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문제집/중등

2019년 좋은책신사고 일품 중학 수학 3 ( 하 ) 답지

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E0428일품중수3하_정(001-005) 2015.4.28 1:48 PM 페이지1 SinsagoHitec 정답 및 풀이 수학❸(하) ■ 빠른 정답 찾기 2~5 Ⅴ 통계 09 대푯값과 산포도 내신 만점 정복하기 교과서 속 창의유형 Ⅵ 피타고라스 정리 10 피타고라스 정리 11 피타고라스 정리의 활용 ⑴ 12 피타고라스 정리의 활용 ⑵ Ⅶ 삼각비 Ⅷ 원의 성질 내신 만점 정복하기 교과서 속 창의유형 13 삼각비 ⑴ 14 삼각비 ⑵ 15 삼각비의 활용 내신 만점 정복하기 교과서 속 창의유형 16 원과 직선 17 원주각 18 원주각의 활용 내신 만점 정복하기 교과서 속 창의유형 ● 정답을 확인할 때에는 <빠른 정답 찾기>를 이용하면 편리합니다. 6 10 12 13 19 25 30 35 36 41 46 51 56 57 65 70 75 80 E0428일품중수3하_정(001-005) 2015.4.28 1:48 PM 페이지2 SinsagoHitec 빠른 정답 찾기 통계Ⅴ 09 대푯값과 산포도 ▶개념 & 기출유형 ▶내신 만점 도전하기 ✽본책 22~25쪽 064 ② 065 16 cm 066 ④ 067 ④ 068 38+10'5 072 98 073 30 069 13 m 070 ④ 074 5 cm, '7 cm 071 7+'ß13 075 ② ✽본책 8~9쪽 076 45 077 ;7@; 078 ⑤ 079 ③ 080 10+6'5 001 95점 002 ②, ④ 003 26회 004 4.8 005 '6 kg 081 ③ 082 {:¡5•:, :™5¢:} 083 'ß13 084 ② 006 4반 007 ⑤ 008 ③ 009 ③ 085 ③ 086 ④ 087 25'3` 2 cm¤ 088 (9p+36) cm¤ ▶내신 만점 도전하기 ✽본책 10~11쪽 010 ② 011 252 012 ⑤ 013 81 또는 123 014 ② 019 ③ 015 'ß17점 016 98 020 풀이 8쪽 017 2, 9 018 ㈀, ㈂ 021 1.8 022 ② ▶내신 만점 굳히기 ✽본책 12쪽 023 56 024 ③ 025 ③ 026 C, E 027 113 028 125 ▶내신 만점 굳히기 ✽본책 26쪽 089 ④ 090 146 091 ① 092 ⑤ 093 (15-5'3)초 094 40 ▶내신 만점 정복하기 ✽본책 13~14쪽 029 ② 030 10회 031 ⑤ 032 ⑤ 033 ④ 11 피타고라스 정리의 활용 ⑴ 034 '7점 035 ⑤ 038 3 038 77점 040 10 041 2'ß19회 036 A팀, B팀 037 ④ ▶개념 & 기출유형 ✽본책 27~29쪽 095 36 096 ① 097 :•5¢: cm 098 ③ 099 3'3 cm¤ ✽본책 15쪽 103 ③ 106 ③ 107 ⑤ 100 ⑤ 101 6'6 cm¤ 3'2 2 104 105 4'3 3 108 'ß10 109 ① 110 25 102 18'5 cm¤ ▶교과서 속 창의유형 042 B Ⅵ 피타고라스 정리 10 피타고라스 정리 ▶개념 & 기출유형 2 빠른 정답 찾기 ▶내신 만점 도전하기 ✽본책 30~32쪽 111 ③ 112 ② 113 ;5&; 114 ③ 115 2'7 cm 116 16'3 117 ② 118 (24'3+16) cm 120 ;3%;p 121 ④ 122 ② 123 54 cm¤ 119 ④ 124 ;2%; 125 ⑤ 126 72'2 cm¤ 127 ③ 128 {;2%;, 0} 043 54 cm¤ 044 10 045 ⑤ 046 ③ 047 196 048 ④ 049 3 050 ① 051 1 052 ② ✽본책 18~21쪽 129 20 m 053 3a¤ +b¤ (cid:100) (cid:9178) 둔각삼각형 삼각형이 되기 위한 조건 삼각형의 한 변의 길이 는 나머지 두 변의 길이 의 차보다 크고 두 변의 길이의 합보다 작다. ∠AEH=∠BFE, ∠BFE+∠BEF=90° 이므로 (cid:100)∠AEH+∠BEF =90° (cid:100)∴ ∠HEF=90° 같은 방법으로 하면 (cid:100)∠EFG=∠FGH =∠GHE =90° 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 049 x+2가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되려 면 (cid:100)(cid:100)x+21 직각삼각형이 되려면 (cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =x¤ +(x+1)¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -2x-3=0 (cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>1) (cid:9120) 3 050 4¤ +(4'3 )¤ =8¤ 이므로 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 8인 직각삼각형이다. 따라서 삼각형의 넓이는 (cid:100)(cid:100);2!;_4_4'3=8'3 (cid:9120) ① 051 x>9에서 x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되려면 (cid:100)(cid:100)90) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)93¤ +6¤ 이므로 둔각삼각형이다. ㈁ 5¤ >3¤ +(2'2)¤ 이므로 둔각삼각형이다. ㈂ 17¤ =8¤ +15¤ 이므로 직각삼각형이다. ㈃ (3'7)¤ =3¤ +(3'6)¤ 이므로 직각삼각형이다. ㈄ 4¤ <(2'2)¤ +(2'3)¤ 이므로 예각삼각형이다. 이상에서 둔각삼각형은 ㈀, ㈁의 2개이다. (cid:9120) ② 053 삼각형이 되려면 (cid:100)(cid:100)7-47일 때, (cid:100)(cid:100)x¤ >4¤ +7¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ >65 (cid:100)(cid:100)∴ x>'∂65 (∵ x>0) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)'∂654¤ +x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ <33 (cid:100)(cid:100)∴ 00) ㉠, ㉢에서(cid:100)(cid:100)30) △ADC에서(cid:100)(cid:100)y="√(2'7)¤ -4¤ =2'3 △CDB에서(cid:100)(cid:100)z="√(2'3)¤ +3¤ ='ß21 (cid:100)(cid:100)∴ xyz=2'7_2'3_'ß21=84 (cid:9120) ③ Ⅵ. 피타고라스 정리 13 E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지14 SinsagoHitec 055 AB” : AC”=3 : 4이므로 (cid:100)(cid:100)AB”=3k, AC”=4k (k>0) 라 하면 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)BC”="√(3k)¤ +(4k)¤ =5k AB”_AC”=BC”_AD”이므로 (cid:100)(cid:100)3k_4k=5k_6(cid:100)(cid:100)∴ k=;2%; (∵ k>0) (cid:100)(cid:100)∴ AC”=4k=4_;2%;=10 (cid:9120) 10 056 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AB”="√6¤ +8¤ =10 ¤ +BE” DE” (cid:100)(cid:100)DE” (cid:100)(cid:100)∴ AD” ¤ =AD” ¤ +10¤ =AD” ¤ -DE” ¤ +AB” ¤ 이므로 ¤ +(2'∂17)¤ ¤ =10¤ -(2'∂17)¤ =32 (cid:9120) 32 ¤ +CD” 057 AB” (cid:100)(cid:100)(2'2)¤ +CD” ¤ =12 (cid:100)(cid:100)∴ CD” △COD에서 CD” (cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ =12 ¤ +DA” ¤ 이므로 ¤ =BC” ¤ =2¤ +4¤ ¤ =x¤ +y¤ 이므로 (cid:9120) ④ 058 △AOD에서 (cid:100)(cid:100)AD”="√2¤ +2¤ =2'2 (cm) ¤ =BC” ¤ +DA” ¤ +CD” AB” ¤ =4¤ +(2'2)¤ (cid:100)(cid:100)2AB” ¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'3 (cm)(∵ AB”>0) (cid:100)(cid:100)AB” ¤ 이고 AB”=CD”이므로 (cid:9120) 2'3 cm ¤ =BP” ¤ +CP” 059 AP” (cid:100)(cid:100)20¤ +12¤ =18¤ +DP” (cid:100)(cid:100)DP” ¤ +DP” ¤ 이므로 ¤ =220(cid:100)(cid:100)∴ DP”=2'∂55 (∵ DP”>0) (cid:9120) ② 060 △ABC가 ∠C=90°인 직각삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)P=Q+R (cid:100)(cid:100)∴ Q=52p-16p=36p 따라서 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이가 36p이므로 (cid:100)(cid:100);2!;_p_{ (cid:100)(cid:100)BC” BC” 2 ¤ =36p } ¤ =288(cid:100)(cid:100)∴ BC”=12'2 (∵ BC”>0) (cid:9120) 12'2 061 △ABC가 ∠A=90°인 직각삼각형이므로 (cid:100) (BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이) (cid:100)=(AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이) (cid:100) +(AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이) (cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_p_6¤ (cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=18p (cm¤ ) (cid:9120) 18p cm¤ 14 정답 및 풀이 만점 공략 BOX 등변사다리꼴의 평행 하지 않은 두 대변의 길이는 같다. 062 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC이므로 (cid:100)(cid:100)56=;2!;_14_AC”(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8 (cm) 따라서 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)BC”=øπ14¤ +8¤ =2'∂65 (cm) (cid:9120) 2'∂65 cm 063 PB”=x라 하면(cid:100)(cid:100)PC”=PA”=15-x △PBC에서(cid:100)(cid:100)(15-x)¤ =x¤ +5¤ (cid:100)(cid:100)30x=200(cid:100)(cid:100)∴ x=;;™3º;; (cid:100)(cid:100)∴ △PBC=;2!;_5_;;™3º;;=;;∞3º;; (cid:9120) ;;∞3º;; 내신 만점 도전하기 본책 22~25쪽 064 를 이용한다. △OCD가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리 주어진 반원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (cid:100)(cid:100)OC”=r cm, OD”=(r-1) cm △OCD에서 (cid:100)(cid:100)r¤ =3¤ +(r-1)¤ (cid:100)(cid:100)2r=10(cid:100)(cid:100)∴ r=5 (cid:9120) ② △ABC에서 AD”가 ∠A의 이등분선 문제 이해 065 이므로 (cid:100)(cid:100)AB” : AC”=BD” : CD”=5 : 3 해결 과정 •30% 배점 AB”=5k cm, AC”=3k cm (k>0)라 하 면 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)(5k)¤ =(3k)¤ +8¤ (cid:100)(cid:100)16k¤ =64,(cid:100)(cid:100)k¤ =4 (cid:100)(cid:100)∴ k=2 (∵ k>0) 답 구하기 따라서 AB”=10 cm, AC”=6 cm이므로 (cid:100)(cid:100)AB”+AC”=16 (cm) •50% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 16 cm A B C D 066 를 구한다. 먼저 피타고라스 정리를 이용하여 AC”의 길이 AB”=AM”=15 cm, CB”=CN”=8 cm이므로 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AC”="√15¤ +8¤ =17 (cm) 즉 CM”=AC”-AM”=17-15=2 (cm)이므로 (cid:100)(cid:100)MN”=CN”-CM”=8-2=6 (cm) (cid:9120) ④ 직각삼각형의 세 변을 지름으로 하는 세 반원 을 각각 그리면 작은 두 반원의 넓이의 합은 큰 반원의 넓이와 같 다. 보충학습 삼각형의 내각의 이등분선의 성질 △ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC” 와 만나는 점을 D라 하면 (cid:100)(cid:100)AB” : AC”=BD” : CD” ¤ E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지15 SinsagoHitec 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 만점 공략 BOX 본책 20쪽~23쪽 067 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이다. △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”=øπ(4'2)¤ +4¤ =4'3 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이므로 (cid:100)(cid:100)AM”=BM”=CM” (cid:100)(cid:100)∴ CM”=;2!; AB”=;2!;_4'3=2'3 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 (cid:100)(cid:100)GM”=;3!; CM”=;3!;_2'3= 2'3 3 (cid:9120) ④ 068 서 피타고라스 정리를 이용한다. △ABE에서 BE”의 길이를 구한 후 △FEC에 AE”=AD”=20이므로 △ABE에서 (cid:100)(cid:100)BE”="√20¤ -16¤ =12 (cid:100)(cid:100)∴ CE” ”=20-12=8 CF”=x라 하면 EF”=DF”=16-x이므로 △CFE에서 (cid:100)(cid:100)(16-x)¤ =8¤ +x¤ ,(cid:100)(cid:100)32x=192(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (cid:100)(cid:100)∴ EF”=DF”=16-6=10 △ADF에서(cid:100)(cid:100)AF”="√20¤ +10¤ =10'5 따라서 (cid:8772)ABEF의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)16+12+10+10'5=38+10'5 (cid:9120) 38+10'5 EF”의 길이를 다음과 같이 구할 수도 있다. 참고 △ABEª△ECF (AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)AB” : EC”=AE” : EF” 16 : 8=20 : EF”에서(cid:100)(cid:100)EF”=10 069 스 정리를 이용한다. 보조선을 그어 직각삼각형을 만든 후 피타고라 A H 15`m 오른쪽 그림과 같이 큰 나무와 작은 나무의 꼭대기 를 각각 A, B, 큰 나무와 지 면이 만나는 부분을 C라 하 고 점 B에서 AC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)AH”=15-10=5 (m) △AHB에서(cid:100)(cid:100)AB”="√5¤ +12¤ =13 (m) 따라서 새가 날아간 거리는 13 m이다. C 12`m B 10`m (cid:9120) 13 m 070 먼저 △ACH와 넓이가 같은 삼각형을 찾는다. △ACG™△HCB (SAS 합동)이므로 (cid:100)(cid:100)△ACH=△BCH=△ACG =△LCG=△LMG (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACHI=2△ACH=2△BCH=2△ACG =2△LCG=2△LMG=(cid:8772)LMGC 이때 △AMG>△LMG이므로 2△AMG>(cid:8772)ACHI이고, 2△ALG의 넓이가 (cid:8772)ACHI의 넓이와 같은지는 알 수 없다. 이상에서 (cid:8772)ACHI의 넓이와 항상 같은 것은 ㈀`, ㈁`, (cid:9120) ④ ㈂`, ㈄의 4개이다. 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리 는 같다. 이차방정식 x¤ +2ax+b=0의 해 는 (cid:100)x=-a—"√a¤ -b PQ”=x-6에서 (cid:100)x-6>0(cid:100)∴ x>6 삼각형의 무게중심은 중선을 각 꼭짓점으로 부터 2 : 1로 나눈다. ∠AEB+∠BAE=90°, ∠AEB+∠CEF=90° 이므로 (cid:100)∠BAE=∠CEF (cid:100)∠B=∠C=90° (cid:100)∴ △ABEª△ECF (AA 닮음) (cid:8772)ABDE는 AB”// DE” 인 사다리꼴이므로 (cid:8772)ABDE =;2!;_(4+10)_14 =98 과 같이 구할 수도 있다. AC”=HC”, CG”=CB”, ∠ACG=∠ACB+90° =∠HCB (cid:100)∴ △ACG™△HCB (SAS 합동) 071 (cid:8772)ABCD는 정사각형이다. △ABQ™△BCR™△CDS™△DAP이므로 x<3+4(cid:100)∴ x<7 AQ”=x라 하면 △ABQ에서 (cid:100)(cid:100)AB”="√x¤ +36 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=x¤ +36 PQ”=x-6이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)PQRS=(x-6)¤ (cid:8772)PQRS의 넓이가 (cid:8772)ABCD의 넓이의 이므로 ;7!; (x¤ +36),(cid:100)(cid:100)x¤ -14x+36=0 (cid:100)(cid:100)(x-6)¤ = ;7!; (cid:100)(cid:100)∴ x=7+'∂13 (∵ x>6) (cid:9120) 7+'∂13 (cid:8772)ABCD의 넓이가 (cid:8772)PQRS의 넓이의 7배 이므로 PQ”=x라 하면 AB”='7x이다. △ABQ에서(cid:100)(cid:100)('7x)¤ =(6+x)¤ +6¤ (cid:100)(cid:100)7x¤ =x¤ +12x+72,(cid:100)(cid:100)6x¤ -12x-72=0 (cid:100)(cid:100)x¤ -2x-12=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1+'ß13 (∵ x>0) (cid:100)(cid:100)∴ AQ”=AP”+PQ”=6+(1+'ß13 )=7+'ß13 문제 이해 △ABC™△CDE이므로 072 (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠DCE, AC”=CE” 이때 ∠ACB+∠BAC=90°이므로 (cid:100)(cid:100)∠ACB+∠DCE=90° (cid:100)(cid:100)∴ ∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=90° 따라서 △ACE는 AC”=CE”인 직각이등변삼각형이다. •40% 배점 해결 과정 △ACE의 넓이가 58이므로 ¤ =116 (cid:100)(cid:100);2!;_AC”_CE”=58,(cid:100)(cid:100)AC” (cid:100)(cid:100)∴ AC”=2'∂29 (∵ AC”>0) △ABC에서 (cid:100)(cid:100)BC”="√(2'∂29)¤ 답 구하기 √-10¤ =4 ∴ (cid:8772)ABDE=2△ABC+△ACE •30% 배점 =2_{;2!;_4_10}+58 =98 •30% 배점 (cid:9120) 98 2x+1이 가장 긴 변의 길이이므로 해결 과정 ① 073 삼각형이 되려면 (cid:100)(cid:100)2x+1<(x-1)+2x(cid:100)(cid:100)∴ x>2 •30% 배점 해결 과정 ② 직각삼각형이 되려면 (cid:100)(cid:100)(2x+1)¤ =(x-1)¤ +(2x)¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -6x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-6)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>2) 답 구하기 •40% 배점 따라서 직각을 낀 두 변의 길이가 5, 12이 므로 이 직각삼각형의 넓이는 (cid:100)(cid:100);2!;_5_12=30 •30% 배점 (cid:9120) 30 074 리를 이용한다. 가장 긴 막대의 길이를 정한 후 피타고라스 정 필요한 막대의 길이를 x cm라 하면 ⁄ 가장 긴 막대의 ©길이가 x cm일 때, 삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)42인 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2 (x>2인 짝 수)라 하면 (cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =x¤ +(x-2)¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -8x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-8)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>2) 따라서 세 변의 길이가 6, 8, 10이므로 이 직각삼각형 의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)6+8+10=24 (cid:9120) ② 만점비법 연속하는 수에 대한 문제에서 다음과 같이 미지수를 정하 면 편리하다. ① 연속하는 두 정수 (cid:9178) x, x+1 또는 x-1, x ② 연속하는 세 정수 (cid:9178) x-1, x, x+1 또는 x-2, x-1, x 또는 x, x+1, x+2 ③ 연속하는 두 짝수 (cid:9178) x, x+2 또는 2x, 2x+2 ④ 연속하는 두 홀수 (cid:9178) x, x+2 또는 2x-1, 2x+1 해결 과정 ① 삼각형이 되려면 076 (cid:100)(cid:100)12-512이므로(cid:100)(cid:100)125¤ +12¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ >169 (cid:100)(cid:100)∴ x>13 해결 과정 ③ yy ㉡(cid:100)(cid:100)•30% 배점 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)135¤ +6¤ (cid:9178) 둔각삼각형 12¤ >5¤ +8¤ (cid:9178) 둔각삼각형 13¤ =5¤ +12¤ (cid:9178) 직각삼각형 12¤ >6¤ +8¤ (cid:9178) 둔각삼각형 16 정답 및 풀이 만점 공략 BOX 13¤ >6¤ +8¤ (cid:9178) 둔각삼각형 13¤ <6¤ +12¤ (cid:9178) 예각삼각형 13¤ <8¤ +12¤ (cid:9178) 예각삼각형 따라서 예각삼각형이 되는 경우는 (6, 12, 13), (8, 12, 13)의 2가지이므로 구하는 확률은 4<3+x(cid:100)∴ 1n>0에서 (m-n)¤ >0, mn>0이므로 (cid:100)(cid:100)m¤ -2mn+n¤ >0 (cid:100)(cid:100)∴ m¤ +n¤ >2mn>mn 따라서 AB”가 가장 긴 변이므로 (cid:100)(cid:100)AB” (cid:100)(cid:100)BC” ¤ =(m¤ +n¤ )¤ =m› +2m¤ n¤ +n› ¤ +CA” ¤ =(mn)¤ +(m¤ -n¤ )¤ =m› -m¤ n¤ +n› ∴ AB” ¤ >BC” ¤ +CA” 따라서 △ABC는 ∠C>90°인 둔각삼각형이다. (cid:9120) ⑤ BC”의 길이를 구한 후 AC” ¤ =CH”_CB”임을 이 079 용한다. △ABC에서 ¤ =CH”_CB”이므로 (cid:100)(cid:100)BC”="√(8'3)¤ +8¤ =16 (cm) AC” (cid:100)(cid:100)8¤ =CH”_16(cid:100)(cid:100)∴ CH”=4 (cm) △AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm) 이때 MC”=;2!; BC”=;2!;_16=8 (cm)이므로 (cid:100)(cid:100)MH”=8-4=4 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ △AMH=;2!;_4_4'3=8'3 (cm¤ ) (cid:9120) ③ 해결 과정 ① AB”=c, BC”=a, CA”=b라 하면 080 △ABC=;2!;_BC”_AD”=;2!;_a_4=20이므로 (cid:100)(cid:100)a=10 또 △ABC=;2!;_AB”_CA”=;2!; bc=20이므로 (cid:100)(cid:100)bc=40 •40% 배점 해결 과정 ② △ABC는 직각삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)b¤ +c¤ =100,(cid:100)(cid:100)(b+c)¤ -2bc=100 (cid:100)(cid:100)(b+c)¤ -80=100,(cid:100)(cid:100)(b+c)¤ =180 (cid:100)(cid:100)∴ b+c=6'5 (∵ b+c>0) 답 구하기 ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =a+b+c=10+6'5 •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 10+6'5 081 을 이용한다. 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 △ABC에서 AM”=MB”, AN”=NC”이므로 (cid:100)(cid:100)MN”=;2!; BC”, 즉 BC”=2MN” x-2는 변의 길이이므 로 (cid:100)x-2>0(cid:100)∴ x>2 A H B C (cid:9178) △ABCª△HBA ª△HAC ¤ =BH”_BC” ¤ =CH”_CB” ¤ =BH”_CH” ① AB” ② AC” ③ AH” ④ AB”_AC” =BC”_AH” (5, 6, 12), (5, 6, 13), (5, 8, 13)인 경우에는 삼각형이 만들어지지 않는다. △ABC에서 AM”=MB”, AN”=NC” 이면 (cid:100)MN”∥BC”, (cid:100)MN”=;2!; BC” A a 2a M N B C ¤ E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지17 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 23쪽~25쪽 ¤ 에서 ¤ +BC” ¤ =MN” ¤ +CM” ¤ +(2MN”)¤ =12¤ +9¤ ¤ =225,(cid:100)(cid:100)MN” 이때 BN” (cid:100)(cid:100)MN” ¤ =45 (cid:100)(cid:100)5MN” (cid:100)(cid:100)∴ MN”=3'5 (∵ MN”>0) AM”=a, AN”=b라 하면 △ABN에서(cid:100)(cid:100)(2a)¤ +b¤ =144 △AMC에서(cid:100)(cid:100)a¤ +(2b)¤ =81 ㉠+㉡을 하면(cid:100)(cid:100)5(a¤ +b¤ )=225 (cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =45 (cid:100)(cid:100)∴ MN”="√a¤ +b¤ =3'5 (cid:9120) ③ yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) 082 점 A에서 OB”에 수선의 발을 내려 본다. y O 8 6 a A b H 10 B x △AOB에서 ¤ +AB” ¤ =OA” OB” (cid:100)(cid:100)∠A=90° ¤ 이므로 점 A의 좌표를 (a, b), 점 A에서 OB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 OA” ¤ =OH”_OB”에서 (cid:100)(cid:100)6¤ =a_10(cid:100)(cid:100)∴ a=;;¡5•;; OA”_AB”=OB”_AH”에서 (cid:100)(cid:100)6_8=10_b(cid:100)(cid:100)∴ b=;;™5¢;; 따라서 점 A의 좌표는(cid:100)(cid:100){;;¡5•;;, ;;™5¢;;} (cid:9120) {;;¡5•;;, ;;™5¢;;} •20% 배점 •20% 배점 •20% 배점 •40% 배점 (cid:9120) '∂13 해결 과정 ① △OCD에서 083 (cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'3)¤ -∑(3'2)¤ =3 CO”=;2!;AO”이므로 해결 과정 ② (cid:100)(cid:100)3=;2!;AO”(cid:100)(cid:100)∴ AO”=6 해결 과정 ③ △AOD에서 (cid:100)(cid:100)AD”=øπ6¤ +(3'2)¤ =3'6 답 구하기 ¤ +CD” 따라서 (cid:8772)ABCD에서 ¤ 이므로 ¤ +BC” ¤ =AD” AB” (cid:100)(cid:100)(2'ß10)¤ +(3'3)¤ =(3'6)¤ +BC” (cid:100)(cid:100)BC” (cid:100)(cid:100)∴ BC”='∂13 (∵ BC”>0) ¤ =13 △OCD에서 (cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'3)¤ -∑(3'2 )¤ =3 CO”=;2!;AO”이므로(cid:100)(cid:100)AO”=6 △ABO에서(cid:100)(cid:100)BO”=ø∑(2'ß10)¤ △BCO에서(cid:100)(cid:100)BC”=ø∑2¤ +3¤ ='∂13 ∑-6¤ =2 084 BC”의 길이를 구한다. 먼저 AB” ¤ +CD” ¤ =BC” ¤ +AD” ¤ 임을 이용하여 AB” ¤ +CD” ¤ +AD” ¤ 에서 ¤ =BC” ¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)3¤ +5¤ =BC” (cid:100)(cid:100)BC” ¤ =18(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3'2 (∵ BC”>0) (시간) = (거리) (속력) 0.3 3 =0.1`(시간)=6`(분) (cid:9120) ③ 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 두 대각선이 직교하는 사각형에서 마주 보는 두 변의 길이의 제곱의 합이 서로 같다. (cid:100)(cid:100)BC” △ABC에서 △BCO에서(cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'2 )¤ -∑('6 )¤ =2'3 (cid:100)(cid:100)∴ △BCO=;2!;_'6 _2'3=3'2 (cid:9120) ② ¤ +DP” ¤ +CP” 085 (cid:8833) AP” 직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 ¤ =BP” ¤ +CP” AP”=x m라 하면 AP” (cid:100)(cid:100)x¤ +(150'6)¤ =150¤ +450¤ (cid:100)(cid:100)x¤ =90000(cid:100)(cid:100)∴ x=300 (∵ x>0) 따라서 AP”=300 (m)=0.3 (km)이므로 집 A에서 출발하여 시속 3 km로 걸어서 공원까지 가는 데 걸리 는 시간은 ¤ +DP” ¤ =BP” ¤ 에서 086 P=;2!;_p_{ P+Q=R임을 이용하여 Q의 값을 구한다. ¤ =6p에서 } ¤ =48(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4'3 (∵ AB”>0) AB” 2 (cid:100)(cid:100)AB” Q=R-P=4p이므로 ;2!;_p_{ (cid:100)(cid:100)AC” ¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4'2 (∵ AC”>0) AC” 2 ¤ =4p에서 } (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'2_4'3=8'6 (cid:9120) ④ BC” R=;2!;_p_{ 2 ¤ =80(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'5 (∵ BC”>0) ¤ =10p에서 } (cid:100)(cid:100)AC”=øπ(4'5)¤ -(4'3)¤ =4'2 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'2_4'3=8'6 해결 과정 ① 087 오른쪽 그 림과 같이 ∠DCB=60°가 되 도록 AB”의 연장선 위에 점 D 를 잡으면 △BCD는 정삼각 형이므로 점 C에서 BD”에 그 은 수선은 BD”를 이등분한다. A 60æ B D 60æ 10`cm 60æ C (cid:100)(cid:100)∴ AB”=;2!;BD”=;2!;_10=5 (cm) •40% 배점 해결 과정 ② △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AC”=øπ10¤ -5¤ =5'3 (cm) 답 구하기 색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 •20% 배점 같으므로 (cid:100)(cid:100);2!;_5_5'3= 25'3 2 (cm¤ ) •40% 배점 (cid:9120) 25'3 2 cm¤ 088 합은 CA”를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같다. AB”, BC”를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이의 AB”, BC”, CA”를 지름으로 하는 반원의 넓이를 각각 S¡, S™, S£이라 하면 Ⅵ. 피타고라스 정리 17 ¤ ¤ E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지18 SinsagoHitec 만점 공략 BOX (cid:8772)ABCD의 두 대각 선의 교점을 O라 하면 CO”는 △BCD의 중선 이다. 따라서 점 G는 두 중 선 CO”, DE”의 교점이 므로 △BCD의 무게 중심이다. △NBI, △MBH, △ABC는 닮음비가 1 : 2 : 3인 닮은 도형 이다. BC”=3b, BH”=2b이 므로 (cid:100)IC”=3b-b=2b (cid:100)HC”=3b-2b=b A'D”=CD”=15, ∠A'=∠C=90°, ∠A'DE=∠CDF이 므로 (cid:100)△A'ED™△CFD (ASA 합동) 답 구하기 △DGH에서(cid:100)(cid:100)DG” ¤ =5¤ +14¤ =221 △GCH에서(cid:100)(cid:100)CG” ¤ -CG” (cid:100)(cid:100)∴ 2DG” ¤ =10¤ +14¤ =296 ¤ =146 •20% 배점 (cid:9120) 146 091 삼각형의 무게중심은 세 중선의 교점이다. 점 G는 △BCD의 무게중심이므로 (cid:100)(cid:100)△CDG=;3!;△BCD=;3!;_{;2!;_2_2}=;3@; △AFD와 △DEC에서 (cid:100)(cid:100)AD”=DC”, DF”=CE”, ∠ADF=∠DCE=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△AFD™△DEC (SAS 합동) 따라서 ∠DAF=∠HDF, ∠AFD는 공통이므로 (cid:100)(cid:100)△AFDª△DFH (AA 닮음) AF”="√2¤ +1¤ ='5이므로 (cid:100)(cid:100)AF” : DF”='5 : 1 즉 △AFD와 △DFH의 닮음비가 '5 : 1이므로 넓이 의 비는 ('5)¤ : 1¤ =5 : 1이다. 이때 △ADF=;2!;_2_1=1이므로 (cid:100)(cid:100)1 : △DFH=5 : 1(cid:100)(cid:100)∴ △DFH=;5!; (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)HGCF=△CDG-△DFH (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)HGCF=;3@;-;5!;=;1¶5; (cid:9120) ① 보충학습 삼각형의 세 중선에 의하여 삼각형의 넓이는 6등분된다. (cid:9178) △ABC의 무게중심을 G라 하면 (cid:9178) (cid:100)(cid:100)△GAF=△GBF=△GBD (cid:9178) (cid:100)(cid:100)△GAF=△GCD=△GCE (cid:9178) (cid:100)(cid:100)△GAF=△GAE=;6!;△ABC F E A G D B C 092 ∠A=90°인 직각삼각형이다. △ABF, △ABG, △ADF, △AEG는 모두 AD”=x, AF”=y (x>0, y>0)라 하자. yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) △ADF에서(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ =25 △ABG에서(cid:100)(cid:100)(3x)¤ +(2y)¤ =(2'3å5)¤ (cid:100)(cid:100)9x¤ +4y¤ =140 ㉡-㉠_4를 하면(cid:100)(cid:100)5x¤ =40 (cid:100)(cid:100)x¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2 (∵ x>0) x=2'2를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)y='1å7 (∵ y>0) △AEG에서 ¤ =(2x)¤ +(2y)¤ =(4'2)¤ +(2'1å7)¤ =100 ¤ =(3x)¤ +y¤ =(6'2)¤ +('1å7)¤ =89 ¤ =189 ¤ +BF” x=2'2, y='∂17이므로 △AEF에서 (cid:9120) ⑤ (cid:100)(cid:100)EG” △ABF에서 (cid:100)(cid:100)BF” (cid:100)(cid:100)∴ EG” S£=S¡+S™ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:100)(cid:100)S¡+S£+△ABC-S™ =S¡+(S¡+S™)+△ABC-S™ =2S¡+△ABC =2_{;2!;_p_3¤ }+;2!;_12_6 =9p+36 (cm¤ ) (cid:9120) (9p+36) cm¤ 내신 만점 굳히기 본책 26쪽 089 와 평행하므로 직각삼각형의 닮음을 이용한다. 두 점 M, N에서 각각 BC”에 그은 수선은 AC” A 3 C I b 4 a B H N M 오른쪽 그림과 같이 두 점 M, N에서 BC”에 내 린 수선의 발을 각각 H, I라 하고 NI”=a, BI”=b라 하자. 두 점 M, N이 빗변 AB의 삼등분점이므로 (cid:100)(cid:100)NI” : MH” : AC”=BI” : BH” : BC”=1 : 2 : 3 (cid:100)(cid:100)∴ MH”=2a, IC”=2b, HC”=b △CMH에서(cid:100)(cid:100)(2a)¤ +b¤ =3¤ (cid:100)(cid:100)∴ 4a¤ +b¤ =9 △CNI에서(cid:100)(cid:100)a¤ +(2b)¤ =4¤ (cid:100)(cid:100)∴ a¤ +4b¤ =16 ㉠+㉡을 하면(cid:100)(cid:100)5(a¤ +b¤ )=25 (cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =5 (cid:100)(cid:100)∴ MN”=BN”="√a¤ +b¤ ='5 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9120) ④ 090 문제 이해 므로 △DCF에서 BF”=DF”=x라 하면 FC”=25-x이 (cid:100)(cid:100)x¤ =(25-x)¤ +15¤ ,(cid:100)(cid:100)50x=850 (cid:100)(cid:100)∴ x=17 △A'ED™△CFD이므로 (cid:100)(cid:100)DE”=DF”=17 A 해결 과정 ① 오른쪽 그림과 같이 점 G에서 CD”에 내린 수선의 발을 H, 점 F에서 GH”, ED”에 내린 수선의 발을 각각 I, J라 하면 (cid:100)(cid:100)ED”// GH”// FC” EG” : EF”=1 : 3이므로 (cid:100)(cid:100)DH” : DC”=1 : 3 (cid:100)(cid:100)DH” : 15=1 : 3(cid:100)(cid:100)∴ DH”=5 15 B •20% 배점 A' E G J I F 25 D H C •30% 배점 해결 과정 ② 또 △EFJ에서 (cid:100)(cid:100)EF” : GF”=EJ” : GI”,(cid:100)(cid:100)3 : 2=9 : GI” (cid:100)(cid:100)∴ GI”=6 (cid:100)(cid:100)∴ GH”=6+8=14 18 정답 및 풀이 ED”=FD”=17이고 JD”=FC”=8이므로 (cid:100)EJ”=17-8=9 •30% 배점 (cid:100)(cid:100)EF”=ø∑(4'2)¤ +∑('∂17)¤ =7 따라서 △ABG에서 (cid:100)(cid:100)EG” ¤ +BG” ¤ =EF” ¤ +BF” ¤ =7¤ +(2'∂35 )¤ =189 E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지19 SinsagoHitec 문제 이해 x초 후에 093 △BPQ가 정삼각형이 된다고 하면 두 점 P, Q가 각각 CD”, AD” 위에 있어야 하므로 (cid:100)(cid:100)10<2x<20 (cid:100)(cid:100)∴ 50)라 하면 (cid:100)(cid:100)ø∑(5a)¤ +∑(4a)¤ =2'∂41 (cid:100)(cid:100)'∂41a=2'∂41(cid:100)(cid:100)∴ a=2 따라서 직사각형의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2(5a+4a)=18a=18_2=36 (cid:9120) 36 096 원에 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는 원의 지름의 길이와 같다. 따라서 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 (cid:100)(cid:100)'2a=2_10 (cid:100)(cid:100)∴ a=10'2 (cid:9120) ① 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ x초 동안 점 P, Q가 움직인 거리 x초 동안 2x 움직였으 므로 (cid:100)BC”+CP”=2x (cid:100)∴ CP”=2x-BC” =2x-10 △BPQ가 정삼각형이 므로 (cid:100)PB”=QP” (cid:100)∴ PB” ¤ =QP” △ABD의 넓이에서 _AB”_AD” 1 2 1 2 △AHD에서 피타고 라스 정리를 이용하여 DH”=Æ…12¤ -{:£5§:}2 =:¢5•: 과 같이 구할 수도 있 다. 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 2 : 1로 나눈다. 094 [문제 해결 길잡이] ❶ BE”=CE”=EF”임을 이용하여 EF”의 길이를 구한다. ❷ 직각삼각형의 합동을 이용하여 크기가 같은 각을 찾아 = _BD”_AH” ∠AED의 크기를 구한다. ❸ △AED에서 EF” ¤ =AF”_DF”임을 이용하여 AB”, CD”의 길이를 구한다. ❹ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구한다. BE” ”=CE”=EF”이고 BC”=8이므로 (cid:100)(cid:100)EF”=;2!;BC”=4 ❶ △ABE와 △AFE에서 (cid:100)(cid:100)∠ABE=∠AFE=90°, (cid:100)(cid:100)AE”는 공통, BE”=FE” 이므로(cid:100)(cid:100)△ABE™△AFE (RHS 합동) (cid:100)(cid:100)∴ ∠AEB=∠AEF △DCE와 △DFE에서 (cid:100)(cid:100)∠DCE=∠DFE=90°, (cid:100)(cid:100)DE”는 공통, CE”=FE” 이므로(cid:100)(cid:100)△DCE™△DFE (RHS 합동) (cid:100)(cid:100)∴ ∠DEC=∠DEF ㉠, ㉡에서 (cid:100)(cid:100)∠AED=∠AEF+∠DEF (cid:100)(cid:100)∠AED=;2!;∠BEF+;2!;∠CEF yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) 180° (cid:100)(cid:100)∠AED=;2!;(∠BEF+∠CEF) (cid:100)(cid:100)∠AED=90° ❷ 따라서 AB”=AF”=a, CD”=FD”=b (a, b는 1보다 큰 ¤ =AF”_DF”이므로 자연수)라 하면 △AED에서 EF” yy ㉢(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)4¤ =ab 이때 a, b는 1보다 큰 자연수이고 a0) 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래 프의 꼭짓점의 좌표는 (cid:100)y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하여 구한다. (cid:100)(cid:100)AB”=ø∑4¤ +∑(8'2)¤ =12 (cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)AB”+BC”+CA”=12+8+12=32 (cm) (cid:9120) ③ 104 △BCD에서(cid:100)(cid:100)BC” : CD”='3 : 1 (cid:100)(cid:100)BC” : '3='3 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : BC”=1 : '2 (cid:100)(cid:100)AC” : 3=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ AC”= 3'2 2 (cid:9120) 3'2 2 105 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=1 : 2 (cid:100)(cid:100)AB” : 8=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4 ∠BAD=∠DAC이고 ∠BAC=60°이므로 △ABD 에서 (cid:100)(cid:100)∠BAD=30°, ∠ADB=60° 따라서 AB” : BD”='3 : 1이므로 (cid:100)(cid:100)4 : BD”='3 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BD”= (cid:9120) 4'3 3 4'3 3 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : BC”=2 : '3 (cid:100)(cid:100)8 : BC”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'3 20 정답 및 풀이 BD” : DC” ”=AB” : AC”=1 : 2이므로 4'3 3 (cid:100)(cid:100)BD”=4'3_;3!;= 30æ 6´2 60æ C A B H 45æ 45æ 106 오른쪽 그림과 같이 꼭 짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)∠BAH=45° (cid:100)(cid:100)∠CAH=30° △AHC에서(cid:100)(cid:100)AH” : AC”='3 : 2 (cid:100)(cid:100)AH” : 6'2='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'6 또 AC” : HC”=2 : 1이므로(cid:100)(cid:100)6'2 : HC”=2 : 1 (cid:100)(cid:100)∴ HC”=3'2 △ABH에서(cid:100)(cid:100)AH” : BH”=1 : 1 (cid:100)(cid:100)3'6 : BH”=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BH”=3'6 (cid:100)(cid:100)∴ BC”=BH”+HC”=3'6+3'2 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_(3'6+3'2)_3'6 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=27+9'3 107 AC”=ø∑(2+2)¤ +∑(-1-5)¤ ='∂52 BC”=ø∑(2-a)¤ +∑(-1-3)¤ =ø∑(2-a)¤ 이때 AC”=BC”이므로 ∑+16 ∑+16='∂52 (cid:100)(cid:100)ø∑(2-a)¤ (cid:100)(cid:100)(2-a)¤ +16=52 (cid:100)(cid:100)(a-2)¤ =36,(cid:100)(cid:100)a-2=—6 (cid:100)(cid:100)∴ a=8 (∵ a>0) (cid:9120) ③ (cid:9120) ⑤ 108 y=2x¤ -8x+7=2(x-2)¤ -1의 그래프의 꼭짓 점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2, -1) 따라서 점 (2, -1)과 점 (3, 2) 사이의 거리는 (cid:100)(cid:100)ø∑(3-2)¤ +∑(2+1)¤ ='ß10 (cid:9120) 'ß10 보충학습 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 성질 ① 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y 축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다. ② 꼭짓점의 좌표: (p, q) ③ 축의 방정식: x=p ∑+(2-5)¤ ='∂25 109 AB”=ø∑(1-5)¤ BC”=ø∑(4-1)¤ +∑(-1-2)¤ ='∂18 CA”=ø∑(5-4)¤ +∑(5+1)¤ ='∂37 CA” ¤ 0) (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ODCE=4_4'3=16'3 (cm¤ ) (cid:9120) ③ 한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이 112 는 '2a임을 이용한다. (cid:8772)BEFG의 한 변의 길이를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)BF”='2a, FC”=a 이므로 △BFC에서(cid:100)(cid:100)BC”=øπ('2a)¤ +a¤ ='3a 따라서 (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)BEFG의 닮음비가 '3 : 1이므 로 넓이의 비는 (cid:100)(cid:100)('3 )¤ : 1¤ =3 : 1 (cid:9120) ② 문제 이해 113 해결 과정 ① AB” BD”="√3¤ +4¤ =5 ¤ =BE”_BD”이므로 (cid:100)(cid:100)3¤ =BE”_5(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;5(; CD” 해결 과정 ② ¤ =DF”_DB”이므로 •20% 배점 •30% 배점 (cid:100)(cid:100)3¤ =DF”_5(cid:100)(cid:100)∴ DF”= •30% 배점 ;5(; 답 구하기 ∴ EF”=BD”-BE”-DF” =5-;5(;-;5(;=;5&; •20% 배점 (cid:9120) ;5&; BC” ¤ =BF”_BD”이므로 (cid:100)(cid:100)4¤ =BF”_5(cid:100)(cid:100)∴ BF”= :¡5§: (cid:100)(cid:100)∴ EF”=BF”-BE”= -;5(;=;5&; :¡5§: 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 '3 2 a AD”는 한 변의 길이가 4인 정삼각형 ABC의 높 114 이다. 이이므로 '3 (cid:100)(cid:100)AD”= _4=2'3 2 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 따라서 정삼각형 ADE의 넓이는 (cid:100)(cid:100) _(2'3)¤ =3'3 '3 4 (cid:9120) ③ A 115 꼭짓점 A에서 BC”에 수선을 그어 생각한다. 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABC 의 한 변의 길이가 6 cm이므로 (cid:100)(cid:100)BH”=;2!;BC”=3 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ DH”=3-2=1 (cm) H B 2`cm 4`cm D C '3 2 AH”= _6=3'3 (cm)이므로 △ADH에서 (cid:100)(cid:100)AD”=øπ1¤ +(3'3)¤ =2'7 (cm) (cid:9120) 2'7 cm 문제 이해 BC”=3a, 116 CD”=4a (a>0)라 하고, △ECD의 꼭짓점 E에서 CD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 E A B 3a C H 4a D '3 (cid:100)(cid:100)EH”= _4a=2'3a 2 이때 △ACE=△BCE이므로 해결 과정 •30% 배점 (cid:100)(cid:100)12'3=;2!;_3a_2'3a (cid:100)(cid:100)a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0) 답 구하기 따라서 CD”=4a=4_2=8이므로 '3 (cid:100)(cid:100)△ECD= _8¤ =16'3 4 •50% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 16'3 보충학습 평행선을 이용한 삼각형의 넓이 l//m이면 (cid:100)(cid:100)△ABC=△DBC A D B C l m 117 지고, 각각의 정삼각형의 높이는 내접원의 반지름의 길이와 정육각형은 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어 같다. 오른쪽 그림과 같이 정 육각형에 내접하는 원의 반지 름의 길이를 r cm라 하면 (cid:100)(cid:100)r= _ =4 '3 2 8'3 3 따라서 구하는 내접원의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_4¤ =16p (cm¤ ) cm8´3 3 r`cm cm8´3 3 cm8´3 3 해결 과정 118 오른쪽 그림에서 △ABC는 한 변의 길이가 48 cm 인 정삼각형이므로 그 높이는 (cid:100)(cid:100) _48=24'3 (cm) '3 2 (cid:9120) ② A B C •60% 배점 Ⅵ. 피타고라스 정리 21 E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지22 SinsagoHitec 답 구하기 따라서 지면에서 제일 꼭대기까지의 높이는 (cid:100)(cid:100)8+24'3+8=24'3+16 (cm) •40% 배점 (cid:9120) (24'3+16)cm 119 용한다. △ABC=△PAB+△PBC+△PCA임을 이 △ABC의 한 변의 길이를 a라 하면 △ABC=△PAB+△PBC+△PCA이므로 (cid:100)(cid:100) a¤ =;2!;_a_PD”+;2!;_a_PE”+;2!;_a_PF” '3 4 '3 4 '3 (cid:100)(cid:100) a¤ = 4 (cid:100)(cid:100) a¤ =;2!;a(PD”+PE”+PF”) 3'3 2 a(cid:100)(cid:100)∴ a=6 (∵ a>0) (cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _6¤ =9'3 '3 4 (cid:9120) ④ 120 (cid:8833) △ABC=△OAB+△OBC+△OCA △ABC의 내접원의 중심을 O라 하면 4 6 A O B x H 8-x C 오른쪽 그림과 같이 꼭 짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하고, BH”=x라 하면 (cid:100)(cid:100)CH”=8-x △ABH와 △AHC에서 (cid:100)(cid:100)AH” ¤ =4¤ -x¤ =6¤ -(8-x)¤ (cid:100)(cid:100)16x=44(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡4¡;; ¤ = 따라서 AH”=Æ…4¤ -{;;¡4¡;;} 3'∂15 4 이므로 3'∂15 (cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_8_ 4 △ABC의 내접원의 중심을 O라 하고 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므로 =3'∂15 '∂15 3 (cid:100)(cid:100)3'∂15=9r(cid:100)(cid:100)∴ r= 따라서 구하는 원의 넓이는 '∂15 3 ¤ =;3%;p } (cid:100)(cid:100)p_{ (cid:9120) ;3%;p 121 보조선을 그어 직각삼각형을 찾는다. 오른쪽 그림과 같이 꼭 짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하고, HM”=a라 하면(cid:100)(cid:100)BH”=21-a △ABH와 △AHM에서 20 A 13 B 21-a a H M C ¤ =20¤ -(21-a)¤ =13¤ -a¤ (cid:100)(cid:100)AH” (cid:100)(cid:100)42a=210(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (cid:100)(cid:100)∴ AH”="√13¤ -5¤ =12 또 HC”=HM”+MC”=5+21=26이므로 △AHC에서 (cid:9120) ④ (cid:100)(cid:100)AC” ¤ =12¤ +26¤ =820 ¤ =AH” ¤ +HC” 22 정답 및 풀이 만점 공략 BOX 이등변삼각형의 꼭지각 의 꼭짓점에서 밑변에 그은 수선은 밑변을 이 등분하므로 (cid:100)AM”=MC” (cid:100) =;2!;AC” (cid:100) =2'2 (cm) BM”=;2!; BC”=21이므 로 (cid:100)BH”=BM”-HM” =21-a 122 △AFC는 AF”=CF”인 이등변삼각형이다. AF”=CF”="√4¤ +3¤ =5 (cm), AC”="√4¤ +4¤ =4'2 (cm)이므로 △AFC는 AF”=CF”인 이등변삼각형이다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 F에서 AC”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 △AFM에서 5`cm F (cid:100)(cid:100)FM”=ø∑5¤ -∑(2'2)¤ (cid:100)(cid:100)FM”='∂17 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ △AFC=;2!;_4'2_'∂17 (cid:100)(cid:100)∴ △AFC=2'∂34 (cm¤ ) A C M 4Â2`cm 5`cm (cid:9120) ② D F E A 30æ △EAD에서 123 해결 과정 ① DE” : AD”='3 : 2이므로 (cid:100)(cid:100)DE” : 12='3 : 2 (cid:100)(cid:100)∴ DE”=6'3 (cm)•30% 배점 꼭짓점 E에서 AD”, 해결 과정 ② BC”에 내린 수선의 발을 각각 F, G 라 하면 △DEF에서 DF” : DE”='3 : 2이므로 (cid:100)(cid:100)DF” : 6'3='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ DF”=9 (cm)•40% 배점 ∴ △ECD=;2!;_CD”_DF” 답 구하기 G 12`cm B C ∴ △ECD=;2!;_12_9 ∴ △ECD=54(cm¤ ) •30% 배점 (cid:9120) 54 cm¤ •20% 배점 PQ”=x (x>2)라 하면 △PBQ에서 문제 이해 124 BP” : PQ”=2 : 1이므로 (cid:100)(cid:100)BP” : x=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BP”=2x (cid:100)(cid:100)∴ AP”=AB”-BP”=6-2x 해결 과정 △ABC와 △APS에서 (cid:100)(cid:100)∠A는 공통, ∠ABC=∠APS (동위각) 이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△APS (AA 닮음) 따라서 AB” : AP”=BC” : PS”이므로 (cid:100)(cid:100)6 : (6-2x)=9 : PS” (cid:100)(cid:100)∴ PS”=9-3x •40% 배점 답 구하기 따라서 (cid:8772)PQRS=x(9-3x)=;;¡4∞;;이므로 (cid:100)(cid:100)4x¤ -12x+5=0,(cid:100)(cid:100)(2x-5)(2x-1)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=;2%; (∵ x>2) 즉 PQ”의 길이는 ;2%;이다. •40% 배점 (cid:9120) ;2%; 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이 125 용할 수 있도록 보조선을 긋는다. 두 꼭짓점 A, D에 서 BC”에 내린 수선의 발 을 각각 H, H'이라 하면 B H 45æ A 5 D 4 60æ H' C (cid:100)(cid:100)3'∂15=;2!;_4_r+;2!;_8_r+;2!;_6_r BC”// PS” E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지23 SinsagoHitec 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ △DH'C에서 ∠CDH'=150°-90°=60°이므로 (cid:100)(cid:100)DC” : DH'”=2 : 1 (cid:100)(cid:100)4 : DH'”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ DH'”=2 또 DC” : CH'”=2 : '3이므로 (cid:100)(cid:100)4 : CH'”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ CH'”=2'3 △ABH에서 BH”=AH”=DH'”=2이므로 (cid:100)(cid:100)BC”=BH”+HH'”+CH'” =2+5+2'3=7+2'3 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_{5+(7+2'3)}_2 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=12+2'3 (cid:9120) ⑤ 126 넓이를 구한다. 꼭짓점 H에서 OG”에 수선을 그어 △HOG의 C B D 6`cm 45æ 6`cm O A E H F G P 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 H에서 OG”에 내린 수선의 발 을 P라 하면 (cid:100)(cid:100)∠HOG= =45° 360° 8 이므로 △HOP에서 (cid:100)(cid:100)HP” : OH”=1 : '2 (cid:100)(cid:100)HP” : 6=1 : '2 (cid:100)(cid:100)∴ HP”=3'2 (cm) 따라서 정팔각형의 넓이는 (cid:100)(cid:100)8△HOG=8_{;2!;_6_3'2 } (cid:100)(cid:100)8△HOG=72'2 (cm¤ ) (cid:9120) 72'2 cm¤ 127 이의 제곱의 합을 비교하여 삼각형의 모양을 판별한다. 가장 긴 변의 길이의 제곱과 나머지 두 변의 길 AB”=ø∑(-3-2)¤ ∑+(0-5)¤ ='∂50 BC”=ø∑(3+3)∑ ¤ +∑(2-0)¤ ='∂40 CA”=ø∑(2-3)¤ +∑(5-2)¤ ='∂10 ¤ =BC” 따라서 AB” 인 직각삼각형이다. ¤ +CA” (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_'∂40_'∂10=10 (cid:9120) ③ 128 x축 위의 점의 좌표 (cid:8833) (a, 0) 구하는 점을 P(a, 0)이라 하면 (cid:100)(cid:100)AP”="√(a-6)¤ +(0-2)¤ (cid:100)(cid:100)AP”="√(a-6)¤ +4 (cid:100)(cid:100)BP”="√(a-2)¤ +(0-4)¤ (cid:100)(cid:100)BP”="√(a-2)¤ +16 AP”=BP”이므로 (cid:100)(cid:100)"√(a-6)¤ +4="√(a-2)¤ +16 (cid:100)(cid:100)(a-6)¤ +4=(a-2)¤ +16 (cid:100)(cid:100)8a=20(cid:100)(cid:100)∴ a=;2%; 따라서 구하는 점의 좌표는 {;2%;, 0}이다. (cid:9120) {;2%;, 0} 만점 공략 BOX △BA'B'은 빗변이 A'B”이고 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 12 cm, 16 cm인 직각 삼각형이다. (cid:8772)AHH'D는 직사각 형이므로 (cid:100)HH'”=AD”=5 해결 과정 129 오른쪽 그 림에서 토끼가 이동하는 거 리는 (cid:100)(cid:100)AP”+BP”=A'P”+BP” A 4`m A' æA'B” △BA'B'에서 답 구하기 (cid:100)(cid:100)A'B”="√16¤ +(8+4)¤ =20 (m) 따라서 토끼가 이동하는 최단 거리는 20 m이다. 본책 31쪽~33쪽 B 8`m B' P 16`m •50% 배점 •50% 배점 (cid:9120) 20 m 직사각형의 두 대각선 의 길이는 같다. GJ”= FC”이므로 '3 2 2 '3 (cid:100)FC”= GJ” △ABC에서 변 AB 의 중점을 지나고 변 BC에 평행한 직선과 변 AC의 교점을 N이 라 하면 (cid:100)AN”=NC” 내신 만점 굳히기 본책 33쪽 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형 130 의 대각선의 길이는 "√a¤ +b¤ 임을 이용한다. OQ”=a cm, OP”=b cm A 라 하면 PQ”=OC”=10 cm이므 로 (cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ =10¤ =100 또 (cid:8772)POQC의 넓이가 48 cm¤ 이므로(cid:100)(cid:100)ab=48 (cid:100)(cid:100)∴ (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab b`cm P O C B a`cm 10`cm Q =100+2_48=196 그런데 a+b>0이므로(cid:100)(cid:100)a+b=14 (cid:100)(cid:100)∴ AP”+PQ”+QB”=(10-b)+10+(10-a) =30-(a+b) =30-14=16 (cm) (cid:9120) ② '3 2 a D G E F I J C 점 E에서 AB”, BC”에 내 린 수선의 발을 각각 H, I, 점 G에서 BC”에 내린 수선의 발을 J라 하고 AB”=a라 하면 A H B (cid:100)(cid:100)HE”=BI”= a '3 2 △GFC에서 GJ”=a이므로(cid:100)(cid:100)FC”= (cid:100)(cid:100)∴ FJ”=JC”=;2!; FC”=;2!;_ EF”=GE”, EI”// GJ”이므로 '3 3 (cid:100)(cid:100)IJ”=;2!;FJ”=;2!;_ a= a (cid:100)(cid:100)∴ BC”=BI”+IJ”+JC” '3 6 '3 2 (cid:100)(cid:100)∴ BC”='3a (cid:100)(cid:100)∴ AB” : BC”=a : '3a=1 : '3 (cid:100)(cid:100)∴ BC”= a+ a+ a '3 6 '3 3 2'3` 3 a 2'3` 3 '3` a= a 3 (cid:9120) ② Ⅵ. 피타고라스 정리 23 ¤ 이므로 △ABC는 ∠C=90° 131 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이 (cid:8833) 135 [문제 해결 길잡이] ❶ 점 A를 OX≥, OY≥에 대하여 각각 대칭이동한다. ❷ AP”=A'P”, AQ”=A"Q”임을 이용하여 △APQ의 둘레의 길이의 최솟값과 길이가 같은 선분을 찾는다. ❸ ∠POA=∠POA', ∠QOA=∠QOA"임을 이용하여 ∠A'OA"의 크기를 구한다. ❹ 피타고라스 정리를 이용하여 △APQ의 둘레의 길이의 최 솟값을 구한다. Y b a P Q O X A A' 5`cm 오른쪽 그림과 같이 점 A를 OX≥, OY≥에 대하여 대칭 이동한 점을 각각 A', A"이라 하자. ❶ AP”=A'P”, AQ”=A"Q”이므로 △APQ의 둘레의 길이는 (cid:100)=AP”+PQ”+QA” (cid:100)=A'P”+PQ”+QA"” (cid:100)æA'A"” ❷ ∠POA=a, ∠QOA=b라 하면 (cid:100)(cid:100)∠A'OA"=2a+2b=2(a+b) (cid:100)(cid:100)∠A'OA"=2_45°=90° ❸ (cid:100)(cid:100)∴ A'A"”="√5¤ +5¤ =5'2 (cm) 따라서 구하는 둘레의 길이의 최솟값은 5'2 cm이다. 5`cm A'' ❹ (cid:9120) 5'2 cm E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지24 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 2`cm F A B I E G J H D C 해결 과정 132 오른쪽 그림 에서 △BCE는 한 변의 길이 가 2 cm인 정삼각형이므로 직 선 EG가 AD”, BC”와 만나는 점을 각각 I, J라 하면 '3 2 (cid:100)(cid:100)EJ”= _2='3 (cm) (cid:100)(cid:100)GJ”=IE”=2-'3 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ EG”='3-(2-'3) 답 구하기 가 2('3-1)cm이므로 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=;2!;_EG”_FH” (cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=;2!;_{2('3-1)}¤ (cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=4(2-'3)(cm¤ ) =2('3-1)(cm) 따라서 정사각형 EFGH의 대각선의 길이 •60% 배점 •40% 배점 (cid:9120) 4(2-'3)cm¤ 133 의 세 변의 길이의 비를 이용한다. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 △ABC는 정삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠A=∠B=∠C=60° △AFE, △BDF, △CED는 모두 직각삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠AFE=∠BDF=∠CED=90°-60°=30° (cid:100)(cid:100)∴ ∠DEF=∠EFD=∠FDE (cid:100)(cid:100)∴ ∠DEF=180°-(90°+30°)=60° 즉 △DEF는 정삼각형이다. △AFE에서 AF” : AE” : FE”=2 : 1 : '3이고 AE”=BF”이므로 △ABC와 △DEF의 닮음비는 (cid:100)(cid:100)AB” : FE”=3 : '3 따라서 △ABC와 △DEF의 넓이의 비는 (cid:100)(cid:100)3¤ : ('3 )¤ =3 : 1 x=-2일 때 y=4이므로 문제 이해 134 (cid:100)(cid:100)A(-2, 4) 해결 과정 ① •10% 배점 B(a, a¤ ) (a>0)이라 하면 △AOB에서 ¤ +AB” ¤ =OA” (cid:100)(cid:100)OB” (cid:100)(cid:100)a¤ +a› =(-2)¤ +4¤ +(a+2)¤ +(a¤ -4)¤ (cid:100)(cid:100)8a¤ -4a-40=0,(cid:100)(cid:100)2a¤ -a-10=0 (cid:100)(cid:100)(a+2)(2a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;2%; (∵ a>0) (cid:100)(cid:100)∴ B{;2%;, ;;™4∞;;} 해결 과정 ② AB”=Æ…{;2%;+2} OA”="√(-2)¤ +4¤ =2'5 ¤ +{;;™4∞;;-4} ¤ = 9'5 4 답 구하기 ∴ △AOB=;2!;_2'5_ 9'5 4 ∴ △AOB=;;¢4∞;; •40% 배점 •30% 배점 •20% 배점 (cid:9120) ;;¢4∞;; 24 정답 및 풀이 △AFE™△BDF ™△CED (ASA 합동) (cid:9120) ② 이므로 (cid:100)AE”=BF” AE”=a라 하면 (cid:100)AB”=AF”+BF” =AF”+AE” =2a+a=3a (cid:100)FE”='3a (cid:100)∴ AB”`:`FE”=3`:`'3 ¤ 만점 공략 BOX 본책 33쪽~35쪽 E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지25 SinsagoHitec 12 피타고라스 정리의 활용 ⑵ 본책 34~36쪽 개념&기출유형 136 AD”=x라 하면 (cid:100)(cid:100)"√4¤ +x¤ +5¤ =5'2 (cid:100)(cid:100)x¤ +41=50,(cid:100)(cid:100)x¤ =9 (cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) 원뿔의 전개도에서 (부채꼴의 호의 길 이) =(밑면인 원의 둘레 의 길이) (cid:9120) 3 137 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 (cid:100)(cid:100)6a¤ =162,(cid:100)(cid:100)a¤ =27 (cid:100)(cid:100)∴ a=3'3 (∵ a>0) 따라서 정육면체의 대각선의 길이는 (cid:100)(cid:100)'3_3'3=9 (cm) (cid:9120) 9 cm 정육면체는 각 면이 모 두 합동인 6개의 정사 각형으로 이루어져 있 다. 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 141 원뿔의 모선의 길이를 l cm라 하면 (cid:100)(cid:100)l=ø∑(5'∂15)¤ 오른쪽 그림의 전개도에서 부 채꼴의 중심각의 크기를 x°라 하면 ∑+5¤ =20 20`cm xæ (cid:100) 2p_20_ =2p_5 x 360 (cid:100)(cid:100)∴ x=90 (cid:9120) ③ 5`cm 142 HD”=;2!; BD”=4'2 (cm)이므로 △OHD에서 (cid:100)(cid:100)OD”=ø∑(4'2)¤ +∑(4'2)¤ =8 (cm) (cid:9120) ② O A H 12 D B C 143 오른쪽 그림과 같이 꼭 짓점 O에서 밑면에 내린 수선 의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)BD”='2_12=12'2 (cid:100)(cid:100)∴ HD”=;2!; BD”=6'2 △OHD에서 (cid:100)(cid:100)OH”=ø∑12¤ -∑(6'2)¤ =6'2 따라서 사각뿔의 부피는 (cid:100)(cid:100);3!;_12¤ _6'2=288'2 (cid:9120) ③ 144 주어진 전개도로 만들어지 는 사각뿔은 오른쪽 그림과 같으 므로 (cid:100)(cid:100)BD”='2_4=4'2 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ DH”=;2!; BD”=2'2 (cm) △OHD에서 O A 8`cm D 4`cm B HH 4`cm C (cid:100)(cid:100)OH”=ø∑8¤ -∑(2'2)¤ =2'∂14 (cm) 따라서 사각뿔의 부피는 (cid:100)(cid:100);3!;_4¤ _2'∂14= 32'∂14 3 (cm‹ ) (cid:9120) 32'∂14 3 cm‹ 만점비법 주어진 전개도로 만들어지는 사각뿔을 그려 문제를 해결한 다. 145 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 (cid:100)(cid:100) a=4'6(cid:100)(cid:100)∴ a=12 따라서 정사면체의 부피는 '6 3 '2 12 (cid:100)(cid:100) _12‹ =144'2 (cm‹ ) (cid:9120) 144'2 cm‹ 146 ① MH”=;3!; DM”=;3!;_ _6='3 (cm) '3 2 ② DH”=;3@; DM”=;3@;_ _6=2'3 (cm) '3 2 △AHD에서(cid:100)(cid:100)AH”=ø∑6¤ -∑(2'3)¤ =2'6 (cm) Ⅵ. 피타고라스 정리 25 138 BD”="√8¤ +6¤ =10 (cm) DM”=;2!; DH”=10(cm)이므로 △BDM에서 (cid:100)(cid:100)BM”="√10¤ +10¤ =10'2 (cm) (cid:9120) 10'2 cm 139 원뿔의 높이를 h cm, 모선의 길이를 l cm라 하면 (cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤ _h=9'3p(cid:100)(cid:100)∴ h=3'3 (cid:100)(cid:100)∴ l=ø∑(3'3)¤ ∑+3¤ =6 (cid:100)(cid:100)∴ (원뿔의 겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이) (cid:100)(cid:100)∴ (원뿔의 겉넓이)=p_3¤ +;2!;_(2p_3)_6 (cid:100)(cid:100)∴ (원뿔의 겉넓이)=27p (cm¤ ) (cid:9120) ① 보충학습 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중 심각의 크기를 모를 때, (cid:100) (부채꼴의 넓이) (cid:100)=;2!;_(부채꼴의 호의 길이) (cid:100)=_(부채꼴의 반지름의 길이) (cid:100)=;2!;_2pr_l (cid:100)=prl 2πr l r 140 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r라 하면 (cid:100)(cid:100)2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴ r=3 OA”=l이라 하면 120 360 =6p(cid:100)(cid:100)∴ l=9 (cid:100)(cid:100)2p_l_ 주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은 오른쪽 그림과 같으므로 원뿔의 높이 를 h라 하면 (cid:100)(cid:100)h="√9¤ -3¤ =6'2 따라서 원뿔의 부피는 (cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤ _6'2=18'2p h 9 3 (cid:9120) 18'2p E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지26 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 정사면체는 각 면이 모 두 합동인 4개의 정삼 각형으로 이루어져 있 다. (cid:9120) ③ 이등변삼각형의 성질 ① 두 밑각의 크기가 같다. ② 꼭지각의 이등분선 은 밑변을 수직이등 분한다. △ABB'은 이등변삼 각형이므로 AP”는 ∠BAB'의 이등분선 이다. (cid:100)∴ ∠PAB' ∠BAB' = ;2!; =60° ③ △AHD=;2!;_DH”_AH” ④ △AHD=;2!;_2'3_2'6=6'2 (cm¤ ) ④ (정사면체의 겉넓이)=4_ _6¤ =36'3 (cm¤ ) '2 12 ⑤ (정사면체의 부피)= _6‹ =18'2 (cm‹ ) '3 4 만점비법 정사면체에서 길이 또는 넓이 구하는 방법 ⁄ 직각삼각형을 찾거나 보조선을 그어 직각삼각형을 만든다. ¤ 피타고라스 정리를 이용하여 길이 또는 넓이를 구한다. 147 PC”, PD”는 각각 정삼각형 ABC, ABD의 높이 이므로 '3 (cid:100)(cid:100)PC”=PD”= _6'3=9 (cm) 2 오른쪽 그림에서 △PCD는 이 등변삼각형이므로 P (cid:100)(cid:100)PQ”=ø∑9¤ -∑(3'3)¤ (cid:100)(cid:100)PQ”=3'6 (cm) 9`cm 9`cm C Q 3´3`cm 3´3`cm D (cid:9120) 3'6 cm BP”=;2!;AB”=;2!;_6'3=3'3 (cm), '3 2 BQ”= _6'3=9(cm)이므로 △PBQ에서 (cid:100)(cid:100)PQ”="√9¤ -(3'3)¤ =3'6 (cm) 148 단면인 원의 반지름의 길이는 (cid:100)(cid:100)"√10¤ -5¤ =5'3 (cm) 따라서 단면인 원의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_(5'3)¤ =75p (cm¤ ) (cid:9120) ④ 149 단면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (cid:100)(cid:100)2p_r=4'3p(cid:100)(cid:100)∴ r=2'3 따라서 구의 중심과 평면 사이의 거리는 (cid:100)(cid:100)ø∑4¤ -∑(2'3)¤ =2 (cm) (cid:9120) 2 cm 150 단면인 원의 넓이가 51p cm¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)p_AH” (cid:100)(cid:100)∴ AH”='∂51(cm) (∵ AH”>0) 따라서 △OHA에서 구의 반지름의 길이는 ¤ =51p (cid:100)(cid:100)OA”=ø∑('∂51)¤ ∑+7¤ =10 (cm) (cid:9120) ① 이등변삼각형의 꼭지 각의 꼭짓점에서 밑변 에 내린 수선은 밑변을 이등분하므로 (cid:100)AM”=BM”=1 151 오른쪽 그림의 전개 도에서 구하는 최단 거리 는 FL”의 길이이므로 (cid:100)(cid:100)FL”=ø∑14¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)FL”=2'∂53 B F C D A L 4 E (cid:9120) 2'∂53 5 G 4 H 5 5+4+5=14 26 정답 및 풀이 만점비법 입체도형에서 최단 거리를 구할 때는 전개도를 그려 평면 도형에서 생각한다. 이때 입체도형의 전개도를 필요한 부분 만 그리면 편리하다. 152 밑면의 반지름의 길이 를 r라 하면 밑면의 둘레의 길이는 2pr이므로 옆면의 전 개도는 오른쪽 그림과 같다. 이때 최단 거리는 AB”의 길이이므로 (cid:100)(cid:100)ø∑(2pr)¤ +∑(10p)¤ =30p (cid:100)(cid:100)4r¤ +100=900,(cid:100)(cid:100)r¤ =200 (cid:100)(cid:100)∴ r=10'2 (∵ r>0) A 153 원뿔의 전개도에서 부채 꼴의 중심각의 크기를 x°라 하 면 B (cid:100)(cid:100)2p_12_ =2p_4 x 360 B 10π 2πr (cid:9120) 10'2 A 60æ P 12`cm B' 4`cm (cid:100)(cid:100)∴ x=120 점 A에서 BB'”에 내린 수선의 발을 P라 하면 직각삼각 형 APB'에서 ∠PAB'=60°이므로 (cid:100)(cid:100)PB'” : AB'”='3 : 2 (cid:100)(cid:100)PB'” : 12='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ PB'”=6'3 (cm) 따라서 구하는 최단 거리는 (cid:100)(cid:100)BB'”=2PB'”=12'3 (cm) (cid:9120) 12'3 cm 내신 만점 도전하기 본책 37~39쪽 154 의 빗변이다. OA”와 OB”는 각각 직각삼각형 AEO와 BFO EG”='2_2=2'2이므로(cid:100)(cid:100)EO”=;2!; EG”='2 △AEO에서(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑4¤ +('2)¤ =3'2 △BFO에서(cid:100)(cid:100)OB”=ø∑4¤ +('2)¤ =3'2 점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하면 △OAM에서 (cid:100)(cid:100)OM”=ø∑(3'2)¤ (cid:100)(cid:100)∴ △OAB=;2!;_AB”_OM” ∑-1¤ ='∂17 (cid:100)(cid:100)∴ △OAB=;2!;_2_'∂17='∂17 (cid:9120) ④ 155 임을 이용한다. 직각삼각형 AEG에서 AG”_EP”=AE”_EG” EG”='2_4=4'2 (cm) AG”="√4¤ +4¤ +8¤ =4'6 (cm) △AEG에서 AG”_EP”=AE”_EG”이므로 (cid:100)(cid:100)4'6_EP”=8_4'2 (cid:100)(cid:100)∴ EP”= (cm) 8'3 3 (cid:9120) 8'3 3 cm E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지27 SinsagoHitec 156 닮은 삼각형을 찾아 닮음비를 이용한다. △AIP와 △AEG에서 (cid:100)(cid:100)∠A는 공통, ∠AIP=∠AEG=90° A 3 6 B D 8 C I 이므로 (cid:100)(cid:100)△AIPª△AEG (AA 닮음) 따라서 AP” : AG”=AI” : AE”이고 AG”="√6¤ +3¤ +12¤ =3'∂21이므로 (cid:100)(cid:100)AP” : 3'∂21=8 : 12(cid:100)(cid:100)∴ AP”=2'∂21 (cid:9120) 2'∂21 12 J K H G E L F P 세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체 157 의 대각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤ +c¤ 두 꼭짓점 사이의 거리가 될 수 있는 경우는 다 음과 같다. ⁄ 정육면체가 한 개인 경우 (cid:100)(cid:100)1, '2_1='2, (cid:100)(cid:100)'3_1='3 ¤ 두 개의 정육면체가 붙어 있는 ¤ 경우 (cid:100)(cid:100)2, "√2¤ +1¤ ='5, (cid:100)(cid:100)"√2¤ +1¤ +1¤ ='6 ‹ 세 개의 정육면체가 붙 어 있는 경우 (cid:100)(cid:100)3, "√3¤ +1¤ ='∂10, (cid:100)(cid:100)"√3¤ +1¤ +1¤ ='∂11 1 1 1 1 1 1 1 2 3 이상에서 두 꼭짓점 사이의 거리가 될 수 없는 것은 ③ (cid:9120) ③ 이다. 문제 이해 158 오른쪽 그림과 같이 주어진 전개도로 만들어지는 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r, 모선의 길 이를 l, 높이를 h라 하자. •10% 배점 밑면인 원의 둘레의 길 해결 과정 ① 이가 4p이므로(cid:100)(cid:100)2pr=4p(cid:100)(cid:100)∴ r=2 •20% 배점 h r l 해결 과정 ② 옆면인 부채꼴의 넓이가 12p이므로 (cid:100)(cid:100) _l_4p=12p(cid:100)(cid:100)∴ l=6 •20% 배점 ;2!; 해결 과정 ③ 답 구하기 ∴ h="√6¤ -2¤ =4'2 따라서 구하는 원뿔의 부피는 16'2 3 p _p_2¤ _4'2= (cid:100)(cid:100) ;3!; •20% 배점 •30% 배점 (cid:9120) 16'2 3 p 주어진 도형을 1회전 시킬 때 생기는 회전체는 159 두 원뿔을 붙여 만든 것과 같다. 오른쪽 그림과 같이 점 B 에서 AC”에 내린 수선의 발을 H 라 하면 △BCH에서 BC” : CH”=2 : 1이므로 (cid:100)(cid:100)4 : CH”=2 : 1 A 45æ H 60æ C B 4`cm 만점 공략 BOX 본책 35쪽~38쪽 (cid:100)(cid:100)∴ CH”=2 (cm) 또 BC” : BH”=2 : '3이므로 (cid:100)(cid:100)4 : BH”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BH”=2'3 (cm) △ABH에서 AH” : BH”=1 : 1이므로 (cid:100)(cid:100)AH” : 2'3=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3 (cm) 따라서 회전체의 부피는 (cid:100)(cid:100);3!;_p_(2'3)¤ _2'3+;3!;_p_(2'3)¤ _2 (cid:100)=8('3+1)p (cm‹ ) (cid:9120) ④ 문제 이해 160 원 모 양의 종이의 반지름의 길이를 l, 두 원뿔 A, B의 밑면의 반지름의 길이를 각각 r¡, r™라 하 자. 해결 과정 ① 원뿔 A에서 l h¡ l h™ A r¡ B r™ •10% 배점 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ (cid:100)(cid:100)2pl_;3@6$0);=2pr¡(cid:100)(cid:100)∴ r¡=;3@;l (cid:100)(cid:100)∴ h¡=æ≠l¤ -{;3@;l} '5 ¤ = l 3 해결 과정 ② 원뿔 B에서 (cid:100)(cid:100)2pl_;3!6@0);=2pr™(cid:100)(cid:100)∴ r™=;3!;l (cid:100)(cid:100)∴ h™=æ≠l¤ -{;3!;l} ¤ = 2'2 3 l 답 구하기 h¡ h™ '5 = l_ 3 3 2'2 l = '∂10 4 이므로 h¡은 h¡= 'ß10` 4 h™ h™의 배이다. '∂10 4 •30% 배점 •30% 배점 •30% 배점 (cid:9120) 배'∂10 4 △AIO는 빗변이 AO” 인 직각삼각형이다. 하면 △AIO에서 EG”='2_2=2'2이므로 해결 과정 ① 161 (cid:100)(cid:100)EO”=;2!; EG”='2 △AEO에서 (cid:100)(cid:100)AO”=ø∑2¤ +('2)¤ ='6 해결 과정 ② 점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 I라 •30% 배점 (cid:100)(cid:100)OI”=ø∑('6)¤ -1¤ ='5 (cid:100)(cid:100)∴ △ABO=;2!;_2_'5='5 이때 △ABO, △BCO, △CDO, △DAO는 모두 합 동이므로 넓이가 같다. •40% 배점 따라서 사각뿔 O-ABCD의 겉넓이는 답 구하기 (cid:100)(cid:100)2_2+4_'5=4+4'5 •30% 배점 (cid:9120) 4+4'5 162 크기를 구한다. AH”, FH”의 길이의 비를 이용하여 ∠AFH의 사각뿔의 부피가 이므로 500'3 3 500'3 3 (cid:100)(cid:100);3!;_10¤ _AH”= (cid:100)(cid:100)∴ AH”=5'3 Ⅵ. 피타고라스 정리 27 E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지28 SinsagoHitec 만점 공략 BOX HF”=;2!; BC”=5이므로 △AHF에서 (cid:100)(cid:100)AH” : HF”=5'3 : 5='3 : 1 (cid:100)(cid:100)∴ ∠AFH=60° 163 면체이고 정팔면체는 합동인 사각뿔 2개를 붙여 놓은 모양 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 정팔 꼭짓점 A에서 BM”에 내린 수선의 발을 E라 하면 AE”의 길이는 정사면체의 높이와 같으므로 ∠A=30°, ∠B=60°, ∠C=90°인 직각삼각 형의 세 변의 길이의 비는 BC” : CA” : AB” =1 : '3 : 2 (cid:100)(cid:100)AE”= _'6=2 (cm) '6 3 (cid:100)(cid:100)∴ △ABM=;2!;_BM”_AE” (cid:100)(cid:100)∴ △ABM=;2!;_ 3'2 2 _2= (cm¤ ) 3'2 2 (cid:9120) 60° C 과 같다. O H B E D A 주어진 전개도로 만들어 지는 입체도형은 오른쪽 그림 과 같은 정팔면체이고, 꼭짓점 O에서 (cid:8772)ABCD에 내린 수선 의 발을 H라 하면 점 H는 (cid:8772)ABCD의 두 대각선의 교 점과 일치한다. 높이가 2'3인 정삼각형의 한 변의 길이는 (cid:100)(cid:100)2'3_ =4 즉 정팔면체의 한 모서리의 길이가 4이므로 2 '3 (cid:100)(cid:100)AC”='2_4=4'2(cid:100)(cid:100)∴ AH”=;2!; AC”=2'2 따라서 △OAH에서 (cid:100)(cid:100)OH”=ø∑4¤ -∑(2'2)¤ =2'2 (cid:100)(cid:100)∴ (정팔면체의 부피)=2_(사각뿔의 부피) (cid:100)(cid:100)∴ (정팔면체의 부피)=2_;3!;_4¤ _2'2 (cid:100)(cid:100)∴ (정팔면체의 부피)= (cid:9120) ③ 64'2 3 한 모서리의 길이가 x인 정사면체의 높이 164 '6 3 (cid:8833) x 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)AF”='2a 즉 CI”는 한 모서리의 길이가 '2a인 정사면체의 높이이 므로 (cid:100)(cid:100)CI”= _'2a=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6 '6 3 165 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이 (cid:8833) AM”=BM”= _'6= '3 2 3'2 2 (cm) (cid:9120) ③ '3 2 a 오른쪽 그림과 같이 △ABM 의 꼭짓점 M에서 AB”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 △MAH에서 A '6 2 3'2 2 ¤ -{ (cid:100)(cid:100)MH”=æ≠{ } (cid:100)(cid:100)MH”='3 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ △ABM=;2!;_AB”_MH” } (cid:100)(cid:100)∴ △ABM=;2!;_'6_'3 (cid:100)(cid:100)∴ △ABM= (cm¤ ) 3'2 2 28 정답 및 풀이 (원뿔의 높이) =(구의 반지름의 길이) +(구의 중심에서 원뿔의 밑면까지 의 거리) =r+ =;2#;r ;2R; 밑면의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원뿔의 166 부피는 pr¤ h이다. ;3!; 원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 '3 ¤ = r 2 (cid:100)(cid:100)æ≠r¤ -{;2R;} 이므로 원뿔의 부피 V¡은 (cid:100)(cid:100)V¡=;3!;_p_{ 또 반지름의 길이가 r인 구의 부피 V™는 r= r} ;2#; ;8#; pr‹ '3 2 ¤ _ (cid:100)(cid:100)V™=;3$;pr‹ (cid:100)(cid:100)∴ = pr‹ _ V™ V¡ ;3$; 8 3pr‹ = ;;£9™;; (cid:9120) ② 167 고라스 정리를 이용한다. 구의 중심과 수면 사이의 거리를 구한 후 피타 구의 반지름의 길이는 5 cm이므로 구의 중심에 서 수면까지의 거리는 (cid:100)(cid:100)5-2=3 (cm) 따라서 단면인 원의 반지름의 길이는 (cid:100)(cid:100)"√5¤ -3¤ =4 (cm) 이므로 구하는 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_4¤ =16p (cm¤ ) (cid:9120) ② 168 스 정리를 이용한다. 구의 반지름의 길이를 R cm라 하고 피타고라 R`cm2 3 오른쪽 그림과 같이 단면인 원의 반지름의 길이 를 r cm라 하면 (cid:100)(cid:100)pr¤ =15p (cid:100)(cid:100)∴ r='∂15 (∵ r>0) 구의 반지름의 길이를 R cm라 하면 O R`cm A M B r`cm (cid:100)(cid:100)OM”=;3@;R (cm) △OMB에서 (cid:100)(cid:100){;3@;R} ¤ +('∂15)¤ =R¤ (cid:100)(cid:100);9%;R¤ =15,(cid:100)(cid:100)R¤ =27 (cid:100)(cid:100)∴ R=3'3 (∵ R>0) (cid:9120) 3'3 cm M △ABM은 MA”=MB” 인 이등변삼각형이다. 3´2 2 cm 3´2 2 cm B H cm´6 2 cm´6 2 (cid:9120) 3'2 2 cm¤ 169 본다. 최단 거리 (cid:8833) 선이 지나는 면의 전개도를 그려 ¤ E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지29 SinsagoHitec 171 해결 과정 ① ⁄ AD” 또는 FG”를 지나는 경우 EF”⊥BC” 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는 AD'” 의 길이이므로 (cid:100)(cid:100)AD'”="√6¤ +9¤ =3'∂13 (cm) A B C 9`cm A' 6`cm D E F D' (cid:9120) ⑤ 해결 과정 ① 170 (cid:100)(cid:100)2p_4=8p 밑면의 둘레의 길이는 •20% 배점 해결 과정 ② A A' A'' A''' 7π B 8π B' 8π B'' 8π B''' 위의 전개도에서 구하는 최단 거리는 AB'''”의 길이이다. 답 구하기 ∴ AB'''”=ø∑(7p)¤ +∑(24p)¤ =25p •40% 배점 •40% 배점 (cid:9120) 25p 만점비법 옆면을 세 바퀴 돌면 옆면을 세 번 지나게 되므로 최단 거 리는 전개도에서 옆면 3개가 붙여진 직사각형의 대각선의 길이이다. B F E B 5 F H G H 5 D 3 C H 3 G E A B C 5 G 3 H 4 4 이때의 최단 거리는 (cid:100)(cid:100)"√4¤ +(5+3)¤ ='∂80 해결 과정 ② ¤ AE” 또는 CG”를 지나는 경우 A B C D •30% 배점 D 5 H A B 4 E 3 F 4 G 3 H 이때의 최단 거리는 (cid:100)(cid:100)"√5¤ +(4+3)¤ ='∂74 해결 과정 ③ ‹ CD” 또는 EF”를 지나는 경우 D E •30% 배점 4 C 5 4 F 5 이때의 최단 거리는 (cid:100)(cid:100)"√(4+5)¤ +3¤ ='∂90 답 구하기 이상에서 구하는 최단 거리는 '∂74이다. A 3 B •30% 배점 •10% 배점 (cid:9120) '∂74 만점 공략 BOX 본책 38쪽~40쪽 DD'”의 길이는 한 변 의 길이가 3 cm인 정 삼각형의 둘레의 길이 이므로 (cid:100)DD'”=9 cm 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 내신 만점 굳히기 본책 40쪽 세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체 172 의 대각선의 길이는 "√a¤ +b¤ +c¤ 이다. AC”=2x라 하면 ¤ +BC” ¤ =AB” (cid:100)(cid:100)AB”=BC”=ø∑4¤ +(∑4'2)¤ +x¤ ="√x¤ +48 △ABC에서 AC” (cid:100)(cid:100)4x¤ =2(x¤ +48),(cid:100)(cid:100)x¤ =48 (cid:100)(cid:100)∴ x=4'3 (∵ x>0) (cid:100)(cid:100)∴ AC”=2_4'3=8'3 ¤ 이므로 (cid:9120) ④ 173 각형인지 알아본다. BE”, CE”의 길이를 구하여 △BCE가 어떤 삼 점 B에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 '3 (cid:100)(cid:100)BH”= _6=3'3, 2 (cid:100)(cid:100)EH”=AH”-AE”=3-;3!;_6=1 이므로 △BHE에서 (cid:100)(cid:100)BE”=ø∑(3'3)¤ +1¤ =2'7 같은 방법으로 하면 (cid:100)(cid:100)CE”=BE”=2'7 즉 △BCE는 BE”=CE”인 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)EF”=ø∑(2'7)¤ ∑-3¤ ='∂19 따라서 EF”를 한 모서리로 하는 정사면체의 부피는 19'∂38 12 (cid:100)(cid:100) _('∂19)‹ = '2 12 (cid:9120) 19'∂38 12 문제 이해 174 (cid:8772)ABCD의 두 대각선의 교점을 M이라 하 고 점 I에서 두 면 ABCD, EFGH에 내린 수선의 발을 각 각 K, J라 하면 (cid:8772)BFHD는 오른쪽 그림과 같다. B K M D 3 F I J H 3Â2 •20% 배점 해결 과정 △BIM과 △HIF에서 (cid:100)(cid:100)∠IBM=∠IHF, ∠IMB=∠IFH (엇각) 이므로(cid:100)(cid:100)△BIMª△HIF (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ IK” : IJ”=BM” : HF”=1 : 2 •40% 배점 답 구하기 이때 KJ”=BF”=3이므로 구하는 거리는 (cid:100)(cid:100)IJ”=3_;3@;=2 •40% 배점 (cid:9120) 2 BD”// FH” BD”=FH”이고 1 2 BM”= BD”이므로 (cid:100)BM”= FH” 1 2 정육면체의 한 변의 길 이를 a라 하면 △FGH 에서 (cid:100)a¤ +a¤ =(3'2)¤ (cid:100)∴ a=3 (∵ a>0) 175 (뿔대의 부피) =(큰 뿔의 부피)-(작은 뿔의 부피) △OFG에서 OF”=OG”, ∠OFG=60°이므로 △OFG는 정삼각형이다. 또 △OBC에서 OB”=OC”, ∠OBC=∠OFG=60°이 므로 △OBC도 정삼각형이다. BC”// FG” Ⅵ. 피타고라스 정리 29 E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지30 SinsagoHitec 만점 공략 BOX OB” : OF”=6 : 12 =1 : 2 닮은 도형의 둘레의 길 이, 넓이, 부피의 비 닮음비가 m : n인 두 도형에 대하여 ① 둘레의 길이의 비 (cid:9178) m : n ② 넓이의 비 (cid:9178) m¤ : n¤ ③ 부피의 비 (cid:9178) m‹ : n‹ BM”의 길이는 정사각 형 ABCD의 대각선의 1 길이의 이다. 2 △ABC와 △ACD'은 한 변의 길이가 3인 정 삼각형이다. △DBA는 정삼각형이 므로 (cid:100)∠DBA=60° 이때 ㉠에서 b=8-a이므로 (cid:100)(cid:100)a¤ "√(8-a)¤ -a¤ =36,(cid:100)(cid:100)a¤ "√64-16a=36 (cid:100)(cid:100)∴ a¤ 'ƒ4-a=9 이때 a가 자연수이므로 (cid:100)(cid:100)a¤ =1 또는 a¤ =9 ⁄ a¤ =1, 즉 a=1일 때, yy ㉡ ❷(cid:100) '3+9이므로 ㉡이 성립하지 않는다. ¤ a¤ =9, 즉 a=3일 때, 9=9이므로 ㉡이 성립한다. ⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)a=3 a=3을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=5 ❸ (cid:100)(cid:100)∴ x="√a¤ +b¤ ="√3¤ +5¤ ='∂34 ❹ 내신 만점 정복하기 본책 41~46쪽 직사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만들어지 15`cm 178 는 도형은 마름모이다. 오른쪽 그림과 같이 직사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만들어지는 도형 은 마름모이다. 이때 마름모의 한 변의 길이는 (cid:100)(cid:100)æ≠4¤ +{:¡2∞:}2 =:¡2¶: (cm) 이므로 구하는 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)4_:¡2¶:=34 (cm) 179 타고라스 정리를 이용한다. A B 10`m B지점에서 C지점 까지의 거리를 x m라 하 면 A지점에서 C지점까지 의 거리는 (cid:100)(cid:100)60-(10+x)=50-x (m) 이므로 (cid:100)(cid:100)(50-x)¤ =10¤ +x¤ (cid:100)(cid:100)100x=2400(cid:100)(cid:100)∴ x=24 따라서 공터의 넓이는 (cid:9120) '∂34 8`cm (cid:9120) ③ {50-x}`m x`m C B지점에서 C지점까지의 거리를 x m라 하고 피 (cid:100)(cid:100);2!;_24_10=120 (m¤ ) (cid:9120) 120 m¤ 이등변삼각형의 꼭지각의 꼭짓점에서 밑변에 180 그은 수선은 밑변을 이등분한다. 오른쪽 그림과 같이 원 의 중심 O에서 AB”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 △OAB 는 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)AH”=;2!; AB”=5 (cm) 5`cm A H B 7`cm O 7`cm yy ㉠ ❶(cid:100) OH”가 밑변을 이등분 하므로 (cid:100)AH”=BH” 사각뿔의 높이는 "√b¤ -a¤ 이다. (cid:100)(cid:100)∴ OB”=BC”=6, OF”=6+6=12 두 사각뿔 O-ABCD, O-EFGH의 부피를 각각 V¡, V™라 하면 두 사각뿔의 닮음비가 1 : 2이므로 (cid:100)(cid:100)V¡ : V™=1‹ : 2‹ (cid:100)(cid:100)∴ V™=8V¡ 사각뿔 O-ABCD의 꼭짓점 O에서 밑면에 내린 수선 의 발을 M이라 하면 (cid:100)(cid:100)BM”=;2!;_6'2=3'2 이므로 △OBM에서 (cid:100)(cid:100)OM”=ø∑6¤ -(3'2)¤ =3'2 (cid:100)(cid:100)∴ V¡=;3!;_6¤ _3'2=36'2 따라서 구하는 사각뿔대의 부피는 (cid:100)(cid:100)V™-V¡=8V¡-V¡=7V¡ =7_36'2=252'2 (cid:9120) ② 176 름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분한다. 네 변의 길이가 같은 사각형은 마름모이고, 마 3 B D A D' 30æ 3´3 E 1 오른쪽 전개도에 서 구하는 최단 거리는 ED'”의 길이이다. (cid:8772)ABCD'은 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모이고, 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분 하므로 (cid:100)(cid:100)∠ABD'=30°, '3 (cid:100)(cid:100)BD'”=2_{ _3}=3'3 2 ∠DBD'=∠DBA+∠ABD'=90°이고 C EB”=;3!;BD”=;3!;_3=1이므로 △EBD'에서 (cid:100)(cid:100)ED'”=ø∑1¤ +(3'3)¤ =2'7 (cid:9120) 2'7 177 [문제 해결 길잡이] ❶ 이등변삼각형의 높이를 b라 하고 원의 반지름의 길이를 이용하여 a, b 사이의 관계식을 구한다. ❷ 사각뿔의 부피를 a, b로 나타낸 후 ❶의 관계식을 이용하 여 a에 대한 방정식을 구한다. ❸ a가 자연수임을 이용하여 ❷의 방정식을 만족시키는 a, b 의 값을 구한다. ❹ x의 값을 구한다. 원의 중심을 O라 하면 사각뿔의 밑면의 한 변의 길이 가 2a이므로 오른쪽 그림에서 OA”=a이다. AB”=b라 하면 원의 반지름의 길이가 8이므로 (cid:100)(cid:100)OB”=a+b=8 주어진 전개도로 만든 사각뿔의 부피가 48이므로 a b A O x B (cid:100)(cid:100);3!;_(2a)¤ _"√b¤ -a¤ =48 (cid:100)(cid:100)a¤ "√b¤ -a¤ =36 30 정답 및 풀이 E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지31 SinsagoHitec 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 만점 공략 BOX 본책 40쪽~42쪽 (AC”를 한 변으로 하 는 정사각형의 넓이) =(cid:8772)LMEC 185 두 점 A, B의 좌표를 구하고 OA”, OB”의 길이를 구한다. 직선의 방정식에 x=0, y=0을 각각 대입하여 △AHO에서 (cid:100)(cid:100)OH”="√7¤ -5¤ =2'6 (cm) 따라서 원의 중심 O에서 현 AB에 이르는 거리는 2'6 cm이다. (cid:9120) ③ 색칠한 두 삼각형과 각각 넓이가 같은 삼각형을 181 찾는다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 A에서 BC”, DE”에 내린 수선 의 발을 각각 L, M이라 하면 (cid:100)(cid:100)△ABD=△LBD (cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;(cid:8772)BDML (cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_5¤ (cid:100)(cid:100)△ABD=;;™2∞;; (cm¤ ) 5`cm ´11¨`cm A L M C E B D (cid:100)(cid:100)△AEC=△LEC=;2!;(cid:8772)LMEC (cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_('∂11)¤ =;;¡2¡;; (cm¤ ) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;;™2∞;;+;;¡2¡;;=18 (cm¤ ) (cid:9120) ① BC”=ø∑5¤ +('∂11)¤ =6 (cm)이고 (cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!; ((cid:8772)BDML+(cid:8772)LMEC) (cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!;(cid:8772)BDEC (cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!;_6¤ =18 (cm¤ ) 182 c¤ =a¤ +b¤ 이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 이다. △ABC에서 (cid:100)(cid:100)x="√2¤ +('5 )¤ =3 따라서 △ACD에서 3¤ =('6 )¤ +('3 )¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)y=90 (cid:100)(cid:100)∴ x+y=93 (cid:9120) ① 183 긴 변의 길이일 때, c¤ 0) (cid:100)(cid:100)AD” (cid:100)(cid:100)∴ BD”=6'2 (cm) (cid:8772)DEFG=4 cm¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)DG” (cid:100)(cid:100)∴ DF”=2'2 (cm) 이때 ∠BDF=∠BDC+∠EDF=45°+45°=90°이 므로 ¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ DG”=2 (cm) (∵ DG”>0) (cid:100)(cid:100)△DBF=;2!;_6'2_2'2=12 (cm¤ ) (cid:9120) ④ 직각삼각형 ABD에서 AB”_AD”=BD”_AE”, 194 AB” ¤ =BE”_BD”임을 이용한다. BD”="√6¤ +8¤ =10 (cm) △ABD에서 AB”_AD”=BD”_AE”이므로 (cid:100)(cid:100)6_8=10_AE”(cid:100)(cid:100)∴ AE”=;;™5¢;; (cm) 또 AB” ¤ =BE”_BD”이므로 (cid:100)(cid:100)6¤ =BE”_10(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;;¡5•;; (cm) 같은 방법으로 하면 DF”=;;¡5•;; (cm)이므로 (cid:100)(cid:100)EF”=10-2_;;¡5•;;=;;¡5¢;; (cm) (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)AECF=;;™5¢;;_;;¡5¢;;=;;£2£5§;; (cm¤ ) (cid:9120) ;;£2£5§;; cm¤ △ABE=△AFD=△EBC=△FCD이므 로 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=(cid:8772)ABCD-4△ABE (cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=6_8-4_{;2!;_;;¡5•;;_;;™5¢;;} (cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=48-;;•2§5¢;;=;;£2£5§;; (cm¤ ) 195 정삼각형의 외심과 무게중심은 일치한다. 오른쪽 그림과 같이 AO” 의 연장선과 BC”가 만나는 점을 D라 하면 점 O는 △ABC의 무 게중심이므로 (cid:100)(cid:100)AO” : AD”=2 : 3 12`cm A O D B C (cid:100)(cid:100)∴ AD”=;2#; AO” (cid:100)(cid:100)∴ AD”=;2#;_12=18 (cm) △ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면 가운데 큰 원의 지름의 길이는 "√4¤ +8¤ =4'5 이므로 반지름의 길이 는 2'5이다. (cid:100)(cid:100) a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=12'3 '3 2 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _(12'3)¤ =108'3 (cm¤ ) '3 4 (cid:9120) 108'3 cm¤ •50% 배점 •50% 배점 (cid:9120) 32 정삼각형의 내심, 외 심, 무게중심은 일치한 다. AO” : OD”=2 : 1 E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지33 SinsagoHitec 196 마름모 (cid:8833) 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 만점 공략 BOX D (cid:9120) ② 6 60æ A 60æ 60æ C ∠A+∠B=180°이 B 므로 (cid:100)(cid:100)∠B=60° 따라서 △ABC는 한 변의 길이가 6인 정삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)AC”=6 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=2△ABC '3 4 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=2_{ _6¤ } (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=18'3 AC”와 BD”의 교점을 O라 하면 '3 (cid:100)(cid:100)BO”= _6=3'3 2 이므로(cid:100)(cid:100)BD”=2_3'3=6'3 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_BD”_AC” (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_6'3_6 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=18'3 197 세 변의 길이의 비를 이용한다. △BDE와 △ADF에서 특수한 직각삼각형의 AD”:DB”=2:1이므로 (cid:100)(cid:100)AD”=9_;3@;=6 (cm), DB”=9_;3!;=3 (cm) △BDE에서 ∠B=60°이므로 (cid:100)(cid:100)BD”:DE”=1:'3,(cid:100)(cid:100)3:DE”=1:'3 (cid:100)(cid:100)∴ DE”=3'3 (cm) △ADF에서 ∠A=60°이므로 (cid:100)(cid:100)AD”:DF”=1:'3,(cid:100)(cid:100)6:DF”=1:'3 (cid:100)(cid:100)∴ DF”=6'3 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ EF”=DF”-DE”=6'3-3'3=3'3 (cm) 198 수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한다. 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 수선을 그어 특 꼭짓점 A에서 BC”의 연 장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ACH에서 ∠ACH=180°-120°=60°이 므로 (cid:100)(cid:100)AC”:CH”=2:1 (cid:100)(cid:100)4:CH” 또 AC”:AH”=2:'3이므로 (cid:100)(cid:100)4:AH”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3 (cm) 따라서 △ABH에서 ”=2:1(cid:100)(cid:100)∴ CH”=2 (cm) 2`cm 120æ B C BD”=BO”+OD” =2BO” 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 본책 42쪽~45쪽 8´2 D A 7 B H60æ C 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AH” : AB”='3 : 2 (cid:100)(cid:100)AH” : 7='3 : 2 (cid:100)(cid:100)∴ AH”= 7'3 2 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=8'2_ 7'3 2 =28'6 (cid:9120) ⑤ 200 이의 거리 (cid:8833) PQ”="√(x™-x¡)¤ 좌표평면 위의 두 점 P(x¡, y¡), Q(x™, y™) 사 √+(y™-y¡)¤ AB”="√(1+2)¤ +√(-3+4)¤ ='∂10 BC”="√(-1-1)¤ +√(-1+3)¤ ='8 CA”="√(-2+1)¤ +√(-4+1)¤ ='∂10 ¤ +CA” 따라서 AB”=CA”, AB” 는 이등변삼각형이면서 예각삼각형이다. ¤ 0) 이때 FH”="√8¤ +6¤ =10이므로 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)BFHD=10_2'ß11=20'ß11 (cid:9120) ② 205 을 이용하여 a¤ +b¤ +c¤ 의 값을 구한다. AB”=a, AD”=b, AE”=c라 하고 주어진 조건 AB”=a, AD”=b, AE”=c라 하면 (cid:100)(cid:100)BD” (cid:100)(cid:100)BG” ¤ =a¤ +b¤ =25 ¤ =b¤ +c¤ =40 ¤ =a¤ +c¤ =33 (cid:100)(cid:100)DG” 위의 세 식을 변끼리 더하면 (cid:100)(cid:100)2(a¤ +b¤ +c¤ )=98 (cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ +c¤ =49 따라서 구하는 직육면체의 대각선의 길이는 (cid:100)(cid:100)"√a¤ +b¤ +c¤ =7 (cid:9120) ② (cid:9120) 16'2 한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 206 길이 (cid:8833) '3a 207 길이 (cid:8833) '3a 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)'3a=2'6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2 따라서 정육면체의 부피는 (cid:100)(cid:100)a‹ =(2'2)‹ =16'2 한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 209 의 길이를 구한다. △OHB에서 피타고라스 정리를 이용하여 HB” OH”=18-10=8 (cm)이므로 △OHB에서 (cid:100)(cid:100)HB”="√10¤ -8¤ =6 (cm) 따라서 원뿔의 부피는 (cid:100)(cid:100);3!;_p_6¤ _18=216p (cm‹ ) (cid:9120) 216p cm‹ 210 의 길이를 구한다. △OHD에서 피타고라스 정리를 이용하여 HD” △OHD에서 (cid:100)(cid:100)HD”=øπ8¤ -(2'7)¤ =6 사각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)HD”=;2!;BD”=;2!;_'2a= a '2 2 '2 2 이므로(cid:100)(cid:100) a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=6'2 따라서 사각뿔의 부피는 (cid:100)(cid:100);3!;_(6'2)¤ _2'7=48'7 (cid:9120) ⑤ E H A C F D 두 꼭짓점 A, F 사이의 거리 211 (cid:8833) 2_(꼭짓점 A와 면 BCDE 사이의 거리) 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 A에서 면 BCDE에 내린 수 선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)BD”='2_6=6'2 (cm) 이므로 6`cm B (cid:100)(cid:100)BH”=;2!; BD”=3'2 (cm) △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AH”=ø∑6¤ -∑(3'2)¤ =3'2 (cm) 따라서 두 꼭짓점 A, F 사이의 거리는 (cid:100)(cid:100)AF”=2_3'2=6'2 (cm) 212 주어진 정사면체의 전개도를 그린다. (cid:9120) ① 30æ 6`cm A 60æ D B M C 오른쪽 전개도에서 구 하는 최단 거리는 DM”의 길 이이다. ∠MAC=30°, ∠CAD=60° 이므로 (cid:100)(cid:100)∠MAD=90° △ABC에서 '3 2 (cid:100)(cid:100)AM”= _6=3'3 (cm) 따라서 △AMD에서 (cid:100)(cid:100)'3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3 EG”='2_2'3=2'6 (cm)이므로 (cid:100)(cid:100)△AEG=;2!;_2'6_2'3 (cid:100)(cid:100)△AEG=6'2 (cm¤ ) 208 의 길이와 모선의 길이를 구한다. 주어진 조건을 이용하여 원뿔의 밑면의 반지름 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (cid:9120) 6'2 cm¤ △AEG는 ∠AEG=90°인 직각 삼각형이므로 (cid:100)△AEG =;2!;_EG”_AE” (cid:100)(cid:100)2pr=10p(cid:100)(cid:100)∴ r=5 모선의 길이를 l cm라 하면 (cid:100)(cid:100);2!;_l_10p=65p(cid:100)(cid:100)∴ l=13 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오 른쪽 그림과 같으므로 원뿔의 높이 는 (cid:100)(cid:100)"√13¤ -5¤ =12 (cm) (cid:9120) ③ 34 정답 및 풀이 반지름의 길이가 r, 호 의 길이가 l인 부채꼴 의 넓이 13`cm (cid:9178) ;2!;rl 5`cm (cid:100)(cid:100)DM”=ø∑(3'3)¤ +∑6¤ =3'7 (cm) (cid:9120) ① 정육면체의 한 모서리의 길이를 문제 이해 213 a cm라 하면 (cid:100)(cid:100)MN”=BD”='2a (cm) (cid:100)(cid:100)AG”='3a (cm) •30% 배점 E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지35 SinsagoHitec 리 정 스 라 고 타 피 Ⅵ 만점 공략 BOX 본책 45쪽~47쪽 (마름모의 넓이) =;2!;_(한 대각선의 길 이)_(다른 대각선 의 길이) 해결 과정 AM”=MG”=GN”=NA”에서 (cid:8772)AMGN은 마름모이므로 (cid:100)(cid:100);2!;_'2a_'3a=8'6 '6 2 (cid:100)(cid:100) a¤ =8'6,(cid:100)(cid:100)a¤ =16 (cid:100)(cid:100)∴ a=4`(∵ a>0) 답 구하기 따라서 정육면체의 부피는 (cid:100)(cid:100)4‹ =64 (cm‹ ) •50% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 64 cm‹ 문제 이해 214 △ABC를 직선 l을 회전축으로 하여 1 회전 시킬 때 생기는 입체도 형은 오른쪽 그림과 같다. 45æ 3`cmA 6`cm 30æ C B 3`cm O 해결 과정 △AOC에서 OA”:AC”=1:2이므로 •20% 배점 (cid:100)(cid:100)OA”:6=1:2(cid:100)(cid:100)∴ OA”=3 (cm) 또 OC”:AC”='3:2이므로 (cid:100)(cid:100)OC”:6='3:2(cid:100)(cid:100)∴ OC”=3'3 (cm) 한편 △AOB에서 (cid:100)(cid:100)OB”=OA”=3 (cm) 답 구하기 따라서 구하는 입체도형의 부피는 (cid:100)=;3!;_p_(3'3 )¤ _3-;3!;_p_3¤ _3 (cid:100)=27p-9p=18p (cm‹ ) •40% 배점 (cid:9120) 18p cm‹ •40% 배점 (시간)= (거리) (속력) 문제 이해 215 오른쪽 전개도에서 구하는 최단 거리는 MB'”의 길이이다. O xæ A M •10% 배점 B 해결 과정 ① 이때 A' 12`cm B' OA”:OB”=3:6이므로 (cid:100)(cid:100)OA”:(OA”+12)=1:2(cid:100)(cid:100)∴ OA”=12 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ OB”=12+12=24 (cm) •30% 배점 해결 과정 ② 부채꼴의 중심각의 크기를 x°라 하면 (cid:100)(cid:100)2p_24_ =2p_6 x 360 (cid:100)(cid:100)∴ x=90 원뿔의 전개도에서 부 채꼴의 호의 길이는 밑 면의 둘레의 길이와 같 다. O 3`cm A 12`cm M △OMB'에서 (cid:100)(cid:100)MB'”="√24¤ +18¤ =30 (cm) •30% 배점 (cid:9120) 30 cm 보충학습 부채꼴의 호의 길이와 넓이 반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 x°인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면 (cid:100)(cid:100)l=2pr_ , S=pr¤ _ x 360 x 360 정삼각형은 항상 닮음 인 도형이다. 교과서 속창의유형 본책 47~48쪽 216 [문제 해결 길잡이] ❶ (거리)=(속력)_(시간)임을 이용하여 P지점과 A, B, D지점 사이의 거리를 각각 구한다. ❷ AP” ¤ +CP” ¤ =BP” ¤ +DP” ¤ 임을 이용하여 P지점과 C지점 사이의 거리를 구한다. ❸ 폭죽을 터뜨린 후 몇 초 후에 C지점에 설치한 소음 측정 기가 소음을 측정하는지 구한다. 소리의 속력이 340 m/s이고, (거리)=(속력)_(시간)이므로 '5 5 ¤ +CP” ¤ =BP” (cid:100)(cid:100)AP”=340_ =68'5 (m) (cid:100)(cid:100)BP”=340_0.6=204`(m) (cid:100)(cid:100)DP”=340_0.3=102`(m) ❶ 이때 AP” (cid:100)(cid:100)(68'5 )¤ +CP” ¤ =28900 (cid:100)(cid:100)CP” (cid:100)(cid:100)∴ CP”=170`(m) ❷ 따라서 폭죽을 터뜨린 후 C지점에 설치한 소음 측정기 가 소음을 측정할 때까지 걸리는 시간은 ¤ +DP” ¤ =204¤ +102¤ ¤ 이므로 (cid:100)(cid:100);3!4&0);=0.5(초) ❸ (cid:9120) 0.5초 속력이 일정할 때 시간과 거리는 비례하므로 C지점에서 소음을 측정하는 데 걸린 시간을 x초라 하면 }2 +x¤ =(0.6)¤ +(0.3)¤ '5 (cid:100)(cid:100){ 5 (cid:100)(cid:100)x¤ =0.25 (cid:100)(cid:100)∴ x=0.5 (∵ x>0) 217 [문제 해결 길잡이] ❶ S™, S£, S¢, y의 한 변의 길이를 구하여 규칙을 찾아 S«의 한 변의 길이를 n으로 나타낸다. ❷ S§의 한 변의 길이를 구한다. ❸ S™와 S§의 닮음비를 구한다. S™의 한 변의 길이는(cid:100)(cid:100) _1= S£의 한 변의 길이는(cid:100)(cid:100) _ ={ '3 2 '3 2 '3 2 '3 2 '3 2 }2 '3 2 '3 2 '3 2 '3 S«의 한 변의 길이는(cid:100)(cid:100){ 2 따라서 S§의 한 변의 길이는 « —⁄ } (næ2) ❶ '3 2 9'3 32 ❷ }5 = (cid:100)(cid:100){ 이므로 S™와 S§의 닮음비는 9'3 32 '3 (cid:100)(cid:100) : 2 일반적으로 닮음비는 가장 간단한 자연수의 비로 =16:9 ❸ (cid:9120) 16:9 참고 나타낸다. Ⅵ. 피타고라스 정리 35 답 구하기 OM”=12+;2!;_12=18 (cm)이므로 B 6`cm ⋮ •30% 배점 S¢의 한 변의 길이는(cid:100)(cid:100) _{ }2 ={ }3 E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지36 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 218 [문제 해결 길잡이] ❶ 정육각형 모양의 렌즈를 정삼각형으로 나누어 그 넓이를 구한다. ❷ 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용하여 조리 정n 각형의 한 내각의 크기는 (cid:100) 180°_(n-2) n A 1 30æ 60æ C B 개의 넓이를 구한다. ❸ 노출된 렌즈의 넓이를 구한다. 렌즈의 넓이는 '3 (cid:100)(cid:100)6_{ _1¤ }= 4 정육각형의 한 내각의 크기는 3'3 2 ❶ (cid:100)(cid:100) =120° 180°_(6-2) 6 이므로 오른쪽 그림에서 (cid:100)(cid:100)∠BAC=120°-90°=30° ∠ABC=90°-30°=60° △ABC에서 AC”:BC”='3:1이므로 (cid:100)(cid:100)1:BC”='3:1 (cid:100)(cid:100)∴ BC”= '3 3 조리개의 넓이는 '3 (cid:100)(cid:100)6_{;2!;_1_ }='3 ❷ 3 따라서 구하는 넓이는 '3 2 -'3= 3'3 2 (cid:100)(cid:100) ❸ (cid:9120) '3 2 219 [문제 해결 길잡이] ❶ 두 점 P, Q를 대칭이동하여 로봇청소기가 움직인 최단 거리와 길이가 같은 선분을 찾는다. ❷ 피타고라스 정리를 이용하여 로봇청소기가 움직인 최단 거리를 구한다. P'' 200`cm 200`cm P' 50`cm D M A N S P Q Q' 300`cm B 50`cm C 150`cm 위의 그림과 같이 점 P를 CD”에 대하여 대칭이동한 점 을 P', 점 P'을 직선 AD에 대하여 대칭이동한 점을 P'' 이라 하고 점 Q를 AB”에 대하여 대칭이동한 점을 Q'이 라 하면 로봇청소기가 움직인 거리는 (cid:100)(cid:100)PM”+MN”+NS”+SQ” =P'M”+MN”+NS”+SQ”' æP'N”+Q'N” =P''N”+Q'N” æP''Q'” ❶ 따라서 로봇청소기가 움직인 최단 거리는 (cid:100)(cid:100)P''Q'”="√500¤ +450¤ =50'∂181 (cm) ❷ (cid:9120) 50'∂181 cm 36 정답 및 풀이 Ⅶ 삼각비 13 삼각비 ⑴ 개념&기출유형 '3 3 220 BC”=ø∑('6)¤ -2¤ ='2 '2 ① sin A= = '6 '2 2 '2 '6 ⑤ cos B= = ③ tan A= '3 3 본책 50~51쪽 ② cos A= = ④ sin B= = 2 '6 2 '6 '6 3 '6 3 (cid:9120) ③ 221 y=0을 y=2x+6에 대입하면 (cid:100)(cid:100)x=-3(cid:100)(cid:100)∴ A(-3, 0) x=0을 y=2x+6에 대입하면 (cid:100)(cid:100)y=6(cid:100)(cid:100)∴ B(0, 6) 따라서 직각삼각형 AOB에서 (cid:100)(cid:100)OA”=3, OB”=6, AB”="√3¤ +6¤ =3'5 3'5 (cid:100)(cid:100)∴ sin a+cos a= 5 + = 6 3'5 3 3'5 (cid:9120) 3'5 5 222 tan B= =;5#;에서(cid:100)(cid:100)AC”=6 AC” 10 (cid:100)(cid:100)∴ AB”="√10¤ +6¤ =2'∂34 (cid:9120) 2'∂34 = 에서(cid:100)(cid:100)AC”=2'2 '2 2 223 cos A= AC” 4 (cid:100)(cid:100)∴ BC”="√4¤`-(2'2 )¤``=2'2 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_2'2_2'2=4 (cid:9120) 4 = 에서(cid:100)(cid:100)BC”=6'2 '7 3 224 sin B= 2'∂14 BC” (cid:100)(cid:100)∴ AB”=ø∑(6'2)¤ -∑(2'∂14)¤ =4 4 따라서 sin C= 6'2 (cid:100)(cid:100)sin C_tan C= , tan C= _ 4 2'∂14 4 = 2'∂14 4 6'2 이므로 2'7 21 225 sin A= 이므로 오른쪽 2'6 7 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠C=90°, AB”=7, BC”=2'6 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 AC”=ø∑7¤ -∑(2'6)¤ =5이므로 (cid:100)(cid:100)tan A= 2'6 5 7 A (cid:9120) ② B 2´6 C (cid:9120) ① E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지37 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 48쪽~52쪽 직각삼각형 DBE에서 BE”="√11¤ -9¤ =2'∂10이므로 (cid:100)(cid:100)sin x= , tan x= 2'∂10 11 2'∂10 9 (cid:100)(cid:100)∴ tan x sin x = 2'∂10 9 _ 11 2'∂10 =;;¡9¡;; (cid:9120) ;;¡9¡;; A 226 tan A=;3!;이므로 오른쪽 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=3, BC”=1 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 AC”="√3¤ +1¤ ='∂10이므로 1 3 (cid:100)(cid:100)sin A= '∂10 '∂10 _ (cid:100)(cid:100)∴ sin A_cos A= , cos A= 1 '∂10 3 '∂10 227 cos A=;5#;이므로 오른쪽 그림과 같이 AC”=5, AB”=3으로 놓으면 (cid:100)(cid:100)BC”="√5¤ -3¤ =4 ④ =;5#;_;4%;=;4#; cos A sin A C 1 B 3 =;1£0; (cid:9120) ;1£0; C 5 A 3 B ⑤ sin¤ A+cos¤ A={;5$;} ¤ +{;5#;} ¤ =1 (cid:9120) ④ 228 직각삼각형 ABC에서 (cid:100)(cid:100)BC”="√12¤ +16¤ =20 ∠DCA=∠DAB=x, ∠DBA=∠DAC=y이므 로 A D 12 x y 16 y B x C (cid:100)(cid:100)cos x=;2!0^;=;5$;, cos y=;2!0@;=;5#; (cid:100)(cid:100)∴ cos x+cos y=;5$;+;5#;=;5&; (cid:9120) ;5&; 직각삼각형 ABC에서 (cid:100)(cid:100)BC”="√12¤ +16¤ =20 AB”_AC”=AD”_BC”에서 (cid:100)(cid:100)12_16=AD”_20(cid:100)(cid:100)∴ AD”=9.6 따라서 △ABD와 △ACD에서 (cid:100)(cid:100)cos x= =;5$;, cos y= =;5#; 9.6 12 9.6 16 이므로(cid:100)(cid:100) cos x+cos y=;5&; 229 △ABC와 △CBD에서 (cid:100)(cid:100)∠B는 공통, (cid:100)(cid:100)∠ACB=∠CDB=90° 이므로 (cid:100)(cid:100)△ABCª△CBD (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ ∠BAC=∠BCD=x B 즉 △ABC에서 cos x= 5 AB” =;7%;이므로 (cid:100)(cid:100)AB”=7 (cid:100)(cid:100)∴ BC”="√7¤ -5¤ =2'6 230 △ABC와 △DBE에서 (cid:100)(cid:100)∠B는 공통, ∠C=∠DEB=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△DBE (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ ∠BDE=∠A=x 닮은 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비 의 값은 일정하다. △ABCª△DBA ª△DAC 비 각 삼 Ⅶ 내신 만점 도전하기 본책 52~54쪽 삼각비의 뜻을 이용하여 ∠A, ∠B의 삼각비 231 의 값을 구한다. cos A= ;cB; ① sin A= ③ sin B= ⑤ tan B= ;cA; ;cB; ;aB; ② tan A= ④ cos B= ;bA; ;cA; (cid:9120) ③ 직각삼각형 DBC에서 232 해결 과정 (cid:100)(cid:100)BC”="√15¤ -9¤ =12 직각삼각형 ABC에서 (cid:100)(cid:100)AC”="√20¤ -12¤ =16 AC” 답 구하기 AB” ∴ cos x= •60% 배점 =;2!0^;=;5$; •40% 배점 (cid:9120) ;5$; 233 △EBF는 이등변삼각형이다. DE”=BE”=a라 하면 AE”=6-a이므로 직각삼 각형 ABE에서 (cid:100)(cid:100)a¤ =(6-a)¤ +2¤ ,(cid:100)(cid:100)12a=40(cid:100)(cid:100)∴ a=;;¡3º;; 점 F에서 ED”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △BFE 는 BE”=BF”인 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∴ EH”=DE”-HD”=;;¡3º;;-;3*;=;3@; 따라서 직각삼각형 EFH에서 2'∂10 3 (cid:100)(cid:100)EF”=æ≠{;3@;} ¤ +2¤ = (cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x= (cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x=2_ +;3@;_ 3 2'∂10 FH” EF” + EH” EF” 3 2'ß10 + 1 '∂10 2'∂10 5 3 '∂10 4 '∂10 (cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x= = (cid:9120) ③ 234 직각삼각형을 생각한다. 직선을 그려서 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 Ⅶ. 삼각비 37 (엇각), (cid:100)(cid:100)HD”=FC”=6-BF”=6-:¡3º:=;3*; ∠DEF=∠BFE ∠DEF=∠BEF (접은 각) 이므로 (cid:100)∠BFE=∠BEF (cid:100)∴ BE”=BF” A x D 5 C x (cid:9120) ③ (cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x= E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지38 SinsagoHitec 주어진 직선이 y축, x축과 만나는 점을 각각 A, 주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려 만점 공략 BOX 237 본다. A a y 2 O B x 8 3 3x+4y-8=0 x=0을 3x+4y-8=0 에 대입하면 (cid:100)4y-8=0(cid:100)∴ y=2 y=0을 3x+4y-8=0 에 대입하면 (cid:100)3x-8=0 (cid:100)∴ x=;3*; ∠AED=∠C=90°, ∠A는 공통이므로 (cid:100)△ADEª△ABC (AA 닮음) 세 모서리의 길이가 각 각 a, b, c인 직육면체 의 대각선의 길이 (cid:9178) "√a¤ +b¤ +c¤ B라 하면(cid:100)(cid:100)A(0, 2), B {;3*;, 0} 직선 3x+4y-8=0은 오른쪽 그 림과 같으므로 직각삼각형 AOB 에서 (cid:100)(cid:100)OA”=2, OB”=;3*;, (cid:100)(cid:100)AB”=æ≠2¤ +{;3*;} ¤ =;;¡3º;; 따라서 sin a= =;3*;_;1£0;=;5$;, OB” AB” cos a= =2_;1£0;=;5#;이므로 OA” AB” (cid:100)(cid:100)5(sin a+cos a)=5_{;5$;+;5#;}=7 (cid:9120) ③ 235 직각삼각형 AEG에서 삼각비의 값을 구한다. △AEG에서 ∠AEG=90° A 이고 (cid:100)(cid:100)AE”=10 (cm), (cid:100)(cid:100)EG”="√6¤ +8¤ =10 (cm), (cid:100)(cid:100)AG”="√6¤ +8¤ +10¤ =10'2 (cm) 이므로 10`cm 10´2`cm x 10`cm G E (cid:100)(cid:100)sin x= = , cos x= 10 10'2 '2 2 10 10'2 '2 = , 2 (cid:100)(cid:100)tan x=;1!0);=1 (cid:100)(cid:100)∴ sin x_cos x-tan x= _ -1=-;2!; (cid:9120) ② '2 2 '2 2 236 그어 직각삼각형을 만든다. 점 M과 점 C에서 각각 BC”와 BM”에 수선을 정사면체의 한 모서리의 A 점 C에서 BM”에 내린 수선의 발을 I라 하면 △BCM 의 넓이에서 (cid:100)(cid:100);2!;_BC”_MH”=;2!;_BM”_CI” (cid:100)(cid:100);2!;_a_ a=;2!;_ a_CI” '3 2 '2 2 '6 3 따라서 직각삼각형 MIC에서 (cid:100)(cid:100)∴ CI”= a (cid:100)(cid:100)sin k= CI” CM” '6 = a_ 3 = 2'2 3 2 '3a (cid:9120) 2'2 3 38 정답 및 풀이 cos A=;5#;이므로 오른쪽 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=3a, AC”=5a 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. C 5a A 3a B BC”=ø∑(5a)¤ -∑(3a)¤ =4a이므로 (cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_3a_4a=150 (cid:100)(cid:100)6a¤ =150(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ a>0) 따라서 △ABC의 세 변의 길이는 15, 20, 25이므로 둘 레의 길이는 (cid:100)(cid:100)15+20+25=60 (cid:9120) ② 238 해결 과정 ① △ABC에서 (cid:100)(cid:100)tan B= =2 AC” 4 (cid:100)(cid:100)∴ AC”=8 •30% 배점 해결 과정 ② △ADEª△ABC(AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)DE”:BC”=AE”:AC” (cid:100)(cid:100)2'2:4=AE”:8(cid:100)(cid:100)∴ AE”=4'2 •50% 배점 답 구하기 ∴ EC”=AC”-AE” =8-4'2 •20% 배점 (cid:9120) 8-4'2 239 해결 과정 ① △ABC에서 (cid:100)(cid:100)tan x= 15 BC” (cid:100)(cid:100)∴ BC”=25 =;5#; 해결 과정 ② •30% 배점 AD”=BD”=a라 하면 CD”=25-a이므 240 하고 △ABC의 넓이를 이용하여 AH”의 길이를 구한다. 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_16_AH”=40'3 (cid:100)(cid:100)∴ AH”=5'3 sin B= = 에서(cid:100)(cid:100)c=10 5'3 c '3 2 △ABH에서 BH”=ø∑10¤ -∑(5'3)¤ =5이므로 (cid:100)(cid:100)CH”=16-5=11 또 △ACH에서(cid:100)(cid:100)b=ø∑(5'3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ b+c=24 ∑+11¤ =14 (cid:9120) 24 길이를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)BM”=CM”= a '3 2 점 M에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △MBH에서 ¤ -{;2!;a} (cid:100)(cid:100)MH”=æ≠{ a} '3 2 (cid:100)(cid:100)MH”= a '2 2 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이 a'3 2 (cid:9178) 로 △ADC에서 (cid:100)(cid:100)a¤ =(25-a)¤ +15¤ (cid:100)(cid:100)50a=850(cid:100)(cid:100)∴ a=17 (cid:100)(cid:100)∴ AD”=BD”=17, CD”=8 답 구하기 ∴ cos y= CD” AD” =;1•7; M k D B I H C •50% 배점 •20% 배점 (cid:9120) ;1•7; BH”=;2!; BC” ¤ E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지39 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 52쪽~54쪽 BD”="√12¤ +9¤ =15이므로 (cid:100)(cid:100)sin x=;1!5@;=;5$; (cid:9120) ;5$; 245 의 값은 일정하다. 닮은 두 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비 △ABCª△ACDª△ADE (AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)4 : AD”=AD” : 5,(cid:100)(cid:100)AD” (cid:100)(cid:100)∴ AD”=2'5 (∵ AD”>0) (cid:100)(cid:100)∴ cos(∠BAC)=cos(∠DAE)= ¤ =20 2'5 5 (cid:9120) ⑤ ∠C=x이므로 △CDE에서 •40% 배점 △ADC에서 해결 과정 ① 246 ¤ =CE”_AE”=24이므로 DE” (cid:100)(cid:100)DE”=2'6 (∵ DE”>0) ¤ =CE”_CA”=60이므로 CD” (cid:100)(cid:100)CD”=2'∂15 (∵ CD”>0) 해결 과정 ② (cid:100)(cid:100)sin x= DE” CD” = 2'6` 2'∂15 = '∂10` 5 (cid:100)(cid:100)cos y= 또 ∠CDE=y이므로 △CDE에서 '∂10` 5 2'∂10` 5 ∴ sin x+cos y= 2'6` 2'∂15 DE” CD” 답 구하기 = = 247 의 값은 일정하다. 닮은 두 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비 △AOB와 △OHB에서 (cid:100)(cid:100)∠ABO는 공통, ∠AOB=∠OHB=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△AOBª△OHB (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ ∠BAO=∠BOH 즉 tan (∠BAO)=;4#;이므로 (cid:100)(cid:100)AO”=4k, BO”=3k (k>0) 라 하면(cid:100)(cid:100)AB”="√(4k)¤ +(3k)¤ =5k AO”_BO”=AB”_OH”이므로 (cid:100)(cid:100)4k_3k=5k_6(cid:100)(cid:100)∴ k=;2%; 비 각 삼 Ⅶ •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 2'∂10` 5 A B △ACDª△ADE cos (∠BAC) =cos (∠CAD) = 4 2'5 = 2'5 5 △CED에서 (cid:100)CD”=øπ`CE” ¤ +DE” ="√6¤ +(2'6)¤ =2'ß15 와 같이 구할 수도 있 다. △CADª△ABD (AA 닮음)이므로 (cid:100)∠ACD=∠BAD △CDEª△DAE (AA 닮음)이므로 (cid:100)∠CDE=∠DAE =x =y 241 해결 과정 ① 9x¤ -12x+4=0에서 (cid:100)(cid:100)(3x-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;3@; (중근) •20% 배점 해결 과정 ② 따라서 cos A=;3@:이 므로 오른쪽 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠B=90°, AC”=3, AB”=2 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있 다. 이때 BC”="√3¤ -2¤ ='5이므로 '5 (cid:100)(cid:100)sin A= 3 답 구하기 ∴ (cos A-sin A)¤ '5 ¤ =1- 3 ={;3@;- } 4'5 9 C 3 2 •40% 배점 •40% 배점 (cid:9120) 1- 4'5 9 242 본다. 주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려 17 sin A-8=0에서(cid:100)(cid:100)sin A= ;1•7; 17 A C 8 B 따라서 오른쪽 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠B=90°, AC”=17, (cid:100)(cid:100)BC”=8 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 AB”="√17¤ -8¤ =15이므로 (cid:100)(cid:100)cos A=;1!7%;, tan A=;1•5; (cid:100)(cid:100)∴ cos A-sin A=;1!7%;-;1•7;=;1¶7;, (cid:100)(cid:100)∴ cos A_tan A+sin A=;1!7%;_;1•5;+;1•7;=;1!7^; (cid:100)(cid:100)∴ cos A-sin A cos A_tan A+sin A =;1¶7;_;1!6&;=;1¶6; 243 각형을 그려 본다. sin A와 cos A의 값의 비를 이용하여 직각삼 12 sin A=5 cos A에서 sin A : cos A=5 : 12이므로 오른 쪽 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=12, BC”=5 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 AC”="√12¤ +5¤ =13이므로 (cid:100)(cid:100)cos(90°-A)=cos C= A ;1∞3; 244 의 값은 일정하다. △ABD와 △EAD에서 (cid:100)(cid:100)∠D는 공통, ∠BAD=∠AED=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△ABDª△EAD (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ ∠ABD=∠EAD=x (cid:9120) ④ C 5 B 12 (cid:9120) ④ 닮은 두 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비 =BC” : AB” (cid:100)(cid:100)a=;4#;, b=:¡2∞:(cid:100)(cid:100)∴ a+b=:£4£: (cid:9120) ④ △ABC에서 (cid:100)sin A= BC” AC” , AB” AC” (cid:100)cos A= 이므로 sin A : cos A AO”=4k=4_;2%;=10, BO”=3k=3_;2%;=:¡2∞:이므로 (cid:100)(cid:100)A(-10, 0), B {0, :¡2∞:} 따라서 주어진 직선의 방정식은 y=;4#;x+:¡2∞:이므로 ∠A=∠BED=90°, ∠B는 공통이므로 (cid:100)△ABCª△EBD △ABC에서 문제 이해 248 (cid:100)(cid:100)BC”="√6¤ +8¤ =10 해결 과정 ① △ABCª△EBD (AA 닮음)이므로 •10% 배점 (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∠C=∠BDE=x Ⅶ. 삼각비 39 ¤ E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지40 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)∴ sin x= AB” BC” =;1§0;=;5#; •40% 배점 해결 과정 ② △ABCª△GFC (AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)∠B=∠GFC=y (cid:100)(cid:100)∴ cos y= AB” BC” =;1§0;=;5#; 답 구하기 ∴ sin x+cos y=;5#;+;5#;=;5^; •10% 배점 •40% 배점 (cid:9120) ;5^; 만점 공략 BOX ∠A=∠FGC=90°, ∠C는 공통이므로 (cid:100)△ABCª△GFC (AA 닮음) 내신 만점 굳히기 본책 55쪽 249 좌표는 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고쳐서 구한다. 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 y=x¤ +x+cos a ={x¤ +x+;4!;}+cos a-;4!; ={x+;2!;} ¤ +cos a-;4!; 이므로 꼭짓점의 좌표는 {-;2!;, cos a-;4!;}이다. 원점과 꼭짓점 사이의 거리는 ¤ +≠{cos a-;4!;} (cid:100)(cid:100)æ≠{-;2!;} 이므로 cos a-;4!;=0, 즉 cos a=;4!;일 때 최소이다. 이차함수 (cid:100)y=a(x-p)¤ +q 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, q)이다. A 4 B C a 1 (cid:9120) ⑤ A 45æ a C cos a=;4!;이므로 오른쪽 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠C=90°, AB”=4, BC”=1 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 AC”="√4¤ -1¤ ='∂15이므로 (cid:100)(cid:100)tan a='∂15 250 ∠BAD를 한 각으로 하는 직각삼각형을 생각한다. 점 B에서 AD”의 연장선에 수선을 그어 x 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 AD”의 연장선에 내린 수선의 발을 E라 하고, AC”=BD”=DC”=a라 하면 △ADC에서 (cid:100)(cid:100)AD”='2a △BED에서 BD”:BE”:DE”='2:1:1이므로 (cid:100)(cid:100)a:BE”:DE”='2:1:1 B 45æ a 45æ D E 45æ a (cid:100)(cid:100)∴ BE”=DE”= a '2 2 '2 2 '2 = a_ 2 3'2 2 따라서 AE”='2a+ a= a이므로 △ABE에서 (cid:100)(cid:100)tan x= BE” AE” 2 3'2a =;3!; (cid:9120) ;3!; 40 정답 및 풀이 0°0, (cid:100)cos A>0 AF”='2_10=10'2 (cm), 해결 과정 ① 251 FM”=MG”=5 cm이므로 △AFM에서 (cid:100)(cid:100)AM”="√(10'2 )¤ +5¤ =15 (cm) 해결 과정 ② •20% 배점 A x 오른쪽 그림과 같이 점 M에서 AG”에 내린 수선의 발을 I라 하면 (cid:100)(cid:100)AG”='3_10 (cid:100)(cid:100)AG”=10'3 (cm) 이므로 △AMG의 넓이에서 15`cm 10´2`cm 10´3`cm I F 5`cm M G 5`cm (cid:100)(cid:100);2!;_10'3_MI”=;2!;_5_10'2 (cid:100)(cid:100)∴ MI”= 해결 과정 ③ (cm) 5'6 3 △AMI에서 5'6 3 }2 = AI” AM” 5'3 9 = (cid:100)(cid:100)AI”=æ≠15¤ -{ 답 구하기 ∴ cos x= (cm) •20% 배점 25'3 3 25'3 3 = _;1¡5; •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 5'3 9 252 임을 이용한다. 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직 ㈀ △OAB에서 ∠OAB=90°이므로 (cid:100)(cid:100)tan a= =AB” AB” OA” (cid:100)(cid:100)AB” (cid:100)(cid:100)∴ AC”=AB” ㈁ AB”⊥OC”, OB”⊥BC”이므로 △OBC에서 ¤ =OA”_AC”=AC” ¤ =(tan a)¤ OA” OB” ㈂ △OAB에서(cid:100)(cid:100)cos a= 1 OB” = (cid:100)(cid:100)∴ OB”= 1 cos a 이상에서 ㈀, ㈁, ㈂ 모두 옳다. (cid:9120) ⑤ 해결 과정 ① 주어진 식에서 253 (cid:100)(cid:100)(3 sin A+2 cos A)(2 sin A-cos A)=0 3 sin A+2 cos A>0이므로 (cid:100)(cid:100)2 sin A-cos A=0 (cid:100)(cid:100)∴ 2 sin A=cos A 해결 과정 ② 즉 sin A : cos A=1 : 2이므로 오른쪽 그림과 같이 (cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=2, BC”=1 인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다. •30% 배점 이때 AC”="√2¤ +1¤ ='5이므로 A 2 답 구하기 (cid:100)(cid:100)sin A= = 1 '5 '5 5 •40% 배점 C 1 B •30% 배점 (cid:9120) '5 5 ¤ E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지41 SinsagoHitec 254 [문제 해결 길잡이] ❶ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°임을 이용하여 ∠ABD와 ∠A의 크기를 구한다. ❷ AB”=a, BC”=b라 하고 삼각형의 닮음을 이용하여 b를 a에 대한 식으로 나타낸다. ❸ AH”의 길이를 a에 대한 식으로 나타내어 cos 36°의 값을 구한다. A ∠ABD=∠DBC=∠x라 하면 △ABC와 △BCD는 이등변 삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠ACB=∠BDC=2∠x △BCD에서 (cid:100)(cid:100)5∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=36° 또 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)∠A+4∠x=180° 이므로 (cid:100)(cid:100)∠A+4_36°=180° (cid:100)(cid:100)∴ ∠A=180°-144°=36° ❶ 따라서 △ABD는 AD”=BD”인 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)AD”=BD”=BC” 2x 2x x x B D C 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 CD” 에 내린 수선의 발을 H, AB”=a, BC”=b라 하면 △ABCª△BCD (AA 닮음)이므 로 (cid:100)(cid:100)AB” : BC”=BC” : CD” (cid:100)(cid:100)a : b=b : (a-b) (cid:100)(cid:100)b¤ =a(a-b) A 36æ b a B b b D H C (cid:100)(cid:100)∴ b= (∵ a>0, b>0) ❷ b¤ +ab-a¤ =0 -a+'5a 2 (cid:100)(cid:100)∴ AH”=b+ = a-b a+b 2 2 -a+'5a 2 }_;2!; (cid:100)(cid:100)∴ AH={a+ (cid:100)(cid:100)∴ AH= 1+'5 4 a 따라서 직각삼각형 ABH에서 1+'5 4 (cid:100)(cid:100)cos 36°= AH” AB” = a_ = ;a!; 1+'5 4 ❸ (cid:9120) 1+'5 4 만점 공략 BOX 본책 54쪽~56쪽 14 삼각비 ⑵ 개념&기출유형 +cos 30°-'2 cos 45° 255 '2_ '2 sin 45°_tan 60° 2 tan 45° '2 2 12 2_1 '3 = + -1='3-1 2 _'3 '3 2 '3 2 = + -'2_ '2 2 본책 56~57쪽 (cid:9120) ② (cid:9120) ⑤ sin 30°=;2!; 삼각형의 세 내각의 크 기의 합은 180°이다. 256 cos(x-20°)=;2!;이므로 (cid:100)(cid:100)x-20°=60°(cid:100)(cid:100)∴ x=80° sin 30°=cos 60°이므로 (cid:100)(cid:100)x-20°=60°(cid:100)(cid:100)∴ x=80° 257 tan 45°=1이므로 (cid:100)(cid:100)x-15°=45°(cid:100)(cid:100)∴ x=60° ∠BAD=∠ABD=36° 이므로 (cid:100)AD”=BD” (cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos ;2!;x=sin 60°+cos 30° (cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos ;2!;x= + ='3 (cid:9120) '3 '3 2 '3 2 ∠BAC=∠CBD, ∠ABC=∠BCD 이므로 (cid:100)△ABCª△BCD (AA 닮음) 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 해는 -b—"√b¤ -4ac 2a (cid:100)x= 삼각형의 한 외각의 크 기는 이와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. △ABD에서 (cid:100)tan 15°= AB” BD” 직선 y=mx+n이 x축 의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 a라 할 때, (cid:100)m=tan a (cid:9120) 9'2 15æ C 10 D 258 △ABD에서(cid:100)(cid:100)sin 60°= (cid:100)(cid:100)∴ AD”=9 △ADC에서(cid:100)(cid:100)sin 45°= 9 AC” = '2 2 AD” 6'3 = '3 2 (cid:100)(cid:100)∴ AC”=9'2 (cid:100)(cid:100)sin 30°= 259 △ABC에서 5 AC” 5 BC” (cid:100)(cid:100)tan 30°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10 = (cid:100)(cid:100)∴ BC”=5'3 '3 3 △ACD에서 (cid:100)(cid:100)∠DAC=30°-15° =15° A 15æ 5 B 30æ 5´3 (cid:100)(cid:100)∴ ∠ADC=∠DAC 즉 △ACD는 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)CD”=AC”=10 (cid:100)(cid:100)∴ tan 15°= (cid:100)(cid:100)∴ tan 15°= 5 10+5'3 = 1 2+'3 2-'3 (2+'3)(2-'3) 260 직선의 기울기는(cid:100)(cid:100)tan 60°='3 직선의 y절편을 k라 하면 ='3(cid:100)(cid:100)∴ k=6'3 (cid:100)(cid:100)tan 60°= ;6K; 따라서 구하는 직선의 방정식은 (cid:100)(cid:100)y='3x+6'3 (cid:100)(cid:100)∴ tan 15°=2-'3 (cid:9120) 2-'3 (cid:9120) y='3x+6'3 Ⅶ. 삼각비 41 비 각 삼 Ⅶ E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지42 SinsagoHitec 만점 공략 BOX BC”// DE”이므로 (cid:100)y=z (동위각) 직선의 방정식을 y=ax+b라 하면 (cid:100)(cid:100)a=tan 60°='3 x절편이 -6이므로 x=-6, y=0을 y='3x+b에 대 입하면(cid:100)(cid:100)b=6'3 따라서 구하는 직선의 방정식은(cid:100)(cid:100)y='3x+6'3 261 ① sin x= BC” AC” = BC” 1 =BC” ② sin y= AB” AC” = ③ cos z=cos y= =BC” =AB” = BC” 1 AB” 1 BC” AC” DE” 1 1 DE” DE” AD” AD” DE” ④ tan x= = =DE” ⑤ tan z= = (cid:9120) ③ 262 (cos 90°-sin 90°)(sin 0°+3 cos 0°-tan 0°) =(0-1)_(0+3_1-0) =-3 (cid:9120) -3 263 ① x의 크기가 증가하면 sin x의 값도 증가하므로 ② x의 크기가 증가하면 cos x의 값은 감소하므로 (cid:100)(cid:100)sin 16°cos 63° ③ x의 크기가 증가하면 tan x의 값도 증가하므로 (cid:100)(cid:100)tan 8°cos x이므로 (cid:100)(cid:100)sin 70°>cos 70° ⑤ tan 45°=1cosx 264 주어진 삼각비의 표에서 sin 43°=0.6820, tan 40°=0.8391이므로 (cid:100)(cid:100)x=43°, y=40°(cid:100)(cid:100)∴ x+y=83° (cid:9120) 83° 265 ∠A=36°이므로 (cid:100)(cid:100)∠B=90°-36°=54° 주어진 삼각비의 표에서 tan 54°=1.3764이므로 (cid:100)(cid:100)tan 54°= AC” 40 (cid:100)(cid:100)∴ AC”=1.3764_40=55.056 =1.3764 내신 만점 도전하기 본책 58~60쪽 특수한 각`(30°, 45°, 60°)의 삼각비의 값을 266 이용한다. 42 정답 및 풀이 a=30°이므로 삼각형 의 세 내각의 크기는 30°, 60°, 90°이다. A=180°_ =30°와 1 6 같이 구할 수도 있다. (cid:9120) 55.056 A=45° 또는 A=60° '3 2 ① sin 60°+cos 60°= +;2!;= '3 '3-1 2 2 sin 60°-cos 60°= -;2!;= 1 sin 60°+cos 60° (cid:100) ∴ - 1 sin 60°-cos 60° '3+1 2 , =-2 (cid:100)(cid:100) = (cid:100)(cid:100) = - 2 '3-1 2 '3+1 2('3-1)-2('3+1) ('3+1)('3-1) ② 2 sin 30°-'2 sin 45°+tan 30° =2_ -'2_ + '3 3 =1-1+ = '2 2 '3 3 '3 3 1 2 ③ sin 45°_(cos 30°-tan 30°) '6 12 '3 6 '2 2 '3 2 ④ '3 sin 60°- '3 '2 = _{ - }= _ = 3 2 '2 cos 45°_tan 45° '3 tan 60° '2 2 13 '3_'3 ='3_ - ⑤ (좌변)=tan45°÷sin 45° 2 '2 '2 ⑤ (좌변)=1÷ =1_ ='2 2 '2_ '3 2 _1 (우변)=cos 45°= '2 2 =;2#;-;3!;=;6&; (cid:9120) ①, ③ 267 용하여 A의 크기를 구한다. 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°임을 이 삼각형의 세 내각의 크기를 a, 2a, 3a (a>0°)라 하면 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이므로 (cid:100)(cid:100)a+2a+3a=180° (cid:100)(cid:100)6a=180°(cid:100)(cid:100)∴ a=30° 따라서 A=30°이므로 (cid:100)(cid:100)sin A_cos A_tan A =sin 30°_cos 30°_tan 30° '3 3 =;2!;_ _ =;4!; '3 2 (cid:9120) ;4!; x¤ -('3+1)x+'3=0에서 268 해결 과정 (cid:100)(cid:100)(x-1)(x-'3)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x='3 즉 tan A=1 또는 tan A='3이므로 (cid:100)(cid:100)A=45° (∵ 0°…A…45°) 답 구하기 ∴ sin¤ A-'2 cos A+3 =sin¤ 45°-'2 cos 45°+3 '2 ¤ -'2_ +3 ={ } 2 '2 2 =;2%; •60% 배점 •40% 배점 (cid:9120) ;2%; E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지43 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 56쪽~59쪽 반지름의 길이가 r, 중 심각의 크기가 x°인 부채꼴의 넓이는 (cid:100)pr¤ _ x 360 DE”⊥BC”, AC”⊥BC”이 므로 (cid:100)DE”∥AC” 269 용하여 BC”, DC”의 길이를 구한다. 특수한 각(30°, 45°, 60°)의 삼각비의 값을 이 △ABC에서(cid:100)(cid:100)tan 30°= = 6 BC” '3 3 (cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'3 △ABD에서 (cid:100)(cid:100)∠ADC=30°+15°=45° △ADC에서(cid:100)(cid:100)tan45°= =1 6 DC” (cid:100)(cid:100)∴ DC”=6 (cid:100)(cid:100)∴ BD”=BC”-DC”=6'3-6=6('3-1) (cid:9120) ① A 해결 과정 ① △ABC 270 에서 (cid:100)(cid:100)sin 30°= AC” 20 =;2!; (cid:100)(cid:100)∴ AC”=10 20 D 60æ 30æ B 30æ 30æ C E •30% 배점 ∠A=90°-30°=60°이므로 해결 과정 ② (cid:100)(cid:100)∠ACD=90°-60°=30° △ADC에서 = '3 2 (cid:100)(cid:100)cos 30°= CD” 10 (cid:100)(cid:100)∴ CD”=5'3 답 구하기 DE”// AC”이므로 (cid:100)(cid:100)∠EDC=∠ACD=30° (엇각) △DEC에서(cid:100)(cid:100)sin 30°= EC” 5'3 =;2!; (cid:100)(cid:100)∴ EC”= 5'3 2 •30% 배점 •40% 배점 (cid:9120) 5'3 2 271 sin45°= 임을 이용하여 x의 크기를 구한다. sin 45°= 이므로 sin(2x-15°)= 에서 '2 2 '2 2 '2 2 (cid:100)(cid:100)2x-15°=45°,(cid:100)(cid:100)2x=60° (cid:100)(cid:100)∴ x=30° △OAB에서(cid:100)(cid:100)cos 30°= (cid:100)(cid:100)∴ OB”=4'3 △OBC에서(cid:100)(cid:100)cos 30°= (cid:100)(cid:100)∴ OC”=6 △OCD에서(cid:100)(cid:100)sin 30°= OB” 8 = '3 2 OC” 4'3 = '3 2 CD” 6 =;2!; (cid:100)(cid:100)∴ CD”=3 문제 이해 272 r cm라 하면 (cid:9120) ② 부채꼴 AOB의 반지름의 길이를 (cid:100)(cid:100)2pr_;3£6º0;=p(cid:100)(cid:100)∴ r=6 •20% 배점 비 각 삼 Ⅶ 해결 과정 △AOH에서 (cid:100)(cid:100)sin 30°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3 (cm) (cid:100)(cid:100)cos 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ OH”=3'3 (cm) AH” 6 OH” 6 '3 2 답 구하기 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_6¤ _;3£6º0;-;2!;_3'3_3=3p- 9'3 2 (cm¤ ) •50% 배점 •30% 배점 9'3 2 } cm¤ (cid:9120) {3p- 2∠AOC=3∠COB에서 문제 이해 273 (cid:100)(cid:100)∠AOC : ∠COB=3 : 2 이므로 (cid:100)(cid:100)∠AOC=150°_;5#;=90° 해결 과정 ① △OAC는 OA”=OC”인 이등변삼각형이 •20% 배점 므로 (cid:100)(cid:100)∠OAC=∠OCA=;2!;_(180°-90°)=45° △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠OAB=∠OBA=;2!;_(180°-150°)=15° (cid:100)(cid:100)∴ ∠CAB=45°-15°=30° •30% 배점 해결 과정 ② 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 △CAH 에서 12`cm 30æ A 45æ B C H (cid:100)(cid:100)cos 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ AH”=6'3 (cm) (cid:100)(cid:100)sin 30°= = (cid:100)(cid:100)∴ CH”=6 (cm) AH” 12 CH” 12 '3 2 1 2 △CHB에서(cid:100)(cid:100)tan 45°= =1 6 BH” (cid:100)(cid:100)∴ BH”=6 (cm) 답 구하기 ∴ AB”=AH”+BH”=6'3+6 =6('3+1) (cm) 274 75°의 각이 있는 직각삼각형을 찾는다. (cid:100)(cid:100)∠CAB=180°-(90°+60°) △ABC에서 =30° 이므로 = (cid:100)(cid:100)tan 30°= 2 AB” (cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'3 △ADB에서 AD”=BD”이므로 '3 3 (cid:100)(cid:100)∠BAD=∠ABD=;2!;_(180°-90°)=45° sin 45°= BD” 2'3 (cid:100)(cid:100)∴ AD”=BD”='6 '2 2 = 이므로(cid:100)(cid:100)BD”='6 •40% 배점 •10% 배점 (cid:9120) 6('3+1) cm C 60æ 2 45æ 45æ 45æ F B G 30æ 45æ E A D Ⅶ. 삼각비 43 E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지44 SinsagoHitec ∠DBF=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠ABF=90°-45°=45° (cid:100)(cid:100)∴ ∠FBC=90°-45°=45° '2 2 △CFB에서 sin 45°= = 이므로 CF” 2 (cid:100)(cid:100)CF”='2(cid:100)(cid:100)∴ BF”=CF”='2 한편 (cid:8772)FEDB는 직사각형이므로 (cid:100)(cid:100)ED”=BF”='2, FE”=BD”='6 (cid:100)(cid:100)∴ CE”=CF”+FE”='2+'6, (cid:100)(cid:100)∴ AE”=AD”-ED”='6-'2 △CAE에서 ∠CAE=30°+45°=75°이므로 (cid:100)(cid:100)tan 75°= CE” AE” = '2+'6` '6-'2` =2+'3 (cid:9120) ② 분모인 변의 길이가 1인 직각삼각형을 찾아 삼 275 각비의 값을 구한다. CD”∥AE”이므로 (cid:100)(cid:100)∠ODC=∠OEA=y (동위각) ① cos y=cos(∠ODC)= =CD” ② tan x= =AE” AE” OA” ③ sin y=sin(∠ODC)= =OC” ④, ⑤ △EOA에서(cid:100)(cid:100)x+y=90° CD” OD” OC” OD” 따라서 x의 크기가 작아지면 y의 크기는 커지므로 sin y, tan y의 값은 커진다. (cid:9120) ⑤ x와 크기가 같은 각을 찾아 sin x의 값을 구한 276 다. tan x= =OF” OF” EF” AB”∥EF”에서 ∠OAB=∠OEF=x(동위각)이므로` (cid:100)(cid:100)sin x=sin (∠OAB)= =OB” OB” OA” (cid:100)(cid:100)∴ tan x-sin x=OF”-OB”=BF” (cid:9120) ④ AC”, BC”, DE”의 길이를 각각 x의 삼각비로 277 나타낸다. sin x= =BC” BC” AB” cos x= =AC” tan x= =DE” (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)BCED =△AED-△ACB AC” AB” DE” AE” D tan`x sin`x B 1 x A cos`x C E =;2!;_1_tan x-;2!;_cos x_sin x = tan x-sin x cos x 2 (cid:9120) tan x-sin x cos x 2 참고 사다리꼴 BCED의 넓이는 (cid:100)(cid:100);2!;(sin x+tan x)(1-cos x) 와 같이 나타낼 수도 있다. 44 정답 및 풀이 만점 공략 BOX (cid:8772)FEDB에서 (cid:100)∠BFE=∠FED =∠EDB =90° 이므로 (cid:100)∠DBF=90° △CFB는 ∠F=90°, FC”=FB”인 직각이등 변삼각형이다. "≈a¤ =|a| =[ a (aæ0) -a (a<0) 278 (cid:8833) sin x, tan x의 값은 증가한다. 0°…x…90°일 때, x의 크기가 증가하면 0°…x…90°일 때, x의 크기가 증가하면 sin x, tan x의 값도 증가하므로 (cid:100)(cid:100)sin 45°cos A 45°<A<90°일 때, sin A>0, cos A>0, sin A>cos A이므로 (cid:100)(cid:100)sin A+cos A>0, cos A-sin A<0 (cid:100)(cid:100)∴ |sin A+cos A|-"√(cos A-sin A)¤ =(sin A+cos A)-{-(cos A-sin A)} =sin A+cos A+cos A-sin A =2 cos A (cid:9120) ⑤ 보충학습 ① 0°…x<45°일 때,(cid:100)(cid:100)sin xcos x ∴ AC”=10•50% 배점 280 해결 과정 (cid:100)(cid:100)sin 45°= △ABC에서 '2 2 = AC” 10'2 답 구하기 ∠BAC=90°-45°=45°이므로 (cid:100)(cid:100)∠DAC=45°-20°=25° 따라서 △ADC에서(cid:100)(cid:100)tan 25°= =0.4663 CD” 10 (cid:100)(cid:100)∴ CD”=4.663 •50% 배점 (cid:9120) 4.663 281 줄이 만나는 곳의 수 삼각비의 값 (cid:8833) 삼각비의 표의 가로줄과 세로 0.2123+tan x 0.5877-tan x =7에서 (cid:100)(cid:100)0.2123+tan x=4.1139-7 tan x (cid:100)(cid:100)8 tan x=3.9016(cid:100)(cid:100)∴ tan x=0.4877 주어진 삼각비의 표에서 tan 26°=0.4877이므로 (cid:100)(cid:100)x=26° (cid:100)(cid:100)∴ cos(x+34°)+sin(x+42°) (cid:100)(cid:100) =cos 60°+sin 68° (cid:100)(cid:100) =0.5+0.9272=1.4272 (cid:9120) ② 282 족시키는 A의 크기를 구한다. 삼각비의 표를 이용하여 sin`A=0.7314를 만 sin A=0.7314라 하면 주어진 삼각비의 표에서 (cid:100)(cid:100)A=47° (cid:100)(cid:100)∴ a=cos A=cos 47°=0.6820, b=tan A=tan 47°=1.0724 (cid:9120) a=0.6820, b=1.0724 E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지45 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 59쪽~61쪽 내신 만점 굳히기 본책 61쪽 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의 문제 이해 283 하여 (cid:100)(cid:100)a+b=4'3, ab=8 해결 과정 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab =48-32=16 이므로(cid:100)(cid:100)a-b=4 (∵ a>b) 4'3 4 (cid:100)(cid:100)∴ tan A= a+b a-b = ='3 답 구하기 tan 60°='3이므로 (cid:100)(cid:100)A=60° •30% 배점 •50% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 60° 곱셈 공식의 변형 ① a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab ② a¤ +b¤ =(a-b)¤ +2ab ③ (a+b)¤ =(a-b)¤ +4ab ④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab 보충학습 이차방정식의 근과 계수의 관계 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 할 때, (cid:100)(cid:100)a+b=- , ab= ;aB; ;aC; 반지름의 길이가 r, 중 심각의 크기가 x°인 부채꼴의 넓이 S는 (cid:100)S=pr¤ _ x 360 284 각형임을 안다. 엇각의 크기를 이용하여 △OAB는 이등변삼 오른쪽 그림에서 CB”// OX”이 므로 (cid:100)(cid:100)∠BOA=∠CBO =30° (엇각) C 30æ H B 30æ O 30æ A X (cid:100)(cid:100)∴ ∠BOA=∠OBA 따라서 △OAB는 AO”=AB”인 이 등변삼각형이므로 점 A에서 OB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 r (cid:100)(cid:100)∴ OA”=OH”_ = _ = r (cid:9120) ④ 2 '3 3 2 '3` 2 '3` 점 C에서 AB”의 연장선에 수선을 그어 직각삼 A 7 H 60æ 8 B C (cid:100)(cid:100)OH”= r 2 직각삼각형 AOH에서 (cid:100)(cid:100)cos 30°= OH” OA” = '3 2 285 각형을 만든다. 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AB”의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ACH에서 (cid:100)(cid:100)cos 60°= (cid:100)(cid:100)∴ AH”=4 AH” 8 =;2!; '3 = 에서 2 sin 60°= CH” 8 (cid:100)(cid:100)CH”=4'3 따라서 △BCH에서 AO”=AB”인 이등변삼 각형의 꼭짓점 A에서 OB”에 내린 수선은 OB”를 이등분하므로 (cid:100)OH”=BH”= r 2 점 C는 제3 사분면 위 의 점이므로 (cid:100)x™<0, y™<0 점 D는 제4 사분면 위 의 점이므로 (cid:100)x£>0, y£<0 (cid:100)(cid:100)BC”=ø∑(7+4)¤ ∑+(4'3)¤ =13 (cid:9120) 13 BH”=BA”+AH” 286 를 원의 반지름에 대한 식으로 나타낸다. 60°의 삼각비의 값을 이용하여 IE”, AI”의 길이 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 △AOI에서 (cid:100)(cid:100)cos 60°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ OI”=;2!;r OI” r (cid:100)(cid:100)∴ IE”=OE”-OI”=r-;2!;r=;2!;r '3 '3 2 2 sin 60°= = 에서(cid:100)(cid:100)AI”= r AI” r 또 μAE=2pr_;3§6º0;=;3!;pr이므로 '3 2 (cid:100)(cid:100){;2!;+ +;3!;p}r=6+6'3+4p(cid:100)(cid:100)∴ r=12 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:100) 4_{(부채꼴 AOE의 넓이)-△AOI} (cid:100)=4_{p_12¤ _;3§6º0;-;2!;_6_6'3} (cid:100)=96p-72'3 (cid:9120) 96p-72'3 287 [문제 해결 길잡이] ❶ 점 A의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하고 cos a, sin a를 x¡, y¡ 로 나타낸다. ❷ 점 C의 좌표를 (x™, y™)라 하고 OC”가 x축과 이루는 예 각의 삼각비의 값을 x™, y™로 나타낸다. ❸ 점 D의 좌표를 (x£, y£)이라 하고 OD”가 x축과 이루는 예각의 삼각비의 값을 x£, y£으로 나타낸다. ❹ 옳은 것을 모두 고른다. (cid:100)(cid:100)cos a= ㈀ 점 A의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 x¡ = =x¡ 1 y¡ = =y¡ 1 x¡ OA” y¡ OA” (cid:100)(cid:100)∴ A(cos a, sin a) ❶ (cid:100)(cid:100)sin a= ㈁ 점 C의 좌표를 (x™, y™)라 하면 OC”가 x축과 이루는 ㈂ 점 D의 좌표를 (x£, y£)이라 하면 OD”가 x축과 이 예각의 크기는 a이므로 (cid:100)(cid:100)cos a= -x™ OC” -y™ OC” (cid:100)(cid:100)∴ C(-cos a, -sin a) ❷ x™ =- =-x™ 1 y™ =- =-y™ 1 (cid:100)(cid:100)sin a= (cid:100)(cid:100)cos b= x£ = =x£ 1 루는 예각의 크기는 b이므로 x£ OD” -y£ OD” (cid:100)(cid:100)∴ D(cos b, -sin b) ❸ 이상에서 옳은 것은 ㈀뿐이다. ❹ (cid:100)(cid:100)sin b= y£ =- =-y£ 1 만점비법 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원 위의 점 P(x, y)(x>0, y>0)에 대하여 OP”가 x축과 이루는 예각 의 크기가 a일 때, x=cos a, y=sin a이다. 즉 점P 의 좌표를 (cos a, sin a)로 나타낼 수 있다. (cid:9120) ① Ⅶ. 삼각비 45 비 각 삼 Ⅶ E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지46 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 15 삼각비의 활용 개념&기출유형 본책 62~64쪽 288 a=10 cos 36°=10_0.81=8.1 b=10 sin 36°=10_0.59=5.9 (cid:100)(cid:100)∴ a+b=14 (cid:9120) ④ 289 FG”=12 cos 30°=6'3 (cm) CG”=12 sin 30°=6 (cm) 따라서 직육면체의 부피는 (cid:100)(cid:100)6'3_10_6=360'3 (cm‹ ) (cid:9120) 360'3 cm‹ (직육면체의 부피) =(가로의 길이) _(세로의 길이) _(높이) 290 진영이의 눈높이에서 국기 게양대 끝부분까지의 높이는 (cid:100)(cid:100)45 sin 40°=45_0.64=28.8 (m) 따라서 국기 게양대의 높이는 (cid:100)(cid:100)1.65+28.8=30.45 (m) (cid:9120) 30.45 m A H 9´3 C 12 291 오른쪽 그림과 같이 꼭 짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 △ABH 에서 (cid:100)(cid:100)AH”=12 sin 30°=6 (cid:100)(cid:100)BH”=12 cos 30°=6'3 CH”=9'3-6'3=3'3이므로 △AHC에서 (cid:100)(cid:100)AC”=ø∑6¤ +∑(3'3)¤ =3'7 30æ B (cid:9120) 3'7 A 2´6 B 60æ H 45æ C 292 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AH”=2'6 sin 60°=3'2 3'2 △AHC에서(cid:100)(cid:100)AC”= sin 45° 293 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △AHC에서 (cid:100)(cid:100)AH”=5 sin C B =5_0.8=4 (cid:100)(cid:100)CH”=5 cos C=5_0.6=3 BH”=8-3=5이므로 △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AB”="√5¤ +4¤ ='ƒ41 A H 8 5 C (cid:9120) 'ƒ41 294 ∠BAH=45°, ∠CAH=60°이므로 AH”=h라 하면 (cid:100)(cid:100)BH”=h tan 45°=h (cid:100)(cid:100)CH”=h tan 60°='3h h+'3h=8이므로(cid:100)(cid:100)(1+'3)h=8 등변사다리꼴의 성질 ① 평행하지 않은 두 대변의 길이가 같다. ② 두 대각선의 길이가 같다. 46 정답 및 풀이 (cid:100)(cid:100)∴ h= 8 1+'3 = 8(1-'3) (1+'3)(1-'3) =4('3-1) (cid:9120) 4('3-1) 295 ∠BAH=60°, ∠CAH=30°이므로 (cid:100)(cid:100)BH”=6 tan 60°=6'3 (cid:100)(cid:100)CH”=6 tan 30°=2'3 (cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'3-2'3=4'3 (cid:9120) 4'3 296 ∠ACD=45°, ∠BCD=30°이므로 CD”=h m 라 하면 (cid:100)(cid:100)AD”=h tan 45°=h (m) (cid:100)(cid:100)BD”=h tan 30°= h (m) h- h=150이므로(cid:100)(cid:100) h=150 '3 3 '3 3 3-'3 3 (cid:100)(cid:100)∴ h=150_ 3 3-'3 (cid:100)(cid:100)∴ h=150_ 3(3+'3) (3-'3)(3+'3) =;2!;_5_6_;2!; =;;¡2∞;; (cm¤ ) (cid:9120) ① 298 ;2!;_8_12_sin(180°-C)=24'2이므로 '2 2 (cid:100)(cid:100)sin(180°-C)= 따라서 180°-C=45°이므로(cid:100)(cid:100)∠C=135° (cid:9120) 135° 299 BC”=12이므로 (cid:100)(cid:100)AB”=12 sin 30°=6 ∠ABD=60°+90°=150°이므로 =5_5'3_;2!; = 25'3 2 (cid:9120) 25'3 2 301 (cid:8772)ABCD=;2!;_20_12'2_sin 60° (cid:8772)ABCD=;2!;_20_12'2_ (cid:8772)ABCD=60'6 '3 2 (cid:9120) 60'6 302 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 서로 같으므 로 BD”=x cm라 하면 =6 (cid:9120) 6 ∠C=180° (cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_6_12_sin(180°-150°) -(60°+75°) =45° (cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_6_12_;2!;=18 (cid:9120) ② 평행사변형에서 이웃 하는 두 내각의 크기의 합은 180°이다. 300 ∠B=180°-150°=30°이므로 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=5_5'3_sin 30° (cid:100)(cid:100)∴ h=75(3+'3) (cid:9120) 75(3+'3) m 한 꼭짓점에서 그 대변 에 수선을 내려 만든 직각삼각형을 이용한다. 297 △ABC=;2!;_5_6_sin 30° E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지47 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100);2!;_x_x_sin(180°-120°)=32'3 '3 2 (cid:100)(cid:100);2!;_x¤ _ =32'3 (cid:100)(cid:100)x¤ =128(cid:100)(cid:100)∴ x=8'2 (∵ x>0) 303 (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD =;2!;_6_8_sin 60° +;2!;_6_2_sin(180°-120°) '3 =;2!;_6_8_ +;2!;_6_2_ 2 =12'3+3'3=15'3 '3 2 (cid:9120) 15'3 보조선을 그을 때 넓이를 구할 수 있는 삼각형, 즉 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기를 알 수 있는 삼 각형이 만들어지도록 긋는다. 참고 304 △ABC에서 BC”= =16이므로 16 tan 45° (cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_16_16=128 또 AC”= 16 sin 45° =16'2이므로 (cid:100)(cid:100)△ACD=;2!;_16'2_4'6_sin(180°-120°) (cid:100)(cid:100)△ACD=;2!;_16'2_4'6_ =96 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD '3 2 =128+96=224 (cid:9120) ④ 305 오른쪽 그림과 같이 정팔각 형은 8개의 합동인 이등변삼각형으 로 나누어진다. 따라서 정팔각형의 넓이는 (cid:100) 8_{;2!;_6_6_sin 45°} (cid:100)=8_{;2!;_6_6_ } (cid:100)=72'2 (cm¤ ) '2 2 45æ 6`cm O (cid:9120) ⑤ 내신 만점 도전하기 본책 65~68쪽 306 이용하여 AC”, DC”의 길이를 구한다. △ABD에서 AD”의 길이를 구한 후 삼각비를 △ABD에서 (cid:100)(cid:100)∠BAD=30°-15°=15° 즉 △ABD는 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)AD”=BD”=4 △ADC에서 (cid:100)(cid:100)AC”=4 sin 30°=2 (cid:100)(cid:100)DC”=4 cos 30°=2'3 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_(4+2'3)_2=4+2'3 (cid:9120) ② 점 H는 정사각형 ABCD의 두 대각선 의 교점과 일치하므로 (cid:100)AH”=CH” =;2!;AC” = _(밑넓이) (삼각뿔의 부피) 1 3 _(높이) 360° 8 =45° BC”=BD”+DC” 만점 공략 BOX 본책 62쪽~65쪽 직각삼각형에서 삼각비를 이용하여 BQ”, PQ”의 (cid:9120) ③ (cid:100)(cid:100)BQ”=200 tan 30°= 200'3 3 (m) 307 길이를 구한다. △ABQ에서 △PBQ에서 200'3 3 (cid:100)(cid:100)PQ”= tan 60°=200 (m) (cid:9120) ④ 308 문제 이해 AH”=;2!;AC” AH”=;2!;_'2_4 AH”=2'2 (cm) •30% 배점 해결 과정 (cid:100)(cid:100)OA”= △OAH에서 2'2 cos 60° =4'2 (cm) (cid:100)(cid:100)OH”=2'2 tan 60°=2'6 (cm) 따라서 △OAH의 둘레의 길이는 답 구하기 (cid:100)(cid:100)4'2+2'2+2'6=6'2+2'6 (cm) •20% 배점 (cid:9120) (6'2+2'6 ) cm •50% 배점 △OBC에서 309 해결 과정 ① (cid:100)(cid:100)OB”=4 sin 60°=2'3 (cid:100)(cid:100)OC”=4 cos 60°=2 △AOC에서 해결 과정 ② (cid:100)(cid:100)AO”=2 tan 45°=2 답 구하기 따라서 삼각뿔의 부피는 4'3 3 (cid:100)(cid:100);3!;_{;2!;_2'3_2}_2= 비 각 삼 Ⅶ •50% 배점 •30% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 4'3 3 삼각비를 이용할 수 있도록 직각삼각형을 그린 310 다. 오른쪽 그림에서 (cid:100)(cid:100)∠EDC=60°, (cid:100)(cid:100)∠ECD=30° 이므로 △EDC는 ∠E=90°인 직각삼각형이 다. (cid:100)(cid:100)∴ DC”= 1 cos 60° A 1`m 10`m B E 30æ CD 60æ (cid:100)(cid:100)∴ DC”=2`(m) 따라서 BC”=10+2=12`(m)이므로 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AB”=12 tan 30°=4'3 (m) (cid:9120) 4'3 m 311 삼각형을 만든다. 꼭짓점 A에서 BC”에 수선을 그어 2개의 직각 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 D라 하면 △ABD에서 (cid:100)(cid:100)AD”=4 sin 60°=2'3 (cid:100)(cid:100)BD”=4 cos 60°=2 A 4 y 60æ B 45æ C D x Ⅶ. 삼각비 47 E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지48 SinsagoHitec 만점 공략 BOX △ADC에서 (cid:100)(cid:100)AC”= 2'3 sin 45° 2'3 tan 45° 또 DC”= =2'3이므로 =2'6(cid:100)(cid:100)∴ y=2'6 (cid:100)(cid:100)BC”=2+2'3(cid:100)(cid:100)∴ x=2+2'3 (cid:9120) ④ 312 각삼각형을 만든다. 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 수선을 그어 직 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 내린 수선 의 발을 H라 하면 △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AH”=5'2 sin 45°=5 (cm) (cid:100)(cid:100)BH”=5'2 cos 45°=5 (cm) CH”=5-3=2 (cm)이므로 △ACH에서 (cid:100)(cid:100)AC”="√2¤ +5¤ ='∂29 (cm) B A 5´2`cm 45æ 3`cm C H (cid:9120) '∂29 cm 해결 과정 ① 313 오른쪽 그 림과 같이 꼭짓점 A에서 BC” 에 내린 수선의 발을 H라 하고 AH”=x cm라 하면 △ABH에 서(cid:100)(cid:100)BH”= =x (cm) x tan 45° A x`cm 45æ B H 30æ C {´3+1}`cm 또 △AHC에서 x tan 30° (cid:100)(cid:100)CH”= ='3 x (cm) 즉 x+'3x='3+1이므로 해결 과정 ② (cid:100)(cid:100)(1+'3)x='3+1(cid:100)(cid:100)∴ x=1 ∴ AB”= 답 구하기 1 sin 45° (cid:100)(cid:100)BH”=a cos 45°= a (cm) AB”=a cm라 하면 △ABH에서 '2 2 '2 2 (cid:100)(cid:100)AH”=a sin 45°= a (cm) 1 tan 30° '6 2 = a (cm) (cid:100)(cid:100)HC”= a _ △AHC에서 '2 2 '2 '6 2 2 '2+'6 2 (cid:100)(cid:100) 즉 a='3+1 (cid:100)(cid:100)∴ a=('3+1)_ a+ a='3+1이므로 2 '2+'6 ='2 꼭짓점 D에서 BC”의 연장선에 수선을 그어 직 A 8 D 120æ 6 B 120æ C H 60æ 314 각삼각형을 만든다. 오른쪽 그림과 같이 꼭짓 점 D에서 BC”의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 △DCH에서 (cid:100)(cid:100)DH”=6 sin 60°=3'3 (cid:100)(cid:100)CH”=6 cos 60°=3 48 정답 및 풀이 •40% 배점 •40% 배점 ∠DAC=∠ACB =35°(엇각) 이므로 (cid:100)∠DAH=35°-15° =20° ='2 (cm) •20% 배점 (cid:9120) '2 cm 삼각형의 한 외각의 크 기는 이와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다. 평행사변형의 성질 ① 두 쌍의 대변의 길 이가 각각 같다. ② 두 쌍의 대각의 크 기가 각각 같다. ③ 두 대각선이 서로를 이등분한다. BH”=8+3=11이므로 △DBH에서 (cid:100)(cid:100)BD”=ø∑11¤ +∑(3'3)¤ =2'∂37 (cid:9120) ② 315 BC”의 길이를 h로 나타낸다. 나무의 높이를 h m라 하고 삼각비를 이용하여 나무의 높이를 h m라 하 면 오른쪽 그림에서 ∠BAH=45°, ∠CAH=30° 이므로 (cid:100)(cid:100)BH”=h tan 45°=h (m) (cid:100)(cid:100)CH”=h tan 30°= h (m) '3 3 A 45æ 30æ h`m 45æ B 60æ C H 4`m 즉 h+ h=4이므로(cid:100)(cid:100) h=4 3+'3 3 '3 3 (cid:100)(cid:100)∴ h=4_ 3 3+'3 (cid:100)(cid:100)∴ h=2(3-'3 ) = 12(3-'3 ) (3+'3)(3-'3) (cid:9120) 2(3-'3 ) m 316 비를 이용하여 CD”의 길이를 h로 나타낸다. 점 A와 CD” 사이의 거리를 h cm라 하고 삼각 20æ h`cm D 15æ H 7`cm 75æ 35æ C A 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 CD”에 내린 수선의 발을 H라 하고 AH”=h cm라 하면 (cid:100)(cid:100)∠CAH=15°, ∠DAH=20° 이므로 (cid:100)(cid:100)CH”=h tan 15°=0.27h (cid:100)(cid:100)DH”=h tan 20°=0.36h 0.27h+0.36h=7이므로 B (cid:100)(cid:100)0.63h=7(cid:100)(cid:100)∴ h=;;¡;9);º;; 즉 점 A와 CD” 사이의 거리는 ;;¡;9);º;; cm이다. (cid:9120) ② 문제 이해 317 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선 에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)∠ACH=30°+15°=45° (cid:100)(cid:100)∴ ∠CAH=45° A 15æ 45æ h B 30æ 45æ C 10 H •30% 배점 AH”=h라 하면 해결 과정 (cid:100)(cid:100)CH”=h tan 45°=h (cid:100)(cid:100)BH”=h tan 60°='3h '3h-h=10이므로(cid:100)(cid:100)('3-1)h=10 (cid:100)(cid:100)∴ h= 10 '3 -1 = 10('3+1) ('3 -1)('3 +1 ) 답 구하기 ∴ △ABC=;2!;_10_5('3+1) ∴ △ABC=25('3+1) =5('3+1) •50% 배점 •20% 배점 (cid:100)(cid:9120) 25('3+1) 318 등분된다. 삼각형의 세 중선에 의하여 삼각형의 넓이는 6 E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지49 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 65쪽~68쪽 3+4+5=12 (cid:8772)DEFG=bc sin(180°-150°)= bc △GBD=;6!;△ABC이므로 (cid:100)(cid:100)4'3=;6!;_;2!;_8_AC”_sin 60° (cid:100)(cid:100)∴ AC”=12 (cid:9120) ③ 319 례한다. 한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비 μAB:μ BC:μ CA=3:4:5이므로 (cid:100)(cid:100)∠AOB=360°_ =90° (cid:100)(cid:100)∠BOC=360°_ =120° 3 12 4 12 (cid:100)(cid:100)∠COA=360°_ =150° 5 12 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=△OAB+△OBC+△OCA (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_2_2_sin 90° (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=+;2!;_2_2_sin (180°-120°) (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=+;2!;_2_2_sin (180°-150°) '3 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=2_1+2_ +2_;2!; 2 (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=3+'3 (cm¤ ) (cid:9120) ② 320 △ABC=△ABD+△ACD △ABC=△ABD+△ACD이므로 (cid:100) ;2!;_6_3_sin(180°-120°) (cid:100)=;2!;_6_AD”_sin 60°+;2!;_3_AD”_sin 60° (cid:100)(cid:100) 9'3 2 = 9'3 4 AD”(cid:100)(cid:100)∴ AD”=2 (cid:9120) ② 321 이등변삼각형임을 이용한다. 접은 각과 엇각의 크기가 같으므로 △ABC는 오른쪽 그림의 △AHC A 에서 6`cm D 12`cm C (cid:100)(cid:100)sin (∠ACH)=;1§2;=;2!; (cid:100)(cid:100)∴ ∠ACH=30° 이때 △ABC에서 ∠BAC=∠BCA=30°이므로 (cid:100)(cid:100)∠ABH=30°+30°=60° H B (cid:100)(cid:100)∴ BC”=AB”= 6 sin 60° =4'3 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'3_12_sin 30° (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=12'3 (cm¤ ) (cid:9120) ③ 해결 과정 ① 322 (cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_4a_3b_sin x=6ab sin x CN”=a, CQ”=b, ∠C=x라 하면 (cid:100)(cid:100)△LPC= 3a_2b_sin x=3ab sin x (cid:100)(cid:100)△MQC= _2a_b_sin x=ab sin x ;2!;_ ;2!; •50% 배점 평행사변형에서 이웃 하는 두 내각의 크기의 합은 180°이므로 (cid:100)∠A+∠B=180° ∠DAC=∠BAC ∠DAC=∠BCA (접은 각), (엇각) 이므로 (cid:100)∠BAC=∠BCA △ABC에서 BC”를 밑 변이라 하면 AH”가 높 이이므로 (cid:100);2!;_4'3_6=12'3 과 같이 구할 수도 있 다. 비 각 삼 Ⅶ •30% 배점 •20% 배점(cid:100)(cid:9120) 3'3 해결 과정 ② S¡=△ABC-△LPC=3ab sin x S™=△LPC-△MQC=2ab sin x S¡ ∴ = S™ 3ab sin x 2ab sin x 답 구하기 = ;2#; •30% 배점 •20% 배점 (cid:9120) ;2#; 323 △ABC와 (cid:8772)DEFG의 넓이를 각각 구한다. △ABC= ab sin 60°= ab ;2!; '3 4 ;2!; 이때 △ABC=(cid:8772)DEFG이므로 '3 (cid:100)(cid:100) ab= 4 ;2!; (cid:100)(cid:100)∴ a : c=2 : '3 bc(cid:100)(cid:100)∴ a= c 2 '3 (cid:9120) ③ 해결 과정 ① ∠A : ∠B=2 : 1이므로 324 (cid:100)(cid:100)∠B=180°_;3!;=60° (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=3_8_sin 60°=12'3 •50% 배점 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등 해결 과정 ② 분하므로 (cid:100)(cid:100)△OAB=△OBC=△OCD=△ODA 답 구하기 ∴ △OBC=;4!;(cid:8772)ABCD=3'3 0°…x…90°에서 sin x의 값은 x=90°일 때 두 대각선이 이루는 각의 크기를 x (0°0) 해결 과정 ③ (cid:100)(cid:100)6_4'2=24'2 작은 정육각형의 둘레의 길이는 즉 큰 정육각형의 둘레의 길이는 '3 2 (cid:100)(cid:100)6_ _4'2=12'6 답 구하기 (cid:100)(cid:100)24'2-12'6 •20% 배점 •10% 배점 (cid:9120) 24'2-12'6 만점 공략 BOX 본책 68쪽~70쪽 360° 6 =60° 336 (cid:8833) (작은 원의 각 중심을 연결하여 만든 정육각형의 넓이) 색칠한 부분의 넓이 -2_(작은 원의 넓이) r r A 오른쪽 그림과 같이 접하 고 있는 작은 원의 반지름의 길 이를 r라 하면 ∠AOB=60°, OA”=OB”=30-r이므로(cid:100)(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠OAB=∠OBA=60° 따라서 △OAB는 정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)AB”=OA” (cid:100)(cid:100)2r=30-r(cid:100)(cid:100)∴ r=10 (cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이) 30-r 60æ O B (cid:100)(정육각형에서 색칠하 지 않은 부분의 넓이) =(중심각의 크기가 120°인 부채꼴 6개 의 넓이) =2_(반지름의 길이 가 10인 원의 넓이) (cid:100)(cid:100) =6_;2!;_20¤ _sin 60°-2_10¤ _p (cid:100)(cid:100) =600'3-200p (cid:9120) 600'3-200p 337 [문제 해결 길잡이] ❶ PB”=x, PC”=y라 하고 △PBC의 넓이를 이용하여 sin a를 x, y에 대한 식으로 나타낸다. ❷ 점 P가 점 A와 점 D에 있을 때 sin a의 값을 각각 구하 정 n 각형의 한 내각의 크기 (cid:9178) 180°_(n-2) n 외접원의 중심에서 각 꼭짓점을 연결하는 선 분을 그으면 (cid:9178) 정육각 형은 합동인 정삼각형 6개로 나누어진다. 비 각 삼 Ⅶ 여 sin a의 값의 범위를 구한다. ❸ sin a의 최댓값과 최솟값의 곱을 구한다. PB”=x, PC”=y라 하면 (cid:100)(cid:100)△PBC=;2!;_4_2=;2!;xy sin a (cid:100)(cid:100)∴ sin a= ❶ ;[•]; = ⁄ (cid:100)(cid:100)sin a= ⁄ 점 P가 점 A에 있을 때, ⁄ x=2, y="√2¤ +4¤ =2'5이므로 8 4'5 2'5 5 ¤ 점 P가 점 D에 있을 때, ⁄ x="√2¤ +2¤ =2'2, y="√2¤ +2¤ =2'2이므로 ⁄ (cid:100)(cid:100)sin a=;8*;=1 2'5 5 ⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100) …sin a…1 ❷ 따라서 sin a의 최댓값은 1, 최솟값은 이므로 최 2'5 5 댓값과 최솟값의 곱은 2'5 2'5 5 5 (cid:100)(cid:100)1_ = ❸ (cid:9120) 2'5 5 참고 점 P가 점 A에 있을 때, △PBC에서 가장 긴 변 은 PC”이므로 ∠PBC가 크기가 가장 큰 각이 되고, 점 P가 점 D에 있을 때, △PBC에서 가장 긴 변은 BC”이 므로 ∠BPC가 크기가 가장 큰 각이 된다. 따라서 점 P가 점 A에서 점 D로 이동할수록 ∠BPC 의 크기는 커진다. 내신 만점 정복하기 본책 70~75쪽 338 저 구한다. △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√10¤ -6¤ =8 Ⅶ. 삼각비 51 따라서 두 정육각형의 둘레의 길이의 차는 피타고라스 정리를 이용하여 BC”의 길이를 먼 E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지52 SinsagoHitec (cid:100)(cid:100)∴ sin A+cos A= + = ;1§0; ;5&; ;1•0; (cid:9120) ④ 344 형 2개로 나누어 생각한다. 시계의 중심에서 AB”에 수선을 내려 직각삼각 만점 공략 BOX 339 AB” : AC”=BD” : CD”임을 이용한다. AD”가 ∠A의 이등분선이므로 AB” : AC”=BD” : CD”이므로 (cid:100)(cid:100)15 : AC”=3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10 △ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√15¤ -10¤ =5'5 (cid:100)(cid:100)∴ CD”=5'5_;5@;=2'5 5'5 15 (cid:100)(cid:100)∴ cos x+tan y= = + 10 2'5 4'5 3 (cid:9120) 4'5 3 원 모양의 시계의 중심을 O, 점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하 360° 12 면(cid:100)(cid:100)∠AOB= =30° △AOB는 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠BOH=15° △BOH에서(cid:100)(cid:100)sin 15°= =0.26 BH” 25 (cid:100)(cid:100)∴ BH”=6.5 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ AB”=2BH”=13 (cm) 340 AD”=DC”=DB”이다. 점 D가 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AD”=DC”=DB”에서 △DBC는 이등변삼각형이 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이다. 345 을 이용한다. 닮은 두 평면도형에서의 대응각의 크기는 같음 므로 (cid:100)(cid:100)∠DBC=∠DCB=x (cid:100)(cid:100)∴ tan x= AB” BC” =;;¡9™;;=;3$; △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AB”="√17¤ -8¤ =15 ∠DBA=∠DAC=x, ∠DCA=∠DAB=y이므로 x B 17 (cid:9120) ⑤ △ABCª△DBA ª△DAC (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)sin x=;1•7;, sin y=;1!7%; 341 동위각을 찾아 삼각비의 값을 구한다. 주어진 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 (cid:100)(cid:100)∴ sin x+sin y=;1@7#; (cid:9120) ;1@7#; A H B 25 15æ O (cid:9120) ② A y 8 x y D C y 3 2 A C a B a O 1 5 x 두 점 A, B를 지나는 직선은 위의 그림과 같으므로 (cid:100)(cid:100)∠ABC=a 이때 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)AC”=1, BC”=4, AB”="√4¤ +1¤ ='∂17 (cid:100)(cid:100)∴ sin a= AC” AB” = 1 '∂17 = '∂17 17 (cid:9120) '∂17 17 한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 342 길이 (cid:8833) '3a 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 (cid:100)(cid:100)EG”='2a, EC”='3a 이므로 △CEG에서 (cid:100)(cid:100)sin x= = , cos x= = a '3a '3 3 (cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x= '3+'6 3 '2a '3a '6 3 (cid:9120) '3+'6 3 343 sin B의 값을 이용하여 BC”의 길이를 구한다. sin B= 6 BC” =;3!;에서 (cid:100)(cid:100)BC”=18 따라서 AB”="√18¤ -6¤ =12'2이 므로 B C 6 A (cid:100)(cid:100)sin C= 12'2 18 = 2'2 3 (cid:9120) 2'2 3 52 정답 및 풀이 △ABC에서 346 해결 과정 ① (cid:100)(cid:100)BC”="√25¤ -15¤ =20 (cid:100)(cid:100)∴ tan x= AC” BC” =;2!0%;=;4#; 또 △ADC에서 해결 과정 ② (cid:100)(cid:100)DC”="√17¤ -15¤ =8 (cid:100)(cid:100)∴ tan y= =:¡8∞: AC” DC” tan x tan y 답 구하기 ∴ =;4#;_;1•5;=;5@; •20% 배점 해결 과정 ① 347 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라 하면 △AHC에서 = '7 4 (cid:100)(cid:100)cos C= CH” 8 (cid:100)(cid:100)∴ CH”=2'7 해결 과정 ② 에서(cid:100)(cid:100)BH”="√7¤ -6¤ ='ß13 답 구하기 ∴ cos B= 'ß13 7 •40% 배점 AH”="√8¤ -(2'7)¤ =6이므로 △ABH •40% 배점 •40% 배점 •40% 배점 (cid:9120) ;5@; 8 C A H 7 B •20% 배점 (cid:9120) 'ß13 7 y B a A O x 해결 과정 ① 348 일차함수의 그 래프가 오른쪽 그림과 같다고 하자. sin a=;5$;이므로 AB”=5k, OB”=4k (k>0)라 하면 ∠CGE=90°인 직각 삼각형이다. E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지53 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 70쪽~72쪽 BC”=;2!; BE”=2 또 sin 60°= (cid:100)(cid:100)OA”=ø∑(5k)¤ -∑(4k)¤ =3k 따라서 일차함수의 그래프의 기울기는 (cid:100)(cid:100)tan a= OB” OA” = = ;3$kK; ;3$; •50% 배점 해결 과정 ② 구하는 일차함수의 식을 y=;3$;x+b라 하 면 이 일차함수의 그래프가 점 (-2, 6)을 지나므로 (cid:100)(cid:100)6=-;3*;+b(cid:100)(cid:100)∴ b=;;™3§;; 답 구하기 따라서 구하는 일차함수의 식은 •30% 배점 (cid:100)(cid:100)y=;3$;x+;;™3§;; •20% 배점 (cid:9120) y=;3$;x+;;™3§;; 349 해결 과정 ① △ABC에서 2 AC” (cid:100)(cid:100)sin x= =;5!;(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10 •20% 배점 해결 과정 ② △ABCª△EDC (AA 닮음)에서 AC” : EC”=BC” : DC”이므로 (cid:100)(cid:100)10 : 2=2 : DC”(cid:100)(cid:100)∴ DC”=;5@; (cid:100)(cid:100)∴ AD”=AC”+CD”=10+ = ;5@; ;;∞5™;; 또 △CDE에서 (cid:100)(cid:100)DE”=æ≠2¤ -{;5@;} ¤ = 4'6 5 답 구하기 ∴ tan y= DE” AD” = 4'6 5 _ = ;5∞2; '6 13 •50% 배점 •30% 배점 (cid:9120) '6 13 350 을 이용한다. 특수한 각의 삼각비의 값을 구한 후 곱셈 공식 (주어진 식)={1-;2!;}{1+;2!;}+1 ={1-;4!;}+1=;4&; (cid:9120) ④ 351 용하여 ∠A의 크기를 구한다. 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°임을 이 ∠B=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠A+∠C=90° 이때 ∠A=2∠C, 즉 ∠C=;2!;∠A이므로 (cid:100)(cid:100)∠A+;2!;∠A=90°,(cid:100)(cid:100);2#;∠A=90° (cid:100)(cid:100)∴ ∠A=60° (cid:100)(cid:100)∴ cos A=cos 60°=;2!; (cid:9120) ② 352 0°tan 45°=1 따라서 두 번째로 작은 것은 ③이다. E C A 45æ 30æ 45æ H F 60æ 6 B 60æ D 해결 과정 ① 360 오른쪽 그 림과 같이 점 B에서 AF”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 △AHB에서 = '2 2 (cid:100)(cid:100)cos 45°= AH” 6 (cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'2 sin 45°= BH” 6 (cid:100)(cid:100)BH”=3'2 또 △BHF에서 '2 2 = 이므로 (cid:100)(cid:100)tan 60°= 3'2 FH” ='3 (cid:100)(cid:100)∴ FH”='6 (cid:100)(cid:100)∴ AF”=AH”+FH”=3'2+'6 해결 과정 ② △ABC에서(cid:100)(cid:100)tan 30°= (cid:100)(cid:100)∴ AC”=6'3 △EACª△FAB (AA 닮음)이므로 •40% 배점 6 AC” = '3 3 (cid:100)(cid:100)AC” : AB”=EA” : FA” (cid:100)(cid:100)6'3 : 6=EA” : (3'2+'6) (cid:100)(cid:100)∴ EA”=3'6+3'2 답 구하기 ∴ EF”=EA”+AF” =6'2+4'6 54 정답 및 풀이 •30% 배점 •30% 배점 (cid:9120) '2-1 D A E 60æ x 45æ C H 10 •30% 배점 해결 과정 ① 361 림의 △OCB에서 오른쪽 그 (cid:100)(cid:100)sin 45°= BC” 2 = '2 2 (cid:100)(cid:100)∴ BC”='2 B A x 2 135æ45æ O C •40% 배점 해결 과정 ② 또 cos 45°= = 이므로 OC” 2 '2 2 (cid:100)(cid:100)OC”='2 답 구하기 (cid:100)(cid:100)tan x= △ACB에서 '2 2+'2 BC” AC” = (cid:100)(cid:100) tan x='2-1 = '2(2-'2) (2+'2)(2-'2) 해결 과정 ① 362 오른쪽 그림과 같이 점 E에서 BC” 에 내린 수선의 발을 H라 하 고 EH”=x라 하면 △EHC 에서 30æ B (cid:100)(cid:100)tan 45°= x CH” (cid:100)(cid:100)∴ CH”=x(cid:100)(cid:100)∴ BH”=10-x =1 해결 과정 ② △EBH에서 (cid:100)(cid:100)tan 30°= EH” BH” = x 10-x = '3 3 (cid:100)(cid:100)3x=10'3-'3x,(cid:100)(cid:100)(3+'3)x=10'3 (cid:100)(cid:100)∴ x= 10'3 3+'3 = 10'3(3-'3) (3+'3)(3-'3) =5('3-1) •40% 배점 답 구하기 ∴ △EBC=;2!;_BC”_EH” ` ` 363 을 만든다. =;2!;_10_5('3-1) =25('3-1) •30% 배점 (cid:9120) 25('3-1) 점 A에서 BC”에 수선을 내려 2개의 직각삼각형 A 30æ 45æ 10 2 B 60æ H C 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라 하면 ∠BAH=30°, ∠CAH=45°이므로 △AHC 에서 (cid:100)(cid:100)AH”=10'2 cos 45°=10 (cid:100)(cid:100)CH”=10'2 sin 45°=10 또 △ABH에서 ∠EAC=∠FAB=45°, ∠AEC=∠AFB=60° 이므로 (cid:100)△EACª△FAB (AA 닮음) •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 6'2+4'6 BC”=BH”+CH” 10'3 3 = +10 (cid:100)(cid:100)BH”= 10 tan 60° 10 = = '3 10'3 3 =10_ = (cid:100)(cid:100)AB”= 10 sin 60° 2 '3 +{ (cid:100)(cid:100)∴ AB”+BC=10(1+'3) (cid:100)(cid:100)∴ AB”+BC”= 20'3 3 10'3 3 20'3 3 +10} (cid:9120) ④ E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지55 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 72쪽~75쪽 364 의 길이를 구한다. 직각삼각형을 찾아 삼각비를 이용하여 DH”, HE” 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 DE” 에 내린 수선의 발을 H라 하면 △DHC 에서 (cid:100)(cid:100)DH”=20 tan 45°=20 (m) (cid:100)(cid:100)EH”=20 tan 60°=20'3 (m) 따라서 A건물의 높이는 (cid:100)(cid:100)DE”=DH”+EH”=20+20'3 =20(1+'3)(m) D H 45æ 60æ C E 20`m (cid:9120) ③ 두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인 각의 크기가 365 x (예각)인 삼각형의 넓이 (cid:8833) ;2!;ab sin x ;2!; _6_10_sin x=15'3이므로 '3 2 (cid:100)(cid:100)30 sin x=15'3(cid:100)(cid:100)∴ sin x= sin 60°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=60° (cid:9120) 60° '3 2 366 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. △ABC가 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠B=180°-2_75°=30° (cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _10_10_sin30° (cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _10_10_ =25 (cid:9120) ① ;2!; ;2!; ;2!; 두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인 각의 크기가 367 x (둔각)인 삼각형의 넓이 (cid:8833) ;2!;ab sin(180°-x) △ABC=△ABD+△CBD이므로 BD”=x cm 라 하면 (cid:100) ;2!;_6_3'3_sin(180°-150°) (cid:100)=;2!;_6_x_sin(180°-120°) (cid:100)=+;2!;_x_3'3_sin 30° (cid:100)(cid:100)18'3=9'3x(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (cid:100)(cid:100)∴ △ABD=;2!;_6_2_sin(180°-120°) (cid:100)(cid:100)∴ △ADB=3'3 (cm¤ ) (cid:9120) ③ 368 (cid:8772)ABED와 넓이가 같은 삼각형을 찾는다. AE”∥DC”이므로(cid:100)(cid:100)△AED=△AEC (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=△ABE+△AED (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=△ABE+△AEC (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=△ABC (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=;2!;_4_5_sin 60° (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=;2!;_4_5_ (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=5'3 (cm¤ ) '3 2 (cid:9120) ⑤ 비 각 삼 Ⅶ 30æ 10´2`cm O B A OC”를 그으면 (cid:100) OA”=OC”=10'2 (cm) 즉 △OAC는 이등변삼각형이 므로(cid:100)(cid:100)∠OCA=∠OAC=30° (cid:100)(cid:100)∴ ∠AOC=180°-2_30°=120° (cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이) (cid:100)(cid:100) =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC (cid:100)(cid:100) =p_(10'2)¤ _;3!6@0); 이등변삼각형의 성질 (cid:9178) 두 밑각의 크기가 같다. 반지름의 길이가 r이 고 중심각의 크기가 x° 인 부채꼴의 넓이 S는 (cid:100)S=pr¤ _ x 360 369 크기가 같은 각을 찾는다. cm54 D H A G cm54 45æ 45æ E B C F 위의 그림과 같이 점 B에서 DA”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠BAH=∠ABC=45° (엇각), BH”=4'5 cm이므로 △ABH에서 (cid:100)(cid:100)AB”= =4'∂10 (cm) 4'5 sin 45° 이때 ∠BAC=∠CAG (접은 각), ∠CAG=∠ACB (엇각)이므로 (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠ACB (cid:100)(cid:100)∴ BC”=AB”=4'∂10 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'∂10_4'∂10_sin 45° (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'∂10_4'∂10_ (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=40'2 (cm¤ ) '2 2 370 △OAC는 이등변삼각형임을 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 C (cid:9120) ③ (cid:100)(cid:100) -;2!;_10'2_10'2_sin (180°-120°) (cid:100)(cid:100) = 200 3 p-50'3 (cm¤ ) (cid:9120) { p-50'3} cm¤ 200 3 371 사변형이다. 마름모는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행 마름모의 한 변의 길이를 x라 하면 마름모의 넓 이가 8'3이므로 (cid:100)(cid:100)x_x_sin(180°-120°)=8'3 (cid:100)(cid:100) x¤ =8'3,(cid:100)(cid:100)x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0) (cid:9120) ④ 따라서 마름모의 한 변의 길이는 4이다. '3 2 두 대각선의 길이가 a, b이고 두 대각선이 이 372 루는 예각의 크기가 x인 사각형의 넓이 (cid:8833) ;2!;ab sin x △AOD에서 ∠AOD=180°-120°=60°이므 로 (cid:100)(cid:100)△AOD=;2!;_AO”_3_sin 60°= 9'3 2 (cid:100)(cid:100)∴ AO”=6 3'3 4 AO”= (cid:100)(cid:100) 9'3 2 Ⅶ. 삼각비 55 E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지56 SinsagoHitec 만점 공략 BOX AC”=6+3=9 이므로 (cid:100)9+BD”=20 (cid:100)∴ BD”=11 (cid:9120) ④ BC”=BH”+CH” AD”=AC”=BC”=10 = _{(윗변의 길이) (사다리꼴의 넓이) 1 2 +(아랫변의 길이)} _(높이) 두 대각선의 길이의 합이 20이므로(cid:100)(cid:100)BD”=11 99'3 4 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_11_9_sin 60°= 373 점 A에서 DE”에 수선을 내린다. D A 45æ 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 DE”에 내린 수선의 발 을 H라 하자. △ABC가 직각이등변삼각형 이므로 ∠ABC=45°이고, AH”∥BE”이므로 (cid:100)(cid:100)∠DAH=∠ABC=45° △DAH에서 (cid:100)(cid:100)AH”=10 cos 45°=5'2, DH”=10 sin 45°=5'2 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACED=;2!;_(10+10+5'2)_5'2 (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACED=25+50'2 45æ 10 B C H E (cid:9120) 25+50'2 해결 과정 374 오른쪽 그림에서 (cid:100)(cid:100)AO”=6 sin 60°=3'3 (cm) (cid:100)(cid:100)BO”=6 cos 60°=3(cm) •70% 배점 답 구하기 따라서 원뿔의 부피는 (cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤ _3'3=9'3p (cm‹ ) A 6`cm 60æ B O •30% 배점 (cid:9120) 9'3p cm‹ 해결 과정 ① △ABC에서 375 (cid:100)(cid:100)∠C=180°-(64°+42°)=74° 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H¡이라 하면 (cid:100)(cid:100)AH¡”=AC” sin 74° C H¡ 74æ A 42æ B 96`m (cid:100)(cid:100)∴ AC”= =67 (m) •40% 배점 해결 과정 ② 점 B에서 AC”에 C (cid:100)(cid:100)∴ AC”= =96 sin 42° 96 sin 42° sin 74° 96_0.67 0.96 내린 수선의 발을 H™라 하면 (cid:100)(cid:100)BH™”=BC” sin 74° =96 sin 64° (cid:100)(cid:100)∴ BC”= 96 sin 64° sin 74° 96_0.9 0.96 (cid:100)(cid:100)∴ BC”= =90 (m) •40% 배점 답 구하기 따라서 구하는 거리의 합은 (cid:100)(cid:100)67+90=157 (m) H™ 74æ 64æ A 96`m B 해결 과정 ① 376 오른쪽 그 림과 같이 꼭짓점 A에서 BC” 에 내린 수선의 발을 H라 하면 △AHC에서 56 정답 및 풀이 (cid:100)(cid:100)CH”=6 cos C=3 (cid:100)(cid:100)∴ AH”="√6¤ -3¤ =3'3 해결 과정 ② △ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”= (cid:100)(cid:100)∴ BH”=ø∑9¤ -(3'3)¤ =3'6 답 구하기 ∴ △ABC=;2!;_BC”_AH” •40% 배점 3'3 sin B =9 •40% 배점 =;2!;_(3'6+3)_3'3 =;2(;(3'2+'3) •20% 배점 (cid:9120) ;2(;(3'2+'3) 해결 과정 ① (cid:8772)ADPF에서 377 (cid:100)(cid:100)∠ADP=∠AFP=90°, ∠A=60° 이므로 (cid:100)(cid:100)∠DPF=360°-(90°+90°+60°) =120° •30% 배점 같은 방법으로 하면 ∠DPE=120°, 해결 과정 ② ∠EPF=120°이므로 (cid:100)(cid:100)△PDE=;2!;xy sin(180°-120°)= xy (cid:100)(cid:100)△PEF=;2!;yz sin(180°-120°)= yz (cid:100)(cid:100)△PFD=;2!; zx sin(180°-120°)= zx '3 4 '3 4 '3 4 •40% 배점 답 구하기 ∴ △DEF=△PDE+△PEF+△PFD '3 4 '3 4 = (xy+yz+zx) = _16=4'3 •30% 배점 (cid:100)(cid:9120) 4'3 교과서 속창의유형 본책 76~77쪽 378 [문제 해결 길잡이] ❶ 주어진 삼각비의 값을 이용하여 PH”의 길이를 구한다. ❷ PQ”=2PH”임을 이용하여 두 별 사이의 거리를 구한다. 관측 지점을 O라 하고, 오른 쪽 그림과 같이 점 O에서 PQ”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)PH”=1_sin 34° =0.5592 ❶ 따라서 두 별 사이의 거리는 (cid:100)(cid:100)PQ”=2PH”=2_0.5592=1.1184 ❷ O 1 34æ 68æ P H Q (cid:9120) 1.1184 379 [문제 해결 길잡이] ❶ A™B™”, A£B£”, y의 길이를 구하여 규칙을 찾아 A«B«”의 •20% 배점 (cid:9120) 157 m A 6 △OQP는 OQ”=OP” 인 이등변삼각형이므로 (cid:100)PH”=HQ” (cid:100)∴ PQ”=2PH” B H C 길이를 구한다. E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지57 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 75쪽~80쪽 ❷ ❶의 결과를 이용하여 의 값을 구한다. A∞B∞” A£B£” A™B™”=1-1_tan 30°=1- '3 3 '3 A£B£”={1- }-{1- } tan 30°={1- } 3 '3 3 '3 3 ⋮ (cid:100)(cid:100)∴ A«B«”={1- } n-1 ❶ 따라서 A£B£”={1- } (cid:100)(cid:100) A∞B∞” A£B£” ={1- } '3 ¤ , A∞B∞”={1- } 3 2'3 ¤ = 3 - ;3$; ❷ › 이므로 '3 3 '3 3 '3 3 (cid:9120) - ;3$; 2'3 3 380 [문제 해결 길잡이] ❶ 삼각비를 이용할 수 있도록 직각삼각형을 만든 후 OA'”, ❷ cos x°= 임을 이용하여 x의 값을 구한다. OH”의 길이를 구한다. OH” OA'” 오른쪽 그림과 같 이 점 A'에서 OA”에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)OA'”=12 (m) (cid:100)(cid:100)OH”=12.5-6.5 =6 (m) ❶ 이때 △OHA'에서 (cid:100)(cid:100)cos x°= OH” OA'” cos 60°=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)x=60 ❷ =;1§2;=;2!; O xæ 12`m A' 6`m H 6`m 0.5`m A 6.5`m 381 [문제 해결 길잡이] ❶ tan 30°, tan 60°의 값을 이용하여 AQ”, BQ”의 길이를 구 ❷ AB”의 길이를 구하여 자동차가 0.1초 동안 움직인 거리 ❸ (속력)= 임을 이용하여 자동차의 속력을 구한다. 한다. 를 구한다. (거리) (시간) 오른쪽 그림의 △PAQ, △PBQ에서 (cid:100)(cid:100)∠PAQ=60°, ∠PBQ=30° P 30æ 60æ 4`m 30æ B 60æ A Q 이므로 (cid:100)(cid:100)AQ”= = 4'3 3 (m) 4 tan 60° 4 tan 30° (cid:100)(cid:100)BQ”= =4'3 (m) ❶ 자동차가 0.1초 동안 움직인 거리는 4'3 3 (cid:100)(cid:100)AB”=BQ”-AQ”=4'3- 따라서 구하는 자동차의 속력은 = 8'3 3 (m) ❷ (cid:100)(cid:100) 8'3 3 1 _ = 0.1 80'3 3 (m/s) ❸ (cid:9120) 80'3 3 m/s 사각형의 내각의 크기 의 합은 (cid:100)180°_(4-2)=360° Ⅷ 원의 성질 16 원과 직선 개념&기출유형 382 직각삼각형 OAM에서 (cid:100)(cid:100)AM”="√5¤ -3¤ =4 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AM”=8 (cm) 본책 80~82쪽 O 5`cm 3`cm (cid:9120) 8 cm A M B C 2`cm 383 DN”= ;2!; CD”=5 (cm)이므로 A D 5`cm 직각삼각형 DON에서 (cid:100)(cid:100)OD”="√3¤ +5¤ ='ß34 (cm) OA”=OD”='ß34 (cm)이므로 직 각삼각형 AMO에서 (cid:100)(cid:100)AM”="√('ß34)¤ -4¤ =3'2 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AM”=6'2 (cm) 384 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r cm라 하면 OM”=(r-3) cm 이므로 직각삼각형 AOM에서 (cid:100)(cid:100)r¤ =6¤ +(r-3)¤ M 4`cm B O 3`cm N C (cid:9120) 6'2 cm 6`cm C A r`cm M B {r-3}`cm O 385 직각삼각형 AMO에서 (cid:100)(cid:100)AM”="√5¤ -3¤ =4 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AM”=8 (cm) 이때 OM”=ON”이므로 (cid:100)(cid:100)CD”=AB”=8 (cm) 386 원의 중심 O에서 CD”에 내 린 수선의 발을 N이라 하면 AB”=CD”이므로 (cid:100)(cid:100)ON”=OM”=6 (cm) 직각삼각형 CON에서 (cid:100)(cid:100)CN”="√10¤ -6¤ =8 (cm) 따라서 CD”=2CN”=16 (cm)이므로 (cid:9120) ② D C N 10`cm O 6`cm A M B (cid:100)(cid:100)△OCD=;2!;_16_6=48 (cm¤ ) (cid:9120) 48 cm¤ 387 OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC” 즉 △ABC는 이등변삼각형이다. 이때 (cid:8772)AMON에서 (cid:100)(cid:100)∠MAN=360°-(120°+90°+90°)=60° (cid:100)(cid:100)∴∠ABC=;2!;_(180°-60°)=60° (cid:9120) 60° Ⅷ. 원의 성질 57 (cid:9120) 60 (cid:100)(cid:100)6r=45(cid:100)(cid:100)∴ r=:¡2∞: (cid:9120) ② 질 성 의 원 Ⅷ ¤ E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지58 SinsagoHitec (cid:9120) ③ 직선 PT가 원 O의 접 선이므로 (cid:100)PT”⊥OT” 만점 공략 BOX AD”=8+4=12(cm) CD”=4+9=13(cm), CH”=9-4=5(cm) 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이 h와 넓이 S는 '3 2 '3 4 (cid:100)h= a, (cid:100)S= a¤ △PAO™△PBO (RHS 합동)이므로 (cid:100)∠APO=∠BPO (cid:100)∴ ∠APO =;2!;∠APB =;2!;_60° =30° AB”⊥OD” (cid:9178) OD”=r BC”⊥OE” (cid:9178) OE”=r AC”⊥OF” (cid:9178) OF”=r 392 BD”=BE”, CE”=CF”이므로 △ABC의 둘레의 길 이는 (cid:100)(cid:100)AB”+AC”+BC” ”=AD”+AF”=2AD” =24 (cm) C E 9`cm 393 반원 O와 CD”의 접점 을 E라 하면 (cid:100)(cid:100)DE”=DA”=4 (cm), (cid:100)(cid:100)CE”=CB”=9 (cm) O 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)DH”="√13¤ -5¤ =12 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+9)_12=78 (cm¤ ) 4`cm D 4`cm A (cid:9120) ③ 5`cm H 4`cm B (cid:9120) 78 cm¤ 394 A x`cm x`cm D F {16-x}`cm {14-x}`cm O B E {16-x}`cm {14-x}`cm C AD”=AF”=x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)BE”=BD”=16-x (cm) (cid:100)(cid:100)CE”=CF”=14-x (cm) BC”=BE”+CE”이므로 (cid:100)(cid:100)18=(16-x)+(14-x) (cid:100)(cid:100)2x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (cid:9120) ③ 395 AF”=AD”=2 cm, CE”=CF”=9 cm이므로 BD”=BE”=x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)2(x+2+9)=32 (cid:100)(cid:100)x+11=16(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (cid:100)(cid:100)∴ BC”=5+9=14 (cm) (cid:9120) 14 cm 396 직각삼각형 ABC에서 (cid:100)(cid:100)AB”="√10¤ -6¤ =8 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 (cid:100)(cid:100)AF”=AD”=8-r (cid:100)(cid:100)CF”=CE”=6-r AC”=AF”+CF”이므로 (cid:100)(cid:100)10=(8-r)+(6-r) (cid:100)(cid:100)2r=4(cid:100)(cid:100)∴ r=2 A 8-r D B 8-r F O r E 6-r 6-r C (cid:9120) 2 △ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므 로 (cid:100)(cid:100);2!;_6_8= (cid:100)(cid:100)24=12r(cid:100)(cid:100)∴ r=2 ;2!; _8_r+ ;2!; _6_r+ _10_r ;2!; 397 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 (cid:100)(cid:100)AD”+BC”=8+7=15 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ AD”=15_;3!;=5 (cm) (cid:9120) 5 cm 보충학습 다각형의 내각의 크기의 합 n각형의 내각의 크기의 합은 (cid:100)(cid:100)180°_(n-2) 388 PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-60°)=60° 따라서 △APB는 정삼각형이므로 '3 4 (cid:100)(cid:100)△APB= _8¤ =16'3 (cm¤ ) (cid:9120) 16'3 cm¤ PB”=PA”=8 cm이므로 (cid:100)(cid:100)△APB=;2!;_8_8_sin 60° (cid:100)(cid:100)△APB=;2!;_8_8_ =16'3 (cm¤ ) '3 2 389 OA”=OT”=9 cm, ∠PTO=90°이므로 △PTO에서 (cid:100)(cid:100)PT”="√15¤ -9¤ =12 (cm) 6`cm P 9`cm A O 9`cm T 390 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 ∠OAP=90°, ∠APO=30°이므로 △APO에 서 (cid:100)(cid:100)r=18 tan 30°=6'3 따라서 (cid:8772)PBOA의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2(18+6'3)=12(3+'3)(cm) P 18`cm 30æ A B r`cm O (cid:9120) 12(3+'3)cm 보충학습 ∠C=90°인 직각삼각형 ABC에서 ⑴ ∠B의 크기와 빗변 AB의 길이 c를 알 때 (cid:9178) a=c cos B, b=c sin B ⑵ ∠B의 크기와 변 BC의 길이a 를 알 때 ⑵ (cid:9178) b=a tan B, c= a cos B ⑶ ∠B의 크기와 변 AC의 길이 b를 알 때 ⑵ (cid:9178) a= b tan B , c= b sin B A b c B Ca 391 BD”=BE”, CE”=CF”이므로 (cid:100)(cid:100)AD”+AF”=AB”+BC”+CA” =11+7+10=28 (cm) AD”=AF”이므로(cid:100)(cid:100)AD”=14 cm (cid:100)(cid:100)∴ BD”=AD”-AB” =14-11=3 (cm) (cid:9120) 3 cm BD”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)CF”=7-x (cm) 이때 AD”=AF”이므로 (cid:100)(cid:100)11+x=10+(7-x)(cid:100)(cid:100)∴ x=3 58 정답 및 풀이 E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지59 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 80쪽~83쪽 398 원 O의 반지름의 길이 가 5 cm이므로 (cid:100)(cid:100)BQ”=5 cm 따라서 (cid:100)(cid:100)CR”=QC”=13-5 4`cm S D 4`cm R O 5`cm 8`cm A P 5`cm B 5`cm Q 8`cm C =8 (cm) 이므로 (cid:100)(cid:100)SD”=RD”=12-8=4 (cm) (cid:8772)PBQO는 한 변의 길이가 5 cm인 정사 각형이다. (cid:9120) 4 cm 399 CE”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)BE”=6-x (cm) (cid:8772)ABED가 원 O에 외접하므로 AB”+DE”=AD”+BE” 에서 (cid:100)(cid:100)4+DE”=6+(6-x) (cid:100)(cid:100)∴ DE”=8-x (cm) 직각삼각형 DEC에서 (cid:100)(cid:100)(8-x)¤ =x¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)16x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (cid:100)(cid:100)∴ △DEC=;2!;_3_4=6 (cm¤ ) 2`cm I 오른쪽 그림에 A (cid:9120) ② 4`cm D B H 2`cm O G 4`cm 4`cm F 2`cm 서 GE”=x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)HE”=x cm BG”=BF”=2 cm, AF”=AI”=2 cm이므로 (cid:100)(cid:100)DH”=DI”=6-2=4 (cm) CE”=GC”-GE”=4-x (cm)이므로 직각삼각형 DEC 에서 (cid:100)(cid:100)(4+x)¤ =(4-x)¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)16x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=1 x`cm {4-x}`cm E x`cm 2`cm C (cid:100)(cid:100)∴ △DEC=;2!;_(4-1)_4=6 (cm¤ ) 내신 만점 도전하기 본책 83~86쪽 400 M이라 하면 A’M”=B’M”, ∠AOM=∠BOM임을 이용한다. 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 O60æ M 2´3`cm A B 오른쪽 그림과 같이 원의 중 심 O에서 AB”에 내린 수선의 발 을 M이라 하면 (cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”=2'3 (cm) (cid:100)(cid:100)∠AOM=;2!;∠AOB=60° 직각삼각형 OAM에서 =4 (cm) (cid:100)(cid:100)OA”= 2'3 sin60° 따라서 원 O의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2p_4=8p (cm) 반지름의 길이가 r, 중 심각의 크기가 x°인 부채꼴의 넓이는 (cid:100)p_r¤ _ x 360 △OAM과 △OBM 에서 (cid:100)OA”=OB”, AM”=BM”, OM”은 공통 이므로 (cid:100)△OAM™△OBM (SSS 합동) (cid:100)∴ ∠AOM =∠BOM 401 분함을 이용한다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등 오른쪽 그림과 같이 접힌 현을 AB,`원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 하면 (cid:100)(cid:100)AM”=;2!; AB”=9 (cm) 9`cm A M r`cm B O r - 2 cm 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OM”= cm이 ;2R; 므로 직각삼각형 AOM에서 ¤ +9¤(cid:100)(cid:100)∴ r¤ =108 (cid:100)(cid:100)r¤ ={;2R;} 따라서 처음 종이의 넓이는 108pcm¤ 이다. (cid:9120) 108pcm¤ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분 402 분함을 이용한다. 하므로 (cid:100)(cid:100)AM”=;2!; AB”=4 (cm) (cid:100)(cid:100)AN”=;2!; AC”=3 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)AMON=4_3=12 (cm¤ ) (cid:9120) ③ 403 현의 수직이등분선 (cid:8833) 원의 중심을 지난다. 오른쪽 그림과 같이 원의 중심을 O라 하면 직 각삼각형 AOD에서 (cid:100)(cid:100)AD”="√10¤ -8¤ =6 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AD” C 2`cm D A B 10`cm 8`cm O =12 (cm) (cid:9120) ④ 질 성 의 원 Ⅷ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등 404 분함을 이용한다. 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)AH”=BH”=5 (cid:100)(cid:100)CH”=DH”=3 (cid:100)(cid:100)∴ AC”=BD”=2 직각삼각형 OCH에서 O ´3 A 2 C H 3 3 2 D B (cid:100)(cid:100)OC”=ø∑3¤ +('3)¤ =2'3 tan(∠COH)= ='3이므로(cid:100)(cid:100)∠COH=60° (cid:100)(cid:100)∴ ∠COD=120° 따라서 색칠한 부분의 넓이는 3 '3 2_{;2!;_2_'3}+p_(2'3)¤ _ 120 360 (cid:9120) ③ =;2!;∠AOB -;2!;_6_'3 =4p-'3 (cid:9120) 4p-'3 Ⅷ. 원의 성질 59 E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지60 SinsagoHitec 만점 공략 BOX (색칠한 부분의 넓이) =△OMB+△OND +(부채꼴 OBD의 •30% 배점 넓이) (cid:9120) 4'3+;3$;p 해결 과정 ① 405 이므로 (cid:100)(cid:100)BM”=DN” (cid:100)(cid:100)BM”="√4¤ -2¤ (cid:100)(cid:100)BM”=2'3 이때 해결 과정 ② OD”=OB”=4 C •30% 배점 A N 2 O 2 D B 4 2´3 M (cid:100)(cid:100)cos(∠BOM)=;4@;=;2!;, (cid:100)(cid:100)cos(∠DON)=;4@;=;2!; 이므로 (cid:100)(cid:100)∠BOM=60°, ∠DON=60° (cid:100)(cid:100)∴ ∠DOB=150°-(60°+60°)=30° •40% 배점 따라서 색칠한 부분의 넓이는 답 구하기 (cid:100)(cid:100)2_{;2!;_2'3_2}+p_4¤ _ 30 360 =4'3+;3$;p 406 의 길이는 같음을 이용한다. 한 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현 OD”=OE”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=BC” (cid:100)(cid:100)∴ ∠A=∠C 따라서 ∠A : ∠B : ∠C=5 : 2 : 5이므로 (cid:100)(cid:100)∠A=180°_ 5 5+2+5 =75° (cid:9120) ③ 407 부터 같은 거리에 있음을 이용한다. 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로 오른쪽 그림과 같이 원의 중 심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 하면 3`cm B M A 5`cm (cid:100)(cid:100)BM”=;2!; AB”=3 (cm) 이므로 직각삼각형 OBM에서 (cid:100)(cid:100)OM”="√5¤ -3¤ =4 (cm) 따라서 두 현 사이의 거리는 8 cm이다. O C D (cid:9120) 8 cm 408 는 같음을 이용한다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 ① △BOD와 △POD에서 (cid:100)(cid:100)∠OBD=∠OPD=90°, OB”=OP”, OD”는 공통 ② △AOC와 △POC에서 (cid:100)(cid:100)∠OAC=∠OPC=90°, OA”=OP”, OC”는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△AOC™△POC (RHS 합동) (cid:100)(cid:100)∴ ∠OCA=∠OCP 60 정답 및 풀이 AB”와 CD”는 원의 중 심 O로부터 같은 거리 에 있다. (cid:100)(cid:100)∴ r=;3@; 답 구하기 이므로(cid:100)(cid:100)△BOD™△POD (RHS 합동) 므로 ③ ∠AOC=∠POC, ∠BOD=∠POD이므로 (cid:100)(cid:100)∠COD=∠POC+∠POD (cid:100)(cid:100)∠COD=;2!;(∠AOP+∠BOP) (cid:100)(cid:100)∠COD=;2!;_180° (cid:100)(cid:100)∠COD=90° ④ AC”=PC”, BD”=PD”이므로 (cid:100)(cid:100)AC”+BD”=PC”+PD”=CD” ⑤ △OCP와 △DOP에서 (cid:100)(cid:100)∠CPO=∠OPD=90°, ∠OCP=∠DOP 이므로(cid:100)(cid:100)△OCPª△DOP (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ OC” : DO”=CP” : OP” (cid:9120) ⑤ 409 는 같음을 이용한다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 PA”=PT”=PB”이므로 △PAT, △PBT는 모 두 이등변삼각형이다. 따라서 ∠PTA=∠PAT=40°이므로 (cid:100)(cid:100)∠TPB=40°+40°=80° (cid:100)(cid:100)∴ ∠PBT=;2!;_(180°-80°)=50° (cid:9120) ③ 문제 이해 ¤ +AC” 410 ¤ =AB” BC” 각삼각형이다. △ABC에서 ('5)¤ =2¤ +1¤ , 즉 ¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90°인 직 •20% 배점 해결 과정 {2-r}`cm B A r`cm D r`cm O ´5`cm r`cm E {1-r}`cm C 반원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 △DBO와 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)∠BDO=∠BAC=90°, ∠B는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△DBOª△ABC (AA 닮음) 따라서 BD” : BA”=DO” : AC”이므로 (cid:100)(cid:100)(2-r) : 2=r : 1 (cid:100)(cid:100)2-r=2r,(cid:100)(cid:100)3r=2 •40% 배점 따라서 반원 O의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100);2!;_2p_;3@;+2_;3@;=;3@;p+;3$; (cm) •40% 배점 (cid:9120) {;3@;p+;3$;} cm △ABC=△DBO+(cid:8772)ADOE+△EOC이 (cid:100)(cid:100);2!;_2_1=;2!;_r_(2-r)+r¤ +;2!;_r_(1-r) (cid:100)(cid:100)1=r-;2!;r¤ +r¤ +;2!;r-;2!;r¤ (cid:100)(cid:100);2#;r=1(cid:100)(cid:100)∴ r=;3@; E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지61 SinsagoHitec 참고 반원의 둘레의 길이를 구할 때 지름의 길이를 더 해주는 것을 빠뜨리지 않도록 주의한다. 원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름과 411 서로 수직임을 이용한다. ∠PAO=90°, ∠AOP=60°이므로 △APO에서 (cid:100)(cid:100)AP”=4 tan 60° =4'3 (cm) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:100)(cid:100)2△APO-(부채꼴 OAB의 넓이) 4´3`cm P =2_{;2!;_4_4'3}-p_4¤ _;3!6@0); p =16{'3- } (cm¤ ) 3 (cid:9120) 16{'3- } cm¤ 412 서로 수직임을 이용한다. 원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름과 G F 1 Q C x H P D A O 3 E 1 B 5 위의 그림과 같이 점 P에서 AG”에 내린 수선의 발을 H 라 하면 △APH와 △AQG에서 (cid:100)(cid:100)∠AHP=∠AGQ=90°, ∠A는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△APHª△AQG (AA 닮음) B p 3 따라서 AP” : AQ”=PH” : QG”이므로 (cid:100)(cid:100)3 : 5=PH” : 1(cid:100)(cid:100)∴ PH”=;5#; 직각삼각형 PHE에서 (cid:100)(cid:100)EH”=æ≠1¤ -{;5#;} ¤ =;5$; (cid:100)(cid:100)∴ x=2EH”=;5*; _a가 자연수가 되어야 하므로 '∂ax=Ƭ;5*;a=æ≠2¤ _ a=5_2_n¤ (n은 자연수) 꼴이어야 한다. 따라서 a의 최솟값은 10이다. ;5@; (cid:9120) ④ 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 413 는 같음을 이용한다. DE”=DA”=x라 하면 (cid:100)(cid:100)CB”=CE”=8-x PA”=PB”이므로 (cid:100)(cid:100)10+x=12+(8-x) (cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5 이때 GF”=GE”, FH”=AH”이므로 (cid:100) (△DGH의 둘레의 길이) (cid:100)=DG”+GF”+FH”+DH” (cid:100)=(DG”+GE”)+(AH”+DH”) (cid:100)=DE”+DA”=5+5=10 A 4`cm 60æ O 60æ △APO™△BPO (RHS 합동)이므로 (cid:100)∠AOP=∠BOP =;2!;∠AOB =60° 만점 공략 BOX 본책 83쪽~85쪽 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 414 는 같음을 이용한다. 오른쪽 그림과 같 이 점 C에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)AH”=BC”=4 (cm) (cid:100)(cid:100)DH”=9-4=5 (cm) (cid:100)(cid:100)CD”=CP”+DP” =CB”+DA” =4+9 =13 (cm) 13`cm P D 5`cm H 4`cm 12`cm A O 4`cm C B △ APO™ △ BPO이 므로 (cid:100)(cid:8772)APBO =△APO+△BPO =2△APO △DHC에서 HC”="√13¤ -5¤ =12 (cm)이므로 △HAC에서 (cid:100)(cid:100)AC” (cid:100)(cid:100)∴ AC” ¤ =12¤ +4¤ =160 ¤ +CD” ¤ =160+13¤ =329 (cid:9120) 329 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 서로 415 수직임을 이용한다. ∠BEC=90°이므로 직각삼각형 BCE에서 (cid:100)(cid:100)CE”="√15¤ -12¤ =9(cm) AF”=x cm라 하면 직각삼 각형 CDF에서 (cid:100)(cid:100)(9+x)¤ =(15-x)¤ +12¤ (cid:100)(cid:100)48x=288 (cid:100)(cid:100)∴ x=6 오른쪽 그림 문제 이해 416 에서 (cid:100)(cid:100)BC”=7+3=10 •20% 배점 {15-x}`cm x`cm F A x`cm E 12`cm D C 12`cm 9`cm B 15`cm (cid:9120) ③ A 5 R 3 C H P 5 O 7 7 Q 3 질 성 의 원 Ⅷ B 해결 과정 꼭짓점 A에서 BC” 에 내린 수선의 발을 H라 하고 BH”=x라 하면 △ABH와 △ACH에서 (cid:100)(cid:100)AH” (cid:100)(cid:100)20x=180(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (cid:100)(cid:100)∴ AH”="√12¤ -9¤ =3'7 답 구하기 ¤ =12¤ -x¤ =8¤ -(10-x)¤ 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 (cid:100) △ABC=△OAB+△OBC+△OCA •40% 배점 (cid:100)=;2!;_12_r+;2!;_10_r+;2!;_8_r (cid:100) ;2!;_10_3'7 (cid:100)(cid:100)15'7=15r (cid:100)(cid:100)∴ r='7 •40% 배점 (cid:9120) '7 Ⅷ. 원의 성질 61 AP” : AQ”=3 : 5이므로 △APH와 △AQG의 닮음비는 3 : 5이다. 직각삼각형이 만들어 지도록 한 꼭짓점에서 그 대변에 수선의 발을 내린다. n=1일 때,(cid:100)a=10 (△PCD의 둘레의 길 이)=2PA”이므로 (cid:100)12+8+10=2PA” (cid:100)∴ PA”=15 (cid:100)∴ DA”=15-10 =5 (cid:9120) ③ 417 는 같음을 이용한다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지62 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 419 (cid:8833) 내접원의 반지름의 길이 내접원의 중심에서 세 변에 이르는 거리 6 2 4 6 4 O™ O£ O¡ 2 오른쪽 그림과 같이 세 원의 중심을 꼭짓점으 로 하는 삼각형 O¡O™O£의 세 변의 길이는 각각 6, 8, 10이고 (cid:100)(cid:100)10¤ =8¤ +6¤ 이므로 △O¡O™O£은 ∠O¡=90°인 직각삼각형이다. 세 원의 접점을 지나는 원은 △O¡O™O£의 내접원이므 로 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △O¡O™O£의 넓이에서 (cid:100)(cid:100) _6_8= _6_r+ _8_r+ _10_r ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; (cid:100)(cid:100)24=12r(cid:100)(cid:100)∴ r=2 따라서 구하는 원의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2p_2=4p (cid:9120) ① AB”+DC”=AD”+BC”이므로 문제 이해 420 (cid:100)(cid:100)10+11=7+BC” (cid:100)(cid:100)∴ BC”=14 (cm) •30% 배점 7`cm D 11`cm O 7`cm C F {7-x}`cm A 10`cm 해결 과정 오 른 쪽 그 림과 같이 두 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선 의 발을 각각 E, F라 하 고` BE”=x cm라 하면 ¤ 이므로 AE” (cid:100)(cid:100)10¤ -x¤ =11¤ -(7-x)¤ (cid:100)(cid:100)14x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (cid:100)(cid:100)∴ AE”="√10¤ -2¤ =4'6 (cm) 답 구하기 ¤ =DF” B E x`cm 므로 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_(2'6)¤ =24p (cm¤ ) •50% 배점 따라서 원 O의 반지름의 길이는 2'6 cm이 •20% 배점 (cid:9120) 24p cm¤ 원의 외접사각형에서 두 쌍의 변의 길이의 합 421 은 서로 같음을 이용한다. 원 O의 반지름의 길이 를 r라 하고 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 AB”+DC”=AD”+BC”이므로 (cid:100)(cid:100)2r+DC”=6+8 (cid:100)(cid:100)∴ DC”=14-2r 직각삼각형 DHC에서 (cid:100)(cid:100)(14-2r)¤ =(2r)¤ +2¤ (cid:100)(cid:100)56r=192(cid:100)(cid:100)∴ r= ;;™7¢;; A 2r B 6 D 2r O 6 H 2 C (cid:9120) ③ FC”=BC”-BF” =14-(x+7) =7-x (cm) AE”는 원 O의 지름의 길이와 같다. CQ”=BH”-BQ”+CH” =6'2-x+2'6 원 O의 반지름의 길이를 r 라 하면 원 O의 넓이가 9p이므로 (cid:100)(cid:100)pr¤ =9p (cid:100)(cid:100)∴ r=3 (∵ r>0) (cid:100)(cid:100)∴ OQ”=OR”=3 BP”=BQ”=a라 하면 (cid:100)(cid:100)AB”= =2a+6 a+3 cos 60° A a+6 a+6 a B P 60æ 3 3 O 3 Q a R 3 C 따라서 AR”=AP”=(2a+6)-a=a+6이므로 (cid:100)(cid:100)tan 60°= a+9 a+3 ,(cid:100)(cid:100)'3= a+9 a+3 (cid:100)(cid:100)a+9='3a+3'3,(cid:100)(cid:100)('3-1)a=9-3'3 (cid:100)(cid:100)∴ a= 9-3'3 3'3('3-1) '3-1 '3-1 (cid:100)(cid:100)∴ (△ABC의 둘레의 길이) = =3'3 =(2a+6)+(a+3)+(a+9) =4a+18=12'3+18 BC”=x라 하면 (cid:100)(cid:100)AC”='3x, AB”=2x 원 O의 반지름의 길이가 3이므로 (cid:100)(cid:100)△ABC=△OAB+△OBC+△OCA (cid:100)(cid:100);2!;_x_'3x =;2!;_2x_3+;2!;_x_3+;2!;_'3x_3 (cid:100)(cid:100)'3x=9+3'3 9+3'3 (cid:100)(cid:100)∴ x= '3` =3'3+3 (cid:100)(cid:100)∴ (△ABC의 둘레의 길이)=2x+x+'3x (cid:9120) 12'3+18 =(3+'3)x =(3+'3)(3'3+3) =12'3+18 45æ A 12 P 30æ R 45æ B O QH 60æ C •20% 배점 해결 과정 ① 418 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)∠ABH=∠BAH=45° 이므로 (cid:100)(cid:100)AH”=BH”=12 cos 45°=6'2 해결 과정 ② ∠ACH=60°이므로 (cid:100)(cid:100)CH”=6'2 tan 30°=2'6 2'6 (cid:100)(cid:100)AC”= sin 30° =4'6 △ACH에서 ∠HAC=30°, 해결 과정 ③ BQ”=x라 하면(cid:100)(cid:100)BP”=BQ”=x (cid:100)(cid:100)AR”=AP”=12-x (cid:100)(cid:100)CR”=CQ”=6'2+2'6-x 답 구하기 (cid:100)(cid:100)4'6=(12-x)+(6'2+2'6-x) (cid:100)(cid:100)2x=12+6'2-2'6 (cid:100)(cid:100)∴ x=6+3'2-'6 AC”=AR”+CR”에서 •40% 배점 •30% 배점 62 정답 및 풀이 •10% 배점 (cid:9120) 6+3'2-'6 422 같음을 이용한다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지63 SinsagoHitec {2-r}`cm 4`cm ES R O Q r`cm {6-r}`cm D C O' 2r`cm P A 오른쪽 그림 과 같이 원 O와 사 각형 ABCE의 접 점을 각각 P, Q, R, S라 하고 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 (cid:100)(cid:100)BQ”=AS”=r (cm) 이므로 (cid:100)(cid:100)CR”=CQ”=6-r ( cm) (cid:100)(cid:100)ER”=ES”=2-r (cm) (cid:100)(cid:100)∴ EC”=ER”+CR” B =(2-r)+(6-r) =8-2r (cm) 이때 DC”=2r cm이므로 직각삼각형 ECD에서 (cid:100)(cid:100)(8-2r)¤ =4¤ +(2r)¤ (cid:100)(cid:100)32r=48(cid:100)(cid:100)∴ r=;2#; CD”=3 cm, EC”=5 cm이므로 원 O'의 반지름의 길이 를 r'이라 하면 △ECD의 넓이에서 (cid:100)(cid:100);2!;_4_3=;2!;_r'_4+;2!;_r'_5+;2!;_r'_3 (cid:100)(cid:100)6=6r'(cid:100)(cid:100)∴ r'=1 따라서 두 원 O, O'의 반지름의 길이의 합은 (cid:100)(cid:100);2#;+1=;2%; (cm) (cid:9120) ① 해결 과정 ① 423 오른쪽 그림에서 OG”=OC”=2이 고 ∠GOB=60°이므로 (cid:100)(cid:100)BG”=2 sin 60°='3 (cid:100)(cid:100)BO”=2 cos 60°=1 따라서 △GBO의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)1+2+'3=3+'3 해결 과정 ② 이므로 △DEF의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)ED”+EI”+IF”+DF” =(ED”+EH”)+(CF”+DF”) =DH”+CD” =2+2=4 답 구하기 (cid:100)(cid:100)(3+'3)-4='3-1 따라서 구하는 길이의 차는 OH”=OC”=2이고 EH”=EI”, FC”=FI” •40% 배점 ∠BHI=∠A(동위각), ∠B는 공통이므로 (cid:100)△BIHª△BCA (AA 닮음) H E A G I 2 B 60æ O 120æ 2 D F C ㉡-㉠을 하면 (cid:100)4z=72(cid:100)∴ z=18 z=18을 ㉡에 대입하면 (cid:100)5y=30(cid:100)∴ y=6 •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) '3-1 내신 만점 굳히기 본책 87쪽 424 분함을 이용한다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등 만점 공략 BOX 본책 85쪽~87쪽 원의 중심을 O라 하 고 점 O에서 AB”, CD”에 내린 수선의 발을 각각 M, N이라 하면 4 (cid:100)(cid:100)AM”=;2!; AB”=3 A B 6 M O N 2 D C △AOM에서 ¤ =AM” (cid:100)OA” △OCN에서 ¤ =ON” (cid:100)OC” ¤ +M”O” ¤ +CN” AE”=6-4=2 (cm) 이므로 (cid:100)ES”=AE”-AS” =2-r (cm) ¤ 이므로 (cid:100)(cid:100)CN”=;2!; CD”=1 OM”=x라 하면(cid:100)(cid:100)ON”=4-x ¤ =OC” 이때 OA” (cid:100)(cid:100)3¤ +x¤ =1¤ +(4-x)¤ (cid:100)(cid:100)8x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=1 따라서 구하는 원의 반지름의 길이는 (cid:100)(cid:100)"√3¤ +1¤ ='∂10 (cid:9120) ① 해결 과정 ① EI”=GI”=x라 하면 425 (cid:100)(cid:100)DH”=GH”=8-x 이때 BD”=BE”이므로(cid:100)(cid:100)6+(8-x)=10+x (cid:100)(cid:100)2x=4(cid:100)(cid:100)∴ x=2 •20% 배점 해결 과정 ② 오른쪽 그림과 같이 AD”=AF”=y, CE”=CF”=z라 하면 HI”∥AC”이므로 (cid:100)(cid:100)△BIHª△BCA (AA 닮음) A y F y D 6 P H 8 10 6 B O G EI 2 z z C BH” : BA”=BI” : BC”=HI” : AC”이므로 (cid:100)(cid:100)6 : (12+y)=10 : (12+z)=8 : (y+z) 6 : (12+y)=10 : (12+z)에서 (cid:100)(cid:100)72+6z=120+10y (cid:100)(cid:100)∴ 5y-3z=-24 10 : (12+z)=8 : (y+z)에서 (cid:100)(cid:100)10y+10z=96+8z (cid:100)(cid:100)∴ 5y+z=48 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 (cid:100)(cid:100)y=6, z=18 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) 해결 과정 ③ •40% 배점 또 △BPHª△BFA (AA 닮음)이므로 BH” : BA”=HP” : AF”에서 (cid:100)(cid:100)6 : 18=HP” : 6(cid:100)(cid:100)∴ HP”=2 답 구하기 ∴ PG”=HI”-(HP”+GI”) =8-(2+2)=4 •20% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 4 426 는 같음을 이용한다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 FC”=FE”, GE”=GB”, HB”=HC”이므로 △HGF 의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)HG”+GF”+HF”=HG”+(GE”+EF”)+HF” =HG”+(GB”+FC”)+HF” =(HG”+GB” )+(FC”+HF”) =HB”+HC”=2HB” Ⅷ. 원의 성질 63 질 성 의 원 Ⅷ ¤ ¤ E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지64 SinsagoHitec 만점 공략 BOX △AOC에서 sin (∠CAO)= =;2!;이므로 (cid:100)(cid:100)∠CAO=30° △ABH에서 ∠HAB=30°, AB”=r이므로 r 2r (cid:100)(cid:100)HB”=r tan 30°= r '3 3 따라서 △HGF의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2HB”= 2'3 3 r OE”∥F’O'”, OE”=F’O'” 이므로 (cid:8772)EOFO'은 평행사변형이다. (cid:9120) 2'3 3 r 해결 과정 ③ 따라서 AE”=AG”=6 cm이고 마찬가지 로 CF”=6 cm이므로 (cid:100)(cid:100)EF”=AC”-(AE”+CF”) =15-(6+6)=3 (cm) •30% 배점 답 구하기 ∴ (cid:8772)EOFO'=3_3=9 (cm¤ )•20% 배점 (cid:9120) 9 cm¤ 429 [문제 해결 길잡이] ❶ ∠DOE+∠IOO'=90°임을 이용하여 △DEO∽△OIO' 427 직각삼각형의 외접원의 중심은 빗변의 중점이다. ❷ ❶의 닮음과 피타고라스 정리를 이용하여 원 O'의 반지 ❸ △OFC∽△OIO'임을 이용하여 FC”의 길이를 구한다. 임을 보인다. 름의 길이를 구한다. A ❹ 색칠한 부분의 넓이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 원 O'의 반지름 의 길이를 x라 하고`, 점 O'에서 OF”에 내린 수선의 발을 I라 하면 △DEO와 △OIO'에 서 (cid:100)(cid:100)∠DEO=∠OIO'=90°, B 4 E 1 D 2+x 2 O 2-x I F O' x C (cid:100)(cid:100)∠EDO=90°-∠DOE=∠IOO' 이므로(cid:100)(cid:100)△DEOª△OIO' (AA 닮음) ❶ 따라서 ED” : IO”=EO” : IO'”이므로 (cid:100)(cid:100)1 : (2-x)=2 : IO'” (cid:100)(cid:100)∴ IO'”=4-2x 직각삼각형 OIO'에서 (cid:100)(cid:100)(2+x)¤ =(2-x)¤ +(4-2x)¤ (cid:100)(cid:100)x¤ -6x+4=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3-'5 (∵ x<2) ❷ 한편 △OFCª△OIO' (AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)OF” : OI”=FC” : IO'” (cid:100)(cid:100)2 : (2-x)=FC” : (4-2x) (cid:100)(cid:100)∴ FC”=4 ❸ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 (cid:100) (cid:8772)ABCD-(원 O의 넓이)-(원 O'의 넓이) (cid:100)=;2!;_(3+6)_4-p_2¤ -p_(3-'5)¤ (cid:100)=18+(6'5-18)p ❹ (cid:9120) 18+(6'5-18)p △ABC와 내접원의 접점 을 각각 D, E, F라 하고 BC”=a, AC”=b (a>b)라 하면 직각삼각형의 빗변은 외접원의 지름이므로 (cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ =6¤ =36 △ABC의 넓이가 7이므로 D 6 O A b C F E B a (cid:100)(cid:100);2!;ab=7(cid:100)(cid:100)∴ ab=14 따라서 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab=36+28=64이므로 (cid:100)(cid:100)a+b=8 (∵ a+b>0) 즉 b=8-a이므로 이것을 ab=14에 대입하여 풀면 (cid:100)(cid:100)a(8-a)=14,(cid:100)(cid:100)a¤ -8a+14=0 (cid:100)(cid:100)∴ a=4—'2 그런데 a>b이므로(cid:100)(cid:100)a=4+'2, b=4-'2 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 (cid:100)(cid:100)AD”=AF”=4-'2-r (cid:100)(cid:100)BD”=BE”=4+'2-r AB”=AD”+BD”이므로 (cid:100)(cid:100)6=(4-'2-r)+(4+'2-r) (cid:100)(cid:100)2r=2(cid:100)(cid:100)∴ r=1 (cid:9120) ⑤ △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하 면 △ABC의 넓이에서 (cid:100)(cid:100);2!;_a_b=;2!;_r_(6+a+b) (cid:100)(cid:100);2!;_14=;2!;_r_14 (cid:100)(cid:100)∴ r=1 E O' x`cm 3`cm G O F B H 3`cm D C A 해결 과정 ① 428 오른쪽 그림에서 AB”=x cm라 하 면 BC”=(21-x)cm이므로 (cid:100)(cid:100)AC”=AE”+CE” =AG”+CH” =(x-3)+(21-x-3) =15 (cm) 해결 과정 ② 직각삼각형 ABC에서 •20% 배점 (cid:100)(cid:100)x¤ +(21-x)¤ =15¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -21x+108=0 (cid:100)(cid:100)(x-9)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 또는 x=12 그런데 AB”0) (cid:9120) (1+'5) cm 464 기는 서로 같음을 이용한다. 한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면 (cid:100)(cid:100)∠DAB=∠ADG (cid:100)(cid:100)∠DAB=180°_;1¡2; (cid:100)(cid:100)∠DAB=15° 이므로 △EAD는 EA”=ED”인 이등변삼각형이다. 이때 △ABC에서 A F G 30æ E O 1`cm D B C (cid:100)(cid:100)∠ABC=∠ACB=;2!; _(180°-30°)=75° △PºP•P¡§은 (cid:100)∠PºP•P¡§=90°, (cid:100)PºP•”=P•P¡§” 인 직각이등변삼각형 이므로 (cid:100)l• : 2=1 : '2 (cid:100)∴ l•='2 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각 형이다. CF”=CG” =BC”-BF” =12-(14-a) =a-2 이고, ∠ACG=∠ADG=15°이므로 (cid:100)(cid:100)∠BCG=∠ACB+∠ACG =75°+15°=90° 이때 (cid:8772)ABCG가 원 O에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)∠BAG=180°-∠BCG=180°-90°=90° 또 △ADE에서 (cid:100)(cid:100)∠AEG=∠EAD+∠EDA =15°+15°=30° AE”=ED”=x cm라 하면 EG”=(1-x) cm이므로 △AEG에서 (cid:100)(cid:100)cos 30°= AE” EG” = x 1-x = '3 2 (cid:100)(cid:100)2x='3(1-x),(cid:100)(cid:100)(2+'3)x='3 (cid:100)(cid:100)∴ x= ='3(2-'3)(cm) '3 2+'3 (cid:9120) ④ 465 [문제 해결 길잡이] ❶ AH”=a라 하고 (cid:8772)ABCD의 각 꼭짓점에서 내접원 O에 그은 접선의 길이를 각각 a로 나타낸다. ❷ △AEOª△OFC임을 이용하여 r와 a의 관계식을 구한다. ❸ △BFOª△OGD임을 이용하여 r와 a의 관계식을 구한다. ❹ ❷, ❸의 식을 연립하여 r의 값을 구한다. (cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)∠A+∠C=180° 오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD와 내접원 O의 접 점을 각각 E, F, G, H라 하고 AE”=AH”=a라 하면 (cid:100)(cid:100)BF”=BE”=14-a (cid:100)(cid:100)DG”=DH”=9-a (cid:100)(cid:100)CF”=CG”=a-2 ❶ △AEO와 △OFC에서 (cid:100)(cid:100)∠AEO=∠OFC=90°, A a a E 14-a O B 14-a F H 9-a D 9-a G a-2 C a-2 (cid:100)(cid:100)∠EAO=;2!;∠A=;2!;(180°-∠C) (cid:100)(cid:100)∠FBO=90°-;2!;∠C=90°-∠OCF=∠FOC 이므로(cid:100)(cid:100)△AEOª△OFC (AA 닮음) 이때 내접원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 AE”:OF”=EO”:FC”에서 (cid:100)(cid:100)a:r=r:(a-2) yy ㉠ ❷(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ r¤ =a(a-2) 같은 방법으로 하면 △BFOª△OGD (AA 닮음)이 므로 BF”:OG”=FO”:GD”에서 (cid:100)(cid:100)(14-a):r=r:(9-a) (cid:100)(cid:100)∴ r¤ =(14-a)(9-a) ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)a(a-2)=(14-a)(9-a) (cid:100)(cid:100)21a=126(cid:100)(cid:100)∴ a=6 a=6을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)r¤ =24 (cid:100)(cid:100)∴ r=2'6 (∵ r>0) 따라서 내접원 O의 반지름의 길이는 2'6이다. ❹ yy ㉡ ❸(cid:100) (cid:9120) 2'6 Ⅷ. 원의 성질 69 질 성 의 원 Ⅷ E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지70 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 원에 내접하는 사각형 의 한 쌍의 대각의 크 기의 합은 180°이다. 네 점이 한 원 위에 있 는지 알아보려면 한 직 선에 대하여 같은 쪽에 있는 두 점으로 만들어 진 각의 크기가 같은지 확인한다. CP”=4 cm, DP”=10 cm 또는 CP”=10 cm, DP”=4 cm 18 원주각의 활용 개념&기출유형 본책 94~97쪽 466 ① ∠BAC+∠BDC ② ∠ADB+∠ACB ③ ∠ABD=80°-35°=45°이므로 (cid:100)(cid:100)∠ABD+∠ACD ④ ∠BAC=180°-(80°+30°)=70°이므로 (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC ⑤ ∠BDC=90°-30°=60°이므로 (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC 따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ④, (cid:9120) ④, ⑤ ⑤이다. 467 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 (cid:100)(cid:100)∠x=∠DBC=180°-(95°+60°)=25° △ABP에서 ∠ABP=95°-55°=40°이므로 (cid:100)(cid:100)∠y=∠ABD=40° (cid:100)(cid:100)∴ ∠y-∠x=40°-25°=15° (cid:9120) 15° 468 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 (cid:100)(cid:100)∠x=∠ACB=25° △PBD에서(cid:100)(cid:100)∠y=50°+25°=75° (cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=25°+75°=100° (cid:9120) 100° 469 ③ ∠DAB=∠DCB이지만 ∠DAB+∠DCB+180°이면 (cid:8772)ABCD가 원에 (cid:9120) ③ 내접하지 않는다. 470 ㈂ 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각의 크기의 합이 180°이다. ㈄ 정사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각 의 크기의 합이 180°이다. ㈅ 등변사다리꼴의 아랫변의 양 끝 각의 크기가 서로 같고 윗변의 양 끝 각의 크기가 서로 같으므로 대각 의 크기의 합이 180°이다. 이상에서 항상 원에 내접하는 사각형은 ㈂, ㈄, ㈅의 3 (cid:9120) ③ 개이다. 471 ∠ACB : ∠BAC : ∠ABC (cid:100)=μAB : μBC : μCA=8 : 4 : 3 이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=180°_ 4 8+4+3 =48° (cid:100)(cid:100)∴ ∠BCT=∠BAC=48° (cid:9120) 48° 한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례한다. 472 ∠EDC=∠EFD=63° △CED는 CD”=CE”인 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠ECD=180°-2_63°=54° 따라서 △ABC에서 (cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-(84°+54°)=42° (cid:9120) ② 70 정답 및 풀이 473 ∠ATP=∠ACT=100°이므로 △APT에서 (cid:100)(cid:100)∠APT=180°-(100°+40°)=40° (cid:100)(cid:100)∴ ∠BPT=∠APT=40° (cid:9120) ③ ∠ABT+∠ACT=180°이므로 (cid:100)(cid:100)∠ABT=180°-∠ACT =180°-100°=80° ∠BTP=∠BAT=40°이므로 △BPT에서 (cid:100)(cid:100)∠BPT=∠ABT-∠BTP =80°-40°=40° 474 CP”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)DP”=14-x (cm) PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)8_5=x(14-x) (cid:100)(cid:100)x¤ -14x+40=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-10)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=10 그런데 CP”0) (cid:9120) 4 479 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (cid:100)(cid:100)3_8=(6-r)(6+r) (cid:100)(cid:100)r¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ r=2'3 (∵ r>0) 따라서 원 O의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2p_2'3=4'3p 480 원 O에서 PA”_PB”=PE”_PF”이므로 (cid:100)(cid:100)PA”_2=4_6(cid:100)(cid:100)∴ PA”=12 원 O'에서 PC”_PD”=PE”_PF”이므로 (cid:100)(cid:100)3_PD”=4_6(cid:100)(cid:100)∴ PD”=8 (cid:100)(cid:100)∴ PA”+PD”=20 (cid:9120) 4'3p (cid:9120) 20 E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지71 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 94쪽~98쪽 481 PC”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (cid:100)(cid:100)(6+x)_3=x_(3+9) (cid:100)(cid:100)18+3x=12x(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (cid:9120) 2 482 PA”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (cid:100)(cid:100)x(x+20)=6_16 (cid:100)(cid:100)x¤ +20x-96=0,(cid:100)(cid:100)(x+24)(x-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0) (cid:9120) 4 483 ∠ATP=∠ABT=∠APT이므로 △APT는 AP”=AT”=4인 이등변삼각형이다. ¤ =PA”_PB”이므로 PT” ¤ =4_12=48 (cid:100)(cid:100)PT” (cid:100)(cid:100)∴ PT”=4'3 (∵ PT”>0) (cid:9120) ④ 484 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (cid:100)(cid:100)5_8=x(x+6) (cid:100)(cid:100)x¤ +6x-40=0,(cid:100)(cid:100)(x+10)(x-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0) PT” (cid:100)(cid:100)∴ x¤ +y¤ =4¤ +40=56 ¤ =PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)y¤ =5_8=40 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이다. (cid:9120) 56 ¤ =AO”_AB”이므로 ¤ =4_8=32 485 AT” (cid:100)(cid:100)AT” (cid:100)(cid:100)∴ AT”=4'2 (cm)(∵ AT”>0) 이때 ∠ATO'=90°이고 TO'”=;2!; AO”=2 (cm)이므 로 원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름과 서로 수직이다. (cid:100)(cid:100)△AO'T=;2!;_2_4'2=4'2 (cm¤ ) (cid:9120) ① 호 AQ에 대한 원주각 ¤ =PA”_PB”이므로 ¤ =PA”_PB”이므로 486 PT” (cid:100)(cid:100)x¤ =3_(3+y) PT'” (cid:100)(cid:100)(3'2)¤ =3_(3+y)(cid:100)(cid:100)∴ y=3 y=3을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)x=3'2 (∵ x>0) (cid:100)(cid:100)∴ xy=9'2 yy ㉠(cid:100)(cid:100) 487 TT'”=12 cm이므로(cid:100)(cid:100)PT”=PT'”=6 cm PA”=x cm라 하면 PT” (cid:100)(cid:100)6¤ =x(x+9),(cid:100)(cid:100)x¤ +9x-36=0 (cid:100)(cid:100)(x+12)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0) ¤ =PA”_PB”이므로 (cid:9120) ⑤ x¤ =3_(3+3)=18 (cid:100)∴ x=3'2 (∵ x>0) 호 CO에 대한 원주각 (cid:9120) 3 cm 488 PC”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (cid:100)(cid:100)5_12=x(x+4),(cid:100)(cid:100)x¤ +4x-60=0 (cid:100)(cid:100)(x+10)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0) (cid:9120) ③ 25æ D C 50æ 25æ O 100æ 55æ 40æ E 80æ 내신 만점 도전하기 본책 98~101쪽 489 OB”를 긋고 ∠CAB, ∠OAB의 크기를 구한다. 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 (cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ADB=50° (cid:100)(cid:100)∴ ∠ACE=∠BCE =25° A B 또 ∠AOB=2∠ACB=100°이 고 △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠OAB=;2!;_(180°-100°)=40° △CAE에서(cid:100)(cid:100)∠CAE=80°-25°=55° (cid:100)(cid:100)∴ ∠CAO=∠CAE-∠OAB =55°-40°=15° (cid:9120) ② 490 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용한다. ∠BEC=∠BDC이므로 네 점 B, C, D, E는 한 원 위에 있다. 이때 ∠BEC=90°이고 BM”=CM”이므로 점 M은 이 원의 중심이다. △ABD에서(cid:100)(cid:100)∠ABD=90°-70°=20° (cid:100)(cid:100)∴ ∠EMD=2∠EBD=2_20°=40° (cid:9120) ③ ∠AQP=∠ARP이므로 네 점 A, Q, R, P 491 가 한 원 위에 있음을 이용한다. ∠AQP=∠ARP이 므로 네 점 A, Q, R, P는 한 원 위에 있다. (cid:100)(cid:100)∴ ∠ARQ=∠APQ △AQP∽△APB (AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)∠APQ=∠ABP=32°(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ ∠ARQ=∠APQ=32° (cid:100)(cid:100)∴ ∠QRC=180°-∠ARQ B A Q 32æ 32æ C R P =180°-32°=148° (cid:9120) 148° △COP 해결 과정 ① 492 에서 (cid:100)(cid:100)∠CPO=40°-10° =30° ∠OCP=∠ODP이므로 네 점 C, O, P, D는 한 원 위에 있다. (cid:100)(cid:100)∴ ∠CDO=∠CPO=30° C A 10æ 10æ 40æ O P D B •50% 배점 해결 과정 ② △COD는 OC”=OD”인 이등변삼각형이 므로 (cid:100)(cid:100)∠COD=180°-2_30°=120° 답 구하기 •30% 배점 ∴ ∠DOB=180°-(∠AOC+∠COD) =180°-(40°+120°) =20° •20% 배점 (cid:9120) 20° Ⅷ. 원의 성질 71 질 성 의 원 Ⅷ E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지72 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 오른쪽 그림과 같이 원의 중심 O에서 두 현 AB, CD에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라 하면 원의 중심에서 현에 내 린 수선은 그 현을 이 등분한다. (cid:100)(cid:100)QB”=;2!;_(6+16) (cid:100)(cid:100)QB”=11 (cm) C R P D O Q 16`cm 8`cm B A 6`cm 493 각형은 원에 내접함을 이용한다. 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사 △ABP에서 (cid:100)(cid:100)∠ABP=180°-(75°+33°)=72° ∠ADC=25°+47°=72°이므로 (cid:100)(cid:100)∠ABP=∠ADC 따라서 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=47° (cid:100)(cid:100)∴ ∠DAC=180°-(75°+47°)=58° △AED에서 (cid:100)(cid:100)∠DEC=25°+58°=83° (cid:9120) ② 494 사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 생각한다. ⁄ 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인 경우 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)ADHF, (cid:8772)BEHD, (cid:8772)CFHE ¤ 한 직선에 대하여 같은 쪽에 있는 두 점으로 만들어 진 각의 크기가 같은 경우 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABEF, (cid:8772)BCFD, (cid:8772)CADE ⁄, ¤에서 구하는 사각형의 개수는 6이다. (cid:9120) 6 495 기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크 △TBP는 TB”=TP”인 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠TBA=∠APT=38° 이때 PT”가 원의 접선이므로 (cid:100)(cid:100)∠ATP=∠TBA=38° 따라서 △TAP에서 (cid:100)(cid:100)∠BAT=38°+38°=76° 496 기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크 ∠BAT=∠BCA=54° B 이므로 (cid:100)(cid:100)∠EDA=∠EAT=54° ∠EAD=∠x라 하면 ∠BDE=∠x이므로 △BAD 에서 (cid:100)(cid:100)40°+∠x+(54°+∠x)=180° (cid:100)(cid:100)2∠x=86°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=43° 54æ T 40æ D 54æ E 54æ C A (cid:9120) ④ 해결 과정 ∠BTQ=∠BAT=40° 497 이때 ∠PTD=∠BTQ=40°(맞꼭지각)이므로 (cid:100)(cid:100)∠TCD=∠PTD=40° 답 구하기 따라서 △DTC에서 •70% 배점 (cid:100)(cid:100)∠DTC=180°-(55°+40°)=85° •30% 배점 (cid:9120) 85° (cid:9120) ② CP”=DP”=6 498 심이다. 원에서 두 현의 수직이등분선의 교점은 원의 중 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (cid:100)(cid:100)6_16=PC”_8(cid:100)(cid:100)∴ PC”=12 (cm) (5+3)(5-3) 72 정답 및 풀이 (cid:100)(cid:100)OQ”=RP”=;2!;_(8+12)-8=2 (cm) 직각삼각형 OQB에서 (cid:100)(cid:100)OB”="√2¤ +11¤ =5'5 (cm) 따라서 원 O의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_(5'5)¤ =125p (cm¤ ) (cid:9120) ④ 해결 과정 499 (cid:100)(cid:100)3_PB”=2_6(cid:100)(cid:100)∴ PB”=4 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 •40% 배점 BQ”=x라 하면 QB”_QA”=QE”_QD”이 답 구하기 므로 (cid:100)(cid:100)x(x+7)=3_(3+3),(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-18=0 (cid:100)(cid:100)(x+9)(x-2)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0) •60% 배점 (cid:9120) 2 500 AP”_BP”=CP”_DP”이다. 점 P는 두 현 AB, CD의 교점이므로 직각삼각형 PBD에서 ∑-6¤ =12 (cid:100)(cid:100)PB”=ø∑(6'5)¤ 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 (cid:100)(cid:100)AP”=2r-12 AP”_BP”=CP”_DP”이므로 (cid:100)(cid:100)(2r-12)_12=6_6,(cid:100)(cid:100)2r-12=3 (cid:100)(cid:100)2r=15(cid:100)(cid:100)∴ r=;;¡2∞;; 따라서 원 O의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2p_;;¡2∞;;=15p 501 원에서 길이가 가장 긴 현은 지름이다. 점 P를 지나는 현 중에서 길이가 가장 긴 것은 (cid:9120) 15p 5 O 3 A' P B' [그림 1] Q B 10 O P 9 R [그림 2] 지름일 때이므로 그 길이는 10이다. 또 점 P를 지나는 현 중에서 길이가 가장 짧은 것은 [그림 1]과 같이 현이 OP”에 수직일 때이므로 (cid:100)(cid:100)A'P”="√5¤ -3¤ =4 (cid:100)(cid:100)∴ A'B'”=8 따라서 정수인 현의 길이는 8, 9, 10 이므로 (cid:100)(cid:100)QR”=PQ”+PR”=9 이때 [그림 2]와 같이 점 P를 지 나는 원 O의 지름을 AB라 하면 (cid:100)(cid:100)PQ”_PR”=PA”_PB” 이므로 (cid:100)(cid:100)PQ”_PR”=8_2=16 PQ”=a, PR”=b라 하면 A E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지73 SinsagoHitec a+b=9, ab=16이므로 (cid:100)(cid:100)|a-b|="√(a-b)¤ ="√(a+b)¤ -4ab (cid:100)(cid:100)|a-b|="√9¤ -4_16 ='∂17 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 직 해결 과정 502 각삼각형 DPO에서 (cid:100)(cid:100)17¤ =(7+r)¤ +r¤ ,(cid:100)(cid:100)r¤ +7r-120=0 (cid:100)(cid:100)(r+15)(r-8)=0 (cid:100)(cid:100)∴ r=8 (∵ r>0) 답 구하기 •40% 배점 CD”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므 로 (cid:100)(cid:100)7_(7+16)=(17-x)_17 (cid:100)(cid:100)161=289-17x,(cid:100)(cid:100)17x=128 (cid:100)(cid:100)∴ x= ;;¡1™7•;; •60% 배점 (cid:9120) ;;¡1™7•;; 점 B는 두 현 AC, DE의 교점이므로 503 AB”_BC”=BD”_BE”이다. BC”=AB”=4 점 B에서 서로 외접하는 두 원의 반지름의 길이를 각각 a, b라 하면 AB”_BC”=BD”_BE”이므로 (cid:100)(cid:100)4¤ =2a_2b(cid:100)(cid:100)∴ ab=4 따라서 두 원의 넓이의 곱은 (cid:100)(cid:100)pa¤ _pb¤ =p¤ (ab)¤ =16p¤ (cid:9120) ④ 504 분한다. 원의 중심에서 현에 그은 수선은 그 현을 이등 두 원 O, O'의 반지름의 길이를 각각 r, r'이라 하면 원 O'에서 O'O”⊥DO”이므로 (cid:100)(cid:100)AO”_OE”=DO” (cid:100)(cid:100)r¤ -5r=r¤ -6r+9(cid:100)(cid:100)∴ r=9 또 2r'=2r-5이므로 ¤ ,(cid:100)(cid:100)r(r-5)=(r-3)¤ (cid:100)(cid:100)r'=r-;2%;=9-;2%;= 따라서 두 원의 둘레의 길이의 합은 ;;¡2£;; (cid:100)(cid:100)2p_9+2p_ =31p ;;¡2£;; (cid:9120) ⑤ 505 임을 이용한다. PE”_PB”=PD”_PF”, PE”_PA”=PF”_PC” 원 O'에서 PE”_PB”=PD”_PF”이므로 (cid:100)(cid:100)PE”_3=2_PF” 원 O에서 PE”_PA”=PF”_PC”이므로 (cid:100)(cid:100)PE”_PA”=PF”_10 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9120) ② PA”_PB”=PC”_PD”이므로 ㉠÷㉡을 하면(cid:100)(cid:100) 3 PA” (cid:100)(cid:100)∴ PA”=15 (cm) =;5!; 해결 과정 ① 506 (cid:100)(cid:100)PA”_(PA”+8)=6_(6+2) ¤ +8PA”-48=0 (cid:100)(cid:100)PA” (cid:100)(cid:100)(PA”+12)(PA”-4)=0 (cid:100)(cid:100)∴ PA”=4 (∵ PA”>0) •40% 배점 만점 공략 BOX 본책 98쪽~101쪽 해결 과정 ② PA” : PG”=4 : 3이므로 (cid:100)(cid:100)4 : PG”=4 : 3(cid:100)(cid:100)∴ PG”=3 •20% 배점 (cid:9120) ③ PG”_PH”=PE”_PF” =PC”_PD” 답 구하기 PG”_PH”=PC”_PD”이므로 (cid:100)(cid:100)3_(3+GH”)=6_(6+2) (cid:100)(cid:100)3+GH”=16(cid:100)(cid:100)∴ GH”=13 원 밖의 한 점에서 원 에 그은 두 접선의 길 이는 서로 같다. 해결 과정 ① 507 해결 과정 ② PQ”=PT”=8 (cm) •30% 배점 ¤ =PA”_PB”이 AQ”=x cm라 하면 PT” DE”는 가장 큰 원의 지름이고`, AC”⊥DE” 이므로 DE”는 AC”를 이등분한다. •40% 배점 (cid:9120) 13 •50% 배점 •20% 배점 (cid:9120) ;3*; cm 므로 (cid:100)(cid:100)8¤ =(8-x)(8+4) 답 구하기 64=96-12x(cid:100)(cid:100)∴ x=;3*; (cid:100)(cid:100)∴ AQ”=;3*; cm 508 에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같음을 이용한다. 접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부 2 A 2 T P 2 B ∠ATP=∠ABT이고 △BTP는 PT”=BT”인 이등 변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠TPA=∠ABT (cid:100)(cid:100)∴ ∠ATP=∠TPA 따라서 △ATP에서(cid:100)(cid:100)AT”=PA” 이때 PA”=x라 하면 PT” (cid:100)(cid:100)2¤ =x(x+2),(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-4=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=-1+'5 (∵ x>0) (cid:100)(cid:100)∴ AT”=PA”=-1+'5 ¤ =PA”_PB”이므로 ∠ACB=90°이므로 △ABC에서 (cid:9120) ① •10% 배점 509 문제 이해 (cid:100)(cid:100)BC”="√10¤ -8¤ =6 해결 과정 ① ¤ =AD”_BD”이므로 CD” (cid:100)(cid:100)y¤ =x(x+10) BD”=x, CD”=y라 하면 해결 과정 ② △ADC와 △CDB에서 (cid:100)(cid:100)∠CAD=∠BCD, ∠D는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△ADCª△CDB (AA 닮음) 따라서 AC” : CB”=CD” : BD”이므로 (cid:100)(cid:100)8 : 6=y : x,(cid:100)(cid:100)8x=6y yy ㉠(cid:100)(cid:100)•30% 배점 (cid:100)(cid:100)∴ x=;4#; y 답 구하기 ㉡을 ㉠에 대입하면 yy ㉡(cid:100)(cid:100)•30% 배점 (cid:100)(cid:100)y¤ =;4#; y{;4#;y+10},(cid:100)(cid:100)7y¤ -120y=0 (cid:100)(cid:100)∴ y=;;¡;7@;º;; (∵ y+0) •30% 배점 (cid:9120) ;;¡;7@;º;; 510 BC” ¤ =CP”_CA”임을 이용한다. AB”가 원 O의 지름이므로 (cid:100)(cid:100)∠APB=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠BPC=90° QB”=QP”이므로(cid:100)(cid:100)∠QBP=∠QPB Ⅷ. 원의 성질 73 질 성 의 원 Ⅷ E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지74 SinsagoHitec 만점 공략 BOX BC”=BQ”+QC” =2'ß11+2'ß11 =4'ß11 (cid:9120) 11 ¤ =PA”_PB” 원 O에서 (cid:100)PT” 원 O'에서 (cid:100)PT” (cid:100)∴ PA”_PB” =PC”_PD” ¤ =PC”_PD” △ADP에서 (cid:100)DP”=ø∑AP” △APF에서 ¤ -∑AD” (cid:100)FP”=ø∑AP” ¤ -∑AF” (cid:100)(cid:100)∴ ∠QPC=90°-∠QPB =90°-∠QBP=∠ABP 이때 △ABCª△APB(AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABP 따라서 ∠QPC=∠ACB이므로 (cid:100)(cid:100)QC”=QP”=2'∂11 PC”=x라 하면 BC” (cid:100)(cid:100)(4'∂11)¤ =x(x+5) (cid:100)(cid:100)x¤ +5x-176=0,(cid:100)(cid:100)(x+16)(x-11)=0 (cid:100)(cid:100)∴ x=11 (∵ x>0) ¤ =CP”_CA”이므로 ¤ =PA”_PB”=PC”_PD”임을 이용한다. 511 ① PT” PT” ¤ =PC”_PD”이므로 ¤ =6_(6+14)=120 (cid:100)(cid:100)PT” (cid:100)(cid:100)∴ PT”=2'∂30 (∵ PT”>0) ¤ =PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT” ② PT” ¤ =8_(8+AB”) (cid:100)(cid:100)120=8_(8+AB ”)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=7 ③ PA”_PB”=PC”_PD”이므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다. ⑤ 원 O에서 접선과 할선 사이의 관계에 의하여 (cid:100)(cid:100)∠PTA=∠TBA (cid:9120) ④ 참고 ④ ③에 의하여 ∠BAD=∠BCD이다. 512 한다. PB”_PA”=PC” ¤ =PD”_PE”=PF” ¤ 임을 이용 원 O¡의 넓이가 36p=6¤ _p이므로 반지름의 길 이는 6이다. PB”_PA”=PC” (cid:100)(cid:100)3_(3+12)=PF” (cid:100)(cid:100)∴ PF”=3'5 (∵ PF”>0) ¤ =PD”_PE”=PF” ¤ 이므로 (cid:9120) ② 내신 만점 굳히기 본책 102쪽 A 50æ 65æ B C E D △ABC와 해결 과정 ① 513 △ADE가 합동이므로 (cid:100)(cid:100)AB”=AD” (cid:100)(cid:100)∴ ∠ABD =;2!;_(180°-50°) =65° 해결 과정 ② 로 (cid:8772)ABDE에서 (cid:100)(cid:100)∠ABD+∠AED=180° (cid:100)(cid:100)65°+∠AED=180° (cid:100)(cid:100)∴ ∠AED=115° 답 구하기 74 정답 및 풀이 네 점 A, B, D, E가 한 원 위에 있으므 •30% 배점 AO'”=AO”+OO'” =6+3=9 (cid:8772)ABDE가 원에 내 접한다. •50% 배점 ∴ ∠ACB=∠AED=115° •20% 배점 (cid:9120) 115° PQ”=AQ”-AP” 514 닮음인 삼각형을 찾아 닮음비를 이용한다. AB”는 원 O의 접선 O 이므로 (cid:100)(cid:100)∠BCP=∠ABP AC”는 원 O의 접선이므로 (cid:100)(cid:100)∠CBP=∠PCA △BPD와 △CPE에서 (cid:100)(cid:100)∠DBP=∠ECP, (cid:100)(cid:100)∠BDP=∠CEP=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△BPDª△CPE (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ BP” : CP”=DP” : EP” △BEP와 △CFP에서 (cid:100)(cid:100)∠PBE=∠PCF, ∠BEP=∠CFP=90° 이므로(cid:100)(cid:100)△BEPª△CFP (AA 닮음) (cid:100)(cid:100)∴ BP” : CP”=EP” : FP” ㉠, ㉡에서 DP” : EP”=EP” : FP”이므로 (cid:100)(cid:100)EP” ¤ =DP”_FP” ="√10¤ -9¤ _"√10¤ -6¤ ='∂19_8=8'∂19 B 10 P E D 9 A 6 F C yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) (cid:9120) 8'∂19 Q 문제 이해 OQ”⊥AB” 515 이므로 (cid:100)(cid:100)∠QMP=∠QSP=90° 즉 네 점 S, P, Q, M은 한 원 위의 점이므로 (cid:100)(cid:100)OS”_OP”=OM”_OQ” yy ㉠(cid:100)(cid:100)•40% 배점 M A B P 3 S O △AMO와 △QAO에서 해결 과정 (cid:100)(cid:100)∠AMO=∠QAO=90°, ∠AOM은 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△AMOª△QAO (AA 닮음) 따라서 OM” : OA”=OA” : OQ”이므로 (cid:100)(cid:100)OM”_OQ”=OA” ¤ =9 yy ㉡(cid:100)(cid:100)•40% 배점 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)OS”_OP”=9 •20% 배점 (cid:9120) 9 답 구하기 516 닮음인 삼각형을 찾아 닮음비를 이용한다. AP” ¤ =AO”_AB”이므로 ¤ =6_12=72(cid:100)(cid:100)∴ AP”=6'2 (∵ AP”>0) (cid:100)(cid:100)AP” △APO'과 △AQB에서 (cid:100)(cid:100)∠APO'=∠AQB=90°, ∠A는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△APO'ª△AQB (AA 닮음) 따라서 AP” : AQ”=AO'” : AB”이므로 (cid:100)(cid:100)6'2 : AQ”=9 : 12 (cid:100)(cid:100)9AQ”=72'2(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=8'2 또 PO'” : QB”=AO'” : AB”이므로 (cid:100)(cid:100)3 : QB”=9 : 12 (cid:100)(cid:100)9QB”=36(cid:100)(cid:100)∴ QB”=4 즉 PQ”=8'2-6'2=2'2, QB”=4이므로 직각삼각형 PQB에서 (cid:100)(cid:100)PB”=ø∑(2'2)¤ +4¤ =2'6 (cid:9120) ③ ¤ ¤ ¤ E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지75 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 101쪽~103쪽 PO'”의 연장선과 원 O'의 교점을 D라 하면 517 PT” ¤ =PC”_PD”임을 이용한다. △BTP에서 (cid:100)(cid:100)∠BPT=90°-30° =60° AT”를 그으면 (cid:100)(cid:100)∠BAT=90° 이므로 직각삼각형 ATP에서 5 cos 60° (cid:100)(cid:100)PT”= =10 A P 5 6 C 30æ B O T O' r D PO'”의 연장선과 원 O'의 교점을 D, 원 O'의 반지름의 길이를 r라 하면 PT” (cid:100)(cid:100)10¤ =6_(6+2r),(cid:100)(cid:100)100=36+12r ¤ =PC”_PD”이므로 (cid:100)(cid:100)12r=64(cid:100)(cid:100)∴ r= ;;¡3§;; (cid:9120) ⑤ 518 [문제 해결 길잡이] ❶ 삼각형의 각의 이등분선의 성질을 이용하여 BD”, CD”의 ❷ △ABE∽△BDE임을 이용하여 BE”의 길이를 y에 대한 길이를 구한다. 식으로 나타낸다. ❸ BE”에 접하고 세 점 A, B, D를 지나는 원에서 원과 비 례를 이용하여 x, y의 값을 구한다. ❹ AD”의 길이를 구한다. C 2 6 3 y 4 x B E D A 오른쪽 그림과 같이 AD” 의 연장선과 원의 교점을 E라 하고 AD”=x, DE”=y라 하자. AD”가 ∠A의 이등분선이므로 AB” : AC”=BD” : CD”에서 (cid:100)(cid:100)6 : 4=BD” : CD” 이때 BC”=5이므로 (cid:100)(cid:100)BD”=3, CD”=2 ❶ △ABE와 △BDE에서 (cid:100)(cid:100)∠BAE=∠EAC=∠DBE, ∠E는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△ABEª△BDE (AA 닮음) 따라서 AB” : BD”=BE” : DE”이므로 (cid:100)(cid:100)6 : 3=BE” : y(cid:100)(cid:100)∴ BE”=2y ❷ 이때 BE”는 세 점 A, B, D를 지나는 원의 접선이므로 (cid:100)(cid:100)BE” (cid:100)(cid:100)(2y)¤ =y(y+x)(cid:100)(cid:100)∴ 3y¤ =xy 또 AD”_ED”=BD”_CD”이므로 (cid:100)(cid:100)xy=3_2=6 ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)3y¤ =6(cid:100)(cid:100)∴ y='2 (∵ y>0) y='2를 ㉡에 대입하면(cid:100)(cid:100)x=3'2 ❸ (cid:100)(cid:100)∴ AD”=3'2 ❹ ¤ =ED”_EA” (cid:9120) 3'2 yy ㉠(cid:100)(cid:100) yy ㉡(cid:100)(cid:100) 내신 만점 정복하기 본책 103~108쪽 519 분함을 이용한다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등 원의 중심에서 현에 내 린 수선은 그 현을 이 등분하므로 (cid:100)AD”=DB”=;2!;AB” =;2!;_12 =6 (cm) 정삼각형은 외심, 내 심, 무게중심이 모두 일치한다. ∠BAE=∠DBE이 므로 접선과 현이 이루 는 각의 성질을 이용한 다. AM”=MP”, PN”=NB”이므로 (cid:100)(cid:100)AB”=(AM”+MP”)+(PN”+NB”) =2MP”+2PN”=2(MP”+PN”)=2MN” 따라서 2MN”=16이므로(cid:100)(cid:100)MN”=8(cm) (cid:9120) ② 520 같음을 이용한다. 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 OD”=OE”=OF”이므로 (cid:100)(cid:100)AB”=BC”=CA” 즉 △ABC는 정삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)∠BAC=60° (cid:100)(cid:100)∴ ∠DAO=;2!;_60°=30° 30æ A 12`cm D F O E B C AD”=;2!; AB”=6 (cm)이므로 직각삼각형 ADO에서 (cid:100)(cid:100)AO”= 6 cos 30° =4'3 (cm) 따라서 원 O의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_(4'3)¤ =48p (cm¤ ) AE”= _12=6'3 (cm) '3 2 점 O는 정삼각형 ABC의 무게중심이므로 (cid:9120) 48p cm¤ (cid:100)(cid:100)AO”=;3@; AE”=4'3 (cm) 따라서 원 O의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_(4'3)¤ =48p (cm¤ ) 보충학습 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 2 : 1로 나눈다. =14 (cm) (cid:100)(cid:100)OD”= 7'2 cos 45° 따라서 원 O의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)2p_14=28p (cm) (cid:9120) 28p cm 522 는 같음을 이용한다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 직각삼각형 ABC에서 (cid:100)(cid:100)AB”="√3¤ +4¤ =5 (cm) BR”=BP”=x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)CQ”=CR”=4-x (cm) 이때 AP”=AQ”이므로(cid:100)(cid:100)5+x=3+(4-x) (cid:100)(cid:100)2x=2(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (cid:100)(cid:100)∴ AP”=5+1=6 (cm) (△ABC의 둘레의 길이)=AP”+AQ” =2AP” 이므로 (cid:100)(cid:100)2AP”=5+4+3=12(cid:100)(cid:100)∴ AP”=6 (cid:9120) ④ Ⅷ. 원의 성질 75 BD”=5_ =3, CD”=5_ =2 6 6+4 4 6+4 521 길이는 같음을 이용한다. 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=14'2 (cm) DN”=;2!; CD”=7'2 (cm)이므로 직각삼각형 ODN에서 질 성 의 원 Ⅷ E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지76 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 523 는 같음을 이용한다. 오른쪽 그림에서 A O F N E L C G D H M x`cm B x`cm I K J BG”=BH”=x cm라 하면 (cid:100)(cid:100)AG”=20-x (cm) (cid:100)(cid:100)CH”=15-x (cm) CJ”=CH”이므로 (cid:100)(cid:100)DJ”=12-(15-x)=x-3 (cm) DL”=DJ”이므로(cid:100)(cid:100)EL”=9-(x-3)=12-x (cm) EN”=EL”이므로(cid:100)(cid:100)FN”=6-(12-x)=x-6 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ FO”=FN”=x-6 (cm) 한편 AO”=AM”=AK”=AI”=AG”=(20-x)cm이므 로 (cid:100)(cid:100)AF”=AO”+FO”=(20-x)+(x-6)=14 (cm) (cid:9120) ⑤ 524 는 같음을 이용한다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 BD”=BE”=x라 하면 A P x 9-x D 9-x (cid:100)(cid:100)AF”=AD”=9-x (cid:100)(cid:100)CF”=CE”=8-x AC”=AF”+CF”이므로 (cid:100)(cid:100)7=(9-x)+(8-x) (cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5 이때 PG”=PD”, QG”=QE”이므로 △PBQ의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)BP”+PQ”+BQ”=BP”+PG”+QG”+BQ” F 8-x 8-x G O Q E B C x =(BP”+PD”)+(QE”+BQ”) =BD”+BE”=5+5=10 (cid:9120) ⑤ 525 (cid:8833) 내접원의 반지름의 길이 내접원의 중심에서 세 변에 이르는 거리 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 3'3 2 (cid:100)(cid:100) ;2!; _r_(7+12+13)=24'3(cid:100)(cid:100)∴ r= 이때 CF”=CE”=a cm라 하면 (cid:100)(cid:100)AD”=AF”=12-a (cm) (cid:100)(cid:100)BD”=BE”=13-a (cm) AB”=AD”+BD”이므로(cid:100)(cid:100)7=(12-a)+(13-a) (cid:100)(cid:100)2a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=9 직각삼각형 OEC에서 (cid:100)(cid:100)OC”=æ≠{ 3'3 2 ¤ +9¤ = } 3'∂39 2 (cm) (cid:9120) ⑤ 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이 526 는 같음을 이용한다. 오른쪽 그림에서 (cid:100)(cid:100)AB”+CD”+EF” =BC”+DE”+AF” =3+5+4 =12 (cm) 76 정답 및 풀이 A F 4`cm E 3`cm B O C 5`cm D ① 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현 을 이등분한다. ② 현의 수직이등분선 은 그 원의 중심을 지난다. 오른쪽 문제 이해 528 그림과 같이 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r cm 라 하자. •30% 배점 5`cm C A 10`cm B 10`cm H r`cm O {r-5}`cm 따라서 육각형 ABCDEF의 둘레의 길이는 (cid:100)(cid:100)12+12=24 (cm) (cid:9120) 24 cm BE”=x cm라 하고 직각삼각형 AED에서 피타 527 고라스 정리를 이용한다. BE”=x cm라 하 면 AE”=(8-x) cm, DE”=(8+x) cm이므 로 직각삼각형 AED 에서 (cid:100)(cid:100)(8+x)¤ =8¤ +(8-x)¤ (cid:100)(cid:100)32x=64(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (cid:100)(cid:100)∴ DE”=8+2=10 (cm) A 8`cm 8`cm {8-x}`cm x`cm F E x`cm B O D C 8`cm (cid:9120) ③ 해결 과정 직각삼각형 AOH에서 (cid:100)(cid:100)r¤ =10¤ +(r-5)¤ (cid:100)(cid:100)10r=125(cid:100)(cid:100)∴ r=12.5 답 구하기 따라서 접시의 지름의 길이는 (cid:100)(cid:100)2_12.5=25 (cm) •50% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 25 cm 해결 과정 ① 점 O에서 AB” 529 에 내린 수선의 발을 H라 하면 (cid:100)(cid:100)AH”=BH”=4 cm •20% 배점 큰 원의 반지름의 길이를 R cm, 작은 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 직각삼각형 OAH에서 (cid:100)(cid:100)R¤ =r¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)∴ R¤ -r¤ =16 해결 과정 ② R`cm A O r`cm 4`cm H B •40% 배점 답 구하기 색칠한 부분의 넓이는 큰 원의 넓이에서 작 은 원의 넓이를 뺀 것과 같으므로 (cid:100)(cid:100)pR¤ -pr¤ =p(R¤ -r¤ )=16p (cm¤ ) •40% 배점 (cid:9120) 16p cm¤ 문제 이해 (cid:8772) A P B O 530 에서 ∠P=60°이고 PA”=PB”이므로 △APB는 정삼각형이다. •40% 배점 P 60æ H 60æ O A B 6´3`cm 원의 중심 O에서 해결 과정 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠AOH=60°이므 로 (cid:100)(cid:100)AH”=6'3 sin 60°=9 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AH”=18(cm) •40% 배점 답 구하기 ∴ △APB= _18¤ '3 4 =81'3 (cm¤ ) •20% 배점 (cid:9120) 81'3 cm¤ 세 변의 길이가 각각 a, b, c이고 내접원의 반지름의 길이가 r인 삼각형의 넓이는 (cid:100) r(a+b+c) ;2!; E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지77 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 103쪽~106쪽 531 두 같음을 이용한다. QB”를 긋고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 모 오른쪽 그림과 같이 QB” P 25æ 를 그으면 (cid:100)(cid:100)∠AQB=∠APB=25°, (cid:100)(cid:100)∠BQC=∠BRC=35° 이므로 (cid:100)(cid:100)∠x=25°+35°=60° (cid:100)(cid:100)∴ ∠y=2∠x=120° (cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=60°+120°=180° A Q R x O y 35æ C B 532 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 ;2!;배임을 이용한다. ∠ACD=;2!;∠AOD=;2!;_56°=28° AB”가 원 O의 지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=90° 이때 CE”가 ∠ACB의 이등분선이므로 (cid:100)(cid:100)∠ACE=45° (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠ACE-∠ACD =45°-28°=17° (cid:9120) 17° 533 크기에 정비례한다. 한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 μAC : μ BD=4p : 10p=2 : 5이므로 (cid:100)(cid:100)∠ADC : ∠BAD=2 : 5 (cid:100)(cid:100)∴ ∠ADC=;5@;∠BAD △APD에서(cid:100)(cid:100)∠BAD=24°+;5@;∠BAD (cid:100)(cid:100);5#;∠BAD=24°(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAD=40° 따라서 ∠BOD=80°이므로 (cid:100)(cid:100)80 : 360=10p : (원 O의 둘레의 길이) (cid:100)(cid:100)∴ (원 O의 둘레의 길이)=45p 534 크기에 정비례한다. 한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 △ACP에서(cid:100)(cid:100)∠CAP=70°-25°=45° 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (cid:100)(cid:100)μ BC : 2pr=45 : 180 (cid:100)(cid:100)2p : 2pr=1 : 4(cid:100)(cid:100)∴ r=4 (cid:9120) ① 535 ∠BCD+∠x=180°, ∠ABC=∠y임을 이용한다. (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 ∠BCD=180°_;5#;=108°이므로 (cid:100)(cid:100)∠x=180°-108°=72° ∠ABC=180°_;9%;=100°이므로 (cid:100)(cid:100)∠y=∠ABC=100° (cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=72°+100°=172° (cid:9120) ④ (cid:9120) ⑤ 원에서 한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호 에 대한 원주각의 크기 의 2배이다. 삼각형에서 한 외각의 크기는 이와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. (cid:9120) ③ ∠ABC+∠ADC =180° ① 원에 내접하는 사각 형의 한 쌍의 대각 의 크기의 합은 180°이다. ② 원에 내접하는 사각 형의 한 외각의 크 기는 그 내대각의 크기와 같다. BC”가 반원 O의 지름이므로 536 해결 과정 ① (cid:100)(cid:100)∠BDC=∠BEC=90° (cid:8772)ADFE에서 ∠ADF=∠AEF=90°이므로 (cid:100)(cid:100)∠DFE=360°-(75°+90°+90°)=105° (cid:100)(cid:100)∴ ∠y=∠DFE=105° (맞꼭지각) •40% 배점 △ABE에서 해결 과정 ② ∠ABE=180°-(75°+90°)=15°이므로 (cid:100)(cid:100)∠x=2∠ABE=2_15°=30° 답 구하기 •40% 배점 ∴ ∠y-∠x=105°-30°=75°•20% 배점 (cid:9120) 75° 해결 과정 ① 537 오른쪽 그림 과 같이 BE”를 그으면 (cid:8772)ABEF 는 원에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)110°+∠BEF=180° (cid:100)(cid:100)∴ ∠BEF=70°•40% 배점 또 (cid:8772)BCDE는 원 해결 과정 ② A 110æ B 125æ C D F E 에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)125°+∠BED=180° (cid:100)(cid:100)∴ ∠BED=55° 답 구하기 ∴ ∠E=70°+55°=125° •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 125° 538 D가 BC”에 대하여 같은 쪽에 있을 때 (cid:8833) ∠BAC=∠BDC 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있고 점 A, △ABP에서 (cid:100)(cid:100)∠BAP=180°-(55°+70°)=55° (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠BAP=55° ∠DBC=∠DAC=30°이므로 △PBC에서 (cid:100)(cid:100)∠y=70°-30°=40° (cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=55°+40°=95° (cid:9120) ⑤ ∠ADB=∠y, ∠DBC=∠DAC=30°이 고 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)(55°+30°)+(∠x+∠y)=180° (cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=95° 539 와 그 내대각의 크기는 같다. (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 한 외각의 크기 (cid:8772)ABCD가 원에 내접 E A 하므로 (cid:100)(cid:100)∠CDF=∠ABC=∠x △EBC에서 (cid:100)(cid:100)∠ECF=39°+∠x 따라서 △DCF에서 (cid:100)(cid:100)∠x+(39°+∠x)+27°=180° (cid:100)(cid:100)2∠x=114°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=57° B 39æ D C 27æ F (cid:9120) 57° △EBC에서(cid:100)(cid:100)∠ECF=39°+∠x △ABF에서(cid:100)(cid:100)∠EAF=27°+∠x (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 (cid:100)(cid:100)∠ECF=∠BAD=180°-∠EAF (cid:100)(cid:100)39°+∠x=180°-(27°+∠x) (cid:100)(cid:100)2∠x=114°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=57° Ⅷ. 원의 성질 77 질 성 의 원 Ⅷ E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지78 SinsagoHitec 만점 공략 BOX (cid:9120) ③ 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각 형이다. 두 대각선의 길이가 각 각 4+8, 4'2+4'2이 고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 60°인 사각형이다. 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각 의 크기는 그 각의 내 부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 540 OT”를 그으면 ∠OTP=90°임을 이용한다. 30æ 5 60æ O A B P OT”를 그으면 (cid:100)(cid:100)∠BOT=2∠BAT =2_30°=60° 이때 PT”는 원 O의 접선이므 로(cid:100)(cid:100)∠OTP=90° △OTP에서(cid:100)(cid:100)OP” : OT”=2 : 1 (cid:100)(cid:100)(5+BP”) : 5=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BP”=5 T BT”를 그으면 P O A 30æ 60æ 5 30æ B 30æ (cid:100)(cid:100)∠BTP=∠BAT=30° AB”는 원 O의 지름이므로 (cid:100)(cid:100)∠ATB=90° △BTP에서 (cid:100)(cid:100)∠BPT=60°-30°=30° 즉 △BTP는 ∠BTP=∠BPT인 이등변삼각형이므로 (cid:100)(cid:100)BP”=BT” 이때 △ATB에서(cid:100)(cid:100)AB” : BT”=2 : 1 (cid:100)(cid:100)10 : BT”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BP”=BT”=5 T 541 반원에 대한 원주각의 크기는 90°임을 이용한다. B x T △BPC에서 BC”=PC”이 O ´3 ´3 A x 므로 (cid:100)(cid:100)∠BPC=∠PBC=∠x 라 하고 AC”를 그으면 (cid:100)(cid:100)∠ACP=∠ABC=∠x AB”는 원 O의 지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=90° △BPC에서(cid:100)(cid:100)∠x+(∠x+90°)+∠x=180° (cid:100)(cid:100)3∠x=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=30° 즉 직각삼각형 BAC에서 ∠ABC=30°이므로 C x P '3 sin 30° (cid:100)(cid:100)AB”= =2'3 따라서 원 O의 반지름의 길이는 '3이므로 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_('3)¤ =3p (cid:9120) ④ 542 접선과 현이 이루는 각의 성질을 이용한다. ① 접선과 현이 이루는 각의 A B D C P T Q 성질에 의하여 (cid:100)(cid:100)∠ABT=∠ATP ② ∠BAT=∠BTQ, ∠CDT=∠BTQ이므로 (cid:100)(cid:100)∠BAT=∠CDT (cid:100)(cid:100)∴ AB”// DC” ④ △ATB와 △DTC에서 ③ ∠BAT=∠CDT이므로 동위각의 크기가 같다. (cid:100)(cid:100)∠BAT=∠CDT, ∠ATB는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△ATBª△DTC (AA 닮음) ⑤ △ATBª△DTC (AA 닮음)이므로 (cid:100)(cid:100)TA” : TD”=TB” : TC” (cid:100)(cid:100)∴ TA”_TC”=TB”_TD” 78 정답 및 풀이 (cid:9120) ⑤ PD”= r+r= ;2!; r ;2#; 543 나는 점을 P라 하면 (cid:8833) PA”_PB”=PC”_PD” 한 원에서 두 현 AB, CD의 연장선이 서로 만 PA”_PB”=PC”_PD”이 B 9 3 D 6 C 5 P A ¤ +3PC”-70=0 므로 (cid:100)(cid:100)5_14=PC”_(PC”+3) (cid:100)(cid:100)PC” (cid:100)(cid:100)(PC”+10)(PC”-7)=0 (cid:100)(cid:100)∴ PC”=7 (∵ PC”>0) △PAC와 △PDB에서 (cid:100)(cid:100)∠PAC=∠PDB, ∠P는 공통 이므로(cid:100)(cid:100)△PACª△PDB (AA 닮음) 따라서 PA” : PD”=CA” : BD”이므로 (cid:100)(cid:100)5 : 10=6 : BD”(cid:100)(cid:100)∴ BD”=12 (cid:9120) ② 544 을 P라 하면 (cid:8833) PA”_PC”=PB”_PD” 원에 내접하는 (cid:8772)ABCD의 두 대각선의 교점 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 PA”_PC”=PB”_PD”에서 (cid:100)(cid:100)4_PC”=4'2_4'2(cid:100)(cid:100)∴ PC”=8 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_AC”_BD”_sin 60° (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+8)_(4'2+4'2)_ (cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=24'6 (cm¤ ) '3 2 (cid:9120) 24'6 cm¤ 보충학습 사각형의 넓이 (cid:8772)ABCD의 두 대각선의 길이가 a, b이고 두 대각선이 이 루는 예각의 크기가 x일 때, (cid:8772)ABCD의 넓이는 PA”_PB”=PD”_PE”, PB”_PC”=PE”_PF”임 (cid:100)(cid:100);2!; ab sin x 545 을 이용한다. PA”_PB”=PD”_PE”이므로 (cid:100)(cid:100)6_10=5_(5+x) (cid:100)(cid:100)60=25+5x(cid:100)(cid:100)∴ x=7 PB”_PC”=PE”_PF”이므로 (cid:100)(cid:100)10_(10+y)=12_20 (cid:100)(cid:100)100+10y=240(cid:100)(cid:100)∴ y=14 (cid:100)(cid:100)∴ x+y=21 (cid:9120) ④ 546 에서의 비례 관계를 이용한다. 구하는 원의 반지름의 길이를 r로 놓고 원 O 반지름의 길이를 r라 하자. ① OC”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 D라 하면 AH”_BH”=CH”_DH”에서 (cid:100)(cid:100)4_4=2_(2r-2),(cid:100)(cid:100)4r=20 (cid:100)(cid:100)∴ r=5 ② PA”_PB”=PC”_PD”에서 (cid:100)(cid:100)4_3=;2!;r_;2#;r,(cid:100)(cid:100)r¤ =16 (cid:100)(cid:100)∴ r=4 (∵ r>0) E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지79 SinsagoHitec ③ PT” ¤ =PA”_PB”에서 (cid:100)(cid:100)6¤ =4_(4+2r),(cid:100)(cid:100)8r=20 (cid:100)(cid:100)∴ r=;2%; ④ PO”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 B라 하면 ¤ =PA”_PB”에서 PT” (cid:100)(cid:100)4¤ =(5-r)(5+r),(cid:100)(cid:100)r¤ =9 (cid:100)(cid:100)∴ r=3 (∵ r>0) ⑤ PA”_PB”=PC”_PD”에서 (cid:100)(cid:100)(7-r)(7+r)=5_9,(cid:100)(cid:100)r¤ =4 (cid:100)(cid:100)∴ r=2 (∵ r>0) 따라서 반지름의 길이가 가장 긴 것은 ①이다. (cid:9120) ① 547 AE”_BE”=PE”_QE”=CE”_DE”임을 이용한다. AE”_BE”=CE”_DE”이므로 (cid:100)(cid:100)(9+3)_4=3_DE” (cid:100)(cid:100)∴ DE”=16 (cid:9120) ④ 548 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용한다. 직각삼각형 OAQ에서 (cid:100)(cid:100)AQ”="√5¤ -3¤ =4 이때 BQ”=AQ”=4이고, PT” ¤ =4_12=48 (cid:100)(cid:100)PT” (cid:100)(cid:100)∴ PT”=4'3 (∵ PT”>0) ¤ =PB”_PA”이므로 (cid:9120) 4'3 점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하고 549 삼각비를 이용하여 CH”의 길이를 구한다. ¤ =PA”_PB”에서 PC” 10`cm B H (cid:100)(cid:100)12¤ =8_(8+AB”) (cid:100)(cid:100)144=64+8AB” (cid:100)(cid:100)∴ AB”=10 (cm) 점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠P=30° 이므로 직각삼각형 PCH에서 30æ 12`cm 8`cm 6`cm A C P (cid:100)(cid:100)CH”=12 sin 30°=6 (cm) (cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_10_6=30 (cm¤ ) (cid:9120) ② △ABC =△BPC-△APC =;2!;_12_18_sin 30°-;2!;_12_8_sin 30° =54-24=30 (cm¤ ) ¤ =PA”_PB”임을 이용 550 하여 PT”와 PT'”의 길이를 구한다. ¤ =PA”_PB”, PT'” PT” 원 O에서 PT” ¤ =PA”_PB”이므로 ¤ =5_18=90 (cid:100)(cid:100)PT” (cid:100)(cid:100)∴ PT”=3'∂10 (cm) (∵ PT”>0) 원 O'에서 PT'” (cid:100)(cid:100)PT'”=3'∂10(cm) (∵ PT'”>0) (cid:100)(cid:100)∴ TT'”=PT”+PT'”=6'∂10 (cm) ¤ =PA”_PB”이므로 (cid:9120) ④ 만점 공략 BOX 본책 106쪽~108쪽 μ BC에 대한 원주각 문제 이해 오른쪽 그림과 같 551 이 ∠BEC=∠BFC=90°이므로 (cid:8772)FBCE는 원에 내접한다. 해결 과정 AF”_AB”=AE”_AC” •40% 배점 B 5 F 7 A H D E 4 C 에서 (cid:100)(cid:100)5_12=AE”_(AE”+4) (cid:100)(cid:100)AE” (cid:100)(cid:100)(AE”+10)(AE”-6)=0 ¤ +4AE”-60=0 답 구하기 ∴ AE”=6 (∵ AE”>0) •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 6 PT” 552 해결 과정 ① ¤ =9_(9+16)=225 (cid:100)(cid:100)PT” (cid:100)(cid:100)∴ PT”=15(cm) (∵ PT”>0) ¤ =PA”_PB”이므로 •40% 배점 이때 ∠PTB=90°이므로 △PTB에서 해결 과정 ② (cid:100)(cid:100)BT”="√25¤ -15¤ =20(cm) 답 구하기 므로 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_10¤ =100p (cm¤ ) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 10 cm이 •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 100p cm¤ 해결 과정 ① 553 (cid:100)(cid:100)∠ACP=∠APT=47° CP”를 그으면 ∠PCB=83°-47°=36°이므로 해결 과정 ② (cid:100)(cid:100)∠POB=2_36°=72° 답 구하기 따라서 부채꼴 OPB의 넓이는 (cid:100)(cid:100)p_5¤ _ =5p 72 360 •40% 배점 •40% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 5p A 해결 과정 ① △BAT와 554 △BTP에서 (cid:100)(cid:100)∠BAT=∠BTP, (cid:100)(cid:100)∠ATB=∠TPB=90° 이므로 (cid:100)(cid:100)△BATª△BTP (AA 닮음) 따라서 BA” : BT”=BT” : BP”이므로 ¤ =12 (cid:100)(cid:100)4 : BT”=BT” : 3,(cid:100)(cid:100)BT” (cid:100)(cid:100)∴ BT”=2'3 (cm) (∵ BT”>0) 직각삼각형 BTP에서 해결 과정 ② B P C 3`cm 4`cm O T •50% 배점 (cid:100)(cid:100)PT”=ø∑(2'3)¤ 답 구하기 ∑-3¤ ='3 (cm) •20% 배점 따라서 PT” ¤ =PC”_PB”이므로 (cid:100)(cid:100)('3)¤ =PC”_3(cid:100)(cid:100)∴ PC”=1 (cm) •30% 배점 (cid:9120) 1 cm 문제 이해 555 오른쪽 그림과 같이 PO”, PO'”의 연장선이 두 원 O, O'과 만나는 점을 각각 C, D 라 하자. •30% 배점 AO”=x cm라 하면 해결 과정 PA”_PC”=PB”_PD”이므로 2`cm 7`cm O' B T x`cm A P O C 8`cm D Ⅷ. 원의 성질 79 질 성 의 원 Ⅷ OQ”⊥AB”이므로 (cid:100)∠OQA=90° 반지름의 길이가 r, 중 심각의 크기가 x°인 부채꼴에서 ① (호의 길이) =2pr_ ② (넓이) =pr¤ _ x 360 x 360 △ABC에서 두 변의 길이 a, c와 그 끼인 각 ∠B (예각)의 크기 를 알 때, △ABC의 넓이 S는 1 (cid:100)S= ac sin B 2 E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지80 SinsagoHitec 만점 공략 BOX 본책 108쪽~109쪽 (cid:100)(cid:100)(8-x)(8+x)=2_16 (cid:100)(cid:100)64-x¤ =32,(cid:100)(cid:100)x¤ =32 (cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0) 답 구하기 ∴ AO”=4'2 (cm) •50% 배점 •20% 배점 (cid:9120) 4'2 cm 교과서 속창의유형 본책 109쪽 556 [문제 해결 길잡이] ❶ 공원을 원 O라 하고 원 O의 반지름의 길이를 구한다. ❷ ❶의 원에서 객석이 될 수 있는 영역을 구한다. ❸ 객석이 될 수 있는 영역의 넓이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 공원을 원 O라 하면 ∠BPC=60°이므로 (cid:100)(cid:100)∠BOC=2∠BPC =120° 점 O에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 A B E D C 12`m F 6`m H 6´3`m 60æ O 120æ 120æ 60æ P (cid:100)(cid:100)∠HOC=;2!;∠BOC=60°, (cid:100)(cid:100)HC”=;2!; BC”=6'3 (m) 이므로 직각삼각형 HOC에서 6'3 sin 60° (cid:100)(cid:100)OC”= =12 (m) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 12 m이다. ❶ 이때 객석의 방향이 모두 무대를 향하고 있으므로 객석 이 될 수 있는 영역은 위의 그림의 빗금친 부분과 같다. ❷ 직각삼각형 HOC에서 (cid:100)(cid:100)OH”=12 cos 60°=6 (m) 이므로 (cid:100)(cid:100)(cid:8772)BEFC=12'3_12=144'3 (m¤ ) 현 EF와 호 EF로 이루어진 활꼴의 넓이는 (cid:100)=p_12¤ _;3!6@0); -;2!;_12'3_6 (cid:100)=48p-36'3 (m¤ ) 따라서 객석이 될 수 있는 영역의 넓이는 (cid:100)(cid:100)144'3+(48p-36'3 )=48p+108'3 (m¤ ) ❸ (cid:9120) (48p+108'3) m¤ 80 정답 및 풀이 (cid:100)(cid:8772)BEFC =BC”_BE” =BC”_2OH” (cid:100)△OEF =△OCB =;2!;_BC”_OH”