본문 바로가기

문제집/중등

2019년 좋은책신사고 우공비 중등 수학 3 ( 상 ) 답지

fds.flarebrick.com/1FCDkwVvG4fVFrAvzjGimlZ6OMRpbDdP6

 

2019년 좋은책신사고 우공비 중등 수학 3 ( 상 ).pdf Download | FlareBrick FDS

 

fds.flarebrick.com

더보기

D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지1 SinsagoHitec 우리들의 공부 비법 수학 (상)3 Check Up 풀이집 本 Step Up 기본서 Ⅰ 제곱근과 실수 1 제곱근과 실수 2 근호를 포함한 식의 계산 Ⅱ 식의 계산 1 인수분해 Ⅲ 이차방정식 1 이차방정식과 그 풀이 2 이차방정식의 근의 공식과 활용 Ⅳ 이차함수 1 이차함수와 그 그래프 2 이차함수의 활용 別 Point Up 문제집 ● 중단원별 실전 TEST ● 대단원별 실전 TEST 002 012 022 032 041 055 069 082 106 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지002 SinsagoHitec Step Up 기본서 Ⅰ -1. 제곱근과 실수 1. 제곱근의 뜻과 성질 0011 제곱근의 뜻과 표현 기본서 8~9쪽 익히기 1 ⑵ {;2#;}2 =;4(;, {-;2#;}2 =;4(;이므로 ;4(;의 제곱근 (cid:100) 은 ;2#;, -;2#;이다. ⑶ 0.1¤ =0.01, (-0.1)¤ =0.01이므로 0.01의 제곱근은 0.1, -0.1이다. `(cid:9000) ⑴ 1, -1 ⑵ ;2#;, -;2#; (cid:9000) ⑶ 0.1, -0.1 ⑷ '5, -'5 익히기 2 a=64일 때, 8¤ =64, (-8)¤ =64이므로 ⑴ 8 ⑶ 8, -8 ⑷ 8 ⑵ -8 a=(-10)¤ =100일 때, 10¤ =100, (-10)¤ =100이므로 ⑸ 10 ⑹ -10 ⑺ 10, -10 ⑻ 10 (cid:9000) ⑴ 8(cid:100) ⑵ -8(cid:100) ⑶ 8, -8(cid:100) ⑷ 8 (cid:9000) ⑸ 10(cid:100)⑹ -10(cid:100)⑺ 10, -10(cid:100)⑻ 10 유제 ❶ ㈀ (-4)¤ =16이므로 -4는 16의 제곱근이다. ㈁ 1의 제곱근은 1, -1의 2개이다. ㈂ -25의 제곱근은 없고, 25의 제곱근은 5, -5이다. ㈃ (-3)¤ =9이므로 (-3)¤ 의 제곱근은 3, -3이다. -'ß49=-"ç7¤ =-7 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다. (-3)¤ 의 제곱근을 -3으로 생각하지 않도록 주의한다. (-3)¤ =9이므로 (-3)¤ 의 제곱근은 9의 제곱근인 —3이다. (cid:9000) ② 제곱하여 음수가 되는 수는 없으므로 음수의 제곱근은 없다. a>0일 때, ① a의 제곱근 (cid:8825) —'a ② 제곱근 a (cid:8825) 'a 유제 ❷-1 ⑴ 20의 양의 제곱근은 제곱하여 20이 되는 수 (cid:100) 중에서 양수이므로 'ß20이다. 의 음의 제곱근은 제곱하여 ⑵ 이 되는 수 중에서 음 ;5&; ;5&; 이다. (cid:100) 수이므로 -Æ;5&; ⑶ 10¤ =100이므로 10¤ 의 제곱근은 10, -10이다. ⑷ 제곱근 2는 '2이다. (cid:9000) ⑴ 'ß20(cid:100)⑵ -Æ;5&; (cid:100)⑶ 10, -10(cid:100)⑷ '2 002 Check Up 풀이집 우공비 B0X 유제 ❷-2 9의 양의 제곱근은 3이므로 (cid:100)(cid:100)A=3 (cid:100)(cid:100)B=-7 (-7)¤ =49의 음의 제곱근은 -7이므로 (cid:100)(cid:100)∴ A-B=3-(-7)=10 (cid:9000) 10 0022 제곱근의 성질 기본서 10~11쪽 익히기 3 ⑶ ('ß0.3)¤ =0.3이므로(cid:100)(cid:100)-('ß0.3)¤ =-0.3 ⑷ (-'ß11)¤ =11이므로(cid:100)(cid:100)-(-'ß11)¤ =-11 ¤ = ⑺ æ≠{;4%;} 이므로(cid:100)(cid:100)-æ≠{;4%;} ;4%; ⑻ "√(-6)¤ =6이므로(cid:100)(cid:100)-"√(-6)¤ =-6 ;4%; ¤ =- (cid:9000) ⑴ 7(cid:100)⑵ (cid:100) ⑶ -0.3(cid:100) ⑷ -11 ;2!; (cid:9000) ⑸ 8(cid:100)⑹ 1.7(cid:100)⑺ - (cid:100)⑻ -6 ;4%; "√(양수)¤ =(양수) "√(음수)¤ =-(음수) < 0이므로 익히기 4 ⑴ a<0에서 3a (cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(3a)¤ =-3a ⑵ a<0에서 -a > (cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(-a)¤ =-a 0이므로 (cid:9000) ⑴ <, -3a(cid:100)⑵ >, -a a>0일 때, (cid:100)('ßa )¤ =(-'ßa )¤ =a (cid:100)"≈a¤ ="√(-a)¤ =a 유제 ❸ ⑴ ('8)¤ +(-'5 )¤ =8+5=13 ⑵ (-'1å0)¤ -"6Ω ¤ =10-6=4 ⑶ -'4å9_æ{;7– !;}2 =-7_ ;7!; =-1 ⑷ "√(-12)¤ ÷(-'4)¤ =12÷4=3 (cid:9000) ⑴ 13(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ -1(cid:100)⑷ 3 유제 ❹ -1 x>1에서 x-1>0이므로 (cid:100)(cid:100)"√(x-1)¤ =x-1 1-x<0이므로 (cid:100)(cid:100)"√(1-x)¤ =-(1-x)=-1+x (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=x-1-1+x=2x-2 유제 ❹ -2 a>0에서 -2a<0이므로 (cid:100)(cid:100)"√(-2a)¤ =-(-2a)=2a b<0에서(cid:100)(cid:100)"çb¤ =-b (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=2a-3_(-b) =2a+3b (cid:9000) 2x-2 (cid:9000) 2a+3b D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지003 SinsagoHitec 유제 ❺ -1 40x=2‹ _5_x이므로 x=2_5_(자연수)¤ 꼴이어야 한다. 따라서 자연수 x의 최솟값은 (cid:100)(cid:100)2_5=10 우공비 B0X 음수끼리 대소를 비교한 다. 2_5, 2‹ _5, 2_3¤ _5, y 유제 ❺ -2 18-x가 18보다 작은 제곱수이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)18-x=1, 4, 9, 16 따라서 x=17, 14, 9, 2이므로 x의 개수는 4이다. 1, 4, 9, 16, y과 같 이 자연수의 제곱인 수 (cid:9000) 10 (cid:9000) 4 기본서 8~14쪽 유제 ❻ -2 ② "√(-5)¤ =5 ③ (-'∂10 )¤ =10 ④ -"√(-6)¤ =-"ç36 ⑤ -Ƭ:¡2¡:=-'∂5.5 따라서 5.5<30<36에서(cid:100)(cid:100)'∂5.5 <'∂30<'∂36 (cid:100)(cid:100)-'∂36<-'∂30<-'∂5.5 즉 -"√(-6)¤ <-'∂30<-Ƭ:¡2¡:이므로 가장 작은 수는 ④이다. 유제 ❼ 2<'∂3x<'∂15의 각 변을 제곱하면 (cid:100)(cid:100)4<3x<15(cid:100)(cid:100)∴ ;3$;16이므로(cid:100)(cid:100)'ß25 ⑵ 0.04 <0.09 이므로(cid:100)(cid:100)'∂0.04 < > 'ß16 '∂0.09 ⑶ ;3@; <;6%; 이므로(cid:100)(cid:100)Æ;3@; < Æ;6%; ⑷ '∂16<'∂17이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)-'ß16 -'ß17(cid:100)(cid:100) > ⑸ '∂0.4>'∂0.16 이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)-'∂0.4 -'∂0.16 ⑹ Æ;2!; >Æ;3!; 이므로 < (cid:100) (cid:100)(cid:100)-Æ;2!; -Æ;3!; < (cid:9000) ⑴ > ⑵ < ⑶ < ⑷ > ⑸ < ⑹ < 익히기 6 ⑴ 1<'ßx <2에서(cid:100)(cid:100)1¤ <('ßx )¤ <2¤ (cid:100)(cid:100) (cid:100)1Æ;3!;이므로(cid:100)(cid:100)2>Æ;3!; (cid:100)(cid:100)∴ -'2<0<Æ;3!;<2<'5 (cid:9000) '5, 2, Æ;3!;, 0, -'2 (cid:9000) ④ (cid:9000) 9 (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ 소단원성취도진단 기본서 14~15쪽 02 ③ 01 ⑤ 06 '6 07 -3 11 3a+2b12 ① 16 6 03 ④ 08 ③ 13 24 04 ⑤ 09 12 14 12 05 ③ 10 ①, ⑤ 15 11 01 제곱하여 a (aæ0)가 되는 수 (cid:8833) a의 제곱근 ① 2¤ =4, (-2)¤ =4이므로 제곱하여 4가 되는 수 (cid:100) 는 —2이다. (cid:100) (cid:100)(cid:100)x=—2 ② x¤ =4에서 x는 4의 제곱근이므로 ③ 4의 제곱근은 제곱하여 4가 되는 수이므로 —2이다. a>0일 때, 제곱근 a (cid:8825) a의 양의 제곱근 ④ (-2)¤ =4이므로 4의 제곱근은 —2이다. ⑤ 제곱근 4는 4의 양의 제곱근이므로 2이다. 02 x가 a의 제곱근 (cid:8833) x¤ =a x가 3의 제곱근이므로 x를 제곱하면 3이 된다. 따라서 주어진 문장을 식으로 나타내면 (cid:100)(cid:100)x¤ =3 a가 어떤 유리수의 제곱의 꼴이면 a의 제곱근을 근호 를 사용하지 않고 나타낼 수 있다. 03 a>0일 때 (cid:8833) "aΩ ¤ =a ① æ–;4¢9;=æ≠{;7@;} ¤ =;7@; ② '∂0.25 ="√0.5¤ =0.5 ③ '1ß6 ="ç4¤ =4 ⑤ '∂100 ="ç10¤ =10 Ⅰ.제곱근과 실수 003 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지004 SinsagoHitec (cid:9000) ③ (cid:9000) 12 (cid:9000) ①, ⑤ 배점 50% 50% Step Up 기본서 04 a>0, b>0일 때, a>b (cid:8833) 'a>'b ① 6<10이므로(cid:100)(cid:100)'6<'ß10 (cid:100)(cid:100) (cid:100)∴ -'6>-'ß10 이므로(cid:100)(cid:100)Æ;8!; ② < ;8!; ;9@; <Æ;9@; ③ 7="≈7¤ ='ß49이고 48<49이므로(cid:100)(cid:100)'ß48<7 ④ "√(-3)¤ =3, (-'2 )¤ =2이고 3>2이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(-3)¤ >(-'2 )¤ ⑤ 5="≈5¤ ='ß25이고 25<26이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)5<'ß26(cid:100)(cid:100)∴ -5>-'ß26 (cid:9000) ⑤ 05 a>0일 때 a의 제곱근 (cid:8833) —'a [, 제곱근 a (cid:8833) 'a ① x¤ =7이면 x=—'7이다. ② (-7)¤ =49이고, 49의 제곱근은 —7이다. ③ -'7은 제곱하여 7이 되는 수 중에서 음수이므로 7 의 음의 제곱근이다. ④ '4å9="ç7¤ =7이므로 'ß49의 제곱근은 —'7이다. ⑤ -7은 음수이고, 음수의 제곱근은 없다. 우공비 B0X a>0, b>0일 때, 'ßa<'ßb (cid:100)(cid:100) (cid:8825) -'ßa >-'ßb ④ -'ß25÷æ≠{- ;3!;} ¤ =-5÷ ;3!; =-5_3=-15 ⑤ "ç0.1¤ _{-Ƭ;;¡7º;; } ¤ =0.1_ = ;;¡7º;; ;7!; 09 a>0일 때 (cid:8833) "≈a¤ ="√(-a)¤ =('a )¤ =a '0∂.36_"(√-10)¤ ÷{Æ;2!; }2 ="0ç.6¤ _"(√-10)¤ ÷{Æ;2!; }2 =0.6_10÷;2!; =0.6_10_2 =12 10 "aΩ ¤ =[ a (aæ0) -a (a<0) ① "≈a¤ =a -'a는 a의 음의 제 곱근이므로 (cid:100)(-'a)¤ =a (cid:9000) ③ ② -(-'a)¤ =-{(-'a)_(-'a)}=-('a)¤ =-a ③ -"ça¤ =-a ④ -"√(-a)¤ =-"≈a¤ =-a ⑤ "√(-a)¤ ="≈a¤ =a 따라서 그 값이 a인 것은 ①, ⑤이다. 06 넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8833) 'a 직사각형의 넓이가 (cid:100)(cid:100)3_2=6 이므로 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 (cid:100)(cid:100)x¤ =6(cid:100)(cid:100)∴ x='6 (∵ x>0) 11 채점 기준 2a, -3b, b-a의 값의 부호 구하기 주어진 식 간단히 하기 x는 6의 양의 제곱근 a>0, b<0이므로 07 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 c의 값 구하기 a-b-c의 값 구하기 '1ß6 ="≈4¤ =4이므로(cid:100)(cid:100)a='4=2 '8ß1="≈9¤ =9이므로(cid:100)(cid:100)b=-'9=-3 c='6ß4 =8 (cid:100)(cid:100)∴ a-b-c=2-(-3)-8=-3 (cid:9000) '6 배점 30% 30% 30% 10% ▶ 30% ▶ 30% ▶ 30% ▶ 10% (cid:9000) -3 (cid:100)(cid:100)2a>0, -3b>0, b-a<0 ▶ 50% (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=2a-(-3b)-(b-a) =3a+2b ▶ 50% (cid:9000) 3a+2b 12 a>0, b>0일 때, 'a>'b (cid:8833) a>b 3="≈3¤ ='9, 6="≈6¤ ='ß36이므로 (cid:100)(cid:100)'9<'ß6x<'ß36,(cid:100)(cid:100)9<6x<36 (cid:100)(cid:100)∴ 0일 때, ① ('a)¤ =(-'a)¤ =a ② "≈a¤ ="√(-a)¤ =a 13 넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8833) 'a (cid:8772)ABCD의 한 변의 길이를 x라 하면 (cid:100)(cid:100)x¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0) (cid:8772)CEFG의 한 변의 길이를 y라 하면 (cid:100)(cid:100)y¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ y=6(∵ y>0) 2 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지005 SinsagoHitec S t e p U p . Ⅰ 제 곱 근 과 실 수 따라서 직각삼각형 CBE의 넓이는 2. 무리수와 실수 우공비 B0X 기본서 14~19쪽 (cid:100)(cid:100);2!;_8_6=24 (cid:9000) 24 14 'ß(cid:8641) 가 자연수 (cid:8833) (cid:8641)=(자연수)¤ 'ƒ15-x 는 가장 큰 정수가 되어야 한다. 15보다 작은 (자연수)¤ 꼴의 수 중 가장 큰 수는 9이므로 (cid:100)(cid:100)15-x=9(cid:100)(cid:100)∴ x=6 또 '∂54y는 가장 작은 자연수가 되어야 한다. 54y=2_3‹ _y이므로 y=2_3_(자연수)¤ 꼴이어야 한다. (cid:100)(cid:100)∴ y=2_3=6 (cid:100)(cid:100)∴ x+y=6+6=12 15 채점 기준 양수끼리 대소 비교하기 음수끼리 대소 비교하기 a, b의 값 구하기 a¤ -b¤ 의 값 구하기 (cid:9000) 12 배점 30% 30% 30% 10% ▶ 10% (cid:9000) 11 배점 40% 40% 20% ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% (cid:9000) 6 양수 'ß18, 'ß11, 4="≈4¤ ='ß16의 대소를 비교하면 ▶ 30% (cid:100)(cid:100)'ß11<4<'ß18 음수 -'7, -2=-"≈2¤ =-'4의 대소를 비교하면 (cid:100)(cid:100)-'7<-2 따라서 주어진 수를 작은 것부터 순서대로 나열하면 (cid:100)(cid:100)-'7, -2, 0, 'ß11, 4, 'ß18 이므로 (cid:100)(cid:100)a='ß18, b=-'7 (cid:100)(cid:100)∴ a¤ -b¤ =('ß18)¤ -(-'7)¤ =18-7 ▶ 30% ▶ 30% =11 14="ç14¤ ='∂196, 15="ç15¤ ='∂225이므로 16 채점 기준 N(200)의 값 구하기 N(65)의 값 구하기 N(200)-N(65)의 값 구하기 (cid:100)(cid:100)14<'∂200<15 (cid:100)(cid:100)∴ N(200)=14 8="≈8¤ ='∂64, 9="≈9¤ ='∂81이므로 (cid:100)(cid:100)8<'∂65<9 (cid:100)(cid:100)∴ N(65)=8 (cid:100)(cid:100)∴ N(200)-N(65)=14-8 =6 0044 무리수와 실수 기본서 16~17쪽 익히기 1 ⑴ 0.4363636y=0.4H3H6은 순환소수이므로 (cid:100) 유리수이다. ⑵ 'ß10은 무리수이다. ⑶ 'ß64="≈8¤ =8이므로 유리수이다. ⑷ p=3.141592y로 순환하지 않는 무한소수이므로 무 리수이다. (cid:9000) 유리수: ⑴, ⑶,(cid:100)무리수: ⑵, ⑷ 익히기 2 (cid:9000) ⑴ 2.265(cid:100)⑵ 2.245(cid:100)⑶ 2.236 유제 ❶ ① -'9=-"≈3¤ =-3 ② 'ƒ1.44="ç1.2¤ =1.2 ③ 3.1H4= 314-31 90 =;;™9•0£;; 따라서 무리수인 것은 ④, ⑤이다. A-B가 가장 큰 정 수가 되려면 A는 최 댓값, B는 최솟값을 가져야 한다. 양수와 음수가 섞여 있는 세 수 이상의 수의 대소를 비교할 때에는 먼저 양수 는 양수끼리, 음수는 음수 끼리 대소를 비교한다. 근호를 사용하여 나타낸 수이더라도 근호 안의 수 가 (유리수)¤ 꼴이면 유 리수이다. 유제 ❷ ㈁ 근호를 사용하여 나타낸 수 중 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이면 그 수는 유리수이다. ㈂ ;3!;=0.H3은 유한소수로 나타낼 수 없는 수이지만 유리 (음수)<0<(양수) 수이다. 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다. (cid:9000) ④, ⑤ (cid:9000) ② (cid:9000) ③ 유제 ❸ a='∂8.84=2.973 b='∂9.05=3.008 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=5.981 0055 실수와 수직선 기본서 18~19쪽 익히기 3 정사각형 ABCD의 넓이는 2 각형 ABCD의 한 변의 길이는 `이다. '2 점 P는 원점에서 오른쪽으로 `만큼 떨어진 점이므로 '2 점 P에 대응하는 수는 `이다. `이므로 정사 '2 `만큼 떨어진 점이므 또 점Q는 원점에서 왼쪽으로 '2 로 점 Q에 대응하는 수는 `이다. -'2 (cid:9000) 풀이 참조 넓이가 a(a>0)인 정사각 형의 한 변의 길이는 'a 이다. 유제 ❹ (cid:8772)ABCD=3_3-{;2!;_2_1}_4=5이므로 (cid:100)(cid:100)CB”='5(cid:100)(cid:100)∴ CP”=CB”='5 Ⅰ.제곱근과 실수 005 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지006 SinsagoHitec (cid:9000) ② 소단원성취도진단 기본서 22~23쪽 Step Up 기본서 따라서 점 P의 좌표는 -1-'5 이다. (cid:8772)EFGH=4_4-{;2!;_3_1}_4=10이므로 (cid:100)(cid:100)GH”='1ß0(cid:100)(cid:100)∴ GQ”=GH”='1ß0 따라서 점 Q의 좌표는 5+'1ß0 이다. (cid:9000) P(-1-'5 ), Q(5+'1ß0 ) 유제 ❺ ② 서로 다른 두 무리수 '5와 '6 사이에는 무 수히 많은 무리수가 있다. 우공비 B0X -1에 대응하는 점에 서 왼쪽으로 '5만큼 떨어진 점이다. 5에 대응하는 점에서 오른쪽으로 'ß10만큼 떨어진 점이다. 0066 실수의 대소 관계 기본서 20~21쪽 익히기 4 (4-'6 )-2= 그런데 2 2-'6 '6이므로(cid:100)(cid:100)2-'6 < < 0 (cid:100)(cid:100)∴ 4-'6 < 2 (cid:9000) 풀이 참조 < 익히기 5 ⑴ (3+'5)-(3+'6)='5-'6<0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3+'5 3+'6 ⑵ ('1ß1 -'5 )-('1ß1-2)=-'5+2=-'5+'4<0 < (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ '1ß1 -'5 '1ß1-2 ⑶ (-'2+3)-(-'3+3)=-'2+'3>0 > (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -'2+3 -'3+3 '5<'6이므로 (cid:100)'5-'6<0 '5>'4이므로 (cid:100)-'5+'4<0 '2<'3이므로 (cid:100)-'2+'3>0 (cid:9000) ⑴ <(cid:100)⑵ <(cid:100)⑶ > < 3+'6 ⑴ '5<'6이므로(cid:100)(cid:100)3+'5 ⑵ '5 >'2에서(cid:100)(cid:100)-'5<-'2 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ '1ß1 -'5 '1ß1-2 ⑶ '2 <'3에서(cid:100)(cid:100)-'2>-'3 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -'2+3 -'3+3 > < 두 실수a, b 에 대하여 (cid:100)a-b>0 (cid:8825) a>b (cid:100)a-b<0 (cid:8825) a0 (cid:100)(cid:100)∴ a>b b-c=3-('6+1)=2-'6<0 (cid:100)(cid:100)∴ b0.41이므로 '7-0.5는 '5와 '7 사이에 있는 수가 아니다. (cid:9000) ⑤ 006 Check Up 풀이집 유제 ❽ '4<'7<'9에서(cid:100)(cid:100)2<'7<3 (cid:100)(cid:100)∴ -3<-'7<-2 따라서 2-3<2-'7<2-2, 즉 -1<2-'7<0이므로 2-'7에 대응하는 점은 구간 B에 있다. (cid:9000) ② 02 ⑤ 01 ④ 06 2-'2 07 ③ 12 93 11 ④ 03 ① 08 ② 13 1 04 2 09 ② 14 ④ 05 ④ 10 ③ 15 -1 01 넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8833) 'ßa ① '4=2 ② '9=3 ④ 'ß20 ③ '∂16=4 ⑤ '∂25=5 따라서 한 변의 길이가 무리수인 정사각형은 ④이다. 02 "√(자연수)¤ =(자연수) ⑤ a=4이면 a는 유리수이고, '4=2이므로 'a도 유리수이다. 03 로줄이 만나는 곳에 있는 수 "√(cid:8785)(cid:8784).▲ (cid:8833) 제곱근표에서 (cid:8785)(cid:8784)의 가로줄과 ▲의 세 a=5.244, b=5.177이므로 (cid:100)(cid:100)1000(a-b)=1000_0.067 =67 순환하지 않는 무한소수 (cid:8833) 무리수 순환하지 않는 무한소수로 나타내어지는 수는 무리 04 수이다. (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ① (cid:9000) 2 '5와 '7 사이에 있는 수 는 0.41보다 작은 수를 '5 에 더하거나 '7에서 뺀 수 이다. ㈀ "√(-5)¤ =5 ㈁ æ≠{;3!;} ¤ = ;3!; ㈂ Ƭ;2!5^;=æ≠{;5$;} ¤ = ;5$; ㈃ '4ß0 ㈄ '∂100="ç10¤ =10 이상에서 무리수인 것은 ㈃, ㈅의 2개이다. ㈅ '∂120 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지007 SinsagoHitec 05 유리수가 아닌 수 (cid:8833) 무리수 ① a¤ =('3)¤ =3 ② "√3a¤ ="√3_('3)¤ ='ƒ3_3="ç3¤ =3 ③ 2a¤ +1=2_('3)¤ +1=2_3+1=7 ④ a+'6='3+'6 ⑤ '3a='3_'3=('3)¤ =3 07 (cid:8833) '2 08 직선 09 06 채점 기준 BP”의 길이 구하기 점 B에 대응하는 수 구하기 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로 (cid:100)(cid:100)BP”=BD”='2 ▶ 50% 점 B는 점 P에서 왼쪽으로 '2만큼 떨어진 점이므로 점 B에 대응하는 수는 2-'2이다. ▶ 50% (cid:9000) 2-'2 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2 이므로 각 점의 좌표는 다음과 같다. (cid:100)(cid:100)A(1-'2 ), B('2 ), C(3-'2 ), (cid:100)(cid:100)D(4-'2 ), E(3+'2 ) 수직선 (cid:8833) 각 점에 실수를 하나씩 대응시켜서 만든 ② '6과 '7 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. (cid:9000) ② 두 실수 a, b의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사 ① (3+'3)-('5+'3)=3-'5 ='9-'5>0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3+'3 >'5+'3 ② (2+'5)-('3+'5)=2-'3 ='4-'3>0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 2+'5 >'3+'5 ③ 7-(2+'5)=5-'5 ='2ß5-'5>0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 7>2+'5 ④ (10-'5)-('8ß0-'5 )=10-'8ß0='∂100-'8ß0>0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 10-'5 >'8ß0-'5 ⑤ (1+'2ß4)-6='2ß4-5='2ß4-'2ß5<0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 1+'2ß4<6 (cid:9000) ② (cid:9000) ④ 배점 50% 50% k에 대응하는 점에서 오른 쪽으로 'a만큼 떨어진 점 에 대응하는 수 (cid:8825) k+'a k에 대응하는 점에서 왼쪽 으로 'a만큼 떨어진 점에 대응하는 수 (cid:8825) k-'a 우공비 B0X 기본서 19~23쪽 S t e p U p . Ⅰ 제 곱 근 과 실 수 10 a-b>0 (cid:8833) a>b a-b=(3-'8)-(3-'ß10)=-'8+'ß10>0 (cid:100)(cid:100)∴ a>b b-c=(3-'ß10)-1=2-'ß10='4-'ß10<0 (cid:100)(cid:100)∴ b0 (cid:8825) a>b ② a-b=0 (cid:8825) a=b ③ a-b<0 (cid:8825) a0(cid:100)(cid:100)∴ 3-'2>1 따라서 Ⅰ.제곱근과 실수 007 (cid:9000) ③ 배점 30% 50% 20% ▶ 30% ▶ 20% (cid:9000) 93 배점 40% 50% 10% D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지008 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)3-'5<1<3-'2 이므로 수직선 위에 나타낼 때, 왼쪽에서 네 번째에 있는 ▶ 50% 우공비 B0X 네 번째로 작은 수 ▶ 10% (cid:9000) 1 Step Up 기본서 수는 1이다. 보충 학습 수직선과 실수 중단원마무리평가 기본서 24~27쪽 05 ② 10 ⑤ 15 ① 04 ④ 01 ③, ④ 02 ①, ③ 03 ③ 07 ⑤ 06 ③ 09 ② 08 ② 12 ①, ③ 13 ④, ⑤ 14 ② 11 ① 19 305 16 ③ 18 ③ 17 ④ 20 100…x<10000 21 90 22 15 24 0 26 4 25 25 27 ⑴ '8(cid:100)⑵ P(-1+'8 )(cid:100)⑶ Q(-1-'8 )(cid:100)⑷ -2 28 A, C 23 2p 01 x가 양수 a의 제곱근 (cid:8833) x를 제곱하면 a가 된다. x가 양수 a의 제곱근이므로 x를 제곱하면 a가 된 양수 a의 제곱근 중 양수 인 것은 'a, 음수인 것은 -'a이다. 다. 즉 x¤ =a이고, 양수의 제곱근은 2개이므로 (cid:100)(cid:100)x=—'a (cid:9000) ③, ④ 02 a>0일 때 a의 제곱근 (cid:8833) —'a [ 제곱근 a (cid:8833) 'a ① (-3)¤ =9이므로 -3은 9의 음의 제곱근이다. ② 제곱근 5는 5의 양의 제곱근이므로 '5이다. ③ -5는 25의 음의 제곱근이므로 -'ß25와 같다. ④ (-7)¤ =49이고 49의 제곱근은 —7이다. ⑤ "√(-6)¤ =6 (cid:9000) ①, ③ 사각형 A, B, C, D의 넓이를 각각 a, b, c, d라 03 하면 (cid:8833) a=2b, b=2c, c=2d 사각형 A, B, C, D의 넓이를 각각 a, b, c, d라 하면 사각형 A의 넓이가 사각형 B의 넓이의 2배이므로 (cid:100)(cid:100)a=2b, 즉 b= a ;2!; 같은 방법으로 b=2c, c=2d이므로 (cid:100)(cid:100)c= b, d= ;2!; c ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ d= c= ;2!; ;2!; {;2!; b}= ;4!; b= ;4!; {;2!; a}= ;8!; a 사각형 A의 넓이가 1 cm¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)d= (cm¤ ) ;8!; 따라서 정사각형 D의 한 변의 길이를 x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)x¤ = (cid:100)(cid:100)∴ x=Æ;8¬ !; ;8!; (∵ x>0) (cid:9000) ③ 보충 학습 넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 x¤ =a이 다. 이때 x는 정사각형의 한 변의 길이이므로 양수이다. 따라서 x는 a의 양의 제곱근이므로 x='a이다. -'ß25=-"≈5¤ =-5 =(정사각형의 넓이) =(한 변의 길이)¤ 넓이가 인 정사각형 ;8!; 의 한 변의 길이는 ;8!; 의 양의 제곱근이다. ① 0을 기준으로 음수는 왼쪽에, 양수는 오른쪽에 대응된다. ② a0이므로(cid:100)(cid:100)-a<0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ "√(-a)¤ =a=3-'5 ② b<0이므로(cid:100)(cid:100)-b>0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ "√(-b)¤ =-b=2 ③ a+b=(3-'5)+(-2)=1-'5<0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(a+b)¤ =-(a+b)=-1+'5 ④ a-b=(3-'5)-(-2)=5-'5>0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(a-b)¤ =a-b=5-'5 ⑤ a>0, b<0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)"≈a¤ -"≈b¤ =a-(-b)=a+b=1-'5 이때 '4<'5<'9, 즉 2<'5<3이므로 이상에서 가장 큰 수는 ④이다. (cid:9000) ④ 2<'5<3이므로 (cid:100)(cid:100)0<3-'5<1, 1<-1+'5<2, (cid:100)(cid:100)2<5-'5<3, -2<1-'5<-1 (cid:100)(cid:100)∴ 1-'5<3-'5<-1+'5<2<5-'5 15 채점 기준 2-'7에 대응하는 점 찾기 '5에 대응하는 점 찾기 -'3에 대응하는 점 찾기 '3-1에 대응하는 점 찾기 p+q의 값 구하기 배점 20% 20% 20% 20% 20% 2<'7<3에서 -3<-'7<-2이므로 (cid:100)(cid:100)2-3<2-'7<2-2(cid:100)(cid:100)∴ -1<2-'7<0 따라서 2-'7에 대응하는 점은 점 B이다. ▶ 20% 2<'5<3이므로 '5에 대응하는 점은 점 D이다. ▶ 20% 1<'3<2에서 -2<-'3<-1이므로 -'3에 대응하 는 점은 점 A이다. ▶ 20% 또 1<'3<2에서 0<'3-1<1이므로 '3-1에 대응하 는 점은 점 C이다. ▶ 20% 따라서 p=-'3, q='3-1이므로 (cid:100)(cid:100)p+q=-'3+('3-1)=-1 ▶ 20% (cid:9000) -1 008 Check Up 풀이집 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지009 SinsagoHitec 우공비 B0X 기본서 23~25쪽 09 'ƒ24-x가 자연수 (cid:8833) 24-x=(자연수)¤ 'ƒ24-x 가 자연수가 되려면 24-x가 24보다 작은 —'ß16=—"≈4¤ =—4 —'ß100=—"≈10¤ =—10 제곱수이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)24-x=1, 4, 9, 16 (cid:100)(cid:100)∴ x=23, 20, 15, 8 따라서 가장 작은 자연수 x는(cid:100)(cid:100)8 (cid:9000) ② (cid:9000) ④ 보충 학습 "√(유리수)¤` 꼴인 수는 근 호를 사용하지 않고 나타 낼 수 있다. S t e p U p . Ⅰ 제 곱 근 과 실 수 ① 'ƒA-x (A는 자연수)가 정수가 되도록 하는 자연수 x 의 값을 구하려면 A-x의 값이 0 또는 A보다 작은 제 곱수이어야 함을 이용한다. (cid:100) (cid:9009) 'ƒ12-x가 정수가 되도록 하는 자연수 x (cid:100) (cid:100) (cid:8825) 12-x=0, 1, 4, 9이므로(cid:100)(cid:100)x=12, 11, 8, 3 ② 'ƒA-x (A는 자연수)가 자연수가 되도록 하는 자연수 x의 값을 구하려면 A-x의 값이 A보다 작은 제곱수이 어야 함을 이용한다. (cid:100) (cid:9009) 'ƒ12-x가 자연수가 되도록 하는 자연수 x (cid:100) (cid:100) (cid:8825) 12-x=1, 4, 9이므로(cid:100)(cid:100)x=11, 8, 3 10 a>0, b>0일 때, a-'2 ¤ =Æ;9!; =æ–{;3!;} 이므로 이고 ⑤ > ;3!; ;9!; ;8!; (cid:100) (cid:100)(cid:100)Æ;8!; > ;3!; 04 a>0일 때, a의 제곱근 (cid:8833) —'a '∂256="ç16¤ =16의 제곱근은 —'ß16, 즉 —4이므로 (cid:100)(cid:100)A=—4 (-10)¤ =100의 제곱근은 —'∂100, 즉 —10이므로 (cid:100)(cid:100)B=—10 따라서 A-B의 최댓값은 (cid:100)(cid:100)4-(-10)=14 05 양수 a의 제곱근 (cid:8833) 제곱하여 a가 되는 수 ① 0.36의 제곱근은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)—'∂0.36=—"ç0.6¤ =—0.6 ② 0.4의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'∂0.4 ③ ;1ª6; 의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—Ƭ;1ª6;=—æ≠{;4#;} =—;4#; ④ 81의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'ß81=—"≈9¤ =—9 ⑤ 121의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'∂121=—"ç11¤ =—11 06 a>0일 때 ('a )¤ =(-'a )¤ =a [ "≈a¤ ="√(-a)¤ =a ① -(-'2)¤ +"√(-1)¤ =-2+1=-1 ② "≈3¤ -"√(-5)¤ =3-5=-2 ③ "√2‹ +1-1='9-1=3-1=2 ④ 'ƒ0.09_'ß36="ç0.3¤ _"≈6¤ =0.3_6=1.8 ⑤ (-'9)¤ -"≈8¤ =9-8=1 (cid:9000) ② (cid:9000) ③ -a (aæ0) 07 "≈a¤ = · “ ª -a (a<0) -31 ;a!; 01이므로 ;a!; (cid:100)(cid:100)a- <0, -a>0 ;a!; ;a!; (cid:9000) ⑤ "çA가 연속하는 두 자연수 사이의 수일 때, 이 자연 수를 구하려면 A보다 작 은 제곱수와 A보다 큰 제 곱수를 찾아본다. 'ßx가 두 자연수 a, b (a0이므로(cid:100)(cid:100)'∂10>3(cid:100) 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 수는 ③이다. (cid:9000) ③ x가 두 수 a, b (a0 (cid:8833) a>b a-b=(2+'7 )-('5+'7 ) =2-'5='4-'5<0 (cid:100)(cid:100)∴ a0, b>0일 때, 'a<'b (cid:8833) a2이고 1<'3<2이 므로 ② (cid:100)(cid:100)1+'2>'3 ② '4=2이므로(cid:100)(cid:100)1+'2>2 ③ 1+'2=2.414, '7=2.646이므로 ② (cid:100)(cid:100)1+'2<'7 ② 또 3='9이므로(cid:100)(cid:100)'7<'9(cid:100)(cid:100)∴ '7<3 ④ '9=3 010 Check Up 풀이집 (cid:9000) ① n¤ =25일 때,(cid:100)a=125 n¤ =36일 때,(cid:100)a=180 (cid:100)(cid:100)a=125 또는 a=180 따라서 구하는 합은 (cid:100)(cid:100)125+180=305 (cid:9000) 305 양수 A에 대하여 ① A의 정수 부분이 한 자리 수이면 ③ (cid:8825) 1…A<10 ② A의 정수 부분이 두 자리 수이면 ③ (cid:8825) 10…A<100 ③ A의 정수 부분이 세 자리 수이면 ③ (cid:8825) 100…A<1000 20 먼저 'ßx의 값의 범위를 구한다. 'ßx의 정수 부분이 두 자리 수이므로 (cid:100)(cid:100)10…'ßx<100 10="ç10¤ ='∂100, 100="√100¤ ='ƒ10000이므로 (cid:100)(cid:100)'∂100…'ßx<'ƒ10000 (cid:100)(cid:100)∴ 100…x<10000 (cid:100)(cid:100)(cid:9000) 100…x<10000 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지011 SinsagoHitec 21 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱 (cid:8833) 유리수 1…x…100인 자연수 x에 대하여 'ßx가 유리수가 되는 경우는 (cid:100)(cid:100)'1=1, '4=2, '9=3, y, '∂100=10 따라서 1에서 100까지의 자연수 x 중에서 'ßx의 값이 무 리수가 되도록 하는 x의 개수는 (cid:100)(cid:100)100-10=90 (cid:9000) 90 22 먼저 'ß50, 'ß80의 앞, 뒤의 제곱수를 찾는다. '∂49 <'∂50 <'∂64이므로(cid:100)(cid:100)7<'∂50 <8 (cid:100)(cid:100)∴ <50>=7 '∂64 <'∂80 <'∂81이므로(cid:100)(cid:100)8<'∂80 <9 (cid:100)(cid:100)∴ <80>=8 (cid:100)(cid:100)∴ <50>+<80>=7+8=15 (cid:9000) 15 23 반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이 (cid:8833) 2pr 넓이가 p인 원의 반지름의 길이는 1이고, 원점과 점 A 사이의 거리는 원의 둘레의 길이와 같으므로 (cid:100)(cid:100)2p_1=2p 따라서 점 A에 대응하는 수는 2p이다. (cid:9000) 2p 24 채점 기준 a, b의 부호 알기 주어진 식 간단히 하기 a-b<0, ab<0에서 (cid:100)(cid:100)a<0, b>0 ▶ 2점 따라서 "≈a¤ =-a, "√(-b)¤ =b, "√(b-a)¤ =b-a이므로 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=-a+b-(b-a) =-a+b-b+a =0 25 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 우공비 B0X 기본서 25~27쪽 (cid:100)(cid:100)11+b=16(cid:100)(cid:100)∴ b=5 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=20+5=25 26 채점 기준 '5<'x<'∂13을 만족시키는 x의 값 구하기 4<'∂2x<6을 만족시키는 x의 값 구하기 자연수 x의 개수 구하기 '5<'ßx<'ß13에서 50, b<0 또는 a<0, b>0 그런데 a-b<0에서 a0 m-n의 값은 m의 값이 클수록, n의 값이 작을 수록 크다. 28 ▶ 2점 (cid:9000) 0 배점 2점 2점 1점 ⑴ (cid:8772)ABCD= _4_4=8 ;2!; (cid:100) 따라서 (cid:8772)ABCD의 한 변의 길이는 '8이다. ▶ 2점 ⑵ 점 P는 점 A에서 오른쪽으로 '8만큼 떨어진 점이므 ▶ 1점 ⑶ 점 Q는 점 A에서 왼쪽으로 '8만큼 떨어진 점이므로 ▶ 1점 로 점 P의 좌표는(cid:100)(cid:100)-1+'8 점 Q의 좌표는 (cid:100)(cid:100)-1-'8 ⑷ a=-1+'8, b=-1-'8이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)a+b=-1+'8+(-1-'8)=-2 ▶ 1점 (cid:9000) ⑴ '8(cid:100) ⑵ P(-1+'8) (cid:9000) ⑶ Q(-1-'8)(cid:100)⑷ -2 채점 기준 A와 B의 대소 비교하기 B와 C의 대소 비교하기 답 구하기 배점 1점 1점 2점 'ƒ120-a 는 가장 큰 자연수가 되어야 한다. 120보다 작은 (자연수)¤ 꼴의 수 중 가장 큰 수는 100이 10¤ =100, 11¤ =121 (cid:100)(cid:100)120-a=100(cid:100)(cid:100)∴ a=20 또 'ƒ11+b는 가장 작은 자연수가 되어야 한다. 11보다 큰 (자연수)¤ 꼴의 수 중 가장 작은 수는 16이므 ▶ 2점 므로 로 3¤ =9, 4¤ =16 는 C이다. A-B=('∂50-2)-5='∂50-7='∂50-'∂49>0 ▶ 1점 (cid:100)(cid:100)∴ A>B B-C=5-('∂15+1)=4-'∂15='∂16-'∂15>0 (cid:100)(cid:100)∴ B>C ▶ 1점 따라서 A>B>C이므로 가장 큰 수는 A, 가장 작은 수 ▶ 2점 (cid:100)(cid:100)(cid:9000) A, C Ⅰ.제곱근과 실수 011 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지012 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X Ⅰ -2. 근호를 포함한 식의 계산 1. 제곱근의 곱셈과 나눗셈 0077 제곱근의 곱셈과 나눗셈 ⑴ 기본서 28~30쪽 익히기 1 ⑴ '2_'∂11='ƒ2_11='∂22 ⑵ 3'2_5'3=3_5_'ƒ2_3=15'6 ⑶ '∂40 '8 =Ƭ:¢8º:='5 ⑷ 8'∂63÷2'7=8'∂63_ =;2*;_Ƭ:§7£:=12 1 2'7 (cid:9000) ⑴ '∂22(cid:100)⑵ 15'6(cid:100)⑶ '5(cid:100)⑷ 12 익히기 2 ⑴ '6_'8="ç ="√ 5 20 2 16 =Ƭ =Æ;4%; =Ƭ 48 ⑵ '∂20 '∂16 4 = 4 ¤ _3= '3 '5 2 (cid:9000) 풀이 참조 유제 ❶ -1 ⑴ '3_'∂12='ƒ3_12='∂36="ç6¤ =6 ⑵ 8'5_(-'2)=8_(-1)_'5∂_2 =-8'1å0 ⑶ 4_5'2_2'7=4_5_2_'2∂_7=40'ß14 ⑷ 2Æ;3*; Æ;4#; =2Æ…;3*; _;4#;=2'2 (cid:9000) ⑴ 6(cid:100)⑵ -8'1å0(cid:100)⑶ 40'ß14(cid:100)⑷ 2'2 유제 ❶ -2 ⑴ -2'ß21÷'3=- 2'ß21 '3 ⑴ -2'ß21÷'3=-2'7 =-2Ƭ;;™3¡;; ⑵ 15'2÷3'3=15'2_ =;;¡3∞;;_Æ;3@;=5Æ;3@; 1 3'3 1 ÷'6=Æ…;;¡5•;;_ =Ƭ;;¡5•;;_Æ;6!; '6 =Æ;5#; =Æ…;;¡5•;;_;6!; 'ß35 '6 'ß12 'ß35 '7 '6 =Ƭ;;¡7™;;_ ;;£6∞;;='ß10 ÷ = _ ÷ ⑶ 'ß18 '5 'ß12 '7 ⑷ ⑷ =Ƭ;;¡7™;;_Ƭ;;£6∞;; 유제 ❸ ⑴ æ–;8!1#; =æ– ⑵ '∂0.17=Æ…;1¡0¶0; =æ– 13 9¤ = 17 10¤ = 'ß13 9 'ß17 10 (cid:9000) ⑴ 'ß13 9 (cid:100)⑵ 'ß17 10 유제 ❹-1 ⑴ 'ƒ2000 ='ƒ20_100 =10'ß20 =10_4.472=44.72 ⑵ 'ƒ20000 ='ƒ2_10000=100'2 =100_1.414=141.4 ⑶ '∂0.02 =æ≠ 2 100 ⑷ '∂0.2 =æ≠ 20 100 = '2 = = 10 '∂20 10 = 1.414 10 4.472 10 =0.1414 =0.4472 유제 ❹-2 ① '∂500="√5_100=10'5 =10_2.236=22.36 ② '∂5000="√50_100=10'∂50 ③ '∂125="√5¤ _5=5'5=5_2.236=11.18 '∂50 10 '5 = = 10 ⑤ '∂0.05=æ≠ ④ '∂0.5=æ≠ 2.236 10 50 100 5 100 =0.2236 = (cid:9000) ⑴ 44.72(cid:100)⑵ 141.4(cid:100)⑶ 0.1414(cid:100)⑷ 0.4472 'ß0.2=Æ…;1™0;로 고치면 10을 근호 밖으로 꺼낼 수 없으므로 Æ…;1™0º0; 로 고친다. 으 근호 안의 수를 소인수 분해한다. (cid:9000) ②, ④ a>0, b>0일 때, ① "ça¤ b=a'b ② Ƭ = 'b b a¤ a a>0, b>0일 때, (cid:100)"a÷'b= =Ƭ a b 'a 'b 유제 ❺ -1 ⑴ '∂600='ƒ6_100=10'6=10a ⑵ 'ƒ6000='ƒ60_100=10'ß60=10b ⑶ '∂0.06=æ≠ 6 100 '6 = = 10 ⑷ 'ƒ0.006=æ≠ 60 10000 = = b 100 a 10 'ß60 100 (cid:9000) ⑴ 10a(cid:100)⑵ 10b(cid:100)⑶ (cid:100)⑷ ;1Å0; ;10B0; 유제 ❺ -2 '∂45="ç3¤ _5=3'5=3b '∂98="ç7¤ _2=7'2=7a (cid:100)(cid:100)∴ '∂45-'∂98=3b-7a (cid:9000) 3b-7a (cid:9000) ⑴ -2'7(cid:100)⑵ 5Æ;3@; (cid:100)⑶ Æ;5#; (cid:100)⑷ 'ß10 0088 제곱근의 곱셈과 나눗셈 ⑵ 기본서 31~32쪽 유제 ❷ ⑴ 'ß75="√5¤ _3 =5'3 ⑵ -'ß80=-"√4¤ _5 =-4'5 ⑶ 2'7="√2¤ _7='ß28 ⑷ -3'5=-"√3¤ _5=-'ß45 012 Check Up 풀이집 (cid:9000) ⑴ 5'3(cid:100)⑵ -4'5(cid:100)⑶ 'ß28(cid:100)⑷ -'ß45 a>0, b>0일 때, ¤ b=a'b "a≈ 익히기 3 3 'ß18 = 3 "√3¤ _2 = 3 '23 = 1 '2 = '2 '2_ '2 = '2 2 (cid:9000) 풀이 참조 ¤ D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지013 SinsagoHitec 우공비 B0X '3_'2 '2_'2 Æ;2#;= = '3 '2 '6 2 = 근호 안의 제곱인 인 수를 근호 밖으로 꺼 낸 다음 분모를 유리 화한다. 기본서 28~33쪽 유제 ❼ ⑴ '5_'3÷'ß10='ß15÷'ß10 ⑴ '5_'3÷'ß10=Æ…;1!0%;=Æ;2#;= '6 2 ⑵ 2'6÷'3_3'2=2'6_ _3'2 1 '3 ⑶ ÷ _ 4'3 '2 '6 2'5 =6Æ…6_ 1 'ß30 _2=6_2=12 = ;3!; 4'3 '2 =8Æ…;2#; 8 2'6 = _ _ 2'5 '6 1 'ß30 _ _ ;3¡0; ;6%; 4 = = '6 2'6 3 (cid:9000) ⑴ (cid:100)⑵ 12(cid:100)⑶ '6 2 2'6 3 S t e p U p . Ⅰ 제 곱 근 과 실 수 ⑷ - 익히기 4 ⑴ 1 '7 4_'2 '2_'2 = '7 '7_'7 4'2 2 = =- '3_'5 3'5_'5 = = 'ß15 15 2'3_'∂10 '∂10_'∂10 2 4'3 '3 6 5'3 5'2 '6 2 = = = 2 "√4¤ _3 '3 2'3_'3 5'3 "√5¤ _2 '3_'2 '2_'2 = 4 '2 '3 3'5 = 2'3 '∂10 2 'ß48 = 5'3 'ß50 = = = ⑵ ⑶ ⑸ ⑴ ⑹ ⑶ = '7 7 =2'2 = 1 2'3 = '3 '2 =- =- 2'3ß0 10 '3ß0 5 (cid:9000) ⑴ '7 7 ⑵ 2'2 ⑶ ⑷ - 'ß30 5 ⑸ '3 6 'ß15 15 ⑹ '6 2 보충 학습 분모를 유리화할 때에는 근호 안을 가장 작은 자연수로 만 들고 분모, 분자에 무리수만 곱하면 계산이 간단하다. ⑹에서 5'3 '∂50 (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) = = 5'3_'∂50 '∂50_'∂50 "√5¤ _6 10 = = 5'ƒ150 50 5'6 10 = = '6 2 'ƒ150 10 과 같이 하면 계산이 복잡하다. -= 2'5 5 = -=3'2 유제 ❻ -1 ① = 2 '5 6_'2 '2_'2 2_'5 '5_'5 6'2 2 = '1å5 10 '3_'5 2'5_'5 3 = 2'2 '5 2'3 = 3_'2 2'2_'2 '5_'3 2'3_'3 ② ③ ④ ⑤ = = = = 6 '2 '3 2'5 3 '8 '5 '1å2 = 3'2 4 = '1å5 6 2Æ;2&; =Æ…2¤ _ ;2&; ='ß14 (cid:9000) ④ 유제 ❻ -2 = = '5 '3ß2 '5 4'2 '5_'2 4'2_'2 = '∂10 8 이므로 7'5 '1ß4 = 7'5_'1ß4 '1ß4_'1ß4 = 7'∂70 14 = '∂70 2 이므로 (cid:100)(cid:100)a=;8!; 7'5 '2'7 (cid:100)(cid:100)b=;2!; = (cid:100)(cid:100)∴ ab=;8!;_;2!;=;1¡6; (cid:9000) ;1¡6; 소단원성취도진단 기본서 33~34쪽 01 ④ 06 ;5^; 02 3 03 ④ 07 32.31 08 ② 04 ① 09 ⑤ 11 -;3¡0; 12 15 ③ 16 2'∂15 3 3'3 4 배 13 10b- ;10A0; 05 ② 10 1 14 ⑤ 01 a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab, =Æ… 'b 'a b a ① 'ß10 '2 =Ƭ;;¡2º;; ='5 =Æ…;;£6∞;;_;7#; ② Ƭ;;£6∞;;_Æ;7#; ③ 4'2_3'5=4_3_'ƒ2_5=12'ß10 =Æ;2%; ④ 2'6_Ƭ;1¶2;=2Æ…6_ ;1¶2; ⑤ ÷ = _ 'ß14 '5 '7 'ß20 'ß14 '5 =2Æ;2&; 'ß20 '7 =Ƭ;;¡5¢;;_;;™7º;;='8 (cid:9000) ④ (cid:9000) 3 02 a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b '9ß8 ="√7¤ _2=7'2이므로(cid:100)(cid:100)a=2 '∂125="√5¤ _5=5'5이므로(cid:100)(cid:100)b=5 (cid:100)(cid:100)∴ b-a=3 03 ② ③ a>0, b>0일 때, = 'ßab a 'b 'a = ① 'ß18="√3¤ _2=3'2 6_'2 6'2 6 2 '2 '2_'2 18 18 3'2 'ß18 6 = = '2 = = =3'2 6_'2 '2_'2 = 6'2 2 =3'2 Ⅰ.제곱근과 실수 013 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지014 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X ='ß18=3'2 (cid:9000) ④ 3="≈3¤ =9 2'2="√2¤ _2='8 9'2 '3 6'3 '6 = = 9'2_'3 '3_'3 6'3_'6 '6_'6 = = 9'6 3 6'∂18 6 =3'6 a_b÷c=a_b _;c!; '5 _ ÷ 3 Æ;4#; '∂15 '2 = _ _ = _ _ '3 '4 '3 2 '5 3 '5 3 '2 '∂15 '2 '∂15 _Æ…3_5_;1™5; = = ;6!; '2 6 ④ ⑤ 04 05 06 09 보기의 수를 분모가 2인 수로 변형한다. 3'2 2 = '∂18 2 = ① ;2#;= '9 2 3_'2 '2_'2 '8 2'2 2 2 '3_'2 '2_'2 = ② 3 '2 = ③ '2= ⑤ '3 '2 = '6 2 = 이때 '3<'6<'8<'9<'∂18이므로 '3 (cid:100)(cid:100) < <'2<;2#;< '2 '3 2 3 '2 10 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 (cid:9000) ① 수는 ⑤이다. 따라서 수직선 위에 나타낼 때 왼쪽에서 두 번째에 있는 먼저 60을 소인수분해한다. '6ß0 ="√2¤ _3_5 =2'3 '5=2ab (cid:9000) ② a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b 'ƒ0.08=Æ…;10*0;=Æ…;2™5;=æ≠ = 이므로 2 5¤ '2 5 (cid:100)(cid:100)a=;5!; 'ƒ180="√6¤ _5=6'5이므로(cid:100)(cid:100)b=6 (cid:100)(cid:100)∴ ab=;5!;_6=;5^; 07 채점 기준 1044를 소인수분해하기 제곱인 인수를 근호 밖으로 꺼내기 'ƒ1044의 값 구하기 1044=2¤ _3¤ _29 (cid:100)(cid:100)∴ 'ƒ1044="√2¤ _3¤ _29 =6'ß29 =6_5.385 =32.31 (cid:9000) ;5^; 배점 30% 40% 30% ▶ 30% ▶ 40% ▶ 30% (cid:9000) 32.31 근호 안의 수의 소수점의 위치를 두 자리씩 이동시켜 08 본다. ① '0ƒ.014=æ≠ 1.4 100 = '1ß.4 10 = '1ß4 10 ② '∂0.14 =æ≠ 14 100 ③ '1∂40='1ƒ.4_100=10'1∂.4 ④ '1ƒ4000='1ƒ.4_10000=100'1∂.4 ⑤ '1ƒ400000='1ƒ.4_1000000=1000'1∂.4 014 Check Up 풀이집 a>0, b>0일 때, (cid:100)Æ… = 'b a b a¤ 'ß20="√2¤ _5=2'5 6 'ß20 (cid:100)(cid:100)a= = 'ß72 5'3 (cid:100)(cid:100)b= ;5#; 6'2 5'3 ;5@; = 6 2'5 3 = = '5 3_'5 '5_'5 = 3'5 5 이므로 = 6'2_'3 5'3_'3 = 6'6 15 = 2'6 5 이므로 (cid:100)(cid:100)∴ a+b= + =1 ;5#; ;5@; 서술형 답안 작성 Tip 는 과정을 반드시 보여 준다. 분모의 유리화 과정에서 분모에 있는 무리수를 분자, 분모에 곱하 45=3¤ _5 50=5¤ _2 200=10¤ _2 11 a÷b_c=a_ _c ;b!; '∂200 8 10'2 8 ÷(-'ß50)_ = _{- 1 5'2 }_ =- =- 2 'ß45 2 3'5 1 6'5 '5 6'5_'5 '5 30 =- (cid:100)(cid:100)∴ a=-;3¡0; (직육면체의 부피) =(밑면의 가로의 길이) _(밑면의 세로의 길이) _(높이) (cid:9000) ② 12 채점 기준 직육면체의 부피를 공식을 이용하여 나타내기 직육면체의 높이 구하기 직육면체의 높이를 x라 하면 (cid:100)(cid:100)'2_'6_x='ß80 (cid:9000) ⑤ 배점 40% 40% 20% ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% (cid:9000) 1 (cid:9000) -;3¡0; 배점 40% 60% ▶ 40% D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지015 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)∴ x= (cid:100)(cid:100)∴ x= = 'ß80 'ß12 2'5_'3 '3_'3 4'5 2'3 = = 2'5 '3 2'ß15 3 13 a>0일 때, 'ƒ100a=10'a, Æ…;10A0; = 'a 10 'ƒ1700='ƒ17_100=10'ß17=10b 'ƒ0.00017=Æ… 1.7 10000 = '∂1.7 100 = (cid:100)(cid:100)∴ 'ƒ1700-'ƒ0.00017=10b- a 100 a 100 우공비 B0X 2. 제곱근의 덧셈과 뺄셈 기본서 33~36쪽 ▶ 60% (cid:9000) 2'ß15 3 0099 제곱근의 덧셈과 뺄셈 기본서 35~36쪽 익히기 1 ⑴ 7'5+2'5=(7+2)'5=9'5 ⑵ 3'3-5'3=(3-5)'3=-2'3 ⑶ 2'2+'2-7'2=(2+1-7)'2=-4'2 ⑷ 3'7-2'7+5'7=(3-2+5)'7=6'7 1_'2에서 1이 생략 된 것이다. (cid:9000) ⑴ 9'5(cid:100)⑵ -2'3(cid:100)⑶ -4'2(cid:100)⑷ 6'7 S t e p U p . Ⅰ 제 곱 근 과 실 수 (cid:9000) 10b- a 100 주어진 식을 먼저 간단히 한 후, a의 값을 대입한다. 14 a>0, b>0일 때, 'ƒ1-a 'ƒ1+a 'ƒ1+a 'ƒ1-a + + + = = '∂ab a 'b 'b_'a 'a 'a_'a ('ƒ1-a )¤ +('ƒ1+a )¤ 'ƒ1+a 'ƒ1-a (1-a)+(1+a) "√1-a¤ 2 "√1-a¤ = = = '2 2 이므로 위의 식에 a= 를 대입하면 2 "√1-a¤ (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100) =2÷"√1-a¤ =2÷Æ…1-;4@; =2÷Æ;2!; =2÷ =2_'2=2'2 (cid:9000) ⑤ 1 '2 15 a>0일 때, "ça¤ =a 3'3 4 ±_±2'2±÷± =æ± 3'3 4 3 2'6 ±_±2'2±_± 2'6 3 ±_±2'2±÷± =ø∑'∂36 ='6 (cid:9000) ③ æ± æ± 16 채점 기준 정삼각형의 넓이 구하기 정사각형의 넓이 구하기 답 구하기 배점 30% 40% 30% 익히기 2 ⑴ '2å7+'1å2=3'3+2'3 =(3+2)'3=5'3 ⑵ '4å5-'2å0=3'5-2'5 =(3-2)'5='5 ⑶ '8+'5å0-'2=2'2+5'2-'2 =(2+5-1)'2=6'2 ⑷ 2'3-'4å8+'ß75=2'3-4'3+5'3 =(2-4+5)'3=3'3 (cid:9000) ⑴ 5'3(cid:100)⑵ '5(cid:100)⑶ 6'2(cid:100)⑷ 3'3 유제 ❶-1 ⑴ 5'7+2'7-10'7=(5+2-10)'7 ⑵ - + '3 10 3'3 2 '3 5 ={;5!; - ;1¡0; =-3'7 ;2#;}'3 + + ;1!0%;}'3 ={;1™0;-;1¡0; 8'3 5 = ⑶ 3'5 4 - 5'5 2 + 5'5 4 ={;4#; - ;2%; + ;4%;}'5 ={;4#; - ;;¡4º;; + ;4%;}'5 =- '5 2 (cid:9000) ⑴ -3'7(cid:100)⑵ 8'3 5 (cid:100)⑶ - '5 2 (정삼각형의 넓이)=;2!;_a_ a= a¤ ▶ 30% (삼각형의 넓이) '3 2 '3 4 정사각형의 한 변의 길이를 b라 하면(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)3a=4b(cid:100)(cid:100)∴ b=;4#;a 따라서 정사각형의 넓이는 b¤ =;1ª6;a¤ 이므로 ▶ 40% (cid:100)(cid:100)b¤ ÷ a¤ =;1ª6;a¤ _ '3 4 4 '3a¤ = 3'3 4 근호 안의 수가 같은 것끼리 묶어 계산한다. =;2!;_(밑변의 길이) _(높이) 유제 ❶-2 ⑴ 'ß30-2'ß10-4'ß30-'ß10 (cid:100) (cid:100)(cid:100)` (cid:100)`=(-2-1)'ß10+(1-4)'ß30 (cid:100) (cid:100)(cid:100)` (cid:100)`=-3'ß10-3'ß30 ⑵ 3'6+ -2'6-5'3={;2!; '3 2 -5}'3+(3-2)'6 9'3 2 +'6 =- (cid:9000) ⑴ -3'ß10-3'ß30(cid:100)⑵ - 9'3 2 +'6 ▶ 30% (cid:9000) 3'3 4 배 a>0, b>0일 때, (cid:100)"ça¤ b=a'b (cid:100)(cid:100)∴ a=8 유제 ❷-1 '∂72+'∂50-'∂18=6'2+5'2-3'2 =(6+5-3)'2=8'2 (cid:9000) 8 Ⅰ.제곱근과 실수 015 ± ± D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지016 SinsagoHitec Step Up 기본서 유제 ❷-2 A='2å4+'5å4=2'6+3'6 =(2+3)'6=5'6 '4å5 2 5'5 3 = - 3'5 2 - B= '1∂25 3 B= {;3%;-;2#;}'5= {:¡6º:-;6(;}'5= '5 6 (cid:100)(cid:100)∴ A+6B=5'6+6_ =5'6+'5 '5 6 우공비 B0X (cid:9000) 5'6+'5 근호 안의 수가 다르 므로 더 이상 간단히 할 수 없다. 유제 ❹ - '3 '3 '5+'3 '5-'3 '3 ('5-'3 )-'3 ('5+'3 ) ('5+'3 )('5-'3) = = ('∂15-3)-('∂15+3) 2 =-3 따라서 a=-3, b=0이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=-3+0=-3 유제 ❺ -1 '4<'6<'9에서 2<'6<3이므로 (cid:100)(cid:100)'6=2.××× 즉 '6의 정수 부분이 2이므로 (cid:100)(cid:100)a=2, b='6-2 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=2-('6-2)=4-'6 (cid:9000) ① (cid:9000) 4-'6 2'ß48=2"√4¤ _3 =2_4'3 =8'3 3 ='3, '6 '2 2 ='2 '6 '3 부등식의 각 변에 같은 수 를 더해도 부등호의 방향 은 바뀌지 않는다. 유제 ❺ -2 '1<'2<'4에서 1<'2<2이므로 (cid:100)(cid:100)'2=1.××× 즉 '2의 정수 부분은 1이므로 (cid:100)(cid:100)a='2-1 '4<'7<'9에서 2<'7<3이므로 (cid:100)(cid:100)3<'7+1<4 즉 '7+1=3.×××이므로 (cid:100)(cid:100)b=3 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=('2-1)+3=2+'2 (cid:9000) 2+'2 유제 ❻ a+b=('3+'2)+('3-'2)=2'3, ab=('3+'2)('3-'2 )=1이므로 (cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ -ab=(a+b)¤ -3ab =(2'3 )¤ -3_1 =9 (cid:9000) ⑤ 유제 ❼ x= '2 -1 ('2+1)('2-1) ='2-1 이므로 (cid:100)(cid:100)x+1='2,(cid:100)(cid:100)(x+1)¤ =2 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x=1 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x-4=1-4=-3 유제 ❽ AB”='∂45=3'5 (cm), BC”='∂20=2'5 (cm), CD”='5(cm) (cid:100)(cid:100)∴ AD”=AB”+BC”+CD” =3'5+2'5+'5 =6'5(cm) (cid:9000) ③ (cid:9000) 6'5 cm x¤ +2x+1=2이므로 (cid:100)x¤ +2x=1 넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8825) 'ßa 1100 근호를 포함한 복잡한 식의 계산 기본서 37~39쪽 익히기 3 ⑴ (2+'6 )'3=2'3+'6'3=2'3+'1ß8 =2'3+3'2 ⑵ '2ß4 ('3-2'2 )='2ß4 '3-2'2ß4 '2 ='7ß2 -2'4ß8=6'2-8'3 =4'2-3'2='2 ⑷ '6 { + }= + ='3+'2 6 ⑶ '3ß2 - =4'2 - '2 6'2 2 '6 '2 1 '2 1 '6 '3 '3 ⑸ '2(5-'5)+'5(2'2-'ß10) =5'2-'ß10+2'ß10-'ß50 =5'2-'ß10+2'ß10-5'2='ß10 ⑹ '3('ß15+'ß12)-'5(2-'ß20) ='ß45+'ß36-2'5+'∂100 =3'5+6-2'5+10='5+16 (cid:9000) ⑴ 2'3+3'2(cid:100)⑵ 6'2-8'3(cid:100)⑶ '2 (cid:9000) ⑷ '3+'2(cid:100) ⑸ 'ß10(cid:100) ` ⑹ '5+16 유제 ❸ ⑴ -('8+'ß45)_'2 5'2-'5 '5 = = (5'2-'5)_'5 '5_'5 5'ß10-5 5 -(4+3'ß10) -('ß16+'ß90) ='ß10-1-4-3'ß10 =-5-2'ß10 1 '3 ⑵ 'ß75 {'6+ }+('ß24-'ß27)÷'3 =5'3_'6+5'3_ + 1 '3 2'6-3'3 '3 =5'ß18+5+2'2-3 =15'2+5+2'2-3 =17'2+2 016 Check Up 풀이집 (cid:9000) ⑴ -5-2'ß10 ⑵ 17'2+2 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지017 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)3+0+(-4)=-1 (cid:9000) -1 보충 학습 6_'3 '3_'3 = 6'3 3 =2'3 소단원성취도진단 기본서 40~41쪽 01 ④ 06 ④ 11 ⑤ 15 11 02 -1 07 5 03 -5 08 ① 04 ⑤ 09 ⑤ 12'∂35 35 13 12 ③ 16 5+3'2 05 '∂15 10 '3 14 ② 01 a+ ;a!; x>0일 때, = 'ßx x 1 'ßx 1 ='5+ ='5+ '5 '5 5 '5 '5_'5 ='5+ ={1+;5!;}'5= (cid:9000) ④ 6'5 5 02 a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b ㈎ '4ß8 +'1ß2 =4'3+2'3=6"√ 3 ㈏ 2'8-'3ß2 =4'2-4'2= 0 ㈐ 6 '3 -'∂108 =2'3-6'3= '3 -4 따라서 (cid:8641) 안에 알맞은 세 유리수의 합은 m, n, l은 유리수이고, 'ßa 는 무리수일 때, 03 (cid:8833) m'a+n'a-l'a=(m+n-l)'a 'ß27+2'ß12-a'3-'ß108 =3'3+4'3-a'3-6'3 =(3+4-a-6)'3 =(1-a)'3 즉 (1-a)'3=6'3이므로(cid:100)(cid:100)1-a=6 (cid:100)(cid:100)∴ a=-5 (cid:9000) -5 04 (cid:8833) a>0, b>0, c>0일 때, ('b+'c )_'a 'a_'a = = '∂ab+'∂ac a 'b+'c 'a 2'3 -3'2 '6 +'3= +'3= (2'3 -3'2)_'6 '6_'6 2'∂18 -3'∂12 6 +'3 +'3 +'3= 2_3'2 -3_2'3 6 +'3 +'3='2-'3+'3='2 (cid:9000) ⑤ 05 채점 기준 a+b의 값 구하기 a-b의 값 구하기 (a+b)(a-b)의 값 구하기 배점 40% 40% 20% a+b= '3+'5 2 + '3-'5 2 = 2'3 2 ='3 ▶ 40% 우공비 B0X 두 실수 a, b에 대하여 ① a-b>0 (cid:8825) a>b ② a-b=0 (cid:8825) a=b ③ a-b<0 (cid:8825) a0 ② (cid:100)(cid:100)∴ 5>2'6 ② 4-(2+'3 )=2-'3='4-'3>0 ② (cid:100)(cid:100)∴ 4>2+'3 ③ ('5-1)-('6-1)='5-1-'6+1='5-'6<0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ '5-1<'6-1 ④ (6'2-4)-('2+3)=6'2-4-'2-3 =5'2-7='ß50-'ß49>0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 6'2-4>'2+3 ⑤ (3'2-'3 )-('2+'3)=3'2-'3-'2-'3 =2'2-2'3 ='8-'ß12<0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3'2-'3<'2+'3 (cid:9000) ④ a>0, b>0일 때, a와 'b의 대소는 [방법 1] "ça¤ 과 'b를 비교 [방법 2] a¤ 과 b를 비교 07 채점 기준 주어진 식 간단히 하기 a, b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 (3+'ß27)'2+'3('6-'ß32) =3'2+'ß54+'1å8-'9å6 =3'2+3'6+3'2-4'6 =6'2-'6 따라서 a=6, b=-1이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=6+(-1)=5 배점 50% 30% 20% ▶ 50% ▶ 30% ▶ 20% (cid:9000) 5 08 a>0, b>0, c>0일 때,(cid:100)'a('b+'c )='aßb+'aåc '5a-'7b='5 (3'5-'7 )-'7(-'5+5'7 ) =15-'ß35+'ß35-35=-20 (cid:9000) ① 09 a>0, b>0일 때, =æ;aB; 'b 'a '6+'1ß0 '2 + '7ß5- 2'1ß5 '3 =5'3-2'5+'3+'5 =6'3-'5=6a-b 5 'ß10 '2 3 + '6 '2 ='3+'5 (cid:9000) ⑤ Ⅰ.제곱근과 실수 017 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지018 SinsagoHitec Step Up 기본서 10 'a의 소수 부분 (cid:8833) 'a-('a의 정수 부분) 우공비 B0X ='3 (cid:9000) '3 1<'3<2에서 3<2+'3<4이므로 (cid:100)(cid:100)a=3, b=(2+'3)-3='3-1 3 = = '3 3_'3 '3_'3 a b+1 (cid:100)(cid:100)∴ = 3'3 3 11 x=a+'b (cid:8833) (x-a)¤ =b x-1='5이므로(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =5 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x=4 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x+'ß80=4+4'5 12 a>0, b>0일 때, "aç ¤ b =a'b 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 (cid:100)(cid:100)4('ß54+'ß150+'ß24 )=4(3'6+5'6+2'6 ) =4_10'6 =40'6 13 먼저 x+y, x-y의 값을 구한다. x+y= '7+'5 2 + '7-'5 2 = 2'7 2 ='7 '7+'5 2 - '7-'5 2 = 2'5 2 ='5 x-y= 이므로 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)= '7+'5 '7 + '7-'5 '5 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)= ('7+'5)_'7 '7_'7 + ('7-'5)_'5 '5_'5 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)= (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=1+ + '∂35-5 5 + '∂35 5 -1 7+'∂35 7 '∂35 7 12'∂35 35 = (cid:9000) 12'∂35 35 14 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab 1 {x- } x 1 ¤ -4=(2'5)¤ -4=16 ¤ ={x+ } x 1 x 01 1 x 이므로 1 (cid:100)x- <0 x (cid:9000) ② 배점 30% 30% 30% 10% 01 a>0, b>0일 때, 'a'b='∂ab, =Æ;aB; '5 '2_ ÷ '3 '1å0 '1å2 'b 'a 'ß12 'ß10 =Æ…2_;3%;_;1!0@; ='4=2 (cid:9000) ③ ='2_ _ '5 '3 02 a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b '2∂16="√6¤ _6=6'6(cid:100)(cid:100)∴ a=6 '∂98="√7¤ _2=7'2(cid:100)(cid:100)∴ b=7 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=13 (cid:9000) ④ (a-b)(a+b) ▶ 30% =a¤ -b¤ 03 a>0, b>0일 때, 'b 'a =Æ;aB; 명함의 세로의 길이를 xcm라 하면 D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지019 SinsagoHitec S t e p U p . Ⅰ 제 곱 근 과 실 수 (cid:100)(cid:100)'5å1 : x='3 : 1,(cid:100)(cid:100)'3x='5å1 (cid:100)(cid:100)∴ x= =Ƭ;;∞3¡;; ='1å7 '5å1 '3 04 a>0, b>0일 때, æ = b a¤ 'b a '∂0.12=Æ…;1¡0™0;= 'ß12 '∂100 = 2'3 10 = '3 5 (cid:100)(cid:100)∴ k=;5!; 05 a>0일 때, Æ…;100A00; = 'a 100 '0ƒ.002=æ;1≠0™0º00; = '2å0 100 '0ƒ.002 = 4.472 100 =0.04472 06 a>0, b>0일 때, Ƭ = b a¤ 'b a 우공비 B0X (cid:9000) ③ (cid:9000) ② '∂12 'ƒ100 = = √2¤ _3 "√ "ç10¤ 2'3 10 실수 a, b에 대하여 ① a-b>0 (cid:8825) a>b ② a-b=0 (cid:8825) a=b ③ a-b<0 (cid:8825) a0, b>0일 때, 'a'b='aåb, =Æ;aB; ① '8_'7='5å6="2√ ② Æ;7@; _Æ;4&; =Æ;7@;¬_;4&; =Æ;2!; = = 1 '2 '2 2 'b 'a ¤ _14=2'1å4 =Ƭ;2∞0;=Æ;4!;=;2!; ③ '5 'ß20 ④ æ;3$; = = 2 '3 2'3 3 = 2_'3 '3_'3 'ß27 '3 ⑤ -'2å7÷'3=- =-Æ:™3¶ Δ:=-'9=-3 (cid:9000) ② b 'a 3_'7 '7_'7 '3_'7 '7_'7 = b'a a = 3'7 7 '2å1 7 = = '6å3 7 08 a>0일 때, ② Æ;7#;= = ① = 3 '7 '3 '7 '9 7 ④ ;7#;= ⑤ = '2å1 7 '3 '7 3'7="√3¤ _7 ='∂63 따라서 '3<'9<'∂21<'∂63이므로 가장 큰 수는 ①이다. (cid:9000) ① 09 a>0, b>0, c>0일 때, 'a÷'b_'c='a_ _'c=Ƭ ac b 1 'b a=4이면 주어진 식의 값은 2이므로 유리수 가 된다. 기본서 41~43쪽 '5 '3 '5 ÷Ƭ;7™5; _'∂18= _Ƭ:¶2∞:_'∂18 '3 ÷Ƭ;7™5; _'∂18=Æ…;3%; _:¶2∞:_18 ÷Ƭ;7™5; _'∂18=15'5 (cid:9000) ⑤ 10 a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b 'ß48-'ß50+'ß98-'∂108=4'3-5'2+7'2-6'3 =2'2-2'3 따라서 a=2, b=-2이므로 (cid:100)(cid:100)ab=2_(-2)=-4 (cid:9000) ② 11 두 수a, b 의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사 a-b=4-(5'2-2)=4-5'2+2 a-a=6-5'2='3å6-'5å0<0 (cid:100)(cid:100)∴ a0 (cid:100)(cid:100)∴ b>c(cid:100)(cid:100) a-c=4-(2'2+2)=4-2'2-2 a-c=2-2'2='4-'8<0 (cid:100)(cid:100)∴ a0, b>0일 때, 'a'b='aßb (cid:9000) ④ (cid:9000) 9 =3'3+2'3+4'3+9'3 =18'3 (cm) 20 a>0, b>0일 때,(cid:100)"ça¤ b=a'b 'ß63="√3¤ _7=3'7이므로(cid:100)(cid:100)a=3 'ß162="√9¤ _2=9'2이므로(cid:100)(cid:100)b=9 (cid:100)(cid:100)∴ '∂3ab='ƒ3_3_9='ß81=9 21 "√(a-b)¤ = a-b (aæb) -a+b (a0, 5-3'6<0 (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=(5-2'6)-(5-3'6) =5-2'6-5+3'6 ='6 (cid:9000) '6 22 a>0, b>0일 때, 'a÷'b=æ;bA; A={3'3+ 5'3 3 1 }_ = '3 14'3 3 _ 1 '3 A=:¡3¢: B=4'3+4-4'3+3=7 (cid:100)(cid:100)∴ "≈A÷"≈B=Æ;;¡3˚ ¢;;÷'7=Æ;;¡3˚ ¢;;_ 1 '7 '2 '3 =Æ;;¡3¢ …;;_;7!; =Æ;3@; = '6 3 = (cid:9000) '6 3 14중3상해설1단원(001-021)-OK 2014.10.1 5:16 PM 페이지021 SinsagoHitec (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 임을 이용하여 분모를 유리 23 화한다. (주어진 식) = '1-'2 ('1+'2)('1-'2) +y+ + '2-'3 ('2+'3)('2-'3) '∂99-'∂100 ('∂99+'∂100)('∂99-'∂100) =-('1-'2)-('2-'3)-y-('∂99-'∂100) =-1+'2-'2+'3-y-'∂99+'∂100 =-1+10=9 (cid:9000) 9 (직사각형의 둘레의 길이) 24 (cid:100)(cid:100) ``=2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)} 놀이터의 세로의 길이를 x m라 하면 (cid:100)(cid:100)5'6_x=90 = (cid:100)(cid:100)∴ x= 90_'6 5'6_'6 90 5'6 따라서 놀이터의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2(5'6+3'6)=2_8'6=16'6 (m) (cid:9000) 16'6 m =3'6 배점 1점 1점 2점 ▶ 1점 ▶ 1점 25 채점 기준 A의 분모를 유리화하기 B의 분모를 유리화하기 (A+B)(A-B)의 값 구하기 ⑴ A= ⑴ A= '3+'2 '5 = 'ß15+'ß10 5 ('3+'2)_'5 '5_'5 ⑵ B= '3-'2 '5 = = ('3-'2)_'5 '5_'5 'ß15-'ß10 5 ⑶ A+B = ⑶ A-B= 'ß15+'ß10 5 'ß15+'ß10 5 + - ⑶ (cid:100)(cid:100)∴ (A+B)(A-B)= _ = = 2'ß15 5 2'ß10 5 2'ß10 5 4_5'6 25 'ß15-'ß10 5 'ß15-'ß10 5 2'ß15 5 4'ß150 25 4'6 5 'ß15-'ß10 5 (cid:100)⑵ = = = (cid:100)⑶ (cid:9000) ⑴ 'ß15+'ß10 5 26 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 x, y의 값 구하기 우공비 B0X 어떤 수의 소수 부분 은 그 수에서 정수 부 분을 뺀 것과 같다. = 1 'a+'∂a+1 ∂a+1 'a-'ƒ ('a+'∂a+1)('a-'∂ 'a-'∂a+1 a-(a+1) =-('a-'∂a+1) = ∂a+1) 기본서 43~45쪽 ⑴ '9<'ß14<'ß16에서 3<'ß14<4이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)'ß14=3.××× (cid:100) 따라서 'ß14의 정수 부분은 3이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)a='ß14-3 ⑵ 2'3='ß12이고 '9<'ß12<'ß16, 즉 3<'ß12<4이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)7<4+'ß12<8 (cid:100) 따라서 4+2'3=7.×××이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)b=7 ▶ 2점 ▶ 2점 ⑶ a+:¡b¢:='1å4-3+ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-1, y=1 :¡7¢: ='∂14-3+2=-1+'∂14 ▶ 1점 (cid:9000) ⑴ 'ß14-3(cid:100)⑵ 7(cid:100)⑶ x=-1, y=1 S t e p U p . Ⅰ 제 곱 근 과 실 수 x>1이므로 1 (cid:100)0< <1 x (cid:100)∴ x- >0 1 x 27 채점 기준 x+ 의 값 구하기 {x- } 1 x 의 값 구하기 x- 의 값 구하기 1 x 1 x x¤ -3'6x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면 1 x 1 (cid:100)(cid:100)x-3'6+ =0(cid:100)(cid:100)∴ x+ =3'6 x 1 ¤ ={x+ } x 1 x 1 (cid:100)(cid:100){x- } x x>1이므로(cid:100)(cid:100)x- >0 ¤ -4=(3'6)¤ -4=50 ▶ 1점 1 (cid:100)(cid:100)∴ x- ='∂50=5'2 x 28 채점 기준 x의 값 구하기 x¤ -8x의 값 구하기 x¤ -8x+15의 값 구하기 x=(2'5-3)('5+2)=10+4'5-3'5-6 x=4+'5 x-4='5이므로(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =5 (cid:100)(cid:100)x¤ -8x+16=5(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -8x=-11 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -8x+15=-11+15=4 배점 2점 1점 1점 ▶ 2점 ▶ 1점 (cid:9000) 5'2 배점 2점 2점 1점 ▶ 2점 ▶ 2점 ▶ 1점 (cid:9000) 4 배점 3점 2점 ▶ 2점 4'6 5 배점 2점 2점 1점 1에 대응하는 점에서 '2만큼 왼쪽으로 떨어 진 점에 대응하는 수 이다. 2에 대응하는 점에서 '2만큼 오른쪽으로 떨 어진 점에 대응하는 수이다. 29 채점 기준 a, b의 값 구하기 b-a의 값 구하기 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므로 (cid:100)(cid:100)a=1-'2, b=2+'2 (cid:100)(cid:100)∴ b-a=(2+'2)-(1-'2)=1+2'2 ▶ 3점 ▶ 2점 (cid:9000) 1+2'2 Ⅰ.제곱근과 실수 021 ¤ D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지022 SinsagoHitec x¤ +ax+b가 완전제곱식 이 되도록 하는 조건 유제 ❹ ⑴ a¤ -6a+ =a¤ -2_a_3+ , :. , :. (cid:9000) 풀이 참조 (cid:8825) b={;2A;} 우공비 B0X 먼저 공통인수를 묶어 낸다. Step Up 기본서 Ⅱ -1. 인수분해 1. 인수분해의 뜻과 공식 1111 인수분해와 공통인수 기본서 48~49쪽 익히기 1 (cid:9000) ⑴ x‹ +x(cid:100)⑵ x¤ -2x-3(cid:100) ⑶ a¤ +4ab+4b¤ 익히기 2 16ax+2ay= _8x+ _y 2a 2a = 2a(8x+y) 유제 ❶-1 (cid:9000) ④ 유제 ❶-2 (cid:9000) ㈀, ㈂, ㈄ 유제 ❷ ⑴ x¤ -xy=x_x-x_y=x(x-y) ⑵ 3a+ab-ac=a_3+a_b-a_c =a(3+b-c) ⑶ ab¤ -2a¤ b+5ab=ab_b-ab_2a+ab_5 ⑶ ab¤ -2a¤ b+5ab=ab(b-2a+5) ⑷ 6a(x-1)-b(1-x)=6a(x-1)+b(x-1) 이차항의 계수가 1이 아니므로 ¤ =36 (cid:100)(cid:8641)={;;¡2™;;} 으로 계산하지 않도록 주의한다. 다항식에 공통인수가 있을 때에는 분배법칙을 이용하 여 공통인수를 묶어 내어 인수분해한다. =(x-1)_6a+(x-1)_b =(x-1)(6a+b) (cid:9000) ⑴ x(x-y) ⑵ a(3+b-c) (cid:9000) ⑶ ab(b-2a+5) ⑷ (x-1)(6a+b) 1122 인수분해 공식 ⑴ 기본서 50~51쪽 익히기 3 ⑴ x¤ +4x+4=x¤ +2_x_2+2¤ =(x+2)¤ ⑵ 9x¤ -6x+1=(3x)¤ -2_3x_1+1¤ ⑵ 9x¤ -6x+1=(3x-1)¤ ⑶ a¤ +a+;4!;=a¤ +2_a_;2!;+{;2!;} ⑷ x¤ -16=x¤ -4¤ =(x+4)(x-4) ¤ ={a+;2!;} ⑸ ;4!;x¤ -;2¡5;={;2!;x}2 -{;5!;}2 ={;2!;x+;5!;} {;2!;x-;5!;} ⑹ 9a¤ -b¤ =(3a)¤ -b¤ =(3a+b)(3a-b) ` (cid:9000) ⑴ (x+2)¤ ⑵ (3x-1)¤ ` (cid:9000) ⑶ {a+;2!;} ⑷ (x+4)(x-4) ` (cid:9000) ⑸ {;2!;x+;5!;} {;2!;x-;5!;} ⑹ (3a+b)(3a-b) 유제 ❸ ① a¤ +14ab+49b¤ =a¤ +2_a_7b+(7b)¤ =(a+7b)¤ ② 4x¤ -12x+9=(2x)¤ -2_2x_3+3¤ =(2x-3)¤ 022 Check Up 풀이집 ③ -3a¤ +18a-27=-3(a¤ -6a+9) ⑷ -3a¤ +24a-48=-3(a¤ -2_a_3+3¤ ) ⑷ -3a¤ +24a-48=-3(a-3)¤ ④ ;4!;x¤ -2xy+4y¤ ={;2!;x} ¤ -2_;2!;x_2y+(2y)¤ ④ ;4!;x¤ -2xy+4y¤ ={;2!;x-2y} 따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ⑤이 다. (cid:9000) ⑤ =(3x)¤ +2_3x_2+ , :. (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ , :. ⑵ 9x¤ +12x+ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ =3¤ =9 , :. =2¤ =4 ⑶ 25x¤ + +4=(5x)¤ + +2¤ , :. (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ =—2_5x_2=—20x , :. , :. , :. (cid:9000) ⑴ 9(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ —20x 유제 ❺ ⑴ 16x¤ -y¤ =(4x)¤ -y¤ =(4x+y)(4x-y) ⑵ 4a¤ -49b¤ =(2a)¤ -(7b)¤ =(2a+7b)(2a-7b) ⑶ -9x¤ +;3¡6;=-{9x¤ -;3¡6;}=-[(3x)¤ -{;6!;} ] ⑶ -9x¤ +;3¡6;=-{3x+;6!;} {3x-;6!;} (cid:9000) ⑴ (4x+y)(4x-y)(cid:100)⑵ (2a+7b)(2a-7b) (cid:9000) ⑶ -{3x+;6!;} {3x-;6!;} 1133 인수분해 공식 ⑵ 기본서 52~54쪽 익히기 4 ⑴ 곱이 5, 합이 -6인 두 정수는 -1, -5이 므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -6x+5=(x-1)(x-5) ⑵ 곱이 -15, 합이 2인 두 정수는 -3, 5이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ +2x-15=(x-3)(x+5) ⑶ 곱이 -14, 합이 -5인 두 정수는 2, -7이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -5x-14=(x+2)(x-7) (cid:9000) ⑴ -1과 -5, (x-1)(x-5) (cid:9000) ⑵ -3과 5, (x-3)(x+5) (cid:9000) ⑶ 2와 -7, (x+2)(x-7) 2 익히기 5 ⑴ 2x¤ -5x-12=(x-4)(2x+3) (cid:100)(cid:100)(cid:100) 1 -4 , 2 ⁄¤ (cid:100)(cid:100)(cid:100) 2 , (cid:100)(cid:100)(cid:100) 1 :. ⁄ , 3 :. ⁄ , -5 -8 :. 3 3 :. , :. ⁄ , :. ¤ L L L L L L ¤ ¤ ¤ ¤ D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지023 SinsagoHitec ⑵ 6x¤ -13x+5=(2x-1)(3x-5) (cid:100)(cid:100)(cid:100) , (cid:100)(cid:100)(cid:100) , (cid:100)(cid:100)(cid:100) , 2 3 3 :. :. :. 2 -1 2 ⁄¤ -5 -5 - 3 ⁄ , -1 -1 ⁄ , ⁄ , :. 0 :. 3 :. 우공비 B0X 기본서 48~55쪽 유제 ❾-1 9x¤ +12xy+4y¤ =(3x+2y)¤ 이므로 정사각형의 한 변의 길이는 3x+2y이다. 따라서 구하는 둘레의 길이는 (cid:9000) 풀이 참조 (cid:100)(cid:100)4(3x+2y)=12x+8y (cid:9000) 12x+8y 유제 ❻-1 ⑴ 곱이 10, 합이 -7인 두 정수는 -2, -5 유제 ❾-2 도형 A의 넓이는(cid:100)(cid:100)x¤ -2¤ (cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -7x+10=(x-2)(x-5) 이때 x¤ -2¤ =(x+2)(x-2)이므로 도형 B의 짧은 변 ⑵ 곱이 -30, 합이 -1인 두 정수는 5, -6이므로 의 길이는 x-2이다. (cid:9000) x-2 (cid:100) (cid:100)(cid:100)y¤ -y-30=(y+5)(y-6) ⑶ 곱이 12, 합이 7인 두 정수는 3, 4이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ +7xy+12y¤ =(x+3y)(x+4y) ⑷ 곱이 21, 합이 -10인 두 정수는 -3, -7이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)a¤ -10ab+21b¤ =(a-3b)(a-7b) (cid:9000) ⑴ (x-2)(x-5)(cid:100) ⑵ (y+5)(y-6) (cid:9000) ⑶ (x+3y)(x+4y) ⑷ (a-3b)(a-7b) y를 빠뜨리지 않도록 주의한다. 유제 ❻-2 (x+4)(x+b)=x¤ +(4+b)x+4b이므로 (cid:100)(cid:100)4+b=a, 4b=20(cid:100)(cid:100)∴ a=9, b=5 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=9-5=4 (cid:9000) ④ 4b=20에서 b=5이므 로(cid:100)(cid:100)a=4+5=9 S t e p U p . Ⅱ 식 의 계 산 소단원성취도진단 기본서 55~56쪽 01 ③, ④ 02 ③ 07 12 06 ③ 11 8x-2 12 16 14 ⑴ x¤ +4x-12 ⑵ (x-2)(x+6) 03 ① 08 ④ 13 ⑤ 04 ⑤ 09 ① 05 7 10 6 01 다항식의 곱으로 나타내기 (cid:8833) 인수분해 ① 좌변의 식을 우변의 식으로 나타내는 것을 인수 ② 우변의 식을 좌변의 식으로 나타내는 것을 전개한다 분해한다고 한다. 고 한다. ⑤ x¤ y는 xy(x-3)의 인수가 아니다. (cid:9000) ③, ④ 02 03 (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이) 1개의 정사각형과 3개의 작은 직사각형의 넓이의 합은 (cid:100)(cid:100)x¤ +3_x_1=x¤ +3x 큰 직사각형의 넓이는(cid:100)(cid:100)x(x+3) 따라서 x¤ +3x=x(x+3)이므로 x¤ +3x의 인수분해를 나타낼 수 있다. (cid:9000) ③ (cid:9000) ① 공통인수로 묶을 때 수는 최대공약수로, 문자는 차 수가 낮은 것으로 묶는다. 인수 (cid:8833) 다항식의 곱의 꼴에서 각각의 식 2a‹ -8a¤ b=2a¤ _a-2a¤ _4b=2a¤ (a-4b) 따라서 인수가 아닌 것은 ③이다. 유제 ❼-1 ⑴ 1 -4 2 -12 2 ⁄¤ (cid:100) 3 2 - 2 (cid:100) 1 2 -10 ⁄ ⁄ ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3x¤ -10x-8=(x-4)(3x+2) (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 6x¤ -x-2=(2x+1)(3x-2) ⑵ 2 1 2 3 (cid:100) 3 -2 -4 2 ⁄¤ (cid:100) 1 2 -1 ⑶ 3 1 2 4 (cid:100) 4 -3 -9 2 ⁄¤ (cid:100) 1 2 -5 ⑷ 1 5 2 10 (cid:100) 2 -3 -3 2 ⁄¤ (cid:100) 1 2 7 ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 12x¤ -5x-3=(3x+1)(4x-3) (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 2a¤ +7ab-15b¤ =(a+5b)(2a-3b) (cid:9000) ⑴ (x-4)(3x+2)(cid:100)(cid:100)⑵ (2x+1)(3x-2) (cid:9000) ⑶ (3x+1)(4x-3)(cid:100)⑷ (a+5b)(2a-3b) 유제 ❼-2 4x¤ +ax-15=(2x+b)(2x-5) =4x¤ +(2b-10)x-5b 따라서 a=2b-10, -15=-5b이므로 (cid:100)(cid:100)a=-4, b=3 (cid:9000) a=-4, b=3 유제 ❽ 주어진 정사각형과 직사각형의 넓이의 합은 (cid:100)(cid:100)x¤ +4_x_1+4_1_1=x¤ +4x+4 길이는 x+2이다. (cid:9000) ② 이때 x¤ +4x+4=(x+2)¤ 이므로 정사각형의 한 변의 ⑤ -a¤ +12ab+36b¤ =-(a¤ -12ab-36b¤ ) 04 a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤ ① x¤ +6x+9=(x+3)¤ ② 4x¤ -8x+4=4(x¤ -2x+1)=4(x-1)¤ -15=-5b에서 b=3 이므로 (cid:100)a=2_3-10=-4 ③ 49-14a+a¤ =(a-7)¤ ④ 16a¤ +8ab+b¤ =(4a+b)¤ (cid:9000) ⑤ Ⅱ.식의 계산 023 L L L L L L D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지024 SinsagoHitec x-y 이 식이 완전제곱식이 되려면 Step Up 기본서 05 채점 기준 A의 값 구하기 B의 값 구하기 A+B의 값 구하기 Ax¤ -12x+9=("≈Ax)¤ -2_2x_3+3¤ 이므로(cid:100)(cid:100)"≈A=2(cid:100)(cid:100)∴ A=4 =x¤ +2_x_ (cid:100)(cid:100)x¤ +Bx+ ;4(; + ;2#; {;2#;}2 이므로(cid:100)(cid:100)B=2_ =3 ;2#; (cid:100)(cid:100)∴ A+B=4+3=7 배점 40% 40% 20% ▶ 40% ▶ 40% ▶ 20% (cid:9000) 7 두 도형A , B의 넓이를 각각 x, y에 대한 식으로 y x 06 나타낸다. y x-y x A x y B 도형 A의 넓이는 (cid:100)(cid:100)x¤ -y¤ 도형 B의 넓이는 (cid:100)(cid:100)(x+y)(x-y) A, B의 넓이가 같으므로 (cid:100)(cid:100)x¤ -y¤ =(x+y)(x-y) (cid:9000) ③ x-2가 다항식 x¤ +4x-a의 인수 07 (cid:8833) x¤ +4x-a=(x-2)A (A는 일차식) x-2가 x¤ +4x-a의 인수이므로 (cid:100)(cid:100)x¤ +4x-a=(x-2)(x+b)(b는 상수) 로 놓으면 (cid:100)(cid:100)-2+b=4, -2b=-a b=6이므로(cid:100)(cid:100)a=12 08 x¤ +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) ① x¤ +10x+24=(x+4)(x+6) ② x¤ +11x+24=(x+3)(x+8) ③ x¤ +14x+24=(x+2)(x+12) ⑤ x¤ +25x+24=(x+1)(x+24) 09 두 다항식을 각각 인수분해하여 공통인수를 찾는다. x¤ -3x-10=(x+2)(x-5) 4x¤ -19x-5=(x-5)(4x+1) 따라서 두 다항식의 공통인수는 x-5이다. (cid:9000) ④ (cid:9000) ① 024 Check Up 풀이집 우공비 B0X ⁄ 1 -3 2 ⁄2 4 5 -12 ⁄ 5 ⁄ -7 상수항이 양수인 완전 제곱식이므로 (cid:100)A>0 11 10 acx¤ +(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) 4x¤ -7x-15=(x-3)(4x+5)이므로 (cid:100)(cid:100)a=-3, b=4, c=5 (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=-3+4+5=6 (cid:9000) 6 채점 기준 주어진 다항식을 인수분해하기 두 일차식의 합 구하기 12x¤ +8x-15=(2x+3)(6x-5) ▶ 70% 2 3 2 ⁄2 6 -5 ⁄ ⁄ ⁄ 18 -10 8 따라서 두 일차식의 합은 (cid:100)(cid:100)(2x+3)+(6x-5)=8x-2 배점 70% 30% ▶ 30% (cid:9000) 8x-2 (cid:9000) 16 (cid:9000) ⑤ 배점 30% 30% 10% 30% 12 x¤ +ax+b가 완전제곱식 (cid:8833) b= {;2A;}2 (x-2)(x+6)+k=x¤ +4x-12+k (cid:100)(cid:100)-12+k={;2$;} ¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ k=16 k=16을 주어진 식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)(x-2)(x+6)+16=x¤ +4x-12+16 =x¤ +4x+4 =(x+2)¤ 색칠한 부분의 넓이는 큰 반원의 넓이에서 작은 반 13 원의 넓이를 뺀 것과 같다. 지름의 길이가 2a인 반원의 넓이는(cid:100)(cid:100);2“;a¤ 14 채점 기준 상수항 구하기 x의 계수 구하기 이차식 구하기 이차식을 바르게 인수분해하기 ⑴ 수지는 상수항을 바르게 보았으므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=x¤ -4x-12 ⑵ 에서 상수항은 -12이다. ▶ 30% ⑵ 지훈이는 x의 계수를 바르게 보았으므로 ⑵ (cid:100)(cid:100)(x-5)(x+9)=x¤ +4x-45 -2+b, -2b는 각각 x¤ +4x-a의 x의 계 수, 상수항과 같다. (cid:9000) 12 지름의 길이가 2b인 반원의 넓이는(cid:100)(cid:100);2“;b¤ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:100)(cid:100);2“;a¤ -;2“;b¤ =;2“;(a¤ -b¤ ) (cid:100)(cid:100);2“;a¤ -;2“;b¤ =;2“;(a+b)(a-b) D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지025 SinsagoHitec ⑵ 에서 x의 계수는 4이다. ⑵ 따라서 구하는 이차식은 (cid:100)(cid:100) (cid:100)x¤ +4x-12 ⑵ x¤ +4x-12=(x-2)(x+6) ▶ 30% ▶ 10% ▶ 30% (cid:9000) ⑴ x¤ +4x-12 ⑵ (x-2)(x+6) 2. 인수분해 공식의 활용 1144 복잡한 식의 인수분해 기본서 57~59쪽 익히기 1 ⑴ 6ab¤ +7ab+2a= _(6b¤ +7b+2) a(2b+1)(3b+2) ⑴ 6ab¤ +7ab+2a= a 2 1 2 ⁄2 3 2 ⁄ ⁄ ⁄ 3 4 7 ⑵ x+1=A로 치환하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+1)¤ -5(x+1)+6 (cid:100) (cid:100)=A¤ -5A+6 (cid:100) (cid:100)=(A-2)( A-3 ) (cid:100) (cid:100)=(x+1-2)(x+1-3) (cid:100) (cid:100)= (x-1)(x-2) ⑶ x‹ -x¤ y+x-y=x¤ ( x-y )+(x-y) ⑹ x‹ -x¤ y+x-y= (x-y)(x¤ +1) ⑷ 1-a¤ +2ab-b¤ =1-(a¤ -2ab+ ) b¤ ⑹ 1-a¤ +2ab-b¤ =1¤ -( a-b )¤ ⑹ 1-a¤ +2ab-b¤ ={1+(a-b)} {1-(a-b)} ⑹ 1-a¤ +2ab-b¤ = (1+a-b)(1-a+b) ``` (cid:9000) 풀이 참조 유제 ❶ ⑴ ax‹ +8ax¤ +16ax=ax(x¤ +8x+16) =ax(x+4)¤ 상수항의 합이 1이 되 는 것끼리 묶는다. ⑵ x¤ (x+3)-(x+3)=(x+3)(x¤ -1) ⑵ x¤ (x+3)-(x+3)=(x+3)(x+1)(x-1) ⑶ (x-y)¤ +(x+y)(y-x) =(x-y)(x-y)-(x+y)(x-y) =(x-y)(x-y-x-y) =-2y(x-y) `(cid:9000) ⑴ ax(x+4)¤ `(cid:9000) ⑵ (x+3)(x+1)(x-1) `(cid:9000) ⑶ -2y(x-y) 유제 ❷ ⑴ a+4b=A로 치환하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(A+2)(A-5)-8 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -3A-18 =(A+3)(A-6) (cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(a+4b+3)(a+4b-6) 우공비 B0X 기본서 55~59쪽 ⑵ 2a-b=A로 치환하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -6(A-1)+3 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(A-3)¤ =A¤ -6A+9 =(2a-b-3)¤ ⑶ x-2y=A, x+y=B로 치환하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B) =(x-2y+x+y)(x-2y-x-y) (cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(2x-y)(-3y) =-3y(2x-y) 유제 ❸ ⑴ a‹ -a¤ -a+1=a¤ (a-1)-(a-1) (cid:9000) ⑴ (a+4b+3)(a+4b-6) (cid:9000) ⑵ (2a-b-3)¤ (cid:9000) ⑶ -3y(2x-y) =(a-1)(a¤ -1) =(a-1)(a+1)(a-1) =(a+1)(a-1)¤ S t e p U p . Ⅱ 식 의 계 산 ⑵ a¤ +ac-b¤ -bc=(a-b)c+a¤ -b¤ =(a-b)c+(a-b)(a+b) =(a-b)(a+b+c) (2x)¤ +2_2x_3+3¤ ⑶ 4x¤ +12x+9-y¤ =(2x+3)¤ -y¤ ⑵ 4x¤ +12x+9-y¤ =(2x+y+3)(2x-y+3) ` (cid:9000) ⑴ (a+1)(a-1)¤ ` (cid:9000) ⑵ (a-b)(a+b+c) ` (cid:9000) ⑶ (2x+y+3)(2x-y+3) 유제 ❹ (x-3)(x-1)(x+2)(x+4)+24 ={(x-3)(x+4)}{(x-1)(x+2)}+24 =(x¤ +x-12)(x¤ +x-2)+24 A A =(A-12)(A-2)+24 =A¤ -14A+48 =(A-6)(A-8) =(x¤ +x-6)(x¤ +x-8) =(x-2)(x+3)(x¤ +x-8) 따라서 인수인 것은 ㈀, ㈃, ㈄이다. (cid:9000) ③ 유제 ❺-1 ⑴ x¤ +xy-2x-y+1 =(x-1)y+x¤ -2x+1 =(x-1)y+(x-1)¤ =(x-1)(x+y-1) ⑵ x¤ +2y¤ -z¤ +3xy-yz =x¤ +3yx+2y¤ -yz-z¤ =x¤ +3yx+(y-z)(2y+z) Ⅱ.식의 계산 025 D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지026 SinsagoHitec Step Up 기본서 ={x+(y-z)}{x+(2y+z)} =(x+y-z)(x+2y+z) 우공비 B0X 유제 ❻-2 (주어진 식) (cid:9000) ⑴ (x-1)(x+y-1) `(cid:9000) ⑵ (x+y-z)(x+2y+z) 1-2=-1 3-4=-1 ⋮ 9-10=-1 이므로 -1을 묶어 낸 다. 유제 ❺-2 3x¤ +y¤ +4xy-2x-1 =3x¤ +2(2y-1)x+y¤ -1 =3x¤ +2(2y-1)x+(y+1)(y-1) ={x+(y-1)}{3x+(y+1)} =(x+y-1)(3x+y+1) 이므로 (cid:100)(cid:100)a=1, b=1 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=1+1=2 (cid:9000) 2 =(1¤ -2¤ )+(3¤ -4¤ )+y+(9¤ -10¤ ) =(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4) +y+(9+10)(9-10) =-(1+2)-(3+4)-y-(9+10) =-(1+2+3+4+y+9+10) =-55 보충 학습 (cid:9000) -55 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) =11_5=55 (cid:8825) 1부터 n까지의 자연수의 합은(cid:100)(cid:100)(1+n)_ n 2 주어진 식을 인수분해한 후 x의 값을 대입한다. 유제 ❼-1 x¤ -2x+1=(x-1)¤ =('7+1-1)¤ x¤ +2x+1=('7 )¤ =7 x='7+1에서(cid:100)(cid:100)x-1='7 양변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =('7)¤ (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x+1=7 (cid:9000) 7 =20_5 =100 ⑴ ma+mb=m(a+b) ⑵ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) ⑶ a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤ 유제 ❼-2 a= 1155 수의 계산 기본서 60~61쪽 익히기 2 ⑴ 20_49-20_44=20(49-44) ⑵ 65¤ -35¤ =(65+35)(65-35) ⑶ 31¤ -62+1=31¤ -2_31_1+1¤ =100_30 =3000 =(31-1)¤ =30¤ =900 (cid:9000) ⑴ 100(cid:100)⑵ 3000(cid:100)⑶ 900 익히기 3 ⑴ a¤ -4a+4=(a-2)¤ =(102-2)¤ =100¤ =10000 ⑵ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y) ⑵ x¤ -y¤ =('5-'2+'5+'2 )('5-'2-'5-'2 ) ⑵ x¤ -y¤ =2'5_(-2'2) =-4'1å0 (cid:9000) ⑴ 10000(cid:100)⑵ -4'1å0 유제 ❻-1 ⑴ 39_173-163_39=39(173-163) ⑴ 39_173-163_39 =39_10 =390 ⑵ 5.5¤ -4.5¤ =(5.5+4.5)(5.5-4.5) =10_1=10 (cid:9000) ⑴ 390(cid:100)⑵ 10 026 Check Up 풀이집 분모가 무리수이므로 먼저 분모를 유리화한 다. = '5+2 ('5-2)('5+2) 1 '5-2 '5+2 5-4 a= ='5 +2 = '5-2 ('5+2)('5-2) b= b= 1 '5+2 '5-2 5-4 ='5 -2 이므로(cid:100)(cid:100)a+b=2'5, a-b=4 (cid:100)(cid:100)∴ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) =2'5_4=8'5 (cid:9000) 8'5 유제 ❽ a¤ (a-b)-b¤ (a-b)=(a-b)(a¤ -b¤ ) a¤ (a+b)-b¤ (a+b)=(a-b)(a-b)(a+b) a¤ (a+b)-b¤ (a+b)=(a-b)¤ (a+b) a¤ (a+b)-b¤ (a+b)=(5'2 )¤ _2 a¤ (a+b)-b¤ (a+b)=50_2=100 (cid:9000) ⑤ 소단원성취도진단 기본서 62~63쪽 02 2 07 ③ 12 24 03 ③ 08 ④ 13 ③ 04 2800 05 4x 10 ④ 09 ③ 15 ⑤ 14 3 01 ④ 06 11 11 10 16 -10 01 공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환 a-2=A로 치환하면 D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지027 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ +A-6 =(A-2)(A+3) =(a-2-2)(a-2+3) =(a-4)(a+1) 따라서 주어진 식의 인수인 것은 ④이다. (cid:9000) ④ 02 채점 기준 주어진 다항식을 인수분해하기 a, b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 이므로 (cid:100)(cid:100)a=-1, b=3 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=2 우공비 B0X 이때 A>B이므로(cid:100)(cid:100)A=8, B=-3 (cid:100)(cid:100)∴ A-B=8-(-3)=11 기본서 59~63쪽 ▶ 20% ▶ 20% (cid:9000) 11 4개의 항 중3 개를 묶어 완전제곱식으로 인수분해 07 할 수 있을 때 (cid:8833) ( )¤ -( )¤ 꼴로 변형 x¤ -y¤ -z¤ +2yz=x¤ -(y¤ -2yz+z¤ ) =x¤ -(y-z)¤ ={x+(y-z)}{x-(y-z)} =(x+y-z)(x-y+z) (cid:100)(cid:100)-z¤ +2yz+x¤ -y¤ =-z¤ +2yz+(x+y)(x-y) =-{z¤ -2yz-(x+y)(x-y)} =-{z-(x+y)}{z+(x-y)} =-(z-x-y)(z+x-y) =(x+y-z)(x-y+z) S t e p U p . Ⅱ 식 의 계 산 x¤ -2xy+y¤ -9=(x-y)¤ -3¤ =(x-y+3)(x-y-3) ▶ 70% 따라서 인수인 것은 ㈁, ㈂이다. (cid:9000) ③ z에 대하여 내림차순으로 정리하면 제곱의 차 (cid:8833) a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) 93¤ -92¤ =(93+92)(93-92)=93+92 이므로 필요한 인수분해 공식은 (cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) 03 04 먼저 2를 묶어 낸 후 인수분해 공식을 이용한다. 57¤ _2-43¤ _2=2(57¤ -43¤ ) a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) 두 항씩 묶으면 공통 인수가 생긴다. 공통인수가 드러나도록 적당한 항끼리 묶어서 인수 08 분해한다. a¤ -9b¤ -a+3b=(a¤ -9b¤ )-(a-3b) =(a+3b)(a-3b)-(a-3b) =(a-3b)(a+3b-1) =2(57+43)(57-43) =2_100_14 =2800 (cid:9000) 2800 세 항을 묶으면 ( )¤ -( )¤ 꼴로 만들 수 있다. a¤ -9b¤ +6b-1=a¤ -(9b¤ -6b+1) =a¤ -(3b-1)¤ =(a+3b-1)(a-3b+1) 05 공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환 2x+1=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -2A-8 =(A+2)(A-4) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(2x+1+2)(2x+1-4) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(2x+3)(2x-3) 따라서 구하는 두 일차식의 합은 (cid:100)(cid:100)(2x+3)+(2x-3)=4x (cid:9000) 4x 06 채점 기준 주어진 등식의 좌변을 인수분해하기 A, B의 값 구하기 A-B의 값 구하기 x-4y=X로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=X(X+5)-24 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=X¤ +5X-24 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(X+8)(X-3) 따라서 두 식의 공통인수는 (cid:100)(cid:100)a+3b-1 09 분자, 분모를 각각 인수분해한다. 2015_2016+2015 1009¤ -1008¤ 2015(2016+1) (1009+1008)(1009-1008) = = 2015_2017 2017_1 =2015 10 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) 3° -1=(3› +1)(3› -1) (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ 3° -1의 값을 계산하 여 약수를 구하는 것 보다 인수분해를 이용 하여 약수를 구하는 것이 편리하다. =(3› +1)(3¤ +1)(3¤ -1) =(3› +1)(3¤ +1)(3+1)(3-1) =82_10_4_2 따라서 2, 4, 20=2_10, 80=2_4_10은 모두 3° -1 Ⅱ.식의 계산 027 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(x-4y+8)(x-4y-3) ▶ 60% 60=2¤ _3_5 의 약수이므로 약수가 아닌 것은 ④이다. (cid:9000) ④ 배점 70% 20% 10% ▶ 20% ▶ 10% (cid:9000) 2 (cid:9000) ③ 배점 60% 20% 20% D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:50 PM 페이지028 SinsagoHitec 우공비 B0X 'ß10-(정수 부분) Step Up 기본서 11 (A의 소수 부분)=A-(A의 정수 부분) 3<'∂10<4에서 '∂10의 정수 부분이 3이므로 '∂10 의 소수 부분은(cid:100)(cid:100)a='∂10-3 주어진 식에서 a+4=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -2A+1=(A-1)¤ =(a+4-1)¤ =(a+3)¤ =('∂10-3+3)¤ =('∂10)¤ =10 (cid:9000) 10 보충 학습 næ0인 정수 n에 대하여 n…'ßxc (cid:100)(cid:100)∴ a-b=0, 즉 a=b 따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다. (cid:9000) ① Ⅱ.식의 계산 029 ¤ D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:50 PM 페이지030 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지어 13 (x+1)(x+2)(x-2)(x-3)을 전개한 후 공통부분을 치환 2› ‚ -1=65_9_7 2› ‚ -1=13_5_3¤ _7 14 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤ 한다. (x+1)(x+2)(x-2)(x-3)+k ={(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-3)}+k =(x¤ -x-2)(x¤ -x-6)+k x¤ -x=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(A-2)(A-6)+k =A¤ -8A+12+k 따라서 A¤ -8A+12+k가 완전제곱식이 되려면 (cid:100)(cid:100)12+k= { }2 =(-4)¤ =16 -8 2 (cid:100)(cid:100)∴ k=4 (cid:9000) ② x¤ +y¤ -2xy+5x-5y+4 =x¤ -(2y-5)x+y¤ -5y+4 =x¤ -(2y-5)x+(y-1)(y-4) ={x-(y-1)}{x-(y-4)} =(x-y+1)(x-y+4) 따라서 a=1, b=4 또는 a=4, b=1이므로 (cid:9000) ⑤ (cid:100)(cid:100)a+b=5 x-y=X로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(x-y+a)(x-y+b) ``=(X+a)(X+b) ``=X¤ +aX+bX+ab ``=(x-y)¤ +a(x-y)+b(x-y)+ab ``=x¤ -2xy+y¤ +(a+b)x-(a+b)y+ab (cid:100)(cid:100)∴ a+b=5 x¤ +ax+b가 완전제곱식 (cid:8825) b={;2A;} 17 "√(a-b)¤ = · “ ª 1<'2<2이므로 a-b (aæb) -(a-b) (a0, x-3<0이므로 ¤ -4x+4+"√x¤ -6x+9 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(x-2)-(x-3)=1 (cid:9000) ② x¤ -y¤ +2y-1을 인수분해한 후 x+y=5를 대입 18 한다. x¤ -y¤ +2y-1=x¤ -(y¤ -2y+1) x¤ -y¤ +2y-1=x¤ -(y-1)¤ x¤ -y¤ +2y-1=(x+y-1)(x-y+1) 이므로(cid:100)(cid:100)20=(5-1)(x-y+1) 따라서 x-y+1=5이므로 (cid:100)(cid:100)x-y=4 (cid:9000) ② 19 소수 (cid:8833) 1과 자기자신만을 약수로 갖는다. n¤ +6n-27=(n-3)(n+9) 이 식의 값이 소수이려면 n-3, n+9의 값 중 하나는 1 =(4-3)(4+9) =13 (cid:9000) 13 20 먼저 3x¤ +16x+5를 인수분해한다. 직사각형의 넓이를 인수분해하면 (cid:100)(cid:100)3x¤ +16x+5=(x+5)(3x+1) 이므로 주어진 직사각형의 세로의 길이는 (cid:100)(cid:100)3x+1 따라서 직사각형의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2{(x+5)+(3x+1)}=2(4x+6) =8x+12 (cid:9000) 8x+12 51=A, 49=B라 하고 주어진 식을 인수분해한다. 51=A, 49=B라 하면 (cid:100)(cid:100) 51(51+2_49)+49¤ 51¤ -49¤ = A(A+2B)+B¤ A¤ -B¤ 소수는 1과 자기자신 만을 약수로 가지므로 두 자연수의 곱이 소 수이면 둘 중 하나는 1 이어야 한다. 이어야 한다. 그런데 n-3b) 우공비 B0X 기본서 65~67쪽 (cid:100)(cid:100)p(a¤ -b¤ )=75p,(cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =75 (cid:100)(cid:100)∴ (a+b)(a-b)=75 yy ㉡ ▶ 2점 25(a-b)=75 (cid:100)∴ a-b=3 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)a-b=3 따라서 두 원의 반지름의 길이의 차는 3이다. + =(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x) ▶ 2점 =(y-z){(x-y)+(z-x)} =(y-z)(-y+z) =-(y-z)¤ ▶ 3점 (cid:9000) -(y-z)¤ 26 채점 기준 직육면체의 부피로 주어진 식을 인수분해하기 직육면체의 높이 구하기 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합 구하기 (직육면체의 부피) =(밑면의 가로의 길이) _(밑면의 세로의 길이) _(높이) 이므로 직육면체의 높이는 (cid:100)(cid:100)a-3b+2 2a¤ b-6ab¤ +4ab=2ab(a-3b+2) ▶ 2점 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 (cid:100)(cid:100)4(a+2b+a-3b+2)=8a-4b+8 ▶ 1점 (cid:9000) 8a-4b+8 27 채점 기준 a의 값 구하기 주어진 식을 인수분해하기 식의 값 구하기 1<'3<2이므로(cid:100)(cid:100)a='3-1 a+3=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -8A+16 =(A-4)¤ (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=('3-2)¤ =3-4'3+4 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=7-4'3 =(a+3-4)¤ =(a-1)¤ ▶ 2점 ▶ 1점 (cid:9000) 7-4'3 S t e p U p . Ⅱ 식 의 계 산 ▶ 1점 (cid:9000) 3 배점 2점 3점 배점 2점 1점 1점 ▶ 1점 배점 1점 2점 1점 ▶ 1점 Ⅱ.식의 계산 031 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지032 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X Ⅲ -1. 이차방정식과 그 풀이 1. 이차방정식의 뜻과 해 1166 이차방정식의 뜻과 해 기본서 70~71쪽 익히기 1 ⑴ 5x+4=4x-2에서(cid:100)(cid:100)5x+4-4x+2=0 ㈀ (cid:100)(cid:100)∴ x+6=0 ⑵ 1-6x=x¤ 에서(cid:100)(cid:100)-x¤ -6x+1=0 ⑶ x¤ -3x=x¤ +x에서(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-x¤ -x=0 ㈀ (cid:100)(cid:100)∴ -4x=0 (cid:9000) ⑴ ×(cid:100)⑵ (cid:8776)(cid:100)⑶ × 익히기 2 ⑴ (-1)¤ -(-1)-2=0이므로 x=-1은 주어진 이차방정식의 해이다. ⑵ 1¤ -1-2=-2+0이므로 x=1은 주어진 이차방정 ⑶ 2¤ -2-2=0이므로 x=2는 주어진 이차방정식의 해 식의 해가 아니다. 이다. 유제 ❶ ① x¤ =5x에서(cid:100)(cid:100)x¤ -5x=0 ② 2x¤ -3x=-3x에서(cid:100)(cid:100)2x¤ =0 ③ x¤ (x+4)=x‹ -7x에서 ④ (cid:100)(cid:100)x‹ +4x¤ =x‹ -7x(cid:100)(cid:100)∴ 4x¤ +7x=0 ④ x¤ -1 5 =2x에서(cid:100)(cid:100)x¤ -1=10x ④ (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x-1=0 ⑤ x¤ +3x=(x-1)(x+3)에서 ④ (cid:100)(cid:100)x¤ +3x=x¤ +2x-3(cid:100)(cid:100)∴ x+3=0 유제 ❷-1 ① 5¤ -3_5-10=0 ② 2_5¤ -10_5-1=-1+0 ③ 3_5¤ =75+65 ④ 5(2_5-5)=25+5 ⑤ (2_5-5)¤ =5¤ 유제 ❷-2 주어진 방정식의 x에 -2, -1, 0, 1을 각각 대입하여 등식이 성립하는지 확인한다. ⑴ 좌변 우변 참, 거짓 -2 -1 x 0 1 (-2)¤ =4 (-1)¤ =1 0¤ =0 1¤ =1 -(-2)=2 거짓 -(-1)=1 0 -1 참 참 거짓 032 Check Up 풀이집 (cid:100) 따라서 이차방정식 x¤ =-x의 해는 x=-1 또는 x=0이다. ⑵ x 좌변 우변 참, 거짓 2_(-2)¤ -18 5_(-2) =-10 =-10 2_(-1)¤ -18 5_(-1) =-16 =-5 참 거짓 2_0¤ -18 =-18 2_1¤ -18 =-16 5_0=0 거짓 5_1=5 거짓 -2 -1 0 1 (cid:100) 따라서 이차방정식 2x¤ -18=5x의 해는x=-2 이다. (cid:9000) ⑴ x=-1 또는 x=0 ⑵ x=-2 소단원성취도진단 기본서 72쪽 01 ③ 02 -22 03 ⑤ 04 a+1 05 ②, ⑤ (cid:9000) ⑴ (cid:8776)(cid:100)⑵ ×(cid:100)⑶ (cid:8776) 06 :¡5ª: 07 ② 08 :™8£: x에 대한 이차방정식을 찾 는 순서 ⁄ 괄호를 푼다. ¤ 우변의 항을 좌변으로 이항하여 정리한다. ‹ (x에 대한 이차식)=0 꼴인지 확인한다. 01 x에 대한 이차방정식 (cid:8833) (x에 대한 이차식)=0 ① -2x(x-1)=x¤ 에서(cid:100)(cid:100)-2x¤ +2x=x¤ (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -3x¤ +2x=0 ② 2x¤ -7=(x-1)(x+3)에서 (cid:100)(cid:100)2x¤ -7=x¤ +2x-3(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x-4=0 ③ (3x-1)¤ -4=9x¤ +x에서 x에 대한 일차방정식 (cid:100)(cid:100)9x¤ -6x+1-4=9x¤ +x(cid:100)(cid:100)∴ -7x-3=0 ④ x¤ (2-x)=4-x‹ 에서(cid:100)(cid:100)2x¤ -x‹ =4-x‹ (cid:9000) ⑤ (cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -4=0 x(x+1)(x-1) =x(x¤ -1) =x‹ -x ⑤ x‹ -x¤ +2=x(x+1)(x-1)에서 (cid:100)(cid:100)x‹ -x¤ +2=x‹ -x(cid:100)(cid:100)∴ -x¤ +x+2=0 (cid:9000) ③ 02 이차방정식의 일반형 (cid:8833) ax¤ +bx+c=0 (a+0) x¤ -4x 4 = 5x+4 2 의 양변에 분모의 최소공배수 4 (cid:9000) ①, ⑤ 를 곱하면 -2 이상 1 이하의 정수 (cid:100)(cid:100)x¤ -4x=10x+8(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -14x-8=0 따라서 a=-14, b=-8이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=-14+(-8)=-22 (cid:9000) -22 주어진 x의 값을 이차방정식의 x에 대입 03 (cid:8833) 등식이 성립하는 x의 값을 찾는다. x=-3일 때, (cid:100)(cid:100)(-1)_(-5)+(-3)_(-11)+2 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지033 SinsagoHitec x=-1일 때,(cid:100)(cid:100)1_(-3)+(-1)_(-7)+2 x=1일 때,(cid:100)(cid:100)3_(-1)+1_(-3)+2 x=2일 때,(cid:100)(cid:100)4_0=2_(-1)+2 x=3일 때,(cid:100)(cid:100)5_1=3_1+2 따라서 주어진 이차방정식의 해는 (cid:100)(cid:100)x=2 또는 x=3 04 채점 기준 주어진 식 정리하기 a의 조건 구하기 ax¤ =(x+3)(x-2)에서 (cid:100)(cid:100)ax¤ =x¤ +x-6,(cid:100)(cid:100)(a-1)x¤ -x+6=0 ▶ 40% 이 방정식이 x에 대한 이차방정식이 되려면 (cid:100)(cid:100)a-1+0(cid:100)(cid:100)∴ a+1 (cid:9000) ⑤ 배점 40% 60% ▶ 60% (cid:9000) a+1 x=k를 해로 갖는 이차방정식 05 (cid:8833) x=k를 대입하면 등식이 성립 x-2=-2x+7에서(cid:100)(cid:100)3x=9(cid:100)(cid:100)∴ x=3 x=3을 주어진 이차방정식에 각각 대입하면 ① 3¤ -3-7=-1+0 ② 3_(3-3)=0 ③ 2_3¤ +1=19+3 ④ (3+1)(3+2)=20+0 ⑤ (3-1)¤ =4 x=-5를 x¤ +ax-6=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)(-5)¤ +a_(-5)-6=0,(cid:100)(cid:100)25-5a-6=0 (cid:100)(cid:100)-5a=-19(cid:100)(cid:100)∴ a= :¡5ª: (cid:9000) :¡5ª: x=k가 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 근 07 (cid:8833) ak¤ +bk+c=0 x=a를 x¤ -3x+1=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)a¤ -3a+1=0 ㈀ a¤ -3a=-1 ㈁ 12a-4a¤ =-4(a¤ -3a)=-4_(-1)=4 ㈂ a¤ -3a+1=0의 양변을 a로 나누면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)a-3+ =0(cid:100)(cid:100)∴ a+ =3 ;å!; ;å!; ㈃ a¤ + = a+ { ;å!;}2 -2=3¤ -2=7 1 a¤ 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다. (cid:9000) ② 우공비 B0X A3 yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡의 공통 범위는 3b이므로(cid:100)(cid:100)a=;2&;, b=-1 (cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=2_;2&;+(-1)=6 (cid:9000) ④ x=k가 이차방정식의 근 07 (cid:8833) x=k를 이차방정식에 대입한다. x=-2를 x¤ +2ax-3a¤ =0에 대입하면 038 Check Up 풀이집 x‹ -3x+4=x‹ +x¤ 에서 (cid:100)-x¤ -3x+4=0 (cid:100)∴ x¤ +3x-4=0 (cid:100)(cid:100)(x+6)(x+2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 또는 x=-2 따라서 주어진 등식을 만족시키는 모든 x의 값의 합은 (cid:100)(cid:100)-6+(-2)=-8 (cid:9000) ① (cid:100)(cid:100)(a+2)(3a-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=-2 (∵ a는 정수) (cid:9000) ① 08 정해진 규칙에 따라 x에 대한 방정식을 세운다. (2x+5)„(x-1) =(2x+5)¤ -(2x+5)(x-1) =4x¤ +20x+25-(2x¤ +3x-5) =2x¤ +17x+30 이므로 2x¤ +17x+30=6+x에서 (cid:100)(cid:100)2x¤ +16x+24=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +8x+12=0 이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다. 09 (cid:8833) b={;2A;} x¤ -6kx-k=0이 중근을 가지려면 -6k 2 ¤ =-k (cid:100)(cid:100){ 이어야 하므로(cid:100)(cid:100)9k¤ +k=0 } (cid:100)(cid:100)k(9k+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=0 또는 k=-;9!; 따라서 모든 k의 값의 합은(cid:100)(cid:100)-;9!;+0=-;9!; (cid:9000) ② (cid:9000) ③ 10 x¤ =k (kæ0)의 해 (cid:8833) x=—'ßk x¤ =a에서(cid:100)(cid:100)x=—'a 따라서 두 근의 차는(cid:100)(cid:100)'a-(-'a )=2'a 2'a=4'3에서(cid:100)(cid:100)'a=2'3='1å2 (cid:100)(cid:100)∴ a=12 11 (x+a)¤ =b (bæ0)의 해 (cid:8833) x=-a—'b (x+2)¤ =3에서(cid:100)(cid:100)x+2=—'3 (cid:100)(cid:100)∴ x=-2—'3 즉 두 근이 -2+'3, -2-'3이므로 두 근의 곱은 (cid:100)(cid:100)(-2+'3)(-2-'3 )=(-2)¤ -('3)¤ =1 (cid:9000) ④ 12 중근을 갖는다. (cid:8833) (완전제곱식)=0 꼴 ㈀ x¤ -4x-4=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x=4 ㈀ (cid:100)(cid:100)x¤ -4x+4=4+4,(cid:100)(cid:100)(x-2)¤ =8 ㈀ (cid:100)(cid:100)∴ x=2—2'2 x- ㈁ x¤ = 에서(cid:100)(cid:100)x¤ - x+ =0 ;3@; ;9!; ;3@; ¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x= x- ㈀ (cid:100)(cid:100) { ;3!;} ;9!; (중근) ;3!; ㈂ x¤ +8x+16=0에서(cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =0 주어진 식을 (이차식)=0 꼴로 변형한다. (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ ¤ D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지039 SinsagoHitec ㈀ (cid:100)(cid:100)∴ x=-4 (중근) ㈃ 9x¤ -4=-6x에서(cid:100)(cid:100)x¤ + x= ;3@; ;9$; ㈀ (cid:100)(cid:100)x¤ + x+ = + ,(cid:100)(cid:100){x+ ;9!; ;3!;} ¤ = ;9%; ㈀ (cid:100)(cid:100)∴ x= ;3@; ;9!; ;9$; -1—'5 3 ㈄ x¤ + x+ ;4!; ;5!; =0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +;5$;x+;2¢5;=0 ;2¡5; ¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=- x ㈀ (cid:100)(cid:100) { +;5@;} (중근) ;5@; 이상에서 중근을 갖는 것은 ㈁, ㈂, ㈄의 3개이다. (cid:9000) ③ (cid:9000) ② 13 먼저 x¤ 의 계수를 1로 만든다. x¤ -4x-3=0에서 ;2!; (cid:100)(cid:100)x¤ -8x-6=0,(cid:100)(cid:100)x¤ -8x=6 (cid:100)(cid:100)x¤ -8x+16=6+16(cid:100)(cid:100)∴ (x-4)¤ =22 따라서 p=-4, q=22이므로 (cid:100)(cid:100)p+q=-4+22=18 14 (x+a)¤ =b (bæ0)의 해 (cid:8833) x=-a—'b x¤ -6x-1=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=1 (cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=1+9,(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ (cid:100)(cid:100) x-3=—'1ß0(cid:100)(cid:100)∴ x=3—'1ß0 따라서 a=1, b=9, c=-3이므로 ¤ =10 (cid:100)(cid:100)a+b+c=1+9+(-3)=7 (cid:9000) ① 15 각 이차방정식의 해를 구해 본다. ㈀ x¤ -4x+4=2x-5에서(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=0 ㈁(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (중근) ㈁ x¤ +2x=5에서(cid:100)(cid:100)x¤ +2x+1=5+1 ㈁(cid:100)(cid:100)(x+1)¤ =6,(cid:100)(cid:100)x+1=—'6 ㈁(cid:100)(cid:100)∴ x=-1—'6 ㈂ 2x¤ -8x+1=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+;2!;=0 ㈁(cid:100)(cid:100)x¤ -4x=-;2!;,(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+4=-;2!;+4 ㈁(cid:100)(cid:100)(x-2)¤ =;2&;,(cid:100)(cid:100)x-2=—Æ;2&; '∂14 2 ㈁(cid:100)(cid:100)∴ x=2— 4—'∂14 2 = ㈃ 6x¤ +x-1=0에서(cid:100)(cid:100)(2x+1)(3x-1)=0 ㈁(cid:100)(cid:100)∴ x=-;2!; 또는 x=;3!; 이상에서 유리수인 해를 갖지 않는 것은 ㈁, ㈂이다. 16 (cid:8833) B는 제곱수 A, B가 정수일 때, x=A—'∂B (B+0)가 정수 기본서 82~84쪽 우공비 B0X x+;3!;=— ∴ x= '5 3 -1—'5 3 x¤ -6x-k=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=k (cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=k+9,(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ =k+9 제곱수 (cid:8825) 1, 4, 9, y와 같이 자연수의 제곱인 수 이때 k는 10…k…99인 자연수이므로(cid:100)(cid:100)k+9>0 (cid:100)(cid:100)∴ x=3—'ƒk+9 이차방정식의 근이 정수이므로 k+9는 제곱수이어야 한다. 이때 19…k+9…108이므로 (cid:100)(cid:100)k+9=25, 36, 49, 64, 81, 100 따라서 k는 16, 27, 40, 55, 72, 91의 6개이다. 이차항의 계수가 1이 되도록 먼저 양변에 4 를 곱한다. (cid:9000) ② x에 대한 이차방정식 17 (cid:8833) ax¤ +bx+c=0 (a+0) 꼴 주어진 등식을 정리하면 (cid:100)(cid:100)(a¤ -a-12)x‹ +(a+3)x¤ -3x+1=0 이므로 x에 대한 이차방정식이 되려면 (cid:100)(cid:100)a¤ -a-12=0,(cid:100)a+3+0 a¤ -a-12=0에서(cid:100)(cid:100)(a+3)(a-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=-3 또는 a=4 이때 a+3+0에서 a+-3이므로 a=-3이면 -3x¤ +1=3x-3x¤ (cid:100)∴ -3x+1=0 (cid:8825) x에 대한 일차방정 식이다. (cid:100)(cid:100)a=4 (cid:9000) 4 주어진 이차방정식에 x=a, x=b를 각각 대입하여 18 a, b에 대한 식을 구한다. S t e p U p . Ⅲ 이 차 방 정 식 x=a를 5x¤ -3x-4=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)5a¤ -3a-4=0(cid:100)(cid:100)∴ 5a¤ -3a=4 x=b를 2x¤ -3x-2=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)2b¤ -3b-2=0(cid:100)(cid:100)∴ 2b¤ -3b=2 (cid:100)(cid:100)∴ (5a¤ -3a+2)(2b¤ -3b-8) =(4+2)(2-8)=-36 (cid:9000) -36 먼저 x=1을 이차방정식 x¤ +6ax-2a-9=0에 대 19 입하여 a의 값을 구한다. x¤ +6ax-2a-9=0의 한 근이 x=1이므로 (cid:100)(cid:100)1+6a-2a-9=0 (cid:100)(cid:100)4a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=2 a=2를 x¤ +6ax-2a-9=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ +12x-13=0,(cid:100)(cid:100)(x+13)(x-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-13 또는 x=1 (cid:100)(cid:100)∴ b=-13 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=2+(-13)=-11 (cid:9000) -11 20 x=2a를 주어진 이차방정식에 대입한다. x=2a를 2x¤ -ax-3a=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)2_(2a)¤ -a_2a-3a=0 Ⅲ.이차방정식 039 Æ;2&;= '7 '2 '7_'2 '2_'2 = = '∂14 2 (cid:9000) ③ D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지040 SinsagoHitec Step Up 기본서 (cid:100)(cid:100)8a¤ -2a¤ -3a=0,(cid:100)(cid:100)2a¤ -a=0 (cid:100)(cid:100)a(2a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a= (∵ a+0) ;2!; (cid:9000) ;2!; 이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다. 21 (cid:8833) b={;2A;} 우공비 B0X 주어진 직선이 제 4`사 분면을 지나지 않으려 면 기울기가 양수이어 야 하므로 (cid:100)-m>0 (cid:100)(cid:100)-m>0(cid:100)(cid:100)∴ m<0 따라서 구하는 m의 값은 -1이다. 25 채점 기준 3x¤ -14xy-5y¤ =0의 좌변을 인수분해하기 x를 y에 대한 식으로 나타내기 2x¤ +3xy+y¤ x¤ +y¤ 의 값 구하기 ⑴ 3x¤ -14xy-5y¤ =0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(3x+y)(x-5y)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-;3!;y 또는 x=5y (cid:100)그런데 xy>0이므로(cid:100)(cid:100)x=5y x¤ -6x+ +3=0이 중근을 가지므로 ;2A; (cid:100)(cid:100){ -6 2 } ¤ = ;2A; +3 (cid:100)(cid:100)9= +3(cid:100)(cid:100)∴ a=12 ;2A; a=12를 주어진 이차방정식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=0,(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ x=3 (중근) (cid:100)(cid:100)x+a=—'6(cid:100)(cid:100)∴ x=-a—'6 따라서 a=-3, b=6이므로 (cid:100)(cid:100)b-a=6-(-3)=9 23 채점 기준 x=-3을 방정식에 대입하여 식 구하기 x=1을 방정식에 대입하여 식 구하기 ab의 값 구하기 따라서 b=3이므로(cid:100)(cid:100)a-b=12-3=9 (cid:9000) 9 22 (x+a)¤ =b (bæ0)의 해 (cid:8833) x=-a—'b (x+a)¤ -2=0에서(cid:100)(cid:100)(x+a)¤ =6 ;3!; xy>0이므로 (cid:100)y+0 = 66y¤ 26y¤ =;1#3#; (∵ y+0) ▶ 2점 (cid:9000) ⑴ x=5y(cid:100)⑵ ;1#3#; x와 y의 값의 부호가 같다. 2x¤ +3xy+y¤ x¤ +y¤ = 2_(5y)¤ +3_5y_y+y¤ (5y)¤ +y¤ ⑵ ⑵ 26 (cid:9000) 9 배점 1점 1점 2점 ▶ 2점 (cid:9000) -6 배점 2점 1점 2점 ▶ 2점 채점 기준 x¤ -8x+16=0의 근 구하기 a의 값 구하기 다른 한 근 구하기 x¤ -8x+16=0에서 (cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (중근) ▶ 1점 x=4를 2x¤ +ax+4=0에 대입하면 2_4¤ +a_4+4=0,(cid:100)(cid:100)4a+36=0 ∴ a=-9 ▶ 2점 ∴ x= 또는` x=4 ;2!; 따라서 다른 한 근은 x= 이다. ;2!; x=-3을 x¤ +ax+b=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)(-3)¤ -3a+b=0 (cid:100)(cid:100)∴ -3a+b=-9 x=1을 x¤ +ax+b=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)1+a+b=0 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=-1 yy ㉡(cid:100)▶ 1점 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=-3 (cid:100)(cid:100)∴ ab=2_(-3)=-6 ㉠`-㉡을 하면 (cid:100)-4a=-8 (cid:100)∴ a=2 a=2를 ㉡에 대입하면 (cid:100)2+b=-1 (cid:100)∴ b=-3 yy ㉠(cid:100)▶ 1점 즉 2x¤ -9x+4=0에서(cid:100)(cid:100)(2x-1)(x-4)=0 이차항의 계수가 1일 때, 상수항을 우변으로 이항한 다음 양변에 27 채점 기준 주어진 이차방정식의 해 구하기 a의 값 구하기 (cid:100){ 일차항의 계수 2 } 을 더한다. x¤ +8x+2a=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +8x=-2a (cid:100)(cid:100)x¤ +8x+16=-2a+16 (cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =-2a+16,(cid:100)(cid:100)x+4=—'ƒ-2a+16 (cid:100)(cid:100)∴ x=-4—'ƒ-2a+16 주어진 이차방정식의 해가 x=-4—'3이므로 (cid:100)(cid:100)-2a+16=3,(cid:100)(cid:100)-2a=-13 ▶ 2점 x=m-1, y=m¤ 을 mx+y=3에 대입하면 (cid:100)(cid:100)m(m-1)+m¤ =3 (cid:100)(cid:100)2m¤ -m-3=0,(cid:100)(cid:100)(m+1)(2m-3)=0 직선 mx+y=3이 점 (m-1, m¤ )을 지난 다. (cid:100)(cid:100)∴ m=-1 또는 m=;2#; 그런데 직선 mx+y=3, 즉 y=-mx+3이 제 4 사분 ▶ 1점 (cid:100)(cid:100)∴ a= :¡2£: 24 채점 기준 m에 대한 이차방정식 세우기 이차방정식의 해 구하기 m의 값 구하기 면을 지나지 않으므로 040 Check Up 풀이집 ▶ 2점 (cid:9000) -1 배점 1점 2점 2점 ▶ 1점 ▶ 2점 배점 1점 2점 2점 ▶ 2점 (cid:9000) x= ;2!; 배점 2점 2점 ▶ 2점 (cid:9000) :¡2£: ¤ ¤ D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지041 SinsagoHitec 우공비 B0X 기본서 84~89쪽 Ⅲ -2. 이차방정식의근의공식과활용 2211 복잡한 이차방정식의 풀이 기본서 88~89쪽 1. 이차방정식의 근의 공식 2와 4의 최소공배수 (cid:9000) 풀이 참조 ⑷ 주어진 식의 우변을 전개하면 (cid:100)(cid:100)2x¤ +5=3-6x 근의 공식에서 a, b, c에 해당하는 수를 찾는다. (cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ +6x+2=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +3x+1=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x= -3—"√3√ ¤ -√4_1√_1 2_1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x= -3—'5 2 ⑶ 짝수 공식에 a=2, b'=-4, c=5를 대입하면 -(-4)—"√(-4√)¤ -√2_5 2 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= x의 계수가 -8이므로 (cid:100)b'=-8_;2!;=-4 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= 4—'6 2 ⑷ 짝수 공식에 a=3, b'=5, c=2를 대입하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= -5—"√5¤ -√3_2 3 = -5—'ß19 3 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x= 5—"ç105 20 x의 계수가 10이므로 ⑵ 양변에 10을 곱하면 (cid:100)b'=10_;2!;=5 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -10x-12=0 유제 ❷-1 근의 공식에 a=1, b=3, c=-9를 대입하 (cid:8825) x= -b'—"√b'¤ -ac a (cid:9000) 풀이 참조 ax¤ +2b'x+c=0 (a+0) (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x= -(-5)—"√(-5)¤ -1_(-12) 1 2200 이차방정식의 근의 공식 기본서 86~87쪽 익히기 1 근의 공식에 a= , b=-5, c= 을 대입하 1 면 3 (cid:100)(cid:100)x= -(-5)—"√(-5√)¤ -√4_√ _ 2_ 1 1 3 (cid:100)(cid:100)x= 5—'ƒ25-12 2 = 13 5—"√ 2 유제 ❶ ⑴ 근의 공식에 a=1, b=1, c=-8을 대입 하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= -1—"√1¤ -√4_1√_(√-8) 2_1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= -1—'ß33 2 ⑵ 근의 공식에 a=1, b=-7, c=-1을 대입하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= -(-7)—"√(-7√)¤ -√4_1√_(-1) 2_1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= 7—'ß53 2 면 하면 (cid:100)(cid:100)x= -3—"√3¤ -√4_1√_(√-9) 2_1 = -3—3'5 2 (cid:100)(cid:100)∴ A=-3, B=5 (cid:9000) A=-3, B=5 유제 ❷-2 짝수 공식에 a=2, b'=-3, c=-1을 대입 (cid:100)(cid:100)x= -(-3)—"√(-3√)¤ -√2_√(-1) 2 (cid:100)(cid:100)x= 3—'ß11 2 따라서 A=3, B=11이므로 (cid:100)(cid:100)A+B=3+11=14 (cid:9000) 14 S t e p U p . Ⅲ 이 차 방 정 식 익히기 2 ⑴ 양변에 4를 곱하면(cid:100)(cid:100)2x¤ +x-4=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x= -1—"√1√ ¤ -√4_2√_(-4) 2_2 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x= -1—'ß33 4 ⑵ 양변에 10을 곱하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -3x-10=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-5)=0 (cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ x=-2 또는 x=5 ⑶ 주어진 식의 좌변을 전개하면(cid:100)(cid:100)x¤ -x-6=6 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-4)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=4 (cid:9000) ⑴ x= (cid:100)⑵ x=-2 또는 x=5 -1—'ß33 4 (cid:9000) ⑶ x=-3 또는 x=4(cid:100)⑷ x= -3—'5 2 익히기 3 A¤ -4A+4=0에서(cid:100)(cid:100)(A-2)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ A=2 (중근) (cid:9000) 2 유제 ❸-1 ⑴ 양변에 20을 곱하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)10x¤ -5x=2,(cid:100)(cid:100)10x¤ -5x-2=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x= -(-5)—"√(-5)¤ -√4_10_(-2) 2_10 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=5—'ß37 ⑶ 주어진 식의 좌변을 전개하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)5(x¤ -3x-4)-3x¤ +3x=-14 (cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ -12x-6=0,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-3=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x= -(-3)—"√(-3)¤ -1_(-3) 1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=3—2'3 (cid:9000) ⑴ x= 5—"ç105 20 `⑶ x=3—2'3 (cid:100)⑵ x=5—'ß37 유제 ❸-2 양변에 6을 곱하면 (cid:100)(cid:100)3(3x¤ +1)+2(x¤ -3x)=6x¤ +11 (cid:100)(cid:100)9x¤ +3+2x¤ -6x=6x¤ +11 Ⅲ.이차방정식 041 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지042 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X A에 대한 이차방정식 A=x-1을 대입하여 x의 값을 구한다. (cid:100)(cid:100)5x¤ -6x-8=0,(cid:100)(cid:100)(5x+4)(x-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-;5$; 또는 x=2 따라서 정수인 근은(cid:100)(cid:100)x=2 (cid:9000) x=2 유제 ❹ ⑴ x-1=A로 치환하면 주어진 이차방정식 은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)A¤ -4A-5=0,(cid:100)(cid:100)(A+1)(A-5)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ A=-1 또는 A=5 (cid:100) 즉 x-1=-1 또는 x-1=5이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x=0 또는 x=6 ⑵ x+4=A로 치환하면 주어진 이차방정식은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)2A¤ +5A+2=0,(cid:100)(cid:100)(A+2)(2A+1)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ A=-2 또는 A=- ;2!; ;2!; (cid:100) 즉 x+4=-2 또는 x+4=- 이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x=-6 또는 x=- ;2(; ⑶ 3x+1=A로 치환하면 주어진 이차방정식은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)4A¤ +4A+1=0,(cid:100)(cid:100)(2A+1)¤ =0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ A=- (중근) (cid:100) 즉 3x+1=- 이므로(cid:100)(cid:100)3x=- ;2#; (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=- (중근) ;2!; ;2!; ;2!; `(cid:9000) ⑴ x=0 또는 x=6 (cid:9000) ⑵ x=-6 또는 x=- ;2(; `(cid:9000) ⑶ x=- (중근) ;2!; 소단원성취도진단 기본서 90~91쪽 01 풀이 참조 02 ③ 03 ② 04 ⑤ 05 22 06 ① 09 x=8(중근) 07 -;2!; 08 -6 11 ② 10 ④ 12 4 13 ④ 14 x=;4#; 15 ⑤ 이차방정식 ax¤ +2b'x+c=0의 근의 공식 (cid:100)x= -b'—"√b'¤ -ac a 근의 공식 (cid:8833) 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 좌변을 01 완전제곱식으로 만든다. 이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 양변을 a로 나누면 (cid:100)(cid:100)x¤ + x+ ;aB; ;aC;=‚ (cid:100)(cid:100)x¤ + x ;aB; = - ;aC; 042 Check Up 풀이집 x의 계수 의 ;2!;인 를 제곱한 {;2ıa;}2 을 양변에 더하면 ;2ıa; ;aB; (cid:100)(cid:100)x¤ + x+{ ;aB; }2 = - ;aC; +{ b 2a b 2a }2 (cid:100)(cid:100){x+ b 2a }2 = b¤ -4ac 4a¤ (cid:100)(cid:100)x+ b 2a —æ≠ = b¤ -4ac 4a¤ — = øπ b¤ -4ac 2a (cid:100)(cid:100)∴ x=- — b 2a "√b¤ -4ac 2a = -b—"√b¤ -4ac 2a (cid:100)(cid:100)∴ ㈎ - ;aC; (cid:100)(cid:100)(cid:100) ㈑ -b—"√b¤ -4ac b 2a (cid:100)㈏ (cid:100)㈐ b¤ -4ac (cid:9000) 풀이 참조 인수분해가 되지 않는 이차방정식 02 (cid:8833) 근의 공식을 이용 x¤ -6x+7=0에서 (cid:100)(cid:100)x=-(-3)—"√(-3)¤ -1_7=3—'2 (cid:9000) ③ 계수가 소수인 이차방정식 03 (cid:8833) 양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 고친다. 0.4x¤ -x+0.3=0의 양변에 10을 곱하면 (cid:100)(cid:100)4x¤ -10x+3=0 (cid:100)(cid:100)∴ x= -(-5)—"√(-5√)¤ -√4_3 4 = 5—"≈13 4 따라서 A=5, B=13이므로 (cid:100)(cid:100)AB=5_13=65 (cid:9000) ② 04 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 근의 공식 (cid:8833) x= -b—"√b¤ -4ac 2a ① x¤ +2x-2=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x=-1—"√1¤ -1_(-2)=-1—'3 ② x¤ +6x+3=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x=-3—"√3¤ -1_3=-3—'6 ③ x¤ -3x+1=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= -(-3)—"√(-3)¤ -4_1_1 2 = 3—'5 2 ④ x¤ +5x-3=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= -5—"√5¤ -4_1_(-3) 2 = -5—'∂37 2 ⑤ x¤ +x-3=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x= -1—"√1¤ -4_1_(-3) 2 = -1—'∂13 2 (cid:9000) ⑤ D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지043 SinsagoHitec 우공비 B0X 기본서 89~91쪽 ax¤ +bx+c=0 꼴로 정리한 후, 근의 공식을 이용 05 한다. 2x¤ -4x=x¤ +x-2에서(cid:100)(cid:100)x¤ -5x+2=0 -(-5)—"√(-5)¤ -4_1_2 2 (cid:100)(cid:100)∴ x= (cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=;3!; 따라서 두 근 사이에 있는 정수는 (cid:100)(cid:100)-3, -2, -1, 0 이므로 구하는 합은 (cid:100)(cid:100)-3+(-2)+(-1)+0=-6 근의 공식을 이용하여 주어진 이차방정식의 해를 k 09 공통부분이 있는 이차방정식 (cid:8833) 공통부분을 치환 (cid:9000) 22 치환하여 이차방정식을 푼 다음에는 원래의 식을 대입하여 x의 값을 구하 다. x-2=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100) -4A+12=0 A¤ 3 (cid:100)(cid:100)∴ x= 5—'∂17 2 따라서 A=5, B=17이므로 (cid:100)(cid:100)A+B=5+17=22 06 에 대한 식으로 나타낸다. 2x¤ -6x+k+1=0에서 (cid:100)(cid:100)x= -(-3)—"√(-3)¤ -2_(k+1) 2 (cid:100)(cid:100)x= 3—'ƒ-2k+7 2 따라서 -2k+7=5이므로(cid:100)(cid:100)-2k=-2 (cid:100)(cid:100)∴ k=1 07 채점 기준 이차방정식의 해 구하기 A, B의 값 구하기 AB의 값 구하기 ;2#;x¤ -3x+A=0의 양변에 2를 곱하면 (cid:100)(cid:100)3x¤ -6x+2A=0 (cid:100)(cid:100)∴ x= -(-3)—"√(-3)¤ -3_2A 3 (cid:100)(cid:100)∴ x= 3—'ƒ9-6A 3 이때 x= B—'1å0 3 이므로 (cid:100)(cid:100)B=3, 9-6A=10 따라서 A=-;6!;, B=3이므로 (cid:100)(cid:100)AB=-;6!;_3=-;2!; 08 채점 기준 이차방정식을 간단히 정리하기 이차방정식의 두 근 구하기 두 근 사이에 있는 모든 정수의 합 구하기 주어진 이차방정식의 양변에 30을 곱하면 (cid:100)(cid:100)10(x+1)=-6(x-1)(x+3) (cid:100)(cid:100)3x¤ +11x-4=0 (cid:100)(cid:100)(x+4)(3x-1)=0 (cid:9000) ① 배점 50% 30% 20% ▶ 50% ▶ 30% ▶ 20% (cid:9000) -;2!; 배점 40% 30% 30% ▶ 40% S t e p U p . Ⅲ 이 차 방 정 식 ▶ 30% ▶ 30% (cid:9000) -6 (cid:9000) ④ (cid:9000) ② 배점 40% 20% 40% ▶ 40% ▶ 20% 양변에 3을 곱하면(cid:100)(cid:100)A¤ -12A+36=0 (cid:100)(cid:100)(A-6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ A=6 (중근) 즉 x-2=6이므로(cid:100)(cid:100)x=8 (중근) (cid:9000) x=8 (중근) 공통부분이 여러 개인 이차방정식 (cid:8833) 공통부분을 10 각각 다른 문자로 치환 x-1=A, x+2=B로 치환하면 (cid:100)(cid:100)3A¤ +2AB-B¤ =0,(cid:100)(cid:100)(A+B)(3A-B)=0 (cid:100)(cid:100)(x-1+x+2){3(x-1)-(x+2)}=0 A, B 대신 치환한 식 을 대입 양변에 어떤 수를 곱할 때에는 모든 항에 각각 곱한다. (cid:100)(cid:100)(2x+1)(2x-5)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-;2!; 또는 x=;2%; 따라서 두 근의 합은(cid:100)(cid:100)-;2!;+;2%;=2 x-2y=A로 치환하여 먼저 A에 대한 이차방정식 11 을 푼다. x-2y=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)A(A-4)+4=0 (cid:100)(cid:100)A¤ -4A+4=0,(cid:100)(cid:100)(A-2)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ A=2 (중근)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100) 따라서 구하는 값은 (cid:100)(cid:100)-2x+4y=-2(x-2y) =-2A=-2_2 =-4 12 채점 기준 이차방정식의 해 구하기 a의 값 구하기 a보다 크지 않은 최대의 정수 구하기 10x+10 =-6x¤ -12x+18 (cid:100)6x¤ +22x-8=0 (cid:100)∴ 3x¤ +11x-4=0 x¤ -4x-2=0에서 (cid:100)(cid:100)x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-2) =2—'6 (cid:100)(cid:100)∴ a=2+'6 Ⅲ.이차방정식 043 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지044 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X 의 합은 (cid:100)(cid:100)-2+4=2 14 는다. 2<'6<3이므로(cid:100)(cid:100)4<2+'6<5 즉 40 (cid:100) 이므로 서로 다른 근의 개수는 2이다. (cid:9000) ⑴ 0(cid:100)⑵ 1(cid:100)⑶ 2 보충 학습 일차항의 계수가 짝수인 경우 (cid:100)(cid:100) (일차항의 계수) 2 =b' 에서 b'¤ -ac의 부호를 조사하면 계산이 더 간편하다. 21, 12, 28의 최소공배 수 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근 을 a, b라 하면 (cid:8825) a+b=- ;aB;, (cid:8825) ab= ;aC; 익히기 2 ⑴ x¤ +x-5=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=- =-1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)= =-5 ⑵ x¤ +2x=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=- =-2 ;1!; -5 1 ;1@; ;1); (cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)= =0 ⑶ 5x¤ -x-2=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=- (cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)= -1 5 = ;5!; -2 5 =- ;5@; (cid:9000) 풀이 참조 유제 ❶ ① (-3)¤ -4_5_2=-31<0 (cid:8825) 근이 없다. ② (-4)¤ -4_3_1=4>0 (cid:8825) 서로 다른 근이 2개이다. ③ 4¤ -4_1_5=-4<0 (cid:8825) 근이 없다. ④ (-1)¤ -4_ _3=-5<0 (cid:8825) 근이 없다. ;2!; ⑤ 2¤ -4_2_1=-4<0 (cid:8825) 근이 없다. (cid:9000) ② 유제 ❷-1 x¤ +2(a-1)x+a¤ =0이 중근을 가지려면 (cid:100)(cid:100){2(a-1)}¤ -4_1_a¤ =0 (cid:100)(cid:100)4a¤ -8a+4-4a¤ =0,(cid:100)(cid:100)-8a+4=0 (cid:100)(cid:100)∴ a= ;2!; (cid:9000) ;2!; D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지045 SinsagoHitec 우공비 B0X 기본서 91~96쪽 유제 ❷-2 (k+2)x¤ +(k+2)x+4=0이 중근을 가지 려면 (cid:100)(cid:100)(k+2)¤ -4_(k+2)_4=0 (cid:100)(cid:100)k¤ +4k+4-16k-32=0,(cid:100)(cid:100)k¤ -12k-28=0 (cid:100)(cid:100)(k+2)(k-14)=0 (cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=14 이때 k+-2이므로(cid:100)(cid:100)k=14 (cid:9000) 14 유제 ❸ (k+1)x¤ -2kx+k=0이 근을 갖지 않으려면 (cid:100)(cid:100)(-2k)¤ -4_(k+1)_k<0 (cid:100)(cid:100)4k¤ -4k¤ -4k<0,(cid:100)(cid:100)-4k<0 이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)∴ k>0 (cid:9000) k>0 유제 ❹-1 주어진 이차방정식의 양변에 2를 곱하면 (cid:100)(cid:100)x¤ -2x-5=0 이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a=- =2, b= =-5 -2 1 -5 1 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=2-(-5)=7 (cid:9000) 7 이차방정식에서 x¤ 의 계수는 0이 될 수 없 다. 2233 이차방정식 구하기 기본서 95~96쪽 익히기 3 a, b, c가 유리수이므로 다른 한 근은 (cid:100)(cid:100)x=5+'2 (cid:9000) x=5+'2 익히기 4 ⑴ 2(x+4)(x-2)=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ +4x-16=0 ⑵ (x+4)¤ =0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +8x+16=0 ⑶ 두 근의 합이 7, 곱이 5이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -7x+5=0 ` ` (cid:9000) ⑴ 2x¤ +4x-16=0(cid:100)⑵ x¤ +8x+16=0 `` (cid:9000) ⑶ x¤ -7x+5=0 유제 ❻ a, b가 유리수이므로 주어진 이차방정식의 계 수가 모두 유리수이다. 따라서 한 근이 x=2-3'2일 때, 다른 한 근은 x=2+3'2이므로 이차방정식의 근과 계 수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)-a=(2-3'2 )+(2+3'2)=4 (cid:100)(cid:100)∴ a=-4 (cid:100)(cid:100)b=(2-3'2)(2+3'2) =4-18=-14 (cid:100)(cid:100)∴ ab=-4_(-14)=56 (cid:9000) ④ S t e p U p . Ⅲ 이 차 방 정 식 유제 ❹-2 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)-5+2=- -5_2= ;2N; m 2 , (cid:100)(cid:100)∴ m=6, n=-20 (cid:100)(cid:100)∴ m+n=-14 두 근의 합이 m, 두 근의 곱이 n이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방정식 (cid:8825) a(x¤ -mx+n)=0 유제 ❼-1 (두 근의 합)=(3+'2)+(3-'2)=6 (두 근의 곱)=(3+'2)(3-'2)=7 따라서 두 근의 합이 6, 곱이 7이고 x¤ 의 계수가 - 인 ;6!; (cid:9000) -14 이차방정식은 유제 ❺ -1 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)- (x¤ -6x+7)=0(cid:100)(cid:100)∴ - x¤ +x- =0 ;6!; ;6&; ;6!; (cid:100)(cid:100)a+b=3, ab=-5 ⑴ a+b-ab=3-(-5)=8 ⑵ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab =3¤ -2_(-5)=19 ⑶ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab =3¤ -4_(-5)=29 ⑷ + = 1 a 1 b b+a ab =- ;5#; (cid:9000) ⑴ 8(cid:100)⑵ 19(cid:100)⑶ 29(cid:100)⑷ - ;5#; 유제 ❺ -2 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+b=-5, ab=a (cid:100)(cid:100);å©;+;∫ƒ= b¤ +a¤ ab (a+b)¤ -2ab ab = (-5)¤ -2a a (cid:100)(cid:100);å©;+;∫ƒ= 이므로(cid:100)(cid:100)25-2a=9a,(cid:100)(cid:100)11a=25 = 9 (cid:100)(cid:100)∴ a=;1@1%;(cid:100)(cid:100) (cid:9000) ;1@1%; 곱셈 공식의 변형 ① a¤ +b¤ `=(a+b)¤ -2ab `=(a-b)¤ +2ab ② (a+b)¤ `=(a-b)¤ +4ab ③ (a-b)¤ `=(a+b)¤ -4ab a¤ +b¤ 을 a+b와 ab 로 나타낸다. (cid:9000) - x¤ +x- =0 ;6!; ;6&; 유제 ❼-2 두 근이 -;3@;, ;2!;이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방 정식은 (cid:100)(cid:100)6{x+;3@;}{x-;2!;}=0,(cid:100)(cid:100)6{x¤ +;6!;x-;3!;}=0 (cid:100)(cid:100)∴ 6x¤ +x-2=0 따라서 a=1, b=-2이므로 (cid:100)(cid:100)3ab=3_1_(-2)=-6 (cid:9000) -6 (두 근의 합)=-;3@;+;2!;=-;6!;, (두 근의 곱)=-;3@;_;2!;=-;3!; 이므로 두 근의 합이 -;6!;, 곱이 -;3!;이고 x¤ 의 계수가 6 인 이차방정식은 (cid:100)(cid:100)6{x¤ +;6!;x-;3!;}=0(cid:100)(cid:100)∴ 6x¤ +x-2=0 따라서 a=1, b=-2이므로 (cid:100)(cid:100)3ab=3_1_(-2)=-6 Ⅲ.이차방정식 045 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지046 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X 소단원성취도진단 기본서 97~98쪽 01 ② 05 ③ 10 -7 15 1 02 ③ 06 ④ 11 ② 16 -1 03 4 07 ② 12 ④ 04 풀이 참조 08 14 13 0 09 2 14 ④ 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 서로 다른 두 근을 01 갖는다. (cid:8833) b¤ -4ac>0 ㈀ 6x¤ -x-4=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(-1)¤ -4_6_(-4)=97>0 ㈁ 3x¤ -2x+4=0에서 (cid:100)(cid:100)(cid:100) (-2)¤ -4_3_4=-44<0 ㈂ 주어진 방정식의 양변에 2를 곱하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ +4x+4=0 (cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)4¤ -4_1_4=0 ㈃ 주어진 방정식의 양변에 6을 곱하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)6x¤ -x-2=0 (cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)(-1)¤ -4_6_(-2)=49>0 이상에서 서로 다른 두 근을 갖는 것은 ㈀, ㈃이다. 02 이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (cid:8833) (두 근의 곱)= k= =-2이므로 2k¤ +k-m=0에서 -8 4 (cid:100)(cid:100)2_(-2)¤ -2-m=0 (cid:100)(cid:100)∴ m=6 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 03 x=p-q'∂m (cid:8833) 다른 한 근은 x=p+q'∂m (단, p, q는 유리 수, '∂m은 무리수) a, b가 유리수이므로 주어진 이차방정식의 계수가 모두 유리수이다. 따라서 한 근이 x=3-'5일 때, 다른 한 근은 x=3+'5이므로 이차방정식의 근과 계수의 관 계에 의하여 (cid:100)(cid:100)- =(3-'5)+(3+'5)=6(cid:100)(cid:100)∴ a=12 (cid:100)(cid:100) =(3-'5)(3+'5)=4(cid:100)(cid:100)∴ b=8 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=12-8=4 -a 2 b 2 (cid:9000) ② ;aC; (cid:9000) ③ (cid:9000) 4 배점 40% 60% 04 채점 기준 상수 k의 값 구하기 중근 구하기 4x¤ +kx+;4!;=0이 중근을 가지므로 (cid:100)(cid:100)k¤ -4_4_;4!;=0,(cid:100)(cid:100)k¤ -4=0 046 Check Up 풀이집 근이 없다. 중근을 갖는다. (cid:100)(cid:100)(k+2)(k-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=2 ▶ 40% ⁄ k=-2이면(cid:100)(cid:100)4x¤ -2x+;4!;=0 ¤ (cid:100)(cid:100) 16x¤ -8x+1=0,(cid:100)(cid:100)(4x-1)¤ =0 ¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=;4!; (중근) ¤ k=2이면(cid:100)(cid:100)4x¤ +2x+;4!;=0 ¤ (cid:100)(cid:100)16x¤ +8x+1=0,(cid:100)(cid:100)(4x+1)¤ =0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-;4!; (중근) ▶ 60% (cid:9000) k=-2일 때 x=;4!;(중근), k=2일 때 x=-;4!;(중근) 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 해를 가지려면 05 (cid:8833) b¤ -4acæ0 이차방정식 x¤ -2x+k-5=0이 해를 가지려면 (cid:100)(cid:100)(-2)¤ -4_1_(k-5)æ0 이므로(cid:100)(cid:100)4-4k+20æ0 (cid:100)(cid:100)4k…24(cid:100)(cid:100)∴ k…6 (cid:9000) ③ 06 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면 (cid:8833) a+b=- ab= ;aC; ;aB;, ①, ② a+b=;2%;, ab=-1 ③ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab={;2%;}2 -2_(-1)=:£4£: ④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab={;2%;}2 -4_(-1)=:¢4¡: 1 =;2%;_ =-;2%; -1 b+a ab ⑤ + = ;∫!; ;å!; (cid:9000) ④ 두 근의 차가k 이면 두 근 을 a, a-k 또는 a, a+k 로 놓는다. 07 두 근의 차가 3 (cid:8833) 두 근을 a, a-3으로 놓는다. 주어진 이차방정식의 두 근을 a, a-3이라 하면 근 과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+(a-3)=-6 (cid:100)(cid:100)a(a-3)=k yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠`에서(cid:100)(cid:100)2a-3=-6(cid:100)(cid:100)∴ a=- ;2#; a=- 을 ㉡`에 대입하면 ;2#; (cid:100)(cid:100)k=- _{- -3}=- _{- ;2(;}= ;2#; ;2#; ;2#; ;;™4¶;; (cid:9000) ② 주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 근과 계 두 근 a, b의 차가3 이므로 (cid:100)|a-b|=3 (cid:100)∴ (a-b)¤ =3¤ 수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+b=-6, ab=k (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab이므로 (cid:100)(cid:100)3¤ =(-6)¤ -4k,(cid:100)(cid:100)9=36-4k(cid:100)(cid:100)∴ k= ;;™4¶;; D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지047 SinsagoHitec 08 두 근을 a, 2a로 놓고 근과 계수의 관계를 이용한다. 주어진 이차방정식의 한 근이 다른 한 근의 2배이 므로 두 근을 a, 2a (a>0)라 하면 근과 계수의 관계에 두 근의 합이 m, 곱이 n이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방 12 정식 (cid:8833) a(x¤ -mx+n)=0 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 기본서 97~98쪽 의하여 (cid:100)(cid:100)a+2a=k+1 (cid:100)(cid:100)a_2a=50 ㉡에서(cid:100)(cid:100)a¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ a>0) a=5를 ㉠에 대입하면 (cid:100)(cid:100)5+2_5=k+1,(cid:100)(cid:100)k+1=15 (cid:100)(cid:100)∴ k=14 09 채점 기준 두 근의 합과 곱 구하기 상수 m의 값 구하기 계에 의하여 (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-(4-m), (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=m¤ -3m -(4-m)=m¤ -3m에서 (cid:100)(cid:100)m¤ -4m+4=0,(cid:100)(cid:100)(m-2)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ m=2 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9000) 14 배점 40% 60% ▶ 40% ▶ 60% (cid:9000) 2 x¤ +(4-m)x+m¤ -3m=0에서 근과 계수의 관 두 근이 a, b이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식 10 (cid:8833) (x-a)(x-b)=0 x¤ +5x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-5, (두 근의 곱)=-3 이므로 두 근이 -5, -3이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정 식은 (cid:100)(cid:100)(x+5)(x+3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +8x+15=0 따라서 a=8, b=15이므로 (cid:100)(cid:100)a-b=8-15=-7 (cid:9000) -7 -5와 -3이 x¤ +ax+b=0의 근이므로 근과 계 수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a=-{-5+(-3)}=8, b=-5_(-3)=15 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=8-15=-7 두 근이 a, b이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방정식 11 (cid:8833) a(x-a)(x-b)=0 두 근이 - , 1이고 x¤ 의 계수가 5인 이차방정식은 ;5!; (x-1)=0,(cid:100)(cid:100)5 (cid:100)(cid:100)5 x+ { ;5!;} (cid:100)(cid:100)∴ 5x¤ -4x-1=0 x¤ - { ;5$; x- ;5!;} =0 우공비 B0X 근은 모두 양수이다. 두 근의 합이 곱 -;3@;, 이 -;3!; 인 이차방정식 k=3일 때 , (cid:100)3{x¤ +;3@;x-;3!;}=0 (cid:100)∴ 3x¤ +2x-1=0 m=2를 주어진 방정 식에 대입하면 x¤ +2x-2=0이므로 (cid:100)(두 근의 합)=-2, (cid:100)(두 근의 곱)=-2 S t e p U p . Ⅲ 이 차 방 정 식 (cid:100)(cid:100)a+b=2, ab=-3 a+b ab 1 (cid:100)(cid:100)∴ + = a 1 b =- , ;3@; 1 (cid:100)(cid:100)∴ _ = =- b 1 ab 1 a ;3!; 따라서 , 을 두 근으로 하는 이차방정식은 1 a 1 b x- ;3!;}=0 (k+0) (cid:100)(cid:100)k {x¤ + 꼴이므로 보기 중 구하는 이차방정식은 ④이다. ;3@; (cid:9000) ④ x¤ -2x-3=0에서(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=3 즉 a, b가 -1과 3이므로 , 은 -1과 이다. ;3!; 1 a 1 b 따라서 구하는 이차방정식은 (cid:100)(cid:100)k (x+1){x- ;3!;}=0, 즉 x- ;3!;}=0 (k+0) ;3@; (cid:100)(cid:100)k {x¤ + 꼴이다. 13 채점 기준 조건 ㈎를 만족시키는 a의 값의 범위 구하기 조건 ㈏를 만족시키는 a의 값 구하기 조건 ㈎, ㈏를 만족시키는 a의 값 구하기 배점 40% 40% 20% 조건 ㈎에서 x¤ +2x-a+3=0이 근을 갖지 않으 므로 (cid:100)(cid:100)2¤ -4_1_(-a+3)<0,(cid:100)(cid:100)4+4a-12<0 (cid:100)(cid:100)4a<8(cid:100)(cid:100)∴ a<2 yy ㉠ ▶ 40% 조건 ㈏에서 x¤ +ax+a=0이 중근을 가지므로 (cid:100)(cid:100)a¤ -4_1_a=0,(cid:100)(cid:100)a¤ -4a=0 (cid:100)(cid:100)a(a-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=0 또는 a=4 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)a=0 yy ㉡ ▶ 40% ▶ 20% (cid:9000) 0 이차방정식의 두 근의 절댓값이 같고, 부호가 반대 14 (cid:8833) (두 근의 합)=0, (두 근의 곱)<0 x¤ -(a¤ +a-12)x-a+2=0의 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 (cid:100)(cid:100)a¤ +a-12=0,(cid:100)(cid:100)(a+4)(a-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=-4 또는 a=3 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 이때 (두 근의 곱)<0이므로(cid:100)(cid:100)-a+2<0 yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9000) ④ Ⅲ.이차방정식 047 따라서 a=-4, b=1이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-10=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-10) (cid:100)(cid:100)∴ x=2—'ß14 (cid:9000) ② ax¤ +2b'x+c=0 (a+0) -b'—"√b'¤ -ac a (cid:8825) x= (cid:100)(cid:100)∴ a>2 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)a=3 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지048 SinsagoHitec 우공비 B0X n=15 또는 n=-16 이지만 -16은 자연수 가 아니므로 n의 값이 될 수 없다. Step Up 기본서 15 채점 기준 3-'3의 소수 부분 구하기 주어진 이차방정식의 다른 한 근 구하기 a의 값 구하기 1<'3<2에서 (cid:100)(cid:100)-2<-'3<-1(cid:100)(cid:100)∴ 1<3-'3<2 즉 3-'3의 소수 부분은 (cid:100)(cid:100)(3-'3)-1=2-'3 ▶ 30% x¤ -4x+2a-1=0의 한 근이x=2-' 3이고 이차방정 식의 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 x=2+'3 이다. ▶ 40% 따라서 두 근의 곱은 (cid:100)(cid:100)2a-1=(2-'3)(2+'3)=1 (cid:100)(cid:100)∴ a=1 배점 30% 40% 30% ▶ 30% (cid:9000) 1 x의 계수를 잘못 본 경우 (cid:8833) 상수항은 바르게 보았다. 16 상수항을 잘못 본 경우 (cid:8833) x의 계수는 바르게 보았다. -4와 2를 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방 (cid:100)(cid:100)(x+4)(x-2)=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-8=0 이므로 이차방정식 x¤ +ax+b=0의 상수항은 -8이다. -9와 2를 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식 (cid:100)(cid:100)(x+9)(x-2)=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-18=0 이므로 이차방정식 x¤ +ax+b=0의 x의 계수는 7이다. 따라서 구하는 값은(cid:100)(cid:100)a+b=7+(-8)=-1 (cid:9000) -1 정식은 (cid:100)(cid:100)∴ b=-8 은 (cid:100)(cid:100)∴ a=7 두 근이 a, b이고 x¤ 의 계 수가 a인 이차방정식 (cid:8825) a(x-a)(x-b)=0 2255 시간, 도형에 대한 활용 기본서 101~103쪽 유제 ❶ 1부터 n까지의 합을 120이라 하면 (cid:100)(cid:100) n(n+1) 2 =120,(cid:100)(cid:100)n¤ +n-240=0 (cid:100)(cid:100)(n+16)(n-15)=0 (cid:100)(cid:100)∴ n=15 (∵ n은 자연수) 따라서 1부터 15까지 더해야 한다. (cid:9000) 15 유제 ❷ 연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면 (cid:100)(cid:100)x(x+2)=120,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-120=0 (cid:100)(cid:100)(x+12)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x는 짝수) 따라서 구하는 두 수는 10, 12이다. (cid:9000) 10, 12 유제 ❸ 학생 수를 x라 하면 한 학생이 받는 사탕의 수는 x+3이므로 (cid:100)(cid:100)x(x+3)=108,(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-108=0 (cid:100)(cid:100)(x+12)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>0) 따라서 학생은 9명이다. (cid:9000) 9 익히기 2 ⑴ 늘인 후의 직사각형의 가로의 길이는 (cid:100) (x+4)cm, 세로의 길이는 (x+2)cm이다. ⑵ (x+4)(x+2)=3x¤ ⑶ (x+4)(x+2)=3x¤ 에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ +6x+8=3x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-4=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+1)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0) (cid:100) 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다. (cid:9000) 풀이 참조 유제 ❹-1 높이가 :¢2£: m이므로 h=:¢2£:을 h=;2#;+25t-5t¤ 에 대입하면 (cid:100)(cid:100):¢2£:=;2#;+25t-5t¤ ,(cid:100)(cid:100)-5t¤ +25t-20=0 (cid:100)(cid:100)t¤ -5t+4=0,(cid:100)(cid:100)(t-1)(t-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ t=1 또는 t=4 따라서 야구공의 높이가 :¢2£: m가 되는 것은 1초 후 또 는 4초 후이다. (cid:9000) 1초 또는 4초 3. 이차방정식의 활용 2244 수에 대한 활용 기본서 99~100쪽 익히기 1 ⑴ 연속하는 두 수 중 작은 수를 x라 하면 큰 (cid:100) 수는 x+1이다. ⑵ x¤ +(x+1)¤ =113 높이가 h m가 되는 경 우는 두 번 생긴다. (단, 가장 높이 올라간 경우는 제외) ⑶ x¤ +(x+1)¤ =113에서(cid:100)(cid:100)x¤ +x¤ +2x+1=113 유제 ❹-2 물체가 지면에 떨어지는 것은 높이가 0 m일 (cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ +2x-112=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +x-56=0 때이므로 (cid:100)(cid:100)70x-5x¤ =0,(cid:100)(cid:100)-5x(x-14)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=14 (∵ x>0) 따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 14초 후이다. (cid:9000) 풀이 참조 (cid:9000) 14초 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+8)(x-7)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x는 자연수) (cid:100) 따라서 두 자연수는 7, 8이다. 048 Check Up 풀이집 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지049 SinsagoHitec 유제 ❺ 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 직 각이등변삼각형의 직각을 낀 한 변의 길이는 (12-x)cm이므로 (cid:100)(cid:100)x¤ +;2!;(12-x)¤ =48,(cid:100)(cid:100)3x¤ -24x+48=0 (cid:100)(cid:100)x¤ -8x+16=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다. (cid:9000) 4 cm 유제 ❻-1 처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)p(x+2)¤ =4px¤ ,(cid:100)(cid:100)3x¤ -4x-4=0 (cid:100)(cid:100)(3x+2)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 2 cm이다. (cid:9000) 2 cm 유제 ❻-2 사다리꼴의 높이를 x cm라 하면 윗변의 길이 는 (x-1) cm, 아랫변의 길이는 (x+3) cm이므로 (cid:100)(cid:100);2!;(x-1+x+3)x=30 (cid:100)(cid:100);2!;x(2x+2)=30,(cid:100)(cid:100)x¤ +x-30=0 (cid:100)(cid:100)(x+6)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>1) 따라서 사다리꼴의 높이는 5 cm이다. (cid:9000) 5 cm x`m 3`m 유제 ❼ 정원의 세로 의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는 {x-2}`m (x+3)m이므로 오른 쪽 그림에서 2`m (cid:100)(cid:100){(x+3)-3}(x-2)=63 소단원성취도진단 기본서 104~105쪽 01 ⑤ 06 ④ 02 13 07 -1 11 4초 12 36 03 3 04 ② 08 7초 09 ① -1+'5 2 13 cm 05 ④ 10 ② 14 ③ 01 n(n-1) 2 =78을 만족시키는 n의 값을 구한다. 모임의 학생 수를 n이라 하면 n(n-1) 2 =78,(cid:100)(cid:100)n¤ -n-156=0 (cid:100)(cid:100) 우공비 B0X 기본서 98~104쪽 02 연속하는 두 홀수 (cid:8833) x, x+2 (단, x는 홀수) 연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면 (cid:100)(cid:100)x¤ +(x+2)¤ =394,(cid:100)(cid:100)2x¤ +4x-390=0 (cid:100)(cid:100)x¤ +2x-195=0,(cid:100)(cid:100)(x+15)(x-13)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=13 (∵ x>0) 따라서 두 홀수 중 작은 수는 13이다. (cid:9000) 13 S t e p U p x¤ +;2!;(12-x)¤ =48 2x¤ +(12-x)¤ =96 3x¤ -24x+48=0 (가로의 세 수의 합)=(대각선의 세 수의 합)임을 03 이용하여 이차방정식을 세운다. 가로, 대각선에 있는 세 수의 합이 모두 같으므로 (가로의 세 수의 합) =(대각선의 세 수의 합) (cid:100)(cid:100)1-x¤ +x+1=1-3x+0+x+1 (cid:100)(cid:100)x¤ -3x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x는 자연수) (cid:9000) 3 x-1>0, x+3>0 (cid:100)∴ x>1 04 어떤 수를 x로 놓고 이차방정식을 세운다. 어떤 자연수를 x라 하면 (cid:100)(cid:100)2x=x¤ -48 (cid:100)(cid:100)x¤ -2x-48=0,(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-8)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x는 자연수) 따라서 구하는 자연수는 8이다. (cid:9000) ② . Ⅲ 이 차 방 정 식 05 철수의 나이가 x살 (cid:8833) 아버지의 나이는 3x살 철수의 나이를 x살이라 하면 철수 아버지의 나이 는 3x살이므로 (cid:100)(cid:100)x¤ =3x_5,(cid:100)(cid:100)x¤ -15x=0 (cid:100)(cid:100)x(x-15)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=15 (∵ x>0) 따라서 철수 아버지의 나이는 45살이다. (cid:9000) ④ 학생 수가 x이면 (cid:8833) 한 사람이 받는 귤의 개수는 06 x-6 x-6이므로 학생 수를 x라 하면 한 사람이 받는 귤의 개수는 (cid:100)(cid:100)x(x-6)=112,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-112=0 (cid:100)(cid:100)(x+8)(x-14)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=14 (∵ x>0) 따라서 학생은 모두 14명이다. (cid:9000) ④ 07 채점 기준 기호의 뜻을 이용하여 식 세우기 x의 값 구하기 배점 50% 50% (cid:100)(cid:100)x(x-2)=63,(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-63=0 (cid:100)(cid:100)(x+7)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>2) 따라서 정원의 세로의 길이는 9 m이다. (cid:9000) 9 m 3x=3_15=45 (cid:100)(cid:100)(n+12)(n-13)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=13 (∵ n>0) (x+1)(cid:8596)2x=4에서 따라서 모임의 학생은 모두 13명이다. (cid:100)(cid:100)(x+1)¤ +(x+1)_2x+(2x)¤ =4 ▶ 50% n은 학생 수이므로 자 연수이어야 한다. (cid:9000) ⑤ (cid:100)(cid:100)x¤ +2x+1+2x¤ +2x+4x¤ =4 Ⅲ.이차방정식 049 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지050 SinsagoHitec Step Up 기본서 (cid:100)(cid:100)7x¤ +4x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(7x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-1(∵ x는 정수) 우공비 B0X 08 공이 지면에 떨어지는 순간의 높이 (cid:8833) 0 m 공이 지면에 떨어지는 순간의 높이는 0 m이므로 (cid:100)(cid:100)-5t¤ +25t+70=0,(cid:100)(cid:100)t¤ -5t-14=0 (cid:100)(cid:100)(t+2)(t-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=7 (∵ t>0) 따라서 공이 지면에 떨어지는 것은 7초 후이다. 09 주어진 조건에 따라 식을 세운다. 1000x-500x¤ =375에서 (cid:100)(cid:100)4x¤ -8x+3=0,(cid:100)(cid:100)(2x-1)(2x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=;2!; 또는 x=;2#; 따라서 처음으로 375 cm의 높이에 도달하는 것은 물을 뿌린 지 0.5초 후이다. ▶ 50% (cid:9000) -1 (cid:9000) 7초 12 채점 기준 A, B를 x에 대한 식으로 나타내기 x의 값 구하기 A-B의 값 구하기 배점 40% 40% 20% 자연수 A의 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자 십의 자리의 숫자가 a, 일 의 자리의 숫자가 b인 두 자리의 자연수 (cid:8825) 10a+b 리의 숫자는 8-x이므로 (cid:100)(cid:100)A=10x+(8-x)=9x+8, (cid:100)(cid:100)B=10(8-x)+x=-9x+80 ▶ 40% AB=1612이므로 (cid:100)(cid:100)(9x+8)(-9x+80)=1612 (cid:100)(cid:100)81x¤ -648x+972=0 (cid:100)(cid:100)x¤ -8x+12=0,(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-6)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=6 그런데 A>B이므로(cid:100)(cid:100)x=6 따라서 A=62, B=26이므로 ▶ 40% ▶ 20% (cid:9000) 36 6+2=8이고 62_26=1612이다. (cid:100)(cid:100)A-B=36 (cid:9000) ① (cid:8772)AEFD는 정사각형 13 (cid:8772)ABCDª(cid:8772)BCFE (cid:8833) AB” : BC”=BC” :CF” AD”=x cm라 하면 DF”=x cm이므로 처음 철판의 가로의 길이가 x cm이면 10 (cid:8833) 세로의 길이는 2x cm 비례식에서 외항의 곱과 내항의 곱은 같다. (cid:100)(cid:100)CF”=1-x(cm) 이때 (cid:8772)ABCDª(cid:8772)BCFE이므로 AB” : BC”=BC” : CF”에서 (cid:100)(cid:100)x¤ +x-1=0(cid:100)(cid:100)∴ x= (cid:100)(cid:100)1 : x=x : (1-x),(cid:100)(cid:100)x¤ =1-x -1—'5 2 -1+'5 2 이때 00, 2x-2>0 (cid:100)∴ x>2 (cid:9000) -1+'5 2 cm 14 초속 a cm (cid:8833) x초 동안 움직인 거리 ax cm 출발한 지 x초 후의 BP”의 길이는 2x cm, BQ”의 길 BQ”=BC”-QC” 이는 (30-4x)cm이므로 (cid:100)(cid:100)2x(30-4x)=;3!;_{;2!;_30_20} (cid:100)(cid:100)2x¤ -15x+25=0,(cid:100)(cid:100)(2x-5)(x-5)=0 x초 동안 늘어난 길이 는 2x cm이다. (cid:100)(cid:100)∴ x=;2%; 또는 x=5 따라서 직사각형의 넓이가 삼각형 ABC의 넓이의 ;3!;이 되는 것은 출발한 지 2.5초 후 또는 5초 후이다. (cid:9000) ③ 처음 철판의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 2x cm이다. 또 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이는 각각 (x-2)cm, (2x-2)cm이고 높이는 1 cm이므로 (cid:100)(cid:100)(x-2)_(2x-2)_1=144 (cid:100)(cid:100)2x¤ -6x+4=144,(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-70=0 (cid:100)(cid:100)(x+7)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x>2) 따라서 처음 철판의 가로의 길이는 10 cm이다. (cid:9000) ② 11 채점 기준 x초 후의 반지름의 길이 나타내기 이차방정식 세우기 답 구하기 x초 후의 반지름의 길이는 (3+2x)cm이므로 (cid:100)(cid:100)p(3+2x)¤ -p_3¤ =112p (cid:100)(cid:100)p(4x¤ +12x)=112p (cid:100)(cid:100)4x¤ +12x-112=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-28=0 (cid:100)(cid:100)(x+7)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4(∵ x>0) 따라서 늘어난 넓이가 112p`cm¤ 가 되는 것은 4초 후이 다. 배점 30% 30% 40% ▶ 30% ▶ 30% ▶ 40% (cid:9000) 4초 050 Check Up 풀이집 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지051 SinsagoHitec 중단원마무리평가 기본서 106~109쪽 (cid:100)(cid:100)5y-10x=-5(2x-y) 01 ② 06 ① 11 ③ 16 ③ 02 ③ 07 ⑤ 12 ③ 17 ③ 21 8 25 풀이 참조 03 ④ 08 ② 13 ③ 04 ⑤ 09 ① 14 ② 05 ④ 10 ② 15 ① 18 x=;3@; 19 k>14 20 -:£4£: 22 10 % 23 5 cm 24 a=6, b=-2 26 4 27 9분 01 ax¤ +2b'x+c=0 (a+0) (cid:8833) x= -b'—"√b'¤ -ac a x¤ -4x+1=0에서 (cid:100)(cid:100)x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_1 =2—'3 따라서 a=2+'3이므로 2 (cid:100)(cid:100)a+ =2+'3+ a 2 2+'3 (cid:100)(cid:100)a+ =2+'3+4-2'3 =6-'3 계수가 분수인 이차방정식 02 (cid:8833) 양변에 분모의 최소공배수를 곱한다. 주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면 (cid:100)(cid:100)2x¤ -3x-6=0 (cid:100)(cid:100)∴ x= -(-3)—"√(-3)¤ -4√_2_(-6) 2_2 (cid:100)(cid:100)∴ x= 3—'∂57 4 (cid:9000) ③ 계수가 소수인 이차방정식 03 (cid:8833) 양변에 10의 거듭제곱을 곱한다. 주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면 (cid:100)(cid:100)4x¤ =10x-3,(cid:100)(cid:100)4x¤ -10x+3=0 (cid:100)(cid:100)∴ x= -(-5)—"√(-5)¤ -√4_3 4 (cid:100)(cid:100)∴ x= 5—'∂13 4 따라서 A=5, B=13이므로 (cid:100)(cid:100)A+B=18 04 2x-y=A로 놓고A 의 값을 먼저 구한다. 2x-y=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(A+2)(A+4)+1=0 (cid:100)(cid:100)A¤ +6A+9=0,(cid:100)(cid:100)(A+3)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ A=-3 따라서 A=2x-y=-3이므로 우공비 B0X 2x-y의 값을 이용할 수 있도록 변형한다. 주어진 방정식의 양변 에 10을 곱한다. (2x+1)(x+2) =(x-1)(x+2) 에서 2x¤ +5x+2 =x¤ +x-2 (cid:100)∴ x¤ +4x+4=0 분모를 유리화하면 2(2-'3 ) (2+'3)(2-'3) (cid:100) =4-2'3 기본서 104~106쪽 =-5_(-3) =15 (cid:9000) ⑤ S t e p U p 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 가질 조건 05 (cid:8833) b¤ -4ac=0 ㈀ 2¤ -4_1_(-1)=8>0 ㈁ (-12)¤ -4_9_4=0 ㈂ 9x¤ +6x+10=0에서 (cid:100)(cid:100) (cid:100)6¤ -4_9_10=-324<0 ㈃ x¤ +4x+4=0에서 (cid:100)(cid:100) (cid:100)4¤ -4_1_4=0 이상에서 중근을 갖는 것은 ㈁, ㈃이다. (cid:9000) ④ ⁄ (-5)¤ -4_2_k>0, 즉 k<:™8∞:이면 서로 다른 두 (cid:100) 근을 갖는다. ¤ (-5)¤ -4_2_k=0, 즉 k=:™8∞:이면 한 근(중근) (cid:100) 을 갖는다. . Ⅲ 이 차 방 정 식 ‹ (-5)¤ -4_2_k<0, 즉 k>:™8∞:이면 근은 없다. ㈀ k=2이면 ⁄에서 서로 다른 두 근을 갖는다. ㈁ k=:™8∞:이면 중근을 갖는다. ㈂ k=3이면 ⁄에서 서로 다른 두 근을 갖는다. ㈃ 근을 갖도록 하는 상수 k의 값의 범위는 ⁄, ¤에서 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 근의 개수 06 (cid:8833) b¤ -4ac의 부호를 조사한다. (cid:9000) ② 2x¤ -5x+k=0에서 ¤ -4acæ0이면 근을 b¤ 갖는다. (cid:100) (cid:100)(cid:100)(-5)¤ -4_2_kæ0 ax¤ +2b'x+c=0 (a+0) (cid:8825) x= -b'—"√b'¤ -ac a (cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ k…:™8∞: (cid:100) 따라서 가장 큰 정수 k의 값은 3이다. 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다. (cid:9000) ① (cid:9000) ④ 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 갖는다. 07 (cid:8833) b¤ -4ac=0 x¤ +ax+;4!;b=0이 중근을 가지려면 (cid:100)(cid:100)a¤ -4_1_;4!;b=0 (cid:100)(cid:100)∴ b=a¤ 따라서 순서쌍 (a, b)는 (cid:100)(cid:100)(1, 1), (2, 4) 의 2개이다. (cid:9000) ⑤ Ⅲ.이차방정식 051 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지052 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X 08 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b (cid:8833) a+b=- , ab= ;aB; ;aC; 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+b=4, ab=-2 a+b=kab에서 4=-2k이므로 (cid:100)(cid:100)k=-2 (cid:9000) ② 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b 09 (cid:8833) aa¤ +ba+c=0, ab¤ +bb+c=0 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+b=8, ab=3 a, b가 x¤ -8x+3=0의 근이므로 (cid:100)(cid:100)a¤ -8a+3=0, b¤ -8b+3=0 (cid:100)(cid:100)a¤ -7a=a-3, b¤ -7b=b-3 따라서 이므로 (cid:100)(cid:100)(a¤ -7a-2)(b¤ -7b-2) (cid:100)=(a-3-2)(b-3-2) (cid:100)=(a-5)(b-5) (cid:100)=ab-5(a+b)+25 (cid:100)=3-5_8+25 (cid:100)=-12 (cid:9000) ① 먼저 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 10 a+b, ab의 값을 구한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+b=-1, ab=a (a¤ +2)(b¤ +2)=10에서 (cid:100)(cid:100)a¤ b¤ +2(a¤ +b¤ )-6=0 (cid:100)(cid:100)(ab)¤ +2{(a+b)¤ -2ab}-6=0 (cid:100)(cid:100)a¤ -4a-4=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=2-2'2 (∵ a<0) x=a, x=b를 x¤ -8x+3=0에 각 각 대입한다. x¤ +ax+b=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)-a=-4+5=1(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 (cid:100)(cid:100)b=-4_5=-20 12 진우와 찬진이가 각각 바르게 보고 푼 항을 이용한다. 진우는 상수항을 바르게 보고 풀었으므로 (cid:100)(cid:100)b=(-3+'3 )(-3-'3 )=9-3=6 찬진이는 x의 계수를 바르게 보고 풀었으므로 (cid:100)(cid:100)-a= 5+'2 2 + 5-'2 2 =5 (cid:100)(cid:100)∴ a=-5 따라서 이차방정식은 x¤ -5x+6=0이므로 (cid:100)(cid:100)(x-2)(x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=3 13 n(n+1) 2 =66을 만족시키는 n의 값을 구한다. n번째 도형에 사용한 바둑돌의 수를 66이라 하면 (cid:100)(cid:100) n(n+1) 2 =66,(cid:100)(cid:100)n¤ +n-132=0 (cid:100)(cid:100)(n+12)(n-11)=0 (cid:100)(cid:100)∴ n=11 (∵ n>0) 따라서 구하는 도형은 11번째 도형이다. (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ 14 연속하는 두 짝수 (cid:8833) x, x+2 (x는 짝수) 연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면 (cid:100)(cid:100)x¤ _2=(x+2)¤ +56 (cid:100)(cid:100)2x¤ =x¤ +4x+60,(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-60=0 (cid:100)(cid:100)(x+6)(x-10)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x는 짝수) 따라서 두 짝수는 10, 12이므로 구하는 합은 (cid:100)(cid:100)10+12=22 (cid:9000) ② (cid:9000) ② 두 근이 a, b이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방정식 11 (cid:8833) a(x-a)(x-b)=0 두 근이 -4, 5이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (cid:100)(cid:100)(x+4)(x-5)=0,(cid:100)(cid:100)x¤ -x-20=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=-1, b=-20 따라서 -20x¤ -x+1=0의 두 근의 합은 근과 계수의 높이가 a m일 때의 시각 (cid:8833) h=30t-5t¤ 에 h=a를 15 대입 -20x¤ -x+1=0에서 (cid:100)20x¤ +x-1=0 (cid:100)(4x+1)(5x-1)=0 (cid:100)∴ x=-;4!; 또는 (cid:100)(cid:100) x=;5!; (cid:8825) (두 근의 합) h=30_2-5_2¤ =40 30t-5t¤ =40에서(cid:100)(cid:100)t¤ -6t+8=0 (cid:100)(cid:100)(t-2)(t-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=4 린 지 4초 후이다. 따라서 높이가 40 m인 지점을 다시 지나는 것은 쏘아 올 (cid:9000) ③ `=-;4!;+;5!;=-;2¡0; (cid:9000) ① 관계에 의하여 - 이다. ;2¡0; 052 Check Up 풀이집 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지053 SinsagoHitec 16 길을 제외한 부분을 한 개의 직사각형으로 생각한다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 우공비 B0X 기본서 107~109쪽 {3x-2}`m 2`m 처음 잔디밭의 가로, 세로의 길이 를 각각 3x m, 2x m라 하면 오른 쪽 그림에서 {2x-2}`m 2`m (cid:100)(cid:100)(3x-2)(2x-2)=160 (cid:100)(cid:100)3x¤ -5x-78=0,(cid:100)(cid:100)(3x+13)(x-6)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>1) 따라서 처음 잔디밭의 세로의 길이는 (cid:100)(cid:100)2_6=12(m) 17 DPQ의 넓이를 구한다. 두 점P, Q 가 동시에 출발한 지 x초 후의 삼각형 에서(cid:100)(cid:100)x>1 두 점P, Q 가 동시에 출발한 지 x초 후의 DP”, DQ” (cid:100)(cid:100)a+b=- , ab=- ;4!; b (cid:100)(cid:100)∴ + = a b¤ +a¤ ab ;4%; a b (cid:100)(cid:100)∴ + = (a+b)¤ -2ab ab (cid:100)(cid:100)∴ + ={(a+b)¤ -2ab}_ 1 ab S t e p U p -;4!;의 역수는 -4이 다. (cid:9000) ③ (cid:100)(cid:100)∴ + =[{-;4%;}2 -2_{-;4!;}]_(-4) (cid:100)(cid:100)∴ + =;1#6#;_(-4) 3x-2>0, 2x-2>0 (cid:100)(cid:100)∴ + =-:£4£: (cid:9000) -:£4£: 한 학생이 받는 생수의 수를 x라 할 때, 전체 학생 21 수를 x에 대한 식으로 나타낸다. 한 학생이 받는 생수의 수를 x라 하면 전체 학생 수 는 x+7이므로 (cid:100)(cid:100)x(x+7)=120,(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-120=0 △DPQ = _DP”_DQ” ;2!; (cid:100)(cid:100)(x+15)(x-8)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0) 따라서 한 학생이 받는 생수의 수는 8이다. . Ⅲ 이 차 방 정 식 (cid:9000) 8 (cid:9000) ③ 두 번째로 △DPQ=72 cm¤ 가 되 는 것은 6초 후이다. 의 길이는 이므로 (cid:100)(cid:100)DP”=30-3x(cm), DQ”=2x(cm) (cid:100)(cid:100)△DPQ= (30-3x)_2x=72 ;2!;_ (cid:100)(cid:100)-3x¤ +30x=72,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+24=0 (cid:100)(cid:100)(x-4)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=6 따라서 4초 후에 처음으로 삼각형 DPQ의 넓이가 72 cm¤ 가 된다. 계수에 분수와 소수가 있는 이차방정식 18 (cid:8833) 계수가 모두 정수가 되도록 양변에 같은 수를 곱한다. ;4#;x¤ +x-1=0의 양변에 4를 곱하면 (cid:100)(cid:100)3x¤ +4x-4=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(3x-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=;3@; 0.3x¤ -1.7x+1=0의 양변에 10을 곱하면 (cid:100)(cid:100)3x¤ -17x+10=0,(cid:100)(cid:100)(3x-2)(x-5)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=;3@; 또는 x=5 따라서 두 이차방정식의 공통인 근은(cid:100)(cid:100)x=;3@; (cid:9000) x=;3@; 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 근을 갖지 않을 조건 19 (cid:8833) b¤ -4ac<0 이차방정식 x¤ -10x+(2k-3)=0이 근을 갖지 않 으려면(cid:100)(cid:100)(-10)¤ -4_1_(2k-3)<0 (cid:100)(cid:100)-8k<-112(cid:100)(cid:100)∴ k>14 (cid:9000) k>14 20 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b (cid:8833) a+b=- , ab= ;aB; ;aC; 한 개에a 원인 가격을 x %만큼 인상한 가격 22 (cid:8833) a{⁄+;10{0;}원 인상하기 전 햄버거 한 개의 가격을 a원, 이때 판매 된 햄버거의 개수를 b라 하자. 가격을 x %만큼 인상한 햄버거의 가격은 (cid:100)(cid:100)a {⁄+;10{0;} (원) 판매량이 0.6x %만큼 감소한 햄버거의 개수는 0.6x 100 (cid:100)(cid:100)b{⁄- 따라서 햄버거의 가격을 x %만큼 인상했을 때 총 판매 } 금액은 0.6x 100 0.6x 100 (cid:100)(cid:100)a {⁄+;10{0;}_b{⁄- 총 판매 금액이 3.4 %만큼 인상되어야 하므로 }(원) (cid:100)(cid:100)a {⁄+;10{0;}_b{⁄- 0.6x (cid:100)(cid:100){⁄+;10{0;} {⁄- 100 (cid:100)(cid:100)(100+x)(1000-6x)=100000+3400 }=ab{⁄+ 3.4 100 }=1+ 3.4 100 } 양변에 100000을 곱 한다. 양변을 -8로 나누면 부등호의 방향이 바뀐 다. (cid:100)(cid:100)6x¤ -400x+3400=0 (cid:100)(cid:100)3x¤ -200x+1700=0 (cid:100)(cid:100)(x-10)(3x-170)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=10 또는 x=;:!3&:); Ⅲ.이차방정식 053 D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지054 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X 그런데 가격 인상률은 30 % 이하이므로 ⑵ k=-1을 (1-k)x¤ -kx-6=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x=10 (cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ +x-6=0 따라서 햄버거의 가격을 10 %만큼 인상해야 한다. (cid:100) 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:9000) 10 % 삼각형의 닮음을 이용하여 DF”의 길이를 CF”의 길 23 이를 이용하여 나타낸다. CF”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)AF”=(8-x)cm 이때 △ABCª△ADF이므로 (cid:100)(cid:100)DF”=AF”=(8-x)cm (cid:8772)DECF의 넓이가 15 cm¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)x(8-x)=15,(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+15=0 (cid:100)(cid:100)(x-3)(x-5)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ CF”>AF”) 따라서 CF”의 길이는 5 cm이다. (cid:9000) 5 cm 보충 학습 오른쪽 그림의 △ABC와 △ADF에서 DF”∥BC”이므로 (cid:100)(cid:100)∠ADF=∠ABC(동위각) (cid:100)(cid:100)∠A는 공통 (cid:100)(cid:100)∴ △ABCª△ADF(AA 닮음) A F D B E C 24 채점 기준 a-b의 값 구하기 a, b의 값 구하기 배점 2점 2점 조건 ㈐에서 a-b=A로 놓으면 (cid:100)(cid:100)(A+1)(A-7)=9 (cid:100)(cid:100)A¤ -6A-16=0 (cid:100)(cid:100)(A+2)(A-8)=0 (cid:100)(cid:100)∴ A=-2 또는 A=8 그런데 조건 ㈎에서 a>b이므로(cid:100)(cid:100)A>0 (cid:100)(cid:100)∴ A=8, 즉 a-b=8 yy ㉠(cid:100)▶ 2점 조건 ㈏에서 2a+b=10이므로 이를 ㉠과 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=6, b=-2 ▶ 2점 (cid:9000) a=6, b=-2 25 채점 기준 k의 값 구하기 a+b, ab의 값 구하기 a¤ +b¤ 의 값 구하기 배점 1점 2점 1점 ⑴ x¤ -2x-k=0이 중근을 가지므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(-2)¤ -4_1_(-k)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)4+4k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-1 ▶ 1점 054 Check Up 풀이집 ABC가 직각이등변 삼각형이므로 ADF도 직각이등 변삼각형이다. x-1>0, x>0, x+1>0, x+2>0이 므로(cid:100)x>1 다. (cid:100) (cid:100)(cid:100)a+b=- , ab=-3 ;2!; ⑶ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab ⑶ a¤ +b¤ ={-;2!;} ¤ -2_(-3) ⑶ a¤ +b¤ = ;;™4∞;; (cid:9000) ⑴ -1(cid:100)⑵ a+b=- , ab=-3(cid:100)⑶ ;2!; 채점 기준 연속하는 네 자연수를 한 문자로 나타내기 이차방정식 세우기 이차방정식 풀기 가장 큰 자연수 구하기 26 면 연속하는 네 자연수를 x-1, x, x+1, x+2라 하 (cid:100)(cid:100)(x+2)¤ +(x-1)¤ =x(x+1)+11 (cid:100)(cid:100)x¤ +4x+4+x¤ -2x+1=x¤ +x+11 (cid:100)(cid:100)x¤ +x-6=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>1인 자연수) 따라서 네 자연수는 1, 2, 3, 4이므로 가장 큰 수는 4이 보충 학습 연속하는 세 자연수는 x-1, x, x+1(x>1인 자연수), 연속하는 네 자연수는 x-1, x, x+1, x+2(x>1인 자연 수)와 같이 놓으면 계산이 편리하다. 27 채점 기준 원의 둘레의 길이 구하기 이차방정식 세우기 점 P가 6바퀴를 도는 데 걸리는 시간 구하기 a-b=8 y ㉠ 2a+b=10 y ㉡ [ ㉠+㉡을 하면 (cid:100)3a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=6 a=6을 ㉠에 대입하면 (cid:100)b=-2 점 P가 원을 한 바퀴 도는 데 3분이 걸리므로 3분 동안 움직인 거리는 원의 둘레의 길이와 같다. 따라서 원의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)3¤ +3_3=18(m) 점 P가 6바퀴 도는 데 x분이 걸린다고 하면 점 P가 6바 퀴 돌 때 움직인 거리는 6_18=108(m)이므로 (cid:100)(cid:100)x¤ +3x=108 ax¤ +bx+c=0 (a+ 0) 이 중근을 가질 조건 (cid:8825) b¤ -4ac=0 (cid:100)(cid:100)x¤ +3x-108=0,(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-9)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>0) 따라서 처음부터 6바퀴를 도는 데 9분이 걸린다. ▶ 1점 ▶ 2점 ▶ 1점 ;;™4∞;; 배점 1점 1점 1점 1점 ▶ 1점 ▶ 1점 ▶ 1점 ▶ 1점 (cid:9000) 4 배점 2점 2점 1점 ▶ 2점 ▶ 2점 (cid:9000) 9분 D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지055 SinsagoHitec Ⅳ -1. 이차함수와 그 그래프 1. 이차함수의 뜻과 y=x¤ 의 그래프 2266 이차함수의 뜻 기본서 112~113쪽 익히기 1 (cid:9000) ㈂, ㈄ 익히기 2 ⑴ f(0)=0¤ +0-5=-5 ⑵ f(1)=1¤ +1-5=-3 ⑶ f(-2)=(-2)¤ +(-2)-5=-3 (cid:9000) ⑴ -5(cid:100)⑵ -3(cid:100)⑶ -3 우공비 B0X 기본서 109~117쪽 유제 ❹ -1 ② x=;2!;, y=;4!;을 y=x¤ 에 대입하면 ;4!;={;2!;} 따라서 y=x¤ 의 그래프는 점 {;2!; , ;4!;}을 지난다. ⑤ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. S t e p U p 점 (a, b)가 그래프 위에 있다. (cid:8825) 함수의 식에 x=a, y=b를 대입하면 등식 이 성립한다. 유제 ❹ -2 y=x¤ 에 ① x=-1, y=1을 대입하면(cid:100)(cid:100)1=(-1)¤ ② x=- , y=- 를 대입하면(cid:100)(cid:100)- ;3@; ;9$; +{- ;9$; ;3@;} ③ x=0, y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)0=0¤ ④ x= , y= 을 대입하면(cid:100)(cid:100) ;3!; ;9!; ={;3!;} ;9!; ⑤ x=5, y=25를 대입하면(cid:100)(cid:100)25=5¤ 따라서 y=x¤ 의 그래프 위의 점이 아닌 것은 ②이다. (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ② 유제 ❶ ㈀ (원의 넓이)=p_(반지름의 길이)¤ 이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=p_x¤ =px¤ ㈁ (소금의 양)= _(소금물의 양) (소금물의 농도) 100 이차함수는 (cid:100)y=(x에 대한 이차식) 꼴로 나타내어진다. (cid:100) 이므로 x (cid:100) (cid:100)(cid:100)y= _300=3x 100 ㈂ (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이) 이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=(x+1)(x-5)=x¤ -4x-5 이상에서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ㈀, ㈂이다. (cid:9000) ㈀, ㈂ 유제 ❷ y=(a¤ -4)x¤ +6x+4가 x에 대한 이차함수 이려면 (cid:100)(cid:100)a¤ -4+0,(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-2)+0 (cid:100)(cid:100)∴ a+-2이고 a+2 (cid:9000) ②, ④ AB+0 (cid:8825) A+0이고 B+0 유제 ❺ y=-x¤ 에 ① x=- , y=- 를 대입하면 ;2%; ;;™4∞;; (cid:100) (cid:100)(cid:100)- =-{- ;;™4∞;; ;2%;} ② x=-2, y=4를 대입하면(cid:100)(cid:100)4+-(-2)¤ ③ x= , y= 을 대입하면(cid:100)(cid:100) ;4!; ;1¡6; +-{;4!;} ;1¡6; ④ x=1, y=-1을 대입하면(cid:100)(cid:100)-1=-1¤ ⑤ x=16, y=-4를 대입하면(cid:100)(cid:100)-4+-16¤ 따라서 y=-x¤ 의 그래프 위의 점인 것은 ①, ④이다. . Ⅳ 이 차 함 수 (cid:9000) ①, ④ 유제 ❸ -1 `f(x)=-x¤ +2이므로 (cid:100)(cid:100)f(1)=-1¤ +2=1, f(2)=-2¤ +2=-2 (cid:100)(cid:100)∴ f(1)-f(2)=1-(-2)=3 2288 이차함수 y=ax¤ 의 그래프 기본서 116~117쪽 (cid:9000) 3 한 것은 a>0인 경우이므로 ㈀, ㈂, ㈄이다. 익히기 4 ⑴ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 아래로 볼록 유제 ❸ -2 `f(-2)=-5이므로 (cid:100)(cid:100)(-2)¤ -3_(-2)+a=-5 (cid:100)(cid:100)10+a=-5(cid:100)(cid:100)∴ a=-15 f(a)=b (cid:8825) y=f(x)에 x=a, y=b를 대입한다. 그래프이 폭이 좁은 것 부터 순서대로 나열하면 (cid:100)㈂, ㈅, ㈁, ㈀, ㈃, ㈄ (cid:9000) -15 2277 이차함수 y=x¤ 의 그래프 기본서 114~115쪽 익히기 3 (cid:9000) ⑴ 아래(cid:100)⑵ y(cid:100)⑶ 감소 ⑵ y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁 아지므로 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ㈂이다. (cid:9000) ⑴ ㈀, ㈂, ㈄(cid:100)⑵ ㈂ 유제 ❻ -1 y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭 이 좁아진다. |-4|>|;2#;|>|1|>|-;4!;|이므로 그래 프의 폭이 좁은 것부터 순서대로 나열하면 ㈀, ㈃, ㈂, ㈁ 이다. (cid:9000) ㈀, ㈃, ㈂, ㈁ Ⅳ.이차함수 055 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지056 SinsagoHitec Step Up 기본서 유제 ❻ -2 y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이 넓어지므로 -20이고, a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지 (cid:9000) ③, ④ >1>0.3 ;4&; 므로 구하는 함수는 ③이다. 유제 ❼ 이차함수 y=- x¤ 의 그래프와 x축에 대칭 ;4#; 인 것은 y= x¤ 의 그래프이다. ;4#; (cid:9000) ③ (거리)=(속력)_(시간) ㈁ y=10x 기본서 118~119쪽 (cid:100)(원뿔의 부피) 02 —'5 03 ④ 04 ③ 05 ② =;3!;_(밑넓이)_(높이) 소단원성취도진단 01 3 06 ③ 07 ;2!; 08 ④ 11 :¡3º: 12 ;4!;0)일 때 (cid:100)(cid:100)x¤ =k(cid:100)(cid:100)∴ x=—'k 즉 y=k를 만족시키는 x의 값은 두 개씩 있다. 점 (a, b)가 이차함수 y=-x¤ 의 그래프 위의 점이 03 다. (cid:8833) y=-x¤ 에 x=a, y=b를 대입하면 등식이 성립한다. ① -1=-(-1)¤ ② - =-{- ;4!; ;2!;} ③ - =-{- ;9!; ;3!;} ④ +-{-;4!;} ;2!; ⑤ - =-{;2!;} ;4!; (cid:9000) ④ 056 Check Up 풀이집 ¤ ¤ ¤ ¤ D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지057 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)∴ f(-2)_ f(2)+f(1)= _ ;2#;+{- ;2!; ;4!;} (cid:100)(cid:100)∴ f(-2)_ f(2)+f(1)= - = ;4!; ;4#; ;2!; f(a)=b (cid:8833) y=f(x)에 x=a, y=b를 대입하면 등 08 식이 성립한다. f(k)=-7에서 (cid:100)(cid:100)-k¤ +4k+5=-7,(cid:100)(cid:100)k¤ -4k-12=0 (cid:100)(cid:100)(k+2)(k-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=6 그런데 k는 양수이므로(cid:100)(cid:100)k=6 (cid:9000) ④ 09 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 ▶ 10% (cid:9000) ;2!; 배점 40% 40% 20% 우공비 B0X 기본서 117~119쪽 이차함수 y=bx¤ 의 그래프가 점 (3, -3)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-3=b_3¤ (cid:100)(cid:100)∴ b=-;3!; (cid:100)(cid:100)∴ a-b=3-{-;3!;}=:¡3º: S t e p U p ▶ 40% ▶ 20% (cid:9000) :¡3º: |a|>k(k>0) (cid:8825) a<-k 또는 a>k 보다 폭이 좁으므로 (cid:100)(cid:100)|a|>|-;4!;|=;4!; 이차함수 y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 클수록 그래프 12 의 폭이 좁아진다. 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 y=-;4!;x¤ 의 그래프 (cid:100)(cid:100)∴ a<-;4!; 또는 a>;4!; 또 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 y=2x¤ 의 그래프보다 yy ㉠(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)-20) ;3@; ▶ 40% 의 제곱근은(cid:100)— ;9$; ;3@; 또 점 {;3!;, b}가 이차함수 y=-x¤ 의 그래프 위에 있으므 로 y=-x¤ 에 x= , y=b를 대입하면 (cid:100)(cid:100)b=-{;3!;} ;3!; ¤ =- ;9!; (cid:100)(cid:100)∴ a+b= +{- ;9!;}= ;9%; ;3@; y=ax¤ (a<0)의 그래프 10 (cid:8833) 원점을 꼭짓점으로 하고 위로 볼록한 포물선이다. y=-2x¤ 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ③ y=-2x¤ 에 x= , y=-1을 ;2!; (cid:100)대입하면(cid:100)(cid:100)-1+-2_ {;2!;} ⑤ y=-2x¤ 의 그래프는 제`3, 4`사분면을 지난다. 이차함수 y=ax¤ 의 그 래프가 점 A(-4, 8) 을 지남을 이용해도 된 다. 즉 y=ax¤ 에 x=-4, y=8을 대입하면 (cid:100)8=a_(-4)¤ (cid:100)∴ a=;2!; 11 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a-b의 값 구하기 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (1, 3)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)3=a_1¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=3 ▶ 40% y=;5@;x¤ ▶ 40% ▶ 20% (cid:9000) ;9%; y O x y=-2x@ (cid:9000) ③, ⑤ 배점 40% 40% 20% ¤ D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지058 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X (cid:9000) ③ ;5!;+;5@;_{;2!;} 하면 따라서 이 포물선이 지나는 점이 아닌 것은 ③이다. 이 그래프가 점 (1, 6)을 지나므로 x=1, y=6을 대입 (cid:100)(cid:100)6= (1-k)¤ ,(cid:100)(cid:100)9=(1-k)¤ ;3@; (cid:100)(cid:100)1-k=—3(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=4 1-k=3 또는 1-k=-3 그런데 k는 양수이므로(cid:100)(cid:100)k=4 (cid:9000) 4 2. 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프 2299 이차함수 y=ax¤ +q, y=a(x-p)¤ 의 그래프 기본서 120~121쪽 익히기 1 (cid:9000) ⑴ 그래프의 식: y=-x¤ +2, 축의 방정식: x=0, 꼭짓점의 좌표: (0, 2) (cid:9000) ⑵ 그래프의 식: y=-(x+1)¤ , 축의 방정식: x=-1, 꼭짓점의 좌표: (-1, 0) 유제 ❶ -1 이차함수 y= x¤ 의 그래프를 y축의 방향으 ;2!; 로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y= x¤ -2 ;2!; 하면 이 그래프가 점 (4, k)를 지나므로 x=4, y=k를 대입 (cid:100)(cid:100)k= _4¤ -2=8-2=6 ;2!; (cid:9000) 6 유제 ❶ -2 이차함수 y=-4x¤ 의 그래프를 y축의 방향 으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-4x¤ +k 이 그래프가 점 (2, 2)를 지나므로 x=2, y=2를 대입 (cid:100)(cid:100)2=-4_2¤ +k,(cid:100)(cid:100)2=-16+k 하면 (cid:100)(cid:100)∴ k=18 (cid:100)(cid:100)(0, 18) 따라서 y=-4x¤ +18의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:9000) (0, 18) 유제 ❷ -1 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향 으로 -4만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-3(x+4)¤ 이 그래프가 점 (-1, k)를 지나므로 x=-1, y=k를 대입하면 (cid:100)(cid:100)k=-3(-1+4)¤ =-3_9=-27 유제 ❷ -2 이차함수 y= x¤ 의 그래프를 x축의 방향으 ;3@; 로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y= (x-k)¤ ;3@; 058 Check Up 풀이집 y축의 방향으로만 평행이 동하면 축은 변하지 않는 다. 이차함수 y=a(x-p)¤ +q 의 그래프에서 ① 축의 방정식: x=p ② 꼭짓점의 좌표: (p, q) 3300 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프 기본서 122~124쪽 익히기 2 (cid:9000) ⑴ -2, -7(cid:100)(cid:100)⑵ 1, 4 익히기 3 (cid:9000) ⑴ 그래프의 식: y=4(x-1)¤ +3, 축의 방정식: x=1, 꼭짓점의 좌표: (1, 3) (cid:100)(cid:9000) ⑵ 그래프의 식: y=-3(x+2)¤ -5, 축의 방정식: x=-2, 꼭짓점의 좌표: (-2, -5) 유제 ❸ -1 이차함수 y=-(x+5)¤ +3의 그래프는 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼, y축의 방 향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 따라서 a=-1, m=-5, n=3이므로 (cid:100)(cid:100)a+m-n=-1+(-5)-3=-9 유제 ❸ -2 이차함수 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으 로 a만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프 (cid:100)(cid:100)y=-(x-a)¤ -5=-x¤ +2ax-a¤ -5 의 식은 이므로 (cid:100)(cid:100)2a=b, -a¤ -5=-14 (cid:100)(cid:100)a¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0) 2a=b에서(cid:100)(cid:100)b=6 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=3-6=-3 (cid:9000) -9 (cid:9000) -3 유제 ❹ 이차함수 y= x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 ;3@; p만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은(cid:100)(cid:100)y= (x-p)¤ -1 ;3@; (cid:100)(cid:100)p=1 ;3@; (cid:100)(cid:100)(1, -1) 따라서 y= (x-1)¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:9000) (1, -1) (cid:9000) -27 이 그래프의 축의 방정식은 x=p이므로 ¤ D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지059 SinsagoHitec 유제 ❺ -1 이차함수 y=(x-1)¤ -6의 그래프를 x축의 이 그래프가 점 (m, 1)을 지나므로 x=m, y=1을 대 우공비 B0X 함수 y=f(x)의 그래프가 점 (m, n)을 지난다. (cid:8825) n=f(m) 입하면 기본서 119~125쪽 S t e p U p 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-(-1)={(x-3)-1}¤ -6 ∴ y=(x-4)¤ -7 (cid:9000) y=(x-4)¤ -7 유제 ❺ -2 이차함수 y=-3(x+2)¤ +1의 그래프를 x 축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-q=-3{(x-p)+2}¤ +1 ∴ y=-3(x-p+2)¤ +1+q 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p-2, 1+q)이므로 p-2=-6, 1+q=2 따라서 p=-4, q=1이므로 pq=-4_1=-4 (cid:9000) -4 유제 ❻ -1 이차함수 y=;3!;(x-1)¤ +4의 그래프를 y축 에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=;3!;(-x-1)¤ +4=;3!;(x+1)¤ +4 이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로 x=2, y=k를 대입 하면 (cid:100)(cid:100)k=;3!;(2+1)¤ +4=7 유제 ❻ -2 이차함수 y=a(x+1)¤ 의 그래프를 x축에 대 하여 대칭이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)-y=a(x+1)¤ , 즉 y=-a(x+1)¤ 이 그래프가 점 (1, -2)를 지나므로 x=1, y=-2를 (cid:100)(cid:100)-2=-a(1+1)¤ ,(cid:100)(cid:100)-4a=-2 대입하면 (cid:100)(cid:100)∴ a= ;2!; 소단원성취도진단 기본서 125~126쪽 01 -12 02 ③ 07 ⑤ 06 -3 03 ㈂, ㈅ 04 ④ 08 제`1`사분면 05 ① 09 ⑤ 10 -4—'1å9 3 11 2 12 ② 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만 01 큼 평행이동한 그래프의 식 (cid:8833) y=ax¤ +q 이차함수 y=;4!;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -2 만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=;4!;x¤ -2 ① 두 이차함수의 그래프 의 모양(볼록한 방향) 이 같다. (cid:100) (cid:8825) x¤ 의 계수의 부호가 같다. ② 두 이차함수의 그래프 (cid:9000) 7 의 폭이 같다. (cid:100) (cid:8825) x¤ 의 계수의 절댓값 이 같다. (cid:9000) ;2!; y=-;3@;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼 평 (cid:100)(cid:100)1=;4!;m¤ -2,(cid:100)(cid:100)m¤ =12 (cid:100)(cid:100)∴ m=—2'3 따라서 모든 m의 값의 곱은 (cid:100)(cid:100)2'3_(-2'3 )=-12 (cid:100)(cid:100) (cid:9000) -12 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 m 02 만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식 (cid:8833) y=a(x-m)¤ +n 이차함수 y=-5x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 m 만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-5(x-m)¤ +n 따라서 a=-5, m=-1, n=2이므로 (cid:100)(cid:100)a+m+n=-5+(-1)+2=-4 (cid:9000) ③ 이차함수의 그래프를 평행이동시켜도 x¤ 의 계수는 03 변하지 않는다. ㈂ y=-x¤ +3의 그래프는 y=-x¤ 의 그래프를 y (cid:100) 축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. ㈅ y=-(x+1)¤ +2의 그래프는 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행 이동한 것이다. 이상에서 구하는 식은 ㈂, ㈅이다. y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이 04 동한 그래프의 식 (cid:8833) y=a(x-p)¤ 행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-;3@;(x+2)¤ 따라서 y=-;3@;(x+2)¤ 의 그래 프는 오른쪽 그림과 같으므로 x>-2이면 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소한다. -2 y O x (cid:9000) ④ 2 y=--{x+2}@ 3 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만 05 큼 평행이동한 그래프의 식 (cid:8833) y=a(x-p)¤ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p 만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 0)이므 로(cid:100)(cid:100)p=-3 Ⅳ.이차함수 059 (cid:9000) ㈂, ㈅ . Ⅳ 이 차 함 수 D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지060 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X y=a(x+3)¤ 의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)4=a(1+3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a= ;4!; 06 채점 기준 p의 값 구하기 a의 값 구하기 a+p의 값 구하기 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-1, 0)이므로 (cid:100)(cid:100)p=-1 즉 y=a(x+1)¤ 의 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 x=0, y=-2를 대입하면 (cid:100)(cid:100)-2=a(0+1)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-2 따라서 구하는 값은 (cid:100)(cid:100)a+p=-2+(-1)=-3 (cid:9000) ① 배점 30% 40% 30% ▶ 30% ▶ 40% ▶ 30% (cid:9000) -3 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프 07 (cid:8833) 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축 의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프 ① 축의 방정식은 x=-1이다. ② 꼭짓점의 좌표는 (-1, -1)이다. ③ y= x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 ;3!; ;2!; (cid:100) 의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. ④ y= x¤ 의 그래프보다 폭이 넓다. (cid:9000) ⑤ y 4 -8 a<0일 때, y=a(x-p)¤ +q의 그래프 08 (cid:8833) 꼭짓점의 좌표가 (p, q)이고 위로 볼록한 포물선 이차함수 y=-3(x+2)¤ +4의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4) 이고 위로 볼록한 포물선이다. 또 -2 O x x=0일 때 (cid:100)(cid:100)y=-3(0+2)¤ +4=-8 이므로 점 (0, -8)을 지난다. 따라서 y=-3(x+2)¤ +4의 그래프는 위의 그림과 같 으므로 그래프가 지나지 않는 사분면은 제`1 사분면이다. (cid:9000) 제`1 사분면 보충 학습 이차함수의 그래프 그리기 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프는 a의 값의 부호에 따라 위로 볼록인지 아래로 볼록인지를 결정한 다음, 꼭짓 점의 좌표, y축과 만나는 점의 좌표를 찾아 그린다. 060 Check Up 풀이집 이차함수 y=a(x+p)¤ +q의 그래프 09 (cid:8833) a>0이면 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록 (cid:8833) 꼭짓점의 좌표: (-p, q) 주어진 이차함수의 그래프가 아래로 볼록하므로 (cid:100)(cid:100)a>0 또 꼭짓점의 좌표가 (-p, q)이고, 제``3사분면 위에 있 -p<0, q<0 -a<0, -p<0 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)(p, 0) 으므로(cid:100)(cid:100)p>0, q<0 따라서 y=q(x+a)¤ -p의 그래프는 위로 볼록하고 꼭짓점 (-a, -p)가 제``3`사분면 위에 있으므로 그 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같다. (cid:9000) ⑤ 10 채점 기준 y=- (x-2k)¤ +k¤ 의 꼭짓점의 좌표 구하기 ;2!; y=(x+2)¤ -5에 x=2k, y=k¤ 대입하기 k의 값 구하기 이차함수 y=-;2!;(x-2k)¤ +k¤ 의 그래프의 꼭짓 점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2k, k¤ ) ▶ 30% 점 (2k, k¤ )이 y=(x+2)¤ -5의 그래프 위에 있으므로 x=2k, y=k¤ 을 대입하면 (cid:100)(cid:100)k¤ =(2k+2)¤ -5 이차방정식 ax¤ +2b'x+c=0의 해는 (cid:100)x= -b'—"√b'¤ -ac a (cid:100)(cid:100)k¤ =4k¤ +8k+4-5(cid:100)(cid:100)∴ 3k¤ +8k-1=0 (cid:100)(cid:100)∴ k= -4—'ƒ16+3 3 = -4—'1å9 3 (cid:9000) -4—'1å9 3 11 채점 기준 OH”, AH”의 길이를 m에 대한 식으로 나타내기 m에 대한 이차방정식 세우기 m의 값 구하기 이차함수 y=(x-m)¤ +m-7의 그래프의 꼭짓점 의 좌표는 (m, m-7)이므로 (cid:100)(cid:100)OH”=m, AH”=-(m-7)=-m+7 ▶ 30% 이때 △OAH=5이므로 (cid:100)(cid:100);2!;_m_(-m+7)=5 (cid:100)(cid:100)m¤ -7m+10=0,(cid:100)(cid:100)(m-2)(m-5)=0 (cid:100)(cid:100)∴ m=2 (∵ OH” (cid:9000) ⑶ 위, >(cid:100)⑷ 1, > 유제 ❺ -1 ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0 (cid:100) 축이 y축의 왼쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab>0 (cid:100) 그런데 a>0이므로(cid:100)(cid:100)b>0 (cid:100) y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c>0 ⑵ 그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0 (cid:100) 축이 y축의 오른쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab<0 (cid:100) 그런데 a<0이므로 (cid:100)(cid:100)b>0 (cid:100) y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c<0 (cid:9000) ⑴ a>0, b>0, c>0(cid:100)⑵ a<0, b>0, c<0 유제 ❺ -2 a>0이므로 그래프가 y 아래로 볼록하고, c>0이므로 y 축과의 교점이 원점의 위쪽에 위 치한다. 또 꼭짓점의 좌표가 제`4` 사분면 위에 있으므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 그래프는 제`3`사분면을 지나지 않는다. 유제 ❻ 그래프가 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0 축이 y축의 오른쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab<0 (cid:100)(cid:100)∴ b<0 (cid:100)(cid:100)c<0 ① ab<0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로 ② bc>0 ③ ca<0 ④ x=-1일 때, y=0이므로 ⑤ x=2일 때, y<0이므로 (cid:100) (cid:100) (cid:100) (cid:100)(cid:100) (cid:100) (cid:100)(cid:100)a_2¤ +b_2+c=4a+2b+c<0 따라서 옳은 것은 ④이다. 062 Check Up 풀이집 O x 지나므로 x=3, y=-1을 대입하면 이차함수 y=x¤ -ax+8의 그래프가 점 (3, -1)을 -1=3¤ -a_3+8 3a=18 ∴ a=6 (cid:9000) ③ y=a(x-p)¤ +q의 그래프 (cid:8825) 꼭짓점의 좌표: (p, q) (cid:100) 축의 방정식: x=p (cid:100)(cid:100)x=3 ∴ y=x¤ -6x+8=(x-3)¤ -1 따라서 구하는 축의 방정식은 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 03 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. y=3x¤ -6x=3(x¤ -2x+1)-3 =3(x-1)¤ -3 이차함수 y=ax¤ +bx+c 의 그래프 그리기 ① y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형 (cid:8825) 꼭짓점 (p, q) 찍기 ② a의 부호 (cid:8825) 곡선 모양을 결정 ③ y축과의 교점의 y좌표 가 c (cid:8825) 점 (0, c) 찍기 또 그래프는 아래로 볼록하고, x=0일 때 y=3_0¤ -6_0=0이므로 그래프가 y축과 만나는 점의 y 좌표는 0이다. (cid:9000) ④ 따라서 주어진 이차함수의 그래프는 ③`이다. (cid:9000) ③ (cid:100) (cid:100)(cid:100)a_(-1)¤ +b_(-1)+c=a-b+c=0 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -3)이다. (cid:9000) 6 배점 50% 50% ▶ 50% ▶ 50% (cid:9000) x=3 D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지063 SinsagoHitec 배점 20% 20% 20% 40% ▶ 20% ▶ 20% ▶ 20% 04 채점 기준 그래프의 모양 알기 축의 위치 알기 y축과의 교점의 위치 알기 꼭짓점의 위치 구하기 이차함수 y=ax¤ +bx+c에서 a<0이므로 그래프 가 위로 볼록하다. 치한다. a<0, b>0에서 ab<0이므로 축이 y축의 오른쪽에 위 c>0이므로 y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치한다. 따라서 y=ax¤ +bx+c의 그래프 y 의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 꼭짓점은 제`1`사분면에 있다. ▶ 40% (cid:9000) 제`1`사분면 O x y=ax¤ +bx+c y=a {x+ } b 2a ¤ - b¤ -4ac 4a 이므로 꼭짓점의 좌표는 {- , - b¤ -4ac 4a }이다. b 2a b 2a a<0, b>0이므로(cid:100)(cid:100)- >0 b¤ >0이고, a<0, c>0이므로(cid:100)(cid:100)ac<0 (cid:100)(cid:100)∴ - b¤ -4ac 4a >0 따라서 꼭짓점의 x좌표와 y좌표가 모두 양수이므로 꼭 짓점은 제`1`사분면에 있다. y=x¤ +6x+8 =(x¤ +6x+9)-9+8 =(x+3)¤ -1 이므로 y=x¤ +6x+8의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ③ 제4 사분면을 지나지 않는다. y 8 -3 x O -1 (cid:9000) ③ 위로 볼록한 이차함수의 그래프가 x축과 서로 다른 06 두 점에서 만난다. (cid:8833) (꼭짓점의 y좌표)>0 y=-x¤ +6x+a-11 y=-(x-3)¤ +a-2 에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(3, a-2) 이 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면 (cid:100)(cid:100)a-2>0(cid:100)(cid:100)∴ a>2 (cid:9000) ④ 우공비 B0X 보충 학습 기본서 129~133쪽 이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하 면 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, q)이다. ① 그래프가 x축과 한 점에서 만난다. (cid:8825) q=0 ② 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다. (cid:8825) a>0이면 q<0, a<0이면 q>0 ③ 그래프가 x축과 만나지 않는다. (cid:8825) a>0이면 q>0, a<0이면 q<0 S t e p U p 이차함수 y=-x¤ +4x+5를 y=a(x-p)¤ +q 꼴 07 로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 구한다. y=-x¤ +4x+5 =-(x¤ -4x+4)+9 =-(x-2)¤ +9 점 (p, q)에서 p, q의 부 호와 점의 위치 p>0, q>0 (cid:8825) 제`1`사분면 p>0, q<0 (cid:8825) 제`4`사분면 p<0, q>0 (cid:8825) 제`2`사분면 p<0, q<0 (cid:8825) 제`3`사분면 x축과 만나는 두 점의 좌표는 (cid:100)(-1, 0), (5, 0) 에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 9)이므로 (cid:100)(cid:100)B(2, 9) y=-x¤ +4x+5에 y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)0=-x¤ +4x+5 (cid:100)(cid:100)x¤ -4x-5=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-5)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5 점 A의 x좌표가 양수이므로(cid:100)(cid:100)A(5, 0) 또 y=-x¤ +4x+5에 x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=5 (cid:100)(cid:100)∴ C(0, 5) 따라서 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 B에서 x축에 내린 수선의 발을 D라 하면 (cid:100)(cid:100)(사각형 OABC의 넓이) (cid:100)=(사다리꼴 ODBC의 넓이) +(삼각형 BDA의 넓이) (cid:100)=;2!;_(5+9)_2+;2!;_3_9 y 9 B C 5 2 A O D 5 x . Ⅳ 이 차 함 수 (cid:100)=14+:™2¶:=:∞2∞: (cid:9000) :∞2∞: x축과 만나는 점의 x좌표가 p (cid:8833) (p, 0) 08 y축과 만나는 점의 y좌표가 q (cid:8833) (0, q) y=2x¤ + x+a의 그래프가 점 {;4!;, 0}을 지나므로 ;2%; x= , y=0을 대입하면 ;4!; (cid:100)(cid:100)0=2_{;4!;} _ +a ;4!; ;2%; ¤ + (cid:100)(cid:100) + +a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=- ;8!; ;8%; ;4#; 따라서 y=2x¤ + x- 에서 x=0일 때 y=- 이므 ;2%; ;4#; ;4#; 로 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는 - 이다. ;4#; (cid:9000) - ;4#; Ⅳ.이차함수 063 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 05 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친 다음 그래프를 그린다. ;2!;_{(윗변의 길이) +(아랫변의 길이)} _(높이) D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지064 SinsagoHitec 이상에서 옳은 것은 ㈁, ㈂, ㈃이다. (cid:9000) ④ (음수)<(양수) (cid:8825) (음수)-(양수)<0 Step Up 기본서 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 09 a의 부호 (cid:8833) 그래프의 모양에 따라 결정 b의 부호 (cid:8833) 축의 위치에 따라 결정 c의 부호 (cid:8833) y축과의 교점의 위치에 따라 결정 그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0 축이 y축의 왼쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)a_(-b)>0 그런데 a<0이므로(cid:100)(cid:100)b>0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c<0 ㈀ ab<0 ㈂ >0 ;cA; ㈁ bc<0 ㈃ a-b<0 일차함수 y=ax+b의 그래프 10 (cid:8833) a의 부호: 직선의 방향, b의 부호: y절편 직선이 오른쪽 아래로 향하므로(cid:100)(cid:100)a<0 또 직선의 y절편이 0보다 크므로(cid:100)(cid:100)b>0 따라서 이차함수 y=x¤ +ax+b의 그래프는 (cid:100)(cid:100)1>0이므로 아래로 볼록 (cid:100)(cid:100)a<0이므로 축은 y축의 오른쪽에 위치 (cid:100)(cid:100)b>0이므로 y축과의 교점은 원점의 위쪽에 위치 즉 그래프의 개형으로 옳은 것은 ①이다. (cid:9000) ① 이차함수 y=x¤ +2ax-a-4를 y=(x-p)¤ +q 꼴 11 로 변형한 후 꼭짓점의 좌표를 y=2x-10에 대입한다. y=x¤ +2ax-a-4 =(x+a)¤ -a¤ -a-4 에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(-a, -a¤ -a-4) 이 꼭짓점이 직선 y=2x-10 위에 있으므로 x=-a, y=-a¤ -a-4를 대입하면 (cid:100)(cid:100)-a¤ -a-4=-2a-10 (cid:100)(cid:100)a¤ -a-6=0,(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0) 12 채점 기준 주어진 함수를 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고치기 a의 값의 범위 구하기 y=x¤ -4x-1+a =(x¤ -4x+4)-5+a =(x-2)¤ -5+a 오른쪽 그림에서 꼭짓점 y (2, -5+a)가 x축 위에 있거 나 x축보다 위쪽에 위치하면 그 래프는 제`3, 4사분면을 지나지 않으므로 064 Check Up 풀이집 (cid:9000) ③ 배점 30% 70% ▶ 30% 우공비 B0X (cid:100)(cid:100)-5+aæ0(cid:100)(cid:100)∴ aæ5 ▶ 70% (cid:9000) aæ5 먼저 두 함수를 각각 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하 13 여 두 이차함수의 그래프 사이의 관계를 알아본다. x의 계수가 b가 아니 라 -b임에 유의한다. y=-x¤ +2x+4=-(x-1)¤ +5 yy`㉠(cid:100)(cid:100) y=-x¤ +10x-20=-(x-5)¤ +5 yy`㉡(cid:100)(cid:100) ㉡의 그래프는 ㉠ 의 그래프를 x축 의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이 므로 오른쪽 그림 의 빗금친 부분의 넓이는 서로 같다. y 5 A y=-x@+10x-20 D B 1 O C 5 x y=-x@+2x+4 ㉠, ㉡의 그래프의 꼭짓점을 각각 A, D라 하고, A, D에 서 x축에 내린 수선의 발을 각각 B, C라 하면 구하는 넓 이는 직사각형 ABCD의 넓이와 같다. A(1, 5), D(5, 5)이므로 (cid:100)(cid:100)(5-1)_5=20 (cid:9000) ⑤ 배점 30% 50% 20% 14 채점 기준 y=x¤ -2x-3의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사 y=x¤ -2x-3+k의 그래프가 x축과 만나는 두 점 이의 거리 구하기 의 x좌표 구하기 k의 값 구하기 y=x¤ -2x-3에 y=0을 대입하면 x¤ -2x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 따라서 이 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌표는 (-1, 0), (3, 0)이므로 이 두 점 사이의 거리는 (cid:100)(cid:100)3-(-1)=4 ▶ 30% y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4의 그래프를 y축의 방향으 로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=(x-1)¤ -4+k yy`㉠(cid:100)(cid:100) y={x-1}@-4+k y y=x@-2x-3 2 2 O-1 1 2 3 x 이때 이 그래프의 축 의 방정식은 x=1이 고, 이 그래프가 x축 과 만나는 두 점 사이 의 거리가 4_;2!;=2가 되어야 하므로 x축과 만나는 두 점의 x좌표는 (cid:100)(cid:100)1-;2@;=0, 1+;2@;=2 O 2 x y=(x-1)¤ -4+k의 그래프는 직선 x=1 에 대칭이다. ▶ 50% D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지065 SinsagoHitec S t e p U p . Ⅳ 이 차 함 수 따라서 ㉠의 그래프는 두 점 (0, 0), (2, 0)을 지나므로 주어진 함수의 그래프의 식을 y=ax¤ (a+0)이라 하자. 이 그래프가 점 (3, -3)을 지나므로 y=ax¤ 에 우공비 B0X 기본서 133~135쪽 ④ y=p_x¤ _3=3px¤ ⑤ y=;2!;_x_2=x (cid:100)(원기둥의 부피) =(밑넓이)_(높이) (cid:9000) ⑤ ㉠에 x=0, y=0을 대입하면 0=-3+k ∴ k=3 ▶ 20% (cid:9000) 3 중단원마무리평가 기본서 134~137쪽 02 ④ 07 ⑤ 12 ⑤ 03 ①, ⑤ 04 ⑤ 09 ① 08 ② 14 ④ 13 ② 05 ② 10 ⑤ 15 ④ 16 {;3@;, ;9$;} 17 (0, 9) 18 a<-3 20 -1 21 a>5 22 2 23 -25 01 ⑤ 06 ② 11 ① 19 24 24 a 01 y가 x에 대한 이차함수 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c (a+0) ① y=4px¤ ② 직사각형의 둘레의 길이가 20 cm이고 가로의 길이가 x cm이므로 세로의 길이는(cid:100)(cid:100)(10-x)cm (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ y=x(10-x)=-x¤ +10x ③ y=x¤ +(x+2)¤ =x¤ +(x¤ +4x+4)=2x¤ +4x+4 f(a)=b (cid:8833) y=f(x)에 x=a, y=b를 대입하면 등 02 식이 성립한다. f(a)=4에서(cid:100)(cid:100)3a¤ -2a-4=4 (cid:100)(cid:100)3a¤ -2a-8=0,(cid:100)(cid:100)(3a+4)(a-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a는 정수) (cid:9000) ④ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프 (cid:8833) a의 부호는 그래프의 03 모양을, a의 절댓값은 그래프의 폭을 결정한다. ① 주어진 이차함수는 모두 y=ax¤ (a+0) 꼴이 (cid:100) 므로 그래프가 원점을 지난다. ② y=-x¤ , y=-2x¤ 의 그래프는 위로 볼록하다. ③ a의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이 넓으므로 폭이 (cid:100) 가장 넓은 것은 y=;2!;x¤ 의 그래프이다. ④ y=3x¤ , y= x¤ 의 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하 ;2!; (cid:100) 면서 아래로 볼록하므로 원점을 제외한 부분이 x축보 다 위쪽에 있다. (cid:9000) ①, ⑤ 꼭짓점이 원점이고 축이 y축인 포물선 04 (cid:8833) 이차함수 y=ax¤ 의 그래프 x=3, y=-3을 대입하면 -3=a_3¤ ∴ a=-;3!; ∴ y=-;3!;x¤ ② y=-;3!;x¤ 에 x=-1, y=-;3!;을 대입하면 -;3!;=-;3!;_1¤ (cid:100) 이므로 주어진 함수의 그래프는 점 {-1, -;3!;}을 지 (cid:100) 난다. ⑤ |;5!;|<|-;3!;|이므로 주어진 함수의 그래프는 y=;5!;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다. (cid:9000) ⑤ 먼저 세 점 A, B, C의 좌표를 구한다. 점 C의 좌표는 (k, 0)이고, 두 점 A, B의 좌표는 각각 (cid:100)(cid:100)A(k, ak¤ ), (cid:100)(cid:100)B {k, ;6!;k¤ } 이때 AB”=3BC”이므로 y y=ax@ 1 y=-x@ 6 A{k,`ak@} 1 B{k,`-k@} 6 x C{k,`0} O x=k y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁 아진다. (cid:100)(구의 겉넓이) =4_p =_(반지름의 길이)¤` 05 ak¤ -;6!;k¤ =3_;6!;k¤ k+0이므로 양변을 k¤ 으로 나누면 AB”=AC”-BC” =ak¤ -;6!;k¤ a-;6!;=;2!; ∴ a=;3@; (cid:9000) ② 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 축의 방정식 06 (cid:8833) x=p 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 축의 방정식이 x=5이므로(cid:100)(cid:100)p=5 이차함수 y=a(x-5)¤ 의 그래프가 점 (4, -6)을 지나 므로 x=4, y=-6을 대입하면 (cid:100)(cid:100)-6=a(4-5)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-6 (cid:100)(cid:100)∴ a+p=-6+5=-1 (cid:9000) ② y=a(x-p)¤ +q (a+0) 의 그래프 ① y=ax¤ 의 그래프를 x 축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다. ②꼭짓점의좌표: (p, q) ③ 축의 방정식: x=p 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 07 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고쳐서 생각한다. y=-2x¤ -8x-10 =-2(x¤ +4x+4-4)-10 =-2(x+2)¤ -2 ⑤ x>-2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. (cid:9000) ⑤ Ⅳ.이차함수 065 D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지066 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X 그래프를 그려서 지나는 사분면을 확인한다. 이 그래프의 축의 방정식이 x=- 이므로 {- ;2K; k¤ , - -1} 4 08 y축과의 교점의 좌표 (cid:8833) x=0을 대입 y=-6(x+1)¤ -5에 x=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=-6(0+1)¤ -5=-11 따라서그래프와 y축과의 교점의 좌표는 (0, -11)이다. (cid:9000) ② 09 ㈀ (cid:100)(cid:100) ㈂ y 2 O y 2 1 ㈁ y y={x-2}@ x y=-2x@+2 O 2 x ㈃ 1 2 y=-{x-2}@+1 y -1 O x y=-{x+1}@+2 2 x ㈄ y=2{x+3}@-1 ㈅ y 3 y=--{x-2}@+- 2 1 2 4 3 1 O y 3 2 17 O x -3 -1 O 2 x 1 2- 이상에서 그래프가 모든 사분면을 지나는 이차함수는 ㈀, ㈂의 2개이다. 이차함수 y=a(x-p)¤ +q (cid:8833) x=p를 기준으로 증 10 가, 감소의 범위가 결정된다. y=-;2!;x¤ -4x-10=-;2!;(x+4)¤ -2에서 그래프 의 꼭짓점의 좌표가 (-4, -2)이고 위로 볼록 한 포물선이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 x>-4일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감 y=--{x+4}@-2 1 2 소하므로 x의 값의 범위가 될 수 있는 것은 ⑤이다. (cid:9000) ① -2 x -10 (cid:9000) ⑤ 보충 학습 이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 ① a>0 (cid:8825) x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소 ② a<0 (cid:8825) x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소 x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 066 Check Up 풀이집 y -4 O 이차함수 y=ax¤ +bx+c 에서 a<0이면 그래프가 위로 볼록하다. 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프 11 (cid:8833) 축의 방정식: x=p y=x¤ +kx-1 k¤ k¤ y={x¤ +kx+ }- -1 4 4 k¤ ¤ - -1 4 k y={x+ } 2 k 2 (cid:100)(cid:100)- =-3(cid:100)(cid:100)∴ k=6 따라서 꼭짓점의 y좌표는 (cid:100)(cid:100)- -1=- -1=-10 6¤ 4 k 2 k¤ 4 프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-(x-m)¤ +2+n 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(m, 2+n) 한편 (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4x-1 =-(x¤ -4x+4)+4-1 (cid:100)(cid:100)y=-(x-2)¤ +3 에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2, 3) 따라서 m=2, n+2=3이므로 (cid:100)(cid:100)m=2, n=1 (cid:100)(cid:100)∴ m+n=3 12 두 그래프의 꼭짓점의 좌표를 비교한다. 이차함수 y=-x¤ +2의 그래프를 평행이동한 그래 (cid:9000) ① 점 (a, b)가 그래프 위에 있다. 13 (cid:8833) 함수의 식에 x=a, y=b를 대입하면 등식이 성립한다. 이 점이 직선 y=3x-1 위에 있으므로 y=3x-1에 y=x¤ -2mx+m¤ +2m-2 =(x-m)¤ +2m-2 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(m, 2m-2) x=m, y=2m-2를 대입하면 (cid:100)(cid:100)2m-2=3m-1 (cid:100)(cid:100)∴ m=-1 이차함수 y=ax¤ +bx+c에서 14 a+b+c의 값 (cid:8833) x=1일 때의y의 값 a-b+c의 값 (cid:8833) x=-1일 때의y의 값 ① 그래프가 아래로 볼록하므로 (cid:100)(cid:100) (cid:100)a>0 (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ② D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지067 SinsagoHitec S t e p U p . Ⅳ 이 차 함 수 ② 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 이 그래프가 점 (-4, -3)을 지나므로 x=-4, y=-3 우공비 B0X 기본서 135~137쪽 ③ y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)ab<0 (cid:100) 그런데 a>0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)b<0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)c<0 ④ x=1일 때 y<0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)a+b+c<0 ⑤ x=-1일 때 y<0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)a-b+c<0 (cid:9000) ④ 이차함수 y=ax¤ +bx+c에서 15 a의 부호 (cid:8833) 그래프의 모양에 따라 결정 b의 부호 (cid:8833) 축의 위치에 따라 결정 c의 부호 (cid:8833) y축과의 교점의 위치에 따라 결정 주어진 이차함수의 그래프에서 (cid:100)(cid:100)a<0, b>0, c>0 따라서 이차함수 y=cx¤ +bx+a의 그래프는 (cid:100)(cid:100)c>0에서 아래로 볼록 (cid:100)(cid:100)b>0에서 축은 y축의 왼쪽에 위치 (cid:100)(cid:100)a<0에서 y축과의 교점은 원점의 아래쪽에 위치 즉 이차함수 y=cx¤ +bx+a의 그래프의 개형으로 옳은 것은 ④이다. (cid:9000) ④ 점 A의 좌표를 (a, a¤ )으로 놓고 AB” ’, BC”의 길이 16 를 a에 대한 식으로 나타낸다. 점 A, B의 좌표를 각각 (a, a¤ ), (a, 4a¤ )(a>0) 이라 하면 BC”는 x축에 평행하므로(cid:100)(cid:100)C(2a, 4a¤ ) 따라서 AB”=3a¤ , BC”=a 이고 사각형 ABCD가 정 y=x@ 사각형이므로 (cid:100)(cid:100)3a¤ =a (cid:100)(cid:100)a(3a-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=;3!; (∵ a>0) 즉 점 C의 좌표는 {;3@; , ;9$;}이다. 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 17 평행이동 (cid:8833) y=ax¤ +q의 그래프 이차함수 y=-;4#;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 k 만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=- x¤ +k ;4#; 을 대입하면 (cid:100)(cid:100)-3=- _(-4)¤ +k (cid:100)(cid:100)-3=-12+k(cid:100)(cid:100)∴ k=9 ;4#; ;4#; (0, 9)이다. 따라서 y=- x¤ +9의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:9000) (0, 9) 이차함수의 함숫값이 항상 음수가 되도록 하는 그 18 래프의 모양, 꼭짓점의 위치를 생각한다. y=(a+3)x¤ +a-2의 함숫값이 모든 실수 x에 대 하여 항상 음수이려면 그래프가 위로 볼록해야 하므로 a+3<0 ∴ a<-3 yy`㉠(cid:100)(cid:100) 또 꼭짓점이 x축보다 아래쪽에 위치해야 하므로 꼭짓점 의 y좌표는 음수이어야 한다. 이때 y=(a+3)x¤ +a-2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 위로 볼록하므로 a<0, 축이 y축의 오 른쪽에 있으므로 b>0, y축과의 교점이 원점의 위쪽에 있으므 로 c>0이다. (0, a-2)이므로 (cid:100)(cid:100)a-2<0 ∴ a<2 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 a<-3 yy`㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9000) a<-3 19 그래프와 x축과의 교점의 좌표 (cid:8833) y=0을 대입 y=-x¤ -2x+8에 y=0을 대입하면 0=-x¤ -2x+8, x¤ +2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2 ∴ A(-4, 0), B(2, 0) 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_{2-(-4)}_8=24 y y=4x@ (cid:100)(cid:100)C(0, 8) 점 C의 y좌표가 4a¤ 이 므로 y=x¤ 에 y=4a¤ 을 대입하면 (cid:100)4a¤ =x¤ (cid:100)∴ x=—2a 그런데 점 C의 x좌표 는 양수이므로(cid:100)x=2a 4a@ a@ O B a A C D x 2a ;2!;_AB”_OC” 20 채점 기준 p의 값 구하기 a의 값 구하기 a+p의 값 구하기 (cid:9000) {;3@;, ;9$;} C(2a, 4a¤ )이므로 a= 을 대입하면 ;3!; (cid:100)C{;3@;, ;9$;} 또 y=-x¤ -2x+8에 x=0을 대입하면 y=8이므로 (cid:9000) 24 배점 2점 2점 1점 ▶ 2점 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식이 y=2x-2 이고, 이 직선의 x절편은 1, y절편은 -2이므로 (cid:100)(cid:100)A(1, 0), B(0, -2) 따라서 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점 A의 좌표가 A(1, 0)이므로 p=1 또 y=a(x-1)¤ 의 그래프가 점 B(0, -2)를 지나므로 Ⅳ.이차함수 067 D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지068 SinsagoHitec O 2 x 점의 좌표는 (4, 0)이다. 우공비 B0X PQ”의 길이를 2:3으 로 나누는 점을 M이 라 하면 (cid:100)PM”:MQ”=2:3 (cid:100)PM”=10_;5@;=› (cid:100)MQ”=10_;5#;=fl 즉 M(4, 0)이다. x¤ 의 계수와 x의 계수 의 부호가 같다. 2a=b를 3b=2a+4 에 대입하면 (cid:100)3b=b+4 (cid:100)2b=4(cid:100)(cid:100)∴ b=2 2a=b=2이므로 (cid:100)a=1 a>0, b>0이므로 (cid:100)a+b>0 -b<0이므로 (cid:100)"√(-b)¤ =-(-b) =b ▶ 2점 ▶ 1점 (cid:9000) 2 배점 1점 1점 2점 1점 Step Up 기본서 -2=a(0-1)¤ ∴ a=-2 ∴ a+p=-2+1=-1 21 채점 기준 y=3x¤ -12x+5-a의 그래프의 개형 그리기 a의 값의 범위 구하기 y=3x¤ -12x+5-a =3(x¤ -4x+4)-12+5-a =3(x-2)¤ -7-a 따라서 그래프가 아래로 볼록하고 y 직선 x=2가 축이므로 모든 사분 면을 지나기 위해서는 그래프가 오 른쪽 그림과 같아야 한다. ▶ 3점 즉 (y축과의 교점의 y좌표)<0이 (cid:100)(cid:100)5-a<0(cid:100)(cid:100)∴ a>5 므로 22 채점 기준 두 포물선의 꼭짓점의 좌표 구하기 a, b의 값 구하기 ab의 값 구하기 ▶ 2점 ▶ 1점 (cid:9000) -1 배점 3점 2점 ▶ 2점 (cid:9000) a>5 배점 2점 2점 1점 y=2x¤ -8ax+8a¤ +3b =2(x¤ -4ax+4a¤ )-8a¤ +8a¤ +3b =2(x-2a)¤ +3b 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2a, 3b) (cid:100) (cid:100)y=3x¤ -6bx+3b¤ +2a+4 =3(x¤ -2bx+b¤ )-3b¤ +3b¤ +2a+4 =3(x-b)¤ +2a+4 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(b, 2a+4) ▶ 2점 두 함수의 그래프의 꼭짓점이 일치하므로 (cid:100)(cid:100)2a=b, 3b=2a+4 (cid:100)(cid:100)∴ a=1, b=2 (cid:100)(cid:100)∴ ab=2 23 채점 기준 점 A의 좌표 구하기 두 점 P, Q의 좌표 구하기 a, b의 값 구하기 2a+b의 값 구하기 y=-;2!;x¤ +5x (cid:100)(cid:100) y=-;2!; {x¤ -10x+25}+:™2∞: (cid:100)(cid:100) y=-;2!;(x-5)¤ +:™2∞: 068 Check Up 풀이집 이므로(cid:100)(cid:100)A {5, :™2∞:} ▶ 1점 이차함수 y=-;2!;x¤ +5x의 그래프가 x축과 만나는 것은 y=0일 때이므로 y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)0=-;2!;x¤ +5x,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x=0 (cid:100)(cid:100)x(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=10 (cid:100)(cid:100)∴ P(0, 0), Q(10, 0) ▶ 1점 직선 y=ax+b가 점 A를 지나고 삼각형 APQ의 넓이 를 2:3으로 나누므로 PQ”의 길이를 2:3으로 나누는 점을 지난다. PQ”의 길이가 10이므로 PQ”의 길이를 2:3으로 나누는 즉 직선 y=ax+b는 두 점{ 5, :™2∞:}, (4, 0)을 지나므로 (cid:100)(cid:100):™2∞:=5a+b, 0=4a+b 위의 두 식을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=:™2∞:, b=-50 (cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=2_:™2∞:+(-fi‚)=-¤fi 서술형 답안 작성 Tip 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같음을 이용하여 직선 y=ax+b가 지나는 점을 찾는다. 24 채점 기준 a의 부호 구하기 b의 부호 구하기 주어진 식 간단히 하기 이차함수 y=x¤ +ax-b의 그래프에서 축이 y축의 왼쪽에 위치하므로 (cid:100)(cid:100)a>0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로 (cid:100)(cid:100)-b<0(cid:100)(cid:100)∴ b>0 (cid:100)(cid:100)∴ "√(a+b)¤ -"√(-b)¤ =a+b-b =a ▶ 2점 ▶ 1점 (cid:9000) -25 배점 1점 2점 2점 ▶ 1점 ▶ 2점 ▶ 2점 (cid:9000) a 보충 학습 제곱근의 성질 ① a>0일 때, a의 제곱근을 제곱하면 a가 된다. (cid:8825) ('a)¤ =a, (-'a)¤ =a ② a>0일 때, 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이면 근 호 없이 나타낼 수 있다. (cid:8825) "ça¤ =a, "√(-a)¤ =a ③ "ça¤ =[ a (aæ0) -a (a<0) D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지069 SinsagoHitec 우공비 B0X 기본서 137~140쪽 Ⅳ -2. 이차함수의 활용 1. 이차함수의 식 구하기 3333 이차함수의 식 구하기 ⑴ 기본서 138~139쪽 익히기 1 ⑴ 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ +1로 놓고 (cid:100) x=1, y=3을 대입하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)3=a(1-2)¤ +1(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (cid:100) 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=2(x-2)¤ +1 ⑵ 이차함수의 식을 y=a(x-1)¤ +q로 놓고 (cid:100) x=0, y=5를 대입하면(cid:100)(cid:100)5=a(0-1)¤ +q (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ a+q=5 yy ㉠(cid:100)(cid:100) (cid:100) x=3, y=11을 대입하면(cid:100)(cid:100)11=a(3-1)¤ +q (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 4a+q=11 yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:100) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, q=3 (cid:100) 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=2(x-1)¤ +3 (cid:9000) ⑴ y=2(x-2)¤ +1 ⑵ y=2(x-1)¤ +3 유제 ❶-1 꼭짓점의 좌표가 {- , - ;2#;}이므로 이차함 ;2!; 수의 식을 y=a {x+ 그래프가 점 (-1, -1)을 지나므로 x=-1, y=-1을 으로 놓을 수 있다. ;2!;} ;2#; ¤ - 대입하면 (cid:100)(cid:100)-1=a {-1+ ¤ - ;2!;} ;2#; (cid:100)(cid:100)-1= a- ,(cid:100)(cid:100) a= ;4!; ;2#; ;4!; ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ a=2 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2 {x+ ;2!;} ¤ - ;2#; , 즉 y=2x¤ +2x-1 (cid:9000) y=2x¤ +2x-1 유제 ❶-2 꼭짓점의 좌표가 (2, -3)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ -3으로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 x=0, y=4를 대입하 면 (cid:100)(cid:100)4=4a-3(cid:100)(cid:100)∴ a=;4&; 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=;4&;(x-2)¤ -3, 즉 y=;4&;x¤ -7x+4 이므로(cid:100)(cid:100)a=;4&;, b=-7, c=4 (cid:100)(cid:100)∴ abc=;4&;_(-7)_4=-49 (cid:9000) -49 ㉡-㉠을 하면 (cid:100)3a=-6 (cid:100)∴ a=-2 a=-2를 ㉠에 대입 하면(cid:100)(cid:100)q=3 축의 방정식이 x=1 이므로 꼭짓점의 x좌 표가 1이다. ㉡-㉠을 하면 (cid:100)3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 (cid:100)q=3 ㉡-㉠을 하면 (cid:100)2a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=3 a=3을 ㉠에 대입하면 (cid:100)q=- :¡4¡: c=1을 ㉡, ㉢에 대입 하면 a+b=-2, a-b=4 두 식을 연립하여 풀 면 a=1, b=-3 S t e p U p . Ⅳ 이 차 함 수 (cid:9000) 2 유제 ❷-1 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식 을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다. 그래프가 두 점 (-1, 1), (0, -5)를 지나므로 x=-1, y=1을 대입하면 (cid:100)(cid:100)1=a+q x=0, y=-5를 대입하면 (cid:100)(cid:100)-5=4a+q yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=-2, q=3 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-2(x+2)¤ +3, 즉 y=-2x¤ -8x-5 (cid:9000) y=-2x¤ -8x-5 유제 ❷-2 축의 방정식이 x= 이므로 이차함수의 식을 ;2!; ¤ +q로 놓을 수 있다. y=a {x- 그래프가 두 점 (1, -2), (-1, 4)를 지나므로 ;2!;} x=1, y=-2를 대입하면 (cid:100)(cid:100)-2= a+q ;4!; x=-1, y=4를 대입하면 (cid:100)(cid:100)4= a+q ;4(; yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=3, q=- ;;¡4¡;; 이므로 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=3{x- ;2!;} ¤ - ;;¡4¡;; , 즉 y=3x¤ -3x-2 따라서 a=3, b=-3, c=-2이므로 (cid:100)(cid:100)a+b-c=3+(-3)-(-2)=2 3344 이차함수의 식 구하기 ⑵ 기본서 140~141쪽 익히기 2 ⑴ 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고 (cid:100) x=0, y=1을 대입하면(cid:100)(cid:100)1=c yy ㉠(cid:100)(cid:100) (cid:100) x=1, y=-1을 대입하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)-1=a+b+c yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:100) x=-1, y=5를 대입하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)5=a-b+c yy ㉢(cid:100)(cid:100) (cid:100) ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)a=1, b=-3, c=1 (cid:100) 따라서 이차함수의 식은(cid:100)(cid:100)y=x¤ -3x+1 ⑵ 이차함수의 식을 y=a(x-1)(x-2)로 놓고 (cid:100) x=-1, y=6을 대입하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)6=a(-1-1)(-1-2) (cid:100) (cid:100)(cid:100)6a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=1 Ⅳ.이차함수 069 D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지070 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X (cid:100) 따라서 이차함수의 식은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=(x-1)(x-2), 즉 y=x¤ -3x+2 유제 ❹-2 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 두 점 (-4, 0), (0, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을 (cid:9000) ⑴ y=x¤ -3x+1 ⑵ y=x¤ -3x+2 y=ax(x+4)로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로 x=-1, y=3을 대입 유제 ❸-1 그래프가 세 점 (-1, -6), (0, -5), (1, 0)을 지나므로 x=-1, y=-6을 대입하면 (cid:100)(cid:100)-6=a-b+c x=0, y=-5를 대입하면 (cid:100)(cid:100)-5=c x=1, y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)0=a+b+c yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) yy ㉢(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=3, c=-5 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2x¤ +3x-5 (cid:9000) y=2x¤ +3x-5 유제 ❸-2 주어진 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 그래프가 세 점 (0, -2), (1, -4), (3, 4)를 하면 (cid:100)(cid:100)3=a_(-1)_3,(cid:100)(cid:100)-3a=3 (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-x(x+4), 즉 y=-x¤ -4x y=ax¤ +bx에 두 점 의 좌표를 각각 대입 한다. c=-5를 ㉠, ㉢에 대입하면 (cid:100)a-b=-1, (cid:100)a+b=5 두 식을 연립하여 풀면 (cid:100)a=2, b=3 주어진 이차함수의 그래프가 원점을 지나므로 이차 (cid:9000) y=-x¤ -4x 함수의 식을 y=ax¤ +bx로 놓을 수 있다. 그래프가 두 점 (-4, 0), (-1, 3)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)0=16a-4b, 3=a-b 두 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=-1, b=-4 (cid:100)(cid:100)∴ y=-x¤ -4x 유제 ❹-1 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 두 점 그래프가 원점을 지나므로 x=0, y=0을 대입하면 x=0, y=-2를 대입하면 지나므로 (cid:100)(cid:100)-2=c x=1, y=-4를 대입하면 (cid:100)(cid:100)-4=a+b+c x=3, y=4를 대입하면 (cid:100)(cid:100)4=9a+3b+c ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=2, b=-4, c=-2 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2x¤ -4x-2=2(x¤ -2x+1)-4=2(x-1)¤ -4 이므로 구하는 꼭짓점의 좌표는 (1, -4)이다. (cid:9000) (1, -4) (-2, 0), (3, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을 y=a(x+2)(x-3)으로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (2, -2)를 지나므로 x=2, y=-2를 대 입하면 (cid:100)(cid:100)-2=a_4_(-1),(cid:100)(cid:100)-4a=-2 (cid:100)(cid:100)∴ a= ;2!; 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y= (x+2)(x-3), 즉 y= x¤ - x-3 ;2!; ;2!; ;2!; 이므로(cid:100)(cid:100)b=- , c=-3 ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c= +{- ;2!;}+(-3)=-3 ;2!; 070 Check Up 풀이집 yy ㉠(cid:100) yy ㉡(cid:100) yy ㉢(cid:100) 소단원성취도진단 기본서 142~143쪽 01 y=2(x+1)¤ -2 02 3 07 ⑤ 06 -2 05 ③ 03 ③ 08 -8 04 ② 09 x=3 10 ④ 11 4 12 ;;™ ™4¶;; 13 3 14 ② 15 a=-2, b=-15 c=-2를 ㉡, ㉢에 대입하면 (cid:100)a+b=-2, (cid:100)9a+3b=6 두 식을 연립하여 풀면 (cid:100)a=2, b=-4 01 지난다. 을 수 있다. 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, -2)이고, 원점을 주어진 그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (-1, -2) 이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+1)¤ -2로 놓 x축과의 교점 (a, 0), (b, 0)과 다른 한 점을 알 때 (cid:8825) y=a(x-a)(x-b)로 놓고 다른 한 점의 좌 표를 대입한다. (cid:100)(cid:100)0=a(0+1)¤ -2 (cid:100)(cid:100)a-2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2(x+1)¤ -2 (cid:9000) y=2(x+1)¤ -2 02 꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4)이므로 주어진 이차함수 의 식을 y=a(x+2)¤ +4로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (1, -5)를 지나므로 x=1, y=-5를 대 입하면 (cid:100)(cid:100)-5=a(1+2)¤ +4,(cid:100)(cid:100)9a+4=-5 (cid:9000) -3 (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지071 SinsagoHitec 우공비 B0X 기본서 140~143쪽 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-(x+2)¤ +4 이므로 x=-3을 대입하면 (cid:100)(cid:100)y=-(-3+2)¤ +4=3 (cid:9000) 3 축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 축의 방정식이 x=3이므로 03 (cid:100)(cid:100)p=3 이차함수 y=a(x-3)¤ +q의 그래프가 두 점 (-1, 12), (1, 0)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)12=16a+q, 0=4a+q (cid:100)(cid:100)∴ a=1, q=-4 따라서 구하는 값은 (cid:100)(cid:100)a+p+q=1+3+(-4)=0 그래프가 지나는 세 점의 좌표를 알 때 04 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다. 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 세 점 (-1, -3), (0, -2), (1, 1)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-3=a-b+c, -2=c, 1=a+b+c 에서(cid:100)(cid:100)a=1, b=2, c=-2 (cid:100)(cid:100)∴ abc=1_2_(-2)=-4 (cid:9000) ② 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만날 때 05 (cid:8833) 꼭짓점의 y좌표는 0이다. x축과 만나는 한 점의 좌표가 (4, 0), 즉 꼭짓점의 좌표가 (4, 0)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-4)¤ 으 로 놓을 수 있다. y절편이 32이므로 x=0, y=32를 대입하면 (cid:100)(cid:100)32=a(0-4)¤ ,(cid:100)(cid:100)16a=32 (cid:100)(cid:100)∴ a=2 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2(x-4)¤ , 즉 y=2x¤ -16x+32 이므로(cid:100)(cid:100)a=2, b=-16, c=32 (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=2+(-16)+32=18 06 채점 기준 이차함수의 식 세우기 이차함수의 식 구하기 a+b-c의 값 구하기 축의 방정식이 x=2이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ +q로 놓을 수 있다. ▶ 30% 이차함수의 식에 두 점의 좌표를 각각 대 입한다. 축의 방정식이 x=-1 (cid:8825) 꼭짓점의 x좌표가 -1 07 다. (cid:9000) ③ y축과 만나는 점의 y 좌표가 5 S t e p U p 그래프가 두 점 (-1, 0), (0, 5)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)0=9a+q, 5=4a+q (cid:100)(cid:100)∴ a=-1, q=9 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-(x-2)¤ +9, 즉 y=-x¤ +4x+5 ▶ 40% 이므로(cid:100)(cid:100)a=-1, b=4, c=5 (cid:100)(cid:100)∴ a+b-c=-1+4-5=-2 ▶ 30% (cid:9000) -2 직선 x=p에 대칭 (cid:8833) 축의 방정식: x=p (cid:8833) 꼭짓점의 x좌표: p 이차함수의 그래프가 직선 x=-1에 대칭이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+1)¤ +q로 놓을 수 있 그래프가 두 점 (1, -1), (0, 5)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)-1=4a+q, 5=a+q (cid:100)(cid:100)∴ a=-2, q=7 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-2(x+1)¤ +7, 즉 y=-2x¤ -4x+5 08 채점 기준 이차함수의 식 세우기 대칭이동한 그래프의 식 구하기 mn의 값 구하기 (cid:9000) ⑤ 배점 30% 40% 30% ▶ 40% ▶ 30% (cid:9000) -8 이차함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이 동하여도 그래프의 모 양은 변하지 않는다. 이차함수의 그래프가 x 축과 한 점에서 만나면 이 점이 꼭짓점이다. 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다. ▶ 30% 이때 주어진 이차함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이 동하면 y=2x¤ +mx+n의 그래프와 완전히 포개어지 므로(cid:100)(cid:100)a=2 또 주어진 이차함수의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)1=2(0+2)¤ +q(cid:100)(cid:100)∴ q=-7 따라서 y=2(x+2)¤ -7이므로 y축에 대하여 대칭이동 . Ⅳ 이 차 함 수 (cid:9000) ③ 배점 30% 40% 30% x=-2를 축으로 하 는 이차함수의 그래프 를 y축에 대하여 대칭 이동하면 그 그래프의 축의 방정식은 x=2가 된다. 하면 (cid:100)(cid:100)y=2(-x+2)¤ -7=2(x-2)¤ -7 =2x¤ -8x+1 따라서 m=-8, n=1이므로 (cid:100)(cid:100)mn=-8_1=-8 함수 y=2x¤ +mx+n의 그래프는 직선 x=2를 축 으로 하므로 (cid:100)(cid:100)y=2(x-2)¤ +q 로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)1=8+q(cid:100)(cid:100)∴ q=-7 (cid:100)(cid:100)∴ y=2(x-2)¤ -7=2x¤ -8x+1 따라서 m=-8, n=1이므로 (cid:100)(cid:100)mn=-8 Ⅳ.이차함수 071 D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지072 SinsagoHitec Step Up 기본서 보충 학습 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 ① x축에 대하여 대칭이동 (cid:8825) y 대신 -y를 대입한다. (cid:8825) -y=a(x-p)¤ +q ② y축에 대하여 대칭이동 (cid:8825) x 대신 -x를 대입한다. (cid:8825) y=a(-x-p)¤ +q 그래프가 지나는 세 점의 좌표를 알 때 09 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다. 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이차함 수의 그래프가 세 점 (-1, 15), (0, 1), (1, -9)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)15=a-b+c, 1=c, -9=a+b+c (cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=-12, c=1 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2x¤ -12x+1=2(x-3)¤ -17 이므로 그래프의 축의 방정식은(cid:100)(cid:100)x=3 그래프가 두 점 (a, 0), (b, 0)을 지날 때 10 (cid:8833) y=a(x-a)(x-b) 이차함수의 그래프가 두 점 (-4, 0), (5, 0)을 지나므로 이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-5)로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (0, 20)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)20=a_4_(-5),(cid:100)(cid:100)-20a=20 (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-(x+4)(x-5) =-x¤ +x+20 ¤ + (cid:100)(cid:100)y=-{x- ;2!;} ;;•4¡;; 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100){;2!; , ;;•4¡;;} 따라서 p= , q= 이므로 (cid:100)(cid:100)p+q= + = ;2!; ;;•4¡;; ;2!; ;;•4¡;; ;;•4£;; (cid:9000) ④ 11 채점 기준 이차함수의 식 구하기 a, b, c의 값 구하기 9abc의 값 구하기 배점 60% 30% 10% -3, -1이므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)(x+1) 로 놓을 수 있다. 072 Check Up 풀이집 우공비 B0X y축과 만나는 점의 y 좌표가 1 y= (x+3)(x+1) ;3!; ;3!; ;3!; = (x¤ +4x+3) = x¤ + x+1 ;3$; 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)1=a_3_1(cid:100)(cid:100)∴ a= ;3!; 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y= (x+3)(x+1) ;3!; 이므로 y= x¤ + x+1에서 ;3!; ;3$; (cid:100)(cid:100)a= , b= , c=1 ;3!; ;3$; (cid:100)(cid:100)∴ 9abc=9_ _ _1=4 ;3!; ;3$; ▶ 60% ▶ 30% ▶ 10% (cid:9000) 4 서술형 답안 작성 Tip 그래프가 세 점 (-3, 0), (0, 1), (-1, 0)을 지나므로 y=ax¤ +bx+c에 세 점의 좌표를 대입해도 되지만 x축과 만나는 두 점의 좌표를 알 때에는 위와 같은 풀이 과정이 더 편리하다. 12 축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 축의 방정식이 x=-1이므로 이차함수의 식을 y=a(x+1)¤ +q로 놓을 수 있다. y=2x¤ -12x+1 =2(x¤ -6x+9) (cid:9000) x=3 -18+1 그래프가 두 점 (0, 2), (2, 0)을 지나므로 =2(x-3)¤ -17 (cid:100)(cid:100)2=a+q, 0=9a+q x축과의 교점의 y좌 표는 0이다. 또는 B(2, 0), C(-4, 0) y=-x¤ +x+20 =-{x¤ -x+ ;4!;} + +20 ;4!; =-{x- ;2!;} ¤ + ;;•4¡;; (cid:100)(cid:100)∴ a=-;4!;, q=;4(; 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-;4!;(x+1)¤ +;4(;, 즉 y=-;4!;x¤ -;2!;x+2 이때 y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)-;4!;x¤ -;2!;x+2=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-8=0 (cid:100)(cid:100)(x+4)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=2 (cid:100)(cid:100)∴ A{-1, ;4(;}, B(-4, 0), C(2, 0) 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 (cid:100)(cid:100);2!;_fl_;4(;=:™4¶: y A 9 4 2 (cid:9000) :™4¶: B -4 -1 O C 2 x 13 채점 기준 이차함수의 식 구하기 k의 값 구하기 배점 50% 50% 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 주어진 그래프가 세 점 (-1, 3), (0, -4), (2, -6)을 지나 므로 (cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=-5, c=-4 (cid:100)(cid:100)∴ y=2x¤ -5x-4 ▶ 50% 주어진 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표가 (cid:100)(cid:100)3=a-b+c, -4=c, -6=4a+2b+c D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지073 SinsagoHitec S t e p U p . Ⅳ 이 차 함 수 따라서 y=2x¤ -5x-4의 그래프가 점 (k, -1)을 지나 2. 이차함수의 최댓값과 최솟값 우공비 B0X 기본서 143~145쪽 이므로 이 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방 x 대신 x+1, y 대신 y-5를 대입한다. (cid:100) 이므로 x=-2에서 최댓값 16을 갖고 최솟값은 없다. 므로 (cid:100)(cid:100)-1=2k¤ -5k-4,(cid:100)(cid:100)2k¤ -5k-3=0 (cid:100)(cid:100)(2k+1)(k-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ k=3 (∵ k>0) ▶ 50% (cid:9000) 3 그래프가 지나는 세 점의 좌표를 알 때 14 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다. 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이차함 수의 그래프가 세 점 (-1, -7), (0, 2), (1, 5)를 지 나므로 (cid:100)(cid:100)-7=a-b+c, 2=c, 5=a+b+c (cid:100)(cid:100)∴ a=-3, b=6, c=2 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-3x¤ +6x+2 (cid:100)(cid:100)y=-3(x-1)¤ +5 향으로 5만큼 평행이동하면 (cid:100)(cid:100)y=-3(x+1-1)¤ +5+5 (cid:100)(cid:100)y=-3x¤ +10 따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, 10)이므로 (cid:100)(cid:100)p=0, q=10 (cid:100)(cid:100)∴ p-q=0-10=-10 x축과 만나는 한 점에서 축까지의 거리 15 (cid:8833) (x축과 만나는 두 점 사이의 거리)_;2!; 축의 방정식이 x=1이고 그래프의 축과 x축과의 교점 사이의 거리가 4이므로 두 교점의 x좌표는 (cid:100)(cid:100)1-4=-3, 1+4=5 즉 x축과의 교점의 좌표는 (-3, 0), (5, 0)이다. 따라서 y=x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (-3, 0), (5, 0)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)y=(x+3)(x-5)=x¤ -2x-15 (cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=-15 (cid:9000) a=-2, b=-15 보충 학습 이차함수의 그래프의 축의 방정 식이 x=p이고 x축과 만나는 두 점의 x좌표가 a, b일 때, `(cid:8825) |p-a|=|p-b| p å ∫ x x=p 3355 이차함수의 최댓값과 최솟값 기본서 144~146쪽 익히기 1 y=-x¤ -4x+5 =-(x¤ +4x+4)+4+5 =-(x+ )¤ + 2 9 이므로 이차함수 y=-x¤ -4x+5의 그래프는 꼭짓점 의 좌표가 ( -2 , 9 )이고, 로 볼록한 포물선이다. 위 따라서 x= -2 에서 최댓값 를 갖고, 최솟값은 9 없다 . (cid:9000) 풀이 참조 y=ax¤ +bx+c의 최댓값 과 최솟값 (cid:8825) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하여 구한다. 유제 ❶-1 ⑴ y=3x¤ -6x+5 =3(x¤ -2x+1)-3+5 =3(x-1)¤ +2 (cid:100) 이므로 x=1에서 최솟값 2를 갖고 최댓값은 없다. ⑵ y=-4x¤ -16x =-4(x¤ +4x+4)+16 =-4(x+2)¤ +16 ⑶ y= x¤ +2x-3 (cid:100) y= (x¤ +12x+36)-6-3 (cid:100) y= (x+6)¤ -9 ⑷ y=- x¤ +3x+2 ⑵ y=- (x¤ -6x+9)+ +2 ;2(; ⑵ y=- (x-3)¤ + ;;¡2£;; ;6!; ;6!; ;6!; ;2!; ;2!; ;2!; (cid:9000) ② (cid:100) 이므로 x=-6에서 최솟값 -9를 갖고 최댓값은 없다. 8_ =4 ;2!; (cid:100) 이므로 x=3에서 최댓값 을 갖고 최솟값은 없다. ;;¡2£;; (cid:9000) 풀이 참조 먼저 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. 유제 ❶-2 y=-2x¤ +7x 유제 ❶-2 y=-2{x¤ - x+ ;1$6(;}+ ;;¢8ª;; ;2&; 유제 ❶-2 y=-2{x- ¤ + ;4&;} ;;¢8ª;; 이므로(cid:100)(cid:100)M= ;;¢8ª;; (cid:100)(cid:100)y=x¤ +6x+5 =(x+3)¤ -4 이므로(cid:100)(cid:100)m=-4 =(x¤ +6x+9)-9+5 (cid:100)(cid:100)∴ Mm= _(-4)=- ;;¢8ª;; ;;¢2ª;; (cid:9000) - ;;¢2ª;; Ⅳ.이차함수 073 D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지074 SinsagoHitec Step Up 기본서 유제 ❷-1 y=2x¤ +4x+k-1 =2(x¤ +2x+1)-2+k-1 =2(x+1)¤ +k-3 이므로 x=-1에서 최솟값 k-3을 갖는다. 따라서 k-3=4이므로(cid:100)(cid:100)k=7 (cid:9000) 7 우공비 B0X 따라서 y=-2(x-1)¤ +3이므로 (cid:100)(cid:100)a=-2, p=-1, q=3 (cid:100)(cid:100)∴ apq=-2_(-1)_3=6 유제 ❹-2 조건 ㈎, ㈏에서 이차함수의 그래프의 꼭짓점 의 좌표가 (-9, -25)이므로 이차함수의 식을 (cid:9000) 6 유제 ❷-2 y=-x¤ +x+a y=-{x¤ -x+ y=-{x- ;2!;} +a ;4!; ;4!;}+ ¤ + ;4!; +a 이므로 x= 에서 최댓값 +a를 갖는다. ;2!; ;4!; 따라서 +a=;2!;-a이므로 ;4!; (cid:100)(cid:100)2a= (cid:100)(cid:100)∴ a= ;4!; ;8!; x=-9에서 최솟값을 갖는다. (cid:8825) 꼭짓점의 x좌표는 -9이다. (cid:100)(cid:100)y=a(x+9)¤ -25 (a>0) 로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)2=a(0+9)¤ -25(cid:100)(cid:100)∴ a= ;3!; 따라서 y= (x+9)¤ -25이므로 ;3!; (cid:9000) ;8!; (cid:100)(cid:100)y= x¤ +6x+2 ;3!; (cid:9000) y= x¤ +6x+2 ;3!; 유제 ❸-1 이차함수 y=-x¤ +ax+b가 x=-1에서 최댓값 5를 가지므로 주어진 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-(x+1)¤ +5=-x¤ -2x+4 (cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=4 최댓값, 최솟값이 주어진 경우는 꼭짓점의 y좌표가 주어진 경우와 같다. (cid:9000) a=-2, b=4 (직사각형의둘레의길이) 3366 이차함수의 활용 기본서 147~149쪽 익히기 2 ⑴ 직사각형의 둘레의 길이가 16 cm이므로 (cid:100) 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 =2_{(가로의 길이) +(세로의 길이)} (8-x)cm이다. (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ y=x(8-x)=-x¤ +8x ⑵ y=-x¤ +8x =-(x¤ -8x+16)+16 =-(x-4)¤ +16 (cid:100) 이므로 y는 x=4에서 최댓값 16을 갖는다. (cid:100) 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 16 cm¤ 이고, 그 때의 가로의 길이는 4 cm이다. (cid:9000) ⑴ y=-x¤ +8x ⑵ 최댓값: 16 cm¤ , 가로의 길이: 4 cm 보충 학습 x=p일 때, 최댓값(최솟값)이 q인 이차함수 (cid:8825) 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(p, q) 유제 ❸-2 y=-x¤ +8x+2a-1 =-(x¤ -8x+16)+2a+15 =-(x-4)¤ +2a+15 따라서 x=4에서 최댓값 2a+15를 가지므로 (cid:100)(cid:100)m=4, 2a+15=5 즉 a=-5, m=4이므로 (cid:100)(cid:100)a+m=-1 (cid:100)(cid:100)∴ 8=2m, 2a-1=-m¤ +5 따라서 m=4, a=-5이므로 (cid:100)(cid:100)a+m=-1 이차함수의 식을 (cid:100)(cid:100)y=a(x-1)¤ +3 (a<0) 으로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (2, 1)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)1=a(2-1)¤ +3 (cid:100)(cid:100)∴ a=-2 074 Check Up 풀이집 이차함수 y=-x¤ +8x+2a-1이 x=m에서 최댓 값 5를 가지므로 (cid:100)(cid:100)y=-(x-m)¤ +5=-x¤ +2mx-m¤ +5 합이 일정할 때 두 수의 곱은 최댓값을 갖는다. (cid:8825) 최댓값: 두 수가 같을 때 로 두 수의 곱을 y라 하면 (cid:100)(cid:100)y=x(26-x) =-x¤ +26x (cid:9000) -1 유제 ❺-1 한 수를 x로 놓으면 다른 한 수는 26-x이므 유제 ❹-1 이차함수가 x=1에서 최댓값 3을 가지므로 유제 ❺-2 ⑴ 차가 8인 두 수를 x, x-8로 놓고, 두 수 =-(x¤ -26x+169)+169 =-(x-13)¤ +169 따라서 두 수의 곱의 최댓값은 169이다. (cid:9000) ④ 두 수는 13, 13 차가 일정할 때 두 수의 곱은 최솟값을 갖는다. (cid:8825) 최솟값: 두 수의 절댓값 이 같고 부호가 다를 때 x, x+8로 놓으면 (cid:100)y=x(x+8) =(x+4)¤ -16 (cid:100) 의 곱을 y라 하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=x(x-8) =x¤ -8x =(x¤ -8x+16)-16 =(x-4)¤ -16 (cid:100) 따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -16이다. D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지075 SinsagoHitec S t e p U p . Ⅳ 이 차 함 수 우공비 B0X 기본서 145~150쪽 ⑵ y는 x=4에서 최솟값을 가지므로 구하는 두 수는 4, 따라서 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 x의 값은 4 -4이다. 이다. (cid:9000) 4 (cid:9000) ⑴ -16(cid:100)⑵ 4, -4 유제 ❽ y=-5x¤ +30x 따라서 반지름의 길이가 8 cm일 때 부채꼴의 넓이의 최 갖는다. 따라서 보기의 이차함수 중 최솟값을 갖는 것은 유제 ❻-1 닭장의 가로의 길이를 x m로 놓으면 세로의 길이는 (10-x)m이므로 닭장의 넓이를 y m¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y=x(10-x) =-x¤ +10x =-(x¤ -10x+25)+25 =-(x-5)¤ +25 즉 y는 x=5에서 최댓값 25를 갖는다. 따라서 닭장의 최대 넓이는 25 m¤ 이다. (cid:9000) 25 m¤ 유제 ❻-2 부채꼴의 반지름의 길이를 xcm로 놓으면 둘 레의 길이가 32 cm이므로 호의 길이는 (32-2x)cm이다. 부채꼴의 넓이를 y cm¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y=;2!;x(32-2x) (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +16x (cid:100)(cid:100)y=-(x¤ -16x+64)+64 (cid:100)(cid:100)y=-(x-8)¤ +64 즉 y는 x=8에서 최댓값 64를 갖는다. 댓값은 64 cm¤ 이다. (cid:9000) 부채꼴의 넓이의 최댓값: 64 cm¤ , 반지름의 길이: 8 cm 유제 ❼-1 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (6+x)cm, 세로의 길이는 (12-x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y=(6+x)(12-x) =-x¤ +6x+72 =-(x¤ -6x+9)+9+72 =-(x-3)¤ +81 따라서 새로운 직사각형의 넓이의 최댓값은 81 cm¤ 이 다. (cid:9000) 81 cm¤ 유제 ❼-2 새로운 삼각형의 밑변의 길이는 10-x, 높이 는 2+x이므로 넓이를 y라 하면 (cid:100)(cid:100)y= (10-x)(2+x) (cid:100)(cid:100)y= (-x¤ +8x+20) (cid:100)(cid:100)y=- (x¤ -8x+16)+8+10 (cid:100)(cid:100)y=- (x-4)¤ +18 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; =-5(x¤ -6x+9)+45 =-5(x-3)¤ +45 즉 y는 x=3에서 최댓값 45를 갖는다. 따라서 물이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 45 m이다. (cid:9000) ② 소단원성취도진단 기본서 150~151쪽 01 ①, ④ 02 ④ 03 -6 04 -5 05 ② 06 -2 07 a…- ;4%; 08 ② 09 5 cm 10 1750원 11 ② 12 -6 13 ⑤ 반지름의 길이가 r, 호의 길이가 l인 부채꼴의 넓이 S는 (cid:100)S=;2!;rl 14 ④ 15 ;;™4∞;; 01 고 최댓값은 없다. 이차함수의 그래프가 아래로 볼록하면 최솟값은 있 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그 래프는 a>0일 때 아 래로 볼록하고, a<0 일 때 위로 볼록하다. ①, ④이다. 02 로 변형한다. 이차함수 y=ax¤ +bx+c는 a>0일 때 최솟값을 먼저 주어진 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴 (cid:9000) ①, ④ y=- x¤ +4x-1 y=- (x¤ -10x)-1 y=- (x¤ -10x+25)+10-1 y=- (x-5)¤ +9 ;5@; ;5@; ;5@; ;5@; 03 04 y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q y=-2x¤ -4x-7=-2(x+1)¤ -5 따라서 a=-1, b=-5이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=-1+(-5)=-6 (cid:9000) -6 y=a(x-p)¤ +q (a>0) (cid:8833) x=p에서 최솟값 q 이차항의 계수가 3이고, x=-2에서 최솟값 5를 가지므로 주어진 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=3(x+2)¤ +5=3x¤ +12x+17 위의 식이 y=3x¤ +ax+b와 같으므로 (cid:100)(cid:100)a=12, b=17 Ⅳ.이차함수 075 (삼각형의 넓이) = _(밑변의 길이) ;2!; _(높이) 즉 y는 x=4에서 최댓값 18을 갖는다. (cid:100)(cid:100)∴ a-b=12-17=-5 (cid:9000) -5 즉 y는 x=3에서 최댓값 81을 갖는다. 이므로 x=5에서 최댓값 9를 갖는다. (cid:9000) ④ D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지076 SinsagoHitec 우공비 B0X ① x=1에서 최솟값 ;2(; ② x=1에서 최솟값 5 ③ x=3에서 최솟값 ;2&; ④ x= 에서 ;2!; (cid:100) 최솟값 ;2&; ⑤ x= 에서 ;2#; (cid:100) 최솟값 - ;;¡4¡;; x=;2#;을 y=3-x에 대입하면 (cid:100)y=3-;2#;=;2#; y=3-x를 주어진 식에 대입하여 x에 대한 이차식 08 으로 나타낸다. x+y=3에서(cid:100)(cid:100)y=3-x y=3-x를 주어진 식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=x¤ +(3-x)¤ -x(3-x) (cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=x¤ +9-6x+x¤ -3x+x¤ (cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=3x¤ -9x+9 (cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=3{x¤ -3x+;4(;}-:™4¶:+9 (cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=3{x-;2#;}2 +;4(; 따라서 주어진 식의 최솟값은 ;4(;이다. 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이가 x cm 09 (cid:8833) 옆면은 가로의 길이가 (20-2x)cm, 세로의 길이가 x cm 인 직사각형 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 상자의 옆면은 가로의 길이가 (20-2x)cm, 세로의 길 옆면 4개가 모두 합동 이다. 이가 x cm인 직사각형이 된다. 상자의 옆넓이를 y cm¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y=(20-2x)x_4 =-8x¤ +80x =-8(x¤ -10x+25)+200 =-8(x-5)¤ +200 이므로 y는 x=5에서 최댓값 200을 갖는다. 따라서 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다. (cid:9000) ② 배점 60% 40% ▶ 60% ▶ 40% (cid:9000) -2 배점 30% 40% 30% (cid:9000) ② (cid:9000) 5 cm 배점 10% 20% 40% 30% ▶ 10% ▶ 20% Step Up 기본서 05 y=a(x-p)¤ +q (a>0) (cid:8833) x=p에서 최솟값 q ① y=(x¤ -2x+1)-1+ =(x-1)¤ + ;;¡2¡;; ;2(; ② y=3(x¤ -2x+1)-3+8=3(x-1)¤ +5 ③ y= (x¤ -6x+9)- +8= (x-3)¤ + ;2(; ;2!; ;2&; ;2!; ④ y=2{x¤ -x+ ;4!;}- ;2!; +4=2{x- ;2!;} ⑤ y=3{x¤ -3x+ ;4(;}- ;;™4¶;; +4=3{x- ;2#;} ;;¡4¡;; 따라서 최솟값이 가장 큰 것은 ②`이다. ¤ + ;2&; ¤ - m=-2<0이므로 주어진 이차함수는 최댓값을 갖고 최솟값은 없다. 06 채점 기준 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기 m의 값 구하기 y=mx¤ -4mx-5 =m(x¤ -4x)-5 =m(x¤ -4x+4)-4m-5 =m(x-2)¤ -4m-5 이 이차함수의 최댓값이 3이므로 (cid:100)(cid:100)-4m-5=3(cid:100)(cid:100)∴ m=-2 07 채점 기준 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 나타내기 제 1 사분면을 지나지 않을 조건 알기 a의 값의 범위 구하기 의 식을 (cid:100)(cid:100)y=a(x+2)¤ +5 (a<0) 로 놓을 수 있다. 이 함수의 그래프가 제`1`사분면을 지 나지 않으려면 오른쪽 그림과 같이 y 축과의 교점의 y좌표가 0 이하이어 즉 x=0일 때 y의 값이 0 이하이어 야 하므로 (cid:100)(cid:100)a(0+2)¤ +5…0,(cid:100)(cid:100)4a+5…0 (cid:100)(cid:100)∴ a…-;4%; 076 Check Up 풀이집 x=-2에서 최댓값 5를 가지므로 주어진 이차함수 10 채점 기준 미지수 정하기 이차함수의 식 세우기 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기 빵 한 개의 가격 구하기 야 한다. `▶ 40% -2 O x ▶ 30% y 5 (총 판매 금액) =(한 개당 가격) _(판매 개수) 총 판매 금액을 y원이라 하면 (cid:100)(cid:100)y=(1000+100x)(500-20x) (cid:100)(cid:100)y=-2000x¤ +30000x+500000 (cid:100)(cid:100)y=-2000{x¤ -15x+;:@4@:%;}+612500 (cid:100)(cid:100)y=-2000{x-:¡2∞:}2 +612500 ▶ 40% 이므로 y는 x=:¡2∞:에서 최댓값 612500을 갖는다. 따라서 구하는 빵 한 개의 가격은 ▶ 30% (cid:9000) a…-;4%; (1000+100x)원 (cid:100)(cid:100)1000+100_:¡2∞:=1750(원) ▶ 30% (cid:9000) 1750원 D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지077 SinsagoHitec 11 최고 높이 (cid:8833) y=-5x¤ +10x+2의 최댓값 14 AP”=x cm (cid:8833) BP”=(12-x)cm AP”=x cm로 놓으면 BP”=(12-x)cm이므로 넓 우공비 B0X 기본서 150~152쪽 y=-5x¤ +10x+2 =-5(x¤ -2x)+2 =-5(x¤ -2x+1)+5+2 =-5(x-1)¤ +7 이므로 y는 x=1에서 최댓값 7을 갖는다. 따라서 던진 지 1초 후에 최고 높이 7 m에 도달하므로 (cid:100)(cid:100)ab=1_7=7 x¤ 의 계수가 a이고 두 근이 a, b인 이차방정식 12 (cid:8833) a(x-a)(x-b)=0 이차방정식 ax¤ +bx+c=0`(a>0)의 두 근이 -6, 2이므로 y=ax¤ +bx+c의 그래프와 x축의 두 교점의 x 좌표는 -6, 2이다. (cid:100)(cid:100)∴ y=a(x+6)(x-2) =a(x¤ +4x-12) =a(x¤ +4x+4)-4a-12a =a(x+2)¤ -16a 이 함수의 최솟값이 -8이므로 (cid:100)(cid:100)-16a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!; 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=;2!;(x¤ +4x-12), 즉 y=;2!;x¤ +2x-6 이므로 (cid:100)(cid:100)b=2, c=-6 (cid:100)(cid:100)∴ abc=;2!;_2_(-6)=-6 직사각형의 세로의 길이가 x cm 13 (cid:8833) 가로의 길이는 (24-2x)cm 오른쪽 그림과 같이 직사 사각형의 세로의 길이를 x cm 라 하면 가로의 길이는 x`cm x`cm 45æ x`cm 45æ x`cm (24-2x)cm이다. 하면 (cid:100)(cid:100)y=x(24-2x) =-2x¤ +24x =-2(x¤ -12x+36)+72 =-2(x-6)¤ +72 이므로 y는 x=6에서 최댓값 72를 갖는다. 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 72 cm¤ 이다. (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ② (cid:100)(cid:100)y= (x-4)¤ +48 y를 x에 대한 식으로 나타낸 다음 (cid:100)y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고쳐야 최솟값 또는 최댓값을 구할 수 있다. 이차함수 y=ax¤ +bx+c가 최 솟값을 가지므로 (cid:100)a>0 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근 이 a, b일 때 (cid:8825) 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래 프가 x축과 만나는 두 점의 좌표는 (cid:100)(a, 0), (b, 0) (cid:9000) -6 이다. S t e p U p . Ⅳ 이 차 함 수 이의 합을 y cm¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y=x¤ + (12-x)¤ ;2!; (cid:100)(cid:100)y= x¤ -12x+72 (cid:100)(cid:100)y= (x¤ -8x+16)-24+72 ;2#; ;2#; ;2#; 즉 y는 x=4에서 최솟값 48을 갖는다. 따라서 넓이의 합이 최소가 되도록 하는 선분 AP의 길 이는 4 cm이다. 15 채점 기준 미지수 정하기 이차함수의 식 세우기 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기 사각형 OQPR의 넓이의 최댓값 구하기 점 P의 좌표를 (x, -x+5)로 놓고, 사각형 OQPR의 넓이를 y라 하면 (cid:100)(cid:100)y=x(-x+5) (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +5x (cid:100)(cid:100)y=-{x¤ -5x+ ¤ + (cid:100)(cid:100)y=-{x- ;2%;} :™4∞: :™4∞:}+ :™4∞: 이므로 y는 x= 에서 최댓값 를 갖는다. ;2%; :™4∞: 따라서 구하는 사각형 OQPR의 넓이의 최댓값은 (cid:9000) ④ 배점 10% 20% 40% 30% ▶ 10% ▶ 20% ▶ 40% :™4∞: ▶ 30% (cid:9000) :™4∞: 서술형 답안 작성 Tip 이차함수의 활용 문제에서 미지수는 x, y의 2개이다. 따라서 점 P 의 x좌표를 x로 놓고, 점 P가 직선 y=-x+5 위에 있음을 이용 하여 y좌표를 x에 대한 식으로 나타낸다. 01 ① 06 ⑤ 11 ② 16 ③ 21 10 02 ③ 07 ② 12 ③ 17 ③ 03 ④ 08 ⑤ 13 ⑤ 18 ④ 04 ④ 09 ① 14 ④ 19 28 22 300원 23 -;5*; 24 1 05 ⑤ 10 ② 15 ② 20 -8 25 229 26 ⑴ (cid:100)⑵ (1, 3) 27 ⑴ 6초(cid:100)⑵ 2초, 80 m ;2#; Ⅳ.이차함수 077 직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 {24-2x}`cm 중단원마무리평가 기본서 152~155쪽 D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지078 SinsagoHitec Step Up 기본서 우공비 B0X (cid:9000) ③ 06 주어진 이차함수를 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. 01 꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼭짓점의 좌표가 (3, -5)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-3)¤ -5로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-1=a(1-3)¤ -5,(cid:100)(cid:100)4a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=1 따라서 y=(x-3)¤ -5=x¤ -6x+4이므로 (cid:100)(cid:100)b=-6, c=4 (cid:100)(cid:100)∴ abc=1_(-6)_4=-24 (cid:9000) ① 축의 방정식이 x=p 02 (cid:8833) 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 놓는다. 조건 ㈎에서 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함 수의 식을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다. 이때 조건 ㈏에서 꼭짓점이 x축 위에 있으므로(cid:100)(cid:100)q=0 (cid:100)(cid:100)∴ y=a(x+2)¤ 조건 ㈐에서 그래프가 점 (1, -18)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-18=a(1+2)¤`(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 따라서 이차함수의 식은 y=-2(x+2)¤ 이므로 이 그래 프 위의 점이 아닌 것은 ③이다. 서로 다른 세 점의 좌표를 알 때 03 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다. 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이 그 래프가 세 점 (0, -4), (1, 0), (3, -4)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)-4=c, 0=a+b+c, -4=9a+3b+c 세 식을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=-2, b=6, c=-4 (cid:100)(cid:100)∴ y=-2x¤ +6x-4 (cid:9000) ④ 축의 방정식이 x= 이므로 이차함수의 식을 ;2#; ¤ +q로 놓으면 그래프가 두 점 (0, -4), y=a x { -;2#;} (1, 0)을 지나므로 (cid:100)(cid:100) a+q=-4, a+q=0 ;4(; ;4!; 두 식을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=-2, q= ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ y=-2 x- =-2x¤ +6x-4 ¤ + { ;2#;} ;2!; 먼저 그래프가 x축과 만나는 두 점 A, B의 좌표를 04 구한다. 축의 방정식이 x=-1이고, AB”=6이므로 두 점 A, B의 좌표는 (-4, 0), (2, 0)이다. 이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-2)로 놓고 x=-1, y=-18을 대입하면 078 Check Up 풀이집 (cid:100)(cid:100)-18=a(-1+4)(-1-2),(cid:100)(cid:100)-18=-9a (cid:100)(cid:100)∴ a=2 따라서 y=2(x+4)(x-2)=2x¤ +4x-16이므로 (cid:100)(cid:100)a=2, b=4, c=-16 x=1, y=-1을 대입 (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=2+4+(-16)=-10 (cid:9000) ④ 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 y좌표와 같 다. 05 y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q ① y=-x¤ +2는 x=0에서 최댓값 2를 갖는다. ② y=-4(x+2)¤ 은 x=-2에서 최댓값 0을 갖는다. ③ y=-3x¤ +6x=-3(x-1)¤ +3 ③ 이므로 x=1에서 최댓값 3을 갖는다. ④ y=-2(x+1)¤ +2는 x=-1에서 최댓값 2를 갖는다. ⑤ y=-x¤ +4x+1 꼭짓점의 y좌표가 0이 므로 q=0이다. =-(x¤ -4x+4)+4+1 =-(x-2)¤ +5 ③ 이므로 x=2에서 최댓값 5를 갖는다. 따라서 최댓값이 가장 큰 것은 ⑤이다. (cid:9000) ⑤ y=-2(x+2)¤ 에 x=- 을 대입하면 ;2!; (cid:100)y=-2 - +2 { ;2!; } =- ` ;2(; c=-4를 대입하면 (cid:100)a+b=4, (cid:100)9a+3b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=6 이차함수의 그래프는 축에 대칭이고, 두 점 (0, -4), (3, -4)를 지나므로 축의 방정식 은 (cid:100)x= 0+3 2 = ;2#; -1- { ;2^; , 0 , } -1+ { ;2^; , 0 } y= x¤ +ax+1= ;3@; x¤ + ax +1 } ;2#; ;3@;{ y= x+ a } ;4#; ;3@;{ ¤ - ¥ ;3@; 9 16 a¤ +1 y= x+ a } ;4#; ;3@;{ ¤ - ;8#; a¤ +1 이므로 (cid:100)(cid:100)- a=3, - a¤ +1=b ;4#; ;8#; (cid:100)(cid:100)∴ a=-4, b=-5 따라서 구하는 값은 (cid:100)(cid:100)ab=-4_(-5)=20 이차함수 y= x¤ +ax+1이 x=3에서 최솟값 b를 ;3@; (cid:9000) ⑤ 가지므로 ;3@; ;3@; (cid:100)(cid:100)y= (x-3)¤ +b= (x¤ -6x+9)+b ;3@; (cid:100)(cid:100)y= x¤ -4x+6+b 따라서 a=-4, 1=6+b이므로 (cid:100)(cid:100)a=-4, b=-5(cid:100)(cid:100)∴ ab=20 함숫값 중에서 서로 다른 자연수가 5개이므로 07 5…(최댓값)<6임을 이용한다. y=-x¤ +6x+k =-(x¤ -6x+9)+k+9 =-(x-3)¤ +k+9 이므로 x=3에서 최댓값 k+9를 갖는다. ¤ D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지079 SinsagoHitec 이때 함숫값 중에서 서로 다른 자연수가 5개이려면 11 x=p에서 최댓값 q (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q(a<0) 5…k+9<6이어야 한다. (cid:100)(cid:100)∴ -4…k<-3 (cid:9000) ② 08 y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q y=-2x¤ +6x-a ;4(;}+ ;2(; -a y=-2{x¤ -3x+ ¤ + y=-2{x- 최댓값이 0보다 작으므로 ;2#;} -a ;2(; 우공비 B0X 5개의 자연수는 1, 2, 3, 4, 5이다. 그래프의 꼭짓점의 좌 표가 (-3, 4)이다. y=-2x¤ +6x-a에 x=a, y=-20-a를 대입한다. 그래프가 원점을 지날 때에도 제 1 사분면을 지나지 않는다. (cid:100)(cid:100) -a<0(cid:100)(cid:100)∴ a> ;2(; ;2(; 또 그래프가 점 (a, -20-a)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)-20-a=-2a¤ +6a-a (cid:100)(cid:100)2a¤ -6a-20=0,(cid:100)(cid:100)a¤ -3a-10=0 (cid:100)(cid:100)(a+2)(a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 또는 a=5 그런데 a> 이므로(cid:100)(cid:100)a=5 ;2(; 최댓값의 최솟값 구하기 ⁄ 일반형을 표준형으로 고친다. ¤ 최댓값을 구한다. ‹ 구한 최댓값은 이차식 으로 이 이차식을 한 번 더 표준형으로 고친다. › 다시 고친 표준형에서 (cid:9000) ⑤ 최솟값을 구한다. 이차함수의 그래프가 두 점 (a, 0), (b, 0)을 지날 09 때 (cid:8833) y=a(x-a)(x-b)로 놓는다. x축과의 교점의 x좌표가 -4, 1이므로 이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-1)로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)-2=a_4_(-1)(cid:100)(cid:100)∴ a= ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ y= (x+4)(x-1) (cid:100)(cid:100)∴ y= (x¤ +3x-4) (cid:100)(cid:100)∴ y= x¤ +3x+ - -2 ;8(; ;4(;} (cid:100)(cid:100)∴ y= x+ ;2!;{ ;2#;} ;;™8∞;; ¤ - 따라서 x=- 에서 최솟값 - 를 갖는다. ;2#; ;;™8∞;; (cid:9000) ① 10 먼저 주어진 이차함수의 최댓값 M을 구한다. y=- x¤ +2x+k-4 y=- (x¤ -4x)+k-4 y=- (x¤ -4x+4)+2+k-4 y=- (x-2)¤ +k-2 이므로 x=2에서 최댓값 k-2를 갖는다. 즉 M=k-2이므로 (cid:100)(cid:100)k-2…0(cid:100)(cid:100)∴ k…2 ;2!; ;2!; ;2!;{ ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 기본서 152~153쪽 y 4 -3 O x S t e p U p x=-3에서 최댓값 4를 가 지므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)¤ +4로 놓을 수 있 다. 이 함수의 그래프가 제1 사 분면을 지나지 않으려면 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉 y축과의 교점의 y좌표가 0 이하이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)9a+4…0(cid:100)(cid:100)∴ a…- ;9$; (cid:9000) ② 주어진 이차함수의 최댓값을 구한 후, a에 대한 이 12 차식인 최댓값을 표준형으로 고쳐 최솟값을 구한다. y=-x¤ -4ax-8a =-(x¤ +4ax+4a¤ )+4a¤ -8a =-(x+2a)¤ +4a¤ -8a 이므로 x=-2a에서 최댓값 4a¤ -8a를 갖는다. (cid:100)(cid:100)∴ f(a)=4a¤ -8a =4(a¤ -2a+1)-4 =4(a-1)¤ -4 따라서 f(a)는 a=1에서 최솟값 -4를 갖는다. (cid:9000) ③ y=-3x+14를 xy에 대입하여 x에 대한 이차식으 13 로 나타낸다. 3x+y=14에서 y=-3x+14이므로 (cid:100)(cid:100)xy=x(-3x+14)=-3x¤ +14x (cid:100)(cid:100)xy=-3 {x¤ - x+ :¢9ª:}+ :¢3ª: :¡3¢: (cid:100)(cid:100)xy=-3 {x- ;3&;} ¤ + :¢3ª: . Ⅳ 이 차 함 수 y=-3x+14 =-3_;3&;+14 =7 따라서 x= 에서 최댓값 를 갖는다. (cid:9000) ⑤ ;3&; :¢3ª: 삼각형의 밑변의 길이를 x cm라 하면 높이는 14 (20-x)cm임을 이용한다. 삼각형의 밑변의 길이를 x cm라 하면 높이는 (20-x)cm이고, 넓이를 y cm¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y= x(20-x)=- (x¤ -20x) ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100)y=- (x¤ -20x+100)+50 ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100)y=- (x-10)¤ +50 즉 y는 x=10에서 최댓값 50을 갖는다. 따라서 삼각형의 최대 넓이는 50 cm¤ 이다. (cid:9000) ④ 새로운 사다리꼴의 넓이를 x에 대한 이차식으로 나 15 타낸다. 새로운 사다리꼴의 아랫변의 길이는 (8-x)cm, 높 Ⅳ.이차함수 079 따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 2이다. (cid:9000) ② 이는 (6+x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면 D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지080 SinsagoHitec Step Up 기본서 (cid:100)(cid:100)y= (4+8-x)(6+x) (cid:100)(cid:100)y= (-x¤ +6x+72) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100)y=- (x¤ -6x+9)+ +36 ;2(; (cid:100)(cid:100)y=- (x-3)¤ + 즉 y는 x=3에서 최댓값 을 갖는다. :•2¡: :•2¡: 따라서 새로운 사다리꼴의 최대 넓이는 cm¤ 이다. :•2¡: (cid:9000) ② 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm라 하면 호의 길이 16 는 (40-2x)cm임을 이용한다. 부채꼴의 반지름의 길이를 x cm라 하면 호의 길이 는 (40-2x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y= x(40-2x) ;2!; (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +20x (cid:100)(cid:100)y=-(x¤ -20x+100)+100 (cid:100)(cid:100)y=-(x-10)¤ +100 즉 y는 x=10에서 최댓값 100을 갖는다. 따라서 부채꼴의 넓이가 최대일 때 반지름의 길이는 10 cm이다. (cid:9000) ③ 한 원의 반지름의 길이를 x cm, 두 원의 넓이의 합 17 을 y cm¤ 로 놓고 이차함수의 식을 세운다. 두 원의 반지름의 길이의 합은 8 cm이므로 두 원의 반지름의 길이를 각각 x cm, (8-x)cm로 놓고, 두 원 의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y=px¤ +p(8-x)¤ =p(2x¤ -16x+64) =2p(x¤ -8x+16)-32p+64p =2p(x-4)¤ +32p 즉 y는 x=4에서 최솟값 32p를 갖는다. 따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 32p cm¤ 이다. (cid:9000) ③ PBQ의 넓이를 y cm¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y= _(10-x)_0.5x ;2!; (cid:100)(cid:100)y=- (x¤ -10x) ;4!; ;4!; ;4!; (cid:100)(cid:100)y=- (x¤ -10x+25)+ ;;™4∞;; (cid:100)(cid:100)y=- (x-5)¤ + ;;™4∞;; 080 Check Up 풀이집 우공비 B0X 따라서 y는 x=5에서 최댓값 를 가지므로 삼각형 ;;™4∞;; PBQ의 넓이가 최대가 되는 것은 출발한 지 5초 후이다. (cid:9000) ④ 이차함수를 f(x)=ax¤ +bx+c라 하고 주어진 조 19 건을 이용하여 a, b, c의 값을 구한다. 주어진 이차함수를 f(x)=ax¤ +bx+c라 하면 f(0)=10, f(1)=8, f(2)=22이므로 (cid:100)(cid:100)10=c, 8=a+b+c, 22=4a+2b+c 세 식을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=8, b=-10, c=10 따라서 f(x)=8x¤ -10x+10이므로 (cid:100)(cid:100)f(-1)=8+10+10=28 (cid:9000) 28 (부채꼴의 넓이) = _(반지름의 길이) ;2!; _(호의 길이) 20 x=p에서 최댓값 q (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q (a<0) 이차함수 y=3x¤ 의 그래프와 폭이 같고 최댓값을 이차함수의 그래프의 폭이 같으면 x¤ 의 계 수의 절댓값이 같다. 가지므로(cid:100)(cid:100)a=-3 또 x=1에서 최댓값 4를 가지므로 (cid:100)(cid:100)y=-3(x-1)¤ +4, 즉 y=-3x¤ +6x+1 따라서 b=6, c=1이므로 (cid:100)(cid:100)a-b+c=-3-6+1=-8 (cid:9000) -8 보충 학습 ① 두 이차함수의 그래프의 모양이 같다. (cid:8825) x¤ 의 계수의 부호가 같다. ② 두 이차함수의 그래프의 폭이 같다. (cid:8825) x¤ 의 계수의 절댓값이 같다. 21 y=a(x-p)¤ +q(a>0) (cid:8833) x=p에서 최솟값 q y=3x¤ +12x+2k =3(x¤ +4x+4)+2k-12 =3(x+2)¤ +2k-12 에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, 2k-12)이므로 4x+y=2에 x=-2, y=2k-12를 대입하면 (cid:100)(cid:100)-8+(2k-12)=2,(cid:100)(cid:100)2k=22 PB”=(10-x)cm _PB”_BQ” ;2!; 값은 22 (cid:100)(cid:100)2_11-12=10 (cid:9000) 10 총 판매 금액을 x에 대한 이차식으로 나타낸다. (총 판매 금액) =(한 개당 가격) _(판매 개수) 음료수의 가격을 x원 내리면 한 개당 가격은 (500-x)원이고, 이때 팔리는 개수는 (300+3x)이다. 이때 총 판매 금액을 y원이라 하면 18 x초 후 (cid:8833) PB”=(10-x)cm, BQ”=0.5x cm (cid:100)(cid:100)∴ k=11 x초 후에 AP”=x cm, BQ”=0.5x cm이므로 삼각형 이때 주어진 이차함수의 최솟값이 2k-12이므로 구하는 D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지081 SinsagoHitec 우공비 B0X 기본서 153~155쪽 (cid:100)(cid:100)y=(500-x)(300+3x) =-3x¤ +1200x+150000 =-3(x¤ -400x+40000)+270000 =-3(x-200)¤ +270000 이므로 y는 x=200에서 최댓값 270000을 갖는다. 따라서 총 판매 금액이 최대일 때의 한 개당 가격은 (cid:100)(cid:100)500-200=300(원) (cid:9000) 300원 (cid:100)(cid:100)y=x(15-x)=-x¤ +15x (cid:100)(cid:100)y=-{x- ;;¡2∞;;} ¤ + 225 4 즉 y는 x= 에서 최댓값 를 갖는다. ;;¡2∞;; 225 4 따라서 a=4, b=225이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=229 23 채점 기준 꼭짓점의 좌표를 이용하여 이차함수의 식 세우기 a의 값 구하기 k의 값 구하기 배점 1점 1점 1점 x절편이 m, y절편이 n인 직선의 방정식은 n y=- x+n m 26 채점 기준 직선 l의 방정식 구하기 삼각형 POQ의 넓이의 최댓값 구하기 점 P의 좌표 구하기 S t e p U p ▶ 2점 ▶ 1점 ▶ 1점 (cid:9000) 229 배점 1점 3점 1점 y축 (cid:8825) x=0 포물선과 축과의 교점 (cid:8825) 포물선의 꼭짓점 ⑴ 직선 l의 방정식은(cid:100)(cid:100)y=-3x+6 ▶ 1점 (cid:100) 점 P의 좌표를 (x, -3x+6)으로 놓고 삼각형 y축을 축으로 하고 y축과의 교점의 y좌표가 -4이 므로 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (0, -4)이다. 이차함수의 식을 y=ax¤ -4로 놓으면 ▶ 1점 그래프가 점 (-5, 11)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)11=25a-4(cid:100)(cid:100)∴ a= 로 ;5#; ▶ 1점 따라서 y= x¤ -4이므로 x=2, y=k를 대입하면 ;5#; (cid:100)(cid:100)k= _2¤ -4=- ;5#; ;5*; ▶ 1점 (cid:9000) - ;5*; 배점 2점 2점 1점 24 채점 기준 y=x¤ -4x+k+5의 최솟값 구하기 y=-x¤ +4x-k-1의 최댓값 구하기 k의 값 구하기 y=x¤ -4x+k+5 =(x¤ -4x+4)+k+1 =(x-2)¤ +k+1 (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4x-k-1 =-(x¤ -4x+4)-k+3 =-(x-2)¤ -k+3 따라서 k+1=-k+3이므로 (cid:100)(cid:100)2k=2(cid:100)(cid:100)∴ k=1로 이므로 x=2에서 최솟값 k+1을 갖는다. ▶ 2점 이므로 x=2에서 최댓값 -k+3을 갖는다.로 ▶ 2점 25 채점 기준 두 수의 곱을 이용하여 이차함수의 식 세우기 a, b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 한 수를 x로 놓으면 다른 한 수는 15-x이므로 두 수의 곱을 y라 하면 ▶ 1점 (cid:9000) 1 배점 2점 1점 1점 최솟값 또는 최댓값에 대 한 문제는 (cid:100)y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친 후 a>0이면 최솟값을, a<0이면 최댓 값을 구한다. POQ의 넓이를 y라 하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)y= _x_(-3x+6) ;2!; (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=- x¤ +3x (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=- (x¤ -2x+1)+ (cid:100) (cid:100)(cid:100)y=- (x-1)¤ + ;2#; ;2#; ;2#; ;2#; ;2#; ;2#; ;2#; (cid:100) 따라서 y는 x=1에서 최댓값 을 가지므로 삼각형 (cid:100) POQ의 넓이의 최댓값은 이다. ▶ 3점 ⑵ x=1에서 삼각형 POQ의 넓이는 최대가 되므로 점 P 의 좌표는 (1, 3)이다. ▶ 1점 (cid:9000) ⑴ (cid:100)⑵ (1, 3) ;2#; . Ⅳ 이 차 함 수 27 채점 기준 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간 구하기 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간과 높이 구하기 배점 2점 2점 ⑴ 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 h=0을 (cid:100) 대입하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)0=60+20t-5t¤ ,(cid:100)(cid:100)t¤ -4t-12=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(t+2)(t-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=6 (∵ t>0) (cid:100) 따라서 물체를 쏘아 올린 지 6초 후에 물체는 지면에 떨어진다. ▶ 2점 ⑵ h=-5t¤ +20t+60=-5(t¤ -4t)+60 =-5(t¤ -4t+4)+20+60 =-5(t-2)¤ +80 (cid:100) 즉 h는 t=2에서 최댓값 80을 갖는다. (cid:100) 따라서 최고 높이에 도달하는 데 2초가 걸리고 그때 의 높이는 80 m이다. ▶ 2점 (cid:9000) ⑴ 6초(cid:100)⑵ 2초, 80 m Ⅳ.이차함수 081 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:8 PM 페이지082 SinsagoHitec Point Up 문제집 중단원별 실전 TEST 우공비 B0X 05 무리수는 순환하지 않는 무한소수이다. ㈀ '4=2와 같이 근호를 사용하여 나타낸 수 중 유 리수도 있다. ㈁ 모든 실수는 수직선 위에 나타낼 수 있고, 순환소수는 실수이므로 수직선 위에 나타낼 수 있다. ㈂ 무한소수 중 순환소수는 유리수이다. 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다. (cid:9000) ③ 06 두 수a, b 의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사 두 실수a, b 에 대하여 ① a-b>0 (cid:8825) a>b ② a-b=0 (cid:8825) a=b ③ a-b<0 (cid:8825) a-'3 ② 2-('3+1)=2-'3-1=1-'3<0이므로 ② (cid:100)(cid:100)2<'3+1 ③ ('3-'2)-('3-1)='3-'2-'3+1 =-'2+1<0 ② (cid:100)(cid:100)∴ '3-'2<'3-1 ④ ('8-'3)-('8-2)='8-'3-'8+2 01 회 Ⅰ -1. 제곱근과 실수 | 문제집 17~18쪽 01 ①, ④ 02 ⑤ 05 ③ 06 ④ 09 2x-2y+3 12 4 13 2+'5 03 ⑤ 07 ④ 10 15 04 ③ 08 ① 11 4 01 양수 a의 제곱근 (cid:8833) —'a ② 음수의 제곱근은 없고, 0의 제곱근은 1개, 양수 의 제곱근은 2개이다. ③ 제곱하여 0.5가 되는 수는 —'∂0.5이다. ⑤ -4는 음수이므로 -4의 제곱근은 없다. (cid:9000) ①, ④ 02 x¤ =a (cid:8833) x=—'a, b가 a의 제곱근 (cid:8833) b=—'a "≈a¤ =9의 양변을 제곱하면 a¤ =81이므로 (cid:100)(cid:100)a=—'8å1 =—9 이때 a>0이므로(cid:100)(cid:100)a=9 b는 a의 제곱근이므로 (cid:100)(cid:100)b=—'a=—'9=—3 이때 b<0이므로(cid:100)(cid:100)b=-3 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=9+(-3)=6 03 을 이용하여 계산한다. a>0일 때, "√(-a)¤ =a, (-'a )¤ =a, "ça¤ =a임 (-'2)¤ =2, "√(-3)¤ =3, "≈5¤ =5이므로 (cid:100)(cid:100)(-'2)¤ +"√(-3)¤ _Ƭ:¡9§:-(-"≈5¤ ) =2+3_;3$;-(-5) =2+4+5=11 04 "ça¤ =[ a (aæ0) -a (a<0) (cid:9000) ⑤ '3-'2 2 = 1.732-1.414 2 =0.159 ① -a>0이므로(cid:100)(cid:100)"√(-a)¤ =-a ② 2a<0이므로(cid:100)(cid:100)"√(2a)¤ =-2a ③ -"ç4a¤ =-"√(2a)¤ =-(-2a)=2a ④ 4a<0이므로(cid:100)(cid:100)-"√(4a)¤ =-(-4a)=4a ⑤ -5a>0이므로(cid:100)(cid:100)-"√(-5a)¤ =-(-5a)=5a 2a<0이므로 (cid:100)"√(2a)¤ =-2a (cid:9000) ③ 082 Check Up 풀이집 (cid:9000) ⑤ 07 (cid:8833) '2 ② (cid:100)(cid:100)∴ '8-'3>'8-2 ⑤ '6-4-('6-'ß15)='6-4-'6+'ß15 =-'3+2 =-'3+'4>0 =-4+'ß15 =-'ß16+'ß15<0 ② (cid:100)(cid:100)∴ '6-4<'6-'ß15 (cid:9000) ④ 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이 CA”=CP”=FH”=FQ”='2이므로 (cid:100)(cid:100)a=-'2, b=1+'2 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=-'2+(1+'2 )=1 서로 다른 두 수 a, b에 대하여 는 a와 b 사 a+b 2 08 이에 있는 수이다. ① '3-'2 2 는 '2보다 작다. ② '2+'3 2 은 '2 와 '3 의 평균이다. (cid:9000) ④ (cid:9000) ① '3-'2=1.732-1.414=0.318이므로 ③, ④, ⑤는 '2 와 '3 사이에 있는 수이다. 보충 학습 서로 다른 두 실수 a, b (a0일 때, ('a)¤ =(-'a)¤ =a, "≈a¤ ="√(-a)¤ =a ① "√(-5)¤ ='2ß5 =5 ② "ç5¤ =5 ③ (-'5 )¤ =5 ④ -('5 )¤ =-5 ⑤ -(-"ç5¤ )=-(-5)=5 i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T 양수 k의 제곱근은 —'ßk의 2개가 있고, 그 합은 (cid:100)'ßk+(-'ßk )=0 이다. 02 양수 a의 제곱근 (cid:8833) —'a ㈀ x가 양수 a의 제곱근이면 x¤ =a이다. ㈁ 양수의 제곱근은 양의 제곱근과 음의 제곱근 2개가 있고, 절댓값이 서로 같으므로 그 합은 0이다. ㈂ 음이 아닌 수 중 0의 제곱근은 0 하나뿐이다. ㈃ 4의 제곱근은 —'4=—"ç2¤ =—2이므로 근호를 사 용하지 않고 나타낼 수 있다. 따라서 옳은 것은 ㈁, ㈃이다. 10 'ßA (A>0)가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수) 'ƒ20-x 가 자연수가 되려면 20-x가 (자연수)¤ 꼴 A=x¤ (x는 유리수)이면 "≈A는 유리수이다. 09 "(√a-b)¤ =[ a-b (aæb) -a+b (a0이므로(cid:100)(cid:100)"≈x¤ =x 00이므로 (cid:100)(cid:100)"(√y-x)¤ =y-x (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=x+(-y+3)-(y-x) (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=x-y+3-y+x =2x-2y+3 (cid:9000) 2x-2y+3 이어야 한다. 즉 (cid:100)(cid:100)20-x=1, 4, 9, 16 (cid:100)(cid:100)∴ x=19, 16, 11, 4 따라서 m=19, n=4이므로 (cid:100)(cid:100)m-n=19-4=15 11 a<'x0, b<0이므로(cid:100)(cid:100)a+1>0, a-b>0 (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=a+1-(a-b) =a+1-a+b =b+1 04 a>0, b>0일 때, aÆ;3!;이므로(cid:100)(cid:100)-Æ;2!; <-Æ;3!; ④ ;4!; =Ƭ;1¡6;이고, ;1¡6; <;1¡0; 이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100);4!; <Ƭ;1¡0; ⑤ '5 <'6 이므로(cid:100)(cid:100)-'5 >-'6 (cid:9000) ② 중단원별 실전 TEST 083 (cid:9000) 15 (cid:9000) 4 배점 2점 2점 1점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 4 배점 3점 2점 (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ (cid:9000) ② D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:8 PM 페이지084 SinsagoHitec Point Up 문제집 05 'ßA (A>0)가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수) 'ƒ18ab ="√3¤ _2_ab 이므로 'ƒ18ab 가 자연수가 되 려면(cid:100)(cid:100)ab=2n¤ (n은 자연수, ab…36) (cid:100)(cid:100)∴ ab=2_1¤ =2, ab=2_2¤ =8, ab=2_3¤ =18, ab=2_4¤ =32 이것을 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (cid:100)(cid:100)(1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 6), (6, 3) 의 6가지이다. 따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100) = ;3§6; ;6!; (cid:9000) ② 06 소수 [ 유한소수 무한소수 ③ 소수는 유한소수와 무한소수로 이루어져 있다. (cid:9000) ③ 무리수와 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수가 07 있다. ① 1에 가장 가까운 무리수는 알 수 없다. ③ -1과 '2 사이에는 0, 1의 2개의 정수가 있다. ④ '3과 '5 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다. (cid:9000) ①, ④ 08 x가 a, b(a0)가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수) 126 x = 2_3¤ _7 x 이므로 Æ… 126 x =æ≠ 2_3¤ _7 x 이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 x는 (cid:100)(cid:100)x=2_7=14 084 Check Up 풀이집 우공비 B0X a, b는 주사위의 눈의 수이므로 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나이다. 따 라서 ab…36임을 알 수 있다. 10 "çx¤ = -x (xæ0) -x (x<0) · “ ª a-b>0이므로(cid:100)(cid:100)a>b 또 ab<0에서 a, b의 부호가 서로 다르므로 (cid:100)(cid:100)a>0, b<0 (cid:100)(cid:100)∴ "≈a¤ -"≈b¤ =a-(-b)=a+b 11 채점 기준 A의 값 구하기 B의 값 구하기 A-B의 값 구하기 (-6)¤ =36의 양의 제곱근은 'ß36=6이므로 (cid:100)(cid:100)A=6 'ß81=9의 음의 제곱근은 -3이므로 (cid:100)(cid:100)B=-3 (cid:100)(cid:100)∴ A-B=6-(-3)=9 12 채점 기준 점 A에 대응하는 수 구하기 점 B에 대응하는 수 구하기 점 Q에 대응하는 수 구하기 이므로 점 A에 대응하는 수는 (cid:100)(cid:100)('2-1)-'2=-1 또 점 B에 대응하는 수는 AP”=AC”='2이고 점 P에 대응하는 수가 '2-1 (cid:100)(cid:100)-1+1=0 AC”=BD”=BQ”='2이므로 점 Q에 대응하는 수는 (cid:100)(cid:100)0-'2=-'2 13 채점 기준 양수인 것과 음수인 것 나누기 음수끼리 대소 비교하기 네 번째로 큰 수 구하기 -'5, 1-'2, -1은 음수이고, -1+'3, '2는 양 수이므로 네 번째에 오는 수는 -'5, 1-'2, -1 중 두 번째로 큰 수이다. ▶ 2`점 이때 -'5<-1이고, -1-(1-'2 )=-2+'2<0이 므로 (cid:100)(cid:100)-'5<-1<1-'2 따라서 크기가 큰 것부터 차례대로 나열할 때, 네 번째에 ▶ 2`점 (cid:9000) a+b 배점 1점 1점 1점 ▶ 1점 ▶ 1점 ▶ 1점 (cid:9000) 9 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:9000) -'2 배점 2점 2점 1점 ▶ 1`점 (cid:9000) -1 5.472 4.972 정사각형의 두 대각선 의 길이는 서로 같으 므로 (cid:100)AC”=BD” 근호 안의 모든 소인 수의 지수가 짝수이어 야 한다. 오는 수는 -1이다. D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:8 PM 페이지085 SinsagoHitec 03 회 Ⅰ -2. 근호를포함한식의계산 | 문제집 21~22쪽 01 ⑤ 05 ④ 09 19 13 2 02 ⑤ 06 ③ 10 -2 03 ④ 07 ③ 11 10 04 ② 08 ③ 12 20 01 a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b '9ß6 ="√4¤ _6 =4'6이므로(cid:100)(cid:100)a=4 2'7="√2¤ _7 ='2ß8 이므로(cid:100)(cid:100)b=28 (cid:100)(cid:100)∴ = ;aB; ;;™4•;; =7 02 a>0, b>0일 때, 'a 'b='∂ab, =Æ;aB; 'b 'a ⑤ a¤ 'a="√a› _a="≈afi 03 a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab a>0, b>0이므로 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=æ≠a¤ _ +æ≠b¤ _ :ªbÅ: :¢aı; (cid:100)(cid:100)(주어진 식)='ƒ4ab +'ƒ9ab =2'∂ab+3'∂ab =5'∂ab=5'4 =5_2=10 04 a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab, =Æ;aB; 'b 'a _ '7 'ß40 '5 'ß21 ÷Ƭ;1£0;=Ƭ;4¶0;_Ƭ;2∞1;_Ƭ;;¡3º;; =Ƭ …;4¶0_;2∞1;_;;¡3º;; '5 6 =Ƭ;3∞6; = (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ④ (cid:9000) ② 우공비 B0X 문제집 19`~22`쪽 i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T = = 3 2'3 = 3 '∂12 3 "√2¤ _3 (cid:100)(cid:100)∴ '∂48+ 3 '∂12 '3 2 '3 2 =4'3+ ={4+;2!;}'3=;2(;'3 (cid:100)(cid:100)∴ '∂48+ =;2(;_1.732=7.794 (cid:9000) ③ 07 화한다. (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 임을 이용하여 분모를 유리 '1å2-'2 '2 - '∂27-4 '3-2 = = = ('1å2-'2 )'2 '2_'2 - ('∂27-4)('3+2) ('3-2)('3+2) '2å4-2 2 2'6-2 2 - - '8å1+2'∂27-4'3-8 -1 9+6'3-4'3-8 -1 ='6-1+1+2'3=2'3+'6 (cid:9000) ③ 08 (A의 소수 부분)=A-(A의 정수 부분) 3<'∂10<4이므로(cid:100)(cid:100)'∂10=3.××× (cid:100)(cid:100)∴ a=3, b='∂10-3 (cid:100)(cid:100)∴ ;bA; = = 3 '∂10-3 =3('∂10+3) 보충 학습 3('∂10+3) ('∂10-3)('∂10+3) (cid:9000) ③ '1=1, '4=2, '9=3, y이므로 무리수의 정수 부분은 다 음과 같다. '2=1.××× (cid:8825) 1(cid:100) '3=1.××× (cid:8825) 1(cid:100)'5=2.××× (cid:8825) 2 '6=2.××× (cid:8825) 2 '8=2.××× (cid:8825) 2 '7=2.××× (cid:8825) 2 '∂11=3.××× (cid:8825) 3, y '∂10=3.××× (cid:8825) 3 09 변형한다. '∂370을 '∂3.7 또는 '∂37의 값을 이용할 수 있도록 '∂370='ƒ3.7_100='∂3.7_10=19.24 따라서 '∂370과 가장 가까운 정수는 19이다. (cid:9000) 19 분모에 무리수가 포함 되어 있으므로 분모를 유리화한다. 'a a = 05 a>0일 때, 1 'a = 'a 'a 'a '5 5 ;5^;'5= ;5^; a 1 b='5+ ='5+ '5 ;5!;}'5= b= 1+ { 따라서 b는 a의 배이다. ;5^; (cid:9000) ④ 06 분모에 무리수가 있으면 먼저 분모를 유리화한다. '∂48="√4¤ _3=4'3 공통인수 '5로 묶는다. 10 먼저 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다. 주어진 등식의 좌변을 간단히 정리하면 분자, 분모에 '5를 곱 하여 분모를 유리화한 다. 'ß75="√5¤ _3=5'3 '5(3-'ß15)+ - 12 '3 12'3 3 10 '5 10'5 5 =3'5-'ß75+ - =3'5-5'3+4'3-2'5 =-'3+'5 따라서 a=-1, b=1이므로 (cid:100)(cid:100)a-b=-1-1=-2 (cid:9000) -2 중단원별 실전 TEST 085 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:8 PM 페이지086 SinsagoHitec 우공비 B0X 02 a>0일 때, a=('a )¤ '5='ƒ2+3="√('2)√ ¤ +(√'3)¤ ="√a¤ +b¤ x=2이고 '∂xy=4이므로(cid:100)(cid:100)'∂2y=4='ß16 (cid:100)(cid:100)∴ y=8, 즉 a=8 ▶ 2점 (-a)« = -a« (n이 짝수) · “ -a« (n이 홀수) ª 03 (-'2)¤ =2, (-'2)‹ =-('2)‹ =-2'2 x‹ -x¤ +x+2에 x=-'2 를 대입하면 배점 2점 2점 1점 ▶ 2점 ▶ 1점 (cid:9000) 10 배점 3점 2점 1점 (cid:9000) 20 배점 2점 2점 1점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 2 Point Up 문제집 11 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 (cid:100)(cid:100)∴ b=Æ;[}; (cid:100)(cid:100)∴ a+b=8+2=10 =æ;2*; ='4=2 12 채점 기준 정사각형의 한 변의 길이 구하기 정사각형의 둘레의 길이 구하기 a의 값 구하기 넓이가 50 m¤ 인 정사각형의 한 변의 길이는 (cid:100)(cid:100)'∂50="√5¤ _2=5'2(m) ▶ 3`점 따라서 둘레의 길이는 4_5'2=20'2(m)이다. ▶ 2`점 (cid:100)(cid:100)∴ a=20 ▶ 1`점 13 채점 기준 x의 분모를 유리화하기 x¤ -10x가 포함된 식 만들기 "√x¤ -10x+5의 값 구하기 = x= 5+2'6 (5-2'6)(5+2'6) 1 5-2'6 x=5+2'6 이므로(cid:100)(cid:100)x-5=2'6 위의 식의 양변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)(x-5)¤ =(2'6)¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -10x+25=24 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x=-1 (cid:100)(cid:100)∴ "√x¤ -10x+5 ='ƒ-1+5='4=2 04 회 Ⅰ -2. 근호를 포함한 식의 계산 | 문제집 23~24쪽 01 ③ 05 ④ 09 ③ 13 ;5#; 02 ③ 06 ⑤ 10 ④ 14 -2 03 ① 07 ④ 11 10 15 '6 04 ④ 08 ① 12 -11-'7 01 a>0, b>0일 때, a'b="≈a¤ b 4'2="√4¤ _2='ß32이므로(cid:100)(cid:100)'ƒ25+a='ß32 (cid:100)(cid:100)25+a=32 (cid:100)(cid:100)∴ a=7 086 Check Up 풀이집 분모를 먼저 유리화한 후 통분한 경우 넓이가 a인 정사각형 의 한 변의 길이는 'a 이다. 먼저 통분한 후 식의 값을 대입하여 유리화 한 경우 (cid:9000) ③ (cid:9000) ① (cid:100)(cid:100)(-'2 )‹ -(-'2 )¤ +(-'2 )+2 =-2'2-2-'2+2 =-3'2 04 a>0, b>0일 때, Æ;bA; 'ßab b 'a = = 'b 'aßb b Æ;bA; +æ;aB; Æ;bA; +æ;aB; = + = 'a 'b 'b 'a a'ßab+b'aßb ab = = + 'aßb a (a+b)'aßb ab Æ;bA; +æ;aB; = (cid:9000) ④ Æ;bA; +æ;aB; = + = 'b 'a a+b 'aßb 5 = = '3 5'3 3 5'3 3 'a 'b 05 리수이면 (cid:8833) b=0 a, b는 유리수, '∂m 은 무리수일 때, a+b'∂m이 유 (4+2'6 )(a-3'6 ) =4a-12'6+2a'6-36 =(4a-36)+(2a-12)'6 위의 식의 값이 유리수가 되어야 하므로 (cid:100)(cid:100)2a-12=0(cid:100)(cid:100)∴ a=6 (cid:9000) ④ 06 a>0일 때, "≈a¤ =a, = 1 'a 'a a -'2('3-2'2) '∂196+ 3'2 '3 3'6 3 =14+'6-'6+4=18 ="ç14¤ + -'6+4 보충 학습 10 이상 20 이하의 자연수의 제곱은 다음과 같다. 10¤ =100(cid:100)(cid:100)11¤ =121(cid:100)(cid:100)12¤ =144(cid:100)(cid:100)13¤ =169 14¤ =196(cid:100)(cid:100)15¤ =225(cid:100)(cid:100)16¤ =256(cid:100)(cid:100)17¤ =289 18¤ =324(cid:100)(cid:100)19¤ =361(cid:100)(cid:100)20¤ =400 (cid:9000) ⑤ 07 두 도형의 넓이의 비가 1 : a (cid:8833) 닮음비는 1 : 'a 두 정삼각형은 항상 닮음이고 넓이의 비가 1 : 5이 근호 밖의 양수는 제 곱하여 근호 안으로 넣을 수 있다. (cid:9000) ③ 므로 한 변의 길이의 비는 1 : '5이다. 작은 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)3(x+'5x)=24,(cid:100)(cid:100)('5+1)x=8 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지087 SinsagoHitec 우공비 B0X 문제집 22`~24`쪽 = (cid:100)(cid:100)∴ x= 8('5-1) ('5+1) ('5-1) 8 '5+1 (cid:100)(cid:100)∴ x=2'5-2 따라서 작은 정삼각형의 한 변의 길이는 (2'5-2)cm 이다. (cid:9000) ④ (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 임을 이용하여 분모를 유리 08 화한다. '6 '3-'2 = '6('3+'2 ) ('3-'2 )('3+'2 ) ='1å8+'1å2 =øπ3¤ _2+øπ2¤ _3 =3'2+2'3 따라서 a=3, b=2이므로 (cid:100)(cid:100)a-b=1 (cid:9000) ① 09 n…x0 (cid:100)(cid:100)∴ a>b b-c=('2-'ß12)-('ß18-'ß27) ='2-2'3-(3'2-3'3) ='2-2'3-3'2+3'3 ='3-2'2='3-'8<0 (cid:100)(cid:100)∴ b0 (cid:8825) a>b ② a-b=0 (cid:8825) a=b ③ a-b<0 (cid:8825) a의 값 구하기 답 구하기 (cid:100)(cid:100)∴ 2<'6<3이므로(cid:100)(cid:100)[6]=2 1<'3<2이므로(cid:100)(cid:100)<3>='3-1 6'2 2+2('3-1) 3'2 '3 '7ß2 [6]+2_<3> ='6 (cid:100)(cid:100)∴ = = = 6'2 2'3 배점 2점 2점 1점 ▶ 2점 ▶ 2점 ▶ 1점 (cid:9000) ;5#; 배점 3점 2점 ▶ 3점 ▶ 2점 (cid:9000) -2 배점 1점 2점 2점 ▶ 1`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:9000) '6 11 a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab 3'ß28÷'7_'8=3'2ß8 _ _'8 1 '7 =3_Æ…28_ _8=3'ß32 ;7!; =3_4'2=12'2 따라서 a=12, b=2이므로 (cid:100)(cid:100)a-b=12-2=10 (cid:9000) ④ '4<'6<'9에서 (cid:100)2<'6<3 '1<'3<'4에서 (cid:100)1<'3<2 'ß28=2'7, '8=2'2 이므로 1 '7 (cid:100)3_2'7_ _2'2 =12'2 로 계산할 수도 있다. (cid:9000) 10 화하여 간단하게 나타내도록 한다. 서술형 답안 작성 Tip 계산 결과의 분모에 무리수가 포함되어 있을 때에는 분모를 유리 중단원별 실전 TEST 087 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지088 SinsagoHitec Point Up 문제집 우공비 B0X 05 회 Ⅱ -1. 인수분해 | 문제집 25~26쪽 01 ③ 05 ③ 02 ⑤ 06 ③ 03 ① 07 ④ 04 ④ 08 ③ 09 2a 11 (x¤ +3x+4)(x¤ +3x-2) 10 4(x+2y)(2x-3y) 12 9 13 8 14 2 07 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) 두 정사각형의 둘레의 길이는 각각 4x cm, 4y cm 이고 둘레의 길이의 차가 8 cm이므로 (cid:100)(cid:100)4x-4y=8(cid:100)(cid:100)∴ x-y=2 두 정사각형의 넓이는 각각 x¤ cm¤ , y¤ cm¤ 이고 넓이의 차가 28 cm¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)x¤ -y¤ =28,(cid:100)(cid:100)(x+y)(x-y)=28 (cid:100)(cid:100)2(x+y)=28(cid:100)(cid:100)∴ x+y=14 (cid:9000) ④ 공통인수를 묶어 낸 다음 인수분해 공식을 이용한다. 1009¤ -1006¤ 2015_2016-2015¤ (1009+1006)(1009-1006) 2015(2016-2015) 2015_3 2015_1 =3 08 = = 09 a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤ "√a¤ +4a+4-"√a¤ -4a+4 ="√(a+2)¤ -"√(a-2)¤ (cid:9000) ③ (cid:9000) 2a (3xΩy)-(xΩ5y) =(3x-y)¤ -(x-5y)¤ =(2x+4y)(4x-6y) =4(x+2y)(2x-3y) ={(3x-y)-(x-5y)} {(3x-y)+(x-5y)} (cid:9000) 4(x+2y)(2x-3y) 11 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지어 전개한다. "çA¤ = ( “ 9 -A (Aæ0) -A (A<0) 00, a-2<0 (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=(a+2)-{-(a-2)} =a+2+a-2=2a (cid:9000) ① a¤ -ab+ b¤ ;4!; ={a- b} ;2!; 10 Ω의 뜻에 따라 식으로 나타낸다. (cid:9000) ④ ((cid:100))((cid:100))((cid:100))((cid:100))+k 꼴 의 인수분해 ⁄ 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지어 전 개한다. ¤ 공통부분을 치환하여 인수분해한다. x(x+1)(x+2)(x+3)-8 ={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-8 =(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-8 A A =A(A+2)-8=A¤ +2A-8 =(A+4)(A-2) =(x¤ +3x+4)(x¤ +3x-2) (cid:9000) ③ 더 이상 인수분해되지 않는다. (cid:9000) (x¤ +3x+4)(x¤ +3x-2) 12 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a+b의 값 구하기 배점 2점 2점 2점 01 공통인수를 묶어 낸다. 3ab-12a¤ b=3ab(1-4a) 이므로 인수가 아닌 것은 ③이다. 02 인수분해 공식을 이용한다. ① x¤ +4x-12=(x+6)(x-2) ② x¤ -4x+4=(x-2)¤ ③ x¤ -4=(x+2)(x-2) ④ 2x¤ +x-10=(x-2)(2x+5) ⑤ 2x¤ -3x-14=(x+2)(2x-7) 03 a에 대한 이차식이 완전제곱식 (cid:8833) (cid:8641)=[ (a의 계수) 2 ] ={ -b 2 ¤ = } b¤ ;4!; (cid:9000) ③ (cid:9000) ⑤ x+6이 다항식 3x¤ +ax-30의 인수 04 (cid:8833) 3x¤ +ax-30=(x+6)A(A는 일차식) x+6이 3x¤ +ax-30의 인수이므로 (cid:100)(cid:100)3x¤ +ax-30=(x+6)(3x+b)(b는 상수) 로 놓으면 3x¤ +ax-30=3x¤ +(b+18)x+6b에서 (cid:100)(cid:100)b+18=a, 6b=-30 (cid:100)(cid:100)∴ a=13, b=-5 05 먼저 ㈎의 넓이를 구한다. ㈎`의 넓이는 (cid:100)(cid:100)(2x+3)¤ -2¤ =(2x+3+2)(2x+3-2) =(2x+5)(2x+1) ㈎, ㈏`의 넓이가 같으므로 ㈏`의 긴 변의 길이는 (cid:100)(cid:100)2x+5 06 먼저 공통인수를 묶어 낸다. (주어진 식)=xy¤ (x¤ -6xy+9y¤ ) =xy¤ (x-3y)¤ 088 Check Up 풀이집 (cid:9000) ③ ¤ ¤ D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지089 SinsagoHitec x¤ -ax+2=(x-2)(x+m)(m은 상수)으로 놓 2x¤ -7x+b=(x-2)(2x+n)(n은 상수)으로 놓으면 으면 (cid:100)(cid:100)-2+m=-a, -2_m=2 (cid:100)(cid:100)∴ m=-1, a=3 (cid:100)(cid:100)n-4=-7, -2_n=b (cid:100)(cid:100)∴ n=-3, b=6 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=9 13 채점 기준 ab-a+b-1을 인수분해하기 a, b의 값 구하기 a¤ +b¤ 의 값 구하기 ab-a+b-1=a(b-1)+(b-1) =(a+1)(b-1) ▶ 2`점 (a+1)(b-1)=3에서 a, b가 자연수이므로 (cid:100)(cid:100)a+1=3, b-1=1 (cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=2 (cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =2¤ +2¤ =8 14 채점 기준 5-'2의 정수 부분 구하기 x의 값 구하기 식의 값 구하기 1<'2<2이므로(cid:100)(cid:100)-2<-'2<-1 (cid:100)(cid:100)∴ 3<5-'2<4 따라서 5-'2의 정수 부분은 3이므로 (cid:100)(cid:100)x=5-'2-3=2-'2 주어진 식에서 x+4=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -12A+36 =(A-6)¤ =(x+4-6)¤ =(x-2)¤ =(-'2)¤ =2 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:9000) 9 배점 2점 3점 1점 ▶ 3`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 8 배점 2점 1점 3점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 ▶ 3`점 (cid:9000) 2 우공비 B0X 문제집 25`~27`쪽 01 인수분해 공식을 이용할 수 없는 것을 찾는다. ① x¤ -8x-84=(x+6)(x-14) ③ x¤ -12x+36=(x-6)¤ ④ x¤ -49=(x+7)(x-7) ⑤ x¤ -x+ = x- ;4!; { ;2!;}2 x¤ 의 계수가 2이므로 2x+n으로 놓는다. x¤ -2_x_ +{;2!;} ;2!; ② x¤ -3을 계수가 무리수인 범위에서 인수분해하면 (cid:100)(cid:100)(cid:100) x¤ -3=(x+'3)(x-'3) 02 a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ 의 길이는 3a+2b이다. 따라서 창문의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)4(3a+2b)=12a+8b 9a¤ +12ab+4b¤ =(3a+2b)¤ 이므로 창문의 한 변 i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T 03 x¤ 의 계수가 1인 이차식이 완전제곱식 a가 자연수이므로 (cid:100)aæ1(cid:100)∴ a+1æ2 b가 자연수이므로 (cid:100)bæ1(cid:100)∴ b-1æ0 (cid:8833) (상수항)=[ (x의 계수) 2 ] A {- } 2 ¤ = ;2$5(; 이므로 (cid:100)(cid:100) =— (cid:100)(cid:100)∴ A= (∵ A>0) A 2 7 5 14 5 (cid:9000) ② (cid:9000) ④ (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ 인수분해한 식을 전개하여 두 식을 비교한다. 3x¤ +(2a-5)x-10=(x-2)(3x+b) =3x¤ +(b-6)x-2b 04 이므로 (cid:100)(cid:100)b-6=2a-5, -2b=-10 따라서 a=2, b=5이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=2+5=7 05 주어진 직사각형의 넓이의 합을 인수분해한다. 주어진 직사각형의 넓이의 합은 3x¤ +4x+1이고 (cid:100)(cid:100)3x¤ +4x+1=(x+1)(3x+1) 이므로 다음 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 3x+1, x+1인 큰 직사각형을 만들 수 있다. 3x+1 따라서 이 직사각형의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2{(3x+1)+(x+1)}=2(4x+2) =8x+4 (cid:9000) ④ 중단원별 실전 TEST 089 06 회 Ⅱ -1. 인수분해 | 문제집 27~28쪽 x+1 01 ② 05 ④ 09 4 02 ④ 06 ① 10 15 12 (x+2)(x-9) 03 ④ 07 ③ 11 3 13 1 04 ③ 08 ⑤ 14 3'∂13 ¤ ¤ D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지090 SinsagoHitec Point Up 문제집 우공비 B0X 06 공통인수를 묶어 낸 다음 인수분해한다. x‹ -x=x(x¤ -1)=x(x+1)(x-1)이므로 x‹ -x의 인수 중 일차항의 계수가 1인 일차식은 (cid:100)(cid:100)x, x+1, x-1 따라서 세 일차식의 합은(cid:100)(cid:100)3x (cid:9000) ① 07 공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환 x¤ +2x=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -11A+24 =(A-3)(A-8) =(x¤ +2x-3)(x¤ +2x-8) =(x-1)(x+3)(x-2)(x+4) 따라서 인수가 아닌 것은 ③이다. 08 분모의 유리화 (cid:8833) (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ =7-4'3 =7+4'3 = = y= x= 1 7+4'3 1 7-4'3 7-4'3 (7+4'3)(7-4'3) 7+4'3 (7-4'3)(7+4'3) 이므로(cid:100)(cid:100)x+y=14, x-y=-8'3 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y) =14_(-8'3) =-112'3 (cid:9000) ③ (cid:9000) ⑤ 인수분해할 수 있는 두 식을 먼저 인수분해하여 공 09 통인수를 찾는다. x¤ +2x-8=(x-2)(x+4) x¤ -5x+6=(x-2)(x-3) 따라서 공통인수는 x-2이므로 x¤ +ax-12도 x-2를 (cid:100)(cid:100)x¤ +ax-12=(x-2)(x+6)=x¤ +4x-12 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해한 인수로 갖는다. (cid:100)(cid:100)∴ a=4 10 다. 2x¤ -3xy+y¤ +7x-2y-15 =2x¤ -(3y-7)x+y¤ -2y-15 =2x¤ -(3y-7)x+(y-5)(y+3) =(2x-y-3)(x-y+5) 이므로(cid:100)(cid:100)a=-3, b=-1, c=5 (cid:100)(cid:100)∴ abc=15 090 Check Up 풀이집 7¤ -(4'3)¤ =49-48 =1 (cid:9000) (x+2)(x-9) •x의 계수를 잘못 본 경우 (cid:8825) x¤ 의 계수, 상수항은 12 제대로 보았다. •상수항을 잘못 본 경우 (cid:8825) x¤ 의 계수, x의 계수 는 제대로 보았다. 채점 기준 처음 이차식의 상수항 구하기 처음 이차식의 x의 계수 구하기 처음 이차식을 바르게 인수분해하기 공통인수가 드러나도록 적당한 항끼리 묶어서 인 11 수분해한다. ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 이때 x+y=4이므로(cid:100)(cid:100)(a+b)_4=12 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=3 민준이는 상수항을 제대로 보았으므로 (cid:100)(cid:100)(x-3)(x+6)=x¤ +3x-18 에서 상수항은 -18이다. 하림이는 x의 계수를 제대로 보았으므로 (cid:100)(cid:100)(x+3)(x-10)=x¤ -7x-30 에서 x의 계수는 -7이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 (cid:100)(cid:100)x¤ -7x-18=(x+2)(x-9) 13 채점 기준 점선으로 표시된 원의 반지름의 길이 구하기 길의 넓이를 이용하여 식 세우기 x의 값 구하기 r m라 하면(cid:100)(cid:100)2pr=12p(cid:100)(cid:100)∴ r=6 길의 넓이가 24p m¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)p(6+x)¤ -p(6-x)¤ =24p (cid:100)(cid:100)(6+x)¤ -(6-x)¤ =24 (cid:100)(cid:100)(6+x+6-x)(6+x-6+x)=24 (cid:100)(cid:100)24x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=1 그림에서 점선으로 표시된 원의 반지름의 길이를 (cid:9000) 3 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:100)(cid:9000) 1 배점 3점 2점 1점 ▶ 3`점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 3'∂13 -2와 곱하여 -12가 되는 수는 6이다. 14 (cid:9000) 4 채점 기준 x+ 의 값 구하기 ;[!; 1 x¤ x¤ - 을 인수분해하기 식의 값 구하기 (a+b)¤ =(a-b)¤ +4ab {x+ ;[!;} ¤ ={x- ;[!;} ¤ +4=3¤ +4=13 이므로(cid:100)(cid:100)x+ ='ß13 (∵ x>0) ;[!; (cid:100)(cid:100)∴ x¤ - ={x+ 1 x¤ ;[!;}{x- ='ß13_3=3'ß13 ;[!;} a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) (cid:9000) 15 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지091 SinsagoHitec 07 회 Ⅲ -1. 이차방정식과 그 풀이 | 문제집 29~30쪽 01 ② 02 ⑤ 05 ③ 06 ① 10 3 09 3 12 x=1 또는 x=2 03 ④ 07 ② 11 -1, 6 13 -1 04 ④ 08 ⑤ 14 14 01 x에 대한 이차방정식 (cid:8833) (x에 대한 이차식)=0 ① x-1 2 =x¤ 에서(cid:100)(cid:100)x-1=2x¤ (cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ 2x¤ -x+1=0 ② (2-x)(x+1)=1-x¤ 에서 (cid:100)(cid:100)(cid:100) 2x+2-x¤ -x=1-x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x+1=0 ③ (x+1)¤ =x에서 (cid:100)(cid:100)(cid:100) x¤ +2x+1=x(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +x+1=0 ④ 3x¤ -2=3(x-2)에서 (cid:100)(cid:100)(cid:100) 3x¤ -2=3x-6(cid:100)(cid:100)∴ 3x¤ -3x+4=0 ⑤ x(x¤ -1)=x‹ +x¤ +x에서 (cid:100)(cid:100)(cid:100) x‹ -x=x‹ +x¤ +x (cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ x¤ +2x=0 x=k가 이차방정식의 근 02 (cid:8833) x=k를 이차방정식에 대입한다. x=k를 x¤ +x-1=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)k¤ +k-1=0 (cid:100)(cid:100)∴ kfi +k› -k‹ +k¤ +k+5 =k‹ (k¤ +k-1)+(k¤ +k-1)+6 =6 (cid:9000) ⑤ 우공비 B0X 3 1 2 ⁄2 2 -1 2 ⁄ -3 ⁄ -1 ⁄ 문제집 27`~29`쪽 ⑤ 6x¤ -x-1=0에서(cid:100)(cid:100)(3x+1)(2x-1)=0 ① (cid:100)(cid:100)3x+1=0 또는 2x-1=0 ① (cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x= ;3!; ;2!; (cid:9000) ④ 이차방정식 (ax+b)(cx+d)=0의 해 04 (cid:8833) x=-;aB; 또는 x=- ;cD; 4x¤ +4x-15=0에서 (cid:100)(cid:100)(2x+5)(2x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-;2%; 또는 x=;2#; 따라서 두 근 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0, 1의 4개 이다. (cid:9000) ④ 05 (cid:8833) 두 근을 모두 공통으로 갖는다. 이차방정식의 해가 같다. (x-1)(x-b)=0에서 (cid:100)(cid:100)x=1 또는 x=b yy`㉠(cid:100)(cid:100) i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T (cid:9000) ② x=1을 x¤ +ax-4=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)1+a-4=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3 즉 x¤ +3x-4=0에서(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=1 yy`㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)b=-4 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=3+(-4)=-1 (cid:9000) ③ x=k를 이차방정식에 대입하면 등식이 성립한 다. (x-1)(x-b)=0에서 (cid:100)x¤ -(b+1)x+b =0 두 이차방정식이 서로 같으므로 (cid:100)(cid:100)x¤ +ax-4=x¤ -(b+1)x+b 따라서 a=-b-1이므로(cid:100)(cid:100)a+b=-1 06 x¤ +ax+b가 완전제곱식 (cid:8833) b={;2A;}2 x¤ +ax+16이 완전제곱식이면 3x=-1 ∴ x=- ;3!; 2x=1 ∴ x= ;2!; 된다. (cid:100)(cid:100)16={;2A;}2 (cid:100)(cid:100)∴ a=—8 따라서 -8, 8을 두 근으로 갖는 이차방정식을 찾으면 03 AB=0 (cid:8833) A=0 또는 B=0 ① (3x+1)(2x-1)=0에서 ① (cid:100)(cid:100)3x+1=0 또는 2x-1=0 ① (cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x= ;3!; ;2!; ② {x+ ;3!;}{x- ;2!;}=0에서 ① (cid:100)(cid:100)x+ =0 또는 x- =0 ;3!; ① (cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x= ③ (3x+1){x- ;2!;}=0에서 ① (cid:100)(cid:100)3x+1=0 또는 x- =0 ① (cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x= ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;3!; ;3!; ④ {x- ;3!;}(2x-1)=0에서 ① (cid:100)(cid:100)x- =0 또는 2x-1=0 ;3!; ① (cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x= ;3!; ;2!; ① ;2!;x¤ -32=0에서(cid:100)(cid:100);2!;(x¤ -64)=0 (cid:100)(cid:100);2!;(x+8)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-8 또는 x=8 ② (x+8)¤ =0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-8 (중근) ③ x¤ +16x+64=0에서(cid:100)(cid:100)(x+8)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-8 (중근) ④ x¤ -8x+16=0에서(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 (중근) ⑤ x¤ -7x-8=0에서(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-8)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=8 (cid:9000) ① 중단원별 실전 TEST 091 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지092 SinsagoHitec 주어진 식에 한 근을 대입하여 a의 값을 먼저 구한다. x=3을 x¤ -ax-2a¤ -10=0에 대입하여 정리하 09 면 x¤ +ax+b=0이 중근을 (cid:100)(cid:100)x¤ +2ax-a+6=0 x¤ +2(ax+1)=a-4에서 (cid:100)(cid:100)2a¤ +3a+1=0,(cid:100)(cid:100)(a+1)(2a+1)=0 가지면 (cid:8825) b={;2A;} Point Up 문제집 우공비 B0X 07 x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다. (cid:8833) b={;2A;}2 x¤ -2(x+a)+7=0, 즉 x¤ -2x-2a+7=0이 중 근을 가지므로 (cid:100)(cid:100)-2a+7={ -2 2 } (cid:100)(cid:100)-2a+7=1(cid:100)(cid:100)∴ a=3 이때 주어진 방정식은 x¤ -2x+1=0이므로 (cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (중근) 따라서 m=1이므로 (cid:100)(cid:100)a-m=3-1=2 08 (x+p)¤ =q (qæ0)의 해 (cid:8833) x=-p—'ßq 2(x+2)¤ =k에서(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ = ;2K; (cid:100)(cid:100)x+2=—æ;2K; (cid:100)(cid:100)∴ x=-2—æ;2K; 따라서 =5이므로(cid:100)(cid:100)k=10 ;2K; 제곱근을 이용한 a(x+p)¤ =q의 풀이 (단, a>0, qæ0) a(x+p)¤ =q에서 (cid:100)(x+p)¤ = ;aQ; (cid:100)x+p=—Æ;aQ; (cid:100)∴ x=-p—Æ;aQ; x¤ =a(a>0) (cid:8825) x는 a의 제곱근 (cid:8825) x=—'a (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 (∵ a는 정수) a=-1을 x¤ -ax-2a¤ -10=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ +x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-3)=0(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=3 따라서 b=-4이므로 (cid:100)(cid:100)a-b=-1-(-4)=3 3A=2B를 만족시키는 x의 값을 구한 후, 이 중 10 에서 A+0을 만족시키는 것을 찾는다. 3A=2B에서 (cid:100)(cid:100)3(x¤ -2x-15)=2(x¤ -3x-18) (cid:100)(cid:100)3x¤ -6x-45=2x¤ -6x-36 (cid:100)(cid:100)x¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ x=—3 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 한편 A=x¤ -2x-15=(x+3)(x-5)+0이므로 (cid:100)(cid:100)x+-3이고 x+5 yy ㉡(cid:100)(cid:100) 따라서 ㉠, ㉡을 만족시키는 x의 값은 x의 계수가 A이므로 A ¤ 을 더한 2 } 양변에 { 다. (cid:100)(cid:100)x=3 11 주어진 함수식에 점의 좌표를 대입한다. 일차함수 y=-mx+m¤ 의 그래프가 점 (5, 6)을 지나므로 y=-mx+m¤ 에 x=5, y=6을 대입하면 (cid:100)(cid:100)6=-5m+m¤ ,(cid:100)(cid:100)m¤ -5m-6=0 092 Check Up 풀이집 (cid:9000) ② (cid:9000) ⑤ (cid:9000) 3 (cid:9000) 3 (cid:100)(cid:100)(m+1)(m-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ m=-1 또는 m=6 (cid:9000) -1, 6 배점 3점 2점 12 채점 기준 a의 값 구하기 처음 이차방정식의 해 구하기 x¤ +3ax-2a=0의 x의 계수와 상수항을 바꾸 면(cid:100)(cid:100)x¤ -2ax+3a=0 x=-3을 위의 방정식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)(-3)¤ -2a_(-3)+3a=0 (cid:100)(cid:100)9+9a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 ▶ 3`점 따라서 처음 이차방정식은 x¤ -3x+2=0이므로 (cid:100)(cid:100)(x-1)(x-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=2 ▶ 2`점 (cid:9000) x=1 또는 x=2 13 채점 기준 이차방정식이 중근을 가질 조건 이용하기 a의 값 구하기 a의 값의 합 구하기 이 이차방정식이 중근을 가지므로 (cid:100)(cid:100)-a+6={ 2a 2 } (cid:100)(cid:100)-a+6=a¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ +a-6=0 (cid:100)(cid:100)(a+3)(a-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=-3 또는 a=2 따라서 모든 a의 값의 합은 (cid:100)(cid:100)-3+2=-1 14 채점 기준 주어진 이차방정식의 해 구하기 A+B의 값 구하기 x¤ +Ax-2=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +Ax+ =2+ A¤ 4 A (cid:100)(cid:100){x+ } 2 (cid:100)(cid:100)∴ x= ¤ = A¤ +8 4 -A—øπA¤ +8 2 ,(cid:100)(cid:100)x+ =— A 2 øπA¤ +8 2 (cid:100)(cid:100)A=-3, B=A¤ +8=(-3)¤ +8=17 따라서 이므로 (cid:100)(cid:100)A+B=-3+17=14 배점 2점 2점 1점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 (cid:9000) -1 배점 3점 2점 A¤ 4 ▶ 3`점 ▶ 2`점 (cid:9000) 14 ¤ ¤ ¤ D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지093 SinsagoHitec 08 회 Ⅲ -1. 이차방정식과 그 풀이 | 문제집 31~32쪽 먼저 인수분해를 이용하여 주어진 이차방정식의 우공비 B0X 05 두 근을 구한다. 문제집 30`~32`쪽 이상에서 이차방정식은 ㈀, ㈁, ㈂이다. (cid:9000) ① 이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 가지면 01 ① 05 ⑤ 09 ;6%; 12 23 02 ⑤ 06 ④ 03 ⑤ 07 ② 10 a=-3, x=-;5$; 04 ③ 08 ④ 11 -2 13 -16 14 x= ;2!; 또는 x=1 01 x에 대한 이차방정식 (cid:8833) (x에 대한 이차식)=0 ㈀ x¤ =2에서(cid:100)(cid:100)x¤ -2=0 ㈁ x¤ (x-1)=x‹ -4에서(cid:100)(cid:100)x‹ -x¤ =x‹ -4 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4=0 ㈂ (x¤ +1)¤ =x› +3에서(cid:100)(cid:100)x› +2x¤ +1=x› +3 ㈃ 3x¤ +x=3(x+1)(x-1)에서(cid:100)(cid:100)3x¤ +x=3x¤ -3 ㈄ 2x(x-1)=5+2x¤ 에서(cid:100)(cid:100)2x¤ -2x=5+2x¤ (cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -2=0 (cid:100)(cid:100)∴ x+3=0 (cid:100)(cid:100)∴ 2x+5=0 02 (cid:8833) 이차방정식이 참이 되는 x의 값 이차방정식의 해 ① x=-3을 x¤ -3x=0에 대입하면 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(-3)¤ -3_(-3)=18+0 ② x=-2를 2x¤ -6=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)2_(-2)¤ -6=2+0 ③ x=-1을 2x¤ -3x+1=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)2_(-1)¤ -3_(-1)+1=6+0 ④ x=3을 x¤ -6x+3=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)3¤ -6_3+3=-6+0 ⑤ x=-1을 x¤ +x=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)(-1)¤ +(-1)=0 (cid:9000) ⑤ 03 (cid:8833) x=k를 이차방정식에 대입한다. x=k가 이차방정식의 근 x=a를 x¤ +x-1=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)a¤ +a-1=0(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =1-a, a=1-a¤ (cid:100)(cid:100)∴ a¤ 1-a + a 1-a¤ = 1-a 1-a + 1-a¤ 1-a¤ =1+1=2 (cid:9000) ⑤ 04 주어진 식에 한 근을 대입한다. x=-1을 2ax¤ +a¤ x+8=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)a¤ -2a-8=0,(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=-2 또는 a=4 따라서 모든 a의 값의 합은 (cid:100)(cid:100)-2+4=2 (cid:9000) ③ i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ④ (cid:9000) ② (cid:9000) ④ (x+1)(x-3)=-4(x-7)+4에서 (cid:100)(cid:100)x¤ -2x-3=-4x+32,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-35=0 (cid:100)(cid:100)(x+7)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-7 또는 x=5 (cid:100)(cid:100)∴ a=-7, b=5 (∵ a0) (cid:9000) ② (cid:9000) ⑤ 04 갖는다. (cid:8833) b¤ -4ac>0 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 서로 다른 두 근을 이차방정식 x¤ -4x+k-1=0이 서로 다른 두 근 을 가지므로 (cid:100)(cid:100)(-4)¤ -4(k-1)>0 (cid:100)(cid:100)20-4k>0 (cid:100)(cid:100)∴ k<5 따라서 정수 k의 최댓값은 4이다. 05 갖는다. (cid:8833) b¤ -4ac>0 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 서로 다른 두 근을 주사위 한 개를 두 번 던졌을 때 나올 수 있는 모든 이차방정식 x¤ -2ax+b+3=0이 서로 다른 두 근을 가 경우의 수는 (cid:100)(cid:100)6_6=36 지려면 (cid:100)(cid:100)(-2a)¤ -4(b+3)>0 (cid:100)(cid:100)4a¤ -4b-12>0 (cid:100)(cid:100)∴ a¤ >b+3 위의 부등식을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (cid:100)(cid:100)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T (cid:9000) ② (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ② 우공비 B0X 문제집 32`~34`쪽 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 의 23개이다. 따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100);3@6#; ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 두 근이 a, b 06 (cid:8833) a+b=- , ab= ;aC; ;aB; 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)m=- =2 -2 1 m=2를 m¤ -m+k=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)2¤ -2+k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 07 물로켓이 지면에 떨어질 때 (cid:8833) h=0 물로켓이 지면에 떨어지는 것은 h=0일 때이므로 지면으로부터 높이가 0 (cid:8825) 지면 (cid:100)(cid:100)-5t¤ +50t+120=0 (cid:100)(cid:100)t¤ -10t-24=0 (cid:100)(cid:100)(t+2)(t-12)=0 (cid:100)(cid:100)∴ t=12 (∵ t>0) 따라서 물로켓이 지면에 떨어지는 것은 12초 후이다. 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm로 놓고 식 08 을 세운다. 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 큰 정사각형의 한 변의 길이는 (8-x) cm이므로 x¤ +(8-x)¤ =34,(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+15=0 (x-3)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=5 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 3 cm이다. 09 공통부분이 있는 이차방정식 (cid:8833) 공통부분을 치환 x¤ +3x=A로 치환하면(cid:100)(cid:100)A¤ -8A-20=0 (cid:100)(cid:100)(A+2)(A-10)=0 (cid:100)(cid:100)∴ A=-2 또는 A=10 ⁄ A=-2, 즉 x¤ +3x=-2일 때, (cid:100) x¤ +3x+2=0에서 (cid:100)(cid:100)(x+2)(x+1)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=-1 ¤ A=10, 즉 x¤ +3x=10일 때, (cid:100) x¤ +3x-10=0에서 (cid:100)(cid:100)(x+5)(x-2)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=2 중단원별 실전 TEST 095 (cid:9000) ④ x<8-x이므로 (cid:100)2x<8 (cid:100)∴ x<4 14중3상해설중단원(082-106)-OK 2014.10.1 5:21 PM 페이지096 SinsagoHitec Point Up 문제집 ⁄, ¤에서 주어진 방정식의 해는 (cid:100)(cid:100)x=-5 또는 x=-2 (cid:100)(cid:100)또는 x=-1 또는 x=2 이므로 구하는 합은 (cid:100)(cid:100)-5+(-2)+(-1)+2=-6 우공비 B0X (cid:9000) -6 이차방정식 x¤ +2ax+a¤ +2a-1=0이 중근을 가 이차방정식 x¤ -4x-8=0에서 근과 계수의 관계 이차방정식 x¤ - x-7=0의 두 근이 a, b이므로 근과 ;2!; 어느 세 점도 한 직선 위 에 있지 않은 n(næ2)개 의 점 중에서 두 점을 이 은 선분의 개수 n(n-1) 2 (cid:8825) 두 근이 a, b이고, x¤ 의 계 수가 a인 이차방정식 (cid:8825) a(x-a)(x-b)=0 13 채점 기준 이차방정식 세우기 조건에 맞는 답 구하기 12 채점 기준 a의 값 구하기 a+b, ab의 값 구하기 + ;å!; ;∫!; 의 값 구하기 (cid:100)(cid:100)(2a)¤ -4(a¤ +2a-1)=0 지므로 (cid:100)(cid:100)2a-1=0 (cid:100)(cid:100)∴ a= ;2!; 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+b= , ab=-7 1 (cid:100)(cid:100)∴ + = a a+b ab ;2!; 1 b = _{- ;2!; ;7!;} =- ;1¡4; n(n-1) 2 (cid:100)(cid:100)n¤ -n-42=0 =21 (cid:100)(cid:100)(n+6)(n-7)=0 (cid:100)(cid:100)∴ n=7 (∵ n>0) 14 채점 기준 이차방정식 세우기 해 구하기 답 구하기 의 길이는 이므로 10 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 두 근이 a, b (cid:8833) a+b=- , ab= ;aB; ;aC; 에 의하여 (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=4, (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=-8 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)-a=4+(-8)=-4 (cid:100)(cid:100)∴ a=4 (cid:100)(cid:100)b=4_(-8)=-32 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=4+(-32)=-28 즉 4, -8이 이차방정식 x¤ +ax+b=0의 두 근이므로 두 근이 4, -8이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (cid:9000) -28 (cid:100)(cid:100)(x-4)(x+8)=0, 즉 x¤ +4x-32=0 이므로 x¤ +4x-32=x¤ +ax+b에서 (cid:100)(cid:100)a=4, b=-32 연속하는 세 자연수 (cid:8833) x-1, x, x+1 (x는 x>1 11 인 자연수) a, b, c는 연속하는 세 자연수이므로 (cid:100)(cid:100)a=b-1, c=b+1 2b¤ =9(a+c)에서 (cid:100)(cid:100)2b¤ =9(b-1+b+1) (cid:100)(cid:100)2b¤ -18b=0,(cid:100)(cid:100)b(b-9)=0 (cid:100)(cid:100)∴ b=9 (∵ b는 자연수) 따라서 a=8, b=9, c=10이므로 (cid:100)(cid:100)a+b+c=8+9+10 =27 두 점P, Q 가 동시에 출발한 지 x초 후의 PB”, BQ” (cid:9000) 27 (cid:100)(cid:100)PB”=20-2x (cm), BQ”=16-x (cm) 보충 학습 수에 대한 활용 ① 연속하는 두 정수: x, x+1 또는 x-1, x (x는 정수) ② 연속하는 세 정수: x-1, x, x+1 또는 x, x+1, x+2 (x는 정수) ③ 연속하는 두 홀수: x, x+2 또는 x-2, x (x는 홀수) ④ 연속하는 두 짝수: x, x+2 또는 x-2, x (x는 짝수) 096 Check Up 풀이집 양변에 2를 곱하면 (cid:100)(20-2x)(16-x) =110 (cid:100)2x¤ -52x+320=110 (cid:100)2x¤ -52x+210=0 (cid:100)x¤ -26x+105=0 10초 후에 점 P가 점 B에 도착하므로 (cid:100)00 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 가질 때: b¤ -4ac=0 을 가지므로 (cid:100)(cid:100)(-3)¤ -4_2_(-k+1)>0 (cid:100)(cid:100)8k+1>0(cid:100)(cid:100)∴ k>-;8!; yy ㉠(cid:100)(cid:100) 또 이차방정식 x¤ +kx+5=0이 중근을 가지므로 (cid:100)(cid:100)k¤ -4_5=0,(cid:100)(cid:100)k¤ -20=0 (cid:100)(cid:100)∴ k=—2'5 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 실수 k의 값은 yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)k=2'5 04 (cid:8833) a+b=- , ab= ;aB; ;aC; 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)k+1=-3(cid:100)(cid:100)∴ k=-4 즉 x¤ +8x-3=0에서 (cid:100)(cid:100)x=-4—"√4¤ -1_(-3)=-4—'∂1å9 이고, 두 근의 합은 -8이다. 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다. (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ⑤ 하여 10이다. 06 (cid:8833) b¤ -4ac=0 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 갖는다. 이차방정식 x¤ -6x+k=0이 중근을 가지므로 (cid:100)(cid:100)(-6)¤ -4k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=9 (cid:100)(cid:100)x¤ -6x-16=0 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 6이다. (cid:9000) ① k=9를 x¤ -(k-3)x-16=0에 대입하면 (x+2)(x-8)=0 (cid:100)∴ x=-2 또는 x=8 a0 x>0, x-7>0이므 로(cid:100)(cid:100)x>7 따라서 60 m 이상의 높이에서 4초 동안 머문다. (cid:9000) ④ 08 (삼각형의 넓이)=;2!;_(밑변의 길이)_(높이) 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 삼각형의 밑변의 길이는 (x-7) cm이고 높이는 x cm이므로 (cid:100)(cid:100);2!;x(x-7)=72,(cid:100)(cid:100)x¤ -7x-144=0 (cid:100)(cid:100)(x+9)(x-16)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=16 (∵ x>7) 따라서 정사각형의 한 변의 길이가 16 cm이므로 정사각 (cid:9000) ④ 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b 형의 넓이는 (cid:100)(cid:100)16¤ =256 (cm¤ ) 09 (cid:8833) a+b=- , ab= ;aB; ;aC; 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)m+n=-a, mn=4 이차방정식 x¤ +ax+4=0의 두 근이 m, n이므로 근과 계수의 관계에 의 하여 두 근의 합이 (cid:100)-;1*;=-8 임을 알 수도 있다. (cid:100)(cid:100) + = n m m n m¤ +n¤ mn = (m+n)¤ -2mn mn = a¤ -8 4 (cid:100)(cid:100)a¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ a=2'5 (∵ a>0) =3 (cid:9000) 2'5 중단원별 실전 TEST 097 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지098 SinsagoHitec Point Up 문제집 10 공통부분 (cid:8833) A로 치환 (x+4)¤ =2(x+4)이므로 (cid:100)(cid:100)(x+4)¤ -2(x+4)=0 x+4=A로 치환하면(cid:100)(cid:100)A¤ -2A=0 (cid:100)(cid:100)A(A-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=0 또는 A=2 즉 x+4=0 또는 x+4=2이므로 (cid:100)(cid:100)x=-4 또는 x=-2 (cid:9000) -4, -2 11 채점 기준 이차방정식 세우기 모든 실수 x의 값의 곱 구하기 2x△(x-3)=5에서 (cid:100)(cid:100)(2x)¤ -2x(x-3)-(x-3)=5 (cid:100)(cid:100)2x¤ +5x-2=0 따라서 모든 실수 x의 값의 곱은 근과 계수의 관계에 의 하여 (cid:100)(cid:100) =-1 -2 2 12 채점 기준 이차방정식 세우기 해 구하기 가장 작은 반원의 반지름의 길이 구하기 간 크기의 반원의 반지름의 길이는 (cid:100)(cid:100) 20-2x 2 =10-x (cm) 이므로 어두운 부분의 넓이는 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 중 (cid:100)(cid:100) _{10¤ p-(10-x)¤ p-x¤ p}=24p ▶ 2`점 ;2!; (cid:100)(cid:100)x¤ -10x+24=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-6)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ 00) ▶ 2`점 따라서 연못의 반지름의 길이는 (1+'2 ) m이다. ▶ 1`점 (cid:9000) (1+'2 )m 098 Check Up 풀이집 배점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:9000) -1 배점 2점 2점 1점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 4 cm 배점 2점 2점 1점 ▶ 2`점 우공비 B0X x축을 접는 선으로 하 여 접었을 때 완전히 포개어진다. 11 회 Ⅳ -1. 이차함수와 그 그래프 | 문제집 37~38쪽 02 ⑤ 06 ① 03 ② 07 ⑤ 10 00일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 함 수는 ㈀, ㈁, ㈃이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. (cid:9000) ⑤ x는 가장 작은 반원의 반지름의 길이이므로 (cid:100)0<2x<10 (cid:100)∴ 00이면 아래로 볼록( ) ① ② a<0이면 위로 볼록( ) ⑵ 그래프의 폭 ① ① a의 절댓값이 클수록 폭이 좁다. ① ② a의 절댓값이 작을수록 폭이 넓다. 이차함수 y=ax¤ 에서 a의 값은 그래프의 모양과 폭 03 을 결정한다. |a|>|-;3!;| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 y=-;3!;x¤ 의 그래프 보다 폭이 좁으므로 꽃밭의 넓이가 전체의 이면 연못의 넓이도 ;2!; 전체의 이다. ;2!; 므로 (cid:100)(cid:100)a<-;3!; 또는 a>;3!; 또 y=ax¤ 의 그래프가 y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으 yy ㉠(cid:100)(cid:100) D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지099 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)-23 (cid:100)(cid:100)-3a+6<0(cid:100)(cid:100)∴ a>2 따라서 ㉠, ㉡에서 a의 값의 범위는 a>3 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9000) ③ x축과의 교점 (cid:8833) y=0일 때의 x의 값 06 y축과의 교점 (cid:8833) x=0일 때의 y의 값 직선 y=-x+4가 x축, y축과 만나는 점의 좌표는 각각(cid:100)(cid:100)(4, 0), (0, 4) 두 함수의 그래프가 x축, y축에서 만나므로 y=-x¤ -ax+b에 두 점 (4, 0), (0, 4)의 좌표를 각 각 대입하면 (cid:100)(cid:100)0=-16-4a+b, b=4 (cid:100)(cid:100)∴ a=-3, b=4 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=-3+4=1 y=-{x-3}@+6 07 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 y=-x¤ +6x-3 y=-(x-3)¤ +6 이므로 주어진 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같 다. ⑤ x<3일 때, x의 값이 증 가하면 y의 값도 증가한다. y 6 O -3 (cid:9000) ① (cid:9000) ⑤ 문제집 36`~38`쪽 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프에서 ① a>0 (cid:8825) x>p일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 xp일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소 x0)으로 놓으면 점 C 점 D와 x좌표가 같다. 의 좌표는 {a, - a¤ }이므로 ;2!; 점 D와 y좌표는 같고, x좌표는 절댓값이 같 고 부호가 반대이다. (cid:100)(cid:100)CD”=2a¤ -{- 이때 점 A는 점 D와 y축에 대칭인 점이므로 a¤ }= ;2!; ;2%; a¤ (cid:100)(cid:100)A(-a, 2a¤ )(cid:100)(cid:100)∴ AD”=2a 사각형 ABCD는 정사각형이므로 AD”=CD”에서 (cid:100)(cid:100) a¤ =2a,(cid:100)(cid:100)a{a- ;5$;}=0 ;2%; (cid:100)(cid:100)∴ a= (∵ a>0) ;5$; (cid:9000) ④ (cid:9000) ;5$; 그래프를 그려서 주어진 조건을 만족시키는 a의 10 값의 범위를 구한다. 이차함수 y=a(x-2)¤ -4의 y 그래프가 모든 사분면을 지날 때에 는 오른쪽 그림과 같다. 즉 아래로 볼록이어야 하므로 (cid:100)(cid:100)a>0 yy ㉠(cid:100)(cid:100) -4 2 O x y=a(x-2)¤ -4=ax¤ -4ax+4a-4에서 그래프의 y 절편은 4a-4이고, y절편이 0보다 작아야 하므로 (cid:100)(cid:100)4a-4<0 (cid:100)(cid:100)∴ a<1 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)00, (y좌표)>0 (cid:100)(cid:100)a<0 꼭짓점의 좌표가 (p, q)이고 제 1 사분면 위에 있으므로 p>0, q>0 (cid:9000) ① (cid:9000) ③ 점 (p, q)가 제`2사분면 위의 점 (cid:8825) p<0, q>0 ▶ 2`점 (cid:9000) -9 05 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지101 SinsagoHitec y=-3x¤ +12x-9 y=-3(x¤ -4x+4)+12-9 y=-3(x-2)¤ +3 이므로 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y 축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 따라서 p=2, q=3이므로 (cid:100)(cid:100)p+q=5 (cid:9000) ③ 함수의 그래프가 점 (a, b)를 지난다. 06 (cid:8833) 함수의 식에 x=a, y=b를 대입한다. 이차함수 y=x¤ +2x+a의 그래프가 점 (a, 2a¤ -3a)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)2a¤ -3a=a¤ +2a+a (cid:100)(cid:100)a¤ -6a=0,(cid:100)(cid:100)a(a-6)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=0 또는`` a=6 그런데 아래로 볼록한 포물선이 x축과 만나지 않으려면 꼭짓점의 y좌표가 양수이어야 한다. 즉 y=x¤ +2x+a=(x+1)¤ -1+a에서 (cid:100)(cid:100)-1+a>0(cid:100)(cid:100)∴ a>1 따라서 구하는 a의 값은 6이다. (cid:9000) ⑤ 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프에서 07 (cid:8833) a의 부호: 그래프의 모양에 따라 결정 (cid:8833) b의 부호: 축의 위치에 따라 결정 (cid:8833) c의 부호: y축과의 교점의 위치에 따라 결정 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 아래로 볼록 하므로(cid:100)(cid:100)a>0 축이 y축의 왼쪽에 위치하므로 (cid:100)(cid:100)ab>0(cid:100)(cid:100)∴ b>0 y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치하므로 (cid:100)(cid:100)c>0 ⑤ -bc<0 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프에서 08 (cid:8833) a의 부호: 그래프의 모양에 따라 결정 (cid:8833) b의 부호: 축의 위치에 따라 결정 (cid:8833) c의 부호: y축과의 교점의 위치에 따라 결정 p>0, q<0이므로 꼭짓점 (p, q)는 제4 사분면 위에 있다. 또 x¤ 의 계수 a는 a>0이므로 그 래프는 아래로 볼록하고, y축과 만나는 점의 y좌표인 c가 c>0이 므로 y축과의 교점이 원점보다 위쪽에 위치한다. y O 따라서 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프는 위의 그림 과 같고, 이 그래프는 제 1, 2, 4 사분면을 지난다. (cid:9000) ⑤ x (cid:9000) ③ 우공비 B0X 문제집 38~40`쪽 i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T 09 점 P는 이차함수 y= x¤ 의 그래프 위의 점이다. ;2!; (cid:8833) P{a, ;2!;a¤ } 점 P가 y= x¤ 의 그래프 위의 점이므로 ;2!; (cid:100)(cid:100)P {a, ;2!; a¤ }, 즉 b=;2!;a¤ △POA= _OA”_b △POA= _6_ a¤ = ;2!; a¤ ;2# 이므로(cid:100)(cid:100) a¤ =24 ;2#; (cid:100)(cid:100)a¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ a=—4 ;2!; ;2!; ;2!; 그런데 점 P가 제 1 사분면 위의 점이므로(cid:100)(cid:100)a=4 따라서 b= _4¤ =8이므로 점 P의 좌표는 (4, 8)이다. (cid:9000) P(4, 8) 10 (cid:8833) y=a(x-p)¤ 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만난다. 조건 ㈎`에서 구하는 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만나므로 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ 으로 놓을 수 있다. 조건 ㈐`에서 축의 방정식이 x=2이므로(cid:100)(cid:100)p=2 또 조건 ㈏`에서 함수의 그래프가 점 (4, 2)를 지나므로 포물선이 x축과 만나지 않을 때 ① 아래로 볼록한 경우 : (꼭짓점의 y좌표)>0 ② 위로 볼록한 경우 : (꼭짓점의 y좌표)<0 꼭짓점의 y좌표가 0이 므로 y=a(x-p)¤ +q 에서(cid:100)q=0 (cid:100)∴ y=a(x-p)¤ 그래프가 점 (a, b)를 지난다. (cid:8825) 점 (a, b)가 그래 (cid:8825) x=a, y=b를 그 래프의 식에 대입 하면 성립한다. (cid:100)(cid:100)2=a(4-2)¤ (cid:100)(cid:100)2=4a(cid:100)(cid:100)∴ a= ;2!; 프 위에 있다. 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y= (x-2)¤ ;2!; (cid:9000) y= (x-2)¤ ;2!; 11 채점 기준 y=-2(x+b)¤ +c의 그래프를 평행이동한 그래프 의 식 구하기 abc의 값 구하기 배점 2점 3점 이차함수 y=-2(x+b)¤ +c의 그래프를 x축의 방 향으로 -4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그 래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-2(x+4+b)¤ +c+5 ▶ 2`점 따라서 a=-2, 4+b=1, c+5=3이므로 (cid:100)(cid:100)a=-2, b=-3, c=-2 (cid:100)(cid:100)∴ abc=-12 12 채점 기준 주어진 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고치기 m의 값 구하기 꼭짓점의 좌표 구하기 ▶ 3`점 (cid:9000) -12 배점 3점 2점 1점 중단원별 실전 TEST 101 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지102 SinsagoHitec Point Up 문제집 y=- x¤ -2mx+m-1 ;3!; ;3!; ;3!; =- (x¤ +6mx+9m¤ )+3m¤ +m-1 =- (x+3m)¤ +3m¤ +m-1 ▶ 3`점 축의 방정식이 x=-3m이므로 (cid:100)(cid:100)-3m=-3(cid:100)(cid:100)∴ m=1 ▶ 2`점 이때 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3m, 3m¤ +m-1) 이므로 m=1을 대입하면 (cid:100)(cid:100)(-3, 3) 13 채점 기준 세 점 A, B, C의 좌표 구하기 AB”의 중점의 좌표 구하기 mn의 값 구하기 이차함수 y=x¤ -2x-8에 y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ -2x-8=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=4 (cid:100)(cid:100)∴ A(-2, 0), B(4, 0) y=x¤ -2x-8에 x=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)y=-8 (cid:100)(cid:100)∴ C(0, -8) 한편 직선 y=mx+n은 △ABC의 넓이를 이등분하므 로 AB”의 중점을 지난다. 이때 AB”=6이므로 AB”의 중점의 x좌표는 따라서 직선 y=mx+n은 두 점 (1, 0), (0, -8)을 (cid:100)(cid:100)-2+;2^;=1 즉 중점의 좌표는 (1, 0)이다. 지나므로 (cid:100)(cid:100)0=m+n, -8=n (cid:100)(cid:100)∴ m=8, n=-8 (cid:100)(cid:100)∴ mn=-64 ▶ 2`점 ▶ 1`점 ▶ 2`점 (cid:9000) -64 13 회 Ⅳ -2. 이차함수의 활용 | 문제집 41~42쪽 01 ② 05 ③ 09 25 13 128 02 ④ 06 ④ 10 5초 03 ③ 07 ⑤ 11 aæ5 04 ⑤ 08 ④ 12 12 102 Check Up 풀이집 우공비 B0X 01 꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼭짓점의 좌표가 (1, -3)이므로 구하는 이차함수 의 식을 y=a(x-1)¤ -3으로 놓을 수 있다. 이때 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-1=a(0-1)¤ -3 (cid:100)(cid:100)∴ a=2 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2(x-1)¤ -3, 즉 y=2x¤ -4x-1 ▶ 1`점 (cid:9000) (-3, 3) 배점 2점 1점 2점 축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q y축을 축으로 하므로 이차함수의 식을 y=ax¤ +q ① y축의 방정식: x=0 ② x축의 방정식: y=0 로 놓을 수 있다. y=ax¤ +q의 그래프가 두 점 (-1, 6), (3, 22)를 지나 02 므로 (cid:9000) ② (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ (cid:100)(cid:100)6=a+q, 22=9a+q 두 식을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=2, q=4 따라서 y=2x¤ +4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(0, 4) 03 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 대입한다. 세 점을 지나는 포물선 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c라 하면 그 그래프 가 세 점 (0, 5), (2, -3), (-1, 6)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)5=c, -3=4a+2b+c, 6=a-b+c 위의 세 식을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=-1, b=-2, c=5 (cid:100)(cid:100)∴ y=-x¤ -2x+5 x축과의 두 교점의 좌표가 (a, 0), (b, 0) 04 (cid:8833) y=a(x-a)(x-b) ①, ②, ③ 주어진 그래프가 x축과 두 점 (-4, 0), (1, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-1)로 놓을 수 있다. 이차함수의 그래프가 점 (0, 8)을 지나므로 x=0, y=8을 대입하면 (cid:100)(cid:100)8=a_4_(-1)(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-2(x+4)(x-1) (cid:100)(cid:100)y=-2x¤ -6x+8 (cid:100)(cid:100)y=-2{x¤ +3x+;4(;}+;;™2∞;; (cid:100)(cid:100)y=-2{x+;2#;} ¤ +;;™2∞;; c=5이므로 (cid:100)4a+2b=-8 y ㉠ y ㉡ (cid:100)a-b=1 ㉠+2_㉡을 하면 (cid:100)6a=-6(cid:100) (cid:100)∴ a=-1 이를 ㉡에 대입하면 (cid:100)-1-b=1 (cid:100)∴ b=-2 그래프가 점 (a, b)를 지 난다. (cid:8825) x=a, y=b를 대입하 면 등식이 성립한다. D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지103 SinsagoHitec 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {-;2#;, :™2∞:}이고, 따라서 k=b-a는 a=-;4%;에서 최댓값 ;;£8£;;을 갖는다. 우공비 B0X 문제집 40`~42`쪽 05 대신 x-a, y 대신 y-b를 대입한다. y=x¤ -6x+4를 y=(x-p)¤ +q 꼴로 고친 후 x y=x¤ -6x+4=(x-3)¤ -5의 그래프를 x축의 방 보충 학습 향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프 축의 방정식은 x=-;2#;이다. ④ |-2|>1이므로 y=x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다. ⑤ y=-2x¤ -6x+8에 y=8을 대입하면 ⑤ (cid:100)(cid:100)2x¤ +6x=0,(cid:100)(cid:100)2x(x+3)=0 ⑤ (cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=0 ⑤ 즉 점 A의 좌표는 (-3, 8)이다. (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4에서 그래프의 꼭짓점의 의 식은 (cid:100)(cid:100)y=(x-a-3)¤ -5+b 이므로 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(a+3, -5+b) 좌표는 (1, -4)이므로 (cid:100)(cid:100)a+3=1, -5+b=-4 따라서 a=-2, b=1이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=-1 y=-;3!;x¤ +2x+4 y=-;3!;(x¤ -6x+9)+3+4 y=-;3!;(x-3)¤ +7 따라서 x=3에서 최댓값 7을 가지므로 (cid:100)(cid:100)a=3, b=7 (cid:100)(cid:100)∴ b-a=7-3=4 07 b-a=k로 놓고 a, b의 관계식에 대입한다. y=-2x¤ -4x+1에 x=a, y=b를 대입하면 (cid:100)(cid:100)b=-2a¤ -4a+1 yy ㉠(cid:100)(cid:100) b-a=k로 놓고 ㉠을 b-a=k에 대입하면 (cid:100)(cid:100)k=(-2a¤ -4a+1)-a =-2a¤ -5a+1 =-2{a¤ +;2%;a+;1@6%;}+;;£8£;; =-2{a+;4%;} ¤ +;;£8£;; i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ④ 08 6xy를 x에 대한 식으로 나타낸다. 3y=8-2x이고 6xy=2x_3y이므로 (cid:100)(cid:100)6xy=2x_(8-2x) =-4x¤ +16x =-4(x¤ -4x+4)+16 =-4(x-2)¤ +16 따라서 6xy는 x=2에서 최댓값 16을 갖는다. 합이 일정한 두 수는 두 수가 같을 때 곱이 최대가 된다. 따라서 2x_3y의 최댓값은 2x=3y일 때이므로 2x+3y=8에서 (cid:100)(cid:100)2x+2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=2 2_2=3y에서 y= 이므로 (cid:100)(cid:100)6xy=6_2_ =16 ;3$; ;3$; 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 한 점에서 축 09 까지의 거리 (cid:8833) (x축과 만나는 두 점 사이의 거리)_;2!; y축을 축으로 하고, 그래프의 축과 x축과의 교점 사이의 거리가 5이므로 x축과의 교점의 좌표는 (5, 0)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)y=(x+5)(x-5)=x¤ -25 (cid:100)(cid:100)∴ a=0, b=-25 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=0-(-25)=25 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 최대¥최소 10 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. y=- x¤ +x+ ;3%; ;1¡0; ;1¡0; ;1¡0; y=- (x¤ -10x+25)+ + ;2%; ;3%; y=- (x-5)¤ + ;;™6∞;; 이므로 y는 x=5에서 최댓값 를 갖는다. ;;™6∞;; 따라서 5초 후에 공의 높이가 최대가 된다. (cid:9000) 25 (cid:9000) 5초 x=-1에서 최솟값 -5를 가지므로 a>0이고, 꼭 11 짓점의 좌표는 (-1, -5)이다. 중단원별 실전 TEST 103 06 y=a(x-p)¤ +q(a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q ;2!;_(x축과 만나는 두 점 사이의 거리) (cid:100)(cid:100)(-5, 0), (5, 0) 따라서 y=x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (-5, 0), D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지104 SinsagoHitec Point Up 문제집 우공비 B0X y=ax¤ +bx+c=a(x+1)¤ -5 의 그래프는 제`4`사분면을 지나지 않으므로 오른쪽 그림과 같다. 그래프가 아래로 볼록하므로 (cid:100)(cid:100)a>0 yy㉠ y -1 O x -5 y축과의 교점이 원점이거나 원점보다 위쪽에 위치하므로 (cid:100)(cid:100)c=a-5æ0(cid:100)(cid:100)∴ aæ5 yy ㉡(cid:100)(cid:100) ㉠, ㉡에서 a의 값의 범위는 (cid:100)(cid:100)aæ5 12 채점 기준 이차방정식의 두 근을 이용하여 이차함수의 식 세우기 a, b, c의 값 구하기 a+b+c의 값 구하기 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 -5, 3이므 로 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프와 x축과의 교점 의 좌표는 (-5, 0) (3, 0)이다. (cid:100)(cid:100)∴ y=a(x+5)(x-3) =a(x¤ +2x-15) =a(x¤ +2x+1)-16a =a(x+1)¤ -16a 이 함수의 최댓값이 16이므로 (cid:100)(cid:100)-16a=16 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-(x¤ +2x-15), 즉 y=-x¤ -2x+15 이므로 (cid:100)(cid:100)a=-1, b=-2, c=15 (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=-1+(-2)+15=12 13 채점 기준 x초 후의 직사각형의 가로, 세로의 길이 구하기 y를 x에 대한 식으로 나타내기 y의 최댓값 구하기 x초 후의 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 (cid:100)(cid:100)(12-x)cm, (8+2x)cm (cid:100)(cid:100)∴ y=(8+2x)(12-x) (cid:100)(cid:100)∴ y=2(x+4)(12-x) (cid:100)(cid:100)∴ y=-2(x¤ -8x-48) (cid:100)(cid:100)∴ y=-2(x¤ -8x+16)+32+96 (cid:100)(cid:100)∴ y=-2(x-4)¤ +128 따라서 y는 x=4에서 최댓값 128을 갖는다. 104 Check Up 풀이집 (cid:9000) aæ5 배점 2점 2점 1점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 12 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:9000) 128 x=0일 때 y의 값 그래프의 식에 x=0, y=6을 대입한다. (cid:100)(cid:100)6=a {0- ;2!;} ¤ + ;;™4∞;; 14 회 Ⅳ -2. 이차함수의 활용 | 문제집 43~44쪽 02 ③ 06 ④ 10 5 03 ③ 07 ③ 11 bc…0 04 ④ 08 -3 12 3, 18 m¤ 01 ① 05 ① 09 7 01 꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 그래프의 꼭짓점의 좌표가 {;2!; ¤ + 는 이차함수의 식을 y=a{x- ;2!;} 이 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로 , ;;™4∞;;}이므로 구하 로 놓을 수 있다. ;;™4∞;; (cid:100)(cid:100) a=- (cid:100)(cid:100)∴ a=-1 ;4!; ;4!; 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-{x- ;2!;} ¤ + ;;™4∞;; , 즉 y=-x¤ +x+6 (cid:9000) ① 02 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점 좌표를 각각 대입한다. 그래프가 지나는 세 점의 좌표를 알 때 이차함수의 그래프가 세 점 (0, -1), (-1, -6), (1, 2)를 지나므로 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입하면 (cid:100)(cid:100)-1=c, -6=a-b+c, 2=a+b+c (cid:100)(cid:100)∴ a=-1, b=4, c=-1 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4x-1=-(x-2)¤ +3 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(2, 3) (cid:9000) ③ x축과의 교점의 x좌표가 a, b 03 (cid:8833) y=a(x-a)(x-b) 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x 좌표가 -2, 5이므로 이차함수의 식을 (cid:100)(cid:100)y=a(x+2)(x-5) 로 놓을 수 있다. 또 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로 c=-1이므로 (cid:100)a-b=-5 y ㉠ y ㉡ (cid:100)a+b=3 ㉠+㉡을 하면 (cid:100)2a=-2 (cid:100)∴ a=-1 ㉠-㉡을 하면 (cid:100)-2b=-8 (cid:100)∴ b=4 (직사각형의 넓이) =(가로의 길이) _(세로의 길이) (cid:100)(cid:100)5=a(0+2)(0-5) (cid:100)(cid:100)∴ a=- ;2!; 따라서 주어진 이차함수의 식이 (cid:100)(cid:100)y=- (x+2)(x-5), 즉 y=- x¤ + x+5 ;2!; ;2#; ;2!; 이므로(cid:100)(cid:100)b= , c=5 ;2#; (cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=- + +5=6 ;2!; ;2#; (cid:9000) ③ D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지105 SinsagoHitec 이차함수의 최댓값이 q 04 (cid:8833) 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 q y=ax¤ +4ax+a =a(x¤ +4x+4)-4a+a y=a(x+2)¤ -3a 이므로 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, -3a)이다. 이때 주어진 이차함수의 최댓값이 3이므로 (cid:100)(cid:100)-3a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, 3)이다. (cid:9000) ④ 그래프가 점 (a, b)를 지난다. 05 (cid:8833) x=a, y=b를 대입하면 등식이 성립한다. 이차함수 y=2x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (2, 0), y=-2x+6에 x=;2#;을 대입하면 (cid:100)y=-2_;2#;+6 =3 최댓값 또는 최솟값을 구 할 때에는 이차함수의 식 을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. (0, -4)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)0=8+2a+b, -4=b (cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=-4 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2x¤ -2x-4 (cid:100)(cid:100)y=2{x¤ -x+;4!;}-;2(; (cid:100)(cid:100)y=2{x-;2!;}2 -;2(; 이므로 x=;2!;에서 최솟값 -;2(;를 갖는다. (cid:9000) ① 06 축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 축의 방정식이 x=2이고 최댓값이 1이므로 구하는 이차함수의 식을 (cid:100)(cid:100)y=a(x-2)¤ +1 (a<0) 로 놓을 수 있다. 그래프가 원점을 지나므로 (cid:100)(cid:100)0=4a+1(cid:100)(cid:100)∴ a=- ;4!; 따라서 구하는 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=- (x-2)¤ +1 ;4!; (cid:9000) ④ 점 P가 직선y=-2x+6 위에 있다. 07 (cid:8833) P(x, -2x+6) 점 P의 좌표를 (x, -2x+6)이라 하고, 직사각형 의 넓이를 y라 하면 (cid:100)(cid:100)y=x(-2x+6) (cid:100)(cid:100)y=-2x¤ +6x (cid:100)(cid:100)y=-2{x¤ -3x+ ;4(;}+ ;2(; (cid:100)(cid:100)y=-2{x- ;2#;} ¤ + ;2(; 우공비 B0X 문제집 42`~44`쪽 i P o n t U p 중 단 원 별 실 전 T E S T 따라서 y는 x= 일 때 최댓값 를 가지므로 이때의 ;2#; ;2(; 점 P의 좌표는 {;2#; , 3}이다. (cid:9000) ③ 08 축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다. 그래프가 두 점 (-4, -3), (1, -8)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-3=4a+q, -8=9a+q (cid:100)(cid:100)∴ a=-1, q=1 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-(x+2)¤ +1, 즉 y=-x¤ -4x-3 이므로 구하는 y좌표는 -3이다. 09 x=p에서 최댓값 q (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q (a<0) x=2에서 최댓값 k를 가지므로 (cid:100)(cid:100)y=-(x-2)¤ +k (cid:100)(cid:100)y=-(x¤ -4x+4)+k (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4x-4+k 이 식이 y=-x¤ +4(a-1)x+1과 같으므로 (cid:100)(cid:100)4=4(a-1), -4+k=1 (cid:100)(cid:100)∴ a=2, k=5 따라서 구하는 값은 (cid:100)(cid:100)a+k=7 (cid:9000) -3 (cid:9000) 7 꼭짓점의 x좌표가 2, y좌표가 1 y=-{x¤ -4(a-1)x+(2a-2)¤ } +(2a-2)¤ +1 =-{x-(2a-2)}¤ +(2a-2)¤ +1 x=2에서 최댓값 k를 가지므로 2a-2=2에서 그래프의 식에 x=0, y=0을 대입한다. (cid:100)(cid:100)2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (2a-2)¤ +1=k에 a=2를 대입하면 (cid:100)(cid:100)k=(2_2-2)¤ +1=5 (cid:100)(cid:100)∴ a+k=2+5=7 그래프가 아래로 볼록 하므로 최솟값을 갖는 다. 그래프가 위로 볼록하 므로 최댓값을 갖는다. 10 먼저 주어진 이차함수의 최솟값 M을 구한다. y=x¤ -2mx+6m-4 y=(x¤ -2mx+m¤ )-m¤ +6m-4 y=(x-m)¤ -m¤ +6m-4 이므로 x=m에서 최솟값 -m¤ +6m-4를 갖는다. (cid:100)(cid:100)∴ M=-m¤ +6m-4 =-(m¤ -6m+9)+9-4 =-(m-3)¤ +5 따라서 M은 m=3에서 최댓값 5를 갖는다. (cid:9000) 5 중단원별 실전 TEST 105 D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지106 SinsagoHitec Point Up 문제집 11 채점 기준 이차함수의 그래프 그리기 b, c의 부호 구하기 bc의 부호 구하기 이차함수 y=ax¤ +bx+c가 최댓값을 갖지 않으므로 이 그래프 는 아래로 볼록하고 제1, 2, 4 사 분면을 지나므로 오른쪽 그림과 같 다. ▶ 2`점 y O 즉 a>0이고, y축과의 교점은 원점이거나 원점보다 위쪽에 우공비 B0X y=ax¤ +bx+c의 그래프 에서 a의 부호는 그래프의 모양, b의 부호는 축의 위 치, c의 부호는 y축과의 교점의 위치에 따라 결정 된다. 배점 2점 3점 1점 x 대단원별 실전 TEST 01 회 Ⅰ 제곱근과 실수 | 문제집 45~48쪽 02 ②, ④ 03 ③ 01 ② 05 ③ 13 ⑤ 17 ④ 09 ①, ⑤ 10 ④ 06 ③ 14 ⑤ 18 30 21 1.414 22 '∂21 25 -1+'2 04 ④ 08 ④ 12 ① 16 ⑤ 20 '3-'6 24 0 07 ④ 11 ④ 15 ② 19 5 23 '∂15 3 위치하므로 (cid:100)(cid:100)cæ0 축이 y축의 오른쪽에 위치하므로 (cid:100)(cid:100)ab<0(cid:100)(cid:100)∴ b<0 따라서 b<0, cæ0이므로 (cid:100)(cid:100)bc…0 12 채점 기준 이차함수의 식 세우기 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 나타내기 x의 값과 닭장의 최대 넓이 구하기 넓이를 y m¤ 라 하면 (cid:100)(cid:100)y=x(12-2x) =-2x¤ +12x (cid:100)(cid:100)y=-2(x¤ -6x+9)+18 (cid:100)(cid:100)y=-2(x-3)¤ +18 닭장의 가로의 길이는 (12-2x)m이고, 닭장의 따라서 x=3에서 최댓값 18을 가지므로 닭장의 넓이의 최댓값은 18 m¤ 이다. ▶ 3`점 a의 제곱근을 제곱하면 a 가 된다. 01 a>0일 때, ('åa)¤ =a, (-'åa )¤ =a ① -"√10¤ =-10 ② (-'ß10 )¤ =10 ③ 100의 음의 제곱근은(cid:100)(cid:100)-'ß100=-10 ④ -('ß10 )¤ =-10 ⑤ -"√(-10)¤ =-10 02 양수 a의 제곱근 (cid:8833) —'a 각 수의 제곱근을 구해 보면 다음과 같다. (cid:100)(가로의 길이) (cid:100)+2_(세로의 길이) =(철망의 길이) 1.H7= 17-1 9 = ;;¡9§;; ② —"ç1.H7=—Ƭ;;¡9§;;=—;3$; ① —'∂0.1 ③ —Æ;8(; ▶ 1점 (cid:9000) bc…0 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:9000) 3, 18m¤ (cid:9000) ② (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ ④ '6ß2å5="ç25¤ =25이므로 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'2å5=—5 ⑤ '∂0.ß6å4=Ƭ;1§0¢0;=;1•0;= ;5$; 이므로 제곱근은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)—Æ;5$; (cid:9000) ②, ④ 03 a>0일 때, "√(-a)¤ =a, (-'a )¤ =a, "ça¤ =a "√(-3)¤ =3, (-'2)¤ =2, "ç5¤ =5이므로 (cid:100)(cid:100)2"√(-3)¤ +(-'2)¤ -"ç5¤ =2_3+2-5=3 04 "ça¤ =[ a (aæ0) -a (a<0) a-3<0, a>0이므로 (cid:100)(cid:100)"√(a-3)¤ -"aΩ ¤ =-(a-3)-a=-a+3-a =-2a+3 106 Check Up 풀이집 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지107 SinsagoHitec 우공비 B0X 문제집 44~47쪽 05 a, b, c가 양수일 때, 'ßa<'b<'c (cid:8833) a0 (cid:8825) a>b ② a-b=0 (cid:8825) a=b ③ a-b<0 (cid:8825) a'3에서 '4-'3>0이므로 ② (cid:100)(cid:100)2-'3>0 1 ③ ;3!;= 이고 '9 1 ② (cid:100)(cid:100) >;3!; '3 1 '9 1 '3 > 이므로 양수 a, b, c에 대하여 a0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)3-'7>3-'8 i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T 06 0과 1 사이의 수를 대입해 본다. , 'a, ;a!; , a, a¤ 을 각각 제곱하면 (cid:100)(cid:100) ;a!; 1 a¤ , a¤ , a› a= 을 각 식에 대입하면 1 'a , a, ;2!; ;a!; (cid:100)(cid:100) =2, a= , =4, a¤ = , a› = ;4!; ;1¡6; 1 a¤ ;2!; 이므로(cid:100)(cid:100)a› 0)라 하면 그 넓이는 각각 4k¤ cm¤ , 9k¤ cm¤ 가 된다. 두 정사각형의 넓이의 합이 65 cm¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)4k¤ +9k¤ =65,(cid:100)(cid:100)13k¤ =65 (cid:100)(cid:100)k¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ k='5 (∵ k>0) 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 (cid:100)(cid:100)3k=3_'5=3'5 (cm) ∂ab 12 a>0, b>0일 때, 'a 'b='ß 구하는 직육면체의 높이를 x라 하면 (cid:100)(cid:100)'3_'6_x=9'2,(cid:100)(cid:100)'1å8x=9'2 (cid:100)(cid:100)3'2x=9'2(cid:100)(cid:100)∴ x= =3 9'2 3'2 보충 학습 직육면체의 부피는 이다. (cid:100)(cid:100)(밑면의 가로의 길이)_(밑면의 세로의 길이)_(높이) 09 실수 [ 유리수 무리수 ① '4=2이므로 유리수이다. ② 유리수이면서 무리수인 수는 없다. ③ 순환소수는 유리수이다. •순환소수 (cid:8825) 유리수 (cid:8825) 무리수 •순환하지 않는 무한소수 13 a>0일 때, '1∂00a=10'a, Ƭ;10A0;= 'ßa 10 ① '5∂61='ƒ5.61ƒ_10å0='∂5.ß61_10 =2.369_10 =23.69 대단원별 실전 TEST 107 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지108 SinsagoHitec 우공비 B0X Point Up 문제집 ② 'ƒ0.05ß8å4=Ƭ 5.84 100 = '∂5.84 10 ② 'ƒ0.05ß8å4=2.417_;1¡0; ② 'ƒ0.05ß8å4=0.2417 ③ 'ƒ5540å0='ƒ5.54ƒ_10ß =2.354_100 =235.4 ∂000='∂5.∂54_100 ④ '5ß8å0+1='ƒ5.80ƒ_10å0+1='∂5.∂80_10+1 =2.408_10+1 =25.08 ⑤ '0ƒ.00573 =Ƭ 이고 '5ß7ß.3의 값은 (cid:100) 표에 제시되어 있지 않으므로 주어진 표를 이용하여 = 57.3 10000 '∂57.3 100 그 값을 구할 수 없다. (cid:9000) ⑤ 14 a>0일 때, 'ƒ100a=10'a, Æ…;10A0; = 'a 10 '∂134='ƒ1.34_100 ='∂1.34_10=10a '∂13.4 10 13.4 100 = = ;1ı0; 'ƒ0.134=Æ… (cid:100)(cid:100)∴ '∂134+'ƒ0.134=10a+ ;1ı0; (cid:9000) ⑤ a, b가 유리수이고 '∂m이 무리수일 때, 15 a+b'∂m이 유리수일 조건 (cid:8833) b=0 3(a-2'5)-'5('5+2a) =3a-6'5-5-2a'5 =(3a-5)-(6+2a)'5 위의 식의 값이 유리수가 되려면 (cid:100)(cid:100)6+2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-3 16 a>0, b>0일 때, 'b 'a =Æ;aB; '∂18-'3 '3 '∂18 '3 - '3 '3 '∂12-'2 '2 + = '∂12 '2 '2 - + '2 ='6-1+'6-1 =2'6-2 17 분모가 무리수 (cid:8833) 분모를 유리화한다. ① x¤ =(2-'3)¤ =4-4'3+3=7-4'3 = ③ ② '3x='3(2-'3)=2'3-3 1 2+'3 2-'3 (2-'3)(2+'3) =(2-'3)+(2+'3)=4 ④ x+ ;[!; = ;[!; =2+'3 108 Check Up 풀이집 (cid:9000) ② a=-3이면 주어진 식 의 값은 -14이므로 유리수가 된다. 6 ='6, 6 ='6 '∂12 '2 '∂18 '3 (cid:9000) ⑤ 소수의 제곱근을 구할 때에는 소수를 분수로 고쳐서 계산하면 더 편리하다. ⑤ x- ;[!; =(2-'3)-(2+'3)=-2'3 따라서 유리수인 것은 ④ x+ 이다. (cid:9000) ④ ;[!; 18 '∂A (A>0)가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수) 96x 5 = 2fi _3_x 5 에서 x=2_3_5_(자연수)¤ 꼴이어야 한다. 따라서 자연수 x의 최솟값은 (cid:100)(cid:100)x=2_3_5=30 (cid:9000) 30 보충 학습 '∂Ax, Ƭ A x 자연수 x의 값 구하기 ① A를 소인수분해한다. x의 값을 정한다. (A는 자연수)의 값이 자연수가 되도록 하는 ② 근호 안의 소인수의 지수가 모두 짝수가 되도록 자연수 19 f(x)의 뜻을 이해한다. '2å5<'3å2<'3å6이므로 (cid:100)(cid:100)5<'3å2<6 따라서 '3å2 이하의 자연수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이므로 (cid:100)(cid:100)f(32)=5 (cid:9000) 5 20 a>0일 때, "≈a¤ =a, = 1 'a -'2 {2'3- } 'a a 4 '6 3'2-1 '3 3'6-'3 3 = -2'6+ 4 '3 4'3 3 '3 ='6- -2'6+ 3 ='3-'6 (cid:9000) '3-'6 21 a>0일 때, 'ƒ100a=10'a, Ƭ;10A0; = 'a 10 1 '2 '∂0.18+'∂2.88- =Ƭ;1¡0•0; 3'2 10 = +Ƭ;1@0*0*; 12'2 10 + - - '2 '2_'2 '2 2 ={;1£0;+;1!0@;-;2!;}'2 ='2=1.414 (cid:9000) 1.414 배점 2점 3점 22 채점 기준 사다리꼴의 넓이 구하기 정사각형의 한 변의 길이 구하기 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지109 SinsagoHitec (사다리꼴의 넓이)=;2!;_(5+9)_3=21 ▶ 2`점 사다리꼴의 넓이가 21이므로 넓이가 같은 정사각형의 (사다리꼴의 넓이) 02 회 Ⅰ 제곱근과 실수 | 문제집 49~52쪽 우공비 B0X _{(윗변의 길이) =;2!; +(아랫변의 길이)} _(높이) 문제집 47~49쪽 01 ② 05 ③ 09 ① 02 ⑤ 06 ② 10 ④ 13 ②, ⑤ 14 ⑤ 17 ① 18 ③ 21 -7, -67 24 '5-2 25 2000 03 ③ 07 ④ 11 ② 15 ⑤ 19 12 22 0 04 ③ 08 ② 12 ② 16 ① 20 8'2 23 ;5$; a>0일 때, a의 제곱근: —'a 제곱근 a: 'a 01 양수 a의 제곱근 (cid:8833) 제곱하여 a가 되는 수 15의 제곱근이 x이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =15 (cid:100)(cid:100)∴ x=—'∂15 따라서 옳은 것은 ②이다. 02 a>0일 때, (-'åa )¤ =a, "ç ≈a¤ ="√(-a)¤ =a (cid:9000) 'ß15 3 a>0, b>0일 때, (cid:100)'a+'b+'ƒa+b 임에 주의한다. ① -"√(-2)¤ =-2 ② '2+'3+'5 ③ (-'5 )¤ -(-'2 )¤ =5-2=3 ④ "≈4¤ +"√(-3)¤ =4+3=7 ⑤ "ç15¤ ÷(-'3)¤ =15÷3=5 03 01 ;a!; ('3)¤ +2_'3_'2 +('2)¤ =3+2'6+2 =5+2'6 (cid:100)(cid:100)æ{±;a!;±-1} ¤ = -1 ;a!; 01, 즉 -1>0이므로 ;a!; ;a!; (cid:9000) ② (cid:9000) ⑤ i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T 한 변의 길이를 x라 하면 (cid:100)(cid:100)x¤ =21 (cid:100)(cid:100)∴ x='2å1(∵ x>0) 23 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 의 값 구하기 Æ;aB; 'ß54='ƒ9_6=3'6이므로 (cid:100)(cid:100)a=3 'ß175='ƒ25_7=5'7이므로 (cid:100)(cid:100)b=5 (cid:100)(cid:100)∴ Æ;aB; =Æ;3%; '5 = = '3 'ß15 3 24 채점 기준 x의 분모를 유리화하기 x¤ -10x가 포함된 식 만들기 x¤ -10x+1의 값 구하기 = x= '3+'2 '3-'2 x=5+2'6 이므로(cid:100)(cid:100)x-5=2'6 위의 식의 양변을 제곱하면 (cid:100)(cid:100)x¤ -10x+25=24 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x=-1 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x+1=-1+1=0 ('3+'2)¤ ('3-'2)('3+'2) 25 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 a-b의 값 구하기 ▶ 3`점 (cid:9000) '2å1 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:9000) 0 배점 2점 2점 2점 '1<'2<'4에서 1<'2<2이므로 (cid:100)(cid:100)-2<-'2<-1(cid:100)(cid:100)∴ 1<3-'2<2 따라서 3-'2=1.×××이므로(cid:100)(cid:100)a=1 3-'2의 정수 부분이 1이므로 (cid:100)(cid:100)b=(3-'2)-1=2-'2 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=1-(2-'2)=-1+'2 양수 a, b, c에서 a1에서 a- <0이므로 ;a!; ;a!; ¤ =-{a- (cid:100)(cid:100)æ{a±- ;a!;} ;a!;}=-a+ ;a!; (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)={;a!; -1}-{-a+ ;a!;} (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)= -1+a- ;a!; ;a!; =a-1 (cid:9000) ③ 04 a<'ßx0, b>0, c>0일 때, 'ßa<'b<'c (cid:8833) a0, b>0일 때, 'aåb='ßa'b ① '1å2="√2¤ _3=('2)¤ _'3=a¤ b ② '6å0='ƒ2_3ƒ_10='2_'3_'1å0='1å0ab ③ '7å2="√2‹ _3¤ =('2)‹ _('3)¤ =a‹ b¤ ④ '∂0.∂02=Ƭ;10@0;= '2 = =;1Å0; 10 '2 '1ß0å0 ⑤ Æ;3*; = "≈2‹ '3 = ('2)‹ '3 = a‹ b 09 두 수a, b의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사 ① ('5+'2)-('5+1)='2-1>0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100) '5+'2 ② (2'3-1)-(3'2-1)=2'3-3'2='∂12-'∂18<0 '5+1 > < < 이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)2'3-1 3'2-1 ③ ('5+'7)-('8+'5)='7-'8<0이므로 '8+'5 (cid:100) (cid:100)(cid:100)'5+'7 ④ ('1å0+1)-5='1å0-4='1å0-'1å6<0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)'1å0+1 ⑤ (3'2-2)-('2+1)=2'2-3='8-'9<0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)3'2-2 '2+1 < < 5 (cid:9000) ① 10 두 수a, b의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사 110 Check Up 풀이집 (cid:9000) ④ '1<'3<'4이므로 (cid:100)1<'3<2 'ß60="√2¤ _3_5 =('2)¤ _'3_'5 ='5a¤ b 로 나타낼 수도 있다. = '∂0.∂02=Ƭ;10@0;=Ƭ;5¡0 1 "√2_5¤ 1 5'2 1 5a 로 나타낼 수도 있다. = = a-b=2'5+'3-(5'3-'5)=-4'3+3'5 =-'∂48+'∂45<0 이므로(cid:100)(cid:100)a0 이므로(cid:100)(cid:100)b>c (cid:100)(cid:100)a-c=2'5+'3-3'3=2'5-2'3 ='∂20-'∂12>0 이므로(cid:100)(cid:100)a>c (cid:100)(cid:100)∴ c0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b 삼각형의 넓이는 (cid:100)(cid:100);2!;_'3å2_'2å4=;2!;_4'2_2'6 (cid:100)(cid:100);2!;_'3å2_'2å4=4'1å2=8'3 직사각형의 가로의 길이를 x라 하면 그 넓이는 (cid:100)(cid:100)x_'1å2=x_2'3=2'3 x 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같으므로 (cid:100)(cid:100)8'3=2'3 x 8'3 (cid:100)(cid:100)∴ x= 2'3 =4 따라서 직사각형의 가로의 길이는 4이다. (cid:9000) ④ (cid:9000) ② 12 a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b '1∂20åx='ƒ4_3∂0x=2'3∂0x이므로 주어진 등식의 좌변은(cid:100)(cid:100)2'3∂0x-'3∂0x='3∂0x 즉 'ß30x=10이므로 양변을 제곱하면 13 a>0일 때, '∂10∂0a=10'a, æ;1–0A0; = 'ßa 10 ① 'ƒ8040='ƒ80.4ƒ_10å0='ƒ80.4_10 ② '∂804='ƒ8.04_100='ƒ8.04_10 ② '∂80å4=2.835_10=28.35 '∂80.4 ④ 'ƒ0.804=Ƭ 10 '8∂.04 10 ⑤ 'ƒ0.0804=Ƭ 80.4 100 8.04 100 = = =;1¡0;_2.835=0.2835 (cid:9000) ②, ⑤ 14 (cid:8833) 1 'a+'b = a>0, b>0, a+b일 때, 'ßa-'b ('a+'b)('a-'b) 3-2'2 (3+2'2)(3-2'2 ) = ① 1 3+2'2 =3-2'2 = 3-2'2 9-8 (cid:9000) ② (cid:100)(cid:100)30x=100(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡3º;; (cid:9000) ② D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지111 SinsagoHitec i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T 우공비 B0X 문제집 49~52쪽 18 먼저 x를 유리화하여 간단히 한다. (cid:9000) ⑤ (cid:100)(cid:100)x=3_(자연수)¤ 꼴이어야 한다. = 2('5+'3 ) 5-3 '6+2 6-4 = '6+2 2 2 '5-'3 = 1 '6-2 '6-'5 '6+'5 ='5+'3 = = 2('5+'3) ('5-'3)('5+'3) 2('5+'3) 2 '6+2 ('6-2)('6+2) ('6-'5)¤ = ('6+'5)('6-'5) 6-2'3å0+5 6-5 = = =11-2'3å0 '2 '1å1+2'3 = '2('1å1-2'3) ('1å1+2'3)('1å1-2'3) '2å2-2'6 '2å2-2'6 = -1 11-12 =2'6-'2å2 = ② ② ③ ④ ④ ⑤ ⑤ ⑤ 15 '2('6-'3) '3-'ß12+'ß27 = a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b 'ß12-'6 '3-2'3+3'3 (2'3-'6)_'3 2'3_'3 =1- = = 6-3'2 6 = 2'3-'6 2'3 6-'ß18 6 = '2 2 ;2!; 따라서 a=1, b=- 이므로(cid:100)(cid:100)a+b= ;2!; 16 먼저 x의 분모를 유리화하여 간단히 한다. x= (cid:100)(cid:100) ;[!;= '5+2 '5-2 1 9+4'5 = ('5+2)¤ ('5-2)('5+2) =9+4'5이므로 9-4'5 (9+4'5)(9-4'5) = =9-4'5 (cid:100)(cid:100)∴ x+ =(9+4'5)+(9-4'5)=18 ;[!; (cid:9000) ① =9+4'5이므로 x= '5+2 '5-2 = ('5+2)¤ ('5-2)('5+2) (cid:100)(cid:100)x-9=4'5,(cid:100)(cid:100)(x-9)¤ =80 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -18x+1=0 위의 식의 양변을 x로 나누면(cid:100)(cid:100)x-18+ =0 1 x (cid:100)(cid:100)∴ x+ =18 1 x 17 (A의 소수 부분)=A-(A의 정수 부분) '4<'6<'9, 즉 2<'6<3이므로 '6의 정수 부분 은 2이다. (cid:100)(cid:100)∴ a='6-2 '6=a+2이므로 (cid:100)(cid:100)'ß2∂16=6'6=6(a+2)=6a+12 (cid:9000) ⑤ a'ßm+b'ßm =(a+b)'ßm (a-b)(a+b)=a¤ -b¤ '5-2 '5+2 = ;[!; 도 된다. 로 계산해 216=6‹ =6¤ _6 (cid:9000) ① x= x= 2(2+'2 ) (2-'2)(2+'2) 2(2+'2 ) 4-2 x=2+'2 이므로(cid:100)(cid:100)x-2='2 위의 식의 양변을 제곱하면 (cid:100)(cid:100)x¤ -4x+4=2(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x=-2 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x+3=-2+3=1 (cid:9000) ③ 19 'ßA가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수) 192x=2fl _3_x이므로 따라서 x의 값 중에서 가장 작은 두 자리 자연수는 (cid:100)(cid:100)3_2¤ =12 (cid:9000) 12 20 넓이가 x인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8833) 'ßx 정사각형 ㈎는 넓이가 2이므로 한 변의 길이는 '2 이다. 같은 방법으로 정사각형 ㈏, ㈐는 넓이가 각각 8, 18이므로 한 변의 길이는 각각 (cid:100)(cid:100)'8=2'2, '1å8=3'2 따라서 (cid:100)(cid:100)AB”='2+2'2=3'2, BC”=2'2+3'2=5'2 이므로 (cid:100)(cid:100)AB”+BC”=3'2+5'2=8'2 (cid:9000) 8'2 ßm은 무리수일 때, 21 a+b'∂ a, b는 유리수, '∂ ßm이 유리수일 조건 (cid:8833) b=0 10(x-'3)-2'3(2+x)+3 =10x-10'3-4'3-2'3x+3 =(10x+3)-(14+2x)'3 위의 식의 값이 유리수가 되려면 (cid:100)(cid:100)14+2x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-7 주어진 식에 x=-7을 대입하면 (cid:100)(cid:100)10x+3=10_(-7)+3=-67 (cid:9000) -7, -67 22 채점 기준 ø(π'∂10-3)¤ 을 간단히 하기 "√(3-'∂10)¤ 을 간단히 하기 답 구하기 '∂10-3='∂10-'9>0이므로 (cid:100)(cid:100)"√('∂10-3)¤ ='∂10-3 3-'∂10='9-'∂10<0이므로 배점 1점 1점 2점 ▶ 1`점 대단원별 실전 TEST 111 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지112 SinsagoHitec Point Up 문제집 (cid:100)(cid:100)"√(3-'∂10)¤ =-(3-'∂10 )=-3+'∂10 (cid:100)(cid:100)∴ "√('∂10-3)¤ -"√(3-'∂10)¤ ='∂10-3-(-3+'∂10) ='∂10-3+3-'∂10 =0 23 채점 기준 x의 값 구하기 y의 값 구하기 xy의 값 구하기 3200="√10¤ √_4¤ √_2=40'2에서 (cid:100)(cid:100)x=40 'ƒ0.002=Ƭ;10™00; =Ƭ;50!0;=æ± 에서 (cid:100)(cid:100)y=;5¡0; (cid:100)(cid:100)∴ xy=40_;5¡0;=;5$; 24 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 b-a의 값 구하기 1 10¤ _5 ± = 1 10'5 ▶ 2`점 '5 50 = 25 채점 기준 겉넓이 구하기 a, b의 값 구하기 ab의 값 구하기 (겉넓이) =2_{('1å0+'5 )_'1å0 +'1å0_2'5 +('1å0+'5 )_2'5} =2(10+5'2+10'2+10'2+10) =2(25'2+20)=40+50'2 40+50'2=a+b'2에서(cid:100)(cid:100)a=40, b=50 (cid:100)(cid:100)∴ ab=40_50=2000 112 Check Up 풀이집 ▶ 1`점 ▶ 2`점 (cid:9000) 0 배점 2점 3점 1점 ▶ 3`점 ▶ 1`점 (cid:9000) ;5$; 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 (cid:9000) '5-2 배점 3점 1점 1점 ▶ 3`점 ▶ 1`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 2000 우공비 B0X 03 회 Ⅱ 식의 계산 | 문제집 53~56쪽 01 ③ 05 ③ 09 ④ 13 ④ 17 16 03 ② 07 ⑤ 11 ③ 15 ⑤ 02 ④ 06 ② 10 ① 14 ① 18 2a-4 04 ③ 08 ⑤ 12 ⑤ 16 ① 19 (a-4b+3c)(a-4b-3c) 20 ㈎ n-1 ㈏ n+1 ㈐ 2 ㈑ 4n ㈒ 4 21 -84 22 12 23 2x-5y+14 24 4a(l-a)m¤ 25 -7 01 인수분해 공식을 이용한다. ㈁ 4x¤ -12xy+9y¤ =(2x)¤ -2_2x_3y+(3y)¤ =(2x-3y)¤ ㈂ 25x¤ -4y¤ =(5x)¤ -(2y)¤ =(5x+2y)(5x-2y) 이상에서 인수분해가 바르게 된 것은 ㈀, ㈃이다. 02 a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤ ① x¤ -10x+25=(x-5)¤ ② x¤ -6x+9=(x-3)¤ ③ x¤ +4x+4=(x+2)¤ ⑤ x¤ +14x+49=(x+7)¤ (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ (cid:9000) ② 보충 학습 x¤ +ax+b가 완전제곱식 (cid:8825) a=—2'b (b>0) (cid:8825) b={;2A;} 04 -A (Aæ0) -A (A<0) "≈A¤ = · “ ª "√a¤ +2√ab+Ωb¤ +"√a¤ -2√ab+b¤ ="√(a+b)¤ +"√(a-b)¤ 이때 00, a-b<0 '4<'5<'9, 즉 2<'5<3이므로 '5의 정수 부분 은 2이다. (cid:100)(cid:100)∴ a='5-2 ▶ 2`점 '1å6<'2å0<'2å5, 즉 4<'2å0<5이므로 '2å0의 정수 부 분은 4이다. (cid:100)(cid:100)∴ b='2å0-4=2'5-4 (cid:100)(cid:100)∴ b-a=2'5-4-('5-2) ='5-2 ▶ 2`점 (cid:100)('5의 소수 부분) ='5-('5의 정수 부분) 03 a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ ;4!;x¤ +(cid:8641) xy+;2¡5;y¤ {;2!; x+ y} ;5!; ={;2!;x}2 +2_;2!;x_;5!;y+{;5!;y}2 이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8641) =2_;2!;_;5!;=;5!; (∵ (cid:8641)>0) ¤ ¤ D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지113 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=a+b-(a-b) 먼저 직육면체의 부피로 주어진 식을 인수분해한 =a+b-a+b =2b 우공비 B0X 10 다. 문제집 52~55쪽 (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ (cid:9000) ② (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ⑤ 05 주어진 직사각형의 넓이의 합을 인수분해한다. 주어진 직사각형의 넓이의 합은 x¤ +4x+3이므로 (cid:100)(cid:100)x¤ +4x+3=(x+1)(x+3) 06 먼저 곱이 16인 두 정수를 구한다. 곱이 16인 두 정수는 (cid:100)(cid:100)-1과 -16, -2와 -8, -4와 -4 (cid:100)(cid:100)4와 4, 2와 8, 1과 16 이므로 정수 a는 (cid:100)(cid:100)-17, -10, -8, 8, 10, 17 의 6개이다. 07 A가 B의 인수 (cid:8833) B=A_C (C는 다항식) x¤ -ax+3=(x-3)(x+(cid:8641))로 놓으면 (cid:100)(cid:100)-3+(cid:8641)=-a, -3_(cid:8641)=3 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=-1, a=4 3x¤ -7x+b=(x-3)(3x+△)로 놓으면 (cid:100)(cid:100)-9+△=-7, -3_△=b (cid:100)(cid:100)∴ △=2, b=-6 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=4-(-6)=10 08 먼저 각 다항식을 인수분해한다. 4x¤ -8x-5=(2x+1)(2x-5) =(x+1)(x-3)-(x+1)(3x-2) =(x+1){(x-3)-(3x-2)} =(x+1)(-2x-1) =-(x+1)(2x+1) 따라서 공통인수는 2x+1이다. 09 공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환 x+2y=A로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A(A-7)-30 ⁄ 2 1 2 ⁄2 2 -5 2 ⁄ -10 ⁄ -8 i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T y‹ +xy¤ -x-y=y¤ (x+y)-(x+y) =(x+y)(y¤ -1) =(x+y)(y+1)(y-1) 이므로 직육면체의 높이는(cid:100)(cid:100)x+y 따라서 직육면체의 겉넓이는 (cid:100)=2{(y+1)(y-1)+(y-1)(x+y)+(x+y)(y+1)} (cid:100)=2{(y¤ -1)+(xy+y¤ -x-y)+(xy+x+y¤ +y)} (cid:100)=2(3y¤ +2xy-1) (cid:100)=6y¤ +4xy-2 11 인수분해 공식을 이용하여 수를 계산한다. ① 20¤ =400 ② 2_107+2_93=2(107+93) =2_200=400 ③ 51¤ -49¤ =(51+49)(51-49) =100_2=200 ④ 16¤ +8_16+4¤ =(16+4)¤ ⑤ 22¤ -4_22+4=(22-2)¤ =20¤ =400 =20¤ =400 12 반지름의 길이가 r인 원의 넓이 (cid:8833) pr¤ 큰 원의 반지름의 길이는 (cid:100)(cid:100);2!;_(2a+2b)=a+b 작은 원의 반지름의 길이는 (cid:100)(cid:100);2!;_2b=b 따라서 어두운 부분의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p(a+b)¤ -pb¤ =p{(a+b)¤ -b¤ } =p(a+b+b)(a+b-b) =pa(a+2b) 13 분자를 간단히 나타낸 다음 약분한다. x‹ +3x¤ +10 x+2 = x(x¤ +3x)+10 x+2 (cid:9000) ① (cid:9000) ③ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ④ =A¤ -7A-30 =(A+3)(A-10) =(x+2y+3)(x+2y-10) 치환하여 인수분해한 후 치환한 문자 대신 원래의 식을 대입한다. (cid:9000) ④ = 5x+10 x+2 = 5(x+2) x+2 =5 대단원별 실전 TEST 113 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지114 SinsagoHitec Point Up 문제집 14 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) 2¤ ‚ -1=(2⁄ ‚ )¤ -1¤ 2› ‚ -1=(2⁄ ‚ +1)(2⁄ ‚ -1) 2› ‚ -1=(2⁄ ‚ +1)(2fi +1)(2fi -1) 따라서 30과 40 사이의 약수는 (cid:100)(cid:100)2fi +1=33, 2fi -1=31 이므로 두 자연수의 합은 (cid:100)(cid:100)33+31=64 15 x¤ -y¤ =(x+y)(x-y) x+y=('6+'3)+('6-'3)=2'6 x-y=('6+'3)-('6-'3)=2'3 (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y) =2'6_2'3 =4'∂18=12'2 우공비 B0X 2⁄ ‚ +1=1025 =5¤ _41 연속하는 세 정수는 n, n+1, n+2로 놓는 것 보다 n-1, n, n+1 로 놓는 것이 계산하 기 편리하다. 20 연속하는 세 정수 (cid:8833) n-1, n, n+1 (n은 정수) 연속하는 세 정수 중 가운데 수를 n(n은 정수)이 라 하면 다른 두 수는 작은 수부터 차례대로 n-1 , n+1 이므로 (cid:100)(cid:100)( n+1 )¤ -( n-1 )¤ ={(n+1)+(n-1)}_{(n+1)-(n-1)} =2n_ = 2 4n 은 수의 제곱의 차는 가운데 수의 배이다. 4 (cid:100)(cid:100)∴ ㈎ n-1(cid:100)㈏ n+1(cid:100)㈐ 2(cid:100)㈑ 4n(cid:100)㈒ 4(cid:100) (cid:9000) 풀이 참조 (cid:9000) ① 따라서 연속하는 세 정수에 대하여 가장 큰 수와 가장 작 21 두 항씩 묶어 인수분해한다. 2¤ -4¤ +6¤ -8¤ +10¤ -12¤ (cid:9000) ⑤ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) =(2-4)(2+4)+(6-8)(6+8)+(10-12)(10+12) =-2(6+14+22)=-2_42=-84 공통인수가 드러나도록 두 항씩 묶어서 인수분해 16 한다. x¤ -y¤ +2x-2y=(x+y)(x-y)+2(x-y) =(x-y)(x+y+2) 이므로 x+y=2, x-y=-2'7을 대입하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=-2'7_(2+2)=-8'7 (cid:9000) ① 17 먼저 합이 8인 두 자연수 a, b를 구한다. x¤ +8x+k=(x+a)(x+b)에서 (cid:100)(cid:100)a+b=8, ab=k a+b=8이 되는 두 자연수 a, b는 (cid:100)(cid:100)1과 7, 2와 6, 3과 5, 4와 4 이 중에서 그 곱이 가장 큰 경우는 4와 4일 때이므로 (cid:100)(cid:100)k=4_4=16 (cid:9000) 16 18 먼저 사다리꼴의 넓이를 인수분해한다. 2a¤ -a-6=(a-2)(2a+3) 2a¤ -a-6= (2a-4)(2a+3) ;2!; 주어진 사다리꼴의 윗변과 아랫변의 길이의 합이 2a+3 이므로 높이는 2a-4이다. (cid:9000) 2a-4 4개의 항 중3개를 묶어 완전제곱식으로 인수분해 19 할 수 있을 때 (cid:8833) ((cid:100))¤ -((cid:100))¤` 꼴로 변형 a¤ +16b¤ -9c¤ -8ab=(a¤ -8ab+16b¤ )-9c¤ =(a-4b)¤ -(3c)¤ =(a-4b+3c)(a-4b-3c) (cid:9000) (a-4b+3c)(a-4b-3c) 114 Check Up 풀이집 a, b는 자연수이므로 (cid:100)a+b>a-b (cid:100)(사다리꼴의 넓이) = _{(윗변의 길이) ;2!; +(아랫변의 길이)} _(높이) (a-1)+(a+4) =2a+3 (cid:9000) -84 배점 2점 3점 1점 ▶ 2`점 ▶ 3`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 12 배점 4점 1점 22 채점 기준 주어진 식 정리하기 a, b의 값 구하기 2a-b의 값 구하기 "√a¤ -21=b의 양변을 제곱하면 (cid:100)(cid:100)a¤ -21=b¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =21 (cid:100)(cid:100)∴ (a+b)(a-b)=21 a, b는 자연수이므로 (cid:100)(cid:100) [ a+b=21 a-b=1 또는 [ a+b=7 a-b=3 (cid:100)(cid:100)∴ a=11, b=10 또는 a=5, b=2 이때 a, b는 두 자리 자연수이므로 (cid:100)(cid:100)a=11, b=10 (cid:100)(cid:100)∴ 2a-b=2_11-10=12 23 채점 기준 주어진 식 인수분해하기 두 일차식의 합 구하기 x+2=A, y-2=B로 치환하면 (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -5AB+6B¤ (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(A-2B)(A-3B) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(x+2-2y+4)(x+2-3y+6) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(x-2y+6)(x-3y+8) ▶ 4`점 따라서 두 일차식의 합은 (cid:100)(cid:100)(x-2y+6)+(x-3y+8)=2x-5y+14 ▶ 1`점 (cid:9000) 2x-5y+14 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지115 SinsagoHitec 우공비 B0X 문제집 55~57쪽 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b) ㈄ x¤ (2x+1)=2(x‹ +5)에서(cid:100)(cid:100)2x‹ +x¤ =2x‹ +10 x에 대한 일차방정식 이다. (무리수) =(정수부분)+(소수부분) 이므로 무리수의 소수 부분 은 그 수에서 정수 부분을 뺀 것과 같다. 24 채점 기준 바깥쪽 정사각형의 넓이 구하기 안쪽 정사각형의 넓이 구하기 길의 넓이 구하기 바깥쪽 정사각형의 넓이는(cid:100)(cid:100)l¤ m¤ 안쪽 정사각형의 넓이는(cid:100)(cid:100)(l-2a)¤ m¤ 따라서 길의 넓이는 (cid:100)(cid:100)l¤ -(l-2a)¤ ={l+(l-2a)}{l-(l-2a)} =(2l-2a)_2a =4a(l-a)(m¤ ) ▶ 4`점 (cid:9000) 4a(l-a)m¤ 25 채점 기준 a의 값 구하기 b의 값 구하기 주어진 식을 인수분해하기 식의 값 구하기 2<'7<3에서(cid:100)(cid:100)5<3+'7<6 (cid:100)(cid:100)∴ a=3+'7-5='7-2 2<'7<3에서(cid:100)(cid:100)-3<-'7<-2 (cid:100)(cid:100)0<3-'7<1 (cid:100)(cid:100)∴ b=3-'7 (cid:100)(cid:100)∴ ab-3a+2b-6=a(b-3)+2(b-3) 배점 1점 1점 4점 ▶ 1`점 ▶ 1`점 배점 2점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:100)(cid:100)∴ ab-3a+2b-6=('7-2+2)(3-'7-3) ='7_(-'7)=-7 ▶ 2`점 (cid:9000) -7 (cid:100)(cid:100) 보충 학습 음이 아닌 정수 n에 대하여 n…'ab이므로(cid:100)(cid:100)a=4, b= ;2!; ㉠을 x¤ -ax+b=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ -4x+ =0,(cid:100)(cid:100)2x¤ -8x+1=0 (cid:100)(cid:100)∴ x= ;2!; 4—'∂14 2 08 (cid:8833) 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 만든다. 계수가 분수 또는 소수인 이차방정식 0.3(x-1)¤ + x-0.75=0의 양변에 100을 곱 ;4#; 하면 (cid:100)(cid:100)30(x-1)¤ +75x-75=0 (cid:100)(cid:100)30x¤ +15x-45=0 (cid:100)(cid:100)2x¤ +x-3=0 (cid:100)(cid:100)(2x+3)(x-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=1 ;2#; (cid:9000) ③ 09 공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환 2x-1=A로 치환하면 주어진 이차방정식은 (cid:100)(cid:100)A¤ +6A-7=0,(cid:100)(cid:100)(A+7)(A-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ A=-7 또는 A=1 즉 2x-1=-7 또는 2x-1=1이므로 (cid:100)(cid:100)x=-3 또는 x=1 ax¤ +2b'x+c=0 (a+0) -b'—"b√'¤ -ac a (cid:8825) x= (cid:9000) ④ 0.3=;1£0;, 0.75=;1¶0∞0; 이므로 10, 4, 100의 최소공배수를 곱한다. ⁄ t=-3을 주어진 이차방정식에 대입하면 (cid:100)(cid:100) (cid:100)x¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 (중근) (cid:100) 그런데 m>0이므로 x=0은 중근이 될 수 없다. ¤ t=-2를 주어진 이차방정식에 대입하면 (cid:100)(cid:100) (cid:100)x¤ -2x+1=0,(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =0 (cid:100) 따라서 x=1(중근)이므로(cid:100)(cid:100)m=1 (cid:100)(cid:100)∴ t-m=-2-1=-3 인수분해를 이용하여 풀 수 없는 이차방정식은 근 11 의 공식을 이용한다. ① x¤ -x-6=0에서(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-3)=0 ② 2x¤ -5x+3=0에서(cid:100)(cid:100)(x-1)(2x-3)=0(cid:100)(cid:100) ② (cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=;2#;(cid:100) ③ 3x¤ +5x-2=0에서(cid:100)(cid:100)(x+2)(3x-1)=0 ② (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=;3!;(cid:100) ④ x¤ -8x+12=0에서(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-6)=0 ② (cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=6(cid:100) ⑤ 2x¤ +x-2=0에서 (cid:100) (cid:100) ② (cid:100)(cid:100)x= -1—"√1¤ -4_2_(-2) 2_2 = -1—'∂17 4 따라서 해가 유리수가 아닌 것은 ⑤이다. 이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서 12 (cid:8833) (두 근의 합)=- , (두 근의 곱)= ;aC; ;aB; x¤ -6x-4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+b=6, ab=-4 b¤ +a¤ ab b (cid:100)(cid:100)∴ + = a a b = (a+b)¤ -2ab ab (cid:100)(cid:100)∴ + = 6¤ -2_(-4) -4 = 44 -4 =-11 (cid:9000) ① (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ① A를 다시 원래의 식 으로 바꾸어 x의 값을 구한다. (cid:9000) ① 보충 학습 이차방정식의 근과 계수의 관계에 많이 이용되는 식의 계산 ⑴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab ⑵ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab ⑶ + = ;∫!; ;å!; a+b ab ⑷ ;å©;+;∫ƒ; = a¤ +b¤ ab 10 x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다. (cid:8833) b={;2A;}2 x¤ -2(t+3)x+(t+3)=0이 중근을 가질 조건은 (cid:100)(cid:100)t+3=[ -2(t+3) 2 ]2 ,(cid:100)(cid:100)t+3=(t+3)¤ (cid:100)(cid:100)t¤ +5t+6=0,(cid:100)(cid:100)(t+3)(t+2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ t=-3 또는 t=-2 이차방정식이 중근을 갖는다. (cid:8825) (완전제곱식)=0 꼴로 고칠 수 있다. (cid:8825) {;2A;}2 =b 116 Check Up 풀이집 주어진 이차방정식의 x의 계수와 상수항을 바꾼 13 식에 x=-5를 대입하여 먼저 a의 값을 구한다. x¤ +(3-2a)x+a=0에서 x의 계수와 상수항을 바꾸면(cid:100)(cid:100)x¤ +ax+3-2a=0 14중3상해설대단원(107-128)-OK 2014.10.1 5:19 PM 페이지117 SinsagoHitec 따라서 처음 주어진 이차방정식은 x¤ -5x+4=0이므로 (cid:100)(cid:100)m=10, n=6 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 5이다. (cid:100)(cid:100)∴ 2m-n=2_10-6=14 (cid:9000) 14 x=-5를 앞의 식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)25-5a+3-2a=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=4 (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ③ (cid:9000) 6 (cid:9000) 4 14 t초 후 높이가 h m (cid:8833) h=30t-5t¤ t초 후 물체의 높이가 (30t-5t¤ )m이므로 30t-5t¤ =45에서 (cid:100)(cid:100)5t¤ -30t+45=0,(cid:100)(cid:100)t¤ -6t+9=0 (cid:100)(cid:100)(t-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ t=3(중근) 따라서 물체의 높이가 45 m가 되는 것은 3초 후이다. 15 점 B의 좌표가 (x, 0) (cid:8833) 점 A의 좌표는 (x, x) 점 B의 좌표를 (x, 0)이라 하면 점 A의 좌표는 (cid:100)(cid:100)x¤ -13x+36=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-9)=0 (x, x)이므로 (cid:100)(cid:100)AB”=x, BC”=13-x 따라서 x(13-x)=36이므로 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=9 따라서 점 A의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(4, 4) 또는 (9, 9) 16 x=k가 이차방정식의 근 (cid:8833) x=k를 이차방정식에 대입하면 등식이 성립한다. x=a를 x¤ +x-3=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)a¤ +a-3=0 (cid:100)(cid:100)∴ afi +a› -3a‹ +a¤ +a+3 =a‹ (a¤ +a-3)+(a¤ +a-3)+6 =6 17 (cid:8833) x=-p—'ßq 이차방정식 (x+p)¤ =q(qæ0)의 근 (x-1)¤ =2k+1에서(cid:100)(cid:100)x=1—'ƒ2k+1 이때 근이 모두 정수가 되려면 (cid:100)(cid:100)2k+1=0, 1, 4, 9, 16, y (cid:100)(cid:100)∴ k=-;2!;, 0, 따라서 자연수 k의 최솟값은 4이다. :¡2∞: , 4, , y ;2#; 18 n-m=A로 치환한다. 치환하면(cid:100)(cid:100)3A¤ +10A-8=0 (cid:100)(cid:100)(A+4)(3A-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ A=-4 또는 A=;3@; 3(n-m)¤ +10(n-m)-8=0에서 n-m=A로 우공비 B0X m+n=16 …`㉠ -m+n=-4 …`㉡ [ ㉠+㉡을 하면 (cid:100)2n=12(cid:100)∴ n=6 n=6을 ㉠에 대입하면 (cid:100)m+6=16 (cid:100)∴ m=10 b¤ -4ac의 부호에 따른 서로 다른 근의 개수 ⑴ b¤ -4ac>0 ⑴ (cid:8825) 2개 ⑵ b¤ -4ac=0 ⑴ (cid:8825) 1개 ⑶ b¤ -4ac<0 ⑴ (cid:8825) 없다. 점 A는 직선y=x 위 에 있으므로 (cid:100)(x좌표)=(y좌표) 하면 (cid:100)(cid:100)4a+3a=7k (cid:100)(cid:100)∴ a=k i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T 문제집 57~60쪽 ㈎에서 n-m<0, 즉 A<0이므로 (cid:100)(cid:100)A=n-m=-4 따라서 m+n=16, n-m=-4를 연립하여 풀면 19 (cid:8833) b¤ -4ac=0 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 갖는다. x¤ +6x-3m+1=0에서 (cid:100)(cid:100)6¤ -4_(-3m+1)=0 (cid:100)(cid:100)32+12m=0(cid:100)(cid:100)∴ m=- ;3*; (cid:9000) - ;3*; 이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서 20 (cid:8833) (두 근의 합)=- , (두 근의 곱)= ;aC; ;aB; 두 근의 비가 4 : 3이므로 두 근을 4a, 3a(a+0)라 (cid:100)(cid:100)4a_3a=5k¤ +28 (cid:100)(cid:100)∴ 12a¤ =5k¤ +28 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)12a¤ =5a¤ +28 (cid:100)(cid:100)7a¤ =28(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =4 따라서 두 근 4a, 3a의 곱은 (cid:100)(cid:100)12a¤ =12_4=48 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9000) 48 처음 원의 반지름의 길이를 x cm로 놓고x에 대 21 한 이차방정식을 세운다. 처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)p(x-2)¤ = px¤ ,(cid:100)(cid:100)2(x-2)¤ =x¤ ;2!; (cid:100)(cid:100)x¤ -8x+8=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=4+2'2 (∵ x>2) 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 (4+2'2 )cm이다. (cid:9000) (4+2'2 )cm 22 채점 기준 두 이차방정식의 해 구하기 a의 값 구하기 x¤ -x-12=0에서(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=4 x¤ -9x+20=0에서(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-5)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=5 배점 3점 2점 ▶ 3`점 ▶ 2`점 (cid:9000) -5 대단원별 실전 TEST 117 3x¤ +2ax+a-3=0 에 x=4를 대입한다. 따라서 두 이차방정식의 공통인 근이 x=4이므로 (cid:100)(cid:100)48+8a+a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-5 (cid:9000) ②, ⑤ A(4, 4)이면 (cid:100)AB”=4, BC”=9 A(9, 9)이면 (cid:100)AB”=9, BC”=4 처음 원에서 반지름의 길이를 2 cm 줄일 수 있어야 하므로 (cid:100)x>2 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지118 SinsagoHitec 우공비 B0X 는 자연수의 약 수의 개수이므로 0보 다 크다. 소수 (cid:8825) 1과 그 자신만을 약수로 갖는 수 십의 자리의 숫자가 a, 일의 자리의 숫자가 b 인 두 자리 자연수는 (cid:100)10a+b 배점 3점 2점 1점 ▶ 3`점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 17 배점 3점 2점 1점 ▶ 3`점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 35, 75 배점 2점 2점 2점 이때 양의 약수의 개수가 2인 수는 소수이므로 10 이하 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는 Point Up 문제집 23 채점 기준 의 값 구하기 x의 값의 합 구하기 =2를 만족시키는 x의 값 구하기 ¤ +-6=0에서 (cid:100)(cid:100)(+3)(-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ =2 (∵ >0) 의 소수는(cid:100)(cid:100)2, 3, 5, 7 따라서 구하는 값은 (cid:100)(cid:100)2+3+5+7=17 24 채점 기준 이차방정식 세우기 이차방정식의 해 구하기 두 자리 자연수 구하기 5이므로 (cid:100)(cid:100)10x+5=x¤ +5¤ +1 (cid:100)(cid:100)x¤ -10x+21=0 (cid:100)(cid:100)(x-3)(x-7)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=7 따라서 구하는 자연수는 35, 75이다. 25 채점 기준 네 점을 좌표평면 위에 나타내기 이차방정식 구하기 사각형 ABCD의 한 변의 길이 구하기 ⑴ 좌표평면 위에 네 점 을 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. ▶ 2`점 (cid:100) 즉 사각형 ABCD는 한 변의 길이가 x+4인 정사 x+4 y O 각형이므로 구하는 이차방정식은 ▶ 2`점 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =40 ⑵ (x+4)¤ =40에서(cid:100)(cid:100)x+4=—'∂40 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-4+2'∂10 (∵ x>0) (cid:100) 따라서 사각형 ABCD의 한 변의 길이는 x+4이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x+4=-4+2'∂10+4 =2'∂10 ▶ 2`점 (cid:9000) ⑴ (x+4)¤ =40 ⑵ 2'∂10 (x-p)¤ =q (qæ0) (cid:8825) x=p—'q 118 Check Up 풀이집 05 회 Ⅲ 이차방정식 | 문제집 61~64쪽 01 ⑤ 05 ⑤ 09 ⑤ 13 ② 02 ② 06 ⑤ 10 ⑤ 14 ③ 17 ;3!6(; 18 ;1^6%; 03 ① 07 ③ 11 ③ 15 ② 19 7 04 ③ 08 ① 12 ② 16 24'2 20 500 21 (-7+7'5 ) cm 22 -3, ;2!; 23 ⑴ x¤ -4x-8=0(cid:100)⑵ x=2—2'3 24 ⑴ 2초 또는4초(cid:100)⑵ 8초 25 ;3$; m 01 x에 대한 이차방정식 (cid:8833) (x에 대한 이차식)=0 ② x(x-3)=x+1에서(cid:100)(cid:100)x¤ -3x=x+1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x-1=0 ③ 2x¤ =(x-1)¤ 에서(cid:100)(cid:100)2x¤ =x¤ -2x+1 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x-1=0 ④ 2x¤ -5=x(3x+2)에서(cid:100)(cid:100)2x¤ -5=3x¤ +2x (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -x¤ -2x-5=0 ⑤ x¤ (1+x)=x-2에서(cid:100)(cid:100)x¤ +x‹ =x-2 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x‹ +x¤ -x+2=0 (cid:9000) ⑤ 02 (cid:8833) x=a를 이차방정식에 대입 x=a가 이차방정식의 해 x=3을 ax¤ -(a+1)x-3=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)a_3¤ -3(a+1)-3=0 (cid:100)(cid:100)9a-3a-3-3=0,(cid:100)(cid:100)6a-6=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=1 즉 주어진 이차방정식은 x¤ -2x-3=0이므로 (cid:100)(cid:100)(x-3)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=-1 따라서 다른 한 근은 x=-1이다. (cid:9000) ② 차방정식 x¤ +mx-2m+2=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)1-m-2m+2=0,(cid:100)(cid:100)-3m+3=0 (cid:100)(cid:100)∴ m=1 m=1을 x¤ +mx-2m+2=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ +x=0,(cid:100)(cid:100)x(x+1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=-1 따라서 다른 한 근은 x=0, 즉 n=0이므로 (cid:100)(cid:100)m¤ +n¤ =1¤ +0¤ =1 (cid:9000) ① 이차방정식의 한 근이 주어질 때 04 (cid:8833) 주어진 근을 이차방정식에 대입 D C A x+4 B 2x+8 x 03 (cid:8833) 두 근을 모두 공통으로 갖는다. 이차방정식의 해가 같다. 두 이차방정식의 해가 서로 같으므로 x=-1을 이 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지119 SinsagoHitec 우공비 B0X 문제집 60~62쪽 ;3!;-;3@;a+5=0에서 (cid:100)-;3@;a=-:¡3§: (cid:100)∴ a=8 ax¤ +2b'x+c=0(a+0) (cid:8825) x= -b'—"√b'¤ -ac a x>y에서(cid:100)x-y>0 x-y=1 y ㉠ x+y=7 y ㉡ [ ㉠+㉡을 하면 (cid:100)2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4 x=4를 ㉡에 대입하 면(cid:100)(cid:100)y=3 이차방정식의 근은 서 로 다른 두 근 또는 중 근을 가질 수 있으므로 (cid:100)b¤ -4ac>0 (cid:100)또는 b¤ -4ac=0 (cid:100)∴ b¤ -4acæ0 ⑴ 두 근이 모두 양수 ⑴ (두 근의 합)>0, ⑴ (두 근의 곱)>0 ⑵ 두 근이 모두 음수 ⑴ (두 근의 합)<0, ⑴ (두 근의 곱)>0 ⑶ 한 근은 양수, 다른 한 근은 음수 x의 계수 2 ¤ 을 } 양변에 { 더한다. x=;3!;을 3x¤ -2ax+5=0에 대입하면 ¤ -;3@;a+5=0(cid:100)(cid:100)∴ a=8 (cid:100)(cid:100)3_{;3!;} a=8을 3x¤ -2ax+5=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)3x¤ -16x+5=0,(cid:100)(cid:100)(3x-1)(x-5)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=;3!; 또는 x=5 따라서 주어진 방정식의 다른 한 근은 x=5이므로 x¤ +(1-2b)x-5b=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)5¤ +5(1-2b)-5b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=2 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=8-2=6 (cid:9000) ③ 05 x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다. (cid:8833) b={;2A;} x¤ +2(k+1)+4k+1=0이 중근을 가지므로 ¤ ,(cid:100)(cid:100)4k+1=k¤ +2k+1 (cid:100)(cid:100)4k+1=[ (cid:100)(cid:100)k¤ -2k=0,(cid:100)(cid:100)k(k-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=2 (∵ k+0) 2(k+1) 2 ] k=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ +6x+9=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-3 (중근) 따라서 m=-3이므로 (cid:100)(cid:100)k-m=2-(-3)=5 (cid:9000) ⑤ 06 (x+a)¤ =b (bæ0)의 해 (cid:8833) x=-a—'b (x-3)¤ = 에서(cid:100)(cid:100)x-3=—Æ;7!; ;7!; (cid:100)(cid:100)∴ x=3— '7 7 따라서 A=3, B= 이므로 ;7!; (cid:100)(cid:100);bA;=3_7=21 07 (완전제곱식)=(상수) 꼴 (cid:8833) 제곱근의 성질 이용 x¤ + x-2=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ + x=2 ;2#; ;2#; (cid:100)(cid:100)x¤ + x+ ;2#; ;1ª6; =2+ ;1ª6; (cid:100)(cid:100){x+ } ;4#; ¤ = ;1$6!; ,(cid:100)(cid:100)x+ =— ;4#; 'ß41 4 (cid:100)(cid:100)∴ x= -3—'ß41 4 (cid:100)(cid:100)∴ ㈎ ;1ª6;(cid:100)㈏ ;4#;(cid:100)㈐ ;1$6!;(cid:100)㈑ '∂41(cid:100)㈒ -3—'∂41 4 (cid:9000) ③ 08 계수가 분수인 이차방정식 (cid:8833) 양변에 분모의 최소공배수를 곱한다. (x-1)(x+1) 3 = 2(x-2)(x+3) 5 의 양변에 분 i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T 모의 최소공배수 15를 곱하면 (cid:100)(cid:100)5(x-1)(x+1)=6(x-2)(x+3) (cid:100)(cid:100)5x¤ -5=6x¤ +6x-36,(cid:100)(cid:100)x¤ +6x-31=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-3—"√3¤ -(-31)=-3—2'ß10 (cid:9000) ① x-y=A로 치환한다. (x-y)¤ +(x-y)-2=0에서 x-y=A로 치환하 (cid:100)(cid:100)A¤ +A-2=0,(cid:100)(cid:100)(A+2)(A-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ A=1 (∵ A>0) 따라서 x-y=1, x+y=7이므로 두 식을 연립하여 풀 (cid:100)(cid:100)x=4, y=3(cid:100)(cid:100)∴ xy=12 (cid:9000) ⑤ 10 (cid:8833) b¤ -4acæ0 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 근을 갖는다. 09 면 면 (cid:100)(cid:100) (cid:9000) ⑤ x¤ +2x+1+k=0이 근을 가지려면 (cid:100)(cid:100)2¤ -4(1+k)æ0,(cid:100)(cid:100)4k…0 (cid:100)(cid:100)∴ k…0 따라서 k의 값이 아닌 것은 ⑤이다. 이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서 11 (cid:8833) (두 근의 합)=- , (두 근의 곱)= ;aC; ;aB; 이므로 (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=- >0(cid:100)(cid:100)∴ <0 ;aB; ;aB; (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)= >0 ;aC; 이므로 b와 c는 서로 다른 부호이다. 이차방정식 cx¤ +bx-a=0에서 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 모두 양수 (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=- >0 (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=- <0 ;cB; ;cA; yy ㉠ yy ㉡ ㉠, ㉡에서 이차방정식 cx¤ +bx-a=0의 양의 근의 절 댓값이 음의 근의 절댓값보다 더 크다. (cid:9000) ③ ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 두 근이 a, b 12 (cid:8833) a+b=- , ab= ;aB; ;aC; 두 근을 a, a+2로 놓으면 이차방정식의 근과 계수 의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)a+(a+2)=12,(cid:100)a(a+2)=4k+3 따라서 a=5이므로(cid:100)(cid:100)5(5+2)=4k+3 (cid:100)(cid:100)∴ k=8 (cid:9000) ② 대단원별 실전 TEST 119 (cid:9000) ⑤ ⑴ (두 근의 곱)<0 즉 a와 b는 서로 다른 부호이고 a와 c는 서로 같은 부호 ¤ (cid:9000) ② (확률) = (사건의 경우의 수) (전체 경우의 수) 따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100);3!6(; (cid:9000) ;3!6(; D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지120 SinsagoHitec Point Up 문제집 우공비 B0X 계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 x=p+'q 13 `(p는 유리수, 'q는 무리수) (cid:8833) 다른 한 근은 x=p-'q 1<'3<2에서(cid:100)(cid:100)3<2+'3<4 즉 2+'3의 정수 부분은3이므로 소수 부분은 (cid:100)(cid:100)2+'3-3='3-1 이다. 따라서 주어진 이차방정식의 두 근은 '3-1, -'3-1 이므로 (cid:100)(cid:100)('3-1)+(-'3-1)=-2, (cid:100)(cid:100)('3-1)(-'3-1)=-2 근과 계수의 관계에 의하여 서로 다른 두 근 또는 중근 계수가 유리수이고 한 근이 x='3-1이므로 다른 한 근은 x=-'3-1이다. (cid:100)(cid:100)-(a-1)=-2, b=-2 (cid:100)(cid:100)∴ a=3, b=-2 한 근이 x='3-1이므로 (cid:100)(cid:100)x+1='3 양변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)(x+1)¤ =('3)¤ (cid:100)(cid:100)x¤ +2x+1=3,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-2=0 따라서 a-1=2, b=-2이므로 (cid:100)(cid:100)a=3, b=-2 n(n+1) 2 =171에서 (cid:100)(cid:100)n¤ +n-342=0,(cid:100)(cid:100)(n+19)(n-18)=0 (cid:100)(cid:100)∴ n=18 (∵ n은 자연수) 따라서 구하는 자연수는 18이다. (cid:9000) ③ 15 반지름의 길이가 r인 원의 넓이 (cid:8833) pr¤ 길의 폭을 x m라 하면 (cid:100)(cid:100)(50+x)¤ p-50¤ p=309p (cid:100)(cid:100)x¤ +100x-309=0,(cid:100)(cid:100)(x+103)(x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) 따라서 길의 폭은 3 m이다. (cid:9000) ② 16 (cid:8833) x=a를 이차방정식에 대입 x=a가 이차방정식의 해 x=a를 x¤ -6x+1=0에 대입하면 (cid:100)(cid:100)a¤ -6a+1=0 a+0이므로 양변을 a로 나누면 (cid:100)(cid:100)a-6+ =0(cid:100)(cid:100)∴ a+ =6 ;a!; ;a!; ¤ ={a+ ;a!;} ;a!;} 한편 {a- ¤ -4=6¤ -4=32이므로 (cid:100)(cid:100)a- =4'2 {∵ a> ;a!; ;a!;} (cid:100)(cid:100)∴ a¤ - ={a+ 1 a¤ ;a!;}{a- ;a!;} =6_4'2=24'2 120 Check Up 풀이집 (cid:9000) 24'2 x¤ -6x+1=0에서 x=0일 때 (cid:100)0-6_0+1+0 이므로 0은 주어진 방 정식의 근이 될 수 없다. 17 (cid:8833) b¤ -4acæ0 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 근을 갖는다. 두 개의 주사위를 던졌을 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는(cid:100)(cid:100)6_6=36 이차방정식 x¤ +ax+b=0이 근을 가지려면 (cid:100)(cid:100)a¤ -4bæ0,(cid:100)(cid:100)a¤ æ4b yy ㉠ 이어야 하므로 ㉠을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (cid:100)(cid:100)(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 의 19개이다. 일차함수 y=ax+b의 그래프 18 (cid:8833) a: 기울기, b: y절편 주어진 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=;4!;x-1, 즉 -;4!;x+y+1=0 이차방정식 x¤ -;4!;x-1=0의 두 근을 a, b라 하면 (cid:100)(cid:100)a+b=;4!;, ab=-1 (cid:100)(cid:100)∴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab ={;4!;}2 -4_(-1)=;1^6%; (cid:9000) ;1^6%; 보충 학습 두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)를 지나는 직선의 방정식 구하기 ⁄ 기울기 a를 구한다. (cid:8825) a= y™-y¡ x™-x¡ ¤ 한 점의 좌표를 y=ax+b에 대입하여 b의 값을 구한다. 19 어떤 수를 x로 놓고 식을 세운다. 어떤 수를 x라 하면(cid:100)(cid:100)(x-5)¤ =2(x-5) (cid:100)(cid:100)x¤ -12x+35=0,(cid:100)(cid:100)(x-5)(x-7)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x+5) 따라서 어떤 수는 7이다. (cid:9000) 7 20 (입장료에 대한 수입) =(1인당 입장료)_(입장객 수) 1000_3000=(1000+a)(3000-2a)이므로 (cid:100)(cid:100)3_10fl =-2a¤ +1000a+3_10fl (cid:100)(cid:100)2a¤ -1000a=0,(cid:100)(cid:100)2a(a-500)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=500(∵ a+0) (cid:9000) 500 14 주어진 공식을 이용하여 식을 세운다. 이므로(cid:100)(cid:100)a=-;4!;, b=1 두 점(0, -1), (4, 0) 을 지나므로 이 함수 의 그래프의 기울기는 (cid:100) 0-(-1) 4-0 =;4!; D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지121 SinsagoHitec △ABC에서 BD”가 ∠B의 이등분선일 때 21 (cid:8833) AB” : BC”=AD” ” : CD” A D C 14`cm 36æ x`cm B 36æ 36æ x`cm 72æ 72æ {14-x}`cm 삼각형 ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형 이고, 삼각형 BCD도 BC”=BD”인 이등변삼각형 이다. BC”=x라 하면 오른쪽 그 림에서 삼각형의 각의 이등 분선의 성질에 의하여 (cid:100)(cid:100)x : 14=(14-x) : x (cid:100)(cid:100)x¤ =196-14x,(cid:100)(cid:100)x¤ +14x-196=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-7+'ƒ49+196 =-7+7'5 (cm)(∵ x>0) (cid:9000) (-7+7'5 ) cm 보충 학습 삼각형의 내각의 이등분선과 변의 길이의 비 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC” A 와 만나는 점을 D라 하면 (cid:100)(cid:100)AB” : AC”=BD” : CD” B C D 22 채점 기준 기호의 뜻에 따라 식 세우기 x의 값 구하기 (2x-1)„(x+3)=-11에서 (cid:100)(cid:100)(2x-1-2)(x+3+2)-(2x-1)=-11 ▶ 2`점 (cid:100)(cid:100)2x¤ +5x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(2x-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x= ;2!; ▶ 2`점 (cid:9000) -3, ;2!; 23 채점 기준 이차방정식의 상수항 구하기 이차방정식의 x의 계수 구하기 이차방정식 구하기 해 구하기 배점 2점 2점 배점 2점 2점 1점 1점 i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T 우공비 B0X 문제집 63~64쪽 (cid:100) 따라서 처음 이차방정식의 x의 계수는 -4이다. ax¤ +2b'x+c=0 (cid:8825) x= -b'—"√b'¤ -ac a (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x-8=0 ⑵ x¤ -4x-8=0에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)x=2—"√(-2)¤ -1_(-8) =2—2'3 ▶ 1`점 (cid:9000) ⑴ x¤ -4x-8=0(cid:100)⑵ x=2—2'3 ∠BDC=∠BCD =72˘ 이므로 삼각형 BCD 는 이등변삼각형이다. 24 채점 기준 h=120일 때, t의 값 구하기 h=0일 때, t의 값 구하기 ⑴ 120=-5t¤ +30t+80에서 (cid:100) (cid:100)(cid:100)5t¤ -30t+40=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)t¤ -6t+8=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(t-2)(t-4)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=4 높이 a m에 도달하는 시간은 올라갈 때, 내 려올 때의 두 번이다. (단, 가장 높이 올라간 경우는 제외) (cid:100) 따라서 물체의 높이가 120 m가 되는 것은 쏘아 올린 지 2초 후 또는 4초 후이다. ▶ 3`점 ⑵ 물체가 지면에 떨어질 때, 높이는 0 m이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)0=-5t¤ +30t+80 (cid:100) (cid:100)(cid:100)t¤ -6t-16=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(t+2)(t-8)=0 (cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ t=8 (∵ t>0) (cid:100) 따라서 물체는 8초 후에 지면에 떨어진다. ▶ 3`점 (cid:9000) ⑴ 2초 또는 4초(cid:100)⑵ 8초 25 채점 기준 한 화단의 가로, 세로의 길이 구하기 네 화단의 넓이의 합을 이용하여 식 세우기 길의 폭 구하기 길의 폭을 x m라 하면 한 화단의 가로와 세로의 길 (20-3x)(16-3x) =192에서 (cid:100)9x¤ -108x+320 =192 (cid:100)∴ 9x¤ -108x+128 =0 이는 각각 (cid:100)(cid:100) 20-3x 2 (m), 16-3x 2 (m) 이므로 네 화단의 넓이의 합은 (cid:100)(cid:100)4_ 20-3x 2 _ 16-3x 2 =20_16_;1§0º0; ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 1`점 배점 3점 3점 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 (cid:100)(cid:100)9x¤ -108x+128=0 (cid:100)(cid:100)(3x-4)(3x-32)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=;3$; 또는 x=:£3™: 3x<16, 즉 x<:¡3§:이므로 구하는 길의 폭은 (cid:100)(cid:100);3$; m ▶ 2`점 (cid:9000) ;3$; m 대단원별 실전 TEST 121 ⑴ 두 근이-1, 8이고 , x¤ 의 계수가 1인 이차방정 식은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+1)(x-8)=0, 즉 x¤ -7x-8=0 (cid:100) 따라서 처음 이차방정식의 상수항은 -8이다. ▶ 2`점 (cid:100) 두 근이 -2, 6이고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=0, 즉 x¤ -4x-12=0 두 근이 a, b이고 x¤ 의 계 수가 1인 이차방정식 (cid:8825) (x-a)(x-b)=0 ” 14중3상해설대단원(107-128)-OK 2014.10.1 5:19 PM 페이지122 SinsagoHitec 우공비 B0X ;4!;_{;3*;}2 =:¡9§: x축을 접는 선으로 하 여 접었을 때 완전히 포개어진다. 그래프가 점 (a, b)를 지난다. (cid:8825) x=a, y=b를 주 어진 식에 대입한 다. a>0이고 절댓값이 가 장 크다. (cid:9000) ① a<0이고 절댓값이 가 장 크다. Point Up 문제집 06 회 Ⅳ 이차함수 | 문제집 65~68쪽 01 ③ 05 ④ 09 ④ 13 ④ 19 -6 21 121 02 ① 06 ③ 10 ⑤ 14 ⑤ 03 ④ 07 ③ 11 ⑤ 15 ② 04 ④ 08 ③ 12 ④ 16 ③ 17 -30, p<0, q<0 20 (2, -3), (0, -11) 22 y=;2#;x¤ 23 k<3 24 8 25 ⑴ 5초(cid:100)⑵ 125m 01 이차함수 (cid:8833) y=(x에 대한 이차식) ㈂ y=x¤ (x-3), 즉 y=x‹ -3x¤ ㈄ y=x(x+1)-2x¤ +3, 즉 y=-x¤ +x+3 이상에서 이차함수인 것은 ㈁, ㈄이다. (cid:9000) ③ 보충 학습 이차함수가 아닌 것 찾기 ① (x에 대한 이차식)=0 (cid:8825) 이차방정식이다. ② y=(x에 대한 일차식) (cid:8825) 일차함수이다. ③ y=(수) (cid:8825) 이차함수가 아니다. ④ y= (cid:8825) x¤ 이 분모에 있으면 이차함수가 아니다. 1 x¤ 02 이차함수 y=ax¤ 의 그래프 (cid:8833) a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. 주어진 그림에서 상수 a의 값이 가장 큰 경우는 그 래프가 아래로 볼록하면서 폭이 가장 좁은 ㈀, 가장 작은 경우는 그래프가 위로 볼록하면서 폭이 가장 좁은 ㈃이 점 D의 좌표를 기준으로 주어진 조건을 이용한다. 점 D의 좌표를 {a, ;4!;a¤ } (a>0)이라 하면 점 A, 다. 03 B의 좌표는 (cid:100)(cid:100)A{-a, ;4!;a¤ }, B(-a, 0) AD”=3AB”이므로 (cid:100)(cid:100)2a=;4#;a¤ ,(cid:100)(cid:100)3a¤ -8a=0 (cid:100)(cid:100)a(3a-8)=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=;3*; (∵ a>0) 122 Check Up 풀이집 따라서 구하는 점 D의 좌표는 (cid:100)(cid:100){;3*;, :¡9§:} (cid:9000) ④ 04 이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대칭 (cid:8833) y=-ax¤ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 y=;3!;x¤ 의 그래프는 x축에 대칭이므로 (cid:100)(cid:100)a=-;3!; 또 이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 점 (-9, b)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)b=81a=81_{-;3!;}=-27 (cid:100)(cid:100)∴ ab={-;3!;}_(-27)=9 (cid:9000) ④ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만 05 큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2 만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식 은 (cid:100)(cid:100)y=-3(x-2)¤ -2 이 그래프가 점 (a, -14)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)-14=-3(a-2)¤ -2,(cid:100)(cid:100)(a-2)¤ =4 (cid:100)(cid:100)a-2=-2 또는 a-2=2 (cid:100)(cid:100)∴ a=4 (∵ a+0) (cid:9000) ④ 일차함수 y=ax+b의 그래프 06 (cid:8833) a는 기울기, b는 y절편 주어진 그래프는 위로 볼록하고, y축과 만나는 점 이 원점의 위쪽에 위치하므로 (cid:100)(cid:100)a<0, -b>0 즉 y=ax-b의 그래프는 기울기 가 음수이고 y축과 만나는 점이 원점의 위쪽에 위치하므로 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 이 그래프가 지나지 않는 사분면은 제 3 사분면이다. y O x y=ax-b (cid:9000) ③ 07 (cid:8833) a는 기울기, b는 y절편 일차함수 y=ax+b의 그래프 주어진 일차함수의 그래프는 오른쪽 위로 향하므 로(cid:100)(cid:100)a>0 (y절편)>0이므로(cid:100)(cid:100)b>0 따라서 이차함수 y=a(x-b)¤ 의 그래프는 a>0이므로 아래로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표 (b, 0)에서 b>0이므 로 그래프의 개형으로 옳은 것은 ③이다. (cid:9000) ③ D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지123 SinsagoHitec 우공비 B0X 문제집 65~67쪽 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만 08 큼 평행이동 (cid:8833) y=ax¤ +q 이차함수 y=-;3!;x¤ +3의 그래프는 이차함수 y=-;3!;x¤ -1의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행 이동한 것이다. x=-2 x=1 y 따라서 구하는 넓이는 오른쪽 그림의 평행사 변형의 넓이와 같으므 로 (cid:100)(cid:100)4_3=12 3 O -1 -2 1 x 1 y=- x2+3 3 1 y=- x2-1 3 (cid:9000) ③ 보충 학습 평행사변형의 넓이 (평행사변형의 넓이) =(밑변의 길이)_(높이) 밑변 높이 높이 밑변 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌 09 표 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. y=-3x¤ -12x+b-7 y=-3(x¤ +4x)+b-7 y=-3(x+2)¤ +b+5 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, b+5)이다. 꼭짓점이 제2사분면 위에 있으므로 (cid:100)(cid:100)b+5>0(cid:100)(cid:100)∴ b>-5 (cid:9000) ④ 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌 10 표 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. y=x¤ -4ax+3a¤ -b¤ +2b =(x-2a)¤ -a¤ -b¤ +2b 에서 꼭짓점의 좌표는 (2a, -a¤ -b¤ +2b)이므로 (cid:100)(cid:100)2a=4, -a¤ -b¤ +2b=-3 2a=4에서 a=2이므로 (cid:100)(cid:100)b¤ -2b+1=0,(cid:100)(cid:100)(b-1)¤ =0 (cid:100)(cid:100)∴ b=1 (cid:100)(cid:100)∴ a-b=2-1=1 11 그래프를 보고 a, b, c의 부호를 결정한다. 주어진 그래프는 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0 축이 y축의 오른쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab<0 그런데 a>0이므로(cid:100)(cid:100)b<0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c<0 ① a>0, -b>0이므로(cid:100)(cid:100)a-b>0 ② b<0, c<0이므로(cid:100)(cid:100) >0 ;bC; c=3이므로 (cid:100)a-b=9 y ㉠(cid:100) (cid:100)a+b=-5 y ㉡(cid:100) ㉠+㉡을 하면 (cid:100)2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 (cid:100)2-b=9 (cid:100)∴ b=-7 x축과의 두 교점은 직 선 x=2로부터 4만큼 씩 떨어져 있다. 즉 두 교점의 x좌표는 (cid:100)2-4=-2, (cid:100)2+4=6 y=ax¤ +bx+c에서 ① a의 부호 (cid:8825) 그래프의 [ 모양 아래로 볼록: a>0 위로 볼록: a<0 ② b의 부호 (cid:8825) 축의 위치 y축의 왼쪽: ab>0 y축의 오른쪽: ab<0 ③ c의 부호 (cid:8825) y축과의 [ 교점 원점의 위쪽: c>0 원점의 아래쪽 :c<0 [ i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T ③ abc>0 ④ a>0, -b>0, -c>0이므로 (cid:100) (cid:100)(cid:100)a-b-c>0 ⑤ a>0, bc>0이므로(cid:100)(cid:100)a+bc>0 (cid:9000) ⑤ 일차함수 y=ax+b의 그래프 12 (cid:8833) a는 기울기, b는 y절편 주어진 그래프에서 기울기가 -2, y절편이 2이므 로(cid:100)(cid:100)a=-2, b=2 이차함수 y=-2x¤ +2x-5의 그래프에서 ① a+b=-2+2=0 ② y=-2x¤ +2x-5에 x=1, y=-5를 대입하면 ② (cid:100)(cid:100)-5=-2_1¤ +2_1-5 ② 이므로 점 (1, -5)를 지난다. ③ x¤ 의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 포물선이다. ④ y=-2x¤ +2x-5=-2 {x¤ -x+;4!;}-;2(; ② y=-2{x-;2!;}2 -;2(; ② 이므로 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100){;2!;, -;2(;} ⑤ x¤ 의 계수가 -2로 같으므로 그래프의 폭이 같다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. (cid:9000) ④ 13 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 대입한다. 그래프가 지나는 세 점의 좌표가 주어질 때 구하는 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 그래프가 세 점 (-1, 12), (0, 3), (1, -2)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)12=a-b+c, 3=c, -2=a+b+c 세 식을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a=2, b=-7, c=3 (cid:100)(cid:100)∴ y=2x¤ -7x+3 14 (cid:8833) 그래프가 직선 x=p에 대하여 대칭이다. 이차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=p 주어진 이차함수의 그래프가 직선 x=2를 축으로 하고 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 8이므로 x축과 의 두 교점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(-2, 0), (6, 0) (cid:100)(cid:100)y=-2(x+2)(x-6) =-2x¤ +8x+24 (cid:100)(cid:100)∴ a=8, b=24 (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ 15 이차함수 y=a(x-p)¤ +q(a>0) (cid:8833) 최솟값 q y=x¤ +2ax+b =(x+a)¤ +b-a¤ 에서 꼭짓점의 좌표는 (-a, b-a¤ )이므로 대단원별 실전 TEST 123 (cid:9000) ⑤ 이차항의 계수가 -2이므로 구하는 이차함수의 식은 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지124 SinsagoHitec Point Up 문제집 우공비 B0X y=-2x-3에 x=-a, y=b-a¤ 을 대입하면 (cid:100)(cid:100)b-a¤ =2a-3 (cid:100)(cid:100)∴ b=a¤ +2a-3=(a+1)¤ -4 따라서 b는 a=-1에서 최솟값 -4를 갖는다. (cid:9000) ② 직사각형의 둘레의 길이가 a 16 (cid:8833) (가로의 길이)+(세로의 길이)= ;2A; (cid:100)(cid:100)y=x(10-x)=-x¤ +10x =-(x-5)¤ +25 이므로 x=5에서 최댓값 25를 갖는다. 직사각형의 가로의 길이를 xm, 넓이를 ym¤ 라 하면 따라서 놀이터의 최대 넓이는 25 m¤ 이다. (cid:9000) ③ 17 이차함수 y=ax¤ 의 그래프 (cid:8833) a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. y=ax¤ 의 그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0 y=ax¤ 의 그래프는 y=-3x¤ 의 그래프보다 폭이 넓고 y=- x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으므로 ;2!; (cid:100)(cid:100)-30, p<0, q<0 (cid:9000) a>0, p<0, q<0 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만 19 큼 평행이동 (cid:8833) y=ax¤ +q y=;3!;x¤ +9의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평 행이동한 그래프의 식은(cid:100)(cid:100)y=;3!;x¤ +9+q 조건 ㈎에서 꼭짓점이 원점이므로 (cid:100)(cid:100)9+q=0(cid:100)(cid:100)∴ q=-9(cid:100)(cid:100)∴ y=;3!;x¤ 조건 ㈏에서 점 (-3, k)를 지나므로 x=-3, y=k를 대입하면 (cid:100)(cid:100)k=;3!;_(-3)¤ =3 (cid:100)(cid:100)∴ k+q=3+(-9)=-6 124 Check Up 풀이집 (cid:9000) -6 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌 20 표 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. y=-2x¤ +8x-11=-2(x-2)¤ -3이므로 그래 y=-2x¤ +8x-11에 x=0을 대입하면 y=-11이므 프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(2, -3) 로 y축과의 교점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(0, -11) 둘레의 길이가 20 m이 므로 세로의 길이는 (10-x)m이다. 21 합이 A인 두 수 (cid:8833) x, A-x 합이 22이므로 두 수를 x, 22-x로 놓을 수 있다. (cid:9000) (2, -3), (0, -11) 두 수의 곱을 y라 하면 (cid:100)(cid:100)y=x(22-x) (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +22x (cid:100)(cid:100)y=-(x-11)¤ +121 이차함수 y=a(x-p)¤ +q는 a>0일 때 (cid:8825) 최솟값 q a<0일 때 (cid:8825) 최댓값 q 따라서 y는 x=11에서 최댓값 121을 갖는다. 즉 두 수의 곱의 최댓값은 121이다. (cid:9000) 121 22 채점 기준 이차함수의 식을 y=ax¤ 으로 놓기 포물선의 식 구하기 배점 2점 3점 원점을 꼭짓점으로 하고 y축을 축으로 하므로 포물 선의 식을 y=ax¤ 으로 놓을 수 있다. ▶ 2점 포물선이 점 (-2, 6)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)6=4a(cid:100)(cid:100)∴ a= ;2#; 따라서 구하는 식은 (cid:100)(cid:100)y= x¤ ;2#; 23 채점 기준 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기 평행이동한 그래프의 식 구하기 k의 값의 범위 구하기 y=2x¤ -4x+2-k =2(x-1)¤ -k 의 식은 (cid:100)(cid:100)y=2(x-1)¤ +3-k 가 x축과 만나지 않으려면 (cid:100)(cid:100)3-k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<3 이 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 3-k)이므로 그래프 ▶ 3점 (cid:9000) y= x¤ ;2#; 배점 2점 2점 2점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 ▶ 2`점 (cid:9000) k<3 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지125 SinsagoHitec i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T 우공비 B0X 문제집 67~69쪽 y가 x에 대한 이차함수 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c (a+0) 01 ① y=2px ② y=x‹ ③ y= _4_2x=4x ;2!; ;2!; ▶ 2`점 ⑤ y= _(x+4x)_6=15x ④ y=x(5-x)=-x¤ +5x (cid:8825) 이차함수 24 채점 기준 점 A의 좌표 구하기 두 점 B, C의 좌표 구하기 △ABC의 넓이 구하기 배점 2점 2점 2점 y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -4)이므로 (cid:100)(cid:100)A(1, -4) y=0을 대입하면 x¤ -2x-3=0에서 (cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=3 따라서 x축과의 교점의 x좌표 가 -1, 3이므로 (cid:100)(cid:100)B(-1, 0), C(3, 0) ▶ 2`점 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC (cid:100)(cid:100) = _4_4=8 ▶ 2`점 ;2!; C 3 x y O B -1 -3 -4 1 A 또는 B(3, 0), C(-1, 0) (cid:9000) 8 y=ax¤ +bx+c일 때 (cid:8825) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고쳐서 최댓값 또는 최 솟값을 구한다. 배점 4점 1점 1점 ▶ 4`점 ▶ 1`점 ▶ 1`점 (cid:9000) ⑴ 5초(cid:100)⑵ 125 m |a|<|- ;2#;| (cid:100)∴ a>- ;2#; 25 채점 기준 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기 최대 높이일 때 시간 구하기 최대 높이 구하기 ⑴ y=50x-5x¤ =-5(x¤ -10x) =-5(x-5)¤ +125 최대가 된다. ⑵ 최대 높이는 125 m이다. ⑴ x=5에서 최댓값 125를 가지므로 5초 후에 높이가 07 회 Ⅳ 이차함수 | 문제집 69~72쪽 01 ④ 05 ④ 09 ② 13 ③ 17 7 02 ③ 06 ④ 10 ② 14 ② 03 ① 07 ④ 11 ③ 15 ⑤ 18 (3, -13)19 15 04 ③ 08 ② 12 ⑤ 16 ② 20 30 21 제 1, 2, 3, 4사분면 22 최댓값: 9, x=3, y=3 23 (-1, 3) 24 6 25 50 점 (a, b)가 그래프 위에 있다. (cid:8825) 그래프가 점 (a, b)를 지난다. (cid:8825) x=a, y=b를 그 래프의 식에 대입 하면 성립한다. 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 나타내는 이차함 02 수의 식 (cid:8833) y=ax¤ (a+0) 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 나타내는 이차함 수의 식을 y=ax¤ (a+0)으로 놓으면 그래프가 점 (2, -16)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-16=a_2¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-4 (cid:100)(cid:100)-12=-4k¤ ,(cid:100)(cid:100)k¤ =3 (cid:100)(cid:100)∴ k=-'3 (∵ k<0) 따라서 y=-4x¤ 의 그래프가 점 (k, -12)를 지나므로 03 이차함수 y=ax¤ 의 그래프 (cid:8833) a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. y=ax¤ 의 그래프가 위로 볼록하므로 y=- x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로 (cid:100)(cid:100)a<0 ;2#; ;2#; (cid:100)(cid:100)- -3일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프와 y=-a(x-p)¤ 의 그래프는 x축에 대칭 이다. (cid:100)(cid:100)∴ a+p+k=-2+4+1=3 (cid:9000) ④ 프의 개형 나타내기 ③ y=-2(x+1)¤ -2는 x>-1인 범위에서 x의 값이 증가할 때 y의 값이 y=-2{x+1}@-2 감소한다. y -1 O x -2 -4 7 1 O ④ y=;3@;(x-3)¤ +1은 ② x<3인 범위에서 x의 값이 증가할 때 y의 값 이 감소한다. ⑤ y=-3(x-1)¤ +3은 x>1인 범위에서 x의 값이 증가할 때 y의 값이 감소한다. y y=-{x-3}@+1 2 3 3 x y 3 y=-3{x-1}@+3 O 1 x (cid:9000) ② 보충 학습 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 증가, 감소 알 아보기 ⁄ a의 부호와 꼭짓점의 좌표 (p, q)를 이용하여 그래 a>0 a<0 {p, q} 그래프가 x축과 만나 는 점의 y좌표는 0이 다. {p, q} x=p x=p ¤ x=p를 기준으로 증가, 감소의 범위 구하기 09 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다. 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프 주어진 이차함수의 그래프는 위로 볼록하고, 원점 그래프가 y축과 만나 는 점의 x좌표는 0이 다. 을 지난다. (cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4ax=-(x-2a)¤ +4a¤ 에서 꼭짓점의 좌표는 (2a, 4a¤ )이다. 이때 a>0이므로 꼭짓점은 제1 사분면 위의 점이다. 따라서 주어진 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제2 사 y 4a@ 분면을 지나지 않는다. (cid:9000) ② O 2a x 10 (cid:8833) 함수의 식에 x=a, y=b를 대입한다. 함수의 그래프가 점 (a, b)를 지난다. y=x¤ +2mx+2m¤ -2m+1 y=(x+m)¤ +m¤ -2m+1 에서 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(-m, m¤ -2m+1) (cid:9000) ④ (cid:100)(cid:100) 06 이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대칭 (cid:8833) y=-ax¤ y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-ax¤ 이 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=-a(x+1)¤ +k, 즉 (cid:100)(cid:100)y=-ax¤ -2ax-a+k 이므로(cid:100)(cid:100)-a=2, -2a=p, -a+k=3 (cid:100)(cid:100)∴ a=-2, p=4, k=1 x축과 만나는 점의 x좌표가 p (cid:8833) (p, 0) 07 y축과 만나는 점의 y좌표가 q (cid:8833) (0, q) y=-3x¤ -5x+2에 y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)-3x¤ -5x+2=0 (cid:100)(cid:100)(x+2)(3x-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=;3!; (cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=;3!; (∵ a0인 범위에서 x의 값이 증가할 때 y의 값이 감소한다. y 1 O y=-x@+1 x ② y=;2!;(x-1)¤ 은 x<1인 ② 범위에서 x의 값이 증가할 때 y의 값이 감소한다. y 1 2 O y=-{x-1}@ 1 2 1 x 126 Check Up 풀이집 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지127 SinsagoHitec 이 꼭짓점이 직선 y=-x+5 위의 점이므로 (cid:100)(cid:100)m¤ -2m+1=m+5,(cid:100)(cid:100)m¤ -3m-4=0 (cid:100)(cid:100)(m+1)(m-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ m=-1 (∵ m…2) (cid:9000) ② 함수의 그래프와 x축의 교점의 좌표 11 (cid:8833) 함수의 식에 y=0을 대입 y=x¤ +ax-a-4에 y=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)x¤ +ax-a-4=0 yy ㉠(cid:100)(cid:100) x축과 만나는 두 점의 x좌표를 a, b라 하면 a, b는 ㉠ 의 두 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하 여 (cid:100)(cid:100)a+b=-a, ab=-a-4 f(a)=|a-b|이므로 (cid:100)(cid:100)(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab =(-a)¤ -4(-a-4) =a¤ +4a+16 =(a+2)¤ +12 따라서 (a-b)¤ 은 a=-2에서 최솟값 12를 가지므로 |a-b|, 즉 f(a)의 최솟값은 '∂1å2=2'3이다. (cid:9000) ③ a의 부호 (cid:8833) 그래프의 모양에 따라 결정 12 b의 부호 (cid:8833) 축의 위치에 따라 결정 c의 부호 (cid:8833) y축과의 교점의 위치에 따라 결정 주어진 그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로(cid:100)(cid:100)-ab<0 이때 a<0이므로(cid:100)(cid:100)b<0 y축과의 교점이 원점의 위쪽에 있으므로 (cid:100)(cid:100)-c>0(cid:100)(cid:100)∴ c<0 (cid:9000) ⑤ 13 꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로 구하는 이차함수 의 식을 y=a(x+2)¤ 으로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)3=4a(cid:100)(cid:100)∴ a= ;4#; (cid:100)(cid:100)∴ y= (x+2)¤ ;4#; 14 꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼭짓점의 좌표가 (4, -3)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-4)¤ -3으로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (7, 0)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)0=9a-3(cid:100)(cid:100)∴ a= ;3!; 따라서 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y= (x-4)¤ -3, 즉 y= x¤ - x+ ;3!; ;3*; ;3&; ;3!; 이므로(cid:100)(cid:100)a= , b=- , c= ;3!; ;3*; ;3&; i P o n t U p 대 단 원 별 실 전 T E S T 우공비 B0X 문제집 69~71쪽 (cid:100)(cid:100)∴ 3(a+b+c)=3 {;3!; - ;3*; + ;3&;}=0 (cid:9000) ② 15 y=a(x-p)¤ +q (a>0) (cid:8833) x=p에서 최솟값 q y= x¤ +x+k y= (x¤ +4x+4)-1+k ;4!; ;4!; ;4!; y= (x+2)¤ +k-1 에서 최솟값이 6이므로 (cid:100)(cid:100)k-1=6(cid:100)(cid:100)∴ k=7 16 y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q 이익을 y만 원이라 하면 (cid:100)(cid:100)y=- x¤ +10x-500 (cid:100)(cid:100)y=- (x¤ -1000x+250000)+2500-500 (cid:100)(cid:100)y=- (x-500)¤ +2000 이므로 y는 x=500에서 최댓값 2000을 갖는다. 따라서 하루에 500개의 제품을 생산하면 된다. ;10!0; ;10!0; ;10!0; 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만 17 큼 평행이동 (cid:8833) y=a(x-p)¤ 이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 4만 y좌표가 같은 두 점 사이의 거리는 x좌표 의 차와 같다. y=ax¤ +bx+c(a>0)의 그래프에서 y O x a,b가 같은 부호 a,b가 다른 부호 큼 평행이동한 그래프의 식은 (cid:100)(cid:100)y=3(x-4)¤ a-4=-3 또는 a-4=3 (cid:100)∴ a=1 또는 a=7 이 그래프가 두 점 (1, k), (a, k)를 지나므로 (cid:100)(cid:100)k=3_(1-4)¤ , k=3(a-4)¤ 따라서 3(a-4)¤ =27이므로(cid:100)(cid:100)(a-4)¤ =9 (cid:100)(cid:100)∴ a=7 (∵ a+1) (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ② (cid:9000) 7 그래프의 꼭짓점과 그래프 위의 한 점을 알 때, 이차 함수의 식 구하기 ⁄ 꼭짓점의 좌표가 (p, q) 이므로 y=a(x-p) ¤ +q 로 놓기 18 (cid:8833) 꼭짓점의 y좌표는 0이다. 이차함수의 그래프가 x축에 접한다. y=x¤ -4x+8+a=(x¤ -4x+4)+4+a (cid:9000) ③ ¤ 점의 좌표를 대입하여 =(x-2)¤ +4+a a의 값 구하기 의 그래프가 x축에 접할 때 꼭짓점의 y좌표는 0이므로 (cid:100)(cid:100)4+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-4 (cid:100)(cid:100)y=x¤ -6x-4=(x¤ -6x+9)-13 (cid:100)(cid:100) =(x-3)¤ -13 이므로 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(3, -13) (cid:9000) (3, -13) 19 y축과의 교점 (cid:8833) 함수의 식에 x=0을 대입 x축과의 교점 (cid:8833) 함수의 식에 y=0을 대입 y=-x¤ +x+6에 x=0을 대입하면 y=6이므로 (cid:100)(cid:100)A(0, 6) y=-x¤ +x+6에 y=0을 대입하면 대단원별 실전 TEST 127 D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지128 SinsagoHitec Point Up 문제집 우공비 B0X 문제집 71~72쪽 23 채점 기준 a, b의 값 구하기 y=(x-p)¤ +q 꼴로 고치기 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표 구하기 AO”=6 BC”=3-(-2)=5 주어진 일차함수의 그래프에서 기울기는 (cid:100)(cid:100)-x¤ +x+6=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=3 따라서 B(-2, 0), C(3, 0)이므로 (cid:100)(cid:100)△ABC= 5_6=15 ;2!;_ (cid:9000) 15 보충 학습 ⑴ x절편 이차함수의 그래프와 x절편, y절편 ⑴ 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표 (cid:8825) a, b ⑵ y절편 ⑴ 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표 (cid:8825) c y y절편 {0, c} {å, 0} {∫, 0} x x절편 O 20 x축과 만나는 점 (cid:8833) 함수식에 y=0을 대입 y=0을 대입하면 ;4!;x¤ -k=0에서 (cid:100)(cid:100)x¤ =4k(cid:100)(cid:100)∴ x=—2'∂k 즉 A(-2'∂k, 0), B(2'∂k, 0)이므로 (cid:100)(cid:100)AB”=4'∂k 따라서 AB”의 길이가 자연수가 되려면 k가 제곱수가 되 어야 하므로 이를 만족시키는 20 이하의 자연수 k는 (cid:100)(cid:100)1, 4, 9, 16 (cid:100)(cid:100)∴ 1+4+9+16=30 (cid:9000) 30 21 y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q y=-x¤ -2ax-2a=-(x¤ +2ax+a¤ )+a¤ -2a y=-(x+a)¤ +a¤ -2a x=-a에서 최댓값 a¤ -2a를 가지므로 (cid:100)(cid:100)a¤ -2a=15,(cid:100)(cid:100)a¤ -2a-15=0 (cid:100)(cid:100)(a+3)(a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-3 (∵ a<0) 따라서 a=-3을 주어진 식에 대입하면 y=-{x-3}@+15 y 15 (cid:100)(cid:100)y=-(x-3)¤ +15 이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉 이차함수 O 3 x y=-x¤ +6x+6의 그래 프는 제`1, 2, 3, 4사분면을 지난다. (cid:9000) 제`1, 2, 3, 4사분면 22 로 나타낸다. x+y=6에서 y=-x+6이므로 (cid:100)(cid:100)xy=x(-x+6) =-x¤ +6x =-(x-3)¤ +9 따라서 x=3, y=3에서 최댓값 9를 갖는다. (cid:9000) 최댓값: 9, x=3, y=3 128 Check Up 풀이집 y=ax¤ +bx+c의 그래프 에서 x축과의 교점의 x좌 표는 y=0일 때, x의 값 이므로 (cid:100)ax¤ +bx+c=0 (cid:8825) a(x-a)(x-b)=0 (cid:8825) x=a 또는 x=b (cid:100)∴ (a, 0), (b, 0) 제곱수: 자연수의 제곱인 수 (cid:8825) 근호 안의 수가 제곱수 이면 근호를 없애고 자 연수로 나타낼 수 있다. ▶ 1`점 (cid:9000) (-1, 3) 배점 2점 3점 1점 =2, ;2$; ▶ 2`점 ▶ 3`점 배점 2점 3점 1점 ▶ 2`점 ▶ 3`점 ▶ 1`점 (cid:9000) 6 배점 3점 3점 y절편은 4이므로 (cid:100)(cid:100)a=2, b=4 따라서 주어진 이차함수의 식은 (cid:100)(cid:100)y=x¤ +2x+4 =(x+1)¤ +3 이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)(cid:100)(-1, 3) 24 채점 기준 a의 값 구하기 b, c의 값 구하기 a+b-c의 값 구하기 x축과의 교점의 좌표가 (-5, 0), (1, 0)이므로 이차함수의 식을 y=a(x+5)(x-1)로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)-3=-5a(cid:100)(cid:100)∴ a= ;5#; 따라서 y= (x+5)(x-1)= x¤ + x-3이므로 ;5#; ;5#; ;;¡5™;; (cid:100)(cid:100)b= , c=-3 :¡5™: (cid:100)(cid:100)∴ a+b-c= -(-3)=6 ;5#;+:¡5™: 25 채점 기준 x, y 사이의 관계를 식으로 나타내기 y의 최댓값 구하기 밑변의 길이가 12 cm, 높이가 8 cm인 삼각형의 밑변의 길이를 x cm 줄이고 높이를 x cm 늘이면 밑변 의 길이와 높이는 각각 (cid:100)(cid:100)(12-x)cm, (8+x)cm 이 삼각형의 넓이는 y cm¤ 이므로 ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100)y= (-x¤ +4x+96) (cid:100)(cid:100)y=- (x-2)¤ +50 ;2!; 따라서 y는 x=2에서 최댓값 50을 갖는다. ▶ 3`점 (cid:9000) 50 y=-x+6을 xy에 대입하여 x에 대한 이차식으 (삼각형의 넓이) = _(밑변의 길이) ;2!; =_(높이) (cid:100)(cid:100)y= (12-x)(8+x) ▶ 3`점