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문제집/중등

2019년 천재교육 중등 수학의 힘 심화 감마 2 - 1 답지

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수학의 힘 γ(감마) 중2-1 정답과 해설 1 2 3 4 5 6 7 8 9 유리수와 순환소수 단항식의 계산 다항식의 계산 일차부등식 연립방정식 연립방정식의 활용 일차함수 ⑴ 일차함수 ⑵ 일차함수와 일차방정식 2 6 10 13 19 25 29 34 39 1 유리수와 순환소수 009   ;2°2; _x= 5 2_11 11 3Û`_5 _x= ;4!5!; _x에서 x는 11의 배수이고, _x에서 x는 3Û`, 즉 9의 배수이어야 한다.   따라서 x는 11과 9의 공배수, 즉 99의 배수이어야 하므로 구하는  가장 작은 자연수는 99이다.   99 STEP 1 실력 문제 7쪽~9쪽 001   ④ 1.071071071y=1.H07H1   ④ 010   x=4.05H7=4.05777y이므로         1000x=4057.777y   002   ;7#; =0.H42857H1에서 순환마디의 숫자의 개수는 6개이므로 a=6   37=6_6+1에서 소수점 아래 37번째 자리의 숫자는 순환마디 의 첫 번째 숫자인 4이므로 b=4   ∴ a+b=6+4=10    -    100x= 405.777y   1      900x=3652 = 913   ∴ x= 3652 225 900  10   따라서 가장 편리한 식은 ⑤ 1000x-100x이다.   ⑤ 003   1.2H345H6의 순환마디의 숫자의 개수는 4개이고 소수점 아래 첫 011   ① 0.H7= ;9&; 째 자리의 숫자 2는 순환하지 않는다.   소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 순환하는 부분만으로 99번째  숫자이고 99=4_24+3이므로 순환마디의 3번째 숫자인 5이다.  5 =   ② 1.H0H6= 106-1 99   ③ 0.2H3= 23-2 90 ;9@0!;   ④ 1.8H3H5= 1835-18 = = :Á9¼9°: ;3#3%; = ;3¦0; = 1817 990 990 999   ⑤ 1.H04H8= 1048-1 = = :Á9¼9¢9¦: ;3#3$3(;   따라서 옳은 것은 ②이다.   004   ① = ;3¦0; 7 2_3_5   ② = ;7%2$; ;4#; = 3 2Û` = 3 2_5 ④ 18 2Û`_3_5   ③ =   ;7!; ;6»3;     ⑤ 36 2Ý`_3Û` = 1 2Û`   따라서 유한소수로 나타낼 수 없는 것은 ①, ③이다. 012   ① 0.H1H2=0.121212y이므로 0.H1H2>0.12   ② 0.4H5=0.4555y, 0.H4=0.444y이므로 0.4H5>0.H4  ①, ③   ③ 0.1H2H3=0.1232323y, 0.12H3=0.12333y이므로  0.1H2H3<0.12H3 005   = ;8#; 3 2Ü` = 3_5Ü` 2Ü`_5Ü` = 375 10Ü` = 3750 10Ý` = 37500 10Þ` =y   따라서 a+n의 최솟값은 a=375, n=3일 때이므로   ④ 0.H3=0.333y,  =0.3이므로 0.H3> ;1£0; ;1£0;   ⑤   0.4H2H5=0.4252525y, 0.H42H5=0.425425425y이므로   375+3=378   378 0.4H2H5<0.H42H5       006   구하는 분수를   라 할 때,  가 유한소수가 되려  a 24 a 24 = a 2Ü`_3   면 a는 3의 배수이어야 한다.    이때  ;8!;=;2£4; ,  ;3@;=;2!4^; 이므로 3과 16 사이의 3의 배수는 6, 9, 12,    15이다.    따라서 구하는 분수는  ,  ;2¤4; ;2»4; ;2!4@; ;2!4%; ,  ,  의 4개이다.   4개 007   ;1ª8Á0; _A= _A= ;6¦0; 는 3의 배수이어야 한다.  7 2Û`_3_5 _A가 유한소수가 되려면 A    따라서 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 두 자리의 자연수는 12 이다.  008   42 50_x = 21 25_x = 3_7 5Û`_x   따라서 옳은 것은 ④이다.   013   ① 4.H5H3=4.535353y   ② 4.H5H0=4.505050y   ③ 4.H5=4.555555y   ④ 4.5   ⑤ 4.4H5=4.455555y   따라서 ⑤`<④`<②`<①`<③이므로 가장 큰 수는 ③이다. 014   0.4H6= 46-4 90 = ;9$0@; 이므로  12 0.4H6=4.2_a에서  = ;9$0@; ;1$0@; _a    ∴ a= ;9!; 0.H2H3= 이므로 ;9@9#; 0.H2H3=23_b에서  =23_b    ∴ b= ;9@9#; ;9Á9;   ③ x=18일 때,  3_7 5Û`_18 = 3_7 2_3Û`_5Û` = 7 2_3_5Û`  이므로 소수로      나타내면 순환소수가 된다.   ③   ∴ a+b= + ;9!; ;9Á9; = ;9!9@; =0.H1H2   0.H1H2  ②  ④  ③                   2 | 정답과 해설             015   0.H6= = ;9^; , 0.3H1= 31-3 90 ;3@; = ;9@0*;=;4!5$; , 1.H2= 12-1 = 9 :Á9Á:   이므로 022   4.3+0.03+0.007+0.0003+0.00007+y=4.3H3H7이므로 소 수점 아래 첫째 자리부터 100번째 자리까지는 소수점 아래 첫째  자리의 숫자 3의 1개와 순환하는 부분의 숫자 99개로 이루어져  0.H6x+0.3H1=1.H2에서  x+ ;3@; = ;4!5$; :Á9Á: 있다. x=   ;4$5! ;3@;   ∴ x= =1.3H6  ;3$0!;  x=1.3H6   이때 99=2_49+1이므로 구하는 3의 개수는    1+49+1=51(개)   51개 016   0.5H3= 53-5 90 = = ;9$0*; ;1¥5; , 0.H4= 이므로 ;9$; 0.5H3_ =0.H4에서  ;aB; _ = ;aB; ;9$; ;1¥5;   ∴  = _ ;9$; ;aB; :Á8°: = ;6%;   따라서 a=6, b=5이므로 a-b=6-5=1  1 017   <0.Hx< 에서  ;7^; < < ;9{; ;3@; ;7^; 이므로 ;3@; < < ;6&3{; ;6%3$; ;6$3@;   이때 x는 한 자리의 자연수이므로 x=7   7   다. 018   ② 순환소수는 무한소수이다.   ③ 순환소수는 모두 분수로 나타낼 수 있다.   ④ 무한소수 중에는 순환하지 않는 무한소수도 있다.    ①, ⑤ 023   77 2Ü`_a_5 = 7_11 2Ü`_a_5 이  순환소수가  되려면  기약분수로  나   타내었을 때 분모에 2나 5 이외의 소인수가 있어야 한다.    따라서 1_[-2_[a]_b]Ö[5ab] =<10_a_bÜ`>_[-2_aÜ`_b]Ö(5ab)Ü` =(10abÜ`)Û`_(-2aÜ`b)Ü`Ö125aÜ`bÜ` =100aÛ`bß`_(-8aá`bÜ`)_ 1 125aÜ`bÜ` =- a¡`bß` :£5ª: (4※6)ß`_(7※4)Ü`Ö(3※3)Û`ÖxÛ`=3ß`_2Ü`Ö2Û`ÖxÛ`   = 3ß`_2 xÛ` = ;2!;   이때 x는 자연수이므로 xÛ`=3ß`_2Û`=(3Ü`_2)Û`    ∴ x=3Ü`_2=54   54 097   3Œ`과 자연수 b가 서로소가 되려면 자연수 b의 소인수 중에는 3이  없어야 한다. 즉 a는 1_2_3_y_100을 소인수분해했을 때 소 인수 3의 지수와 같다. 1에서 100까지의 자연수 중 3을 소인수로 가지는 수는 3의 배수이 다. 이때 9의 배수는 3Û`을 인수로 가지고 있고, 27의 배수는 3Ü`을 인 수로, 81의 배수는 3Ý`을 인수로 가지고 있으므로 a의 값은 ( 3의  배수의  개수 )+( 9의  배수의  개수 )+( 27의  배수의  개수 )                  - a¡`bß` :£5ª: +( 81의 배수의 개수 )와 같다.   ∴ a=33+11+3+1=48   48 098   5x+2(2x+3+2x+5) =5x+2(2x+3+2Û`_2x+3) =5x+2_5_2x+3 =5x+3_2x+3   =10x+3 STEP 3 고난도 문제 28쪽~30쪽   따라서 a=10, b=3이므로 a+b=13   13 093   2ß`과 값이 같은 수는 2ß`=(2Û`)Ü`=(2Ü`)Û`=(2ß`)Ú`, 즉    2ß`=4Ü`=8Û`=64Ú`   이와 같이 소수의 거듭제곱으로 나타내어진 수와 같은 수는 지수의  약수의 개수만큼 나타난다. 9Û`Ý`=(3Û`)Û`Ý`=348이고, 48=2Ý`_3이므로 48의 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10(개)   따라서 값이 9Û`Ý`이 되는 수는 모두 10번 나타난다.   10번 094   <7>=7, <7Û`>=9, <7Ü`>=3, <7Ý`>=1, <7Þ`>=7, …   이므로 7Ç`의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1의 4개의 숫자가 반복 된다. 17=4_4+1이므로 <717>=7 83=4_20+3이므로 <783>=3     ∴ <717+783>=0  099   n이 자연수이므로 2n은 짝수, 2n+1은 홀수이다.   따라서 (-a)2n+1=-a2n+1, (-a)2n=a2n이므로 a2n+(-a)2n+1+a2n+1+(-a)2n       =a2n-a2n+1+a2n+1+a2n    =2a2n     2a2n 100   4x-1_25x+1 =(2Û`)x-1_(5Û`)x+1 =22x-2_52x+2 =22x-2_52x-2_54 =54_(2_5)2x-2 =625_102x-2   이때 4x-1_25x+1은 9자리의 자연수이므로   0 2x-2=6, 2x=8 ∴ x=4  4 2. 단항식의 계산 | 9 101   ㉠ L[2x_2y]=L[2x+y]=x+y, L[2x]_L[2y]=xy     ∴ L[2x_2y]+L[2x]_L[2y]   ㉡ x>y이므로      L[2xÖ2y]=L[2x-y]=x-y, L[2x]-L[2y]=x-y       ∴ L[2xÖ2y]=L[2x]-L[2y]     ㉢ L[(2x)y]=L[2xy]=xy, (L[2x])y=xy     ∴ L[(2x)y]+(L[2x])y`   ㉣ L[A]=3이므로 A=2Ü =8   따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다.   ㉡, ㉣ 102   xÜ` y } _ yÛ` xb } Ö xÛ` 2y }   2` a` {- {-   =(-1)a_ {- x3a ya _ yÝ` x2b`   이때 (-1)a=-1이고, 10) 107   -2(axÛ`+3x-1)+(xÛ`+bx+5) =-2axÛ`-6x+2+xÛ`+bx+5 =(-2a+1)xÛ`+(-6+b)x+7 =3xÛ`+c   즉 -2a+1=3에서 a=-1    -6+b=0에서 b=6  14   c=7 104   만들 수 있는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 xÛ`yÞ`과 xÞ`y 의 최소공배수이다.   이때 x, y는 서로소이므로 최소공배수는 xÞ`yÞ`이다. 108   7x-[6x-y+{-x+3y-(2x-y)}] =7x-{6x-y+(-x+3y-2x+y)}   따라서 정사각형의 한 변의 길이는 xÞ`yÞ`이므로 필요한 직사각형 모 =7x-{6x-y+(-3x+4y)} 양의 종이는   (xÞ`yÞ`ÖxÛ`yÞ`)_(xÞ`yÞ`ÖxÞ`y)=xÜ`yÝ`(장)   ② =7x-(3x+3y) =7x-3x-3y =4x-3y   ∴ a+b+c=-1+6+7=12   12             109   어떤 식을 A라 하면   A-(2xÛ`+3x-1)=-7xÛ`+x-3 ∴ A =-7xÛ`+x-3+(2xÛ`+3x-1) =-5xÛ`+4x-4 따라서 바르게 계산한 식은   -5xÛ`+4x-4+(2xÛ`+3x-1)=-3xÛ`+7x-5  4x-3y  -3xÛ`+7x-5   10 | 정답과 해설 110   2x(-x+2y+3)-(15xÜ`y-9xÛ`yÛ`+6xÛ`y)Ö3xy =-2xÛ`+4xy+6x-(5xÛ`-3xy+2x) =-2xÛ`+4xy+6x-5xÛ`+3xy-2x =-7xÛ`+7xy+4x   따라서 xy의 계수는 7이다.  STEP 2 심화 문제 117   (둘레의 길이) =2(5aÛ`-3) =10aÛ`-6  7 =2{(5a-7)+(3aÛ`-2a+5)+(2aÛ`-3a-1)} 35쪽~36쪽  10aÛ`-6             111   xyÛ`-3xÛ`y xyÛ`-4xÛ` xy - x =y-3x-(yÛ`-4x)   =y-3x-yÛ`+4x   =-yÛ`+y+x       즉 -yÛ`+y+x에 x=1, y=-3을 대입하면   -(-3)Û`+(-3)+1=-11  112   어떤 다항식을 A라 하면 AÖ(-2aÛ`b)=-3abÛ`+ 2b a   ∴ A= -3abÛ`+ 2b a } { _(-2aÛ`b) =6aÜ`bÜ`-4abÛ`   6aÜ`bÜ`-4abÛ` 113   A-{B-2(A-B)}+B =A-(B-2A+2B)+B  =A-(-2A+3B)+B =A+2A-3B+B =3A-2B  =3(2x-y)-2(-x+3y)  =6x-3y+2x-6y =8x-9y  8x-9y 114   2x+3y=x+y+2에서    x=-2y+2   ∴ 3x-2y+5 =3(-2y+2)-2y+5  =-6y+6-2y+5  =-8y+11  115   (x+y) : (x-y)=3 : 2에서   2(x+y)=3(x-y) 2x+2y=3x-3y  5y + 4x 5y 5y 5y x =   ∴ x=5y 4_5y 5y +   ∴    =1+4=5      118   6xÛ`-{x-(4xÛ`+2x- =6xÛ`-(x-4xÛ`-2x+ )} ) =6xÛ`-(-4xÛ`-x+ ) =6xÛ`+4xÛ`+x-  -11 =10xÛ`+x- =5xÛ`-3x+2   ∴   =10xÛ`+x-(5xÛ`-3x+2) =10xÛ`+x-5xÛ`+3x-2 =5xÛ`+4x-2  5xÛ`+4x-2 119   B+(5xÛ`-yÛ`)+(7xÛ`+2xy+yÛ`)=15xÛ`-3yÛ`에서   B+12xÛ`+2xy=15xÛ`-3yÛ` ∴ B =15xÛ`-3yÛ`-(12xÛ`+2xy) =15xÛ`-3yÛ`-12xÛ`-2xy =3xÛ`-2xy-3yÛ`   A+B+(8xÛ`+3xy+2yÛ`)=15xÛ`-3yÛ`에서 ````  A+(3xÛ`-2xy-3yÛ`)+(8xÛ`+3xy+2yÛ`)=15xÛ`-3yÛ` A+11xÛ`+xy-yÛ`=15xÛ`-3yÛ` ∴ A =15xÛ`-3yÛ`-(11xÛ`+xy-yÛ`) =15xÛ`-3yÛ`-11xÛ`-xy+yÛ` =4xÛ`-xy-2yÛ`   ∴ 2A-B =2(4xÛ`-xy-2yÛ`)-(3xÛ`-2xy-3yÛ`) =8xÛ`-2xy-4yÛ`-3xÛ`+2xy+3yÛ` =5xÛ`-yÛ`  5xÛ`-yÛ`  -8y+11 120   (색칠한 부분의 넓이)     =2x(4y+2)- _5_(4y+2)+ _2x_2 [;2!; ;2!; + _(2x-5)_4y ;2!; ] =8xy+4x-(10y+5+2x+4xy-10y)   =8xy+4x-(4xy+2x+5) =8xy+4x-4xy-2x-5  5 =4xy+2x-5  4xy+2x-5 116   a+b+c=0에서   b+c=-a, c+a=-b, a+b=-c   ∴  b+c a + c+a b + a+b c = -a a + -b b + -c c     =-1+(-1)+(-1) =-3 121   A =2xÛ`y(3xyÜ`-4y)+8x =6xÜ`yÝ`-8xÛ`yÛ`+8x   ∴  A 4xy = 6xÜ`yÝ`-8xÛ`yÛ`+8x 4xy  -3          = xÛ`yÜ`-2xy+ ;2#; ;]@;   ;2#; xÛ`yÜ`-2xy+ ;]@; 3. 다항식의 계산 | 11 122   큰 직육면체의 높이를 hÁ, 작은 직육면체의 높이를 hª라 하면   3a_b_hÁ=aÛ`b+6abÛ`이므로 3abhÁ=aÛ`b+6abÛ` 128   0.H3= = ;9#; ;3!; , 0.1H5= 15-1 90 = = ;9!0$; ;4¦5; , 0.H4= 이므로 ;9$;   ∴ hÁ=(aÛ`b+6abÛ`)Ö3ab=  a+2b ;3!; a_b_hª=aÛ`b-2abÛ`이므로 abhª=aÛ`b-2abÛ`   ∴ hª=(aÛ`b-2abÛ`)Öab=a-2b   (0.H3abÛ`c-0.1H5aÛ`bc)Ö0.H4ab-abc { 5 2a - 1 b }   = abÛ`c {;3!; -;4¦5; aÛ`bc Ö ab- bc+ac ;9$; ;2%; } }   따라서 전체 상자의 높이 h는 두 직육면체의 높이의 합이므로    = abÛ`c- aÛ`bc _ {;3!; ;4¦5; ;4a(b;-;2%; bc+ac h=hÁ+hª=  a+2b +(a-2b)=  a  {;3!; } ;3$;  ;3$;  a   = bc- ac- bc+ac ;4#; ;2¦0; ;2%;   =- bc+ ;4&; ac  ;2!0#;  - bc+ ;4&; ac ;2!0#; 123   x+ ;]!; =1에서 x=1- = ;]!; y-1 y y+ =1에서  =1-y ;z!; ;z!;   ∴ z= =- 1 1-y 1 y-1   ∴ xyz= y-1 y _y_ - { 1 y-1 } =-1   -1 129   (A+2B)※{B⊙(3B-A)} =(A+2B)※{2B-(3B-A)} =(A+2B)※(A-B) =2(A-B)-(A+2B) =A-4B =3xÛ`-2x-4(2xÛ`-4x-1) =3xÛ`-2x-8xÛ`+16x+4 124   a : b : c=1 : 2 : 3이므로   a=k, b=2k, c=3k(k+0)라 하면 = 16k 4k = 3k+10k+3k 4k 3a+5b+c 2b   125   + ;a!; ;b!;= 5에서  a+b ab =5    ∴ a+b=5ab   ∴  a+3ab+b 2a-3ab+2b = (a+b)+3ab 2(a+b)-3ab = 5ab+3ab 10ab-3ab = 8ab 7ab = ;7*;  =4   4 =-5xÛ`+14x+4  -5xÛ`+14x+4 130   지수법칙을 이용하여 밑을 3으로 같게 한 후 지수끼리 비교한다. 92x_3y 3x =243에서  (3Û`)2x_3y 3x =3Þ` 34x_3y 3x =3Þ`    ∴ 33x+y=3Þ``   즉 3x+y=5이므로 y=-3x+5   ∴ 4x-2y+7 =4x-2(-3x+5)+7  ;7*; =4x+6x-10+7 =10x-3  10x-3 STEP 3 고난도 문제 37쪽~38쪽 126   n이 자연수이므로 2n-1, 2n+1은 홀수이고, 2n은 짝수이다.   (-1)2n-1=-1, (-1)2n=1, (-1)2n+1=-1이므로 (-1)2n-1(3x-y)+(-1)2n(x+4y)-(-1)2n+1(2x+y)     =-(3x-y)+(x+4y)+(2x+y) =-3x+y+x+4y+2x+y =6y   6y 127   8x+3= 16Þ` 2´` 즉 23x+9=220-y=212이므로 =212에서 (2Ü`)x+3= )Þ (2Ý ` 2´ ` ` =212 23x+9=212에서 3x+9=12, 3x=3  220-y=212에서 20-y=12    ∴ y=8   ∴ x=1   ∴ 15xÛ`y-9xyÛ` 3xy - 16xÛ`-8x 4x 131   0.2H3= 23-2 90 = 21 9 23-2 9 2.H3=   = = ;3&; = ;9@0!; ;3¦0;   즉 (x-y) : (x+y)=0.2H3 : 2.H3에서 (x-y) : (x+y)= : =1 : 10 ;3¦0; ;3&; 10(x-y)=x+y 10x-10y=x+y, 9x=11y      ∴ x= y :Á9Á: xÛ`+yÛ` xy ∴  + xÛ`-yÛ` xy + = ;[}; + ;[}; 2xÛ` xy 2x y = + ;[}; =5x-3y-(4x-2) =5x-3y-4x+2 =x-3y+2 =1-3_8+2 =-21                    -21        =2x_ ;]!;+ y_ ;[!; =2_ y_ y_ ;]!;+ ;11(]; :Á9Á: = + :ª9ª: ;1»1; = :£9ª9£:   :£9ª9£:                                 12 | 정답과 해설 132 a-b+c=0에서 b=a+c   yy  ㉠ a-2b-4c=0에 ㉠을 대입하면 a-2(a+c)-4c=0 a-2a-2c-4c=0 ∴ a=-6c ㉠에 a=-6c를 대입하면 b=-6c+c=-5c ∴ 4a b+c + 4b c+a + 11c a+b + 11c (-6c)+(-5c) = 4_(-6c) -5c+c + = -24c -4c + -20c -5c =6+4+(-1)=9 4_(-5c) c+(-6c) + 11c -11c 133 2a+ =1에서 2a=1- ;b!; = b-1 b ;b!; ∴ a= b-1 2b b+ =1에서 =1-b ;c!; ;c!; =- 1 b-1 ∴ ∴ c= 1 1-b +2c= 2b b-1 = 2b-2 b-1         ;a!;             = 2(b-1) b-1 =2 +2_ - 1 { b-1 } 4 일차부등식 STEP 1 실력 문제 41쪽~45쪽 134 ① -1+1>0 (거짓) ③ 2_(-1)É-3 (거짓) ④ 2_(-1)+3¾6 (거짓) ② 1-(-1)<0 (거짓) ⑤ -1+3_(-1)¾-5 (참)  ⑤ 135 x=-1일 때, 5-(-1)¾3 (참) x=0일 때, 5-0¾3 (참)  9 x=1일 때, 5-1¾3 (참) x=2일 때, 5-2¾3 (참) x=3일 때, 5-3¾3 (거짓) 따라서 주어진 부등식의 해는 -1, 0, 1, 2의 4개이다.  4개 136 ④ a- ;2B; ;2A; ∴ 1- >1- ;2A; ;2B;  ④ 137 ① a b-3이면 a> b ∴ a>b ;2!; ;2!; ;2!; ;2!;  2 ④ c<0일 때, abc 따라서 옳은 것은 ⑤이다.  ⑤  -1-3 ② -0.2x<0.1(x+9)의 양변에 10을 곱하면 -2x-3 ③ 2(-x-4)-3 ④ 0.2x+1< (2x+1)의 양변에 10을 곱하면 ;5!; 2x+10<4x+2, -2x<-8 ∴ x>4 ⑤  x+1< x+ 의 양변에 6을 곱하면 ;3!; ;2!; ;2#; 2x+6<3x+9, -x<3 ∴ x>-3  ④ 4. 일차부등식 | 13 141 5x-9É3(x-2)+5에서 5x-9É3x-6+5, 2xÉ8    ∴ xÉ4   따라서 주어진 부등식을 만족하는 자연수 x는 1, 2, 3, 4의 4개이 다.  4개 총합은 75_4=300(점)이므로 300+x 5 ¾77 ∴ x¾85 149 5회째 시험에서의 점수를 x점이라 하면 4회까지의 시험 성적의 따라서 5회째 시험에서 최소한 85점 이상을 받아야 한다.  85점  142 0.3x-1>1.2x+0.8의 양변에 10을 곱하면 3x-10>12x+8 -9x>18 ∴ x<-2 x-1 2 - 2x-1 3 <1의 양변에 6을 곱하면 3(x-1)-2(2x-1)<6 3x-3-4x+2<6 -x<7 ∴ x>-7 따라서 a=-3, b=-6이므로 a+b=-3+(-6)=-9 143 ax+5É3에서 axÉ-2 이때 a<0이므로 x¾- ;a@; 144 ax-3>3x+5에서 (a-3)x>8 이때 해가 x>1이므로 a-3>0 따라서 x> 8 이므로 =1 8 a-3 a-3 a-3=8 ∴ a=11 145 ax+3¾4(x-0.5a)에서 ax+3¾4x-2a (a-4)x¾-2a-3 이때 해가 xÉ-1이므로 a-4<0 따라서 xÉ -2a-3 a-4 이므로 -2a-3 a-4 =-1 -2a-3 =-a+4 ∴ a=-7  -7 146 x+ < ;3!; ;3@; ;5@; x-1의 양변에 15를 곱하면 6x+5<10x-15 -4x<-20 ∴ x>5 7-3x<2x+a에서 -5x 7-a 5 150 상자의 개수를 x개라 하면 90+20xÉ480 ∴ xÉ :£2»: 따라서 한 번에 운반할 수 있는 상자는 최대 19개이다.  19개 151 음료수를 x개 산다고 하면 과자는 (14-x)개 살 수 있으므로 1000(14-x)+1600xÉ19100 ∴ xÉ :Á2¦: 따라서 음료수는 최대 8개까지 살 수 있다.  8개 152 세로의 길이를 x cm라 하면 가로의 길이는 (x+4) cm이므로 ∴ xÉ23 2{(x+4)+x}É100 따라서 세로의 길이는 23 cm 이하이어야 한다.  23`cm  -9  x¾- ;a@; 153 BPÓ의 길이를 x`cm라 하면 PCÓ의 길이는 (40-x)`cm이므로 △APM  11 =40_20- _x_20+ _(40-x)_10+ _40_10 [;2!; ;2!; ;2!; ] =800-(10x+200-5x+200) =-5x+400`(cmÛ`) 이때 -5x+400É280이므로 -5xÉ-120 ∴ x¾24 따라서 BPÓ의 길이는 24`cm 이상이어야 한다.  24`cm 154 음료수를 x캔 산다고 하면 800x>500x+1200 ∴ x>4 따라서 5캔 이상 살 경우 할인 매장에서 사는 것이 더 유리하다.  5캔 155 일 년에 책을 주문하는 횟수를 x회라 하면 2000x>6000+1000x ∴ x>6  이때 두 부등식의 해가 서로 같으므로 7-a 5 =5 7-a=25    ∴ a=-18  -18 따라서 일 년에 7회 이상 책을 주문하면 회원으로 가입하여 주문하 는 것이 더 유리하다.  7회 147 연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면 156 x명이 입장한다고 하면 4x-7¾2(x+2) ∴ x¾ ;;Á2Á;; 5000x>5000_ _20 ∴ x>16 ;1¥0¼0; 따라서 가장 작은 두 짝수는 6, 8이다.  6, 8 따라서 17명 이상이면 20명의 단체 입장권을 사는 것이 더 유리하 다.  17명 148 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면 (x-2)+x+(x+2)<38 ∴ x< :£3¥: 이때 x의 값 중 가장 큰 홀수는 11이므로 가장 큰 세 홀수는 9, 11, 157 원가를 x원이라 하면 정가는 { 1+ ;1Á0¥0;} x원이므로 1+ { ;1Á0¥0;} x-3000¾ 1+ x ∴ x¾50000 { ;1Á0ª0;} 따라서 세 홀수의 합의 최댓값은 9+11+13=33  33 따라서 원가의 최솟값은 50000원이다.  50000원 13이다. 14 | 정답과 해설 따라서 뛰어간 거리는 최소 800 m이다.  800`m ㉣  f (-2c)=-2_(-2c)=4c 158 원가에 x %의 이익을 붙여 정가를 정한다고 하면 정가는 x=0일 때, 2_0+5>-2_(0-3) (거짓) 2500 1+ 원이므로 ;10{0;} { { 2500 1+ _ 1- ;10{0;} { ;1ª0¼0;} ¾2500_ 1+ { ;10$0;}    ∴ x¾30   따라서 30 % 이상의 이익을 붙여 정가를 정해야 한다.  30`% 159 올라갈 때의 거리를 x km라 하면 내려올 때의 거리는 (x+1) km이므로 x  3 + x+1 4 É2 ∴ xÉ3 따라서 올라갈 수 있는 거리는 최대 3 km이다.  3`km 160 태훈이가 뛰어간 거리를 x m라 하면 걸어간 거리는 (2000-x) m이므로 2000-x 40 + x 80 É40 ∴ x¾800 161 분속 30 m로 걸은 거리를 x m라 하면 분속 50 m로 걸은 거리 는 (5000-x) m이므로 + 5000-x 50 ;3Ó0; É120 ∴ xÉ1500 따라서 분속 30 m로 걸은 거리는 최대 1500 m이다.  1500`m 162 역에서 서점까지의 거리를 x km라 하면 + + ;6!0% ;;4{; ;2{; É1 ∴ xÉ1 163 8`%의 소금물의 양을 x g이라 하면 14`%의 소금물의 양은 (300-x) g이므로 x+ ;10*0;_ ;1Á0¢0;_ (300-x)¾ ;1Á0ª0;_ 300    ∴ xÉ100 따라서 8`%의 소금물을 100 g 이하로 섞어야 한다.  100`g _200¾ _(200-x) ∴ x¾75 ;10%0; ;10*0; 따라서 증발시켜야 하는 물의 양은 75 g 이상이다.  75`g x=1일 때, 2_1+5>-2_(1-3) (참) x=2일 때, 2_2+5>-2_(2-3) (참) 따라서 주어진 부등식의 해는 1, 2의 2개이다.  2개 166 ① 4a<4b이므로 4a-9<4b-9 ② a-5b ③ a1 ;bA; ④ aab ⑤ a|b|이므로 aÛ`>bÛ`  ③ 167 ㉠ d0이므로 adb이고 c<0이므로 a+b c < ;cB; ㉢ a>c이고 c<0이므로 ac-2_(-2-3) (거짓) 170 3(x+a)-2-2_(-1-3) (거짓) ∴ -6a-4b =2(-3a-2b)=2_3=6  6 4. 일차부등식 | 15 171 4½(x-3)=2_4-(x-3)-1=-x+10 (-2x+1)½2=2(-2x+1)-2-1=-4x-1 즉 4½(x-3)<(-2x+1)½2에서 -x+10<-4x-1 3x<-11 ∴ x<- :Á3Á: 따라서 부등식을 만족하는 정수 x의 최댓값은 -4이다.  -4 172 (a-1)x-3a+3¾0에서 (a-1)x¾3(a-1)   이때 a<1에서 a-1<0이므로 xÉ 3(a-1) a-1 ∴ xÉ3  xÉ3 173 x-2a¾3x-1에서 -2x¾2a-1 ∴ xÉ -2a+1 2 이때 부등식을 만족하는 자연수 x의 개수가 3개가 되려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 3É -2a+1 2 <4 6É-2a+1<8, 5É-2a<7 0 1 2 3 4 -2a+1 2   ∴ - 2a-2 >x+a에서 3x+2>2x+2a 이때 부등식을 만족하는 자연수 x의 값 중 가장 작은 정수가 3이 되려면 오 른쪽 그림과 같아야 하므로 2É2a-2<3, 4É2a<5   ∴ 2Éa< ;2%; 따라서 구하는 자연수 a의 값은 2이다.  2 175 3x+1>0에서 x>- ;3!; (a+b)x+(2a-3b)<0에서 (a+b)x<-2a+3b 이때 해가 x> -;3!; ∴ x> -2a+3b a+b 이므로 a+b<0 즉 -2a+3b a+b =- 이므로 6a-9b=a+b ;3!; 5a=10b ∴ a=2b a+b<0에 a=2b를 대입하면 3b<0 ∴ b<0 따라서 (a-3b)x+(b-2a)>0에 a=2b를 대입하면 (2b-3b)x+(b-4b)>0, -bx>3b 이때 b<0에서 -b>0이므로 x> ∴ x>-3  3b -b 16 | 정답과 해설  176 0.1-0.2x>0.3(x-a)의 양변에 10을 곱하면 1-2x>3(x-a), 1-2x>3x-3a ∴ x< 3a+1 -5x>-3a-1 5 이때 부등식을 만족하는 자연수 x가 하나도 없으려면 오른쪽 그림과 같아 É1, 3a+1É5 ∴ aÉ ;3$; 야 하므로 3a+1 5  -2 -1 1 0 3a+1 5  aÉ ;3$; 177 -x+1Éx-3(x-a)에서 -x+1Éx-3x+3a ∴ xÉ3a-1 이때 부등식을 만족하는 자연수 x의 개수가 2개가 되려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 0 1 2 3 3a-1 2É3a-1<3, 3É3a<4 ∴ 1Éa< ;3$;   따라서 6É6a<8이므로 1É6a-5<3   ∴ 1Éy<3  1Éy<3 178 남학생 20명의 수학 성적의 평균을 x점이라 하면 30_75+20x 30+20 ¾70 ∴ x¾62.5 따라서 남학생 20명의 수학 성적의 평균은 62.5점 이상이어야 한 다.  62.5점 2 3 4 2a-2 179 책을 x일 동안 대여한다고 하면 1200+700(x-3)É5400 ∴ xÉ9 따라서 최대 9일 동안 대여할 수 있다.  9일 180 혜미가 이긴 횟수를 x회라 하면 혜미가 진 횟수는 (20-x)회이 고, 석재가 이긴 횟수는 (20-x)회, 석재가 진 횟수는 x회이다. 20회에 걸쳐 혜미가 얻은 점수는 4x+2(20-x)=2x+40(점) 석재가 얻은 점수는 4(20-x)+2x=80-2x(점) 이때 혜미가 15점 이상 차이로 이겼으므로 2x+40-(80-2x)¾15, 4x¾55 ∴ x¾ :°4°: 따라서 혜미가 이긴 횟수는 최소 14회이다.  14회 181 (사다리꼴 ABCD의 넓이)= (10+16)_12=156`(cmÛ`) ;2!;_   BPÓ의 길이를 x`cm라 하면 APÓ의 길이는 (12-x)`cm이므로 △APD= (12-x)_10=60-5x (cmÛ`)  x>-3   △PBC= x_16=8x (cmÛ`) ;2!;_ ;2!;_   △PCD =(사다리꼴 ABCD의 넓이)-△APD-△PBC 188 처음 소금물 200`g의 농도를 x`%라 하면 x`%의 소금물 200`g   삼각형 PCD의 넓이가 사다리꼴 ABCD의 넓이의 이상이 되 ;2!; 물 60`g을 증발시킨 후 소금 10`g을 넣었으므로 에 들어 있는 소금의 양은 _200=2x`(g) ;10{0; (소금물의 양)=200-60+10=150`(g) (소금의 양)=2x+10`(g) 이때 농도가 2x`% 이상이므로 2x+10¾ _150 ∴ xÉ10 ;1ª0Ó0; 따라서 처음 소금물의 농도는 최대 10`%이었다.  10`% =156-(60-5x)-8x =96-3x (cmÛ`) 어야 하므로   96-3x¾156_     ∴ xÉ6 ;2!; 따라서 BPÓ의 길이는 최대 6`cm이다.  6`cm 182 APÓ의 길이를 x`cm라 하면 PHÓ의 길이는 (10-x) cm이고 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC-△PBC이므로 _8_10- _8_(10-x)¾28 ;2!; ;2!; 40-4(10-x)¾28, 4x¾28 ∴ x¾7 따라서 APÓ의 길이는 7 cm 이상이어야 한다.  7`cm 183 1인당 입장료를 a원이라 하고, x명이 입장한다고 하면 a_ ;1»0¼0; _x>a_ _30 ∴ x>25 ;1¦0°0; STEP 3 고난도 문제 51쪽~52쪽 따라서 26명 이상이면 30명의 단체 입장권을 사는 것이 더 유리하 189 ax-5b<5a-bx에서 (a+b)x<5(a+b) 다.  26명 Ú a+b>0일 때, x< ∴ x<5 184 인형을 x개 산다고 하면 5000x-4000>5000x_ ;1»0¢0; ∴ x> :¢3¼: 따라서 인형을 14개 이상 구입할 때, 6 %를 할인해 주는 쿠폰을 사 용하는 것이 더 유리하다.  14개 5(a+b) a+b 5(a+b) a+b Û a+b<0일 때, x> ∴ x>5 Ü a+b=0일 때, 0´x<0 ∴ 해가 없다.  Ú a+b>0일 때, x<5 Û a+b<0일 때, x>5 Ü a+b=0일 때, 해가 없다. 185 원가를 a원이라 하면 정가는 { 1+ ;1ª0°0;} ;4%; a= a(원)이고, 정가 를 x % 할인한 판매 가격은 a_ 1- 원이므로 ;4%; { ;10{0;} a_ 1- { ;4%; ;10{0;} ¾a ∴ xÉ20 따라서 정가의 최대 20 %까지 할인할 수 있다.  20`% 190 (2x+1)△(5x-2)>3△k에서 (2x+1)-(5x-2)+1>3-k+1 -3x+4>4-k, -3x>-k ∴`x< ;3K; 이때 부등식을 만족하는 정수 x의 최 댓값이 4가 되려면 오른쪽 그림과 같 아야 하므로 3 4 5 k 3 186 집에서 축구장까지의 거리를 x km라 하면 4< É5 ∴`12x+k에 대입하면 3-x 4 >x+k 3-x>4x+4k, -5x>4k-3 ∴`x< 187 강물을 x km까지 거슬러 올라갔다 내려온다고 하면 거슬러 올 라갈 때의 배의 속력은 12-8=4, 즉 시속 4 km이고 내려올 때의 배의 속력은 12+8=20, 즉 시속 20 km이므로 ;4{;+;2Ó0; É3 ∴ xÉ10 따라서 최대 10 km까지 거슬러 올라갔다 내려올 수 있다. 이때 부등식을 만족하는 자연수 x의 개수가 3개가 되려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 3-4k 5 3< É4, 15<3-4kÉ20  10`km 12<-4kÉ17 ∴`- Ék<-3 :Á4¦:  - Ék<-3 :Á4¦: 3-4k 5 1 2 4 3 3-4k 5 4. 일차부등식 | 17 192 2ax+b(x-2)>2a-3b에서 2ax+bx-2b>2a-3b (2a+b)x>2a-b 되어야 하므로 새로운 입체도형의 겉넓이가 처음 원기둥의 겉넓이의 2배 이상이 이때 해가 x< 이므로 2a+b<0 ;4#; 210p+ px¾2_210p, 210p+ px¾420p ;;Á2°;; ;;Á2°;; ∴ x< 2a-b 2a+b 2a-b 2a+b ;4#; 즉 = 이므로 4(2a-b)=3(2a+b) 8a-4b=6a+3b ∴ `2a=7b 2a+b<0에 2a=7b를 대입하면 8b<0 ∴ `b<0 px¾210p ∴ x¾28 ;;Á2°;; 따라서 구멍을 28개 이상 뚫어야 한다.  28개 195 나중에 ;4!; 배만큼 넣었던 20`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면 처음에 넣은 물의 양은 4x`g이다. 따라서 (2a-5b)x+2a+5b¾0에 2a=7b를 대입하면 20`%의 소금물 300`g과 더 넣은 20`%의 소금물 x`g에 들어 있는 (7b-5b)x+7b+5b¾0, 2bx¾-12b 소금의 양의 합은 이때 b<0이므로 xÉ -12b 2b ∴ `xÉ-6 _300+ _x=60+ x`(g) ;1ª0¼0; ;1ª0¼0; ;5!;  xÉ-6 또 4x`g의 물과 x`g의 소금물을 넣었으므로 전체 소금물의 양은 기록한 수들의 평균 É9이고 이 수의 소수점 아래 첫 196 한 개의 수문에서 1분 동안 흘려보내는 물의 양을 p톤이라 하 면 3개의 수문으로 20분 만에 모두 흘려보냈으므로 (300+5x)`g이다. 60+ xÉ ;5!; ;1Á0¢0; _(300+5x) 6000+20xÉ4200+70x, -50xÉ-1800 ∴ x¾36 이때 전체 소금물의 양은 (300+5x)`g이므로 5x¾180 ∴ 300+5x¾480 따라서 새로 만들어진 소금물의 양은 480`g 이상이다.  480`g 3_p_20=3000+150_20 60p=6000 ∴ p=100 즉 한 개의 수문에서 1분 동안 100톤의 물을 흘려보낸다. 5000톤의 물과 매분 300톤의 비율로 유입되는 물을 x개의 수문을 열어 30분 이내에 모두 흘려보낸다고 하면 x_100_30¾5000+300_30 3000x¾14000 ∴ x¾ :Á3¢: 따라서 물을 30분 이내에 모두 흘려보내려면 최소한 5개의 수문을 열어야 한다.  5개 193 기록한 수들의 합을 A라 하면 yy ㉠ A=7x+8y+9z x+y+z=6 yy ㉡ ㉡에서 z=6-x-y를 ㉠에 대입하면 A=7x+8y+9(6-x-y) ∴ A=54-2x-y yy ㉢ A 6 는 7É A 6 째 자리의 숫자가 1이므로 7.1É <7.2 또는 8.1É <8.2 A 6 A 6 ∴ 42.6ÉA<43.2 또는 48.6ÉA<49.2 이때 A는 자연수이므로 A=43 또는 A=49 Ú A=43일 때, ㉢에서 43=54-2x-y, 2x+y=11 이때 x+yÉ6이므로 (x, y)는 (5, 1) Û A=49일 때, ㉢에서 49=54-2x-y, 2x+y=5 이때 x+yÉ6이므로 (x, y)는 (0, 5), (1, 3), (2, 1) 따라서 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)는 (0, 5, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (5, 1, 0)이다.  (0, 5, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (5, 1, 0) 194 처음 원기둥의 겉넓이는 (p_7Û`)_2+2p_7_8=98p+112p=210p (cmÛ`) 구멍을 x개 뚫는다고 하면 새로운 입체도형의 겉넓이는 p_7Û`-p_ `_x _2+ 2p_7_8+2p_ _8_x [ {;2!;} ] { ;2!; } = 49p- _2+(112p+8px) { px } ;4!; =98p- px+112p+8px =210p+ px (cmÛ`) ;2!; ;;Á2°;; 18 | 정답과 해설 2 205 연립방정식 에 x=2, y=3을 대입하면 ax+by=2 [  bx-ay=10 2a+3b=2       yy ㉠ -3a+2b=10    yy ㉡ 2a+3b=2 2b-3a=10  [  ➡  [  ㉠_3+㉡_2를 하면 13b=26 ∴ b=2  b=2를 ㉠에 대입하면 2a+6=2, 2a=-4 ∴ a=-2  ∴ a+b=-2+2=0  0 206 2x+5y=-9  yy ㉠ [  x-4y=2  yy ㉡ ㉠-㉡_2를 하면 13y=-13 ∴ y=-1 y=-1을 ㉡에 대입하면 x+4=2 ∴ x=-2 따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=-2, y=-1이므로 x=-2, y=-1을 ax-3y=7에 대입하면 -2a+3=7 ∴ a=-2  -2 5 연립방정식 STEP 1 실력 문제 55쪽~58쪽 197 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 ① -2x+3=0 ➡ 미지수가 1개인 일차방정식이다. ② 분모에 미지수가 있으므로 일차방정식이 아니다. ③ 방정식이 아니다. ④  -xÛ`-2x+y=0 ➡ x의 차수가 2이므로 일차방정식이 아 니다. ⑤  x-3y-6=0 ➡ 미지수가 2개인 일차방정식이다.  ⑤ 198 x, y가 자연수일 때, 주어진 일차방정식을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (2, 3), (5, 2), (8, 1)의 3개이다.  3개 199 x=3, y=6을 ax-2y=3에 대입하면 3a-12=3, 3a=15 ∴ a=5 x=b, y=11을 5x-2y=3에 대입하면 5b-22=3, 5b=25 ∴ b=5 ∴ a+b=5+5=10 200 ② 연립방정식 [ 3x+2y=4 x-3y=5 3_2+2_(-1)=4`(참) [ 2-3_(-1)=5`(참) 201 x=2, y=-3을 ax-y=9에 대입하면   2a+3=9, 2a=6 ∴ a=3 x=2, y=-3을 x-by=20에 대입하면 2+3b=20, 3b=18 ∴ b=6 ∴ a-b=3-6=-3 따라서 해가 (2, -1)인 것은 ②이다.  ②   207 x+2y=9  yy ㉠ [  x-y=3  yy ㉡  10 ㉠-㉡을 하면 3y=6 ∴ y=2 y=2를 ㉡에 대입하면 x-2=3 ∴ x=5 에 x=2, y=-1을 대입하면 따라서 두 연립방정식의 해는 x=5, y=2이므로 x=5, y=2를 3x+y=a에 대입하면 15+2=a ∴ a=17 x=5, y=2를 x+by=7에 대입하면 5+2b=7, 2b=2 ∴ b=1 ∴ a+b=17+1=18  18  -3 208 2x-y=-3에서 -3을 k로 잘못 보았다고 하면 2x-y=k    yy ㉠ 202 x=-3, y=k를 -3x+y=5에 대입하면 ∴ k=-4 9+k=5 y=2를 3x-5y=2에 대입하면 3x-10=2, 3x=12 ∴ x=4 x=-3, y=-4를 ax-2y=-1에 대입하면 즉 잘못 보고 푼 연립방정식의 해는 x=4, y=2이므로 -3a+8=-1, -3a=-9 ∴ a=3 x=4, y=2를 ㉠에 대입하면 ∴ a+k=3+(-4)=-1  -1 8-2=k ∴ k=6 203 ㉠에서 y=11-x y=11-x를 ㉡에 대입하면 3x-2(11-x)=-2 3x-22+2x=-2, 5x=20 ∴ a=5 204 ③ ㉠_3-㉡_2를 하면 -17y=1, 즉 x가 없어진다. ④ ㉠_4+㉡_3을 하면 17x=41, 즉 y가 없어진다. 따라서 -3을 6으로 잘못 보았다.  6 209 x : y=1 : 3이므로 y=3x y=3x를 2x-y=6에 대입하면  5 2x-3x=6, -x=6 ∴ x=-6 x=-6을 y=3x에 대입하면 y=-18 따라서 x=-6, y=-18을 ax-2y=3에 대입하면  ③, ④ -6a+36=3 ∴ a= :Á2Á:  :Á2Á: 5. 연립방정식 | 19       210 y의 값이 x의 값의 2배이므로 y=2x y=2x를 주어진 연립방정식에 대입하면 [  5x-4x=k x=k         yy ㉠ -3x+2x=k-6 -x=k-6    yy ㉡ ➡ [  ㉠을 ㉡에 대입하면 214 ⑴ [  x-1 3 x-1 3 = = 2x+y 4 x-y+5 6 ㉠-㉡_2를 하면 y=-18   y=-18을 ㉡에 대입하면 2x+3y=-4    yy ㉠ x+y=7        yy ㉡ ➡ [  -k=k-6, -2k=-6 ∴ k=3  3 x-18=7    ∴ x=25 211 ⑴  2(3x+y)+2y=10 3x+2y=5  yy ㉠ [  2x+3(y-5)=-5 2x+3y=10  yy ㉡ ➡ [  ㉠_3-㉡_2를 하면 5x=-5 ∴ x=-1 x=-1을 ㉠에 대입하면 -3+2y=5, 2y=8 ∴ y=4 0.1x-0.2(x-y)=-0.4 -x+2y=-4    yy ㉠ ➡ [  3x-4y=6       yy ㉡ ⑵  [  ;4{; - = ;3}; ;2!; ㉠_2+㉡ 을 하면 x=-2 x=-2를 ㉠에 대입하면 2+2y=-4, 2y=-6 ∴ y=-3 ⑶  x+5y=18 [  0.H3x-0.H5y=1.H5 x+5y=18 ➡ [  ;9#; x- y= ;9%; :Á9¢: x+5y=18     yy ㉠ 3x-5y=14    yy ㉡ ➡ [  ㉠+㉡ 을 하면 4x=32 ∴ x=8 x=8을 ㉠에 대입하면 8+5y=18, 5y=10 ∴ y=2  ⑴ x=-1, y=4 (x-1) : (2x+y)=2 : 3 212 [  3x+2y=7 3(x-1)=2(2x+y) x+2y=-3    yy ㉠ ➡ [  3x+2y=7 ➡ [  3x+2y=7     yy ㉡ ㉠-㉡ 을 하면 -2x=-10 ∴ x=5 x=5를 ㉠에 대입하면 5+2y=-3, 2y=-8 ∴ y=-4 따라서 m=5, n=-4이므로 m+n=5+(-4)=1 x+0.6y=k ;5!; 213 [  x+2y=3 x+3y=5k  ➡ [  x+2y=3  yy ㉠ yy ㉡ y의 값이 x의 값보다 3만큼 크므로 y=x+3 yy ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 x+2(x+3)=3, 3x=-3 ∴ x=-1 x=-1을 ㉢에 대입하면 y=2 따라서 x=-1, y=2를 ㉠에 대입하면 -1+6=5k ∴ k=1 20 | 정답과 해설 ⑵  3(x-3)+2(y-1)=5x-4y-11 2x-(3-y)=5x-4y-11 [ ➡ [ x-3y=0     yy ㉠ 3x-5y=8    yy ㉡ ㉠_3-㉡을 하면 -4y=-8 ∴ y=2 y=2를 ㉠에 대입하면 x-6=0 ∴ x=6  ⑴ x=25, y=-18 ⑵ x=6, y=2 215 주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으려면 = -1 -3 ;6@; = a+4 -12 3a+12=-12, 3a=-24 ∴ a=-8   -8 ax+2y=b-2a 216 [  3x+2y=6 에서 연립방정식의 해가 무수히 많으려면 = = ;2@; ;3A; b-2a 6 에서 a=3 = ;2@; = b-6 6 ;3A; ;2@; 6x+2y=1  [  ax-y=2  = 2 -1 ;2!; + ;a^; 에서 b-6=6 ∴ b=12  a=3, b=12 ⑵ x=-2, y=-3  217 에서 연립방정식의 해가 없으려면 ⑶ x=8, y=2 2a=-6 ∴ a=-3  -3 218 ;[!; =X, =Y로 놓으면 ;]!; 3X-2Y=8  yy ㉠ [  2X+Y=3   yy ㉡ ㉠+㉡_2를 하면 7X=14 ∴ X=2 X=2를 ㉡에 대입하면 4+Y=3 ∴ Y=-1 이때 =2, =-1이므로 ;[!; ;]!;  1 x= , y=-1  ;2!;  x= ;2!;, y=-1 x+y=12  yy ㉠ 219 y+z=-8  yy ㉡ [ z+x=2  yy ㉢ ㉠+㉡+㉢ 을 하면 2(x+y+z)=6 ∴ x+y+z=3 yy ㉣ ㉣-㉠ 을 하면 z=-9 ㉣-㉡ 을 하면 x=11  1 ㉣-㉢ 을 하면 y=1  x=11, y=1, z=-9 다른 풀이 ㉠-㉡ 을 하면 x-z=20    yy ㉤ ㉢, ㉤ 을 연립하여 풀면 x=11, z=-9 226 x-2y=9  [  x+y=3  yy ㉠ yy ㉡ x=11을 ㉠ 에 대입하면 11+y=12 ∴ y=1 ㉠-㉡을 하면 -3y=6 ∴ y=-2 y=-2를 ㉡에 대입하면 x-2=3 ∴ x=5 따라서 두 연립방정식의 해는 x=5, y=-2이므로 x=5, y=-2를 ax+by=7, 2ax+3by=6에 각각 대입하면 5a-2b=7 5a-2b=7    yy ㉢ [  10a-6b=6 ➡ [  5a-3b=3    yy ㉣ ㉢-㉣을 하면 b=4 b=4를 ㉢에 대입하면 5a-8=7 ∴ a=3 STEP 2 심화 문제 59쪽~64쪽 ∴ a+b=3+4=7  7 220 2xÛ`-y+3+5x=axÛ`-3y+bx-7에서 (2-a)xÛ`+(5-b)x+2y+10=0 이 식이 미지수가 2개인 일차방정식이 되려면 2-a=0, 5-b+0 ∴ a=2, b+5  a=2, b+5 221 0.H1x+0.H2y=1.H5에서 x+ y= ;9@; ;9!; :Á9¢: ∴ x+2y=14  따라서 x, y가 자연수일 때, 주어진 일차방정식의 해는 (2, 6), 2x-y-a=0 2x-y=a     yy ㉠ 227 [  x+2y=2a ➡ [  x+2y=2a    yy ㉡ ㉠_2+㉡ 을 하면 5x=4a ∴ x= a ;5$; x= a를 ㉠에 대입하면 a-y=a ∴ y= ;5$; ;5*; a ;5#; 이때 a+0이므로 x : y= a : a=4 : 3 ;5$; ;5#;  4 : 3 (4, 5), (6, 4), (8, 3), (10, 2), (12, 1)의 6개이다.  6개 228 a와 b를 서로 바꾸어 놓은 연립방정식 bx+ay=1 [  ax+by=4 의 해가 222 x y -3 -2 -1 -4 - -1 ;2%; 0 ;2!; 1 2 2 ;2&; x=-1, y=2이므로 [  -a+2b=4 ➡ [  -a+2b=4  yy ㉡ -b+2a=1 2a-b=1  yy ㉠ ㉠_2+㉡을 하면 3a=6 ∴ a=2 따라서 x, y가 절댓값이 4 미만인 정수일 때, 주어진 일차방정식 a=2를 ㉠에 대입하면 4-b=1 ∴ b=3 을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (-1, -1), (1, 2)의 2개이다. 3 5  2개 223 x=p-1, y=-1을 2x+(p-2)y=3에 대입하면 2(p-1)-(p-2)=3 ∴ p=3 x=2, y=-1을 qx-2y=8에 대입하면 2q+2=8, 2q=6 ∴ q=3 224 x=a+1, y=a-2를 2x-3y=7에 대입하면 2(a+1)-3(a-2)=7 ∴ a=1 x=2, y=-1을 5x-by=-2에 대입하면 10+b=-2 ∴ b=-12 ∴ a-b=1-(-12)=13  225 x, y의 값이 서로 같으므로 y=x y=x를 주어진 연립방정식에 대입하면 ax-x=4     yy ㉠ [  3x+ax=6    yy ㉡ ㉠-㉡ 을 하면 -4x=-2    ∴ x= , y= ;2!; ;2!; 따라서 x= , y= 을 ㉠에 대입하면 ;2!; ;2!;  즉 처음 연립방정식은 2x+3y=1  [  3x+2y=4  yy ㉢ yy ㉣ ㉢_3-㉣_2를 하면 5y=-5 ∴ y=-1 y=-1을 ㉢에 대입하면 2x-3=1 ∴ x=2  x=2, y=-1 229 현주는 b를 바르게 보았으므로 x=-3, y=2를 bx+3y=9 소연이는 a를 바르게 보았으므로 x=6, y=2를 x-ay=-2에 대입하면 6-2a=-2 즉 처음 연립방정식은 ∴ a=4 x-4y=-2    yy ㉠ [  -x+3y=9    yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 -y=7 ∴ y=-7  13 y=-7을 ㉠에 대입하면 x+28=-2 ∴ x=-30  x=-30, y=-7 230 ax-y=-6  [  2x-3y=-8  yy ㉠ yy ㉡ y의 절댓값이 x의 절댓값의 2배이므로 |y|=2|x| 이때 y>0이므로 y=2|x|   Ú x¾0일 때, y=2x   yy  ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 5. 연립방정식 | 21 a- =4    ∴ a=9  ;2!; ;2!;  9 2x-6x=-8, -4x=-8 ∴ x=2 ∴ p+q=3+3=6  6 에 대입하면 -3b+6=9 ∴ b=-1 x=2를 ㉢에 대입하면 y=4 즉 연립방정식의 해가 x=2, y=4이므로 x=2, y=4를 ㉠에 대입하면 2a-4=-6    ∴ a=-1 Û x<0일 때, y=-2x  yy ㉣ ㉣을 ㉡에 대입하면 2x+6x=-8, 8x=-8 ∴ x=-1 x=-1을 ㉣에 대입하면 y=2     즉 연립방정식의 해가 x=-1, y=2이므로 x=-1, y=2를 ㉠에 대입하면 -a-2=-6    ∴ a=4   Ú, Û에서 a의 값이 될 수 있는 수는 -1, 4이므로 그 곱은 -1_4=-4   -4 231 4(x-1)=2x-3y+4 2x+3y=8    yy ㉠ [  6x-4y+3=x-3(y-2) 5x-y=3     yy ㉡ ➡ [  ㉠+㉡_3을 하면 17x=17 ∴ x=1 x=1을 ㉡에 대입하면 5-y=3 ∴ y=2 따라서 주어진 연립방정식의 해가 x=1, y=2이므로 x=1, y=2를 x+ay+7=0에 대입하면 1+2a+7=0 ∴ a=-4  -4 (2x-3y+4):(2y-x)=2:1 232 [  ax-3y=-1   ➡ [  ax-3y=-1 ➡   [  x=p, y=q를 ㉠에 대입하면 4p-7q=-4 yy ㉢ 이때 q의 값은 p의 값의 2배보다 2만큼 크므로 q=2p+2 yy ㉣ ㉣ 을 ㉢ 에 대입하면 4p-7(2p+2)=-4 ∴ p=-1 p=-1을 ㉣ 에 대입하면 q=0 따라서 연립방정식의 해가 x=-1, y=0이므로 x=-1, y=0을 ㉡에 대입하면 -a=-1 ∴ a=1 ∴ a+p+q=1+(-1)+0=0  0 233 x-2 2 = x+y 3   y+2=2(x-2) ➡   [  x-2y=6   yy  ㉠ 2x-y=6  yy ㉡ ㉠-㉡_2를 하면 -3x=-6 ∴ x=2 x=2를 ㉡에 대입하면 4-y=6 ∴ y=-2 즉 연립방정식 의 해는 x=2, y=-2이므로 연 x-2 2 = x+y 3   y+2=2(x-2) 22 | 정답과 해설 x=-2, y=2를 연립방정식 에 대입하면 ax+by=4 [  bx-ay=6 -2a+2b=4 [ -2b-2a=6 ➡ a-b=-2    yy ㉢ [  a+b=-3    yy ㉣ ㉢+㉣을 하면 2a=-5 ∴ a=- ;2%; a=- 를 ㉣에 대입하면 - +b=-3 ∴ b=- ;2%; ;2%; ;2!; ∴ ab=- _ - { = ;4%; ;2!;} ;2%;  ;4%; 234 0.H2x+1.H3y=1.H1 [  0.0H1x+0.0H2(y-7)=0.0H3 ➡ x+ ;9@; :Á9ª: y= :Á9¼:    ;9Á0; x+ (y-7)= ;9ª0; ;9£0; x+6y=5     yy ㉠ x+2y=17    yy ㉡ ➡ [  ㉠-㉡ 을 하면 4y=-12 ∴ y=-3 y=-3을 ㉠에 대입하면 x-18=5 ∴ x=23  x=23, y=-3 235 2x+ay=19 2x+ay=19  yy ㉠ [  3x+2y+7=19 3x+2y=12  yy ㉡ ➡ [  x : y=2 : 3이므로 3x=2y yy ㉢ ㉢ 을 ㉡에 대입하면 4y=12 ∴ y=3 y=3을 ㉢에 대입하면 3x=6 ∴ x=2 따라서 방정식의 해가 x=2, y=3이므로 236 방정식 x-y 2 = 2x-3y 5 =1에서 =1 x-y 2 2x-3y    5 =1 x-y=2  yy ㉠ 2x-3y=5  yy ㉡ ➡ [  ㉠_2-㉡을 하면 y=-1 y=-1을 ㉠에 대입하면 x+1=2 ∴ x=1 방정식 ax-y=x+by-1=2에서 ax-y=2 ax-y=2  yy ㉢ [  x+by-1=2 ➡ [  x+by=3  yy ㉣ x=1, y=-1을 ㉢에 대입하면 a+1=2 ∴ a=1 x=1, y=-1을 ㉣에 대입하면 1-b=3 ∴ b=-2 ∴ 2a-b=2_1-(-2)=4   4 237 주어진 연립방정식의 해가 무수히 많으려면 = -b -a = a -a ;bA; , 즉 = ;bA; ;aB; =-1 ∴ a=-b 립방정식 의 해는 x=-2, y=2이다. ax+by=4 [  bx-ay=6 a=-b를 ax-by=a에 대입하면 -bx-by=-b 이때 b+0이므로 양변을 -b로 나누면 x+y=1  1 2x-3y+4=2(2y-x) 4x-7y=-4  yy ㉠ x=2, y=3을 ㉠에 대입하면 ax-3y=-1    yy ㉡ 4+3a=19 ∴ a=5  5 238 (m+6)x-3y=-1 [  3x+3y=n-3  에서 연립방정식의 해가 없으려면 + -1 n-3 m+6 3 m+6 3 = = -3 3 -3 3 -3 3 + -1 n-3 에서 m+6=-3 ∴ m=-9 에서 n-3+1 ∴ n+4  m=-9, n+4 2y=3x ∴ y= x ;2#; 이때 y+z= x+2x= x, z+x=2x+x=3x, ;2#; ;2&; 243 x-2y+z=0  [  3x+2y-3z=0  yy ㉠ yy ㉡ ㉠+㉡ 을 하면 4x-2z=0 ∴ z=2x yy ㉢ ㉢ 을 ㉠ 에 대입하면 x-2y+2x=0 239 x=1, y=-2를 주어진 연립방정식에 대입하면 ka+2b=-7 [  4a+b=2 이때 이 연립방정식의 해가 없으므로 = + ;1@; ;4K; -7 2 ∴ k=8 240 주어진 연립방정식의 해가 없으려면 5 b ∴ a=4, b+-10 -2 a 1 -2 = + x=-1, y=-3을 ax-2y=b에 대입하면 -a+6=b 이때 a=4이므로 -4+6=b ∴ b=2 ∴ a-b=4-2=2  241 1 x+2 1 y-3 =X, =Y로 놓으면 2X+Y=    X+3Y=2 ;2#; ➡ [  4X+2Y=3  yy ㉠ X+3Y=2  yy ㉡ ㉠-㉡_4를 하면 -10Y=-5 ∴ Y= ;2!; Y= 을 ㉡에 대입하면 X+ =2 ∴ X= ;2#; ;2!; ;2!; 이때 1 x+2 = , ;2!; 1 y-3 = ;2!; 이므로 x+2=2, y-3=2   ∴ x=0, y=5   x=0, y=5 242 x+2y=7  2y-3z=6    x-3z=5  yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ ㉠+㉡+㉢ 을 하면 2(x+2y-3z)=18   ∴ x+2y-3z=9    yy ㉣ ㉣-㉠ 을 하면 -3z=2    ∴ z=- ;3@; ㉣-㉡ 을 하면 x=3 x+y=x+ x= x ;2%; ;2#;   이므로 x y+z + y z+x + z x+y =xÖ(y+z)+yÖ(z+x)+zÖ(x+y)  8 =xÖ x+ xÖ3x+2xÖ ;2#; =x_  + ;2#; x_ 1 3x +2x_ ;2&; 2 7x x ;2%; 2 5x = ;7@;+;2!;+;5$; :Á7Á0Á: =  :Á7Á0Á:  2 STEP 3 고난도 문제 65쪽~66쪽 244 5x-2y=4a  yy ㉠ [  2x+3y=13a  yy ㉡ ㉠_3+㉡_2를 하면 19x=38a ∴ x=2a x=2a를 ㉠에 대입하면 10a-2y=4a -2y=-6a ∴ y=3a 이때 2a와 3a의 최소공배수는 6a이므로 6a=12 ∴ a=2  2 245 x=1, y=-21을 ax+by=25 [  dx-y=17 에 대입하면 a-21b=25    yy ㉠ [  d+21=17     yy ㉡ x=8, y=7을 에 대입하면 ax+by=25 [  cx-y=17 8a+7b=25    yy ㉢ [  8c-7=17      yy ㉣ ㉠+㉢ _3을 하면 25a=100 ∴ a=4 a=4를 ㉠에 대입하면 4-21b=25 ∴ b=-1 ㉡에서 d=-4 ㉣에서 8c=24 ∴ c=3 ∴ a+b+c+d =4+(-1)+3+(-4) ㉣-㉢ 을 하면 2y=4    ∴ y=2   x=3, y=2, z=- ;3@; =2  2 5. 연립방정식 | 23 246 Ú x¾y일 때, 249 xy+0이므로 3x-xy+y=0의 양변을 xy로 나누면 x=4x+2y-6 3x+2y=6     yy ㉠ [  y=-3x+6y+27 3x-5y=27  yy ㉡ ➡ [  ㉠-㉡을 하면 7y=-21 ∴ y=-3 y=-3을 ㉠에 대입하면 3x-6=6 3x=12 ∴ x=4   Û xy이므로 조건을 만족하지 않는다. Ú, Û에서 연립방정식의 해는 x=4, y=-3이므로 x-y=4-(-3)=7   7 247 ax-y=3b     yy ㉠ [  2ax-y=9b    yy ㉡ ㉠-㉡을 하면 -ax=-6b 이때 a는 자연수이므로 -a+0 ∴ x= :¤aõ: x= 를 ㉠ 에 대입하면 6b-y=3b ∴ y=3b :¤aõ: 또 x, y가 모두 자연수이고 xy=12인 순서쌍 (x, y)는 (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1) Ú x=1, y=12일 때, =1, 3b=12이므로 a=24, b=4 :¤aõ: ∴ a+b=24+4=28 Û x=2, y=6일 때, =2, 3b=6이므로 a=6, b=2 :¤aõ: ∴ a+b=6+2=8 Ü x=3, y=4일 때, x=4, y=3일 때, x=6, y=2일 때, x=12, y=1일 때에는 a, b가 자연수일 조건을 만족하지 않는다. Ú ~ Ü 에서 a+b의 최솟값은 8이다.  8 248 3y+1=3y_3, 2x+1=2Å`_2, y>1이므로, 3y-1=3yÖ3=3y_ ;3!; 2Å`=X, 3´`=Y로 놓으면 X+3Y=35 [  2X- Y=13 ;3!; ➡ [  X+3Y=35    yy ㉠ 6X-Y=39    yy ㉡ ㉠+㉡_3을 하면 19X=152 ∴ X=8 X=8을 ㉠에 대입하면 8+3Y=35 ∴ Y=9 이때 2Å`=8=2Ü`이므로 x=3 3´`=9=3Û`이므로 y=2 ∴ x+y=3+2=5 24 | 정답과 해설 연립방정식 에서 =X, =Y로 놓으면 ;[!; ;]!; -1+ =0 ∴ ;]#; ;[!; =1 ;[!;+;]#; ;[!;+;]#;= 1 [  ;[@;-;]%;=- 9 X+3Y=1       yy ㉠ [  2X-5Y=-9    yy ㉡ ㉠_2-㉡을 하면 11Y=11 ∴ Y=1 Y=1을 ㉠에 대입하면 X+3=1 ∴ X=-2 이때 =-2, =1이므로 ;[!; ;]!; x=- , y=1 ;2!;  x=- ;2!;, y=1 250 x+4y-3z=0     yy ㉠ [  4x-8y+3z=0    yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 5x-4y=0, 5x=4y ∴ x= y ;5$; x= y를 ㉠ 에 대입하면 y+4y-3z=0 ;5$; ;5$; 3z= y ∴ z= :ª5¢: y ;5*; 이때 x:y:z= y:y: y=4:5:8이므로 ;5$; ;5*; x=4k, y=5k, z=8k(k는 자연수)라 하면 x, y, z의 최소공배수 는 40k이다. 즉 40k=200이므로 k=5 따라서 x=20, y=25, z=40이므로 x+y+z=20+25+40=85  85 251 xyz+0이므로 세 방정식의 양변을 각각 xy, yz, zx로 나누고 정리하면 ;[!;+;]!;=;2!; ;]!;+;z!;=;3!; ;z!;+;[!;=;4!;         yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ ㉠+㉡+㉢을 하면 2 {;[!;+;]!;+;z!;} ;1!2#; = ∴ ;[!;+;]!;+;z!;=;2!4#;    yy  ㉣  ㉣-㉠을 하면 ;z!;=;2Á4; ∴ z=24 ㉣-㉡을 하면 ∴ 5x=24 ;[!;=;2°4; ㉣-㉢을 하면 ;]!;=;2¦4; ∴ 7y=24  5 ∴ 5x+7y+z=24+24+24=72  72 6 연립방정식의 활용 259 상품 A를 x개, 상품 B를 y개 판매하였다고 하면 x+y=54 [  { ∴ x=24, y=30 300_ x+ 700_ ;1°0¼0;} { ;1£0¼0;} y=9900 x+y=54 ➡ [  5x+7y=330 STEP 1 실력 문제 69쪽~71쪽 따라서 상품 A는 24개 판매하였다.  24개 252 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하면 260 전체 일의 양을 1이라 하고, 서영이와 정훈이가 하루에 할 수 있 y=x+5  [  10y+x=2(10x+y)+18  19x-8y=-18 y=x+5 ➡ [  ∴ x=2, y=7 따라서 처음 수는 27이다. 253 슬비네 반 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 x+y=50 [  65x+60y=62_50 13x+12y=620 x+y=50 ➡ [       ∴ x=20, y=30 따라서 슬비네 반 남학생은 20명, 여학생은 30명이다. 는 일의 양을 각각 x, y라 하면 6x+6y=1  [  9x+4y=1     ∴ x= , y= ;1Á5; ;1Á0;  27 따라서 서영이가 혼자서 이 일을 끝마치려면 15일이 걸린다.  15일 261 버스를 타고 간 거리를 x`km, 걸어간 거리를 y`km라 하면 x+y=183 [  + =4 ;3}; ;6Ó0; ➡ x+y=183 x+20y=240    [  ∴ x=180, y=3  남학생:20명, 여학생:30명 따라서 버스를 타고 간 거리는 180`km이다.  180 km 254 현재 아버지의 나이를 x세, 아들의 나이를 y세라 하면 262 올라간 거리를 x`km, 내려온 거리를 y`km라 하면 x-y=28 [  x+10=2(y+10)+4  ➡ x-y=28 [  x-2y=14 ∴ x=42, y=14 따라서 현재 아버지의 나이는 42세, 아들의 나이는 14세이다.  아버지:42세, 아들:14세 255 어른 1명의 입장료를 x원, 어린이 1명의 입장료를 y원이라 하면 y=x+3 [  ;2{; + ;3}; = ;2&; ➡ y=x+3 3x+2y=21    [  ∴ x=3, y=6 따라서 올라간 거리는 3`km, 내려온 거리는 6`km이다.  올라간 거리:3`km, 내려온 거리:6`km 4x+10y=10000  2x+5y=5000 [  5y=3x ➡ [  5y=3x   ∴ x=1000, y=600 까지 가는 데 걸린 시간을 y분이라 하면 263 형이 학교 정문까지 가는 데 걸린 시간을 x분, 동생이 학교 정문 따라서 어른 1명의 입장료는 1000원, 어린이 1명의 입장료는 600 원이다.  어른 1명:1000원, 어린이 1명:600원 256 노새의 짐을 x자루, 당나귀의 짐을 y자루라 하면 x+1=2(y-1)  x-2y=-3 [  x-1=y+1 ➡ [  x-y=2     ∴ x=7, y=5 따라서 노새의 짐은 7자루, 당나귀의 짐은 5자루이다.  노새:7자루, 당나귀:5자루 x=y+20 [  50x=150y x=y+20 ➡ [  x=3y     ∴ x=30, y=10 따라서 동생이 학교 정문까지 가는 데 걸린 시간은 10분이다.  10분 264 민호의 속력을 분속 x`m, 수지의 속력을 분속 y`m라 하면 10x+10y=2000 x+y=200 [  50x-50y=2000 [  x-y=40 ➡   ∴ x=120, y=80 따라서 민호의 속력은 분속 120`m, 수지의 속력은 분속 80`m이다. 257 혜지가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를 y회라 하면 진욱이가 이긴 횟  민호:분속 120 m, 수지:분속 80 m 수는 y회, 진 횟수는 x회이므로 3x-2y=30 3y-2x=10     [  ∴ x=22, y=18 따라서 혜지가 이긴 횟수는 22회이다.  22회 258 작년의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 x+y=1000 [  x- ;10%0; ;1Á0¼0; y=-10 ➡ x+y=1000 [  x-2y=-200 ∴ x=600, y=400 따라서 작년의 남학생 수는 600명이므로 올해의 남학생 수는 265 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x`km, 강물의 속력을 시속 y`km라 하면 3(x-y)=60 x-y=20 [  2(x+y)=60 [  x+y=30 ➡   ∴ x=25, y=5  따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 25`km이다.  시속 25`km 266 기차의 길이를 x`m, 기차의 속력을 초속 y`m라 하면 x+600=30y x+1600=70y [  ∴ x=150, y=25 1+ { ;10%0;} _600=630(명)  630명 따라서 기차의 속력은 초속 25`m이다.  초속 25`m         6. 연립방정식의 활용 | 25 267 4`%의 소금물의 양을 x`g, 7`%의 소금물의 양을 y`g이라 하면 6+x+4+y=15 x+y=300 [  ;10$0; x+ y= ;10&0; ;10%0; _300 x+y=300 ➡ [  4x+7y=1500 ∴ x=200, y=100 3000+800x+1600+300y=7100 8x+3y=25 x+y=5 ➡ [  [  ∴ x=2, y=3 따라서 은호가 구입한 형광펜은 2자루이다.  2자루 따라서 4`%의 소금물은 200`g, 7`%의 소금물은 100`g 섞어야 한 다.  4 %의 소금물:200 g, 7 %의 소금물:100 g 273 천안역에서 승차한 승객을 x명, 하차한 승객을 y명이라 하면 천안역에서 목포역까지 가는 표를 끊은 승객은 x명, 268 식품 A를 x`g, 식품 B를 y`g 섭취한다고 하면 ;1£0¼0; [  ;1ª0¼0; x+ ;1Á0¼0; y=45 x+ ;1¢0¼0; y=40 ∴ x=140, y=30 ➡ 3x+y=450 [  x+2y=200 따라서 식품 A는 140`g, 식품 B는 30`g 섭취해야 한다.  식품 A:140 g, 식품 B:30 g 서울역에서 천안역까지 가는 표를 끊은 승객은 y명, 서울역에서 목포역까지 가는 표를 끊은 승객은 (70-y)명이므로 70+x-y=62  [  5x+2y+6(70-y)=420 [  5x-4y=0 x-y=-8 ➡  ∴ x=32, y=40 따라서 천안역에서 승차한 승객은 32명, 하차한 승객은 40명이다.  승차한 승객:32명, 하차한 승객:40명 274 합격자의 평균 점수를 x점, 불합격자의 평균 점수를 y점이라 하면 (전체 지원자의 평균 점수)= 10x+50y 60 = x+5y 6 (점)이므로 x+5y 6 [ 3y=2x+10 +1=x-5 5x-5y=36 ➡ [ 2x-3y=-10     STEP 2 심화 문제 72쪽~76쪽 ∴ x= =31.6, y= =24.4 ;:!5%:*; ;:!5@:@; 269 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하면 10x+y=7(x+y) [  10y+x=(10x+y)-27 ➡ x-2y=0 x-y=3     [  ∴ x=6, y=3     따라서 처음 수는 63이므로 바꾼 수는 36이다. 270 큰 스님의 수를 x명, 작은 스님의 수를 y명이라 하면 x+y=100 [  3x+ y=100 ;3!; ➡ x+y=100 9x+y=300    [  따라서 작은 스님은 모두 75명이다. 따라서 합격자의 최저 점수는 31.6-5=26.6(점)  26.6점 275 합금에 금이 x`g, 구리가 y`g 섞여 있다고 하면 x+y=54 [  ;1Á9; x+ y=4 ;8!; x+y=54 ➡ [  8x+19y=608     ∴ x=38, y=16 따라서 이 합금에는 금이 38`g 섞여 있다.  38`g  36 ∴ x=25, y=75 꼭지 A, B로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을 각각 x, y라 하면 276 물탱크에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하고, 두 수도  75명   [  20x+50y=1 30x+20(x+y)=1 ➡ 50x+20y=1 [  20x+50y=1 271 제품 A를 x개, 제품 B를 y개 만들었다고 하면   ∴ x= , y= ;7Á0; ;7Á0; 6x+5y=70 [  4x+3y=44 ∴ x=5, y=8 따라서 제품 A를 5개, 제품 B를 8개 만들었으므로 총 비용은 5_8+8_6=88(만 원)  88만 원 따라서 수도꼭지 B로만 물탱크에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시 간은 70분이다.  70분 277 전체 일의 양을 1이라 하고, 갑과 을이 하루에 할 수 있는 일의 272 구입한 볼펜은 3000Ö500=6(자루) 형광펜을 x자루, 연필을 y자루 구입했다고 하면 양을 각각 x, y라 하면 3x+3y=1    [  x+9y=1 ∴ x= , y= ;4!; ;1Á2; 단가 (원) 수량 (자루) 금액 (원) 즉 갑과 을이 하루에 할 수 있는 일의 양은 각각 , 이므로 을 ;4!; ;1Á2; 이 혼자 6일 동안 일한 후 나머지를 갑이 혼자 k일 동안 일하여 모 두 마쳤다고 하면 _6+ _k=1 ∴ k=2 ;1Á2; ;4!; 따라서 갑이 혼자 일한 날은 2일이다.  2일 품목 볼펜 형광펜 사인펜 연필 500 800 400 300 합계 6 x 4 y 15 3000 800x 1600 300y 7100 26 | 정답과 해설       278 걸어간 거리를 x`km, 버스를 타고 이동한 거리를 y`km라 하면 따라서 소금물 A의 농도는 4`%, 소금물 B의 농도는 10`%이다.  소금물 A:4`%, 소금물 B:10`% x+y=20 [  ;6{; + + ;6ª0; ;6Õ0; = ;6$0); x+y=20 ➡ [  10x+y=38     ∴ x=2, y=18 따라서 버스를 타고 이동한 거리는 18`km이다.  18`km 285 3`%의 소금물의 양을 x`g, 6`%의 소금물의 양을 y`g이라 하면 279 학교에서 미술관까지의 거리를 x`km, 가는 데 걸리는 예상 시 더 넣은 물의 양은 x`g이므로 ;2!;      따라서 학교에서 미술관까지의 거리는 55`km, 가는 데 걸리는 예 따라서 6`%의 소금물은 225`g 섞었다.  225 g 간을 y시간이라 하면 ;6Ó0; [  ;5Ó0; =y- ;6°0; =y+ ;6¤0; 상 시간은 1시간이다. x=60y-5 x=50y+5    [  ➡   ∴ x=55, y=1  학교에서 미술관까지의 거리:55 km, 예상 시간:1시간 280 동현이의 속력을 분속 x`m, 지나의 속력을 분속 y`m라 하면 x : y=600 : 500 5x-6y=0 [  15x+15y=1650 x+y=110 따라서 지나의 속력은 분속 50`m이므로 이 호수를 지나가 혼자서     ∴ x=60, y=50 ➡ [  x=450 ;2!; x+y+ [  ;10#0; x+ y= ;10^0; ;10$0; _450 3x+2y=900 ➡ [  x+2y=600 ∴ x=150, y=225 286 5`%의 소금물 x`g과 10`%의 소금물 y`g을 섞었을 때 7`%의 소 금물이 만들어진다고 하면 ;10%0; x+ y= ;1Á0¼0; ;10&0; (x+y) ∴ x= y yy ㉠ ;2#; 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간은 =33(분) :Á;5^0%:); 한편 두 소금물의 양을 바꾸어 넣었을 때 만들어진 소금물의 농도  33분 를 p`%라 하면 281 정지한 물에서의 보트의 속력을 시속 x`km, 강물의 속력을 시 속 y`km라 하면 3(x-y)-y=20 [  x+y=20 ➡ 3x-4y=20 x+y=20 [  ∴ x= :Á;7) ):); , y= :¢7¼: 따라서 정지한 물에서의 보트의 속력은 시속 `km이다. :Á;7) ):); y+ ;10%0; ;1Á0¼0; x= ;10P0; (x+y) ∴ p(x+y)=10x+5y yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 p y y } + {;2#; =10_ y+5y ;2#; py=20y ∴ p=8 (∵ y+0) ;2%;  시속 :Á;7) ):); km 따라서 두 소금물의 양을 바꾸어 넣었을 때 만들어진 소금물의 농 도는 8`%이다.  8 % 282 양초 A의 길이를 x cm, 양초 B의 길이를 y cm라 하면 양초 A, x 10 B가 타는 속력은 각각 분속 cm이므로 cm, y 15 x=y+8 [  x- x 10 _5=y- _5 y 15 ➡ x=y+8 3x=4y [  ∴ x=32, y=24 따라서 양초 B의 길이는 24 cm이다.  24 cm 283 4 %의 소금물의 양을 x g, 더 넣어야 하는 소금의 양을 y g이 라 하면 x+y=300 [  x+y= ;10$0; ;1ª0¼0; ∴ x=250, y=50 x+y=300 ➡ _300 [  x+25y=1500 287 작년에 A 기숙사에 있던 학생 수를 x명, B 기숙사에 있던 학생 수를 y명이라 하면 ;1¦0¼0;x+ [  ;1£0¼0; x+ ;1¢0¼0;y=580 y=420 ;1¤0¼0; ∴`x=600, y=400 ➡ 7x+4y=5800 [  x+2y=1400 따라서 작년에 A 기숙사에 있던 학생 수는 600명이다.  600명 따라서 더 넣어야 하는 소금의 양은 50 g이다.  50 g 284 소금물 A의 농도를 x`%, 소금물 B의 농도를 y`%라 하면 _100+ _200= _300 _200+ _100= _300 ;10*0; ;10^0; ➡ x+2y=24 [  2x+y=18 ;10{0; [  ;10{0; ;10}0; ;10}0; ∴ x=4, y=10 288 필요한 합금 A의 양을 x`g, 합금 B의 양을 y`g이라 하면 x+ y=420_ ;2!; [  ;2!; ;4#; ;4!; x+ y=420_ ➡ ;3@; ;3!; 2x+3y=1120 [  2x+y=560 ∴ x=140, y=280 따라서 필요한 합금 A의 양은 140`g, 합금 B의 양은 280`g이다.  합금 A:140 g, 합금 B:280 g 6. 연립방정식의 활용 | 27   STEP 3 고난도 문제 77쪽~78쪽 293 기계 A 1대가 1분 동안 만드는 물건의 개수를 x개, 기계 B 1대 289 처음 수의 백의 자리의 숫자를 x, 십의 자리의 숫자를 y, 일의 자 리의 숫자를 z라 하면 x+y+z=9 y+z=2x [  100z+10y+x=(100x+10y+z)+99 x+y+z=9 yy ㉠ ➡ 2x-y-z=0 yy ㉡ [  x-z=-1 ㉠+㉡을 하면 3x=9 yy ㉢ ∴ x=3 x=3을 ㉢에 대입하면 3-z=-1 ∴ z=4 x=3, z=4를 ㉠에 대입하면 3+y+4=9 ∴ y=2 가 1분 동안 만드는 물건의 개수를 y개라 하면 5(x+4y)=100 x+4y=20   [  4(2x+3y)=100 [  2x+3y=25 ➡ ∴ x=8, y=3 이때 기계 A 3대와 기계 B 2대를 동시에 사용하여 물건 120개를 만드는 데 걸리는 시간을 k분이라 하면 (3_8+2_3)k=120 30k=120 ∴ k=4 따라서 걸리는 시간은 4분이다.  4분 294 합격자 중 남자의 수는 350_ =200(명), ;7$; 여자의 수는 350_ =150(명) ;7#; 따라서 처음 수의 각 자리의 숫자의 곱은 3_2_4=24  24 전체 응시자 수를 x명, 불합격자 중 남자의 수를 y명이라 하면 290 목수 1명, 미장공 1명, 철근공 1명의 1일 임금을 각각 x만 원, y 만 원, z만 원이라 하면 5x+3y+2z=78 6x+y+5z=91 [  4x+5y+2z=89 yy ㉠ yy ㉡ yy ㉢ ㉠_5-㉡_2를 하면 13x+13y=208 ∴ x+y=16 yy ㉣ ㉠-㉢을 하면 x-2y=-11 yy ㉤ ㉣, ㉤을 연립하여 풀면 x=7, y=9 x=7, y=9를 ㉠에 대입하면 35+27+2z=78, 2z=16 ∴ z=8 따라서 받을 총 임금은 5_7+4_9+3_8=95(만 원)  95만 원 291 찬성한 사람의 수를 x명, 반대한 사람의 수를 y명이라 하면 x+2=y-2   [  y+1= (x+y) ;3@; ∴ x=7, y=11 x-y=-4 ➡ [  2x-y=3 따라서 찬성한 사람의 수는 7명, 반대한 사람의 수는 11명이다. 합격자 수 (명) 불합격자 수 (명) 응시자 수 (명) 남자 200 y x ;1¦2; 여자 150 y ;3@; x ;1°2; 200+y= x ;1¦2; [  150+ y= x ;1°2; ;3@; 7x-12y=2400 ➡ [  5x-8y=1800 ∴ x=600, y=150 따라서 전체 응시자 수는 600명이다.  600명 295 구매한 식품 A의 양을 x`g, 식품 B의 양을 y`g이라 하면 0.4 100 [  ;1#0*0); x+ y=13.6 0.8 100 x : ;1(0%0); y=1 : 3 ∴`x=1000, y=1200 x+2y=3400 ➡ [  6x-5y=0 따라서 구매한 두 식품의 열량의 합은 _1000+ _1200=560`(kcal) ;1£0ª0; ;1ª0¼0;  560 kcal  찬성한 사람:7명, 반대한 사람:11명 296 전체 일의 양을 1이라 하면 소희는 하루에 만큼, 유이는 하루 ;[!; 292 처음에 8분짜리 x곡과 6분짜리 y곡을 연주하기로 계획했다고 하면 곡과 곡 사이에 1분 동안의 쉬는 시간이 있으므로 총 쉬는 시 에 만큼 일을 하므로 ;]!; 간은 (x+y-1)분이다. 처음 계획대로 연주하는 데 걸린 시간은 105분이므로 8x+6y+(x+y-1)=105 ∴ 9x+7y=106 yy ㉠ 곡의 수가 바뀌어서 연주하는 데 걸린 시간은 117분이므로 6x+8y+(x+y-1)=117 ∴ 7x+9y=118 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=4, y=10 ;[!;+;]!;=;8!4#; [  5 {;[!;+;]!;}+;[@;+;]!;= ;[!;+;]!;=;8!4#; ➡ [  1 ;[&;+;]^;= 1 =X, =Y라 하면 ;[!; ;]!; + X [  7X Y =;8!4#; 6Y 1 = + ∴ `X= , Y= ;1Á4; ;1Á2; 이때 = , ;1Á4; ;]!; = ;[!; ;1Á2; 이므로 x=14, y=12 따라서 처음 계획했던 6분짜리 곡은 모두 10곡이다.  10곡 ∴`x+y=14+12=26  26 28 | 정답과 해설 7 일차함수 ⑴ STEP 1 실력 문제 297 ① y=3000x ② x+y=24 ③ y=250-x ④ y=2x 수가 아니다. ∴ y=24-x ㉣ y=5(-x+4) ∴ y=-5x+20 ㉤ xÛ`의 차수가 2이므로 일차함수가 아니다. ㉥ 2x+y=2(x-3)에서 y=-6이므로 일차함수가 아니다. 따라서 y가 x에 대한 일차함수인 것은 ㉡, ㉣이다.  ㉡, ㉣ 81쪽~84쪽 303 ① y=pxÛ`이므로 일차함수가 아니다. ② y=5x ③ y=2(x+5) ④ xy=3000에서 y= 3000 x ∴ y=2x+10 ⑤ y=2x 이므로 일차함수가 아니다. ⑤ x=4일 때, 4보다 큰 자연수 y는 5, 6, 7, y이므로 y는 x의 함 따라서 y가 x에 대한 일차함수가 아닌 것은 ①, ④이다.  ①, ④ 따라서 y가 x의 함수가 아닌 것은 ⑤이다.  ⑤ 298 ㉠ y=3x ㉡ 자연수 x의 값이 정해짐에 따라 x보다 작은 소수의 개수 y의 304 f(1)=-2에서 a+b=-2 yy ㉠ yy ㉡ f(3)=6에서 3a+b=6 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-6 따라서 f(x)=4x-6이므로 f(2)=8-6=2, f(0)=-6 값이 하나로 정해지므로 y는 x의 함수이다. ∴ f(2)+f(0)=2+(-6)=-4  -4 ㉢ x+y=100 ∴ y=100-x ㉣ x=3일 때, 절댓값이 3인 정수는 -3, 3으로 y의 값이 2개 정 305 y= ;2!; x-3의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 해지므로 y는 x의 함수가 아니다. 그래프가 나타내는 일차함수의 식은 ㉤ 몸무게가 x`kg인 사람의 키 y`cm가 2개 이상 정해지는 경우 도 있으므로 y는 x의 함수가 아니다. ㉥ y=x-1 따라서 y가 x의 함수인 것은 ㉠, ㉡, ㉢, ㉥이다.  ㉠, ㉡, ㉢, ㉥ y= x-3-1, 즉 y= x-4 ;2!; y= x-4에 x=4, y=a를 대입하면 ;2!; ;2!; 299 f(a)=1에서 2a-5 3 =1 2a-5=3, 2a=8 ∴ a=4 f(1)=b에서 2_1-5 3 =b -3=3b ∴ b=-1 ∴ a+b=4+(-1)=3 300 f(2)=-3_2=-6, f(-1)=-3_(-1)=3이므로 f(2)+f(-1)=-6+3=-3 ∴ g( f(2)+f(-1))=g(-3)= =-1  -1 3 -3 301 ㉠ 1보다 작은 소수는 없으므로 f(1)=0 ㉡ 2보다 작은 소수는 없으므로 f(2)=0 ㉢ 5보다 작은 소수는 2, 3의 2개이므로 f(5)=2 8보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이므로 f(8)=4 ∴ f(5)+f(8)=2+4=6 ㉣ 4보다 작은 소수는 2, 3의 2개이므로 f(4)=2 7보다 작은 소수는 2, 3, 5의 3개이므로 f(7)=3 ∴ f(4)-f(7)=2-3=-1 따라서 옳지 않은 것은 ㉡, ㉢이다.  ㉡, ㉢ a= ;2!;_ 4-4=-2  -2 306 y=ax+4의 그래프가 점 (3, -1)을 지나므로 -1=3a+4 ∴ a=- ;3%; y=- x+9의 그래프가 점 (k, -k)를 지나므로 ;3%;  3 -k=- k+9, k=9 ∴ k= ;3%; ;3@; :ª2¦:  :ª2¦: 307 y=-3x+8+b의 그래프가 점 (4, -1)을 지나므로 ∴ b=3 -1=-12+8+b y=-3x+11의 그래프가 점 (a-1, -a)를 지나므로 -a=-3(a-1)+11, -a=-3a+3+11 2a=14 ∴ a=7 ∴ a+b=7+3=10  10 308 y= ;3@; x의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프 가 나타내는 일차함수의 식은 y= x+4 ;3@; ;3@; y= x+4에 y=0을 대입하면 0= x+4 ∴ x=-6 ;3@; ;3@; y= x+4에 x=0을 대입하면 y=4 302 ㉠ 3y+2=0에서 y=- 이므로 일차함수가 아니다. ;3@; ㉢ 분모에 x가 있으므로 일차함수가 아니다. 따라서 a=-6, b=4이므로 b-a=4-( -6)=10  10 7. 일차함수 ⑴ | 29 309 주어진 그래프에서 y절편이 8이므로 k=8 315 f(b)-4b=f(a)-4a에서 f(b)-f(a)=4(b-a) 따라서 점 A의 좌표는 A(10, 0)이다.  A(10, 0) ∴ =(기울기)=4  4 y=- x+8에 y=0을 대입하면 0=- x+8 ∴ x=10 ;5$; ;5$; 310 y=2x+6에 y=0을 대입하면 ∴ x=-3 0=2x+6 즉 y=ax+7의 그래프의 x절편이 -3이므로 y=ax+7에 x=-3, y=0을 대입하면 0=-3a+7 ∴ a= ;3&; ∴ f(b)-f(a) b-a =4 f(2)-f(-2) 2-(-2) 즉 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기는 4이다. 316 두 점 (1, -2), (2, 3)을 지나는 직선의 기울기는 이때 y= x+7의 그래프와 y=- x+b의 그래프가 y축 위에 ;3!; 서 만나므로 y절편이 같다. =5, 2k-3=5k-15 즉 y= x+7의 그래프의 y절편이 7이므로 b=7 -3k=-12 ∴ k=4  4 ;3&; ;3&; 이때 두 점 (2,`3), (k-1,`2k)를 지나는 직선의 기울기도 5이 3-(-2) 2-1 =5 므로 2k-3 (k-1)-2  a= ;3&;, b=7 311 y=ax-b에 x=3, y=0을 대입하면 3a-b=0 yy ㉠ y=ax-b에 x=-1, y=-2를 대입하면 -2=-a-b ∴ a+b=2 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , b= ;2!; ;2#; ∴ b-a= - ;2#; ;2!; =1 312 y=ax-5에 x=3, y=-3을 대입하면 -3=3a-5, 3a=2 ∴ a= ;3@; 즉 (기울기)= (y의 값의 증가량) 7-(-2) = ;3@; 이므로 313 (기울기)= (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 이므로 a= -1-7 2-(-2) =-2 7=4+b ∴ b=3 ∴ a+b=-2+3=1 이때 y=-2x+b의 그래프가 점 (-2, 7)을 지나므로 317 y= ;3%; x-5의 그래프의 x절편은 3, y절편은 -5이므로 A(3, 0), B(0, -5) C(0, 3) y=-x+3의 그래프의 x절편은 3, y절편은 3이므로 ∴ △ACB= ;2!; _8_3=12  12 y 2 O x  1 318 y=ax+2에서 a>0이므로 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때 색칠한 부분의 넓이가 8이므로 A OAÓ_2=8 ∴ OAÓ=8 ;2!;_ 즉 점 A의 좌표가 (-8, 0)이므로 y=ax+2에 x=-8, y=0을 0=-8a+2 ∴ a= ;4!;  ;4!; 319 y=2x+4의 그래프의 x절편은 -2, y절편은 4이고, y=ax+4(a<0)의 y y=2x+4  1 그래프의 y절편은 4이므로 두 일차 함수의 그래프를 그리면 오른쪽 그 A4 B -2 O C x y=ax+4 (y의 값의 증가량)=6  6 대입하면 314 y=- ;4#; x+6의 그래프의 기울기는 - 이므로 x의 값이 4만 ;4#; 림과 같다. 큼 증가할 때 y의 값은 -3만큼 증가한다. ∴ p=-3 이때 △ABC의 넓이가 28이므로 ;2!;_ BCÓ_4=28 ∴ BCÓ=14 y=- x+6에 x=0을 대입하면 y=6 ∴ r=6 따라서 y=ax+4에 x=12, y=0을 대입하면 ∴ p-q+r=-3-8+6=-5  -5 0=12a+4 ∴ a=- ;3!;  - ;3!; 즉 OCÓ=BCÓ-OBÓ=14-2=12이므로 점 C의 좌표는 (12, 0) 이다. y=- x+6에 y=0을 대입하면 0=- x+6, x=8 ∴ q=8 ;4#; ;4#; ;4#; 30 | 정답과 해설 STEP 2 심화 문제 85쪽~88쪽 ⑤ 0+-3_7+7 따라서 일차함수 y=-3x+7의 그래프 위에 있는 점은 ①이다.  ① 320 ① x=6일 때, 6의 소인수는 2, 3으로 y의 값이 2개 정해진다. 따라서 y는 x의 함수가 아니다. ③ x의 값이 정해짐에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 ② y=xÛ` 함수이다. ④ y=2px ⑤ y= _100 ∴ y= ;20{0; x ;2!; 따라서 y가 x의 함수가 아닌 것은 ①이다.  ① 321 f(1)=5에서 a+2+1+a=5 ∴ a=1, 즉 f(x)=2x+3 2a=2 따라서 f(0)=3, f(k)=2k+3이므로 f(0)=3f(k)에서 3=3(2k+3), 3=6k+9 -6k=6 ∴ k=-1 322 f(a)=3a, f(a-1)=3(a-1)=3a-3, g {;2!;} ;2!; =6Ö =6_2=12이므로 f(a)+f(a-1)+g =17에서 {;2!;} 3a+(3a-3)+12=17 6a=8 ∴ a= ;3$; 323 f(2)= ;2!; _2=1, f(a+b)= (a+b)이므로 ;2!; f(2)=-f(a+b)에서 1=- (a+b) ∴ a+b=-2 ;2!; ∴ f(a)+f(b)= a+ b= (a+b) ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 324 ① f(8)=1, f(15)=1 ③ f(25)=4, f(40)=5, f(65)=2 ∴ f(8)=f(15) ∴ f(25)+f(40)>f(65) ④ f(14n)=0, f(21n)=0 ∴ f(14n)=f(21n) ⑤ 7n-3=7(n-1)+4이므로 f(7n-3)=4 이 식이 일차함수가 되려면 xÛ`의 계수는 0이고, x의 계수는 0이 아  a=0, b+3 326 y=x(ax+3)-bx+8에서 y=axÛ`+(3-b)x+8 니어야 한다. 따라서 a=0, 3-b+0이므로 a=0, b+3 327 f(2)=6a-a+1=-4이므로 ∴ a=-1 5a=-5 ∴ `f(x)=-3x+2 따라서 3f(-2)+f(5)=f(b)에서 3_8+(-13)=-3b+2 3b=-9 ∴ b=-3  -1  -3 328 y=ax-2+b의 그래프가 두 점 (5, 2), (-1, 5)를 지나므로 2=5a-2+b 5a+b=4 [ 5=-a-2+b -a+b=7 ➡ [ ∴ a=- , b= ;2!; :Á2£: ∴ ab=- _ ;2!; :Á2£: =- :Á4£:  - :Á4£:  ;3$; 329 y=- ;2A; x+1의 그래프를 y축의 방향으로 2b만큼 평행이동한 그래프가 나타내는 일차함수의 식은 y=- x+1+2b ;2A; 이 식에 x=2, y=0을 대입하면 0=-a+1+2b ∴ a=1+2b yy ㉠ y=bx-1의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 그래프 가 나타내는 일차함수의 식은 이 식에 ㉠을 대입하면 y=bx-1+(1+2b)=bx+2b   즉 y=bx+2b에 y=0을 대입하면 0=bx+2b, -bx=2b ∴ x=-2   따라서 구하는 x절편은 -2이다.  -2 = _(-2)=-1  -1 y=bx-1+a 이때 f(7n+4)=4이므로 f(7n-3)=f(7n+4) 따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다. 330 y= x+ 에 x=-1, y=0을 대입하면 ;cA; ;cB;  ③, ⑤ 0=- + ;cB; ;cA; ∴ a=b yy ㉠ 325 y=-3x+k에 x=4, y=-5를 대입하면 -5=-12+k ∴ k=7 즉 y=-3x+7이므로 ① 10=-3_(-1)+7 ② 0+-3_0+7 ③ 8+-3_0+7 ④ 13+-3_2+7 y= x+ 에 x=0, y=-3을 대입하면 ;cA; ;cB; -3= ;cB; ∴ b=-3c yy ㉡ ㉠, ㉡에서 a=b=-3c이므로 b-c a+c = -3c-c -3c+c = -4c -2c =2  2 7. 일차함수 ⑴ | 31 336 y=-3x+3, y=-3x-3, y=3x+3, y=3x-3의 그래프로 둘 러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같은 마 름모이다. 따라서 구하는 넓이는 _2_6=6 ;2!; y 3 y=3x+3 y=3x-3 O-1 1 x -3 y=-3x+3 y=-3x-3  6  p=18, q=3 STEP 3 고난도 문제 89쪽~90쪽 337 f(x+3)= f(x)-1 f(x)+1 에서 Ú x=8을 양변에 대입하면 f(11)= f(8)-1 f(8)+1 , 11= f(8)-1 f(8)+1 11f(8)+11=f(8)-1 10f(8)=-12 ∴ f(8)=- ;5^; Û x=5를 양변에 대입하면 f(8)= f(5)-1 f(5)+1 , - = ;5^; f(5)-1 f(5)+1 6f(5)+6=-5f(5)+5 11f(5)=-1 ∴ f(5)=- ;1Á1; Ü x=2를 양변에 대입하면 f(5)= f(2)-1 f(2)+1 , - = ;1Á1; f(2)-1 f(2)+1 f(2)+1=-11f(2)+11 12f(2)=10 ∴ f(2)= ;6%; Ý x=11을 양변에 대입하면 f(14)= f(11)-1 f(11)+1 = 11-1 11+1 = ;1!2);=;6%; Þ x=14를 양변에 대입하면 331 y=-3x+p의 그래프의 x절편은 , y절편은 p이므로 ;3P; y= x+q의 그래프의 x절편은 -2q, y절편은 q이므로 ;2!; A(0, p), D , 0 } {;3P; B(0, q), C(-2q, 0) ABÓ`: BOÓ=5 : 1이므로 (p-q) : q=5 : 1 p-q=5q ∴ p=6q yy ㉠ CDÓ=12이므로  ;3P; -(-2q)=12 ∴ +2q=12 yy ㉡ ;3P; ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 p=18, q=3 332 y=ax+1의 그래프가 두 점 (-1, k+1), (4, k)를 지나므로 a=(기울기)= k-(k+1) 4-(-1) =- ;5!; 즉 y=- x+1에 x=4, y=k를 대입하면 ;5!; k=- _4+1= ;5!; ;5!; ∴ a-k=- - =- ;5!; ;5!; ;5@;  - ;5@; 333 f(p)-f(q)=2p-2q에서 f(p)-f(q) p-q =2 즉 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기는 2이고, 두 점 (3, -6),`(-1,`c)를 지나므로 c-(-6) -1-3 =2, c+6=-8 ∴ c=-14  -14 334 (기울기)=a= 5-3 1-(-1) y=x+b의 그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로 =1 3=-1+b ∴ b=4 y=x+4의 그래프가 점 (c, 2c)를 지나므로 2c=c+4 ∴ c=4 ∴ a+b-c=1+4-4=1  1 f(17)= f(14)-1 f(14)+1 = -1 +1 ;6%; ;6%; - ;6!; = :Á6Á: =- ;1Á1; 335 두 일차함수 y=ax+b, y=-x+6의 그래프의 기울기가 서로 같으므로 a=-1 즉 y=ax+b의 그래프의 기울기는 -1, x절편은 3이므로 y=-x+b에 x=3, y=0을 대입하면 0=-3+b ∴ b=3 즉 `f(2)= , `f(5)=- , `f(8)=- , `f(11)=11, ;5^; f(14)= , `f(17)=- , y이므로 x의 값을 4로 나누어 나머 ;6%; ;6%; ;1Á1; ;1Á1; 지가 2, 1, 0, 3인 경우 함숫값은 , - , - , 11의 순서로 반 ;6%; ;1Á1; ;5^; 따라서 y=-x+3의 그래프의 y절편은 3이므로 구하는 도형의 복된다. 따라서 1205를 4로 나눈 나머지는 1이므로  :ª2¦: f(1205)=- ;1Á1;  - ;1Á1; 넓이는 _6_6- _3_3= ;2!; ;2!; :ª2¦: 32 | 정답과 해설 339 f(m)+m=n+f(n)에서 f(m)-f(n)=n-m -a+b>0 ∴ `a-b<0 338 일차함수 y=2mx-m+3이 -2ÉxÉ2에서 y의 값이 항상 양수가 되려면 x=-2, x=2일 때의 y의 값이 각각 양수이어야  Ü CAÓ의 기울기는 =1이므로 x의 값이 1만큼 증 17-5 30-18 = ;1!2@; y=-4m-m+3>0, -5m>-3 ∴ m< ;5#; (28, 15), (29, 16), (30, 17)의 13개 한다. x=-2일 때, x=2일 때, y=4m-m+3>0, 3m>-3 ∴ m>-1 한편 y=2mx-m+3이 일차함수이므로 m+0 따라서 구하는 상수 m의 값의 범위는 -10이므로 ㉢ y=cx+d의 그래프는 x=-1일 때 y<0이므로 -c+d<0 ∴ `c-d>0 ㉣ y=ax+b, y=cx+d의 그래프의 x절편은 각각 - , - ;aB; ;cD; 이다. 이때 - <- 이므로 ;aB; ;cD; > ;cD; ;aB; 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣이다.  ㉠, ㉣  3 343 y y= x+1 1 2 C B b A a O a b x 작은 정사각형의 한 변의 길이를 a, 큰 정사각형의 한 변의 길이를 b라 하면 두 정사각형 각각의 둘레의 길이의 합이 40이므로 4a+4b=40 ∴ a+b=10    yy ㉠ 341 세 점 A(30, 17), B(2, 9), C(18, 5) 를 꼭짓점으로 하는 △ABC를 좌표평 면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.  Ú BAÓ의 기울기는 17-9 30-2 = = ;2¥8; ;7@;    이므로 x의 값이 7만큼 증가할 때 y 의 값도 2만큼 증가한다. y O  -1 또 일차함수의 기울기가 이므로 ;2!; b-a a = ;2!; ∴ 2b=3a yy ㉡   ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=4, b=6 A(30, 17) B(2, 9) y= x+1에 y=4를 대입하면 C(18, 5) x 4= x+1, x=6 ∴ A(6, 4) 점 B의 x좌표는 6+4=10이므로 B(10, 6) 따라서 구하는 점 (x, y)는 (2, 9), (9, 11), (16, 13), 점 C의 x좌표는 10+6=16이므로 (23, 15), (30, 17)의 5개 y= x+1에 x=16을 대입하면  Û BCÓ의 기울기는 5-9 18-2 = -4 16 =- 이므로 x의 값이 4만큼 ;4!; 증가할 때 y의 값은 1만큼 감소한다. 따라서 구하는 점 (x, y)는 (2, 9), (6, 8), (10, 7), (14, 6), (18, 5)의 5개 y= _16+1=9 ∴ C(16, 9) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 _4_(6-4)+ _6_(9-6)=4+9=13  13 ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; ;2!; 7. 일차함수 ⑴ | 33 344 y=x+3에 y=0을 대입하면 0=x+3, x=-3 ∴ A(-3, 0) y y=ax+b y=x+3 p+3 P y=x+3에 x=0을 대입하면 y=3 ∴ B(0, 3) y=ax+b에 x=0을 대입하면 y=b ∴ C(0, b) B 3 A -3 O bC p x 점 P의 x좌표를 p라 하면 P(p, p+3) △PAO= _3_(p+3)= (p+3) ;2#; ;2!; △AOB= ;2!; 이때 △PAO=2△AOB이므로 ;2(; _3_3= (p+3)=2_ , p+3=6 ∴ p=3, 즉 P(3, 6) △PBC= _(3-b)_3= (3-b) ;2!; ;2#; △PBC=3△AOB에서 (3-b)=3_ , 3-b=9 ∴ b=-6 ;2(; ;2(; ;2#; ;2#; 즉 y=ax-6의 그래프가 점 P(3, 6)을 지나므로 6=3a-6, 3a=12 ∴ a=4  a=4, b=-6 34 | 정답과 해설 8 일차함수 ⑵ STEP 1 실력 문제 93쪽~95쪽 345 ㉠ 일차함수 y=2x+1의 그래프를 y축의 방향으로 -6만큼 평행이동한 것이다. ㉡ 기울기가 2이므로 x의 값이 2만큼 증가할 때, y의 값은 4만큼 증가한다. ㉢ -1=2_2-5이므로 점 (2, -1)을 지난다. 또한 기울기가 양수이므로 오른쪽 위로 향하는 직선이다. ㉣ 일차함수 y=2x-5의 그래프의 x절편은 , y절편은 -5이 ;2%; 고, 일차함수 y=-2x-5의 그래프의 x절편은 - , y절편 ;2%; 은 -5이므로 두 그래프는 y축 위에서 만난다. 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다.  ㉡, ㉢ 346 a<0,``b<0이므로 a+b<0, ab>0 따라서 일차함수 y=(a+b)x+ab의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제 3 사분 면을 지나지 않는다. y O x  제 3사분면 347 ① 점 (1, a+b)를 지난다. ③ 기울기가 서로 다르므로 평행하지 않다. ④ 오른쪽 아래로 향하는 직선이므로 a<0이고, y절편이 양수이 ⑤ 기울기가 a이므로 x의 값이 1만큼 증가할 때, y의 값은 a만큼 므로 b>0이다. 증가한다. 따라서 옳은 것은 ②이다. 따라서 제 1사분면을 지나지 않는다.  제 1사분면 348 y=mx+n의 그래프가 오른쪽 위로 향하고 y절편이 음수이므로 m>0, n<0, 즉 n<0, -m<0 이므로 y=nx-m의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 349 일차함수의 그래프가 제1, 2, 3사분면을 지나려면 오른쪽 그림과 같이 그래프가 오른쪽 위로 향하고 y절편이 양수이어야 한다. k+1>0에서 k>-1 yy ㉠  ② y O x y O x -(2k+1)>0에서 -2k-1>0 ∴ k<- ;2!;      yy ㉡ ㉠, ㉡에서 -10, b<0이면 그래프는 제 2 사분면을 지나지 않는다. 로 b=3 ㉣ a는 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비율이다. y=3x-c에 x=1, y=5를 대입하면 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.  ㉠, ㉢ 5=3-c ∴ c=-2 ∴ b+c=3+(-2)=1  1  363 y=ax+4에 y=0을 대입하면 0=ax+4 ∴ x=- ;a$; y= x- 에 x=0을 대입하면 y=- ;3!;{ ;3A;} ;9A; 이때 y=ax+4의 그래프의 x절편과 y= x- 의 그래프의 ;3!;{ ;3A;} y절편이 같으므로 - =- , aÛ`=36 ∴ a=-6, 6 ;a$; ;9A; 한편 y= x-5의 그래프가 제 1 사분면을 지나지 않으려면 ;a!; 367 두 점 (1, -6), (2, -4)를 지나는 직선을 그래프로 하는 일차 함수의 식은 y=2x-8 이때 규태는 b를 바르게 보았으므로 b=-8 두 점 (-3, 4), (0, 8)을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수 의 식은 y= x+8 ;3$; 이때 기제는 a를 바르게 보았으므로 a= ;3$; 따라서 일차함수의 식은 y= x-8이므로 x=18, y=k를 대입 ;3$; k= ;3$;_ 18-8=16  16 <0이어야 하므로 a<0 ;a!; ∴ a=-6  -6 하면 364 p>0, q<0이므로 일차함수 y=px+q의 그래프의 기울기는 양수이고 y절편은 음수이다. 또 일차함수 y=qx-p의 그래프의 기울기는 음수이고 y절편도 음수이다. 368 △ABC= ;2!;_ {4-(-6)} 4=20 _ 이때 |p|<|q|이므로 일차함수 y=px+q의 그래프의 y절편이 점 D의 좌표를 (p, 0)이라 하면 일차함수 y=qx-p의 그래프의 y절편보다 더 작다. y 따라서 두 일차함수의 그래프는 오른쪽 y=px+q 그림과 같으므로 제4 사분면에서 만난다. △ABD= ;5@;△ABC에서 _{p-(-6)}_4= _20 ;5@; ;2!; 2p+12=8 ∴ p=-2 O x -p q 따라서 두 점 A(-4, 4), D(-2, 0)을 지나는 직선을 그래프로 y=qx-p 하는 일차함수의 식은  제 4사분면 y=-2x-4  y=-2x-4 36 | 정답과 해설 369 오른쪽 그림과 같이 점 A(-2, 3) 과 y축에 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(2, 3) A A' y 3 P B -4 374 물을 5분 동안 빼낸 후의 줄어든 수면의 높이는 25-5=20 (cm)이므로 처음 수면의 높이는 25+20=45 (cm) APÓ=A'PÓ이므로 APÓ+PBÓ의 길이가 O-2 2 x 이때 물을 1분 동안 빼낸 후의 줄어든 수면의 높이는 4 cm이므로 최소일 때는 A'PÓ+PBÓ의 길이가 최 y=45-4x 소일 때, 즉 세 점 A', P, B가 한 직선 위에 있을 때이다. y=45-4x에 y=13을 대입하면 따라서 두 점 A'(2, 3), B(-4, 0)을 지나는 직선을 그래프로 하 13=45-4x ∴ x=8 는 일차함수의 식은 y= x+2`` 따라서 수면의 높이가 13 cm가 되는 것은 8분 후이다.  8분 371 링거 주사를 x분 동안 맞았을 때 병에 남아 있는 주사약의 양을 음수이다.  y=x+4 ㉠ ac>0이면 - <0이므로 x절편은 ;2!; ;2!; 이때 점 P는 일차함수 y= x+2의 그래프와 y축과의 교점이므 로 P(0, 2)``  P(0, 2) 370 ㈎ 에서 x절편을 a, y절편을 -a라 하면 구하는 일차함수의 그 래프는 두 점 (a, 0), (0, -a)를 지나므로 (기울기)= -a-0 0-a =1 즉 일차함수의 식은 y=x-a ㈏ 에서 y=x-a에 x=1, y=5를 대입하면 5=1-a ∴ a=-4 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=x+4 y mL라 하면 y=500-4x y=500-4x에 y=0을 대입하면 0=500-4x ∴ x=125 STEP 3 고난도 문제 375 일차함수 y=- x- 의 그래프의 기울기는 - , a b c b c b c a x절편은 - , y절편은 - 이다. 99쪽~100쪽 a b y O ㉠ ㉡ x ㉢ bc<0이면 - >0이므로 y절편은 양수이다. 따라서 제 1, 2, 3사분면을 지난다. c a c b a b c b a b 따라서 주사약을 다 맞는 데 125분, 즉 2시간 5분이 걸리므로 링거 ㉡ ab<0이면 - >0이므로 기울기는 양수이다. 주사를 맞기 시작한 시각은 오후 4시 55분이다.  오후 4시 55분 bc>0이면 - <0이므로 y절편은 음수이다. 372 무게가 5 g 늘어날 때마다 용수철의 길이는 2 cm씩 늘어나므로 따라서 제 1, 3, 4사분면을 지난다. 무게가 1 g 늘어날 때마다 용수철의 길이는 cm씩 늘어난다. ;5@; ㉢ ab>0이면 - <0이므로 기울기는 음수이다. 즉 x g짜리 추를 매달았을 때 용수철의 길이를 y cm라 하면 bc=0이면 b+0이므로 c=0, 즉 원점을 지난다. y=20+ x ;5@; y=20+ x에 x=25를 대입하면 ;5@; ;5@; y=20+ _25=30 따라서 용수철의 길이는 30 cm이다.  30`cm 373 온도가 x`¾ 올라갔을 때 기체의 부피를 y`cmÜ`라 하면 온도가 0`¾일 때의 부피가 1638 cmÜ`이고, 온도가 1`¾ 올라갈 때마다 기체의 부피는 1638_ =6 (cmÜ`)만큼 증가하므로 ;27!3; y=6x+1638 y=6x+1638에 y=1830을 대입하면 1830=6x+1638 ∴ x=32 따라서 기체의 부피가 1830 cmÜ`가 되는 온도는 32 ¾이다. 따라서 제 2, 4사분면을 지난다. 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다. 376 OAÓ를 밑변으로 하는 삼각형의 넓 이가 항상 일정하려면 높이가 일정해 야 하므로 일차함수 y=ax+b의 그 래프는 오른쪽 그림과 같이 OAÓ와 평 y=ax+b 행해야 한다.  ㉠, ㉢ y O x 2 b A -3 P 즉 OAÓ의 기울기는 - 이므로 ;3@; a=- ;3@; △OAP의 넓이가 항상 9이므로 △OAP= _|b|_3=9 ∴ b=-6`(∵ b<0)  32 ¾ ∴ ab=- _(-6)=4  4 ;2!; ;3@; 8. 일차함수 ⑵ | 37 377 일차함수 y=ax+b의 그래프가 일차함수 y= x+5의 그래 ;2!; 프와 평행하므로 a= ;2!; x절편이 -7 이상 3 이하일 때 일차함수 y y= x+b의 그래프는 오른쪽 그림의 ;2!; 색칠한 부분에 있으므로 y절편 b는 x절 -7 편이 -7일 때 최댓값을 갖고, x절편이 3 380 OAÓ=OBÓ이므로 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는 1이다. 두 점 A, B를 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 y=x-k(k>0)라 하면 A(0, -k), B(k, 0) 이때 원 O의 반지름의 길이는 k이므로 O 3 x (색칠한 부분의 넓이)=(p_kÛ`)_ - ;4!; ;2!; _k_k = p- kÛ` 4 kÛ` 2 kÛ` 2 p- kÛ` 4 kÛ`=9 = p- ;4(; ;2(; 이므로 ∴ `k=3 (∵`k>0) 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=x-3  y=x-3 일 때 최솟값을 갖는다. Ú x절편이 -7일 때 0=- +b ∴ b= ;2&; Û x절편이 3일 때 0= +b ∴ b=- ;2#; ;2&; ;2#; Ú, Û에서 b의 최댓값은 , 최솟값은 - 이므로 그 합은 ;2&; ;2#; 381 펌프 수리 후 1시간에 넣는 물의 양은 10+10_ =12`(mÜ`) ;1ª0¼0; + - { ;2&; ;2#;} =2  2 펌프 수리 후 물이 가득 찰 때까지 물을 넣은 시간을 x시간, 물이 378 세 점 A(-3, 2), B(-4, a), C(-1, b)가 일직선 위에 있으 므로 a-2 -4-(-3) 2a-4=-b+2 = b-2 -1-(-3) ∴ 2a+b=6 또 세 점 A, B, C를 지나는 직선이 일차함수 f(x)=mx+n의 그 래프와 일치하므로 f(x)=mx+n에 점 A(-3, 2)를 대입하면 -3m+n=2 yy ㉠ f(1)=-4이므로 m+n=-4 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=- , n=- ;2#; ;2%; ∴ 2a+b+m-n=6+ - - - { ;2%;} ;2#;} =7 {  7 y=mx+n의 그래프가 두 점 (-3, 2), (1, -4)를 지나므로 다른 풀이 m= -4-2 1-(-3) =- ;2#; y=- x+n에 x=1, y=-4를 대입하면 ;2#; ;2#; -4=- +n ∴ n=- ;2%; 379 y= 39-7x 5 이므로 39-7x는 5의 배수이다. 또한 x>0, >0이므로 00, ( y절편)<0 즉 - >0, <0이므로 ;bA; ;b!; a>0, b<0 107쪽~110쪽 y O x  ② 409 주어진 그래프는 점 (0, 3)을 지나고 x축에 평행하므로 y=3 y=3에서 -2y=-6 ∴ -2y+6=0 이 식이 ax-2y+b=0과 같으므로 a=0, b=6 즉 bx+ay+6=0에서 6x+6=0 ∴ x=-1 따라서 방정식 x=-1의 그래프는 오른 y 쪽 그림과 같다. -1 O x  풀이 참조 9. 일차함수와 일차방정식 | 41 410 2x-3=3에서 2x=6 ∴ x=3 x=3에 수직인 직선의 방정식은 y=q의 꼴이므로 a=0 즉 by+6=0이므로 by=-6 ∴ y=- ;b^; 이때 그래프가 제3, 4사분면을 지나야 하므로 - <0 ∴ b>0 ;b^; Ú 직선 y= x+k가 점 D(1, 3)을 지날 때   3= +k ∴ k= ;2!; ;2%; Û 직선 y= x+k가 점 C(3, -2)를 지날 때 ;2!; ;2!;  ②   -2= +k ∴ k=- ;2#; ;2&; Û 직선 y=(a-2)x+1이 점 B(2,-1)을 지날 때 k+3(-k+4)-2a=0, 2k+2a=12 411 직선 y=(a-2)x+1은 항상 점 (0, 1)을 지나므로 선분 AB와 만나 (ii) 기 위해서는 오른쪽 그림의 색칠한 부분에 있어야 한다. Ú 직선 y=(a-2)x+1이 점 A(1, 3)을 지날 때 3=(a-2)+1 ∴ a=4 (i) A y 3 1 1 O -1 2 B x -1=2(a-2)+1 ∴ a=1 Ú, Û에서 a의 값의 범위는 따라서 정수 a의 값은 1, 2, 3, 4이므로 구하는 합은 1ÉaÉ4 1+2+3+4=10   Ú, Û에서 k의 최댓값은 , 최솟값은 - 이므로 ;2%; ;2&; + - { ;2%; ;2&;} =-1  -1 414 두 일차방정식의 그래프의 교점이 직선 y=-x+4 위에 있으 므로 교점의 좌표를 (k, -k+4)라 하자. 2x-y+a=0에 x=k, y=-k+4를 대입하면 2k-(-k+4)+a=0 ∴ 3k+a=4 yy ㉠ x+3y-2a=0에 x=k, y=-k+4를 대입하면 ∴ k+a=6 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=-1, a=7 따라서 교점의 좌표는 (-1, 5)이다.  a=7, (-1, 5) 412 kx-y+1=0에서 y=kx+1 이 그래프는 항상 점 (0, 1)을 지나 므로 네 일차방정식의 그래프로 둘 러싸인 도형과 만나기 위해서는 오 른쪽 그림과 같이 점 (3, 4)를 지나 는 직선의 기울기보다 작고 점 (5, 2) 를 지나는 직선의 기울기보다 커야 한다. Ú 직선 y=kx+1이 점 (3, 4)를 지날 때 4=3k+1 ∴ k=1 Û 직선 y=kx+1이 점 (5, 2)를 지날 때 2=5k+1 ∴ k= ;5!; Ú, Û에서 k의 값의 범위는 ÉkÉ1 ;5!; y 4 2 1 O (i) y=4 (ii) y=2 3 5 x x=3 x=5  10 415 연립방정식 2x+y-4=0 [ x-y+a=0  을 풀면 x= 4-a 3 , y= 4+2a 3 이때 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는 { 이고, 이 점이 제 1 사분면 위에 있으려면 >0, 4-a 3 , 4+2a 3 }  4-a 3 4+2a 3 >0 >0에서 a<4 4-a 3 4+2a  3 ∴ -20에서 a>-2 416 연립방정식 [ 4x+3y=-6 x-2y=-7 의 좌표는 (-3, 2)이다.  -2