)= =6 4 이므로 표준편차는 '6이다. (cid:9120) '6 ➊ A, B반의 평균을 구할 수 있다. ➋ 자료의 분포가 더 고른 반을 구할 수 있다. 0066 한다. 구하는 값을 x로 놓고 평균을 구하여 실제 평균과 비교 69점을 받은 과목을 제외한 11개 과목의 총점을 A점이라 하고, 69점을 x점으로 잘못 보았다고 하면 +1= ,㉠㉠A+69+12=A+x A+x 12 A+69 12 ∴ x=81 (cid:9120) ④ 0058 단체 줄넘기의 횟수의 격차가 작을수록 표준편차가 작으 므로 두 반 중 단체 줄넘기의 횟수의 표준편차가 작은 반은 1반 이다. (cid:9120) 1반 0067 두 구한다. 먼저 최빈값을 이용하여 a의 값이 될 수 있는 수를 모 주어진 자료에서 a를 제외한 7개의 변량을 작은 값부터 순 표준편차는 자료가 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타 0059 내므로 주어진 자료들 중에서 표준편차가 가장 큰 것은 ①이다. 서대로 나열하면 15, 16, 16, 20, 20, 24, 26 (cid:9120) ① 이때 최빈값이 a이므로 a=16 또는 a=20 0060 표준편차는 자료가 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타 내므로 A, B의 표준편차는 같고, C의 표준편차는 A, B의 표준 편차보다 크다. ⁄ a=16인 경우 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 (cid:100)(cid:100)15, 16, 16, 16, 20, 20, 24, 26 따라서 중앙값은 =18이고, a+2=18이므로 조건을 16+20 2 ∴ a=b0) ㈀ 5¤ =3¤ +4¤ 이므로 직각삼각형이다. 0099 ㈁ 6¤ +4¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. ㈂ 4¤ =(2'3)¤ +2¤ 이므로 직각삼각형이다. ㈃ 15¤ +10¤ +12¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. ㈄ 12¤ +9¤ +8¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. ㈅ (5'2)¤ =(2'ß10)¤ +('ß10)¤ 이므로 직각삼각형이다. 이상에서 직각삼각형인 것은 ㈀, ㈂, ㈅이다. (cid:9120) ㈀, ㈂, ㈅ (cid:9120) '5 (cid:9120) 2 0081 10¤ =x¤ +x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =50 ∴ x=5'2 (∵ x>0) x="√10¤ -6¤ =8 0082 y="√3¤ +8¤ ='ß73 0083 x="√5¤ -4¤ =3 y="√4¤ +(3+5)¤ =4'5 0084 x="√6¤ +4¤ =2'ß13 y="√(2'ß13 )¤ +6¤ =2'ß22 x="√13¤ -5¤ =12 0085 y="√12¤ -10¤ =2'ß11 (cid:9120) 5'2 0100 AC”="√17¤ -8¤ =15(cm)이므로 △ABC= _8_15=60(cm¤ ) (cid:9120) 60 cm¤ 1 2 (cid:9120) x=8, y='ß73 (cid:9120) x=3, y=4'5 0101 x="5√ ¤ +5¤ =5'2 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로 0102 (cid:100)(cid:100)AC”⊥BD”, AO”=CO”, BO”=DO” 따라서 직각삼각형 ABO에서 AO”=9 cm, BO”=12 cm이므로 (cid:9120) x=2'ß13, y=2'ß22 AB”="√9¤ +12¤ =15(cm) (cid:9120) x=12, y=2'ß11 오른쪽 그림에서 내접원의 반지 0103 름의 길이를 x cm라 하면 ¤ +x¤ =3'2 "x√ 2x¤ =18,(cid:100)(cid:100)x¤ =9 ∴ x=3 (∵ x>0) x`cm O x`cm 3Â2`cm (cid:9120) ③ 0086 0087 0089 0090 0091 (cid:9120) ㈎ BF”(cid:100)㈏ SAS(cid:100)㈐ △LBF (cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI =9+16=25(cm¤ ) (cid:9120) 25 cm¤ AB”=3 cm, AC”=4 cm, BC”=5 cm이므로 △ABC의 0088 둘레의 길이는(cid:100)(cid:100)3+4+5=12(cm) (cid:9120) 12 cm (cid:8772)BFML=(cid:8772)ADEB=6¤ =36(cm¤ ) (cid:9120) 36 cm¤ (cid:8772)ADML=(cid:8772)ACHI=8¤ =64(cm¤ ) (cid:9120) 64 cm¤ (cid:9120) ㈎ (cid:8772)AGHB(cid:100)㈏ (a+b)¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤ 0092 EH”="√4¤ +3¤ =5(cm) (cid:9120) 5cm (cid:8772)EFGH는 한 변의 길이가 5 cm인 정사각형이므로 구 0093 하는 둘레의 길이는(cid:100)(cid:100)4_5=20(cm) (cid:9120) 20 cm 0094 (cid:8772)EFGH=5¤ =25(cm¤ ) (cid:9120) 25 cm¤ 0095 (cid:9120) ㈎ (cid:8772)CFGH(cid:100)㈏ (a-b)¤ (cid:100)㈐ a¤ +b¤ x=6-4=2 0096 따라서 색칠한 부분의 넓이는(cid:100)(cid:100)2¤ =4 0097 따라서 색칠한 부분의 넓이는(cid:100)(cid:100)7¤ =49 "√13¤ -5¤ =12이므로(cid:100)(cid:100)x=12-5=7 18 정답 및 풀이 0104 AC”="√6¤ +3¤ =3'5(cm) 점 O가 직각삼각형 ABC의 외심이므로 (cid:100)(cid:100)OA”=OB”=OC” ∴ OB”= AC”= (cm) 1 2 3'5 2 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점과 일치하므로 (cid:100)(cid:100)(외접원의 반지름의 길이)= _(빗변의 길이) ;2!; (cid:8772)ABCD=25 cm¤ 이므로 0105 (cid:100)(cid:100)BC”='ß25=5(cm) (cid:8772)ECGF=225 cm¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)CG”='ß225=15(cm) 따라서 △BGF에서 BF”="√(5+15)¤ +15¤ =25(cm) (cid:9120) 2, 4 (cid:9120) 7, 49 ➊ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ CG”의 길이를 구할 수 있다. ➌ BF”의 길이를 구할 수 있다. (cid:9120) ③ (cid:9120) ④ (cid:9120) ③ … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 25 cm 30% 30% 40% (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지19 SinsagoHitec 1 4 피 타 고 라 스 정 리 본책 23~29쪽 … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 12 cm 40% 40% 20% 0106 (x+4)¤ =x¤ +(x+2)¤ 이므로 x¤ +8x+16=x¤ +x¤ +4x+4 (cid:100)(cid:100)x¤ -4x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0) △BCD에서(cid:100)(cid:100)CD”="√(4'5)¤ -8¤ =4(cm) 0114 △ADC에서(cid:100)(cid:100)AD”="√5¤ -4¤ =3(cm) 따라서 △ADC의 둘레의 길이는 (cid:9120) ⑤ 3+4+5=12(cm) 0107 x¤ =(x-2)¤ +8¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =x¤ -4x+4+64 4x=68(cid:100)(cid:100)∴ x=17 (cid:9120) 17 (x+1)¤ +(2x)¤ =5¤ 이므로 0108 (cid:100)(cid:100)x¤ +2x+1+4x¤ =25 5x¤ +2x-24=0,(cid:100)(cid:100)(5x+12)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0) 따라서‘현’을 제외한 나머지 두 변의 길이가 각각 x+1=2+1=3(자), 2x=2_2=4(자) 이므로‘구’의 길이는 3자이다. (cid:9120) 3자 ➊ CD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AD”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △ADC의 둘레의 길이를 구할 수 있다. 0115 △BCD= _5_BC”=30이므로 1 2 (cid:100)(cid:100)BC”=12(cm) (cid:100)(cid:100)∴ BD”="√5¤ +12¤ =13(cm) AD”=BD”=13cm이므로 (cid:100)(cid:100)AC”=13+5=18(cm) △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√18¤ +12¤ =6'ß13 (cm) 0109 수영장의 깊이를 x cm라 하 면 막대의 길이는 (x+50)cm이므로 50Â5`cm 50`cm (x+50)¤ =(50'5)¤ +x¤ 100x=10000 (cid:100)(cid:100)∴ x=100 따라서 수영장의 깊이는 100 cm이다. {x+50}cm CD”=x cm라 하면 0116 △ADC에서(cid:100)(cid:100)AC” △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” 따라서 9-x¤ =15-2'5x-x¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)2'5x=6(cid:100)(cid:100)∴ x= ¤ =3¤ -x¤ ¤ =(2'5)¤ -('5+x)¤ 3'5 5 x`cm (cid:9120) ③ 0110 직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ =64 △ABC= _a_b=4이므로(cid:100)(cid:100)ab=8 1 2 ∴ (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab=64+2_8=80 ∴ a+b=4'5 (∵ a+b>0) (cid:9120) ③ 0111 AB”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100) BC”=24-(10+x)=14-x (cm) △ABC는 ∠B=90°인 직각삼각형이므로 x¤ +(14-x)¤ =10¤ x¤ -14x+48=0,(cid:100)(cid:100)(x-6)(x-8)=0 ∴ x=6 (∵ AB”0) 따라서 AB”=BC”=2 cm, AC”=2'2 cm이므로 △ABC의 둘 레의 길이는(cid:100)(cid:100)2+2+2'2=2(2+'2)cm (cid:9120) ④ 1 2 (cid:100)(cid:100)BD”=øπ5¤ +('7)¤ =4'2 AB” =AD”=x라 하면 △ABD에서 x¤ +x¤ =(4'2 )¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =16 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0) 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으 5Â3 0129 면 △ABD에서 (cid:100)(cid:100)BD”="√5¤ +(5'3)¤ =10 따라서 △BCD에서 (cid:100)(cid:100)BC”="√10¤ -6¤ =8 AA™”=AB¡”="√1¤ +1¤ ='2 0123 AA£”=AB™”="√('2)¤ +1¤ ='3 AA¢”=AB£”="√('3)¤ +1¤ =2 AA∞”=AB¢”="√2¤ +1¤ ='5 ∴ AB∞”="√('5)¤ +1¤ ='6 OE”=OB”="√('2)¤ +('2)¤ =2 0124 OG”=OD”="√2¤ +('2)¤ ='6 OF”="√('6)¤ +('2)¤ =2'2 0125 AB”=x cm라 하면 BE”=BD”="√x¤ +x¤ ='2x (cm) BG”=BF”="√('2x)¤ +x¤ ='3x(cm) 즉 '3x=3'3이므로(cid:100)(cid:100)x=3 20 정답 및 풀이 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에 0130 서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 8`cm H 4`cm A B 8`cm C DH”=12-8=4(cm) △HCD에서 (cid:9120) '6 CH”="√8¤ -4¤ =4'3(cm) 1 ∴ (cid:8772)ABCD= _(12+8)_4'3 2 =40'3(cm¤ ) (cid:9120) ④ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에 0131 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 2 D BH”=AD”=2 DH”=4이므로 △DHC에서 HC”="√5¤ -4¤ =3 ∴ BC”=BH”+HC”=2+3=5 (cid:9120) ② 4 B 5 4 2 H C (cid:9120) 5 … ➊ … ➋ … ➌ … ➍ (cid:9120) 4-2'3 30% 30% 30% 10% 2Â5 D x (cid:9120) ⑤ D Â7 C D 6 C (cid:9120) ① D 8`cm (cid:9120) ④ C 5 B 4 x x B A 5 B (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지21 SinsagoHitec 1 4 피 타 고 라 스 정 리 본책 29~33쪽 (cid:9120) ③ … ➊ … ➋ … ➌ 40% 40% 20% (cid:9120) 5'3 cm¤ 0132 오른쪽 그림과 같이 두 꼭 짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 BH”=CH'”= _(9-5) 1 2 =2(cm) A 5`cm D 4`cm B 2`cm H 5`cm H' 4`cm C 2`cm △ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm) 1 2 ∴ (cid:8772)ABCD= _(5+9)_2'3=14'3(cm¤ ) (cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)BHIC이므로 0137 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)ACDE=80-54=26 0138 (cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)BHIC이므로 (cid:8772)BHIC=35-15=20(cm¤ ) (cid:100)(cid:100)∴ BC”='2å0=2'5(cm), AC”='1å5(cm) ∴ △ABC= _2'5_'ß15=5'3 (cm¤ ) 1 2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 0133 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 BH”=10-6=4(cm) △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm) DC”=AH”=2'5cm이므로 △DBC에서 BD”="√10¤ +(2'5)¤ =2'ß30(cm) (cid:9120) 14'3 cm¤ A 6`cm 6`cm B 4`cm H 6`cm D C ➊ (cid:8772)BHIC의 넓이를 구할 수 있다. ➋ BC”, AC’ ”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △ABC의 넓이를 구할 수 있다. 0139 (cid:8772)ADEB=25 cm¤ 에서 AB”=5 (cm)이므로 △ABC= _5_AC”=10(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4(cm) (cid:9120) ① ∴ (cid:8772)ACHI=4¤ =16 (cm¤ ) (cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI이므로 (cid:8772)BFGC=25+16=41(cm¤ ) A 10`cm D 따라서 구하는 넓이의 합은(cid:100)(cid:100)41+16=57(cm¤ ) 0134 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각 각 H, H'이라 하면 10`cm 1 BH”=CH'”= _(14-10) 2 =2(cm) … ➊ B H 2`cm 10`cm C H' 2`cm 0140 △ABC에서(cid:100)(cid:100) AC”="√10¤ -8¤ =6(cm) △AGC™△HBC`(SAS 합동)이므로 △AGC=△HBC=△HAC = (cid:8772)ACHI = _6¤ =18(cm¤ ) (cid:9120) 57cm¤ E A 8`cm H D 10`cm B F I C G (cid:9120) ③ △ABH에서 AH”="√10¤ -2¤ =4'6(cm) 따라서 △AHC에서 AC”="√(4'6)¤ +12¤ =4'ß15(cm) ➊ BH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AC”의 길이를 구할 수 있다. (cid:100)… ➋ … ➌ (cid:9120) 4'ß15 cm 30% 30% 40% B 2`m 0135 오른쪽 그림과 같이 차양의 세로 에 해당하는 한 변을 AB”라 하고, 꼭짓 점 B에서 벽에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 1`m H 2`m AH”=3-2=1(m), BH”=3 m 3`m △AHB에서 AB”="√1¤ +3¤ ='∂10 (m) 따라서 차양의 넓이는 8_'∂10=8'∂10 (m¤ ) 0141 △BFL= (cid:8772)BFML= (cid:8772)ADEB 1 2 = _10¤ =50(cm¤ ) (cid:9120) 50cm¤ EB”∥DC”이므로(cid:100)(cid:100)△EBC=△EBA yy ㉠(cid:100)(cid:100) 0142 △EBC와 △ABF에서 EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF (cid:100)(cid:100)∴ △EBC™△ABF (SAS 합동) BF”∥AK”이므로 yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)△ABF=△JBF= (cid:8772)BFKJ yy ㉢(cid:100)(cid:100) 1 2 (cid:9120) ② ㉠, ㉡, ㉢에서 0136 (cid:8772)AFGB=(cid:8772)ACDE+(cid:8772)BHIC △EBC=△EBA=△ABF=△JBF= (cid:8772)BFKJ 1 2 =20+12=32 (cm¤ ) 이상에서 △EBC와 넓이가 같은 것은 ㈀, ㈁, ㈅의 3개이다. (cid:100)(cid:100)∴ AB”='3å2=4'2 (cm) (cid:9120) 4'2 cm (cid:9120) ② 14 피타고라스 정리 21 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지22 SinsagoHitec ① △BCH와 △GCA에서 0143 (cid:100) (cid:100)(cid:100)BC”=GC”, CH”=CA”, ∠BCH=∠GCA (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ △BCH™△GCA (SAS 합동) (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ BH”=GA” ② △EBC와 △ABF에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ △EBC™△ABF (SAS 합동) ③ △ACH=△BCH=△GCA=△GCL=△LMC ④ △ADB=△EBA=△EBC=△ABF=△LBF ⑤ △ABC= _AB”_AC”, (cid:8772)ACHI=AC” ¤ 이므로 = (cid:8772)BFML 1 2 1 2 (cid:100)(cid:100)△ABC+ (cid:8772)ACHI 1 2 △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√4¤ +2¤ =2'5 (cm) 0144 (cid:8772)ADEB=(cid:8772)BFML이므로(cid:100)(cid:100)4¤ =2'5_FM” (cid:100)(cid:100)∴ FM”= (cm) 8'5 5 ➊ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ FM”의 길이를 구할 수 있다. 0145 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”, DE”에 내린 수선의 발을 각각 L, M이 라 하면 (cid:100)(cid:100)△ABD=△LBD= (cid:8772)BDML = _8¤ =32(cm¤ ) 8`cm B D 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:100)(cid:100)△AEC=△LEC= (cid:8772)LMEC = _6¤ =18(cm¤ ) (cid:9120) ⑤ … ➊ … ➋ (cid:9120) 8'5 5 cm 30% 70% A L 6`cm C EM △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로 0147 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다. AH”=6-4=2(cm)이므로 △AEH에서 EH”="√4¤ +2¤ =2'5(cm) ∴ (cid:8772)EFGH=(2'5)¤ =20(cm¤ ) (cid:9120) ③ △EAD™△FBA™△GCB™△HDC이므로 0148 (cid:8772)ABCD는 정사각형이다. ∴ (cid:8772)ABCD=AB” ¤ =x¤ +y¤ =24 (cid:9120) 24 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로 0149 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다. 즉 (cid:8772)EFGH=58이므로(cid:100)(cid:100)EH”='∂58 △AEH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√('∂58)¤ -7¤ =3 따라서 AB”=7+3=10이므로 (cid:8772)ABCD=10¤ =100 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로 0150 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다. AH”=x라 하면 △AEH에서 (cid:100)(cid:100)x¤ +x¤ =10,(cid:100)(cid:100)x¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x='5 (∵ x>0) (cid:100)(cid:100)∴ AD”=2'5 따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 4_2'5=8'5 ➊ AD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이를 구할 수 있다. △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로 0151 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다. △AEH에서(cid:100)(cid:100)EH”="√3¤ +2¤ ='ß13 △HEG에서(cid:100)(cid:100)EG”="√('ß13)¤ +('ß13)¤ ='ß26 (cid:9120) ② 4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 (cid:8772)PQRS는 정사 (cid:9120) ⑤ … ➊ … ➋ (cid:9120) 8'5 70% 30% 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=32+18=50(cm¤ ) (cid:9120) ① BC”="√8¤ +6¤ =10(cm)이고, 위의 그림에서 1 (cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC= ((cid:8772)BDML+(cid:8772)LMEC) 2 1 = (cid:8772)BDEC= _10¤ =50(cm¤ ) 2 1 2 0146 오른쪽 그림과 같이 AC”를 한 변으로 하는 정사각형 ACFG를 그리면 (cid:8772)ACFG=2△ACF=2△AEC =2_32=64(cm¤ ) 이므로(cid:100)(cid:100)AC”=8(cm) 따라서 직각삼각형 ABC에서 AB”="√12¤ -8¤ =4'5(cm) B D A 12`cm F G C E 0152 각형이다. BQ”=CR”=5 cm이므로 △ABQ에서 AQ”="√13¤ -5¤ =12(cm) AP”=CR”=5 cm이므로 (cid:100)(cid:100)PQ”=12-5=7(cm) 0153 ① EH”=DG”=2cm ② AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm) ③ CF”=BC”-BF”=2'3-2(cm) ④ △ABC= _2'3_2=2'3 (cm¤ ) ⑤ (cid:8772)FGHC는 정사각형이므로 1 2 ∴ (cid:8772)PQRS=7¤ =49(cm¤ ) (cid:9120) ④ (cid:9120) ③ (cid:100)(cid:100)(cid:8772)FGHC=(2'3-2)¤ =16-8'3 (cm¤ ) (cid:9120) ③ 22 정답 및 풀이 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지23 SinsagoHitec 4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 (cid:8772)ABCD는 정사 0159 AE”=AD”=10 cm이므로 △ABE에서 본책 33~36쪽 1 4 피 타 고 라 스 정 리 BE”="√10¤ -6¤ =8(cm) ∴ EC”=10-8=2(cm) EF”=x cm라 하면 DF”=x cm이므로(cid:100)(cid:100)CF”=(6-x)cm △FEC에서(cid:100)(cid:100)x¤ =2¤ +(6-x)¤ (cid:9120) ③ ∴ x= 10 3 (cid:9120) :¡3º: cm 0154 각형이다. (cid:100)(cid:100)∴ AB”='2å7=3'3 △ABE에서(cid:100)(cid:100)BE”="√(3'3 )¤ -3¤ =3'2 따라서 EF”=3'2-3이고 (cid:8772)EFGH가 정사각형이므로 (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이는 4_(3'2-3)=12('2-1) (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)EFGH는 정사각형이고 0155 (cid:8772)ABCD=40, (cid:8772)EFGH=16이므로 (cid:100)(cid:100)AB” =2'∂10, EF”=4 △ABE에서 EB”=x+4이므로 x¤ +(x+4)¤ =(2'∂10)¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ +4x-12=0 (x+6)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) (cid:9120) ② 0156 △ABE™△ECD에서 AE”=ED”, ∠AED=90° 이므로 △AED는 직각이등변삼각형이다. △AED=50 cm¤ 이므로 (cid:100)(cid:100) _AE”_ED”=50 1 2 ¤ =100(cid:100)(cid:100)∴ AE”=10 (cm) (cid:100)(cid:100)AE” △ABE에서 BE”="√10¤ -6¤ =8(cm)이므로 (cid:8772)ABCD= _(6+8)_14=98(cm¤ ) 1 2 △ABC™△DCE이므로(cid:100)(cid:100)AC”=DE”=9 cm 0157 △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√3¤ +9¤ =3'ß10 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ CE”=3'ß10 (cm) ∠BCE=90°이므로 △BCE= _3'ß10_3'ß10=45(cm¤ ) 1 2 (cid:9120) ① … ➊ … ➋ (cid:9120) 45 cm¤ 60% 40% ➊ BC”, CE”의 길이를 구할 수 있다. ➋ △BCE의 넓이를 구할 수 있다. △ABC™△CDE이므로 0158 (cid:100)(cid:100)BC”=3 cm, CD”=5 cm (cid:100)(cid:100)∴ BD”=3+5=8(cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 E에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH”=5-3=2(cm) 이므로 △AHE에서 (cid:100)(cid:100)AE”="√2¤ +8¤ =2'ß17(cm) A H 5`cm E 3`cm B 3`cm C 5`cm D (cid:9120) 2'ß17cm 0160 EF”=x cm라 하면 AE”=x cm이므로 BE”=(10-x)cm △EBF에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(10-x)¤ +5¤ ∴ x= 25 4 0161 ⑴ AE”=AD”=20이므로 △ABE에서 (cid:100)(cid:100)BE”="√20¤ -16¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ EC”=20-12=8 ⑵ EF”=x라 하면 DF”=x이므로(cid:100)(cid:100)CF”=16-x △FEC에서(cid:100)(cid:100)x¤ =8¤ +(16-x)¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=10 △AEF에서(cid:100)(cid:100)AF”="√20¤ +10¤ =10'5 … ➋ … ➌ (cid:9120) ⑴ 8 ⑵ 10'5 ➊ EC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ EF”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AF”의 길이를 구할 수 있다. (cid:9120) ④ … ➊ 40% 40% 20% 0162 BQ”=BC”=15 cm이므로 △ABQ에서 AQ”="√15¤ -12¤ =9(cm)(cid:100)(cid:100)∴ DQ”=15-9=6(cm) DP”=x cm라 하면 PQ”=PC”=(12-x)cm이므로 △PDQ에서 (cid:100)(cid:100)(12-x)¤ =x¤ +6¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= 9 2 ∴ △PDQ= _6_ = (cm¤ ) (cid:9120) ① 1 2 9 2 27 2 0163 DP”=AD”=13 cm이므로 △DPC에서 CP”="√13¤ -12¤ =5(cm) ∴ BP”=13-5=8(cm) PQ”=x cm라 하면 AQ”=x cm이므로(cid:100)(cid:100)BQ”=(12-x)cm △QBP에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(12-x)¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= 26 3 1 ∴ △DQP= _ _13= 2 26 3 169 3 (cm¤ ) … ➊ … ➋ … ➌ 40% 40% 20% (cid:9120) 169 3 cm¤ 14 피타고라스 정리 23 AC”=CE”="√5¤ +3¤ ='3å4(cm)이고 ∠ACE=90°이 므로 △ACE에서 (cid:100)(cid:100)AE”="√('3å4)¤ +('3å4)¤ =2'1å7(cm) ➊ BP”의 길이를 구할 수 있다. ➋ PQ”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △DQP의 넓이를 구할 수 있다. (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지24 SinsagoHitec 9 5 5 3 15 4 8 5 0164 AP”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)BP”=DP”=(12-x)cm 0169 CF”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)DF”=BF”=(10-x)cm △ABP에서(cid:100)(cid:100)(12-x)¤ =x¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= △DFC에서(cid:100)(cid:100)(10-x)¤ =x¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= 10 ∴ △ABP= _ _8= (cm¤ ) 3 40 3 1 2 (cid:9120) ② 9 ∴ △DFC= _ _8= (cm¤ ) 5 36 5 1 2 (cid:9120) ③ 0165 DE”=x라 하면(cid:100)(cid:100)CE”=AE”=8-x △DEC에서(cid:100)(cid:100)(8-x)¤ =x¤ +6¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= DR”=AB”=12 cm이므로 △QDR에서 0170 (cid:100)(cid:100)QR”="√13¤ -12¤ =5(cm) AQ”=QR”=5 cm이므로 (cid:9120) 7 4 BC”=AD”=5+13=18(cm) (cid:9120) ④ 0166 AE”=x라 하면 EC”=x이므로(cid:100)(cid:100)DE”=4-x △AED에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(4-x)¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= 0171 A'E”=x cm라 하면 AE”=x cm이므로 DE”=(25-x)cm △ABC에서 AC”="√4¤ +3¤ =5이므로 △ACE의 둘레의 길이는 △A'ED에서(cid:100)(cid:100)(25-x)¤ =x¤ +15¤ 5+ + = 25 8 25 8 45 4 (cid:9120) ⑤ ∴ x=8 (cid:9120) ① 10 3 7 4 25 8 0167 BE”=x cm라 하면 DE”=x cm이므로(cid:100)(cid:100) AE”=(10-x) cm △ABE에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(10-x)¤ +(4'5)¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=9 △BCD에서 BD”="√10¤ +(4'5)¤ =6'5(cm)이므로 BF”= BD”=3'5(cm) 1 2 따라서 △EBF에서(cid:100)(cid:100)EF”="√9¤ -(3'5)¤ =6(cm) ➊ BE”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BF”의 길이를 구할 수 있다. ➌ EF”의 길이를 구할 수 있다. 0168 CE”=x cm라 하면 AE”=x cm이므로 DE”=(4-x) cm △CDE에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(4-x)¤ +2¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√4¤ +2¤ =2'5(cm) 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH”= AC”='5(cm) 1 2 △CEH에서 5 2 2 } -('5)¤ EH”=æ≠{ '5 2 = (cm) 5 2 F E H 4`cm A B 2`cm D C … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 6 cm 50% 30% 20% 0172 DG”=x라 하면 AE”=A'E”=x이므로(cid:100)(cid:100)ED”=6-x △A'ED에서(cid:100)(cid:100)(6-x)¤ =x¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= (cid:9120) ④ 0173 DE”=x cm라 하면 AE”=x cm이므로 EB”=(6-x)cm △EBD에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(6-x)¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= (cid:9120) ③ 0174 PB”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)PC”=PA”=(5-x)cm △PBC에서(cid:100)(cid:100)(5-x)¤ =x¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= AE”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)DE”=BE”=(8-x)cm 0175 △AED에서(cid:100)(cid:100)(8-x)¤ =x¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=3 ∴ △AED= _3_4=6(cm¤ ) 1 2 ”의 길이를 구할 수 있다. ➊ AE” ➋ △AED의 넓이를 구할 수 있다. ㈀ ('5)¤ =1¤ +2¤ 이므로 직각삼각형이다. 0176 ㈁ 3¤ +2¤ +('7)¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. ㈂ 20¤ +12¤ +15¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. ㈃ 8¤ =4¤ +(4'3)¤ 이므로 직각삼각형이다. 이상에서 직각삼각형인 것은 ㈀, ㈃이다. ∴ △ACE= _2'5_ = (cm¤ ) (cid:9120) ;2%; cm¤ 1 2 '5 2 5 2 1 △ACE= _AE”_DC” 2 = _ _2= (cm¤ ) 1 2 5 2 5 2 ① 4¤ +2¤ +3¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. 0177 ② 7¤ +5¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. ③ 10¤ =6¤ +8¤ 이므로 직각삼각형이다. ④ 4¤ +(2'2)¤ +(2'3)¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. ⑤ ('5)¤ +('3)¤ +2¤ 이므로 직각삼각형이 아니다. 24 정답 및 풀이 8 (cid:9120) cm 5 … ➊ … ➋ (cid:9120) 6 cm¤ 70% 30% (cid:9120) ② (cid:9120) ③ (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지25 SinsagoHitec 본책 37~40쪽 (cid:9120) ② 1 4 피 타 고 라 스 정 리 (5'6 )¤ =(3'ß10 )¤ +(2'ß15 )¤ 이므로 주어진 삼각형은 0178 빗변의 길이가 5'6인 직각삼각형이다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 따라서 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AB”="√12¤ -8¤ =4'5(cm) 2x+1이 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 1 2 _3'ß10_2'ß15=15'6 0179 조건에 의하여 (cid:100)(cid:100)2x+1<(x-1)+2x(cid:100)(cid:100)∴ x>2 직각삼각형이 되려면 (2x+1)¤ =(x-1)¤ +(2x)¤ x¤ -6x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>2) 0180 (x+1)¤ =(x-1)¤ +6¤ 이므로 4x=36(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (cid:9120) 9 0181 x+2가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조 건에 의하여(cid:100)(cid:100)x+23 1 2 1 2 직각삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =x¤ +{ x+ } 1 2 1 2 x¤ +4x+4=x¤ + x¤ + x+ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -14x-15=0 1 4 1 2 1 4 (cid:100)(cid:100)(x+1)(x-15)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=15 (∵ x>3) 따라서 삼각형의 세 변의 길이는 15, 8, 17이므로 구하는 둘레의 길이는(cid:100)(cid:100)15+8+17=40 (cid:9120) ⑤ 필요한 막대의 길이를 x cm라 하면 0182 ⁄ 가장 긴 막대의 길이가 5 cm일 때, 삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)10) 0188 한다. 먼저 △EDAª△ECF임을 이용하여 CF”의 길이를 구 △EDA와 △ECF에서 (cid:100)(cid:100)∠AED=∠FEC (맞꼭지각), ∠EDA=∠ECF=90° (cid:100)(cid:100)∴ △EDAª△ECF (AA 닮음) ED”:EC”=DA”:CF”이므로(cid:100)(cid:100)8:4=12:CF” (cid:100)(cid:100)∴ CF”=6 ∠PAF=∠EAD=∠PFA이므로 △APF는 이등변삼각형이 다. AP”=x라 하면 PF”=x이므로 (cid:100)(cid:100)BP”=BF”-PF”=(12+6)-x =18-x 따라서 △ABP에서(cid:100)(cid:100)x¤ =12¤ +(18-x)¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=13 (cid:9120) ② (cid:9120) ④ 0192 를 이용한다. 보조선을 그어 직각삼각형을 만든 후 피타고라스 정리 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면 A 12`cm BC”=20-12=8(cm) △ABC에서 AC”="√10¤ -8¤ =6(cm) ∴ x=20-6=14 10`cm B 8`cm C x`cm (cid:9120) ④ 20`cm 0193 이가 나머지 두 변을 각각 한 변으로 하는 두 정사각형의 넓이의 합과 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓 같음을 이용한다. △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√3¤ +4¤ =5(cm) (cid:8772)EJNO+(cid:8772)DLMJ=(cid:8772)ADEB (cid:8772)HPQK+(cid:8772)IKRS=(cid:8772)ACHI (cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI=(cid:8772)BFGC 따라서 색칠한 부분의 넓이는 2(cid:8772)ADEB+2(cid:8772)ACHI+(cid:8772)BFGC (cid:100)=2((cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI)+(cid:8772)BFGC (cid:100)=2(cid:8772)BFGC+(cid:8772)BFGC (cid:100)=3(cid:8772)BFGC=3_5¤ =75(cm¤ ) 0189 AB”:AC”=BD”:DC”이다. △ABC에서 AD”가 ∠A의 이등분선이면 DC”=x라 하면 AB”:AC”=BD”:DC”이므로 (cid:100)(cid:100)10:AC”=5:x(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2x △ABC에서 BC”=5+x이므로 10¤ =(5+x)¤ +(2x)¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-15=0 (x+5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) 따라서 △ADC에서 (cid:100)(cid:100)AD”="√3¤ +6¤ =3'5 (cid:9120) 75 cm¤ 0194 먼저 △AEC와 넓이가 같은 도형을 찾는다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”, A DE”에 내린 수선의 발을 각각 L, M이라 하면 △LEC=△AEC=50 cm¤ ∴ (cid:8772)LMEC=2△LEC=100(cm¤ ) ∴ (cid:8772)BDML=(cid:8772)BDEC-(cid:8772)LMEC =15¤ -100=125(cm¤ ) B L 15`cm D M C E (cid:9120) ③ 0190 의 길이를 x에 대한 식으로 나타낸다. AB”=x로 놓고 피타고라스 정리를 이용하여 AC”, AD” (cid:8772)BDML의 넓이는 AB”를 한 변으로 하는 정 사각형의 넓이와 같으므로(cid:100)(cid:100)AB”='ƒ125=5'5(cm) (cid:9120) ② 0195 m : n임을 이용한다. 닮은 두 도형의 넓이의 비가 m¤ : n¤ 이면 닮음비는 (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)EFGH는 모두 정사각형이므로 닮음이다. (cid:8772)ABCD:(cid:8772)EFGH=5:1이므로(cid:100)(cid:100)AB” ¤ : EF” ¤ =5 : 1 ∴ AB”:EF”='5:1 EF”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)AB”='5x cm BE”=(x+1) cm이므로 △ABE에서 따라서 △ADE에서 AD”=6, DE”=2'3이므로 AE”="√6¤ +(2'3)¤ =4'3 (cid:9120) ⑤ ('5x)¤ =(x+1)¤ +1¤ ,(cid:100)(cid:100)2x¤ -x-1=0 (2x+1)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (∵ x>0) (cid:9120) ③ AB”=x라 하면 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AC”="√x¤ +x¤ ='2x △ACD에서 (cid:100)(cid:100)AD”="√('2x)¤ +x¤ ='3x △ADE= _x_'3x=6'3이므로 x¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0) 1 2 26 정답 및 풀이 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지27 SinsagoHitec 0196 AC”의 길이를 구한 후 삼각형의 닮음을 이용한다. 0201 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분한다. △ACD에서 AC”="√12¤ +5¤ =13(cm) 12`cm Q 13`cm A P AP”=x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)PB”=PQ”=(5-x) cm △APQ∽△CAD (AA 닮음)이므로 B D C 5`cm AP”:CA”=PQ”:AD” (cid:100)(cid:100)x:13=(5-x):12 12x=65-13x(cid:100)(cid:100)∴ x= (cid:9120) ③ AQ”=13-12=1(cm)이므로 △APQ에서 x¤ =(5-x)¤ +1¤`(cid:100)(cid:100)∴ x= 13 5 13 5 0197 리와 △ABC가 이등변삼각형임을 이용한다. 점 B에서 AC”의 연장선에 수선을 긋고 피타고라스 정 오른쪽 그림과 같이 점 B 에서 AC”의 연장선에 내린 수선 의 발을 H라 하면 △AHB에서 AH”="√10¤ -8¤ =6(cm) △ABC에서 ∠ABC=∠ACB 이므로(cid:100)(cid:100)AC”=AB”=10 cm 따라서 CH”=16 (cm)이므로 △BCH에서 6`cm H 10`cm A C 10`cm 8`cm B BC”="√16¤ +8¤ =8'5(cm) (cid:9120) ① 0198 △ABC가 어떤 삼각형인지 알아본다. ¤ +AC” ¤ =AB” 25=16+9이므로(cid:100)(cid:100)BC” 즉 △ABC는 ∠A=90°인 직각삼각형이다. BC”='∂25=5 (cm)이고, 점 M은 BC”의 중점이므로 AM”=BM”=CM” ∴ AM”= BC”= (cm) 1 2 5 2 0199 먼저 삼각형이 될 수 있는 경우의 개수를 구한다. 삼각형이 될 수 있는 경우는 (3, 4, 5), (3, 12, 13), (4, 12, 13), (5, 12, 13)의 4가지 이때 직각삼각형이 되는 경우는 (3, 4, 5), (5, 12, 13) 의 2가지이므로 구하는 확률은(cid:100)(cid:100) = (cid:9120) ④ 2 4 1 2 0200 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 알아본다. BC” ¤ +AB” ¤ =(a¤ -b¤ )¤ +(2ab)¤ =a› -2a¤ b¤ +b› +4a¤ b¤ =a› +2a¤ b¤ +b› =(a¤ +b¤ )¤ ¤` =AC” 따라서 △ABC는 ∠B=90°인 직각삼각형이다. 본책 40~43쪽 1 4 피 타 고 라 스 정 리 A 2`cm D O 4`cm C △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AC”="4√ ¤ -2¤ =2'3 (cm) B … ➊ 평행사변형 ABCD의 두 대각선의 교점을 O라 하면 AO”=CO”, BO”=DO”이므로 (cid:100)(cid:100)AO”='3(cm) △ABO에서(cid:100)(cid:100)BO”="√2¤ +('3)¤ ='7(cm) (cid:100)(cid:100)∴ BD”=2'7(cm) ➊ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AO”의 길이를 구할 수 있다. ➌ BO”의 길이를 구할 수 있다. ➍ BD”의 길이를 구할 수 있다. 먼저 각의 이등분선의 성질을 이용하여 DC”의 길이를 0202 구한다. AD”는 ∠A의 이등분선이므로 (cid:100)(cid:100)AB”:AC”=BD”:DC” 12:9=4:DC”(cid:100)(cid:100)∴ DC”=3 … ➊ ¤ =12¤ -(7+x)¤` CH”=x라 하면 △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AH” △ACH에서 (cid:100)(cid:100)AH” ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)12¤ -(7+x)¤ =9¤ -x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=1 ¤ =9¤ -x¤ ∴ AH”="√9¤ -1¤ =4'5 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) … ➋ … ➌ (cid:9120) 4'5 … ➋ … ➌ … ➍ (cid:9120) 2'7 cm 30% 20% 30% 20% 30% 40% 30% B 80`m … ➊ … ➋ (cid:9120) 5초 60% 40% ➊ DC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ CH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AH”의 길이를 구할 수 있다. (cid:9120) ② 0203 서 AB”에 수선을 긋고 피타고라스 정리를 이용한다. 독수리의 위치를 B, 나무 꼭대기를 C라 하고, 점 C에 오른쪽 그림과 같이 독수리의 위치 를 B, 나무 꼭대기를 C, 나무와 지면이 만나는 부분을 D라 하자. 점 C에서 AB” 에 내린 수선의 발을 H라 하면 BH”=90-10=80 (m), CH”=DA”=60 m 이므로 △BCH에서(cid:100)(cid:100)BC”="√60¤ +80¤ =100(m) 따라서 독수리가 도착할 때까지 걸리는 시간은 (cid:100)(cid:100) =5(초) 100 20 C 10`m D 60`m 60`m A H 10`m (cid:9120) ∠B=90°인 직각삼각형 ➊ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ 독수리가 도착할 때까지 걸리는 시간을 구할 수 있다. 14 피타고라스 정리 27 ¤ (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지28 SinsagoHitec 0204 용한다. (cid:8772)BFGC=(cid:8772)EBMN, (cid:8772)ACHI=(cid:8772)NMAD임을 이 (cid:8772)ADEB=2(△EBN+△NAD)=2_(16+9)=50 … ➊ 이므로(cid:100)(cid:100)AB”='ß50=5'2 (cid:8772)BFGC=2△EBN=2_16=32이므로 15 피타고라스 정리와 도형 0207 (cid:9120) 2, 10, 6, 2'∂13, 2, 2'∂13 … ➍(cid:100)(cid:9120) 12'2 30% 30% 30% 10% (cid:9120) 125 6 cm¤ … ➊ … ➋ 70% 30% BC”='ß32=4'2 (cid:8772)ACHI=2△NAD=2_9=18이므로 AC”='ß18=3'2 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 5'2+4'2+3'2=12'2 ➊ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➍ △ABC의 둘레의 길이를 구할 수 있다. 0205 용한다. BD”= BC”=10(cm) 2 3 EB”=x cm로 놓고 △EBD에서 피타고라스 정리를 이 EB”=x cm라 하면 ED”=AE”=(15-x)cm이므로 △EBD에서 (cid:100)(cid:100)(15-x)¤ =x¤ +10¤ (cid:100)(cid:100)∴ x= 25 6 1 ∴ △EBD= _10_ = 2 25 6 125 6 (cm¤ ) ➊ EB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ △EBD의 넓이를 구할 수 있다. 2x가 가장 긴 변의 길이일 때와 6이 가장 긴 변의 길이일 0206 때로 경우를 나누어 생각한다. ⁄ 2x>x+3, 즉 x>3일 때, ⁄ 2x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건에 의하여(cid:100)(cid:100)2x<6+(x+3)(cid:100)(cid:100)∴ x<9 직각삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)(2x)¤ =6¤ +(x+3)¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -2x-15=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-5)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ 31 직각삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)6¤ =(x+3)¤ +(2x)¤ (cid:100)(cid:100)5x¤ +6x-27=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(5x-9)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x= (∵ 18¤ +8¤ ∴ x>8'2 (∵ x>0) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)8'26¤ +8¤ 이므로 둔각삼각형이다. 0211 ㈄ ('∂43)¤ >4¤ +5¤ 이므로 둔각삼각형이다. 0212 (2'6 )¤ =8x이므로(cid:100)(cid:100)x=3 y¤ =5_8=40이므로(cid:100)(cid:100)y=2'∂10 (∵ y>0) (cid:9120) ㈁, ㈅ (cid:9120) ㈀, ㈃ (cid:9120) ㈂, ㈄ (cid:9120) x=3, y=2'∂10 x¤ =2_6=12이므로(cid:100)(cid:100)x=2'3 (∵ x>0) 0213 y¤ =2_8=16이므로(cid:100)(cid:100)y=4 (∵ y>0) (cid:100)(cid:100) (cid:9120) x=2'3, y=4 0214 4_3=5x이므로(cid:100)(cid:100)x= 12 5 0215 2'5_4=6x이므로(cid:100)(cid:100)x= 4'5 3 (cid:9120) 12 5 (cid:9120) 4'5 3 0216 (cid:9120) ㈎ DE” ¤ (cid:100)㈏ BC” ¤ (cid:100)㈐ BE” ¤ (cid:100)㈑ CD” ¤ (cid:100) … ➊ 0217 (cid:9120) ㈎ a¤ +b¤ (cid:100)㈏ b¤ +c¤ (cid:100)㈐ c¤ +d¤ (cid:100)㈑ a¤ +d¤ (cid:100) 6¤ +5¤ =x¤ +7¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =12 0218 (cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0) 4¤ +10¤ =x¤ +2¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =112 0219 (cid:100)(cid:100)∴ x=4'7 (∵ x>0) 0220 (cid:9120) ㈎ CP” ¤ (cid:100)㈏ a¤ +c¤ (cid:100)㈐ b¤ +c¤ (cid:100)㈑ DP” (cid:9120) 2'3 (cid:9120) 4'7 ➊ 2x가 가장 긴 변의 길이일 때, x의 값을 구할 수 있다. ➋ 6이 가장 긴 변의 길이일 때, x의 값을 구할 수 있다. ➌ 모든 x의 값의 곱을 구할 수 있다. 40% 40% 20% 0221 ('∂11 )¤ +3¤ =2¤ +x¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =16 ∴ x=4 (∵ x>0) (cid:9120) 4 28 정답 및 풀이 ¤ (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지29 SinsagoHitec 1 5 피 타 고 라 스 정 리 와 도 형 0222 x¤ +(4'2 )¤ =6¤ +(2'6 )¤ 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =28 ∴ x=2'7 (∵ x>0) 0223 30-17=13 (cm¤ ) 0224 9+5=14 (cm¤ ) 0225 12+10=22(cm¤ ) 0226 _6_8=24(cm¤ ) 1 2 (cid:9120) 2'7 (cid:9120) 13 cm¤ (cid:9120) 14 cm¤ (cid:9120) 22 cm¤ (cid:9120) 24 cm¤ 90°<∠A<180°이므로 x가 가장 긴 변의 길이이고, 삼각 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 0227 형이 되기 위한 조건에 의하여(cid:100)(cid:100)53¤ +5¤ ∴ x>'ß34 (∵ x>0) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)'ß340이므로(cid:100)(cid:100)c¤ >a¤ +b¤ (cid:9120) ④ x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건 0229 에 의하여 (cid:100)(cid:100)70) (cid:100) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)74¤ +7¤ yy ㉠(cid:100)(cid:100)… ➊ yy ㉡(cid:100)(cid:100) … ➋ (cid:100)(cid:100)∴ x>'ß65 (∵ x>0) ㉠, ㉢에서(cid:100)(cid:100)'ß656¤ +9¤ ∴ a>3'∂13 (∵ a>0) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)3'∂130) ⁄ ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)82'7 (∵ BC”>0) ⁄ ㉢, ㉣에서(cid:100)(cid:100)2'74¤ +6¤ ④ 7¤ <5¤ +6¤ (cid:9120) ② ㈀ 5¤ >2¤ +4¤ 0234 ㈂ 7¤ <4¤ +6¤ ㈄ 11¤ >7¤ +8¤ 이상에서 예각삼각형은 ㈁, ㈂의 2개이다. ㈁ ('ß21)¤ <('ß10)¤ +(2'3)¤ ㈃ 6¤ =3¤ +(3'3 )¤ ㈅ 13¤ >4¤ +12¤ (cid:9120) 2 ① 7¤ >5¤ +(3'2 )¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각형이다. 0235 ② 7¤ <5¤ +5¤ 이므로 △ABC는 예각삼각형이다. ③ 7¤ =5¤ +(2'6 )¤ 이므로 △ABC는 직각삼각형이다. ④ (5'2)¤ <5¤ +7¤ 이므로 △ABC는 예각삼각형이다. ⑤ (5'3)¤ >5¤ +7¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각형이다. (cid:9120) ⑤ 0236 ① 세 변의 길이를 2k, 3k, 4k(k>0)라 하면 (4k)¤ >(2k)¤ +(3k)¤ 이므로 둔각삼각형이다. ② 세 변의 길이를 3k, 4k, 5k(k>0)라 하면 (5k)¤ =(3k)¤ +(4k)¤ 이므로 직각삼각형이다. ③ 세 변의 길이를 4k, 5k, 6k(k>0)라 하면 (6k)¤ <(4k)¤ +(5k)¤ 이므로 예각삼각형이다. ④ 세 변의 길이를 5k, 6k, 7k(k>0)라 하면 ∴ x>5'5 (∵ x>0) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)5'50)라 하면 (cid:9120) ③ (8k)¤ <(5k)¤ +(7k)¤ 이므로 예각삼각형이다. (cid:9120) ① 15 피타고라스 정리와 도형 29 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지30 SinsagoHitec 0237 △ACD에서 6¤ >3¤ +5¤ 이므로 △ACD는 둔각삼각형이다. △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√10¤ -8¤ =6 0245 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이므로 AM”=BM”=CM” (cid:9120) ⑤ (cid:100)(cid:100)∴ AM”= BC”= _20=10(cm) 1 2 0238 ③ a¤ c¤ 이면 ∠C<90°이지만 ∠B>90°인지는 알 수 없다. (cid:9120) ③, ⑤ MH”=10-4=6(cm)이므로 △AMH에서 (cid:100)(cid:100)AH”="√10¤ -6¤ =8(cm) AH” ¤ =AQ”_AM”이므로(cid:100)(cid:100)8¤ =AQ”_10 (cid:100)(cid:100)∴ AQ”= (cm) (cid:9120) cm 32 5 1 2 32 5 0239 AH” BH”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)CH”=(8-x) cm ¤ =BH”_CH”이므로(cid:100)(cid:100)(2'3)¤ =x(8-x) x¤ -8x+12=0,(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ BH”>CH”) △ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”="√6¤ +(2'3 )¤ =4'3 (cm) (cid:9120) ④ 0240 AB” △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√9¤ +12¤ =15(cm) ¤ =AD”_AC”이므로(cid:100)(cid:100)9¤ =AD”_15 ∴ AD”= (cm) 27 5 (cid:9120) cm 27 5 0246 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√18¤ -12¤ =6'5(cm) AB”_AC”=BC”_AD”이므로(cid:100)(cid:100)6'5_12=18_AD”(cid:100)(cid:100) ∴ AD”=4'5(cm) (cid:9120) 4'5 cm 0247 AC”=2k, BC”=3k(k>0)라 하면 △ABC에서 AB”="√(2k)¤ +(3k)¤ ='ß13k AC”_BC”=AB”_CD”이므로 (cid:100)(cid:100)2k_3k='ß13k_2'2 ='ß26 2'ß26k 2k ∴ 3k= 0248 △ABC에서(cid:100)(cid:100)x="√25¤ -20¤ =15 AC”_BC”=AB”_CH”이므로 (cid:100)(cid:100)20_15=25_y(cid:100)(cid:100)∴ y=12 BC” ¤ =BH”_AB”이므로 (cid:100)(cid:100)15¤ =z_25(cid:100)(cid:100)∴ z=9 (cid:100)(cid:100)∴ x+y+z=15+12+9=36 ➊ x의 값을 구할 수 있다. ➋ y의 값을 구할 수 있다. ➌ z의 값을 구할 수 있다. ➍ x+y+z의 값을 구할 수 있다. 0249 (cid:100)(cid:100)DE” (cid:100)(cid:100)DE” ¤ 이므로 ¤ =BE” ¤ +CD” ¤ +BC” DE” ¤ +9¤ =8¤ +6¤ ¤ =19(cid:100)(cid:100)∴ DE”='ß19(cm) (cid:9120) ① … ➊ … ➋ (cid:9120) 10 70% 30% (cid:9120) ③ … ➊ … ➋ … ➌ … ➍ (cid:9120) 36 30% 30% 30% 10% (cid:9120) ① (cid:9120) 61 (cid:9120) ② 0250 AC” ¤ +DE” ¤ =AE” ¤ +CD” ¤ =5¤ +6¤ =61 0251 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 DE”= AC”= _6=3 1 2 ¤ +CD” 1 2 ¤ =DE” ∴ AE” ¤ +AC” ¤ =3¤ +6¤ =45 (cid:9120) ③ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고, (cid:9120) '2 cm¤ 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 ;2!;이다. ¤ =AD”_AB”이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =3_5=15 AC” 0241 (cid:100)(cid:100)∴ x='∂15 (∵ x>0) △ADC에서(cid:100)(cid:100)y="√('∂15 )¤ -3¤ ='6 △CDB에서(cid:100)(cid:100)z="√('6 )¤ +2¤ ='∂10 ∴ xyz='∂15_'6_'∂10=30 0242 BH”=k, AH”=3k (k>0)라 하면 ¤ =AH”_BH”이므로(cid:100)(cid:100)(5'3)¤ =3k_k CH” (cid:100)(cid:100)k¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ k=5 (∵ k>0)(cid:100)(cid:100)∴ BH”=5 △BCH에서(cid:100)(cid:100)BC”="√5¤ +(5'3)¤ =10 ➊ BH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BC”의 길이를 구할 수 있다. 0243 AC” △AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm) ¤ =CH”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)4¤ =2_BC” (cid:100)(cid:100)∴ BC”=8(cm) ∴ △ABC= _8_2'3=8'3(cm¤ ) 1 2 AC” ¤ =CH”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)BC”=8(cm) △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√8¤ -4¤ =4'3(cm) ∴ △ABC= _4'3_4=8'3(cm¤ ) 1 2 0244 AD”=xcm라 하면 AB” ¤ =AD”_AC”이므로 3¤ =x(x+8),(cid:100)(cid:100)x¤ +8x-9=0 (x+9)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (∵ x>0) △ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√3¤ -1¤ =2'2(cm) ∴ △ABD= _1_2'2='2(cm¤ ) 1 2 30 정답 및 풀이 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지31 SinsagoHitec (cid:9120) 13 30% 70% (cid:9120) ② (cid:9120) ④ (cid:9120) ④ … ➊ … ➋ … ➌ 15 2 60% 20% 20% 0252 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√4¤ +3¤ =5 ¤ 이므로(cid:100)(cid:100)DE” DE” ¤ +AB” ¤ =AD” ¤ -DE” ¤ +BE” ¤ =13 ∴ BE” … ➊ ¤ +5¤ =(2'3)¤ +BE” … ➋ 0261 60¤ +20¤ =x¤ +(10'ß15)¤ 이므로 x¤ =2500(cid:100)(cid:100)∴ x=50 (∵ x>0) 시속 4km로 걸으므로 걸리는 시간은 50 4000 _60_60=45(초) ➊ x의 값을 구할 수 있다. ➋ 놀이터까지 가는 데 걸리는 시간을 구할 수 있다. ➊ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BE” ¤ 의 값을 구할 수 있다. ¤ -DE” 0253 AB” BC” ¤ +CD” ¤ =(3'3)¤ +4¤ =43 ¤ +AD” ¤ =BC” ¤ =121(cid:100)(cid:100)∴ AD”=11 AD” ¤ 이므로(cid:100)(cid:100)10¤ +8¤ =43+AD” 0262 S£= _p_5¤ = p 25 2 1 2 S¡+S™=S£이므로(cid:100)(cid:100)S¡+S™+S£=2S£=25p (cid:9120) 25p 0254 AB” ¤ +CD” ¤ =BC” x¤ +7¤ =4¤ +y¤ (cid:100)(cid:100)∴ y¤ -x¤ =33 ¤ +AD” ¤ 이므로 S¡+S™=15p+25p=40p 0263 따라서 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이가 40p이므로 본책 49~54쪽 … ➊ … ➋ (cid:9120) 45초 60% 40% 1 5 피 타 고 라 스 정 리 와 도 형 ¤ +BC” ¤ =4¤ +13=29 (cid:9120) 29 ¤ =AB” ¤ +AC” ¤ =120+200=320 0255 AB”=CD”이고 AB” ¤ +CD” ¤ =('∂17)¤ +9¤ ,(cid:100)(cid:100)AB” ¤ =AD” ¤ =49 2AB” ∴ AB”=7 ¤ +BC” ¤ 이므로 0256 BC” ∴ AB” ¤ =2¤ +3¤ =13 ¤ =AD” ¤ +CD” 0257 ¤ +CD” ¤ 이므로 ¤ =BC” AB” ¤ +(2'2)¤ =2¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ AB” ¤ +AD” ¤ =5 AB” △ABO에서(cid:100)(cid:100)x¤ +('3)¤ =5,(cid:100)(cid:100)x¤ =2 (cid:100)(cid:100)∴ x='2 (∵ x>0) 0258 ⑴ AB” ¤ +CD” ¤ =AD” ¤ +BC” ¤ 이므로 ¤ +15¤ ¤ =34(cid:100)(cid:100)∴ AD”='ß34 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(3'ß10)¤ +13¤ =AD” (cid:100) (cid:100)(cid:100)AD” ⑵ △AOD에서(cid:100)(cid:100)OD”=øπ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ △AOD= _3_5= 1 2 π('∂34)¤ -3¤ =5 15 2 ➊ AD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ OD”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △AOD의 넓이를 구할 수 있다. AP” ¤ +CP” 0259 (cid:100)(cid:100)5¤ +3¤ =4¤ +DP” ¤ =BP” ¤ +DP” ¤ 이므로(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)DP” ¤ =18(cid:100)(cid:100)∴ DP”=3'2(cm) 0260 AP” ¤ +CP” (2'3)¤ +y¤ =('3)¤ +x¤ ¤ =BP” (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -y¤ =9 ¤ +DP” ¤ 이므로 =40p,(cid:100)(cid:100)BC” ¤ =320(cid:100)(cid:100) =15p이므로(cid:100)(cid:100)AB” ¤ =120 (cid:9120) ④ =25p이므로(cid:100)(cid:100)AC” ¤ =200 2 } 1 BC” (cid:100)(cid:100) _p_{ 2 2 ∴ BC”=8'5 1 2 _p_{ AB” 2 2 } 1 2 _p_{ AC” 2 2 } △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC” ∴ BC”=8'5 0264 1 2 AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 _p_{ 3 2 2 } 9 8 = p (cm¤ ) (cid:9120) '2 따라서 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 (cid:100)(cid:100)9p+ p= p (cm¤ ) 9 8 81 8 (cid:9120) p cm¤ 81 8 0265 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√13¤ -12¤ =5(cm) 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 _12_5=30(cm¤ ) (cid:9120) ③ 0266 1 2 1 2 1 2 (cid:9120) ⑴ 'ß34(cid:100)⑵ _15_AC”=60(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8(cm) 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√15¤ +8¤ =17(cm) (cid:9120) ② 0267 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” ¤ +AC” ¤ =20¤ AB”=AC”이므로(cid:100)(cid:100)2AB” ∴ AB”=10'2(cm) ¤ =400,(cid:100)(cid:100)AB” ¤ =200 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 (cid:9120) ③ _10'2_10'2=100(cm¤ ) (cid:9120) ① ➊ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다. … ➊ … ➋ 40% 60% (cid:9120) 100 cm¤ 15 피타고라스 정리와 도형 31 ¤ ¤ ¤ ” ” (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지32 SinsagoHitec 0272 길이를 구한다. 먼저 삼각형이 되기 위한 조건을 만족시키는 세 변의 △ABC의 외심 O가 AB”의 중점이므로 0268 (cid:100)(cid:100)∠ACB=90° 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 △ABC=2p+6p=8p △ABC= _16_CH”=8_CH”이므로 1 2 (cid:100)(cid:100)8_CH”=8p(cid:100)(cid:100)∴ CH”=p (cid:9120) p 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 0269 1 2 _AB”_4'5=20(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'5(cm) △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√(2'5 )¤ +(4'5 )¤ =10(cm) AB”_AC”=BC”_AH”이므로 2'5_4'5=10_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=4(cm) (cid:9120) ② 0270 오른쪽 그림에서 S¡+S™=△ABC= _12_10 1 2 =60(cm¤ ) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 1 (cid:100)(cid:100) _p_6¤ + _p_5¤ -(S¡+S™) 2 1 2 A S¡ 10`cm 12`cm B S™ C ⁄ 세 변의 길이가 2 cm, 3 cm, 4 cm인 경우 (cid:100) 가장 긴 변의 길이가 4 cm이므로(cid:100)(cid:100)4¤ >2¤ +3¤ (cid:100) 따라서 둔각삼각형이다. ¤ 세 변의 길이가 2 cm, 4 cm, 5 cm인 경우 (cid:100) 가장 긴 변의 길이가 5 cm이므로(cid:100)(cid:100)5¤ >2¤ +4¤ (cid:100) 따라서 둔각삼각형이다. ‹ 세 변의 길이가 2 cm, 5 cm, 6 cm인 경우 (cid:100) 가장 긴 변의 길이가 6 cm이므로(cid:100)(cid:100)6¤ >2¤ +5¤ (cid:100) 따라서 둔각삼각형이다. › 세 변의 길이가 3 cm, 4 cm, 5 cm인 경우 (cid:100) 가장 긴 변의 길이가 5 cm이므로(cid:100)(cid:100)5¤ =3¤ +4¤ (cid:100) 따라서 직각삼각형이다. fi 세 변의 길이가 3 cm, 4 cm, 6 cm인 경우 (cid:100) 가장 긴 변의 길이가 6 cm이므로(cid:100)(cid:100)6¤ >3¤ +4¤ (cid:100) 따라서 둔각삼각형이다. fl 세 변의 길이가 3 cm, 5 cm, 6 cm인 경우 (cid:100) 가장 긴 변의 길이가 6 cm이므로(cid:100)(cid:100)6¤ >3¤ +5¤ (cid:100) 따라서 둔각삼각형이다. ‡ 세 변의 길이가 4 cm, 5 cm, 6 cm인 경우 (cid:100) 가장 긴 변의 길이가 6 cm이므로(cid:100)(cid:100)6¤ <4¤ +5¤ (cid:100) 따라서 예각삼각형이다. 이상에서 a=1, b=5이므로(cid:100)(cid:100)b-a=4 (cid:9120) ④ (cid:100)=18p+ p-60 25 2 (cid:100)= p-60(cm¤ ) 61 2 (cid:9120) { 61 2 p-60} cm¤ 0273 길이를 구한다. 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심임을 이용하여 BC”의 △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤ +10¤ =2'∂61(cm) 점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 2'∂61 2 1 (cid:100)(cid:100) _p_ 2 ¤ = p(cm¤ ) } 61 2 { 따라서 색칠한 부분의 넓이는(cid:100)(cid:100){ p-60} cm¤ 61 2 (cid:100)(cid:100)AD”=BD”=CD”=12cm (cid:100)(cid:100)∴ BC”=2AD”=24(cm) ¤ =CE”_BC”이므로 AC” (cid:100)(cid:100)(8'3)¤ =CE”_24 (cid:100)(cid:100)∴ CE”=8(cm) DE”=12-8=4(cm)이고 DE” ¤ =DF”_AD”이므로 삼각형에서 가장 긴 변의 길이의 제곱과 나머지 두 변 (cid:100)(cid:100)4¤ =DF”_12 0271 의 길이의 제곱의 합의 대소를 비교한다. c가 가장 긴 변의 길이이므로 ㈀ (4k)¤ >('6k)¤ +(3k)¤ (cid:100) 따라서 둔각삼각형이다. ㈁ (k+5)¤ =k¤ +10k+25, (k+3)¤ +(k+4)¤ =2k¤ +14k+25 0274 한다. (cid:100)(cid:100)∴ DF”=;3$; (cm) (cid:9120) ;3$; cm 두 점 A, B의 좌표를 이용하여 OA”, OB”의 길이를 구 (cid:100)(cid:100)∴ (k+5)¤ <(k+3)¤ +(k+4)¤ (cid:100) 따라서 예각삼각형이다. ㈂ (k¤ +1)¤ =k› +2k¤ +1, (k¤ -1)¤ +(2k)¤ =k› +2k¤ +1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ (k¤ +1)¤ =(k¤ -1)¤ +(2k)¤ (cid:100) 따라서 직각삼각형이다. ㈃ (2k+1)¤ =4k¤ +4k+1, (2k-1)¤ +(2'ßk )¤ =4k¤ +1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ (2k+1)¤ >(2k-1)¤ +(2'ßk )¤ (cid:100) 따라서 둔각삼각형이다. 이상에서 둔각삼각형은 ㈀, ㈃의 2개이다. y=-2x+4에 x=0을 대입하면 y=4(cid:100)(cid:100)∴ A(0, 4) y=-2x+4에 y=0을 대입하면 x=2(cid:100)(cid:100)∴ B(2, 0) 따라서 OA”=4, OB”=2이므로 (cid:100)(cid:100)AB”="√4¤ +2¤ =2'5 △AOB에서 OA” ”_OB”=AB” ”_OH”이므로 4'5 5 (cid:9120) ③ 4_2=2'5_OH”(cid:100)(cid:100)∴ OH”= (cid:9120) ④ 32 정답 및 풀이 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지33 SinsagoHitec PQ”와 평행한 직선 P'D를 그으면 PQ”=P'D”이므로 AC”=k, BC”=3k (k>0)로 놓고 S™=S¡+S£임을 이 0275 a, b, c 사이의 관계식을 구한다. a+b+c=20에서(cid:100)(cid:100)b+c=20-a 양변을 제곱하면 yy ㉠(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)b¤ +2bc+c¤ =400-40a+a¤ △ABC에서 a¤ =b¤ +c¤ 이고 bc=4a이므로 이것을 ㉠에 대입하면 (cid:100)(cid:100)a¤ +8a=400-40a+a¤ (cid:100)(cid:100)48a=400(cid:100)(cid:100)∴ a=:™3∞: (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_:™3∞:_4=:∞3º: (cid:9120) 50 3 0276 P'D”의 길이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 PQ”와 평행한 직선 P'D를 그어 대각선 AC와 P'D”가 만나는 점을 R라 하면 △ACD에서 A 12 AC”="√16¤ +12¤ =20 AD”_CD”=AC”_DR”이므로 R B P P' D C 본책 54~56쪽 0279 S¡=S™+S£임을 이용한다. 세 반원 P, Q, R의 넓이를 각각 S¡, S™, S£이라 하면 반원 Q의 반지름의 길이를 r라 하면 Q의 넓이는 1 2 _p_r¤ yy ㉠(cid:100)(cid:100) 두 반원 P, R의 넓이가 각각 40p, 10p이므로 반원 Q의 넓이는 yy ㉡(cid:100)(cid:100) 40p-10p=30p ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100) pr¤ =30p 1 2 (cid:100)(cid:100)r¤ =60(cid:100)(cid:100)∴ r=2'∂15 (∵ r>0) (cid:9120) ② 16 Q AC”=k, BC”=3k`(k>0)라 하면 1 S™= _p_{ 2 3k 2 2 9k¤ = p 8 } 1 S£= _p_{ 2 k 2 2 k¤ = p 8 } k¤ 8 9k¤ 8 k¤ 8 따라서 S¡=S™-S£= p- p=k¤ p이므로(cid:100)(cid:100) S¡ : S£=k¤ p : p=8 : 1 (cid:9120) ④ AC”=k, BC”=3k`(k>0)라 하면 AB”="√(3k)¤ -k¤ =2'2k (cid:9120) ③ AB”:AC”=2'2:1이므로(cid:100)(cid:100)S¡:S£=(2'2)¤ :1¤ =8:1 BC”=x, CA”=y로 놓고 x, y에 대한 연립방정식을 세 1 5 피 타 고 라 스 정 리 와 도 형 DE”를 그어 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 AD”= AC”=3(cm), BE”= BC”=4(cm) BC”=x, CA”=y라 하면 △ABC에서 x¤ +y¤ =16¤ =256 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 xy=57(cid:100)(cid:100)∴ xy=114 yy ㉡(cid:100)(cid:100) A 6`cm D B E 8`cm ¤ =AD” ¤ +BE” ¤ 이므로 C (x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로 ㉠, ㉡을 이 식에 대입하면 (x+y)¤ =256+2_114=484 ∴ x+y=22 (∵ x+y>0) (cid:9120) ⑤ 0280 용한다. 0281 운다. 1 2 48 5 1 2 16_12=20_DR”(cid:100)(cid:100)∴ DR”= △CDP'에서 CD” ¤ =DR”_DP'”이므로 12¤ = _DP'”(cid:100)(cid:100)∴ DP'” ”=15 48 5 (cid:8772)QPP'D는 평행사변형이므로 (cid:100)(cid:100)PQ”=P'D”=15 0277 질을 이용한다. 1 2 오른쪽 그림과 같이 DE”를 긋고 DE”=x cm라 하면 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 AB”=2DE”=2x(cm) ¤ +DE” (cid:8772)ABED에서 AB” (cid:100)(cid:100)(2x)¤ +x¤ =3¤ +4¤ x¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ x='5 (∵ x>0) ∴ AB”=2'5 (cm) 0278 AH” AH”, BH”, CH”의 길이를 구한 후 ¤ +CH” ¤ =BH” ¤ +DH” ¤ 임을 이용한다. △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√2¤ +(2'3 )¤ =4 AB”_BC”=AC”_BH”이므로 (cid:100)(cid:100)2_2'3=4_BH”(cid:100)(cid:100)∴ BH”='3 AB” (cid:100)(cid:100)2¤ =AH”_4(cid:100)(cid:100)∴ AH”=1 ¤ =AH”_AC”이므로 AH” ∴ CH”=4-1=3 ¤ +CH” ¤ +DH” ¤ =BH” 1¤ +3¤ =('3 )¤ +DH” ∴ DH”='7 ¤ 이므로 ¤ ,(cid:100)(cid:100)DH” ¤ =7 0282 BD”를 긋고 색칠한 부분과 넓이가 같은 도형을 찾는다. (cid:9120) ③ 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면 △ABD, △BCD는 각각 직각삼각형이 므로 S¡+S™=△ABD S£+S¢=△BCD ∴ S¡+S™+S£+S¢ =△ABD+△BCD=(cid:8772)ABCD =10_9=90 (색칠한 부분의 넓이) S™ 10 S¢ A S¡ 9 B S£ D C (cid:9120) 90 (cid:100)`=(전체 넓이)-(가운데 큰 원의 넓이) 9 2 2 } +10_9]-p_{ '∂181 2 2 } (cid:100)`=[p_5¤ +p_{ (cid:100)`=90 (cid:9120) '7 15 피타고라스 정리와 도형 33 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지34 SinsagoHitec a cm가 가장 긴 변의 길이일 때와 4 cm가 가장 긴 변 AO”, CO”, BC”의 길이를 차례대로 구한 후 0283 의 길이일 때로 경우를 나누어 생각한다. ⁄ a cm가 가장 긴 변의 길이일 때, 삼각형이 되기 위한 조건에 의하여(cid:100)(cid:100)43¤ +4¤ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ a>5 (∵ a>0) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)53¤ +a¤ (cid:100)(cid:100)∴ 00) ㉢, ㉣에서(cid:100)(cid:100)1(2'ß21)¤ +6¤ 이므로 △ABC는 ∠A>90°인 … ➌ 둔각삼각형이다. (cid:9120) ∠A>90°인 둔각삼각형 … ➊ ➊ AH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △ABC가 어떤 삼각형인지 구할 수 있다. 20% 20% 60% 0286 AB” ¤ +CD” ¤ =BC” ¤ +DA” ¤ 임을 이용한다. △ABO에서(cid:100)(cid:100)AO”="√(3'2)¤ -3¤ =3 CO”=3AO”이므로 (cid:100)(cid:100)CO”=9 △BCO에서 (cid:100)(cid:100)BC”="√3¤ +9¤ =3'∂10 ¤ +DA” ¤ =BC” AB” ¤ +CD” ¤ 이므로 (3'2)¤ +13¤ =(3'ß10)¤ +x¤ x¤ =97(cid:100)(cid:100)∴ x='ß97 (∵ x>0) ➊ CO”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➌ x의 값을 구할 수 있다. 0287 주어진 넓이를 이용하여 AB”, AC”의 길이를 구한다. 1 AB” S¡= _p_{ 2 2 ∴ AB”=4'3(cm) } 2 =6p에서(cid:100)(cid:100)AB” ¤ =48 S™=S£-S¡=18p-6p=12p(cm¤ )이므로 2 } AC” 2 =12p,(cid:100)(cid:100)AC” 1 (cid:100)(cid:100) _p_{ 2 ∴ AC”=4'6(cm) ∴ △ABC= _4'3_4'6=24'2(cm¤ ) ¤ =96 1 2 (cid:9120) 24'2 cm¤ ➊ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △ABC의 넓이를 구할 수 있다. 0285 (cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI임을 이용한다. (cid:8772)BFGC=(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI이므로 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)ADEB=100-36=64(cm¤ ) (cid:100)(cid:100)∴ AB”='∂64=8(cm) BC”='∂100=10(cm), AC”='∂36=6(cm)이고 AB”_AC”=BC”_AK”이므로 (cid:100)(cid:100)8_6=10_AK”(cid:100)(cid:100)∴ AK”= (cm) … ➋ 24 5 0288 한다. … ➊ AB” ¤ =BK”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)8¤ =BK”_10 (cid:100)(cid:100)∴ BK”= (cm) 32 5 24 (cid:100)(cid:100)∴ AK”+BK”= + = (cm) 5 56 5 32 5 먼저 AC” ¤ =CH”_BC”임을 이용하여 CH”의 길이를 구 ¤ =CH”_BC”이므로 CH”=xcm라 하면 AC” (4'3)¤ =x(x+2),(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-48=0 (x+8)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0) ¤ =BH”_CH”이므로 ¤ =2_6=12 ∴ AH”=2'3 (cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC AH” (cid:100)(cid:100)AH” 1 2 = _8_2'3 =8'3(cm¤ ) ➊ CH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다. … ➌ … ➍ (cid:9120) cm 56 5 30% 30% 30% 10% … ➌ (cid:9120) 8'3 cm¤ 40% 30% 30% ➊ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AK”의 길이를 구할 수 있다. ➌ BK”의 길이를 구할 수 있다. ➍ AK”+BK”의 길이를 구할 수 있다. 34 정답 및 풀이 … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 'ß97 30% 20% 50% … ➊ … ➋ … ➌ 30% 50% 20% … ➊ … ➋ ” ” (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지35 SinsagoHitec 16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 x : 7=1 : 1이므로(cid:100)(cid:100)x=7 0306 7 : y=1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)y=7'2 본책 57~61쪽 (cid:9120) x=7, y=7'2 0289 "√4¤ +6¤ =2'ß13(cm) 0290 '2_7=7'2(cm) 0291 x="√8¤ -4¤ =4'3 0292 '2x=2'5(cid:100)(cid:100)∴ x='∂10 0293 AD”="√11¤ -(6'2 )¤ =7 0294 (cid:8772)ABCD=7_6'2=42'2 0295 h= _2='3(cm) 0296 h= _4'3=6(cm) S= _(4'3)¤ =12'3(cm¤ ) '3 2 '3 2 '3 4 '3 4 '3 2 (cid:9120) 2'ß13 cm (cid:9120) 7'2 cm (cid:9120) 4'3 (cid:9120) 'ß10 (cid:9120) 7 (cid:9120) 42'2 0307 y : x : 9=1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)x= 9'2 2 =1 : 1이므로(cid:100)(cid:100)y= 9'2 2 9'2 2 (cid:9120) x= , y= 9'2 2 9'2 2 x : 4=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)x=2 0308 2 : y=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)y=2'3 0309 6 : y=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)y=12 6 : x=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)x=6'3 (cid:9120) x=2, y=2'3 (cid:9120) x=6'3, y=12 0310 10'3 3 x : 10=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)x= 20'3 3 : y=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)y= 10'3 3 (cid:9120) x= , y= 10'3 3 20'3 3 1 6 피 타 고 라 스 정 리 의 평 면 도 형 에 의 활 용 S= _2¤ ='3(cm¤ ) (cid:9120) h='3 cm, S='3 cm¤ (cid:9120) h=6cm, S=12'3 cm¤ 3 : x=1 : 1이므로(cid:100)(cid:100)x=3 0311 y : 3=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)y='3 (cid:9120) x=3, y='3 0297 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 a=6'2(cid:100)(cid:100)∴ a=4'6 (cid:9120) 4'6 cm x : 12='3 : 2이므로(cid:100)(cid:100)x=6'3 0312 6'3 : y=1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)y=6'6 (cid:9120) x=6'3, y=6'6 0313 (cid:9120) 4 0314 (cid:9120) 4 0298 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 a¤ =15'3,(cid:100)(cid:100)a¤ =60 '3 4 ∴ a=2'∂15 (∵ a>0) 0299 1 BH”= BC”= _16=8(cm) 2 1 2 0300 △ABH에서 AH”="√10¤ -8¤ =6(cm) (cid:9120) 2'∂15 cm (cid:9120) 8cm 0315 PQ”="√4¤ +4¤ =4'2 0316 "√3¤ +1¤ ='∂10 0317 "√2¤ +(-8)¤ =2'∂17 (cid:9120) 6cm 0318 "√(-1)¤ +7¤ =5'2 0301 △ABC= _16_6=48(cm¤ ) (cid:9120) 48cm¤ 0302 (cid:9120) ㈎ 25-x¤ (cid:100)㈏ 6-x(cid:100)㈐ (6-x)¤ (cid:100)㈑ 15 4 0319 "√(-6)¤ +(-3)¤ =3'5 0320 "√(3'2 )¤ +(-'7 )¤ =5 0321 AB”="√6¤ +4¤ =2'ß13 1 2 1 2 0303 AH”="√25-x¤ =æ≠25-{ 15 4 2 } =Æ… 175 16 = 5'7 4 0304 △ABC= _6_ 5'7 4 = 15'7 4 0305 y : 3=1 : 1이므로(cid:100)(cid:100)y=3 x : 3'2=1 : '2이므로(cid:100)(cid:100)x=3 (cid:9120) 5'7 4 (cid:9120) 15'7 4 0322 CD”="√(-4+3)¤ +(-3)¤ ='ß10 0323 EF”="√(-2-7)¤ +(2-5)¤ =3'ß10 0324 GH”="√(-7+1)¤ +(8-9)¤ ='ß37 (cid:9120) x=3, y=3 0325 IJ”="√(-4-2)¤ +(5+3)¤ =10 (cid:9120) 4'2 (cid:9120) 'ß10 (cid:9120) 2'ß17 (cid:9120) 5'2 (cid:9120) 3'5 (cid:9120) 5 (cid:9120) 2'ß13 (cid:9120) 'ß10 (cid:9120) 3'ß10 (cid:9120) 'ß37 (cid:9120) 10 16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 35 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지36 SinsagoHitec 0326 (cid:9120) y 4 2 O A-2 C 2 B 4 6 x AB”="√(5-1)¤ +(1+1)¤ =2'5 0327 BC”="√(4-5)¤ +(4-1)¤ ='ß10 CA”="√(1-4)¤ +(-1-4)¤ ='ß34 (cid:9120) AB”=2'5, BC”='∂10, CA”='∂34 0328 ('∂34 )¤ >(2'5)¤ +('∂10 )¤ , 즉 CA” 로 △ABC는 ∠B>90°인 둔각삼각형이다. ¤ >AB” ¤ +BC” ¤ 이므 (cid:9120) ∠B>90°인 둔각삼각형 0334 OD”=AD”이므로 (cid:100)(cid:100)OD”= OA”=8(cm) 1 2 CD”=x cm라 하면 OC”=OA”=16 cm이므로 (cid:100)(cid:100)8¤ +x¤ =16¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =192 (cid:100)(cid:100)∴ x=8'3 (∵ x>0) 따라서 (cid:8772)ODCE의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2_(8+8'3 )=16(1+'3 )(cm) 0335 이는 2r이므로 '2_2r=3'2(cid:100)(cid:100)∴ r= 3 2 따라서 원의 넓이는 p_{ 3 2 2 } 9 = p 4 원의 반지름의 길이를 r라 하면 정사각형의 한 변의 길 △ABC에서 AB”=c, BC”=a, CA”=b이고 c가 가장 긴 변의 길이 일 때, ① c¤ a¤ +b¤ ` (cid:8825) ∠C>90° (cid:8825) △ABC는 둔각삼각형 0336 비스킷의 한 변의 길이를 a cm라 하면 5'2 2 '2a=5(cid:100)(cid:100)∴ a= 따라서 비스킷의 둘레의 길이는 5'2 2 _4=10'2(cm) (cid:9120) 10'2 cm AE”=10-6=4이므로 △ABE에서 0329 (cid:100)(cid:100)AB”="8√ ¤ -4¤ =4'3 (cid:100)(cid:100)∴ BD”="√10¤ +(4'3 )¤ =2'∂37 버리는 부분이 최소가 되도록 하려면 정사각형의 대각선 0337 과 원의 지름이 일치해야 한다. 따라서 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 (cid:9120) 2'∂37 '2a=24(cid:100)(cid:100)∴ a=12'2 0330 (cid:8772)BEFD=BD” ¤ =4¤ +7¤ =65(cm¤ ) (cid:9120) 65 cm¤ BC”=3a, CD”=2a (a>0)라 하면 0331 (cid:100)(cid:100)(3a)¤ +(2a)¤ =(2'∂26 )¤ ,(cid:100)(cid:100)13a¤ =104 (cid:100)(cid:100)a¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 (∵ a>0) (cid:100)(cid:100)∴ BC”=3a=3_2'2=6'2 0332 (3'5)¤ +(3a)¤ =(4a+1)¤ 에서 7a¤ +8a-44=0,(cid:100)(cid:100)(7a+22)(a-2)=0 ∴ a=2 (∵ a>0) 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 0333 (cid:100)(cid:100)(3x)¤ +x¤ =(15'2 )¤ ,(cid:100)(cid:100)10x¤ =450 (cid:100)(cid:100)x¤ =45(cid:100)(cid:100)∴ x=3'5 (∵ x>0) (cid:100)(cid:100)∴ AC”="√(6'5 )¤ +(3'5 )¤ =15 ➊ 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다. ➋ AC”의 길이를 구할 수 있다. 36 정답 및 풀이 0338 AC”='2_'3='6, CH”="√4¤ +(2'2)¤ =2'6 ∴ AC”+CH”=3'6 0339 블록의 한 모서리의 길이를 acm라 하면 AB”='2a=5'2(cid:100)(cid:100)∴ a=5 ∴ AC”="√15¤ +10¤ =5'ß13(cm) (cid:8772)ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면 0340 (cid:100)(cid:100)AC”='2 a, CE”=a (cid:100)(cid:100)∴ AE”="√('2a)¤ +a¤ ="√3a¤ ='3 a (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)AEFG의 둘레의 길이의 비는 각 정사각형의 한 변의 길이의 비와 같으므로 구하는 비는 (cid:100)(cid:100)a:'3 a=1:'3 (cid:9120) ② 닮음인 두 평면도형의 닮음비가 m:n이면 ① 둘레의 길이의 비 (cid:8825) m:n ② 넓이의 비 (cid:8825) m¤ :n¤ (cid:9120) 6'2 (cid:9120) 2 … ➊ … ➋ (cid:9120) 15 50% 50% (cid:9120) ③ (cid:9120) ② (cid:9120) ③ (cid:9120) 3'6 (cid:9120) ④ (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지37 SinsagoHitec 0341 AD”_DC”=AC”_DH”이므로(cid:100)(cid:100)12_5=13_DH” AC”="√5¤ +12¤ =13(cm) 따라서 △ABE에서 (cid:100)(cid:100)BE”=øπ(2'3 )¤ +3¤ ='∂21 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ DH”= (cm) 0342 AB”_AD”=BD”_AH”이므로(cid:100)(cid:100)8_6=10_AH” BD”="√6¤ +8¤ =10(cm) ➊ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ ∠BAE의 크기를 구할 수 있다. ➌ BE”의 길이를 구할 수 있다. 본책 61~65쪽 … ➌ (cid:9120) '∂21 cm 40% 30% 30% (cid:9120) ④ … ➊ … ➋ … ➌ … ➍ 30% 30% 30% 10% 60 13 24 5 32 5 27 5 27 5 (cid:100)(cid:100)∴ AH”= (cm) AB” ¤ =BH”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)8¤ =BH”_10 (cid:100)(cid:100)∴ BH”= (cm) ∴ AH”+BH”= + = (cm) 24 5 32 5 56 5 ➊ BD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ BH”의 길이를 구할 수 있다. ➍ AH”+BH”의 길이를 구할 수 있다. 0343 AB” BD”="√9¤ +12¤ =15(cm) ¤ =BE”_BD”이므로 9¤ =BE”_15 (cid:100)(cid:100)∴ BE”= (cm) 0347 오른쪽 그림과 같이 AO”의 연장선 과 BC”가 만나는 점을 D라 하면 점 O는 △ABC의 무게중심이므로 A 10`cm (cid:100)(cid:100)AD”= AO”= _10 3 2 3 2 =15(cm) △ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면 (cid:9120) cm 56 5 O D B C a=15(cid:100)(cid:100)∴ a=10'3 '3 4 ∴ △ABC= _(10'3)¤ =75'3(cm¤ ) (cid:9120) 75'3 cm¤ 0348 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=6'3 따라서 정삼각형의 넓이는 '3 2 '3 2 '3 4 1 6 피 타 고 라 스 정 리 의 평 면 도 형 에 의 활 용 또 CD” ¤ =DF”_DB”이므로(cid:100)(cid:100)9¤ =DF”_15 _(6'3)¤ =27'3(cm¤ ) (cid:9120) ① (cid:100)(cid:100)∴ DF”= (cm) ∴ EF”=BD”-BE”-DF” 27 =15- - = (cm) 5 27 5 21 5 (cid:9120) cm 21 5 AD”는 정삼각형 ABC의 중선이므로 △ABC의 높이이 0344 다. AD”= _4'3=6(cm)이므로 '3 2 AG”= AD”= _6=4(cm) 2 3 2 3 0345 AD”=a cm라 하면(cid:100)(cid:100)'2a=7'6 ∴ a=7'3 따라서 △EAD의 높이는 '3 2 21 _7'3= (cm) 2 0346 므로 '3 2 (cid:100)(cid:100) a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3 ∠BAE=∠BAD+∠DAE =30°+60°=90° AB”=a cm라 하면 △ABC에서 AD”= a (cm)이 '3 2 0349 △ABC에서 AC”=øπ(2'ß10)¤ -4¤ =2'6(cm) '3 ∴ △ACD= _(2'6)¤ =6'3(cm¤ ) 4 (cid:9120) 6'3 cm¤ 0350 ⑴ BE”=EC”=CF”= _2=1(cm) 1 2 (cid:9120) 4cm ∠GEC=∠GCE=60°이므로 △GEC는 한 변의 길이가 1cm인 정삼각형이다. '3 (cid:100)(cid:100)∴ △GEC= _1¤ = (cm¤ ) 4 '3 4 … ➊ '3 ⑵ △ABC= _2¤ ='3 (cm¤ ) 4 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:9120) ④ (cid:100)(cid:100)2(△ABC-△GEC)=2_{'3- } = 3'3 2 (cm¤ ) '3 4 '3 4 (cid:9120) ⑴ cm¤ (cid:100)⑵ cm¤ 3'3 2 … ➊ … ➋ ➊ △GEC의 넓이를 구할 수 있다. ➋ △ABC의 넓이를 구할 수 있다. ➌ 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다. … ➋ … ➌ 40% 20% 40% 16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 37 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지38 SinsagoHitec 0351 AD”= _4=2'3(cm)이므로 '3 2 (cid:100)(cid:100)AF”= _2'3=3(cm) '3 2 (cid:100)(cid:100)∴ △AFG= _3¤ = (cm¤ ) '3 4 9'3 4 (cid:9120) ② 오른쪽 그림과 같이 AP”를 그으면 0352 △ABC=△ABP+△APC이므로 A '3 (cid:100)(cid:100) _6¤ 4 (cid:100)= _6_PQ”+ _6_PR” 1 2 1 2 따라서 9'3=3PQ”+3PR”이므로 (cid:100)(cid:100)PQ”+PR”=3'3 6 Q B 주어진 정육각형은 한 변의 길이가 10cm인 정삼각형 6 0353 개로 이루어져 있으므로 구하는 넓이는 6_{ _10¤ }=150'3(cm¤ ) '3 4 0354 정육각형의 한 변의 길이를 acm라 하면 '3 4 6_ a¤ =12'3,(cid:100)(cid:100)a¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 (∵ a>0) 따라서 정육각형의 둘레의 길이는 6_2'2=12'2(cm) 0355 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 대 각선 AC와 BD의 교점을 O라 하 면 △ABD는 한 변의 길이가 6cm 인 정삼각형이므로 '3 ⑴ (cid:100)(cid:100)AO”= _6=3'3(cm) 2 (cid:100)(cid:100)∴ AC”=2AO”=6'3(cm) '3 4 6`cm A 60æ D 60æ O 60æ B ⑵ (cid:8772)ABCD=2△ABD=2_{ _6¤ }=18'3(cm¤ ) … ➌ (cid:9120) ⑴ 6'3 cm(cid:100)⑵ 18'3 cm¤ R C P (cid:9120) 3'3 (cid:9120) ③ (cid:9120) ④ C … ➊ … ➋ 40% 20% 40% ➊ AO”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➌ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다. ⑵ (cid:8772)ABCD= _AC”_BD” 1 2 1 2 = _6'3_6=18'3(cm¤ ) AB”=a cm라 하면 (cid:8772)ABCD=3△ABM이므로 '3 (cid:100)(cid:100)48'3=3_ a¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ =64 4 (cid:100)(cid:100)∴ a=8 (∵ a>0) 정육각형의 한 내각의 크기는 0357 120°이므로 ∠GBA=∠GAB=60° ∴ ∠BGA=60° (cid:9120) 8 cm 60æ A G F J B 60æ E H C D 따라서 △GBA는 한 변의 길이가 12 cm 인 정삼각형이다. 또 같은 방법으로 하면 △IDC, △JFE는 한 변의 길이가 12 cm 인 정삼각형이므로 △GIJ는 한 변의 길이가 12_3=36(cm)인 정삼각형이다. 또 △HED는 한 변의 길이가 12 cm인 정삼각형이므로 I '3 (cid:100)(cid:100)GH”= _36+ _12=24'3 (cm) 2 '3 2 (cid:9120) ④ 정n각형의 한 내각의 크기는(cid:100)(cid:100) 180°_(n-2) n 0358 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 BH”=4cm이므로 △ABH에서 AH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm) 1 ∴ △ABC= _8_2'5=8'5(cm¤ ) 2 B A 6`cm 6`cm 4`cm 4`cm H C (cid:9120) ② 0359 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 BH”=8이므로 △ABH에서 AH”="√10¤ -8¤ =6 A 10 10 B 8 H 8 C 따라서 구하는 삼각형의 넓이는(cid:100)(cid:100) _16_6=48 (cid:9120) 48 1 2 0360 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABC 의 넓이가 240cm¤ 이므로 A 1 2 _20_AH”=240 ∴ AH”=24(cm) … ➊ 이때 BH”=10cm이므로 △ABH에서 AB”="√10¤ +24¤ =26(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=26+20+26=72(cm) B 10`cm 10`cm H C … ➋ … ➌ (cid:9120) 72cm 40% 40% 20% 0356 오른쪽 그림과 같이 BC”의 중점 을 M이라 하고, AM”, DM”을 그으면 △ABM, △AMD, △DMC는 모두 합동인 정삼각형이다. A D B M C ➊ △ABC의 높이를 구할 수 있다. ➋ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △ABC의 둘레의 길이를 구할 수 있다. 38 정답 및 풀이 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지39 SinsagoHitec △ABH에서(cid:100)(cid:100)BH”="√12¤ -9¤ =3'7(cm) 0366 △ABD에서(cid:100)(cid:100)AB” : BD”=1 : '2 0361 CH”=BH”=3'7cm이므로 (cid:100)(cid:100)BC”=2_3'7=6'7(cm) ∴ △ABC= _6'7_9=27'7(cm¤ ) (cid:9120) ⑤ 1 2 5 : BD”=1 : '2 (cid:100)(cid:100)∴ BD”=5'2(cm) △BCD에서(cid:100)(cid:100)BC” : BD”='3 : 2 BC” : 5'2='3 : 2 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ BC”= 5'6 2 본책 65~68쪽 (cid:9120) ④ 0367 ① △ABD에서(cid:100)(cid:100)BD” : AB”=1 : '3 (cid:100) BD” : 5'3=1 : '3 (cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ BD”=5(cm) ② △ABC에서 BC”=AB”=5'3cm이므로 (cid:100)(cid:100)DC”=BC”-BD”=5'3-5(cm) ③ △ABD에서(cid:100)(cid:100)BD” : AD”=1 : 2 (cid:100)(cid:100)5 : AD”=1 : 2 (cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ AD”=10(cm) ④ △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=1 : '2 (cid:100)(cid:100)5'3 : AC”=1 : '2 (cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ AC”=5'6(cm) ⑤ △ABC= _5'3_5'3= (cm¤ ) 이상에서 옳지 않은 것은 ②이다. 75 2 1 2 (cid:9120) ⑤ 0368 △DBC에서(cid:100)(cid:100)CD” : BC”=1 : '3 6 : y=1 : '3 (cid:100)(cid:100)∴ y=6'3 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” : BC”=1 : '2 x : 6'3=1 : '2 (cid:100)(cid:100)∴ x=3'6 ∴ xy=3'6_6'3=54'2 5 7 B x H 6-x C ➊ y의 값을 구할 수 있다. ➋ x의 값을 구할 수 있다. ➌ xy의 값을 구할 수 있다. (cid:9120) 2'6 B E 5 C 5 8Â3 A D (cid:9120) ① A 15 13 B x H 14-x C 오른쪽 그림과 같이 AD”와 BC”의 0362 교점을 E라 하면 △BDC에서 '3 2 DE”= _10=5'3 ∴ AE”=AD”-DE”=8'3-5'3 =3'3 BE”=5이므로 △ABE에서 AB”=øπ5¤ +(3'3)¤ =2'∂13 0363 오른쪽 그림과 같이 △ABC의 꼭 짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 BH”=x라 하면 CH”=14-x △ABH와 △AHC에서 ¤ =13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤ AH” 28x=140(cid:100)(cid:100)∴ x=5 따라서 AH”="√13¤ -5¤ =12이므로 1 △ABC= _14_12=84 2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 A 0364 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 BH”=x라 하면(cid:100)(cid:100)CH”=6-x △ABH와 △AHC에서 ¤ =5¤ -x¤ =7¤ -(6-x)¤ AH” 12x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=1 ∴ AH”="√5¤ -1¤ =2'6 BH”=xcm라 하면 0365 (cid:100)(cid:100)CH”=(10-x)cm △ABH와 △AHC에서 ¤ =8¤ -x¤ =12¤ -(10-x)¤ AH” 20x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=1 ∴ AH”="√8¤ -1¤ =3'7(cm) ∴ HM”=5-1=4(cm) ➊ BH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AH”, HM”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AM”의 길이를 구할 수 있다. △AHM에서(cid:100)(cid:100)AM”="√(3'7)¤ +4¤ ='ß79(cm) 0369 △BCH에서(cid:100)(cid:100)BH” : BC”='3 : 2 2'3 : BC”='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : BC”=1 : '3 AC” : 4=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AC”= 4'3 3 … ➊ … ➋ … ➌ 40% 40% 20% (cid:9120) 'ß79 cm 0370 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : AB”=1 : 2 AC” : 10=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=5(cm) ∠BAD=∠DAC이고 ∠BAC=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠DAC=30° △ADC에서(cid:100)(cid:100)∠ADC=60° 따라서 AC” : AD”='3 : 2이므로 (cid:100)(cid:100)5 : AD”='3 : 2 10'3 (cid:100)(cid:100)∴ AD”= 3 10'3 3 (cm) (cid:9120) cm 16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 39 1 6 피 타 고 라 스 정 리 의 평 면 도 형 에 의 활 용 (cid:9120) ② … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 54'2 40% 40% 20% (cid:9120) ② (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지40 SinsagoHitec 0371 △DCE에서(cid:100)(cid:100)CE” : CD”='3 : 2 2'3 3 1 : CD”='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ CD”= △ACD에서(cid:100)(cid:100)CD” : AC”=1 : '2 2'3 3 : AC”=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ AC”= △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC” : AC”=1 : '3 BC” : 2'6 3 =1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BC”= 2'2 3 2'6 3 1 2 _ = ∴ △ABC= _ 2'6 3 2'2 3 4'3 9 0372 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하 면 △ABH에서 AH” : AB”='3 : 2 AH” : 7='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AH”= 7'3 2 ∴ (cid:8772)ABCD=6'2_ =21'6 7'3 2 0375 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 H, I라 하면 △DIC에서 A 3Â3`cm D 60æ B H 2Â6`cm 45æ C I DI”:DC”=1:'2 DI”:2'6=1:'2 ∴ DI”=2'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴ IC”=DI”=2'3 cm 또 AH”=DI”이므로 △ABH에서 (cid:9120) ① BH”:AH”=1:'3 BH”:2'3=1:'3 ∴ BH”=2(cm) A 6Â2 D 7 B 60æ H C 따라서 BC”=BH”+HI”+IC”이므로 BC”=2+3'3+2'3=2+5'3 (cm) 1 2 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD= _{3'3+(2+5'3 )}_2'3 =2('3+12)(cm¤ ) (cid:9120) 2('3+12)cm¤ (cid:9120) ③ 45æ C 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 0373 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AB” : AH”=2 : '3 A 4Â3 30æ 45æ 60æ B H (cid:100)(cid:100)4'3 : AH”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AH”=6 또 AB” : BH”=2 : 1이므로(cid:100)(cid:100)4'3 : BH”=2 : 1 (cid:100)(cid:100)∴ BH”=2'3 △AHC에서 AH” : CH”=1 : 1이므로 (cid:100)(cid:100)CH”=AH”=6(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'3+6 1 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _(2'3+6)_6=6('3+3) (cid:9120) 6('3+3) 2 D 6`cm 60æ C H 8`cm 0374 A ⑴ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △DHC에서 (cid:100)(cid:100)DH” : DC”='3 : 2 (cid:100)(cid:100)DH” : 6='3 : 2 (cid:100)(cid:100)∴ DH”=3'3(cm) 또 HC” : DC”=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)HC” : 6=1 : 2 (cid:100)(cid:100)∴ HC”=3(cm)(cid:100)(cid:100)∴ BH”=8-3=5(cm) 따라서 △BHD에서 B (cid:100)(cid:100)BD”="√5¤ +(3'3)¤ =2'ß13(cm) 1 ⑵ (cid:8772)ABCD= _(5+8)_3'3= 2 39'3 2 (cm¤ ) (cid:9120) ⑴ 2'ß13 cm(cid:100)⑵ 39'3 2 cm¤ … ➊ … ➋ … ➌ … ➍ 20% 30% 20% 30% ➊ DH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ BD”의 길이를 구할 수 있다. ➍ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다. 40 정답 및 풀이 A 45æ 60æ B {10-x}`m x`m H C 0376 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 CH”=xm라 하면 BH”=AH”=(10-x)m △AHC에서(cid:100)(cid:100)CH” : AH”=1 : '3 x : AH”=1 : '3 (cid:100)(cid:100)∴ AH”='3x(m) 즉 10-x='3x이므로(cid:100)(cid:100)('3+1)x=10 (cid:100)(cid:100)∴ x=5('3-1) ” : AC”=1 : 2이므로 CH” (cid:100)(cid:100)5('3-1) : AC”=1 : 2 ∴ AC”=10('3-1)(m) (cid:9120) 10('3-1)m x`cm 45æ 3Â2`cm 0377 (cid:100)(cid:100) 정팔각형의 한 내각의 크기는 180°_(8-2) 8 =135° 이때 잘라 낸 삼각형은 오른쪽 그림과 같고, 한 끝 각이 직각인 변의 길이를 xcm라 하면 x : 3'2=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ x=3 따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 2x+3'2=6+3'2 =3(2+'2)(cm) (cid:9120) 3(2+'2)cm 0378 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” : BC”='3 : 2 AB” : 6='3 : 2 (cid:100)(cid:100)∴ AB”=3'3(cm) 또 AC” : BC”=1 : 2이므로(cid:100)(cid:100)AC” : 6=1 : 2 ∴ AC”=3(cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC= _3'3_3 1 2 = 9'3 2 (cm¤ ) (cid:9120) ④ (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지41 SinsagoHitec 0379 ∠BAP=∠PAQ=∠QAD= ∠BAD=30° 1 3 △ABP에서(cid:100)(cid:100)BP” : AB”=1 : '3 4'3 : AB”=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=12 DQ”=12-3=9이므로 △AQD에서 DQ” : AD”=1 : '3,(cid:100)(cid:100)9 : AD”=1 : '3 ∴ AD”=9'3 ∴ (cid:8772)ABCD=9'3_12=108'3 △COD에서(cid:100)(cid:100)CD”:OC”=1:'2 0380 (cid:100)(cid:100)CD”:12=1:'2(cid:100)(cid:100)∴ CD”=6'2 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ OD”=CD”=6'2 cm (cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이) (cid:100)(cid:100)=p_12¤ _ 45 360 =18p-36=18(p-2)(cm¤ ) - _6'2_6'2 1 2 0381 △BCD에서(cid:100)(cid:100)BC” : BD”='3 : 2 3 : BD”='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ BD”=2'3(cm) 또 DC” : BC”=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)DC” : 3=1 : '3 (cid:100)(cid:100)∴ DC”='3(cm) △BFE에서(cid:100)(cid:100)BE”="√(2'3)¤ +('3)¤ ='ß15(cm) △BHG에서(cid:100)(cid:100)BG”="√('ß15)¤ +('3)¤ =3'2(cm) 즉 BI”=BG”=3'2 cm이므로 1 2 △BIG= _3'2_'3= 3'6 2 (cm¤ ) (cid:9120) 3'6 2 cm¤ 0382 PQ”=2'ß13이므로(cid:100)(cid:100)PQ” ¤ =(2'∂13 )¤ =52` (a+2)¤ +(-1-5)¤ =52,(cid:100)(cid:100)a¤ +4a-12=0 (a+6)(a-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-6 또는 a=2 이때 점 Q는 제 4사분면 위의 점이므로(cid:100)(cid:100)a>0 ∴ a=2 (cid:9120) 2 두 점 사이의 거리를 구하면 다음과 같다. 0383 ① "√(3+1)¤ +(1-2)¤ ='ß17 ② "√(-2)¤ +(4-6)¤ ='8 ③ "√(-1-3)¤ +(6-2)¤ ='ß32 ④ "√(6-4)¤ +(3-7)¤ ='ß20 ⑤ "√(12-13)¤ +(9-7)¤ ='5 그려지는 원의 지름의 길이를 구하면 다음과 같다. 0384 ① "√(-2-1)¤ +(4-3)¤ ='ß10 ② "√(-1-1)¤ +√(-1-3)¤ ='ß20 ③ "√(3-1)¤ +(1-3)¤ ='8 ④ "√(4-1)¤ +(-1-3)¤ ='ß25 ⑤ "√(6-1)¤ +(1-3)¤ ='ß29 따라서 넓이가 가장 큰 원은 지름의 길이가 가장 긴 ⑤이다. 본책 68~70쪽 0385 ¤ =(5'2)¤ =50 AB”=5'2이므로(cid:100)(cid:100)AB” (4-a-1)¤ +(2-2a-6)¤ =50 (3-a)¤ +(-2a-4)¤ =50,(cid:100)(cid:100)5a¤ +10a-25=0 ∴ a¤ +2a-5=0 … ➊ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 a의 값의 합은 -2이다. … ➋ (cid:9120) -2 (cid:9120) ⑤ ➊ a에 대한 이차방정식을 세울 수 있다. ➋ a의 값의 합을 구할 수 있다. 60% 40% 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 할 때, a+b=- , ab= ;aB; ;aC; (cid:9120) 18(p-2)cm¤ 1 6 피 타 고 라 스 정 리 의 평 면 도 형 에 의 활 용 0386 x=2, y=a를 y=3x-2에 대입하면 a=6-2=4 x=b, y=-5를 y=3x-2에 대입하면 (cid:100)(cid:100)-5=3b-2(cid:100)(cid:100)∴ b=-1 따라서 A(2, 4), B(-1, -5)이므로 AB”="√(-1-2)¤ +√(-5-4)¤ =3'∂10 0387 ⑴ AC”="√(7-1)¤ +(3-5)¤ =2'∂10 ⑵ (cid:8772)ABCD= _AC”_BD”= _2'∂10_2'∂10 1 2 1 2 =20 ➊ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다. (cid:9120) ② … ➊ … ➋ 50% 50% (cid:9120) ⑴ 2'∂10 ⑵ 20 0388 학교를 좌표평면 위의 원점, 동쪽을 x축의 양의 방향, 북 쪽을 y축의 양의 방향이라 하고 은지네 집과 도서관의 위치를 각 각 좌표로 나타내면 (cid:9120) ③ (400, 300), (-200, -500) 따라서 두 지점 사이의 거리는 (cid:100)(cid:100)"√(-200-400)¤ +√(-500-300)¤ =1000(m) =1(km) (cid:9120) ② 두 점 P(5, -4), Q(-1, 2)에서 같은 거리에 있는 x축 0389 위의 점의 좌표를 (a, 0)이라 하면 (a-5)¤ +4¤ =(a+1)¤ +(-2)¤ a¤ -10a+41=a¤ +2a+5 12a=36(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (cid:9120) ⑤ (cid:9120) ④ 16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 41 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지42 SinsagoHitec (cid:9120) ② (cid:9120) ④ … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 'ß10 40% 20% 40% AB”="√(5+1)¤ +(-2-2)¤ ='ß52 0390 BC”="√(1-5)¤ +(5+2)¤ ='ß65 CA”="√(-1-1)¤ +(2-5)¤ ='ß13 따라서 AB” 삼각형이다. ¤ +CA” ¤ =BC” ¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90°인 직각 (cid:9120) ③ 0394 표는(cid:100)(cid:100)(-2, -2) 따라서 꼭짓점과 원점 사이의 거리는 "√(-2)¤ +(-2)¤ =2'2 y=x¤ +4x+2=(x+2)¤ -2의 그래프의 꼭짓점의 좌 AB”="√(5+1)¤ +(1-3)¤ ='ß40 0391 BC”="√(3-5)¤ +(5-1)¤ ='ß20 CA”="√(-1-3)¤ +(3-5)¤ ='ß20 ¤ +CA” BC”=CA”이고 BC” 인 직각이등변삼각형이다. 이상에서 △ABC에 해당되는 것은 ㈀, ㈃이다. ¤ =AB” 0395 y=- x¤ +x-1=- (x-1)¤ - 의 그래프의 꼭 1 2 1 2 짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100){1, - } 1 2 9 2 1 2 1 2 ¤ 이므로 △ABC는 ∠C=90° y=2x¤ -2x+5=2{x- } 2 + 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:9120) ③ 1 2 9 2 , (cid:100)(cid:100){ 따라서 두 꼭짓점 사이의 거리는 } 2 1 æ≠{ -1} 2 9 +{≠ + } 2 1 2 2 = '∂101 2 … ➌ (cid:9120) 5 40% 30% 30% AB”="√(-1)¤ +(6-3)¤ ='ß10 0392 BC”="√(2+1)¤ +(7-6)¤ ='ß10 CA”="√(-2)¤ +√(3-7)¤ ='ß20 ¤ =CA” ¤ +BC” AB”=BC”이고 AB” 인 직각이등변삼각형이다. 1 ∴ △ABC= _'ß10_'ß10=5 2 … ➊ ¤ 이므로 △ABC는 ∠B=90° … ➋ ➊ AB”, BC”, CA”의 길이를 구할 수 있다. ➋ △ABC가 직각이등변삼각형임을 알 수 있다. ➌ △ABC의 넓이를 구할 수 있다. ① AB”="√(-1+2)¤ +√(-1+4)¤ ='ß10 0393 ② BC”="√(1+1)¤ +(-3+1)¤ =2'2 ③ AC”="√(1+2)¤ +(-3+4)¤ ='ß10 ∴ AB”=AC” ④ △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이지만 AB” ¤ 0) 따라서 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 8'2 cm, 2'2 cm 이므로 직사각형의 둘레의 길이는 2_(8'2+2'2)=20'2 (cm) (cid:9120) 20'2 cm 내접하는 원과 외접하는 원의 반지름의 길이를 각각 구 내접하는 원의 지름의 길이가 10이므로 반지름의 길이는 0402 한다. (cid:100)(cid:100) _10=5 1 2 정사각형의 대각선의 길이는 10'2이므로 외접하는 원의 반지름 1 의 길이는(cid:100)(cid:100) _10'2=5'2 2 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_(5'2)¤ -10¤ +p_5¤ =75p-100 =25(3p-4) 본책 71~73쪽 직각삼각형 ABD에서 AB”_AD”=BD”_AE”, 0403 AB” ¤ =BE”_BD”임을 이용한다. BD”="√3¤ +4¤ =5(cm) AB”_AD”=BD”_AE”이므로(cid:100)(cid:100)3_4=5_AE” ∴ AE”= (cm) 또 AB” ¤ =BE”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)3¤ =BE”_5 12 5 9 5 9 DF”=BE”= cm이므로 5 9 EF”=5-2_ = (cm) 5 7 5 D 7`m D' B D C -2 O 2 P 4 x 12 ∴ (cid:8772)AECF=2△AEF=2_{ _ _ } 5 7 5 1 2 = (cm¤ ) 84 25 (cid:9120) cm¤ 84 25 △ABE=△EBC=△AFD=△FCD이므로 (cid:8772)AECF=(cid:8772)ABCD-△ABE-△EBC-△AFD =-△FCD =(cid:8772)ABCD-4△ABE 1 12 =3_4-4_{ _ _ } 2 5 9 5 =12- = (cm¤ ) 216 25 84 25 1 6 피 타 고 라 스 정 리 의 평 면 도 형 에 의 활 용 0404 △ABC=△PAB+△PBC+△PCA임을 이용한다. △ABC=△PAB+△PBC+△PCA이므로 '3 4 _10¤ = _10_PD”+ _10_PE” 1 2 1 2 + _10_PF” 1 2 25'3=5(PD”+PE”+PF”) ∴ PD”+PE”+PF”=5'3(cm) (cid:9120) 5'3 cm 0405 각형인지 알아본다. 접은 각과 엇각의 성질을 이용하여 △ABC가 어떤 삼 오른쪽 그림에서 ∠BAC=∠DAC(접은 각) = _(180°-60°) 1 2 =60° ∠ACB=∠DAC=60°(엇각) 9`cm D 60æ 60æ A 60æ 60æ B C 이므로 △ABC는 정삼각형이다. △ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면 △ABC의 높이가 9cm 이므로 '3 2 a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=6'3 '3 4 (cid:9120) ④ ∴ △ABC= _(6'3)¤ =27'3(cm¤ ) (cid:9120) ⑤ 16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 43 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지44 SinsagoHitec 0406 직각삼각형으로 나누어 생각한다. 점 A에서 BC”에 수선의 발을 내려 △AMC를 두 개의 0409 가 30°, 60°, 90°인 삼각형의 변의 길이의 비를 이용한다. 원 O'의 중심에서 OA”에 수선을 긋고 세 내각의 크기 (cid:9120) ④ ∴ r= 10 3 15`cm C M x`cm {14-x}`cm B H A 13`cm ¤ =13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤ 오른쪽 그림과 같이 점 A에 서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하 고 MH”=x cm라 하면 △AMH 와 △AHC에서 (cid:100)(cid:100)AH” (cid:100)(cid:100)28x=140(cid:100)(cid:100)∴ x=5 따라서 (cid:100)(cid:100)AH”="√13¤ -5¤ =12(cm), BH”=14+5=19(cm) 이므로 △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AB”="√12¤ +19¤ ='∂505 (cm) 14`cm 0407 을 이용한다. △GFC가 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 삼각형임 DE”=GF”=x라 하면 △GFC에서 (cid:100)(cid:100)GF”:GC”=1:2,(cid:100)(cid:100)x:GC”=1:2 (cid:100)(cid:100)∴ GC”=2x (cid:100)(cid:100)(cid:100) AG”=AC”-GC”=8-2x △ADGª△ABC (AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)AG”:AC”=DG”:BC”,(cid:100)(cid:100)(8-2x):8=DG”:10 5 2 5 2 (cid:100)(cid:100)∴ DG”=10- x (cid:8772)DEFG=x{10- x}= 이므로 (cid:100)(cid:100)x¤ -4x+3=0,(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>1) 15 2 (cid:9120) 3 0408 60°, 90°인 삼각형의 변의 길이의 비를 이용한다. 점 E에서 CF”에 수선을 긋고 세 내각의 크기가 30°, D 60æ A 45æ 60æ B 45æ 60æ 30æ C 30æ 4Â3`cm E 60æ 60æ H F 30æ △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : BC”='3:2 (cid:100)(cid:100)AC”:4'3='3:2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6(cm) △ACD에서(cid:100)(cid:100)CD” : AC”=1:'2 CD”:6=1:'2(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3'2(cm) (cid:100)(cid:100)∴ CE”=CD”=3'2 cm 점 E에서 CF”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ECH에서 (cid:100)(cid:100)CH” : CE”='3:2,(cid:100)(cid:100)CH”:3'2='3:2 (cid:100)(cid:100)∴ CH”= (cm) 3'6 2 (cid:100)(cid:100)∴ CF”=2_ 3'6 2 =3'6(cm) 또 EH” : CE”=1:2이므로(cid:100)(cid:100)EH”= (cm) (cid:100)(cid:100)∴ △ECF= _3'6_ 1 2 3'2 2 = (cm¤ ) (cid:9120) ⑤ 3'2 2 9'3 2 44 정답 및 풀이 오른쪽 그림과 같이 원 O'의 중심 에서 OA”에 내린 수선의 발을 H, 원 O' 의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OH”=(10-r)cm, OO'”=(10+r)cm △OO'H에서 OH”:OO'”=1:2이므로 (10-r):(10+r)=1:2 20-2r=10+r,(cid:100)(cid:100)3r=10 10`cm A H 60æ O B O' 따라서 원 O'의 반지름의 길이는 `cm이다. (cid:9120) ③ 10 3 0410 (cid:8772)ABED=△DAC+△DCE+△ECB임을 이용한다. AC”=2cm이므로 CB”=2AC”=4(cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 CE”에 내린 수선의 발을 F라 하면 △DCF에서 E D 60æ 2`cm F C 4`cm B A 2`cm DF” : DC”='3 : 2 DF” : 2='3 : 2 ∴ DF”='3(cm) ∴ (cid:8772)ABED=△DAC+△DCE+△ECB '3 4 '3 4 1 2 = _2¤ + _4_'3+ _4¤ ='3+2'3+4'3 =7'3(cm¤ ) (cid:9120) ③ 0411 길이의 비를 이용한다. 세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 삼각형의 세 변의 정팔각형의 한 변의 길이를 xm라 하면 오른쪽 그림의 △ABC에서 45æ 4`m A C x`m 135æ B 4`m AC” : BC”=1 : '2 AC” : x=1 : '2 '2 ∴ AC”= x(m) 2 정사각형 모양의 땅의 한 변의 길이가 4m이므로 '2 2 '2 x+x+ x=4 2 (cid:100)(cid:100)('2+1)x=4 ∴ x= 4 '2+1 =4('2-1) (cid:9120) 4('2-1)m 0412 (cid:8825) "√(x™-x¡)¤ +(y™-y¡√)¤ 두 점 (x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리 AB”="√(-2-1)¤ +(3-9)¤ =3'5 AB”=3BC”이므로(cid:100)(cid:100)BC”='5(cid:100)(cid:100)∴ BC” ¤ =('5)¤ =5 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지45 SinsagoHitec 즉 (a+2)¤ +(4-a-3)¤ =5 에서 (a+2)¤ +(1-a)¤ =5 (cid:100)(cid:100)2a¤ +2a+5=5 a¤ +a=0,(cid:100)(cid:100)a(a+1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 (∵ a+0) 따라서 C(-1, 5)이므로 AC”="√(-1-1)¤ +(5-9)¤ =2'5 (cid:9120) 2'5 0413 사이의 관계를 알아본다. AB”, BC”, CD”, DA”의 길이를 구한 후 네 변의 길이 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위 y 4 A B -3 ¤ +(√1-4ç)¤ =5 ¤ +(√-5√-1)¤ 에 나타내면 오른쪽 그림과 같고 (cid:100)(cid:100)AB”="(√-2√-2)√ (cid:100)(cid:100)BC”="(√-3√+2)√ ='ß37 (cid:100)(cid:100)CD”="(√1√+3)√ ¤ +(√-2√+5)¤ =5 (cid:100)(cid:100)DA”="√(2-1)¤ +(4+2)¤ ='ß37 따라서 AB”=CD”, BC”=AD”이므로 (cid:8772)ABCD는 평행사변형이 다. 11 O 2 D -2 -2 (cid:9120) ② -5 C x 0414 이용한다. 점 B의 좌표를 (a, a¤ )으로 놓고 OB” ¤ =OA” ¤ +AB” ¤ 임을 점 B의 좌표를 (a, a¤ )(a>0)이라 하면 △AOB에서 ¤ 이므로 ¤ =OA” ¤ +AB” OB” (cid:100)(cid:100)a¤ +a› ={(-1)¤ +1¤ }+{(a+1)¤ +(a¤ -1)¤ } (cid:100)(cid:100)a¤ -a-2=0,(cid:100)(cid:100)(a+1)(a-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=2(∵ a>0) (cid:100)(cid:100)∴ B(2, 4) 0415 △ABE에서 피타고라스 정리를 이용한다. BE”의 길이를 AE”의 길이에 대한 식으로 나타낸 후 AC”="√12¤ +9¤ =15 ∠ACE=∠DAC=∠EAC이므로 △AEC에서 (cid:100)(cid:100)AE”=CE” AE”=x라 하면 (cid:100)(cid:100)BE”=BC”-EC”=12-x △ABE에서(cid:100)(cid:100)x¤ =(12-x)¤ +9¤` (cid:100)(cid:100)24x=225(cid:100)(cid:100)∴ x=:¶8∞: 따라서 △AEC의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100):¶8∞:+:¶8∞:+15=:;!4#:%; ➊ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AE”=CE”임을 알 수 있다. ➌ AE”의 길이를 구할 수 있다. ➍ △AEC의 둘레의 길이를 구할 수 있다. … ➊ … ➋ … ➌ … ➍ (cid:9120) :;!4#:%; 20% 20% 40% 20% 본책 73~75쪽 0416 한 변의 길이가 b인 정삼각형의 높이 (cid:8825) b 한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이 (cid:8825) '2 a '3 2 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면 '2a='6(cid:100)(cid:100)∴ a='3 정삼각형의 한 변의 길이를 b라 하면 '3 2 b='6(cid:100)(cid:100)∴ b=2'2 따라서 정사각형과 정삼각형의 넓이는 A=('3)¤ =3, B= _(2'2)¤ =2'3 ∴ A¤ : B¤ =3¤ : (2'3)¤ =9 : 12=3 : 4 '3 4 ➊ 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다. ➋ 정삼각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다. ➌ A¤ : B¤ 을 가장 간단한 자연수의 비로 나타낼 수 있다. … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 3 : 4 30% 30% 40% 0417 솟값 q를 갖는다. a>0일 때, 이차함수 y=a(x-p)¤ +q는 x=p에서 최 y= x¤ + (10-x)¤ = (2x¤ -20x+100) 큰 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 작은 정삼각형 의 한 변의 길이는 (10-x)cm이므로 두 정삼각형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면 '3 4 '3 2 '3 2 = (x¤ -10x+50) = (x-5)¤ + '3 4 '3 4 … ➊ 25'3 2 25'3 2 따라서 두 정삼각형의 넓이의 합의 최솟값은(cid:100)(cid:100) cm¤ … ➋ 25'3 2 (cid:9120) 25'3 2 cm¤ ➊ 두 정삼각형의 넓이의 합을 식으로 나타낼 수 있다. ➋ 넓이의 합의 최솟값을 구할 수 있다. 60% 40% 0418 은 밑변을 이등분함을 이용하여 AD”의 길이를 구한다. 이등변삼각형의 꼭지각의 꼭짓점에서 밑변에 그은 수선 △ABD에서 BD”= BC”=6이므로 1 2 AD”="√(3'ß13)¤ -6¤ =9 1 ∴ △ABD= _6_9=27 2 △ABD에서 BE”:EA”=BD”:DA”=6:9=2:3이므로 △AED= △ABD= _27= 3 5 81 5 3 5 … ➊ … ➋ (cid:9120) 81 5 16 피타고라스 정리의 평면도형에의 활용 45 (cid:9120) ① 즉 y는 x=5에서 최솟값 을 갖는다. 1 6 피 타 고 라 스 정 리 의 평 면 도 형 에 의 활 용 (010~046)중3쎈_해설 2015.2.13 12:28 PM 페이지46 SinsagoHitec ➊ △ABD의 넓이를 구할 수 있다. ➋ △AED의 넓이를 구할 수 있다. 50% 50% ➊ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ △ABD의 넓이를 구할 수 있다. 70% 30% A 0421 △ABE™△ADF임을 이용하여 EC”의 길이를 구한다. 삼각형의 내각의 이등분선과 변의 길이 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”와 만나는 점을 D라 하면 AB”:AC”=BD”:CD” B D C 0419 눈 후 피타고라스 정리를 이용한다. 점 A에서 OB”에 수선을 그어 2개의 직각삼각형으로 나 오른쪽 그림과 같이 점 A의 x좌 표를 a라 하고, 점 A에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)BH”=6-a △AOH와 △AHB에서 (cid:100)(cid:100)AH” ¤ =3¤ -a¤ =5¤ -(6-a)¤ (cid:100)(cid:100)12a=20(cid:100)(cid:100)∴ a= (cid:100)(cid:100)∴ AH”=æ≠3¤ - 5 3 } { 5 3 ¤`` = 5 3 , 2'∂14 3 2'∂14 3 따라서 점 A의 좌표는 { }이다. ➊ 점 A의 x좌표를 구할 수 있다. ➋ 점 A의 y좌표를 구할 수 있다. ➌ 점 A의 좌표를 구할 수 있다. y A 3 5 O a H 6-a x B … ➊ … ➋ … ➌ 50% 30% 20% (cid:9120) A{ 5 3 , 2'∂14 3 } 0420 길이의 비를 이용한다. △ADC와 △ABC에서 특수한 직각삼각형의 세 변의 ∠ADC=180°-135°=45° AC”=x라 하면 △ADC에서 AC” : DC”=1 : 1이므로 DC”=x △ABC에서 AC” : BC”=1 : '3이므로 x : (6+x)=1 : '3 (cid:100)(cid:100)'3x=6+x ('3-1)x=6 ∴ x= 6 '3-1 =3('3+1) 1 ∴ △ABD= _6_3('3+1) 2 =9('3+1) 46 정답 및 풀이 △ABE와 △ADF에서 (cid:100)(cid:100)∠ABE=∠ADF=90°, AE”=AF”, AB”=AD” (cid:100)(cid:100)∴ △ABE™△ADF(RHS 합동) 따라서 BE”=DF”이므로 (cid:100)(cid:100)CE”=CF” 즉 △CFE는 직각이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)CE” : EF”=1 : '2 (cid:100)(cid:100)CE” : 6'2=1 : '2 (cid:100)(cid:100)∴ CE”=6 AB”=x라 하면 BE”=x-6이므로 △ABE에서 (cid:100)(cid:100)x¤ +(x-6)¤ =(6'2)¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -6x-18=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=3+3'3 (∵ x>0) 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 3+3'3이다. ➊ CE”=CF”임을 알 수 있다. ➋ CE”의 길이를 구할 수 있다. ➌ 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다. … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 3+3'3 30% 30% 40% 서로 다른 두 점 사이의 최단 거리는 두 점을 잇는 선 0422 분의 길이와 같음을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 점 P 를 AB”에 대하여 대칭이동한 점 을 P', 점 Q를 CD”에 대하여 대 칭이동한 점을 Q'이라 하면 달 팽이가 움직인 최단 거리는 P'Q'” 의 길이와 같다. … ➊ (cid:100)(cid:100)∴ P'Q'”="√40¤ +80¤ =40'5(cm) … ➋ (cid:9120) 40'5 cm 20`cm A 20`cm P C 40`cm P' M B 30`cm Q 15`cm D 15`cm Q' N 달팽이가 움직인 거리는 (cid:100)(cid:100)PM”+MN”+NQ” 이므로 … ➊ PM”+MN”+NQ”=P'M”+MN”+NQ'” æP'Q'” … ➋ (cid:9120) 9('3+1) ➊ 최단 거리와 같은 길이의 선분을 찾을 수 있다. ➋ 최단 거리를 구할 수 있다. 70% 30% (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지47 SinsagoHitec 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 0423 "√3¤ +5¤ +8¤ =7'2 (cm) 0424 '3_3=3'3 (cm) 0425 "√('1å5)¤ +(4'3)√ ¤ +(3'2)¤ =9(cm) 0426 '3_8=8'3 (cm) 0427 "√6¤ +8¤ +x¤ =2'∂29이므로 "√x¤ +100='∂116,(cid:100)(cid:100)x¤ +100=116 x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0) 0428 '3x=9이므로 3x¤ =81,(cid:100)(cid:100)x¤ =27 (cid:100)(cid:100)∴ x=3'3 (∵ x>0) 본책 75~79쪽 (cid:9120) 3'7 (cid:9120) 36'7 0438 △OBH에서 ¤ -BH” (cid:100)(cid:100)OH”=øπOB” (cid:100)(cid:100)OH="√9¤ -(3'2)¤ =3'7 0439 1 3 _6¤ _3'7=36'7 (cid:9120) 7'2 cm (cid:9120) 3'3 cm (cid:9120) 9 cm (cid:9120) 8'3 cm BD”='2_'6=2'3이므로(cid:100)(cid:100)BH”='3 0440 (cid:100)(cid:100)∴ h="√3¤ -('3 )¤ ='6 1 (cid:100)(cid:100) V= _('6 )¤ _'6=2'6 3 (cid:9120) h='6, V=2'6 (cid:9120) 4 BD”='2_2=2'2이므로(cid:100)(cid:100)BH”='2 0441 (cid:100)(cid:100)∴ h="√('1å0)¤ -('2)¤ =2'2 1 (cid:100)(cid:100) V= _2¤ _2'2= 3 8'2 3 (cid:9120) h=2'2, V= 8'2 3 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 0429 (cid:100)(cid:100)'3a=5'3(cid:100)(cid:100)∴ a=5 0430 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)'3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a= =2'3 (cid:9120) 2'3 6 '3 0431 h="√12¤ -8¤ =4'5 (cm) 256'5 3 V= _p_8¤ _4'5= 1 3 p(cm‹ ) (cid:9120) 3'3 0442 '3 DM”= _6= 2 3'3 이므로 (cid:9120) 5 (cid:100)(cid:100)DH”= DM”= _3'3= 2'3 2 3 2 3 △AHD에서(cid:100)(cid:100)h=øπ6¤ -( '3 4 또 △BCD= _6¤ = 9'3 2'3 )¤ = 2'6 이므로 (cid:100)(cid:100)V= _ 9'3 _ 2'6 = 18'2 1 3 (cid:9120) h=4'5cm, V= 256'5 3 p cm‹ 0443 CM”은 정삼각형 ABC의 높이이므로 '3 CM”= _'3= 2 3 2 0432 "√10¤ -5¤ =5'3 (cm) (cid:9120) 5'3 cm 0433 (높이)="√8¤ -(2'7)¤ =6(cm) (cid:100)(cid:100)∴ (부피)= _p_(2'7 )¤ _6=56p (cm‹ ) 1 3 0444 점 H는 정삼각형 ABC의 무게중심이므로 CH”= CM”= _ =1 2 3 3 2 2 3 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오 0434 른쪽 그림과 같다. 원뿔의 높이를 hcm라 하면 h="√13¤ -5¤ =12 h`cm 13`cm (cid:9120) 12 cm 5`cm 0435 _p_5¤ _12=100p(cm‹ ) (cid:9120) 100`p cm‹ 1 3 (cid:9120) 56p cm‹ 0445 △OHC에서 ¤ -CH” OH”=øπOC” OH”="√('3)¤ -1¤ ='2 0446 '3 △ABC= _('3 )¤ = 4 3'3 4 0447 1 3 _ 3'3 4 _'2= '6 4 0436 BD”='2_6=6'2 (cid:9120) 6'2 0448 _'∂15='∂10 0437 1 BH”= BD”= _6'2=3'2 2 1 2 (cid:9120) 3'2 0449 _12‹ =144'2 '6 3 '2 12 (cid:9120) ㈎ 3'3(cid:100)㈏ 2'3(cid:100)㈐ 2'6(cid:100)㈑ 9'3(cid:100)㈒ 18'2 1 7 피 타 고 라 스 정 리 의 입 체 도 형 에 의 활 용 (cid:9120) 3 2 (cid:9120) 1 (cid:9120) '2 (cid:9120) 3'3 4 (cid:9120) '6 4 (cid:9120) '∂10 (cid:9120) 144'2 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 47 ¤ ¤ (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지48 SinsagoHitec '6 3 '6 3 '2 12 (cid:100)(cid:100) a=2'6(cid:100)(cid:100)∴ a=6 따라서 정사면체의 부피는 (cid:100)(cid:100) _6‹ =18'2 0450 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 0457 DH”=a cm라 하면 (cid:100)(cid:100) a=3(cid:100)(cid:100)∴ a= = 9 '6 3'6 2 (cid:9120) 3'6 2 "√4¤ +6¤ +a¤ =2'ß15,(cid:100)(cid:100)a¤ +52=60 a¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 (∵ a>0) FH”="√4¤ +6¤ =2'ß13(cm)이므로 0451 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 (cid:8772)BFHD=2'2_2'ß13=4'ß26(cm¤ ) (cid:9120) 4'ß26 cm¤ 0458 직육면체의 세 모서리의 길이를 k, 2k, 3k(k>0)라 하면 (cid:9120) 18'2 "√k¤ +(2k)¤ +(3k)¤ =2'ß14 14k¤ =56,(cid:100)(cid:100)k¤ =4 (cid:100)(cid:100)∴ k=2 (∵ k>0) 따라서 세 모서리의 길이는 2, 4, 6이므로 (부피)=2_4_6=48 자루걸레의 길이가 청소 도구함의 대각선의 길이와 같을 0459 때 청소 도구함의 밑면의 한 변의 길이가 최소이다. 밑면의 한 변의 길이를 x cm라 하면 4π B "√x¤ +x¤ +80¤ =40'6 2x¤ +6400=9600,(cid:100)(cid:100)2x¤ =3200 x¤ =1600(cid:100)(cid:100)∴ x=40 (∵ x>0) 따라서 밑면의 한 변의 길이는 최소 40 cm이어야 한다. (cid:9120) 40 cm 0452 ⑴ 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 A 거리는 DF”의 길이이다. ⑵ DF”="√5¤ +(7+3)¤ =5'5(cm) (cid:9120) 풀이 참조 B F 5`cm D C G 7`cm 3`cm 0453 ⑴ 오른쪽 전개도에서 구하는 최 단 거리는 AB”의 길이이다. 또 원기둥의 밑면의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2p_2=4p ⑵ AB”="√(4p)¤ +(3p)¤ =5p 3π A BF”=x cm라 하면 0454 (cid:100)(cid:100)"√6¤ +5¤ +x¤ =6'3 "√x¤ +61 ='∂108,(cid:100)(cid:100)x¤ +61=108 x¤ =47(cid:100)(cid:100)∴ x='ß47 (∵ x>0) (cid:9120) 'ß47cm (cid:9120) 풀이 참조 0460 EG”='2_4=4'2(cm) AG”="√4¤ +4¤ +6¤ =2'ß17(cm) △AEG에서 AE”_EG”=AG”_EI”이므로 (cid:100)(cid:100)6_4'2=2'ß17_EI” (cm) ∴ EI”= 12'ß34 17 ㈀ "√2¤ +(2'5)¤ √+(2'6)¤ =4'3 0455 ㈁ "√3¤ +2¤ +6¤ =7 ㈂ "√4¤ +5¤ +('7)¤ =4'3 ㈃ "√('ß10)¤ +(3√'2)¤ +(2'5)¤ =4'3 이상에서 대각선의 길이가 4'3인 것은 ㈀, ㈂, ㈃이다. △AHD에서(cid:100)(cid:100)AH”="√3¤ +4¤ =5(cm) 0456 또 BH”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2(cm)이므로 △ABH의 둘레의 길이는 5+5+5'2=10+5'2(cm) (cid:9120) ④ … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) (10+5'2 ) cm ➊ AH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △ABH의 둘레의 길이를 구할 수 있다. 48 정답 및 풀이 MF”=FN”=ND”=DM”이므로 (cid:8772)MFND는 마름모이다. 0461 MN”=AC”='2_6=6'2(cm) DF”='3_6=6'3(cm) 1 ∴ (cid:8772)MFND= _6'2_6'3 2 =18'6(cm¤ ) △NFG와 △NDC에서 FG”=DC”, NG”=NC”, ∠FGN=∠DCN ∴ △NFG≡△NDC(SAS 합동) 같은 방법으로 하면 △NFG≡△NDC≡△MDA≡△MFE ∴ FN”=ND”=DM”=MF” 0462 정육면체의 한 모서리의 길이를 acm라 하면 30% 40% 30% '3a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=3'3 따라서 정육면체의 부피는 (3'3 )‹ =81'3(cm‹ ) (cid:9120) 48 (cid:9120) ② (cid:9120) ④ (cid:9120) ③ (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지49 SinsagoHitec 0463 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 한편 △AFC는 한 변의 길이가 12'2 cm인 정삼각형이므로 0464 구의 반지름의 길이는 정육면체의 대각선의 길이는 '3_2=2'3(cm)이므로 6a¤ =108,(cid:100)(cid:100)a¤ =18 ∴ a=3'2 (∵ a>0) '3_3'2=3'6(cm) 따라서 정육면체의 대각선의 길이는 _2'3='3(cm) 따라서 구의 부피는 p_('3 )‹ =4'3p(cm‹ ) 1 2 4 3 ➊ 구의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➋ 구의 부피를 구할 수 있다. (cid:9120) ⑤ … ➊ … ➋ 60% 40% 0465 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 '3a=12(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3 △EFG에서 EG”='2_4'3=4'6(cm) 1 ∴ △AEG= _4'3_4'6 2 =24'2(cm¤ ) AF”='2_10=10'2(cm) 0466 DF”='3_10=10'3(cm) △AFD에서 AD”_AF”=DF”_AI”이므로 (cid:100)(cid:100)10_10'2=10'3_AI” ∴ AI”= (cm) 10'6 3 0467 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 MN”=BD”='2_a='2a(cm) AG”='3_a='3a(cm) (cid:8772)AMGN= _'2a_'3a= a¤ 1 2 '6 2 '6 2 a¤ =12'6에서(cid:100)(cid:100)a¤ =24 ∴ a=2'6 (∵ a>0) 따라서 정육면체의 겉넓이는 6_(2'6)¤ =144(cm¤ ) 0468 1 3 삼각뿔 F-ABC의 부피는 1 _△ABC_BF”= _{ _12_12}_12 3 =288(cm‹ ) 1 2 '3 △AFC= _(12'2)¤ 4 =72'3(cm¤ ) 삼각뿔 B-AFC의 부피는 1 3 _△AFC_BI”= _72'3_BI” 1 3 =24'3_BI” 따라서 24'3_BI”=288이므로 BI”=4'3(cm) 본책 79~83쪽 (cid:9120) ④ 0469 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 (cid:9120) 4'3p cm‹ △AFH는 한 변의 길이가 '2a cm인 정삼각형이므로(cid:100)(cid:100) AF”='2_a ='2a (cm) _('2a)¤ =25'3,(cid:100)(cid:100)a¤ =50 '3 4 ∴ a=5'2 (∵ a>0) (cid:9120) 5'2 cm 0470 BD”="√16¤ +12¤ =20(cm) 1 2 DM”= BF”=15(cm)이므로 △BMD에서 BM”="√20¤ +15¤ =25(cm) (cid:9120) ⑤ (cid:9120) ② 0471 FH”='2_10=10'2(cm)이므로 OH”= FH”=5'2(cm) 1 2 △DOH에서 (cid:100)(cid:100)DO”="√10¤ +(5'2)¤ =5'6(cm) 또 DH”_OH”=DO”_HI”이므로 (cid:100)(cid:100)10_5'2=5'6_HI” (cm) ∴ HI”= 10'3 3 (cid:9120) ③ (cid:9120) ③ 1 7 피 타 고 라 스 정 리 의 입 체 도 형 에 의 활 용 DE”=DG”="√4¤ +6¤ =2'ß13(cm) 0473 EG”='2_4=4'2(cm) 오른쪽 그림과 같이 이등변삼각형 DEG의 꼭짓점 D에서 EG”에 내린 수 선의 발을 I라 하면 D 2Â13·`cm 2Â13·`cm (cid:9120) 144 cm¤ DI”="√(2'ß13)¤ -(2'2)¤ =2'ß11(cm) 1 ∴ △DEG= _4'2_2'ß11 2 =4'ß22(cm¤ ) E G I 2Â2`cm 2Â2`cm (cid:9120) ⑤ 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 49 (cid:8772)AMGN은 AM”=MG”=GN”=NA”인 마름모이므로 △BFD= _8_15=60(cm¤ ) (cid:9120) ⑤ 0472 △BFD는 ∠BFD=90°인 직각삼각형이므로 △BEF에서(cid:100)(cid:100)BF”="√12¤ +9¤ =15 (cm) 1 2 (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지50 SinsagoHitec Â5x`cm Â5x`cm (cid:100)(cid:100) _p_3¤ _h=18p 원뿔의 높이를 h cm라 하면 0481 1 3 M Â2` 2 x`cm I N Â2` 2 x`cm (cid:100)(cid:100)∴ h=6 (cid:100)(cid:100)∴ AB”=AC”="√3¤ +6¤ =3'5 (cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 3'5 +6+3'5 =6(1+'5)(cm) BD”=FH”='2_6=6'2이므로 0474 (cid:100)(cid:100)FIÚ=HIÚ=3'2(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ BIÚ=DIÚ="√(3'2)¤ +(3'2)¤ =6 따라서 △BID의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)6+6+6'2=6(2+'2 ) ➊ BD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BI”, DI”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △BID의 둘레의 길이를 구할 수 있다. … ➊ … ➋ … ➌ 20% 60% 20% (cid:9120) 6(2+'2 ) DM”=DN”="√(2x)¤ +x¤ ='5x (cm) 0475 MN”="√x¤ +x¤ ='2x (cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 MN”에 내린 수선의 발을 I라 하면 D DI”=æ≠('5x)¤ - { '2 2 x } DI”= x (cm) 3'2 2 △DMN=6 cm¤ 이므로(cid:100)(cid:100) 1 2 _'2x_ (cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) 3'2 2 x=6,(cid:100)(cid:100)x¤ =4 밑면의 반지름의 길이를 rcm, 높 h`cm 0476 이를 hcm라 하면 pr¤ =9p (cid:100)(cid:100)∴ r=3 (∵ r>0) 따라서 원뿔의 높이는 h="√6¤ -3¤ =3'3 (cid:9120) ③ 0477 원뿔의 모선의 길이를 l cm라 하면 l="√3¤ +(6'2)¤ =9 오른쪽 그림의 전개도에서 부채꼴의 중 심각의 크기를 ∠x라 하면 9`cm x 2p_9_ ∠x 360° ∴ ∠x=120° =2p_3 … ➋ (cid:9120) 120° ➊ 원뿔의 모선의 길이를 구할 수 있다. ➋ 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 구할 수 있다. (cid:9120) 2 6`cm r`cm … ➊ 3`cm 40% 60% 0478 원뿔대의 높이를 h cm라 하면 h="√5¤ -4¤ =3 (cid:9120) ④ 2`cm h`cm 2`cm 5`cm 4`cm 50 정답 및 풀이 OA”=OC”=13cm이므로 0479 (cid:100)(cid:100)OH”=18-13=5(cm) △OHC에서(cid:100)(cid:100)HC”="√13¤ -5¤ =12(cm) 따라서 △AHC에서 AC”="√18¤ +12¤ =6'∂13(cm) (cid:9120) ② △OBA에서 AB” : OA”=1 : 2이므로 0480 (cid:100)(cid:100)AB” : 10=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5(cm) 또 AB” : OB”=1 : '3이므로(cid:100)(cid:100)5 : OB”=1 : '3 ∴ OB”=5'3(cm) 따라서 원뿔의 부피는 1 3 _p_5¤ _5'3= 125'3 3 p(cm‹ ) (cid:9120) ⑤ A h`cm C B O 3`cm (cid:9120) 6(1+'5)cm … ➊ … ➋ 30% 20% 50% l h`cm 원뿔의 높이를 hcm, 모선의 길 h`cm 0482 이를 lcm라 하면 l`cm 6`cm 1 3 _p_6¤ _h=72p ∴ h=6 ∴ l="√6¤ +6¤ =6'2 원뿔의 밑넓이는 (cid:100)(cid:100)p_6¤ =36p(cm¤ ) 원뿔의 옆넓이는 (cid:100)(cid:100)p_6_6'2=36'2p(cm¤ ) 따라서 원뿔의 겉넓이는 ➊ 원뿔의 높이를 구할 수 있다. ➋ 원뿔의 모선의 길이를 구할 수 있다. ➌ 원뿔의 겉넓이를 구할 수 있다. 36p+36'2p=36(1+'2)p (cm¤ ) … ➌ (cid:9120) 36(1+'2)p cm¤ 0483 주어진 직각삼각형을 직선 l을 회전 축으로 하여 한 바퀴 회전시킬 때 생기는 입 체도형은 오른쪽 그림과 같은 원뿔이다. 원뿔의 높이를 hcm라 하면 h="√17¤ -8¤ =15 따라서 원뿔의 부피는 17`cm 8`cm 1 3 _p_8¤ _15=320p(cm‹ ) (cid:9120) ① ¤ (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지51 SinsagoHitec 0484 OH”=9-5=4(cm)이므로 △OHB에서 0488 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면 HB”="√5¤ -4¤ =3(cm) 원뿔의 부피는 1 3 4 3 (cid:100)(cid:100) _p_3¤ _9=27p (cm‹ ) 구의 부피는 (cid:100)(cid:100) _p_5‹ = p (cm‹ ) 500 3 따라서 원뿔과 구의 부피의 비는 27p: p=81:500 500 3 이므로(cid:100)(cid:100)k=81 0485 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면 120 2p_9_ =2pr 360 (cid:100)(cid:100)∴ r=3 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그림 과 같으므로 원뿔의 높이를 hcm라 하면 h`cm h="√9¤ -3¤ =6'2 따라서 원뿔의 부피는 1 3 _p_3¤ _6'2=18'2p(cm‹ ) 본책 83~85쪽 10`cm h`cm … ➊ … ➋ 6`cm (cid:9120) 8 cm 30% 30% 40% h l 1 l3 A 2pr=12p(cid:100)(cid:100)∴ r=6 모선의 길이를 lcm라 하면 p_6_l=60p(cid:100)(cid:100)∴ l=10 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그림과 같으므로 원뿔의 높이를 hcm라 하면 h="√10¤ -6¤ =8 … ➌ (cid:9120) ② ➊ 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➋ 원뿔의 모선의 길이를 구할 수 있다. ➌ 원뿔의 높이를 구할 수 있다. 0489 원의 반지름의 길이를 l이라 하고, 원뿔 A의 밑면의 반지름의 길이를 r, 높이를 h라 하면 9`cm 2pl_ =2pr 120 360 1 3 (cid:100)(cid:100)∴ r= l 3`cm (cid:9120) ② ∴ h=æ≠l¤ -{ 2 = 2'2 3 l 원뿔 A의 부피가 p이므로 1 l} 3 2'2 3 0486 △OAB에서 OA”=OB”이므로 OA”=l이라 하면 "√l¤ +l¤ =4'2,(cid:100)(cid:100)'2l=4'2 (cid:100)(cid:100)∴ l=4 밑면의 반지름의 길이를 r라 하면 90 2p_4_ =2pr 360 (cid:100)(cid:100)∴ r=1 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그림과 같 으므로 원뿔의 높이를 h라 하면 h 4 h="√4¤ -1¤ ='ß15 (cid:9120) ④ 1 0487 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면 1 3 _p_{ 1 3 2 _ l} 2'2 3 l= 2'2 3 p l‹ =27(cid:100)(cid:100)∴ l=3 원뿔 B의 밑면의 반지름의 길이를 r', 높이를 h'이라 하면 2p_3_ =2pr' 240 360 ∴ r'=2 ∴ h'="√3¤ -2¤ ='5 따라서 원뿔 B의 부피는 1 3 _p_2¤ _'5= 4'5 3 p 1 7 피 타 고 라 스 정 리 의 입 체 도 형 에 의 활 용 3 2 h' B (cid:9120) 4'5 3 p 2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴ r=3 OA”=lcm라 하면 2p_l_ =6p 180 360 (cid:100)(cid:100)∴ l=6 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그 림과 같으므로 원뿔의 높이를 hcm라 하면 h="√6¤ -3¤ =3'3 따라서 원뿔의 부피는 1 3 _p_3¤ _3'3=9'3p (cm‹ ) 0490 BD”='2_4=4'2(cm)이므로 DH”= BD”=2'2(cm) 1 2 △OHD에서 (cid:100)(cid:100)OH”="√8¤ -(2'2)¤ =2'ß14(cm) 따라서 정사각뿔의 부피는 3`cm (cid:100)(cid:100) _4¤ _2'∂14= 1 3 32'∂14 3 (cm‹ ) h`cm 6`cm (cid:9120) 9'3p cm‹ (cid:9120) 2'ß14cm, 32'∂14 3 cm‹ 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 51 (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지52 SinsagoHitec 0491 AC”='2_2'2=4(cm)이므로 CH”= AC”=2(cm) 1 2 △OHC에서(cid:100)(cid:100)OH”="√6¤ -2¤ =4'2 (cm) ∴ △OHC= _2_4'2=4'2 (cm¤ ) 1 2 (cid:9120) ⑤ ⑵ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에서 (cid:8772)ABCD에 내린 수선의 발을 H라 하면 △OHE에서 (cid:100)(cid:100)OH”="√(2'∂10)¤ -3¤ ='ß31(cm) 따라서 정사각뿔의 부피는 (cid:100)(cid:100) _6¤ _'ß31=12'ß31(cm‹ ) 1 3 O 2Â10·`cm A 7`cm D B H E C (cid:9120) ⑴ (36+24'∂10)cm¤ (cid:100)⑵ 12'∂31cm‹ 주어진 전개도로 만들어지는 0492 정사각뿔은 오른쪽 그림과 같다. BD”='2_8=8'2(cm)이므로 DH”= BD”=4'2(cm) 1 2 O H A 5Â2`cm D 8`cm B 8`cm C ➊ 정사각뿔의 겉넓이를 구할 수 있다. ➋ 정사각뿔의 부피를 구할 수 있다. … ➋ 50% 50% △OHD에서 OH”="√(5'2)¤ -(4'2)¤ =3'2(cm) 따라서 정사각뿔의 부피는 1 3 _8¤ _3'2=64'2(cm‹ ) (cid:9120) 64'2cm‹ 0493 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O 에서 (cid:8772)ABCD에 내린 수선의 발을 H 라 하면 BD”='2_12=12'2이므로 … ➊ DH”= BD”=6'2 1 2 O 12 A M B H 12 12 C D N △OHD에서 (cid:100)(cid:100)OH”="√12¤ -(6'2)¤ =6'2 ∴ △OMN= _12_6'2=36'2 1 2 ➊ DH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ OH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △OMN의 넓이를 구할 수 있다. 0494 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O 에서 CD”에 내린 수선의 발을 E라 하면 O 2Â6 HE”= BC”=2'2이므로 △OHE에서 1 2 D A 4Â2 H E C B (cid:100)(cid:100)OE”=ø∑(2'6 )¤ +∑(2'2 )¤ =4'2 따라서 정사각뿔의 겉넓이는 (4'2 )¤ +4_{ _4'2_4'2 }=96 1 2 (cid:9120) ④ … ➋ … ➌ (cid:9120) 36'2 40% 40% 20% 0495 ⑴ △OED에서 (cid:100)(cid:100)ED”="√7¤ -(2'ß10)¤ =3(cm) (cid:100)(cid:100)∴ CD”=2ED”=6(cm) 따라서 정사각뿔의 겉넓이는 1 2 52 정답 및 풀이 0496 정사면체의 한 모서리의 길이를 acm라 하면 3'2 2 '6 3 a='3(cid:100)(cid:100)∴ a= 따라서 정사면체의 부피는 3'2 2 '2 12 _{ 9 8 } 3 = (cm‹ ) 9 (cid:9120) cm‹ 8 0497 정사면체의 한 모서리의 길이를 acm라 하면 a‹ =18'2,(cid:100)(cid:100)a‹ =216 '2 12 '6 3 ∴ a=6 따라서 정사면체의 높이는 _6=2'6(cm) 0498 '3 정삼각형 BCD에서 DM”= _12=6'3(cm)이므로 2 1 MH”= DM”= _6'3=2'3(cm) 3 1 3 AH”= _12=4'6(cm)이므로 '6 3 △AMH= _2'3_4'6=12'2(cm¤ ) 1 2 (cid:9120) ② … ➊ … ➋ … ➌ 50% 30% 20% (cid:9120) 12'2 cm¤ ➊ MH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △AMH의 넓이를 구할 수 있다. 0499 DM”= DH”= _6=9(cm) 3 2 3 2 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 a=9(cid:100)(cid:100)∴ a=6'3 따라서 정사면체의 부피는 '3 2 '2 12 (cid:100)(cid:100)6¤ +4_{ _6_2'∂10 }=36+24'∂10 (cm¤ ) … ➊ _(6'3)‹ =54'6(cm‹ ) (cid:9120) ④ (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지53 SinsagoHitec 0500 ① 오른쪽 그림과 같이 BC”의 중 A B 9'3 2 H M C 점을 M이라 하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)DM”= _9= (cm) '3 2 2 3 9'3 2 2 3 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ DH”= DM”= _ =3'3(cm) ② AH”= _9=3'6(cm) '6 3 1 ③ △AHD= _3'3_3'6= 2 27'2 2 (cm¤ ) '3 4 ④ (겉넓이)=4△ABC=4_{ _9¤ } =81'3(cm¤ ) '2 12 ⑤ (부피)= _9‹ = 243'2 4 (cm‹ ) 9`cm D (cid:9120) ③ 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 정사면체의 한 0501 모서리의 길이는 '2a이다. ⑴ 정육면체의 겉넓이는(cid:100)(cid:100)6_(a_a)=6a¤ 정사면체의 겉넓이는(cid:100)(cid:100)4_[ _('2a)¤ ]=2'3a¤ 따라서 정육면체와 정사면체의 겉넓이의 비는 (cid:100)(cid:100)6a¤ : 2'3a¤ ='3 : 1 '3 4 ⑵ 정육면체의 부피는(cid:100)(cid:100)a_a_a=a‹ 정사면체의 부피는(cid:100)(cid:100) _('2a)‹ = a‹ 따라서 정육면체와 정사면체의 부피의 비는 1 3 '2 12 (cid:100)(cid:100)a‹ : a‹ =3 : 1 1 3 (cid:9120) ⑴ '3 : 1(cid:100)⑵ 3 : 1 … ➋ 50% 50% ➊ 정육면체와 정사면체의 겉넓이의 비를 구할 수 있다. ➋ 정육면체와 정사면체의 부피의 비를 구할 수 있다. 0502 PC”, PD”는 각각 정삼각형 ABC, ABD의 높이이므로 '3 (cid:100)(cid:100)PC”=PD”= _4'2=2'6(cm) 2 △PCD는 이등변삼각형이므로 오른쪽 그림에서 P 2Â6`cm 2Â6`cm PQ”="√(2'6)¤ -(2'2)¤ =4(cm) (cid:9120) 4 cm C Q 2Â2`cm 2Â2`cm D △OAC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성 0503 질에 의하여 BP”, BQ”는 각각 정삼각형 OAB, OBC의 높이이므로 1 PQ”= AC”= _8=4(cm) 2 1 2 BP”=BQ”= _8=4'3(cm) '3 2 오른쪽 그림과 같이 이등변삼각형 PBQ의 꼭짓점 B에서 PQ”에 내린 수선의 발을 H 라 하면 BH”="√(4'3)¤ -2¤ =2'ß11(cm) 1 ∴ △PBQ= _4_2'ß11 2 =4'ß11(cm¤ ) 본책 86~88쪽 2`cm P H 2`cm Q 4Â3`cm 4Â3`cm B (cid:9120) ③ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 △ABC에서 AM”=BM”, AN”=CN”이면 A MN”∥BC”, MN”=;2!; BC” M N B C 0504 AM”, DM”은 각각 정삼각형 ABC, BCD의 높이이므로 (cid:100)(cid:100)AM”=DM”= _'6 '3 2 3'2 2 = (cm) … ➊ 오른쪽 그림과 같이 이등변삼각형 AMD의 꼭짓점 M에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 M cm3Â2 2 cm3Â2 2 A cmÂ6 2 H cmÂ6 2 D MH”=æ– –{ 3'2 2 2 } –-{ '6 2 2 } ∴ △AMD= _'6_'3 ='3 (cm) 1 2 3'2 2 = (cm¤ ) 단면인 원의 반지름의 길이는 0505 (cid:100)(cid:100)"√10¤ -7¤ ='ß51(cm) 따라서 원의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_('ß51)¤ =51p(cm¤ ) 1 7 피 타 고 라 스 정 리 의 입 체 도 형 에 의 활 용 (cid:9120) 3'2 2 cm¤ (cid:9120) 51p cm¤ 0506 단면인 원의 반지름의 길이를 rcm라 하면 2pr=2'7p(cid:100)(cid:100)∴ r='7 즉 AH”='7 cm이므로 △OAH에서 OH”="√4¤ -('7)¤ =3(cm) (cid:9120) ④ 0507 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 단면 인 원의 반지름의 길이를 rcm라 하면 cmR 2 (cid:100) pr¤ =10p (cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ r='ß10 (∵ r>0) … ➊ O R`cm A M B r`cm 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 53 (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지54 SinsagoHitec (cid:9120) 8'5 cm (cid:9120) 2'3p cm … ➋ … ➌ 30% 50% 20% 8`cm A E D 2`cm C 4`cm G 2`cm H 4`cm D' ⑵ 구의 반지름의 길이를 Rcm라 하면 △OMB에서 (cid:100) { R 2 2 } +('ß10)¤ =R¤ (cid:100) R¤ =10(cid:100)(cid:100) ∴ R= (∵ R>0) 2'ß30 3 3 4 (cid:9120) ⑴ 'ß10 cm ⑵ 2'ß30 3 cm ➊ 단면인 원의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➋ 구의 반지름의 길이에 대한 식을 세울 수 있다. ➌ 구의 반지름의 길이를 구할 수 있다. 0508 오른쪽 그림의 전개도 에서 구하는 최단 거리는 BE” 의 길이이므로 BE”="√(6+4+6)¤ +8¤ =8'5(cm) B F C D 6`cm G 6`cm H 4`cm 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 0509 최단 거리는 AD'”의 길이이므로 AD'”="√4¤ +(2+4+2+4)¤ =4'ß10(cm) (cid:9120) ③ A B F E 4`cm A' 0510 ⑴ 오른쪽 그림의 전개도에서 구 B C D 하는 최단 거리는 FM”의 길이이다. 1 2 ⑵ MH”= DH”=2'∂10(cm)이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)FM”="√7¤ +(2'1å0)¤ ='∂89 (cm) M 2Â10·`cm (cid:9120) 풀이 참조 5`cm G F H 2`cm 0511 △ABC에서 BC”="√5¤ +(2'6 )¤ =7(cm) 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최단 거리는 AF”의 길이이므로 … ➋ AF”="√(5+7)¤ +9¤ =15(cm) … ➊ A B C 9`cm … ➌ (cid:9120) 15 cm D 5`cm 7`cm E F ➊ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ 전개도에 최단 거리를 나타낼 수 있다. ➌ 최단 거리를 구할 수 있다. 54 정답 및 풀이 B A B A 0512 밑면의 반지름의 길이를 rcm라 하면 pr¤ =20p(cid:100)(cid:100)∴ r=2'5 (∵ r>0) 밑면의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2p_2'5=4'5p(cm) 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최 단 거리는 AB'”의 길이이므로 AB'”="√(4'5p)¤ +(10p)¤ =6'5p(cm) (cid:9120) ④ B A 10π`cm B' A' 4Â5π`cm 밑면의 둘레의 길이는 0513 (cid:100)(cid:100)2p_3=6p(cm) 원기둥의 높이를 hcm라 하면 오른 쪽 그림의 전개도에서 h="√(4'3p)¤ -(6p)¤ =2'3p B' A' h`cm 4Â3π`cm 6π`cm 밑면의 둘레의 길이는 0514 (cid:100)(cid:100)2p_4=8p(cm) 오른쪽 그림의 전개도에서 구하는 최 단 거리는 AB''”의 길이이므로 (cid:100)(cid:100)AB''” (cid:100)="√(12p)¤ +(8p+8p)¤ (cid:100)=20p(cm) B' B'' 12π`cm 8π`cm 8π`cm A' A'' (cid:9120) 20p cm 밑면의 둘레의 길이는 0515 (cid:100)(cid:100)2p_6=12p (cm) 오른쪽 그림의 전개도에서 CA'”= _12p=9p(cm) 3 4 따라서 구하는 최단 거리는 CE'” 의 길이이므로 A E CE'”="√(9p)¤ +(6p)¤ =3'ß13p(cm) C B D F 12π`cm 6π`cm A' E' (cid:9120) ② 0516 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면 =2p_4(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=120° (cid:100)(cid:100)2p_12_ ∠x 360° 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 O에서 AA'”에 내린 수선의 발을 P라 하면 △OPA'에서 A O P 60æ 12`cm A' PA'” : OA'”='3 : 2 PA'” : 12='3 : 2 ∴ PA'”=6'3(cm) 20% 50% 30% 따라서 구하는 최단 거리는 AA'”의 길이이므로 AA'”=2PA'”=12'3(cm) 4`cm (cid:9120) ② (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지55 SinsagoHitec 본책 88~91쪽 오른쪽 그림의 전개도에서 0517 (cid:8772)OBCA는 마름모이므로 AB”⊥OC” B AB”와 OC”의 교점을 H라 하면 △OCA는 정삼각형이므로 9 '3 2 2 AH”= _3'3= (cm) 한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 길이 3Â3`cm A O H C 0522 (cid:8825) '3a 4 3 구의 반지름의 길이를 rcm라 하면 pr‹ =36p,(cid:100)(cid:100)r‹ =27(cid:100)(cid:100)∴ r=3 정육면체의 대각선의 길이는 구의 지름의 길이와 같으므로 2_3=6(cm) 따라서 구하는 최단 거리는 AB”의 길이이므로 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이를 acm라 하면 AB”=2AH”=9(cm) (cid:9120) 9cm '3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3 (cid:9120) ② ➊ 부채꼴의 중심각의 크기를 구할 수 있다. ➋ 최단 거리를 구할 수 있다. 0519 오른쪽 그림의 전개도에서 ∠MAC=30°, ∠CAD=60° △ABC에서 '3 2 AM”= _8=4'3(cm) 따라서 구하는 최단 거리는 DM”의 길이이므로 △AMD에서 0520 오른쪽 그림의 전개도에서 ∠BOC=180°-(75°+75°) =30° 이므로 ∠AOD=3_30° =90° 오른쪽 그림의 전개도에서 부 0518 채꼴의 중심각의 크기를 ∠x라 하면 12`cm A x 6`cm M B B' 2p_12_ =2p_3 ∠x 360° ∴ ∠x=90° … ➊ 따라서 구하는 최단 거리는 BM”의 길 이이므로 △ABM에서 BM”="√12¤ +6¤ =6'5(cm) 0523 이를 구하는 공식을 이용하여 두 꼭짓점 사이의 거리를 구해 본다. 직사각형, 정사각형, 직육면체, 정육면체의 대각선의 길 오른쪽 그림에서 AC”='2_2=2'2 AG”='3_2=2'3 AI”="√(2+2)¤ +2¤ =2'5 AK”="√(2+2)¤ +2¤ +2¤ =2'6 A E B F D C H 2 2 G J 2 L I K 따라서 두 꼭짓점 사이의 거리가 될 수 없는 것은 ⑤이다. (cid:9120) ⑤ 0524 를 이용한다. 보조선을 그어 직각삼각형을 만든 후 피타고라스 정리 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 P, 점 P에서 EF”에 내린 수선의 발을 Q라 하자. 정육면체의 한 모 서리의 길이를 a라 하면 △PQO에서 OP”=æ≠a¤ + {;2A;} '5 ¤ = a 2 ∴ △ABO= _a_ a= a¤ 1 2 '5 4 '5 2 1 4 1 1 2 2 의 넓이의 '5배이다. D H A P E Q B F O a C G (cid:9120) '5배 △EFO= _a_ a= a¤ 이므로 △ABO의 넓이는 △EFO 3`cm … ➋ (cid:9120) 6'5 cm 50% 50% 30æ 8`cm A 60æ D B M C O 1 7 피 타 고 라 스 정 리 의 입 체 도 형 에 의 활 용 DM”="√(4'3)¤ +8¤ =4'7(cm) (cid:9120) ① 6`cm 6`cm 30æ 30æ 30æ A D 75æ B 75æ C 0525 한다. △AEM이 정삼각형이므로 AE”=EM”=MA”임을 이용 CM”=xcm라 하면 AM”="√4¤ +x¤ (cm), AE”="√2¤ +(2x)¤ (cm) 따라서 구하는 최단 거리는 AD”의 길이이므로 △OAD에서 AD”="√6¤ +6¤ =6'2(cm) (cid:9120) 6'2 cm 세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대각선 0521 의 길이 (cid:8825) "√a¤ +b¤ +c¤ BC”=2x라 하면 AB”=AC”="√x¤ +6¤ +(3'3)¤ ="√x¤ +63 △ABC에서(cid:100)(cid:100)("√x¤ +63 )¤ +("√x¤ +63 )¤ =(2x)¤ (cid:100)(cid:100)2(x¤ +63)=4x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =63 ∴ x=3'7 (∵ x>0) ∴ BC”=2x=6'7 △AEM이 정삼각형이므로 ¤ =AE” ¤ ,(cid:100)(cid:100)16+x¤ =4+4x¤ AM” x¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) EM”=AM”="√4¤ +2¤ =2'5(cm)이므로 EF”="√(2'5)¤ -2¤ =4(cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)CH”="√4¤ -1¤ ='ß15(cm) 1 ∴ △ABC= _2_'ß15 2 ='ß15(cm¤ ) (cid:9120) 6'7 따라서 삼각기둥의 부피는 'ß15_4=4'ß15(cm‹ ) C 4`cm 4`cm A 1`cm H B 1`cm (cid:9120) 4'ß15cm‹ 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 55 (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지56 SinsagoHitec 0526 BH” ¤ =OB” ¤ -OH” ¤ =AB” ¤ -AH” ¤ 임을 이용한다. 0529 한 모서리의 길이가 a인 정사면체의 부피 (cid:8825) '2 12 a‹ yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) △AEF와 △AEG에서 (cid:100)(cid:100)EF”=EG”="√2¤ -1¤ ='3 △ACD에서 두 점 F, G는 각각 AC”, AD”의 중점이므로 삼각 형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 △OBH에서 ¤ =6¤ -OH” (cid:100)(cid:100)BH” △ABH에서 (cid:100)(cid:100)BH” ¤ =(6'3)¤ -(6+OH”)¤ ㉠, ㉡에서 (cid:100)(cid:100)6¤ -OH” ¤ =(6'3)¤ -(6+OH”)¤ 12OH”=36(cid:100)(cid:100)∴ OH”=3(cm) ㉠에서(cid:100)(cid:100)BH”="√6¤ -3¤ =3'3(cm) 따라서 원뿔의 부피는 1 3 _p_(3'3)¤ _(6+3)=81p(cm‹ ) (cid:9120) ① (cid:100)(cid:100)FH”= FG”=1 1 2 1 FG”= CD”=2 2 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 FG”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 △EFG는 이 등변삼각형이므로 △EFH에서(cid:100)(cid:100)EH”="√('3)¤ -1 ='2 따라서 삼각뿔 A 2 _{ _2_'2}_1= EFG의 부피는 '2 3 1 2 1 3 이므로 구하는 입체도형의 부피는 '2 3 (cid:100)(cid:100) _4‹ - =5'2 '2 12 A 1 E 2 2 G H F D B 4 C (cid:9120) ⑤ 0530 EF”의 길이를 구한다. △ACD에서 AE”:AC”=EF”:CD”=1:3임을 이용하여 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에 서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 4 E H 2 F 6 C D B 6Â3 12 (cid:100)(cid:100)AH”=CH”= AC”=6 1 2 △BCH에서 (cid:100)(cid:100)BH”="√12¤ -6¤ =6'3 또 AE”= AC”=4이므로 1 3 (cid:100)(cid:100)EH”=6-4=2 △BHE에서 BE”="√(6'3 )¤ +2¤ =4'7 (cid:100)(cid:100)∴ BF”=BE”=4'7 한편 △ACD에서 0527 와 같음을 이용한다. 사각뿔대의 높이는 점 A에서 EG”에 내린 수선의 길이 A 4 B 4 E 60æ A' F B' 60æ [그림 1] A B D H 4 C G F P 8 [그림 2] [그림 1]과 같이 꼭짓점 A, B에서 EF”에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이 라 하면 AE” : EA'”=2 : 1이므로 (cid:100)(cid:100)4 : EA'”=2 : 1 (cid:100)(cid:100)∴ EA'”=2 FB'”=EA'”=2이므로 (cid:100)(cid:100)EF”=2+4+2=8 (cid:8772)ABCD, (cid:8772)EFGH에서 AC”='2_4=4'2 (cid:100)(cid:100)EG”='2_8=8'2 [그림 2]와 같이 꼭짓점 A에서 EG” 에 내린 수선의 발을 P라 하면 AP” 의 길이는 사각뿔대의 높이와 같다. 이때 E (cid:100)(cid:100)EP”= _(EG”-AC”) 1 2 1 = _(8'2-4'2) 2 =2'2 이므로 △AEP에서 AP”="√4¤ -(2'2)¤ =2'2 (cid:9120) 2'2 EF”:12=AE”:AC”=1:3(cid:100)(cid:100)∴ EF”=4 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 EF”에 내린 수 선의 발을 M이라 하면 B 0528 (정팔면체의 부피)=2_(정사각뿔의 부피) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 (cid:8772)BCDE에 내린 수선의 발을 H라 하면 BM”="√(4'7)¤ -2¤ =6'3 1 ∴ △BEF= _4_6'3=12'3 2 4Â7 4Â7 (cid:9120) 12'3 E F 2 2M B D A E H C F 0531 (사면체 V 2 ABC의 부피)=(사면체 A 2 BCV의 부피) △ABV, △ACV, △BCV는 직각이등변삼각형이므로 AB”=BC”=CA”="√2¤ +2¤ =2'2 (cid:9120) 36 따라서 △ABC는 정삼각형이므로 '3 (cid:100)(cid:100)△ABC= _(2'2)¤ =2'3 4 1 AH”= _6=3 2 1 HD”= _6=3 2 △AHD에서 AD”="√3¤ +3¤ =3'2 따라서 구하는 정팔면체의 부피는 2_[ _(3'2)¤ _3]=36 1 3 56 정답 및 풀이 ¤ (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지57 SinsagoHitec 본책 91~93쪽 10% 30% 40% 20% 6 l A 30æ 45æ C B H … ➋ … ➌ 20% 20% 20% 40% 사면체의 부피는 (cid:100)(cid:100) _2'3_VH”= _{ _2_2}_2 1 3 1 2 1 3 ∴ VH”= 2'3 3 ➊ VO”의 길이를 구할 수 있다. ➋ VH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ 구의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➍ 구의 부피를 구할 수 있다. (cid:9120) 2'3 3 0532 선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다. 오른쪽 그림의 전개도에서 ∠ACD=∠ADC=75°이므로 ∠CAD=30° ∴ ∠CAC'=3∠CAD=90° 따라서 구하는 최단 거리는 CC'”의 길 이이므로 AC”=x cm라 하면 △ACC'에서 A 30æ 30æ 30æ x`cm 75æ C 75æ D B 6Â2`cm C' "√x¤ +x¤ =6'2,(cid:100)(cid:100)'2x =6'2(cid:100)(cid:100)∴ x=6 AB”=AC”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=6cm (cid:9120) ⑤ 0533 길이와 같음을 이용한다. 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면의 둘레의 0535 밑면의 반지름의 길이와 높이를 구한다. 구하는 부피는 두 원뿔의 부피의 합이므로 각 원뿔의 주어진 삼각형을 직선 l을 회전축으로 하 여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽 그 림과 같다. 점 B에서 직선 l에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AH”:AB”='3:2이므로 (cid:100)(cid:100)AH”:6='3:2 (cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'3 또 BH” : AB”=1:2이므로 (cid:100)(cid:100)BH”:6=1:2 (cid:100)(cid:100)∴ BH”=3 △BCH에서 BH”:CH”=1:1이므로 (cid:100)(cid:100)CH”=3 … ➊ x`cm A O y 16`cm B A' M B' (cid:100)(cid:100)∴ (부피)={ _p_3¤ _3'3 }+{ _p_3¤ _3} 1 3 1 3 =9(1+'3)p … ➍ (cid:9120) 9(1+'3 )p 오른쪽 그림의 원뿔대의 옆면의 전개도에서 OA”=xcm, 부채꼴의 중 심각의 크기를 ∠y라 하면 원뿔대의 두 밑면의 반지름의 길이의 비가 2 : 6=1 : 3이므로 x : (x+16)=1 : 3 (cid:100)(cid:100)∴ x=8 ®AA'=2p_2=4p(cm)이므로 ∠y 360° 2p_8_ =4p(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=90° ➊ AH”의 길이를 구할 수 있다. ➋ BH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ CH”의 길이를 구할 수 있다. ➍ 1회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구할 수 있다. 따라서 구하는 최단 거리는 BM”의 길이이므로 △OBM에서 BM”="√(16+8)¤ +(8+8)¤ =8'ß13(cm) (cid:9120) 8'ß13 cm 0534 을 이용한다. 구의 중심에서 원뿔의 옆면에 내린 수선의 발이 접점임 0536 (cid:8772)MBCN이 등변사다리꼴임을 이용한다. '3 MB”=NC”= _8=4'3(cm) 2 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 △VOB에서 VO”="√9¤ -3¤ =6'2(cm) 오른쪽 그림과 같이 구의 중심 P에서 VB” 에 내린 수선의 발을 H라 하면 △POB™△PHB (RHS 합동)이므로 BH”=BO”=3cm ∴ VH”=9-3=6(cm) 구의 반지름의 길이를 rcm라 하면 △VPH에서 (cid:100)(cid:100)(6'2-r)¤ =6¤ +r¤ ,(cid:100)(cid:100)12'2r=36 (cid:100)(cid:100)∴ r= 3'2 2 따라서 구의 부피는 3'2 2 _p_ 4 3 { ‹ =9'2p (cm‹ ) } … ➋ Q r`cm H P A O B 3`cm … ➌ … ➍ (cid:9120) 9'2p cm‹ … ➊ V MN”= AD”=4(cm) 1 2 오른쪽 그림과 같이 두 점 M, N에 서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 M', N'이라 하면 … ➊ M 4`cm N 4Â3`cm 4Â3`cm 9`cm BM'”=CN'”=2cm 따라서 △MBM'에서 B C M' N' 8`cm MM'”="√(4'3)¤ -2¤ =2'ß11(cm) 1 ∴ (cid:8772)MBCN= _(4+8)_2'ß11 2 =12'ß11(cm¤ ) ➊ MB”, MN”의 길이를 구할 수 있다. ➋ MM'”의 길이를 구할 수 있다. ➌ (cid:8772)MBCN의 넓이를 구할 수 있다. … ➋ … ➌ (cid:9120) 12'ß11 cm¤ 40% 40% 20% 17 피타고라스 정리의 입체도형에의 활용 57 1 7 피 타 고 라 스 정 리 의 입 체 도 형 에 의 활 용 (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지58 SinsagoHitec 0537 △OPC에서 OP”_CP”=OC”_PQ”임을 이용한다. '6 3 OP”= _12=4'6 … ➊ 0539 를 구한다. 최단 거리를 이용하여 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기 오른쪽 그림의 전개도에서 최단 O 6`cm 6`cm A 3Â3`cm H A' '3 2 정삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)CM”= _12=6'3 2 3 ∴ CP”= CM”= _6'3=4'3 △OPC에서(cid:100)(cid:100)OP”_CP”=OC”_PQ” 2 3 4'6_4'3=12_PQ”(cid:100)(cid:100)∴ PQ”=4'2 거리는 AA'”의 길이이다. 꼭짓점 O에서 AA'”에 내린 수선의 발 을 H라 하면 △OAH에서 (cid:100)(cid:100)OA” : AH”=6 : 3'3=2 : '3 따라서 ∠AOH=60°이므로 (cid:100)(cid:100)∠AOA'=2∠AOH=120° 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (cid:100)(cid:100)2p_6_ =2p_r 120 360 (cid:100)(cid:100)∴ r=2 … ➋ … ➌ (cid:9120) 4'2 20% 30% 50% 각 경우의 선이 지나는 부분을 전개도 위에 선분으로 ➋ 밑면의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➊ 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기를 구할 수 있다. ⑴ 모서리 AD, CD, AE, CG, EF, FG 위의 한 점을 지 나서 가는 방법이 각각 1가지씩이므로 모두 6가지이다. … ➊ 0540 선분을 찾는다. ⑵ ⁄ 모서리 AD 또는 FG를 지나서 가는 경우 전개도를 이용하여 AP”+PO”의 최솟값과 길이가 같은 ➊ OP”의 길이를 구할 수 있다. ➋ CP”의 길이를 구할 수 있다. ➌ PQ”의 길이를 구할 수 있다. 0538 나타낸다. r`cm … ➊ … ➋ (cid:9120) 2 cm 60% 40% … ➊ O Â34°`cm Q DP B R 3`cm A 6`cm … ➋ … ➌ (cid:9120) '∂130cm 30% 50% 20% DH”= BD”= _('2_6)=3'2(cm)이므로 1 2 1 2 OD”="√4¤ +(3'2)¤ ='ß34(cm) 오른쪽 그림의 전개도에서 AP”+PO”의 최솟값은 AO”의 길이이다. 꼭짓점 O에서 CD”에 내린 수선의 발을 Q, BA”에 내린 수선의 발을 R라 하면 △OQD에서 C 6`cm OQ”="√('ß34)¤ -3¤ =5(cm) ∴ OR”=5+6=11(cm) △ORA에서 AO”="√3¤ +11¤ ='∂130(cm) ➊ OD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ OR”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AP”+PO”의 길이의 최솟값을 구할 수 있다. E (cid:100) A D 6 H A B H 6 D 4 C B F E C 6 G 4 H B 5` 5` `최단 거리는 `(cid:100)(cid:100)BH”="√5¤ +(6+4)¤ =5'5 (cid:100) ¤ 모서리 AE 또는 CG를 지나서 가는 경우 A B B C 5 E 4 F F 5 G 4 `최단 거리는 `(cid:100)(cid:100)BH”="√(5+4)¤ +6¤ =3'ß13 (cid:100) ‹ 모서리 CD 또는 EF를 지나서 가는 경우 D E H 4 G H G 5 C 6 5 F 6 `최단 거리는 `(cid:100)(cid:100)BH”="√(5+6)¤ +4¤ ='∂137 ⑶ ⑵에서 구하는 최단 거리는 3'ß13이다. ➊ 한 모서리 위의 한 점을 지나서 가는 방법의 수를 구할 수 있다. ➋ 각 경우의 최단 거리를 구할 수 있다. ➌ 최단 거리를 구할 수 있다. 58 정답 및 풀이 D 6 H A 4 B … ➋ … ➌ (cid:9120) 풀이 참조 30% 60% 10% (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지59 SinsagoHitec 18 삼각비 0541 (cid:9120) sin A= , cos A= , tan A= 12 13 5 13 5 13 12 13 12 5 5 12 0542 (cid:9120) sin B= , cos B= , tan B= 0543 BC”="√2¤ +4¤ =2'5 (cid:9120) 2'5 0544 sin C= = , cos C= = 2 2'5 '5 5 tan C= = 2 4 1 2 '5 (cid:9120) sin C= , cos C= 5 , tan C= 1 2 4 2'5 , 2'5 5 2'5 5 (cid:9120) 15 (cid:9120) 9 A x D x B C 0545 cos A= = (cid:100)(cid:100)∴ AB”=15 12 AB” 4 5 0546 BC”="√15¤ -12¤ =9 [0547~0549] △ABC와 △DAC에서 ∠C는 공통, ∠BAC=∠ADC=90° ∴ △ABC ª△DAC (AA 닮음) ∴ ∠DAC=∠ABC=x △ABC, △DBA, △DAC에서 0547 sin x= AC” BC” = = AD” AB” CD” AC” (cid:9120) ㈎ AC” ”(cid:100)㈏ AB”(cid:100)㈐ CD” 0548 cos x= AB” BC” = BD” AB” = AD” AC” (cid:9120) ㈎ AB”(cid:100)㈏ BD”(cid:100)㈐ AC” 0554 tan 45°÷sin 45°=1÷ =1_'2='2 (cid:9120) '2 '2 2 본책 93~99쪽 1 8 삼 각 비 0555 sin¤ 30°+cos¤ 30°={ 1 2 2 } +{ '3 2 2 } 1 4 = + =1 3 4 (cid:9120) 1 (cid:9120) '3 (cid:9120) 60° (cid:9120) 45° (cid:9120) 30° 0556 (sin 30°+1)(cos 60°+1)={ +1} { +1} = _ = 3 2 (cid:9120) 9 4 1 2 3 2 '3 2 1 2 9 4 '3 2 0557 sin 60°_tan 45°+cos 30°= _1+ ='3 '3 2 '2 2 '3 3 0558 sin 60°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=60° 0559 cos 45°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=45° 0560 tan 30°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=30° 0561 sin 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ x=4 x 8 '3 cos 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ y=4'3 2 1 2 y 8 (cid:9120) x=4, y=4'3 0562 tan 45°= =1(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2 x 2'2 '2 2 2'2 y cos 45°= = (cid:100)(cid:100)∴ y=4 (cid:9120) x=2'2, y=4 0563 sin 35°= 0.5736 1 =0.5736 0564 cos 35°= =0.8192 0565 tan 35°= =0.7002 0.8192 1 0.7002 1 0549 tan x= AC” AB” = AD” BD” = CD” AD” (cid:9120) ㈎ AB”(cid:100)㈏ BD”(cid:100)㈐ CD” 0566 sin 55°= 0.8192 1 =0.8192 0550 sin 60°+tan 30°= + = 5'3 6 (cid:9120) 5'3 6 0567 cos 55°= 0.5736 1 =0.5736 0551 cos 45°-sin 45°= - =0 '3 3 '2 2 '3 2 '2 2 '3 3 0568 sin 90°+cos 0°=1+1=2 0569 tan 0°-cos 90°=0-0=0 (cid:9120) 0 (cid:9120) 1 0552 tan 30°_tan 60°= _'3=1 0570 sin 0°+cos 0°-tan 0°=0+1-0=1 0553 '2 cos 45°÷sin 30°= ÷ = _2='2 2 '2 2 1 2 (cid:9120) '2 0571 cos 90°_tan 0°-sin 90°_cos 0° =0_0-1_1=-1 (cid:9120) -1 (cid:9120) 0.5736 (cid:9120) 0.8192 (cid:9120) 0.7002 (cid:9120) 0.8192 (cid:9120) 0.5736 (cid:9120) 2 (cid:9120) 0 (cid:9120) 1 18 삼각비 59 ” (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지60 SinsagoHitec 0572 sin 0°_cos 55°+sin 90°_tan 0° =0_cos 55°+1_0=0 0589 AB”=c라 하면 (cid:9120) 0 △ABC에서 BC”=a, AC”=b, 0573 sin 0°=0, sin 90°=1이므로 sin 0° < sin 90° 0574 sin 30°= , cos 90°=0이므로(cid:100) 1 2 sin 30° > cos 90° 0575 tan 45°=1, cos 0°=1이므로(cid:100) tan 45° = cos 0° [0576~0578] 0°…x<90°인 범위에서 x의 값이 증가하면 sin x, tan x의 값은 각각 증가하고, cos x의 값은 감소한다. 0576 sin 50° < sin 70° 0578 tan 35° < tan 65° [0579~0581] 45° cos 80° 0581 sin 48° < tan 48° 0582 (cid:9120) 0.3907 0583 (cid:9120) 0.9272 (cid:9120) > (cid:9120) = (cid:9120) < (cid:9120) < (cid:9120) < (cid:9120) > (cid:9120) < (cid:9120) < sin B= , cos B= , tan B= B a sin A= , cos A= , tan A= a c b c b c a c a b b a ∴ cos A=sin B sin A=cos B, tan A= 1 tan B 0590 BC”="√(4'6)¤ -8¤ =4'2이므로 '3 3 = , cos A= sin A= = '6 3 4'2 4'6 ∴ sin A_cos A= _ = '3 3 '6 3 8 4'6 '2 3 ➊ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ sin A, cos A의 값을 구할 수 있다. ➌ sin A_cos A의 값을 구할 수 있다. AC”="√('3k)¤ -k¤ ='2k '2k '3k ∴ sin B= '6 3 = 직각삼각형 DBC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√10¤ -6¤ =8 0592 직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√17¤ -8¤ =15 ∴ tan x= BC” AC” = 8 15 0593 직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√(2'∂13)¤ -4¤ =6 1 2 BD”= BC”=3이므로 직각삼각형 ABD에서 (cid:100)(cid:100)AD”="√3¤ +4¤ =5 (cid:100)(cid:100)∴ cos x= AB” AD” = 4 5 0594 AH”=h라 하면 0577 cos 20° > cos 40° (cid:9120) > 0591 AB”=k, BC”='3k (k>0)로 놓으면 0584 (cid:9120) 0.4663 0585 (cid:9120) 22 직각삼각형 ABH에서(cid:100)(cid:100)sin B= = 0586 (cid:9120) 25 0587 (cid:9120) 24 직각삼각형 ACH에서(cid:100)(cid:100)sin C= = 0588 AC”="√2¤ +('5)¤ =3 ① sin A= ② cos A= ③ tan A= '5 3 2 3 2 3 '5 3 ④ sin C= ⑤ cos C= '5 2 (cid:9120) ③ ∴ sin B sin C h c = _ = b h b c 0595 tan B= AC” 6 ∴ AB”="√9¤ +6¤ =3'ß13(cm) 3 2 = 에서(cid:100)(cid:100)AC”=9(cm) AH” AB” AH” AC” h c h b 60 정답 및 풀이 c A b C (cid:9120) ⑤ … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) '2 3 30% 50% 20% (cid:9120) ④ (cid:9120) ② (cid:9120) ;5$; (cid:9120) ⑤ (cid:9120) ④ (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지61 SinsagoHitec = 에서(cid:100)(cid:100)x=8 0596 2'7 x cos A= '7 4 (cid:100)(cid:100)∴ y="√8¤ -(2'7)¤ =6 (cid:100)(cid:100)∴ x+y=8+6=14 0597 sin A= = 에서(cid:100)(cid:100)BC”=9 BC” 15 3 5 ∴ AB”="√15¤ -9¤ =12 1 ∴ △ABC= _12_9=54 2 ➊ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △ABC의 넓이를 구할 수 있다. 0598 tan A= ='3에서(cid:100)(cid:100)BC”='3 BC” 1 AC”="√1¤ +('3 )¤ =2이므로(cid:100)(cid:100)cos A= (cid:9120) ② 1 2 0599 sin B= 8 BC” = 2'5 5 에서(cid:100)(cid:100)BC”=4'5 AB”="√(4'5)¤ -8¤ =4이므로 4 4'5 sin C= '5 5 = 0600 cos B= 4 BC” '2 3 = 에서(cid:100)(cid:100)BC”=6'2 AC”="√(6'2)¤ -4¤ =2'ß14이므로 4 2'ß14 cos C_tan C= 2'ß14 6'2 _ = '2 3 0601 △ABH에서(cid:100)(cid:100)cos B= = (cid:100)(cid:100)∴ BH”=8 BH” 12 2 3 (cid:9120) 14 … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 54 40% 40% 20% (cid:9120) '5 5 (cid:9120) ③ (cid:9120) ⑤ … ➊ AH”="√12¤ -8¤ =4'5이므로 △ACH에서 (cid:100)(cid:100)sin C= 4'5 10 = 2'5 5 0602 △ABC에서(cid:100)(cid:100)tan B= =2 AC” 3 (cid:100)(cid:100)∴ AC”=6 △ADE와 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)∠A는 공통, ∠AED=∠ACB=90° (cid:100)(cid:100)∴ △ADEª△ABC (AA 닮음) 따라서 DE” : BC”=AE” : AC”이므로 (cid:100)(cid:100)'5 : 3=AE” : 6(cid:100)(cid:100)∴ AE”=2'5 ∴ EC”=AC”-AE”=6-2'5 ➊ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AE”의 길이를 구할 수 있다. ➌ EC”의 길이를 구할 수 있다. 1 8 삼 각 비 본책 99~103쪽 7 A =25 (cid:9120) ③ 0603 sin A= 이므로 오른쪽 그림과 5 7 같이 ∠B=90°, AC”=7, BC”=5인 직각삼 각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 AB”="√7¤ -5¤ =2'6이므로 2'6 5 7 2'6 ∴ 35 cos A_tan A=35_ , tan A= cos A= _ 2'6 7 5 2'6 0604 ∠B=90°, tan A= 이므로 오른쪽 3 2 그림과 같이 AB”=2, BC”=3으로 놓으면 (cid:100)(cid:100)AC”="√2¤ +3¤ ='ß13 따라서 sin A= , cos A= 이므로 sin A+cos A= + 3 'ß13 2 'ß13 2 'ß13 = 5'ß13 13 A 2 (cid:9120) 5'ß13 13 3 'ß13 3 5 0605 sin A= 이므로 오른쪽 그림과 같이 AC”=5, BC”=3으로 놓으면 AB”="√5¤ -3¤ =4 sin A 5 cos A 4 = _ = 3 5 3 4 ④ ⑤ sin¤ A+cos¤ A= 3 5 ¤ + } { 4 5 ¤ =1 } { 0606 6 cos A-5=0에서(cid:100)(cid:100)cos A= 5 6 따라서 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90°, AB”=5, AC”=6인 직각삼각형 ABC를 생 각할 수 있다. … ➋ 이때 BC”="√6¤ -5¤ ='ß11이므로 'ß11 6 sin A= 5 A 6 5 A C 5 B C 3 B C 3 B (cid:9120) ④ … ➊ C B … ➌ (cid:9120) 'ß11 6 20% 50% 30% C 8 B 8 15 ➊ cos A의 값을 구할 수 있다. ➋ 조건을 만족시키는 직각삼각형을 그릴 수 있다. ➌ sin A의 값을 구할 수 있다. 0607 sin A= 이므로 오른쪽 그림 8 17 과 같이 ∠B=90°, AC”=17, BC”=8인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. 17 A 15 17 … ➋ … ➌ (cid:9120) 6-2'5 30% 50% 20% 이때 AB”="√17¤ -8¤ =15이므로(cid:100)(cid:100)cos A= , tan A= ∴ cos¤ A+sin¤ A={ 15 17 2 +{ } 8 17 2 } =1 cos A_tan A+cos A= _ + = 15 17 8 15 15 17 23 17 ∴ cos A_tan A+cos A cos¤ A+sin¤ A = 23 17 (cid:9120) 23 17 18 삼각비 61 (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지62 SinsagoHitec ➊ 직선이 x축, y축과 만나는 점의 좌표를 구할 수 있다. ➋ tan a의 값을 구할 수 있다. ② △ADC에서(cid:100)(cid:100)cos x= ③ △ABD에서(cid:100)(cid:100)tan x= 일차방정식 3x-4y+12=0의 그래프가 x축, y축과 만 0608 나는 점을 각각 A, B라 하자. 3x-4y+12=0에 y=0, x=0을 각각 대입하면 A(-4, 0), B(0, 3) 따라서 직각삼각형 AOB에서 OA”=4, OB”=3, AB”="√4¤ +3¤ =5 ∴ sin a-cos a= - =- 3 5 4 5 1 5 직선 y= x+1이 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B 0609 라 하면 3 2 2 (cid:100)(cid:100)A{- , 0}, B(0, 1) 3 따라서 직각삼각형 AOB에서 2 (cid:100)(cid:100)OA”= , OB”=1 3 ∴ tan a= OB” OA” = 3 2 B y 2 O 0610 일차방정식 2x+3y-6=0의 그 래프가 오른쪽 그림과 같으므로 직각삼각 형 ABO에서 OA”=3, OB”=2 AB”="√3¤ +2¤ ='∂13 따라서 sin a= , cos a= 이므로 2 'ß13 3 'ß13 sin¤ a-cos¤ a= - =- 4 13 9 13 5 13 a A 3 2x+3y-6=0 x (cid:9120) -;1∞3; 9 x y 12 x C A D △ABC와 △DBA에서 0611 (cid:100)(cid:100)∠B는 공통, (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDA=90° 이므로 (cid:100)(cid:100)△ABCª△DBA (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ ∠BCA=∠BAD=x 마찬가지로 △ABCª△DAC (AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)∠ABC=∠DAC=y △ABC에서 BC”="√9¤ +12¤ =15이므로 B y cos x= cos y= AC” BC” AB” BC” 12 = = 15 4 5 9 = = 15 3 5 ∴ cos x+cos y= + = 4 5 3 5 7 5 62 정답 및 풀이 △ABC와 △DBA에서 0612 (cid:100)(cid:100)∠B는 공통, (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDA=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△DBA (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ ∠BCA=∠BAD=x B 24 25 ∴ sin x= AB” BC” = 24 25 (cid:9120) ② 0613 △ABC와 △CBD에서 (cid:100)(cid:100)∠B는 공통, ∠ACB=∠CDB=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△CBD (AA 닮음) ∴ ∠BAC=∠BCD=x B △ABC에서 … ➊ (cid:100)(cid:100)tan x= ='2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'2 BC” 6 A x x 7 C D (cid:9120) 24 25 A 6 C D x x ∴ AB”="√(6'2)¤ +6¤ =6'3 (cid:9120) ② △ABCª△DBA (AA 닮음) 0614 이므로(cid:100)(cid:100)∠BCA=∠BAD=x ① △ABC에서(cid:100)(cid:100)sin x= B x C A x D … ➋ (cid:9120) 3 2 40% 60% ④ △ABD에서(cid:100)(cid:100)cos x= (cid:100)(cid:100)∴ AD”=AB” cos x ⑤ △ADC에서(cid:100)(cid:100)tan x= (cid:100)(cid:100)∴ AD”=CD” tan x 0615 △ABD와 △HAD에서 (cid:100)(cid:100)∠D는 공통, ∠BAD=∠AHD=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△ABDª△HAD (AA 닮음) ∴ ∠ABD=∠HAD=x △ABD에서 BD”="√12¤ +16¤ =20이므로 16 20 4 = = , cos x= 5 sin x= AD” BD” AB” BD” x A 12 B x H 16 12 = = 20 3 5 ∴ sin x-cos x= - = 4 5 3 5 1 5 △ABC와 △EBD에서 0616 (cid:100)(cid:100)∠B는 공통, (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BED=90° 이므로 (cid:100)(cid:100)△ABCª△EBD (AA 닮음) ∴ ∠BCA=∠BDE=x D x E 13 B (cid:9120) ④ D C (cid:9120) ④ A x 5 C (cid:9120) ⑤ △ABC에서 AB”="√13¤ -5¤ =12이므로 12 13 sin x= = AB” BC” (cid:9120) ③ AB” BC” CD” AC” BD” AD” AD” AB” AD” CD” (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지63 SinsagoHitec 0617 △ABC와 △DEC에서 (cid:100)(cid:100)∠C는 공통, ∠ABC=∠DEC=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△ABC ª△DEC (AA 닮음) A x ∴ ∠CDE=∠CAB=x … ➊ △EDC에서 CE”="√9¤ -7¤ =4'2이므로 E C 7 x 9 B D cos x= tan x= '2 2 EG” AG” AE” EG” = = 5 5'2 5 = =1 5 ∴ sin x+cos x-tan x= + -1 '2 2 '2 2 ='2-1 본책 103~105쪽 1 8 삼 각 비 sin x= tan x= CE” DC” = 4'2 9 CE” DE” = 4'2 7 ∴ sin x tan x = 4'2 9 _ 7 4'2 = 7 9 ➊ ∠CDE=∠CAB=x임을 알 수 있다. ➋ sin x, tan x의 값을 구할 수 있다. ➌ sin x tan x 의 값을 구할 수 있다. 0618 ∠ABC=∠EDC =∠EAD=x ① △ADE에서(cid:100)(cid:100)tan x= x B ② △ABC에서(cid:100)(cid:100)tan x= ③ △ABD에서(cid:100)(cid:100)tan x= ④ △ADC에서(cid:100)(cid:100)tan x= DE” AE” AC” AB” AD” BD” CD” AD” CE” DE” ⑤ △DCE에서(cid:100)(cid:100)tan x= (cid:9120) ③ △BFH에서 ∠BFH=90° B 0619 이고 FH”='2_3=3'2(cm) BH”='3_3=3'3(cm) 3'2 FH” 3'3 BH” '6 3 ∴ cos x= = = 3`cm F 3Â3`cm x H 3Â2`cm (cid:9120) ⑤ … ➋ … ➌ (cid:9120) 7 9 40% 40% 20% A x D E x C 0621 △CEG에서 ∠CGE=90°이고 CG”=4 EG”='2_4=4'2 CE”='3_4=4'3 이므로 … ➊ E x 4Â3 4Â2 sin x= CG” CE” = = '3 3 cos x= = = 4 4'3 4'2 4'3 4 4'2 EG” CE” CG” EG” tan x= = = '6 3 '2 2 (cid:100)(cid:100)∴ cosx sinx_tan x '6 3 3 = _ _ =2 '3 2 '2 ➊ CG”, EG”, CE”의 길이를 구할 수 있다. ➋ sin x, cos x, tan x의 값을 구할 수 있다. ➌ 식의 값을 구할 수 있다. 0622 △OHQ에서 OQ”=OA”-AQ”=5-1=4 OH”=5 이므로 (cid:100)(cid:100)QH”="√5¤ -4¤ =3 따라서 △PQH에서 tan x= PH” QH” 12 = =4 3 0623 BM”은 정삼각형 BCD의 높이이 '3 므로(cid:100)(cid:100)BM”= _6=3'3(cm) 2 꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 △BCD의 무게중심 2 이므로(cid:100)(cid:100)BH”= BM”=2'3(cm) 3 AH”는 정사면체의 높이이므로 (cid:9120) ① C 4 G … ➋ … ➌ (cid:9120) 2 30% 60% 10% P A Q x O H B (cid:9120) ③ A x B 6`cm D MH C (cid:9120) ③ 18 삼각비 63 0620 △AEG에서 ∠AEG=90°이고 A AE”=5 cm EG”="√3¤ +4¤ =5(cm) AG”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2(cm) 이므로 sin x= AE” AG” = 5 5'2 = '2 2 5`cm 5Â2`cm E 5`cm x G (cid:100)(cid:100)AH”= _6=2'6(cm) '6 3 ∴ tan x= AH” BH” = 2'6 2'3 ='2 (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지64 SinsagoHitec 0624 cos 30°_sin 45°-cos 45°_tan 30° '3 2 '6 4 '2 = _ - _ 2 '6 6 = - = '2 2 '6 12 '3 3 0625 ① sin 30°_tan 60°÷cos 45° '2 = _'3÷ = _'2= 2 '3 2 1 2 '6 2 '2 2 4'3 3 '3 2 '3 2 ② 2sin 60°-'2 sin 45°+tan 30° =2_ -'2_ + '3 3 ='3-1+ = '3 3 -1 ③ '3 cos 30°='3_ = 3 2 1+cos 60°=1+ = 1 2 3 2 (cid:100)(cid:100)∴ '3 cos 30°=1+cos 60° ④ tan 30°= = 1 tan 60° ⑤ tan 45°÷cos 45°=1÷ =1_'2='2 '2 2 sin 45°= (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ tan 45°÷cos 45°+sin 45° (cid:9120) ②, ⑤ 0626 '3 sin 60°- '3 cos 30°_tan 45° '3 tan 60° '3 2 1 '3_'3 ='3_ -{'3_ _1}_ 1 '3 '2 2 '3 2 1 2 = - =1 3 2 0627 sin 30°= 1 2 1 2 1 }2 -a_ -3=0 2 (cid:100)(cid:100) a=-2(cid:100)(cid:100)∴ a=-4 (cid:100)(cid:100)4_{ 1 2 ➊ sin 30°의 값을 구할 수 있다. ➋ a의 값을 구할 수 있다. 근과 계수의 관계에서 3 (cid:100)(cid:100) _k=- (cid:100)(cid:100)∴ k=- 4 1 2 3 2 (cid:100)(cid:100) +{- }= (cid:100)(cid:100)∴ a=-4 3 2 a 4 1 2 64 정답 및 풀이 0628 A=sin 60°+cos 30° = + ='3 B=tan 45°-cos 45° =1- = '3 2 '3 2 2-'2 2 '2 2 2-'2 2 2 } (cid:9120) ③ ∴ A¤ +B¤ =('3)¤ +{ =3+ 6-4'2 4 9 = -'2 2 (cid:9120) ③ (cid:9120) -2 0629 sin A+cos A=sin 60°+cos 60°= sin A-cos A=sin 60°-cos 60°= ∴ 1 sin A+cos A - 1 sin A-cos A '3+1 2 '3-1 2 = = - 2 '3-1 2 '3+1 2('3-1)-2('3+1) ('3+1)('3-1) =-2 1 sin A+cos A - 1 sin A-cos A = = (sin A-cos A)-(sin A+cos A) (sin A+cos A)(sin A-cos A) -2 cos 60° sin¤ 60°-cos¤ 60° 2 2 -2 cos A sin¤ A-cos¤ A = 1 2 ={-2_ }÷[{ =(-1)_2=-2 '3 2 -{ } 1 2 } ] 0630 20°0 ∴ "√(1-tan A)¤ =1-tan A 0667 0°0 ∴ "√(cos x-1)¤ +"√(cos x+1)¤ =-(cos x-1)+(cos x+1) =-cos x+1+cos x+1 =2 0668 0°0, sin A-cos A<0 ∴ "√(cos A-sin A)¤ -"√(sin A-cos A)¤ =(cos A-sin A)-{-(sin A-cos A)} =cos A-sin A+sin A-cos A =0 (cid:9120) ① (cid:9120) ④ (cid:9120) ⑤ … ➊ … ➋ (cid:9120) 0 40% 60% 18 삼각비 67 0661 ⑤ tan A의 최솟값은 tan 0°=0이지만 tan 90°의 값은 정할 수 없으므로 tan A의 최댓값은 알 수 없다. ➊ cos A-sin A, sin A-cos A의 값의 부호를 알 수 있다. (cid:9120) ⑤ ➋ 식을 간단히 할 수 있다. (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지68 SinsagoHitec 0669 45°0, sin x-cos x>0 ∴ "√(1-sin x)¤ +"√(sin x-cos x)¤ =(1-sin x)+(sin x-cos x)=1-cos x 즉 1-cos x= 이므로(cid:100)(cid:100)cos x= 1 2 1 2 ∴ x=60° 0670 주어진 삼각비의 표에서 sin 74°=0.9613, tan 72°=3.0777 이므로(cid:100)(cid:100)x=74°, y=72° ∴ x+y=74°+72°=146° 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 = '3 2 sin B= AH” 10 ∴ AH”=5'3 ∴ cos C= CH” AC” = '6 9 △ACH에서(cid:100)(cid:100)CH”="√9¤ -(5'3)¤ ='6 (cid:9120) 60° A H 10 9 B C (cid:9120) ② 0678 sin, cos의 뜻을 이용하여 직각삼각형을 그려 본다. 0671 cos 73°+tan 75°-sin 72° sin A:cos A= =0.2924+3.7321-0.9511=3.0734 (cid:9120) 3.0734 AB” AC” : BC” AC” =BC”:AB” =7:24 A 24 0672 ⑤ tan 46°-sin 49°=1.0355-0.7547=0.2808 (cid:9120) ⑤ 0673 sin 62°= =0.8829에서(cid:100)(cid:100)x=8.829 cos 62°= =0.4695에서(cid:100)(cid:100)y=4.695 x 10 y 10 ∴ x+y=8.829+4.695=13.524 (cid:9120) 13.524 이므로 위의 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=24, BC”=7 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. (cid:100)(cid:100)∴ tan A= 7 24 ∠A=54°이므로(cid:100)(cid:100)∠B=90°-54°=36° 0674 주어진 삼각비의 표에서 tan 36°=0.7265이므로 tan 36°= =0.7265 AC” 50 ∴ AC”=50_0.7265=36.325 … ➊ 0679 의 좌표를 구한다. tan A의 값과 △AOB의 넓이를 이용하여 두 점 A, B tan A= 이므로 OA”=3k, OB”=4k(k>0)로 놓으면 4 3 직각삼각형 AOB에서 … ➋ (cid:9120) 36.325 AB”="√(3k)¤ +(4k)¤ =5k OA”_OB”=AB”_OH”이므로 ➊ ∠B의 크기를 구할 수 있다. ➋ AC”의 길이를 구할 수 있다. 20% 80% OB”=cos x=0.7986 0675 주어진 삼각비의 표에서 cos 37°=0.7986이므로(cid:100)(cid:100)x=37° AB”=sin 37°=0.6018, CD”=tan 37°=0.7536이므로 AB”+CD”=0.6018+0.7536=1.3554 (cid:9120) 1.3554 0676 ∠BEF=∠HEF임을 이용한다. 점 F에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하고 오른쪽 그림과 같이 점 F에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △BFE가 이등변삼각형이므로 BF”=BE”=ED”=4 BC'”=DC”=2이므로 △BC'F에서 A B C' E x x 4 H x F D 2 C C'F”="√4¤ -2¤ =2'3 HD”=FC”=C'F”=2'3이므로(cid:100)(cid:100)EH”=ED”-HD”=4-2'3 따라서 △EFH에서 tan x= HF” EH” = 2 4-2'3 =2+'3 68 정답 및 풀이 3k_4k=5k_1(cid:100)(cid:100)∴ k= 5 12 OA”=3k= , OB”=4k= 이므로 5 4 5 4 A{- , 0}, B{0, 5 3 5 3 } 따라서 직선의 방정식은(cid:100)(cid:100)y= x+ 4 3 5 3 4 ∴ a+b= + =3 3 5 3 △AOH에서(cid:100)(cid:100)tan A= OH” AH” = 1 AH” = 4 3 ∴ AH”= (cid:100)(cid:100)∴ OA”=æ≠1¤ + 3 4 3 4 ¤ = } 5 4 { △AOB에서(cid:100)(cid:100)tan A= OB” OA” = 4 3 4 ∴ OB”= _ = 3 5 4 5 3 5 따라서 A{- , 0}, B{0, 4 5 3 }이므로 직선의 방정식은 (cid:9120) ⑤ (cid:100)(cid:100)y= x+ (cid:100)(cid:100)∴ a+b= + =3 4 3 5 3 4 3 5 3 (cid:9120) '6 9 C 7 B (cid:9120) ② (cid:9120) ② (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지69 SinsagoHitec 먼저 DE” ¤ =AE”_CE”임을 이용하여 DE”의 길이를 구 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°임을 이용하여 A 0683 의 크기를 구한다. 본책 112~115쪽 1 8 삼 각 비 삼각형의 세 내각의 크기를 a, 2a, 3a(a>0)라 하면 삼각 A x y 16 E 4 C y x x D 형의 세 내각의 크기의 합은 180°이므로 a+2a+3a=180°(cid:100)(cid:100)∴ a=30° 따라서 A=30°이므로 sin A : cos A : tan A=sin 30° : cos 30° : tan 30° 1 = : 2 '3 2 : '3 3 ='3 : 3 : 2 (cid:9120) ③ 0684 점 E에서 BC”에 수선을 그어 △EBC의 높이를 구한다. 0680 한다. 직각삼각형 ADC에서 ¤ =16_4=64 DE” ∴ DE”=8 B 직각삼각형 EDC에서 (cid:100)(cid:100)DC”="√8¤ +4¤ =4'å5 ∠DCE=∠ADE=∠BAD=x, ∠EDC=∠EAD=y이므로 2'5 5 sin x= = = DE” DC” = 8 4'5 8 4'5 8 = =2 4 = 2'5 5 cos y= tan x= DE” DC” DE” CE” ∴ (sin x+cos y)tan x={ 2'5 5 + 2'5 5 }_2= 8'5 5 (cid:9120) 8'5 5 직각삼각형의 닮음을 이용한 성질 ① c¤ =ax ② b¤ =ay ③ h¤ =xy c x A b h y C D a B 0681 두 점 M, C에서 각각 BC”, BM”에 수선을 긋는다. '3 BM”=CM”= _12=6'3 2 점 M에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하 면 MH”="√(6'3 )¤ -6¤ =6'2 점 C에서 BM”에 내린 수선의 발을 I라 하면 A M x D 12 I B H C 1 △BCM= _BC”_MH” 2 = _BM”_CI” 1 2 1 _12_6'2= _6'3_CI” 2 이므로 1 2 ∴ CI”=4'6 ∴ sin x= CI” CM” = 4'6 6'3 = 2'2 3 OA”=OC”이므로 △PAO에서 = OP” OA” tan 30°= OP” OC” ∴ OP” : OC”=1 : '3 = 1 '3 0682 △PAO에서 tan 30°를 선분의 길이의 비로 나타낸다. (cid:9120) ⑤ (cid:9120) ② D A E 60æ 60æ x 45æ H 10 C △DBC에서 BC” 10 (cid:100)(cid:100)tan 60°= ='3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=10'3 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 EH”=x 라 하면 △ECH에서 tan 45°= =1 x CH” B 이므로 (cid:100)(cid:100)CH”=x(cid:100)(cid:100)∴ BH”=10'3-x △EBH에서 (cid:100)(cid:100)tan 60°= BH” EH” = 10'3-x x ='3 10'3-x='3x,(cid:100)(cid:100)('3+1)x=10'3 ∴ x= =5(3-'3) 10'3 '3+1 1 2 ∴ △EBC= _10'3_5(3-'3) =75('3-1) 0685 이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발 을 각각 E, F라 하자. △ABE에서 = AE” 10 sin 60°= '3 2 (cid:100)(cid:100)∴ AE”=5'3(cm) 1 2 또 cos 60°= BE” 10 (cid:100)(cid:100)BE”=5(cm) CF”=BE”=5cm이므로 = 이므로 AD”=EF”=20-2_5=10(cm) 1 ∴ (cid:8772)ABCD= _(10+20)_5'3 2 =75'3(cm¤ ) 두 점 A, D에서 BC”에 수선을 그어 등변사다리꼴의 높 (cid:9120) 75('3-1) A 10`cm D 5Â3`cm E 10`cm F C 5`cm 10`cm 60æ B 5`cm (cid:9120) ③ 18 삼각비 69 (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지70 SinsagoHitec 0686 크기가 75°인 각이 있는 직각삼각형을 찾는다. △CAB에서 tan 30°= 4 AB” ∴ AB”=4'3 = '3 3 △BAE에서 AE”=BE”이므로 ∠BAE=∠ABE=45° sin 45°= = 이므로 '2 2 BE” 4'3 BE”=2'6 △CFB에서 C F 4 B 45æ 45æ 45æ G 30æ 45æ D A ③ tan x= =DE”, tan y= DE” BD” BD” DE” = 1 DE” 이므로 (cid:100)(cid:100)tan x_tan y=DE”_ 1 DE” ④ x의 크기가 작아지면 y의 크기는 커지므로 tan y의 값은 커 =1 진다. E ⑤ y의 크기가 커지면 x의 크기는 작아지므로 sin x의 값은 작 (cid:9120) ⑤ 아진다. △EBD에서(cid:100)(cid:100)x+y=90° 따라서 x의 크기가 커지면 y의 크기는 작아지고, x의 크기가 작 아지면 y의 크기는 커진다. (cid:100)(cid:100)sin 45°= CF” 4 '2 2 = (cid:100)(cid:100)∴ CF”=2'2 ∴ CD”=CF”+FD”=CF”+BE” =2'2+2'6=2('2+'6) AE”=BE”=2'6, DE”=FB”=CF”=2'2이므로 (cid:100)(cid:100)AD”=AE”-DE”=2'6-2'2=2('6-'2) △CAD에서 tan 75°= CD” AD” = 2('6+'2) 2('6-'2) =2+'3 (cid:9120) ② 0687 sin 30°, cos 30°의 값을 주어진 일차방정식에 대입한다. sin 30°= , cos 30°= 을 주어진 일차방정식에 각각 1 2 '3 2 대입하여 정리하면 2 '3 (cid:100)(cid:100)2x+ y=2(cid:100)(cid:100)∴ y=-'3x+'3 오른쪽 그림에서 tan a= OB” OA” 이므로(cid:100)(cid:100)a=60° ='3 sin¤ a+cos (a-60°) tan¤ a ∴ = sin¤ 60°+cos 0° tan¤ 60° 2 =[{ '3 2 +1]_ } 1 ('3 )¤ = 7 12 y B Â3 y=-Â3x+Â3 1a A x O 0688 길이의 비로 나타낸다. ∠BAC=∠BED임을 이용하여 삼각비의 값을 선분의 AC”∥ED”이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BED=y (동위각) ① cos y=cos (∠BAC)= =AC” ② cos x= =BC” BC” AB” sin y=sin (∠BAC)= =BC” (cid:100)(cid:100)∴ cos x=sin y AC” AB” BC” AB” 70 정답 및 풀이 0689 하여 주어진 식을 간단히 한다. 삼각비의 값의 대소를 비교한 후 제곱근의 성질을 이용 45°0, cos A-sin A<0 ∴ "√(sin A+cos A)¤ +"√(cos A-sin A)¤ =(sin A+cos A)-(cos A-sin A) =sin A+cos A-cos A+sin A =2 sin A= ∴ sin A= 30 17 15 17 45°0)로 놓으면 (cid:100)(cid:100)OA”="√(5k)¤ -(3k)¤ =4k 일차함수의 그래프의 기울기는 (cid:100)(cid:100) OB” OA” 3k = = 4k 3 4 … ➍ (cid:9120) 풀이 참조 3 구하는 일차함수의 식을 y= x+b로 놓으면 이 그래프가 점 4 (cid:100) (cid:100)(cid:100)CD” ⑵ AD”=x라 하면 BD”=5-x이므로 ¤ =(4'5)¤ -x¤ =('ß65)¤ -(5-x)¤ (cid:100) (cid:100)(cid:100)10x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ CD”="√(4'5)¤ -4¤ =8 ⑶ sin A= (cid:100) cos A= (cid:100) tan A= 2'5 5 '5 5 CD” AC” AD” AC” CD” AD” = = = 8 4'5 4 4'5 8 = =2 4 = ➊ AB”, BC”, CA”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AD”의 길이를 구할 수 있다. ➌ CD”의 길이를 구할 수 있다. ➍ sin A, cos A, tan A의 값을 구할 수 있다. 0692 먼저 tan x=;3@;임을 이용하여 BC”의 길이를 구한다. (cid:100)(cid:100)y= x+ 7 2 △ABC에서(cid:100)(cid:100)tan x= 12 BC” = 2 3 ∴ BC”=18 AD”=BD”=a라 하면 CD”=18-a이므로 △ADC에서 a¤ =(18-a)¤ +12¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=13 ∴ AD”=BD”=13, CD”=5 (cid:100)(cid:100)∴ cos y= CD” AD” = 5 13 0695 직각삼각형의 닮음을 이용하여 크기가 같은 각을 찾는다. 30% 30% 10% 30% (2, 5)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)5= +b (cid:100)(cid:100)∴ b= 7 2 따라서 구하는 일차함수의 식은 3 2 3 4 … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 5 13 40% 40% 20% … ➋ (cid:9120) '∂23 11 70% 30% ➊ 일차함수의 그래프의 기울기를 구할 수 있다. ➋ 일차함수의 그래프의 y절편을 구할 수 있다. ➌ 일차함수의 식을 구할 수 있다. △ABCª△EBD (AA 닮음)이므로 직각삼각형 ABC에서 BC”="√9¤ +12¤ =15 ∠BCA=∠BDE=x ∴ cos x= AC” BC” = 12 15 △ABCª△GFC (AA 닮음)이므로 ∠ABC=∠GFC=y ∴ sin y= AC” BC” = 12 15 = 4 5 = 4 5 ∴ cos x-sin y= - =0 4 5 4 5 ➊ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ cos x의 값을 구할 수 있다. ➌ sin y의 값을 구할 수 있다. ➍ cos x-sin y의 값을 구할 수 있다. (cid:9120) y= x+ 3 4 7 2 … ➊ … ➋ … ➌ 50% 30% 20% … ➊ … ➋ … ➌ … ➍ (cid:9120) 0 10% 40% 40% 10% 18 삼각비 71 ➊ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AD”, CD”의 길이를 구할 수 있다. ➌ cos y의 값을 구할 수 있다. 0693 sin(90°-A)=;1!2!;을 만족시키는 직각삼각형을 그린다. 11 sin (90°-A)= 이므로 오른쪽 12 그림과 같이 ∠B=90°, AB”=11, AC”=12 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 BC”="√12¤ -11¤ ='ß23이므로 'ß23 11 (cid:100)(cid:100)tan A= 90æ-A 12 11 C B … ➊ A ➊ 조건을 만족시키는 직각삼각형을 그릴 수 있다. ➋ tan A의 값을 구할 수 있다. (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지72 SinsagoHitec 0696 삼각형의 내심의 성질을 이용하여 ∠A의 크기를 구한다. 특수한 각의 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구할 수 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90°+ ∠A 105°=90°+ ∠A 1 2 1 2 ∴ ∠A=30° ∴ sin A+cos¤ A-tan¤ A `=sin 30°+cos¤ 30°-tan¤ 30° 1 = +{ 2 '3 2 2 } -{ '3 3 2 } = 11 12 ➊ ∠A의 크기를 구할 수 있다. ➋ sin A+cos¤ A-tan¤ A의 값을 구할 수 있다. 삼각형의 내심의 활용 점 I가 삼각형 ABC의 내심일 때, (cid:100)(cid:100)∠BIC=90°+ ∠A ;2!; A I B C 0697 길이를 구한다. 30°의 삼각비의 값을 이용하여 AD”, AC”, AB”, BC”의 △EAD에서(cid:100)(cid:100)cos 30°= AD” 8 = '3 2 (cid:100)(cid:100)∴ AD”=4'3(cm) △DAC에서(cid:100)(cid:100)cos 30°= (cid:100)(cid:100)∴ AC”=6(cm) △CAB에서(cid:100)(cid:100)cos 30°= (cid:100)(cid:100)∴ AB”=3'3(cm) △CAB에서(cid:100)(cid:100)sin 30°= = '3 2 AC” 4'3 AB” 6 = '3 2 BC” 6 = 1 2 (cid:100)(cid:100)∴ BC”=3(cm) (cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _3'3_3= 1 2 9'3 2 (cm¤ ) ➊ AD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➍ BC”의 길이를 구할 수 있다. ➎ △ABC의 넓이를 구할 수 있다. 72 정답 및 풀이 E 60æ C 45æ A 60æ 6 45æ H F B 60æ D … ➊ 0698 있도록 점 B에서 AF”에 수선을 긋는다. 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AF”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △AHB에서 '2 2 = (cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'2 cos 45°= AH” 6 sin 45°= BH” 6 '2 2 = (cid:100)(cid:100)∴ BH”=3'2 또 △BHF에서 (cid:100)(cid:100)tan 60°= 3'2 FH” (cid:100)(cid:100)∴ AF”=AH”+FH”=3'2+'6 △ABC에서 ='3(cid:100)(cid:100)∴ FH”='6(cid:100)(cid:100) ='3 (cid:100)(cid:100)tan 60°= AC” 6 (cid:100)(cid:100)∴ AC”=6'3 △EACª△FAB(AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)AC” : AB”=EA” : FA” (cid:100)(cid:100)6'3 : 6=EA” : (3'2+'6) (cid:100)(cid:100)∴ EA”=3'2+3'6 (cid:100)(cid:100)∴ EF”=EA”+AF” =(3'2+3'6)+(3'2+'6) =6'2+4'6 ➊ AF”의 길이를 구할 수 있다. ➋ EA”의 길이를 구할 수 있다. ➌ EF”의 길이를 구할 수 있다. 0699 만족시키는 A의 크기를 구한다. 주어진 이차방정식을 풀어 sin A의 값을 구한 후, 이를 2x¤ +x-1=0에서(cid:100)(cid:100)(x+1)(2x-1)=0 0°0) 라 하면 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=2a_3a_sin 45° 7 (cid:9120) cm 4 '2 =2a_3a_ =3'2a¤ (cm¤ ) 2 3'2a¤ =8'2에서(cid:100)(cid:100)a¤ = 2'6 3 (cid:100)(cid:100)∴ a= (∵ a>0) 8 3 따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 2'6 3 2(2a+3a)=10a=10_ = 20'6 3 (cm) 0800 긋는다. 추가 가장 높이 올라갔을 때의 지점에서 AB”에 수선을 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 AB”에서 추까 지의 수평 거리는 CH”의 길이와 같으므로 (cid:100)(cid:100)CH”=40 sin 30° (cid:9120) ③ A H B 30æ 40`cm C … ➊ 19 삼각비의 활용 81 (cid:9120) 3 5 =40_ 1 2 =20(cm) (047~082)중3쎈_해설 2015.2.13 12:30 PM 페이지82 SinsagoHitec ⑵ 오른쪽 그림에서 추의 높이는 BH”의 길이와 A 0803 △ABC의 넓이를 이용하여 AB”의 길이를 구한다. 같다. 이때 (cid:100)(cid:100)AH”=40 cos 25°=40_0.9=36(cm) 이므로(cid:100)(cid:100)BH”=40-36=4(cm) … ➋ (cid:9120) ⑴ 20cm(cid:100)⑵ 4cm 40`cm 40`cm 25æ H C B ➊ 가장 높이 올라갔을 때의 수평 거리를 구할 수 있다. ➋ 오른쪽으로 25°만큼 움직였을 때의 추의 높이를 구할 수 있다. 40% 60% 0801 △AFC가 어떤 삼각형인지 알아본다. △DGH에서(cid:100)(cid:100)DH”=6 tan 60°=6'3 △CFG에서 CG”=DH”=6'3이므로 =6'3_'2=6'6 AB”=GH”=6, BC”=FG”=CG”=6'3이므로 △ABC에서 6'3 sin 45° FC”= … ➊ AC”="√6¤ +(6'3)¤ =12 마찬가지로 △ABF에서 AF”=12이므로 △AFC는 이등변삼각 형이다. 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 FC”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 (cid:100)(cid:100)FM”=CM”=3'6 △AFM에서 (cid:100)(cid:100)AM”="√12¤ -(3'6)¤ =3'∂10 … ➌ M 6Â6 … ➋ 12 12 A C F x ∴ tan x= AM” FM” = 3'∂10 3'6 = 'ß15 3 ➊ FC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ FM”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AM”의 길이를 구할 수 있다. ➍ tan x의 값을 구할 수 있다. 0802 로 나타낸다. AH”=h cm로 놓고 BH”, CH”의 길이를 h에 대한 식으 AH”=h cm라 하면 ∠BAH=60°, ∠CAH=45°이므로 BH”=h tan 60°='3h (cm) CH”=h tan 45°=h (cm) '3h-h=3이므로(cid:100)(cid:100)('3-1)h=3 3('3+1) 2 ∴ h= … ➊ … ➋ ∴ MH”=MC”+CH”= + 3 2 3('3+1) 2 =3+ (cm) 3'3 2 … ➌ (cid:9120) {3+ 3'3 2 cm } … ➍ (cid:9120) 'ß15 3 20% 40% 20% 20% △ABC= _5_AB”_sin 60°=10'3이므로 1 2 (cid:100)(cid:100) 5'3 4 AB”=10'3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=8(cm) 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 … ➊ A AH”=8 sin 60°=8_ =4'3(cm) BH”=8 cos 60°=8_ =4(cm) '3 2 1 2 8`cm B 60æ 5`cm C H CH”=5-4=1(cm)이므로 AC”="√(4'3)¤ +1¤ =7(cm) ➊ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AC”의 길이를 구할 수 있다. 평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180°임 0804 을 이용하여 ∠A, ∠D의 크기를 구한다. ∠A : ∠D=3 : 1이므로 ∠A=180°_ =135°, ∠D=180°_ =45° … ➊ 1 4 ∴ △OCD= (cid:8772)ABCD 3 4 1 4 1 4 1 4 = _(3_4_sin 45°) = _{3_4_ }= '2 2 3'2 2 ➊ ∠A, ∠D의 크기를 구할 수 있다. ➋ △OCD의 넓이를 구할 수 있다. 0805 △AOD의 넓이를 이용하여 AO”의 길이를 구한다. ∠AOD=180°-120°=60°이므로 △AOD= _AO”_6_sin 60°=18'3 1 2 3'3 2 AO”=18'3(cid:100)(cid:100)∴ AO”=12 AC”=12+6=18, AC”+BD”=40이므로(cid:100)(cid:100)BD”=22 ∴ (cid:8772)ABCD= _18_22_sin 60° 1 2 1 2 = _18_22_ =99'3 '3 2 … ➋ (cid:9120) 7 cm 40% 60% … ➋ (cid:9120) 3'2 2 40% 60% … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 99'3 40% 20% 40% ➊ BH”, CH”의 길이를 h에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ➋ h의 값을 구할 수 있다. ➌ MH”의 길이를 구할 수 있다. 20% 50% 30% ➊ AO”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AC”, BD”의 길이를 구할 수 있다. ➌ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다. 82 정답 및 풀이 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지83 SinsagoHitec 원과 직선 20 0806 (cid:9120) ㈎ OB” ㈏ RHS ㈐ BM” 0807 AH”="√10¤ -6¤ =8(cm)이므로 x=2_8=16 0808 AH”="√9¤ -5¤ =2'∂14(cm)이므로 x=2_2'∂14=4'∂14 0809 AH”= _8=4(cm)이므로 1 2 x="√5¤ -4¤ =3 0810 AH”= _20=10(cm)이므로 1 2 x="√10¤ +10¤ =10'2 0824 CE”=CF”=AC”-AF”=AC”-AD”=10-x 본책 135~142쪽 (cid:9120) 10-x 2 0 원 과 직 선 0825 BC”=BE”+CE”이므로 12=(8-x)+(10-x),(cid:100)(cid:100)2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (cid:9120) 3 ∠ODB=∠OEB=90°이므로 (cid:8772)DBEO는 직사각형이 0826 고, OD”=OE”=r에서 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 (cid:8772)DBEO는 정사각형이다. (cid:9120) 풀이 참조 (cid:9120) 16 (cid:9120) 4'∂14 0827 AC”="√12¤ +5¤ =13 0828 DB”=EB”=r이므로 (cid:9120) 3 AF”=AD”=5-r, CF”=CE”=12-r 0829 AC”=AF” ”+CF”이므로 (cid:9120) 10'2 13=(5-r)+(12-r),(cid:100)(cid:100)2r=4(cid:100)(cid:100)∴ r=2 (cid:9120) 2 (cid:9120) AF”=5-r, CF”=12-r 0811 (cid:9120) 7 0812 (cid:9120) 2 x+12=7+15이므로(cid:100)(cid:100)x=10 0813 x=2_6=12 (cid:9120) 12 7+11=x+15이므로(cid:100)(cid:100)x=3 0830 0831 0814 2x=12이므로(cid:100)(cid:100)x=6 AB”=CD”=2_4=8(cm)이므로(cid:100)(cid:100)x=6 CD”=2_8=16(cm)이므로(cid:100)(cid:100)x=7 (cid:9120) 6 (cid:9120) 6 (cid:9120) 7 점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각 0832 형 AHO에서(cid:100)(cid:100)AH”="√7¤ -3¤ =2'ß10(cm) ∴ AB”=2 AH”=4'ß10(cm) 0833 AH”= AB”=5(cm)이므로 원 O의 반지름의 길이를 1 2 ㈀ AB”=2 AM”=2DN”=CD” 0817 ㈁ AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)OM”=ON” ㈂ AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)∠AOB=∠COD (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ μAB=μ CD rcm라 하면 직각삼각형 OAH에서 r="√5¤ +5¤ =5'2 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_5'2=10'2p(cm) ㈄ △OAB= _AB”_OM”= _CD”_ON”=△OCD 1 2 1 2 이상에서 옳지 않은 것은 ㈃, ㈅이다. (cid:9120) ㈃, ㈅ 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에 0834 서 CD”에 내린 수선의 발을 E라 하면 (cid:9120) 13 (cid:9120) 10 (cid:9120) 3 (cid:9120) ④ (cid:9120) ④ ∠PAO=∠PBO=90°이므로 (cid:8772)APBO에서 직각삼각형 COE에서 (cid:9120) ㈎ ∠PBO ㈏ OB” ㈐ RHS ㈑ PB” 90°+∠x+90°+120°=360° ∴ ∠x=60° 0820 ∠PAO=∠PBO=90°이므로 (cid:8772)APBO에서 90°+70°+90°+∠x=360° ∴ ∠x=110° 0821 PT”=PT'”=6cm 0822 △TPO는 직각삼각형이므로 PO”="√6¤ +4¤ =2'∂13(cm) 0823 BE”=BD”=8-x (cid:9120) 60° (cid:9120) 110° (cid:9120) 6cm (cid:9120) 2'∂13 cm (cid:9120) 8-x OC”=5cm CE”= CD”=2(cm) 1 2 OE”="√5¤ -2¤ ='ß21(cm) 1 ∴ △COD= _4_'ß21=2'ß21(cm¤ ) 2 ➊ OE”의 길이를 구할 수 있다. ➋ △COD의 넓이를 구할 수 있다. 구하는 거리는 오른쪽 그림에서 OH” 0835 의 길이와 같으므로 직각삼각형 OAH에서 15`cm O OH”="√15¤ -9¤ =12(cm) C E D 2`cm A O 10`cm B … ➊ … ➋ (cid:9120) 2'ß21cm¤ 70% 30% 9`cm B H (cid:9120) ④ A 9`cm 20 원과 직선 83 0815 0816 0818 0819 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지84 SinsagoHitec 0836 DN”= CD”=4이므로 직각삼각형 DON에서 CM”=x cm라 하면 직각삼 C x`cm (cid:100)(cid:100)OD”="√2¤ +4¤ =2'5 OA”=OD”=2'5이므로 직각삼각형 AMO에서 AM”="√(2'5)¤ -3¤ ='∂11 ∴ AB”=2AM”=2'∂11 각형 AOM에서 15¤ =(15-x)¤ +12¤ x¤ -30x+144=0 (x-6)(x-24)=0 ∴ x=6 (∵ 00) r 2 2 } +6¤ 1 2 1 2 1 2 8`cm O A 4`cm M B (cid:9120) ⑤ 6`cm A M r`cm B O cmr 2 (cid:9120) ④ P Q B M 3`cm A 6`cm O 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 0843 을 O라 하면 직각삼각형 AOM에서 OM”="√15¤ -12¤ =9(cm) ∴ CM”=15-9=6(cm) 12`cm A 15`cm C O M 0848 원 O의 반지름의 길이가 6cm이므로 B OA”=6cm, OM”= OA”=3(cm) 직각삼각형 AOM에서 (cid:9120) ① AM”="√6¤ -3¤ =3'3(cm) … ➊ 84 정답 및 풀이 84 정답 및 풀이 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지85 SinsagoHitec PQ”=MQ”= OM”= (cm)이므로 1 2 3 2 △PAQ= _ _3'3= 1 2 3 2 9'3 4 (cm¤ ) ➊ AM”의 길이를 구할 수 있다. ➋ PQ”의 길이를 구할 수 있다. ➌ △PAQ의 넓이를 구할 수 있다. (cid:9120) 9'3 4 cm¤ … ➋ … ➌ 50% 30% 20% 따라서 CD”=2DN”=12(cm)이므로 △OCD= _12_8=48(cm¤ ) (cid:9120) ③ 본책 142~146쪽 2 0 원 과 직 선 0855 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O 에서 CD”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 A (cid:100)(cid:100)CM”= CD”=6(cm) … ➊ B 1 2 10`cm O 20`cm OC”=10 cm이므로 직각삼각형 OMC에서 OM”="√10¤ -6¤ =8(cm) 따라서 두 현 사이의 거리는 16 cm이다. C 6`cm M D … ➋ … ➌ (cid:9120) 16 cm 30% 50% 20% 1 2 1 2 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에 0849 서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 AM”= AB”=12(cm) CM”= CD”=7(cm) O M A C B D ∴ AC”=AM”-CM”=12-7=5(cm) (cid:9120) 5 cm ➊ CM”의 길이를 구할 수 있다. ➋ OM”의 길이를 구할 수 있다. ➌ 두 현 사이의 거리를 구할 수 있다. OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC” 0856 즉 △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠ABC= _(180°-50°)=65° (cid:9120) ④ 0850 AB” : CD”=2 : 1이므로 40 : CD”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=20(cm) 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 BM”= AB”=20(cm) DM”= CD”=10(cm) O A C M D B OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC” 0857 즉 △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠BAC=180°-2_50°=80° 따라서 (cid:8772)AMON에서 ∴ BD”=BM”-DM”=20-10=10(cm) (cid:9120) 10 cm ∠MON=360°-(80°+90°+90°)=100° (cid:9120) 100° 1 2 1 2 1 2 1 2 0851 OB”=OA”=7cm이므로 직각삼각형 OMB에서 MB”="√7¤ -2¤ =3'5(cm) MD”=3'5-'5=2'5(cm)이므로 직각삼각형 OMD에서 OD”="√2¤ +(2'5)¤ =2'6(cm) 따라서 작은 원의 넓이는 p_(2'6)¤ =24p(cm¤ ) 0852 직각삼각형 AMO에서(cid:100)(cid:100)AM”="√(3'2)¤ -3¤ =3(cm) ∴ AB”=2 AM”=6(cm) 이때 OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=6 cm (cid:9120) ④ 0853 AM”=BM”이므로(cid:100)(cid:100)x=4 OM”=ON”에서 CD”=AB”이므로(cid:100)(cid:100)y=8 ∴ x+y=12 0854 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O 에서 CD”에 내린 수선의 발을 N이라 하 면 AB”=CD”이므로 A M 10`cm 8`cm O B ON”=OM”=8cm 직각삼각형 OND에서 DN”="√10¤ -8¤ =6(cm) (cid:9120) ⑤ (cid:9120) 12 D N C △ABC에서 AM”=BM”, AN”=CN”이므로 삼각형의 0858 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 BC”=2MN”=12(cm) OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”=2AM”=10(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+AC”=10+12+10=32(cm) (cid:9120) ③ 0859 OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC” 1 ∴ ∠ABC=∠ACB= _(180°-60°)=60° 2 즉 △ABC는 정삼각형이다. ③ BM”=6 cm이므로 직각삼각형 OMB에서 (cid:100)(cid:100)BM” : OB”='3 : 2,(cid:100)(cid:100)6 : OB”='3 : 2 (cid:100)(cid:100)∴ OB”=4'3 (cm) ④ OM” : BM”=1 : '3에서(cid:100)(cid:100)OM” : 6=1 : '3 (cid:100)(cid:100)∴ OM”=2'3 (cm) '3 4 ⑤ △ABC= _12¤ =36'3 (cm¤ ) 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는(cid:100)(cid:100) a¤ '3 4 (cid:9120) ③ 20 원과 직선 85 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지86 SinsagoHitec 0860 OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=CA” 즉 △ABC는 정삼각형이다. ∠BAC=60°이므로 (cid:100)(cid:100)∠DAO= _60°=30° 1 2 … ➊ 30æ A 6`cm D F O E B C AD”= AB”=3(cm)이고 직각삼각형 ADO에서 1 2 AD”:AO”='3:2,(cid:100)(cid:100)3:AO”='3:2 (cid:100)(cid:100)∴ AO”=2'3 (cm) 따라서 구하는 원 O의 넓이는 p_(2'3)¤ =12p(cm¤ ) 0864 오른쪽 그림에서 OT”=5'3 cm, ∠PTO=90° ∠POT=2_30°=60° 이므로 △OPT에서 (cid:100)(cid:100)OT” : PT”=1 : '3 (cid:100)(cid:100)5'3 : PT”=1 : '3 (cid:100)(cid:100)∴ PT”=15(cm) B 5Â3`cm O 30æ A 60æ 30æ T P (cid:9120) ③ … ➋ ∠PAC=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠PAB=90°-18°=72° 0865 이때 PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로 ∠APB=180°-2_72°=36° (cid:9120) ③ 0866 PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로 ∠PAB= _(180°-52°)=64° (cid:9120) 64° 1 2 … ➌ (cid:9120) 12p cm¤ 30% 50% 20% ➊ △ABC가 정삼각형임을 알 수 있다. ➋ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➌ 원 O의 넓이를 구할 수 있다. AE”= _6=3'3 (cm) '3 2 점 O는 정삼각형 ABC의 무게중심이므로 AO”= AE”=2'3 (cm) 2 3 따라서 구하는 원 O의 넓이는 12p cm¤ 이다. 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 2:1로 나눈다. 오른쪽 그림에서 ∠PTO=90° 0861 이므로 원 O의 반지름의 길이를 rcm라 하면 직각삼각형 OPT에서 (r+6)¤ =r¤ +12¤ 12r=108(cid:100)(cid:100)∴ r=9 6`cm r`cm A P 12`cm O r`cm T ∠OTP=90°이고 OT”=6cm이므로 직각삼각형 OPT 0862 에서 (cid:100)(cid:100)PT”="√8¤ -6¤ =2'7(cm) 0863 1 2 1 2 △OPT는 ∠OTP=90°인 직각삼각형이므로 _PT”_OT”=5'6 즉 _2'6_OT”=5'6이므로(cid:100)(cid:100)OT”=5(cm) 따라서 원 O의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_5¤ =25p(cm¤ ) (cid:9120) ④ (cid:9120) ④ … ➊ … ➋ (cid:9120) 25p cm¤ 70% 30% ➊ OT”의 길이를 구할 수 있다. ➋ 원 O의 넓이를 구할 수 있다. 86 정답 및 풀이 0867 ① PB”=PA”=8cm ② ∠PAO=∠PBO=90° ③ AB”의 길이는 알 수 없다. ④ ∠PAO=∠PBO=90°이므로 (cid:8772)APBO에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∠AOB+∠APB=360°-(90°+90°)=180° ⑤ △APO와 △BPO에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∠PAO=∠PBO=90°, (cid:100) (cid:100)(cid:100)PO”는 공통, OA”=OB” (cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)△APO≡△BPO(RHS 합동) 0868 PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로 1 ∠PAB=∠PBA= _(180°-60°)=60° 2 즉 △APB는 정삼각형이므로 △APB= _4¤ =4'3(cm¤ ) '3 4 (cid:9120) ③ (cid:9120) 4'3 cm¤ … ➊ … ➋ 70% 30% ➊ △APB가 정삼각형임을 알 수 있다. ➋ △APB의 넓이를 구할 수 있다. △APB= _4_4_sin60°=4'3(cm¤ ) 1 2 ∠OTP=∠OT'P=90°이므로 0869 (cid:100)(cid:100)∠TOT'=180°-70°=110° 따라서 색칠한 부채꼴의 중심각의 크기는 360°-110°=250°이 므로 구하는 넓이는(cid:100)(cid:100)p_6¤ _ =25p (cm¤ ) (cid:9120) ② 250 360 오른쪽 그림에서 0870 ∠PAO=90°이므로 ∠CAO=90°-35°=55° 이때 AC”=BC”이고 OA”=OB”이므로 P C 110æ O A 35æ 55æ B (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지87 SinsagoHitec (cid:8772)ACBO에서(cid:100)(cid:100)∠CAO=∠CBO ∴ ∠AOB=360°-(55°+110°+55°) =140° ∴ ∠APB=180°-140°=40° (cid:9120) ① △ACB는 AC”=BC”인 이등변삼각형이므로 ∠CAB= _(180°-110°)=35° 1 2 ∠PAB=35°+35°=70°이고 △APB는 이등변삼각형이므로 ∠APB=180°-2_70°=40° ∠PAO=90°이므로 직각삼각형 APO에서 0875 (cid:100)(cid:100)PO”="√8¤ +4¤ =4'5(cm) 또 PO”⊥AH”이므로 (cid:100)(cid:100)AP”_AO”=PO”_AH”,(cid:100)(cid:100)8_4=4'5_AH” (cid:100)(cid:100)∴ AH”= (cm) 8'5 5 (cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AH”= (cm) 16'5 5 직각삼각형 APO에서 PO”=13cm, OA”=OB”=5cm 0871 이므로(cid:100)(cid:100)PA” ="√13¤ -5¤ =12 (cm) (cid:9120) ⑤ ➊ PO”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ AB”의 길이를 구할 수 있다. 2 0 원 과 직 선 본책 146~150쪽 … ➊ … ➋ … ➌ 40% 40% 20% (cid:9120) 16'5 5 cm ∠APB=60°, PA”=PB”이므로 △APB는 정삼각형이다. CF”=xcm라 하면 CE”=CF”=xcm이므로 ① (cid:8772)OAPB는 정사각형이므로 (cid:100)(cid:100)CE”=CF” A B 3 3 P 0878 CE”=CA”, DE”=DB”이므로 △PCD의 둘레의 길이는 PC”+PD”+CD”=PA”+PB”=2PB” =2_(4+2)=12(cm) (cid:9120) 12cm ∠AOP=60°, ∠PAO=90°이 0872 므로 직각삼각형 APO에서 AO” : PA”=1 : '3 4 : PA”=1 : '3 ∴ PA”=4'3(cm) 60æ P 4`cm 60æ O 60æ A B ∴ AB”=PA”=4'3 cm 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)∠AOH=60° △OAH에서(cid:100)(cid:100)AH” : OA”='3 : 2 P AH” : 4= '3 :2 (cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AH”=4'3(cm) 0873 (cid:100) (cid:100)(cid:100)OP”='2_3=3'2 ② OA”=PB”=3 1 2 ③ △APB= _3_3= 9 2 ④ μAB=2p_3_ 90 360 3 = p 2 ⑤ (cid:8772)OAPB=3_3=9 (cid:9120) 4'3 cm A 60æ O 4`cm H B O (cid:9120) ③ A ∠OAP=90°, ∠OPA=30°이 0874 므로 직각삼각형 AOP에서 OA”:AP”=1:'3 OA”:6=1:'3 ∴ OA”=2'3(cm) ∴ △AOB=(cid:8772)AOBP-△ABP=2△AOP-△ABP 6`cm 30æ O B P 1 2 '3 =2_{ _2'3_6}- _6¤ 4 =12'3-9'3=3'3(cm¤ ) ∠AOB=120°이므로 (cid:9120) 3'3 cm¤ △AOB= _2'3_2'3_sin(180°-120°) = _2'3_2'3_ =3'3 (cm¤ ) '3 2 1 2 1 2 0876 BD”=BE”, CF”=CE”이므로 AD”+AF”=AB”+BC”+CA”=11+8+9=28(cm) AD”=AF”이므로(cid:100)(cid:100)AF”=14(cm) ∴ CF”=AF”-AC”=14-9=5(cm) (cid:9120) 5cm (cid:100)(cid:100)BD”=BE”=(8-x)cm ∴ AD”=11+(8-x)=19-x(cm) AF”=(9+x)cm이고 AD”=AF”이므로 19-x=9+x,(cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5 ㈀ 점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 0877 (cid:100) (cid:100)(cid:100)AD”=AF” ㈃ 점 C에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다. (cid:9120) ② 0879 PY”=PX”=5cm이므로 BY”=PY”-PB”=5-4=1(cm) ∴ BC”=BY”=1cm 또 AX”=PX”-PA”=5-3=2(cm)이므로 AC”=AX”=2cm ∴ AB”=AC”+BC”=2+1=3(cm) AC”=AX”, BC”=BY”이므로 (cid:9120) ③ PA”+PB”+AB”=PX”+PY”=2PX”=2_5=10(cm) 3+4+AB”=10(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3(cm) ∠OPC=90°이므로 직각삼각형 POC에서 0880 (cid:100)(cid:100)PC”="√12¤ -6¤ =6'3(cm) AR”=AP”, BR”=BQ”이므로 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=CP”+CQ”=2CP” =2_6'3=12'3(cm) (cid:9120) ② 20 원과 직선 87 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지88 SinsagoHitec 반원 O와 CD”의 접점을 E라 하면 AD”=DE”, BC”=CE” 0885 이므로 (cid:100)(cid:100)AD”+BC”=DC”=11cm 따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 8`cm FC AB”+BC”+CD”+DA”=8+11+11=30(cm) E B M O 30æ A … ➊ △OAE™△OAF (RHS 합동) 0881 이므로(cid:100)(cid:100)∠OAE=∠OAF=30° 직각삼각형 OAE에서 AE”:AO”='3:2 AE”:8='3:2 ∴ AE”=4'3(cm) BC”와 원 O의 접점을 M이라 하면 BM”=BE”, CM”=CF” 이므로 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=AE”+AF”=2AE” =2_4'3=8'3(cm) ➊ AE”의 길이를 구할 수 있다. ➋ △ABC의 둘레의 길이를 구할 수 있다. … ➋ (cid:9120) 8'3 cm 50% 50% C D 4`cm 13`cm E 오른쪽 그림과 같이 반원 O 0882 와 CD”의 접점을 E라 하면 DE”=AD”=4cm, CE”=BC”=9cm 이므로 (cid:100)(cid:100)DC”=4+9=13(cm) 꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 CDH에서 (cid:100)(cid:100)AB”=DH”="√13¤ -5¤ =12(cm) 따라서 반원 O의 지름의 길이는 12cm이다. 5`cm H 4`cm (cid:9120) ③ A O B 오른쪽 그림에서 △AOC™△EOC, 0883 △BOD™△EOD (RHS 합동)이므로 ∠AOC=∠EOC, ∠BOD=∠EOD ∴ ∠COD=∠EOC+∠EOD A C E O = ∠AOE+ ∠BOE B D 1 2 = ∠AOB 1 2 1 2 1 2 = _180°=90° (cid:9120) 90° 오른쪽 그림과 같이 반원 O와 AB”의 3`cmA D 0884 접점을 P라 하면 AP”=AD”=3cm, BP”=BC”=6cm 이므로(cid:100)(cid:100)AB”=3+6=9(cm) 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 ABH에서 (cid:100)(cid:100)AH”="√9¤ -3¤ =6'2(cm) 따라서 직각삼각형 AHC에서 P 9`cm O C H B 3`cm 3`cm AC”="√(6'2)¤ +3¤ =9(cm) (cid:9120) ③ AH”⊥BC”, BH”=CH”이므로 △ABC는 이등변삼각형 이다. ∴ AC”=AB”=9cm 88 정답 및 풀이 AC”=xcm라 하면 0886 (cid:100)(cid:100)PC”=AC”=xcm, PD”=BD”=10 cm (cid:100)(cid:100)∴ CD”=(10+x)cm 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 BD”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 CDH에서 (10+x)¤ =12¤ +(10-x)¤ 40x=144(cid:100)(cid:100)∴ x=3.6 (cid:9120) ④ 6`cm O A C P 0887 DE”=DA”=6cm, CE”=CB”=10cm이므로 DC”=6+10=16(cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 CDH에서 DH”="√16¤ -4¤ 16`cm E O 6`cm D A =4'∂15 (cm) 1 ∴ (cid:8772)ABCD= _(6+10)_4'∂15 2 … ➋ =32'∂15 (cm¤ ) (cid:9120) 30cm B H 10`cm D … ➊ C 4`cm H 6`cm B … ➌ (cid:9120) 32'∂15 cm¤ 30% 50% 20% PC”=AC”=6 cm, PD”=BD”=4 cm이므로 ➊ DC”의 길이를 구할 수 있다. ➋ DH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다. 0888 (cid:100)(cid:100)CD”=6+4=10(cm) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 CHD에서 (cid:100)(cid:100)AB”=DH”="1√0¤ -≈2¤ C 2`cm H 4`cm A 10`cm P O D B 4`cm 따라서 OP”= AB”=2'6 (cm)이므로 =4'6 (cm) 1 2 1 2 △COD= _10_2'6=10'6 (cm¤ ) (cid:9120) 10'6 cm¤ 0889 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 OAH에서 AH”="√5¤ -3¤ =4(cm) ∴ AB”=2AH”=8(cm) 5`cm A O H 3`cm B (cid:9120) ⑤ (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지89 SinsagoHitec 본책 150~153쪽 A D B {3-r}cm F 5`cm O r`cm E {4-r}cm C 2 0 원 과 직 선 OQ”⊥AB”이고 OA”=2+4=6(cm)이므로 직각삼각형 0890 AQO에서(cid:100)(cid:100)AQ”="√6¤ -2¤ =4'2(cm) ∴ AB”=2AQ”=8'2(cm) (cid:9120) 8'2 cm 0891 큰 원의 반지름의 길이를 rcm, 작은 원의 반지름의 길이를 r'cm라 하면 r¤ =r'¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ r¤ -r'¤ =9 이때 색칠한 부분의 넓이는 큰 원의 넓 이에서 작은 원의 넓이를 뺀 것과 같으 므로 O r'`cm B r`cm A 3`cm pr¤ -pr'¤ =p(r¤ -r'¤ )=9p(cm¤ ) (cid:9120) ② 0892 AD”=AF”=x cm라 하면 BE”=BD”=(12-x)cm, CE”=CF”=(10-x)cm BC”=BE”+CE”이므로(cid:100)(cid:100)14=(12-x)+(10-x) 0897 AB”="√5¤ -4¤ =3(cm) 오른쪽 그림과 같이 원 O의 반지름 의 길이를 r cm라 하면 BD”=BE”=r cm AF”=AD”=(3-r) cm CF”=CE”=(4-r) cm AC”=AF”+CF”이므로 AB”=3 cm이므로 △ABC= _4_3=6 (cm¤ ) 1 2 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (cid:100)(cid:100) _r_(3+4+5)=6(cid:100)(cid:100)∴ r=1 1 2 AF”=AD”=2, BD”=BE”=4, CE”=CF”=2이므로(cid:100)(cid:100) AB”=(x+3)cm, AC”=(x+2)cm (cid:9120) ③ CF”=CE”=2 cm, BD”=BE”=3 cm이므로 0898 AD”=AF”=x cm라 하면 2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4 0893 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=2(AD”+BE”+CF”) =2_(2+4+2)=16 (cid:9120) 16 직각삼각형 ABC에서 (x+3)¤ =(x+2)¤ +5¤ 2x=20(cid:100)(cid:100)∴ x=10 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 5=(3-r)+(4-r),(cid:100)(cid:100)2r=2(cid:100)(cid:100)∴ r=1 (cid:9120) ③ ∠C=180°-(70°+50°)=60° 0894 CE”=CF”이므로 △CEF는 정삼각형이다. (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60° BE”=BD”=4 cm, CE”=CF”=7cm이므로 0895 AD”=AF”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100) 2(x+4+7)=28,(cid:100)(cid:100)2x+22=28 2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3 ∴ AB”=3+4=7(cm) A D 3`cm O F 3`cm B 3`cm E C ➊ AD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AB”의 길이를 구할 수 있다. 0896 오른쪽 그림에서 1 △ABC= _AB”_3 2 =+ _BC”_3 =+ _CA”_3 1 2 1 2 3 2 = (AB”+BC”+CA”)=48 ∴ AB”+BC”+CA”=32(cm) AD”=AF”, BD”=BE”, CE”=CF”이므로 1 AD”+BE”+CF”= (AB”+BC”+CA”) 2 = _32=16(cm) (cid:9120) ④ 1 2 AB”+BC”+CA”=13+5+12=30(cm) (cid:9120) ① (cid:9120) ③ 오른쪽 그림에서 원 O의 반 0899 지름의 길이를 r cm라 하면 (cid:8772)ADOF가 정사각형이므로 AD”=AF”=r cm A F D O r`cm B 4`cm E 6`cm C … ➊ … ➋ (cid:9120) 7 cm 또 BD”=BE”=4 cm, CF”=CE”=6 cm이므로 AB”=(4+r)cm, AC”=(6+r)cm 직각삼각형 ABC에서 10¤ =(4+r)¤ +(6+r)¤ r¤ +10r-24=0,(cid:100)(cid:100)(r+12)(r-2)=0 80% 20% (cid:100)(cid:100)∴ r=2 (∵ r>0) 따라서 원 O의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_2¤ =4p(cm¤ ) ➊ 원 O의 반지름의 길이에 대한 식을 세울 수 있다. ➋ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➌ 원 O의 넓이를 구할 수 있다. D A 0900 △ABC의 내접원의 중심을 O, 접 점을 D, E, F라 하면 (cid:8772)ADOF는 정사각 형이므로(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=OD”=3 cm 직각삼각형 ABC의 외심은 BC”의 중점 이므로 BC”는 △ABC의 외접원의 지름 이다. (cid:100)(cid:100)∴ BC”=17 cm BD”=BE”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)CF”=CE”=(17-x)cm (cid:100)(cid:100)∴ AB”=(x+3)cm, AC”=(20-x)cm O E B … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 4p cm¤ 50% 30% 20% F C 20 원과 직선 89 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지90 SinsagoHitec 직각삼각형 ABC에서 (cid:100)(cid:100)17¤ =(x+3)¤ +(20-x)¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -17x+60=0 (x-5)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또는 x=12 따라서 AB”, AC”의 길이가 8cm, 15 cm이므로 (cid:100)(cid:100)△ABC= _8_15=60(cm¤ ) (cid:9120) 60 cm¤ 1 2 0901 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 8+2+CG”=6+12(cid:100)(cid:100)∴ CG”=8(cm) (cid:9120) 8cm 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 A, D 에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 BH”= _(16-10)=3(cm) 1 2 직각삼각형 ABH에서 (cid:100)(cid:100)AH”="√13¤ -3¤ =4'ß10(cm) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 1 2 _4'ß10=2'ß10(cm) 0902 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 (2x-3)+(x+1)=(x+4)+x 3x-2=2x+4(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (cid:9120) ② 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 0908 AB”에 내린 수선의 발을 F라 하면 (cid:8772)OFBE는 정사각형이다. OE”=r cm라 하면 BE”=r cm이므로 AB”+DC”=AD”+BC”이고 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이가 0903 46 cm이므로 AD”+BC”= _46=23(cm) 1 2 ∴ BP”+CR”=BQ”+CQ”=BC” =23-7=16(cm) (cid:9120) 16 cm 5+8=6+(r+4) ∴ r=3 따라서 원 O의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_3¤ =9p(cm¤ ) 10`cm A D 13`cm B 3`cm O H 10`cm H' C 3`cm (cid:9120) 2'ß10 cm D 6`cm A F 5`cm 8`cm O r`cm B E 4`cm C (cid:9120) ③ 0904 DG”=DH”=2cm이므로(cid:100)(cid:100)DC”=5cm AB”+DC”=AD”+BC”이므로 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CD”+DA”=2(AB”+DC”)=2_(9+5) =28(cm) (cid:9120) ④ 0905 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 AD”+BC”=11+10=21(cm) ∴ BC”=21_ =14(cm) ;3@; 0906 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 A 8+7=AD”+9 ∴ AD”=6(cm) 오른쪽 그림에서 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD (cid:100)=△OAB+△OBC+△OCD D … ➊ 8`cm O 7`cm C 3.6`cm 9`cm B 원의 지름의 길이가 10cm이므로(cid:100)(cid:100)DC”=10cm 0909 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 AD”+BC”=13+10=23(cm) ∴ (cid:8772)ABCD= _23_10=115(cm¤ ) (cid:9120) ④ 1 2 오른쪽 그림에서 원 O의 반 0910 지름의 길이는 AE”=AF”=BF”=BG”=4cm 4`cm A DE x`cm x`cm 8`cm F O 8`cm … ➊ B 4`cm G H 8`cm C (cid:9120) ③ DE”=xcm라 하면 직각삼각형 CDH에서 (x+8)¤ =8¤ +(8-x)¤` 32x=64(cid:100)(cid:100)∴ x=2 따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)AB”+BC”+CD”+DA”=2(AD”+BC”) =2_(6+12)=36(cm) = _8_3.6+ _9_3.6+ _7_3.6+ _6_3.6 1 2 1 2 1 2 ➊ 내접원의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➋ DE”의 길이를 구할 수 있다. ➌ (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이를 구할 수 있다. +△ODA 1 2 =54(cm¤ ) … ➋ (cid:9120) 54cm¤ 40% 60% 0911 직각삼각형 DEC에서 CE”="√5¤ -4¤ =3(cm) BE”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)AD”=BC”=(x+3)cm (cid:8772)ABED가 원 O에 외접하므로 AB”+DE”=AD”+BE” 4+5=(x+3)+x,(cid:100)(cid:100)2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3 … ➋ … ➌ (cid:9120) 36 cm 20% 50% 30% (cid:9120) ③ ➊ AD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다. 0907 AB”=DC”이고 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 2AB”=26(cid:100)(cid:100)∴ AB”=13 (cm) 90 정답 및 풀이 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:31 PM 페이지91 SinsagoHitec 원 O가 BC”, CD”와 접하는 점 A E 0912 을 각각 G, H라 하면 반원 P의 반지름의 길이를 0916 r cm라 하면 GC”=CH”=DH”= DC” 1 2 = AB”=2.5(cm) 1 2 ∴ BF”=BG”=BC”-GC” D H C 5`cm B F O G 6`cm PQ”=(3+r)cm OP”=(6-r)cm 직각삼각형 OPQ에서 (3+r)¤ =3¤ +(6-r)¤ 18r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=2 =6-2.5=3.5(cm) (cid:9120) 3.5 cm 따라서 반원 P의 지름의 길이는 4 cm이다. (cid:9120) 4 cm 본책 153~156쪽 6`cm Q 3`cm O P r`cm 2 0 원 과 직 선 BE”=BF”=6, AH”=AE”=6이므로 0913 (cid:100)(cid:100)DG”=DH”=15-6=9 FI”=IG”=x라 하면(cid:100)(cid:100)DI”=9+x, IC”=9-x 직각삼각형 DIC에서 (9+x)¤ =(9-x)¤ +12¤ 36x=144(cid:100)(cid:100)∴ x=4 ∴ DI”=9+4=13 DI”=x라 하면 (cid:8772)ABID는 원 O에 외접하므로 12+x=15+BI”(cid:100)(cid:100)∴ BI”=x-3 따라서 CI”=15-(x-3)=18-x이므로 직각삼각형 DIC에서 (cid:100)(cid:100)x¤ =(18-x)¤ +12¤ 36x=468(cid:100)(cid:100)∴ x=13 0914 AF”=x cm라 하면 FD”=(5-x) cm 직각삼각형 BCE에서 BE”=4 cm 이므로 x`cm F A {5-x}cm x`cm E CE”="√5¤ -4¤ =3(cm) … ➊ 5`cm 따라서 직각삼각형 CDF에서(cid:100)(cid:100)(3+x)¤ =(5-x)¤ +4¤ 16x=32(cid:100)(cid:100)∴ x=2 4`cm B (cid:9120) ② 3`cm D C … ➋ (cid:9120) 2cm 40% 60% ➊ CE”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AF”의 길이를 구할 수 있다. 10`cm D A O C r`cm O' E B 오른쪽 그림과 같이 부채꼴 0917 AOB와 원 O'의 접점을 C, D, E라 하 고 원 O'의 반지름의 길이를 r cm라 하 면 (cid:8772)DOEO'이 정사각형이므로 OO'”='2r cm, O'C”=r cm 이때 OC”=10 cm이므로 '2r+r=10,(cid:100)(cid:100)('2+1)r=10 ∴ r= =10('2-1) 10 '2+1 따라서 원 O'의 넓이는 p_{10('2-1)}¤ =100(3-2'2)p (cm¤ ) (cid:9120) ③ 오른쪽 그림의 △APO와 0918 △BPO'에서 ∠APO=∠BPO', ∠PAO=∠PBO' 이므로 △APOª△BPO' (AA 닮음) 8`cm B A 8`cm P O M O' 이고 그 닮음비는(cid:100)(cid:100)PA” : PB”=8 : 16=1 : 2 점 O에서 O'B”에 내린 수선의 발을 M이라 하고 원 O의 반지름 의 길이를 r cm라 하면 원 O'의 반지름의 길이는 2r cm이므로 OO'”=r+2r=3r(cm), O'M”=2r-r=r(cm), OM”=AB”=8 cm 직각삼각형 OO'M에서(cid:100)(cid:100)(3r)¤ =8¤ +r¤ r¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ r=2'2 (∵ r>0) (cid:9120) 2'2 cm 0915 오른쪽 그림과 같이 원 O' 의 반지름의 길이를 x cm라 하고 BC”와 원 O, O'의 접점을 각각 P, Q라 하자. 점 O'에서 OP”에 내린 수선의 발 을 H라 하면 원 O의 반지름의 길 이는 8cm이므로 A B OO'”=(8+x)cm, OH”=(8-x)cm, O'H”=18-(8+x)=10-x (cm) 직각삼각형 OHO'에서 (8+x)¤ =(8-x)¤ +(10-x)¤ x¤ -52x+100=0,(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-50)=0 ∴ x=2 (∵ 00) 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 BD”+BE”+μ DE=4+4+2p_4_ 90 360 =8+2p (cm) (cid:9120) (8+2p)cm 0932 △ABC=△ABO+△ACO임을 이용한다. 구하는 반지름의 길이를 r cm로 놓고 직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√15¤ -12¤ =9(cm) 반원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면(cid:100)(cid:100)OD”=OE”=r cm △ABC=△ABO+△ACO이므로 (cid:9120) ;1@0!; 1 2 1 2 _12_9= _12_r+ _9_r(cid:100)(cid:100)∴ r= 1 2 36 7 36 7 (cid:9120) cm 36 7 따라서 반원 O의 반지름의 길이는 cm이다. 0933 음을 이용한다. 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이가 70 cm이므로 0929 리를 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H 라 하고, 큰 원의 반지름의 길이를 r cm, 작은 원의 반지름의 길이를 r'cm라 하면 색칠한 부분의 넓이는 pr¤ -pr'¤ =72p (cid:100)(cid:100)∴ r¤ -r'¤ =72 한편 직각삼각형 OAH에서 AH” ¤ =r¤ -r'¤ =72 (cid:100)(cid:100)∴ AH”=6'2 (cm) ∴ AB”=2AH”=12'2 (cm) r`cm AB”+BC”=35(cm) r'`cm O H A B BE”=BF”=5 cm이므로 AE”=x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)AG”=AE”=x cm, CG”=CF”=(25-x)cm (cid:100)(cid:100)∴ AC”=AG”+CG”=25(cm) 직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)(x+5)¤ +(30-x)¤ =25¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -25x+150=0,(cid:100)(cid:100)(x-10)(x-15)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ AG”=CH”, AG”+CH”0) 2_12=3_(3+x)(cid:100)(cid:100)∴ x=5 1094 PB”=4+3=7, PD”=2+2x이므로 4_7=2_(2+2x)(cid:100)(cid:100)∴ x=6 1076 ∠x=∠BAE=55° (cid:9120) 55° 1093 PA”=7-5=2, PB”=7+5=12이므로 1079 1080 ∠x=∠BAP=180°-(36°+96°)=48° (cid:9120) 48° ∠x=∠APT=180°-(54°+58°)=68° (cid:9120) 68° 1095 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 6¤ =2_x(cid:100)(cid:100)∴ x=18 1081 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠APB=90° (cid:9120) 90° 1096 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 x¤ =3_15(cid:100)(cid:100)∴ x=3'5 (∵ x>0) 108 정답 및 풀이 (cid:9120) 65° (cid:9120) 3 (cid:9120) 6 (cid:9120) 15 (cid:9120) 31 5 (cid:9120) 3 (cid:9120) 4 (cid:9120) 5 (cid:9120) 6 (cid:9120) 18 (cid:9120) 3'5 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지109 SinsagoHitec 본책 179~184쪽 1097 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 x¤ =4_(4+12)(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0) (cid:9120) 8 1098 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 6¤ =3_(3+x)(cid:100)(cid:100)∴ x=9 ① ∠BAC+∠BDC 1099 ② ∠ACB=∠ADB=45° ③ ∠BDC=85°-40°=45°이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC+∠BDC ④ ∠ADB=100°-30°=70°이므로(cid:100)(cid:100)∠ADB+∠ACB ⑤ ∠DAC=25°+10°=35°이므로 (cid:100)(cid:100)∠DAC=∠DBC=35° 이상에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ②, ⑤이 다. (cid:9120) ②, ⑤ 1105 ① ∠BAC+∠BDC ② ∠BAD=180°-65°=115°이므로 (cid:100)(cid:100)∠BAD=∠DCE ③ ∠BAD=180°-70°=110°, ∠DCE=70°이므로 (cid:9120) 9 (cid:100)(cid:100)∠BAD+∠DCE ④ △ABC에서 (cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-(60°+40°)=80° (cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC+∠ADC=80°+100°=180° ⑤ ∠ABC=180°-60°=120° ∠ADC=180°-70°=110° (cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC+∠ADC+180° 이상에서 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하는 것은 ②, ④이다. (cid:9120) ②, ④ 1100 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ㈁ 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각의 크기의 1106 ㈀ 정사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각의 크기의 합이 180°이다. 합이 180°이다. (cid:9120) ⑤ ㈅ 등변사다리꼴의 아랫변의 양 끝 각의 크기가 서로 같고 윗변 의 양 끝 각의 크기가 서로 같으므로 대각의 크기의 합이 180°이다. 이상에서 항상 원에 내접하는 사각형은 ㈀, ㈁, ㈅이다. (cid:9120) ② 2 2 원 주 각 의 활 용 ∠BDC=∠BAC=80° ∴ ∠x=80°+25°=105° 1101 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠ADB=∠ACB=30° ∴ ∠x=∠BDC=∠ADC-∠ADB =105°-30°=75° (cid:9120) ⑤ 1102 ① ∠APB=180°-95°=85° ② △PCD에서(cid:100)(cid:100)∠PDC=95°-75°=20° ③ △PAB에서(cid:100)(cid:100)∠PBA=95°-20°=75° ④ ∠CPD=∠APB=85° (맞꼭지각) ⑤ ∠BAC=∠BDC=20°이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다. 이상에서 옳지 않은 것은 ③이다. (cid:9120) ③ 1103 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠y=∠ACB=20° △DPB에서(cid:100)(cid:100)∠x=45°+20°=65° ∴ ∠x+∠y=65°+20°=85° (cid:9120) ① 1104 ∠BEC=∠BDC이므로 네 점 B, C, D, E는 한 원 위 에 있다. 이때 ∠BEC=90°, BM”=CM”이므로 점 M은 원의 중 … ➊ 심이다. △ABD에서(cid:100)(cid:100)∠ABD=90°-65°=25° … ➋ (cid:100)(cid:100)∴ ∠EMD=2∠EBD=2_25°=50° … ➌ (cid:9120) 50° ∠ADB=∠ACB=27°이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접 1107 한다. 즉 ∠ABC+∠ADC=180°이므로 ∠ABC=180°-(27°+71°)=82° (cid:9120) ② 1108 (cid:9120) ㈎ ∠APB(cid:100)㈏ ∠CRD(cid:100)㈐ 360°(cid:100)㈑ 180° 1109 ①, ④ (cid:8772)ADOF에서 ∠ADO+∠AFO=180°이므로 (cid:8772)ADOF는 원에 내접한다. 마찬가지 방법으로 (cid:8772)OECF도 원에 내접한다. ②, ⑤ ∠AFB=∠AEB=90°이므로 네 점 A, B, E, F는 한 원 위에 있다. 즉 (cid:8772)ABEF는 원에 내접한다. 마찬가지 방법으로 (cid:8772)DBCF도 원에 내접한다. 이상에서 원에 내접하지 않는 사각형은 ③이다. (cid:9120) ③ 1110 ∠BAC=∠CBD=65°이므로 ∠BOC=2∠BAC=2_65°=130° △OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로 ∠OCB= _(180°-130°)=25° (cid:9120) ⑤ 1 2 ∠OBD=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠OBC=90°-65°=25° △OBC가 이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OCB=∠OBC=25° ➊ 네 점 B, C, D, E가 중심이 M인 한 원 위에 있음을 알 수 있다. ➋ ∠ABD의 크기를 구할 수 있다. ➌ ∠EMD의 크기를 구할 수 있다. ∠PAB=∠BPT'=∠APB이므로 △APB는 40% 30% 30% 1111 PB”=AB”인 이등변삼각형이다. ∴ AB”=PB”=6cm (cid:9120) 6cm 22 원주각의 활용 109 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지110 SinsagoHitec △BAT에서(cid:100)(cid:100)∠BAT=65°-25°=40° 1112 직선 AT는 원 O의 접선이므로 ∠ACB=∠BAT=40° ➊ ∠ADB의 크기를 구할 수 있다. ➋ ∠ADC의 크기를 구할 수 있다. ➌ ∠BDC의 크기를 구할 수 있다. 40% 40% 20% 1113 △PTB가 이등변삼각형이므로 ∠PBT=∠PTB=42° 직선 PT가 원의 접선이므로 ∠APT=∠PBT=42° △PTA에서 ∠PAB=∠PTA+∠APT =42°+42°=84° ➊ ∠PBT의 크기를 구할 수 있다. ➋ ∠APT의 크기를 구할 수 있다. ➌ ∠PAB의 크기를 구할 수 있다. (cid:9120) ① … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 84° 20% 50% 30% 1114 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 ∠ACB : ∠BAC : ∠ABC=μAB : μ BC : μ CA 2 따라서 ∠ABC= _180°=40°이므로 9 =4 : 3 : 2 ∠ACT=∠ABC=40° (cid:9120) 40° 1115 1 ∠AOB= _360°=72° 5 μAB를 제외한 원 O 위의 임의의 한 점을 P 라 하면 ∠APB는 μAB에 대한 원주각이므로 P O ∠APB= ∠AOB= _72°=36° 1 2 1 2 ∴ ∠BAT=∠APB=36° ∠OAB= _(180°-72°)=54° 1 2 ∠OAT=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠BAT=90°-54°=36° B A T (cid:9120) 36° 직선 PT가 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)∠BTP=∠BAT 1116 △TAC에서(cid:100)(cid:100)∠TAC+∠ATC=70° ∠ATC=∠CTB이므로 ∠CTP=∠CTB+∠BTP =∠ATC+∠BAT=70° (cid:9120) ④ 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으 1117 면 직선 BE는 원 O의 접선이므로 ∠ADB=∠ABE=30° … ➊ 호 AC에 대하여 ∠ADC= ∠AOC 30æ O D A 100æ E 30æ B C 1 2 1 2 = _100°=50° (cid:100)(cid:100)∴ ∠BDC=50°-30°=20° 110 정답 및 풀이 1118 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠BCD=180°-85°=95° △BCD에서 (cid:100)(cid:100)∠CBD=180°-(25°+95°)=60° ∴ ∠x=∠CBD=60° (cid:9120) 60° 1119 (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠PBC=∠ADC=87° △BPC에서 ∠BCP=180°-(43°+87°)=50°이므로 ∠BAC=∠BCP=50° △ABC에서 ∠BCA=∠PBC-∠BAC =87°-50°=37° μAB=μ BC이므로 1120 (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠ACB=40° (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)∠DAC=180°-(40°+40°+56°)=44° 직선 PT가 원 O의 접선이므로 ∠DCT=∠DAC=44° ➊ ∠BAC의 크기를 구할 수 있다. ➋ ∠DAC의 크기를 구할 수 있다. ➌ ∠DCT의 크기를 구할 수 있다. (cid:9120) ⑤ … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 44° 30% 40% 30% 1121 오른쪽 그림과 같이 CT”를 그으면 (cid:8772)ACTB가 원 O에 내접하 므로 ∠PCT=∠ABT=112° 직선 PT는 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100) ∠CTP=∠CAT=36° △CPT에서 A 36æ 112æ B C P O T ∠APT=180°-(112°+36°)=32° (cid:9120) 32° 오른쪽 그림과 같이 EC”를 그으 1122 면 (cid:8772)ABCE가 원에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)∠AEC=180°-128°=52° ∠AED=∠AEC+∠CED이므로 (cid:100)(cid:100)∠CED=100°-52°=48° 직선 CT가 원의 접선이므로 (cid:100)(cid:100)∠DCT=∠CED=48° E 52æ 48æ A B 128æ C D T (cid:9120) ② … ➋ … ➌ (cid:9120) 20° (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지111 SinsagoHitec 본책 184~187쪽 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으 1123 면 μAB : μAD=7 : 4이므로 ∠ADB : ∠ABD=7 : 4 △ABD에서 (cid:100)(cid:100)∠ADB+∠ABD=180°-59° A 59æ T D B O C ∠PBT=∠PTA=30°, ∠ATB=90°이므로 1129 △ATB에서 AT”=AB” sin 30°=10_ =5(cm) BT”=AB” cos 30°=10_ =5'3(cm) 1 2 '3 2 1 ∴ △ATB= _5_5'3= 2 25'3 2 (cm¤ ) (cid:9120) ④ =121° 4 11 이므로(cid:100)(cid:100)∠ABD= _121°=44° AT”는 원 O의 접선이므로 ∠DAT=∠ABD=44° 오른쪽 그림과 같이 AT”를 그으면 1124 ∠ATB=90°이므로 ∠ATP=180°-(90°+62°)=28° 또 ∠BAT=∠BTC=62°이므로 △APT에서 ∠x=62°-28°=34° O 62æ A x P 62æ 28æ T C (cid:9120) ④ 1125 (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠BAD=180°-123°=57° 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면 ∠ABD=90°이므로 ∠ABT=∠ADB=90°-57° =33° D C O 123æ B A T (cid:9120) ② B 오른쪽 그림과 같이 AT”를 그 1130 으면 △AHT와 △ATB에서 ∠AHT=∠ATB ∠ATH=∠ABT ∴ △AHTª△ATB (AA 닮음) … ➊ 따라서 AH” : AT”=AT” : AB”이므로 ¤ =40 4 : AT”=AT” : 10,(cid:100)(cid:100)AT” ∴ AT”=2'ß10(cm) △AHT에서 (cid:100)(cid:100)HT”="√(2'ß10)¤ -4¤ =2'6(cm) ➊ △AHT∽△ATB임을 알 수 있다. (cid:9120) ② ➋ AT”의 길이를 구할 수 있다. ➌ HT”의 길이를 구할 수 있다. 10`cm B A 4`cm H O T 2 2 원 주 각 의 활 용 … ➋ … ➌ (cid:9120) 2'6 cm 40% 30% 30% B 90æ-x O A x P x C T 1131 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의하여 ∠EDF=∠FEC=∠EFC= _(180°-54°)=63° 1 2 따라서 △DEF에서 ∠DFE=180°-(48°+63°)=69° (cid:9120) ⑤ 오른쪽 그림과 같이 AC”를 그 1126 으면 ∠ACB=90°이고 ∠BAC=∠BCT=∠x이므로 ∠ABC=90°-∠x BC”=PC”이므로 ∠APC=∠ABC=90°-∠x △BPC에서 (cid:100)(cid:100)∠x=(90°-∠x)+(90°-∠x) ∴ ∠x=60° (cid:9120) 60° 1127 ∠ABT=∠ATP=25°이고 ∠BTA=90°이므로 ∠BAT=90°-25°=65° 호의 길이는 원주각의 크기에 정비례하므로 μAT : μ BT=∠ABT : ∠BAT =25 : 65=5 : 13 (cid:9120) ⑤ 1132 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의하여 ∠AQB=∠BAP=∠ABP = _(180°-30°)=75° … ➊ △AQB에서(cid:100)(cid:100)∠ABQ+∠QAB=180°-75°=105° μAQ:μ QB=3:2이므로 1 2 3 5 ∠ABQ:∠QAB=3:2 ∴ ∠x= _105°=63° … ➋ (cid:9120) 63° 40% 60% 오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으면 D ➊ ∠AQB의 크기를 구할 수 있다. ➋ ∠x의 크기를 구할 수 있다. C 1128 (cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABE=37° AC”는 원 O의 지름이므로 (cid:100)(cid:100)∠ABC=90° △ABC에서 (cid:100)(cid:100)∠BAC=90°-37°=53° ∴ ∠BDC=∠BAC=53° A O E 37æ B 1133 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의하여 ∠DEC=∠EDC=∠EFD=54° ∴ ∠ECD=180°-(54°+54°)=72° (cid:9120) 53° △ABC에서(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-(58°+72°)=50° (cid:9120) ① 22 원주각의 활용 111 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지112 SinsagoHitec 1134 ∠ADE=∠ABE=42°이므로 △AFD에서 1139 CP”=x cm라 하면 DP”=(13-x) cm이므로 ∠a=90°+42°=132° (cid:8772)EBCD에서 ∠EBC+∠EDC=180°이므로 (42°+∠b)+68°=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠b=70° △DCP에서 PD”=PC”이므로 ∠c=∠DCP= _(180°-76°)=52° 1 2 ∴ ∠a+∠b+∠c=132°+70°+52°=254° (cid:9120) 254° ∠DCT=∠PTD=∠BTQ=∠BAT=40°이므로 1135 △DTC에서(cid:100)(cid:100)∠DTC=180°-(40°+60°)=80° (cid:9120) 80° ① ∠ABP=∠APE=∠CPF=∠PDC 1136 ② ∠BAP=∠BPF=∠EPD=∠PCD ③ ①에서 ∠ABP=∠PDC(엇각)이므로(cid:100)(cid:100)AB”∥CD” ④ △ABP와 △CDP에서 (cid:100)(cid:100)∠ABP=∠CDP, ∠APB=∠CPD (cid:100)(cid:100)∴ △ABPª△CDP (AA 닮음) ⑤ △ABPª△CDP이므로(cid:100)(cid:100)AP” : CP”=BP” : DP” 이상에서 옳지 않은 것은 ②이다. (cid:9120) ② 1137 ① ∠CAB=∠CBT=48° (cid:100) ∠CAB+∠DCA에서 엇각의 크기가 D 다르므로 AB”∦CD”이다. 42æ C A 48æ 6_5=x_(13-x),(cid:100)(cid:100)x¤ -13x+30=0 (x-3)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=10 CP”0, 즉 x>0이므로(cid:100)(cid:100)x=3 (cid:9120) 3 ② ∠BAT=∠BTQ=∠PTD=∠TCD이므로 (cid:100)(cid:100)∠BAT=∠TCD 따라서 엇각의 크기가 같으므로 AB”∥CD”이다. B 48æ T 1142 PB”=x라 하면 AP”=2x이므로 2x_x=3_8,(cid:100)(cid:100)x¤ =12 (cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0) ③ 오른쪽 그림에서 (cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PQC=∠EDC (cid:100)(cid:100)∴ ∠PAB=∠EDC 따라서 동위각의 크기가 같으므 로 AB”∥CD”이다. ④ (cid:8772)ABQP에서 (cid:100)(cid:100)∠BAP=∠PQD (cid:100) μPD에 대하여 (cid:100)(cid:100)∠PQD=∠PCD (cid:100)(cid:100)∴ ∠BAP=∠PCD A B P Q ED C 1143 의 교점을 E라 하면 ∠AEB=90° 오른쪽 그림과 같이 BC”와 원 O A 이등변삼각형의 성질에 의하여 AE”는 BC”를 이등분하므로 BE”=CE”=6 cm 따라서 CD”_15=6_12이므로 24 CD”= (cm) 5 A B P Q D C (cid:9120) ④ 15`cm O 15`cm D B C E 6`cm (cid:9120) cm 24 5 따라서 엇각의 크기가 같으므로 AB” ⑤ ∠BAT=∠BTQ=∠CDT이므로 ”∥CD”이다. (cid:100)(cid:100)∠BAT=∠CDT 따라서 동위각의 크기가 같으므로 AB” ”∥CD”이다. (cid:9120) ① 1138 (cid:100)(cid:100)∠x=110°-45°=65° ∠PBD=∠CPT'=∠PAC=45°이므로 △BDP에서 (cid:9120) 65° ∠BDP=180°-110°=70°이므로 ∠BPT=∠BDP=70° 1144 오른쪽 그림과 같이 나머지 반 원을 그려서 원 O를 완성하고 CD”의 연 장선과 원 O가 만나는 점을 E라 하자. CD”=x cm라 하면 DE”=CD”=x cm 또 DB”=DO”+OB”=3+6=9(cm)이 므로 (cid:100)(cid:100)3_9=x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=3'3 (∵ x>0) O D 6`cm B A 3`cm C E (cid:9120) 3'3 cm ∠CPT'=∠CAP=45°이므로(cid:100)(cid:100)45°+∠x+70°=180° OD”=3 cm, OC”=6 cm이므로 △CDO에서 (cid:100)(cid:100)CD”=øπ6¤ -3¤ =3'3(cm) ∴ ∠x=65° 112 정답 및 풀이 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지113 SinsagoHitec 1145 PC”=x cm라 하면 x¤ =6_(30-6)=144(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>0) ∴ CD”=2PC”=24 (cm) (cid:9120) ⑤ OA”=9이므로 OA”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 D 1152 라 하면(cid:100)(cid:100)PD”=9+7=16 따라서 2_16=4_PC”이므로(cid:100)(cid:100)PC”=8 1146 AB”=2_7=14(cm)이고 AP”:PB”=5:2이므로 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 PD”=2r+2이므로 1153 (cid:100)(cid:100)3_(3+6)=2_(2r+2) 본책 187~191쪽 (cid:9120) ⑤ (cid:9120) ④ PB”= _14=4(cm) 2 7 PC” ¤ =PA”_PB”=(14-4)_4=40이므로 PC”=2'ß10 (cm) 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 1147 (cid:100)(cid:100)PB”=(2r-7) cm 7_(2r-7)=('7 )¤ 이므로 2r-7=1(cid:100)(cid:100)∴ r=4 따라서 원 O의 넓이는 p_4¤ =16p (cm¤ ) ➊ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➋ 원 O의 넓이를 구할 수 있다. OP”=x cm라 하면 PA”=(6+x) cm, PB”=(6-x) cm 1148 이므로 (6+x)(6-x)=4_5,(cid:100)(cid:100)x¤ =16 ∴ x=4 (∵ x>0) 1149 PB”=(2x-4) cm이므로 4_(2x-4)=8_5(cid:100)(cid:100)∴ x=7 1150 CP”=3k, DP”=4k (k>0)라 하면 (5+2)_3=3k_4k '7 2 k¤ = (cid:100)(cid:100)∴ k= 7 4 ∴ DP”=4_ =2'7 '7 2 (∵ k>0) 1151 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 PA”=r+ r= r(cm), PB”= r (cm) 1 2 3 2 1 2 이므로(cid:100)(cid:100) r_ r=8_3,(cid:100)(cid:100) r¤ =24 3 2 1 2 3 4 r¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ r=4'2 (∵ r>0) 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_4'2=8'2p(cm) 4r=23(cid:100)(cid:100)∴ r= 23 4 (cid:9120) 2'ß10 cm 1154 PA”=x라 하면 PB”=x+12이므로 x_(x+12)=5_(5+4),(cid:100)(cid:100)x¤ +12x-45=0 (x+15)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) (cid:9120) 3 … ➊ 1155 ∠AOB=60°이므로 △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이고 1 ∠OAB=∠OBA= _(180°-60°)=60° 2 … ➋ (cid:9120) 16p cm¤ 70% 30% 즉 △OAB는 정삼각형이므로 OA”=OB”=AB”=5 cm 오른쪽 그림과 같이 CO”의 연장선이 원 O 와 만나는 점을 D라 하면 CD”=2OC”=2AB” D =2_5=10(cm) PB”=x cm라 하면 PB”_PA”=PC”_PD” 이므로 O 60æ 5`cm A C B 2`cm P 2 2 원 주 각 의 활 용 (cid:9120) ⑤ x_(x+5)=2_(2+10) (cid:100)(cid:100)x¤ +5x-24=0 (x+8)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) (cid:9120) ② (cid:9120) ② 1156 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 PC”=14-r, PD”=14+r 이므로(cid:100)(cid:100)6_(6+12)=(14-r)(14+r) r¤ =88(cid:100)(cid:100)∴ r=2'ß22 (∵ r>0) 따라서 원 O의 둘레의 길이는(cid:100) 2p_2'ß22=4'ß22p (cid:9120) ③ ➊ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➋ 원 O의 둘레의 길이를 구할 수 있다. 1157 직각삼각형 DPO에서 PO”=7+5=12(cm)이므로 PD”="√5¤ +12¤ =13(cm) 또 PB”=7+5+5=17(cm)이므로 CD”=x cm라 하면 … ➊ 7_17=(13-x)_13 13x=50(cid:100)(cid:100)∴ x= 50 13 … ➋ (cid:9120) 8'2p cm … ➊ … ➋ (cid:9120) 4'ß22p 70% 30% (cid:9120) ② (cid:9120) 9 22 원주각의 활용 113 ➊ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➋ 원 O의 둘레의 길이를 구할 수 있다. 1158 CD”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 70% 30% 9_2=6_(x-6),(cid:100)(cid:100)6x=54 ∴ x=9 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지114 SinsagoHitec 1159 PB”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (6+2)_x=2_(9+x),(cid:100)(cid:100)6x=18 ∴ x=3 (cid:9120) 3 1160 PA”=x라 하면 PA”_PB”=PE”_PF”이므로 x_(x+9)=4_(4+5),(cid:100)(cid:100)x¤ +9x-36=0 (cid:100)(cid:100)(x+12)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) (cid:9120) ③ 오른쪽 그림에서 1168 (cid:100)(cid:100)4¤ =x_(x+6) (cid:100)(cid:100)x¤ +6x-16=0 (cid:100)(cid:100)(x+8)(x-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) A x P (cid:9120) ① 4 T 6 O B O A P 75æ 75æ T 15æ Q ㈀ AB”는 원 O의 지름이므로 1169 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∠ATB=90° (cid:100) ∠BAT=∠BTQ=75°이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∠ABT=90°-75°=15° ㈁ △BPT에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∠PBT+∠BPT=∠BTQ (cid:100) (cid:100)(cid:100)15°+∠BPT=75°(cid:100)(cid:100)∴ ∠BPT=60° ㈂ 호의 길이는 원주각의 크기에 정비례하므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)μAT:μ TB=15:75=1:5 ㈃ PT”는 원 O의 접선이므로 ¤ =PA”_PB” (cid:100) (cid:100)(cid:100)PT” 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂, ㈃이다. (cid:9120) ② … ➊ … ➋ (cid:9120) 2 cm 40% 60% (cid:9120) ④ (cid:9120) ㈀, ㈂, ㈃ 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 1170 ① r=øπ5¤ -3¤ =4 ② 1_(2r-1)=('7 )¤ 이므로(cid:100)(cid:100)2r=8(cid:100) (cid:100)∴ r=4 ③ r_ r=4_3이므로(cid:100)(cid:100)r¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ r=4 (∵ r>0) 3 2 1 2 ④ (6-r)(6+r)=3_8이므로 (cid:100)(cid:100)r¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ r=2'3 (∵ r>0) ⑤ (2'5)¤ =(10-2r)_10이므로 (cid:100)(cid:100)2r=8(cid:100)(cid:100)∴ r=4 (cid:9120) ④ 1171 PQ”는 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)PT” ¤ =3_(3+7)=30 ∴ PT”='ß30(cm) … ➊ 원 O의 반지름의 길이를 rcm라 하면 QT”=PT”='ß30 cm이므로 (cid:100)(cid:100)('ß30)¤ =2_(2+2r) 13 4r=26(cid:100)(cid:100)∴ r= 2 … ➋ ➊ PT”의 길이를 구할 수 있다. ➋ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다. BT”를 그으면(cid:100)(cid:100)∠ATB=90° 1172 △ABT에서 (cid:100)(cid:100)BT”=AB”sin30°=3(cm) ∠BTP=∠BAT=30°이고 ∠ABT=60°이므로 △BPT에서 (cid:100)(cid:100)∠BPT=60°-30°=30° 따라서 BP”=BT”=3 cm이므로 (cid:100)(cid:100)PT” (cid:100)(cid:100)∴ PT”=3'3 (cm) ¤ =PB”_PA”=3_(3+6)=27 (cid:9120) cm 13 2 40% 60% A 6`cm O 30æ (cid:9120) ④ B 30æ P 30æ T ∠ATP=∠ABT=∠APT이므로 △APT는 1161 AP”=AT”인 이등변삼각형이다. ∴ PA”=AT”=5 ¤ =5_(5+10)=75이므로(cid:100)(cid:100)PT”=5'3 PT” (cid:9120) ⑤ 1162 PT” ¤ =PC”_PD”이므로 PT” ¤ =4_(4+5)=36(cid:100)(cid:100)∴ PT”=6 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 6¤ =3_(3+AB”)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=9 ∴ AB”+PT”=15 PA”_PB”=PC”_PD”임을 이용하여 AB”의 길이를 구할 수도 있다. 원 O'에서(cid:100)(cid:100)PQ”=PT”=6 cm 1163 AQ”=x cm라 하면 원 O에서 (cid:100)(cid:100)6¤ =(6-x)_(6+3)(cid:100)(cid:100)∴ x=2 ➊ PQ”의 길이를 구할 수 있다. ➋ AQ”의 길이를 구할 수 있다. PT” ¤ =4_(4+6)=40이므로(cid:100)(cid:100)PT”=2'ß10 1164 PT”는 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)∠BTP=90° △BPT에서(cid:100)(cid:100)BT”="√10¤ -(2'∂10 )¤ =2'∂15 ∴ △BPT= _2'ß15_2'ß10=10'6 1 2 △OAH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√5¤ -4¤ =3(cm) 1165 AB”⊥OH”이므로(cid:100)(cid:100)BH”=AH”=3 cm 따라서 PT” ¤ =2_(2+6)=16이므로 PT”=4(cm) (cid:9120) 4 cm 1166 (2'5)¤ =2_(2+AB”)이므로 AB”=8 1 2 AH”= AB”=4이므로 △OHA에서 OA”="√4¤ +3¤ =5 (cid:9120) ⑤ 3 O H T 2Â5 P A 2 B 1167 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 8¤ =4_(4+2r),(cid:100)(cid:100)8r=48(cid:100)(cid:100)∴ r=6 (cid:9120) 6 114 정답 및 풀이 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지115 SinsagoHitec EA”_4=2_6이므로(cid:100)(cid:100)EA”=3(cm) 1173 PT”는 원의 접선이므로 PA”=x cm라 하면 (2'∂15)¤ =x_(x+3+4),(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-60=0 (cid:100)(cid:100)(x+12)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0) (cid:9120) ② ➊ △EBPª△DAP임을 알 수 있다. ➋ BP”의 길이를 구할 수 있다. ➌ PC”의 길이를 구할 수 있다. 본책 191~196쪽 40% 30% 30% 1174 AD”=BD”이고 AD”_BD”=3_4=12이므로 PA”=AD”=BD”=2'3 ∴ PT” ¤ =PA”_PB”=PA”_3PA” =2'3_6'3=36 (cid:100)(cid:100)∴ PT”=6 1175 OQ”=7-4=3이므로 (7+3)_4=AQ”_5(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=8 ¤ =12_(12+8+5)=300이므로(cid:100)(cid:100)PT”=10'3 PT” △PCT는 ∠PTC=90°인 직각삼각형이므로 PC”="√(10'3)¤ +14¤ =4'ß31 ➊ AQ”의 길이를 구할 수 있다. ➋ PT”의 길이를 구할 수 있다. ➌ PC”의 길이를 구할 수 있다. PT” 1176 △PTA ª△PBT(AA 닮음)이므로 ¤ =3_(3+9)=36이므로(cid:100)(cid:100)PT”=6 PA” : PT”=TA” : BT” 3 : 6=5 : BT”(cid:100)(cid:100)∴ BT”=10 1177 ① PT”가 원 O의 접선이므로 (cid:100)(cid:100)∠ABT=∠ATP ③ ∠P는 공통, ∠ATP=∠TBP이므로 (cid:100)(cid:100)△PTA∽△PBT(AA 닮음) ④ 할선과 접선 사이의 관계에 의하여 ¤ =PA”_PB” (cid:100)(cid:100)PT” ⑤ △PTAª△PBT이므로 (cid:100)(cid:100)∠BTP=∠TAP 1178 PA”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)6¤ =x_(x+9) x¤ +9x-36=0,(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) △PTA ª△PBT(AA 닮음)이므로 1179 △EBP와 △DAP에서 ∠EPB=∠DPA, ∠EBP=∠DAP 이므로(cid:100)(cid:100)△EBPª△DAP (AA 닮음) EP”:DP”=BP”:AP”에서(cid:100)(cid:100)8:12=BP”:15 ∴ BP”=10(cm) 따라서 10¤ =PC”_15이므로(cid:100)(cid:100)PC”= (cm) 20 3 PA” : PT”=AT” : TB”,(cid:100)(cid:100)3 : 6=AT” : 12 ∴ AT”=6(cm) (cid:9120) 6 cm 1180 PT”=PT'”이므로(cid:100)(cid:100)x=4 원 O에서(cid:100)(cid:100)4¤ =2_(2+y)(cid:100)(cid:100)∴ y=6 ∴ x+y=4+6=10 (cid:9120) 10 (cid:9120) ① 1181 원 O에서(cid:100)(cid:100)PT” ¤ =3_(3+5)=24 ∴ PT”=2'6 PT”=PT'”이므로(cid:100)(cid:100)PT”+PT'”=2PT”=4'6 (cid:9120) 4'6 … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) 4'3å1 40% 40% 20% (cid:9120) ② TT'”=4'3 cm이므로(cid:100)(cid:100)PT”=PT'”=2'3 cm 1182 PA”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)(2'3)¤ =x_(x+4) x¤ +4x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0) (cid:9120) 2 cm 1183 원 O'의 반지름의 길이를 r라 하면 5_(5+4)=3_(3+2r),(cid:100)(cid:100)6r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=6 따라서 원 O'의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_6¤ =36p (cid:9120) ② 오른쪽 그림과 같이 EC”를 그으 1184 면 △ABD와 △AEC에서 ∠BAD=∠EAC, ∠ABD=∠AEC ∴ △ABD ª△AEC (AA 닮음) A 8`cm 5`cm B C 3`cm D E 따라서 AB” : AE”=AD” : AC”이므로 AD”=x cm라 하면 8 : (x+3)=x : 5,(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-40=0 (x+8)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0) (cid:9120) 5 cm 2 2 원 주 각 의 활 용 오른쪽 그림과 같이 EC”를 그으면 (cid:9120) ② 1185 △ABD와 △AEC에서 ∠BAD=∠EAC, ∠ABD=∠AEC (cid:100)(cid:100)∴ △ABDª△AEC (AA 닮음) 따라서 AB” : AE”=AD” : AC”이므로 7 C A D 6 4 E AB” : (6+4)=6 : 7(cid:100)(cid:100)∴ AB”= (cid:9120) ③ B 60 7 (cid:9120) ㈎ AH”(cid:100)㈏ ∠ABD(cid:100)㈐ ∠ADB 1186 1187 네 점 C, O, P, D가 한 원 위에 있음을 이용한다. ∠OCP=∠ODP=12°이므로 네 … ➊ … ➋ … ➌ 점 C, O, P, D는 한 원 위에 있다. △COP에서 ∠CPO=40°-12°=28° (cid:9120) cm 20 3 μ CO에 대하여 ∠CDO=∠CPO=28° C 12æ 12æ A 40æ O P D B 22 원주각의 활용 115 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지116 SinsagoHitec 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형은 원 이므로 직각삼각형 AB'T에서 △COD에서 OC”=OD”이므로 ∠DCO=∠CDO=28° ∴ ∠DCP=28°-12°=16° ∴ ∠DOB=∠DOP=∠DCP=16° 1188 에 내접함을 이용한다. △APB에서 (cid:100)(cid:100)∠ABP=180°-(80°+32°)=68° ∠ADC=22°+46°=68°이므로 (cid:100)(cid:100)∠ABP=∠ADC 따라서 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=46° (cid:100)(cid:100)∴ ∠DAC=180°-(80°+46°)=54° △AED에서 (cid:100)(cid:100)∠DEC=22°+54°=76° 1189 ∠AED=∠a+∠b임을 이용한다. ∠ABC=∠a, ∠ADE=∠b라 하면 △EBD에서 ∠ABC=∠a, ∠ADE=∠b 라 하면 ∠CAD=∠ABC=∠a ∠ADE=∠EDC=∠b △ABD에서 (50°+∠a)+∠a+2∠b=180° ∴ ∠a+∠b=65° 50æ E O a A a C B b b D △EBD에서(cid:100)(cid:100)∠AED=∠a+∠b=65° (cid:9120) 65° 1190 든 후 삼각비를 이용한다. 원의 중심 O에서 AB”에 수선을 그어 직각삼각형을 만 ∠ACB=∠ABP=60°이므로 ∠AOB=2∠ACB=120° 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △AHO에서(cid:100)(cid:100)AH” : AO”='3 : 2 2 : AO”='3 : 2 ∴ AO”= 4'3 3 (cm) 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_ 4'3 3 = 8'3 3 p(cm) (cid:100)(cid:100)∠BCT=180°-2_32°=116° 오른쪽 그림과 같이 AT”를 그으면 (cid:8772)ATCB가 원에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)∠BAT=180°-116°=64° △APT에서 (cid:100)(cid:100)∠ATP=64°-44°=20° ∴ ∠ABT=∠ATP=20° 116 정답 및 풀이 A 2`cm 60æ 60æ C O H P 60æ B (cid:9120) ③ B A 32æ C P T 44æ (cid:9120) ① 1191 호의 길이가 같으면 원주각의 크기가 같음을 이용한다. ∠CBT=∠BTC=32°이므로 △BTC에서 1192 원주각의 크기를 이용한다. 원의 중심을 지나는 직각삼각형을 그리고, μAT에 대한 오른쪽 그림과 같이 원 O의 지름 (cid:9120) ③ AB'을 그으면 ∠AB'T=∠ABT=∠ATP=x B x x B' A P O 3 x T tan x= 3 B'T” = 1 2 (cid:100)(cid:100)∴ B'T”=6 AB'”="√3¤ +6¤ =3'5이므로 원 O의 둘레의 길이는 p_3'5=3'5p (cid:9120) 3'5p (cid:9120) ⑤ 1193 원 O'에서 ∠BEC=90°임을 이용한다. BC”가 원 O'의 지름이므로 (cid:100)(cid:100)∠BEC=90° ∠EBC=∠x라 하면 △BCE에서 (cid:100)(cid:100)∠ECB=90°-∠x AE”는 원 O'의 접선이므로 ∠AEB=∠ECB=90°-∠x △EAB에서(cid:100)(cid:100)∠x=34°+(90°-∠x) ∴ ∠x=62° (cid:9120) ④ 1194 선과 현이 이루는 각의 성질을 이용하여 닮음인 도형을 찾는다. 점 P를 지나는 두 원에 공통인 접선 TT'을 그어서 접 오른쪽 그림과 같이 점 P를 지나 는 두 원에 공통인 접선 TT'을 그으면 △PAB와 △PCD에서 (cid:100)(cid:100)∠BAP=∠BPT'=∠TPD =∠DCP, (cid:100)(cid:100)∠APB=∠CPD ∴ △PABª△PCD (AA 닮음) 따라서 PA” : PC”=PB” : PD”이므로 A 4`cm O 5`cm T 3`cm D P O' C T' B 4 : PC”=5 : 3(cid:100)(cid:100)∴ PC”= (cm) (cid:9120) ③ 12 5 1195 을 이용한다. PQ”를 그어서 ∠APQ=∠QAB, ∠BPQ=∠QBA임 O' 25æ B P O 35æ 오른쪽 그림과 같이 PQ”를 그으면 직 선 AB가 두 원 O, O'의 공통인 접선이므로 원 O에서 (cid:100)(cid:100)∠APQ=∠QAB 원 O'에서 (cid:100)(cid:100)∠BPQ=∠QBA △ABP에서 (cid:100)(cid:100)∠APB+(35°+∠QAB)+(25°+∠QBA)=180° (cid:100)(cid:100)∠APB+(35°+∠APQ)+(25°+∠BPQ)=180° (cid:100)(cid:100)2∠APB+60°=180° ∴ ∠APB=60° A Q (cid:9120) 60° (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지117 SinsagoHitec 본책 196~198쪽 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9120) ④ 1196 형임을 이용하여 원의 반지름의 길이를 구한다. PC”의 길이를 구한 후 △ACP와 △ACD가 직각삼각 1200 PT” ¤ =PA”_PB”, AH”_BH”=TH” ¤ 임을 이용한다. 4¤ =2_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PB”=8(cm) D C 7 ∴ AB”=8-2=6(cm) AB”⊥TH”이므로 AH”=x cm라 하면 O x_(6-x)=TH” 또 직각삼각형 TPH에서 ¤ =4¤ -(2+x)¤ (cid:100)(cid:100)TH” ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)x(6-x)=4¤ -(2+x)¤ P 60æ 8 B 10 A 10x=12(cid:100)(cid:100)∴ x= 6 5 이것을 ㉠에 대입하면 6 TH”=æ≠ _{6- } 5 6 5 = (cm) 12 5 PC”=x라 하면 (cid:100)(cid:100)x_(x+7)=8_(8+10) (cid:100)(cid:100)x¤ +7x-144=0 (cid:100)(cid:100)(x+16)(x-9)=0(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>0) 1 2 9 18 = = =cos 60°이므로 PC” PA” △PAC는 ∠PCA=90°인 직각삼각형이다. (cid:100)(cid:100)∴ AC”=PA” sin 60°=9'3 또 ∠ACD=90°이므로 AD”는 원 O의 지름이다. △ACD에서 (cid:100)(cid:100)AD”=øπ(9'3)¤ +7¤ =2'7å3 이므로 원 O의 반지름의 길이는 (cid:100)(cid:100);2!;_2'∂73='∂73 따라서 구하는 원의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_('7å3)¤ =73p 1197 관계를 이용한다. 원 O의 반지름의 길이를 r로 놓고 원 O'에서의 비례 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 OB”=r, OC”=r-6, OE”=r-4 원 O'에서 OO'”은 현 EF를 수직이등분하므로 OF”=OE”=r-4 원 O'에서(cid:100)(cid:100)(r-6)_r=(r-4)¤ (cid:100)(cid:100)r¤ -6r=r¤ -8r+16 2r=16(cid:100)(cid:100)∴ r=8 1198 구한다. 먼저 할선과 접선 사이의 관계를 이용하여 PB”의 길이를 6¤ =4_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PB”=9(cm) ∴ △ATB=△PBT-△PAT =;2!;_6_9_sin30°-;2!;_6_4_sin30° =:™2¶:-6=:¡2∞: (cm¤ ) (cid:9120) :¡2∞: cm¤ 1201 를 구한 후 △PAT:△ABT=PA”:AB”임을 이용한다. 할선과 접선 사이의 관계를 이용하여 PT”, PA”의 길이 (cid:9120) 73p PT”=PT'”이고 TT'”=8 cm이므로 (cid:100)(cid:100)PT”=4 (cm) PA”=x cm라 하면 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 4¤ =x_(x+6),(cid:100)(cid:100)x¤ +6x-16=0 (x+8)(x-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=2(∵ x>0) △PAT=△PAT'이고 △ATT'=6 cm¤ 이므로 △PAT=3 cm¤ 이때 두 삼각형 PAT, ABT의 높이는 같고 PA” : AB”=2 : 6=1 : 3 (cid:9120) 8 이므로(cid:100)(cid:100)△ABT=3△PAT=3_3=9(cm¤ ) ∴ △BTT'=2(△PAT+△ABT) =2_(3+9)=24(cm¤ ) 1202 원주각의 성질을 이용하여 크기가 같은 각을 찾는다. ㈀ 오른쪽 그림과 같이 BE”, CE”를 그 A 으면 (cid:100)(cid:100)∠BCE=∠BAE =∠EAC =∠EBC (cid:9120) 24 cm¤ B O D C E 1199 계를 이용한다. 꼭짓점 D에서 BC”에 수선을 긋고 할선과 접선 사이의 관 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 3`cm A D BC”에 내린 수선의 발을 F라 하면 따라서 △BEC는 BE”=CE”인 이등변 삼각형이다. ㈂ △ADC와 △BDE에서 (cid:100)(cid:100)∠DAC=∠DBE, ∠DCA=∠DEB 이므로(cid:100)(cid:100)△ADCª△BDE (AA 닮음) BE” BF”=AD”=3 cm ¤ =3_9=27이므로 BE”=3'3 (cm) AE”=BE”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=6'3 cm ∴ (cid:8772)ABCD= _(3+9)_6'3=36'3(cm¤ ) 1 2 E B F 9`cm C O ㈃ △ABE와 △BDE에서 (cid:100)(cid:100)∠BAE=∠DBE, ∠BEA=∠DEB 이므로(cid:100)(cid:100)△ABEª△BDE (AA 닮음) (cid:100) 따라서 AB” : BD”=AE” : BE”이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)AB”_BE”=AE”_BD” 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂, ㈃`이다. (cid:9120) ③ (cid:9120) ㈀, ㈂, ㈃ 22 원주각의 활용 117 2 2 원 주 각 의 활 용 ¤ (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지118 SinsagoHitec 1203 네 점 A, B, P, Q가 한 원 위에 있음을 이용한다. ∠APB=∠AQB=90°이므로 네 점 A, B, P, Q는 점 M이 중심인 한 원 … ➊ 위에 있다. μ PQ에 대하여 1 ∠PAQ= ∠QMP 2 = _25°=12.5° 1 2 △APC에서 ∠ACB=90°-12.5°=77.5° ➊ 네 점 A, B, P, Q가 중심이 M인 한 원 위에 있음을 알 수 있다. ➋ ∠PAQ의 크기를 구할 수 있다. ➌ ∠ACB의 크기를 구할 수 있다. A Q C P … ➋ … ➌ (cid:9120) 77.5° 30% 50% 20% 접선 TT'과 두 원의 현이 이루는 각, 접선 BC와 작은 M R25æ B ➊ ∠BCP의 크기를 ∠ABC에 대한 식으로 나타낼 수 있다. ➋ ∠ABC의 크기를 구할 수 있다. ➌ ∠ADC의 크기를 구할 수 있다. 1206 CD”를 긋고 ∠BCD=90°임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 CD”를 그으면 A B P O E 28æ C (cid:100)(cid:100)∠BCD=90° ∠BDC=∠BCE=28°이므로 (cid:100)(cid:100)∠CBD=90°-28° =62° … ➊ ∠CAD=∠CBD=62°이고 AD”∥EC” 이므로 (cid:100)(cid:100)∠ACE=∠CAD=62° (엇각) (cid:100)(cid:100)∴ ∠PCB=62°-28°=34° (cid:100)(cid:100)∴ ∠APD=∠BPC =180°-(62°+34°) =84° 1204 원의 현이 이루는 각을 찾는다. ∠y=∠BAT'=70° 오른쪽 그림과 같이 DE”를 그으면 ∠EDA=∠CAT=∠CBA=30° ∠CDE=∠DAC=∠x △DCA에서 ∠x+∠y+∠x+30°=180° ∴ ∠x=40° ∴ ∠y-∠x=70°-40°=30° … ➋ ➊ ∠y의 크기를 구할 수 있다. ➋ ∠x의 크기를 구할 수 있다. ➌ ∠y-∠x의 크기를 구할 수 있다. ∠ABC=∠a라 하면 (cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABC=∠a △ABC에서 (cid:100)(cid:100)∠BAC=180°-2∠a 직선 PC는 원의 접선이므로 ∠BCP=∠BAC=180°-2∠a △BPC에서 이므로 ∠ABC=∠BPC+∠BCP ∠a=45°+(180°-2∠a) ∴ ∠a=75° (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠ADC=180°-75°=105° 118 정답 및 풀이 1205 ∠ABC=∠ACB=∠a로 놓고 식을 세운다. … ➊ B 30æ ➊ ∠CBD의 크기를 구할 수 있다. ➋ ∠PCB의 크기를 구할 수 있다. ➌ ∠APD의 크기를 구할 수 있다. 1207 BC”를 긋고 △APC와 닮음인 삼각형을 찾는다. BC”를 그으면 △APC와 △ACB에서 x y D 30æ x C E T A 70æ T' … ➌ (cid:9120) 30° 30% 50% 20% A 180æ-2a a a B 45æ P 180æ-2a C D … ➊ (cid:100)(cid:100)∠APC=∠ACB=90°, ∠ACP=∠ABC 이므로 (cid:100)(cid:100)△APCª△ACB (AA 닮음) 따라서 AP” : AC”=AC” : AB”이므로 (cid:100)(cid:100)9 : AC”=AC” : 12 ¤ =9_12=108 (cid:100)(cid:100)AC” (cid:100)(cid:100)∴ AC”=6'3 (cm) △APC에서 (cid:100)(cid:100)cos x= AP” AC” 9 6'3 = = '3 2 ➊ △APC∽△ACB임을 알 수 있다. ➋ AC”의 길이를 구할 수 있다. ➌ cos x의 값을 구할 수 있다. 1208 원에서의 비례 관계를 이용하여 PD”의 길이를 구한다. … ➋ (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 PA”_PC”=PB”_PD” … ➌ (cid:9120) 105° (cid:100)(cid:100)6_4=8_PD” (cid:100)(cid:100)∴ PD”=3 30% 40% 30% D … ➋ … ➌ (cid:9120) 84° 40% 30% 30% … ➊ … ➋ … ➌ (cid:9120) '3 2 40% 30% 30% … ➊ (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지119 SinsagoHitec ∴ (cid:8772)ABCD= _(6+4)_(8+3)_sin 60° PT”의 길이를 구한 후 닮음인 두 삼각형을 찾아 TH”, = _10_11_ '3 2 1 2 1 2 55'3 2 = 1211 HO”의 길이를 구한다. ⑴ PT” ¤ =PA”_PB”이므로 ¤ =2_(2+6)=16 (cid:100)(cid:100)PT” (cid:100)(cid:100)∴ PT”=4(cm) ⑵ △POT와 △TOH에서 본책 198~199쪽 … ➊ ➊ PD”의 길이를 구할 수 있다. ➋ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구할 수 있다. 1209 미지수에 대한 식으로 나타낸다. QB”, AQ”의 길이를 한 미지수로 나타낸 후 S¡, S™를 그 QB”=2k(k>0)라 하면 AQ”=8k이므로 1 S¡= p_(5k)¤ - p_(4k)¤ - p_k¤ 2 1 2 1 2 =4k¤ p 오른쪽 그림과 같이 나머지 반원을 그려서 원 O를 완성하고, PQ”의 연장선과 원 O가 만나는 점을 R라 하면 PQ”=QR”이므로 (cid:100)(cid:100)PQ” ¤ =8k_2k=16k¤ ∴ PQ”=4k (∵ k>0) 따라서 S™=p_(2k)¤ =4k¤ p이므로 S™ S¡ = 4k¤ p 4k¤ p =1 ➊ S¡을 식으로 나타낼 수 있다. ➋ S™를 식으로 나타낼 수 있다. ➌ 의 값을 구할 수 있다. S™ S¡ … ➋ (cid:9120) 55'3 2 50% 50% … ➊ P R … ➋ … ➌ (cid:9120) 1 40% 40% 20% (cid:100)(cid:100)∠OTP=∠OHT=90°, ∠O는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△POTª△TOH`(AA 닮음) 따라서 PO” : TO”=PT” : TH”이므로 12 5 9 5 (cid:100)(cid:100)5 : 3=4 : TH”(cid:100)(cid:100)∴ TH”= (cm) … ➋ 또 PO” : TO”=TO” : HO”이므로 (cid:100)(cid:100)5 : 3=3 : HO”(cid:100)(cid:100)∴ HO”= (cm) … ➌ (cid:100)(cid:100)∴ △THO= _ _ 9 5 12 5 1 2 54 25 = (cm¤ ) … ➍ (cid:9120) ⑴ 4 cm(cid:100)⑵ cm¤ 54 25 A O 8k Q 2k B ➊ PT”의 길이를 구할 수 있다. ➋ TH”의 길이를 구할 수 있다. ➌ HO”의 길이를 구할 수 있다. ➍ △THO의 넓이를 구할 수 있다. 2 2 원 주 각 의 활 용 30% 30% 30% 10% 1212 QC”를 긋고 △ABH와 닮음인 삼각형을 찾는다. 오른쪽 그림과 같이 QC”를 그으면 △ABH와 △AQC에서 ∠ABH=∠AQC ∠AHB=∠ACQ=90° A 6 8 O B PH2 C 이므로 (cid:100)(cid:100)△ABHª△AQC`(AA 닮음) … ➊ AB”:AQ”=AH”:AC”이고 △ABH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2 이므로 Q 1210 △AOB가 어떤 삼각형인지 알아본다. PT”는 원 O의 접선이므로 (cid:100)(cid:100)12¤ =8_(8+AB”),(cid:100)(cid:100)8AB”=80 ∴ AB”=10 (cm) 오른쪽 그림과 같이 OA”, OB”를 그으면 ∠ATB=30°이므로 (cid:100)(cid:100)∠AOB=2∠ATB=60° 즉 △AOB는 정삼각형이므로 OA”=OB”=AB”=10 cm … ➋ … ➊ B A 8`cm O 30æ P 12`cm T 따라서 원 O의 넓이는 p_10¤ =100p (cm¤ ) 6:AQ”=4'2:8 (cid:100)(cid:100)∴ AQ”=6'2 따라서 원 O의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_(3'2 )¤ =18p ➊ △ABHª△AQC임을 알 수 있다. ➋ AQ”의 길이를 구할 수 있다. ➌ 원 O의 넓이를 구할 수 있다. ➊ AB”의 길이를 구할 수 있다. ➋ 원 O의 반지름의 길이를 구할 수 있다. ➌ 원 O의 넓이를 구할 수 있다. … ➌ (cid:9120) 100p cm¤ 40% 50% 10% … ➋ … ➌ (cid:9120) 18p 50% 30% 20% 22 원주각의 활용 119 (083~120)중3쎈_해설 2015.2.13 12:32 PM 페이지120 SinsagoHitec 130쪽 10 12 +++--+ 16 23 62 7 8=100 주어진 수들은 거꾸로 보아도 처음 수와 같아지는 수를 132쪽 작은 것부터 순서대로 나열한 것이다. 따라서 구하는 수는 111이다. 155쪽 101-10¤ =1 36쪽 54쪽 ▲÷2=(cid:8778)에서(cid:100)(cid:100)▲=2_(cid:8778) 이것을 ▲+(cid:8778)=12에 대입하면(cid:100)(cid:100)(cid:8778)=4 (cid:100)(cid:100)∴ ▲=2_4=8 ▲=8을 11-(cid:8774)=▲에 대입하면(cid:100)(cid:100)(cid:8774)=3 72쪽 피타고라스의 제자의 수를 x명이라 하면 (cid:100)(cid:100);2!; x+;4!; x+;7!; x+3=x 양변에 28을 곱하여 정리하면(cid:100)(cid:100)3x=84 (cid:100)(cid:100)∴ x=28 83쪽 오른쪽 그림과 같이 나누면 각 부 분에 속하는 두 수의 합은 13으로 같게 된 다. 10 9 8 12 1 11 7 5 6 2 4 3 (3+3)÷(3+3)=1 174쪽 (3÷3)+(3÷3)=2 (3+3+3)÷3=3 (3_3+3)÷3=4 {(3+3)÷3}+3=5 병 A에 들어 있는 짚신벌레가 2μ 마리가 될 때, 병 A가 125쪽 가득 찬다고 하자. 이때 2마리가 들어 있던 병 B에 짚신벌레가 가득 차는 데 3시간이 걸리므로 병 A에 짚신벌레가 가득 차는 데 걸리는 시간은 다음과 같이 생각할 수 있다. 1 3분 2⁄ 2 3분 2⁄ 2¤ 3분 2⁄ 2‹ y 3분 2⁄ 3시간 3분 2⁄ 2μ —⁄ 3분 2⁄ 2μ 따라서 병 A가 짚신벌레로 가득 차는 데 걸리는 시간은 3시간 3 분이다. 188쪽 한 층 올라가는 데 걸리는 시간은 ;4%;초이고, 1층에서 60 층까지 올라가려면 59층을 더 올라가야 하므로 (cid:100)(cid:100);4%;_59= 295 4 (초) 120 정답 및 풀이