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문제집/중등

2019년 좋은책신사고 우공비Q 수학 3 ( 하 ) 발전편 948Q 답지

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E0420_Q중3하솔(001-009) 2015.4.20 11:56 AM 페이지1 SinsagoHitec 우공비 중등 수학 (하) 발전편 3 SOLUTION LECTURE BOOK WORK BOOK Ⅳ 통계 Ⅳ 통계 1. 대푯값과 산포도 2 1. 대푯값과 산포도 60 Ⅴ 피타고라스 정리 Ⅴ 피타고라스 정리 1. 피타고라스 정리 2. 피타고라스 정리의 활용 1. 피타고라스 정리 2. 피타고라스 정리의 활용 Ⅵ 삼각비 1. 삼각비 2. 삼각비의 활용 Ⅶ 원의 성질 1. 원과 직선 2. 원주각 ⑴ 3. 원주각 ⑵ 8 16 26 32 40 46 52 63 67 74 77 81 86 90 Ⅵ 삼각비 1. 삼각비 2. 삼각비의 활용 Ⅶ 원의 성질 1. 원과 직선 2. 원주각 ⑴ 3. 원주각 ⑵ S I N S A G O E0420_Q중3하솔(001-009) 2015.4.20 11:57 AM 페이지2 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX c=7이면 최빈값은 7, 11 이므로 c+7 03-1 최빈값이 11이므로 a, b, c 중 적어도 2개는 11 이어야 한다. a=11, b=11, c+7이라 하면 중앙 값이 10이므로 7b>c 2 | SOLUTION 02 정연이의 사격 점수를 크기순으로 나열하면 (분산)= (편차)¤ 의 총합 (변량)의 개수 (cid:9120) a>b>c y+27=35 (cid:100)(cid:100)∴ y=8 E0420_Q중3하솔(001-009) 2015.4.20 11:57 AM 페이지3 SinsagoHitec (분산)= (-2)¤ +(x-7)¤ +(3-x)¤ +1¤ +5¤ 5 (분산)=14 에서 x¤ -10x+9=0 (x-1)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>5) ∴ x-y=1 (cid:9120) ① 04 계급값(분) 도수`(명) 5 2 15 5 25 2 35 합계 1 10 (평균)= 5_2+15_5+25_2+35_1 10 =:¡1¶0º:=17(분) ∴ (분산) ∴ = (-12)¤ _2+(-2)¤ _5+8¤ _2+18¤ _1 10 ∴ =:¶1§0º:=76 (cid:9120) 76 04-1 1+2+6+x+3=20(cid:100)(cid:100)∴ x=8 계급값(권) 도수`(명) 2 1 6 2 10 6 14 8 18 합계 3 20 (평균)= 2_1+6_2+10_6+14_8+18_3 20 =:™2¢0º:=12(권) (분산)=;2¡0;{(-10)¤ _1+(-6)¤ _2 +(-2)¤ _6+2¤ _8+6¤ _3} (분산)=:£2£0§:=16.8 ∴ (표준편차)='ƒ16.8(권) (cid:9120) 'ƒ16.8권 05 계급값(시간) 도수`(명) 4 2 6 4 8 2 10 1 12 합계 1 10 (평균)= 4_2+6_4+8_2+10_1+12_1 10 =;1&0);=7(시간) ∴ (분산)=;1¡0;{(-3)¤ _2+(-1)¤ _4+1¤ _2 +3¤ _1+5¤ _1} ∴ (분산)=;1%0*;=5.8 (cid:9120) ② Q BOX 05-1 자료 A에서 도수분포표에서의 분산 (cid:8857) {(편차)¤ _(도수)}의 총합 (도수)의 총합 (평균)= a_1+2a_2+3a_1 1+2+1 = =2a 8a 4 (-a)¤ _1+0¤ _2+a¤ _1 4 = a¤ 2 ∴ (분산)= 자료 B에서 (평균)= b_3+2b_6+3b_3 3+6+3 = 24b 12 =2b ∴ (분산)= (-b)¤ _3+0¤ _6+b¤ _3 12 = b¤ 2 이때 = 이고 a>0, b>0이므로 a=b a¤ 2 b¤ 2 a ∴ =1 b L E C T U R E B O O K (cid:9120) 1 자료의 분포가 고른 정도 를 비교하려면 표준편차 를 비교한다. 06 근우의 표준편차가 가장 작으므로 근우의 성적이 (cid:9120) ④ 가장 고르다고 할 수 있다. 06-1 학생 A의 교육 방송 시청 시간에서 (평균)= 56+57+58+62+57 5 =;;™;5(;º;;=58(분) ∴ (분산)= (-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +4¤ +(-1)¤ 5 ∴ (분산)=;;™5™;;=4.4 학생 B의 교육 방송 시청 시간에서 (평균)= 49+57+54+49+51 5 =;;™;5^;º;;=52(분) ∴ (분산)= (-3)¤ +5¤ +2¤ +(-3)¤ +(-1)¤ 5 ∴ (분산)=;;¢5•;;=9.6 따라서 학생 A의 분산이 학생 B의 분산보다 작 으므로 학생 A의 시청 시간이 학생 B의 시청 시 간보다 더 고르다고 할 수 있다. (cid:9120) A 발전유형 익히기 ▶ 13쪽 01 a+b+c+d+e 5 =4에서 a+b+c+d+e=20 따라서 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 평균은 a+b+c+d+e+5_3 5 = 20+15 5 =7 Ⅳ. 통계 | 3 히스토그램이 주어지면 계급값과 도수를 구한다. E0420_Q중3하솔(001-009) 2015.4.20 11:57 AM 페이지4 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX (a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +(d-4)¤ +(e-4)¤ 5 =2¤ =4에서 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 분산은 (a-4)¤+(b-4)¤+(c-4)¤+(d-4)¤+(e-4)¤ 5 ∴ (표준편차)='4=2 =4 (cid:9120) ④ 01-1 5개 과목의 중간고사 점수를 a점, b점, c점, d점, e점이라 하면 a+b+c+d+e 5 =76에서 a+b+c+d+e=380 따라서 기말고사 점수의 평균은 a+b+c+d+e+5_5 5 = 380+25 5 =81(점) (a-76)¤ +(b-76)¤ +(c-76)¤ +(d-76)¤ +(e-76)¤ 5 =4¤ =16에서 기말고사 점수의 분산은 (a-76)¤ +(b-76)¤ +(c-76)¤ +(d-76)¤ +(e-76)¤ 5 =16 ∴ (표준편차)='∂16=4(점) (cid:9120) ③ 01-2 a+b+c+d 4 =10에서 a+b+c+d=40 ∴ m= 2a+2b+2c+2d 4 ∴ m= 2(a+b+c+d) 4 ∴ m= =20 2_40 4 에서 =12 ∴ n ∴ = (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ 4 =3 (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ (2a-20)¤ +(2b-20)¤ +(2c-20)¤ +(2d-20)¤ 4 ∴ = 4{(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ } 4 ∴ = =12 4_12 4 ∴ m+n=32 02 A의 그래프가 B의 그래프보다 왼쪽에 있으므로 평균 당도가 낮고, 평균을 중심으로 밀집해 있으 므로 당도의 분포는 고르다. (cid:9120) 32 (cid:9120) ③ 4 | SOLUTION 02-1 자료의 변량들이 평균을 중심으로 흩어져 있는 정도가 작을수록 자료의 분포 상태가 고르므로 100 m 달리기 기록의 분포가 가장 고른 반은 B 반이다. (cid:9120) B반 자료의 평균이 7이므로 {(a+3)-7}¤ =(a-4)¤ 중단원 마무리 ▶ 14~17쪽 10 14.5 14 ① `01 ⑤ `02 ④ `05 52 kg `06 ③ `09 30.4 13 ⑤ 17 85점 18 1700 21 2'5 24 평균:8, 분산:10 22 ③ 03 13.2æ `04 ② 08 ⑤ `07 평균 12 ③ 11 ② 15 2'∂39점 16 ③ 19 '5시간 20 2:3 23 ⑴ 176 cm ⑵ a>184 25 ;2&; 01 수학 선생님의 나이를 x세라 하면 45+37+x+27+35 5 =38 144+x=190(cid:100)(cid:100)∴ x=46 (cid:9120) ⑤ 02 남학생 수를 x명이라 하면 79_12+74_x=76(12+x) 2x=36(cid:100)(cid:100)∴ x=18 (cid:9120) ④ 03 계급값(æ) 도수(개) 10 4 12 10 14 5 16 4 18 합계 2 25 (평균)= 10_4+12_10+14_5+16_4+18_2 25 (평균)= =13.2(æ) 330 25 (cid:9120) 13.2æ 04 2, 4, x, y, 8의 중앙값이 5이므로 변량을 크기순 으로 나열했을 때 3번째 수가 5이어야 한다. 이때 x184 (cid:9120) ⑴ 176 cm ⑵ a>184 24 채점 기준 평균 구하기 분산 구하기 (평균)= 6_8+4_8 10 =8 6개의 수를 x¡, x™, y, x§이라 하면 (x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +y+(x§-8)¤ 6 =12 ∴ (x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +y+(x§-8)¤ =72 4개의 수를 y¡, y™, y£, y¢라 하면 (y¡-8)¤ +(y™-8)¤ +(y£-8)¤ +(y¢-8)¤ 4 =7 ∴ (y¡-8)¤ +(y™-8)¤ +(y£-8)¤ +(y¢-8)¤ =28 따라서 10개의 수의 분산은 ;1¡0;{(x¡-8)¤ +(x™-8)¤ +y+(x§-8)¤ +(y¡-8)¤ +y+(y¢-8)¤ } = 72+28 10 =10 (cid:9120) 평균:8, 분산:10 25 채점 기준 도수 구하기 분산 구하기 4시간 이상 6시간 미만인 계급의 도수를 x명, 6 시간 이상 8시간 미만인 계급의 도수를 y명이라 하면 3+4+x+y=16 ∴ x+y=9 1_3+3_4+5x+7y 16 =4에서 5x+7y=49 •3점 점수 2 4 •2점 •4점 점수 3 3 yy ㉠ yy ㉡ Q BOX 점수 3 3 ㉠_5-㉡을 하면 -2y=-4(cid:100)(cid:100)∴ y=2 y=2를 ㉠에 대입하면 x=7 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=7, y=2 •3점 계급값(시간) 도수`(명) 1 3 3 4 5 7 7 2 합계 16 ∴ = (-3)¤ _3+(-1)¤ _4+1¤ _7+3¤ _2 16 ∴ (분산) ∴ = = 56 16 7 2 •3점 (cid:9120) 7 2 L E C T U R E B O O K Ⅳ. 통계 최고수준 정복하기 ▶ 18쪽 6개의 수와 4개의 수 모 두 평균이 8이므로 (편차)=(변량)-8 이다. 01 a=6, b=12, c=15 04 4 02 144 03 125 01 중앙값이 12이고 a4) ∴ AB”="√12√ ¤ +8¤ =4'∂13(cm) (cid:9120) 4'∂13 cm 02 연못의 깊이를 x라 하면 (x+20)¤ =80¤ +x¤ x¤ +40x+400 =6400+x¤ 40x=6000 ∴ x=150(cm) 80`cm 20`cm x+20 x 03 △ABC에서 BC”="√15¤ -9¤ =12(cm)이므로 BD”=;2!; BC”=6(cm) △ABD에서 AD”="√9¤ +6¤ =3'∂13(cm) 04 AB”=BC”=a cm라 하면 △ABC에서 8¤ =a¤ +a¤ , a¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ a=4"2 CD”=BC”=4'2(cm)이므로 △ACD에서 AD”=øπ8¤ +(4'2 )¤ =4'6(cm) (cid:9120) ③ (cid:9120) 4'6 cm 삼각형의 한 내각이 둔각 이면 나머지 두 내각은 모두 예각이다. A D B C ¤ =BD”_BC” AB” ¤ =CD”_CB” AC” ¤ =BD”_CD” AD” AB”_AC”=AD”_BC” (cid:9120) ④ x절편은 3, y절편은 6이 므로 A(3, 0), B(0, 6) 로 △ABC에서 ¤ =10¤ -8¤ AC” =36 ∴ △LMG ∴ =;2!; (cid:8772)LMGC ∴ =;2!; (cid:8772)ACHI (cid:9120) ⑤ I H E A 8 cm B L C 10 cm GMF L E C T U R E B O O K ∴ =;2!;_36=18(cm¤ ) (cid:9120) ③ 07 △AEH=;2!;_AH”_4=16이므로 AH”=8(cm) △AEH에서 EH” ¤ =4¤ +8¤ =80 이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 (cid:8772)EFGH=EH” ¤ =80(cm¤ ) (cid:9120) 80 cm¤ 08 ② a¤ a¤ +c¤ 이면 ∠B>90°이다. ⑤ c¤ >a¤ +b¤ 이면 ∠C>90°이므로 ∠A<90° (cid:9120) ②, ④ 09 △ABH에서 y=øπ4¤ -(2'3)¤ =2 ¤ =AH”_CH”이므로 BH” 2'3 3 (cm) 2¤ =2'3_CH”(cid:100)(cid:100)∴ CH”= △BCH에서 x=æ≠2¤ +{ 2'3 3 }2 = 4'3 3 (cid:9120) ② 10 OA”=3, OB”=6이므로 △OAB에서 AB”="√6¤ +3¤ =3'5 OA”_OB”=AB”_OH”이므로 3_6=3'5_OH” ∴ OH”= 6'5 5 (cid:9120) 6'5 5 11 DE”를 그으면 △DBE A 에서 DE”="√3¤ +4¤ =5 ∴ AE” ¤ +CD” =AC” ¤ +DE” =8¤ +5¤ =89 8 D 3 B 4 E C (cid:9120) 89 Ⅴ. 피타고라스 정리 | 13 ¤ ¤ ¤ ¤ E0420_Q중3하솔(010-027) 2015.4.20 12:12 PM 페이지14 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX ∠BED=∠BHF=90°, ∠DBE는 공통이므로 △BEDª△BHF 12 두 대각선이 직교하므로 ¤ +AD” ¤ +CD” ¤ =BC” AB” (4'2 )¤ +14¤ =(4'∂10)¤ +x¤ x¤ =68(cid:100)(cid:100)∴ x=2'∂17 ¤ 에서 13 점 D에서 AB”의 연 장선에 내린 수선의 발을 E라 하면 8 cm BE”=CD”=2(cm) 12 cm A B E △AED에서 ED”="√12¤ -10¤ =2'∂11(cm) (cid:9120) ③ C D 2 cm BC”=ED”=2'∂11(cm)이므로 △ABC에서 AC”=øπ(2'∂11)¤ +8¤ =6'3(cm) (cid:9120) 6'3 cm 14 필요한 노끈의 길이를 x cm라 하자. ⁄ 가장 긴 노끈의 길이가 4 cm일 때 직각삼각형이 되려면 4¤ =(2'2 )¤ +x¤ ∴ x=2'2 ¤ 가장 긴 노끈의 길이가 x cm일 때 직각삼각형이 되려면 x¤ =4¤ +(2'2 )¤ ∴ x=2'6 ⁄, ¤에서 ab=2'2_2'6=8'3 (cid:9120) ③ 15 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로 ;2!;_4"6_AC”=24"2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4"3 △ABC에서 BC”=øπ(4'6)¤ +(4'3)¤ =12 AB”_AC”=BC”_AD”이므로 4"6_4"3=12_AD” ∴ AD”=4"2 (cid:9120) ④ 16 ∠FBD=∠DBC E (접은 각), A x F 8-x D 8-x 6`cm 8`cm C ∠FDB=∠DBC (엇각)이므로 ∠FBD=∠FDB B 즉 △FBD가 이등변 삼각형이므로 FB”=FD” AF”=x라 하면 FB”=FD”=8-x △ABF에서 (8-x)¤ =6¤ +x¤` 16x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=;4&;(cm) ∴ △FBD=;2!;_{8-;4&;}_6 ∴ △FBD=;;¶4∞;;(cm¤ ) (cid:9120) ③ 14 | SOLUTION 다른 풀이 △BCD 에서 BD”="√8√ △FBD는 이등변삼각형이므로 점 F에서 BD”에 ¤ +6¤ =10(cm) 내린 수선의 발을 H라 하면 BH”=;2!; BD”=5(cm) △BED ∽△BHF (AA 닮음)이므로 BE” : BH”=DE” : FH” 8 : 5=6 : FH”(cid:100)(cid:100)∴ FH”=;;¡4∞;;(cm) ∴ △FBD=;2!;_10_;;¡4∞;;=;;¶4∞;;(cm¤ ) 17 채점 기준 △ABC가 직각삼각형임을 알기 △ABC의 넓이 구하기 AB” BC” ¤ =18, BC” ¤ =AB” ¤ +AC” ¤ =60, AC” ¤ =42에서 따라서 △ABC는 ∠A=90°인 직각삼각형이 •3점 다. AB”=3'2 cm, AC”='∂42 cm이므로(cid:100)(cid:100) △ABC=;2!;_3'2 _'∂42=3'∂21(cm¤ ) •3점 (cid:9120) 3'∂21 cm¤ 18 채점 기준 AE”의 길이 구하기 AF”의 길이 구하기 AD”=AB”=10(cm)이므로 △ADE에서 AE”="√10¤ -8¤ =6(cm) ¤ =AF”_AD”이므로 AE” •3점 6¤ =AF”_10(cid:100)(cid:100)∴ AF”=:¡5•:(cm) •2점 (cid:9120) :¡5•: cm 19 채점 기준 AC”의 길이 구하기 CD”의 길이 구하기 AD”의 길이 구하기 점수 3 3 점수 3 2 점수 2 2 2 AD”가 ∠A의 이등분선이므로 AB” : AC”=BD” : CD”, 12 : AC”=2 : 1 ∴ AC”=6(cm) •2점 △ABC에서 BC”="√12¤ -6¤ =6'3(cm)이므로 CD”=;3!; BC”=2'3(cm) △ADC에서 AD”=øπ(2'3 )¤ +6¤ =4'3 (cm) •2점 •2점 (cid:9120) 4'3cm ¤ E0420_Q중3하솔(010-027) 2015.4.20 12:12 PM 페이지15 SinsagoHitec Q BOX 직각삼각형임을 보이려면 세 변의 길이가 피타고라 스 정리를 만족시킴을 보 인다. AB”=AD”, AE”=AF”, ∠B=∠D=90°이므로 △ABE™△ADF (RHS 합동) (a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤ (a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤ 각삼각형이다. L E C T U R E B O O K 점수 3 3 점수 2 2 2 24 채점 기준 각 변의 길이의 제곱 구하기 직각삼각형임을 보이기 (m¤ -n¤ )¤ =m› -2m¤ n¤ +n› , (2mn)¤ =4m¤ n¤ , (m¤ +n¤ )¤ =m› +2m¤ n¤ +n› •3점 따라서 (m¤ -n¤ )¤ +(2mn)¤ =(m¤ +n¤ )¤ 이므 로 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 m¤ +n¤`인 직 •3점 (cid:9120) 풀이 참조 25 채점 기준 변의 길이 조건에서 a의 값의 범위 구하기 aæ8일 때 a의 값의 범위 구하기 a<8일 때 a의 값의 범위 구하기 삼각형의 변의 길이 조건에서 8-66¤ +8¤ (cid:100)(cid:100) ∴ a>10 yy ㉡(cid:100)•2점 ㉠, ㉡에서 106¤ +a¤ (cid:100)(cid:100) ∴ a<2'7 ㉠, ㉢에서 20, b>0 ② 제 2사분면 위의 점 (cid:8857) a<0, b>0 ③ 제 3사분면 위의 점 (cid:8857) a<0, b<0 ④ 제 4사분면 위의 점 (cid:8857) a>0, b<0 y축 위의 점이므로 x좌 표가 0이다. 07-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 D, A 13 20 x B D 21-x 21 C BD”=x라 하면 CD”=21-x △ABD에서 AD” ¤ =13¤ -x¤ △ACD에서 AD” ¤ =20¤ -(21-x)¤ 즉 169-x¤ =-x¤ +42x-41이므로 42x=210(cid:100)(cid:100)∴ x=5 따라서 AD”="√13¤ -5¤ =12이므로 △ABC=;2!;_21_12=126 (cid:9120) ④ 필수유형 다지기 ▶ 42~43쪽 01 △ADC에서 AD”:AC”='3:2이므로 AD”:8='3:2(cid:100)(cid:100) ∴ AD”=4'3 (cm) 또 AC”:DC”=2:1이므로 8 : DC”=2 : 1(cid:100)(cid:100) ∴ DC”=4(cm) △ABD에서 AB”:AD”='2:1이므로 x:4'3='2:1(cid:100)(cid:100)∴ x=4'6(cm) BD”=AD”=4'3 (cm)이므로 y=BD”+CD”=4+4'3 =4(1+'3 )(cm) 01-1 △ABC에서 AC” : BC”=2 : '3이므로 AC” : 3'3=2 : '3(cid:100)(cid:100) ∴ AC”=6(cm) △ACD에서 AC” : CD”='2 : 1이므로 ”='2 : 1(cid:100)(cid:100) 6 : CD” ∴ CD”=3'2(cm) 01-2 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 8`cm 8`cm 60æ 60æ B ∠BAH=60° H △ABH에서 AB” : BH”=2 : '3이므로 8:BH”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴ BH”=4'3(cm) ∴ BC”=2BH”=8'3(cm) (cid:9120) ② C (cid:9120) 8'3 cm 02 오른쪽 그림에서 AC”=x cm라 하면 A 8`cm 45æ C B △ABC에서 x:AB”=1:'2 ∴ AB”='2x(cm) 즉 '2x=8이므로 x=4'2 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 4'2+8+4'2=8(1+'2)(cm) 02-1 A 4 cm D 4 cm B 60æ E 45æ C F (cid:9120) ④ L E C T U R E B O O K 두 점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하면 △ABE에서 4 : BE”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BE”=2(cm) 4 : AE”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ AE”=2'3(cm) △DFC에서 CF”=DF”=AE”=2'3 (cm) ∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+2+4+2'3 )_2'3 =10'3+6 =2(3+5'3 )(cm¤ ) (cid:9120) 2(3+5'3)cm¤ 03 AB”="(√3-7√)¤ +√(-1√-x)¤ =4'2이므로 (-4)¤ +(x+1)¤ =32, x¤ +2x-15=0 (x+5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100) ∴ x=-5 또는 x=3 (cid:9120) ② (cid:9120) (0, -5) 03-1 구하는 점의 좌표를 (0, y)라 하면 "√8¤ +(-3-y)¤ ="√2¤ +(3-y)¤ y¤ +6y+73=y¤ -6y+13 12y=-60(cid:100)(cid:100)∴ y=-5 04 y=3x-5에 x=2, y=a를 대입하면 a=3_2-5=1 또 x=b, y=-8을 대입하면 -8=3b-5, 3b=-3(cid:100)(cid:100)∴b=-1 따라서 P(2, 1), Q(-1, -8)이므로 PQ”="√(-1√-2)√ =3'1å0 ¤ +(√-8√-1)¤ (cid:9120) 3'1å0 Ⅴ. 피타고라스 정리 | 17 (cid:9120) ⑤ 점 A가 제 1사분면 위의 점이므로 x=3 E0420_Q중3하솔(010-027) 2015.4.20 12:13 PM 페이지18 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 04-1 y=2x¤ -4x+1=2(x-1)¤ -1 y=-x¤ -4x-1=-(x+2)¤ +3 두 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 각각 (1, -1), (-2, 3)이므로 두 점 사이의 거리는 "√(-2-1)¤ +√{3-(-1)}¤ =5 (cid:9120) ⑤ 05 AB”="√(5-7)¤ BC”="√(1-5)¤ AC”="√(1-7)¤ 따라서 △ABC는 BC”=AC”이므로 이등변삼각 ¤ 이므로 예각삼각형이 √+{-4-(-2)}¤ =2'2 √+{2-(-4)}¤ =2'∂13 √+{2-(-2)}¤ =2'∂13 형이고 AC” ¤ 1 '2 2 ∴ cos Acos A AD” 2 CD” 2 CD” 4 4 BD” sin 30°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AD”=1 cos 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ CD”='3 '3 2 = ∴ tan 15°= AD” BD” 1 2+'3 =2-'3 (cid:9120) ① 01-1 △DBC에서 tan 45°= =1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=4 cos 45°= '2 2 = (cid:100)(cid:100)∴ BD”=4'2 ∴ AD”=BD”=4'2 ∠A=∠ABD이고 ∠A+∠ABD=45°이므로 2∠A=45°(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=22.5° ∴ tan 22.5°= BC” AC” = 4 4'2+4 ='2-1 (cid:9120) '2-1 01-2 OB”=OA”=1이고 ∠BOC=180°-135°=45° 이므로 △BOC에서 sin 45°= = (cid:100)(cid:100)∴ BC”= '2 2 '2 2 OC” 1 BC” 1 AC” BC” ∴ tan x= '2 2 '2 2 ∴ tan x={1+ }÷ ={1+ }_'2 '2 2 '2 2 '2 2 ∴ tan x='2+1 (cid:9120) '2+1 0, sin A>0 ∴ (주어진 식)=sin A-cos A-sin A =-cos A (cid:9120) ② (cid:9120) 13.289 "≈a¤ =[ -a (aæ0) -a (a<0) 02-1 45°0, sin A-cos A<0 ∴ "√(sin A+cos A)¤ +"√(sin A-cos A)¤ =sin A+cos A-(sin A-cos A) =2cos A 즉 2cos A=;1#7);이므로 cos A=;1!7%; 오른쪽 그림에서 BC”="√17¤ -15¤ =8 ∴ tan A= BC” AB” =;1•5; A 17 15 C B (cid:9120) ;1•5; 중단원 마무리 ▶ 68~71쪽 01 ⑤ `02 ④ `05 2'2 5 `06 1-'3 2 `09 3 10 ③ '3 12 9{1+ } 2 15 ④ 16 4.2392 19 ;1!2#; 23 2'3 20 24 '∂10 10 3'5 5 `03 ④ `07 ④ 11 ④ 13 ;5#; 17 ;5#; 21 ③ 25 1 04 3'3 `08 ② 14 ④ 18 3'3 22 ④ 01 △ABC에서 AC”="√10¤ -8¤ =6 △ADC에서 AD”="√3¤ +6¤ =3'5 ∴ cos x= CD” AD” = 3 3'5 = '5 5 02 오른쪽 그림에서 BC”=øπ3¤ -2¤ ='5 ④ sin B sin A =;3@;_ 3 '5 = 2'5 5 ⑤ sin¤ B+cos¤ B={;3@;}2 +{ '5 3 }2 =1 3 A 2 C (cid:9120) ⑤ B (cid:9120) ④ L E C T U R E B O O K 03 AB”=øπ('3 )¤ +1¤ =2 ∠B=∠AED=x이므로 sin x=sin B= , tan x=tan B='3 '3 2 ∴ sin¤ x_tan x={ '3 2 ¤ _'3= } 3'3 4 (cid:9120) ④ 04 △ABC에서 = (cid:100)(cid:100)∴ AC”=8'3 = (cid:100)(cid:100)∴ AD”=12 cos 30°= AC” 16 △ACD에서 cos 30°= AD” 8'3 △ADE에서 cos 30°= AE” 12 '3 2 '3 2 '3 2 = (cid:100)(cid:100)∴ AE”=6'3 △AEF에서 sin 30°= EF” 6'3 =;2!; ∴ EF”=3'3 (cid:9120) 3'3 05 BH”="√5¤ +3¤ +4¤ =5'2(cm)이므로 4 sin x= 5'2 BF” BH” 2'2 5 = = (cid:9120) 2'2 5 06 ∠A=180°_ 1 1+2+3 =30° ∴ sin 30°-cos 30°= '3 - = 2 1-'3 2 ;2!; (cid:9120) 1-'3 2 07 ㈀ sin 30°+cos 60°=;2!;+;2!;=1 ㈁ sin 45°_cos 45°= _ =;2!; '2 2 '2 2 ㈂ sin 60°_tan 30°-tan 45°= _ -1 '3 2 '3 3 ㈃ cos 30°÷tan 60°+cos 60°= ÷'3+;2!; =-;2!; '3 2 =1 (cid:9120) ④ ∴ sin 2x=sin 30°=;2!; (cid:9120) ② 09 sin 60°= 3'3 x '3 2 = 에서 x=6 Ⅵ. 삼각비 | 29 0°0, -;2!;>0 45°cos A이므로 sin A= , cos A=;2!; '3 2 '2 ∴ (주어진 식)=æ≠{ +;2!;}2 -æ≠{ -;2!;}2 2 '2 2 = '2+1 2 - '2-1 2 =1 △ABC의 내심 I에 대 하여 ∠BIC=90°+;2!;∠A Ⅵ. 삼각비 | 31 ” E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지32 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 2 삼각비의 활용 AC”가 직각삼각형의 빗 변이 되도록 한 꼭짓점에 서 대변에 수선을 긋는다. 03-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 A D (cid:9120) 10'3cm '3 cos 30°= 이므로 2 1 cos 30° = 2 '3 필수유형 다지기 ▶ 73~75쪽 01 AB”=10 sin C=10_;5$;=8 BC”=10cosC=10_;5#;=6 ∴ AB”+BC”=14 01-1 △ABC에서 ∠B=90°-47°=43° ∴ AB”=BC” cos B=9cos 43° (cid:9120) ③ (cid:9120) ② 01-2 AC”=30sin 30°=30_;2!;=15(cm) △ABC에서 ∠A=90°-30°=60°이므로 ∠DAC=;2!;∠A=30° ∴ AD”= AC” cos 30° =15_ =10'3(cm) 2 '3 02 BC”=AB” tan 60°=4_'3=4'3(m) 따라서 굴뚝의 높이는 1.6+4'3 (m) (cid:9120) (1.6+4'3)m 02-1 ∠OAB=30°이므로 OB”=AB” tan 30° OB”=100_ = (m) (cid:9120) '3 3 100'3 3 100'3 3 m (cid:9120) 5(3+'3)m 6 45æ A H C 9'2 02-2 BC”=15tan 30°=5'3(m) CD”=15tan 45°=15(m) 따라서 나무의 높이는 BC”+CD”=5(3+'3)(m) 03 꼭짓점 A에서 BC” 에 내린 수선 의 발을 H라 하면 B △ABH에서 AH”=6sin 45° AH”=6_ =3'2 '2 2 BH”=AH”=3'2이므로 CH”=9'2-3'2=6'2 따라서 △ACH에서 AC”=øπ(3'2)¤ +(6'2)¤ =3'∂10 32 | SOLUTION 4cm 60æ B H 3cm C 하면 △ABH에서 AH”=4sin 60° =4_ '3 2 =2'3(cm) BH”=4 cos 60°=4_;2!;=2(cm)이므로 CH”=3-2=1(cm) 따라서 △ACH에서 AC”=øπ(2'3 )¤ +1¤ ='∂13(cm) (cid:9120) '∂13 cm 04 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 45æ 75æ B H 60æ C 2'6 cm △BCH에서 BH”=2'6 sin 60° =2'6_ '3 2 =3'2 (cm) 에서 ∠A=180°-(75°+60°)=45°이므로 △ABH AB”= 3'2 sin 45° =3'2_'2=6(cm) A H 04-1 `꼭짓점 A에서 BC” 에 내린 수선의 발 을 H라 하면 △ACH에서 45æ B AH”=8sin 30°=8_;2!;=4 △ABH에서 AB”= 4 sin 45° =4_'2=4'2 (cid:9120) 6cm 8 30æ C (cid:9120) ③ 05 점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ACH에서 CH”=8 sin 60° '3 2 =8_ =4'3(m) 60æ 8`m A 6`m H B C AH”=8cos 60°=8_;2!;=4(m) 이므로 BH”=6-4=2(m) 따라서 △BCH에서 BC”=øπ(4'3 )¤ +2¤ =2'∂13(m) (cid:9120) ④ (cid:9120) ③ E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지33 SinsagoHitec Q BOX C 45æ H 60æ A 160 m 75æ B 05-1 점 B에서 AC”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 △ABH에서 BH”=160sin60° '3 2 =80'3(m) =160_ △BCH에서 80'3 sin45° BC”= =80'3_'2=80'6(m) (cid:9120) 80'6 m △ABC에서 ∠C=180°-(60°+75°) =45° 06 ∠BAH=60°, ∠CAH=45°이므로 AH”=hcm 라 하면 BH”=h tan 60°='3h (cm) CH”=h tan 45°=h(cm) BH”+CH”=12(cm)이므로 '3h+h=12(cid:100)(cid:100)∴ h=6('3-1) 06-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하고 A 75æ (cid:9120) 6('3-1)cm B 45æ C H 14cm AH”=hcm라 하면 BH”=h tan 30° '3 BH”= h(cm) 3 CH”=h tan 45°=h(cm) h=14 h+h=14, '3+3 3 BH”+CH”=14(cm)이므로 '3 3 ∴ h=7(3-'3 ) ∴ △ABC=;2!;_14_7(3-'3 ) ∴ △ABC=49(3-'3 )(cm¤ ) h= 12 '3+1 = = 12('3-1) ('3+1)('3-1) 12('3-1) 2 =6('3-1) ∠CAH=90°-45° =45° 이므로 ∠BAH=75°-45° =30° h= 42 3+'3 = = 42(3-'3) (3+'3)(3-'3) 42(3-'3) 6 =7(3-'3) L E C T U R E B O O K BH”=h tan 30°= h (cm) '3 3 CH”=h tan 60°='3 h (cm) CH”-BH”=6(cm)이므로 '3 '3h- h=6, 3 2'3 3 h=6(cid:100)(cid:100)∴ h=3'3 ∴ △ABC=;2!;_6_3'3=9'3 (cm¤ ) (cid:9120) 9'3 cm¤ 08 ∠BAH=45°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hm 라 하면 BH”=h tan 45°=h (m) CH”=h tan 30°= h (m) '3 3 BH”+CH”=200(m)이므로 h+ h=200, h=200 '3 3 3+'3 3 ∴ h=100(3-'3) (cid:9120) ③ 08-1 ∠BAH=60°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hm 라 하면 BH” CH” ”=h tan 60°='3h (m) ”=h tan 30°= h (m) '3 3 ”=100 (m)이므로 BH” ”-CH” '3 '3h- h=100, 3 ∴ h=50'3 2'3 3 h=100 (cid:9120) ④ (cid:9120) 49(3-'3 )cm¤ 01 ;2!;_6_10_sin B=15 07 ∠BAH=45°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hcm sin B=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ ∠B=30° (cid:9120) 30° 필수유형 다지기 ▶ 77~78쪽 라 하면 BH”=htan 45°=h (cm) CH”=h tan 30°= h (cm) '3 3 BH”-CH”=4(cm)이므로 '3 h- h=4, 3 3-'3 3 h=4 ∴ h= 12 3-'3 =2(3+'3) 01-1 △ABC=;2!;_28_21_sin 60° '3 2 =;2!;_28_21_ =147'3 (cm¤ ) AD”가 ∠A의 이등분선이므로 BD”:CD”=AB’ ”:AC”=4:3 07-1 ∠BAH=30°, ∠CAH=60°이므로 AH”=hcm 라 하면 (cid:9120) ⑤ △AHB에서 삼각형의 외각의 성질에 의하여 ∠BAH=120°-90° =30° 따라서 △ABD:△ADC=4:3이므로 △ABD=;7$;△ABC △ABD=;7$;_147'3=84'3(cm¤ ) (cid:9120) ③ Ⅵ. 삼각비 | 33 E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지34 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX ∠ABC=∠CBD, ∠ACB=∠CBD이므로 ∠ABC=∠ACB sin(180°-∠BAC) =sin(∠BAH) =sin 2x 02 △ABC=;2!;_4_12_sin (180°-120°) '3 =;2!;_4_12_ =12'3(cm¤ ) 2 (cid:9120) ⑤ (cid:9120) 8 02-1 ;2!;_7_x_sin(180°-135°)=14'2이므로 '2 2 ;2!;_7_x_ =14'2 ∴ x=8 03 AC”를 그으면 (cid:8772)ABCD =△ABC+△ACD =;2!;_5_4_sin 60° A Â7`cm D 5`cm 120æ Â7`cm B 60æ 4`cm C =+;2!;_'7_'7_sin(180°-120°) '3 =;2!;_5_4_ +;2!;_'7_'7_ 2 '3 2 03-1 AC”=8sin 60°=4'3(cm), AB”=8cos 60°=4(cm) 이므로 △ABC=;2!;_4'3_4=8'3(cm¤ ) (cid:8772)ABCD=14'3(cm¤ )이므로 △ACD=14'3-8'3=6'3 (cm¤ ) 따라서 ;2!;_4'3_CD”_sin 30°=6'3이므로 ;2!;_4'3_CD”_;2!;=6'3 ∴ CD”=6(cm) (cid:9120) 6cm 04 AD”=BC”=4'3(cm)이고 ∠A=180°-120°=60°이므로 (cid:8772)ABCD=4_4'3_sin 60° =5'3+ 7'3 4 = 27'3 4 (cm¤ ) (cid:9120) ② ∠ABC=∠BAP (엇각) =4_4'3_ =24(cm¤ ) (cid:9120) ④ '3 2 (평행사변형의 넓이) =(밑변의 길이)_(높이) 04-1 △PBC=;4!;(cid:8772)ABCD=;4!;_(8_6_sin 45°) △PBC=;4!;_ { 8_6_ '2 2 } △PBC=6'2(cm¤ ) (cid:9120) 6'2 cm¤ 05 (cid:8772)ABCD=;2!;_10_5'3_sin60° =;2!;_10_5'3_ '3 2 =:¶2∞: (cid:9120) ① AP”=CP”이므로 △PBC =;2!;△ABC =;2!;_;2!;(cid:8772)ABCD =;4!;(cid:8772)ABCD 34 | SOLUTION 05-1 ;2!;_10_AC”_sin 90°=55, 5AC”=55 ∴ AC”=11(cm) (cid:9120) 11cm 06 △ABC는 이등변삼 AH C x 2 x x B D 각형이므로 AB”=AC” 점 B에서 AC”의 연 장선에 내린 수선의 △ABH에서 AB”=AC”= 2 sin 2x 발을 H라 하면 ∠BAH=2x ∴ △ABC=;2!;_ 2 sin 2x _ 2 sin 2x _sin 2x = 2 sin 2x (cid:9120) ⑤ 06-1 오른쪽 그림에서 ∠BAP=60°이므로 △ABP에서 AB”= 5 sin 60° 4`cm D P A 5`cm B 60æ 60æ C Q =5_ = (cm) 2 '3 10'3 3 ∠BCQ=60°이므로 △BQC에서 BC”= 4 sin 60° =4_ = (cm) 2 '3 8'3 3 (cid:8772)ABCD는 평행사변형이므로 (cid:8772)ABCD= 10'3 3 _ 8'3 3 _sin 60° (cid:8772)ABCD= (cm¤ ) 40'3 3 (cid:9120) 40'3 3 cm¤ 다른 풀이 (cid:8772)ABCD= _4= (cm¤ ) 10'3 3 40'3 3 발전유형 익히기 ▶ 79쪽 01 오른쪽 그림에서 OH”=30cos 60° =15(cm) ∴ AH”=30-15 =15(cm) O 60æ H A 30 cm B (cid:9120) 15 cm E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지35 SinsagoHitec Q BOX 정팔각형은 꼭지각의 크기 가 360° 8 =45°인 합동인 이등변삼각형 8개로 나누 어진다. (거리)=(속력)_(시간) 360° 12 =30° AB”의 길이에서 ① a % 증가 a 100 }AB” (cid:8857) {1+ ② a % 감소 (cid:8857) {1- a 100 }AB” B'C'”∥BC”이므로 ∠B'=∠B 01-1 오른쪽 그림에서 OH”=20cos 30° =10'3(cm) 따라서 구하는 높이는 25-10'3 =5(5-2'3)(cm) O H C 30æ 30æ 20 cm 25 cm A B (cid:9120) 5(5-2'3)cm 02 8_{;2!;_8_8_sin 45°} '2 =8_{;2!;_8_8_ } 2 =128'2 02-1 12_{;2!;_10_10_sin 30°} =12_{;2!;_10_10_;2!;} =300(cm¤ ) 8 45æ O (cid:9120) ④ 10 cm 30æ O (cid:9120) 300 cm¤ 03 △A'BC'=;2!;_0.8 AB”_1.2 BC”_sin B △A'BC'=0.96_{;2!;_AB”_BC”_sinB} △A'BC'=0.96_△ABC 따라서 삼각형의 넓이는 4% 감소한다. 03-1 (cid:8772)AB'C'D'=0.9 AB”_1.2 BC”_sinB' (cid:8772)AB'C'D'=1.08_(AB”_BC”_sinB) (cid:8772)AB'C'D'=1.08_(cid:8772)ABCD 따라서 평행사변형의 넓이는 8% 증가한다. (cid:9120) ② (cid:9120) ⑤ `02 50('3-1)cm¤ 01 ② `06 ⑤ 05 ④ 04 2'7 08 ③ 07 25('3+1)m 12 6'3cm¤ 10 ② 11 ⑤ 15 ⑤ 14 18'2 cm¤ 16 36'3 cm‹ 17 10'2cm¤ 18 {;3$;p-'3}cm¤ `19 15대 `03 ② `09 ④ `13 45° 20 ③ `22 3'7 km 23 2'3 m/초 21 ;2@5$; 24 400'2 cm¤ 중단원 마무리 ▶ 80~83쪽 ∠A =180°-(45°+105°) =30° L E C T U R E B O O K 01 x= 16 cos B =16_;4%;=20 y=16tan B=16_;4#;=12 ∴ x+y=32 (cid:9120) ② 02 AC”=10 tan 60°=10'3(cm) DC”=10tan 45°=10(cm) ∴ AD”=AC”-DC”=10('3-1)(cm) ∴ △ABD=;2!;_10('3-1)_10 ∴ △ABD=50('3-1)(cm¤ ) (cid:9120) 50('3-1)cm¤ 03 AC”=350_12=4200(m)이므로 BC”=AC”sin 30° =4200_;2!;=2100(m) (cid:9120) ② 04 두 점A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 A 2 D H, G라 하면 BH”=CG” =4cos 60°=2 4 60æ B H G C ∴ CH”=2+2=4 AH”=4sin 60°=2'3이므로 △AHC에서 AC”=øπ4¤ +(2'3)¤ =2'7 (cid:9120) 2'7 05 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △BCH에서 CH”=8sin 45°=8_ '2 2 A 30æ 105æ C H 45æ B 8 cm =4'2 (cm) △ACH에서 AC”= 4'2 sin 30° =4'2_2=8'2(cm) (cid:9120) ④ 06 점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 60Â2`m C 45æ A H 90`m B △ACH에서 CH”=60'2 sin 45° =60'2_ '2 2 =60(m) AH”=CH”=60(m)이므로 BH”=90-60=30(m) 따라서 △BCH에서 BC”="√60¤ +30¤ =30'5(m) (cid:9120) ⑤ Ⅵ. 삼각비 | 35 E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지36 SinsagoHitec 07 ∠BAH=60°, ∠CAH=45°이므로 AH”=hm LECTURE BOOK 라 하면 BH”=htan 60°='3h(m) CH”=htan 45°=h (m) BH”-CH”=50(m)이므로 '3h-h=50 ∴ h=25('3+1) (cid:9120) 25('3+1)m C' B' 4 3 A 08 cos A= 이므로 오른쪽 그 ;4#; 림에서 B'C'”="√4¤ -3¤ ='7 ∴ sin A= '7 4 ∴ △ABC=;2!;_4_6_sin A ∴ △ABC=;2!;_4_6_ '7 4 ∴ △ABC=3'7 (cid:9120) ③ 09 ;2!;_8_BC”_sin (180°-135°)=10'2이므로 ;2!;_8_BC”_ =10'2 '2 2 ∴ BC”=5(cm) (cid:9120) ④ 10 AC”∥DE”이므로 △ACD=△ACE ∴ (cid:8772)ABCD =△ABC+△ACD =△ABC+△ACE =△ABE =;2!;_8_10_sin 60° =;2!;_8_10_ =20'3 '3 2 11 BD”를 그으면 (cid:8772)ABCD Q BOX (cid:8772)ABCD =2△ABC =2_(2△AMC) =4△AMC ∴ △AMC =;4!;(cid:8772)ABCD 밑변이 AC”로 일치하고 AC” ∥DE” 에서 높이가 같으므로 두 삼각형의 넓 이가 같다. 12 △AMC=;4!; (cid:8772)ABCD △AMC=;4!;_(8_6_sin 60°) '3 △AMC=;4!;_{8_6_ } 2 △AMC=6'3 (cm¤ ) 13 4_4_sin B=8'2 '2 sin B= (cid:100)(cid:100)∴ ∠B=45° 2 (cid:9120) 6'3 cm¤ (cid:9120) 45° C 45æ B 6`cm Q (cid:9120) 18'2 cm¤ 14 오른쪽 그림에서 P A ∠ABP=45°이므로 6`cm △ABP에서 AB” ”= 6 cos 45° AB” AB” ”=6_'2 ”=6'2(cm) ∠CBQ=45°이므로 △BCQ에서 BC”= 6 cos 45° =6_'2=6'2(cm) ∴ △ABC=;2!;_6'2_6'2_sin 45° ∴ △ABC=;2!;_6'2_6'2_ '2 2 ∴ △ABC=18'2(cm¤ ) 다른 풀이 AB”= 6 cos 45° AB”=6_'2=6'2 (cm) BQ”=6 cm이므로 △ABC=;2!;_6'2_6=18'2(cm¤ ) =△ABD+△BCD =;2!;_16_4_sin 60° B 4Â3 C 8 150æ =+;2!;_4'3_8_sin(180°-150°) '3 2 =;2!;_16_4_ +;2!;_4'3_8_;2!; =16'3+8'3=24'3 (cid:9120) ② A 4 D 16 60æ A D E 30æ B 30æ 12`cm 30æ C 15 △DBC에서 DC”=12 sin 30° =12_;2!; =6(cm) △DEC에서 EC”= DC” cos 30° △ABC™△DCB 이므로 ∠ACB=∠DBC=30° ∴ ∠DCE=60°-30° =30° (cid:9120) ⑤ =6_ =4'3(cm) 2 '3 ∴ △EBC=;2!;_BC”_EC”_sin 30° =;2!;_12_4'3_;2!; =12'3 (cm¤ ) (cid:9120) ⑤ 36 | SOLUTION E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지37 SinsagoHitec Q BOX 16 채점 기준 BE”의 길이 구하기 AE”의 길이 구하기 나무토막의 부피 구하기 △ABE에서 BE”=AB” ” cos 30° '3 BE”=6_ =3'3(cm) 2 AE”=AB” ” sin 30° AE”=6_;2!;=3(cm) 따라서 나무토막의 부피는 {;2!;_3'3_3}_8=36'3(cm‹ ) •2점 (cid:9120) 36'3 cm‹ 17 채점 기준 △ABC의 넓이 구하기 △AGC의 넓이 구하기 △ABC=;2!;_10_12_sin 45° =;2!;_10_12_ '2 2 =30'2(cm¤ ) ∴ △AGC=;3!;△ABC=;3!;_30'2 =10'2(cm¤ ) •2점 (cid:9120) 10'2 cm¤ 18 채점 기준 부채꼴 AOC의 넓이 구하기 △AOC의 넓이 구하기 색칠한 부분의 넓이 구하기 OC”를 그으면 △AOC 가 이등변삼각형이므로 ∠AOC =180°-2_30° =120° 30æ A O 4`cm B 따라서 부채꼴 AOC의 넓이는 p_2¤ _ 120° 360° =;3$;p(cm¤ ) △AOC=;2!;_2_2_sin(180°-120°) =;2!;_2_2_ '3 2 ='3(cm¤ ) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 ;3$;p-'3 (cm¤ ) (cid:9120) {;3$;p-'3} cm¤ 점수 2 2 2 •2점 •2점 점수 4 2 •4점 점수 2 3 1 C •2점 •3점 •1점 19 50`m 3Â3`m A B 3`m 30æ E … D C 위의 그림에서 BE”=3'3 tan 30° BE”=3'3_ =3(m) '3 3 ∴ EC”=50-3=47(m) L E C T U R E B O O K 47÷3=15.___이므로 주어진 주차장은 최대 15대의 차를 주차할 수 있다. (cid:9120) 15대 20 AB”=2a라 하면 AE”=a이므로 △ABE에서 BE”="√(2a)¤ +a¤ ='5a 같은 방법으로 하면 BF”='5a ∴ △ABE+△BEF+△BCF+△EDF ∴ =;2!;_2a_a+;2!;_'5a_'5a_sin x △ABC의 무게중심 G 에 대하여 △ABG=△BCG △ABG=△CAG △ABG=;3!;△ABC 가로, 세로의 길이가 각 각 a, b인 직사각형의 대 각선의 길이 (cid:8857) "√a¤ +b¤ ∴ =+;2!;_2a_a+;2!;_a_a ∴ =;2%;a¤ + sin x 5a¤ 2 이때 (cid:8772)ABCD=4a¤ 이므로 ;2%;a¤ + sin x=4a¤ 5a¤ 2 ;2%; sin x=;2#;(cid:100)(cid:100)∴ sin x=;5#; 21 AC”=BD”="√6¤ +8¤ =10 ∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_10_sin x ∴ (cid:8772)ABCD=50sin x 이때 (cid:8772)ABCD=6_8=48이므로 50sin x=48(cid:100)(cid:100)∴ sin x=;2@5$; (cid:9120) ③ (cid:9120) ;2@5$; 점수 2 2 2 •2점 Ⅵ. 삼각비 | 37 22 채점 기준 OP”, OQ”의 길이 구하기 QH”, PH”의 길이 구하기 PQ”의 길이 구하기 착하므로 OP”=18_;2!;=9(km) OQ”=12_;2!;=6(km) 두 사람 A, B는 30분 후 각각 두 지점P, Q에 도 E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지38 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 꼭짓점 Q에서 OP”에 내린 P 수선의 발을 H라 하면 △OQH에서 Q 9`km H 60æ 6`km QH”=6sin 60°=6_ O '3 2 QH”=3'3(km) OH”=6cos 60°=6_;2!;=3(km) 이므로 PH”=OP”-OH”=6(km) 따라서 △PQH에서 PQ”=øπ6¤ +(3'3)¤ =3'7(km) •2점 •2점 (cid:9120) 3'7 km 점수 3 1 2 •3점 •1점 •2점 점수 2 4 •2점 23 채점 기준 BH”, CH”의 길이 구하기 BC”의 길이 구하기 자동차의 속력 구하기 BH”=15 tan 60° BH”=15_'3=15'3 (m) CH”=15 tan 30° '3 CH”=15_ =5'3 (m) 3 ∴ BC”=BH”-CH”=10'3 (m) 따라서 자동차의 속력은 10'3 5 =2'3 (m/초) 24 채점 기준 마름모의 한 예각의 크기 구하기 무늬 전체의 넓이 구하기 마름모의 한 예각의 크기를 ∠x라 하면 합동인 8 개의 마름모가 모여 있으므로 ∠x= =45° 360° 8 따라서 무늬 전체의 넓이는 '2 8_(10_10_sin 45°)=8_{10_10_ } 2 8_(10_10_sin 45°)=400'2 (cm¤ ) •4점 (cid:9120) 400'2 cm¤ Ⅵ. 삼각비 최고수준 정복하기 ▶ 84~85쪽 01 '6 9 02 4+'7 3 05 3('2 +'6) 08 4'5 03 2-'3 06 '3 3 a 04 1+'5 4 07 4'2å1 38 | SOLUTION (속력)= (거리) (시간) (cid:9120) 2'3 m/초 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형의 세 변의 길이의 비 (cid:8857) 1 : '3 : 2 01 AG”='3_6=6'3, AH”='2_6=6'2 점 M에서 AG”에 내린 수 선의 발을 I라 하면 △AMG=;2!;_GM”_AH” =;2!;_AG”_MI” 이므로 A x E B F D H C I M G ;2!;_3_6'2=;2!;_6'3_MI” ∴ MI”='6 △AHM에서 ∠AHM=90°이므로 AM”=øπ(6'2)¤ +3¤ =9 따라서 △AMI에서 MI” '6 9 AM” sin x= = (cid:9120) '6 9 D C 4 3 4 H P xx x Q 4 R 02 ∠CQP A 3 B =∠APQ(엇각) =∠CPQ(접은 각) =x 이므로 △CPQ는 이등변삼각형이다. ∴ CQ”=CP”=AP”=4 점 Q에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH”=BQ”=QR”="√4¤ -3¤ ='7 ∴ PH”=AP”-AH”=4-'7 따라서 △PHQ에서 3 4-"7 tan x= tan x= = HQ” PH” 4+'7 3 (cid:9120) 4+'7 3 03 △ABE™△CBF(RHS 합동)이므로 ∠CBF=;2!;_(90°-60°)=15° 오른쪽 그림과 같이 15æ 15æ 30æ F x C P △BCF에서 BC” 위 에 BP”=PF”가 되도 B 록 점P를 잡으면 ∠FPC=15°+15°=30° △FPC에서 FC”=x라 하면 PC”='3x, PF”=2x BP”=PF”=2x이므로 BC”=(2+'3)x=2 =2(2-'3 ) ∴ x= 2 2+'3 따라서 △FBC에서 tan 15°= FC” BC” = 2(2-'3 ) 2 =2-'3 (cid:9120) 2-'3 E0420_Q중3하솔(028-039) 2015.4.20 12:16 PM 페이지39 SinsagoHitec Q BOX 이등변삼각형의 꼭짓점에 서 밑변에 내린 수선은 그 밑변을 이등분한다. 한 변의 길이가 a인 정삼 각형의 넓이 '3 4 (cid:8857) a¤ 04 △ABC에서 ∠B=∠C=;2!;_(180°-36°)=72° 이므로 ∠ABD=∠DBC=36° 즉 △DAB는 이등변삼각형 A H D B C 4 이므로 AD”=BD”=BC”=4 또 점 D에서 AB”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 AH”=BH” 한편 △ABCª△BDC이므로 AC” : BC”=BC” : DC” DC”=x라 하면 (4+x) : 4=4 : x 4¤ =(4+x)x, x¤ +4x-16=0 ∴ x=-2+2'5 (∵ x>0) AB”=AC”=4+(-2+2'5) AB”=2+2'5 1 이므로 AH”= AB”=1+'5 2 따라서 △ADH에서 cos36°= AH” AD” = 1+'5 4 05 △ABC에서 ∠B=∠C=;2!;_(180°-30°)=75° 점 D에서 AB”에 내린 수선의 발을 A ∠DBE=75°-30° =45° (cid:9120) 1+'5 4 30æ E D 75æ C 45æ 30æ 6 B =3'6+3'2=3('2 +'6) (cid:9120) 3('2 +'6) xy의 값이 최대이려면 sin a의 값이 최소이어야 하므로 a의 값이 최소이 어야 한다. 06 △ABC는 직각이등변삼각형이므로 BD”=b라 E라 하면 △DBE에서 EB”=6 cos 45°=3'2 DE”=EB”=3'2 △ADE에서 AE”= 3'2 tan 30° AE”=3'2_'3=3'6 ∴ AB”=AE”+EB” 하면 BC”=AB”=a+b △CDB에서 tan 75°= 이므로 a+b b a+b b =2+'3 a+b=b(2+'3 ), a=(1+'3 )b ∴ b= a 1+'3 = ('3 -1)a 2 △ABE에서 BE”=(a+b)tan 30°= (a+b) '3 3 '3 3 ∴ EC”=BC”-BE”=a+b- (a+b) '3 ∴ EC”=(a+b){1- } 3 ∴ EC”= a+ [ ('3 -1)a 2 '3 ]{1- } 3 =a _ 1+'3 2 _ 3-'3 3 '3 = a 3 L E C T U R E B O O K '3 (cid:9120) a 3 '3 07 △ABC= _24¤ =144'3 4 이때 △ADF™△BED™△CFE (SAS 합동)이므 로 △ADF=△BED=△CFE △ADF=;2!;_4_20_sin 60°=20'3 △ABC=△ADF+△BED+△CFE+△DEF 이므로 △DEF의 한 변의 길이를 x라 하면 '3 4 144'3=3_20'3+ x¤ '3 4 x¤ =84'3 , x¤ =336 ∴ x=4'2å1 08 ∠BPC=a라 하면 (cid:9120) 4'2å1 △BCP=;2!;_x_y_sin a=;2!;_4_2 이므로 xy sin a=8(cid:100)(cid:100)∴ xy= 8 sin a 점 P가 점A에서 점 D 로 움직일수록 a의 값이 작아지므로 점 P가 점 D에 있을 때 sin a의 값 A P2 å D 2 C B 4 이 최소이고 이때 xy는 최댓값을 갖는다. 따라서 x=BD”="√4¤ +2¤ =2'5, y=2이므로 xy 의 최댓값은 2'5_2=4'5 (cid:9120) 4'5 Ⅵ. 삼각비 | 39 E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:18 PM 페이지40 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX Ⅶ 원의 성질 1 원과 직선 필수유형 다지기 ▶ 89~90쪽 01 AM”=;2!;AB”=10 OA”, OD”를 그으면 △OAM에서 OA”="√10¤ +3¤ ='ƒ109 OD”=OA”='∂109이므로 △ODN에서 DN”=øπ('∂109)¤ -5¤ =2'∂21 ∴ CD”=2DN”=2_2'∂21=4'∂21 A D 20 M O 3 5 N B C (cid:9120) ④ 01-1 OC”를 그으면 OC”=;2!;AB”=10 A C 8 20 O M E B D CM”=;2!;CD”=8이므로 △OCM에서 OM”="√10¤ -8¤ =6 ∴ EM”=OE”-OM”=10-6=4 02 원의 중심을 O, 반지 름의 길이를 r라 하 면 △OAM에서 r¤ =(r-3)¤ +(3'3)¤ 6r=36(cid:100)(cid:100)∴ r=6(cm) A 3Â3`cm 3`cm M r-3 r C O (cid:9120) ③ B (cid:9120) ① 02-1 피자의 중심을 O, 반지름 의 길이를 r, 점 O에서 A 30`cm H B 25-r r O AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △OAH에서 r¤ =(25-r)¤ +15¤ 50r=850(cid:100)(cid:100)∴ r=17(cm) 따라서 피자의 지름의 길이는 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한 다. AB”⊥OP”이므로 AP”=BP” 현의 수직이등분선은 원 의 중심을 지나므로 CM” 의 연장선은 원의 중심을 지난다. 2_17=34(cm) (cid:9120) 34cm 03 점 O에서 AB”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 OA”=4cm이므로 A OH”=;2!;OA”=2(cm) △OAH에서 AH”="√4¤ -2¤ =2'3 (cm) ∴ AB”=2AH”=2_2'3=4'3 (cm) H 4 cm O 2 cm B (cid:9120) 4'3 cm 이등변삼각형에서 두 밑각 의 크기는 서로 같으므로 ∠B=∠C=66° 한 변의 길이가 a인 정삼 각형의 넓이 '3 (cid:8857) a¤ 4 40 | SOLUTION 03-1 점 O에서 AB”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 AH”=;2!;AB”=3'3(cm) OA”=r라 하면 OH”= ;2R; △OAH에서 r¤ =(3'3 )¤ +{;2R;} r- 2 O r A H B ;4#; r¤ =27, r¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ r=6(cm) (cid:9120) 6 cm 04 OA”, OP”를 그으면 ∠OPA=90°이므로 △OAP에서 AP”="√5¤ -3¤ =4(cm) ∴ AB”=2AP”=8(cm) A B P 3`cm O 5`cm (cid:9120) 8cm 04-1 점 O에서 AB” 에 내린 수 선의 발을 P라 하면 AP”=;2!;AB”=4(m) 6`m O P 8`m 작은 원의 반지름의 길이를 A B r라 하면 △OAP에서 6¤ =4¤ +r¤ (cid:100)(cid:100)∴ r¤ =20 따라서 구하는 넓이는 36p-20p=16p(m¤ ) (cid:9120) 16p m¤ 05 △OAM에서 OM”="√5¤ -4¤ =3 OM”⊥AB”이므로 AB”=2AM”=8 따라서 AB”=CD”이므로 x=OM”=3 (cid:9120) ③ 05-1 OM”=ON”이므로 AB”=CD”=16(cm) OM”⊥AB”이므로 AM”=;2!; AB”=8(cm) △OAM에서 OM”="√10¤ -8¤ =6(cm) ∴ △OAB=;2!;_16_6=48(cm¤ ) (cid:9120) ⑤ 06 O’M”=ON”이므로 AB”=AC” 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠A=180°-2_66°=48° (cid:9120) ① 06-1 원의 중심 O로부터 두 현 AB, AC가 같은 거리 에 있으므로 AB”=AC” 즉 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180°-60°)=60° 따라서 △ABC는 정삼각형이므로 △ABC= _(4'2 )¤ =8'3 (cm¤ ) (cid:9120) ③ '3 4 ¤ E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:18 PM 페이지41 SinsagoHitec Q BOX 필수유형 다지기 ▶ 92~94쪽 01 직선 PA는 원 O의 접선이므로 ∠OAP=90° 따라서 △OPA에서 OP”="√15¤ +8¤ =17(cm) ∴ x=17-8=9 01-1 직선 PT는 원 O의 접선이므로 ∠OTP=90° 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 △OTP=;2!;_4'3_r=2'3r 즉 2'3r=6'6이므로 r=3'2 따라서 원 O의 넓이는 p_(3'2)¤ =18p 02 PA”=PB”이므로 △PAB는 이등변삼각형이다. ∴ ∠PBA=;2!;_(180°-50°)=65° 이때 ∠OBP=90°이므로 ∠ABO=90°-65°=25° (cid:9120) ③ 02-1 ∠OAP=90°이고 OA”=5이므로 △OAP에서 PA”="√(5+8)¤ -5¤ =12 PB”=PA”=12이므로 (cid:8772)AOBP의 둘레의 길이는 5+5+12+12=34 (cid:9120) ② 03 OP”를 그으면 ∠OPB=30° ∠OBP=90°이므로 △OBP에서 PB”= 2 tan 30° A 30æ 30æ P O 2`cm B PB”=2_'3=2'3(cm) 또 PA”=PB”이므로 PA”+PB”=2_2'3=4'3(cm) 03-1 OP”를 그으면 ∠AOP=60° ∠OAP=90°이므 로 △OAP에서 OA”= 4'3 tan 60° 4'3 OA= =4 '3 ∴ (cid:8772)AOBP=2△OAP=2_{;2!;_4'3 _4} (cid:9120) 16'3 =16'3 △OAP™△OBP ∴ ∠OPA=∠OPB =30° (cid:9120) ⑤ 원 밖의 한 점에서 그 원 에 그은 두 접선의 길이 는 같다. P △OAP™△OBP ∴ ∠AOP=∠BOP =60° A 4'3 60æ O 60æ B (cid:9120) ③ 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 04 DP”=D’A” =4(cm) PC”=BC” =6(cm) ∴ DC”=DP”+PC” =10(cm) D 4`cm A 6 cm C 4 cm P H 6`cm O B BH”=A’D”=4(cm) 이므로 HC”=6-4=2(cm) △DHC에서 DH”="√10¤ -2¤ =4'6(cm) ∴ AB”=DH”=4'6 (cm) L E C T U R E B O O K (cid:9120) 4'6 cm (cid:9120) ⑤ ∠DAB=∠CBA=90° ∴ DA”∥CB” 따라서 (cid:8772)ABCD는 사 다리꼴이다. 04-1 DA”=DE”, CB”=CE”이므로 DA”+CB”=DC”=13(cm) ∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(DA”+CB”)_12 =;2!;_13_12=78(cm¤ ) (cid:9120) ③ 05 CE”=CA”, DE”=DB”이므로 PA”+PB”=(PC”+CA”)+(PD”+DB”) =PC”+(CE”+DE”)+PD” =PC”+CD”+PD” =9+5+8=22(cm) PA”=PB”이므로 PB”=;2!;_22=11(cm) ∴ DB”=PB”-PD”=11-8=3(cm) (cid:9120) ③ 05-1 OP”를 그으면 ∠OPA=30° ∠OAP=90°이므로 △OPA에서 PA”= 5 tan 30° A D 5`cm O C 30æ P 30æ E B OB=5_'3=5'3 (cm) 이때 PB”=PA”이고 DC”=DA”, EC”=EB”이므로 △PDE의 둘레의 길이는 PD”+DE”+PE”=PD”+(DC”+EC”)+PE” =(PD”+DA”)+(EB”+PE”) =PA”+PB”=2PA” =10'3(cm) (cid:9120) 10'3 cm 06 AF”=AE”=x라 하면 BD”=BF”=10-x, CD”=CE”=6-x이므로 (10-x)+(6-x)=12, 2x=4 ∴ x=2(cm) (cid:9120) 2cm Ⅶ. 원의 성질 | 41 E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:18 PM 페이지42 SinsagoHitec Q BOX 내접원의 반지름의 길이 가 r이고 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형의 넓이 (cid:8857) ;2!;r(a+b+c) AD”+BD”=AB” (cid:9120) ④ AB”의 길이가 원 O의 지 름의 길이와 같으므로 원 O의 반지름의 길이는 ;2!;AB”=8(cm) LECTURE BOOK 06-1 △ABC=;2!;_3_(AB”+BC”+CA”)=45 이므로 AB”+BC”+CA”=30 AF”=AE”, BF”=BD”, CD”=CE”이므로 AF”+BD”+CE”=;2!;(AB”+BC”+CA”) AF”+BD”+CE”=;2!;_30=15(cm) (cid:9120) ④ 07 AC”="1√3¤ -ç12¤ =5(cm) 오른쪽 그림에서 원 O D A O E F C 의 반지름의 길이를 r 13 cm 라 하면 CE”=CF”=r, B 12 cm AD”=AF”=5-r, BD”=BE”=12-r이므로 (5-r)+(12-r)=13(cid:100)(cid:100)∴ r=2(cm) 따라서 원 O의 넓이는 p_2¤ =4p (cm¤ ) 다른 풀이 하면 AC”=5cm이므로 원 O의 반지름의 길이를 r라 △ABC=;2!;_12_5=;2!;_r_(12+13+5) ∴ r=2(cm) 따라서 원 O의 넓이는 p_2¤ =4p (cm¤ ) 07-1 BD”=BE”=x라 하면 AB”=x+3, BC”=x+9 △ABC에서 (x+9)¤ =(x+3)¤ +12¤ 12x=72(cid:100)(cid:100)∴ x=6(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=(6+3)+(6+9)+12 =36(cm) (cid:9120) 36 cm 08 (cid:8772)ABCD가 등변사다리꼴이므로 DC”=AB”=5 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 5+5=x+6(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (cid:9120) 4 08-1 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 10+DC”=AD”+12 ∴ DC”-AD”=2(cm) (cid:9120) 2 cm 09 CE”="√10¤ -6¤ =8(cm) BE”=x라 하면 AD”=BC”=x+8 (cid:8772)ABED는 원O에 외접하므로 AB”+DE”=AD”+BE” 6+10=(x+8)+x, 2x=8 ∴ x=4(cm) (cid:9120) 4cm 42 | SOLUTION PQ” ¤ -PH” ¤ -OH” ¤ =QO” =QH” 09-1 BE”=x라 하면 EC”=12-x (cid:8772)AECD가 원O에 외접하므로 AE”+DC”=AD”+EC” AE”+8=12+(12-x)(cid:100)(cid:100)∴ AE”=16-x △ABE에서 (16-x)¤ =8¤ +x¤ 32x=192(cid:100)(cid:100)∴ x=6(cm) ∴ △ABE=;2!;_6_8=24(cm¤ ) (cid:9120) 24 cm¤ 발전유형 익히기 ▶ 95쪽 01 원 O'의 반지름의 길 이를 r라 하면 오른 A 18 cm D 쪽 그림에서 OH”=8-r OO'”=8+r HO'”=18-8-r =10-r 16 cm O 8-r H B 8 cm 8 cm r H' O' C △OHO'에서 (8+r)¤ =(8-r)¤ +(10-r)¤ r¤ -52r+100=0, (r-2)(r-50)=0 ∴ r=2(cm)(∵ 0DP”) (cid:9120) 3cm 03 AC”를 그으면 B 반원에 대한 원주각의 크 기는 90°이다. E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:19 PM 페이지53 SinsagoHitec 01-1 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 x¤ =5_20=100 ∴ x=10(cm) 02 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 3_(3+7)=2_(2+x) 2x=26(cid:100)(cid:100)∴ x=13(cm) (cid:9120) 13cm 02-1 PC”=6-x이고 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 3_(3+5)=(6-x)_6 6x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=2 03 PB”=11-3=8(cm)이고 CP” ¤ =PA”_PB”이 므로 ¤ =3_8=24(cid:100)(cid:100) CP” ∴ CP”=2'6(cm) 03-1 BP”=xcm라 하면 PC” 4¤ =8x(cid:100)(cid:100)∴ x=2 ¤ =PA”_PB”이므로 즉 AB”=10 cm이므로 원 O의 반지름의 길이는 5 cm이다. 따라서 원 O의 넓이는 p_5¤ =25p(cm¤ ) (cid:9120) 25p cm¤ 04-1 원 O의 반지름의 길이를 rcm라 하면 AP”=;2!;r(cm), BP”=;2#;r(cm) PA”_PB”=PC”_PD”이므로 ;2!;r_;2#;r=3_4, r¤ =16 ∴ r=4 (cid:9120) 4cm 05 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 4_9=3_(3+2r), 6r=27(cid:100)(cid:100)∴ r=;2(; 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_;2(;=9p(cm) (cid:9120) ④ 05-1 OP”=5+7=12(cm)이므로 CP”="√5¤ +12¤ =13(cm) CD”=xcm라 하면 DP”=(13-x)cm PA”_PB”=PC”_PD”이므로 17_7=13_(13-x), 13x=50 04 PO”=xcm라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 8_7=(8-x)(8+x), 56=64-x¤ x¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2 (cid:9120) 2'2cm PC”=CO”-PO” =8-x(cm) PD”=DO”+PO” =8+x(cm) Q BOX (cid:9120) 10cm 4x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (cid:9120) ⑤ 06 PA”_PB”=PE”_PF”=PC”_PD”이므로 2_(2+18)=4_(4+x) 06-1 PA”_PC”=PQ”_PR”=PB”_PD”이므로 (8+3)_PC”=3_15 ∴ PC”= (cm) ;1$1%; (cid:9120) cm ;1$1%; (cid:9120) ② (cid:9120) ④ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하 므로 CP”=DP” L E C T U R E B O O K 필수유형 다지기 ▶ 119쪽 01 ¤ =PA”_PB”이므로 PT” (2'3 )¤ =x(x+4), x¤ +4x-12=0 (x+6)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (cid:9120) 2 01-1 CA”_CB”=CD”_CT”이므로 4_CB”=3_8(cid:100)(cid:100)∴ CB”=6(cm) ¤ =PA”_PB”이므로 ¤ =8_(8+4+6)=144 또 PT” PT” ∴ PT”=12(cm) (cid:9120) ③ 02 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 ¤ =PA”_PB”이므로 PT” 8¤ =(10-r)(10+r), r¤ =36 ∴ r=6 ∴ PA”=10-6=4 (cid:9120) ③ ¤ =PA”_PB”이므로 ¤ =4_(4+8)=48(cid:100)(cid:100) 02-1 PT” PT” ∴ PT”=4'3 ∴ QT”=PT”=4'3 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 (4'3 )¤ =3_(3+2r), 6r=39 ∴ r=:¡2£: 03 원 O에서 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 5¤ =3_(3+AB” ) 3AB”=16(cid:100)(cid:100)∴ AB”=:¡3§:(cm) 또 P’T'”=PT”=5(cm)이므로 (cid:9120) :¡2£: Ⅶ. 원의 성질 | 53 ∴ x=;1%3); (cid:9120) ;1%3); cm AB”+PT'”=:£3¡:(cm) (cid:9120) :£3¡:cm 직각삼각형 COP에서 CP”=øπCO” ¤ +OP” ¤ =PA”_PB”=PT'” PT” ∴ PT”=PT'” ¤ ¤ E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:19 PM 페이지54 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 03-1 원 O에서 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 ¤ =PC”_PD” ¤ =5_(5+4)=45 PT” ∴ PT”=3'5 원 O'에서 PT” (3'5)¤ =3_(3+CD”) 3CD”=36(cid:100)(cid:100)∴ CD”=12 ∴ PT”+CD”=3(4+'5) ”이므로 (cid:9120) ⑤ 발전유형 익히기 ▶ 120~121쪽 01 PA”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 x(x+11)=6_(6+4), x¤ +11x-60=0 반원에 대한 원주각의 크 기는 90°이다. (x+15)(x-4)=0 ∴ x=4(cm) △PAC와 △PDB에서 ∠PCA=∠PBD, ∠P는 공통이므로 △PACª△PDB (AA 닮음) PA” : PD”=AC” : DB”이므로 4 : 10=3 : BD” ∴ BD”=:¡2∞:(cm) (cid:9120) :¡2∞:cm 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그 내 대각의 크기와 같다. 01-1 PC”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 7_(7+5)=x(x+8), x¤ +8x-84=0 μAC에 대한 원주각 (x+14)(x-6)=0 ∴ x=6(cm) △PAC와 △PDB에서 ∠PAC=∠PDB, ∠P는 공통이므로 △PACª△PDB (AA 닮음) PA” : PD”=AC” : DB”이므로 7 : 14=AC” : 8 ∴ AC”=4(cm) 02 PT” PT” ¤ =PA”_PB”이므로 ¤ =3_(3+9)=36 ∴ PT”=6(cm) △PTA와 △PBT에서 (cid:9120) ③ μAB에 대한 원주각 ∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통이므로 △PTAª△PBT(AA 닮음) PT”:PB”=TA”:BT”이므로 6:12=5:BT” ∴ BT”=10(cm) (cid:9120) 10 cm 접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 54 | SOLUTION 02-1 PA”=x라 하면 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 8¤ =x(x+12), x¤ +12x-64=0 (x+16)(x-4)=0 ∴ x=4 △PTA와 △PBT에서 ∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통이므로 △PTAª△PBT(AA 닮음) PT” : PB”=TA” : BT”이므로 8 : 16=AT” : 12 ∴ AT”=6 (cid:9120) 6 02-2 BT”를 그으면 △APT와 △ATB에서 ∠APT=∠ATB=90°, ∠ATP=∠ABT 이므로 A 8 C P 5 B O T △APTª△ATB (AA 닮음) AP” : AT”=AT” : AB”이므로 ¤ =80 8 : AT”=AT” : 10, AT” ∴ AT”=4'5 △APT에서 PT”="√(4'5 )¤ -8¤ =4 ¤ =PC”_PA”이므로 이때 PT” 4¤ =PC”_8(cid:100)(cid:100)∴ CP”=2 (cid:9120) 2 03 △ABP와 △AQC에서 ∠BAP=∠QAC, ∠ABP=∠AQC이므로 △ABPª△AQC (AA 닮음) AB” : AQ”=AP” : AC”이므로 4 : AQ”=3 : 6 ∴ AQ”=8(cm) ∴ PQ”=8-3=5(cm) (cid:9120) 5cm B C 6 A 4.8 O H 4 D 03-1 BD”를 그으면 △ABD와 △AHC에서 ∠ADB=∠ACH, ∠ABD=∠AHC=90° 이므로 △ABDª△AHC (AA 닮음) AB” : AH”=AD” : AC”이므로 6 : AH”=8 : 4.8 ∴ AH”=3.6 (cid:9120) ④ 04 △ABP에서∠APB=90°이므로 ∠ABP=90°-22°=68° E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:19 PM 페이지55 SinsagoHitec ∠y+(∠PAB+∠PAC)=180° ∴ ∠x+∠y=180° (cid:9120) 180° ∠x=∠PAB+∠PAC Q BOX OA”=6이므로 O'P”=;2!; OA”=3 ∠QPT는 접선 PT와 현 QP가 이루는 각의 크 기이고 ∠QCP는 호 PQ 에 대한 원주각이므로 ∠QPT=∠QCP 원 O'의 반지름의 길이가 2 cm이므로 AO'”=4+2=6(cm) CQ”를 긋고 점 P에서 반원 O와 원O'에 접 하는 직선 PT를 긋자. ∠PQB=∠x라 하면 P C O' T x 22æ A O Q B ∠QPT=∠QCP=∠PQB=∠x 또 BP”를 그으면 ∠BPT=∠BAP=22°(cid:100)(cid:100) ∴ ∠QPB=∠x-22° △PQB에서 (∠x-22°)+∠x+68°=180° 2∠x=134°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=67° (cid:9120) 67° 04-1 AP”를 그으면 ∠PBC=∠PAB, ∠PCB=∠PAC △PBC에서 ∠y+∠PBC+∠PCB =180°이므로 A x P B y C 05 AP” AP” ¤ =AO”_AB”이므로 ¤ =4_(4+4)=32(cid:100)(cid:100)∴ AP”=4'2(cm) Q PO'”, QB”를 그으면 P A 4cm O O' B △APO'과 △AQB에서 ∠APO'=∠AQB =90°, ∠A는 공통이므로 △APO'ª△AQB(AA 닮음) AP”:AQ”=AO'”:AB”이므로 4'2 : AQ”=6 : 8(cid:100)(cid:100)∴ AQ”= 16'2 3 (cm) ∴ PQ”= 16'2 3 4'2 -4'2= (cm) (cid:9120) 3 4'2 3 cm 다른 풀이 AO'”=6 cm, PO'”=2 cm이므로 △APO'에서 AP”="√6¤ -2¤ =4'2(cm) AP”:PQ”=AO'”:O'B”이므로 4'2 : PQ”=6 : 2(cid:100)(cid:100)∴ PQ”= (cm) 4'2 3 05-1 OB”=x라 하면 BP” ¤ =BO”_BA”이므로 (6'2)¤ =x_2x, x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 PO'”을 그으면 △QAB와 △PO'B에서 Q P 6 2 ∠AQB=∠O'PB A OO' B =90°, ∠B는 공통이므로 △QABª△PO'B(AA 닮음) AQ” : O'P”=AB” : O'B”이므로 AQ” : 3=12 : 9 ∴ AQ”=4 (cid:9120) 4 05-2 Q P B A O O' C L E C T U R E B O O K AQ” AB”=6(cm), AC”=12(cm) ¤ =AB”_AC”이므로 ¤ =6_12=72(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=6'2(cm) AQ” QO'”을 그으면 △APB와 △AQO'에서 ∠APB=∠AQO'=90°, ∠A는 공통이므로 △APBª△AQO'(AA 닮음) AP” : AQ”=AB” : AO'”이므로 AP” : 6'2=6 : 9(cid:100)(cid:100)∴ AP”=4'2(cm) 또 PB” : QO'”=AB” : AO'”이므로 BP” : 3=6 : 9(cid:100)(cid:100)∴ BP”=2(cm) ∴ △ABP=;2!;_4'2_2=4'2(cm¤ ) (cid:9120) 4'2 cm¤ 중단원 마무리 ▶ 122~125쪽 `03 75'3 cm¤ ` `01 ④ 04 ③ `02 ⑤ `05 2'3 cm `06 ⑤ 10 ;5(; `09 ③ 14 ④ `13 4 cm 12 ⑤ `16 3cm `17 ⑴ 52° ⑵ 78° `08 ④ `07 2 11 8'3 cm `15 ③ 18 x=6, y=:¡1£7∞: 21 ① `22 ⑤ 25 6cm 19 '3 cm 20 ③ `23 56'2 24 18 cm 01 ∠ACP=∠ADC=80°이므로 △ACP에서 ∠x=180°-45°-80°=55° 02 직선 PT가 원O의 접선이므로 ∠APT=∠ABP (cid:8772)ABCD가 원 O'에 내접하므로 ∠ABP=∠ADC=70° ∴ ∠APT=70° (cid:9120) ④ (cid:9120) ⑤ Ⅶ. 원의 성질 | 55 E0420_Q중3하솔(040-059) 2015.4.20 12:19 PM 페이지56 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 03 ∠PAC=∠BCP=30° ∠BCA=90°이므로 △ABC에서 AC”=AB” cos 30° =20_ '3 2 =10'3(cm) △APC에서 ∠APC=180°-(30°+90°+30°)=30° 이므로 PC”=AC”=10'3(cm) ∠PCA=120°이므로 △CAP=;2!;_10'3_10'3_sin(180°-120°) △CAP=75'3(cm¤ ) (cid:9120) 75'3cm¤ 04 x(x+5)=2_(2+10)이므로 x¤ +5x-24=0, (x+8)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) 원의 접선은 그 접점을 지 나는 반지름에 수직이다. 두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인 각의 크기가 C 인 삼각형의 넓이 (cid:8857) ;2!;absin(180°-C) (단, 90°b이므로 a=0, b=-3 ∴ a-b=3 (cid:9120) ③ 010 3+(-5)+(-1)+0+x+2=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 따라서 E의 인터넷 사용 시간은 1+11=12(시간) (cid:9120) ③ 011 ㈀ -2+5+4+x+(-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 ㈁ 편차가 양수이므로 C는 평균보다 맥박 수가 ㈂ A의 맥박 수는 77+(-2)=75(회) ㈃ D의 편차가 가장 작으므로 맥박 수가 가장 작 은 학생은 D이다. (cid:9120) ③ 012 기현이의 몸무게의 편차를 xkg이라 하면 -6+4+3+1+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 ∴ (분산)= (-6)¤ +4¤ +3¤ +1¤ +(-2)¤ 5 =:§5§:=13.2 (cid:9120) ③ 013 남학생, 여학생의 (편차)¤ 의 총합은 각각 8¤ _20=1280, 4¤ _10=160 따라서 전체 학생의 (편차)¤ 의 총합은 1280+160=1440 ∴ (분산)= 1440 30 ∴ (표준편차)='∂48=4'3(점) =48 (cid:9120) 4'3 점 014 (평균)= 2+4+6+x+y 5 =5에서 12+x+y=25(cid:100)(cid:100)∴ x+y=13 yy ㉠ (분산)= (-3)¤ +(-1)¤ +1¤ +(x-5)¤ +(y-5)¤ 5 (분산)=2¤ =4 에서 (x-5)¤ +(y-5)¤ =9 ∴ x¤ +y¤ -10(x+y)+50=9 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ -10_13+50=9 ∴ x¤ +y¤ =89 (cid:9120) ④ 015 (평균)= x+y+z 3 =6에서 x+y+z=18 (분산)= (x-6)¤ +(y-6)¤ +(z-6)¤ 3 yy ㉠ =4에서 E0420_Q중3하솔(060-062) 2015.4.20 12:22 PM 페이지61 SinsagoHitec 017 (평균)= 4_4+6_5+8_2+10_1 12 도수분포표에서의 평균 {(계급값)_(도수)}의총합 (도수)의 총합 (cid:8857) (x-6)¤ +(y-6)¤ +(z-6)¤ =12 ∴ x¤ +y¤ +z¤ -12(x+y+z)+108=12 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 x¤ +y¤ +z¤ -12_18+108=12 ∴ x¤ +y¤ +z¤ =120 따라서 x¤ , y¤ , z¤ 의 평균은 x¤ +y¤ +z¤ 3 = 120 3 =40 016 (평균)= 5+3x+4 3 =x+3(개) (분산)= (2-x)¤ +(2x-3)¤ +(1-x)¤ 3 =:¡3¢: 에서 (2-x)¤ +(2x-3)¤ +(1-x)¤ =14 6x¤ -18x=0, 6x(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) (cid:9120) ③ =;1&2@;=6(분) (분산)= (-2)¤ _4+0¤ _5+2¤ _2+4¤ _1 12 =;1$2);=:¡3º: ∴ (표준편차)=æ–:¡3º:= '∂30 3 (분) (cid:9120) '∂30 3 분 018 20개 이상 30개 미만인 계급의 도수를 x명이라 2+x+12+7+4=30(cid:100)(cid:100)∴ x=5 하면 (평균) = 15_2+25_5+35_12+45_7+55_4 30 =37(개) = 1110 30 ∴ (분산) = (-22)¤ _2+(-12)¤ _5+(-2)¤ _12+8¤ _7+18¤ _4 30 = 3480 30 =116 (cid:9120) 116 019 10분 이상 20분 미만인 계급의 도수를 x명, 20분 이상 30분 미만인 계급의 도수를 y명이라 하면 2+x+y+1=10에서 x+y=7 yy ㉠ (평균)= 5_2+15x+25y+35_1 10 =19에서 15x+25y=145(cid:100)(cid:100)∴ 3x+5y=29 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=4 Q BOX ∴ (분산) = = 840 10 =84 (-14)¤ _2+(-4)¤ _3+6¤ _4+16¤ _1 10 (cid:9120) 84 주어진 그래프에서 계급 값과 도수를 구한다. 020 계급값(권) 도수(명) 2 3 6 5 10 7 14 4 18 합계 1 20 (cid:9120) 40 {5-(x+3)}¤ =(2-x)¤ (평균) = 2_3+6_5+10_7+14_4+18_1 20 W O R K B O O K =:¡2•0º:=9(권) (분산) = = 380 20 =19 (-7)¤ _3+(-3)¤ _5+1¤ _7+5¤ _4+9¤ _1 20 ∴ (표준편차)='∂19 (권) (cid:9120) ⑤ 021 8ppb 이상 12ppb 미만인 계급의 도수를 x개라 하면 6+x+2+2=20(cid:100)(cid:100)∴ x=10 계급값(ppb) 도수(개) 6 6 10 10 14 2 18 합계 2 20 (평균)= 6_6+10_10+14_2+18_2 20 (평균)=:™2º0º:=10(ppb) ∴ (분산)= (-4)¤ _6+0¤ _10+4¤ _2+8¤ _2 20 ∴ (분산)=:™2∞0§:=12.8 (cid:9120) 12.8 표준편차가 작을수록 변 량의 분포 상태가 고르다. 022 수면 시간이 가장 고르지 않은 학생은 표준편차 (cid:9120) ② 가 가장 큰 학생이므로 B이다. 023 성연이의 점수의 평균과 분산은 (평균)= 6+7+6+5+6 5 =6(점) (분산)= 0¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤ +0¤ 5 =;5@; 지애의 점수의 평균과 분산은 (평균)= 8+4+8+2+8 5 =6(점) (분산)= 2¤ +(-2)¤ +2¤ +(-4)¤ +2¤ 5 =;;£5™;; 따라서 성연이의 점수의 분산이 지애의 점수의 분산보다 더 작으므로 성연이의 점수가 더 고르 게 분포되어 있다. (cid:9120) 성연 Ⅳ. 통계 | 61 ㉠_3-㉡을 하면 -2y=-8(cid:100)(cid:100)∴ y=4 y=4를 ㉠에 대입하면 x=3 E0420_Q중3하솔(060-062) 2015.4.20 12:22 PM 페이지62 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX 024 광현이의 기록의 평균과 분산은 13+12+11+16+13 5 (평균)= =13(초) (분산)= 0¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +3¤ +0¤ 5 =:¡5¢: 만수의 기록의 평균과 분산은 (평균)= 15+13+15+13+14 5 =14(초) (분산)= 1¤ +(-1)¤ +1¤ +(-1)¤ +0¤ 5 =;5$; 따라서 광현이의 기록의 평균이 만수의 기록의 평균보다 더 짧고, 만수가 광현이보다 기록의 분 포가 더 고르다. (cid:9120) ①, ④ 025 a+b+c 3 =5에서 a+b+c=15 따라서 3a, 3b, 3c의 평균은 3(a+b+c) 3 = 3_15 3 =15 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ 3 =4¤ =16에서 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ =48 따라서 3a, 3b, 3c의 분산은 (3a-15)¤ +(3b-15)¤ +(3c-15)¤ 3 = 9{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ } 3 = 9_48 3 =144 ∴ (표준편차)='∂144=12 (cid:9120) 15, 12 026 m=;5!;(a+b+c+d+e) s¤ =;5!;{(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤ +(e-m)¤ } 자료 B의 평균과 분산을 각각 m', s'이라 하면 m'=;5!;{(2a-1)+(2b-1)+(2c-1) +(2d-1)+(2e-1)} =;5@;(a+b+c+d+e)-1=2m-1 s'=;5!;{4(a-m)¤ +4(b-m)¤ +4(c-m)¤ +4(d-m)¤ +4(e-m)¤ } =;5$; {(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤ +(e-m)¤ } =4s¤ 따라서 자료 B의 평균은 2m-1, 분산은 4s¤ 이 다. (cid:9120) 평균:2m-1, 분산:4s¤ 62 | SOLUTION 027 ㈀ B반의 그래프가 A반의 그래프보다 오른쪽으 로 치우쳐 있으므로 B반의 성적의 평균이 A 반의 성적의 평균보다 더 높다. ㈁ B반의 성적이 평균을 중심으로 더 모여 있으 므로 B반의 성적이 A반의 성적보다 더 고르 다고 할 수 있다. ㈂ 편차의 총합은 항상 0이다. (cid:9120) ④ A반의 성적의 평균과 분산은 = 45_4+55_5+65_4+75_4+85_2+95_1 20 다른 풀이 (평균) =64(점) (분산) =209 (평균) =77(점) (분산) =86 = (-19)¤_4+(-9)¤_5+1¤_4+11¤_4+21¤_2+31¤_1 20 B반의 성적의 평균과 분산은 = 55_1+65_3+75_8+85_7+95_1 20 = (-22)¤ _1+(-12)¤ _3+(-2)¤ _8+8¤ _7+18¤ _1 20 따라서 A반의 성적의 평균이 B반의 성적의 평 균보다 더 낮고, B반의 성적이 A반의 성적보다 더 고르다. 028 A, B, C 세 사람의 점수는 A:4, 4, 6, 8, 8 B:4, 6, 6, 6, 8 C:4, 4, 4, 8, 10 점수의 평균은 모두 6이고, 점수가 평균을 중심 으로 더 모여 있을수록 점수의 분포가 고르다고 할 수 있으므로 점수의 분포가 고른 사람부터 차 례로 나열하면 B, A, C이다. (cid:9120) ③ 다른 풀이 A, B, C 세 사람의 점수의 분산은 A: (-2)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +2¤ 5 =;;¡5§;; B: (-2)¤ +0¤ +0¤ +0¤ +2¤ 5 =;5*; C: (-2)¤ +(-2)¤ +(-2)¤ +2¤ +4¤ 5 =;;£5™;; (3a-15)¤ ={3(a-5)}¤ =9(a-5)¤ 분산이 작을수록 성적의 분포가 더 고르다. A: B: C: 4+4+6+8+8 5 4+6+6+6+8 5 4+4+4+8+10 5 =6 =6 =6 {2a-1-(2m-1)}¤ =(2a-2m)¤ ={2(a-m)}¤ =4(a-m)¤ E0420_Q중3하솔(063-075) 2015.4.20 12:22 PM 페이지63 SinsagoHitec Q BOX Ⅴ 피타고라스 정리 1 피타고라스 정리 ▶7~17쪽 029 AC” ¤ =4¤ +6¤ =52이므로 (cid:8772)ACDE=AC” ¤ =52(cm¤ ) (cid:9120) ② 030 (x+2)¤ =x¤ +6¤ , 4x=32 ∴ x=8 (cid:9120) 8 031 넓이가 36 cm¤ , 100 cm¤ 인 두 정사각형의 한 변 의 길이는 각각 6 cm, 10 cm이므로 x="√(6+10)¤ +10¤ =2'∂89 (cid:9120) ④ 032 △ABC에서 AB”="√10¤ -6¤ =8(cm) △ABD에서 x="√8¤ +3¤ ='7å3 (cid:9120) '7å3 033 △ACD에서 AD”="√3¤ +4¤ =5 BD”=AD”=5이므로 BC”=5+3=8 △ABC에서 x="√8¤ +4¤ =4'5 034 △ADC에서 AD”="√15¤ -9¤ =12 △ABD에서 AB”="√12¤ +16¤ =20 035 OB”="√4¤ +2¤ =2'5(cm) OC”=øπ(2'5)¤ +2¤ =2'6(cm) ∴ OD”=øπ(2'6 )¤ +2¤ =2'7(cm) 036 BD”="√2¤ +2¤ =2'2(cm) BF”=øπ(2'2)¤ +2¤ =2'3(cm) BH”=øπ(2'3)¤ +2¤ =4(cm) BJ”="√4¤ +2¤ =2'5(cm) BK”=BJ”=2'5(cm)이므로 △BKL=;2!;_2'5_2=2'5(cm¤ ) 037 AB”=BC”=CD”=DE”=x라 하면 AC”="√x¤ +x¤ ='2x AD”=øπ('2x)¤ +x¤ ='3x AE”=øπ('3x)¤ +x¤ =2x 즉 2x=8이므로 x=4 038 BD”를 그으면 △BCD A 에서 BD” ¤ =6¤ +('∂14)¤ =50 AD”=AB”=x라 하면 △ABD에서 x¤ +x¤ =50, x¤ =25 ∴ x=5 B 6 (cid:9120) ④ (cid:9120) ① (cid:9120) ③ (cid:9120) ④ D C 14 (cid:9120) ⑤ (cid:9120) 2'5 cm¤ 039 점 D에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하 면 HA”=DB”=5(m) ∴ CH”=9-5 ∴ CH”=4(m) HD”=AB”=6(m) 이므로 △CHD에서 CD”="√6¤ +4¤ =2'1å3(m) 040 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 C H 9 m D 5 m A 6 m B (cid:9120) 2'1å3 m 8 D 6 C H 10 A B CH”=BC”-BH” =10-8=2 △DHC에서 DH”="√6¤ -2¤ =4'2 AB”=DH”=4'2이므로 △ABC에서 AC”=øπ(4'2)¤ +10¤ =2'∂33 (cid:9120) 2'∂33 041 △EBA=△EBC=△ABF=△JBF=△JFK (cid:9120) ① W O R K B O O K EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF이므로 △EBC™△ABF △ABE™△ADG (SAS 합동) BE”=BD”=2'2 (cm) BG”=BF”=2'3 (cm) BI”=BH”=4(cm) △BFL=△ABF =△EBC=△EBA ∴ (cid:8772)BFML =(cid:8772)ADEB (SAS 합동) 042 △AED에서 AE”=øπ4¤ -(2'3 )¤ =2(cm) 오른쪽 그림과 같이 AE”를 한 변으로 하는 정사각형 G AEFG를 그리면 △ABE=△ADG F A B E 2Â3`cm 4`cm D C =△AEG =;2!;(cid:8772)AEFG =;2!;_2¤ =2(cm¤ ) (cid:9120) ② 043 BC”=BF”=5(cm)이므로 △ABC에서 ¤ -3¤ =4(cm) AB”="5√ (cid:8772)BFML=(cid:8772)ADEB이므로 BL”_5=4¤ ∴ BL”=:¡5§:(cm) (cid:9120) :¡5§: cm 044 BF”=12-9=3이므로 △EBF에서 EF” ¤ =9¤ +3¤ =90 이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 (cid:8772)EFGH=EF” ¤ =90 (cid:9120) ③ 045 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 EF”='∂169=13 △EBF에서 BE”="√13¤ -12¤ =5 ∴ (cid:8772)ABCD=(5+12)¤ =289 (cid:9120) ② Ⅴ. 피타고라스 정리 | 63 E0420_Q중3하솔(063-075) 2015.4.20 12:23 PM 페이지64 SinsagoHitec 4_10=40(cm) (cid:9120) 40 cm (17-x)cm이므로 WORK BOOK Q BOX 046 네 변의 중점을 각각 E, F, G, H라 하면 (cid:8772)EFGH는 마름모 이다. BE”=;2!;_12 BE”=6(cm), A E B H D 12 cm G F 16 cm C BF”=;2!;_16=8(cm) 이므로 EF”="√6¤ +8¤ =10(cm) 따라서 구하는 사각형의 둘레의 길이는 047 △ADE™△BAF™△CBG™△DCH (RHA 합동) ① CG”=BF”=3 cm ② DE”=AF”=øπ('∂73)¤ -3¤ =8(cm) ③ EF”=AF”-AE”=8-3=5(cm) ④ △ABF=;2!;_3_8=12(cm¤ ) ¤ =5¤ =25(cm¤ ) ⑤ (cid:8772)EFGH=EF” (cid:9120) ③ 삼각형의 변의 길이 조건 에서 2x-(x-1)<2x+1 <2x+(x-1) x+1<2x+1<3x-1 ∴ x>2 삼각형의 변의 길이 조건 에서 (x+5)-(x+3) -1 AE”=BF”=3 cm 048 △ABE에서 AE”=øπ('8å9)¤ -8¤ =5 AH”=BE”=8이므로 EH”=8-5=3 이때 (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 (cid:8772)EFGH=3¤ =9 (cid:9120) 9 (cid:8772)ABCD=89이므로 AB”='8å9 049 (cid:9120) 90°, ;2!;c¤ , a¤ +b¤ 050 △ABP≡△PCD이므로 BP”=CD”=15 ∴ AP”="√8¤ +15¤ =17 A 8 B D 15 P C ∠APD=180°-(∠APB+∠DPC) =180°-(∠APB+∠PAB) =90° 에서 △APD는 직각이등변삼각형이므로 AD”="√17¤ +17¤ =17'2 (cid:9120) 17'2 051 △ABC에서 AC” AD” ¤ =8, CD” ¤ =3¤ +2¤ =13 ¤ =5이므로 AC” ¤ =AD” ¤ +CD” 즉 △ACD는 ∠ADC=90°인 직각삼각형이므로 △ACD=;2!;_2'2_'5='∂10 (cid:9120) ① 052 ∠B=90°인 직각삼각형이 되려면 b¤ =a¤ +c¤ 을 만족시켜야 한다. ④ ('6)¤ =('2)¤ +2¤ (cid:9120) ④ 64 | SOLUTION 053 AB”가 빗변이므로 (2x+1)¤ =(2x)¤ +(x-1)¤ x¤ -6x=0, x(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>2) (cid:9120) ③ 054 가장 긴 변의 길이가 x+7이므로 (x+7)¤ =(x+3)¤ +(x+5)¤ x¤ +2x-15=0, (x+5)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>-1) (cid:9120) 3 055 한 변의 길이를 x cm라 하면 다른 한 변의 길이는 13¤ =x¤ +(17-x)¤ , x¤ -17x+60=0 (x-5)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 또는 x=12 따라서 빗변이 아닌 두 변의 길이가 5 cm, 12 cm 이므로 구하는 넓이는 ;2!;_5_12=30(cm¤ ) 056 AD”=DC”=x cm라 A (cid:9120) ① (cid:9120) ② 3 cm E x cm x cm B D (5-x)cm 5 cm C 하면 BD”=(5-x)cm △ABD에서 x¤ =3¤ +(5-x)¤ 10x=34(cid:100)(cid:100) ∴ x=:¡5¶: 057 CF”=xcm라 하면 DF”=BF” =(12-x)cm △DFC에서 (12-x)¤ =x¤ +8¤ 24x=80(cid:100)(cid:100) ∴ x=:¡3º: A' A E (12-x)cm D 8 cm B (12-x)cm xcm C F 12 cm (cid:9120) :¡3º:cm △ABP≡△PCD이므로 AP”=PD” 058 CF”=xcm라 하면 DF”=BF” A (8-x)cm 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c( cæa, cæb)일 때 ① c¤ a¤ +b¤ (cid:8857) 둔각삼각형 =(8-x)cm E D 8 cm (8-x)cm CD”=AD” =4(cm) 이므로 △DFC에서 B F 8 cm C x cm (8-x)¤ =x¤ +4¤ , 16x=48 ∴ x=3 ∴ △DFC=;2!;_3_4=6(cm¤ ) (cid:9120) ③ 059 ① (3'2 )¤ <2¤ +4¤ 이므로 예각삼각형 ② (3'7 )¤ >3¤ +6¤ 이므로 둔각삼각형 ③ (4'5 )¤ =4¤ +8¤ 이므로 직각삼각형 ¤ E0420_Q중3하솔(063-075) 2015.4.20 12:23 PM 페이지65 SinsagoHitec ④ 8¤ <5¤ +7¤ 이므로 예각삼각형 ⑤ 9¤ <6¤ +8¤ 이므로 예각삼각형 067 AC”="√25¤ -15¤ =20(cm) AB”_AC”=BC”_AH”이므로 (cid:9120) ② 15_20=25_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=12(cm) (cid:9120) 12cm (cid:9120) 풀이 참조 (cid:9120) x=20, y=:¢5•: Q BOX 세 변의 길이의 비가 a : b : c (cid:8857) 세 변의 길이를 ak, bk, ck(k>0)로 놓는다. 세 변의 길이가 주어진 삼각형의 모양을 알기 위 해서는 가장 긴 변의 길 이의 제곱과 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합을 비교한다. 060 세 변의 길이를 각각 4k, 5k, 6k(k>0)라 하면 가장 긴 변의 길이가 6k이고 (6k)¤ =36k¤ , (4k)¤ +(5k)¤ =41k¤ (cid:100) 이므로 (6k)¤ <(4k)¤ +(5k)¤ 따라서 주어진 삼각형은 예각삼각형이다. 061 ⑤ (4'5 )¤ >4¤ +6¤ 이므로 △ABC는 둔각삼각 (cid:9120) ⑤ 형이다. 062 (cid:9120) ②, ⑤ 063 ① 3¤ +5¤ <7¤ 이므로 둔각삼각형 ② 4¤ +5¤ <7¤ 이므로 둔각삼각형 ③ 5¤ +5¤ >7¤ 이므로 예각삼각형 ④ 5¤ +6¤ >7¤ 이므로 예각삼각형 ⑤ 5¤ +7¤ >7¤ 이므로 예각삼각형 064 삼각형의 변의 길이 조건에서 15-80, y>0이므로 = ;[}; '3 2 066 △ABD에서 BD”="√3¤ -1¤ =2'2(cm) △ABC에서 3¤ =1_AC”(cid:100)(cid:100)∴ AC”=9(cm) ∴ △ABC=;2!;_9_2'2=9'2(cm¤ ) (cid:9120) 9'2 cm¤ (cid:9120) ①, ② yy ㉠ (cid:9120) ③ (cid:9120) ③ ∠B가 둔각이므로 x¤ >8¤ +15¤ , x¤ >289 ∴ x>17 ㉠, ㉡에서 172 BG” : GD”=2 : 1이므로 BG” : BD”=2 : 3 AM”=BM”=CM” ∠BFD=∠CFE (맞꼭지각), ∠BDF=∠CEF=90° 이므로 △BDFª△CEF (AA 닮음) 086 △ABD에서 보조선을 그어 길이를 구 하는 변을 포함하는 직각 삼각형을 만든다. 077 AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 p+4p=5p(cm¤ ) AC” 2 ;2!;_p_{ ∴ AC”=2'∂10(cm) ¤ =5p에서 AC” } ¤ =40 (cid:9120) ① 078 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 8p-2p=6p AB” ;2!;_p_{ 2 ∴ AB”=4'3 AC” ;2!;_p_{ 2 ∴ AC”=4 } } ¤ =6p에서 AB” ¤ =48 ¤ =2p에서 AC” ¤ =16 ∴ △ABC=;2!;_4_4'3=8'3 (cid:9120) 8'3 079 AC”=øπ6¤ +(6'3)¤ =12(cm) 점 D가 △ABC의 외심이므로 BD”=AD”=CD”=6(cm) 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 BG”=;3@; BD”=4(cm) (cid:9120) 4 cm 080 점 M은 △ABC의 외심이므로 BC”=2AM”=8'2(cm) △ABC에서 AC”=øπ(8'2)¤ -10¤ =2'7(cm) ∴ △ABC=;2!;_10_2'7=10'7 (cm¤ ) 081 △ABC에서 BC”="√13¤ -5¤ =12(cm) 점 D에서 AB”의 A 연장선에 내린 수 5 cm 선의 발을 E라 하 면 BE”=CD”이므 B E 로 AE”=5+3=8(cm) ED”=BC”=12(cm)이므로 △AED에서 ¤ +12¤ =4'1å3(cm) AD”="8√ (cid:9120) 10'7 cm¤ 13 cm C 3 cm D (cid:9120) ② 66 | SOLUTION E0420_Q중3하솔(063-075) 2015.4.20 12:23 PM 페이지67 SinsagoHitec Q BOX 087 AB”="√25¤ -20¤ =15(cm) 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므 로 구하는 넓이는 ;2!;_15_20=150(cm¤ ) (cid:9120) ② 088 AB”="√13¤ -5¤ =12(cm) ∴ (색칠한 부분의 넓이)=2△ABC =2_{;2!;_5_12} =60(cm¤ ) (cid:9120) ③ 089 BC”=øπ(2'5)¤ -2¤ =4(cm) AD”가 ∠A의 이등분선이므로 BD” : CD”=2'5 : 2='5 : 1 ∴ CD”=4_ ='5-1(cm) 1 '5+1 (cid:9120) ('5-1)cm 090 AD”가 ∠A의 이등분선이므로 AB” : AC”=BD” : CD”=5 : 4 (a+4)-5<2a-3 <(a+4)+5 에서 20)라 하면 △ABC에서 (5x)¤ =9¤ +(4x)¤ , 9x¤ =81 x¤ =9 ∴ x=3 ∴ AC”=4x=12 (cid:9120) ④ 2 피타고라스 정리의 활용 ▶18~30쪽 093 주어진 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 AB”="√x¤ +(2x)¤ ='1å5이므로 '5x='1å5(cid:100)(cid:100)∴ x='3 ∴ AC” ”=øπ('3 )¤ +(3'3 )¤ ='3å0(cm) (cid:9120) ⑤ 094 가로, 세로의 길이를 각각 k, 2k (k>0)라 하면 øπk¤ +(2k)¤ =4'5이므로 '5k=4'5(cid:100)(cid:100)∴ k=4(cm) 따라서 가로, 세로의 길이가 각각 4cm, 8cm이 므로 직사각형의 넓이는 4_8=32(cm¤ ) (cid:9120) 32cm¤ 095 (a+4)¤ +5¤ =(2a-3)¤ 이므로 3a¤ -20a-32=0 (3a+4)(a-8)=0 ∴ a=8 (∵ 2sin 30°=;2!;이므로 cos 60°tan 45°=1 2 ∴ cos 65°0, sin A-cos A<0 ∴ (주어진 식)=cos A-{-(sin A-cos A)} =sin A (cid:9120) sin A 209 45°0, cos A-sin A<0 ∴ "√(1-cos A)¤ -"√(cos A-sin A)¤ =1-cos A-{-(cos A-sin A)} =1-sin A 즉 1-sin A=;5!;이므로 sin A=;5$; 오른쪽 그림에서 AB”="√5¤ -4¤ =3이므로 BC” AB” tan A= =;3$; (cid:9120) ③ 5 A C 4 B 2 삼각비의 활용 ▶38~45쪽 b 210 ④ cos A= 이므로 b=ccos A c (cid:9120) ④ 211 x=26 cos B=26_;1∞3;=10 y=26sin B=26_;1!3@;=24 ∴ y-x=24-10=14 (cid:9120) 14 AC”=4 cos 30°=4_ =2'3(cm) 따라서 구하는 부피는 '3 2 {;2!;_2_2'3}_4'3=24(cm‹ ) (cid:9120) 24cm‹ 213 5tan54°=5_1.38=6.9(m) (cid:9120) 6.9 m 214 AB”=10'3 tan 30°=10'3_ =10(m) '3 3 AC”= 10'3 cos 30° 2 =10'3_ =20(m) '3 따라서 부러지기 전의 나무의 높이는 AB”+AC”=30(m) (cid:9120) 30m W O R K B O O K 215 AH”=100cos 60°=100_;2!;=50(m) ∴ CH”=50 tan 45° ∴ CH”=50_1=50(m) (cid:9120) ① 6 cm 30æ C B H 4'3 cm 면 △ACH에서 AH”=6sin 30° =6_;2!;=3(cm) '3 CH”=6 cos 30°=6_ =3'3(cm)이므로 2 BH”=4'3-3'3='3 (cm) 따라서 △ABH에서 AB”=øπ3¤ +('3 )¤ =2'3(cm) (cid:9120) 2'3 cm 217 (cid:8772)ABCD가 평행사 변형이므로 A 8 cm D ∠B=180°-120° =60° 60æ B H 12 cm 120æ C Ⅵ. 삼각비 | 77 보조선을 그어 AB”를 빗 변으로 하는 직각삼각형 을 만든다. 216 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하 A E0420_Q중3하솔(076-081) 2015.4.20 12:24 PM 페이지78 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하 ∠C=180°-(75°+60°)=45°이므로 면 △ABH에서 AH”=8sin 60°=8_ =4'3(cm) '3 2 BH”=8cos 60°=8_;2!;=4(cm)이므로 CH”=12-4=8(cm) 따라서 △ACH에서 AC”=øπ(4'3)¤ +8¤ =4'7(cm) (cid:9120) ④ A 135æ 4Â2 6 C 45æ H 218 꼭짓점 A에서 BC” 의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 B ∠ACH=180°-135° =45° △ACH에서 CH”=AH”=4'2 sin 45°=4'2_ =4 '2 2 따라서 BH”=6+4=10이므로 △ABH에서 AB”="√10¤ +4¤ =2'∂29 (cid:9120) ④ 219 꼭짓점 C에서 AB”에 내 린 수선의 발을 H라 하 A 60æ H 8 cm 45æ B C 면 △AHC에서 CH”=8sin60° '3 2 =8_ =4'3(cm) △BCH에서 BC”= 4'3 sin 45° =4'3_'2=4'6(cm) (cid:9120) ① 220 꼭짓점 B에서 AC” 에 내린 수선의 발 을 H라 하면 A 45æ H 10Â2`cm 105æ 30æ C B △ABH에서 BH”=10'2sin 45° '2 BH”=10'2_ =10(cm) 2 ∠C=180°-(45°+105°)=30°이므로 △BCH에서 10 sin 30° BC”= =10_2=20(cm) (cid:9120) ⑤ 221 꼭짓점 A에서 BC” 에 내린 수선의 발 A 75æ 4'6 cm 을 H라 하면 △ABH에서 AH”=4'6 sin 60° '3 2 =4'6_ =6'2(cm) 60æ B H 45æ C 78 | SOLUTION △AHC에서 6'2 sin 45° AC”= =6'2_'2=12(cm) 222 점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 △ABH에서 A’H”=50sin60° '3 2 =50_ =25'3(m) (cid:9120) 12cm C 60`m H A 50`m 60æ B BH”=50 cos 60°=50_;2!;=25(m)이므로 CH”=60-25=35(m) 따라서 △ACH에서 AC”="√35¤ +(25'3 )¤ =10'∂31(m) (cid:9120) ③ 223 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 B 60æ H 75æ 45æ A 60`m C △ACH에서 AH”=60sin 45° '2 2 AH”=60_ =30'2(m) 에서 AB”= ∠B=180°-(75°+45°)=60°이므로 △ABH AH” sin 60° 2 =30'2_ =20'6(m) '3 (cid:9120) 20'6 m 224 ∠BAH=45°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hcm라 하면 BH”=AH”=h(cm), CH”=h tan 30°= h(cm) '3 3 BH”+CH”=18(cm)이므로 h+ h=18, h=18 3+'3 3 '3 3 ∴ h=9(3-'3) 225 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠BCH=30° ∠ACH=45° CH”=h cm라 하면 20`cm H 60æ B AH”=CH”=h(cm), '3 3 BH”=h tan 30°= h(cm) (cid:9120) ⑤ A 45æ h`cm C 75æ h= 54 3+'3 = 54(3-'3) (3+'3)(3-'3) =9(3-'3) E0420_Q중3하솔(076-081) 2015.4.20 12:24 PM 페이지79 SinsagoHitec Q BOX AB”=AC”인 이등변삼각 형에서 ∠B=∠C ∴ ∠A=180°-2_∠B 231 ∠A=180°-2_75°=30° ∴ △ABC=;2!;_10_10_sin 30° △ABG=△BCG =△CAG =;3!;△ABC (cid:9120) ③ 233 ;2!;_12_15_sin B=72이므 (cid:9120) 25'3 cm¤ △ABC에서 밑변을 BC” 라 하면 높이는 AH”의 길이이다. 234 △ABC=;2!;_7_4_sin(180°-135°) △ABC=;2!;_7_4_ =7'2(cm¤ ) '2 2 =;2!;_10_10_;2!;=25(cm¤ ) (cid:9120) ② 232 △ABC=;2!;_8_6_sin 45° '2 =;2!;_8_6_ =12'2(cm¤ ) 2 ∴ △ABG=;3!;△ABC=;3!;_12'2 =4'2 (cm¤ ) (cid:9120) 4'2cm¤ 로 sin B=;5$; 오른쪽 그림에서 BA'”="√5¤ -4¤ =3 ∴ cos B=;5#; W O R K B O O K 5 B C' 4 A' (cid:9120) ④ (cid:9120) ④ 235 ;2!;_9_12_sin(180°-∠B)=27에서 sin(180°-∠B)=;2!; 이때 sin 30°=;2!;이므로 180°-∠B=30° ∴ ∠B=150° (cid:9120) 150° 236 A=;2!;_4_5_sin 45° '2 A=;2!;_4_5_ =5'2 (cm¤ ) 2 B=;2!;_5_3=;;¡2∞;;(cm¤ ) C=;2!;_3_6_sin(180°-120°) '3 C=;2!;_3_6_ = (cm¤ ) 2 9'3 2 AH”+BH”=20(cm)이므로 h+ h=20, h=20 3+'3 3 '3 3 ∴ h=10(3-'3) ∴ △ABC=;2!;_20_10(3-'3) =100(3-'3)(cm¤ ) (cid:9120) 100(3-'3)cm¤ 226 ∠BAH=45°, ∠CAH=60°이므로 AH”=h라 하면 BH”=AH”=h, CH”=h tan 60°='3h CH”-BH”=10이므로 '3 h-h=10, ('3-1)h=10 ∴ h=5('3+1) 227 ∠BAH=60°, ∠CAH=30°이므로 AH”=hcm 라 하면 BH”=h tan 60°='3 h(cm), '3 CH”=h tan 30°= h(cm) 3 BH”-CH”=10(cm)이므로 '3 '3 h- h=10, 3 2'3 3 h=10(cid:100)(cid:100)∴ h=5'3 ∴ △ABC=;2!;_10_5'3=25'3(cm¤ ) 228 ∠ACD=45°, ∠BCD=30°이므로 CD”=h m 라 하면 AD”=CD”=h(m), BD”=h tan 30°= h(m) '3 3 AD”-BD”=200(m)이므로 h- h=200, h=200 '3 3 3-'3 3 ∴ h=100(3+'3) (cid:9120) 100(3+'3)m 229 ∠ACH=45°, ∠BCH=60°이므로 CH”=h m 라 하면 AH”=CH”=h(m), BH”=htan 60°='3 h(m) AH”+BH”=40(m)이므로 h+'3 h=40, (1+'3 )h=40 ∴ h=20('3-1) (cid:9120) ② 230 ∠BAH=30°, ∠CAH=45°이므로 AH”=hm 라 하면 BH”=h tan 30°= h(m), CH”=AH”=h(m) '3 3 BH”+CH”=100(m)이므로 '3 3 ∴ h=50(3-'3) h+h=100, '3+3 3 h=100 (cid:9120) ④ 5'2= :¡2∞:= 9'3 2 '∂200 2 '∂225 2 = '∂243 2 ∴ A