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문제집/중등

2019년 좋은책신사고 우공비Q 수학 3 ( 하 ) 특강편 18강 + 4강 답지

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E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지1 SinsagoHitec 우공비 중등 수학 (하) 특강편 3 SOLUTION ● LECTURE BOOK ● WORK BOOK 2 40 E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지2 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 통계Ⅳ LECTURE 01 대푯값 LECTURE BOOK 6쪽 1 (cid:9000) 159 cm 2 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 9 ⑶ 58 3 (cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 6, 7 ⑶ 없다. 4 (cid:9000) 평균:2.4권, 중앙값:2.5권, 최빈값:3권 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 7~9쪽 01 (평균)= 2+0+1+2+2+3+4 7 (평균)=:¡7¢:=2(시간) (cid:9000) 2시간 02 a+b+c 3 =12에서 a+b+c=36 따라서 구하는 평균은 36+8+13 5 =:∞5¶:=11.4 03 B모둠의 평균 등교 시간을 x분이라 하면 두 모둠 전체의 평균 등교 시간이 24분이므로 10_27+15_x 25 =24 270+15x=600(cid:100)(cid:100)∴ x=22 (cid:9000) ⑤ 04 잘못 계산한 수학 시험 점수의 총합은 10_91=910(점) 정확한 수학 시험 점수의 총합은 910-5=905(점) 따라서 수학 시험 점수의 정확한 평균은 905 10 =90.5(점) … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 90.5점 05 ④ 변량의 개수가 짝수이면 변량을 작은 값부터 순서대로 나열할 때, 중앙에 있는 두 변량의 평 균이 중앙값이다. (cid:9000) ④ 06 A선수의 점수에서 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10 ∴ a= 9+9 2 =:¡2•:=9 2 SOLUTION B선수의 점수에서 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10 ∴ b= 8+9 2 =:¡2¶:=8.5 ∴ a+b=17.5 (cid:9000) 17.5 07 주어진 자료의 중앙값은 8이므로 4+7+8+9+x 5 =8 28+x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (cid:9000) 12 08 조건 ㈎`에서 중앙값이 18이므로 aæ18 조건 ㈏`에서 중앙값이 19이므로 a…18 ∴ a=18 09 중앙값이 90점이므로 aæ90 평균이 90점 미만이므로 84+88+90+94+a 5 <90(cid:100)(cid:100)∴ a<94 따라서 90…a<94이므로 자연수 a는 90, 91, 92, 93의 4개이다. 18(정연이의 평균)이므로 인수가 정연이보다 팔굽혀펴기를 더 잘한다. ㈁ (인수의 표준편차)>(정연이의 표준편차)이므 로 정연이의 기록이 더 고르다. 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다. (cid:9000) ④ 01 (2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3) 4 =7 이므로 2(a+b+c+d)+12=28 ∴ a+b+c+d=8 따라서 a, b, c, d의 평균은 a+b+c+d 4 =;4*;=2 L E C T U R E B O O K 02 5과목의 점수의 총합은 87_5=435(점) 이므로 나머지 한 과목의 점수를 x점이라 하면 435+x 6 =89(cid:100)(cid:100)∴ x=99 03 남자 선생님의 수를 2x, 여자 선생님의 수를 8x 라 하면 남자 선생님의 근무 연수의 총합은 20_2x=40x 15_8x=120x 여자 선생님의 근무 연수의 총합은 따라서 전체 선생님의 평균 근무 연수는 40x+120x 2x+8x = 160x 10x =16(년) 기록이 좋은지를 알려면 평 균을 비교한다. 04 (-3)+5+a+8+(-1)+6+4 7 =4에서 기록이 고른지를 알려면 분 산, 표준편차를 비교한다. 19+a=28(cid:100)(cid:100)∴ a=9 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면 -3, -1, 4, 5, 6, 8, 9 이므로 중앙값은 5이다. 대단원별 기출문제 정복 LECTURE BOOK 14~17쪽 01 ① 02 ⑤ 03 16년 04 ③ 05 53 kg 06 ④ 07 ③ 08 22개 09 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 x=7, y=13, z=16 13 ① 14 ④ 15 ② 16 86 18 ② 19 9.2 17 ② 20 50'5 m 22 ;;¡3º;; cm 23 6 21 2'∂30 kg 24 ④ 자료의 개수가 짝수이므로 중앙에 있는 두 변량의 평 균이 중앙값이다. 05 5번째 학생의 몸무게를 x kg이라 하면 51+x 2 =52(cid:100)(cid:100)∴ x=53 이때 몸무게가 54 kg인 학생을 추가해도 5번째 변량은 그대로이므로 중앙값은 53 kg이다. (cid:9000) 53 kg a16 06 [자료 A]의 중앙값이 16이므로 a=16 [자료 B]의 중앙값이 17이므로 16(A의 표준편차)이므로 A 의 연간 독서량의 분포가 B의 연간 독서량의 분포보다 더 고르다. 이상에서 옳은 것은 ㈁, ㈂이다. (cid:9000) ④ Ⅳ. 통계 7 ≠ ≠ ≠ E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지8 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX Ⅴ 피타고라스 정리 LECTURE 03 피타고라스 정리 1 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 5'3 2 (cid:9000) 16 cm¤ 3 (cid:9000) 169 4 (cid:9000) x=2, S=4 5 (cid:9000) 18 LECTURE BOOK 18쪽 보조선을 그어 2개의 직각 삼각형으로 나눈다. 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 19~21쪽 01 AC”="√7¤ -5¤ =2'6(cm)이므로 △ABC=;2!;_5_2'6=5'6(cm¤ ) BC” ¤ =AB” AC”=øπBC” ¤ +AC” ¤ -AB” ¤ 이므로 (cid:9000) 5'6 cm¤ (cid:9000) ④ AB”=DC”, ∠AHB=∠DH'C AH”=DH'” ∴ △ABH™△DCH' (RHS 합동) (cid:9000) 2 cm △DEF=;2!;(cid:8772)ADEB 이므로 색칠한 부분의 넓이 는 (cid:8772)ADEB-△DEF =;2!;(cid:8772)ADEB 02 (x+2)¤ =x¤ +8¤ 이므로 x¤ +4x+4=x¤ +64 4x=60(cid:100)(cid:100)∴ x=15 03 △BCD에서 BD”="√12¤ -10¤ =2'∂11(cm) △ABD에서 AD”="√8¤ -(2'∂11)¤ =2'5(cm) (cid:9000) 2'5 cm 04 DC”=x cm라 하면 △ABC에서 AC” ¤ =6¤ -(2+x)¤ ¤ =(2'6 )¤ -x¤ 즉 32-4x-x¤ =24-x¤ 이므로 △ADC에서 AC” 4x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=2 05 △ABC에서 AC”=øπ2¤ +2¤ =2'2 △ACD에서 AD”=øπ(2'2)¤ +2¤ =2'3 △ADE에서 AE”=øπ(2'3)¤ +2¤ =4 △AEF에서 AF”=øπ4¤ +2¤ =2'5 따라서 △AFG에서 AG”=øπ(2'5)¤ +2¤ =2'6 (cid:9000) 2'6 8 SOLUTION (cid:9000) ③ D 4 C (cid:9000) ① (cid:9000) ③ … 2점 … 2점 06 BC¡”=BD”=øπ1¤ +1¤ ='2 BC™”=BD¡”=øπ('2 )¤ +1¤ ='3 BC£”=BD™”=øπ('3 )¤ +1¤ =2 ∴ BD£”=øπ2¤ +1¤ ='5 07 BD”를 그으면 △ABD에서 BD”=øπ3¤ +(3'3)¤ =6 이므로 △BCD에서 BC”=øπ6¤ -4¤ =2'5 3Â3 A 3 B 08 꼭짓점 D에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하 A x D 15 면 DH”=9이므로 △DHC에서 CH”="√15¤ -9¤ =12 ∴ x=BH”=16-12=4 9 B H 16 C 09 두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발 을 각각 H, H'이라 하 면 HH'”=7 cm이므로 A 7`cm D 6`cm H B 6`cm H' C 11`cm BH”=CH'”=;2!;_(11-7)=2(cm) △ABH에서 AH”=øπ6¤ -2¤ =4'2 (cm) HC”=9 cm이므로 △AHC에서 AC”="√(4'2)¤ +9¤ AC='∂113(cm) 10 △ABC에서 AB”=øπ8¤ +6¤ =10(cm) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 ;2!;(cid:8772)ADEB=;2!;_10¤ ;2!;(cid:8772)ADEB=50(cm¤ ) 11 (cid:8772)ACDE=64-48=16(cm¤ )이므로 AC”=4(cm) BC”='∂48=4'3(cm)이므로 △ABC=;2!;_4_4'3=8'3(cm¤ ) … 2점 (cid:9000) '∂113 cm (cid:9000) 50 cm¤ (cid:9000) 8'3 cm¤ ¤ E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지9 SinsagoHitec Q BOX (cid:9000) ④ ∠ACB=∠ECA (접은 각)이므로 △EAC는 이 18 ∠EAC=∠ACB (엇각), (SAS 합동) yy ㉡ ∠EAB=90°+∠CAB =∠CAF 12 EA”∥DB”이므로 △EAC=△EAB E yy ㉠ △EAB와 △CAF에서 EA”=CA”, AB”=AF”, ∠EAB=∠CAF ∴ △EAB™△CAF AF”∥CK”이므로 D A F I C BJ G K H △CAF=△JAF=;2!;(cid:8772)AFKJ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △EAC=△EAB=△CAF=△JAF yy ㉢ △EAC=;2!;(cid:8772)AFKJ 13 AE”=9-3=6(cm)이므로 △AEH에서 EH” ¤ =6¤ +3¤ =45 이때 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이 므로 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다. ¤ =45(cm¤ ) ∴ (cid:8772)EFGH=EH” (cid:9000) ④ 14 BQ”=CR”=9 cm이므로 △ABQ에서 AQ”="√15¤ -9¤ =12(cm) ∴ PQ”=12-9=3(cm) 4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 PQ”=QR”=RS”=SP” 따라서 (cid:8772)PQRS는 정사각형이므로 (cid:8772)PQRS=3¤ =9(cm¤ ) (cid:9000) 9 cm¤ EH”=FE”=GF”=HG”, ∠HEF =180°-∠AEH-∠BEF =180°-∠AEH-∠AHE =90° 한 내각의 크기가 90°인 마름모는 정사각형이므로 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다. 이등변삼각형의 꼭짓점에 서 밑변에 내린 수선은 그 밑변을 이등분한다. 15 △AED™△BCE에서 DE”=EC”, ∠DEC=90° 이므로 △DEC는 직각이등변삼각형이다. ;2!;_DE” ¤ =26이므로 DE” ¤ =52 △AED에서 AD”="√52-6¤ =4(cm) ∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+6)_(4+6) ∴ (cid:8772)ABCD=50(cm¤ ) ∠AED+∠CEB =∠AED+∠EDA =90° 이므로 ∠DEC=90° (cid:9000) ② … 2점 16 AE”=AD”=10 cm이므로 △ABE에서 BE”="√10¤ -6¤ =8(cm) ∴ CE”=10-8=2(cm) EF”=x cm라 하면 DF”=EF”=x cm이므로 CF”=(6-x)cm △ECF에서 x¤ =2¤ +(6-x)¤ 12x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3º: … 4점 (cid:9000) :¡3º: cm L E C T U R E B O O K 17 BD”=;2!; BC”=4(cm) DE”=x cm라 하면AE ”=DE”=x cm이므로 EB”=(10-x)cm △EBD에서 x¤ =(10-x)¤ +4¤ 20x=116(cid:100)(cid:100)∴ x=:™5ª: (cid:9000) ② 등변삼각형이다. EC”=x cm라 하면 ED”=(8-x)cm이므로 △CDE에서 x¤ =(8-x)¤ +4¤ 16x=80(cid:100)(cid:100)∴ x=5 △ABC에서 AC”="√8¤ +4¤ =4'5(cm) CH”=;2!;AC”=2'5 (cm)이므로 △EHC에서 EH”=øπ5¤ -(2'5)¤ ='5(cm) (cid:9000) '5 cm [다른 풀이] AC”="√8¤ +4¤ =4'5 (cm)이고 △EAC가 이등 변삼각형이므로 CH”=;2!;AC”=2'5 (cm) △CAFª△CEH (AA 닮음)이므로 CF”:CH”=AF”:EH” 8:2'5=4:EH” ∴ EH”='5(cm) LECTURE 04 피타고라스 정리와 도형 LECTURE BOOK 22쪽 1 (cid:9000) ㈂, ㈃ 2 (cid:9000) ⑴ ;;™5¢;; ⑵ 3'6 3 (cid:9000) ⑴ 80 ⑵ 34 4 (cid:9000) ⑴ 8p cm¤ ⑵ 24 cm¤ Ⅴ. 피타고라스 정리 9 E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지10 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 23~25쪽 02 12¤ =6¤ +(6'3)¤ 이므로 주어진 삼각형은 빗변의 01 ㈀ 1¤ +('3)¤ =2¤ ㈁ 2¤ +2¤ =(2'2)¤ ㈃ 6¤ +8¤ =10¤ ㈅ 5¤ +12¤ =13¤ 길이가 12인 직각삼각형이다. 따라서 구하는 넓이는 ;2!;_6_6'3=18'3 03 x¤ +(x+2)¤ =(x+4)¤ 에서 x¤ -4x-12=0, (x+2)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0) 04 BC”=x m라 하면 AC”=12-(5+x)=7-x(m) △ABC에서 ∠C=90°이려면 x¤ +(7-x)¤ =5¤ , x¤ -7x+12=0 (x-3)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ BC”>AC”) (cid:9000) 4 (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ (cid:9000) 4 m 05 추가하는 막대의 길이를 x cm라 하면 ⁄ 가장 긴 막대의 길이가 x cm일 때 x="√6¤ +8¤ =10 ¤ 가장 긴 막대의 길이가 8 cm일 때 x="√8¤ -6¤ =2'7 06 ① 세 변의 길이를2k, 3k, 4k ( k>0)라 하면 (cid:9000) 2'7 cm, 10 cm (2k)¤ +(3k)¤ <(4k)¤ 이므로 둔각삼각형이다. ② 세 변의 길이를 3k, 4k, 5k ( k>0)라 하면 (3k)¤ +(4k)¤ =(5k)¤ 이므로 직각삼각형이다. ③ 세 변의 길이를 4k, 5k, 6k ( k>0)라 하면 (4k)¤ +(5k)¤ >(6k)¤ 이므로 예각삼각형이다. ④ 세 변의 길이를 5k, 5k, 8k ( k>0)라 하면 (5k)¤ +(5k)¤ <(8k)¤ 이므로 둔각삼각형이다. ⑤ 세 변의 길이를 5k, 12k, 13k ( k>0)라 하면 08 ⁄ AC”가 가장 긴 변일 때, AC”<9+12이므로 12…AC”<21 △ABC가 예각삼각형이므로 ¤ <9¤ +12¤ 에서 03'7 12¤ 0)라 하면 BC”=2k △ABC에서 AB”="√k¤ +(2k)¤ ='5k '5k_2'3=2k_k ∴ k='∂15 따라서 AC”='∂15, BC”=2'∂15이므로 △ABC=;2!;_2'∂15_'∂15=15 가장 긴 변의 길이의 제곱 이 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같도록 하는 x 의 값을 구한다. 10 △ABC에서 BC”="√3¤ +4¤ =5 3_4=AD”_5(cid:100)(cid:100)∴ AD”=:¡5™: 3¤ =BD”_5(cid:100)(cid:100)∴ BD”=;5(; ∴ △ABD=;2!;_:¡5™:_;5(;=;2%5$; DE” 11 △ABC에서 AB” ¤ +AB” ¤ =AD” ¤ +100=AD” ¤ -DE” ∴ AD” DE” ¤ =20 ¤ =8¤ +6¤ =100 ¤ +BE” ¤ 이므로 ¤ +(4'5)¤ 삼각형의 세 변의 길이 가 a, b, c(cæa, cæb) 일 때 ① c¤ a¤ +b¤ (cid:8857) 둔각삼각형 (5k)¤ +(12k)¤ =(13k)¤ 이므로 직각삼각형 A 이다. 07 x¤ =4¤ +(4'3)¤ =64 y¤ =17¤ -8¤ =225 2z¤ =(9'2)¤ 이므로 z¤ =81 이때 225>64+81 즉 y¤ >x¤ +z¤ 이므로 x, y, z … 2점 … 2점 … 2점 를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 둔각삼각형이다. (cid:9000) ③ M N B C (cid:8857) MN”∥ BC” (cid:8857) MN”=;2!; BC” … 2점 (cid:9000) 둔각삼각형 x=8, y=15, z=9 9-8<15<9+8이므로 x, y, z는 삼각형의 변의 길이 조건을 만족시킨다. BC” ¤ =9 △OBC에서 (cid:100)(cid:100) x=øπ9-('3 )¤ ='6 13 (2'2)¤ +('5)¤ =2¤ +BC” ¤ 이므로 12 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 DE”=;2!;AB”=;2!;_8=4 ∴ AD” ¤ +BE” ¤ =DE” ¤ +AB” ¤ =4¤ +8¤ =80 10 SOLUTION (cid:9000) ④ … 2점 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) ;2%5$; (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지11 SinsagoHitec ¤ =AD” ¤ +BC” ¤ 이므로 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 27~29쪽 Q BOX 등변사다리꼴의 성질 ① 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다. ② 두 대각선의 길이가 같다. 직각삼각형의 각 변을 지름으로 하는 반원을 각각 그리면 작은 두 반원의 넓이의 합은 가 장 큰 반원의 넓이와 같다. 한 변의 길이가 a인 정 사각형의 대각선의 길이 (cid:8857) '2 a 14 AB”=CD”이고 AB” ¤ +CD” ¤ =('6)¤ +4¤ , AB” 2AB” ∴ AB”='ß11(∵ AB”>0) ¤ =11 15 (3'3)¤ +x¤ =(2'5)¤ +(x+1)¤ 2x=6(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (cid:9000) ④ (cid:9000) ② 16 S¡+S™=15p+10p=25p(cm¤ ) 즉 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이가 25p cm¤ 이므로 ;2!;_p_{ BC” 2 }2 =25p, BC” ¤ =200 ∴ BC”=10'2(cm)(∵ BC”>0) (cid:9000) ① 17 AB”=k, CA”='3k(k>0)라 하면 k 2 k¤ }2 = p 8 _p_{ S¡= ;2!; S£= _p_{ ;2!; '3k 2 3k¤ }2 = p 8 S™=S¡+S£= p이므로 k¤ 2 k¤ S¡:S™:S£= p: p: p 8 3k¤ 8 k¤ 2 S¡:S™:S£=1:4:3 (cid:9000) 1:4:3 18 BD”=x라 하면(4'6) ¤ =x(x+4) x¤ +4x-96=0, (x+12)(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x>0) △ABC에서 AC”=øπ12¤ -(4'6)¤ =4'3 ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABC =;2!;_4'6_4'3 =24'2 (cid:9000) 24'2 LECTURE 05 피타고라스 정리의 평면도형에서의 활용 ⑴ LECTURE BOOK 26쪽 AB” ¤ =BE”_BD” 1 (cid:9000) ⑴ 10 ⑵ 13 2 (cid:9000) ⑴ 9'2 ⑵ 6 3 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 5'3 ⑶ 25'3 4 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ 4'2 ⑶ 8'2 △ABE™△CDF (RHA 합동) 한 변의 길이가 a인 정 삼각형의 넓이 (cid:8857) '3 4 a¤ 01 (cid:8772)BEFD=BD” ¤ =8¤ +15¤ =289(cm¤ ) 02 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의 길이는 2x cm이므로 x_2x=32, x¤ =16 ∴ x=4 (∵ x>0) 므로 대각선의 길이는 "√8¤ +4¤ =4'5(cm) 따라서 가로, 세로의 길이가 각각 8 cm, 4 cm이 L E C T U R E B O O K 03 OC”를 그으면 OC”=OA”=8 cm CD”=EO”=4 cm 이므로 △ODC에서 ”="√8¤ -4¤ =4'3(cm) OD” ∴ (cid:8772)ODCE=4'3_4 =16'3 (cm¤ ) B E O 04 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 '2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5'2 따라서 정사각형의 둘레의 길이는 4_5'2=20'2(cm) 05 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 pr¤ =16p, r¤ =16 ∴ r=4 (∵ r>0) 정사각형의 대각선의 길이는 8 cm이므로 정사각 형의 한 변의 길이를x cm라 하면 '2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (cid:9000) ④ (cid:9000) ④ C AD 8 cm (cid:9000) 16'3 cm¤ (cid:9000) ② … 3점 … 3점 (cid:9000) 4'2 cm (cid:9000) ③ 07 BD”="√3¤ +4¤ =5(cm)이므로 △ABD에서 3¤ =BE”_5(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;5(;(cm) DF”=BE”=;5(; cm이므로 EF”=5-2_;5(;=;5&;(cm) (cid:9000) ③ 08 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 4 a¤ =9'3, a¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ a=6(∵ a>0) (cid:9000) ⑤ Ⅴ. 피타고라스 정리 11 AB”_AD”=AH”_BD” 06 AD”="√8¤ -6¤ =2'7 (cm) △ABD에서 6_2'7=AH”_8 ∴ AH”= (cm) 3'7 2 E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지12 SinsagoHitec Q BOX 한 변의 길이가 a인 정 삼각형의 높이 a'3 2 (cid:8857) 무게중심은 중선을 꼭짓점 으로부터 2:1로 나누므로 AG”:GD”=2:1 삼각형의 높이 구하기 (cid:8857) 한 꼭짓점에서 대변에 수선을 그은 후 피타고 라스 정리를 이용한다. 세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 삼각형의 세 변의 길이의 비 (cid:8857) 1:1:'2 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 삼각형의 세 변의 길이의 비 (cid:8857) 1:'3:2 LECTURE BOOK '3 2 09 AD”= _12=6'3(cm)이므로 '3 4 △ADE= _(6'3)¤ =27'3(cm¤ ) (cid:9000) 27'3 cm¤ 10 GD”=;3!;AD”이므로 AD”=6(cm) 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 2 a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=4'3 ∴ △ABC= _(4'3)¤ =12'3(cm¤ ) '3 4 11 AP”를 그으면 △ABC =△ABP+△ACP 이므로 '3 4 _8¤ A Q B P =;2!;_8_PQ”+;2!;_8_PR” 16'3=4(PQ”+PR”) ∴ PQ”+PR”=4'3 (cid:9000) ③ 8 R C (cid:9000) 4'3 12 BC”의 중점을 M이라 하면 (cid:8772)ABCD=3△ABM A D AB”=a cm라 하면 '3 75'3=3_ a¤ , a¤ =100 4 ∴ a=10 (∵ a>0) B M C 따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 5_10=50(cm) (cid:9000) 50 cm 13 주어진 정육각형은 한 변의 길이가 6 cm인 6개의 정삼각형으로 이루어져 있으므로 구하는 넓이는 6_{ _6¤ }=54'3(cm¤ ) '3 4 (cid:9000) ② 14 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하 A 7`cm 7`cm B C H 10`cm 면 BH”=CH”=5(cm) △ABH에서 AH”="√7¤ -5¤ =2'6(cm) ∴ △ABC=;2!;_10_2'6 ∴ △ABC=10'6(cm¤ ) (cid:9000) ② 12 SOLUTION … 4점 … 2점 (cid:9000) 2'7 15 AD”와 BC”가 만나는 점을 E라 하면 △BDC에서 DE”= _8=4'3 '3 2 ∴ AE”=6'3-4'3=2'3 BE”=;2!;BC”=4이므로 △ABE에서 AB”=øπ4¤ +(2'3)¤ =2'7 16 (cid:9000) ㈎ 8-x ㈏ (8-x)¤ ㈐ 2 ㈑ 3'5 17 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하자. BH”=x라 하면 CH”=14-x이므로 ¤ =15¤ -x¤ =13¤ -(14-x)¤ AH” A 15 13 B C x H 14 28x=252(cid:100)(cid:100)∴ x=9 △ABH에서 AH”="√15¤ -9¤ =12 ∴ △ABC=;2!;_14_12=84 (cid:9000) 84 18 BH”=x cm라 하면 CH”=(10-x)cm이므로 ¤ =6¤ -x¤ =(4'6)¤ -(10-x)¤ AH” 20x=40(cid:100)(cid:100)∴ x=2 △ABH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2(cm) BM”=5 cm이므로 HM” ”=5-2=3(cm) △AHM에서 AM”=ø(π4'2 )¤ +3¤ ='∂41(cm) (cid:9000) ④ LECTURE 06 피타고라스 정리의 평면도형에서의 활용 ⑵ LECTURE BOOK 30쪽 1 (cid:9000) ⑴ x=4, y=4'2(cid:100)⑵ x=3'3, y=6 ⑶ x=2, y=2'3 2 (cid:9000) ⑴ 2'5(cid:100)⑵ 5 3 (cid:9000) ⑴ 3'5(cid:100)⑵ 5'2(cid:100)⑶ 4'2(cid:100)⑷ 2'∂13 필수 유형 공략 01 △ABC에서 LECTURE BOOK 31~33쪽 4:BC”=1:'3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'3(cm) △DBC에서 DC”:4'3=1:'2(cid:100)(cid:100)∴ DC”=2'6(cm) (cid:9000) ④ E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지13 SinsagoHitec Q BOX AH”:CH”=1:1 (cid:9000) ③ 두 점 (x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리는 øπ(x™-x¡)¤ +(y™-y¡)¤ 점 Q가 제1사분면 위의 점이므로 y좌표가 양수이 다. x축 위의 점은 y좌표가 0이다. 정n각형의 한 내각의 크기 (cid:8857) 180°_(n-2) n 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그 래프의 꼭짓점의 좌표 (cid:8857) (p, q) 02 △ABC에서 16:x=2:'3(cid:100)(cid:100)∴ x=8'3 △ABD에서 8'3:y=2:1(cid:100)(cid:100)∴ y=4'3 ∴ x+y=12'3 (cid:9000) ④ 03 ∠ACH=180°-135°=45°이므로 △ACH에서 4'2:AH”='2:1(cid:100)(cid:100) ∴ AH”=4, CH”=AH”=4 BH”=6+4=10이므로 △ABH에서 AB”="√10¤ +4¤ =2'∂29 … 4점 … 2점 (cid:9000) 2'∂29 04 AC”=DC”=x cm라 하면 △ABC에서 (2+x):x='3:1 '3 x=2+x, ('3-1)x=2 ∴ x= 2 '3-1 ='3+1 05 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하 A D 8`cm 면 △ABH에서 8:AH”=2:'3 ∴ AH”=4'3 (cm) ∴ (cid:8772)ABCD=7_4'3=28'3 (cm¤ ) H 7`cm 60æ B C (cid:9000) ④ 06 정팔각형의 한 내각의 크기 는 180°_(8-2) 8 = 135° ∴ ∠ACB=45° 이때 잘라 낸 직각이등변삼 x 2 C 45æ A x B 2 각형에서 빗변이 아닌 한 변의 길이를 x라 하면 x:2 = 1:'2 (cid:100)(cid:100)∴ x='2 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 2+2'2이다. (cid:9000) ④ 07 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 A 6 B 60æ △ABH에서 6:AH”=2:'3 ∴ AH”=3'3 6:BH”=2:1(cid:100)(cid:100)∴ BH”=3 △AHC에서 CH”=AH”=3'3이므로 BC”=3+3'3 따라서 △ABC의 넓이는 H ;2!;_(3+3'3)_3'3=;2(; (3+'3) 45æ C (cid:9000) ;2(; (3+'3 ) L E C T U R E B O O K 08 원의 중심 O에서 O'B” 에 내린 수선의 발을 H, 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OO'”=(r+6)cm, O'H”=(6-r)cm B H 6`cm 60æ O' A r`cm O △OO'H에서 (r+6):(6-r)=2:1 r+6=12-2r, 3r=6(cid:100) ∴ r=2 O'H”=4 cm이므로 4:OH”=1:'3 ∴ OH”=4'3 (cm) 따라서 구하는 넓이는 ;2!;_(2+6)_4'3=16'3 (cm¤ ) (cid:9000) 16'3 cm¤ 09 ① "√{-1-(-5)}¤ +√(0-3)¤ =5 ② "√{1-(-3)}¤ +√{3-(-4)}¤ ③ "√2¤ +7¤ ='∂53 ④ "√(4-0)¤ +√(-1-3)¤ =4'2 ⑤ "√(6-2)¤ +(4-2)¤ =2'5 ¤ ='∂65 10 PQ”="√(5-1)¤ +√{a-(-2)}¤ =2'∂13 양변을 제곱하여 정리하면 a¤ +4a-32=0, (a+8)(a-4)=0 ∴ a=4 (∵ a>0) (cid:9000) ② (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ … 4점 … 2점 (cid:9000) 13 11 x축 위의 점의 좌표를(a, 0) 이라 하면 "√(a-3)¤ +√{0-(-2)}¤ ="√{a-(-4)} ¤ √+(0-5)¤ (a-3)¤ +4=(a+4)¤ +25 14a=-28(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 따라서 구하는 점의 좌표는 (-2, 0)이다. (cid:9000) (-2, 0) 12 y=2x+3에 x=2, y=a를 대입하면 a=2_2+3=7 따라서 A(2, 7), B(-1, 1)이므로 ¤ +(1-7)¤ =3'5 AB”="√(-1-2)√ 13 y=-3x¤ +6x+4=-3(x-1)¤ +7 y=;2!;x¤ +4x+3=;2!;(x+4)¤ -5 두 함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 7), (-4, -5) 따라서 두 꼭짓점 사이의 거리는 "√(-4-1)√ ¤ +(-5-7)¤ =13 Ⅴ. 피타고라스 정리 13 E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지14 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX (cid:9000) ⑤ 한 모서리의 길이가 a 인 정육면체의 대각선 의 길이 (cid:8857) '3a (cid:9000) ① 점 A 또는 점 C와 BD”에 대하여 대칭인 점을 이용한 다. 점 (a, b)와 x축에 대 하여 대칭인 점의 좌표 (cid:8857) (a, -b) 14 ① AB”="√(8-2)¤ +√(-2-2)¤ =2'∂13 ② BC”="√(6-8)¤ +{√-4-(-2)}¤ =2'2 ③ AC”="√(6-2)¤ ∴ AB”=AC” ¤ 0) (cid:9000) ④ 02 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 k cm, 2k cm, 5k cm (k>0)라 하면 "√k¤ +(2k)¤ +(5k)¤ =2'∂30, k'∂30=2'∂30 ∴ k=2 따라서 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이는 각각 2 cm, 4 cm, 10 cm이므로 직육면체의 부 피는 2_4_10=80(cm‹ ) (cid:9000) 80 cm‹ 03 밑면의 한 변의 길이를 x cm라 하면 "√x¤ +x¤ +90¤ =60'3 2x¤ +8100=10800, x¤ =1350 ∴ x=15'6 (∵ x>0) 따라서 밑면의 한 변의 길이는 최소 15'6 cm이어 야 한다. (cid:9000) 15'6 cm 04 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 6a¤ =150(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ a>0) 따라서 정육면체의 대각선의 길이는 '3_5=5'3 (cm) 05 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 '3a=2'6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 따라서 FH”='2_2'2=4이므로 △BFH=;2!;_4_2'2=4'2 (cid:9000) ② … 3점 … 3점 (cid:9000) 4'2 06 AM”=MG”=GN”=NA”="√4¤ +2¤ =2'5(cm) 이므로 (cid:8772)AMGN은 마름모이다. E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지15 SinsagoHitec AG”=4'3 cm, MN”=FH”=4'2 cm이므로 (cid:8772)AMGN=;2!;_4'2_4'3=8'6 (cm¤ ) 두 대각선의 길이가 a, b인 마름모의 넓이 DH”=øπ(4'5 )¤ -π(2'2 )¤ =6'2 ∴ △DMN=;2!;_4'2_6'2=24 (cid:9000) ④ 12 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 한 모서리의 길이가 a 인 정사면체의 4_ a¤ =12'3 '3 4 Q BOX (cid:9000) ③ (cid:8857) ;2!;ab (높이)= a (부피)= a‹ '6 3 '2 12 07 구의 반지름의 길이를 r cm라 하면 4pr¤ =108p(cid:100)(cid:100)∴ r=3'3 (∵ r>0) 정육면체의 대각선의 길이가 구의 지름의 길이인 6'3 cm와 같으므로 정육면체의 한 모서리의 길이 를 a cm라 하면 '3a=6'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6 08 사면체 A-BFC의 부피는 (cid:9000) ③ ;3!;_{;2!;_6_6}_6=36(cm‹ ) 한편 △AFC는 한 변의 길이가 6'2 cm인 정삼 각형이므로 △AFC= _(6'2 )¤ =18'3 (cm¤ ) '3 4 사면체 B-AFC의 부피는 ;3!;_18'3_BP”=6'3 BP” 따라서 6'3 BP”=36이므로 BP”=2'3 (cm) 09 FH” ”="√4¤ +6¤ =2'∂13 (cm)이므로 ”='∂13 (cm) ”=;2!; FH” PH” △DPH에서 DP”=øπ6¤ +('∂13 )¤ =7(cm) 7_HI”='∂13 _6이므로 HI”= 6'∂13 7 (cm) (cid:9000) 6'∂13 7 cm P C B D A 10 FR”를 그으면 △FGR에서 FR”="√4¤ +2¤ =2'5 (cm) △QFR에서 QR”=øπ(2'5)¤ +2¤ QR”=2'6 (cm) 같은 방법으로 RP”=PQ”=2'6 cm 따라서 △PQR는 정삼각형이므로 구하는 넓이는 '3 4 _(2'6 )¤ =6'3 (cm¤ ) 4`cm H G R Q E F (cid:9000) ③ 11 DM”=DN”="√4¤ +8¤ =4'5 MN”="√4¤ +4¤ =4'2 꼭짓점 D에서 MN”에 내린 수선 의 발을H 라 하면 MH”=;2!; MN”=2'2 이므로 D 4Â5 4Â5 M H 4Â2 N DH”:EH”=2:1이므로 DE”:DH”=3:2 △DMN은 이등변삼각형 이므로 꼭짓점 D에서 MN” 에 내린 수선의 발은 MN” 을 이등분한다. L E C T U R E B O O K (cid:9000) 32 … 2점 … 2점 a¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3(∵ a>0) 따라서 정사면체의 높이와 부피는 '6 3 '2 12 x= _2'3=2'2 y= _(2'3 )‹ =2'6 ∴ x¤ +y¤ =32 '3 13 ㈀ DM”= _6=3'3 (cm) 2 '6 3 ㈁ AH”= _6=2'6 (cm) ㈂ 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 DH”:HM”=2:1 '2 12 ㈃ (부피)= _6‹ =18'2 (cm‹ ) 14 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 '3 EH”=;3!; DE”=;3!;_{ _2'6}='2 (cm) 2 ∴ △AEH=;2!;_'2_4=2'2 (cm¤ ) … 2점 (cid:9000) 2'2 cm¤ 15 점 H는 △BCD의 무게중심이므로 DE”=;2#; DH”=;2#;_4'3=6'3 (cm) 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 '3 2 a=6'3(cid:100)(cid:100)∴ a=12 따라서 정사면체의 부피는 '2 12 _12‹ =144'2 (cm‹ ) 16 BN”을 그으면 AN”=BN”= _10 '3 2 AN”=5'3 (cm) △NAB는 AN”=BN”인 이 등변삼각형이고 AM”=BM” 이므로 AB”⊥MN” (cid:9000) 144'2 cm‹ M B A 10`cm D N C Ⅴ. 피타고라스 정리 15 (cid:9000) 2'3 cm 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다. (cid:9000) ② DP”_HI”=PH”_DH” AH”= _2'6=4 (cm) '6 3 E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지16 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX A M N B C (cid:8857) MN”∥BC” MN”=;2!; BC” AM”=;2!;AB”=5(cm)이므로 △AMN에서 MN”=øπ(5'3)¤ -5¤ =5'2 (cm) ∴ AN”:MN”=5'3 :5'2 ∴ AN”:MN”='3 :'2 (cid:9000) ② '3 17 CP”=CQ”= _12=6'3 (cm) 2 △ABD에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선 분의 성질에 의하여 PQ”=;2!; BD”=6 (cm) 꼭짓점 C에서 PQ”에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH”=øπ(6'3 )¤ -3¤ CH”=3'∂11 (cm) ∴ △CPQ=;2!;_6_3'∂11 ∴ △CPQ=9'∂11 (cm¤ ) 18 정사면체의 한 모서리의 길이를 2a cm라 하면 '3 BM”= _2a 2 BM”='3a(cm) 점 M에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 BH”=;2!; BC”=a(cm) C 6Â3`cm 6Â3`cm P H 6`cm Q (cid:9000) 9'∂11 cm¤ A M D B H C ∴ MH”=øπ('3a)¤ -a¤ ='2a(cm) △MBC의 넓이가 4'2 cm¤ 이므로 ;2!;_2a_'2a=4'2 a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0) 따라서 정사면체의 한 모서리의 길이는 4 cm이다. (cid:9000) ③ 3 (cid:9000) ⑴ ⑵ 6'2 A 4 B 2 F 6 D C G 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 39~41쪽 01 꼭짓점 O에서 밑면에 내린 수선의 발을 H라 하면 O 12`cm D 8`cm A DH”=;2!; BD”=;2!;_8'2 DH”=4'2 (cm) △OHD에서 OH”=øπ12¤ -(4'2)¤ =4'7 (cm) ∴ △OBD=;2!;_8'2_4'7=16'∂14 (cm¤ ) H 8`cm B C 02 꼭짓점 O에서 밑면에 내 린 수선의 발을 H라 하면 BD”=;2!;_12 DH”= ;2!; DH”=6(cm) △OHD에서 OH”="√10¤ -6¤ =8(cm) 따라서 사각뿔의 부피는 _(6'2)¤ _8=192(cm‹ ) ;3!; (cid:9000) ⑤ O A 10`cm D B H 6Â2`cm C … 3점 … 3점 (cid:9000) 높이:8 cm, 부피:192 cm‹ 03 꼭짓점 O에서 밑면에 내린 수선의 발을 H라 하면 O 2Â10Ê`cm A 8`cm D HE”=ED” HE”="√8¤ -(2'∂10)¤ HE”=2'6(cm) △OHE에서 OH”="√(2'∂10)¤ -(2'6)¤ =4(cm) 따라서 정사각뿔의 부피는 H E B C ;3!;_(4'6)¤ _4=128(cm‹ ) (cid:9000) 128 cm‹ D 3`cm B H 3`cm C BH”=;2!; BD”=;2!;_3'2 BM”= (cm) 3'2 2 △OBH에서 OH”=æ≠3¤ -{ 3'2 2 }2 = 3'2 2 (cm) LECTURE 08 피타고라스 정리의 입체도형에서의 활용 ⑵ 정팔면체는 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔 2개 를 붙여 놓은 모양이다. 04 꼭짓점 O에서 사각형 ABCD에 내린 수선의 O 발을 H라 하면 3`cm A LECTURE BOOK 38쪽 1 (cid:9000) ⑴ 6'2 ⑵ 3'2 ⑶ 3'2 ⑷ 36'2 2 (cid:9000) ⑴ 6'2 ⑵ 18'2p 16 SOLUTION E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지17 SinsagoHitec Q BOX 08 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OA”:BA”=OM”:BH” 따라서 정팔면체의 부피는 2_{;3!;_3¤ _ }=9'2 (cm‹ ) 3'2 2 05 입체도형은 원뿔이므로 원뿔의 높이는 AC”=øπ(4'6 )¤ -6¤ =2'∂15 (cm) 따라서 구하는 부피는 ;3!;_p_6¤ _2'∂15=24'∂15p (cm‹ ) (cid:9000) ① (cid:9000) 24'∂15p cm‹ 06 원뿔의 부피가 100p cm‹ 이므로 ;3!;_p_5¤ _AO”=100p(cid:100)(cid:100)∴ AO”=12(cm) △AOB에서 AB”="√5¤ +12¤ =13(cm) ∴ AO”+AB”=12+13=25(cm) (cid:9000) 25 cm 07 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 모선 의 길이는 2r cm이므로 원뿔의 높이는 "√(2r)¤ -r¤ ='3 r(cm) 원뿔의 부피가 9'3p cm‹ 이므로 ;3!;_p_r¤ _'3r=9'3p r‹ =27(cid:100)(cid:100)∴ r=3 (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ … 1점 2p_6_ =2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=2 120 360 따라서 원뿔의 높이는 "√6¤ -2¤ =4'2 (cm) 09 '2 OA”=8'2이므로 OA”=8(cm) 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2p_8_ =2pr(cid:100)(cid:100)∴ r=2 … 2점 90 360 따라서 원뿔의 높이는 "√8¤ -2¤ =2'∂15(cm) 이므로 원뿔의 부피는 ;3!;_p_2¤ _2'∂15= 8'∂15 3 p(cm‹ ) … 3점 (cid:9000) 8'∂15 3 p cm‹ 10 △AOB에서 AB”=øπ('∂55)¤ +3¤ =8(cm) 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크 기를 x°라 하면 2p_8_ =2p_3(cid:100)(cid:100)∴ x=135 x 360 (cid:9000) ③ 11 ㈀ OB”:4=1:2(cid:100)(cid:100)∴ OB”=2(cm) ㈁ AO”:4='3:2(cid:100)(cid:100)∴ AO”=2'3 (cm) ㈂ 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 호의 길이는 밑면 인 원의 둘레의 길이와 같다. 입체도형에서 최단 거리 (cid:8857) 선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다. 원기둥의 전개도에서 옆면 인 직사각형의 가로의 길이 는 밑면의 둘레의 길이와 같다. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 삼각형의 세 변의 길이의 비 (cid:8857) 1 : '3 : 2 크기를 x°라 하면 2p_4_ =2p_2(cid:100)(cid:100)∴ x=180 x 360 ㈃ (부피)=;3!;_p_2¤ _2'3= 8'3 3 p(cm‹ ) 이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다. 12 △ABO에서 AB”="√9¤ -6¤ =3'5 (cm) 따라서 단면인 원의 넓이는 p_(3'5)¤ =45p(cm¤ ) 13 단면인 원의 반지름의 길이 L E C T U R E B O O K (cid:9000) ② (cid:9000) 45p cm¤ r`cm A B 15`cm O (cid:9000) ③ r`cm M 10`cm A O H 6`cm B 를 r cm라 하면 2pr=24p(cid:100)(cid:100)∴ r=12 따라서 구하는 거리는 "√15¤ -12¤ =9(cm) 14 오른쪽 그림에서 AH”="√10¤ -6¤ AH=8(cm) 구의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OA”=8-r(cm) 5 D B A OM”⊥AB”이므로 △AOMª△ABH (AA 닮음) (8-r):10=r:6, 10r=48-6r ∴ r=3 (cid:9000) 3 cm 15 구하는 최단 거리는 오른쪽 전개도에서 AD'”의 길이와 같으 므로 AD'”="√(4+3+5)¤ +5¤ =13 A B C A' 4 E 3 F 5 D' 16 오른쪽 전개도에서 AB'”=10p cm이므로 10π`cm AA'” ="√(10p)¤ -(6p)¤ =8p(cm) 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2pr=8p(cid:100)(cid:100)∴ r=4 (cid:9000) 4 cm O 30æ 6`cm 60æ C 17 오른쪽 전개도에서 A '3 OM”= _6 2 OM”=3'3 (cm) 구하는 최단 거리는 MC” 의 길이와 같고 ∠MOC=90°이므로 MC”=øπ(3'3 )¤ +6¤ =3'7 (cm) M B (cid:9000) ③ (cid:9000) ② 6π`cm B' A' Ⅴ. 피타고라스 정리 17 E0409_Q특강3하(정)(001-019) 2015.4.9 5:17 PM 페이지18 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 18 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크 기를 x°라 하면 x 360 2p_12_ =2p_4(cid:100)(cid:100)∴ x=120 구하는 최단 거리는 오른쪽 전개도에서 AA'”의 길이와 같다. A 꼭짓점 O에서 AA'” 12`cm 60æ O H 에 내린 수선의 발을 H라 하면 △OAH에서 12:AH”=2:'3 ∴ AH”=6'3 (cm) ∴ AA'”=2AH”=12'3 (cm) A' (cid:9000) ④ △OAA'은 이등변삼각형 이므로 AH”=HA'” 대단원별 기출문제 정복 LECTURE BOOK 42~45쪽 01 ② 02 16'3 cm¤ 05 ⑤ 06 ⑤ 07 8'3 cm¤ 09 96 03 4 cm 04 ⑤ 08 ③ 10 ③ 11 ④ 12 3'3 13 ⑤ 14 ② 15 8'3 3 cm 16 243'2 4 cm‹ 17 ② 18 ① 19 ⑴ 8 ⑵ 3 ⑶ 3'5 20 23 336 25 3'6 2 cm¤ cm 24 10'2 cm 삼각형의 세 변의 길이 가 a, b, c(cæa, cæb) 일 때 c¤ a¤ +b¤ (cid:8857) 둔각삼각형 21 4+4'5 22 ④ AD” ¤ =BD”_CD” 01 △ADC에서 AD”="√10¤ -6¤ =8(cm) △ABD에서 BD”="√17¤ -8¤ =15(cm) (cid:9000) ② (시간)= (거리) (속력) 02 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 BH”=;2!;_(10-6) BH”=2(cm) A H 4`cm B 6`cm D 10`cm C 시속 2 km로 걷는다. (cid:8857) 초속 2000 60_60 m로 걷는다. △ABH에서 AH”="√4¤ -2¤ =2'3(cm) ∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(6+10)_2'3 ∴ (cid:8772)ABCD=16'3(cm¤ ) (cid:9000) 16'3 cm¤ 18 SOLUTION 03 (cid:8772)ACHI=40-24=16(cm¤ ) ∴ AC”=4 (cm) (cid:9000) 4 cm 04 AD”='∂58 (cm)이므로 △AED에서 AE”=øπ('∂58)¤ -3¤ =7(cm) ∴ FE”=7-3=4(cm) (cid:8772)EFGH는 정사각형이므로 (cid:8772)EFGH=4¤ =16 (cm¤ ) (cid:9000) ⑤ 05 DF”=DA” 15`cm =15 cm 이므로 △DFC 에서 FC”="√15¤ -9¤ FC”=12(cm) x`cm A E B F {9-x}`cm x`cm 15`cm 9`cm D C ∴ BF”=15-12=3 (cm) EF”=AE”=x cm라 하면 EB”=(9-x)cm 따라서 △EBF에서 (9-x)¤ +3¤ =x¤ 18x=90(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (cid:9000) ⑤ 06 CA” ¤ >AB” ¤ +BC” ∠B>90°인 둔각삼각형이다. ¤ 이므로 삼각형 ABC는 (cid:9000) ⑤ 07 △ABD에서 AD”=øπ(4'3 )¤ -6¤ =2'3 (cm) △ABC에서 (2'3 )¤ =6_CD”이므로 CD”=2 (cm) ∴ △ABC=;2!;_8_2'3=8'3 (cm¤ ) (cid:9000) 8'3 cm¤ 08 학교의 위치를 P라 하면 ¤ +DP” ¤ =BP” ¤ +CP” AP” ¤ 이므로 200+800=100+DP” ¤ , DP” ∴ DP”=30(m)(∵ DP”>0) ¤ =900 시속 2 km로 걸으므로 걸리는 시간은 30_60_60 2000 =54(초) 09 AC”를 그으면 S¡+S™=△ABC S£+S¢=△ACD 따라서 색칠한 부분의 넓이는 △ABC+△ACD =(cid:8772)ABCD =8_12=96 S¡ 8 A B S¢ 12 S™ (cid:9000) ③ D C S£ (cid:9000) 96 Q특강3하(해설)(001~019) 2015.4.15 5:41 PM 페이지19 SinsagoHitec Q BOX 한 변의 길이가 a인 정 삼각형의 넓이 '3 4 (cid:8857) a¤ 10 △ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '3 4 a¤ =9'3, a¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ a=6 (∵ a>0) AH”= _6=3'3 (cm)이므로 '3 2 AG”=;3@; AH”=2'3 (cm) 11 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H, BH”=x cm라 하면 A 5 cm 4Â2 cm 삼각형의 한 꼭짓점에서 대 변에 수선을 그은 후 피타 고라스 정리를 이용한다. H 7 cm x cm B AH” AH” CH”=(7-x)cm ¤ =5¤ -x¤ ¤ =(4'2 )¤ -(7-x)¤ 이므로 14x=42(cid:100)(cid:100)∴ x=3 따라서 AH”="√5¤ -3¤ =4(cm)이므로 △ABC=;2!;_7_4=14(cm¤ ) 12 △ABC에서 3'2:BC”='2:1(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3(cm) △BCD에서 x:3=2:'3(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 y:3=1:'3(cid:100)(cid:100)∴ y='3 ∴ x+y=3'3 (cid:9000) 3'3 세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 삼각형의 세 변의 길이의 비 (cid:8857) 1:1:'2 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 삼각형의 세 변의 길이의 비 (cid:8857) 1:'3:2 L E C T U R E B O O K △BGD= _(8'2 )¤ =32'3 (cm¤ )이므로 '3 4 ;3!;_32'3_CI”= 256 3 ∴ CI”= (cm) 8'3 3 (cid:9000) 8'3 3 cm 16 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 '6 3 a=3'6이므로 a=9 따라서 정사면체의 부피는 '2 12 243'2 4 _9‹ = (cm‹ ) (cid:9000) 243'2 4 cm‹ 17 주어진 전개도로 만든 정사각뿔은 오른쪽 그림과 같다. HC”=;2!; AC” O 5`cm D C 6`cm A H 6`cm B =;2!;_6'2=3'2 (cm) △OHC에서 OH”=øπ5¤ -(3'2 )¤ ='7 (cm) 따라서 정사각뿔의 부피는 ;3!;_6¤ _'7=12'7 (cm‹ ) 18 △AHB에서 AH”:3='3:1(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'3 (cm) 따라서 원뿔의 부피는 ;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p(cm‹ ) 12`cm C 3`cm D 13 △ABC에서 BC”="√12¤ -6¤ =6'3 (cm) 점 D에서 AB”의 연 A 장선에 내린 수선의 발을 E라 하면 BE”=CD”=3 cm 6`cm B E ED”=BC” ED”=6'3cm 이므로 △AED에서 AD”=øπ9¤ +(6'3 )¤ =3'∂21 (cm) 14 AD”=x cm라 하면AB” =2x cm AC”=BC”="√3¤ +4¤ +x¤ ="√x¤ +25 △ACB에서 ∠ACB=90°이므로 2(x¤ +25)=(2x)¤`, x¤ =25 ∴ x=5 (∵ x>0) ∴ AB”=10(cm) 15 사면체 D-BGC의 부피는 256 3 ;3!;_{;2!;_8_8}_8= (cm‹ ) 삼각형의 내각의 이등분선 의 성질에 의하여 BD”:DC”=AB”:AC” (cid:9000) ⑤ =5:3 19 ⑴ △ABC에서 BC”="√10¤ -6¤ =8 ⑵ BD”:DC”=5:3이므로 DC”=8_;8#;=3 ⑶ △ADC에서 AD”="√3¤ +6¤ =3'5 … 2점 (cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 3 ⑶ 3'5 AB” ¤ =BP”_BD” 20 BD”="√6¤ +8¤ =10(cm) △ABD에서 6¤ =BP”_10 ∴ BP”=;;¡5•;; (cm) 같은 방법으로 QD”=;;¡5•;; cm이므로 PQ”=10-{2_;;¡5•;;}=;;¡5¢;; (cm) △ABD에서 6_8=AP”_10이므로 AP”=;;™5¢;; (cm) Ⅴ. 피타고라스 정리 19 (cid:9000) ② (cid:9000) ① … 2점 … 2점 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) ③ C (cid:9000) ④ (cid:9000) ② ” E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지20 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX ∴ (cid:8772)APCQ=2△APQ =2_{;2!;_;;¡5¢;;_;;™5¢;;} = 336 25 (cm¤ ) … 2점 (cid:9000) 336 25 cm¤ 21 y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4이므로 P(1, -4) … 2점 x¤ -2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 즉 A(-1, 0), B(3, 0)이므로 AB”=4 AP”=øπ{1-(-1)}¤ +π(-4-0)¤ =2'5 BP”=øπ(1-3)¤ +(-4-0)¤ =2'5 따라서 △PAB의 둘레의 길이는 4+2'5 +2'5 =4+4'5 … 2점 … 3점 … 1점 (cid:9000) 4+4'5 22 꼭짓점 D에서 CE”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠DCH=60°이 E H D 60æ B 8`cm A C 6`cm 므로 △DCH에서 6:DH”=2:'3 ∴ DH”=3'3 (cm) ∴ △DCE=;2!;_8_3'3=12'3 (cm¤ ) (cid:9000) ④ 23 정사면체의 꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발을 H 6`cm A O r`cm D H C 라 하면 AH”= _6=2'6 (cm) B '6 3 DH”=;3@;_{ _6} '3 2 DH”=2'3 (cm) 구의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OH”=(2'6-r)cm이므로 △OHD에서 r¤ =(2'6-r)¤ +(2'3 )¤ , 4'6r=36 ∴ r= 3'6 2 (cid:9000) 3'6 2 cm 24 오른쪽 전개도에서 O ∠AOD=3_30°=90° 10`cm 10`cm 실의 최소 길이는 AD”의 길 A D 30æ30æ 75æ 75æ B 30æ C 이와 같으므로 AD”=øπ10¤ +10¤ AD”=10'2(cm) (cid:9000) 10'2 cm 20 SOLUTION Ⅵ 삼각비 LECTURE 09 삼각비의 뜻 LECTURE BOOK 46쪽 1 (cid:9000) ⑴ ;1!3@; ⑵ ;1∞3; ⑶ ;;¡5™;; ⑷ ;1∞3; ⑸ ;1!3@; ⑹ ;1∞2; 2 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ '5 ⑶ '5 3 ⑷ '5 2 3 (cid:9000) ⑴ '2 ⑵ 0 ⑶ ;4!; 4 (cid:9000) ⑴ x=4, y=4'2 ⑵ x=4, y=2'3 필수 유형 공략 LECTURE BOOK 47~49쪽 01 AC”="√9¤ -6¤ =3'5 ① sinA=;3@; ④ sinB= ⑤ tanB= (cid:9000) ③ '5 3 ② cosA= '5 3 '5 2 02 AB”='3 k, AC”=k(k>0)라 하면 BC”=øπ('3k)¤ +k¤ =2k 이므로 cosB= , cosC=;2!; '3 2 ∴ cosB cosC = _2='3 '3 2 03 sin A= 2'5 AC” =;3@;에서 AC”=3'5이므로 AB”=øπ(3'5)¤ -(2'5)¤ =5 5 2'5 ∴ sinC_tan C= _ =;6%; 5 3'5 04 tanA=;3$;이므로 오른쪽 그림과 같은 △ABC를 생각할 수 있다. AC”="√3¤ +4¤ =5이므로 cosA+sinA=;5#;+;5$;=;5&; A 3 cosA-sinA=;5#;-;5$;=-;5!; ∴ cosA+sinA cosA-sinA =;5&;_(-5)=-7 (cid:9000) '3 (cid:9000) ② C 4 B (cid:9000) ① ∠DCA=∠ECB=60° 이므로 ∠DCE=180°-60°-60° =60° 피타고라스 정리를 이용하 여 AC”의 길이를 구한다. 정사면체의 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발 은 밑면의 무게중심이 다. E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지21 SinsagoHitec Q BOX sin 30°= cos30°= 1 2 '3 2 tan 30°= '3 3 △ABC에서 ∠A+∠B=90° △BCD에서 ∠B+x=90° ∴ ∠A=x 05 17sinA-15=0에서 sin A=;1!7%; 따라서 오른쪽 그림과 같은 △ABC를 생각할 수 있다. AB”="√17¤ -15¤ =8이므로 tanA=;;¡8∞;; C 15 B 17 A x D E B 06 ∠BCA=90°-∠B ∠BCA=∠BDE=x △ABC에서 AB” tanx= =;;¡5™;; 5 ∴ AB”=12 ∴ BC”="√12¤ +5¤ =13 07 ∠A=x, ∠B=y이고 △ABC에서 AB”=øπ5¤ +(5'3)¤ =10 이므로 y B 5Â3 sin x= 5'3 10 '3 2 = , siny=;1∞0;=;2!; ∴ sinx sin y = _2='3 '3 2 08 △ABCª△AED이므로 ∠C=∠ADE △ADE에서 AE”="√10¤ -6¤ =8이므로 … 3점 ∠ABC=∠AED, ∠CAB=∠DAE=90° 이므로 △ABCª△AED (AA 닮음) sinC=sin(∠ADE)= =;5$; tanB=tan(∠AED)= =;4#; ∴ sin C_tanB=;5$;_;4#;=;5#; AE” DE” AD” AE” 09 EG”=2'2, CE”=2'3이므로 직각삼각형 CEG에서 cosx= EG” CE” = 2'2 2'3 = '6 3 10 OM”=ON”= _6=3'3 꼭짓점 O에서 MN”에 내린 '3 2 수선의 발을 H라 하면 NH”=;2!; MN”=3 △OHN에서 OH”=øπ(3'3)¤ -3¤ =3'2 O 3Â3 3Â3 M H3 x 3 N 한 변의 길이가 a인 정 삼각형의 높이 (cid:8857) a'3 2 기울기가 양수인 직선이 x축과 이루는 예각의 크 기가 a일 때 직선의 기 울기 (cid:8857) tana (cid:9000) ;;¡8∞;; A 5 x C (cid:9000) 13 A D x 5 y C x (cid:9000) ③ … 4점 … 1점 (cid:9000) ;5#; (cid:9000) ④ (cid:9000) '2 3 L E C T U R E B O O K (cid:9000) 5'3-7 (cid:9000) ③ ∴ cosx_sinx= _ 3 3'3 3'2 3'3 = '2 3 11 sin30°+cos30°= , 1+'3 2 3+2'3 6 sin30°+tan 30°= 이므로 + (주어진 식)= 2 6 1+'3 3+2'3 (주어진 식)='3-1+2(2'3-3) (주어진 식)=5'3-7 12 4x¤ -4x+1=0에서 (2x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;2!; (중근) 13 △ADC에서 sin 60°= = AD” 4 '3 2 ∴ AD”=2'3 △ABD에서 sin 45°= ∴ AB”=2'6 14 △ABC에서 cos30°= ∴ AC”=4'3 △ACD에서 cos30°= 2'3 AB” = '2 2 6 AC” = '3 2 4'3 AD” = '3 2 즉 sina=;2!;이므로 a=30° (cid:9000) ② ∴ AD”=8 (cid:9000) ② 15 OC”=OA”=8이므로 △OBC에서 OB” 8 = (cid:100)(cid:100)∴ OB”=4'2 cos45°= '2 2 BC”=OB”=4'2이므로 △ABC에서 tan x= = BC” AB” 4'2 8+4'2 ='2-1 (cid:9000) '2-1 … 2점 16 △ABC에서 tan30°= 8 BC” = '3 3 ∴ BC”=8'3 (cm) △DBC에서 cos45°= '2 = (cid:100) 2 BD” 8'3 ∴ BD”=4'6 (cm) CD”=BD”=4'6 cm이므로 △DBC=;2!;_4'6_4'6=48(cm¤ ) … 2점 (cid:9000) 48 cm¤ … 2점 17 5x-2y+10=0에서 y=;2%;x+5 ∴ tan a=;2%; (cid:9000) ⑤ Ⅵ. 삼각비 21 E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지22 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 18 직선의 기울기는 tan60°='3 구하는 직선의 방정식을 y='3 x+b라 하면 x절 편이 2이므로 0=2'3+b(cid:100)(cid:100)∴ b=-2'3 따라서 구하는 직선의 방정식은 y='3x-2'3, 즉 '3x-y-2'3=0 (cid:9000) ① LECTURE 10 삼각비의 값 LECTURE BOOK 50쪽 1 (cid:9000) ⑴ 0.6018 ⑵ 0.7986 ⑶ 0.7536 2 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ '2+'3 2 ⑶ 0 3 (cid:9000) ⑴ 0.9781 ⑵ 0.1736 ⑶ 8.1443 4 (cid:9000) ⑴ 83° ⑵ 79° ⑶ 78° LECTURE BOOK 51~53쪽 = CE” 1 =CE” (cid:9000) ③ 필수 유형 공략 01 △ACE에서 CE” AE” tanx= 02 △ODC에서 CD” OD” tanx= = CD” 1 =CD” ∠OAB=y이므로 △OAB에서 sin y= OB” OA” = OB” 1 =OB” (cid:9000) ④ 03 △AOC에서 cos50°= =OC”이므로 OC” 1 BC”=OB”-OC”=1-cos50° (cid:9000) ⑤ 04 ④ cos45°(sin90°-sin 30°) ④ = _{1-;2!;}= '2 2 '2 4 05 p=cos90°-2cos30°_tan 30° '3 p=0-2_ _ =-1 2 '3 3 q=cos0°-2cos0°_tan0°=1-0=1 ∴ p-q=-2 (cid:9000) ① 22 SOLUTION 0°…x<90°인 범위에 서 x의 값이 증가하면 tan x의 값은 증가한다. 0°…x…90°인 범위에 서 x의 값이 증가하면 sin x의 값은 증가하고, cosx의 값은 감소한다. 반지름의 길이가 1인 사분 원을 이용하면 한 예각의 삼각비의 값을 선분의 길이 로 나타낼 수 있다. "≈a¤ =|a| =[ -a(aæ0) -a(a<0) 06 x-y+'3=0에서 y=x+'3이므로 tana=1(cid:100)(cid:100)∴ a=45° … 3점 따라서 주어진 식의 값은 cos45°_sin90°-cos90°_tan 45° = _1-0_1= '2 2 '2 2 … 3점 (cid:9000) '2 2 07 sin 0°=0, cos 60°=;2!;, tan 45°=1, sin 60°= 이고 tan 70°>tan 45°=1 '3 2 이상에서 크기가 작은 것부터 나열하면 ㈀, ㈁, ㈃, ㈂, ㈄이다. (cid:9000) ㈀, ㈁, ㈃, ㈂, ㈄ '3 08 ③ cos30°= , sin 70°>sin60°= 2 '3 2 ③ ∴ cos30°cos50° ⑤ tan 45°=1, cos80°<1 ③ ∴ tan 45°>cos80° 09 ① 0°…A…45°일 때, cosAæsin A ③ 0°…A…60°일 때, ;2!;…cosA…1 ⑤ 45°…A<90°일 때, tan A>sinA 10 0°1이므로 cosA+1>0, 1-tan A<0 ∴ (주어진 식) ∴ =cosA+1-cosA-{-(1-tan A)} ∴ =2-tan A (cid:9000) 2-tan A 12 0°0 따라서 주어진 식을 간단히 하면 즉 1-sinA=;2!;이므로 sinA=;2!; 이때 0°0) ∴ AB”=2PA”=2_3'5=6'5 (cm) 02 x_(x+13)=3_(3+7), x¤ +13x-30=0 (x+15)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) 03 PD”=2x, PC”=5x라 하면 5x_2x=4_10, x¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) ∴ PD”=4 04 OP”=x cm라 하면 PA”=(9+x)cm, PB”=(9-x)cm (9+x)(9-x)=4_8이므로 x¤ =49(cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x>0) (cid:9000) ③ (cid:9000) 2 (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ 05 나머지 반원을 그리고 CD” 의 연장선과 원 O가 만나 는 점을 E라 하자. DB”=6 cm이므로 O D 4`cm B A 2`cm C E CD”=DE”=x cm라 하면 x¤ =2_6=12(cid:100)(cid:100) ∴ x=2'3 (∵ x>0) 06 OA”의 연장선이 원 O와 만 나는 점을 D라 하면 PD”=8+4=12 4_12=6_PC”이므로 PC”=8 D P 4 O A (cid:9000) ④ B 6 4 C (cid:9000) 8 07 PA”=7-x, PB”=7+x이므로 (7-x)(7+x)=3_8 x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0) (cid:9000) ③ OD”⊥CE”이므로 CD”=DE” E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지37 SinsagoHitec 08 △OAB는 이등변삼각형이고 ∠AOB=60°이므로 △OAB는 정삼각형이다. OA”=OB”=AB”=10 cm D 이므로 CO”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 D라 하면 O CD”=2OA”=20(cm) PB”=x cm라 하면 C 60æ 10`cm A B 4`cm P x(x+10)=4_(4+20)이므로 x¤ +10x-96=0, (x+16)(x-6)=0(cid:100)(cid:100) ∴ x=6 (∵ x>0) 09 원 O에서 원 O'에서 ∴ x+y=26 7_(7+x)=9_(9+5)(cid:100)(cid:100)∴ x=11 … 2점 6_(6+y)=9_(9+5)(cid:100)(cid:100)∴ y=15 … 2점 (cid:9000) ③ … 1점 (cid:9000) 26 10 OC”=OO'”-CO'”=7-6=1이므로 PC”=x라 하면 PA”=AC”+PC”=5+x PB”=OB”-(OC”+PC”)=4-(1+x)=3-x PD”=CD”-PC”=12-x 원 O, O'에서 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (5+x)(3-x)=x(12-x) 14x=15(cid:100)(cid:100)∴ x=;1!4%; (cid:9000) ② 11 3_4=AD”_6이므로 AD”=2(cm) PA”=x cm라 하면 (4'3)¤ =x(x+8)이므로 x¤ +8x-48=0, (x+12)(x-4)=0(cid:100)(cid:100) ∴ x=4 (∵ x>0) 12 ∠PTA=∠ABT=∠P이므로 △APT는 이등 (cid:9000) 4 cm 변삼각형이다. ∴ AP”=AT”=4 cm ¤ =4_(4+6)=40이므로 PT” PT”=2'ß10(cm) (∵ PT”>0) 13 AB”=x cm라 하면 4¤ =(8-x)_8, 8x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=6 14 AO”의 연장선이 원 O와 만나 B 는 점을B 라 하면 (2'5)¤ =x(x+8) x¤ +8x-20=0 (x+10)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0) (cid:9000) ③ (cid:9000) 6 cm O 4 A T 2Â5 x P (cid:9000) ④ Q BOX ∠OAB =∠OBA =;2!;_(180°-60°) =60° 15 PA”=x라 하면 6¤ =x(x+9), x¤ +9x-36=0 (x+12)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) △PTA와 △PBT에서 ∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT 이므로 △PTAª△PBT`(AA 닮음) 3:6=AT”:10(cid:100)(cid:100)∴ AT”=5 (cid:9000) ④ L E C T U R E B O O K 16 PT” ¤ =2_(2+6)=16이므로(cid:100)(cid:100) PT”=4 (∵ PT”>0) △PTA와 △PBT에서 ∠P는 공통, ∠PAT=∠PTB 이므로 △PTAª△PBT`(AA 닮음) AT”:3=4:2(cid:100)(cid:100)∴ AT”=6 17 PT” ¤ =PC”_PD”=PA”_PB” =4_(4+8)=48 ∴ PT”=4'3 (∵ PT”>0)(cid:100)(cid:100) … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 6 (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ ¤ =PA”_PB” 원 O에서 PT” 원 O'에서 PT'” ¤ =PA”_PB” 18 PT” ¤ =PT'” ¤ =6_(6+9)=90이므로 PT”=PT'”=3'∂10(cm) (∵ PT”>0, PT'”>0) ∴ TT'”=6'∂10(cm) 원 O에서 PA”_PB”=PE”_PF” 원 O'에서 PC”_PD”=PE”_PF” PT” ¤ =PA”_PB” 대단원별 기출문제 정복 LECTURE BOOK 90~93쪽 01 ② 02 ② 03 ③ 04 3'7 cm 05 ⑤ 06 ③ 07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ④ 11 ① 12 360° 13 ① 14 ② 15 ③ 16 ;;™2¶;; cm¤ 19 2'∂85 cm 22 36'5 cm¤ 20 50° 23 100° 24 ② 21 2'∂21 17 ③ 18 ⑤ 원의 중심에서 현에 내 린 수선은 그 현을 이 등분한다. A C O D FHE B 01 원의 중심 O에서 AB”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 AH”=;2!; AB”=10(cm), CH”=;2!; CD”=8(cm), EH”=;2!; EF”=4(cm) ∴ AC”=AH”-CH”=2(cm) FD”=CE”=CH”-EH”=4(cm) (cid:9000) ② Ⅶ. 원의 성질 37 E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지38 SinsagoHitec LECTURE BOOK Q BOX 02 원의 중심을 O라 하고 반지름의 길이를 x cm C 3`cm A 6`cm H B x`cm {x-3}`cm O 라 하면 OA”=x cm, OH”=(x-3)cm 이므로 △OAH에서 x¤ =(x-3)¤ +6¤ , 6x=45 ∴ x=;;¡2∞;; 03 OL”=OM”이므로 AB”=BC” △ABC에서 ∠ABC=180°-2_55°=70° 따라서 (cid:8772)LBMO에서 ∠LOM=360°-(90°+70°+90°)=110° 04 ∠OTP=90°이고 OT”=OA”=9 cm이므로 △OTP에서 PT”="√12¤ -9¤ =3'7(cm) (cid:9000) 3'7 cm [다른 풀이] AO”의 연장선과 원 O의 교점을 B라 하면 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 ¤ =3_(3+9+9)=63 PT” ∴ PT”=3'7(cm) (∵ PT”>0) 05 ㈂ 점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 같으 므로 AD”=AE” ㈃ BF”=BD”, CF”=CE”이므로 AB”+BC”+CA”=AB”+BF”+CF”+CA” =AB”+BD”+CE”+CA” =AD”+AE” =2AD” 이상에서 옳은 것은 ㈂, ㈃이다. 06 BD”=BF”=x cm라 하면 AE”=AF”=(11-x)cm, CE”=CD”=(8-x)cm (11-x)+(8-x)=7이므로 2x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (cid:9000) ③ 07 μADC에 대한 중심각의 크 기는 360°-110°=250° A x B 110æ O 60æ C ∴ ∠B=;2!;_250°=125° (cid:8772)AOCB에서 ∠x=360°-(110°+60°+125°) =65° D 08 ∠DAC=∠DBC=42°, ∠ADC=90°이므로 △ADC에서 ∠x=180°-(90°+42°)=48° (cid:9000) ② (cid:9000) ③ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ③ 38 SOLUTION 원의 중심에서 같은 거 리에 있는 현의 길이는 같다. 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직 이다. 원에 내접하는 사각형 의 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다. 원의 접선과 현이 이루 는 각의 크기는 그 각 의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 09 ∠ADB:∠x=μAB:μCD=1:3이므로 ∠ADB=;3!;∠x △DPB에서 ∠x=;3!;∠x+38°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=57° 10 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠y=180°-105°=75° ∠AEC=∠y=75°이므로 △APE에서 ∠x=118°-75°=43° ∴ ∠y-∠x=75°-43°=32° 11 △ABP에서 ∠A=180°-(85°+22°)=73° (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠DCP=∠A=73° (cid:9000) ④ (cid:9000) ④ (cid:9000) ① 12 BE”를 그으면 (cid:8772)ABEF가 A F 원에 내접하므로 ∠ABE+∠F=180° (cid:8772)BCDE가원에내접하므로 ∠CBE+∠D=180° ∴ ∠B+∠D+∠F B E C D =∠ABE+∠CBE+∠D+∠F =180°+180°=360° (cid:9000) 360° 13 ∠AOB=;9!;_360°=40° P μAB를 제외한 원 O 위의 한 점 P에 대하여 ∠APB=;2!;∠AOB=20° ∴ ∠BAT=∠APB=20° [다른 풀이] O A B T (cid:9000) ① ∠AOB=;9!;_360°=40°이고 △OAB는 이등변 삼각형이므로 ∠OAB=;2!;_(180°-40°)=70° ∠OAT=90°이므로 ∠BAT=∠OAT-∠OAB=20° 14 (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접 하므로 ∠A=180°-118°=62° A BD”를 그으면 ∠ABD=90°이므로 ∠ADB=180°-(90°+62°)=28° ∴ ∠ABT=∠ADB=28° T D C O 118æ B (cid:9000) ② E0409_Q특강3하(정)(020-039) 2015.4.9 5:18 PM 페이지39 SinsagoHitec Q BOX 15 DP”=x cm라 하면 CP”=(14-x)cm이므로 8_5=x_(14-x), x¤ -14x+40=0 (x-4)(x-10)=0(cid:100)(cid:100) ∴ x=4 또는 x=10 이때 DP”>CP”이므로 DP”=10(cm) 16 6¤ =4_(4+AB”)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5(cm) ∴ △ATP=;2!;_6_9_sin30° ∴ △ATP=;2!;_6_9_;2!;=;;™2¶;;(cm¤ ) [다른 풀이] △ATPª△TBP이고 닮음비가 TP”:BP”=6:4=3:2 이므로 넓이의 비는 9:4 △TBP=;2!;_6_4_sin30°=6(cm¤ )이므로 △ATP:6=9:4(cid:100)(cid:100)∴ △ATP=;;™2¶;; (cm¤ ) (cid:9000) ③ (cid:9000) ;;™2¶;; cm¤ 두 변의 길이가 a, b이 고 그 끼인 각의 크기 가 x인 삼각형의 넓이 (cid:8857) ;2!;absinx ∠TAP=∠BTP, ∠P는 공통이므로 △ATPª△TBP △ABP에서 (∠x+27°)+(44°+27°)+32°=180° ∴ ∠x=50° 21 BP”=x라 하면AP”=20- x (20-x):x=7:3이므로 10x=60 ∴ x=6 ¤ =14_6=84이므로(cid:100)(cid:100) PC” PC”=2'∂21 (∵ PC”>0) L E C T U R E B O O K … 3점 (cid:9000) 50° … 3점 … 3점 (cid:9000) 2'∂21 (단, 0°0) (cid:9000) ② (cid:9000) ③ 11 △ABC™△CDE이므로 BC”=DE”=8 cm △ABC에서 AC”="√6¤ +8¤ =10(cm) 이때 △ACE는 AC”=CE”=10 cm인 직각이등변 AB” ¤ =BC” BC”=øπAB” ¤ +AC” ¤ -AC” ¤ 이므로 삼각형이므로 AE”="√10¤ +10¤ =10'2(cm) (cid:9000) 10'2 cm ∠ACB+∠DCE =∠ACB+∠BAC =90° 이므로 ∠ACE=90° 12 BG”=x cm라 하면 FG”=CG”=(9-x)cm BF”=DC”=6 cm이므로 △BFG에서 x¤ =6¤ +(9-x)¤ , 18x=117 ∴ x=;;¡2£;; ∴ △BEG=;2!;_6_;;¡2£;;=;;£2ª;;(cm¤ ) (cid:9000) ;;£2ª;; cm¤ 피타고라스 정리와 도형 WORK BOOK 8쪽 LECTURE 04 기본 UP 01 (cid:9000) ㈀, ㈁, ㈄, ㈅ 02 (cid:9000) 4 03 (cid:9000) ⑴ 직 ⑵ 예 ⑶ 예 ⑷ 둔 04 (cid:9000) ⑴ 3…x<'∂13 ⑵ '∂396¤ +9¤ ∴ x>3'∂13 (∵ x>0) ㉠, ㉡에 의하여 3'∂130) 따라서 정육면체의 부피는 6_6_6=216(cm‹ ) (cid:9000) 216 cm‹ Ⅴ. 피타고라스 정리` 45 ¤ E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지46 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX 08 AG”=3'3 cm이므로 △AEG에서 3¤ =AI”_3'3 ∴ AI”='3 (cm) AE” ¤ =AI”_AG” (cid:9000) ② 09 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 AF”=FH”=HA”='2a cm 따라서 △AFH는 정삼각형이고 넓이가 12'3 cm¤ 이므로 '3 4 ∴ a=2'6 (∵ a>0) _('2a)¤ =12'3, a¤ =24 13 PB”=PC”= _12 '3 2 PB”=6'3 (cm) 점 P에서 BC”에 내린 수 선의 발을 Q라 하면 CQ”=;2!; BC”=6(cm) A P D 12`cm B Q C △PQC에서 PQ”=øπ(6'3 )¤ -6¤ =6'2 (cm) ∴ △PBC=;2!;_12_6'2 ∴ △PBC=36'2 (cm¤ ) (cid:9000) 36'2 cm¤ 서 AG”에 내린 수선의 발 3Â5`cm 3Â5`cm M I A 6Â3`cm G △MAG는 MA”=MG”인 이등변삼각형이므로 AI”=GI” (cid:9000) ③ … 2점 … 2점 … 2점 … 2점 (cid:9000) 9'6 cm¤ 10 AG”=6'3 cm △AMD에서 AM”="√6¤ +3¤ =3'5(cm) △MCG에서 MG”="√6¤ +3¤ =3'5(cm) △AGM의 꼭짓점 M에 을 I라 하면 AI”=GI”=3'3 cm 이므로 △MAI에서 MI”=øπ(3'5)¤ -π(3'3 )¤ MI”=3'2(cm) ∴ △AGM=;2!;_6'3_3'2 ∴ △AGM=9'6(cm¤ ) 이가 8 cm이므로 '6 3 a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=4'6 따라서 정사면체의 부피는 '2 12 _(4'6)‹ =64'3 (cm‹ ) 11 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 높 12 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 높 이가 4'3 cm이므로 '6 3 a=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6'2 △AHD에서 DH”=øπ(6'2)¤ -π(4'3 )¤ =2'6 (cm) ∴ △AHD=;2!;_2'6_4'3 ∴ △AHD=12'2 (cm¤ ) (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ① 46 `SOLUTION LECTURE 08 기본 UP 피타고라스 정리의 입체도형에서의 활용 ⑵ WORK BOOK 17쪽 01 (cid:9000) ⑴ h=2'7, V= ⑵ h=4, V=24 32'7 3 (cid:100) 02 (cid:9000) ⑴ h=8, V=96p(cid:100) ⑵ h=2'∂14, V= 50'∂14 3 p 03 (cid:9000) ⑴ 4π (cid:100) B' B 2π A ⑵ 2'5 p A' 내신 UP WORK BOOK 17~18쪽 04 주어진 전개도로 만들어 지는 사각뿔은 오른쪽 그림과 같다. BD”='2_2'6=4'3 이므로 BH”=;2!; BD”=2'3 O 6 D A H 2Â6 C B E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지47 SinsagoHitec △OBH에서 OH”=øπ6¤ -(2'3 )¤ =2'6 따라서 사각뿔의 부피는 ;3!;_(2'6 )¤ _2'6=16'6 (cid:9000) 16'6 05 ① AH”=;2!; AC”=;2!;_6'2=3'2 (cm) ② OH”=øπ(5'2 )¤ -(3'2 )¤ =4'2 (cm) ③ △OBH=;2!;_3'2_4'2=12 (cm¤ ) ④ (부피)=;3!;_6¤ _4'2=48'2 (cm‹ ) ⑤ △OBC의 꼭짓점 O에 O 서 BC”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 5Â2`cm 5Â2`cm BM” ”=;2!; BC”=3(cm) B M 6`cm C △OBM에서 OM”=øπ(5'2 )¤ -3¤ ='∂41 (cm) ∴ (겉넓이)=6¤ +4_{;2!;_6_'∂41} ∴ (겉넓이)=12(3+'∂41)(cm¤ ) (cid:9000) ②, ③ O B H A 8`cm … 2점 (cid:9000) 50 cm O D C A 5`cm 4`cm B 8`cm 06 밑면인 원의 중심을 H라 하면 OH”는 원뿔의 높이이므로 ;3!;_p_8¤ _OH”=320p(cid:100) ∴ OH”=15(cm) OA”=OB”=øπ8¤ +15¤ … 2점 =17(cm) … 2점 따라서 △OAB의 둘레의 길이는 17+17+16=50(cm) 07 BA”의 연장선과 CD”의 연장 선의 교점을 O라 하면 OA”:(OA”+5)=4:8 4OA”+20=8OA” ∴ OA”=5(cm) △OAD에서 OD”="√5¤ -4¤ =3(cm) △OBC에서 OC”="√10¤ -8¤ =6(cm) 따라서 구하는 부피는 ;3!;_p_8¤ _6-;3!;_p_4¤ _3=112p(cm‹ ) (cid:9000) 112p cm‹ 08 ① (부채꼴의 호의 길이) ① =2p_8_ =6p(cm) 135 360 Q BOX (부채꼴의 넓이) =;2!;_(반지름의 길이) =_(호의 길이) ② 밑면의 둘레의 길이는 부채꼴의 호의 길이 와 같으므로 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴ r=3 ③ (부채꼴의 넓이)=;2!;_8_6p=24p(cm¤ ) ④ (원뿔의 높이)="√8¤ -3¤ ='∂55 (cm) ⑤ (원뿔의 부피)=;3!;_p_3¤ _'∂55 =3'∂55p (cm‹ ) (cid:9000) ③, ⑤ 09 △OAB에서 AB”="√6¤ -3¤ =3'3 (cm) 따라서 단면인 원의 둘레의 길이는 2p_3'3 =6'3p(cm) 10 오른쪽 그림에서 OP”="√5¤ -3¤ =4(cm) OA”=OB”=5 cm이므로 AP”=5+4=9(cm) 따라서 원뿔의 부피는 ;3!;_p_3¤ _9=27p(cm‹ ) (cid:9000) ② A O 5`cm B 3`cm P (cid:9000) 27p cm‹ 11 구하는 최단 거리는 오 른쪽 전개도에서 FM” 의 길이와 같으므로 FM”="√7¤ +(2'2)¤ ='∂57(cm) B F C D M 2Â2`cm 4`cm 3`cm G H W O R K B O O K (cid:9000) '∂57 cm 4Â3`cm D A 60æ M C △OADª△OBC (AA 닮음) 의 길이와 같다. B 12 구하는 최단 거리는 오 른쪽 전개도에서 BD” AB”=BC”=CD”=DA” 이므로 (cid:8772)ABCD는 마름 모이다. 한 변의 길이가 a인 정 삼각형의 높이 a'3 2 (cid:8857) 이때 (cid:8772)ABCD는 마 름모이므로 AC”⊥BD” AC”와 BD”의 교점을 M이라 하면 △ABC는 정 삼각형이므로 '3 BD”=2 BM”=2_{ _4'3}=12(cm) 2 (cid:9000) ⑤ Ⅴ. 피타고라스 정리` 47 E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지48 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX Ⅵ 삼각비 LECTURE 09 기본 UP 삼각비의 뜻 WORK BOOK 19쪽 01 (cid:9000) ⑴ 2'5 5 ⑵ '5 5 ⑶ 2'5 5 ⑷ ;2!; 02 (cid:9000) ⑴ ;5$; ⑵ ;4#; ⑶ ;3$; ⑷ ;5#; 03 (cid:9000) ⑴ AC”, CD” ⑵ BC”, BC” ”, AC” ”, CD” ⑶ AC”, CD” ”, AD” 04 (cid:9000) ㈎ '2 2 ㈏ '3 2 ㈐ '3 2 ㈑ '3 3 ㈒ '3 05 (cid:9000) ⑴ ;2!; ⑵ '3 ⑶ '3 ⑷ -2 ⑸ -;4!; 06 (cid:9000) ⑴ x=2, y=1 ⑵ x=4'2, y=4'2 ⑶ x=5, y=5'3 ⑷ x=6'2, y=6 내신 UP WORK BOOK 20~21쪽 07 △ABC에서 AB”="√13¤ -12¤ =5 =;7%; △ABD에서 cosx= AB” AD” 에서 BC”=2'5이므로 08 cosC= = 2'5 5 4 BC” AB”=øπ(2'5 )¤ -4¤ =2 ∴ △ABC=;2!;_2_4=4 09 sin A= =;5$;에서 AC”=10이므로 8 AC” AB”="√10¤ -8¤ =6 ④ cosA_tanA=;5#;_;3$;=;5$;, sinC=;5#; ④ ∴ cosA_tan A+sinC 10 ∠ABC=90°-∠BAD=∠CAD=x이므로 △ABC에서 tanx= ='3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10'3 AC” 10 ∴ BC”="√10¤ +(10'3)¤ =20 (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ④ (cid:9000) ⑤ 48 `SOLUTION 11 BD”="√4¤ +6¤ =2'ß13 ∠ABD=90°-∠BAH=∠DAH=x이므로 △ABD에서 sin x= = AD” BD” 6 2'∂13 = 3'ß13 13 (cid:9000) 3'ß13 13 sin C= AB” 15 =;5$;에서 AB”=12 ∴ BC”="√15¤ -12¤ =9 12 EG”="√3¤ +4¤ =5 AG”="√3¤ +4¤ +12¤ =13 이므로 △AEG에서 sin x-cosx=;1!3@;-;1∞3;=;1¶3; (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ (cid:9000) '3 (cid:9000) 2'6 (cid:9000) ③ 13 (주어진 식)=;2!;÷{ _ }- _ '3 2 '3 3 '2 2 '2 2 (주어진 식)=;2!; 14 sin 45°= 이므로 '2 2 x-15°=45°(cid:100)(cid:100)∴ x=60° 따라서 구하는 값은 sin 60°+cos30°= + ='3 '3 2 '3 2 직각삼각형에서 두 변 의 길이를 알면 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 15 △BCD에서 BC” 12 sin 45°= △ABC에서 = (cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'2 … 3점 '2 2 tan60°= ='3(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'6 … 3점 16 △ABD에서 ∠BAD=60°-30°=30°이므로 삼각형에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. AD”=BD”=6 cm △ADC에서 6'2 AB” DC” 6 AC” 6 cos60°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ DC”=3(cm) sin 60°= = (cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'3 (cm) '3 2 ∴ △ABC=;2!;_9_3'3= 27'3 2 (cm¤ ) sin 30°= 17 △ABC에서 3 AB” 3 BC” tan30°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6 = (cid:100)(cid:100)∴ BC”=3'3 '3 3 ∠BAD=30°-15°=15°이므로 DB”=AB”=6 0°…x…90°인 범위에 서 x의 값이 증가하면 ① sin x의 값은 0에서 ② cos x의 값은 1에서 1까지 증가 0까지 감소 ③ tan x의 값은 0에서 무한히 증가 (단, x+90°) 내신 UP WORK BOOK 22~23쪽 삼각형의 변의 길이 E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지49 SinsagoHitec Q BOX ∴ tan 15°= = AC” DC” 3 6+3'3 =2-'3 "ça¤ =|a| "a¤ =[ a(aæ0) -a(a<0) (cid:9000) 2-'3 18 직선의 기울기는 tan45°=1(cid:100)(cid:100)∴ a=1 직선 y=x+b의 x절편이 -6이므로 0=-6+b(cid:100)(cid:100)∴ b=6 ∴ a-b=-5 (cid:9000) ② 삼각비의 값 LECTURE 10 기본 UP WORK BOOK 22쪽 01 (cid:9000) ⑴ < ⑵ > ⑶ < ⑷ < ⑸ > ⑹ < 02 (cid:9000) ㈁, ㈄ 03 (cid:9000) ⑴ 0.5736 ⑵ 0.7986 ⑶ 0.6494 ⑷ 34 ⑸ 35 ⑹ 36 04 ⑤ cosz=cosy= =BC” BC” AC” 05 ④ sin 36°= =0.59 OB” OA” (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ④ (cid:9000) 0 (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ 06 (주어진 식)=6_;2!;_1-'3_'3_1=0 07 ① cos0°=1 ③ 0tan 45°=1 이상에서 가장 큰 것은 ④이다. 08 45°1이므로 cosA1이므로 tanA-cosA>0, sin A+cosA>0, sin A-tan A<0 ∴ (주어진 식) =(tan A-cosA)+(sin A+cosA) -{-(sin A-tanA)} =2sinA (cid:9000) 2sinA 10 sin15°=0.2588이므로 x=15° tan 17°=0.3057이므로 y=17° ∴ x+y=32° 11 ⑴ sin56°+cos54°=0.8290+0.5878 =1.4168 ⑵ tan 57°=1.5399이므로 x=57° ∴ sin 57°=0.8387 (cid:9000) ④ … 3점 … 2점 … 1점 (cid:9000) ⑴ 1.4168 ⑵ 0.8387 12 ∠COD=x라 하면 tan x=CD”=0.4877이므로 x=26° △AOB에서 AB”=sin 26°=0.4384, OB”=cos26°=0.8988 따라서 △AOB의 둘레의 길이는 1+0.4384+0.8988=2.3372 (cid:9000) 2.3372 W O R K B O O K LECTURE 11 기본 UP WORK BOOK 24쪽 01 (cid:9000) ⑴ x=4'2 , y=4 ⑵ x=45.5, y=21 02 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 45° ⑶ 6'2 03 (cid:9000) 2('3 +1) 내신 UP WORK BOOK 24~25쪽 04 △ABC에서 AB”=12 sin 30°=6 ∠BAC=60°이므로 ∠BAD=;2!;_60°=30° 따라서 △ABD에서 BD”=6tan 30°=6_ =2'3 '3 3 (cid:9000) ① 05 AB”= 6'3 cos30° 2 =6'3 _ =12(m) '3 AC”=6'3 tan30°=6'3 _ =6(m) … 2점 … 2점 '3 3 따라서 처음 이 나무의 높이는 AB”+AC”=18(m) … 2점 (cid:9000) 18 m Ⅵ. 삼각비` 49 E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지50 SinsagoHitec WORK BOOK 06 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 A 하면 BH”=4'3 sin30° BH”=2'3(cm) AH”=4'3 cos30° =6(cm) 10`cm 30æ H 4Â3`cm B C CH”=10-6=4(cm)이므로 △HBC에서 BC”=øπ(2'3)¤ +4¤ =2'7(cm) (cid:9000) ② 07 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선 A CH”=a sin B=AC”sinA H 의 발을H 라 하면 ∴ AC”= asinB sinA Q BOX 특수한 각의 삼각비를 이용 할 수 있도록 2개의 직각삼 각형으로 나눈다. ② asin C sinA =AB” ③`~`⑤는 한 변의 길이로 나타낼 수 없다. AB”=øπ7¤ +3¤ ='∂58(m) (cid:9000) '∂58 m 09 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수 A B C a (cid:9000) ① B 7Â2`m A H 10`m 45æ C B 45æ 60æ H 8`m 30æ C (cid:9000) ③ A 45æ 30æ (cid:9000) 9(3-'3)cm A 45æ 30æ 45æ B 120æ 3`cm C H 08 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 BH”=7'2 sin45°=7(m) CH”=7'2 cos45°=7(m) AH”=10-7=3(m)이므로 △AHB에서 선의 발을 H라 하면 BH”=8sin30°=4(m) 이므로 △AHB에서 AB”= 4 cos45° =4'2(m) 10 AH”=h cm라 하면 BH”=h tan 45°=h(cm) CH”=htan30° '3 CH”= h(cm) 3 h+ h=18이므로 '3 3 h=18_ =9(3-'3) 3 3+'3 11 AH”=h cm라 하면 BH”=h tan45°=h(cm) CH”=htan30°= h(cm) '3 3 h- h=3이므로 '3 3 h=3_ 3 3-'3 = 3(3+'3) 2 50 `SOLUTION B 60æ C H 18`cm △ABG=△BCG =△CAG =;3!;△ABC BH”+CH”=18 cm 12 AD”=h m라 하면 BD”=htan 60° BD”='3h(m) CD”=htan 30° '3 CD”= h(m) 3 '3 3 '3h- h=40이므로 2'3 3 h=40(cid:100)(cid:100)∴ h=20'3 A 60æ 30æ B 30æ 40`m 60æ D C (cid:9000) ⑤ 삼각형의 넓이 LECTURE 12 기본 UP WORK BOOK 26쪽 01 (cid:9000) ⑴ ;;¡4∞;; ⑵ 54'3 ⑶ 6'3 ⑷ 40'2 02 (cid:9000) ⑴ 15'2 ⑵ 48'3 03 (cid:9000) ⑴ 45'3 ⑵ 20'2 내신 UP WORK BOOK 26~27쪽 04 ;2!;_8_AB”_sin45°=12이므로 2'2 AB”=12(cid:100)(cid:100)∴ AB” =3'2 (cm) 05 △ABC=;2!;_4_9_sin45°=9'2(cm¤ )이므로 △ABG=;3!;△ABC=3'2 (cm¤ ) 06 ∠B=180°-(∠A+∠C)=150°이므로 △ABC=;2!;_12_9_sin(180°-150°) △ABC=;2!;_12_9_;2!; △ABC=27(cm¤ ) 07 △AOC에서 ∠AOC=180°-2_22.5°=135° 이므로 부채꼴 AOC의 넓이는 (cid:9000) ② (cid:9000) ⑤ (cid:9000) ② BH”-CH”=3 cm (cid:9000) ② p_4¤ _;3!6#0%;=6p(cm¤ ) … 2점 E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지51 SinsagoHitec Q BOX Ⅶ 원의 성질 현의 성질 LECTURE 13 기본 UP 01 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 2'5 02 (cid:9000) ⑴ 24 ⑵ 5 원의 중심에서 현에 내 린 수선은 그 현을 이등 분한다. 정십이각형은 12개의 합동 인 이등변삼각형으로 이루 어져 있다. (cid:9000) ③ 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다. △AOC=;2!;_4_4_sin(180°-135°) '2 △AOC=;2!;_4_4_ =4'2(cm¤ ) … 2점 2 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (6p-4'2 )cm¤ 이다. … 2점 (cid:9000) (6p-4'2)cm¤ 08 AC”를 그으면 △ABC A 2Â7`cm D 120æ 2Â7`cm =;2!;_10_AB”_sin60° 60æ B 10`cm C = 5'3 2 AB” △ACD=;2!;_2'7_2'7_sin(180°-120°) △ACD=;2!;_2'7_2'7_ =7'3(cm¤ ) '3 2 (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD이므로 5'3 2 AB”+7'3=27'3, 5'3 2 AB”=20'3 ∴ AB”=8(cm) (cid:9000) ② 09 오른쪽 그림에서 ∠AOB=360°_ ;1¡2; 이므로 구하는 넓이는 =30° 12_{;2!;_1_1_sin30°} =12_{;2!;_1_1_;2!;} =3(cm¤ ) 10 오른쪽 그림에서 360° 8 =45° x= 마름모 1개의 넓이는 '2_'2_sin45°='2 따라서 구하는 넓이는 8_'2=8'2 A B 1`cm O Â2 x (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ 11 (cid:8772)ABCD=8_8'3_sin60° (cid:8772)ABCD=8_8'3_ =96(cm¤ ) '3 2 ∴ △ABM=;4!; (cid:8772)ABCD=24(cm¤ ) 12 AC”=BD”=6 cm이므로 (cid:8772)ABCD=;2!;_6_6_sin 60° (cid:8772)ABCD=;2!;_6_6_ '3 2 (cid:8772)ABCD=9'3(cm¤ ) (cid:9000) 9'3 cm¤ OM”⊥AB”이므로 AM”=BM” △ABM=;2!;△ABC △ABM=;4!;(cid:8772)ABCD 등변사다리꼴의 두 대 각선의 길이는 서로 같 다. △OAM™△OBM (RHS 합동)이므로 ∠AOM=∠BOM WORK BOOK 28쪽 W O R K B O O K 내신 UP WORK BOOK 28~29쪽 03 AB”와 OE”의 교점을 M A B E M x O C D 이라 하면 AM”=;2!;AB”=9 OA”=15이므로 △OAM 에서 x="√15¤ -9¤ =12 (cid:9000) ② 04 OD”=;2!; OA”=4(cm) △ADO에서 AD”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm) ∴ AB”=2AD”=8'3(cm) (cid:9000) ④ 05 AM”=;2!;AB”=6(cm) 원의 중심을 O라 하면 △AOM에서 MO”="√10¤ -6¤ =8(cm) ∴ CM”=10-8=2 (cm) A 10`cm B 12`cm C M O 06 OA”=2OM”=10(cm) △OMA에서 AM”="√10¤ -5¤ =5'3(cm) ∴ AB”=2AM”=10'3 (cm) 07 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하고 반 지름의 길이를 r라 하면 OM”= ;2R; △OAM에서 cos(∠AOM)= OM” OA” =;2!; 따라서 ∠AOM=60°이므로 ∠AOB=2∠AOM=120° (cid:9000) ② A (cid:9000) ④ M B O 5`cm O M A B (cid:9000) 120° Ⅶ. 원의 성질` 51 E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지52 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX B (cid:9000) 8'6 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직 이다. 한 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다. 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다. 08 AO”를 그으면 OA”=OP”=11 △OAQ에서 AQ”="√11¤ -5¤ =4'6 ∴ AB”=2AQ”=8'6 A 11 P 6 Q 5 O 09 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH”=;2!; AB”=300(m) C A D B O H CH”=;2!;CD”=250(m) ∴ AC”=AH”-CH”=300-250=50(m) 10 OM”=ON”이므로 AB”=CD”=4'3 cm MB”=;2!;AB”=2'3 (cm)이므로 △OMB=;2!;_2'3_4=4'3 (cm¤ ) 11 (cid:8772)OMCN에서 ∠C=360°-(90°+110°+90°)=70° … 2점 OM”=ON”이므로 BC”=AC” 즉 △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠B=;2!;_(180°-70°)=55° 12 OL”=OM”=ON”이므로 AB”=BC”=CA” 즉 △ABC는 정삼각형이므로 △ABC= _(4'3)¤ =12'3(cm¤ ) '3 4 (cid:9000) ② (cid:9000) ③ … 2점 … 2점 (cid:9000) 55° (cid:9000) 12'3 cm¤ 한 변의 길이가 a인 정 삼각형의 넓이 '3 4 (cid:8857) a¤ AD”=AF”, BE”=BD”, CF”=CE” 원의 접선 LECTURE 14 기본 UP WORK BOOK 30쪽 01 (cid:9000) ⑴ 50 ⑵ 55 ⑶ 13 ⑷ 15 02 (cid:9000) ⑴ 6 ⑵ 5 03 (cid:9000) ⑴ 2 ⑵ 7 52 `SOLUTION 내신 UP WORK BOOK 30~31쪽 04 OA”=OT”=r라 하면 OP”=4+r ∠OTP=90°이므로 △OPT에서 (4+r)¤ =r¤ +(4'2)¤ 8r=16(cid:100)(cid:100)∴ r=2 O A r 4 P 4Â2 T 05 △APO에서 30æ 60æ P A B 2`cm O 120æ PA”:2='3:1 ∴ PA”=2'3 (cm) ∠APB=60°, PA”=PB” 이므로 △APB는 정삼각형이다. ∴ AB”=PA”=2'3 cm 06 BD”=BE”, CD”=CF”이므로 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA” =AB”+(BD”+CD”)+CA” =AB”+(BE”+CF”)+CA” =AE”+AF”=2AE”=24 07 반원 O와 CD”의 접점 을 E라 하면 (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ (cid:9000) 24 C H B CD”=CE”+DE” E 12`cm =CB”+DA” =15(cm) D 3`cm A O 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH”=12-3=9(cm) △DHC에서 DH”="√15¤ -9¤ =12(cm) ∴ AB”=DH”=12 cm (cid:9000) ③ 08 AD”+BE”+CF”=;2!;(AB”+BC”+CA”) =;2!;_(7+10+9) =13(cm) (cid:9000) ③ 09 BD”=BE”=3 cm, CF”=CE”=10 cm이므로 AD”=AF”=x cm라 하면 AB”=(x+3)cm, AC”=(x+10)cm 13¤ =(x+3)¤ +(x+10)¤ 이므로 … 3점 x¤ +13x-30=0, (x+15)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 5+13+12=30(cm) … 2점 … 1점 (cid:9000) 30 cm E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지53 SinsagoHitec Q BOX 원에 외접하는 사각형 의 대변의 길이의 합은 서로 같다. 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다. 이웃하는 두 변의 길이 가 같은 직사각형은 정 사각형이다. 삼각형의 한 외각의 크 기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. 10 DG”=DH”=5 cm이므로 DC”=13 cm 따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CD”+DA”=2(AB”+DC”) =2_(9+13) =44(cm) (cid:9000) ① 11 AB”+CD”=AD”+BC” 이므로 5+AE”+8=6+11 ∴ AE”=4(cm) ∠OEA=∠OHA=90° A 6`cm H O E 5`cm B D G 8`cm C F 11`cm 이므로 (cid:8772)AEOH는 정사각형이다. 즉 OH”=4 cm이므로 원 O의 넓이는 p_4¤ =16p(cm¤ ) (cid:9000) 16p cm¤ 12 BE”=x cm라 하면 (cid:8772)EBCD에서 x+8=DE”+12(cid:100)(cid:100)∴ DE”=x-4(cm) AE”=12-(x-4)=16-x(cm)이므로 △ABE에서 8¤ +(16-x)¤ =x¤ 32x=320(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (cid:9000) ③ 원주각의 성질 LECTURE 15 기본 UP WORK BOOK 32쪽 01 (cid:9000) ⑴ 60° ⑵ 100° 02 (cid:9000) ⑴ 44° ⑵ 38° 03 (cid:9000) ⑴ 4 ⑵ 75 04 (cid:9000) ⑴ 28° ⑵ 28° 내신 UP WORK BOOK 32~33쪽 05 ∠APB=;2!;∠AOB=55° OP”를 그으면 ∠OPA=∠OAP=22° 이므로 ∠OPB=55°-22°=33° ∴ ∠x=∠OPB=33° 22æ O A 110æ x P B (cid:9000) ① 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심 각의 크기의 ;2!;배이다. W O R K B O O K … 2점 … 2점 (cid:9000) 18° (cid:9000) ① 06 ∠AOB=2∠ACB ∠AOB=130° ∠OAP=∠OBP =90° A C 65æ O 이므로 (cid:8772)AOBP에서 ∠x=360°-(90°+90°+130°)=50° B x P (cid:9000) ③ 07 ∠AQB=∠APB=64° … 2점 Q P 64æ 24æ O x B 22æ A OQ”를 그으면 ∠OQA=∠OAQ=22° 이므로 ∠OQB=64°-22°=42° ∠OBQ=∠OQB=42°이므로 ∠x=42°-24°=18° 08 ∠BCD=∠x라 하면 ∠BAD=∠x △ADP에서 ∠ADC=35°+∠x △QCD에서 ∠x+(35°+∠x)=115° 2∠x=80°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=40° 09 CD”를 그으면 ∠ACD=90°이므로 ∠ADC=90°-26°=64° ∠BDC=64°-31°=33° 이므로 ∠BOC=2∠BDC=66° [다른 풀이] 26æ O A D 31æ B C (cid:9000) 66° ∠AOB=2∠ADB=62° ∠COD=2∠CAD=52° ∴ ∠BOC=180°-(62°+52°)=66° 10 지름 BA'에 대하여 ∠BCA'=90°이고 ∠A'=∠A=60°이므로 △A'BC에서 4'3 sin60° A'B”= A'B”=8(cm) =4'3_ 2 '3 따라서 원 O의 반지름의 길이는 A 60æ 60æ O A' C B 4Â3`cm OB”=;2!; A'B”=4(cm) (cid:9000) ② B A 11 ∠P=∠x라 하면 △BCP에서 ∠ABC=∠x+24° μAB=μAC=μ CD이므로 ∠ACB=∠ABC=∠CAD=∠x+24° 이때 μ DB에 대한 원주각의 크기는 ∠DAB=∠DCB=24° △ABC에서 24°+3(∠x+24°)=180° ∴ ∠x=28° 24æ D C P (cid:9000) ③ Ⅶ. 원의 성질` 53 E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지54 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX 12 BE”, CE”를 그으면 ∠AEB=∠BEC A ∠AEB=;1™2;_180°=30° B E D ∠CED=;1£2;_180°=45° ∴ ∠AED=∠AEB+∠BEC+∠CED C =30°+30°+45°=105° (cid:9000) ③ 13 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠x=∠CAD=22° △DBP에서 ∠y=22°+46°=68° ∴ ∠x+∠y=90° (cid:9000) 90° 원에 내접하는 사각형 LECTURE 16 기본 UP WORK BOOK 34쪽 01 (cid:9000) ⑴ 120° ⑵ 75° 02 (cid:9000) ⑴ (cid:8776) ⑵ (cid:8776) ⑶ × ⑷ (cid:8776) 03 (cid:9000) 85° 내신 UP WORK BOOK 34~35쪽 04 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠BCD=180°-104°=76° △DPC에서 ∠DPC=180°-(22°+76°)=82° 05 ∠ABC=;2!;_(180°-36°)=72° (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠ADC=180°-72°=108° 06 ∠B+∠D=180°이므로 ;3$;∠A+(2∠A-70°)=180° ;;¡3º;;∠A=250°(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=75° (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠DCE=∠A=75° 54 `SOLUTION (cid:9000) ② (cid:9000) ④ … 4점 … 2점 (cid:9000) 75° 07 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠DAB=180°-84°=96° △APB에서 ∠ABP=96°-26°=70° ∠AEB:∠BEC: ∠CED:∠DCE: ∠ABE =μAB:μ BC:μ CD:μDE :μEA =2:2:3:2:3 08 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠ADE=∠ABC=50° △ABF에서 ∠EAD=50°+42°=92° △ADE에서 50°+92°+∠x=180° ∴ ∠x=38° (cid:9000) 70° (cid:9000) ② E (cid:9000) ④ (cid:9000) ② O' D C (cid:9000) ① 09 AD”를 그으면 ∠EAD=;2!;∠EOD=35° (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하 므로 ∠BAD=180°-108°=72° ∴ ∠x=35°+72°=107° A x O 108æ C B 70æ D 10 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하려면 ∠BAD=∠DCP=75° ∴ ∠x=∠DAC=75°-42°=33° 11 PQ”를 그으면 (cid:8772)ABQP 가 원 O에 내접하므로 ∠QPD=∠ABQ =88° A B 92æ 88æ O P Q (cid:8772)PQCD가 원 O'에 내접하므로 ∠DCQ=180°-88°=92° 12 ∠PDC=;2!;∠PO'C ∠PDC=84° PQ”를 그으면 (cid:8772)PQCD 가 원 O'에 내접하므로 ∠PQB=∠PDC=84° A B P O O' 168æ Q D C (cid:8772)ABQP가 원 O에 내접하므로 ∠PAB=180°-84°=96° (cid:9000) ③ 원에 내접하는 사각형 의 한 쌍의 대각의 크 기의 합은 180°이다. 접선과 현이 이루는 각 LECTURE 17 기본 UP 원에 내접하는 사각형 의 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다. WORK BOOK 36쪽 01 (cid:9000) ⑴ 70° ⑵ 50° ⑶ 55° ⑷ 50° E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지55 SinsagoHitec 02 (cid:9000) ⑴ ∠x=85°, ∠y=85° ⑵ ∠x=65°, ∠y=62° ⑶ ∠x=34°, ∠y=72° ⑷ ∠x=70°, ∠y=82° 내신 UP WORK BOOK 36~37쪽 03 ∠CAB=;2!;∠COB=70°이므로 ∠CBD=∠CAB=70° 04 직선 PT가 원의 접선이므로 ∠ATP=∠ABT ∠CTA=∠CTB이므로 ∠CTP=∠CTA+∠ATP =∠CTB+∠ABT =∠TCA=65° 05 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠DAB=180°-96°=84° △ABD에서 ∠ABD=180°-(54°+84°)=42° ∴ ∠ADP=∠ABD=42° (cid:9000) ④ (cid:9000) 65° 06 BC”를 그으면 ∠ACB=∠ABE=43° ∠ABC=90°이므로 ∠CAB =180°-(90°+43°)=47° ∴ ∠CDB=∠CAB=47° 07 AB”를 그으면 (cid:9000) ① D A O C E B43æ (cid:9000) 47° C ∠CAB=∠CBT=∠x △CPB에서 2∠BCP=∠x이므로 P O A x x B T ∠BCP=;2!;∠x 이때 ∠ABC=90°이므로 △ABC에서 ∠x+90°+;2!;∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60° 08 ∠ABP=90°, ∠BAP=∠BPT=60°이므로 △ABP에서 AB”=AP” cos60°=14_;2!;=7(cm) (cid:9000) ④ (cid:9000) ④ Q BOX 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각 의 크기는 그 각의 내 부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 09 ∠ACB=90°이므로 ∠CAB=180°-(90°+60°)=30° ∠DCB=∠CAB=30°이므로 △CBD에서 ∠BDC=60°-30°=30° … 2점 … 1점 즉 △BDC가 이등변삼각형이므로 BD”=BC”=AB” cos60° BD=10_;2!;=5(cm) 10 △ADF에서 AD”=AF”이므로 ∠ADF=;2!;_(180°-54°)=63° ∠DEF=∠ADF=63°이므로 △DEF에서 ∠FDE=180°-(40°+63°)=77° 11 ∠x=∠DPT'=∠TPC=∠CBP=54° ∠APD=∠CPB=70°이므로 △APD에서 ∠y=180°-(54°+70°)=56° … 3점 (cid:9000) 5 cm (cid:9000) ④ (cid:9000) ② W O R K B O O K 원에 내접하는 사각형 에서 대각의 크기의 합 은 180°이다. 반원에 대한 원주각의 크기는 90°이다. 원과 비례 LECTURE 18 기본 UP 01 (cid:9000) ⑴ 10 ⑵ 4 ⑶ 8 ⑷ 7 02 (cid:9000) ⑴ 10 ⑵ 8 03 (cid:9000) ⑴ 8 ⑵ 6 04 (cid:9000) ⑴ 5 ⑵ 7 WORK BOOK 38쪽 PA”_PB”=PC”_PD” 05 x_4=3_8이므로 x=6 내신 UP WORK BOOK 38~40쪽 12_(12+8)=y_(y+14)이므로 y¤ +14y-240=0, (y+24)(y-10)=0 ∴ y=10 (∵ y>0) ∴ y-x=4 06 x_(x+x+8)=(x-1)_(x-1+3x+1) 이므로 2x¤ -12x=0, 2x(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>1) (cid:9000) 4 (cid:9000) ③ Ⅶ. 원의 성질` 55 E0409_Q특강3하(정)(040-056) 2015.4.9 5:18 PM 페이지56 SinsagoHitec WORK BOOK Q BOX ∠ATP=∠B=30°이므 로 △BPT에서 ∠APT =180°-(30°+90°+30°) =30° 13 PT” ¤ =5_(5+7)=60이므로(cid:100)(cid:100) PT”=2'∂15(cm) (∵ PT”>0) ∠BTP=90°이므로 △BPT에서 BT”="√12¤ -(2'∂15)¤ =2'∂21(cm) ∴ △BPT=;2!;_2'∂21_2'∂15 ∴ △BPT=6'∂35(cm¤ ) … 3점 … 2점 … 1점 (cid:9000) 6'∂35 cm¤ 14 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 PB”=(2r+3)cm (3'3 )¤ =3_(2r+3)(cid:100)(cid:100)∴ r=3 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_3=6p(cm) 15 AT”를 그으면 △ATB는 직각삼각형이므로 AT”=4 sin30°=2(cm) ∠APT=30°이므로 AP”=AT”=2 cm ¤ =2_(2+4)=12이므로 PT” PT”=2'3 (cm) (∵ PT”>0) A 30æ P 4`cm O 30æ T 16 PT” ¤ =3_(3+9)=36이므로(cid:100)(cid:100) PT”=6(cm) (∵ PT”>0) △PTA와 △PBT에서 ∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통 이므로 △PTAª△PBT`(AA 닮음) (cid:9000) ② B 30æ (cid:9000) ④ (cid:9000) ③ (cid:9000) ④ PT” ”:PB”=AT”:BT” 즉 6:12=6:BT”이므로 BT”=12(cm) (cid:9000) 12 cm ¤ =PA”_PB”=PT'” PT” ∴ PT”=PT'” 17 PT”=PT'”=;2!; TT'”=4이므로 4¤ =x(x+6), x¤ +6x-16=0 (x+8)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) 07 OA”=OB”=3+3=6(cm)이므로 AP”=6+3=9(cm) PC”=PD”=x cm라 하면 x¤ =9_3=27(cid:100)(cid:100) ∴ x=3'3 (∵ x>0) ∴ △ABC=;2!;_12_3'3=18'3(cm¤ ) (cid:9000) ② [다른 풀이] AP”=9 cm, ∠ACB=90°이므로 △CAB에서 ¤ =9_3=27 PC” ∴ PC”=3'3(cm) (∵ PC”>0) ∴ △ABC=;2!;_12_3'3=18'3(cm¤ ) 08 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 PA”= cm, PB”=;2#;r cm r 2 ;2!;r_;2#;r=6_15이므로 r¤ =120(cid:100)(cid:100)∴ r=2'∂30 (∵ r>0) 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_2'∂30=4'∂30p(cm) … 2점 … 3점 … 1점 (cid:9000) 4'∂30p cm 09 PA”=x라 하면 PB”=x+12 x_(x+12)=4_(4+3)이므로 x¤ +12x-28=0, (x+14)(x-2)=0(cid:100)(cid:100) ∴ x=2 (∵ x>0) 10 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 DP”=(14-2r)cm 7_(7+3)=(14-2r)_14이므로 28r=126(cid:100)(cid:100)∴ r=;2(; 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_;2(;=9p(cm) 12 PT” ¤ =3_(3+9)=36이므로 PT”=6 (∵ PT”>0) 6¤ =4_(4+CD”)이므로 CD”=5 ∴ CD”+PT”=11 56 `SOLUTION (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ (cid:9000) ③ (cid:9000) ① 11 PA”=x라 하면 x_(x+5)=2_(2+16)이므로 x¤ +5x-36=0, (x+9)(x-4)=0(cid:100)(cid:100) ∴ x=4 (∵ x>0) PC”_PD”=PT” =PA”_PB” PA”_PB”=PE”_PF” =PC”_PD” 18 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 6_(6+6)=4_(4+2r), 8r=56 ∴ r=7 따라서 원 O의 넓이는 p_7¤ =49p(cm¤ ) ” ¤ ¤